close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Начертательная геометрия учеб.пособие Автономова М.П. (www.PhoenixBooks.ru)

код для вставкиСкачать
РостовнаДону
еникс
2009
Высшее образование
М.П. Автономова, А.П. Степанова
ÍÀ×ÅÐÒÀÒÅËÜÍÀß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Учебное пособие
Допущено Учебнометодическим объединением
по специальностям педагогического образования
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по специальности
030800 — изобразительное искусство
www.phoenixbooks.ru
УДК 514(075.8)
ББК 22.151.3я73
КТК 112
А22
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор Кубанского госу
дарственного аграрного университета Г.В. Серга;
кафедра начертательной геометрии и инженерной гра
фики Кубанского государственного технологического
университета.
Автономова М.П.
А22 Начертательная геометрия : учебное пособие / М.П. Авто
номова, А.П. Степанова.— Ростов н/Д: Феникс, 2009.—
283, [1] с. — (Высшее образование).
ISBN 9785222155530
Учебное пособие соответствует программе, утвержденной Мини
стерством образования России. В разделе «Ортогональные проекции»
предлагается усвоение учебного материала по логической схеме: воп
росы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения, изу
чение информации, проверка знаний, проверка умений. В разделе
«Аксонометрия» изложены практические приемы построения. Осо
бое внимание уделено упрощенному способу, позволяющему строить
аксонометрические проекции без проведения аналитических и гра
фических расчетов, приведен единый способ построения аксономет
рической проекции окружности для всех прямоугольных аксономет
рий (стандартных и произвольных), при любом расположении
окружности. Рассмотрены возможные трансформации: повороты,
уменьшения и увеличения аксонометрических проекций. Приведены
примеры студенческих работ.
Пособие предназначено студентам, обучающимся по специально
сти «Дизайн», «Изобразительное искусство» и других, где изучаются
начертательная геометрия, инженерная графика, черчение, проекти
рование.
УДК 514(075.8)
ББК 22.151.3я73
© М.П. Автономова, А.П. Степанова, 2009
© Оформление, ООО «Феникс», 2009
SBN 9785222155530
www.phoenixbooks.ru
Ïðåäèñëîâèå
3
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ
Раздел начертательной геометрии «Ортогональные проекции»
изучается на первом курсе во всех технических, строительных, ар
хитектурных вузах, а также на факультетах дизайна и изобрази
тельного искусства специальных учебных заведений. Известно
много прекрасных учебников разных авторов, излагающих тео
рию прямоугольного проецирования. Но студентам очень трудно
дается понимание соответствия между плоскими изображениями
на чертеже и пространственными образами. В обучении многое
зависит от опыта педагога, методики изложения учебного матери
ала и приемов установления обратной связи для выяснения степе
ни его усвоения студентами.
Учебное пособие составлено по принципам развивающего обуче
ния, помогающего осмыслить теоретические положения и приме
нить их в решении практических задач. Раздел «Ортогональные про
екции» является теоретической базой курса черчения.
Особенность раздела «Ортогональные проекции» состоит в ис
пользовании элементов программированного обучения: мотива
ция учения, подача информации малыми дозами, установление
обратной связи, наличие самостоятельной работы с самопровер
кой решений.
Проверку знаний предлагается осуществлять с помощью тес
тов, составленных с учетом различных вариантов ответов: конструи
рование, дополнение или выбор. Для проверки умений надо решить
несколько контрольных задач. Правильность ответов на вопросы те
стов и решения задач можно проверить в разделе «Самопроверка ре
шения контрольных задач» в конце учебного пособия.
Аксонометрическая проекция — наглядное, метрически опре
деленное изображение. Построение такого изображения выполня
ется по заданным ортогональным проекциям. Изменение размеров
изображения на аксонометрической проекции относительно ис
www.phoenixbooks.ru
4
Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ
тинных размеров предмета осуществляется двумя способами: ана
литическим или графическим. Аналитический предполагает ум
ножение истинных размеров на коэффициенты искажения, гра
фический — использование графических масштабов или
номограмм. Разумеется, проводить огромное количество вычис
лений неудобно, поэтому наиболее применим графический спо
соб, для которого разными авторами разработаны варианты гра
фических масштабов, или номограмм. Стандартом рекомендуется
применение приведенных коэффициентов искажения, что значи
тельно упрощает построение. Но даже в этом случае возникает
необходимость рассчитывать или графически определять размеры
осей эллипсов, являющихся аксонометрическими проекциями
окружностей. Наиболее наглядны прямоугольные аксонометри
ческие проекции. Схема построения любой прямоугольной аксо
нометрии такова: вначале строятся ортогональные проекции,
после — аксонометрические оси и затем графический масштаб,
или номограмма. Замеряется размер на ортогональной проекции,
переносится на графический масштаб, или номограмму. На номо
грамме производится вспомогательное построение, в результате оп
ределяется измененный размер. Полученный размер измеряется на
номограмме и откладывается на аксонометрической оси. При вы
полнении этих манипуляций возникает возможность как минимум
трижды допустить погрешность: при замере размера на ортого
нальной проекции и откладывании его на шкалу номограммы,
при выполнении построений на ней и при переносе его на аксо
нометрическую ось. Сложным является построение эллипсов, а
точнее овалов, их заменяющих, даже в тех случаях, когда они
представляются аксонометрическими проекциями окружностей,
расположенных параллельно координатным плоскостям.
Как избежать такого большого количества погрешностей? Как
упростить построения? Как избавиться от необходимости приме
нения только стандартных аксонометрических проекций, не всегда
дающих наилучшую наглядность? Ответы на эти вопросы содер
жатся в учебном пособии. Здесь предложена методика построения
аксонометрии на основе упрощенного способа, разработанного
В.С. Левицким в «Курсе начертательной геометрии» под редакци
ей Н.Ф. Четверухина. В процессе исследования, в результате вы
www.phoenixbooks.ru
Ïðåäèñëîâèå
5
полнения большого количества построений было установлено,
что несомненными достоинствами этого способа являются про
стота построений, исключение погрешностей размеров, применение
единого для всех прямоугольных аксонометрий метода построения
окружности, независимо от ее положения, а также возможность не
ограничиваться стандартными видами аксонометрий. В учебном
пособии кроме теоретического материала приводятся решения
типовых задач по ортогональным проекциям и примеры выпол
нения студенческих работ по аксонометрии.
www.phoenixbooks.ru
6
Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Целью данной работы является сообщение сведений, необхо
димых для практического применения теории ортогональных и
аксонометрических проекций в дизайнерском, архитектурном и
техническом проектировании. Необходимость создания такого
учебного пособия обусловлена применением инновационных ме
тодов обучения. В ортогональных — использование развивающе
го обучения на основе мотивации учения, подачи информации
малыми дозами с самопроверкой, наличие самостоятельной рабо
ты. В аксонометрии — разработка новых способов построения и
преобразования проекций, основанных на применении перспек
тивноафинного соответствия, при котором отпадает необходи
мость в проведении условных вычислений или применении гра
фических масштабов, номограмм. Такие методы обучения
позволят расширить возможности применения и трансформации
ортогональных и аксонометрических проекций в практической
деятельности будущих специалистов.
Данное учебное пособие в первую очередь адресовано студен
там вузов, обучающихся по специальности изобразительное ис
кусство, которые в процессе обучения не получают специальной
математической подготовки. Поэтому изложение учебного мате
риала по начертательной геометрии для них должно осуществ
ляться с наибольшим упором на применение графических пост
роений, а не математических доказательств. Учебное пособие
может быть также использовано для подготовки архитекторов,
дизайнеров и специалистов других профилей.
www.phoenixbooks.ru
Ïðåäèñëîâèå
7
ÏÐÈÍßÒÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß
1.Точки в пространстве в ортогональных проекциях обознача
ются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D,
E... и цифрами 1, 2, ..., в аксонометрии: A, B, C, D, E, ...
2.Прямые и кривые линии в пространстве обозначаются
строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, e... и т.д.
3.Ортогональные проекции точек и прямых обозначаются
теми же буквами, что и в натуре, с добавлением нижнего
индекса в соответствии с индексом плоскости проекций: А
1
,
А
2
, А
3
, а
1
, а
2
, а
3
...
4.Плоскости обозначаются строчными буквами греческого
алфавита: , , , , ..., их проекции обозначаются теми же
буквами с нижним индексом: 1, 2
, 3
...(
1
, 2
, 3
).
5.Поверхности обозначаются прописными буквами греческо
го алфавита: , , , , , , , , ...
6.Оси проекций на ортогональном чертеже обозначаются
буквами Х
12
, Z
23
и т.д. Цифры показывают, в результате пе
ресечения каких плоскостей проекций образована данная
ось.
7.Совпадение двух элементов обозначается знаком : А В;
a b. Пересечение двух прямых, плоскостей обозначается
знаком : a b = K, = l... Параллельность прямых,
плоскостей обозначается знаком || .
8.Прямой угол обозначается дугой.
9.Перпендикулярность прямых, плоскостей, прямой и плос
кости обозначается знаком .
www.phoenixbooks.ru
8
Ð à ç ä å ë 1. Îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè
Ðàçäåë 1
ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÏÐÎÅÊÖÈÈ
Òåìà 1. ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÅ ÒÎ×ÊÈ
È ÏÐßÌÎÉ, ÈÕ ÂÇÀÈÌÍÎÅ
ÐÀÑÏÎËÎÆÅÍÈÅ
ЗАДАНИЕ
1. Ответить на вопросы для самопроверки.
1.Что называется ортогональным чертежом?
2.Какими свойствами обладает ортогональный чертеж?
3.Что называется координатой точки?
4.Какими координатами определяется положение горизон
тальной и фронтальной проекций точки?
5.Какие прямые частного положения вы знаете? Сформули
руйте их признаки на чертеже.
6.Как располагаются проекции пересекающихся, параллель
ных и скрещивающихся прямых?
7.Как формулируется способ прямоугольного треугольника
для определения натуральной величины отрезка?
2. Решить в тетради следующие задачи (условия задач записать
кратко).
Задача 1. Построить ортогональные проекции:
а) точки А, удаленной от плоскости 1 на 10 мм, от плоскости
2 — на 20 мм, от 3
— на 30 мм;
б) точки В, удаленной от 1 и 2
— на 30 мм, от 3 — на 40 мм;
в) точки С, принадлежащей 2
, отстоящей от 1
на 20 мм, от
3
— на 25 мм;
www.phoenixbooks.ru
Ò å ìà 1. Èçîáðàæåíèå òî÷êè è ïðÿìîé...
9
План решения: 1) запишите координаты каждой точки, например:
А (х, y, z); 2) постройте проекции точек А, В, С на одном чертеже.
Задача 2. Построить проекции отрезка АВ, один конец которо
го расположен в плоскости 1
на расстоянии 40 мм от 2
, а другой
удален от 1
и 2
на 10 мм. Определить натуральную величину от
резка АВ и углы наклона его к 1 и 2
.
План решения: 1) запишите координаты точек А и В, постройте
их проекции; 2) постройте дважды прямоугольные треугольники
(на фронтальной и горизонтальной проекции отрезка).
Задача 3. Через точку С провести прямую m || 1
и пересекаю
щую прямую АВ общего положения (рис. 1).
Анализ условия: прямая m || 1
— это горизонтальная прямая,
координата Z всех точек одинакова, m
2
|| Х
12
.
Задача 4. Через точку А провести прямую АВ, параллельную
профильной прямой KL, используя профильные проекции прямых
или пропорциональность параллельных отрезков (рис. 2).
Рис. 2Рис. 1
Указание. Если вы затрудняетесь ответить на вопросы и ре
шить задачи, то следует обратиться к теории, изложенной далее.
X
12
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
X
12
A
1
K
1
L
1
A
2
K
2
L
2
Y
13
Z
23
0
www.phoenixbooks.ru
10
Ð à ç ä å ë 1. Îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè
Рис. 4Рис. 3
ИНФОРМАЦИЯ
1.1. Îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè òî÷êè
Рассмотрим на наглядном изображении проецирование на две
взаимно перпендикулярные плоскости 1
и 2
двумя пучками па
раллельных лучей, каждый из которых перпендикулярен к соот
ветствующей плоскости. Эта пространственная модель представ
лена на рис. 3. Если надо спроецировать на плоскости 1
и 2
точку А, то из нее опускаем перпендикуляры а и b на плоскости
проекций.
Проекциями точки А на плоскостях 1
и 2
являются точки пере"
сечения проецирующих лучей а и b с плоскостями проекций 1
и 2
.
Теперь надо перейти от пространственной модели к ортого
нальному чертежу. Уберем точку А, лучи а и b, а плоскость 1
опу
стим вниз до совмещения ее с 2
.
Чертеж, полученный путем совмещения плоскостей проекций, на"
зывается ортогональным (рис. 4).
Выделим свойства ортогонального чертежа.
Свойство 1. На ортогональном чертеже горизонтальная и фрон
тальная проекции точки расположены на одном перпендикуляре к
оси проекций Х
12
.
Для доказательства рассмотрим рис. 3. Плоскость АА
2
А
х
А
1
1
и 2
, так как лучи а 1 и b 2
. Значит, она Х
12
. После совме
щения плоскостей 1
и 2
прямая А
2
А
х
А
1 Х
12.
A
X
12
A
1
a
A
2
B
1
C
1
X
12
A
1
A
x
a
b
b
A
2
A
x
A
1
B
2
C
2
O
www.phoenixbooks.ru
Ò å ìà 1. Èçîáðàæåíèå òî÷êè è ïðÿìîé...
11
Свойство 2. Положение точки в пространстве относительно
плоскостей проекций вполне определяется ортогональными про
екциями точки.
Имеем рис. 4, где заданы две проекции точки А. Мысленно
разъединим плоскости и поднимем плоскость 2
до положения
перпендикулярности 2
к 1
(т.е. к плоскости стола). Две пересе
кающиеся прямые А
2
А
х
и А
1
А
х
задают плоскость Х
12
, т.е. 2
и 1
. Из точек А
1
и А
2
восстановим перпендикуляры к плоскостям
1 и 2
, т. е. А
1
А || А
х
А
2
и А
2 А || А
х
А
1
. Эти прямые, лежащие в одной
плоскости, пересекутся в точке А. Таким образом, проекции точки
А
1
и А
2
определяют единственную точку А в пространстве. Точки В
и С занимают частное положение, т.е. лежат в плоскостях проек
ций: В 1
, С 2
.
1.2. Ñèñòåìà êîîðäèíàò â îðòîãîíàëüíûõ
ïðîåêöèÿõ
Чтобы задать в пространстве некоторую точку, пользуемся сис
темой декартовых (прямоугольных) осей координат. В двухмер
ном пространстве это система двух перпендикулярных осей. Ус
ловимся, что плоскости проекций 1
, 2
и 3
совпадают с
плоскостями координатных осей. Тогда координатные оси Х, Y, Z
совпадут с осями плоскостей проекций Х
12, Y
13
, Z
23
. Положение
точки А в пространстве определяется расстояниями АА
1
; АА
2; АА
3
до плоскостей проекций.
Число, выражающее расстояние от точки до плоскости проекций,
называется координатой точки (рис. 5).
Так как АА
1
|| Z
23
, то AA
1 есть координата z
А
.
AA
2
|| Y
13
, значит АА
2
— координата Y
А
, AA
3
|| X
12
; AA
3
= x
А
. Таким
образом, x
А
— расстояние от точки до плоскости 3
; Y
А
— расстоя
ние от точки А до плоскости 2
; z
А
— расстояние от точки А до плос
кости 1
.
Положение точки А в пространстве можно коротко записать
так: А(x
А
, Y
А
, z
А
). Чтобы перейти от макета к чертежу, надо произ
вести следующие действия: точку А и проецирующие лучи убрать
(останутся только проекции А
1
, А
2
, А
3
на плоскостях проекций),
макет разрезать по оси Y (ось Y раздвоится на Y
1
и Y
3
), плос
кость 3
повернуть вправо до совмещения с плоскостью 2
по дуге
www.phoenixbooks.ru
12
Ð à ç ä å ë 1. Îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè
Рис. 6
Рис. 5
поворота. Затем вертикальные плоскости 2 и 3
совместить с го
ризонтальной плоскостью 1
. Эту операцию наглядно можно уви
деть на макете, выполненном в тетради (рис. 6).
Для этого надо правую чистую страницу тетради надорвать
(указано пунктиром) на 1/2 высоты корешка тетради и сложить
по горизонтальной линии, затем лист перегнуть по вертикальной
линии. Определятся координатные оси X
12
, Z
23
, Y
1
и Y
3
. По оси
Y
3
до точки О надрезать лист. Теперь плоскости 2
и 3
стали по
движными, если их поднять, то образуется трехгранный угол.
A
X
12
A
1
A
2
A
x
a
A
z
A
3
A
y
Y
13
Z
23
X
12
A
1
A
2
A
x
O
A
z
A
3
A
y
Z
23
Y
Y
Дуга поворота
профильной
плоскости
www.phoenixbooks.ru
Ò å ìà 1. Èçîáðàæåíèå òî÷êè è ïðÿìîé...
13
Точку А и ее проекции можно выполнить из пластилина, проеци
рующие лучи — из кусков проволоки.
Чертежом называется изображение предмета, полученное при
прямоугольном проецировании его на три плоскости проекций, путем
совмещения плоскостей проекций в одну плоскость.
1. Так как АА
1
1
и АА
2
2
, то плоскость А
х
А
2
АА
1
1
,
2
и
Х
12
. При совмещении плоскостей проекций линии А
2
А
х
и А
х
А
1
совпадают. Первый закон проекционной связи гласит: горизон"
тальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендику"
ляре к оси Х
12 (А
1
А
2
Х
12
).
2. Аналогично доказывается, что фронтальная и профильная про"
екции точки лежат на одном перпендикуляре к оси Z
23 (А
2
А
3
Z
23
) —
это второй закон проекционной связи.
3. Из тех прямоугольников, которые образованы проецирую
щими лучами и линиями пересечения проецирующих плоскостей
с плоскостями проекций, видим, что АА
2 = А
1
А
х = ОА
y = A
3
A
z,
, т.е.
А
1
А
х = А
3
А
z
. Назовем это равенство третьим законом проекцион
ной связи: расстояние от горизонтальной проекции точки до оси Х
12
равно расстоянию от профильной проекции точки до оси Z
23
.
На рис. 6 положение точки А определяется ее проекциями А
1
,
А
2
и А
3
. Проекция А
1
определяется отрезками ОА
х
= х
A
и ОА
y = Y
A
,
т.е. А
1
(x
A
, Y
A
). Для проекции А
2 длина отрезка ОА
х = x
A
и ОА
z = z
A
,
или А
2
(x
A
, z
A
). Для проекции А
3
длина отрезка ОА
z = z
A
и ОА
Y
3 =
Y
A
,
или А
3 (Y
A
, z
A
), т.е. проекция точки определяется координатами
на тех осях, которые образуют данную плоскость проекций.
Пример 1. Построить проекции точки А по заданным коорди
натам: А (30, 10, 20).
Проведем ось проекций Х
12
. Выбе
рем начало координат О и масштаб
чертежа. Откладываем влево от О коор
динату x
A
= 30 мм. Отмечаем точку А
х
.
Через нее проводим перпендикуляр к
Х
12
. Вниз откладываем координату Y
A
=
= 10 мм, а вверх — координату z
A
= 20.
Обозначаем проекции А
1
, А
2
(рис. 7).
Пример 2. Записать координаты точ
ки В, заданной своими проекциями В
1
и В
2
.
Рис. 7
X
12
A
1
A
2
A
x
O
10
www.phoenixbooks.ru
14
Ð à ç ä å ë 1. Îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè
Рис. 8
Известно, что В
1
(x
В
,Y
В
). Замеряем рас
стояние ОВ
х = Х
В = 20, Y
В
= 0, В
2
(Х
В, Z
В
);
z
В
= 30. Записываем: В (20, 0, 30).
Координата Y
B
= 0. Значит, точка В не
удалена от плоскости 2
, а лежит в ней
(рис. 8). Проецирующий луч а 1
сколь
зит по самой плоскости 2
. Для такой
точки горизонтальная или первая проек
ция В
1
располагается на оси Х
12
. Для по
нимания чертежа мысленно изогните
чертеж по Х
12
до получения модели рис. 3. Рукой удаляйтесь от
плоскости 3
, 1
и 2
на заданные расстояния 20, 0, 25 по ломаной
линии, соответствующей осям X, Y, Z.
1.3. Èçîáðàæåíèå ïðÿìîé
íà îðòîãîíàëüíîì ÷åðòåæå
Прямая в пространстве задается двумя точками. На чертеже —
проекциями двух точек. Признак прямой общего положения —
расположение ее проекций наклонно к оси Х
12
. Смоделируйте пря
мые АВ, заданные на рис. 9, при помощи карандаша. Положите
его на горизонтальную проекцию А
1
В
1
. Теперь поднимите конец В
выше, чем А. Можно видеть, что прямые АВ наклонены и к плос
костям 1
и 2
, но поразному.
Рис. 9
X
12
B
1
B
2
B
x
O
X
12
A
1
A
2
O
B
1
B
2
A
1
A
2
B
1
B
2
www.phoenixbooks.ru
Ò å ìà 1. Èçîáðàæåíèå òî÷êè è ïðÿìîé...
15
Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проек"
ций, называются прямыми частного положения.
К примеру, горизонтальная прямая а || 1
(рис. 10).
Рис. 10
Все точки прямой удалены от плоскости 1
на одинаковое
расстояние z. Поэтому фронтальная проекция а
2
параллельна оси
Х
12
. Фронтальная прямая b || 2.
.Все точки удалены от плоскости 2
на одинаковое расстояние y. Поэтому горизонтальная проекция
b
1
|| Х
12
. Смоделируйте изображения прямых а, b, c, d, f, e каранда
шом и запомните расположение проекций этих прямых на черте
же. Прямая с 1
называется горизонтально проецирующей (она
совпадает с направлением проецирования на плоскость 1
), на
плоскости 1
изображается в виде точки. Прямая d 2
— фрон
тально проецирующая. Ее признак — вырождение фронтальной
проекции d
2
в точку. Прямая е || 3
— профильная прямая, f 3
—
профильно проецирующая прямая.
1.4. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ òî÷åê
Если две точки совпадают, то они имеют одинаковые коорди
наты, а поэтому проекции таких точек совпадут. На рис. 11 пока
заны две совпавшие точки А В. Их одноименные проекции со
впали: А
1
В
1
и А
2
В
2
. О точках С и D этого сказать не можем.
Точка D выше точки С. Хотя они и оказались на одном проециру
ющем луче а (восстановите перпендикуляр а из С
1
к столу, вы
делите на нем две точки и посмотрите на них сверху). Две не
X
12
a
1
a
2
O
b
1
b
2
c
1
c
2
d
1
d
2
f
1
f
2
e
1
e
2
1
1
1
2
www.phoenixbooks.ru
16
Ð à ç ä å ë 1. Îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè
совпавшие точки определяют отрезок. Определение длины отрез
ка является первой метрической задачей.
1.5. Îïðåäåëåíèå äëèíû îòðåçêà
Рассмотрим прямую общего положения АВ и ее проекцию А
1
В
1
на
плоскости 1
(рис. 12). Через точку А проведем прямую АВ || А
1
В
1
.
АВВ — прямоугольный, так как ВВ
1
1
и А
1
В
1
. ВВА = 90.
Катет ВВ = z
В – z
А
, т.е. равен разности расстояний от точек В и А
до плоскости 1
. Катет АВ = А
1
В
1
, т.е. равен длине горизонталь
ной проекции отрезка. Натуральная длина отрезка АВ есть гипо
тенуза этого треугольника. Повернем АВВ вокруг катета АВ до
положения параллельности плоскости 1
. Получим АВВ
0
. Те
перь опустим его до совмещения с плоскостью 1
. Получим
А
1
В
1
В
0
, А
1
В
1
В
0
= 90, А
1
В
0
— гипотенуза, т.е. натуральная величи
на отрезка АВ, А
1
В
1
— горизонтальная проекция АВ, В
1
В
0
= Z
В –
Z
А
.
Натуральной величиной отрезка является гипотенуза прямоуголь"
ного треугольника, одним катетом которого служит проекция отрез"
ка, а другим — разность удаления концов отрезка от плоскости, на
которой взята проекция как один из катетов (рис. 13).
Угол наклона прямой к плоскости 1 определяется в А
1
В
1
В
0
.
Если требуется определить угол наклона прямой АВ к плоскости
2
, то надо построить прямоугольный треугольник на фронталь
ной проекции А
2
В
2
. Другим катетом будет разность удаления то
чек от плоскости 2
, т.е. Y
А – Y
В
. Угол между А
2
В
2
и гипотенузой
будет искомый. Натуральная величина отрезка АВ в любом из
двух построенных треугольников будет одна и та же.
Рис. 12Рис. 11
X
12
A
1 B
1
O
C
2
D
2
a
2
D
1 C
1
a
1
A
2 B
2
A
1
B
1
B
z
B –
z
A
B
0
A
B
X
12
Н.В.
B
0
www.phoenixbooks.ru
Ò å ìà 1. Èçîáðàæåíèå òî÷êè è ïðÿìîé...
17
1.6. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå òî÷êè
è ïðÿìîé
Точка может принадлежать и не принадлежать прямой. Если
точка принадлежит прямой, то проекции точки лежат на одноимен"
ных проекциях прямой.
На рис. 14, а дана прямая а и точки А и В. Анализируем поло
жение проекций А
2 и В
2
. Точка А а , так как А
2 а
2
, точка В а,
так как В
2 а
2
, В
1 а
1
.
Рассмотрим прямую СD и точку Е (рис. 14, б). Если отношение
С
2
Е
2
:С
2
D
2 = C
1
Е
1
:Е
1
D
1
, то точка Е СD. Для проверки проведем к
одной из проекций (С
1
D
1
) прямую под произвольным углом и от
ложим на ней отрезки D
1
Е
0 = D
2
E
2 и Е
0
С
0 = Е
2
С
2
. Концы С
0
и С
1
со
единим и через Е
0 проведем Е
0
Е
1
|| С
0
С
1
. Так как Е
1
Е
1
, значит,
точка Е не принадлежит прямой СD.
Рис. 13
Рис. 14
ба
A
1
z
B –
z
A
B
1
B
0
X
12
A
2
B
2
B
1
X
12
a
1
a
2
A
2
B
2
E
1
C
1
D
1
E
2
C
2
D
2
X
12
A
1
E
0
C
0
E
1
Н.В.
www.phoenixbooks.ru
18
Ð à ç ä å ë 1. Îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè
1.7. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïðÿìûõ
У пересекающихся прямых m и n точки пересечения одноименных
проекций К
2
и К
1 лежат на одной линии связи (рис.15, а). К
2
= m
2
n
2
;
K
1
= m
1
n
1
.
У параллельных прямых а и b (рис. 15, б) одноименные проекции
параллельны (а
2
|| b
2
и а
1
|| b
1
). Параллельность прямых частного
положения (например, профильных) проверяется при помощи
третьей плоскости проекций. Для скрещивающихся прямых с и d
(рис. 15, в) нарушаются признаки пересекающихся и параллель
Рис. 15
в
б
а
ных прямых. В точке пересечения фронтальных проекций с
2 d
2
совпадают две проекции точек 1 и 2 (1 с; 2 d), лежащих на од
ном перпендикуляре к 2
. Смотрим на них спереди (по направле
нию Y) на виде сверху. К наблюдателю ближе точка 21, и, значит,
прямая d. Точки 1 и 2 называются конкурирующими и используются
для определения видимости прямых на чертеже.
Указание. После того как информация будет изучена, необхо
димо вернуться к вопросам для самопроверки и задачам 1–4.
K
1
X
12
m
1
m
2
n
1
n
2
K
2
a
1
a
2
b
1
b
2
c
1
c
2
d
1
d
2
1
1
3
2
2
1
4
2
3
1 4
1
1
2 2
2
www.phoenixbooks.ru
Ò å ìà 1. Èçîáðàæåíèå òî÷êè è ïðÿìîé...
19
ПРОВЕРКА ЗНАНИЙ
1. Необходимо выбрать из предложенных ответов тот, который
отвечает на данный вопрос. Ответы следует вписать в таблицу, вы"
черченную в тетради.
1. Что называется координатой z
А
точки А?
а) Расстояние от точки А до плоскости 1
;
б) Расстояние от точки А до плоскости 3
.
2. Какими координатами определяется фронтальная проекция
точки?
а) х и y;б) z и y; в) z и х.
3. На каком чертеже дано изображение прямой общего положе"
ния (рис. 16)?
Вопросы 1 2 3 4
Ответы
Рис. 16
гвба
4. В каком случае дано определение горизонтальной прямой?
а) Если горизонтальная проекция прямой параллельна оси Х
12
;
б) если фронтальная проекция прямой параллельна оси Х
12
;
в) если горизонтальная и фронтальная проекции прямой пер
пендикулярны оси Х
12
.
X
12
a
1
a
2
b
1
b
2
m
1
m
2
n
1
n
2
www.phoenixbooks.ru
Ñîäåðæàíèå
279
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ
Предисловие..................................................................................3
Введение........................................................................................6
Принятые обозначения...................................................................7
Раздел 1. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ.................................8
Тема 1. Изображение точки и прямой, их взаимное
расположение......................................................................8
1.1. Ортогональные проекции точки...........................................10
1.2. Система координат в ортогональных проекциях.................11
1.3. Изображение прямой на ортогональном чертеже................14
1.4. Взаимное расположение двух точек......................................15
1.5. Определение длины отрезка..................................................16
1.6. Взаимное расположение точки и прямой.............................17
1.7. Взаимное расположение двух прямых..................................18
Тема 2. Изображение плоскости. Точка и прямая в плоскости.
Особые прямые плоскости................................................22
2.1. Изображение плоскости на чертеже.....................................24
2.2. Плоскости общего и частного положения...........................24
2.3. Взаимное расположение точки и плоскости........................26
2.4. Взаимное расположение прямой и плоскости.....................26
2.5. Особые прямые плоскости....................................................27
Тема 3. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух
плоскостей........................................................................33
3.1. Взаимное расположение прямой и плоскости.....................35
3.1.1. Прямая принадлежит плоскости............................................35
3.1.2. Прямая, параллельная плоскости...........................................36
3.1.3. Прямая, пересекающаяся с проецирующей плоскостью.....36
3.2. Взаимное расположение двух плоскостей............................37
3.2.1. Плоскости параллельные........................................................37
www.phoenixbooks.ru
280
Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ
3.2.2. Плоскости пересекающиеся. Построение линии
пересечения плоскости общего положения
с проецирующей плоскостью.......................................................38
Тема 4. Пересечение двух плоскостей, прямой с плоскостью
общего положения.............................................................42
4.1. Точка встречи прямой с проецирующей плоскостью..........45
4.2. Линия пересечения плоскости общего положения
с проецирующей плоскостью................................................46
4.3. Пересечение двух плоскостей общего положения...............47
4.4. Пересечение прямой с плоскостью общего положения......48
Тема 5. Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости,
двух плоскостей................................................................54
5.1. Изображение прямого угла на чертеже.................................56
5.2. Линия наибольшего ската (уклона) плоскости....................57
5.3. Перпендикуляр к плоскости..................................................59
5.4. Перпендикуляр к прямой общего положения.....................63
5.5. Взаимно перпендикулярные плоскости...............................64
Тема 6. Способы преобразования чертежа. Введение
дополнительных плоскостей проекций...............................68
6.1. Способы преобразования чертежа........................................70
6.2. Введение одной дополнительной плоскости проекций......70
6.3. Введение двух и более дополнительных плоскостей
проекций.................................................................................75
Тема 7. Способы вращения. Плоскопараллельное
перемещение.....................................................................80
7.1. Вращение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
проекций.................................................................................82
7.2. Плоскопараллельное перемещение (или вращение
без указания осей)..................................................................85
7.3. Вращение вокруг оси, параллельной плоскости
проекций.................................................................................88
Тема 8. Образование поверхностей, их классификация.
Изображение геометрических тел. Плоские сечения.
Развертки.........................................................................93
8.1. Образование поверхностей....................................................96
www.phoenixbooks.ru
Ñîäåðæàíèå
281
8.2. Кривые линии.........................................................................98
8.3. Проекции кривых линий.......................................................99
8.4. Кривые поверхности. Их класификация.............................100
8.4.1. Линейчатые развертываемые поверхности...........................101
8.4.2. Линейчатые неразвертываемые поверхности.......................104
8.4.3. Нелинейчатые неразвертываемые поверхности...................108
8.5. Кривые поверхности частного вида.....................................110
8.5.1. Винтовые поверхности...........................................................110
8.5.2. Поверхности вращения...........................................................113
8.5.3. Торовые поверхности..............................................................115
8.6. Изображение геометрических тел........................................116
8.7. Плоские сечения геометрических тел..................................120
8.8. Развертки...............................................................................129
Тема 9. Пересечения прямой с поверхностью.........................138
9.1. Основная позиционная задача.............................................141
9.2. Построение следа целесообразной вспомогательной
плоскости...............................................................................143
9.3. Построение точек пересечения прямой
с поверхностью......................................................................144
Тема 10. Взаимное пересечение поверхностей.........................150
10.1. Взаимное пересечение поверхностей.
Этапы построений...........................................................152
10.2. Случаи взаимного персечения. Количество линий
пересечения......................................................................152
10.3. Группы пересекающихся тел. Виды линий
пересечения......................................................................154
10.4. Способы построения линии пересечения
поверхностей....................................................................154
10.4.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей..................154
10.4.2. Способы вспомогательных сферических посредников.....159
Раздел 2. АКСОНОМЕТРИЯ.....................................................170
Тема 11. Практическая аксонометрия....................................170
11.1. Общие сведения...............................................................170
11.2. Стандартные аксонометрические проекции..................172
www.phoenixbooks.ru
282
Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ
11.2.1. Прямоугольная изометрия....................................................173
11.2.2. Прямоугольная диметрия.....................................................174
11.2.3. Косоугольная фронтальная изометрия................................174
11.2.4. Косоугольная фронтальная диметрия.................................175
11.2.5. Косоугольная горизонтальная изометрия...........................175
Тема 12. Способы построения аксонометрии..........................177
12.1. Способ координат............................................................177
12.2. Способ аксонометрического проецирования................180
Тема 13. Прямоугольная аксонометрия..................................181
13.1. Реконструкция координатного трехгранника.................181
13.2. Родственное соответствие...............................................185
13.2.1. Свойства родственного соответствия..................................188
13.2.2 Изображение эллипса как фигуры, родственно
соответствующей окружности.................................................191
13.3. Изображения окружности в стандартной
прямоугольной аксонометрии........................................194
13.3.1. Построение изображения окружности
по реконструкции первого вида..............................................194
13.3.2. Построение изображения окружности
по реконструкции второго вида..............................................195
13.3.3. Изображение окружности частного положения.................199
13.3.4. Изображение окружности общего положения...................200
13.4. Схемы расположения осей для стандартных
аксонометрий...................................................................205
13.5. Порядок построения изображения прямоугольной
аксонометрии...................................................................206
13.6. Анализ изменения вида наглядного изображения
в прямоугольной диметрии.............................................210
Тема 14. Решение задач по начертательной геометриии
в прямоугольной аксонометрии........................................218
14.1. Построение плоских сечений геометрических тел.
Линии среза......................................................................218
14.2. Взаимное пересечение геометрических тел.
Тела с вырезами................................................................218
14.3. Аксонометрия тора...........................................................226
www.phoenixbooks.ru
Ñîäåðæàíèå
283
Тема 15. Преобразование наглядных изображений
в прямоугольной аксонометрии........................................229
15.1. Изменение расположения наглядного изображения
в прямоугольной аксонометрии.....................................229
15.2. Изменение масштаба аксонометрии..............................239
Тема 16. Косоугольная аксонометрия.....................................242
16.1. Построение косоугольных аксонометрий
с использованием совмещенных проекций...................243
16.2. Изображение окружности в косоугольной
аксонометрии...................................................................246
16.3. Построение изображений различных предметов
и архитектурных сооружений в косоугольной
аксонометрии...................................................................248
Самопроверка решения контрольных задач
(Ортогональные проекции).........................................................251
Примеры студенческих работ (Аксонометрия).............................268
Заключение................................................................................276
Литература.................................................................................278
www.phoenixbooks.ru
284
Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ
Серия «Высшее образование»
Автономова Майя Павловна,
Степанова Анна Петровна
ÍÀ×ÅÐÒÀÒÅËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Учебное пособие
Ответственный редактор С. Осташов
Технический редактор Л. Багрянцева
Обложка А. Вартанов
Компьютерная верстка В. Микизиль
Корректоры О. Милованова, Н. Иванова
Сдано в набор 15.01.2009. Подписано в печать 25.07.2009.
Формат 6084/16. Бумага офсетная. Гарнитура NewtonС.
Печать офсетная. Усл.печ.л. 16,74. Тираж 2500 экз.
Заказ №
ООО «Феникс»
344082, г. РостовнаДону, пер. Халтуринский, 80.
Отпечатано с готовых диапозитивов в АПП «Джангар»
358000, г. Элиста, ул. Ленина, 245.
www.phoenixbooks.ru
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
267
Размер файла
158 Кб
Теги
phoenixbooks, www, www.phoenixbooks.ru, Книги издательства Феникс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа