close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы Иванов Н.М. (www.PhoenixBooks.ru)

код для вставкиСкачать
РостовнаДону
«Феникс»
2012
«Абитуриент»
Н. М. ИВАНОВ, Г. Г. БИТНЕР
ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
И ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Допущено Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для учащихся 9–11 классов общеобразовательных учреждений и отделений довузовской подготовки и студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Образование и педагогика» (050000) и специальности «Математика» (050201)
Иванов Н. М.
И20 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы / Н. М. Иванов, Г. Г. Битнер. — Рос тов н/Д : Феникс, 2012. — 414 с. : ил. — (Абитуриент).
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
КТК 444
И20
ISBN 978–5–222–19613–7
ßâëÿåòñÿ ó÷åáíûì êóðñîì, ïðåäíàçíà÷åííûì äëÿ ñèñòåìàòèçà-
öèè, ðàñøèðåíèÿ çíàíèé ó÷àùèõñÿ ïî ìàòåìàòèêå, ôîðìèðîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ, âûðàáîòêè ïðàêòè÷åñêèõ íàâûêîâ è ïîäãîòîâêè ê âñòóïèòåëüíûì ýêçàìåíàì â âóçû. Ñîäåðæèò íåîáõî-
äèìûé òåîðåòè÷åñêèé è ñïðàâî÷íûé ìàòåðèàë. Èçëàãàåìûå òåìû ñîïðîâîæäàþòñÿ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì çàäà÷ ñ ðåøåíèÿìè. Êðîìå òîãî, â ïîñîáèå âêëþ÷åíû çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ó÷à-
ùèõñÿ, ðàñïîëîæåííûå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ òðóäíîñòè, è òåñòû. Âñå çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ è òåñòû ñîïðîâîæäàþòñÿ îòâåòàìè.
Ïðåäíàçíà÷àåòñÿ äëÿ ó÷àùèõñÿ 9–11 êëàññîâ îáùåîáðàçîâàòåëü-
íûõ ó÷ðåæäåíèé è ïðåïîäàâàòåëåé îòäåëåíèé äîâóçîâñêîé ïîäãî-
òîâêè.
© Иванов Н. М., Битнер Г. Г., 2012
© ООО «Феникс», оформление, 2012
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
ISBN 978–5–222–19613–7
Рецензенты: зав. кафедрой высшей и прикладной математики академии труда и социальных отношений д.ф.-м.н., профессор, член-корр. РАЕН П.С. Геворкян;
доцент факультета ВМК МГУ, к.ф.-м.н. А.Б. Будак
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу учебного пособия положены лекции и практические занятия, читаемые авторами слушателям отделений довузовской подготовки филиала «Восток» КГТУ им. А. Н. Туполева. В посо-
бии охвачен материал школьного курса математики («Алгебра и элементарные функции», «Тригонометрия», «Элементы математи-
ческого анализа» и «Геометрия»).
Пособие предназначено для учащихся 9–11 классов школ, гим-
назий, лицеев и
, прежде всего, для тех, кто желает углубить и рас-
ширить свои знания по математике перед вступительным экзаме-
ном в высшее учебное заведение. Особенно полезным оно может оказаться учащимся отделений довузовской подготовки.
Гарантией успешной сдачи экзамена, содержащего как простые, так и сложные (нестандартные) задачи, является не натаскивание на экзаменационные варианты прошлых лет, а систематическое углу-
бленное изучение школьного курса математики. Это изучение вклю-
чает в себя регулярную работу, решение и обсуждение с учителями, преподавателями курсов и кружков различных математических сю-
жетов, приемов, идей и подходов к решению задач. Предлагаемое пособие как раз и призвано помочь школьнику (или его наставнику) в указанном отношении
. Оно позволит выпускнику ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях школьного курса математики, устра-
нить недостатки подготовки к стандартным экзаменационным за-
дачам и подготовиться к предстоящему Единому государственному экзамену по математике, особенно ко второй его части.
Каждый раздел пособия содержит необходимый теоретиче-
ский и справочный материал, подробно разобранные примеры, взятые из практики вступительных экзаменов в вузы, при решении которых в некоторых случаях используется не только материал того пункта, к которому относится пример или задача, но и мате-
риал из других разделов. Иногда излагаются несколько различных способов решения одной и той же задачи, для сравнения эффек-
тивности методов. Кроме того, в каждый раздел пособия
включе-
ны задачи для самостоятельной работы учащихся, расположенные 4 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
в порядке возрастания трудности, которые сопровождаются отве-
тами. В пособие также включены тесты, которые можно использо-
вать для подготовки к вступительному экзамену по математике в форме тестирования.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам: за-
ведующему кафедрой высшей и прикладной математики академии труда и социальных отношений д.ф.-м.н., профессору, член-корр
. РАЕН П. С. Геворкяну и доценту факультета ВМК МГУ, к.ф.-м.н. А. Б. Будаку.
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
5
СПИСОК НЕКОТОРЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
N — множество всех натуральных чисел;
Z — множество всех целых чисел;
Z
0
— множество всех неотрицательных целых чисел;
Q — множество всех рациональных чисел;
R — множество всех действительных чисел, числовая прямая;
— пустое множество;
— символ объединения множеств;
— символ пересечений множеств;
— знак принадлежности множеству;
a; b; c; d — множество, состоящее из элементов a, b, c, d;
a; b — замкнутый промежуток (отрезок) с концами a и b;
(a; b) — открытый промежуток (интервал) с концами a и b;
(a; b, a; b) — полуоткрытые промежутки с концами а и b;
;a , ;a , ;b
, ;b
— бесконечные промежутки;
; — бесконечный промежуток, числовая прямая;
x
— целая часть числа х;
x
— дробная часть числа х;
x
— модуль (абсолютная величина) числа х;
( ) 0
( ) 0
f x
g x
— знак системы двух уравнений; решением системы является пересечение множеств решений каждого из уравнений;
( ) 0
( ) 0
f x
g x
— знак совокупности двух уравнений; решением совокупности является объединение множеств решений каждого из уравнений;
НОК (а, b) — наименьшее общее кратное чисел а и b;
НОД (а, b) — наибольший общий делитель чисел а и b;
1 1 0n n
a a a a
— позиционная запись натурального числа;
a
, AB
— обозначение вектора;
a
— длина (модуль) вектора;
a b
или ,a b
— скалярное произведение векторов a
и b
;
— символ сонаправленности векторов;
6 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
— символ противоположной направленности векторов;
f x
— значение функции f в точке x;
D f
— область определения функции f;
E f
— область значений функции f;
x
— приращение аргумента x;
0
f x
— приращение функции f в точке 0
x
;
;
max
a b
f
— наибольшее значение функции f на отрезке ;a b
;
;
min
a b
f
— наименьшее значение функции f на отрезке ;a b
;
n
a
— корень n-й степени из числа a;
log
a
b
— логарифм числа b по основанию a;
lgb
— логарифм числа b по основанию 10;
lnb
— логарифм числа b по основанию e, где e = 2,71828… основание показательной функции.
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
7
Глава 1
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Действительные числа
Натуральные числа
Числа 1,2,3,,
употребляемые для счета, называются нату-
ральными. Множество натуральных чисел обозначается симво-
лом N.
Натуральное число, отличное от единицы, называется про-
стым, если оно делится только на себя и на единицу. Это числа 2,3,5,7,11,13,17,
. Закономерность в распределении простых чи-
сел среди чисел натурального ряда не найдена.
Всякое натуральное число, отличное от единицы, не являюще-
еся простым, называется составным. Примерами составных чисел могут служить числа 4,12,25,50...
.
Как следует из сказанного, единица не относится ни к про-
стым, ни к составным числам.
Критерии делимости. В процессе
вычислений часто возни-
кает необходимость, не производя деления, выяснить, делится ли одно натуральное число на другое. Для этого используют матема-
тические предложения, называемые критериями делимости.
Вывод критериев делимости основан на следующих истинах:
Если каждое слагаемое делится на какое-нибудь число, то и сумма делится на это же число.
Если только одно из слагаемых не делится на какое-нибудь число, то и сумма не делится на это число.
Если хотя бы один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение делится на это число.
Всякое натуральное число N можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 25 478 = 2
∙
10
4
+ 5
∙
10
3
+ 4
∙
10
2
+ + 7
∙
10 + 8, или в общем виде:
1 2
1 2 1 0
10 10 10 10
n n
n n
N a a a a a
, (1.1)
8 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
где 0
a
— цифра единиц; 1
a
— цифра десятков; 2
a
— цифра сотен и т.д.; позиционная запись числа вида (1.1) следующая:
1 2 2 1 0n n n
N a a a a a a
.
Установим последовательно критерии делимости на 2, 5, 4, 3, 9. Рассматривая равенство (1.1), легко заметить, что все разрядные слагаемые, кроме последнего, делятся на два. Значит, делимость числа N на 2 зависит от делимости на 2 числа 0
a
. Отсюда следует: на 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой или нулем.
Рассуждая аналогично, получим: на 5 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются цифрой 5 или нулем.
Для установления критерия делимости на 4 заметим, что в ра-
венстве (1.1) все разрядные слагаемые, кроме двух последних, обяза-
тельно делятся на 4. Таким образом, делимость числа N на 4 зависит от делимости на 4 двузначного числа 1 0
10a a . Отсюда следует: на 4 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4. Примерами таких чисел являются 34 100 и 56 976.
Для того чтобы установить критерий делимости на 3 (и на 9), число N запишем в следующем виде:
1
1 1
1 1 0
10 1 10 1 10 1
.
n n
n n
n n
N a a a
a a a a
Каждое из чисел 1
10 1,10 1,,10 1
n n
делится на 3 (на 9) и, следовательно, делимость данного числа на 3 (на 9) зависит только от делимости на 3 (на 9) суммы 1 1 0n n
a a a a
, ко-
торая является суммой цифр данного числа. Отсюда следует: на 3 (на 9) делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (на 9).
На основании этих критериев устанавливаются критерии де-
лимости на некоторые другие числа. Например, критерий делимо-
сти на 6 формулируется так: на 6 делятся те и только те числа, которые
делятся на 2 и на 3.
Разложение натуральных чисел на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложить число на простые множители — это значит представить его в виде произведения простых чисел. Например,
150 2 3 5 5;4 158 2 3 7 9 11 .
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
9
Каждое составное число n можно разложить на простые мно-
жители, т.е. представить в виде
1 2
1 2
k
m
m m
k
n p p p , (1.2)
где 1 2
,,,
k
p p p
— простые числа; 1 2
,,,,
k
k m m m
— натуральные числа.
Всякое составное число можно представить в виде произведе-
ния простых множителей, и это представление единственно. Если, например, 189 3 7 9 , то не существует никакой другой группы простых чисел, произведение которых было бы равно 189. Поэто-
му говорят, что составное число разложено на простые множители единственным образом.
Введем понятие наибольшего общего делителя. Возьмем чис-
ла 36 и 84. Найдем множества A и B делителей каждого из этих чисел:
1,2,3,4,6,9,12,18,36;
1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84.
A
B
Теперь определим все общие делители чисел 36 и 80, т.е. пере-
сечение множеств A и B:
1,2,3,4,6,12A B .
Наибольший из элементов последнего множества равен 12. Это и есть наибольший общий делитель данных чисел. Таким об-
разом, НОД (36,84) = 12.
Наибольшим общим делителем (НОД) двух натуральных чи-
сел называется наибольший из общих делителей этих чисел.
Легко найти: НОД (36,48) = 12, НОД (80,400) = 80, НОД (7,11) = = 1. В последнем из примеров числа 7 и 11 имеют единственный общий делитель, равный 1, который
является и наибольшим. Такие числа называются взаимно простыми.
Теперь введем понятие наименьшего общего кратного. Возь-
мем два числа 18 и 30. Составим множества A и B чисел, кратных каждому из данных чисел:
18,36,54,72,90,108,126,144,162,180,198,,
30,60,90,120,150,180,210,.
A
B
Составим множество общих кратных чисел 18 и 30, т.е. пере-
сечение множеств A и B:
90,180,.A B 10 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
Наименьший из элементов последнего множества равен 90. Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Таким об-
разом, НОК (18,30) = 90.
Наименьшим общим кратным (НОК) двух натуральных чисел называется наименьшее из их общих кратных.
Легко найти: НОК (12,20) = 60, НОК (25,50) = 50, НОК (7,11) = = 77. Как видно из последнего примера, наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.
При нахождении НОД и НОК данных чисел обычно использу-
ют разложение этих чисел на простые множители (делители).
Правило нахождения НОД (n
1
,n
2
):
1) разложить числа n
1
и n
2
на простые множители, т.е. пред-
ставить их в виде (1.2);
2) выписать все общие простые множители, входящие в эти разложения каждого из чисел n
1
и n
2
;
3) возвести каждый из выписанных простых множителей в наименьшую степень, с которой этот множитель входит в разло-
жения чисел n
1
и n
2
;
4) произведение полученных степеней простых множителей дает НОД (n
1
, n
2
).
Пример 1. Найти НОД (120,380).
Р е ш е н и е. 1) Находим разложение чисел 120 и 380 на про-
стые множители: 3 2
120 2 3 5,380 2 5 19 ;
2) выписываем общие простые множители, входящие в разло-
жения чисел 120 и 380: 2,5
;
3) наименьшая степень числа 2, входящего множителем в каж-
дое из разложений данных чисел, равна 2; наименьшая степень числа 5 равна 1;
4) находим НОД 2
120,380 2 5 20 .
Правило нахождения НОК (n
1
,n
2
):
1) разложить числа n
1
и n
2
на простые множители, т.е. пред-
ставить их в виде (1.2);
2) выписать все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из чисел n
1
и n
2
;
3) возвести каждый из выписанных простых множителей в наибольшую степень, с которой этот множитель входит в разложе-
ния чисел n
1
и n
2
;
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
11
4) произведение полученных степеней простых множителей дает НОК (n
1
,n
2
).
Пример 2. Найти НОК (120,380).
Р е ш е н и е. 1) Находим разложение чисел 120 и 380 на про-
стые множители: 3 2
120 2 3 5,380 2 5 19 ;
2) выписываем простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из данных чисел:
2,3,5,19
;
3) наибольшая степень числа 2, входящего множителем в каж-
дое из разложений данных чисел, равна 3; наибольшая степень числа 3 равна 1; наибольшая степень числа 5 равна 1; наибольшая степень числа 19 равна 1;
4) находим НОК 3
120,380 2 3 5 19 2 280 .
Аналогично находят НОД и НОК трех и более чисел.
Отметим, что НОД и НОК чисел n
1
и n
2
связаны соотношением
НОД 1 2
,n n НОК 1 2 1 2
,n n n n и НОК (n
1
,n
2
) делится без остатка на НОД (n
1
,n
2
).
Целые числа
Введем новое число, называемое нулем и обозначаемое симво-
лом «0», которое обладает свойством 0a a .
Присоединяя нуль к множеству натуральных чисел, получаем новое числовое множество, называемое множеством целых не-
отрицательных чисел. Это расширенное множество записывается 0,1,2,3,4,
и обозначается N
0
:
0
0,1,2,3,4,,,N n .
Введем числа 1,2,3,4, Эти числа называются целыми отрицательными числами.
Объединение множества целых неотрицательных чисел с мно-
жеством целых отрицательных чисел образует новое числовое множество, которое называется множеством целых чисел и обо-
значается символом Z:
4,3,2,1,0,1,2,3,4Z .
Целое число называется четным, если оно делится (нацело) на число 2, и нечетным, если оно не делится на 2.
12 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
Числа a и a
называются противоположными.
Модулем положительного числа и нуля называется само это число, а модулем отрицательного числа — число, ему противопо-
ложное.
Рациональные числа
Символ p q
, где p — числитель (целое число), а q — знамена-
тель (натуральное число), называется обыкновенной дробью (дро-
бью) или рациональным числом.
Если p — натуральное число, то число p q
называется поло-
жительной дробью; если p — целое отрицательное число, то чис-
ло p q
называется отрицательной дробью. Отметим, что число p
q
можно записать в виде p
q
или p
q
, или p
q
, а число p
q
можно записать в виде p
q
или p
q
.
Любое число k представимо в виде дроби 1
k
.
Две дроби p q
и m n
называются равными, если p n q m . Например, дроби 6 13
и 12 26
равны, так как 6 26 13 12 . Если же числитель и знаменатель каждой дроби — числа взаимно про-
стые, то дроби равны между собой при условии, что у них одина-
ковые числители и одинаковые знаменатели.
Из определения равенства дробей вытекает основное свойство дроби: величина дроби не изменяется при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число.
Деление числителя и знаменателя положительной дроби на их общий делитель называется сокращением дроби.
Положительная дробь p q
называется несократимой, если числа p и q взаимно простые. Например, дробь 7 30
называется несократимой, так как НОД (7,30) = 1.
Отрицательная дробь p q
называется несократимой, если по-
ложительная дробь p
q
несократимая.
Всякую дробь можно записать в виде несократимой дроби. Для того чтобы положительную дробь p q
записать в виде несо-
кратимой дроби, надо сократить на НОД (p,q) числитель и знаме-
натель дроби.
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
13
Пример 3. Записать дробь 98 364
в виде несократимой дроби.
Р е ш е н и е. Поскольку 2
98 2 49 2 7 , а 364 2 182 2 2
2 91 2 7 13 , то, сокращая числитель и знаменатель дроби 98 364
на общие множители 2 и 7, получим
98 2 7 7 7
364 2 2 7 13 26
.
Арифметические действия над дробями:
а) 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
p p p q p q
q q q q
(сумма дробей);
б) 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
p p p q p q
q q q q
(разность дробей);
в) 1 2 1 2
1 2 1 2
p p p p
q q q q
(произведение дробей);
г) 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
:
p p
p p p q
q q q p
q q
(частное дробей).
В некоторых случаях правило нахождения суммы (разности) дробей допускает упрощение.
Для того чтобы сложить (вычесть) две дроби p q
и r q
с оди-
наковыми знаменателями, надо написать дробь, у которой знаме-
натель равен знаменателю данных дробей, а числитель — сумме (разности) числителей этих дробей.
Для того чтобы сложить (вычесть) две дроби p q
и r s
с раз-
ными знаменателями, надо найти наименьшее общее кратное A знаменателей этих дробей и привести данные дроби к этому обще-
му знаменателю A, а затем производить сложение (вычитание) по-
лученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Говорят, что дробь p q
больше (меньше) дроби m n
и пишут p q m n
p q m n
, если дробь p q m n
положительная (отрицательная).
Из двух положительных дробей p q
и r q
с одинаковым зна-
менателем больше та, у которой числитель больше.
Из двух положительных дробей p q
и p r
с одинаковым чис-
лителем больше та, у которой знаменатель меньше.
Положительная дробь p q
называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя; в противном случае (т.е. если 14 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
числитель равен знаменателю или больше его) — неправиль-
ной. Например, дроби 4 9,11 13,15 22
правильные, а дроби 7 7,10 3,23 22
неправильные.
Если положительная дробь p q
неправильная, то ее числи-
тель можно единственным образом представить в виде ,p nq r где n — натуральное число, а r — целое число, удовлетворяющее условию 0 r q .
При 0r неправильная дробь p
q
записываются в виде r
n
q
или r
n
q
. Число r
n
q
называется смешанной дробью, где n — це-
лая часть, а r
q
— дробная часть. Например, неправильные дроби 21 4,11 8,23 7
записываются в виде смешанных дробей соответ-
ственно следующим образом: 1 3 2
5,1,3
4 8 7
.
Любую смешанную дробь можно обратить в неправильную дробь; например,
4 4 7 4 7 9 4 67
7 7
9 9 1 9 9 9
.
Отрицательная дробь p
q
называется правильной (неправиль-
ной), если положительная дробь p
q
правильная (неправиль-
ная). Если отрицательная дробь p q
неправильная, то ее можно записать следующим образом: представить в виде смешанной дро-
би положительную дробь p
q
и перед этой смешанной дробью поставить знак минус.
Дробь p q
, знаменатель которой равен 10
k
, где k — натураль-
ное число, можно записать специальным образом.
Если 0p , то пишут числитель этой дроби — число p, и, от-
считав с правой стороны k цифр, отделяют их запятой. При этом, если в числителе меньше цифр, чем k, например n n k
, то пи-
шут числитель и перед его первой цифрой вписывают k n
нулей, затем ставят запятую и перед ней пишут еще один нуль. Если в числителе k цифр, то пишут числитель, перед его первой цифрой ставят запятую и перед ней ставят нуль. Такое представление чис-
ла называется положительной конечной десятичной дробью.
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
15
Например,
19 19 19
1,9;0,19;0,019
10 100 1000
.
Если 0p , то дробь p
q
записывают в виде p
q
, затем по-
ложительную дробь p
q
записывают в виде конечной десятичной дроби и перед ней ставят знак минус. Такое представление называ-
ется отрицательной конечной десятичной дробью.
Любая конечная десятичная дробь легко переводится в обык-
новенную дробь. Для этого надо записать в числитель целое число, которое получается, если отбросить запятую у десятичной дроби и нули, стоящие слева, а в знаменатель написать единицу и после нее столько нулей, сколько цифр стоит у десятичной дроби после запятой, после чего дробь можно сократить на общий множитель, если он есть; например,
325 13 24 12 6 3
3,25;2,4;0,06
100 4 10 5 100 50
.
Рассмотрим вопрос представления рационального числа де-
сятичной дробью, т.е. обращение обыкновенной дроби в десятич-
ную. Пусть p q
— несократимая дробь. Если знаменатель q мож-
но представить в виде 2 5
m n
(m и n — целые неотрицательные числа), то дробь p q
обращается в конечную десятичную. Напри-
мер,
2
3 3 3
7 7 7 5
0,175
40 2 5 2 5
или
3
3 3 3
3 3 3 2
0,024
125 5 5 2
.
Если же знаменатель q в виде 2 5
m n
представить нельзя, то дробь p q
в конечную десятичную дробь не обращается. Обраще-
ние обыкновенной дроби в десятичную выполняется обычно деле-
нием числителя на знаменатель. Следовательно, процесс деления p на q конечен только в том случае, если число q представимо в виде 2 5
m n
. Например, дроби 1 3,4 11,35 44
в виде конечных десятичных дробей записать нельзя. Разделив числитель на знаме-
натель, соответственно имеем:
1 4 35
0,333;0,363636;0,79545454
3 11 44
.
16 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
В том случае, когда при обращении обыкновенной дроби в десятичную деление числителя на знаменатель не имеет конца, цифры частного с некоторого разряда повторяются в неизменном порядке. Повторяющаяся группа цифр называется периодом, а частное — бесконечной десятичной периодической дробью. Если период начинается сразу после запятой, то периодическая дробь называется чистой периодической дробью, в
противном случае пе-
риодическая дробь называется смешанной.
Период принято писать один раз, заключая его в круглые скобки:
23,34313131 23,34 31;0,444 0,4 .
Каждая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть единственным образом представлена в виде дроби p q
.
Правило 1. Чистая периодическая дробь равна такой обыкно-
венной дроби, у которой числитель — период, а знаменатель — число, изображаемое цифрой 9, повторенной столько раз, сколько цифр в периоде.
Например, 0,8 8 9;0,43 43 99 .
Правило 2. Смешанная периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель — разность между чис-
лом, стоящим до второго периода, и числом, стоящим до первого периода, а знаменатель — число, изображаемое цифрой 9, повто-
ренной столько раз, сколько цифр в периоде, со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и периодом.
Например
,
23 2 21 7
0,2 3;
90 90 30
342 3 339 113
3,3 42 3 0,3 42 3 3 3
990 990 330
.
Пользуясь правилом 2, можно показать, что любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной перио-
дической десятичной дроби, причем двумя способами; например,
230 23 207 23
0,23 0 0,23
900 900 100
;
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
17
229 22 207
0,22 9 0,23
900 900
.
Чтобы не было двух разных представлений одной и той же ко-
нечной десятичной дроби в виде бесконечной периодической деся-
тичной дроби, принято не иметь цифру 9 периодом. Тогда каждая конечная десятичная дробь может быть единственным образом записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби с периодом 0 и, наоборот, каждая такая дробь есть конечная деся-
тичная дробь.
Итак, всякое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби конечной или бесконечной периодической и, обратно, всякую конечную или бесконечную периодическую деся-
тичную дробь можно представить в виде обыкновенной, т.е. в виде рационального числа.
Множество всех рациональных чисел принято обозначать сим-
волом Q.
Отношения и пропорции
. Отношением двух чисел a и b на-
зывается частное от деления этих чисел. Обозначается a b
или :0a b b .
Равенство двух отношений 0a b c d bd называется пропорцией, а числа a, b, c, d — членами пропорции, при этом чис-
ла a и d называются крайними числами пропорции, а числа b и c — средними членами пропорции.
Основное свойство пропорции 0a b c d bd состоит в том, что произведение ее крайних членов равно произведению ее средних членов, т.е. ad bc
.
Проценты. Процентом данного числа называется его сотая часть. Следовательно, само число составляет 100 процентов. Один процент от числа обозначается символом: 1%. Например, 35% от числа 100 есть 35; 30% от числа 150 есть число 150
30 45
100
.
При решении задач на проценты некоторая величина b при-
нимается за 100%, а ее часть — величина a — принимается за x% и составляется пропорция
100b
a x
.
18 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
Из этой пропорции по двум известным величинам определяют искомую третью величину, пользуясь основным свойством про-
порции: bx 100a.
Иррациональные числа
Периодическими бесконечными десятичными дробями не ис-
черпывается множество всех бесконечных десятичных дробей.
Пусть требуется найти положительный корень уравнения n
x a
, где 0a и n — натуральное число 2,3,4,n . Корень этого уравнения записывается n
x a
.
Если 2
25x , то 25 5x , так как 2
5 25
.
Теперь рассмотрим уравнение 2
3x . В множестве рацио-
нальных чисел это уравнение не имеет корней, т.е. не существует ни целого, ни дробного числа, квадрат которого равен 3. В самом деле, 2 2 2
1 1,2 4,3 9 и т.д., значит, нет такого целого числа, квадрат которого равен 3. Докажем, что не существует и дробного числа, удовлетворяющего уравнению 2
3x .
Допустим противное, т.е. что существует несократимая дробь p q
такая, что 2
3p q . Очевидно, что p q
больше 1 и мень-
ше 2. Равенство 2
3p q противоречивое, так как левая его часть, являясь квадратом несократимой дроби, есть дробь несокра-
тимая и, следовательно, не может быть равной 3. Таким образом, сделанное допущение неверно, т.е. не существует дроби, квадрат которой равен 3.
Рассмотренный пример показывает, что извлечение корня в множестве рациональных чисел не всегда выполнимо. Символ 3
не имеет числового смысла в множестве рациональных чи-
сел, поэтому уравнение 2
3x в этом числовом множестве корня не имеет.
Аналогично можно доказать, что уравнения x
2
= 2, x
3
= 6, x
4
= 10, … не имеют корней в множестве рациональных чисел. Подобно символу 3
в этом числовом множестве, символы 3
4
2,6,10
,… не имеют числового смысла. Эти уравнения имеют корни в более широком числовом множестве, которое об-
разуется присоединением к множеству рациональных чисел мно-
жества новых чисел. Смысл новых чисел раскрывается при срав-
нении их с рациональными числами. Очевидно, что число 3
за-
ключено между числами 1 и 2, т.е. 1 3 2 . Число 1 называется Глава 1. Алгебра и элементарные функции
19
приближенным значением 3
с недостатком с точностью до 1, а число 2 — приближенным значением 3
с избытком с той же точностью.
Найдем более узкие числовые промежутки, содержащие 3
, концы которых являются рациональными числами. Разделив чис-
ловой промежуток от 1 до 2 на 10 равных частей, получим точ-
ки, соответствующие числам 1,1;1,2;1,3;1,4
. Возводя эти чис-
ла в квадрат, находим: 2
1,7 2,89 3 и 2
1,8 3,24 3 . Значит, 1,7 3 1,8 . Рациональные числа 1,7 и 1,8 — приближенные зна-
чения 3
с точностью до 0,1. Разделив числовой промежуток от 1,7 до 1,8 на 10 равных частей, получим точки, соответствующие чис-
лам 1,71;1,72;1,73;;1,79
. Возводя эти числа в квадрат, замечаем, что 2
1,73 2,9929 3 и 2
1,74 3,0276 3 . Значит, 1,73 3 1,74 . Рациональные числа 1,73 и 1,74 являются приближенными значе-
ниями 3
с точностью до 0,01. Продолжая процесс деления чис-
ловых промежутков на 10 равных частей, находим:
1,732 3 1,733 ;
1,7320 3 1,7321 ;
1,73205 3 1,73206 ,
.
Рассматривая полученные двойные неравенства, находим 3 1,73205 . Этот бесконечный процесс приводит к неперио-
дической десятичной дроби, потому что, как доказано число 3
не является рациональным. Аналогично можно получить:
3
4
2 1,4142;6 1,8171;10 1,7782 Выяснив на примерах смысл понятия нового числа, введем следующее определение: число, которое можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называется иррациональным.
Множество всех рациональных и иррациональных чисел обо-
значается символом R и называется множеством действительных чисел.
Целой частью числа a называется наибольшее целое число, не превосходящее числа a. Например, целая
часть числа 3,7 равна 3; целая часть числа 5 равна 5; целая часть числа 2,7
равна 3
; целая часть числа 4
есть число 4
.
Целая часть числа a обозначается символом a
; например 6,3 6
; 3,2 4;3 2
.
20 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
Дробной частью числа a называется число, равное числу a a
. Например, дробная часть числа 3,2 равна 3,2 – 3 = 0,2; дробная часть числа 5,8
равна 5,8 6 0,2 ; дробная часть числа 3
равна 3 2 2 3 .
Дробная часть числа a обозначается символом a
, т.е. a a a . Например, 5,3 0,3,0,7 0,3 .
Пример 4. Найти наименьшее натуральное число вида 123 43X Y
, которое делится нацело на 3.
Р е ш е н и е. Найдем сумму цифр данного числа 1 2 3 4 3 13X Y X Y . Наименьшее значение этой суммы, при которой заданное число делится на 3, равно 15, т.е. когда 2X Y . Среди всех чисел данного вида при условии, что 2X Y , имеется три числа 1 230 432, 1 231 431, 1 232 430, из которых наименьшим является число 1 230 432.
Пример 5. Найти все пятизначные числа вида 34 5X Y
, каждое из которых делится на 36.
Р е ш е н и е. Число 36 можно представить в виде произведе-
ния взаимно простых чисел 4 и 9; следовательно, искомые числа должны делиться на 4 и на 9. Применим признаки делимости на 4 и на 9. Число 5Y
должно делиться на 4, значит, Y равно либо 2, либо 6. Число 3 4 5 12X Y X Y должно делиться на 9. При 2Y находим такую цифру X, чтобы число 14 X
делилось на 9. Отсюда получаем, что 4X . При 6Y находим такую циф-
ру X, чтобы число делилось на 9. Отсюда получаем X, равное либо 0, либо 9. Следовательно, условию задачи удовлетворяют только три числа, а именно 34 452, 34 056, 34 956.
Пример 6. Найти сумму остатков от деления числа 126 450 747 на 2, 3, 4, 5, 9, 10.
Р е ш е н и е. Так как в заданном примере число оканчи-
вается цифрой 7, а наибольшее из чисел, меньших заданного и оканчивающихся четной цифрой, должно быть, очевидно, число 126 450 746, то остаток от деления заданного числа на 2 равен 1. Из тех же соображений, остаток от деления заданного числа на 5 равен 2. Из признака делимости на 4 следует, что ближайшими к заданному числу и меньшим его, делящимся соответственно на 4, должно быть число 126 450 744. Таким образом, остаток от деле-
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
21
ния на 4 равен 3. Так как сумма цифр заданного числа равна 36, то из признака делимости на 3 (на 9) следует, что это число на 3 и на 9 делится без остатка. Число, меньше заданного, делящееся без остатка на 10, должно заканчиваться числом 40, а потому остаток от деления на 10 равен 7. Таким образом, сумма остатков равна: 1 + 2 + 3 + 7 = 13.
Пример 7. Если числитель дроби увеличить на 60%, а знамена-
тель уменьшить на 20%, то на сколько процентов увеличится дробь?
Р е ш е н и е. Если числитель дроби p
q
увеличить на 60%, то его можно записать в виде 0,6 1,6p p p . Знаменатель дроби после уменьшения на 20% станет равным 0,2 0,8q q q . Дробь после изменения станет равной 1,6
2
0,8
p p
q q
. Так как дробь увели-
чилась в 2 раза, то это означает, что она увеличилась на 100%.
Пример 8. В результате увеличения производительности тру-
да на 15% завод стал выпускать 920 изделий в месяц. Сколько из-
делий в месяц выпускал завод ранее?
Р е ш е н и е. Обозначим через x количество изделий, выпу-
скаемых заводом в месяц ранее; тогда x изделиям
соответствует 100%, 920 изделиям соответствуют 115%.
Составим пропорцию:
100
920 115
x
;
отсюда 920 100
800
115
x
.
Пример 9. Вычислить:
3 6
1 2 3 2 2 .
Р е ш е н и е. Поскольку
2
3 6 6
6
1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 ,
то
3 6 6 6
6
1 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2
2
6
6
3 2 2 9 8 1 .
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
23
Аналогично найдем 1
m
:
2 009 2 1 004,2 009 4 502,2 009 8 251, 2009 16 125,2 009 32 62,2 009 64 31, 2 009 128 15,2 009 256 7, 2 009 512 3,2 009 1024 1 .
Таким образом, в разложении N на простые множители будет 1 004 502 251 125 62 31 15 7 3 1 2 001 двойка: m
1
= 2 001 . Отсюда видно, что существует лишь 500 пар простых множителей 2 и 5, потому число N оканчивается 500 нулями.
Задачи
1.1. Доказать, что следующие числа являются составными:
а) 50
2 1
; б) 25 89 71
13 17 2 ;
в) 400
4 10 1 ; г) 333
10 8
;
д) 18
5
3 299 6 1 ; е) 501 502 500
5 4 3 ;
ж) 11 21 31 41 91 111 ; з) 15
2 424
;
и) 2 2
1 517 1 516
; к) 13
10 7
;
л) 240
10 4
; м) 6 7
10 5
.
1.2. Найти все числа вида 56 3X Y
, делящиеся на 36.
1.3. Найти все числа вида 71 1X Y
, делящиеся на 45.
1.4. Найти все числа вида 135XY
, делящиеся на 45.
1.5. Найти все числа вида 517XY
, делящиеся на 6 и 9.
1.6. Найти НОК и НОД чисел:
а) 308 и 264; б) 112 и 490;
в) 144, 420 и 252; г) 1 512, 1 188 и 1 260.
1.7. Найти частное от деления наименьшего общего кратного чисел 12 600 и 8 820 на их наибольший общий делитель.
1.8. Найти сумму остатков от деления числа 270 423 441 на числа 2, 3, 4, 5, 9, 10.
1.9. Сколько множителей 2 имеется в произведении всех целых чисел от 1 до 500 включительно?
1.10. Записать дробь в виде конечной десятичной дроби:
а) 15 100
; б) 37 10
; в) 112 1 000
;
г) 3 728 200
; д) 693 616
; е) 42 1 344
.
24 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
1.11. Записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
а) 1,75
; б) 23,04
;
в) 0,174
; г) 1,1525
.
1.12. Обратить периодическую дробь в обыкновенную:
а) 0,2 4
; б) 1,4 51
; в) 2,37 1
;
г) 3,24 41
; д) 0,31
; е) 3,1 45
.
1.13. Записать число в виде обыкновенной дроби:
а) 0,15
; б) 1,282
;
в) 10,3 0,4 8,6 ; г) 1,3 2,5
.
1.14. Какое из двух чисел больше:
а) 4
5
или 7
8
; б) 1,32
или 32
25
;
в) 10
0,5
или 20
0,5
; г) 20
99
или 10
9 999
;
д) 20
9
или 13
27
; е) 300
2
или 200
3
;
ж) 20
10
или 10
90
; з) 1
40
2
или 1
99
3
;
и) 1 3
1 3
или 2
1 2
; к) 3 3 3 или 3;
л) 3
38 17 5
или 11
9 4 5
1000
.
1.15. Вычислить:
а) 2
2
2 2
81,624:4,8 4,505 125 0,75
0,44:0,88 3,53 2,75:0,52
;
б) 1 1 1 1
3:1 2,5 3,2 4,25:4 5,25 1 2
5 4 4 2
;
в) 1 5 5 1 3
13 2 10 230 46
4 27 6 25 4
3 10 1 2
1:12 14
7 3 3 7
;
г) 1
2
5 1
42 3 3,3:0,03:
928 10
6 15
0,6:
3
0,8
3:0,625 0,84:0,8:0,03
4
;
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
25
д)
1.16. Найти 150% от числа 2
2 2
6,62 5,4 3,38 1,22 3,38
20,1 13 33,1 12,9
.
1.17. Найти число, если 40% его равны 2 2
2 2
0,536 0,464
3,6 7,2 2,4 2,4
.
1.18. Найти число, если 2,5% его равны
3 7 9
9:5,2 3,4 2:1
4 34 16
2 1
0,31 8 5,61:27
5 2
.
1.19. Найти среднее арифметическое чисел 48
24
14
98
и 47
23
14
98
.
1.20. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:
а) 1
3
; б) 3
3
2
;
в) 4
2
49
; г) 1
2 3
;
д) 2
2 2 1
; е) 1
2 2 3 3
;
ж) 3 3
2 3 5 ; з) 4 30
5 6 7 ;
и) 4 4
1
7 6
; к) 8
8
1
;
3 2
л) 4
1
;
2 1
м) 4
1
;
2 3
н) 3 3
1
;
2 4
о) 12
;
3 2 3 1
4 5,4 0,2 6
7 7
3
:4 0,8 3 2:8 7,91 6:
13
8 24
0,0 3 0,1
15
3 9
:.
14 42
26 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
п) 3
1
;
2 3
р) 3
1
.
3 2
1.21. Доказать рациональность числа:
а) 3
4 2 3
3
10 6 3
; б) 3 2
2 6
3 2
;
в) 3 3
2 5 2 5 ; г) 3 3
20 14 2 20 14 2 ;
д) 3 2 2 6 4 2 ; е) 3 3
5 2 7 5 2 7 .
1.22. Разность 40 2 57 40 2 57 является целым числом. Найти это число.
1.23. Разность 12 5 29 12 5 29 является целым числом. Найти это число.
1.24. Указать все номера рациональных чисел данного множе-
ства:
1) 9 4 5 5 2 ; 2) 0,01 123
;
3) 25
5
3
2 3
; 4) 1
3 5
; 5) 2
2
.
1.25. Указать все номера целых чисел данного множества:
1) 51 14 2 7 2 ; 2) 16
0,36
;
3) 7 3 21
2
7 3
; 4) 1
6
1 6
; 5) 1
1
8
.
1.26. Число a больше числа b на 50%. На сколько процентов число b меньше числа a?
1.27. Объем промышленной продукции увеличился в 10 раз. На сколько процентов произошло увеличение?
1.28. Цех выпускает 200 изделий в год. На сколько изделий увеличится выпуск продукции в год, если производительность труда повысится на 45%?
1.29. В результате увеличения производительности труда на 35% цех стал выпускать в день 405 изделий. Сколько изделий в день цех выпускал ранее?
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
27
1.30. Цех выпускал в день 126 изделий. В результате техниче-
ского усовершенствования выпуск продукции в день поднялся до 189 изделий. На сколько процентов поднялась производительность труда?
1.31. Если числитель дроби увеличить на 12%, а знаменатель уменьшить на 30%, то на сколько процентов увеличится дробь?
1.32. Если 5% некоторого числа составляют 23% от 15,5, то чему равно это число?
1.33. Вычислить:
а) 3 3
4
4 4
3 3
7 54 15 128
4 32 9 162
; б) 2 2 3 24 3 16 6
12 2 2
;
в) 3 5
4 4
4 5
4
3
2
2
4
3
11 1 11 1
11 11 1
11 1
11 1
.
Ответы к задачам для самостоятельного решения
381
§ 1. ɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ 1.2. 56232,56736
. 1.3. 71010,71910,71415
. 1.4. 13500,13545,13590
. 1.5. 51750,51732,51714,51786,51768
. 1.6. ɚ) 308,264 44, 308,264 1848;
ɛ) 112,490 14, 112,490 3920;ɜ) 144,420,252 12, (144,420,252 5 040;ɝ) 1 512,1188,1260 36, 1512,1188, 1260 83160
. 1.7. 70
. 1.8. 4
. 1.9. 494
. 1.10. ɚ) 0,15;ɛ) 3,7;ɜ) 0,112;ɝ) 18,64; . ɞ) 1,125;ɟ) 0,03125
. 1.11. 7 576 87 461
ɚ);ɛ);ɜ);ɝ)
4 25 500 400
. 1.12. 11 479
ɚ);ɛ);
45 330
1067 32117
ɜ);ɝ);
450 9900
31 173
ɞ);ɟ)
99 55
. 1.13. 3 641 19 92
ɚ);ɛ);ɜ);ɝ)
20 500 9 27
. 1.14. ɚ) ɜɬɨɪɨɟ;ɛ) ɩɟɪɜɨɟ;ɜ) ɩɟɪɜɨɟ;ɝ) ɜɬɨɪɨɟ;ɞ) ɩɟɪɜɨɟ;ɟ) ɜɬɨɪɨɟ;ɠ) ɩɟɪɜɨɟ;
ɡ) ɜɬɨɪɨɟ;ɢ) ɩɟɪɜɨɟ;ɤ) ɜɬɨɪɨɟ;ɥ) ɜɬɨɪɨɟ
. 1.15. 4
ɚ) 20;ɛ);ɜ) 41;ɝ) 271;
5
ɞ) 30
. 1.16. 0,15
. 1.17. 0,125
. 1.18. 100
. 1.19. 26
2
. 1.20. 3
3 3 4
ɚ);ɛ);
3 2
4
2 2 4 1 3
ɜ) 49;ɝ) 3 2;ɞ) 2;ɟ) 3 3 2 2;ɠ) 2 6 10;
7 7 7 19 4
4 4
2
ɡ) 210 10 6 9 5 15 7;ɢ) 7 6 7 6;
13
8
48
4
ɤ) 3 2 3 2 3 2; 8 4
4
ɥ) 8 2 2 1;ɦ) 2 3 2 3; 3 3
3 3 3
4 2 2 2
ɧ);ɨ) 3 3 3 2 3 3 5;ɩ) 3 2 3 3 2 9 4;
6
3 3 3
ɪ
盧 . 1.22. 10
. 1.23. 6
. 1.24. 1,2,5
. 1.25. 1,2,5
. 1.26. 1
33 %
3
. 1.27. 900 %
. 1.28. 90 ɢɡɞɟɥɢɣ
. 1.29. 300 ɢɡɞɟɥɢɣ
. 1.30. 50%
. 1.31. 60%
. 1.32. 71,3
. 1.33. 1
3
ɚ);ɛ) 2,5;ɜ) 11 1
5
. ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Глава 1. Алгебра и элементарные функции
382 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
§ 2. ɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ
2.1. x
x
y
. 2.2. 2 2
2
x
y
x
y
. 2.3. 2
a b
. 2.4. 2
1
x
y
. 2.5. 2 2
a b
. 2.6. 1
. 2.7. 1
4
x
. 2.8. 1
ab
. 2.9. 1
. 2.10. 1
2
. 2.11. 2
. 2.12. 3
. 2.13. 2
4
4
n
n
. 2.14. 0
. 2.15. 3
. 2.16. 4
. 2.17. x
y
. 2.18. b a
a
. 2.19. 1
. 2.20. 0
. 2.21. 1
. 2.22. 1
. 2.23. 2
. 2.24. 2 1
x
. 2.25. 2
a b
b
. 2.26. 2
a b
. 2.27. 1
. 2.28. 1
. 2.29. 1
2
. 2.30. 1
. 2.31. 6
. 2.32. 2
. 2.33. 1
. 2.34. 5
. 2.35. 1
3
. 2.36. ab
. 2.37. 1
a . 2.38. 2
a
. 2.39. 5
. 2.40. 1
8
. 2.41. 2
2
0, ɟɫɥɢ 0;1;, ɟɫɥɢ 1;0
1
a a
a
. 2.42. 4
. 2.43. c a
. 2.44. 1, ɟɫɥɢ x;2 2;. 2.45. 2
. 2.46. 2 3
a
. 2.47. 1
. 2.48. 1, ɟɫɥɢ 0,0;1, ɟɫɥɢ 0,0
x
y x y . 2.49. 0
. 2.50. 1
x
. 2.51. 2
a
. 2.52. m
y
. 2.53. 3
20
x
. 2.54. m n
m
n
. 2.55. 2
m n
. 2.56. 1
. 2.57. a b
. 2.58. 2
a
. 2.59. a b
. 2.60. 2, ɟɫɥɢ ;0;2, ɟɫɥɢ 0;
a a
. 2.61. 2
1
, ɟɫɥɢ 0;1;
b
b
b
2
3
, ɟɫɥɢ 1;
b
b
b
. 2.62. 1
a
. 2.63. , ɟɫɥɢ ;2;
2
a
a 1
, ɟɫɥɢ 2;
2
a a
a
2.64. 1, ɟɫɥɢ 1;2;1, ɟɫɥɢ 2;
x x
. 2.65. 3
,
2 3x x 3 3 1
ɟɫɥɢ ;;0 0;3;, ɟɫɥɢ 3;
2 2
x x
x
. 2.66. 1
, ɟɫɥɢ
x
x
1 1
;1;, ɟɫɥɢ 1;0;, ɟɫɥɢ 0;2 2;
2 2
x x
x x x
x x
. 2.67. 2
1
, ɟɫɥɢ
x x
2
1
0;1;, ɟɫɥɢ 1;
x x
x x
. 2.68. 2
2
2
2, ɟɫɥɢ ;1;, ɟɫɥɢ 2 1
x
x
x
Ответы к задачам для самостоятельного решения
413
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..............................................................................................3
Список некоторых обозначений и сокращений .....................................5
Глава 1. Алгебра и элементарные функции ............................................7
§ 1. Действительные числа .................................................................7
§ 2. Тождественные преобразования алгебраических выражений ...................................................................................28
§ 3. Исследование квадратного трехчлена ......................................39
§ 4. Прогрессии .................................................................................50
§ 5. Рациональные уравнения и системы уравнений .....................62
§ 6. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля .....83
§ 7. Рациональные неравенства и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля ................................................89
§ 8. Иррациональные уравнения, системы и неравенства ..........100
§ 9. Тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений ....................116
§ 10. Показательные и логарифмические уравнения и системы уравнений ................................................................125
§ 11. Показательные и логарифмические неравенства ................142
§ 12. Задачи на составление уравнений ........................................150
§ 13. Функции и графики................................................................166
§ 14. Решение нестандартных задач с использованием свойств функций .......................................................................181
§ 15. Задачи с параметрами ............................................................190
Глава 2. Тригонометрия ........................................................................205
§ 16. Тождественные преобразования тригонометрических выражений .................................................................................205
§ 17. Обратные тригонометрические функции ............................222
§ 18. Тригонометрические уравнения, системы и неравенства ..232
Глава 3. Элементы математического анализа .....................................258
§ 19. Производная. Правила и формулы дифференцирования ....258
§ 20. Исследование функций с помощью производной...............268
414 Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
Глава 4. Геометрия ................................................................................281
§ 21. Элементы векторной алгебры ...............................................281
§ 22. Планиметрия...........................................................................292
§ 23. Стереометрия ..........................................................................317
Тесты для систематизации знаний ......................................................337
Ответы к тестам ....................................................................................379
Ответы к задачам для самостоятельного решения ............................381
Список литературы ...............................................................................412
Ответственный редактор В. Разномазов
Выпускающий редактор Г. Логвинова
Технический редактор Ю. Давыдова
Сдано в набор 22.03.2011. Подписано в печать 25.04.2012.
Формат 84108/32. Бумага офсетная.
Гарнитура Таймс. Тираж 2 500 экз. Зак. № 2222
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов*на*Дону, пер. Халтуринский, 80
Тел. (863) 261–89–59, факс (863) 261–89–50
E-mail: raznomazov_vm@mail.ru
ИВАНОВ Николай Михайлович
БИТНЕР Гульфия Гилазутдиновна
Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы
Учебное пособие
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
1 570
Размер файла
997 Кб
Теги
phoenixbooks, www, www.phoenixbooks.ru, Книги издательства Феникс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа