close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Практикум по высшей математике. Соболь Б.В. (www.PhoenixBooks.ru)

код для вставкиСкачать
Высшее образование
Б. В. Соболь, Н. Т. Мишняков,
В. М. Поркшеян
ПРАКТИКУМ
ПО
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
Издание пятое
РостовнаДону
Феникс
2008
www.phoenixbooks.ru
2
Практикум по высшей математике
Рецензент:профессор, доктор физикоматематичес
ких наук С. Б. Климентов
Соболь Б. В.
С 54 Практикум по высшей математике / Б. В. Соболь,
Н. Т. Мишняков, В. М. Поркшеян. — Изд. 5е. —
Ростов н/Д : Феникс, 2008. — 630, [1] с. — (Высшее
образование).
ISBN 9785222140178
В книгу вошли все разделы стандартного курса выс
шей математики для широкого спектра специальностей
высших учебных заведений.
Каждая глава (соответствующий раздел курса) содер
жит справочный материал, а также основные теоретичес
кие положения, необходимые для решения задач. Отли
чительной особенностью данного издания является
большое количество задач с решениями, что позволяет
использовать его не только для аудиторных занятий, но
и для самостоятельной работы студентов. Задачи пред
ставлены по темам, систематизированы по методам реше
ния. Завершают каждую главу наборы заданий для само
стоятельного решения, снабженные ответами.
Полнота изложения материала и относительная ком
пактность данного издания позволяют рекомендовать его
преподавателям и студентам высших учебных заведений,
а также слушателям институтов повышения квалифика
ции, желающим систематизировать свои знания и навы
ки по этому предмету.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
© Соболь Б. В., Мишняков Н. Т., Поркшеян В. М., 2008
© Оформление, ООО «Феникс», 2008
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
КТК 11
С 54
ISBN 9785222140178
www.phoenixbooks.ru
1. Векторная алгебра
3
Предисловие
В настоящее время в нашей стране издается огромное
количество учебников и сборников задач, отражающих
различные разделы курса высшей математики. Часть из
них – рекомендованы Министерством образования Рос
сийской Федерации и являются базовыми для студентов
соответствующих специальностей. Существует также ряд
изданий, в которых наряду с наборами задач содержится
справочный материал по различным разделам курса.
Между тем, как показывает опыт, значительные трудно
сти у студентов вызывает именно овладение практически
ми навыками решения задач. Это обусловлено, в значи
тельной степени, тем, что эти издания, в силу своей
направленности, не могут содержать достаточное количе
ство примеров, иллюстрирующих те или иные методы
решения задач.
Решение этой проблемы, как правило, наши коллеги
находят в каждом вузе путем издания многочисленных
методических разработок по каждому разделу. С нашей
точки зрения, эффективность такого подхода не всегда
достаточно высока по ряду причин. Вопервых, это – ог
раниченность объема каждого из этих изданий, матери
ал в них всегда излагается крайне конспективно; вовто
рых, такие методические разработки, к сожалению, не
всегда достаточно тщательно рецензируются и бывают не
вполне проработаны с методической точки зрения. Нако
нец, как показывает опыт, они не всегда бывают легко
доступны для студентов.
По своему содержанию Практикум по высшей матема
тике отвечает всем современным требованиям, предъяв
ляемым к выпускникам широкого спектра специальнос
тей высших учебных заведений России по этой
дисциплине, и включает все разделы, указанные в соот
ветствующих Государственных образовательных стандар
тах.
Материал Практикума предоставляет возможность
студентам самостоятельно освоить основные положения
курса высшей математики, приобрести и закрепить прак
тические навыки решения задач. Особенно полезен Прак
тикум может быть для студентов, обучающихся по заоч
ной форме обучения, а также в активно развивающейся
в последние годы системе дистанционного образования.
Вместе с этим, по мнению авторов, наиболее эффектив
ный результат может быть достигнут, если использовать
www.phoenixbooks.ru
4
Практикум по высшей математике
книгу постоянно, как для аудиторных занятий, так и для
самостоятельной работы.
Несколько слов о том, как работать с этой книгой.
Прежде, чем приступать к изучению методов решения
задач, необходимо повторить основные определения и те
оремы, относящиеся к данному разделу, постараться по
нять и запомнить наиболее часто используемые формулы.
После этого переходите к изучению разобранных при
меров. Некоторые типовые задачи и методы рассмотрены
в книге как в общем виде, так и на примерах. Весьма по
лезно изучить и то и другое. Это поможет вам не только
отработать навыки решения задач (иногда отчасти фор
мально!), но и лучше понять и усвоить теоретический
материал.
Внимательно прочитайте условие. Постарайтесь проду
мать ход решения задачи самостоятельно. При необходи
мости, просмотрите внимательно предложенное решение,
постарайтесь его осмыслить. Теперь можно пытаться вос
произвести решение разобранной задачи. Если вам уда
лось разобрать, таким образом, определенный тип задач
или метод решения, переходите к задачам для самостоя
тельного решения.
Желаем вам успеха!
www.phoenixbooks.ru
1. Векторная алгебра
5
1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1.1. Линейные операции над векторами
Понятие вектора
Определение 1. Вектором называется направленный
отрезок (или, что то же, упорядоченная пара точек).
Обозначают: AB
(точка А – начало вектора, точка В –
конец вектора) или одной буквой – a.
Определение 2. Длиной вектора (модулем) называет
ся расстояние между началом и концом вектора. Длина
вектора обозначается |
a| или |
AB
|.
Определение 3. Нулевым вектором называется вектор,
у которого начало и конец совпадают. Обозначают: 0
.
Определение 4. Единичным вектором называется век
тор, длина которого равна единице.
Единичный вектор, имеющий одинаковое направление
с данным вектором a, называется ортом вектора a и обо
значается обычно символом 0
a
.
Определение 5. Векторы называются коллинеарными,
если они расположены на одной прямой или на парал
лельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеар
ным любому вектору.
Определение 6. Векторы называются равными, если
они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинако
вое направление.
Линейные операции над векторами
Определение 7. Линейными операциями над вектора$
ми называются сложение векторов и умножение вектора
на число.
Определение 8. Суммой a + b двух векторов a и b на
зывается вектор c, который идет из начала вектора a в
конец вектора b при условии, что вектор b приложен к
концу вектора a (правило треугольника). В случае некол
линеарных векторов a и b можно вместо правила треу
гольника использовать правило параллелограмма: если
векторы a и b отложены от общего начала и на них пост
роен параллелограмм, то сумма a + b есть вектор, совпа
www.phoenixbooks.ru
6
Практикум по высшей математике
дающий с диагональю этого параллелограмма, идущего из
общего начала a и b.
Определение 9. Разностью a – b двух векторов a и b
называется вектор c, который в сумме с вектором b состав
ляет вектор a. Если два вектора a и b отложены от обще
го начала, то их разность есть вектор, исходящий из кон
ца вектора b («вычитаемого») к концу вектора a
(«уменьшаемого»).
Определение 10. Два коллинеарных вектора равной
длины, направленные в противоположные стороны, назы
ваются противоположными. Вектор, противоположный
вектору a, обозначается –
a.
Замечание.
1. Разность векторов a и b можно рассматривать как
сумму векторов a и (–b): a – b = a + (–b).
2. Сложение многих векторов производится при помо
щи последовательного применения правила треугольни
ка (правило многоугольника).
Определение 11. Произведением вектора a на действи
тельное число называется вектор b, удовлетворяющий
следующим условиям:
а) |
b| = || |a|;
б) вектор b коллинеарен вектору a;
в) векторы b и a направлены одинаково, если > 0, и
противоположно, если < 0 (если же = 0, то b = 0
).
Произведение вектора a на число обозначают a.
Операции сложения векторов и умножения вектора на
действительное число обладают следующими свойствами:
1) сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых
векторов a, b, c выполняется равенство:
a + (b + c) = (a + b) + c;
2) сложение векторов коммутативно, т.е. для любых
векторов a и b выполняется равенство:
a + b = b + a;
3) прибавление нулевого вектора к любому вектору a
не меняет последнего:
a + 0
= a;
4) для любого вектора a существует противоположный
вектор –
a, такой что
a + (–a) = 0
;
www.phoenixbooks.ru
1. Векторная алгебра
7
5) умножение вектора на действительное число ассо
циативно, т.е. для любых чисел и и любого век
тора a выполняется равенство:
()
a = (a);
6) умножение вектора на число дистрибутивно по от
ношению к сложению чисел, т.е. для любых чисел
и и любого вектора a выполняется равенство:
( + )
a = a + a;
7) умножение вектора на число дистрибутивно по от
ношению к сложению векторов, т.е. для любых
векторов и и любого числа выполняется равен
ство:
(
a + b) = a + b;
8) умножение вектора на единицу не меняет этого век
тора:
1 · a = a.
Теорема 1 (о коллинеарных векторах). Если 1
e
и 2
e
– два коллинеарных вектора, причем вектор 1
e
– ненуле
вой, то существует единственное число x такое, что
2
e
= x 1
e
.
В частности, ненулевой вектор a и его орт 0
a
связаны
равенством:
a = |a| · 0
a
.
Сформулированные свойства линейных операций по
зволяют преобразовать выражения, составленные из век
торов, по обычным правилам алгебры: можно раскрыть
скобки, приводить подобные члены, переносить некото
рые члены в другую часть равенства с противоположным
знаком и т. д.
Пример 1. По данным векторам a и b построить каждый
из следующих векторов:
а) a + b;б) a – b;в) b – a;г) –a – b.
Решение. Пусть даны два вектора a и b, отложим их от
общего начала и построим указанные векторы либо по пра
вилу параллелограмма, либо по правилу треугольника.
www.phoenixbooks.ru
84
Практикум по высшей математике
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
2.1. Прямая на плоскости
1) A(x – x
0
) + B(y – y
0
) = 0 – уравнение прямой, прохо
дящей через точку M
0
(x
0
, y
0
) перпендикулярно нормаль$
ному вектору n = {A, B};
2) Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой;
3) m
yy
l
xx
00
– уравнение прямой, проходящей
через точку M
0
(x
0
, y
0
) параллельно направляющему век$
тору a = {l , m} (каноническое уравнение прямой);
4) ;
,
0
0
mtyy
ltxx
t R – параметрические уравнения
прямой;
5) 1
b
y
a
x
– уравнение прямой в отрезках, где a и
b – величины направленных отрезков, отсекаемых на ко
ординатных осях Ox и Oy соответственно;
x
y
0
x
y
0
n = {A, B}
M
0
(x
0
, y
0
)
a = {l, m}
M
0
(x
0
, y
0
)
www.phoenixbooks.ru
2. Аналитическая геометрия
85
6) 12
1
xx
xx
=
12
1
yy
yy
– уравнение прямой, проходящей
через две данные точки M
1
(x
1
, y
1
) и M
2
(x
2
, y
2
);
7) y – y
0
= k(x – x
0
) – уравнение прямой, проходящей
через точку M
0
(x
0
, y
0
), k – угловой коэффициент прямой,
равный тангенсу угла наклона прямой к положительно
му направлению оси Ox;
8) y = kx + b – уравнение прямой с угловым коэффици$
ентом k; b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси
Oy;
9) tg = 21
12
1 kk
kk
– тангенс острого угла между двумя
прямыми y = k
1
x + b
1
и y = k
2
x + b
2
;
10) k
1
= k
2
и k
2
= –
1
1
k
– условия параллельности и пер$
пендикулярности двух прямых y = k
1
x + b
1
и y = k
2
x + b
2
;
11) d = 22
00
BA
CByAx
– расстояние от точки M
0
(x
0
, y
0
)
до прямой Ax + By + C = 0;
x
y
0
x
y
0
M
1
(x
1
, y
1
)
M
2
(x
2
, y
2
)
M
0
(x
0
, y
0
)
tg = k
www.phoenixbooks.ru
86
Практикум по высшей математике
12) x = 1
21
xx
, y = 1
21
yy
, –1 – координаты
точки M(x, y), делящей отрезок M
1
M
2
в отношении ,
M
1
(x
1
, y
1
), M
2
(x
2
, y
2
);
13) x = 2
21
xx , y = 2
21
yy – координаты середины
отрезка M
1
M
2
, M
1
(x
1
, y
1
), M
2
(x
2
, y
2
).
14) (A
1
x + B
1
y + C
1
) + (A
2
x + B
2
y + C
2
) = 0 – уравне
ние пучка прямых, проходящих через точку пересечения
прямых A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 и A
2
x + B
2
y + C
2
= 0.
Пример 1. Определить, какие из точек M
1
(3; 1), M
2
(2; 3),
M
3
(6; 3), M
4
(–3; –3), M
5
(3; –1), M
6
(–2; 1) лежат на пря
мой L: 2x – 3y – 3 = 0 и какие не лежат на ней.
Решение. Для того, чтобы определить, какие из точек
лежат на данной прямой и какие не лежат на ней, надо
подставить координаты данных точек в уравнение; если
получим верное равенство, то точки лежат на прямой, в
противном случае – нет.
M
1
(3; 1): 2 · 3 – 3 · 1 – 3 = 0, M
1
L;
M
2
(2; 3): 2 · 2 – 3 · 3 – 3 0, M
2
L;
M
3
(6; 3): 2 · 6 – 3 · 3 – 3 = 0, M
3
L;
M
4
(–3; –3): 2 (–3) – 3 (–3) – 3 = 0, M
4
L;
M
5
(3; –1): 2 · 3 – 3 (–1) – 3 0, M
5
L;
M
6
(–2; 1): 2 (–2) – 3 · 1 – 3 0, M
6
L.
Ответ: точки M
1
, M
3
и M
4
лежат на данной прямой;
точки M
2
, M
5
и M
6
не лежат на ней.
Пример 2. Определить точ
ки пересечения прямой
2x – 3y – 12 = 0 с коорди
натными осями и пост
роить эту прямую на
чертеже.
Решение. Пусть x = 0,
y = – 4, (0; –4);
y = 0, x = 6, (6; 0)
Уравнение прямой в от
резках имеет вид:
x
y
0
(6; 0)
(0; –4)
www.phoenixbooks.ru
2. Аналитическая геометрия
87
1
46
yx
.
Ответ: (6; 0) и (0; –4).
Пример 3. Найти точку пересечения двух прямых
3x – 4y – 29 = 0, 2x + 5y + 19 = 0.
Решение. Так как точка M (x; y) лежит на обеих пря
мых, то координаты этой точки должны удовлетворять
системе уравнений
–
3
2
01952
02943
yx
yx
– 23y = 115; y = –5, x = 3.
Ответ: M(3; –5).
Пример 4. Стороны AB, BC и AC
треугольника ABC даны со
ответственно уравнениями
4x + 3y – 5 = 0, x – 3y + 10 = 0,
x – 2 = 0. Определить коорди
наты его вершин.
Решение.
Найдем точку B пересечения
сторон AB и BC треугольника
ABC.
;0103
,0534
)(
)(
yx
yx
BC
AB
5x + 5 = 0, x = – 1.
;103
,1
xy
x
, .3
,1
y
x
Точка B(–1; 3).
Найдем точку A пересечения сторон AB и AC данного
треугольника.
;02
,0534
)(
)(
x
yx
AC
AB
;2
,543
x
xy
;2
,33
x
y
.2
,1
x
y
Точка A (2; –1).
x
y
0
A
C
B
x – 3y + 10 = 0
x – 2 = 0
4x + 3y – 5 = 0
www.phoenixbooks.ru
88
Практикум по высшей математике
Найдем точку C пересечения сторон AC и BC данного
треугольника.
;0103
,02
)(
)(
yx
x
BC
AC
;103
,2
xy
x
;123
,2
y
x
точка
C(2; 4).
Ответ: A(2; –1), B(–1; 3), C(2; 4).
Пример 5. Площадь треугольни
ка S = 8 кв. ед.; две его вер
шины есть точки A(1; –2) и
B(2; 3), а третья вершина C ле
жит на прямой 2x + y – 2 = 0.
Определить координаты вер
шины C.
Решение.
Очевидно, что задача имеет
два решения. Найдем их. По ус
ловию S
ABC
= 8, иначе,
2
1
|
BA
BC
| = 8.
Вычислим векторное произве
дение векторов BA
и BC
: BA
=
= {–1; –5}, BC
= {x–2, y–3} и
BA
BC
= 51
32
051
032
yx
kyx
kji
=
= k(5(x – 2) – (y – 3)). Тогда S
ABC
= 2
1
|5x – y – 7| = 8;
|5x – y – 7| = 16, 5x – y – 7 = ± 16.
Получаем для нахождения координат точки C две си
стемы линейных алгебраических уравнений:
;022
,1675
yx
yx
C
1
7
36
;
7
25
, C
2
(–1; 4).
Ответ: C
1
7
36
;
7
25
, C
2
(–1; 4).
x
y
0
C(x; y)
2x + y – 2 = 0
B(2; 3)
A(1; –2)
C(x; y)
www.phoenixbooks.ru
2. Аналитическая геометрия
89
Пример 6. Даны вершины треугольника M
1
(2; 1),
M
2
(–1; –1) и M
3
(3; 4). Составить уравнения его высот.
Решение.
Пусть M
1
N – высота треуголь
ника M
1
M
2
M
3
. Рассмотрим два
вектора 32
MM
= {4; 5} и MM
1
=
= {x – 2, y – 1}. По условию эти
векторы ортогональны. Значит,
(
MM
1
· 32
MM
) = 0, 4(x – 2) +
+ 5 (y – 1) = 0, 4x + 5y – 13 = 0.
Аналогично находим остальные
высоты треугольника.
Ответ: 4x + 5y – 13 = 0, 3x +
+ 2y – 17 = 0, x + 3y + 4 = 0.
Пример 7. Составить уравнения сто
рон и медиан треугольника с вер
шинами A(3; 2), B(5; –2), C(1; 0).
Решение.
1) Воспользуемся уравнением
прямой, проходящей через две
данные точки
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
;
AB: 22
2
35
3
yx
,
4
2
2
3
yx
, (x – 3)(–2) =
= y – 2, –2x + 6 = y – 2, 2x + y – 8 = 0.
Найдем уравнение медианы AM. Для этого найдем ко
ординаты точки M – середины отрезка BC:
x = 2
21
xx , y = 2
21
yy ; x = 2
15 = 3,
y = 2
02 = – 1, M(3; –1). Уравнение AM:
21
2
33
3
yx
; 3
2
0
3
yx
; => x = 3 – уравнение
медианы, проведенной из вершины A.
x
y
0
x
y
0
M
3
(3; 4)
M
1
(2; 1)
M
2
(–1;–1)
M(x, y)
N
M
N
C(1; 0)
B(5; –2)
A(3; 2)
www.phoenixbooks.ru
90
Практикум по высшей математике
2) Найдем уравнения CB и CN; N(x; y), где x =
= 2
BA
xx , y = 2
BA
yy ; x = 2
35 = 4, y = 2
22 = 0,
N (4; 0). Тогда BC: 20
2
51
5
yx
, 2
2
4
5 yx
, x – 5 +
+2 (y + 2) = 0; x + 2y – 1 = 0; BC: x + 2y – 1 = 0. CN:
00
0
14
1
yx
; y = 0.
Ответ:AB: 2x + y – 8 = 0; AM: x – 3 = 0;
BC: x + 2y – 1 = 0; CN: y = 0;
CA: x – y – 1 = 0; BF: x + y – 3 = 0.
Пример 8. Даны вершины
треугольника A(1; –2),
B(5; 4) и C(–2; 0). Соста
вить уравнения биссект
рис его внутреннего и
внешнего углов при вер
шине A.
Решение.
1й с п о с о б.
AC
= {–3; 2},
AM
= {x – 1; y + 2},
AB
= {4; 6}.
cos (MAC) = 2222
2)3()2()1(
2)2()3()1(
yx
yx
ACAM
ACAM
=
=
22
)2()1(13
4233
yx
yx
.
cos (BAM) = 3616)2()1(
6)2(4)1(
22
yx
yx
ABAM
ABAM
=
=
52)2()1(
12644
22
yx
yx
.
Но cos (MAC) = cos (BAM), поэтому
x
y
0
K
K
1
M(x; y)
B(5; 4)
A(1; –2)
C(–2; 0)
www.phoenixbooks.ru
8. Дифференциальные уравнения
549
8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
8.1. Обыкновенные дифференциальные
уравнения первого порядка
Понятие дифференциального уравнения
первого порядка
Определение 1. Уравнение вида F(x; y; y) = 0 называ
ется обыкновенным дифференциальным уравнением пер$
вого порядка. Любая функция y = (x), обращающая дан
ное уравнение в тождество, называется решением этого
дифференциального уравнения.
Основной задачей теории дифференциальных уравне
ний является разыскание всех решений данного дифферен
циального уравнения и изучение свойств этих решений.
Процедуру нахождения решений дифференциального
уравнения называют интегрированием данного уравнения.
Определение 2. Функция y = (x; C) называется общим
решением дифференциального уравнения первого поряд
ка, если она обращает уравнение в тождество и при соот
ветствующем выборе константы C из нее может быть по
лучено любое (частное) решение исходного уравнения.
Теорема существования и единственности
решений уравнений первого порядка
Теорема 1. Пусть обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка F(x; y; y) = 0 разрешено от
носительно производной: y = f(x; y), и при этом функция
f(x; y) определена и непрерывна вместе с частной произ
водной y
f
во всех точках плоской области D. Тогда су
ществует, и притом единственное, решение исходного
уравнения, проходящее через заданную точку (x
0
; y
0
) D.
Другими словами, для любой точки (x
0
; y
0
) D суще
ствует, и притом единственное, решение y = (x), удовлет
воряющее условию: y
0
= (x
0
).
Определение 3. Задача об отыскании решения диффе
ренциального уравнения F(x; y; y) = 0, удовлетворяюще
го дополнительному (начальному) условию y(x
0
) = y
0,
на
зывается задачей Коши.
www.phoenixbooks.ru
550
Практикум по высшей математике
Фактически, теорема о существовании и единственности
формулирует условия, при которых задача Коши корректна,
т.е. может быть решена, и притом единственным образом.
В дальнейшем из экономии времени и места будем сокра
щать словосочетание «обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка» до «уравнение», по крайней
мере в случаях, когда это не приведет к двусмысленностям.
Уравнения с разделяющимися переменными
Выделим пять типов уравнений, когда возможна про
цедура разделения переменных с последующим интегри
рованием исходного уравнения.
1. y = f(x).
Переходя к дифференциалам, получаем dy = f(x)dx;
следовательно,
y
y
dt
0
= x
x
sf
0
)(
ds, или y – y
0
= x
x
sf
0
)(
ds; y = x
x
sf
0
)(
ds + y
0
;
x
0
, y
0
– const.
Данная процедура требует некоторых пояснений:
1) при переходе от дифференциалов к интегралам с
переменным верхним пределом необходимо менять име
на переменных под знаком интеграла (в нашем случае y
заменен на t, x на s);
2) полученное решение является общим, так как при
любом выборе значений x
0
и y
0
функция y(x) пройдет че
рез точку (x
0
; y
0
);
3) часто при решении дифференциальных уравнений
процедуру интегрирования проводят формально. Напри
мер:
y = e
x
; dy = e
x
· dx; dxedy
x
; y = e
x
+ C.
И далее из дополнительного условия y(x
0
) = y
0
получа
ют
y
0
=
0
x
e
+ C; C = y
0
– 0
x
e
; y = e
x
+ y
0
– 0
x
e
,
что и есть решение задачи Коши.
Очевидно, что при использовании интегралов с пере
менным верхним пределом задача решается быстрее:
y = e
x
; dy = e
x
dx; y
y
dt
0
= x
x
s
e
0
ds;
www.phoenixbooks.ru
8. Дифференциальные уравнения
551
y – y
0
= e
x
– 0
x
e
; y = e
x
+ y
0
– 0
x
e
.
Выбор формы интегрирования является личностным,
в данном пособии авторы придерживаются схемы интег
рирования с переменными пределами интегрирования.
2. y = f(y).
dy = f(y)dx; )(yf
dy
= dx; f(y) 0;
y
y
tf
dt
0
)(
= x
x
ds
0
; y
y
tf
dt
0
)(
= x – x
0
.
Последнее выражение есть общее решение задачи
Коши.
Случай f(y) = 0 должен быть проанализирован отдель
но.
3. y = f(x) g(y).
dy = f(x) · g(y) dx; )(yg
dy
= f(x)dx; g(y) 0;
y
y
tg
dt
0
)(
= x
x
g
0
f(s) ds.
Решение завершается анализом случая g(y) = 0.
4. M(x) · N(y) dx + P(x) · Q(y) dy = 0;
M(x) · N(y) dx = –P(x) · Q(y) dy ; P(x) 0 ; N(y) 0
)(
)(
xP
xM
dx = –
)(
)(
yN
yQ
dy; x
x
sP
sM
0
)(
)(
ds = –
y
y
tN
tQ
0
)(
)(
dt,
после чего необходимо рассмотреть уравнения P(x) = 0 и
N(y) = 0.
5. y = f(ax + by), b 0.
Введем новую функцию z = ax + by, тогда y = b
a
z
b
1
x;
y = b
a
z
b
1
, и уравнение принимает вид
www.phoenixbooks.ru
552
Практикум по высшей математике
b
a
z
b
1
= f(z); z = a + b · f(z); dz = (a + b · f(z))dx;
)(zfba
dz
= dx; a + b · f(z) 0;
z
tfba
dt
0
z
)(
= x – x
0
и т. д.
Решение уравнений данного типа завершается анали
зом ситуации a + b · f(z) = 0.
Пример 1. Решить дифференциальные уравнения:
а) (xy
2
+ x)dx + (y – x
2
y)dy = 0;
б) yy = y
x21
; в) y = cos(y – x).
Решение.
а) (xy
2
+ x)dx + (y – x
2
y)dy = 0;
x(y
2
+ 1)dx + y(1 – x
2
)dy = 0;
x(y
2
+ 1)dx = –y (1 – x
2
)dy;
разделяем переменные в предположении x
2
– 1 0.
11
22
y
ydy
x
xdx
;
интегрируем полученное уравнение:
x
x
s
sds
0
1
2
= y
y
t
tdt
0
1
2
; y
y
x
x
ts
00
22
1ln
2
1
1ln
2
1
;
ln |x
2
– 1| – ln |
2
0
x
– 1| = ln |1 + y
2
| – ln |1 + 2
0
y
|;
ln
1
1
2
0
2
x
x
= ln
1
1
2
0
2
y
y
;
1
1
1
1
2
0
2
2
0
2
y
y
x
x
; y
2
+ 1 = 1
1
2
0
2
0
x
y
(x
2
– 1).
Обозначим 1
1
2
0
2
0
x
y
= C, тогда
y
2
+ 1 = C(x
2
– 1); y = ±
1
2
CCx
.
www.phoenixbooks.ru
8. Дифференциальные уравнения
553
При разделении переменных были исключены случаи
x
1,2
= ± 1. Проверим каждый из этих случаев прямой под
становкой в исходное уравнение. Очевидно, что верти
кальные прямые x = ± 1 являются решениями. Заметим,
что эти решения не могут быть получены из выражения
y = ±
1
2
CCx
ни при одном конечном значении C;
однако, если C = ±, то получаем именно x = ± 1.
б) yy = y
x21
; y
x
dx
ydy 21 ; y
2
dy = (1 – 2x)dx;
y
y
t
0
2
dt = x
x
s
0
)21(
ds; x
x
y
y
ss
t
00
)(
3
2
3
;
33
3
0
3
y
y
= x – x
2
– x
0
+ 2
0
x
;
y
3
= 3x – 3x
2
+ 3
0
y
– 3x
0
+ 3
2
0
x
.
Обозначим 3
0
y
– 3x
0
+ 3
2
0
x
= C, тогда y
3
= 3x – 3x
2
+ C.
y = 3
2
33 Cxx .
в) y = cos (y – x). Проводим замену z = y – x, тогда
y = z + 1.
Уравнение принимает вид:
z + 1 = cos z; dx
dz
= – (1 – cos z);
–
z
dz
cos1 = dx; –
2
sin2
2
z
dz
= dx; –
2
sin
2
2
z
z
d
= dx;
ctg
z
z
t
0
2
= x – x
0
; ctg
2
z
= ctg
2
0
z
– x
0
+ x.
Обозначим ctg
2
0
z
– x
0
= C, тогда ctg
2
z
= x + C;
ctg
2
xy = x + C.
Поскольку при разделении переменных осуществлено
деление на 1 – cos z, рассмотрим случай cos z = 1 отдельно:
z = 2n, n Z ; y – x = 2n, n Z ; y = x + 2n, n Z.
www.phoenixbooks.ru
554
Практикум по высшей математике
Прямая проверка показывает, что множество прямых
вида y = x + 2n, n Z является решением исходного
уравнения, вместе с тем эти прямые не могут быть полу
чены из общего решения ни при каких действительных
значениях C, включая ±.
Ответ: а) y = ±
1
2
CCx
; б) y = 3
2
33 Cxx ;
в) ctg
2
xy = x + C; y = x + 2n, n Z.
Однородные уравнения
Определение 4. Функция M(x; y) называется однород$
ной функцией степени m, если для всех значений пара
метра t выполняется условие: M(tx; ty) = t
m
M(x; y).
Определение 5. Дифференциальное уравнение первого
порядка M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0, где M(x; y) и N(x; y) –
однородные функции одной и той же степени, называет
ся однородным.
Рассмотрим однородное уравнение
M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0,
перейдем к форме записи с производной:
y = –
);(
);(
yxN
yxM
, N(x; y) 0.
Введем новую функцию z = x
y
; y = xz; y = z + x · z:
z + х · z = –
);1(
);1(
);(
);(
zNx
zMx
xzxN
xzxM
m
m
= (z);
x · z = (z) – z; x · dx
dz
= (z) – z.
Получаем уравнение с разделяющимися переменными
x
dx
zz
dz
)(
; (z) – z 0;
x
x
z
z
s
ds
tt
dt
00
)(
, z
z
tt
dt
0
)(
= ln |x| – ln |x
0
|.
0
ln
)(
0
0
x
x
tt
dt
x
y
x
y
– общее решение задачи Коши.
www.phoenixbooks.ru
8. Дифференциальные уравнения
555
Случай N(x; y) = 0 проверяется прямой подстановкой
в исходное уравнение, как и случай (z) – z = 0.
Пример 2. Решить уравнение:
а) x(x + 2y)dx + (x
2
– y
2
)dy = 0 ; б) y = yx
yx
2
.
Решение.
а) Данное уравнение является однородным, поскольку
функции
M(x; y) = x(x + 2y) и N(x; y) = x
2
– y
2
являются однородными 2й степени.
(x
2
– y
2
)dy = – x(x + 2y)dx;
y = –
22
2
2
yx
xyx
; y ±x.
Введем функцию z = x
y
; y = xz; y = z + x · z, тогда
z + x · z = 22
2
)(
)(2
xxz
xzxx
; z + x · z = 222
22
2
xzx
zxx
;
x · z = 1
21
2
z
z
– z; 1
31
2
3
z
zz
dx
xdz
.
Разделяем переменные при условии z
3
– 3z – 1 0:
–
x
dx
dz
zz
z
13
1
3
2
; –
x
dx
zz
zzd
13
)13(
3
1
3
3
;
–
x
x
z
z
s
ds
tt
ttd
00
13
)13(
3
1
3
3
;
–
3
1
ln | t
3
– 3t – 1 |
z
z
0
= ln | s |
x
x
0
;
–
3
1
ln |z
3
– 3z – 1| + 3
1
ln |
3
0
z
– 3z
0
– 1| = ln |x| – ln |x
0
|;
ln | z
3
– 3z – 1 | – ln |
3
0
z
– 3z
0
– 1 | = 3ln | x
0
| – 3ln | x |;
ln
3
0
0
3
0
3
ln
13
13
x
x
zz
zz
; 3
3
0
0
3
0
3
13
13
x
x
zz
zz
;
www.phoenixbooks.ru
556
Практикум по высшей математике
z
3
– 3z – 1 = 3
x
C
, где C = 3
0
x
(
3
0
z
– 3z
0
– 1).
33
3
13
x
C
x
y
x
y
; y
3
– 3x
2
y – x
3
– C = 0.
Очевидно, что прямые y = ±x не являются решениями
исходного уравнения. Что касается случая z
3
– 3z – 1 = 0,
то он получается из общего решения при C = 0.
б) y = yx
yx
2
.
Проведем замену z = x
y
; y = xz; y = z + x · z,
уравнение принимает вид:
z + x · z = zxx
xzx
2
; z + x
z
z
dx
dz
21
1
;
z
zz
dx
xdz
21
221
2
;
разделяем переменные
x
dx
zz
dzz
122
)21(
2
; –
x
dx
zz
zzd
2
1
2
2
1
2
2
.
Отметим, что x – 2y 0 по условию примера, а выра
жение 2z
2
– 2z + 1 не обращается в ноль при z R.
–
z
z
tt
0
2
1
ln
2
1
2
= ln |s|
x
x
0
;
ln
2
2
0
0
2
0
2
ln
2
1
2
1
x
x
zz
zz
; z
2
– z + 2
1
= 2
2
00
2
0
2
1
x
xzz
.
Обозначим 2
00
2
0
2
1
xzz
= C, тогда
22
2
2
1
x
C
x
y
x
y
; y
2
– xy + 2
2
x
= C.
www.phoenixbooks.ru
8. Дифференциальные уравнения
557
Ответ: а) y
3
– 3x
2
y – x
3
– C = 0; б) y
2
– xy + 2
2
x
= C.
Линейные уравнения
Определение 6. Линейным дифференциальным уравне
нием первого порядка называется уравнение вида
y + p(x) y = g(x) ; при этом, если g(x) = 0, то уравнение
называется линейным однородным, если g(x) 0, то ли$
нейным неоднородным.
Линейные однородные уравнения легко сводятся к
уравнениям с разделяющимися переменными:
y + p(x)y = 0; y = –p(x)y; dy = –p(x) · y · dx; y 0;
y
dy
= –p(x)dx; x
x
y
y
sp
t
dt
00
)(
ds;
ln |y| – ln |y
0
| = x
x
sp
0
)(
ds; ln
x
x
sp
y
y
0
)(
0
ds;
y = y
0
· x
x
dssp
e
0
)(
– общее решение задачи Коши.
Традиционно используются два способа решения ли
нейных неоднородных уравнений.
Метод вариации произвольной постоянной
Решение неоднородного уравнения строится в том же
виде, что и общее решение однородного уравнения, с той
лишь разницей, что константа y
0
заменяется на неизвес
тную функцию С(x):
y = C(x) · x
x
dssp
e
0
)(
.
Подставляя данное выражение для y в неоднородное
линейное уравнение, получаем:
C · x
x
dssp
e
0
)(
+ C · x
x
dssp
e
0
)(
· (–p(x)) + C · x
x
dssp
e
0
)(
·p(x) =
= q(x);
C
x
x
dssp
e
0
)(
= q(x); C = q(x) · x
x
dssp
e
0
)(
;
www.phoenixbooks.ru
558
Практикум по высшей математике
C(x) =
t
x
dssp
x
x
etq
0
0
)(
)(
·dt + C
0
; C
0
– const.
Следовательно, y = x
x
dssp
e
0
)(
· dtetqC
t
x
dssp
x
x
0
0
)(
0
)(
– общее решение линейного неоднородного уравнения.
При условии задачи Коши: y(x
0
) = y
0
получаем, что
C
0
= y
0
.
Представление искомой функции
в виде произведения двух функций: y = u · v.
Исходное уравнение принимает вид:
(u · v) + p(x) · u · v = q(x); uv + u(v + p(x) · v) = q(x).
Введение «лишней» функции позволяет сформулиро
вать некоторое дополнительное условие для функции v:
v + p(x) · v = 0; v
dv
= –p(x)dx; v = v
0
· x
x
dssp
e
0
)(
.
Но тогда исходное уравнение принимает вид:
uv = q(x); u = t
x
dssp
e
v
0
)(
0
1
· q(x);
u = u
0
+ t
x
dssp
x
x
etq
v
0
0
)(
0
)(
1
· dt
и общее решение
y = u · v = v
0
· x
x
dssp
e
0
)(
· dtetq
v
u
t
x
dssp
x
x
0
0
)(
0
0
)(
1
.
y = x
x
dssp
e
0
)(
· dtetqy
t
x
dssp
x
x
0
0
)(
0
)(
, где y
0
= u
0
· v
0
.
Пример 3. Найти решение задачи Коши:
а) (x
2
+ x)y – y = x
2
+ x; y(1) = 0;
б) y – y sin x = sin x · cos x ; y 2
= 1.
www.phoenixbooks.ru
8. Дифференциальные уравнения
559
Решение.
а) Данное уравнение является линейным неоднородным;
в предположении, что x 0 ; x –1, оно приобретает вид
y – )1(
1
xx
y = 1.
Решим однородное уравнение:
y – )1(
1
xx
y = 0; )1( xx
y
dx
dy
; )1( xx
dx
y
dy
;
x
x
y
y
ss
ds
t
dt
00
2
; ln |y| – ln |y
0
| = x
x
s
sd
0
4
1
2
1
2
1
2
.
ln
x
x
s
s
y
y
0
1
ln
0
; 0
0
0
1
1 x
x
x
x
y
y
;
y = 1
)1(
0
00
x
x
x
yx
; y = C · 1x
x
; где C = 0
00
)1(
x
yx .
В рамках метода вариации произвольной постоянной
решение неоднородного уравнения строится в виде
y = C(x) ·
1x
x
, где C(x) – неизвестная функция:
C(x) ·
1x
x
+ C(x) ·
)1(
1
1 xxx
x
· C(x) ·
1x
x
= 1;
C(x) ·
1x
x
= 1; C(x) = x
x 1
; dC = x
x 1
dx.
x
x
C
C
s
dt
00
1
1
ds; C – C
0
= x + ln |x| – x
0
– ln |x
0
|;
С(x) = x + ln|x| + C
1
, где C
1
= C
0
– x
0
– ln|x
0
|;
y = (x + ln |x| + C
1
) ·
1x
x
.
Так как y(1) = 0, то C
1
= –1.
Окончательно получаем следующее решение исходной
задачи Коши:
y = 1
)1||ln(
x
xxx
.
www.phoenixbooks.ru
560
Практикум по высшей математике
Очевидно, что прямые x = 0 и x = –1 не являются ре
шениями исходного уравнения.
б) Используем вторую схему решения линейных урав
нений
y = u · v;
uv + uv – sin x · u · v = sin x · cos x;
uv + u(v – sin x · v) = sin x · cos x.
Потребуем, чтобы функция v(x) была решением урав
нения
v – sin x · v = 0; v
dv
= sin x · dx; ln
0
v
v
= –cos x + cos x
0
;
v = v
0
0
coscos xx
e
.
Так как v(x) выполняет роль вспомогательной функ
ции, положим x
0
= 2
; v
0
= 1, тогда v = e
–cos x
.
Получаем следующее уравнение для u(x):
e
–cos x
· u = sin x · cos x;
du = e
cos x
· sin x · cos x · dx; du = –e
cos x
cos x d(cos x);
x
x
s
u
u
edt
00
cos
· cos s · d(cos s).
Так как s
e
cos
· cos s · d(cos s) = |cos s = p| =
=
p
e
· p · dp = pp
egdpedg
dpdfpf
= pe
p
– e
p
+ C =
= cos s · e
cos s
– e
cos s
+ C, то получаем:
u – u
0
= e
cos x
– cos x · e
cos x
– e
cos x
0
+ cos x
0
· e
cos x
0
;
u = e
cos x
– cos x · e
cos x
+ C, C – const.
Следовательно,
y = u · v = (e
cos x
– cos x · e
cos x
+ C) · e
–cos x
;
y = 1 – cos x + Ce
–cos x
.
По условию y
2
= 1,
1 = 1 – cos 2
+ C
2
cos
e
; C = 0;
y = 1 – cos x.
Ответ: а) 1
)1||ln(
x
xxx
; б) 1 – cos x.
www.phoenixbooks.ru
624
Практикум по высшей математике
Литература
Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А.
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной
алгебре. — М.: Наука, 1987.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математическо
го анализа. — М.: Наука, 1985.
Болгаров В. А., Демидович Б. П., Ефименко В. А. и др.
Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгеб
ра и основы математического анализа / Под ред. А. В.
Ефименко и Б. П. Демидовича. — М.: Мир, 1984.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах: В 2 т. Ч. 1, 2. — М.:
ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по ма
тематическому анализу: Учебное пособие для вузов. —
М.: АСТ, Астрель, 2002.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической гео
метрии. Учебное пособие для втузов. — СПб.: Профессия,
2002.
Кудрявцев Л. Д. Математический анализ: В 2 т. — М.:
Высшая школа, 1973.
Минорский В. П. Сборник задач по высшей математи
ке: Учебное пособие для втузов. — М.: Наука, 1987.
Моденов П. С., Пархоменко А. С. Сборник задач по ана
литической геометрии. — М.: Наука, 1976.
Пискунов М. С. Дифференциальное и интегральное
исчисления: Учебное пособие для вузов: В 2 т. — М.: Ин
тегралПресс, 2001.
www.phoenixbooks.ru
Содержание
625
Содержание
Предисловие....................................................................3
1. Векторная алгебра.....................................................5
1.1. Линейные операции над векторами................5
1.2. Линейная комбинация векторов..................21
Векторный базис на плоскости
и в пространстве...........................................21
Действия над векторами,
заданными своими координатами..................23
Общая (аффинная) декартова система
координат...................................................33
Линейная зависимость. Понятие базиса..........39
1.3. Прямоугольная декартова
система координат......................................46
1.4. Скалярное произведение векторов................57
1.5. Векторное произведение векторов................71
1.6. Смешанное произведение векторов...............78
2. Аналитическая геометрия......................................84
2.1. Прямая на плоскости..................................84
2.2. Плоскость................................................120
2.3. Прямая и плоскость в пространстве............130
2.4. Полярная система координат.....................143
2.5. Линии второго порядка.............................144
Окружность................................................144
Гипербола..................................................153
Парабола....................................................159
Уравнения кривых второго порядка
в смещенной системе координат....................163
Алгебраические кривые второго порядка.......165
2.6. Канонические поверхности
второго порядка.......................................177
www.phoenixbooks.ru
626
Практикум по высшей математике
3. Линейная алгебра..................................................186
3.1. Определители и матрицы..........................186
Определители.............................................186
Матрицы....................................................191
3.2. Линейное (векторное) пространство............202
3.3. Системы линейных
алгебраических уравнений........................205
Правило Крамера........................................205
Произвольные системы линейных
алгебраических уравнений.
Теорема Кронекера–Капелли........................208
Метод Гаусса..............................................212
Однородные линейные
алгебраические системы...............................219
3.4. Линейные операторы.
Собственные числа и собственные векторы..231
4. Комплексные числа...............................................237
4.1. Алгебраическая форма
записи комплексных чисел.......................237
4.2. Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел..................................242
4.3. Показательная форма записи
комплексных чисел..................................251
5. Функции одной переменной..................................255
5.1. Понятие функции одной переменной..........255
5.2. Предел числовой последовательности
и его свойства..........................................260
Замечательные пределы и их следствия.........265
Oсимволика...............................................266
5.3. Предел функции.......................................269
Замечательные пределы и их следствия.........276
Эквивалентные бесконечно малые функции...276
www.phoenixbooks.ru
Содержание
627
5.4. Непрерывность функции
в точке и на промежутке...........................282
5.5. Производная и дифференциал...................286
Производная функции, заданной явно...........286
Производные функций, заданных
параметрически и неявно.............................293
Производные и дифференциалы
высших порядков........................................295
5.6. Приложения производных
и дифференциалов....................................304
Геометрический смысл
производной и дифференциала.....................304
Физический смысл производной
и дифференциала........................................306
Раскрытие неопределенностей
по правилам Лопиталя.................................309
Формула Тейлора........................................313
Исследование функций. Промежутки
монотонности и экстремумы функций...........317
Общая схема анализа свойств функции
и построения ее графика..............................326
Задача о наибольшем и наименьшем
значениях функции на промежутке...............330
6. Функция одной переменной:
интегральное исчисление..........................................335
6.1. Неопределенный интеграл.........................335
Основные методы интегрирования................337
Интегрирование рациональных дробей..........346
Интегрирование иррациональных
выражений.................................................353
Интегралы от тригонометрических функций..361
6.2. Определенный интеграл............................371
www.phoenixbooks.ru
628
Практикум по высшей математике
Методы вычисления определенного
интеграла...................................................373
6.3. Несобственные интегралы.........................380
Интегралы от неограниченных функций........380
Интегралы с бесконечными пределами..........383
6.4. Приложения определенного интеграла.......386
Вычисление площадей.................................386
Вычисление длин дуг...................................395
Вычисление объемов....................................400
Вычисление площади поверхности
вращения...................................................405
Механические приложения
определенного интеграла..............................407
Приближенное вычисление
определенных интегралов............................410
7. Функции нескольких переменных.......................415
7.1. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных...........................415
nмерное евклидово пространство.................415
Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность...........................................418
Частные производные и дифференциалы.
Полный дифференциал................................421
Производные сложных функций...................426
Производная по направлению. Градиент........428
Частные производные и дифференциалы
высших порядков........................................432
Дифференцирование неявных функций.........435
Замена переменных в дифференциальных
выражениях...............................................437
www.phoenixbooks.ru
Содержание
629
7.2. Приложения дифференциального
исчисления функций нескольких
переменных.............................................442
Формула Тейлора........................................442
Экстремумы функций
нескольких переменных..............................445
Абсолютный экстремум...............................452
Геометрические приложения........................466
7.3. Интегральное исчисление функций
нескольких переменных...........................474
Двойные интегралы.....................................474
Тройные интегралы.....................................489
7.4. Несобственные двойные
и тройные интегралы................................498
7.5. Приложения двойных
и тройных интегралов...............................505
Вычисление площадей плоских фигур
и поверхностей...........................................505
Вычисление объемов....................................513
Физические приложения двойных
и тройных интегралов..................................518
7.6. Криволинейные и поверхностные
интегралы и их приложения.....................525
Криволинейные интегралы первого рода........525
Криволинейные интегралы второго рода........530
Интегрирование полных дифференциалов......533
Формула Грина и ее применение...................536
Поверхностный интеграл первого рода..........538
Поверхностный интеграл второго рода...........542
Формула Стокса. Формула Остроградского.....544
www.phoenixbooks.ru
630
Практикум по высшей математике
8. Дифференциальные уравнения............................549
8.1. Обыкновенные дифференциальные
уравнения первого порядка.......................549
Уравнения с разделяющимися переменными..550
Однородные уравнения................................554
Линейные уравнения...................................557
Уравнение Бернулли...................................561
Уравнения в полных дифференциалах...........562
Уравнения, не разрешенные относительно
производной...............................................564
8.2. Обыкновенные дифференциальные
уравнения высших порядков.....................571
Дифференциальные уравнения,
допускающие понижение порядка.................571
Линейные уравнения nго порядка................576
Однородные линейные уравнения nго порядка
с постоянными коэффициентами..................577
Неоднородные линейные уравнения
с постоянными коэффициентами..................579
8.3. Системы обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка.......................585
Системы линейных уравнений......................585
9. Ряды.........................................................................594
9.1. Числовые ряды........................................594
Признаки сходимости рядов.........................595
9.2. Функциональные, степенные ряды.............608
Ряды Тейлора и Маклорена..........................609
9.3. Ряды Фурье.............................................617
Литература..................................................................624
www.phoenixbooks.ru
Содержание
631
Соболь Борис Владимирович,
Мишняков Николай Тимофеевич,
Поркшеян Виталий Маркосович
ПРАКТИКУМ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Ответственный редактор И. Жиляков
Технический редактор Л. Багрянцева
Обложка А. Пащенко
Редактор И. Ю. Виноградова
Корректоры Н. Пустовойтова, А. Иванова
Подписано в печать 13.06.2008.
Формат 84108 1/32. Бумага тип 2. Гарнитура Школьная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 33,6.
Тираж 3000 экз. Заказ №
ООО «Феникс»
344082, г. РостовнаДону, пер. Халтуринский, 80.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУИПП «Курск»
305007, г. Курск, ул. Энгельса, 109.
Учебное пособие
Серия «Высшее образование»
www.phoenixbooks.ru
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
1 425
Размер файла
220 Кб
Теги
phoenixbooks, www, www.phoenixbooks.ru, Книги издательства Феникс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа