close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сборник задач по математике для подготовке к ЕГЭ и олимпиадам задачи повышенной сложности 9-11-е классы Балаян Э.Н. (www.PhoenixBooks.ru)

код для вставкиСкачать
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам
Задачи повышенной сложности
9–11-е классы
Э.Н. Балаян
Большая перемена
РОСТОВ-на-ДОНУ
ЕНИКС
2 0 1 0
?
?Вся программа математики 9–11 классов
?
?Более 500 задач с решениями
?
?Около 2100 задач для самостоятельного решения
?
?Ответы ко всем заданиям
www.phoenixbooks.ru
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
КТК 444
Б 20
Балаян Э.Н.
Б20
Сборник задач по математике для подготов-
ки к ЕГЭ и олимпиадам : задачи повышенной сложности : 9–11 классы. / Э.Н. Балаян. — Рос-
тов н/ Д : Феникс, 2010. — 412, [1] с. — (Боль-
шая перемена).
ISBN 978-5-222-16405-1
В предлагаемой вниманию читателей книге при-
водятся более 2500 «нестандартных» и олимпиадных задач повышенной сложности для подготовки к ЕГЭ и математическим олимпиадам, из них более 500 даны с решениями и обоснованиями, а остальные — для самостоятельного решения, к которым в конце книги приводятся ответы на все задания.
Пособие предназначено выпускникам и абитуриен-
там, поступающим в вузы, где предъявляются достаточно высокие требования к математической подготовке, уча-
щимся 7–11 классов, желающим участвовать и побеж-
дать на олимпиадах различного уровня, а также препо-
давателям подготовительных отделений вузов, учителям математики, студентам педвузов и репетиторам.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
ISBN 978-5-222-16405-1
? Балаян Э.Н., 2010
? Оформление, ООО «Феникс», 2010
www.phoenixbooks.ru
3
Светлой памяти отца — Н.А. Балаяна, посвящается Предисловие
Книга состоит из 15 параграфов, включающих основные темы школьного курса математики. Все па-
раграфы построены, в основном, по одной схеме. Они содержат задачи с решениями (более 500) и задачи для самостоятельного решения (более 2000).
§15 содержит задачи по геометрии. Задачи в ос-
новном «нестандартные», повышенной сложности, соответствующие типу С на ЕГЭ.
Почти все задачи, их более 2500 — авторские, составленные в разные годы. Решение их требует сообразительности, хорошего владения некоторыми разделами элементарной математики, психологи-
ческой подготовки и, конечно, высокой логической культуры.
Они рассчитаны на учащихся старших классов, собирающихся поступать в вузы, в которых предъяв-
ляются достаточно высокие требования к математи-
ческой подготовке абитуриентов.
Для удобства пользования и контроля знаний в конце книги приводятся ответы на все задания для самостоятельного решения.
Пособие предназначено выпускникам и абитури-
ентам для самостоятельной подготовки к сдаче ЕГЭ, слушателям подготовительных отделений вузов, учащимся 7–11 классов, желающим подготовиться www.phoenixbooks.ru
к олимпиадам различного уровня, учителям матема-
тики, студентам педвузов и репетиторам.
Автор будет признателен читателям, которые сооб-
щат свои критические замечания и предложения с це-
лью улучшения книги во втором издании по адресу:
344068 г. Ростов-на-Дону,
проспект Нагибина, 37 А, кв. 11.
www.phoenixbooks.ru
5
НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ (тип С)
§ 1. Алгебраические уравнения высших степеней
Пример 1. Решить уравнение х х х? ? ?
2 3
2
1
3
.
Решение
Запишем данное уравнение в виде
3х???3х
2
???6х
3
???1, или
3х???3х
2
???1???6х
3
.
В левой части полученного уравнения выделим полный куб, для чего прибавим к обеим частям урав-
нения х
3
:
х
3
???3х
2
???3х???1???7х
3
, или
?
х???1
?
?
3
???7х
3
,
х х? ?1 7
3
,
х 1 7 1
3
?
? ?
?
, откуда х ?
?
1
1 7
3
.
Итак, исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: х ?
?
1
1 7
3
.
www.phoenixbooks.ru
6
Пример 2. Решить уравнение х х
3
3 2 0? ? ?
.
Решение
Подстановкой х у? 2
уравнение приводится к виду: 2 2 2 3 2 0
3
у у? ? ?
, или
2у
3
???у???3???0 (1)
Легко заметить, что у? ?? ?1 — корень уравнения (1), тогда левую часть уравнения можно разложить на множители по степеням (у???1):
2у
3
???2у???3у???3???0, или
2у?
?
у
2
???1
?
???3?
?
у???1
?
???0,
?
у???1
?
?
?
2у?
?
у???1
?
???3
?
???0,
?
у???1
?
?
?
2у
2
???2у???3
?
???0, откуда
у???1???0, или 2у
2
???2у???3???0.
Из уравнения у???1???0 имеем у????1.
Тогда х у? ? ?2 2
— корень исходного уравне-
ния.
Уравнение 2у
2
???2у???3???0 действительных корней не имеет, так как D?
?
?4?????5???0.
Ответ: х ? ? 2
.
Пример 3. Решить уравнение ?
х
2
???8х???16
?
?
2
???х?
?
х
2
???10х???16
?
??
Решение
Заметим, что х???0 не является корнем уравнения, тогда, разделив обе части на х
2
???0, получим
х х
х
х х х
х
2
2
2
2
2
8 16 10 16?
? ?
?
?
? ?
– –
, или
www.phoenixbooks.ru
7
х х
х
х х
х
2
2
2
8 16 10 16?
?
?
?
?
?
?
?
?– –
,
х
х
х
х
?
?
?
?
?
?
?
? ?8
16
10
16
2
– –
. (1)
Пусть х
х
у? ? ?8
16
, тогда х
х
у? ? ? ?10
16
2
,
и уравнение (1) примет вид
у
2
???у???2, или у
2
???у???2???0, откуда по теореме, обратной теореме Виета, находим: у
1
???2, у
2
????1.
Учитывая подстановку х
х
у? ? ?8
16
, получим два уравнения:
1) х
х
? ? ?
16
8 2
, 2) х
х
? ? ? ?
16
8 1
.
х
х
? ? ?
16
6 0
, х
х
? ? ?
16
9 0
, х
2
???6х???16???0, х
2
???9х???16???0,
откуда х
1
????8, х
2
???2, D???81???64???145,
х
3 4
1
2
9 145
,
? ? ?
? ?
.
Ответ: х
1
????8, х
2
???2, х
3 4
1
2
9 145
,
? ? ?
? ?
.
Пример 4. Решить уравнение
х х х х
4 3 2
5 2 12 8 2 32 0? ? ? ? ?
.
Решение
Пусть 2 0? ?b
, тогда данное уравнение запишет-
ся в виде
х
4
???5bх
3
???6b
2
х
2
???4b
3
х???8b
4
???0.
www.phoenixbooks.ru
8
При такой подстановке левая часть полученного уравнения легко разлагается на множители:
х
4
???2bх
3
???3bх
3
???6b
2
х
2
???4b
3
х???8b
4
???0,
х
3
?
?
х???2b
?
???3bх
2
?
?
х???2b
?
???4b
3
?
?
х???2b
?
???0,
?
х???2b
?
?
?
х
3
???3bх
2
???4b
3
?
???0,
?
х???2b
?
?
?
х
2
?
?
х???2b
?
???b?
?
х???2b
?
?
?
х???2b
?
?
?
???0,
?
х???2b
?
2
?
?
х
2
???bх???2b
2
?
???0,
?
х???2b
?
2
?
?
х
2
???b
2
???bх???b
2
?
???0,
?
х???2b
?
2
?
?
?
?
х???b
?
?
?
х???b
?
???b?
?
х???b
?
?
?
???0,
?
х???2b
?
3
?
?
х???b
?
???0, откуда
?
х???2b
?
?
3
???0, или х???b???0,
х???2b???0, х?????b.
х???2b .
Так как b ? 2
, то х
1
2 2?
, х
2
2? ?
.
Итак, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: х
1
2 2?
, х
2
2? ?
.
Пример 5. Решить уравнение
х х х х
4 3 2
3 3 9 3 18 0? ? ? ? ?
.
Решение
Испытывая делители свободного члена 18, можно убедиться в том, что данное уравнение не имеет целых корней.
Запишем уравнение в виде
х х х х х
4 3 2 3
2 3 3 3 9 3 18 0? ?
? ?
? ? ? ?
,
х х х х х
2
2
3 3 3 6 3 18 0?
? ?
? ?
? ?
? ? ?
,
www.phoenixbooks.ru
9
х х х х х х
2
2
3 3 3 3 6 3 3 0?
? ?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
?
,
х х х х х?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
?
? ?
?3 3 3 3 6 3 0
2
,
х х х х х?
? ?
? ? ? ?
? ?
?3 3 3 3 6 3 0
3 2 2
,
х х х?
? ?
? ?
? ?
?3 3 6 3 0
3
,
х х х х?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
?3 3 6 6 3 0
2
,
х х х х х?
? ?
?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
?3 3 3 6 3 0
,
х х х?
? ?
? ?
? ?
?3 3 6 0
2
2
, откуда имеем:
1) х ?
? ?
?3 0
2
, х ? ?3 0
, х ? ? 3
.
2) х х
2
3 6 0? ? ?
? нет действительных корней, так как D?????3???0.
Итак, исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: х ? ? 3
.
Пример 6. Решить уравнение
4х
4
???49х
2
???4х???14???0.
Решение
Способ 1
Испытывая делители свободного члена 14, можно убедиться в том, что уравнение не имеет целых кор-
ней.
Заметим, что х???0 не является корнем уравнения, тогда, разделив обе части на 4х
2
???0, получим
х
х
х
2
2
49
4
1 7
2
? ? ?
, или
www.phoenixbooks.ru
10
х х
х
х?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
7
2
7
2
1 7
2
2
, откуда имеем:
1) х ? ?
7
2
0
, х
1
???3,5. 2) х
х
? ?
7
2
1
2
, или х
х
? ? ?4
1
2
1
2
,
х
х
? ? ?
1
2
1
4
2
, х
х
х
? ?
?1
2
1 4
2
2
,
2 1
2
4 1
2
2
х х
х
?
?
?
??0,
2 1
1
2
2 1
0
2
х
х
х
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
откуда
2х???1???0, или 1
2
2 1
0
2
?
?
?
х
х
,
х
2
???0,5. х
2
???4х???2???0,
D?
?
?4???2???0, х
3 4
2 2
,
? ? ?
.
Итак, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: х
1
???3,5, х
2
???0,5, х
3 4
2 2
,
? ? ?
.
Способ 2
Умножим обе части исходного уравнения на 4:
16х
4
???196х
2
???16х???56???0, или
?
2х
?
?
4
???49???
?
2х
?
?
2
???8???
?
2х
?
???56???0.
Пусть 2х???у, тогда получим уравнение
у
4
???49у
2
???8у???56???0, или
у
2
?
?
у
2
???1
?
???8?
?
6у
2
???у???7
?
???0,
www.phoenixbooks.ru
397
ОТВЕТЫ
Нестандартные задачи (тип С)
§ 1. Алгебраические уравнения высших степеней
1. x?????1. 2. Если a???0, x
a
?
? ?
2
1 8 1
3
; если a???0, то корней нет. 3. x
1
3
4
? ?
;
x
2
2
3
? ?
;
x
3
5
7
?
. 4. x ? ?
1
2
2
3
3
. 5. x a? ? ?1 3 1
3
. 6. x
1
? ?? ?2; x
2
? ?? ?4. 7. Нет корней. 8. x
1
? ?? 4; x
2
? ?? 4
?
3. 9. x
1 2
1
2
1 53
,
? ? ?
? ?
. 10. x a
1 2
1
,
? ?
. 11. x
1
???1; x
2
???12. 12. x
1
???1; x
2
???6; x
3 4
3 2
,
? ?
. 13. x
1
???3; x
2
???4; x
3
???5. 14. x
1
???1; x
2
???2; x
3 4
5
4
5 1
,
? ?
? ?
. 15. Нет корней. 16. x
1 2
1
2
,
? ?
; x
3,4
? ?? ?2. 17. x
1
? ?? 0,4; x
2
? ?? 1. 18. x? ?? ?? 0,5. 19. x
1,2
? ?? ?1; x
3,4
? ?? ?6. 20. x
1 2
1
3
11 55
,
? ? ?
? ?
; x
3
2
3
? ?
; x
4
? ?? 2. 21. x
1
? ?? ?? 4; x
2
? ?? 2. 22. x
1
1
2
? ?
; x
2
? ?? 2; x
3
1
3
1 10? ?
? ?
. 23. x
1
? ?? ?? 10; x
2
???5. 24. x???5. 25. x
1
?????2; x
2 3
1 3
,
? ?
. 26. x
1 2
1
2
15 129
,
? ? ?
? ?
; x
3
? ?? ?6; x
4
? ?? ?4. 27. x
1 2
1
2
,
? ?
; x
3,4
? ?? ?? 2. 28. x
1 2
3 39
,
? ?
; x
3 4
5 55
,
? ?
. 29. x
1
???2; x
2 3
1 3
,
? ? ?
. 30. x
1 2
1
2
1 5
,
? ?
? ?
.
§ 2. Уравнения с двумя неизвестными
1. x????4; y???1. 2. x???3; y???0,5. 3. x???0; y???2. 4. ?
?
??1;??1
?
?, ?
?
?1; 1
?
?, ?
?
1;? ?1
?
?, ?
?
1; 1
?
?. 5. x? ?? 2; y? ?? ?2. 6. x? ?? 26; y? ?? 25. www.phoenixbooks.ru
398
7. ?
?
?1;??1
?
?, ?
?
3; 3
?
?. 8. ?
?
4;??2
?
?, ?
?
4; 2
?
?. 9. ?
?
?2; 0
?
?, ?
?
1;??3
?
?, ?
?
1; 3
?
?, ?
?
2;??4
?
?, ?
?
2; 4
?
?. 10. ?
?
?4; 14
?
?, ?
?
4; 14
?
?. 11. ?
?
2; 1
?
?, ?
?
2;??5
?
?, ?
?
?2;??1
?
?, ?
?2; 5
?
?. 12. ?
?
1; 2
?
?, ?
?
?1;? ?2
?
?, ?
?
5;? ?2
?
?, ?
?
?5; 2
?
?. 13. ?
?
?5;? ?6
?
?, ?
?
?13;? ?6
?
?. 14. ?
?
3;? ?2
?
?, ?
?
5; 0
?
?, ?
?
7; 2
?
?, ?
?
25; 4
?
?. 15. ?
?
?1;? ?2
?
?, ?
?
?3; 0
?
?, ?
?
1; 4
?
?.
§ 3. Нелинейные системы алгебраических уравнений
1. ?
?
0; 0
?
?, ?
?
3; 3
?
?, 1 5
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
, 1 5
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
. 2. ?
?
0; 0
?
?, ?
?
1; 2
?
?, 44
23
4
23
;
?
?
?
?
?
?
. 3. ?
?
2; 2
?
?, ? ?
?
?
?
?
?
?
19
5
8
25
;
, 25
7
8
7
;?
?
?
?
?
?
?
. 4. 2 3;
? ?
, 3 2;
? ?
, ? ?
? ?
3 2;
, ? ?
? ?
2 3;
. 5. ?
?
? ?3;? ?2
?
?, ?
?
?2;? ?3
?
?. 6. ?
?
3; 1
?
?, ? ?
?
?
?
?
?
?
25
11
18
11
;
. 7. ?
?
3;???1
?
?, ?
?
?1; 3
?
?. 8. 1
1
2
;
?
?
?
?
?
?
, ?
?
1; 2
?
?, 1
2
1;
?
?
?
?
?
?
, (2; 1). 9. ? ?
? ?
8 2
4
4
;
, ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
3 3
2
3
2
;
. 10. ?
?
2; 3
?
?, ? ?
?
?
?
?
?
?
3
2
4;
. 11. ?
?
0;0
?
?, ?
?
2; 3
?
?, ? ?
?
?
?
?
?
?
26
5
13
5
;
. 12. ?
?
?3;? ?5
?
?, ? ?
?
?
?
?
?
?
5
3
13
3
;
. 13. ?
?
?1;? ?2
?
?, ?
?
?2;? ?1
?
?. 14. ?
?
?1;? ?1
?
?, 0
1
3
;?
?
?
?
?
?
?
. 15. ?
?
3; 1
?
?, ?
?
?1;? ?3
?
?, 13 13
3 3
;?
? ?
. 16. ?
?
2; 1
?
?, 21
43
35
43
;?
?
?
?
?
?
?
. 17. ?
?
?3;? ?2
?
?, ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
3 30
10
2 30
3
;
. 18. ?
?
?1;??1
?
?. 19. ? ? ? ?
? ?
3 3 3 3 2 3;
; 3 3 3 2 3 3? ?
? ?
;
. 20. ?
?
?3;??2
?
?, ?
?
?2;??3
?
?.
§ 4. Иррациональные уравнения и системы уравнений
1. Иррациональные уравнения
1. x
1
2
4
? ?
; x
2 3
1
2
,
? ?
. 2. x? ?? 0. 3. x
1
? ?? 4; x
2
? ?? 8. 4. x
1
? ?? 1; x
2
???3. 5. x
1,2
?????1. 6. x
1
???0; x
2
???0,8. 7. x
1
1
4
?
; x
2
1
18
4 7? ?
? ?
. www.phoenixbooks.ru
399
8. x
1
???1; x
2
???2; x
3
???1,5. 9. x ?
1
4
. 10. x
1
???4; x
2
1
2
3 5? ?
? ?
. 11. x???1. 12. x
1
???9; x
2
1
2
13 21 8 2? ? ?
? ?
; x
3
1
2
13 21 8 2? ? ?
? ?
. 13. x???1. 14. x???0. 15. x ? ?10 4 7
. 16. x???2. 17. x???4. 18. x???3. 19. x
1
? ?? 2; x
2
? ?? 10. 20. x
1
? ?? 8; x
2 3
3
1 5
,
? ? ?
? ?
. 21. x? ?? 5. 22. x
1
251
63
?
; x
2
16379
4095
?
. 23. x
1
? ?? 2; x
2
1
2
1 13? ?
? ?
. 24. x ? ?
? ?
1
8
9 17
. 25. x ?
1
4
. 26. x???1. 27. x???2. 28. x???3. 29. x? ?? 4. 30. x
1
1
7
?
; x
2
? ?? 1; x
3
? ?? 3. 31. x
1
? ?? ?2; x
2
? ?? 7. 32. x
1
1
2
7 13? ?
? ?
; x
2
???9. 33. x???2. 34. 3
2
1 5?
? ?
. 35. x???14. 36. x
1
1
4
? ?
; x
2
1
6
1 13? ?
? ?
. 37. x? ?? 1. 38. x
1
? ?? ?1; x
2
? ?? 0. 39. x ? ?
? ?
1
2
5 3 5
. 40. ?
?
?
?
?
?
?
2
3
2
3
;
. 41. x? ?? 0,5. 42. x ? ?1 8
. 43. x
1
???0; x
2
2
2
?
. 44. x???1. 45. x ? ?
? ?
3
2
1 5
. 46. Нет решений. 47. x
1
? ?? 1; x
2
? ?? 2. 48. x
1
? ?? 1; x
2
1
25
?
. 49. x
1
? ?? 0; x
2
240
289
?
. 50. x
1,2
?????2. 51. ?
?
2; 1
?
, ?
?
??2;??1
?
?. 52. ?
?
???1;???2
?
?, ?
?
1;2
?
?. 53. ?
?
4;1
?
?. 54. ?
?
1;1
?
?. 55. ?
?
2;2
?
?. 56. ?
?
0;0
?
?. 57. x???3, y???2. 58. ?
?
1;2
?
?, ?
?
1;0
?
?. 59. 1
2
4;
?
?
?
?
?
?
. 60. ?
?
1; 36
?
?, ?
?
4; 16
?
?, ?
?
9; 4
?
?, ?
?
1; 16
?
?, ?
?
4; 4
?
?.
2. Системы иррациональных уравнений
61. 5
5
6
;
?
?
?
?
?
?
, ? ?
?
?
?
?
?
?
3
1
2
;
. 62. ?
?
17;? ?10
?
?, ?
?
17;10
?
?. 63. ?
?
?4;? ?1
?
?, 71
6
31
6
;?
?
?
?
?
?
?
?
?
. 64. ?
?
1;1
?
?, 5
2
2;?
?
?
?
?
?
?
. 65. ?
?
5;4
?
?, ?
?
?9;25
?
?. 66. ?
?
4; 9
?
?, ?
?
9; 4
?
?. 67. ?
?
???18;???64
?
?. 68. 1
2
1
3
;
?
?
?
?
?
?
, 1
32
317 45 33? ?
? ?
?
?
?
;
www.phoenixbooks.ru
400
1
48
1015 135 33
? ?
?
?
?
?
. 69. ?
?
???9;???7
?
?, ?
?
9; 7
?
?. 70. ?
?
3; 2
?
?, 17
27
1
5
9
;?
?
?
?
?
?
?
. 71. 2
3
2;?
?
?
?
?
?
?
. 72. 2
65
1
65
;
?
?
?
?
?
?
, ? ?
?
?
?
?
?
?
1
65
2
65
;
. 73. ?
?
0;0
?
?, 2
2
2
;
?
?
?
?
?
?
?
?
, 3 3
4
3
4
;
?
?
?
?
?
?
?
?
. 74. 5 2 6;
? ?
. 75. ?
?
??1;1
?
?. 76. ?
?
19;???15
?
?. 77. (?1;?2), 1
3
2
3
;?
?
?
?
?
?
?
. 78. ?
?
4; 2
?
?, 4
3
2
3
;?
?
?
?
?
?
?
. 79. ?
?
?2;??1
?
?, ?
?
?1;??2
?
?, ?
?
1; 2
?
?, ?
?
2; 1
?
,
?
?
0; m
?
?, m???R. 80. ?
?
1; 3
?
?, 1
19
9
;
?
?
?
?
?
?
, ?
?
?
?
?
?
?
2
3
2;
, 2
3
2;
?
?
?
?
?
?
.
§ 5. Логарифмические и показательные уравнения
1. x
1
????11; x
2
????1; x
3
???5. 2. x???0,5. 3. x???3. 4. x ?
1
3
. 5. x??????17. 6. x
1
? ?? 0; x
2
? ?? log?
1,5
3. 7. x
1
? ?? 1; x
2
? ?? 3. 8. x? ?? log?
2
3. 9. x ?
3
4
. 10. x?????2. 11. x????0,5. 12. ?
? ?
?1
1
3
n
narcsin ?
, n???Z. 13. x
1,2
?????4. 14. x???1. 15. x????1. 16. x???1,5. 17. x
1
???1; x
n
n
2
1
1
18 3
? ? ?
?
( )
? ?
; n???Z. 18. x
1,2
????1; x
3
???2. 19. x
1,2
????4; x
3
????1. 20. x ?
1
25
. 21. x???4. 22. x
1
4
3
?
x
2
????n, n???Z. 23. x
1
15
11
? ?
; x
2
???1. 24. x
1
???0,5; x
2
???5. 25. x???2. 26. x???5. 27. x???0,5. 28. x???1. 29. x???1. 30. x???1. 31. x
1
1
6
?
; x
2
? ?? 6. 32. x? ?? 5. 33. x? ?? 0. 34. x? ?? 1. 35. x
1
??? 3; x
2
???log?
5
3???4. 36. x
1
???0,0001; x
2
???10. 37. x n
n
? ?
? ?
?1
6
?
?
, n???Z. 38. x n? ?
?
?
3
2
, n???Z. 39. x???10. 40. x???3.
www.phoenixbooks.ru
401
§ 6. Логарифмические и показательные системы уравнений
1. ?
?
4; 1
?
?. 2. ?
?
1; 1
?
?, ?
?
3; 9
?
?. 3. ?
?
1,5; 2
?
?. 4. ?
?
?2;??2
?
?, ?
?
2; 2
?
?. 5. ?
?
1; 2
?
?. 6. ?
?
625; 3
?
?, ?
?
125; 4
?
?. 7. ?
?
3; 9
?
?, 1
9
1
3
;
?
?
?
?
?
?
. 8. ?
?
16; 3
?
?, 1
64
2;?
?
?
?
?
?
?
. 9. ?
?
3;??1
?
?, 21
4
5
4
;
?
?
?
?
?
?
. 10. ?
?
4; 16
?
?. 11. ?
?
9;3
?
?, 1
27
729;
?
?
?
?
?
?
. 12. ?
?
5; 4
?
?. 13. ?
?
7; 3
?
?. 14. ?
?
2; 3
?
?, 2 15;
? ?
. 15. ?
?
16; 4
?
?.
§ 7. Тригонометрические уравнения и системы уравнений
1. x???0. 2. x????n, n???Z. 3. x
1
???0; x
2,3
?????1; x
4,5
???2; x
6,7
?????2,5. 4. Нет корней. 5. x n? ? ?arccos
1
4
?
, n??? Z. 6. x????n, n??? Z. 7. x n? ? ?
?
?
4
, n???0,??1,??2,...; x n? ?
?
?
4
, n???N. 8. x n? ?
?
?
4
, n???Z. 9. x???e
2k
; x???e
4k???1
, k???Z. 10. x
n
? ?
? ?
4 2
; x
n
n
? ?
? ?
?1
8 2
? ?
, n???Z. 11. x
n
? ?
? ?
4 2
; x
n
? ?
? ?
8 4
, n???Z. 12. x n? ?
?
?
2
2
; x???2?n, n? ?? Z. 13. x
n
?
2
3
?
; x
k
? ?
2
3 6
? ?
, n,k? ?? Z. 14. x? ?? ?n, n? ?? Z. 15. x n? ?
?
?
2
2
, n???Z. 16. x n? ?
?
?
4
, n???Z. 17. ?
? ?
?
?
1
1
3
1n
narcsin ?
, n???Z. 18. x n? ?
?
?
4
; x k? ?
?
?
6
2
; n,k???Z. 19. x
n
? ?
? ?
?
1
6
1
?
???
???n; x m
m
? ?
? ?
?1
6
?
?
; n, m???N. 20. x n? ? ?
?
?
16
, n???Z. 21. x
k
n
n
? ? ? ?
? ?
?
?
?
?
4
1
1
2
2
arcsin
, k???
?
0;???1
?
?, n???Z. 22. x???2?n; x k? ?
?
?
2
; x m? ? ?
?
?
6
; n,k,m???Z. 23. Нет корней. 24. x
1
???0,95; x
2
???1; x
3
???1,05. 25. x???4,5. 26. x n? ?
?
?
4
, n???Z. 27. x???2?n; x? ?? 2?k? ?? 2; n,k? ?? Z. 28. x n
n
? ?
? ?
?1
3
4
arcsin ?
, n? ?? Z. 29. x n? ? ?
?
?
2
, n? ?? Z. 30. x ? ?
? ?
1
2
3 5?
; x ?
1
4
1
3
2
?
arccos
. 31. x
n n
? ?
? ?
? ?1
9 3 12
? ? ?
, n? ?? Z. 32. ?
?
2?n; ?? ?? 2?k
?
?; n, k? ?? Z. www.phoenixbooks.ru
402
33. x? ?? ?n; x
k
k
? ?
? ?
?
?
1
8 2
1
? ?
; n,k? ?? Z. 34. x k? ?
?
?
2
2
; x n? ?
?
?
6
2
; k,n???Z. 35. x n? ? ?
?
?
4
2
, n???Z. 36. x????n, n???Z. 37. x k? ?
?
?arcsin
5 1
2
2?
, k???Z. 38. x???????4?n; x n? ?
13
5
4
?
?
; x n? ?
?
?
5
4
; x n? ?
7
3
4
?
?
, n? ?? Z. 39. x n? ?
3
4
2
?
?
, n? ?? Z. 40. x???1,75. 41. x n? ? ?
5
12
?
?
; x k? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
3
arccos ?
; k, n???Z. 42. x
n
? ? ?
? ?
18 3
, n???Z. 43. x????3; x???1; x n? ?
?
?
2
, n???Z. 44. x??? ?n, n? ?? Z. 45. x
1
? ?? ?3; x
2,3
? ?? ?1. 46. Нет корней. 47. x
n
? ?
? ?
4 2
, n???Z. 48. Нет корней. 49. ? ? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
2
3
2 1
4
?
?
?
?n k
k
;
, 2
3
2 1
4
?
?
?
?? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
n k
k
;
; n, k???Z. 50. ?
?
????2?n; ????2?k
?
?; n, k???Z. 51. x ?
1
2
. 52. x
1,2
? ?? ?? 1. 53. x ?
3
2
. 54. x ? ?3
2
3
6
. 55. x???10????20?n, n???Z. 56. ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
4
2k n k;
, ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
4
2
?
arctg
? ? ?
?
?
?
2 2? ? ?arctg n k k;?
; k,n???Z. 57. ? ? ?
?
4 2 6
? ?
?
?
?
?
?
?
k
n;
; k, n???Z. 58. ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
1
18 3 4
n
n
k
? ? ?
?;
; k,n??? Z. 59. ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
3
2n k;?
; k,n???Z. 60. ?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
1
8 4
2
n
n m
?
?
?
?;
; m,n???Z. 61. ? ?
4 2
? ?
? ?
?
?
?
k n;
? ?3
4 2
3? ? ?
? ?
?
?
?
n k
;
; k,n???Z. 62. x
n
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 8 3
4
4
, n???Z. 63. ? ?
?
?
?
?
6
?
?
?
?
?
6
, где ? ? ?
? ?
1
2
1
6
2 3 3arcsin
. 64. x ? ?
?
2
; x ? ?
?
6
; x? ?? 0; x ?
?
6
; x ?
?
2
; x ?
5
6
?
; x????. 65. x???????2?n; x k? ? ?
5
6
2
?
?
; n, k???Z. www.phoenixbooks.ru
403
66. ?
?
?n;2?k
?
?, ?
?
?
?
2 2
2? ?
?
?
?
?
?
?
n k;
. 67. ?
?
?
?
6
2
4
2? ?
?
?
?
?
?
?
n k;
, 5
6
2
3
4
2
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
?
?
n k;
, ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6
2
4
2n k;
,
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
5
6
2
3
4
2
?
?
?
?n k;
, n,k? ?? Z. 68. ? ? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
3
4
2 1
6
?
?
?
?n k
k
;
, n, k???Z. 69. ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
5
12 6
?
?
?
?n k;
, ?
? ?
8
5 1
2
2? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n k;arccos
, n, k???Z.
§ 8. Уравнения, неравенства и системы с параметрами
1. 1) Если a ? ?
1
2
, то x
?min?
? ?? 3a, 2) если ? ? ?
1
2
1a
, то x
?min?
? ??
??a???1, 3) если a???1, то x
?min?
???1???a. 2. 1) Если a?????1, то x
?max?
???
????a???1, 2) если ??1???a???1, то x
?max?
???a???1, 3) если a???1, то x
?max?
??
??2a. 3. a ? ?
1
2
; a? ?? 0; a ?
3
2
. 4. a ?
39
16
. 5. Если a? ?? ?? 1, то x???a???1; если a???1, то x?????2a; если ??1???a???1, то x?????
?
a???1
?
?. 6. a ?
?
?
?
?
?
?
4
3
2;
. 7. a???0,75. 8. a???0; a???1; a ?
5
4
. 9. Если a???0, то x???0; если a???0, то x?????6a, x a? ? ?
? ?
8 2 7
. 10. a ? ?
1
2
; a???2; 1
8
2? ?a
. 11. a? ?? p?
?
p? ?? 1
?
?, где p? ?? N. 12. k? ?? 0. 13. b? ?? ?1. 14. b???59. 15. a?????17. 16. m?????1. 17. k???1. 18. a ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
;;0
1
6
1
2
. 19. a? ?? ?8. 20. a? ?? 3. 21. ?
?
?
?
?
?
?
13
4
3;
. 22. ?
?
? ?? 2;6
?
?. 23. ?
?
?
?
?
?
?
9
4
2;
. 24. ?
?
1;???
?
?. 25. 0
1
3
;
?
?
?
?
?
?
. 26. ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ?
;;
5 1
2
1
. 27. ?
?
1;????
?
?. 28. ?
?
?
?
?
?
?
17
4
4;
. 29. ?
?
???1; 5
?
?. 30. ?
?
????; 0
?
???
?
1
?
?. 31. 2 2 2 2 2 2? ?
?
?
?
?
;
. 32. a?????5; a ? ?
5
3
. 33. ?? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
;;
2
5
2
5
. 34. ?
?
???2;1
?
???
?
2
?
?. www.phoenixbooks.ru
404
35. a ? ?
1
2
; a????1; a???0. 36. ??
?
?
?
?
?
?
;
6
19
. 37. k?????3. 38. a???29. 39. m?
? ?
1 2;
. 40. a ? ?? ?
?
?
?
?
?
?
;
1
4
. 41. a ?
2
2
. 42. a???0; a???1. 43. m???
?
?2; 0
?
?. 44. a????12. 45. a???0; a????1.
§ 9. Иррациональные уравнения и неравенства с парамет-
рами
1. При , x a? ?4
2
; при 3 2? ?a
, x a? ? ?4
2
; при ?
?
?a?
?
???2, решений нет. 2. При a???
?
????;0
?
?, решений нет; при a ?
?
?
?
?
?
?
0
3
4
;
, x a? ? ? ?
? ?
1
2
1 1 4
; п р и a ?
?
?
?
?
?
?
3
4
1;
, x a? ? ? ?
? ?
1
2
1 1 4
, x a? ? ?
? ?
1
2
1 4 3
; при a? ??
?
1;? ?? ?
?
?, x a? ? ? ?
? ?
1
2
1 1 4
, x a? ? ?
? ?
1
2
1 4 3
. 3. При a ? ?? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
;;
1
2
1
2
, решений нет; при a ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
0 0
1
2
;;
, x a? ?
2
1
4
; при a???0, x???
?
0;????
?
?. 4. a ?
5
2
. 5. a ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
3
1
4
3
;
. 6. a ? ?? ?
?
?
?
?
?
?
;
1
3
. 7. ?
?
2;? ??
?
?. 8. a ? ?
? ?
3 2 1
. 9. a???
?
????; 0
?
???
?
0; 1
?
?. 10. a???
?
0; 1
?
?. 11. 7
3
;? ?
?
?
?
?
?
?
. 12. 7
5
7
3
4
3
;
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
. 13. a ? ? ?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
;
. 14. a? ?? ?2; a? ?? 4. 15. ? ? ?
?
?
?
?
?
?
19
7
;
. 16. a???8. 17. x a? ?
1
2
. 18. Если a ? ?
1
4
, то решений нет; если ? ? ?
1
4
0a
, то ? ? ?
? ?
? ? ? ?
?
1
2
1 1 4
1
2
1a x
? ?
?
1 4a
. 19. Если a???
?
????;???2
?
?, то решений нет; если a???
?
??2;???
?
?, то x???
?
a;????
?
?. 20. Если a???
?
????;???1
?
?, то решений нет; если a?
??
?
?1; 0
?
?, то x a a? ? ? ? ?
?
?
?
?
1 1 1 1;
; если a? ??
?
0;???
?
?, то www.phoenixbooks.ru
405
x
a
a? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
2
1 1;
. 21. Если a???
?
????;0
?
?, то x???
?
???1;????
?
?; если a???
?
0;????
?
?, то x
a
? ? ?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
2
;
. 22. Если a???
?
????;0
?
?, то решений нет; если a???
?
0;???
?
?, то x???
?
0; a
?
???
?
4a;???
?
?. 23. Если a???
?
??; 0
?
?, то x a? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
2
0;
; если a???
?
0;????
?
?, то x a a? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
2
2;
. 24. Если a???
?
????;0
?
?, то решений нет; если a???0, то x???
?
0;????
?
?; если a???
?
0;???
?
?, то x???
?
0; a
?
???
?
16a;???
?
?. 25. a????2.
§ 10. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы с параметрами
1. При a ?
1
3
x???????2?n, x???2arctg0,5???2?n; при ??1???a???1 a ?
?
?
?
?
?
?
1
3
, x
a a
a
n?
? ? ?
? ?
?
?2
1 2 1
3 1
2
2
arctg ?
; при ?
?
?a?
?
???1 решений нет. 2. x???
?
?
?
?1
?
?
n
?arcsin?
?
a???1
?
????n
?
?
2
, где n???N при ?2???a????1 и n???0, 1, 2,... при ?1???a???0. 3. x???2???
?
arctga????n
?
?, где n???Z ?
?
n???0
?
? при a???0 и n???N при a???0. 4. При a???0 x???2?k; при a???0 x????n; при 0???a???2 x???2?n, x
a
a n? ? ? ?
? ?
?arccos
1
2
1 1 4 2?
; при a???2 x n? ? ?
2
3
2
?
?
, x???2?n; при a???2 x
a
a k? ? ? ?
? ?
?arccos
1
2
1 1 4 2?
, x???2?n; k,n???Z. 5. ?
2
. 6. a ? 13
. 7. При a???1 x n? ?
?
?
2
2
, n? ?? Z; при a? ?? 1 решений нет. 8. При a ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
5 1
2
1;
x
b
b
n? ?
?
?
?
1
2
2 1
2 1
2
arccos ?
, n???Z; при остальных a решений нет. 9. При p???
?
?1; 0
?
?
x p n? ? ?
? ?
?
1
2
2 1arccos ?
, n???Z. 10. m???3. 11. a ? ?
? ?
3
0
3
;;
. 12. a???
?
36?
2
; 64?
2
?
?. 13. a???4n, x k? ?
?
?
2
2
; n, k???Z. 14. Если a????1???2?n, то x????1; если a???1???????2?n, то x???1, n???Z; при других a решений нет. 15. a???1. 16. ?
?
0; 1
?
?. 17. ?? ? ?
? ?
? ? ?
? ?
;;2 6 2
. 18. ?
?
2? ?? 0,5?? ?? 0,5?arcsin?m????n; www.phoenixbooks.ru
406
2???0,5????0,5?arcsin?m????n
?
; ?
?
2???0,5?arcsin?m????n;2???0,5?arcsin?m ??
?? ?n
?
?. 19. ?
?
???? 2?? ?? 2?n; 2?? ?? 2?n
?
?, где ? ?
?
arcsin
a
a1
2
. 20. a ? ??
?
?
?
?
?
?
;
3
14
. 21. a???3. 22. a ? ?
?
?
?
?
?
?
1
2
2;
. 23. ?
?
2???arccos?a???
??2?n; 2???arccos?a???2?n
?
?; ?
?
2???arccos?
?
?a
?
???2?k; 2???2????arccos?
?
?a
?
???
??2?k
?
?; n, k???Z. 24. 2
3
2
3
1
1
2
3
2
? ?n
a
n
;arcsin?
?
?
?
?
?
?
?
?
, n???Z. 25. a???1. 26. a ? ? ??
?
?
?
?
?
?
1
2
;
. 27. При a? ?? 0 x? ?? y???
?
2k???1
?
??, y — лю-
бое; при a???
?
??2; 0
?
???
?
0;2
?
? ? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
arccos;1
2
2
k
a
m k ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
arccos 1
2
2
k
a
k m? ?
?
?
?
?
; k, m???Z; при остальных a решений нет. 28. При a ? ?? ?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
;;
1
2
1
2
решений нет; ?
?
?
?
??1
?
?
k????1
?arcsin?a ???
???k;?
?
???1
?
?
n
?arcsin?2a????n
?
?, ?
?
?
?
??1
?
?
k
?arcsin?2a????k;?
?
??1
?
?
n????1
?arcsin?a ??
???n
?
? при a ? ?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
2
;
. 29. Если a ? 3
, то ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
2n n;
; если 3 2? ?a
, то arccos;4 2
2
2
2
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
a n n?
?
?
, ? ?
?
?
?
?
?
2
2 n;
? ?
? ?
?
?
?
?
?4 2
2
a narccos
, где n???Z; если ?
?
?a?
?
???2, то решений нет. 30. Если a???2?k, то x n k? ? ? ?
? ?
?
?
3
, y k n? ? ?
? ?
?
?
?
3
; если a?????
?
2k???1
?
?, то x n k? ? ? ? ?
? ?
? ?
?
6 2
, y k n? ? ? ?
? ?
?
? ?
?
6 2
, где k,n???Z; при остальных a решений нет.
§ 11. Показательные и логарифмические уравнения и нера-
венства с параметрами
1. При a? ??
?
??;? ?1
?
?, x? ?? log?
2
?
?
1? ?? 2a
?
?; при a ? ?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
;
, x
1
???log?
2
?
?
1???2a
?
?, x
2
???log?
2
?
?
a???1
?
?; при a ? ??
?
?
?
?
?
?
1
2
;
, x???log?
2
?
?
a???1
?
?. www.phoenixbooks.ru
407
2. При a ? ? ?
?
?
?
?
?
?
5
2
1;
, x? ??
?
? ?? 1
?
?
n
?arcsin?
?
?log?
2
?
?
a???3
?
?
?
? ?? ?n, n? ??Z; при a ? ?? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ??
? ?
;;
5
2
1
решений нет. 3. При a? ??
?
??; 3
?
?, x
a
1 2
3 35 3
,
? ? ?
; при a? ??
?
3;?log?
3
31
?
?, x
a
1 2
3 35 3
,
? ? ?
, x
a
3 4
3 27
.
? ?
; при a? ??
?
?log?
3
31;?????
?
? решений нет. 4. При a???
?
??; 0
?
? решений нет; при a???
?
0; 8
?
?, x a
1 7
2
2 9? ? ?
? ?
log
, x a
2 7
2
2 9? ? ?
? ?
log
; при a? ??
?
8;9
?
?, x a
1 7
2
2 9? ? ?
? ?
log
, x a
2 3 7
2
2 9
,
log? ? ?
? ?
; при a? ??
?
9;? ?? ?
?
?, x a? ? ?
? ?
log
7
2
2 9
. 5. a???3. 6. a????1; a????2. 7. m ? ?
49
4
; m???
?
?12;??6
?
?. 8. p???9. 9. 8. 10. m???0. 11. a ?
?
?
?
?
?
?
0
1
16
;
. 12. a????8. 13. a???3. 14. a???4. 15. Если a???0, то корней нет; если 0???a???1, то x a a
1 2
2 2
,
? ? ?
; если a???1, то x a a? ? ?2 2
. 16. a???
??
??2,5;???
?
?. 17. При a???
?
???; 6
?
?, x???
?
3;? ???
?
?; при a? ??
?
6;???
?
?, x
a
a
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3 3
2
6
2
2
;log
. 18. При a???
?
???;??4
?
?, x???
?
1???a;????
?
?; при a???
?
?4;??3
?
?, x???
?
??a; 4
??
??
?
1????a;???
?
?; при a???
?
?3; 0
?
?, x? ??
?
??a; 1? ?? a
?
? ??
?
4;? ?? ?
?
?; при a???
?
0; 1
?
?, x???
?
??a; 0
?
?????
?
0; 1???a
?
???
?
4;???
?
?; при a???
?
1;???
?
?, x???
?
?a; 1???a
?
??
?
4;???
?
?. 19. m????1. 20. a???1. 21. p????784. 22. a???
?
3968;???
?
?. 23. a???
?
2; 2,5
?
?. 24. При a n n n n? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
2
4
2
3
4
2 2?
?
?
?
? ? ?;;
, n???Z, x???
?
8;???
?
?; при a n n? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
2
3
4
2;
, n???Z, x???
?
3; 8
?
?. 25. При a???
?
0; 1
?
?, x???
?
a???3; 4
?
?; при a???
?
1;????
?
?, x???
?
4; a???3
?
?. 26. При a? ??
?
0; 1
?
?, x? ??
?
3? ?? log?
a
2; 3
?
?; при a? ??
?
1;? ??
?
?, x???
?
3; 3???log?
a
2
?
?. 27. p???2. 28. При a???
?
??; 0
?
? решений нет; при a???
?
??; 0
?
?, x???
?
?a; a
?
?. 29. m????7. 30. 28.
www.phoenixbooks.ru
408
§ 12. Функции. Свойства функций
1. 7 19
. 2. 5. 3. y
наим.
???3 при x???
?
2;5
?
?. 4. k ? ?
11
40
. 5. a?????15; a???9. 6. a ? ?
9
5
; a ?
17
5
. 7. a???
?
????;???21
?
???
?
5;????
?
?. 8. a???1.
9. a ? ?2 3
. 10. При a???
?
????;2
?
?, y
наиб.
???3???a; при a???
?
2;????
?
?, y
наиб.
? ?? a? ?? 1. 11. 1
3
5
3
;?
?
?
?
?
?
?
. 12. a ? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
4
5
2
9
4
;
. 13. При a ? ??
?
?
?
?
?
?
;
1
6
, y
?min?
???8a
2
???4a???12; при a ?
?
?
?
?
?
?
1
6
19
18
;
, y a
min
? ? ?
? ?
1
4
2 7
2
; при a ? ? ?
?
?
?
?
?
?
19
18
;
, y a a
min
? ? ?8 12
20
9
2
. 14. a? ?? 2. 15. 2 5
. 16. a???1. 17. ? ? ? ?
? ?
arctg
1
15
7 2 31
, ? ? ? ?
? ?
arcctg
1
15
7 2 31
. 18. y
наим.
? ?4 2 2
. 19. y
наиб.
???1. 20. y
a
наиб.
?
2
3 3
3
при x a
2 2
2
3
?
. 21. f x
x
x
? ?
? ?
?2 3
5
2
. 22. f x
x x
x x
? ?
?
?
? ?
?
? ?
? ?
14 1 6
36 36
2
, x ? ?
? ?
6 3 2 2
. 23. g x
x
x
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
3
2 2
1
1
. 24. f?
?
x
?
???1???x
2
. 25. f x
a x
b x
? ?
?
?
?
?
?
?
,
,
0
0
, где a и b произвольные (в частности, может быть, и равные) числа. 26. f x
x
x
? ?
?
?
? ?
?
? ?
3 1
2
2
2
, x? ?? 2. 27. ax? ?? b. 28. f x
x x
x
? ?
?
? ?
?
2
4 1
1
, g x
x x
x
? ?
?
? ?
?
2
3 1
1
, x???1. 29. f x
x x
x
? ?
?
? ?
?
2
3 9
1
, g x
x x
x
? ?
?
? ?
?
2
7 5
1
, x???1.
§ 13. Многочлены
1. ?
?
x? ?? 7
?
?
3
? ?? 20?
?
x? ?? 7
?
?
2
? ?? 134?
?
x? ?? 7
?
? ?? 1709. 2. x
6
? ?? x
5
y? ?? x
4
y
2
???
??x
3
y
3
??? x
2
y
4
? ?? xy
5
? ?? y
6
. 3. ?
?
x
500
? ?? x
225
??? ?? 1
?
?
?
x
500
? ?? x
225
???1
?
?
?
x
1000 ??
?? x
500
? ?? 1
?
? ?
?
x
500
? ?? x
225
? ?? 1
?
?
?
x
500
? ?? x
225
? ?? 1
?
?
?
x
1000
? ?? x
500
? ?? 1
?
?. www.phoenixbooks.ru
409
4. x x x x
2 2
1 5
2
1
1 5
2
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
. 5. a???4. 6. a???15, b???8. 7. x
4
???10x
2
???1. 8. a???2, b????3. 9. a????8, b???18 или a???8, b???14. 10. m???8, n???5, p????6.
§ 15. Задачи по геометрии
1. Планиметрия
1. 1,5. 2. n
n m
2
2 2
2 ?
. 3. ?
?
0,6; 1
?
?. 4. ctg
?
2
; 2
2
cos?
?
ctg
. 5. 2
3
. 6. 1; 3
; 2. 7. 1
2
cos
sin
?
??
. 8. 4
1 8
2
cos
cos
?
??
. 9. arcsin
72
97
?
?
?
?
?
?
. 10. Прямоугольный. 11. 60?
?
. 12. Прямоугольный. 13. a
2 2
2 2
2
tg
? ? ? ?
? ?
? ?
cos
sin sin
. 14. 4 см и 20 см. 15. 56. 16. 2. 17. 3
2
см. 18. 40
27
2
см
2
. 19. 60?
?
. 20. 63 15
20
. 21. 3. 22. a
2sin?
. 23. 9 или 4. 24. 30?
?
, 30?
?
, 120?
?
или 60?
?
, 60?
?
, 60?
?
. 25. 3 1?
. 26. 1
3
a b c? ?
? ?
. 27. 2? ?? 1. 28. a a b? ?
2 2
; a a b? ?
2 2
. 29. 5 2
. 30. 1
2
ab a b?
? ?
. 31. 16. 32. 12 и 48. 33. AB???a???b, DC???a???b. 35. 18???9???1. 36. 30?
?
. 37. 2ab
a b?
? ?
. 38. 2. 39. arccos
3 1
2
?
. 40. 3
2
. 41. 2 1
1
?
?
?
?
?
?
?
sin?
. 43. bc
b c?
. 44. 1
2
ab
. 45. 10
4
. 46. 3 3
2 2
a ab b? ?
? ?
. 47. a ab b
2 2
? ?
. 48. 5
2
. 49. a
b
2
4
. 50. a 3
2
.
www.phoenixbooks.ru
2. Стереометрия
51. 6
. 52. 5; 5
1
3
. 53. 2
4
3 1?
? ?
. 54. 13???12. 55. 2
5
6
arcsin
; 2
1
6
arcsin
. 56. sin
sin cos
?
? ?
?
? ?
1
2 2
2
. 57. V 1
2 3
9
?
?
?
?
?
?
?
?
?
. 58. 2 5
. 59. 6,75. 60. 2?. 61. 3
8
2
3 2 2
R sin cos? ?
. 62. 2
1
2
2
? H
. 63. 3 6
16
. 64. 60?
?
или 30?
?
. 65. 6S. 66. 41 41
384
?
. 67. 22
8
. 68. ? ?
?
2
5 2 3
13
arccos
. 69. 4a
2
. 70. 2
3
?
.
www.phoenixbooks.ru
Литература
Балаян Э.Н. Репетитор по математике для посту-
пающих в вузы. — 8-е изд. — Ростов н/Д: Феникс, 2007.
Балаян Э.Н. Комплексные упражнения и варианты тренировочных заданий к ЕГЭ по математике. — Изд. 2-е, доп. и перераб. — Ростов н/Д: Феникс, 2003.
Балаян Э.Н., Балаян Н.Э. ЕГЭ. Математика (20 ва-
риантов). — Ростов н/Д: Баро-Пресс, 2003.
Балаян Э.Н. Как сдать ЕГЭ по математике на 100 баллов. — Изд. 4-е. — Ростов н/Д: Феникс, 2004.
Белоненко Т.В. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — СПб: Специальная Литература, 1997.
Мирошкин Е.В. и др. Математика: сборник задач с решениями для поступающих в вузы. — АСТ; Аст-
рель. — М., 2002.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10?11 классов. — М.: Просвещение, 1990.
Симонов А.Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. — М.: Просвещение, 1991.
Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы. — М.: Изд. дом «Дрофа», 1997.
www.phoenixbooks.ru
412
Содержание
Предисловие ......................................................3
Нестандартные задачи (тип С) ..............................5
§ 1. Алгебраические уравнения высших степеней ........................................................5
Задачи для самостоятельного решения ............29
§ 2. Уравнения с двумя неизвестными .................31
Задачи для самостоятельного решения ............39
§ 3. Нелинейные системы алгебраических уравнений ....................................................40
Задачи для самостоятельного решения ............63
§ 4. Иррациональные уравнения и системы уравнений ....................................................65
1. Иррациональные уравнения .........................65
2. Иррациональные системы ............................92
Задачи для самостоятельного решения ..........101
§ 5. Логарифмические и показательные уравнения ..................................................107
1. Логарифмические уравнения ......................107
2. Показательные уравнения ..........................116
3. Комбинированные уравнения .....................123
Задачи для самостоятельного решения ..........129
§ 6. Логарифмические и показательные системы уравнений ..................................................132
Задачи для самостоятельного решения ..........141
§ 7. Тригонометрические уравнения и системы уравнений ...................................142
Задачи для самостоятельного решения ..........181
§ 8. Уравнения, неравенства и системы с параметрами ............................................186
1. Рациональные уравнения и неравенства ......186
2. Рациональные системы уравнений и неравенств ............................................212
Задачи для самостоятельного решения ..........219
www.phoenixbooks.ru
413
§ 9. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами ............................................224
Задачи для самостоятельного решения ..........239
§ 10. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы с параметрами ...........241
1. Тригонометрические уравнения ..................241
2. Тригонометрические неравенства ................249
3. Тригонометрические системы .....................254
Задачи для самостоятельного решения .........257
§ 11. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами ........259
1. Уравнения ................................................259
2. Неравенства ..............................................269
Задачи для самостоятельного решения ..........278
§ 12. Функции. Свойства функций ....................281
1. Наибольшее и наименьшее значения функции..................................................281
2. Функциональные уравнения .......................289
Задачи для самостоятельного решения ..........296
§ 13. Многочлены ............................................299
Задачи для самостоятельного решения ..........305
§ 14. Задачи на доказательство .........................306
Задачи для самостоятельного решения ..........328
§ 15. Задачи по геометрии ...............................330
1. Планиметрия ............................................330
Задачи для самостоятельного решения ..........373
2. Стереометрия ...........................................378
Задачи для самостоятельного решения ..........394
Ответы ...........................................................397
Литература .....................................................411
www.phoenixbooks.ru
Серия «Большая перемена»
Э.Н. Балаян
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ И ОЛИМПИАДАМ
Задачи повышенной сложности
9–11-е классы
Ответственный редактор С. А. Осташов
Технический редактор Л. А. Багрянцева
Художник А. Вартанов
Корректоры Н. Никанорова, Т. Краснолуцкая
Подписано в пе чать 10.11.09.
Формат 84Ч108/32. Бум. тип № 2. Гарнитура CG Times. Печать офсетная. Усл. п. л. 21,84. Тираж 2500 экз. Зак. № ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
Отпечатано с готовых диапозитивов в ЗАО «Книга» 344019, г. Ростов-на-Дону, ул. Советская, 57
www.phoenixbooks.ru
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
1 044
Размер файла
188 Кб
Теги
phoenixbooks, www, www.phoenixbooks.ru, Книги издательства Феникс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа