close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сопротивление материалов практические занятия Логвинов В.Б. (www.PhoenixBooks.ru)

код для вставкиСкачать
Серия
«Высшее образование»
Ростов-на-Дону
«Феникс»
2012
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
В. Б. Логвинов, С. И. Евтушенко, И. А. Петров
Учебное пособие
Под редакцией В. Б. Логвинова
Рекомендовано Международной Академией науки и практики организации производства в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
В пособии приводятся условия и решения задач по следующим темам: геометрические характеристики плоских сечений; постро-
ение эпюр внутренних усилий для стержней, валов, балок, лома-
ных стержней и рам, кривых брусьев, пространственных ломаных стержней; расчёты на прочность и жёсткость при растяжении и сжатии, кручении; практические расчёты на сдвиг; определение деформаций балок при изгибе; статически неопределимые задачи изгиба балок; определение перемещений в балках и рамах, расчёт рам методом сил; теория напряжённого и деформированного со-
стояния, гипотезы прочности; сложное сопротивление; устойчи-
вость сжатых стержней; динамическое действие нагрузок, удар; расчёт тонкостенных сосудов.
В пособии использована Международная система единиц (СИ). Обозначения величин приняты в соответствии с международными рекомендациями ИСО.
Предназначено для студентов строительных специальностей, изучающих курс «Сопротивление материалов», а также может быть полезным для начинающих преподавателей.
Логвинов В. Б.
Сопротивление материалов : практические занятия : учеб. пособие / В. Б. Логвинов, С. И. Евтушенко, И. А. Пет-
ров ; под ред. В. Б. Логвинова. — Ростов н/Д : Феникс, 2012. — 283 с. : ил. — (
Высшее образование
).
ISBN 978-5-222-19971-8
ISBN 978-5-222-19971-8
УДК 539.21.6(075.8)
ББК 30.121я73
Л69
УДК 539.21.6(075.8)
ББК 30.121я73
КТК 203
Л69
© Логвинов В. Б., Евтушенко С. И., Петров И. А., 2012
© Оформление: ООО «Феникс», 2012
Рецензенты:
зав. кафедрой «Сопротивление материалов» ВСГТУ (г. Улан-
Удэ), доктор технических наук, профессор Л. А. Бохоева;
профессор кафедры «Сопротивление материалов» ВСГТУ (г. Улан-
Удэ), кандидат технических наук, профессор Г. С. Егодуров;
зав. кафедрой «Подъёмно-транспортные машины и роботы» ЮРГТУ (НПИ), заслуженный деятель науки Российской Федера-
ции, доктор технических наук, профессор М. Н. Хальфин
ОгЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .........................................4
Раздел 1. Геометрические характеристики плоских сечений ..............................5
Раздел 2. Построение эпюр внутренних усилий ............16
Раздел 3. Растяжение и сжатие .........................56
Раздел 4. Сдвиг ......................................94
Раздел 5. Кручение ..................................104
Раздел 6. Нормальные и касательные напряжения при плоском поперечном изгибе балок ..........115
Раздел 7. Напряжённое и деформированное состояние. Гипотезы прочности ................129
Раздел 8. Деформации балок при плоском поперечном изгибе ..........................149
Раздел 9. Статически неопределимые задачи изгиба балок ................................177
Раздел 10. Определение перемещений по формуле Мора и расчёт рам методом сил ...............205
Раздел 11. Сложное сопротивление .....................221
Раздел 12. Устойчивость сжатых стержней ..............244
Раздел 13. Динамическое действие нагрузок. Удар .........254
Раздел 14. Расчёт тонкостенных сосудов .................261
Литература .........................................265
Приложение 1 ......................................268
Приложение 2 ......................................282
ПРЕДИСЛОВИЕ
Инженерная практика ставит перед специалистами немало задач, связанных с расчётами на прочность, жёсткость и устой-
чивость деталей машин и элементов сооружений. Для успеш-
ного решения таких проблем учащиеся должны приобрести на-
выки и умения в решении этих задач, в чём им должны помочь учебники, учебные пособия и сборники задач.
В настоящем учебном пособии приведены условия задач и даны их подробные решения, позволяющие ознакомиться с ме-
тодикой решения задач, приобрести и накопить опыт таких ре-
шений.
Сведения из теории изложены в пособиях [12, 13, 15, 16]. Задачи подобраны в последовательности, иллюстрирующей теорию, и взяты из сборников задач [1, 2, 5, 8, 22, 23] и учеб-
ников [3, 9, 10, 24]. Упомянем задачники и пособия [4, 6, 7, 11, 17–21, 25], которые в значительной мере помогут освоить изучаемый предмет обучаемым. Состав задач соответствует практике проведения практических занятий по курсам «Со-
противление материалов», «Механика материалов и конструк-
ций», «Прикладная механика», «Техническая механика» и т.п. первым автором в течение многих лет.
Авторы благодарят своих учителей: профессоров, докторов технических наук Леонида Николаевича Воробьёва и Петра Даниловича Мищенко и доцентов, кандидатов технических наук Георгия Викторовича Веселовского и Виктора Алексее-
вича Шматкова, а также Аллу Николаевну Терёшкину — за компьютерное оформление текста рукописи.
РАЗДЕЛ 1. гЕОМЕТРИЧЕСКИЕ хАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИх СЕЧЕНИй
1.1. Для сечения, показанного на рис. 1.1, приняв b = 12 см, h = 20 см, d = 5 см, определить главные централь-
ные моменты инерции.
Решение
Центральные оси 0x и 0y являются осями симметрии се-
чения (рис. 1.1), а потому оказываются и главными осями. Вычислим искомые величины, представив сечение в виде разности двух прямоугольников: 3 3 3 3
I II
12 20 12 5
7 875;
12 12 12 12
x x x
bh bd
I I I
4
см
3 3 3 3
I II
12 20 12 5
2 160.
12 12 12 12
y y y
b h b d
I I I
4
см 1.2. Сравнить моменты инерции I
x
трёх фигур (рис. 1.2), равновеликих по площади, т. е. у них A
I
= A
II
= A
III
= A.
Решение
Найдём площади указанных фигур:
2
2 2
I II III
2,,.
4
d
A a A b A
В ы ч и с л и м м о м е н т ы и н е р ц и и I
x
в с е х ф и г у р, в ы р а з и в и х ч е р е з к в а д р а т п л о щ а д и:
3
3
2
I 2 2 2
2
1 1
2 0,1667;
12 12 6 6
x
a a
bh
I a A A
6
Сопротивление материалов. Практические занятия
3 4
2
II 2 2 2
1 1
0,0833;
12 12 12 12
x
bh b
I b A A 2
4 2
III 2 2
1 1
0,0796.
64 4 3,14 4 12,56
x
d d
I A A
а ) б ) в )
0
0
y
x
h
d
b
I
I
I
I
I I
2a
x
y
a
I
b
x
y
b
I I
x
y
d
I I I
d
Р и с. 1.1 Р и с. 1.2
Т а к и м о б р а з о м, I II III
x x x
I I I . И з р а с с м о т р е н н ы х с е ч е н и й н а и б о л е е р а ц и о н а л ь н ы м п о I
x
п р и о д и н а к о в о м р а с х о д е м а -
т е р и а л а о к а з а л о с ь п р я м о у г о л ь н о е с е ч е н и е.
1.3. В ы ч и с л и т ь г л а в н ы е ц е н т р а л ь н ы е м о м е н т ы и н е р ц и и и г л а в н ы е р а д и у с ы и н е р ц и и р а в н о с т о р о н н е г о т р е у г о л ь н и к а ( р и с. 1.3 ). П о с т р о и т ь э л л и п с и н е р ц и и.
Р е ш е н и е
З н а я р а з м е р с т о р о н ы т р е у г о л ь н и к а a, н а й д ё м е г о в ы -
с о т у 2 2
/4 3/2h a a a . О п р е д е л и м м о м е н т и н е р ц и и с е ч е н и я о т н о с и т е л ь н о ц е н т р а л ь н о й о с и, п а р а л л е л ь н о й о с н о -
в а н и ю:
3
3 4
4
3
3
0,018.
36 36 8 96
x
a a
bh a
I a
Д л я в ы ч и с л е н и я м о м е н т а и н е р ц и и с е ч е н и я о т н о с и т е л ь н о о с и C y в ы д е л и м э л е м е н т а р н у ю п л о щ а д к у d A д в у м я в е р т и -
7
Раздел 1. Геометрические характеристики плоских сечений
кальными сечениями, отстоящими от оси Cy на расстояниях x и x + dx. Тогда получим dA = h(x)dx. Из рисунка 1.3 най-
дём 2
1
/2 2
h a x
h x x h
a a
.
y
x
C
a
x
d A
d x
h(x)
a
a
Р и с. 1.3
В ы ч и с л и м и с к о м ы й м о м е н т и н е р ц и и
2 2 2
3 4 3 4 3 4
4
/2/2
0 0
/2
0
2
2 2 1
2 3
2 2 3 0,018.
3 4 24 32 96 96
A
a a
y
a
x
I x dA x h x dx hx dx
a
x x a a a a
h h a a
a a
И т а к, 4
4
3
0,018
96
x y
a
I I a .
Т а к к а к о с ь C y — о с ь с и м м е т р и и, т о о с и C x и C y — г л а в -
н ы е ц е н т р а л ь н ы е о с и.
Н а й д ё м г л а в н ы е ц е н т р а л ь н ы е р а д и у с ы и н е р ц и и
4
3
0,204.
96 3/2/2 24
x
x y
I
a a
i i a
A
a a
П о с т р о и м э л л и п с и н е р ц и и. Д л я р а с с м а т р и в а е м о г о с е ч е -
н и я э л л и п с о к а з а л с я к р у г о м и н е р ц и и.
8
Сопротивление материалов. Практические занятия
1.4. Определить центробежный момент инерции для уголка равнополочного 125 125 10 (рис. 1.4а).
Решение
Из сортамента выпишем I
x
0
= I
max
= 571 см
4
, I
y
0
= I
min
= = 149 см
4
. Примем I
y
= 571 см
4
, I
v
= 149 см
4
. Используя формулу для перехода от главных осей к произвольным по-
вёрнутым (рис. 1.4б), получим:
sin2/2
xy u v
D I I
;
4
571 149 sin 2 ( 45 ) /2
571 149 1/2 211 .
xy
D
см
C
x
y
x
0
y
0
45=
0
u
v
x
y
а)
б)
Рис. 1.4
Знак угла установлен сравнением рис. 1.4а и 1.4б. Цен-
тробежный момент инерции оказался отрицательным, так как большая часть сечения (заштрихована на рис. 1.4а) ле-
жит в четвертях, где x и y разных знаков. Если уголок рас-
положен, как показано на рис. 1.5а, получим sin2/2 571 149 sin90/2 211
xy u v
D I I
см
4
.
В этом случае лишь малая часть сечения (заштрихована на рис. 1.5а) лежит в четверти, где x и y разных знаков.
1.5. Определить центробежный момент инерции для уголка неравнополочного 100 63 10 (рис. 1.5б).
9
Раздел 1. Геометрические характеристики плоских сечений
Решение
Из сортамента [15] выпишем I
x
= 154 см
4
, I
y
= 47,1 см
4
, I
min
= I
v
= 28,3 см
4
, tg = 0,387. Для вычисления центро-
бежного момента инерции уголка используем формулу предыдущей задачи, предварительно установив по tg зна-
чение угла = 21°10'. Сравнив рис. 1.5б и 1,4б, определим = – = –21°10'. Из условия I
x
+ I
y
= I
u
+ I
v
найдём I
u
= = I
x
+ I
y
– I
v
= 154 + 47,1 – 28,3 = 172,8 см
4
. Тогда получим
4
1
172,8 28,3 sin 2( 21 10 )
2
1
172,8 28,3 0,674 48,7 . 2
xy
D
см
Задачу можно решить проще, используя формулу для перехода от произвольных осей к главным повёрнутым осям (рис. 1.5в):
0 0
2
tg2,tg2/2;
xy
xy y x
y x
D
D I I
I I
4
(47,1 154) tg(2 21 10 )/2 48,7 .
xy
D
см
C
x
y
v
u
45°=
а)
C
x
y
u
v
=
б)
O
x
u
v
0
y
в)
Рис. 1.5
Для равнополочного уголка этот путь неприемлем, ибо I
y
– I
x
= 0, а tg2
0
.
10
Сопротивление материалов. Практические занятия
Пользуясь рис. 1.5в, из формул
2 2
0 0 0
2 2
0 0 0
cos sin sin2,
sin cos sin2
u x y xy
v x y xy
I I I D
I I I D
п о л у ч и м
2 2
0 0 0
cos sin/sin2,
xy x y u
D I I I 2 2
0 0 0
sin cos/sin2.
xy x y v
D I I I Для неравнополочного уголка использование этих фор-
мул оказывается громоздким, но если уголок равнополоч-
ный, решение сильно упрощается. При 0 = +45° получим D
xy
= I
x
– I
u
, D
xy
= –I
x
+ I
v
, а при 0 = –45° имеем D
xy
= = I
x
– I
u
, D
xy
= I
x
– I
v
.
Для проверки знака D
xy
для уголков полезен рис. 1.6.
а) б)
x
y
x
y
x
y
x
y
D
xy
> 0D
xy
<0
D
xy
> 0 D
xy
<0
Рис. 1.6
1.6. Выч ис л ит ь г л а в н ые це н т р а л ь н ые мо ме н т ы и г л а в -
н ые р а д иу с ы ин е р ции д л я с е ч е н ия, ко т о р о е из о б р а же н о н а р ис. 1.7. По с т р о ит ь э л л ип с ин е р ции.
Ре ше н ие
Разделим трапецию на три простые фигуры: два тре уголь-
ни ка и прямоугольник. Найдём положение центра тяжести простых фигур. Введём вспомогательные координатные оси, совместив горизонтальную ось с нижним основанием трапе-
ции, а вертикальную ось — с осью сим мет рии.
Найдём координаты центров тяжести во вспомогатель-
ных осях: C
1
((–4/6)b, h/3); C
2
(0, h/2); C
3
((4/6)b, h/3). Вы-
числим координаты центра тяжести трапеции:
11
Раздел 1. Геометрические характеристики плоских сечений
3
,
1
3
1
0;
1 1
4
3 2 2 2 3 2 2
.
2
9
2
c i i
i
c c
i
i
y A
x y
A
h b h h b
h b h h
h
b b
h
2b
h
x
1
y
1
x
3
y
3
x
2
y
2
b
C
1
C
2
C
3
C
x
C
y
C
x
в
y
в
I
II
III
y
C
C
x
i
C
y
i
Рис. 1.7
Вычислим моменты инерции трапеции относительно центральных осей:
I II I 2 II 2
1 I 2 II
1 2
2 2
3 3
3 3
2 2 4 1 4
2
2 36 9 3 2 2 12 2 9
13
0,12037;
108
c c c
x x x x x
I I I I a A I a A
b h h b bh h
h h h bh
bh bh
I II I 2 II
1 I
1 2
3 2
3
3 3
2 2 4 1 5
2 0,3125.
2 36 6 2 2 12 16
c c c
y y y y y
I I I I b A I
b h b b h
b h b h b h
12
Сопротивление материалов. Практические занятия
Так как ось Cy
c
оказалась осью симметрии трапеции, то найденные осевые моменты являются главными централь-
ными.
Вычислим главные радиусы инерции трапеции:
3
13
13
108
0,283;
3
9 2
2
c
c
x
u x
bh
I
i i h h
A
bh
3
5
5
16
0,456.
3
2 6
2
c
c
y
v y
b h
I
i i b b
A
bh
О т л о ж и в п е р п е н д и к у л я р н о к г л а в н ы м о с я м и н е р ц и и н а й д е н н ы е г л а в н ы е р а д и у с ы и н е р ц и и в т о м м а с ш т а б е, в к о -
т о р о м п о с т р о е н о с е ч е н и е, н а п о л у ч е н н ы х о т р е з к а х, к а к н а п о л у о с я х, п о с т р о и м э л л и п с и н е р ц и и ( р и с. 1.7 ).
1.7. О п р е д е л и т ь г л а в н ы е ц е н т р а л ь н ы е м о м е н т ы и н е р ц и и с о с т а в н о г о с е ч е н и я ( р и с. 1.8 ) и п о с т р о и т ь э л л и п с и н е р ц и и.
Р е ш е н и е
С е ч е н и е с о с т о и т и з д в у х ф и г у р: п р я м о у г о л ь н и к а 2 0 с м 2 с м ( I ) и д в у т а в р а № 2 0 а ( I I ). И з т а б л и ц с о р т а м е н т а в ы -
п и ш е м н е о б х о д и м ы е д а н н ы е д л я д в у т а в р а: I
x
I I
= 2 0 3 0 с м
4
; I
y
I I
= 1 5 5 с м
4
; A
I I
= 2 8,9 с м
2
. С о в м е с т и м н а ч а л о к о о р д и н а т с ц е н т р о м т я ж е с т и д в у т а в р а, а в с п о м о г а т е л ь н ы е о с и — с е г о ц е н т р а л ь н ы м и о с я м и. К о о р д и н а т ы ц е н т р а т я ж е с т и п р я м о -
у г о л ь н и к а: x
c
1
= 2 0/2 + 1 1/2 = 4,5 с м, y
c
1
= 2 0/2 + 2/2 = = 1 1 с м, а е г о п л о щ а д ь A
I
= 2 0 .
2 = 4 0 с м
2
. Н а й д ё м к о о р д и -
н а т ы ц е н т р а т я ж е с т и с о с т а в н о г о с е ч е н и я:
2
1
2
1
,
4,5 40 180
2,61
40 28,9 68,9
c i i
i
c
i
i
x A
x
A
см;
13
Раздел 1. Геометрические характеристики плоских сечений
2
1
2
1
,
11 40 440
6,39
40 28,9 68,9
c i i
i
c
i
i
y A
y
A
см.
x
1
y
1
C
1
x
2
y
2
C
2
11
202
0,52
0,86
x
y
20
C
x
C
y
C
v
u
i
v
0
2,61
6,39
i
u
0
Рис. 1.8
Укажем положение центра тяжести составного сечения на рис. 1.8 и изобразим центральные оси Cx
c
и Cy
c
. Вычис-
лим осевые и центробежный моменты инерции составного сечения относительно центральных осей:
I II I 2 II 2
1 I 2 II
1 2
3
2
2
4
20 2
4,61 40 2030 6,39 28,9 4073,46;
12
c c c
x x x x x
I I I I a A I a A см
14
Сопротивление материалов. Практические занятия
I II I 2 II 2
1 I 2 II
1 2
3
2
2 4
20 2
1,89 40 155 2,61 28,9 1 828,09;
12
c c c
y y y y y
I I I I b A I b A см
I II I II
1 1 I 2 2 II
1 1 2 2
0 4,61 1,89 40 0 6,39 2,61 28,9 830,51 c c c c c c
x y x y x y x y x y
D D D D a b A D a b A
с м
4
.
О п р е д е л и м у г о л н а к л о н а г л а в н ых о с е й с о с т а в н о г о с е ч е -
н и я к ц е н т р а л ь н ым о с я м:
0
2
2 830,51
tg2 = 0,739753;
1828,09 4073,46
c c
c c
x y
y x
D
I I
0
2 36 30 , 0,1
18 15 , 0,2
71 45. Покажем на рис. 1.8 найденные главные центральные оси.
Найдём главные моменты инерции сечения:
2 2
0 0 0
2
2
4
cos sin sin2
4073,46 0,94970 1828,09 0,31316
830,51 0,5947146 4347,16 ;
c c c c
u x y x y
I I I D см
2 2
0 0 0
2
2
4
sin cos sin2
4073,46 0,31316 1828,09 0,94970
830,51 0,5947146 1554,37 .
c c c c
v x y x y
I I I D см
Выполним проверку:
,
c c
x y u v
I I I I 4 0 7 3,4 6 + 1 8 2 8,0 9 = 4 3 4 7,1 6 + 1 5 5 4,3 7; 5 9 0 1,5 5 ≈ 5 9 0 1,5 3.
15
Раздел 1. Геометрические характеристики плоских сечений
Вычислим главные радиусы инерции:
/4347,16/68,9 7,94
u u
i I A см;
/1554,37/68,9 4,75
v v
i I A см.
Отложив перпендикулярно к главным осям инерции найденные главные радиусы инерции в том масштабе, в ка-
ком построено сечение, на полученных отрезках, как на по-
луосях, построим эллипс инерции (рис. 1.8).
Серия
«Высшее образование»
Учебное пособие
Логвинов Виктор Борисович,
Евтушенко Сергей Иванович,
Петров Игорь Альбертович
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Ответственный редактор Разномазов В. М.
Технический редактор Логвинова Г. А.
Сдано в набор 04.07.2012 г. Подписано в печать 11.07.2012 г.
Формат 84 х108 1
/ 32
. Бумага офсетная.
Гарнитура Scool Book.
Тираж 2 500. Заказ № ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
Отзывы и предложения по изданию присылайте на адрес редакции
E-mail: raznomazov_vm@mail.ru
Т
ел. 8 (863) 261-89-78
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
745
Размер файла
693 Кб
Теги
phoenixbooks, www, www.phoenixbooks.ru, Книги издательства Феникс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа