close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теория вероятностей учеб.пособие Битнер Г.Г. (www.PhoenixBooks.ru)

код для вставкиСкачать
Г.Г. БИТНЕР
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
РостовнаДону
?Феникс?
2012
?Высшее образование?
Допущено Научно-методическим советом по математике
Министерства образования и науки Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям ?Приборостроение?, ?Вычислительные машины, комплексы, системы и сети?, ?Инженерная защита окружающей среды?
Учебное пособие
www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г. Б66 Теория вероятностей / Г.Г. Битнер. ? Рос тов н/Д : Феникс, 2012. ? 329, [1] с. : ил. ? (Высшее образование).
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171я73
КТК 116
Б66
ISBN 978?5?222?19516?1
Излагаемые основы теории вероятностей сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями. Кроме того, в конце каждой главы предлагаются вопросы для самопроверки. В приложе-
ниях приведены образцы решения двух типов контрольных заданий, предназначенных для самостоятельной работы студентов очной и за-
очной форм обучения. Предназначается для студентов высших учебных заведений, об-
учающихся по направлениям подготовки и специальностям в области техники и технологии. Будет полезным и для студентов инженерно-
экономических факультетов.
© Битнер Г.Г., 2012
© ООО ?Феникс?, оформление, 2012
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171я73
ISBN 978?5?222?19516?1
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент А.Б. Будак (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова);
канд. физ.-мат. наук, доцент А.А. Лобузов (Московский институт радиотехники, электроники и автоматики)
www.phoenixbooks.ru
Г.Г. БИТНЕР
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основные понятия теории вероятностей
Случайные величины
Система случайных величин
Функции случайных величин
Предельные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел
Элементы теории случайных процессов
www.phoenixbooks.ru
Предисловие
5
??????????? ? ?????? ???????? ??????? ???????? ??????, ???????? ??-
????? ? ??????? ???? ??? ?????????? ??????? ???????? ???? ??. ?.?. ????????. ??? ???????? ???????? ??? ????????? ???????-
??-??????????? ?????????????? ??? ???????? ???????? ?????? ??-
??????????, ????????? ?????? ????????? ??????? ? ????????? ?????????, ??????????????? ??????????? ?????? ??????????? ??????? ?????????. ??????? ??????? ???????? 6 ???? ? 6 ??????????. ? ???-
??? ????? ???? ???????? ??????? ?????? ????????????: ??????? ???????, ???????????? ? ??????????????? ??????????? ??????-
?????, ??????? ?????????????, ?????????????? ???????????, ???????? ???????????, ??????? ???????? ? ?????????, ?????-
?? ?????? ???????????, ??????, ?????????????????? ????????-
??? ?????????. ?? ?????? ????? ??????????????? ????????? ????????: ??????? ?????????????, ??? ????????????? ?????????? ??????-
??? ????????, ????????? ????????????? ??????????? ????????? ????????, ?????????????? ????????, ?????????, ????????? ? ??????????? ???????, ???????? ?????????? ? ??????????? ???-
??????????. ?????? ????? ????????? ???????? ????????? ???????, ???-
???????????? ??????? ????????????? ??????? ???? ????????? ???????, ??????? ????????????? ??????? ???? ?????????? ??????-
??? ???????, ????????? ????????????? ??????? ???? ??????????? ПРЕДИСЛОВИЕ
www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
6
????????? ???????, ???????? ???????? ?????????????? ??????? ???? ????????? ???????. ? ????????? ????? ??????????????? ??????? ????????? ??-
?????: ?????????? ???? ????????????? ??????? ?????????? ???-
?????? ????????, ??????? ??? ????????? ????????????? ????? ? ???? ????????? ???????, ???????? ???????? ?????????????? ??????? ????????? ???????. ????? ????? ????????? ?????? ??????? ????? ? ??????????? ?????????? ???????: ??????????????? ??????????? ? ??????? ??-
??????, ??????? ????????, ????????? ???????????? ?????? ??-
?????? ? ?????? ? ???????. ?????? ????? ????????? ????????? ?????? ????????? ???-
??????: ?????????? ???????, ????????? ?? ?????????? ??????????, ?????????? ???? ????????? ?????????, ?????? ????????? ??????? ?????? ????????? ????????????. ? ???????? ?????? ??????? ????? ???????? ???????? ? ??-
????????? ?????. ??? ???????????? ???????? ??????????? ?????-
????????? ????????? ? ????? ?????? ????? ????????? ???????? ???????????? ??????????? ???????, ? ????? ????????????????? ? ???? ??????? ?????????? ????????. ? ???????????, ???????-
??? ??????? ????? ???????, ?????? ???????????? ???????????? ????????, ???????? ??? ???????? ???????? ?????? ?????????. ? ??????????? 1 ? 3 ????????? ??????? ??????? ??????????? ???????, ? ? ??????????? 2 ? 4 ???? ???????? ???? ??????????? ??????? ?? 50 ????????? ? ?????? ???????, ? ?????? ???????? 8 ?????, ??????????????? ??? ??????????????? ?????? ????????? ????? ? ??????? ???? ????????. ?????????????? ? ??????????? ???????? ??????, ?????????????? ??? ?? ?????????, ??? ? ?? ??-
???, ????????? ???????? ???????? ?? ???????????? ? ????????-
?????? ??????? ????????? ????????, ????????????? ?????????-
???? ?????????, ???????????? ?????? ????????????? ??????? ?????, ????????? ?????????? ???????? ?????????. ????? ????, ? ?????????? 5 ????????? ????? ?? 9 ?????, ??????????? www.phoenixbooks.ru
Предисловие
7
????????? ???????? ????????????? ? ???????????? ?????????? ????????? ?? ???????? ????? ??????? ?????????????. ??? ?????? ?????????? ?? ??????? ? ????? ?????? ??????????? ?????? ?? ?????????? ???????????? ? ?????? ??????. ????? ????? ???? ???-
?????? ? ??? ????????????? ???????????? ?? ????????????, ???????, ?????????. ??? ??????????? ???????? ??????? ???? ??-
?????????? ?????????? [1?22]. www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
8
???????? ?????? ??????, ? ??????? ??????????? ??????? ?????? ??-
??????????, ???? ??????? ? ?????????????? ?????? ???????? ???. ?????? ?. ???????, ?. ????? ? ?. ???????? ? ???????? XVII ?. ??-
?????? ??????? ? ??????? ?????? ????????????. ?????????? ???-
????? ?????? ???????????? ??????? ? ??????? ????? ????????, ?. ?? ??????, ?.?. ???????, ?.?. ??????, ?.?. ????????. ? XIX ?. ????????? ?????? ???????????? ????? ?????????? ?????????? ??????? ??????: ?.?. ???????, ?.?. ??????, ?.?. ??-
?????. ????????? ????? ?????? ???????????? ???????? ? ??????? ????? ??????? ?????. ????? ?????? ?????? ? ????????? ????-
??????? ????? ??????, ??????????????? ??????? ?????? ????-
????????, ?????????? ???????? ?.?. ??????????, ?.?. ???????, ?.?. ???????????, ?.?. ????????????, ?.?. ????????, ?.?. ??-
??????. ?????? ?????? ???????????? ?????? ??????????? ? ??????-
??? ???????? ?????????????? ? ???????: ? ?????? ??????????, ???-
??? ????????? ????????????, ? ????????????? ??????, ??????????, ????????, ? ????? ?????? ?????. ?????????????? ?????????? ???-
?????????????? ??????????, ???????? ?????????????? ?????????-
??????? ??????? ? ?????????????? ?????, ???????? ??????????-
????? ?????????? ??????? ????????? ? ?????? ??????????? ???-
????? ?????????? ? ???????????? ??????? ?????? ???????? ?????? ??????????????? ?????????????, ??????? ?? ????? ???????? ??? ВВЕДЕНИЕ
www.phoenixbooks.ru
Введение
9
????????????? ????????????? ??????? (???????? ?????? ??????-
??? ???????). ?????? ???????????? ?????? ????? ??? ??????????? ??????-
???????? ? ?????????? ??????????, ???????, ? ???? ???????, ??-
?????????? ??? ???????????? ? ??????????? ????????????, ??? ??????? ??????????????? ?????????, ??? ?????? ???????? ??????-
??? ? ??? ?????? ?????? ?????. www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
10
????? 1. ???????? ??????? ?????? ???????????? 1.1. ????????????? ??????? ????? ?? ???????? ??????? ?????? ???????????? ???????? ??????? ???????. ???????? ?????????? ?????? ????, ??????? ????? ???????-
?? ? ?????????? ????? (?????????). ???????? ??????? ????? ???????: 1) ????????? ? ???? ??? ????????; 2) ????????? ????? ??? ????????????? ??????; 3) ????? ???????????? ??????? ? ????????? ???????????. ??????? ???????? ???????????? ??????????????? ?????. ??????? ??????? ?????????? ?????????? ??????? ?????????? ????????. ????????, ??????? ? ? ????????? ? ???? ??? ????????, ??-
????? B ? ???????? ??????? ???????????? ??? ??????? ????? ? ?.?. ???????, ??????? ?? ????? ????????????? ??? ???????? ????????? ????????, ?????????? ??????????? ? ???????????? ?
. ???????, ?? ?????????? ??????? ?????????? ????? ?????-
??????? ? ?????? ????, ?????????? ???????????? ? ???????????? ?. ???????, ??????? ??? ???????? ????????? ???????? ?????-
?????? ??????????, ?????????? ??????????? ? ???????????? ?
. ????????? ???? ???????????? ??????? ?????????? ???-
?????????? ???????????? ??????? ? ???????? ??????????? ??-
?????? (
?
). Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
11
????? ???????????? ???????????? ???????????? ??????? ?????????? ????????? ???????? (? ?????????? ????? ???????? ?????? ????????). ??????? ? ??????????? ????????????? ????????????? ??-
???????? ???????????????. ????????, ????????? ????? ??? ??-
??????? ????? ??? ????????????? ??????. ??? ???????? ????? ????? ?. ?????? ? ?????? ??? ?????? 12 000 ????????, ?? ??? 6 019 ??? ????? ????, ? ?? ?????? ??? ?? ?????? 24 000 ????????, ?? ??? 12 012 ??? ????? ????. ??????? ?????????? ?????????????, ???? ????????? ?????? ?? ??? ????????? ????????? ?????? ? ????? ? ??? ?? ?????????. ????????, ?????????????? ??????. ??????? A ? ????????? ?????, ??????? B ? ????????? ?????. A ? B ? ???????????? ???????. ??????? ?????????? ???????????, ???? ????????? ?????? ?? ??? ?? ????????? ????????? ?????? ? ????? ? ??? ?? ??????-
???. ????????, ?????????????? ??? ????????? ?????. ??????? A ? ????????? 6 ????? ?? ?????? ?????, ??????? B ? ????????? 6 ????? ?? ?????? ?????. A ? B ? ?????????? ???????. ??? ???????, ???? ?? ??????? ??????????? ?????? ???????-
??, ?? ??????????? ?????? ??????? ????????? ??????????? ?????-
?????
? ???????, ?????????? ????????????????. ???????, ?????-
?????????? ??????? A, ????? ?????????? A
. ????????, ??????-
??? A
? ?????? A
??? ???????? ?? ????, ?????? ?
? ????? B
??? ????????? ??????? ? ?.?. ?????? ??????? A
1
, A
2
, ?, A
n
???????? ?????? ??????
, ???? ? ?????????? ????????? ????????? ???? ?? ???? ?? ???. ?????? ?????? ??????? A
1
, A
2
, ?, A
n
?????????? ?????? ????-
??? ??????????
??????? ???? ????????? ???? ?? ??? ??????? ?? ???? ??????. ?????? 1. ?? ???? ???????????? ??? ????????. ????? A
1
? ????????? ??? ?????? ????????, A
2
? ????????? ??? ?????? ??-
??????, A
3
? ????????? ??? ??????? ????????. ??????? A
1
, A
2
,
A
3
???????? ?????? ?????? ?????????? ???????. www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
12
?????? ?????? ??????? A
1
, A
2
, ?, A
n
?????????? ?????? ????-
??? ????????????
???????, ???? ???????, ???????? ? ?????? ??-
?????, ???????????. ?????? 2. ?? ???? ???????????? ??? ????????. ????? A
1
? ??????, A
2
? ???? ?????????, A
3
? ??? ?????????, A
4
? ??? ??????-
???. ??????? A
1
, A
2
,
A
3
, A
4
???????? ?????? ?????? ???????????? ???????. 1.2. ???????? ??? ?????????. ??????? ??????? ????????? ??????? ??????????????? ? ??????????, ?? ??? ????????? ????? ????????? ??? ????????, ??????????? ??? ???????????. ??????, ??? ???????????? (U) ???? ??????? A
? B
, ??????-
???? ??????? ???????, ????????? ? ????????? ???? ?? ?????? ?? ??????? A
??? B
(?????????? ?????). ????? ???????????? A
+
B
??? A
U
B
. ?? ???. 1.1 ?????????? ????? ???? ?????????? ???????, ? ?? ???. 1.2 ????? ???? ???????????? ???????. A
B A B+ = ?
A
B A B+ = ?
???. 1.1 ???. 1.2
?????????????, ??? ???????????? (
?
), ???? ??????? A
? B
?????????? ??????? ???????, ????????? ? ?????????? ??????????-
??? ??????? A
? B
(?????????? ???). ???????????? ???????????? AB
??? A B
?
. ?? ???. 1.3 ?????????? ???????????? ???? ?????????? ???????, ? ?? ???. 1.4 ???????????? ???? ???????????? ??????? (?????? ?????????). A
B A B= ?
A
B A B= ?
???. 1.3 ???. 1.4
B A B
A A
B
A
B
www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
13
????????? ???? ??????? A
? B
?????????? ???????, ??????-
??? ? ???, ??? ?????????? ??????? A
, ? B
?? ??????????. ???????? ???????????? A ? B
??? A
\
B
. ???? ??????????? ?????? ??????? A
?????? ?? ????? ????????-
??? ??????? B
, ?? ???????, ??? ??????? A
?????????? ? ??????? B
, ? ???????????? A B?
. ???????? ???????? ? ????????? ???????? ?????????? ??????????: 1. A B B A
+ = +
? ??????????????? ????????. 2. AB BA
=
? ??????????????? ?????????. 3. ( ) ( )
A B C A B C
+ + = + + ? ??????????????? ????????. 4. ( ) ( )
A BC AB C
= ? ??????????????? ?????????. 5.( )
A B C AB AC
+ = +;( )( )
A BC A B A C
+ = + + ? ????? ????-
????????????. 6. ,
A
B AB AB A B+ = = +
? ??????? ?? ???????. ?? ??????????? ???????? ??? ????????? ???????? ??????-
??? ?????????: ;;;;;.
A A A A A A A A A A A A
+ = ? = + ?= ? ? ?= +?= ? ?= ? ?????????????? ????????????? ???????? ???????? ??? ??-
??????? ? ??????? ???????? ????? ???????????? ?? ???. 1.5. A B A+B AB ? ? ? ? A
B
A
B AB? =
B
A BA? =
? ? ? ? A
B AB+ =
A
B A B= +
( )
A
B C AB AC+ = +
( )( )
A
BC A B A C+ = + +
? ? ? ? ???. 1.5 A B ? ? ? ? A B
A B
?
A
B?
A ? ? B
A B
? A B
? A
B ? A B
? A B
? B
A
? www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
14
????? ???????, ????????? ???????????? ???????? ???????????, ??????????? ? ??????????, ?????????? ???????? ???????
, ?. ?. ????-
??? F
? ??????? ???????, ???? ????????????? ????????? ????????: 1) ?????????? ?????? ??????? ?? F
????? ??????????? F
;
2) ??? ???? ????? ??????? ?? F
?? ??????????? ? ????????-
??? ??????????? F
; 3) ???????????? ???????????? ??????? ??????????? F
. 1.3. ??????? ??????? ? ?? ???????? ????? ????????? ????? n
?????????, ? ?????? ?? ??????? ??????? A
????? ????????? ??? ?? ?????????. ???????? ???????
A
?????????? ????????? ????? ??????-
???, ? ??????? ????????? ??????? A (
m
), ? ????? ???? ????????? (
n
) ? ????????????: *
( )
?
p A
n
=. (1.1) ???????? ????????? ???????? ???????. 1
?
. ??????? ?????????? ??????? ??????????? ????? ????? ? ????????: *
0 ( ) 1p A≤ ≤
. 2
?
. ??????? ???????????? ??????? ????? ???????: *
( ) 1p ? =. 3
?
. ??????? ???????????? ??????? ????? ????: *
( ) 0
p ? =
. 4
?
. ??????? ????? ???? ???????????? ??????? ????? ????? ?????? ???? ???????: * * *
( ) ( ) ( )
p
A B p A p B+ = +
. ??????????????.
????? ? n
?????????? ??????? A
????????? m
???, ? ??????? B
? k
???, ?.?. * *
( );( ).
m k
p A p B
n n
= =
www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
15
??? ??? ??????? ???????????, ?? ??? ??????, ??? ??? ?????-
???? ?? ????????????, ?????????????, ??????? A B+
????????? m k
+
??? ? * * *
( ) ( ) ( ).
m k m k
p
A B p A p B
n n n
+
+ = = + = +
???????? ????????. ???? ??????? A
? B
?????????, ?? ?????????? ??????? ?????-
??? ???????. ???????? ????????
?????????? ??????? ?????? ???????, ??-
????????? ??? ??????? ??????????? ??????? ???????, ? ????????-
???? *
(/)
p
A B
(??????? ??????? A
??? ???????, ??? ??????? B
???-
??????). 5
?
. ??????? ???????????? ???? ?????????? ???????
A
? B
????? ???????????? ??????? ?????? ??????? ?? ???????? ??????? ???????: * * * * *
( ) ( ) (/) ( ) (/)
p
AB p B p A B p A p B A
= =
. ??????????????. ????? ? ?????????? n
????????? ??????? A
????????? m
???, ??????? B
? k
???, ?????? l
??? ??????? A
? B
????????? ??????. ?????: * * *
( );( );( ).
m k l
p A p B p AB
n n n
= = =
??? ??? ??????? A
????????? m
??? ? l
??? ?? ??? ????????? ????-
??? B
, ?? * *
(/);(/).
l l
p B A p A B
m k
= =
????, * * *
* *
( );( ) (/);
( ) (/).
l m l l
p AB p A p B A
n n m n
k l l
p B p A B
n k n
= = ? =
= ? =
???????? ????????. www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
16
1.4. ??????????? ??????????? ? ?? ???????? ???????? ??? ??? ??????? ??????? ????? ?????????? ?????? ????? ?????????? ????????? (??????) ? ? ????????? ?????? ??? ????? ?????????? ????????? ????????????, ??????? ??? ?????????????? ??????? ???????? ???????? ? ?????????. ?????? ?? ???? ?????????? ????? ????????? ??????? ?????-
????? ??????????????? ? ?????????? ????? ????????? ?????????? ????????. ??? ?????????? ???????? ?????????? ???????????? ? ???????????? ?
(
?
), ??? ?????? ?
. ????? ??????????? ??????????? ??????????
??????????????
. ???????????? ??????????????? ???????????: ????????? ?? ??-
?????? ???????????. ??????????: ?????????? ????????? ??????? ????? ?????????, ?? ???????? ??????? ? ????? ?????? ??????????, ??????? ?????????? ?????? ??????????? ???????????,
????????????. ??????????? (????????????). ???????????? ????????? ????-
?????? ??????? ?
?????????? ????????? ????? ???????, ????????-
?????????? ????????? ??????? A (
m
), ? ?????? ????? ????????-
?????? ? ????? ??????? (
n
): ( ).
m
? ? A
n
= =
(1.2) ?????? 1.
????? ??????????? ????, ??? ??? ???????? ??-
??????? ?????, ??????? ?????? ????? ?????. ? ? ? ? ? ? ?.
????????? ????? A
??????? ????????? ??????? ????? ?????. ????? ???? ?????????????? ??????? n
= 6. ????? ???-
??????????????? ??????? m
= 3. ??????? 3 1
( ).
6 2
? A
= =
?????? 2.
? ???? ????????? 15 ?????, ?? ??? 9 ??????? ? 6 ?????. ????? ??????????? ????, ??? ??????????? ?????? 1 ??? ???????? ???????. ? ? ? ? ? ? ?. ????????? ????? ?
???????, ????????? ? ????-
????? ???????? ????, ?.?. A=
{??? ???????}. www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
17
????? ???????, ?????????????????? ????????? ??????? ?
, ????? ????? ??????? ????? ? ????, ?.?
. m = 9. ????? ????? ?????-
????????? ??????? ????? ?????? ????? ????? ? ????, ?.?. n = 15
.
?????????????, ?? ??????? (1.2) 9 3
( ).
15 5
m
? A
n
= = =
????? ???????, ??????????? ? ??? ??????????????
?????????-
????? ???????, ?????????? ????????? ???????? ???????? ???-
??? ????????????. ?, ???????, ?????????? ?????? ??????????? ??????????? ? ???????????????. ??????????? (???????????????).
???????? ??????? p
, ????-
???????? ?? ??????? ??????? F
, ?????????? ????????????, ???? ????????????? ????????? ????????: ? ? ? ? ? ? ? 1
. ??????????? ?????? ??????? ????????? ??-
??? ????? ? ????????, ?.?. 0 ( ) 1.
?
A
≤ ≤
? ? ? ? ? ? ? 2.
??????????? ???????????? ??????? ????? ???????, ?.?. ( ) 1.
?
? =
? ? ? ? ? ? ? 3.
??????????? ???????????? ??????? ????? ????, ?.?. ( ) 0.
?
? =
? ? ? ? ? ? ? 4.
??????????? ????? (???????????) ???? ??-
?????????? ??????? ?
? ? ????? ????? ???????????? ???? ????- ???, ?.?. ( ) ( ) ( )
?
A B ? A ? B
+ = +
. ??? ??????? ???????? ?? ????????? ?????????? ???????? ???-
????. ??? ???????? ????? ???????, ??????????????? ?????? ????-
???? ???????, ?????? ??????????? ???????? ???????????. www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
18
??????????? ??????????? ??????? ?
, ??????????? ??? ????-
??? ??????????? ??????? ??????? ?
, ?????????? ???????? ??????-
??????
??????? ?
? ????????????: (/)
?
A B
. ????????, ??????????? ????????? ?????? ??? ???????? ??-
??????? ????? ????? 1/6, ???????? ??????????? ????????? ?????? ??? ???????, ??? ???????? ?????? ?????, ????? 1/3, ?.?. 1
(/),
3
? A B
=
??? ?
={????????? ??????}; B = {????????? ??????? ????? ?????}. ? ? ? ? ? ? ? 5
. ??????????? ???????????? (???????????) ???? ?????????? ??????? ?
? ?
????? ???????????? ??????????? ?????? ?? ??? ?? ???????? ??????????? ???????, ?.?. ( ) ( ) (/) ( ) (/).
?
AB ? A ? B A ? B ? A B
= ? = ?
????????? 1.
????? ???????????? ??????????????? ????-
??? ????? 1, ?.?. ( ) ( ) 1
? A ? A
+ =
. ????????? 2
. ???? ??????? A
1
, A
2
, ?,
A
n
???????? ?????? ?????? ???????????? ???????, ?? ????? ?? ???????????? ????? 1, ?. ?. ( ) ( ) ( )
1 2
...1
n
p A p A p A
+ + + =
. 1.5. ????????????? ????? ?????????? ???????????? ?? ???????????? ??????? ?? ????????????? ??????????? ??????????? ??????? ????-
???????? ?? ???????: ( )
( ),
( )
N A m
? A
N
n
= =
?
(1.3) ??? ( )
N
A m
=
? ????? ???????, ?????????????????? ????????? ??????? ?
; ( )
N
n
? =
? ????? ????? ?????????????? ???????. ??? ?????????? ??????????? ?? ???? ??????? ????? ??????-
???? ???????? ??????? ? ??????? ?????????????. www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
19
???????????? ??? ?????? ???????. 1.
??????? ?????.
???? ??????? ?
1 ????? ???? ?????? n
1 ?????????, ??????? ?
2
? n
2 ????????? ? ?.?., ?
k
? n
k
?????????, ?? ????? ?????? ?? ?????????: ??? ?
1
, ??? ?
2
, ??? ?, ??? ?
k
????? ???? ??????????? 1 2
...
k
n n n n= + + + ?????????. ?????? 1.
??????? ????????? ??????????? ????? ????? ??-
??????? ?? ???? 0, 1, 2, 3, 4, 5, ????? ?????? ????? ????????? ???-
?? 1 ????? 2 ????. ? ? ? ? ? ? ?. ??? ??????? ???????? ??????????? ????? ????: {
}
1
11A a=; {
}
2
1 1A b=; {
}
3
11.A c= ????? ???? A
1 ????? ???? ?????????? 1
5n = ?????????, ???? ?
2
? n
2
= 5 ?????????, ???? 3 3
4A n? = ?????????. ?? ??????? ????? ????? ????? ????? ????? ????????? 1 2 3
5n n n n= + + = + 5 4 14.
+ + = 2.
??????? ?????????.
???? ??????? A
1
????? ???? ??-
???? n
1
?????????, ????? ??????? ?????? ?????? ??????? A
2
????? ???? ?????? n
2
????????? ? ?.?., ????? ??????? (
k ? 1) ?????? ???-
???? A
k
????? ???? ?????? n
k
?????????, ?? ????? ???? ????????? 1 2
...
k
A
A A? ? ?
? ????????? ??????? ????? ???? ??????????? 1 2
...
k
n n n n= ? ? ?
?????????.
?????? 2.
??????? ????????? ??????????? ?????, ???????-
?? ?? 5, ????? ????????? ?? ???? 0, 1, 2, 3, 4, 5. ? ? ? ? ? ? ?. ??????????? ????? ? ??? ?????????? ???? (
a
,
b
, c
), ??? ?? ????? a
????? ???? ????? 1, 2, 3, 4, 5, ?.?. 1
5,
n =
?? ????? b
? 0, 1, 2, 3, 4, 5, ?.?. 2
6,
n =
? ?? ????? ?
? 0 ? 5, ?.?. 3
2.
n =
?? ???-
???? ????????? ????? ????? ????? ????? ????????? 1 2 3
n n n n= ? ? =
5 6 2 60.
= ? ? =
????????? ??? ???? ??????????: ??????????, ????????? ? ????????????. ???????????? ?? n ????????? ?? k
?????????? ??????????-
??? ???????????? k
????????? ?????????, ???????????? ???? www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
20
???????? ?????????, ???? ???????? ?? ???????????? (???? ? ??? ? ??????). ????? ?????????? ?? n
????????? ?? k
?????: !
( 1) ( 2)...( 1)
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
= = ? ? ? +
?
. (1.4) ??????????? ?? n ????????? ?? k ?????????? ????????????-
??? ???????????? k ????????? ?????????, ???????????? ?????? ???????? ?????????. ????? ????????? ?? n ????????? ?? k ?????: ( 1)( 2)...( 1)
!
.
!!( )!1 2 3...
n
k
k
n
n n n n kA
n
C
k k n k k
? ? ? +
= = =
? ? ? ? ?
(1.5) ???? ?????????? ?? n ????????? ?????????? ?????? ?????-
??? ???????????? ???? ?????????, ?? ?? ???????? ????????????-
?? ?? n ?????????. ????? ???????????? ?? n ????????? ?????: !1 2 3....
n
P n n= = ? ? ? ? (1.6) ?????? 3.
?????? ????????? ?? ???? ???? (a,b,c). ????????? ??? ????????? ? ?????????? ?? ???? ???? ?? 2 ? ????? ??? ???????-
?????. ? ? ? ? ? ? ?. ????? ????????? ? ?? ?????????????:
( )
2
3
3!3 2
3;
1 2
2!3 2!
?
?
= = =
?
?
(,);(,);(,).a b a c b c ????? ?????????? ? ?? ?????????????: ( )
2
3
3!
3 2 6;
3 2!
A = = ? =
?
(,);(,);(,);(,);(,);(,).a b a c b c b a c a c b ????? ???????????? ? ?? ?????????????: 3
3!1 2 3 6;P = = ? ? = (,,);(,,);(,,);(,,);(,,);(,,).a b c b c a c a b b a c c b a a c b ???? ? ??????????? (??????????) ?? n ????????? ?? k ????-
????? ?? ????????? (??? ???) ????? ????????? ???????????, ?? ??-
??? ?????????? (?????????) ???????? ???????????? (?????????-
??) ? ???????????? ?? n ????????? ?? k. www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
21
????? ?????????? ? ???????????? ?? n ????????? ?? k ?????: .
k k
n
m A n= =
?
(1.7) ????? ????????? ? ???????????? ?? n ????????? ?? k ?????: 1
.
k k
n n k
m C C
+ ?
= =
?
(1.8) ?????? 4.
? ???????? ?? 5 ?????????? ????????? 10 ????-
???????. ??????? ?????????? ????????? ????????????? ??????, ???? ?? ?????? ????????? ???????????: ?) ????????? ?????; ?) ?????????? ?????? ? ? ? ? ? ? ?. ?) ?????? ?? ????????? ????????????? ?????? ???????????? ????? ?????????? 5 ??????? ?? 10, ???????????? ?? ?????? ?????????? ??? ???????? ???????, ??? ? ?? ???????? ?? ?????????? (??? ??? ? ???
???), ?????? ???? ? ?? ?? ?????? ??-
??? ??????????? ????????? ???, ??? ??? ????? ????? ????? ????-
???? ????? ??? ?? ?????, ??? ? ?? ?????????? ??????????, ?.?. ???????????? ?????????? ? ???????????? ?? 10 ????????? ?? 5. ?? ????? ?? ??????? (1.7) ?????: 5 5
10
10.m A= =
?
?) ???? ?? ?????? ????????? ??????????? ?????????? ???-
??, ?? ??????? ?????????? ??????? ? ?????????? 5 ???????? ???-
????? ?? ?????, ? ????? ????????? ????????????? ???????? ????-
???????? ????? ????? ????????? ? ???????????? ?? 10 ????????? ?? 5, ???????????? ?? ??????? (1.8): 5 5 5
10 10 5 1 14
14 13 12 11 10
2 002.
1 2 3 4 5
C C C
+ ?
? ? ? ?
= = = =
? ? ? ?
?
???? ? ????????????? ?? ?????? ????? n ????????? ???? k ????????? ?????????, ??? ???? 1-? ??????? ??????????? n
1 ???, 2-? ??????? ? n
2
???, ? k-? ??????? ? n
k
???, ?????? 1 2
...
k
n n n n+ + + =, ?? ????? ???????????? ???????? ?????????????? ? ???????????? www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
22
?? n ?????????. ????? ???????????? ? ???????????? ?? n ????????? ?????: ( )
1 2
1 2
!
,,...,.
!!...!
n k
k
n
P n n n
n n n
= (1.9) ?????? 5. ??????? ?????????? ??????????? ?????, ??????-
??? ?? ???? 4, 5, 6, ? ??????? ????? 4 ??????????? 3 ????, ? ????? 5 ? 6 ? ?? 2 ????? ? ? ? ? ? ? ?. ?????? ??????????? ????? ?????????? ?? ??????? ???????? ?????????? ????, ?.?. ???????? ????????????? ? ???????????? ?? 7 ?????????, ?????? 1
3,n = 2
2,n = ( )
3 1 2 3
2;7n n n n= + + =. ?? ????? ?? ??????? (1.9) ?????: 7
7!
(3;2;2) 210
3!2!2!
P = =. ?????????? ??? ????? ?????? ? ? ???????????? ??????? ???????? ? ???????????? ? ??? ???????????. ? ?????????? ????????-
?? ????????? ?????? ????????? ?????????? ???????????? ?? ????-
?? ??????? k ????????? ? ?????? ????? n ????????? ?????????. 1. ????? ??????, ?????????? ? ??????????.
???? ???? ??????? ? ?????? k ????????? ?? n, ????????? ??? ??????????? ? ??? ???????-
???????, ?? ?????????? ??? ???? ?????????? ????? ??????????? ?? n ????????? ?? k, ? ?? ????? ????? ???????????? ?? ???????: ( )
k
n
N
C? =. ?????? 6.
? ???? 5 ????? ? 10 ??????? ?????. ?????? ??-
??????? 2 ????. ????? ??????????? ????, ??? ??? ???? ?????. ? ? ? ? ? ? ?. ????? ??????? ? = {??? ???? ?????}, ????? ?? ??????? (1.3): ( )
( )
( )
N A m
p A
N
n
= =
?
, ??? 2
5
5 4
( ) 10
1 2
m N A C
?
= = = =
?
; 2
15
15 14
( ) 105
1 2
n N C
?
= ? = = =
?
. www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
23
????, 10
( )
105
m
p A
n
= =. 2. ????? ??????, ?????????? ? ???????????.
???? ???? ??????? ? ?????? k ????????? ?? n ??? ???????????, ?? ? ???????-
???????? ?? ?? ???? ??????, ?? ????? ????? ???????????? ????-
??? ????? ???????????? ?? ???????: ( )
k
n
N
A? =. ???? k n=, ?? !
n
n
A n= ?????? 7.
? ??????? ??????? ???? ?????????? ???????. ?? ???? ?????? ?????? ???????? ???? ?? ????: ???, ???, ???, ???, ???. ????? ??????????? ????, ??? ?? ??????? ?? ?????? ? ??????????-
??? ? ????? ??????? ????? ???????? ????? ???????. ? ? ? ? ? ? ?. ????? ??????? A ? ????????? ????? ???????. ???-
??
???? ?????????? ???? ???? ?? ????????? ???? ???????????? ??????????, ??? ??? ????? ?????????? ??? ???????? ???????? ????, ??? ? ???????? ?? ?????????? (??? ? ??? ? ??????), ?.?. ????? ????? ??????? 5
5
( ) 5!120N n A? = = = =
, ?? ??????? ???????????????? ??-
????? ? ?????? ???? ??????, ?.?. m = 1. ?? ??????? (1.3): ( ) 1
( )
( ) 120
N A m
p A
N n
= = =
?
. 3. ????? ??????, ?????????? ? ?????????? ? ???????-
?????.
???? ???? ??????? ? ?????? ? ???????????? k ????????? ??
n
, ?? ??? ???????????? ??????????????, ?? ????? ????? ???-
????????? ??????? ????? ???????????? ?? ???????: 1
( )
k k
n n k
N C
C
+ ?
? = =
?
. ?????? 8.
? ???????????? ??????? 7 ????? ????????. ???-
?????? ?????????? ????? ??? ?? 4 ????????. ??????, ??? ????? ???????????? ????? ???????? ?????????????, ????????? ??????-
????? ????, ??? ?????????? ???????: ?) ???????? ?????? ????; ?) ???????? ?????? ?????. www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
24
? ? ? ? ? ? ?. ?) ????? ???? ?????????????? ???????, ???-
?????, ????? ????? ????????? ? ???????????? ?? 7 ?? 4, ?.?. 4 4
1 7 4 1 10
10 9 8 7
( ) 210
1 2 3 4
k
n k
n N C C C
+ ? + ?
? ? ?
= ? = = = = =
? ? ?
. ????? ??????? ? = {???????? ?????? ????}, ? = {???????? ?????? ?????}. ????? ???????, ?????????????????? ??????? ?, ????? ????? ???????? ??????? ???? ??????? ?? ????, ??????? 1
7
( ) 7m N A C= = =
. ?? ??????? (1.3): ( )
7 1
( )
( ) 210 30
N A
m
p A
N n
= = = =
?
. ?) ????? ???????, ?????????????????? ??????? ?, ????? ????? ???????? ???????? ??? ??????????? 4 ???????? ?? 7, ??????? 4
7
7 6 5 4
( ) 35
1 2 3 4
m N B C
? ? ?
= = = =
? ? ?
. ?? ??????? (1.3): ( )
35
( )
( ) 210
N B
m
p B
N n
= = =
?
. 4. ????? ??????, ?????????? ? ?????????? ? ???????-
?????.
???? ???? ??????? ? ?????? k ????????? ?? n ? ????????-
???? ? ???????????????, ????? ????? ????? ?????????????? ??-
????? ????? ???????????? ?? ???????: ( )
k k
n
N
A n? = =
?
. ?????? 9.
? ?????? 10 ???????. ????? ??????????? ????, ??? ???? ?? ? ???? ????????? ??? ???????? ?????????. ? ? ? ? ? ? ?. ????? ??????? ? ? ??? ???????? ???? ?? ???? ????????? ?????????. ?????? ??????????? ???????????????? ??-
????? A ? ??? ???????? ???? ????????? ????????. ????? ???????, ?????????????????? ???????
A, ???? ????? ?????????? ?? 365n = ????????? (???? ????) ?? 10k =, ?.?. www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
25
10
365
( )m N A A= =. ????? ????? ??????? ???????????? ????? ?????? ?????????? ?? 365 ?? 10, ?? ?????????? ? ????????????, ?.?. 10 10
365
( ) 365n N A= ? = =
?
. ???????? ????????????? ??????????? ??????????? 10
365
10
( )
( ) 0,883
( )
365
N A A
m
p A
N n
= = = ≈
?
. ??????????? ??????? ?: ( ) 1 ( ) 0,117p A p A= ? ≈. 1.6. ?????????????? ???????????. ?????? ? ??????? ???????????? ??????????? ??????????? ????????? ???? ??-
???, ????? ????? ???? ?????????????? ??????? ???????. ?????? ?????? ??????? ? ??? ???????????? ????? ????????? ??????? ??-
?????????? ??????? ??????????????????, ?.?. ???????? ????? ??-
???????????? ?????????? ????????? ???????, ??????? ????????? ?? ?? ?????????? ????? ????????? ? ????? ? ??? ?? ?????????. ?????????? ? ???????? ??????? ????????? ?????????: ? ??-
??????? ???????? ????????? ??????? ?????????? ?????. ?????? ???????????, ??? ??? ????? ???????? ?????? ??????? D? ??????? ??? ?? ????????? ??? ???? ?????? ???????? ? ????? ????????, ???????????, ????? ???????, ??? ? ????????? ????? ?????? ?????? ????????? ? ??? ???????, ? ??????? ?????? ?????-
??? ?????, ?.?. ? ???????, ??????? ??????? ???????. ????? ????-
??? ?????????????????? ???????? ? ??????????????? ????????-
??? ???????????. ??????????? ????????? ????????? ????? ?????? ????????? ??????? D ????-
???????? ??? ????????? ??????? ???? ??-
????? ? ??????? ???? ???????, ? ??????? ????? ????????? ?????? ????? (???. 1.6). D
S ???. 1.6
www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
26
6
20 20
D
S
y
x
60 ???. 1.7 ??? ?????? ???????: ( )
D
S
p D
S
=, (1.10) ??? S
D
? ??????? ??????? D; S ? ??????? ????????; p(D) ? ??????-
????? ????????? ????????? ????? ? ??????? D. ? ?????? ?????????? ??? ?????????? ??????? ?????? ???-
???? ??????? ????? ??? ????? ??????????????. ????? ???????, ?????????????? ??????????? ??????? ? ??? ????????? ???? ???????, ?????????????????? ????????? ????? ???????, ? ???? ???? ???????. ?????????????? ??????????? ??????????? ???????? ?????? ????????
???. ?????? ??? ????? ???????????? ??? ??????? ??-
??? ? ???????????????? ???????????. ?????????? ????????? ??????. ?????? ? ???????.
??? ???? A ? B ?????????? ??????????? ? ???????????? ????? ????? 7 ? 8 ?????? ??????, ?????? ???, ??? ???????? ??????, ???? ??????? 20 ?????, ????? ??????. ???? ???-
?? ??????????? ?? ???????, ???? ??????? ?? ??????? ???????? ? ?????????? ???? ?? ?????? ? ? ? ? ? ? ?. ????????? ????? x ? y ????? ??????? A ? B ? ????
??? ?????????????? (????? 7 ????? ??????). ????? ??????? ?? ??????? ????????? ? ???? ???????????: 20x y? ≤. (1.11) ????? ????????????? x ? y ??? ?????????? ?? ?????????. ????? ???????????????? ???? ????? ????? ??????????????? ??????? ?? ???????-
?? 60. ??????? ??????? ????? ??? ????? ?????????????? ??????? (D) (???. 1.7), ??? ??? ?????? ? ????? ???? ??????? ?????????? ????????????? ??????? (1.11). ??????? ??????? ??-
60
20
20
D
S
y
x
60
???. 1.7 www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
27
????????? (p) ????? ???? ????????? ???????? ??????????????? ??????????? ??????????? (1.10): 2 2
2
60 40 5
( )
9
60
D
S
p D p
S
?
= = = = ? ????? ????????? ???????? ??????? D ? ???????? S. 1.7. ????????? ? ??????????? ???????. ??????? ????????? ???????????? ?????? ??? ????????????? ??????? ????????? ????????-
????, ?????? ??????? ? ??????????? ? ????????? ????????. ??????????? 1.
??????? A ?????????? ??????????? ?? ??-
??????? ? ??????? B, ???? ??????????? ??????? A ?? ??????? ?? ????, ????????? ??????? B ??? ???. ??????????? 2.
??? ??????? ?????????? ????????????, ???? ????????? ?????? ?? ??? ?? ??????? ??????????? ????????? ???????. ??????????? 3.
????????? ??????? ?????????? ??????????-
?? ? ????????????, ???? ?????? ?? ??? ? ????? ?????????? ????-
??? ? ???????????. ???????.
??????????? ???????????? ??? ??????????? ??-
????????? ?????????? ????????? ??????? ????? ???????????? ??????????? ?????? ?? ??? ?? ???????? ??????????? ????????? ???????, ??????????? ? ?????????????, ??? ??? ?????????????? ??????? ?????????: ( )
1 2
...
n
? A A A? ? ? = ( )
( )
( )
1 2 1 1 2 1
.......
n n
? A ? A A ? A A A A
?
= ? ? ? (1.12) ??????????????.
?????????? ????? ?????????????? ??-
??????. ????? ??????? ????? ????? ??? 1n ? ???????: ( )
( )
( )
( )
1 2 1
1 2 1 1 1 2 2
...
.......
n
n n
? A A A
? A P A A ? A A A A
?
? ?
? ? ? =
= ? ? ?
www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
28
?????? ??????? 1 2 1
...
n
B
A A A
?
=. ????? ? ???? ??????? ????-
????? ???????????? ( ) ( )
( )
1 2 1
...( ).
n n n n
?
A A A A ? BA ? B ? A B
?
= = ????????? ??????
B
, ?????: ( ) ( )
( )
( )
1 2 1 2 1 1 2 1
..........
n n n
? A A A ? A ? A A ? A A A A
?
= ??????? ????????. ????????? 1.
???? ??????? A ?? ??????? ?? ??????? B, ?? ? ??????? B ?? ??????? ?? ??????? A. ????????? 2.
??????????? ???????????? ??????????? ? ??-
?????????? ??????? ????? ???????????? ???????????? ???? ????-
???, ?.?. ??? ??????????? ??????? ??????? (1.12) ????????? ???: ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
.......
n n
?
A A A ? A ? A ? A= (1.13) ?????? 1. ? ???? ???????? 7 ?????? ? 3 ???????. ?? ??-
??????? ??????? ??????? ???????? 3 ????????. ????? ??????????? ????, ??? ??? ?????????? ???????? ?????????. ? ? ? ? ? ? ?. ?????? ??????????? ??????? ?
1
? ?????? ???-
????; ?
2 ? ?????? ???????; ?
3 ? ?????? ???????. ( )
1
7
.
10
m
? A
n
= = ??????????? ????, ??? ?????? ????? ???????, ??? ???????, ??? ?????? ??? ???????, ?.?. ???????? ??????????? ??????? ???????: ( )
2 1
6 2
.
9 3
? A A = =
??????????: ( )
3 1 2
5
.
8
? A A A =
??????? ??????????? ?????: ( ) ( )
( )
( )
1 2 3 1 2 1 3 1 2
7 2 5 7
10 3 8 24
? A A A ? A ? A A ? A A A= = = ? ? = ?? ??????? ????????? ???????????? ??? ????????? ???????. www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
29
1.8. ??????? ???????? ???????????? ??? ?????????? ??????? ???? ? ???????? ????????? ?????. ??????? ? ? ????? ??-
?????? ?? ????? ????? ????? 6. ??????? B ? ????? ????? ?? ????? ??????? ?? 2. ??? ??? ??????? ?????????. ??????? 1.
??????????? ????????? ???? ?? ?????? ?? ???? ??-
???????? ??????? (????? ???? ?????????? ???????) ????? ????? ??-
?????????? ???? ??????? ??? ??????????? ?? ??????????? ?????????: ( ) ( ) ( ) ( ).
?
A B ? A ? B ? AB+ = + ? (1.14) ??????????????.
??? ??????????? ??????? A ??????????, ????? ????????? ???? ?? ???? ?? ????????? ???????????? ????-
???: ?? ??? AB, ?.?.: .A AB AB= + ?????????? ??? ??????? ?: .
B
AB AB= + ??? ??????????? ???? ?? ?????? ??????? ? ??? ? ????????-
??, ????? ????????? ???? ?? ???? ??????? ???????????? ???????: ,,AB AB AB, ?.?.: .A B AB AB AB+ = + + ?? ????????? ??????? ???????? ???????????? ??? ???????-
????? ??????? ?????: ( ) ( ) ( );
?
A ? AB ? AB= + (1.15) ( ) ( ) ( );
?
B ? AB ? AB= +
(1.16) ( ) ( ) ( ) ( ).
?
A B ? AB ? AB ? AB+ = + +
(1.17) ?????? ????????? (1.15) ? (1.16), ???????: ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ).
?
A ? B ? AB ? AB ? AB+ = + + ???????? ????????? (1.17), ??????? ??????? (1.14). ??????? ????????. www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
30
??????? (1.14) ????? ??????? ?????????????? ??????????-
??? (???. 1.8). A BAB
???. 1.8 ???? 1 2
,,...,
n
A
A A
? ?????? ?????? ?????????? ???????, ?? ??????? (1.14) ????? ?????????? ? ? ????? ?????? ????? ??????? ? ???????????????? ???????, ?.?. ????????????? ???????: ( )
( )
1 2 1 2
...1....
n n
?
A A A ? A A A+ + + = ? ? ? ? (1.18) ??????.
???????????? ??? ???????? ?? ????? ? ??? ?? ??-
????. ??????????? ????????? ??? ?????? ???????? 0,6, ? ??? ???-
??? 0,8. ????? ??????????? ????, ??? ? ?????? ????? ???? ?? ???? ????????. ? ? ? ? ? ? ?. ?????????? ??????? A ? ????????? ??? ?????? ????????, ??????? B ? ????????? ??? ?????? ????????. ?? ??????-
????? ???????? ??
????? ?????: ( ) 0,6;( ) 0,8.? A ? B= = ??? ??? A ? B
???????? ??????????? ? ???????????? ??-
???????, ?? ??????????? ????, ??? ????? ???? ?? ???? ???????? ?? ??????? (1.14) ????? ?????: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,8 0,6 0,8 0,92.? A B ? A ? B ? A ? B+ = + ? = + ? ? = ???? ?? ??????? ? ???????????????? ???????, ??, ?????-
??? ??????? (1.18) ??? ?????? ???? ???????, ???????: ( ) 1 ( ) ( ) 1 0,4 0,2 0,92? A B ? A ? B+ = ? ? = ? ? =, ??? ???? ????????? ????????????? ??????? A ? B. www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
31
1.9. ??????? ?????? ??????????? ????? ????????? ??????? A ????? ????????? ??? ?? ?????-
???? ? ????? ?? ???? ???????????? ???????: 1 2
,,...,,
n
H
H H ???????????? ?????? ??????. ??????? ?????? ???? ?????????? ??????????. ??????????? ???? ??????? ????????, ?.?. ????: 1 2
( ),( ),...,( )
n
?
H ? H ? H, ?????? 1
( ) 1.
n
i
i
? H
=
=
?
???????? ????? ???????? ??????????? ??????? A: ( )
( )
( )
1 2
,,...,.
n
?
A H ? A H ? A H ??????????? ??????? A ???????????? ????????? ????????. ???????.
??????????? ????????? ??????? A, ??????? ????? ????????? ? ????? ?? ??????? 1 2
,,...,
n
H
H H, ????? ????? ?????? ???????????? ???? ??????? ?? ?????????? ?? ???????? ????????-
??? ??????????? ??????? A: ( )
( )
1
( ).
n
i i
i
?
A ? H ? A H
=
= ?
?
(1.19) ??????? (1.19) ????? ???????? ??????? ?????? ???????????. ??????????????.
??? ??? ???????? 1 2
,,...,
n
H
H H ???????? ?????? ??????, ?? ??????? A ????? ??????????? ? ???? ??????-
??? ????? ???????: 1 2
1
....
n
n i
i
A AH AH AH AH
=
= + + + =
?
????????? i
H
? ???????????, ?? ? ??????? i
AH ( )
1,i n= ????? ???????????. ???????? ??????? ???????? ???????????? ??? ?????????-
??? ???????, ?????: ( )
1
( ).
n
i
i
?
A ? AH
=
=
?
(1.20) ??????????? ???????????? ??????? ?? ??????? ????????? ???????????? (??????? 5): www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
32
( ) ( )
( )
.
i i i
?
AH ? H ? A H= ?????????? ?????????? ????????? ? ??????? (1.20), ???????: ( )
( )
1
( ),
n
i i
i
?
A ? H ? A H
=
=
?
??? ? ??????????? ????????. ??????.
? ???????? ????? ????????? ?????????? ?? ???? ??-
????????? ? ????????? 1:4:5. ???????? ????????, ??? ?????????? ?? ???????, ??????? ? ???????? ???????????, ??????????????, ?? ?????-
???? ??????? ? ??????? ???????????? ????? ? ????????????? 98, 88 ? 92%. ????? ??????????? ????, ??? ??????????? ? ???????? ????? ????????? ?? ????????? ??????? ? ??????? ???????????? ?????. ? ? ? ? ? ? ?. ????????? ??????? A ? ????????? ?? ????????? ??????? ? ??????? ???????????? ?????, i
H
? ????????? ???????? ? ???????? ????? ?? i-?? ?????????? (i = 1,2,3). ?? ???????: 1 1
1
( ) 0,1;(/) 0,98;
1 4 5
? H ? A H= = =
+ +
2 2
4
( ) 0,4;(/) 0,88;
1 4 5
? H ? A H= = =
+ +
3 3
5
( ) 0,5;(/) 0,92.
1 4 5
? H ? A H= = =
+ +
?? ??????? ?????? ??????????? (1.19): ( ) 0,1 0,98 0,4 0,88 0,5 0,92 0,91.? A = ? + ? + ? = ????? ???????, ??????????? ????, ??? ??????????? ? ?????-
??? ????? ?????????, ?? ????????? ??????? ? ??????? ??????????-
?? ?????, ????? 0,91. 1.10. ??????? ?????? ???????? ?????? ????????? ??????. ????? ??????? ???-
??? ?????? ???????????? ??????? ?
1 ,
?
2 ,?,
?
n
. ???????? ?? ??-
?????????: ( ) ( ) ( )
1 2
,,...,
n
?
H ? H ? H. www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
33
?????????? ???? ? ? ?????????? ??? ?????????????? ??????-
??? ??????? A, ???????? ??????????? ???????? ????????: ( )
( )
( )
1 2
,,...,.
n
? A H ? A H ? A H ????????????, ????? ??????????? ????? ???????? ? ????? ? ?????????? ??????? A. ????? ???? ????????? ???????. ???????.
??????????? ???????? ????? ????????? ????? ???????????? ??????????? ???????? ?? ????????? ?? ?????????-
?????? ?? ???????? ??????????? ???????, ??????? ????????? ??? ?????????, ???????? ?? ?????? ??????????? ????? ???????: ( )
( )
( )
( )
1
.
( )
i i
i
n
i i
i
? H ? A H
? H A
?
H ? A H
=
=
?
(1.21) ??????? (1.21) ????? ???????? ??????? ??????. ??????????????.
?? ????????? ??????? ????????? ??????-
?????? ?????: ( ) ( )
( )
( ).
i i i
?
A ? H A ? H ? A H= ????? ??? ????????? ???????????? ( )
i
?
H A ??? ???????, ??? ( ) 0? A ?, ???????: ( )
( )
( )
.
( )
i i
i
?
H ? A H
? H A
? A
= ??????? ( )
p
A ? ??????? ??????? ?????? ??????????? (1.19), ??????? ????????? (1.21). ???????? ??????? ?????? ??????? ? ???, ??? ??? ????????-
??? ??????? A, ?.?. ?? ???? ????????? ????? ??????????, ????? ????????? ?? ? ??????????????? ?????????? ?? ????????? ??????-
??. ????? ?????? ???? ??????????? ?????????????? ??????????-
???? ???????, ?????? ??????????? ?????????? ?????????????. ??????.
??????? ?? ???? ?????? ????????? ????, ?????? ? ???? ?????? ??? ???????. ????? ??????????? ????, ??? ?????? ???-
www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
34
??? ???? ?????????, ???? ??????????? ????????? ?????? ? ???? ?????????????? ????? 0,4; 0,3; 0,5. ? ? ? ? ? ? ?. ?? ???????: 1 2 3
0,4;0,3;0,5.p p p= = = ???-
?????? ??????? : A ? ??? ?????? ?????? ? ????, 1
H
? ?????? ?????? ?????? ? ????, 2
H
? ?????? ?????? ?? ?????? ? ????, ????? ( ) ( ) ( )
1 2 1
0,4;1 0,6.? H ? H ? H= = ? = ?????? ???????? ??????????? ( )
1
P A H, ?.?. ??????????? ??-
??, ??? ? ???? ?????? ??? ???????, ?????? ???? ?? ??? ?? ??????? ??????, ? ?????????????, ?????? ???? ?? ???????, ???? ?? ???????? ??????. ??? ??????? ???????????, ??????? ????????? ??????? ???-
?????: ( ) ( ) ( )
1 2 3 3 2
1 1 0,3 0,5 0,5 0,7 0,5.? A H p p p p= ? + ? = ? + ? = ?????? ???????? ??????????? ( )
2
P A H, ?.?. ??????????? ??-
??, ??? ? ???? ?????? ??? ???????, ?????? ?????? ?????? ???? ???-
???, ?????????????, ?????? ? ???? ?????? ? ?????? ??????. ??? ??? ??????? ??????????, ??????? ????????? ??????? ?????????: ( )
2 2 3
0,3 0,5 0,15.? A H p p= ? = ? = ?? ??????? ?????? (1.21): ( )
1
0,4 0,5 20
.
0,4 0,5 0,6 0,15 29
? H A
?
= =
? + ?
??????????? ????????? ??????? ?????? ????? 20/29. 1.11. ?????????????????? ??????????? ?????????. ??????? ???????? ????? ?????????? n ??????????? ????????? ? ?????????? ????????. ??????????? ????????? ?????????? ??????? A ? ????? ????????? ????????? ????? p, ?.?. ( )
p
A p=. ?????????? ????????? ??????: www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
35
??????.
????? ??????????? ????, ??? ? ??????? ????????? n ????????? ??????? A ???????????? ????? k ??? ( )
( )
n
?
k. ? ? ? ? ? ? ?. ????????? ????? i
A
( )
1,i n= ??????????? ????-
??? A ? i -? ?????????. ? ???? ??????????? ??????? ?????????: ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
...;
...1.
n
n
? A ? A ? A p
?
A ? A ? A p q
= = = =
= = = = ? =
????????? ????? B ???????, ????????? ? ???, ??? ??????? A ?? n ????????? ????????? k ???, ?.?. 1 2 1
.......
k k n
B
A A A A A
+
= ?? ??????? ????????? ??????????. ??? ??????, ??? ??????-
???? ???????, ???????? ? ???????
B
. ????????? ??????? ??????-
??? ??? ??????????? ???????, ???????: ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 2 1
( ).......
k n k
k k n
? B ? A ? A ? A ? A ? A p q
?
+
= = ???? ??????????? ?????? ???? ?????????? (???? ??????). ????? ???? ?????????? ????? ????? ????????, ???????? k ??????-
??? ??????? A ????? ?????????? ????? ???? n ?????????, ?.?. ????? ????????? ?? n ????????? ?? k
( )
k
n
C. ??? ??? ?????????? ??????? ?????????????? ? ????????????. ???????? ??????? ???-
????? ???????????? ??? ???????????? ???????, ???????: ( ).
k k n k
n n
? k C p q
?
= (1.22) ??? ??????? (1.22) ????? ???????? ??????? ????????. ??????? ???????? ????? ?????? ???????? ? ?????? ??????-
??????, ??? ??? ??????? ? ??????????? ??????? ? ?????????? ????-
????, ?.?. ? ?????? ?????????, ? ??????? ??? ??? ? ??????????? ?????? ?????? ????????????. ?????? 1.
??????????? ???????????? ??????????? ?????? ?? ?????????????? ?????? ????? 0,9. ?????????? ??????????? ????, ??? ?? 6 ?????? ?????? ??????? 4 ???????? ????????????. www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
36
? ? ? ? ? ? ?. ??????? ?????? ????????????? ????? ???????-
??? ????????? ? ?????????? ????????, ???????, ???????? ?????-
?? (1.22) ??? 6n =, 4k =, 0,9p =, 0,1q =, ???????: 4 4 2
6 6
(4) (0,9) (0,1) 0,098415.? C= = ???? ?? ??????????? ????????? ??????? A ? ?????? ??????-
??? ???????????, ?.?. ( )
i i
?
A p=, ? ( ) 1
i i i
?
A p q= ? =, ( 1,)i n=, ?? ??????????? ????, ??? ??????? A ???????? k ??? ? n ??????????, ????? ???????????? ??? k
x
? ?????????? ?? ???????? x
???????-
????? ???????, ??????? ???: 1 1 2 2
( ) ( )( )...( ).
n n n
x
q p x q p x q p x
?
= + + + (1.23) ?????? 2.
?????? ??????? ?????????? ???? ?? ????? ?????-
????? ?? ?????? ???????? ?? ????? ??????. ??????????? ??????-
??? ?????????????? ????? 0,8; 0,7; 0,6; 0,5. ????? ??????????? ????, ??? ? ?????? ????? ????? ??? ????????. ? ? ? ? ? ? ?. ??? ??? ?? ??????? ?????? ??????????? ??????-
??? ??? ???????? ????????: 1 2 3 4
1 2 3 4
0,8;0,7;0,6;0,5;
0,2;0,3;0,4;0,5,
p p p p
q q q q
= = = =
= = = =
?? ??? ??????? ?????? ???????? ???????????? ??????? (1.23): 4
2 3 4
? ( ) (0,2 0,8 )(0,3 0,7 )(0,4 0,6 )(0,5 0,5 )
0,012 0,106 0,32 0,394 0,168.
x
x x x x
x x x x
= + + + + =
= + + + +
??????????? ??? x
2
???????? ??????? ????????????, ?.?. 4
(2) 0,32p =. 1.12. ??????????????? ????? ??????????? ??????? ??? ????????? ????????? ????? ??????????? ??????? A ? n ??????????? ?????????? ?????????? ??????????????? ( )
0
k
, ???? ??????????? ??????????? k
0
??? ??????? ? ??????????. www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
37
?? ??????? 2 (?????? 1.11) ?????, ??? ??????? ??????????? ??????????, ?????, ????????? 0
3k k= =, ???????. ??????? ??????? ??? ?????????? k
0
. ????? ???????????? n ??????????? ????????? ? ??????-
????? ????????? ??????? A ? ?????? ????? p. ????? ?? ??????? ???????? ???????????????? ????? ????????????? ???????????: ( )
0 0 0
0
.
k k n k
n n
? k C p q
?
= ???????? ??????????? ???????????????? ?????, ??????????? ??????????? 0
1k + ? 0
1k ? ??? ??????? A ?? ?????? ????????? ??????????? ( )
0n
p
k, ?.?. ?????? ??????????? ???????: ( ) ( )
0 0
1;
n n
? k ? k≥ + (1.24) ( ) ( )
0 0
1.
n n
? k ? k≥ ? (1.25) ?? ????????? ??????? (1.24) ? ??????? ???????? (1.22) ????????: 0 0 0 0 0 0
1 1 1
,
k k n k k k n k
n n
C p q C p q
? + + ? ?
≥ ????? ?????????? 0 0
.
1
q p
n k k
≥
? +
???????? ??? ??????????? ???????????? k
0
, ?????: 0
.k np q≥ ?
(1.26) ??????????? ??????? ?? ??????????? (1.25) ?????: 0 0 0 0 0 0
1 1 1
,
k k n k k k n k
n n
C p q C p q
? ? ? ? +
≥ ??? 0 0
1
p
q
k n k
≥
? +
. ???????? ??? ??????????? ????????????
0
k, ?????: 0
k np p≤ +. (1.27) www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
38
????????? ??????????? (1.26) ? (1.27), ???????: 0
.np q k np p? ≤ ≤ + (1.28) ??????.
??? ?????? ??????????????? ???????? 85% ???? ????????? ??????????? ??????? ?????. ????? ??????????????? ????? ??????? ??????? ????? ?? 150 ???????. ? ? ? ? ? ? ?. ?? ???????? ??????? 150,n = 0,85,p = 1 0,15.q p= ? = ???????? ??????????? (1.28) ?????: 0
0
150 0,85 0,15 150 0,85 0,85;
127,35 128,35.
k
k
? ? ≤ ≤ ? +
≤ ≤
????????????? 0
128.k = ???????? ???????, ??????????? ? ??????? ?? ????? 1 ?????-
???? ? ????. 1.1 ? 1.2. ??????????? ??????? 1. ????? ??????? ???????? ??????????, ????????????, ????????????, ???????????????, ???????????, ???????????-
??? ????????? ???????. 2. ????? ??????? ?????????? ???????????????? ????????? ???????. 3. ????? ??????? ???????? ?????? ?????? ???????????? ???????? ????????? ??????? ?????? ????? ???????. 4. ????? ??????? ?????????? ??????, ??? ????????????, ??-
???????? ???????? 5. ????? ??????? ?????????? ?????????????, ??? ???????-
????, ?????????? ???????? 6. ??? ?????????? ???????? ??????? ? ?????? ?? ????????? 7. ????????????? ??????????????, ???????????? ? ???????- ???????? ??????????? ??????????? ???????. 8. ????????????? ??????? ???????? ???????????? ??? ??-
???????? ???????. www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
39
9. ???? ????? ????? ???????????? ???????????? ???????, ?????????? ?????? ??????? 10. ????? ??????????? ?????????? ????????? 11. ????? ??????? ?????????? ????????????? 12. ????????????? ??????? ????????? ???????????? ? ????-
????? ?? ???. 13. ??? ??????? ????????? ??????????? ????????? ???? ?? ??-
???? ?? ?????????? ?????????? ???????? 14. ???????? ??????? ?????? ???????????. 15. ???????? ??????? ??????????? ??????? (??????). 16. ???????? ??????? ????????. ??? ??????? ????? ????? ??????????? ??????? ????????? 17. ????? ??????? ?????????? ???????????? ???????? ????-
??????? ????????? ??????? ? ??? n ??????????? ??????????? ??-
??? ??? ????? ???, ????? ????????? ?????????? ? ???????????? ????????? 18. ????? ??????????? ???????????????? ????? ??? ??????-
??? ?????????? ? ????????? ??????? ??? ??????????. ??????? 1.1 ? ?/? ??????? (???????????) ??????????? ??????? ? 1 ??????????? ??????? (
?
) ( ) 0? ? = 2 ???????????? ??????? (
?
) 0 (?) 1?
≤ ≤
3 ??????????? ??????? (
?
) ( ) 1?
? =
4 ?????????????? ??????? (?, ?) ( ) ( )? A ? B
=
5 ??????????????? ??????? ( )
A
( ) 1 ( )? A ? A
= ?
6 ????? ?????????? ??????? (?, ?) ( ) ( ) ( ) ( )? A B ? A ? B ? AB
+ = + ?
7 ????? ???????????? ??????? (?, ?) ( ) ( ) ( )? A B ? A ? B
+ = +
8 ???????????? ????????? ??????? (?, ?) ( ) ( ) (/)
( ) (/)
? AB ? A ? B A
? B ? A B
= =
=
9 ???????????? ??????????? ??????? (?, ?) ( ) ( ) ( )? AB ? A ? B
=
10 ????? ?????? ?????? ???????????? ??-
????? ( )
,1,
i
A
i n= 1 2
( ) ( )...( ) 1
n
? A ? A ? A+ + + = www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
40
??????? 1.2 ? ?/? ???????? ??????? ??????? 1 ???????????? ??????? ??????????? ( )
m
? A
n
=
2 ????????? ( )
( 1)...( 1)
!
1 2...
!!
k
n
n n n k
n
C
k
k n k
? ? ? ? +
= =
?
?
3 ?????????? ( )
!
( 1)...( 1)
!
k
n
n
A n n n k
n k
= ? ? ? ? + =
?
4 ???????????? 1 2...
n
P n= ? ? ? 5 ????????? ? ???????????? 1
k k
n n k
C C
+ ?
=
?
6 ?????????? ? ???????????? k k
n
A
n=
?
7 ???????????? ? ???????????? ( )
1 2
1 2
!
,,...,
!!...!
n k
k
n
P n n n
n n n
= 8 ?????????????? ??????????? ( )
D
S
? D
S
=
9 ??????? ?????? ??????????? ( )
( )
1
( )
n
i i
i
? A ? H ? A H
=
=
?
10 ??????? ?????? ( )
( )
( )
( )
( )
1
i i
i
n
i i
i
? H ? A H
? H A
? H ? A H
=
=
?
11 ??????? ???????? ( )
k k n k
n n
p k C p q
?
=
12 ???????????? ??????? ( )( ) ( )
1 1 2 2
? ( )...
n n n
x
q p x q p x q p x= + + +
13 ??????????????? ????? 0
np q k np p? ≤ ≤ + www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
328
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...........................................................................................5
Введение .................................................................................................8
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей ........................10
1.1. Классификация событий.........................................................10
1.2. Действия над событиями. Алгебра событий ........................12
1.3. Частота события и ее свойства ..............................................14
1.4. Определение вероятности и ее основные свойства .............16
1.5. Комбинаторный метод вычисления вероятностей по классической формуле ..............................................................19
1.6. Геометрическая вероятность. Задача о встрече ....................25
1.7. Зависимые и независимые события. Формула умножения вероятностей...............................................27
1.8. Теорема сложения вероятностей для сов
местных событий ...............................................................29
1.9. Формула полной вероятности ................................................31
1.10. Формула Байеса .....................................................................33
1.11. Последовательность независимых испытаний.
Формула Бернулли .........................................................................35
1.12. Наивероятнейшее число наступления события при повторном испытании ............................................................37
Глава 2. Случайные величины .........................................................41
2.1. Понятие случайной величины ...............................................41
www.phoenixbooks.ru
Оглавление
329
2.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины .................................................42
2.3. Биномиальное распределение ................................................44
2.4. Распределение Пуассона. Простейший поток событий ........45
2.5. Геометрическое и гипергеометрическое распределения ........48
2.6. Функция распределения и ее свойства ..................................50
2.7. Плотность вероятности и ее свойства ...................................54
2.8. Числовые характеристики случайной величины .................56
2.9. Равномерное распределение ..................................................67
2.10. Показательное распределение. Функция надежности.........68
2.11. Нормальное распределение ..................................................71
2.12. Вероятность попадания случайной величины, имеющей нормальное распределение на заданный участ
ок. Функция Лапласа ......................................73
2.13. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм .........................................................................75
Глава 3. Система случайных величин ...........................................80
3.1. Понятие о системе случайных величин ................................80
3.2. Закон распределения системы двух случайных величин ...............................................................81
3.3. Функция распределения системы двух случайных величин ...............................................................83
3.4. Плотность распределения системы двух случайных величин ..............................................................84
3.5. Основные числовые характеристики распределения системы двух случайных величин .....................87
3.6. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения и условные числовые характеристики ..............................................................88
3.7. Равномерное и нормальное распределение на плоскости .....................................................95
Глава 4. Функции случайных величин ...........................................98
4.1. Закон распределения функции одной случайной величины ..........................................................98
www.phoenixbooks.ru
Битнер Г.Г.
Теория вероятностей
330
4.2. Закон распределения функции двух случайных величин ............................................................101
4.3. Математическое ожидание функции случайных величин .......................................................................103
4.4. Дисперсия функции случайных величин ............................105
4.5. Корреляционный момент функций случайных величин и его свойства .............................................108
4.6. Распределения Хи-квадрат, Стьюдента, Фишера ...............109
Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел........................................................................112
5.1. Неравенство Чебышева..........................................................113
5.2. Теорема Чебышева .................................................................115
5.3. Теорема Бернулли ..................................................................118
5.4. Центральная предельная теорема ........................................121
Глава 6. Элементы теории случайных процессов .......................125
6.1. Определение случайной функции .......................................125
6.2. Законы распределения и числовые характеристики случайной функции ......................................................................126
6.3. Типы случайных процессов .................................................129
6.4. Стационарные процессы ......................................................131
6.5. Основные понятия теории массового обслуживания и марковского случайного процесса. Предельные вероятности ..............................................................135
Приложения ........................................................................................146
Приложение 1. Образец выполнения контрольного задания ? 1 .........................................................146
Приложение 2. Варианты контрольного задания ? 1 ..............152
Приложение 3. Образец выполнения контрольного задания ? 2 ..........................................................219
Прило
жение 4. Варианты контрольного задания ? 2 ..............225
Приложение 5. Тесты по теории вероятностей .........................292
Приложение 6. Статистические таблицы ...................................318
Список литературы ............................................................................326
www.phoenixbooks.ru
Ответственный редактор В. Разномазов
Выпускающий редактор Г. Логвинова
Технический редактор Ю. Давыдова
Сдано в набор 11.02.2012. Подписано в печать 15.03.2012.
Формат 84?108/32. Бумага офсетная.
Гарнитура Таймс. Тираж 2 500 экз. Зак. ? 2222
ООО ?Феникс?
344082, г. Ростов?на?Дону, пер. Халтуринский, 80
Тел. (863) 261?89?59, факс (863) 261?89?50
E-mail: raznomazov_vm@mail.ru
БИТНЕР Гульфия Гилазутдиновна
Теория вероятностей
www.phoenixbooks.ru
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
500
Размер файла
1 039 Кб
Теги
phoenixbooks, www, www.phoenixbooks.ru, Книги издательства Феникс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа