close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Школьный справочник по математике. Райбул С.В. (www.PhoenixBooks.ru)

код для вставкиСкачать
Серия «Библиотека школьника»»
С.В. РАЙБУЛ
ШКОЛЬНЫЙ СПРАВОЧНИК
ПО МАТЕМАТИКЕ
Издание второе
Ростов-на-Дону
«Феникс»
2012
www.phoenixbooks.ru
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я729
КТК 444
Р18
Райбул С.В.
Школьный справочник по математике / С.В. Райбул. —
Р18
Изд. 2-е. — Ростов н/Д : Феникс, 2012. — 334, [1] с. —
— (Библиотека школьника).
ISBN 978-5-222-19494-2
Книга содержит все справочные материалы по алгебре, началам математического анализа и геометрии за курс средней школы.
Данное справочное пособие предназначено прежде всего
для выпускников средних общеобразовательных школ и абитуриентов, студентов втузов, а также для учителей, преподавателей
вузов.
ISBN 978-5-222-19494-2
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я729
Серия «Библиотека школьника»
РАЙБУЛ Светлана Владимировна
ШКОЛЬНЫЙ СПРАВОЧНИК
ПО МАТЕМАТИКЕ
Ответственные редакторы Оксана Морозова,
Наталья Калиничева
Технический редактор Галина Логвинова
Сдано в набор 12.02.2012. Подписано в печать 23.02.2012.
Формат 84×108 1/32. Бумага писчая.
Тираж 2 500 экз. Заказ № .
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
E-mail: morozovatext@aaanet.ru
© Райбул С.В., текст, 2010
© ООО «Феникс», оформление, 2012
www.phoenixbooks.ru
АЛГЕБРА
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.
Проведем границу между числом и цифрой. Число — это
некоторая абстрактная сущность для описания количества.
Цифры — это знаки, используемые для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми распространенными являются
арабские цифры, представляемые известными нам знаками
от нуля (0) до девяти (9); менее распространены римские
цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов
или в обозначении века (XX век).
Десятичная система счисления — наиболее распространенная система счисления в мире. Для записи чисел используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (арабские цифры).
Причем один и тот же знак (цифра) из десяти имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен.
Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10, которое образует
единицу 2-го разряда, единицей 3-го разряда будет 100 = 102,
вообще единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единицы предыдущего. Например, 362 = 3 · 100 + 6 · 10 + 2,
или 362 = 3 · 102 + 6 · 101 + 2 · 100.
Форма записи десятичного числа:
3173 = 3 · 1000 + 1 · 100 + 7 · 10 + 3
www.phoenixbooks.ru
3
Школьный справочник по математике
Приведение к стандартному виду:
317,3 = 3,173 · 102 ;
0,00003173 = 3,173 · 10 –5.
Стандартный вид числа — запись числа в следующем
виде: a ⋅10n , где 1 < а < 10, n ∈ N .
Число, заданное в десятичной системе в общем виде,
можно записать так:
abcd = a ⋅103 + b ⋅102 + c ⋅101 + d ⋅100 .
Арифметические операции
Сложение является начальным понятием, для которого
невозможно дать строгое формальное определение. Тем не
менее, чтобы придать этому действию некоторое разумное
представление, мы скажем, что сложение – это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой
понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми. Например,
11 + 6 = 17.
Здесь 11 и 6 — слагаемые, 17 — сумма. Если слагаемые
поменять местами, то сумма не изменится:
11 + 6 = 17 и 6 + 11 = 17.
Вычитание является действием, обратным сложению,
так как это операция нахождения одного из слагаемых по
сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа
(уменьшаемого) другое (вычитаемое) — значит найти такое
третье число (разность), которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое:
17 – 6 = 11.
4
www.phoenixbooks.ru
Алгебра
Здесь 17 — уменьшаемое, 6 — вычитаемое, 11 — разность.
Умножение. Умножить одно число n (множимое) на другое целое число m (множитель) — значит повторить множимое n в качестве слагаемого m раз. Результат умножения называется произведением. Запись операции умножения: n × m,
или n · m . Например,
15 × 4 = 15 + 15 + 15 + 15 = 60.
Таким образом,
15 × 4 = 60, или 15 · 4 = 60.
Здесь 15 — множимое, 4 — множитель, 60 — произведение. Если множимое n и множитель m поменять местами, то
произведение не изменится. Например,
15 · 4 = 15 + 15 + 15 + 15 = 60
и соответственно,
4 · 15 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 +
+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 60.
Поэтому множимое и множитель часто называются сомножителями.
Деление является действием, обратным умножению, так
как это операция нахождения одного из сомножителей по
произведению и другому сомножителю. Разделить одно число (делимое) на другое (делитель) — значит найти такое третье число (частное), которое при умножении на делитель
даёт делимое:
60 : 4 = 15.
Здесь 60 — делимое, 4 — делитель, 15 — частное.
Частное от деления одного целого числа на другое целое
число может и не быть целым числом. Тогда это частное
представляется в виде дроби. Если частное — целое число, то
говорят, что эти числа делятся нацело. В противном случае
www.phoenixbooks.ru
5
Школьный справочник по математике
мы выполняем деление с остатком. Пример: 23 не делится
на 4, в этом случае мы можем записать:
23 = 5 · 4 + 3.
Здесь 3 — остаток.
Возведение в степень. Возвести число (основание степени) в целую степень (показатель степени) — значит повторить его сомножителем столько раз, каков показатель степени. Результат называется степенью. Запись возведения в
степень:
35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
Здесь 3 — основание степени, 5 — показатель степени,
243 — степень.
Вторая степень любого числа называется квадратом, третья – кубом. Первой степенью любого числа является само
это число.
Извлечение корня является действием, обратным возведению в степень, так как это операция нахождения основания степени по степени и её показателю. Извлечь корень n-й
степени (n — показатель корня) из числа a (подкоренное
число) — значит найти третье число, n-я степень которого
равна а. Результат называется корнем. Например:
5
243 = 3.
Здесь 243 — подкоренное число, 5 — показатель корня,
3 — корень.
Корень второй степени называется квадратным, корень
третьей степени — кубическим. Показатель квадратного корня не записывается:
16 = 4.
Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня являются попарно взаимно обратными операциями.
6
www.phoenixbooks.ru
Алгебра
Порядок действий. Скобки
Результат выполнения нескольких операций зависит, вообще говоря, от порядка действий. Например, 8 – 3 + 4 = 9.
Однако, если сначала сложить 3 и 4, а затем вычесть полученную сумму из 8, то получим 1. Таким образом, для получения правильного результата должен быть установлен
определённый порядок действий. Чтобы указать, в каком порядке должны выполняться действия, пользуются скобками.
Если скобки отсутствуют, действия выполняются в следующем порядке:
1) возведение в степень и извлечение корня (в порядке
их следования);
2) умножение и деление (в порядке их следования);
3) сложение и вычитание (в порядке их следования).
При наличии скобок сначала выполняются действия в
скобках в указанном выше порядке, а затем все остальные
действия вне скобок опять же с соблюдением указанного
выше порядка.
Пример. Вычислить выражение:
(10 + 23 · 3) + 43 – (16 : 2 – 1) · 5 – 150 : 52.
Решение. Сначала вычисляем все степени и подставляем
их значения:
(10 + 8 · 3) + 64 – (16 : 2 – 1) · 5 – 150 : 25;
после этого выполняем умножение и деление в скобках и
вне их:
(10 + 24) + 64 – (8 – 1) · 5 – 6;
теперь выполняем сложение и вычитание в скобках:
34 + 64 – 7 · 5 – 6;
наконец, после оставшегося умножения 7 · 5 = 35 получаем:
34 + 64 – 35 – 6 = 57.
www.phoenixbooks.ru
7
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
Действительные числа (R) — числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.
Рациональные числа (Q)
Иррациональные числа
Можно представить в виде не- Нельзя представить в виде дросократимой дроби m , где m — би m , где m — целое число,
n
n
целое число, n — натуральное n — натуральное число.
число.
Представляются в виде бескоПредставляются в виде конеч- нечной непериодической деной или бесконечной периоди- сятичной дроби:
ческой десятичной дроби:
2 = 1, 4142135...
1
= 0, 333... = 0,(3) .
3
Рациональные числа
Целые числа (Z)
Включают натуральные числа, числа, им противоположные, и число 0.
Дробные числа
Числа, состоящие из целого
числа долей единицы.
Целое число (Z)
Натуральные числа
(N)
{1;2;3;4...}.
Число 0
Такое число, что любое
число при сложении с
ним не меняется
a + 0 = 0 + a = a.
Целые отрицательные числа
Числа, противоположные натуральным
{...–3;–2;–1}.
N ⊂ Z ⊂Q⊂R
8
www.phoenixbooks.ru
Алгебра
Действия над действительными числами
и их свойства
В области вещественных чисел сложение и умножение
всегда выполнимы, и их результаты определены однозначно.
Оба этих действия коммутативны и ассоциативны, а также
имеет место дистрибутивность умножения относительно
сложения.
a + b = b + a — коммутативность сложения;
(a + b) + с = a + (b + с) — ассоциативность сложения;
ab = ba — коммутативность умножения;
(ab)с = a(bс) — ассоциативность умножения;
a(b + с) = ab + aс — дистрибутивность умножения относительно сложения.
А также выполняются следующие тождества:
a + 0= a;
a · 1 = a;
a + (–a) = 0,
где –a является противоположным числом для числа a.
В области действительных чисел деление также всегда
выполнимо однозначно, за исключением деления на 0. Поэтому a/0 неопределимо!
Действия с целыми числами
Сложение. В области целых чисел сложение может быть
определено только следующим образом: если a и b — положительные числа, то:
1) (–a) + (–b) = –(a + b) и
⎧a − b, если
5A; 8 a > b,
⎪
5A; 8 a = b,
2) a + (−b) = −b + a = ⎨0, если
⎪−(b − a), если
5A; 8 a < b.
⎩
www.phoenixbooks.ru
9
Школьный справочник по математике
Например: 0 + (–2) = –2;
(–5) + (–47) = –5 – 47 = –(5 + 47) = –52;
86 + (–45) = 86 – 45 = 41;
– 74 + 37 = 37 – 74 = –(74 – 37) = –37.
Эти правила можно сформулировать так:
1) При сложении двух отрицательных чисел получается отрицательное число, модуль которого равен сумме модулей данных чисел.
2) При сложении положительного и отрицательного чисел
получается число того знака, модуль которого больше,
а модуль его равен разности модулей данных чисел.
Умножение. Так как имеет место дистрибутивность, то
выполняются следующие правила:
1) а · 0 = 0 · а = 0;
2) а · (–b) = (–а) · b = –аb;
3) (–а) · (–b) = аb,
где a и b — положительные числа.
Заметим, что при умножении положительного и отрицательного чисел получается отрицательное число, а при умножении двух отрицательных чисел — положительное!
Например: –56 · 2 = –112;
–7 · (–6) = 42.
Полезна следующая схема (правила знаков при умножении и делении):
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
+
+
–
–
:
:
:
:
+
–
+
–
=
=
=
=
+
–
–
+
10
www.phoenixbooks.ru
Алгебра
Действия с рациональными числами
a
Рациональными называются числа вида , где a и b —
b
целые числа, причём b ≠ 0. Число a называется числителем
дроби, а b — знаменателем дроби. (Название числителя и
знаменателя появилось из следующих соображений: знаменатель знаменует собой, т. е. определяет, какую часть единицы измерения нужно рассмотреть, числитель же указывает,
сколько таких частей следует взять.)
Основное свойство дроби
При умножении числителя и знаменателя на одно и то же
число (не равное нулю) значение дроби не меняется:
a ac
= ,
b bc
где b ≠ 0, с ≠ 0.
5 10 25
Например: = = .
9 18 45
Сложение (вычитание)
Определяется следующим образом:
a c a +c a c a −c
+ =
; − =
b b
b
b b
b
Складывать (вычитать) можно только дроби с общим
знаменателями, при этом получается дробь, у которой числитель равен сумме (разности) числителей этих дробей,
а знаменатель остаётся прежним.
Например:
3 2 5
+ = ;
7 7 7
3 2 1
− =
7 7 7
www.phoenixbooks.ru
11
Школьный справочник по математике
А если дроби с разными знаменателями, то сначала надо
привести дроби к общему знаменателю, а потом сложить
(вычесть) их.
Общим знаменателем дробей является наименьшее общее кратное (НОК) чисел, стоящих в знаменателях дробей.
a c ad + cb a c ad − cb
; − =
.
+ =
b d
bd
b d
bd
НОК (а,b) — наименьшим общим кратным чисел a и b
является такое наименьшее целое число, которое делится как
на число а, так и на число b.
Привести дроби к общему знаменателю можно при помощи основного свойства дроби.
Например:
2 1 2 3 5
+ = + = ;
9 3 9 9 9
3 6 45 42 47
+ =
+
=
;
7 15 105 105 105
2 1 2 3
1
− = − =− ;
9 3 9 9
9
3 6 45 42
3
.
− =
−
=
7 15 105 105 105
Умножение
Определяется следующим образом:
a c ac
.
⋅ =
b d bd
Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель — произведению знаменателей.
Например:
2 1 2 ⋅1 2
⋅ =
=
;
9 3 9 ⋅ 3 27
12
www.phoenixbooks.ru
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
726
Размер файла
841 Кб
Теги
phoenixbooks, www, www.phoenixbooks.ru, Книги издательства Феникс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа