close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

исследовательская 2.docx

код для вставкиСкачать
 Саратовский колледж строительства мостов и гидротехнических сооружений.
(Исследовательская работа)
Выполнила:
Михалёва Анна,
Студентка 21 сзо группы
Руководитель:
Мухина Анастасия
Михайловна.,
преподаватель
математики
Саратов -2012 г
Содержание:
I. Введение.
II. Основная часть.
2.1 Циклоида.
2.2 Кардиоида.
2.3 Эллипс.
2.4 Кривая Коха.
III. Заключение.
IV. Приложение.
V. Список литературы.
Актуальность темы: заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. На парах математики не изучаются замечательные кривые и их свойства, которые широко используются в жизни.
Цель работы: собрать материал по свойствам, применению и построению замечательных кривых, составить компьютерную презентацию по данной теме для применения на уроках математики и факультативных занятиях.
Объект исследования: кривые и их свойства.
Гипотеза: использование данного материала на парах математики расширяет кругозор учащихся по свойствам кривых.
Практическая значимость: материал работы по замечательным кривым поможет преподавателю красочно и доступно продемонстрировать учащимся практическое применение свойств замечательных кривых, научить строить кривые при помощи несложных инструментов и подсобного материала.
Введение
Если внимательно присмотреться к окружающим нас предметам, легко можно заметить, что далеко не все они могут быть изображены на чертеже только с помощью прямых линий. Формы большей части предметов содержат в себе более сложные элементы кривых линий и поверхностей. Здания, машины, механизмы, мебель, одежда, посуда - все содержат в себе эти элементы.
Я хочу познакомить вас с некоторыми поистине замечательными кривыми, населяющими удивительный мир геометрии и встречающиеся в нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Они не так уж редки в природе и имеют практическое приложение в жизни человека. Знание их замечательных свойств используется в различных механизмах, применяемых человеком в жизни. Я выбрала эту тему, так как считаю её интересной и содержательной, развивающей познавательный интерес к математике, открывающей практическое приложение математики в жизни. Использование данного материала на парах расширяет кругозор студентов, развивает пространственное представление, мышление. В школьном курсе математики рассматриваются кривые - гипербола, парабола, окружность, синусоида, но нигде не говорится о замечательных свойствах эллипса, циклоиды, улитки Паскаля, спирали Архимеда, кардиоиды, а тем более об их практическом применении. Я думаю, что полезно будет знать информацию об этих кривых, которые широко применяются в жизни. И моё мнение такое, что на парах математики необходимо ввести понятие и свойства эллипса, так как это тема, которая расширяется и теоретически обосновывается при изучении тем "Конус" и "Цилиндр".
Замечательные кривые меня заинтересовали при изучении геометрии.
В данной работе собран материал с уклоном на практическое построение и применение кривых. Изучение каждой кривой я рассматривала в трех направлениях:
* Теория - определение кривой и её замечательное свойство.
* Практика - как построить студенту кривую при помощи школьных чертежных инструментов или подручного материала.
* Приложение - практическое применение кривых в жизни человека.
Основная часть.
2.1 Циклоида.
Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг, прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую, называемую циклоидой. (Что по-гречески значит " кругообразная")
Рис.1Построение циклоиды
Определяется она как кривая, которую описывает точка обода колеса, катящегося без проскальзывания по прямой линии.
Циклоида обладает многими замечательными свойствами. И основное свойство циклоиды: касательная к циклоиде проходит через "верхнюю" точку производящего круга. Рис.2 Свойство циклоиды
Обратим внимание на положение касательной к циклоиде. Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колеса капли будут лететь по касательной к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгивать спину велосипедиста.
Вот ещё одно свойство. Давно математики пытались решить такую задачу: какой формы должен быть гладкий желоб, соединяющий две точки А и В ( А выше чем В), чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время? Можно подумать, что желоб должен быть прямолинейным. Но это не так.
Может быть желоб следует выгнуть по дуге окружности, как думал великий итальянский физик, астроном и математик Галилео Галилей, живший на рубеже XVI - XVIIвв.? Нет, Галилей ошибался. Только в 1696 г. швейцарский математик Иоганн Бернулли установил, что желоб должен быть выгнут по циклоиде, опрокинутой вниз(рис 3).
Рис.3
Опыт.
Мы знаем, что часы с обычным маятником не могут идти точно, ведь период колебаний зависит от амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. По какой кривой должна двигаться точка, чтобы ее период не зависел от амплитуды. Понятно, что в обычном маятнике кривая, по которой движется точка - есть окружность. В приведенном случае искомой кривой является перевернутая циклоида. Рис.4. Христиан Гюйгенс, голландский ученый, в 1657 году создал такой маятник. С циклоидами связан один интересный парадокс. Допустим, что пассажирский поезд идет из Москвы в Киев. Оказывается в каждый момент времени в этом поезде, более того, в каждом вагоне есть точки, движущиеся в обратном направлении. Этому можно только удивиться, но это так. Все дело в устройстве железнодорожных колес. Если смотреть вдоль рельс, то можно увидеть выступ на колесе, который опускается ниже рельса. Роль этого выступа очень велика, он не позволяет колесам сойти с рельс. Эта самая нижняя часть колеса, находящаяся ниже его опорной точки, движется в направлении, обратном движению своего колеса. Если выбрать крайнюю точку колеса, то линия, описываемая ею, будет выглядеть как на рисунке. Обратное движение эта точка совершает в нижних частях маленьких петель.
Рис.5
2.1 "Родственница" циклоиды - кардиоида. Такое название она получила из-за сходства с сердцем (греческое слово "кардио" означает "сердце").
Рис.6Кардиоида
ПРАКТИКА: Вырежьте два картонных круга. Один из них закрепите неподвижно. Второй приложите к первому, отметьте на его краю точку А, наиболее удаленную от центра первого круга (рис.7). Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному, и понаблюдайте, какую линию опишет точка А. Рис.7 Построение кардиоиды Рис.8 Рис.9
2.3 Эллипс (от др. греческого - недостаток).
Эту фигуру знают все. С ней встречаются в астрономии и географии
( траектория движения планет и спутников, форма земного меридиана, путь электрона вокруг ядра атома), в черчении, рисовании и стереометрии (рисунки технических деталей, круглых предметов и геометрических тел), но что такое эллипс, чем он интересен мы и не задумываемся. Рис10 Сечение конуса Рис.11 Рис.12 Эллиптическая галактика М32
Действительно о замечательной фигуре, обладающей красивыми и важными свойствами, практически ничего не говорится в школьных учебниках. На вопрос студентам " что такое эллипс?" одни ответили: "вытянутый круг", "вытянутая окружность" , другие - "сжатый круг" , "сжатая окружность", третьи пытались объяснить, что это овал, правда не понимая, что это за кривая. Несколько учащихся попытались нарисовать эллипс, но у них ничего не получилось. Эллипсы в нашей жизни встречаются гораздо чаще, чем нам кажется. Например, когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение имеет эллиптическую форму. Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов (рис13)., кольца Сатурна также имеют эллиптическую форму (рис.14).
Рис.13 Рис.14
У эллипса есть целый ряд свойств, которые могут иметь самое неожиданное применение. В форме эллипса можно изготовить журнальный толик или соткать ковер. Зная определение эллипса, можно сделать простейший прибор, вычерчивающий эллипс. Для этого надо взять две булавки с ниткой, воткнуть их в чертежную доску, взять карандаш и двигать его по бумаге так, чтобы грифель карандаша все время натягивал нитку. Тогда кончик грифеля будет рисовать на бумаге эллипс (рис15). Рис.15
Эллипс обладает еще одним замечательным свойством. Так если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместив в одном из фокусов источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в одном фокусе. Так же распространяются и акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: "говорящих" бюстов, "магического" шепота, "потусторонних" звуков.
Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружений, своды которых имеют эллиптическую форму: если находится в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находиться рядом, хотя на самом деле расстояние велико (рис.16).
Рис.16
Все точки эллипса обладают одним свойством:
Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости (эти точки называются фокусами эллипса) постоянна.
2.4 Кривая Коха
В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с большой скоростью. Поиски данных кривых были вызваны не просто интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом подтвердила движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Кривая Коха примечательна тем, что она непрерывна. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.
Процесс её построения выглядит следующим образом (рис.17): берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д... Предельная кривая и есть кривая Коха, которая не имеет самопересечений. Рис.17
Снежинку Коха можно построить на сторонах равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике каждая сторона делится на три равные части и на средних отрезках сторон строятся наружу равносторонние треугольники треугольника. Эту операцию повторяют бесконечное число раз для каждого из отрезков ломаной, получившегося на предыдущем шаге (рис.18)
Рис.18
Основные свойства кривой Коха
1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. 2. Имеет бесконечную длину. 3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. Заключение
Применение замечательных кривых широко распространено, их применяют в производстве, строительстве, военном деле. Замечательные кривые поистине замечательны своими свойствами. Трудно себе представить мир без этих кривых, хотя они так не заметны для нашего повседневного взора. Весь собранный мною материал по кривым и их свойствам был использован в течение года при проведении факультативных занятий. Я заметила, что на этих занятиях учащиеся с большим интересом и любопытством изучали предложенный материал, который способствовал повышению познавательной активности учащихся. Ребятам с удовольствием сами строили эллипс, циклоиды и кардиоиды. На будущее я планирую собрать материал и создать презентацию по следующим замечательным кривым - это кривая Пеано, спираль Корню, кривая Леви.
Список литературы
1. Маркушевич А.И. Замечательные кривые.- М.:1978, 48 стр. с илл.
2. Бакуш И.В. Геометрическое моделирование окружающего мира.-
Москва: Терра, 2009
3 . Дорохов А.И. Геометрия в моем понимании.- Москва, 2004
4 . Детская энциклопедия.т16., 2000.
5. Майер В.А. Все о кривых.- СПб.:Знание,1999.
Автор
profobrazovanie
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
967
Размер файла
722 Кб
Теги
docx
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа