close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

код для вставки
Министерство образования и науки РФ
--------------------------------------------------------
Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Б.М. КОЛОМЫЦЕВ , Н.М. МИХАЙЛОВ , Н.Б. СТРАХОВ
СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ, ЭЛЕКТРИЧЕСТВУ, МАГНЕТИЗМУ
Санкт-ПЕТЕРБУРГ 2014 г.
- 2 -
Данный задачник представляет сборник индивидуализированных тема-тических задач с параметрическими начальными данными N и k, которые имеют ограничения: N≤30, k=(1÷9). Использование таких данных поз-воляет получить в каждой задаче число ответов, а иногда и решений равное числу сочетаний C_k^N.
Многие задачи являются комплексными, повышенной трудности, требуют углубленного изучения теоретического материала.
В задачнике 3 темы: ЭЛЕКТРОСТАТИКА; ЭЛЕКТРИЧЕСТВО; МАГНЕТИЗМ. В каждой теме 25 задач.
В начале каждой темы помещен краткий перечень понятий, законов, фор-мул, касающихся данной темы. Все задачи решаются в системе СИ. Однако, в условиях задач использу-ются и внесистемные единицы измерения.
Формализация входных данных в задачах дает возможность использовать специальные компьютерные программы для формирования заданий, конт-роля, проверки и оценки этих задач, что, в основном, и послужило целью разработки задачника.
Предлагаемый сборник задач предназначен для преподавателей и сту-дентов технических вузов при организации и проведении контрольных и самостоятельных работ, а также индивидуальных домашних заданий. -3-
1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Закон Кулона:
F ⃗=1/(4πε_0 ) (Q_1 Q_2)/(εr^2 ) r ⃗/r,
где ε_0=8,85 〖10〗^(-12) Ф⁄м - электрическая постоянная; ε - диэлектрическая проницаемость среды; r - расстояние между зарядами Q_1 и Q_2.
Напряженность электрического поля Е ⃗, созданного точечным зарядом Q на расстоянии r от него:
E ⃗=1/(4πε_0 ) Q/(εr^2 ) r ⃗/r,
E ⃗=F ⃗/q,
где F ⃗ - сила, действующая на положительный точечный заряд q, помещен-ный в данную точку поля.
Потенциал электрического поля точечного заряда Q на расстоянии r:
φ=1/(4πε_0 ) Q/εr ,
φ=W/q=A/q ,
здесь W - потенциальная энергия системы зарядов Q и q; A - работа по пере-мещению точечного положительного заряда q из данной точки поля с потен-циалом φ в бесконечность.
Разность потенциалов и напряженность поля связаны соотношением:
E ⃗=-gradφ.
Электрическая емкость:
C=∆Q/∆φ.
-4-
Энергия заряженного конденсатора:
W=1/2 CU^2=1/2 Q^2/C=1/2 QU,
здесь U - разность потенциалов на обкладках конденсатора.
Объемная плотность энергии электрического поля:
w_E=(εε_0)/2 E^2=ED/2,
где D - электрическая индукция ( D ⃗=εε_0 E ⃗).
Сила взаимодействия между пластинами конденсатора:
F=-∂W/∂x, (F ⃗=-gradW).
1.1.1. Имеется горизонтальный стержень длиной l=10 см, равномерно заряженный с линейной плотностью τ=(k+1) 〖10〗^(-4) Кл⁄м . Определить напряженность электрического поля и потенциал в точке, находящейся на расстоянии a=N см от его левого конца под углом α=N 30° (угол отсчиты-вается от стержня против часовой стрелки). Найти величину и направление силы, действующей на заряд Q=N〖10〗^(-6) Кл, помещенный в рассматривае-мую точку.
1.1.2. НЛО массой m=(k+1) Q=N〖10〗^(-6) Кл движется со скоростью v=N км/с. Какую линейную плотность заряда должно иметь неподвижное кольцо радиусом r=100N м, чтобы НЛО не преодолело его, двигаясь вдоль оси кольца? Найти максимальную силу, действующую со стороны кольца на НЛО.
1.1.3. Диполь, состоящий из двух зарядов Q_1=|〖-Q〗_2 |=Q=N〖10〗^(-6) Кл противоположных знаков на расстоянии l=N〖10〗^(-3)м, может свободно вра- щаться вокруг оси, проходящей через центр диполя. Диполь помещают в электрическое поле E=N〖10〗^5 В/м под углом α=10° к направлению векто- ра E ⃗. Ось вращения перпендикулярна дипольному моменту и вектору E ⃗ . -5-
Найти частоту колебаний диполя вокруг оси, а также работу поля при пово-роте диполя на 10°. Момент инерции диполя I=N〖10〗^(-6) кгм^2.
1.1.4. Две плоскопараллельные пластины площадью S=10N^2 〖см〗^2 каж- дая расположены горизонтально. Верхняя пластина закреплена. Какую раз- ность потенциалов надо приложить к этим пластинам, чтобы нижняя удер- живалась в равновесии на расстоянии a=(k+1) мм от верхней, если ее масса m=0,5N г? Каким будет это равновесие ( + устойчивое, - неустойчи- вое) для двух случаев: а) пластины подключены постоянно к источнику нап- ряжения U; б) после достижения напряжения U пластины отключены от ис- точника.
1.1.5. Полубесконечный стержень с линейной плотностью заряда τ=√2N(k+1) мкКл/м выходит из центра круга τ радиуса r=10N см и совпадает с его осью r (рис.1.1.1). Определить: а) напряженность поля Е, Рис.1.1.1 создаваемого на периметре этого круга; б) угол нак- лона Е ⃗ к плоскости круга; в) поток Ф вектора Е ⃗ через площадь круга.
1.1.6. Между двумя горизонтально расположенными пластинами кон- денсатора находится капелька ртути. Расстояние между пластинами d=(k+1)〖10〗^(-3)м, площадь каждой пластины S=10N 〖см〗^2. Найти радиус капли, напряжение на обкладках конденсатора и энергию электрического поля конденсатора, если при заряде конденсатора Q=N〖10〗^(-9) Кл и заряде капли q=N〖10〗^(-12) Кл, капля находится в равновесии. ρ_Hg=13,7 г/〖см〗^3.
1.1.7. Два шара массой m=N г каждый находятся на расстоянии l=(k+1) м друг от друга и могут свободно перемещаться вдоль линии, проходящей через их центры. Шарам сообщают противоположные заряды Q_1=|〖-Q〗_2 |=N〖10〗^(-6) Кл, и они начинают двигаться навстречу друг к другу. Какую скорость они будут иметь на расстоянии a=0,1(k+1) м друг от друга? Сколько тепла выделится при полном торможении в объеме воды в форме куба со стороной a=0,1(k+1) м, помещенного посередине между шарами? На сколько градусов изменится температура воды? Размерами ша- ров пренебречь. Влияние воды на электрическое поле не учитывать. -6-
1.1.8. Внутри заряженного плоского конденсатора с диэлектриком (ε=k+1) объемная плотность энергии w=N Дж⁄м^3 . Найти: а) давление, производимое пластинами площадью S=N 〖см〗^2 на диэлектрик; б) силу, которую надо приложить к пластинам для отрыва их от диэлектрика. 1.1.9. Диэлектрический шар с ε=(k+1) и радиусом r_1=2N см имеет r_1 внутри концентрическую полость с ε=1 и радиу- сом r_2=√N см (рис.1.1.2). Шар равномерно заря- r_2 жен (Q=√N 〖10〗^(-6) Кл). В полости зарядов нет. Оп- Рис.1.1.2 ределить напряженность поля и потенциал на рас-стоянии l=N см от центра шара, а также потенциал на поверхности шара.
1.1.10. Два положительных заряда Q_1=√N 〖10〗^(-6) Кл и Q_2=2√N 〖10〗^(-6) Кл движутся навстречу друг другу, имея начальные скорости v_1=N(k+1) м/с и v_2=2N(k+1) м/с. Массы зарядов m_1=N г и m_2=2N г. На какое наи- меньшее расстояние сблизятся заряды? Какова будет их скорость в этот мо-мент?
1.1.11. Пусть в шаре из кремния (Si) диаметром d=(k+1) см на каж- дые M=N〖10〗^9 атомов приходится один избыточный электрон. Чему равен заряд шара, если его плотность ρ=2,5 г⁄〖см〗^3 ? Каковы напряженность поля Е и потенциал U на поверхности шара? Считать число нейтронов в атоме (14) равным числу протонов, массу атома равным сумме масс нейтронов и про- тонов, массы нейтрона и протона одинаковыми (m_n=m_p=1,67〖 10〗^(-27) кг).
1.1.12. Между горизонтальными обкладками воздушного конденсатора находится капля масла диаметром d=2√N 〖10〗^(-3) мм, заряженная отрицате- льно (Q=-100Ne , где e- заряд электрона). При подаче на конденсатор напряжения U=500(k+1) В капля движется вертикально с постоянной скоростью за счет действия трех сил: силы F_E электростатического поля, силы тяжести F_g и силы сопротивления воздуха (силы Стокса) F_тр. Причем, если F_E и F_g совпадают по направлению, то путь l=(k+1) см капля, опускаясь, проходит за время τ_1, если они противоположно направлены, то тот же путь она проходит, поднимаясь, за время τ_2. Определить время τ_1 и τ_2. Положить
-7-
коэффициент вязкости воздуха η=1,81〖 10〗^(-5) Па с, ускорение силы тяжести g=9,81 м⁄с^2 , плотность масла ρ=900 кг⁄м^3 . Расстояние между пласти- нами конденсатора a=2(k+1) см. Выталкивающей силой Архимеда пре- небречь.
1.1.13. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе находит- ся заряженная капля масла в форме шара массой m=N〖10〗^(-11) г. Когда кон-денсатор не заряжен, капля опускается с постоянной скоростью v_1 (из-за соп- ротивления воздуха). Если разность потенциалов U=100√N В, то капля дви- жжется в (к+2) раза быстрее. Найти заряд и скорость v_2 капли. Расстояние между пластинами a=(k+1) см. Вязкость воздуха η=1,81 〖10〗^(-5) Па с, пло- тность масла ρ=900 кг⁄м^3 . 1.1.14. На плоский воздушный конденсатор с d a площадью обкладок S=100N 〖см〗^2 и расстояни- ем между ними a=0,1N мм подано постоянное напряжение U=10N В. Чему будет равна энер- Рис.1.1.3 гия конденсатора, если внести между обкладка- ми диэлектрик с ε=(k+2) и толщиной d=0,04N мм (рис.1.1.3) для двух случаев: а) конденсатор отключается от источника напряжения перед внесе- нием диэлектрика; б) конденсатор не отключается от источника напряжения. Определить емкость конденсатора после внесения диэлектрика. с 1.1.15. Решить задачу 1.14, считая, что внесен- ный диэлектрик, занимая часть пространства, касается обеих обкладок. Ширина обкладок
b b=√N см, ширина диэлектрика с=√N см Рис.1.1.4 (рис. 1.1.4).
-8-
1.1.16. Плоский воздушный конденсатор, раз-
a_1 d_1 меры пластин которого a=10 см, b=5 см и расстояние между пластинами d=5 мм, d подключают к источнику напряжения a U=100 В. Затем, после отключения от источ- Рис. 1.1.5 ника , в конденсатор вносят диэлектрик с ε=2(k+1) длиной a_1=0,1a(4+√N), шириной b_1=b и толщиной d_1=0,1d(4+√N) (рис.1.1.5). Определить во сколько раз при этом изме- нятся: а) емкость конденсатора и б) энергия его электрического поля. Найти также, во сколько раз изменится энергия поля конденсатора, если он не отключается от источника.
1.1.17. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U_1=N кВ, влетает в плоский конденсатор посередине между его обкладками парал- лельно им. На конденсатор подано напряжение U_2=100√N В. При какой минимальной длине пластин электрон не выйдет из конденсатора. Какое время электрон движется в конденсаторе? Расстояние между пластинами d=2(k+1) см.
1.1.18. Тело массой m=10N г и имеющее заряд Q=(k+1)〖10〗^(-6) Кл свободно падает с высоты H=N м. С высоты h=0,5H и до конца падения тело движется в горизонтальном электрическом однородном поле с E=N〖10〗^4 В⁄м. Каковы в конце падения: а) смещение тела от первоначаль- ной траектории движения; б) скорость и направление ее к горизонту. Сопро- тивлением воздуха пренебречь.
1.1.19. Шар радиусом r=N см и массой m=100N г, несущий заряд Q=N〖10〗^(-6) Кл, скатывается с высоты H=10(k+1) см по наклонной плос- кости. У основания плоскости шар попадает во встречное горизонтальное электрическое однородное поле E=N〖10〗^4 В⁄м. Определить путь, пройден- ный шаром, и время движения до остановки. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. Положить скорость шара у основания плоскости равной его начальной горизонтальной скорости.
-9-
1.1.20. Найти энергию поля, созданного зарядом Q=N〖10〗^(-4) Кл, равно-мерно распределенным в диэлектрике (ε=k+1) в форме шара радиусом r=10N см. Найти также полное изменение энергии всей системы ("-" уме- ньшение, "+" увеличение) для случая, когда из шара убрали сердцевину в форме шара радиусом r_1=r⁄2 и удалили их друг от друга на бесконечность
1.1.21. Точечный заряд Q=N〖10〗^(-6) Кл находится на расстоянии l=(k+1) см от бесконечной метал- r l Q лической стенки, соединенной с землей. Найти:
а) поверхностную плотность зарядов, индуцирован- Рис.1.1.6 ных на стенке в точке О, ближайшей к заряду (рис.1.1.6); б) определить заряд, заключенный на площади, ограниченной окружностью радиусом r=N(k+1) см с центром в точке О.
1.1.22. Между пластинами плоского конденсатора, площадь которого S=10N 〖см〗^2 и расстояние между которыми d=0,1N см, находится диэлект- рик (ε=k+2), состоящий из M=(k+3) одинаковых по толщине слоев. Слои располагаются либо параллельно, либо перпендикулярно пластинам (по выбору), заполняя конденсатор. Конденсатор заряжают до U=100N В и отключают от источника напряжения. Затем один из слоев удаляют из кон-денсатора. Найти затраченную при этом работу. Во сколько раз изменится сила притяжения между пластинами после удаления этого слоя?
1.1.23. В вакууме с высоты H=5N(k+3) мм вертикально вдоль оси тонкого диска падает шарик массой m=N г и зарядом Q=N〖10〗^(-8) Кл. Диск радиусом r=2N см равномерно заряжен с поверхностной плотностью σ=(k+3)〖10〗^(-5) Кл⁄м^2 . Определить l_min, на которое приблизится шар к диску, и расстояние l_1 между шаром и диском в равновесии. r_3 1.1.24. Металлический шар радиусом r_1=N см с зарядом
rrrrrr r_2 Q=N〖10〗^(-8) Кл окружен металлической заземленной сфе- r_1 рой радиусом r_3=5N см, концентрической с шаром. В
Рис.1.1.7 пространстве между шаром и сферой вплотную к шару находится сферический слой диэлектрика (ε=k+2) с наружным радиусом
-10-
r_2=2N см (рис.1.1.7). Найти емкость системы, поверхностную плотность связанных зарядов на внешней поверхности диэлектрического слоя и энер-гию в объеме между малой и большой металлическими сферами.
1.1.25. В коаксиальном кабеле внутренняя жила d_3 диаметром d_1=2N мм изолируется от внешней оплетки диаметром d_3=2N(k+2) мм двумя слоями диэлектриков одинаковой толщины : d_1 пропитанной бумагой ε_1=4 и слюдой ε_2=6 Рис.1.1.8 (рис.1.1.8). Определить пробивное напряжение для кабеля U (между внутренней жилой и внешней оплеткой), когда бли-жайший слой к внутренней жиле выполнен: а) из бумаги; б) из слюды. Про- бивная предельная напряженность: для бумаги E_1=25 кВ⁄м, для слюды E_2=100 кВ⁄м. -11-
2. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Закон Ома для замкнутой (полной) цепи:
I=ε/(R+r) ,
где R - сопротивление нагрузки; r - внутреннее сопротивление источника, ε- Э.Д.С. источника.
Закон Ома в дифференциальной форме:
j ⃗=γ(E.) ⃗
Закон Джоуля-Ленца:
Q=I^2 R∆t; Q=∫_0^t▒〖Ri^2 〗 dt.
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:
w=γE^2=ρj^2 ,
где w - удельная тепловая мощность тока; γ=е^2 n λ⁄(2mv ⃗ ) - удельная прово- димость металла (e, m - заряд и масса электрона; λ- средняя длина свобод- ного пробега электронов;v ⃗- средняя скорость теплового движения электро- нов); ρ=1⁄(γ-) удельное сопротивление; j ⃗=enu ⃗ - плотность тока (n - кон- центрация электронов; u ⃗ - их дрейфовая скорость), E- напряженность элек- трического поля Закон Видемана-Франца: ϰ/γ=3 k^2/e^2 T,
где ϰ- коэффициент теплопроводности.
-12-
2.1.1. Два алюминиевых провода диаметрами d_1=0,1√N мм и d_2=0,4√N мм и длиной l=(k+1) м каждый подключаются отдельно к источнику Э.Д.С. ε=(k+1) В, нагреваясь при этом до одной и той же тем- пературы. Определить внутреннее сопротивление источника и количество тепла, выделяющееся за 1 с в каждом проводе. Считать, что тепло, отдава- емое проводом при постоянной температуре, пропорционально площади его поверхности.
2.1.2. Два металлических шара с одинаковыми радиусами r=N〖10〗^(-3)м, находящихся на расстоянии l=N м между центрами шаров и имеющих заряды Q_1=√N 〖10〗^(-9) Кл и Q_2=-√N 〖10〗^(-9) Кл, помещены в однородную среду с удельным сопротивлением ρ=〖10〗^3⁄N Ом м и ε=(k+1). Заряды поддерживаются постоянными неограниченно долго. Определить: а) раз-ность потенциалов между шарами ∆U;б) ток утечки (силу тока) I; в) соп-ротивление R среды на участке между шарами.
2.1.3. Металлический провод диаметром d=(k+1) мм, намотанный на цилиндр диаметром D=20 мм и длиной l=5 см, подключается к источ- нику напряжения U=0,1N В. Считая, что температура провода мало отли- чается от окружающей (Т_окр=300 К), найти удельную тепловую мощность тока w , коэффициент теплопроводности ϰ, силу тока в проводнике. Поло- жить концентрацию свободных электронов n=N〖10〗^28 м^(-3), длину свобод- ного пробега электронов λ=10Å.
2.1.4. В опыте Толмена и Стюарта по определению удельного заряда электрона (e⁄(m)) используется катушка, намотанная медным проводом, диаметр которого d=0,1(k+1) мм, а длина l=100N м. Катушка при- водится во вращение, а затем резко тормозится. При этом за время тормо- жения по катушке проходит заряд Q=N〖10〗^(-9) Кл. Определить время тор-можения, плотность тока в катушке и удельную тепловую мощность тока. Положить концентрацию свободных электронов в меди n=〖10〗^29 м^(-3), ρ_Cu=1,71〖 10〗^(-8) Ом м.
2.1.5. Нагревательный элемент печки намотан нихромовой проволокой диаметром d=(k+1) мм в виде спирали диаметром D=5(k+1) мм и длиной l=50 см. При включении в электрическую цепь ток через спираль увеличивается по линейному закону от I_0=0 A до I_1=2√N A за время -13-
Δt=5N с. Найти количество тепла, выделившееся в спирали за первую и последнюю секунды, а также общее количество тепла за время включения.
2.1.6. По прямому медному проводу длиной l=(k+1) км течет ток I=50N А. Найти общий импульс электронов. Какое количество тепла выде- ляется ежесекундно в проводе, если этот ток предельный для данного про- вода? Каков при этом минимальный диаметр провода? ( По техническим нормам предельная допустимая плотность тока для медных проводов j_max=〖10〗^7 А⁄м^2 ).
2.1.7. Цилиндрический конденсатор подключен к источнику напряжения U=10N В. Радиусы обкладок r_1=10 мм, r_2=8 мм, длина обкладок l=(k+1) см. Пространство между обкладками заполнено диэлектриком с удельным сопротивлением ρ=N〖10〗^6 Ом м. Определить ток утечки и сопро- тивление диэлектрика. Краевыми эффектами пренебречь.
2.1.8. Имеется сферический конденсатор, внешний радиус которого r_1=2(k+1) см, внутренний - r_2=(k+1) см. Пространство между обклад-ками заполнено диэлектриком (ε=4) с удельной электропроводностью γ=N〖10〗^(-6) 〖Ом〗^(-1) м^(-1). К обкладкам конденсатора приложено напряжение U=10N В. Найти ток утечки I и сопротивление диэлектрика R.
2.1.9. По медному проводу диаметром d=√N мм протекает ток I=(k+1) А. Какова средняя дрейфовая скорость электронов проводимос-ти. Во сколько раз средняя тепловая скорость электронов больше дрейфовой при температуре t=27℃. Положить, что на каждый атом меди приходится один электрон проводимости. Плотность меди δ_Cu=8,9 〖10〗^3 кг⁄м^3 , моляр-ная масса μ_Cu=63,6 〖10〗^(-3) кг⁄(моль ).
2.1.10. Надо изготовить нагревательный элемент в виде спирали, намо- танной виток к витку, длиной l=10(k+1) см, мощность P=100N Вт. На элемент подается напряжение U=220 В. Какова длина проволоки диамет-ром d=0,1N мм, используемой в нагревательном элементе? Каков при этом будет диаметр спирали D? ρ_пр=1,1 〖10〗^(-6) Ом м.
2.1.11. Две батареи с Э.Д.С. E_1=5N В , E_2=3N В и внутренними сопро- тивлениями r_1=r_2=(k+1) Ом соединены параллельно. К зажимам бата- реи подключается реостат. Найти мощность, выделяющуюся на реостате,
-14-
если падение напряжения на нем равно: а) U_1=1,5N В, б) U_2=3N В. Какую максимальную тепловую мощность должен рассеивать реостат, чтобы он не вышел из строя (не перегорел) при любых значениях своего сопротивления?
2.1.12. Батарея с Э.Д.С. E, реостат и вольтметр соединены последовате-льно. При сопротивлении реостата R_1=N кОм вольтметр показывает напря- жение U_1=10N В; если сопротивление реостата уменьшить в 3(k+1) раз, то показания вольтметра увеличатся в 2(k+1) раз. Какое напряжение U_2 по- кажет вольтметр при сопротивлении реостата равном 0? Чему равна Э.Д.С. батареи? Считать внутреннее сопротивление батареи r_i=10N Ом.
2.1.13. Имеется медный диск (маховик) радиусом V r=10(k+1) см, вращающийся с угловой ско- r ростью ω=N〖10〗^3 рад⁄с. Диск включен в элект- Рис.2.1.9 рическую цепь при помощи скользящих контактов, касающихся оси диска и его окружности (рис.2.1.9). Определить Э.Д.С., воз- никающую в диске. Найти максимальную дрейфовую скорость электронов проводимости. Принять ρ_Cu=1,71〖 10〗^(-8) Ом м, концентрацию свободных электронов n=〖10〗^28 м^(-3).
2.1.14. Сколько стоит электрическая энергия в месяц (30 дней), если ежедневно в сеть U = 220 В в течение ∆τ=2(k+1) ч включают M=N+1 электрических лампочек при токе через них I=0,5 A? Рассмотреть: а) пос-ледовательное и б) параллельное включение одинаковых лампочек. Кроме того, ежедневно кипятится V=N л воды (начальная температура воды t_0=10℃ ). Стоимость 1 кВт.ч - 4 коп., К.П.Д. нагревателя 80%. Сколько угля надо сжечь на тепловой электростанции, К.П.Д. которой 35%, чтобы обеспечить помещение электроэнергией в течение года. Теплотворная способность угля ϰ=3〖 10〗^4 кДж⁄кг.
2.1.15. Батарея состоит из n=(k+1) одинаковых элементов с Э.Д.С. E=1,6 В и внутренним сопротивлением r_i=0,1 Ом каждый. Элементы соединены последовательно. Батарею подключают на внешнее сопротив- ление R=10N Ом медными проводами диаметром d=1 мм. Опреде- лить, сколько электронов покидают батарею за 1 мин. Какова при этом нап-ряженность электрического поля в проводниках?
-15-
2.1.16. В электрической лампе имеется n=(k+1) одинаковых нитей накала из вольфрама, включенных параллельно. При t_0=0℃ лампа имеет сопротивление R_0=10N Ом, а во включенном состоянии (при полном нака- ле) R_1=100N Ом. Определить температуру нитей накала включенной лам- пы с учетом изменения длины и площади сечения нитей из-за теплового расширения (β=5〖 10〗^(-6) ℃^(-1)). Насколько полученная температура будет отличаться от температуры, вычисленной без учета теплового расширения нитей.
2.1.17. В цепь из медного провода диаметром d_1=√N мм включен свинцовый предохранитель диаметром d_2=0,1(k+1) мм. Какой максима-льный ток может быть в цепи? На сколько изменится при этом температура медного провода? t_окр=27℃, c_Pb=130 Дж⁄((кг.К), ) δ_Pb=11400 кг⁄м^3 , t_(〖пл〗_Pb )=327℃, ρ_Pb=21 〖10〗^(-8) Ом м, c_Cu=380 Дж⁄((кг.К)), δ_Cu=8800 кг⁄(м^3.)
2.1.18. В помещении площадью S=20√N м^2 и высоте потолка h=3 м температура воздуха должна быть t_1=20℃. Потери тепла через стены сос-тавляют Q=(k+1)〖10〗^3 кВт.ч. В течение получаса через дверь, форточки воз-дух в комнате полностью обновляется уличным с температурой t_2=0℃ . Какую мощность должны иметь нагреватели для поддержания заданной температуры? Сколько их должно быть, если при напряжении в сети 220 В максимальный потребляемый ток электронагревателя 6 А? Удельная тепло- емкость воздуха с=710 Дж⁄((кг.К)), плотность воздуха δ=1,29 кг⁄м^3 .
2.1.19. Сила тока в проводнике меняется от I_1=N А до I_2=0,5N А за время ∆τ=2(k+1) с. Какой заряд пройдет по проводнику для случаев: а) сила тока уменьшается равномерно; б) сопротивление проводника рав- номерно увеличивается при постоянном напряжении на концах проводника.
2.1.20. Имеется G=20N одинаковых гальванических элементов с Э.Д.С. Е=1,3 В и внутренним сопротивлением r_i=0,1(k+1) Ом каждый. Эти элементы соединяют в батарею так, что она состоит из М параллельных групп, каждая из которых содержит n последовательно включенных элемен- тов. Батарея замкнута на внешнее сопротивление R=1 Ом. Каким должно быть значение n , чтобы сила тока во внешней цепи была максимальной? Сколько при этом будет параллельных М групп в батареи? Какое действите-
-16-
льное число гальванических элементов G в батарее? ( M и n округлять до ближайшего целого)
2.1.21. Конденсатор емкостью C=N мкФ подключается для зарядки к источнику Э.Д.С. E=100(k+1) В через сопротивление R=100N Ом. Опре- делить количество тепла Q, выделившееся на сопротивлении за время заряд-ки. Сравнить это количество тепла с энергией W заряженного конденсатора (через их отношение Q⁄W ). Сопротивлением источника и подводящих про- вводов пренебречь. 2.1.22. Необходимо подвести ток к потребителю. Каким диаметром про- вода надо сделать электропроводку, чтобы при максимальном токе I=N А на одном погонном метре провода выделялось не более P=(k+1) Вт, а тем- пература провода повышалась бы не более чем на ∆t=30℃ относительно температуры окружающей среды t_0=20℃? Расчет сделать для медного и алюминиевого проводов. ρ_Cu=1,71 〖10〗^(-8)Ом м, ρ_Al=2,9 〖10〗^(-8) Ом м.
2.1.23. Электростанция снабжает завод, находящийся на расстоянии l=(k+1) км, электроэнергией по проводам из меди. Потребляемая заво- дом мощность P=100N кВт при напряжении на входе завода U=N〖10〗^3 В. Каков диаметр подводимых проводов, если на них теряется до 10% потреб- ляемой мощности? На сколько уменьшатся эти потери, если напряжение питания завода увеличить в 10 раз?
2.1.24. При охлаждении обмотки электромагнита используют масло. Электромагнит включен в сеть с U=220 В. Сила тока в его обмотках I=(k+1) А. Определить расход масла в л/с, если температура масла может повышаться не более чем на ∆t=10 √N ℃. 〖 δ〗_масло=0,85 г/〖см〗^3, с_масло=1,7 〖10〗^3 Дж⁄((кг К)).
2.1.25. В кипятильнике объемом V=N л используется спираль из нихро- мовой проволоки диаметром d=0,5 мм. Диаметр спирали D=1 см. Напря- жение в сети U=220 В. Определить мощность кипятильника и длину спирали, намотанной виток к витку, если вода в кипятильнике, имея начальную температуру t_0=2(k+1)℃, закипает через 10 мин. после включения. К.П.Д. кипятильника 65%. -17-
3. МАГНЕТИЗМ
Закон Био-Савара-Лапласа:
(dB) ⃗=(μμ_0)/4π I/r^3 [(dl) ⃗r ⃗ ],
dB=(μμ_0)/4π (Idl sin⁡(((dl) ⃗r ⃗ ) ̂ ))/r^2 ;
где r ⃗ - радиус-вектор, проведенный от элемента с током I(dl) ⃗ к точке опре- деления вектора индукции поля (dB) ⃗; μ - магнитная проницаемость среды; μ_0=4π〖10〗^(-7) Гн/м - магнитная постоянная.
Магнитная индукция B ⃗ связана с напряженностью магнитного поля H ⃗ соотношением:
B ⃗=μμ_0 H ⃗.
Магнитная индукция поля в центре кругового тока радиусом R:
B=(μμ_0 I)/2R
φ_2 Магнитная индукция поля в произвольной точке r ⃗_2 A, созданного проводником конечной длины I a A (рис.3.1.1): 〖 φ〗_(1 ) r ⃗_1 B=(μμ_0)/4π I/a (cos⁡〖φ_1 〗-cos⁡〖φ_2 〗 ),
Рис.3.1.1 здесь a расстояние от точки A до проводника, φ_1 и 〖 φ〗_2 - углы, образованные радиусом-векторами r ⃗_(1 ) и r ⃗_2, проведенными в точку A из начала и конца проводника в соответствии с направлением тока.
Магнитная индукция поля, созданного бесконечным прямым проводни- ком с током I:
B=(μμ_0)/4π 2I/a.
Магнитная индукция на оси бесконечно длинного соленоида с током I или тороида:
-18-
B=μμ_0 NI/l=μμ_0 nI,
где n=N/l - число витков на единицу длины соленоида; nI- число ампер- витков на метр.
Закон Ампера:
(dF) ⃗=I[(dl) ⃗B ⃗ ],
dF=BIdl sin⁡(((dl) ⃗B ⃗ ) ̂ ),
где ( dl) ⃗ - вектор элемента длины проводника, совпадающий с направлением тока I.
Магнитный момент контура с током:
(p_м ) ⃗=ISn ⃗,
где S - площадь, охватываемая током I; n ⃗ - положительная нормаль к конту-ру.
Механический момент, действующий на контур с током в однородном магнитном поле с индукцией B ⃗:
M ⃗=[(p_м ) ⃗B ⃗ ].
Сила, действующая на контур с током в магнитном поле:
F=p_м ∂B/∂x cos⁡〖(((p_м ) ⃗B ⃗ ) ̂ ).〗
Сила Лоренца, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v ⃗ в магнитном поле:
F ⃗=Q[v ⃗B ⃗ ].
Циркуляция вектора магнитной индукции B ⃗ вдоль замкнутого контура L:
∮▒(B ⃗(dl) ⃗ ) =∮▒〖Bdl cos⁡((B ⃗(dl) ⃗ ) ̂ )=μμ_0 〗 ∑_(i=1)^n▒I_i ,
-19-
где ∑_(i=1)^n▒I_i - алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром L.
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток):
Ф=∫▒(B ⃗n ⃗ ) dS=∫▒B_n dS,
где n ⃗ - нормаль к элементу площадки dS; B_n - проекция вектора B ⃗ на напра- вление n ⃗.
Основной закон электромагнитной индукции (закон индукции Фарадея):
ε_i=-dФ/dt,
если не один контур, а N контуров то:
ε_i=-N dФ/dt=-dΨ/dt,
здесь ε_i - Э.Д.С. индукции, Ψ=NФ - потокосцепление.
Разность потенциалов на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью v ⃗ в однородном поле с индукцией B ⃗:
U=Blv sin⁡((v ⃗B ⃗ ) ̂ ).
Э.Д.С. самоиндукции в замкнутом контуре с индуктивностью L:
ε_i=-L di/dt.
Индуктивность соленоида (тороида):
L=μμ_0 N^2/l S=μμ_0 n^2 V,
где n=N⁄l - число витков на единицу длины соленоида; V - объем со- леноида; S - его площадь поперечного сечения.
Энергия магнитного поля тока I в контуре с индуктивностью L:
W=(LI^2)/2.
-20-
Объемная плотность энергии магнитного поля:
w=(μμ_0 H^2)/2=BH/2=B^2/(2μμ_0 ).
3.1.1. Однородное и равномерно заряженное кольцо массой m=〖10〗^(-3)⁄N кг и зарядом Q=〖10〗^(-3)⁄N Кл вращается вокруг своей оси с угло- вой скоростью ω=(k+1) рад/с. Внутренний радиус кольца r_1=N см, вне- шний 〖 r〗_2=(70-N) см. Найти: а) момент импульса кольца L; б) магнитный момент μ кольца; в) отношение μ⁄L.
3.1.2. В магнитное поле с B=N Тл влетает заряд Q=N 〖10〗^(-6) Кл, массой m=(k+1)〖10〗^(-3) г со скоростью v=N м/с под углом φ=30N° (угол отсчи-тывается против часовой стрелки от направления вектора В ⃗). Определить: а) шаг h и радиус r винтовой линии и время полного оборота Т; б) как будет вращаться заряд: "+" против часовой стрелки, "-" по часовой стрелке или "0" вращения не будет, если смотреть с конца вектора В ⃗.
b 3.1.3. Прямоугольная рамка со сторонами l а=0,1 N м и b=0,01N м, по которой течет ток I_1 а I_1=0,1 N А, находится в одной плоскости с I бесконечно длинным прямым проводом с Рис. 3.1.2 током I=N А (рис.3.1.2). Большие стороны рамки параллельны проводу, ближайшая из них находится на расстоянии l=(k+1)〖10〗^(-2) м. Токи в проводе и рамке поддерживаются постоянными, причем в рамке ток течет против часовой стрелки, а в проводе ток I противо- положно направлен току I_1 в ближайшей к проводу стороне рамки. Найти си- лу, действующую на рамку со стороны провода и работу этой силы при уда- лении рамки на бесконечность.
3.1.4. Вдоль оси длинного соленоида проходит раскаленная нить, испус- кающая электроны. Внутренний диаметр соленоида d=5(k+1) см. Соле- ноид имеет n=N 〖10〗^3 вит/м. Температура нити 1400 К. Считать, что все элек- троны вылетают с поверхности нити перпендикулярно оси соленоида с оди- наковой скоростью, равной среднеквадратичной скорости теплового движе-
-21-
ния. Найти минимальный ток соленоида, при котором электроны не дости-гают внутренней поверхности соленоида.
3.1.5. Используя условие задачи 3.1.3., найти работу, которую надо сове-ршить, чтобы повернуть рамку на 180° вокруг дальней от провода стороны.
R 3.1.6. Тонкая лента шириной L=N см свернута в трубку радиусом R=10(k+1) см (рис.3.1.3). I L По ленте течет ток I=10N А, равномерно расп- Рис.3.1.3 ределенный по ее ширине. Определить магнит- ную индукцию В на оси трубки: а) в середине трубки; б) в конце трубки.
3.1.7. Тонкий металлический стержень длиной l=√N м вращается в однородном магнитном поле вокруг перпендикулярной к стержню оси, от- стоящей от одного из его концов на расстоянии a=0,1N м, делая n=100(k+1) об/мин. B ⃗=(k+1)〖10〗^(-3) Тл параллелен оси вращения. Найти разность потенциалов ∆U, возникающую между концами стержня.
x x r x A x x I x 3.1.8. Медный диск вращается с угловой ско- x x O x x ростью ω=N рад/с в магнитном поле с x x x x B ⃗ B=N〖10〗^(-3) Тл так, что плоскость диска перпен- x x x x x x x дикулярна магнитному полю. Ток I=(k+1) А Рис.3.1.4 протекает вдоль радиуса диска ОА (О и А - ско- льзящие контакты, соединенные с источником напряжения, рис.3.1.4). Ра-диус диска r=N см. Найти вращающий момент, действующий на диск и ра- боту, затраченную на вращение диска за 1 мин.
d 3.1.9. По длинному прямому проводу диаметром d=N мм, расположенному вдоль оси цилиндри- I D ческой проводящей оболочки (рис.3.1.5), течет ток I=(k+1) А, который затем возвращается
Рис.3.1.5 по оболочке. Диаметр оболочки D=N см. Найти:
-22-
а) индукцию магнитного поля В на расстояниях от оси оболочки l_1=D/4 и l_2=D, б) магнитный поток единицы длины (1м) такой системы.
a 3.1.10. Металлическая рамка в форме квадрата, сто- рона которого a=N см, падает в магнитное поле . . .B ⃗ . . с B = N Тл так, что плоскость рамки перпендикуляр- . . . . . на вектору В ⃗ (рис.3.1.6). Масса единицы длины про- . . . v ⃗ . . вода m_l=(k+1) г/см, сопротивление рамки Рис.3.1.6 R=0,1N Ом. Действующая на рамку магнитная си- ла противоположна силе тяжести рамки. Определить скорость установивше-гося движения рамки и направление тока индукции в ней.
3.1.11. По двум параллельным горизонталь- l v ⃗ R ным проводникам, замкнутым на сопротивле- ние R=N кОм, расстояние между которыми a I l=0,1N м, поступательно движется проводя-
Рис.3.1.7 щая перемычка со скоростью v=N м/с, нап- равленной вдоль проводников. Параллельно проводникам и в одной плос- кости с ними на расстоянии a=(k+1) см от одного из проводников нахо-дится еще один очень длинный прямой проводник с током I=N А (рис.3.1.7). Найти Э.Д.С. индукции, количество электричества, протекшего по цепи за 1 мин. и выделившееся за это время количество теплоты.
3.1.12. Используя условие задачи 3.1.11., найти силу, которую надо при-ложить к перемычке, чтобы она двигалась с постоянной скоростью v=N м/с.
3.1.13. В середине длинной катушки (соленоида) находится плоская рамка площадью S=N 〖см〗^2, имеющая M=10N витков. Катушка содержит I n=〖10〗^3 N витков на метр. Рамка удерживается Рис.3.1.8 в катушке упругими растяжками так, что ее плос- кость параллельна оси катушки (рис.3.1.8). Жесткость растяжек (величина,
-23-
равная вращательному моменту, закручивающему растяжки на 1 рад) f=(k+1) 〖10〗^(-9) Нм⁄рад. Рамка и катушка соединены последовательно. Определить, какой ток надо через них пропустить, чтобы рамка повернулась на угол α=(k+1)°.
3.1.14. Изолированный металлический диск радиусом r=0,1N м враща- ется, делая n=(k+1) 〖10〗^3 об⁄мин. Найти разность потенциалов U между центром и краем диска, возникающую: а)когда отсутствует магнитное поле (U_1); б) имеется перпендикулярное к плоскости диска однородное магнит-ное поле с индукцией B=0,01N Тл (U_2).
3.1.15. Два длинных параллельных проводника диаметром d=(k+1) мм каждый расположены на расстоянии (между осями проводников) l=N см друг от друга. По ним в противоположные стороны протекают равные токи I=N А. Определить индуктивность системы и ее энергию на 1 м длины.
3.1.16. Квадратная рамка со стороной a=N см, В ⃗ D содержащая M =100N витков тонкого прово- a да диаметром d=0,1(k+1) мм, может сво- бодно вращаться вокруг оси, проходящей че- Рис.3.1.9 рез середины противоположных сторон. На этой же оси располагается маховик в форме диска диаметром D=10N см и массой m=0,1N кг. Рамку с диском помещают в постоянное магнитное по- ле B=√N 〖10〗^3 Тл, перпендикулярное оси вращения (рис.3.1.9). Раскрутив рамку с диском до ω=10πN рад⁄с, оставляют их свободно вращаться. Сколько оборотов сделает рамка до остановки? ρ_пр=1,71 〖10〗^(-8) Ом м.
3.1.17. Маленькая рамочка площадью S=N 〖см〗^2 содержит M=100N витков. Она вращается в центре плоской круглой рамки вокруг одного из ее диаметров, делая n=100(k+1) об⁄мин. По большой рамке, радиусом r_1=20N см и имеющей M_1=50N витков, протекает ток I_1=(k+1) А. Най- ти максимальное значение Э.Д.С., возникающее в маленькой рамке.
3.1.18. Квадратная рамка со стороной a=0,01√N м, намотанная тонким медным проводом d=0,1(k+1) мм, имеет M=√N 〖10〗^3 витков. Она враща-
-24-
ется в магнитном поле с B=0,1√N Тл, причем ось вращения перпендикуля-рна вектору В ⃗. Период вращения рамки T=1⁄N с. Определить амплитудное значение Э.Д.С. катушки и максимальное значение полезной мощности, ко- торое может выделиться в нагрузке. ρ_Cu=1,71 〖10〗^(-8) Ом м.
3.1.19. Катушка диаметром D=10(k+1) см, имеющая M=1000√N витков медного провода диаметром d=1 мм, подключена к источнику Э.Д.С. ε=N В. После отключения от источника Э.Д.С. она замыкается нако- ротко. Через какое время после отключения сила тока в катушке уменьшит- ся в 2 раза? Чему равен при этом ток? Какой заряд пройдет за это время? ρ_Cu=1,71 〖10〗^(-8) Ом м.
3.1.20. Имеется длинная катушка (соленоид) диаметром D=10N мм, намотанная виток к витку медным проводом диаметром d=0,2(k+1) мм. Число витков M=1000N. Катушку подключают к источнику напряжения U=N В. Определить разность в количестве тепла, выделившегося при уста- новившемся токе и в течение всего процесса установления тока. Искажения-ми магнитного поля на краях катушки пренебречь. ρ_Cu=1,71 〖10〗^(-8) Ом м.
3.1.21. Используя условия задачи 3.1.20. определить при установившем-ся токе механическую работу, которую надо совершить при медленном уд- линении соленоида в 2 раза (механическими силами упругости пренебречь).
3.1.22. Закороченная катушка диаметром D=2N см, состоящая из M_1=100N витков медного провода диаметром d=0,1(k+1) мм, нахо- дится внутри очень длинного соленоида. Ось катушки совпадает с осью со- леноида. Соленоид содержит n=100N витков на 1 метр. По соленоиду про- пускают ток I, который линейно увеличивается от 0 до N А за 1секунду. Опре- делить силу тока в закороченной катушке и выделяемую в ней мощность. ρ_Cu=1,71 〖10〗^(-8) Ом м.
3.1.23. Катушка в форме длинного цилиндра состоит из M=(k+1) ря- дов медной проволоки диаметром d=0,1(k+1) мм. Длина катушки l=10N см, ее диаметр D=N см. Катушку подключают к источнику напря- жения U=N В, а затем отключают от него и замыкают накоротко. Через ка- кое время после отключения ток в катушке уменьшится в e раз? Какое коли-
-25-
чество тепла Q выделится в катушке за это время? Чему равна энергия W катушки до отключения? ρ_Cu=1,71 〖10〗^(-8) Ом м.
3.1.24. На краю длинного соленоида на его оси расположена маленькая плоская рамка площадью S=N 〖см〗^2, имеющая M=N витков. Соленоид имеет n=N витков на 1 сантиметр, и по нему протекает ток I=(k+1) А. Какой заряд пройдет по рамке, если ее перенести в центр соленоида? Сопро- тивление рамки R=N Ом. Рамка перемещается равномерно и медленно.
3.1.25. Тороид без сердечника имеет две обмотки, каждая из которых содержит по M=100N витков, и одна из них намотана поверх другой. Об- мотки соединены согласно (последовательно, т.е. их магнитные поля имеют одно направление).Ток, текущий по обмоткам I=(k+1) А, средняя длина тороида по (оси) l=20N см, поперечное сечение S=(k+1) 〖см〗^2. Найти энергию магнитного поля тороида и его энергию при отключении одной из обмоток. -26-
ЛИТЕРАТУРА
Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. - СПб. "Лань", 2007.
Орир Дж. Физика. Т.1. -М. "Мир", 1981.
Фиргант Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики: Учебное пособие для втузов. -М. "Высш. шк.", 1978.
Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. -М. "Наука", 1982.
Коломыцев Б.М., Михайлов Н.М., Страхов Н.Б. Сборник индивидуальных задач по курсу общей физике. -Л. "ЛЭТИ", 1991. 
Документ
Категория
Физика
Просмотров
39
Размер файла
102 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа