close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Жук Н.Г

код для вставкиСкачать
Жук Наталья Геннадьевна
Преподаватель математики, стаж работы - 31 год (14 педагогический), первая квалификационная категория.
ГОБУ СПО ВО "Россошанский колледж мясной и молочной промышленности"
Методическая разработка занятия : "Нахождение решения матричной игры. Определение оптимальных стратегий" по дисциплине "Математические методы" для специальности 230401"Информационные системы".
Аннотация:В данной методической разработке представлен сценарий классического урока с конкретными целями и задачами, а также план урока с распределением времени, конспект лекции и задания для проверки степени усвоения предшествующего и нового материала.
План урока №34По дисциплине"Математические методы"IV курсТема урока"Нахождение решения матричной игры. Определение оптимальных стратегий"Цели урока:образовательнаяИзложение нового материала, проверка, систематизация и закрепление знаний, умений и практических навыков обучающихсяразвивающаяразвивать логическое мышление обучающихся, расширять кругозор знаний обучающихся , развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности, прививать интерес к изучаемой дисциплине;воспитательнаявоспитывать внимательность, аккуратность, точность, чувство ответственности за качество и результатывыполняемой работы, прививать сознательное отношение к труду, формировать ответственность за конечный результат.Тип урокаУрок формирования умений и навыковРаспределение времени1. Оргмомент: Сообщение темы и целей урока5 мин.2. Повторение материала:25 мин.1. Опрос по предыдущей теме2. Выполнение индивидуального задания 3.Изложение нового материала30 мин4.Закрепление новых знаний25 мин.1. Решение практических задач5.Итог урока
1. Выставление оценок
2. Домашнее задание5 Ход урока
I. Оргмомент. Сообщение темы и целей урока
На предшествующих занятиях вы получили основные теоретические знания и практические навыки решения задач методами теории игр. Сегодня нам предстоит провести занятие на тему: "Нахождение решения матричной игры. Определение оптимальных стратегий", на котором мы закрепим знания и умения решением практических задач. Далее вам будет предложен новый материал "Применение критериев для определения оптимальной стратегии". Данная тема очень тесно связана с понятием финансовой операции и финансового риска, доходности предприятия. Этот материал будет изложен вашими товарищами в виде небольших сообщений с практическим решением сквозной задачи. После этого вы самостоятельно решите предложенные задачи и определите оптимальное решение.
II. Повторение материала
1.Опрос по предыдущей теме В начале повторения вы должны ответить на вопросы:
1. Что изучает теория игр?
2. Как классифицируются игры?
3. Определить понятие стратегии.
4. Что определяет платежная матрица?
5. Нижняя и верхняя цена игры. Определение седловой точки.
6. Выбор стратегии. Чистые и смешанные стратегии.
7. Как решить задачу с платежной матрицей произвольного размера?
2.Выполнение индивидуального задания
Повторим предыдущий материал решением практических задач. Вам предлагается для выполнения две задачи, в которых нужно определить наличие седловой точки, выбрать соответствующую стратегия решения, рассчитать цены игры, с помощью матричных формул определить вероятность получения выигрыша (дохода предприятия при различных влияющих факторах).
III. Изложение нового материала
Что общего у шахмат, карточных игр, войн, переговоров, рыночной конкуренции, аукционов? Все эти ситуации можно описать при помощи теории игр - раздела прикладной математики, ставшей неотъемлемой частью экономической теории. Как только имеет место взаимодействие самостоятельных рациональных (или частично рациональных) субъектов, возникает игра. Главный вопрос теории игр заключается в предсказании поведения участников игры: какие ходы сделают шахматисты, чем завершатся войны и переговоры, какие цены сформируются на рынке и т.д. Оказывается, теория игр позволяет сделать достаточно сильные предсказания.
Полностью описав игру, мы постараемся "решить" ее, то есть предсказать выбор стратегий участниками. Мы рассмотрим несколько концепций решения ("равновесия"). Самым логичным выбор для каждого участника является выбор доминирующей стратегии, то есть стратегии, которая дает ему наибольший выигрыш для любого заданного поведения других игроков. Однако, доминирующие стратегии и тем более равновесие в доминирующих стратегиях не всегда существуют. Стратегия, являющаяся наилучшим ответом на один ход соперника, может быть наихудшим ответом на другой ход.
Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - естественность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнёров не обязательно антагонистические и нужно принять решение в условиях неопределенности. Неопределенность всегда приносит риск, однако, несмотря на его неясность, многозначность и запутанность суть риска очень хорошо понимается и воспринимается. Почти все финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и риска, поэтому их результат невозможно предсказать заранее. Как оценить операцию с точки зрения её доходности и риска? Существуют определенные критерии выбора оптимальных стратегий.
1. Минимаксный критерий.
Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом: матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов eir каждой строки. Необходимо выбрать те варианты в строках которых стоят наибольшее значение eir этого столбца. Выбранные варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных.
Применение ММ-критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:
1. О возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;
2. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний Fj;
3. Решение реализуется только один раз;
4. Необходимо исключить какой бы то ни было риск.
Пример. При работе информационно-вычислительного цетра необходимо периодически приостанавливать обработку информации и проверять компьютеры на наличие вирусов. Приостановка в обработке информации приводит к определённым экономическим издержкам. В случае если вирус вовремя обнаружен не будет, возможна потеря и некоторой части информации, что приведёт и ещё к большим убыткам.
Варианты решения таковы:
Е1 полная проверка;
Е2 минимальная проверка;
Е3 отказ от проверки.
Компьютер может находиться в следующих состояниях:
F1 вирус отсутствует;
F2 вирус есть, но он не успел повредить информацию;
F3 есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.
Результаты, включающие затраты на поиск вируса и его ликвидацию, а также затраты, связанные с восстановлением информации имеют вид:
Таблица 1.
ММ-критерийF1F2F3eir=eijeirE1-20.0-22.0-25.0-25.0-25.0E2-14.0-23.0-31.0-31.0E30-24.0-40.0-40.0 Согласно ММ-критерию следует проводить полную проверку.
2. Критерий Байеса Лапласа.
Обозначим через qi вероятность появления внешнего состояния Fj.
Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом:
матрица решений дополняется ещё одним столбцом содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значение eir этого столбца.
При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
1. Вероятности появления состояния Fj известны и не зависят от времени.
2. Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз.
3. Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.
При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключён.
Таким образом, критерий Байеса-Лапласа (B-L-критерий) более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.
Результаты, включающие затраты на поиск вируса и его ликвидацию, а также затраты, связанные с восстановлением информации имеют вид:
Таблица 2.
критерий B-LF1F2F3eir =eirE1-20.0-22.0-25.0-22.33E2-14.0-23.0-31.0-22.67E30-24.0-40.0-21.33-21.33 Критерий Байеса-Лапласа, в предположении, что все состояния компьютера равновероятны P(Fj) = qj = 0.33,рекомендует отказаться от проверки.
3. Критерий Сэвиджа.
Величину aij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Fj вместо варианта Ei выбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину aij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта на вариант Ei. В последнем случае eir представляет собой максимально возможные (по всем внешним состояниям Fj , j =) потери в случае выбора варианта Ei.
Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так:
1). Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата max eij соответствующего столбца.
2). Разности aij образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей eir. Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.
Требования, предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение, совпадают с требованием к ММ-критерию.
Результаты, включающие затраты на поиск вируса и его ликвидацию, а также затраты, связанные с восстановлением информации имеют вид:
Таблица 3.
Критерий Сэвиджа F1F2F3eir=aijeirE1+20.000+20.0E2+14.0+1.0+6.0+14.0+14.0E30+2.0+15.0+15.0
4. Критерий Гурвица.
Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предположил оценочную функцию, которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма:
eir = Ceij + (1- C) eij , где С весовой множитель.
Правило выбора согласно критерию Гурвица, формируется следующим образом:
матрица решений дополняется столбцом, содержащим среднее взвешенное наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбираются только те варианты, в строках которых стоят наибольшие элементы eir этого столбца.
При С=1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При С = 0 он превращается в критерий "азартного игрока"
eir = eij ,
т.е. мы становимся на точку зрения азартного игрока, делающего ставку на то, что "выпадет" наивыгоднейший случай.
В технических приложениях сложно выбрать весовой множитель С, т.к. трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего С = 1/2.
Критерий Гурвица применяется в случае, когда :
1) о вероятностях появления состояния Fj ничего не известно;
2) с появлением состояния Fj необходимо считаться;
3) реализуется только малое количество решений;
4) допускается некоторый риск.
Построение оптимального решения для матрицы решений о проверках по критерию Гурвица имеет вид (при С =0.5, в 103):
Таблица 4.
Сeij(1-С)eijeireir-20.0-22.0-25.0-12.5-10.022.5-14.0-23.0-31.0-15.5-7.022.50-24.0-40.0-20.00-20.0-20.0 В данном примере у решения имеется поворотная точка относительно весового множителя С : до С = 0.57 в качестве оптимального выбирается Е3, а при больших значениях Е1.
Пример специально подобран так, что каждый критерий предлагает новое решение. Неопределённость состояния, в котором проверка застаёт технику, превращается в неясность, какому критерию следовать.
Поскольку различные критерии связаны с различными условиями, в которых принимается решение, лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. В частности, если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то рекомендуется применять критерий Байеса-Лапласа. Если же число машин не велико, лучше пользоваться критериями минимакса или Севиджа.
Критерии Гурвица помогает определить стратегию с точки зрения разумного равновесия.
IV.Закрепление новых знаний
Для закрепления новых знаний вам предложено решить самостоятельно задачи по определению оптимальной стратегии выбора вложения свободных денежных средств в различные валюты.
V. Итог урока
Оценки за теоретические ответы уже выставлены в журнале, за решение индивидуальных практических заданий будут выставлены после проверки ответов к следующему занятию.
Задание на дом: Подготовить презентацию по изученным на занятии критериям .
Заключение.
Занятие на тему "Нахождение решения матричной игры. Определение оптимальных стратегий" завершает изучение раздела "Основы теории графов", поэтому на этом занятии особое внимание уделяется повторению основных терминов, определений, понятий и формул. Материал для этого раздела подобран таким образом, чтобы студенты могли освоить теоретические понятия и практические навыки, которые тесно переплетаются на протяжении всего урока. Для повторения теоретического материала предложены вопросы прошлой темы, а для проверки практических навыков студенты выполняли индивидуальные задания по вариантам.
Новый материал был приведен как лекция с сообщениями по практической применимости. Закрепление нового материала реализовалось при решении практических задач с проведением анализа решения.
Цели урока, поставленные в его начале, были достигнуты.
Предложенный в этой методической разработке теоретический и практический материал будет очень полезен при изучении данной темы студентами и преподавателями дисциплины "Математические методы".
Список источников:
1.А.С.Шапкин, Н.П.Мазаева. Математические методы и модели исследования операций. Учебник для ВУЗов.,-М., : "Дашков ",2004г.
2.Исследование операций в экономике / под ред. Проф. Н.Ш. Кремера.-М,: Банки и Биржи, ЮНИТИ,1997г.
3.Математическое программирование/ под ред. Проф. Н.Ш.Кремера.- М.: Финстатинпром, 1995г.
4.Матричные игры/ под ред . Н,И. Воробьева.-М.:Физматлит, 1961г.
Приложение А
Вариант 1.
Задание 1.
Предприниматель собирается вложить сумму в количестве 100 тыс.руб. в совместное предприятие. У него есть четыре альтернативы выбора формы заключения договора с партнером ( стратегии А1, А2, А3, А4). С другой стороны прибыль предпринимателя зависит от того , какую стратегию поведения выберет его партнер и совет директоров ( у партнера контрольный пакет акций). Имеются оценки выигрышей предпринимателя для каждой пары альтернатив (Ак,, Вк). Прибыль приводится в процентах годовых от вложения, которые приведены в платежной матрице А.
Определить оптимальную стратегию вложения денег. Решить задачу методом теории игр. В1В2В3В4А1100903070А280704050А330402060А470503050 Задание 2.
Некоторая организация А собирается либо выпускать(стратегия А1), либо не выпускать (стратегия А2) новый вид продукции. При этом ей неизвестно, будет ли выпускать тот же вид продукции конкурирующая организация В.Если и А и В будут выпускать одну и ту же продукцию , то это принесет организации А убыток в a млн. руб. Если и А и В не будут выпускать продукцию, то это не принесет А ни прибыли ни убытка. Если А будет выпускать, а В нет, то прибыль А составит b млн. руб. Если В будет выпускать , а А нет, то из за прекращения конкуренции организации В по другим товарам, прибыль А составит c млн.руб.
Методами теории игр определить, с какой вероятностью следует решиться на выпуск нового товара, чтобы получить максимальную прибыль.
1) a=3b=19c=6.2)a=9b=13c=8
Задание 3.
Директор предприятия должен выбрать одну из четырех стратегий долгосрочного развития предприятия (стратегии А1, А2, А3, А4). По расчетам экспертов успех будет зависеть от развития экономической ситуации в стране, при этом выделено четыре варианта ее развития: В1, В2, В3, В4(какой именно произойдет, предсказать нельзя).
Экспертные оценки прибыли aij (млн. руб.) для каждой стратегии А и экономической ситуации В представлены в таблице. Выбрать оптимальную стратегию, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при α=0,5).
В1В2В3В4А15245А24164А32666А44442 Задание 4.
Предприниматель желает вложить деньги в виде вклада в рублях или в одну из других валют на длительный срок. При этом ему не известно, как сложится ситуация в экономике и какая из валют будет более выгодной. Аналитики выделяют четыре возможных ситуации S1, S2, S3, S4. Прибыли в процентах по каждому вкладу при каждой экономической ситуации приведены в таблице.
S1S2S3S4Рубль9436Евро54011Доллар5-2010Японская иена4485 Найти оптимальный вариант вклада используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при α=0,5).
Вариант 2.
Задание 1.
Предприниматель собирается вложить сумму в количестве 100 тыс.руб. в совместное предприятие. У него есть четыре альтернативы выбора формы заключения договора с партнером ( стратегии А1, А2, А3, А4). С другой стороны прибыль предпринимателя зависит от того , какую стратегию поведения выберет его партнер и совет директоров ( у партнера контрольный пакет акций). Имеются оценки выигрышей предпринимателя для каждой пары альтернатив (Ак,, Вк). Прибыль приводится в процентах годовых от вложения, которые приведены в платежной матрице А.
Определить оптимальную стратегию вложения денег. Решить задачу методом теории игр. В1В2В3В4А145305080А275709080А360405070А410201040 Задание 2.
Некоторая организация А собирается либо выпускать(стратегия А1), либо не выпускать (стратегия А2) новый вид продукции. При этом ей неизвестно, будет ли выпускать тот же вид продукции конкурирующая организация В.Если и А и В будут выпускать одну и ту же продукцию , то это принесет организации А убыток в a млн. руб. Если и А и В не будут выпускать продукцию, то это не принесет А ни прибыли ни убытка. Если А будет выпускать, а В нет, то прибыль А составит b млн. руб. Если В будет выпускать , а А нет, то из за прекращения конкуренции организации В по другим товарам, прибыль А составит c млн.руб.
Методами теории игр определить, с какой вероятностью следует решиться на выпуск нового товара, чтобы получить максимальную прибыль.
1) a=4b=15c=5.2)a=4b=18c=3.
Задание 3.
Директор предприятия должен выбрать одну из четырех стратегий долгосрочного развития предприятия (стратегии А1, А2, А3, А4). По расчетам экспертов успех будет зависеть от развития экономической ситуации в стране, при этом выделено четыре варианта ее развития: В1, В2, В3, В4(какой именно произойдет, предсказать нельзя).
Экспертные оценки прибыли aij (млн. руб.) для каждой стратегии А и экономической ситуации В представлены в таблице. Выбрать оптимальную стратегию, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при α=0,5).
В1В2В3В4А18245А24184А32666А44142 Задание 4.
Предприниматель желает вложить деньги в виде вклада в рублях или в одну из других валют на длительный срок. При этом ему не известно, как сложится ситуация в экономике и какая из валют будет более выгодной. Аналитики выделяют четыре возможных ситуации S1, S2, S3, S4. Прибыли в процентах по каждому вкладу при каждой экономической ситуации приведены в таблице.
S1S2S3S4Рубль9536Евро64011Доллар5-2-110Японская иена6484 Найти оптимальный вариант вклада используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при α=0,5).
Вариант 3.
Задание 1.
Предприниматель собирается вложить сумму в количестве 100 тыс.руб. в совместное предприятие. У него есть четыре альтернативы выбора формы заключения договора с партнером ( стратегии А1, А2, А3, А4). С другой стороны прибыль предпринимателя зависит от того , какую стратегию поведения выберет его партнер и совет директоров ( у партнера контрольный пакет акций). Имеются оценки выигрышей предпринимателя для каждой пары альтернатив (Ак,, Вк). Прибыль приводится в процентах годовых от вложения, которые приведены в платежной матрице А.
Определить оптимальную стратегию вложения денег. Решить задачу методом теории игр. В1В2В3В4А140509060А220304040А310206030А45151520 Задание 2.
Некоторая организация А собирается либо выпускать(стратегия А1), либо не выпускать (стратегия А2) новый вид продукции. При этом ей неизвестно, будет ли выпускать тот же вид продукции конкурирующая организация В.Если и А и В будут выпускать одну и ту же продукцию , то это принесет организации А убыток в a млн. руб. Если и А и В не будут выпускать продукцию, то это не принесет А ни прибыли ни убытка. Если А будет выпускать, а В нет, то прибыль А составит b млн. руб. Если В будет выпускать , а А нет, то из за прекращения конкуренции организации В по другим товарам, прибыль А составит c млн.руб.
Методами теории игр определить, с какой вероятностью следует решиться на выпуск нового товара, чтобы получить максимальную прибыль.
1) a=2b=14c=3.2)a=8b=13c=3
Задание 3.
Директор предприятия должен выбрать одну из четырех стратегий долгосрочного развития предприятия (стратегии А1, А2, А3, А4). По расчетам экспертов успех будет зависеть от развития экономической ситуации в стране, при этом выделено четыре варианта ее развития: В1, В2, В3, В4(какой именно произойдет, предсказать нельзя).
Экспертные оценки прибыли aij (млн. руб.) для каждой стратегии А и экономической ситуации В представлены в таблице. Выбрать оптимальную стратегию, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при α=0,5).
В1В2В3В4А13245А24134А32666А44942 Задание 4.
Предприниматель желает вложить деньги в виде вклада в рублях или в одну из других валют на длительный срок. При этом ему не известно, как сложится ситуация в экономике и какая из валют будет более выгодной. Аналитики выделяют четыре возможных ситуации S1, S2, S3, S4. Прибыли в процентах по каждому вкладу при каждой экономической ситуации приведены в таблице.
S1S2S3S4Рубль9036Евро84011Доллар5-2-410Японская иена5487 Найти оптимальный вариант вклада используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при α=0,5).
Вариант 4.
Задание 1.
Предприниматель собирается вложить сумму в количестве 100 тыс.руб. в совместное предприятие. У него есть четыре альтернативы выбора формы заключения договора с партнером ( стратегии А1, А2, А3, А4). С другой стороны прибыль предпринимателя зависит от того , какую стратегию поведения выберет его партнер и совет директоров ( у партнера контрольный пакет акций). Имеются оценки выигрышей предпринимателя для каждой пары альтернатив (Ак,, Вк). Прибыль приводится в процентах годовых от вложения, которые приведены в платежной матрице А.
Определить оптимальную стратегию вложения денег. Решить задачу методом теории игр. В1В2В3В4А120102050А250405060А330203070А440102060 Задание 2.
Некоторая организация А собирается либо выпускать(стратегия А), либо не выпускать (стратегия А2) новый вид продукции. При этом ей неизвестно, будет ли выпускать тот же вид продукции конкурирующая организация В.Если и А и В будут выпускать одну и ту же продукцию , то это принесет организации А убыток в a млн. руб. Если и А и В не будут выпускать продукцию, то это не принесет А ни прибыли ни убытка. Если А будет выпускать, а В нет, то прибыль А составит b млн. руб. Если В будет выпускать , а А нет, то из за прекращения конкуренции организации В по другим товарам, прибыль А составит c млн.руб.
Методами теории игр определить, с какой вероятностью следует решиться на выпуск нового товара, чтобы получить максимальную прибыль.
1) a=7b=14c=7.2)a=8b=17c=5.
Задание 3.
Директор предприятия должен выбрать одну из четырех стратегий долгосрочного развития предприятия (стратегии А1, А2, А3, А4). По расчетам экспертов успех будет зависеть от развития экономической ситуации в стране, при этом выделено четыре варианта ее развития: В1, В2, В3, В4(какой именно произойдет, предсказать нельзя).
Экспертные оценки прибыли aij (млн. руб.) для каждой стратегии А и экономической ситуации В представлены в таблице. Выбрать оптимальную стратегию, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при α=0,5).
В1В2В3В4А16245А24144А32666А44642 Задание 4.
Предприниматель желает вложить деньги в виде вклада в рублях или в одну из других валют на длительный срок. При этом ему не известно, как сложится ситуация в экономике и какая из валют будет более выгодной. Аналитики выделяют четыре возможных ситуации S1, S2, S3, S4. Прибыли в процентах по каждому вкладу при каждой экономической ситуации приведены в таблице.
S1S2S3S4Рубль9036Евро84011Доллар5-2-410Японская иена5483 Найти оптимальный вариант вклада используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при α=0,5).
Автор
profobrazovanie
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
249
Размер файла
72 Кб
Теги
жук
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа