close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Работа команды1

код для вставки
Работа команды «Трио» в рамках IV регионального
сетевого математического проекта
«Системы координат: взгляд в прошлое и в настоящее»
Использование в технических устройствах и в природе
логарифмической спирали и спирали Архимеда
Спираль Архимеда
Спираль, несмотря на её простоту изображения - это сложный и емкий по
значению символ. Еще древние люди использовали ее как декоративный символ,
узор, легко наносимый на дерево, камни, глину. Форма спирали сочетает в себе
симметрию и золотое сечение, при зрительном восприятии она вызывает ощущение
гармонии и красоты. Спираль, связанная с символикой центра, издавна является
началом начал, откуда стартует эволюция, развитие, движение жизни. В свое время на
ее форму обратил внимание Архимед. Древнегреческий ученый из Сиракуз изучил
форму спирально закрученной раковины и вывел уравнение спирали. Вычерченный
им по этому уравнению виток назван его именем - спираль Архимеда.
Авторский рисунок
Свойства спирали Архимеда:
1. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является
постоянство расстояний между витками; каждое из них равно 2 πα.
2. При раскручивании спирали, расстояние от одной точки до другой стремится к
бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем
дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.
3. Спираль ассиметрична.
4. Состоит из бесконечного количества витков.
5. Спираль Архимеда по форме близка к кругу.
6. Спираль Архимеда имеет тесную связь с последовательностью Фибоначчи.
7. Спираль Архимеда – плоская трансцендентная спираль.
8. При вращении диска в одном направлении спираль закручивается, при вращении в
другом – раскручивается.
9. Увеличение шага спирали происходит всегда равномерно.
10. Радиус кривизны можно вычислить по формуле: R=a(j2+1)2/3/(j2+2).
11. Площадь сектора находится по формуле: M10M2: S=(j32 - j31)a2/6 .
Применение в природе: в природе спираль проявляется в трех основных формах:
застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик)
или сжимающейся (подобие водоворота). Спиральные формы представлены от
эволюционных глубин (молекулы ДНК) до законов диалектики. Спираль близка к кругу
- самой идеальной форме из всех, что создала природа. Действительно, стихийные и
природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе.
Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройства
растений. Даже пауки спиралеобразно плетут паутину, закручивая нити по спирали
вокруг центра. Природа любит повторения, в ее творениях использованы одни и те же
принципы. Сосновые шишки и колючки кактусов также имеют спирали, направленные
по часовой, или против часовой стрелки.
Применение в технике: спираль Архимеда в настоящее время широко
используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной
спирали) - использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы
из низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека («улитки») устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких,
сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой
спирали также является самоцентрирующийся патрон. Данный механизм
используется в швейных машинках для равномерного наматывания ниток. Ныне
спираль Архимеда заслуживает особого внимания при обучении компьютерной
графике. В некоторых механизмах (например, в часах) требуется, чтобы стержень
двигался равномерно. Обеспечить это можно, очертив профиль шестеренки по
спирали Архимеда. Кроме того, форму спирали Архимеда имеют звуковая дорожка на
грампластинке и одна из деталей швейных машин - механизм для равномерного
наматывания ниток на шпульку. Винтовые лестницы построены по принципу спирали
Архимеда.
Логарифмическая спираль
В истории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в 1638 г.
Декартом, который определял новую спираль как линию, у которой отношение длины
дуги к соответствующему радиус-вектору является постоянным.
Авторский рисунок
Свойства логарифмической спирали:
1. Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с
радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра b.
2. Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от
ее начала до этой точки.
3. Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма
остаётся неизменной.
4. Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен.
5. Расстояния между последовательными витками образуют геометрическую
прогрессию.
6. Спираль ассиметрична.
7. Логарифмическая спираль представляет собой плоскую линию.
8. Эта спираль имеет бесконечное множество витков и при раскручивании и при
скручивании (т.е. она не проходит через свой полюс).
9. Длина дуги спирали пропорциональна радиус-вектору.
10. Образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами,
подобны друг другу.
11. Ученые считают логарифмическую спираль кривой, являющейся одним из
выражений законов органического роста.
Применение в природе: логарифмическая спираль часто встречается в природе и
связана с определенными видами роста. У очень многих моллюсков
последовательные витки раковины не одинаковы, а все более и более утолщаются. Во
многих случаях приближенные значения толщины последовательных витков образуют
геометрическую прогрессию. Хотя саму раковину моллюска нельзя назвать живой, она
образуется растущим организмом. Один из простейших способов наращивания нового
вещества автоматически приводит к образованию некоторой фигуры, очень близкой к
логарифмической спирали. Во многих раковинах обнаруживается поразительно
близкое совпадение между результатами измерений и теоретическими значениями,
ожидаемыми для точной логарифмической спирали. В подсолнухе семечки
расположены по характерным дугам, близким, как показывают соответствующие
измерения, к дугам логарифмической спирали. В связи с подобными фактами
некоторые ученые считают логарифмическую спираль кривой, являющейся одним из
выражений законов органического роста. Существует мнение, что рога барана
закручены в форме логарифмической спирали.
Применение в технике: применения логарифмической спирали в технике основаны
на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же
углом. На этом свойстве основаны применения логарифмической спирали в технике.
Так, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный
по дуге спирали, благодаря чему угол резания (угол между лезвием ножа и
направлением его скорости вращения) остается постоянным вдоль всей кромки
подвижного ножа, что обеспечивает меньший его износ. Труба, подводящая струю
воды к лопастям турбинного колеса гидроэлектростанции, имеет профиль,
очерченный по дуге логарифмической спирали. Это позволяет обеспечить
минимальные потери энергии на изменение направления течения, и, следовательно,
напор воды используется с максимальной производительностью. В теории
механизмов логарифмическая спираль применятся при проектировании зубчатых
колес с переменным передаточным числом.
Источники:
1. https://www.google.ru/-картинки
2. http://sernam.ru/book_e_math.php?id=126
3. http://www.phisiki.com/arhimed/63-spirali-archimeda
4. http://dok.opredelim.com/docs/index-5505.html
Автор
leka-1998
Документ
Категория
Физика
Просмотров
101
Размер файла
1 424 Кб
Теги
команды, работа
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа