close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

этап 2.2

код для вставкиСкачать
2-ой этап сетевого проекта "Системы координат: взгляд в прошлое и в настоящее". Спираль Архимеда. Логарифмическая спираль.
Этап 2
1 задание.
Когда Ольга Александровна предложила нам участвовать в этом проекте, я
знала о Декарте только то, что он придумал систему координат.
Мне предложили поработать над темой: «Какое из «главных правил метода»,
изложенных Декартом в работе «Рассуждения о методе,…» Вы считаете наиболее
полезным для исследователя?
Чтобы ответить на этот вопрос, мне надо было узнать эти правила и зачем они
были ему нужны.
Декарт изучал многие научные вопросы, и он сомневался в истинности
некоторых из них, так как считал, что в них недостаточно научного обоснования. Он
стремился к разработке такого метода познания, который был бы эффективным в
отыскании нового открытия. Основные идеи, которого он сформулировал в труде
«Рассуждения о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в
науках».
Декарт разработал свой метод открытий и сформулировал их в виде четырех
главных правил.
Правило 1. Правило очевидности в суждениях и представлениях о предметах. Не
надо принимать за истинность ничего такого, что предварительно не было
признано истинным. Чтобы использовать это правило надо много знать об
изучаемом предмете.
Правило 2. Анализ. Разделять каждую проблему, которую изучаешь на части до
тех пор, пока не дойдешь до истинных обоснований.
Разделения сложного на простое бывает не достаточно, так как оно дает сумму
разных элементов, но между ними при этом нет прочной связи, которая из этих
разных элементов создает сложное целое, которое сформулировано в правиле 3.
Правило 3. Синтез. Расположить свои мысли в определенном порядке, начиная с
простых и легко узнаваемых, медленно подниматься, как по ступенькам к
сложному. Построение мысли от простого к сложному.
Правило 4. Контроль. Избегать спешки, контролировать каждый шаг работы.
Спешка и невнимательность – мать всех ошибок.
Когда я вдумалась в эти правила, я поняла, что когда мы решаем задачи на
уроках математики, учитель говорит нам это же, только проще:
1. Начинайте с того, что знаете.
2. Сложную задачу разбивайте на простые..
3. Начинайте решать с простого, известного и иди от известного к неизвестному.
4. Будь внимательным, контролируй выполнение каждого шага, не спеши.
Итак, я узнала и поняла, что представляют собой главные правила метода. А
теперь нужно выяснить какое из них наиболее полезное для исследователя.
Думаю, что я должна поставить перед собой задачу и решить ее.
Задача. В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты ВВ 1 и СС1.
Докажите, что треугольники В1АС1 и АВС подобны.
Оформлять решение задачу буду ни как в школе, а так чтобы было легче
определить, какое из правил будет главным.
Правило 2
Правило 1
Что знаю?
Задачу
простые
разбиваю
1. Выполню рисунок.
Правило 3
на Иду от известного
неизвестному
Дано: ∆ АВС –
к
Как
тупоугольный
треугольник?
Как провести
высоты?
тупоугольный (  ВАС тупой), ВВ1  АС, СС1  АВ
построить
Док – ть: ∆ В1АС1~∆ АВС
в
нем
Док – во:
Рассмотрим ∆ ВАС и ∆ 1) Рассмотрим ∆ ВВ1А и ∆
СС1А, у них:
В1АС1, у них:
1)  ВАС =
Свойство
вертикальных вертикальные
углов. Вертикальные углы
равны

В1АС1 как
ВАВ1=  САС1
вертикальные,

ВВ1А =
условию


как
СС1А = 90º по
Признаки
треугольников:
подобия Больше ничего в них не
известно.
Доказать
их Итак, ∆ ВВ1А ~ ∆ СС1А по
двум равным углам.
подобие не возможно.
по двум равным углам;
В
подобных
треугольниках
по
двум
сходственные
стороны
пропорциональным
одного
треугольника
сторонам и углу между;
пропорциональны
по трем пропорциональным
сходственным
сторонам
сторонам.
другого треугольника, т.е
Значит надо рассмотреть ВА В А
1
другие
треугольники. СА  С А .
1
Рассм. ∆ ВВ1А и ∆ СС1А, у
них:
В
верной
пропорции
произведение
крайних
1)  ВВ1А =  СС1А = 90º,
членов
равно
т.к ВВ1  АС, СС1  ВА по
произведению
средних
условию,
членов, поменяем местами
2)  ВАС =  В1АС1 как средние члены, получим
вертикальные
ВА

АС
Итак, ∆ВВ1А ~ ∆СС1А по В 1 А С 1 А
двум равным углам. В
Итак, ∆АВС ~ ∆ АВ1С1,
подобных
треугольниках
сходственные
стороны т.к  ВАС =  В АС и
1
1
пропорциональны, т.е
ВА
СА

В1 А
ВА
С1 А
В1 А

АС
С1 А
) ч.т.д.
ВА и СА – стороны ∆АВС;
В1А и С1А – стороны ∆
СС1А.
Стороны АВ и АС, АВ1 и
АС1
принадлежат
треугольникам
подобие
которых надо доказать. Но
по признакам подобия
треугольников,
сходственные
стороны
одного
треугольника
пропорциональны
сходственным
сторонам
другого треугольника, а у
нас в отношении стороны
одного треугольника. Что
делать? Как быть? Нужно
поменять местами стороны
Основное
свойство АС и В А, т. е. члены
1
пропорции:
в
верной пропорции. Получим
пропорции произведение
АС
крайних
членов
равно ВА

произведению
средних В 1 А С 1 А
членов.
т.е. пропорциональность .
сходственных сторон.
Итак, ∆АВС ~ ∆ АВ1С1,т.к
 ВАС =  В1АС1 и
ВА
В1 А

АС
С1 А
) ч.т.д.
Итак, задача решена. Правило 2 определяет, то, что необходимо знать для
решения задачи, а знания определяются 1 правилом. Если данные известны, то
действие выполняется, задача решается, а если данных недостаточно, то идет
поиск нового пути, то тех пор пока проблема не будет решена. Решая проблему
можно столкнуться с тем, что я знаю, есть такое правило, свойство, теорема, но я
его забыла. Я могу воспользоваться учебником, справочником. Но если я не
смогу найти и обосновать логическую связь между данными задачи, то задача не
будет решена.
Итак, мой ответ на поставленный вопрос: «Наиболее полезно для
исследователя правило 2».
СПИРАЛИ
Спираль — двухмерная (плоская) или трёхмерная винтообразная кривая,
огибающая
некоторую
центральную точку или ось и
постепенно
приближающаяся или удаляющаяся от неё, в зависимости от направления обхода
кривой.
Некоторые из наиболее важных типов двумерных (плоских) спиралей:
Архимедова спираль:
Гиперболическая спираль
Спираль Ферма
Логарифмическая спираль:
Трехмерные спирали тоже непрерывные линии.
Примером
простой
трёхмерной спирали
определенная как спираль на конической поверхности.
является винтовая линия,
Сложной
трёхмерной
спиралью
является сферическая
спираль (локсодрома) — это кривая на сфере, пересекающая все меридианы под
одним углом (непрямым). Эта кривая имеет бесконечное число витков. Расстояние
между ними убывает по мере приближения к полюсам.
Многозначность спирали необычайно велика.
«Спираль» —
авиационно-космическая
система.
Система
космического
назначения, состоящая из орбитального самолёта, который по технологии
воздушный старт должен был выводиться в космос гиперзвуковым самолётомразгонщиком, а затем ракетной ступенью на орбиту.
МиГ – 105.11 дозвуковой самолет –
аналог орбитального самолета в
авиамузее в Монино
Спирали в фигурном катании. Спираль — обязательный элемент женского и
парного фигурного катания, длительное скольжение на чётком ребре одного конька
в неизменной позе с поднятой свободной ногой. В результате на льду должен
остаться след с плавно меняющейся кривизной. В исполнении этого элемента важна
красота и точность позы.
Традиционно спиралью называют «ласточку», когда фигурист, скользя на
одной ноге, кладёт туловище горизонтально, а свободную ногу поднимает настолько
высоко, насколько позволяет растяжка. Также к спиралям по традиции относят
элементы «кораблик» и «бауэр», когда фигурист скользит на двух ногах на
наружных или внутренних рёбрах; подобные элементы считаются связующими.
Спираль — электронагревательный элемент (обычно открытый металлический)
спиральной формы.
Спираль — в электро-технике.
Существуют произведения с таким названием:
Спираль — название нескольких фильмов.
Спираль — название нескольких книг.
Спираль (телесериал, Япония)
Спираль (телесериал, США)
Спираль, несмотря на простоту изображения, - это сложный и емкий по
значению символ. Еще древние люди использовали её как декоративный символ,
узор, легко наносимый на дерево, камни, глину. Форма спирали сочетает в себе
симметрию и золотое сечение, при зрительном восприятии она вызывает ощущение
гармонии и красоты.
Спираль считается знаком развития, жизненной силы, данной нам природой.
Это стремление к новым уровням, к мудрости. Спираль часто ассоциируется со
змеей, олицетворяющей мудрость предков. Змеи очень любят сворачиваться
кольцами и внешне походят на спирали.
В природе спираль проявляется в трех основных формах:
застывшей (раковины улитки)
расширяющейся (звездное скопление)
Сжимающейся (подобие водоворота)
Спираль близка к кругу – самой идеальной форме из всех, что создала
природа. Стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень
распространены в природе.
Спиралью закручивается ураган, торнадо, смерч
смерч
торнадо
Спирали в космосе в формах галактик.
Галактика вблизи Млечного Пути
Спиралевидная Галактика
Архимедова спираль
Архимед (287 – 212 до н.э)
Древнегреческий ученый из Сиракуз изучил форму спирально закрученной
раковины и
вывел
уравнение спирали
r  a
постоянная, определяющая плотность витков спирали,
угла.
, где а −
положительная
 - произвольные значения
Вычерченный им по этому уравнению виток назван его именем – спираль
Архимеда. Спираль Архимеда – это виток, который описывает точка, движущаяся с
постоянной скоростью вдоль луча, вращающегося с неизменной угловой скоростью
вокруг своего начала.
Построение первого витка спирали Архимеда.
Начертим окружность. Разделим ее и радиус на 8 равных частей. Проведем ко всем
точкам деления лучи из центра О окружности и пронумеруем их. На луче 1 отметим
точку на расстоянии r1 
расстоянии r2 
2
8
1
8
r от центра окружности. На луче 2 отметим точку на
r , на луче 3 - точку на расстоянии r3 
поставим точку на расстоянии r8 
8
8
3
8
r и т.д. На луче 8
r . Соединив последовательно плавной кривой
полученные точки, мы получим первый виток спирали Архимеда.
Свойства спирали Архимеда
- Спираль Архимеда – симметричная кривая, относительно перпендикуляра,
проведенного из полюса О к оси Ох.
- Спираль может иметь множество оборотов.
- Угол подъема спирали определяется по формуле tq  
1

- Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является
постоянство расстояний между витками, каждое из которых равно 2  а . При
вращении в одном направлении спираль закручивается, при вращении в другом –
раскручивается. Спираль словно оживает.
Спираль Архимеда преобразует
поступательное движение стержня.
вращательное
движение
шайбы
в
Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах выражает ее основное
свойство, какую бы точку этой спирали мы ни взяли, отношение длины ее радиусвектора (расстояния от начала координат до выбранной точки) к полярному углу
(отсчитываемому от некоторого фиксированного направления) будет одним и тем
же.
Если спираль Архимеда вычертить поточнее, можно воспользоваться прибором,
состоящим из двух картонных кружков, к которым с помощью булавки
прикрепляется полоска картона специальной формы. При вращении полоски
карандаш перемещается вдоль ее края со скоростью, которая будет
пропорциональна скорости вращения.
Скорость, с которой точка описывает спираль, в каждой произвольной точке
направлена по касательной к спирали в этой точке. Если известно, как направлена
эта скорость, то можно построить касательную.
При возрастании угла 
в арифметической прогрессии с разностью

2
полярный радиус r возрастает тоже с арифметической прогрессией с разностью

а .
2
Площадь, заключенная между спиралью и прямой, пришедшей в
первоначальное положение, равна третьей части площади круга. Центр которого —
неподвижная точка, а радиус равен части прямой, которую прошла точка во время
одного оборота прямой.
Если прямая, сделавшая оборот, и точка, двигавшаяся по этой прямой, будут
продолжать свое движение, повторяя свои вращения, приходя каждый раз снова в
первоначальное положение, то площадь, заключенная в витке, полученном от
третьего вращения, вдвое больше площади, заключенной в витке второго вращения.
Площадь, полученная от четвертого вращения, втрое более площади второго
вращения. Площадь, полученная от пятого вращения, вчетверо больше. Площади
витков, полученных при следующих вращениях, соответственно будут равны
площади, заключенной в витке, полученном при втором вращении, умноженной на
числа, следующие за только что упомянутыми. Площадь, заключенная в витке
первого вращения, равна шестой части площади витка второго вращения.
В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в
технике и очень распространена в природе.
Спираль Архимеда используется в качестве линии, позволяющей разделить
заданный угол на любое количество равных частей. В некоторых готовальнях в
старину в состав рабочих инструментов входила металлическая пластинка с
тщательно выгравированной на ней спиралью Архимеда. С помощью такого
приспособления было нетрудно разделить угол на несколько равных частей.
Например, для трисекции угла ВАС достаточно приложить пластину ее ровной
частью к одному из лучей угла (рис. 5) и поделить получившийся отрезок АВ на 3
равные части. На дуге спирали следует сделать засечку радиусом АО = - АВ. Тогда
угол САО будет равен одной трети угла ВАС.
Архимедову спираль использовали в древности как наилучший способ
определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод
нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала
возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и
площади круга.
Спираль Архимеда в природе
Пауки спиралеобразно плетут паутину, закручивая нити по спирали вокруг центра
Головка подсолнуха состоит из спиралей Архимеда, одни из которых закручены по
часовой стрелке, а другие против.
Спирали в ветках и шишках сосны
На молодой сосновой веточке легко заметить, что хвоинки образуют две спирали,
идущие справа снизу налево вверх. На многих шишках «чешуйки» расположены в
трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. В крупных шишках
удается разглядеть 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей
Спирали алоэ и ананаса
Спирали на кактусах
Спирали присутствуют в структуре произведений искусства. В основном в узорах,
реже в архитектуре
Винтовая лестница
Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно
из изобретений – винт, использовалось как механизм передачи воды в оросительные
каналы из низколежащих водоемов.
Винт Архимеда стал прообразом шнека («улитки») – устройства, широко
используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и
тестообразных материалов
Винтовой ротор в мясорубке
бетономешалка
Наматывание ниток в швейных машинах
Самоцентрирующийся патрон в электродрели
Спиральные антены
Звуковые дорожки на CD и DVD
Спираль Архимеда нашла практическое применение в математике, технике,
архитектуре, машиностроении.
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль является экзотическим графиком. Первым учёным,
открывшим эту удивительную кривую, был Р. Декарт (1596 – 1650г.)
В конце XVII в многие свойства «изумительной спирали» были исследованы
Якобом Бернулли.
Логарифмическую спираль описывает точка, движущаяся по секундной
стрелке не с постоянной скоростью
(как в архимедовой спирали), а с
возрастающей, причем это возрастание пропорционально расстоянию от центра
часов.
Логарифмическая спираль описывается уравнением r=a  , где а – постоянная,
r – расстояние от точки, вокруг которой закручивается спираль (ее называют
полюсом), до произвольной точки на спирали,  – угол поворота относительно
полюса.
Построение логарифмической спирали.
1 способ. Отметим точку - полюс О и отрезок прямой, равный OA, причём точка А
принадлежит спирали. Через полюс О проведем под равными углами друг к другу
радиусы-векторы под углом 45°. Из точки А под углом к радиусу-вектору OA строим
хорду, угол задаем как параметр, характеризующий данную спираль; например  =
60°. Построенная хорда пересечёт смежный радиус-вектор в точке 1, также
принадлежащей спирали. Проведя из точки 1 хорду под тем же углом, получим на
радиус-векторе 02 точку 2, принадлежащую этой спирали. Следующие точки строим
таким же образом. Получив точки первого оборота спирали, строим дальше в таком
же порядке точки, принадлежащие второму, третьему и т. д. оборотам. Число
оборотов для этой спирали бесконечно.
Логарифмическая спираль возникает и во многих других геометрических
построениях, связанных с числом «золотое сечение»
2 способ. Для построения Золотой спирали (логарифмической) можно использовать
золотой прямоугольник. Начнем с квадрата со стороной а. Проведем линию от
середины одной из его сторон к одному из углов у противоположной стороны
∆ EDB – прямоугольный. Следующий шаг в построении Золотого прямоугольника
заключается в продолжении линии CD до точки G так, чтобы EG равнялась ВЕ.
После завершения построения, стороны прямоугольника будут соотноситься как
Золотая пропорция, поэтому и прямоугольник AFGC, и BFGD являются Золотыми
прямоугольниками.
Любой Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и меньший Золотой
прямоугольник.
Этот процесс теоретически можно продолжать до бесконечности. Эти
получающиеся прямоугольники скручиваются внутрь, промаркированы A, B, C, D,
E, F и G.
Приблизительно из центральной точки мы можем начертить спираль, как
показано соединяя точки пересечения каждого скручивающегося квадрата в порядке
возрастания размера. Так как квадраты скручиваются внутрь и наружу, их точки
соединения выписывают Золотую спираль
Помимо золотых прямоугольников имеются и золотые треугольники.
Равнобедренный треугольник называется золотым, если его боковая сторона и
основание находятся в золотом отношении.
АВ
АС


АС
1
АВ


1
В золотом треугольнике АВС, аналогично тому, как это делалось для золотого
прямоугольника, можно построить последовательность вращающихся золотых
треугольников. Соединяя вершины этих треугольников плавной кривой, получим
золотую спираль.
Свойства логарифмической спирали:
- Спираль имеет бесконечное множество витков и при раскручивании, и при
скручивании. Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью
- Расстояния между последовательными витками образуют геометрическую
прогрессию;
- Последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы
друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию;
- Образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими
радиусами, подобны друг другу.
- В любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и
радиус-вектором сохраняет постоянное значение.
- Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния (logar)
возрастает пропорционально углу поворота  .
- Произвольный луч, выходящий из полюса спирали, пересекает любой виток
спирали под одним и тем же углом.
Логарифмическая спираль не изменяет своей природы при многих
преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или растянуть
эту спираль – то же самое, что повернуть ее на определенный угол.
Угол поворота радиуса-вектора изменяется в арифметической прогрессии, а
радиус-вектор изменяется в геометрической прогрессии.
Если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно наблюдать
кажущееся растяжение спирали.
Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющей своей
формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая
спираль так часто встречается в природе
Логарифмическая спираль в природе
Галактика Солнечной системы
Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в
том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.
Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При
этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и выше и
толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном
направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится
скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой
рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым
пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток
закручены по логарифмической спирали.
Раковина наутилуса
Соцветия маргаритки
Рога таких млекопитающих, как архары, закручены тоже по логарифмической
спирали.
Применения логарифмической спирали в технике
Вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль,
очерченный по дуге спирали. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал,
зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости
вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял
постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге
логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого
материала.
Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и
художники. Картина Вермера «Кружевница».
В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, проводящую
поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на
изменение направления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды
используется с максимальной производительностью.
ГЭС водяное колесо
Работая над темой, мы раскрыли для себя много интересного и полезного.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа