close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

84.Гидравлика (основы статики и динамики жидкости, прикладная механика жидкости и газа)

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
ГИДРАВЛИКА
(ОСНОВЫ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ
ЖИДКОСТИ,
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
ЖИДКОСТИ И ГАЗА)
Задачник
Составитель В.А. НИКИТИН
Рекомендовано Ученым советом
государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
в качестве учебного пособия для
студентов, обучающихся по программам
высшего профессионального образования
по специальности теплогазоснабжение и вентиляция.
Оренбург 2008
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 532 (075.8)
ББК 30.123 я 73
Н-62
Рецензент
кандидат технических наук, доцент В.Г.Удовин
Н – 62
Гидравлика (Основы статики и динамики жидкости, Прикладная
механика жидкости и газа) [ Текст ]: Задачник ⁄ сост. В.А.
Никитин. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2008. – 227 с.
ISBN 5-7410-0692-2
Учебное пособие и задачи составлены по основным темам курса
«Гидравлика», «Прикладная механика жидкости и газа». Каждая
тема содержит краткие сведения из теории, несколько задач с
решением и далее задачи для решения в порядке возрастания их
сложности.
Учебное пособие предназначено:
- для практических занятий;
- для закрепления теоретических знаний студентов специальности:
270109 - Теплогазоснабжение и вентиляция,
архитектурно - строительного факультета, форма обучения очная.
ББК 30.123 я 73
Η
2004030000
6 Л 9 − 01
© Никитин В.А. 2008
©ИПК ГОУ ОГУ, 2008
ISBN 5-7410-0692-2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение
Раздел 1. Основы статики и динамики жидкости
Глава 1
Основные свойства жидкостей и газов. (Теоретические
предпосылки по главе)
§1 Жидкости и газы
§2 Задачи с решением
§3 Задачи для решения
Глава 2 Гидростатическое давление. Закон Паскаля. (Теоретические
предпосылки по главе)
§4 Силы действующие в жидкости
§5 Задачи с решением
§6 Задачи для решения
Глава 3 Давление жидкости на стенку. Закон Архимеда. (Теоретические
предпосылки по главе
§7 Давление жидкости на плоскую стенку
§8 Задачи с решением
§9 Задачи для решения
Глава 4 Основы гидродинамики. (Теоретические предпосылки по главе)
§10 Основные понятия
§11 Уравнения неразрывности движения жидкости
§12 Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
§13 Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости
§14 Уравнение Бернулли для потока жидкости
§15 Задачи с решением
§16 Задачи для решения
Раздел 2. Прикладная механика жидкости и газа
Глава 5 Движение реальной жидкости. (Теоретические предпосылки по
главе)
§17 Два вида движения вязкой жидкости
§18 Критерий Рейнольдса
§19 Свойства ламинарного движения
§20 Понятие о турбулентном потоке
§21 Задачи с решением
§22 Задачи для решения
Глава 6 Гидравлические сопротивления. (Теоретические предпосылки по
главе)
§23 Сопротивление трения по длине потока
§24 Влияние шероховатости стенки на коэффициент трения
§25 Местные сопротивления
§26 Принцип наложения потерь
§27 Задачи с решением
§28 Задачи для решения
3
4
7
7
7
21
26
28
28
35
47
55
55
60
70
75
75
76
77
79
80
81
94
101
101
101
101
102
104
107
119
123
123
124
127
130
131
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 7 Истечение жидкостей из отверстий и насадок. (Теоретические
предпосылки по главе)
§29 Истечение из малого отверстия в тонкой стенке
§30 Различные случаи истечения жидкости из отверстия
§31 Истечение из отверстия при переменном напоре
§32 Истечение из цилиндрической насадки
§33 Истечение из суживающихся насадок
§34 Истечение из расширяющихся насадок
§35 Коэффициент расхода системы
§36 Задачи с решением
§37 Задачи для решения
Глава 8 Движение жидкости по трубопроводам. (Теоретические
предпосылки по главе)
§38 Расходная характеристика трубы
§39 Простой трубопровод
§40 Параллельное соединения трубопроводов
§41 Разветвлённый трубопровод
§42 Понятие о гидравлическом ударе в трубах
§43 Основы технико-экономического расчёта трубопроводов
§44 Задачи с решением
§45 Задачи для решения
Список использованных источников
Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Приложение Г
Приложение Д
Приложение Е
4
155
155
157
159
160
161
163
164
165
175
182
182
183
185
186
188
190
191
206
213
214
214
215
216
220
221
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Гидравликой называется наука, занимающаяся изучением законов
равновесия и движения жидкостей и газов. Гидравлика является основой целого
ряда специальных дисциплин и курсов. В современном, технически развитом,
обществе назвать какую-нибудь область инженерной деятельности практически
невозможно, в которой не приходилось бы иметь дело с движением жидкостей
или газов и, следовательно, не приходилось бы применять в той или иной мере
законы гидравлики.
Теоретические
основы
гидравлики
базируются
на
законах
гидромеханики, которые устанавливают связь между действующими силами,
скоростями движения и гидромеханическим давлением, выражающуюся
обычно в форме сложных дифференциальных уравнений.
Широкое использование жидкостей в современной технике и
промышленности послужило, в свою очередь, причиной возникновения и
развития прикладных разделов гидравлики, создававшихся главным образом на
основе практики и эксперимента, испытания образцов новой техники.
Совокупность опыта, отражающей физическую сущность явления, и
данных эксперимента, опыта практики позволила со всей глубиной разработать
современные законы гидравлики.
Необходимо отметить, что законы движения и равновесия газов в тех
случаях, когда в процессе изменения состояния не изменяется плотность газа,
во многом тождественны законам, установленным для жидкостей.
Гидравлика является одной из древнейших наук. Её развитие
неразрывно связано со всей историей борьбы человека за использование сил и
благ природы.
Практика строительства водопроводов, каналов, плотин в глубокой
древности, за 2000 – 3000 лет до н.э., в Ассирии и Египте, Китае и Индии,
Греции и Риме и в других странах положила начало возникновению гидравлики
как прикладной науки. Первым научным обобщением накопленных практикой
сведений о природе и свойств воды, дошедшим до наших дней, является
трактат Архимеда «О плавающих телах», написанный за 250 лет до н.э.
автором, будучи в Египте и изучавшим устройство водяных часов и других
гидросооружений. В эпоху возрождения в 15 – 17 вв.
начали появляться
экспериментальные исследования, в Италии появилась гениальная личность Леонардо да Винчи (1452 – 1519), который, как известно, преуспел в самых
различных областях наук и знаний, а именно: в области гидравлики – создал
принцип работы гидравлического пресса, аэродинамику летательных
аппаратов, образование водоворотных областей, отражение и интерференцию
волн, истечение жидкостей через отверстия и водосливы, изобрёл
центробежный насос, парашют и анемометр, оформил свои работы, которые,
только сохранившиеся в объёме 7 тысяч страниц, находятся в библиотеках
Лондона, Виндзора, Парижа, Милана, Турина. К этому периоду относятся
труды и работы великих - Галилея, Торричелли, Паскаля, Ньютона и др.,
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
имевшие характер отдельных научных исследований и способствовавшие
дальнейшему развитию гидравлики как науки.
Теоретические основы гидравлики, её фундамент – гидромеханика как
учение о движении и равновесии жидкостей – были созданы в Российской
Академии Наук трудами её академиков – М.В. Ломоносов (1711 – 1765 гг.),
Д.И. Бернулли (1700 – 1782 гг.), Л.П. Эйлер (1707 – 1793 гг).
Кинетическая теория газов, разработанная М.В. Ломоносовым,
устанавливая единство процессов взаимных превращений тепловой и
механической энергии, связала тем самым механику с физикой.
В замечательном исследовании «Гидродинамика, или записки о силах и
движениях жидкости» Д.И. Бернулли дал уравнение, связывающее давление и
скорость в элементарной струйке идеальной жидкости, являющейся до сих пор
одним из основных уравнений гидравлики.
Л.П. Эйлер составил дифференциальные уравнения равновесия и
движения идеальной жидкости, ставшие основой дальнейшего развития
теоретической гидромеханики.
Россия явилась тогда родиной этих крупнейших исследований не
случайно: именно здесь, начиная
с 18 века, идёт интенсивное
гидротехническое строительство парков, каналов и развивается речной и
морской транспорт, строительство военно-морской державы.
Дальнейшее развитие гидромеханики принадлежит талантливым
русским гидротехникам М.И. Сердюковым, В.Н. Татищевым, К.Д. Фроловым и
в период развития авиации – русским учёным Н.Е. Жуковскому (1847 – 1920
гг.) и С.А. Чаплыгину (1869 – 1945 гг.) как творцам современной аэродинамики,
которая также является разделом продолжения гидравлики.
В своих работах Н.Е. Жуковский впервые обосновал теорию подъёмной
силы крыла, являющейся основой для расчёта крыльев самолётов, лопастей
турбин, насосов, пропеллеров и т.д. Классические работы Н.Е. Жуковского по
разработке теории гидравлического удара в трубах и теории фильтрации
подземных вод послужили основой возникновения новых разделов гидравлики
и дальнейшего её развития.
Выдающуюся роль в развитии гидромеханики сыграл С.А. Чаплыгин.
Его труды, из которых особо следует отметить работу «О газовых струях»,
составили основу новой науки – газовой динамики, получившей сейчас
исключительное большое развитие.
Широкую известность приобрели работы учёных Н.П. Петрова –
создателя гидродинамической теории смазки и теории трения жидких тел, И.С.
Громеко – основателя теории вихревого движения жидкости, В.Г. Шухова –
автора методики расчёта нефтепроводов.
Ведущая роль в развитии гидравлики принадлежит крупному учёному
России Н.Н. Павловскому, разработавшему основы расчёта открытых русел и
каналов и теорию напорной фильтрации, ряд выдающихся работ в области
гидравлики выполнены учёными С.А. Христиановичем, А.Н. Колмогоровым,
Л.С. Лейбензоном, а ученые М.В. Кирпичёв и А.А. Гухман создали теорию
подобия физических явлений.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Человеческая мысль мирового сообщества не останавливается на
достигнутом, развивается и будет развиваться дальше, успешно решая
грандиозные задачи прогресса и качества жизни на планете – Земля!
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Раздел 1. Основы статики и динамики жидкости [1, 3, 4]
Глава 1. Основные свойства жидкостей и газов. (Теоретические
предпосылки по главе)
§1 Жидкости и газы
Жидкости и газы отличаются от твёрдых тел тем, что обладают
свойством текучести, иными словами характеризуются почти неограниченной
подвижностью частиц и почти полным отсутствием сопротивления разрыву или
изменению формы, просто принимают форму того сосуда, в котором они
находят себе место пребывания. Обладая общим свойством – текучестью, жидкости и газы отличаются друг от друга сжимаемостью, т.е. способностью
изменять объём под воздействием давления.
Так называемые капельные жидкости характеризуются почти полной
несжимаемостью и очень малым коэффициентом температурного расширения,
а так называемые газы наоборот изменяют свой объём в широких пределах с
изменением давления и температуры.
Существуют понятия невязкой (идеальной) и вязкой (реальной)
жидкостей, принимаемые в теоретических и практических расчётах. Идеальная
жидкость – абстрактная модель жидкости, обладающая абсолютной жидкостью
и отсутствием касательных напряжений сил трения (отсутствием вязкости), и
реальная (вязкая) жидкость, в которой при движении возникают касательные
напряжения сил трения. Рабочим телом в гидравлике и в гидросооружениях
служат вязкие жидкости. Выводы, получаемые для капельно-жидких тел,
можно распространять и на газообразные тела в том случае, если движение газа
происходит с небольшими скоростями (до 100 м/с) и в пределах
рассматриваемого явления изменение давления и температуры незначительно.
Таким образом, основные свойства жидкостей, существенные при
рассмотрении задач механики жидкости, - плотность и вязкость. В некоторых
случаях (при образовании капель, течении тонких струй, образовании
капиллярных волн и др.) имеет значение также поверхностное натяжение
жидкости.
Единицы измерения. Невозможно перейти к изучению основных свойств
жидкости без остановки на единицах измерений, принятых в технике и,
следовательно, в гидравлике и аэродинамике. За основу принята
Международная система единиц измерения СИ (наряду со внесистемными
единицами), кроме того, в инженерной практике теплогазоснабжения и
вентиляции используется также система МКГСС, положенная в основу
технических нормативных документов (ГОСТ, СНиП и др.) и каталожных
данных, а в ряде случаев система ЦГС или CGS. Надо сказать ещё о старых
учебниках и справочниках изданных до принятия системы измерений СИ,
которые обладают уникальными материалами, но в старых системах
измерений. Если студент не будет лениться, и освоит старую систему
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
измерений, то будет вознаграждён ценными теоретическими и практическими
материалами.
Основными единицами измерений в гидравлике являются единицы
длины (метр, м), массы (килограмм, кг), времени (секунда, с),
термодинамической температуры (кельвин, К), которые мы выбираем из
основных единиц Международной системы СИ. Производные единицы
системы СИ, употребляемы в гидравлике и аэродинамике, приведены в
таблице 1.1.
Таблица 1.1 - Производные единицы Международной системы СИ
Величина
Объёмный расход
Массовый расход
Скорость течения
Ускорение
Сила
Давление, напряжение,
модуль упругости
Динамическая вязкость
Кинематическая вязкость
Плотность
Удельный вес
Работа, энергия
Мощность
Удельная газовая
постоянная
Масса
Наименование
Кубический метр в
секунду
Килограмм в секунду
Метр в секунду
Метр на секунду в
квадрате
Ньютон
Паскаль (ньютон на
квадратный метр)
Паскаль – секунда
(ньютон – секунда на
квадратный метр)
Квадратный метр на
секунду, стокс
Килограмм на
кубический метр
Ньютон на кубический
метр
джоуль
Ватт (Киловатт)
Джоуль на килограмм –
градус кельвина
Килограмм (тонна)
Обозначение
м3/с
кГ/с
м/с
м/с2
Н
Па (Н/м2)
Па · с (Н·с/м2)
м2/с
Ст
кГ/м3
Н/м3
Дж (Н·м)
Вт (кВт)
Дж/(кГ·К)
кг ( т )
До сих пор широко используются в практике инженерных расчётов
измерение давление (напоров) в технических атмосферах (ат), метрах водяного
и миллиметрах ртутного столба (м вод. ст., мм рт. ст.) измерение температуры
в градусах Цельсия (ºС), динамической вязкости в пуазах (П) и кинематической
вязкости в стоксах (Ст), работы и энергии в киловатт-часах (кВт·ч).
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перевод основных единиц измерения, принятых в гидродинамике и
аэродинамике старого обозначения в системе МКГСС
и международной системы СИ.
1 Температура по абсолютной термодинамической шкале
(
)
T = tο C + 273,16 K ;
2 Сила – Ньютон – сила, сообщаемая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2;
1 Н = 1 кг·м/с2 ≈ 0,102 кГс; 1 кГс ≈ 9,81 Н;
3 Давление - Паскаль – давление силы 1 Н на 1 м2;
1 Па ≈ 0,1 кгс/м2 = 0,102 мм рт. ст., или 0,0075 мм вод. ст. (если давление
в капельной жидкости отнесено к единице веса – так называемый напор);
1 кгс/м2 = 1 · 10-4 кГс/см2 = 9.8 Па;
Рабс = Ратм + Ризб = ата
Ризб = ати
4 Динамическая вязкость – сила в ньютонах, проявляющаяся на 1 м2
площади соприкасания двух смежных слоёв жидкости при градиенте скорости
1 м/с/м.
1 Па·с = 0,102 кГс·с/м2 = 10 П (Пуаз)
5 Кинематическая вязкость – отношение динамической вязкости к
плотности жидкости:
1 м2/с = 104 см2/с (Ст);
1 Ст = 1·10-4 м2/с.
6 Коэффициент объёмного сжатия - относительное изменение объёма
жидкости на единицу изменения давления:
1 Па-1 = 9,8 м2/кГс;
1 м2/кгс = 0,102 Па-1;
7 Модуль упругости
сжатия:
- величина, обратная коэффициенту объёмного
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Па = 0,102 кГс/м2;
1 кгс/м2 = 9,8 Па.
Плотность жидкостей. Плотностью жидкости ρ называется её масса,
заключённая в единице объёма рассчитывается по формуле (1.1):
ρ=
M
;
W
(1.1)
где M – масса жидкости в объёме W.
Плотность воды при +4 º С ρ В4 =1000кг / м3 ; 102кГс ⋅ с 2 / м 4 ;
(
)
На практике о массе жидкости судят по её весу. Вес жидкости,
приходящийся на единицу объёма, называется удельным весом и
рассчитывается по формуле (1.2):
γ =
G
;
W
(1.2)
где G – вес жидкости в объёме W.
Удельный вес воды при +4 ºС γ4В = 9810 Н/м3 ; (1000 кГс/м3);
Плотность и удельный вес связан между собой соотношением (1.3):
γ =ρ⋅g
(1.3)
где g – ускорение свободного падения.
Относительным удельным весом жидкости (или относительным весом) δ
называется отношение удельного веса данной жидкости к удельному весу воды
при +4 ºС и рассчитывается по формуле (1.4):
δ =
γЖ
;
γ В4
(1.4)
В отличие от удельного веса относительный удельный вес представляет
собой отвлечённую (безразмерную) величину, численное значение которой не
зависит от выбранной системы единиц измерения. Так, для пресной воды при
+4 ºС имеем – δ4В =1 .
В таблице 1.2 приведены значения удельного веса и плотности
некоторых капельных жидкостей, а в таблице 1.3 приведены значения
удельного веса и плотности некоторых сжимаемых жидкостей – (газов).
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
º
Таблица 1.2 - Плотность ρ и удельный вес γ капельных жидкостей при
20 С.
Жидкость (тип)
Анилин
Бензол
Бензин авиационный
Вода пресная
Вода морская
Глицерин безводный
Керосин
Масло касторовое
Нефть
Ртуть
Спирт этиловый (безводн.)
Хлористый натрий
(раствор)
Эфир этиловый
Масло минеральное
γ , Н/м3
9270
8590 - 8630
7250 - 7370
9790
10 010 – 10 090
12 260
7770 - 8450
9520
8340 - 9320
132 900
7440
10 690
ρ , кг/м3
1040
876 – 880
739 - 751
998,2
1002 - 1029
1250
792 - 840
970
850 - 950
13 547
789,3
1200
7010 - 7050
8000 - 8750
715 - 719
877 - 892
Таблица 1.3 - Приближённые значения плотности ρ и удельного веса
γ газов при давлении 740 мм рт. ст. и t = 15 ºС.
Газ (тип)
Водород
Водяной пар
Окись углерода
Азот
Воздух
Кислород
Углекислота
γ , Н/м3
0,81
7,25
11,3
11,3
11,6
12,8
17,6
ρ , кГ/м3
0,08
0,74
1,15
1,15
1,2
1,3
1,8
Плотность, а следовательно, удельный и относительный удельный вес
жидкостей меняются с изменением давления и температуры. Эта зависимость
существенно различна для капельных жидкостей и газов.
Сжимаемость и температурное расширение.
Сжимаемость
капельных жидкостей под действием давления характеризуется коэффициентом
объёмного сжатия βω, который представляет собой относительное изменение
объёма жидкости на единицу изменения давления (формула (1.5):
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
βω = −
1 ∆W
;
⋅
W ∆p
(1.5)
где W - первоначальный объём жидкости;
∆W - изменение этого объёма при увеличении давления на величину ∆р.
Коэффициент объёмного сжатия в системе СИ имеет размерность Па-1.
Знак минус в этом обозначении обусловлен тем, что положительному
приращению давления р соответствует отрицательное приращение
(уменьшение) объёма сжимаемой жидкости.
Величина, обратная коэффициенту объёмного сжатия, называется
модулем упругости жидкости и рассчитывается по формуле (1.6):
− ЕΟ =
1
βω
;
(1.6)
Коэффициент объёмного сжатия капельных жидкостей мало меняется
при изменении температуры и давления – среднее значение для воды:
βω =
1
1
см 2 /кГс;
Π а −1; или
9
20000
2 ⋅10
Е Ο = 2 ⋅109 Π а;
(1.7)
Таблица 1.4 - Значения коэффициента объёмного сжатия воды при
разных температурах и давлениях
t ,ºС
0
05
10
15
20
50
5,4
5,29
5,23
5,18
5,15
βω·102, Па-1 при давлениях в Па·104
100
200
390
5,37
5,31
5,23
5,23
5,18
5,08
5,18
5,08
4,98
5,10
5,03
4,88
5,05
4,95
4,81
780
5,15
4,93
4,81
4,70
4,60
Таким образом, при повышении давления на 9,8·104 Па (1ат) объём воды
уменьшается на 1/20 000 часть первоначальной величины. Коэффициент
объёмного сжатия для других капельных жидкостей имеет примерно тот же
порядок. В подавляющем большинстве случаев, встречающихся в практической
деятельности гидромеханика, теплотехника, газосантехника и т.д., изменения
давления не достигают больших величин изменения объёма жидкостей, и
поэтому сжимаемостью жидкостей можно пренебречь, считая удельный вес и
плотность ее, не зависящим от давления. Прочность жидкости на разрыв при
решении практических задач не учитывается, если не приходится иметь дело с
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
силами поверхностного натяжения и с силами смачиваемости поверхностей той
же жидкостью.
Температурное расширение капельных жидкостей характеризуется
коэффициентом температурного расширения βt , выражающим относительное
увеличение объёма жидкости при увеличении температуры на 1 градус:
βt =
1 ∆W
;
⋅
W ∆Τ
(1.8)
где W - первоначальный объём жидкости;
∆W - изменение этого объёма при повышении температуры на величину
∆Τ.
∆Τ - изменение температуры в сторону повышения или понижения на 1
градус Цельсия. В приведённой ниже таблице видно, что значения данного
коэффициента очень низкие и приближаются к нулю.
Таблица 1.5 - Коэффициент температурного расширения воды
Давление,
Па·104
10
980
1960
4900
8830
1 - 10
0,000014
0,000043
0,000072
0,000149
0,000229
βt, 1/градус при температуре, ºС.
10 - 20
40 – 50
60 - 70
0,00015
0,000422 0,000556
0,000165 0.000422 0,000548
0,000183 0,000426 0,000539
0,000236 0,000429 0.000523
0,000294 0,000437 0,000514
90 - 100
0,000719
0,000714
0,000661
0,000621
Плотность и удельный вес воды и капельных жидкостей, имеющих
сродство по свойствам воде, мало изменяются с изменением давления и
температуры. Можно приближённо считать для жидкостей типа воды, что
плотность их не зависит от давления, а определяется только температурой. Из
выражения (1.8) и (1.1) легко определить соотношение (1.9) для расчёта
изменения плотности капельных жидкостей с изменением температуры:
ρt = ρ tο ⋅
1
;
1+ β t ⋅ ( Τ − Το )
(1.9)
Значения коэффициента βt в выражении 1.9 находят из таблиц свойств
конкретной жидкости в пределах заданных интервалов температур.
В отличие от капельных жидкостей газы характеризуются значительной
сжимаемостью и высокими значениями коэффициента температурного
расширения. Зависимость плотности газов и температур устанавливается
уравнением газового состояния. Наиболее простым свойством обладает газ,
разряжённый настолько, что взаимодействие между его молекулами может не
учитываться и тогда такой газ называют совершенным, т.е. идеальным газом.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для совершенных (идеальных) газов справедливо уравнение
Клайперона, позволяющее определять плотность газа при известных давлении
и температуре (1.10):
ρ=
Ρ
;
R ⋅T
(1.10)
где Р – абсолютное давление;
R – удельная газовая постоянная, различная для разных газов, но не
зависящая от температуры и давления;
(например для воздуха R=287 Дж/(кГ·К));
Т – абсолютная температура.
Поведение реальных газов в общем неоднозначно, но в условиях
далеких от сжижения, газы обычно незначительно отличаются от поведения
совершенных (идеальных) газов, и для этих газов в широких пределах можно
пользоваться уравнением состояния. В технических расчётах плотность газа
обычно приводят к нормальным физическим условиям (t = 0º; р = 101 325 Па)
или к нормальным стандартным условиям (t = 20 ºС; р = 101 325 Па). Это
особенно важно, когда идёт учёт расхода газа в нормокубометрах.
Плотность воздуха при R = 287 Дж/(кГ·К) в нормальных стандартных
условиях по формуле (1.10) будет равна:
ρο =
101325
=1.2кг / м3 ;
287 ⋅ ( 273 + 20 )
(1.11)
Плотность воздуха при других условиях определяется по формуле (1.12):
ρ = ρο ⋅
p Το
⋅ ;
pο Τ
(1.12)
Вязкость жидкостей.
Вязкостью называется свойство жидкостей
оказывать сопротивление сдвигу. Все реальные жидкости обладают
определённой вязкостью, которая проявляется в виде внутреннего трения при
относительном перемещении смежных частиц жидкости. Наряду с легко
подвижными жидкостями (вода, воздух – как идеальная жидкость) существуют
и очень вязкие жидкости, сопротивление сдвигу у которых достаточно высокое
(тяжёлые масла – мазут, битум), но есть и другая краевая часть жидкостей, у
которых сопротивление сдвигу меньше чем у воды (ацетон, эфир, бензин).
Таким образом, вязкость характеризует степень текучести и испаряемости или
подвижности её частиц в нормальных условиях жизни человека.
Пусть жидкость течёт вдоль плоской стенки так называемыми
параллельными ей слоями с небольшой скоростью – смотри рисунок 1.1.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.1 - Распределение скоростей при течении жидкости вдоль
твёрдой стенки или стенки канала, трубопровода
Так как стенка неподвижна, а жидкость течёт, то на границе со стенкой
из-за тормозящего влияния самой стенки слои жидкости будут двигаться с
различными скоростями, значения которых возрастают от нуля до
максимальной в центре ядра потока жидкости. По какому закону будет
изменяться скорость потока? Рассмотрим два слоя жидкости, двигающиеся на
расстоянии ∆y друг от друга. Допустим, слой в точке А движется со скоростью
u, а слой В – со скоростью u + ∆u. Из-за разности скоростей слой В сдвигается
относительно слоя А на величину ∆u (за единицу времени). Величина ∆u
является абсолютным сдвигом слоя А по слою В, а отношение ∆u/∆y выражает
градиент скорости (относительный сдвиг). При этом, в процессе движения
слоёв появляется касательное напряжение между слоями (сила трении на
единицу площади), которую необходимо обозначить, скажем через τ. Исходя
из этого рассуждения, аналогично явлению сдвига в твёрдых телах, можно
получить зависимость (1.13) между напряжением и деформацией:
τ =µ ⋅
du
∆u
; или τ = µ ⋅
dy
∆y
(1.13)
Величина µ, аналогично коэффициенту сдвига в твёрдых телах,
характеризуется сопротивляемостью жидкости сдвигу и называется
динамической или абсолютной вязкостью.
Для определения размерности динамической вязкости из уравнения
(1.13) получим равенство (1.14):
⎡ ⎤
⎢τ ⎥
µ
=
[ ] ⎢ du ⎥ = ⎡⎣ F ⋅ T ⋅ L−2 ⎤⎦ = ⎡⎣ M ⋅ L−1 ⋅ T −1 ⎤⎦ ;
⎢ ⎥
⎢⎣ dy ⎥⎦
(1.14)
В международной системе единиц СИ динамическая вязкость
выражается в
Н·с/м2 или Па·с. В технической системе единиц МКГСС динамическая
вязкость имеет размерность кГс·с·м-2, а в системе CGS за единицу
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
динамической вязкости принимается пуаз (П), эти сведения приводятся для
того, чтобы студентам было удобно пользоваться старыми учебниками,
изданными до 1961 года в СССР, так как в них имеются очень ценные сведения
и справочные данные, но они даны в старых системах измерения и отличаются
от системы СИ.
1Π a ⋅ c = 0,102кГс ⋅ с / м 2 =10 Π.
(1.15)
Вязкость жидкостей и газов в сильной степени зависит от температуры,
при этом, вязкость капельных жидкостей при увеличении температуры
уменьшается, а вязкость газов наоборот – возрастает.
Объяснение этого
явления заключается в том, что природа капельных жидкостей и газов
различна. Дело в том, что в газах средняя скорость (интенсивность) теплового
движения молекул с повышением температуры возрастает, следовательно
возрастает и вязкость. А в капельных жидкостях молекулы не могут хаотически
двигаться по всем направлениям, как в газе, они могут лишь колебаться возле
своего среднего положения. С повышением температуры средние скорости
колебательных движений молекул увеличиваются и в результате этого легко
преодолеваются удерживающие их связи,
благодаря чему жидкость
приобретает большую подвижность, текучесть, что и приводит к уменьшению
вязкости.
Пуазейль определил эмпирическим путём зависимость (1.17) для чистой
пресной воды и назвал её зависимостью динамической вязкости от
температуры:
µ=
0,0179
;
2
1+ 0,0368 ⋅ t + 0,000221 ⋅ t
(1.17)
где µ – абсолютная (динамическая) вязкость жидкости в Па;
t – температура в ºС;
С увеличением температуры от 0 до 100 ºС вязкость воды уменьшается
почти в семь раз, смотри таблицу 1.6.
Таблица 1.6 - Зависимость плотности ρ,
динамической µ вязкости воды от температуры
Температура, ºС
1
0
4
20
40
60
16
Ρ, кГ/м3
2
999,9
1000
998
992
983
ν · 104, м2/с
3
0,0179
0.0152
0.0101
0,0066
0.0048
кинематической
ν
µ · 103. Па·с
4
1,79
1,57
1,01
0,65
0,48
и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжение таблицы 1.6
1
80
90
99
2
972
965
959
3
0,0037
0,0033
0,0028
4
0,36
0,31
0,27
Вода принадлежит к наименее вязким жидкостям. Лишь немногие из
практически используемых жидкостей (например, эфир и спирт) обладают
несколько меньшей вязкостью, чем вода. Наименьшую вязкость имеет жидкая
углекислота – в 50 раз меньше вязкости воды. Все жидкие масла обладают
значительно более высокую вязкость, чем вода. В таблице 1.7 приведены
значения вязкости некоторых жидкостей.
Таблица 1.7 - Кинематическая и динамическая вязкость капельных
жидкостей (при t = 20 ºС)
Наименование жидкости
Вода пресная
Глицерин безводный
Керосин (при t = 15ºС)
Бензин (при t = 15ºС)
Масло касторовое
Масло минеральное
Нефть при t = 15ºС (δ415 = 0,86)
Ртуть
Спирт этиловый безводный
µ , Па·с
0,00101
0,512
0,0016-0,0025
0,0006-0,00065
0,972
0,0275-1,29
0,007-0,008
0,0015
0,00119
ν ·104, м2/с
0,01012
4,1
0,02-0,03
0,0083-0,0093
10,02
0,313-14,5
0,081-0,093
0,00111
0,0151
Для определения величины динамической вязкости воздуха в системе
МКГСС применяется формула Милликена:
µ = 1,745 ⋅10−6 + 5,03 ⋅10−9 ⋅ t ,
что даёт при t = 15ºС µ = 1,82·10-6 кГс·с/м2 (~ 1,82 · 10-5 Па·с).
Наряду с понятием абсолютной или динамической вязкости в
гидравлике находит применение понятие кинематической вязкости,
представляющей собой отношение абсолютной вязкости к плотности жидкости
и рассчитывается по формуле (1.18):
ν = µ / ρ,
(1.18)
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эта вязкость названа кинематической, так как в её размерности
отсутствуют единицы силы. В самом деле, подставив размерность µ и ρ,
получим
[ν] = [L2/ T];
В международной системе единиц кинематическая вязкость измеряется
в м /с; единицей для измерения кинематической вязкости в системе CGS
служит стокс, в честь английского физика Стокса: 1 Ст = 1 см2/с = 10-4 м2/с.
Сотая часть стокса называется сантистоксом (сСт): = 1 м2с = 1·104 Ст =
=1·106 сСт.
Кинематическая вязкость газов зависит не только от температуры, но и
от давления, возрастая с увеличением температуры и уменьшаясь с
увеличением давления, смотри таблицу 1.8.
2
Таблица 1.8 - Значения кинематической вязкости ν и удельной газовой
постоянной R для некоторых газов
ν ·104, м2/с при температуре в ºС
Газ
Воздух
Метан
Этилен
0
0,133
0,145
0,075
20
0,151
0,165
0,086
50
0,178
0,197
0,104
100
0,232
0,256
0.138
R,
Дж/(кГ·К)
287
520
296
Кинематическая вязкость воздуха для нормальных условий (температура
20 ºС, давление ~ 1 ат) ν = µ/ρ = 1,57·10-5 м2/с, т.е. примерно в 15 раз больше,
чем для воды при той же температуре. Это объясняется тем, что в знаменатель
выражения для динамической вязкости 1.18 входит плотность, которая у газов
значительно меньше, чем у капельных жидкостей.
Экспериментально вязкость жидкостей определяют вискозиметрами.
Для определения вязкости капельных жидкостей широкое распространение
получил вискозиметр Энглера, который представляет собой сосуд, окружённый
водяной ванной с водой определённой температуры.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 - сосуд; 2 - водяная ванна, окружающая сосуд; 3 – латунная трубка,
припаянная ко дну сосуда; 4 – термометр измеряющий температуру
жидкости; 5 – стопорный стержень, запирающий калиброванный насадок;
Снизу стоит колба в которую сливают жидкость с измерением времени
истечения.
Рисунок 1.2 - Вискозиметр Энглера
За вязкость по Энглеру принимается отношение времени tвж истечения
200 см3 испытуемой жидкости ко времени tв истечения того же объёма воды.
Условная вязкость в градусах Энглера, которая обозначается обычно через «Э»,
определяется зависимостью (1.19):
ºЭ = tвж/tв ,
(1.19)
Для перехода от условной вязкости в градусах Энглера к
кинематической вязкости применяют несколько эмпирических формул,
например формула Убеллоде (1.20):
⎛
0,0631 ⎞ 2
ν = ⎜ 0,0732 ° Э −
⎟ см / с;
°Э ⎠
⎝
(1.20)
Кроме формулы Убеллоде применяется формула А.Д. Альтшуля (1.21):
⎡
ν 2 + 0,024 − ν
⎢ 2,3 ⋅ lg
+
2
⎢
ν + 0,0166 −ν
° Э = 24 ⋅ ⎢
⎢
⎢ 1
⎢ + ⋅ ν 2 + 0,0294 − ν 2 + 0,0166
⎣ ν
(
)
⎤
⎥
⎥
⎥ ⋅ν;
⎥
⎥
⎥
⎦
(1.21)
В США и в Великобритании вязкость измеряется в секундах
Сейболта (универсальные) и обозначается - "S и в секундах Редвуда
(торговые) и обозначаются - "R, особенно для Великобритании, а Сейболта –
для США. Поэтому, если встретится в источниках таблицы с пометами сСт - ºЭ
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и тут же "S ↔ "R, то не следует удивляться, а использовать при необходимости
источники США и Великобритании – Англии.
Капиллярные явления.
Молекулы жидкости, расположенные у
поверхности контакта с другой жидкостью, газом или твёрдым телом,
находятся в условиях, отличных от условий внутри некоторого объёма
жидкости. Внутри объёма жидкости молекулы окружены со всех сторон такими
же молекулами, вблизи поверхности ситуация меняется, молекула окружена
лишь с одной стороны, а с другой – граница твёрдого тела. Поэтому энергия
поверхностных молекул отличается от энергии молекул в объёме на некоторую
величину, называемой поверхностной энергией. Эта энергия пропорциональна
площади поверхности раздела S (формула 1.22):
ЭΠ = σ ⋅ s ;
(1.22)
Коэффициент пропорциональности σ, называемый коэффициентом
поверхностного натяжения, зависит от природы соприкасания сред. Этот
коэффициент можно представить в виде зависимости (1.23):
σ =−
F
;
l
(1.23)
где F – сила поверхностного натяжения;
l - длина линии, ограничивающей поверхность раздела границ.
Исходя из определения, σ имеет размерность энергии на единицу
площади или силы на единицу длины. Для границы раздела вода – воздух при t
= 20 ºС коэффициент поверхностного натяжения σ = 0,073 Дж/м2, а для раздела
ртуть – воздух, соответственно σ = 0,48 Дж/м2. Поверхностное натяжение
жидкости чувствительно к чистоте жидкости и поверхности и к температуре.
Вещества, способные в значительной степени снизить силы поверхностного
натяжения, называются поверхностно-активными веществами (ПАВ). При
повышении температуры величина поверхностного натяжения уменьшается, а в
критической точке перехода жидкости в пар обращается в нулевое значение.
Более подробные сведения о жидкостях и газах необходимо черпать из
справочных таблиц свойств конкретных материалов и веществ в инженерных
справочниках.
Рисунок 1.3 - К определению краевого угла
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На поверхности раздела трёх фаз, например, твёрдой стенки – 1,
жидкости – 2 и газа – 3 между поверхностью жидкости и твёрдой стенкой
образуется так называемый краевой угол Θ, как на рисунке 3. Величина
краевого угла зависит от природы соприкасающихся сред (от поверхностных
натяжений на их границах) и не зависит ни от формы сосуда, ни от действия
силы тяжести. Если край жидкости приподнят, её поверхность имеет вогнутую
форму (рисунок 3 - а) – краевой угол острый. В этом случае жидкость
смачивает твёрдую поверхность. Чем хуже смачивающая способность
жидкости, тем больше краевой угол. При Θ > 90º жидкость считается
несмачивающей, при полном несмачивании Θ = 180º. Капли такой жидкости
как бы поджимаются, стараясь уменьшить площадь контакта с твёрдой
поверхностью. От явления смачивания зависит поведение жидкости в тонких
(капиллярных) трубках, погружённых в эту жидкость. В случае смачивания
жидкость в трубке поднимается над уровнем свободной поверхности, в случае
несмачивания наоборот
опускается. Высота капиллярного поднятия
(опускания) жидкости определяется по формуле (1.24):
∆h =
2 ⋅σ
⋅ cos Θ;
γ ⋅r
(1.24)
где γ – удельный вес жидкости;
r – радиус трубки.
Во всех явлениях, происходящих при совместном действии сил
поверхностного натяжения и сил тяжести, значительную роль имеет
капиллярная постоянная 2γσ , входящая в выражение (1.24) и имеющая
линейную размерность. Так, для воды при 20 ºС капиллярная постоянная равна
0,0039 м.
§2 Задачи с решением
Задача 1.1 Удельный вес дизельного мазута γ = 920 кГ/м3.
Определить плотность его в системах МКГСС и международной
системе СИ.
РЕШЕНИЕ: Плотность мазута определяется по формулам (1.1, 1.2 и
1.3):
ρ=
M
;
W
γ =
G
;
W
γ = ρ ⋅ g;
По окончательному выражению (1.3) получаем следующее:
γ 920
ρ= =
= 93,8кГ ⋅ с 2 / м 4 ; в технической системе МКГСС;
g 9,81
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если возникает необходимость произвести расчёты в абсолютной
системе единиц – CGS, то в основе её лежит единица массы – грамм (г) и тогда:
920 ⋅103
920
ρ= = 6
=
= 0,000093г / см3 ;
g 10 ⋅ 9810 9810000
γ
В системе СИ удельный вес мазута γ = 9025,2 Н/м3 и тогда:
γ 9025, 2
ρ= =
= 920 H c 2 /м 4 ;
g
9,81
Задача 1.2 Определить плотность дымовых газов, выходящих из печи
при температуре 800 ºС, если удельный вес этих дымовых газов при 0ºС и
давлении 760 мм.рт.ст. составляет 1,30 кГ/м3.
РЕШЕНИЕ: Удельный вес дымовых газов в системе МКГСС:
γ 2 = γ1 ⋅
Τ1
273,15
=1,30 ⋅
= 0,331кГ / м3 ;
Τ2
273,15 + 800
Плотность дымовых газов при температуре 800 ºС:
γ 0,331
ρ= =
= 0,0338кГ ⋅ с 2 / м 4 ;
g
9,81
1кГс = 9,81 Н, тогда γ = 1,3 ·9,81= 12.753 Н/м3;
γ 12,753
ρ= =
=1,30 Н ⋅ с 2 /м 4 ; в системе СИ;
g
9.81
в системе CGS:
0,331⋅103 ⋅ 981
ρ= =
= 0,000331г / см3 ;
2
6
g 9,81⋅10 ⋅10
γ
Задача 1.3
Трубопровод диаметром D=300мм, длиной L=50м,
подготовленный к гидравлическому испытанию, заполнен водой при
атмосферном давлении.
Какое количество воды необходимо подать в трубопровод
дополнительно, чтобы давление в нём поднялось до 50 ати по манометру?
Коэффициент объёмного сжатия воды принять равным 1/20000. Деформацией
трубопровода пренебречь.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РЕШЕНИЕ: Полный объём трубопровода:
Vt =
π ⋅D
4
2
⋅ L=
(
3,14 ⋅ 300 ⋅10−3
)
4
2
⋅ 50 = 3,53м3 ;
Необходимо дополнительно подать некоторое количество воды, которое
определяется из соотношения:
βр =
∆Vt
; из этого :
∆p ⋅ (Vt + ∆Vt )
∆Vt =
β p ⋅ Vt ⋅ ∆p
=
1 − β p ⋅ ∆p
3,53 ⋅ 50
= 0,00885м3 ;
⎛
50 ⎞
20000 ⋅ ⎜ 1−
⎟
⎝ 20000 ⎠
Давление в 50 ати, в системе СИ равно 500 мПа, поэтому результат не
изменится и будет равен в пересчёте на литры – 8,85 литра.
Задача 1.4 В вертикальном цилиндрическом резервуаре диаметром
d
3
º
= 4 м хранится 100 т нефти, удельный вес которой γ = 850 кГ/м , при 0 С.
Определить колебания уровня нефти в резервуаре при колебании
температуры от 0 ºС до 30 ºС. Расширение резервуара не учитывать.
Коэффициент температурного расширения нефти принять равным
0,00072 1/град.
РЕШЕНИЕ: Определяем объём занимаемый нефтью в резервуаре при
температуре 0 ºС.
W=
G
γ
=
100
=117,8м3 ;
0,850
Изменение объёма при изменении температуры на 30 ºС:
∆W = βt ⋅Wнач. ⋅ ∆t = 0,00072 ⋅117,8 ⋅ 30 = 2,54м3 ;
Размах
соотношения:
колебаний
уровня
нефти
∆W =
в
π ⋅d2
4
резервуаре
определяем
из
;
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆W =
π ⋅d
⋅ h;
4
∆W ⋅ 4 2,54 ⋅ 4
h=
=
= 0, 202м;
2
2
π ⋅d
3,14 ⋅ ( 4 )
Если эту задачу решать в системе СИ, то необходимо 100 т нефти
переводить в массу и удельный вес тоже, поэтому соотношения в обоих
случаях взаимно сократятся.
Задача 1.5
Сжатый воздух, поступающий в кузнечный цех из
компрессорной станции, имеет абсолютное давление равное 7ата и температуру
60 ºС.
Какова температура воздуха, выходящего из компрессора, если
абсолютное давление, создаваемое компрессором, 8ата, а скорость воздуха в
начале и в конце воздухопровода постоянного диаметра одинакова?
РЕШЕНИЕ: Температура воздуха выходящая из компрессора
определяется из соотношения:
T1 p1
= ;
T2 p2
T1 = T2 ⋅
(
)
p1
8
= ( 273,15 + 60 ) ⋅ = 380,743K 107,593ο C ;
p2
7
Задача 1.6 Определённая при помощи вискозиметра вязкость нефти
составляет 8,5 ○Э.
Определить коэффициент абсолютной вязкости в технической системе
единиц, если удельный вес нефти составляет γ = 850 кГ/м3. Перевести
коэффициент в систему СИ.
РЕШЕНИЕ: Коэффициент кинематической вязкости определяется из
формулы (1.20):
⎛
0,0631 ⎞ 2
ν = ⎜ 0,0732 ° Э −
⎟ см / с;
Э
°
⎝
⎠
0,0631 ⎞
⎛
ν = ⎜ 0,732 ⋅ 8,5 −
= 0,614см 2 / с = 0,614 Ст.
⎟
8,5 ⎠
⎝
То же в технической системе единиц:
ν = 0,614 ⋅10−4 м 2 / с.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Плотность нефти:
ν=
γ
850
= 86,7 кГ ⋅ с 2 / м 4 ;
g 9,81
=
Коэффициент абсолютной вязкости:
µ =ν ⋅ ρ = 0,614 ⋅10−4 ⋅ 86,7 = 0,00532кГ ⋅ с / м 2 ;
1кГс = 9,81 Н; µ = ν·ρ = 0,00532·9,81 = 0,0522 Н·с/м2 (Па·с).
Задача 1.7 Определить коэффициент кинематической вязкости воздуха
при температуре 80 ○С в технической системе единиц и системе СИ если
коэффициент абсолютной вязкости при 0 ○С - µ○ = 1,72·10-4 пуаз (П), а
удельный вес воздуха при 0 ○С – γ = 1,29 кГ/м3.
РЕШЕНИЕ: Коэффициент абсолютной (динамической) вязкости в
технической системе единиц при 0 ○С:
µο =
1,72
= 0,00001755кГ ⋅ с / м 2 (П) = или =
4
10 ⋅ 9,81
= 0,0001716 Па ⋅ с(Н ⋅ с / м 2 );
Коэффициент абсолютной (динамической) вязкости при 80 ○С согласно
следующей зависимости:
C
T
273,15
кГ ⋅ с / м 2 =
µt = µο ⋅
⋅
C
273,15
1+
T
114
1+
273,15 353,15
= 0,00001755 ⋅
⋅
= 0,0000213кГ ⋅ с / м 2 ;
114
273,15
1+
353,15
1+
В пересчёте результата в системе СИ µt = 0,0002088 Па·с (Н·с/м2).
Плотность воздуха при 0 ○С:
ρ○ = γ○/g = 1,29/9,81 =0,132 кГ ·с2/м4;
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Плотность воздуха при 80 ○С:
ρt = ρ○·T○ / Tt = 0,132· 273,15/353,15 = 0,102 кГ·с2/м4;
Коэффициент кинематической вязкости воздуха при 80 ○С:
ν = µ/ρ = 0,0000213/0,102 =0,0002088 м2/с = (2,088 Ст.)
§3 Задачи для решения
Задача 1.8 Плотность коксовального газа ρ = 0,051 кГ·с2 /м4. Определить
удельный вес газа в абсолютной системе единиц.
Правильный ответ: γ = 0,49 дин/см3.
Задача 1.9 Определить удельный вес керосина в абсолютной и
технической системах единиц, если плотность керосина составляет
ρ = 0,0008 кГ./см3.
Правильный ответ: γ = 785 дин/см3 = 800 кГ/м3.
Задача 1.10 При гидравлическом испытании трубопровода диаметром
400 мм и длиной 200м давление воды в трубе было увеличено до 55 ати. Через
час давление из-за утечки снизилось до 50 ати. Определить, пренебрегая
деформацией трубы, сколько воды вытекло при этом через неплотности.
Коэффициент объёмного сжатия воды принять равным 1/20 000 см2/кГ.
Правильный ответ: ∆W = 6, 28·10-3м3 = 6.28 л.
Задача 1.11 Резервуар, заполненный нефтью, находится, под давлением
5 ати. При выпуске 40 литров нефти давление в резервуаре снизилось до 1 ати.
Определить ёмкость резервуара, если коэффициент объёмного сжатия
нефти равен 1/13 500 см2/кГ.
Правильный ответ: W = 135 м3.
Задача 1.12 В отопительный котёл поступает 50 м3/ч питательной воды
при температуре 70 ○С.
Сколько кубометров воды будет выходить из котла, если нагрев воды
производится до 90 ○С, а коэффициент температурного расширения воды
составляет βt = 0,00064 1/ ○C?
Правильный ответ: W = 50,64 м3/ч.
Задача 1.13 Во сколько раз увеличится объём воздуха, если его
нагревать в рекуператоре при постоянном давлении от 20 ○С начальной
температуры до 400 ○С ?
Правильный ответ: В 2,5 раза.
Задача 1.14 Компрессор сжимает атмосферный воздух (Р = 1 ата) до
абсолютного давления в 6 ата.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить, во сколько раз уменьшится объём воздуха, если в
процессе сжатия происходит повышение температуры от 20 ○С изначально до
78 ○С при его подачи в ресивер.
Правильный ответ: В 5 раз.
Задача 1.15 Входящие в дымоход из нагревательной печи дымовые газы
имеют температуру 900 ○С. В результате охлаждения в рекуператоре и по длине
дымохода температура газов у выхода в дымовую трубу составляет 500 ○С.
Определить плотность газов в начале и в конце дымохода, принимая
давление постоянным и считая объёмный вес газов при 0 ○С равным
γ○ = 1,28 кГ/м3.
Правильный ответ: - ρнач. = 0,0304 кГ·с2/м4;
- ρкон. = 0,0460 кГ·с2/м4.
Задача 1.16 Два газовых двигателя работают на доменном газе. Один из
них расходует на 1л.с. 2,98 м3 газа в час при температуре 27 ○С и абсолютном
давлении 700 мм рт. ст., а другой – 2,73 м3 при температуре 17 ○С и абсолютном
давлении 740 мм рт. ст. Определить, какой двигатель, расходуя топливо,
работает более экономично?
Правильный ответ: Оба двигателя работают
достаточно экономично, обосновать – почему?
Задача 1.17 Коэффициент абсолютной вязкости моторной нефти µ = 20
Пуаза при удельном весе γ = 800 кГ/м3. Определить коэффициент
кинематической вязкости, выразив его в стоксах.
Правильный ответ: ν = 0,25 Ст.
Задача 1.18
Определить коэффициент абсолютной (динамической)
вязкости воздуха при 150 ○С в технической системе единиц, если коэффициент
кинематической вязкости воздуха при 0 ○С составляет ν = 0,137 Ст. Удельный
вес воздуха при 0 ○С принять равным γ○ = 1,29 кГ/м3.
Правильный ответ: µ = 2,5 ·10-6 кГ·с/м2.
Задача 1.19 Коэффициент абсолютной (динамической) вязкости воды
при температуре 80 ○С равен µ = 0,00337 Пуаза.
Определить удельный вес воды при этой температуре в технической
системе единиц.
Правильный ответ: γ = 970 кГ/м3.
Задача 1.20 Определить коэффициент абсолютной (динамической)
вязкости воды при температуре 60 ○С в абсолютной системе единиц, если
удельный вес воды при этой температуре составляет γ = 983 кГ/м3.
Правильный ответ: µ = 0,00457 П.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 2. Гидростатическое давление. Закон Паскаля
(Теоретические предпосылки по главе)
[1, 2, 3]
§4 Силы действующие в жидкости
Силы, действующие в жидкости, могут быть подразделены на силы
поверхностные и силы массовые. Поверхностные силы действуют на
поверхностях, отделяющих рассматриваемый объём жидкости от окружающей
среды. К этой категории сил относятся силы давления, являющиеся
нормальными, и силы внутреннего трения, являющиеся касательными.
Массовые силы действуют на каждую частичку рассматриваемого
объёма и пропорциональны, поэтому его массе. К категории этих сил относятся
сила тяжести и сила инерции.
Массовые силы характеризуются ускорением, которые они сообщают
единице массы. Главным фактором ускорения является ускорение свободно
падающего тела и равно g =9,81 м/с2.
Гидростатическое давление.
Гидростатическим давлением в точке внутри жидкости называется сила,
действующая на единицу площади по нормали к поверхности, ограничивающей
бесконечно малый объём внутри покоящейся жидкости (равенство (1,25)):
p = ∆F →0 Lim
∆Ρ dP
=
;
∆F dF
(1.25)
Так как касательные силы в покоящейся жидкости отсутствуют, то
гидростатическое давление является результатом действия нормальных
сжимающих сил, т.е. поверхностных сил давлении и массовых сил.
Гидростатическое давление в точке одинаково по всем направлениям и
зависит только от положения точки внутри жидкости и давления на свободной
поверхности.
Распределение давления в жидкости.
Общее объединенное уравнение равновесия жидкости, выраженное в
дифференциальной форме, имеет следующий вид (1.26):
dP = ρ ⋅ ( Xdx + Ydy + Zdz ) ;
(1.26)
где ρ – плотность жидкости;
X, Y, Z – проекции ускорений действующих массовых сил на оси
координат.
В результате интегрирования этого уравнения может быть получен закон
распределения давления внутри жидкости (2.3):
P = ∫ ρ ⋅ ( Xdx + Ydy + Zdz );
28
(1.27)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При интегрировании принимается, что для капельной жидкости
ρ = const, а для газа ρ = f(p).
Полагая в уравнении (1.26) dp = 0, получаем уравнение поверхностей
равного давления (p = const), часто называемых поверхностями уровня, т.е.
Xdx+Ydy+ Zdz = 0,
(1.28)
В конечной форме уравнение поверхностей уровня (1.29) может быть
получено интегрированием уравнения (1.28), а именно:
∫ ( Xdx + Ydy + Zdz ) = D;
(1.29)
Одной из поверхностей уровня является и свободная поверхность
жидкости.
Закон Паскаля.
Если принять, что уравнение:
Xdx + Ydy + Zdz = dU
где U – некоторая функция координат x, y, z называемая потенциальной, то
уравнение (1ю27) при ρ = const примет вид:
p = ρ ⋅U + C
(1.30)
Значение постоянной С определяется из условия, что на свободной
поверхности p = p○ и U = U○ . Тогда можно определить С по формуле (1.31):
C = pο − ρ ⋅ Uο ;
(1.31)
И, следовательно, уравнение (1.30) преобразуется в следующий вид:
p = pο + ρ ⋅ (U − U ο ) ;
(1.32)
Выражение (1.32) является математической формулировкой известного
закона Паскаля, говорящего о том, что всякое изменение давления в любой
точке на поверхности жидкости, замкнутой в сосуде, передаётся всем точкам
жидкости по всем направлениям одинаково.
На законе Паскаля основана работа широко распространённой
гидравлической машины – гидравлического пресса.
Подставляя в выражение (1.32) значение потенциальной функции U U○, можно получить закон распределения давления в жидкости для различных
частных случаев.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Гидростатическое давление в тяжёлой покоящейся жидкости.
В результате интегрирования выражения (1.26) (смотри задачу 1.21) для
условий покоящейся жидкости, находящейся только под действием силы
тяжести – (X = 0, Y = 0, Z = -g), получаем закон распределения давления внутри
жидкости (1.33):
p = pο + γ ⋅ h;
(1.33)
где ρ○ – давление на свободную поверхность;
h - глубина погружения данной точки;
γ - удельный вес жидкости.
Интегрирование уравнения (1.28) даёт для этих условий уравнение
поверхности уровня:
z = const
(1.34)
Поверхности равного давления в этом случае представляют собой
горизонтальные плоскости. В случае, если сосуд заполнен лёгким газом, как это
имеет место в печах, смотри рисунок 1.4, давление в любой точке газа А
определяется из выражения:
p = pο − γ Γ ⋅ h;
(1.35)
где p○ – давление на уровне плоскости раздела;
h - расстояние точки от плоскости раздела;
γ - удельный вес газа.
Рисунок 1.4 - Гидростатическое давление в покоящейся жидкости или
газа.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Гидростатическое давление в жидкости, находящейся под действием
силы тяжести и силы инерции.
Подставляя в общее объединённое уравнение
равновесия (1.26)
ускорения X = j; Y = 0; Z = -g и интегрируя (смотри задачу 1.23), получим
закон распределения давления в жидкости (1.36):
p = pο + γ ⋅ h + ρ ⋅ j ⋅ x;
(1.36)
Уравнение поверхностей уровня будет иметь следующий вид:
jx − gz = const
(1.37)
Поверхности уровня представляют собой наклонные плоскости, рисунок
1.5, угол наклона которых к горизонту β характеризуется отношением j / g
(1.38), т.е.
tg β =
dz
j
= ;
dx g
(1.38)
Практически такой случай имеет место при равномерно ускоренном или
равномерно замедленном движении цистерны, заполненной жидкостью.
Рисунок 1.5 - Равновесие жидкости в движущемся сосуде
Гидростатическое давление в жидкости, находящейся во
вращающемся вокруг вертикальной оси сосуде.
В этом случае на частицы жидкости действуют центробежные ускорения
2
X = ω ·x; Y = ω2·y и ускорение силы тяжести Z = - g .
В результате интегрирования основного уравнения 1.26, смотри задачу
1.24, будем иметь следующее:
p = pο + γ ⋅ h + ρ ⋅
ω2 ⋅ r2
2
;
(1.39)
где ω – угловая скорость вращения;
r - радиус вращения рассматриваемой частицы жидкости;
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ρ - плотность жидкости.
Поверхности уровня представляют собой параболоиды вращения,
рисунок 1.6, выражаемые уравнением (1.40):
ω2 ⋅ r2
2
− g ⋅ z = const ;
(1.40)
В технике вращение сосуда с жидкостью используется в тех случаях,
когда необходимо по ходу производства временно увеличить давление в
жидкости, например при центробежной отливке чугунных изделий,
центробежный фильтр масла в Д.В.С., центробежный насос, сепаратор молока и
масла, центрифуги и т.д.
Рисунок 1.6 - Равновесие жидкости во вращающемся сосуде
Измерение гидростатического давления.
Единицей давления в технической системе единиц является 1 кГс/м2, в
системе СИ – Па = 1кГс/м2. Давление в 1 кГс/м2 очень мало и потому в
практике за единицу давления принимается 1 кГ/см2 – величина в 10 000 раз
большая, называется технической атмосферой.
Простейшим прибором для измерения давления является пьезометр и
вакуумметр, смотри рисунок 1.7.
а
б
а) пьезометр; б)-вакуумметр
Рисунок 1.7 – Приборы для измерения давления
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пьезометр представляет собой открытую сверху стеклянную трубку,
присоединённую к сосуду с жидкостью, в котором измеряется давление.
Пьезометр показывает избыточное давление, т.е. разность между абсолютным
давлением в сосуде рабс. и атмосферным давлением ратм.. Таким образом, можно
изобразить уравнение (1.41):
рабс. = ратм. + ризб . ;
(1.41)
Пьезометр измеряет давление столбом жидкости, высота которого
зависит от величины давления и удельного веса жидкости (формула 1.42)
h=
p
γ
;
(1.42)
Переход от столба жидкости к единицам давления производится
согласно уравнению (1.43):
p = γ ⋅ h ;(кГс / м 2 )
(1.43)
Если абсолютное давление меньше атмосферного, то столб жидкости
располагается в пьезометре (называемом в этом случае – вакуумметром) так,
как показано на рисунке 1.8. в этом случае высота столба h, показываемая
пьезометром, выражает разряжение, или вакуум, т.е. разность атмосферного и
абсолютного давлений. Следовательно, разряжение представляет собой как бы
отрицательное избыточное давление и имеет вид (1.43):
рабс. = ратм. − р разр. ;
(1.43)
Потенциальная энергия покоящейся жидкости. Гидравлические
машины.
Удельная потенциальная энергия жидкости Е складывается из двух
составляющих величин (формула 1.44):
Ε=z+
p
γ
;
(1.44)
Величина z [м], называемая геометрической высотой или геодезическим
напором, характеризует положение рассматриваемой частицы жидкости
относительно какой-то плоскости сравнения и представляет собой
потенциальную энергию положения частицы жидкости весом, равным единице.
Величина ρ/γ [м], называемая пьезометрической высотой или
пьезометрическим напором, представляет собой высоту столба жидкости,
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравновешивающего действующее в данной точке давление. Эта величина
характеризует потенциальную энергию давления единицы веса жидкости.
Суммарная удельная потенциальная энергия, т.е. энергия 1 кг жидкости,
для любой частицы объёма (например, 1 и 2 на рисунке 1.8) жидкости остаётся
постоянной (равенство 1.45):
E = z1 +
p1
γ
= z2 +
p2
γ
= const
(1.45)
Рисунок 1.8 - Удельная энергия покоящейся жидкости
Потенциальная энергия жидкости может превращаться в механическую
работу в гидравлической машине, как например на рисунке 1.9, имея площадь
поршня F в гидравлическом цилиндре, работа совершается при одном ходе
поршня S и составляет по выражению (1.46):
A = p ⋅ F ⋅ S ( кГм )
(1.46)
где p – давление рабочей жидкости, кГ/м2.
Мощность гидравлического цилиндра при n оборотах вала в минуту
рассчитывают по формуле (1.47):
N = p⋅F ⋅
S ⋅n
( кВт)
60 ⋅102
Рисунок 1.9 - Гидравлическая машина
34
(1.47)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для кратковременного накопления потенциальной энергии жидкости
применяется грузовой аккумулятор, как на рисунке 1.10, где вода, подающаяся
от насоса, поднимает плунжер с поперечным сечением F и грузом G0 на высоту
S.
Создаваемое в жидкости внутри аккумулятора давление, если
пренебречь трением в уплотнениях, будет рассчитываться по формуле (1.48):
p =
Gο
(кГ / м 2 )
F
(1.48)
Энергия, накопленная при наполнении аккумулятора жидкостью, если
пренебречь энергией положения, равна пьезометрическому напору,
умноженному на вес жидкости G, вытесняемой за один ход плунжера, в
соответствии с выражением (1.49):
A =
p
γ
⋅ G = p ⋅ F ⋅ S (кГм)
(1.49),
что соответствует формуле (1.46).
Рисунок 1.10- Грузовой гидравлический аккумулятор
§5 Задачи с решением
Задача 1.21 Найти форму поверхностей уровня и определить абсолютное
давление а точке А, расположенной на глубине h = 1м под поверхностью воды
с температурой 100ºС в питательном баке котельной установки, как на рисунке
(2.8)
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.11 - Задача 1.21
На поверхности воды при помощи паровой подушки во избежание
вскипания воды поддерживается абсолютное давление р0 = 1.2 ата .
РЕШЕНИЕ: Проекции ускорений действующих массовых сил на
координатные оси: X = 0; Y = 0; Z = - g.
Дифференциальное уравнение равновесия для данного случая
принимает вид:
dp = - ρ·g·dz,
после интегрирования будем иметь:
p = ρ·g·z + C = - γ·z + C
Постоянная интегрирования определяется из условия, что на свободной
поверхности жидкости, т.е. при z = z0 давление равно атмосферному p = p0 :
C = p0 + γ·z0
Окончательно закон распределения
подстановки вместо С найденного её значения:
давления
получаем
после
p = pο + γ ( zο − z ) , или p = pο + γ ⋅ h;
Давление воды в заданной точке А, если взять удельный вес воды при
заданной температуре 100 ºС и р = 760 мм.рт.ст. γ = 958,38 кГ/м3, то получим
результат:
p = 12000 + 958,38 ⋅1,0 = 12958,38 кГ / м 2 =
= 1, 295838 кГ / м 2 = 129583,8 Па
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В заключении следует отметить, что поверхности уровня представляют
собой горизонтальные плоскости. Свободная поверхность жидкости является
одной из поверхностей уровня. Её уравнение – представлено выражением:
z = zο
Задача 1.22 Определить, на какой высоте от уровня моря давление
воздуха составляет 690 мм.рт.ст. Температуру воздуха считать постоянной и
равной 20 ºС.
Давление воздуха на уровне моря принять 760 мм.рт.ст.
РЕШЕНИЕ: Проекции ускорений действующих массовых сил на
координатные оси: X = 0; Y = 0; Z = - g.
Дифференциальное уравнение равновесия для данного случая
принимает вид:
dp = - ρ·g·dz,
Из уравнения газового состояния следует, что для газа при постоянной
температуре можно выразить плотность воздуха следующим выражением:
ρ=
p
p
;
, где R − газовая постоянная; ρ =
g ⋅ R ⋅T
g ⋅ R ⋅T
где R – газовая постоянная;
g – ускорение свободного падения или силы тяжести.
Подставляя вместо ρ полученное выражение в дифференциальное
уравнение, будем иметь следующее:
dp = −
p ⋅ dz
;
R ⋅T
В результате разделения переменных и интегрирования получим
следующее:
ln p = −
z
+ C;
R ⋅T
Константа интегрирования С определяется из условия, что при z = 0 р
= р ○:
C = ln pο ;
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
После подстановки найденного значения С будем иметь:
ln
p
z
=−
;
pο
R ⋅T
Окончательно закон распределения давления в изотермическом газе
имеет вид:
p = pο ⋅ e
−
z
R⋅T
;
Искомая высота, на которой давление воздуха будет составлять
690 мм.рт.ст., определяется из выражения:
z = 2,3 ⋅ R ⋅ T ⋅ lg
pο
101320
= 2,3 ⋅ 287,04 ⋅ 293,15 ⋅ lg
= 832 м;
91988
p
где 760 мм.рт.ст = 101320 Па, а 690 мм. рт.ст. = 91988 Па.
Задача 1.23 При подходе товарного поезда к станции в результате
экстренного торможения скорость поезда в течение 10 с. равномерно
замедляется от 40 до 20 км/ч. Определить давление, создаваемое жидкостью в
крайних нижних точках «a» и «b» вагона – цистерны диаметром D = 2,5 м и
длиной L = 6м, как на рисунке 2.2, до половины заполненной нефтью,
объёмный вес нефти γ = 850 кГ/м3.
Найти уравнение свободной поверхности жидкости.
РЕШЕНИЕ: Проекции ускорений действующих массовых сил на
координатные оси: X = j ; Y = 0; Z = - g.
Дифференциальное уравнение равновесия примет вид:
dp = ρ ⋅ ( j ⋅ dx − g ⋅ dz ) ;
В результате интегрирования будем иметь следующее:
p = ρ ⋅ jx − γ z + C ;
Постоянная интегрирования определяется из условия, что на свободной
поверхности жидкости при x = 0 и z = z○ давление равно атмосферному p = p○,
тогда получим значение С:
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p = pο + γ ⋅ ( zο − z ) + ρ ⋅ jx; ( zο − z ) = h;
C = pο + γ ⋅ zο ;
p = pο + γ ⋅ h + ρ ⋅ jx;
Действующее горизонтальное ускорение вычисляется по следующему
выражению:
j=
( v1 − v2 ) ⋅1000 = 0,555 м / с
3600 ⋅10
Избыточное давление, создаваемое нефтью в точке «a», имеющей
координаты
x = - 3м и z = 0, получим следующее:
pa − pο = γ ⋅ h + ρ ⋅ jx = 850 ⋅1, 25 +
850
⋅ 0,555 ⋅ ( −3) = 918 кГ / м 2
9,81
Избыточное давление, создаваемое нефтью в точке «b», имеющей
координаты
X = 3 м. и z = 0, получим следующее:
pb − pο = γ ⋅ h + ρ ⋅ jx = 850 ⋅1, 25 +
850
⋅ 0,555 ⋅ ( +3) = 1206кГ / м 2
9,81
Уравнение поверхностей уровня:
dp = ρ ⋅ ( jdx − gdz ) = 0; jx − gz = C1;
Поверхности уровня представляют плоскости, наклонённые к горизонту
под углом:α
= arctg
j
;
g
при x = 0, z = zο ; C1 = − g ⋅ zο ;
Таким образом, уравнение свободной поверхности имеет следующий
вид, а угол наклона рассчитывается по формуле:
j
⋅ x + zο ;
g
0,555
j
=
= 0,0566; α = 3ο15′ ;
tg α =
9,81
g
z=
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.24 Открытый сосуд диаметром d = 450 мм, наполненный
водой, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью – числом
оборотов
N = 750 об/мин = 750 с-1, так как показано на рисунке 2.3
Определить давление в точке, находящейся на стенке сосуда на
расстоянии
z = 200 мм, если уровень воды на оси сосуда находится на высоте z○ =
500 мм от дна. Найти форму поверхностей уровня в процессе вращения.
РЕШЕНИЕ: Проекции ускорений действующих массовых сил на
координатные оси следующие:
X = ω 2 ⋅ x;
Y = ω 2 ⋅ y;
Z = − g;
где ω – угловая скорость вращения, равная:
ω =
π ⋅n
30
=
3,14 ⋅ 750
= 78,5 c −1;
30
Дифференциальное уравнение равновесия будет иметь следующий вид:
(
)
dp = ρ ⋅ ω 2 ⋅ xdx + ω 2 ⋅ ydy − gdz ;
При интегрировании которого, получим следующее:
⎛ ω 2 ⋅ x2 ω 2 ⋅ y 2
⎞
p = ρ ⋅⎜
+
− gz ⎟ + C ;
2
⎝ 2
⎠
Постоянная интегрирования определяется из условия, что на свободной
поверхности жидкости при x = 0, y = 0, z = z○ давление равно атмосферному,
т.е. p = p○ и тогда получаем:
C = pο + ρ ⋅ gzο ;
Подставляя найденное значение С и принимая во внимание, что x2 + y2
= r2, а z○ - z = h, будем иметь следующее:
p = pο + γ ⋅ h + ρ ⋅
ω2 ⋅ r2
2
;
Из полученного выражения видно, что при вращении сосуда давление
будет увеличиваться с увеличением радиуса вращения и числа оборотов.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В заданной точке избыточное давление будет равно следующему
выражению:
p − pο = γ ⋅ h +
γ ω2 ⋅ r2
g
⋅
2
=
1000 ( 78,5 ) ⋅ ( 0, 225 )
= 1000 ⋅ ( 0,5 − 0, 2 ) +
⋅
=
9,81
2
2
2
= 1900 кГ / м 2 = 0,19 ати = 19000 Па;
Уравнение поверхностей уровня будет иметь следующий вид:
(
)
dp = ρ ⋅ ω 2 ⋅ xdx + ω 2 ⋅ ydy − gdz = 0
После интегрирования последнего получим следующее:
ω 2 ⋅ x2
2
Окончательно,
выражение:
уравнение
2
поверхностей
ω2 ⋅ r2
2
+
ω 2 ⋅ y2
− gz = const ;
принимает
следующее
− g ⋅ z = const ;
Из этого выражение следует, что поверхности уровня, в том числе и
свободная поверхность жидкости, имеют форму параболоидов вращения
относительно оси (z - z) .
Задача 1.25 Определить высоту столба воды (γв = 1,0), ртути (γр = 13,6)
и спирта (γс = 0,86), уравновешивающего давление в 1 ати.
РЕШЕНИЕ: Высота столба воды:
hΒ =
ρ 10000
=
= 10 м ;
γ Β 1000
Высота столба ртути:
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
hΡ =
Ρ
γΡ
=
10000
= 0,7355 м = 735,5 мм ;
13600
Высота столба спирта:
hC =
Ρ
γC
=
10000
= 11600 мм = 11,6 м;
860
Задача 1.26 Абсолютное давление в конденсаторе паровой турбины pабс
= 0,04 ата.
Определить показание ртутного вакуумметра, если барометрическое
давление составляет 755 мм.рт.ст.
РЕШЕНИЕ: Необходимо выразить абсолютное давление и величины в
ата в величину мм.рт.ст.:
pабс = 0,04 ⋅ 735,5 = 29,4 мм. рт.ст.
Разряжение, которое показывает вакуумметр составляет следующее
выражение:
р разр = рат − рабс = 755 − 29,4 = 725,6 мм. рт.ст.
Задача 1.27 Два открытых сообщающихся сосуда, рисунок 2.10,
заполнены водой и ртутью одновременно и сообщаются контактно.
Определить разность уровней h в обоих сосудах, если высота столба
ртути над плоскостью раздела h1 = 80 мм.
РЕШЕНИЕ: Давление на уровне 0-0 в обоих сосудах, представляющую
плоскость раздела, будет одинаково. В левом сосуде, где находится вода,
давление создаётся столбом воды h2 , а в правом сосуде столбом h1,
следовательно:
h2 ⋅ γ 2 = h1 ⋅ γ 1 ; или
h1
γ
= 1;
h2
γ2
Высота столба воды над плоскостью раздела будет следующая:
h2 = h1 ⋅
γ1
13,6
= 80 ⋅
= 1088 мм
γ2
1,0
Разница уровней в сосудах будет иметь следующее значение:
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h = h2 − h1 = 1088 − 80 = 1008 мм ;
Рисунок 1.12 - Для задачи 1.27
Задача 1.28 Определить разность давлений р2 и р1 в двух сосудах,
заполненных водой, если присоединённый к ним дифференциальный ртутный
манометр показывает 650 мм.рт.ст., как на рисунке 2.10:
Рисунок 1.13 – Для задачи 1.28
РЕШЕНИЕ: Давление на уровне 0 - 0 в обоих коленах манометра
одинаково, т. е. имеем:
p1 + γ р ⋅ h = p2 + γ в ⋅ h;
Разность давлений в обоих сосудах:
(
)
p2 − p1 = h ⋅ γ р − γ в = 0,65 ⋅ (13600 − 1000 ) = 8200 кГ / м 2 =
= 0,82 ат. = 82000 Па;
Задача 1.29 Определить необходимую высоту дымовой трубы для печей
термического цеха, если труба должна создать разряжение 30 мм.вод.ст. при
средней температуре дымовых газов tдым = 400 ºС и температуре окружающего
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
воздуха 30 ºС. Удельные веса дымовых газов и воздуха при нормальных
условиях ( 0 ºС и 760 мм.рт.ст.) принять соответственно равными:
γ○д=1,27 кГ/м3, γ○в = 1,29 кГ/м3.
РЕШЕНИЕ: Удельный вес воздуха при 30 ºС:
γ в = γο
⋅
возд
273,15
273,15
= 1, 29 ⋅
=1,162 кГ / м 2 ;
273,15 + t
273,15 + 30
Удельный вес дымовых газов при 400 ºС:
γ д = γο
γ д = γο
дым
⋅
дым
⋅
273,15
273,15 +
273,15
273,15
= 1, 27 ⋅
= 0,515 кГ / м3 ;
273,15 + t
273,15 + 400
Давление, создаваемое дымовыми газами, у основания трубы:
рд = рο + h ⋅ γ д ;
Давление, создаваемое воздухом, у основания трубы:
рв = рο + h ⋅ γ в ;
Разряжение, создаваемое трубой, равно разности давлений воздуха и
дымовых газов:
рв − рд = h ⋅ ( γ в − γ д ) = 30 мм. вод. ст.;
Из этого выражения можно определить высоту трубы:
h=
рв − рд
30
=
= 46,3 м;
1,162 − 0,515
γв − γд
Задача 1.30 Определить давление, возникшее в жидкости, и силу,
развиваемую гидравлическим прессом, рисунок 1.14, характеризующимся
следующими данными: диаметр большого плунжера D = 280мм, диаметр
малого плунжера
D = 40мм, большое плечо рукоятки а = 600 мм, меньшее плечо рукоятки
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b = 50 мм, усилие прикладываемое на рукоятке, Q = 25 кГ. Весом и
трением в уплотнениях пренебречь.
РЕШЕНИЕ: Сила, действующая на малый плунжер:
P1 = Q ⋅
a
600
= 25 ⋅
= 300 кГ .
b
50
Давление, создаваемое в жидкости:
p=
P1
300 ⋅ 4
=
= 23,9 ати = 23,9 кГ / см 2 = 2421667,5 Па;
2
F1 π ⋅ ( 4 )
Сила, действующая на большой плунжер:
P2 = p ⋅ F2 = 23,9 ⋅
π ⋅ ( 28 )
4
2
= 14700 кГ = 14,7 т.
Рисунок 1.14- Для задачи 1.30
Задача 1.31 Определить необходимый вес груза гидравлического
аккумулятора, рисунок 1.15, если рабочее давление воды рр = 7 ати = 700 000
Па, вес цилиндра аккумулятора Р = 1,5 т , а диаметр плунжера D = 250 мм. =
0,25 м.
Какое давление необходимо для зарядки аккумулятора, если ширина
уплотняющей кожаной манжеты b = 34 мм, а коэффициент трения манжеты
(кожи) о плунжер f = 0,10.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.15 - Для задачи 1.31
РЕШЕНИЕ: Уравнение равновесия аккумулятора, соответствующее
моменту разрядки определяется из выражения:
Gцил + Gгр − Т тр = pρ ⋅
π ⋅ D2
4
;
Сила трения Ттр, теряемая в манжете плунжера при разрядке
аккумулятора:
Τтр = f ⋅ p p ⋅ π ⋅ D ⋅ b = 0,10 ⋅ 7 ⋅ 3,14 ⋅ 25 ⋅ 3, 4 = 187 кГ ;
Необходимый вес груза аккумулятора:
Gгр = p p ⋅
π ⋅ D2
4
3,14 ⋅ ( 25 )
= 7⋅
+187 −1500 = 2127 кГ ;
4
2
+ Tтр − Gцил
Уравнение равновесия аккумулятора, соответствующее моменту
зарядки:
p3 ⋅
π ⋅ D2
4
= Gгр + Gцил + Tтр = Gгр + Gцил + f ⋅ pз ⋅π ⋅ D ⋅ b ;
Давление, необходимое для зарядки аккумулятора:
рз =
Gгр + Gцил
π D2
4
46
− f ⋅π D ⋅ b
=
2127 +1500
3,14 ⋅ ( 25 )
− 0,10 ⋅ 3,14 ⋅ 25 ⋅ 3, 4
4
2
= 7,82 ати;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§6 Задачи для решения
Задача 1.32 Барометр, установленный на первом этаже многоэтажного
дома, показывает давление 738 мм.рт.ст.
Каковы будут показания барометра на высоте девятого этажа, после его
переноса, если высота этажа 4,5 м, а температура воздуха 20 ºС?
Правильный ответ: Рбар = 735 мм.рт.ст.
Задача 1.33 Заполненная керосином бочка поднимается на вертикальном
грузовом подъёмнике с ускорением 2 м/с2.
Определить давление, создаваемое жидкостью на уровне дна бочки,
расположенного на глубине h = 800 мм от свободной поверхности, если
удельный вес керосина γк = 760 кГ/м3.
Правильный ответ: рк = 732 кГ/м2.
Задача 1.34
Сосуд, заполненный водой на высоту h = 1,2 м.
спускается под действием силы тяжести по наклонной плоскости под углом
20º к горизонту.
Определить давление в нижней точке сосуда и вывести уравнение
поверхности уровня, считая, что движение происходит без трения.
Правильный ответ: р = 1130 кГ/м2.
Задача 1.35 Ж.Д. Цистерна после длительной стоянки на станции в
течение 3 мин
приобретает в толчке скорость движения 30 км/ч с
равномерным ускорением.
Найти уравнение свободной поверхности воды и определить избыточное
давление в точке А, как на рисунке 1.16
Рисунок 1.16 - Для задачи 1.35
Правильный ответ: рв = 807,1 кГ/м2.
Задача 1.36 При отливке чугунного бандажа для колеса в целях
придания чугуну большей плотности форму, в которую заливается
расплавленный чугун одновременно вращают вокруг вертикальной оси со
скоростью 500 об/мин.
Определить, насколько увеличивается давление чугуна в точке А при
вращении формы, если диаметр бандажа D = 1000мм, превышение уровня
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жидкого чугуна в литнике над точкой А H = 250 мм, а удельный вес чугуна
γч = 7000 кГ/м3 ?
Правильный ответ: ∆Р = 24,45 ати = 2477398,3 Па. = 2,477 мПа.
Рисунок 1.17 - К задаче 1.36
Задача 1.37
Определить разницу уровней бензина у правой и левой
стенок бензобака самолёта, делающего горизонтальный вираж радиусом 250 м,
со скоростью 40,0 км/ч, если ширина бензобака b = 2 м., h = 0.3 м.
Правильный ответ: ∆ h = 0,1 м.
Задача 1.38 В приборе для исследования качества молока, рисунок 1.18,
пробирки А с молоком вращаются вокруг оси со скоростью 400 об/мин при
радиусе вращения r = 250 мм.
Определить, во сколько раз увеличится сила, влекущая шарики жира в
молоке к поверхности, и найти оптимальный угол наклона пробирок «α» к
горизонту.
Правильный ответ: В 44,5 раза; αопт.= 1º18'.
Рисунок 1.18 - К задаче 1.38
Задача 1.39 Цилиндрический сосуд диаметром D = 20 мм и высотой H
= 100 мм до половины наполнен водой. Смотри рисунок 2.3 к этой задаче.
С каким предельным числом оборотов можно вращать этот сосуд вокруг
его геометрической вертикальной оси, чтобы из него не выливалась вода?
Правильный ответ: n = 670 об/мин = 670 с-1.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.40 Определить абсолютное давление воды в точке,
находящейся на глубине h = 6 м от поверхности, при барометрическом
давлении 755 мм.рт.ст.
Правильный ответ: p = 1,63 ата = 164086,87 Па.
Задача 1.41 Определить падение давления доменного газа в скруббере,
рисунок 1.19, если показания дифференциального манометра, заполненного
спиртом, h = 75 мм.
Рисунок 1.19 - К задаче 1.41
Правильный ответ: ∆p = 59,2 кГ/м2 = 5,92 мПа.
Задача 1.42
h = 600 мм.рт.ст.
Конденсатор паровой машины работает с разряжением
Рисунок 1.20 - К задаче 1.42
Определить напор, который должен преодолевать насос, рисунок 1.20,
подающий воду в конденсатор из резервуара, уровень воды в котором на H =
14 м ниже места ввода воды в конденсатор. Потерями в трубах пренебречь.
Правильный ответ: Hн = 5,83 м вод. ст. = 57,157 Па.
Задача 1.43
В закрытый резервуар с водой, температура которого
Т = 20 ºС, рисунок 1.21, при помощи воздушной подушки поддерживается
давление р○ = 1,2 ати.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Каковы показания ртутного манометра, установленного таким образом,
что нижний уровень ртути находится на H = 800 мм ниже уровня воды в
резервуаре?
Рисунок 1.21 к задаче 1.43
Правильный ответ: h = 941 мм.рт.ст. = 125466,87 Па.
= 0,12155 мПа = 1,2155 кГ/ см2.
Задача 1.44
Определить избыточное давление воды в резервуаре,
находящегося в подвальном помещении, рисунок 1.22, если ртутный манометр,
установленный на первом этаже так, что нижний уровень ртути находится на H
= 5 м над центром резервуара, показывает h = 680 мм.рт.ст.
Рисунок 1.22 - К задаче 1.44
Правильный ответ: р = 1,425 ати = 0.1425 мПа.
Задача 1.45 Определить разряжение, создаваемое дымовой трубой
мартеновской печи, высота которой H = 50 м, если средняя температура
дымовых газов Т = 550 ºС, а температура окружающего воздуха tв = 20 ºС.
Удельный вес воздуха в смеси с дымовым газом при нормальных
условиях – ( 273,15 К, 760 мм.рт.ст.) взять равным γсм. = 1,29 кГ/м3.
Правильный ответ: ∆p = 38,7 мм.рт.ст. = 5160 Па.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.46 На рисунке 1.23 изображен прибор для измерения глубины
моря. Верхняя часть сосуда ёмкостью V = 1000 см3 заполняется водой, нижняя
– ртутью.
При опускании прибора в море морская вода, удельный вес которой
γм.в. = 1020 кГ/м3, через трубку «а» вытесняет часть ртути в верхнюю камеру.
Определить глубину моря, если после погружения сосуда на дно моря в
верхней камере оказалось G = 350 г ртути. Коэффициент объёмного сжатия
воды принять βрт = 1/20 000 см3/кГ. Сжимаемостью ртути пренебречь.
Рисунок 1.23 к задаче 1.46
Правильный ответ: H = 5030 м.
Задача 1.47Тарелки всасывающего клапана насоса диаметром d2 =125 мм
закрывают отверстие для прохода воды диаметром d1 = 100 мм.
Рисунок 1.24 - К задаче 1.47
Какое разряжение необходимо создать в момент пуска насоса во
всасывающей трубе, чтобы при показанном на рисунке 1.24, положении
уровней воды (h1 = 1м; h2
= 2м), всасывающий клапан открывался?
Барометрическое давление принять равным рат = 735,5 мм.рт.ст.
Правильный ответ: ∆p = 438 мм.рт.ст.
Задача 1.48 Разряжение в топке нагревательной печи, измеренное на
уровне топочных дверок, составляет 1 мм.вод.ст.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить избыточное давление продуктов сгорания на свод печи,
расположенный на h = 3 м выше уровня топочных дверок, если температура в
топке Тп = 1200 ºС, температура окружающего воздуха tв = 20 ºС, а удельный
вес топочных газов при нормальных условиях ( 273,15 К, 760 мм.рт.ст.) равен
γг = 1,29 кГ/м3.
Правильный ответ: ризб = 1,87 кГ/м2.
Задача 1.49 Круглое отверстие в горизонтальном дне резервуара с
нефтью, рисунок 1.25, закрывается откидным клапаном диаметром d = 100 мм.
Рисунок 1.25 - К задаче 1.49
Определить усилие Q, которое необходимо приложить для открытия
клапана, находящегося на глубине h = 3,5 м, если удельный вес нефти
γн = 800 кГ/м3.
Правильный ответ: Q = 11,0 кГ.
Задача 1.50 Какую силу штока диаметром d = 40мм может создать
гидравлический цилиндр, рисунок 1.26, диаметром D = 200 мм при
избыточном давлении слева от поршня рлев = 5 ати и рпр = 0,5 ати?
Рисунок 1.26 - Для задачи 1.50
Силу трения, теряемую в сальнике, принять равной 10 % от полного
усилия, действующего на поршень.
Правильный ответ: Р = 1275 кГ.
Задача 1.51 Определить силу Т и мощность N, теряемые на кожаном
манжете плунжера гидравлического пресса, рисунок 1.27, если ширина
манжеты b = 30 мм, диаметр плунжера d = 250 мм, давление рабочей
жидкости Рж = 250 кГ/см2, скорость движения плунжера V = 0,01 м/с.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
fтр
Рисунок 1.27 для задачи 1.51
Коэффициент трения кожи о поверхность плунжера принять равным
= 0,15.
Правильный ответ: Т = 8830 кГ; N = 1,18 л.с.
Задача 1.52 Гидравлический повыситель давления, рисунок 1.28,
развивает давление рг = 70 ати.
Рисунок 1.28 - Для задачи 1.52
Под каким начальным давлением должна подводиться вода под большой
поршень диаметром D = 200 мм, если диаметр скалки d = 50 мм? Трением в
уплотнениях пренебречь.
Правильный ответ: рнач = 4,37 ати.
Задача 1.53 Гидравлический аккумулятор, рисунок 1.29, с диаметром
плунжера d
=
300 мм обслуживает периодически действующий
гидравлический пресс с рабочим давлением Рраб = 35 ати.
Рисунок 1.29 - Для задачи 1.53
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить вес движущихся частей аккумулятора G, необходимый ход
плунжера S и мощность N непрерывно работающего питательного насоса, если
пресс работает в течение 1 мин. с 4-х минутным перерывом, потребляя во время
работы 0,7 л/с воды.
Правильный ответ: G=24, т; S=476 мм; N=0,48
кВт.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 3 Давление жидкости на стенку. Закон Архимеда [1, 3, 4]
(Теоретические предпосылки по главе)
§7 Давление жидкости на плоскую стенку.
Давление, создаваемое жидкостью в любой точке стенки открытого
сосуда, зависит от глубины погружения h этой точки и удельного веса
жидкости γ, следовательно, может быть определена из выражения (1/50):
р = h·γ;
( 1.50)
Уравнение (1.50) представляет собой уравнение прямой линии, поэтому
эпюра распределения давления на стенку, как на рисунке 1.30а,
будет
представлять собой треугольник в открытом сосуде.
а - открытый сосуд; б - закрытый сосуд.
Рисунок 1.30- Распределение давления на плоскую стенку
В закрытом сосуде с избыточным давлением на свободной поверхности
р○ = рабс - ратм давление в любой точке жидкости определяется из основного
уравнения гидростатики (1.51):
p = pο × γ ⋅ h
(1.51)
Эпюра распределения давления, рисунок 1.30б, будет представлять
собой трапецию.
Полная сила давления на плоскую стенку (1.52) равна
гидростатическому давлению в центре тяжести стенки, умноженному на её
площадь:
(
)
Ρ = pο + γ ⋅ hц.т ⋅ F ;
(1.52)
В случае открытого сосуда р○ = 0 и полная сила давления будет равна:
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ρ = γ ⋅ hц.т ⋅ F ;
(1.53)
Точка приложения силы Р, называемая центром давления, вследствие
возрастания давления по мере увеличения глубины, как на рисунке 1.31, лежит
всегда ниже центра тяжести стенки.
Рисунок 1.31 - Центр давления жидкости на стенку
Величина отрезка lц.д, определяющего положение центра давления,
находится на основании теоремы моментов о равенстве момента
равнодействующей сумме моментов сил составляющих и рассчитывается по
формуле (1.54):
l ц.д = l ц.т +
l ц .т
l ц .т ⋅ F
;
(1.54)
где lц.т - расстояние по стенке от свободной поверхности жидкости до центра
стенки;
I - момент инерции стенки относительно горизонтальной оси, проходящей
через центр тяжести;
F - площадь стенки.
Давление жидкости на криволинейную стенку.
Для цилиндрической криволинейной поверхности полная сила давления
Р может быть получена, показано на рисунке 1.32, как геометрическая сумма
вертикальной и горизонтальной составляющих (формула (1.55)):
Ρ =
Ρ 2x + Ρ 2z ;
(1.55)
Рисунок 1.32 - Давление жидкости на криволинейную цилиндрическую
стенку
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Горизонтальная составляющая полной силы давления Рх на
цилиндрическую криволинейную стенку равна полной силе давления жидкости
на вертикальную проекцию этой стенки:
Ρ x = γ ⋅ hц.т ⋅ Fверт ;
(1.56)
где Fверт- вертикальная проекция рассматриваемой криволинейной стенки;
hц.т - глубина погружения центра тяжести этой проекции.
Вертикальная составляющая полной силы давления на криволинейную
стенку Pz равна весу жидкости в объёме тела давления:
Ρ z = γ ⋅ W = G;
(1.57)
Телом давления называется объём W жидкости, ограниченный сверху
свободной поверхностью жидкости, снизу – рассматриваемой криволинейной
поверхностью, с боков – вертикальной поверхностью, проведённой через
периметр, ограничивающий стенку.
Вес тела давления нужно считать отрицательным, если объём строится с
несмачиваемой стороны стенки.
Направление полной силы давления Р определяется углом β,
образуемый вектором Р с горизонтальной плоскостью:
tg β =
Pz
;
Px
(1.58)
Точку приложения силы Р определяют, исходя из следующих
соображений: горизонтальная составляющая её Рх должна проходить через
центр тяжести эпюры гидростатического давления на вертикальную проекцию
заданной поверхности; вертикальная составляющая Рz пройдёт через центр
тяжести М, рисунок 1.33, тела давления. Вектор полной силы давления
должен пройти через точку К пересечения направлений Рх и Рz под углом β к
горизонту. Точка пересечения этого вектора N с криволинейной поверхностью
и будет искомым центром давления.
Рисунок 1.33 - Давление жидкости на криволинейную стенку в любом
направлении.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сила давления жидкости Р на поверхность любой кривизны в любом
направлении n, рисунок 1.33, может быть подсчитана из выражения (1.59):
Pn = Pn′ + G ⋅ cos ( n, z ) ;
(1.59)
где
Р´n - сила давления жидкости на проекцию заданной криволинейной
поверхности на плоскость ас, перпендикулярную заданному направлению;
G - вес жидкости в объёме W, ограниченном заданной криволинейной
поверхностью АВСD, её проекцией abcd на плоскость. Нормальную к
заданному направлению, и цилиндрической проектирующей поверхностью
AaBbCcDd;
cos(n,z) – косинус угла, образуемого заданным направлением с
вертикалью.
Приближённо, при условии, что проекция криволинейной поверхности
расположена непосредственно у самой поверхности, весом жидкости,
заключённой в объёме между ними, можно пренебречь и считать, что:
Ρ n = Ρ′n ;
(1.60)
Закон Архимеда. Сила, действующая на погружённое в жидкость
твёрдое тело, определяется как равнодействующая сил давления,
действующих на его поверхности.
Так как горизонтальные силы, действующие на боковые поверхности,
взаимно уравновешиваются, а сила, действующая на нижнюю поверхность,
всегда больше силы, действующей сверху, то равнодействующая сил давления
направлена снизу вверх и равна весу жидкости, вытесненной телом (формула
1.61):
P = − γ ж ⋅W ;
(1.61)
Таким образом, всякое погружённое в жидкость тело находится под
действием двух сил: силы веса погружённого в жидкость тела G = γт·W и
выталкивающей (подъёмной) силы P = - γж·W, т.е. вес тела внутри жидкости
GА = G - P, что и отражает закон Архимеда.
При этом могут быть три случая, показанные на рисунке 1.34:
Рисунок 1.34 Закон Архимеда
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 Если γт > γж , G > P , то тело будет тонуть, так как сумма сил G и
P даёт равнодействующую, направленную вниз; равновесие наступит, когда
тело коснётся дна сосуда или водоёма и появится реакция дна N = G - P;
2 Если γт = γж , G = P , то тело будет находиться в жидкости в
состоянии безразличного равновесия;
3 Если γт < γж , G < P , то тело будет всплывать, так как сумма
сил G и P даёт равнодействующую, направленную вверх и заставляет тело
подниматься на поверхность. Равновесие наступит, когда тело будет выступать
из жидкости настолько, что выталкивающая (подъёмная) сила P´ станет равной
весу тела G.
Из всего сказанного по п. 1,2,3 непосредственно вытекает, что вес
плавающего тела равен весу вытесненной им жидкости, т.е. величине
подъёмной силы.
Плавание тел. В то время как вес тела G приложен к центру тяжести
тела С, выталкивающая сила приложена к центру тяжести подводной части тела
С1, рисунок 1.35а, или С1´, рисунок 1.35б, называемому центром
водоизмещения.
а)
б)
а) – вертикальное положение оси плавания; б) – наклонное положение
оси плавания.
Рисунок 1.35 - Остойчивость плавающего тела
Для равновесия тела необходимо, чтобы обе силы действовали по одной
вертикальной прямой z - z, называемой осью плавания.
Если по какой-либо причине ось плавания z - z примет наклонное
положение, рисунок 1.35б, образующаяся пара сил будет стремиться или
возвратить тело в первоначальное состояние или, наоборот, увеличить его
наклон (крен).
Способность тела по прекращении действия не «архимедовых» внешних
сил возвращаться в первоначальное положение равновесия называется
остойчивостью.
Остойчивость тела зависит от взаимного расположения центра тяжести
тела С и так называемого метацентра М – точки пересечения оси плавания в её
наклонном положении с направлением подъёмной силы Р.
Чем больше расстояние между точками С
и
М, называемое
метацентрической высотой hм, тем больше остойчивость тела.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Метацентрическая высота hм определяется как разность между
метацентрическим радиусом ρ и расстоянием «а» от центра тяжести тела до
центра водоизмещения.
Метацентрический радиус, т.е. расстояние между центром
водоизмещения и метацентром, равен моменту инерции плоскости плавания І
относительно продольной оси, делённому на водоизмещение тела, т.е. на объём
его подводной части (равенство 1.62):
ρ =
I
;
W
(1.62)
Плоскостью плавания называется сечение плавающего тела свободной
поверхностью жидкости. Линия, ограничивающая это сечение, носит название
ватерлинии.
Таким образом, метацентрическая высота рассчитывается по формуле
(1.63):
hΜ =
I
− a;
W
(1.63)
Положительное значение hм указывает на остойчивость тела в
плавании;
Если метацентр совпадает с центром тяжести, то равновесие будет
безразличным; при hм < 0 остойчивость отсутствует, и тело в плавании будет
переворачиваться, т.е. также безразлично, но на плаву поверхности.
§8 Задачи с решением
Задача 1.30 Определить равнодействующую Р сил давления,
действующих на плоскую прямоугольную стенку шириной
b = 1.5 м,
наклонённую под углом α = 30º к горизонту, рисунок 1.31, если глубина
жидкости (воды γв = 1000 кГ/м3) открытом сосуде H = 1,2 м.
Найти точку приложения равнодействующей.
РЕШЕНИЕ: Длина смоченной части стенки равна по формуле:
α =
Η
1, 2
=
= 2, 4 м ;
sin α
0,5
Площадь стенки будет равна:
F = a ⋅ b = 2, 4 ⋅1,5 = 3,6 м 2 ;
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Равнодействующая сил давления, действующих на стенку:
Ρ = γ ⋅ hц.т ⋅ F = 1000 ⋅ 0,6 ⋅ 3,6 = 2160 кГ ;
Момент инерции смоченной площади стенки относительно оси,
проходящий через центр тяжести:
1,5 ⋅ ( 2, 4 )
b ⋅ h2
=
=
= 1,725 м 4 ;
12
12
2
I ц .т
Расстояние lц.д , определяющее точку приложения силы Р:
l ц.д = l ц.т +
l ц.т
F ⋅ l ц.т
= 1, 2 +
1,725
= 1,6 м;
1,5
2,4
1,
2
⋅
⋅
(
)
Задача 1.31 Промежуточная вертикальная стенка делит резервуар
шириной b = 1,2 м на два отсека, рисунок 1.36, с разным уровнем воды в
каждом отсеке.
Определить величину равнодействующей сил давления на эту стенку и
точку её приложения, а также точки приложения сил Р1 и Р2 , если уровень
воды в первом отсеке составляет H1 = 1200 мм, а во втором – H2 = 480 мм.
Рисунок 1.36 - Двуполостный резервуар для задачи 1.31
РЕШЕНИЕ: Сила, действующая на стенку слева:
Ρ1 = γ ⋅ Ρ1 = γ ⋅ hц′ .т ⋅ F1 = 1000 ⋅ 0,6 ⋅ (1, 2 ⋅1, 2 ) = 864 кГ ;
Расстояние от поверхности жидкости до точки приложения Р1:
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I v′ц.т
0,173
= 0,8 м;
0,6 ⋅ (1, 2 ⋅1, 2 )
l =
l′ц.т
+
где
I цv.′т
b ⋅ H13 1, 2 ⋅ (1, 2 )
=
=
= 0,173 м 4 ;
12
12
F1 ⋅ l′w / n
= 0,6 +
3
Сила, действующая на стенку справа:
Ρ 2 = γ ⋅ hц″.т ⋅ F2 = 1000 ⋅ 0, 24 ⋅ ( 0, 48 ⋅1, 2 ) = 138 кГ
Расстояние от поверхности жидкости до точки приложения силы Р2:
l2 =
l″ц.т
где I цv.″т
+
I цv.″т
F2 ⋅ l″ц.т
= 0, 24 +
0,0111
= 0,32 м;
0, 24 ⋅ (1, 2 ⋅ 0, 48 )
b ⋅ H 23 1, 2 ⋅ ( 0, 48 )
=
=
= 0,0111 м 4 ;
12
12
3
Величина равнодействующей:
Ρ = Ρ1 − Ρ 2 = 864 − 138 = 726 кГ ;
Точка приложения равнодействующей определяется из соотношения,
рисунок 1.36:
m
Ρ
a ⋅ Ρ2
0, 24 ⋅ 138
= 2; m =
=
= 0,0456 м;
m + a
Ρ1
Ρ1 − Ρ 2
726
Равнодействующая приложена на расстоянии z от дна сосуда:
z =
H1
1, 2
+m =
+ 0,0456 = 0, 4456 м;
3
3
Задача 1.32
Для увеличения жесткости стенок металлический
резервуар, имеющий высоту H
= 4 м, рисунок 1.37, снабжён пятью
горизонтальными поясами жесткости из профильного железа.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.37 - Резервуар оборудованный поясами жёсткости для задачи
1.32
Как должны быть расположены эти пояса, чтобы каждый из них
воспринимал одинаковую нагрузку?
РЕШЕНИЕ:
Эпюра давлений должна быть разбита на пять
равновеликих площадей. Глубину погружения оснований этих площадей
находят из следующих очевидных соотношений:
пл. A1 С B1
h12
1
= 2 = ;
пл. A5 С B5
5
Η
Откуда можно получить следующее:
h1 =
Η2
=
5
16
= 1,79 м ;
5
пл. A2 B2C
h22
2
= 2 = ;
пл. A5 B5C
5
Η
Далее переходим к следующему 2-му поясу:
h2 =
2Η 2
=
5
32
= 2,53 м;
5
пл. A3 B3C
h32
3
= 2 = ;
пл. A5 B5C
5
Η
Теперь переходим к 3-му поясу:
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h3 =
3Η 2
=
5
48
= 3,10 м;
5
пл. A4 B4C
h42
4
= 2 = ;
пл. A5 B5C
5
Η
Следующий пояс 4-й, по которому получаем:
h4 =
4Η 2
=
5
64
= 3,58 м ;
5
Каждый из поясов жесткости нужно разместить против центра давления
соответствующего пояса давлении.
Первый пояс жесткости должен лежать на расстоянии 1/3 h1 от
свободной поверхности жидкости, т.е. в центре давления первого пояса
давления:
a1 =
2
2
⋅ h1 = ⋅1,79 = 1,19 м;
3
3
Положение второго пояса жесткости находят из уравнения моментов,
выражающего, что общий момент сил давлении двух верхних поясов
относительно точки С равен сумме моментов сил давления первого и второго
поясов в отдельности:
2
2
2 P ⋅ h2 = P ⋅ h1 + Pa2 ;
3
3
откуда будем иметь:
a2 =
4
4
h2 − a1 = ⋅ 2,53 − 1,19 = 2,18 м;
3
3
Положение третьего пояса жесткости определяют из аналогичного
уравнения моментов, написанного для первого, второго и третьего поясов:
2
2
3P ⋅ h3 = 2 P ⋅ h2 + P ⋅ a3 ;
3
3
из которого можно вычислить:
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a3 = 2h3 −
4
4
h2 = 2 ⋅ 3,10 − ⋅ 2,53 = 2,83 м;
3
3
Аналогичным образом находят положение четвёртого пояса жесткости:
2
2
4 P ⋅ h4 = 3P ⋅ h3 + P ⋅ a4 ;
3
3
откуда вычисляется а4:
a4 =
8
8
h4 − 2h3 = ⋅ 3,58 − 2 ⋅ 3,10 = 3,35 м;
3
3
Только теперь можно определить положение пятого пояса жесткости:
2
2
5 P ⋅ Η = 4 P ⋅ 3 h4 + Pa5 ;
3
3
откуда определяем:
a5 =
10
8
10
8
Η − h4 = ⋅ 4,0 − ⋅ 3,58 = 3,78 м;
3
3
3
3
Задача 1.33 Определить равнодействующую сил давления,
действующих на криволинейную стенку, представляющую собой одну четверть
боковой поверхности цилиндра радиусом r = 1 м и длиной l = 1,8 м,
показанного на рисунке 1.38, схематично.
Рисунок 1.38 - Боковая поверхность цилиндра для задачи 1.33
Найти её направление и точку приложения.
РЕШЕНИЕ: Горизонтальная составляющая полной силы давления:
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Px = γ hц.т ⋅ Fверт = 1000 ⋅ 0,5 ⋅1,0 ⋅1,8 = 900 кГ ;
Вертикальная составляющая полной силы давления:
3,14 ⋅ (1,0 )
⋅1,8 = 1410 кГ ;
Pz = γ ⋅ W = 1000 ⋅
4
2
Равнодействующая сил давления, действующих на криволинейную
поверхность:
P =
Px2 + Pz2 =
( 900 )2
+ (1410 ) = 1670 кГ ;
2
Направление равнодействующей определяется под углом α, который
она образует с горизонтом:
tg α =
Pz
;
Px
Для заданных условий:
tg α =
1410
= 1,57 , ∠α = 57ο 30′ ;
900
Точка приложения К равнодействующей силы Р, как показано на
рисунке 3.9, определяется графически. Составляющая Рz проходит через центр
тяжести столба жидкости, опирающегося на криволинейную поверхность.
Составляющая Рх проходит через центр тяжести эпюры распределения
давления на вертикальную проекцию криволинейной поверхности.
Задача 1.34 По паропроводу диаметром D = 300 мм к паровой турбине
высокого давления подводится пар.
Определить напряжение, развивающегося в стенке трубы, если давление
пара составляет р = 90ати, а толщина стенки трубы δ = 15 мм.
РЕШЕНИЕ: Сила, разрывающая трубу в продольном направлении,
равна гидростатическому давлению, умноженному на вертикальную проекцию
криволинейной стенки, т.е. на диаметральное продольное сечение трубы:
Ρ = p ⋅ d ⋅ l;
Так как на разрыв работают два сечения стенки трубы, то напряжение
материала стенки составляет удвоенную площадь сечения трубы:
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
P
p ⋅d ⋅l
90 ⋅ 30
9,0 ⋅106 ⋅ 0,3
2
σ =
=
=
= 900 кГ / см =
= 90 мПа;
2F
2 ⋅δ ⋅ l
2 ⋅1,5
2 ⋅ 0,015
Задача 1.35 Крышка, выполненная в виде полуцилиндра, закрывает
прямоугольное отверстие шириной а = 0,5 м и длиной l = 1,5 м, рисунок 3.10,
в стенке резервуара, наклонённой под углом α = 30º к горизонту.
Рисунок 1.39 - К задаче 1.35
Найти силу Р, действующую на крышку, если свободная поверхность
воды располагается на h = 2 м над центром отверстия.
РЕШЕНИЕ: Сила, действующая на крышку нормально к стенке, по
направлению оси m - m:
Pm =
Pm′
+ G ⋅ cos ( m, z ) = γ ⋅ hц.т ⋅ F +
π ⋅d2
2⋅4
⋅ l ⋅ γ ⋅ cos ( m, z ) =
3,14 ⋅ ( 0,5 )
= 1000 ⋅ 2,0 ⋅ 0,5 ⋅1,5 +
⋅1,5 ⋅1000 ⋅ cos30ο = 1627 кГ ;
8
2
Силы, действующие на крышку вдоль стенки по нормали к оси m - m,
т.е. на основании полуцилиндра слева и справа, равны и, следовательно,
взаимно уравновешиваются.
Сила, действующая на крышку вдоль стенки параллельно ей, т.е. на
кривую поверхность полуцилиндра перпендикулярно к оси m - m, равна:
(
)
pa = γ ⋅ W ′ − W ″ ⋅ sin α =
3,14 ⋅ ( 0,5 )
= 1000 ⋅
⋅1,5 ⋅ sin 30ο = 73,6 кГ ;
2⋅4
π ⋅d2
′
″
где W − W =
⋅ l;
2⋅4
2
(
)
Полная сила, действующая на крышку:
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
P =
Pm2 + Pa2 =
(1627 )2
+ ( 73,6 ) = 1629 кГ ;
2
Направление полной силы давления определяется тангенсом угла β
между направлением оси m - m и направлением силы Р, т.е. получаем
следующее выражение:
tg β =
Pa
73,6
=
= 0,045; ∠β = 2ο 35′ ;
1627
Pm
Точку приложения силы Р находят, исходя из того, что направление
силы Р должно проходить через середину оси цилиндра.
Задача 1.36 Определить силу, действующую на брусок дерева,
полностью погружённый в воду, объёмом W = 0,75 м3 с удельным весом
γ = 700 кГ/м3.
РЕШЕНИЕ: Численное значение выталкивающей (подъёмной) силы
для заданных условий:
P = − γ ж ⋅ W = − 1000 ⋅ 0,75 = − 750 кГ ;
Вес бруска дерева будет составлять:
G = γ д ⋅ W = 700 ⋅ 0,75 = 525 кГ ;
Полная сила, действующая на брусок дерева будет составлять:
Ga = G + P = 525 + ( − 750 ) = − 225 кГ ;
Примерные размеры бруска дерева: 0,75 м3 = 1,5 м ·0,708 м·0,707 м.
Задача 1.37 Деревянный брус размерами А = 200 мм, С = 400 мм,
L
3
= 600 мм и удельным весом γд = 800 кГ/м плывет в воде с тихим течением и
не переворачивается. Определить, какое из трёх его положений в воде,
приведённых на рисунке 1.40, является остойчивым.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.40 к задаче 1.37
РЕШЕНИЕ: Определяем вес бруса:
Gб = A ⋅ B ⋅ C ⋅ γ д = 0, 2 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,6 ⋅ 800 = 38, 4 кГ ;
Объём водоизмещения определяется следующим выражением:
W =
Gб
γв
=
38, 4
= 0,0384 м3 ;
1000
Моменты инерции площади плавания:
b ⋅ h3 60 ⋅ ( 40 )
I1 =
=
= 320000 см 4 ;
12
12
3
b ⋅ h3 60 ⋅ ( 20 )
I2 =
=
= 40000 см 4 ;
12
12
3
b ⋅ h3 40 ⋅ ( 20 )
I3 =
=
= 26666,887 см 4 ;
12
12
3
Метацентрические радиусы:
ρ1 =
I1 320000
=
= 8,333333 см;
W
38400
ρ2 =
ρ3 =
I 2 40000
=
= 1,0416687 см;
W 38400
I 3 26666,887
=
= 0,89445 см;
38400
W
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Положение центра водоизмещения:
h1в =
W
38400
=
= 8 см;
2 ⋅ F 2 ⋅ ( 40 ⋅ 60 )
h2в =
W
38400
=
= 16 см;
2⋅ F
2 ⋅ ( 20 ⋅ 60 )
h3в =
W
38400
=
= 24 см;
2 ⋅ F 2 ⋅ ( 20 ⋅ 40 )
Метацентрическая высота будет равна:
(
)
h1m = ρ1 − h1ц.т − h1в = 8,3333 − (10 − 8 ) = 6,3333 см;
(
)
(
)
h2m = ρ 2 − h2ц.т − h2в = 1,0416687 − ( 20 − 16 ) = − 2,958 см;
h3m = ρ3 − h3ц.т − h3в = 0,89445 − ( 30 − 24 ) = − 5,105555 см;
Таким образом, остойчивым является только первое положение бруса.
§9 Задачи для решения
Задача 1.38 Открытый прямоугольный бак длиной L = 5,2 м, шириной
B = 2.4 м, заполнен водой, температура которого t = 80 ºС, до высоты H=2,7 м.
Определить полные силы давления, действующие на каждую из стенок
бака и дно бака, найти точки их приложения.
Правильный ответ: Ро = 32,7 т; Р1 = 18,4 т; Р2 = 8,5 т; L1 = 1,8 м; l2= 1,8 м.
Задача 1.39 Прямоугольный канал шириной b = 1,3 м перегораживается
вертикальным деревянным щитом весом G = 100 кГ, рисунок 1.41,
двигающимся по направляющим в пазах канала.
Рисунок 1.41 - Для задачи 1.39
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить силу, необходимую для подъёма щита, если глубина канала
h = 2 м, а коэффициент трения щита о направляющие f = 0,4.
Найти максимальное напряжение в нижней доске щита, если толщина
доски 8 см, а ширина 20 см.
Правильный ответ: Q = 1140 кГ; σ = 37,6 кГ/см2.
Задача 1.40 Найти силу избыточного давления воды на крышку лючка
парового котла диаметром d = 110 мм, находящуюся на глубине h = 5 м от
поверхности воды. Паровой котёл работает при давлении Р = 20 ати и
температуре воды t = 214 ºС, обладающей при этих условиях удельным
объёмом vy = 0,00118 м3/кГ. (Если размеры отверстия по сравнению с
глубиной погружения незначительны, центр давления можно считать
совпадающим с центром тяжести).
Правильный ответ: Р = 1940 кГ.
Задача 1.41 Определить усилие Q, необходимое для подъёма
шарнирного наклонного щита, рисунок 3.13, шириной b = 1,5 м,
расположенного под углом Α = 60º к горизонту, в канале глубиной H = 1,5 м,
если расстояние от уровня воды до оси шарнира а = 20 см. Собственным
весом щита и трением в шарнире пренебречь.
Рисунок 1.42 - К задаче 1.41
Правильный ответ: Q = 1370 кГ.
Задача 1.42 Найти полную силу давления воды на подпорную стенку
длиной 5 м, имеющую трапецеидальный профиль, с толщиной вверху b = 0,5 м
и углом заложения откосов α = 60º при глубине воды H = 4,5 м.
Определить
опрокидывающий
и
удерживающие
моменты
относительно точки у основания стенки-дамбы с противоположной от воды
стороны, если удельный вес материала стенки (глина) γс = 2400 кГ/м3.
Правильный ответ: Р = 58,5 т; Мопр.= 76000 кГм; Мудерж.= 618500 кГм.
Задача 1.43 Прямоугольное отверстие высотой h = 0,5 м и шириной b =
1,2 м в вертикальной стенке открытого резервуара, рисунок 1.43, закрыто
щитом, вращающимся вокруг горизонтальной оси О и прижимаемым
посредством двух грузов Q, подвешенных на рычагах r = 1м.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.43 - К задаче 1.43
Определить минимально необходимый вес каждого груза, если глубина
погружения нижней кромки отверстия H = 1,3 м, а расстояние от верхней
кромки отверстия до оси щита а = 100 мм. Весом рычага и трением в
подшипниках осей шарниров пренебречь.
Правильный ответ: Q = 116 кГ.
Задача 1.44 Наклонный щит плотины, рисунок 1.44, имеет возможность
поворачиваться около оси О.
Рисунок 1.44 - К задаче 1.44
При каком уровне воды H щит перевернётся, если угол наклона щита
α = 60º, а расстояние от нижней кромки щита до шарнира а = 0,9 м?
Правильный ответ: H = 2,34 м.
Задача 1.45 На трубопроводе, подводящим воду к гидротурбине,
установлен поворотный дроссельный клапан диаметром D = 1,5 м, рисунок
1.45, находящийся под напором H = 15 м.
Рисунок 1.45 - Для задачи 1.45
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить момент, необходимый для открытия клапана. Кривизной
поверхности клапана, углом его наклона и трением в цапфах оси пренебречь.
Правильный ответ: М = 248 кГм.
Задача 1.46
Труба диаметром d = 300 мм для выпуска нефти из
открытого нефтехранилища, рисунок 3.17, закрывается откидным клапаном,
расположенным под углом α = 45º к горизонту.
Определить усилие Q, которое нужно приложить к тросу, чтобы
открыть клапан, если глубина расположения клапана H = 8 м, а удельный вес
нефти γн = 860 кГ/м3.
Рисунок 1.46 - Для задачи 1.46
Правильный ответ: Q = 486 кГ.
Задача 1.47 Кирпич весит в воздухе на земле 4 кГ, а в погруженном
состоянии в воде – 1,33 кГ. Определить удельный вес материала кирпича.
Правильный ответ: γ = 1500 кГ/м3.
Задача 1.48 По окончании погрузки 1800 м3 песка глубина осадки
корпуса баржи увеличилась на 1,2 м.
Определить объёмный вес песка, принятого баржей, если площадь
поперечного сечения баржи на уровне поверхности воды равна 2400 м3.
Правильный ответ: γп = 1600 кГ/м3.
Задача 1.49 Сколько брёвен диаметром d = 300 мм и длиной l = 10 м с
удельным весом γ = 800 кГ/м3 необходимо для сооружения плота, способного
удержать автомобиль весом 2,1 т.
Правильный ответ: n = 15 брёвен.
Задача 1.50 Металлический понтон весом 1,5 т имеет длину 5 м,
ширину 2 м и полную высоту бортов H = 0,8 м.
Определить высоту бортов понтона над поверхностью воды при
полезной нагрузке Q = 3 т.
Правильный ответ: h = 0,35 м.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.51 Проверить остойчивость судна, весящего вместе с грузом
75 т, если центр водоизмещения судна лежит ниже центра тяжести на 0,4 м, а
момент инерции площади плавания I = 230 м4.
Правильный ответ: hм = 2,67 м, судно остойчиво.
Задача 1.52 Прямоугольный понтон шириной 2,5 м, длиной 6 м имеет
осадку 0,9 м, причём центр тяжести расположен на высоте 1,2 м от плоскости
днища.
Определить вес груза и проверить остойчивость понтона, если
понтон без нагрузки имеет осадку 0,1 м.
Правильный ответ: Gгр = 12 т; Понтон не остойчив.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 4 Основы гидродинамики [1, 2, 3, 4].
(Теоретические предпосылки)
§10 Основные понятия
Движение жидкости, при котором давление и скорость в любой точке
пространства, заполненного жидкостью, с течением времени не изменяются,
называется установившимся движением.
Наоборот, при неустановившемся движении в данной точке
пространства с течением времени происходит изменение давления и скорости
жидкости.
Путь, проходимый каждой частицей жидкости при движении,
называется её траекторией.
Линией тока называется такая кривая, в каждой точке которой в данный
момент времени, рисунок 1.47а, вектор скорости направлен по касательной.
При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями
движения частиц жидкости.
а - линия тока; б - элементарная струйка.
Рисунок 1.47- Линия тока и элементарная струйка:
Если в поперечном сечении движущейся массы жидкости выделить
элементарную площадку dF и провести через все точки её периметра линии
тока, то совокупность линий тока образует так называемую трубку тока.
Жидкость, протекающая внутри трубки тока, образует так называемую
элементарную струйку, рисунок 1.47б.
Совокупность всех движущихся элементарных струек называется
потоком жидкости.
Площадь поперечного сечения потока F, нормального к направлению
движения жидкости, называется живым сечением потока.
Периметр живого сечения, соприкасающийся со стенками,
ограничивающий поток, называется смоченным периметром Sо.
Отношение площади живого сечения потока F к смоченному периметру
Sо называется гидравлическим радиусом R и является одной из важнейших
характеристик потока.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§11 Уравнение неразрывности движения жидкости
Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое
сечение потока в единицу времени.
Если рассматривать поток жидкости конечных размеров как
совокупность бесконечно большого числа элементарных струек с поперечным
сечением dF, движущихся с различными скоростями, то расход потока Q будет
рассчитываться по формуле (1.64):
Q = ∫ vи ⋅ dF ;
(1.64)
F
где vи - истинная скорость, т.е. скорость в данной точке.
Закон распределения скоростей по сечению потока зависит от ряда
условий и часто представляет собой сложную функцию.
Вследствие этого практически оказалось удобным ввести понятие
средней скорости потока, рисунок 1.48, являющийся фиктивной скоростью, при
которой данное сечение пропускает тот же расход, что и в действительности,
т.е справедливо равенство (1.65):
vср.
Q
= =
F
∫ vи ⋅ dF
F
F
;
(1.65)
Выражая расход жидкости через среднюю скорость, получаем формулу
(1.66):
Q = vср. ⋅ F ;
(1.66)
Рисунок 1.48 -Средняя скорость потока жидкости
Если в потоке несжимаемой жидкости произвольно выделить два
поперечных сечения F1 и F2, причём среднее скорости жидкости в этих
сечениях будут соответственно vср.1 и vср.2 , рисунок 1.49, то при
установившемся движении все время будет иметь место соотношение:
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Q = vср.1 ⋅ F1 = vср.2 ⋅ F2 = const ;
(1.67)
Рисунок 1.49-Закон неразрывности движения
Из этого уравнения имеем:
vср.1
vср.2
=
F2
;
F1
Для газового потока, в котором объёмный вес газа по длине потока
может изменяться, остаётся постоянным весовое количество газа,
протекающего через любое живое сечение потока вычисляем по формуле
(1.68):
G = vср.1 ⋅ F1 ⋅ γ 1 = vср.2 ⋅ F2 ⋅ γ 2 = const ;
(1.68)
откуда будем иметь:
vср.1
vср.2
=
γ 2 ⋅ F2
;
γ 1 ⋅ F1
Выражения 1.67 и 1., являющиеся выражением материального баланса в
установившемся потоке жидкости или газа, называются уравнениями
постоянства расхода или уравнениями непрерывности движения.
§12 Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
Уравнение Бернулли, устанавливающее связь между давлением и
скоростью в движущемся потоке жидкости, является основным уравнением
гидравлики.
Написанное для двух произвольных сечений элементарной струйки
идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет вид (1.69):
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
v12
p2
v22
+
= z2 +
+
;
z1 +
γ
γ
2⋅ g
2⋅ g
p1
(1.69)
Координата z [м], определяющая высоту положения частицы над какойто плоскостью сравнения, называется геометрической высотой или
геометрическим напором и определяет запас потенциальной энергии,
обусловленный положением частицы.
Величина
р ⎡ кГ ⋅ м3 ⎤
⋅⎢
⎥ = [ м],
γ ⎣ м 2 ⋅ кГ ⎦
представляющая высоту столба
жидкости, уравновешивающего действующее в данной точке давление,
называется пьезометрической высотой, или пьезометрическим напором, и
определяет запас потенциальной энергии, обусловленный давлением.
Суммой этих двух величин
z +
p
γ
, называемой статической
высотой, или статическим напором, определяется полный запас потенциальной
энергии 1 кГ жидкости.
Величина
v2 ⎡ м2 ⋅ с2 ⎤
⎢
⎥ = [ м ] представляет собой высоту столба
2 ⋅ g ⎣ с2 ⋅ м ⎦
жидкости, эквивалентную части статического напора, под действием которого
происходит движение жидкости. Эта величина, называется динамическим , или
скоростным, напором, представляет собой удельную кинетическую энергию,
т.е. энергию, отнесённую к 1 кГ жидкости:
m ⋅ v2
v2
⁄ mg =
;
2
2⋅ g
Уравнение Бернулли показывает, что при установившемся движении
идеальной жидкости сумма геометрического, пьезометрического и
динамического напоров в каждом поперечном сечении элементарной струйки
есть величина постоянная, т.е. справедливо равенство (1.70):
v2
z +
+
= const
2⋅ g
γ
p
(1.70)
Физический смысл этого уравнения заключается в том, что суммарная
(полная) удельная энергия элементарной струйки идеальной жидкости при
установившемся движении, состоящая из удельной потенциальной и удельной
кинетической энергии, остаётся неизменной.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§13 Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости
При движении реальной жидкости часть энергии будет теряться на
преодоление гидравлических сопротивлений и запас энергии Е во всяком
последующем сечении струйки будет меньше, чем в предыдущем.
Таким образом, для каждой элементарной струйки реальной жидкости
можно написать следующее:
E1 = E2 + hпотерь ;
(1.71)
или тоже самое понятие в развёрнутом, параметрическом виде (равенство
(1.72)):
v12
p2
v22
+
= z2 +
+
+ hпотерь ;
z1 +
2⋅ g
2⋅ g
γ
γ
p1
(1.72)
где hпотерь - дополнительный член в уравнении Бернулли, учитывающий
потерю напора на участке между сечениями │ - │ и ║ - ║, в общем случае
складывающуюся из потерь на трение и местные сопротивления.
Рисунок 1.50 - Графическое изображение уравнения Бернулли
Благодаря линейной размерности всех членов уравнения Бернулли связь
между напорами (z, p/γ, υ2/2·g) чрезвычайно наглядно изображается на
рисунке 1.50, который даёт ясное понимание всех составляющих.
Линия А – А, характеризующая падение удельной энергии жидкости,
называется линией энергии или напорной линией.
Отношение абсолютной величины потери напора hпот. к длине l , на
которой она происходит, называется гидравлическим уклоном i, т.е. :
i=
hпот.
;
l
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Линия Б - Б, характеризующая изменение давления по длине
струйки, называется пьезометрической линией.
Положение оси элементарной струйки В
В характеризует
изменение геометрического напора вдоль трубки тока.
Плоскость О - О, от которой производится отсчёт геометрических
высот, называется плоскостью сравнения.
§14 Уравнение Бернулли для потока жидкости
Чтобы практически использовать уравнение Бернулли, полученное для
элементарной струйки, необходимо распространить его на целый поток,
являющийся совокупностью элементарных струек, движущихся с различными
скоростями.
При введении в уравнение Бернулли средней скорости потока vср.
необходимо ввести в него поправочный коэффициент α, так как кинетическая
энергия потока, вычисленная по средней скорости, будет отличаться от
истинной кинетической энергии потока.
Таким образом, уравнение Бернулли, написанное для установившегося
потока реальной жидкости, имеет следующий вид (1.73):
z1 +
p1
γ
+ α1
2
vср
.1
2⋅ g
= z2 +
p2
γ
+ α2
2
vср
.2
2⋅ g
+ hпот. ; (1.73)
Коэффициент α характеризует неравномерность распределения
скоростей в поперечном сечении потока и представляет собой отношение
истинной живой силы потока к живой силе, вычисленной по средней скорости
(1.74):
vи2 ⋅ dm
3
∫
∫ vи ⋅ dF
2
;
α = F 2
= F 3
vср
vср ⋅ F
(1.74)
2
При равномерном движении воды в трубах и каналах небольшого
поперечного сечения коэффициент α близок к единице.
С помощью уравнения Бернулли решается большое количество задач,
связанных с движением жидкости, не только на практических занятиях
учебных заведений, но и на практике – в КБ, на заводах и фабриках, стройках,
трубопроводной транспортной технике и т.д.
При решении этих задач подбирается два поперечных сечения по длине
потока так, чтобы для одного из них были известны величины z, p и υ, а для
другого – одна или две из них подлежали определению.
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При двух неизвестных величинах, помимо уравнения Бернулли,
используют уравнение неразрывности и решают полученную систему
уравнений совместно.
§15 Задачи с решением
Задача 1.53 По трубе диаметром dо = 100 мм в коллектор поступает
частично отработанный пар паровой турбины, как на рисунке 1.51, имеющий
давление р = 5 ата и темп поступления Q = 2 т/ч.
Определить среднюю скорость пара в паропроводе и выбрать
разветвления по трубам с определением диаметров труб d1 и d2, по которым
пар должен уходить к потребителям теплоэнергии при средней скорости
vср. = 25 м/с, если один из потребителей расходует G1 = 0,5 т/ч, а другой G2 =
1,5 т/ч.
Удельный объём пара при выходе из турбины составляет υy = 0,3816
3
м / кГ.
Рисунок 1.51 - Для задачи 1.53
РЕШЕНИЕ: Секундный объёмный расход пара из турбины:
W =
G ⋅υ y
3600
=
2000 ⋅ 0,3816
= 0, 212 м3 / с;
3600
Средняя скорость пара в паропроводе:
ν ср =
W
0, 212 ⋅ 4
=
= 27 м / с;
F 3,14 ⋅ ( 0,1)2
Необходимое сечение и диаметр ответвления к первому потребителю:
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F1 =
G1 ⋅υ y
3600 ⋅ν ср
4 ⋅ F1
d1 =
π
=
500 ⋅ 0,3816
= 0,00212 м 2 ;
3600 ⋅ 25
4 ⋅ 2120
= 52 мм;
3,14
=
Необходимое сечение и диаметр ответвления ко второму потребителю:
F2 =
G2 ⋅υ y
3600 ⋅ν ср
4 ⋅ F2
d2 =
π
=
=
1500 ⋅ 0,3816
= 0,00636 м 2 ;
3600 ⋅ 25
4 ⋅ 6360
= 90 мм;
3,14
Задача 1.54 Вода вытекает из закрытого сосуда, находящегося под
избыточным давлением pо = 0,25 ати, по трубе переменного сечения, рисунок
4.6, оканчивающейся коническим патрубком и расположенной под углом α =
30º к горизонту.
Рисунок 1.52 - К задаче 1.54
Определить расход воды и построить пьезометрическую линию,
пренебрегая потерями, если H = 15 м.
Диаметр труб d1=125 мм, d2 = 150 мм, d3 = 100 мм, d4 = 75 мм. Общая
длина трубы l = 15 м.
РЕШЕНИЕ: Среднюю скорость в выходном сечении трубы находят из
уравнения Бернулли, написанного для сечений О - О и 4 - 4 и плоскости
сравнения, рисунок 4.6, О' - О':
zο +
pο
γ
+ αο
ν ο2ср
2⋅ g
= z4 +
p4
γ
+ α4
ν 42ср
2⋅ g
+ hпот. ;
Сечения О - О и 4 - 4 выбраны потому, что для них величины zо, ро,
vср, z4, р4 известны.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, принимая υоср.≈ 0 и αо = 1,0 и по условию задачи hпот.
= 0, что единственным неизвестным в уравнении Бернулли остаётся средняя
выходная скорость υ4ср.. т.е. имеем следующее выражение, из которого можно
её определить:
( Η + l ⋅ sin α )
+
pο
γ
+ 0 = 0 + 0 +
υ42ср.
2⋅ g
;
откуда можно определить:
υ4ср. =
⎛
p ⎞
2 ⋅ g ⋅ ⎜ Η + l ⋅ sin α + ο ⎟ =
γ ⎠
⎝
4
⎛
ο 0, 25 ⋅ 10 ⎞
2 ⋅ 9,81⎜15 +15sin 30 +
⎟ = 22,15 м / с;
1000
⎝
⎠
Расход воды можно определить из выражения:
Q=
π ⋅ d 42
4
3,14 ⋅ ( 0,075 )
=
⋅ 22,15 = 0,0979 м3 / с = 97,9 л / с;
4
2
⋅ υ 4ср.
Для построения пьезометрической линии необходимо определить
средние скорости и скоростные напоры на всех
( 0,075) = 7,55 м / с;
d 42
= υ4ср ⋅ 2 = 22,15 ⋅
d1
( 0,125)2
2
υ1ср
υ12ср
2⋅ g
2
7,55 )
(
=
2 ⋅ 9,81
= 2,91 м;
( 0,075) = 5, 25 м / с;
d 42
= υ4ср ⋅ 2 = 22,15 ⋅
d2
( 0,150 )2
2
υ2ср
υ22ср
2g
2
5, 25 )
(
=
2 ⋅ 9,81
= 1,41 м;
Далее необходимо подсчитать третий и четвёртый участок:
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( 0,075) = 11,80 м / с;
d 42
= υ4ср ⋅ 2 = 22,15 ⋅
d3
( 0,100 )2
2
υ3ср
υ32ср
2⋅ g
υ42ср
2⋅ g
=
(11,80 )2
2 ⋅ 9,81
2
22,15 )
(
=
2 ⋅ 9,81
= 7,12 м;
= 25,006 м;
Так как средняя скорость четвёртого участка нам уже известна, она
определялась выше, то приступим к оценке потерь, но нам сказано, что
потерями пренебречь.
Вследствие отсутствия потерь по условию задачи, полная энергия Hо
вдоль потока остаётся постоянной, и, следовательно, напорная линия А - А
представляет собой горизонтальную линию.
Линия геометрических напоров С - С определяется уклоном трубы и
совпадает с её осью. Динамические напоры на всех участках трубы
определены; следовательно, пьезометрический напор в любой точке сечения
трубы может быть определён как разность по уравнению:
2 ⎞
⎛
υср
= Ηο − ⎜ z +
⎟;
⎜
⎟
γ
⋅
g
2
⎝
⎠
p
Величиной отрезков p/γ и определяется положение пьезометрической
линии В - В.
Задача 1.55 Определить расход воды и построить пьезометрическую
линию вдоль трубы, соединяющий два резервуара, рисунок 1.53, если H1 = 4,5
м, H2 = 2,0 м, d1 = 100 мм, d2 = 75 мм, d3 = 50 мм.
Рисунок 1.53- К задаче 1.55
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Потери напора считать равными: при входе из резервуара в трубу 0,1 м
вод. ст., в первом сужении 0,1 м вод. ст.; во втором сужении 0,5 м вод. ст.
Потерями напора на трение пренебречь.
РЕШЕНИЕ:
Скорость выхода воды из трубы во второй резервуар
определяется из уравнения Бернулли, написанного для сечений О - О и 3 3 и плоскости сравнения О' - О':
pο
υ32
p3
= z3 +
+ α3 ⋅
+ hпот. ;
γ
2⋅ g
2⋅ g
где υο ≈ 0; αο = α 3 = 1; z3 = 0;
zο +
γ
+ αο ⋅
υο2
Сечения О - О и 3 - 3 выбраны таким образом, чтобы уравнение
Бернулли содержало только одно неизвестное - υ3 :
Η1 +
pam
γ
+0=0+
pam + Η 2 ⋅ γ
γ
+
υ32
2⋅ g
+ hпот. ;
из того выражения получаем:
υ32
2⋅ g
= Η1 − Η 2 − hпот. = 4,5 − 2,0 − 0,7 = 1,8 м вод. ст.;
υ3 = 2 ⋅ 9,81 ⋅1,8 = 5,94 м / с ;
Расход воды определяется из следующего выражения:
Q=
π ⋅ d32
4
3,14 ⋅ ( 0,05 )
⋅ υ3 =
⋅ 5,94 = 0,0116 м3 / с = 11,6 л / с;
4
2
Для построения пьезометрической линии необходимо определить
средние скорости и скоростные напоры на всех участках:
Q
м υ12
0,0116 ⋅ 4
1, 482
υ1 =
=
= 1, 48 ;
=
= 0,11 м;
F1 3,14 ⋅ ( 0,1)2
с 2 ⋅ g 2 ⋅ 9,81
Q
0,0116 ⋅ 4
м υ22
2,642
υ2 =
=
= 2,64 ;
=
= 0,35 м;
F2 3,14 ⋅ ( 0,075 )2
с 2 ⋅ g 2 ⋅ 9,81
м υ32
5,942
υ3 = 5,94 ;
=
= 1,80 м.
с 2⋅ g
2 ⋅ 9,81
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вследствие наличия потерь напорная линия представляет собой
ломаную линию А - А.
Геометрические напоры вдоль горизонтальной трубы везде
одинаковы и в расчёт не входят.
Пьезометрический напор на любом участке находится как разность:
⎛ υ2
⎞
= Ηο − ⎜
+ hпотерь ⎟ ;
γ
⎝ 2⋅ g
⎠
p
На основании этих расчётных величин и строится пьезометрическая
линия Б – Б.
Задача 1.56 Определить вакуум в верхней точке сифона, рисунок 1.54,
и найти расход воды в трубе диаметром d = 150 мм, если H1 = 3,3 м, H2 = 1,5
м,
Z = 6,8 м.
Рисунок 1.54 - К задаче 1.56
Потерю напора при входе жидкости из резервуара в трубу принять
равной 0,6 м вод. ст. Прочими потерями пренебречь.
Построить пьезометрическую линию.
РЕШЕНИЕ: Скорость выхода воды из трубы в резервуар определяется
на основе уравнения Бернулли, написанного для сечения О - О и 2 - 2 и
плоскости сравнения О' - О'.
zο +
pο
γ
+ αο
υο2
2⋅ g
= z2 +
p2
γ
+ α2
υ22
2⋅ g
+ hпот. ;
В этом уравнении при αо = α2 = 1 единственным неизвестным будет
скорость воды в трубе – υ2:
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3 +
υ22
2⋅ g
рат
=
γ
рат + Η 2 ⋅ γ
γ
+
υ22
2⋅ g
+ 0,6; откуда имеем :
= 3,3 − 1,5 − 0,6 = 1, 2 м; и окончательно :
υ2 =
2 ⋅ 9,81 ⋅1, 2 = 4,85
м
;
с
Расход воды получается из расчётов по формуле:
Q=
π ⋅d2
4
3,14 ⋅ ( 0,15 )
м3
л
⋅υ2 =
⋅ 4,85 = 0,086
= 86 ;
4
с
с
2
Вакуум в верхней точке сифона находится из уравнения Бернулли,
написанного для сечений О - О и 1 - 1 и плоскости сравнения О' - О':
3,3 +
рат
γ
рат − рх
γ
= 6,8 +
рх
γ
2
4,85 )
(
+
2 ⋅ 9,81
+ 0,6; откуда высота вакуума :
= 6,8 − 3,3 + 1, 2 + 0,6 = 5,3 м , а вакуум :
рат − рх = 0,53 ата = 5, 406 м вод.ст.
Пьезометрическая линия
Б
соединяющая уровни воды в резервуарах.
Б изображена на рисунке 4.8,
Задача 1.57 Дифференциальный ртутный манометр, присоединённый к
установленной горизонтально расходомерной трубе, рисунок 1.55, показывает
разность уровней h = 800 мм.
Рисунок 1.55 - К задаче 1.57
Определить теоретическое количество воды – (расход), проходящей по
трубе, пренебрегая потерями напора, если диаметры расходомерной трубы
d1 = 250 мм, а d2 = 100 мм.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РЕШЕНИЕ: Уравнение Бернулли, написанное для горизонтальной
трубы без учёта потерь напора и при α1 = α2 = 1 для сечений │ - │ и ║ - ║
и плоскости сравнения О - О :
р1
γ
+
υ12
2⋅ g
p2
=
γ
+
υ22
2⋅ g
;
Уравнение постоянства расхода в расходомерной трубе:
υ1 ⋅ F1 = υ2 ⋅ F2 ;
Из этого уравнения можно получить значение υ2:
F1
d12
υ2 = υ1 ⋅
= υ1 ⋅ 2 ;
F2
d2
Размерность пьезометрических напоров в сечениях │ - │ и ║ - ║,
показываемая дифференциальным манометром, выраженная в метрах водяного
столба:
Η=
p1 − p2
γ
=
υ22 − υ12
2⋅g
=
υ12 ⎛ d14
⎞
⋅ ⎜ 4 − 1⎟ м вод.ст.;
2 ⋅ g ⎝ d2
⎠
Скорость жидкости в сечении │ - │ расходомерной трубы:
υ1 =
2⋅g⋅Η
;
d14
−1
4
d2
Показания дифференциального ртутного манометра, переведённые в
метры водяного столба:
(
)
Η = h ⋅ γ рт − γ в = 0,8 ⋅12,6 = 10,1 м вод.ст.
Теоретический расход жидкости в трубе:
3,14 ⋅ ( 0, 25 )
м3
л
2 ⋅ 9,81 ⋅10,1
Q = F1 ⋅υ1 =
⋅
= 0,112
= 112 ;
39
4
с
с
−1
1
2
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вследствие потерь напора, имеющих место в трубе, действительный
расход воды будет несколько меньше.
Задача 1.58
Центробежный насос производительностью 20
м /ч установлен на Hs = 5,5 м выше уровня воды, рисунок 1.56, в приёмном
колодце.
3
Рисунок 1.56 - К задаче 1.58
Определить разряжение в мм.рт.ст., которое должен создавать насос на
своём всасывающем патрубке, если диаметр всасывающей трубы d = 100 мм, а
полная потеря напора во всасывающей линии hпот. = 0,25 м вод.ст.
РЕШЕНИЕ: Скорость воды во всасывающей трубе:
υвс. =
Q
20 ⋅ 4
м
0,706
;
=
=
2
F
с
3600 ⋅ 3,14 ⋅ ( 0,1)
Разряжение во всасывающем патрубке насоса определяется из
уравнения Бернулли, написанного для сечения О-О и 1-1 и плоскости
сравнения О - О (при υо ≈ 0):
рат
γ
= ΗS +
рвс
γ
+
υ2
2⋅g
+ h пот ;
Из этого уравнения получаем:
h вак =
рат − рвс
γ
= ΗS +
υ2
+ h пот
2⋅g
= 5,78 м вод. ст.;
2
0,706 )
(
= 5,5 +
+ 0, 25 =
2 ⋅ 9,81
При переводе величины разряжения в мм. рт. ст. необходимо писать:
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
'
h вак
=
( рат −
рвс ) ⋅ γ вод.
γ рт.
=
5,78 ⋅1,0
=
13,6
= 0, 425 м. рт. ст. = 425 мм рт.ст.;
Задача 1.59 К установленной напорной трубе в вытяжном борове
нагревательной печи, рисунок 1.57, присоединён микроманометр, заполненный
спиртом – γсп = 0,8.
Рисунок 1.57 - Для задачи 1.59
Какова скорость дымовых газов в вытяжном борове печи, если
микроманометр показывает разность уровней h = 5 мм, температура дымовых
газов tгаз = 400 °С, а удельный вес дымовых газов при нормальных условиях
(0°С и 760 мм рт.ст.) равен γо = 1.29 кГ/м3?
РЕШЕНИЕ: Действительный удельный вес дымовых газов будет иным:
γ газ = γ ο ⋅
273,15
273,15
= 1, 29 ⋅
= 0,523 кГ / м3 ;
273,15 + t
273,15 + 400
Динамический напор, показываемый напорной трубкой, переведённый
в метры газового столба:
Η =
h ⋅ γ сп
γ газ
=
0,005 ⋅ 0,8
= 7,65 м газ. ст.;
0,000523
Скорость дымовых газов в борове на основании уравнения Бернулли:
υ =
2⋅g ⋅Η =
2 ⋅ 9,81 ⋅ 7,65 = 12, 2 м / с;
Задача 1.60 При закрытом вентиле А ртутный манометр, рисунок 1.58,
показывает h1 = 550 мм рт. ст.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.58 - Для задачи 1.60
Определить количество воды (расход), протекающее по трубопроводу
диаметром d = 100 мм после открытия вентиля А, если показания манометра
упали до h2 = 500 мм рт. ст.
РЕШЕНИЕ: Падение пьезометрического напора в трубе соответствует
по величине возникшему при движении динамическому напору:
550 − 500 = 50 мм рт. ст.;
Динамический напор, выражаемый в метрах водяного столба, будет
равен:
Ηд = hд ⋅
γ рт − γ в
13,6 − 1,0
= 50 ⋅
= 630 мм вод. ст.
1,0
γв
= 0,63 м вод. ст.;
Скорость воды в трубопроводе на основании уравнения Бернулли:
υ = 2 ⋅ g ⋅ Η = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 0,63 = 3,50 м / с;
Расход воды в трубопроводе определяется по формуле:
Q = F ⋅υ =
π ⋅ (d)
4
2
3,14 ⋅ ( 0,1)
⋅υ =
⋅ 3,50 = 0,0275 м3 / с =
4
= 27,5 л / с ;
2
Задача 1.61 Брандсбойт представляет собой конический суживающися
патрубок, находящийся на конце пожарного рукава.
Определить избыточное давление воды при входе в брандсбойт и
диаметр выходного сечения d2, необходимые для получения струи воды
мощностью 10 л/с, бьющей вертикально на высоту 15 м, при диаметре входного
сечения брандсбойта d1 = 75 мм, длине брандсбойта l = 600 мм и
сопротивлении его hс = 0,4 м вод. ст.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РЕШЕНИЕ: Выходная скорость, необходимая для подъёма струи на
высоту 15 м, на основании уравнения Бернулли:
υ2 = 2 ⋅ g ⋅ Η = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 15 = 17,15 м / с;
Необходимый диаметр выходного сечения:
d2 =
4⋅Q
4 ⋅ 0,010
=
= 0,0273 м = 27,3 мм;
17,15 ⋅ 3,14
υ2 ⋅ π
Задача 1.62 При пуске центробежного насоса для заполнения его водой
внутри его корпуса при помощи эжектора А, рисунок 1.59, создаётся
разряжение ∆h = 200 мм рт. ст.
Рисунок 1.59- К задаче 1.62
Определить, на какой высоте Η1 необходимо расположить напорный
бачок Б, если Η2 = 1,5 м, диаметр трубы d1 = 75 мм, диаметр сопла эжектора
d2 = 50 мм.
Найти расход воды на эжектор, пренебрегая гидравлическими
потерями.
РЕШЕНИЕ: Необходимое разряжение в насосе, выраженное в метрах
водяного столба:
∆Η = ∆h ⋅ γ рт = 0,2 ⋅13,6 = 2,72 мвод. ст.;
Уравнение Бернулли, написанное для камеры эжектора (сечение 1 - 1),
выходного сечения сливной трубы (сечение 2 - 2) и плоскости сравнения О - О:
рк
γ
92
+
υс2
2⋅g
= Η2 +
рат
γ
+
2
υвых
2⋅g
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Скорость воды на выходе из сопла эжектора может быть выражена
через скорость выхода воды из сливной трубы на основании уравнения
постоянства расхода:
2
4
( 75) ⋅υ 2 = 5,05 ⋅υ 2 ;
Fвых
d вых
2
2
2
υс = υвых ⋅ 2 = υвых ⋅ 4 =
вых
вых
Fс
dс
( 50 )4
4
Скорость воды в сливной трубе или на выходе из неё находится из
вышенаписанного уравнения Бернулли:
2
2
5,05 ⋅υвых
− υвых
р − рк
= Η 2 + ат
= 1,5 + 2,72 = 4, 22 м;
γ
2⋅g
4, 22 ⋅ 2 ⋅ 9,81
= 4,51 м / с;
4,05
2
4,05 ⋅υвых
= 2 ⋅ g ⋅ Η суммарн ; υвых =
Необходимая высота расположения бачка Б определяется из уравнения
Бернулли, написанного для уровня свободной поверхности жидкости 1б - 1б в
бачке Б и выходного сечения сливной трубы 2 - 2 и плоскости сравнения О - О':
2
u вых
рат
рат
H1 +
=
+
;
г
г
2 Чg
Из этого уравнения и получаем величину H1:
Η1 =
2
υвых
2⋅g
( 4,51)
=
2
2 ⋅ 9,81
= 1,04 м,
Что несколько меньше действительной высоты расположения
напорного бачка Б, так как потеря напора при движении воды в трубах в расчёт
не принята.
Расход воды на эжектор:
Q = υвых
π ⋅ d2
4
3,14 ⋅ ( 0,075 )
= 4,51
= 0,020 м3 / с = 20 л / с;
4
2
В действительности расход Q несколько меньше, так как скорость υвых
несколько преувеличена вследствие неучёта гидравлических потерь.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§15 Задачи для решения
Задача 1.63 Определить среднюю скорость воздуха, подающегося по
двум каналам сечением 400х600 мм каждый от рекуператора к горелкам печи,
если горелки расходуют 8000 кГ/ч воздуха при температуре 400 °С.
Удельный вес воздуха при нормальных условиях (0 °С и 760 мм рт. ст.)
равен γо = 1,29 кГ/м3.
Правильный ответ: υ = 8,85 м/с;
Задача 1.64 Дизельная электростанция снабжается мазутом,
перекачиваемым со склада по трубе диаметром d1 = 150 мм, имеющей местное
сопротивление в виде сужения до диаметра d2 = 100 мм.
Определить суточное количество подаваемого мазута и среднюю
скорость течения мазутной жидкости в суженной части трубы, если в основном
участке трубы скорость мазута составляет υмаз. = 1.33 м/с. удельный вес мазута
принять равным γмаз. = 860 кГ/м3.
Правильный ответ: Gсут. = 1750 т/сутки, υ.суж. = 3,0 м/с.
Задача 1.65 Выход доменного газа, имеющего температуру T = 30 °С и
давление
P=400 мм вод. ст., составляет 5.0 тонн газа на одну тонну
произведённого чугуна. Из этого количества 25 % расходуется на подогрев
дутья в воздухонагревателях.
Определить диаметр газопровода, по которому оставшийся газ
отдаётся в общезаводскую сеть потребления, если производительность
доменной печи составляет 1000 тонн чугуна в сутки, а скорость газа в
газопроводе не должна превышать 30 м/с. Удельный вес доменного газа при
нормальных условиях (0 °С и 760 мм рт. ст.) принять равным γо = 1,29 кГ/м3.
Правильный ответ: dгаз = 1,2 м.
Задача 1.66 Из открытого резервуара А по трубе переменного сечения,
рисунок 1.60, вытекает вода в количестве 14 л/с.
Рисунок 1.60 - К задаче 1.66
Определить необходимый напор Η1, пренебрегая потерями, если
d1=100 мм, d2 = 75 мм и d3 = 50 мм. Построить пьезометрическую линию и
найти давление в точке М, расположенной посередине второго участка трубы.
Правильный ответ: Η1 = 2,6 м, PМх = 0,209 ати.
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.67 Под влиянием постоянной разности уровней Η = 2,1 м
вода по трубе диаметром d = 50 мм перетекает из одного сосуда в другой.
Рисунок 1.61 - К задаче 1.67
Определить расход воды, рисунок 1.61, и построить пьезометрическую
линию, пренебрегая потерями на трение и принимая потери напора при входе в
трубу и выходе из трубы соответственно равными hвх = 0,7 м вод. ст.,
hвых=1,4 м вод. ст.
Правильный ответ: Q = 10,3 л/с.
Задача 1.68 Определить расход воды Q и построить пьезометрическую
линию, пренебрегая потерями напора, если d1 =100 мм, d2 =150 мм, d3= 125 мм,
d4 = 75 мм и Η = 5 м, рисунок 1.62 для иллюстрации расчёта.
Рисунок 1.62 - К задаче 1.68
Правильный ответ: Q = 43,7 л/с.
Задача 1.69 Из открытого сосуда под напором Η = 4,5 м вытекает вода
в атмосферу по трубе диаметром d = 150 мм и длиной 3 метра, рисунок 1.63
со скоростью υ = 7 м/с.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.63 - К задаче 1.69
Определить, на каком расстоянии Х избыточное давление в трубе
составит р = 0,1 ати, если потеря напора при входе в трубу hвх. = 0,5 м вод. ст.
Построить пьезометрическую линию.
Правильный ответ: Х = 1 м.
Задача 1.70 Вода вытекает из закрытого сосуда с избыточным
давлением ро = 0,5 ати под напором Η = 5 м по трубе длиной 4 м, диаметром
d1 = 100 мм, рисунок 1.64, оканчивающейся суживающимся коническим
патрубком с диаметром выходного сечения d2 = 50 мм и наклонённой под углом
α 30° к горизонту.
Рисунок 1.64 - К задаче 1.70
Определить расход воды Q, пренебрегая потерями на трение и
принимая потерю напора при входе в трубу равной hвх. = 0,3 м вод. ст., а
потерю напора в вентиле hвент.= 2,0 м вод. ст. Построить пьезометрическую
линию.
Правильный ответ: Q = 27,1 л/с.
Задача 1.71 Определить, при каком напоре Η1 разрежение в узком
сечении трубы х - х , рисунок 1.65, станет равным 0,8 ата, а так-же найти
расход жидкости в трубе Q, учитывая только потери с выходной скоростью,
если d1 = 100 мм, d2 = 75 мм, d3 = 100 мм и Η2 = 1,5 м.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.65 - К задаче 1.71
Построить пьезометрическую линию.
Правильный ответ: Η1 = 4,5 м; Q = 60,2 л/с.
Задача 1.72 Отвод воды из колодца А в колодец Б производится с
помощью сифонной трубы, рисунок 1.66.
Рисунок 1.66 - Для задачи 1.72
Определить необходимый диаметр трубы и разрежение в верхней точке
сифона при Η1 = 3 м и z = 6 м, если в один час необходимо отводить 100 м3
воды. Потерями напора в сифонной трубе пренебречь.
Правильный ответ: d = 68 мм, ∆h = 442 мм рт. ст.
Задача 1.73 Из верхнего резервуара в нижний резервуар по трубе
диаметром d = 100 мм перетекает идеальная жидкость, рисунок 1.67.
Определить, при какой разности уровней Η = расход жидкости в
трубе будет составлять Q = 180 м3/ ч.
Рисунок 1.67 - Для задачи 1.73
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Правильный ответ: Н = 2,07 м.
Задача 1.74 Определить разрежение в узком сечении трубы, если d1 = 75
мм, d2 = 100 мм, Η1 = 1 м, Η2 = 1,3 м, рисунок 1.68 поясняет схему перетекания
воды.
Рисунок 1.68- Для задачи 1.74
Потери напора при
потерями пренебречь.
выходе в нижний резервуар учесть, прочими
Правильный ответ: рат - р1 = 0, 628 ат.
Задача 1.75 Вода в количестве 50 м3/ч перекачивается по трубопроводу,
состоящему из двух последовательно соединённых труб, диаметр которых d1 =
200 мм и d2 = 150 мм, рисунок 1.69 это изображает.
Рисунок 1.69 - К задаче 1.75
Определить скорости в трубах и удельную потерю энергии на участке
между сечением 1 - 1 и сечением 2 - 2, расположенным на Η = 2 м выше,
если давление, измеряемое в сечении 1 - 1, оказалось равным р1 = 5 ата, а в
сечении 2 - 2 - р2 = 4,5 ата.
Правильный ответ: hпотерь = 2,98 м.
Задача 1.76 Какую разность уровней h покажет дифференциальный
манометр, заполненный водой, смотри рисунок 4.9, при расходе воздуха,
γв = 1,2 кГ/м3, через расходомерную трубу Q = 8000 м3/ч, если диаметр
широкого сечения трубы d1 = 500 мм, а диаметр узкого сечения d2 = 200 мм.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Правильный ответ: ∆h = 297 мм вод. ст.
Задача 1.77
Центробежный насос забирает воду из открытого
резервуара по трубе диаметром d = 150 мм, смотри рисунок 4.10, в количестве
60 м3/ч и подаёт её в напорный бак.
Определить
высоту
всасывания
насоса,
если
вакуумметр,
установленный на всасывающем патрубке насоса, показывает разрежение 300
мм рт. ст. Гидравлическим сопротивлением пренебречь.
Правильный ответ: Ηs = 4,03 м.
Задача 1.78 Какую разность уровней ртути h покажет манометр,
присоединённый к напорной трубке, смотри рисунок 4.11, если скорость воды
составляет 5,5 м/с.
Правильный ответ: h = 113 мм рт. ст.
Задача 1.79 При открытой заслонке и скорости воздуха в трубе 30 м/с
манометр, заполненный спиртом, рисунок 1.70, показывает разность уровней
H = 100 мм.
Рисунок 1.70 - К задаче 1.79
Определить, как изменятся показания манометра при полном закрытии
заслонки или шибера.
Удельный вес воздуха и удельный вес спирта принять соответственно
равным: - γвозд. = 1,29 кГ/м3, γспирт = 800 кГ/м3.
Правильный ответ: h = 174 мм. сп. ст.
Задача 1.80 Центробежный вентилятор засасывает воздух из атмосферы
через трубу А, рисунок 1.72 как бы в раструб.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 1.72 - К задаче 1.80
К цилиндрической части трубы, диаметр которой d = 200 мм,
присоединена стеклянная трубка, нижним концом опущенная в сосуд с водой.
Определить секундный расход засасываемого воздуха, γвозд. = 1,29 кГ/м3,
если вода в трубке поднялась на высоту Η = 250 мм.
Правильный ответ: Q = 1,935 м3/с.
Задача 1.81
Сопло фонтана представляет собой усечённый конус
длиной l = 0,5 м, диаметром d1 = 40 мм и d2 = 20 мм, установленный
вертикально.
Определить количество воды Q, пропускаемое фонтаном, и высоту
подъёма струи Η, пренебрегая сопротивлением воздуха, если вода подводится к
соплу под давлением 1 ата, а потеря напора составляет hпот. = 1,6 м вод. ст.
Правильный ответ: Q = 4,05 л/с; Η = 8,45 м.
Задача 1.82 Определить разрежение, образующееся в вакуумной камере
А водоструйного насоса, рисунок 1.73, при пропускании через него 10 л/с воды,
если диаметры сопла d1 = 50 мм и d2 = 30 мм.
Рисунок 1.73 - К задаче 1.82
Потерями на трение в сопле пренебречь.
Правильный ответ: Ρ атм. − Ρ x = 8,92 м вод. ст.
γ
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Раздел второй. Прикладная механика жидкости и газа /1, 3/
Глава 5 Движение реальной жидкости /3, 4/ (Теоретические
предпосылки по главе)
5.1 Два вида движения вязкой жидкости
Опытным путём, наблюдением за тонкой подкрашенной струйкой
жидкости в потоке воды внутри стеклянной трубы, было установлено, что
характер движения потока может быть различным.
При малых скоростях движения жидкости, особенно при малых
диаметрах труб, наблюдается ламинарное, или слоистое, движение,
характеризующееся тем, что отдельные струйки жидкости движутся
параллельно друг другу, не перемешиваясь.
При больших скоростях наблюдается турбулентное, или беспорядочное,
движение
жидкости,
характеризующееся
хаотическим,
завихрённым
движением частиц жидкости по запутанным, неопределённым траекториям.
5.2 Критерий Рейнольдса
Опыты показали, что режим движения жидкости зависит, помимо
скорости движения υ, от размеров потока d, вязкости жидкости µ и её
плотности ρ.
Характеристикой
режима движения потока может служить
безразмерный комплекс, составленный из перечисленных величин, получивший
название числа или критерия Рейнольдса (равенство 5.1):
Re =
υ ⋅d ⋅ ρ υ ⋅d ⎡ м ⋅ м ⋅с⎤
=
=
µ
v ⎢⎣ с ⋅ м 2 ⎥⎦
(5.1)
= безразмерность;
где v - коэффициент кинематической вязкости жидкости.
Число Рейнольдса, следовательно, показывает соотношение сил
инерции, характеризующихся размерами потока и его скоростью, и сил
внутреннего трения, характеризующихся вязкостью жидкости.
При значениях числа Рейнольдса Re < 2320 движение жидкости в
напорных трубах является ламинарным. Если же Re > 2320, то режим
движения жидкости в напорных трубах будет турбулентным.
Число Рейнольдса Reкр. = 2320 (для труб), характеризующее переход
ламинарного движения жидкости в турбулентное и наоборот, называется
критическим, а соответствующая ему скорость - критической скоростью.
Следует отметить, что при соблюдении особых условий (плавное
течение, отсутствие возмущений и т.д.) ламинарный режим движения может
сохраняться и при больших значениях критерия Рейнольдса – (до Re = 13 000).
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Структура этого критерия показывает, что турбулентное движение
свойственно потокам, обладающим значительными инерционными силами.
Наоборот, ламинарное движение наблюдается в таких потоках, где силы
внутреннего трения превалируют над силами инерции.
Геометрически подобные потоки, у которых соотношение инерционных
сил и сил внутреннего трения одинаково, будут и механически подобными
между собой.
Для получения в модели движения, подобного движению в образце
(натуре), необходимо в геометрически подобной модели осуществить такое
движение жидкости, при котором числа Рейнольдса в образце (натуре) и
модели были бы одинаковы, т.е. должно соблюдаться условие
автомодельности (5.2):
Re обр. = Re мод. ;
(5.2)
Использование
принципа
механического
подобия
позволяет
исследовать гидротехнические сооружения и различное оборудование
электростанций и промышленных предприятий на малых моделях и переносить
результаты этого исследования на моделируемый объект.
5.3 Свойства ламинарного движения
При ламинарном движении величины напряжения внутреннего
трения в потоке обусловлены только вязкостью жидкости. Распределение
скоростей в круглой трубе имеет при этом параболический характер, рисунок
5.1, и выражается уравнением следующего вида (5.3):
υ =
где ∆p
µ
l
rо
r
потока.
102
∆p
⋅ ( rο2 − r 2 ) ;
4µ l
(5.3)
- падение давления на рассматриваемом участке трубопровода;
- коэффициент абсолютной вязкости;
- длина рассматриваемого участка трубопровода;
- внутренний радиус трубы;
- расстояние от оси трубы до рассматриваемой точки живого сечения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 5.1 - Распределение скоростей в ламинарном потоке
Максимальной будет скорость на оси потока (5.4), т.е. при r = 0:
υ м акс .
∆ p ⋅ rο2
=
;
4µ l
(5.4)
Следовательно, после преобразования (5.3) и (5.4), получаем (5.5):
υ
υ макс .
r2
= 1 − 2;
rο
(5.5)
Из этой формулы (5.5) следует, что у стенки трубы, т.е. при r = rо,
скорость υ = 0 равна нулю.
Расход жидкости через поперечное сечение трубы может определяться
из выражения (5.6):
Q =
π ⋅ ∆p 4
⋅ rο ;
8µ l
(5.6)
Средняя скорость потока (5.7) равна объёмному расходу жидкости,
отнесённому к площади живого сечения потока:
υ ср .
∆ p ⋅ rο2
=
;
8µ l
(5.7)
Из формулы (5.4) и (5.7) следует, что при ламинарном движении в
круглой трубе средняя скорость составляет половину максимальной, т.е.
справедлива формула (5.8):
υ ср . = 0, 5 ⋅ υ макс . ;
(5.8)
Зная закон распределения скоростей и величину средней скорости,
нетрудно вычислить значение коэффициента кинетической энергии α в
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравнении Бернулли для ламинарного режима движения жидкости по формуле
(5.9):
α =
2
υ
∫ ⋅ dF
F
υ ср . ⋅ F
= 2;
(5.9)
Закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению
потока можно записать в виде (5.10):
τ =
∆p ⋅ r
;
2l
(5.10)
Максимальное значение касательного напряжения имеется на стенке,
т.е. при r = rо находим по (5.11) :
τ макс . =
∆ p ⋅ rο
;
2l
(5.11)
Сопоставление с предыдущим уравнением даёт соотношение (5.12):
τ = τ макс . ⋅
r
;
rο
(5.12)
Таким образом, в радиальном направлении, как видно из уравнения
(5.12), касательные напряжения распределяются по линейному закону, рисунок
5.2 это наглядно иллюстрирует.
Рисунок 5.2 – Распределение касательных напряжений
На оси потока, т.е. при r = 0, касательное напряжение равно нулю.
5.4 Понятие о турбулентном потоке
Турбулентное движение жидкости представляет собой одно из
сложнейших гидродинамических явлений. Беспорядочное движение частиц
жидкости, описывающих сложные зигзагообразные траектории, крайне
затрудняет изучение законов турбулентного движения.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При достаточно длительном измерении скорости в какой-нибудь точке
турбулентного потока можно установить, что эта скорость пульсирует, т.е. всё
время меняет свою величину и направление, рисунок 5.3 этот характер течения
поясняет.
Рисунок 5.3 - Пульсации скорости в турбулентном потоке
Установлен, тем не менее, что если за достаточно длительные
промежутки времени производить осреднение скоростей, то полученные
значения ΰ оказываются почти постоянными и направленными вдоль оси
потока (5.13):
υ =
1 Τ
⋅ υ ⋅d t;
Τ ∫ο
(5.13)
При изучении законов турбулентного движения вместо полей
мгновенных скоростей рассматриваются поля осреднённых скоростей,
подчиняющихся определённым закономерностям.
Исследование структуры турбулентного потока показало, что при
движении жидкости вблизи твёрдых тел на поверхности этих тел образуется
весьма тонкая плёнка жидкости, движение внутри которой подчиняется особым
законам.
Движение жидкости в пределах этой плёнки, т.е. внутри её границ,
всегда ламинарно, несмотря на то, что движение в основном потоке (ядре
течения) имеет турбулентный характер.
Распределение скоростей в ламинарной плёнке подчиняется линейному
закону, причём у самой поверхности скорость равна нулю и быстро растёт по
мере удаления от поверхности.
Толщина ламинарной плёнки очень невелика и зависит от скоростей и
вязкости жидкости и размеров потока, т.е. является функцией критерия
Рейнольдса. Например, толщина ламинарной плёнки при движении жидкости в
трубе может быть ориентировочно определена по формуле (5.14):
δ =
68, 4 ⋅ rο
( Re )
0 ,875
;
(5.14)
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где rо - радиус трубы;
Re - число Рейнольдса.
Толщина ламинарной плёнки оказывает существенное влияние на
гидравлическое сопротивление и условия теплообмена между стенкой и
жидкостью.
Интенсивное перемешивание частиц в турбулентном потоке
естественно приводит к выравниванию скоростей в различных точках живого
сечения.
Закон распределения скоростей в турбулентном ядре потока может быть
выражен формулой логарифмического вида (5.15):
υ = υ м а кс . − 5, 7 5 ⋅
τ м а кс .
r
⋅ lg ο ;
ρ
y
(5 .1 5)
где ΰ - скорость в данной точке течения;
ΰмакс. – скорость на оси трубы;
τмакс. – касательное напряжение у стенки трубы;
rо - радиус трубы;
µ - плотность жидкости;
y - расстояние до данной точки от стенки трубы.
Эпюра распределения скоростей при турбулентном движении жидкости
показана на рисунке 5.4, где хорошо видно всё вышесказанное.
Рисунок 5.4 - Эпюра распределения скоростей при турбулентном
движении жидкости в ядре потока и на пристенных областях
В пределах ламинарной плёнки скорость очень быстро возрастает
пропорционально расстоянию от стенки. В ядре турбулентного потока скорость
изменяется по формуле, (5.15), приведённой выше зависимости.
Соотношение между максимальной и средней скоростями,
составляющие в среднем около 1,2 , может быть определено из выражения
(5.16):
n =
106
υ макс .
1, 64
;
=
1
υ ср .
( R e ) 38
(5.16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Распределение касательных напряжений в турбулентном потоке
происходит, как и в условиях ламинарного движения жидкости, по линейному
закону (5.17):
τ = τ макс. ⋅
r
;
rο
(5.17)
Максимальное значение касательного напряжения, т.е. напряжения у
стенки трубы, вычисляется по (5.18):
τ макс. =
∆p
⋅ rο ;
2l
(5.18)
где ∆p / l - падение давления на единицу длины трубы;
rо - радиус трубы.
5.5 Задачи с решением
Задача 5.5.1 Определить характер движения воды в трубе при
следующих данных: расход воды Q = 15 л/с; диаметр трубы d = 100 мм;
температура воды t = 5 ºС.
РЕШЕНИЕ: Средняя скорость движения воды:
υ=
Q
0,015 ⋅ 4
м
1,91
;
=
=
F 3,14 ⋅ ( 0,1)2
с
Кинематическая вязкость воды при температуре 5 ºС:
ν=
0,01775
=
1 + 0,337 ⋅ t + 0,000221 ⋅ t 2
0,01775
см 2
;
=
= 0.0151
1 + 0,0337 ⋅ 5 + 0,000221 ⋅ 25
с
Определяем число Рейнольдса:
Re =
υ ⋅d
1,91 ⋅ 0,1
=
= 126100;
ν
0,0151 ⋅10−4
В результате, можно утверждать, что движение турбулентное.
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 5.5.2 Конденсатор паровой турбины, рисунок 5.5, имеет 400
латунных трубок диаметром d
=
20 мм, по которым циркулирует
охлаждающая вода.
Рисунок 5.5 - К задаче 5.5.2
Определить расход охлаждающей воды при температуре t = 10 ºС, а в
трубах конденсатора при этом устанавливается устойчивое турбулентное
движение (Re = 13 000), обеспечивающее более интенсивный отвод тепла.
РЕШЕНИЕ: Кинематическая вязкость воды при температуре t = 10 ºС
будет следующая:
ν=
0,01775
=
1 + 0,0337 ⋅ t + 0,000221 ⋅ t 2
0,01775
см 2
;
=
= 0,0131
1 + 0,0337 ⋅10 + 0,000221 ⋅ 100
с
Необходимая скорость в трубах определяется по:
Re⋅ν 13000 ⋅ 0,0131 ⋅ 10−4
м
=
= 0,852 ;
υср =
d
0,020
с
Необходимый расход воды определяется по:
Q=
3,14 ⋅ ( 0,02 )
л
⋅υср ⋅ n =
⋅ 0,852 ⋅ 200 = 53,5 ;
4
4
с
π ⋅ d2
2
Задача 5.5.3 Расходомерная труба с размерами D = 150 мм и d = 75
мм при работе на воде температурой 5 ºС измеряет расход усреднено 20 м3/час
и имеет при этом поправочный коэффициент расхода µ = 0,96.
Определить, при каких расходах в случае работы той же трубы не на
воде, как прежде, а на нефти (ν = 0,14 см2/с) движение останется прежним
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
подобным как на воде и поправочный коэффициент расхода не изменится и
составит µ = 0,96.
РЕШЕНИЕ: Скорость воды в большом сечении расходомерной трубы
будет следующая:
υср =
Q
20 ⋅ 4
м
0,314
;
=
=
F 3,14 ⋅ ( 0,15 )2 ⋅ 3600
с
Кинематическая вязкость воды при температуре 5 ºС:
ν =
0,01775
=
1 + 0,0337 ⋅ t + 0,000221 ⋅ t 2
0,01775
см 2
;
=
= 0,0151
1 + 0,0337 ⋅ 5 + 0,000221 ⋅ 25
с
Число Рейнольдса для воды:
Re =
υср ⋅ d 0,314 ⋅ 0,150
=
= 31200;
ν
0,0151 ⋅10−4
Динамическое подобие движений, а следовательно, и постоянство
коэффициента расхода сохраняется при равенстве чисел Рейнольдса:
Reводы = Re нефти ;
Следовательно, необходимая
определяться из выражения:
υнефти
скорость
движения
нефти
будет
Reн ⋅ν н 31200 ⋅ 0,14 ⋅10−4
м
=
=
= 2,91 ;
d
0,150
с
Расход нефти при динамическом подобии движений:
3,14 ⋅ ( 0,150 )
л
Q = F ⋅υн =
⋅ 2,91 = 51, 4 ;
с
4
2
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задачи 5.5.4 Движение газов в термической печи, температура которой
t=600 ºС, изучается на водяной модели, выполненной в масштабе 1/10
натуральной величины.
Определить, какова должна быть скорость воды температурой tв = 10 ºС
в модели, если скорость дымовых газов в печи составляет υдым.= 8 м/с.
Кинематическую вязкость дымовых газов при температуре 600 ºС
принять равной νдым.= 0,9 см2/с.
РЕШЕНИЕ: Для соблюдения динамического подобия числа
Рейнольдса, вычисленные для образца и для модели, должны быть
одинаковыми, т.е. :
Reобр. = Re мод. ;
Кинематическая вязкость воды при температуре tв = 10ºС определяется
по формуле:
νв =
0,01775
=
2
1 + 0,0337 ⋅ t + 0,000221 ⋅ t
0,01775
см 2
;
=
= 0,0131
1 + 0,0337 ⋅10 + 0,000221 ⋅100
с
Необходимая скорость воды в модели:
υв = υдым. ⋅
d обр. ν в 8 ⋅10 ⋅ 0,0131
м
⋅ =
= 1,16 ;
с
d мод. ν д
1 ⋅ 0,9
Задача 5.5.5 Определить скорость движения мазута и найти величину
касательного напряжения в точке, отстоящей на расстоянии r = 25 мм от
стенки трубы диаметром d = 100 мм, если средняя скорость мазута
υм. ср.=0,25 м/с.
Удельный вес и коэффициент абсолютной вязкости мазута принять
равным: γм = 0,9 т/м3 и µм = 22,5·10-4 кГ·с/м2.
РЕШЕНИЕ: Коэффициент кинематической вязкости мазута:
2
µ µ ⋅ g 22,5 ⋅10−4 ⋅ 9,81
−4 м
=
= 0, 245 ⋅ 10
;
ν = =
900
с
ρ
γ
Число Рейнольдса:
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Re =
υср ⋅ d
0, 25 ⋅ 0,1
=
= 1020;
0, 245 ⋅10−4
ν
Следовательно, движение жидкости будет ламинарное.
Максимальная скорость на оси трубы:
м
с
υ мкас. = 2 ⋅υср. = 2 ⋅ 0, 25 = 0,5 ;
Скорость движения в заданной точке, рисунок 5.6:
2
⎛
25 ) ⎞
⎛
(
м
r2 ⎞
υ = υ макс. ⋅ ⎜ 1 − 2 ⎟ = 0,5 ⋅ ⎜ 1 −
⎟ = 0,375 ;
2
⎜
с
rο ⎠
( 50 ) ⎟⎠
⎝
⎝
Падение давления на единицу длины:
ρ1 − ρ 2
l
=
=
∆p 8 ⋅ µ ⋅υср.
=
=
l
rο2
8 ⋅ 22,5 ⋅10−4 ⋅ 0, 25
( 0,05)
2
= 1,8
кГ
;
м2
Максимальное касательное напряжение у стенки трубы:
τ макс. =
∆p ⋅ rο 1,8 ⋅ 0,05
кГ
=
= 0,045 2 ;
2l
2
м
Касательное напряжение в заданной точке:
τ = τ макс. ⋅
r
25
кГ
= −,045 ⋅
= 0,0225 2 ;
м
rο
50
Рисунок 5.6 - К задаче 5.5.5
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Закон распределения касательных напряжений, как показывает
последнее уравнение, носит линейный характер. На оси трубы касательные
напряжения равны нулю. На стенке трубы они достигают максимума, рисунок
5.6.
Задача 5.5.6 Определить скорость на оси нефтепровода и падение
давления на 1 км длины, если диаметр нефтепровода d = 150 мм, а количество
перекачиваемой нефти G = 15,5 т/час. Удельный вес нефти γ = 0,86 т/м3,
коэффициент кинематической вязкости ν = 0,2 см2/с.
РЕШЕНИЕ: Секундный расход перекачиваемой нефти:
G
15,5
м3
Q=
=
= 0,005 ;
γ ⋅ 3600 0,86 ⋅ 3600
с
Средняя скорость нефти:
υср. =
Q
0,005 ⋅ 4
м
=
=
0,
283
;
с
F 3,14 ⋅ ( 0,150 )2
Число Рейнольдса:
Re =
υср. ⋅ d 0,283 ⋅ 0,150
=
= 2130;
0,2 ⋅10−4
ν
следовательно, движение жидкости ламинарное.
Скорость нефти на оси нефтепровода:
м
с
υ мкас. = 2 ⋅υср. = 2 ⋅ 0, 283 = 0,566 ;
Коэффициент абсолютной вязкости нефти:
µ =ν ⋅ρ =ν ⋅
γ
g
= 0, 2 ⋅10−4 ⋅
кГ ⋅ с
860
= 17,5 ⋅10−4
;
9,81
м2
Падение давления на каждый километр длины нефтепровода:
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆p =
υср. ⋅ 8µ l
rο2
=
0, 283 ⋅ 8 ⋅17,5 ⋅10−4 ⋅1000
( 0,075 )
2
= 705
кГ
кГ
=
0,705
;
м2
см 2
Задача 5.5.7 Нагревательная печь расходует 300 кГ/час мазута,
имеющего удельный вес γ = 0,88 т/м3 и коэффициент кинематической вязкости
ν = 0,25 см2/с.
Определить давление мазута перед форсунками, рисунок 5.7, если
напорный бак расположен на высоте h = 8 м и на эти 8 м выше оси форсунки, а
длина мазутопровода, имеющего d = 25 мм, составляет l = 30 м.
Рисунок 5.7 - К задаче 5.5.7
РЕШЕНИЕ:
выражением:
Объёмный расход мазута определяется следующим
300
м3
= 0,342
Q= =
;
γ 880
час
G
Средняя скорость мазута в трубопроводе:
υср. =
Q
0,342 ⋅ 4
м
=
= 0,194 ;
2
F ⋅ 3600 3,14 ⋅ 3600 ⋅ ( 0,025 )
с
Число Рейнольдса:
Re =
υср. ⋅ d 0,194 ⋅ 0,025
=
= 194;
ν
0, 25 ⋅10−4
следовательно, движение жидкости ламинарное.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Коэффициент абсолютной вязкости мазута:
µ =ν ⋅ρ =ν ⋅
γ
g
= 0, 25 ⋅ 10−4 ⋅
880
кГ ⋅ с
= 0,00224 2 ;
9,81
м
Падение давления в мазутопроводе:
∆p =
υср. ⋅ 8µ l
rο2
=
0,194 ⋅ 8 ⋅ 0,00224 ⋅ 30
( 0,0125 )
2
= 666
кГ
кГ
=
0,0666
;
м2
см 2
Напор у форсунки:
Η=h−
∆p
γм
= 8,0 −
666
= 7, 24 м мазутн.ст.;
880
Давление у форсунки:
p = Η ⋅ γ = 7, 24 ⋅ 880 = 6360
кГ
= 0,636 ати;
м2
Задача 5.5.8 По трубе диаметром d = 75 мм перекачивается мазут с
удельным весом γ = 0,9 т/м3 и коэффициентом кинематической вязкости ν =
0.9 см2/с.
Дифференциальный ртутный манометр, присоединённый к напорной
трубке, помещённой внутри на оси трубы, рисунок 5.8, показывает разность
уровней hд = 20 мм.
Рисунок 5.8 - К задаче 5.5.8
Определить часовой расход мазута.
РЕШЕНИЕ:
Динамический напор на оси трубы, показываемый
дифференциальным манометром, выраженный в метрах мазутного столба:
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ηд = hд ⋅
γ рт. − γ маз.
13,6 − 0,9
= 20 ⋅
= 282 мм маз.ст.;
γ маз.
0,9
Скорость мазута на оси трубы:
м
с
υ макс. = 2 ⋅ g ⋅ Η д = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 0, 282 = 2,35 ;
Число Рейнольдса, предварительно определённое по максимальной
скорости:
Re =
υ макс. ⋅ d 2,35 ⋅ 0,075
=
= 1960;
ν
0,9 ⋅10−4
следовательно, движение жидкости ламинарное.
Средняя скорость мазута в трубе:
м
с
υср. = 0,5 ⋅υ макс. = 0,5 ⋅ 2,35 = 1,175 ;
Часовой расход мазута:
3,14 ⋅ ( 0,075 )
т
G = 3600 ⋅υср. ⋅ F ⋅ γ = 3600 ⋅ 1,175 ⋅
⋅ 0,9 =16,8
;
час
4
2
Задача 5.5.9 Определить толщину ламинарной плёнки, образующейся у
стенки трубы диаметром d = 250 мм при движении по ней нефти с часовым
расходом G = 250 т/час, имеющей удельный вес γн = 0,86 т/м3 и коэффициент
кинематической вязкости ν = 0,35 см2/с.
Какова будет толщина ламинарной плёнки, если по такой же трубе
проходит такое же количество воды при температуре 5 ºС.
РЕШЕНИЕ: Секундный расход нефти:
G
250
м3
Q=
=
= 0,0807 ;
с
γ ⋅ 3600 0,86 ⋅ 3600
Средняя скорость нефти в трубе:
υср. =
Q
0,0807 ⋅ 4
м
=
=
1,65
;
2
F 3,14 ⋅ ( 0, 25 )
с
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Число Рейнольдса:
Re =
υср. ⋅ d 1,65 ⋅ 0, 25
=
= 11 800;
0,35 ⋅10−4
ν
следовательно, движение жидкости будет турбулентным.
Толщина ламинарной плёнки определяется из выражения:
δ =
68, 4 ⋅ rο
( Re )
0,875
=
68, 4 ⋅125
(11800 )
0,875
= 2,35 мм;
Секундный расход воды в такой же трубе:
м3
G
250
Q=
=
= 0,0695 ;
с
γ ⋅ 3600 1,0 ⋅ 3600
Средняя скорость воды в трубе:
υср. =
Q
0,0695 ⋅ 4
м
=
= 1, 42 ;
2
F 3,14 ⋅ ( 0, 25 )
с
Коэффициент кинематической вязкости воды:
ν =
0,01775
=
1 + 0,0337 ⋅ t + 0,000221 ⋅ t 2
0,01775
см 2
=
= 0,0151
;
1 + 0,0337 ⋅ 5 + 0,000221 ⋅ 25
с
Число Рейнольдса при движении воды:
Re =
υср. ⋅ d
1, 42 ⋅ 0, 25
=
= 235000;
ν
0,0151 ⋅10−4
Толщина ламинарной плёнки при движении воды:
δ =
116
68,4 ⋅ rο
( Re )
0,875
=
68, 4 ⋅125
( 235000 )
0,875
= 0,171 мм;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из результатов расчёта по толщине ламинарной плёнки нефти и воды
видно, что, при турбулентности течения, нефть имеет значения Рейнольдса
меньше почти в двадцать раз, чем вода и толщина плёнки на стенке трубы
почти в четырнадцать раз больше чем у воды.
Задача 5.5.10 По трубопроводу диаметром d = 150 мм протекает вода с
расходом G = 250 м3/час и температурой t = 5 ºС.
Определить, какую разность уровней ртути покажет дифференциальный
манометр, присоединённый к напорной трубке, установленный внутри трубы
на её оси, рисунок 5.9.
РЕШЕНИЕ: Средняя скорость воды в трубе:
υср. =
Q
250 ⋅ 4
м
=
= 3,92 ;
2
F ⋅ 3600 3600 ⋅ 3,14 ⋅ ( 0,150 )
с
Коэффициент кинематической вязкости воды:
ν =
0,01775
=
1 + 0,0337 ⋅ t + 0,000221 ⋅ t 2
0,01775
см 2
=
= 0,0151
;
1 + 0,0337 ⋅ 5 + 0,000221 ⋅ 25
с
Число Рейнольдса:
Re =
υср. ⋅ d 3,92 ⋅ 0,150
=
= 390000;
−4
ν
0,0151 ⋅10
следовательно, движение жидкости турбулентное.
Соотношение между максимальной и средней скоростями:
n=
υ макс.
1,64
1,64
1,64
=
=
=
= 1,17;
1
1
1,
40
υср.
( Re ) 38 ( 390000 ) 38
Скорость на оси трубы:
м
с
υ макс. = n ⋅υср. = 1,17 ⋅ 3,92 = 4,58 ;
Скоростной напор на оси трубы:
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ηд =
2
υ макс
.
2⋅g
( 4,58)
=
2
2 ⋅ 9,81
= 1,07 м вод. ст.;
Разность уровней ртути в дифференциальном манометре:
hд = Ηд ⋅
γ вод.
1,0
= 1070 ⋅
= 85 мм рт. ст.;
γ рт. − γ вод.
13,6 − 1,0
Задача 5.5.11 Через дымовую трубу мартеновской печи диаметром
d=2,0 м и высотой h=50 м проходят дымовые газы в количестве G=90000 м3/час,
имеющие температуру t =500 ºС.
Определить скорость газов на оси трубы и на расстоянии 300 мм от
стенки, если полная потеря давления на трение составляет ∆p=1,3 мм вод. ст.
Удельный вес и кинематическую вязкость газов при температуре 500 ºС
принять соответственно равными: -γг = 0,455 кг/м3, ν = 0,72 см2/с. Охлаждение
газов в трубе не учитывать.
РЕШЕНИЕ: Средняя скорость газов в трубе:
υср. =
Q
90000 ⋅ 4
м
=
= 7,95 ;
2
с
F 3600 ⋅ 3,14 ⋅ ( 2,0 )
Число Рейнольдса:
Re =
υср. ⋅ d
ѓ
=
7,95 ⋅ 2,0
= 221000;
Л
0,72 ⋅10−4
следовательно, движение газов турбулентное.
Соотношение между максимальной и средней скоростью:
n=
υ макс. 1,64
1,64
1,64
=
=
=
= 1,19;
1
1
1,38
υср.
( Re ) 38 ( 221000 ) 38
Скорость на оси трубы:
м
с
υ макс. = n ⋅υср. = 1,19 ⋅ 7,95 = 9, 45 ;
Максимальное касательное напряжение у стенки трубы:
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
τ макс. =
∆p
1,3
кГ
⋅ rο =
⋅1,0 = 0,013 2 ;
2⋅l
2 ⋅ 50
м
Плотность дымовых газов:
γ
0, 455
кГ ⋅ с 2
ρ =
;
=
= 0,0464
4
g
9,81
м
Скорость на расстоянии 300 мм от стенки:
υ = υ макс. − 5,75 ⋅
= 9, 45 − 5,75 ⋅
τ макс.
r
⋅ lg ο =
ρ
y
0,013
1,0
м
⋅ lg
= 7,85 ;
0,0464
0,3
с
Задачи для решения:
Задача 5.5.12 Какое количество воды Q, имеющей температуру 10 ºС,
должно проходить по трубе диаметром 25 мм при критическом значении числа
Рейнольдса Re = 2320?
Правильный ответ: Q = 214 л/час.
Задача 5.5.13 Каковы критические значения скоростей воды при
температуре 10 ºС в трубопроводах диаметром 25, 50,75, 100 мм?
Каковы критические значения скоростей нефти с кинематической
вязкостью ν = 0,25 см2/с и воздуха, соответственно с ν = 0,157 см2/с в
трубопроводах таких же диаметров?
Правильные ответы: вода: - υкр. = 0,12; = 0,06; = 0,04; = 0,03 м/с;
нефть: - υкр. = 2,32; = 1,16; = 0,775; = 0,58 м/с;
воздух: - υкр. = 1,46; = 0,73; = 0,49; = 0,37 м/с.
Задача 5.5.14 Из расходного бака к двигателю мощностью N = 1200
л.с. по трубе диаметром 25 мм поступает мазут, имеющей абсолютную вязкость
µ = 1,4 пуаза и удельный вес γ = 0,9 т/м3.
Определить характер движения мазута в трубе, если расход его
составляет α = 250 г/ эф. л. с. в час.
Правильный ответ: Re = 30,5 , т.е. движение ламинарное.
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 5.5.15 Расходомерная труба, размер которой D=250 мм и
d=150 мм предназначенная для измерения расходов воздуха около 3500 м3/час,
тарируется при помощи воды при температуре 10 ºС.
При каком расходе воды Q необходимо определять поправочный
коэффициент расхода µ, чтобы он сохранил своё значение при работе трубы на
воздухе, кинематическую вязкость которого принять равной ν = 0,157 см2/с?
Правильный ответ: Q = 81,0 л/с.
Задача 5.5.16 Расходы воздуха, кинематическую вязкость которого
принять равной ν = 0,157 см2/с, около Q = 10 000 м3/час измеряются
расходомерной трубой, размеры которой: D1 = 450 мм и d1 = 225 мм и
поправочный коэффициент расхода µ = 0,97.
Определить необходимые размеры расходомерной трубы, измеряющей
расходы воды около 370 м3/час при той же температуре 10 ºС, при которых
движение жидкости (воды) и воздуха имеет подобный характер и,
следовательно, коэффициент расхода µ сохраняет такое же значение.
Правильный ответ: D2 = 200 мм; d2 = 100 мм.
Задача 5.5.17 для определения сопротивлений в аэродинамической
трубе «продувается» модель рекуператора нагревательной печи, выполненная ы
масштабе 1/5 натуральной величины.
Определить, с какой скоростью должен двигаться воздух в модели,
имеющей температуру 20 ºС, если нормальная скорость дыма в рекуператоре
2,о м/с при кинематической вязкости дыма ν = 0,72·10-4 м2/с.
Правильный ответ: υвозд. = 2,18 м/с.
Задача 5.5.18 Расход масла в маслопроводе диаметром d = 8 мм
составляет 100 см3/с. кинематическая вязкость масла ν = 3 см2/с.
Определить, при каком расходе воды температурой 20 ºС в трубе
диаметром 30 мм движение воды в трубе и в маслопроводе будет динамически
подобно.
Правильный ответ: Q = 4,54 л/час.
Задача 5.5.19 По нефтепроводу диаметром 100 мм перекачивается
15 т/час нефти, удельный вес которой равен 0,86, коэффициент кинемат.
Вязкости равен 0,3 см2/с.
Какую разность уровней ∆h покажет дифференциальный ртутный
манометр, присоединённый к напорной трубке, помещённой внутри трубы на
её оси, смотри рисунок 5.8?
Правильный ответ: ∆h = 5,3 мм.
Задача 5.5.20 Определить расход масла Q вязкостью µ = 1 пуаз,
удельным весом γ = 0,92 в трубе диаметром 50 мм, длиной 4 м, соединяющей
два резервуара с постоянными уровнями, смотри рисунок 4.15, - h1 = 0,8 м и
h2 = 0,3 м.
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При расчёте учитывать только сопротивления трения в трубе; потерями
при входе в трубу и выходе из неё пренебречь.
Правильный ответ: Q = 1,73 л/с.
Задача 2.21 По горизонтальному нефтепроводу диаметром 100 мм,
длиной 4,5 км перекачивается нефть, имеющая удельный вес 0,88 кГ/м³ и
кинем. вязк. 0,3 см2/с. В конце трубопровода давление атмосферное, в начале –
равно 2,5 ати.
Определить суточную производительность нефтепровода.
Правильный ответ: Q = 385 т/сутки.
Задача 2.22 Определить численное значение коэффициента
кинетической энергии потока α в уравнении Бернулли в условиях ламинарного
движения в трубе круглого сечения.
Правильный ответ: α = 2.
Задача 2.23 Масло для смазки двигателя в количестве 0,4 см3/с подаётся
из напорного бака по маслопроводу диаметром 6 мм, длиной 5 м.
Определить необходимую высоту расположения напорного бачка,
если давление в конце трубопровода масла равно атмосферному, кинем. вязк.
масла 1,5 см2/с, уд. вес 0,82 кГ/м³.
Правильный ответ: h =
0,965 м.
Задача 2.24 Дымовые газы от парового котла, имеющие температуру
500 ºС, поступают в сушилку по газопроводу диаметром d = 1,2 м в количестве
Q = 1600 м3\ч.
Определить, как изменится толщина ламинарной плёнки у стенки
газопровода при снижении температуры газов от 500 ºС до 300 ºС.
Удельный вес дымовых газов при нормальных условиях (0 ºС и 760 мм
рт. ст.) принять равным γ = 1,29 кГ/м3.
Правильный ответ: δ1 = 1,27 мм; δ2 = 1,05 мм.
Задача 2.25 При исследовании влияния шероховатости на коэффициент
трения на внутреннюю поверхность трубы диаметром d = 200 мм при помощи
специального лака наносятся зёрна песка размером ∆ = 0,5 мм.
Определить, при каком максимальном расходе воды Q, имеющей
температуру Τ = 10 ºС, образующая у стенки трубы ламинарная плёнка будет
покрывать выступы шероховатости.
Правильный ответ: Q = 39,0 м3/ ч.
Задача
2.26
Дифференциальный
манометр,
заполненный
3
четырёххлористым углеродом (γ = 1,6 т/м ), присоединён к напорной трубке,
установленной внутри трубы на её оси, смотри рисунок 5.9, диаметром
d=200 мм.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить количество воды при температуре 5 ºС, протекающей по
трубе, если разность уровней, показываемая манометром, составляет
hд=473 мм.
Правильный ответ: Q = 217,0 м3/ ч.
Задача 2.27 По трубопроводу диаметром d = 200 мм протекает вода,
имеющая температуру t = 10 ºС, в количестве Q = 280 м3/ ч.
Определить, какую разность уровней hд покажет дифференциальный
манометр, заполненный четыреххлористым углеродом (γ = 1,6 т/м3) и
присоединённый к напорной трубке, установленный на расстоянии 50 мм от
стенки трубы, если потеря давления на каждый метр длины трубопровода
составляет ∆p / l = 45 кГ/м3.
Правильный ответ: hд = 594 мм.
Задача 2.28
К дутьевому вентилятору парового котла по
воздухопроводу диаметром D = 0,8 м поступает Q = 20 000 м3/ ч воздуха при
температуре T = 40 ºС.
Построить
профиль
распределения
скоростей
в
сечении
воздухопровода, считая, что толщина переходного слоя равна толщине
ламинарной плёнки.
Падение давления на 1 м длины воздухопровода составляет
∆p = 0,25 мм рт. ст.
Кинематическая вязкость воздуха при температуре 40 ºС
ν = 0,176 см2/с.
Правильный ответ: r = 0 мм; - 200мм; - 350 мм; - 399,44 мм.
υ = 2,05 м/с;- 9,43 м/с; - 11,71 м/с; - 12,85 м/с.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава
6
Гидравлические
(Теоретические предпосылки по главе)
сопротивления
[1,
3,
4]
§ 23. Сопротивление трения по длине потока
Дополнительный член в уравнении Бернулли выражает потерю напора,
т. е. потерю энергии при движении жидкости в трубах и каналах. Эта потеря
объясняется, с одной стороны, трением жидкости по длине потока и, с другой
стороны, преодолением различных местных сопротивлений (препятствий).
Величина потери напора по длине потока во многом зависит от
характера движения жидкости в потоке.
При движении жидкости в прямой трубе потеря напора по длине трубы,
выраженная в метрах столба движущейся жидкости, определяется выражением
(6.1):
l υ
= λ ⋅ ⋅ ср. [ м ];
d 2⋅g
2
h тр.
(2.19) ,
справедливым как для ламинарного, так и для турбулентного движения.
Та же потеря, выраженная в единицах давления, вычисляется по (2.20) и
равна:
l υ
= h тр. ⋅ γ = λ ⋅ ⋅ ср. ⋅ γ ⎡⎣ кГ / м 2 ⎤⎦ ;
d 2⋅g
2
∆p тр.
(2.20)
где λ - коэффициент гидравлического трения;
l - длина участка трубопровода, м;
d - диаметр трубы, м;
υср. – средняя скорость жидкости в трубе, м/с;
g - ускорение силы тяжести, м/с2;
γ - удельный вес протекающей жидкости, кГ/м3.
При ламинарном (течении) движении жидкости коэффициент трения λ
определяется по формуле (2.21):
λ =
64
;
Re
(2.21)
где Re - число Рейнольдса.
При турбулентном движении жидкости в трубах с гладкими стенками
коэффициент гидравлического трения λ подсчитывается по формуле Блазиуса
при значениях числа Рейнольдса Re = от 3·103 до 105 (2.22):
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
λ =
0,316
;
4
Re
(2.22)
При значениях Re > 105 лучшие результаты даёт новая формула (1946
года) – П.К. Конакова (2.23):
λ =
1
(1,8 ⋅ lg Re − 1,5)
2
;
(2.23)
Формулы (2.19; 2.21; 2.22) показывают, что при ламинарном движении
потери напора на трение пропорциональны скорости в первой степени, а при
турбулентном движении в гладкой трубе – скорости в степени 1,75.
§ 24. Влияние шероховатости стенки на коэффициент трения
Влияние шероховатости стенки на коэффициент трения исследовано
экспериментальным путём весьма подробно. Особенно тщательно и
систематично проводил опыты А. Никурадзе с трубами различной
шероховатости, созданной искусственно, путём нанесения на внутреннюю
поверхность труб зёрен песка определённой крупности (геометрических
размеров).
На основании полученных данных построен широко известный
обобщённый график, рисунок 2.9, и сделаны следующие выводы:
Рисунок 2.9 - График А. Никурадзе
1 При ламинарном движении шероховатость стенки совершенно не
влияет на коэффициент трения. При любой шероховатости стенки опытные
точки хорошо укладываются на одну прямую:
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
λ = f ( Re ) ;
2 В зоне, переходной от ламинарного режима движения к
турбулентному, λ быстро растёт в связи с переходом от зависимости λ=64 / Re
к зависимости λ = 0,316 / Re1/4 и затем начинает падать, если движение
происходит в области турбулентного режима в трубе с «гладкими стенками»:
λ = f ( Re ) ;
3 При турбулентном движении в не вполне шероховатой трубе
коэффициент гидравлического трения λ зависит от числа Рейнольдса Re и от
относительной шероховатости стенки ∆ / rо , т.е.
⎛
λ = f ⎜ Re ,
⎝
∆⎞
⎟;
rο ⎠
При этом, чем меньше относительная шероховатость ∆ / rо, тем позднее,
т.е. при больших значениях Re, начинает проявляться её влияние. Например,
при относительной шероховатости ∆ / rо = 1 / 30,6 кривая λ = f (Re) отходит
от линии гладкой трубы λ = 0,316 / 4 √ R уже при значениях lg R = 3,65.
Напротив, при относительной шероховатости ∆ / rо = 1 / 507 в большом
интервале
Re
трубу можно рассматривать как гладкую и влияние
шероховатости начнёт сказываться только со значения lg R = 4,9.
С точки зрения физики это явление объясняется наличием у стенки
трубы, смотри рисунок 2.10(1), ламинарной плёнки. Если толщина плёнки δ
больше высоты выступов шероховатости ∆, то эти выступы как бы «тонут» в
толщине плёнки и трубу можно рассматривать как гладкую. Если же выступы
шероховатости не перекрываются толщиной ламинарной плёнки, смотри
рисунок 2.10(2), то трубу следует рассматривать как шероховатую.
1)
2
– δ > ∆ – труба гладкая;
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2)
- δ < ∆ – труба шероховатая.
Рисунок 2.10 - Ламинарная плёнка у стенки трубы
Так как с увеличением значения Re толщина ламинарной плёнки δ
уменьшается, то трубы, при небольших значениях Re являющиеся
гидравлически «гладкими», с увеличением турбулентности потока становятся
шероховатыми, вследствие чего потери на трение в них значительно
возрастают.
4 При достаточно больших значениях чисел Рейнольдса Re
коэффициенты гидравлического трения λ достигают своих максимальных
значений и перестают зависеть от Re:
⎛∆⎞
⎟;
r
⎝ ο⎠
λ =f⎜
Эта зона, называемая квадратичной, характеризуется тем, что потеря
энергии (напора) на трение становится пропорциональной квадрату скорости.
Для квадратичной зоны коэффициент гидравлического трения можно
определять по формуле (2.24), предложенной А. Никурадзе для металлических
труб:
λ =
1
rο
⎛
⎞
2
lg
1,
7
4
⋅
+
⎜
⎟
∆
⎝
⎠
2
;
( 2 .2 4 )
где rо - радиус трубы;
rо / ∆ – относительная гладкость трубы.
Многочисленные
опыты
по
определению
коэффициентов
гидравлического трения при турбулентном движении в стальных трубах с
естественной шероховатостью были проведены Г.А. Муриным во ВТИ им.
Дзержинского.
Результаты этих опытов обобщены, на рисунке 6.3, в приведённом
графике.
Пунктирная линия на графике показывает границу между переходной и
квадратичной областями. Формула А. Никурадзе (2.11), как показывает график,
в квадратичной области остаётся справедливой и для труб с естественной
шероховатостью. Высоту выступов шероховатости ∆, называемую абсолютной
шероховатостью, можно принимать на основании данных, приведённых в
приложении Г, таблица Г1.
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.11 - График Г.А. Мурина
§ 25. Местные сопротивления
Всякое нарушение равномерности и прямолинейности движения потока
жидкости, вызванное, например, внезапным расширением или сужением,
изменением направления и т. д., связано с потерей напора, затрачиваемого на
преодоление этого сопротивления.
Некоторая однотипность явлений, происходящих при различных
местных сопротивлениях, позволяет определять потери напора в этих случаях
по одной и той же формуле и выражать их в долях скоростного напора,
вычисляемого обычно по средней скорости жидкости за сопротивлением:
h мест. = ζ ⋅
υср2 .
2⋅g
;
(2.25)
Ниже приводятся формулы и численные значения коэффициентов
местных сопротивлений ζ для наиболее часто встречающихся в практике видов
местных сопротивлений.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
Внезапное расширение сечения трубы, рисунок 2.12 этот тип
иллюстрирует.
Рисунок 2.12 - Внезапное расширение трубопровода
Если относить к скорости за сопротивлением:
2
⎛F
⎞
ζ = ⎜ 2 − 1⎟ ;
⎝ F1
⎠
(2.26)
Если относить к скорости перед сопротивлением:
2
⎛
F ⎞
ζ = ⎜1 − 1 ⎟ ;
F2 ⎠
⎝
(2.27)
где F1 - сечение перед сопротивлением;
F2 - сечение за сопротивлением.
2 Внезапное сужение сечения трубы, рисунок 2.13 это разъясняет.
Рисунок 2.13 - Внезапное сужение трубопровода
Таблица 2.1 - К рисунку 2.13 Внезапное сужение трубопровода
Соотношения
поперечного
сечения
Коэффициент
местного
сопротивления
128
ξ
0,0÷0,01
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,5
0,45
0,40
0,30
0,20
0,10
0,0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 Резкий поворот, изгиб трубы под острым углом 90°, как на рисунке
2.14, имеющий коэффициент местного сопротивления ζ = 1,5.
Рисунок 2.14. - Изгиб трубы под острым углом 90°
Плавный поворот, изгиб трубы под радиусным углом 90°, как на
рисунке 2.15, имеющий коэффициенты местного сопротивления согласно
таблице к рисунку 2.15 ниже указанного рисунка.
Рисунок 2.15 - Изгиб трубы под радиусным углом 90°
Таблица 2.2 - К рисунку 2.14 и 2.15 под углом φ
Отношение
радиуса к
диаметру
Коэффициент
местного
сопротивления
ξ
1
2
3
4
5
0.29
0.15
0.12
0.10
0.08
5 Поворот на любой угол φ с радиусным закруглением, рисунок 2.16,
имеющий зависимость соотношения местного сопротивления от плавного
поворота под углом 90°, приведённую ниже:
ζ ϕ = ζ 90ο ⋅
ϕ
90ο
;
(2.28)
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.16 - Изгиб трубы под радиусным углом φ°
§ 26. Принцип наложения потерь
Потери напора суммируются в соответствии с принципом наложения
потерь (2.29), согласно которому полная потеря напора представляет собой
арифметическую сумму потерь, каждая из которых вызывается
соответствующим сопротивлением:
h пот. =
∑h
тр .
+ ∑ h мест. ;
(2.29)
Следует отметить, что арифметическое суммирование потерь
полностью справедливо лишь для длинных трубопроводов с незначительным
числом местных сопротивлений.
§ 27. Задачи с решением
Задача 2.29 Определить потери на трение при движении нефти
(удельный вес γ = 0,86 кГ/м³) по трубе диаметром d = 50 мм, длиной l = 100
м, со средней скоростью υср. = 0,3 м/с. Кинематическую вязкость нефти
принять равной ν = 0,2 см2/с.
РЕШЕНИЕ: Число Рейнольдса при данных, приведённых в условиях
задачи:
Re =
υ ⋅d
0,3 ⋅ 0,05
=
= 750;
ν
0, 2 ⋅10 −4
следовательно, движение жидкости ламинарное.
Коэффициент гидравлического трения:
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
λ =
64
64
=
= 0,0855;
Re
750
Потеря давления по длине трубы составит:
2
l υср.
100 ( 0,3)
= λ⋅ ⋅
⋅ γ = 0,0855 ⋅
⋅
⋅ 860 =
d 2⋅g
0,05 2 ⋅ 9,81
кГ
= 674 2 = 0,0674ата;
м
2
∆p тр.
Задача 2.30 По трубе диаметром d = 200 мм с абсолютной
шероховатостью стенки ∆ = 0,1 мм протекает Q = 100 м3/ ч воды
температурой t = 10 °С. Определить значение коэффициента гидравлического
трения λ и сравнить результаты, полученные по формуле, с данными графика
А. Никурадзе.
РЕШЕНИЕ: Скорость воды в трубе:
υср. =
Q
100 ⋅ 4
м
=
=
0,885
;
2
с
F
3,14 ⋅ ( 0, 2 ) ⋅ 3600
Кинематическая вязкость воды в трубе при температуре t = 10 °С:
ν =
0,01775
=
1 + 0,0337 ⋅ t + 0,000221 ⋅ t 2
0,01775
см 2
;
=
= 0,0131
1 + 0,0337 ⋅ 10 + 0,000221 ⋅ 100
с
Число Рейнольдса:
Re =
υср. ⋅ d
0,885 ⋅ 0, 2
=
= 135000;
0,0131 ⋅10−4
ν
Толщина ламинарной плёнки:
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
68,4 ⋅ rο
δ =
( Re )
0,875
=
68,4 ⋅100
(135000 )
0,875
= 0, 221 мм;
Так как ламинарная плёнка покрывает выступы шероховатости, труба
является гидравлически гладкой.
Коэффициент гидравлического трения:
λ =
=
1
(1,8 ⋅ lg Re − 1,5 )
2
=
1
(1,8 ⋅ lg135000 − 1,5)
2
= 0,0167;
Пользуясь непосредственно графиком А. Никурадзе, будем иметь:
lg Re = 5,13; lg100 ⋅ λ = 0, 225;
100 ⋅ λ = 1,67; λ = 0,0167;
Сравнение даёт практически одинаковый результат.
Задача 2.31 По трубе диаметром d = 100 мм с абсолютной
шероховатостью стенки ∆ = 0,3 мм движется вода, имеющая температуру
t = 5°С и (ν = 0,0151 см2/с). Определить, как изменится коэффициент
гидравлического трения при увеличении скорости движения воды от
υср.1=0,5 м/с до υср.2 = 1,5 м/с.
РЕШЕНИЕ: Число Рейнольдса при υср.1 = 0,5 м/с:
Re1 =
υср.1 ⋅ d
0,5 ⋅ 0,1
=
= 33100;
0,0151 ⋅10−4
ν
Толщина ламинарной плёнки:
δ =
68, 4 ⋅ rο
( Re )
0,875
=
68, 4 ⋅ 50
( 33100 )
0,875
= 0,384 мм;
Толщина ламинарной плёнки больше выступов шероховатости, т.е.
труба является гидравлически гладкой.
Коэффициент гидравлического трения:
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0,136
0,136
=
= 0,0234;
4
4 33100
Re
λ=
Число Рейнольдса при υср.2 = 1,5 м/с:
Re 2 =
υ2 ⋅ d
1,5 ⋅ 0,1
=
= 99300;
ν
0,0151 ⋅10−4
Толщина ламинарной плёнки будет:
δ =
68, 4 ⋅ rο
( Re )
0,875
=
68, 4 ⋅ 50
( 99300 )
0,875
= 0,146 мм;
Выступы шероховатости выходят за пределы ламинарной плёнки, т.е.
труба является гидравлически шероховатой.
Коэффициент гидравлического трения:
λ =
1
=
1
= 0,0262;
2
rο
50
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ 2 ⋅ lg + 1,74 ⎟
⎜ 2 ⋅ lg 0,3 + 1,74 ⎟
∆
⎝
⎠
⎝
⎠
Задача 2.32 По трубе, внезапно расширяющейся от диаметра
d1=100
3
мм до диаметра d2 = 200 мм, рисунок 6.9, протекает Q = 90 м / ч воды.
Определить потерю напора.
2
РЕШЕНИЕ: Скорость воды в сечении 1 - 1 :
υ1 =
Q
90 ⋅ 4
м
=
=
3,18
;
с
F1 ⋅ 3600 3,14 ⋅ ( 0,1)2 ⋅ 3600
Скорость воды в сечении 2 - 2 :
υ2 =
Q
90 ⋅ 4
м
0,795
;
=
=
с
F2 ⋅ 3600 3,14 ⋅ ( 0,2 )2 ⋅ 3600
Потери напора при внезапном расширении трубы:
h мест. =
1
1
2
2
⋅ (υ1 −υ 2 ) =
⋅ ( 3,18 − 0,795 ) = 0, 29 м вод.ст.;
2⋅g
2 ⋅ 9,81
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.17 - К задаче 2.32
Задача 2.33 Вода в количестве Q = 80 м3/ч протекает по трубе,
внезапно сужающейся от d1 = 200 мм до d2 = 100 мм, рисунок 6.10 это
показывает.
Определить, какую разность уровней ртути
h
покажет
дифференциальный манометр, включённый в месте изменения сечения.
Рисунок 2.18 - К задаче 2.33
РЕШЕНИЕ: Скорость воды в широком сечении трубы 1 - 1 :
υ1 =
Q
80 ⋅ 4
м
=
=
0,706
;
с
F1 ⋅ 3600 3,14 ⋅ ( 0, 2 )2 ⋅ 3600
Скорость воды в узком сечении трубы 11 - 11 :
υ2 =
Q
80 ⋅ 4
м
=
= 2,83 ;
2
F2 ⋅ 3600 3,14 ⋅ ( 0,1) ⋅ 3600
м
Уравнение Бернулли для сечений 1 - 1 и 11 - 11 и плоскости
сравнения 0 - 0:
p1
γ
134
+
υ12
2⋅g
=
p2
γ
+
υ22
2⋅g
+ζ ⋅
υ22
2⋅g
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Коэффициент сопротивления при внезапном сужении находят по
данным в таблице, приведённой на странице 130 – Таблица к рисункам 2.15 и
2.16.
F2 d 22 (100 )
=
=
= 0, 25; − ζ = 0,375;
F1 d12 ( 200 )2
2
Разность пьезометрических напоров:
Η=
p1 − p 2
γ
( 2,83)
=
2
2 ⋅ 9,81
=
υ22
υ12
υ22
−
+ζ ⋅
=
2⋅g 2⋅g
2⋅g
( 0,706 )
−
2
2 ⋅ 9,81
( 2,83)
+ 0,375 ⋅
2
2 ⋅ 9,81
= 0,537 м ;
Величина столба ртутного манометра в 12,6 раз меньше величины
водяного столба:
h = Η⋅
γв
γ рт. − γ в
= 537 ⋅
1
= 42,5 мм рт. ст.;
13,6 − 1
Задача 2.34 По трубе диаметром d = 50 мм с абсолютной
шероховатостью стенки ∆ = 0,2 мм движется вода (ν = 0,0151 см2/с) в
количестве Q = 15 м3/ч.
Определить коэффициент сопротивления колена трубы, рисунок 2.19,
учитывая потерю напора на трение по длине трубы с помощью графика Г.А.
Мурина.
Расстояние между точками присоединения дифференциального
ртутного манометра, показывающего разность уровней h = 20 мм, составляет
0,8 м.
Рисунок 2.19 - К задаче 2.34
РЕШЕНИЕ: Скорость движения воды в трубе:
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
υср. =
Q
15 ⋅ 4
=
=
F ⋅ 3600 3,14 ⋅ ( 0,05)2 ⋅ 3600
= 2,12
м
;
с
Число Рейнольдса:
Re =
υср. ⋅ d
2,12 ⋅ 0,05
=
= 70 200;
0,0151 ⋅10−4
ν
Коэффициент гидравлического трения λ по графику Г.А. Мурина при
величине Re = 70 200 и d/∆ = 50/0,2 = 250:
λ = 0,0285;
Потеря напора, измеренная
выраженная в метрах водяного столба:
Η потер. = h ⋅
= 0,02 ⋅
(γ
дифференциальным
рт.
−γв )
γв
манометром
и
=
13,6 −1,0
= 0, 252 м вод. ст.;
1,0
Эта потеря напора обусловлена местным сопротивлением и трением:
2
υср2 .
l υср.
Η потер. = λ ⋅ ⋅
+ζ ⋅
= 0, 252 м вод. ст.;
d 2⋅g
2⋅g
Из этого выражения получим коэффициент сопротивления колена:
ζ =
Η потер.
υср2 .
2⋅g
− 0,0285 ⋅
− λ⋅
l 0, 252 ⋅ 2 ⋅ 9,81
=
−
2
d
( 2,12 )
800
= 0,645;
50
Задача 2.35 Горизонтальная труба диаметром d = 150 мм, длиной l1 =
40 м и l2 = 10м соединяет два резервуара, через задвижку, с постоянными
уровнями: H1 = 6 м и H2 = 2 м, как на рисунке 2.20, с сечениями 1 - 1 и 2 - 2.
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить расход воды, если коэффициент трения λ = 0,03, а
коэффициент сопротивления задвижки ζ = 4. Построить пьезометрическую и
напорную линии.
РЕШЕНИЕ: Уравнение Бернулли, написанное для сечений 1 - 1 и 2
- 2 и плоскости сравнения 0 - 0:
Η1 +
p ат.
γ
= Η2 +
p ат.
γ
+ h потер. ;
Из этого выражения можно определить:
Η1 − Η 2 =
υср2 . ⎛
l
⋅⎜λ ⋅ +
2⋅g ⎝ d
⎞
∑ ζ ⎟⎠ ;
Коэффициент сопротивления при входе в трубу находится из данных на
странице 129 из таблиц к рисункам 2.13 и 2.14 по численному отношению
площадей поперечного сечения труб:
F2
≈ 0;
F1
ζ = 0,5;
Рисунок 2.20 - К задаче 2.35
Коэффициент сопротивления при внезапном сужении находят по
формуле 2.27:
2
ζ вых.
⎛
F ⎞
2
= ⎜ 1 − 1 ⎟ = (1 − 0 ) = 1;
F2 ⎠
⎝
где F1/F2 ≈ 0;
Скорость воды в трубе:
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 ⋅ g ⋅ ( Η1 − Η 2 )
=
l
λ ⋅ + ∑ζ
d
υ=
=
2 ⋅ 9,81 ⋅ ( 6 − 2 )
м
= 2, 25 ;
50
с
+ ( 0,5 + 4,0 +1,0 )
0,03 ⋅
0,15
Расход воды:
3,14 ⋅ ( 0,15 )
Q = υ ⋅ F = 2, 25 ⋅
=
4
м3
л
= 0,03974
= 39,74 ;
с
с
2
Для построения пьезометрической линии определяем величину каждой
потери напора в отдельности и откладываем сумму каждой потери и
скоростного напора, т.е.
h потерь +
Скоростной напор:
υср2 .
2⋅g
; , от плоскости напора
υср2 .
2⋅g
1 - 1:
= 0, 26 м;
Потеря на вход:
h1 = ζ вх. ⋅
υср2 .
2⋅g
( 2, 25)
= 0,5 ⋅
2
2 ⋅ 9,81
= 0,13 м;
Потери на трение на длине l1 :
l υ
= λ ⋅ 1 ⋅ ср. =
d 2⋅g
2
h
х
тр .
40 ( 2, 25 )
= 0,03 ⋅
⋅
= 2,06 м;
0,15 2 ⋅ 9,81
2
Потери на задвижку:
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h зд. = ζ зд. ⋅
υср2
2⋅g
( 2, 25)
= 4,0 ⋅
2
2 ⋅ 9,81
= 1,03 м;
Потеря на трение на длине l2 :
2
10 ( 2,25 )
l 2 υср.
= λ⋅ ⋅
= 0,03 ⋅
⋅
= 0,52 м;
d 2⋅g
0,15 2 ⋅ 9,81
2
h
"
тр .
Потеря на выход:
h 3 = ζ вых. ⋅
υср2 .
2⋅g
( 2, 25)
= 1,0 ⋅
2
2 ⋅ 9,81
= 0, 25 м;
Сумма всех потерь ∑ hпотерь = 4,26 м.
Задача 2.36
Из резервуара А вода, находящаяся под избыточным
давлением pо = 0,2 ати, перетекает в открытый резервуар Б, рисунок 2.21,
поясняет этот процесс.
Рисунок 2.21 - К задаче 2.36
Определить расход воды, если H1 = 10 м; H2 = 2 м; H3 = 1 м, диаметр
трубы D = 100 мм. диаметр отстойника D = 200 мм, коэффициент
сопротивления вентиля ζв = 4, а радиус закругления поворотов R = 100мм.
Ввиду незначительной длины трубопровода сопротивление трения от длины
пренебречь.
РЕШЕНИЕ: Уравнение Бернулли, написанное для сечений 1 - 1 и 2
- 2 и плоскости сравнения 0 - 0:
Η1 +
pο
γ
= Η2 +
p ат.
γ
+ h потери . ;
Из этого выражения можно определить:
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h потери . = ∑ ζ ⋅
υср2 .
2⋅g
= 10 − 2 + 2 = 10 м;
= Η1 − Η 2 +
pο − p ат.
γ
=
Коэффициенты местных сопротивлений определяются по таблицам и
формулам:
а) внезапное сужение трубы:
F2
≈ 0;
F1
ζ 1 = 0,5;
б) повороты трубы на 90º:
R
= 1;
d
ζ 2 = 0, 29;
в) внезапное расширение трубы:
2
2
⎛
F⎞
1⎞
⎛
ζ 3 = ⎜1 − 1 ⎟ = ⎜1 − ⎟ = 0,56;
F2 ⎠
4⎠
⎝
⎝
г) внезапное сужение трубы:
F2 1
= = 0, 25;
F1 4
ζ 4 = 0,37;
д) сопротивление вентиля:
ζ 5 = 4,0;
е) внезапное расширение трубы от вентиля:
2
⎛
F⎞
2
ζ 6 = ⎜ 1 − 1 ⎟ = (1 − 0 ) = 1,0;
F2 ⎠
⎝
Суммарный коэффициент сопротивления системы будет:
∑ζ
= ζ 1 + 3 ⋅ζ 2 + ζ 3 + ζ 4 + ζ 5 + ζ 6 =
= 0,5 + 0,87 + 0,56 + 0,37 + 4,0 + 1,0 = 7,3;
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Скорость воды в трубе:
υср. =
2 ⋅ g ⋅ h потерь.
∑ζ
=
м
2 ⋅ 9,81 ⋅10
= 5,18 ;
с
7,3
Расход воды:
3,14 ⋅ ( 0,1)
Q = υ ⋅ F = 5,18 ⋅
=
4
м3
м3
= 0,0407
= 146,5
;
с
ч
2
Задача 2.37 Какое давление pо необходимо поддерживать в резервуаре
А, у которого высота H1
= 1,5 м, чтобы через кран, рисунок 6.14,
расположенный на пятом этаже здания, H2 = 20 м и имеющий коэффициент
сопротивления ζ = 3,5, проходило Q = 3 м3/ч воды (ν = 0,0131 см2/с)?
На длине l1 = 15 м труба имеет диаметр d1 = 40 мм, а на длине l2 = 10 м
- диаметр d2 = 20 мм. Оба поворота имеют соотношение R/d = 2.
Абсолютная шероховатость стенки трубы ∆ = 0,2 мм.
Рисунок 2.22 - К задаче 2.37
РЕШЕНИЕ: Уравнение Бернулли, написанное для сечений 1-1 и 2-2
и плоскости сравнения 0 - 0:
Η1 +
pο
γ
= Η2 +
p ат.
γ
+
υ22
2⋅g
+ h потерь ;
Необходимое избыточное давлении в резервуаре:
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
pο − p ат.
γ
=Η 2 − Η1 +
υ22
2⋅g
+ h потерь ;
Скорость воды на участках 1 и 2:
υ1 =
Q
3⋅ 4
м
=
=
0,66
;
2
с
F1 ⋅ 3600 3,14 ⋅ ( 0,04 ) ⋅ 3600
υ2 =
м
Q
3⋅ 4
=
= 2,64 ;
2
с
F2 ⋅ 3600 3,14 ⋅ ( 0,02 ) ⋅ 3600
Числа Рейнольдса на соответствующих участках:
υ1 ⋅ d1 0,66 ⋅ 0,04
=
= 20 200;
ν
0,0131 ⋅10−4
υ ⋅d
2,64 ⋅ 0,02
Re 2 = 2 2 =
= 40 400;
0,0131 ⋅10−4
ν
Re1 =
Толщина ламинарной плёнки:
68, 4 ⋅ rο
δ1 =
( Re )
δ2 =
0,875
68, 4 ⋅ rο
( Re )
0,875
=
=
68, 4 ⋅ 20
( 20 200 )
0,875
68, 4 ⋅10
( 40 400 )
0,875
= 0, 23 мм;
= 0,06 мм;
На участке d1 = 40 мм труба гидравлически гладкая, а на участке
d2 = 20 мм - труба гидравлически шероховатая.
Коэффициент гидравлического трения на участках:
λ1 =
0,316
0,316
=
= 0,0266;
4
4 20 200
Re
λ2 =
0,316
0,316
=
= 0,0378;
4
4 40400
Re
Полная потеря напора:
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎛
l1 ⎞ υ12
h потерь. = ⎜ ζ 1 + ζ 2 + λ1 ⋅ ⎟ ⋅
+
d
2
g
⋅
1 ⎠
⎝
⎛
l 2 ⎞ υ22
+ ⎜ ζ 3 + ζ 4 + ζ 5 + λ2 ⋅ ⎟ ⋅
=
d
2
g
⋅
⎝
2 ⎠
15 ⎞ ( 0,66 )
⎛
= ⎜ 0,5 + 0,15 + 0,0266 ⋅
⎟ ⋅ 2 ⋅ 9,81 +
0,04
⎝
⎠
2
10 ⎞ ( 2,64 )
⎛
+ ⎜ 0,375 + 0,15 + 3,5 + 0,0378 ⋅
⎟ ⋅ 2 ⋅ 9,81 = 8, 42 м;
0,02
⎝
⎠
2
Необходимое избыточное давление в резервуаре:
pο − p ат.
γ
= Η 2 − Η1 +
( 2,64 )
= 20 − 1,5 +
υ22
2⋅g
+ h потерь. =
2
2 ⋅ 9,81
+ 8, 42 = 27,3 м = 2,73 ати;
Задача 2.38 Вода перетекает из верхнего бака в нижний, рисунок 6.15,
по трубе диаметром d = 50 мм и общей длиной 30 м.
Рисунок 2.23 - К задаче 2.38
Определить разрежение в верхнем сечении х - х, если разность
уровней воды в баках H = 4,5 м, высота сифона z = 2,5 м, коэффициент
гидравлического трения λ = 0,028, радиус закруглений поворота R = 50 мм, а
расстояние от начала трубы до сечения х - х l1 = 10 м.
РЕШЕНИЕ: Уравнение Бернулли, написанное для сечения 1 - 1, 2 - 2
и плоскости сравнения 0 - 0:
Η+
p ат.
γ
=
p ат.
γ
+ h потерь. ;
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда можно получить:
⎛ l
Η = h потерь. = ⎜ λ ⋅ + ∑ ζ
⎝ d
⎞ υср.
;
⎟⋅
⋅
2
g
⎠
2
Коэффициенты местных сопротивлений:
а) вход в трубу:
F2
≈ 0;
F1
ζ 1 = 0,5;
б) повороты на 90º:
R
= 1;
d
ζ 2 = 0, 29;
в) выход в нижний резервуар:
2
⎛
F ⎞
2
ζ 3 = ⎜ 1 − 1 ⎟ = (1 − 0 ) =1,0;
⎝ F2 ⎠
Суммарный коэффициент сопротивления системы:
λ⋅
l
+
d
∑ζ
= 0, 28 ⋅
30
+ ∑ ( 0,5 + 4 ⋅ 0, 29 + 1,0 ) =19, 46;
0,05
Скорость в трубе:
υср. =
2⋅g ⋅Η
2 ⋅ 9,81 ⋅ 4,5
м
=
= 2,13 ;
l
19, 46
с
λ ⋅ + ∑ζ
d
Уравнение Бернулли, написанное для сечений
плоскости сравнения 0' - 0':
p ат.
γ
=Ζ+
(
p х− х
γ
1
-
1, х
+ h 'потерь ;
)
h 'потерь = ∑ ζ ' = ∑ ζ вх. + ζ п.90ο = 0,5 + 0, 29 = 0,79
144
-
х и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разрежение в сечении х - х:
p ат. − p х − х
γ
⎛ l
⎞ υ
= Ζ+
+ ⎜ λ ⋅ + ∑ ζ ' ⎟ ⋅ ср. =
2⋅g ⎝ d
⎠ 2⋅g
( 2,13)
= 2,5 +
υср2 .
2
10
⎛
⎞ ( 2,13)
+ ⎜ 0,028 ⋅
+ 0,79 ⎟ ⋅
= 0, 42 ат;
2 ⋅ 9,81 ⎝
0,05
2
9,81
⋅
⎠
2
2
Задачи для решения:
Задача 2.39 Определить значение коэффициента гидравлического
трения λ при перекачке мазута по нефтепроводу диаметром d = 100 мм в
количестве Q=40т/ч. Удельный вес и кинематическую вязкость мазута принять
соответственно равными γ = 0,88 кГ/м³ и ν = 1,2 см2/с.
Правильный ответ: λ = 0,0478;
Задача 2.40 Определить в двух случаях потерю напора на трение при
движении воды с температурой 10 ºС (ν = 0,0131) по трубопроводу диаметром
d = 200 мм, длиной 200м при абсолютной шероховатости стенки трубы
∆ = 0,5 мм. Скорость воды в трубе принять равной: - в первом случае υ1 = 0,1
м/с, - во втором случае υ2 = 0,8 м/с.
Правильный ответ: h'тр.= 0,014 м; h"тр.= 0,812 м.
Задача 2.41 При значении числа Рейнольдса Re = 10 000 движение
жидкости обычно турбулентное. Однако при соблюдении особых условий
движения в гладкой трубе может сохраниться и ламинарный характер
движения.
Определить разницу в значениях коэффициента гидравлического трения
для того и другого случая.
Правильный ответ: λл = 0,0064; λт = 0,0316.
Задача 2.42 Из бачка под напором H = 0,5 м по трубе диаметром d =
12 мм, рисунок 2.24, снабжённой краном (ζ = 4), вытекает вода.
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.24 - К задаче 2.42
Определить расход воды, пренебрегая сопротивлением трения.
Правильный ответ: Q = 570 л/ч.
Задача 2.43 На трубе диаметром d = 75 мм установлен вентиль,
рисунок 2.25, коэффициент сопротивления которого ζ = 4.
Рисунок 2.25 - К задаче 2.43
Какую разность уровней ртути h покажет дифференциальный ртутный
манометр, если расход воды в трубе составляет 30 м3/ч.
Правильный ответ: h = 58 мм.
Задача 2.44 По трубе диаметром d = 100 мм с абсолютной
шероховатостью стенки ∆ = 0,5 мм движется вода, имеющая температуру 5ºС
(ν = 0,0151 см2/с), со скоростью υср.= 1,8 м/с.
Рисунок 2.26 - К задаче 2.44
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить, какую разность уровней h покажет дифференциальный
менометр, заполненный четырёххлоритстым углеродом (γ = 1,6 кГ/м³), если
радиус закругления поворота трубы на 90º, рисунок 2.26, R = 100 мм, а
расстояние между точками присоединения манометра l = 0,75 м.
Правильный ответ: h = 143 мм.
Задача2.45 По трубе, внезапно расширяющейся от диаметра d1 = 50 мм
до диаметра d2 = 100 мм, рисунок 2.27, протекает Q = 16 м3/ч воды.
Дифференциальный манометр, включённый в месте измерения сечения и
заполненный четырёххлористым углеродом (γ = 1,6 кГ/м³), показывает
разность уровней h = 173мм.
Рисунок 2.27 - К задаче 2.45
Определить коэффициент сопротивления при внезапном расширении
диаметра трубы и сравнить полученный результат с вычисленным по
теоретической формуле.
Правильный ответ: ζ = 0,540; ζтеор. ==0,562.
Задача 2.46 Из резервуара в атмосферу вытекает вода, рисунок 6.20,
под напором H = 3 м по трубе диаметром d = 50 мм, длиной l = 18м.
Рисунок 2.28 - К задаче 2.46
Определить, как изменится расход воды при установке на конце трубы
вентиля, обладающего коэффициентом сопротивления ζ
=
4, если
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
коэффициент гидравлического трения λ = 0,03. Построить пьезометрическую
и напорную линии.
Правильный ответ: Q = 15,4 м3/ч; Q1 = 13,4 м3/ч.
Задача 2.47 Вода вытекает в атмосферу под напором H = 1,5 м по
трубе переменного сечения, рисунок 2.29, с внезапным расширением и
последующим сужением.
Рисунок 2.29 - К задаче 2.47
Определить скорость в широкой части трубы υ2, если d1 = 75 мм, d2 =
100 мм и d3 = 50 мм. Ввиду незначительной длины трубы потерями на трения
от длины пренебречь. Построить пьезометрическую и напорную линии.
Правильный ответ: υ2 = 0,943 м/с.
Задача 2.48 Дымовые газы мартеновской печи в количестве Q = 35 000
м /ч после прохождения через регенератор при температуре Т= 600 ºС
направляются в дымовую трубу по борову прямоугольного сечения размерами
1,0Х1,5 м.
Определить потерю на трение ∆p в прямом участке борова длиной 10 м,
если абсолютная шероховатость кирпичной кладки ∆
=
5 мм, а
2
кинематическая вязкость дымовых газов ν = 0,9 см /с. Удельный вес дымовых
газов при 0 ºС принять равным γд.г. = 1,29 кГ/м3.
Правильный ответ: ∆p = 0,208 мм вод. ст.
3
Задача 2.49 Два резервуара соединены трубой, диаметром d = 100 мм,
общей длиной l = 80 м, рисунок 2.30, и абсолютной шероховатостью стенки ∆
= 0,2 мм.
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.30 - К задаче 2.49
Определить, при какой разнице уровней H расход воды в трубе будет
равен Q = 30 м3/ч, если кинематическая вязкость воды ν = 0,0131 см2/с,
радиус закругления поворотов R = 100 мм, а коэффициент сопротивления
вентиля ζ = 3. Построить пьезометрическую и напорную линии.
Правильный ответ: H = 0,398 м.
Задача 2.50 Во избежание переполнения напорный бак снабжается
переливной трубой диаметром d = 100 мм, рисунок 6.23, общей длиной l = 18
м, имеющей три колена изгиба с радиусом закругления R = 100 мм.
Рисунок 2.31 - К задаче 2.50
Определить максимальную пропускную способность Q переливной
трубы, если H1 = 0,2 м; H2 = 5,0 м, а коэффициент гидравлического трения
λ = 0,03.
Правильный ответ: Q = 102 м3/ч.
Задача 2.51 Из резервуара по трубе диаметром d = 75 мм, общей
длиной 140 м (l1 = 1м; l2 = 6 м; l3 = 60 м; l4 = 3 м; l5 = 70 м), рисунок 2.32, в
атмосферу вытекает вода.
Рисунок 2.32 - К задаче 2.51
Определить расход воды, если выходное отверстие вентиля, имеющего
коэффициент сопротивления ζ = 4, находится на H = 10 м ниже уровня воды в
резервуаре, все повороты имеют радиус закругления R = 75 мм, а
коэффициент гидравлического трения λ = 0,028.
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построить пьезометрическую и напорную линии.
Правильный ответ: Q = 29,1 м3/ч.
Задача 2.52 От воздуходувной станции в доменный цех подаётся
Q
3
= 2000 м /мин надувочного воздуха, имеющего температуру Т = 20 ºС
(ν =
2
0,157 см /с).
Определить необходимый диаметр воздуховода d и давление на выходе
из воздуходувок pв, если скорость воздуха в воздуховоде должна быть υср.= 25
м/с, а давление у входа в воздухонагреватели p = 1.6 ати.
На полной длине воздуховода l = 120 м имеется пять поворотов с
радиусом закругления R1 = 2,6 м и четыре поворота с радиусом R2 = 1,3 м, два
запорных клапана, коэффициент сопротивления которых ζ = 2,5.
Абсолютная шероховатость стенки трубы воздуховода ∆ = 0,5 мм.
Правильный ответ: d = 1,3 м; pв = 1,684 ати.
Задача 2.53 Фонтан снабжается водой из бака, расположенного на
высоте H = 15 м над уровнем выходного сечения, по трубе диаметром d=25 мм,
общей длиной l = 25 м, как на рисунке 2.33, имеющей два поворота с радиусом
закругления R = 25 мм и вентиль, коэффициент сопротивления которого ζ = 4.
Рисунок 2.33 - К задаче 2.53
Сопло фонтана представляет собой конический суживающийся
патрубок с диаметром d1 = 25 мм и d2 = 15 мм, имеющий коэффициент
сопротивления ζ = 0,75 ( отнесённый к скорости в трубе).
Определить высоту подъёма струи фонтана Hф, считая, что
сопротивление воздуха уменьшает её на 20 % и принимая коэффициент
гидравлического трения в трубе λ = 0,032.
Правильный ответ: Hф = 2,03 м.
Задача 2.54 Центробежный насос перекачивает в котельную конденсат
температурой 60 ºС, собираемый в цехах в количестве Q = 50 м3/ ч, рисунок
2.34, как начальная часть трассы.
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.34 - К задаче 2.54
Всасывающая труба насоса диаметром d = 100 мм, общей длиной 6 м
имеет два поворота с радиусом закругления R = 100 мм и приёмный клапан,
коэффициент сопротивления которого ζ = 2,5. Коэффициент гидравлического
трения λ = 0,028.
Определить максимальную высоту установки насоса hs над уровнем
воды в колодце сборника конденсата, исходя из условия, что давление воды при
входе в насос должно быть на 0,2 ати выше давления парообразования, равного
при 60 ºС pt = 0,2 ата. Атмосферное давление принять равным pат. = 760 мм рт.
ст.
Правильный ответ: hs = 5,41 м.
Задача 2.55 От вентилятора к горелочному устройству нагревательной
печи по воздуховоду диаметром d = 300 мм, общей длиной 24 м и абсолютной
шероховатостью стенки ∆ = 0,2 мм подаётся надувочный воздух в количестве
Q = 1200 м3/ч.
Определить полную потерю давления в воздуховоде, если он имеет три
поворота на 90º, выполненные радиусом закругления R = 300 мм. Удельный
вес и кинематическая вязкость воздуха равна соответственно γ = 1,2 кГ/м3 и
ν = 0,157 см2/с.
Правильный ответ: ∆p = 3,2 мм вод. ст.
Задача 2.56 Два насоса, производительностью Q = 50 м3/ч каждый,
забирает воду, имеющую температуру 5 ºС, из колодца и подают её в
общезаводскую водопроводную сеть, рисунок 2.35 это показывает.
Рисунок 2.35 к задаче 2.56
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить, насколько уровень воды в колодце ниже уровня воды в
реке, если колодец соединён с рекой трубой диаметром d = 200 мм, длиной
l = 60 м и абсолютной шероховатостью стенки ∆ = 0,5 мм, на одном конце
которой имеется очистительная сетка (коэффициент сопротивления которой
равен ζ = 5), а на другом конце – задвижка (коэффициент сопротивления
которой ζ = 0,5).
Правильный ответ: ∆H = 0,56 м.
Задача 2.57
Определить суммарное сопротивление трехходового
трубчатого воздухоподогревателя высотой H
=
4 м, рисунок 2.36,
нагревающего 5820 кГ/ч воздуха от t1 = 20 ºС до t2 = 160 ºС.
Коэффициент сопротивления собственно трубного пучка ζ = 6
(отнесённый к средней скорости в пучке), сечение в трубного пучка F1 = 0,4 м2,
сечение соединённых коробов F2 = 0,8 м2, отношение R/d = 1.
Расчёт вести по средней температуре воздуха; Сопротивлением трения
пренебречь. Рисунок 2.36 приводится ниже текста задачи.
Рисунок 2.36 - К задаче 2.57
Правильный ответ к задаче : ∆p = 16,2 мм вод. ст.
Задача 2.58 К соплу фонтана вода поступает из бака, находящегося на
высоте H = 10 м, по трубе диаметром d1 = 38 мм и общей длиной l = 18 м,
проходя по пути через отстойник диаметром D = 200 мм, рисунок 2.37,
поясняющий эту схему.
Рисунок 2.37 - К задаче 2.58
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сопло фонтана, представляющее собой конический патрубок с
выходным сечением диаметра d2 = 20 мм, имеет коэффициент сопротивления
ζ = 0,5, отнесённый к скорости в трубе.
Определить расход воды Q и найти высоту подъёма струи фонтана Hф,
считая, что сопротивление воздуха уменьшает её на 20 %. При расчёте принять,
что коэффициент гидравлического трения λ
= 0,03, коэффициент
сопротивления вентилей ζ = 4, радиусы закругления поворотов R = 76 мм.
Правильный ответ: Q = 9,2 м3/ч; Hф = 2,7 м.
Задача 2.59 Из сливного колодца электростанции вода, имеющая
температуру t = 55ºС, сбрасывается по сифонному трубопроводу в реку,
уровень воды которой на H = 3 м ниже уровня воды в колодце, рисунок 6.30
это поясняет.
Рисунок 2.38 - К задаче 2.59
Определить пропускную способность Q трубы диаметром d = 200 мм,
длиной l = 100м, имеющей один поворот на 90º и два поворота на 45º с
радиусом закругления R = 400 мм, если коэффициент гидравлического трения
λ = 0,028.
Найти давление в верхней точке сифона, если Z = 2 м, а длина отрезка
трубы до верхнего сечения трубы х - х равна l2 = 6 м.
Проверить, насколько это давление выше давления парообразования
котла электростанции, равного при t = 55ºС pt = 0,16 ата.
Атмосферное давление считать равным pат. = 760 мм рт. ст.
Правильный ответ: Q = 218 м3/ч; pх – х = 0,786 ата.
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 7. Истечение жидкости из отверстий и насадок
(Теоретические предпосылки по главе)
[1, 3]
§ 28. Истечение из малого отверстия в тонкой стенке
Как показали исследования, струя жидкости, вытекающая из отверстия
в тонкой стенке, рисунок 2.39, испытывает по выходе из отверстия сжатие
поперечного сечения.
Рисунок 2.39 - Исследование струи жидкости, вытекающей из отверстия
в тонкой стенке
Отношение площадей поперечного сечения струи Fс и отверстия Fо.
характеризующее сжатие, получило название коэффициента сжатия струи,
вычисляемого по (2.30):
ε=
Fс
;
Fо
(2.30)
Для круглого сечения отверстия в среднем ε = 0,64.
При помощи уравнения Бернулли нетрудно получить формулу как для
действительной, так и для теоретической скорости истечения жидкости из
отверстия. В случае открытого сосуда, рисунок 2.40, пренебрегая потерями
напора в отверстии, имеем (2.31):
υтеор. = 2 ⋅ g ⋅ H;
(2.31)
где H - напор над центром отверстия;
g - ускорения силы земного притяжения.
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.40 - Истечение жидкости из отверстия в тонкой стенке
Действительная скорость истечения (2.32) меньше теоретической, так
как её определяют с учётом потерь энергии, связанных с прохождением
жидкости через отверстие с трением и сопротивлением:
υдейств. =
1
⋅ 2 ⋅ g ⋅ H;
1+ζ
(2.32)
где ζ - коэффициент местного сопротивления.
Отношение действительной скорости к теоретической называется
коэффициентом скорости φ, и вычисляется по формуле (2.33):
ϕ =
υдейств.
1
;
=
υтеор.
1+ ζ
(2.33)
Коэффициент сопротивления отверстия может быть выражен через
коэффициент скорости следующим образом (формула (2.34)):
ζ =
1
ϕ2
− 1;
(2.34)
Так, например, при истечении воды через круглое отверстие в тонкой
стенке коэффициенты скорости и сопротивления могут приниматься равными:
Φ = 0,97; ζ = 0,06;
Величина расхода жидкости через отверстие определяется объёмом
жидкости, проходящей через сжатое сечение струи (2.35):
Q = υ действ . ⋅ Fс = ϕ ⋅ υ теор . ⋅ ε ⋅ Fо = ϕ ⋅ ε ⋅ Q теор . ; (2.35)
где Qтеор.= υтеор·Fо - теоретический расход, определяемый по теоретической
скорости и сечению отверстия.
Отношение действительного расхода к теоретическому называется
коэффициентом расхода:
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
µ=
Q действ.
= ϕ ⋅ε;
Q теор.
(2.36)
При
истечении воды через круглое отверстие в тонкой стенке
коэффициент расхода равен:
µ = ϕ ⋅ ε = 0,97 ⋅ 0,64 = 0,62;
Уравнение траектории струи, вытекающей из отверстия в боковой
стенке резервуара, имеет вид (2.37):
x 2 = 4 ⋅ ϕ 2 ⋅ Η ⋅ y;
(2.37)
Таким образом это уравнение представляет собой уравнение параболы.
§ 29. Различные случаи истечения жидкости из отверстия
При истечении из отверстия в закрытом сосуде с давлением pо на
поверхности жидкости, рисунок 2.41, действительная скорость истечения будет
вычисляться по формуле (2.38):
υдейств . =
⎛
1
p − p ат. ⎞
⋅ 2⋅g ⋅⎜Η + о
⎟ ; (2.38)
γ
1+ ζ
⎝
⎠
Рисунок 2.41 - Истечение из закрытого сосуда с давлением pо на
поверхности жидкости
Очевидно, что истечение и в этом случае происходит по существу так
же, как и в случае открытого сосуда, но при увеличенной глубине погружения
отверстия на величину разности давлений внутри сосуда и вне сосуда,
выраженной в метрах столба жидкости. При истечении из затопленного
отверстия, рисунок 2.42, действительная скорость истечения будет вычисляться
по формуле (2.39):
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
υдейств. =
1
⋅ 2 ⋅ g ⋅ H;
1+ ζ
(2.39)
Рисунок 2.42 - Истечение под уровень жидкости
Следовательно, скорость истечения из затопленного отверстия не
зависит от глубины погружения отверстия, а зависит только от разности
уровней жидкости в обоих сосудах.
При истечении из больших отверстий, величина которых соизмерима с
величиной действующего напора, разницей в глубине погружения различных
точек отверстия пренебрегать нельзя, так как распределение скоростей в
сжатом сечении струи неравномерно. В этих случаях приходится сначала
определять расход жидкости через бесконечно малую часть отверстия, а затем
путём интегрирования определять расход для всего отверстия.
Например, расход через прямоугольное отверстие квадратного
большого сечения шириной b с глубиной погружения верхней кромки
отверстия H1 и нижней кромки – H2, рисунок 2.43, находят по следующей
формуле, полученной в результате интегрирования определённого интеграла по
уровням:
2
Q = ⋅µ ⋅b ⋅ 2⋅g
3
3
⎛ 32
⎞
2
⋅ ⎜ H 2 − H1 ⎟ ;
⎝
⎠
(2.40)
где µ - коэффициент расхода.
Рисунок 2.43 - Истечение через квадратное отверстие большого размера
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При ориентировочных подсчётах расхода жидкости через отверстия,
размеры которых меньше глубины погружения центра тяжести отверстия,
можно определить и по формуле (2.41):
Q = µ ⋅ F ⋅ 2 ⋅ g ⋅ H;
(2.41)
где Hо - глубина погружения центра тяжести отверстия;
Fо - площадь сечения отверстия;
Μ - коэффициент расхода, равный 0,6 ÷ 0,7.
§ 30. Истечение из отверстия при переменном напоре
Если при истечении из отверстия резервуар не пополняется, то напор,
под которым происходит истечение, непрерывно уменьшается. Вследствие
этого скорость истечения и расход жидкости меняется во времени, т.е.
движение будет неустановившимся.
Время, в течение которого уровень жидкости в вертикальном
цилиндрическом резервуаре, рисунок 2.44, понизится с высоты H1 до H2, может
быть определено из выражения:
Рисунок 2.44 - Истечение при переменном напоре
τ =
2⋅F⋅
(
Η1 − Η 2
µ ⋅f ⋅ 2⋅g
);
(2.42)
где F - горизонтальное сечение резервуара;
f - площадь сечения отверстия;
µ - коэффициент расхода.
По такой же формуле определяется и время наполнения вертикального
цилиндрического резервуара.
Время полного опорожнения резервуара (H2 = 0) при переменном
напоре в два раза больше времени истечения того же объёма жидкости при
постоянном напоре, равном начальномуH1 (2.43):
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
τ =
2 ⋅ F ⋅ H1
2⋅W
=
;
Q
µ ⋅ f ⋅ 2 ⋅ g ⋅ Η1
(2.43)
Время полного опорожнения горизонтального цилиндрического
резервуара (например, вагона-цистерны) через отверстие в дне может быть
вычислено по формуле (2.44):
τ =
4⋅L⋅D⋅ D
;
3⋅ µ ⋅f ⋅ 2 ⋅g
(2.44)
где D - диаметр цистерны;
L - длина цистерны.
§ 31. Истечение из цилиндрической насадки
Насадкой называется короткая труба l ≈ 4dо, присоединённая к
отверстию, через которое вытекает жидкость, рисунок 2.45, показывающий эту
схему.
Струя жидкости, входя в насадку, сначала подвергается сжатию,
рисунок 2.45, так же, как и при истечении из отверстия, но затем постепенно
расширяется, заполняет насадку и вытекает из неё, имея полное сечение. В
местах сжатого сечения образуются зоны, заполненные жидкостью,
находящейся в состоянии вихревого движения.
Коэффициент скорости φ при истечении жидкости через
цилиндрическую насадку равен 0,82 против φ = 0,97 при истечении жидкости
через круглое отверстие. Что касается коэффициента расхода µ, то при
истечении через насадку он также равен 0,82, так как струя жидкости вытекает
из насадки, не испытывая сжатия, т.е. насадка работает полным поперечным
сечением и, следовательно, коэффициент сжатия ε = 1.
Рисунок 2.45 - Истечение жидкости через цилиндрическую насадку
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом,
применение цилиндрической насадки увеличивает
расход жидкости через отверстие того же диаметра в отношении:
µ нас. 0,82
=
= 1,32;
µотв. 0,62
И уменьшает скорость выхода струи в отношении:
ϕ нас. 0,82
=
= 0,845;
ϕотв. 0,97
Вследствие наличия потерь напора в насадке коэффициент
сопротивления насадки значительно выше коэффициента сопротивления
отверстия и составляет:
ζ =
1
2
ϕнас
.
−1 =
1
( 0,82 )
2
−1= 0, 49;
Опытным путём и теоретически установлен, что в зоне
вихреобразования имеет место разрежение, величину которого можно
определять при помощи уравнения Бернулли (2.45):
p ат. − pсж.
γ
⎡ϕ 2
⎤
= Η ⋅ ⎢ 2 ⋅ (1 + ζ ) − 1⎥ ;
⎣ε
⎦
(2.45)
где pсж. - давление в сжатом сечении потока в насадке;
H - напор перед насадкой.
Формула (2.45) показывает, что разрежение, устанавливающееся в
насадке, пропорционально действующему напору.
При значениях φ = 0,82, ε = 0,64 и ξ = 0,06:
p ат. − p сж .
γ
= 0,75 ⋅ Η;
(2.46)
§ 32. Истечение из суживающихся насадок
Вследствие уменьшения потерь на расширение струи после сжатого
сечения коэффициент скорости φ конически сходящейся насадки, рисунок
2.46, возрастает с увеличением угла конусности θ. С другой стороны, сжатие
струи на выходе с увеличением конусности растёт. В результате коэффициент
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
расхода µ растёт при увеличении угла конусности насадки до 13º24', после чего
начинает падать, рисунок 2.47 это хорошо показывает.
Рисунок 2.46 - Истечение жидкости через суживающуюся насадку
Рисунок 2.47 - Коэффициенты φ, ε, µ для суживающейся насадки
Максимальное значение, имеющее место при угле 13º24', равно 0,945.
Идеальной формой суживающейся насадки будет коноидальная,
рисунок 2.48, выполненная по форме струи. В такой насадке потери, связанные
с вихреобразованием, практически отсутствуют (ξ = 0,06).
С другой стороны, вследствие цилиндрической формы выходного
участка сжатия поперечного сечения на выходе нет (ε = 1).
Вследствие этого коэффициенты расхода и скорости у такой насадки
очень велики и равны между собой:
µ = ϕ = 0,97;
Таким образом, расход жидкости через коноидальную насадку
превышает расход через круглое отверстие такого же диаметра в отношении:
µ нас. 0,97
=
= 1,56;
µотв. 0,62
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.48 - Коноидальная насадка
§ 33. Истечение из расширяющихся насадок
Основной особенностью работы конически расширяющихся насадок
является, рисунок 2.49, образование значительных разрежений в узком сечении.
Из уравнения Бернулли при hпотерь.= 0 следует, что:
p1
γ
+
υ12
2⋅g
=
p2
γ
+
υ22
2⋅g
;
и p1 < p2, так как υ1 > υ2.
Рисунок 2.49 - Конически расширяющаяся насадка
Наличие разрежения в узком сечении насадки d1 значительно
увеличивает расход жидкости; насадка как бы подсасывает жидкость из сосуда.
В пределе при давлении в сжатом сечении струи p1, близким к нулю,
коэффициент расхода насадки, отнесённый к узкому сечению, может достигать
значений µ = 2,4. При этом расход жидкости будет в 4 раза больше расхода
через отверстие того же диаметра (µ = 0,62).
Коэффициент расхода, отнесённый к выходному сечению насадки,
имеет величину µ = 0,45 ÷ 0,50, а ε = 1,0.
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Во избежание отрыва струи от стенок угол расширения насадки не
должен превышать некоторого предела ( θ = 6º - 7º), зависящего от величины
напора.
Скорость выхода из расширяющейся насадки вследствие увеличения
сечения выхода и увеличения коэффициента гидравлических сопротивлений (ζ)
сравнительно незначительна. Коэффициент скорости φ = 0,45 ÷ 0,50.
Потери в конически расширяющейся насадке вследствие значительного
расширения струи весьма высоки ζ = 3,95 ÷ 3,0.
В таблице 2.3 приводятся численные значения коэффициентов
истечения жидкости φ, ε, µ, ζ для различных условий истечения (круглое
отверстие и различные насадки).
Таблица 2.3 - Значения коэффициентов истечения для круглого
отверстия и насадок различной формы
Условия истечения
Круглое отверстие в тонкой стенке
Цилиндрическая насадка
Суживающаяся коноидальная насадка
Конически расширяющаяся насадка
Коэффициент истечения
φ
ε
µ
0,97
0,64
0,62
0,82
1,0
0,82
0,97
1,0
0,97
0,45-0,5
1,0
0,45-0,5
ζ
0,06
0,49
0,06
3,95-3,0
§ 34. Коэффициент расхода системы
В целом ряде случаев расчёт движения жидкости по трубам может быть
сведён к расчёту истечения жидкости через отверстие.
Исходя из уравнения Бернулли, формулу скорости истечения жидкости
из трубопровода можно получить в виде (2.47):
υср. =
1
⋅ 2 ⋅ g ⋅ Η =ϕ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ Η ;
l
1 + λ ⋅ + ∑ζ
d
(2.47)
При работе трубы полным сечением сжатия струи на выходе
отсутствует и коэффициент скорости φ численно равен коэффициенту расхода
µ, (формула (2.48)):
µ=
1
;
l
1 + λ ⋅ + ∑ζ
d
(2.48)
Эта величина и получила название коэффициента расхода системы.
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если трубопровод состоит из труб различных диаметров, все
коэффициенты сопротивлений должны быть предварительно приведены к
скорости в выходном сечении трубы по выражению (2.49):
2
Fвых.
ζ привед. = ζ х ⋅ 2 ;
Fх
(2.49)
Таким образом, расход воды через трубу может быть вычислен из
выражения (2.50):
Q = µ ⋅ Fвых. ⋅ 2 ⋅ g ⋅ Η ;
(2.50)
где µ - коэффициент расхода системы.
Если истечение происходит через затопленное отверстие под уровень
жидкости, то коэффициент расхода системы определяется по формуле (2.51):
1
µ=
l
d
λ ⋅ + ∑ζ
;
(2.51)
В этом случае в сумму коэффициентов потерь необходимо включить
коэффициент потери на выход жидкости в жидкость при ζвых. = 1,0.
§ 35. Задачи с решением
Задача 2.60 На основании уравнения Бернулли определить скорость
истечения воды из круглого отверстия в тонкой стенке, смотри рисунок 7.2,
открытого сосуда (ζ = 0,06) под напором H = 1,8 м.
РЕШЕНИЕ: Уравнение Бернулли, написанное для сечений 1 - 1
(поверхность жидкости в сосуде), 2 - 2 (сжатое сечение струи) с учётом
потерь и плоскости сравнения, проходящей через центр тяжести сечения 2 - 2:
Η+
p ат.
γ
+0= 0+
p ат.
γ
+
υд2
2⋅g
+ζ ⋅
υд2
2⋅g
;
Действительная скорость истечения:
υд =
1
⋅ 2⋅g ⋅Η;
1+ ζ
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Действительная скорость истечения воды при заданных условиях:
υд =
=
1
⋅ 2⋅g⋅Η =
1+ ζ
м
1
⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅1,8 = 5,76 ;
с
1 + 0,06
Задача 2.61 Определить траекторию струи, вытекающей из малого
отверстия в тонкой стенке, смотри рисунок 7.2, под напором H = 1,4 м.
Найти расстояние х, на котором струя коснётся пола, если отверстие
находится на высоте y = 2,2 м (φ = 0,97).
РЕШЕНИЕ: Горизонтальная координата траектории струи, вытекающей
из отверстия, определяется скоростью истечения:
х = υ х ⋅τ ;
Вертикальная координата траектории струи определяется законами
свободного падения вещества:
g ⋅τ 2
y=
;
2
Исключая из приведённых выражений время τ и подставляя в место
действительной скорости её развёрнутое значение υ д = ϕ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ Η ;, найдём
уравнение траектории струи:
x 2 = 4 ⋅ ϕ 2 ⋅ Η ⋅ y;
Полученное уравнение показывает, что траектория струи представляет
собой параболу.
Расстояние х, на котором струя при заданных условиях касается пола:
x = 4 ⋅ ϕ 2 ⋅ Η ⋅ y = 4 ⋅ ( 0,97 ) ⋅1, 4 ⋅ 2, 2 = 3,4 м;
2
Задача 2.62 При исследовании истечения из круглого отверстия в
тонкой стенке диаметром dо = 10 мм под напором H = 2 м замерен диаметр
струи dстр. = 8 мм и время наполнения десятилитрового мерного цилиндра
τ = 32,8 с.
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить численные значения коэффициентов скорости φ, сжатия ε,
расхода µ и сопротивления ζ.
РЕШЕНИЕ: Коэффициент сжатия струи:
Fс d с2 ( 8 )
ε= = 2=
= 0,64;
2
Fо d о (10 )
2
Теоретическая скорость истечения:
м
с
υтеор. = 2 ⋅ g ⋅ Η = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 2 = 6, 25 ;
Действительная скорость истечения:
υдейст. =
W
0,01
м
=
=
6,05
;
с
τ ⋅ F 32,8 ⋅ 3,14 ⋅ ( 0,004 )2
Коэффициент скорости:
ϕ=
υдейст. 6,05
=
= 0,97;
υтеор. 6, 25
Коэффициент расхода:
µ = ϕ ⋅ ε = 0,97 ⋅ 0,64 = 0,62;
Коэффициент сопротивления:
ζ =
1
ϕ2
−1=
1
( 0,97 )
2
− 1= 0,06;
Задача 2.63 Определить при помощи уравнения Бернулли скорость
истечения воды из отверстия в тонкой боковой стенке закрытого сосуда с
избыточным давлением на поверхности pизб. = 0,24 ати, смотри рисунок 7.3,
если уровень воды находится на высоте H = 2,7 м над центром отверстия
(ζ = 0,06).
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РЕШЕНИЕ: Уравнение Бернулли написанное для сечений 1 - 1
(поверхность жидкости в сосуде), 2 - 2 (сжатое сечение струи) с учётом потерь
и плоскости сравнения, проходящей через центр тяжести сечения 2 - 2:
Η+
pо
γ
+0=0+
p ат.
γ
+
υд2
+ h пот. ; где h пот. = ζ ⋅
2⋅g
υд2
2⋅g
;
Действительная скорость истечения:
υдейст. =
⎛
1
p − p ат. ⎞
⋅ 2⋅g ⋅⎜Η + о
⎟=
γ
1+ ζ
⎝
⎠
⎛
p ⎞
1
⋅ 2 ⋅ g ⋅ ⎜ Η + изб . ⎟ ;
γ ⎠
1+ ζ
⎝
=
Действительная скорость при заданных условиях:
υдейст. =
=
⎛
1
p ⎞
⋅ 2 ⋅ g ⋅ ⎜ Η + изб . ⎟ =
γ ⎠
1+ ζ
⎝
м
1
0, 24
⎛
⎞
⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ ⎜ 2,7 +
⋅104 ⎟ = 9,7 ;
с
1000
1 + 0,06
⎝
⎠
Задача 2.64 Определить при помощи уравнения Бернулли скорость
истечения воды из затопленного круглого отверстия в тонкой стенке, смотри
рисунок 7.4, соединяющего два резервуара, свободная поверхность которых
расположена на различных уровнях: H1 = 3,5 м и H2 = 2,8 м над центром
отверстия (ζ = 0,06).
Определить, как изменяется скорость истечения с изменением высоты
расположения отверстия.
РЕШЕНИЕ: Уравнение Бернулли, написанное для сечений 1 - 1, 2 - 2
и плоскости сравнения 0 - 0 с учётом потерь:
Η1 +
p ат.
γ
+0=0+
Из этого выражения получим:
168
p ат. + Η 2 ⋅ γ
γ
+
υд2
2⋅g
+ζ ⋅
υд2
2⋅g
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Η1 − Η 2 =
υд2
2⋅g
⋅ (1 + ζ ) ;
Действительная скорость истечения:
υдейст. =
1
⋅ 2 ⋅ g ⋅ ( Η1 − Η 2 ) ;
1+ ζ
Как показывает полученная формула, скорость истечения с изменением
высоты расположения отверстия не меняется, так как зависит только от
разности уровней в обоих сосудах. Подставляя в приведённую формулу
заданные параметры, определим значение скорости:
υдейст. =
1
м
⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ ( 3,5 − 2,8 ) = 3,59 ;
с
1 + 0,06
Задача 2.65 Определить расход воды через квадратное отверстие
400Х400 мм, рисунок 7.5, по точной и приближённой формулам при
коэффициенте расхода Μ
=
0,7, если свободная поверхность воды
располагается на высоте Hо = 400 мм над центром отверстия.
Найти процент ошибки, даваемой приближённой формулой в данных
условиях.
РЕШЕНИЕ: Расход через отверстие по точной формуле:
3
⎛ 32
⎞
2
2
Q = ⋅ µ ⋅ b ⋅ 2 ⋅ g ⋅ ⎜ Η 2 − Η1 ⎟ =
3
⎝
⎠
3
3
м3
2
⎡
⎤
2
2
= ⋅ 0,7 ⋅ 0, 4 ⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ ⎢( 0,6 ) − ( 0, 2 ) ⎥ = 0,310 ;
3
с
⎣
⎦
Расход через отверстие по приближённой формуле:
м3
Q = µ ⋅ f ⋅ 2 ⋅ g ⋅ Η о = 0,7 ⋅ 0,16 ⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ 0, 4 = 0,314 ;
с
'
Процент ошибки, даваемый приближённой формулой в данных
условиях:
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Q' − Q
0,314 − 0,310
a=
⋅100 =
⋅100 = 1,3%;
Q
0,310
Задача 2.66 Вертикальный цилиндрический резервуар диаметром D =
3,5 м, смотри рисунок 7.6, заполнен водой на высоту H1 = 4,2 м.
Определить, в течение какого времени после открытия отверстия
диаметром D = 50 мм (µ = 0,62) уровень воды в резервуаре понизится до H2 =
2,8 м. Рассчитать время полного опорожнения резервуара.
РЕШЕНИЕ: Время понижения уровня в резервуаре от H1 = 4,2 м до
H2 = 2,8 м при заданных условиях:
τ=
2⋅F⋅
(
Η1 − Η 2
µ ⋅f ⋅ 2⋅g
2 ⋅ ( 3,5 ) ⋅ 0,765 ⋅
2
=
(
)=
4, 4 − 2,8
) = 1354 с = 22,6 мин.;
0,62 ⋅ ( 0,05 ) ⋅ 0,765 ⋅ 2 ⋅ 9,81
2
Время полного опорожнения резервуара:
τ=
2 ⋅ F ⋅ Η1
=
µ ⋅ f ⋅ 2 ⋅ g ⋅ Η1
2 ⋅ ( 3,5 ) ⋅ 4, 2
2
=
0,62 ⋅ ( 0,05 ) ⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ 4, 2
2
= 7300 с = 122 мин.;
Задача 2.67 Определить коэффициенты расхода µ, скорости φ, сжатия
ε и сопротивления ζ для внешней цилиндрической насадки, рисунок 7.12, с
деталями конструктивного монтажа с резервуаром.
Найти скорость истечения, если полный напор над центром отверстия
H = 2,2 м поддерживается постоянным.
Рисунок 2.50 - К задачам 2.67 и 2.68
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РЕШЕНИЕ: Уравнение Бернулли, написанное для сечений 1 - 1, 2 - 2
и плоскости для сравнения 0 - 0 с учётом потерь:
p ат.
Η+
γ
+0=0+
p ат.
γ
+
υд2
2⋅g
+ h пот. ;
Полная потеря напора в насадке hпот. складывается из потери при входе
и потери при расширении струи в насадке:
h пот. = h 'пот. + h "пот. ;
Потеря при входе:
h
'
пот.
υ32−3
2
2
υдейст
0,06 ⋅υдейст
υд2
.
.
=ζ ⋅
=ζ ⋅ 2
=
= 0,146 ⋅ ;
2⋅g
ε ⋅ 2 ⋅ g ( 0,64 )2 ⋅ 2 ⋅ g
2g
Потеря при расширении струи в насадке:
2
h
"
пот .
2
⎛ F
⎞ υд2 ⎛ 1
υд2
⎞ υд2
=⎜
− 1⎟ ⋅
=⎜
− 1⎟ ⋅
= 0,31 ⋅ ;
F
2
g
0,64
2g
2g
⋅
⎝
⎠
⎝ 3− 3 ⎠
Уравнение Бернулли в преобразованном виде:
Η=
υд2
2g
+ 0,146 ⋅
υд2
2g
+ 0,31 ⋅
υд2
2g
= 1, 456 ⋅
υд2
2g
;
Скорость выхода воды из насадки:
υд =
1
⋅ 2 ⋅ g ⋅ Η = 0,82 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ Η ;
1, 456
Коэффициент скорости при истечении воды из цилиндрической
насадки:
ϕ=
υд
= 0,82;
υт
Вследствие того, что при истечении из цилиндрической насадки сжатие
струи не происходит, коэффициент сжатия равен единице, т.е.: ε = 1,0.
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Коэффициент расхода цилиндрической насадки равен коэффициенту
скорости:
µ = ϕ ⋅ ε = 0,82 ⋅ 1,0 = 0,82;
Коэффициент сопротивления цилиндрической насадки:
ζ =
1
ϕ2
−1 =
1
( 0,82 )
2
− 1 = 0,49;
Численное значение скорости истечения при заданных условиях и
параметрах:
м
с
υдейст. = ϕ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ Η = 0,82 ⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ 2, 2 = 5,38 ;
Задача 2.68 Определить разрежение, устанавливающееся во внешней
цилиндрической насадке, рисунок 7.12, если постоянный напор, действующий
над осью насадки, H = 3,6 м.
Определить, на какую высоту
h
поднимется ртуть в трубке,
присоединённой к горловине насадки.
РЕШЕНИЕ: Уравнение Бернулли, написанное для сечений 1 - 1, 2 2 и плоскости сравнения 0 - 0 с учётом потерь:
Η+
p ат.
γ
=
p3-3
γ
+
υ32−3
2⋅g
+ζ ⋅
υ32−3
2⋅g
;
Разрежение, возникшее в сечении 3 - 3:
p ат. − p3−3
γ
=
υ32−3
2⋅g
⋅ (1 + ζ ) − Η;
Подставляя вместо υ3-3 её развёрнутое значение, выраженное через
выходную скорость υд, получим иное выражение:
υ
2
3− 3
υд2 2 ⋅ g ⋅ Η ⋅ ϕ 2
= 2=
;
ε
ε2
После преобразования вышеуказанных выражений, получаем:
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p ат. − p3−3
γ
⎡ϕ 2
⎤
= Η ⋅ ⎢ 2 ⋅ (1 + ζ ) − 1⎥ ;
⎣ε
⎦
Заменяя коэффициенты истечения φ, ε, µ их численными значениями,
получим следующее соотношение:
p ат. − p3−3
γ
⎡ ( 0,82 )2
⎤
1
0,06
1
= Η⋅⎢
+
−
⎥ ≈ 0,75 ⋅ Η;
(
)
2
⎢⎣ ( 0,64 )
⎥⎦
Разрежение, устанавливающееся в горловине насадки при заданных
условиях:
p ат. − p3−3
γ
= 0,75 ⋅ Η = 0,75 ⋅ 3,6 = 2,7 м вод. ст.или рвакуум = 0, 27 ат.;
Задача 2.69 Определить расход воды, вытекающей при напоре H = 0,8
м из закрытого резервуара, рисунок 7.13, находящегося под избыточным
давлением ро = 0,2 ати, по трубе переменного сечения.
Рисунок 2.51 - К задаче 2.69
Диаметры труб и длины участков равны: d1 = 70 мм, l = 5,0 м, d2 =
100 мм, l 2 = 7,5 м, d3 = 50 мм, l3 = 4,0 м; коэффициент трения λ = 0,028, а
коэффициент сопротивления вентиля ζв = 3,0.
РЕШЕНИЕ: Расход воды может быть определён по формуле:
⎛
p ⎞
Q = µс ⋅ F3 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ ⎜ Η + изб . ⎟ ;
γ ⎠
⎝
Коэффициент расхода системы
µс
определяется на основе
коэффициентов сопротивлений, вычисленных для всех участков трубопровода
и приведённых к выходной скорости:
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
µс =
1
l
1 + ∑ λ ⋅ + ∑ζ
d
;
Сопротивление на первом участке, приведённое к выходной скорости:
⎛ l1
⎞ F32 ⎛
5,0
⎞ ( 50 )
⋅
+
⋅
=
⋅
+
= 0,65;
λ
ζ
0,028
0,5
⎜
1⎟
4
⎜
⎟⋅
2
d
F
0,07
⎠ ( 70 )
1
⎝
⎠ 1 ⎝
4
Сопротивление на втором участке, приведённое к выходной скорости:
2
2
⎡
⎤ 50 4
⎛
⎞
100 )
⎛ l2
⎞ F ⎢
(
( ) = 0, 2;
7,5
⎥
⋅
+
⋅
=
⋅
+
−
⋅
0,028
1
λ
ζ
⎜
⎟
⎜
2⎟
⎟ ⎥ (100 )4
0,1 ⎜⎝ ( 70 )
⎝ d2
⎠ F ⎢
⎠ ⎦
⎣
2
3
2
2
Сопротивление на третьем участке, отнесённое к выходной скорости:
λ⋅
l3
4,0
+ ζ 3 + ζ 4 = 0,028 ⋅
+ 0,37 + 3,0 = 5,62;
d3
0,05
Суммарный коэффициент выходной системы:
µс =
1
= 0,366;
1 + 0,65 + 0,2 + 5,62
Расход воды будет:
⎛
p ⎞
Q = µс ⋅ F3 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ ⎜ Η + изб. ⎟ =
γ ⎠
⎝
3,14 ⋅ ( 0,05 )
= 0,366 ⋅
⋅ 2 ⋅ 9,81 ⋅ ( 0,8 + 2,0 ) =
4
м3
м3
= 0,00533
= 19, 2 ;
с
ч
2
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задачи для решения
2.70 В резервуар, имеющий в боковой стенке отверстие диаметром d 25
мм, рисунок 2.52, поступает вода в количестве Q = 4 м3/ч.
Рисунок 2.52 - К задаче 2.70
Определить, до какой высоты H будет поступать вода с подъёмом
уровня в резервуаре и на этой высоте уровень остановится, хотя вода будет
поступать и далее.
Правильный ответ: H = 676 мм.
Задача 2.71
Определить суточную утечку воды в водопроводе,
находящемся под давлением 7 ати, если в результате повреждения прокладки
между фланцами разорвалась труба и образовалось сквозное рваное отверстие
общей площадью сечения F = 2,0 мм2.
Правильный ответ: Q ≈ 4,0 м3/ сутки.
Задача 2.72 Определить напор H2, при котором струя, вытекающая из
нижнего отверстия, рисунок 2.53, падает в канал стока цеха в то же место, что
и струя, вытекающая из верхнего отверстия.
Рисунок 2.53 - К задаче 2.72
Рисунок 2.54 - К задаче 2.73
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Высота расположения уровня воды от пола цеха H = 2,5 м, напор над
центром верхнего отверстия H1 = 1.0 м.
Правильный ответ: H2 = 1,5 м.
Задача 2.73 Для измерения расхода ручьёв применяется водомер
Игнатова, рисунок 2.54, представляющий собой железный щит с множеством
отверстий различного диаметра, закрывающихся пробками, а открывается то,
которое подлежит эксперименту измерения.
После установки щита в ручье, в нём открыты три пробки следующих
отверстий: d1 = 100 мм, d2 = 25 мм, d3 = 50 мм. Через некоторое время
уровень в ручье остановился на линии А-В.
Определить количество протекающей воды через отверстия, если
напоры при этом оказались равными, но центры этих отверстий на разных
уровнях: H1 = 20- мм, H2 = 300 мм, H3 = 500 мм.
Коэффициент расхода отверстий принять равным единым µ = 0,62.
Правильный ответ: Q - 51,1 м3/ч.
Задача 2.74 Вертикальный цилиндрический бак диаметром D = 1,6 м,
имеющий в дне круглое отверстие диаметром d = 20 мм, закрытое пробкой,
заполнен водой на высоту H = 2,0 м.
Определить, через сколько времени после удаления пробки уровень
воды в баке понизится на 1 м и через сколько времени бак будет полностью
опорожнён.
Правильный ответ: τ1 = 32 мин; τ2 = 110 мин. = 1час 50 мин.
Задача 2.75 Шлюзовая камера, имеющая форму прямоугольного ящика
шириной b = 6 м и длиной l = 50 м, рисунок 2.56, предназначена для перехода
с горизонта А на горизонт В, разница между которыми составляет H = 4,0 м.
Рисунок 2.55 - К задаче 2.75
Определить, сколько круглых отверстий диаметром d = 400 мм
достаточно сделать в щите D, чтобы уровень воды в шлюзе понизился до
нижнего горизонта в течение 10 минут после открытия отверстий, считая
момент открытия всех отверстий одновременным и мгновенным.
Правильный ответ: 6 отверстий .
Задача 2.76 Цистерна, заполненная керосином, имеет длину 8,2 м и
диаметр барабана цистерны 2,2 м.
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить время τ, необходимое для полного слива керосина через
отверстие диаметром d = 100 мм в нижнем боковом отверстии цистерны,
принимая коэффициент расхода µ = 0,62 и полностью горизонтальное
расположение железнодорожного полотна, так, чтобы от уклона, в цистерне не
оказалось «мёртвого остатка».
Правильный ответ: τ = 27,5 мин.
Задача 2.77 Для пропуска воды в стенку заделана короткая труба,
рисунок 2.56, диаметром d = 200 мм.
Рисунок 2.56 – К задаче 2.77
Определить скорость истечения и расход воды в трубе, если H1 = 4 м, а
H2 = 1,5 м. Сопротивлением трения пренебречь.
Правильный ответ: υдейст.= 5,74 м/с; Q = 650 м3/с.
Задача 2.78
Форсунка нагревательной печи расходует G=100 кГ/ч
мазута, для сжигания которого требуется воздух в количестве W = 8,7 м3/кГ
мазута при температуре t = 20 °С. На рисунке 2.57 показано исполнение
воздушного и мазутного сопел.
Рисунок 2.57 - К задаче 2.78
Определить необходимое сечение воздушного и мазутного сопел, как на
рисунке 2.57, если мазут поступает к форсунке под давлением pф = 2,5 ати, а
воздух под давлением pв = 200 мм вод. ст.
Коэффициенты скорости и расхода принять равными φ = µ = 0,82.
удельный вес мазута γм = 850 кГ/м3, воздуха γв = 1,2 кГ/м3.
Правильный ответ: Fм = 1,66 мм2; Fв = 5160 мм2 = 51, см2;
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2.79 Вертикально расположенное сопло фонтана представляет
собой толстостенную трубу диаметром d2 = 15 мм, длиной l = 60 мм, рисунок
2.58, ввинченную в трубу внутренним диаметром d1 = 30 мм, по которой вода
подаётся к соплу.
Рисунок 2.58 - К задаче 2.79
Определить высоту подъёма струи фонтана с учётом скорости подхода
воды к соплу, если давление перед соплом составляет pтр. = 0,5 ати, а
сопротивление воздуха уменьшает высоту подъёма струи на 20 %.
Правильный ответ: H = 3,01 м.
Задача 2.80 Определить количество воды, вытекающее через круглое
отверстие dо = 200 мм в стенке плотины, рисунок 2.59, если уровень воды
находится на высоте H = 3 м над центром отверстия.
Рисунок 2.59 - К задаче 2.80
Определить разрежение, устанавливающееся в горловине отверстия.
Правильный ответ: Q = 710 м3/ч; pвак. = 0,225 атм.
Задача 2.81 Горелка типа «труба в трубе» производительностью G=250
кг/ч работает на торфяном генераторном газе.
Воздух, необходимый для горения газа в количестве Qв = 1,6 кГ/ кГ
газа, имеет температуру tв = 300°С и подводится через кольцевое пространство
горелки «труба в трубе» со скоростью υв = 25 м/с.
Определить размеры горелки и необходимое давление воздуха, если
давление газа перед горелкой равно pг = 130 мм вод. ст., а удельный вес газа γг
= 1,29 кГ/м3.
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Правильный ответ: d = 46,5 мм; D = 107 мм; pв = 29,1 мм вод. ст.
Задача 2.82 Определить расход и скорость воды, вытекающей через
коноидальную насадку, смотри рисунок 2.48, если диаметр выходного сечения
dо = 100 мм, напор, действующий над осью насадки, H = 2,5 м, а
коэффициент сопротивления насадки ζ = 0,06.
Правильный ответ: υд = 6,8 м/с; Q = 192 м3/ч.
Задача 2.83 Через конически расширяющуюся насадку, смотри
рисунок 2.49, с диаметром горловины d1 = 22,4 мм, работающую под напором
H = 0,8 м, в течение τ = 45 с. вытекает Q = 33,6 литров воды.
Определить все коэффициенты, характеризующие работу насадки –
φ, µ, ε, ζ.
Правильный ответ: φ = 0,48;, µ = 0,48;, ε = 1,0;, ζ = 3,35;.
Задача 2.84 Определить высоту подъёма струи фонтана, вытекающего
из вертикально расположенного сопла коноидальной формы, считая, что
сопротивление воздуха уменьшает высоту струи на 20 %.
Найти количество вытекающей воды, если диаметр выходного
отверстия сопла фонтана dф = 15 мм, а давление воды перед входом в насадку
pнас.=0,5 ати.
Правильный ответ: Hф = 3,6 м; Qф = 6,12 м3/ч.
Задача 2.85 Определить высоту подъёма струи и расход воды через
круглое отверстие в тонкой стенке и через насадки различной формы, как на
рисунке 2.60, если давление, под которым вода подаётся в насадки, равно
p = 1 ати, а диаметры пропускного сечений во всех случаях d = 100 мм.
Рисунок 2.60 - К задаче 2.85
При определении высоты подъёма струи считать, что сопротивление
воздуха уменьшает её высоту на 20 %.
Правильный ответ: h1 = 7,52 м; h2 = 5,36 м; h3 = 7,52 м; h4 = 1,84 м
Q1 = 68,1 л/с; Q2 = 90,2 л/с; Q3 = 106,7 л/с; Q4 = 264 л/с.
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2.86
Прямоугольный резервуар делится при помощи
вертикальных перегородок на три части, рисунок 2.61, сообщающиеся друг с
другом через различные отверстия.
Рисунок 2.61 - К задаче 2. 86
Определить расход воды через систему и найти распределение напоров
H1, H2, H3, если d1 = 100 мм, d2 = 50 мм, d3 = 70 мм, а начальный напор
H= 1,4 м поддерживается постоянным.
Правильный ответ: Q = 29,2 м3/ч; H1 = 0,141 м; H2 = 0,922 м;
H3 = 0,337 м.
Задача 2.87 Определить, во сколько раз уменьшится расход воды через
цилиндрическую насадку диаметром d1 = 100 мм, рисунок 2.62, работающую
под напором H = 0,7 м, после ввинчивания в неё короткой трубки с
внутренним диаметром d2 = 70 мм.
Рисунок 2.62 - К задаче 2.87
Правильный ответ: В 1,95 раза.
Задача
2.88
Под
железнодорожным
полотном
проложена
железобетонная труба диаметром d = 1,0 м и длиной l = 10 м.
Определить расход воды (ν = 0,0151 см2/с) при полном заполнении
сечения трубы и разность уровней воды по обоим сторонам полотна, при
расчётной скорости воды в трубе υ = 3,0 м/с и шероховатости стенки трубы
∆ = 2 мм.
Правильный ответ: Q = 3,36 м3/с; ∆H = 0,795 м.
180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2.89 Налив бензина в бочки производится по трубе диаметром d1
= 20 мм, под напором H = 1,5 м, через воронку высотой h = 100 мм с
диаметром трубки слива d2 = 30 мм, как на рисунке 2.63, с эстакады.
Рисунок 2.63 - К задаче 2.89
Рисунок 2.64 - К задаче 2.90
Определить, не будет ли бензин при полном открытии вентиля
переливаться через край воронки.
При проведении расчётов принять коэффициент сопротивления вентиля
ζ = 3,0, коэффициент сопротивления поворотов ζп = 0,29; потерями на трение
пренебречь.
Правильный ответ: Нет, не будет.
Задача 2.90
Из цилиндрического резервуара больших размеров,
рисунок 2.64, через цилиндрическую насадку диаметром d2 = 70 мм под
постоянным напором H1 = 1,2 м вытекает вода.
Определить высоту H2, на которой необходимо расположить бак для
непрерывного наполнения резервуара водой по трубе диаметром d1 = 100 мм,
общей длиной l = 30 м, при коэффициенте трения λ = 0,03, радиус
закруглений трёх поворотов R = 0,1 м и коэффициенте сопротивления
вентилей ζ = 4,0.
Правильный ответ: H2 = 3,75 м.
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 8.
предпосылки)
Движение жидкости по трубам [1, 2, 3, 4]. (Теоретические
Общая задача гидравлического расчёта трубопровода заключается в
том, чтобы определить одну из трёх величин: расход Q, напор H или площадь
поперечного сечения F по двум другим заданным величинам.
В целях упрощения техники подсчётов, производящейся на основе
уравнения Бернулли, вводятся некоторые специфические понятия и
определения, позволяющие значительно сократить арифметические выкладки
за счёт широкого использования готовых таблиц.
§ 36. Расходная характеристика трубы
Если в формулу 2.19 для определения потерь на трение по длине трубы
ввести величину гидравлического уклона i = hтр./ l и гидравлический радиус
R = F / Sо = d / 4, то она примет следующий вид:
i=
λ
υ2
⋅
;
4⋅R 2⋅g
Определяя из этого выражения величину скорости, получим известную
формулу Шези (2.52):
υ = С ⋅ R ⋅i;
(2.52)
где
С=
8⋅g
λ
;
Расход жидкости (2.53) можно получить, умножив обе части выражения
(2.52) на площадь поперечного сечения трубы или живого сечения потока:
Q = υ ⋅F = F⋅С ⋅ R ⋅ i = K ⋅ i ;
(2.53)
Величина K = F·C·√ R называется расходной характеристикой трубы
или модулем расхода и представляет собой расход жидкости через заданное
живое сечение потока при гидравлическом уклоне, равном единице.
Размерность расходной характеристики К такая же, как и расхода Q.
Расходная характеристика трубы зависит от её диаметра и
шероховатости стенки и может быть заранее вычислена для труб различных
182
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
диаметров с разной шероховатостью внутренней поверхности
приложение Г, таблица Г4).
(смотри
§ 37. Простой трубопровод
Простым трубопроводом называется такой трубопровод, который не
имеет ответвлений, рисунок 2.65, как пример это характеризует.
Применяя введённое понятие расходной характеристики трубы, расход
воды можно определить по следующей формуле (2.54):
Q = K ⋅ i =K ⋅
H
;
l
(2.54)
Рисунок 2.65- Простой трубопровод
Здесь величины H и l заданы, а K находится из таблицы Г4,
приложения Г.
Если необходимо определить напор по заданному расходу, формула
(2.54) приобретает вид (2.55):
H = Q2 ⋅
l
;
K2
(2.55)
где величина l / K2 носит название удельного сопротивления трубы.
При расчёте длинных трубопроводов местные сопротивления удобно
учитывать
эквивалентными
длинами
прямых
трубопроводов,
соответствующими по величине потери напора данным местным
сопротивлениям:
υ2
lэкв. υ 2
d
=λ⋅
⋅
ζ⋅
; откуда : lэкв . = ζ ⋅ ;
2⋅g
d 2⋅g
λ
(2.56)
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.66 - Сифонный трубопровод
Например, если принять для колена ζ = 0,3 и λ = 0,03, то получим lэкв.
= 10·d. Таки образом, отрезок трубы длиной l. = 10·d эквивалентен по потере
напора одному колену. Средние значения эквивалентных длин для различных
местных сопротивлений даются в таблице Д1, приложения Д.
Если часть трубопровода, соединяющего два резервуара, расположена
выше уровня жидкости в напорном резервуаре, трубопровод называется
сифонным, рисунок 2.66, как показано выше.
Возможная высота сифона определяется из выражения (2.57):
Ηс = Ηс =
p вак .
γ
− h 'пот. ;
(2.57)
где h'пот. - потери напора на участке от верхнего резервуара до верхней точки
сифона.
Минимально допустимое давление в верхней точке сифона должно быть
выше предела парообразования во избежание закипания воды и выхода из
строя сифона.
Расчёт производительности сифонного трубопровода ничем не
отличается от расчёта простого трубопровода.
Если простой трубопровод составлен из нескольких последовательно
соединённых труб различных диаметров, рисунок 2.67, то полная потеря
напора H равна сумме потерь напора на отдельных участках трубопровода
(2.58):
Η = h1 + h 2 + h 3 + ....;
184
(2.58)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.67 - Последовательное соединение труб
На каждом из участков потеря напора может быть найдена из
выражения (2.59):
h iF = Q 2 ⋅
li
;
K i2
(2.59)
Полная потеря напора будет определяться из выражения (2.60):
Η = Q2 ⋅ ∑
li
;
K i2
(2.60)
Т.е. при транзитном расходе через последовательно соединённые трубы
необходимый напор должен быть равен произведению квадрата расхода на
сумму удельных сопротивлений всех участков.
§ 38. Параллельное соединения трубопроводов
Рисунок 2.68 - Параллельное соединение труб
Все параллельно соединённые трубопроводы, рисунок 2.68, работают
под одним и тем же напором, действующим между точками разветвления:
Η = Q12 ⋅
l1
;
K12
(2.61а )
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Η = Q 22 ⋅
l2
;
K 22
(2.61б )
Η = Q32 ⋅
l3
;
K 32
(2.61в )
Сумма расходов по отдельным ветвям равна общему расходу, т.е.:
Q = Q1 + Q 2 + Q3 ;
(2.61г )
Полученная система из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными
позволяет определить расходы по отдельным ветвям Q1, Q2, Q3 и
действующий между точками разветвления напор H.
Из приведённых выше выражений следует, что:
Q1 K1 l2
=
⋅
;
Q 2 K 2 l1
(2.62)
Т.е. при параллельном соединении трубопроводов расходы
распределяются пропорционально расходным характеристикам и обратно
пропорционально корням квадратным из их длин.
§ 39. Разветвлённый трубопровод
Сложным или разветвлённым называется трубопровод, имеющий
ответвления.
Сложный трубопровод может быть: а) тупиковым, или разомкнутым; б)
кольцевым, или замкнутым; в) смешанным, с применением элементов а) и б).
Простейший разомкнутый, или тупиковый, трубопровод изображён на
рисунке 2.69, показанный ниже.
Рисунок 2.69 - Тупиковый трубопровод
Для каждого из участков такого трубопровода можно написать
уравнения (2.63):
186
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Η − ( z + h ) = Q2 ⋅
l
;
K2
( z + h ) − ( z1 + h1 ) = Q12 ⋅
(2.63а )
l1
;
K12
( z + h ) − ( z 2 + h 2 ) = Q 22 ⋅
(2.63б )
l2
;
2
K2
(2.63в )
где z, z1, z2 - высоты расположения точек В, С, D над плоскостью
сравнения;
h, h1, h2 - пьезометрические напоры в точках B, C, D.
Кроме того:
Q = Q1 + Q 2 ;
(2.63г )
Из полученной системы уравнений все неизвестные, которыми обычно
являются расходы Q1, Q2, Q и напор h, могут быть легко определены.
Расчёт кольцевого трубопровода, рисунок 2.70, оставаясь в принципе
таким же, как и расчёт разомкнутого, отличается несколько большей
сложностью.
Рисунок 2.70 - Кольцевой трубопровод
Необходимо предварительно задаться направлением движения
жидкости на всех участках трубопровода ABCDE. Далее для каждого участка
пишутся уравнения типа (2.64):
( z1 + h1 ) − ( z 2 + h 2 ) = Q12−2 ⋅
l1− 2
;
K12− 2
(2.64)
Для каждого узла алгебраическая сумма расходов по всем сходящимся в
узле трубам равна нулю:
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∑ Q = 0;
(2.65)
Решая полученную систему уравнений, можно и в данном случае
определить все расходы по трубам и величину напора во всех узлах.
Наличие отрицательных расходов на отдельных участках будет
указывать на то, что направление движения на данном участке принято или
задано первоначально неправильно и в действительности будет обратным.
Расчёты сети смешанного типа, имеющей и замкнутые кольца, и
тупиковые ответвления, производятся путём составления для каждого узла
уравнений, аналогичных приведённым выше.
§ 40. Понятие о гидравлическом ударе в трубах
Если быстро закрыть задвижку в трубопроводе с движущейся
жидкостью внутри его, будет наблюдаться резкое повышение давления. Это
повышение давления, возникающее у задвижки вследствие остановки движения
и превращения кинетической энергии в потенциальную, рисунок 2.71, подобно
волне будет распространяться по трубе в сторону резервуара.
Рисунок 2.71 - Повышение давления у задвижки
Время, в течение которого ударная волна пройдёт до резервуара и
отражённая волна, сопровождающаяся падением давления, вернётся к
задвижке, рисунок 2.72, называется фазой гидравлического удара:
Τ=
2⋅l
;
с
где l - длина трубопровода;
с - скорость распространения ударной волны.
188
(2.66)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.72 - Изменение давления у задвижки при гидравлическом
ударе
Согласно теории гидравлического удара, подробно разработанной
знаменитым русским учёным
Н.Е. Жуковским, повышение давления,
возникающее в жидкости, может быть определено по формуле (8.16):
∆ р = ρ ⋅υср. ⋅ с;
(2.67)
где ρ - плотность жидкости;
υср.- средняя скорость движения жидкости в трубе до закрытия задвижки.
Скорость распространения ударной волны «с», приближённо равна
скорости распространения звука в данной жидкости, может быть определена, в
свою очередь, по формуле (2.68):
Eо
c=
ρ
d E
1+ ⋅ о
δ E
;
(2.68)
где d - диаметр трубы;
δ - толщина стенки трубы;
E - модуль упругости материала стенки трубы;
Eо – модуль упругости жидкости внутри трубопровода.
При обычных значениях отношения d / δ для чугунных и стальных
трубопроводов скорость «с» может приниматься равной следующим
значениям:
Для стальных труб с ≈ 1000 м/с;
Для чугунных труб с ≈ 1200 м/с.
Практически задвижка закрывается не мгновенно, а в течение какого-то
времени τ, допустим, 15-20 секунд.
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если время τ больше фазы гидравлического удара Т, повышение
давления не достигает максимальной величины, так как частично погашается
отражённой волной.
В этом случае. Повышение давления может быть подсчитано по
формуле (2.69):
∆ р = ρ ⋅υср. ⋅ с ⋅
T
τ
=
2 ⋅ ρ ⋅ l ⋅υср.
τ
;
(2.69)
§ 41. Основы технико-экономического расчёта трубопроводов
Выбор скорости движения воды в трубопроводе имеет большое
значение.
Для чугунных водопроводных труб на основе данных практики
рекомендуется не превосходить скоростей, приведённых в таблице 2.4.
Таблица 2.4 - Предельные скорости воды в чугунных водопроводных трубах
Диаметр
трубы
мм
60
100
150
200
250
Предельная Расход при
скорость
предельной
м/с
скорости
л/с
0,70
2,0
0,75
6,0
0,80
14,0
0,90
28,0
1,00
49,0
Диаметр
трубы
мм
300
400
500
600
800
Предельная Расход при
скорость
предельной
м/с
скорости
л/с
1,10
78,0
1,25
157,0
1,40
27,50
1,60
453,0
1,80
905,0
Вопрос о наивыгоднейшей скорости, а, следовательно, о выбираемом
диаметре трубопровода, решается технико-экономическим расчётом.
Наивыгоднейшим диаметром трубопровода будет такой, при котором
общие ежегодные затраты, складывающиеся из расходов на эксплуатацию
трубопровода и расходов на погашение капитальных вложений, будут
минимальными.
Главной составной частью годовых эксплуатационных расходов
является стоимость энергии S'1, теряемой при перекачке воды, которая может
быть подсчитана из выражения (2.70):
S1' =
190
Q ⋅ h пот. ⋅ γ
⋅τ ⋅ m;
102 ⋅η н
(2.70)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где γ - удельный вес жидкости;
Q - расход жидкости;
hпот. – затрата напора на преодолеваемые при перекачке или
транспортировке жидкости сопротивления;
ηн - полный коэффициент полезного действия насосной установки;
τ - число часов работы насосной установки;
m - стоимость 1 кВт-Ч электроэнергии.
Прибавляя к стоимости энергии годовые расходы на содержание
персонала S"1 и ремонт S"'1, получим полную годовую стоимость эксплуатации
трубопровода:
S1 = S1' + S1" + S1"' ;
(2.71)
Годовые расходы на погашение капитальных вложений S2 определяются
величиной годовых амортизационных отчислений P из бюджета организации,
выражаемых обычно в процентах:
S2 =
P
⋅ A;
100
(2.72)
где А - полная стоимость прокладки трубопровода.
С увеличением диаметра трубопровода d годовые эксплуатационные
расходы, зависящие в основном от расходов на энергию, будут уменьшаться, а
амортизационные отчисления – расти, рисунок 2.73.
Рисунок 2.73 - График годовых расходов
Суммирование ординат кривых S1 = f (d) и S2 = f (d) даёт кривую
S1 + S2 = f (d), как на рисунке 2.73. Минимум этой кривой в точке «а» и
определяет оптимальное в данных условиях определения диаметра
трубопровода.
§ 42. Задачи с решением
Задача 2.91 В мартеновском цехе металлургического предприятия
расходуется 36 м3/ч воды.
191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить необходимую высоту расположения уровня воды H в
напорном баке, если водопроводная труба, идущая к разборному крану,
диаметром d = 75 мм, общей длиной 140 м, имеет абсолютную шероховатость
стенки ∆ = 0,2 мм. Местными сопротивлениями пренебречь.
РЕШЕНИЕ: Расходная характеристика трубы (находится из таблицы
Г4, приложения Г) при d = 75 мм и ∆ = 0,2 мм: Κ2 = 1133 л2/с2;
Необходимая высота расположения напорного бака должна покрывать
потери напора в трубе, т.е.:
2
⎛ 36000 ⎞ 140
l
Η = Q2 ⋅ 2 = ⎜
= 12,35 м;
⎟ ⋅
K
3600
1133
⎝
⎠
Задача 2.92 Уровень воды в водонапорном баке на 7 м выше
водоразборной задвижки.
Определить диаметр трубы, обеспечивающий пропуск 180 м3/ч воды,
если длина трубы l = 270 м.
При подсчётах
учесть наличие двух колен и двух задвижек.
Абсолютная шероховатость стенки трубы принять равной ∆ = 1 мм.
РЕШЕНИЕ: Эквивалентная длина местных сопротивлений может быть
ориентировочно оценена в 15 % от длины трубопровода:
l экв. = 0,15 ⋅ l = 0,15 ⋅ 270 = 40 м;
Тогда полная приведённая длина трубопровода с учётом местных
сопротивлений будет равна следующей величине:
l ' = l + l экв. = 270 + 40 = 310 м;
Секундный расход воды будет:
Qсек . =
Qчас. 180 ⋅1000
л
=
= 50 ;
3600
3600
с
Расходная характеристика трубы:
Q 2 ( 50 ) ⋅ 310
л2
K =
=
= 111000 2 ;
Η
7
с
l
2
2
192
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ближайший большой диаметр трубы:
d = 200 мм;
При этом диаметре эквивалентная длина местных сопротивлений
составляет:
Два колена…………………………………………lк = 2·10 = 20 м;
Две задвижки……………………………………lз = 2·3,5 = 7 м;
Вход в трубу………………………………………………lвх. = 4 м;
Потери с выходной скоростью……………………lвых. = 8 м;:
Всего:
lэкв. = 39 м.
Полученная эквивалентная длина близка к принятой предварительно,
поэтому пересчёта производить не требуется.
Задача 2.93 Определить потерю напора на каждом из участков
трубопровода, рисунок 8.10, и построить пьезометрическую линию, если
полный действующий напор H = 12 м, и диаметры и длины отдельных
участков соответственно равны d1 = 200 мм, l1 = 900 м, d2 = 175 мм, l2 = 650 м,
d3 = 150 мм, l3 = 750 м.
Абсолютная шероховатость стенки трубы принять равной ∆ = 1 мм;
местным сопротивлением пренебречь.
РЕШЕНИЕ: Расходные характеристики труб на отдельных участках при
∆ = 1 мм:
d1 = 200 мм,
d2 = 175 мм,
d3 = 150 мм,
Κ21 = 127 142 л2/с2;
Κ22 = 26 259 л2/с2;
Κ23 = 27 627 л2/с2;
Расход воды через трубопровод:
Q=
Η
=
l1 l 2 l 3
+
+
Κ 12 Κ 22 Κ 32
12
л
=16, 4 ;
900
650
750
с
+
+
127142 62 259 27 627
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.74 - К задаче 2.93
Потери напора на первом участке:
Η1 = Q 2 ⋅
l1
900
2
=
16,
4
⋅
= 1,9 м;
(
)
Κ 12
127142
Потери напора на втором участке:
Η 2 = Q2 ⋅
l2
650
2
= (16, 4 ) ⋅
= 2,8 м;
2
Κ2
62 259
Потери на третьем участке:
Η 3 = Q2 ⋅
l3
750
2
=
16,
4
⋅
= 7,3 м;
(
)
Κ 32
27 627
Полная потеря напора всей системы:
Η = Η1 + Η 2 + Η 3 = 1,9 + 2,8 + 7,3 = 12,0 м;
Исходя из полученных потерь напора, построена пьезометрическая
линия, приведенная на рисунке 2.74, показанная выше.
Задача 2.94 Трубопровод, работающий под напором H = 20 м, рисунок
2.75, имеет участок, состоящий из двух параллельных ветвей включённых от
единой трубы в точке В и состоит из: d2 = 100 мм, l2 =700 м и d3 = 75 мм,
l3 = 850 м, и оканчивается соплом для фонтана с площадью выходного
отверстия f = 5 см2 и коэффициентом расхода µ = 0,92.
194
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.75 - К задаче 2.94
Определить расход воды и высоту подъёма струи фонтана hф, если
d1 = 125 мм, l1= 300 м, d4 = 125 мм, l4 = 200 м, считая, что сопротивление
воздуха уменьшает высоту подъёма струи на 20 %. Шероховатость стенок труб
принять равной ∆ = 0,5 мм; местным сопротивлением пренебречь.
РЕШЕНИЕ: Распределение расходов в разветвлении:
Q3
863 ⋅ 700
Κ 32 ⋅ l 2
=
=
= 0, 423;
2
Q2
3973 ⋅ 850
Κ 2 ⋅ l3
Q3 = 0, 423 ⋅ Q 2 ;
Расход во второй ветви:
Q 2 = Q − Q3 = Q − 0, 423 ⋅ Q 2 ;
откуда
Q2 =
Q
;
1, 423
Потеря напора между точками В и С:
h ВС
Q 2 ⋅ 700
l2
=Q ⋅ 2 =
= 0,087 ⋅ Q 2 ;
2
Κ 2 (1, 423) ⋅ 3973
2
2
Скоростной напор или потеря напора в сопле с выходной скоростью υ:
υ2
2
1 ⎛ Q ⎞
Q 2 ⋅1 − −6
hд =
=
⋅⎜
=
= 0, 241 ⋅ Q 2 ;
⎟
2
2
2 ⋅ g 2g ⎝ µ ⋅ F ⎠ 2 ⋅ 9,81 ⋅ ( 0,92 ) ⋅ ( 0,0005 )
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полная потеря напора в трубопроводе:
Η = h АВ + h ВС + h СD + h д =
= Q2 ⋅
l1
l
+ 0,087Q 2 + Q 2 ⋅ 42 + 0, 241Q 2 ;
2
Κ1
Κ4
20 = Q 2 ⋅
+Q2 ⋅
300
+ 0,087Q 2 +
12 469
200
+ 0,241Q 2 = 0,368 ⋅ Q 2 ;
12 469
Расход воды в трубопроводе:
Q=
л
20
= 7,37 ;
0,368
с
Высота подъёма струи:
h ф = 0,8 ⋅ h д = 0,8 ⋅ 0, 241 ⋅ Q 2 =
= 0,8 ⋅ 0, 241 ⋅ ( 7,37 ) = 10,5 м;
2
Задача 2.95 Определить диаметры на всех участках горизонтально
расположенной водопроводной сети, если напор, создаваемый водонапорным
баком в точке А, рисунок 2.76, равен H = 30 м, а напор в точках потребления
должен быть не менее 5 м.
Рисунок 2.76 - К задаче 2.95
Длины участков: lAB = 200 м; lBC = 300 м; lCD = 250 м; lDE = 150 м;
lBN = 100 м; lMB = 150 м; lCF = 100 м.
Расходы воды в точках потребления: QM = 10 л/с; QN = 8 л/с; QF = 15
л/с; QD = 5 л/с; QE = 12 л/с. Абсолютную шероховатость стенок трубы принять
равной ∆ = 0,5 мм, местными сопротивлениями пренебречь.
196
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РЕШЕНИЕ: Полная потеря напора на самом длинном участке ABCDE:
∑h = Η
Η
− Η Κ = 30 − 5 = 25 м;
Средний пьезометрический уклон:
iср. =
25
∑h =
= 0,0278;
l
+
+
+
200
300
250
150
∑
Расходные характеристики и диаметры труб на участках магистрали:
12 )
(
л2
Q 2DE
=
=
= 5180 2 ;d DE = 100 мм;
iср.
с
0,0278
2
Κ 2DE
2
17 )
(
QCD
л2
=
=
= 10 400 2 ;d CD = 125 мм;
0,0278
iср.
с
2
Κ
2
CD
32 )
(
л2
Q 2BC
=
=
= 36900 2 ;d BC = 150 мм;
iср.
с
0,0278
2
Κ 2BC
50 )
(
л2
Q 2AB
=
=
= 90000 2 ;d AB = 200 мм;
iср.
с
0,0278
2
Κ
2
AB
Фактическое падение напора на участках магистрали:
h AB
Q 2AB ⋅ l AB ( 50 ) ⋅ 200
=
=
= 3, 22 м;
155465
Κ 2AB
h BC
Q 2BC ⋅ l BC ( 32 ) ⋅ 300
=
=
= 9,00 м;
34103
Κ 2BC
h CD
2
QCD
⋅ l CD (17 ) ⋅ 250
=
=
= 5,80 м;
2
12 469
Κ CD
h DE
Q 2DE ⋅ l DE (12 ) ⋅150
=
=
= 5, 44 м;
3973
Κ 2DE
2
2
2
2
197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Данные в знаменателях вышеуказанных формул взяты из таблицы Г4,
приложения Г в соответствии с диаметрами трубопроводов;
Полное падение напора ∑h = 23,46 м.
Выбор диаметров ответвлений:
2
15 ) ⋅100
(
Q CF
⋅ l CF
л2
=
=
= 1760 2 ;d CF = 100 мм;
с
h CF
30 − 3, 22 − 9,0 − 5,0
2
Κ
2
CF
Κ
2
BN
2
8 ) ⋅100
(
Q BN
⋅ l BN
л2
=
=
= 293 2 ;d BN = 75 мм;
h BN
30 − 3, 22 − 5,0
с
Κ
2
BM
10 ) ⋅150
(
Q 2BM ⋅ l BM
л2
=
=
= 690 2 ;d BM = 75 мм;
h BM
30 − 3, 22 − 5,0
с
2
2
Задача 2.96 Резервуары A и D с разностью уровней H1 = 25 м
соединены трубопроводом ABCD с водоразбором в двух точках B и C,
рисунок 2.77, находящихся на H = 15 м ниже уровня воды в нижнем
резервуаре.
Рисунок 2.77 - К задаче 2.96
Длина участков: lAB =1000 м; lBC =50 м; lCD =500 м;. Диаметры труб: dAB
= 150 мм; dBC = 200 мм; dCD = 300 мм;.
Определить направление движения воды в трубах и давление в точках B
и C, если QB = 5 л/с, а QC = 10 л/с. Шероховатость стенок труб принять равной
∆ = 0,5 мм. Местными сопротивлениями пренебречь.
РЕШЕНИЕ: Если предположить, что бак D отсутствует, напор в точке C
со стороны бака A выразится так:
Η C = Η A − h AB − h BC ;
Потеря напора на участке AB:
198
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
h AB = Q AB
⋅
l AB
2 1000
=
15
⋅
= 6,59 м;
(
)
Κ 2AB
34103
Потеря напора на участке BC:
2
h BC = Q BC
⋅
l BC
500
2
=
10
⋅
= 0,32 м;
(
)
Κ 2BC
15456
Напор в точке C со стороны бака A по заданным напорам и
вычисленным результатам потерь напора при отсутствии бака D:
Η C = 40 − 6,59 − 0,32 = 33,09 м;
Так как напор в точке С со стороны бака А больше, чем со стороны
бака D, вода в трубопроводе CD будет двигаться в сторону бака D с
некоторым расходом QD .
Полное падение напора по длине трубопровода:
Η ' = (15 + Q D ) ⋅
l CD
l AB
2 l BC
2
+
10
+
Q
+
Q
⋅
;
(
)
D
D
2
2
Κ 2AB
Κ BC
Κ CD
25 = (15 + Q D ) ⋅
1000
500
300
2
+ (10 + Q D ) ⋅
+ Q D2 ⋅
;
34103
155456
1414 260
2
2
Откуда получается следующее:
л
Q2D + 28,8 ⋅ QD − 552 = 0; QD = 13,15 ;
с
Действительные потери напора на участках:
2
h AB = Q AB
⋅
l AB
2 1000
28,15
=
⋅
= 23, 2 м;
(
)
34103
Κ 2AB
h BC = Q 2BC ⋅
l BC
500
2
=
23,15
⋅
= 1,74 м;
(
)
Κ 2BC
155456
199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
⋅
h CD = Q CD
l CD
500
2
=
⋅
= 0,06 м;
13,15
(
)
2
Κ CD
1414 260
Давление в точках B и C:
Η B = 40 − 23, 2 = 16,8 м; Η C = 16,8 − 1,74 = 15,06 м;
Задача 2.97 Определить направление движения и расход воды на
каждом участке трубопровода, соединяющего три резервуара с постоянными
уровнями воды:
H1 = 20 м, H2 = 10 м, H3 = 15 м, рисунок 8.14, если d1 = 150 мм, l1 =
800 м, d2 = 125 мм, l2 = 500 м, d3 = 100 мм, l3 = 400 м.
Абсолютную шероховатость стенок труб принять равной ∆ = 0,5 мм.
Местным сопротивлением пренебречь.
Рисунок 2.78 - К задаче 2.97
РЕШЕНИЕ: В зависимости от сопротивлений отдельных участков
трубопровода резервуар C может быть питающим, бездействующим или
питаемым.
Предположим сначала, что резервуар C является бездействующим.
Тогда Q1 = Q2 и напор в точке D равен напору третьего резервуара:
Κ 12 ⋅
Η1 − Η 3
Η − Η2
;
= Κ 22 ⋅ 3
l1
l2
Если резервуар C является питающим, то:
Κ 12 ⋅
Η1 − Η 3
Η − Η2
< Κ 22 ⋅ 3
;
l1
l2
Если резервуар C является питаемым, то:
200
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Κ 12 ⋅
Η1 − Η 3
Η − Η2
> Κ 22 ⋅ 3
;
l1
l2
При заданной схеме трубопроводов и данных условиях задачи:
34103 ⋅
20 − 15
15 − 10
> 12 469 ⋅
;
800
500
Следовательно, резервуар C является питаемым.
Система уравнений, определяющих условия движения воды в трубах:
Η1 − Η D = Q12 ⋅
2
1
Q
l1
;
Κ 12
Η1 − Η D ) ⋅ Κ 12 ( 20 − Η D ) ⋅ 34103
(
=
=
= 852 − 42,6Η
l1
800
Q
2
2
Η D − Η 2 ) ⋅ Κ 22 ( Η D − 10 ) ⋅12 469
(
=
=
= 24,9Η
Q
2
3
Η D − Η 3 ) ⋅ Κ 32 ( Η D − Η 3 ) ⋅ 3973
(
=
=
= 9,92Η
l2
l3
500
400
D
D
D
;
− 249;
− 149;
Решая полученные уравнения подбором, получим при HD = 15,5 м:
л
Q1 = 852 − 42,6 ⋅15,5 = 13,9 ;
с
л
Q 2 = 24,9 ⋅15,5 − 249 = 11,7 ;
с
л
Q3 = 9,92 ⋅15,5 − 149 = 2, 2 ;
с
л
Q1 = Q 2 + Q3 = 11,7 + 2, 2 =13,9 ;
с
Задача 2.98 Определить диаметры труб на всех участках горизонтально
расположенной водопроводной сети, рисунок 2.79, при условии, что на участке
BC уложена труба диаметром d2 = 150 мм, а расходы воды, отбираемые
потребителями: QC = 20 л/с и QD = 10 л/с.
201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найти необходимый начальный напор в точке А, если свободный напор
в точках потребления должен быть не менее 5 м.
Длины труб на отдельных участках соответственно равны:
l1 = 600 м, l2 = 90 м, l3 = 500 м, l4 = 80 м.
Шероховатость стенок труб ∆ = 0,5 мм.
Рисунок 2.79 - К задаче 2.98
РЕШЕНИЕ: Задаёмся наиболее вероятным направлением движения
воды на всех участках, а также диаметром трубы на первом участке, исходя из
рекомендуемых скоростей в водопроводных трубах:
л
Q1 = 30 ; d1 = 20 мм;
с
Q1
30 ⋅ 4 ⋅10−3
м
υ1 =
=
=
0,945
;
F1 3,14 ⋅ ( 0, 2 )2
с
Потери напора на участке AB:
h AB = Q12 ⋅
600
l1
2
30
=
⋅
= 3, 47 м;
(
)
155456
Κ 12
Принимая предварительно расход на участке BC Q2 = 14 л/с, исходя
из рекомендуемых скоростей в водопроводных трубах, определяем падение
напора на участке BC:
h 'BC = Q 22 ⋅
l2
900
2
=
14
⋅
= 5,17 м;
(
)
Κ 22
34103
Далее находим падение напора на участке BD, исходя из расхода
Q3 = 16 л/с и диаметра трубы d3 = 150 мм, принятого в соответствии с
таблицей рекомендуемых скоростей:
h 'BD = Q32 ⋅
202
l3
500
2
=
16
⋅
= 3,75 м;
(
)
Κ 32
34103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
напору
Диаметр трубы на участке DC определяется по расходу Q4 = 6 л/с и
hDC = 5,17-3,75 = 1,42 м;
л2
l4
2 800
Κ =Q ⋅
= (6) ⋅
= 25000 2 ; d = 150 мм;
h DC
1, 42
с
2
4
2
4
Истинное распределение расходов при принятых диаметрах труб
находится путём решения системы уравнений:
1)Q1 + Q3 = 30; 2)Q3 − Q 4 = 10;3)Q 22 ⋅
l2
2 l4
+
Q
;
4⋅
Κ 22
Κ 24
Откуда Q3 = 16,3 л/с; Q2 = 13,6 л/с; Q4 = 6,4 л/с.
Действительное падение напора на участке BC:
h BC = Q 22 ⋅
900
l2
2
= (13,6 ) ⋅
4,88 м;
2
Κ2
34103
Необходимый начальный напор в точке А:
Η A = Η C + h BC + h AB = 5,0 + 4,88 + 3,47 = 13,35 м;
Задача 2.99 По стальной трубе длиной l = 100 м и диаметром d =
200мм протекает Q = 200 м3/ч воды.
Определить, насколько повысится давление в трубе при закрытии
задвижки, если время закрытия в первом случае τ = 0,1 с, а во втором случае τ
= 1,0 с.
РЕШЕНИЕ: Средняя скорость воды в трубе:
υср. =
Q
200 ⋅ 4
м
1,77
;
=
=
3600 ⋅ F 3600 ⋅ 3,14 ⋅ ( 0, 2 )2
с
Фаза гидравлического удара:
Τ=
2 ⋅ l 2 ⋅100
=
= 0, 2 с;
с
1000
203
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В первом случае время закрытия задвижки τ = 0,1 с и это меньше
времени возвращения отражённой волны, следовательно, повышение давления
в трубе будет равно:
∆p = ρ ⋅υср. ⋅ с =
1000
кГ
⋅1,77 ⋅1000 = 180000 2 = 18,0 атм.;
м
9.81
Во втором случае время закрытия задвижки больше времени
возвращения волны, следовательно, повышение давления в трубопроводе будет
равно:
∆p = ρ ⋅υср. ⋅ с ⋅
Τ 1000
0, 2
кГ
=
⋅ 1,77 ⋅1000 ⋅
= 36000 2 = 3,6 атм.;
м
t 9,81
1,0
В первом случае прочность трубопровода будет испытывать
повышенную импульсную нагрузку и может привести к разрушению от частого
применения операций закрытия задвижки.
Задача 2.100 Напорный бак питает трубопровод общей длиной 2100м
(lAB = 800 м; lBC = 600 м; lCD = 700 м;), рисунок 2.80, к которому в точках B,
C и D присоединены потребители воды: QB = 18 л/с, QC = 13 л/с, QD = 12
л/с.
Определить наивыгоднейшие диаметры труб на участках AB, BC и CD
при условии, чтобы напор в наиболее удалённой точке D, лежащей на 30 м
ниже уровня воды в баке, был не менее 10 м.
Шероховатость стенок труб принять равной ∆ = 1,0 мм; Местными
сопротивлениями пренебречь.
Рисунок 2.80 - К задаче 2.100
РЕШЕНИЕ: Средний гидравлический уклон:
iср. =
204
Η − ΗD
30 − 10
=
= 0,0095;
l
+
+
800
600
700
∑
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2.5 - Диаметры труб и потери напора на участках определяют,
исходя из среднего гидравлического уклона.
Участки
труб
Q
л/с
AB
43
Расходная
характеристика
расчётная
Κ2р=Q2/iср.(л2/с2)
195 000
BC
25
69 000
CD
2
15 200
Расходная
Диаметр
характеристика трубы
действительная d (мм)
Κ2(л2/с2)
127 142
200
415 352
250
62 259
175
127 142
200
9 659
125
27 627
150
Потеря
напора
на
участке
hпот=Q2l/Κ2(м)
11,64
3,56
6,02
2,95
10,40
3,65
Возможные на различных участках комбинации диаметров труб. При
которых полная потеря напора в трубопроводе не превышает заданных 20 м:
а ) d1 = 250 мм, d 2 = 175 мм, d 3 = 150 мм,
∑h
пот.
= 3,56 + 6,02 + 3,65 = 13, 23 м;
б ) d1 = 250 мм, d 2 = 200 мм, d 3 = 125 мм,
∑h
пот.
= 3,56 + 2,95 + 10, 4 = 16,91 м;
в ) d1 = 250 мм, d 2 = 200 мм, d 3 = 150 мм,
∑h
пот.
= 3,56 + 6,02 + 10, 4 = 19,98 м;
г ) d1 = 250 мм, d 2 = 200 мм, d 3 = 150 мм,
∑h
пот.
= 3,56 + 2,95 + 3,65 = 10,16 м;
д) d1 = 200 мм, d 2 = 200 мм, d 3 = 150 мм,
∑h
пот.
= 11,64 + 2,95 + 3,65 = 18, 24 м.
При наивыгоднейшем варианте величина
полной стоимости труб, должна быть наименьшей:
∑l d, пропорциональная
а )∑ ld = 0, 25 ⋅ 800 + 0,175 ⋅ 600 + 0,150 ⋅ 700 = 410;
205
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б )∑ ld = 0, 25 ⋅ 800 + 0, 2 ⋅ 600 + 0,125 ⋅ 700 = 407,5;
в )∑ ld = 0, 25 ⋅ 800 + 0,175 ⋅ 600 + 0,125 ⋅ 700 = 392,5;
г )∑ ld = 0, 25 ⋅ 800 + 0, 2 ⋅ 600 + 0,15 ⋅ 700 = 425,0;
д)∑ ld = 0, 2 ⋅ 800 + 0, 2 ⋅ 600 + 0,15 ⋅ 700 = 385,0;
Таким образом, наивыгоднейшим является вариант «д».
Задачи для решения
Задача 2.101 Пищевой цех овощеперерабатывающего предприятия
потребляет 100 м3/ч воды, поступающей из подземного резервуара по трубе
диаметром D = 150 мм, длиной l = 800 м и абсолютной шероховатостью
стенки ∆ = 0,2 мм.
Определить избыточное давление, которое должно поддерживаться в
резервуаре, если средний уровень жидкости в нём на 5,75 м ниже положения
разборной задвижки в цехе. Местными сопротивлениями пренебречь.
Правильный ответ: pо = 2 ати.
Задача 2.102 Два резервуара с разностью уровней H = 16 м соединены
трубой диаметром d1 = 200 мм и длиной l = 1400 м.
Определить диаметр второй трубы d2, которую нужно проложить по
той же трассе, чтобы из верхнего резервуара в нижний перетекало в общей
сложности 100 л/с воды. Абсолютную шероховатость стенок труб принять
равной ∆ = 1,0 мм.
Правильный ответ: d2 = 250 мм.
Задача 2.103 Определить расход воды через трубу, диаметром
d=200
мм, общей длиной l = 650 м, с абсолютной шероховатостью стенки ∆=1,0 мм,
работающей под напором H = 10 м.
Как изменится этот расход при замене трубы новой, имеющей
абсолютную шероховатость стенки ∆ = 0,2 мм?
На какую величину нужно уменьшить напор H, чтобы расходы в обеих
трубах были одинаковыми?
Правильный ответ:Q1 = 44,3 л/с; Q2 = 55,2 л/с; ∆H = 3,55 м.
Задача 2.104 Цистерна автополивочной машины муниципалитета города
наполняется водой по трубе автоэстакады диаметром d = 150 мм и длиной 80
м, на которой имеется два вентиля и четыре колена под углом 90°.
206
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить время наполнения цистерны, если полезный объём её
составляет W = 25 м3, а напор, создаваемый водонапорной вышкой эстакады,
H = 10 м. Шероховатость стенки трубы принять равной ∆ = 0,5 мм.
Правильный ответ: τ = 11 минут.
Задача 2. 105 Из резервуара А по трубе диаметром 200 мм, длиной 180
м, имеющей четыре поворота на 90° с радиусами закругления колен 200 мм и,
кроме того, один вентиль, в резервуар В перетекает вода.
Определить расход воды, если разность уровней в резервуарах H = 3,8 м
поддерживается
постоянной. Абсолютную шероховатость стенки трубы
принять равной ∆ = 0,5 мм.
Правильный ответ: Q = 47,2 л/с.
Задача 2.106 Определить напор, который должен развивать насос,
чтобы обеспечить городские пруды водой, расположенные на горизонтальной
площадке в следующем количестве: Qдал. = 10 л/с, Qср. = 5 л/с, Qбл. = 10 л/с,
если диаметры трубопроводов по участкам следующие: d1,дал.=100 мм,
l1,дал. = 350 м, d2,ср. = 150 мм, l2,ср. = 450 м, d3,ближ.= 200 мм, l3,ближ. = 600 м .
Абсолютную шероховатость стенки трубы принять равной ∆ = 0,5 мм.
Местными сопротивлениями пренебречь.
Правильный ответ: H = 14,2 м вод. ст.
Задача 2.107
Трубопровод, подающий воду в цех, имеет два
последовательно соединённых участка. На первом участке уложена труба
диаметром d1 = 150 мм, длиной 800 м, на втором участке труба диаметром
d2 = 125 мм, длиной 600 м.
Определить максимально возможный расход воды при полном
открытии задвижек, если напор, создаваемый водонапорной вышкой, равен
H = 20 м.
Абсолютную шероховатость стенки трубы принять равной 0,5 мм.
Местными сопротивлениями пренебречь.
Правильный ответ: Q = 16,7 л/с.
Задача 2.108
В резервуаре А вода находится под избыточным
давлением 1,3 ати, именно из этого резервуара вода перетекает в открытый
резервуар В по трубе переменного сечения.
Определить расход воды, если разность уровней в резервуарах А и В
равна H = 8 м, а диаметры труб и длины отдельных участков соответственно
равны: d1 = 200 мм, l1 = 200 м, d2 = 100 мм, l2 = 500 м. Абсолютную
шероховатость стенок труб принять равной 0,5 мм, из местных сопротивлений
учитывать только сопротивления двух вентилей после резервуара А и перед
резервуаром В, величины определить из приложения Г.
Правильный ответ: Q = 12,4 л/с. = 44,64 м3/ч.
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2.109 На трубопроводе с общим расходом 25 л/с имеется два
участка обвода возвышения грунта, параллельно разветвлённых в точке А
трубопроводов с последующим объёдинением их в один трубопровод в точке
В: d1 = 100 мм, длиной 500 м, ∆1= 0,2 мм; d2 = 150 мм, длиной 900 м,
∆2 = 0,5 мм.
Определить распределение расхода по отдельным ветвям и напор,
действующий между точками А и В разветвления.
Правильный ответ: Q1 = 8,6 л/с; Q2 = 16,4 л/с; HAB = 7,1 м вод. ст.
Задача 2.110 Центробежный насос перекачивает воду в количестве 30
л/с из нижнего резервуара в три верхних резервуара, в которые вода поступает
по разным трубопроводам с разветвлением от одного трубопровода после
насоса.
Определить расход воды в каждой трубе и положение уровня в верхних
резервуарах, которые расположены на ровной площадке, если полный напор,
развиваемый насосом, Hнас.= 23 м, а длины участков, диаметры труб и
шероховатости стенок соответственно равны:
lнас. = 400 м;
dнас. = 200 мм;
∆нас. = 0,5 мм;
l1 = 600 м;
d1 = 75 мм;
∆1 = 0,2 мм;
l2 = 750 м;
d2 = 100 мм;
∆2 = 0,5 мм;
l3 = 100 м;
d3 = 150 мм;
∆3 = 1,0 мм.
Местными сопротивлениями пренебречь.
Правильный ответ: Q1 = 4,61 л/с; Q2 = 7,72 л/с; Q3 = 17,67 л/с; H=9,4 м.
Задача 2.111 Определить расход воды, поступающей из верхнего
резервуара А на возвышенной местности в нижний водоём D, если
потребление воды в точке В после трубопровода №1 от верхнего резервуара А,
равно 15 л/с и разветвляется на три участка по трубопроводам №2, №3, №4, а
затем объёдиняются в точке С и по трубопроводу №5 вода перетекает в водоём
D, разность уровней воды в резервуаре и водоёме H = 20 м.
Диаметры труб и их длины по участкам принять равными: d1 = 200 мм;
d2 = 150 мм;
d3 = 100 мм;
d4 = 100 мм; d5 = 150 мм; l1 = 500 м;
l2 = 300 м;
l3 = 200 м;
l4 = 400 м;
l5 = 500 м.
Абсолютную шероховатость стенок труб принять равной 0,2 мм.
Местными сопротивлениями пренебречь.
Правильный ответ: Q = 32,2 л/с = 115,92 м3/ч.
Задача 2.112 Определить расходы на всех участках водопроводной
сети, рисунок 2.81, если концевые точки C и D имеют отметки Z1 = 20 м и Z2
= 15 м пьезометрические высоты h1 = 5 м и h2 = 5 м.
208
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.81 - К задаче 2.112
Длины участков, диаметры труб и шероховатости стенок принять
соответственно равными: l = 800 м; l1 = 400 м; l2 = 600 м;
d = 200 мм; d1 = 150 мм; d2 = 100 мм; ∆ = 1,0 мм; ∆1 = 1,0 мм; ∆2 = 1,0 мм.
Полный напор, создаваемый напорным баком А – H = 35 м.
Правильный ответ: Q =26,8 л/с; Q1 = 19,35 л/с; Q2 = 7,45 л/с.
Задача
2.113 Определить диаметры труб на всех участках
горизонтально расположенной водопроводной сети, рисунок 8.18, при условии,
что в точках потребления сохраняется свободный напор не менее Hк = 10 м,
если начальное давление в точке А равно Hн = 35 м.
Рисунок 2.82 - К задаче 2.113
Длины участков и расходы воды в точках потребления принять
равными: lAB = 800 м; lBK = 500 м; lBM = 500 м; lBC = 600 м; lCF = 250 м;
lCD = 500 м; lDE = 400 м; QM = 10л/с; QD = 12 л/с; QE = 5 л/с; QK = 18
л/с; QF = 20 л/с.
Шероховатость стенок труб принять на всех участках равной 1,0 мм.
Правильный ответ: dAB = 250 мм; dBC = 20 мм; dCD = 150 мм;
dDE = 100 мм; dBK = 125 мм; dBM = 100 мм; dCF = 125 мм.
Задача 2.114 Определить диаметры труб на всех участках
распределительной водопроводной сети и найти необходимый напор в
начальной точке А при условии, что в конечных точках всех ответвлений
сохраняется свободный напор не менее Hк = 5 м. Отметки различных точек
трубопроводов даны на рисунке 2.83 (цифры в треугольниках).
209
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.83 -К задаче 2.114
Длины участков и расходы воды в точках потребления принять
равными: lAB = 500 м; lBK = 70 м; lBF = 300 м; lBC = 600 м; lCM = 250 м; lCD = 300 м;
lDN = 600 м; lDE = 400 м; QK = 10 л/с; QF = 5 л/с; QM = 15 л/с; QC = 20 л/с; QE = 5
л/с; QN = 10 л/с.
Шероховатость стенок всех труб принять равной ∆ = 1,0 мм.
Правильный ответ: dAB = 300 мм; dBC = 250 мм; dCD = 150 мм; dDE = 100
мм; dBF = 100 мм; dBK = 125 мм; dCM = 150 мм; dDN = 150 мм; HA = 14,43 м.
Задача 2.115 Точка D питается из двух резервуаров A и B, рисунок
2.84, уровни воды в которых расположены на высоте H1 = 30 м и H2 = 20 м.
Рисунок 2.84 - К задаче 2.115
Какой максимальный расход может быть получен в точке D, если
диаметры и длины участков составляют: d1 = 100 мм, l1 = 400 м; d2 = 125 мм, l2
= 500 м; d3 = 150 мм, l3 = 250 м. абсолютную шероховатость стенок труб
принять равной ∆ = 1,0 мм. Местными сопротивлениями пренебречь.
Правильный ответ: Q3 = 28,9 л/с.
Задача 2.116
Определить диаметры труб на всех участках
горизонтально расположенной водопроводной сети, рисунок 2.85, если напор,
создаваемый водонапорным баком, H = 38 м, а наименьший необходимый
напор в точке C , HC = 20 м.
210
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2.85 - К задаче 2.116
Длины труб принять равными: l1 = 1000 м, l2 = 800 м, l3 = 600 м,
l4 = 300 м.
Абсолютную шероховатость стенок труб ∆ = 1,0 мм. Местные
сопротивления учитывать в размере 10% от потерь по длине.
Правильный ответ: d1 = 125 мм; d2 = 100 мм; d3 = 125 мм; d4 = 75 мм.
Задача 2.117 Вода в количестве Q = 400 м3/ч перекачивается по
стальной трубе диаметром d = 250 мм, длиной l = 1500 м.
Определить время закрытия задвижки при условии, чтобы повышение
давления в трубе вследствие гидравлического удара не превышало ∆p = 10 атм.
Правильный ответ: τ = 6,9 секунд.
Задача 2.118 По трубе диаметром d = 150 мм, длиной l = 700 м
перекачивается вода в количестве 120 м3/ ч.
Определить повышение давления при гидравлическом ударе в стальном
и чугунном трубопроводе, если время закрытия задвижки составляет 0,5 с.
Правильный ответ: ∆p1 = 19,2 атм; ∆p2 = 23,0 атм;
Задача 2.119 Напорный бак А, расположенный на высоте H = 25 м,
питает кольцевую водопроводную сеть с горизонтальным расположением труб,
рисунок 2.86, абсолютная шероховатость труб ∆ = 1,0 мм.
Рисунок 2.86 - К задаче 2.118
Длины участков составляют: l1 = 600 м; l2 = 800 м; l3 = 400 м; l4 = 300 м;
l5 = 150 м, расходы воды в точках потребления: QE = 15 л/с; QD = 30 л/с; QC = 10
л/с; QB = 30 л/с.
211
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определить диаметры труб. При условии, что в местах забора воды
сохраняется свободный напор не менее 10 м, для следующих трёх вариантов:
1) точка C питается равномерно с двух сторон;
2) точка D питается равномерно в двух сторон;
3) точка E питается равномерно с двух сторон.
Определить, который из трёх вариантов является наивыгоднейшим?
Правильный ответ: Наивыгоднейшим вариантом является 3-й вариант.
Задача 2.120 Из берегового насосного колодца насосы подают воду в
количестве 30 л/с в общественный, загородный, дачный резервуар.
Найти экономически наивыгоднейший диаметр трубопровода, исходя из
минимума суммарных годовых расходов на израсходованную электроэнергию
и амортизационные отчисления.
При проведении расчётов принять: текущую стоимость электроэнергии
6 Коп/кВт-ч, коэффициент полезного действия насосной установки 60 %,
годовое число часов работы 7200, процент амортизации 10 %, шероховатость
стенок труб 0,5 мм.
Правильный ответ: d = 200 мм.
212
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список использованных источников
1. Альтшуль, А. Д. Гидравлика и аэродинамика. (основы механики
жидкости) [Текст] : учеб. пособие для вузов / А. Д. Альтшуль, П. Г. Киселев.- 2е изд., перераб. и доп. - М. : Стройиздат, 1975. - 328 с. : ил.
2 Калицун, В.И. Гидравлика, водоснабжение и канализация: учеб.
пособие для вузов / В.И. Калицун, В.С. Кедров, Ю.М. Ласков.- 4-е изд.,
перераб. и доп. - М. : Стройиздат, 2002. - 397 с. : ил. - Библиогр.: с. 392. ISBN 5-274-00833-Х.
3 Старк С.Б. [Текст] : Основы гидравлики, насосы и воздушные
машины/ С.Б Старк.- М., Металлургиздат, 1954.-367 с.
4 Некрасов Б.Б. [Текст]: Сборник задач по гидравлике/ Б.Б. Некрасов.М., Оборонгиз, 1947.-315с.
213
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение А
(справочное)
Таблица перевода некоторых величин из абсолютной системы
единиц в техническую систему единиц
Таблица А1 - Перевод некоторых величин из абсолютной системы
единиц в техническую систему единиц
214
Величина
Длина
Переводное соотношение
Lтех. = 0,01 Lабс.
Скорость
υтех. = 0,01 υабс.
Ускорение
атех. = 0,01 аабс.
Сила
Pтех. = 1/ 981000 Pабс.
Давление
pтех. = 1/98,1 pабс.
Удельный вес
γтех. = 1,02 γабс.
Удельный объём
ωтех. = 0,981 ωабс.
Масса
Мтех. = 1/9810 Мабс.
Плотность
ρтех. = 102 ρабс.
Вязкость абсолютная
µтех. = 1/98,1 µабс.
Вязкость кинематическая
νтех. = 10-4 νабс.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Б
(справочное)
Влияние температуры на удельный вес и вязкость воды и
воздуха
Таблица Б1 - Влияние температуры на удельный вес и вязкость воды и
воздуха при р=760 мм.рт.ст.
Температура
t, °С
0,0
4,0
10,0
15,0
20,0
30,0
40,0
60,0
80,0
100,0
Удельный вес γ, кГ/м3
вода
999,87
1000,0
999,73
999,12
998,23
995,37
992,24
983,24
971,83
958,38
воздух
1,293
1,273
1,247
1,226
1,205
1,165
1,128
1,060
1,000
0,945
Коэффициент кинематической
вязкости ν, см2/с
вода
воздух
0,137
0,0178
0,141
0,0156
0,147
0,0131
0,152
0,0114
0,157
0,0101
0,166
0,0080
0,176
0,0066
0,196
0,0045
0,217
0,0035
0,238
0,0027
215
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение В
(справочное)
Удельные веса и коэффициенты кинематической вязкости
некоторых жидкостей при 15о
Таблица В1 - Удельные веса и коэффициенты кинематической вязкости
некоторых жидкостей при 15о
Наименование жидкости
Удельный вес γ, кГ/м3
Бензин
Спирт
Керосин
Нефть
-«-«-«Глицерин
680 ÷720
790
790÷820
860
880
890
900
1260
216
Коэффициент кинематической вязкости ν, см2/с
0,006÷0,0065
0,013÷0,017
0,020÷0,025
0,070÷0,080
0,25÷0,30
0,50÷0,60
1,30÷1,40
8,7÷11,6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Г
(справочное)
Значение коэффициентов и величин
Таблица Г1- Величина абсолютной шероховатости стенок труб и
каналов
Материал и состояние стенки трубы
Высота выступов
шероховатости
∆, мм
0,10÷0,15
Латунные трубы с очень гладкой поверхностью …
0,20÷0,25
Стальные трубы гладкие, новые …….
0,40÷0,50
Стальные трубы с коррозией ………..
0,60÷1,00
Чугунные трубы ………………….
2,0÷4,0
Деревянные, бетонные и кирпичные лотки в хорошем сост.
5,0÷10,0
Каналы в грунте, бетонные и кирпичные лотки
20,0÷40,0
бывш/употреб.
Каналы вымощенные булыжником ……
Таблица Г2 – Значение коэффициента трения λ в гладких трубах,
0,316
вычисленные по формуле: λ = 4
Re
217
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Г3 - Значение коэффициента трения λ в шероховатых трубах,
1
вычисленные по формуле: λ =
d
(2 lg
+ 1.74) 2
2∆
Таблица Г4 – Расходные характеристики водопроводных труб К2 (л2/с2)
Диаметр трубы
d, мм
75
100
125
150
175
200
250
300
400
500
218
Шероховатость стенки трубы, мм
∆ = 0,2 мм
∆ = 0,5 мм
∆ = 1,0 мм
686
863
1132
3187
3973
5162
9659
12469
16024
27627
34103
43370
62259
76840
98143
127142
155456
197200
415352
504082
634161
1091313
1414260
1648925
4974592
5795040
7406182
16130625
19257813
23739375
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Г5 – Значение коэффициента С в формуле Н.Н.Павловского
C=
R
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
1.30
1.50
1.70
2.0
2.5
3.0
1 y
F
⋅R ; n = 2 ;
n
F1
n
0.011
62.7
68.8
70.3
71.5
72.6
73.7
74.6
75.5
76.3
77.0
77.7
79.3
80.7
82.0
83.1
84.1
85.3
86.0
86.8
88.3
89.4
90.9
92.0
93.1
94.0
95.7
97.3
99.3
102.1
104.4
0.013
54.3
55.8
57.2
58.4
59.5
60.4
61.3
62.1
62.9
63.6
64.3
65.8
67.1
68.4
69.5
70.4
71.4
72.2
73.0
74.5
75.5
76.9
78.0
79.0
79.9
81.5
82.9
84.8
87.3
89.4
0.017
38.1
39.5
40.7
41.8
42.7
43.6
44.4
45.2
45.9
46.5
47.2
48.6
49.8
50.9
51.9
52.8
53.7
54.5
55.2
56.5
57.5
58.8
59.8
60.7
61.5
62.9
64.3
65.9
68.1
69.8
0.020
30.6
32.6
33.0
34.0
34.8
35.7
36.4
37.1
37.8
38.4
39.0
40.3
41.5
42.5
43.5
44.4
45.2
45.9
46.6
47.9
48.8
50.0
50.9
51.8
52.5
53.9
55.1
56.5
58.7
60.3
0.025
22.4
23.5
24.5
25.4
26.2
26.9
27.6
28.3
28.8
29.4
29.9
31.1
32.2
33.1
34.0
34.8
35.5
36.2
36.9
38.0
38.9
40.0
40.9
41.6
42.3
43.6
44.7
46.0
47.9
49.3
0.030
17.3
18.3
19.1
19.9
20.6
21.3
21.9
22.5
23.0
23.5
24.0
25.1
26.0
26.9
27.8
28.5
29.2
29.8
30.4
31.5
32.3
33.3
34.1
34.8
35.5
36.7
37.7
38.9
40.6
41.9
0.035
13.8
14.7
15.4
16.1
16.8
17.4
17.9
18.5
18.9
19.4
19.9
20.9
21.8
22.6
23.4
24.0
24.7
25.3
25.8
26.8
27.6
28.6
29.3
30.0
30.6
31.7
32.7
33.8
35.4
36.6
0.040
11.2
12.1
12.8
13.4
14.0
14.5
15.0
15.5
16.0
16.4
16.8
17.8
18.6
19.4
20.1
20.7
21.3
21.9
22.4
23.4
21.1
25.0
25.7
26.3
26.9
28.0
28.9
30.0
31.5
32.5
219
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица Г 6 – Значение величины
величины напора Н над порогом водослива
0,05
0,06
0,10
0,11
0,12
0,13
2g ⋅ H 3 / 2
Н
0,0495
0,0651
0,082 0,1002 0,1196 0,140
0,162
0,184
0,208 0,232
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
2g ⋅ H 3 / 2
Н
0,728
0,802
0,878
0,957
1,038
1,13
1,34
1,57
1,81
2,06
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
2g ⋅ H 3 / 2
Н
0,257
0,283
0,310
0,338
0,367
0,396
0,457
0,521
0,587 0,656
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
2g ⋅ H 3 / 2
2,32
2,59
2,88
3,17
3,47
3,78
4,10
4,43
Н
220
0,07
0,08
0,09
2g ⋅ H 3 / 2 в зависимости от
0,014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Д
(справочное)
Эквивалентные длины некоторых местных сопротивлений
Таблица Д1 - Эквивалентные длины некоторых местных сопротивлений
221
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Е
(справочное)
ГОСТ 8.417-2002 ГСИ. Единицы физических величин. (основные
и производные величины – электронная копия).
222
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
223
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
224
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
225
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
226
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
227
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа