close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Спираль архимеда и логарифмическая спираль

код для вставки
использование
Работа Денисовой Натальи в рамках
IV регионального сетевого математического проекта
«Системы координат: взгляд в прошлое и в настоящее».
Использование спирали Архимеда в природе и технике:
Спираль Архимеда - это траектория точки, движущейся с постоянной
скоростью от центра окружности по радиусу, вращающемуся также с
постоянной угловой скоростью.
Поместим точку на секундную стрелку часов и будем перемешать точку
вдоль секундной стрелки с постоянной скоростью, не обращая внимания на
равномерное движение стрелки часов по кругу. Тогда точка опишет кривую,
называемую спиралью Архимеда. Изобретение этой кривой приписывается
Конону Самосскому, хотя ее основные свойства описал именно Архимед (ок.
287-212 гг. до н.э.). Архимеду, в частности, было известно, что расстояние
между двумя последовательными витками спирали является постоянной
величиной и равно 2π. В силу этой особенности в расположении витков
реальный образ спирали Архимеда можно видеть, например, наблюдая туго
завернутый рулон бумаги с его торцевой стороны.
Рассмотрим вопрос о построении спирали Архимеда. Спираль Архимеда плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномернопоступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу. Построение
архимедовой спирали заданным шагом S - расстояние от центра 0 до точки VIII,
выполняется в следующей последовательности:
1. Из центра 0 проводят окружность радиусом, равным шагу S спирали и
делят шаг и окружность на несколько равных частей Точки деления
нумеруют;
2. Из центра 0 радиусами 01, 02, 03, ... проводят дуги до пересечения с
соответствующими радиусами в точках I, II, III, ...;
3. Полученные точки принадлежат спирали Архимеда с заданным шагом S и
центром 0.
Авторский рисунок. Построение спирали Архимеда:










Спираль обладает рядом свойств:
Геометрическим свойством, характеризующим именно спираль Архимеда,
является постоянство расстояний между витками; каждое из них равно 2 πα.
При раскручивании спирали, расстояние от одной точки до другой стремится
к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то
есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме,
приближаются к окружности. Увеличение шага спирали происходит всегда
равномерно.
Производная спирали Архимеда не зависит от длины радиуса, а определяется
только углом. В этом проявляется свойство самоподобия архимедовой
спирали.
Архимедова спираль - плоская трансцендентная кривая.
Состоит из бесконечного количества витков.
При вращении диска в одном направлении спираль закручивается, при
вращении в другом – раскручивается.
Спираль Архимеда по форме близка к кругу, который является идеальной
формой из всех, что создала природа.
Спираль Архимеда имеет тесную связь с последовательностью Фибоначчи.
Спираль часто ассоциируется со змеей, олицетворяющей, в свою очередь,
мудрость предков.
Спираль ассиметрична.
Спираль Архимеда используется в качестве линии, позволяющей
разделить заданный угол на любое количество равных частей. В некоторых
готовальнях в старину в состав рабочих инструментов входила металлическая
пластинка с тщательно выгравированной на ней спиралью Архимеда. С
помощью такого приспособления было нетрудно разделить угол на несколько
равных частей. Например, для трисекции угла достаточно приложить пластину
ее ровной частью к одному из лучей угла и поделить получившийся отрезок на 3
равные части.
В области техники спираль Архимеда находит применение в так
называемых кулачковых механизмах, которые преобразуют вращательное
движение шайбы в поступательное движение стержня. В некоторых механизмах
(например, в часах) требуется, чтобы стержень двигался равномерно.
Обеспечить это можно, очертив профиль шестеренки по спирали Архимеда.
В качестве второго объекта для применения спирали Архимеда в технике
можно привести самоцентрирующийся патрон, направляющие канавки которого
выполнены по спирали Архимеда. При одном повороте диска этого патрона
кулачки перемещаются на величину радиального расстояния смежных канавок.
Кроме того, форму спирали Архимеда имеют звуковая дорожка на
грампластинке. Примером применения в технике архимедовой спирали также
является самоцентрирующийся патрон. Данный механизм используется в
швейных машинках для равномерного наматывания ниток.
Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике.
Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали) использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из
низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека («улитки») устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания
жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его
разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке. Ныне спираль Архимеда
заслуживает особого внимания при обучении компьютерной графике.
В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей
(раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или
сжимающейся (подобие водоворота). Спиральные формы представлены от
эволюционных глубин (молекулы ДНК) до законов диалектики. Действительно,
стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень
распространены в природе. Это спиральные туманности, галактики, водовороты,
смерчи, торнадо, устройства растений. Даже пауки спиралеобразно плетут
паутину, закручивая нити по спирали вокруг центра.
Изображение спирали в природе:
Спирали присутствуют в структуре произведений искусства, в узорах,
реже - в архитектуре. Это шпили соборов и винтовые лестницы.
Использование логарифмической спирали в природе и
технике:
Логарифмическую спираль описывает точка, движущаяся от центра
окружности по радиусу не с постоянной скоростью (как в случае архимедовой
спирали), а с возрастающей, причем это возрастание пропорционально
расстоянию от центра окружности.
Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Это ее
название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол
между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение.
Авторский рисунок. Построение логарифмической спирали:
•










Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:
Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической
спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от
параметра b. Логарифмическую спираль называют еще равноугольной
спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке
логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиусом вектором сохраняет постоянное значение.
Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги
спирали от ее начала до этой точки.
Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их
форма остаётся неизменной. Логарифмическая спираль единственная из
спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров.
Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен.
Расстояния между последовательными витками образуют геометрическую
прогрессию.
Последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с
другом, также составляет геометрическую прогрессию.
Образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими
радиусами, подобны друг другу.
Спираль эта имеет бесконечное множество витков и при раскручивании и
при скручивании (это означает, что она не проходит через свой полюс).
Если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно
наблюдать кажущееся растяжение спирали.
Ученые считают логарифмическую спираль кривой, являющейся одним из
выражений законов органического роста.
Спираль ассиметрична.
В истории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в
1638 г. Декартом, который определял новую спираль как линию, у которой
отношение длины дуги к соответствующему радиус-вектору является
постоянным.
Логарифмическая спираль - кривая с «твердым» характером. Она не
изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны
другие кривые. Сжать или разжать эту спираль относительно ее полюса - то же
самое, что повернуть ее на определенный угол. Это свойство логарифмической
спирали было открыто Якобом Бернулли, называвшим ее «дивная спираль».
Открытые Бернулли свойства логарифмической спирали оставаться неизменной
при различных преобразованиях настолько поразили ученого, что он был
склонен придать им мистический смысл. Великий немецкий поэт Иоганн
Вольфганг Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного
развития.
Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве
этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом. На
этом свойстве основаны применения логарифмической спирали в технике. Так,
вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль,
очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания (угол между лезвием
ножа и направлением его скорости вращения) остается постоянным вдоль всей
кромки подвижного ножа, что обеспечивает меньший его износ.
Труба, подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса
гидроэлектростанции, имеет профиль, очерченный по дуге логарифмической
спирали. Это позволяет обеспечить минимальные потери энергии на изменение
направления течения, и, следовательно, напор воды используется с
максимальной производительностью.
Логарифмическая спираль часто встречается в природе и связана с
определенными видами роста. У очень многих моллюсков последовательные
витки раковины не одинаковы, а все более и более утолщаются. Во многих
случаях приближенные значения толщины последовательных витков образуют
геометрическую прогрессию. Хотя саму раковину моллюска нельзя назвать
живой, она образуется растущим организмом. Один из простейших способов
наращивания нового вещества автоматически приводит к образованию
некоторой фигуры, очень близкой к логарифмической спирали. Во многих
раковинах обнаруживается поразительно близкое совпадение между
результатами измерений и теоретическими значениями, ожидаемыми для точной
логарифмической спирали. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а
также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по
логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является
математическим символом соотношения формы и роста.
В подсолнухе семечки расположены по характерным дугам, близким, как
показывают соответствующие измерения, к дугам логарифмической спирали.
Соцветия капусты романеско располагаются по логарифмической спирали.
Причем число спиралей соответствует числу Фибоначчи.
В связи с подобными фактами некоторые ученые считают
логарифмическую спираль кривой, являющейся одним из выражений законов
органического роста.
Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину,
закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. Раковина
моллюска по форме близка к логарифмической спирали.
Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в
том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.
По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в
частности, галактика которой принадлежит Солнечная Система.
Источники:
1. Спираль Архимеда:
http://www.propro.ru/graphbook/gp/geom/001/geometr_04/geom_03.htm#a (дата
обращения 20.02.2015)
2. Полярные системы координат: http://www.vevivi.ru/best/Krivye-zadannye-vpolyarnykh-koordinatakh-ref171629.html (дата обращения 21.02.2015)
3. Википедия:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%CB%EE%E3%E0%F0%E8%F4%EC%E8%F7%E5%F1%
EA%E0%FF_%F1%EF%E8%F0%E0%EB%FC (дата обращения 21.02.2015)
4. Яндекс картинки: http://yandex.ru/images (дата обращения 21.02.2015)
5. http://library.kiwix.org/wikipedia_ru_all/A/html/%D0%9B/%D0%BE/%D0%B3/%D0%B
0/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%
B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BF%D0
%B8%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C.html (дата обращения 25.02.2015)
Автор
nadenisova98
Документ
Категория
Физика
Просмотров
1 254
Размер файла
2 106 Кб
Теги
техника, природе121, спираль, природа
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа