close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Логарифмическая спираль

код для вставкиСкачать
Логарифмическая спираль
Логарифми́ ческая спира́ль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто
Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована
Бернулли, который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль». Декарт искал кривую,
обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке
образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Он показал, что это условие
равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиусвекторов.встречающийся в природе.
Свойства

Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали
с радиус-вектором точкикасания, постоянный и зависит лишь от параметра b. В
терминах дифференциальной геометрии это может быть записано как

Производная функции
пропорциональна параметру b. Другими словами, он
определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В
предельном случае, когда b = 0
спираль вырождается
в окружность радиуса a. Наоборот, когда b стремится к бесконечности
спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий
до 90°,
называется наклоном спирали.

Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма
остаётся неизменной.

Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен. Возможно, в результате
этого свойства логарифмическая спираль появляется в определённых растущих
формах, подобных раковинам моллюсков, шляпкам подсолнечников,
спиралям циклонов и галактик.

Если угол
возрастает или убывает в арифметической прогрессии, то r возрастает
(убывает) вгеометрической.

Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться полного уничтожения
параметра a и привести уравнение к виду

, где m — новый параметр.
Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от ее
начала до этой точки.
Архимедова спираль
Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая
равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно
вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча
OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.
Описание
Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:
(1) \rho = k\varphi, \,\!
где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.Повороту
прямой на 2\pi соответствует смещение a = |BM| = |MA| = 2k\pi. Число a — называется шагом
спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так \rho = \frac{a}{2\pi}\varphi. \,\!
При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2),
при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).Обе ветви спирали (правая
и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям \varphi соответствует
правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из
отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль
прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.Луч OV, проведённый из начальной точки O,
пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между
точками B и M, M и A равны шагу спирали a = 2k\pi. При раскручивании спирали, расстояние от
точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным
(конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к
окружности.
Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений
ученого - винт (прообраз объемной спирали) - использовалось как механизм для передачи воды в
оросительные каналы из низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека
(«улитки») - устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания
жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой спирали
также является самоцентрирующийся патрон. Данный механизм используется в швейных
машинках для равномерного наматывания ниток. Ныне спираль Архимеда заслуживает особого
внимания при обучении компьютерной графике.
Автор
vano8905a612s89k15
Документ
Категория
Физика
Просмотров
35
Размер файла
30 Кб
Теги
логарифмических, спираль
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа