close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Спираль Архимеда и логарифмическая спираль

код для вставкиСкачать
Работа команды «Умники» в рамках IV
регионального сетевого математического проекта
«Системы координат: взгляд в прошлое и настоящее».
Спираль Архимеда
Изображение геометрической фигуры
под названием архимедова спираль найдено
на древнегреческом объекте, который
появился более чем за тысячу лет до самого
Архимеда. Находка Бронзового века
принадлежит Минойской культуре. Спирали
приводили древних математиков в восторг.
Гете называл спираль «кривой
жизни». Спираль считается знаком развития,
жизненной силы, данной нам природой. Это
стремление к новым уровням, к своему
центру, мудрости. Спираль часто
ассоциируется со змеей, олицетворяющей, в
свою очередь, мудрость предков. Ведь
известно, что змеи очень любят
сворачиваться кольцами и внешне походят
на спирали.
Авторский рисунок спирали Архимеда
Применение спирали Архимеда
1. В III веке да нашей эры Архимед на основе
своей спирали изобрёл винт, который успешно
применяли для передачи воды в оросительные
каналы из водоёмов.
2. На основе винта Архимеда создали шнек
(«улитку»). Его очень известная разновидность
– винтовой ротор в мясорубке.
3. Шнек используют в механизмах для
перемешивания материалов различной консистенции сыпучих и тестообразных
материалов.
4. В технике нашли применение антенны в виде спирали Архимеда.
5. Центробежный сепаратор. В таком устройстве изменяется направление движения
воздуха, и по спирали происходит очистка вещества. За счет специально собранной
конструкции сепаратора более тяжелый воздух продолжает двигаться по спирали и
отделяется от очищенного воздуха.
6. Спираль Архимеда используется в часовых механизмах.
7. Самоцентрирующийся патрон выполнен по спирали Архимеда. Данный механизм
используется в швейных машинках для равномерного наматывания ниток.
8. Шпили соборов и винтовые лестницы имеют форму спирали Архимеда.
9. Звуковые дорожки на CD и DVD дисках также имеют форму спирали Архимеда.
10.Спираль Архимеда используется при обучении компьютерной графике.
Спираль Архимеда в природе и жизни
Спираль Архимеда имеет тесную связь с последовательностью Фибоначчи. Данный
закон математики описывает принцип спирали Архимеда и золотого сечения. Их тесную
связь можно наблюдать у многих явлений и элементов природы - в устройстве раковины
моллюсков, соцветий подсолнуха и суккулентных растений, фрактальной капусты и
сосновых шишек, человека и целых галактик.
Спираль Архимеда образуется, например, когда матрос складывает канат на палубе.
Каждый виток удаляет кривую все дальше от центра, но шаг витка остается постоянным.
Иными словами, длина радиуса-вектора пропорциональна углу вращения.
Другой пример такого типа спирали - движение воображаемого муравья. Если
заставить его ползти с постоянной скоростью по прямой от некоторой точки на плоскости, а
саму эту плоскость равномерно вращать, то его путь опишет спираль Архимеда. На этом же
принципе основана работа проигрывателя, только движение происходит в обратную сторону:
тонарм, ведомый иглой, следующей по архимедовой спирали звуковой канавки, сдвигается,
таким образом, к центру пластинки с равномерной скоростью.
Некоторые горные дороги, поднимающиеся с
постоянным наклоном, напоминают с большой
высоты все ту же спираль Архимеда.
В кристаллах наблюдаются дефекты
кристаллической решетки, называемые дислокациями,
простейший вид которых - винтовая дислокация обнаруживает в порядке расположения своих атомов
спираль Архимеда.
Полученные с помощью электронного микроскопа снимки поперечного среза
нервного волокна человека в период его утробного развития и в первый год после рождения
позволяют увидеть все ту же спираль Архимеда. Видимо, оболочка нерва, или миелиновая
оболочка, оплетает нерв, подобно изоляции электрического кабеля.
Еще одна спиралевидная форма в организме человека - улитка человеческого уха (от
грече­ского «кохлеа», то есть улитка, ракушка).
Свойства спирали Архимеда
1. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является
постоянство расстояний между витками и равно 2π.
2. При вращении луча против часовой стрелки получается
правая спираль (синяя линия), при вращении — по часовой
стрелке — левая спираль (зелёная линия).
3. Положительным значениям
соответствует правая спираль,
отрицательным — левая спираль. Если точка M будет
двигаться по прямой UV из отрицательных значений
через центр вращения O и далее в положительные
значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе
ветви спирали.
4. Луч OV, проведённый из начальной точки O,
пересекает спираль бесконечное число раз.
5. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу
спирали
.
6. При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к
бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным, то есть, чем дальше от
центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.
7. Спираль Архимеда используется в качестве линии, позволяющей разделить заданный
угол на любое количество равных частей.
8. Спираль Архимеда связана с последовательностью Фибоначчи.
9. Спираль Архимеда асимметрична.
10. Спираль Архимеда имеет бесконечно много витков.
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль была впервые
описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли,
который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль».
Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным
свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке
образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же
угол.
Логарифмическая спираль стремительно разворачивается
по мере вращения. Ее закручивающаяся вихрем ветвь вместе с
экспоненциально растущим радиусом-вектором создает более
динамичную форму, чем «нерасторопная», медленно изменяющаяся спираль Архимеда.
Авторский рисунок логарифмической спирали
Логарифмическая спираль в природе
В природе существует много примеров
логарифмической спирали: паутина, которую ткет
паук, расположение чешуек сосновой шишки,
строение цветка ромашки и подсолнечника, побеги
цветущих растений со сложным зонтиком, структура
ураганов.
1. Пожалуй, наиболее близкую к совершенной
логарифмической спирали форму имеет
раковина наутилуса.
2. Испуганное стадо северных оленей разбегается
по спирали.
3. По логарифмической спирали формируется
тело циклона.
4. Улитка является органом, воспринимающим
звук, в котором самой природой заложена
логарифмическая спираль.
5. Траектории насекомых, летящих на свет, также
описывают логарифмическую спираль.
6. Спиралью закручиваются ураганы и смерчи.
7. Молекула ДНК закручена двойной спиралью.
8. По логарифмическим спиралям закручены
многие галактики, в частности Галактика,
которой принадлежит Солнечная система.
9. Рог горного козла также имеют вид
логарифмической спирали.
10. Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали.
Применение логарифмической спирали
1. Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах.
Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по
логарифмической спирали – под постоянным углом к разрезаемой поверхности,
благодаря чему лезвие ножа стачивает
равномерно.
2. Логарифмическая спираль широко применяется
при построении профиля лопаток центробежного
насоса.
3. Наибольшее применение получили
цилиндрические витые пружины из круглой
проволоки, имеющие вид логарифмической спирали, которые применяют в
автомобилестроение и тракторостроение.
4. В гидротехнике по логарифмической спирали завертывают трубу, подводящую поток
воды к лопастям турбинного колеса.
5. Спираль используется для решения задач бизнеса. При помощи её анализируются
ценовые данные по акциям и товарам.
6. На рынке Форекс логарифмическая спираль используется для обеспечения связи
между ценовым и временным анализом. Другими словами, с помощью
логарифмической спирали можно определить поведение цены в определенное время.
7. Также, логарифмическая спираль указывает на
определенную симметричность в ценовых
формах, из чего следует, что движения
стоимости актива стереотипны и их поведение
предугадываемо.
8. Логарифмическая спираль присутствует в
причёсках.
9. В форме логарифмической спирали формируют кроны
деревьев.
10. В теории механизмов логарифмическая спираль
применятся при проектировании зубчатых колес с
переменным передаточным числом. Суть дела здесь
такова: пусть два квадрата расположены так, как показано
на рисунке; через середину и конец каждой стороны этих
квадратов проведены дуги одинаковых логарифмических
спиралей с полюсами а центрах квадратов, одна
из которых закручивается по ходу часовой
стрелки, а другая — против; в точке Р спирали
касаются между собой. Нетрудно показать, что
при вращении квадратов вокруг их центров
дуги спиралей будут катиться одна по другой
без скольжения.
Свойства логарифмической спирали
1. Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с
радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра b.
2. Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма
остаётся неизменной.
3. Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен. Возможно, в результате
этого свойства логарифмическая спираль появляется в определённых растущих
формах, подобных раковинам моллюсков, шляпкам подсолнечников, спиралям
циклонов и галактик.
4. При вращении спирали вокруг полюса по часовой стрелке наблюдается растяжение
спирали.
5. Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться полного уничтожения
параметра a и привести уравнение к виду
, где m — новый параметр.
6. Если угол возрастает или убывает в арифметической прогрессии, то r возрастает
(убывает) в геометрической.
7. Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от ее
начала до этой точки.
8. Якоб Бернулли обнаружил еще одну необычную особенность, самоподобие, которая
прямо связывает эту спираль с фракталами.
9. Логарифмическая спираль вырождается соответственно в прямую линию и
окружность при значениях углов b = 0 и b = 90°. Замечательным является тот факт,
что спираль имеет свойства, как прямой линии, так и окружности.
10. Спираль имеет бесконечно множество витков.
11. Спираль асимметрична.
Источники:
https://sites.google.com/site/mircurves/spiral-arhimeda
http://fb.ru/article/69123/spiral-arhimeda-i-ee-proyavleniya-v-okrujayuschem-nas- http://wmob.ru/20-sladkij-izobrazhenija-lestnicy/mire (картинки)
http://addmaster.net/stat_587_ot_ulitki_do_galaktiki_vsyudu_v_prirode_spiral.html
http://www.baby.ru/blogs/post/245058069-215190841/
http://fb.ru/article/69123/spiral-arhimeda-i-ee-proyavleniya-v-okrujayuschem-nas-mire
http://forum.dwg.ru/showthread.php?p=1032981
http://bd.patent.su/2375000-2375999/pat/servl/servlet5c44.html
http://images.deal.by/6974272_w640_h640_ye_tsentrobezhnye_nasosy_k.png
http://forexsystems.ru/praktika-treidinga/64298-logarifmicheskaya-spiral%60.html
http://www.weltrade.ru/analytics/articles/50547/
http://myfta.ru/articles/separatory-centrobezhnye
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%B4
%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%
8C
«Archimedean-spiral-1» участника Melikamp - собственная работа. Под лицензией CC BY-SA
3.0 с сайта Викисклада - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Archimedean-spiral1.svg#mediaviewer/File:Archimedean-spiral-1.svg (спираль Архимеда)
http://tov--primeks-nika.ibud.ua/userfiles/image/arhitektura%20i%20dizain/rasteniay-dlaycada/rasteniay-dlay-cada-15-buxus%20sempervirens.JPG
http://www.moluch.ru/archive/63/9967/
Автор
alina
Документ
Категория
Математика
Просмотров
385
Размер файла
4 166 Кб
Теги
логарифмических, архимеда, спираль
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа