close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Логарифмическая спираль

код для вставки
ервым, кто описал ее как механическую кривую, в отличие от
кривых алгебраических, был Декарт, который в 1638 г. написал монаху
Мерсенну о результатах своих исследований. Декарт искал возрастающую
кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы
касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке
всегда один и тот же угол. Отсюда и название равноугольная. Он также
показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек
кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Отсюда и второе
название: логарифмическая спираль. Расстояние между витками растет с
увеличением угла, т. е. радиус-вектор увеличивается экспоненциального с
увеличением угла поворота. Так что третье название этой кривой –
геометрическая спираль.
Отцом этой спирали, по всей справедливости, является Якоб Бернулли,
который ее полностью изучил и которого она настолько заворожила, что он
просил изобразить ее на его могиле на кладбище в Базеле с надписью “Eadem
mutata resurgo’’ (“Измененная, я вновь воскресаю’’).
Якоб Бернулли обнаружил некоторые свойства этой кривой, которые
остались не замеченными Декартом и Торричелли, в том числе тот факт, что
логарифмическая спираль – единственная кривая, эволюта, эвольвента,
каустика и подера которой также являются, в свою очередь,
логарифмическими спиралями.
Якоб Бернулли обнаружил еще одну необычную особенность,
самоподобие, которая прямо связывает эту спираль с фракталами.
Логарифмическая спираль обладает еще рядом интересных свойств.
 При φ = 0 получаем ρ = 1. При φ =  видно, что φ  +  и спираль
развертывается против хода часовой стрелки.
 Если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно
наблюдать кажущееся растяжение спирали.
 Логарифмическую спираль можно построить подобно спирали
Архимеда как траекторию точки, перемещающейся по радиусу-вектору, в то
время как сам радиус-вектор вращается вокруг неподвижной точки.
 Логарифмическую спираль описывает точка, движущаяся по секундной
стрелке не с постоянной скоростью (как в случае Архимедовой спирали), а с
возрастающей, причем это возрастание пропорционально расстоянию от
центра часов.
 Расстояние
между
последовательными
геометрическую прогрессию.
витками
образуют
 Последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы
друг с другом также составляет геометрическую прогрессию.
 Образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими
радиусами, подобны друг другу.
 Отношение длины дуги к соответствующему радиусу-вектору является
постоянным.
 Логарифмическая спираль не изменяет своей природы, если сжать или
разжать эту спираль относительно ее полюса – то же самое, что
повернуть ее на определенный угол.
 Произвольный луч, выходящий из полюса спирали, пересекает любой
виток спирали под одним и тем же углом.
Логарифмическая спираль часто
встречается в природе и связана с
определенными видами роста. У очень
многих моллюсков последовательные
витки раковины не одинаковы, а все
более и более утолщаются. Хотя
раковину нельзя назвать живой, она
образуется растущим организмом.
Один из простейших способов наращивания нового вещества
автоматически приводит к образованию некоторой фигуры, очень близкой к
логарифмической спирали. Раковины многих моллюсков, улиток, а также
рога таких млекопитающих, как Архары (горные козлы) закручены по
логарифмической спирали.
Можно сказать, что эта спираль является математическим символом
соотношения формы и роста. По логарифмической спирали расположены
чешуйки в шишках сосны. Семечки в подсолнухах располагаются по дугам,
близким к логарифмической спирали.
Паук-эпейра сплетает паутину, закручивая нити вокруг центра по
логарифмическим спиралям. Кривая, пересекающая все земные меридианы и
образующая с ними какой-нибудь постоянный угол (кроме прямого) тоже
является логарифмической спиралью и имеет специальное название –
локсодрома.
Величайшие
из
всех
спиралевидных образований в природе –
спиралевидные галактики, диаметры
которых измеряются тысячами световых
лет. Галактика, к которой принадлежит
солнечная система, закручена тоже по
этой «дивной» спирали.
В технике применение логарифмической спирали основано на
свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем
же углом. Так, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют
профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания остается
постоянный вдоль всей кромки подвижного ножа, что обеспечивает меньший
его износ.
Труба, подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса
гидроэлектростанции, имеет профиль, очерченный по дуге логарифмической
спирали. Это позволяет обеспечить минимальные потери энергии на
изменение направления течения в трубе, и напор воды используется с
максимальной производительностью.
Пропорциональность дуги спирали радиус-вектору используют при
проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом.
Логарифмическую спираль используют в технике для затылования зубцов
фасонных фрез, в частности зуборезных фрез.
Автор
wilarionova
Документ
Категория
Математика
Просмотров
168
Размер файла
925 Кб
Теги
логарифмических, спираль
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа