close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

33333333

код для вставкиСкачать
Английский дизайнер и эстетик Уильям Чарлтон говорил о том, что люди считают
спиралевидные формы приятными на вид и используют их вот уже тысячелетия, объяснив это так:
"Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать её».
Каждый из нас различает окружающие его предметы по форме. Красота и гармония ощущаются
там, где внешний вид предмета принимает форму спирали. Изящность спиралей безгранична…
С давних времен человек интересовался спиралями. Этот сложный символ использовался со
времен палеолита и появляется в Египте, на Крите, в Микенах, Месопотамии, Индии, Китае, Японии,
доколумбовой Америке, Европе, Скандинавии и Британии. Вихри, ураганы, растения, малюски, части
тела животных имеет форму спиралей. Не будем отрицать, что и жизнь человека, эволюция,
экономические процессы, и многое другое представляет собой тоже спираль. В принципе спираль есть
динамическая система, которая в зависимости от способа рассмотрения может быть либо свернутой,
либо развернутой, при этом движение идет или к центру, или, наоборот, из центра. Итак, почвы для
исследований очень много. Вот люди и занимаются изучением спиралей, и применяют полученные
знания с пользой для себя.
Виды спиралей: прямолинейные ломаные спирали, самопересекающиеся спирали,
криволинейные спирали. Спираль Архимеда и логарифмическая спираль относятся к криволинейным
спиралям.
Спираль - это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по
определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало
спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть
представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f(  ) где r - радиус-вектор спирали,  угол, откладываемый на полярной оси, f(  )- некоторая монотонно возрастающая или убывающая
положительная функция.
Спираль Архимеда.
Великий Архимед (около 285-212 гг. до н. э.) первым описал «ковровую» спираль. В честь его
она и получила название «архимедова спираль» (или «спираль Архимеда»). Архимедова спираль
представляет собою плоскую кривую, образованную точкой, равномерно движущейся по радиусувектору, который в то же время равномерно вращается вокруг неподвижной точки О. (Рис. 1, Рис.2)
Точки архимедовой спирали подчинены уравнению r=R  , где r- paдиус - вектор;  —угол вращения;
R—радиус окружности.
Рис 1.
Рис.2
Вот спирали, которые мы чертили сами.
Рис.3
Рис.4
Свойства спирали Архимеда.
 Геометрическое свойство: постоянство расстояний между витками. Повороту прямой на
соответствует смещение a = |BM| = |MA| . Число a — называется шагом спирали.
(Рис. 5)
,
Рис. 5




Количества витков у спирали бесконечно.
Спираль Архимеда асимметрична.
Архимедова спираль - плоская трансцендентная кривая.
Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением r=R  ,
положительным значениям
соответствует правая спираль, отрицательным — левая
спираль. (Рис. 6)
Рис.6
 При вращении диска в одном направлении спираль закручивается, при вращении в другом –
раскручивается. Спираль становится живой.
 Увеличение шага спирали происходит всегда равномерно.
 Первый виток архимедовой спирали с виду очень похож на окружность, однако на самом деле
эти кривые не совпадают.
 Спираль Архимеда имеет тесную связь с последовательностью Фибоначчи.
 Какую бы точку этой спирали мы не взяли, отношение её радиуса-вектора (расстояние от
начала координат до выбранной точки) к полярному углу (отсчитываемому от некоторого
фиксированного направления) будет одним и тем же.
Спираль Архимеда в технике и природе.
1.
Металлическая пластина с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто
используется в конденсаторе переменной емкости.
2. Одна из деталей швейной машины - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку имеет форму спирали Архимеда.
3. В технике нашли широкое применение плоские спиральные антенны, в том числе и антенны,
имеющие вид Архимедовой спирали.
4. По спирали Архимеда идет, например, на грампластинке звуковая дорожка. Перемещение острия
корундовой иглы по этой дорожке будет результирующим двух равномерных движений:
приближения к полюсу и вращения вокруг полюса.
5. В области техники спираль Архимеда находит применение в так называемых кулачковых
механизмах, которые преобразуют вращательное движение шайбы в поступательное движение
стержня.
6. В некоторых механизмах (например, в часах) требуется, чтобы стержень двигался равномерно.
Обеспечить это можно, очертив профиль шестеренки по спирали Архимеда.
7. В качестве другого объекта для применения спирали Архимеда в технике можно привести
самоцентрирующийся патрон, направляющие канавки которого выполнены по спирали
Архимеда. При одном повороте диска этого патрона кулачки перемещаются на величину
радиального расстояния смежных каналов.
8. Кроме того, форму спирали Архимеда имеются звуковая дорожка на CD и DVD дисках.
9. Спиральный водяной насос. Сколько людей живет вблизи речушек или ручьев и не
могут воспользоваться возможностями, которыми обладает природа! Существует хороший способ
получить воду для полива или для небольшого пруда без электроэнергии для насоса. Это простое
домашнее устройство делает свое дело. Американский изобретатель John Hermans нашел свое решение
проблемы понижения стоимости перекачки воды на поле для орошения или для других нужд в виде
оригинальной водяной помпы.
Этот спиральный насос относится к виду поршневых насосов и изготовлен из рулонных
полипропиленовых труб. Он работает с приводом от водяного колеса. Труба имеет форму спирали в
вертикальной плоскости и установлена на горизонтальной оси. Когда нижняя четверть катушки
погружена в воду и катушка вращается, чередующиеся последовательности воздуха и воды
двигаются внутри трубы в направлении центральной точки катушки. Дополнительные
последовательные участи трубы в катушке приводят к совокупному росту давления на выходе насоса.
Работу вращения катушки производит множество гребных колес. Весь блок состоит из
одной вращающейся части. Скорость накачки данного самодельного водяного насоса в среднем 2000
литров в день, но изменяется в зависимости от скорости потока. Однако, чем больше петель в колесе,
тем труднее его повернуть, поэтому необходим хороший ток ручья, чтобы выполнить работу насоса. В
общем, красивый образец альтернативной технологии.
10. Соленоид. В этом устройстве намотка проволоки происходит по спирали Архимеда.
11. У большинства электрических приборов нагревательный элемент имеет форму Архимедовой
спирали.
12. Природа в основном создает логарифмические спирали, и очень трудно найти в природе
спираль Архимеда. Одним из таких примеров являются некоторые виды растений в
нераспустившимся виде.
Логарифмическая спираль
Логарифмическую спираль можно было бы назвать по имени Декарта, так как впервые о ней
говорится в одном из его писем (1638 г.). Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным
свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой
точке один и тот же угол. Однако подробное изучение ее свойств логарифмической спирали было
проведено только полвека спустя Якобом Бернулли, который называл её Spira mirabilis —
«удивительная спираль». На современных ему математиков эти свойства произвели сильное
впечатление. На каменной плите, водруженной на могиле этого знаменитого математика, изображены
витки логарифмической спирали.( Рис.7)
Рис.7
В отличие от спирали Архимеда логарифмическая спираль является траекторией точки, которая
движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса или приближаясь к нему со
скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Логарифмическая спираль задается
равнением в полярных координатах r =
, где a - некоторое фиксированное положительное число,  угол, измеряемый в радианах (Рис.8, Рис. 9). На рисунке угол альфа.
Рис.9
Рис .8
Вот логарифмическая спираль, которую мы начертили.
Свойства логарифмической спирали.









Расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию;
Последовательность длин радиусов, также составляет геометрическую прогрессию;
Образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны
друг другу.
Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся
неизменной.
Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен. Возможно, в результате этого
свойства логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных
раковинам моллюсков, шляпкам подсолнечников, спиралям циклонов и галактик.
Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от ее начала
до этой точки.
Радиус-вектор и касательная к нему в любой точке логарифмической спирали образуют
постоянный угол, то есть кривая пересекает все лучи, выходящие из полюса O под одним и
тем же углом.
Логарифмическая спираль вырождается соответственно в прямую линию и окружность при
значениях углов 0° и 90°. Замечательным является тот факт, что спираль имеет свойства, как
прямой линии, так и окружности.
Сжать или разжать эту спираль относительно ее полюса - то же самое, что повернуть ее на
определенный угол. Это свойство логарифмической спирали было открыто Якобом
Бернулли,

В отличие от спирали Архимеда, логарифмическая спираль бесконечна в обе стороны, так как
угол  может изменяться от - до + . При этом, если a > 1, то при увеличении угла радиус
увеличивается, а если 0 < a < 1, то при увеличении угла радиус уменьшается.
Логарифмическая спираль в технике и природе.
Логарифмическая спираль чаще всего встречается в природе, чем в технике
1. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается
равномерно. Это свойство находит свое применение в технике. Дело в том, что в технике часто
применяются вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла
резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления
нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей
очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого
материала.
2. В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, проводящую поток воды к лопастям
турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе
оказываются, минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.
3. Одно из чудесных созданий природы – моллюск наутилус, ракушка которого создана в форме
логарифмической спирали. Расстояние между витками ракушки наутилуса равномерно умножаясь,
увеличивается с каждым витком. Здесь характерно постепенное и равномерное нарастание, неизбежное
увеличение, ускорение и расширение.
4. Семечки в подсолнухе расположены по дугам, так же близким к логарифмической спирали.
5. Раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары (горные
козлы), закручены по логарифмической спирали.
6. Можно привести великое множество примеров, когда процесс роста живых организмов происходит в
строгом соответствии с формой логарифмической спирали.
7. Пауки всегда плетут свои паутины в виде логарифмической спирали.
8. Строение таких микроорганизмов, как планктоны (виды globigerinae, planorbis, vortex, terebra,
turitellae и trochida) также имеют форму спирали.
9. 10. На первый взгляд ураган Изабель и галактика M51, находящаяся на расстоянии 30 миллионов
световых лет от Солнца, похожи друг на друга. На самом деле, между ними не так много общего.
Диаметр урагана Изабель составлял несколько сотен миль, в то время как M51 (галактика Водоворот)
имеет размеры порядка 50 тысяч световых лет. Кроме того, процессы их формирования и эволюции
объясняются совершенно различными физическими взаимодействиями. Тем не менее, и у того, и у
другого явления форма подчиняется закону простой и красивой математической кривой логарифмической спирали, спирали, расстояние между витками которой растет в геометрической
прогрессии с увеличением расстояния от центра.
11.Хищная птица кружит над своей жертвой по траектории, представляющей собой логарифмическую
спираль.
Автор
lariefed
Документ
Категория
Физика
Просмотров
2 669
Размер файла
2 270 Кб
Теги
33333333
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа