close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Логарифмическая спираль

код для вставкиСкачать
Логарифмическая спираль.
Начало исследования этой спирали должно быть связано с навигацией. На протяжении
XVI и XVII веков тысячи судов бороздили океаны. Мореплаватели знали, что на
поверхности Земли кратчайшее расстояние между двумя точками дает дуга окружности.
Но чтобы двигаться по такой дуге следует непрерывно менять направление движения.
Поэтому этот оптимальный курс заменяли другим, таким, чтобы угол, под которым
корабль пересекал все меридианы, был постоянным. Этот курс оставался постоянным.
Траектории такого вида образуют на земной поверхности кривые, которые называются
локсодромами. Однако моряки не работали на сфере, их карты были плоскими, они
представляли собой проекции сферы. Ну а проекция сферы на плоскость преобразует
локсодрому на ней в… логарифмическую (или равноугольную) спираль. Первым, кто
описал ее как механическую кривую был Декарт.
Логарифмическую спираль можно построить подобно спирали Архимеда как траекторию
точки, перемещающейся по радиус - вектору, в то время как сам радиус-вектор вращается
вокруг неподвижной точки.
Свойства

Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали
с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра b. В
терминах дифференциальной геометрии это может быть записано как

Производная функции
пропорциональна параметру b. Другими словами, он
определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В
предельном случае, когда b = 0
спираль вырождается в окружность
радиуса a. Наоборот, когда b стремится к бесконечности
спираль
стремится к прямой линии. Угол, дополняющий до 90°, называется наклоном
спирали.

Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма
остаётся неизменной.

Если угол возрастает или убывает в арифметической прогрессии, то r возрастает
(убывает) в геометрической.

Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от
ее начала до этой точки.
Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой
кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом. На этом
свойстве основаны применения логарифмической спирали в технике. Так,
вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный
по дуге спирали, благодаря чему угол резания (угол между лезвием ножа и
направлением его скорости вращения) остается постоянным вдоль всей кромки
подвижного ножа, что обеспечивает меньший его износ.
Труба, подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса
гидроэлектростанции, имеет профиль, очерченный по дуге логарифмической
спирали. Это позволяет обеспечить минимальные потери энергии на изменение
направления течения, и, следовательно, напор воды используется с максимальной
производительностью.
Логарифмическая
спираль в
природе
Автор
schulkb
Документ
Категория
Математика
Просмотров
40
Размер файла
582 Кб
Теги
логарифмических, спираль
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа