close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Бурмистрова Н.А. Математическое моделирование экономических процессов как средство формирования профессиональной компетентности будущих специалистов финансовой сферы

код для вставкиСкачать
БУРМИСТРОВА Н.А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ ФИНАНСОВОЙ СФЕРЫ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ: МОНОГРАФИЯ. М.: ИЗД-ВО «ЛОГОС», 2010. – 228 С.
1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ
БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ
2
3
?.?. ???????????
?????????????? ?????????????
????????????? ????????? ??? ????????
???????????? ????????????????
?????????????? ???????
???????????? ?????????? ?????
??? ???????? ??????????
Москва • Логос • 2010
4
УДК 37.016:33
ББК 65
Б90
Рецензенты
В.А. Далингер, доктор педагогических наук, профессор,
заведующий кафедрой теории и методики обучения математике
Омского государственного педагогического университета
И.А. Маврина, доктор педагогических наук, профессор,
заведующий кафедрой социальной работы
Омского государственного педагогического университета
Л.И. Боженкова, доктор педагогических наук, профессор кафедры
теории и методики обучения математике Московского
государственного педагогического университета
Б 90
Бурмистрова Н.А.
Математическое моделирование экономических процессов
как средство формирования профессиональной компетентности
будущих специалистов финансовой сферы при обучении математике: монография / Н.А. Бурмистрова. – М.: Логос, 2010. – 228 с.
ISBN 978-5-98704-503-9
Рассмотрены теоретические и методические основы использования математического моделирования в качестве средства формирования профессиональной компетентности будущих специалистов финансовой сферы при обучении
математике. Выполненная автором дидактическая обработка содержания курса
«Математика» обеспечивает выделение основных типов формализованных моделей, используемых для анализа экономических процессов, а раскрытие роли
профессионально ориентированных задач демонстрирует преимущества реализации компетентностного подхода при подготовке конкурентоспособных
выпускников экономических вузов. Прикладные положения монографии прошли апробацию в преподавании математики на экономических факультетах
вузов.
Для преподавателей математики экономических вузов и научных работников. Может использоваться в учебном процессе со студентами педагогических
направлений и специальностей вузов, а также в учебных подразделениях повышения квалификации педагогических кадров.
ISBN 978-5-98704-503-9
УДК 37.016:33
ББК 65
© Бурмистрова Н.А., 2010
© Логос, 2010
5
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................................................. 7
ГЛАВА 1. Теоретические основы формирования профессиональной компетентности будущих специалистов финансовой сферы ................................................................................. 9
1.1. Проблема формирования профессиональной
компетентности в контексте эволюции образовательных парадигм ......................................................................... 9
1.2. Компетентностный подход к обучению математике
как основа подготовки студентов экономических вузов
к будущей профессиональной деятельности ..................... 21
1.3. Структурные компоненты и педагогические условия формирования профессиональной компетентности
будущих специалистов финансовой сферы при обучении
математике ........................................................................... 29
ГЛАВА 2. Математическое моделирование экономических
процессов как средство формирования профессиональной
компетентности ......................................................................... 39
2.1. Ретроспективный анализ применения математического моделирования в исследовании экономических
процессов и его перспективная значимость ...................... 39
2.2. Психолого-дидактические аспекты использования
математического моделирования в качестве средства
формирования профессиональной компетентности ........ 49
2.3. Характеристика основных этапов моделирования
экономических процессов при обучении математике ...... 57
2.4. Интеграция математической и профессиональной
подготовки будущих специалистов финансовой сферы
средствами моделирования экономических процессов .... 78
6
Содержание
ГЛАВА 3. Методика формирования профессиональной компетентности студентов экономических вузов при обучении
математике ................................................................................. 97
3.1. Цели, структура и содержание курса «Математика»
в условиях компетентностного подхода ............................ 97
3.2. Комплекс профессионально ориентированных задач
экономического содержания, обеспечивающий формирование профессиональной компетентности при обучении математике .................................................................. 115
3.3. Реализация методики формирования профессиональной компетентности средствами математического
моделирования экономических процессов ...................... 129
3.4. Роль информационных технологий в обучении студентов математическому моделированию экономических процессов при реализации компетентностного
подхода ............................................................................... 145
Литература ............................................................................... 156
Приложения ............................................................................. 163
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Высокая динамичность современного мира, рост потребностей экономики, существенные изменения в технологиях на
рынке труда и сбыта обуславливают сокращение сроков адаптации выпускников высшей профессиональной школы к трудовой деятельности, повышение их мобильности и конкурентоспособности. Это, в свою очередь, требует конкретных
механизмов управления процессом формирования профессиональной компетентности будущих специалистов.
Направленность образовательного процесса на подготовку
студентов к будущей профессиональной деятельности может
быть обеспечена как средствами дисциплин общепрофессионального и специального циклов, так и дисциплин математического и естественно-научного цикла. В связи с этим качество
математической подготовки студентов экономических специальностей вузов во многом определяет уровень сформированности знаний, умений, навыков и личностных качеств, необходимых в будущей профессиональной деятельности, а именно
выработку навыков математического моделирования реальных
экономических процессов.
Вопросы моделирования в той или иной мере затрагиваются
практически в каждой концепции курса математики экономических вузов. Существует несколько вариантов включения математического моделирования в учебный процесс. Один из оптимальных – введение элементов моделирования в курс математики
в качестве одной из содержательно-методических линий.
В ходе реализации указанной линии студенты должны получить представление о сущности формализации и методе моделирования, научиться строить и исследовать простейшие, характерные для будущей профессиональной деятельности модели.
Обратимся к практическому аспекту проблемы – технологической цепочке процесса моделирования.
Моделирование как метод познания включает в себя следующие этапы:
8
Предисловие
? создание математической модели объекта или явления, то есть
перевод конкретной ситуации на математический язык (нахождение функции, составление уравнения или неравенства и т.п.);
? исследование модели – решение математической задачи средствами выбранной теории (исследование функции, ее дифференцирование или интегрирование, решение уравнения и т.д.);
? интерпретация полученного решения – перевод результата
математического моделирования на язык той отрасли, в которой была сформулирована исходная задача.
Традиционно в курсе математики уделяется внимание работе над вторым этапом моделирования, в то время как формализация и интерпретация остаются недостаточно раскрытыми.
Однако именно организация обучения всем трем этапам моделирования обеспечивает формирование способов деятельности,
необходимых в будущей профессии, поскольку за математическими понятиями студенты учатся видеть конкретные профессиональные объекты, их взаимодействие. Важным средством
обучения при этом являются профессионально ориентированные задачи с практическим содержанием.
В настоящем исследовании представлен комплекс профессионально ориентированных задач экономического содержания,
при решении которых используются различные математические
модели: функция, заданная формулой, таблицей, графиком;
производная функции; коэффициент эластичности функции;
интеграл и т.д. При построении математических моделей студенты занимаются математическим моделированием, строят
экономико-математические модели, исследуя при этом экономические проблемы.
Изучение достаточно широкого спектра экономико-математических моделей и овладение технологической цепочкой
процесса моделирования предоставляют возможности для проведения всесторонних исследований в финансовой сфере и обеспечивают формирование профессиональной компетентности выпускников экономических вузов при реализации интегративного
потенциала курса «Математика» как на уровне знаний, так и на
уровне видов деятельности.
9
ГЛАВА 1
Теоретические основы формирования
профессиональной компетентности
будущих специалистов финансовой сферы
1.1. Проблема формирования
профессиональной компетентности
в контексте эволюции образовательных парадигм
Проблема формирования профессиональной компетентности будущих специалистов приобретает в современных социально-экономических условиях все бЅoльшую актуальность.
Сегодняшний работодатель желает видеть квалифицированного специалиста, способного быстро принимать правильные решения, готового к постоянному профессиональному росту, социальной и профессиональной мобильности.
В контексте возрастающих требований к образовательной и
профессиональной подготовке человека обратимся к характеристике постиндустриального общества, которое требует быстрой адаптации к изменяющимся условиям жизни.
Впервые понятие «постиндустриальное общество» ввел профессор Гарвардского университета Д. Белл, выступая в 1959 году
на международном социологическом семинаре в Зальцбурге
(Австрия). Оно было использовано для обозначения социума,
в котором индустриальный сектор теряет ведущую роль из-за
автоматизации и внедрения высоких технологий, требуя все
меньшей доли общественного труда, перетекающего в сферы
информации и услуг.
Известно, что на протяжении истории человечества прослеживаются три большие эпохи:
1. Доиндустриальное (аграрное) общество (до XVII века, продолжительность примерно 10 тыс. лет).
2. Индустриальное общество (начиная с XVII века, продолжительность около 300 лет).
10
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
3. Постиндустриальное (информационное) общество (со второй половины XX века).
Анализируя связи между обществом и образованием, их взаимовлияние и взаимообусловленность, А.М. Новиков [42] отмечает, что индустриальный тип школы, созданный в XVII веке
Я.А. Коменским и основанный на принципе «учить всех
всему», сегодня не в состоянии справиться с нарастающим потоком информации. Кроме того, передача готовых знаний не
всегда позволяет готовить человека к любым ситуациям, возникающим в практической деятельности.
Таким образом, новый тип общества предъявляет новые требования к общеобразовательной и профессиональной подготовке
и требует, соответственно, постиндустриального типа школы.
Учитывая, что взгляды на природу педагогических проблем в
начале третьего тысячелетия не являются общепризнанными,
рассмотрим некоторые педагогические течения, именуемые термином «парадигма».
Термин «парадигма» (от греч. paradeigma – пример, образец,
норма) возник в античном мире и использовался философами
для характеристики взаимоотношений духовного и реального
миров, а именно: описания трансцендентного образца, предопределяющего структуру материальных вещей.
В философию науки понятие парадигмы было введено немецким философом позитивистом Г. Бергманом для характеристики общих принципов и стандартов методологического исследования. Широкое распространение это понятие получило
после выхода в свет книги американского историка Т. Куна
«Структура научных революций». Под парадигмой Т. Кун понимал «признанные всеми научные достижения, которые в течение определенного времени дают научному сообществу модель постановки проблем и их решений» [35, с. 11]. Уточняя
смысл парадигмы, Т. Кун ввел понятие дисциплинарной матрицы, включающей в себя элементы трех видов: символические
обобщения и законы, модели и онтологические интерпретации,
образцы решения проблем.
Обобщая исторический экскурс, обратимся к энциклопедической и педагогической литературе.
1.1. Проблема формирования профессиональной компетентности...
11
В Большом энциклопедическом словаре парадигма трактуется как «…исходная концептуальная схема, модель постановки проблем и их решения, господствующих в течение определенного исторического периода в научном сообществе»
[9, с. 877].
В Новейшем словаре иностранных слов и выражений содержится практически такое же определение: «парадигма… исходная концептуальная схема, модель постановки проблем и их
решения, методов исследования, господствующих в течение
определенного исторического периода в научном сообществе;
смена парадигм является научной революцией» [41, с. 603].
Обращает на себя внимание тот факт, что рассмотренные способы употребления термина «парадигма» отражают философское значение греческого слова paradeigma, означающего паттерн, то есть модель.
Таким образом, олицетворяя собой признанный учеными
образец решения научных проблем, понятие парадигмы прочно
вошло в методологический арсенал науки, в том числе педагогической. Существующие в педагогической науке определения
сводятся к пониманию парадигмы как «…теоретико-нормативной модели, отражающей, с одной стороны, представление о том,
что есть в педагогической действительности, с другой – воплощающей общее представление о том, какими должны быть содержание и процесс образовательной деятельности, как осуществлять и преобразовывать их» [64, с. 2].
На практике произошло закрепление термина «образовательная парадигма», отражающего «…систему ценностей педагога,
особенности содержания и технологического обеспечения образовательного процесса, источники и способы целеполагания,
особенности взаимоотношений участников образовательного
процесса» [64, с. 2]. Методологическую значимость данной категории определяет ее роль в качестве научного метода анализа
образовательного процесса, инструмента для сравнения научно-педагогических теорий, подходов к совершенствованию образования, их интерпретации и оценки.
К осмыслению эволюции парадигмального процесса в пространстве педагогических исследований обращались такие уче-
12
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
ные как Е.В. Бондаревская, А.П. Тряпицына, П.Г. Щедровицкий, И.С. Якиманская и др. На протяжении исторического
развития общества в мировой и отечественной педагогике складывались различные парадигмы образования, был накоплен
определенный опыт парадигмально-педагогических типологизаций (М.В. Богуславский, Б.Г. Корнетов, И.А. Колесникова,
В.Я. Пилиповский, И.Г. Фомичева и др.).
Достаточно содержательным, на мой взгляд, является сравнение образовательных парадигм в условиях смены общественных формаций. Анализируя переход от образовательной парадигмы индустриального общества к образовательной парадигме
постиндустриального общества, А.М. Новиков [42] отмечает
отказ от понимания образования как получения готового знания, что, в свою очередь, влечет изменение целей, мотивов,
форм, методов, средств обучения и т.д. Рассмотрим результаты
сравнения основных компонентов парадигм образования в индустриальном и постиндустриальном обществе (табл. 1).
Анализ результатов сравнения образовательных парадигм
в условиях смены общественных формаций демонстрирует
существенные изменения основных составляющих образовательного процесса в новых социально-экономических обстоятельствах.
Процесс смены образовательной парадигмы в России отмечают сегодня многие исследователи, в том числе, В.И. Байденко, В.А. Болотов, В.В. Сериков, Б.С. Гершунский, И.А. Зимняя, Н.А. Коршунова, Е.В. Бережнова, В.В. Краевский и другие,
хотя понятие «парадигма» не всегда ими используется.
В свою очередь, парадигмальные изменения, являясь предметом реформирования российской школы, обнаруживают столкновение четырех педагогических парадигм:
? когнитивно-информационной (знаниевой);
? личностно-ориентированной;
? культурологической;
? компетентностной.
В соответствии с концептуальными идеями, определяющими содержание указанных парадигм, Е.А. Ямбург [71] выделяет
следущие особенности.
1.1. Проблема формирования профессиональной компетентности...
13
Таблица 1
Сравнение основных компонентов парадигм образовательного
процесса в индустриальном и постиндустриальном обществах
Компоненты
Индустриальное
парадигм
общество
Ценности Обучение для общественного производства
Мотивы
Обучение как обязанность
Нормы
Ответственность за обучение несет педагог
Постиндустриальное
общество
Обучение для самореализации в жизни и личной карьеры
Заинтересованность в учении
Обучающиеся принимают
на себя ответственность за
учение
Авторитет педагога дерАвторитет педагога создаетжится за счет соблюдения ся за счет его личностных
дистанции
качеств
Цели
Направленность обучения Направленность обучения
на приобретение научных на овладение компетенциями
знаний;
Приобретение знаний
Учение в течение всей жизни
на всю жизнь
Позиции Педагог передает знания
Педагог создает условия для
участников
самостоятельного учения
учебного Педагог над обучающиВзаимное партнерство пепроцесса мися
дагога с обучающимися
Формы и Авторитарные методы
Демократичные методы обуметоды
обучения
чения
обучения Стабильная структура
Динамичная структура учебучебных дисциплин и
ных дисциплин
форм организации
учебного процесса
Акцент на аудиторные
Акцент на самостоятельную
занятия под руководством работу
педагога
Средства Основным средством обу- Использование ресурсов инобучения чения является книга
формационно-коммуникационных систем
Контроль и Контроль и оценка проСмещение акцента на самооценка
изводятся педагогом
контроль и самооценку
14
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
Когнитивно-информационная парадигма
Учебно-воспитательный процесс ориентирован на предметные программы, поддающиеся оценке. Основная цель – передача обучающимся максимального количества накопленных
человечеством знаний, умений и навыков. При этом желания и
потребности личности не учитываются.
Личностно ориентированная парадигма
Центр тяжести переносится с интеллектуального на эмоциональное и социальное развитие. Проводится сравнительный
анализ успехов обучающегося в свете предыдущих достижений
с учетом его интересов. Происходит интеграция различных областей знания и реальной практики.
Культурологическая парадигма
Главная цель – формирование личности обучающегося, но в
отличие от личностной парадигмы культурологическая парадигма не фетишизирует свободное воспитание, а рассматривает свободу и принуждение как взаимодополняющие друг друга начала. Основная задача состоит в передаче культурных ценностей
следующим поколениям, которые могут и не осознавать необходимости в этом, отсюда и неизбежные элементы педагогического принуждения.
Компетентностная парадигма
Вырастает из когнитивно-информационной парадигмы образования, но в отличие от нее осознает бессмысленность бесконечного расширения передаваемой информации, которая, с
одной стороны, лавинообразно нарастает, с другой – устаревает
каждые три-четыре года. Ожидаемым результатом образования
является не система знаний, умений и навыков, а набор заявленных государством компетенций, без которых невозможна
деятельность современного человека. Налицо нацеленность на
усиление практической ориентации и инструментальной направленности образования, стремление подготовить человека
умелого и мобильного, владеющего не набором фактов, а способами и технологиями их получения.
Каждая из вышеперечисленных парадигм может задать свой
вектор в модернизации содержания образования, определить
1.1. Проблема формирования профессиональной компетентности...
15
стратегию его развития. Направление развития зависит от базовых ценностей и исходных установок реформаторов.
Реформа отечественного образования, проводимая в рамках
Болонского процесса, к которому Россия присоединилась в 2003
году, осуществляется на «компетентностной основе». В этом
контексте компетентностная парадигма противопоставляется
дидактической триаде «знания – умения – навыки» (ЗУНы),
олицетворяющей знаниевую парадигму образования. Аргументы сторонников данной линии рассуждений состоят в том, что
на рынке труда востребованы не сами знания, а способности
выполнять определенные функции, что, в свою очередь, требует смещения конечной цели образования с «ЗУНов» на формирование компетентностей.
Действительно, в условиях рыночной экономики востребованными являются не столько знания, сколько умения применять их на практике, тем не менее говорить о полном разрыве
с «ЗУНами», на наш взгляд, кажется рискованным.
По мнению В.И. Лукьяновой, некорректность противопоставления «зуновского» и компетентностного подходов определяют следующие положения:
? «когнитивной основой всех компетенций являются научные знания» (из заключения, сделанного при обосновании
проекта типового компетентностного стандарта высшего профессионального образования в области техники и технологий)
[26, с. 4];
? принцип потребности, рассматриваемый в качестве главной особенности компетентностной парадигмы, появился не в
«информационном обществе» XXI века, а на рубеже XVI–XVII
веков, когда Я.А. Коменским провозглашалось требование о
том, чтобы все делалось посредством теории, практики и применения [31];
? организация обучения требует четкого выделения знаний
как самостоятельной цели учебной деятельности и представления их в виде логически связной системы, поскольку без систематического освоения знаний не происходит эффективного
формирования умений;
? познание и практика образуют две стороны единого процесса освоения мира: теория расширяет возможности практи-
16
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
ческой деятельности, обеспечивая формирование новых умений
и компетентностей, практика создает импульсы к развитию познания.
В рамках существующей проблемы нормативно-целесообразного соотношения между «знаниевым» и компетентностным
подходами внимание привлекла позиция А.Л. Андреева, выдвигающего идею «двухсегментной модели образования, в которой изучение традиционных для российского образования фундаментальных дисциплин сочетается с прикладными знаниями
социально-технологической направленности» [1, с. 26]. При
этом набор фундаментальных дисциплин закладывает основы
системного понимания социальной реальности, а освоение прикладных социальных знаний имеет целью приобретение конкретных компетенций. Такой взгляд в отношении приоритетов позволяет признать за каждым подходом свое собственное место в
общем процессе совершенствования российского образования.
С целью продолжения исследования соотношения приоритетов образовательных парадигм, определения роли и места
компетентностной парадигмы результатов образования обратимся к терминологическому аспекту проблемы – характеристике содержания понятий «компетенция» и «компетентность».
Рассмотрим определения указанных понятий, представленные
в различных источниках (табл. 2)
Анализ определеня понятия «компетенция» показывает, что в
словарях смысл термина раскрывается исходя из латинского происхождения и соответственно значения слова (competentia – согласованность, соответствие). Налицо наличие двух трактовок
этого слова: первая – круг полномочий конкретного учреждения
или лица и вторая – круг вопросов, в которых данное лицо обладает познаниями, опытом.
В современной педагогической литературе слово «компетенция» употребляется именно во втором значении. Между тем
рассмотренные определения свидетельствуют о том, что к настоящему времени сложились разные подходы к толкованию
интересующего нас понятия.
Термин «компетентность» также демонстрирует широкий выбор его трактовок в научной литературе. При этом чаще всего
1.1. Проблема формирования профессиональной компетентности...
17
Таблица 2
Определения понятий «компетенция», «компетентность»,
предлагаемые различными источниками
Источник
(автор)
Новейший
словарь иностранных
слов и выражений [41]
Толковый
словарь
русского
языка [43]
А.В. Хуторской [61]
И.А. Зимняя
[25]
А.П. Тряпицына [571]
Э.Ф. Зеер
[24]
«Компетенция»
«Компетентность»
Лат. competentia – принадлеж- Лат. competens, competentis –
ность по праву
надлежащий, способный.
1. Круг полномочий, предоОбладание знаниями и
ставляемых законом, уставом опытом, позволяющими
или иным актом конкретному судить о чем-либо, веское
органу или должностному лицу авторитетное мнение
2. Круг вопросов, в которых
данное лицо обладает познаниями и опытом
1. Круг вопросов, явлений, в 1. Осведомленность, автокоторых кто-нибудь хорошо ритетность в какой-либо
осведомлен
области
2. Круг чьих-то полномочий, 2. Обладание компетенправ
цией
Совокупность взаимосвязан- Владение, обладание ченых качеств личности (знаний, ловеком соответствуюумений, навыков, способов
щей компетенцией, вклюдеятельности), задаваемых по чающей его личностное
отношению к определенному отношение к ней и предкругу предметов и процессов, мету деятельности
необходимых для качественной продуктивной деятельности по отношению к ним
Знания, умения, навыки, опыт, Основывающийся на знаценности и склонности лично- ниях, интеллектуально и
сти к социально-профессио- личностно обусловленный
нальной деятельности
опыт социально-профессиональной жизнедеятельности человека
Теоретические знания и опыт Способность решать задачи в различных сферах
жизнедеятельности на основе теоретических знаний и опыта
Способность человека моби- Определение компетентлизовать знания, умения и
ности как совокупности
опыт в конкретной социально- знаний, умений и опыта
профессиональной ситуации
18
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
авторы исходят из значения латинского аналога (competentis –
соответствующий, способный), то есть пригодный к реализации тех или иных полномочий, исполнению определенных
функций.
Несмотря на дискуссионность трактовок рассмотренных понятий, можно выделить существенные признаки, встречающиеся в большинстве определений: знания, осведомленность, опыт
в какой-либо области; подготовленность к определенному виду
деятельности.
Таким образом, результаты изучения определения понятий
«компетенция» и «компетентность» свидетельствуют о том, что
они значительно шире понятий «знания», «умения», «навыки»,
так как охватывают личностные качества человека, представляя
собой синтез когнитивного, предметно-практического и личностного опыта.
В рамках настоящего исследования будем использовать
интерпретацию понятий, предложенную А.В. Хуторским [61].
Согласно предлагаемой интерпретации компетентность определяется как владение, обладание набором компетенций, то есть
совокупностью взаимосвязанных знаний, умений, навыков,
способов деятельности, включающее личностное отношение к
предмету деятельности. Такого рода толкование позволяет установить четкую взаимосвязь понятий: компетенция – наперед
заданное требование, компетентность – состоявшееся личностное качество.
Учитывая вышесказанное, представляется значимым подчеркнуть позиции сторонников личностно ориентированной и
культурологической парадигм.
Мы разделяем мнение ученых (Ю.И. Дик, А.В. Хуторской и
другие) о том, что компетенцию следует рассматривать как образовательный результат личностно ориентированной парадигмы образования [62]. С этих позиций И.А. Зимняя отмечает,
что «компетенции – это некоторые внутренние, потенциальные, сокрытые психологические новообразования: знания, представления, программы (алгоритмы) действий, системы ценностей и отношений, которые затем выявляются в компетентностях
человека» [25, с. 8].
1.1. Проблема формирования профессиональной компетентности...
19
В свою очередь Е.А. Ямбург [71], подчеркивая приоритет
культурологической парадигмы, ее связь с личностно ориентированной, отмечает целостность образовательного процесса,
базирующегося на ценностных основаниях, отсутствие которых
ведет к искажению целей образования и потере подлинной
субъектности в педагогическом процессе.
Таким образом, обозначенные проблемы оказываются напрямую связанными с личностным, ценностным и профессиональным самоопределением субъектов образовательного процесса,
поэтому ни одна из них, на наш взгляд, не может быть полностью исключена из образовательного процесса. Возможность занимать различные сектора и уровни образовательного пространства обеспечивает их реализацию на разных этапах обучения,
например, знаниевая парадигма может быть реализована в основной и средней школе, а компетентностная – в старшей профильной и профессиональной школе.
Подводя итог парадигмальным исследованиям в области образования, следует подчеркнуть, что построение целостной стратегии реформирования российского образования на всех этапах
обучения и развития человека, требует гармонизации образовательных парадигм.
В целях обеспечения профессиональным образованием
личностно ориентированного результата, способствующего
вхождению человека в социальный мир, его продуктивной адаптации в этом мире, в качестве результата образования в совокупности мотивационно-ценностных, когнитивных и деятельностных составляющих рассмотрим различные определения
понятия «профессиональная компетентность».
Б.С. Гершунский [13] отмечает, что категория «профессиональная компетентность» определяется главным образом уровнем собственного профессионального образования, опытом и
индивидуальными способностями человека, стремлением к непрерывному самообразованию и самосовершенствованию, творческому отношению к делу.
Э.Ф. Зеер и О.Н. Шахматова под профессиональной компетентностью понимают «совокупность профессиональных знаний и умений, а также способы выполнения профессиональной
деятельности» [23, с. 46].
20
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
В научной школе В.А. Сластенина [52] предложено определение, характеризующее профессиональную компетентность как единство теоретической и практической готовности и
способности личности осуществлять профессиональную деятельность.
Ленинградская педагогическая школа, представленная учеными В.А. Козыревым, Н.Ф. Радионовой, А.П. Тряпицыной
[32], под профессиональной компетентностью понимает интегральную характеристику, определяющую способность специалиста решать профессиональные проблемы и задачи, возникающие в реальных ситуациях профессиональной деятельности с
использованием знаний, профессионального и жизненного
опыта, ценностей и наклонностей.
Результаты исследований А.К. Марковой [37] определяют
профессиональную компетентность как систему знаний, умений и навыков, профессионально значимых качеств личности,
обеспечивающих возможность выполнения профессиональных
обязанностей определенного уровня.
Анализ содержания понятия «профессиональная компетентность» показывает, что общим во всех рассмотренных определениях является единство теоретической и практической готовности личности к осуществлению профессиональной деятельности.
Владение навыками профессии, знание проблем профессиональной деятельности, умение организовать свой труд – все эти
качества являются необходимыми составляющими профессиональной компетентности специалиста.
Таким образом, в настоящем исследовании под профессиональной компетентностью будем понимать интегральный
показатель качества образования, отражающий единство теоретических знаний, практических умений и навыков, личностных свойств, свидетельствующих о готовности и способности к
осуществлению профессиональной деятельности, и обеспечивающий необходимую конкурентоспособность и востребованность выпускников высшей профессиональной школы на рынке
труда.
Включая в понятие «профессиональная компетентность» личностный компонент, мы понимаем, что проблема формирова-
1.2. Компетентностный подход к обучению математике...
21
ния данного образовательного результата обуславливает необходимость перехода от обучения в формате «teaching» к формату
«learning», где не человека учат, а человек учится в границах целесообразности и личной заинтересованности [17].
В связи с этим обратимся к осмыслению целевых, содержательных и процессуальных характеристик образовательного
процесса в высшей профессиональной школе с позиций компетентностного подхода, интегрирующего в себе «знаниевый»,
личностно ориентированный и деятельностный подходы в обучении.
1.2. Компетентностный подход к обучению математике
как основа подготовки студентов экономических вузов
к будущей профессиональной деятельности
Анализ научных подходов к теории и практике профессионального обучения показывает, что объективная потребность общества в подготовке социально адаптированного,
мобильного и конкурентоспособного специалиста может быть
обеспечена компетентностной направленностью образовательной системы.
Известно, что компетентностная направленность в образовании не всегда была определяющей и практически не использовалась при разработке государственных стандартов, типовых
учебных программ, оценочных процедур. Только с середины
90-х годов XX века понятие «компетентностный подход» начинает определять требования к подготовке специалистов в профессиональной школе, обеспечивая соответствие результатов образования потребностям рынка труда.
Сегодня компетентностный подход из локальной педагогической теории превращается в общественно значимое явление
и претендует на роль концептуальной политики, проводимой в
сфере образования, как государствами, так и международными
организациями, в частности ЮНЕСКО и Европейским союзом.
Поскольку мировые интеграционные и глобализационные про-
22
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
цессы во многом обусловили приоритеты развития высшего образования, в качестве ведущего принципа государственной политики в области образования определена интеграция в мировую систему высшего образования при сохранении и развитии
собственных традиций и достижений.
Начало процесса формирования европейского образовательного производства датируется 1988 годом, когда в Болонье на
Конференции ректоров европейских университетов была принята «Всеобщая хартия университетов», отметившая их особую
роль как центров культуры, знаний и исследований, способных
придать созданию европейского образовательного пространства
необходимую динамику. Дальнейшее сближение национальных
систем образования Европейского региона обеспечила разработанная ЮНЕСКО и Советом Европы и принятая в 1997 году в
Лиссабоне Конвенция «О признании квалификаций, относящихся к высшему образованию в Европейском регионе». В свою
очередь подписание в 1998 году в Париже министрами образования Великобритании, Германии, Италии и Франции Сорбонской декларации «О гармонизации архитектуры высшего
образования» обозначило актуальность решения задачи формирования европейского пространства высшего образования с опорой на основные положения Лиссабонской конвенции.
Таким образом был подготовлен фундамент для принятия
Болонской декларации, под которой в 1999 году поставили подписи руководители образовательных систем 29 европейских государств. Положения Болонской декларации определили ряд
приоритетных задач формирования европейского пространства
высшего образования:
? сопоставимость национальных систем высшего образования за счет организации двух последовательных ступеней подготовки (бакалавриат, магистратура);
? введение единого механизма учета освоенного студентами
содержания образования в виде системы кредитов (зачетных
единиц);
? обеспечение качества образования;
? создание условий для повышения мобильности студентов и
преподавателей;
1.2. Компетентностный подход к обучению математике...
23
? повышение конкурентоспособности европейского образования, в частности за счет введения единого Европейского приложения к диплому.
Россия присоединилась к Болонскому процессу 19 сентября
2003 года, подписав в Берлине на Конференции министров образования Болонскую декларацию.
В качестве основных направлений развития Болонского процесса применительно к российской образовательной системе
можно выделить следущие:
? принятие системы подготовки, основанной на двух основных циклах – достепенном и послестепенном (бакалавриат,
магистратура);
? введение зачетных единиц по типу Europen Credit Transfer
System (ЕСТS);
? разработка и введение приложения к диплому, совместимого с основными европейскими образовательными документами;
? развитие межвузовского сотрудничества, схем мобильности совместных программ обучения и проведения научных исследований;
? разработка сопоставимых критериев качества образования.
Присоединение России к Болонскому процессу обусловило
появление в сфере отечественного образования термина «компетенция», пришедшего из англосаксонской традиции образования. Ориентированное на компетенции образование competencebased education (CBE) сформировалось в 70-е годы XX века
в США. Выделяют три основных этапа становления СВЕ подхода в образовании [25].
Первый этап (1960–1970 годы) характеризуется введением в
терминологию категории «компетенция», созданием предпосылок для разграничения понятий «компетенция» и «компетентность», где последнее трактуется как основанный на знаниях,
интеллектуально и личностно обусловленный опыт социальнопрофессиональной жизнедеятельности человека. Начинаются
исследования различных видов языковой компетенции применительно к теории языка, вводится понятие «коммуникативная компетентность».
Второй этап (1970–1990 годы) определяется использованием
категории «компетенция» («компетентность») в теории и прак-
24
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
тике обучения языку, в управлении, менеджменте, в обучении
общению. Разрабатывается содержание понятия «социальная
компетентность». Положено начало классификации компетенций и построению обучения, имеющего в качестве конечного
результата сформированность соответствующих компетенций
(Н.В. Кузьмина, А.К. Маркова, Л.А. Петровская).
Начало третьего этапа СВЕ подхода (90-е годы XX века) сопряжено с появлением в документах и материалах ЮНЕСКО
очерченного круга компетенций, рассматриваемых в качестве
результата образования.
Сегодня термины «компетенция» и «компетентность» используются для обозначения нового качества обучения, объединяющего в себе интеллектуальную, навыковую и личностную составляющие результата образования. Именно в таком
контексте, в роли центрального понятия, термин «компетенция» звучит в Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года [33]. В свою очередь, принятие компетентностного подхода в качестве основного направления
модернизации не умаляет традиционного значения приобретенных в процессе обучения знаний, умений и навыков, но открывает перспективы для улучшения качества подготовки будущих
специалистов [7].
Таким образом, под компетентностным подходом понимают ориентацию всех компонентов учебного процесса на приобретение выпускниками вузов компетенций, необходимых для
осуществления профессиональной деятельности и формирующих интегративное качество личности, именуемое термином
«профессиональная компетентность».
Исходя из предложенного определения и используя результаты педагогических исследований, можно сформулировать следующие принципы компетентностного подхода:
? диагностичность – ориентация на достижение диагностируемого результата, выраженного в компетенциях;
? комплексность – учет как образовательных, так и внешних
факторов;
? многофункциональность – компетентность не может быть
охарактеризована одним умением или свойством, она представляет собой способность к решению совокупности задач.
1.2. Компетентностный подход к обучению математике...
25
Изучение педагогического опыта показывает, что ведущая
роль компетентностного подхода в определении целей и содержания образования раскрыта в работах отечественных педагогов А.К. Марковой, А.М. Новикова, А.П. Тряпицыной,
А.В. Хуторского и их последователей. При этом результаты анализа научных исследований в качестве основной проблемы демонстрируют формирование профессиональной компетентности будущего специалиста.
В отечественной педагогике и психологии глубокий анализ
проблем компетентностного подхода в профессиональном образовании содержится в работах В.И. Байденко, И.А. Зимней,
С.Е. Шишова и др. Теоретические предпосылки разработки
компетентностного подхода заложены в исследованиях российских ученых П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, И.Я. Лернера,
М.Н. Скаткина, В.Д. Шадрикова, П.М. Эрдниева, И.С. Якиманской. Главное в их трудах – ориентация на усвоение обобщенных знаний, умений и способов деятельности.
Научные исследования Е.О. Ивановой [28] позволяют выделить наиболее важные, на наш взгляд, особенности компетентностного подхода в контексте профессионального образования:
? интегративное свойство компетентностного подхода объединяет в единое целое знания, умения, навыки и личностные
качества студентов, обеспечивая при этом эффективность достижения образовательных целей;
? компетентность будущего специалиста характеризует уровень подготовки студентов к профессиональной деятельности,
объединяя интеллектуальную, навыковую и эмоциональноценностную составляющие образования;
? формирование компетентности выпускника требует изменения не только содержания образования, но и способов организации образовательного процесса.
Результаты анализа указанных особенностей согласуются с
предметной направленностью компетентностного подхода в
обучении будущего специалиста. В рамках настоящего исследования рассмотрим возможности учебной дисциплины «Математика» в развитии умений, навыков и личностных качеств,
необходимых студентам экономических вузов в будущей профессиональной деятельности.
26
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
Поскольку содержание компонентов профессиональной компетентности зависит от носителя конкретной специальности,
определим необходимое для исследования понятие – «виды профессиональной деятельности» как близкие по содержанию трудовые отношения, составляющие целесообразное преобразование мира в интересах людей [8].
Анализ Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ГОС ВПО) специальности «Финансы и кредит» позволил определить в качестве основных следующие виды профессиональной деятельности:
? финансовая и кредитная;
? планово-экономическая;
? аналитическая;
? налоговая;
? организационно-управленческая;
? научно-методическая.
Обобщенная характеристика видов профессиональной деятельности специалиста финансовой сферы представлена на схеме (рис.1).
Известно, что сегодняшний специалист, работающий в банке, страховой фирме, управляющий финансовой системой, должен решать достаточно сложные задачи и часто вырабатывать
новую стратегию поведения. Трудность при обучении состоит в
следующем – нет полного перечня всех возможных ситуаций,
которые могут встретиться студенту в будущей профессиональной деятельности, поэтому как бы много приемов и способов
ни знал человек, он всегда может попасть в такую ситуацию,
когда все известные приемы окажутся непригодными. Следовательно, при подготовке специалиста необходимо сформировать
некий общий механизм решения задач, который существенным
образом расширит интеллектуальные возможности. Этим механизмом является процесс моделирования внешнего мира.
Применение математического моделирования специалистами финансовой сферы сводится к выбору (построению) математической модели исследуемого процесса, решению задачи
внутри модели и содержательной интерпретации полученных
результатов. Данная процедура обычно вызывает затруднения у
студентов, так как требует сочетания формального и неформаль-
Виды профессиональной деятельности специалиста финансовой сферы
1.2. Компетентностный подход к обучению математике...
27
Финансовая
и кредитная
деятельность
Использование в практической деятельности
знаний по теории финансов, денег, кредита,
организации денежно-кредитного регулирования, банковского и биржевого дела, основ организации страхования, финансового менеджмента, государственных и муниципальных
финансов
Плановоэкономическая деятельность
Прогнозирование экономических процессов в
сфере денежных, финансовых и кредитных
отношений; организация процессов формирования и использования бюджетов (смет) разных уровней; обеспечение порядка финансового планирования, учета и отчетности на
предприятиях, в организациях и учреждениях
Аналитическая
деятельность
Аналитическая обработка финансовой отчетности с целью оценки эффективности функционирования экономических объектов;
анализ результатов финансовой деятельности;
определение приоритетов в условиях ограниченных ресурсов; решение нестандартных задач
Налоговая
деятельность
Обеспечение исчисления и уплаты налогов
и иных обязательных платежей в бюджет;
использование в практической деятельности
знаний по оптимизации налогообложения
Организационно-управленческая
деятельность
Организация профессиональной деятельности в коллективе; формулировка и делегирование профессиональных задач; умение
взаимодействовать с другими лицами для достижения согласованных решений в профессиональных вопросах
Научнометодическая
деятельность
Организация профессиональной деятельности на научной основе; использование
информационных технологий; формирование
способности адаптации к новым обстоятельствам, обеспечивающей конкурентоспособность специалистов
Рис. 1. Характеристика видов профессиональной деятельности
специалиста финансовой сферы
28
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
ного мышления, поэтому использование математических моделей и обучение моделированию должны присутствовать на
протяжении изучения всего курса математики.
Это предполагает в первую очередь создание запаса математических моделей, описывающих экономические процессы.
Такими моделями являются основные понятия математики: функция, уравнение, неравенство, производная, интеграл, вероятность, процент и т.д.
Далее необходимо сформировать знания и умения, необходимые для исследования математических моделей. Речь идет об
исследовании функций, решении уравнений, неравенств и их
систем, интегрировании и дифференцировании функций и пр.
И, наконец, требуется научить студентов строить и исследовать простейшие математические модели реальных процессов,
характерных для будущей профессиональной деятельности. Другими словами, следует научить студентов переводить задачу на
язык математики, интерпретировать результат решения на языке
реальной ситуации, определять соответствие исходных и полученных данных.
Используя схему (рис. 1) и учитывая возможности процедуры
моделирования, определим характеристики видов деятельности, выполнение которых может быть обеспечено использованием математического моделирования реальных экономических процессов:
? прогнозирование экономических процессов в сфере финансовых и кредитных отношений (изучение эффективности
инвестиций в условиях неопределенности с использованием вероятностных методов);
? обеспечение порядка финансового планирования (построение и исследование моделей, включающих равновесные соотношения – уравнения, системы и пр.);
? анализ результатов финансовой деятельности (владение
приемами анализа и синтеза как основными составляющими
умения моделирования);
? определение приоритетов в условиях ограниченных ресурсов (решение однокритериальных задач оптимального использования сырья);
? использование в практической деятельности знаний по
оптимизации налогообложения (применение моделей, основан-
1.3. Структурные компоненты и педагогические условия...
29
ных на средствах дифференциального и интегрального исчислений);
? организация профессиональной деятельности на научной
основе (формирование умений формализации и интерпретации
экономических процессов);
? развитие способности адаптации к новым обстоятельствам
(формирование опыта творческой деятельности).
Указанные характеристики демонстрируют тот факт, что моделирование является неотъемлемой частью профессиональных
функций специалиста финансовой сферы, и соответственно определяют необходимость формирования умений и навыков математического моделирования в качестве одной из основных
задач обучения математике студентов экономических вузов.
Таким образом, реализация компетентностного подхода,
ориентированного на формирование профессиональной компетентности, возможна за счет использования в качестве средства обучения метода математического моделирования реальных экономических процессов, что, в свою очередь, способствует
развитию интеллектуальных умений и навыков, личностных
свойств, обеспечивающих выполнение основных видов профессиональной деятельности специалиста финансовой сферы.
В контексте вышесказанного очевидна необходимость обращения к выделению педагогических условий формирования
профессиональной компетентности будущего специалиста при
обучении математике.
1.3. Структурные компоненты и педагогические
условия формирования профессиональной
компетентности будущих специалистов
финансовой сферы при обучении математике
Включение термина «профессиональная компетентность»
в теорию и практику процесса обучения как результата образования порождает много вопросов: о его структуре, содержании,
критериях, выборе методов и средств оценки. Нас будет инте-
30
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
ресовать структура профессиональной компетентности выпускника экономического вуза и условия ее формирования при
обучении математике.
В научных педагогических кругах активно обсуждается классификация и систематизация основных компонентов профессиональной компетентности.
Согласно мнению педагогической школы, представленной
учеными В.А. Козыревым, Н.Ф. Радионовой, А.П. Тряпицыной [32], профессиональную компетентность можно рассматривать как совокупность ключевых, базовых и специальных
компетентностей.
Раскрывая содержание ключевых компетентностей, обратимся
к мнению А.М. Новикова [42], который считает, что профессиональная компетентность, помимо технологической подготовки, включает ряд других компонентов, имеющих метапрофессиональный характер и необходимых сегодня специалистам
различного профиля. В их составе можно выделить:
? качества личности (мотивацию, ценностные ориентации,
целеустремленность, самостоятельность; творческий подход к
делу; умение постоянно учиться и обновлять знания и т.п.);
? качества мышления (подвижность, гибкость, абстрактность
мышления; системное и экспертное мышление; творческое
мышление и пр.);
? коммуникативные качества (коммуникабельность; способность к сотрудничеству; умение вести диалог и т.п.).
Эти качества являются необходимыми для любой профессиональной деятельности и носят название ключевых компетентностей, формирование их – прерогатива общеобразовательной
школы, а задача вуза помочь студенту в овладении базовыми компетентностями.
Базовые компетентности проявляются в способности решать
задачи, необходимые для овладения определенной профессией,
опираясь на личный опыт, приобретенный в различных ситуациях, как в процессе обучения, так и в общении, в том числе с
коллегами.
В свою очередь специальные компетентности отражают специфику конкретной сферы профессиональной деятельности и
1.3. Структурные компоненты и педагогические условия...
31
могут быть рассмотрены как результат реализации ключевых и
базовых компетентностей в области учебного предмета или конкретной области профессиональной деятельности.
В.А. Сластёнин [52] в структуре профессиональной компетентности рассматривает следующие составляющие:
? практическую (специальную) компетентность, определяющую уровень профессиональных знаний и технологий;
? социальную компетентность, характеризующую способность принимать ответственные решения;
? психологическую компетентность, состоящую в сформированности качеств мышления, навыков рефлексии, самореализации;
? коммуникативную компетентность, определяющую уровень коммуникативных способностей, в том числе культуры
речи и т.п.;
? информационную компетентность, включающую способность владения информационными технологиями, в том числе
с помощью компьютерных средств;
? валеологическую компетентность, характеризующую возможность ведения здорового образа жизни.
В работе О.В. Юдиной [70] в структуру профессиональной компетентности специалиста включены следующие компоненты:
? аксиологический, определяющий внутреннюю убежденность в необходимости получения профессиональных знаний;
? информационный, характеризующий необходимость использования информационных технологий в профессиональной деятельности;
? мотивационный, выраженный в сформированности интереса к сфере профессиональной деятельности;
? операционный, определяющий владение умениями и навыками, составляющими содержание профессиональной деятельности;
? эмоционально-волевой, характеризующий психологическую готовность к выполнению профессиональных функций.
А.В. Хуторский [61] и А.М. Новиков [42] в качестве основных компонентов профессиональной компетентности выделяют следующие:
32
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
? мотивационный – готовность к профессиональной деятельности;
? рефлексивный – личностное отношение к содержанию профессиональной деятельности, значимость целей деятельности,
самоанализ деятельности;
? когнитивный – обладание профессиональными знаниями;
? деятельностный – способность применять знания, умения
и навыки в практической деятельности.
Результаты проведенного теоретического анализа показывают, что компонентный состав профессиональной компетентности специалиста определяет единство трех составляющих:
когнитивной (наличие системы знаний), технологической (владение способами деятельности) и личностной (сформированность качеств личности).
Использование при этом выделенных ранее видов профессиональной деятельности специалиста финансовой сферы позволяет представить структуру его профессиональной компетентности в виде взаимосвязанных компонентов (когнитивного,
деятельностного, мотивационного и личностного), содержание
которых определяют такие категории, как знания, умения, навыки, мотивы и личностные качества.
Рассматривая профессиональную компетентность выпускника как интегративное качество личности, определяемое владением набора компетенций (совокупностью взаимосвязанных
знаний, умений, навыков, способов деятельности, включающих
личностное отношение к предмету деятельности), для обозначения образовательного результата освоения студентом конкретной предметной области используем понятие «образовательная компетенция».
Образовательная компетенция – это требование к образовательной подготовке, представленное совокупностью взаимосвязанных смысловых ориентаций, знаний, умений, навыков и
опыта деятельности обучающегося по отношению к определенному кругу объектов реальной действительности, необходимых
для осуществления личностно и социально значимой продуктивной деятельности [63].
В соответствии с разделением содержания образования на
метапредметное (для всех предметов), межпредметное (для цик-
1.3. Структурные компоненты и педагогические условия...
33
ла предметов) и предметное (для каждого учебного предмета)
А.В. Хуторской [61] выделяет три вида образовательных компетенций:
? ключевые – формируемые метапредметным содержанием
образования;
? общепредметные – формируемые межпредметным содержанием блока учебных дисциплин;
? предметные – формируемые в рамках учебных дисциплин.
В контексте вышесказанного структуру профессиональной
компетентности будущего специалиста финансовой сферы можно представить в виде схемы (рис. 2).
Ввиду того, что формирование профессиональной компетентности не может быть реализовано только средствами одной учебной дисциплины, вполне оправданным представляется включение ключевых и общепредметных компетенций в число неПрофессиональная компетентность будущего специалиста
финансовой сферы
Структурные компоненты
Когнитивный
компонент
Деятельностный
компонент
Мотивационный
компонент
Личностный
компонент
Содержание компонентов
Знания
Умения, навыки
Мотивы,
ценности
Качества
мышления
Образовательные компетенции
(ключевые, общепредметные, предметные)
Рис. 2. Структура профессиональной компетентности
будущего специалиста финансовой сферы
34
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
обходимых результатов обучения в рамках учебных предметов.
В связи с этим определим состав ключевых и общепредметных
образовательных компетенций и возможности дисциплины
«Математика» в процессе их формирования у студентов экономических вузов.
Анализ целей и содержания учебных дисциплин специальности «Финансы и кредит», проведенный в соответствии с новым стандартом, демонстрирует необходимость формирования
следующих групп ключевых компетенций:
? учебно-познавательные (направленные на освоение способов целеполагания, планирования, анализа, синтеза, рефлексии
и т.п.);
? ценностно-смысловые (ориентированные на формирование
ценностных ориентиров, самоопределение и т.п.);
? информационные (направленные на овладение средствами информации, способами поиска, анализа и отбора информации);
? коммуникативные (ориентированные на овладение объектами коммуникации в рамках образовательных областей, навыками работы в коллективе и т.п.);
? социальные (направленные на осмысление прав и обязанностей в вопросах профессионального самоопределения и т.п.);
? самосовершенствования (направленные на формирование
способов интеллектуального саморазвития, культуры мышления и т.п.).
Ключевые компетенции в структуре профессиональной
компетентности характеризуют прежде всего мотивационноценностный компонент, который, в свою очередь, определяет
стремление к реализации познавательных потребностей и интеллектуальных возможностей, владение навыками организации самообразования, понимание значимости математики в
профессиональной деятельности.
Данные диссертационного исследования Е.Ю. Напедениной
[40], а также обобщение практического опыта в качестве общепредметных компетенций, формируемых средствами дисциплин математического и естественно-научного цикла (Математика, Эконометрика, Информатика, Автоматизированные
информационные технологии), позволили выделить:
1.3. Структурные компоненты и педагогические условия...
35
? экономико-моделирующие (направленные на формирование умений построения и исследования детерминированных
формализованных моделей реальных экономических процессов);
? эконометрические (ориентированные на формирование
умений построения и исследования вероятностных моделей в
условиях неопределенности, риска и т.д.);
? программно-компьютерные (направленные на использование компьютерных технологий при обработке массивов финансово-экономической информации, владение навыками компьютерного программирования);
? специально-профессиональные (ориентированные на применение формализованных моделей в профессиональной деятельности).
Результаты анализа возможностей учебной дисциплины «Математика» в формировании ключевых и общепредметных образовательных компетенций будущих специалистов финансовой
сферы определили целесообразность организации математической подготовки студентов экономических вузов в соответствии
со следующими концептуальными положениями:
? цель и содержание математического образования будущего
специалиста определяются целью, характером и содержанием его
профессиональной деятельности;
? интегративный потенциал математики позволяет использовать математическое моделирование как средство профессионально-личностного развития студента через интегрирование
общеобразовательной и профессиональной подготовки;
? содержание и структура математической подготовки студента
должны способствовать формированию знаний, умений, навыков, личностных качеств, составляющих основу образовательных компетенций, в том числе ключевых и общепредметных,
определяющих, в свою очередь, уровень профессиональной компетентности.
Таким образом, выделяя в качестве главного результата профессионального образования готовность выпускников быть
компетентными в будущей профессиональной деятельности, в
роли результата математической подготовки будущих специалистов финансовой сферы необходимо рассматривать не просто
совокупность предметных знаний, умений и навыков студен-
36
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
тов, а возможность формирования образовательных компетенций, в том числе ключевых и общепредметных. В связи с этим
содержание математических знаний, умений и навыков студентов не должно ограничиваться включением теоретического материала и задач абстрактного характера, за математическими
понятиями студенты должны научиться видеть конкретные профессиональные объекты, их взаимодействие, что, в свою очередь, может быть обеспечено реализацией комплекса педагогических условий.
Анализ современной психолого-педагогической литературы
свидетельствует об отсутствии единых, принимаемых научным
сообществом положений о природе педагогических условий.
В рамках настоящего исследования обратимся к рассмотрению
данного вопроса применительно к формированию профессиональной компетентности специалиста финансовой сферы при
обучении математике.
В философии термин «условие» трактуется как категория,
выражающая отношение предмета к окружающим его явлениям, без которых он существовать не может, при этом условия
составляют ту среду, обстановку, в которой явление возникает,
существует и развивается [59].
В «Толковом словаре русского языка» С.И. Ожегова [43] под
условием понимают обстоятельство, от которого что-нибудь
зависит.
Таким образом, понятие «условие» может быть определено
как обстоятельство, среда, обстановка, в которых существуют
предметы, события, явления и которые обеспечивают последним
их дальнейшее развитие.
Педагогическое осмысление понятия «условие» отражено в
работах Ю.К. Бабанского, Н.Ю. Посталюк, П.И. Пидкасистого
и др.
Ю.К. Бабанский под педагогическими условиями понимает
«…обстановку, в которой компоненты учебного процесса представлены в наилучшем взаимодействии и которая дает возможность учителю плодотворно работать, руководить учебным
процессом, а учащимся – успешно трудиться» [4, с. 125].
По определению В.И. Андреева [2], педагогические условия –
это обстоятельства процесса обучения и воспитания, являющи-
1.3. Структурные компоненты и педагогические условия...
37
еся результатом целенаправленного отбора, конструирования
содержания, методов, организационных форм обучения для достижения дидактических целей.
Анализ педагогических интерпретаций данного понятия показывает, что трактовка термина «педагогические условия» определяет комплекс мер, направленных на совершенствование
тех или иных аспектов образовательного процесса
Таким образом, под педагогическими условиями формирования профессиональной компетентности будущих специалистов
финансовой сферы понимают совокупность мер, направленных
на повышение качества подготовки студентов к будущей профессиональной деятельности, обеспечение конкурентоспособности и
мобильности на рынке труда.
По мнению Н.А. Уваровой, Т.Г. Рыбалко [58], конструирование педагогических условий обуславливает учет внешних факторов (объективных обстоятельств), определяющих цель, содержание дисциплины и требования к уровню освоения программы.
При этом в качестве факторов, оказывающих влияние на формирование продуктов дидактического процесса, выделяют [48]:
? учебный материал;
? организационно-педагогическое влияние;
? обучаемость студентов;
? учебное время.
Из перечисленных факторов непосредственному конструированию поддаются два – учебный материал и организационно-педагогическое влияние, включающее методы обучения,
организационные формы, средства обучения, практическое использование приобретаемых знаний, умений и т.д.
В контексте вышесказанного при обучении математике представляется целесообразным выделить следущие педагогические
условия формирования профессиональной компетентности будущего специалиста финансовой сферы:
? интеграция содержания математической и профессиональной подготовки средствами математического моделирования
экономических процессов;
? создание личностно ориентированной среды обучения в
контексте представления содержания математического образования в логике будущей профессиональной деятельности;
38
Глава 1. Теоретические основы формирования профессиональной...
? педагогический мониторинг уровня профессиональной компетентности.
Таким образом, результаты проведенного теоретического исследования демонстрируют возможность трансформации знаний, умений и навыков, приобретаемых на занятиях по математике, в профессионально востребованные теоретические,
практические и личностные качества, составляющие содержание структурных компонентов профессиональной компетентности будущего специалиста финансовой сферы. В свою очередь, реализация комплекса взаимосвязанных педагогических
условий формирования профессиональной компетентности
обеспечивает целенаправленное конструирование содержательных и процессуальных составляющих образовательного процесса.
39
ГЛАВА 2
Математическое моделирование
экономических процессов как средство
формирования профессиональной
компетентности
2.1. Ретроспективный анализ математического
моделирования в исследовании экономических
процессов и его перспективная значимость
Благодаря своей синтезирующей роли, математика интенсивно проникает в другие науки и продуктивно используется ими.
При этом в качестве инструмента исследования выступает математическая модель, характерным свойством которой является общность по отношению к изучаемым объектам: одна и та же
модель может описывать процессы различной природы.
Обратимся к вопросу: что такое моделирование и что понимают в литературе под термином «модель»?
Слово «модель» ведет происхождение от латинского «modulus»,
что значит мера, образец, норма. Сегодня существует множество подходов к определению указанного понятия, причем в
разных ситуациях в него вкладывают различный смысл.
По мнению А.Б. Горстко: «Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе
познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты» [14, с. 11].
В.А. Штофф под моделью понимает «…такую мысленно представляемую или материально реализованную систему, которая,
отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об
объекте» [67, с. 22].
Экономико-математический словарь Л.И. Лопатникова содержит следующее определение: «Модель… – это логическое или
40 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса…» [36, с. 30].
Ю.П. Иванилов и А.В. Лотов предлагают под термином «модель» понимать «…некий образ (в том числе условный или мысленный) объекта, интересующего нас, либо, наоборот, прообраз некоторого объекта или системы объектов» [27, с. 19].
В естественных науках моделями называют «…некоторые
вспомогательные объекты исследования, используемые для
анализа основных объектов» [27, с. 20].
Принимая во внимание широкий спектр существующих определений, становится очевидным, что нельзя дать общего
определения понятия «модель» без использования термина
«моделирование». Между тем под моделированием понимают
«…исследование объектов познания не непосредственно, а косвенным путем при помощи анализа некоторых других вспомогательных объектов» [27, с. 20]. Такие вспомогательные
объекты мы и будем называть моделями.
Результаты проведенного теоретического анализа показывают, что модель – это условный образ объекта, который генерирует в себе наиболее важные его черты и используется для упрощения исследования.
Уточняя характер отношений между объектом и моделью,
следует отметить, что модель – это заменитель объекта исследования, находящийся с последним в таком сходстве, которое
позволяет получать новое знание об объекте. При этом между
моделью и моделируемым объектом (оригиналом) существует
отношение, которое основано на свойстве аналогии или подобия. Однако модель всегда отлична от оригинала, но поскольку
аналогична ему, то справедливо предположение о том, что обнаруженные в модели свойства присущи и оригиналу.
По мнению большинства исследователей, существенным
свойством моделирования является широта возможностей применения, что позволяет изучать стороны объекта, скрытые и
недоступные для непосредственного наблюдения, а также
«…связывать исследование объектов с аналогами в других областях, более удобных для наблюдения…» [54, с. 17].
2.1. Ретроспективный анализ математического моделирования...
41
На основании теоретического анализа понятий «модель» и
«моделирование» можно сделать заключение о том, что моделирование обеспечивает выполнение следующих функций:
? использует модель в роли заменителя объекта изучения;
? связывает аппарат представления модели и решение задачи;
? позволяет судить о реальных объектах на основании анализа, проводимого с помощью моделей;
? способствует получению новых сведений об изучаемом
объекте;
? предоставляет возможности создания обобщенной модели
объекта по результатам изучения отдельных сторон оригинала.
Выступая в качестве средства выделения и обобщения изучаемых сторон объекта, модель «…характеризуется аналитическими и синтетическими функциями – с их помощью объект изучают поэлементно, затем разрозненные данные объединяют в
единое целое на основании закономерностей логического рассуждения» [54, с. 19].
Существенными признаками модели являются структурные
элементы и отношения между ними, которые определяют многообразие оснований для классификации моделей. Остановимся на некоторых из них.
В.А. Штофф предлагает классифицировать модели по следующим признакам [67]:
? способу моделирования (форме модели);
? качественной специфике (содержанию модели).
Ввиду того, что нас интересует роль моделирования в экономических исследованиях, рассмотрим классификацию моделей по средствам моделирования. В рамках данного признака
модели образуют две группы – «…материальные и идеальные
модели» [27, с. 21].
Материальное (предметное) моделирование является экспериментальным методом и состоит в непосредственном исследовании модели как материального объекта. Примером материальной модели может служить макет здания, модель самолета,
планетарий.
От предметного моделирования принципиально отличается
идеальное моделирование, которое основано не на материаль-
42 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
ной аналогии объекта и модели, а на аналогии мыслимой, идеальной.
В экономических исследованиях применяют именно этот вид
моделирования, поскольку возможность проведения натурного эксперимента с материальными моделями ограничена: например, недопустимы эксперименты с экономикой страны в
познавательных целях. Различают два типа идеального моделирования: интуитивное и знаковое.
По мнению А.Б. Горстко, интуитивным полагают моделирование, основанное на «…интуитивном представлении об объекте
исследования, не поддающемся формализации либо не нуждающемся в ней» [14, с. 14]. В этом смысле жизненный опыт
каждого человека может считаться его интуитивной моделью
окружающего мира.
При знаковом (формализованном) моделировании моделями служат «…знаковые образования какого-либо вида: формулы, схемы, графики и т.д., причем знаковые образования и составляющие их элементы задаются вместе с законами, по
которым можно оперировать с ними» [14, с. 23].
Рассмотренную классификацию моделей можно представить
в виде следущей схемы (рис. 3).
Анализ схемы демонстрирует тот факт, что важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование.
Согласно мнению большинства исследователей, математическое моделирование – это отображение в математической
форме (в виде уравнений, неравенств, систем, графиков и пр.)
основных закономерностей изучаемого объекта или процесса,
используемое для упрощения исследования. Этого определения
мы будем придерживаться в работе, так как оно соответствует
рассмотренному ранее понятию «моделирование» и отвечает целям исследования.
К классификации математических моделей специалисты подходят по-разному, взяв за основу следующие признаки:
? по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии, экономике и пр.);
? по используемому математическому аппарату (модели, основанные на применении дифференциальных уравнений, сто-
2.1. Ретроспективный анализ математического моделирования...
43
Модели
Материальные
(предметные)
Физические
Модели,
обладающие
механическими, динамическими и другими видами
физического
подобия
Идеальные
Аналоговые
Модели,
основанные
на геометрической
аналогии;
пространственные
модели:
макеты, муляжи и т.д.
Интуитивные
Модели
идеализации,
представления
Знаковые
Образнознаковые
Математические
Определенным образом
интерпретированные
знаковые
системы:
схемы, карты и т.п.
Модели,
сформулированные на
языке математики с использованием
математических методов
Рис. 3. Классификация моделей по средствам моделирования
хастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.);
? по целям моделирования (дескриптивные, оптимизационные, многокритериальные, игровые, имитационные и пр.).
Рассмотрим основные типы математических моделей, используемых при анализе экономических процессов.
Математическое моделирование экономических процессов,
как и физических, имеет свою историю, хотя и не столь продолжительную. Начало использованию математических моделей в
экономике было положено в XVIII веке Ф. Кенэ (1758 год, «Экономическая таблица»), А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо (модель международной торговли).
44 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
Достаточно серьезное использование математических моделей в экономике впервые было предложено Л. Вальрасом (XIX
век) для оптимизации оценочных функций – полезности потребителя и прибыли производителя в задаче конкурентного
рыночного равновесия.
В течение последующих лет математическое моделирование
экономических процессов продолжало развиваться. В XIX веке
большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла
математическая школа: О. Курно, В. Парето, Ф. Эджеворт и др.
В ХХ веке математические методы моделирования применялись
очень широко, с их использованием связаны практически все
работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике: Д. Хикс,
Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.
В России большой вклад в математическое моделирование
экономики в начале ХХ века внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий, в 1960–1980-е годы – В.С. Немчинов, В.В. Новожилов,
Л.В. Канторович предприняли попытку формально описать «систему оптимального функционирования экономики».
На рубеже ХХ и ХХI веков математические методы моделирования экономических процессов, продолжая стремительно
развиваться, переходят в новые качества: экономико-математическое и имитационное моделирование.
В современной литературе под экономико-математическим
моделированием понимают построение экономико-математической модели, полагая при этом, что экономико-математическая модель есть «…математическое описание экономического
процесса, …проведенное в целях… исследования или управления…» [36, с. 597].
Главная особенность имитационного моделирования состоит
в проведении компьютерного эксперимента с математической
моделью исследуемого экономического процесса. Название
«имитационное моделирование» представляет собой дословный
перевод с английского выражения «Simulation modelling», что демонстрирует возможность «проиграть» различные варианты развития исследуемого процесса и выбрать альтернативную стратегию поведения.
Заметим, что четких границ, отделяющих указанные методы, не существует, так как они являются последовательными
2.1. Ретроспективный анализ математического моделирования...
45
продолжениями друг друга и позволяют управлять поведением
экономических процессов в условиях современной рыночной
экономики.
Анализ научных исследований, а также обобщение практического опыта позволили из большого количества классификаций экономико-математических моделей в качестве наиболее
целесообразных с точки зрения обучения моделированию на
уровне высшей профессиональной школы выделить следующие
основания: по степени агрегирования (объединения, укрупнения) моделируемого процесса, по целям и средствам моделирования. Согласно указанным основаниям экономико-математические модели можно разбить на ряд классов, включающих
следующие типы моделей [22]:
? макроэкономические (характеризуют экономику как единое
целое, связывая укрупненные материальные и финансовые показатели) и микроэкономические (описывают взаимодействие
структурных составляющих экономики – предприятий, фирм);
? теоретические (позволяют изучать общие свойства экономики дедукцией выводов из формальных предпосылок) и прикладные (предоставляют возможность описания конкретных
экономических процессов для получения практических рекомендаций);
? балансовые (обеспечивают достижение экономического равновесия, например, соответствия между наличием ресурсов и
их использованием) и оптимизационные (способствуют выбору
наилучшего варианта поведения для получения максимальной
прибыли или обеспечения минимальных издержек при заданных ограничениях ресурсов);
? статические (описывают состояние экономического процесса
в конкретный момент времени) и динамические (исследуют экономические процессы во времени);
? детерминированные (предполагают наличие жестких функциональных связей между элементами модели) и стохастические (допускают воздействие случайных факторов на исследуемый экономический процесс).
Рассмотренную классификацию экономико-математических
моделей можно представить в виде схемы (рис. 4).
46 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
Характеризуют экономику как
единое целое, связывая укрупненные финансовые
показатели
Обеспечивают изучение общих
свойств
экономики
дедукцией
выводов из
формальных предпосылок
Обеспечивают
достижение
экономического равновесия,
например, соответствия между
наличием ресурсов и их использованием
Описывают состояние экономического
процесса в
конкретный момент времени
Балансовые
Теоретические
Требуют наличия жестких функциональных связей
между элементами
модели
Статические
Макроэкономические
Детерминированные
Экономико-математические модели
Микроэкономические
Прикладные
Описывают поведение структурных составляющих
экономики
и их взаимодействие
Стохастические
Динамические
Оптимизационные
Обеспечивают
исследование
экономических процессов с целью
получения рекомендаций
для принятия
практических
решений
Исследуют эконоОбеспечивамический
ют получение
процесс во
максимальвремени
ной прибыли
(минимальных издержек) при заданных ограничениях
Исследуют
экономические процессы,
допускающие
воздействие
случайных
факторов, используя аппарат теории вероятностей и
математической статистики
Рис. 4. Основные типы экономико-математических моделей
2.1. Ретроспективный анализ математического моделирования...
47
Анализ схемы показывает, что формализованная модель, построенная для исследования реального экономического процесса, может быть охарактеризована по нескольким основаниям.
В качестве примера можно привести модель межотраслевого баланса (МОБ), которая является макроэкономической, прикладной, балансовой, детерминированной, причем выделяют как статические, так и динамические модели МОБ.
Таким образом, спектр формализованных моделей, используемых сегодня в экономике, достаточно широкий. В связи с
этим встает вполне правомерный вопрос: «Почему же, невзирая
на богатый опыт, накопленный поколениями известных ученых в области экономико-математического моделирования, сегодня рано говорить о существовании системы математических
моделей в экономической науке, которая могла бы стать основой не только ретроспективного анализа, но и перспективных
исследований развития сложных экономических процессов?»
Предпринимая попытки найти ответ на поставленный вопрос, обратимся к мнению профессора В.А. Колемаева [30], который акцентирует внимание на двух особенностях экономики
как объекта моделирования.
1. В экономике невозможны модели подобия, как, например, в технике, нельзя построить копию национальной экономики в масштабе 1:1000, с тем чтобы отработать различные варианты экономической политики.
2. В экономике ограничены возможности локальных экспериментов, поскольку все ее части взаимосвязаны.
«Что же остается?» – размышляет В.А. Колемаев. Ответ прост:
прошлый опыт, прямые эксперименты с экономикой страны
и математическое моделирование. Конечно, опыт нельзя недооценивать, однако он не всегда может быть использован в условиях новой ситуации. Прямые эксперименты с экономикой
страны предоставляют возможность увидеть краткосрочные последствия воздействий на экономику, но не дают возможности
предвидеть долгосрочные последствия принимаемых решений.
Преодоление указанных трудностей возможно лишь при условии объединения усилий, то есть в результате использования
моделей развития экономики, опирающихся на прошлый опыт,
в основе которых лежат математические модели. При этом об-
48 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
ласть применения математического моделирования в экономике
не должна ограничиваться задачами чисто прикладного характера, связанными с управлением хозяйственными объектами,
поскольку центральная проблема экономико-математического
моделирования сегодня – это построение надежного мостика
между микроэкономическим уровнем (планирование деятельности отдельных предприятий) и макроэкономикой (перспективы развития национальной и мировой экономики).
Однако, коснувшись сферы макроэкономики, мы сталкиваемся с очередной проблемой. В условиях плановой экономики,
господствовавшей в нашей стране в течение нескольких десятилетий, было возможным использование математических
моделей на макроуровне. Примером является модель МОБ. Рыночную экономику сегодня как целое очень трудно планировать, используя математические модели, поскольку модели в
масштабах национальной экономики оперируют агрегированными величинами. Например, основной принцип рыночной
экономики – принцип конкуренции – практически исключается в том случае, если мы попытаемся определить сумму доходов всех участников рынка.
Что же сдерживает сегодня развитие экономико-математического моделирования и прежде всего его использование на
макроэкономическом уровне? В центре рыночной экономики
стоит принцип конкуренции, который специалисты в области
экономико-математического моделирования, основоположники прикладного раздела математики «Теория игр» Д. Нейман и
О. Моргенштерн связывают с понятием полезности. Однако на
макроуровне нет места оптимизации, поскольку классическая
модель рыночной экономики – это система взаимосвязанных
моделей трех рынков: рабочей силы, товаров и денег, каждый из
которых стремится к стабильности, то есть устанавливает цены
так, чтобы спрос был равен предложению. Разрешение указанных противоречий и определяет сегодня перспективы развития
экономико-математического моделирования и вполне возможно
приведет в будущем к созданию стройной системы математических моделей, используемых для исследования реальных экономических процессов.
2.2. Психолого-дидактические аспекты использования...
49
Методический аспект исследуемой проблемы очевиден – для
того чтобы оперировать формализоваными моделями и в будущем внести свой вклад в методологию математического моделирования экономических процессов, студентам необходимо
приобрести определенный запас знаний, умений и навыков по
основам моделирования. С этой точки зрения схема (см. рис. 4),
характеризующая основные типы формализованных моделей,
не претендует на универсальность, а готовит студентов к работе
с моделями, продвигая от понимания того, как устроены простейшие модели в экономике, к пониманию более сложных и
совершенных экономико-математических моделей.
Таким образом, рассмотренные типы экономико-математических моделей, определяя возможности и перспективы исследования реальных экономических процессов, составляют когнитивную основу профессиональной компетентности будущих
специалистов финансовой сферы, формируемой средствами математического моделирования.
2.2. Психолого-дидактические аспекты использования
математического моделирования в качестве средства
формирования профессиональной компетентности
При обучении студентов математическому моделированию
экономических процессов на уровне высшей профессиональной школы следует помнить, что личностное развитие человека
несет на себе печать его возрастных и индивидуальных особенностей, которые необходимо учитывать в процессе воспитания
и обучения: «С возрастом связан характер деятельности человека, особенности его мышления, круг интересов» [60, с. 100].
Вопрос о необходимости учета возрастных особенностей в
процессе воспитания и обучения рассматривали многие деятели
педагогической науки, в частности Я.А. Коменский, Д. Локк,
Ж.Ж. Руссо, Л.Н. Толстой. Взгляды на «…идею природосообразности воспитания, то есть учета природных особенностей
развития…» интерпретировались ими по-разному, однако все
они сходились в одном – если мы не будем знать особенностей
50 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
обучающихся и того, что их интересует в том или ином возрасте, то не сумеем правильно организовать процесс воспитания и
обучения [60, с. 100].
Какие же возрастные этапы выделяют в развитии человека от
рождения до наступления зрелости и какой отпечаток накладывают они на формирование личностных качеств? В настоящее
время в возрастной и педагогической психологии принято выделять следующие периоды развития [44]:
? дошкольный возраст (4–7 лет);
? младший школьный возраст (7–10 лет);
? средний школьный возраст (11–15 лет);
? старший школьный возраст, или ранняя юность (15–18 лет);
? поздняя юность (18–25 лет).
Поскольку в работе исследуется проблема формирования профессиональной компетентности при обучении математике студентов высшей профессинальной школы, проанализируем существенные особенности второго периода юности (18–25 лет),
связанного с обучением в вузе и получением профессионального образования.
«Юность – время максимального расцвета личности. Длительное исследование соотношения возрастно-половых и нейродинамических свойств студента в его индивидуальном развитии… обнаружило, что возраст от 18 до 25 лет является
наиболее плодотворным для формирования многих психических функций и особенно для развития интеллектуальных возможностей человека» [44, с. 77–78]. Интенсивное развитие интеллектуальной сферы наблюдается уже в возрасте 17 лет, при
этом очевидна способность к овладению обобщенными интеллектуальными умениями, что отмечают в своих исследованиях
И.В. Дубровина, Б.С. Круглов [45].
Между тем необходимо помнить, что период от 18 до 25 лет
характеризуется не только высоким уровнем развития мышления и памяти, но и относительно низким уровнем развития внимания. Поэтому значительным фактором, влияющим на умственное развитие студента в процессе обучения, является
формирование у него интереса к изучаемой области знаний.
В чем заключается ценность познавательного интереса для
формирования личности? Согласно заключению Г.И. Щуки-
2.2. Психолого-дидактические аспекты использования...
51
ной [68], познавательный интерес есть особая избирательная направленность личности на процесс познания, избирательный
характер которой выражается заинтересованностью в иной предметной области знаний. В.А. Далингер полагает, что «познавательный интерес – это… одно из личностных свойств, …черта
характера, проявляющаяся в виде пытливости, любознательности, активности; интерес проявляется в виде избирательного
отношения… к тому или иному учебному предмету» [19, с. 150].
М.Д. Боярский подчеркивает, что познавательный интерес есть
«…устойчивое состояние человека, выраженное в его целенаправленной активно-познавательной деятельности по отношению к какому-либо объекту...» [10, с. 4].
Следовательно, в условиях обучения познавательный интерес проявляется в расположенности к одной или нескольким
учебным дисциплинам. У студента возникает желание углубиться именно в эту область, но ресурсы времени оказываются недостаточными. Поэтому следующее противоречие состоит в том,
что большой объем информации не всегда соответствует количеству времени, определенному для переработки [44]. Таким
образом, широта информации вступает в противоречие с глубиной ее осмысления.
Г.В. Дорофеев [21] считает, что объем знаний, которые человек может получить в период обучения, ограничен, кроме того,
динамичный научно-технический и социальный прогресс резко сокращает долю знаний, получаемых в процессе обучения,
по отношению к информации, необходимой для полноценной
деятельности в изменяющемся обществе. Вследствие этого
Г.В. Дорофеев полагает, и мы разделяем его точку зрения о том,
что при формировании интеллекта на первый план выходит задача развития следующих качеств:
? интеллектуальной восприимчивости (способности к усвоению новой информации);
? интеллектуальной подвижности;
? гибкости мышления.
Эти качества являются условием относительно безболезненной адаптации к изменяющимся жизненным обстоятельствам
в современном обществе.
52 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
Таким образом, имеется настоятельная необходимость
в «…переориентации методической системы обучения на приоритет ее развивающей функции… по отношению к образовательной, информационной… перенос акцентов с увеличения
объема информации на формирование умений использовать эту
информацию» [21].
Достижение необходимого развивающего эффекта обучения
математике на основе овладения студентами умением моделировать на ее языке процессы природы и общества заключается
в формировании и поддержании целостной информационной
картины мира. При этом моделирование значительно расширяет приложения математики, позволяя с помощью современной
вычислительной техники решать огромное число проблем в различных областях деятельности человека, в частности в финансовой сфере.
Американские эксперты выявили прямую зависимость между уровнем математической подготовки и качественным составом работающих специалистов в финансовой сфере, которые
должны решать достаточно сложные задачи и часто вырабатывать новую, не имевшуюся у них ранее стратегию поведения,
то есть совершать акт творчества. Отсутствие полного перечня
возможных ситуаций, которые могут встретиться студенту в будущей профессиональной деятельности, обуславливает необходимость формирования общего механизма решения задач, который существенным образом расширяет интеллектуальные
возможности. Таким механизмом является процесс моделирования внешнего мира.
Широкое распространение метода моделирования объясняется многообразием его гносеологических функций. Рассматривая метод моделирования лишь как прием обучения творческой деятельности студентов, мы, естественно, сужаем рамки
изучения проблемы моделирования в педагогике. Вместе с тем
возможность сконцентрировать внимание на обсуждении именно этого аспекта проблемы позволяет рассмотреть наиболее актуальную задачу обучения – подготовку студентов к будущей
профессиональной деятельности посредством формирования
у них способности к творческому (продуктивному) мышлению.
2.2. Психолого-дидактические аспекты использования...
53
Когда человек решает творческую задачу, ищет выход из трудной ситуации, в его голове происходит сложнейший психический процесс, который носит название творческого мышления.
Попытки проникнуть в механизм творческого процесса предпринимали многие известные исследователи в различных отраслях науки, в частности Г. Уоллес, А. Пуанкаре, Г. Гельмгольц,
Р. Вудвортс, Д. Пойа. Огромный вклад в изучение закономерностей творческого мышления сделан отечественными психологами и педагогами: В.В. Афанасьевым, З.И. Калмыковой,
А.Н. Леонтьевым, Я.А. Пономаревым, А.Н. Луком, А.М. Матюшкиным, С.Л. Рубинштейном.
Приступая к характеристике теоретических основ процесса
формирования творческого мышления с использованием метода моделирования, воспользуемся понятием «мышление»,
определенным в психологии как «…процесс познавательной деятельности индивида, характеризующийся обобщением и опосредованным отражением действительности» [34].
Известно, что учебная деятельность студентов по овладению
системой знаний, умений и навыков определяется двумя познавательными процессами: репродуктивным и творческим. Эти
процессы тесно взаимосвязаны, поскольку репродуктивные компоненты составляют основу творческой деятельности. При этом
важным является тот факт, что «…по мере продвижения от репродуктивных методов к творческим обязательно совершается
переход от видения конкретного действия к общему, от отдельных процессуальных компонентов решения задачи к целостной
структуре деятельности» [46, с. 166]. Само же продвижение от
репродуктивной деятельности к творческой предполагает создание благоприятных условий для формирования у студентов творческого мышления.
Таким образом, под творческим мышлением понимают процесс
познания индивида, связанный с открытием нового знания, с
решением нестандартных задач и творческим преобразованием
действительности.
Поскольку опыт творческой деятельности является одним из
основных компонентов содержания образования, то элементы
обучения творческому подходу к решению задач, связанных с
профилем будущей специальности студента, должны занимать
54 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
существенное место в процессе обучения. Причем имеется необходимость в усилении данной направленности не только в
специальных дисциплинах, но и в области фундаментальных
наук, в частности математики. Одним из главных стержней
согласованности в обучении математике и подготовке к творческой профессиональной деятельности является построение и
исследование математических моделей.
Обратимся к вопросу о том, почему математическое моделирование можно считать фактором, способствующим формированию творческого мышления. Актуальным в этом плане является мнение американского математика Д. Пойа. Интересен его
подход к раскрытию структуры творческого мыслительного процесса – «…использование личного опыта в решении задач и наблюдение за тем, как решают задачи другие люди. Это позволяет обнаружить то общее, что лежит в основе решения любой
проблемы независимо от ее содержания» [49, с. 14].
Согласно заключению Д. Пойа, схема решения математической задачи включает четыре этапа:
? постановка цели;
? составление плана решения;
? осуществление плана решения;
? взгляд назад (изучение полученного решения).
В ходе выполнения этих этапов решающий задачу должен
ответить на следующие вопросы: Что дано? Что неизвестно?
Не встречалась ли ранее такая задача в несколько иной форме?
Нельзя ли воспользоваться этой задачей? Не следует ли ввести
дополнительный элемент, позволяющий воспользоваться прежней задачей? и т.д.
При внимательном рассмотрении этапов решения задачи,
предложенных Д. Пойа, и системы наводящих вопросов нетрудно обнаружить их общность с этапами построения математической модели.
Итак, в чем проявляется творчество акта математического
моделирования? Известно, что реальный процесс творческого
мышления связан с явлениями двоякого рода:
? приводит к решению сложных, нетипичных задач;
? переносит приемы, которые человек сформировал у себя в
ходе решения одних задач, на другие задачи.
2.2. Психолого-дидактические аспекты использования...
55
В этом контексте построение математической модели предполагает формирование следующих умений:
? расчленение условия задачи на части (используя совокупность наводящих вопросов);
? выделение существенных факторов исследуемого процесса
и их абстрагирование от других;
? проведение интеграции наук (перевод задачи на язык математики или интерпретация полученного решения на языке реальной ситуации);
? формирование способности отражения окружающего мира.
Подводя итог вышеизложенному, отметим еще один важный
факт, который подтверждает мысль о том, что математическое
моделирование есть творческий процесс.
Решая любую задачу, мы помним, что модель, построенная
нами, всегда неполна, поскольку, выделяя наиболее существенные признаки, она абстрагируется от других (это уже акт творчества), которые, несмотря на свою незначительность, все же
в совокупности влияют на поведение исследуемого процесса.
Так, в простейшей экономической модели спроса полагают, что
величина спроса на товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом деле на величину спроса оказывает влияние и ряд других факторов, например, цены на прочие товары,
мода, сезонность, реклама и тому подобное, поэтому состав учтенных в модели факторов и ее структура всегда могут быть уточнены в ходе совершенствования модели.
Таким образом, творчество акта математического моделирования заключается в формировании способностей полного
отражения объективной действительности, «схватывании» проблемы целиком, умении составлять стратегию поведения и целенаправленно, осмысленно осуществлять поиск необходимого согласованного решения.
Как при этом модельный подход способствует формированию у студентов умений и навыков, необходимых в будущей
профессиональной деятельности? Это связано с развитием профессиональных качеств будущего специалиста, умением найти
оптимальное решение в любой нестандартной ситуации. Не случайно экономико-математические методы завоевали сегодня
«…доминирующее место… в хозяйственной практике, бизнесе,
56 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
принятии решений на уровне экономической политики государств. Их широко используют крупные и крупнейшие фирмы,
банки, фонды, правительства» [46, с. 5].
Вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что моделирование является неотъемлемой составной частью деятельности
современного специалиста финансовой сферы, поэтому выработка простейших навыков математического моделирования,
необходимых для изучения других дисциплин, является основной задачей обучения математике на экономических факультетах вузов.
В свою очередь, в обучении математике студентов высшей
профессиональной школы следует руководствоваться рядом
принципов:
? студенты не будут учиться при отсутствии мотивации, нужны определенные стимулы (личный интерес, профессиональная необходимость и пр.);
? студенты желают получить информацию о прикладной направленности не в отдаленной перспективе, а в момент изучения учебного материала;
? студенты предпочитают роль субъектов образовательного
процесса, поэтому необходимо использовать разнообразные
формы и приемы активного обучения.
Итак, одна из задач воспитания и обучения средствами математики студентов в возрасте от 18 до 25 лет в рамках подготовки к
будущей профессиональной деятельности в финансовой сфере состоит в формировании у обучающихся следующих компонентов:
? познавательной мотивации к изучению математики;
? интеллектуальной восприимчивости, подвижности, гибкости мышления;
? опыта творческой деятельности, обеспечивающей способность адаптации к новым обстоятельствам.
Таким образом, выявленные возрастные особенности студентов высшей профессиональной школы, состоящие в противоречии между высоким уровнем развития памяти и относительно
низким уровнем развития внимания, обуславливают необходимость обеспечения мотивации к изучению математики и способствуют развитию качеств мышления, опыта творческой деятельности, определяющих в первую очередь мотивационный
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
57
и личностный компоненты профессиональной компетентности,
формируемой средствами математического моделирования экономических процессов.
2.3. Характеристика основных этапов моделирования
экономических процессов при обучении математике
Построение экономико-математических моделей – это достаточно сложная научная проблема, и если рассматривать ее под углом зрения методологии математического моделирования, то, безусловно, речь должна идти не только о перечне и особенностях
отдельных типов моделей. Однако, принимая во внимание тот
факт, что стройная система математических моделей создана пока
лишь в физике, а в других науках есть достаточно интересные, но
изолированные подходы и модели, сегодня рано говорить о существовании системы формализованных моделей в экономической
науке, которая могла бы помочь исследователям предсказать тенденции развития сложных экономических процессов.
Поиск путей решения данной проблемы требует от высшей
профессиональной школы подготовки грамотных специалистов,
способных применять приемы моделирования к анализу экономических проблем, осуществляя при этом синтез, интеграцию научных знаний, и в то же время обеспечивает в будущем
создание фундамента, на котором может быть построена система математических моделей экономических процессов, аналогичная системе моделей физики.
В рамках настоящего исследования нас интересуют особенности построения экономико-математических моделей, используемых при обучении математике будущих специалистов финансовой сферы. Обратимся к практическому аспекту этой
проблемы – технологической цепочке процесса моделирования.
Простейшая схема математического моделирования включает в себя следующие этапы.
Первый этап – перевод практической ситуации на математический язык (нахождение функции, составление уравнения или
неравенства и т.д.).
58 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
Второй этап – решение математической задачи средствами
выбранной теории (исследование функции, ее дифференцирование или интегрирование, решение уравнения и т.д.). Это
основная задача курса математики, призванного обеспечить достаточную подготовку специалиста, знающего не только простейшие математические формулы и правила, но и умеющего
применить их в будущей профессиональной деятельности.
Третий этап – перевод результата решения математической
задачи на язык той отрасли, в которой была сформулирована
исходная задача.
При решении экономических проблем рекомендуем применять более подробный перечень этапов моделирования, который предложен группой ученых под руководством О.О. Замкова [22]:
? формулировка предмета и цели исследования;
? выделение структурных элементов, соответствующих данной цели, и их наиболее важных характеристик;
? словесное, качественное описание взаимосвязей между элементами модели;
? введение символических обозначений и формализация взаимосвязей (построение математической модели);
? проведение расчетов по математической модели;
? анализ и интерпретация полученного решения.
Рассмотрим варианты реализации технологической цепочки
моделирования для различных типов экономико-математических моделей и определим существенные особенности моделирования для каждой из них.
Приведем примеры реализации технологической цепочки
моделирования для решения задач балансового типа и рассмотрим особенности построения равновесных моделей.
Пример 1. Банкомат заправлен купюрами следующего достоинства:
по 1000 рублей – 1850 купюр, по 500 рублей – 230 купюр, по 100 рублей –
740 купюр, по 50 рублей – 250 купюр. Меню банкомата позволяет снять
со счета следующие суммы: 9750 рублей, 7350 рублей, 4700 рублей,
2650 рублей. Определите количество человек, имеющих возможность воспользоваться банкоматом для получения каждой из указанных сумм, если
выдача денег производится минимальным числом купюр.
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
59
1 этап. Предмет исследования – функционирование банкомата. Цель
исследования заключается в определении количеств различных категорий человек, имеющих возможность воспользоваться банкоматом при
условии получения определенных денежных сумм минимальным числом
купюр.
2 этап. Структурные элементы, соответствующие данной цели:
– типы денежных сумм, определенных меню банкомата;
– виды денежных купюр, используемых в банкомате;
– количество купюр определенного достоинства в банкомате.
3 этап. С целью качественного описания взаимосвязи между структурными элементами задачи преобразуем данные в табличную форму. Используя условие минимальности числа купюр различного достоинства,
формирующих любую из денежных сумм, определенных меню банкомата, представим таблицу распределения купюр (табл. 3).
При решении поставленной задачи необходимо построить экономикоматематическую модель балансового типа, обеспечивающую равенство
между количеством имеющихся в банкомате купюр и их использованием.
Таблица 3
Распределение купюр банкоматом в зависимости от вида
денежной купюры, типа денежных сумм, выдаваемых банкоматом и
количества купюр определенного достоинства в банкомате
Виды
купюр,
руб.
1000
500
100
50
Типы денежных сумм,
выдаваемых банкоматом, руб.
9750
7350
4700
2650
9
7
4
2
1
–
1
1
2
3
2
1
1
1
–
1
Общее
количество
купюр, шт.
1850
230
740
250
4 этап. Пусть х1, х2, х3, х4 – количество человек, имеющих возможность
получения в банкомате сумм в размере 9750, 7350, 4700, 2650 руб. соответственно. По данным таблицы составляем систему балансовых уравнений:
? 9 x1
?x
? 1
?
?2 x 1
?? x
1
+ 7x2
+
+ 3x 2
+
x2
+ 4 x3
x3
+ 2 x3
+ 2x4
= 1850,
+
x4
=
230,
+
x4
=
740,
+
x4
=
250.
60 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
5 этап. Решим систему линейных уравнений методом Гаусса. Для этого поменяем местами первое и второе уравнения и с помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу системы к приведенному ступенчатому виду:
–
–
–
–
–
?
?
1 0
1
1
230
0 1
–1
0
20
0 3
0
–1
280
0 7
–5
–7
–
7
?
220
1 0
1
1
230
0 1
–1
0
20
0 0
1
6
580
0 0
2
–7
– 360
?
3
+
1 0 0
0 1 0
–5
– 350
6
600
0 0 1
6
580
0 0 0
1
80
1
?
2
1
1
230
0 1
–1
0
20
0 0
3
–1
220
0 0
2
–7
– 360
1 0 0
–5
0 1 0
6
600
0 0 1
6
580
0 0 0
–19
–1520
1 0 0 0
?
6
? x1
?x
? 2
?
? x3
?? x 4
1 0
5
–
?
1
350
?
· –
1
19
50
0 1 0 0 120 ?
0 0 1 0 100
0 0 0 1
80
= 50,
= 120,
= 100,
= 80.
6 этап. Количество человек, имеющих возможность получения
в банкомате денежных сумм в размере 9750, 7350, 4700, 2650 руб.,
составляет 50, 120, 100, 80 соответственно.
Пример 2. Имеются три банка, каждый из которых начисляет вкладчику определенный годовой процент. В начале года 1/3 вклада размером
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
61
6000 ден. ед. положили в первый банк, 1/2 вклада – во второй банк
и оставшуюся часть – в третий банк и к концу года сумма этих вкладов
выросла до 7250 ден. ед. Если бы первоначально 1/6 вклада положили
в первый банк, 2/3 – во второй банк и 1/6 вклада – в третий банк,
то к концу года сумма вклада составила бы 7200 ден. ед.; однако если бы
1/2 вклада положили в первый банк, 1/6 – во второй банк и 1/3 вклада – в третий банк, то сумма вкладов в конце года составила бы вновь
7250 ден. ед. Какой процент выплачивает каждый банк?
1 этап. Предмет исследования – наращение банковских вкладов. Цель
исследования – определение годовой процентной ставки каждого из трех
банков.
2 этап. Структурные элементы, соответствующие данной цели:
– варианты вкладов начисления процентов;
– размеры первоначальных вкладов;
– наращенные суммы капитала.
3 этап. Представим данные задачи в табличной форме, принимая во
внимание тот факт, что сумма первоначальных вкладов для трех банков
составляет 6000 ден. ед. (табл. 4).
Таблица 4
Наращенная сумма банковского вклада, в зависимости
от варианта вклада и размера первоначального вклада
Варианты
вкладов
I
II
III
Размер первоначального вклада, ден. ед.
банк №1
банк №2
банк №3
2000
3000
1000
1000
4000
1000
3000
1000
2000
Наращенная
сумма вклада
7250
7200
7250
4 этап. В соответствии с вопросом задачи введем переменные. Пусть
x1, x2, x3 – годовой процент первого, второго и третьего банков соответственно.
По истечении года наращенная сумма для первого варианта вклада составляет
2000 (1 + 0,01x1) + 3000 (1 + 0,01x2) + 1000 (1 + 0,01x3),
что по условию соответствует сумме размером 7250 ден. ед., то есть
2000 + 20x1 + 3000 + 30x2 + 1000 + 10x3 = 7250,
62 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
20 x 1 + 30 x 2 + 10 x 3 = 1250
: 10
2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 125.
Аналогично получаем балансовые ??равнения, характеризующие прирост по второму и третьему варианту вклада:
1000 (1 + 0,1 x 1 ) + 4000 (1 + 0,1 x 2 ) + 1000 (1 + 0,1 x 3 ) = 7200 ?
? x 1 + 4 x 2 + x 3 = 120,
3000 (1 + 0,1 x 1 ) + 1000 (1 + 0,1 x 2 ) + 2000 (1 + 0,1 x 3 ) = 7250 ?
? 3 x1 + x 2 + 2 x 3 = 125.
Таким образом, получена система линейных уравнений (СЛУ):
? 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 125,
?
? x 1 + 4 x 2 + x 3 = 120,
?
?3 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 125.
5 этап. Решим СЛУ методом Гаусса:
2 3 1 125
?
2
?
1 4 1 120
3 1 2 125
?
5
–1
–6
0 1
1 0
140
–5
0 0
– 150
?
· ( 1 6)
2
3 1
125
–1
1 0
–5
–1
–5
5 0 1 140
1 0 –5
25
5
0 – 125
?
–1
1 0 0
3
+
5
0 0 1 15
0 1 0 20 ?
1 0 0 25
? x 1 = 25,
?
? x 2 = 20,
?? x = 15.
3
6 этап. Годовой процент каждого из трех банков составляет 25%,
20%, 15%.
Основной чертой рассмотренных задач является их балансовый характер, хотя согласно классификации экономикоматематических моделей по целям, средствам моделирования и
степени агрегирования моделируемого процесса построенные
формализованные модели являются к тому же микроэкономи-
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
63
ческими, прикладными, статическими, детерминированными
и обладают следующими особенностями:
? позволяют представлять данные в табличной форме, что значительно упрощает процесс выделения структурных элементов,
соответствующих цели, и их наиболее важных характеристик;
? содержат одну четко поставленную цель исследования –
обеспечение равновесных соотношений в использовании финансовых средств и наращении банковских вкладов;
? используют систему уравнений в качестве математической
модели для исследования экономического процесса;
? готовят студентов к пониманию значимости балансовых
соотношений в будущей профессиональной деятельности, в частности при подготовке планово-финансовой отчетности.
В качестве примеров построения оптимизационных моделей
рассмотрим решение следующих задач.
Пример 3. Собственные средства коммерческого банка в сумме с депозитами составляют не более 100 млн долл. Часть этих средств, но не менее
35 млн долл., должна быть размещена в кредитах, остальная в ценных
бумагах. Кредиты являются неликвидными активами банка, так как в
случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в
деньги без существенных потерь невозможно. Другое дело ценные бумаги, особенно государственные, их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль или, во всяком случае, без большого убытка.
Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки
должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы – ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. В нашем
примере ликвидное ограничение таково, что ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств банка. Необходимо определить объем денежных средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах с целью получения максимальной прибыли, если их доходность составляет 15% и
10% соответственно.
1 этап. Предмет исследования – использование денежных средств банка. Цель исследования – определение объемов денежных средств для размещения в кредитах и ценных бумагах, позволяющих получить максимальную прибыль.
2 этап. Структурными элементами, соответствующими данной цели,
являются виды банковских активов – кредиты и ценные бумаги, обладающие известной доходностью.
64 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
3 этап. На структурные элементы задачи наложены следующие ограничения:
– ограничение собственных средств банка;
– кредитное и ликвидное ограничения.
Рассматриваемый пример является задачей линейного программирования, решение которой требует построения формализованной модели,
удовлетворяющей двум условиям: ограничение использования денежных
средств и максимизация доходов от их вложения.
4 этап. В соответствии с вопросом задачи вводим переменные.
Пусть х1 (млн руб.) – размер денежных средств, размещаемых в кредитах,
х2 (млн руб.) – размер денежных средств, вложенных в ценные бумаги.
Объем используемых денежных средств банка составляет (х1 + х2)
млн руб., что по условию не превышает 100 млн руб., то есть (х1 + х2) ? 100.
При этом часть средств, размещаемых в кредитах, не менее 35 млн руб.,
то есть х1 ? 35. В соответствии с ликвидным ограничением, средства,
вложенные в ценные бумаги, составляют не менее 30% средств банка,
то есть х2 ? 0,3(х1 + х2).
Учитывая требования неотрицательности переменных, получаем
систему ограничений:
? x1 + x 2 ? 100,
? x ? 35,
? 1
?
? x 2 ? 0,3( x1 + x 2 ),
?? x1 ? 0, x 2 ? 0.
Общий доход от вложения средств в кредиты и ценные бумаги характеризует целевая функция F = 0,15х1 + 0,1х2.
5 этап. Задача состоит в нахождении таких значений переменных х1
и х2, которые удовлетворяют системе ограничений и максимизируют
целевую функцию:
? x1 + x 2 ? 100,
?
? x1 ? 35,
?
? x 2 ? 0,3( x1 + x 2 ),
?
? x 1 ? 0,
? x ? 0,
? 2
F = 0,15х1 + 0,1х2 ? max.
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
65
Рис. 5. Решение задачи линейного программирования
геометрическим методом
Решая задачу линейного программирования геометрическим методом,
получаем следующий результат (рис. 5).
Максимальное значение целевой функции, удовлетворяющее системе
ограничений, достигается в точке с координатами (70; 30) и составляет
F max = 0,15 ? 70 + 0,1 ? 30 = 13,5.
6 этап. Размер денежных средств, вложенных в кредиты, составляет
70 млн долл., в ценные бумаги – 30 млн долл. Доход банка при таком
размещении средств – 13,5 млн долл.
Пример 4. В России начиная с 1975 года производят выпуск монет инвестиционного назначения из драгоценных металлов. Поскольку операции с инвестиционными монетами не облагаются налогом на добавленную стоимость, то они, в отличие от коллекционных монет, золота в
слитках и ювелирных изделий, являются выгодным способом размещения денежных средств, так как цена монет приближена к мировой стоимости содержащихся в них драгоценных металлов.
66 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
Рассмотрим ситуацию, когда на Московском монетном дворе чеканят
инвестиционные монеты номиналом 10 руб. и 50 руб., стоимостью соответственно 1 тыс. руб. и 2 тыс. руб. В качестве лигатуры для монетных
сплавов используют металлы (серебро, золото и платину), имеющиеся
в количествах 6, 10, 8 г соответственно. Для чеканки десятирублевой
монеты необходимы 1 г серебра и 2 г золота, пятидесятирублевой монеты – 1 г серебра, 1 г золота и 2 г платины соответственно. Требуется
определить оптимальное количество монет, производимое из имеющихся объемов металла и обеспечивающее Банку России наибольшую
прибыль.
1 этап. Предмет исследования – чеканка инвестиционных монет из
драгоценных металлов. Цель исследования – определение количества выпускаемых монет различного номинала, обеспечивающее получение максимальной прибыли от их реализации.
2 этап. Структурные элементы, соответствующие данной цели:
– виды инвестиционных монет, обладающие известной стоимостью;
– состав лигатуры монетных сплавов;
– запасы драгоценных металлов на монетном дворе.
3 этап. Представим данные задачи в табличной форме (табл. 5).
Таблица 5
Нормы расхода серебра, золота и платины для чеканки монет
номиналом 10 и 50 рублей и запасы драгоценных металлов
Лигатура
монетных
сплавов
Серебро
Золото
Платина
Нормы расхода металла
для чеканки монет, г
номинал 10 руб.
номинал 50 руб.
(стоимость одной
(стоимость одной
монеты 1 тыс. руб.)
монеты 2 тыс. руб.)
1
1
2
1
0
2
Запасы
драгоценных
металлов,
г
6
10
8
Решение задачи требует построения формализованной модели,
удовлетворяющей двум условиям: ограничению использования запасов
драгоценных металлов для чеканки монет и максимизации прибыли
от реализации монет.
4 этап. В соответствии с вопросом задачи введем переменные.
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
67
Пусть x1, x2 – количество инвестиционных монет номиналом 10 руб.
и 50 руб. соответственно, выпускаемых при данной технологии чеканки
с целью получения максимальной прибыли.
По данным таблицы составим систему ограничений:
? x1 + x 2 ? 6,
?
?2 x1 + x 2 ? 10,
?
2 x 2 ? 8.
?
Требование неотрицательности переменных: x1 ? 0, x2 ? 0.
Общий доход Банка России от реализации произведенных инвестиционных монет определяет целевая функция F = х1 + 2х2.
Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:
? x1 + x2 ? 6,
?
? 2x1 + x2 ? 10,
?
2 x2 ? 8.
?
x1 ? 0, x2 ? 0,
F = x1 + 2 x2 ? max .
Рассматриваемый пример является задачей линейного программирования. Решение задачи может быть получено в результате моделирования производственной ситуации, сложившейся на монетном дворе.
Продемонстрируем роль теории двойственности, позволяющей провести
более глубокий анализ моделируемой ситуации. Для этого построим
математическую модель двойственной задачи, используя следующие
условия:
1) если одна из двух задач на максимум, то другая задача на минимум;
2) коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи
являются свободными членами системы ограничений другой задачи;
3) каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи;
4) коэффициенты ограничений одной задачи образуют транспонированную матрицу коэффициентов системы ограничений другой задачи;
5) в задаче на максимум все неравенства системы ограничений должны
иметь вид «?», в задаче на минимум – «?». Если для некоторого неравенства это требование не выполняется, его умножают на (–1).
68 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
Математическая модель
прямой задачи
Математическая модель
двойственной задачи
F = x1 + 2 x 2 ? max
Z = 6 y 1 + 10 y 2 + 8 y 3 ? min
? x1 + x 2 ? 6,
?
? 2 x1 + x 2 ? 10,
?
2 x 2 ? 8,
?
y1 ? 0
x1 ? 0,
? y1 + 2 y 2 ? 1,
?
? y1 + y 2 + 2 y 3 ? 2.
y2 ? 0
y3 ? 0
x 2 ? 0.
Экономический смысл двойственной задачи.
Исследуем возможность продажи запасов драгоценных металлов
монетного двора при условии получения прибыли не меньшей, чем
от реализации монет. Для этого необходимо определить предполагаемую
условную стоимость 1 г драгоценного металла каждого вида.
Пусть y1, y2, y3 – условная стоимость 1 г серебра, золота и платины
соответственно, тогда выручка от продажи драгоценных металлов, необходимых для чеканки одной монеты номиналом 10 руб., составляет
y1 + 2y2, что не должно быть меньше фактической стоимости этой монеты
(1 тыс. руб.), то есть y1 + 2y2 ? 1. Аналогично можно формализовать соответствующее ограничение для продажи металла, необходимого при производстве одной монеты номиналом 50 руб.: y1 + y2 + 2y3 ? 2.
Эти два условия характеризуют цель продавца драгоценных металлов – получение прибыли от продажи металла не меньшей, чем от продажи монет. Тогда цель покупателя – минимизировать затраты на приобретение имеющихся запасов металла, то есть Z ? min.
5 этап. Решим прямую задачу симплекс-методом:
? x 1 + x 2 + x 3 = 6,
? x 1 + x 2 ? 6, + x 3
?
?
? 2 x1 + x 2 ? 10, + x 4 ? ? 2 x 1 + x 2 + x 4 = 10, ?
?
?
2 x 2 + x 5 = 8,
2 x 2 ? 8, + x 5
?
?
( )
( )
x j ? 0, j = 1,2 ,
x j ? 0, j = 1,5 ,
F = x 1 + 2 x 2 ? max .
F = x 1 + 2 x 2 ? max .
? x 3 = – x 1 – x 2 + 6,
?
? x 4 = –2 x 1 – x 2 + 10,
?
= –2 x 2 + 8.
?x
{5
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
СП
БП
x3
x4
x5
F
–x1 –x2
bi
1
2
0
–1
6
10
8 ?
0
1
1
2
–2
СП
БП
x3
x4
x2
F
?
69
СП
БП
1 –1/2 2 ?
x1
2 –1/2 6
x4
0 1/2 4
x2
F
–1 1
8
–x1 –x5
bi
–x3 –x2
bi
1
–2
0
1
2
2
4
10
–1/2
1/2
1/2
1/2
?
X1 = (0; 0; 6; 10; 8)
X2 = (0; 4; 2; 6; 0)
X3 = (2; 4; 0; 2; 0)
F1 = 0
F2 = 8
F3 = 10
Таким образом, получено оптимальное решение прямой задачи:
X * = (2; 4; 0; 2; 0), Fmax = 10.
Используя двойственный симплекс-метод, найдем решение двойственной задачи. Для этого установим соответствие между переменными
двойственных задач.
Прямая
задача
Количество единиц выпускаемой
продукции
Остатки сырья
основные
переменные
дополнительные
переменные
x1
Двойственная
задача
x2
x3
x4
x5
Ч Ч
Ч Ч Ч
y4
y1
y5
y2
y3
дополнительные
переменные
основные
переменные
Превышение затрат на производство одной единицы продукции
над ценой реализации
Условная
стоимость одной
единицы сырья
В последнюю симплекс-таблицу добавим верхнюю строку и левый
столбец, содержащие компоненты оптимального плана двойственной
задачи.
70 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
БП
СП
y4
y2
y5
Z
СП
БП
x1
x4
x2
F
y1
y3
–x3
–x5
1 –1/2 2
–2 1/2 2
0
1/2 4
1
1/2 10
Учитывая, что значения свободных переменных равны нулю, получаем оптимальное решение двойственной задачи:
Y * = (1; 0; 1/2; 0; 0), Zmin = 10.
6 этап. Интерпретация решения прямой задачи. Оптимальное количество чеканки инвестиционных монет при известных запасах драгоценных металлов составляет: две монеты номиналом 10 руб.; четыре монеты
номиналом 50 руб. Сумма дохода от продажи данного количества монет –
10 тыс. руб. При таком плане организации производства монетного двора
имеются остатки золота в количестве 2 г.
Интерпретация решения двойственной задачи. В том случае, если
использовать запасы драгоценных металлов без организации производства монет, то условная стоимость металлов составит: 1 тыс. руб.,
0 тыс. руб., 500 руб. за 1 г серебра, золота и платины соответственно.
При этом нулевая стоимость золота не означает, что оно ничего не стоит,
а лишь подтверждает тот факт, что ресурс не является дефицитным и
при сложившейся технологии производства имеется его остаток (2 г).
В связи с этим в случае расширения производства необходимо в первую
очередь увеличивать запасы серебра, имеющие, в отличие от платины,
более высокую условную стоимость. Это обеспечит больший прирост
целевой функции. Увеличение запасов золота не является рентабельным
ввиду нулевой условной стоимости данного металла при сложившейся
технологии производства.
В части выявления тенденций динамики экономического процесса
двойственность также позволяет определить целесообразность производства нового вида продукции, например, инвестиционной монеты номиналом 20 руб. и стоимостью 1,5 тыс. руб. при затратах драгоценных металлов (серебра, золота и платины) в количествах 0, 2, 1 г соответственно.
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
71
Поскольку известны условная стоимость 1 г драгоценных металлов (1; 0;
0,5) и нормы расхода (0; 2; 1), то можно подсчитать суммарную условную
стоимость ресурсов, необходимых для производства одной монеты:
1 · 0 + 0 · 2 + 1/2 · 1 = 1/2 < 1,5.
Полученное соотношение демонстрирует тот факт, что новую инвестиционную монету производить выгодно, так как прибыль от реализации превышает затраты на производство. В противном случае ответ будет
отрицательным.
Рассмотренные оптимизационные экономико-математические модели являются микроэкономическими, прикладными,
статическими и детерминированными. При этом в качестве отличительных особенностей моделей можно выделить следующие черты:
? возможность формирования навыков построения оптимальной модели поведения для достижения нескольких целей,
например, обеспечения условий ограниченности ресурсов и оптимизации целевой функции;
? целесообразность использования при исследовании экономического процесса двух типов математических моделей – аналитической и графической;
? перспективность изучения тенденций динамики экономических процессов методами линейного программирования, используя конструктивные возможности теории двойственности.
Приведем примеры построения динамических моделей с использованием средств дифференциального и интегрального исчисления.
Пример 5. Зависимость между себестоимостью единицы продукции
y и объемом продукции x выражает формула y = 10x – 0,01x3. Необходимо найти предельную себестоимость при объеме продукции x = 10 единиц и определить целесообразность расширения объемов производства.
1 этап. Предмет исследования – организация производства продукции. Цель исследования – определение предельной себестоимости заданного объема продукции.
2 этап. Структурные элементы, соответствующие данной цели:
– объем выпуска продукции;
72 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
– себестоимость продукции, определенная функциональной зависимостью.
3 этап. Предельную себестоимость продукции характеризует производная функции себестоимости, демонстрирующая прирост функции при
изменении аргумента на единицу.
4 этап. Искомая предельная себестоимость может быть определена в
результате дифференцирования функции себестоимости:
y ?(x) = (10x – 0,01x 3)? = 10 – 0,03x 2.
Таким образом, функция предельной себестоимости имеет вид
y ?(x) = 10 – 0,03x 2, в то время как функция средней себестоимости определяется следующим образом:
y cp =
y ( x ) 10 x – 0,01 x 3
=
= 10 – 0,01 x 2 .
x
x
5 этап. Значение предельной себестоимости при объеме продукции,
2
равной 10 единиц, составляет y ?(10) = 10 – 0,03·10 = 7 ден. ед.
В то время как средняя себестоимость при выпуске продукции в объеме 10 единиц равна
2
yср(10) = 10 – 0,01·10 = 9 ден. ед.
6 этап. При сложившейся технологии производства себестоимость
выпуска единицы продукции (при объеме производства 10 единиц)
составляет 9 ден. ед. В то время как себестоимость единицы дополнительной продукции (стоимость одиннадцатой единицы продукции) составляет 7 ден. ед., что свидетельствует о целесообразности расширения производства.
Пример 6. С целью реализации приоритетного национального проекта задан непрерывный денежный поток со скоростью f (t) = –t 2 + 20t + 5
(млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой p = 5%.
Необходимо найти дисконтированную стоимость денежного потока.
1 этап. Предмет исследования – экономическая эффективность денежных инвестиций. Цель исследования – определение дисконтированной стоимости денежного потока.
2 этап. Структурные элементы, соответствующие данной цели:
– скорость денежного потока;
– период поступления инвестиций;
– годовая процентная ставка.
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
73
3 этап. Дисконтирование суммы денежного потока состоит в определении начальной стоимости инвестиций по известной конечной
стоимости и процентной ставке при условии непрерывного начисления
процентов.
4 этап. Непрерывное начисление процентов характеризует наращенную сумму формулой St = S · e r t, где r = 0,01p. В этом случае, если сумма
St является функцией времени f (t), то дисконтированная величина
денежного потока определяется как S = f (t) e–r t, где t ?[0;T ]. Соответственно, математическая модель задачи имеет вид
T
S=
? f (t ) ? e
? rt
dt ,
0
где f (t) – функция скорости денежного потока;
r – процентная ставка;
0 ? t ? T – период поступления денежных инвестиций.
5 этап. Проведем расчеты по математической модели. Ввиду того,
что f (t) = –t 2 + 20t + 5, где 0 ? t ? 20, p = 5% ? r = 0,05, получим
20
S=
? (– t
2
+ 20t + 5 )? e ?0 , 05 t dt .
0
Вычисляя определенный интеграл, применим формулу интегрирования по частям, выполнив замену переменной:
s = –0,05t, t = –20s, dt = –20ds.
При этом значение новых пределов интегрирования составит:
s1 = –0,05 · 0 = 0, s2 = –0,05 · 20 = –1.
В результате замены переменной получим:
–1
S = –20
? (– 400 s
2
)
0
s
– 400 s + 5 ? e dt = 20
0
? (– 400 s
2
)
– 400 s + 5 ? e s dt =
–1
?u = –400 s 2 – 400 s + 5 ? du = ( – 800 s – 400 )ds ?
=?
? = udv =
dv = e s ds ? v = e s
?
?
?
?
= uv – vdu = 20 ? – 400 s 2 – 400 s + 5 ? e s
??
?
(
)
0
–1
0
?
+ e s (800 s + 400 ) ds ? .
??
–1
?
74 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
В первое слагаемое подставим пределы интегрирования, а для второго
слагаемого вновь применим формулу интегрирования по частям, полагая, что u1 = 800s + 400 ? du1 = 800ds. В результате получим:
?
S = 20 ? 5 – 5e –1 + (800 s + 400 ) e s
??
0
?
s
–
800
e
ds
?=
–1
??
–1
0
?
= 20 (5 ? 5 e – 1 + 400 + (800 – 400 ) e – 1 – 800 + 800e – 1) =
1 = 20(1195 e – 1 – 395 ) = 892.
6 этап. Дисконтированная стоимость инвестиций, поступление которых ожидается в течение 20 лет, составит 892 млрд руб.
Построенные динамические модели являются микроэкономическими, прикладными, балансовыми, детерминированными. Определяя для рассмотренных задач наиболее важные особенности реализации технологической цепочки моделирования,
выделим следующие факты:
? математическими моделями задач являются производная
функции и определенный интеграл;
? балансовый характер задач позволяет выделить из основной модели искомый элемент;
? динамичность моделей демонстрирует возможность определения предельных экономических показателей, в том числе прирост себестоимости продукции и временную стоимость денег.
В качестве примера построения стохастической модели рассмотрим технологию решения следующих вероятностных задач.
Пример 7. Клиент желает приобрести акции компании по производству легковых автомобилей. У него есть предположение о том, какую сумму
следует вложить в это приобретение, однако свою способность определить правильное решение он оценивает невысоко – примерно числом 0,4.
У клиента имеется возможность получения бесплатной консультации
у пяти финансовых консультантов. Можно рискнуть спросить их, а затем
либо принять, либо опровергнуть решение на основании большинства
голосов. Надежность их прогноза он оценивает так же, как свою. Как
лучше поступить клиенту: положиться на свое собственное мнение или
на мнение большинства голосов финансовых консультантов?
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
75
1 этап. Предмет задачи – поведение клиента. Целью задачи является
определение стратегии покупки акций некоторой компании.
2 этап. Имеются две альтернативы: выбрать стратегию самостоятельно или положиться на мнение большинства финансовых консультантов.
При этом известно, что надежность любой индивидуальной оценки составляет 0,4.
3 этап. Случайным событием в задаче является определение правильного решения при покупке акций, что требует сравнения двух альтернативных стратегий. Вероятность определения правильного решения
в соответствии с первой стратегией равна 0,4. Требуется определить вероятность правильного решения при второй стратегии, то есть вероятность
того, что большинство из пяти опрошенных консультантов (либо 3, либо 4, либо 5) дадут правильный ответ.
4 этап. Поскольку опрос консультантов – испытания независимые,
то искомая вероятность при выборе второй стратегии может быть определена с помощью схемы повторных независимых испытаний. Применим
формулу Бернулли:
P(m,n) = C nm ? p m ? (1 ? p ) n ? m ,
где p = 0,4 – вероятность получения правильного ответа при одном испытании (опрос одного консультанта); n = 5 – число испытаний; m = (3; 4; 5) –
частота появления правильного ответа в n испытаниях; P(m,n) – вероятность того, что из n консультантов m человек дадут правильный ответ.
5 этап. Определим вероятность того, что из 5 консультантов правильный ответ дадут не менее 3 человек:
P ( 5,3) + P ( 5, 4 ) + P (5,5) = C 53 ? ( 0, 4 ) 3 ? ( 0,6 ) 2 + C 54 ? ( 0,4 ) 4 ? 0,6 +
+C 55 ? ( 0,4 ) 5 = 0,3174.
Таким образом, вероятность снизилась с 0,4 до 0,317 – более чем
на 20%.
6 этап. Опрос консультантов в данной ситуации лучше не проводить,
так как надежность принятия правильного решения при этом падает с 0,4
до 0,317.
Пример 8. Статистика запросов кредита в Центральном банке Российской Федерации такова: 10% – государственные органы, 30% – коммерческие банки, остальные – физические лица. Вероятности невозврата
взятого кредита соответственно таковы: 0,01; 0,05; 0,2. Начальнику
76 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
кредитного отдела сообщили, что получена информация о невозврате кредита, но в факсовом сообщении имя клиента плохо пропечатано. Какова
вероятность того, что данный кредит не возвращает коммерческий банк?
1 этап. Предмет исследования – изучение кредитного риска Центрального банка Российской Федерации. Цель исследования – оценка
вероятности выступления коммерческого банка в качестве неплатежеспособного клиента при условии, что очередной кредит не возвращен.
2 этап. Структурные элементы, соответствующие данной цели:
– случайное событие, состоящее в том, что очередной кредит не возвращен;
– гипотезы, образующие полную группу случайных событий и характеризующие классификацию клиентов, запрашивающих кредит (государственные органы, коммерческие банки, физические лица).
3 этап. В соответствии с условием задачи известны:
– статистические данные запросов кредита согласно классификации
клиентов (вероятности гипотез);
– кредитные истории клиентов банка (вероятности невозврата кредита различными категориями клиентов).
4 этап. Ввиду того, что требуется определить вероятность наступления
одной из гипотез при наличии дополнительной информации, задача может быть решена с использованием формулы Байеса:
p (H i A ) =
p(H i ) ? p( A H i )
,
p ( H 1 ) ? p ( A H 1 ) + p ( H 2 ) ? p ( A H 2 ) + p ( H 3 ) ? p( A H 3 )
где p(H 1 ) = 0,2; p(H 2 ) = 0,3; p(H 3 ) = 0,6 – вероятности гипотез;
p( A H 1 ) = 0,01; p ( A H 2 ) = 0,05; p( A H 3 ) = 0,2 – условные вероятности
события А в случае наступления каждой из гипотез.
5 этап. Определим вероятность того, что неплатежеспособным клиентом оказался коммерческий банк, при условии, что очередной кредит не
возвращен:
p (H 2 A ) =
p (H 2 ) ? p ( A H 2 )
=
p (H 1 ) ? p ( A H 1 ) + p ( H 2 ) ? p ( A H 2 ) + p (H 3 ) ? p ( A H 3 )
=
0,3 ? 0,05
= 0,1103.
0,1 ? 0,01 + 0,3 ? 0,05 + 0,6 ? 0,2
6 этап. Вероятность невозврата кредита составляет 0,11.
2.3. Характеристика основных этапов моделирования...
77
Очевидно, что построение стохастической модели усложняет
функционирование технологической цепочки моделирования.
Это в первую очередь проявляется в том, что необходимо более
тщательное, детальное преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основных отношений. Кроме того,
в зависимости от сложности задачи, возможно использование
в качестве математических моделей нескольких вероятностных
формул или законов.
Все рассмотренные выше экономико-математические модели имеют ряд особенностей, которые проявляются при реализации этапов моделирования, однако анализ решения задач
позволяет утверждать о целостности технологической цепочки
моделирования независимо от типов используемых моделей.
При этом необходимо понимать, что выполнение рекомендаций схемы моделирования не означает того, что студент может
решить любую проблему. Роль технологической цепочки моделирования заключается в том, что ее использование способствует
формированию структуры рассуждений в поисках решения задачи, причем имеется в виду не жесткая структура рассуждений, а гибкая мыслительная деятельность.
Таким образом, овладение технологической цепочкой процесса
моделирования предоставляет студентам экономических специальностей широкие возможности для проведения всесторонних
исследований, руководствуясь формализованной моделью экономической ситуации, что, в свою очередь, обеспечивает формирование деятельностного компонента профессиональной компетентности будущих специалистов финансовой сферы.
Реализация рассмотренных в настоящем исследовании особенностей формирования структурных компонентов профессиональной компетентности средствами математического моделирования требует обращения к характеристике выделенных
ранее педагогических условий, обеспечивающих конструирование содержательных и процессуальных составляющих образовательного процесса, одним из которых является интеграция
математической и профессиональной подготовки средствами
моделирования экономических процессов.
78 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
2.4. Интеграция математической и профессиональной
подготовки будущих специалистов финансовой сферы
средствами моделирования экономических процессов
В современных условиях задача обучения студентов моделированию экономических процессов приобретает особую значимость в связи с тем, что:
? во-первых, увеличивается объем информации, сообщаемой
студентам, что приводит к необходимости внесения качественных изменений в содержание образования;
? во-вторых, расширяется процесс интеграции наук, требующий умения согласованно применять знания различных
дисциплин.
Все это ведет к необходимости формирования у студентов
высшей профессиональной школы способности к самостоятельному творческому мышлению, определяющему возможность
адаптации к новым жизненным и профессиональным обстоятельствам.
В соответствии с вышесказанным рассмотрим роль математического моделирования в интеграции содержания математической и профессиональной подготовки будущих специалистов
финансовой сферы.
Поскольку в ходе обучения происходит систематическое накопление, переработка и использование «разнопредметной»
информации, которая создает предпосылки к интеграции знаний, существующая дифференциация учебных предметов и
интеграция в обучении протекают «…как два противоположных
и взаимообусловливающих процесса при изучении каждой дисциплины» [3, с. 26]. Используя это «диалектическое сочетание», попытаемся найти резервы для дальнейшего совершенствования процесса подготовки специалистов финансового
профиля.
Так как дифференциация (дробление на самостоятельные отрасли знаний) порождает противоположный процесс – интеграцию (воссоединение) целостности научного знания, то перед
дидактикой встает вполне определенная задача – дать препода-
2.4. Интеграция математической и профессиональной подготовки...
79
вателю надежный инструмент для реализации интегративной
функции обучения.
По мнению Н.С. Антонова [3], интеграционные явления в
учебном процессе проявляются в форме стихийной или управляемой интеграции. В первом случае студент без каких-либо
управляющих воздействий преподавателя пытается разрешить
учебную ситуацию, возникающую при изучении дисциплины,
применяя при этом знания и умения, сформированные при
изучении других учебных предметов, например, использует
математический аппарат при решении задач страхования, финансового учета, налогообложения и т.д.
В рамках настоящего исследования нами были проведены наблюдения за ходом учебного процесса, результатом которых явился сравнительный анализ эффективности использования приемов
стихийной и управляемой интеграции при изучении дисциплин
естественно-научного и общепрофессионального циклов.
Рассмотрим особенности использования стихийной интеграции. На занятии в Омском филиале федерального государственного образовательного учреждения «Академия бюджета и казначейства Министерства финансов Российской Федерации»
(Омский филиал ФГОУ ВПО АБиК Минфина России) по предмету «Менеджмент» (тема «Финансовый менеджмент») студенты, определяя временную стоимость денег и доходность финансовых вложений, пользуются понятием процента, методами
начисления простых и сложных процентов, операциями наращения и дисконтирования, изученными в курсе математики.
В ходе практического занятия студентам предлагается следущая учебная ситуация.
Пример 9. Инвестор имеет 20 тыс. руб. и планирует получить через
два года 100 тыс. руб. Какова в этом случае должна быть норма доходности, то есть ставка дисконта?
В первый момент лишь около 10% студентов выразили готовность
решать задачу у доски. Поэтому с целью активизации их деятельности
преподавателем были заданы следующие вопросы.
Преподаватель: Какой метод начисления процентов будет использован при решении данной задачи с целью максимизации прибыли инвестора? Почему?
80 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
Студент: С целью максимизации прибыли инвестора следует использовать метод начисления сложных процентов, поскольку в этом случае
происходит «начисление процента на процент» и первоначальный капитал увеличивается быстрее, чем прирост простых процентов.
Преподаватель: Запишите формулу сложных процентов и используйте ее для решения задачи.
p ?n
?
Студент: K n = K 0 ? 1 +
? , где K n = 100, K 0 = 20, n = 2.
? 100 ?
Выражая р и подставляя в формулу данные задачи, получаем следующий
результат: ставка дисконта составляет около 124%.
Данная учебная ситуация позволяет отметить положительные
стороны использования студентами приемов стихийной интеграции: расширяется кругозора, повышается общий интеллектуальный уровень, развивается способность к самостоятельной
деятельности. Однако не каждый студент способен целенаправленно осуществлять стихийную интеграцию. Поэтому эффективность в обучении будет гораздо выше в том случае, если процессом интеграции управляет преподаватель.
Приведем пример использования приемов управляемой
интеграции. При изучении темы «Спрос и предложение, равновесная цена» по предмету «Экономическая теория» (Омский филиал ФГОУ ВПО АБиК Минфина России) студентам была предложена практическая ситуация, сложившаяся на рынке товара.
Пример 10. Функции спроса и предложения на товар заданы формулами D(p) = 7 – p и S(p) = 3p – 1. Необходимо вычислить эластичность
спроса и предложения в точке равновесия, а также сделать вывод.
При изучении курса «Математика» студенты познакомились с этапами построения экономико-математической модели, а при рассмотрении
темы «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» –
с формулой расчета коэффициента эластичности функции, поэтому
студент, вызванный к доске, самостоятельно определяет ход решения
в следующей последовательности:
1) называет этапы построения экономико-математической модели;
2) выделяет вопрос задачи;
3) перечисляет известные данные;
2.4. Интеграция математической и профессиональной подготовки...
81
4) словесно описывает взаимосвязь между известными и неизвестными элементами;
5) формулирует математическую модель задачи (записывает формулы
для расчета коэффициентов эластичности спроса и предложения);
6) проводит расчеты по математической модели;
7) выполняет интерпретацию полученного результата.
Поскольку коэффициент эластичности спроса принимает значение –
2/5, а коэффициент эластичности предложения соответственно 6/5,
то, анализируя полученный результат, студент делает следующие выводы: спрос на товар неэластичен, предложение эластично, поэтому увеличение цены на 1% приведет к падению объема спроса на 0,4% и к увеличению предложения на 1,2%.
Встает вполне правомерный вопрос: «Что позволяет студенту
решить рассмотренную выше задачу самостоятельно, без подсказки преподавателя?» На наш взгляд, самостоятельность достигается благодаря владению обобщенными межпредметными
приемами учебной деятельности, формированию которых способствует обучение моделированию в курсе математики. При
этом целенаправленная реализация технологической цепочки
моделирования для исследования экономических процессов
облегчает ориентировочные, коммуникационные и контролирующие действия студентов.
В случае управляемой интеграции основным дидактическим
инструментом являются межпредметные связи (МПС). При этом
существуют два магистральных направления в осуществлении управляемой интеграции. Первое из них носит традиционный характер и состоит в том, что в определенные периоды обучения
преподаватель рассматривает связи, естественным образом вытекающие из содержания учебного материала двух или более учебных дисциплин. Второе направление заключается в том, что
в качестве основы интегрального процесса выбирается определенный комплекс знаний и умений, не укладывающийся целиком в пределы одной дисциплины. Такой комплекс является стержнем, связывающим воедино все курсы определенного цикла [3].
Ввиду того, что в рамках настоящего исследования нас интересует проблема формирования профессиональной компетентности будущих специалистов финансовой сферы средствами
82 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
математического моделирования, обратимся к анализу возможностей формализованных моделей и метода моделирования в
реализации МПС математики, общепрофессиональных и специальных дисциплин.
Согласно положениям современной дидактики, осуществление МПС учебных дисциплин целесообразно рассматривать на
уровне знаний и на уровне видов деятельности (М.Н. Скаткин,
Г.И. Батурина).
При рассмотрении МПС на уровне знаний исходят из того,
что элементами каждой науки являются язык, теория и прикладная часть. Межпредметные связи математики с общепрофессиональными и специальными дисциплинами в экономическом вузе
на уровне знаний могут быть реализованы посредством формализованных моделей, используемых для исследования экономических процессов. Связь между учебными предметами в этом
случае реализуется посредством языка (общность терминов) и
выступает как «соподчинение» наук. Данное утверждение можно продемонстрировать следующей схемой (рис. 6).
Представленная схема не только демонстрирует реализацию МПС на уровне знаний, но и обращает внимание на тот
факт, что методы анализа экономических процессов и методы,
используемые при изучении математики, имеют достаточно
много общего.
В связи с этим, принимая во внимание психолого-педагогические исследования Д.Н. Богоявленского, Е.Н. КабановойМеллер, Н.А. Менчинской, И.С. Якиманской, рассматривающих
целесообразность реализации МПС на уровне видов деятельности, определим интеллектуальные приемы учебной деятельности, которыми должны овладеть студенты при изучении математики, общепрофессиональных и специальных дисциплин
в высшей профессиональной школе.
Используя результаты теоретических исследований и опыт педагогической практики, в качестве обобщенных межпредметных приемов выделим следующие интеллектуальные умения и
их составляющие:
? умение решать задачи (постановка вопроса, выделение информации для решения задачи; анализ проблемной ситуации;
выдвижение гипотезы и т.п.);
2.4. Интеграция математической и профессиональн??й подготовки...
Исследование
операций
83
Теория
оптимизации
Системы массового
обслуживания
Балансовый
анализ
Математический
аппарат
Приложения
математики
Финансовая
математика
Экономическая
теория
Практические
задачи экономики
Дисконтирование и наращение
денежных
потоков
Балансовые
задачи «затраты–
выпуск»
Задачи линейного
программирования, сетевого планирования
Эффективность
работы систем с очередями заявок
Расчет предельных
величин, коэффициентов эластичности
Рис. 6. Реализация МПС курса «Математика», общепрофессиональных
и специальных дисциплин в экономическом вузе
? способность к математическому моделированию (определение данных, условий и границ поиска решений; перевод проблемы на язык математики; применение адекватного математического аппарата; интерпретация решения; корректировка
модели и т.п.);
? умение логически мыслить (проведение дедуктивных и
индуктивных умозаключений; комбинация логики и интуиции;
аргументация выводов и заключений; использование контрпримеров и т.п.);
? коммуникативные умения (речь, чтение, письмо на языке
математики; использование математических формул; построение графиков, схем, диаграмм и т.п.);
84 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
? умение применять информационные технологии (использование программных средств для аналитических, экономических,
финансовых вычислений; работа с электронными таблицами;
применение компьютерной графики и т.п.).
Формируя у студентов указанные виды учебной деятельности,
мы тем самым способствуем развитию таких общих интеллектуальных приемов, как сравнение, обобщение, анализ, синтез,
абстрагирование, индукция, дедукция, которые лежат в основе
технологии процесса моделирования.
В контексте вышесказанного рассмотрим возможности тем
«Элементы аналитической геометрии», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» в реализации МПС курса
математики на уровне знаний и на уровне видов деятельности
при исследовании динамики рыночного равновесия.
Продемонстрируем использование коэффициента эластичности функции в качестве математической модели при исследовании экономических проблем. В связи с этим обратимся
к характеристике особенностей введения понятия относительной
производной (эластичности) функции в рамках курса математики.
Рассмотрим функцию y = f (x). Если ?х – приращение аргу?x
– относительное приращение аргумента. Тогда
мента, то
x
эластичностью функции y = f (x) в точке х называют предел от? ?y ?
ношения относительного приращения функции ? ? к отно? y ?
?x ?
?
сительному приращению аргумента ? ? при ?х ? 0, то есть
? x ?
?y x
? ?y ?x ?
? ?y x ? x
Е x(y) = lim ?
:
? ? = lim
= ? yx? ?
? = lim ?
?x ? 0 ? y
?
x
?
0
?
x
?
0
?
?
?
x
y ?x
y
?x y
x
? y? – коэффициент эластичности y по х.
y x
Из определения эластичности следует, что при достаточно
?y ?x
:
малых ?х выполняется приближенное равенство Ex(y) ?
y
x
?y
?x
? Ex(y) ?
или
при ?х ? 0.
y
x
E x(y) =
2.4. Интеграция математической и профессиональной подготовки...
85
Таким образом, эластичность есть коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин х и у,
то есть Ex(y) показывает приближенно на сколько процентов изменится у при изменении х на 1%. При этом положительное
значение коэффициента эластичности характеризует относительное (процентное) изменение переменных х и у в одном направлении. Отрицательное значение коэффициента эластичности демонстрирует изменение переменных х и у в разных
направлениях.
Ввиду того что эластичность определяет значение процентного прироста функции на 1% прироста аргумента, то во многих областях экономики она используется в качестве меры реагирования одной переменной величины на изменение другой
(обычно выраженных в различных единицах измерения).
Рассмотрим возможности применения коэффициентов эластичности спроса и предложения в анализе и прогнозировании
ценовой политики.
Пусть D(p) – функция спроса q по цене р, значения которой убывают с ростом цены (рис. 7). Поскольку в экономической теории ось цен принято располагать вертикально, то
обычно график функции спроса представляют в виде обратной зависимости D(q), где по оси абсцисс – q (объем спроса),
по оси ординат – р (цена) (рис. 8). При этом аналитическое
выражение, используемое для анализа функции спроса, имеет
вид D = D(p).
Аналогично можно определить аналитическое (S = S(p)) и графическое представление возрастающей функции предложения
(рис. 9).
q
p
D (p)
0
p
S (q)
D (q)
p
Рис. 7. Функция D(p)
0
q
Рис. 8. Функция D(q)
0
q
Рис. 9. Функция S(q)
86 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
Коэффициенты эластичности основных рыночных категорий
показывают, на сколько процентов изменится спрос (предложение) при изменении цены на 1%, и определяются формулами:
р
E p (D ) =
? D ? ( p ) – коэффициент эластичности спроса,
D( p)
р
E p (S ) =
? S ? ( p ) – коэффициент эластичности предложения.
S ( p)
Ввиду того, что функция D(p) – убывающая, D ?(p) < 0, и поэтому обычно Ep(D) < 0. Напротив, функция предложения S(p)
возрастающая и Ep(S ) > 0.
Пример 11. Функцию спроса на товар определяет формула D(p) =
= 100 – 3p. Необходимо найти эластичность спроса при цене 20 ден. ед.
Найдем коэффициент эластичности спроса:
р
? 3р
E p (D ) =
.
? (100 ? 3р )? =
100 ? 3р
100 ? 3р
Вычислим значение коэффициента эластичности при p = 20:
E p = 20 (D ) =
? 3 ? 20
= ?1,5.
100 ? 3 ? 20
Полученный результат показывает, что при повышении цены на 1%
спрос снижается на 1,5%.
Диапазон эластичности изменяется от 0 до ?. Различают несколько групп эластичности. Так, например, для функции спроса:
– Е р (D ) > 1 ? спрос эластичный относительно цены (объем
спроса изменяется на бЅoльший процент, чем цена). В частности, при Е p (D ) = ? спрос абсолютно эластичный (при повышении цены покупатель полностью отказывается от товара, а при
снижении – спрос увеличивается до ?);
– Е p (D ) < 1 ? спрос неэластичный (объем спроса изменяется на меньший процент, чем цена). В частности, при Е р (D ) = 0
спрос абсолютно неэластичный (изменение цены не влечет изменение спроса);
– Е p (D ) = 1 ? спрос нейтральный.
2.4. Интеграция математической и профессиональной подготовки...
87
Графики функций спроса различной эластичности представлены на рисунке 10.
p
E(D) = 1
E(D) < 1
E(D) = 0
E(D) > 1
E(D) > ?
0
q
Рис. 10. Графики функций спроса различной эластичности
Посмотрим, как влияет эластичность спроса на расходы покупателей и соответственно доход продавцов. Поскольку доход от
продажи товара равен произведению цены р на величину спроса
R ( p ) = p ? q = p ? D ( p ),
то R ( p ) = p ? D ( p ) – функция суммарного дохода продавца.
Найдем коэффициент эластичности функции дохода R(p):
Е p (R ) =
=
р
р
? [ p ? D ( p )]? =
? [ p ? ? D ( p ) + p ? D ?( p )] =
p ? D ( p)
p ? D ( p)
1
р
? [D ( p ) + p ? D ?( p )] = 1 +
? D ?( p ) = 1 + Е p (D ) ?
D( p)
D( p)
Е p (R ) = 1 + Е p (D ).
Из полученной формулы видно, что изменение дохода зависит от цены товара и эластичности спроса. Проанализируем влияние эластичности спроса на доход продавца.
1. Спрос эластичен: Е (D ) > 1 ? Е (D ) < ?1 ? E p (R) < 0.
В этом случае увеличение цены ведет к снижению дохода и
наоборот (изменение цены и дохода происходит в разных направлениях).
2. Спрос неэластичен: Е (D ) < 1 ? Е (D ) > ?1 ? E p (R ) > 0.
88 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
В этом случае повышение цены приводит к росту дохода (изменение цены и дохода происходит в одном направлении).
Таким образом получили математическое обоснование одного из утверждений экономической теории о том, что с ростом цены
для товаров эластичного спроса доход от реализации продукции уменьшается, а для товаров неэластичного спроса – увеличивается.
Поскольку эластичность функций спроса и предложения
имеет большое практическое значение не только для понимания поведения потребителя на рынке или определения ценовой
стратегии фирмы, но и для анализа последствий экономической
политики государства, в частности политики налогообложения,
рассмотрим вопрос распределения налогового бремени, используя средства аналитической геометрии и дифференциального
исчисления функции одной переменной.
Введение налогов на товары различным образом сказывается на налоговых выплатах продавца и покупателя. При этом на
величину налогового бремени экономических агентов существенное влияние оказывает взаимодействие коэффициентов
эластичности спроса и предложения в условиях рыночного равновесия. Проанализируем изменение динамики рыночного равновесия под влиянием косвенного налога, например, акциза на
табачные изделия.
Графическая модель рыночного равновесия, рассматриваемая
в рамках темы «Элементы аналитической геометрии», демонстрирует ситуацию на рынке продаж товара, облагаемого налогом, где D и S кривые спроса и предложения (рис. 11).
p
p1
p0
p2
0
S1
E1
S
t
A
E
D
B
q1
q0
q
Рис. 11. Динамика рыночного равновесия под влиянием косвенного налога
2.4. Интеграция математической и профессиональной подготовки...
89
На примере функций D и S иллюстрируется выполнение преобразований графиков. Так, например, введение налога в размере t ден. ед. с единицы товара приводит к параллельному сдвигу
кривой предложения S на величину налога вверх в положение S1,
что обуславливает повышение цены для потребителя (p 1)
и снижение цены после вычета налога для производителя (p2).
Новое рыночное равновесие достигается в точке Е1 (рис. 11).
При этом смещение точки равновесия Е, определяемой формулой D(p0) = S(p0), в положение Е1 характеризует увеличение стоимости единицы продукции от p0 до p1 и уменьшение объемов
продаж от q0 до q1.
Анализ величины налогового бремени экономических агентов выполняется с использованием эластичности спроса и предложения в рамках темы «Дифференциальное исчисление функции одной переменной».
Поскольку величина налоговой ставки составляет t = p1 – p2,
где p1 – стоимость единицы товара объема q1 в случае введения налога, p2 – стоимость единицы продукции в случае безналоговых продаж товара в объеме q1, то покупатель будет переплачивать (p1 – p0) ден. ед. за единицу продукции, а продавец
в виде уплаты налога – (p0 – p2) ден. ед. При этом величина
налогового бремени экономических агентов определяется следущим образом:
Tпокупателя = q1(p1 – p0) – площадь прямоугольника p0 p1Е1А;
Tпродавца = q1(p0 – p2) – площадь прямоугольника p2 p0 АВ.
В этом случае суммарные поступления в бюджет характеризуют налоговые выплаты:
T = Tпокупателя + Tпродавца = q1(p1 – p2) – площадь прямоугольника
p2 p1Е1B.
Отношение частей налогового бремени покупателя и продавца
составляет:
Tпокупателя
Tпродавца
q 0 ? q1
p1 ? p0
p0 ? p2
=
=
q 0 ? q1
p0 ? p2
p1 ? p0
p0
q0
=?
p
? 0
q0
?
q 0 ? q1
p2 ? p0
q0 ? q1
p1 ? p0
p0
q1 ? q 0 p2 ? p0
:
q0
q0
p0
=?
,
p
q1 ? q0 p1 ? p0
? 0
:
q0
q0
p0
?
90 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
?q ?p
:
– отношение относительных приращений объема
q
p
товара и цены при движении точки Е в положение Е1 для функ-
где
ций D и S, то есть эластичность спроса и предложения при цене
p0. Таким образом,
Tпокупателя
Tпродавца
=?
E p (S )
E p (D )
=
E p (S )
E p (D)
.
Полученная формула показывает, что отношение частей
налогового бремени покупателя и продавца обратно пропорционально отношению коэффициентов эластичности спроса и
предложения. При этом, если Ep(D) по абсолютной величине
уменьшается (увеличивается), то увеличивается (уменьшается)
налоговое бремя покупателя, и, наоборот, если Ep(S) уменьшается (увеличивается), то уменьшается (увеличивается) налоговое бремя продавца. Таким образом, полученная формула
демонстрирует математическое подтверждение одного из основных положений экономической теории о распределении налогового бремени – бЅoльшая доля налогового бремени падает на
экономического агента с меньшей эластичностью. Рассмотрим
графическую модель утверждения.
В том случае, если на рисунке 11 увеличение цены от р0 до
р1 соответствует размеру t, то производитель полностью перекладывает уплату налога на покупателя (нулевая эластичность
спроса). Однако реальное распределение налогового бремени
определяет значение коэффициентов эластичности спроса и
предложения, иллюстрирующих наклон кривых рыночных категорий.
На примере модели взимания налога для случая, когда формальным плательщиком является продавец, проанализируем
влияние эластичности спроса на величину налоговых выплат.
При эластичном спросе повышение цены приводит к тому, что
потребители сокращают закупки данного товара, переключаясь
на другие товары, и бЅoльшую часть налогового бремени платит
продавец. Размер налоговых выплат продавца соответствует площади нижнего прямоугольника (рис. 12).
2.4. Интеграция математической и профессиональной подготовки...
91
При неэластичном спросе цена значительно увеличивается и
бЅoльшая часть налоговых выплат ложится на плечи покупателя.
Величина налогового бремени покупателя соответствует площади верхнего прямоугольника (рис. 13).
p
p
S1
S1
p1
p0
p2
0
E1
S
E
q1
q0
D
p1
p0
p2
q
0
E1
S
E
D
q1 q0
q
Рис.12. Налоги и эластичный спрос Рис.13. Налоги и неэластичный спрос
Результаты теоретического анализа динамики рыночного равновесия под влиянием акцизного налога показывают, что фактическим плательщиком налога является экономический агент с
меньшей эластичностью. Продемонстрируем данное утверждение на примере решения задачи в рамках курса «Математика».
Пример 12. Известны функции спроса и предложения: D(p) = 4 – p
и S(p) = p. Требуется построить графики функций и найти точку рыночного равновесия; определить новую точку равновесия, обусловленную
введением косвенного налога на товар в размере 2 ден. ед. на единицу
товара; рассчитать сумму налогового сбора, поступающего в бюджет,
и отношение налоговых выплат продавца и покупателя.
Поскольку в экономической теории ось цен принято располагать вертикально, для построения графиков представим функции спроса и предложения в виде обратных зависимостей:
D : q = 4 ? p ? p = 4 ? q,
S : q = p ? p = q.
Построим графики функций D(q) = 4 – q, S(q) = q при p > 0,
q > 0 (рис. 14).
Пересечение кривых спроса и предложения определяет точку рыночного равновесия Е(2;2), координаты которой показывают, что цена единицы товара составляет 2 ден. ед., а объем продаж – 2 единицы товара.
92 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
p
4
3
2
1
S(q)
E
D(q)
0
1
2
3
q
4
Рис. 14. Рыночное равновесие
Введение косвенного налога в размере 2 ден. ед. на единицу товара
обуславливает параллельный сдвиг графика функции предложения
S(q) на 2 единицы вверх в положение S1(q). Новая точка рыночного
равновесия Е1(1; 3) определяет новую равновесную цену товара, составляющую 3 ден. ед. (рис. 15).
p
S1(q)
7
6
5
4 E
1
3
2
1
0
S(q)
E
D(q)
1 2 3 4 5 6 7 8
q
Рис. 15. Налоговые выплаты экономических агентов
Интерпретация графической модели, представленной на рисунке 15,
иллюстрирует размер налогового сбора, поступающего в бюджет, как сумму
площадей заштрихованных прямоугольников (2 ден. ед.). При этом площадь верхнего прямоугольника характеризует налоговые выплаты покупателя, площадь нижнего прямоугольника – продавца. Отсюда видно,
что отношение частей налогового бремени экономических агентов составляет 1:1, что может быть подтверждено аналитической моделью как соответствие величине обратной отношению коэффициентов эластичности
спроса и предложения.
2.4. Интеграция математической и профессиональной подготовки...
93
Целесообразность формализации динамики налогообложения
с использованием средств дифференциального исчисления демонстрирует модель, характеризующая зависимость размера
налоговой ставки от эластичности спроса и предложения.
Известно, что при введении того или иного налога основной
задачей является определение налоговой ставки с целью максимизации поступлений в бюджет. Интуитивно кажется, чем больше ставка налога, тем больше сумма налогового сбора, однако
это не так. Продемонстрируем математическое обоснование утверждения о том, что размер налоговых поступлений зависит
прежде всего от значений коэффициентов эластичности спроса
и предложения. Для этого проведем анализ влияния налоговой
ставки t на общую сумму налоговой выручки T.
Коэффициент эластичности функции выручки T = T(t) определяет формула:
t
p0
t
E t (T ) = ? (T )t? = 1 ?
.
1
1
T
+
E (D ) E (S )
В том случае, если выручка эластичная, то E t (T ) > 0 ?
t
p0
t
1
1
1?
.
>0?
<
+
1
1
p0
E (D ) E (S )
+
E (D ) E (S )
Полученная математическая модель подтверждает одно из
положений экономической теории о том, что налоговую ставку
можно повышать до тех пор, пока доля налога в цене товара меньше суммы обратных эластичностей спроса и предложения.
Таким образом, раскрытие возможностей динамики рыночного равновесия демонстрирует целесообразность установления
межпредметных интегративных связей математики на уровне
знаний и на уровне видов деятельности. Однако необходимо
отметить тот факт, что понятие «интеграции» в обучении гораздо шире, чем межпредметные связи. Интеграция закрепляет не
94 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
только взаимосвязь, но и взаимопроникновение учебных дисциплин друг в друга и способствует целостному и системному
познанию окружающего мира.
Исследования, проведенные М.П. Берулава [5], позволили
выделить три основных уровня интеграционной взаимосвязи
учебных предметов. Первым и высшим уровнем интеграции
содержания образования является уровень целостности, завершающийся формированием новой учебной дисциплины и имеющий собственный предмет изучения. Примером данного уровня интеграции естественно-научных, общепрофессиональных
и специальных дисциплин в соответствии с образовательным
стандартом специальности «Финансы и кредит» являются предметы «Эконометрика» и «Высшие финансовые вычисления»,
изучение которых обеспечивает специализированную математическую подготовку студентов. На уровне целостности имеет
место полная содержательная и процессуальная интеграция в
рамках образования нового предмета и решения дидактических
задач интегрируемых курсов (изучение нового материала, обобщение, систематизация и т.д.).
В части общей математической подготовки, реализуемой средствами дисциплины «Математика», интеграция возможна либо
на уровне дидактического синтеза, либо на уровне межпредметных связей.
На уровне межпредметных связей каждый из предметов, участвующих в интеграции, сохраняет свой суверенитет в учебном
процессе. При этом ведущим интегрирующим фактором выступают знания и умения, перенос которых осуществляется как
в направлении общеобразовательных, так и профессиональных
дисциплин. Примером может служить интеграция на уровне
межпредметного обобщения знаний. В качестве основного недостатка данного уровня интеграции можно выделить отсутствие
единства содержательной и процессуальной сторон обучения,
что чаще всего проявляется в отсутствии интеграции форм учебных занятий.
Указанные недостатки могут быть разрешены на уровне дидактического синтеза, обеспечивающего изучение на интегративной основе нового учебного материала на общем учебном
2.4. Интеграция математической и профессиональной подготовки...
95
занятии. При этом имеет место определенная интеграция методов и средств обучения. Позитивные дидактические преимущества данного уровня интеграции заключаются в уплотнении и
концентрации учебного материала, устраняющих перегрузку
студентов, а также в усилении мотивации к изучению естественно-научных дисциплин, в частности математики, обусловленной профессиональными интересами.
Осуществлять интеграцию учебных дисциплин на уровне дидактического синтеза необходимо на стадии составления учебных планов и рабочих программ. В этом случае определенный
учебный материал должен впервые изучаться в рамках интегрируемых курсов, а не просто актуализироваться или обобщаться,
как это имеет место на уровне МПС, что полностью устраняет
его дублирование и ведет к экономии учебного времени. Следует отметить, что дидактический синтез учебных предметов
возможен при изучении отдельных тем курса «Математика»,
соответственно параллельно с ним должна осуществляться интеграция математической подготовки на уровне МПС.
Подводя итог вышеизложенному, отметим ключевые моменты, определяющие интегративную роль моделирования в обучении математике, общепрофесиональным и специальным дисциплинам.
Увеличивающийся объем информации, в том числе в финансовой сфере, требующий формирования умений комплексно
применять знания различных дисциплин и способности к самостоятельному творческому мышлению, «восстает» против существующей дифференциации учебных дисциплин и создает
предпосылки к их интеграции. При этом в качестве инструмента управляемой интеграции целесообразно выделить МПС, плодотворная и целенаправленная реализация которых на уровне
знаний возможна при использовании формализованных моделей, а на уровне видов деятельности – при использовании моделирования как комплексного и интеллектуального приема.
Результаты теоретических исследований демонстрируют возможность интеграции математической и профессиональной подготовки на уровне дидактического синтеза, обеспечивающего
интеграцию форм, методов, средств обучения и единство содер-
96 Глава 2. Математическое моделирование экономических процессов...
жательного и процессуального компонентов образовательного
процесса.
Вышесказанное оказывает существенное влияние на определение целей и содержания курса «Математика» для экономических специальностей вузов, способствующих формированию
профессиональной компетентности средствами формализованного моделирования в рамках указанного курса.
2.4. Интеграция математической и профессиональной подготовки...
ГЛАВА 3
97
Методика формирования
профессиональной компетентности
студентов экономических вузов
при обучении математике
3.1. Цели, структура и содержание курса «Математика»
в условиях компетентностного подхода
Ускорение темпов социально-экономического развития страны значительно повышает требования, предъявляемые к выпускникам высшей профессиональной школы. Необходимость
соответствия результатов образования как потребностям личности, так и запросам общества требует принципиально нового
подхода к определению его целей и содержанию и технологии
обучения, что напрямую связывается с реализацией компетентностного подхода.
Обратимся к характеристике роли компетентностного подхода в определении целей и содержания математического образования на экономических факультетах вузов, принимая во
внимание то обстоятельство, что профессионально ориентированное образование предусматривает три уровня целей, которые применительно к высшей школе можно представить следующей схемой (рис. 16).
В соответствии с предложенной иерархией уровней целей
высшего профессионального образования нами был проведен
анализ квалификационной характеристики выпускника специальности «Финансы и кредит». Результаты анализа позволили
определить основную цель обучения будущих специалистов
финансовой сферы в высшей профессиональной школе как подготовку к профессиональной работе в государственных органах
федерального, регионального и муниципального уровня; банках, биржах, финансовых и страховых компаниях, инвестиционных фондах, Министерстве финансов РФ, экономических
службах предприятий и организаций всех форм собственности,
98
Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
Цели высшего
профессионального
образования
УРОВНИ ЦЕЛЕЙ
Глобальный уровень
педагогическая интерпретация социального заказа
Государственный
образовательный стандарт
Этапный уровень
дифференциация глобальной цели
в основные цели по этапам подготовки
Бакалавриат
Магистратура
Специалитет
Оперативный уровень
определение целей изучения учебных дисциплин,
составляющих содержание образования
Учебные дисциплины
Рис. 16. Иерархия уровней целей высшего
профессионального образования
на должностях, требующих высшего экономического образования [15].
Обозначенная общая цель определяет содержание образования
и, включая в себя основные задачи обучения (получение знаний,
формирование опыта известных способов деятельности, опыта
творческой деятельности и т.п.), является основой для всех последующих целей, в том числе целей обучения математике.
Поскольку в качестве главного результата профессионального
образования рассматривается готовность выпускников быть
копетентными в будущей профессиональной деятельности, то
результатом математической подготовки должна стать не про-
3.1. Цели, структура и содержание курса «Математика» в условиях...
99
сто совокупность предметных знаний, умений и навыков, а возможность их деятельностного применения в будущей профессиональной деятельности.
Конкретизация видов профессиональной деятельности будущего специалиста финансовой сферы и их характеристика позволили определить основную цель дисциплины «Математика», состоящую в формировании у студентов способов деятельности,
необходимых в будущей профессиональной деятельности, и в
первую очередь умения моделировать экономические процессы.
В соответствии с целью учебной дисциплины «Математика»
рассмотрим ее структуру (в рамках требований ГОС ВПО к обязательному минимуму содержания основной образовательной
программы (Приложение 1)), состоящую из трех взаимосвязанных блоков:
? математические структуры и методы их анализа;
? экономико-математические методы;
? экономико-математические модели.
Цель и структура учебной дисциплины «Математика» определяют содержание математической подготовки будущих специалистов финансовой сферы, которое не должно ограничиваться включением теоретического материала и задач абстрактного
характера. За математическими понятиями студенты должны
научиться видеть конкретные профессиональные объекты, их
взаимодействие, что, в свою очередь, обеспечивается использованием метода математического моделирования реальных экономических процессов.
Так как существует несколько вариантов включения математического моделирования в учебный процесс, то представляется
целесообразным введение элементов моделирования в курс математики в качестве одной из содержательно-методических линий.
По мнению профессора В.А. Далингера, реализация любой
содержательно-методической линии в курсе математики (например, линии уравнений и неравенств, функциональной и вероятностной линий, линии моделирования и т.д.) предполагает
организацию и включение в структуру учебного предмета следующих компонентов:
? четкое выделение основных понятий содержательно-методической линии;
100 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
? обеспечение ведущей роли категориально-понятийного аппарата содержательно-методической линии;
? построение системы упражнений, способствующей реализации основных функций содержательно-методической линии.
Таким образом, в ходе реализации содержательно-методической линии моделирования студенты должны получить представление о методе моделирования, научиться строить и исследовать простейшие, характерные для будущей профессиональной
деятельности модели.
Учитывая требования Государственного образовательного
стандарта специальности «Финансы и кредит», нами был проведен анализ содержания учебной дисциплины «Математика»,
рабочих программ, учебников, учебных пособий, что позволило выделить типы математических моделей, используемых для
исследования реальных экономических процессов при обучении математике, а также примеры экономико-математических
моделей, изучение которых целесообразно в рамках учебного
курса (табл. 6).
Анализ показывает, что в качестве основных понятий содержательно-методической линии моделирования в курсе математики экономического вуза можно выделить:
? понятие математической модели и примеры моделей (вектор, уравнение, системы уравнений и неравенств, функция,
предел функции, производная функции, интеграл, дифференциальное уравнение, процент, вероятность, функция распределения и т.д.);
? понятие экономико-математической модели и примеры
моделей (макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, балансовые и оптимизационные, динамические и статические, стохастические и детерминированные).
Включение указанных моделей в структуру учебного курса
«Математика» обеспечивает ведущую роль категориально-понятийного аппарата, относящегося к содержательно-методической линии моделирования, что, в свою очередь, позволяет
реализовать МПС математики, дисциплин общепрофессионального и специального циклов на уровне знаний. Реализация МПС
математики на уровне видов деятельности обуславливает необходимость построения системы упражнений, обеспечивающей
3.1. Цели, структура и содержание курса «Математика» в условиях... 101
Таблица 6
Типы и примеры формализованных моделей
в содержании дисциплины «Математика»
Раздел курса
«Математика»
1 Элементы
аналитической геометрии
Математические
модели
Вектор; уравнение линии; уравнение поверхности
2 Линейная
алгебра
Матрица; уравнение; система
линейных уравнений
№
3 Введение в Система линейисследование ных неравенств;
операций
платежная матрица; граф; сетевой график
4 Математиче- Числовая послеский анализ довательность;
функция; предел
функции; производная функции;
коэффициент эластичности функции; интеграл;
дифференциальное уравнение;
числовой и степенной ряд; процент
5 Элементы те- Вероятность слуории вероят- чайного события;
ностей и ма- функция распретематической деления случайной
статистики
величины; закон
распределения случайной величины
Экономические
процессы
Представление
экономических
величин в векторной и графической форме; определение рыночного равновесия
Функционирование экономического объекта в
рамках соответствия затрат выпуску
Максимизация
прибыли, минимизация издержек при заданных
ограничениях; сетевое планирование; экономические конфликты
(«продавец–покупатель» и т.п.)
Непрерывное
начисление процентов; расчет
предельных величин, коэффициентов эластичности; определение объема
выпуска продукции; дисконтирование денежных потоков
Расчет надежности ценных бумаг; определение
качества продукции, суммы страхового взноса
Экономико-математические модели
Функции полезности; кривые
безразличия; модель спроса и
предложения
Модель многоотраслевого баланса;
модель равновесных цен; модель
международной
торговли
Задачи линейного и динамического программирования; задачи
сетевого планирования и теории
игр
Модель непрерывного начисления процентов;
производственные функции;
модели фирмы в
условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели
простого и сложного процентов
Модель системы
массового обслуживания
102 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
выполнение определенных функций содержательно-методической линии моделирования, таких как формирование приемов
формализации и интерпретации, корректировка модели и т.д.
Таким образом, содержание каждого раздела курса «Математика» предполагает обращение к различным формализованным
моделям, их построению и исследованию, что оказывает значительную помощь при анализе моделируемых с их помощью
экономических процессов, интерпретации полученных результатов и принятии качественных решений в будущей профессиональной деятельности.
В контексте вышесказанного рассмотрим примеры включения
в содержание курса «Математика» экономико-математических
моделей балансового типа, а именно: модели международной
торговли, многоотраслевого баланса и модели равновесных цен.
Результаты анализа образовательного стандарта специальности «Финансы и кредит» демонстрируют необходимость изучения в курсе дисциплины «Математика» в структуре обязательных дидактических единиц таких понятий, как собственные
значения и собственные векторы матриц. Несмотря на внешнюю
абстрактность указанных понятий, знакомство с ними может
быть мотивировано рассмотрением прикладных аспектов в финансовой сфере.
В связи с этим обратимся к раскрытию содержания и методических особенностей изучения темы «Собственные значения
и собственные векторы матриц» для студентов экономических
вузов.
Так как к моменту изучения данной темы студенты знакомы с такими математическими моделями, как вектор, матрица
и операциями над ними, то при введении понятий собственного значения и собственного вектора квадратной матрицы может быть использовано следующее определение:
Число ? называют собственным значением квадратной матnЧn
рицы A , если существует ненулевой вектор X = (x1x2...xn)T, для
которого выполняется равенство
A?X = ??X.
В полученном уравнении вектор Х есть собственный вектор
матрицы А, отвечающий собственному значению ?, для нахож-
3.1. Цели, структура и содержание курса «Математика» в условиях... 103
дения которого необходимо выполнить преобразования матричного уравнения
A ? X ? ? ? X = 0 ? ( A ? ?E ) ? X = 0.
Полученное уравнение можно представить в виде однородной системы линейных уравнений (СЛУ):
?? a11 a12
?? a
a22
??? 21
??? an1 an 2
... a1n ? ? ? 0 ... 0? ? ? x1 ? ? 0?
? ?
? ? ? ? ?
... a2 n ? ? ? 0 ? ... 0? ? ? ? x2 ? = ? 0? ?
? ?
?? ? M ? ? M?
... ann ? ? 0 0 ... ? ? ?? ? x n ? ? 0?
? (a11 ? ? ) ? x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0,
?
? ?a21 x1 + (a22 ? ? ) ? x 2 + ... + a2 n x n = 0,
?
?an1 x1 + an 2 x 2 + ... + (ann ? ? ) ? x n = 0.
Поскольку вектор Х – ненулевой, то однородная СЛУ имеет
нетривиальное решение, что возможно лишь при условии равенства нулю определителя основной матрицы системы, то есть
A ? ?E = 0.
Результатом решения данного характеристического уравнения являются ?i – собственные значения матрицы А.
С целью нахождения собственных векторов матрицы А для
каждого ?i необходимо записать однородную СЛУ, решить ее
методом Гаусса и найти фундаментальную систему решений
(ФСР). Векторы, составляющие ФСР однородной СЛУ, и есть
собственные векторы матрицы А.
В качестве примера экономического процесса, исследование
которого возможно с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы, можно привести
процесс взаимных закупок товаров. Рассмотрим экономикоматематическую модель международной торговли для стран
S1, S2... Sn, имеющих торговые бюджеты в размере x1, x2... xn соответственно.
Полагая, что aij – доля торгового бюджета страны Sj, которая
тратится на покупку товаров в стране Si, можно представить
структурную матрицу международной торговли:
104 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
S1
? a11
?
? a21
?
? an1
S2
a12
...
a22
...
an 2
...
...
S n ? страны - покупатели
a1n ? S1
?
a2 n ? S 2
? M
ann ? S n ? страны - продавцы
Поскольку бюджет страны расходуется на покупку товаров
как внутри страны, так и за рубежом и его условно можно считать равным единице, справедлива формула:
a1 j + a 2 j + ... + a nj = 1,
( )
j = 1, n .
Таким образом, сумма элементов каждого столбца структурной матрицы торговли равна единице.
Для любой страны Si выручку от внешней и внутренней торговли можно представить формулой:
p i = a i 1 ? x 1 + a i 2 ? x 2 + ... + a in ? x n = 1,
( )
j = 1, n .
В этом случае условие сбалансированной (бездефицитной)
торговли имеет вид:
?x ?
? 1?
pi = xi или A ? X = X , где X = ? x 2 ? ? вектор торговых бюджетов.
?M ?
? ?
?xn ?
Выполнив преобразования матричного уравнения, получаем
A ? X ? E ? X = 0 ? ( A ? E ) ? X = 0.
В полученном уравнении вектор X – собственный вектор
матрицы А, отвечающий собственному значению ? = 1.
Рассмотрим пример решения задачи экономического содержания с использованием модели международной торговли.
Задача 1. Известна структурная матрица торговли трех стран. Необходимо найти отношение торговых бюджетов в условиях сбалансированной торговли.
США Германия Кувейт
?1 3
?
A = ?1 3
?
?1 3
14
12
14
1 2? США
?
1 2? Германия
?
0 ? Кувейт
3.1. Цели, структура и содержание курса «Математика» в условиях... 105
Решение
Для решения задачи достаточно найти собственный вектор матрицы А,
отвечающий собственному значению ? = 1.
Запишем и решим методом Гаусса однородную СЛУ:
1
1
? 2
?? 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 0, | ?12
?
1
1
1
(A ? E ) ? X = 0 ? ?? x1 ? x2 + x3 = 0, | ? 6 ?
3
2
2
?
? 1
1
? 3 x1 + 4 x2 ? x3 = 0. | ?12
?
3
6?
?? 8
?
?
3? ~
? 2 ?3
?
?
? 4
3 ? 12?
? 0 ? 9 18 ?
?
? ? 0 1 ? 2? ? 0 1 ? 2? ? 0 1 ? 2 ?
~ ?2 ? 3 3 ? ~ ?
? ~?
? ~?
??
?
? ? 2 ? 3 3 ? ? 2 0 ? 3? ? 1 0 ? 3 2?
? 0 9 ? 18?
3
?
? x1 = x 3 ,
2
?
?? x 2 = 2 x 3 .
В полученном общем решении x1, x2 – базисные, x3 – свободная переменные.
Найдем ФСР однородной СЛУ, содержащей (n ? r ) = 1 решений, где
n = 3 – число переменных, r = 2 – ранг системы. При нахождении каждого
из решений фундаментальной системы одной из свободных переменных
придаем значение, равное единице, остальным – равное нулю, а значения
базисных переменных определяем из общего решения.
Полученные результаты показывают, что собственный вектор матри3
цы, отвечающий собственному значению ? = 1, имеет вид X = ?? ; 2 ; 1??
?2
?
или X = (3; 4 ; 2 ).
Ответ: Отношение торговых бюджетов стран в условиях бездефицитной торговли составляет 3:4:2.
Предложенный методический пр??ем введения понятий собственного значения и собственного вектора матрицы с использованием экономико-математической модели международной
торговли обеспечивает мотивацию изучения абстрактных математических понятий, что, в свою очередь, способствует форми-
106 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
рованию личностных составляющих профессиональной компетентности студентов экономических вузов.
В контексте вышесказанного обратимся к рассмотрению
методических особенностей изучения модели многоотраслевого баланса.
Математическая модель многоотраслевого баланса (МОБ)
была разработана известным американским экономистом
В. Леонтьевым в 1936 году для национальной экономики США,
однако она может быть использована для прогнозирования и
текущего планирования работы отдельного предприятия, где
роль отраслей выполняют структурные подразделения.
В модели МОБ рассматривается экономическая система, состоящая из n отраслей, каждая из которых производит некоторую продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая
часть предназначена для непроизводственного потребления (конечная продукция).
Анализируя процесс производства за некоторый период времени, введем обозначения:
xi – объем валовой продукции i отрасли;
xij – объем продукции i отрасли, потребляемой j отраслью;
yi – объем конечной продукции i отрасли.
Зависимость между указанными величинами можно представить в виде таблицы МОБ (табл. 7).
Таблица 7
Модель многоотраслевого баланса
Отрасли
производства
1
2
M
n
Производственное
потребление по отраслям
1 2 ... n
x11
x21
...
xn1
x12 ...
x22 ...
... ...
xn2 ...
x1n
x2n
...
xnn
Конечная
продукция
Y
Валовая
продукция
X
y1
y2
x1
x2
yn
xn
M
M
В соответствии с данными таблицы объем валовой продукции i отрасли равен сумме объемов этой продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то есть
3.1. Цели, структура и содержание курса «Математика» в условиях... 107
? x11 + x12 + ... + x1n + y1 = x1 ,
??
? x 21 + x 22 + ... + x 2 n + y 2 = x 2 ,
?
?? x n1 + x n 2 + ... + x nn + y n = x n .
Уравнения полученной системы называют соотношениями
баланса.
Поскольку продукция разных отраслей может иметь различные измерения, рассмотрим стоимостный баланс, где все величины имеют стоимостное выражение.
x ij
, характериВведем коэффициенты прямых затрат aij =
xj
зующие объем продукции i отрасли, необходимой для производства единицы продукции j отрасли. Ввиду того что коэффициенты aij являются постоянными величинами (вследствие
неизменности технологии на протяжении длительного времени), то x ij = aij ? x j и система балансовых соотношений принимает вид:
? a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n + y1 = x1 ,
??
? a21 x1 + a22 x 2 + ... + a2 n x n + y 2 = x 2 ,
?
??an1 x1 + an 2 x 2 + ... + ann x n + y n = x n .
или в матричном виде: A ? X + Y = X .
В полученном уравнении многоотраслевого баланса
A = (aij) – матрица прямых материальных затрат,
? x1 ?
? ?
X = ? M ? ? вектор валовой продукции отраслей,
? ?
? xn ?
? y1 ?
? ?
Y = ? M ? ? вектор конечной продукции отраслей.
? ?
? yn ?
Цель модели МОБ – дать ответ на вопрос: каким должен быть
объем валовой продукции каждой отрасли Х, чтобы удовлетво-
108 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
рить потребности в продукции этой отрасли при заданном объеме
конечного продукта Y и известной матрице прямых затрат А?
Из уравнения МОБ выразим вектор Х :
X ? AX = Y ? EX ? AX = Y ? ( E ? A ) X = Y ,
при этом если матрица ( E ? A ) невырожденная, то есть E ? A ? 0,
то решение уравнения МОБ определяет формула:
X = (E – A)–1 ? Y.
Рассмотрим практическое применение модели Леонтьева.
Задача 2. Известна матрица прямых затрат производства двух отрас? 0,1 0,5?
? 400?
лей A = ?
? и объемы конечной продукции Y = ?
? . Необходи? 0,3 0,2?
? 500 ?
?x ?
мо найти объемы валовой продукции X = ? 1 ? .
? x2 ?
Решение
Используем следующую формулу:
X = (E – A)–1 ? Y ,
? 1 0? ? 0,1 0,5? ? 0,9 ? 0,5?
E ?A =?
? ??
? =?
?,
? 0 1? ? 0,3 0,2? ? ? 0,3 0,8 ?
E?A =
0,9
? 0,5
? 0,3
0,8
= 0,72 ? 0,15 = 0,57 ? 0 ? ? (E ? A ) ,
(E ? A )?1 =
X =
?1
1 ? 0,8 0,5?
?
?,
0,57 ? 0,3 0,9?
1 ? 0,8 0,5? ? 400?
1 ? 320 + 250?
1 ? 570?
?
? ??
?=
?
?=
?
?=
0,57 ? 0,3 0,9? ? 500? 0,57 ? 120 + 450? 0,57 ? 570?
=
100 ? 570? ? 1000 ?
?
? =?
?.
57 ? 570? ? 1000 ?
? 1000?
Ответ: Вектор валовой продукции X = ?
?.
? 1000?
3.1. Цели, структура и содержание курса «Математика» в условиях... 109
Задача 3. В таблице МОБ приведены данные об объемах производственного потребления xi j , валовой и конечной продукции (табл. 8). Необходимо найти матрицу прямых затрат А и определить новый вектор вало-
? 72 ?
?.
? 0?
Таблица 8
вой продукции Х1, если произойдет увеличение вектора Y на ?Y = ?
Производственное
Конечная Валовая
потребление
продук- продукция Y
ция X
Металлургия Машиностроение
Металлургия
7
21
72
100
Машиностроение
12
15
123
150
Отрасли
производства
Решение
x11 = 7, x12 = 21, x 21 = 12 , x 22 = 15,
? x ? ? 100?
? y 1 ? ? 72 ?
X =? 1? =?
?, Y = ? ? = ?
?.
? x 2 ? ? 150?
? y 2 ? ? 123?
aij =
x ij
xj
? a11 =
a 21 =
7
21
= 0,07, a12 =
= 0,14 ,
100
150
12
15
= 0,12 , a 22 =
= 0,1.
100
150
? 0,07 0,14?
Таким образом, матрица прямых затрат имеет вид: A = ?
?.
? 0,12 0,10?
Для нахождения нового вектора валовой продукции используем
формулу:
X1 = (E – A)–1 ? Y1,
?? 1
0?
? 0 , 07
0 ,14 ? ? ?
(E ? A ) ? 1 = ? ?
??
? ??
? ? 0 1 ? ? 0 ,12 0 ,10 ? ?
=
1
? 0 ,9
?
0 ,8202 ? 0 ,12
1
? 0 ,93
=?
? ? 0 ,12
0 ,14 ?
?,
0 ,93 ?
? 72 + 72? ? 144?
Y1 = Y + ?Y = ?
? =?
?,
? 123 + 0 ? ? 123?
? 0 ,14 ?
?
0 ,9 ?
?1
=
110 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
X1 =
1 ? 0,9 0,14 ? ? 144? ? 179 ?
?
? ??
? =?
?.
0,8202 ? 0,12 0,93? ? 123? ? 160,5?
? 0,07 0,14?
Ответ: A = ?
? – матрица прямых затрат,
? 0,12 0,10?
? 179 ?
X1 = ?
? – новый вектор валовой продукции.
? 160,5?
Рассмотренная задача демонстрирует практическую значимость метода «затраты–выпуск», однако построенная модель
является статической и не дает возможности анализировать эффективность капитальных вложений, вынесенных из сферы
производства и включенных в конечный продукт. Тем не менее
применение многоотраслевого анализа можно расширить, используя динамический вариант модели МОБ, характеризующей
зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции и обеспечивающей исследование инвестиционных процессов в управлении экономикой.
Обратимся к примеру включения в содержание курса «Математика» балансовой экономико-математической модели равновесных цен, которая может быть рассмотрена как двойственная
к модели многоотраслевого баланса В. Леонтьева.
Известно, что для некоторой экономической системы, состоящей из n отраслей, определена матрица прямых производственных затрат, элементы которой aij характеризуют затраты продукции i-ой отрасли, используемые для производства единицы
продукции j-ой отрасли
1
2
? a11
?
A = (aij ) = ? a21
?
? an1
a12
a22
an 2
...
n ? отрасли потребления
... a1 n ? 1
?
... a2 n ? 2
?M
... ann ? n ? отрасли производства
?x ?
? 1?
X = ? x 2 ? ? вектор валовой продукции,
?? M ??
?xn ?
3.1. Цели, структура и содержание курса «Математика» в условиях... 111
?y ?
? 1?
Y = ? y 2 ? ? вектор конечной продукции.
?M ?
? ?
?yn ?
?p ?
? 1?
Введем P = ? p 2 ? ? вектор цен, где pi цена единицы продук?M ?
? ?
? pn ?
ции i-ой отрасли, i = (1, n ) .
Поскольку для выпуска единицы продукции первой отрасли
требуется
a11 – продукции первой отрасли,
a21 – продукции второй отрасли,
…………………………………..
an1 – продукции n-ой отрасли,
то на приобретение необходимой продукции будет потрачена сумма
a11 p1 + a 21 p 2 + ... + a n 1 p n .
В этом случае для выпуска первой отраслью продукции в объеме x1 необходимы затраты:
x1p1 = x1(a11p1 + a21p2 + ... + an1pn) + V1 ,
{
производственные непроизводственные
расходы
расходы
где V1 – добавленная стоимость (заработная плата, налоги и т.д.).
При делении полученного уравнения на x1 получаем затраты
первой отрасли, необходимые для производства единицы продукции:
p1 = a11 p1 + a21 p 2 + ... + an 1 p n + v1 ,
где v 1 =
V1
? норма добавленной стоимости (величина добавленx1
ной стоимости на единицу выпускаемой продукции).
Аналогично определяются затраты других отраслей на производство единицы продукции:
112 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
p2 = a12 p1 + a22 p2 + ... + an 2 pn + v 2 ,
…………………………………............……
p n = a1 n p1 + a 2 n p 2 + ... + a nn p n + v n .
Полученную систему уравнений можно записать в форме
матричного уравнения:
P = A T ? P +V ,
? v1 ?
? ?
где V = ? v 2 ? ? вектор норм добавленной стоимости.
?M ?
?vn ?
Данное матричное уравнение аналогично уравнению многоотраслевого баланса X = A ? X + Y . Отличие состоит в том, что
вектор Х заменили на вектор Р, матрицу А на матрицу АТ, а вектор Y – на вектор V.
Уравнение P = A T ? P + V называют моделью равновесных
цен, которая используется при исследовании следующих экономических процессов:
? прогноз цен на продукцию отраслей при известных нормах
добавленной стоимости
P ? A T P = V ? (E ? A T ) ? P = V ? P = (E ? A T
)?1 ?V ;
? прогноз норм добавленной стоимости при известных ценах
на продукцию отраслей
V = P ? AT P ? V = (E ? A T ) ? P .
Рассмотрим пример задачи экономического содержания, решение которой в рамках дисциплины «Математика» обеспечивается построением и исследованием модели равновесных цен.
Задача 4. Для экономической системы, состоящей из трех отраслей:
топливно-энергетической, промышленности и сельского хозяйства,
известны
? 0,1 0,3 0,2 ?
?
?
A = ? 0,1 0,2 0,3? ? матрица прямых затрат,
? 0,2 0,2 0,2 ?
3.1. Цели, структура и содержание курса «Математика» в условиях... 113
? 4?
? ?
V = ? 10? ? вектор норм добавленной стоимости.
? 4?
Необходимо определить:
1) равновесные цены на продукцию отраслей;
2) новые равновесные цены и прирост их изменения при условии увеличения нормы добавленной стоимости в топливно-энергетической отрасли на 1,11 ден. ед.
Решение
1. Выразим искомый вектор Р, используя уравнение модели равновесных цен:
?1
P = (E ? A T ) ?V .
Найдем матрицу, обратную матрице (E ? A T ) :
E?A
T
= 0,444 ? 0 ? ? (E ? A
)
T ?1
? 0,58 0,14 0,18 ?
1 ?
0,28 0,68 0,24 ?? ,
=
0, 444 ?
? 0,25 0,29 0,69 ?
? 0,58 0,14 0,18 ? ? 4 ? ? 10 ?
1 ?
? ? ? ? ?
0,28 0,68 0,24 ? ? ? 10? = ? 20 ? .
тогда P =
0, 444 ?
? 0,25 0,29 0,69 ? ? 4 ? ? 15 ?
? 1,11?
?
?
2. ?V = ? 0 ? – прирост норм добавленной стоимости,
? 0 ?
? 4 + 1,11? ? 5,11?
?
? ?
?
тогда V 1 = ? 10 ? = ? 10 ? – новый вектор добавленной стоимости,
? 4 ? ? 4 ?
P1 = (E ? A T
)?1 ?V1
? 11,45 ?
= ?? 20,7 ?? – новый вектор цен.
? 15,625?
Следовательно
? 11,45 ? ? 10 ? ? 1,45 ?
?
? ? ? ?
?
?P = P1 ? P = ? 20,7 ? ? ? 20? = ? 0,7 ? – вектор прироста цен.
? 15,625? ? 15 ? ? 0,625?
114 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
Ответ: 1. Равновесные цены на продукцию трех отраслей составляют
10, 20, 15 ден. ед. соответственно.
2. Стоимость продукции первой отрасли увеличилась на 14,5%,
второй – на 3,5%, третьей – на 4,17%.
Использование при решении данной задачи модели равновесных цен демонстрирует возможность прогнозирования инфляции как следствия изменения стоимости продукции отдельных отраслей экономики.
Рассмотренные балансовые экономико-математические модели подтверждают дидактическую целесообразность включения содержательно-методической линии моделирования в курс
математики экономического вуза, позволяющей строить учебную деятельность так, что совокупность знаний, умений и навыков, приобретаемых на занятиях по математике, трансформируется в профессионально востребованные теоретические,
практические и личностные качества будущего специалиста,
обеспечивающие способность выполнять профессиональные
функции.
Результаты дидактической обработки содержания учебной
дисциплины «Математика» для студентов специальности «Финансы и кредит» нашли отражение в авторском варианте рабочей программы (Приложение 2).
Подводя итог характеристики роли компетентностного подхода в определении целей и содержания математической подготовки будущих специалистов финансовой сферы, следует
отметить направленность образования на формирование профессиональной компетентности, обеспеченной интеграцией математической и профессиональной подготовки. Использование
при этом в качестве инструмента управляемой интеграции МПС,
как на уровне знаний, так и на уровне видов деятельности,
определяет такой вид содержания образования, который не
сводится к передаче совокупности знаний и умений, а способствует формированию целостного опыта решения профессиональных проблем, требуя, в свою очередь, конструирования
комплекса соответствующих упражнений.
3.2. Комплекс профессионально ориентированных задач...
115
3.2. Комплекс профессионально ориентированных
задач экономического содержания, обеспечивающий
формирование профессиональной компетентности
при обучении математике
Анализ образовательной практики показывает, что формирование у студентов умений и навыков математического моделирования экономических процессов при обучении математике возможно за счет использования в качестве средства обучения
задач с практическим содержанием.
Процесс математического моделирования включает три этапа (формализация, решение задачи внутри модели и интерпретация), но традиционно в курсе математики уделяется внимание работе над вторым этапом моделирования, в то время как
формализация и интерпретация остаются недостаточно раскрытыми. Поэтому необходима организация обучения указанным
приемам как основным составляющим умения моделирования.
Важным средством обучения при этом являются задачи с практическим содержанием (задачи прикладного характера).
В педагогической литературе понятие прикладной задачи трактуется по-разному. По мнению Н.А. Терешина, «прикладная
задача – это задача, поставленная вне математики и решаемая
математическими средствами» [55, с. 7]. И.М. Шапиро под прикладной задачей понимает задачу, фабула которой раскрывает
приложения математики в смежных учебных дисциплинах [65].
При анализе роли задач в реализации интегративных связей
математики, общепрофессиональных и специальных дисциплин, будем использовать термин «задача с экономическим
содержанием», предполагающий присутствие формулировки,
содержащей экономические термины. Понятие экономикоматематической задачи и ее функции рассмотрены в работе
В.А. Далингера [20]. Под экономико-математической задачей
предлагается понимать задачу экономического содержания, для
решения которой необходимо использовать математический аппарат и соответствующие умения им оперировать.
Большинство используемых экономико-математических задач целесообразно отнести к профессионально ориентирован-
116 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
ным задачам, поскольку в процессе решения студенты оперируют экономическими понятиями, необходимыми в будущей
профессиональной деятельности.
Вслед за Л.В. Смолиной, в качестве профессионально ориентированных задач с экономическим содержанием будем рассматривать задачи с практическим содержанием, в которых отражаются межпредметные связи с экономикой и раскрываются
прикладные аспекты научных знаний в профессиональной деятельности [53].
Требования Государственного образовательного стандарта
специальности «Финансы и кредит» в части содержания учебной дисциплины «Математика» позволяют выделить профессионально ориентированные задачи, соответствующие видам профессиональной деятельности специалиста финансовой сферы
(табл. 9).
Таблица 9
Профессионально ориентированные задачи экономического
содержания в курсе «Математика»
Виды профессиональной
№ деятельности специалиста
финансовой сферы
1 Финансовая и кредитная
деятельность
2
Планово-экономическая
деятельность
3
Налоговая деятельность
4
Аналитическая
деятельность
Организационно-управленческая деятельность
Научно-методическая
деятельность
5
6
Профессионально ориентированные
задачи, используемые
при обучении математике
Задачи начисления процентов (начисление простых и сложных процентов;
непрерывное начисление процентов)
Балансовые задачи (планирование
производства в рамках соответствия
затрат выпуску; определение
равновесных цен)
Задачи оптимизации налогообложения
с использованием средств
дифференциального исчисления
Задачи линейного и динамического
программирования
Задачи сетевого планирования;
задачи теории игр
Задачи, формирующие опыт творческой
деятельности, в том числе с использованием информационных технологий
3.2. Комплекс профессионально ориентированных задач...
117
Анализ таблицы показывает, что профессионально ориентированные задачи, являясь средством обучения моделированию
экономических процессов, обеспечивают формирование способов деятельности, составляющих профессиональные функции
будущего специалиста финансовой сферы. При этом изучение
дидактических особенностей профессионально ориентированных задач экономического содержания позволяет выделить их
основные функции [12]:
? формирование приемов формализации и интерпретации как
основных составляющих умения моделирования;
? развитие мотивации, обусловленной профессиональными
интересами;
? формирование интеллектуальной восприимчивости, подвижности, гибкости мышления;
? совершенствование навыков самоконтроля.
Рассмотренные функции задач можно трансформировать
в критерии отбора профессионально ориентированных задач
экономического содержания в рамках курса математики. При
этом в качестве основных можно выделить следующие критерии отбора:
? экономическая фабула задачи, способствующая мотивации
изучения математического материала;
? присутствие в задаче основных и доступных проблем, характерных для финансовой сферы;
? технологическая направленность процесса решения, требующая соответствия полученного результата его целевому назначению;
? межпредметный характер задач, проявляющийся либо в условии, либо в процессе решения.
Конструирование соответствующего комплекса профессионально ориентированных задач, обеспечивающего формирование у студентов умений и навыков математического моделирования экономических процессов, может быть реализовано с
использованием схемы отбора текстовых задач, построенной в
соответствии с выделенными в настоящем исследовании типами экономико-математических моделей (рис. 17).
В качестве примера продемонстрируем дидактические возможности профессионально ориентированной задачи, исполь-
118 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
Модель
многоотраслевого баланса В. Леонтьева
Модель непрерывного
начисления
процентов
Модель
международной торговли
Коэффициенты эластичности экономических величин
(спроса, предложения и пр.)
Модель
спроса и
предложения
Балансовые
Теоретические
Статические
Макроэкономические
Детерминированные
Экономико-математические модели
Микроэкономические
Стохастические
Динамические
Прикладные
Модель
«затраты–
выпуск» для
конкретного экономического
объекта
Оптимизационные
Функции затрат, выпусЗадачи линейка, спроса,
ного програмпредложемирования
ния и пр.
Предельные
экономические величины (предельная выручка,
затраты и пр.)
Вероятностные величины (надежность ценных
бумаг, качество продукции и пр.)
Рис. 17. Схема отбора профессионально ориентированных задач
экономического содержания
зуемой в формализации прогноза ценовой политики средствами экономико-математической модели спроса и предложения.
Задача 5. Рассмотрим ситуацию, сложившуюся на рынке товара с из3 p + 14
вестными функциями спроса и предложения D ( p ) =
, S ( p ) = p + 2.
p +3
Требуется определить доход от продажи товара при равновесной цене,
эластичность спроса и предложения в точке равновесия и изменение
дохода при увеличении равновесной цены на 10%.
Определим равновесную цену из условия:
3.2. Комплекс профессионально ориентированных задач...
D (р
0
) = S (р
0
)?
119
3 p + 14
= p + 2 ? p 0 = 2 ден. ед.
p+3
Доход от продажи товара в точке рыночного равновесия можно представить как произведение цены и объема реализованной продукции:
3 ? 3 + 14
20
= 2?
= 8 ден. ед.
2+3
5
Полученные результаты проиллюстрируем графической моделью. Представим функции спроса и предложения в виде обратных зависимостей:
R ( p ) = р ? D ( p ) ? R (2) = 2 ?
D (q ) =
3q ? 14
3q ? 14
5
? p=
? p = ?3 +
,
3?q
3?q
q ?3
S ( q ) = q ? 2 ? p = q ? 2.
По смыслу задачи p > 0 и q > 0, следовательно, графики функций спроса
и предложения изображаем в первом квадранте (рис. 18).
p
D(q)
4
S(q)
3
E
2
1
0
1
2
3
4
q
Рис. 18. Модель спроса и предложения
В том случае, если от точки рыночного равновесия (Е) опустить перпендикуляры к координатным осям, то графической иллюстрацией размера полученного дохода является площадь прямоугольника, расположенного под точкой равновесия ( 4 ? 2 = 8).
Найдем эластичность спроса и предложения и вычислим их значения
при равновесной цене:
E p (D ) =
р
5p
? D ?( p) ? E p (D ) =
?
D( p)
( p + 3)( p + 14 )
? Е р = 2 ( D ) = – 0,1;
120 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
E p (S ) =
р
p
? S ?( p ) ? E p (S ) =
? Е р = 2 (S) = 0,5.
S ( p)
p+2
Полученные значения коэффициентов эластичности свидетельствуют о том, что спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны. Следовательно, изменение цены не приведет
к резкому изменению объемов спроса и предложения.
Оценим влияние цены на изменение дохода от продажи товара.
Коэффициент эластичности функции дохода R(p) определяет формула
Ep(R) = 1 + Ep(D), где Ep(D) – коэффициент эластичности спроса.
Следовательно, при увеличении равновесной цены на 10%, доход изменится на 10 ? E p (R ) = 10 ? (1 + E p =2 (D )) = 10(1 + (?0,1)) = 9, то есть возрастет на 9%.
Таким образом, экономическая интерпретация результатов
решения задачи подтверждает одно из теоретических утверждений экономической теории о том, что с ростом цены для товаров эластичного спроса доход от реализации продукции уменьшается, а для товаров неэластичного спроса – увеличивается. Так,
неэластичный спрос обуславливает изменение дохода в направлении изменения цены, то есть рост цены на 10% обеспечивает
увеличение дохода на 9%.
При анализе рассмотренной задачи возникает вопрос: в чем
заключаются преимущества текстовых задач при обучении моделированию экономических процессов в рамках курса «Математика»? Ответ достаточно очевиден. Поскольку современное
обучение невозможно без придания ему личностного смысла, формирования и укрепления познавательного интереса к изучаемой
области знаний, то текстовый характер заданий направлен в первую очередь на усиление творческой мотивации студентов, обусловленной предстоящей профессиональной карьерой. Кроме того,
целенаправленное выделение из общей совокупности текстовой
задачи необходимых условий, предполагает развитие способностей к адекватному восприятию новой информации, переориентации и переструктурированию ее в зависимости от ситуации, то
есть обеспечивает усвоение приемов формализации исходных
данных и интерпретации полученных результатов.
Рассмотренные преимущества профессионально ориентированных задач, придающие обучению личностно ориентирован-
3.2. Комплекс профессионально ориентированных задач...
121
ный характер, следует дополнить их ролью в реализации МПС
математики, общепрофессиональных и специальных дисциплин, поскольку решая профессионально ориентированные задачи, студенты приобретают умение анализировать ситуации,
характерные для будущей профессиональной деятельности в финансовой сфере.
Используя теоретические исследования Н.Ю. Посталюк [50],
а также результаты практического опыта, мы разработали комплекс профессионально ориентированных задач для обучения
моделированию экономических процессов в курсе высшей математики (Приложение 3). Рассмотрим примеры профессионально ориентированных задач в различных разделах учебной дисциплины «Математика».
Продемонстрируем возможности раздела «Элементы аналитической геометрии» в развитии умений формализации экономических проблем с использованием векторной формы представления экономических величин.
Задача 6. Предприятие выпускает четыре вида продукции в количестве 50; 80; 20; 120 единиц. Нормы расхода сырья составляют 7; 3,5; 10;
4 усл. ед. Необходимо определить суммарный расход сырья и его изменение при изменении объемов выпуска продукции на 5; –4; –2; 10 единиц
соответственно.
Решение
X = (50; 80; 20; 120) ? вектор выпуска продукции;
Y = (7; 3,5; 10; 4) ? вектор расхода сырья.
Суммарный расход сырья можно определить, используя формулу скалярного произведения векторов:
X ?Y = 50 ? 7 + 80 ? 3,5 + 20 ? 10 + 120 ? 4 = 1210 усл.ед.
Если компоненты вектора ?X = (5; ? 4; ? 2; 10) рассматривать как количественные изменения объемов выпуска продукции, то изменение суммарного расхода сырья можно определить как скалярное произведение
векторов:
?X ?Y = 5 ? 7 ? 4 ? 3,5 ? 2 ?10 + 10 ? 4 = 41 усл.ед.
Ответ: Суммарный расход сырья 1310 усл. ед.; изменение суммарного расхода сырья 41 усл. ед.
122 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
Таким образом, анализ рассмотренной профессионально ориентированной задачи подтверждает возможность использования
арифметического вектора в роли математической модели и целесообразность применения компактной формы скалярного
произведения векторов при исследовании экономических процессов.
Раздел «Линейная алгебра» в качестве инструментов формализации экономических проблем представляет матрицы и операции над ними.
Задача 7. Предприятие выпускает четыре типа продукции, объемы
выпуска которой определяет матрица A = (10; 40; 10; 20) . Цену реализации единицы продукции i-го типа в j-м регионе, где j = (1,3) , характеризует матрица
?2
?4
B =?
?3
?
?2
1
2
1
4
2?
1??
.
1?
?
4?
Необходимо найти матрицу выручки.
Решение
Определяя выручку как произведение объемов выпуска и стоимости
реализации, найдем матрицу выручки в результате произведения матриц
объемов и стоимости:
?2
?
4
A ? B = (10; 40; 10; 20) ?
?3
1Ч 4
?
?2
1 2?
?
2 1?
= (250; 180; 150).
1 1?
1Ч3
?
?
4 4
4Ч3
Ответ: (250; 180; 150) ? матрица выручки, полученной в каждом
из трех регионов.
Дидактические возможности раздела «Введение в исследование операций» в формировании умений и навыков моделирования экономических процессов демонстрируют преимущества
сетевого графика как примера математической модели, используемой при решении задач сетевого планирования.
3.2. Комплекс профессионально ориентированных задач...
123
Задача 8. Компания готовит бюджет производства нового изделия.
В таблице представлены этапы подготовки бюджета, их продолжительность (табл. 10).
Таблица 10
Этапы подготовки бюджета производства нового изделия
Работа
Время выполнения
работы (дни)
а1
10
а2
7
а3
5
а4
3
а5
2
а6
1
а7
14
Предшествующие работы
Наименование работы
Прогнозирование объема
продаж изделия
Изучение рынка
товаров-конкурентов
Корректировка изделия
Подготовка производственного плана
Оценка стоимости производства
Определение рыночной
цены изделия
Подготовка бюджета
–
–
а1
а3
а4
а2, а5
а5, а6
Необходимо построить сетевой график, определить критический путь
и его длину.
Решение
Поскольку планируемый процесс уже разбит на отдельные работы,
определенной продолжительности и заданной последовательности, построим сетевой график и упорядочим его (рис. 19).
a4=3
a3=5
a1=10
a? =
5
a2=7
Start(S)
I
a5=2
II
III
IV
V
a5?? =0
0
a7=14
a6=1
VI
Finish(F)
VII
VIII
Рис. 19. Упорядоченный сетевой график
Построенный сетевой график имеет 7 ребер, определяющих работы
заданной продолжительности, и 8 вершин – событий, характеризующих
124 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
завершение работ. Фиктивные работы a5? , a5?? (нулевой продолжительности) введены с целью устранения параллельных ребер в графе.
Выделим временные характеристики сетевого графика:
ti j – продолжительность работы, связывающей события i и j;
tp(i) – ранний (ожидаемый) срок свершения события i;
tn(i) – поздний (предельный) срок события i;
R(i) – резерв времени события i.
Определим ранние сроки наступления событий i , предшествующего
событию j, используя формулу продолжительности максимального пути
t p ( j ) = max {t p (i ) + t ij }.
С помощью формулы, двигаемся по сети от S к F (слева направо) и
считаем сколько стрелок входит в вершину j :
.
i
Учитывая, что tp(S) = 0, получаем:
j
tp(1) = 0,
t p (2) = t p (1) + t12 = 0 + 10 = 10,
t p (3) = t p (2 ) + t 23 = 10 + 5 = 15,
t p (4 ) = t p (3) + t 34 = 15 + 3 = 18,
t p (5) = t p (4 ) + t 45 = 18 + 2 = 20,
?? t p (1) + t16 = 0 + 7 = 7 ??
t p (6 ) = max ?
? = 20,
??t p (5) + t 56 = 20 + 0 = 20??
??t p (5) + t 57 = 20 + 0 = 20??
t p (7) = max ?
? = 21,
?? t p (6 ) + t 67 = 20 + 1 = 21 ??
t p (8) = t p (7) + t 78 = 21 + 14 = 35.
Найдем поздние сроки событий j, следующих за событием i до F,
используя формулу продолжительности минимального пути tn(i) =
= min {t n ( j ) ? t ij }.
С помощью формулы, двигаемся от F к S и считаем, сколько стрелок
выходит из вершины i :
.
i
j
3.2. Комплекс профессионально ориентированных задач...
125
При условии, что tn(F ) = tp(F ), получаем:
t n (8) = t p (8) = 35,
t n (7 ) = t n (8) ? t 78 = 35 ? 14 = 21,
t n (6 ) = t n (7 ) ? t 67 = 21 ? 1 = 20,
? t n (7 ) ? t 57 = 21 ? 0 = 21?
t n (5) = min ?
? = 20,
?t n (6 ) ? t 56 = 20 ? 0 = 20?
t n (4 ) = t n (5 ) ? t 45 = 20 ? 2 = 18,
t n (3 ) = t n (4 ) ? t 34 = 18 ? 3 = 15,
t n (2 ) = t n (3) ? t 23 = 15 ? 5 = 10,
t n (1) = t n (2) ? t12 = 10 ? 10 = 0.
Расчет резерва времени событий выполним, используя формулу продолжительности времени R (i ) = t n (i ) ? t p (i ), на которое можно задержать
наступление события i, не увеличивая общий срок выполнения комплекса работ.
События, для которых R (i ) = 0, называются критическими событиями.
Критические события лежат на критическом пути Lкр и задержка в их
наступлении вызывает задержку наступления F.
Результаты нахождения R(i ) отразим в таблице (табл. 11).
Таблица 11
Временные параметры наступления событий
Номер Сроки наступления
события
события
i
tp(i )
tn(i )
1
2
3
4
5
6
7
8
0
10
15
18
20
20
21
35
0
10
15
18
20
20
21
35
Резерв
времени
0
0
0
0
0
0
0
0
Критический
Время выполпуть,
нения комплекса
Lкр
работ, tкр
1
2
3
4
5
6
7
Lкр: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8, tкр = 35 дней.
8
tкр
= 35 дней
126 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
Расчет временных параметров и определение топологии критического
пути (Lкр) можно выполнить, используя сетевой график, который показывает результаты с помощью схемы, изображающей вершину графа:
i
tp(i)
tn(i)
R(i)
Последовательность действий для расчета временных параметров
выглядит следующим образом:
– нумеруются вершины графа в соответствии с номерами событий (i );
– проводится расчет tp(i ) в направлении S ? F, при условии tp(S) = 0;
– проводится расчет tn(i ) – при F ? S, учитывая, что tn(F ) = tp(F );
– определяется резерв времени события i как R (i ) = t n (i ) ? t p (i ).
Топология полученного критического пути, продолжительностью
35 дней, выделена на сетевом графике (рис. 20) жирной линией:
Lкр: a1 – a3 – a4 – a5 – a6 – a7 .
a3=7
a4=3
a5=2
1
a
=1
0
0
?=
a?5
a 5? =0
a7=14
6
a
=1
a2=7
Рис. 20. Критический путь сетевого графика
Анализ сетевого графика показывает, что лишь одна из работ a2, продолжительностью 7 дней, не лежит на критическом пути, следовательно,
выполнение работы можно отсрочить на 13 дней, что не повлияет на общий срок завершения комплекса работ tкр, составляющий 35 дней.
Ответ: Lкр: a1 – a3 – a4 – a5 – a6 – a7; tкр = 35 дней.
Продемонстрируем возможности раздела «Математический
анализ» в формализации динамических процессов на примере
3.2. Комплекс профессионально ориентированных задач...
127
профессионально ориентированной задачи о наращении капитала, при решении которой в качестве математической модели
используется числовой ряд.
Задача 9. Годовая ставка простых процентов составляет 12,5%. Определите, через какое количество лет начальная сумма удвоится.
Решение
Если первоначальная сумма равна Р, а годовая ставка составляет 12,5%,
то к концу первого промежутка начисления сумма возрастет на 1,125Р
и составит:
P1 = P + 0,125P = P (1 + 0,125).
К концу второго промежутка начисления эта сумма возрастет на 0,125Р
и окажется равной:
P2 = P1 + 0,125P = P (1 + 0,125) + 0,125P = P (1 + 2 ? 0,125) и т.д.
К концу n-го промежутка начисления наращенная сумма будет определяться формулой простых процентов:
Pn = P (1 + 0,125 ? n).
Таким образом, последовательность наращенных сумм P1, P2, ..., Pn
есть арифметическая прогрессия с первым членом Р и разностью 0,125Р.
В соответствии с вопросом задачи запишем и решим неравенство:
(1 + 0,125n) > 2 ? n >
1
? n > 8.
0,125
Ответ: через 8 лет вклад удвоится.
Изучение раздела «Элементы теории вероятностей и математической статистики» способствует формированию умений и
навыков исследования стохастических процессов с использованием в качестве формализованных моделей вероятностных формул и законов. На примере решения профессионально ориентированной задачи рассмотрим возможность формализации
стохастического процесса с использованием схемы повторных
независимых испытаний.
Задача 10. Каждый пятый клиент банка приходит получать проценты
с вклада. В настоящий момент в банке ожидают обслуживания 6 человек.
Найдите вероятность того, что проценты будут снимать:
128 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
а) только два человека;
б) хотя бы один человек.
Решение
Поскольку получение клиентами процентов с вклада – испытания
независимые, определение искомой вероятности выполним с помощью
формулы Бернулли:
Pn (m) = C nm ? p m ? q n ? m ,
4
1
где p = , q = , n = 6.
5
5
а) Найдем вероятность того, что из 6 человек, ожидающих в очереди,
только два планируют снятие процентов:
2
4
? 1? ? 4?
P6 (2 ) = C 62 ? ? ? ? ? ? ? 0,25 .
? 5? ? 5 ?
б) Определим вероятность получения процентов хотя бы одним из
шести клиентов банка:
0
6
1
4
P6 (1 ? m ? 6) = 1 ? P6 (0) = 1 ? C 60 ? ?? ?? ? ?? ?? ? 0,75.
? 5? ? 5 ?
Ответ: а) 0,25; б) 0,75.
Рассмотренная задача демонстрирует возможность использования формулы Бернулли в качестве математической модели
для формализации процессов банковского обслуживания.
Решая в рамках курса «Математика» профессионально ориентированные задачи, студенты при построении экономико-математических моделей различных типов формируют обобщенные
приемы учебной деятельности и проектируют соответствующий
тип мышления. Именно такие задачи, способствуя овладению
технологической цепочкой процесса моделирования, вызывают
у студентов активную работу мысли с учетом предстоящей профессиональной карьеры.
Учитывая вышесказанное, выделим особенности разработанного нами комплекса профессионально ориентированных задач,
подтверждающих возможность формирования структурных компонентов профессиональной компетентности будущих специалистов средствами моделирования экономических процессов:
3.3. Реализация методики формирования профессиональной...
129
? текстовый характер профессионально ориентированных
задач усиливает творческую мотивацию студентов при изучении учебного материала;
? использование профессионально ориентированных задач
при реализации МПС математики, общепрофессиональных и
специальных дисциплин способствует организации личностно
ориентированного подхода в обучении;
? овладение технологической цепочки процесса моделирования при решении профессионально ориентированных задач
обеспечивает формирование качеств мышления будущего специалиста.
Таким образом, сконструированный комплекс профессионально ориентированных задач, выступая в роли средства
обучения, обеспечивает реализацию основных функций содержательно-методической линии моделирования в курсе математики, формируя составляющие структурных компонентов профессиональной компетентности будущего специалиста.
3.3. Реализация методики формирования
профессиональной компетентности средствами
математического моделирования
экономических процессов
Исследование проблемы формирования профессиональной
компетентности будущего специалиста показывает, что высшая
профессиональная школа должна не только заложить базовые
знания и умения, но и сформировать и развить свойства личности (мотивацию, ценностные ориентации, качества мышления,
навыки самостоятельной работы и пр.), которые станут фундаментом для дальнейшего углубления в теорию и практику профессиональной деятельности. Это, в свою очередь, невозможно
без применения современных обучающих технологий, инициирующих познавательную активность студентов.
Результаты образовательной практики демонстрируют целесообразность использования личностно ориентированных
технологий обучения для формирования профессиональной
130 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
компетентности не только при изучении общепрофессиональных, специальных дисциплин, но и общеобразовательных дисциплин, в частности дисциплин математического и естественно-научного цикла. В связи с этим нами были исследованы
возможности реализации методики формирования профессиональной компетентности будущих специалистов финансовой
сферы средствами моделирования экономических процессов при
обучении математике.
Согласно положениям современной дидактики, методическая
система обучения представляет собой совокупность целей, содержания, средств, методов и организационных форм, направленных на формирование личности с заданными качествами.
При этом следует учитывать, что в структуре методической системы должны четко просматриваться два исходных понятия
научной теории: задачи и технология их решения [6, с. 7].
В нашем случае дидактическая задача отображает основную
цель обучения – формирование умений и навыков, необходимых будущим специалистам финансовой сферы в профессиональной деятельности, достижение которой обусловлено особенностями контингента и содержанием учебного предмета
«Ма??ематика». Указанная задача разрешима с помощью адекватной технологии обучения, целостность которой обеспечивается взаимосвязанной разработкой и использованием трех компонентов: средств, методов и организационных форм обучения.
Рассмотрим методические возможности курса математики в
формировании профессиональной компетентности будущих
специалистов в соответствии с выполненной дидактической обработкой содержания дисциплины для реализации интегративных связей с использованием метода математического моделирования экономических процессов.
При выборе методов, средств и организационных форм обучения следует учитывать тот факт, что выделенный в настоящем исследовании компонентный состав профессиональной
компетентности, его содержание для специалиста финансовой
сферы, а также педагогические условия формирования профессиональной компетентности при обучении математике, определяют необходимость создания личностно ориентированной
среды обучения в контексте представления содержания мате-
3.3. Реализация методики формирования профессиональной...
131
матического образования в логике будущей профессиональной
деятельности.
Поскольку способы достижения педагогических целей характеризуются определенными принципами, направляющими учебный процесс, обратимся к характеристике дидактических принципов обучения в высшей профессиональной школе с позиций
закономерностей образовательного процесса.
На уровне высшей школы выделяют следующие закономерности обучения [51]:
? обусловленность образования потребностью общества в
подготовке квалифицированных специалистов;
? зависимость содержания обучения от целей и задач, отражающих потребности общества;
? наличие межпредметных и внутрипредметных связей учебных предметов, в том числе общеобразовательных и специальных дисциплин;
? взаимосвязь преподавания и восприятия в целостном процессе обучения.
На основании выделенных закономерностей формируются
принципы обучения, которые условно можно разбить на три
группы [16]:
? принципы, регулирующие овладение студентами предметными знаниями, умениями и навыками;
? принципы, позволяющие развивать интеллектуальную,
эмоциональную и мотивационную сферы студента;
? принципы, обеспечивающие качество образовательного процесса.
В современной дидактике высшей школы существует многообразие подходов к выделению принципов обучения в зависимости от принятой дидактической концепции. При этом неоднозначность используемых трактовок, отсутствие иерархии
ведущих принципов дополняется изменчивостью социального
заказа, обусловленного экономическим развитием общества,
которая может как снижать, так и повышать роль того или иного
критерия. Данный процесс, как справедливо отмечает Ю.К. Бабанский, можно считать вполне естественным, так как «дидактические принципы не являются… установленными догмами,
132 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
поскольку синтезируют в себе достижения современной дидактики и обновляются под их влиянием» [47, с. 73].
Анализ различных подходов к определению дидактических
принципов позволил выделить группу обобщенных принципов
обучения в высшей профессиональной школе [51]:
? обеспечение высшим образованием развития личности будущего специалиста;
? соответствие содержания профессионального образования
тенденциям социально-экономического развития общества;
? рациональное сочетание современных методов, форм и
средств обучения при подготовке специалиста;
? соответствие результатов подготовки специалиста требованиям конкретной сферы деятельности и показателям конкурентоспособности.
Принимая во внимание выделенные дидактические принципы,
рассмотрим методические особенности изучения конкретных
разделов курса «Математика» в рамках содержательно-методической линии моделирования, используя авторский вариант
рабочей программы, представленной в Приложении 2.
Учитывая результаты, полученные в ходе настоящего исследования, а также принимая во внимание мнение многих ученых, в частности Б.П. Эрдниева [69, с. 15], приходим к выводу,
что нельзя научить моделированию по принципу «ноу-хау».
Педагог организует учебно-познавательную деятельность
студентов по овладению учебным материалом. На первом этапе
происходит восприятие, осмысление и запоминание изучаемого материала. На втором – выработка умений и навыков по применению этих знаний на практике. Третий этап обеспечивает
дальнейшее повторение и углубление знаний, закрепление и
совершенствование практических умений и навыков [62]. В связи с этим необходимо осуществлять целенаправленное обучение
студентов теоретическим и практическим основам моделирования, делая акцент на формировании общего подхода к построению моделей. В рамках курса «Математика» этому способствует
как изучение общих вопросов моделирования, так и построение конкретных экономико-математических моделей, обеспечивающее неоднократное выполнение и соответственно усвоение технологической цепочки процесса моделирования. В то же
3.3. Реализация методики формирования профессиональной...
133
время следует помнить, что «…в моделировании, как и в науке
в целом, нет проторенных путей» и конкретное наполнение технологической цепочки каждый раз должно быть иным, так как
в противном случае не будет создано полного представления о
технологии математического моделирования экономических
процессов [66, с. 77].
Учитывая вышесказанное, на вводной лекции, формулируя
цели и задачи курса, целесообразно познакомить студентов
с понятием математической модели, примерами моделей, их ролью в формализации проблем экономической теории и практики, а также перспективами развития метода моделирования, его
значением в будущей профессиональной деятельности.
Поскольку порядок изучения тем курса определен в соответствии с логикой математики как научной дисциплины, обеспечивающей реализацию внутрипредметных связей, то наряду
с реализацией МПС целесообразно демонстрировать преемственность различных разделов учебной дисциплины.
Изучение раздела «Элементы аналитической геометрии» ориентировано в первую очередь на формирование пространственного и аналитического мышления студентов и их способностей
размещения в пространстве графических объектов. В связи с
этим необходимо развивать умения и навыки моделирования
экономических проблем, оперируя такими математическими
моделями, как вектор, прямая, плоскость. В свою очередь,
направленность на дальнейшее использование аппарата аналитической геометрии в рамках курса математики обращает к иллюстрации возможностей реализации графического метода решения задач линейного программирования, построения сетевых
моделей, визуализации экономических зависимостей в виде графиков функций и т.д.
В рамках раздела «Линейная алгебра» студенты знакомятся с
такими математическими моделями, как матрица и система линейных алгебраических уравнений. При этом целесообразно
демонстрировать возможности формализации экономических
проблем средствами аппарата линейной алгебры. В качестве
примеров моделей линеаризуемых экономических процессов
можно рассмотреть модели международной торговли, многоотраслевого баланса и равновесных цен. В свою очередь, исполь-
134 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
зование аппарата линейной алгебры при изучении других разделов курса математики указывает на возможности применения матриц при решении транспортных задач, задач теории игр,
а также метода Гаусса как основы симплексного метода в линейном программировании.
Раздел «Введение в исследование операций», изучение которого направлено на формирование умений количественного
обоснования решений при организации планирования и управления, знакомит студентов с такими типовыми задачами как
задачи линейного программирования, транспортные задачи, задачи сетевого планирования, динамического программирования, теории игр, и особенностями их решения.
Изучение основ линейного программирования обращает внимание студентов на тот факт, что балансовые модели, являющиеся инструментом поддержания равных пропорций ресурсной и расходной частей, не реализуют механизмы сравнения
различных вариантов экономических решений, предусматривающих взаимозаменяемость ресурсов, и соответственно не
имеют возможности обеспечить выбор оптимального варианта
развития экономического процесса. Это ограничивает применение балансового метода и требует обращения к методам оптимизации (математическому или линейному программированию), состоящим в выборе наилучшего варианта поведения из
возможных. Поскольку акцент сделан на использовании аппарата линейного программирования, целесообразным является
знакомство студентов с историей линейного программирования
и примерами задач линейного программирования (задача о банке,
использовании сырья, диете, транспортных назначениях и т.д.),
связанных с распределением ограниченных ресурсов для получения наилучшего экономического эффекта.
Изучение методов решения задач сетевого планирования
формирует умение минимизации сроков выполнения больших
комплексов взаимосвязанных работ, используя соотношения
между известными данными о продолжительности отдельных
технологических операций.
Знакомство с аппаратом теории игр позволяет студентам овладеть методами принятия решений в конфликтных ситуациях, где сталкиваются интересы двух и более сторон, преследую-
3.3. Реализация методики формирования профессиональной...
135
щих различные цели. Изучение методов теории игр обеспечивает формирование умений формализации разумного поведения
участников конфликтов путем определения их оптимальных
стратегий.
Раздел «Математический анализ» предоставляет огромный
дидактический инструментарий для исследования экономических процессов. Функция, предел, производная, коэффициент
эластичности, интеграл, дифференциальное уравнение, числовой ряд, формула сложных процентов – все эти математические
модели обеспечивают возможность формализации экономических проблем с целью получения согласованных решений.
Более детально рассмотрим методические особенности использования средств дифференциального и интегрального
исчисления в обучении студентов моделированию экономических процессов в рамках тем «Экстремум функции нескольких
переменных» и «Дифференциальные уравнения высших порядков» на примере анализа технологии решения профессионально ориентированных задач.
Задача 11. Предприятие производит два типа продукции в количестве
х и y единиц. Стоимость единицы продукции каждого типа составляет
8 и 10 ден. ед. соответственно. Затраты производства определяет функция
C = x 2 + xy + y 2 . Необходимо найти план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.
Решение
Функция дохода от реализации продукции имеет вид – D(x) = 8x + 10y.
Тогда прибыль можно определить как разность дохода и затрат производства: P ( x ; y ) = 8x + 10 y ? x 2 ? xy ? y 2 . Необходимо найти частные производные первого порядка функции прибыли:
Px? = (8x + 10y – x 2 – xy – y 2)?x = 8 – 2x – y,
Py? = (8x + 10y – x 2 – xy – y 2)?y = 10 – x – 2y.
Используя необходимое условие экстремума функции двух переменных, найдем критические точки:
?? Px? = 0,
?
?
?? Py? = 0.
? 8 ? 2 x ? y = 0,
?
?
?10 ? x ? 2 y = 0.
? 2 x + y = 8,
?
? x + 2 y = 10.
136 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
Применение формул Крамера позволяет получить решение системы
двух линейных уравнений:
?=
2 1
1 2
= 3,
?x =
8
1
10 2
= 6,
?y =
2
8
1 10
= 12,
?x 6
?
? x = ? = 3 = 2,
? M(2; 4) – критическая точка функции P (x;y).
?
?y 12
?y =
=
= 4.
?
?
3
Найдем частные производные второго порядка функции прибыли:
Pxx?? = (8 – 2x – y)?x = –2x = A,
Pyy?? = (10 – x – 2y)?y = –2 = B,
Pxy?? = (8 – 2x – y)?y = –1 = C.
Воспользуемся достаточным условием экстремума функции двух
переменных:
? ? = AB ? C 2 = 3 > 0,
? M(2; 4) – точка максимума.
?
A = ?2 < 0.
?
Определим значение максимальной прибыли, полученной от выпуска
двух и четырех единиц продукции первого и второго типов:
Pmax = P (2; 4) = 8 ? 2 + 10 ? 4 ? 2 2 ? 2 ? 4 ? 4 2 = 28 ден. ед.
Ответ: план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную
прибыль в размере 28 ден. ед., составляет 2 и 4 единицы продукции первого и второго типов соответственно.
Продемонстрируем методические возможности использования дифференциальных уравнений в исследовании модели рынка с прогнозируемыми ценами.
Задача 12. В упрощенных моделях рыночного равновесия спрос и предложение предположительно зависят лишь только от текущей цены р. Однако в реальных ситуациях D и S зависят также от скорости ценообразования (р ?) и темпа изменения цены (р??). Известно, что на рынке товара с
прогнозируемыми ценами, функции спроса и предложения определяют
следующие формулы:
3.3. Реализация методики формирования профессиональной...
137
D(t ) = 3р ?? – р ? – 2р + 18,
S(t ) = 4р ?? + р ? + 3р + 3.
Требуется установить зависимость цены от времени, то есть найти функцию р = p(t ).
Решение
Проведем анализ зависимости спроса и предложения от скорости ценообразования и темпа изменения цены, то есть вследствие изменения
функции p(t ) по времени.
D(t ) изменяет значение в зависимости от темпа изменения цены. В том
случае, если темп растет (р ?? входит в уравнение функции спроса с коэффициентом 3 > 0), то рынок увеличивает интерес к товару, и, наоборот,
быстрый рост цены (р ?) отпугивает покупателя, поэтому слагаемое, содержащее р ?, имеет отрицательный коэффициент, равный –1.
В свою очередь, изменение S(t ) в бЅoльшей мере усиливается темпом
изменения цены, поэтому слагаемое, содержащее р ??, входит в выражение
функции предложения с бЅoльшим коэффициентом, чем в выражение
D(t ) (4 > 3). При этом рост скорости цены также увеличивает S(t ), следовательно, слагаемое, содержащее р ?, входит в S(t ) с положительным коэффициентом, равным 1.
С целью определения зависимости цены от времени воспользуемся
условием рыночного равновесия:
D(t ) = S(t ),
3р ?? – р ? – 2р + 18 = 4р ?? + р ? + 3р + 3,
р ?? + 2р ? + 5р = 15.
Решение полученного линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами может быть
найдено как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения.
Используя обозначение p(t ) = y(x), получаем:
y ?? + 2y ? + 5y = 15.
yобщ.одн. – ?
?2 + 2 ? + 5 = 0 ? характеристическое уравнение, соответствующее однородному дифференциальному уравнению.
?1,2 = ( ? 1 ± 2i ) ? два комплексных сопряженных корня вида (? ± ?i ).
138 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
Используя формулу y = e ?x (c1 cos ?x + c2 sin ?x ), получаем:
yобщ.одн. = e ? x (c1 cos 2 x + c2 sin 2 x ).
yчаст.неодн. – ?
Поскольку правая часть неоднородного уравнения имеет вид
f ( x ) = 15 или f ( x ) = Pn ( x ),
где Pn(x ) – многочлен нулевой степени, то предполагаемый вид частного
решения неоднородного уравнения
yчаст.неодн. = x rQn (x ),
где r = 0, так как среди корней характеристического уравнения нет нулей,
и n = 0, поскольку Pn(x ) – многочлен нулевой степени.
Таким образом, yчаст.неодн. = A, где A = const, для нахождения которой
?
??
подставим yчаст.неодн. = A, y част.неодн
. = y част.неодн . = 0 в исходное уравнение
y ?? + 2y ? + 5y = 15,
0 + 2 ? 0 + 5 ? A = 15 ? A = 3 ? yчаст.неодн. = 3,
? y = yобщ.одн. + yчаст.неодн. ? p(t ) = e ?t (c cos 2t + c sin 2t ) + 3.
?
1
2
y ( x ) = p (t )
?
Искомый закон ценообразования имеет вид
p(t ) = e ? t (c1 cos 2t + c2 sin 2t ) + 3.
Ответ: p(t ) = e ? t (c1 cos 2t + c2 sin 2t ) + 3 ? прогнозируемая цена.
Изучение курса математики завершается разделом «Элементы теории вероятностей и математической статистики», обеспечивающим формирование навыков построения стохастических
экономико-математических моделей. При этом целесообразность изучения вероятностных и статистических методов планирования, управления и контроля качества демонстрируется
возможностью исследования большого числа экономических
процессов, учитывая влияние случая, в том числе систем массового обслуживания с очередями заявок с целью определения показателей эффективности их работы.
Учитывая вышесказанное, обратимся к характеристике используемых в курсе «Математика» форм и методов обучения,
3.3. Реализация методики формирования профессиональной...
139
направленных на формирование компонентов профессиональной компетентности средствами моделирования экономических
процессов.
С точки зрения современной дидактики в обучении ясно
выступают две его стороны: преподавание (деятельность учителя) и учение (сознательная познавательная деятельность
учащихся). В связи с этим под методами обучения понимают
упорядоченный комплекс дидактических приемов и средств, посредством которых реализуются цели обучения, воспитания и
развития, трансформируясь из целей преподавания в цели учения [44]. В свою очередь, в качестве форм обучения определяются «способы организации педагогического процесса» [44,
с. 141].
Используя теоретические исследования и практический опыт,
в качестве способов организации обучения в рамках курса высшей математики, были выбраны следующие формы:
? по виду организации учебной работы – лекции, практические
занятия;
? по дидактической цели – занятия по формированию, обобщению, совершенствованию знаний, умений и навыков; интегрированные занятия.
В роли форм учебной работы отобрали индивидуальную,
групповую и коллективную.
С точки зрения возможности реализации педагогических
условий формирования профессиональной компетентности,
включающих интеграцию математической и профессиональной
подготовки средствами моделирования экономических процессов, а также создание личностно ориентированной среды обучения в контексте представления содержания математического
образования в логике будущей профессиональной деятльности,
представляется целесообразным рассмотрение методики организации интегрированного занятия на уровне дидактического
синтеза.
План интегрированного занятия
для студентов 2 курса специальности «Финансы и кредит»
Омского филиала ФГОУ ВПО АБиК Минфина России
Форма занятия: практическое занятие.
140 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
Тема занятия:
Математика – «Дифференциальное исчисление функции
одной переменной».
Информатика – «Электронная таблица MS Excеl. Построение графиков и диаграмм».
Экономическая теория – «Спрос и предложение, равновесная цена», «Налоговая система».
Цели занятия:
Обучающая
? обобщить и систематизировать знания, умения и навыки студентов по темам: «Спрос и предложение, равновесная цена», «Налоговая система»;
? сформировать умение комплексного подхода к решению
экономических задач, используя теоретические знания,
математический аппарат и возможности информационных
технологий.
Воспитательная
? развивать познавательную мотивацию студентов;
? формировать умение использовать графические модели
в исследовании взаимодействия спроса и предложения
средствами Excel.
Развивающая
? способствовать развитию творческого мышления будущих специалистов.
Оборудование: компьютер, электронная таблица MS Excеl, средства мультимедиа, демонстрационные материалы, компьютерный вариант тестового задания по теме «Спрос и предложение, равновесная цена», учебно-практический
материал.
Этапы занятия:
I. Организационный этап.
II. Обобщение и систематизация теоретических знаний по
теме «Спрос и предложение, равновесная цена».
III. Практическая работа по моделированию экономических процессов.
IV. Постановка домашнего задания.
V. Подведение итогов занятия.
3.3. Реализация методики формирования профессиональной...
141
Методика организации занятия:
I. Организационный этап.
1. Постановка цели и задач занятия.
2. Характеристика этапов занятия.
II. Cистематизация теоретических знаний по теме «Спрос и
предложение, равновесная цена».
1. Обсуждение теоретических вопросов:
– спрос; закон спроса; кривая спроса; факторы, определяющие спрос;
– предложение; закон предложения; кривая предложения;
факторы, влияющие на предложение;
– взаимодействие спроса и предложения; рыночное равновесие;
– эластичность спроса и предложения.
2. Научный доклад студента «Эластичность и налоговая политика».
3. Выполнение компьютерных тестовых заданий.
III. Практическая работа по моделированию экономических
процессов.
1. Обсуждение возможностей математического моделирования в исследовании экономических процессов:
– Что называют моделированием?
– Какие виды моделирования существуют?
– Перечислите этапы экономико-математического моделирования.
– Приведите примеры математических моделей, используемых в рамках темы «Дифференциальное исчисление функции
одной переменной».
– Определите экономический смысл производной.
– Производная функции позволяет определять скорость изменения одних экономических величин под влиянием других,
тогда в чем состоит необходимость введения понятия эластичности функции?
– Дайте определение эластичности функции и запишите формулу расчета коэффициента эластичности.
– В чем состоит экономический смысл коэффициентов эластичности спроса и предложения?
142 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
2. Решение задач экономического содержания по теме «Спрос
и предложение».
Задача 13. На рыбном рынке в одном из районных центров Омской
области, где летним утром можно купить свежую рыбу, два рыбака продают четыре карася по цене 6 ден. ед. Василий предлагает сократить предложение, выбросив одного карася в озеро, а Петр советует снизить цену.
Если графики D и S выглядят так, как на рисунке 21, кто прав и почему?
Эластична ли функция спроса в этом случае?
p (цена)
S1(q)
Василий
6
S2(q)
Петр
5
D(q)
3
4
q (спрос)
Рис. 21. Ситуация на рынке рыбы
В процессе решения задачи студентам были заданы вопросы:
– По какому фактору необходимо провести сравнение альтернативных стратегий Петра и Василия? (По фактору денежной выручки.)
– Определите выручку от продаж в том и другом случае. (Стратегия
Петра – 20 ден. ед., Василия – 18 ден. ед.)
– Кто прав и почему? (Прав Петр, так как в случае принятия его стратегии денежная выручка будет больше.)
– Что происходит с денежной выручкой при уменьшении стоимости
рыбы? (При уменьшении цены денежная выручка растет.)
3.3. Реализация методики формирования профессиональной...
143
– Как это связано с эластичностью функции спроса на рыбу? (Согласно теоретическим положениям экономической теории, рост денежной
выручки при уменьшении цены характерен для товаров эластичного спроса,
поэтому функция спроса на рыбу является эластичной.)
В рамках вышесказанного следует отметить тот факт, что утверждение
эластичности функции спроса может быть доказано с использованием
аппарата аналитической геометрии. Уравнение кривой спроса как частный случай прямой, проходящей через две точки (3; 6), (4; 5), имеет вид –
D(p) = 9 – p. Наклон графика функции D свидетельствует о том, что
E p (D ) > 1. Таким образом получено практическое подтверждение одного из теоретических положений экономической теории – при уменьшении
цены на товары эластичного спроса денежная выручка растет.
3. Обобщение практических знаний, умений и навыков, необходимых для использования Excel в моделировании экономических процессов.
– Каким образом можно изменить размер и положение диаграммы на листе?
– Что такое абсолютный адрес?
– Что показывает легенда диаграммы?
– Как вызвать на экран панель инструментов «Рисование»?
– Что такое линии сетки?
– Как осуществить предварительный просмотр листа?
– Как можно построить на диаграмме прямоугольник?
– Как изменить цену деления координатных осей?
– Как изменить размер шрифта в названии диаграммы?
4. Моделирование экономической ситуации средствами Excel:
– выполнение учебно-практического задания;
– математическое подтверждение (аналитическое и графическое) теоретических предпосылок экономической науки.
IV. Постановка домашнего задания.
V. Подведение итогов занятия:
1. Анализ работы студентов.
2. Перспективы на будущее.
Анализ интегрированного занятия позволяет отметить отсутствие дублирования учебного материала преподавателями
интегрируемых дисциплин и соответственно появление возмож-
144 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
ностей для решения бЅoльшего числа задач, в том числе творческих, характерных сфере будущей профессиональной деятельности.
По результатам проведенных интегрированных занятий наблюдаются изменения, происшедшие в студенческих группах,
связанные с повышением познавательной активности, мотивацией студентов в понимании необходимости метода моделирования для формирования профессиональных знаний, умений и
навыков.
Таким образом, представленный интегрированный подход в
обучении математике может и должен быть применен к решению
одной из главных задач профессионального образования – подготовке студентов к будущей профессиональной деятельности.
При этом анализ возможностей применения математического
моделирования в качестве средства развития профессиональной
компетентности позволяет выделить формируемое содержание
когнитивных, личностных и деятельностных компонентов:
? повышение у студентов познавательной мотивации;
? развитие качеств мышления будущих специалистов;
? формирование знаний, умений и навыков, необходимых в
профессиональной деятельности.
Таким образом, реализация содержательно-методической
линии моделирования при обучении математике обеспечивает
включение в состав методических компонентов следующих способов формирования профессиональной компетентности будущего специалиста финансовой сферы:
? теоретическое и практическое изучение основных типов
математических моделей, используемых для анализа экономических процессов (процент, вектор, матрица, уравнение, система уравнений, система неравенств, числовая последовательность, функция, предел функции, производная, коэффициент
эластичности, интеграл, дифференциальное уравнение и т.д.);
? овладение технологией математического моделирования
экономических процессов при исследовании различных типов
экономико-математических моделей (балансовых и оптимизационных, статистических и динамических, теоретических и прикладных, стохастических и детерминированных, макро- и микроэкономических);
3.4. Роль информационных технологий в обучении студентов...
145
? формирование приемов практического применения математического моделирования для построения и исследования различных экономико-математических моделей, определенных
образовательным стандартом специальности «Финансы и кредит» (функции полезности, кривые безразличия, функции спроса
и предложения, коэффициенты эластичности, производственные функции затрат и выпуска, балансовые модели международной торговли, равновесных цен, межотраслевого баланса
и т.д.).
Рассмотренные методические особенности создания личностно ориентированной среды обучения обеспечивают формирование профессиональной компетентности будущего специалиста финансовой сферы средствами современных обучающих
технологий, инициирующих познавательную активность студентов.
3.4. Роль информационных технологий
в обучении студентов математическому
моделированию экономических процессов
при реализации компетентностного подхода
Ввиду того, что в настоящее время система профессионального образования России находится в состоянии модернизации,
обусловленной общими тенденциями мирового развития, и
прежде всего переходом к постиндустриальному обществу, приоритетными в различных отраслях, в том числе финансовой сфере, становятся информационные технологии. Являясь неотъемлемой частью жизни современного общества, информационные
технологии обеспечивают сбор, обработку, хранение и отображение информации с целью повышения надежности и оперативности ее использования.
Рассмотрим возможности применения информационных технологий в профессиональном образовании с целью повышения
качества обучения на основе использования технических средств
и программных продуктов в рамках организационно-методического обеспечения единого технологического процесса [56].
146 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
В связи с многоплановостью и изменяемостью видов деятельности современного специалиста финансовой сферы, обуславливающих быстрое обновление знаний, умений и навыков, выпускник экономического вуза должен обладать способностью
адаптации в профессиональной среде, демонстрируя не только
информированность, но и умение решать возникающие на практике экономические проблемы. При этом конкурентоспособность выпускника профессиональной школы определяет
профессиональная компетентность, характеризующая умение
мобилизовать полученные знания и опыт в конкретной ситуации.
Использование метода математического моделирования реальных экономических процессов в качестве средства формирования профессиональной компетентности будущих специалистов финансовой сферы обуславливает необходимость
обращения к мнению исследователей о том, что методология
математического моделирования составляет интеллектуальное
ядро информационных технологий. В связи с этим рассмотрим
возможности компьютерной поддержки традиционной методики обучения математике в решении данных проблем.
Определение роли компьютера в развитии умений и навыков моделирования экономических процессов требует выделения его основных функций в организации профессионального
обучения.
По мнению Е.И. Машбица [39], в качестве одной из основных функций компьютера следует выделить функцию как средства обучения, имеющую следующие достоинства:
? обеспечение индивидуального подхода в обучении;
? возможность организации проблемного обучения (диалогичность взаимодействия с компьютерной программой при решении многокритериальных задач и т.д.);
? формирование познавательной мотивации к содержанию
учебной деятельности.
В свою очередь, В.А. Далингер [18] полагает, что использование компьютера в учебном процессе способствует развитию
следущих компонентов:
? повышению доли самостоятельной работы студентов, что
сглаживает, в определенной степени, противоречие между экс-
3.4. Роль информационных технологий в обучении студентов...
147
поненциально возрастающим объемом знаний и существующими сроками обучения;
? учету персонифицированной модели студента (в отличие от
обобщенной модели «среднего ученика»), позволяющей адаптировать скорость подачи учебной информации индивидуальному
стилю деятельности, обусловленному темпераментом и т.п.;
? объединению процессов изучения, закрепления и контроля
усвоения учебного материала.
Таким образом, анализ роли компьютера в совершенствовании навыков моделирования показывает, что его использование
в рамках дисциплины «Математика» предполагает «…обращение
к задачам прикладного и исследовательского характера, задачам,
возникающим на стыке различных дисциплин, требующим для
своего решения владением… приемами математического моделирования» [38, с. 91]. Это, в свою очередь, позволит в дальнейшем совершить переход к овладению компьютерными программными средствами моделирования экономических процессов
в курсе дисциплин «Эконометрика», «Автоматизированные информационные технологии», то есть подготовит условия для формирования навыков имитационного моделирования.
На примере использования графических возможностей электронной таблицы Ехсеl, продемонстрируем роль компьютера как
средства работы с информационными ресурсами в развитии
умений и навыков моделирования экономических процессов.
Табличный процессор Excel, имеющий все средства быстрого
редактирования, не только позволяет в наглядной форме проводить различные финансовые расчеты, но и представлять их в
виде графиков, диаграмм, что, в свою очередь, обеспечивает
перенос акцента с вычислительного аспекта на логику решения
задач. На примере решения профессионально ориентированных
задач экономического содержания в рамках интегрированного
занятия по дисциплинам «Математика», «Информатика», «Экономическая теория» продемонстрируем возможности Excel,
предоставляющие дидактический инструментарий для визуализации результатов моделирования динамики рыночного равновесия [11].
Подробный план одной из серии интегрированных занятий
был приведен при описании методики формирования профес-
148 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
сиональной компетентности средствами математического моделирования. Рассмотрим характеристику III этапа урока – практической работы по моделированию экономической ситуации
на рынке товара, включающей анализ принципов налогообложения и подтверждение теоретических положений экономической науки.
В ходе выполнения практической работы действия студентов
были направлены на формирование умений и навыков экономико-математического моделирования, позволяющего с помощью компьютера проиграть различные варианты развития
исследуемого процесса и выбрать альтернативную стратегию поведения.
При подготовке к интегрированному занятию в рамках курса информатики, изучая тему «Электронная таблица MS Excеl.
Построение графиков и диаграмм», студенты показали умение
представлять экономические зависимости, в том числе спроса и
предложения, в графической форме, научились сдвигать графики функций под влиянием неценовых факторов (например,
объема товара, косвенного налога на товар и пр.).
В курсе математики, изучая тему «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», студенты познакомились
с математической моделью коэффициента эластичности функции и научились использовать ее при расчете эластичности спроса
и предложения.
В рамках курса экономической теории, изучая темы «Спрос
и предложение, равновесная цена», «Налоговая система», студенты получили знания об основных принципах функционирования рынка товаров и схемах взимания косвенных налогов.
В период интегрированного занятия полученные знания были
обобщены, систематизированы и конкретизированы для подтверждения теоретических выводов и предпосылок экономической науки. На занятии студентам предлагалось выполнить учебно-практическое задание, состоящее в следующем.
Задача 14. Функции спроса и предложения на товар заданы формулами D ( p ) = 11 ? p, S ( p ) = 2 p ? 4. Требуется выполнить следущие задания:
1. Определить равновесную цену, равновесный объем товара и денежную выручку от продажи товара в точке равновесия.
3.4. Роль информационных технологий в обучении студентов...
149
2. Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия.
3. Найти сумму налогового сбора, поступающего в бюджет, при введении косвенного налога в размере 3 ден. ед. на единицу товара, размеры
налоговых выплат продавца и покупателя. Оценить влияние размера налоговой ставки на сумму налоговых поступлений в бюджет при изменении размера косвенного налога с 3 ден. ед. до 6 ден. ед. на единицу товара.
Выполнение заданий проводилось в предложенной последовательности с использованием аналитических и графических формализованных
моделей.
1. Используя возможности Мастера диаграмм, студенты построили
график основных рыночных категорий (рис. 22). Аналитическая форма
условия рыночного равновесия позволяет определить равновесную цену
и равновесный объем реализуемого товара:
D (р 0 ) = S (р 0 ) ? 11 ? p = 2 p ? 4 ? p0 = 5, q0 = 6.
Таким образом, равновесная цена составляет 5 ден. ед., равновесный
объем товара 6 единиц. Координаты точки рыночного равновесия (Е )
в графической модели спроса и предложения подтверждают полученный
результат (рис. 22).
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
p
S(q)
E
D(q)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
q
Рис. 22. Рыночное равновесие
Денежная выручка от продажи товара составляет p0·q0 = 5 · 6 = 30 ден. ед.
Графической иллюстрацией размера выручки является площадь прямоугольника, расположенного под точкой равновесия (рис. 22).
150 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
2. Используя в качестве математической модели формулу расчета коэффициента эластичности функции, студенты вычисляют эластичность
спроса и предложения при цене 5 ден. ед.:
p
p
E p (D ) =
? D ?( p ) ? E p ( D ) =
? (11 ? p ) ? =
D( p)
1?р
=
E p (S ) =
?p
5
? E p =5 ( D ) = ? ,
6
11 ? р
p
p
? S ?( p ) ? E p (S ) =
? (2 p ? 4 ) ? =
S ( p)
2p ?4
=
р
5
? E p =5 (S ) = .
p ?2
3
Таким образом, эластичность спроса составляет –5/6, эластичность
предложения 5/3.
3. Введение косвенного налога в размере 3 ден. ед. с единицы товара
приводит к сдвигу кривой предложения S в положение S1. При этом цена
единицы товара (с учетом налога) составляет 7 ден. ед., а объем реализованного товара – 4 единицы. В этом случае размер налоговых поступлений определяет произведение налоговой ставки и количества реализованного товара, равное 3 · 4 = 12 ден. ед., что соответствует сумме площадей
заштрихованных прямоугольников (рис. 23).
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
p
S1
S
E1
E
D
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
q
Рис. 23. Налоговые выплаты экономических агентов
3.4. Роль информационных технологий в обучении студентов...
151
Графической моделью распределения налогового бремени являются
площади двух прямоугольников (рис. 23), где:
? площадь верхнего прямоугольника – сумма налоговых выплат покупателя (8 ден. ед.);
? площадь нижнего прямоугольника – сумма налоговых выплат продавца (4 ден. ед.).
В целях активизации познавательной деятельности студентов с ними
проводится работа творческого характера, включающая анализ проблемных ситуаций.
Преподаватель: На какого экономического агента падает бЅoльшее налоговое время?
Студент: На покупателя.
Преподаватель: Почему?
Студент: Из курса экономической теории известно, что бoльшее налоговое бремя падает на экономического агента с меньшей эластичностью, у которого меньше возможностей для ухода от налогового бремени.
5 5
Поскольку ? < ? E p ( D ) < E p ( S ), то бЅoльшее налоговое бремя имеет
6 3
покупатель.
Преподаватель: Найдите отношение частей налогового бремени экономических агентов как величину обратную отношению коэффициентов эластичности покупателя и продавца.
Студент:
Т покупателя
Т продавца
=
Е p (S )
E p (D )
=
5
5 2
: ? = , то есть отношение частей
3
6 1
налогового бремени покупателя и продавца составляет 2:1.
Преподаватель: Как это согласуется с графической иллюстрацией?
Студент: Две части налогового бремени оплачивает покупатель
(8 ден. ед.), одну часть – продавец (4 ден. ед.).
Преподаватель: Когда вводятся различные виды налогов, в том числе
косвенные налоги, государство должно знать ответы на следующие
вопросы:
– на какой товар вводить налог;
– с какого экономического агента (производителя или потребителя)
взимать налог;
– какова должна быть ставка налога с целью максимизации поступлений в бюджет?
152 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
Интуитивно кажется, чем больше ставка налога, тем больше сумма
налогового сбора, однако это не так. От чего зависит сумма налоговых
поступлений в бюджет при введении налога на товар?
Студент: Сумма налоговых поступлений зависит от значений коэффициентов эластичности спроса и предложения.
Преподаватель: В таком случае, можно ли неограниченно увеличивать
ставку налога (например, акциз на табачные изделия)?
Студент: Нет.
Преподаватель: Рассмотрим динамику налоговых поступлений в случае изменения ставки косвенного налога. При ставке налога, равной
3 ден.ед., сумму налоговых поступлений в бюджет (12 ден. ед.) определяет площадь заштрихованного прямоугольника на рисунке 24. Измените
ставку налога с 3 ден. ед. на 6 ден. ед. Какие изменения произошли в
графической модели?
Студент: Увеличение налоговой ставки до 6 ден. ед. обуславливает
сдвиг функции предложения S(q) на 6 единиц вверх в положение S2(q)
(рис. 25).
Преподаватель: Определите конфигурацию прямоугольника, характеризующего в этом случае сумму налоговых поступлений, и вычислите
размер налогового сбора.
Студент: Размер налогового сбора составит 12 ден. ед. (рис. 25).
Преподаватель: Есть смысл повышать далее ставку налога?
Студент: Нет.
Преподаватель: Почему?
Студент: Поскольку произошла стабилизация суммы налогового сбора, далее будет следовать ее уменьшение.
Преподаватель: Насколько можно увеличивать ставку налога?
Студент: Теоретически ставку можно увеличивать до тех пор, пока
доля налога в цене товара меньше суммы обратных эластичностей спроса
t
1
1
+
? t < 9. Следовательно, величии предложения, то есть <
p ?5/6 5/3
на налоговой ставки не должна превышать 9 ден. ед.
Преподаватель: Как это согласуется с графической иллюстрацией?
Студент: Визуализация данного факта в графической модели рыночного равновесия будет демонстрировать равенство нулю площади прямоугольника, характеризующего размер налоговых поступлений при ставке
налога 9 ден. ед.
3.4. Роль информационных технологий в обучении студентов...
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
153
p
S = S1 (q)
E1
S = S (q)
E
D = D (q)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
q
Рис. 24. Налоговый сбор при ставке 3 ден.ед.
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
p
S = S2 (q)
E2
S = S (q)
E
D = D (q)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
q
Рис. 25. Налоговый сбор при ставке 6 ден. ед.
В результате выполнения практической работы экспериментально подтверждены следующие теоретические положения экономической науки.
1. БЅoльшая доля налогового бремени падает на экономического
агента с меньшей эластичностью.
В рассмотренной задаче отношение коэффициентов эластичности экономических агентов составляет
Т покупателя
Т продавца
=
Е p (S )
E p (D )
=
5
5 2
:? = ,
3
6 1
154 Глава 3. Методика формирования профессиональной компетентности...
5 5
< ? E p ( D ) < E p ( S ), следовательно, две
6 3
части налогового бремени платит покупатель, одну часть –
продавец.
2. Налоговую ставку можно повышать до тех пор, пока доля
налога в цене товара меньше суммы обратных эластичностей
спроса и предложения.
В задаче данное утверждение формализует следующая матеt
1
1
матическая модель:
<
+
? t < 9. Следовательно,
p ? 5/6 5/3
когда налоговая ставка достигнет размера 9 ден. ед., сумма налоговых поступлений будет равна нулю.
Предложенный методический прием использования табличного процессора Excel в качестве средства визуализации
исследования экономических процессов при обучении формализованному моделированию демонстрирует эффективность
использования в учебном процессе информационных технологий, основанных на компьютерных программных средствах широкого назначения. При этом очевидно, что владение компьютером позволяет комплексно применять знания и умения
различных дисциплин в рамках интеграции математической и
профессиональной подготовки будущих специалистов. В свою
очередь, возможность осознания мыслительной деятельности,
развития самостоятельности в приобретении и применении
знаний способствует формированию компонентов творческого
мышления студентов. Подтверждением является высказывание
З.И. Калмыковой [29] о том, что творчество можно воспитать
только в самостоятельной деятельности.
При этом следует отметить тот факт, что использование компьютера в обучении приемам анализа экономико-математических моделей в рамках курса «Математика», позволяет создать
фундамент для имитационного моделирования, необходимого
в будущей профессиональной деятельности специалиста финансовой сферы.
Таким образом, принятие компетентностного подхода в качестве основного направления модернизации ориентирует прото есть 2:1, причем ?
Литература
155
фессиональное образование на формирование компетентности
выпускников, демонстрирующей не только информированность, но и умение решать возникающие на практике экономические проблемы. Владение при этом средствами работы
с информационными ресурсами открывает перспективы для
улучшения качества подготовки специалистов в условиях информационного общества.
156
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреев, А.Л. Компетентностная парадигма в образовании:
опыт философско-методологического анализа [Текст] / А.Л. Андреев // Педагогика. – 2005. – № 4. – С. 19–27.
2. Андреев, В.И. Эвристическое программирование учебно-исследовательской деятельности [Текст]: метод. пособие / В.И. Андреев. – М.: Высшая школа, 1981. – 240 с.
3. Антонов, Н.С. Интегративная функция обучения [Текст] /
Н.С. Антонов, В.А. Гусев // Современные проблемы методики преподавания математики: сб. статей. – М.: Просвещение,
1985. – С. 25–38.
4. Бабанский, Ю.К. Оптимизация процесса обучения. Общедидактический аспект [Текст] / Ю.К Бабанский. – М.: Педагогика, 1977. – 254 с.
5. Берулава, М.Н. Интеграция содержания образования
[Текст] / М.Н. Берулава – М.: Педагогика; Научно-издательский центр БиГПИ, 1993. – 172 с.
6. Беспалько, В.П. Слагаемые педагогической технологии
[Текст] / В.П. Беспалько. – М.: Педагогика, 1989. – 192 с.
7. Болотов, В.А. Компетентностная модель: от идеи к образовательной программе [Текст] / В.А. Болотов, В.В. Сериков //
Педагогика. – 2003. – № 10. – С. 8–14.
8. Большой толковый словарь русского языка [Текст] / гл.
ред. С.А. Кузнецов. – СПб.: Норинт, 2001. – 1536 с.
9. Большой энциклопедический словарь [Текст]. – 2-е изд. –
М.: Большая Российская энциклопедия; СПб.: Норинт, 1997. –
1456 с.
10. Боярский, М.Д. Реализация педагогического потенциала
общего математического образования в развитии познавательных
интересов личности [Текст]: дис. … канд. пед. наук / М.Д. Боярский. – Екатеринбург, 1999. – 212 с.
11. Бурмистрова, Н.А. Использование информационных технологий в обучении будущих специалистов финансовой сферы
математическому моделированию экономических процессов
Литература
157
[Текст] / Н.А. Бурмистрова // Информационные технологии в
образовании. ХIХ Международная конференция-выставка:
сборник трудов. – М.: Изд-во МИФИ, 2009. – Ч. 2. – С. 55–57.
12. Бурмистрова, Н.А. Формирование профессиональной компетентности будущих специалистов финансовой сферы средствами математического моделирования экономических процессов
[Текст] / Н.А. Бурмистрова // Высшее образование сегодня. –
2009. – № 4. – C. 37–39.
13. Гершунский, Б.С. Философия образования для XXI века
(в поисках практико-ориентированных образовательных концепций) [Текст] / Б.С. Гершунский. – М.: Совершенство, 1998. – 608 с.
14. Горстко, А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием [Текст] / А.Б. Горстко. – М.: Знание, 1991. – 160 с.
15. Государственные образовательные стандарты высшего
профессионального образования [Электронный ресурс]. – Российское образование. Федеральный портал. – Режим доступа:
http://www.edu.ru.
16. Гребенюк, О.С. Теория обучения [Текст]: учебник /
О.С. Гребенюк, Т.Б. Гребенюк. – М.: ВЛАДОС-ПРЕСС, 2003. –
384 с.
17. Гребнев, Л.С. Высшее образование в Болонском измерении: российские особенности и ограничения [Текст] / Л.С. Гребнев // Высшее образование в России. – 2004. – № 1. – С. 36–42.
18. Далингер, В.А. Диалоговые обучающие программы и требования к ним [Текст] / В.А. Далингер // Информатика и образование. – 1988. – № 6. – С. 35–41.
19. Далингер, В.А. Некоторые аспекты формирования познавательного интереса в процессе обучения математике [Текст] /
В.А. Далингер // Воспитание учащихся при обучении математике. Из опыта работы / сост. Л.Ф. Пичурин. – М.: Просвещение, 1987. – С. 149–157.
20. Далингер, В.А. Экономическое образование учащихся на
уроках математики [Текст] / В.А. Далингер // Менеджмент в
социальных структурах: межвузовский сборник научных трудов. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999. – С. 298–310.
21. Дорофеев, Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования [Текст] / Г.В. Дорофеев //
Математика в школе. – 1990. – № 6. – С. 2–5.
158
Литература
22. Замков, О.О. Математические методы в экономике [Текст]:
учебник / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. –
М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во Дис, 1998. – 368 с.
23. Зеер, Э.Ф. Личностно ориентированные технологии профессионального развития специалиста [Текст]: науч.-метод. пособие / Э.Ф Зеер, О.Н. Шахматова. – Екатеринбург: Изд-во
Урал. гос. проф.-пед. ун-та, 1999. – 245 с.
24. Зеер, Э.Ф. Модернизация профессионального образования: компетентностный подход [Текст]: учеб. пособие / Э.Ф. Зеер,
А.М. Павлова, Э.Э. Сыманюк. – М.: Московский психологосоциальный институт, 2005. – 216 с.
25. Зимняя, И.А. Ключевые компетенции – новая парадигма
результата образования [Текст] / И.А. Зимняя // Высшее образование сегодня. – 2003. – № 5. – C. 34–42.
26. Зимняя, И.А. Отражение содержания ключевых социальных компетентностей в текстах действующих ГОС ВПО
(теоретико-эмпирический анализ) [Текст] / И.А. Зимняя,
О.Ф. Алексеева, А.М. Князев, Т.А. Кривченко, М.Д. Лаптева,
Н.А. Морозова // Проблемы качества образования: Кн. 2. Ключевые социальные компетентности студенчества. – М.; Уфа,
2004. – 206 с.
27. Иванилов, Ю.П. Математические модели в экономике
[Текст] / Ю.П. Иванилов, А.В. Лотов. – М.: Наука, 1979. – 304 с.
28. Иванова, Е.О. Компетентный подход в соотношении со
знаково-ориентированным и культурологическим [Электронный ресурс] // Интернет-журнал. – 2007. – 30 сентября. – Режим доступа: http://www.eidos.ru/journal/2007/0930-23/htm.
29. Калмыкова, З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости [Текст] / З.И. Калмыкова. – М.: Педагогика, 1981. –
200 с.
30. Колемаев, В.А. Математическая экономика [Текст]: учебник для вузов / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 240 с.
31. Коменский, Я.А. Избранные педагогические сочинения
[Текст] / Я.А. Коменский. – М.: Педагогика, 1982. – Т. 1. – 407 с.
32. Компетентностный подход в педагогическом образовании
[Текст]: коллективная монография / под ред. проф. В.А. Козырева и проф. Н.Ф. Радионовой. – СПб.: РГПУ им. А.И. Герцена,
2004. – 392 с.
Литература
159
33. Концепция модернизации российского образования на
период до 2010 г. [Текст] // Бюллетень Министерства образования Российской Федерации. Высшее и среднее профессиональное образование. – 2002. – № 2. – С. 2–31.
34. Краткий психологический словарь [Текст] / ред. Л.А. Карпенко; под общ. ред. А.В. Петровского, М.Г. Ярошевского. –
Ростов н/Д: Изд-во «Феникс», 1998. – 512 с.
35. Кун, Т. Структура научных революций [Текст] / Т. Кун;
пер. с англ. – М.: Прогресс, 1977. – 300 с.
36. Лопатников, Л.И. Экономико-математический словарь
[Текст] / Л.И. Лопатников. – М.: ABF, 1996. – 704 с.
37. Маркова, А.К. Психология профессионализма [Текст] /
А.К. Маркова. – М., 1996. – 306 с.
38. Матвеева, Т.А. Компьютерный практикум по математике
[Текст] / Т.А. Матвеева // Информатика и образование. – 2000. –
№ 2. – С. 91–93.
39. Машбиц, Е.И. Компьютеризация обучения: проблемы и
перспективы [Текст] / Е.И. Машбиц. – М.: Знание, 1986. – 80 с.
40. Напеденина, Е.Ю. Формирование профессионально-прикладной математической подготовленности будущих экономистов в вузе [Текст]: автореф. дис. … канд. пед. наук: 13.00.08 /
Е.Ю. Напеденина. – М., 2008. – 24 с.
41. Новейший словарь иностранных слов и выражений
[Текст]. – Минск: «Харвест»; М.: ООО «Изд-во АСТ», 2001. –
976 с.
42. Новиков, А.М. Профессиональное образование в России:
перспективы развития [Текст] / А.М. Новиков. – М.: ИЦПНПО
РАО, 1997. – 254 с.
43. Ожегов, С.И. Толковый словарь русского языка [Текст] /
С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. – 4-е изд. – М.: ООО «ИТИ Технологии». – 2005. – 944 с.
44. Основы вузовской педагогики [Текст]: учеб. пособие для
студентов университета / под. ред. Н.В. Кузьминой. – Ленинград: Изд-во ЛГУ им. Жданова, 1972. – 312 с.
45. Особенности обучения и психического развития школьников 13–17 лет: (Педагогическая наука – реформе школы)
[Текст] / под ред. И.В. Дубровиной, Б. Круглова. – М: Педагогика, 1998. – 192 с.
160
Литература
46. Педагогика [Текст]: учеб. пособие для студентов педагогических вузов / под ред. П.Н. Пидкасистого. – М.: Педагогическое общество России, 1998. – 638 с.
47. Педагогика и психология высшей школы [Текст]: учеб.
пособие. – Ростов н/Д: Феникс, 2002. – 554 с.
48. Подласый, И.П. Педагогика [Текст]: учеб. для студентов
высш. пед. учеб. заведений / И.П. Подласый. – М.: Просвещение; Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1996. – 432 с.
49. Пойа, Д. Как решить задачу [Текст] / Д. Пойа. – Львов:
Квантор, 1991. – 216 с.
50. Посталюк, Н.Ю. Творческий стиль деятельности: педагогический аспект [Текст] / Н.Ю. Посталюк. – Изд-во Казанского ун-та, 1989. – 208 с.
51. Севастьянова, С.А. Формирование профессиональных
математических компетенций у студентов экономических вузов [Текст]: дис. … канд. пед. наук: 13.00.08 / С.А. Севастьянова. – Самара, 2006. – 237 с.
52. Сластёнин, В.А. Педагогика: инновационная деятельность
[Текст] / В.А. Сластёнин, Л.С. Подымова. – М.: Магистр, 1997. –
221 с.
53. Смолина, Л.В. Профессионально ориентированные задачи в профильном курсе экономических приложений информатики [Электронный ресурс] / Л.В. Смолина. – Режим доступа:
http://www.bytic.ru/cue99M/bd4qoy7jdd.html.
54. Смыковская, Т.К. Теоретико-методологические основы
проектирования методической системы учителя математики и
информатики [Текст]: дис. … д-ра пед. наук: 13.00.02 / Т.К. Смыковская. – М., 2000. – 383 с.
55. Терешин, Н.А. Прикладная направленность школьного
курса математики [Текст] / Н.А. Терешин. – М.: Просвещение,
1990. – 96 с.
56. Трайнев, В.А. Информационные коммуникационные
педагогические технологии [Текст]: учеб. пособие / В.А. Трайнев, И.В. Трайнев. – М.: Издательско-торговая корпорация
«Дашков и К°», 2008. – 280 с.
57. Тряпицына, А.П. Современные тенденции развития педагогической науки [Текст] / А.П. Тряпицына // Педагогика в
Литература
161
ВУЗе: наука и учебный предмет. – СПб.: Изд-во РГПУ, 2000. –
С. 24–31.
58. Уварова, Н.Л. Педагогические условия формирования
лингвоинформационной компетентности студентов специальности «Прикладная информатика в экономике» [Текст] /
Н.Л. Уварова, Т.Г. Рыбалко // Высшее образование сегодня. –
2009. – № 5. – С. 38–42.
59. Философский энциклопедический словарь [Текст] / под
ред. Л.Ф. Ильичева. – М.: Сов. энциклопедия, 1983. – 836 с.
60. Харламов, И.Ф. Педагогика [Текст]: учеб. пособие /
И.Ф. Харламов. – М.: Юристъ, 1997. – 512 с.
61. Хуторской, А.В. Ключевые компетенции и образовательные стандарты [Электронный ресурс]: доклад на Отделении
философии образования и теоретической педагогики РАО 23
апреля 2002 г. Центр «Эйдос» / А.В. Хуторской. – Режим доступа: www.eidos.ru/news/compet-dis.htm.
62. Хуторской, А.В. Ключевые компетенции как компонент
личностно ориентированной парадигмы образования [Электронный ресурс]: Доклад IV Всероссийской дистанционной августовской педагогической конференции «Обновление российской
школы» (26 августа – 10 сентября 2002 г.) / А.В. Хуторской. –
Режим доступа: http://www.eidos.ru/conf/
63. Хуторской, А.В. Технология проектирования ключевых и
предметных компетенций [Электронный ресурс] / А.В. Хуторской // Интернет-журнал «Эйдос». 2005. – 12 декабря. – Режим
доступа: http://www.eidos.ru/journal/2005/1212.htm.
64. Чечева, Н.А. Качество образования: парадигмальный подход [Текст] / Н.А. Чечева // Среднее профессиональное образование. – 2008. – № 7. – С. 2–4.
65. Шапиро, И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики [Текст]: кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с.
66. Шестаков, А.П. Профильное обучение информатике в
старших классах средней школы на примере курса «Компьютерное математическое моделирование» [Текст]: дис. … канд. пед.
наук: 13.00.02 / А.П. Шестаков. – Пермь, 1999. – 183 с.
67. Штофф, В.А. Моделирование и философия [Текст] /
В.А. Штофф. – М. – Л.: Наука; Ленинград. отд., 1966. – 301 с.
162
Литература
68. Щукина, Г.И. Актуальные вопросы формирования интереса в обучении [Текст] / Г.И. Щукина. – М.: Педагогика, 1984. –
192 с.
69. Эрдниев, Б.П. О технологии творческого обучения математике [Текст] / Б.П. Эрдниев // Математика в школе. – 1990. –
С. 15–19.
70. Юдина, О.В. Формирование профессиональной компетентности студентов экономического вуза средствами информационных технологий [Текст]: дис. … канд. пед. наук: 13.00.08 /
О.В. Юдина. – Самара, 2002. – 208 с.
71. Ямбург, Е.А. Школа для всех [Текст] / Е.А. Ямбург. – М.:
Новая школа, 1996. – 352 с.
163
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Содержание дисциплины «Математика»
в соответствии с требованиями ГОС ВПО специальности
080105 «Финансы и кредит»
Всего
часов
ЕН
ОБЩИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ЕСТЕСТВЕННО- 1400
НАУЧНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.Ф.00. Федеральный компонент
1120
ЕН.Ф.01. МАТЕМАТИКА
600
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии: операции над векторами и матрицами; системы
линейных алгебраических уравнений; определители и
их свойства; собственные значения матриц; комплексные числа; прямые и плоскости в аффинном пространстве; выпуклые множества и их свойства.
Математический анализ и дифференциальные уравнения: предел последовательности и его свойства; предел
и непрерывность функции; экстремумы функций нескольких переменных; неопределенный и определенный
интегралы; числовые и степенные ряды; дифференциальные уравнения первого порядка; линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Теория вероятностей и математическая статистика:
случайные события; частота и вероятность; основные
формулы для вычисления вероятностей; случайные
величины; числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин; нормальный закон распределения; генеральная совокупность и выборка; оценки параметров; корреляция и регрессия.
Экономико-математические методы: линейное и целочисленное программирование; графический метод и
симплекс-метод решения задач линейного программирования; динамическое программирование; рекуррентные соотношения Беллмана; математическая теория оптимального управления; матричные игры; кооперативные игры; игры с природой; плоские графы;
Индекс
Наименование дисциплины и основные разделы
164
Индекс
Приложение 1
Наименование дисциплины и основные разделы
эйлеровы графы; гамильтоновы графы; орграфы; сетевые графики; сети Петри; марковские процессы; задачи
анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания.
Экономико-математические модели: функции полезности; кривые безразличия; функции спроса; уравнение
Слуцкого; кривые «доход–потребление»; кривые
«цены–потребление»; коэффициенты эластичности;
материальные балансы; функции выпуска продукции;
производственные функции затрат ресурсов; модели
поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего экономического
равновесия; модель Эрроу–Гурвица; статистическая и
динамическая модели межотраслевого баланса; общие
модели развития экономики; модель Солоу.
Всего
часов
165
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Академия бюджета и казначейства
Министерства финансов Российской Федерации»
Омский филиал
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
учебной дисциплины «Математика»
для специальности 080105.65 «Финансы и кредит»
166
Приложение 2
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Математическое образование современного специалиста содержит общий курс математики и специальные математические курсы.
Учебная дисциплина «Математика» включена в общий математический и естественно-научный цикл в структуре основной
образовательной программы высшего профессионального образования специальности «Финансы и кредит».
Наряду с обеспечением фундаментального уровня математической подготовки, цель учебного предмета заключается в формировании у студентов способов деятельности, необходимых в будущей профессиональной деятельности, и в первую очередь умения
моделировать экономические процессы. Основными задачами изучения дисциплины является приобретение студентами математических знаний и умений, необходимых для изучения специальных дисциплин, будущей профессиональной деятельности и
продолжения образования. В связи с этим содержание курса «Математика» включает в себя три взаимосвязанных блока:
– математические структуры и методы их анализа;
– экономико-математические модели;
– экономико-математические методы.
Изучение материала проводится в форме лекций, практических занятий и самостоятельной работы. При этом используются современные методы и средства обучения, обеспечивающие
реализацию внутрипредметных и межпредметных связей, соблюдение преемственности по отношению к программе общеобразовательной школы и дисциплинам профессиональной образовательной программы.
В результате изучения дисциплины студенты должны знать
основные понятия и определения, относящиеся к элементам
аналитической геометрии и линейной алгебры, теории функций одной и нескольких переменных, дифференциальному и
интегральному исчислению, исследованию операций, элементам теории вероятностей и математической статистики, экономико-математическим моделям и методам.
Студенты должны уметь проводить дедуктивные и индуктивные рассуждения, обосновывать с достаточной степенью
полноты решение задач, самостоятельно изучать материал по
учебникам, пользоваться необходимой справочной литературой,
Приложение 2
167
использовать математические модели для решения практических задач в финансовой сфере.
В соответствии с учебным планом специальности дисциплина изучается на 1, 2 курсах. Общий объем учебной нагрузки составляет 600 часов, в том числе аудиторная нагрузка – 357 часов
(из них лекции – 189 часов, практические занятия – 168 часов),
самостоятельная работа – 243 часа.
Формами промежуточного и итогового контроля являются
зачет (1, 3 семестр) и экзамен (2, 4 семестр).
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
№
п/п
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
Наименование разделов, тем
Раздел I. Элементы аналитической
геометрии
Векторы на плоскости и в пространстве
Прямая на плоскости.
Прямая и плоскость в пространстве
Кривые и поверхности второго
порядка
Раздел II. Линейная алгебра
Числовые множества. Алгебраические
структуры. Поле комплексных чисел
Простейшие сведения о многочленах
Матрицы. Определители
Системы линейных уравнений
Собственные значения и собственные векторы матриц
Раздел III. Введение в исследование
операций
Элементы линейного программирования
Введение в динамическое программирование
Теория графов. Сетевое планирование
Количество часов
Аудиторные занятия
Самост.
в том числе
Всего
работа
лекции практ.
30
18
12
20
6
14
4
8
2
6
4
10
10
6
4
6
72
8
38
4
34
4
49
6
6
24
26
8
4
12
14
4
2
12
12
4
2
17
20
4
63
33
30
44
32
16
16
27
10
6
4
4
9
5
4
6
168
№
п/п
3.4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Приложение 2
Количество часов
Аудиторные занятия Самост.
Всего
в том числе работа
лекции практ.
Элементы теории игр
12
6
2
7
Раздел IV. Математический анализ
142
74
68
112
Числовая последовательность. Пре10
6
4
8
дел числовой последовательности
Функции. Свойства функций. Пре16
8
8
10
дел функции. Непрерывность
Дифференциальное исчисление
28
14
14
22
функции одной переменной
Интегральное исчисление
24
12
12
20
Дифференциальное исчисление
28
14
14
22
функций нескольких переменных
Дифференциальные уравнения
20
10
10
16
Числовые и степенные ряды
16
10
6
14
Раздел V. Элементы теории вероят50
26
24
18
ностей и математической статистики
Элементы комбинаторики. Вероят5
3
2
2
ность случайного события
Теоремы сложения и умножения
5
3
2
2
вероятностей
Формула полной вероятности. Фор4
2
2
2
мула Байеса
Повторные независимые испытания. 6
2
4
2
Формула Бернулли. Приближенные
формулы
Дискретные и непрерывные случай8
4
4
2
ные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин
Выборочный метод. Точечное и интер- 10
6
4
4
вальное оценивание. Проверка гипотез
Корреляция и регрессия
6
2
4
2
Элементы теории случайных процес- 6
4
2
2
сов. Системы массового обслуживания. Метод Монте-Карло
Итого
357
189
168
243
Наименование разделов, тем
Приложение 2
169
3. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Введение
Предмет, цели и задачи дисциплины. Учебники и учебные
пособия, используемые в работе. Межпредметные связи. Математическое моделирование экономических процессов.
Раздел I. Элементы аналитической геометрии
Тема 1.1. Векторы на плоскости и в пространстве
Требования к знаниям
Знать определение вектора, линейных операций над векторами, их свойств; понятие линейной зависимости и независимости векторов; понятие базиса на плоскости и в пространстве;
определение и свойства скалярного, векторного и смешанного
произведения векторов, их геометрический смысл.
Требования к умениям
Уметь выполнять линейные операции над векторами; решать
основные задачи на метод координат (вычислять координаты
вектора, находить расстояние между двумя точками, делить отрезок в данном отношении); применять скалярное, векторное
и смешанное произведения векторов для решения геометрических задач; использовать вектор в качестве математической модели при решении экономических задач.
Содержание темы
Понятие вектора; линейные операции над векторами; линейная зависимость и независимость векторов; прямоугольная декартова и полярная системы координат; основные задачи на
метод координат; скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Практические занятия
1. Векторы на плоскости и в пространстве. Метод координат.
Самостоятельная работа
1. Работа с учебным пособием «Элементы аналитической геометрии».
2. Решение профессионально ориентированных задач экономического содержания с использованием вектора в качестве
математической модели.
170
Приложение 2
Тема 1.2. Прямая на плоскости.
Прямая и плоскость в пространстве
Требования к знаниям
Знать различные виды уравнений прямой на плоскости и в
пространстве; виды уравнений плоскости; случаи взаимного
расположения прямых на плоскости; прямых и плоскостей в
пространстве; условия параллельности и перпендикулярности
прямых и плоскостей; формулы вычисления углов между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.
Требования к умениям
Уметь составлять уравнение прямой на плоскости, уравнения прямой и плоскости в пространстве; переходить от одной
формы уравнения к другой; определять взаимное расположение прямых, плоскостей, прямой и плоскости; находить расстояние от точки до прямой, между двумя параллельными прямыми, между двумя параллельными плоскостями; вычислять углы
между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.
Содержание темы
Прямая на плоскости; различные виды уравнений прямой;
взаимное расположение двух прямых; расстояние от точки до
прямой, между двумя параллельными прямыми; угол между прямыми на плоскости; прямая и плоскость в пространстве; различные виды уравнений прямой и плоскости; взаимное расположение плоскостей; угол между плоскостями; взаимное
расположение прямых и плоскостей в пространстве; угол между
прямой и плоскостью; выпуклые множества; угловые точки
выпуклых многогранных областей; выпуклая линейная комбинация точек.
Практические занятия
1. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой.
2. Плоскость. Виды уравнений плоскости.
3. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Самостоятельная работа
1. Выполнение заданий индивидуального типового расчета
по теме «Прямые и плоскости».
Приложение 2
171
2. Решение профессионально ориентированных задач экономического содержания с использованием графических моделей.
Тема 1.3. Кривые и поверхности второго порядка
Требования к знаниям
Знать общее и канонические уравнения кривых второго порядка; виды кривых второго порядка; основные элементы кривых второго порядка, общее и канонические уравнения поверхностей второго порядка, виды поверхностей второго порядка.
Требования к умениям
Уметь приводить общее уравнение линии второго порядка к
каноническому виду, используя метод выделения полных квадратов; определять вид кривой; выполнять графическое изображение кривых второго порядка; составлять уравнения кривых
второго порядка по известным элементам; находить числовые
характеристики элементов кривых второго порядка; уметь приводить общее уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду; определять вид поверхности второго порядка,
используя метод выделения полных квадратов и метод сечений.
Содержание темы
Общее уравнение линии второго порядка; виды кривых второго порядка, их канонические уравнения и геометрический вид;
основные элементы кривых (оси, полуоси, фокусы, эксцентриситет, директрисы, асимптоты и т.д.); свойства кривых второго
порядка; общее уравнение поверхности второго порядка; виды
поверхностей второго порядка, их канонические уравнения и
геометрический вид; метод выделения полных квадратов; метод сечений.
Практические занятия
1. Кривые второго порядка.
2. Поверхности второго порядка.
Самостоятельная работа
1. Работа с учебным пособием «Элементы аналитической геометрии».
2. Выполнение заданий индивидуального типового расчета
по теме «Кривые и поверхности второго порядка».
172
Приложение 2
Раздел II. Линейная алгебра
Тема 2.1. Числовые множества. Алгебраические структуры.
Поле комплексных чисел
Требования к знаниям
Иметь представление об алгебраических структурах на числовых множествах; знать определение поля комплексных чисел;
алгебраическую и тригонометрическую форму комплексного
числа; арифметические действия и алгебраические операции над
комплексными числами.
Требования к умениям
Уметь изображать комплексные числа на плоскости; выполнять арифметические действия и алгебраические операции над
комплексными числами.
Содержание темы
Понятие множества; числовые множества; алгебраические
структуры на числовых множествах; поле комплексных чисел
как расширение поля действительных чисел; алгебраическая и
тригонометрическая формы записи комплексного числа; сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в
алгебраической форме; умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра; геометрическая интерпретация комплексных чисел и операций над ними.
Практические занятия
1. Поле комплексных чисел. Арифметические действия над
комплексными числами в алгебраической форме.
2. Алгебраические операции над комплексными числами в
тригонометрической форме.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуального теста по теме «Комплексные числа».
Тема 2.2. Простейшие сведения о многочленах
Требования к знаниям
Знать основные понятия и определения, относящиеся к многочленам от одной переменной; теорему о делении многочле-
Приложение 2
173
нов; теорему о делении многочлена на двучлен; схему Горнера;
теорему Безу; понятие корня многочлена; характеристическое
свойство корня многочлена; основную теорему алгебры и следствия из нее; теорему Виета; алгоритм разложения многочлена
на неприводимые множители над полем действительных чисел.
Требования к умениям
Уметь выполнять сложение, вычитание, умножение многочленов; деление многочленов «уголком»; применять схему
Горнера для деления многочлена на двучлен, теорему Безу; находить корни многочлена; раскладывать многочлен на неприводимые множители над полем действительных чисел; представлять разложение рациональной дроби на сумму простейших
дробей.
Содержание темы
Кольцо многочленов от одной переменной над полем действительных чисел; деление многочленов; теорема о делении
многочленов с остатком; теорема о делении многочлена на двучлен; схема Горнера; теорема Безу; корни многочлена; кратность
корня многочлена; основная теорема алгебры, следствия из нее;
теорема Виета; приводимые и неприводимые многочлены над
полем действительных чисел; разложение рациональной дроби
на сумму простейших дробей.
Практические занятия
1. Многочлены над полем действительных чисел.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуальной домашней контрольной работы по теме «Многочлены».
Тема 2.3. Матрицы. Определители
Требования к знаниям
Знать определение матрицы; виды матриц; операции над матрицами; свойства операций над матрицами; определение обратной матрицы; теорему о необходимом и достаточном условии
существования обратной матрицы; методы вычисления обратной матрицы; понятие определителя квадратной матрицы; свойства определителей; определение минора и алгебраического дополнения; теорему Лапласа; способы вычисления определителей;
174
Приложение 2
понятие матричного уравнения; понятие о ранге матрицы; теорему о ранге матрицы; методы вычисления ранга матрицы.
Требования к умениям
Уметь выполнять операции над матрицами; находить обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований строк матрицы; вычислять
определители квадратных матриц; решать матричные уравнения; находить ранг матрицы.
Содержание темы
Понятие матрицы; виды матриц; кольцо квадратных матриц
над полем; операции над матрицами, их свойства; кольцо квадратных матриц над полем; понятие обратной матрицы; методы
нахождения обратной матрицы (с помощью элементарных
преобразований над строками и с помощью присоединенной
матрицы); перестановки, четные и нечетные перестановки; определитель квадратной матрицы; основные свойства определителей; определители малых порядков; миноры и алгебраические
дополнения; теорема Лапласа; различные способы вычисления
определителей; матричные уравнения; ранг матрицы; нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований над строкам; линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы;
теорема о ранге матрицы.
Практические занятия
1. Матрицы. Операции над матрицами, их свойства.
2. Обратимые матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
3. Определители квадратных матриц. Основные свойства определителей. Определители малых порядков.
4. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
Методы вычисления определителей n-го порядка.
5. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной. Решение матричных уравнений.
6. Ранг матрицы. Линейная зависимость и независимость
строк (столбцов) матрицы.
Самостоятельная работа
1. Работа с учебным пособием «Матрицы. Определители».
Приложение 2
175
2. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Матрицы. Определители».
3. Решение профессионально ориентированных задач с использованием матрицы в качестве математической модели для
исследования экономических процессов.
Тема 2.4. Системы линейных уравнений
Требования к знаниям
Знать основные понятия и определения, относящиеся к системам линейных алгебраических уравнений; теорему Кронекера–Капелли; формулы Крамера; матричную форму записи систем линейных уравнений; метод обратной матрицы; теорему
Гаусса; понятие балансовой модели; примеры балансовых моделей в экономике.
Требования к умениям
Уметь исследовать системы линейных уравнение, используя
теорему Кронекера–Капелли; находить решение определенных
систем по формулам Крамера и методом обратной матрицы;
применять метод Гаусса к решению систем линейных уравнений; находить общее, частное и базисные решения неопределенной системы линейных уравнений; находить общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы
линейных уравнений.
Содержание темы
Понятие системы линейных уравнений над числовым полем;
решение системы; следствие системы; равносильные системы;
виды систем (совместные и несовместные, определенные и неопределенные); теорема Кронекера–Капелли исследования систем линейных уравнений; формулы Крамера и метод обратной
матрицы решения определенных систем линейных уравнений;
модель Леонтьева многоотраслевой экономики; модель равновесных цен; метод Гаусса; общее, частное и базисные решения
неопределенной системы линейных уравнений; однородные
системы линейных уравнений; тривиальное и нетривиальные
решения однородной системы линейных уравнений; фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
176
Приложение 2
Практические занятия
1. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.
2. Модель Леонтьева многоотраслевого баланса. Модель равновесных цен.
3. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Исследование систем линейных уравнений с помощью теоремы
Кронекера–Капелли.
4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
5. Общее, частное и базисные решения неопределенной системы линейных уравнений.
6. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Самостоятельная работа
1. Работа с учебным пособием «Системы линейных алгебраических уравнений. Балансовые модели в экономике».
2. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Системы линейных уравнений».
3. Решение профессионально ориентированных задач с использованием системы линейных уравнений в качестве математической модели для исследования экономических процессов.
Тема 2.5. Собственные значения и собственные векторы матриц
Требования к знаниям
Знать определения собственного значения и собственного
вектора матрицы; понятие характеристического уравнения матрицы; экономические приложения собственного вектора матрицы; условие сбалансированной торговли стран.
Требования к умениям
Уметь находить собственные значения и собственные векторы матрицы; определять вектор торговых бюджетов стран в
условиях бездефицитной торговли при известной матрице структурной торговли.
Содержание темы
Собственные значения и собственные векторы матриц; характеристическое уравнение матрицы; множество собственных
Приложение 2
177
векторов матрицы, соответствующих собственному значению,
как множество решений однородной системы линейных уравнений; модель международной торговли; структурная матрица
торговли; вектор торговых бюджетов стран.
Практические занятия
1. Собственные значения и собственные векторы матриц.
2. Модель международной торговли.
Самостоятельная работа
1. Работа с учебным пособием «Системы линейных алгебраических уравнений. Балансовые модели в экономике».
2. Выполнение заданий индивидуального типового расчета по
теме «Собственные значения и собственные векторы матриц».
3. Решение профессионально ориентированных задач экономического содержания с использованием модели международной торговли.
Раздел III. Введение в исследование операций
Тема 3.1. Элементы линейного программирования
Требования к знаниям
Знать историю развития линейного программирования; примеры задач линейного программирования; различные формы
задач линейного программирования; понятие опорного и оптимального плана задачи линейного программирования; геометрический метод решения задач линейного программирования;
алгоритм симплекс-метода; различные модификации симплексметода; алгоритм решения транспортной задачи.
Требования к умениям
Уметь решать геометрическим методом системы линейных
неравенств с двумя переменными; составлять математическую
модель задачи линейного программирования на максимум (минимум); переходить от одной формы задачи линейного программирования к другой; решать геометрическим методом задачи
линейного программирования с двумя и n переменными; применять симплекс-метод, метод искусственного базиса, метод
Гомори для решения задач линейного программирования; составлять математические модели двойственных задач, исполь-
178
Приложение 2
зовать теоремы двойственности и двойственный симплекс-метод; выполнять экономическую интерпретацию результатов решения двойственных задач; решать открытые и закрытые транспортные задачи.
Содержание темы
Системы линейных неравенств; постановка задачи линейного
программирования; общая, стандартная и каноническая формы задач линейного программирования; геометрический метод
решения задач линейного программирования с двумя переменными и n переменными; алгоритм симплекс-метода; метод
искусственного базиса; теория двойственности; требования
к составлению математических моделей двойственных задач;
теоремы двойственности; двойственный симплекс-метод;
целочисленные задачи линейного программирования; метод
Гомори; математическая модель транспортной задачи; методы
северо-западного угла и наименьших тарифов нахождения
начального опорного плана перевозки; метод потенциалов; закрытые и открытые модели транспортной задачи.
Практические занятия
1. Математическая модель задачи линейного программирования. Различные формы задач линейного программирования.
Геометрический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными.
2. Геометрический метод решения задач линейного программирования с n переменными.
3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
4. Метод искусственного базиса.
5. Двойственность в линейном программировании. Теоремы
двойственности. Двойственный симплекс-метод.
6. Целочисленные задачи линейного программирования.
Метод Гомори.
7. Транспортные задачи закрытого типа.
8. Транспортные задачи открытого типа.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Линейное программирование».
Приложение 2
179
2. Подготовка научных докладов студентов для участия в научно-практической конференции.
Примерные темы докладов:
– Ретроспективный анализ и перспективы развития линейного программирования.
– Экономическая интерпретация задачи линейного программирования двойственной задаче об использовании ресурсов.
– Анализ чувствительности математической модели задачи
линейного программирования при изменении параметров в реализации графического метода.
– Экономический смысл теории двойственности в линейном
программировании.
Тема 3.2. Введение в динамическое программирование
Требования к знаниям
Знать вычислительную схему метода динамического программирования; формулы для проведения условной оптимизации
(уравнения Беллмана) и нахождения безусловного оптимального управления с целью выбора оптимальной траектории; алгоритм решения задачи динамического программирования.
Требования к умениям
Уметь разбивать управление экономическим процессом на
шаги; оценивать состояние объекта управления после очередного шага; определять параметры состояния процесса и переменные управления, оптимальные выигрыши на каждом шаге (значения целевой функции); определять общий экономический
эффект управления как сумму целевых функций каждого шага.
Содержание темы
Динамическое программирование как метод пошаговой
оптимизации; постановка задачи динамического программирования; примеры задач динамического программирования; особенности математической модели задачи динамического программирования; принцип оптимальности и уравнения Беллмана;
задача об инвестировании денежных средств.
Практические занятия
1. Динамическое программирование. Задача о распределении
средств между предприятиями.
180
Приложение 2
2. Распределение капиталовложений с использованием методов динамического программирования.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Динамическое программирование».
Тема 3.3. Теория графов. Сетевое планирование
Требования к знаниям
Знать основные понятия и определения, относящиеся к теории графов; виды графов и способы их представления; понятие
сетевого графика; требования к сетевому графику, его построению и упорядочению; временные параметры сетевого графика;
формулы их расчета; правило построения критического пути
сетевого графика.
Требования к умениям
Уметь представлять бинарные отношения графами; переходить от матричной формы представления графа к диаграмме и
наоборот; решать задачи практического содержания, используя
свойства эйлеровых и гамильтоновых циклов; строить сетевые
графики, определять топологию критического пути, его продолжительность.
Содержание темы
Понятие графа; элементы графа; путь, цикл в графе; типы
графов (связный граф, плоские графы, орграфы, неорграфы);
эйлеровы и гамильтоновы графы; сетевой график; временные
параметры сетевого графика и формулы их расчета; метод критического пути в управлении финансовыми проектами; сети
Петри.
Практические занятия
1. Основные понятия теории графов.
2. Сетевое планирование. Временные параметры сетевого графика. Критический путь.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Сетевое планирование».
Приложение 2
181
Тема 3.4. Элементы теории игр
Требования к знаниям
Знать предмет и основные понятия теории игр; классификацию игр; примеры игр; матричную форму представления игры с
нулевой суммой; основную теорему теории игр; алгоритм решения матричной игры размера m Ч n.
Требования к умениям
Уметь строить математическую модель игры с нулевой суммой; находить решение игры в чистых и смешанных стратегиях; реализовывать графический метод решения игры размера
2 Ч 2, 2 Ч n, m Ч 2; сводить игру размера m Ч n к задаче линейного
программирования; применять для решения игры двойственный симплекс-метод; удалять заведомо невыгодные стратегии
игроков.
Содержание темы
Классификация игр; примеры игр; кооперативные игры; игры
с природой; игры с нулевой суммой; платежная матрица; цена
игры; игра с седловой точкой; чистые и смешанные стратегии
игроков; основная теорема теории игр; методы решения игр;
графический метод; сведение игры к задаче линейного программирования; двойственный симплекс-метод; применение матричных игр в финансовых исследованиях.
Практические занятия
1. Игра с нулевой суммой. Графический метод решения игр
размера 2 Ч 2.
2. Графический метод решения игр размера 2 Ч n, m Ч 2.
3. Решение матричной игры размера m Ч n методами линейного программирования.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Теория игр».
2. Решение профессионально ориентированных задач с использованием матричной игры в качестве математической модели для исследования экономических процессов.
182
Приложение 2
Раздел IV. Математический анализ
Тема 4.1. Числовая последовательность.
Предел числовой последовательности
Требования к знаниям
Знать основные понятия и определения, относящиеся к числовым последовательностям; пределу числовой последовательности; свойствам пределов числовых последовательностей.
Требования к умениям
Уметь выполнять арифметические действия над числовыми
последовательностями; исследовать числовые последовательности на монотонность, ограниченность, сходимость; использовать теоремы о пределе суммы, произведения и частного числовых последовательностей.
Содержание темы
Числовые последовательности; способы задания числовых
последовательностей; монотонные и ограниченные числовые
последовательности; действия над числовыми последовательностями; предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся
числовые последовательности; признаки существования предела числовой последовательности (теорема о сжатой переменной,
теорема Вейерштрасса, теорема Коши); свойства пределов последовательностей (теорема о пределе суммы, произведения, частного числовых последовательностей); число е; задача о непрерывном начислении процентов.
Практические занятия
1. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
2. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного числовых последовательностей. Вычисление пределов числовой последовательности.
Самостоятельная работа
1. Выполнение заданий индивидуального типового расчета
по теме «Предел числовой последовательности».
Приложение 2
183
Тема 4.2. Функции. Свойства функций.
Предел функции. Непрерывность
Требования к знаниям
Знать основные понятия и определения, относящиеся к функциям, свойствам функций; преобразованиям графиков функций; пределу функции; непрерывности функции; точкам разрыва функции и их классификации.
Требования к умениям
Уметь исследовать свойства функций; проводить преобразования графиков функций (сдвиг, растяжение и т.д.); использовать функции в моделировании экономических процессов;
вычислять пределы функций, используя правила раскрытия неопределенностей, формулы первого и второго замечательных
пределов, свойств бесконечно больших и бесконечно малых
функций, эквивалентных бесконечно малых функций; исследовать функции на непрерывность; находить точки разрыва
функций и определять их характер.
Содержание темы
Определения функции; способы задания функции; график функции; свойства функций; преобразования графиков функций; определение предела функции по Гейне и по Коши; предел функции на бесконечности; односторонние пределы; бесконечно
большие и бесконечно малые функции, их свойства; эквивалентные бесконечно малые функции; основные теоремы о пределах
функций; признаки существования пределов функций; замеча?
0
тельные пределы; неопределенности ? ? , ? ? , [? ? ?] , [1? ] ; не?? 0 ?? ?? ? ??
прерывность функции в точке и на отрезке; свойства непрерывных функций; точки разрыва функций первого и второго рода.
Практические занятия
1. Функции. Построение графиков функций, установление
свойств функций. Преобразования графиков функций.
2. Предел функции. Теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.
3. Замечательные пределы. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их свойства. Эквивалентные бесконечно
малые функции.
184
Приложение 2
4. Исследование функции на непрерывность. Нахождение
точек разрыва.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Предел функции. Непрерывность».
2. Решение профессионально ориентированных задач с использованием функций, пределов функций в качестве математических моделей для исследования экономических процессов.
Тема 4.3. Дифференциальное исчисление функции
одной переменной
Требования к знаниям
Знать основные понятия и определения, относящиеся к производной, дифференциалу функции одной переменной; правила
и формулы дифференцирования; понятие производных высших
порядков; общую схему исследования функции и построения графика; основные теоремы дифференциального исчисления; экономические приложения производной функции.
Требования к умениям
Уметь дифференцировать функции, используя основные формулы и правила дифференцирования; находить производные
высших порядков; применять правило Лопиталя для раскрытия
неопределенностей; исследовать сложные функции и строить их
графики с использованием средств дифференциального исчисления; находить наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке; моделировать экономические процессы.
Содержание темы
Задачи, приводящие к понятию производной; определение
производной; геометрический, механический и экономический
смысл производной; дифференцируемость и непрерывность
функции; основные правила и формулы дифференцирования;
производные основных элементарных функций; производная
сложной и обратной функций; дифференцирование неявных
функций и функций, заданных параметрическим способом;
логарифмическое дифференцирование; производные высших
порядков; определение дифференциала функции и его геометрический смысл; основные теоремы о дифференциалах; приме-
Приложение 2
185
нение дифференциала в приближенных вычислениях; понятие
о дифференциалах высших порядков; основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы о среднем значении функции (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа), теорема Лопиталя; рас0
?
крытие неопределенностей ? ? , ? ? , [? ? ?] , [1? ] , [?0 ] , [00 ] с
?? 0 ?? ?? ? ??
использованием правила Лопиталя; интервалы монотонности
функции; точки экстремума; выпуклость и вогнутость графика
функции; точки перегиба, асимптоты графика функции (горизонтальные, вертикальные и наклонные); общая схема исследования функции и построения графика; наибольшее и
наименьшее значение функции на отрезке; приложения производной в экономической теории (предельные величины, коэффициенты эластичности, экономическая интерпретация выпуклости графика функции).
Практические занятия
1. Производная функции. Правила дифференцирования. Таблица производных элементарных функций.
2. Дифференцирование неявно заданных функций, функций,
заданных параметрическим способом. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.
3. Дифференциал функции. Таблица дифференциалов. Основные теоремы о дифференциалах. Применение дифференциала
к приближенным вычислениям.
4. Теоремы дифференциального исчисления. Теоремы о среднем значении функции. Правило Лопиталя.
5. Общая схема исследования функции и построения графика.
6. Исследование функций и построение графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
7. Моделирование экономических процессов средствами дифференциального исчисления.
Самостоятельная работа
1. Работа с учебным пособием «Производная функции как
средство моделирования экономических процессов».
2. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Исследование функций и построение графиков с использованием средств дифференциального исчисления».
186
Приложение 2
3. Решение профессионально ориентированных задач с использованием производной функции, коэффициента эластичности функции в качестве математических моделей для исследования экономических процессов.
Тема 4.4. Интегральное исчисление
Требования к знаниям
Знать определение первообразной функции; определение
неопределенного интеграла; свойства неопределенного интеграла; таблицу интегралов основных элементарных функций;
основные методы интегрирования (метод замены переменной,
формулу интегрирования по частям); приемы интегрирования
тригонометрических, рациональных и иррациональных функций; определение определенного интеграла, его свойства; формулу Ньютона-Лейбница; методы вычисления определенного
интеграла; геометрический, экономический и механический
смысл определенного интеграла; понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования, несобственного интеграла от разрывной функции.
Требования к умениям
Уметь вычислять неопределенные интегралы, используя методы непосредственного интегрирования, подстановки, интегрирования по частям; интегрировать тригонометрические,
рациональные, иррациональные функции; вычислять определенные интегралы, используя формулу Ньютона–Лейбница, основные методы интегрирования и приближенные формулы;
устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов; применять определенный интеграл к моделированию
экономических процессов.
Содержание темы
Первообразная функция; неопределенный интеграл; основные
свойства неопределенного интеграла; таблица интегралов основных элементарных функций; основные методы интегрирования
(непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям); особые приемы интегрирования (интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений); определенный интеграл, его геометрический
Приложение 2
187
смысл и основные свойства; формула Ньютона–Лейбница; методы вычисления определенных интегралов, приближенные
методы вычисления определенного интеграла (формулы прямоугольников, трапеций, парабол); геометрические, механические
и экономические приложения определенного интеграла; несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования; несобственные интегралы от неограниченных функций;
признаки сходимости несобственных интегралов.
Практические занятия
1. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования.
2. Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических функций.
3. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона–Лейбница.
4. Методы вычисления определенного интеграла.
5. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Геометрические и экономические приложения определенного интеграла.
6. Несобственные интегралы.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Интегралы».
2. Решение профессионально ориентированных задач с использованием определенного интеграла в качестве математической модели для исследования экономических процессов.
Тема 4.5. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных
Требования к знаниям
Знать основные понятия и определения, относящиеся к функциям нескольких переменных; определение предела и непрерывности функции нескольких переменных; определение частных производных, дифференциалов первого и высшего порядков
функций нескольких переменных; понятие условного и безусловного экстремума функции двух переменных; метод наименьших квадратов; понятие двойного интеграла.
188
Приложение 2
Требования к умениям
Уметь находить и изображать область определения и линии
уровня функции двух переменных; определять геометрический
вид графика функции двух переменных (форму поверхности);
вычислять предел функции двух переменных; исследовать функцию двух переменных на непрерывность; вычислять частные
производные и дифференциалы первого и высшего порядков
функций нескольких переменных, дифференцировать сложные
и неявные функции нескольких переменных; исследовать функции двух переменных на условный и безусловный экстремум;
находить наибольшее и наименьшее значение функции двух
переменных в замкнутой области; применять метод наименьших квадратов; вычислять двойные интегралы.
Содержание темы
Понятие функции нескольких переменных; график и линии
уровня функции двух переменных; примеры функции нескольких переменных в экономической теории (производственная
функция, функция полезности и т.д.); предел и непрерывность
функции нескольких переменных; частные производные и дифференциалы первого и высших порядков функций нескольких
переменных; полный дифференциал и его применение в приближенных вычислениях; дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных; производная по
направлению; градиент функции; геометрические и экономические приложения частных производных функций нескольких
переменных; коэффициенты эластичности функций нескольких переменных; условный и безусловный экстремум функции
нескольких переменных; методы нахождения условного экстремума; функция и множители Лагранжа; наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой
области; приложения функций нескольких переменных в экономической теории; функции спроса, полезности; бюджетное
ограничение; «эффект замены»; «эффект дохода»; уравнение
Слуцкого; метод наименьших квадратов; двукратный интеграл;
двойной интеграл.
Практические занятия
1. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных.
Приложение 2
189
2. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
3. Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных.
4. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.
5. Экстремумы функции нескольких переменных.
6. Метод наименьших квадратов. Двойные интегралы.
7. Моделирование экономических процессов средствами дифференциального исчисления функций нескольких переменных.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Функции нескольких переменных».
2. Решение профессионально ориентированных задач с использованием средств дифференциального исчисления функций нескольких переменных в качестве математических моделей для исследования экономических процессов.
Тема 4.6. Дифференциальные уравнения
Требования к знаниям
Знать определение дифференциального уравнения; порядка
дифференциального уравнения; общего и частного решения
обыкновенного дифференциального уравнения; формулировку задачи Коши; виды дифференциальных уравнений первого
порядка (с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения, уравнение Бернулли); методы решения дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальных уравнений высших порядков (уравнений,
допускающих понижение порядка, линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, линейных неоднородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью).
Требования к умениям
Уметь находить общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка; находить особые решения
дифференциальных уравнений первого порядка; решать дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие по-
190
Приложение 2
нижение порядка; применять теорему о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; использовать метод
неопределенных коэффициентов для поиска частного решения
линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами специальной
правой частью; моделировать динамические процессы.
Содержание темы
Понятие дифференциального уравнения; задача о росте выпуска продукции; решение дифференциального уравнения (частное, общее, особое решение); порядок дифференциального
уравнения; задача Коши; дифференциальные уравнения первого порядка (уравнения с разделяющими переменными, однородные уравнения, уравнение Бернулли); дифференциальные уравнения высших порядков (уравнения, допускающие
понижение порядка, линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,
линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью);
дифференциальные уравнения в экономике; модель Солоу.
Практические занятия
1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Общее, частное и особое решения дифференциального уравнения.
2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение Бернулли.
3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами специальной правой частью.
5. Построение и исследование динамических экономико-математических моделей.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Дифференциальные уравнения».
Приложение 2
191
2. Решение профессионально ориентированных задач с использованием дифференциального уравнения в качестве математической модели для исследования экономических процессов.
Тема 4.7. Числовые и степенные ряды
Требования к знаниям
Знать определение числового ряда; понятие n-ой частичной
суммы ряда; понятие сходимости числового ряда; свойства сходящихся рядов; необходимый признак сходимости знакоположительного числового ряда; достаточное условие расходимости
знакоположительного числового ряда; достаточные признаки
сходимости знакоположительных рядов; понятие знакопеременного ряда; понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда; достаточный признак сходимости знакопеременного ряда; понятие знакочередующегося ряда; признак
Лейбница; понятие функционального ряда; понятие степенного ряда, его радиуса, интервала и области сходимости; формулы
Маклорена и Тейлора; приложения рядов к решению задач финансовой математики.
Требования к умениям
Уметь находить сумму числового ряда; применять достаточное условие расходимости и достаточные признаки сходимости
для решения вопроса о сходимости знакоположительного ряда;
использовать эталонные ряды; исследовать абсолютную и условную сходимость знакопеременного ряда; применять признак
Лейбница для исследования сходимости знакочередующегося
ряда; исследовать сходимость степенных рядов, определять радиус, интервал, область сходимости степенного ряда; представлять разложение функции в степенной ряд; применять ряды к
решению задач финансовой математики.
Содержание темы
Понятие числового ряда; сходимость числовых рядов; свойства сходящихся рядов; необходимый признак сходимости и
достаточное условие расходимости знакоположительного ряда;
эталонные ряды; достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов (признаки сравнения, признак Даламбера,
радикальный и интегральный признаки Коши); достаточный
192
Приложение 2
признак сходимости знакопеременного ряда; абсолютная и условная сходимость ряда; знакочередующиеся ряды; признак
Лейбница; функциональные ряды; степенные ряды; теорема
Абеля; радиус, интервал, область сходимости степенного ряда;
разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена; наращение и
дисконтирование денежных потоков.
Практические занятия
1. Знакоположительные числовые ряды.
2. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
3. Степенные ряды.
Самостоятельная работа
1. Выполнение индивидуального типового расчета по теме
«Ряды».
2. Решение задач финансовой математики по наращению и
дисконтированию денежных потоков.
Раздел V. Элементы теории вероятностей
и математической статистики
Тема 5.1. Элементы комбинаторики.
Вероятность случайного события
Требования к знаниям
Знать основные понятие и определения, относящиеся к случайным событиям, видам случайных событий; понятие вероятности случайного события; свойства вероятности случайного
события; правила и формулы комбинаторики.
Требования к умениям
Уметь вычислять вероятность случайного события, используя классическое, статистическое, геометрическое определения
вероятности; вычислять число комбинаций элементов конечных множеств (число перестановок, сочетаний, размещений);
применять правила суммы, произведения при решении комбинаторных задач.
Содержание темы
Достоверное, невозможное, случайное события; виды случайных событий (совместные и несовместные, противоположные,
равновозможные случайные события и пр.); частота и вероят-
Приложение 2
193
ность случайного события; свойства вероятности случайного
события; классическое определение вероятности случайного
события; формулы комбинаторики; правила комбинаторики
(правила сложения и умножения).
Практические занятия
1. Вероятность случайного события. Элементы комбинаторики.
Самостоятельная работа
1. Выполнение заданий индивидуального типового расчета
по теме «Вероятность случайного события».
Тема 5.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Требования к знаниям
Знать теоремы сложения и умножения вероятностей, следствия из них; понятие условной вероятности.
Требования к умениям
Уметь выполнять операции над случайными событиями; вычислять вероятности случайных событий, используя теоремы
сложения, умножения и следствия из них; находить условную
вероятность; вычислять вероятность наступления хотя бы одного из случайных событий, независимых в совокупности.
Содержание темы
Операции сложения и умножения случайных событий; зависимые и независимые случайные события; условная вероятность;
теоремы сложения и умножения вероятностей, следствия из них.
Практические занятия
1. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Самостоятельная работа
1. Выполнение заданий индивидуального типового расчета
по теме «Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий».
Тема 5.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Требования к знаниям
Знать определение полной группы случайных событий; примеры полной группы случайных событий; формулу полной вероятности; формулу Байеса.
194
Приложение 2
Требования к умениям
Уметь применять формулу полной вероятности; переоценивать вероятности гипотез с использованием формулы Байеса.
Содержание темы
Полная группа случайных событий; формула полной вероятности; формула Байеса.
Практические занятия
1. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Самостоятельная работа
1. Выполнение заданий индивидуального типового расчета
по теме «Формула полной вероятности. Формула Байеса».
2. Решение профессионально ориентированных задач с использованием формул полной вероятности и Байеса в качестве
математических моделей для исследования стохастических процессов.
Тема 5.4. Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли. Приближенные формулы
Требования к знаниям
Знать определение ситуации, называемой схемой Бернулли;
формулу Бернулли; приближенные формулы Муавра–Лапласа
и Пуассона.
Требования к умениям
Уметь вычислять вероятность наступления случайного события в n независимых испытаниях с применением формулы Бернулли и приближенных формул; использовать при работе с приближенными формулами табулированные функции Гаусса,
Лапласа и Пуассона.
Содержание темы
Схема повторных независимых испытаний; формула Бернулли; локальная и интегральная формулы Муавра–Лапласа; формула Пуассона.
Практические занятия
1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
2. Повторные независимые испытания. Приближенные формулы.
Приложение 2
195
Самостоятельная работа
1. Выполнение заданий индивидуального типового расчета
по теме «Схема Бернулли. Приближенные формулы».
2. Решение профессионально ориентированных задач с использованием формулы Бернулли и приближенных формул в
качестве математических моделей для исследования стохастических процессов.
Тема 5.5. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Законы распределения. Числовые характеристики
случайных величин
Требования к знаниям
Знать основные понятия и определения, относящиеся к случайным величинам; виды случайных величин (дискретные, непрерывные); способы представления случайных величин; закон
распределения случайной величины; понятие функции распределения случайной величины; определение и свойства математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения как числовых характеристик случайных величин;
закон больших чисел; центральную предельную теорему.
Требования к умениям
Уметь составлять закон распределения случайной величины;
находить числовые характеристики случайной величины; выполнять экономическую интерпретацию результатов решения
вероятностных задач.
Содержание темы
Понятие случайной величины; дискретные и непрерывные
случайные величины; закон распределения и числовые характеристики случайной величины; основные законы распределения (биномиальное, равномерное, показательное, нормальное
распределения, распределение Пуассона); функция распределения дискретной случайной величины; функция и плотность распределения непрерывной случайной величины; предельные теоремы теории вероятностей.
Практические занятия
1. Дискретные случайные величины. Законы распределения.
Числовые характеристики.
196
Приложение 2
2. Непрерывные случайные величины. Законы распределения.
Числовые характеристики.
Самостоятельная работа
1. Выполнение заданий индивидуального типового расчета
по теме «Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин».
2. Решение профессионально ориентированных задач с использованием законов распределения, функций распределения и числовых характеристик случайных величин в качестве математических моделей для исследования стохастических процессов.
Тема 5.6. Выборочный метод. Точечное и интервальное
оценивание. Проверка гипотез
Требования к знаниям
Знать основные понятия и определения, относящиеся к выборочному методу; понятие функции распределения; понятие
точечных и интервальных оценок параметров расп??еделения.
Требования к умениям
Уметь применять выборочный метод; проводить точечное и
интервальное оценивание; выполнять проверку статистических
гипотез.
Содержание темы
Генеральная совокупность и выборка; виды выборок; функция распределения; полигон и гистограмма; статистическое оценивание; статистические оценки параметров распределения;
точечные и интервальные оценки; статистические методы обработки экспериментальных данных.
Практические занятия
1. Случайная выборка. Точечное и интервальное оценивание
параметров распределения.
2. Проверка статистических гипотез.
Самостоятельная работа
1. Решение профессионально ориентированных задач экономического содержания с использованием статистических
методов.
Приложение 2
197
Тема 5.7. Корреляция и регрессия
Требования к знаниям
Знать основные понятия и определения, относящиеся к корреляционно-регрессионным зависимостям.
Требования к умениям
Уметь выполнять оценку корреляционно-регрессионных связей; применять статистические методы анализа финансового
риска.
Содержание темы
Функциональная и статистическая зависимости; корреляционная зависимость; уравнение регрессии; линейная корреляционная зависимость; коэффициент корреляции и его свойства;
проверка значимости коэффициента корреляции; простейшие
случаи нелинейной корреляционной зависимости; множественная линейная корреляционная зависимость; анализ финансовых рисков.
Практические занятия
1. Статистическая оценка корреляционно-регрессионных
связей.
2. Статистическое изучение связей с целью управления экономическими процессами.
Самостоятельная работа
1. Решение профессионально ориентированных задач экономического содержания с использованием методов корреляционно-регрессионного анализа.
Тема 5.8. Элементы теории случайных процессов.
Системы массового обслуживания. Метод Монте-Карло
Требования к знаниям
Знать определение случайного процесса и его числовых характеристик; понятие марковского случайного процесса; понятие, виды и примеры задач массового обслуживания.
Требования к умениям
Уметь применять аппарат теории вероятностей для анализа
систем массового обслуживания.
198
Приложение 2
Содержание темы
Случайный процесс как обобщение понятия случайной величины; математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайного процесса; классификация
случайных процессов; марковские случайные процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем; поток событий;
моделирование марковского случайного процесса; системы массового обслуживания; примеры систем массового обслуживания;
замкнутые и разомкнутые системы массового обслуживания;
метод Монте-Карло.
Практические занятия
1. Моделирование систем массового обслуживания.
Самостоятельная работа
1. Решение профессионально ориентированных задач экономического содержания с использованием вероятностных формул и законов в качестве математических моделей для исследования стохастических процессов.
4. ЛИТЕРАТУРА
1. Алексенко, Н.В. Основные задачи линейного программирования [Текст]: учеб. пособие / Н.В. Алексенко; науч. ред. д-р
экон. наук, проф. Н.А. Сердюкова. – М.: Изд-во ФГОУ ВПО
АБиК Минфина России, 2009. – 110 с.
2. Бурмистрова, Н.А. Производная функции как средство
моделирования экономических процессов [Текст]: учеб. пособие / Н.А. Бурмистрова. – Омск: ООО «Издательский дом “ЛЕО”»,
2007. – 80 с.
3. Бурмистрова, Н.А. Матрицы. Определители [Текст]: учеб.
пособие / Н.А. Бурмистрова, Н.И. Ильина; науч. ред. д-р экон.
наук, проф. Н.А. Сердюкова. – М.: Изд-во Академии бюджета
и казначейства, 2007. – 72 с.
4. Бурмистрова, Н.А. Системы линейных алгебраических
уравнений. Балансовые модели в экономике [Текст]: учеб. пособие / Н.А. Бурмистрова, Н.И. Ильина; науч. ред. д-р экон.
наук, проф. Н.А. Сердюкова. – М.: Изд-во ФГОУ ВПО АБиК
Минфина России, 2009. – 129 с.
Приложение 2
199
5. Бурмистрова, Н.А. Элементы аналитической геометрии
[Текст]: учеб. пособие / Н.А. Бурмистрова, Н.И. Ильина; науч.
ред. д-р экон. наук, проф. Н.А. Сердюкова. – М.: Изд-во Академии бюджета и казначейства, 2007. – 126 с.
6. Вентцель, Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология [Текст]: учеб. пособие для студентов втузов /
Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2001. – 208 с.
7. Высшая математика для экономистов [Текст]: учебник для
вузов / Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред.
Н.Ш. Кремера – М.: ЮНИТИ, 1999. – 471 с.
8. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа,
2005. – 404 с.
9. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учеб. пособие для инженерно-экономических
институтов и факультетов / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2004. – 479 с.
10. Демидович, Б.П. Сборник упражнений по математическому анализу [Текст]: учеб. пособие / Б.П. Демидович. – М.:
Астрель, 2003. – 558 с.
11. Исследование операций в экономике [Текст]: учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путько, И.М. Тришин,
М.Н. Фридман; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ,
2002. – 407 с.
12. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры
[Текст]: учебник для вузов / А.И. Кострикин. – М.: Физикоматематическая литература, 2001. – Ч. I. – 272 c.
13. Красс, М.С. Математика в экономике. Основы математики [Текст]: учебник / М.С. Красс. – М.: ИД ФБК-ПРЕСС,
2005. – 472 с.
14. Красс, М.С. Математика для экономистов [Текст]: учеб. пособие / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.
15. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебник / Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2001. – 543 с.
16. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры [Текст] / А.Г. Курош. –
М.: Высшая школа, 1971.
200
Приложение 2
17. Малыхин, В.И. Математика в экономике [Текст]: учеб.
пособие / В.И. Малыхин. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 352 с.
18. Методический комплекс по дисциплине «Высшая математика» для студентов I курса всех специальностей [Текст]. –
М.: Изд-во Академии бюджета и казначейства, 2004.
19. Методический комплекс по дисциплине «Высшая математика» для студентов II курса всех специальностей [Текст]. –
М.: Изд-во Академии бюджета и казначейства, 2004.
20. Общий курс высшей математики для экономистов [Текст]:
учебник / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2002. –
656 с.
21. Практикум по высшей математике для экономистов
[Текст]: учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин,
Б.А. Путко и др.; под ред. Н.Ш. Кремера – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2002. – 423 с.
22. Сборник задач по высшей математике для экономистов
[Текст]: учеб. пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М,
2002. – 575 с.
23. Солодовников, А.С. Математика в экономике [Текст] /
А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. –
М.: Финансы и статистика, 2003. – Ч. 1. – 384 с.
24. Солодовников, А.С. Математика в экономике [Текст] /
А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. –
М.: Финансы и статистика, 2003. – Ч. 2. – 504 с.
25. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа
[Текст]: учебник / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Физматлит, 2002. –
Т. 1. – 416 с.
26. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа
[Текст]: учебник/ Г.М. Фихтенгольц. – М.: Физматлит, 2002. –
Т. 2. – 440 с.
201
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Комплекс профессионально ориентированных задач
экономического содержания
Раздел I. Элементы аналитической геометрии
Тема 1.1. Векторы на плоскости и в пространстве
1. Финансовый консультант рекомендует клиенту вложить
средства в акции трех компаний в размере 20, 40 и 40 тыс. долл.
Прибыль от инвестиций составит 20%, 15% и 18% соответственно. Определите сумму прибыли, полученную клиентом по истечении срока вложения, используя формулу скалярного произведения векторов.
Ответ: 17,2 тыс. долл.
2. Коммерческий банк, участвующий в строительстве многоэтажных автостоянок в центре Москвы, получил согласие на
выдачу кредитов у трех банков. Каждый из них предоставит
кредиты в размере 20, 40, 40 млрд руб. под годовой процент
40%, 25%, 30% соответственно. Определите общую сумму выплат кредиторам.
Ответ: 130 млрд руб.
3. Предприятие выпускает три вида продукции в количестве
15, 25, 40 единиц, реализуемой по цене 30, 40, 50 ден. ед. за
единицу продукции соответственно. Определите выручку предприятия и ее прирост при изменении цены на продукцию трех
видов в размере 5, –3, 2 ден. ед. соответственно.
Ответ: выручка 3450 ден. ед.; прирост выручки 80 ден. ед.
Тема 1.2. Прямая на плоскости.
Прямая и плоскость в пространстве
4. Издержки производства на 200 единиц продукции составляют 100 руб., а на 1800 единиц – 700 руб. Определите графическим способом издержки на производство 600, 1000, 1400
202
Приложение 3
единиц продукции, считая, что функция издержек является линейной.
Ответ: 250; 400; 550; 700.
5. Известны линейные зависимости спроса D = 400 ? 5 p и
предложения S = 100 + 5 p от цены товара р. Найдите равновесную цену и выручку от продажи товара при равновесной цене.
Ответ: равновесная цена 30 ден. ед; выручка 7500 ден. ед.
6. Для изготовления драгоценных инвестиционных монет
монетный двор располагает тремя сплавами золота и серебра с
полудрагоценными металлами. Доля золота и серебра в сплавах
составляет соответственно (0,9; 0,05), (0,4; 0,35), (0,1; 0,45).
Определите графическим способом, используя понятие выпуклой линейной комбинации точек, возможность получения
из данных сплавов нового сплава, содержащего 55% золота и 30%
серебра.
Ответ: нет.
Тема 1.3. Кривые и поверхности второго порядка
7. В условиях частичной монополии фирма самостоятельно
определяет цену на свой товар, учитывая изменение спроса на
него. Известно, что объем продаж y зависит от цены x по формуле y = 40 ? 2 x. Зависимость издержек С от объема реализованного товара y задана формулой C ( y) = y 2 + 2y + 7. Рассматривая
прибыль как разность между доходом и издержками и используя
свойства квадратичной функции прибыли P(y) = y · x – C(y) =
y(40 ? y)
=
? (y 2 + 2y + 7), ветви графика которой направлены
2
вниз, определите максимальное значение прибыли и оптимальный объем выпуска товара.
Ответ: максимальная прибыль 47 ден. ед., оптимальный
объем 6 единиц.
Раздел II. Линейная алгебра
Тема 2.1. Числовые множества. Алгебраические структуры.
Поле комплексных чисел
8. При исследовании модели рынка с прогнозируемыми ценами стали известны функции зависимости спроса и предложе-
Приложение 3
203
ния от цены и ее производных: D(t ) = р ?? – 2р ? – 6р + 36, S(t ) =
2р ?? + 4р ? + 4р + 6, где р ? – скорость ценообразования, р ?? – темп
изменения цены. Равновесное состояние рынка определяется
условием:
D = S ? р ?? – 2р ? – 6р + 36 = 2р ?? + 4р ? + 4р + 6 ?
? р ?? + 6р ? + 10р = 30.
Для установления зависимости цены от времени необходимо найти комплексные корни характеристического уравнения
k 2 + 6k + 10 = 0.
Ответ: k1,2 = 3 ± i.
Тема 2.2. Простейшие сведения о многочленах
4 x 2 ? x + 2,5
.
x +1
Нахождение функции дохода R(x) обеспечивается результатом
интегрирования R ?(x). Для выполнения интегрирования в выражении функции R ?(x) необходимо выделить целую часть (найти результат деления многочленов с остатком).
4x 2 ? x + 2,5
7,5
= 4x ? 5 +
.
Ответ:
x +1
x +1
9. Функция предельного дохода имеет вид R ?(x ) =
Тема 2.3. Матрицы. Определители
10. Предприятие производит три типа продукции для реализации в четырех регионах. Объемы выпуска продукции заданы
матрицей-строкой (100; 2000; 100). Цена реализации единицы
продукции i-го типа в j-ом регионе задана матрицей стоимости
?2 3 1 5?
?1 3 2 2? .
?
?
?2 4 2 4?
Необходимо найти матрицу выручки.
Ответ: (600; 1300; 700; 1300).
11. Предприятие производит три типа продукции, используя
четыре вида сырья. Нормы затрат ресурсов i-го вида на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей
204
Приложение 3
?2
?0
?
?1
?
?2
Количество выпускаемой
столбец
5 3?
1 8??
.
3 1?
?
2 3?
продукции определяет матрица-
?100?
? 80 ? .
?
?
?110?
Стоимость одной единицы затраченных ресурсов каждого
вида характеризует матрица-строка (10; 20; 10; 10). Необходимо
определить полную стоимость затрат производства.
Ответ: 3990.
12. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья представлены матрицей
Вид сырья
? 2 3 4 5?
?
?
Вид ? 1 2 5 6?
изделия ? 7 2 3 2? .
?
?
? 4 5 6 8?
Необходимо определить затраты сырья для производства каждого вида изделий, если план выпуска продукции задан матрицей-строкой (60; 50; 35; 40).
? 575?
?550?
?.
Ответ: ?
? 835?
?
?
? 990?
Тема 2.4. Системы линейных уравнений
13. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья. Характеристики производства представлены в таблице 12.
Приложение 3
205
Таблица 12
Виды сырья
I
II
III
Расход сырья на единицу
Запасы сырья,
продукции, усл. ед.
усл. ед.
продукция A продукция Б продукция С
4
3
1
1650
6
4
5
2700
5
2
3
1800
Определите объем выпуска продукции при заданных запасах
сырья.
Ответ: (200; 250; 100).
14. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья (табл. 13).
Таблица 13
Виды сырья
1
2
3
Расход сырья на единицу
Запасы сырья,
продукции, усл. ед.
усл. ед.
продукция A продукция Б продукция С
5
12
7
2350
10
6
8
2060
9
11
4
2270
Найдите объем выпуска продукции каждого типа.
Ответ: (70; 120; 30).
? 0,2 0,5?
15. Известна матрица прямых затрат производства A = ?
?.
? 0,7 0,1?
Определите объем валовой продукции Х для обеспечения вы?120?
пуска конечной продукции Y = ? ? .
?100?
427
,
03
?
?
Ответ: X = ?
?.
? 443,24?
16. Дана матрица полных затрат производства S и объем конечной продукции Y. Необходимо найти объем валовой продукции Х :
?1,7 0,9?
?10?
1) S = ?
? ,Y = ? ? ;
?1,2 1,7?
?20?
206
Приложение 3
1,125 0,125?
?80?
2) S = ??
? ,Y = ? ? .
? 0,125 1,125?
?80?
35
?100?
Ответ: 1) X = ?? ?? , 2) X = ? ? .
?100?
? 46?
17. Отрасль состоит из четырех предприятий. Известны вектор валового выпуска продукции и технологическая матрица
? 400?
? 0,25
?300?
? 0,20
?
?
X =
, A =?
?250?
? 0,15
?
?
?
?300?
? 0,30
0,10
0,15
0,20
0,15
0,24
0,36
0,20
0,20
0,25?
0,17??
,
0,15?
?
0,15?
Найдите вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.
?135?
? 34 ?
Ответ: Y = ? ? .
? 35 ?
? ?
? 40 ?
? 0,3 0,25?
18. Дана матрица прямых затрат A = ?
? и вектор ко? 0,15 0,12?
?300?
нечной продукции Y = ?
?.
?100?
Необходимо найти:
1) матрицу полных затрат S;
2) объем валовой продукции Х1, если вектор конечной про?30?
дукции увеличить на ?Y = ? ? .
?20?
1,52 0,26?
?532,8?
Ответ: 1) S = ??
?.
? , 2) X 1 = ?
? 287,1?
? 0,43 1,21?
19. В таблице многоотраслевого баланса приведены данные
об объемах производственного потребления хij , валовой и конечной продукции (табл. 14).
Приложение 3
207
Таблица 14
Отрасли
производства
1
2
3
Производственное потребление
I
II
III
5
10
20
35
10
10
20
20
10
Конечный Валовый
продукт продукт
40
60
10
100
100
50
Необходимо найти:
1) матрицу прямых затрат;
2) объем валового выпуска продукции, если объем конечной
? 20?
продукции увеличить на ?Y = ?10? .
? ?
? 20?
?152,2?
? 0,05 0,35 0,40?
?
?
?
?
Ответ: 1) A = 0,10 0,10 0,40 , 2) X = ?135,8? .
?
?
? 92,5 ?
? 0,20 0,10 0,20?
20. Для экономической системы, состоящей из трех отраслей: добыча и переработка углеводородов, электроэнергия, машиностроение, известны:
? 0,15 0,35 0,40?
A = ?? 0,10 0,10 0,40?? ? матрица прямых затрат,
? 0,20 0,10 0,20?
?100?
? ?
X = ?100? ? вектор валового выпуска продукции,
? ?
? 50 ?
? 20?
? ?
P = ?15? ? вектор цен на продукцию отраслей.
? ?
? 40?
Требуется определить прирост цен на продукцию указанных
отраслей, если добавленную стоимость производства электроэнергии увеличить на 100%.
208
Приложение 3
? 0,08?
?
?
Ответ: ?P = ? 3,3 ? ? вектор прироста цен. Увеличение в два
?
?
? 2 ?
раза нормы добавленной стоимости производства электроэнергии повлечет увеличение цен на продукцию углеводородного
сырья на 4%, производства электроэнергии на 22%, машиностроения на 5%.
Тема 2.5. Собственные значения
и собственные векторы матриц
21. Найдите соотношение торговых бюджетов стран для сбалансированной торговли при известной структурной матрице
торговли
? 0,2 0,3 0,3?
?
?
?1 2 2 3?
2) ? 0,6 0,4 0,6? ,
1) ?
?,
?1 2 1 3?
?
?
? 0,2 0,3 0,2?
? 0 0,25 1 3?
? 0,3 0,3 0,8?
?
?
?
?
3) ? 0,5 0,5 1 3? , 4) ? 0,6 0,1 0,1? .
?
?
?
?
? 0,5 0,25 1 3?
? 0,1 0,6 0,1?
Ответ: 1) 4:3, 2) 1:2:1, 3) 2:4:3, 4) 5:11:9.
22. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид
? 0,2 0,3 0,4?
?
?
A = ? 0,5 0,4 0,2? .
?
?
? 0,3 0,3 0,4?
Необходимо найти торговые бюджеты первой и второй стран,
удовлетворяющие сбалансированной торговле, при условии, что
бюджет третьей страны составляет 1100 усл. ед.
Ответ: (1000; 1200; 1100).
23. Найдите равновесный вектор торговых бюджетов трех
стран в модели международной торговли для структурной матрицы торговли А, если известно, что суммарный бюджет стран
равен 402 усл. ед.
Приложение 3
209
?3 10 1 5 2 5 ?
? 0,6 0,3 0,5?
? 0,3 0,4 0,2?
?
?
?
?
?
?
1) ? 0,4 0,5 0,7? , 2) ? 0,3 0,4 0,1? , 3) ?3 10 1 10 1 10? .
?
?
?
?
?
?
? 2 5 7 10 1 2 ?
? 0,1 0,3 0,4?
? 0,3 0,1 0,1?
Ответ: 1) (134; 201; 67), 2) (198; 114; 90), 3) (134; 67; 201).
24. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид
? 0,2
?
0,4
A =?
? 0,3
?
? 0,1
0,3
0,3
0,3
0,1
0,2
0,2
0,5
0,1
0,2?
?
0,2?
.
0,2?
?
0,4?
Необходимо найти торговые бюджеты стран, удовлетворяющие бездефицитной торговли, при условии, что суммарный бюджет стран равен 6270 усл. ед.
Ответ: (1400; 2200; 1460; 1210).
25. Найдите соотношение цен трех товаров, если наборы этих
товаров в количествах (6; 2; 4), (1; 8; 9) и (3; 5; 9) имеют одинаковую стоимость.
Ответ: 15:10:6.
Раздел III. Введение в исследование операций
Тема 3.1. Элементы линейного программирования
26. Коммерческий банк имеет на три месяца свободные денежные ресурсы в количестве 1 млрд руб. Доходность от вложения в ценные бумаги составляет 29%, в то время как на межбанковском рынке можно получить 17% прибыли, а вложение в
валюту с последующей конвертацией обеспечит лишь 14%. Определите максимальный доход от размещения свободных денежных средств.
Ответ: 290 млн руб.
27. На трех станках обрабатываются два типа деталей, причем
каждая проходит обработку на всех станках. Время обработки
детали на каждом станке и время работы станка в течение цикла
производства, а также прибыль от реализации одной детали приведены в таблице 15.
210
Приложение 3
Таблица 15
Виды станков
1-й станок
2-й станок
3-й станок
Прибыль от реализации
одной детали, руб.
Время обработки
детали, часы
тип I
тип II
4
2
3
6
2
0
3
Время работы станка
в течение цикла производства, часы
16
30
12
4
Составьте план производства, обеспечивающий наибольшую
прибыль.
Ответ: деталей I типа – 2 ед., II типа – 4 ед.; прибыль 22 ден. ед.
28. Для производства кирпича двух марок (I, II) предприятие
использует оборудование трех видов (A, B, C), имеющееся в количествах соответственно не более 13, 9, 8 усл. ед. Для производства одного кирпича I типа требуется 2 усл. ед. оборудования
вида A, 0 усл. ед. – вида B, 2 усл. ед.– вида C; для производства
одного кирпича II типа – 2, 3, 0 усл. ед. Известно, что от реализации одного кирпича I типа прибыль составляет 3 ден. ед.,
II типа – 4 ден. ед. Определите максимальную прибыль.
Ответ: 22,5 ден. ед.
29. На имеющихся 400 акрах земли фермер планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требуют на каждый
акр 200 долл. затрат, а сои – 100 долл. На покрытие расходов,
связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс.
долл. Каждый акр, засеянный кукурузой, приносит 30 бушелей, а каждый акр, засеянный соей, – 60 бушелей. Фермер
заключил договор на продажу, по которому каждый бушель кукурузы принесет ему 3 долл., а каждый бушель сои – 6 долл.
Cогласно договору, фермер обязан хранить убранное зерно в
течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. бушелей. Фермеру хотелось бы
знать, сколько акров нужно засеять каждой из культур, с тем
чтобы получить максимальную прибыль.
Ответ: 350 акров сои; посев кукурузы не является рациональным.
Приложение 3
211
30. Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за помощью к подруге. Подруга – дама
приятная во всех отношениях – посоветовала ей перейти на рациональное питание, состоящее исключительно из двух новомодных продуктов P и Q. Дневное питание этими новинками должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть),
но не менее 300 калорий (чтобы не сойти с дистанции раньше).
На банке с продуктом P написано, что в 1 кг продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на банке с продуктом
Q – 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. Цена 1 кг
продукта P равна 15 руб., а 1 кг продукта Q – 25 руб. Ввиду того,
что дама просто приятная в это время была весьма стеснена
в средствах, то ее очень интересовал ответ на вопрос: в какой
пропорции нужно брать эти удивительные продукты P и Q, для
того чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно
меньше денег?
Ответ: 2:3.
31. Фирма выпускает прогулочные и спортивные велосипеды. Ежемесячно сборочный цех способен собрать 600 прогулочных и 300 спортивных велосипедов. Готовая продукция проверяется на двух стендах: А и В. Каждый прогулочный велосипед
проверяется 0,3 ч на стенде А и 0,1 ч на стенде В, а каждый
спортивный велосипед проверяется 0,7 ч на стенде А и 0,3 ч
на стенде В. По технологическим причинам стенд А не может
работать более 240 ч в месяц, в стенд В – не более 120 ч в месяц. Каждый прогулочный велосипед приносит фирме доход
50 руб., а каждый спортивный велосипед – 90 руб. Сколько прогулочных и сколько спортивных велосипедов должна ежемесячно
выпускать фирма, чтобы ее прибыль была наибольшей?
Ответ: прогулочных – 600 велосипедов; спортивных – 300
велосипедов; прибыль 57 000 руб.
32. Озеро можно заселить двумя видами рыб А и В. Средняя
масса рыбы равна 2 кг для вида А и 1 кг для вида В. В озере
имеется два вида пищи: Р1 и Р2. Средние потребности одной
рыбы вида А составляют 1 ед. корма Р1 и 3 ед. корма Р2 в день.
Аналогичные потребности для рыбы вида В составляют 2 ед. –
Р1 и 1 ед. – Р2. Ежедневный запас пищи поддерживается на уров-
212
Приложение 3
не 500 ед. Р1 и 900 ед. Р2. Как следует заселить озеро рыбами,
чтобы максимизировать общую массу рыб?
Ответ: 260 рыб типа А; 120 рыб типа В.
33. На складе A1, A2, A3 находится запас продукции в количестве 60; 40; 35 тонн соответственно. Потребители B1, B2, B3, B4
должны получить эту продукцию в количестве 40; 25; 20; 50 тонн
соответственно. Необходимо найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на
перевозки будет минимальной, при этом все запасы будут вывезены, а потребности удовлетворены. Транспортные расходы
на перевозку 1 т продукции от каждого поставщика к каждому
потребителю представлены матрицей затрат
?5 4 1 2 ?
?
?
?? 4 2 5 3?? .
?7 3 5 4?
? 0 0 20 40?
?
?
Ответ: X = ? 40 0 0 0 ? – план перевозки; Zmin = 375 ден. ед.
?
?
? 0 25 0 10?
*
Тема 3.2. Введение в динамическое программирование
34. Нефтеперерабатывающая компания выделила 3 млрд руб.
на разработку новых месторождений. Проект планируется
осуществлять в течение двух лет. Данные о затратах и ожидаемом чистом доходе для первого и второго года представлены
в таблице 16. Требуется определить оптимальный план распределения имеющихся средств по суммам и по годам, который
обеспечивает наибольшее значение чистого дохода в течение
двух лет.
Таблица 16
Объем инвестиций,
млрд руб.
0
1
2
3
Прирост дохода, млрд руб.
f1
f2
0
0
0,3
0,5
0,5
0,8
0,9
0,9
Приложение 3
213
Ответ: В течение первого года следует освоить 1 млрд руб.,
второго года – 2 млрд руб. При этом размер наибольшего чистого дохода за два года составит 1,1 млрд руб.
35. Необходимо распределить капитальные вложения в сумме 50 млн руб. между тремя предприятиями фирмы так, чтобы
величина прироста чистого дохода была максимальной. Данные
о приросте дохода в зависимости от суммы инвестиций представлены в таблице 17.
Таблица 17
Инвестиции,
млн руб.
0
10
20
30
40
50
Объект 1
0
3
5
9
11
17
Прирост дохода, млн руб.
Объект 2
Объект 3
0
0
6
4
8
5
9
11
15
12
19
18
Ответ: x1 = 10, x2 = 10, x3 = 30 млн руб.; оптимальный суммарный прирост чистого дохода 20 млн руб.
Тема 3.3. Теория графов. Сетевое планирование
36. Финансовый директор нового медицинского центра составил перечень работ на этапе начального развития и определил их продолжительность (табл. 18). Постройте сетевой график.
Найдите критический путь и длину.
Таблица 18
Работа Время выполнения
работы (недели)
а1
11
а2
7
а3
9
а4
8
Наименование
Предшествующие
работы
работы
Оценка административ–
ных расходов
Сбор статистики занятости
–
Сбор статистики заболе–
ваний
Проведение актуальных
а2, а3
расчетов
214
Приложение 3
Окончание таблицы 18
Работа Время выполнения
работы (недели)
а5
4
а6
3
а7
5
а8
6
а9
3
а10
2
а11
3
а12
5
Наименование
Предшествующие
работы
работы
Расчет ежемесячных
а4
потоков доходов
Расчет ежемесячных
а4
потоков расходов
Подготовка ежемесячного
а1, а5, а6
отчета о доходах
Расчет ежемесячных
а1, а5, а6
потоков наличности
Подготовка годового
а7
отчета о доходах
Подготовка годовой
а8
балансовой таблицы
Определение ставки
а9, а10
процента
Анализ неблагоприа7
ятных факторов
Ответ: 49 недель.
Тема 3.4. Элементы теории игр
37. Туристическая фирма планирует организацию продажи
туристических путевок в три страны. Спрос на путевки зависит
от обстановки в каждой из стран и может принимать одно из
двух состояний. В зависимости от этого доход, получаемый фирмой в ближайший месяц, определяет матрица
?6
?
5
? 21 23 22?
а) ?
? , б) ??
?20 21 24?
3
?
?1
4?
?
3?
.
6?
?
5?
Необходимо определить соотношение объемов реализации
путевок, при котором фирме гарантируется максимально возможная прибыль.
Приложение 3
215
?A1
Ответ: а) ?
? 1
A 2 ? ?B1
?, ?
0 ? ? 1
? A1 A 2
б) ?
? 0,6 0
B
2
0
B 3?
? , V = 21;
0 ?
A3
A 4 ? ? B1 B 2 ?
?, ?
? , V = 4,8.
0,4 0 ? ? 0,4 0,6?
38. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана
продажи товара на ярмарке с учетом изменений конъюнктуры
рынка (спроса покупателей). Полученные при этом экономические показатели представлены матрицей
Величина
доходов
? 1 –1 1 ?
?
План ? 0 3
2 ?.
?
продаж ?
?
? 1 2 – 1?
Определите оптимальный план продажи товара.
? A1 A2 A3 ? ? B1 B2 B3 ?
3 ? – оптимальные страте1
1 ? , ? 11 1
Ответ: ? 1
?
? ?
?
?2
4
4 ? ? 16 8 16 ?
3
гии торговой фирмы и конъюнктуры рынка; V = ? максималь4
но гарантированный доход. Следовательно, торговая фирма на
предстоящей ярмарке для получения максимальной прибыли
3
ден. ед. в 50% случаев должна использовать первый вариант,
4
в 25% – второй вариант и в 25% – третий вариант плана продаж.
Раздел IV. Математический анализ
Тема 4.1. Числовая последовательность.
Предел числовой последовательности
39. Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых, составил 6 млн руб. Найдите наращенную сумму вклада
через 5 лет, при условии:
а) ежегодного начисления процентов;
216
Приложение 3
б) ежеквартального начисления процентов;
в) непрерывного начисления процентов.
Ответ: а) 9,663 млн руб. б) 9,831 млн руб. в) 9,859 млн руб.
40. Определите рыночную стоимость бессрочной облигации
номиналом 1000 долл. с 3% купонным доходом при годовой
инфляции 2% в результате дисконтирования ряда будущих ежегодных платежей.
Ответ: 1530.
Тема 4.2. Функции. Свойства функций.
Предел функции. Непрерывность
41. Функция затрат на производство продукции –y = 100 + 10x,
где x – количество месяцев, y – объем затрат. Функция дохода –
y = 50 + 15x. Выясните, начиная с какого месяца производство
будет рентабельным?
Ответ: начиная с 11 месяца.
42. Необходимо исследовать поведение функции спроса
100
при неограниченном увеличении цены х (х ? ?).
у =
х +5
Ответ: y ? ?.
43. Темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода (182 дня)?
Ответ: уменьшится в 6 раз.
44. Товарооборот фирмы ежемесячно увеличивается на 1%.
Через какое количество месяцев ее товарооборот, сохраняя темпы роста, увеличится в 2,7 раза по сравнению с первоначальным? Ответ округлить до целых.
Ответ: 100.
Тема 4.3. Дифференциальное исчисление функции
одной переменной
45. Зависимость спроса на товар от цены на него выражает
100
. Определите скорость изменения спроса,
формула D ( p ) =
p +1
если цена на товар составляет 1 ден. ед., 4 ден. ед.
Ответ: –25; –4.
Приложение 3
217
46. Выручка от продажи конфет составляет R = 50 ? 0,5x 2 , где
х – объем реализованного товара (усл. ед.). Найдите среднюю и
предельную выручку, если количество проданного товара составляет:
а) 10 усл. ед.
б) 60 усл. ед.
Ответ: а) 95, 90; б) 70, 40.
47. Издержки производства некоторой продукции определяются функцией C ( x ) = 5 x 2 + 80 x , где х – число единиц произведенной за месяц продукции. Эта продукция продается по цене
280 руб. за изделие. Сколько изделий нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальной?
Ответ: 20.
48. Цена за единицу товара составляет 250 руб. Издержки производства определяет функция C ( x ) = 120 x + x 2 , где х – число
единиц произведенного товара. Найдите максимальное значение прибыли.
Ответ: 4225.
49. Доход от производства продукции с использованием х единиц ресурсов составляет величину 400 x . Какое количество ресурсов следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?
Ответ: 400.
50. Зависимость объема выпуска продукции V от капитальных затрат х определяется формулой V = x 0 ln(4 + x 3 ). Найдите
интервал изменения х, при котором увеличение капитальных
затрат неэффективно.
Ответ: (2; + ? ).
51. Производство некоторого продукта в течение месяца зави3
сит от инвестиций следующим образом: f ( x ) = 5,00 x 2 , где х –
инвестированный капитал в миллионах рублей. Вычислите точно
и приближенно прирост производства, вызванный дополнительным вложением миллиона руб., если первоначальные инвестиции составили 100 млн руб.
Ответ: 7518,72; 7500.
218
Приложение 3
52. Зависимость между себестоимостью продукции у и объемом х ее производства выражает функция y ( x ) = 50 ? 0,5 x . Определите эластичность себестоимости при выпуске продукции
x = 30 единиц.
Ответ: –0,42.
53. Найдите эластичность функции спроса. Как увеличение
цены повлияет на выручку? При каких значениях р спрос является эластичным?
1
а) D ( p ) = 20 ? p, p = 50;
5
б) D ( p ) = 30 ?
3
p, p = 5 и p = 20;
4
в) D ( p ) = 10 ?
p2 p
? , p = 2 и p = 4.
4 4
Ответ: а) E p =50 ( D ) = ?1, не изменится, p ? (50; 100 );
б) E p =15 ( D ) = ?0,6, увеличится;
E p =20 ( D ) = ?1, не изменится;
p ? (20; 40).
5
, увеличится;
18
E p = 4 ( D ) = ?1,8, уменьшится;
в) E p =2 ( D ) = ?
p ? (?6,84; ? 4 ) ? (3,33; 5,84).
54. Спрос на некоторые товары народного потребления зави6000
? 40. Найсит от их стоимости следующим образом: D ( p ) =
p
дите, при какой цене спрос будет нейтральным.
Ответ: 5625.
55. Функция спроса имеет вид D ( p ) = (200 ? 10 p )2 . Найдите
эластичность спроса при p = 18. Вычислите приближенно процентное изменение спроса, если цена уменьшится на 2%.
Ответ: –18; –36%.
Приложение 3
56. Опытным путем установлены функции D =
219
p +8
, S = p + 0,5.
p+2
Необходимо найти:
а) равновесную цену;
б) эластичность спроса и предложения при равновесной цене;
в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.
Ответ: а) 2 ден. ед. б) –0,3; 0,8 в) +3,5%.
57. Функции зависимости долговременного спроса D и предложения S от цены р на мировом рынке нефти имеют вид
D = 30 ? 0,9 p ; S = 16 + 1,2 p. Найдите эластичность спроса в точке равновесия. Определите как изменится равновесная цена и
эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на
25%?
Ответ: значение коэффициента эластичности спроса в точке равновесия составляет –0,9; при уменьшении предложения
нефти на 25% равновесная цена увеличится до 10 ден. ед.; эластичность спроса не изменится.
58. Известны функции спроса и предложения D ( p ) = 9 ? p,
S ( p ) = p + 1.
Необходимо:
? построить графики функций. Найти точку рыночного равновесия и определить денежную выручку в точке равновесия;
? вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия;
? определить общую сумму налогового сбора, поступающего
в бюджет, если на товар введен косвенный налог в размере
2 ден. ед. на единицу товара.
Сделайте графическую иллюстрацию и найдите отношение налоговых выплат продавца и покупателя. Как это согласуется с отношением коэффициентов эластичности спроса и предложения.
Ответ: а) (5, 4), 20 ден. ед.;
б) –0,8, 0,8;
в) 8 ден. ед., 1:1.
220
Приложение 3
Тема 4.4. Интегральное исчисление
59. Найдите объем выпускаемой продукции за пять лет, если
производственная функции Кобба–Дугласа имеет вид y(t ) =
= e t (t + 1)(100 ? 3t ), где t – время в годах.
Ответ: 64 825.
60. Найдите выигрыши потребителей и поставщиков в условиях рыночного равновесия, если законы спроса и предложе5
ния имеют вид p = 116 ? x 2 , p = 20 + x , где p – цена товара, х –
3
величина спроса (предложения) на товар.
Ответ: 67,5.
61. Поступление валюты в отделение банка выражает функция
y = 75 ? 0,8x + 0,006 x 2 , а объем реализации y = 56 ? 0,4 x + 0,003 x 2 ,
где x – количество дней. Определите запас денежных средств по
истечении двух месяцев (60 дней).
Ответ: 132 усл. ед.
62. Определите дисконтированный доход за три года при ставке 8%, если первоначальный размер капиталовложений составил 10 млн руб. и будет увеличиваться ежегодно на 1 млн руб.
Ответ: 30,5 млн руб.
63. По данным исследований о распределении доходов в одx
ной из стран кривая Лоренца задана уравнением y =
,
3 ? 2х
x ?[0;1]. Вычислите коэффициент Джини.
Ответ: k = 0,352 .
Тема 4.5. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных
64. Функция дохода от использования двух видов ресурсов
имеет вид R = 30 x ? 3 y , где x – количество единиц первого ресурса, y – количество единиц второго ресурса. Издержки при этом
равны C = 5 x + 10 y , где 5 ден. ед. – стоимость единицы ресурса
первого вида, 10 ден. ед. – второго вида. Найдите максимальную
прибыль от использования ресурсов.
Ответ: 135 ден. ед.
Приложение 3
221
64. Производственная функция имеет вид K = 100 x ? 4 y , где
х – количество единиц первого ресурса, у – второго. Стоимость
единицы первого ресурса 8 ден. ед., единицы второго –
4 ден. ед. В силу бюджетных ограничений на приобретение ресурсов может быть потрачена сумма не более 54 ден. ед. Определите оптимальное потребление х и у.
Ответ: x = 4,5; y = 4,5.
65. Функция прибыли от инвестиций в четыре программы
имеет вид Z = 0,18x1 ? 0,05 x12 + 0,16 x2 ? 0,04 x 22 + 0,14 x3 ? 0,03 x32 +
+ 0,12 x 4 ? 0,02 x 42 . Имеется 5 млн руб. свободных средств. Определите, каким образом необходимо распределить средства между программами для получения максимальной прибыли.
Ответ: x1 = 2,17, x2 = 0,96, x3 = 0,95, x 4 = 0,92,
Z max = 0 ,4715 млн руб.
66. Имеются данные о расходах на рекламу x (тыс. руб.) и объемах сбыта продукции y (тыс. ед.)
xi
yi
1
54
2
57
3
62
4
65
5
67
6
69
7
70
Определите квадратичную зависимость рекламных расходов,
используя метод наименьших квадратов. Найдите ожидаемый
объем сбыта при расходах 8 тыс. руб.
Ответ: y = ?0,321 x 2 + 5,321 x + 48,571; y ? 71.
Тема 4.6. Дифференциальные уравнения
67. Найдите функцию спроса y = y ( p ), если коэффициент
1
эластичности E p ( y ) = ? и y ( 5 ) = 2.
2
20
Ответ: y 2 =
.
p
68. Найдите зависимость объема реализованной продукции от
времени y = y (t ). Вычислите значение объема при t = 2, если известно, что при данном уровне продаж кривая спроса имеет вид
222
Приложение 3
p( y ) = 3 ? 2 y , норма акселерации (величина обратная скорости
1
выпуска продукции) – = 1,5, норма инвестиций – m = 0,6, y = 1.
l
3l 1,2t
, y (2) ? 1,43.
Ответ: y =
1 + 2l 1,2t
69. Функции спроса и предложения на товар имеют вид
dp
D = 19 + p + 4 ,
dt
dp
.
dt
Найдите зависимость равновесной цены р от времени t, если
в начальный момент времени (t = 0) цена составляет 20 ден. ед.
Постройте график функции р(t). Определите, является ли равновесная цена устойчивой.
Ответ: p = 3 + 17l ?3t , равновесная цена обладает устойчивостью.
S = 28 ? 2 p + 3
Тема 4.7. Числовые и степенные ряды
70. Годовая ставка сложных процентов равна 8%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?
Ответ: через 9 лет.
71. Известны функции спроса D = 10 ? p и предложения
p
S = 2 + . Начиная процесс торга с 1 ден. ед., определите, явля4
ется ли модель паутинного рынка данного товара «скручивающейся»? В том случае, если ответ положительный, найдите точку рыночного равновесия.
Ответ: p0 = 6,4.
Раздел V. Элементы теории вероятностей
и математической статистики
Тема 5.1. Элементы комбинаторики.
Вероятность случайного события
72. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Частное лицо приобрело по одной акции шести АО. Ка-
Приложение 3
223
кова вероятность того, что среди купленных две окажутся акциями банкротов?
Ответ: 0,28.
73. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человека на различные должности. Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
Ответ: 720.
Тема 5.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
74. Вероятность правильного оформления счета в организации составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них
оформлен правильно?
Ответ: 0,095.
75. Покупатель приобрел акции двух компаний А и В. Надежность первой оценивается экспертами на уровне 90%, второй – 80%. Чему равна вероятность того, что:
а) обе компании в течение года не станут банкротами;
б) в течение года наступит хотя бы одно банкротство.
Ответ: а) 0,72; б) 0,28.
76. В большой рекламной фирме 21% сотрудников получает
высокую заработную плату. Известно, что 40% работников фирмы – женщины, а 6,4% работников – женщины, получающие
высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что в организации существует дискриминация женщин по оплате труда?
Ответ: вероятность того, что случайно выбранный работник
имеет высокую заработную плату, при условии, что это женщина, составляет 16%, что меньше, чем 21%. Следовательно, дискриминация существует.
Тема 5.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
77. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости
акции некоторой компании в следующем году будет равна 0,75,
если экономика страны будет на подъеме, и эта же вероятность
будет равна 0,3, если экономика страны не будет успешно раз-
224
Приложение 3
виваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,08. Используя предложения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся
в цене в следующем году.
Ответ: 0,66.
78. Три организации представили в контрольное управление
счета для выборной проверки: первая – 15, вторая – 10, третья –
25 счетов. Вероятность правильного оформления сч??та у этих
организаций соответственно равна 0,9; 0,8; 0,85. Какова вероятность, что наугад выбранный счет окажется правильным?
Ответ: 0,855.
79. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию на «хорошую», «удовлетворительную», «плохую»
и оценивает их вероятности для некоторого момента времени
в 0,15; 0,7 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация
«хорошая», с вероятностью 0,3, когда ситуация «посредственная»,
и с вероятностью 0,1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономическая ситуация «хорошая»?
Ответ: 0,29.
Тема 5.4. Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли. Приближенные формулы
80. Коммерческий банк имеет шесть отделений. Каждое отделение независимо от других может заказать на очередной рабочий день крупную сумму денег с вероятностью 0,2. В конце текущего рабочего дня один из вице-президентов банка знакомится
с поступившими заявками. Какова вероятность того, что заявка
отправлена первым отделением, если всего поступило две заявки.
1
Ответ: .
3
81. Вероятность обращения клиента в банк за возвращением
депозита 0,3. Найдите вероятность, что из 100 клиентов, посетивших банк, равно 30 человек потребуют возврата депозита?
Ответ: 0,4.
Приложение 3
225
Тема 5.5. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Законы распределения. Числовые характеристики
случайных величин
82. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского
баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на проверку
представлены балансы трех предприятий. Найдите закон распределения числа положительных заключений.
Ответ:
xi
pi
0
0,027
1
0,189
2
0,441
3
0,343
83. Известно, что в течение года цена на акции некоторой
компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 48 долл. и средним
квадратическим отклонением 6 долл. Оцените вероятность, что
в любой случайно выбранный день рассматриваемого периода
цена акции составила:
а) от 40 долл. до 50 долл.;
б) более 60 долл.
Ответ: а) 0,48; б) 0,02.
Тема 5.6. Выборочный метод. Точечное
и интервальное оценивание. Проверка гипотез
84. Размер доходов коммерческого банка в течение года представлен в таблице 19.
Таблица 19
Месяц 1
Доход 0,2
2
0,5
3
0,4
4
0,2
5
0,4
6
0,5
7
0,2
8
0,2
9
0,4
10
0,5
11
0,4
12
0,2
Найдите выборочную среднюю и выборочную дисперсию.
Ответ: x В = 0,34; d B = 0,0169.
85. Случайным образом выбрали и проанализировали 400
кредитов, выданных банком. Не были возвращены 80 кредитов. Найдите доверительный интервал с уровнем доверия 0,95
для вероятности невозврата кредита из всей совокупности выданных банком кредитов.
Ответ: 0,16 < p < 0,24.
226
Приложение 3
86. Фирма-изготовитель женских украшений, выпустив новый товар, утверждает, что 40% покупателей купят эти украшения. В ходе десятидневной рекламной распродажи приобрели
украшения 29,5% покупателей, при этом выборочное среднее
квадратическое отклонение составило 16,5%. При 5% уровне
значимости оцените утверждение изготовителя товара.
Ответ: H 0 : а 0 = 40%, H1 : а 0 < 40%, tr = ?1,909 ?(??;?1,833) ?
опытные данные не согласуются с утверждением поставщика, и
нулевая гипотеза отвергается.
Тема 5.7. Корреляция и регрессия
87. С целью анализа взаимного влияния заработной платы и
текучести кадров в пяти однотипных фирмах с одинаковым числом служащих проведены измерения уровня ежемесячной заработной платы Х и числа уволившихся за год работников Y:
X
Y
100
60
150
35
200
20
250
20
300
15
Найдите линейную регрессию Y на Х и выборочный коэффициент корреляции.
Ответ: yх = ?0,21х + 72, rВ = ?0,91.
Тема 5.8. Элементы теории случайных процессов.
Системы массового обслуживания. Метод Монте-Карло
88. Отделение Сберегательного банка России обслуживает
клиентов в части пополнения счета и снятия денежных сумм со
счета. Интенсивность потоков клиентов, желающих пополнить
счет и снять деньги, составляет ? = 0,45 клиентов в минуту. На
обслуживание одного клиента работник банка тратит в среднем
2 мин. Требуется определить среднюю длину очереди и время
ожидания в очереди, если работают два операциониста.
Ответ: среднее число клиентов в очереди 7,65 чел.; время
ожидания 8,54 мин.
89. Студент одного из экономических вузов предполагает, что
у него могут возникнуть финансовые проблемы. Доход студен-
Приложение 3
227
та складывается из стипендии и гонораров за реферативные статьи. Распределение уровня доходов представлено в таблице 20.
Таблица 20
Ежемесячный доход, ден. ед.
350 000
400 000
450 000
500 000
Вероятность
0,4
0,2
0,3
0,1
Предполагается, что доход поступает на счет и учитывается в
начале следующего месяца. Расходы студента также изменяются от месяца к месяцу и подчиняются следующему распределению вероятностей (табл. 21).
Таблица 21
Ежемесячный расход, ден. ед.
300 000
400 000
500 000
6 000 000
Вероятность
0,10
0,45
0,30
0,15
В начале текущего учебного года на счету студента находится 6 000 00 ден. ед. С помощью метода Монте-Карло выполните
имитацию учебного года (12 месяцев) и оцените финансовое
положение студента, полагая, что реальные расходы не могут
превышать суммы денег на счете. Используйте для имитации
случайные числа с начала шестой строки таблицы случайных
чисел. Выясните, в течение какого количества месяцев студент
будет испытывать дефицит бюджета? Какая сумма денег останется на счету студента в конце учебного года?
Ответ: в течение 6 месяцев студент будет испытывать дефицит бюджета; на счету студента в конце года останется сумма в
100 000 ден. ед.
228
Научное издание
Бурмистрова Наталия Александровна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ КАК СРЕДСТВО
ФОРМИРОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ
БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ ФИНАНСОВОЙ СФЕРЫ
ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Монография
Ответственный редактор Е.А. Гринчук
Редактор Л.К. Александрова
Компьютерная верстка Т.В. Клейменова
Оформление И.В. Кравченко
Подписано в печать 08.04.2010. Формат 60х90/16.
Печать офсетная. Бумага офсетная. 14,25 печ. л.
Тираж 500 экз. Заказ
Издательская группа «Логос»
123104, Москва, Б. Палашевский пер., д. 9, стр. 1.
По вопросам приобретения литературы
обращаться по адресу:
111024, г. Москва, ул. Авиамоторная, д. 55, корп. 31
Электронная почта: universitas@mail.ru
Дополнительная информация на сайте http://www.logosbook.ru
?атематике для экономистов
[Текст]: учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин,
Б.А. Путко и др.; под ред. Н.Ш. Кремера – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2002. – 423 с.
22. Сборник задач по высшей математике для экономистов
[Текст]: учеб. пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М,
2002. – 575 с.
23. Солодовников, А.С. Математика в экономике [Текст] /
А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. –
М.: Финансы и статистика, 2003. – Ч. 1. – 384 с.
24. Солодовников, А.С. Математика в экономике [Текст] /
А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. –
М.: Финансы и статистика, 2003. – Ч. 2. – 504 с.
25. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа
[Текст]: учебник / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Физматлит, 2002. –
Т. 1. – 416 с.
26. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа
[Текст]: учебник/ Г.М. Фихтенгольц. – М.: Физматлит, 2002. –
Т. 2. – 440 с.
201
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Комплекс профессионально ориентированных задач
экономического содержания
Раздел I. Элементы аналитической геометрии
Тема 1.1. Векторы на плоскости и в пространстве
1. Финансовый консультант рекомендует клиенту вложить
средства в акции трех компаний в размере 20, 40 и 40 тыс. долл.
Прибыль от инвестиций составит 20%, 15% и 18% соответственно. Определите сумму прибыли, полученную клиентом по истечении срока вложения, используя формулу скалярного произведения векторов.
Ответ: 17,2 тыс. долл.
2. Коммерческий банк, участвующий в строительстве многоэтажных автостоянок в центре Москвы, получил согласие на
выдачу кредитов у трех банков. Каждый из них предоставит
кредиты в размере 20, 40, 40 млрд руб. под годовой процент
40%, 25%, 30% соответственно. Определите общую сумму выплат кредиторам.
Ответ: 130 млрд руб.
3. Предприятие выпускает три вида продукции в количестве
15, 25, 40 единиц, реализуемой по цене 30, 40, 50 ден. ед. за
единицу продукции соответственно. Определите выручку предприятия и ее прирост при изменении цены на продукцию трех
видов в размере 5, –3, 2 ден. ед. соответственно.
Ответ: выручка 3450 ден. ед.; прирост выручки 80 ден. ед.
Тема 1.2. Прямая на плоскости.
Прямая и плоскость в пространстве
4. Издержки производства на 200 единиц продукции составляют 100 руб., а на 1800 единиц – 700 руб. Определите графическим способом издержки на производство 600, 1000, 1400
202
Приложение 3
единиц продукции, считая, что функция издержек является линейной.
Ответ: 250; 400; 550; 700.
5. Известны линейные зависимости спроса D = 400 ? 5 p и
предложения S = 100 + 5 p от цены товара р. Найдите равновесную цену и выручку от продажи товара при равновесной цене.
Ответ: равновесная цена 30 ден. ед; выручка 7500 ден. ед.
6. Для изготовления драгоценных инвестиционных монет
монетный двор располагает тремя сплавами золота и серебра с
полудрагоценными металлами. Доля золота и серебра в сплавах
составляет соответственно (0,9; 0,05), (0,4; 0,35), (0,1; 0,45).
Определите графическим способом, используя понятие выпуклой линейной комбинации точек, возможность получения
из данных сплавов нового сплава, содержащего 55% золота и 30%
серебра.
Ответ: нет.
Тема 1.3. Кривые и поверхности второго порядка
7. В условиях частичной монополии фирма самостоятельно
определяет цену на свой товар, учитывая изменение спроса на
него. Известно, что объем продаж y зависит от цены x по формуле y = 40 ? 2 x. Зависимость издержек С от объема реализованного товара y задана формулой C ( y) = y 2 + 2y + 7. Рассматривая
прибыль как разность между доходом и издержками и используя
свойства квадратичной функции прибыли P(y) = y · x – C(y) =
y(40 ? y)
=
? (y 2 + 2y + 7), ветви графика которой направлены
2
вниз, определите максимальное значение прибыли и оптимальный объем выпуска товара.
Ответ: максимальная прибыль 47 ден. ед., оптимальный
объем 6 единиц.
Раздел II. Линейная алгебра
Тема 2.1. Числовые множества. Алгебраические структуры.
Поле комплексных чисел
8. При исследовании модели рынка с прогнозируемыми ценами стали известны функции зависимости спроса и предложе-
Приложение 3
203
ния от цены и ее производных: D(t ) = р ?? – 2р ? – 6р + 36, S(t ) =
2р ?? + 4р ? + 4р + 6, где р ? – скорость ценообразования, р ?? – темп
изменения цены. Равновесное состояние рынка определяется
условием:
D = S ? р ?? – 2р ? – 6р + 36 = 2р ?? + 4р ? + 4р + 6 ?
? р ?? + 6р ? + 10р = 30.
Для установления зависимости цены от времени необходимо найти комплексные корни характеристического уравнения
k 2 + 6k + 10 = 0.
Ответ: k1,2 = 3 ± i.
Тема 2.2. Простейшие сведения о многочленах
4 x 2 ? x + 2,5
.
x +1
Нахождение функции дохода R(x) обеспечивается результатом
интегрирования R ?(x). Для выполнения интегрирования в выражении функции R ?(x) необходимо выделить целую часть (найти результат деления многочленов с остатком).
4x 2 ? x + 2,5
7,5
= 4x ? 5 +
.
Ответ:
x +1
x +1
9. Функция предельного дохода имеет вид R ?(x ) =
Тема 2.3. Матрицы. Определители
10. Предприятие производит три типа продукции для реализации в четырех регионах. Объемы выпуска продукции заданы
матрицей-строкой (100; 2000; 100). Цена реализации единицы
продукции i-го типа в j-ом регионе задана матрицей стоимости
?2 3 1 5?
?1 3 2 2? .
?
?
?2 4 2 4?
Необходимо найти матрицу выручки.
Ответ: (600; 1300; 700; 1300).
11. Предприятие производит три типа продукции, используя
четыре вида сырья. Нормы затрат ресурсов i-го вида на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей
204
Приложение 3
?2
?0
?
?1
?
?2
Количество выпускаемой
столбец
5 3?
1 8??
.
3 1?
?
2 3?
продукции определяет матрица-
?100?
? 80 ? .
?
?
?110?
Стоимость одной единицы затраченных ресурсов каждого
вида характеризует матрица-строка (10; 20; 10; 10). Необходимо
определить полную стоимость затрат производства.
Ответ: 3990.
12. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья представлены матрицей
Вид сырья
? 2 3 4 5?
?
?
Вид ? 1 2 5 6?
изделия ? 7 2 3 2? .
?
?
? 4 5 6 8?
Необходимо определить затраты сырья для производства каждого вида изделий, если план выпуска продукции задан матрицей-строкой (60; 50; 35; 40).
? 575?
?550?
?.
Ответ: ?
? 835?
?
?
? 990?
Тема 2.4. Системы линейных уравнений
13. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья. Характеристики производства представлены в таблице 12.
Приложение 3
205
Таблица 12
Виды сырья
I
II
III
Расход сырья на единицу
Запасы сырья,
продукции, усл. ед.
усл. ед.
продукция A продукция Б продукция С
4
3
1
1650
6
4
5
2700
5
2
3
1800
Определите объем выпуска продукции при заданных запасах
сырья.
Ответ: (200; 250; 100).
14. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья (табл. 13).
Таблица 13
Виды сырья
1
2
3
Расход сырья на единицу
Запасы сырья,
продукции, усл. ед.
усл. ед.
продукция A продукция Б продукция С
5
12
7
2350
10
6
8
2060
9
11
4
2270
Найдите объем выпуска продукции каждого типа.
Ответ: (70; 120; 30).
? 0,2 0,5?
15. Известна матрица прямых затрат производства A = ?
?.
? 0,7 0,1?
Определите объем валовой продукции Х для обеспечения вы?120?
пуска конечной продукции Y = ? ? .
?100?
427
,
03
?
?
Ответ: X = ?
?.
? 443,24?
16. Дана матрица полных затрат производства S и объем конечной продукции Y. Необходимо найти объем валовой продукции Х :
?1,7 0,9?
?10?
1) S = ?
? ,Y = ? ? ;
?1,2 1,7?
?20?
206
Приложение 3
1,125 0,125?
?80?
2) S = ??
? ,Y = ? ? .
? 0,125 1,125?
?80?
35
?100?
Ответ: 1) X = ?? ?? , 2) X = ? ? .
?100?
? 46?
17. Отрасль состоит из четырех предприятий. Известны вектор валового выпуска продукции и технологическая матрица
? 400?
? 0,25
?300?
? 0,20
?
?
X =
, A =?
?250?
? 0,15
?
?
?
?300?
? 0,30
0,10
0,15
0,20
0,15
0,24
0,36
0,20
0,20
0,25?
0,17??
,
0,15?
?
0,15?
Найдите вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.
?135?
? 34 ?
Ответ: Y = ? ? .
? 35 ?
? ?
? 40 ?
? 0,3 0,25?
18. Дана матрица прямых затрат A = ?
? и вектор ко? 0,15 0,12?
?300?
нечной продукции Y = ?
?.
?100?
Необходимо найти:
1) матрицу полных затрат S;
2) объем валовой продукции Х1, если вектор конечной про?30?
дукции увеличить на ?Y = ? ? .
?20?
1,52 0,26?
?532,8?
Ответ: 1) S = ??
?.
? , 2) X 1 = ?
? 287,1?
? 0,43 1,21?
19. В таблице многоотраслевого баланса приведены данные
об объемах производственного потребления хij , валовой и конечной продукции (табл. 14).
Приложение 3
207
Таблица 14
Отрасли
производства
1
2
3
Производственное потребление
I
II
III
5
10
20
35
10
10
20
20
10
Конечный Валовый
продукт продукт
40
60
10
100
100
50
Необходимо найти:
1) матрицу прямых затрат;
2) объем валового выпуска продукции, если объем конечной
? 20?
продукции увеличить на ?Y = ?10? .
? ?
? 20?
?152,2?
? 0,05 0,35 0,40?
?
?
?
?
Ответ: 1) A = 0,10 0,10 0,40 , 2) X = ?135,8? .
?
?
? 92,5 ?
? 0,20 0,10 0,20?
20. Для экономической системы, состоящей из трех отраслей: добыча и переработка углеводородов, электроэнергия, машиностроение, известны:
? 0,15 0,35 0,40?
A = ?? 0,10 0,10 0,40?? ? матрица прямых затрат,
? 0,20 0,10 0,20?
?100?
? ?
X = ?100? ? вектор валового выпуска продукции,
? ?
? 50 ?
? 20?
? ?
P = ?15? ? вектор цен на продукцию отраслей.
? ?
? 40?
Требуется определить прирост цен на продукцию указанных
отраслей, если добавленную стоимость производства электроэнергии увеличить на 100%.
208
Приложение 3
? 0,08?
?
?
Ответ: ?P = ? 3,3 ? ? вектор прироста цен. Увеличение в два
?
?
? 2 ?
раза нормы добавленной стоимости производства электроэнергии повлечет увеличение цен на продукцию углеводородного
сырья на 4%, производства электроэнергии на 22%, машиностроения на 5%.
Тема 2.5. Собственные значения
и собственные векторы матриц
21. Найдите соотношение торговых бюджетов стран для сбалансированной торговли при известной структурной матрице
торговли
? 0,2 0,3 0,3?
?
?
?1 2 2 3?
2) ? 0,6 0,4 0,6? ,
1) ?
?,
?1 2 1 3?
?
?
? 0,2 0,3 0,2?
? 0 0,25 1 3?
? 0,3 0,3 0,8?
?
?
?
?
3) ? 0,5 0,5 1 3? , 4) ? 0,6 0,1 0,1? .
?
?
?
?
? 0,5 0,25 1 3?
? 0,1 0,6 0,1?
Ответ: 1) 4:3, 2) 1:2:1, 3) 2:4:3, 4) 5:11:9.
22. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид
? 0,2 0,3 0,4?
?
?
A = ? 0,5 0,4 0,2? .
?
?
? 0,3 0,3 0,4?
Необходимо найти торговые бюджеты первой и второй стран,
удовлетворяющие сбалансированной торговле, при условии, что
бюджет третьей страны составляет 1100 усл. ед.
Ответ: (1000; 1200; 1100).
23. Найдите равновесный вектор торговых бюджетов трех
стран в модели международной торговли для структурной матрицы торговли А, если известно, что суммарный бюджет стран
равен 402 усл. ед.
Приложение 3
209
?3 10 1 5 2 5 ?
? 0,6 0,3 0,5?
? 0,3 0,4 0,2?
?
?
?
?
?
?
1) ? 0,4 0,5 0,7? , 2) ? 0,3 0,4 0,1? , 3) ?3 10 1 10 1 10? .
?
?
?
?
?
?
? 2 5 7 10 1 2 ?
? 0,1 0,3 0,4?
? 0,3 0,1 0,1?
Ответ: 1) (134; 201; 67), 2) (198; 114; 90), 3) (134; 67; 201).
24. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид
? 0,2
?
0,4
A =?
? 0,3
?
? 0,1
0,3
0,3
0,3
0,1
0,2
0,2
0,5
0,1
0,2?
?
0,2?
.
0,2?
?
0,4?
Необходимо найти торговые бюджеты стран, удовлетворяющие бездефицитной торговли, при условии, что суммарный бюджет стран равен 6270 усл. ед.
Ответ: (1400; 2200; 1460; 1210).
25. Найдите соотношение цен трех товаров, если наборы этих
товаров в количествах (6; 2; 4), (1; 8; 9) и (3; 5; 9) имеют одинаковую стоимость.
Ответ: 15:10:6.
Раздел III. Введение в исследование операций
Тема 3.1. Элементы линейного программирования
26. Коммерческий банк имеет на три месяца свободные денежные ресурсы в количестве 1 млрд руб. Доходность от вложения в ценные бумаги составляет 29%, в то время как на межбанковском рынке можно получить 17% прибыли, а вложение в
валюту с последующей конвертацией обеспечит лишь 14%. Определите максимальный доход от размещения свободных денежных средств.
Ответ: 290 млн руб.
27. На трех станках обрабатываются два типа деталей, причем
каждая проходит обработку на всех станках. Время обработки
детали на каждом станке и время работы станка в течение цикла
производства, а также прибыль от реализации одной детали приведены в таблице 15.
210
Приложение 3
Таблица 15
Виды станков
1-й станок
2-й станок
3-й станок
Прибыль от реализации
одной детали, руб.
Время обработки
детали, часы
тип I
тип II
4
2
3
6
2
0
3
Время работы станка
в течение цикла производства, часы
16
30
12
4
Составьте план производства, обеспечивающий наибольшую
прибыль.
Ответ: деталей I типа – 2 ед., II типа – 4 ед.; прибыль 22 ден. ед.
28. Для производства кирпича двух марок (I, II) предприятие
использует оборудование трех видов (A, B, C), имеющееся в количествах соответственно не более 13, 9, 8 усл. ед. Для производства одного кирпича I типа требуется 2 усл. ед. оборудования
вида A, 0 усл. ед. – вида B, 2 усл. ед.– вида C; для производства
одного кирпича II типа – 2, 3, 0 усл. ед. Известно, что от реализации одного кирпича I типа прибыль составляет 3 ден. ед.,
II типа – 4 ден. ед. Определите максимальную прибыль.
Ответ: 22,5 ден. ед.
29. На имеющихся 400 акрах земли фермер планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требуют на каждый
акр 200 долл. затрат, а сои – 100 долл. На покрытие расходов,
связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс.
долл. Каждый акр, засеянный кукурузой, приносит 30 бушелей, а каждый акр, засеянный соей, – 60 бушелей. Фермер
заключил договор на продажу, по которому каждый бушель кукурузы принесет ему 3 долл., а каждый бушель сои – 6 долл.
Cогласно договору, фермер обязан хранить убранное зерно в
течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. бушелей. Фермеру хотелось бы
знать, сколько акров нужно засеять каждой из культур, с тем
чтобы получить максимальную прибыль.
Ответ: 350 акров сои; посев кукурузы не является рациональным.
Приложение 3
211
30. Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за помощью к подруге. Подруга – дама
приятная во всех отношениях – посоветовала ей перейти на рациональное питание, состоящее исключительно из двух новомодных продуктов P и Q. Дневное питание этими новинками должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть),
но не менее 300 калорий (чтобы не сойти с дистанции раньше).
На банке с продуктом P написано, что в 1 кг продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на банке с продуктом
Q – 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. Цена 1 кг
продукта P равна 15 руб., а 1 кг продукта Q – 25 руб. Ввиду того,
что дама просто приятная в это время была весьма стеснена
в средствах, то ее очень интересовал ответ на вопрос: в какой
пропорции нужно брать эти удивительные продукты P и Q, для
того чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно
меньше денег?
Ответ: 2:3.
31. Фирма выпускает прогулочные и спортивные велосипеды. Ежемесячно сборочный цех способен собрать 600 прогулочных и 300 спортивных велосипедов. Готовая продукция проверяется на двух стендах: А и В. Каждый прогулочный велосипед
проверяется 0,3 ч на стенде А и 0,1 ч на стенде В, а каждый
спортивный велосипед проверяется 0,7 ч на стенде А и 0,3 ч
на стенде В. По технологическим причинам стенд А не может
работать более 240 ч в месяц, в стенд В – не более 120 ч в месяц. Каждый прогулочный велосипед приносит фирме доход
50 руб., а каждый спортивный велосипед – 90 руб. Сколько прогулочных и сколько спортивных велосипедов должна ежемесячно
выпускать фирма, чтобы ее прибыль была наибольшей?
Ответ: прогулочных – 600 велосипедов; спортивных – 300
велосипедов; прибыль 57 000 руб.
32. Озеро можно заселить двумя видами рыб А и В. Средняя
масса рыбы равна 2 кг для вида А и 1 кг для вида В. В озере
имеется два вида пищи: Р1 и Р2. Средние потребности одной
рыбы вида А составляют 1 ед. корма Р1 и 3 ед. корма Р2 в день.
Аналогичные потребности для рыбы вида В составляют 2 ед. –
Р1 и 1 ед. – Р2. Ежедневный запас пищи поддерживается на уров-
212
Приложение 3
не 500 ед. Р1 и 900 ед. Р2. Как следует заселить озеро рыбами,
чтобы максимизировать общую массу рыб?
Ответ: 260 рыб типа А; 120 рыб типа В.
33. На складе A1, A2, A3 находится запас продукции в количестве 60; 40; 35 тонн соответственно. Потребители B1, B2, B3, B4
должны получить эту продукцию в количестве 40; 25; 20; 50 тонн
соответственно. Необходимо найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на
перевозки будет минимальной, при этом все запасы будут вывезены, а потребности удовлетворены. Транспортные расходы
на перевозку 1 т продукции от каждого поставщика к каждому
потребителю представлены матрицей затрат
?5 4 1 2 ?
?
?
?? 4 2 5 3?? .
?7 3 5 4?
? 0 0 20 40?
?
?
Ответ: X = ? 40 0 0 0 ? – план перевозки; Zmin = 375 ден. ед.
?
?
? 0 25 0 10?
*
Тема 3.2. Введение в динамическое программирование
34. Нефтеперерабатывающая компания выделила 3 млрд руб.
на разработку новых месторождений. Проект планируется
осуществлять в течение двух лет. Данные о затратах и ожидаемом чистом доходе для первого и второго года представлены
в таблице 16. Требуется определить оптимальный план распределения имеющихся средств по суммам и по годам, который
обеспечивает наибольшее значение чистого дохода в течение
двух лет.
Таблица 16
Объем инвестиций,
млрд руб.
0
1
2
3
Прирост дохода, млрд руб.
f1
f2
0
0
0,3
0,5
0,5
0,8
0,9
0,9
Приложение 3
213
Ответ: В течение первого года следует освоить 1 млрд руб.,
второго года – 2 млрд руб. При этом размер наибольшего чистого дохода за два года составит 1,1 млрд руб.
35. Необходимо распределить капитальные вложения в сумме 50 млн руб. между тремя предприятиями фирмы так, чтобы
величина прироста чистого дохода была максимальной. Данные
о приросте дохода в зависимости от суммы инвестиций представлены в таблице 17.
Таблица 17
Инвестиции,
млн руб.
0
10
20
30
40
50
Объект 1
0
3
5
9
11
17
Прирост дохода, млн руб.
Объект 2
Объект 3
0
0
6
4
8
5
9
11
15
12
19
18
Ответ: x1 = 10, x2 = 10, x3 = 30 млн руб.; оптимальный суммарный прирост чистого дохода 20 млн руб.
Тема 3.3. Теория графов. Сетевое планирование
36. Финансовый директор нового медицинского центра составил перечень работ на этапе начального развития и определил их продолжительность (табл. 18). Постройте сетевой график.
Найдите критический путь и длину.
Таблица 18
Работа Время выполнения
работы (недели)
а1
11
а2
7
а3
9
а4
8
Наименование
Предшествующие
работы
работы
Оценка административ–
ных расходов
Сбор статистики занятости
–
Сбор статистики заболе–
ваний
Проведение актуальных
а2, а3
расчетов
214
Приложение 3
Окончание таблицы 18
Работа Время выполнения
работы (недели)
а5
4
а6
3
а7
5
а8
6
а9
3
а10
2
а11
3
а12
5
Наименование
Предшествующие
работы
работы
Расчет ежемесячных
а4
потоков доходов
Расчет ежемесячных
а4
потоков расходов
Подготовка ежемесячного
а1, а5, а6
отчета о доходах
Расчет ежемесячных
а1, а5, а6
потоков наличности
Подготовка годового
а7
отчета о доходах
Подготовка годовой
а8
балансовой таблицы
Определение ставки
а9, а10
процента
Анализ неблагоприа7
ятных факторов
Ответ: 49 недель.
Тема 3.4. Элементы теории игр
37. Туристическая фирма планирует организацию продажи
туристических путевок в три страны. Спрос на путевки зависит
от обстановки в каждой из стран и может принимать одно из
двух состояний. В зависимости от этого доход, получаемый фирмой в ближайший месяц, определяет матрица
?6
?
5
? 21 23 22?
а) ?
? , б) ??
?20 21 24?
3
?
?1
4?
?
3?
.
6?
?
5?
Необходимо определить соотношение объемов реализации
путевок, при котором фирме гарантируется максимально возможная прибыль.
Приложение 3
215
?A1
Ответ: а) ?
? 1
A 2 ? ?B1
?, ?
0 ? ? 1
? A1 A 2
б) ?
? 0,6 0
B
2
0
B 3?
? , V = 21;
0 ?
A3
A 4 ? ? B1 B 2 ?
?, ?
? , V = 4,8.
0,4 0 ? ? 0,4 0,6?
38. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана
продажи товара на ярмарке с учетом изменений конъюнктуры
рынка (спроса покупателей). Полученные при этом экономические показатели представлены матрицей
Величина
доходов
? 1 –1 1 ?
?
План ? 0 3
2 ?.
?
продаж ?
?
? 1 2 – 1?
Определите оптимальный план продажи товара.
? A1 A2 A3 ? ? B1 B2 B3 ?
3 ? – оптимальные страте1
1 ? , ? 11 1
Ответ: ? 1
?
? ?
?
?2
4
4 ? ? 16 8 16 ?
3
гии торговой фирмы и конъюнктуры рынка; V = ? максималь4
но гарантированный доход. Следовательно, торговая фирма на
предстоящей ярмарке для получения максимальной прибыли
3
ден. ед. в 50% случаев должна использовать первый вариант,
4
в 25% – второй вариант и в 25% – третий вариант плана продаж.
Раздел IV. Математический анализ
Тема 4.1. Числовая последовательность.
Предел числовой последовательности
39. Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых, составил 6 млн руб. Найдите наращенную сумму вклада
через 5 лет, при условии:
а) ежегодного начисления процентов;
216
Приложение 3
б) ежеквартального начисления процентов;
в) непрерывного начисления процентов.
Ответ: а) 9,663 млн руб. б) 9,831 млн руб. в) 9,859 млн руб.
40. Определите рыночную стоимость бессрочной облигации
номиналом 1000 долл. с 3% купонным доходом при годовой
инфляции 2% в результате дисконтирования ряда будущих ежегодных платежей.
Ответ: 1530.
Тема 4.2. Функции. Свойства функций.
Предел функции. Непрерывность
41. Функция затрат на производство продукции –y = 100 + 10x,
где x – количество месяцев, y – объем затрат. Функция дохода –
y = 50 + 15x. Выясните, начиная с какого месяца производство
будет рентабельным?
Ответ: начиная с 11 месяца.
42. Необходимо исследовать поведение функции спроса
100
при неограниченном увеличении цены х (х ? ?).
у =
х +5
Ответ: y ? ?.
43. Темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода (182 дня)?
Ответ: уменьшится в 6 раз.
44. Товарооборот фирмы ежемесячно увеличивается на 1%.
Через какое количество месяцев ее товарооборот, сохраняя темпы роста, увеличится в 2,7 раза по сравнению с первоначальным? Ответ округлить до целых.
Ответ: 100.
Тема 4.3. Дифференциальное исчисление функции
одной переменной
45. Зависимость спроса на товар от цены на него выражает
100
. Определите скорость изменения спроса,
формула D ( p ) =
p +1
если цена на товар составляет 1 ден. ед., 4 ден. ед.
Ответ: –25; –4.
Приложение 3
217
46. Выручка от продажи конфет составляет R = 50 ? 0,5x 2 , где
х – объем реализованного товара (усл. ед.). Найдите среднюю и
предельную выручку, если количество проданного товара составляет:
а) 10 усл. ед.
б) 60 усл. ед.
Ответ: а) 95, 90; б) 70, 40.
47. Издержки производства некоторой продукции определяются функцией C ( x ) = 5 x 2 + 80 x , где х – число единиц произведенной за месяц продукции. Эта продукция продается по цене
280 руб. за изделие. Сколько изделий нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальной?
Ответ: 20.
48. Цена за единицу товара составляет 250 руб. Издержки производства определяет функция C ( x ) = 120 x + x 2 , где х – число
единиц произведенного товара. Найдите максимальное значение прибыли.
Ответ: 4225.
49. Доход от производства продукции с использованием х единиц ресурсов составляет величину 400 x . Какое количество ресурсов следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?
Ответ: 400.
50. Зависимость объема выпуска продукции V от капитальных затрат х определяется формулой V = x 0 ln(4 + x 3 ). Найдите
интервал изменения х, при котором увеличение капитальных
затрат неэффективно.
Ответ: (2; + ? ).
51. Производство некоторого продукта в течение месяца зави3
сит от инвестиций следующим образом: f ( x ) = 5,00 x 2 , где х –
инвестированный капитал в миллионах рублей. Вычислите точно
и приближенно прирост производства, вызванный дополнительным вложением миллиона руб., если первоначальные инвестиции составили 100 млн руб.
Ответ: 7518,72; 7500.
218
Приложение 3
52. Зависимость между себестоимостью продукции у и объемом х ее производства выражает функция y ( x ) = 50 ? 0,5 x . Определите эластичность себестоимости при выпуске продукции
x = 30 единиц.
Ответ: –0,42.
53. Найдите эластичность функции спроса. Как увеличение
цены повлияет на выручку? При каких значениях р спрос является эластичным?
1
а) D ( p ) = 20 ? p, p = 50;
5
б) D ( p ) = 30 ?
3
p, p = 5 и p = 20;
4
в) D ( p ) = 10 ?
p2 p
? , p = 2 и p = 4.
4 4
Ответ: а) E p =50 ( D ) = ?1, не изменится, p ? (50; 100 );
б) E p =15 ( D ) = ?0,6, увеличится;
E p =20 ( D ) = ?1, не изменится;
p ? (20; 40).
5
, увеличится;
18
E p = 4 ( D ) = ?1,8, уменьшится;
в) E p =2 ( D ) = ?
p ? (?6,84; ? 4 ) ? (3,33; 5,84).
54. Спрос на некоторые товары народного потребления зави6000
? 40. Найсит от их стоимости следующим образом: D ( p ) =
p
дите, при какой цене спрос будет нейтральным.
Ответ: 5625.
55. Функция спроса имеет вид D ( p ) = (200 ? 10 p )2 . Найдите
эластичность спроса при p = 18. Вычислите приближенно процентное изменение спроса, если цена уменьшится на 2%.
Ответ: –18; –36%.
Приложение 3
56. Опытным путем установлены функции D =
219
p +8
, S = p + 0,5.
p+2
Необходимо найти:
а) равновесную цену;
б) эластичность спроса и предложения при равновесной цене;
в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.
Ответ: а) 2 ден. ед. б) –0,3; 0,8 в) +3,5%.
57. Функции зависимости долговременного спроса D и предложения S от цены р на мировом рынке нефти имеют вид
D = 30 ? 0,9 p ; S = 16 + 1,2 p. Найдите эластичность спроса в точке равновесия. Определите как изменится равновесная цена и
эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на
25%?
Ответ: значение коэффициента эластичности спроса в точке равновесия составляет –0,9; при уменьшении предложения
нефти на 25% равновесная цена увеличится до 10 ден. ед.; эластичность спроса не изменится.
58. Известны функции спроса и предложения D ( p ) = 9 ? p,
S ( p ) = p + 1.
Необходимо:
? построить графики функций. Найти точку рыночного равновесия и определить денежную выручку в точке равновесия;
? вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия;
? определить общую сумму налогового сбора, поступающего
в бюджет, если на товар введен косвенный налог в размере
2 ден. ед. на единицу товара.
Сделайте графическую иллюстрацию и найдите отношение налоговых выплат продавца и покупателя. Как это согласуется с отношением коэффициентов эластичности спроса и предложения.
Ответ: а) (5, 4), 20 ден. ед.;
б) –0,8, 0,8;
в) 8 ден. ед., 1:1.
220
Приложение 3
Тема 4.4. Интегральное исчисление
59. Найдите объем выпускаемой продукции за пять лет, если
производственная функции Кобба–Дугласа имеет вид y(t ) =
= e t (t + 1)(100 ? 3t ), где t – время в годах.
Ответ: 64 825.
60. Найдите выигрыши потребителей и поставщиков в условиях рыночного равновесия, если законы спроса и предложе5
ния имеют вид p = 116 ? x 2 , p = 20 + x , где p – цена товара, х –
3
величина спроса (предложения) на товар.
Ответ: 67,5.
61. Поступление валюты в отделение банка выражает функция
y = 75 ? 0,8x + 0,006 x 2 , а объем реализации y = 56 ? 0,4 x + 0,003 x 2 ,
где x – количество дней. Определите запас денежных средств по
истечении двух месяцев (60 дней).
Ответ: 132 усл. ед.
62. Определите дисконтированный доход за три года при ставке 8%, если первоначальный размер капиталовложений составил 10 млн руб. и будет увеличиваться ежегодно на 1 млн руб.
Ответ: 30,5 млн руб.
63. По данным исследований о распределении доходов в одx
ной из стран кривая Лоренца задана уравнением y =
,
3 ? 2х
x ?[0;1]. Вычислите коэффициент Джини.
Ответ: k = 0,352 .
Тема 4.5. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных
64. Функция дохода от использования двух видов ресурсов
имеет вид R = 30 x ? 3 y , где x – количество единиц первого ресурса, y – количество единиц второго ресурса. Издержки при этом
равны C = 5 x + 10 y , где 5 ден. ед. – стоимость единицы ресурса
первого вида, 10 ден. ед. – второго вида. Найдите максимальную
прибыль от использования ресурсов.
Ответ: 135 ден. ед.
Приложение 3
221
64. Производственная функция имеет вид K = 100 x ? 4 y , где
х – количество единиц первого ресурса, у – второго. Стоимость
единицы первого ресурса 8 ден. ед., единицы второго –
4 ден. ед. В силу бюджетных ограничений на приобретение ресурсов может быть потрачена сумма не более 54 ден. ед. Определите оптимальное потребление х и у.
Ответ: x = 4,5; y = 4,5.
65. Функция прибыли от инвестиций в четыре программы
имеет вид Z = 0,18x1 ? 0,05 x12 + 0,16 x2 ? 0,04 x 22 + 0,14 x3 ? 0,03 x32 +
+ 0,12 x 4 ? 0,02 x 42 . Имеется 5 млн руб. свободных средств. Определите, каким образом необходимо распределить средства между программами для получения максимальной прибыли.
Ответ: x1 = 2,17, x2 = 0,96, x3 = 0,95, x 4 = 0,92,
Z max = 0 ,4715 млн руб.
66. Имеются данные о расходах на рекламу x (тыс. руб.) и объемах сбыта продукции y (тыс. ед.)
xi
yi
1
54
2
57
3
62
4
65
5
67
6
69
7
70
Определите квадратичную зависимость рекламных расходов,
используя метод наименьших квадратов. Найдите ожидаемый
объем сбыта при расходах 8 тыс. руб.
Ответ: y = ?0,321 x 2 + 5,321 x + 48,571; y ? 71.
Тема 4.6. Дифференциальные уравнения
67. Найдите функцию спроса y = y ( p ), если коэффициент
1
эластичности E p ( y ) = ? и y ( 5 ) = 2.
2
20
Ответ: y 2 =
.
p
68. Найдите зависимость объема реализованной продукции от
времени y = y (t ). Вычислите значение объема при t = 2, если известно, что при данном уровне продаж кривая спроса имеет вид
222
Приложение 3
p( y ) = 3 ? 2 y , норма акселерации (величина обратная скорости
1
выпуска продукции) – = 1,5, норма инвестиций – m = 0,6, y = 1.
l
3l 1,2t
, y (2) ? 1,43.
Ответ: y =
1 + 2l 1,2t
69. Функции спроса и предложения на товар имеют вид
dp
D = 19 + p + 4 ,
dt
dp
.
dt
Найдите зависимость равновесной цены р от времени t, если
в начальный момент времени (t = 0) цена составляет 20 ден. ед.
Постройте график функции р(t). Определите, является ли равновесная цена устойчивой.
Ответ: p = 3 + 17l ?3t , равновесная цена обладает устойчивостью.
S = 28 ? 2 p + 3
Тема 4.7. Числовые и степенные ряды
70. Годовая ставка сложных процентов равна 8%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?
Ответ: через 9 лет.
71. Известны функции спроса D = 10 ? p и предложения
p
S = 2 + . Начиная процесс торга с 1 ден. ед., определите, явля4
ется ли модель паутинного рынка данного товара «скручивающейся»? В том случае, если ответ положительный, найдите точку рыночного равновесия.
Ответ: p0 = 6,4.
Раздел V. Элементы теории вероятностей
и математической статистики
Тема 5.1. Элементы комбинаторики.
Вероятность случайного события
72. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Частное лицо приобрело по одной акции шести АО. Ка-
Приложение 3
223
кова вероятность того, что среди купленных две окажутся акциями банкротов?
Ответ: 0,28.
73. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человека на различные должности. Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
Ответ: 720.
Тема 5.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
74. Вероятность правильного оформления счета в организации составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них
оформлен правильно?
Ответ: 0,095.
75. Покупатель приобрел акции двух компаний А и В. Надежность первой оценивается экспертами на уровне 90%, второй – 80%. Чему равна вероятность того, что:
а) обе компании в течение года не станут банкротами;
б) в течение года наступит хотя бы одно банкротство.
Ответ: а) 0,72; б) 0,28.
76. В большой рекламной фирме 21% сотрудников получает
высокую заработную плату. Известно, что 40% работников фирмы – женщины, а 6,4% работников – женщины, получающие
высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что в организации существует дискриминация женщин по оплате труда?
Ответ: вероятность того, что случайно выбранный работник
имеет высокую заработную плату, при условии, что это женщина, составляет 16%, что меньше, чем 21%. Следовательно, дискриминация существует.
Тема 5.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
77. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости
акции некоторой компании в следующем году будет равна 0,75,
если экономика страны будет на подъеме, и эта же вероятность
будет равна 0,3, если экономика страны не будет успешно раз-
224
Приложение 3
виваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,08. Используя предложения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся
в цене в следующем году.
Ответ: 0,66.
78. Три организации представили в контрольное управление
счета для выборной проверки: первая – 15, вторая – 10, третья –
25 счетов. Вероятность правильного оформления сч?
Документ
Категория
Педагогика
Просмотров
999
Размер файла
1 343 Кб
Теги
монография
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа