close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Логарифмическая спираль

код для вставки
Работа команды «Клуб Весёлых Математиков»
регионального сетевого математического проекта
«Системы координат: взгляд в прошлое»
Логарифмическая спираль
Изучение вихрей и анализ их свойств побудили
знаменитого ученого Рене Декарта положить вихревое
движение в основу всего наблюдаемого мира. В 1632 году
он открыл так называемую логарифмическую спираль.
Логарифмическая спираль- плоская кривая,
описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из
своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния
движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота;
логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом a все прямые,
выходящие из полюса.
Ее называют логарифмической или равноугольной (эквангулярной)
спиралью. Спираль названа так потому, что любая прямая, пересекающая
центр, разделяет равноугольно все витки кривой. Уравнение полюсов можно
выразить формулой p Inr = a.q или r = ea.q. Наилучшим примером данной спирали
являются ракушка моллюска и улитка.
При определенных значениях параметра
логарифмическая спираль графически мало
отличается от спирали Архимеда. Возникающие в
конкретных эмпирических ситуациях споры
относительно предпочтения той или иной спирали
отражают, очевидно, методический подход
исследователей к изучаемому явлению или объекту.
Если исследователь предпочитает простоту вычислительных операций, то
при описании конфигураций, близких к окружности, он выберет уравнение
спирали Архимеда; если же он желает познать процесс формообразования,
рассмотреть изменение формы объекта в его динамике, развитии, то в
аналогичной ситуации следует предпочесть логарифмическую спираль.
Свойства логарифмической спирали Якоб Бернулли описал,
и был так поражен ее красотой, что
впоследствии велел выгравировать на своем
надгробном камне слова: “Измененная, я воскресаю
той же самой”, а также логарифмическую спираль.
Но вместо этого по ошибке на его надгробие
поместили Архимедову спираль. Тем не менее,
надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали,
свидетельствует о том, что имеется в виду именно логарифмическая спираль,
которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после
различных преобразований. При определенных значениях параметра
логарифмическая спираль графически мало отлична от спирали Архимеда.
Свойства логарифмической спирали:
1. Расстояние между витками идёт, по нарастанию или убыванию,
геометрической прогрессии.
2. В отличие от спирали Архимеда, логарифмическая спираль
является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно
вращающейся прямой, удаляясь от полюса или приближаясь к нему
со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию.
3. В логарифмической спирали углу поворота пропорционально не само
расстояние от полюса до точки кривой (как это имеет место в
спирали Архимеда), а логарифм этого расстояния. Эта спираль
пересекает все прямые, проходящие через полюс, под одним и тем
же углом. Поэтому она иногда называется «равноугольной
спиралью». Наглядный пример — раковина улитки и других
моллюсков.
4. Форма витков остаётся без изменений.
5. Радиусы витков составляют геометрическую прогрессию.
6. В логарифмической спирали радиус кривизны в каждой точке
спирали пропорционален длине дуги спирали от её начала до этой
точки.
Спираль Архимеда можно встретить
чаще в природе, чем в технике:
 В космосе движение небесных тел. Форму спирали имеют как бесконечно
большие объекты (в частности многие галактики),
так и малые.

Воздушные вихри и смерчи, водовороты,
внешняя форма раковины улитки, воронка,
образующаяся при спуске воды в отверстие ванной все это спиральные пространственные структуры.
Всё, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось
занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит
осуществление в основном в двух вариантах – рост
вверх или расстилание по поверхности земли и
закручивание по спирали. Самый очевидный пример –
раковина.
Если ее спираль
развернуть, то получится длина,
немного уступающая длине змеи.
Небольшая десятисантиметровая
раковина имеет спираль длиной
35 см.
Кроме того, бивни слонов и
вымерших мамонтов, когти
львов,
и
клювы
попугаев
являют
собой
логарифмические формы и напоминают форму оси,
склонной обратиться в спираль. Пауки всегда плетут
свои паутины в виде логарифмической спирали.
Строение таких микроорганизмов, как планктоны
(виды globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae и trochida) также имеют
форму спирали.
Спираль определяется также в строении шишек сосны, расположении семян
подсолнечника, кактусах, ананасах, расположение листьев
на ветке
строении лепестков
роз, спиралью
закручивается ураган, испуганное стадо северных оленей
разбегается по спирали.
Существование самого человека в основе своей
обусловлено спиралью.
Молекула ДНК состоит из двух вертикально
переплетённых между собой спиралей. К тому же, во
внутреннем ухе человеке имеется
именуемый «улиткой»,
исполняющий функцию
передачи
звуковой
вибрации.
Эта
костевидная структура
сотворена
в
форме
улитки, содержащей в
себе
стабильную
логарифмическую форму спирали.
орган,
Рассмотрим такие трёхмерные геометрические фигуры, как
тетраэдр
(правильная четырехсторонняя фигура), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и т.п.
Додекаэдр состоит из 13-ти пятиугольников, икосаэдр из 20-и треугольников.
Математики отмечают, что эти фигуры математически очень легко
трансформируются, и трансформация их происходит в соответствии с формулой
логарифмической спирали золотого сечения.
В микромире трехмерные логарифмические
формы, построенные по золотым пропорциям,
распространены повсеместно. К примеру, многие
вирусы имеют трехмерную геометрическую форму
икосаэдра. Самый известный из таких вирусов вирус Adeno. Белковая оболочка вируса Адено
формируется из 252
единиц
белковых
клеток,
расположенных
в
определенной
последовательности
. В каждом углу
икосаэдра
расположены по 12 единиц белковых клеток в
форме пятиугольной призмы и из этих углов
простираются шипообразные структуры.
Закон спирали является одним из основных в
природе. Береговой контур, а также ландшафтная
схема
Антарктиды
ясно
указывают
на
существование
двух
спиральных
ветвей,
продолжением одной из которых является Южная
и Северная Америка и, по-видимому, Африка, и
Европа;
продолжение
другой
составляют
Австралия, Индия и Азия.
Аналогичное
планетарное
явление
просматривается на Марсе, где чётко видна спиралевидная структура полярной
шапки льдов.
В архитектуре, например, лестница
Ювелиры создают украшения в виде
спирали;
Вращающиеся ножи в мясорубке, винт самолёта
имеют форму спирали
Стружка от карандаша
закручивается в спираль
Рога
горного барана
закручены по спирали
Все цветы распускаются
по спирали
Волны раскручиваются
по спирали
Оригинально оформить блюдо можно в виде спирали
Галактики и ураганы имеет общую физическую
особенность. Земное притяжение, угловой момент или
момент вращения имеют большое значение в обоих
случаях. Как ураган, так и галактика могут содержать по
воле Бога, господствующего во вселенной, одну и ту же
печать, могут подчиняться одному и тому же закону.
Спиральные
галактики, о которых идет речь, – галактики в
форме овала (элипса) и галактики от
центровой массы, из
которых
вытягиваются
спиральные
ответвления
(спирали).
Ракушка одного из морских животных – моллюска, состоящего из карбоната
кальция, создана в форме логарифмической спирали. Расстояние между витками
ракушки наутилуса увеличивается с каждым витком, равномерно умножаясь
стабильным множителем.
Ячейки-камеры ракушек схожи между собой и расширяются в геометрической
прогрессии. (Каким же образом карбонат кальция скапливается в такой
правильной геометрической форме?) Не только деятели науки, но и архитекторы,
дизайнеры и художники поражаются этой безупречной спирали у ракушки
наутилуса, занимающей наименьшее пространство и обеспечивающей
наименьшую потерю тепла. Американские и тайские архитекторы,
вдохновленные примером «наутилуса с камерами» в вопросе размещения
максимума в минимуме пространства, заняты разработкой соответствующих
проектов.
http://ahatinka.ru/images/stories/rakoviny/rak6 copy.gif
Автор
lenainfopochta
Документ
Категория
Физика
Просмотров
1 133
Размер файла
2 405 Кб
Теги
логарифмических, спираль
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа