close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Методическая разработка к презентации по теме Дифференцирование и интегрирование функций

код для вставкиСкачать
Государственное автономное образовательное учреждение
Среднего профессионального образования Московской области
«Профессиональный колледж «Московия»
Методическая разработка
По теме: «Дифференцирование и интегрирование функций»
Выполнила: преподаватель математики
Коробкина Зинаида Ивановна
0
Содержание
Введение…………………………………………………………………………2-4
Производная
1) Определение производной………………………………………..……..5-8
2) Геометрический и физический смысл производной…………………8-10
3) Дифференциал функции………………………………………………11-12
4) Производные элементарных функций……………………………..……13
5) Правила дифференцирования………………………………………...14-18
6) Производные второго порядка…………………………………………...19
7) Линеаризация элементарных функций………………………………20-22
Исследование функций с помощью производных
1) Возрастание и убывание функции…………………………………...23-24
2) Экстремумы функций…………………………………………………25-26
3) Достаточные условия экстремума…………………………………….…27
4) Дифференцирование определенного интеграла по пределам интегрирования
или свойство непрерывности………………..……28-29
5) Выпуклость функции и точки перегиба………….………………….30-31
6) Построение графиков функций……………………………………....32-33
Неопределённый интеграл
1) Первообразная………………………………………………………....33-34
2) Неопределенный интеграл……………………………………………….35
3) Основные приемы интегрирования....................................................35-36
4) Интегрирование сложных функций………………………………….36-39
Определенный интеграл
1) Определение определённого интеграла……………………………...39-42
2) Свойства определённого интеграла………………………………….43-45
3) Геометрические приложения определенного интеграла……….…..46-49
4) Формула Ньютона – Лейбница……………………………………….49-50
5) Несобственные интегралы……………………………………………50-52
6) Определенные интегралы в физике……………………………….…53-54
Заключение……………………………………………………………………....55
Список используемой литературы………………………………………….….56
1
Введение
Слайд 2 Дифференциация и интеграция (от лат. differentia — разность, различие,
integratio — восстановление, восполнение) научного знания — два
противоположных, но взаимосвязанных процесса развития научного знания.
Дифференциация — более глубокое и тщательное исследование отдельных
явлений и процессов определенной области действительности на определенной
стадии эволюции науки. Именно в результате такого исследования появляются
отдельные научные дисциплины со своим предметом и специфическими методами
познания.
Слайд 3 Известно, что в античной Греции не было строгого разграничения между
конкретными областями исследования и не существовало отдельных научных
дисциплин за исключением математики и частично астрономии. Все известные
знания и приемы изучения явлений входили в состав философии как
нерасчлененной области знания. Слайды 4, 5, 6 . Впервые отдельные научные
дисциплины возникают в эпоху Возрождения, когда появляется экспериментальное
естествознание, которое начало изучение природы с установления законов
простейшей, механической формы движения. Занявшись изучением движения
свободно падающих тел, Г. Галилей впервые начал систематически применять
экспериментальный метод и математические приемы обработки его результатов.
Слайды 7 На этой основе он сформулировал относящиеся к ним законы и заложил
основы механики, которую И. Ньютон превратил в научную дисциплину. Позднее
постепенно формируются физика, биология и др. фундаментальные науки о
природе. По мере дальнейшего научного прогресса происходит ускоренный
процесс появления все новых и новых научных дисциплин и их ответвлений. Хотя
при этом значительно возрастают точность и глубина знаний о действительности,
одновременно ослабевают связи между отдельными научными дисциплинами и
взаимопонимание между учеными. В наше время дело доходит до того, что
специалисты разных отраслей одной и той же науки нередко не понимают ни
теорий, ни конечных результатов др. отраслей. Возрастающая Д. и узко
дисциплинарный подход грозят превратить единую науку в совокупность
обособленных и изолированных областей исследования, вследствие чего ученые
перестают видеть место результатов своей деятельности и своей научной
дисциплины в познании единого, целостного мира.
В самой науке существуют средства и методы для ограничения негативных
сторон чисто дисциплинарного подхода к изучению мира. С прогрессом научного
познания становится все более очевидным, что сосредоточение усилий только на
установлении специфических законов конкретных классов явлений в отдельных
дисциплинах не способствует открытию общих, а тем более фундаментальных
законов, с помощью которых раскрывается единство мира, взаимосвязь и
взаимодействие образующих его систем и процессов. С помощью эмпирических
законов можно понять и объяснить лишь постоянные, регулярно повторяющиеся
связи между наблюдаемыми явлениями. Теоретические законы, раскрывающие
2
более существенные, глубокие связи между ними, дают возможность более точно
объяснить не только конкретные факты, но и сами эмпирические законы. Еще
большей объяснительной и предсказательной силой обладают фундаментальные
законы и принципы науки.
Интеграция научного знания осуществляется в различных формах и затрагивает
как эмпирические, так и фундаментальные теоретические законы. Нередко
интеграция начинается с применения понятий и методов одной науки в другой и
завершается созданием широких междисциплинарных теорий и направлений
исследования.
Слайд 8 Термин "дифференциальное уравнение" принадлежит Лейбницу (1676,
опубликовано в 1684 г. Начало исследований по дифференциальным уравнениям
восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались
первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И.
Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений. В качестве универсального способа использовались
разложения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды.
Сейчас широкое внедрение в науку вычислительных методов, связанное с
появлением вычислительных средств большой мощности, требует переоценки
значения различных разделов математики и, в частности, разделов теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время выросло
значение методов качественного исследования решений дифференциальных
уравнений, а также методов приближённого нахождения решений.
Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных
функциях или квадратурах. В этих случаях пользуются приближенными методами
интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является
представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа
членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Слайд 9
Указанный степенной ряд находят способом неопределенных коэффициентов или
способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена).
Слайд 10 Цель данной работы - изучение теоретического и практического
материала по данной теме и применение его к решению расчетного задания.
Объектом исследования выступает процесс интегрирования дифференциальных
функции
Предметом исследования являются формы, методы и средства интегрирования
дифференциальных уравнений степенными рядами.
Слайд 11 В соответствии с поставленной целью можно сформулировать основные
задачи данной работы:
1) Проанализировать литературы по данной теме.
2) Рассмотреть основные понятия, связанные с дифференцированием и
интегрированием функций
3) Исследовать функции с помощью производных
3
1. Производная Слайд 12
Определение производной
Слайд 13 Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в
двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток
времени Δt равна
Если рассматриваемое движение не является
равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная
формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие
мгновенной скорости v: это предел, к которому стремится средняя скорость,
когда Δt → 0, то есть
График 1.
Линеаризация функции y = sin x.
Слайд 14 Рассмотрим поведение графика функции y = sin x в окрестности
точки x = 0. Если увеличивать масштаб графика, то кривизна графика становится
все меньше и меньше, а сам график приближается к графику прямой y = x.
Эти и другие задачи приводят к понятию производной.
4
Слайд 15 Пусть функция y = f (x) определена
в некоторой окрестности точки
существует конечный предел
и
отношения
приΔx → 0. Тогда
этот предел называется производной функции
в точке
Производная функции y = f (x) может также
обозначаться одним из следующих
способов:
График 2.
К определению производной
В физике
производную по времени t часто обозначают точкой:
Если приращение функции f (x0 + Δx) – f (x0) обозначить как Δy, то определение
можно записать так:
Из определения производной и предела функции следует, что
где α (Δx) – бесконечно малая функция при Δx → 0.
Слайд 16 Операция вычисления производной называется дифференцированием.
Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке
существует ее производная.
По аналогии с пределами вводится понятие правой и левой производных:
5
Если существует производная в точке
производная в этой же точке, причем
то существуют левая и правая
Обратное также верно: если
точке
то производная
в
существует и равна левой и правой производным.
График 3. Слайд 17
Функция y = |x|1/2 имеет в
точке x = 0 бесконечную
производную неопределенного
знака.
Можно ввести также понятие бесконечной
производной
(последний случай может иметь место,
если, например,
а
).
Если функция дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Обратное, вообще говоря, неверно. Примером может служить функция y = |x|,
непрерывная в точке x = 0, но имеющая в ней «излом». Производная этой функции
в точке x = 0 не существует, так как
:
6
Геометрический и физический смысл производной
Рисунок 4.
Определение касательной
Слайд 18 Возьмем кривую CAB, выберем на ней точку M и проведем секущую AM.
Будем приближать по дуге точку M к точке A. В этом случае прямая AM будет
поворачиваться вокруг точки A, приближаясь (для гладких линий) к некоторому
пределу – прямой AT. Другими словами
Прямую AT, обладающую
таким свойством, называют касательной к кривой CAB в точкеA.
Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому
коэффициенту касательной AT:
Данное равенство справедливо,
если в точке A существует невертикальная касательная к кривой CAB.
Слайд 18 Если кривая CAB является графиком функции f (x), то для углового
коэффициента k касательной можно записать:
(здесь и далее x0 и f (x0) – координаты точки касания). Слайд19
Функция f (x) дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда к графику
функции в этой точке можно построить невертикальную касательную, причем
угловой коэффициент этой касательной равен производной функции в этой точке:
Другими словами, производная функции в точке x0 равняется тангенсу угла
наклона касательной к графику функции в этой точке. Уравнение прямой,
проходящей через точку (a; b), задается формулой y = k (x – a) + b.
Поэтому уравнение касательной в общем случае выглядит так:
7
Проходящие через точку A прямые с угловыми
коэффициентами
и
называются, соответственно, левой и правой
касательными к графику функции y = f (x) в точке A. Эти касательные совпадают,
если функция f дифференцируема в точке A.
Пусть графики функций y = f1(x) и y = f2(x) пересекаются в точке A. Углом φ между
их графиками называется угол, образованный касательными к ним в точке A. В
этом случае
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :
Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то
мгновенная скорость точки:
Понятие производной широко используется в современной физике. Приведем
несколько примеров.
8
Слайд 20 Модель 5. Неравномерное движение
Среднее ускорение материальной точки выражается
формулой
Мгновенное ускорение точки равно
Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением
Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет
силу тока:
В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и
потенциал связаны соотношением
Дифференциал функции
Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь
угодно близко приближается к графику касательной в силу
равенства:
где α – бесконечно малая в
окрестности функция. Для приближенного вычисления значения функции f в
точке x0 + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить:
Линейную функцию
точке
то есть
называют дифференциалом функции f в
и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке
равна 1,
Поэтому пишут:
9
Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой
точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать
производную следующим образом:
Слайд 21 Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной
дифференцируется функция.
Модель 6 Дифференциал функции
Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной
к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.
Модель 7. Касательная и нормаль
10
Слайд 22 Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x0; y0) называется
прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке.
Она задается уравнением
что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу
прямых.
В случае бесконечной производной
касательная в точке x0 становится
вертикальной и задается уравнением x = x0, а нормаль – горизонтальной: y = y0.
Производные элементарных функций
Слайд 23 Элементарные функции — это все, что перечислено ниже.
Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их
совсем несложно — на то они и элементарные.
Слайд 24 Итак, производные элементарных функций:
Название
Функция
Производная
Константа
f(x)
= C, C ∈R
0
Степень с рациональным
показателем
f(x) = x n
n · x n−1
Синус
f(x) = sin x
cos x
Косинус
f(x) = cos x
− sin x
Тангенс
f(x) = tg x
1/cos2 x
Котангенс
f(x) = ctg x
− 1/sin2 x
Натуральный логарифм
f(x) = ln x
1/x
Произвольный логарифм
f(x) = log a x
1/(x · ln a)
Показательная функция
f(x) = e x
e x (ничего не
изменилось)
Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то
производная новой функции тоже легко считается:
(C · f)’ = C · f ’.
11
В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:
(2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2.
Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать,
делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо
элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти
правила рассмотрены ниже.
При доказательстве правил дифференцирования будем считать
функции f(x) и g(x)дифференцируемыми на некотором промежутке X.
То есть, для
любого
справедливо
где
соответствующих функций.
,
- приращения
В другой записи
.
Правила дифференцирования.
Слайд 25 К основным правилам дифференцирования относят:

вынесение постоянного множителя за знак производной

производная суммы, производная разности

производная произведения функций

производная частного двух функций (производная дроби)
Производная суммы и разности
12
Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру,
можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно
найти производную суммы и разности этих функций:
1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’
Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности)
производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g+ h)’ = f ’ + g ’
+ h ’.
Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие
«отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как
сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.
Задача. Найти производные функций: f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Функция f(x) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:
f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;
Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с
точки зрения алгебры):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 =
4x · (x 2 + 1).
Ответ:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x 2 + 1).
Производная произведения
Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная
суммы равна сумме производных, то производная произведения strike">равна
произведению производных. Производная произведения считается совсем по
другой формуле. А именно:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и
студенты. Результат — неправильно решенные задачи.
Задача. Найти производные функций: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x − 7) ·e x .
Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций,
поэтому все просто:
13
f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)’ · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3· (− sin x) = x 2 ·
(3cos x − x · sin x)
У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не
меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой
многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:
g ’(x) = ((x 2 + 7x − 7) · e x )’ = (x 2 + 7x − 7)’ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x )’ = (2x + 7)
· e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x−7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) · e x .
Ответ:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e x .
Нужно обратить внимание, что на последнем шаге производная раскладывается
на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство
производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А
значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее
знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на
множители.
Производная частного
Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас
множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой
функции тоже можно найти производную:
Это одна из самых сложных формул, поэтому лучше изучать ее на конкретных
примерах.
Задача. Найти производные функций:
В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому
все, что нам нужно — это формула производной частного:
По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит
ответ:
14
Ответ:
Производная сложной функции
Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра.
Например, достаточно взять функцию f(x) = sin x и заменить переменную x,
скажем, на x 2 + ln x. Получится f(x) = sin (x 2 + lnx) — это и есть сложная
функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам,
рассмотренным выше, не получится.
В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной
функции:
f ’(x) = f ’(t) · t ’, если x заменяется на t(x).
Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем
с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных
примерах, с подробным описанием каждого шага.
Задача. Найти производные функций: f(x) = e 2x + 3; g(x) = sin (x 2 + ln x)
Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет простоx, то
получится элементарная функция f(x) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3
= t, f(x) = f(t) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t )’ · t ’ = e t · t ’
А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 = 2 · e 2x + 3
Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x =t.
Имеем:
g ’(x) = g ’(t) · t ’ = (sin t)’ · t ’ = cos t · t ’
Обратная замена: t = x 2 + ln x. Тогда:
g ’(x) = cos (x 2 + ln x) · (x 2 + ln x)’ = cos (x 2 + ln x) · (2x + 1/x).
Из последнего выражения видно, что вся задача свелась к вычислению
производной суммы.
15
Ответ:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos (x 2 + ln x).
В качестве последнего примера вернемся к производной степени с
рациональным показателем:
(x n )’ = n · x n − 1
Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число.
Например, корень — это x 0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь
сложнее? Снова получится сложная функция
Задача. Найти производную функции:
Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:
f(x) = (x 2 + 8x − 7)0,5.
Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8x − 7 = t. Находим производную по формуле:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.
Делаем обратную замену: t = x 2 + 8x − 7. Имеем:
f ’(x) = 0,5 · (x 2 + 8x − 7)−0,5 · (x 2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x 2 + 8x − 7)−0,5.
Наконец, возвращаемся к корням:
Ответ:
Производные второго порядка
Слайд 26 Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы
ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким
образом, производная функции также является функцией.
Если функция
дифференцируема, то ее производную называют второй
производной от f и обозначают
:
16
Вторая производная от параметрической функции x = x (t) и y = y (t) задается
формулой:
Вторую производную иногда обозначают:
В физике вторую производную
функции по времени нередко обозначают двумя точками:
Вторая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение. Так,
если x – координата материальной точки, движущейся со скоростью
ускорение этой точки равно
то
Важным применением второй производной является анализ выпуклости функции.
Слайд 27 Аналогичным образом задаются производные высших порядков. Если
функция f (n–1) дифференцируема, то ее производную называют производной n-го
порядка f (n) функции f.
Линеаризация элементарных функций
Рассмотрим функции y = sin x и y = x в окрестности точки x = 0. Увеличивая
масштаб графика, можно убедиться, что sin x ≈ x при x → 0. Более точное
приближение дает
при x → 0. Добавляя в эту формулу все более и
более высокие степени x с определенными коэффициентами, мы будет получать
все более и более точное представление функции sin x многочленом. Слайд 28
Такой многочлен называют многочленом Тейлора.
17
График 8.
Функции y = x3 – 3x и y = –3x2 – 6x –
1 очень «похожи» в окрестности
точки x = –1.
Слайд 29 В общем случае функция f (x) представляется в бесконечно малой
окрестности точки x0 многочленом Тейлора, задаваемым формулой
где o ((x – x0)n) – бесконечно малая относительно (x – x0)n функция. Естественно,
данная формула справедлива, если в точке x0 существуют производные
функции f вплоть до f (n). Слайд 30 Напомним, что
операция факториал определяется следующим образом:
n! = 1 · 2 · 3 ·…· (n – 1) · n,
(2n)!! = 2 · 4 ·…· (2n – 2) · 2n,
(2n + 1)!! = 1 · 3 ·…· (2n – 1) · (2n + 1),
0! = 1.
В окрестности x = 0 формула Тейлора приобретает вид
Слайд 31 Эта формула называется формулой Маклорена.
18
Слайд 32 Модель 9. Линеаризация функций
Слайд 33 Приведем формулы разложения по степеням x некоторых элементарных
функций при x → 0.
где
19
Формулы Тейлора и Маклорена используются при приближенных вычислениях и
для нахождения пределов функций. В частности, ряд Тейлора применяется для
вычисления пределов вида
где f (x) > 0,
→ 0,
где a ≠ 0, b ≠ 0,
Если
то
Если
приx → 0, причем
Если
при x
где
то
то
при n > m.
если m > n и m – n – четное число. Если же m > n и m – n – нечетное число,
то
не существует.
2. Исследование функций с помощью производных
Слайд 34
Возрастание и убывание функций
Одним из приложений производной является её применение к исследованию
функций и построению графика функции. Установим необходимые и
достаточные условия возрастания и убывания функции.
20
Слайд 35 Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция f была
неубывающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие
для любого
Аналогичным образом определяется необходимое и достаточное условие
невозрастания функции f:
Эти теоремы являются важными теоремами математического анализа.
Слайд 36 Эти рисунки отражают общее явление: если функция возрастает на
интервале и имеет
производную в каждой точке этого интервала, то производная неотрицательна;
если
производная положительна во всех точках интервала, то функция строго
возрастает на этом
интервале.
Слайд 37 Рассмотрим теперь рис. 5. На нём изображён график убывающей на
[х0, а] функции y = ϕ (x). Угол α3 касательной с осью Ох тупой и tg α 3 = ϕ ′ (x0)
< 0. Этот рисунок отражает следующее общее явление: если функция убывает
на интервале, то во всех точках этого интервала её производная не
положительна; если производная отрицательна, то функция строго убывает. В
сформулированных утверждениях следует строго различать необходимые и
достаточные условия. Поясним это примерами.
21
Слайд 38 Функция у = х 3 строго возрастает на
всей вещественной оси (рис. 6). Для её
производной имеем у′ = 3х 2. В частности, у′ =
0 при х = 0. Это означает, что положительность
производной является достаточным, но не
является необходимым условием (строгого)
возрастания. Кроме того, следует не упускать
из вида, что на участках возрастания
(убывания), строгого или нет, могут
встречаться точки, в которых функция вообще не имеет производной.
Простейший пример даёт функция у = 2х + ⎢х⏐, график которой имеет вид (рис.
7):
Экстремумы
Слайд 39 Напомним, что в точке x0 функция достигает экстремума, если для
любых x из некоторой окрестности точки x0 выполняется
неравенство f (x) ≤ f (x0) (минимум) или f (x) ≥ f (x0) (максимум).
Слайд 40 Теорема Ферма. Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 и
достигает в ней экстремума, то
22
График 10
Теорема Ферма: касательная к
графику функции в точке
экстремума параллельна оси
абсцисс
Слайд 41 Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума
производная функции не существует или равна нулю.
Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x = 0 функции y = x3 не является ни
максимумом, ни минимумом.
Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными
точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не
существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы
являются критическими точками
Слайд 42 Теорема Ролля. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b],
принимает в концах этого отрезка равные значения и дифференцируема на
интервале (a; b), то существует хотя бы одна точка
такая, что
В частности, между двумя нулями дифференцируемой функции обязательно лежит
хотя бы один нуль ее производной.
Слайд 43 Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и
дифференцируема на интервале (a; b), то существует хотя бы одна
точка
такая, что
23
Модель 11 Теорема Лагранжа Слайд 44
Это соотношение называется формулой конечных приращений Лагранжа.
Воспользовавшись ей, легко доказать, что если производная функции на
отрезке [a; b] равна 0, то эта функция постоянна на этом отрезке. Если производная
функции f на отрезке [a; b] равна k, то f – линейная функция.
Если в точке x0 функции f и g равны, а производные этих функций, если они
существуют, удовлетворяют на некотором
отрезке [x0; x1] соотношению f ′ (x) > g′ (x), то в каждой точке
промежутка(x0; x1] f (x) > g (x).
Достаточные условия экстремума.
Слайд 45 Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x0,
кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке x0. Если производная
функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева
направо, то x0 – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса
на минус при переходе через эту точку слева направо, то x0 – точка максимума.
Пусть
– стационарная точка функции f (x), и
существует
Если
точка максимума функции f (x).
то
– точка минимума; если
то
–
Слайд 46 Так, производная функции f (x) = |x| равна –1 при отрицательных x и +1
при положительных x. Функция |x| достигает в точке x0 = 0 своего минимума.
В точке x0 = 0 первая производная функции f (x) = –x2 равна f ′ (x0) = –2x0 = 0, а
вторая производная f ′′ (x0) = (–2x)′ = –2 < 0. Функция –x2 + 3 достигает в
точке x0 = 0 своего максимума.
24
График 12.
Достаточные условия экстремума
График 13.
Достаточные условия экстремума
Заметим, что в точке x = 0 функции y = x4 вторая производная f ′′ (x0) = 0, однако эта
точка является точкой минимума. Можно доказать, что
если f ′ (x0) = f ′′ (x0) =... = f (2n – 1) (x0) = 0 иf (2n) (x0) > 0 (f (2n) (x0) < 0), то
точка x0 является точкой минимума (соответственно, максимума).
Дифференцирование определенного интеграла по пределам интегрирования
или свойство непрерывности
Слайд 48 При изучении свойств интеграла была установлена его непрерывность
по пределам интегрирования, т. е. непрерывность функций
F(x) = f(t)dt, G(x) = f(t)dt,
на отрезке [a,b]. Оказывается, что с "улучшением" свойств подынтегральной
функции f "улучшаются" и свойства функций F и G. Так, например, если
функция f непрерывна на отрезке [a,b], то будет показано, что
функции F и G являются уже дифференцируемыми.
Докажем даже более точную теорему о дифференцируемости функции F в
точке x0.
Теорема 1. Если функция f интегрируема на отрезке [a,b] и непрерывна в
точке x0
[a,b], то функция F(x) = f(t)dt дифференцируема в этой точке и
F'(x0) = f(x0).
Следствие. Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на нем
первообразную.
Используя представление приращения F(x0) в виде
, x0
[a,b], x0 + x
[a,b],
25
и тождество
, будем иметь
Зададим произвольно > 0. В силу непрерывности функции f в
точке x0 существует такое > 0, что если |t - x0| < и t [a,b], то
| f(t) - f(x0)| < .
Пусть x таково, что x < ; тогда для всех значений t, принадлежащих отрезку с
концами x0 и x0 + x (по которому ведется интегрирование в неравенстве, будем
иметь |t - x0| < | x|< и, следовательно,
| f(t) - f(x0)| < .
Поэтому
Это, согласно определению предела, и означает, что
( F(x0)/ x) = f(x0), и,
таким образом, формула доказана.
Для доказательства следствия достаточно заметить, что равенство в случае
непрерывной на отрезке функции имеет место во всех точках этого отрезка.
Замечание. Из доказанного следует, что в условиях теоремы 1 функция
G(x) = f(t)dt
также имеет производную в точке x0 и
G'(x0) = -f(x0).
Это сразу следует из формул ибо
G(x) =
f(t)dt - F(x)
и
f(t)dt - постоянная величина.
Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то для каждой его
точки x справедливы формулы
f(t)dt = f(x),
f(t)dt = -f(x).
26
Выпуклость функции и точки перегиба
Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом
отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка
Слайд 49 Другими словами, если для любых
точек x1 и x2 отрезка [a; b] секущая AB проход
ит под графиком функции f (x), то
функция f выпукла вверх.
Аналогично определяется функция, выпуклая
вниз.
Слайд 50 Дв
ажды
дифференцируемая
на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для
График 14
Выпуклая вверх функция
любого
Дважды дифференцируемая
на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для
любого
Так, вторая производная функции
равна
откуда следует, что
квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.
Пусть функция f (x) непрерывна в точке
и имеет в этой точке конечную или
бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f,
если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.
Слайд 51 Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба
функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой
точке, то
Достаточные условия наличия точки перегиба.
Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную
в точке Если
меняет знак при переходе через точку
перегиба функции f (x).
Если
то
то
– точка
– точка перегиба функции f (x).
27
В заключение приведем примеры, когда точка x0 не является точкой перегиба
несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту
точку:

если функция разрывна в точке
(например

в случае угловой точки (например,
Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка
);
у
функции
Все вышеперечисленные случаи изображены на рисунке.
График15.
Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва, точка возврата, угловая
точка
Построение графиков функций
Слайды 52, 53 Мы изучили графики элементарных функций. При построении
графиков функций более сложного вида можно примерно придерживаться
следующего плана.
1. Найти область определения и область значений функции.
2. Выяснить, является ли функция четной (нечетной).
3. Выяснить, является ли функция периодической.
4. Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.
5. Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.
28
6. Вычислить производную функции
и определить точки, в которых могут
существовать экстремумы.
7. Найти промежутки монотонности функции.
8. Определить экстремумы функции.
9. Вычислить вторую производную
10. Определить точки перегиба.
11. Найти промежутки выпуклости функции.
12. Найти асимптоты графика.
13. Найти значения функции в нескольких контрольных точках.
14. Построить эскиз графика функции.
Заметим, что при построении графиков элементарных функций иногда достаточно
исследовать только несколько пунктов указанного плана.
Модель 16. Мастер построения графиков
Слайд 54 Рекомендуется все найденные точки занести в таблицу:
x
y
f' (x)
f'' (x)
Примечание
(–∞; –2)
(+∞; 0)
–
+
–2
0
0
2
Минимум
(–2; 1)
(0; +∞)
+
+
1
∞
∞
∞
Асимптота
(1; +∞)
(–∞; 0)
+
–
Таблица 17
29
3. Неопределённый интеграл
Первообразная
Слайды 55, 56 Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию
перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто
требуется решить обратную задачу, то есть найти перемещение тела, зная, как
изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при
помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию.
Функция F, заданная на некотором промежутке D,
называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для
любого
Так, функция
является первообразной функции
в чем можно
убедиться, поставив эти функции в определение первообразной.
Функция
также является первообразной функции
Если функция F является первообразной функции f, то все функции вида F + C,
где C – константа, и только они являются первообразными функции f.
Таким образом, для любой функции ее первообразная F определяется
неоднозначно. Для того, чтобы задать ее однозначно, нужно указать
точку A (x0; y0), удовлетворяющую уравнению y = F (x).
Модель 18. Дифференцирование и интегрирование функций
Слайды 56 Первообразные основных элементарных функций приведены
в таблице.
Функция f (x)
0
a
α
x , α ≠ –1
Первообразная F (x)
C
xa + C
30
ln |x| + C
ax
sin x
cos x
–cos x + C
sin x + C
tg x + C
–ctg x + C
arcsin x + C
arctg x + C
Таблица 19
Неопределенный интеграл
Слайд 57 Совокупность всех первообразных функции f (x) на
промежутке D называют неопределенным интегралом функции f (x) и обозначают
символом
:
(знак ∫ – модифицированная буква S в латинском слове Summa – сумма).
Функция f (x) называется подынтегральной функцией, дифференциал f (x) dx –
подынтегральным выражением, переменная x – переменной интегрирования, а C –
постоянной интегрирования.
Из определения интеграла следуют две важные формулы:
Из последней формулы следует, что подынтегральную функцию можно записать
как dF (x).
Пусть функции f (x) и g (x) интегрируемы на D, a – постоянная. Тогда
31
Таким образом, неопределенный интеграл обладает свойством линейности:
интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации от
интегралов этих функций.
Основные приемы интегрирования
Слайд 58 Простейшие задачи, в которых нужно проинтегрировать элементарные
функции, решаются при помощи таблицы первообразных. В более сложных
случаях нужно знать ряд приемов, сводящих в конечном итоге вычисляемый
интеграл к интегралам от табличных функций. Одним из таких приемов
является метод замены переменного.
Пусть определены дифференцируемые функции f (x) и g (t), а также сложная
функция g (f (x)). Пусть
что
Тогда
Иногда, вычисляя интеграл
Это означает,
полезно перейти к новой переменной.
Пусть x = g (t) монотонная дифференцируемая функция,
– обратная ей
функция. Тогда
Обозначая
получим f (x) dx = u (t) dt. Если
то
Этот метод называется методом подстановки.
Пусть функции u (x) и v (x) имеют непрерывные на D производные. Тогда
Функция uv имеет непрерывную производную на D, и
обе части этого равенства, получим
Интегрируя
Относя константу
интегрирования к интегралу
получаем доказываемую формулу.
Слайды 59, 60 Эта формула описывает метод интегрирования по частям. Она
сводит вычисление интеграла
к вычислению интеграла
32
Интегрирование сложных функций
Слайд 61 Назовем правильной рациональной дробью функцию
вида
где
и – многочлены степеней m и n соответственно, причем m < n.
Всякая правильная рациональная дробь раскладывается на сумму простых дробей
вида
и
где A, B, D, a, p, q – постоянные
Любая неправильная дробь
где
m ≥ n, представима в виде
– правильная дробь, а S (x) – многочлен степени m – n. Для этого можно,
например, разделить Pm на Qn «уголком». Так, дробь
для нее получаем:
не является правильной,
Итак,
Таким образом, интегралы от дробей вида
логарифмическими функциями:
являются степенными или
33
(r ≠ 1).
Интеграл от дроби вида
вычисляется методом замены
переменного:
где
.
При k = 1 эти интегралы соответственно
равны
и
При k > 1
а второй
интеграл является линейной комбинацией правильной рациональной дроби и
арктангенса.
Некоторые сложные функции интегрируются методом замены переменного.
Так, интеграл вида
где R (x) – произвольная рациональная
функция, сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки
поскольку
Интеграл вида
где (m + n) – нечетное число, решается
подстановкой t = sin x или t = cos x. Если же (m + n) – четное, то используют
подстановку t = tg x или t = cos 2x.
34
Слайд 62 Заметим, что некоторые интегралы от трансцендентных функций не
выражаются через элементарные функции. К таковым относятся, в частности:





– интеграл Пуассона;
и
– интегралы Френеля;
– интегральный логарифм;
– интегральный синус;
– интегральный косинус.
4. Определённый интеграл
Рисунок 20.
Определение криволинейной
трапеции
Слайд 63 Пусть функция f (x) непрерывна и не меняет знак на отрезке [a; b].
Плоскую фигуру Ф, ограниченную графиком функции f (x), осью абсцисс и
прямыми x = a и x = b, называют криволинейной трапецией.
В курсе геометрии было введено понятие площади фигуры S (Ф). Напомним, что
площадь обладает следующими свойствами:
 площадь любой фигуры неотрицательна: S (Ф) ≥ 0;
 равные фигуры имеют равные площади: если Ф1 = Ф2, то S (Ф1) = S (Ф2);
 площадь фигуры равна сумме площадей ее частей;
35

площадь квадрата со стороной 1 равна единице.
Рисунок 21.
Площадь фигуры Ф
Слайд 64 В каждую фигуру можно вписать множество равных маленьких
квадратов, не имеющих общих внутренних точек и целиком лежащих внутри
фигуры Ф. Пусть сумма их площадей равняется sT. Точно так же можно построить
такое множество квадратов, которое полностью покрывает фигуру Ф. Обозначим
сумму их площадей буквой ST. Очевидно, что sT ≤ ST.
Можно доказать, что если неотрицательная функция f (x) непрерывна на
отрезке [a; b], то ее криволинейная трапеция имеет площадь S (Ф), которая
подчиняется неравенству sT ≤ S (Ф) ≤ ST, причем sT и ST стремятся к S (Ф) при
неограниченном уменьшении площади каждого квадрата. Этот предел S (Ф) не
зависит от способа дробления фигуры Ф на квадраты.
Рассмотрим непрерывную и неотрицательную на [a; b] функцию f (x). Разобьем
отрезок [a; b] на n отрезков точками x1,..., xn–1. Проведем через эти точки прямые,
перпендикулярные оси абсцисс. Тогда криволинейная трапеция Ф,
соответствующая графику функции y = f (x), разобьется на n частей, каждая из
которых также является криволинейной трапецией.
Обозначим Δxi = xi – xi–1, x0 = a, xn = b и выберем каким-нибудь образом
точки
Произведение Δxi · f (ξi) является площадью прямоугольника,
ограниченного осью абсцисс, прямымиx = xi–1 и x = xi и горизонтальной
прямой y = f (ξi). Суммарная площадь ступенчатой фигуры, являющейся
объединением всех прямоугольников, равна
Она зависит от выбора количества n прямоугольников и точек ξi. При достаточно
мелком разбиении эта ступенчатая фигура будет мало отличаться от исходной
фигуры Ф в том смысле, что можно доказать существование предела
36
который и принимается равным площади криволинейной трапеции Ф.
Число J называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a; b],
если для любого ε > 0 существует такое
что для разбиения отрезка [a; b] на
равные части n точками и для любого выбора точек
неравенство
выполняется
Заметим, что в этом определении предполагается, что функция может быть как
положительной, так и отрицательной.
Если число J существует, то функция f (x) называется интегрируемой на
отрезке [a; b]. Определенный интеграл
обозначается
числа a и b называются пределами интегрирования.
Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a; b], то она ограничена на этом
отрезке.
Обратное, вообще говоря, неверно. Так, функция
Дирихле
ограничена на любом отрезке, но не интегрируема на нем.
Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на нем.
Если функция определена на отрезке и монотонна, то она интегрируема на нем.
Выберем на отрезке
максимальное и минимальное значения
функции f (x):
Обозначим
через T некоторое разбиение отрезка [a; b] точками
Слайд 65 Верхней суммой Дарбу называется выражение
Нижней суммой Дарбу называется
37
Слайд 66 Модель 22. Определенный интеграл
Свойства сумм Дарбу (здесь
):
 для любых ξ справедливы неравенства sT ≤ σT (ξ) ≤ ST;
 справедливы равенства


при увеличении числа отрезков n нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а
верхняя – не увеличивается;
для любых разбиений T1 и T2
Если функция интегрируема на отрезке, то ее определенный интеграл на этом
отрезке
Свойства определенного интеграла Слайд 67
Доопределим понятие интеграла при a ≥ b следующими равенствами:
Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении,
что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она
интегрируется.
38

Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом

отрезке
Для любых a, b и c

Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и
любой постоянной A



Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на
этом отрезке.
Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a
Модель 23. Свойства определенного интеграла Слайд 68
Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается,
что функции f и g интегрируемы на [a; b]).
 Если f (x) ≥ g (x), то

В частности, если f (x) ≥ 0, то
39

Если f (x) ≥ 0 для
любого

что
причем f (x) непрерывна в
|f (x)| интегрируема на [a; b], причем

Если на отрезке [a; b] m ≤ f (x) ≤ M, то
и
существует
такое,
то
Рисунок 3.4.2.1.
Численное вычисление
определенного интеграла при
помощи формулы трапеций
Слайд 69 Для вычисления определенных интегралов на компьютере нередко
используют приближенную формулу трапеций:
Ее смысл состоит в том, что криволинейные трапеции заменяются обычными,
площадь каждой из которых равна
40
Геометрические приложения определенного интеграла
Слайд 70 1. Площадь плоской фигуры.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x),
осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как
Модель 29. Площадь криволинейной трапеции Слайд 71
Площадь фигуры, ограниченной функцией f (x), пересекающей ось абсцисс,
определяется формулой
где xi – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры,
нужно разбить отрезок [a; b] нулями функции f (x) на части, проинтегрировать
функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить
отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и
вычесть из первого второе.
Слайд 72 2. Площадь криволинейного сектора.
41
Рисунок 30
Площадь криволинейного
сектора
Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) –
непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная
кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь
криволинейного сектора равна
Слайд 73 3. Объем тела вращения.
Модель 31 Объем тела вращения
Слайд 73 Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [a; b] функцией f (x). Его объем
выражается формулой
42
Слайд 74 Пусть тело заключено между
плоскостями x = a и x = b, а площадь
его сечения плоскостью, проходящей
через точку x, – непрерывная на
отрезке [a; b] функция σ (x). Тогда его
объем равен
Слайд 75 4. Длина дуги кривой.
Пусть задана
Рисунок 32
К задаче о нахождении объема тела по
площади поперечного сечения
кривая
Тогда длина ее участка, ограниченного
значениями t = α и t = β выражается формулой
Рисунок 33 Слайд 76
Длина дуги плоской кривой
В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной
плоскости OXY уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, выражается формулой
5. Площадь поверхности вращения.
43
Модель 34. Площадь поверхности вращения Слайд 78
Слайд 77 Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика
функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет непрерывную производную на этом
отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой
Формула Ньютона – Лейбница
Слайд 79 Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для
любого
существует интеграл
который называется интегралом с переменным верхним пределом.
Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом
отрезке.
Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в
функция F (x) дифференцируема в
то
причем
Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет
первообразную F вида
44
где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на
отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.
Одним из основных результатов математического анализа является теорема
Ньютона – Лейбница:
Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная
функции f на этом отрезке. Тогда
Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо
первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти
разность F (b) – F (a).
Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную
на [α; β],
Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула
замены переменной в определенном интеграле:
Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то
справедлива формула интегрирования по частям:
Несобственные интегралы
Слайды 80, 81 Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке
функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных
промежутков и бесконечно больших функций.
Пусть f (x) определена при x ≥ a и интегрируема на отрезке [a; ξ], где ξ ≥ a. Если
существует конечный предел
то говорят, что
функция f интегрируема в несобственном смысле на промежутке [a; +∞),
а несобственный интеграл
сходится:
45
Если
не имеет конечного предела при ξ → +∞, то говорят, что
несобственный интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл
Так, интеграл
сходится и
равен
Этот
ответ можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной графиком
функции и осью OX.
Пусть функция f (x) определена на конечном промежутке [a; b) и интегрируема на
отрезке [a; ξ] при любом
Если существует конечный
предел
то говорят, что несобственный интеграл от функции f (x) на
промежутке [a; b) сходится:
Если
не имеет конечного предела при ξ → b, то говорят, что
несобственный интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл для функции, определенной
на (a; b].
Если функция f определена на отрезке [a; b] за исключением точки
и
интегрируема на отрезках [a; ξ] и [η; b] при любых ξ и η таких, что a ≤ ξ < c < η ≤ b,
то несобственный интеграл от функции f на
промежутке [a; b] обозначается
и равен
46
В дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что
функция f определена на [a; b), где a – конечная точка, b – конечная точка либо +∞,
и функция f интегрируема на [a; ξ] при любом
В этих предположениях
несобственные интегралы обладают следующими свойствами:
 линейность несобственного интеграла:


формула
предел
Ньютона
–
Лейбница:
если
существует
конечный
то
Определенные интегралы в физике
Мы уже упоминали, что интегральное исчисление применяется для нахождения
пути, пройденного материальной точкой, по закону изменения его скорости.
Рассмотрим, какие еще задачи решают при помощи понятия интеграла в физике.
Модель 35 Движение с переменным ускорением Слайд 84
Слайд 83 1. Пусть материальная точка движется с ускорением a (t). Тогда ее
скорость равна
47
а перемещение –
где v0, x0 – постоянные, определяемые из начальных условий, t0 и t – начальный и
конечный моменты времени.
Слайд 85 2.
Пусть плотность ρ (x) стержня с
постоянным сечением S зависит от
расстояния до начала стержня.
Тогда масса стержня равна
где L – длина стержня, а центр
масс стержня находится на
расстоянии
Рисунок 36
Центр масс
Слайд 86 3. Работа газа при его расширении от объема V1 до объема V2 равна
где P (V) – давление газа в этом процессе.
48
Модель 37. Работа газа
Заключение
Слайд 87 В ходе курсовой работы мы изучили данную тему по учебным
материал, добились поставленных целей и выявили, что дифференциальное и
интегральное исчисление широко используется на практике в различных
научно-технический расчётах и решение множества прикладных задач
невозможно без дифференцирования или интегрирования.
49
Список используемой литературы
1. Единство научного знания. М., 1988.
2. Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление,
М., "Наука", 1969.
3. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа ч.I, М., "Наука",
1971; ч. II, М., "Наука". 1973.
4. Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу, М., "Наука", 1972.
5. А. П. Прудников. Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. Интегралы и ряды, М.,
"Наука", 1981.
6. П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в
упражнениях и задачах, ч. I ,М. "Высшая школа" 1986.
7. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов
, М., "Физматгиз", 1960.
8. Сборник задач по теории аналитических функций, под редакцией М. А.
Евграфова, изд. 2, М., "Наука", 1972.
9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров
и учащихся
10. втузов. - М.: Наука. ГРФ-МЛ, 1986. - 544 с.
11. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и
12. задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. Ч. 2. – 4-е изд., испр. и доп. –
М.: Высш. шк., 1986. – 415 с., ил.
13. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: «Наука», 1969.
14. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики. Петрозаводский гос. унт, 1963.
15. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики, том 1. Учеб. пособие
для втузов. М., «Высш. школа», 1973. – 400 с., ил
16. Чичко А.Н., Е.А. Дроздов. Учебно-методическое пособие по курсу
информатика. - Минск, 2000 - 273с.
17. Курант Р.Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва. Изд. Наука,1970. - стр. 673. .
18. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике: типовые расчёты. Москва. Высшая школа 1983. - стр. 176. .
19. Рафальский И.В., Юркевич Н.П., Мазуренок А.В. Учебно-методическое
пособие по курсу «Информатика». - Минск. БГПА, 200
50
Автор
profobrazovanie
Документ
Категория
Математика
Просмотров
175
Размер файла
2 977 Кб
Теги
теме, разработка, методические, функции, интегрированный, дифференцированный, презентация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа