close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Презентация на тему Дифференцирование и интегрирование функции

код для вставкиСкачать
Дифференцирование и
интегрирование функции
Дифференциация - (франц. differentiation, от лат.
differentia — разность, различие), сторона
процесса развития, связанная с разделением,
расчленением целого на части, ступени, уровни.
Интеграция - (лат. integratio — восстановление,
восполнение, от integer — целый), сторона
процесса развития, связанная с объединением в
целое ранее разнородных частей и элементов.
В античной Греции не было
строгого разграничения между
конкретными областями
Исследования и не существовало
отдельных научных дисциплин за
Исключением математики и
частично астрономии. Все известные знания и
приемы изучения явлений входили в состав
философии как нерасчлененной области знания.
Галилео Галилей впервые начал
систематически применять
экспериментальный метод и
математические приемы
обработки его результатов,
занявшись изучением
движения свободно падающих
тел.
Родился Галилей в итальянском городе
Пиза в 1564 году.
В 25 лет он стал профессором
математики в Пизанском
университете.
Он пробовал разные сочетания, пока
не Добился увеличения линзы в 30 раз
большее, чем у голландских приборов.
Галилео Галилей впервые
наблюдал ночное небо в
телескоп в 1609 году. Направив
его на Млечный путь, он увидел,
что белая дымка состоит из
бесчисленных звезд.
Очень важно, что в научном споре Галилео
Галилей использовал новый вид аргументации –
эксперимент.
С тех пор то или иное положение науки считается
доказанным только в случае если оно
подтверждается результатом опыта или научным
экспериментом.
Открыл кратеры на поверхности Луны и определил
фазы Венеры.
Открыл 4 спутника Юпитера.
Они подтверждали теорию
Николая Коперника, согласно которой
центром вселенной является Солнце, а не Земля.
Исаак Ньютон
Дифференциальное и интегральное исчисление
Ньютон открыл ещё в 1665—1666 годах, но не
публиковал до 1704 года. Лейбниц разработал
свой вариант анализа в 1675 году, но его мысль
получилась благодаря
научным беседам в Англии и
переписке с Ньютоном. Лейбниц
сразу опубликовал свою версию и
вместе с Якобом и Иоганном
Бернулли, широко
пропагандировал это открытие по
Европе.
́ лора — разложение функции в
Ряд Тей
бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций
Тейлора — его использовали ещё в XVII веке
Грегори, а также Ньютон.
Тейлор
Грегори
Цель данной работы
Изучение теоретического и практического
материала по теме дифференцирование и
интегрирование функции и применение его к
решению расчетного задания.
Основные задачи данной работы:
1)Проанализировать литературы по
данной теме.
2)Рассмотреть основные понятия,
связанные с дифференцированием и
интегрированием функций
3)Исследовать функции с помощью
производных
́ ная функция— основное понятие
Производ
дифференциального исчисления,
характеризующее скорость изменения функции (в
данной точке).
Функцию, имеющую конечную производную (в
некоторой точке), называют дифференцируемой (в
данной точке).
Процесс вычисления
производной называется
дифференцированием.
Обратный процесс —
нахождение первообразной
— интегрирование.
Средняя скорость материальной точки за
промежуток времени Δt равна
мы получаем понятие мгновенной скорости v: это
предел, к которому стремится средняя скорость,
когда Δt → 0, то есть
функция y = sin x
функция y = x
График к определению производной
Операция вычисления производной называется
дифференцированием. Функция называется
дифференцируемой в данной точке, если в этой
точке существует ее производная.
Функция y = |x|1/2 имеет в точке x = 0
бесконечную производную неопределенного
знака.
Определение касательной
Если кривая CAB
является
графиком
функции f (x), то для
углового
коэффициента
k касательной можно
записать:
 0 + ∆ − (0 )
 = lim
∆→0
∆
Функция f (x) дифференцируема в точке x0 тогда и
только тогда, когда к графику функции в этой точке
можно построить невертикальную касательную,
причем угловой коэффициент этой касательной
равен производной функции в этой точке:
 =  0
Уравнение касательной в общем случае выглядит
так:
Y=f(0 )+f(0 )(x-0 )
Неравномерное движение
Дифференциал функции
Геометрически
дифференциал
функции df – это
приращение
ординаты касательной
к графику функции в
данной точке при
изменении абсциссы
точки на dx.
Производную можно
записать:

  =

Касательная и нормаль
Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A
(x0; y0) называется прямая, проходящая через точку
A и перпендикулярная касательной к этой точке.
Она задается уравнением :

=  
−  )

−
(
 
Производные элементарных функций
Элементарные функции — это функции, которые
можно получить с помощью конечного числа
арифметических действий и композиций из
следующих основных элементарных функций.
Основные правила дифференцирования
1. вынесение
постоянного
множителя за знак
производной
2. производная суммы,
производная разности
3. производная
произведения
функций
4. производная частного
двух функций
(производная дроби)
Производные второго порядка
Когда мы дифференцируем функцию, каждой
точке этой функции мы ставим в соответствие
некоторое число – ее производную в данной точке.
Таким образом, производная функции также
является функцией.
Если функция  ` дифференцируема, то ее
производную называют второй
производной от f и обозначают  " :
" = `
Вторую производную иногда обозначают
 2
 2
Аналогичным образом задаются производные
высших порядков. Если
функция −1 дифференцируема, то ее
производную называют производной n-го
порядка f (n) функции f.
Линеаризация элементарных функций
Многочлен Тейлора
Ряд Те́йлора —
разложение
функции в
бесконечную
сумму степенных
функций.
В общем случае функция f (x) представляется в
бесконечно малой окрестности
точки x0 многочленом Тейлора, задаваемым
формулой

  =
=0


(0 )
( −  ) +0(( −  ) )
−!
где o ((x – x0)n) – бесконечно малая
относительно (x – x0)n функция. Естественно,
данная формула справедлива, если в
точке x0 существуют производные функции f вплоть
до f (n).
Напомним, что операция факториал определяется
следующим образом:
Колин Маклорен
В окрестностях х=0
формула Тейлора
приобретает вид
 

  (0) 
=
 + 0(  )
!
=0
Линеаризация функций
Формулы
разложения
по степеням
x некоторых
элементарных
функций
при x → 0.
Исследование
функций с помощью
производных
Возрастание и убывание функций
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале
(a; b) функция f была неубывающей на этом
интервале, необходимо и достаточно, чтобы

(x)≥
0
выполнялось условие
для любого x ∈ (а; b)
() ≤ 0
Если функция возрастает на интервале и имеет
производную в каждой точке этого интервала, то
производная неотрицательна; если
производная положительна во всех точках
интервала, то функция строго возрастает на этом
интервале.
Этот рисунок
отражает: если
функция убывает на
интервале, то во
всех точках этого
интервала её
производная не
положительна; если
производная
отрицательна, то
функция строго
убывает. Поясним
это примерами.
Функция у = х 3 возрастает на всей вещественной оси
(рис. 6). Для её производной имеем у′ = 3х 2. В
частности, у′ = 0 при х = 0. Это означает, что
положительность производной является достаточным,
но не является необходимым условием возрастания.
На участках возрастания (убывания) могут встречаться
точки, в которых функция вообще не имеет
производной, например (рис. 7)
Экстремумы
В точке x0 функция достигает экстремума, если для
любых x из некоторой окрестности
точки x0 выполняется
неравенство f (x) ≤ f (x0) (минимум)
или f (x) ≥ f (x0) (максимум).
Теорема Ферма - касательная к графику функции в
точке экстремума параллельна оси абсцисс.
Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 и
достигает в ней экстремума, то  0 = 0
Необходимое условие экстремума: во всех точках
экстремума производная функции не существует
или равна нулю.
Стационарные точки функции - точки, в которых
производная функции равна нулю,
Критические точки - точки, в которых
производная функции равна нулю или не
существует.
Таким образом, все экстремумы являются
критическими точками.
Теорема Ролля
Если вещественная функция, непрерывная на
отрезке [a; b] и дифференцируемая на интервале
(a; b), принимает на концах этого интервала
одинаковые значения, то на этом интервале
найдётся хотя бы одна точка, в которой
производная функции равна нулю.
Теорема Лагранжа
Если
функция f (x) непрерывна
на отрезке [a; b] и
дифференцируема на
интервале (a; b), то
существует хотя бы одна
точка
0 ∈ (; )
такая, что F(b)-
f(a)=f(0 )( − )
Теорема Лагранжа
Достаточные условия экстремума.
Пусть функция дифференцируема в некоторой
окрестности точки x0, кроме, быть может, самой
этой точки, и непрерывна в точке x0.
Если производная функции меняет знак с минуса
на плюс при переходе через эту точку слева
направо, то x0 – точка минимума.
Если производная функции меняет знак с плюса
на минус при переходе через эту точку слева
направо, то x0 – точка максимума.
Так, производная функции f (x) = |x| равна –1 при
отрицательных x и +1 при положительных x.
Функция |x| достигает в точке х0 = 0 своего
минимума.
В точке х0 = 0 первая производная функции
f (x) = –x2 равна f ′ (х0 ) = –2 х0 = 0, а вторая
производная f ′′ (х0 ) = (–2x)′ = –2 < 0. Функция
–x2 + 3 достигает в точке х0 = 0 своего максимума.
Заметим, что в точке x = 0 функции y = x4 вторая
производная f ′′ (x0) = 0, однако эта точка является
точкой минимума. Можно доказать, что
если f ′ (x0) = f ′′ (x0) =... = f (2n – 1) (x0) = 0 и
f (2n) (x0) > 0, (f (2n) (x0) < 0), то точка x0 является
точкой минимума (соответственно, максимума).
Достаточные условия экстремума
Свойство непрерывности
При изучении свойств интеграла была установлена его
непрерывность по пределам интегрирования, т. е.
непрерывность функций
на отрезке [a,b]. Оказывается, что с "улучшением"
свойств подынтегральной функции f "улучшаются" и
свойства функций F и G. Так, например, если
функция f непрерывна на отрезке [a,b], то будет
показано, что функции F и G являются уже
дифференцируемыми.
Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на
нем первообразную.
Выпуклость функции и точки перегиба
Если для любых
точек x1 и x2
отрезка [a; b]
секущая AB
проходит под
графиком
функции f (x), то
функция f
выпукла вверх.
Дважды дифференцируемая
на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для
любого х принадлежащего а, 
если для любого  " (х) ≥ 0
Так, вторая производная функции  =  2 равна
 " х = 2 > 0 откуда следует, что квадратичная
функция выпукла вниз на всей области
определения.
Необходимое условие наличия точки перегиба.
Если точка перегиба функции f (x), и
функция f (x) имеет вторую производную,
непрерывную в этой точке, то  " (х0 )=0
Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва,
точка возврата, угловая точка
План построения графиков функций
1.Найти область определения и область значений
функции.
2.Выяснить, является ли функция четной
(нечетной).
3.Выяснить, является ли функция периодической.
4.Найти точку пересечения графика функции с
осью ординат.
5.Найти нули функции и промежутки
знакопостоянства.
6.Вычислить производную функции  ` () и
определить точки, в которых могут существовать
экстремумы.
7.Найти промежутки монотонности функции.
8.Определить экстремумы функции.
9.Вычислить вторую производную
10.Определить точки перегиба.
11.Найти промежутки выпуклости функции.
12.Найти асимптоты графика.
13.Найти значения функции в нескольких
контрольных точках.
14.Построить эскиз графика функции.
Заметим, что при построении графиков
элементарных функций иногда достаточно
исследовать только несколько пунктов указанного
плана.
Рекомендует
ся все
найденные
точки
занести в
таблицу:
Неопределённый интеграл
Первообразная
Зная закон движения тела, можно,
продифференцировав функцию перемещения тела по
времени, в любой момент найти его скорость. Часто
требуется решить обратную задачу, то есть найти
перемещение тела, зная, как изменяется его скорость.
Эта и подобные задачи решаются при помощи
интегрирования – операции, обратной
дифференцированию.
Первообрáзной или примити́вной
функцией данной функции f называют такую
F , производная которой (на всей области
определения) равна f , то есть F=f. Вычисление
первообразной заключается в нахождении
неопределённого интеграла.
Первообразные важны
тем, что позволяют
вычислить интегралы.
Если F – первообразная
функция интегрируемой
функции f, то

   =   − ()

Первообразные основных
элементарных функций
Неопределённый интеграл - совокупность всех
первообразных функции f (x) на
промежутке D называют неопределенным
интегралом функции f (x) и обозначают
символом   
Функция f (x) называется подынтегральной
функцией, дифференциал f (x) dx –
подынтегральным выражением, переменная x –
переменной интегрирования, а C – постоянной
интегрирования.
 `   =   + 
(   ) =   
Основные приемы интегрирования
Метод замены переменного
Сущность этого метода заключается в том, что
путем введения новой переменной
интегрирования удается свести заданный интеграл
к новому интегралу.
Если после замены переменной интеграл стал
проще, то цель подстановки достигнута. В основе
интегрирования методом подстановки лежит
формула
    `   =   
+ , где х = ()
Метод интегрирования по частям
Этой формулой обычно пользуются в том случае,
когда подынтегральное выражение v∙  проще,
чем подынтегральное выражение u∙ .
Пусть u=u(x) и v=v(x) две функции имеющие
непрерывные производные `  и  ` (). Найдем
дифференциал произведения функций u(x) и v(x) :
  ∙  =  ∙  +  ∙ 
Взяв неопределенный интеграл от обеих частей
равенства, получим   ∙  = ( + )т.к.
( ∙ ) =  ∙  + , а ( + ) =  +
, откуда  ∙  =  +  − 
Поскольку  уже содержит произвольную
постоянную, в правой части полученного
равенство, С можно опустить и записать равенство
в виде  =  ∙  − 
Правильная рациональная дробь функции
 (х)
вида
где  и  многочлены
 (х)
степеней m и n соответственно, причем m < n.
Всякая правильная рациональная дробь
раскладывается на сумму простых дробей

 +
вида
и 2
где где A, B, D, a, p, q –


(−)
( ++)
постоянные (2 − 4 < 0) r∈   ∈ 
 (х)
Любая неправильная дробь
m ≥ n,
 (х)
 (х)
()
 (х)
представима в виде
= S(x)+
где
 (х)
 ()
 (х)
правильная дробь а S (x) – многочлен степени m –
n. Для этого можно, например,
разделить Pm на Qn «уголком».

− 2
dx
Интеграл Пуассона
sin  2  и
cos  2 
Интеграл Френгеля
Пусть
функция f (x) непре
рывна и не меняет
знак на
отрезке [a; b].
Плоскую фигуру Ф,
ограниченную
графиком
функции f (x), осью
абсцисс и
прямыми x = a и x
= b, называют
криволинейной
трапецией.
В каждую фигуру можно
вписать множество равных
маленьких квадратов, не
имеющих общих
внутренних точек и целиком
лежащих внутри фигуры Ф.
Пусть сумма их площадей
равняется sT. Точно так же
можно построить такое
Суммарная
площадь
множество квадратов,
ступенчатой фигуры,
которое полностью
являющейся
покрывает фигуру Ф.
объединением всех
Обозначим сумму их
площадей буквой ST. прямоугольников, равна

Очевидно, что sT ≤ ST.
Т = =1  ξ ∆
Дарбу
Верхней суммой
Дарбу называется
выражение

 =
 ∆
=1
Нижней суммой
Дарбу называется

 =
 ∆
=1
Определённый интеграл
Свойства определенного интеграла
Свойства определённого интеграла
Для вычисления
определенных
интегралов на
компьютере нередко
используют
приближенную формул
у трапеций



− ()
(


  ≈
+
  + ⋯ +   +
()
) Ее смысл состоит в том, что криволинейные

трапеции заменяются обычными, площадь
каждой из которых
  +(−1 )
равна
( -−1 )
2
Геометрические приложения определенного
интеграла
1. Площадь плоской фигуры.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и
прямыми x = a, x = b, определяется как



S=
  , Площадь фигуры, ограниченной
функцией f (x), пересекающей ось абсцисс,
определяется формулой  =

|  |
:()<0
−1
где xi – нули функции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейного сектора
Рассмотрим
кривую ρ = ρ (φ) в полярной
системе координат,
где ρ (φ) – непрерывная и
неотрицательная
на [α; β] функция. Фигура,
ограниченная кривой ρ (φ) и
лучами φ = α, φ = β,
называется криволинейным
сектором. Площадь
криволинейного сектора
равна
S=
1  2

2 
 
Объем тела вращения
Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX
криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной на отрезке [a; b] функцией f (x). Его
объем выражается формулой
V=
 2
 (x)dx

Пусть тело заключено между
плоскостями x = a и x = b, а площадь его сечения
плоскостью, проходящей через точку x, –
непрерывная на отрезке [a; b] функция σ (x). Тогда

его объем равен V=    
Длина дуги кривой.
Пусть задана кривая  →  = (  ,   ,   )
Тогда длина ее участка, ограниченного
значениями t = α и t = β выражается формулой
=


( ` ())2 +( ` ())2 +( ` ())2 dt
В частности, длина плоской кривой, задаваемой на
координатной
плоскости OXY уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b,

выражается формулой  =  1 + (())2 
Длина дуги плоской кривой
Площадь поверхности вращения.
Пусть поверхность задается вращением
относительно оси OX графика
функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет
непрерывную производную на этом отрезке. Тогда
площадь поверхности вращения определяется

формулой П = 2  () 1 + (())2 
Формула Ньютона – Лейбница
Несобственный интеграл
Несобственный интеграл - определённый
интеграл, если выполняется, по крайней мере,
одно из следующих условий.
Область интегрирования является бесконечной.
Например, является бесконечным интервалом .
Функция f(x) является неограниченной в
окрестности некоторых точек области
интегрирования.
Если интервал [a,b] конечный, и функция
интегрируема по Риману, то значение
несобственного интеграла совпадает с значением
определённого интеграла.
Бернхард Риман (1826–1866)
Выдающийся
немецкий математик,
создавший теорию
искривлённого
пространства.
Риманова геометрия
впоследствии стала
основой общей теории
относительности
Определенные интегралы в физике
1) Пусть материальная точка движется с
ускорением a (t). Тогда ее скорость равна
  =
()=


0


0
  + 0 , а перемещение
  + 0 где v0, x0 – постоянные,
определяемые из начальных условий, t0 и t –
начальный и конечный моменты времени
2) Пусть плотность ρ (x) стержня с постоянным
сечением S зависит от расстояния до начала
стержня. Тогда масса стержня

равна M=S     , где L – длина стержня, а
центр масс стержня находится на расстоянии
0 =



=

0   

0   
Центр масс
Работа газа при его расширении от объема V1 до
2
объема V2 равна А12 =    , где P (V) –
1
давление газа в этом процессе.
Заключение
В ходе
работы мы изучили данную тему по учебным
материалам, добились поставленных целей и
выявили, что дифференциальное и интегральное
исчисление широко используется на практике в
различных научно-технический расчётах и
решение множества прикладных задач
невозможно без дифференцирования или
интегрирования.
КОНЕЦ!
Спасибо за внимание

Автор
profobrazovanie
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
585
Размер файла
14 149 Кб
Теги
функции, интегрированный, дифференцированный, тему, презентация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа