close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

125

код для вставкиСкачать
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Г л а в а 1. Реанимация метода Штурма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§ 1.1. Наглядно-геометрический метод Штурма . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§ 1.2. Современное псевдообоснование метода Штурма . . . . . . . . . . . .
12
§ 1.3. Основные проблемы обоснования метода Штурма для общей регулярной задачи на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
§ 1.4. Вариационная мотивация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
§ 1.5. Регулярные свойства функции ω(x, λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
§ 1.6. О неосцилляции некоторых дифференциальных неравенств . . . .
24
§ 1.7. О поведении нулей функции ω(x, λ) на отрезке [0, l] . . . . . . . . .
31
§ 1.8. Случай общего условия на правом конце . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
§ 1.9. Другие свойства спектра общей задачи Штурма–Лиувилля. . . . .
1.9.1. Общие спектральные понятия (34). 1.9.2. О комплексных
точках спектра (36). 1.9.3. Спектр регулярной задачи Штурма–
Лиувилля состоит только из собственных значений (37).
34
§ 1.10. Функция Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
§ 1.11. Другие свойства спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Г л а в а 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на пространственной сети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
§ 2.1. Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
§ 2.2. Обыкновенное дифференциальное уравнение на пространственной
сети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Функции на сетях (47). 2.2.2. Вариационная мотивация (49). 2.2.3. Естественные условия (52). 2.2.4. Замечание
46
4
Оглавление
о «физической границе» (55). 2.2.5. Однородное уравнение на
сети (55).
§ 2.3. Краевая задача на сети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Разные версии задачи (2.3.1)–(2.3.3) (59). 2.3.2. Некоторые
общие факты (61). 2.3.3. Функция Грина (65). 2.3.4. s-расширение задачи на сети (68).
59
§ 2.4. О неосцилляции на пространственной сети . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Неосцилляция уравнения (2.4.1) (70). 2.4.2. Дифференциальные неравенства (72). 2.4.3. Неравенство Харнака. Шатры на
сетях (75). 2.4.4. О локализации носителя (79).
69
§ 2.5. Критическая неосцилляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Критическая неосцилляция (82). 2.5.2. Неосцилляция
пучка L − λρI (84). 2.5.3. Корневая простота (88). 2.5.4. Локальная вырожденность (92). 2.5.5. Осцилляция на дереве (94).
2.5.6. Спектральная задача в общем положении (96).
82
§ 2.6. Ветвление нулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Метод Штурма нагнетания нулей (98). 2.6.2. Основной результат (100). 2.6.3. Зависимость сопряженных точек от λ (100).
2.6.4. Перемежаемость спектров (113).
98
Г л а в а 3. Метод Штурма в теории импульсных задач . . . . . . . . . . 114
§ 3.1. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.1.1. Интеграл
Стилтьеса
(119). 3.1.2. Пространство
BV [a, b] (121). 3.1.3. Скачки функций из BV [a, b] (123).
3.1.4. Абсолютно непрерывные функции (124). 3.1.5. Еще
несколько фактов об интеграле Стилтьеса (126). 3.1.6. Теорема
Рисса (127).
§ 3.2. Вариационная мотивация подхода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
§ 3.3. Дифференциал Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
§ 3.4. Задача Коши. Теорема существования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.4.1. Пространство допустимых решений (136). 3.4.2. Смысл
уравнения (A) в особых точках (138). 3.4.3. Раздвинутая область определения уравнения (A) (139). 3.4.4. Аналог теоремы
Коши–Пеано (140). 3.4.5. Непрерывная зависимость решения от
параметров (142). 3.4.6. Структура многообразия решений (142).
§ 3.5. Однородное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.5.1. Вронскиан (144). 3.5.2. Распределение нулей (147).
3.5.3. Неосцилляция однородного уравнения (149).
§ 3.6. Дифференциальные неравенства. Критическая неосцилляция . . . 152
Оглавление
5
§ 3.7. Краевая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.7.1. Невырожденность краевой задачи (156). 3.7.2. Функция
влияния. Строгая дефиниция (157). 3.7.3. Основные свойства
функции влияния (159). 3.7.4. Явное представление функции влияния (160). 3.7.5. Интегральная обратимость (162).
§ 3.8. Спектральная задача Штурма–Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.8.1. Структура спектра (165). 3.8.2. Ортогональность собственных функций (168). 3.8.3. Непустота спектра (169). 3.8.4. Зависимость решений от параметра (171). 3.8.5. Теорема о неявной
функции (176).
§ 3.9. Осцилляционные свойства собственных функций . . . . . . . . . . . 178
§ 3.10. Основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.10.1. Ветви нулей (180).
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
ВВЕДЕНИЕ
Классическая задача Штурма–Лиувилля в форме
−(pu ) = λu (0
x
l),
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0
(0.1)
(0.2)
была поставлена и изучена Ш.-Ф. Штурмом в работе [1] почти два столетия назад при исследовании распространения тепла в неоднородном
стержне (см. комментарии, например, [2, 3]). Ненулевые значения λ,
при которых эта задача имеет нетривиальное решение, были названы
собственными значениями, а соответствующие решения — собственными функциями. Знаменитая теорема Штурма утверждала следующее.
Т е о р е м а 0.1 (St-1). Задача (0.1)–(0.2) имеет последовательность положительных собственных значений
λ 0 < λ1 < λ2 < . . . < λm < . . . ,
таких что соответствующие собственные функции
ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕm (x), . . .
обладают следующими свойствами распределения нулей:
1◦ ϕk (x) при каждом k имеет точно k нулей внутри (0, l)
(k = 0, 1, 2, . . .);
2◦ при каждом k нули ϕk (x) и ϕk+1 (x) перемежаются, т. е. для
любой пары соседних нулей ϕk (x) функция ϕk+1 (x) имеет
между ними перемену знака.
Эта теорема устанавливает полную качественную аналогию со спектральными свойствами задачи
−u = λu,
(a)
u(0) = u(l) = 0,
(b)
когда собственные значения вычисляются явно:
λk =
πk
l
2
,
7
Введение
а соответствующие собственные функции имеют вид
ϕk = sin
πkx
.
l
πkx
Для таких функций ϕk = sin
осцилляционные свойства, описанные
l
теоремой Штурма, наглядно очевидны. Задача (a)–(b) соответствует
гармоническим колебаниям однородной струны — это было известно
уже в XVIII в. (Эйлер, Бернулли). Поэтому натурфилософы XIX в.
интерпретировали описанные Штурмом свойства как свойства гармонических колебаний неоднородной струны. И в этом плане даже характер
формулировок Штурма, основанных на непривычных для математиков
терминах (число нулей, их перемежаемость), на протяжении всего
XIX века поражал ученых глубиной математического проникновения
в физические проблемы. Недаром Гильберт называл теоремы Штурма
«удивительными» и «замечательными».
К середине XX в. интерес к осцилляционным спектральным свойствам (о распределении нулей собственных функций) у математиков
был заслонен бурным развитием спектрального анализа [4–10], где
центральными вопросами стали уже асимптотика спектра, спектральная полнота и проч. Эта проблематика была активизирована нуждами теоретической физики. На этом фоне осцилляционная тематика, на протяжении XIX века связывавшаяся с проблемами упругих
колебаний, как бы отошла в тень. Более того, остались без ответа
чрезвычайно актуальные для практики вопросы, а именно: на какие
общие классы задач могут быть перенесены осцилляционные свойства? Впервые подобный вопрос обсуждался Стилтьесом (колебания
нити с бусинками), где вместо уравнения (a) возникало более общее
−(pu ) = λmu и в современной терминологии m(x) оказалась комбинацией δ -функций. Возникшие здесь чисто математические трудности
Стилтьесу удалось преодолеть за счет введенного им нового типа
интеграла, носящего ныне его имя, — интеграла Стилтьеса. Математическая значимость этого интеграла была оценена учеными спустя более
двух десятилетий благодаря знаменитой теореме Рисса о линейном
функционале в C[0, l]. Интеграл Стилтьеса стал опорой в классических
работах Гантмахера и Крейна, где устанавливались осцилляционные
свойства спектра для нагруженной струны, т. е. для уравнения
x
−(pu )(x) + (pu )(0) = λ u(s)m(s) ds
0
с произвольной неубывающей функцией M (x), где m(x) = M (x).
Продвижение теорем Штурма в этом направлении было связано
с фундаментальной теоремой Келлога (см. [11]), который доказал, что
8
Введение
осцилляционные свойства задачи (0.1)–(0.2) при переформулировке ее
к виду
l
u(x) = λ G(x, s)u(s)m(s) ds
0
обусловлены специальными свойствами функции Грина G(x, s) оператора −(pu ) , а именно свойствами строгой положительности всех
ассоциированных ядер:
G
x1 . . . xk
s1 . . . sk
= det G(xi , sj )
i,j=1,...,k
(0 < x1 < x2 < . . . < xk < l; 0 < s1 < s2 < . . . < sk < l).
Дальнейшее продвижение осцилляционных спектральных свойств было связано с распространением свойств «келлоговости» на функции
Грина более общих задач (см., например, [12–15]). Однако весьма
изощренная техника, связанная с косыми произведениями, которая
была разработана М. Г. Крейном, не позволяла включать соответствующие результаты в обычную учебную литературу. Скорее всего именно
поэтому даже в университетских курсах от знаменитых результатов
Штурма остался лишь весьма тривиальный факт под названием «теорема сравнения Штурма».
Т е о р е м а 0.2 (St-2.). Для двух уравнений вида
y + q1 y = 0,
y + q2 y = 0
с непрерывными на [0, l] коэффициентами q1 и q2 из неравенства
q1 q2 следует, что для любого нетривиального решения y(x) первого уравнения для каждой пары x1 и x2 соседних его нулей каждое
неколлинеарное с первым решение второго уравнения имеет между
x1 и x2 не менее одного нуля.
В учебной литературе ознакомление с теоремами Штурма на этом
прекращается и вопрос научной значимости этой теоремы сравнения
повисает в воздухе. Ответ на вопрос о значении теоремы сравнения
можно найти — при сильном желании — лишь в специальных монографиях, малодоступных для обычного читателя ([3, 16] и др.).
А между тем именно теорема сравнения позволила Штурму описать
и доказать его знаменитые в прошлом и чрезвычайно актуальные для
разнообразных приложений в теории упругих колебаний осцилляционные свойства.
Введение
9
К середине XX в. возрос интерес к задаче Штурма–Лиувилля для
случая с более общим уравнением
−(pu ) + qu = λmu.
Причем особенно актуальным оказался случай, когда коэффициенты p,
q , m могут содержать импульсные компоненты типа δ -функций. Этот
сингулярный случай был охвачен методами спектрального анализа, но
только в традиционных для него направлениях (спектральная полнота,
базисность, асимптотика спектра и проч.), где достаточно эффективной
является теория обобщенных функций (распределений). Вместе с тем
эта наука (теория распределений) оказалась абсолютно беспомощной
в области анализа осцилляционных свойств. Для задач с обобщенными
коэффициентами даже сама возможность описания осцилляционных
свойств оказалась под большим вопросом.
Случай, описываемый уравнением вида
−(pu ) + Q u = λM u,
(0.3)
где Q и M — неубывающие функции, а Q и M — их обобщенные
производные, стал доступен для осцилляционного анализа лишь в последнем десятилетии XX века. Эффективные методы, разработанные
воронежцами, существенно опираются на соответствующую модернизацию теории интеграла Стилтьеса, минуя теорию Келлога. Одновременно осцилляционную теорию удалось существенно распространить
на задачу Штурма–Лиувилля на пространственной сети, естественным
образом возникающую в самых разнообразных физических и инженерных задачах, где изучаемые объекты имеют конфигурацию сеток:
математические модели процессов в таких системах как электрические
цепи, гидравлические системы, нейронные сети и т. д.
Настоящая книга посвящена изложению методов, развитых при
анализе описанных циклов задач. Важно отметить сразу, что помимо расширения традиционного смысла аргумента (далее — аргумент
ветвящийся или нерегулярный) развитые ниже методы были нацелены
на реализацию коренной осцилляционной идеи Штурма, а именно на
анализ зависимости от λ нулей функции ω(x, λ), определяемой исходным уравнением при каких-то начальных условиях. Штурм обнаружил,
что весь пакет нулей функции ω(x, λ) при увеличении λ строго ползет
влево. Мы начинаем наше изложение с реанимации этой идеи Штурма.
Дело в том, что при изложении осцилляционной теоремы Штурма во
всех доступных учебниках и монографиях эволюция нулей функции
ω(x, λ) даже для простейшего уравнения
−y + qy = λy
10
Введение
излагается с грубыми нарушениями математической строгости и, более того, с очевидными «ляпами». Именно поэтому мы посвящаем
первую главу предельно четкому обоснованию главной идеи Штурма
в той версии, которая допускает реализацию в последующих более
общих задачах. Аналитические возможности подобной реализации обусловлены методами, составляющими главное содержание настоящей
книги.
Другими словами, даже первая глава книги восполняет явно недостаточную в настоящее время информацию о «математической жемчужине» XIX в. — осцилляционной теореме Штурма — и излагает современные методы, позволившие продвинуть эту теорию на достаточно
актуальные классы современных проблем математической физики.
Глава 1
РЕАНИМАЦИЯ МЕТОДА ШТУРМА
Мы рассматриваем в данной главе дифференциальное уравнение
−(pu ) + q(x)u = λmu (0
x
l)
(1.0.1)
с непрерывными вещественными на [0, l] коэффициентами p, q , m,
предполагая, что inf p > 0 и m не является тождественным нулем.
[0,l]
Нас интересует нетривиальное решение этого уравнения при краевых
условиях:
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
(1.0.2)
β0 u(l) + β1 u (l) = 0
(|α0 | + |α1 | > 0, |β0 | + |β1 | > 0),
q > 0, m
0, α0 · α1
0, β0 · β1
0.
В § 1.1 мы обсуждаем изложение осцилляционной теории Штурма
в точном соответствии с каноническими источниками (см. [3, 16] и др.)
для случая, когда уравнение имеет вид
−u + qu = λu,
т. е. когда p ≡ 1, m ≡ 1.
Мы комментируем при этом возможность распространения используемых здесь соображений на случай, когда p и m не являются
тождественными единицами, и анализируем корректность наиболее
важных мотиваций, требующих, как оказывается, существенно более
убедительных аргументов.
§ 1.1. Наглядно-геометрический метод Штурма
Анализируя задачу
−(pu ) = λu
(1.1.1)
с условиями (1.0.2), Штурм выдвинул чрезвычайно наглядную идею
о том, что о нулях собственных функций этой задачи можно судить
следующим образом. Он ввел функцию ω(x, λ), являющуюся решением уравнения (1.1.1) с начальными условиями u(0) = α1 , u (0) = α0 .
12
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
Значения λ, при которых ω(x, λ) будет удовлетворять правым краевым
условиям, очевидно, окажутся собственными значениями для исходной
задачи, а функции ω(x, λ), соответствующие этим λ, — собственными
функциями. Поэтому разбираться с нулями собственных функций можно, анализируя распределение нулей функции ω(x, λ) и их зависимость
от λ. Штурм обнаружил (и в этом главная красота его открытия),
что расположенные внутри [0, l] нули функции ω(x, λ) монотонно зависят от λ, сдвигаясь влево при увеличении λ, при этом число нулей
неограниченно возрастает. Эти наблюдения он и объяснял с помощью
своих теорем сравнения. Мы в дальнейшем именно этот принцип
отслеживания поведения нулей функции ω(x, λ) называем методом
Штурма. Этот метод для нас является главным инструментом предстоящего анализа достаточно важных нестандартных задач. Однако и для
простейшей регулярной задачи с непрерывными коэффициентами на
отрезке этот метод требует достаточно глубокой проработки. Внешняя красота соображений Штурма, удовлетворявшая натурфилософов
на уровне полуинтуитивной строгости, привела к тому, что теоремы
Штурма в учебной литературе XX века излагались как некие рутинные
факты, не нуждающиеся в строгих доказательствах. Факты все равно
ведь правильные, так чего ради «кисель разводить»?!
Для иллюстрации «подводных камней», возникающих при поверхностной реализации метода Штурма, мы далее приводим мотивацию
метода Штурма (см. [3, 8, 16]), стандартную для даже современной научной литературы. Поскольку нас интересует возможность распространения схемы Штурма на более общие задачи, мы будем акцентировать
внимания на соответствующих упущениях, допущенных в первоисточниках [8, 16], поскольку именно здесь возникают главные трудности.
Приводим точные рассуждения из [16, с. 20–25]. Отметим сразу,
что в этих рассуждениях предполагается, что p ≡ 1 и m ≡ 1.
§ 1.2. Современное псевдообоснование метода Штурма
В настоящем пункте мы приводим обоснование метода Штурма в
точном соответствии с [16] в виде прямой цитаты. Объектом разговора
(как в [8, 16]) у нас явится задача
y + {λ − q(x)}y = 0
с условиями
y(a) cos α + y (a) sin α = 0,
y(b) cos β + y (b) sin β = 0.
Придание краевым условиям такой формы с помощью коэффициентов
cos α, sin α, cos β , sin β , — по-видимому, дань повальной моде пер-
§ 1.2. Современное псевдообоснование метода Штурма
13
вой половины XX в., когда, скажем, физический смысл такой формы
условий совершенно неясен и, кроме того, трудно считать эту форму
обобщением исторически первых условий Штурма (0.2). Существенно
отметить, что уравнение −y + q(x)y = λy является частным случаем
общего уравнения −(pu ) + qu = λmu. Специфичность этого случая,
p ≡ 1, m ≡ 1, как мы увидим ниже, чрезвычайно жестко ограничивает
возможность распространения излагаемых методов на более общий
случай, когда, например, m(x) 0, причем inf m = 0. Возможно, именно последние обстоятельства вынудили Э. Рутмана и М. Г. Крейна
к поиску методов (типа ядер Келлога) для объяснения осцилляционной картины спектра. Итак, излагаем стандартную мотивацию метода
Штурма в виде прямой цитаты из [16, с. 20–25].
«. . . Глубокое исследование распределения нулей собственных функций привело Штурма к доказательству существования бесчисленного
множества собственных значений граничной задачи
y + {λ − q(x)}y = 0,
y(a) cos α + y (a) sin α = 0,
y(b) cos β + y (b) sin β = 0.
(1.2.1)
(1.2.2)
Основной в этом круге вопросов является следующая фундаментальная теорема Штурма.
Т е о р е м а 1.2.1 (фактически это теорема St-2). Пусть даны два
уравнения:
y + g(x)y = 0,
(1.2.3)
y + h(x)y = 0.
(1.2.4)
Если во всем интервале (a, b) g(x) < h(x), то между каждыми двумя
нулями любого 1) решения первого уравнения заключен по крайней
мере один нуль каждого решения второго уравнения. 2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y1 есть решение первого уравнения,
а y2 — второго, т. е.
y1 + g(x)y1 = 0,
y2 + h(x)y2 = 0.
1)
Без дополнительной приговорки «нетривиального решения» теорема лишена смысла.
2)
Следует отметить строгое неравенство в условии g(x) < h(x), которое в
дальнейшем ограничит возможность применения этой теоремы к спектральной
задаче −(pu ) + qu = λmu в случае, когда неотрицательная функция m(x)
может принимать нулевые значения, т. е. когда наверняка нельзя обеспечить
строгое неравенство λ1 > λ2 при 0 x l.
14
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
Умножая первое уравнение на y2 , а второе на y1 и вычитая, получим
y1 y2 − y2 y1 =
d
{y y − y2 y1 } = {h(x) − g(x)}y1 y2 .
dx 1 2
(1.2.5)
Обозначим последовательные нули y1 через x1 и x2 . Интегрируя
последнее тождество в пределах от x1 до x2 , мы получим
x2
{y1 y2 −
y2 y1 }xx21
= y1 (x2 )y2 (x2 ) − y2 (x1 )y2 (x1 ) =
{h(x) − g(x)}y1 y2 dx.
x1
(1.2.6)
Предположим, что y2 в интервале (x1 , x2 ) в нуль не обращается. Не
нарушая общности рассуждений, мы можем предполагать, что внутри
интервала (x1 , x2 ) y1 > 0 и y2 > 0. Следовательно, в последнем равенстве правая часть положительна. Так как, по предположению, y1 0,
то в точке x1 функция y1 возрастает. 1) Следовательно, y1 (x1 ) > 0
(y1 (x1 ) не может равняться нулю, ибо по теореме единственности
решения дифференциального уравнения в этом случае следовало бы
y1 ≡ 0, что мы исключили). По аналогичным соображениям y1 (x2 ) < 0.
Поэтому
y1 (x2 )y2 (x2 ) − y1 (x1 )y2 (x1 ) 0,
и мы пришли к противоречию.
С л е д с т в и е 1.2.1. Любое решение уравнения
y + g(x)y = 0
(−∞
a
x
b
(1.2.7)
∞)
при g(x) < −m2 < 0 может иметь не более одного нуля.
В самом деле, если бы любое 2) решение этого уравнения имело два
нуля, то решение emx уравнения
y − m2 y = 0
имело бы по крайней мере один нуль, а на самом деле оно нулей не
имеет. Поэтому на основании предыдущей теоремы любое решение
уравнения (1.2.7) не может иметь больше одного нуля в любом конечном интервале. 3)
1)
«В точке x1 функция y1 возрастает» — неграмотный набор слов, на
который можно просто не обращать внимания.
2)
Очевидно, слово «любое» здесь употреблено ошибочно вместо «некоторое».
3)
Это утверждение может быть существенно улучшено, а именно: вместо
неравенства g(x) < −m2 < 0 достаточно предположить всего лишь g(x) 0.
Тогда данное уравнение можно сравнить с уравнением y = 0, в качестве
§ 1.2. Современное псевдообоснование метода Штурма
15
Т е о р е м а 1.2.2 (теорема сравнения). Пусть u(x) есть решение 1)
уравнения (1.2.3), удовлетворяющее начальным условиям
u(a) = sin α,
u (a) = − cos α,
(1.2.8)
и v(x) — решение уравнения (1.2.4) с теми же начальными условиями.
Если u(x) в интервале a < x b имеет m нулей, то v(x) в том же
интервале имеет не меньше чем m нулей и k-й нуль v(x) меньше k-го
нуля u(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через x1 ближайший к точке a
(но отличный от этой точки) нуль функции u(x). На основании предыдущей теоремы достаточно (!) доказать, что v(x) имеет по крайней
мере один нуль внутри интервала (a, x1 ).
Предположим противное. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что внутри интервала (a, x1 ) v(x) > 0, u(x) > 0. Так как
u(x1 ) = 0, то в окрестности точки x1 функция убывает. 2) Следовательно, u (x1 ) < 0 (почему не может быть u (x1 ) = 0?). Интегрируя
тождество (1.2.6) в пределах от a до x1 , мы получим
x1
{h(x) − g(x)}uv dx. 3)
u (x1 )v(x1 ) =
a
Так как в интервале (a, x1 ), по предположению, v(x) в нуль не
обращается, то в последней формуле правая часть положительна. Выражение же слева 0, и мы получили противоречие».
Все предыдущие замечания настоящего пункта имеют, по сути
дела, чисто косметический характер и малосущественны на фоне дальнейших обстоятельств. Сейчас мы перейдем к главному поводу уже не
редакционных, но достаточно «криминальных» обстоятельств.
«Следующая теорема Штурма доказывает существование бесчисленного множества собственных значений. 4)
решения которого можно взять функцию y ≡ 1. Так как последняя функция
вообще нигде не обращается в нуль, то любое решение сравниваемого уравнения y + g(x)y = 0 не может нигде иметь двух нулей.
1)
Очевидно, подразумевается нетривиальное решение.
2)
Опять избыточный вульгаризм, подразумевающий, что u(x1 ) > 0 слева от
точки x1 наряду с равенством u(x1 ) = 0.
3)
Здесь подразумевается, что полученное при интегрировании левой части
слагаемое v (a)u(a) − u (a)v(a) аннулируется в силу начальных условий.
4)
Существенно отметить, что в исходной задаче условия на левом конце
u(a) = sin α,
u (a) = − cos α
16
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
Т е о р е м а 1.2.3 (теорема осцилляции). Существует неограниченно возрастающая последовательность собственных значений
λ0 , λ1 , λ2 , . . . , λm , . . .
граничной задачи (1.2.1)–(1.2.2), так что собственная функция, соответствующая собственному значению λm , имеет ровно m нулей
в интервале a < x < b.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ω(x, λ) есть решение уравнения
(1.2.1), удовлетворяющее начальным условиям (1.2.8). В силу
предыдущей теоремы при возрастании λ число нулей функции ω(x, λ)
не убывает. 1) Пусть
|q(x)| < c (a
x
b).
Сравним уравнение (1.2.1) с уравнением
y + (λ + c)y = 0.
Решение последнего уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
(1.2.8), есть
1
y1 = sin α ch{(−λ − c) 2 (x − a)} −
cos α
(−λ − c)
1
2
sh{(−λ − c)(x − a)}.
При достаточно больших по абсолютной величине отрицательных
значениях λ эта функция, очевидно, в нуль не обратится. Поэтому,
пользуясь снова предыдущей теоремой, мы убедимся, что ω(x, λ) при
достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях λ в нуль не обращается. 2)
Выбирая для сравнения уравнение
y + (λ − c)y = 0,
связаны обозначением с исходными условиями задачи
y(a) cos α + y (a) sin α = 0,
y(b) cos β + y (b) sin β = 0.
На самом деле теорема 1.2.2 верна для любых решений u(x) и v(x), удовлетворяющих одному и тому же краевому условию μ0 y(a) + μ1 y (a) = 0
(коэффициенты не равны одновременно нулю).
1)
Здесь впервые появляется существенное для дальнейшего изложения
понятие числа нулей функции ω(x, λ) как функции λ. Отсутствие корректного
определения этой функции в дальнейшем явится главным источником проблем.
2)
Так как при достаточно больших по модулю отрицательных λ функция (q − λ) отрицательна, то данное утверждение тривиально получается из
следствия.
§ 1.2. Современное псевдообоснование метода Штурма
17
мы убедимся, что при λ положительном и неограниченно возрастающем число нулей решения ω(x, λ), расположенных в интервале (a, b),
неограниченно растет. 1)
Рассмотрим уравнение
ω(x, λ) = 0.
На основании теоремы о неявных функциях корни этого уравнения непрерывно зависят от λ. Если x0 (a < x0 < b) есть нуль решения
ω(x, λ0 ), то любому достаточно малому числу ε соответствует
такое число δ , что при |λ − λ0 | < δ решение ω(x, λ) имеет в точности один нуль 2) в интервале |x − x0 | < ε. 3)
В силу предыдущей теоремы при возрастании λ каждый нуль функции ω(x, λ) передвигается влево. Через точку a нуль выйти не может,
так как число нулей не убывает. 4) Новые нули входят через точку b. 5)
Пусть μ0 есть первое значение параметра λ, для которого ω(b, λ) = 0.
Проведенное рассуждение, основанное на равномерном росте λ − c при
возрастании λ, заведомо неприменимо для общей задачи
1)
−(pu ) + qu = λmu,
где вместо λ − c необходимо гарантировать неограниченный рост λm − c при
λ → +∞, что невозможно, например, если inf m = 0.
2)
Почему в точности один?
3)
Здесь мы сталкиваемся с неуклюжей попыткой избежать корректного
применения теоремы о неявной функции, где необходима регулярность функции ω(x, λ) по обеим переменным. Для применения стандартной теоремы
о неявной функции здесь необходимо иметь уверенность в совокупной непре∂
∂
ω(x, λ) и
ω(x, λ). Отмеченная
рывности обеих частных производных,
∂x
∂λ
регулярность ω(x, λ) по x и по λ обсуждается в переиздании цитируемого
доказательства в книге [8], где в тексте добавлено рассуждение о том, что
функция ω(x, λ) при каждом фиксированном x является целой по λ. Это
обстоятельство мотивируется ссылкой на соответствующую теорему. Однако
гладкость ω(x, λ) по λ всего лишь при каждом фиксированном x еще не дает
права на проведение необходимых рассуждений.
4)
Более чем странное соображение, предполагающее, что при возрастании λ
нули не могут раздваиваться. Что мешает подобной бифуркации? Что означает
набор слов «выйти через точку a»? Как нуль может входить или выходить через
граничную точку? Куда он может выйти через точку a? Возможно, имеется
в виду, что «в никуда»! Но это, извините, уже и не математика.
5)
Это уже настоящая мистика. Откуда они входят? Почему число нулей
не может возрастать за счет того, что уже имеющиеся нули раздваиваются,
расстраиваются? И что это за «инкубатор» в точке x = b, в котором хранится
неограниченный запас очередных нулей функции ω(x, λ)? И какая сила эти
нули поочереди выталкивает?
18
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
Такое значение, очевидно, найдется. 1) Пусть μ1 — второе значение
параметра λ, для которого ω(b, λ) = 0 2), и т. д. Последовательность чисел μ0 , μ1 , μ2 , . . . , μm , . . . обладает тем свойством, что функция ω(x, λm )
имеет внутри интервала (a, b) ровно m нулей 3), причем ω(b, λm ) = 0.
Если sin β = 0, то μm суть собственные значения, и в этом случае
теорема доказана.
Пусть теперь sin β = 0 . . . »
Дальнейшие рассуждения из [16] мы не приводим в виду их серьезной запутанности и, самое главное, из-за того, что они в своей
основе лишены смысла. Однако это не значит, что отправная идея
Штурма, используемая в [16] и связывающая число нулей ω(x, λ) на
[a, b] зависимостью с λ, непродуктивна. Именно эту идею Штурма мы
облечем в корректную форму, для чего будет необходимо предельно
четко ответить на поставленные ниже вопросы.
§ 1.3. Основные проблемы обоснования метода
Штурма для общей регулярной задачи на отрезке
Далее рассматривается общая задача
−(pu ) + qu = λmu,
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0
с непрерывными вещественнозначными коэффициентами.
Для того чтобы реализовать в деталях схему Штурма, приняв соображения из [16] за наводящие рассуждения и воплотив их в корректные доказательства, нам, очевидно, необходимо выяснить следующие
обстоятельства:
1) регулярность функции ω(x, λ) на ее естественной области определения [0, l] × R;
∂
2) гарантия того, что функция
ω(x, λ) не имеет нулей при
∂λ
x ∈ [0, l], что позволит исключить бифуркации (слипание или
раздваивание) нулей при изменении λ;
1)
Так ли уж это очевидно? А если дополнительные нули возникают из
ниоткуда сразу внутри [a, b]?
2)
Вопрос о счетности множества нулей уравнения ω(b, λ) = 0 в [16] не
обсуждается.
3)
Почему ровно m нулей? Почему, например, при λ = μ1 функция ω(x, μ1 )
не может иметь двух нулей внутри (a, b)?
19
§ 1.4. Вариационная мотивация
3) более эффективное применение теорем Штурма при оценке числа нулей в задачах, где inf m = 0;
4) наконец, и это немаловажно, откуда и как «входят» дополнительные нули ω(x, λ) на [0, l].
Последняя трудность нами будет преодолена следующим образом:
мы продолжим исходное уравнение с отрезка [0, l] на полуось [0, +∞)
и изучим функцию ω(x, λ) на этой полуоси. Мы будем следить за
нулями функции ω(x, λ), расположенными на полуоси [0, +∞). Именно
справа от точки x = l нули нашей функции будут входить в отрезок
[0, l]. Но это означает, что нам придется обеспечить регулярные свойства функции ω(x, λ) при x ∈ [0, +∞]. И уже после этого объяснять
поведение нулей этой функции на отрезке [0, l].
∂
Отличие от нуля производной
ω(x, λ) связано с распределением
∂λ
нулей решения специальных дифференциальных неравенств, ранее не
изучавшихся.
§ 1.4. Вариационная мотивация
Нам представляется полезным объяснить физический смысл наших
предположений о знаках коэффициентов исходной задачи. Мы будем
исходить из ее общеизвестной связи с упругими колебаниями струны.
Чтобы отойти от полуинтуитивных мотиваций (см., например, [17, 18]
и др.), мы, следуя Гильберту, будем определять струну как минималь
функционала
l
Φ=
0
l
u2
p
dx − f u dx.
2
(1.4.1)
0
Этот подход соответствует классическим вариационным принципам,
согласно которым реальная форма должна являться минималью функционала потенциальной энергии, определенного на множестве всех
виртуальных (воображаемых) форм. В функционале (1.4.1), определенl
ном на некоторой виртуальной форме u(x), первое слагаемое
p
u2
dx
2
0
задает упругую энергию, накапливаемую струной за счет реакции на
растяжение. Величина p(x) — сила натяжения струны в точке x.
l
f u dx описывает потенциальную энергию, порож-
Второе слагаемое
0
даемую в целом на (0, l) воздействием внешней силы F (x). Здесь
полезно уточнить, что f (x) — не сила, а плотность внешней силы, так
что на элемент [x, x + dx] действует сила величины f (x) dx.
20
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
Становясь на эту точку зрения, мы для общей струны должны
записать соответствующий функционал в виде
l
Φ= p
l
l
u2
u2
u2 (0)
u2 (l)
dx + q dx − f u dx + α0
+ β0
.
2
2
2
2
0
0
(1.4.2)
0
Здесь мы предусмотрели возможность упругого закрепления концов.
Внеинтегальные слагаемые определяют потенциальную энергию, наl
капливаемую нашей системой на концах. Слагаемое q
u2
dx определя2
0
ет потенциальную энергию, накапливаемую системой за счет упругой
реакции внешней среды. При этом q(x) dx — локальный коэффициент
Гука применительно к элементу [x, x + dx]. Коэффициенты α0 , β0 определяются упругими граничными закреплениями.
Из сказанного ясно, что с физической точки зрения числа α0 , β0
и функции p(x), q(x) должны быть неотрицательными.
Первая вариация функционала (1.4.2) имеет вид
l
δΦ(u0 )h = α0 u0 (0)h(0) + β0 u0 (l)h(l) + (pu0 h + qu0 h − f h) dx = 0.
0
(1.4.3)
Далее, согласно Лагранжу, преобразуем первое подынтегральное
слагаемое методом интегрирования по частям:
l
l
l
(pu0 )h dx = pu0 dh =
0
[pu0 h]l0
0
− h d(pu0 ).
(1.4.4)
0
Из равенства нулю δΦ(u0 )h вытекает после естественных преобразований:
l
α0 u0 (0)h(0) + β0 u0 (l)h(l) +
[pu0 h]l0
l
− h d(pu0 ) + (qu0 h − f h) dx = 0,
0
0
(1.4.5)
или
l
α0 u0 (0)h(0) + β0 u0 (l)h(l) +
[pu0 h]l0
+ (−(pu0 ) + qu0 − f )h dx = 0.
0
В силу произвола h(x) имеем
l
(−(pu0 ) + qu0 − f ) dx = 0,
0
§ 1.4. Вариационная мотивация
21
α0 u0 (0) − p(0)u0 (0) = 0,
β0 u0 (l) + p(l)u0 (l) = 0.
Если краевые условия переписать в виде
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0,
то в качестве α1 и β1 должны, очевидно, фигурировать значения p(x)
при x = 0 и x = l.
Интерпретацию спектрального уравнения −(pu ) + qu = λmu мы
проведем, следуя Даламберу. Он предложил для колебаний струны
в качестве внешней силы, приложенной к элементу [x, x + dx], принимать силу, противостоящую силе инерции. Если m(x) — плотность
распределения масс, то элемент струны [x, x + dx] имеет массу m(x) dx
и сила инерции этого элемента должна быть равной m dx u
¨, где мы
полагаем: u = u(t, x) — форма струны с учетом времени и u
¨ — вторая
производная функции u(t, x) по времени. Так что в уравнении
−(pu ) + qu = f
мы теперь с учетом динамики вместо f должны ставить −m¨
u.
Если теперь поставить вопрос о гармонических колебаниях нашей
струны, когда u(x, t) может иметь вид A(x) sin(ωt + C), где ω —
неизвестная собственная частота, A(x) — соответствующая этому
колебанию амплитудная функция, то при подстановке этой формы
u(x, t) = A(x) sin(ωt + C) в уравнение мы будем иметь, очевидно,
[−(pAx (x))x + q(x)A(x)] sin(ωt + C) = m(x)A(x)ω 2 sin(ωt + C),
−(pAx (x))x + q(x)A(x) = m(x)A(x)ω 2 .
Таким образом, частоты собственных колебаний и соответствующие им контуры амплитудных функций A(x) должны определяться
уравнением
−(pu ) + qu = λmu
и условиями
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0,
что в обозначении ω 2 = λ приводит нас к классической задаче Штурма–
Лиувилля.
22
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
§ 1.5. Регулярные свойства функции ω(x, λ)
Применение метода Штурма для общей спектральной задачи Штурма–Лиувилля у нас будет связано с анализом функции ω(x, λ), определенной, как мы уже отмечали ранее, в виде решения уравнения
Lu ≡ −(pu ) + qu = λmu
с начальными условиями
u(0) = α1 ,
u (0) = α0 .
Для того чтобы ликвидировать главные недоразумения из [16],
а именно «проблему инкубатора» очередных нулей на правом конце
x = l, мы продолжим наше уравнение на полуось [0, +∞] следующим
образом. Сохраняя обозначения для продолженных функций, мы будем
считать, что при некотором ε > 0 p(x) ≡ 1, q(x) ≡ 0, m(x) ≡ 1 при
x l + ε, причем переход от значений функций p(x), q(x), m(x) из
промежутка [0, l] к значениям на полуоси [l + ε, +∞) осуществлен
регулярным образом, так что в целом p(x), q(x), m(x) на [0, l] принимают прежние значения и доопределены на [l, l + ε], так что в целом
на полуоси функция p(x) гладкая, а q(x), m(x) непрерывны. Ясно,
что решения этого расширенного уравнения, суженные на [0, l], будут
совпадать с решением исходного уравнения. При этом, что важно,
расширенное уравнение при x l + ε принимает вид −u = λu, так
что каждое решение расширенного уравнения является на промежутке [0, l] решением
исходного уравнения, а при x l + ε имеет вид:
√
u(x) = B cos( λ x + C), где B , C — некоторые постоянные, поэтому
при достаточно больших λ функция ω(x, λ) имеет справа от точки
x = l сколь угодно много нулей. Эти нули, как мы покажем, при
возрастании λ «дружно» движутся влево, что превращает полуось
[l, +∞) в тот самый «инкубатор нулей», въезжающих на отрезок [0, l]
через его правый конец.
Т е о р е м а 1.5.1. Функция ω(x, λ), определенная для продолженного на [0, +∞] уравнения
Lu ≡ −(pu ) + qu = λmu
с начальными условиями
u(0) = α1 ,
u (0) = α0 ,
обладает следующими свойствами:
1) при любых Λ, M она непрерывна по совокупности переменных при 0
λ Λ и 0 x M (W = {(x, λ) : 0 x M ,
0 λ Λ});
§ 1.5. Регулярные свойства функции ω(x, λ)
23
2) она непрерывно дифференцируема по λ на W , т. е. ее производная по λ существует и непрерывна на W ;
∂
ω(x, λ0 ) при каждом фиксирован3) эта производная ψ(x) =
∂λ
ном λ = λ0 удовлетворяет по x уравнению
−(pψ ) + qψ − λ0 mψ = mω(x, λ0 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция ω(x, λ) при каждом λ должна
удовлетворять тождеству
−(pω ) + qω = λmω.
Двукратное интегрирование этого тождества с учетом начальных условий приводит нас к равенству
x
ω=
1
p(t)
0
t
x
ω(s)(q(s) − λm(s)) ds dt + p(0)
0
dt
.
p(t)
0
Переписав последнее равенство в сокращенной форме:
ω = Aλ ω + z ,
где Aλ означает оператор
x
(Aλ ω)(x) =
1
p(t)
0
t
ω(s)(q(s) − λm(s)) ds dt,
0
мы можем представить его решение с помощью резольвентной формулы
Неймана:
∞
ω(x, λ) =
(Aλ )n z ,
(1.5.1)
n=0
n
где A означает n-ю итерацию A, т. е. An = A(A(.. . (A))), и справедливость представления (1.5.1) решения исходного уравнения может
быть обусловлена равномерной сходимостью функционального ряда,
определяющего правую часть (1.5.1). Последнее объясняет следующая
лемма.
Л е м м а 1.5.1. Для любого натурального n и произвольной функции ϕ(x) из C[0, l] справедливо неравенство
|(An (ϕ))(x)|
Cn ϕ
|x − x0 |2n
,
(2n)!
max |q(x)|
где C =
[0,l]
c0
, c0 = min p(x).
[0,l]
В (1.5.2) ϕ — норма ϕ в C[0, l], т. е. ϕ = max |ϕ(x)|.
[0,l]
(1.5.2)
24
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем по индукции. При n = 1 имеем
x
|(Aϕ)(x)|
(t − x0 ) dt = C ϕ
C ϕ
|x − x0 |2
,
2
x0
что и означает требуемое при n = 1.
Предположим, что неравенство (1.5.2) верно при n = k. Покажем
его справедливость при n = k + 1. Последовательно имеем
x
|(A
k+1
ϕ)(x)| =
1
p(t)
x0
x
t
(Ak ϕ)(s)q(s) ds dt
x0
t
C
ϕ |s − x0 |2k k
C ds dt
(2k)!
C k+1
ϕ |x − x0 |2k+2 .
(2k + 2)!
x0 x0
Лемма доказана.
Данная лемма означает по существу, что спектральный радиус оператора A равен 0. Последнее обстоятельство объясняет равномерную
сходимость и ряда, составленного из почленных производных для ряда
(1.5.1). Поскольку этот ряд будет также равномерно сходиться на W ,
то, во-первых, он обязан совпасть с производной по λ от функции
ω(x, λ), которая тем самым оказывается совокупно непрерывной на W .
Кроме того, легко проверяется, что функция
ψ(x) =
∂
ω(x, λ0 )
∂λ
при каждом фиксированном λ0 удовлетворяет уравнению
−(pψ ) + qψ − λmψ = mu(x, λ),
адекватному
−(pψ ) + qψ − λ0 mψ = mω(x, λ0 ).
Что и требовалось доказать.
Доказанная теорема станет основой для ответа на центральный вопрос метода Штурма: почему при возрастании λ нули функции ω(x, λ)
«уходят» влево?
§ 1.6. О неосцилляции некоторых
дифференциальных неравенств
Нам предстоит объяснить, почему при возрастании λ нули ω(x, λ)
«уходят» влево. Мы можем это сделать, опираясь на теорему о неявной
функции. Пусть χ(λ) — одна из ветвей неявной зависимости x(λ),
§ 1.6. О неосцилляции некоторых дифференциальных неравенств
25
определяемой уравнением ω(x, λ) = 0. По-другому, χ(λ) — параметризация одного из нулей функции ω(x, λ). Покажем, что χ (λ) < 0 в каждой точке λ0 , x0 = χ(λ0 ), удовлетворяющей уравнению ω(x0 , λ0 ) = 0.
Так как χ (λ) = −
ωλ
, то нам предстоит объяснить, почему ωx · ωλ > 0.
ωx
Для изучения распределения нулей функции ω(x, λ) нам придется
изучить поведение функции ωλ , которая, как мы выяснили, должна
удовлетворять уравнению
−(pu ) + (q − λm)u = ω.
Если обе части нашего равенства умножить на ω , то получим, что
наша функция должна удовлетворять дифференциальному неравенству
ω(−(pu ) + (q − λm)u)
0.
Анализ распределения нулей решений такого неравенства достаточно
нетривиален и опирается на понятие неосцилляции.
Напомним, что однородное дифференциальное уравнение
−(pu ) + qu = 0
(1.6.1)
называется неосциллирующим на отрезке [0, l], если любое нетривиальное решение этого уравнения имеет на отрезке [0, l] не более
одного нуля. Порождающий это уравнение оператор Lu ≡ −(pu ) + qu
в подобном случае также называется неосциллирующим.
Свойство неосцилляции для обыкновенных дифференциальных
уравнений играет фундаментальную роль в качественной теории. Из
теоремы сравнения Штурма следует теорема, усиливающая следствие
утверждения 1.2.1 [16].
Т е о р е м а 1.6.1. Для неосцилляции дифференциального оператора Lu = −(pu ) + qu достаточно, чтобы q 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x) — некоторая функция, удовле0 и имеющая два
творяющая уравнению −(pu ) + qu = 0 при q
различных нуля: τ1 , τ2 . Мы можем считать, что между этими нулями
u(x) > 0 (в противном случае можно рассмотреть функцию −u(x)).
Тогда на этом промежутке (τ1 , τ2 ) должно выполняться неравенство
(pu )
0, но между точками τ1 , τ2 данная функция u(x) наверняка имеет точку максимума, в которой наверняка вторая производная
неположительна, поэтому на промежутке (τ1 , τ2 ) (pu )(ξ) = 0. С другой
стороны, на этом промежутке (pu ) неотрицательна, следовательно,
pu — монотонная (неубывающая) функция и в точке ξ она равна нулю,
0, а справа pu
0 или u
0 слева
поэтому слева от точки ξ pu
0 справа, чего не может быть рядом с точкой максимума ξ .
иu
Что и требовалось доказать.
26
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
Т е о р е м а 1.6.2. Следующие свойства эквивалентны:
1) уравнение (1.6.1) имеет строго положительное на [0, l] решение;
2) решение u(x) уравнения (1.6.1) при условиях u(0) = 0, u (0) = 1
не имеет других нулей (точно так же и для v(l) = 0, v (l) = 1);
3) оператор Lu = −(pu ) + qu не осциллирует на [0, l];
4) существует хотя бы одно строго положительное решение
дифференциального неравенства
−(pu ) + qu
т. е. уравнения
при f
0,
−(pu ) + qu = f ,
0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Условие (2) адекватно условию Якоби вариационного исчисления. Эквивалентность (3)–(4) есть известная теорема Валле-Пуссена.
Докажем цепочку следствий 1) =⇒ 2) =⇒ 3) =⇒ 4) =⇒ 1).
Следствие 1) =⇒ 2). Обозначим положительное решение (1.6.1)
через u(x). Если η — отличный от x = 0 нуль решения v(x) уравнения
(1.6.1) с начальными условиями v(0) = 0 и v (0) = 1, то из теоремы
о перемежаемости нулей следует, что решение u(x) обязано менять
знак в (0, η), что невозможно.
2) =⇒ 3). Если существует решение u(x), которое в точках η1
и η2 (0 η1 < η2 l) обращается в нуль, то функция v(x), являясь
решением задачи Коши
Lu = 0,
u(0) = 0, u (0) = 1,
обязана обратиться в нуль на (η1 , η2 ), что также невозможно.
3) =⇒ 4) Если дифференциальный оператор Lu = −(pu ) + qu не
осциллирует, то сумма решений ϕ1 (x) и ϕ2 (x) задач
Lu = 0,
u(0) = 0, u (0) = 1
и
Lu = 0,
u(l) = 0, u (l) = −1
соответственно положительна.
Пусть v(x) — решение уравнения −(pu ) + qu = f при f
0,
удовлетворяющее условиям v(x0 ) = v (x0 ) = 0 при некотором x0 ∈ [0, l].
Пусть M > 0 таково, что при всех x ∈ [0, l] выполняется неравенство
M
|v(x)| M , η — такая точка, что ϕ1 (η) = ϕ2 (η). Пусть C1 =
min ϕ1
[η ,l]
§ 1.6. О неосцилляции некоторых дифференциальных неравенств
и C2 =
27
M
. Покажем, что u(x) = v(x) + C1 ϕ1 (x) + C2 ϕ2 (x) положиmin ϕ2
[0,η]
тельно на [0, l]. Если x ∈ [0, η], то
u(x)
−M + C1 ϕ1 (x) +
M
ϕ (x) > 0.
min ϕ2 2
[0,η]
Если же x ∈ [η , l], то
u(x)
−M +
M
ϕ (x) + C2 ϕ2 (x) > 0.
min ϕ1 1
[η ,l]
Таким образом, u(x) — положительное решение уравнения
−(pu ) + qu = f
при f 0.
Следствие 4) =⇒ 1) очевидно.
Т е о р е м а 1.6.3. Если дифференциальный оператор Lu =
= −(pu ) + qu не осциллирует на [0, l], то найдется функция
ϕ(x) > 0, такая что
Lu = −
1
d
pϕ2
ϕ
dx
u
ϕ
.
(1.6.2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϕ1 (x) и ϕ2 (x) — решения задач
Lu = 0,
u(0) = 0, u (0) = 1
и
Lu = 0,
u(l) = 0, u (l) = −1
соответственно. Положив ϕ(x) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x), легко убедиться в
справедливости представления (1.6.2).
Эта теорема означает, по существу, что неосциллирующий оператор
подобен второй квазипроизводной
d
d
σ1 (x) (σ0 (x)u)
dx
dx
1
1
при σ1 = − , σ1 = pϕ2 , σ0 = . Впервые в более простой ситуации
ϕ
ϕ
Lu ≡ σ2 (x)
(при p(x) ≡ 1) этот факт был установлен А. Пуанкаре (см. комментарии: [19]).
Наряду с дифференциальным уравнением рассмотрим дифференциальное неравенство
Lu 0,
(1.6.3)
под решением которого понимается функция u(x), удовлетворяющая
уравнению
Lu = f
(1.6.4)
при f
0.
28
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
Следующее понятие уточняет предыдущее понятие неосцилляции
на отрезке, концентрируя внимание на неосцилляции внутри интервала.
О п р е д е л е н и е 1.6.1. Будем говорить, что уравнение (1.6.1)
не осциллирует лишь внутри (0, l), если уравнение (1.6.1) является
неосциллирующим на любом подотрезке интервала (0, l) и не является таковым на всем отрезке [0, l].
В силу теоремы 1.6.2 описанное свойство наверняка выполняется
на промежутке (τ0 , τ1 ), если τ0 , τ1 — два соседних нуля некоторого
нетривиального решения уравнения (1.6.1).
Т е о р е м а 1.6.4. Пусть уравнение Lu = 0 не осциллирует лишь
внутри интервала (0, l). Тогда любое нетривиальное и неотрицательное на (0, l) решение u(x) неравенства (1.6.3) не имеет нулей
в (0, l), т. е. u(x) > 0 на (0, l). При этом u (0) = 0, если u(0) = 0
(аналогично u (l) = 0, если u(l) = 0).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем вначале, что если u(x) > 0 на
некотором (τ1 ; τ2 ) = (0; l) и u(τ1 ) = 0, то u (τ1 ) = 0. По условию уравнение Lu = 0 не осциллирует лишь внутри (0; l), следовательно, является
неосциллирующим на [τ1 ; τ2 ]. Тогда на основании теоремы 1.6.3 существует положительная на [τ1 ; τ2 ] функция ϕ(x), такая что
− (pu ) + qu ≡ −
Следовательно, pϕ2
u
ϕ
жить, что u (τ1 ) = 0, то
(x)
0и
u
ϕ
.
(x) не возрастает на [τ1 ; τ2 ]. Если предполоu
ϕ
(τ1 ) = 0. Отсюда вытекают неравенства
u
(x) является невозрастаюϕ
u
щей на [τ1 ; τ2 ] функцией, что вместе с u(τ1 ) = 0 означает
(x) 0
ϕ
pϕ2
u
ϕ
1
u
pϕ2
ϕ
ϕ
(x)
0. Тогда
при всех x ∈ [τ1 ; τ2 ]. Последнее неравенство противоречит предположению u(x) > 0 (ϕ(x) > 0). Таким образом, из неравенства u(τ ) = 0 для
некоторой точки τ вытекает неравенство u (τ ) = 0.
Покажем теперь, что u(x) > 0 для всех x, принадлежащих интервалу (0; l). Предположим противное: найдется точка x0 в которой
u(x) обращается в нуль, т. е. u(x0 ) = 0. Обозначим через [τ1 ; τ2 ] —
максимальный отрезок на котором u(x) ≡ 0. Заметим, что отрезок
[τ1 ; τ2 ] может состоять всего из одной точки. По условию теоремы
[τ1 ; τ2 ] = [0; l]. Поэтому, либо τ1 > 0, либо τ2 < l, либо 0 < τ1 τ2 < l.
Рассмотрим случай τ1 > 0. Тогда на отрезке [τ1 − ε1 ; l], где 0 < ε1 < l,
существует положительное решение однородного уравнения Lu = 0, такое что справедливо (1.6.2) при всех x ∈ [τ1 − ε1 ; l]. Тогда на [τ1 − ε1 ; l]
§ 1.6. О неосцилляции некоторых дифференциальных неравенств
выполняется неравенство pϕ2
u
ϕ
29
0, которое означает невоз-
(x)
растание на [τ1 − ε1 , l] функции ψ(x) = pϕ2
u
ϕ
(x). Поэтому если
у функции ψ(x) и имеет место перемена знака, то с «+» на «−».
С другой стороны, на отрезке [τ1 ; τ2 ] (или в точке τ1 , если τ1 = τ2 )
u
u
достигает минимума, поэтому
(x) ≡ 0 на [τ1 ; τ2 ]
функция
ϕ
и
u
ϕ
ϕ
(x) < 0 в некоторой левосторонней окрестности (τ1 − ε2 ; τ1 )
u
ϕ
(x) меняет знак с «−» на
«+», следовательно, и функция ψ(x), и мы приходим к противоречию).
Тогда ψ(x) ≡ 0 и ψ(x) < 0 для всех x ∈ (τ1 − ε2 ; τ1 ), что противоречит
установленной перемене знака с «+» на «−».
Случай τ2 < l рассматривается аналогично.
Таким образом, u(x) > 0 для всех x ∈ (0; l). Пусть u(0) = 0. Предположим, что u (0) = 0. На отрезке [0; l − ε] (0 < ε < l) уравнение Lu = 0
не осциллирует, следовательно, существует положительное решение
точки τ1 . (Если τ1 = τ2 , то производная
ϕ(x), такое что на [0; l − ε] справедливо (1.6.2). Тогда pϕ2
u
ϕ
0
u
(x) не возрастает на [0; l − ε]. Так как u(0) = 0
ϕ
u
u
u
(0) = 0 и pϕ2
(0) = 0. Слеи u (0) = 0, то
(0) = 0,
ϕ
ϕ
ϕ
u
u
(x) 0. Отсюда следует, что
(x) 0 для
довательно, pϕ2
ϕ
ϕ
u
всех x ∈ [0; l − ε], т. е. (x) не возрастает на [0; l − ε], что вместе
ϕ
u
u
с равенством (0) = 0 означает справедливость неравенств (x) 0 и
ϕ
ϕ
на [0; l − ε] и pϕ2
u(x) 0 для всех x ∈ [0; l − ε], что противоречит неравенству u(x) > 0.
Импликация u(l) = 0 =⇒ u (l) = 0 доказывается аналогично. Теорема доказана.
Т е о р е м а 1.6.5. Пусть L не осциллирует лишь внутри (0, l).
Тогда каждое решение неравенств
Lu
0,
u(0)
0,
u(l)
0
(1.6.5)
превращает их в равенства, т. е. оказывается решением задачи
Lu = 0, u(0) = 0, u(l) = 0.
(1.6.6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как L не осциллирует лишь в (0, l),
то существует положительное решение v(x) уравнения Lu = 0. Пусть
u(x) — нетривиальное решение (1.6.5). Несложно показывается, что
u
u(x) 0 на [0, l]. Рассмотрим ϕ = . Если она не является константой
v
и если ее нижняя грань λ0 = inf ϕ достигается в одной из точек x0 ∈
(0,l)
30
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
∈ (0, l), то h = u − λ0 v будет противоречить теореме 1.6.4. Получаем
утверждение теоремы.
Пусть теперь λ0 = inf ϕ достигается в одной из граничных точек.
(0,l)
Если λ0 > −∞, то из конечности λ0 (так как, очевидно, λ0 < ∞)
и равенства v(a) = 0 следует, что u(a) = 0. Но тогда λ0 =
u (a)
v (a)
и неотрицательная на (0, l) функция h = u − λ0 v , удовлетворяющая
неравенству Lh 0, имеет в точке x = a нулевое значение и нулевую
производную, что, по теореме 1.6.4, влечет h ≡ 0.
Что и требовалось доказать.
О тривиальности этого факта свидетельствует следующий пример:
если u(x) неотрицательна в точках x = 0, x = π и если она удовлетворяет на отрезке [0, π] неравенству −u
u, то наверняка u(x) ≡ C sin x
для некоторой константы C .
Т е о р е м а 1.6.6. Пусть v0 (x) — нетривиальное решение краевой
задачи
Lu = 0, u(0) = u(l) = 0
(1.6.7)
и u0 (x) — решение неравенства
v0 (x)Lu
0,
v0 (l)u(l)
0,
(1.6.8)
причем u(0) = 0. Тогда найдется такая константа C , что u(x) ≡
≡ Cv0 (x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проведем индукцией по количеству нулей v0 (x) в (0, l). Если v0 (x) сохраняет знак в (0, l), утверждение следует из теоремы 1.6.5.
Предположим, что теорема верна для k точек, в которых v0 (x) обращается в нуль. Если {ξi }1k+1 — нули решения v0 (x), то на интервале
(0, ξ1 ) выполнены все условия теоремы 1.6.4, что влечет u(x) ≡ C0 v0 (x)
при некоторой C0 . Теперь на (ξ1 , l) выполняются все предпосылки
теоремы и у v0 (x) k нулей, тогда по предположению индукции существует константа C1 , для которой u(x) ≡ C1 v0 (x) на (ξ1 , l). Остается
доказать, что C0 = C1 . Для этого заметим, что pv0 непрерывна. Тогда
из непрерывности pu и pu0 следует, что отношения производных
и
u0 (ξ1 )
u0 (ξ)
v0 (ξ1 )
p(ξ1 )
одинаковы (и равны
= 1). Отсюда вытекает, что C0 = C1 .
p(ξ1 )
v0 (ξ)
Поэтому u(x) ≡ C0 v0 (x) на всем (0, l). Теорема доказана.
Описанное доказательство легко переносится на случай, когда краевые условия в задаче (1.6.7) заменены на условия: α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
u(l) = 0 (|α0 | + |α1 | > 0, α0 · α1 0).
С л е д с т в и е 1.6.1. Для каждого λ0 и x0 = χ(λ0 ) (таких, что
∂
ω(x0 , λ0 ) = 0) наверняка
ω(x0 , λ0 ) = 0.
∂λ
§ 1.7. О поведении нулей функции ω(x, λ) на отрезке [0, l]
31
∂
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция ψ(x) =
ω(x, λ0 ), как нетрудно
∂λ
видеть, удовлетворяет уравнению
−(pψ ) + qψ − λ0 mψ = mω(x, λ0 ).
(1.6.9)
Тогда, как следствие, она удовлетворяет (в силу очевидного неравенства ω 2 (x, λ0 ) 0) неравенству
−ω(x, λ0 )(pψ ) + ω(x, λ0 )qψ − ω(x, λ0 )λ0 mψ
0,
полученному в результате домножения обеих частей предыдущего равенства на ω(x, λ0 ).
Согласно теореме 1.6.6 мы должны получить, что функция ψ(x)
превращает предыдущее неравенство в тождество, т. е. обращает левую
часть этого неравенства в тождественный нуль. Но тогда тождественным нулем окажется и правая часть тождества
−ω(x, λ0 )(pψ ) + ω(x, λ0 )qψ − ω(x, λ0 )λ0 mψ = mω 2 (x, λ0 ),
откуда неизбежно следует, что ω(x, λ0 ) ≡ 0, что невозможно.
§ 1.7. О поведении нулей функции ω(x, λ)
на отрезке [0, l]
С л е д с т в и е 1.7.1. В процессе эволюции нулей χk (λ) при возрастании λ эти нули не склеиваются, т. е. не оказываются совпадающими при общем значении λ.
В самом деле, в силу монотонности функции χk (λ) предположение
о совпадении значений χk и χk+1 при разных значениях означает: на
соответствующем промежутке λ функция χk (как и χk+1 ) оказывается
постоянной по λ, т. е. имеет тождественно нулевую производную на
соответствующем промежутке, что противоречит предыдущему факту.
Перейдем к анализу эволюции нулей функции ω(x, λ). При λ = 0
на [0, l] у этой функции нулей быть не может.
П р е д л о ж е н и е 1.7.1. При λ = 0 на [0, l] функция ω(x, λ) нулей
не имеет.
В самом деле, функция ω(x, 0) удовлетворяет на [0, l] уравнению
−(pω ) + qω = 0
(1.7.1)
и начальным условиям
ω(0) = α1 ,
ω (0) = α0
на левом конце. Из уравнения (1.7.1) видно: (pω ) = qω . В силу
краевых условий ω(0) = α1
0, ω (0) = α0
0. Если ω(x, 0) имеет
32
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
хотя бы один нуль на [0, l], то на [0, l] должна быть точка максимума
x = τ , где ω(τ , 0) должна быть строго больше нуля, производная (pω )
обязана менять знак с «+» на «−», но, согласно уравнению (1.7.1),
вторая производная (pω ) = qω наверняка сохраняет знак вместе с ω
на [0, l].
П р е д л о ж е н и е 1.7.2. При достаточно большом λ функция
ω(x, λ) имеет сколь угодно много нулей на [0, l].
В самом деле, так как m 0 и не является тождественным нулем,
то в силу непрерывности m(x) существует некоторый отрезок [τ1 , τ2 ],
на котором m(x) > 0.
Пусть γ0 = min m(x).
[τ1 ,τ2 ]
Мы будем сравнивать с помощью теоремы Штурма наше уравнение
−(pu ) + (q − λm)u = 0
(1.7.2)
со следующим вспомогательным:
−(pu ) +
n2
u = 0.
p(x)
(1.7.3)
Решениями этого последнего уравнения являются функции вида
x
un (x) = sin n(σ(x) + C) при σ(x) =
dτ
.
p(τ )
0
Очевидно, что при больших n эти решения последнего уравнения
имеют сколь угодно много нулей. Для того чтобы решение нашего
исходного уравнения (1.7.2) имело не меньшее число нулей хотя бы
на [τ1 , τ2 ], по теореме Штурма достаточно, чтобы коэффициенты этих
двух уравнений были связаны следующим неравенством:
q − λm
Так как m
−
n2
.
p(x)
γ0 , то последнее неравенство наверняка выполняется, если
λ
−
n2
q
+ .
γ0 p
γ0
Таким образом, мы можем подобрать такие достаточно большие значения λ, что уже только на [τ1 , τ2 ] решения исходного уравнения будут
иметь нули в достаточно большом количестве, определяемом n.
Из доказанного факта следует: если мы при каждом фиксированном λ перенумеруем нули ω(x, λ) как χ0 (λ), χ1 (λ), . . . , χm (λ), то в силу
принятого упорядочения при достаточно большом λ самый маленький
нуль χ0 (λ) наверняка окажется внутри [0, l]. По пути туда этот нуль
χ0 (λ), убывая при возрастании λ, будучи непрерывно зависимым от λ,
при некотором λ = λ0 совпадет с точкой x = l и при λ > λ0 он «перепол-
§ 1.8. Случай общего условия на правом конце
33
зет» в [0, l]. Все следующие нули χ1 (λ) < . . . < χm (λ), также монотонно
убывая при возрастании λ, т. е. сдвигаясь влево по Ox, тоже будут
поочередно совпадать с точкой x = l при λ, соответственно обозначаемых через λ1 , λ2 , . . . , λm , так что каждая функция ω(x, λk ) будет иметь
внутри [0, l] точно k нулей χ0 , . . . , χk−1 и обращаться в нуль при x = l.
Тем самым функции ϕ0 = ω(x, λ0 ), ϕ1 = ω(x, λ1 ), . . . , ϕm = ω(x, λm )
будут являться собственными функциями для задачи
−(pu ) + qu = λmu,
α0 u(0) − α1 u (0) = 0, u(l) = 0.
§ 1.8. Случай общего условия на правом конце
Изложенные свойства распределения нулей собственных функций
верны для краевой задачи (1.7.2), у которой на правом конце [0, l]
краевое условие имеет вид
β0 u(l) + β1 u (l) = 0.
Обозначим через h(u) функционал, порождающий это условие:
h(u) = β0 u(l) + β1 u (l).
Напомним наше исходное предположение о положительности β0 , β1 .
Рассмотрим функцию g(λ) = h(ω(x, λ)), непрерывную по λ.
Очевидно, что значения λ, обращающие эту функцию в нуль, будут являться собственными значениями исходной задачи. Если число
λ = μ0 будет являться одним из таких значений, то функция ω(x, μ0 )
будет являться соответствующей собственной функцией. И все изученные выше осцилляционные свойства функции ω(x, λ) будут тем самым
наследоваться собственными функциями исходной задачи.
Изучим это обстоятельство более детально. Рассмотрим функцию
g(λ) = h(ω(x, λ)) (непрерывную, напомним, по λ) при малых λ. При
λ = 0 соответствующее значение g(0) определяется в виде
β0 ω(l, 0) + β1 ω (l, 0) = 0.
Значения λ (= λ0 , λ1 , . . .), при которых g(λk ) аннулируется в правом
конце x = l, мы будем называть критическими числами g(x, λ) для
общей задачи.
Ранее было показано, что ω(x, 0) не имеет нулей слева от точки
x = l и тем самым имеет критическое число в x = l. Рассмотрим
поведение функции g(λ) = h(ω(x, λ)) между критическими значениями
λ0 , λ1 , . . . , λk функции ω(x, λ). Функция g(λ), очевидно, непрерывна
2 Ю. В. Покорный, Ж. И. Бахтина, М. Б. Зверева, С. А. Шабров
34
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
по λ. Мы убедились только что в том, что g(λ0 ) > 0. Рассмотрим
значение g(λ) при λ = λ1 :
g(λ1 ) = h(ω(x, λ1 )) = β0 ω(l, λ1 ) + β1 ω (l, λ1 ) = β1 ω (l, λ1 ).
Последнее число меньше нуля и поэтому функция g(λ), меняя знак
на [λ0 , λ1 ], должна при некотором μ = μ0 ∈ [λ0 , λ1 ] обращаться в нуль.
Это значение μ0 будет являться наименьшим собственным значением
соответствующей общей исходной задачи, а ω(x, μ0 ) — собственной
функцией, соответствующей этому собственному значению.
Аналогично показывается существование других собственных значений μ1 , μ2 , . . . , расположенных между критическими числами λ1 , λ2 , . . .
функции ω(x, λ).
§ 1.9. Другие свойства спектра общей задачи
Штурма–Лиувилля
Описанные выше свойства собственных функций исторически являются первыми, установленными Штурмом. Эти свойства позднее
пополнялись вместе с расширением понятия спектра. Поскольку понятие спектра как в физике, так и в математике употребляется подчас
в разных смыслах (например, под спектром понимают совокупность
собственных значений), мы уточним понятие спектра в соответствии
с понятиями общего линейного анализа (см., например, [7, 20, 21]).
1.9.1. Общие спектральные понятия. В математической литературе с понятием спектра ассоциируются разные представления. В линейной алгебре спектром матрицы A называется множество решений
характеристического уравнения
det(λI − A) = 0.
Если при этом λ0 — точка спектра матрицы A, то может существовать
вектор h ∈ Rn , такой что Ah = λ0 h.
В этом случае h — собственный вектор, соответствующий собственному значению λ0 . Другими словами, для матрицы собственное
значение и точка спектра — синонимы. Некоторые недоумения могут
возникать, если A — вещественная матрица, а решение λ0 соответствующего характеристического уравнения является комплексным числом, что непредосудительно для случая вещественных коэффициентов.
Какой смысл в собственном векторе? Существует ли вещественный
собственный вектор, соответствующий невещественному собственному
значению? Эти вопросы в курсе алгебре заретушированы, хотя и оказались кардинальными в теории колебаний.
§ 1.9. Другие свойства спектра общей задачи Штурма–Лиувилля
35
Следующий вопрос, который естественным образом возникает у читателя: а могут ли в спектре содержаться числа, отличные от собственных значений? Для того чтобы устранить неясность в этих и других
подобных вопросах, мы напомним общую позицию линейной теории
операторов (см., например, [21]).
Пусть E — линейное пространство (нормированное или топологическое) над полем вещественных чисел. Пусть A — линейный оператор,
действующий в E : AE ⊂ E .
О п р е д е л е н и е 1.9.1. Число λ называется регулярным для A,
если оператор (λI − A)−1 существует, определен на всем E и непрерывен. Это значит, что уравнение λu − Au = z однозначно разрешимо при ∀ z ∈ E , причем решение непрерывно зависит от z .
Любое другое значение λ называют сингулярным для оператора A,
а совокупность таких λ называют спектром оператора A.
Если оператор A непрерывен (ограничен), то все точки его спектра
удовлетворяют неравенству
|λ|
A .
Объясняется этот факт тем, что при |λ| > A решение уравнения
λu − Au = z существует и может быть задано в виде так называемого
ряда Неймана:
∞
u(x, λ) =
(Aλ )n z ,
n=0
который при |λ| > A сходится по норме пространства E .
Примером точки спектра оператора A может являться любое его
собственное значение, т. е. такое число λ, что для некоторого ненулевого u ∈ E выполняется равенство
Au = λu.
Ненулевой элемент u, удовлетворяющий этому равенству, называется собственным вектором A, отвечающим этому собственному
значению оператора A.
Принадлежность такого λ спектру оператора A очевидна. А могут
ли в спектре оператора A содержаться числа, не являющиеся собственными значениями? Вопрос далеко не риторический. Ответ наверняка
отрицательный, если A — матрица, а также в случае, если A —
дифференциальный оператор при «хороших» краевых условиях. Однако спектр без собственных значений наблюдается, например, у тривиального примера оператора (Au)(t) ≡ tu(t), действующего непрерывно в пространстве C[0, 1]. Здесь определяющее спектр уравнение
2*
36
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
принимает вид: λu(t) − tu(t) = z(t), и если бы существовал оператор
(λI − A)−1 , то он должен был бы иметь вид
(λI − A)−1 u(t) =
1
u(t),
λ−t
что возможно только при λ, не принадлежащем отрезку [0, 1]. Поэтому
спектр этого оператора состоит из точек отрезка [0, 1].
Для собственных значений имеет место понятие их кратности.
О п р е д е л е н и е 1.9.2. Говорят, что для собственного значения λ0 его геометрическая кратность k, если существует не менее k линейно независимых собственных векторов h1 , . . . , hk , отвечающих одному и тому же собственному значению, т. е. Ahi = λ0 hi
(i = 1, . . . , k).
Наряду с геометрической кратностью важным оказывается понятие
алгебраической кратности. А именно:
О п р е д е л е н и е 1.9.3. Говорят, что собственное значение λ0
имеет алгебраическую кратность, не меньшую k, если существует
нетривиальный вектор g , такой что
(λI − A)k g = 0.
Если собственное значение λ0 , соответствующее h0 , не является
алгебраически простым, то согласно вышесказанному существует вектор g1 , такой что Au = λ0 u + h0 имеет нетривиальное решение. Это
решение называется присоединенным к h0 элементом.
Согласно предыдущему изложению, алгебраическая простота λ0
для оператора A означает отсутствие элементов, присоединенных
к собственному вектору, соответствующему λ0 .
1.9.2. О комплексных точках спектра. При разговоре об операторе A, действующем в вещественном исходном пространстве E , при
описании комплексных точек спектра полезно ввести «комплексификацию» исходного пространства: E = E + iE = {u + iv : u, v ∈ E}. Линейные операции в E вводятся естественным образом. Вещественный
оператор A, действовавший в исходном пространстве E , распространяется на E по правилу
A(u + iv) = Au + iAv.
С этой точки зрения комплексное число λ = α + iβ является собственным значением для оператора A (точнее — A), если существует
элемент z = z1 + iz2 в пространстве E , такой что Az = λz . Или,
переписывая через вещественные компоненты,
Az1 = αz1 − βz2 ,
Az2 = βz1 + αz2 .
§ 1.9. Другие свойства спектра общей задачи Штурма–Лиувилля
37
Эти два последних равенства представлены в чисто вещественных параметрах. Они означают, что в двумерном пространстве E 2 , натянутом
на векторы z1 , z2 , оператор A действует в виде матрицы
α −β
,
β α
осуществляя растяжение с коэффициентом
β
угол γ = arctg .
α2 + β 2 и поворот на
α
1.9.3. Спектр регулярной задачи Штурма–Лиувилля состоит только из собственных значений. Согласно изложенному выше
спектр общей задачи Штурма–Лиувилля состоит из тех и только тех
значений λ, для каждого из которых для задачи
Lu ≡ −(pu ) + qu − λmu
при условиях
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0
(1.9.1)
(1.9.2)
регулярными называются те и только те значения λ, при которых
уравнение
−(pu ) + qu − λmu = f
(1.9.3)
при условиях
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0
(1.9.4)
однозначно разрешимо при любой правой части, от которой решение
зависит непрерывно. Для упрощения разговора сделаем шаг в сторону
(забыв временно о параметре λ) и рассмотрим задачу
Lu ≡ −(pu ) + qu = f
при условиях
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0.
(1.9.5)
(1.9.6)
Мы называем такую задачу невырожденной, если она однозначно
разрешима для любой функции f ∈ C[0, l].
Т е о р е м а 1.9.1. Для невырожденности краевой задачи (1.9.5)–
(1.9.6) необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная задача
Lu ≡ −(pu ) + qu = 0
(1.9.7)
38
при условиях
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0
(1.9.8)
имела только тривиальное решение u ≡ 0. (Это утверждение эквивалентно знаменитой теореме Фредгольма.)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Общее решение уравнения (1.9.5) можно
представить в виде
u = C1 ϕ 1 + C2 ϕ 2 + z ,
(1.9.9)
где C1 , C2 — произвольные постоянные, ϕ1 , ϕ2 — какая-либо фундаментальная система однородного уравнения, z — какое-либо частное
(конкретное) решение неоднородного уравнения. Существование ϕ1 ,
ϕ2 , z следует из теорем в силу непрерывности коэффициентов. В частности, в качестве z можно взять решение любой задачи Коши для
уравнения. При этом, если фиксировать эту задачу Коши, то z будет
непрерывно (по метрике C[0, l]) зависеть от правой части f уравнения
(1.9.5). Вопрос о существовании решения задачи эквивалентен вопросу
о существовании таких C1 , C2 , при которых функция (1.9.9) удовлетворяет краевым условиям (1.9.8). Последнее свойство эквивалентно
однозначной разрешимости линейной относительно C1 , C2 алгебраической системы
C1 h(ϕ1 ) + C2 h(ϕ2 ) = −h(f ),
(1.9.10)
C1 g(ϕ1 ) + C2 g(ϕ2 ) = −g(f ),
где через h, g мы временно обозначили функционалы, порожденные
краевыми условиями (1.9.8), т. е.
h(u) ≡ α0 u(0) − α1 u (0),
g(u) ≡ β0 u(l) + β1 u (l).
(1.9.11)
Последняя система (1.9.10) однозначно разрешима при любых правых
частях тогда и только тогда, когда определитель
Δ=
h(ϕ1 ) h(ϕ2 )
g(ϕ1 ) g(ϕ2 )
отличен от нуля. Последнее условие необходимо и достаточно для того,
чтобы соответствующая (1.9.10) однородная система
C1 h(ϕ1 ) + C2 h(ϕ2 ) = 0,
C1 g(ϕ1 ) + C2 g(ϕ2 ) = 0
(1.9.12)
имела только тривиальное решение C1 = 0, C2 = 0, но это необходимое
и достаточное условие того, чтобы исходная однородная задача (1.9.7)–
§ 1.10. Функция Грина
39
(1.9.8) имела только тривиальное решение (при C1 = C2 = 0). Теорема
доказана.
Понятие невырожденности удобно для анализа спектра исходной
задачи. А именно, число α является регулярной точкой для исходной
задачи, если эта задача невырождена в описанном выше смысле. Согласно предыдущей теореме, число λ не является регулярной точкой
тогда и только тогда, когда исходная краевая задача вырождена, т. е.
соответствующая однородная задача имеет нетривиальное решение,
но это и значит, что соответствующее значение λ оказывается собственным.
Таким образом, спектр регулярной задачи Штурма–Лиувилля состоит только из собственных значений.
§ 1.10. Функция Грина
Для невырожденной задачи
Lu ≡ −(pu ) + qu = f
при условиях
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0
(1.10.1)
(1.10.2)
имеет место следующий важный факт.
Т е о р е м а 1.10.1. Существует
(эту функцию называют функцией
x, s
l, такая что для
рате 0
соответствующее решение задачи
записано в виде
l
непрерывная функция G(x, s)
Грина), определенная на квадпроизвольной функции f ∈ C
(1.10.1)–(1.10.2) может быть
u(x) = G(x, s)f (s) ds.
0
Д о к а з а т е л ь с т в о можно найти, например, в [20, 22, 23].
Понятие функции Грина позволило М. Г. Крейну дать четкое обоснование метода Даламбера сведением статической задачи (1.10.1)–
(1.10.2) к динамической
−
при условиях
d
d
d2 u
p(x) u + q(x)u = −m(x) 2
dx
dx
dt
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0.
(1.10.3)
(1.10.4)
40
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
Объяснение, которое нами дано ранее, является по сути чисто интуитивным. Если u(x, t0 ) — форма колеблющейся струны в какой-то
момент t0 , подчиняющаяся уравнению −(pu ) + qu = f , то величина
f (x) определяется силой инерции, возникающей при движении элемента струны [x, x + dx]. Если учесть, что этот элемент струны имеет
массу m(x) dx, то соответствующая сила инерции соответственно равна m(x)
d2 u
dx. Тогда соответствующая внешняя сила, определяемая
dt2
инерцией всей струны, будет равна
l
u¨m(x) dx,
0
l
т. е. должно выполняться равенство F =
u¨m(x) dx. Тогда согласно
0
предыдущей теореме форма струны должна определяться равенством
l
u(x) = G(x, s)¨
um(s) ds, что является строгим вариантом полуинтуи0
тивно объясненного ранее равенства −(pu ) + qu = −m¨
u.
§ 1.11. Другие свойства спектра
Л е м м а 1.11.1. Собственные функции u(x, λ1 ) и u(x, λ2 ), соответствующие различным собственным значениям, ортогональны
с весом m(x), т. е.
l
u(x, λ1 )u(x, λ2 )m(x) dx = 0.
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем обозначения: ϕ(x) = u(x, λ1 ),
ψ(x) = u(x, λ2 ). Проинтегрируем дважды по частям интеграл
l
(pϕ ) ψ dx:
0
l
l
(pϕ ) ψ dx = pϕ
0
ψ|l0
− pψ ϕ dx =
0
l
= p(l)ϕ (l)ψ(l) − p(0)ϕ (0)ψ(0) − pψ ϕ dx =
0
41
§ 1.11. Другие свойства спектра
l
= p(l)ϕ (l)ψ(l) − p(0)ϕ (0)ψ(0) − pψ
ϕ|l0
+ (pψ ) ϕ dx =
0
= p(l)ϕ (l)ψ(l) − p(0)ϕ (0)ψ(0) − p(l)ψ (l)ϕ(l) + p(0)ψ (0)ϕ(0) +
l
l
+ (pψ ) ϕ dx = p(0)W [ϕ, ψ](0) − p(l)W [ϕ, ψ](l) + (pψ ) ϕ dx,
0
0
где через W [ϕ, ψ](x) обозначен определитель Вронского
W [ϕ, ψ](x) =
ϕ(x) ψ(x)
.
ϕ (x) ψ (x)
Тогда имеет место тождество
l
l
ψLϕ dx = p(l)W [ϕ, ψ](l) − p(0)W [ϕ, ψ](0) + ϕLψ dx,
0
(1.11.1)
0
или, с учетом того что Lϕ = λ1 mϕ и Lψ = λ1 mψ ,
l
(λ1 − λ2 ) mϕψ dx = p(l)W [ϕ, ψ](l) − p(0)W [ϕ, ψ](0).
(1.11.2)
0
Покажем, что правая часть последнего равенства равна нулю. Для
этого установим равенство
p(0)W [ϕ, ψ](0) = p(l)W [ϕ, ψ](l).
(1.11.3)
Докажем, что p(0)W [ϕ, ψ](0) = 0 (для второго равенства рассуждения
аналогичны). В условиях
α0 u(0) − α1 u (0) = 0,
β0 u(l) + β1 u (l) = 0
выразим ϕ (0) и ψ (0) через ϕ(0) и ψ(0) соответственно (это можно
сделать, однако, при условии sin α = 0; в случае же, когда sin α = 0, мы
имеем: ϕ(0) = ψ(0) = 0, L ≡ −(pu ) + qu = λmu, и (1.11.3) очевидно):
ϕ (0) = −ϕ(0) ctg α,
ψ (0) = −ψ(0) ctg α.
Подставив эти равенства в p(0)W [ϕ, ψ](0), получим
p(0)W [ϕ, ψ](0) = p(0)
ψ(0)
ϕ(0)
.
−ϕ(0) ctg α −ψ(0) ctg α
Теперь (1.11.3) становится очевидным.
42
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
Окончательно из (1.11.2) находим
l
(λ1 − λ2 ) mϕψ dx = 0,
0
а так как λ1 = λ2 , то
l
mϕψ dx = 0,
0
и лемма доказана.
С л е д с т в и е 1.11.1. В силу (1.11.3) из (1.11.1) получаем, что
для любых решений краевой задачи (1.10.3)–(1.10.4) справедливо
равенство
l
l
ψLϕ dx = ϕLψ dx.
0
(1.11.4)
0
Л е м м а 1.11.2. Алгебраическая и геометрическая кратности
собственных значений (1.10.3)–(1.10.4) равны единице.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что геометрическая
кратность собственных значений равна единице. Последнее означает,
что две собственные функции, отвечающие одному и тому же
собственному значению, линейно зависимы.
Предположим, что найдутся две линейно независимые собственные
функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x), отвечающие собственному значению λ0 . Рассмотрим функцию
ϕ(x) = ϕ2 (0)ϕ1 (x) − ϕ1 (0)ϕ2 (x).
Если sin α = 0, то в качестве функции ϕ(x) нужно взять ϕ(x) =
= ϕ2 (0)ϕ1 (x) − ϕ1 (0)ϕ2 (x). Функция ϕ(x) удовлетворяет уравнению
Lu − λ0 mu = 0
и нулевым начальным условиям u(0) = u (0) = 0, следовательно,
ϕ(x) ≡ 0 (в силу единственности решения задачи Коши). Но тогда из
линейной независимости ϕ1 (x) и ϕ2 (x) вытекает, что ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = 0,
откуда следует, что ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = 0, что противоречит нетривиальности ϕ1 (x) и ϕ2 (x).
Покажем отсутствие присоединенных функций. Предположим, что
ψ(x) — присоединенная функция. Тогда ψ(x) является решением уравнения
Lu = λ0 mu + mϕ(x),
(1.11.5)
§ 1.11. Другие свойства спектра
43
и удовлетворяет краевым условиям (1.10.4) (здесь ϕ(x) — собственная
функция, отвечающая собственному значению λ0 ). Подставляя ψ(x)
в уравнение (1.11.5), умножая на ϕ(x) и интегрируя, получим
l
l
l
ϕLψ dx = λ0 mϕψ dx + mϕ2 dx,
0
0
0
l
l
l
с учетом (1.11.4),
ψLϕ dx = λ0 mϕψ dx + mϕ2 dx.
0
0
0
Теперь, в силу равенства Lϕ = λ0 mϕ, получаем
l
mϕ2 dx = 0,
0
откуда следует, что ϕ(x) ≡ 0, а это невозможно. Лемма доказана.
Таким образом, каждому собственному значению задачи (1.10.3)–
(1.10.4) соответствует с точностью до константы только одна собственная функция. Заметим сразу, что не всякая двухточечная задача
обладает описанным свойством. Например, рассмотрим задачу
u + λu = 0,
u(0) = u(l), u (0) = u (l).
Ясно, что краевые условия здесь не могут быть представлены в виде
(1.10.4). Легко проверить, что собственным значениям этой задачи
λn = (2πn)2 отвечают собственные функции
un(1) = cos(2πnx) (n = 0, 1, . . .)
и
un(2) = sin(2πnx) (n = 1, 2, . . .).
В заключение приведем следующее важное для приложений свойство, подкрепляющее осцилляционную теорему Штурма: все точки
спектра задачи Штурма–Лиувилля, вещественны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϕ(x) = ϕ1 (x) + iϕ2 (x) — собственная
функция, отвечающая собственному значению λ = χ + iν , Тогда
⎧
⎪
⎨Lϕ1 + iLϕ2 = (χ + iν)m(ϕ1 + iϕ2 ),
ϕ1 (0) cos α + ϕ1 (0) sin α + i(ϕ2 (0) cos α + ϕ2 (0) sin α) = 0,
⎪
⎩
ϕl (l) cos β + ϕ1 (l) sin β + i(ϕ2 (l) cos β + ϕ2 (l) sin β) = 0,
44
Гл. 1. Реанимация метода Штурма
откуда
⎧
⎪
⎨Lϕ1 = χmϕ1 − νmϕ2 ,
ϕ1 (0) cos α + ϕ1 (0) sin α = 0,
⎪
⎩
ϕl (l) cos β + ϕ1 (l) sin β = 0,
⎧
⎪
⎨Lϕ2 = χmϕ1 + νmϕ2 ,
ϕ2 (0) cos α + ϕ2 (0) sin α = 0,
⎪
⎩
ϕ2 (l) cos β + ϕ2 (l) sin β = 0.
(1.11.6)
Но (1.11.6) означает. что число λ = χ − iν также является собственным значением, которому соответствует собственная функция
ϕ(x) = ϕ1 (x) − iϕ2 (x). Тогда по лемме 1.11.1 имеем
l
|ϕ(x)|2 m(x) dx = 0,
0
откуда в силу неравенства m(x) > 0 вытекает, что |ϕ(x)|2 ≡ 0. Последнее означает, что ϕ(x) ≡ 0 на всем [0, l]. Лемма доказана.
Глава 2
О КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ
НА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СЕТИ
В данной главе изучается скалярное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка на пространственной сети (геометрическом графе), имеющее промежуточный характер между обычным уравнением на отрезке и уравнением эллиптического типа на многомерной
области.
§ 2.1. Предисловие
В настоящей главе обсуждается возможность описания теории типа
Штурма для дифференциального уравнения второго порядка
−(pu ) + qu = f
(= λρu)
(2.1.1)
в случае, когда это уравнение соотносится с системой отрезков, организованных в виде сетки, когда на каждом таком отрезке (ребре сетки)
уравнение оказывается обычным дифференциальным уравнением рассмотренного выше типа.
В узлах сетки, где ребра смыкаются, возникают условия склейки
(взаимодействия) — помимо условий непрерывности — в виде
αγ (a)uγ (a) = 0,
(2.1.2)
γ
где суммирование ведется по ребрам γ , примыкающим к узлу a. В электрических цепях (2.1.2) выражает закон Кирхгофа, в упругих струнных
сетках — баланс натяжений и пр. В граничных (тупиковых) узлах —
их множество всюду обозначается через ∂Γ — обычны условия типа
u
∂Γ
= 0.
(2.1.3)
Такие задачи чрезвычайно актуальны в различных разделах современных технологий. Особое внимание математиков они привлекли
лишь около 20 лет назад. В настоящее время исследованию таких задач
посвящены многие сотни работ (см., например, [24]–[33]). Ниже на
46
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
подобные задачи в полном виде переносится осцилляционный метод
Штурма.
Продвижение осцилляционной теории Штурма на случай уравнения
на графах связано с усовершенствованием многих привычных понятий,
например, даже простейшая осцилляционная теорема сравнения Штурма на отрезке, связанная с понятием «между»: между нулями решения
u(x) обязательно находится решение v(x).
Аналогичным образом описывается перемежаемость нулей последовательности собственных функций. На графе же при сохранения понятия «нуль функции» понятие «между нулями» не поддается естественному осмыслению. Для наглядности можно представить в качестве
графа крест, состоящий из четырех сторон: если x1 и x2 — какие-либо
точки на двух его сторонах, то что можно отнести к промежуточным
объектам между ними, т. е. к множеству точек, расположенным между
x1 и x2 ? Если учесть, что форма креста имеет две расположенные
поперек друг друга натянутые струны, связанные в некоторой средней
точке, то элементарный анализ их гармонических колебаний показывает несостоятельность всех идей, подсказанных нашей обыденной
интуицией.
Применительно к таким задачам нам придется существенно модифицировать не только привычные термины из обычного анализа, но
и толкование «Гербария проблем обоснования метода Штурма».
§ 2.2. Обыкновенное дифференциальное уравнение
на пространственной сети
Ниже дается точная постановка и начальный анализ главного
объекта настоящей главы — уравнения вида
−
d
(p(x)u ) + q(x)u = f (x)
dΓ
(2.2.1)
на геометрической сети Γ. Это уравнение подразумевает стандартную
форму
−(p(x)u ) + q(x)u = f (x)
(2.2.2)
на всех ребрах сети, а в ее внутренних узлах понимается в виде
−
αγ (x)
γ⊂Γ(x)
d
u(x)
dγ
+ q(x)u = f (x),
(2.2.3)
где суммирование проводится по всем ребрам γ , примыкающим к x,
d
u(x) подразумевает производную u( · ) в направлении внутрь реба
dγ
ра γ . Начав с необходимых понятий и договоренностей, мы приводим
физическую мотивацию (с помощью вариационного принципа) рас-
§ 2.2. Обыкновенное дифференциальное уравнение на сети
47
сматриваемого класса уравнений, показываем дивергентную природу
d
, устанавливаем, что (2.2.3) является «слабой реализацией» (2.2.2)
dΓ
в узлах. В п. 2.2.5 доказываются два качественных результата, важных
для дальнейшего изложения.
2.2.1. Функции на сетях. Пусть Γ — геометрическая сеть из Rn ,
реализованная в виде открытого связного геометрического графа. Если
ребра сети допускают достаточно гладкую параметризацию и не имеют
самопересечений, мы можем считать их прямолинейными интервалами
(не включая в них внутренние узлы). Тем самым нам удобно считать,
что Γ состоит из некоторого набора непересекающихся интервалов
γi = (ai , bi ) = {x = ai + λ(bi − ai ) : 0 < λ < 1} (i = 1, . . . , m), (2.2.4)
называемых ребрами, и некоторой совокупности их концов. Множество
этих концов обозначается далее через J(Γ), каждая его точка называется внутренней вершиной (узлом) графа Γ. Концы интервалов (2.2.4),
не включенных в J(Γ), называются граничными или тупиковыми
вершинами Γ, их множество обозначается через ∂Γ. Объединение всех
ребер обозначается через R(Γ). Тем самым, Γ = R(Γ) ∪ J(Γ). На Γ
индуцируется топология из Rn . Всюду далее, когда будет идти речь об
открытых и замкнутых подмножествах Γ, будет иметься в виду именно
эта топология.
Такого рода сети (графы) возникают при описании самых разных
технологических систем. Применяемая при этом стандартная теория
графов (далее — алгебраическая теория, см., например, [34–38]) удобна лишь тогда, когда ребра являются только символами связи между
разными объектами, когда сами связи достаточно просты и в первую
очередь важно, есть ли связь между данной парой объектов или нет
(см. там же). Интересующие нас системы в корне другие. В них ребра
отвечают реальным одномерным континуумам, на которых возможна своя достаточно нетривиальная динамика, как в упругих сетях,
в электрических цепях, в системах волноводов и в нейронных сетях.
Такие системы в определенном смысле двойственны к предыдущим:
в них именно узлы связывают процессы на ребрах, причем связи эти
(в узлах) достаточно просты. Чтобы подчеркнуть значимость ребер
графа, мы далее постоянно употребляем слова сеть и граф как синонимы.
Изложенные выше термины — граф (сеть), ребро, вершина (узел) —
традиционны для алгебраической теории графов [34–38]. Ниже вводятся понятия, контрастирующие по терминам с упомянутой литературой.
Например — подграф. Мы называем так любое связное открытое
подмножество из Γ. Ведущая роль топологии на Γ, ее постоянное использование при анализе непрерывных на Γ функций делают открытые
48
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
(в относительной топологии Γ) множества постоянным инструментом.
Например, для непрерывной на Γ функции множество решений неравенства u(x) > 0 открыто и любая его компонента связности формально
имеет описание, идентичное исходному для Γ, т. е. тоже является
графом. Именно поэтому мы остановились на термине подграф.
О п р е д е л е н и е 2.2.1. Любое связное открытое подмножество Γ называется подграфом Γ.
Подграф Γ0 ⊂ Γ имеет внутренние вершины только из J(Γ), т. е.
любая внутренняя вершина подграфа является внутренней и для Γ.
Более того, всегда будет считаться, что J(Γ0 ) = J(Γ) Γ0 . С граничными для Γ0 вершинами ситуация другая. Их множество ∂Γ0 может
содержать точки, не входящие ни в ∂Γ, ни в J(Γ). Это случается
тогда, когда точка a ∈ ∂Γ0 оказывается внутренней для одного из
ребер Γ. Если γ — содержащее a ∈ ∂Γ0 ребро Γ, то в подграф Γ0
оно входит не все, а лишь одним куском, отсекаемым a. Именно здесь
кроется главное отличие нашего термина подграф от используемого
в алгебраической теории, где куски ребер бессмысленное понятие и где
вершинами подграфа могут являться лишь вершины исходного графа.
Мы рассматриваем далее скалярнозначные функции, определенные
и равномерно непрерывные на Γ. Последнее адекватно тому, что они
допускают непрерывное доопределение на ∂Γ. Множество таких функций обозначается далее через C[Γ].
Нам придется дифференцировать заданные на Γ функции. Естественно, говорить о производных во внутренних вершинах трудно,
так как к ним примыкает по несколько ребер (как правило — не
менее трех). Дифференцирование u(x) : Γ → R внутри любого ребра γ
осуществляется по натуральному параметру, причем предполагается,
что для этого на ребре выбрана ориентация — одно из двух возможных
направлений. Например, на ребре γ = (a, b) при ориентации «от b
к a» производная
du
d
(a − b)
(x ) определяется как
u b+λ
dx 0
dλ
a−b
в точке
λ0 = x0 − b . При изменении ориентации знак u меняется на противоположный. Однако знак второй производной u (или квазипроизводной
(pu ) ) уже не зависит от ориентации ребра.
С производными первого порядка нам почти не придется иметь
дела. Встречаться они будут в основном в крайних точках ребер.
Не желая обременять себя оговорками о временной (на несколько
фраз) локальной параметризации, мы раз и навсегда введем понятие
крайней производной. Так мы называем производную u (x) в точке
x = a — конце интервала γ = (a, b) — при его параметризации «от a»,
т. е. внутрь интервала. Обозначать крайнюю производную мы будем
через
du
(a).
dγ
§ 2.2. Обыкновенное дифференциальное уравнение на сети
49
Крайние производные удобны уже симметричностью равенства
(pu ) dx = − p(a)
du
du
(a) + p(b) (b)
dγ
dγ
(a,b)
относительно концов a, b интервала γ = (a, b).
Ребра графа Γ предполагаются занумерованными произвольно, их
набор {γi }m
i=1 вместе с J(Γ) определяет Γ, их объединение мы договорились обозначать через R(Γ). Чтобы выделить из {γi }m
i=1 те ребра,
которые примыкают к данной вершине a, мы вводим множество Γ(a),
обозначая так подграф, состоящий из a и примыкающих к a ребер. Тем
самым высказывание «γi примыкает к a» адекватно записи γi ⊂ Γ(a).
Говоря о непрерывности на R(Γ) какой-либо функции, мы подразумеваем ее равномерную непрерывность на каждом ребре Γ. Множество
таких функций обозначается далее через C[R(Γ)]. Во внутренних узлах Γ каждая из таких функций может иметь различные пределы вдоль
различных ребер, примыкающих к одному узлу. Естественно считать,
что C[R(Γ)] содержит в себе множество C[Γ] функций, непрерывных
на всем ребре Γ. При этом [R(Γ)] может признаваться формальным
объединением замыканий [γi ] всех ребер Γ.
Заданная на Γ функция z(x), лежащая в C[R(Γ)], может иметь
в точках J(Γ) (т. е. во внутренних узлах) значения, никак не связанные
с ее пределами вдоль примыкающих ребер. Поэтому для a ∈ J(Γ) мы
def
будем отличать обозначения z(a) от zγ (a), где zγ (a) =
lim z(x).
x→a, x∈γ
Всюду далее для заданной на R(Γ) функции z(x) ее сужение на
ребро γ обозначается через zγ (x), а zi (x) означает zγi (x), т. е. сужение
z(x) на γi .
2.2.2. Вариационная мотивация. Пусть Γ — геометрическая сеть,
расположенная вдоль некоторого физического объекта, отклонение элементов которого от состояния равновесия одномерно. Обозначим через
u(x) такое отклонение (деформацию). Пусть f (x) — плотность распределения внешней силы, вызвавшей отклонение u(x). Через f (a)
обозначается сосредоточенная сила, приложенная к точкам a ∈ J(Γ).
Тогда энергия воздействия этих сил на систему выразится затраченной
работой, т. е. величиной
m
V1 (u) =
f u du +
i=1 γi
f (a)u(a).
a∈J(Γ)
Если отклонению системы упруго препятствует внешняя среда, то
накапливаемая энергия определяется работой, затрачиваемой на пре-
50
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
одоление сопротивления среды, т. е. величиной
m
V2 (u) =
q
i=1 γi
u2
dx +
2
q(a)
a∈J(Γ)
u2 (a)
,
2
где q(x) — реакция упругой среды и q(a) — коэффициент упругости
опоры (типа пружины), сосредоточенной в узле a.
Мы предполагаем, что за счет внутреннего сопротивления система
накапливает энергию, определяемую выражением
m
V3 (u) =
p
i=1 γi
u2
dx,
2
как, например, в упругих деформациях (поперечных — для струн,
продольных — для стержней и пр.). Производные u (x) входят здесь во
вторых степенях, что снимает необходимость фиксированной ориентации ребер.
Мы считаем, что в граничных точках (из ∂Γ) положение системы
фиксировано, т. е. деформации ее нулевые:
u|∂Γ = 0.
(2.2.5)
Общая потенциальная энергия системы V (u), соответствующая возможной (виртуальной) деформации u(x), определяется равенством
V (u) = V2 (u) + V3 (u) − V1 (u),
или
m
qu2
pu 2
+
− fu
2
2
V (u) =
i=1
γi
dx +
q(a)
a∈J(Γ)
u2 (a)
− f (a)u(a) .
2
(2.2.6)
Реальная деформация системы, отвечающая устойчивому равновесию, должна давать минимум V (u). Именно это положение вместе
с конкретикой (2.2.5), (2.2.6) служит (со времен Гильберта) фундаментом математического описания физического объекта. В физике
обычно говорят о принципе стационарного (т. е. экстремального для V )
положения.
Мы всюду предполагаем неразрывность системы, что означает
непрерывность u(x) на Γ и достаточную гладкость деформации на
ребрах.
Классическая схема Лагранжа отыскания первой вариации
δΦ(u)h =
d
V (u + λh)
dλ
λ=0
51
§ 2.2. Обыкновенное дифференциальное уравнение на сети
приводит к выражению
m
(quh + pu h − f h) dx +
δΦ(u)h =
i=1 γi
(q(a)u(a)h(a) − f (a)h(a)).
a∈J(Γ)
Выполняя интегрирование по частям на каждом ребре γi ,
pu h dx = − (pu ) h dx − p(a)
γi
du
du
(a)h(a) + p(b) (b)h(b) , (2.2.7)
dγ
dγ
γi
и обозначая через ui (x) сужение u(x) на γi , мы можем представить
δΦ(u)h в виде
δΦ(u)h =
(u, h) +
(u, h)
1
при
m
1
(u, h) = −
(−(pu ) + qu − f )h dx,
(u, h) =
i=1 γi
m
2
2
pi (ai )
i=1
du
du
(a )h (a ) + pi (bi )
(b )h(bi ) +
dγi i i i
dγi i
(q(a)u(a) − f (a))h(a).
+
a∈J(Γ)
Здесь через ai , bi обозначены концы ребра γi . Так как h|∂Γ = 0, то
в первой сумме присутствуют лишь слагаемые с ai и bi из J(Γ). Перегруппировав всю первую группу (собирая подгруппы вокруг вершин из
J(Γ) ), мы можем представить 2 в виде
2
h(a) q(a)u(a) − f (a) −
(u, h) =
pi (a)
γi ⊂Γ(a)
a∈J(Γ)
du
(a) ,
dγi
где, напомним, γi ⊂ Γ(a) означает, что γi примыкает к a.
Из равенства δΦ(u)h = 0 (∀ h), следующего из принципа Ферма, мы
в силу произвола h должны иметь естественным образом
1
(u, h) = 0,
2
(u, h) = 0 (∀ h),
откуда должно следовать
−(p(x)u (x)) + q(x)u(x) = f (x) (x ∈ R(Γ)),
−
γi ⊂Γ(a)
du
pi (a)
(a) + q(a)u(a) = f (a)
dγi
(a ∈ J(Γ)).
(2.2.8)
(2.2.9)
Избегая рутинных разговоров, мы предполагаем выполненными
условия, обеспечивающие правомочность проведенных рассуждений,
по сути стандартных (см., например, [39]). Достаточно, например,
52
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
чтобы p и q были равномерно непрерывны на каждом ребре, а f
суммируема. Обычно из физических соображений бывает ясно, что
p > 0 равномерно на Γ и q 0.
Итак, реальная деформация u(x) исходного объекта должна помимо (2.2.5) удовлетворять равенствам (2.2.8) и (2.2.9). Является ли
эта система равенств полной, т. е. совпадает ли количество равенств
с количеством подлежащих определению параметров?
Равенства (2.2.8), реализуемые на каждом ребре, — обыкновенные
дифференциальные уравнения второго порядка. Семейство всех решений каждого уравнения зависит от двух параметров, а на всех ребрах
в целом число этих неизвестных параметров равно 2m. Количество
условий (2.2.5) совпадает с числом |∂Γ| граничных вершин (здесь
и далее через |X| обозначается число элементов в X ). Число условий
(2.2.9) равно |J(Γ)|. Кроме того, мы не должны забывать предположение о непрерывности u(x) во всех внутренних вершинах, что означает
(2.2.10)
ui (a) = uj (a)
для любых γi , γj из Γ(a). Таких условий (линейно независимых) в
каждой точке a ∈ J(a) будет ind (a) − 1, где через ind (a) обозначено
количество примыкающих к a ребер. Всего этих последних условий
будет
(ind (a) − 1) =
ind (a) − |J(Γ)|.
a∈J(Γ)
a∈J(Γ)
Складывая количества условий трех типов, имеем
|∂Γ| + |J(Γ)| +
ind (a) − |J(Γ)| = |∂Γ| +
a∈J(Γ)
ind (a).
a∈J(Γ)
Последняя сумма равна удвоенному числу ребер — проверяется тривиально (мы имеем число примыканий ребер — их m штук — к их
концам, которых 2m штук).
Таким образом, задача (2.2.5), (2.2.8), (2.2.9) в классе непрерывных
в целом на Γ и непрерывно дифференцируемых на каждом ребре
функций поставлена вполне разумно. Если изначально речь вести не
о статической деформации, а о собственных колебаниях, то f должна
быть заменена силой инерции, что по принципу Даламбера приводит
к замене в правых частях (2.2.8) и (2.2.9) f на ω 2 ρu, где ω — собственная частота, ρ(x) — плотность распределения масс на R(Γ), ρ(a) —
сосредоточенные массы во внутренних узлах a ∈ J(Γ).
2.2.3. Естественные условия. Каждое из условий (2.2.9) локализовано в одной точке, как и в (2.2.5). Обычно такие условия принято
считать краевыми, в отличие от равенств (2.2.8), являющихся обыкновенными дифференциальными уравнениями. Однако условия (2.2.5)
§ 2.2. Обыкновенное дифференциальное уравнение на сети
53
отличаются от (2.2.9) тем, что первые были даны изначально, а вторые
получены при вариационном обосновании. Подобные условия, не оговоренные заранее, обычно называют естественными. Мы показываем
далее, что эти условия не просто естественны, но могут считаться
реализацией (2.2.8) во внутренних узлах.
Во-первых, условия (2.2.9) были получены совершенно однотипно
с (2.2.8) из условия δΦ(u)h = 0 (∀ h), т. е. имеют идентичное происхождение.
Во-вторых, они имеют дивергентную природу. В самом деле,
пусть u — достаточно гладкая на R(Γ) функция, ∇u(x) = grad u(x) —
задаваемое на R(Γ) векторное поле. Воспользуемся гидродинамической
интерпретацией и подсчитаем поток поля p(∇u(x)) через поверхность
малой окрестности внутреннего узла a ∈ J(Γ).
Такая окрестность имеет вид «ε-ежика» — пучка с узлом в точке a и достаточно малыми кусками (a, a + εi ) интервалов γi , примыкающих к a. Граница этой окрестности совпадает с набором точек a + εi из γi ∈ Γ(a). В каждой такой точке проекция ∇u (a + εi )
на внешнюю к взятой окрестности нормаль совпадает с производной
u (a + εi ), вычисленной при ориентации γi в направлении «от a».
Поэтому поток поля p(∇u ) через рассматриваемую поверхность равен
p(a + εi )u (a + εi ), что при стягивании этой окрестности к точγi ⊂Γ(a)
ке a (т. е. при εi ↓ 0) приводит к
(L0 u)(a) =
pi (a)
γi ⊂Γ(a)
d
u (a).
dγi
(2.2.11)
Если при этом точке a приписать единичный объем, то оказывается,
что (L0 u)(a) = div (p∇u)(a).
Третье соображение — возможность взгляда на выражение (2.2.11)
как на «слабую производную по Γ» от (pu ) в точке a.
Введем на Γ меру μ, полагая ее линейной (и единичной плотности)
на каждом ребре γi и атомарной (сосредоточенной) в каждой из внутренних вершин a ∈ J(Γ), считая в них соответствующий дифференциал
Стилтьеса (dμ)(a) = 1. Эта мера позволяет, например, свернуть выражение (2.2.6) для энергии V (u) в виде
p
V (u) =
u2
u2
+q
− f u dμ,
2
2
(2.2.12)
Γ
если положить
(pu )(a) = 0 (a ∈ J(Γ)).
(2.2.13)
Последнее допущение в рамках п. 2.2.2 вполне физично, так как функция p(x), определяющая линейную упругость системы в точке x, сама
54
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
в свою очередь определяется двусторонними окрестностями точки x,
а в крайних точках каждого ребра линейная упругость отсутствует.
Введем в рассмотрение достаточное множество Φ бесконечно дифференцируемых на R(Γ) и непрерывных на Γ (т. е. в точках из J(Γ))
финитных функций с компактными относительно Γ носителями. Для
любой функции ϕ ∈ Φ, носитель которой Uϕ содержит лишь одну
внутреннюю вершину a (∈ J(Γ)), имеем
(pu )ϕ dμ =
Γ
(pu )ϕ dμ =
Γ∩Uϕ
=
(pu )ϕ dμ +
(pi u )ϕ dx =
γi ⊂Γ(a)
{a}
γi ∩Uϕ
xi
(pi u ) dϕ,
= (pu ϕ )(a) +
γi ⊂Γ(a) a
где (a, xi ) — минимальный по включению интервал, содержащий
γi Uϕ . Отсюда, в силу (2.2.13) и равенства
xi
du
pi
dγi
(pi u ) dϕ = −
a
xi
(a)ϕ(a) − (pi u ) ϕ dx
a
(учитываем, что ϕ(xi ) = 0) следует
(pu )ϕ dμ = −
pi
γi ⊂Γ(a)
Γ
du
(a) ϕ(a) −
dγi
(pu ) ϕ dx. (2.2.14)
(Γ\{a})
Здесь для определенности на каждом γi можно считать фиксированной
какую-либо из двух ориентаций — знак u ϕ и u ϕ от этого не зависит.
Мы пишем здесь также pi как обозначение сужения p на γi , обозначая
через pi (a) предельное в точке a значение p(x) вдоль ребра γi . Напомним, что, вообще говоря, pi (a) = p(a). С учетом того что (dμ)(x) = dx
при x ∈ R(Γ) и (dμ)(a) = 1 при a ∈ J(Γ), мы, пользуясь (2.2.13), можем
переписать (2.2.14) в виде
d
(pu )ϕ dμ,
dΓ
(pu )ϕ dμ = −
Γ
где обозначено
(2.2.15)
Γ
⎧
⎪
⎨(pu ) (x),
d
(pu )(x) =
dΓ
⎪
⎩
γi ⊂Γ(x)
x ∈ R(Γ),
du
pi (x)
(x), x ∈ J(Γ).
dγi
(2.2.16)
§ 2.2. Обыкновенное дифференциальное уравнение на сети
55
Поскольку любая функция ϕ ∈ Φ может быть представлена в виде конечной суммы функций, носитель каждой из которых содержит ровно
одну внутреннюю вершину, то можно считать, что (2.2.16) выполняется
при всех ϕ ∈ Φ. А выполнение равенства (2.2.16) при всех ϕ ∈ Φ
d
означает, что функция
(pu ) реализует слабую μ-производную от
dΓ
функции (pu )(x), доопределяемой в J(Γ) нулями — согласно (2.2.14).
Таким образом, (2.2.9) и (2.2.10) могут считаться реализациями на Γ
d
одного уравнения − (pu ) + qu = f вида (2.2.4).
dΓ
2.2.4. Замечание о «физической границе». Согласно вышеизложенному граничные вершины сети Γ отличаются от внутренних совсем
не тем, что к внутренним вершинам примыкает по нескольку ребер, а к
граничным — лишь по одному. Для нас разница определяется задачей,
которая ставится на графе, и граничными являются лишь те вершины,
где система изначально закреплена. Тем самым мы допускаем в J(Γ)
точки, к которым примыкает всего лишь по одному ребру. В таких
вершинах равенства (2.2.10) принимают вид
−p(a)u (a) + q(a)u(a) = f (a),
где u (a) означает крайнюю производную (при дифференцировании
«от a»). Если q(a) и f (a) равны нулю, то мы имеем: u (a) = 0 — типичное условие свободного (незакрепленного) конца в задаче о струне. При
f (a) = 0 и q(a) = 0 получается хорошо известное из скалярной теории
условие Штурма–Лиувилля. Предлагаемый нами взгляд на подобные
(естественные) условия как на реализацию уравнения в точке приводит
к неожиданному даже для обычных одномерных задач наблюдению:
уже в задаче об одной струне с упругими креплениями концов при
нашем подходе ∂Γ = ∅, а концы составляют J(Γ).
2.2.5. Однородное уравнение на сети. Мы начинаем здесь анализ
соответствующего (2.2.1) однородного уравнения
def
Lu = −
где полагается
d
(pu ) + qu = 0,
dΓ
⎧
⎨(pu ) (x),
d
(pu )(x) =
dΓ
⎩
(2.2.17)
x ∈ R(Γ),
d
αγ (x)
u(x), x ∈ J(Γ).
dγ
γ⊂Γ(x)
(2.2.18)
Заданные на Γ функции p(x) и q(x) предполагаются лежащими
в C[R(Γ)], т. е. равномерно непрерывными на каждом ребре. Для p
предполагается дополнительно сильная положительность на R(Γ), т. е.
что inf p > 0. Числа αγ (x) предполагаются положительными. Решения
R(Γ)
(2.2.17) будем искать лишь среди заданных на всем Γ функций u(x)
56
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
из C[Γ], для которых (pu ) ∈ C[R(Γ)]. Множество таких функций
обозначается далее через D2 [Γ].
Являясь промежуточным объектом между скалярным и многомерным уравнениями, (2.2.17) несет в себе заряд свойств эллиптического типа.
Т е о р е м а 2.2.1. Любое знакопостоянное решение u(x) однородного уравнения (2.2.17) либо тривиально (≡ 0), либо не имеет нулей
в Γ. В последнем случае из равенства u(a) = 0 при a ∈ ∂Γ следует,
что u (a) = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x) 0 и Q — множество нулей
u(x) в Γ. Если Q непусто, то оно относительно замкнуто в Γ. Покажем,
что если Q непусто, то оно и открыто в Γ, откуда будет следовать, что
Q = Γ.
Пусть x — некоторая точка из Q. Если x есть внутренняя точка
какого-то ребра γi0 , то x есть точка минимума для ui0 (x) на γi0 ,
вследствие чего не только ui0 (x) = 0, но и ui0 (x) = 0. Поэтому u(x) ≡ 0
на γi0 , т. е. γi0 ⊆ Q и x — внутренняя в Q. Пусть теперь x совпадает с одной из внутренних вершин. Тогда в силу неотрицательности
d
u(x) (для γ ⊂ Γ(x)) должно быть
(вследствие u(x) u(x) = 0) всех
dγ
d
u(x) = 0 (для тех же γ ), т. е. на каждом примыкающем к x ребdγ
ре γ функция u(x) удовлетворяет нулевым начальным (в точке x = x)
условиям и однородному линейному дифференциальному уравнению,
т. е. должна быть тождественным нулем. Значит, u(x) ≡ 0 на всех
примыкающих к x ребрах, т. е. x — опять внутренняя точка для Q.
Таким образом, Q открыто в Γ. Если u(a) = 0 при a ∈ ∂Γ, причем
u (a) = 0, то на примыкающем к a ребре складывается предыдущая
ситуация, т. е. u(x) ≡ 0 на этом ребре, что по доказанному возможно
лишь в случае u(x) ≡ 0 на Γ. Теорема доказана.
Для любой непрерывной на отрезке R1 функции u(x) множество
точек, где u(x) > 0 (или u(x) < 0), есть объединение непересекающихся интервалов, расположенных между нулями u. Для случая функций, заданных на графе (сети), такое множество имеет подобную же
структуру, но с более сложно устроенными компонентами связности.
Эти компоненты, в скалярном случае адекватные интервалам между
соседними нулями u, в случае общего графа (общей сети) могут содержать внутренние узлы и не только ребра Γ (целиком), но и куски
ребер. В любом случае такие компоненты связности имеют локально
идентичную Γ структуру. Мы договорились называть их подграфами Γ. Подграф Γ0 ⊂ Γ сам является графом в смысле п. 2.2.1, для
него определены J(Γ0 ) и ∂(Γ0 ), однако если J(Γ0 ) ⊆ J(Γ), т. е. внутренние вершины Γ0 суть внутренние узлы Γ, то ∂Γ0 может содержать
§ 2.2. Обыкновенное дифференциальное уравнение на сети
57
точки Γ, не лежащие в ∂Γ — граничными для Γ0 могут оказаться
точки, лежащие внутри каких-то ребер Γ. Этим наш термин подграф
отличается от принятого в алгебраической теории, где подграф обязан
иметь граничные (тупиковые) вершины только из множества всех вершин (J(Γ) ∪ ∂Γ) исходного графа. Любой собственный подграф Γ0 ⊂ Γ
должен иметь непустую границу ∂Γ0 , даже если ∂Γ = ∅.
О п р е д е л е н и е 2.2.2. Для непрерывной на Γ функции u : Γ → R
мы под S -зоной функции u понимаем любой подграф Γ0 ⊆ Γ, на
котором u не имеет нулей и в граничных точках которого она
обнуляется.
Т е о р е м а 2.2.2 (принцип сравнения). Пусть u(x) — нетривиальное решение уравнения (2.2.17) и Γ0 — какая-либо из его S -зон.
Тогда любое знакопостоянное на Γ0 решение v(x) уравнения (2.2.17)
коллинеарно u(x) на Γ0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что Γ0 = Γ и u(x) > 0,
v(x) 0 на Γ. Если v(x) ≡ 0 на Γ, то в силу теоремы 2.2.1 v(x) > 0
на Γ, причем v (a) > 0 во всех точках a ∈ ∂Γ, в которых v(a) = 0
(здесь и далее z (a) при a ∈ ∂Γ означает крайнюю производную
d
z(a)
dγ
вдоль единственного ребра γ , примыкающего к a). А так как u(a) = 0
и u (a) > 0 всюду на ∂Γ, то отношение h(x) ≡
u(x)
может быть
v(x)
доопределено на ∂Γ до непрерывной на Γ = Γ ∪ ∂Γ функции. Поэтому
λ0 = sup h(x) < ∞, причем, очевидно, λ0 > 0.
Γ
Предположим, что h(x) ≡ λ0 и рассмотрим максимизирующую h(x)
последовательность {xn }. Пусть x — одна из ее предельных точек.
Рассмотрим функцию
z(x) = λ0 v(x) − u(x).
Она неотрицательна на Γ, является решением уравнения (2.2.17) и,
согласно теореме 2.2.1, не имеет нулей в Γ. Поэтому если x ∈ Γ, то
z(x) > 0 и, значит, при некотором ε > 0
λ0 v(x) − u(x)
Но это означает, что h(x) =
u(x)
v(x)
εu(x).
λ0
, а это противоречит опреде1+ε
лению λ0 . Следовательно, x ∈ Γ. Поэтому x ∈ ∂Γ и u(x) = 0 (так как
u|∂Γ = 0). Если v(x) > 0, то λ0 =
u(x)
= 0, что невозможно. Поэтому
v(x)
v(x) = 0 и, в силу теоремы 2.2.1, v (x) > 0. Но тогда
λ0 = sup
Γ
u(x)
u(x)
u (x)
= lim
=
.
v(x)
x→x v(x)
v (x)
58
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
Отсюда следует, что
z (x) = λ0 v (x) − u (x) = 0.
Таким образом, для нетривиального (по предположению h ≡ λ0 ) неотрицательного решения z = λ0 v − u уравнения (2.2.17) мы имеем
z(x) = z (x) = 0,
что противоречит теореме 2.2.1. Значит, h(x) ≡ λ0 . Теорема доказана.
Обе теоремы позволят далее построить теорию неосцилляции на
сети. Содержательность этих теорем можно пояснить и сейчас сравнением с соответствующими классическими (одномерными) аналогами.
С л е д с т в и е 2.2.1 (перемежаемость нулей). Пусть u(x) —
нетривиальное решение (2.2.17) и Γ0 — какая-либо его S -зона. Тогда
любое решение v(x) уравнения (2.2.17), неколлинеарное u(x) в Γ0 ,
меняет знак в Γ0 и в ∂Γ0 (а потому значения u/v на Γ0 заполняют
сплошь (−∞, +∞)).
Скалярный аналог известен — между нулями одного решения любое другое, неколлинеарное ему, меняет знак. Доказательство напрямую следует из теоремы 2.2.2: если v неколлинеарно u на Γ0 , то v не
может сохранять знак в Γ0 . Если бы v сохраняло знак на ∂Γ0 , меняя
его в Γ0 , то внутри Γ0 существовала бы S -зона v , на которой u было
бы знакопостоянным, что тоже невозможно.
С л е д с т в и е 2.2.2 (аналог принципа максимума). Если u(x) —
решение (2.2.17) без нулей в Γ, то для любого решения v того
же уравнения, неколлинеарного u, отношение v/u не может иметь
внутри Γ ни глобальных максимумов, ни глобальных минимумов.
Действительно, если λ0 — экстремальное значение v/u, то функция
h = v − λ0 u должна быть знакопостоянной на Γ, имея внутри нулевое
значение, что влечет по теореме 2.2.1 h ≡ 0, т. е. коллинеарность v и u.
С л е д с т в и е 2.2.3. Если u — решение (2.2.17) без нулей в Γ,
а v — решение того же уравнения, то отношение v/u не может иметь в Γ нетривиальных локальных экстремумов. (Точку
экстремума функции мы называем нетривиальной, если в любой
ее окрестности функция отлична от тождественной постоянной.)
Действительно, если λ0 — значение локального экстремума v/u,
достигаемое в точке x0 , то функция h = v − λ0 u в некоторой окрестности точки x0 знакопостоянна и равна 0 в точке x0 , и значит, по
теореме 2.2.1, h ≡ 0 в этой окрестности, т. е. x0 — точка тривиального
экстремума v/u.
59
§ 2.3. Краевая задача на сети
§ 2.3. Краевая задача на сети
В математических работах задачи на сетях в той или иной степени
общности появились в форме вопроса о непрерывных решениях системы
− (pu ) + qu = f
(x ∈ R(Γ)),
du
−
αγ (a) (a) + q(a)u(a) = f (a)
dγ
γ⊂Γ(a)
(a ∈ J(Γ)),
u(a) = 0 (a ∈ ∂Γ),
(2.3.1)
(2.3.2)
(2.3.3)
где (2.3.1) — обыкновенные дифференциальные уравнения, заданные
порознь на ребрах γi , а (2.3.2) и (2.3.3) — линейные связи, заданные
локально в конечном числе точек — во внутренних и граничных вершинах Γ. В настоящей главе мы в основном рассматриваем эту систему
как краевую задачу
−
d
(pu ) + qu = f ,
dΓ
u|∂Γ = 0,
относя равенства (2.3.3) к краевым условиям, а (2.3.1), (2.3.2) —
к реализациям на Γ = R(Γ) ∪ J(Γ) единого уравнения на целом связном множестве Γ. Однако такой взгляд не единственно возможный
и даже не первый. Более того, такой взгляд, открывая дорогу для
качественных результатов (типа п. 2.2.5), оставляет в стороне такие
важнейшие и традиционные для ОДУ вопросы, как разрешимость
нашего «обыкновенного дифференциального уравнения (2.3.1)–(2.3.2)
на всем Γ», продолжимость решений, заданных на части Γ (например,
на ребре), размерность пространства решений, условия однозначной
дефиниции решений и пр. Ответы на подобные вопросы возможны на
основе общей теории краевых задач, если на систему (2.3.1)–(2.3.3)
посмотреть по-другому.
2.3.1. Разные версии задачи (2.3.1)–(2.3.3). При традиционном
взгляде ситуация вроде бы банальна: обычная краевая задача для
системы (2.3.1) дифференциальных уравнений с краевыми условиями.
Однако если присмотреться:
— уравнения (2.3.1), хоть и совсем простые, и даже скалярные,
заданы каждое на своем носителе — ребре сети Γ. У решений
разных уравнений разные аргументы, что не позволяет считать
систему (2.3.1) единым уравнением для вектор-функции от скалярного аргумента;
— если на систему (2.3.1) смотреть «врозницу», как на набор уравнений, то необходимо вспомнить про условие непрерывности
60
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
интересующих нас решений во внутренних узлах
ui (a) = uj (a) (γi , γj ⊂ Γ(a)).
(2.3.4)
Здесь, напомним, γi ⊂ Γ(a) означает примыкание γi к a, а через
ui (x) обозначено сужение функции u(x) : Γ −→ R на ребро γi ;
— если мы захотим забыть о графе Γ, переформулировав задачу
в независимых от Γ терминах некоторой системы интервалов,
объявив концы которых граничными точками, то условия (2.3.2),
(2.3.4) придется оснастить дополнительной фиксированной матрицей, определяющей связь между индексами согласуемых решений ui с номерами концов соответствующих интервалов. В качестве такой матрицы может быть взята либо матрица графа,
либо матрица инциденций этого графа.
Последнее обстоятельство особенно осложняет существо картины.
Сведение поставленной задачи к стандартной, с последующим использованием результатов общей теории краевых задач [2, 20, 40], может
осуществляться одним из следующих способов.
а) Декомпозиционный подход. Пусть [γ] обозначает замыкание
интервала γ = (a, b) из Rn , т. е. [γ] = [a, b]. Обозначим через C 2 [γ]
множество определенных на γ функций u(x), которые вместе с производными до второго порядка (pu )(x), (pu ) (x) допускают доопределение до непрерывных на [γ]. Для данного набора {γi }m
1 ребер Γ обозначим через D2 E m произведение таких пространств C 2 [γi ]. Система
(2.3.1) может теперь рассматриваться как единое уравнение в D2 E m .
Условия (2.3.2)–(2.3.4) порождаются системой линейных и непрерывных в D2 E m функционалов, определяемых с участием матрицы инциденций.
б) Векторный подход. Сводит задачу к стандартной (см., например, [2, 20, 40]) постановке в классе вектор-функций. На каждом
ребре γi вместо натуральной вводится каноническая параметризация
отрезком [0, 1] по типу {x = a + t(b − a), 0 < t < 1}, после чего все
уравнения могут считаться заданными на одном отрезке [0, 1], а решения ui (t) на разных ребрах γi оказываются координатами одной
вектор-функции u(t) = (u1 (t), . . . , um (t)). Синхронизация аргументов
не портит дела, так как решения (2.3.1) во внутренних точках разных
ребер никак не взаимосвязаны. Условия (2.3.2)–(2.3.4) оказываются
двухточечными. Естественно, без матрицы графа (или инциденций)
здесь не обойтись. Получаемая двухточечная задача не является, вообще говоря, распадающейся, так как некоторые краевые условия могут
связывать решение обоими концами. Для того чтобы вследствие перенумерации и переориентации ребер система краевых условий оказалась
распадающейся, когда каждое условие локализовано в одном конце
§ 2.3. Краевая задача на сети
61
отрезка [0, 1], необходимо, чтобы граф был двудольным, т. е. чтобы
его вершины можно было разбить на два класса так, чтобы любые
две смежные вершины (являющиеся концами одного ребра) оказались
в разных классах. Двудольным является любой граф, имеющий структуру дерева, т. е. не обладающий циклами.
в) Связный подход. Предполагает однородность условий (2.3.2).
Граф Γ из рассмотрений не выбрасывается, а служит носителем аргументов искомых функций. Решение системы (2.3.1)–(2.3.2) ищется
в классе функций, определенных и непрерывных на едином множестве Γ. Отпадает необходимость помнить об условиях (2.3.4), так же
как и о матрице инциденций. Условия (2.3.2) (называемые условиями
гладкости или условиями трансмиссии), будучи однородными, вносятся в определение решения уравнений (2.3.1). Сами эти уравнения
рассматриваются уже скорее не как система, а как комплект уравнений
на Γ, что приближает этот подход к декомпозиционному. Краевыми признаются здесь лишь условия (2.3.3), задаваемые на границе:
u|∂Γ = 0. Связный подход позволяет взглянуть на решения как на
формы деформированной сетки как на определенные на всей сети Γ
функции, графиками которых являются «паутинки над Γ».
г) Синтетический подход. Условия (2.3.2) считаются реализацией
исходного уравнения во внутренних вершинах, а (2.3.1) — реализацией того же уравнения на ребрах. Таким образом, одно уравнение
второго порядка выполняется сразу на всем графе, включая вершины
из J(Γ). Краевые условия — только на границе: u|∂Γ = 0. В отличие от
предыдущего подхода, снимаются возможные особенности решений во
внутренних узлах, устраняемые дополнительными оговорками об условиях гладкости (трансмиссии). Вместо последних, допуская ненулевые
правые части f (a), возникает «уравнение в точке a ∈ J(Γ)».
Последний подход используется в дальнейшем как основной взгляд
на задачу (2.3.1)–(2.3.3), позволяя даже внешне отразить эллиптическую природу устанавливаемых качественных свойств. Остальные
оказываются полезными при использовании отдельных результатов
классической теории.
2.3.2. Некоторые общие факты. Всюду далее мы будем предполагать выполненными естественные условия, когда в (2.3.1) функции
p(x), q(x) и f (x) равномерно непрерывны на каждом ребре Γ, причем
inf p > 0 и αγ (a) > 0 для всех a ∈ J(Γ) и γ ⊂ Γ(a).
В естественных условиях для каждого ребра γ соответствующее
ему уравнение (2.3.1) однозначно разрешимо на всем γ (на замыкании [γ] этого ребра) для любой начальной задачи, в том числе и для
62
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
крайних задач вида
u(a) = 0,
d
u(a) = 1,
dγ
(2.3.5)
u(a) = 1,
d
u(a) = 0,
dγ
(2.3.6)
где a — один из концов γ (узлов Γ), u(a) — предельное (вдоль γ )
d
значение u( · ) в точке x = a и
u(a) — соответствующая крайняя
dγ
производная. (Недифференцируемость p однозначной разрешимости
(2.3.5) и (2.3.6) здесь не помеха — достаточно заметить, что, например,
в случае γ ⊂ R1 можно перейти к другой независимой переменной:
x
y=
ds
.)
p(s)
a
Разрешимость в целом на Γ или на R(Γ) =
m
i=1
γi задачи (2.3.1)–
(2.3.4) будет определяться взаимодействием всех отдельных связей
этой задачи.
2.3.2.1. Пусть L — аддитивное однородное отображение из E1
в E2 , где E1 и E2 — линейные пространства. Пусть L «накрывает»
E2 , т. е. E2 ⊆ LE1 . Пусть L имеет конечномерное ядро N (L) = {u ∈
∈ E1 : Lu = 0}. Пусть l1 , . . . , lk — линейные на E1 функционалы, где
k = dim N (L).
Л е м м а 2.3.1. Для однозначной разрешимости в E1 общей краевой задачи
Lu = f ,
li (u) = ci
(h ∈ E2 , ci ∈ R, i = 1, . . . , k)
(2.3.7)
для любой f ∈ E2 и любых ci ∈ R (i = 1, . . . , k) необходимо и достаточно, чтобы однородная задача
Lu = 0,
li (u) = 0 (i = 1, . . . , k)
(2.3.8)
имела в E1 только нулевое решение.
Общую задачу (2.3.7) мы называем невырожденной, если она оказывается в условиях леммы 2.3.1, т. е. если однородная задача (2.3.8)
кроме тривиального u = 0 никаких других решений в E1 не имеет.
Для невырожденности необходимо и достаточно, чтобы был отличен от
нуля детерминант det li (ψj ) ki,j=1 , где {ψj }kj=1 — произвольный базис
из N (L) (пространства решений уравнения Lu = 0).
63
§ 2.3. Краевая задача на сети
2.3.2.2. Пусть {ψj } — какой-либо базис из N (L). Введем форму
(предполагая невырожденность задачи)
Θ(y ; A1 , . . . , An ) =
1
det li (ψj )
k
i,j=1
y
ψ1
A1 l1 (ψ1 )
........
Ak lk (ψ1 )
...
ψk
. . . l1 (ψk )
.......
. . . lk (ψk )
(y ∈ E1 , Ai ∈ R),
удобную для явного представления различных решений задачи (2.3.7).
Так, если y — какое-либо решение уравнения Lu = f , то решение z
задачи (2.3.7) дается выражением
z = Θ(y ; l1 (y) − c1 , l2 (y) − c2 , . . . , lk (y) − ck ).
Решение полуоднородной задачи Lu = f , li (u) = 0 (i = 1, . . . , k) дается
выражением Θ(y ; l1 (y), l2 (y), . . . , lk (y)). Если K : E2 → E1 есть какоелибо правое обратное к L отображение, т. е. LKf ≡ f при f ∈ E2 , то
равенство
Gh = Θ(Kf ; l1 (Kf ), . . . , lk (Kf ))
определяет «оператор Грина», дающийся формулой u = Gf для решения полуоднородной задачи Lu = f , li (u) = 0 (i = 1, . . . , k).
При нулевом функциональном аргументе Θ(0; A1 , A2 , . . . , Ak ) дает
решения однородного уравнения Lu = 0 с условиями li (u) = −Ai .
В частности, формула
hj = Θ(0; 0, . . . , 0, −1, 0, . . . , 0) (j = 1, . . . , k)
j−1
определяет базис в N (L), биортогональный {li }k1 , т. е. li (hj ) = δij
(i, j = 1, . . . , k), где δij — символ Кронекера. Этот базис позволяет,
например, представить оператор Грина в виде
k
Gf = Kf −
lj (Kf )hj .
j=1
2.3.2.3. Каждый из четырех приведенных в п. 2.3.1 взглядов на
задачу (2.3.1)–(2.3.4) мы будем называть версией этой задачи. К любой
версии применима лемма 2.3.1, причем
(Lu)(x) ≡ (−pu ) (x) + (qu)(x)
в первых четырех версиях и
(Lu)(x) ≡ −
d
pu
dΓ
(x) + (qu)(x)
64
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
в пятой. Пространство E1 везде состоит из функций, заданных и достаточно гладких на множестве Ω, где Ω = R(Γ) в декомпозиционной
версии, Ω = (0, ξ1 ) ∪ (ξ1 , ξ2 ) ∪ . . . ∪ (ξm−1 , ξm ) в скаляризующей версии,
Ω = (0, 1) при векторном подходе и Ω = Γ в последних двух версиях,
где вдобавок E1 сужено условиями непрерывности (2.3.4). Для всех
версий однородные задачи (2.3.8), соответствующие (2.3.1)–(2.3.4), эквивалентны.
Л е м м а 2.3.2. Для невырожденности задачи (2.3.1)–(2.3.4) необходима и достаточна невырожденность любой из ее версий.
2.3.2.4. Внешне наиболее простой для задачи (2.3.1)–(2.3.4) является декомпозиционная версия. Скаляризующая и векторная версии,
путем сведения к функциям скалярного аргумента, превращают исходную задачу в объект стандартной теории, из которой вытекает,
например, следующая лемма.
Л е м м а 2.3.3. Пусть ρ(x) ∈ C[R(Γ)]. Тогда при каждом λ существуют линейно независимые на [R(Γ)] решения ψλ1 (x), ψλ2 (x), . . .
. . . , ψλ2m (x) уравнения
−(p(x)u ) + q(x)u = λρ(x)u (x ∈ R(Γ)),
(2.3.9)
каждое из которых аналитично по λ (в смысле метрики C 1 [R(Γ)]).
Для доказательства достаточно выбрать на каждом ребре γi один из
концов a, с помощью которого при фиксированном λ определить условиями (2.3.5) и (2.3.6) два линейно независимых на γi решения h1i (x),
h2i (x). Продолжая h1i и h2i на остальные ребра γk (k = i) тождественным
нулем и сохраняя обозначения, получим линейно независимую в целом
на R(Γ) систему {h1i , h2i }m
i=1 . Так как условия (2.3.5) и (2.3.6) в векторной версии определяют обычную задачу Коши, то из общей теории
следует аналитическая зависимость от λ каждой из функций h1i , h2i ,
построенных как указано, при каждом фиксированном λ.
2.3.2.5. Рассмотрим для уравнения (2.3.9) однородные условия
−
αγ (a)
γ⊂Γ(a)
d
u(a) + q(a)u(a) = 0
dγ
(a ∈ J(Γ)),
(2.3.10)
соответствующие (2.3.2), вместе с однородными условиями (2.3.3),
(2.3.4). Число λ назовем точкой спектра этой задачи, если она при этом
значении λ вырождена, т. е. имеет нетривиальное решение.
Т е о р е м а 2.3.1. Спектр задачи (2.3.9) с условиями (2.3.10),
(2.3.3), (2.3.4) дискретен и образует неограниченную последовательность.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство основано на стандартном
2m
соображении. Если {ψλk (x)}k=
1 — построенный в лемме 2.3.3 базис
решений уравнения (2.3.9) и через l1 , . . . , l2m обозначены порождающие
65
§ 2.3. Краевая задача на сети
(2.3.3), (2.3.4), (2.3.10) функционалы, то невырожденность рассматриваемой спектральной задачи означает отличие от нуля определителя
Δ(λ) = det li (ψλk )
2m
i,k=1 ,
(2.3.11)
который оказывается аналитической по λ функцией.
2.3.2.6. В синтетической версии, в отличие от остальных, спектральная задача определяется более сильным уравнением
−
d
(pu ) + qu = λρu,
dΓ
которое дополняет (2.3.9) вместо (2.3.10) условиями типа (2.3.2) при
f (a) = λρ(a)u(a). Однородные условия (2.3.3), (2.3.4) сохраняются.
Спектр этой задачи отличен, вообще говоря, от предыдущего, хотя его
структура аналогична.
В самом деле, по сравнению с (2.3.11) характеристический детерминант ΔΓ (λ) для синтетической версии будет отличаться от (2.3.11)
заменой строки вида
−
αγ (a)
γ⊂Γ(a)
d k
ψ (a) + q(a)ψλk (a)
dγ λ
(k = 1, . . . , 2m),
соответствующей условию (2.3.2) в каждой точке a ∈ J(Γ), на строку
−
αγ (a)
γ⊂Γ(a)
d k
ψ (a) + q(a)ψλk (a) − λρ(a)ψλk (a)
dγ λ
(k = 1, . . . , 2m),
что сохранит для ΔΓ (λ) аналитичность по λ.
Т е о р е м а 2.3.2. Пусть uλτ (x) — решение уравнения
−
d
(pu ) + qu = λρu
dΓ
при условиях uτ (τ ) = 1, uτ (x) = 0 (x ∈ ∂Γ, x = τ ) при каком-либо
τ ∈ ∂Γ. Тогда функция ΔΓ (λ) · uλτ (x) аналитична по λ в метрике
C 1 [R(Γ)].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства достаточно воспользоваться явным представлением (см. п/п. 2.3.2.2) с помощью формы Θ
2m
и учесть аналитичность исходной системы {ψλk }k=
1.
2.3.3. Функция Грина. Исходной задаче в каждой из версий может быть придан общий вид (2.3.7).
О п р е д е л е н и е 2.3.1. Функцией Грина для какой-либо версии
мы называем функцию G(x, s), такую что решение соответствующей полуоднородной задачи
Lu = f ,
li (u) = 0 (i = 1, . . . , k)
3 Ю. В. Покорный, Ж. И. Бахтина, М. Б. Зверева, С. А. Шабров
(2.3.12)
66
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
при любом h может быть представлено в виде
u(x) = G(x, s)f (s) ds,
(2.3.13)
Ω
где Ω — область аргументов u( · ).
Кроме векторного подхода, где Ω = (0, 1) и где функция G(x, s) является матрицей для каждой пары x, s ∈ (0, 1), — в остальных версиях
G(x, s) скалярнозначна, а интеграл в (2.3.12) берется либо по R(Γ),
либо по объединению интервалов (ξi , ξi+1 ), либо по Γ; в синтетической
версии интеграл берется по мере μ(x), введенной в п. 2.2.3.
Т е о р е м а 2.3.3. Для невырожденной задачи каждая ее версия имеет функцию Грина, единственную в классе непрерывных
по x на Ω.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проведем единообразно
для всех версий (кроме синтетической) в терминах задачи (2.3.12).
Пусть H(x, s) — какое-либо фундаментальное решение уравнения
Lu = h. Это значит, что
z(x) = H(x, s)h(s) ds
Ω
есть решение Lu = h для любой функции h(x), непрерывной на Ω.
Пусть {ψj }k1 — фундаментальная система решений уравнения Lu = 0,
такая что li (ψj ) = δij (j = 1, . . . , k). Здесь δij — символ Кронекера.
Тогда равенство
k
G(x, s) = H(x, s) −
li (H( · , s))ψi (x)
(2.3.14)
i=1
определяет функцию Грина, что устанавливается либо прямой проверкой, либо согласно п/п. 2.3.2.2. При этом li коммутируют с
ввиду
Ω
специфики всех условий (2.3.2)–(2.3.4), локализованных в узлах Γ,
т. е. в граничных для Ω точках. Единственность функции Грина —
тривиальное следствие невырожденности.
Остается показать существование фундаментального решения. Мы
его просто предъявим. Сначала — для уравнения (2.3.1) на произвольном интервале γ = (a, b), где можно взять функцию Грина любой
краевой задачи на γ или, например, функцию
Hγ (x, s) =
1 + sign (x − s) ϕ1 (x)ϕ2 (s) − ϕ2 (x)ϕ1 (s)
.
−2p(s)
ϕ1 (s)ϕ2 (s) − ϕ2 (s)ϕ1 (s)
Здесь ребро γ = (a, b) параметризовано в любом из двух направлений
отрезком [0, l] (l — длина γ ) при отождествлении точек x, s ∈ γ с числа-
67
§ 2.3. Краевая задача на сети
ми из (0, l). В качестве ϕ1 ( · ), ϕ2 ( · ) взята некоторая фундаментальная
на γ система решений уравнения Lu = 0. В любом из этих двух
вариантов фундаментальное решение Hγ (x, s) удовлетворяет по первой
переменной при фиксированном s ∈ γ условию
−p(s)
d
d
u(s) +
u(s) = 1,
dγs
dγs
(2.3.15)
где в символах крайних производных участвуют два куска, γs и γs ,
интервала γ , образуемые при выбрасывании из γ точки s и, соответственно, примыкающие к ней с разных сторон.
Выбрав на каждом ребре γi аналогичную функцию Hi (x, s), можно
построить «диагональное» фундаментальное решение H(x, s) на всем
R(Γ), полагая
H(x, s) =
Hi (x, s), x, s ∈ γi ,
(x, s) ∈ γi × γj (i = j).
0,
Использование такого фундаментального решения в формуле (2.3.14)
переносит на функцию Грина свойство (2.3.15) скачка ее производной
на «диагонали» x = s в R(Γ) × R(Γ).
Для синтетической версии формула (2.3.13) должна быть уточнена
необходимостью учета значений f (x) в узлах из J(Γ), что вынуждает
нас брать интеграл по Стилтьесу с мерой μ(x), линейной на всех γi
и единичной (атомарной) в точках из J(Γ). Поэтому функция Грина
должна быть доопределена при s ∈ J(Γ). Обозначим через G(x, b) (b ∈
∈ J(Γ)) решение однородного уравнения −(pu ) + qu = 0 (x ∈ R(Γ)),
удовлетворяющего всем условиям (2.3.3), (2.3.4), а также условиям
(Lu)(a) =
1, a = b,
0, a ∈ J(Γ), a = b,
где через (Lu)(a) обозначается левая часть (2.3.2). В силу невырожденности задачи такие функции определяются однозначно. Тогда формула
(2.3.13) уточняется равенством
u(x) = Gμ (x, s)f (s) dμ(s) =
Γ
GΣ (x, s)f (s) ds +
R(Γ)
G(x, a)f (a),
a∈J(Γ)
причем на R(Γ) × R(Γ) функция Gμ (x, s) совпадает с функцией Грина
GΣ (x, s) связной версии и адекватна функции Грина G0 (x, s) декомпозиционной версии. Теорема доказана.
Использованное при построении функции Грина представление
(2.3.14) удобно возможностью выбирать различные фундаментальные
решения сообразно изучаемым вопросам. Непосредственно из представления (2.3.14) вытекает следующая теорема.
3*
68
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
Т е о р е м а 2.3.4. Если задача (2.3.1)–(2.3.4) невырождена, то
функция Грина G0 (x, s) ее декомпозиционной версии обладает следующими свойствами:
а) при каждом s ∈ R(Γ) функция gs (x) = G0 (x, s) удовлетворяет
однородному уравнению Lu(x) = 0 при x = s;
б) gs (x) удовлетворяет (2.3.15);
в) gs (x) удовлетворяет всем однородным условиям (2.3.3),
(2.3.4), (2.3.10);
г) G0 (x, s) равномерно непрерывна на каждом из прямоугольников γi × γj ;
д) при параметризации в любом из двух направлений каждого
d
ребра γi функция
G (x, s) равномерно непрерывна на γi × γj
dx 0
(i = j ) и на треугольниках
Ti± = {(x, s) ∈ γi × γi : ± (s − x) > 0} (ci = 1, . . . , m)
(знак «>» здесь — в соответствии с выбранной параметризацией γi ).
С л е д с т в и е 2.3.1. Функция Грина GΣ (x, s) связной версии обладает следующими свойствами:
аσ ) при каждом s ∈ R(Γ) она является по x непрерывным на Γ
решением уравнения Lu(x) = 0 (при x = s);
бσ ) удовлетворяет условиям (2.3.15);
вσ ) удовлетворяет по x условиям u|∂Γ = 0;
гσ ) равномерно непрерывна на каждой из компонент связности
множества Γ × R(Γ);
дσ ) обладает свойством (д).
З а м е ч а н и е. Все свойства (аσ )–(дσ ) сохраняются и для функции
Грина Gμ (x, s) синтетической версии. При этом свойство (аσ ) верно
и при s ∈ J(Γ), а в (бσ ) свойство (2.3.15) меняется при s ∈ J(Γ) на
равенство (Lu)(s) = 1 (где (Lu)(s) при s ∈ J(Γ) определяется левой
частью (2.3.2) при a = s).
2.3.4. s-расширение задачи на сети. Если для данной невырожденной задачи фиксировать точку s ∈ R(Γ) и объявить ее новым
узлом, обозначив новообразованный граф через (Γ + s), то равенство
(2.3.15) мы можем рассматривать как условие трансмиссии типа (2.3.2)
(полагая αγs (s) = p(s) = αγs (s), q(s) = 0, f (s) = −1) в новоявленном
узле s ∈ J(Γ + s). Перенося на (Γ + s) исходное уравнение (2.3.1) при
x = s и все условия (2.3.2)–(2.3.4) с дополнительным предположением о непрерывности решений в дополнительном (новообретенном)
внутреннем узле s, мы получим для GΣ (x, s) задачу по x, аналогичную исходной. Решение соответствующей однородной задачи совпадает
с решением однородной задачи, отвечающей (2.3.1)–(2.3.4), поэтому
69
§ 2.4. О неосцилляции на пространственной сети
невырожденность новой задачи обеспечена невырожденностью исходной. Тем самым установлена следующая теорема.
Т е о р е м а 2.3.5. Свойства (аσ )–(дσ ) не только необходимы для
GΣ (x, s), но и достаточны для ее однозначного определения.
Описанный прием оказывается продуктивным и для главной в настоящей главе синтетической версии. Пусть s — произвольная точка из
R(Γ). Сохраним все связи (2.3.2)–(2.3.4), а также уравнения (2.3.1) при
x = s, дополнив их в точке x = s условием непрерывности и уравнением
−p(s)
d
d
u(s) +
u(s) = f (s),
γs
γs
аналогичным (2.3.15). При s ∈ J(Γ) мы задачу (2.3.1)–(2.3.4) не меняем. Новообразованную задачу на (Γ + s) мы называем s-расширением исходной. Невырожденность s-расширения, очевидно, эквивалентна
невырожденности исходной задачи. Проведенный выше анализ функции Грина резюмирует следующее утверждение.
Т е о р е м а 2.3.6. Функция Грина Gμ (x, s) при каждом s ∈ Γ есть
решение s-расширения исходной задачи при f (x) ≡ 0 на Γ \ {s} и при
f (s) = 1.
Рассмотрение функции Грина как обычного решения (по x) чуть
измененной задачи резко упрощает анализ важных качественных
свойств, снимая завесу вокруг поведения функции Грина на «диагонали» x = s, которая, в отличие от скалярного случая, — не диагональ
обычного квадрата a x, s b, а граф, расположенный в Γ × Γ, об
упорядоченности на котором (как и об аналогах левого и правого
треугольников a x s b и a s x b скалярного квадрата)
говорить трудно (в особенности, если Γ имеет циклы).
Всюду далее рассмотрение исходной задачи на сети мы ведем в
синтетической версии. Поэтому, говоря о функции Грина, мы будем
применять стандартное обозначение G(x, s), опуская символ версии μ.
§ 2.4. О неосцилляции на пространственной сети
Свойство неосцилляции для обыкновенного дифференциального
уравнения (или оператора L)
Lu ≡ − (pu ) + qu = 0
(2.4.1)
на отрезке [a, b] ⊂ R означает, что любое нетривиальное решение
(2.4.1) имеет в [a, b] не более одного нуля. В вариационном исчислении
это свойство аналогично так называемому условию Якоби. Свойство
неосцилляции играет ключевую роль в теории дифференциальных
неравенств вида Lu 0, где оно в силу теоремы Валле-Пуссена эк-
70
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
вивалентно наличию у такого неравенства строго положительного на
[a, b] решения. Последнее свойство имеет самые разнообразные приложения в теории краевых задач для уравнения (2.4.1). Естественно, что
аналогичные свойства играют решающую роль и для краевых задач
на пространственных сетях, где на каждой дуге сети задано уравнение вида (2.4.1), а в узлах, где дуги смыкаются, решения смежных
уравнений удовлетворяют условиям смычки или, как говорят, условиям
согласования или условиям трансмиссии.
2.4.1. Неосцилляция уравнения (2.4.1) на отрезке запрещает
нетривиальным решениям иметь два различных нуля. Для непрерывной на сети Γ функции u(x) аналогом промежутка между соседними нулями является S -зона u, т. е. такой подграф Γ0 ⊆ Γ (Γ0 = ∅),
что u(x) = 0 на Γ0 и u|∂Γ0 = 0. Далее рассматривается оператор
d
Lu ≡ − (pu ) + qu и порождаемое им уравнение
dΓ
−
d
(pu ) + qu = 0
dΓ
(2.4.2)
в предположениях п. 2.2.5: p и q лежат в C[R(Γ)], т. е. равномерно
непрерывны на каждом ребре, причем коэффициент p(x) в целом на Γ
равномерно положителен. Напомним, что
⎧d
d
⎪
x ∈ R(Γ),
⎪
⎨ dx p(x) dx u(x) ,
d
(pu )(x) =
(2.4.3)
d
dΓ
⎪
αγ (x)
u(x), x ∈ J(Γ),
⎪
⎩
dγ
γ⊂Γ(x)
при αγ (x) > 0. Решения (2.4.2) ищутся в пространстве D2 [Γ] функций u из C[Γ], для которых (pu ) ∈ C[R(Γ)].
О п р е д е л е н и е 2.4.1. Уравнение (2.4.2) и порождающий его
оператор
d
def
Lu = − (pu ) + qu
dΓ
называются неосциллирующими на графе Γ, если любое нетривиальное решение (2.4.2) не может иметь S -зоны в Γ (не допускается,
в частности, чтобы Γ был S -зоной, когда u(x) = 0 в Γ и u|∂Γ = 0).
Если L не осциллирует на Γ, то задача
Lu = f ,
u|∂Γ = 0
(2.4.4)
невырождена. В самом деле, для нетривиального решения u(x) задачи
(2.4.4) (при f ≡ 0) любая компонента связности непустого множества
из Γ, где u(x) > 0 или u(x) < 0, оказывается подграфом, в граничных
точках которого u(x) = 0, что делает этот подграф S -зоной u.
71
§ 2.4. О неосцилляции на пространственной сети
Пусть задача (2.4.4) невырождена. Введем в рассмотрение для каждой граничной вершины τ ∈ ∂Γ задачу
Lu = 0,
u(τ ) = 1,
u(x) = 0 (x ∈ ∂Γ, x = τ ),
(2.4.5)
обозначив ее решение через через uτ .
Т е о р е м а 2.4.1. Если ∂Γ = ∅, то следующие свойства эквивалентны:
а) каждая из задач (2.4.5) имеет неотрицательное на Γ решение;
б) существует решение w уравнения (2.4.2), положительное
на Γ, т. е. такое, что inf w > 0;
Γ
в) существует неотрицательное на Γ решение, ненулевое хотя
бы в одной из точек ∂Γ;
г) уравнение (2.4.2) не осциллирует на Γ;
д) существует функция h(x), такая что inf h > 0 и при всех u
Γ
Lu ≡ −
1 d
u
h2 p
h dΓ
h
(2.4.6)
.
Последнее, с учетом (2.4.3), более точно означает, что
(Lu)(x) = −
1 d
h(x) dx
(Lu)(x) = −
h2 (x)p(x)
h(x)dγ(x)
γ⊂Γ(x)
u(x)
h(x)
d u
(x)
dγ h
(x ∈ R(Γ)), (2.4.7)
(x ∈ J(Γ)).
(2.4.8)
Д о к а з а т е л ь с т в о. При условии (а) каждое решение uτ по
теореме 2.2.1 строго положительно на Γ. Поэтому их сумма по всем
τ ∈ ∂Γ не имеет нулей и в ∂Γ. Значит, (а) ⇒ (б). Импликация (б) ⇒ (в)
очевидна, а (в) ⇒ (г) легко следует из теоремы 2.2.2. При условии (г)
каждая uτ (x) существует в силу невырожденности задачи (2.4.5) и не
может иметь отрицательных S -зон, а потому и отрицательных значений. Поэтому из (д) следует (а). Представление (2.4.6) справедливо,
если положить h = w, где w взято из (б). Поэтому (б) ⇒ (д). Наоборот,
если L можно представить в виде (2.4.6) при некоторой h(x) ∈ D2 [Γ],
равномерно положительной на Γ, то из (2.4.6) сразу следует, что
(Lh)(x) ≡ 0. А это есть условие (б). Таким образом, (б) и (д) эквивалентны, что и доказывает теорему.
С л е д с т в и е 2.4.1. При q ≡ 0 уравнение (2.4.2) не осциллирует
на Γ, если ∂Γ = ∅. В этом случае решением (2.4.2) является функция u(x) ≡ 1, удовлетворяющая (б).
72
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
С л е д с т в и е 2.4.2 (краевые неравенства). Если L не осциллирует на Γ, то для любого нетривиального решения (2.4.2) из неотрицательности на ∂Γ (= ∅) следует строгая положительность на Γ.
С л е д с т в и е 2.4.3. Например, решение uτ любой из задач
(2.4.5) строго положительно в Γ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u — решение (2.4.2). Если u(x) < 0
для какого-либо x ∈ Γ, то из неравенств u|∂Γ 0 следует существование в Γ отрицательной S -зоны, что противоречит неосцилляции L.
Поэтому u(x) 0 на Γ, и если u ≡ 0, то в силу теоремы 2.2.1 u(x) > 0
при x ∈ Γ.
С л е д с т в и е 2.4.4. Пусть E(L) — множество решений неосциллирующего на Γ уравнения Lu = 0. Поставим в соответствие каждому u(x) ∈ E(L) набор {u(τ )}τ ∈∂Γ . Это соответствие — не только
линейный, но и порядковый изоморфизм, причем структурной единицей оказывается функция v ∈ E(L), такая что v ≡ 1 на ∂Γ.
Действительно, каждую функцию z(x) из E(L) можно единственным образом представить в виде
z(τ )uτ (x),
z(x) =
τ ∈∂Γ
где {uτ }τ ∈∂Γ — решения задач (2.4.5), образующие базис в E(L).
С л е д с т в и е 2.4.5. Пусть w(x) — сильно положительное на Γ
решение уравнения Lu = 0. Тогда для любого решения uτ одной из
задач (2.4.5)
uτ
= 0.
w
x=τ
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно следствию 2.2.2 к теореме 2.2.2
uτ
точка τ есть точка максимума
на Γ = Γ ∪ ∂Γ. Поэтому функция
w
h(x) = uτ (τ )w(x) − w(τ )uτ (x) неотрицательна на Γ, причем h(τ ) = 0.
u
τ
(τ ) = 0, то h (τ ) = 0. Неравенство h(x) 0 (≡ 0) в
Если бы
w
сочетании с h(τ ) = h (τ ) = 0 при τ ∈ ∂Γ противоречит теореме 2.2.2.
2.4.2. Дифференциальные неравенства. Под решением дифференциального неравенства
(Lu)(x)
0
(x ∈ Γ)
(2.4.9)
мы понимаем решение уравнения Lu = f для какой-либо неотрицательной функции f ∈ C[R(Γ)]. Аналогично эллиптическим задачам
на дифференциальные неравенства переносится ряд важных свойств
уравнений.
Ослабляя предположение о неосцилляции L на Γ, скажем, что L не
осциллирует внутри Γ, если L не осциллирует на любом собственном
73
§ 2.4. О неосцилляции на пространственной сети
(т. е. отличном от Γ) подграфе Γ0 ⊂ Γ. Другими словами, это свойство
означает, что для любого нетривиального решения уравнения Lu = 0
в Γ не может быть S -зон, отличных от Γ. Ясно, что из неосцилляции
«на Γ» следует неосцилляция «внутри Γ».
Т е о р е м а 2.4.2. Пусть L не осциллирует внутри Γ. Пусть для
u ∈ D2 [Γ] (u ≡ 0) справедливы неравенства
(Lu)(x)
0,
0 (x ∈ Γ).
u(x)
(2.4.10)
Тогда u(x) > 0 в Γ. Если при этом u(a) = 0 для какой-либо a ∈ ∂Γ,
то u (a) = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что в условиях теоремы
некоторое неотрицательное на Γ решение u(x) (≡ 0) не всюду на Γ
строго положительно. Тогда множество Ω = {x| u(x) > 0} не совпадает
с Γ. Пусть Ω0 — какая-либо компонента связности Ω. Так как Ω0 —
подграф Γ, не совпадающий с Γ, то в ∂Ω0 существует точка x, не
лежащая в ∂Γ, т. е. принадлежащая Γ. В ней, очевидно, u(x) = 0.
Так как x оказывается точкой минимума u в Γ, то u (x) = 0, если
x лежит внутри какого-либо ребра Γ (при любой по направлению ориентации окрестности x). Если же x ∈ J(Γ), т. е. является внутренним
d
узлом, то
u(x) 0 для любого γ ∈ Γ(x). Поэтому в силу (2.4.3)
d
(pu )(x)
dΓ
dγ
0. А так как u(x) = 0, то
(Lu)(x) ≡ −
Но (Lu)(x)
d
(pu )(x) + q(x)u(x)
dΓ
0.
0 при всех x, что означает (Lu)(x) = 0, т. е.
d
(pu )(x) =
dΓ
= 0, что в силу неотрицательности всех слагаемых в (2.4.3) означает,
d
u(x) = 0 при всех γ ∈ Γ(x). Таким образом, для любого ребра
что
dγ
γ0 подграфа Ω0 ⊂ Γ, примыкающего к x (∈ ∂Ω0 ), верны равенства
d
u(x) = 0,
dγ0
uγ0 (x) = 0.
(2.4.11)
Так как Ω0 не совпадает с Γ, то L не осциллирует на Ω0 и (согласно
свойству (б) из теоремы 2.4.1) существует решение w(x) уравнения
Lu = 0, равномерно положительное на Ω0 . Очевидно, что w(x) > 0.
Зададим на γ0 ориентацию в направлении «от x» и воспользуемся
представлением
1 d
d u
Lu ≡ −
w2 p
.
w dx
Неравенство Lu
dx
w
0 означает здесь, что для функции
ϕ(x) ≡ w2 (x)p(x)
uγ0 (x)
w(x)
74
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
на γ0 имеет место ϕ (x) 0, т. е. ϕ(x) не возрастает на γ0 . Согласно
(2.4.11) должно быть ϕ(x) = 0. Поэтому ϕ(x) 0 на γ0 . Но тогда и
uγ0
u
0
(x) не возрастает на γ0 , что в силу u(x) = 0 означает γ0
w
w
на γ0 , что противоречит неравенству u(x) > 0 на Ω0 . Поэтому Ω0 не
может отличаться от Γ. Значит, u > 0 на Γ. Если при этом окажется,
что u(z) = 0 для некоторой z ∈ ∂Γ и u (z) = 0, то в окрестности z
(на примыкающем к z ребре) справедливы предыдущие рассуждения,
приводящие к противоречию с неравенством Lu 0.
Теорема полностью доказана.
Являясь для неравенства с неосциллирующим оператором точным
аналогом теоремы 2.2.1, предыдущее утверждение допускает эффектное уточнение: свойство u(x) 0 достаточно проверять лишь на границе ∂Γ, о чем говорит следующая теорема.
Т е о р е м а 2.4.3. Пусть L не осциллирует внутри Γ. Тогда любое нетривиальное решение u(x) неравенства Lu
0, неотрицательное на границе ∂Γ, т. е. такое, что u|∂Γ 0, строго положительно внутри Γ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем вначале, что u(x) неотрицательно
в Γ. Предполагая противное, рассмотрим какую-либо его отрицательную S -зону Γ0 . Положим λ0 = inf ϕ, где ϕ = u/w и w — строго
Γ0
положительное на Γ0 решение уравнения Lu = 0. Очевидно, что λ0 < 0
и λ0 = ϕ(x) при некотором x ∈ Γ0 . Поэтому функция h = u − λ0 w
удовлетворяет на Γ0 неравенству Lh 0, неотрицательна на Γ0 и имеет нулевое значение в Γ0 , что противоречит теореме 2.4.2. Поэтому
u(x) 0 на Γ. Но теперь мы для u(x) оказываемся в условиях теоремы 2.4.2, что и завершает доказательство.
С л е д с т в и е 2.4.6. Если L не осциллирует на Γ, то для любых
двух решений v и w неравенства (2.4.9) при условиях u|∂Γ = 0
существуют α > 0 и β > 0, такие что αv(x) w(x) βv(x) на Γ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обе функции, v и w, строго положительны
в Γ и имеют ненулевые производные в ∂Γ. Поэтому отношение v/w
допускает доопределение до непрерывной на Γ ∪ ∂Γ функции, не имеющей нулевых значений.
С л е д с т в и е 2.4.7 (обобщенная выпуклость). Пусть L не осциллирует внутри Γ. Пусть u(x) — произвольное решение неравенства
Lu 0 (≡ 0). Тогда для любого подграфа Γ0 ⊆ Γ справедливо неравенство
u(x) > h(x) (x ∈ Γ0 ),
где h — решение задачи
Lh = 0,
(h − u)|∂Γ0 = 0.
(2.4.12)
§ 2.4. О неосцилляции на пространственной сети
75
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, функция u − h оказывается
в условиях теоремы 2.4.3. Условие (2.4.12) в скалярном случае Lu =
= −u на отрезке определяет обычную секущую (h = 0), проходящую
через точки u(ξ1 ), u(ξ2 ) при (ξ1 , ξ2 ) = Γ0 , так что описанное свойство
адекватно строгой выпуклости вверх скалярной функции. Это свойство
является достаточно глубоким обобщением обычной выпуклости уже
для скалярного оператора Lu ≡ −(pu ) + qu при q 0.
С л е д с т в и е 2.4.8. Для неосцилляции L на Γ необходимо и достаточно, чтобы функция Грина G(x, s) задачи (2.4.4) была строго
положительной на Γ × Γ.
Действительно, из неосцилляции L следует невырожденность задачи (2.4.4). Соответствующая функция Грина G(x, s) при x = s удовлетворяет однородному уравнению Lu = 0. Сохраняя это свойство для
s-расширения исходной задачи (см. п. 2.3.4), функция g(x) = G(x, s)
согласно теореме 2.3.6 удовлетворяет на (Γ + s) уравнению Lu = f
при f (x) ≡ 0 на Γ \ {s} и f (s) = 1. Поэтому Lg
0 на (Γ + s) и
g|∂(Γ+s) = 0. А так как, очевидно, расширенное на (Γ + s) уравнение
не осциллирует, то в силу теоремы 2.4.3 g(x) > 0.
Пусть теперь задача (2.4.4) невырождена и G(x, s) — ее функция Грина, неотрицательная на Γ × Γ. Покажем вначале ее строгую
положительность. Функция g(x) = G(x, s) при s ∈ Γ является решением s-расширения задачи (2.4.4), а значит, решением неоднородной
задачи, и поэтому g(x) ≡ 0. А так как (Lg)(x) ≡ 0 при x = s, то на
любой компоненте связности множества Γ \ {s} функция g(x) оказывается в условиях теоремы 2.2.1 и потому g(x) > 0.
Покажем теперь, что L не осциллирует на Γ. Предполагая противное, будем иметь нетривиальное решение u0 (x) уравнения Lu = 0
и некоторую его S -зону Γ0 ⊆ Γ. Из невырожденности задачи (2.4.4)
следует, что Γ0 = Γ. Поэтому существует точка s0 ∈ Γ, не лежащая
в Γ0 . Возьмем функцию g(x) = G(x, s0 ). Она строго положительна
на Γ0 и отлична от нуля хотя бы в одной точке ∂Γ0 — той, которая
не входит в ∂Γ (∂Γ0 ⊂ ∂Γ). Отсюда в силу теоремы 2.4.1 ((б) ⇔ (г))
следует неосцилляция L на Γ0 , что противоречит определению Γ0
как S -зоны нетривиального решения.
2.4.3. Неравенство Харнака. Шатры на сетях. Пусть L не осциллирует на Γ. Ниже показывается, что для любого неотрицательного
на Γ решения u(x) неравенства Lu 0 на каждом локально компактном (относительно Γ) подмножестве Ω ⊂ Γ справедлива оценка
max u(x)
Ω
κ min u(x),
Ω
(2.4.13)
где константа κ зависит лишь от Ω — точный аналог классического
неравенства Харнака для эллиптических задач на многообразиях.
76
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
О п р е д е л е н и е 2.4.2. Шатром с вершиной в точке ξ ∈ Γ =
= Γ ∪ ∂Γ называется функция Шξ (x) из C[Γ], удовлетворяющая
уравнению Lu = 0 при x = ξ и условиям u(x) = 0 при x ∈ ∂Γ, x = ξ .
Высотой шатра Шξ (x) мы называем число Шξ (ξ). При единичной
высоте шатер называется единичным.
Достаточно наглядная интерпретация шатра — форма упруго натянутой плоской сетки, если ее оттянуть в одной точке на единичное
расстояние. Для невырожденной задачи (2.4.4) функция Грина G(x, s)
при каждом ξ ∈ Γ дает математически содержательный пример шатра
Шξ (x) = G(x, ξ). Для любого шатра из его неотрицательности следует
в силу теоремы 2.2.1 его строгая положительность на Γ. Аналогично
следствию 2.4.3 теоремы 2.4.1 можно показать, что неосцилляция L
на Γ достаточна для неотрицательности (и даже строгой положительности) любого единичного шатра.
Пусть w(x) — равномерно положительное на Γ решение уравнения
Lu = 0, существующее в случае неосцилляции L согласно теореме 2.4.1
((б) ⇔ (г)).
Л е м м а 2.4.1. Для любой точки ξ ∈ Γ ∪ ∂Γ и соответствующе1
го единичного шатра Шξ (x) функция Шξ имеет максимум только
w
в точке x = ξ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждой компоненты связности Γ0 множества Γ \ {ξ} точка ξ оказывается граничной, т. е. ξ ∈ ∂Γ0 . Согласно
Ш
следствию 2.2.2 теоремы 2.2.2 функция ξ не может иметь экстремуω
мов внутри Γ0 . А так как Шξ (x) = 0 при всех x ∈ ∂Γ0 , кроме x = ξ , то
Ш
ξ — единственная точка экстремума ξ на Γ0 ∪ ∂Γ0 .
w
Л е м м а 2.4.2. Если L не осциллирует на Γ, то для того чтобы
шатер Шξ мажорировал Шη , т. е. чтобы Шξ (x) Шη (x) при всех
x ∈ Γ, необходимо и достаточно, чтобы второй шатер Шη не
превосходил в своей вершине Шξ , т. е. чтобы Шη (η) Шξ (η).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость очевидна. Покажем достаточность, предполагая Шξ (η) Шη (η). Пусть вначале Шξ (η) = Шη (η).
Рассмотрим функцию h(x) = Шξ (x) − Шη (x). На любой компоненте
связности множества Γ \ {η}, которая не содержит в своем замыкании ξ , функция h(x) оказывается решением неосциллирующего на этой
компоненте уравнения Lu = 0, причем решением с нулями на границе
этой компоненты; значит, h ≡ 0 на каждой такой компоненте.
Пусть теперь Γ0 — компонента Γ \ {η}, содержащая в своем замыкании ξ . Согласно предыдущей лемме ξ является единственной
точкой максимума Шξ /w, а η — единственной точкой максимума
Шη /w. Поэтому (Шξ /w)(ξ) > (Шξ /w)(η) = (Шη /w)(η) (Шη /w)(x)
при x ∈ Γ, в том числе и при x ∈ Γ0 . При x = ξ имеем отсюда:
§ 2.4. О неосцилляции на пространственной сети
77
(Шξ /w)(ξ) > (Шη /w)(ξ), т. е. Шξ (ξ) > Шη (ξ). Поэтому h(ξ) > 0. В целом функция h(x) = Шξ (x) − Шη (x) удовлетворяет однородному уравнению Lu = 0 при x = ξ ∈ Γ0 , имеет положительное значение в точке
x = ξ и нулевые значения на границе ∂Γ0 \ {ξ}, т. е. является шатром
на Γ0 . Но тогда ввиду неосцилляции L на Γ (а значит, и на Γ0 ) h > 0
на Γ0 .
Если Шξ (η) > Шη (η), то вместо Шη (x) предыдущие рассуждения
Ш (η)
можно провести для функции Ш1η (x) ≡ γ Шη (x) при γ = ξ , также
Шη (η)
являющейся шатром на Γ с вершиной в точке x = η и совпадающей
по значению в этой точке с Шξ (x). Из неравенства γ > 1 тогда будет
следовать требуемое.
Л е м м а 2.4.3. Пусть L не осциллирует на Γ и γ = (a, b) —
произвольное ребро Γ. Тогда для любой точки ξ ∈ γ единичный
шатер Шξ (x) связан с единичными шатрами Шa и Шb (с вершинами
в точках a и b соответственно) неравенствами
Шa (x)
Шa (ξ)Шξ (x)
Шa (b)Шb (x)
(x ∈ Γ).
(2.4.14)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое из требуемых неравенств следует из леммы 2.4.2 — достаточно сравнить значения шатров Шa ( · )
и Шa (ξ)Шξ ( · ) в точке ξ . Для доказательства второго в силу той
же леммы достаточно показать, что (Шa (ξ)Шξ )(b) = (Шa (b)Шb )(b).
Это будет доказано (поскольку Шb (b) = 1), если мы покажем, что
(Шa (ξ)Шξ )(x) ≡ Шa (x) при x ∈ (ξ , b).
Рассмотрим множество Γ \ {ξ} и его компоненту связности Γ0 ,
содержащую (ξ , b). На Γ0 разность (Шa (ξ)Шξ )(x) − Шa (x) удовлетворяет уравнению Lu = 0 (без купюр), имея нулевые значения на ∂Γ0 ,
включая точку ξ . Поэтому она должна быть тождественным нулем.
Лемма доказана.
Л е м м а 2.4.4. Пусть L не осциллирует на Γ. Тогда существует
строго положительная на Γ функция g0 (x) ∈ C[Γ], ограничивающая
снизу все единичные шатры на Γ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если γ — произвольное ребро Γ и γ =
= (a, b), то согласно (2.4.14) любой единичный шатер с вершиной
в точке ξ ∈ γ оценивается снизу неравенством
Шξ (x)
Шa (b)
Шb (x),
Шa (ξ)
где в качестве b берется точка из J(Γ); такой выбор обеспечивает
отделенность от нуля Шa (ξ) при ξ ∈ γ . (Если граф Γ совпадает с ребром (a, b), то мы можем добавить в (a, b) фиктивную внутреннюю
вершину и провести рассуждения в терминах s-расширений). Таким
78
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
образом, для любого ребра γ из Γ существует единичный шатер Шb (x)
с вершиной b ∈ J(Γ), такой что при некотором K = K(γ) верно:
Шξ (x)
K(γ)Шb (x). А так как число ребер и число вершин у Γ
конечны, то лемма верна при некотором K0 > 0 и
g0 (x) = inf Шb (x).
b∈J(Γ)
(2.4.15)
Л е м м а 2.4.5. Пусть L не осциллирует на Γ. Тогда для любого
неотрицательного на Γ решения u(x) (≡ 0) неравенства Lu
0
справедлива оценка
u(ξ)Шξ (x) (x, ξ ∈ Γ),
u(x)
где Шξ — единичный шатер с вершиной в точке ξ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. На каждой компоненте связности Γ0 множества Γ \ {ξ} функция h(x) = u(x) − u(ξ)Шξ (x) оказывается решением неравенства Lu 0 и имеет неотрицательные на ∂Γ0 значения.
Остается сослаться на теорему 2.4.3.
Т е о р е м а 2.4.4. Если L не осциллирует на сети Γ, то любое
неотрицательное на ∂Γ решение неравенства Lu 0 удовлетворяет
оценке
u(x)
u g0 (x) (x ∈ Γ),
(2.4.16)
где, как обычно, u = sup u(x), а g0 — положительная на Γ функΓ
ция, определяемая равенством (2.4.15).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях теоремы u(x) > 0 на Γ (по
теореме 2.4.3). Пусть s — точка максимума u(x) на Γ ∪ ∂Γ, т. е.
u(x) = u(s). Тогда в силу леммы 2.4.5
u(x)
u(s)Шs (x) = u Шs (x),
после чего остается воспользоваться равенством (2.4.15).
С л е д с т в и е 2.4.9. В условиях теоремы для любого локально
компактного в Γ множества Ω существует константа κ = κ(Ω, L),
такая что для каждого неотрицательного на ∂Γ решения неравенства Lu 0 верно неравенство Харнака (2.4.13) — достаточно
положить в (2.4.16) x = x0 , где x0 — точка минимума функции u
на Ω.
С л е д с т в и е 2.4.10. Если L не осциллирует на Γ, то функция
Грина G(x, s) задачи (2.4.4) удовлетворяет аналогичному (2.4.16)
неравенству
G(x, s)
g0 (x) sup G(τ , s) (x, s ∈ Γ).
τ ∈Γ
(2.4.17)
79
§ 2.4. О неосцилляции на пространственной сети
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любой неотрицательной на Γ функции
f решение задачи (2.4.4), удовлетворяя (2.4.16), должно удовлетворять
неравенству
G(x, s)f (s) dμ
G(x, s)f (s) dμ
g0 (x)
Γ
Γ
[g0 (x)G(τ , s)f (s) dμ]
Γ
при всех x, τ ∈ Γ. Но тогда
[G(x, s) − g0 (x)G(τ , s)]f (s) dμ
0 (x, τ ∈ Γ),
Γ
что в силу произвольности выбора неотрицательной функции f ( · )
означает
G(x, s) − g0 (x)G(τ , s) 0 (x, τ , s ∈ Γ).
Последнее, как легко видеть, эквивалентно (2.4.17).
З а м е ч а н и е 2.4.1. Аналогично, из (2.4.17) следует (2.4.16) для
любого решения задачи (2.4.4) с неотрицательной функцией f .
Поэтому утверждение теоремы 2.4.4 просто эквивалентно (2.4.17).
2.4.4. О локализации носителя. Заданная на сети Γ задача
Lu = f ,
u|∂Γ = 0
(2.4.18)
может быть редуцирована на более узкое подмножество, если f ≡ 0 на
некоторой существенной части Γ. Физически задача вполне естественна, так как относится к случаю, когда экспериментировать с системой,
т. е. воздействовать на нее и наблюдать за ней, мы можем только на
некоторой ее части. Или, например, когда в задаче о собственных
колебаниях (если речь идет о спектральной задаче Lu = λρu, u|∂Γ = 0)
массы распределены лишь на части системы, т. е. ρ(x) ≡ 0 на другой
части.
Ниже в этом пункте предполагается неосцилляция L.
Пусть Ω — подмножество Γ, такое что f (x) ≡ 0 вне Ω, т. е. на
Γ0 = Γ \ Ω. Нас интересует вопрос о возможности переопределения
исходной задачи на Ω, так чтобы решение новой задачи совпадало на Ω
с решением исходной (т. е. чтобы о прежней «составляющей» задачи на
Γ0 = Γ \ Ω можно было полностью забыть). Если G(x, s) — функция
Грина задачи (2.4.18), то ее решение при f ≡ 0 на Γ0 имеет вид
u(x) = G(x, s)f (s)dμ (x ∈ Γ),
(2.4.19)
Ω
где, подчеркнем, суммирование происходит по Ω. Интересуясь решением u(x) лишь на Ω, мы все равно от представления (2.4.19) никуда не
денемся. А в нем x ∈ Γ, поскольку, сужая интегрирование на Ω, т. е.
80
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
пользуясь значениями G(x, s) лишь при s ∈ Ω, мы тем не менее пользуемся G(x, s) как функцией по x, определенной на всем Γ. Сужение
(2.4.19) по x на Ω означает тем самым задание на Ω такой задачи,
чтобы ее функция Грина при x, s ∈ Ω совпадала с G(x, s).
Назовем ребро γ перемычкой в Γ, если выбрасывание любой его
точки из Γ приводит к потере связности. Если Γ имеет структуру дерева, т. е. не содержит циклов, то все его ребра являются перемычками.
Пусть x0 — какой-либо внутренний узел Γ и Γ0 — одна из компонент связности Γ \ {x0 }, образующаяся при выбрасывании x0 из Γ.
Γ0 , если к x0 из Γ0 примыкает всего лишь одно ребро, оказывающееся
перемычкой, мы назовем ветвью (веткой) исходной сети Γ. Очевидно,
что ∂Γ0 \ {x0 } ⊆ ∂Γ. Точку x0 назовем основанием ветви Γ0 .
Пусть f (x) ≡ 0 на ветви Γ0 . Нас интересует далее вопрос о сужении
задачи (2.4.18) и формулы (2.4.19) на Ω = Γ \ Γ0 . Функция Грина
G(x, s) при s ∈ Ω есть шатер с вершиной в Ω, определенный, однако,
и на Γ0 , причем с помощью условий на ∂Γ0 \ {x0 }. При нужном нам
переопределении необходимо для всех шатров Шξ (x) с вершинами
в Ω отбросить их куски «над Γ0 », сохранив их в целости «над Ω».
Согласно лемме 2.4.2 шатер Шξ (x) = G(x, ξ) при ξ ∈ Ω мажорирует
шатер Шx0 (x) =
G(x0 , ξ)
G(x, x0 ) (Шξ (x)
G(x0 , x0 )
Шx0 (x)), так как значения
их в точке x = x0 совпадают. Рассуждениями, аналогичными рассуждениям, использованным в доказательстве леммы 2.4.3, можно показать,
что обе эти функции на Γ0 совпадают. Таким образом, переход к новой
задаче на Ω означает утрату G(x, x0 ) на Γ0 и замену этой утраты
каким-либо условием в точке x0 .
Взяв G(x, x0 ) изолированно на Γ0 , мы имеем шатер, однозначно
определяемый своим значением в вершине x0 (в остальных точках ∂Γ0
его значения нулевые). Множество шатров на Γ0 с вершиной в точке
x0 одномерно. Обозначим через g0 (x) единичный из них по высоте.
Пусть γ0 — ребро из Γ0 , примыкающее к x0 . Из сказанного ранее
следует, что γ0 — перемычка, соединяющая Γ0 \ γ0 с Ω = Γ \ Γ0 . Любой
шатер с вершиной в точке x0 определяется его высотой: Шx0 (x) =
= Шx0 (x0 )g0 (x). Поэтому
d
d
Шx0 (x) = Шx0 (x0 )
g (x).
dγ0
dγ0 0
Полагая здесь
d
g (x ) = κ0 и учитывая, что на γ0 шатры Шx0 и Шξ
dγ0 0 0
(ξ ∈ Ω) совпадают, имеем тем самым
d
G(x, ξ)
dγ0
= κ0 G(x, ξ)
x=x0
.
x=x0
81
§ 2.4. О неосцилляции на пространственной сети
Но тогда и для любого решения задачи (2.4.18) в точке x = x0 должно
выполняться равенство
d
u(x0 ) = κ0 u(x0 ),
dγ0
(2.4.20)
что означает возможность представления в точке x0 исходного уравнения Lu = f , т. е.
d
− (pu ) + qu = f ,
(2.4.21)
dΓ
в виде
−
αγ (x0 )
γ⊂Γ(x0 )\γ0
d
u(x0 )
dγ
+ (q(x0 ) − αγ0 (x0 )κ0 )u(x0 ) = f (x0 ).
(2.4.22)
Таким образом, при f (x) ≡ 0 на Γ0 мы, интересуясь решениями задачи (2.4.18) на Ω = Γ \ Γ0 , можем полностью забыть о Γ0 , заменив
уравнение (2.4.21) в точке x = x0 на (2.4.22) и пользуясь прежним
уравнением в остальных точках Ω. Поскольку Ω — связное множество
(точку x0 мы из него не удаляли), мы имеем тем самым на Ω типичное
(для нас) уравнение на Ω, как на сети, с краевыми условиями u|∂Ω = 0.
Проведенные выше рассуждения резюмирует следующая теорема.
Т е о р е м а 2.4.5. Пусть L не осциллирует на Γ и Γ0 — некоторая ветвь Γ с основанием x0 . Тогда для любой функции f , тождественно равной нулю на Γ0 , при некотором κ0 решение задачи (2.4.18) совпадает на Ω = Γ \ Γ0 с решением суженной задачи
(LΩ u)(x) ≡ −
d
(pu )(x) + qΩ (x)u(x) = f (x)
dΩ
(x ∈ Ω),
u|∂Ω = 0,
идентичной исходной задаче во всех точках Ω ∪ ∂Ω, кроме точки
x = x0 . Точнее,
d
d
(pu )(x) =
(pu )(x)
dΩ
dΓ
при всех x ∈ Ω \ {x0 }, равно как и qΩ (x) = q(x) при тех же x.
d
Если же x = x0 , то qΩ (x0 ) = q(x0 ) − αγ0 (x0 )κ0 , а для
(pu )(x0 )
dΩ
в соответствующей сумме по γ ∈ Ω(x0 ) отсутствует слагаеd
мое αγ0 (x0 )
u(x0 ). Суженный таким образом на Ω оператор
LΩ u = −
dγ0
d
(pu ) + qΩ u не осциллирует на Ω.
dΩ
Д о к а з а т е л ь с т в о. Что касается неосцилляции LΩ , то здесь
достаточно заметить лишь, что если решение v уравнения LΩ u = 0
(x ∈ Ω) имеет S -зону Ω0 , то в случае x0 ∈ Ω0 множество Ω0 будет
S -зоной «расширения v » на Γ (т. е. того решения w уравнения Lu = 0
(x ∈ Γ), сужением которого на Ω является v ); в случае же x0 ∈ Ω0
множество Ω0 ∪ Γ0 будет S -зоной w, так как ввиду неосцилляции L
82
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
на Γ (а значит, и на Γ0 ) w(x)w(x0 ) > 0 для всех x ∈ Γ0 . Таким образом,
осцилляция LΩ на Ω повлечет осцилляцию L на Γ, что противоречит
условию теоремы.
В порядке физической интерпретации на упругой сети Γ рассмотрим точку x0 ∈ J(Γ), являющуюся основанием некоторой ветви Γ0 .
Предположим, что q(x0 ) = 0, т. е. в точке x0 отсутствует внешняя
упругая опора (типа пружины). Тогда для любой внешней нагрузки
f (x) с носителем вне Γ0 (т. е. при f ≡ 0 на Γ0 ) реакция системы на
(Γ \ Γ0 ) за счет (2.4.20) такова, как будто влияние Γ0 на систему
заменено влиянием подставляемой (вместо всего Γ0 ) упругой опоры
в точке x0 .
Описанный прием может быть обращен «обнулением q(x) во внутренних вершинах». К точкам a ∈ J(Γ), для которых q(a) = 0, мы
можем «прирастить» дополнительное ребро, на котором связь типа
(2.4.20) обеспечивается элементарным уравнением −u = 0 (пружины
меняются на элементарные струны).
В рамках описанного подхода Γ0 и Ω = Γ \ Γ0 играют почти симметричную роль: если к Ω добавить γ0 , то (Ω ∪ γ0 ) окажется такой
же ветвью, как и Γ0 . Поэтому выполненная процедура может определяться как сужение задачи на ветвь. Аналогично может быть описана
процедура сужения задачи на пару несмежных ветвей (с разными основаниями) Ω0 и Ω1 . Множество Ω0 ∪ Ω1 = Ω оказывается несвязным,
в отличие от выбрасываемого множества Γ \ (Ω0 ∪ Ω1 ), являющегося
подграфом Γ. Суженная на Ω0 ∪ Ω1 задача, сохраняя взаимодействие
Ω0 с Ω1 в рамках исходного уравнения (с помощью исходной функции Грина), может быть определена на некотором связном графе Ω,
изоморфном объединению Ω1 ∪ Ω2 с некоторой добавленной точкой,
в которой решение суженной задачи будет разрывным (разные пределы
вдоль Ω1 и вдоль Ω2 ), что накладывает отпечаток на аналогичные
(2.4.22) условия. Подробнее на этом мы здесь не останавливаемся.
§ 2.5. Критическая неосцилляция
Ниже углубляется анализ распределения нулей решений однородного уравнения в связи с размерностью пространства решений соответствующей однородной задачи Lu = 0, u|∂Γ = 0.
2.5.1. Критическая неосцилляция. В этом пункте мы углубляем
анализ неравенства Lu 0, для чего нам потребуется выделение из
свойства неосцилляции внутри Γ более тонкого свойства критической
неосцилляции в Γ. Для случая скалярного уравнения Lu = 0 на интервале (a, b) ⊂ R неосцилляция на (a, b) означает отсутствие у любого
нетривиального решения двух разных нулей в замкнутом промежутке
83
§ 2.5. Критическая неосцилляция
[a, b]. Таким образом, если ξ1 < ξ2 — два различных соседних нуля
решения u(x) ≡ 0 уравнения Lu = 0, то свойства неосцилляции на
[ξ1 , ξ2 ] наверняка нет, а свойство неосцилляции внутри Γ0 = (ξ1 , ξ2 )
наверняка есть, как и неосцилляция на любом подынтервале (η1 , η2 ),
лежащем строго внутри (ξ1 , ξ2 ). Вычленяя критичность свойства неосцилляции внутри S -зоны относительно неосцилляции на любом ее
собственном подграфе, введем следующее определение.
О п р е д е л е н и е 2.5.1. Уравнение Lu = 0 (и оператор L) назовем критически неосциллирующим на Γ, если оно не осциллирует
на любом отличном от Γ подграфе Γ0 ⊂ Γ, не обладая этим свойством на Γ.
Согласно свойству (б) теоремы 2.4.1 уравнение Lu = 0 критически
не осциллирует на Γ, если Γ есть S -зона одного из его решений.
Т е о р е м а 2.5.1. Пусть L критически не осциллирует на Γ.
Тогда любое решение неравенств
Lu
0,
u|∂Γ
0
(2.5.1)
превращает их в равенства, т. е. оказывается решением задачи
Lu = 0, u|∂Γ = 0.
(2.5.2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию Γ является S -зоной некоторого
решения v(x) (> 0) уравнения Lu = 0, т. е. решения задачи (2.5.2).
Пусть u(x) — нетривиальное решение (2.5.1). В силу теоремы 2.4.3
u(x) > 0 на Γ. Рассмотрим функцию ϕ = u/v . Пусть λ0 = inf ϕ достиΓ
гается в точке x0 ∈ Γ. Тогда функция h = u − λ0 v в силу теоремы 2.4.3
есть тождественный нуль, что влечет утверждение теоремы.
Пусть теперь λ0 = inf ϕ достигается в одной из граничных точек
Γ
a ∈ ∂Γ. Так как λ0 0, и, очевидно, λ0 < +∞, то из равенства v(a) = 0
следует, что u(a) = 0. Но тогда λ0 = u (a)/v (a) и неотрицательная на Γ
функция h = u − λ0 v , удовлетворяя неравенству Lh 0 на Γ, имеет
в точке x = a нулевое значение и нулевую производную, что в силу
теоремы 2.4.2 влечет h ≡ 0. Теорема доказана.
Доказанное свойство удивительно даже для скалярного случая:
если u(x) — любое решение неравенства
u (x)
u(x),
неотрицательное в точках x = 0 и x = π , то u(x) ≡ C sin x при некотором C = const.
С л е д с т в и е 2.5.1 (аналог теоремы сравнения Штурма). Рассмотрим на Γ два уравнения:
(pu ) + qu = 0,
(2.5.3)
84
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
(pv ) + Qv = 0.
(2.5.4)
Пусть Q q на Γ. Тогда для каждой S -зоны решения u(x) первого
уравнения любое решение v(x) второго уравнения, неколлинеарное
u(x) на Γ0 , не может быть знакопостоянным в Γ0 , т. е. наверняка
меняет в Γ0 знак.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предполагая противное, будем считать
v(x)
0 на Γ0 . Тогда функция h = v − u будет удовлетворять
на Γ0 равенству −(ph ) − qh = (Q − q)v , т. е. неравенству Lh
0,
удовлетворяя на Γ0 условиям теоремы п/п. 2.5.1.2. Значит, Lh = 0,
и остается применить следствие 2.2.2 теоремы 2.2.2.
Классическую теорему Штурма мы получаем, меняя слова «для
каждой S -зоны» на адекватное для Γ ⊂ R выражение «между соседними нулями».
С л е д с т в и е 2.5.2. Если Lu = 0 критически не осциллирует
на Γ, то пространство решений задачи (2.5.2) одномерно.
С л е д с т в и е 2.5.3 (критерий неосцилляции). Для неосцилляции L на Γ необходимо и достаточно, чтобы существовало строго
положительное на Γ = Γ ∪ ∂Γ решение неравенства Lu 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость тривиально следует из теоремы 2.4.1 ((d) ⇒ (b)). Пусть теперь u(x) — строго положительное на Γ
решение неравенства Lu 0. Если v — какое-либо решение уравнения
Lu = 0 и Γ0 — его S -зона, то на Γ0 мы оказываемся в условиях теоремы 2.5.1 и, следовательно, должно быть u|∂Γ0 = 0, что противоречит
предположению u(x) > 0 на Γ.
Приведенный результат является точным аналогом теоремы ВаллеПуссена для скалярных уравнений второго порядка на отрезке из R.
Если взять u(x) ≡ 1, то получим пример достаточного условия неосцилляции — неравенство q(x) 0.
2.5.2. Неосцилляция пучка L − λρI . Изложенные выше результаты п. 2.5.1 позволяют изучать знакорегулярные свойства решений
задачи Штурма–Лиувилля на графе Γ:
Lu ≡ − (pu ) + qu = λρu,
u|∂Γ = 0.
(2.5.5)
Предполагая уравнение Lu = 0 неосциллирующим на Γ, мы будем
связывать этот вопрос со свойствами решений пучка уравнений
Lλ u ≡ Lu − λρu = − (pu ) + (q − λρ)u = 0
(2.5.6)
или пучка операторов (L − λρI). Напомним, что знаковых ограничений
на q мы выше не накладывали. Далее предполагается, что ρ(x) 0
(≡ 0) на Γ и ρ ∈ C[R(Γ)].
§ 2.5. Критическая неосцилляция
85
2.5.2.1. Изученные выше осцилляционные факты позволяют сравнивать собственные функции uλ (x) и uμ (x), соответствующие разным
собственным значениям λ и μ > λ: нули uλ и uμ перемежаются в том
смысле, что в любой S -зоне uλ заведомо uμ меняет знак (теорема
сравнения). Однако в целом мы имеем пока лишь базу для более
глубокого анализа.
Т е о р е м а 2.5.2. Множество M вещественных λ, при которых
уравнение (2.5.6) не осциллирует на Γ, ограничено сверху и не
пересекается со спектром Λ задачи (2.5.5). При этом
а) точка λ0 = sup M принадлежит Λ;
б) M = (−∞, λ0 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пустота пересечения M ∩ Λ очевидна.
Предположение о неограниченности M сверху означает, что при каких
угодно больших значениях λ уравнение (2.5.6) не осциллирует на
отрезке строгой положительности ρ; а это противоречит классической
теореме сравнения Штурма на этом отрезке. Из теоремы сравнения
следует, что если λ ∈ M , то (−∞, λ) ⊂ M , т. е. M связно. Покажем,
что λ0 = sup M не принадлежит M .
Обозначим через w(x, λ) сумму по s всех решений us (x, λ) задачи
Lλ u = 0,
u(s) = 1,
u(b) = 0 (b ∈ ∂Γ \ {s})
(2.5.7)
при s ∈ ∂Γ. Согласно теореме 2.3.2 каждая из функций us (x, λ) мероморфна по λ, а ее полюсы содержатся в Λ. При каждом λ ∈ M функция
w(x, λ) строго положительна не только на Γ, но и на ∂Γ. Если λ0 ∈ M ,
то функция w(x, λ0 + ε) при достаточно малых ε > 0 строго положительна на компакте Γ ∪ ∂Γ. Но тогда в силу теоремы 2.4.1 в M входят
и значения λ = λ0 + ε при ε > 0, что противоречит определению λ0 .
Этим доказано в силу связности M свойство (б).
Покажем теперь, что λ0 = sup M принадлежит спектру Λ. Если бы
λ0 ∈ Λ, то при стремлении λ → λ0 при λ < λ0 функция w(x, λ) имела
бы в пределе w(x, λ0 ) 0 на Γ и сохраняла бы значения w(b, λ0 ) = 1
во всех граничных вершинах b ∈ ∂Γ. Наличие у уравнения (2.5.6)
при λ = λ0 неотрицательного решения без нулей в ∂Γ означает неосцилляцию (2.5.6) (теорема 2.4.1, (в) ⇒ (г)), т. е. включение λ0 ∈ M ,
что противоречит доказанному выше. Таким образом, λ0 = sup M есть
вещественное собственное значение задачи (2.5.5).
Т е о р е м а 2.5.3. Соответствующая λ0 собственная функция
задачи (2.5.5) не имеет нулей в Γ. Алгебраическая кратность λ0
равна единице.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем какую-либо вершину b0 ∈ ∂Γ.
Обозначим соответствующее ей при s = b0 решение задачи (2.5.7) через
u0 (x, λ).
86
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
Пусть μk — некоторая сходящаяся к λ0 последовательность, причем
μk < λ0 . Соответствующая ей последовательность uk (x) = u0 (x, μk ) не
ограничена (так как λ0 — полюс). Нормируем ее с помощью нормы
u
C[Γ]. Функции vk = k удовлетворяют уравнению (2.5.6) при λ = μk ,
uk
и vk (a) = 0 при всех a ∈ ∂Γ, отличных от выбранной выше вершины b0 .
В самой этой вершине vk (b0 ) =
uk (b0 )
1
=
, т. е. vk (b0 ) → 0. Если
uk
uk
подставить vk (x) в (2.5.6) (при λ = μk ), то из ограниченности vk
можно сделать вывод об относительной компактности последовательности {vk } в C 1 [R(Γ)]. Пусть v0 (x) — ее предельная точка. Можно
считать, что vk ⇒ v0 . Из интегральной обратимости оператора L следует его естественная замкнутость, что позволяет считать предельную
функцию v0 (x) решением задачи (2.5.5) при λ = λ0 . Неотрицательность v0 (x) и отличие от тождественного нуля следуют из неравенств
vk (x) > 0 на Γ и vk = 1 при всех k. Последнее свойство v0 в силу
теоремы 2.2.1 означает v0 (x) > 0 на Γ. Отсюда в свою очередь следует,
что соответствующее λ0 инвариантное пространство имеет единичную
размерность (см. следствие 2.5.2). Если бы функция v0 имела присоединенный элемент, то он был бы нетривиальным решением уравнения
Lu − λ0 ρu = ρv0
при условиях u|∂Γ = 0. Но это невозможно, так как ρv0 0 (и ≡ 0)
и (L − λ0 ρ) критически не осциллирует на Γ (см. теорему 2.5.1).
С л е д с т в и е 2.5.4. Если L не осциллирует на Γ, то все комплексные точки λ ∈ Λ удовлетворяют неравенству |λ| > λ0 .
Для доказательства остается рассмотреть невещественные точки
спектра Λ. Пусть λ = |λ|(α + iβ) — одна из таких точек, причем α
и β вещественны и α2 + β 2 = 1. Из вещественности коэффициентов
уравнения следует, что для λ существует пара вещественных функций
u(x), v(x) (из D2 (Γ)) с нулями на ∂Γ и таких, что
Lu = |λ|ρ(αu − βv),
Lv = |λ|ρ(βu + αv).
Последнее означает, что в линейной оболочке E2 элементов u и v
1
оператор
L осуществляет поворот.
|λ|ρ
Пусть u0 (x) — соответствующая λ0 собственная функция задачи
(2.5.5). Рассмотрим на E2 множество функций вида νu + μv , таких что
u0
νu + μv ,
и максимизируем на нем ν 2 + μ2 , полагая sup(ν 2 + μ2 ) = T0 . Пусть ν0
и μ0 — соответствующая максимизирующая пара, т. е. ν02 + μ20 = T0 и
87
§ 2.5. Критическая неосцилляция
u0 (x) на Γ. Для неотрицательной функции
ν0 u(x) + μ0 v(x)
f = (u0 − ν0 u − μ0 v)ρ
решение z(x) задачи Lz = f , z|∂Γ = 0 должно удовлетворять согласно
теореме 2.4.3 (первое следствие) при некотором ε ∈ (0; 1/λ0 ) неравенству z(x) εu0 (x) на Γ. Но тогда из равенств
ρu0 =
1
Lu0 ,
λ0
ρu =
1
L(αu + βv),
|λ|
ρv =
1
L(αv − βu)
|λ|
должно следовать, что
u0
ν
μ
− 0 (αu + βv) − 0 (αv − βu) ,
λ0
|λ|
|λ|
Lz = f = L
а это ввиду неосцилляции L дает
z=
u0
ν
μ
− 0 (αu + βv) − 0 (αv − βu).
λ0
|λ|
|λ|
Таким образом,
1
ν
μ
u − 0 (αu + βv) − 0 (αv − βu),
λ0 0
|λ|
|λ|
εu0
откуда |λ|(1/λ0 − ε)u0
u0
(ν0 α − μ0 β)u + (ν0 β + μ0 α)v . Но тогда
λ0 /|λ|
[(ν0 α − μ0 β)u + (ν0 β + μ0 α)v] ,
1 − ελ0
откуда по определению числа T0 должно следовать
T0
λ0
|λ|(1 − ελ0 )
2
(ν0 α − μ0 β)2 + (ν0 β + μ0 α)2 =
=
т. е. T0
λ0
|λ|(1 − ελ0 )
2
λ0
|λ|(1 − ελ0 )
2
(ν02 + μ20 ),
T0 , что ввиду ε ∈ (0; 1/λ0 ) влечет |λ| > λ0 .
С л е д с т в и е 2.5.5. Любое нетривиальное решение неравенства
Lu λ0 ρu (или Lu λ0 ρu) при условиях u|∂Γ = 0 пропорционально u0 (x).
Очевидно ввиду теоремы 2.5.1.
Таким образом, ведущее собственное значение задачи (2.5.5) на
произвольном графе Γ обладает всеми основными свойствами, присущими аналогичной задаче на отрезке. С остальными точками спектра
дело обстоит гораздо сложнее, о чем свидетельствуют самые разные
примеры.
88
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
2.5.3. Корневая простота. Мы продолжаем далее интересоваться вопросом об условиях, при которых вещественные точки спектра
задачи (2.5.5) имеют единичную алгебраическую кратность (являются
простыми), т. е. соответствующие корневые пространства одномерны.
Для этого мы пользуемся развитой в п. 2.2.4 теорией, усиливая теорему 2.5.1.
2.5.3.1. Интересующий нас вопрос удобно обсуждать в форме
вопроса о размерности пространства всех решений системы
Lu = 0,
u|∂Γ = 0.
(2.5.8)
Обозначая это пространство через E(L), мы интересуемся в конечном
счете условиями, обеспечивающими равенство
dim E(L) = 1,
(2.5.9)
что означает геометрическую простоту соответствующей точки спектра. Нас будет интересовать также и вопрос об алгебраической простоте, означающей при условии (2.5.9) отсутствие решений у задачи
Lz = ρu,
z|∂Γ = 0,
(2.5.10)
где u(x) — нетривиальное решение (2.5.8). Знаковых ограничений на
коэффициент q оператора Lu ≡ −
d
(pu ) + qu мы здесь не наклаdΓ
дываем, поскольку вместо L в (2.5.8) мы допускаем Lλ = (L − λρ);
в частности, мы допускаем далее и осцилляцию L на Γ.
2.5.3.2. Необходимое условие равенства (2.5.9) дает следующая
теорема.
Т е о р е м а 2.5.4. Если dim E(L) 2, то для каждой граничной
вершины a ∈ ∂Γ существует нетривиальное решение w(x) задачи (2.5.8), равное тождественному нулю на примыкающем к a ребре.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Почти очевидно. Пусть a — какая-либо
вершина из ∂Γ и γ — примыкающее к ней ребро. Пусть u(x),
v(x) — линейно независимые нетривиальные решения (2.5.8), ненулевые на γ . Каждое из них должно иметь в точке x = a ненулевую производную (иначе, имея нулевые начальные данные в точке x = a, оно должно быть тождественным нулем на γ ). Функция
w(x) = u (a)v(x) − v (a)u(x) в точке x = a удовлетворяет равенствам
w(a) = w (a) = 0 (напомним: если a ∈ ∂Γ, то z (a) — крайняя производная), и потому w(x) ≡ 0 на γ .
Здесь нам помогло то обстоятельство, что на каждом ребре уравнение Lu = 0 адекватно обычному однородному уравнению на отрезке.
§ 2.5. Критическая неосцилляция
89
С л е д с т в и е 2.5.6. Если каждое нетривиальное решение (2.5.8)
имеет в Γ только изолированные нули, то справедливо равенство (2.5.9).
Полученное условие достаточно рельефно и в то же время малоэффективно из-за необходимости анализа структуры множества нулей у
«каждого решения». Гипотеза о возможности замены оговорки о «каждом решении» на, скажем, «хотя бы одно решение» несостоятельна.
Сказанное означает необходимость учета связи между структурой множества нулей (функций из E(L)) и структурой графа.
2.5.3.3. Обозначим через Y (Γ) множество {a ∈ J(Γ) : ind (a)
3}.
О п р е д е л е н и е 2.5.2. Назовем точку x ∈ Γ \ Y (Γ) простой,
если Γ \ {x} несвязно.
Если Γ является деревом, т. е. не содержит циклов (подмножеств,
гомеоморфных окружности), то простыми у него оказываются точки из
любого ребра. В общем же случае простые точки — это точки Γ \ Y (Γ),
не лежащие в циклах.
О п р е д е л е н и е 2.5.3. Назовем задачу (2.5.8) простой, если у
некоторого ее решения все нули в Γ являются простыми точками.
Т е о р е м а 2.5.5. Если задача (2.5.8) простая, то верно (2.5.9).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v0 (x) — какая-либо функция из
E(L), имеющая в Γ лишь простые нули. Число нулей у v0 (x) конечно,
так как в противном случае v0 (x) ≡ 0 на некотором ребре с одним из
концов в Y (Γ).
Дальнейшие рассуждения мы проведем индукцией по числу S -зон
функции v0 (x). Если v0 имеет только одну S -зону, то требуемое
следует из следствия 2.5.2. Пусть теперь теорема верна для любой
простой задачи в случае, когда некоторое ее решение имеет нули
только в простых точках, имея в Γ число S -зон, не превосходящее k.
Пусть для некоторой простой задачи имеется функция v0 (x) ∈ E(L)
с числом S -зон (k + 1) и только с простыми нулями. Обозначим через
{Γi }1k+1 совокупность этих S -зон. Назовем S -зоны Γi , Γj смежными,
если ∂Γi ∩ ∂Γj = ∅. Каждая нулевая точка v0 , будучи простой в Γ,
является граничной точкой для двух (и только двух) смежных S -зон.
И наоборот, если Γi и Γj смежны, то |∂Γi ∩ ∂Γj | = 1, и единственная точка ∂Γi ∩ ∂Γj является простым нулем v0 . Поэтому отношение
смежности на множестве {Γi }1k+1 позволяет рассматривать эти S -зоны
как вершины дискретного (алгебраического) графа, ребра которого
определяются указанным отношением смежности и могут считаться
реализованными в виде простых нулей v0 . Этот «надграф» — назовем
его S -графом — является деревом. В самом деле, наличие цикла
(Γi1 , Γi2 , . . . , Γiα , Γi1 ) в S -графе повлекло бы существование цикла гра-
90
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
фа Γ, содержащегося в
α
j=1
Γij и содержащего в себе простой нуль v0
(например, определяющий смежность Γi1 и Γi2 ), а это невозможно.
Итак, построенный из S -зон S -граф является деревом, а потому
имеет хотя бы один крайний элемент. Обозначим его через Γi0 . К Γi0
может примыкать только один элемент S -графа. Обозначим его через Γj0 . Обозначим через b общую точку для ∂Γi0 и ∂Γj0 (такая точка
единственна).
Пусть u(x) — произвольная функция из E(L). Так как кроме b
в ∂Γi0 входят лишь точки из ∂Γ, то u(x) = 0 при всех x ∈ ∂Γi0 , x = b.
Отсюда в силу первого следствия теоремы 2.2.2 следует, что u(x) ≡
≡ Cv0 (x) на Γi0 (так как u не меняет знака в ∂Γi0 ). Но тогда функция
ω = u − Cv обращается в нуль и в точке x = b, причем ω (b ± 0) =
= 0. Поэтому ω(x) должна быть тождественным нулем и на ребре Γj0 ,
примыкающем к b, т. е. ω(x) имеет в Γj0 , а значит и в Γ \ (Γi0 ∪ {b}),
неизолированные нули. А на графе Γ \ Γi0 , для которого теорема верна
по предположению индукции, ω(x) удовлетворяет уравнению и имеет
нули во всех граничных вершинах. Поэтому ω ≡ C1 v0 на Γ \ (Γi0 ∪ {b}),
что ввиду конечности числа нулей v0 и бесконечности числа нулей
(в Γ \ Γi0 ) функции ω возможно, лишь если ω(x) ≡ 0 на Γ \ Γi0 , т. е.
u(x) ≡ Cv0 (x) на Γ. Теорема доказана.
2.5.3.4. Отметим следующий факт.
З а м е ч а н и е 2.5.1. По своему смыслу условие простоты задачи
допускает проверку редукцией к менее сложным задачам. Например,
если Γ является пучком, т. е. имеет единственную внутреннюю
вершину, простота исходной задачи обеспечивается невырожденностью аналогичных (двухточечных) задач на каждом ребре.
2.5.3.5. Рассуждения, проведенные выше, сохраняют справедливость для более общей ситуации «краевых неравенств». Пусть задача (2.5.8) простая, v0 (x) — какое-либо ее нетривиальное решение
и u(x) — нетривиальное решение неравенств
v0 (x)Lu
0 (x ∈ Γ),
v0 (s0 )u(s0 )
0,
(2.5.11)
причем u(x) = 0 во всех точках из ∂Γ, отличных от s0 . Как и ранее,
через v0 (s0 ) мы обозначили крайнюю производную.
Т е о р е м а 2.5.6. В перечисленных условиях, если u0 (x)v0 (x) 0
на Γ, u(x) ∈ E(L), т. е. u(x) обращает оба неравенства в (2.5.11)
в равенства, и u (x) не имеет нулей в ∂Γ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует рассуждениям из
доказательства теоремы 2.5.5 и проводится индукцией по числу S -зон
функции v0 (x). В случае одной S -зоны — в силу теоремы 2.5.1. В условиях перехода от k к k + 1 (по числу S -зон) выберем произвольно
91
§ 2.5. Критическая неосцилляция
точку x0 ∈ Γ, являющуюся простым нулем v0 . Обозначим через Γ1 и Γ2
компоненты связности множества Γ \ {x0 }. Пусть γ и γ — ребра,
соответственно Γ1 и Γ2 , примыкающие к x0 . Тогда верно хотя бы одно
из неравенств:
d
v0 (x0 )u(x0 )
dγ
0 или
d
v0 (x0 )u(x0 )
dγ
0. Поэтому
хотя бы на одном из подграфов (можно считать, что на Γ1 ) утверждение
доказываемой теоремы верно (в силу предположения индукции). Но
тогда Lu ≡ 0 на Γ1 и u|∂Γ1 = 0, откуда, во-первых, в силу теоремы 2.5.5
следует u ≡ C1 v на Γ1 , во-вторых, u(x0 ) = 0. Из последнего вытекает, в частности, что сужение u на Γ2 тоже удовлетворяет условиям
доказываемой теоремы, и значит (опять-таки в силу предположения
индукции), Lu ≡ 0 и на Γ2 и u|∂Γ2 = 0. По теореме 2.5.5 получаем
отсюда: u ≡ C2 v0 на Γ2 . Но тогда, независимо от того, является x0
вершиной Γ или нет,
C1 =
γ
lim
x→x0
u(x)
d
=
u(x0 )
v0 (x)
dγ
d
d
v0 (x0 ) =
u(x0 )
dγ
dγ
=
γ
d
v0 (x0 ) =
dγ
lim
x→x0
u(x)
= C2 ,
v0 (x)
и значит, u ≡ C1 v на всем Γ. Этим теорема и доказана.
2.5.3.6. В § 2.6 при анализе распределения нулей собственных
функций нам понадобится следующее обобщение только что доказанной теоремы.
Т е о р е м а 2.5.7. Пусть v0 — нетривиальное решение задачи (2.5.8) без нулей в циклах Γ и u(x) — решение неравенств
v0 Lu 0 (x ∈ Γ), (v0 u)|∂Γ 0. Тогда на любой S -зоне v0 функция u
коллинеарна v0 , причем если какие-либо две S -зоны v0 имеют общую граничную вершину x0 и x0 не является граничной вершиной
для других S -зон v0 , то коэффициенты коллинеарности на этих
двух S -зонах совпадают.
Доказательство практически повторяет предыдущее после перехода
к графу Γ \ Z , где Z — множество тривиальных нулей v0 (нуль функции мы называем тривиальным, если в некоторой его окрестности эта
функция тождественно равна нулю).
2.5.3.7. Для спектральной задачи (2.5.5) свойство простоты нуждается в проверке всего лишь на одной из собственных функций
соответствующего собственного значения λ ∈ Λ. Выполнение этого
свойства влечет простоту не только геометрическую, но и алгебраическую. В самом деле, если u(x) ∈ E(L), то умножение (2.5.10)
на u(x) приводит к неравенству u(x)(Lz)(x) = ρ(x)u2 (x) 0, которое
в силу теоремы 2.5.6 влечет противоречие: ρu2 ≡ 0.
92
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
Если Γ является деревом, то простота задачи обеспечивается условием отсутствия у нетривиального решения u(x) ∈ E(L) нулей в вершинах графа.
2.5.4. Локальная вырожденность. Через E(L), как и ранее, мы
обозначаем пространство решений задачи Lu = 0, u|∂Γ = 0 для данного графа Γ. В условиях п. 2.5.3 dim E(L) = 1, если нетривиальные
элементы u ∈ E(L) принимают нулевые значения лишь в конечном
фиксированном наборе простых точек из Γ.
2.5.4.1. Скажем, что пространство решений E(L) вырождено
в точке x0 ∈ Γ, если некоторая нетривиальная функция u(x) ∈ E(L)
обращается в этой точке в нуль. Дефектом вырождения E(L) в точке
x0 мы будем называть число dE(L, x0 ), равное размерности пространства H(x0 ) функций из E(L), обращающихся в нуль в точке x0 . Короче
говоря, dE(L, x0 ) = dim H(x0 ) при H(x0 ) = {u ∈ E(L) : u(x0 ) = 0}.
Дефект dE(L, x0 ) назовем полным, если dE(L, x0 ) = dim E(L), т. е.
если u(x0 ) = 0 для любой u(x) из E(L).
Если dim E(L) 2, то E(L) вырождено в каждой точке x ∈ E(L),
так как для любой линейно независимой пары u, v ∈ E(L) функция
h(x) = u(x0 )v(x) − v(x0 )u(x) обращается в нуль в точке x0 , причем
хотя бы одна из функций u, v , h нетривиальна, обнуляясь в точке x0 .
Более того, согласно п/п. 2.5.3.2 в этом случае каждое тупиковое
ребро (примыкающее к одной из граничных вершин) служит сплошным
нулем одной из нетривиальных функций u ∈ E(L).
Л е м м а 2.5.1. Пусть x0 ∈ Γ и H(x0 ) = E(L), т. е. u(x0 ) = 0 не
для всех u(x) ∈ E(L) (x0 не является точкой полного вырождения).
Тогда dim H(x0 ) = dim E(L) − 1.
Для доказательства достаточно отметить, что функционал l(u) =
= u(x0 ) линеен на конечномерном пространстве E(L) и его гиперплоскость совпадает с H(x0 ), отличаясь от E(L).
Эта лемма позволяет оценивать dim E(L) редукцией по размерности.
2.5.4.2. Обозначим через Z(Γ) множество точек, каждая из которых принадлежит хотя бы одному циклу Γ. Пусть N — количество
простых циклов в Γ, т. е. минимальное количество ребер, которые
необходимо удалить, чтобы получилось дерево.
Т е о р е м а 2.5.8. Пусть некоторое решение v0 ∈ E(L) имеет вне
Z(Γ) нули лишь в простых точках Γ. Тогда dimE(L) N + 1.
Точность (неулучшаемость по N ) полученной оценки подтверждается теоремой 2.5.5 и простыми примерами при N 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о проводится индукцией по N . При N = 0
исходный граф Γ является деревом и требуемое следует из теоре-
§ 2.5. Критическая неосцилляция
93
мы 2.5.5. Пусть утверждение верно при N
k. Предположим противное при N = k + 1. Если v0 не имеет нулей в Z(Γ), то задача
простая и dim E = 1. Пусть у v0 найдется нулевая точка x0 ∈ Z(Γ).
Выбрасывая x0 из Γ, мы превращаем ее в граничную для оставшегося
графа, для которого число простых циклов не превосходит k. Это
означает по предположению индукции, что dim H(x0 ) k + 1. Но тогда
в силу леммы 2.5.1 dim E(L) dim H(x0 ) + 1 k + 2 = N + 1, что
и требовалось доказать.
2.5.4.3. Дадим следующее определение.
О п р е д е л е н и е 2.5.4. Скажем, что Γ ветвится в точке x0 из
J(Γ), а x0 назовем точкой ветвления Γ, если при выбрасывании
x0 из Γ каждая из компонент связности оставшегося множества
Γ \ {x0 } является ветвью, т. е. примыкает к x0 лишь одним ребром.
Для ветвления Γ в x0 достаточно, чтобы x0 не принадлежала ни
одному циклу из Γ.
Пусть x0 — одна из ветвящихся вершин Γ. Обозначим через Γi
(i = 1, . . . , k) все компоненты связности множества Γ \ {x0 }. Каждая из
них — ветвь с основанием x0 . Очевидно, что
i
∂Γi \ {x0 } = ∂Γ. Рас-
смотрим на ветви Γi соответствующее «сужение» E(L), определяемое
задачей
Lu = 0, u|∂Γi = 0 (i = 1, . . . , k).
(2.5.12)
Множество решений такой задачи обозначим через H(Γi ).
Скажем, что функция u(x) ∈ H(Γi ) гладко примыкает к x0 , если
u (x0 ) = 0. Очевидно, что это возможно, лишь если u(x) ≡ 0 на ребре
из Γi , примыкающем к x0 . Если этим свойством обладают все функции
из H(Γi ), то пространство H(Γi ) назовем гладко примыкающим к x0 .
Положим di = dim H(Γi ) (i = 1, . . . , k).
Л е м м а 2.5.2. dim H(x0 ) = d1 + . . . + dk в том и только в том
случае, когда все пространства H(Γi ) гладко примыкают к x0 .
В противном случае dim H(x0 ) = ( di ) − 1.
2.5.4.4. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через H 0 прямую сумму всех пространств H(Γi ). Если функции из каждого H(Γi ), определенные лишь на Γi , считать продолженными на остальную часть Γ
тождественным нулем, то H 0 оказывается и алгебраической суммой
H(Γi ) (i = 1, . . . , k).
Пусть u(x) — произвольная функция из H(x0 ). Обозначим через
ui (x) ее сужение на Γi , т. е. положим ui (x) = u(x) при x ∈ Γi и ui (x) =
= 0 при x ∈ Γi . Очевидно, что ui (x) ∈ H(Γi ), причем u1 + . . . + uk = u.
Поэтому H(x0 ) ⊆ H 0 . Если все H(Γi ) гладко примыкают к x0 , то для
любой функции u(x) ∈ H(x0 ) соответствующие ей ui (x) удовлетворяют
94
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
в точке x0 условиям гладкости и, значит, ui (x) также принадлежат
H(x0 ), откуда следует равенство H(x0 ) = H 0 . Если же хотя бы одно из
H(Γi ) не примыкает гладко к x0 , то H(x0 ) есть правильная часть H 0 .
При этом H(x0 ) есть гиперплоскость в H 0 , порождаемая условием
гладкости, что означает dim H(x0 ) = dim H 0 − 1. Для завершения доказательства достаточно отметить само собой разумеющееся равенство
dim H 0 = d1 + . . . + dk .
2.5.5. Осцилляция на дереве. Структура дерева позволяет довести предыдущие условия (типа гладкого примыкания) до эффективных
признаков. Ниже всюду Γ предполагается деревом.
2.5.5.1. Приводимое ниже свойство, полезное в первую очередь
для компонент типа ветвей, небезынтересно и с общих позиций.
П р е д л о ж е н и е 2.5.1. Пусть b — некоторая граничная вершина Γ. Пусть существует решение v0 уравнения Lu = 0, нулевое во
всех точках ∂Γ, кроме b. Тогда E(L) гладко примыкает к b, т. е.
любое решение из E(L) имеет в точке b не только нулевое значение,
но и нулевую производную.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В предположении противного существует
функция z(x) ∈ E(L), для которой z (b) = 0. Будем считать, что
v0 (b) > 0 и z (b) > 0. Из множества решений (точек из Γ) неравенства
v0 (x) > 0 выберем компоненту связности, примыкающую к b. Обозначим ее через Γ0 (v0 ). Очевидно, что L не осциллирует на Γ0 (v0 ).
Поэтому S -зона z(x), примыкающая к b и обозначаемая через Γ0 (z), не
содержится в Γ0 (v0 ). Значит, некоторая граничная для Γ0 (v0 ) точка b1
лежит внутри Γ0 (z). Поэтому v0 (b1 ) = 0 и z(b1 ) > 0, причем, очевидно,
v0 (b1 + 0) > 0 в направлении «внутрь Γ0 (v0 )». В силу уравнения в точке b1 , имеющего для v0 из равенства v0 (b1 ) = 0 вид
αγ (b1 )
d
u(b1 ) = 0,
dγ
имеем, что v0 (x) не является тождественным нулем в одном из подграфов Γ, примыкающих к b1 «извне Γ0 (v0 )». Выбрасывая из Γ точку b1
и выбирая из отличных от Γ0 (v0 ) соответствующую компоненту связности Γ1 , где v0 не есть тождественный нуль вблизи b1 , мы имеем на Γ1
предыдущую ситуацию, где лишь v0 и z поменялись ролями. Через
конечное число идентичных шагов мы оказываемся в положении, когда
одна из этих функций будет строго положительна на S -зоне другой, не
будучи ей пропорциональной, так как имеет нули не во всех граничных
точках этой S -зоны.
З а м е ч а н и е 2.5.2. Проведенные рассуждения фактически показывают, что любая функция u(x) из E(L) является тождественным нулем на всем примыкающем к b подграфе Γ0 (v0 ), на котором
§ 2.5. Критическая неосцилляция
95
v0 (x) > 0. В самом деле, эти рассуждения верны для любой точки
x0 ∈ Γ0 (v0 ) и компоненты связности множества Γ \ {x0 }, не содержащей b в качестве граничной вершины.
С л е д с т в и е 2.5.7. В условиях последнего предложения пространство E(L) совпадает с H(x0 ) при некотором x0 ∈ Y (Γ).
В силу предыдущего замечания u ≡ 0 на Γ0 (v0 ), что ввиду условия
гладкости (трансмиссии) влечет включение ∂Γ0 (v0 ) ⊆ ∂Γ ∪ Y (Γ). Тогда
утверждение следствия получим, взяв x0 ∈ Y (Γ) ∂Γ0 (v0 ). Если же
Y (Γ) ∂Γ0 (v0 ) = ∅, то ∂Γ0 (v0 ) = ∂Γ, т. е. u ≡ 0 на Γ, что также влечет
требуемое.
О п р е д е л е н и е 2.5.5. Точку x0 ∈ J(Γ) будем называть полным
d
нулем для u(x) ∈ E(L), если
u(x0 ) = 0 для всех γ ⊂ Γ(x0 ). Очевидdγ
но, что в этом случае u(x) ≡ 0 на всех ребрах γ ⊂ Γ(x0 ).
2.5.5.2. Справедливо следующее утверждение.
П р е д л о ж е н и е 2.5.2. Пусть x0 ∈ J(Γ) и H(x0 ) = E , т. е. существует хотя бы одно решение u(x) ∈ E(L), отличное от нуля
в точке x0 . Тогда x0 есть полный нуль для всех функций из H(x0 ).
Действительно, пусть v0 (x) ∈ E и v0 (x0 ) > 0. Выбрасывая x0 из Γ,
обозначим через Γ1 , . . . , Γk компоненты связности оставшегося множества. На каждой из них для v0 выполняются все условия предложения 2.5.1. Поэтому любая функция из H(x0 ) является тождественным
нулем на каждом ребре, примыкающем к x0 .
С л е д с т в и е 2.5.8. Если вершина x0 ∈ J(Γ) не является полным
нулем хотя бы для одной функции u(x) ∈ E , то E = H(x0 ), т. е.
точка x0 является нулем для всех функций из E .
2.5.5.3. Мы сохраним далее обозначения Γ1 (x0 ), . . . , Γk (x0 ) за полным набором компонент связности множества Γ \ {x0 }. Скажем, что
компонента Γi (x0 ) тривиальна для E(L), если размерность соответствующего пространства H(Γi (x0 )) нулевая, т. е. H(Γi (x0 )) = {0}. Для
тривиальности компоненты достаточно, чтобы на ней оператор L не
осциллировал.
Назовем вершину x0 ∈ J(Γ) регулярной, если тривиальными являются все примыкающие к ней ветви, исключая, может быть, одну.
Скажем, что E(L) находится в общем положении для Γ, если все
внутренние вершины регулярны.
Т е о р е м а 2.5.9. Если E(L) находится в общем положении
для Γ, то dim E(L) 1. При этом dim E(L) = 1, если E(L) = H(x0 )
при всех x0 ∈ J(Γ), и dim E(L) = 0 в противном случае.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем по числу |J(Γ)| внутренних вершин. Если такая вершина одна, обозначим ее через b, и если при
96
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
x0 = b соответствующее пространство H(x0 ) отлично от E(L), то x0
есть полный нуль для всех u(x) ∈ H(x0 ), вследствие чего на каждом Γi ,
совпадающем с одним из ребер, u(x) ≡ 0. Поэтому dim H(x0 ) = 0
и dim E(L) = 1. Если же H(x0 ) = E(L), то в силу тривиальности для
E(L) всех компонент-ребер, кроме одного (обозначим его через γ ),
имеем: u(x) ≡ 0 на Γ \ γ для любой u(x) ∈ E . Но тогда вдобавок
к нулям на концах γ функция u(x) в силу уравнения в точке x0 имеет
в ней и нулевую производную, а потому u(x) ≡ 0 и на γ , т. е. на всем Γ.
Таким образом, в этом случае dim E(L) = 0.
Предположим справедливость теоремы для любой задачи при
|J(Γ)| k и рассмотрим случай, когда граф имеет (k + 1) внутреннюю вершину. Пусть x0 — произвольная вершина из J(Γ). Если
H(x0 ) не совпадает с E(L), то x0 является полным нулем в H(x0 )
и, в частности, в каждой из компонент Γi для функций из соответствующего ей аналогичного пространства. Среди этих компонент
нетривиальна лишь одна. Пусть это будет Γj0 . При i = j0 должно
быть dim H(Γi ) = 0. На Γj0 любая функция из H(Γj0 ) обращается
в нуль на ребре, примыкающем к x0 . Поэтому она обращается в нуль
и на другом конце x1 этого ребра. Но это значит, что пространство
H(Γj0 ) является пространством типа H(x1 ), причем определено оно
на графе Γj0 с числом внутренних вершин, заведомо меньшим k. Это
значит, по предположению индукции, что dim H(Γj0 ) = 0. Но тогда
в силу леммы 2.5.2 из п/п. 2.5.4.3 dim E = 1. Если же H(x0 ) = E(L),
то E(L) является суммой пространств H(Γi ), из которых по условию
теоремы нульмерны все, кроме одного. Если ненулевую размерность
имеет H(Γi0 ) и если γ — ребро Γi0 , примыкающее к x0 , то любая
функция u(x) ∈ H(Γi0 ) имеет в точке x0 нулевое значение и нулевую
производную, а потому u(x) ≡ 0 на всем γ . Но тогда нулем для u(x)
является и другой конец γ , являющийся в Γi0 внутренней вершиной.
Далее — как и выше. Теорема доказана.
2.5.6. Спектральная задача в общем положении. Нами подготовлена уже достаточно серьезная почва для анализа всех точек спектра задачи (2.5.5)
Lu = λρu, u|∂Γ = 0
(2.5.13)
в предположении, что Γ является деревом.
2.5.6.1. Общность положения спектральной задачи (2.5.13) в случае, когда Γ является деревом, мы понимаем в соответствии с определением из п/п. 2.5.5.3. В переводе на спектральный язык это означает
следующее.
Пусть x0 ∈ Y (Γ) и Γ1 (x0 ), . . . , Γk (x0 ) — полный набор компонент связности множества Γ \ {x0 }. Обозначим через Λ1 (x0 ), Λ2 (x0 ), . . .
§ 2.5. Критическая неосцилляция
97
. . . , Λk (x0 ) спектры соответствующих краевых задач на Γi (x0 ):
Lu = λρu,
u|∂Γi (x0 ) = 0.
Точка x0 ∈ Y (Γ) находится в общем положении для задачи (2.5.13),
если Λi (x0 ) Λj (x0 ) = ∅ при i = j , т. е. спектры Λ1 (x0 ), . . . , Λk (x0 )
попарно не пересекаются.
Скажем, что задача (2.5.13) на графе-дереве Γ удовлетворяет
условию общности положения, если в общем положении находятся
все вершины Y (Γ).
Т е о р е м а 2.5.10. Пусть Γ является деревом и пусть задача (2.5.13) находится в общем положении. Тогда все ее точки спектра вещественны и каждая из них имеет единичную как геометрическую, так и алгебраическую кратность, а соответствующие
собственные функции не имеют нулей в Y (Γ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Вещественность спектра следует из возможности преобразовать исходную задачу к эквивалентной самосопряженной. Так как Γ является деревом, то взяв любую из его граничных
вершин и упорядочив Γ от нее иерархией по возрастанию (как от
корня), мы можем поочередно преобразовать каждое из уравнений на
ребрах домножением его на константу, так что для новообразованных
коэффициентов pγ (x) (пропорциональных исходным pγ (x)) в точках
a ∈ J(Γ) будет справедливо αγ (a) = pγ (a), что придает уравнениям
в этих точках самосопряженную форму:
−
pγ (a)
γ⊂Γ(a)
d
u(a) + q(a)u = λρ(a)u.
dγ
Самосопряженность полученной задачи достаточно очевидна. Спектр
при таком подходе не меняется.
Пусть λk — какая-либо точка спектра из Λ. Положим
L0 u ≡ −(pu ) + (q − λk ρ)u,
а через E обозначим соответствующее пространство решений задачи
L0 u = 0,
u|∂Γ = 0.
Так как λk ∈ Λ, то dim E 1. Пусть x0 — произвольная вершина из
Y (Γ). Точка λk может по условию входить лишь в один из соответствующих спектров Λi (x0 ), а потому нетривиальной может быть только
одна из соответствующих компонент Γi (x0 ). Поэтому x0 — регулярная
вершина. То же и для других точек из Y (Γ). Поэтому E находится в общем положении для Γ. Отсюда согласно теореме п/п. 2.5.5.3
вытекает dimE = 1, причем u(x0 ) = 0 для любой u(x) ∈ E . В силу
произвольности x0 ∈ Y (Γ) любая функция u(x) ∈ E (u(x) ≡ 0) не имеет
4 Ю. В. Покорный, Ж. И. Бахтина, М. Б. Зверева, С. А. Шабров
98
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
нулей во всех точках из J(Γ). Если h(x) — присоединенная для u(x)
функция, то для нее должно быть верно тождество
u(x) (L0 h) (x) ≡ ρ(x)u2 (x)
0,
и на каждой ветви, примыкающей к любой a ∈ Y (Γ), мы оказываемся в
условиях теоремы 2.5.7, в силу чего u(x) ≡ 0 — противоречие. Теорема
полностью доказана.
2.5.6.2. Об осцилляционных спектральных свойствах на дереве.
Вещественность и простота всех точек спектра задачи (2.5.13), установленные в п/п. 2.5.6.1, дополняются в случае неотрицательности q
положительностью спектра (см. следствие 2.5.4). Если перенумеровать точки спектра в порядке возрастания λ0 < λ1 < λ2 < . . . и через ϕ0 , ϕ1 , . . . обозначить соответствующие им собственные функции,
то в силу теоремы сравнения 2.5.1 нули ϕk+1 расположены «гуще»,
чем ϕk , в том смысле, что ϕk+1 меняет знак в любой S -зоне ϕk .
Обратное заключение, позволяющее доказать, что ϕk имеет точно k
нулей, весьма нетривиально и в скалярной теории Штурма–Лиувилля.
Этому свойству для случая графа типа дерева посвящен следующий
параграф.
§ 2.6. Ветвление нулей
Цель настоящего параграфа — анализ распределения нулей и S -зон
собственных функций основной задачи
def
Lu = −
d
(pu ) + qu = λρu,
dΓ
u|∂Γ = 0
(2.6.1)
и их зависимости от соответствующих точек Λ. Мы предполагаем
всюду, что L не осциллирует на Γ, а Γ является деревом, причем
∂Γ = ∅, а индексы всех внутренних вершин больше 1 (ind (a) > 1
для всех a ∈ J(Γ)). Кроме того, ниже предполагается, что ρ на R(Γ)
отделена от нуля.
2.6.1. Метод Штурма нагнетания нулей. Взяв произвольную
вершину b ∈ ∂Γ и обозначив через x0 другой конец примыкающего к b
ребра, продолжим интервал (x0 ; b) за пределы Γ («вправо» от точки b)
до бесконечности, обозначив это продолжение через [b; ∞). Добавим
это продолжение [b; ∞) к Γ и обозначим новый граф через (Γ + [b, ∞)).
Продолжим на [b; ∞) коэффициенты p, q , ρ уравнения
def
Lλ u = Lu − λρu = 0
(2.6.2)
по непрерывности так, чтобы при положительных λ, достаточно близких к нулю, новое уравнение, не осциллируя на Γ, осциллировало бы на
[b; ∞), причем каждое нетривиальное решение имело бы бесконечное
§ 2.6. Ветвление нулей
99
число нулей. Обозначим через u(x, λ) решение (2.6.2) с нулями во всех
точках ∂Γ \ {b} (в первой главе аналогичная функция обозначалась
через ω(x, λ)). Будем считать u(x, λ) как-либо нормированной. Для
положительных λ, достаточно близких к нулю, oбозначим нулевые
точки u(x, λ) на [b; ∞) в порядке их возрастания (имеется в виду,
что на [b; ∞) введен порядок «от b») через z0 (λ), z1 (λ), . . . , zk (λ), . . .
Все они — простые нули u(x, λ), непрерывно зависящие от λ. В силу
теоремы сравнения 2.5.1 каждая из функций zk (λ) строго убывает по λ,
пока ее значения принадлежат лучу (x0 ; ∞).
Если λ0 — ведущее собственное значение, то z0 (λ0 ) = b. При
дальнейшем увеличении λ( λ0 ) все нулевые точки zi (λ) поползут
влево. Когда очередная из них, zk (λ), совпадет с b, соответствующее
решение u(x, λ), обнулившись в точке x = b, окажется собственной
функцией (2.6.1), а значение λ, для которого zk (λ) = b, — собственным значением. Поскольку попаданию zk (λ) в точку b должно было предшествовать прохождение через эту точку предыдущих нулей
z0 (λ), z1 (λ), . . . , zk−1 (λ), то равенство zk (λ) = b определяет λk , т. е. k-е
собственное значение. Все предыдущие нули u(x, λ), оказавшиеся (за
счет увеличения λ) внутри Γ, должны проследовать влево от b к внутренней вершине x0 и далее, на смежные с (x0 ; b) ребра Γ. На какие
именно ребра каждый нуль проскальзывает, а на какие нет? И как
дальше эти нули распределяются, формируя соответствующие S -зоны
собственных функций? Будут нули u(x, λ) множиться при прохождении
через внутренние вершины или нет? Зависят ли эти бифуркации от количества примыкающих к вершине ребер? И не исчезнут ли некоторые
из нулей u(x, λ) «по дороге»? Эти и смежные вопросы в эквивалентной
форме обсуждаются ниже.
Характер предстоящих трудностей легко предвидеть с помощью
той же функции u(x, λ). Связь нулей этой функции с параметром λ
и их эволюцией при изменении λ определяется уравнением u(x, λ) = 0
в виде неявной функции x(λ). Эта функция заведомо многозначна (при
каждом λ функция u(x, λ) может иметь по x много нулей, и количество их возрастает с возрастанием λ). В этой многозначности удобно
разобраться, выделяя непрерывные ветви. Для каждой такой ветви
необходимо отследить, куда при возрастании λ она сворачивает во
внутренних вершинах. Вдобавок к этому, основной элемент анализа —
теоремы о неявных функциях — непригоден, если нормировка u(x, λ)
осуществлена в целом на Γ нормой одного из функциональных пространств — такая нормировка резко ухудшает регулярные свойства
u(x, λ). Для упрощения итоговой картины мы предъявляем далее сразу
весь соответствующий объект в виде полного набора непрерывных
ветвей «функции нулей» x(λ) с основным для каждой ветви свойством
монотонности.
4*
100
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
2.6.2. Основной результат данного пункта дает следующая теорема.
Т е о р е м а 2.6.1. Пусть Γ является деревом и L не осциллирует на Γ. Пусть выполняется условие общности положения. Тогда
спектр Λ задачи (2.6.1) состоит из неограниченной последовательности вещественных u строго положительных простых собственных значений λ0 < λ1 < λ2 < . . . При этом соответствующая λk
собственная функция ϕk (x) имеет в Γ точно k нулей, в каждом из
которых она меняет знак, и (k + 1) S -зон; в каждой S -зоне функции
ϕk (x) содержится ровно один нуль функции ϕk+1 (x).
Доказательство вещественности, строгой положительности и простоты всех точек спектра Λ осуществлено выше (см. п/п. 2.5.6.1).
Отсутствие нулей у ϕ0 (x) тоже уже доказано (см. 2.5.3). Наличие
нулей ϕk+1 в каждой из S -зон ϕk вытекает из теоремы сравнения
(см. 2.5.1); единственность же нуля ϕk+1 в каждой из S -зон ϕk последует сразу же, как только мы докажем, что ϕk имеет в Γ ровно k
нулей (при любом k). Таким образом, для доказательства теоремы 2.6.1
достаточно установить, что ϕk имеет ровно k нулей в Γ.
Пока неясный вопрос о числе нулей и S -зон собственных функций будет изучен отслеживанием эволюции нулей по λ в процедуре,
аналогичной приему «накачки нулей». Резюмирующая картина, описывающая связь этой непрерывной процедуры с дискретным результатом
(расположением нулей ϕk ), приводится в следующем пункте.
2.6.3. Зависимость сопряженных точек от λ. Зафиксируем произвольную b ∈ ∂Γ и рассмотрим функцию wλ (x) = ΔΓ (λ)uλb (x), где
uλb — решение (2.6.2), обнуляющееся в ∂Γ \ {b} и равное 1 в точке b;
при λ ∈ Λ определим wλ (x) как lim wμ (x). В силу теоремы 2.3.2 wλ
μ→λ
аналитична в метрике C 1 [R(Γ)].
Для описания зависимости от λ нулей функции wλ введем на Γ
частичный порядок «к b». А именно, для x1 , x2 ∈ Γ будем говорить «x1
меньше x2 » и писать «x1 < x2 », если непрерывная кривая с концами
в точках x1 и b, лежащая в Γ ∪ {b}, содержит x2 . Следует отметить,
что при такой упорядоченности сравнимы не всякие точки Γ, т. е. из
x1 x2 (для x1 , x2 ∈ Γ) не всегда следует x1 > x2 (например, если
c ∈ Y (Γ), а Γ1 и Γ2 — различные компоненты связности Γ \ {c}, не
содержащие b в качестве граничной вершины, то точки x1 ∈ Γ1 и x2 ∈
∈ Γ2 несравнимы).
Наконец, введем в рассмотрение множество
Λj (c),
M=
c∈Y (Γ) b∈∂Γj (c)
§ 2.6. Ветвление нулей
101
где Y (Γ) — множество внутренних вершин индекса не ниже трех. При
этом, не ограничивая общности, можно считать, что b ∈ ∂Γ1 (c), так что
Λj (c).
можно будет писать M =
c∈Y (Γ) j>1
Т е о р е м а 2.6.2. Пусть Γ является деревом, а L не осциллирует
на Γ. Пусть
∀(c ∈ Y (Γ))∀(j > 1)∀(i > j)[Λi (c) ∩ Λj (c) = Θ].
(2.6.3)
Тогда
а) при каждом λ ∈ Λ функция wλ является собственной функцией задачи (2.6.1);
б) существует счетный набор непрерывных и строго убывающих функций {zk (λ)}∞
k=0 , zk : (λk ; +∞) → Γ, zk (λk + 0) = b,
zk (+∞) ∈ ∂Γ \ {b}, обладающих тем свойством, что если
λ ∈ (λk ; λk+1 ] \ M , то множество нулей функции wλ совпадает с {z0 (λ), . . . , zk (λ)}, причем графики zk (k = 0, 1, . . .) попарно
не пересекаются.
З а м е ч а н и е 2.6.1. Из п. (б) теоремы 2.6.2 следует, что очередной нуль zk (λ), во-первых, «стартует» из точки b «позже»
предыдущих, а во-вторых, никогда их не «догоняет». Изначально,
zi (λ) zj (λ) при i > j .
2.6.3.1. Д о к а з а т е л ь с т в о п. (а) т е о р е м ы 2.6.2.
Л е м м а 2.6.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.2. Тогда
никакая собственная функция задачи (2.6.1) не может иметь нулевую производную в точке b.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϕ — собственная функция задачи
(2.6.1) и ϕ (b) = 0. Тогда ϕ ≡ 0 на ребре, примыкающем к b.
Пусть Γ0 — максимальный по включению подграф Γ, содержащий
ребро, примыкающее к b, такой что ϕ ≡ 0 на Γ0 . Тогда ∂Γ0 ⊂ ∂Γ ∪ Y (Γ)
(иначе Γ0 — немаксимален), причем ∂Γ0 = ∂Γ, иначе Γ0 = Γ. Значит,
существует c ∈ Y (Γ), такая что ϕ ≡ 0 на Γ1 (c) и не все производные ϕ
в точке c равны 0. Но тогда в силу уравнения (2.6.2) в точке c получим,
что ϕ ≡ 0 как минимум на двух компонентах из набора {Γj (c)}j>1 , что
противоречит (2.6.3). Лемма доказана.
С л е д с т в и е 2.6.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.2.
Тогда для любого c ∈ Y (Γ) и любого j > 1 собственная функция
задачи
Lλ u = 0 (x ∈ Γj (c)), u|∂Γj (c) = 0
(2.6.4)
не может иметь нулевой производной в точке c.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y — собственная функция задачи
(2.6.4), причем y (c) = 0. Тогда, доопределяя y на Γ \ Γj (c) тождествен-
102
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
ным нулем, получим собственную функцию задачи (2.6.1) с нулевой
производной в точке b, что противоречит лемме 2.6.1. Следствие доказано.
Доказательство теоремы 2.6.2 начнем со свойства (а).
Пусть λ ∈ Λ. Тогда wλ (b) = lim ΔΓ (μ)uλb (b) = 0. Остается показать,
μ→λ
что wλ ≡ 0. Функцию wλ можно переписать в виде
ψλ1 (x)
l2 [ψλ1 ]
wλ (x) =
.....
l2m [ψλ1 ]
...
...
....
...
ψλ2m (x)
l2 [ψλ2m ]
;
......
l2m [ψλ2m ]
(2.6.5)
def
здесь предполагается, что l1 (u) = u(b). Если wλ ≡ 0, то
ψλ1 (x0 )
l2 [ψλ1 ]
0 = wλ (x0 ) =
.....
l2m [ψλ1 ]
...
...
....
...
ψλ2m (x0 )
l2 [ψλ2m ]
,
......
l2m [ψλ2m ]
где x0 — любая точка Γ, в которой собственная функция ϕ, отвечающая λ, отлична от нуля. Но равенство нулю последнего определителя
означает существование нетривиального решения v уравнения Lλ u = 0,
обнуляющегося как на ∂Γ \ {b}, так и в точке x0 . В силу предложения
п/п. 2.5.5.1, если v(b) = 0, то ϕ (b) = 0, что противоречит лемме 2.6.1.
Значит, v(b) = 0, т. е. v — собственная функция (2.6.1), отвечающая λ.
При этом ϕ и v линейно независимы, так как если C1 ϕ + C2 v ≡ 0, то
0 = C1 ϕ(x0 ) + C2 v(x0 ) = C1 ϕ(x0 ), т. е. C1 = 0 (последнее тут же влечет
и C2 = 0). Но в таком случае функция v (b)ϕ − ϕ (b)v (она нетривиальна, поскольку ϕ (b) = 0) будет собственной функцией (2.6.1), обладающей нулевой производной в точке b, что противоречит лемме 2.6.1. Это
противоречие означает, что wλ ≡ 0. Пункт (а) теоремы 2.6.2 доказан.
2.6.3.2. Свойства нулей функции wλ . Для доказательства п. (б)
теоремы 2.6.2 нам понадобится ряд вспомогательных утверждений,
позволяющих понять некоторые детали поведения нулей функции wλ
при изменении λ.
Ниже Z(λ) — множество нулей функции wλ (x).
Л е м м а 2.6.2. В условиях теоремы 2.6.2 следующие три условия
эквивалентны:
i) множество Z(λ) конечно;
ii) Z(λ) ∩ Y (Γ) = ∅;
iii) λ ∈ M .
§ 2.6. Ветвление нулей
103
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Z(λ) ∩ Y (Γ) = ∅, т. е. существует
c ∈ Y (Γ), такая что wλ (c) = 0. Тогда в силу (2.6.3) wλ тривиальна на
Γ2 (c) или на Γ3 (c) (иначе Λ2 (c) ∩ Λ3 (c) λ), что влечет бесконечность
Z(λ). Импликация (i) ⇒ (ii) доказана.
Пусть теперь Z(λ) не содержит точек Y (Γ). Выберем произвольно
c ∈ Y (Γ) и j > 1 и допустим, что λ ∈ Λj (c), т. е. существует решение
y ≡ 0 задачи (2.6.4). Сужение v функции wλ на Γj (c) не имеет нулей
в Y (Γj (c)) ∪ {c}, обращаясь в нуль на ∂Γj (c) \ {c}. Значит, в силу
предложения из п/п. 2.5.5.1 y (c) = 0, а это противоречит следствию
из леммы 2.6.1. Импликация (ii) ⇒ (iii) доказана.
Допустим, наконец, что λ ∈ M , но Z(λ) бесконечно. Тогда wλ имеет
бесконечно много нулей на некотором из ребер Γ, откуда следует, что
wλ ≡ 0 на этом ребре. Обозначим через R0 объединение тех ребер,
на которых wλ ≡ 0, и рассмотрим c = sup R0 . Пусть γ — примыкающее к c ребро, все точки которого больше c. В силу определения c
получаем: wλ ≡ 0 на γ , что в силу уравнения (2.6.2) в точке c влечет
нетривиальность wλ на одном из Γj (c) (j > 1). Последнее противоречит
тому, что λ ∈ M . Значит, γ не существует, т. е. c = b. Но тогда wλ
есть собственная функция (2.6.1) с нулевой производной в b, что
противоречит лемме 2.6.1, и значит, Z(λ) конечно. Лемма доказана.
Далее через Uε (x) обозначена ε-окрестность точки x.
Л е м м а 2.6.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.2. Пусть
ζ — изолированный нуль wλ∗ . Тогда найдутся ε > 0 и δ > 0, такие
что существует единственная функция
z : Uδ (λ∗ ) → Uε (ζ),
удовлетворяющая условиям z(λ∗ ) = ζ и wλ (z(λ)) ≡ 0; при этом z
убывает и непрерывна на Uδ (λ∗ ). Если к тому же λ∗ ∈ Λ, то ε и δ
можно считать такими, что существует единственная функция
zb : (λ∗ ; λ∗ + δ) → Uε (b),
удовлетворяющая условиям zb (λ∗ + 0) = b и wλ (zb (λ)) ≡ 0; при этом
zb убывает и непрерывна на (λ∗ ; λ∗ + δ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим сначала, что ζ ∈ Y (Γ). Действительно, в противном случае в силу (2.6.3) wλ∗ ≡ 0 на Γ2 (ζ) или на
Γ3 (ζ), откуда следует, что ζ — неизолированный нуль wλ∗ . Ниже,
наряду с обозначением wλ (x), мы будем использовать альтернативное:
w(x, λ). Если
def ∂
h(x) =
w(x, λ∗ ),
∂λ
104
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
то Lλ∗ h ≡ ρwλ∗ , и значит, wλ∗ Lλ∗ h 0, причем h
что производная
def d
w (ζ , λ∗ ) =
w(x, λ∗ )
dx
∂Γ\{b}
= 0. Считая,
x=ζ
взята в отрицательном, в смысле ориентации Γ, направлении, получим теперь, что неравенство h(ζ)w (ζ , λ∗ )
0 повлекло бы в силу
теоремы 2.5.6 на Γ тождество Lλ∗ h ≡ 0, где Γ — множество точек,
меньших ζ , в которых wλ∗ = 0. Последнее в сочетании с Lλ∗ h ≡ ρwλ∗
означает тривиальность wλ∗ на Γ, что противоречит определению Γ.
Стало быть, h(ζ)w (ζ , λ∗ ) < 0, что после применения теоремы о неявной
функции (например, в форме, приведенной в [41]) и влечет первую
часть утверждения леммы.
Вторая часть леммы, касающаяся случая λ∗ ∈ Λ, устанавливается аналогичными рассуждениями, с той лишь разницей, что теорема
о неявной функции — «односторонняя». Лемма доказана.
Л е м м а 2.6.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.2. Пусть
ζ — нетривиальный и неизолированный нуль wλ∗ . Тогда ζ ∈ Y (Γ),
и найдутся ε > 0 и δ > 0, такие что существует единственная
функция
z : Uδ (λ∗ ) → Uε (ζ),
такая что z(λ∗ ) = ζ и wλ (z(λ)) ≡ 0; при этом z убывает и непрерывна на Uδ (λ∗ ), при λ ∈ (λ∗ − δ ; λ∗ ) ее значения принадлежат Γ1 (ζ),
а при λ ∈ (λ∗ ; λ∗ + δ) — подграфу Γj0 (ζ), где j0 больше 1 и определяется (единственным образом) из включения λ∗ ∈ Λj0 (ζ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетривиальность ζ как нуля wλ∗ означает,
что в любой окрестности ζ существуют точки, в которых wλ∗ = 0.
Если ζ ∈ R(Γ) или ζ ∈ J(Γ) \ Y (Γ), то неизолированность ζ сразу же
повлечет wλ∗ (ζ) = 0 (по всем допустимым направлениям), а значит,
и тривиальность ζ . Поэтому ζ ∈ Y (Γ). Неизолированность ζ тогда
влечет отличие от нуля ровно двух производных wλ∗ в точке ζ (отличие
от нуля более чем двух таких производных противоречит с (2.6.3)).
Без ограничения общности можно считать, что wλ∗ ≡ 0 на
Γj (c),
j>2
поскольку в силу (2.6.3) включение λ∗ ∈ Λj (ζ) имеет единственное
решение среди j > 1. Рассмотрим функцию w2 (x, λ), которая определяется по графу Γ2 (ζ) и его граничной вершине ζ так же, как w(x, λ)
определяется по Γ и b. Из включения λ∗ ∈ Λ2 (ζ) следует, во-первых,
что w2 (x, λ∗ ) есть собственная функция задачи (2.6.4) для c = ζ (в силу п. (а) теоремы 2.6.2), во-вторых, что (w2 ) (ζ , λ∗ ) = 0 (по лемме
2.6.1). Предположение о линейной независимости w2 ( · , λ∗ ) и w( · , λ∗ )
(на Γ2 (ζ)) повлекло бы наличие нулевой производной у функции
v( · ) = (w2 ) (ζ , λ∗ )w( · , λ∗ ) − w (ζ , λ∗ )w2 ( · , λ∗ )
§ 2.6. Ветвление нулей
105
в точке ζ (при нетривиальности v в целом на Γ2 (ζ)), что противоречило
бы лемме 2.6.1. Значит, w2 ( · , λ∗ ) и w( · , λ∗ ) линейно зависимы, что
влечет совпадение их нулей на Γ2 (ζ). Применяя теперь к w2 ( · , λ)
вторую часть леммы 2.6.3, придем к существованию положительных δ
и ε и единственной функции
z : [λ∗ ; λ∗ + δ) → Uε (ζ) ∩ Γ2 (ζ),
таких что z(λ∗ ) = ζ и w2 (z(λ), λ) ≡ 0; при этом z убывает и непрерывна
на [λ∗ ; λ∗ + δ). При этом δ можно считать настолько малым, что
w2 (ζ , λ) = 0 и w(ζ , λ) = 0 при λ ∈ [λ∗ ; λ∗ + δ), что влечет линейную
зависимость w2 ( · , λ) и w( · , λ), так как иначе функция
w2 (ζ , λ)w( · , λ) − w(ζ , λ)w2 ( · , λ)
являлась бы нетривиальным решением задачи (2.6.4) (для c = ζ ) при
всех λ ∈ [λ∗ ; λ∗ + δ), а это невозможно хотя бы в силу дискретности
Λ2 (ζ). Но тогда нули w( · , λ) и w2 ( · , λ) совпадают (на Γ2 (ζ)) при λ∗
λ < λ∗ + δ , что влечет те же свойства z(λ) по отношению к w( · , λ),
что и по отношению к w2 ( · , λ).
Вводя для j > 2 функции wj , аналогичные функции w2 , и проводя
для wj те же рассуждения, что и выше, придем к совпадению нулей
w и wj при λ ∈ (λ∗ ; λ∗ + δ). При этом ни один из нулей функций wj
не может стремиться при λ ↓ λ∗ к ζ , так как иначе λ∗ ∈ Λj (ζ) при
некотором j > 2 — противоречие. Тем самым обосновано, что ε можно
считать малым настолько, что при λ, больших λ∗ и близких к λ∗ , нулей
в Uε (ζ) ∩ Γj (ζ) при j > 2 у функции wλ нет. Не может их быть и в
Uε (ζ) ∩ Γ1 (ζ) — это уже следует из леммы 2.6.3.
Наконец, так же как и в доказательстве леммы 2.6.3, устанавливается неравенство h(ζ)w (ζ , λ∗ ) < 0 (производная — крайняя по
отношению к графу Γ2 (ζ)), т. е., в силу уравнения (2.6.2) в точке ζ ,
выполнено h(ζ)w (ζ , λ∗ ) > 0, где производная крайняя уже для Γ1 (ζ).
Применение теперь левосторонней теоремы о неявной функции влечет
возможность доопределения z на (λ∗ − δ ; λ∗ + δ) с удовлетворением
всех свойств, заявленных в утверждении леммы. Лемма доказана.
Л е м м а 2.6.5. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.2. Пусть
(μ; ν) ∩ M = ∅. Тогда множество Z(λ) на (μ; ν) квалифицированно
отделено от ∂Γ \ {b}, т. е. ∃(ε > 0) ∀(λ ∈ (μ; ν)) [Z(λ) не пересекается с ε-раздутием ∂Γ \ {b}].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим дифференциальный оператор
Lν+1 и какие-либо его интервалы неосцилляции, примыкающие к точкам из ∂Γ \ {b}. В силу леммы 2.6.2 множество Z(λ) конечно; при
этом wλ |∂Γ\{b} = 0. Поэтому в силу теоремы сравнения 2.5.1, поскольку λ < ν + 1, wλ не имеет нулей в интервалах неосцилляции Lν+1 .
106
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
Осталось положить ε равным минимуму длин этих интервалов. Лемма
доказана.
Л е м м а 2.6.6. Пусть выполнены условия леммы 2.6.5. Тогда расстояния между различными точками Z(λ), лежащими на одном
ребре, не могут быть сколь угодно малыми, т. е. существует ε > 0,
такое что для любого ребра γ графа Γ из x1 , x2 ∈ γ ∩ Z(λ) следует
(при x1 = x2 ) x1 − x2 > ε.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В предположении противного найдутся
ребро γ и последовательности
{λn }∞
n=1 ⊂ (μ, ν),
{xn }∞
n=1 ⊆ γ ∩ Z(λn ),
{xn }∞
n=1 ⊆ γ ∩ Z(λn ),
такие что xn − xn → 0. Последовательности xn и xn можно считать
сходящимися к некоторой x0 ∈ γ . Выберем ε > 0 так, чтобы γ ∩ Uε (x0 )
являлось промежутком неосцилляции оператора Lν+1 . Ввиду сходимости xn и xn к x0 найдется номер, начиная с которого xn и xn окажутся
в γ ∩ Uε (x0 ), что вследствие конечности Z(λn ) (это вытекает из леммы 2.6.2) противоречит теореме сравнения 2.5.1, так как λn < ν + 1.
Лемма доказана.
Л е м м а 2.6.7. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.2 и (μ; ν)
не пересекается ни с M , ни с Λ. Тогда |Z(λ)| ≡ const на (μ; ν).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равномерной непрерывности wλ по λ
вытекает замкнутость множества
GZ = {(λ; x) ∈ R × Γ : wλ (x) = 0}.
Действительно, если (μk ; xk ) ∈ GZ и (μk ; xk ) → (μ0 ; x0 ), то x0 ∈ Γ и
|wμ0 (x0 )| = |wμk (xk ) − wμ0 (x0 )|
|wμk (xk ) − wμ0 (xk )| + |wμ0 (xk ) − wμ0 (x0 )|;
остается воспользоваться равномерной сходимостью wμk к wμ0 и непрерывностью wμ0 .
Пусть σ ∈ (μ; ν). В силу леммы 2.6.2 Z(σ) конечно, а в силу
леммы 2.6.3 |Z(λ)| |Z(σ)| в некоторой окрестности σ ; поэтому если
|Z(λ)| ≡ const в любой окрестности σ , то существует последовательность σk → σ , такая что |Z(σk )| > |Z(σ)|. Стало быть, существует,
как минимум, |Z(σ)| + 1 почленно различных последовательностей
i
{ζki }∞
k=1 ⊂ Γ (i = 1, . . . , |Z(σ)| + 1), таких что wσk (ζk ) = 0 для всех i
и k. Никакие две из этих последовательностей не могут, в силу
леммы 2.6.3, сходиться к одной точке из Z(σ) ∪ {b} (последовательности {ζki }∞
k=1 можно считать сходящимися ввиду компактности Γ).
Как следствие, ввиду замкнутости GZ , существует i0 , такое что ζki0
сходится к некоторой точке b0 ∈ ∂Γ \ {b}. Но этот факт, с учетом
§ 2.6. Ветвление нулей
107
конечности Z(σk ), противоречит тому, что wσk в силу теоремы сравнения (см. п. 2.5.1) не может иметь нулей в интервале неосцилляции,
например, уравнения Lσ+1 u = 0 (а такой интервал, примыкающий к b0 ,
конечно, существует).
Тем самым установлено, что |Z(λ)| ≡ |Z(σ)| в некоторой окрестности точки σ . Ввиду произвольности σ отсюда следует, что существует
покрытие интервала (μ; ν) интервалами постоянства |Z(λ)|. По лемме
Гейне–Бореля для всякого отрезка, содержащегося в (μ; ν), существует
конечное подпокрытие этого покрытия, что влечет постоянство |Z(λ)|
на любом отрезке из (μ; ν). Лемма доказана.
З а м е ч а н и е 2.6.2. Совершенно аналогично доказывается, что
если в условиях леммы 2.6.7 ν ∈ Λ и Z(ν) конечно, то |Z(λ)| = |Z(ν)|
для всех λ ∈ (μ; ν]; разница лишь в том, что в случае σ = ν нужно
рассматривать только левостороннюю окрестность точки ν .
Ниже через |Z(λ ± 0)| обозначается
lim |Z(μ)|.
μ→λ±0
Л е м м а 2.6.8. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.2. Если
λ∗ ∈ Λ и Z(λ∗ ) конечно, то
|Z(λ∗ + 0)| = |Z(λ∗ )| + 1 = |Z(λ∗ − 0)| + 1,
т. е. при переходе λ через точку спектра задачи (2.6.1) количество
нулей wλ увеличивается ровно на 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство |Z(λ∗ − 0)| = |Z(λ∗ )| следует из
последнего замечания. В силу второй части леммы
|Z(λ∗ + 0)| > |Z(λ∗ ) ∪ {b}|,
поэтому если |Z(λ∗ + 0)| = |Z(λ∗ )| + 1, то |Z(λ∗ + 0)| > |Z(λ∗ ) ∪ {b}|.
Но тогда, как и при доказательстве леммы 2.6.7, мы придем сначала
к существованию последовательности σk ↓ λ∗ и почленно различных
последовательностей {ζki }∞
k=1 (i = 1, . . . , |Z(λ∗ ) ∪ {b}| + 1), таких что
wσk (ζki ) = 0, что затем в силу леммы 2.6.3 и с учетом замкнутости GZ
повлечет сходимость одной из {ζki } к некоторой точке b0 ∈ ∂Γ \ {b},
а значит, и противоречие с неоцилляцией Lλ∗ +1 на достаточно малом
интервале, примыкающем к b0 . Лемма доказана.
Пусть I = (μ, ν) не пересекаются ни с M , ни c Λ, а μ, ν ∈ M ∪ Λ. По
лемме 2.6.7, если выполнены условия теоремы 2.6.2, то |Z(λ)| ≡ const
на I . Договоримся в этом случае значение этой константы обозначать
через l(I), а I называть нерасширяемым интервалом постоянства функции |Z(λ)| или, короче, нерасширяемым интервалом.
108
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
Л е м м а 2.6.9. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.2 и пусть
I — нерасширяемый интервал. Тогда существуют непрерывные и
убывающие на I функции z1 , z2 , . . . , zl(I) , такие что
∀ (λ ∈ I) [Z(λ) = {z1 (λ), z2 (λ), . . . , zl(I) (λ)}].
При этом графики функций z1 , z2 , . . . , zl(I) попарно не пересекаются,
а среди значений этих функций нет точек Y (Γ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть σ ∈ I и Z(σ) = {ζ1 , ζ2 , . . . , ζl(I) }.
В силу первой части леммы 2.6.3 найдутся ε > 0 и δ > 0, такие что для любого i = 1, . . . , l(I) найдется единственная функция
zi : Uδ (σ) → Uε (ζi ), такая что zi (σ) = ζi и wλ (zi (λ)) ≡ 0, причем zi
убывает и непрерывна. Каждую из этих zi можно продолжить по
непрерывности с сохранением убывания на весь I . Действительно,
пусть, например, z1 не продолжаема таким образом за (α; β), и β
не совпадает с правым концом I . При этом в силу леммы 2.6.5
ζ1 (β − 0) ∈ ∂Γ \ {b}. Но ζ1 (β − 0) не принадлежит и Y (Γ), так как
иначе из замкнутости множества GZ = {(λ, x) ∈ R × Γ : wλ (x) = 0}
следует, что ζ1 (β − 0) ∈ Z(β), т. е. Z(β) ∩ Y (Γ) = ∅. Последнее в силу
леммы 2.6.2 влечет включение β ∈ M , что противоречит условию.
Таким образом, ζ1 (β − 0) есть изолированный нуль множества Z(β),
что по лемме 2.6.3 дает непрерывную продолжаемость z1 вправо за β
с сохранением убывания. Полученное противоречие доказывает непрерывную продолжаемость z1 с сохранением убывания вплоть до правого
конца интервала I . Аналогично доказывается непрерывная продолжаемость с сохранением убывания и вплоть до левого конца I .
Пересечение графиков функций zi и zj (i = j ) противоречит лемме 2.6.3, ибо влечет неединственность неявной функции, определяемой
уравнением w(x, λ) = 0, график которой проходит через общую точку
графиков zi и zj .
Наконец, выше, доказывая, что ζ1 (β − 0) ∈ Y (Γ), мы фактически
уже установили, что среди значений функций zj не может быть точек
множества Y (Γ). Лемма доказана.
Л е м м а 2.6.10. Пусть выполнены условия леммы 2.6.9, а z1 , z2 , . . .
. . . , zl(I) — функции, определяемые утверждением леммы 2.6.9.
Пусть ν — правый конец интервала I . Тогда при i = j
zi (ν − 0) = zj (ν − 0).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что zi (ν − 0) = zj (ν − 0), где
i = j . Обозначим их общее значение через x0 . Если x0 — точка некоторого ребра γ , то для λ, достаточно близких к ν , точки zi (λ) и zj (λ),
не совпадая друг с другом (см. лемму 2.6.9), будут лежать на γ ; при
этом за счет стремления λ к ν − 0 расстояние между ними может быть
§ 2.6. Ветвление нулей
109
сколь угодно малым, что противоречит лемме 2.6.6. Если же x0 ∈ J(Γ),
то точки всех ребер, кроме одного (обозначим его снова через γ ),
примыкающих к x0 , меньше x0 . Значит, поскольку x0 меньше как zi (λ),
так и zj (λ), то начиная с некоторого λ и zi (λ), и zj (λ) окажутся
на γ , что, как и в предыдущем случае, приведет к противоречию
с леммой 2.6.6. Лемма доказана.
Л е м м а 2.6.11. Пусть выполнены условия леммы 2.6.9, а z1 , z2 , . . .
. . . , zl(I) — функции определяемые этой леммой. Пусть I = (μ; ν).
Тогда для любого i = 1, . . . , l(I) существуют zi (μ + 0) и zi (ν − 0).
При этом если c0 = max Y (Γ) и ν ∈ Λj0 (c0 ) при некотором j0 > 1, то
существует единственное i0 , такое что zi0 (ν − 0) = c0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование пределов zi в точках μ и ν
следует из убывания этих функций. Далее, wν (x) ≡ 0 на Γ1 (c0 ) в силу
леммы 2.6.1. Поэтому если wν (c0 ) = 0, то c0 — нетривиальный нуль
wν , причем неизолированный (иначе нарушается условие (2.6.3)). Но
тогда в силу леммы 2.6.4 существует единственная функция
z : (ν − δ ; ν) → Γ1 (c0 )
(здесь δ — некоторое положительное число), такая что z(λ) ∈ Z(λ)
и z(λ) ↓ c0 , откуда сразу следует утверждение леммы. Если же
wν (c0 ) = 0, то, выбирая нетривиальное решение ϕ задачи Lν u = 0 (x ∈
∈ Γj0 (c0 )), u(x) = 0 (x ∈ ∂Γj0 (c0 )) так, чтобы ϕ (c0 )wν (c0 ) 0, увидим,
что для ϕ и wν выполнены на Γj0 (c0 ) условия теоремы 2.5.7, в силу
которой wν (c0 ) = 0 — противоречие.
Лемма доказана.
2.6.3.3. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.6.2 (п. (б)) завершает следующее утверждение.
Л е м м а 2.6.12. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.2. Пусть
для некоторого k ∈ {0} ∪ N существуют непрерывные убывающие
функции zj (j = 0, . . . , k − 1) с областью определения, соответственно, (λj ; λk ] и значениями в Γ. Пусть zj (λj + 0) = b и графики zj
(j = 0, . . . , k − 1) попарно не пересекаются. Пусть при этом
∀ (j = 0, . . . , k − 1) ∀ (λ ∈ (λj ; λj+1 ] \ M ) [Z(λ) = {z0 (λ), . . . , zj (λ)}].
Тогда существует непрерывная и убывающая функция
zk : (λk , λk+1 ] → Γ
и существуют непрерывные и убывающие продолжения функций zj
(j = 0, . . . , k − 1) на (λk , λk+1 ], такие что
1) zk (λk + 0) = b,
2) графики zj (j = 0, . . . , k) попарно не пересекаются,
3) ∀ (λ ∈ (λk ; λk+1 ] \ M ) [Z(λ) = {zj (λ) : j = 0, . . . , k}].
110
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 2.6.12 проведем индукцией по числу
ребер графа. Поскольку в случае, когда Γ имеет ровно одно ребро,
утверждение леммы верно, то можно считать, что Γ имеет более чем
одно ребро, а для графов с количеством ребер, меньшим, чем у Γ,
утверждение леммы 2.6.12 верно. Пусть c0 — вершина, соседняя с b,
и предположим пока, что c0 ∈ Y (Γ). Пусть Mj — множество, определяемое по графу Γj (c0 ) (j > 1) и его граничной вершине c0 , так же
как M определяется по Γ и b. Тогда Mj ⊂ M для любого j > 1. Более
того,
M=
(Mj ∪ Λj (c0 )) .
(2.6.6)
j>1
Введем в рассмотрение функции wj (x, λ), которые определяются
по графу Γj (c0 ) и его граничной вершине c0 , так же как w(x, λ)
определяется по Γ и b. В силу (2.6.6) если λ ∈ M , то λ ∈ Mj ,
и значит, множество нулей каждой из функций wj (x, λ) при λ ∈ M
конечно. Кроме того, при λ ∈ M для любого j > 1 функции wj
и w не могут быть линейно независимыми на Γj (c0 ), иначе функция
wj (c0 , λ)w(x, λ) − w(c0 , λ)wj (x, λ), будучи нетривиальной (ибо в силу
леммы 2.6.2 w(c0 , λ) = 0, если λ ∈ M ), обнуляется в c0 , что влечет
λ ∈ Λj (c0 ) ⊂ M — противоречие. Значит, при λ ∈ M для любого j > 1
найдется Cj = 0, такое что w( · , λ) ≡ Cj wj ( · , λ) на Γj (c0 ). Последнее, в сочетании с конечностью нулей wj ( · , λ) при λ ∈ M , влечет,
во-первых, совпадение нулей w( · , λ) и wj ( · , λ) на Γj (c), во-вторых,
совпадение количества нулей w( · , λ) на
Γj (c0 ) с суммой (по j > 1)
j>1
количеств нулей функций wj ( · , λ), если только λ ∈ M .
Рассмотрим теперь z0 (λk ), z1 (λk ), . . . , zk−1 (λk ). Допустим, что λk ∈
∈ M . По только что доказанному часть из этих нулей совпадает со
всеми нулями функций wj ( · , λk ) (j > 1). Пусть количество нулей
wj ( · , λk ) равно kj (j > 1). Из предположения индукции (учитываем,
что количество ребер у Γj (c0 ) меньше, чем у Γ) следует, в частности,
что λjkj −1 < λk < λjkj (где λjs — собственные значения, образующие
kj нулей функции w( · , λ)
спектр Λj (c0 )), и значит, первые k =
j>1
(т. е. z0 (λ), z1 (λ), . . . , zk−1 (λ)) можно продолжить с выполнением всех
свойств, оговоренных в утверждении леммы, на [λk ; +∞). (Тот факт,
что именно первые k нулей z0 (λ), z1 (λ), . . . , zk−1 (λ) лежат в
Γj (c0 ),
j>1
следует из условия zj (λj + 0) = b (j = 0, . . . , k − 1) и попарного непересечения графиков zj .) Остальные нули функции w( · , λk ) (их (k − k )
штук) лежат в (c0 ; b). Из условий леммы вытекает, что
c0 < zk (λk ) < zk+1 (λk ) < . . . < zk−1 (λk ) < b
111
§ 2.6. Ветвление нулей
(здесь мы опять учитываем равенства zj (λj + 0) = b и попарное непересечение графиков zj ). Возможны три варианта:
def
λk+1 < ν = min λjkj ,
(2.6.7)
λk+1 = ν
(2.6.8)
λk+1 > ν.
(2.6.9)
j>1
и
В случае (2.6.7) из предположения индукции вытекает, что количество нулей в
Γj (c0 ) при изменении λ в (λk ; λk+1 ] не изменится, т. е.
j>1
останется равным k. Количество же нулей w( · , λ) при λ, достаточно
близких к λk справа, в силу леммы 2.6.3 будет равным (k − k) + 1,
причем, существует непрерывная и убывающая функция (обозначим ее
через zk ), такая что zk (λk + 0) = b. В силу леммы 2.6.9 функции zk ,
zk+1 , . . . , zk продолжаемы требуемым, в соответствии с утверждении
леммы, образом на (λk ; λk+1 ], причем будет выполнено (первое неравенство — в силу леммы 2.6.9, остальные, кроме последнего, — в силу
леммы 2.6.10)
c0 < zk (λk+1 ) < zk+1 (λk+1 ) < . . . < zk+1 (λk+1 ) < b.
В случае же (2.6.8) та же аргументация приводит к выводу о существовании zk и о требуемой продолжаемости функций zk , zk+1 , . . . , zk−1
на (λk ; λk+1 ). Остается лишь ввиду непрерывности этих функций доопределить их в точке λk+1 их же пределами слева. При этом условие
попарного непересечения графиков в точке λk+1 будет обеспечиваться
леммой 2.6.10.
Допустим теперь, что выполнено неравенство (2.6.9). Являясь минимумом, ν достигается при единственном значении j , которое мы без
ограничения общности можем считать равным 2. Тогда ν = λ2k2 . Так
же как и в случае (2.6.8), показывается, что существует функция zk ,
определенная на (λk ; ν], и существуют продолжения zk , zk+1 , . . . , zk−1
на (λk ; ν], удовлетворяющие требуемым свойствам на этом промежутке.
При этом в силу леммы 2.6.11
zk (ν) = c0 < zk+1 (ν) < zk+2 (ν) < . . . < zk (ν) < b
(строгие неравенства, кроме последнего, — это уже с учетом леммы 2.6.10). Но тогда c0 является неизолированным и нетривиальным
нулем функции w( · , ν) (ибо, к примеру, w( · , ν) ≡ 0 на Γ3 (c0 ), так как
ν ∈ Λ3 (c0 )); и значит, по лемме 2.6.4 функция zk единственным образом
непрерывно продолжаема в некоторую правую окрестность ν , причем
это продолжение является убывающей функцией, а образы его лежат
Γj (c0 )
в Γ2 (c0 ). Таким образом, количество нулей функции w( · , λ) в
j>1
112
Гл. 2. О качественной теории Штурма–Лиувилля на сети
при переходе λ через ν увеличивается ровно на единицу. При этом
для λ, достаточно близких к ν справа, в (c0 ; b) будет ровно k − k нулей
w( · , λ): zk+1 (λ), zk+2 (λ), . . . , zk (λ).
Λj (c0 ).
Покажем теперь, что строго между ν и λk+1 нет точек из
j>1
Отсюда сразу следует в силу леммы 2.6.9, что количество нулей у
w( · , λ) в [c0 ; b) останется при всех λ ∈ (ν ; λk+1 ] равным k − k, а в силу
Γj (c0 )
предположения индукции — что количество нулей w( · , λ) в
при тех же λ не меняется и остается равным k + 1.
Допустим, что в (ν ; λk+1 ) все-таки есть точки из
j>1
j>1
Λj (c0 ). Тогда,
обозначая наименьшую из этих точек через ν1 , теми же рассуждениями, что и выше (в случае (2.6.9)), придем к заключению, что
w(c0 , ν1 ) = 0, причем w( · , ν1 ) имеет в (c0 ; b) (k − k − 1) нулей. Но
функция w( · , λk ) имеет в (c0 ; b) k − k нулей, обнуляясь еще и в
точке b. Значит, она имеет k − k S -зон, и по теореме сравнения 2.5.1
w( · , ν1 ) должна иметь в каждой из этих S -зон нули, а значит, как
минимум k − k нулей. Полученным противоречием требуемое доказано.
Если соседняя с b вершина не содержится в Y (Γ), то приведенные выше рассуждения остаются верными, если в качестве c0 взять
max Y (Γ).
Если же Y (Γ) = ∅, то, во-первых, |∂Γ| = 2, а во-вторых, M = ∅;
в силу этого предыдущие рассуждения, не теряя своей правомерности,
резко упростятся, если c0 положить совпадающей со второй граничной
вершиной Γ (отличной от b). Лемма доказана.
2.6.3.4. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.6.1.
Л е м м а 2.6.13. Если выполнено условие общности положения,
то M ∩ Λ = ∅.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В предположении противного придем к существованию k = 0, 1, . . ., c ∈ Y (Γ) и j > 1, таких что λk ∈ Λj (c).
Можно сразу считать, что c является одним из инфимумов множества
{d ∈ Y (Γ) : ∃ (i > 1) [λk ∈ Λi (d)]}
(ввиду частичности порядка на Γ таких инфимумов может быть
несколько). Но тогда, взяв нетривиальное решение y(x) задачи
Lλk u = 0 (x ∈ Γj (c)),
u|∂Γj (c) = 0,
(2.6.10)
получим, что y не имеет нулей в Y (Γj (c)), т. е. задача (2.6.10) простая.
Можно считать, что собственная функция ϕk задачи (2.6.1), отвечающая λk , такова, что y (c)ϕk (c) 0, где производная является крайней
по отношению к Γj (c). Применяя теперь теорему из 2.5.6, получаем:
ϕk (c) = 0, что противоречит теореме из 2.5.10. Лемма доказана.
§ 2.6. Ветвление нулей
113
Теорема 2.6.1 теперь следует из теоремы 2.6.2 и леммы 2.6.13, поскольку в силу леммы 2.6.13 из условия общности положения вытекает,
что w( · , λk ), являясь собственными функциями задачи (2.5.13), имеют
конечное число нулей, а значит (см. теорему 2.6.2), ровно k нулей.
2.6.4. Перемежаемость спектров. При условии общности положения из доказательства леммы 2.6.12 можно усмотреть, что точки
спектра Λ строго перемежаются с точками ∪Λj (c0 ), где объединение
берется по всем j . Точнее говоря, имеет место цепочка неравенств
λ0 < ν0 < λ1 < ν1 < . . . < λk < νk < . . . ,
(2.6.11)
где ν0 , ν1 , . . . , νk , . . . — точки ∪Λj (c0 ), перенумерованные в порядке
возрастания.
Действительно, при доказательстве леммы 2.6.12 показано, что
строго между λk и λk+1 не может лежать более чем одна точка множества
Λj (c0 ). Но можно установить и большее: если в (λk ; λk+1 )
j>1
лежит точка ν из
j>1
Λj (c0 ), то в этом интервале нет точек из Λ1 (c0 ).
В самом деле, при λ ∈ (λk ; ν) функция wλ имеет в (c0 ; b) ровно (k − k)
нулей, а при λ ∈ (ν ; λk+1 ) — ровно (k − k − 1) нулей. И значит, если
некоторое λ1k1 ∈ (λk ; λk+1 ), то, рассматривая λ ∈ (λk ; min{ν ; λ1k1 }), получим (применяя теорему сравнения из п/п. 2.5.5.1), что k1 k − k − 1,
а рассматривая λ ∈ (max{ν ; λ1k1 }; λ), — что k − k − 1
k1 − 1, что
приводит к противоречию.
Если же в (λk ; λk+1 ) нет точек из
Λj (c0 ), то из доказательства
j>1
леммы 2.6.12 вытекает, что wλk+1 имеет в (c0 ; b) ровно (k − k + 1)
нулей, а wλk — ровно (k − k) нулей, при обнулении обеих в точке b.
Но тогда, рассматривая на (c0 ; b) задачу Коши
Lλ u = 0 (x ∈ (c0 ; b)),
u(b) = 0, u (b) = 1,
(2.6.12)
придем к тому, что решения этой задачи w( · , λk )/w (b, λk ) (при λ = λk )
и w( · , λk+1 )/w (b, λk+1 ) (при λ = λk+1 ) принимают в точке c0 значения
строго разных знаков, откуда и следует существование λ ∈ (λk ; λk+1 ),
такого что решение (2.6.11) при λ = λ обнуляется в точке c0 , т. е.
λ ∈ Λ1 (c0 ).
Наконец, Λ ( Λj (c0 )) = ∅. Действительно, предположение проj
тивного ввиду непересечения Λ и M (см. лемму 2.6.13) влечет
Λ Λ1 (c0 ) = ∅, и, стало быть, некоторая собственная функция задачи
(2.6.1) обнуляется в точке c0 , а это противоречит отсутствию нулей
в Y (Γ) у собственных функций (2.6.1) (теорема 2.5.10).
Глава 3
МЕТОД ШТУРМА В ТЕОРИИ
ИМПУЛЬСНЫХ ЗАДАЧ
В этой главе мы распространим осцилляционную теорию Штурма
на случай задач с сильными особенностями, которые возникают, например, для упругого континуума с сосредоточенными массами и с локализованными взаимодействиями с окружающей средой, когда в коэффициентах соответствующего дифференциального уравнения появляются
дельтообразные компоненты. Здесь мы перейдем от привычной формы
обыкновенного дифференциального уравнения
− (pu ) + qu = f
(3.0.1)
к существенно более общей форме
x
− (pu ) (x) + (pu ) (0) + u dQ = F (x) − F (0)
(A)
0
с абсолютно непрерывными решениями, производные которых имеют ограниченную вариацию, как и коэффициенты p, Q, F , интеграл
понимается по Стилтьесу. Уравнение (A) будет удобно представлять
(в дифференциалах Стилтьеса) как уравнение вида
−d(pu ) + u dQ = dF ,
(dA)
что весьма условно можно интерпретировать в виде
− p
du
dx
+Qu=F ,
(A )
где Q , F — обобщенные производные функций Q, F ограниченной
вариации.
В отличие от последних двух уравнений, описанных с помощью
обобщенных функций, а точнее — функционалов, уравнение (A) имеет
поточечный смысл, что роднит его с обыкновенными дифференциальными уравнениями и позволяет изучать такие качественные свойства
решений, как распределение нулей, экстремумов, число нулей и перемен знака и т. д., которые для обобщенных функций не поддаются даже
точным дефинициям. Если коэффициенты p, Q, F оказываются глад-
115
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
кими функциями, то уравнения (A), (dA) и (A ) эквивалентны обыкновенному уравнению (3.0.1) при q(x) =
d
d
Q(x) и f (x) =
F (x).
dx
dx
Наряду с (A) мы будем рассматривать уравнение с параметром
x
x
− (pu ) (x) + (pu ) (0) + u dQ = λ u dM ,
0
(Aλ )
0
обобщенная в дифференциалах форма которого имеет вид
−d (pu ) + u dQ = λu dM.
(dAλ )
Подсказкой для использования интегро-дифференциальной формы (Aλ ) для нас послужила следующая математическая модель Аткинсона и Крейна стилтьесовской струны [2]:
x
−u+ (x) = −u− (0) + λ u dM
0
где u+ (x) — правая производная, u− (0) — некое «продленное значение»
производной. Внешним символом этого уравнения полагалось считать
соотношение
d
−
u+ (x) = λu(x).
dM
Несколько раньше последнее уравнение возникло у Феллера в задаче
о диффузии [42]. Об осцилляционных свойствах в этих работах речь
не шла.
Мы перенесем осцилляционную теорему Штурма практически без
изменения формулировок на задачу
⎧
x
x
⎪
⎪
⎨− (pu ) (x) + (pu ) (0) + u dQ = λ u dM ,
⎪
⎪
⎩u(0) = u(l) = 0,
0
0
решение которой принадлежит классу E абсолютно непрерывных
функций, производные которых имеют на [0, l] ограниченную вариацию.
Направленность излагаемого исследования определяется уже описанной для классического случая в гл. 1 схемой, восходящей к Штурму.
Мы введем в рассмотрение функцию ω(x, λ), удовлетворяющую уравнению
x
x
− (pu ) (x) + (pu ) (0) + u dQ = λ u dM
0
и условиям
u(0) = 0,
u (0) = 1.
0
116
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Ясно, что если ω(x, λ) при некотором λ = λ∗ обращается в нуль на правом конце x = l, то это значение λ∗ является собственным, так же как
и функция z(x) = ω(x, λ∗ ) — собственной функцией, соответствующей
этому собственному значению. Значит, уравнение
ω(l, λ) = 0
относительно λ имеет множество решений, содержащее спектр исходной задачи. Следуя Штурму, мы будем изучать решения этого
уравнения, анализируя зависимость от λ решений x(λ) более общего
уравнения
ω(x, λ) = 0
и фиксируя те значения λ, при которых x(λ) = l.
Продолжим вправо от точки x = l, т. е. на множество [l, ∞), коэффициенты p, Q, M исходного уравнения, так чтобы они были непрерывными в точке x = l и чтобы p, Q были константами вправо от l, а M —
линейной возрастающей функцией (M (x) = m0 x + c при m0 > 0). Решения этого продолженного уравнения будут определены на [0, ∞),
причем на [0, l] они будут совпадать с решениями исходного уравнения.
Сохраним за продолженными коэффициентами исходное обозначение.
На [l, ∞) это уравнение примет вид
−d(p0 u ) = λm du,
т. е. −p0 u = λm0 u (здесь p0 = p(l)). Распространяя на [l, ∞) соответствующее решение ω(x, λ) задачи u(0) = 0, u (0) = 1, замечаем, что при
λ > 0 эта функция имеет бесконечное число нулей в [l, ∞), и значит,
в [0, ∞).
Обозначим нули ω(x, λ) на (0, ∞) в порядке их возрастания через
z0 (λ), z1 (λ), . . . , zk (λ), . . . При λ, совпадающем с ведущим собственным
значением λ0 , очевидно, z0 (λ0 ) = l. Если λ непрерывно увеличивать, то
все нулевые точки zi (λ) будут непрерывно, нигде не останавливаясь,
двигаться влево (это предстоит доказать). Когда очередная из них,
zk (λ), совпадет с l, соответствующее решение ω(x, λ), обнулившись
в точке x = l, окажется собственной функцией, а значение λ, для которого zk (λ) = l, — собственным значением. Поскольку попаданию zk (λ)
в точку l должно было предшествовать прохождение через эту точку предыдущих нулей z0 (λ), z1 (λ), . . . , zk−1 (λ), то равенство zk (λ) = l
определяет λk , т. е. k-е собственное значение.
Характер предстоящих трудностей вполне аналогичен тем, которые
приведены в гл. 1. Для начала нам предстоит доказать гладкую зависимость от λ функции ωλ (x) ≡ ω(x, λ). Затем разобраться, как зависят
от λ нули этой функции. Здесь необходим детальный анализ серии
вопросов.
117
§ 3.1. Предварительные сведения
Нам необходимо иметь уверенность в том, что
а) каждая из функций zk (λ) непрерывна;
б) каждая из них строго монотонна;
в) соседние нули zk (λ) и zk+1 (λ) не сливаются;
г) нули не пропадают (не исчезают) при неограниченном увеличении λ;
д) нули не накапливаются возле какой-либо внутренней в (0, l) точки, т. е. каждый нуль zk (λ) неотвратимо приближается к точке
x = 0 ( = z0 ), не застревая по дороге;
е) наконец, какой механизм «рождает» очередной дополнительный
нуль у ω(x, λ) на правом конце? И почему не происходит появления дополнительных нулей внутри (0, l) отпочковыванием от
какого-либо внутреннего нуля?
Какой информацией мы обладаем для ответа на эти вопросы? Функции zk (λ) определяются тождествами
ω(zk (λ), λ) = 0,
т. е. являются неявными функциями, определяемыми уравнением
ω(z , λ) = 0.
И об этих неявных функциях заранее известно, что их много, что
каждая из них определена (это уже требует объяснения) на своей
области {λk < λ < ∞}, где λk — точка спектра.
А для квалифицированной характеристики поведения каждой из
ветвей этой многозначной неявной функции необходимо изучение про∂ω(x, λ)
в окрестности каждой точки λ∗ спектра исходной
изводной
∂λ
задачи.
Реализуя метод Штурма для уравнения (Aλ ), мы вынуждены будем
искать ответ на все эти вопросы для случая задачи с импульсными
особенностями. А для этого нам необходимо предварительно построить
систему фактов, аналогичную теории дифференциальных уравнений на
отрезке с обычными коэффициентами.
§ 3.1. Предварительные сведения
В центре нашего внимания будет стоять уравнение
x
− (pu ) (x) + (pu ) (0) + u dQ = F (x) − F (0),
(A)
0
в случае гладких p, Q, F эквивалентное поточечному
− (pu ) + qu = f ,
(3.1.1)
118
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
где q = Q и f = F . Уравнение (A) наследует универсальность (3.1.1)
для самых разнообразных задач естествознания и техники — от уравнения Шрёдингера в квантовой механике до процессов в электрических
цепях, акустических системах, нейронных волокнах, разнообразных
волноводах и проч.
Замена привычного обыкновенного дифференциального уравнения
(3.1.1) на (A) расширяет класс допускаемых к анализу задач, требуя
при этом учета чисто математической специфики этого объекта. В чем
эта специфика?
Уравнение (A) содержит разрывные, вообще говоря, коэффициенты p, Q, F наряду с интегралом Стилтьеса. Сохраняя явное присутствие скалярного аргумента, уравнение (A) обнаруживает и его особые
значения — это те точки, где производная u (x) и функции p, Q, F
могут иметь разрыв, те значения верхнего предела в интеграле, когда
этот интеграл может терять смысл. Последнее — самое криминальное
(с позиций, привычных для элементарного анализа ассоциаций) обстоятельство, порождаемое в уравнении (A) интегралом Стилтьеса: если
в (A) точка x совпадает с одной из точек ξ разрыва Q(x) и если при
этом Q(ξ) = Q(ξ − 0), Q(ξ) = Q(ξ + 0), то соответствующее значение
ξ−0
ξ
u(x) dQ(x) отлично как от
0
ξ+0
u(x) dQ(x), так и от
0
u(x) dQ(x)
0
(если интеграл понимать всего лишь по Риману–Стилтьесу), что приводит к абсурдности смысла u (ξ), ибо u (ξ) обозначает совпадающие значения левой u− (ξ) и правой u+ (ξ) производных. При этом
ξ−0
каждый из символов
ξ+0
u dQ и
0
u dQ, обычно так возникающих
0
в работах, связанных с привлечением интеграла Стилтьеса в дифференциальных уравнениях, требует на самом деле дополнительных
ξ−0
разъяснений. Например,
u dQ обозначает то ли интеграл по полу0
ξ−δ
сегменту [0, ξ), то ли несобственный интеграл lim
δ→0
u dQ. Далее мы
0
покажем, что если u(x) абсолютно непрерывна и ее производная u (x)
имеет ограниченную вариацию, то в любой точке ξ ∈ [0, l] существует
правая (и левая) производная, совпадающая с соответствующим односторонним пределом u (x), т. е. u+ (ξ) = u (ξ + 0) и u− (ξ) = u (ξ − 0).
Это позволит нам отождествлять, например, несобственный интеграл
119
§ 3.1. Предварительные сведения
ξ−0
ξ−ε
f dμ с собственным по полуинтервалу [0, ξ), т. е.
f dμ = lim
ε↓0
0
с
0
f dμ. При этом остается более глубокая проблема — о дифферен[0,ξ)
цируемости по верхнему пределу. Но об этом — в свое время.
Построение осцилляционной теории для уравнения (A) потребует
предварительной разработки полноправного аналога обычной теории
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений — от аналога
теоремы Коши–Пеано до вронскианной техники и функции влияния
краевых задач. Главная трудность, здесь возникающая, — допустимые
разрывы у производных решений. Из (A) видно, что pu (x) наверняка
имеет разрывы там, где имеют скачки функции Q(x) и F (x). Хуже
того, в этих точках равенство (A) теряет смысл, зато приобретает при
x = ξ − 0, x = ξ + 0, когда интеграл понимается как несобственный.
В этих же точках, естественно, требуется уточнять смысл задачи
Коши. После того как будут взяты на учет все возможные особые
точки решений — а это потребует корректного описания соответствующего функционального пространства — мы исправим «физические»,
т. е. внешние дефекты задачи, расширяя область значений аргумента
за счет «раздвоения» особых точек. На таком расширении отрезка [0, l]
возникают весьма серьезные проблемы из области обычного анализа.
Но зато формулировки теорем относительно решений звучат почти
классически. Путем такого расширения мы избавляемся от необходимости использовать обобщенные (по Шварцу–Соболеву) производные
и обходимся без соответствующих пространств.
Для удобства читателя мы вкратце предварительно напоминаем
основные понятия и факты из теории интеграла Стилтьеса, которыми
мы будем оперировать в дальнейшем. Более подробное изложение
приводимых ниже сведений можно найти, например, в [7, 44].
b
3.1.1. Интеграл Стилтьеса. Интеграл Стилтьеса
f (x) dμ(x)
a
определяется для пары заданных на [a, b] функций f (x), μ(x)
предельным переходом в интегральных суммах
n
f (ξi ) [μ(xi+1 ) − μ(xi )]
(3.1.2)
i=1
при a = x0 < x1 < . . . < xn+1 = b и ξi ∈ [xi , xi+1 ], если количество n
точек {xi } устремить к бесконечности, при max(xi+1 − xi ) → 0. Есi
ли при этом предельный переход равномерен относительно выбора
120
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
ξi ∈ [xi , xi+1 ], то соответствующий предел называют интегралом Стилтьеса (Римана–Стилтьеса).
Если переставить слагаемые в (3.1.2) и поменять ролями наборы
{xi } и {ξi }, то в рамках одного и того же предельного перехода можно
b
b
f dμ и μdf существуют одновремен-
получить важнейшее свойство:
a
но, причем
b
a
b
f dμ + μdf = f (b)μ(b) − f (a)μ(a).
a
(3.1.3)
a
Стилтьес, введя этот интеграл, сразу доказал, что если одна из
b
функций f , μ непрерывна, а другая монотонна, то интеграл f (x) dμ(x)
a
наверняка определен. Последнее свойство было расширено на линейную оболочку BV [a, b] множества монотонных функций, т. е. на множество функций ограниченной вариации.
Из определения интеграла легко вытекают следующие свойства.
а) Линейная комбинация интегрируемых по Стилтьесу функций
интегрируема, причем
b
b
b
(αf1 + βf2 ) dμ = α f1 dμ + β f2 dμ.
a
a
a
б) Если f1 (x)
f2 (x) на [a, b] и функции f1 , f2 интегрируемы,
а функция μ не убывает на [a, b], то
b
b
f1 dμ
a
f2 dμ.
a
в) Если функция f интегрируема на [a, b], а функция μ не убывает
на [a, b], то функция |f | также интегрируема, причем
b
b
|f |dμ.
f dμ
a
a
г) Если функция f непрерывна, а μ монотонно возрастает на [a, b],
то существует такая точка ξ , принадлежащая отрезку [a, b], что
b
f dμ = f (ξ) (μ(b) − μ(a)) .
a
121
§ 3.1. Предварительные сведения
д) Если функция f интегрируема на [a, b] и a < c < b, то f интегрируема на [a, c], [c, b] и
c
b
b
f dμ + f dμ = f dμ.
a
c
a
Обратное, вообще говоря, неверно, т. е. из существования интегралов
c
b
b
f dμ и f dμ не следует существование интеграла f dμ.
a
c
a
b
b
е) Если существуют интегралы f dα1 и f dα2 , то для любых чисел
a
b
a
ε1 , ε2 существует интеграл f d(ε1 α1 + ε2 α2 ), причем
a
b
b
b
f d(ε1 α1 + ε2 α2 ) = ε1 f dα1 + ε2 f dα2 .
a
a
a
3.1.2. Пространство BV [a, b]. Функция f (x), определенная на
отрезке [a, b], называется функцией ограниченной вариации (или конечной вариации), если существует такая постоянная C , что каково бы
ни было разбиение отрезка [a, b] точками a = x0 < x1 < . . . < xn = b
выполнено неравенство
n−1
|f (xk+1 ) − f (xk )|
C.
(3.1.4)
k=0
Точная верхняя грань сумм (3.1.4) по всевозможным конечным разбиениям отрезка [a, b] называется полной вариацией функции f на отрезке
[a, b] и обозначается через Vab (f ):
n−1
|f (xk+1 ) − f (xk )|.
Vab (f ) = sup
k=0
Каждая функция ограниченной вариации u(x) может быть представлена в виде разности (разложение Жордана) двух неубывающих
функций: u(x) = u+ (x) − u− (x). В качестве u+ (x) можно взять, как
легко видеть, u+ (x) = V0x (u), а через u− (x) обозначить разность
u− (x) = u+ (x) − u(x).
Из теоремы Жордана вытекает, что множество точек разрыва всякой функции ограниченной вариации не более чем счетно, причем
каждая точка разрыва является точкой разрыва первого рода.
122
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Заметим, что произвольная непрерывная функция, вообще говоря,
не является функцией ограниченной вариации. В качестве примера
рассмотрим функцию
π
x
x sin , если 0 < x
f (x) =
2,
если x = 0,
0,
которая, как нетрудно видеть, непрерывна на отрезке [0, 2]. Для разбиения, состоящего из точек
0,
2
2
2 2
,
, . . . , , , 2,
2n − 1 2n − 3
5 3
соответствующая сумма (3.1.4) равна
2+
2
3
+
2
2
+
3
5
2
2
+
2n − 3
2n − 1
+ ... +
+
2
>
2n − 1
>
n
откуда следует, что
V02 (f )
>
k=1
1
1
1
+ + ... + ,
2
3
n
1
при любом n, т. е. f (x) не является
k
функцией ограниченной вариации.
Всякая функция u ∈ BV [0, l] имеет почти всюду на [0, l] конечную
производную.
Приведем основные свойства функций ограниченной вариации.
1. Если α — постоянное число, f — функция ограниченной вариации, то Vab (αf ) = |α|Vab (f ).
2. Если f , g — функции ограниченной вариации, то f + g тоже является функцией ограниченной вариации и Vab (f + g) Vab (f ) + Vab (g).
Свойства 1 и 2 означают, что функции ограниченной вариации образуют линейное пространство, которое в дальнейшем будем обозначать
BV [a, b] (или просто BV , если ясно, о каком отрезке идет речь). Это
пространство является полным по норме: f = |f (a)| + Vab (f ).
3. Если a < b < c, f — функция ограниченной вариации, то
Vab (f ) + Vbc (f ) = Vac (f ).
Докажем очень важный для дальнейшего изложения результат.
Т е о р е м а 3.1.1. Пусть u(x) — функция ограниченной вариации, ϕ(x) = V0x (u). Тогда для любой точки ξ ∈ [0, l) справедливо
равенство
ξ+ε
lim Vξ+
0 (u) = lim (ϕ(ξ + ε) − ϕ(ξ + 0)) = 0
ε→+0
ε→+0
(3.1.5)
§ 3.1. Предварительные сведения
123
и для любой точки ξ ∈ (0, l] — равенство
ξ−0
lim Vξ−ε
(u) = lim (ϕ(ξ − 0) − ϕ(x − ε)) = 0.
ε→+0
ε→+0
(3.1.6)
Другими словами, функция ϕ(x) в каждой «точке» ξ + 0 непрерывна
справа, а в «точке» ξ − 0 — непрерывна слева.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если ξ — точка непрерывности функции
u(x), то равенства (3.1.5) и (3.1.6) очевидны. Пусть ξ ∈ [0, l) — точка
разрыва функции u(x). Доказательство (3.1.5) легко следует из почти
очевидного равенства
x
V0x (u) = V0ξ+0 (u) + Vξ+
0 (u)
при ξ < x.
Соотношение (3.1.6) для точек ξ ∈ (0, l] доказывается аналогично.
В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.
В т о р а я т е о р е м а Э. Х е л л и. Из всякого бесконечного множества M функций Φ, заданных на некотором отрезке [a, b] и удовлетворяющих условиям
max |Φ(x)|
C,
Vab (Φ)
K
(3.1.7)
(C и K — постоянные, одни и те же для всех Φ ∈ M ), можно
выбрать последовательность, сходящуюся в каждой точке отрезка [a, b].
Заметим, что если функция μ(x) имеет ограниченную вариацию на
отрезке [a, b], то из определения интеграла легко следует оценка
b
f (x) dμ(x)
sup |f (x)|Vab (μ).
[a,b]
a
3.1.3. Скачки функций из BV [a, b]. Для любой функции u(x) ∈
∈ BV [a, b] в каждой точке ξ ∈ [a, b] заведомо существуют как левый,
так и правый пределы:
u(ξ + 0) = lim u(x),
x→ξ
x>ξ
u(ξ − 0) = lim u(x)
x→ξ
x<ξ
(3.1.8)
(при ξ = a или ξ = b имеет смысл, естественно, только один из этих
пределов).
Простым скачком u(x) в точке x = ξ мы называем величину
def
Δu(ξ) = u(ξ + 0) − u(ξ − 0).
Мы полагаем при этом u(a − 0) = u(a) и u(b + 0) = u(b). Говоря
о простом скачке Δu(ξ), мы игнорируем собственное значение u(ξ)
124
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
этой функции в точке x = ξ , учитывая только левое u(ξ − 0) и правое
u(ξ + 0) предельные значения. Здесь и всюду далее через Su обозначается множество точек разрыва u(x).
Функция (простых) скачков us (x) для u(x) из BV [a, b] нами определяется в виде
us (x) =
Δu(ξ).
(3.1.9)
ξ x
Поскольку для u(x) ∈ BV [a, b] множество Su точек разрыва не более
чем счетно, то определение (3.1.9) корректно, поскольку опирается на
не более чем счетное число слагаемых под знаком суммы.
Для любой функции u(x) из BV [a, b] разность u0 (x) = u(x) − us (x)
в каждой точке разрыва Su имеет одинаковые пределы справа и слева,
т. е. имеет устранимый разрыв. Доопределяя в этих точках u0 (x) общим значением u0 (ξ − 0) = u0 (ξ + 0), мы обозначим эту непрерывную
функцию через u0 (x).
Оказывается, для интеграла Стилтьеса (при μ(x) ∈ BV [0, l]) верно
равенство
l
l
l
f (x) dμ(x) = f (x) dμ0 (x) + f (x) dμs (x) =
0
0
0
l
f (ξ)Δμ(ξ),
= f (x) dμ0 (x) +
0
(3.1.10)
ξ∈Sμ
причем под знаком интеграла Стилтьеса dμ0 и dμ0 равносильны.
3.1.4. Абсолютно непрерывные функции. Функция f , заданная
на некотором отрезке [a, b], называется абсолютно непрерывной на нем,
если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что, какова бы ни была
конечная система попарно непересекающихся интервалов {(ak , bk )}nk=1 ,
такая что
n
(bk − ak ) < δ ,
k=1
выполнено неравенство
n
|f (bk ) − f (ak )| < ε.
k=1
Ясно, что всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно. В качестве примера приведем функцию, называемую «канторовой лестницей». Для этого рассмотрим на отрезке [0, 1] «канторово множество» F , которое строится следующим образом. Обозначим через F0 отрезок [0, 1]. Выбро-
125
§ 3.1. Предварительные сведения
1 2
, , а оставшееся замкнутое множество
3 3
1 2
7 8
обозначим F1 . Затем выбросим из F1 интервалы
,
и
, ,
9 9
9 9
сим из него интервал
а оставшееся замкнутое множество (состоящее из четырех отрезков)
обозначим F2 . В каждом из этих четырех отрезков выбросим сред3
1
ний интервал длины
и т. д. Продолжая этот процесс, получим
3
убывающую последовательность замкнутых множеств Fn . Положим
F =
∞
Fn . Множество F и называется «канторовым множеством».
n=0
Множеству F принадлежат, очевидно, точки
0, 1,
1 2 1 2 7 8
, , , , , , ... ,
3 3 9 9 9 9
называемые точками первого рода (эти точки являются концами выбрасываемых интервалов). Остальные точки множества F называются
точками второго рода. Определим «канторову лестницу» f сначала на
смежных интервалах «канторова множества», положив
f (x) =
2k − 1
,
2n
k = 1, 2, 3, . . . , 2n−1
на k-м смежном интервале n-го ранга (включая и его концы):
f (x) =
1
2
при
1
3
x
2
,
3
f (x) =
1
4
при
1
9
x
2
,
9
f (x) =
3
4
при
7
9
x
8
и т.д.
9
Таким образом, f определена на отрезке [0, 1] всюду, кроме точек
второго рода «канторова множества». Доопределим теперь f в этих
оставшихся точках следующим образом. Пусть t∗ — одна из таких
точек, и пусть {tn } — сходящаяся к ней возрастающая последовательность точек первого рода. Тогда существует предел lim f (tn );
n→∞
аналогично, существует и предел lim f (tn ), если {tn } — убывающая
n→∞
последовательность точек первого рода, сходящаяся к t∗ , причем эти
пределы равны (строгое обоснование можно найти в [45]). Приняв это
общее значение за f (t∗ ), получим монотонную функцию, непрерывную
на всем отрезке [0, 1].
Покажем, что f не является абсолютно непрерывной функцией.
В самом деле, «канторово множество» можно покрыть конечной системой интервалов {(ak , bk )}nk=1 , сумма длин которых сколь угодно
126
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
мала. Вместе с тем для каждой такой системы интервалов выполнено,
очевидно, равенство
n
|f (bk ) − f (ak )| = 1.
k=1
Выпишем основные свойства абсолютно непрерывных функций.
1. Всякая абсолютно непрерывная функция является функцией
ограниченной вариации и по теореме Лебега почти всюду имеет производную. В самом деле, абсолютная непрерывность функции f на
отрезке [a, b] означает, в частности, что для ε = 1 можно выбрать δ > 0
так, что полная вариация функции f на отрезке длины меньше δ будет
не больше ε = 1. Поскольку отрезок [a, b] можно разбить на конечное
число отрезков длины меньше δ , то и полная вариация функции f на
[a, b] конечна.
2. Сумма абсолютно непрерывных функций и произведение такой
функции на число является абсолютно непрерывной функцией. Это
свойство вытекает непосредственно из определения абсолютно непрерывной функции.
Свойства 1 и 2 означают, что абсолютно непрерывные функции
в пространстве функций ограниченной вариации образуют линейное
многообразие.
3. По теореме Лебега [44], производная f = F абсолютно непрерывной функции F , заданной на отрезке [a, b], суммируема на этом
отрезке и для каждого x (a x b)
x
f (t) dt = F (x) − F (a).
a
3.1.5. Еще несколько фактов об интеграле Стилтьеса. Приведем несколько известных утверждений.
П е р в а я т е о р е м а Э. Х е л л и. Пусть на отрезке [a, b] заданы непрерывная функция f (x) и последовательность функций
{gn (x)}, которая при каждом x из отрезка [a, b] сходится к конечной функции g(x), причем вариации функций gn (x) ограничены
в совокупности
Vab (gn ) K < +∞.
Тогда g(x) имеет ограниченную вариацию на отрезке [a, b] и
b
lim
n→∞
b
f dgn = f dg.
a
a
Т е о р е м а Ф у б и н и. Пусть функция f (x, y) непрерывна по
совокупности переменных в прямоугольнике a
x b, c y
d,
127
§ 3.1. Предварительные сведения
вложенном во множество [0, l] × [0, l]. Пусть функции Q, F имеют
ограниченную вариацию на отрезке [0, l]. Тогда
b d
b
f (x, y) dQ(x) dF (y) =
a c
d
f (x, y) dF (y) =
dQ(x)
a
c
d
=
b
f (x, y) dQ(x) .
dF (y)
c
a
Т е о р е м а о п р е о б р а з о в а н и и м е р ы. Для любой функции ограниченной вариации σ(x) и произвольной непрерывной функции u(x) справедливо равенство
l
l
ϕ dμ = ϕu dσ ,
0
(3.1.11)
0
где обозначено
x
μ(x) = u dσ.
0
В классическом анализе это означает обычную замену переменной
под знаком интеграла. Доказательство достаточно прозрачно — если
для одних и тех же наборов x0 < x1 < . . . < xn и ξ0 < ξ1 < . . . < ξn
расписать интегральные суммы для обоих интегралов из (3.1.11), то
легко видеть, что в пределе они сливаются.
Несмотря на элементарную природу приведенного факта, он будет
играть в дальнейшем фундаментальную роль, позволяя смотреть на исходное интегро-дифференциальное уравнение с другой, более близкой
стандартной интуиции, стороны.
3.1.6. Теорема Рисса. Интеграл Стилтьеса долгое время оставался не замеченным математиками. Он открыл свои фундаментальные
возможности во многом после того, как Рисс доказал следующий
основополагающий факт.
Для каждого функционала l(u( · )), линейного и ограниченного на
пространстве C[a, b] непрерывных функций, существует функция
g( · ) из BV [a, b], такая что
b
l(u) = u(x) dg(x).
a
128
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
§ 3.2. Вариационная мотивация подхода
Основная наша цель — построить аналог осцилляционной теории
для физически осмысленного расширения задачи Штурма–Лиувилля.
Физическую эффективность формы (A) мы поясним на совершенно
банальном примере. Представим себе одномерную упругую нить, натянутую вдоль отрезка [0, l]. Пусть в точке x = ξ имеется упругая опора
(пружина) с коэффициентом упругости γ , а в точке x = η действует
сосредоточенная сила величины f0 . Натяжение нити для простоты
считаем единичным. Физический фольклор утверждает, что уравнение
прогиба u(x) этой нити должно иметь форму
−(u ) + qu = f.
Но какими должны быть коэффициенты q(x) и f (x)? Можно ли их каклибо интерпретировать в терминах исходной задачи? Ясно, что q(x) ≡ 0
при x = ξ , так же как и f (x) ≡ 0 при x = η . А что будет в точках x = ξ ,
x = η ? Сосредоточенную силу f0 в точке x = η принято обозначать
с помощью дельта-функции. Но какой смысл вкладывают физики в это
понятие, введенное Дираком задолго до теории обобщенных функций
Шварца–Соболева с помощью символического соотношения
δ(x) =
d
θ(x),
dx
где θ(x) — функция Хевисайда, т. е. θ(x) ≡ 0 при x < 0 и θ(x) ≡ 1
при x > 0? То есть δ -функция — формальная (с точки зрения физиков)
производная скачка. А что в нашем примере с упругой нитью?
Опять же из интуитивно-физических соображений можно считать,
что u (x0 + 0) − u (x0 − 0) определяет величину равнодействующей
упругих сил, действующих на точку x = x0 слева и справа. В точке x = ξ эта равнодействующая уравновешивается силой упругости
пружины, которая — по закону Гука — пропорциональна деформации
(отклонению струны) u(x), т. е.
u (ξ + 0) − u (ξ − 0) = γu(ξ).
(3.2.1)
В точке x = η эта равнодействующая уравновешивается силой f0 , т. е.
−u (η + 0) + u (η − 0) = f0 .
(3.2.2)
При x = ξ , η совершенно очевидно, что форма струны прямолинейна,
т. е. подчиняется уравнению
u = 0.
Но как это уравнение связано с условиями (3.2.1), (3.2.2)? Физики
просто пишут
−u + γδ(x − ξ)u = f0 δ(x − η),
считая эту правомочность правой части интуитивно очевидной. А второе слагаемое слева, т. е. γδ(x − ξ), в квантовой механике принято
§ 3.2. Вариационная мотивация подхода
129
называть δ -взаимодействием и употреблять символ δ(x − ξ) как компоненту в потенциале q(x) уравнения Шрёдингера
−u + γδ(x − ξ)u = λu,
формально объясняя присутствие δ(x − ξ) равенством (3.2.1).
В форме (A) рассматриваемая ситуация будет без всякой мистики
выглядеть так
x
−u (x) + u (0) + u dθ(s − ξ) = f0 θ(x − η).
0
Этому уравнению, опираясь на вариационные принципы физики, мы
дадим и точную математическую мотивацию.
Предположим, что струна (упругая нить), натянутая вдоль отрезка
[0, l], находится под воздействием внешней нагрузки, общая величина которой на отрезке от 0 до x определяется функцией F (x). На
участок [x, x + dx] действует сила dF (x), совершающая при сдвиге на
дистанцию u работу u dF . Рассмотрим случай, когда струна жестко
закреплена в точках x = 0, x = l, т. е. u(0) = u(l) = 0. Пусть локальная
упругость окружающей среды определяется коэффициентом dQ, так
что при смещении на дистанцию u(x) работа по преодолению этой силы
упругости окажется равной
u2
dQ. А в целом на [0, l] соответствующая
2
виртуальной (воображаемой) форме u(x) энергия определяется величиной
l
l
l
Φ(u) = p
u2
dx +
2
0
u2
dQ − u dF ,
2
0
0
где первое слагаемое со времен Бернулли–Эйлера означает внутреннюю энергию струны, накопленную в результате ее локального растяжения (если p(x) — натяжение струны в точке x, то на участке
[x, x + dx] удлинение струны равно
ds − dx = ( 1 + u 2 − 1) dx
u2
dx
2
с точностью до четвертого порядка малости и соответствующая работа
u2
dx.
равна p
2
Здесь естественно предположить, что p, Q, F — функции ограниченной вариации на отрезке [0, l], а функционал Φ определен на множестве E абсолютно непрерывных на отрезке [0, l] функций, производные
которых имеют на [0, l] ограниченную вариацию.
Согласно вариационным принципам физики, если u0 (x) соответствует реальной форме струны, то u0 (x) дает минимум функционалу
Φ(u) при условиях u(0) = u(l) = 0. Но тогда, очевидно, неравенство
Φ(u0 + h)
Φ(u0 )
5 Ю. В. Покорный, Ж. И. Бахтина, М. Б. Зверева, С. А. Шабров
130
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
для любой функции h ∈ E0 , где через E0 мы обозначили множество
функций из E , обращающихся в нуль в точках x = 0 и x = l, эквивалентно равенству
l
l
l
pu h dx + uh dQ − h dF = 0
0
0
0
для любой функции h. Преобразовав его к виду
l
l
l
pu dh − z dh + F dh = 0
0
0
0
x
(здесь мы положили z(x) =
u dQ) и воспользовавшись правом ин0
тегрирования по частям в рамках интеграла Римана–Стилтьеса, мы
получим
l
(pu − z + F ) dh = 0.
0
Далее нам потребуется доказать аналог леммы Дюбуа-Реймона.
Л е м м а 3.2.1. Пусть функция A(x) имеет ограниченную вариацию на отрезке [0, l] и для любой функции h ∈ E0 верно равенство
l
A dh = 0.
(3.2.3)
0
Тогда функция A(x) есть константа.
З а м е ч а н и е 3.2.1. Поскольку собственные значения A(ξ) в
l
точках разрыва ξ на интеграл
A dh никак не влияют, то равен0
ство A(x) = const = C понимается в том смысле, что если ξ — точка непрерывности функции A(x), то A(ξ) = C , если же ξ ∈ (0, l) —
точка разрыва A(x), то A(ξ − 0) = A(ξ + 0) = C ; если x = 0 — точка
разрыва A, то A(0 + 0) = C ; если x = l — точка разрыва A, то
A(l − 0) = C .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку h(0) = h(l) = 0, то из равенства
(3.2.3) вытекает, что для любой константы c справедливо равенство
l
(A(x) − c) dh = 0.
0
(3.2.4)
§ 3.3. Дифференциал Стилтьеса
131
Полагая в (3.2.4)
l
x
1
c=
A(s) ds,
l
h(x) =
0
получим, что
l
1
A(s) ds dt,
A(t) −
l
0
0
l
(A(x) − c)2 dx = 0,
0
откуда для почти всех x (по мере Лебега) следует равенство A(x) = c.
Покажем сначала, что A(ξ − 0) = A(ξ) = A(ξ + 0) = c во всякой
точке ξ непрерывности A(x). Предположим противное. Допустим, например, что A(ξ) > c. Но тогда найдется ε > 0, такое что A(x) > c
при всех x ∈ (ξ − ε, ξ + ε). Но мера интервала (ξ − ε, ξ + ε) равна ε
и отлична от нуля. Значит, A(ξ) = c.
Покажем теперь, что во всякой точке ξ ∈ (0, l) — точке разрыва
A(x) — верно равенство A(ξ − 0) = A(ξ + 0) = c. Так как функция
A(x) имеет ограниченную вариацию на [0, l], то множество ее точек
разрыва не более чем счетно, причем все эти точки разрыва первого
рода. Значит, найдется последовательность точек {xn }, такая что xn
сходится к ξ слева при n → ∞ и во всех точках xn функция A(x) непрерывна. Но, как было показано выше, A(xn ) = c. Значит, A(ξ − 0) = c.
Аналогично, найдется последовательность точек {xn }, такая что при
n → ∞ xn → ξ + 0 и во всех точках xn функция A(x) непрерывна.
Следовательно, A(ξ + 0) = c. Получили, что A(ξ − 0) = A(ξ + 0) = c.
Аналогично, A(0 + 0) = A(l − 0) = c. Лемма доказана.
Из леммы следует, что реальная форма струны u0 (x) должна являться решением уравнения (A), т. е.
x
− (pu ) (x) + (pu ) (0) + u dQ = F (x) − F (0).
0
Описанным физическим генезисом уравнения (A) мы завершим актуализацию этого уравнения.
§ 3.3. Дифференциал Стилтьеса
Символ dg , где g — функция ограниченной вариации, весьма органично вплетается в понятие интеграла Стилтьеса. В то же время
в последние годы этот символ стал довольно часто встречаться в различных публикациях, особенно по тематике оптимального управления,
и как правило без каких-либо комментариев. Если же комментарии
есть, то они весьма туманны. Так, например, в проблематике импульсных управлений, в так называемых уравнениях в мерах, символ dg
5*
132
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
интерпретируется как «производная по мере», порождаемой функцией g
по обычной схеме Лебега–Стилтьеса. Какой смысл вкладывается в понятие «производная по мере» читателю остается лишь догадываться.
Ясно лишь, что это не обычная производная Радона–Никодима. Таким
образом, назрела необходимость дать точное определение символу.
Обращаясь к коренному смыслу дифференциала в понятии интеграла, назовем дифференциалом Стилтьеса от функции g(x) из BV [0, l],
обозначая через dg , функционал из C ∗ [0, l], определяемый равенством
l
(dg , ϕ) = ϕ dg
(ϕ ∈ C[0, l]).
0
Резонность использования символа dg для обозначения этого функционала будет видна из последующих свойств.
Однородность и аддитивность такого дифференциала очевидны.
Норма dg в C ∗ [0, l] не превосходит вариации V0l (g(x)). Напрямую
β
dg = g(β) − g(α).
из определения интеграла Стилтьеса следует, что
α
Если g( · ) ∈ C 1 [0, l], то, очевидно,
dg = g dx =
dg
(x) dx.
dx
Т е о р е м а 3.3.1. Дифференциал Стилтьеса dg является нулевым функционалом в C ∗ [0, l], что мы обозначаем через dg = 0, тогда
и только тогда, когда g(x) = const.
З а м е ч а н и е. Поскольку собственные значения g(ξ) во внутренl
них точках разрыва ξ ∈ (0, l) на интеграл
ϕ dg никак не влияют, то
0
равенство g(x) = const понимается в том смысле, что если ξ — точка
непрерывности функции g(x), то g(ξ) = const = C , если же ξ — точка
разрыва функции g(x), то C = g(ξ + 0) = g(ξ − 0).
l
ϕ dg = 0 для любых ϕ ∈
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала
0
∈ C[0, l]. Покажем, что g(x) = const в указанном выше смысле. Заметим сначала, что g(0) = g(l). В самом деле, при ϕ ≡ 1 имеем
l
ϕ dg = g(l) − g(0) = 0.
0
133
§ 3.3. Дифференциал Стилтьеса
Пусть ξ ∈ (0, l) — точка непрерывности g(x). Покажем, что g(ξ) = g(0).
Рассмотрим последовательность непрерывных функций
⎧
⎪
1,
0 x ξ,
⎪
⎨
ξ−x
ϕn (x) =
+ 1, ξ < x < ξ + τn ,
τn
⎪
⎪
⎩
0,
ξ + τn x l ,
где последовательность ξ + τn при n → ∞ сходится к точке ξ справа,
причем во всех точках ξ + τn функция g(x) непрерывна. Тогда
l
ξ
ξ+τn
0
ξ+τn
ϕn dg + 0 = g(ξ) − g(0) +
ϕn dg = ϕn dg +
ξ
0
ϕn dg = 0.
ξ
Далее, заметим, что
ξ+τn
ϕn dg
ϕn Vξξ+τn (g)
1 · Vξξ+τn (g).
ξ
Так как Vξξ+τn (g) → 0 при n → ∞, то, устремив в предыдущем равенстве n к бесконечности, получим, что g(ξ) = g(0). Таким образом, во
всех точках ξ ∈ (0, l) непрерывности g(x) верно g(ξ) = g(0) = g(l).
Покажем теперь, что случай, когда ξ ∈ (0, l) — точка разрыва g(x)
и g(ξ − 0) = g(ξ + 0), невозможен. Так как g(x) ∈ BV [0, l], то множество точек разрыва функции g(x) не более чем счетно, причем все
эти точки разрыва первого рода. Значит, найдется последовательность
точек {xn }, такая что xn сходится к ξ слева при n → ∞ и во всех
точках xn функция g(x) непрерывна. Но, как было показано выше,
g(xn ) = g(0). Значит, g(ξ − 0) = g(0). Аналогично, найдется последовательность точек {xn }, такая что при n → ∞ xn → ξ + 0 и во всех
точках xn функция g(x) непрерывна. Следовательно, g(ξ + 0) = g(0).
Получили, что g(ξ − 0) = g(ξ + 0) = g(0). Таким образом, g(x) = g(0).
Аналогично можно показать, что g(0 + 0) = g(0), g(l − 0) = g(l) =
= g(0). В другую сторону доказательство очевидно.
Теорема о преобразовании меры придает смысл формальному умножению непрерывной функции u(x) на дифференциал dg .
П р е д л о ж е н и е 3.3.1. Если u(x) ∈ C[0, l] и g( · ) ∈ BV [0, l], то
существует функция h(x) из BV [0, l], такая что dh = u(x) dg , т. е.
u(x) dg — тот же объект, что и dg .
Отсюда следует весьма полезное формальное соотношение
x
d ϕ dg = ϕ dg.
0
134
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Сказанное дает точное объяснение тому, что исходное интегродифференциальное уравнение (Aλ ) адекватно равенству, общему по
форме,
−d(pu ) + u dQ = λu dM ,
а в неоднородной версии равенству
−d(pu ) + u dQ = dF.
Далее будем иногда (для краткости) полагать
Du ≡ −d(pu ) + u dQ.
Любопытное замечание. Функционал l(u) = u(ξ), где ξ ∈ (0, l), в теории
обобщенных функций интерпретируется с дельта-функцией Дирака
δ(x − ξ). Так как
l
u(ξ) = u(x) dΘ(x),
0
где Θ(x) — функция Хевисайда, т. е. Θ(x) = 0 при x < 0 и Θ(x) = 1
при x > 0, то для нас этот функционал совпадает с dΘ, т. е. δ(x) =
= dΘ(x). При этом мы имеем возможность говорить и о δ -функции
с носителем в одном из концов отрезка. Для δ(x − l) соответствующая
функция, порождающая функционал, имеет вид: Θ(x − l) = 0 при x < l
и Θ(x − l) = 1 при x = l.
Дифференциальные неравенства. Мы будем писать dg 0 и называть дифференциал dg положительным, если соответствующий функl
ционал неотрицателен, т. е. (dg , ϕ) = ϕ dg
0 для любой неотрица-
0
тельной непрерывной на [0, l] функции ϕ(x).
П р е д л о ж е н и е 3.3.2. Для положительности дифференциала dg необходимо и достаточно, чтобы функция g(x) не убывала
на [0, l].
0 т. е. для любой неот-
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала dg
l
рицательной функции ϕ ∈ C[0, l] справедливо ϕ dg
0
0. Покажем, что
в таком случае g(x) не убывает на [0, l]. Пусть точки x1 < x2 из (0, l) —
точки непрерывности функции g(x). Покажем, что g(x1 ) g(x2 ). Рассмотрим последовательность непрерывных неотрицательных на [0, l]
135
§ 3.3. Дифференциал Стилтьеса
⎧
⎪
0,
⎪
⎪
⎪
x − x1
⎪
⎪
1+
,
⎪
⎪
ξn
⎨
ϕn (x) = 1,
⎪
⎪
x −x
⎪
⎪
1+ 2
,
⎪
⎪
τn
⎪
⎪
⎩0,
функций
0
x
x1 − ξ n ,
x1 − ξn < x < x1 ,
x1
x
x2 ,
x2 < x < x2 + τn ,
x2 + τ n
x
l,
где x1 − ξn сходится к x1 слева, а x2 + τn сходится к x2 слева при n →
→ ∞, причем во всех точках x1 − ξn , x2 + τn функция g(x) непрерывна.
Тогда
x2 +τn
x1
l
ϕn dg + g(x2 ) − g(x1 ) +
ϕn dg =
0
Поскольку
ϕn dg
x1 −ξn
0.
x2
x1
ϕn dg
Vxx11−ξn (g),
ϕn dg
Vxx22 +τn (g),
x1 −ξn
x2 +τn
x2
x2 +τn
x1
то при n → ∞ получаем, что
ϕn dg → 0 и
x1 −ξn
ϕn dg → 0. Устреx2
мив в предыдущем неравенстве n → ∞, получим g(x1 ) g(x2 ).
Пусть теперь ξ ∈ (0, l) — точка разрыва g(x). Покажем, что
g(ξ − 0) g(ξ + 0). Пусть {tn } и {τn } — последовательности точек,
такие что при n → ∞ tn сходится к ξ слева, а τn сходится к ξ
справа, причем функция g(x) непрерывна в точках tn и τn . Тогда,
поскольку tn τn , то по доказанному выше g(tn ) g(τn ), и значит,
g(ξ − 0) g(ξ + 0). Все остальные случаи могут быть рассмотрены аналогично. Поскольку собственные значения функции g в точках разрыва
на интеграл не влияют, то доказательство необходимости завершено.
В другую сторону доказательство очевидно.
Это утверждение будет для нас важно при анализе решений, например, дифференциального неравенства вида Du 0, т. е. −d(pu ) +
+ u dQ 0, которое равносильно для нас тому, что функция
x
z(x) = −(pu )(x) + u dQ
0
136
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
не убывает на [0, l]. Аналогичное поточечное описание можно дать и
символьному неравенству v0 (x)Du 0.
Иногда нам будет удобно обозначение
x
(Lu)(x) = −(pu )(x) + (pu )(0) + u dQ,
0
которое связано с Du формальным равенством Du = d(Lu).
§ 3.4. Задача Коши. Теорема существования
Мы начинаем более тщательный анализ основного уравнения
(A), т. е.
x
− (pu ) (x) + (pu ) (0) + u dQ = F (x) − F (0).
0
Всюду далее предполагается, что функции p(x), Q(x) и F (x) имеют
ограниченные вариации (т. е. лежат в BV [0, l]) и inf p > 0. Интеграль[0,l]
ное слагаемое слева в (A) по теореме о преобразовании меры должно
лежать в BV [0, l]. Но тогда BV [0, l] должна принадлежать и функция
(pu )(x) вместе с u (x).
3.4.1. Пространство допустимых решений. Обозначим через E
множество абсолютно непрерывных на [0, l] функций с производными
из BV [0, l]. Решения уравнения (A) мы будем искать в классе E .
Введем на E норму
u = sup |u(x)| + V0l (u (x)).
(3.4.1)
[0,l]
Т е о р е м а 3.4.1. Пространство E полно по норме (3.4.1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {un (x)} — фундаментальная по норме (3.4.1) последовательность. Тогда она фундаментальна и в C[0, l],
следовательно, равномерно сходится к некоторой функции u∗ (x) ∈
∈ C[0, l]. Покажем, что u∗ ( · ) ∈ E .
Рассмотрим последовательность zn (x) = un (x). Из ограниченности
{un } в E следует, что для некоторого фиксированного конечного числа C справедливо
V0l (zn ) C.
(3.4.2)
Так как для любой функции z( · ) из BV [0, l] и любых α, β ∈ [0, l] всегда
|z(β) − z(α)| Vαβ (z), то
|un (x)|
|un (l)| + V0l (un )
и согласно (3.4.2)
|un (x)|
|un (l)| + C
(0
x
l).
(3.4.3)
§ 3.4. Задача Коши. Теорема существования
137
С другой стороны,
l
l
un (l) = un (0) + un (s) dx = un (0) + un (l)l − x dun ,
0
0
откуда
l
lun (l) = xdun + un (l) − un (0).
0
Поэтому
lV0l (un ) + |un (l)| + |un (0)|.
l|un (l)|
Последние два слагаемых равномерно по n ограничены в силу фундаментальности {un } по метрике C[0, l], а первое — в силу (3.4.2).
Отсюда следует, что sup |un (l)| < ∞, что в сочетании с (3.4.3) означает
n
существование константы c2 , такой что |un | c2 . Тем самым последовательность zn (x) = un (x) равномерно ограничена, что в сочетании
с (3.4.2) означает выполнение условий второй теоремы Хелли, в силу которой {zn } оказывается компактной в смысле слабой топологии
(поточечной сходимости). Поэтому существует подпоследовательность
{znk }, сходящаяся к некоторой функции z ∗ (x). Тогда по первой теореме
Хелли z ∗ (x) ∈ BV [0, l].
Сходимость всей последовательности {zn } к z ∗ следует теперь из
ее фундаментальности по полуметрике ρ(z , z ∗ ) = V0l (z − z ∗ ), что обеспечивает поточечную сходимость zn к z ∗ . Поэтому u∗ = z ∗ . Окончательный вывод о сходимости un (x) к u∗ (x) по норме (3.4.1) следует из
равенства
x
un (x) = un (0) + un (s) ds.
0
З а м е ч а н и е 3.4.1. Введенное нами банахово пространство E
содержится (в теоретико-множественном плане) в соболевском
пространстве W11 [0, l].
З а м е ч а н и е 3.4.2. В пространстве E следующие нормы, очевидно, эквивалентны:
u
u
E
u
1
2
= max |u| + V0l [u ],
[0,l]
= max |u| + V0l [pu ],
[0,l]
= max{max |u|, V0l [u ]}.
[0,l]
138
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
3.4.2. Смысл уравнения (A) в особых точках. Если ξ — одна из
точек разрыва либо p, либо Q, либо F , то неизбежны скачки в этой
точке у производной u (x) и у интегрального слагаемого, как функции
верхнего предела.
Т е о р е м а 3.4.2. Для любой функции g ∈ E имеет место (если
ξ < l)
g(ξ + ε) − g(ξ)
lim g (x) = lim
.
x→ξ+0
ε
ε→+0
Аналогично слева вблизи любой точки ξ > 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ξ < l. Покажем вначале, что в точке ξ существует правая производная g+ (ξ). Так как g ∈ E , то производная g (x) ∈ BV [0, l] и существует конечный предел
lim g (t) = g (ξ + 0).
t→ξ+0
Покажем, что
lim
ε→0+0
g(ξ + ε) − g(ξ)
= g (ξ + 0).
ε
В силу абсолютной непрерывности g(x) справедливо равенство
ξ+ε
g(ξ + ε) = g(ξ) +
g (t) dt.
ξ
Таким образом,
ξ+ε
1
1
(g(ξ + ε) − g(ξ)) − g (ξ + 0) =
ε
ε
g (t) dt − g (ξ + 0) =
ξ
ξ+ε
1
=
ε
ξ+ε
(g (t) − g (ξ + 0)) dt
ξ
1
ε
|g (t) − g (ξ + 0)| dt,
ξ
что и требовалось доказать. Для левых производных рассуждения
аналогичны.
Таким образом, если через SA обозначить множество проблемных
точек, где одна из функций p, Q, F может иметь скачок, то в любой из
таких точек уравнение (A) имеет смысл при x = ξ − 0 и при x = ξ + 0.
Причем верно равенство
−p(ξ + 0)u (ξ + 0) + p(ξ − 0)u (ξ − 0) + u(ξ)ΔQ(ξ) = ΔF (ξ).
Придание x собственного значения x = ξ лишает смысла уравнение (A).
§ 3.4. Задача Коши. Теорема существования
139
3.4.3. Раздвинутая область определения уравнения (A). Обозначим через SA множество всех точек, где p(x), Q(x), F (x) имеют
ненулевые простые скачки, т. е. имеют несовпадающие левые и правые
пределы. На концах [0, l] мы все эти функции предполагаем непрерывными. Выбросив SA из [0, l], заменим каждую точку ξ ∈ SA парой
символов {ξ − 0, ξ + 0}. Будем считать, что ξ − 0 > x для всех x < ξ
и ξ + 0 < x для всех x > ξ . Множество, полученное из [0, l] заменой
точек ξ ∈ SA на соответствующие пары {ξ − 0, ξ + 0}, обозначим через [0, l](A) .
Множеству [0, l](A) , как одномерному метрическому пространству,
можно дать следующее формальное определение.
Взяв жорданово представление исходных коэффициентов уравнения (A) в виде p(x) = p+ (x) − p− (x), Q(x) = Q+ (x) − Q− (x) и F (x) =
= F + (x) − F − (x), обозначим через σ сумму неубывающих функций
σ = x + p+ (x) + p− (x) + Q+ (x) + Q− (x) + F + (x) + F − (x).
Не ограничивая общности, можно предполагать, что функция σ(x)
имеет разрывы (полные скачки) только в точках [0, l](A) .
Введем на множестве [0, l] \ SA метрику ρ(x, y) = |σ(x) − σ(y)|. Это
метрическое пространство, очевидно, неполно. Его стандартное метрическое пополнение совпадает с [0, l](A) , индуцируя в нем топологию.
Очевидна компактность этого пространства.
Мы рассматриваем уравнение (A) на множестве значений x из
[0, l](A) , не допуская тем самым в (A) значений x из SA . На [0, l](A)
функции p( · ), Q( · ), F ( · ) становятся непрерывными, поскольку их значения p(ξ + 0), p(ξ − 0), Q(ξ + 0), Q(ξ − 0), F (ξ + 0), F (ξ − 0), бывшие
в [0, l] предельными, теперь оказываются собственными значениями
в соответствующих точках из [0, l](A) .
Непрерывность рассматриваемых функций u( · ) позволяет сохранять обычный смысл Римана–Стилтьеса для интегрального слагаемого
при x = ξ − 0 и x = ξ + 0, если взять в качестве собственных значений
значения, бывшие ранее предельными.
Таким образом, мы рассматриваем уравнение (A) как двухслойное:
нижний уровень для значений x ∈ [0, l], когда речь идет о самих
решениях u(x), и второй уровень для значений x в тождестве (A), где x
берется из [0, l](A) . Это скажется уже на постановке задачи Коши. Когда при x ∈ SA она ставится обычно, т. е. считаются наперед заданными
значения решения u(ξ) и его производной u (ξ), а при ξ ∈ SA наряду
со значением u(ξ) может быть заранее задана одна из односторонних
производных u (ξ − 0), u (ξ + 0). Если значения самой функции u(x)
в силу ее непрерывности идентифицировать в точках ξ − 0, ξ + 0 как
элементах из расширенной области определения [0, l](A) , то в точках ξ
из [0, l](A) ставится лишь по одной задаче Коши.
140
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
3.4.4. Аналог теоремы Коши–Пеано. Справедлива следующая
теорема.
Т е о р е м а 3.4.3 (К–П). Для любых u0 , v0 ∈ R и для любой точки
x0 ∈ [0, l](A) существует единственное решение u(x) уравнения (A),
такое что
u(x0 ) = u0 , u (x0 ) = v0 .
(3.4.4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом начальных условий уравнение (A)
можно переписать в виде
x
u(s) dQ(s) − F (x) + p(x0 )v0 + F (x0 ),
(pu ) (x) =
(3.4.5)
x0
после деления на p( · ) и интегрирования:
x
u(x) = z(x) +
t
1
p(t)
u(s) dQ(s) dt,
x0
x0
где положено
x
(p(x0 )v0 − F (t) + F (x0 ))
z(x) = u0 +
dt
.
p(t)
(3.4.6)
x0
Последняя задача эквивалентна вопросу о разрешимости уравнения
u = Au + z
с оператором
x
(Au)(x) =
x0
1
p(t)
(3.4.7)
t
u(s) dQ(s) dt.
(3.4.8)
x0
Оператор A действует из пространства C[0, l] непрерывных на отрезке [0, l] функций опять в C[0, l]. Функция z(x) согласно (3.4.6)
лежит в C[0, l].
Покажем, что оператор I − A имеет обратный. Для этого достаточно показать, что спектральный радиус ρ(A) оператора A меньше 1.
Тогда необходимый для ответа на наш вопрос резольвентный оператор
(I − A)−1 может быть представлен в виде ряда Неймана:
(I − A)−1 = I + A + A2 + . . . ,
который вследствие неравенства ρ(A) < 1 будет сходиться по операторной норме.
141
§ 3.4. Задача Коши. Теорема существования
Покажем, что в нашей ситуации для спектрального радиуса ρ(A)
оператора A имеет место более сильный факт, а именно
ρ(A) = 0.
Мы будем опираться на формулу [46, 47]
ρ(A) = lim
n
An ,
n→∞
где An означает n-ю итерацию оператора A, т. е. An = A(A(. . . (A))).
Покажем, что
1
n
An
C√
(3.4.9)
n
n!
с некоторой константой C . Покажем для этого, что для любого натурального n и произвольной ϕ(x) из C[0, l] справедливо неравенство
|(An (ϕ))(x)|
где C =
Cn ϕ
|x − x0 |n
,
n!
(3.4.10)
V01 (Q)
, c0 = min p(x). В (3.4.10) ϕ — норма ϕ в C[0, l], т. е.
c0
[0,l](A)
ϕ = max |ϕ(x)|.
[0,l]
Доказательство (3.4.10) проведем по индукции. При n = 1 имеем
x
1
p(t)
|(A(ϕ))(x)|
x0
t
dQ(s) dt ϕ
x0
1
c0
x
|Q(t) − Q(x0 )| dt ϕ
C|x − x0 | ϕ ,
x0
что и означает требуемое при n = 1.
Предположим, что неравенство (3.4.10) верно при n = k. Покажем
его справедливость при n = k + 1. Последовательно имеем
x
|(A
k+1
ϕ)(x)|
x0
ϕ
c0
x
x0
t
x0
1
p(t)
t
(Ak ϕ)(s) dQ(s) dt
x0
|s − x0 |k k
C dQ(s) dt
k!
ϕ Ck l
V (Q)
c0 k! 0
=
x
|t − x0 |k dt =
x0
C k+1
ϕ |x − x0 |k+1 .
(k + 1)!
Из неравенства (3.4.10) легко следует теперь и оценка (3.4.9).
142
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Принадлежность функции u(x) пространству E , связанная с включением производной u ( · ) в пространство BV [0, l], непосредственно
следует из (3.4.5).
Теорема полностью доказана.
3.4.5. Непрерывная зависимость решения от параметров.
Справедлива следующая теорема.
Т е о р е м а 3.4.4. В условиях теоремы (К–П) решение задачи (A),
(3.4.4) непрерывно зависит от начальных данных u0 , v0 и от вариаций p( · ), Q( · ), F ( · ) на [0, l].
Доказательство напрямую следует из возможности представления
решения в виде
∞
u = (I − A)−1 z
Ak z
=
k=0
и из явных представлений (3.4.6) для z(x) и (3.4.8) для A.
3.4.6. Структура многообразия решений. В дальнейшем многие
соображения будут иметь линейно-алгебраический характер, широко
используемый в стандартных вопросах ОДУ. Чтобы сохранить соответствующую алгебраическую прозрачность, не топя ее в специфике
новых понятий, упростим обозначения, положив
x
x
(Lu)(x) = − [pu ]0 + u dQ.
(3.4.11)
0
Очевидна линейность (аддитивность и однородность) процедуры
(Lu)(x), действующей из E в BV [0, l]. Исходное уравнение (A) мы
можем записать теперь в виде
Lu(x) = F (x),
считая при этом (что не ограничивает общности) F (0) = 0.
Иногда вместо преобразования L мы будем использовать обозначение
Du ≡ −d(pu ) + u dQ.
Рассмотрим однородное уравнение
x
(Lu)(x) = 0 ⇐⇒ − (pu ) (x) + (pu ) (0) + u dQ = 0.
(3.4.12)
0
Отметим, что (3.4.12) эквивалентно уравнению Du = 0.
Ясно, что множество решений M этого уравнения есть линейное
подпространство в E .
143
§ 3.5. Однородное уравнение
Л е м м а 3.4.1. dim M = 2.
Обозначим через ϕ0 (x) решение (3.4.12) с начальными условиями
ϕ0 (0) = 1, ϕ0 (0) = 0,
а через ϕ1 (x) — аналогичное решение с начальными значениями
ϕ1 (0) = 0, ϕ1 (0) = 1.
Уже вид начальных условий обеспечивает линейную независимость
ϕ0 (x) и ϕ1 (x). Покажем, что ϕ0 (x) и ϕ1 (x) образуют базис в M.
Взяв произвольную функцию z(x) из M (т. е. решение однородного
уравнения), рассмотрим наряду с ней функцию
h(x) = z(0)ϕ0 (x) + z (0)ϕ1 (x).
Для нее, очевидно, h(0) = z(0) и h (0) = z (0). Но тогда h(x) и z(x)
удовлетворяют одним и тем же начальным условиям и по теореме
(К–П) должны совпадать. Поэтому h(x) ≡ z(x), т. е.
z(x) = z(0)ϕ0 (x) + z (0)ϕ1 (x).
Следуя традициям ОДУ, мы будем называть любой базис из M
фундаментальной системой решений однородного уравнения Lu = 0
(или Du = 0).
Следующая лемма очевидна.
Л е м м а 3.4.2. Если u1 (x) и u2 (x) — решения неоднородного
уравнения Lu = F , то разность (u1 − u2 )(x) удовлетворяет однородному уравнению Lu = 0.
Т е о р е м а 3.4.5. Пусть u(x), v(x) — какая-либо фундаментальная система решений однородного уравнения и z(x) — какое-либо
решение неоднородного уравнения. Тогда любое другое решение h(x)
неоднородного уравнения для некоторых α1 , α2 будет иметь вид
h(x) = α1 u(x) + α2 v(x) + z(x).
Доказательство легко следует из предыдущих лемм.
§ 3.5. Однородное уравнение
Рассмотрим однородное уравнение
x
−pu (x) + pu (0) + u dQ = 0,
0
(3.5.1)
144
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
которое мы для упрощения будем иногда записывать в виде Lu = 0.
Заметим, что если в точке ξ одна из функций p, Q разрывна, то
выполняется равенство
−pu (ξ + 0) + pu (ξ − 0) + u(ξ)ΔQ(ξ) = 0.
(3.5.2)
3.5.1. Вронскиан. Для пары функций ϕ1 , ϕ2 из E рассмотрим
определяемый на [0, l](A) определитель Вронского
W [ϕ1 , ϕ2 ](x) =
ϕ1 (x) ϕ2 (x)
.
ϕ1 (x) ϕ2 (x)
Если из контекста ясно, о какой паре функций ϕ1 , ϕ2 идет речь, мы
будем писать W (x) вместо W [ϕ1 , ϕ2 ](x).
Подчеркнем, что данная ситуация отличается от классической тем,
что значения W (x) при x = ξ − 0 и x = ξ + 0 могут быть различными.
В особых точках мы различаем W (ξ − 0) и W (ξ + 0), поскольку
собственного значения в точке x = ξ у производных ϕ1 (x), ϕ2 (x) может
не быть (в отличие от левых и правых производных).
Л е м м а 3.5.1. Для любых двух решений ϕ1 , ϕ2 однородного уравнения Lu = 0 следующие свойства эквивалентны:
а) определитель W [ϕ1 , ϕ2 ](x) не равен нулю в каждой точке из
[0, l](A) ;
б) определитель W (x) не равен нулю хотя бы в одной точке из
[0, l](A) ;
в) функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x) линейно независимы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем цепочку импликаций (а) ⇒ (б) ⇒
⇒ (в) ⇒ (а).
Следствие (а) ⇒ (б) очевидно.
Пусть верно свойство (б), и x∗ — точка из [0, l](A) , для которой
W (x∗ ) = 0. Если бы функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x) были линейно зависимыми, то для некоторых чисел α1 и α2 (α12 + α22 > 0) было бы
α1 ϕ1 (x) + α2 ϕ2 (x) ≡ 0, т. е. при каждом x ∈ [0, l](A) обе строки детерминанта, определяющего W (x), были бы линейно зависимы, что
должно значить W (x) = 0 для всех x из [0, l](A) . Но по условию функция W (x∗ ) в точке x∗ отлична от нуля, и мы приходим к противоречию.
Пусть верно свойство (в). Если W (x∗ ) = 0 при некотором x∗ , принадлежащем множеству [0, l](A) , то ϕ1 (x∗ )ϕ2 (x∗ ) − ϕ2 (x∗ )ϕ1 (x∗ ) = 0.
Рассмотрим функции
v(x) = ϕ1 (x)ϕ2 (x∗ ) − ϕ2 (x)ϕ1 (x∗ ),
u(x) = ϕ1 (x)ϕ2 (x∗ ) − ϕ2 (x)ϕ1 (x∗ ).
§ 3.5. Однородное уравнение
145
Обе они удовлетворяют однородному уравнению (3.5.1) и нулевым
начальным условиям в точке x = x∗ :
v(x∗ ) = v (x∗ ) = 0,
u(x∗ ) = u (x∗ ) = 0.
Поэтому обе они должны равняться нулю, т. е. v(x) ≡ 0 и u(x) ≡ 0,
откуда следует, что ϕi (x∗ ) = 0 и ϕi (x∗ ) = 0 (i = 1, 2). В силу теоремы
(К–П) ϕi (x) ≡ 0 (i = 1, 2), что противоречит линейной независимости
ϕ1 (x) и ϕ2 (x). Лемма доказана.
Мы будем называть функцию pW (x) непрерывной на [0, l], если
ее левые и правые пределы совпадают, доопределяя в таких точках
функцию pW (x) общим значением этих пределов.
Л е м м а 3.5.2. Для любых двух решений ϕ1 , ϕ2 однородного уравнения Lu = 0 p(x)W [ϕ1 , ϕ2 ](x) есть непрерывная на [0, l] функция.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x = s − 0, где s — точка из SA .
Докажем, что
p(s + 0)W (s + 0) = p(s − 0)W (s − 0).
В силу равенств
p(s + 0)ϕi (s + 0) − p(s − 0)ϕi (s − 0) = ϕi (s)ΔQ(s)
имеем
p(s + 0)W (s + 0) − p(s − 0)W (s − 0) =
= p(s + 0) (ϕ1 (s + 0)ϕ2 (s + 0) − ϕ2 (s + 0)ϕ1 (s + 0)) −
− p(s − 0) (ϕ1 (s − 0)ϕ2 (s − 0) − ϕ2 (s − 0)ϕ1 (s − 0)) =
= −ϕ1 (s + 0)ϕ2 (s + 0)ΔQ(s) + ϕ1 (s + 0)ϕ2 (s + 0)ΔQ(s) = 0.
Случай x = s + 0 рассматривается аналогично.
Если в точке x функции p, Q непрерывны, то ϕ1 (x), ϕ2 (x) также
непрерывны в этой точке (это следует из уравнения (3.5.1) с учетом
того, что p > 0), а значит, и функция pW непрерывна в точке x. Лемма
доказана.
Т е о р е м а 3.5.1. Для любой пары решений ϕ1 , ϕ2 однородного
уравнения Lu = 0
p(x)W (x) ≡ const (x ∈ [0, l](A) ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доопределим функцию pW (x) по непрерывности на отрезок [0, l]. Докажем сначала, что правая производная (pW ) (x + 0) ≡ 0. Для произвольной h(x) введем обозначе-
146
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
ние Δε h(x) = h(x + ε) − h(x) при ε > 0. Тогда, поскольку Lϕ1 = 0
и Lϕ2 = 0, из этих равенств следует
Δε (pW )(x)
Δ ϕ (x)
= ε 1
ε
ε
x+ε
ϕ2 dQ +
p(0)ϕ2 (0)Δε ϕ1 (x)
−
ε
0
Δ ϕ (x)
− ε 2
ε
x+ε
ϕ1 dQ −
p(0)ϕ1 (0)Δε ϕ2 (x)
+
ε
0
+
1
ϕ1 (x)
ε
x+ε
x+ε
ϕ2 dQ − ϕ2 (x)
x+0
ϕ1 dQ .
x+0
Устремим ε к нулю и покажем, что
1
ϕ1 (x)
lim
ε↓0 ε
x+ε
x+ε
ϕ2 dQ − ϕ2 (x)
x+0
ϕ1 dQ = 0.
(3.5.3)
x+0
Обозначая переменную интегрирования по dQ через s, имеем
1
ε
x+ε
ϕ1 (x)ϕ2 (s) − ϕ2 (x)ϕ1 (s) dQ(s)
x+0
max |ϕ1 (x)ϕ2 (s) − ϕ2 (x)ϕ1 (s)|
x s x+ε
ε
x+ε
Vx+
0 (Q).
Заметим, что
|ϕ1 (x)ϕ2 (s) − ϕ2 (x)ϕ1 (s)|
ϕ1 · |ϕ2 (s) − ϕ2 (x)| + ϕ2 · |ϕ1 (x) − ϕ1 (s)|
x
ϕ1 ·
x
|ϕ2 (τ )|dτ + ϕ2 ·
s
|ϕ1 (τ )|dτ .
s
Из ограниченности вариаций функций ϕi (τ ) (i = 1, 2) следует, что
найдутся такие константы c1 , c2 , что |ϕ2 (τ )| c1 и |ϕ1 (τ )| c2 . Тогда
|ϕ1 (x)ϕ2 (s) − ϕ2 (x)ϕ1 (s)|
ϕ1 c1 ε + ϕ2 c2 ε,
и значит,
max |ϕ1 (x)ϕ2 (s) − ϕ2 (x)ϕ1 (s)|
x s x+ε
ε
ϕ 1 c1 + ϕ 2 c2 .
147
§ 3.5. Однородное уравнение
x+ε
С учетом того что Vx+
0 (Q) → 0 при ε → +0, отсюда следует требуемое
равенство (3.5.3).
Таким образом, мы получили, что
x+0
ϕ2 dQ + p(0)ϕ2 (0)ϕ1 (x + 0) −
(pW ) (x + 0) = ϕ1 (x + 0)
0
x+0
ϕ1 dQ − p(0)ϕ1 (0)ϕ2 (x + 0). (3.5.4)
− ϕ2 (x + 0)
0
Поскольку ϕ1 (x), ϕ2 (x) являются решениями однородного уравнения
(3.5.1), то
x+0
p(x + 0)ϕ1 (x + 0) − p(0)ϕ1 (0) =
ϕ1 dQ,
0
x+0
p(x + 0)ϕ2 (x + 0) − p(0)ϕ2 (0) =
ϕ2 dQ.
0
Подставив эти выражения в (3.5.4), получим (pW ) (x + 0) ≡ 0.
Аналогично доказывается, что левая производная (pW ) (x − 0) ≡ 0.
Значит, (pW ) (x) ≡ 0, т. е. pW ≡ const. Теорема доказана.
3.5.2. Распределение нулей. Рассмотрим однородное уравнение
Lu = 0, т. е.
x
−(pu )(x) + (pu )(0) + u dQ = 0.
0
П р е д л о ж е н и е 3.5.1. Всякое нетривиальное решение уравнения Lu = 0 может иметь на отрезке [0, l] лишь конечное число
нулей.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть {ξn }∞
n=1 —
множество нулей нетривиального решения u(x) уравнения (3.5.1), т. е.
для всех номеров n выполняется равенство u(ξn ) = 0. Без ограничения
общности мы можем считать, что последовательность ξn сходится
к некоторой точке ξ ∗ ∈ [0, l], причем ξn > ξ ∗ (ξn < ξ ∗ ). Рассмотрим
случай, когда ξn > ξ ∗ для всех n. Из непрерывности функции u(x) следует, что u(ξ ∗ ) = 0. Тогда правая производная u (ξ ∗ + 0), определяемая
равенством
u(ξn ) − u(ξ ∗ )
u (ξ ∗ + 0) = lim
,
n−→∞
ξn − ξ0
оказывается нулевой, и следовательно, u(x) ≡ 0, чего не может быть.
148
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Следующая теорема является аналогом теоремы Штурма о перемежаемости нулей разных решений одного уравнения.
Т е о р е м а 3.5.2. Пусть ϕ1 (x) и ϕ2 (x) — линейно независимые
решения однородного уравнения (3.5.1). Тогда между двумя соседними нулями ϕ1 (x) находится по крайней мере один нуль решения
ϕ2 (x), и наоборот.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ξ1 < ξ2 — соседние нули решения
ϕ1 (x). Покажем, что между ними найдется нуль функции ϕ2 (x). Будем
считать, что для всех x ∈ (ξ1 , ξ2 ) функция ϕ1 (x) > 0. Предположим,
ϕ (x)
что ϕ2 (x) > 0 для всех x ∈ [ξ1 , ξ2 ]. Рассмотрим функцию g(x) = 1 .
ϕ2 (x)
Заметим, что
g (x) =
W [ϕ1 , ϕ2 ](x)
.
ϕ2 (x)
Значит, в силу теоремы 3.5.1 производная g (x) сохраняет знак, что
противоречит равенствам g(ξ1 ) = g(ξ2 ) = 0.
Таким образом, функция ϕ2 (x) имеет по крайней мере один нуль
на отрезке [ξ1 , ξ2 ].
Отметим, что ϕ2 (ξi ) = 0 (i = 1, 2). В предположении противного получим, что определитель Вронского для функций ϕ1 (x), ϕ2 (x)
обращается в нуль в точке ξi , что влечет противоречие с линейной
независимостью функций ϕ1 (x) и ϕ2 (x). Теорема доказана.
Следующая теорема является аналогом теоремы сравнения Штурма.
Рассмотрим два уравнения:
x
pu (x) = u dQ1 + pu (0),
(3.5.5)
0
x
pv (x) = v dQ2 + pv (0).
(3.5.6)
0
Т е о р е м а 3.5.3. Пусть функция Q1 − Q2 не убывает (и отлична
от константы) на [0, l] и ξ1 < ξ2 — соседние нули нетривиального
решения u(x) уравнения (3.5.5). Тогда между ними найдется нуль
неколлинеарного u(x) решения v(x) уравнения (3.5.6).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x) > 0 для всех x ∈ (ξ1 , ξ2 ). Предположим, что v(x) > 0 при всех x ∈ [ξ1 , ξ2 ]. Рассмотрим случай, когда
в точке ξ1 все функции p, Q1 , Q2 являются непрерывными, а в точке ξ2
одна из функций p, Q1 , Q2 терпит разрыв (все остальные случаи
149
§ 3.5. Однородное уравнение
рассматриваются аналогично). Так как
x
pu (x) − pu (0) = u dQ1 ,
0
то для любой непрерывной функции ϕ(x) имеем
ξ2 −0
ξ2 −0
ϕu dQ1 ,
ϕ dpu =
ξ1
ξ1
что при ϕ = v дает
ξ2 −0
ξ2 −0
v d(pu ) =
Аналогично,
uv dQ1 .
ξ1
ξ1
ξ2 −0
ξ2 −0
u d(pv ) =
ξ1
uv dQ2 .
ξ1
Вычитая из первого равенства второе и преобразуя интегралы
ξ2 −0
ξ2 −0
u d(pv ),
ξ1
v d(pu ) интегрированием по частям, получим
ξ1
ξ2 −0
v(ξ2 )p(ξ2 − 0)u (ξ2 − 0) = v(ξ1 )p(ξ1 )u (ξ1 ) +
uv d(Q1 − Q2 ). (3.5.7)
ξ1
Заметим, что u (ξ1 ) > 0. Таким образом, правая часть равенства (3.5.7)
строго больше нуля. С другой стороны, u (ξ2 − 0) < 0. Противоречие
очевидно. Значит, v(x) наверняка имеет нуль на отрезке [ξ1 , ξ2 ].
Из равенства (3.5.7) также следует, что функция v(x) обязана иметь
нуль внутри интервала (ξ1 , ξ2 ). Теорема доказана.
3.5.3. Неосцилляция однородного уравнения. Дадим следующее
определение.
О п р е д е л е н и е 3.5.1. Будем называть однородное уравнение
Lu = 0 (т. е. (3.5.1)) неосциллирующим на отрезке [0, l], если всякое
нетривиальное решение (3.5.1) имеет на [0, l] не более одного нуля.
Т е о р е м а 3.5.4. Для неосцилляции на [0, l] уравнения (3.5.1)
достаточно, чтобы функция Q(x) монотонно не убывала на [0, l].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция Q(x) не убывает на [0, l].
Предположим, что найдется нетривиальное решение u(x) уравнения
(3.5.1), имеющее на [0, l] более одного нуля. Напомним, что множество
150
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
нулей u(x) = 0 должно быть конечным. Пусть ξ1 и ξ2 — два соседних
нуля u(x). Без ограничения общности можем считать, что u(x) > 0 при
x ∈ (ξ1 , ξ2 ). Рассмотрим случай, когда только точка ξ1 является особой
(остальные случаи рассматриваются аналогично).
Перепишем на [ξ1 + 0, ξ2 ] уравнение (3.5.1) в виде
x
pu (x) − p(ξ1 + 0)u (ξ1 + 0) =
u dQ.
(3.5.8)
ξ1 +0
Так как u (ξ1 + 0) > 0, то из равенства (3.5.8) следует, что u (ξ2 ) > 0.
С другой стороны, из равенства u(ξ2 ) = 0 и положительности u(x) вытекает, что u (ξ2 ) < 0. И мы приходим к противоречивому неравенству
x
0 > p(ξ2 )u (ξ2 ) = p(ξ1 + 0)u (ξ1 + 0) +
u dQ
p(ξ1 + 0)u (ξ1 + 0) > 0,
ξ1 +0
которое доказывает теорему.
В вариационном исчислении хорошо известно так называемое условие Якоби, определяемое с помощью понятия сопряженной точки.
Напомним, что для фиксированного однородного дифференциального
уравнения второго порядка на [a, b] точка ξ называется сопряженной
точке a, если существует нетривиальное решение с нулями в точках
x = a и x = ξ . Условие Якоби требует, чтобы на отрезке [a, b] не было
точек (отличных от a), сопряженных a.
Т е о р е м а 3.5.5. Следующие свойства эквивалентны:
а) однородное уравнение Lu = 0 не осциллирует на [0, l];
б) на [0, l] нет сопряженных x = 0 точек, отличных от x = 0;
аналогично, нет отличных от x = l точек, сопряженных
x = l;
в) существует неотрицательное на [0, l] решение однородного
уравнения Lu = 0, такое что u(0) > 0 (или u(l) > 0);
г) существует строго положительное на [0, l] решение однородного уравнения Lu = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем справедливость цепочки импликаций (а) ⇒ (б) ⇒ (в) ⇒ (г) ⇒ (а).
Нам потребуется следующая лемма.
Л е м м а 3.5.3. Любое нетривиальное и знакопостоянное на [0, l]
решение однородного уравнения Lu = 0 не имеет нулей на интервале (0, l).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x) — решение уравнения Lu = 0
и u(x) 0 на [0, l].
Пусть 0 < ξ < l — точка, в которой u(ξ) = 0. Это значит, что
в точке x = ξ функция u(x) имеет минимум, и поэтому производная
§ 3.5. Однородное уравнение
151
u (x) должна вместе с (pu ) (x) в этой точке менять знак. Если точка ξ не является особой, то (pu ) непрерывна в этой точке, и потому
(pu ) (ξ) = 0, т. е. u (ξ) = 0, что одновременно с равенством u(ξ) = 0
влечет тождество u(x) ≡ 0, чего не может быть.
Пусть теперь точка ξ особая, т. е. в ней нет производной. Точнее, это
значит, что u (ξ − 0) = u (ξ + 0), причем u (ξ − 0) 0 и u (ξ + 0) 0.
Тогда верны неравенства (pu ) (ξ − 0) 0 и (pu ) (ξ + 0) 0. С другой
стороны, прямо из самого уравнения Du = 0 следует (в силу u(ξ) = 0),
что
(pu )(ξ + 0) − (pu )(ξ − 0) = u(ξ)ΔQ(ξ) = 0,
и поэтому (pu )(ξ − 0) = (pu )(ξ + 0). Если оба этих члена ненулевые,
то в силу вышеизложенного они должны иметь противоположные знаки. Поэтому u (ξ − 0) = u (ξ + 0) = 0, и вместе с равенством u(ξ) = 0
мы имеем нулевую задачу Коши, откуда u(x) ≡ 0. Лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Импликация (а) ⇒ (б) тривиальна.
Пусть верно (б). Взяв решение u(x) с условиями u(l) = 0, u (l) =
= −1, мы видим, что в силу (б) оно не может иметь отличных от x = l
нулей в [0, l], а потому u(x) > 0 на [0, l). Значит, заключение (б) ⇒ (в)
истинно.
Пусть выполняется (в) и пусть u(x) — неотрицательное решение
с условием u(0) > 0. Из неравенства u(x)
0 в силу доказанной
выше леммы следует, что u(x) не может иметь нулей внутри [0, l],
т. е. u(x) > 0 на [0, l). Обозначая через v(x) аналогичное решение,
ненулевое на правом конце, и сложив u(x) + v(x), мы получим решение, строго положительное на всем [0, l], включая концы. Значит,
заключение (в) ⇒ (г) истинно.
Покажем истинность заключения (г) ⇒ (а). Предполагая (г) верным, обозначим через u(x) строго положительное на [0, l] решение.
Если бы какое-либо другое решение v(x) имело на [0, l] два нуля (что
означает предположение о неверности (а)), то между этими нулями по
теореме о перемежаемости нулей функция u(x) должна иметь хотя бы
один нуль, что невозможно. Теорема доказана.
Следующий результат для гладких p и Q соответствует классической теореме Валле-Пуссена [19].
Т е о р е м а 3.5.6. Для неосцилляции уравнения Lu = 0 необходимо и достаточно, чтобы для некоторой неубывающей функции
H(x) уравнение Du = u dH имело строго положительное решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость следует при dH = 0 из
предыдущей теоремы. Пусть ϕ ∈ E и Dϕ = ϕ dH при dH
0. Тогда
уравнение Du − u dH = 0, т. е. −d(pu ) + u dQ1 при Q1 ≡ Q − H , имея
строго положительное на [0, l] решение, наверняка не осциллирует
152
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
на [0, l]. А так как dQ dQ1 , то неосцилляция исходного уравнения
следует из теоремы сравнения Штурма 3.5.3. Теорема доказана.
Следующая теорема является аналогом теоремы Пойа–Мамманы
о представлении дифференциального оператора в виде суперпозиции
производных.
Т е о р е м а 3.5.7. Пусть однородное уравнение Lu = 0 имеет в E
решение ϕ(x) без нулей на отрезке [0, l]. Тогда справедливо представление
x
1
d(L0 u(s)),
ϕ(s)
Lu(x) ≡ −
0
где
(L0 u)(s) ≡ ϕ2 (s)p(s)
d
dx
u
(s).
ϕ
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим
h(x) = (L0 u)(x) = ϕ2 (x)p(x)
d
dx
u
(x).
ϕ
Дальнейшие рассуждения проведем для наглядности на на языке дифференциалов Стилтьеса. Так как h = ϕ(pu ) − u(pϕ ), то
dh = ϕ d(pu ) − u d(pϕ ).
Отсюда получаем
x
−
1
dh = −
ϕ(s)
0
x
1
ϕ d(pu ) +
ϕ
0
x
1
u d(pϕ ).
ϕ
0
Из равенства d(pϕ ) = ϕ dQ следует, что
x
−
1
dh = −pu (x) + pu (0) +
ϕ(s)
0
x
udQ,
0
что и требовалось доказать.
§ 3.6. Дифференциальные неравенства.
Критическая неосцилляция
Будем называть дифференциальным неравенством и записывать
в виде
Du = −d(pu ) + u dQ 0
(3.6.1)
любое уравнение
x
−(pu )(x) + (pu )(0) + u dQ = F (x),
0
§ 3.6. Дифференциальные неравенства. Критическая неосцилляция
153
где функция F (x) не убывает на отрезке [0, l] и непрерывна в точках
x = 0, x = l.
Будем называть однородное уравнение (3.5.1) (т. е. Lu = 0) критически неосциллирующим на отрезке [0, l], если оно не осциллирует
на любом отличном от [0, l] промежутке [a, b] ⊂ [0, l], не обладая этим
свойством на [0, l].
Это значит, что точка x = l является сопряженной точке x = 0,
но внутри (0, l) подобных точек нет. Другими словами, [0, l] является
промежутком критической неосцилляции, если однородное уравнение
Lu = 0 имеет нетривиальное строго положительное на (0, l) решение
с нулями на концах.
Т е о р е м а 3.6.1. Пусть однородное уравнение Lu = 0 критически не осциллирует на [0, l]. Тогда любое нетривиальное и неотрицательное на отрезке [0, l] решение u(x) дифференциального нера0 не имеет нулей на интервале (0, l). При этом
венства Du
u (0) = 0 (u (l) = 0), если u(0) = 0 (u(l) = 0).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное, т. е. что найдется
нетривиальное и неотрицательное решение u(x) неравенства Du 0,
имеющее хотя бы один нуль на интервале (0, l). Обозначим через Ω0
множество точек из интервала (0, l), в которых функция u(x) обращается в нуль. Множество Ω0 непусто, замкнуто относительно [0, l]
и не совпадает с (0, l). Тогда на интервале (0, l) найдется граничная
точка x0 множества Ω0 . В ней, очевидно, u(x0 ) = 0. Обозначим через
(ξ1 , ξ2 ) интервал, примыкающий к x0 и не лежащий в Ω0 . Пусть для
определенности x0 = ξ1 . Без ограничения общности можем считать,
что точка ξ2 не является особой, т. е. функции p, Q, F в точке ξ2
непрерывны.
Предположим сначала, что точка ξ1 также не является особой.
Заметим, что однородное уравнение Lu = 0 не осциллирует на отрезке
[ξ1 , ξ2 ] и, следовательно, имеет строго положительное на [ξ1 , ξ2 ] решение ϕ(x). Применим аналог теоремы Пойа–Мамманы. Тогда справедливо равенство
x
h(x) = h(ξ1 ) −
ϕ dF ,
ξ1
d
где h(x) = ϕ2 (x)p(x)
dx
u
(x). Заметим, что h(ξ1 ) = p(ξ1 )u (ξ1 )ϕ(ξ1 ).
ϕ
Однако ξ1 является точкой минимума функции u(x), и, следовательно,
d u
u (ξ1 ) = 0, а поэтому h(ξ1 ) = 0. Таким образом,
0, т. е. функdx ϕ
u
u
не возрастает на [ξ1 , ξ2 ], что с учетом равенства (ξ1 + 0) = 0
ϕ
ϕ
u
противоречит неравенству > 0 на [ξ1 , ξ2 ].
ϕ
ция
154
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Пусть теперь точка ξ1 является особой. Тогда справедливо равенство
−p(ξ1 + 0)u (ξ1 + 0) + p(ξ1 − 0)u (ξ1 − 0) = ΔF (ξ1 ).
Однако левая часть последнего равенства неположительна, а правая — неотрицательна. Это возможно лишь когда ΔF (ξ1 ) = 0 и
p(ξ1 + 0)u (ξ1 + 0) = p(ξ1 − 0)u (ξ1 − 0). Заметим, что u (ξ1 + 0) 0,
а u (ξ1 − 0) 0, откуда вытекает, что возможен лишь случай, когда
u (ξ1 + 0) = u (ξ1 − 0) = 0. Следовательно, скачки p, Q, F в точке ξ1 никакой роли не играют, и мы можем воспользоваться аналогом теоремы
Пойа–Мамманы. С учетом u (ξ1 + 0) = 0, аналогично рассмотренному
выше случаю, получим противоречие.
Пусть теперь u(0) = 0. Взяв точку ξ1 достаточно близко к 0, будем
иметь неосцилляцию (3.5.1) на [0, ξ1 ]. Из вышеизложенных рассуждений получим, что равенство u (0) = 0 невозможно. Аналогично, если
u(l) = 0, то u (l) = 0. Теорема доказана.
Т е о р е м а 3.6.2. Пусть уравнение (3.5.1) критически не осциллирует на [0, l]. Тогда любое нетривиальное решение неравенства
−d(pu ) + u dQ
0
u(0)
0
при условиях
0,
u(l)
(3.6.2)
превращает эти неравенства в равенства, т. е. удовлетворяет
⎧
задаче
x
⎪
⎪
⎨−(pu )(x) + (pu )(0) + u dQ = 0,
(3.6.3)
0
⎪
⎪
⎩u(0) = 0, u(l) = 0.
Это утверждение показывает, что обсуждаемый круг вопросов уходит от привычных качественных свойств, изучаемых в традиционной
теории ОДУ. Согласно этой теореме любая функция u(x), удовлетворяющая неравенствам
−u
u,
u(0)
0,
u(π)
0,
является функцией вида u(x) ≡ C sin x, где C = const.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v(x) — положительное на (0, l) решение задачи (3.6.3) и пусть u(x) — нетривиальное решение (3.6.1),
(3.6.2). Рассмотрим непрерывную на (0, l) функцию ϕ = u/v . Пусть
ϕ = const. Если нижняя грань λ0 = inf ϕ достигается в одной из
(0,l)
внутренних точек x0 ∈ (0, l), то функция h = u − λ0 v будет являться
§ 3.6. Дифференциальные неравенства. Критическая неосцилляция
155
неотрицательным решением неравенства Du 0, обращаясь в нуль
в точке x0 ∈ (0, l), что противоречит предыдущей теореме.
Пусть inf ϕ достигается в одной из граничных точек (0, l), например
(0,l)
в точке x = 0. Если λ0 > −∞, то из равенства v(0) = 0 следует, что
u(0) = 0. Но тогда λ0 = lim = u (0)/v (0) и неотрицательная на [0, l]
x→0
функция h = u − λ0 v , удовлетворяя (3.6.1), имела бы в точке x = 0
нулевое значение и нулевую производную, что снова противоречит
предыдущей теореме.
Предположим теперь, что λ0 = inf ϕ = −∞. Это возможно в силу
(0,l)
неравенства u(0) 0 лишь в случае, когда u(0) = 0. А так как v (0) >
> 0 и предел ϕ = u/v при x → 0 равен u (0)/v (0), то равенство λ0 =
= −∞ невозможно. Значит, функция ϕ = u/v есть константа. Теорема
доказана.
Т е о р е м а 3.6.3. Пусть v0 (x) — нетривиальное решение задачи
(3.6.3), т. е.
Lu = 0, u(0) = u(l) = 0,
а функция u(x) является решением неравенства
v0 (x)Du
0
(x ∈ (0, l)),
(3.6.4)
причем во всякой нулевой точке ξ функции v0 (x) выполняется равенство p(ξ − 0)u (ξ − 0) = p(ξ + 0)u (ξ + 0). Пусть u(0) = 0,
v0 (l − 0)u(l) 0. Тогда функции u(x) и v0 (x) коллинеарны, т. е. для
некоторой константы C верно тождество u(x) ≡ Cv0 (x).
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем индукцией по количеству нулей
v0 (x) в (0, l). При k = 0, когда v0 (x) сохраняет знак в (0, l), утверждение следует из предыдущей теоремы.
Предположим, что теорема верна для любой v0 (x) с k нулями
в (0, l). Пусть {ξi }1k+1 — нули некоторого решения z0 (x) задачи (3.6.3).
Заметим сначала, что при переходе через нуль функция v0 (x) меняет знак. В самом деле, пусть v0 (ξ) = 0. Если предположить, что
v0 (x) сохраняет знак в некоторой окрестности ξ , то ξ является точкой
экстремума v0 (x). Допустим, что ξ не является особой точкой, т. е.
существует производная u (ξ). Тогда, по теореме Ферма u (ξ) = 0. Если
же точка ξ особая, то верно равенство
p(ξ + 0)v0 (ξ + 0) = p(ξ − 0)v0 (ξ − 0),
из которого (поскольку v0 (ξ + 0) и v0 (ξ − 0) имеют разные знаки) следует, что обе производные v0 (ξ ± 0) равны нулю. Но тогда по теореме
(К–П) v0 ≡ 0, чего быть не может.
Так как u(0) = 0, v0 (l − 0)u(l) 0 и функция v0 (x) при переходе
через нуль меняет знак, то найдется промежуток между двумя сосед-
156
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
ними нулями ξi и ξi+1 функции v0 (x), на котором выполнены условия
предыдущей теоремы (т. е. Du 0, u(ξi ) 0, u(ξi+1 ) 0 либо Du
0, u(ξi ) 0, u(ξi+1 ) 0, причем уравнение Lu = 0 критически неосциллирует на (ξi , ξi+1 ). Рассмотрим случай, когда (ξi , ξi+1 ) = (0, ξ1 ).
Итак, на интервале (0, ξ1 ) выполнены все условия предыдущей теоремы, что влечет z0 (x) ≡ C0 v0 (x) на (0, ξ1 ) при некотором C1 . Теперь на
(ξ1 , l) выполняются все предпосылки доказываемой теоремы и у z0 (x)
имеется k нулей. Тогда по предположению индукции существует константа C1 , для которой z0 (x) ≡ C1 v0 (x) на (ξ1 , l). Покажем теперь,
что C0 = C1 . Для этого сначала заметим, что функция pz0 непрерывна в точке ξ1 . Если ξ1 принадлежит SA , то мы имеем равенство
(pz0 ) (ξ1 + 0) − (pz0 ) (ξ1 − 0) = 0, которое и означает непрерывность
pz0 (x) в точке ξ1 . Если же ξ1 ∈ SA , то непрерывность pz0 (x) очевидна.
Равенство C0 = C1 теперь легко следует из непрерывности функций pu
и pz0 в точке ξ1 . Значит, u(x) ≡ C0 z0 (x) на всем (0, l). Все остальные
случаи могут быть рассмотрены аналогично. Теорема доказана.
§ 3.7. Краевая задача
В этом параграфе мы изучим вопрос о разрешимости краевой задачи
Du = dF ,
(3.7.1)
u(0) = u(l) = 0.
(3.7.2)
3.7.1. Невырожденность краевой задачи. Дадим следующее
определение.
О п р е д е л е н и е 3.7.1. Задачу (3.7.1)–(3.7.2) назовем невырожденной, если соответствующая однородная задача Du = 0, u(0) =
= u(l) = 0, т. е.
⎧
⎪−d (pu ) + u dQ = 0,
⎨
(3.7.3)
u(0) = 0,
⎪
⎩
u(l) = 0,
имеет только тривиальное решение u(x) ≡ 0.
Т е о р е м а 3.7.1. Задача (3.7.1)–(3.7.2) невырождена в том и
только том случае, когда для любой фундаментальной системы
{ϕ1 , ϕ2 } уравнения Du = 0 определитель
ϕ1 (0) ϕ2 (0)
ϕ1 (l) ϕ2 (l)
отличен от нуля.
(3.7.4)
§ 3.7. Краевая задача
157
Д о к а з а т е л ь с т в о. Общее решение однородного уравнения
имеет вид u = c1 ϕ1 + c2 ϕ2 . Чтобы оно удовлетворяло краевым условиям, необходимо и достаточно выполнения равенств
c1 ϕ1 (0) + c2 ϕ2 (0) = 0,
c1 ϕ1 (l) + c2 ϕ2 (l) = 0.
Но эта система имеет только нулевое решение c1 = 0, c2 = 0 лишь
в том случае, когда определитель (3.7.4) отличен от нуля.
Т е о р е м а 3.7.2. Задача (3.7.1)–(3.7.2) невырождена тогда и
только тогда, когда неоднородная задача
Du = dF ,
u(0) = u(l) = 0
(3.7.5)
имеет единственное решение при любой функции F (x) ∈ BV [0, l].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z(x) — какое-либо решение неоднородного уравнения для заданной функции F (x) (в качестве z(x)
можно взять решение какой-либо задачи Коши). Тогда общее решение
неоднородного уравнения, как мы знаем (см. теорему 3.4.5), имеет вид
u = z + c1 ϕ 1 + c2 ϕ 2 ,
где c1 , c2 ∈ R. Для того чтобы при некоторых c1 , c2 эта функция
удовлетворяла краевым условиям, необходимо и достаточно, чтобы
c1 ϕ1 (0) + c2 ϕ2 (0) = −z(0),
c1 ϕ1 (l) + c2 ϕ2 (l) = −z(l).
Но такая разрешимость возможна лишь в случае, если определитель
(3.7.4) этой алгебраической (относительно c1 , c2 ) системы уравнений
был отличен от нуля.
Т е о р е м а 3.7.3. Пусть однородное уравнение Du = 0 не осциллирует на [0, l] (например, пусть функция Q(x) не убывает на [0, l]).
Тогда задача (3.7.1)–(3.7.2) невырождена.
Доказательство очевидным образом следует из определения неосцилляции однородного уравнения.
3.7.2. Функция влияния. Строгая дефиниция. В стандартной
теории краевых задач возможность интегрального представления решения осуществляется с помощью построения функции Грина, определяемой системой аксиом — как в [22]. Однако, как обнаружено
недавно [48], этот подход не всегда корректен. А для нашей задачи
и невозможен. Поэтому интегральное представление решения задачи
158
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
(3.7.1)–(3.7.2) дадим на основе функции влияния, получаемой из физической, точнее вариационной, интерпретации уравнения (3.7.1).
На интуитивном уровне функция влияния K(x, s) определяется
как деформация исходной системы под воздействием единичной силы,
приложенной в точке x = s.
Напомним, что потенциальная энергия упругого континуума, соответствующая виртуальной (воображаемой) форме u(x) под влиянием
внешней силы f (x) dx или dF (x), выражается функционалом
l
Φ(u) = p
u2
dx +
2
0
l
l
u2
dQ − u dF.
2
0
0
Если внешняя нагрузка имеет единичную величину и приложена только в точке x = s, то соответствующее слагаемое, выражающее работу
внешней силы, принимает вид
l
l
= u dθ(x − s) ,
u dF = u(s)
0
0
где θ(x) — классическая функция Хевисайда, т. е. θ(x) = 1 при x > 0
и θ(x) = 0 при x < 0.
Согласно вариационным принципам реальное состояние, определяющее K(x, s), должно описываться минималью функционала
l
Φ(u) = p
u2
dx +
2
0
l
u2
dQ − u(s).
2
0
Легко проверить, что u(x) дает минимум этому функционалу в том
и только том случае, когда для любой допустимой (т. е. из E ) функции
h(x) верно
l
l
pu h dx + uh dQ − h(s) = 0.
0
0
Полагая здесь
x
ϕ(x) = u dQ,
0
l
h(s) = h(x) dθ(x − s),
0
имеем после интегрирования по частям первых двух слагаемых:
l
h d(−(pu )(x) + ϕ(x) − θ(x − s)) = 0,
0
159
§ 3.7. Краевая задача
откуда следует, что соответствующий дифференциал Стилтьеса, будучи нулевым, должен порождаться константой, т. е.
−(pu )(x) + ϕ(x) − θ(x − s) ≡ const .
Отсюда, используя определение функции ϕ, получаем
x
−(pu )(x) + u dQ = θ(x − s) − (pu )(0).
(3.7.6)
0
Теперь мы можем дать строгое определение функции влияния.
О п р е д е л е н и е 3.7.2. Функцией влияния K(x, s) исходной задачи (3.7.1)–(3.7.2) мы называем решение при каждом s ∈ (0, l) уравнения (3.7.6) при условиях u(0) = u(l) = 0.
3.7.3. Основные свойства функции влияния. Мы их получим
напрямую из (3.7.6).
1. При каждом s0 ∈ (0, l) функция g(x) = K(x, s0 ) удовлетворяет на
интервалах (0, s) и (s, l) однородному уравнению Lu = 0.
2. При каждом s0 ∈ (0, l) функция g(x) = K(x, s0 ) удовлетворяет на
диагонали x = s0 равенствам:
а) если ξ не является точкой разрыва Q, то
−Δ(pg )(s0 ) = 1,
б) если ξ — точка разрыва Q, то
−Δ(pg )(s0 ) + g(s0 )ΔQ(s0 ) = 1.
Т е о р е м а 3.7.4. Пусть уравнение Lu = 0 не осциллирует на
[0, l]. Тогда решение K(x, s) задачи (3.7.1)–(3.7.2) строго положительно для всех x, s, отличных от 0 и l. Если при этом функция
Q(x) не убывает на [0, l], то максимум K(x, s) достигается в точке
x = s ∈ (0, l) приложения импульса, т. е.
max K(x, s) = K(s, s).
x∈[0,l]
Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом s0 ∈ (0, l) функция g(x) =
0,
= K(x, s0 ) удовлетворяет дифференциальному неравенству Du
откуда следует, что g(x) > 0 на (0, l). Так как при x < s0
x
(pg )(x) = (pg )(0) + g(s) dQ(s)
0
160
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
и, очевидно, (pg )(0) 0, то (pg )(x) > 0 на (0, s0 ), откуда g (x) > 0
при тех же x, что означает возрастание g(x) на (0, s0 ). Аналогично, на
(s0 , l) функция g(x), удовлетворяя равенству
l
(pg )(x) = (pg )(l) − g(s) dQ(s),
x
в силу неравенства g (l) 0 должна иметь отрицательную производную g (x), т. е. строго убывать от s0 до x = l. Таким образом, g(x)
имеет единственный максимум при x = s0 . Теорема доказана.
3.7.4. Явное представление функции влияния. Пусть задача
(3.7.1)–(3.7.2) невырождена и пусть ϕ1 (x) — решение однородного
уравнения Lu = 0, удовлетворяющее условиям
ϕ1 (0) = 0,
ϕ1 (0) = 1,
(3.7.7)
а ϕ2 (x) — решение однородного уравнения Lu = 0, удовлетворяющее
условиям
ϕ2 (l) = 0, ϕ2 (l) = −1.
(3.7.8)
Т е о р е м а 3.7.5. Функция влияния K(x, s) задачи (3.7.1)–(3.7.2)
существует и может быть представлена в виде
K(x, s) =
1
p(0)ϕ2 (0)
ϕ1 (s)ϕ2 (x) при 0
s
x
l,
ϕ2 (s)ϕ1 (x) при 0
x
s
l.
(3.7.9)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из невырожденности задачи следует, что
ϕ2 (0) = 0 и ϕ1 (l) = 0. Легко также видеть, что система функций
{ϕ1 , ϕ2 }, удовлетворяющих однородному уравнению Lu = 0 и условиям
(3.7.7) и (3.7.8) соответственно, линейно независима и поэтому является фундаментальной системой решений.
Функция K(x, s) при x = s удовлетворяет по x однородному уравнению Lu = 0. Поэтому
K(x, s) =
1
p(0)ϕ2 (0)
c1 (s)ϕ1 (x), 0 < x < s,
c2 (s)ϕ2 (x), s < x < l
(3.7.10)
для некоторых функций c1 (s), c2 (s). Так как при каждом s = s0 функция g(x) = K(x, s0 ) должна принадлежать E , т. е. быть непрерывной
на всем (0, l), то
c1 (s0 )ϕ1 (s0 ) = c2 (s0 )ϕ2 (s0 ).
(3.7.11)
161
§ 3.7. Краевая задача
Функция g(x) должна удовлетворять и определяющему K(x, s) уравнению, т. е.
β
(pg )(β) − (pg )(α) = g dQ − θ(β − s0 ) − θ(α − s0 ),
α
откуда при α = s0 − 0 и β = s0 + 0 следует
Δ(pg )(s0 ) = g(s0 )ΔQ(s0 ) − 1.
Последнее в силу g(x) = K(x, s0 ) и (3.7.10) должно означать
c2 (s0 )(pϕ2 )(s0 + 0) − c1 (s0 )(pϕ1 )(s0 − 0) = K(s0 , s0 )ΔQ(s0 ) − 1.
Заменяя здесь в силу (3.7.11) c2 (s0 ) на c1 (s0 )
c1 (s0 )
ϕ1 (s0 )
, получим
ϕ2 (s0 )
ϕ1 (s0 )(pϕ2 ) (s0 + 0)
− c1 (s0 )(pϕ1 )(s0 − 0) + 1 = K(s0 , s0 )ΔQ(s0 ).
ϕ2 (s0 )
(3.7.12)
Так как K(s, s) = ϕ1 (s)c1 (s) и ϕ1 (x) удовлетворяет однородному уравнению, то
(pϕ1 )(s0 − 0) = c1 (pϕ1 ) (s0 + 0) − c1 ϕ1 (s0 )ΔQ(s0 ).
Подставляя полученное выражение в (3.7.12) с учетом равенства
c1 ϕ1 (s0 ) = K(s0 , s0 ), будем иметь
c1 (s0 )
(pϕ2 ) (s0 + 0)
− c1 (s0 )(pϕ1 )(s0 + 0) + 1 = 0,
ϕ2 (s0 )
т. е. у нас пропало слагаемое со скачком ΔQ(s0 ) и, главное, остались
только пределы справа.
Теперь уже можно отсюда элементарно получить
c1 (s0 )p(s0 + 0)W [ϕ1 , ϕ2 ](s0 + 0) + ϕ2 (s0 ) = 0,
откуда
c1 (s0 ) = −
1
ϕ (s ).
(pW )(s0 + 0) 2 0
Здесь знаменатель, т. е. функция (pW )(x), является константой (см. теорему 3.5.1), равной
(pW )(l) = (pW )(0) = −p(l)ϕ1 (l) = −p(0)ϕ2 (0).
Поэтому
c1 (s0 ) =
ϕ2 (s0 )
ϕ (s )
= 2 0 .
p(0)ϕ2 (0)
p(l)ϕ1 (l)
6 Ю. В. Покорный, Ж. И. Бахтина, М. Б. Зверева, С. А. Шабров
162
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Совершенно аналогично получается, что при всех s
c2 (s) =
ϕ1 (s)
.
p(0)ϕ2 (0)
Теорема доказана.
Напрямую из представления функции влияния следуют ее важнейшие свойства.
С л е д с т в и е 3.7.1. Функция влияния исходной задачи симметрична, т. е. K(x, s) = K(s, x).
С л е д с т в и е 3.7.2. Функция влияния непрерывна по совокупности переменных на [0, l] × [0, l].
3.7.5. Интегральная
теорема.
обратимость. Справедлива
следующая
Т е о р е м а 3.7.6. Пусть задача (3.7.1)–(3.7.2) невырождена и
K(x, s) — ее функция влияния. Тогда для любой функции F (x) из
BV [0, l] соответствующее решение u(x) задачи представимо в виде
l
u(x) = K(x, s) dF (s).
(3.7.13)
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим
l
v(x) = K(x, s) dF (s).
0
С учетом (3.7.9) функция v(x) может быть представлена в виде
v(x) =
ϕ2 (x)
p(0)ϕ2 (0)
1
x
ϕ1 dF +
0
ϕ1 (x)
p(0)ϕ2 (0)
ϕ2 dF.
x
Очевидно, что v(0) = v(l) = 0. Докажем, что функция v(x) является
решением уравнения (3.7.1). Покажем сначала, что v( · ) ∈ E . Из представления (при α β ) разности v(β) − v(α) в виде
v(β) − v(α) =
β
1
1
=
(ϕ2 (β) − ϕ2 (α)) ϕ1 dF + (ϕ1 (β) − ϕ1 (α)) ϕ2 dF
p(0)ϕ2 (0)
0
+
β
β
+
1
((ϕ2 (α) − ϕ2 (s))ϕ1 (s) + (ϕ1 (s) − ϕ1 (α))ϕ2 (s)) dF (s)
p(0)ϕ2 (0)
α
следует абсолютная непрерывность функции v(x).
163
§ 3.7. Краевая задача
Покажем, что производная v (x) функции v(x) определяется равенством
ϕ2 (x)
v (x) =
p(0)ϕ2 (0)
x
1
ϕ1 (x)
ϕ1 dF +
p(0)ϕ2 (0)
0
(3.7.14)
ϕ2 dF.
x
Обозначим Δε z = z(x + ε) − z(x + 0), где ε > 0. Проведем доказательство для правой производной (для левой рассуждения аналогичны). Имеем
x+ε
Δε ϕ2
Δε v
1
=
ε
p(0)ϕ2 (0) ε
1
Δε ϕ1
1
ϕ1 dF +
p(0)ϕ2 (0) ε
0
1
+
p(0)ϕ2 (0)
x+ε
ϕ2 dF +
x+ε
ϕ2 (x + 0)ϕ1 (s) − ϕ1 (x + 0)ϕ2 (s)
dF (s).
ε
x+0
Аналогично равенству (3.5.3) из теоремы 3.5.1 можно показать, что
1
1
lim
p(0)ϕ2 (0) ε→0+ ε
x+ε
ϕ2 (x + 0)ϕ1 (s) − ϕ1 (x + 0)ϕ2 (s) dF (s) = 0,
x+0
откуда следует (3.7.14). Из (3.7.14) вытекает, что v ∈ BV [0, l] и, следовательно, v ∈ E .
Покажем теперь, что функция v(x) является решением уравнения
из (3.7.1). Заметим, что
x
v dQ =
1
p(0)ϕ2 (0)
0
x
s
ϕ2 (s) ϕ1 dF dQ +
0
0
1
p(0)ϕ2 (0)
x
1
ϕ1 (s) ϕ2 dF dQ.
0
s
Поменяв в первом слагаемом пределы интегрирования в силу теоремы
Фубини и заметив, что в силу Lϕ2 = 0
x
ϕ2 dQ = (pϕ2 )(x) − (pϕ2 )(t),
t
получим
1
p(0)ϕ2 (0)
x
s
ϕ2 (s) ϕ1 dF dQ =
0
0
1
=
p(0)ϕ2 (0)
x
ϕ1 (t)((pϕ2 )(x) − (pϕ2 )(t)) dF (t).
0
6*
164
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Аналогично, заметив, что
x
p(0)ϕ1 (0) + ϕ1 dQ = p(x)ϕ1 (x),
0
имеем
1
p(0)ϕ2 (0)
x
x
s
0
1
ϕ1 (s) ϕ2 dF dQ =
p(0)ϕ2 (0)
0
+
l
1
p(0)ϕ2 (0)
ϕ2 (t)(p(t)ϕ1 (t) − p(0)) dF (t) +
l
ϕ2 (t)(p(x)ϕ1 (x) − p(0)) d[F (t)] =
x
1
p(0)ϕ2 (0)
x
ϕ2 pϕ1 dF −
0
x
l
0
x
1
p(x)ϕ1 (x)
ϕ2 dF +
−
ϕ2 (0)
p(0)ϕ2 (0)
l
1
ϕ2 dF −
ϕ2 dF .
ϕ2 (0)
x
x
Подставив полученное представление для
согласно теореме 3.5.1, что
v dQ в (3.7.1) и учитывая
0
p(t)(ϕ2 (t)ϕ1 (t) − ϕ1 (t)ϕ2 (t)) = −p(0)ϕ2 (0),
т. е. (pW )(t) = p(0)ϕ2 (0), получим верное равенство. Таким образом,
функция v(x) является решением задачи (3.7.1). Теорема доказана.
§ 3.8. Спектральная задача Штурма–Лиувилля
Пусть функция Q(x) не убывает на отрезке [0, l], функция M (x)
строго возрастает на [0, l]. Рассмотрим задачу
⎧
x
x
⎪
⎪
⎨−(pu )(x) + (pu )(0) + u dQ = λ u dM ,
(3.8.1)
0
0
⎪
⎪
⎩u(0) = u(l) = 0
в прежнем классе абсолютно непрерывных на [0, l] функций с производными из BV [0, l]. Как и ранее, будем предполагать функции p, Q, M
непрерывными в концах [0, l]. Все функции вещественные.
Следуя традициям, будем называть число λ (возможно, комплексное) точкой спектра данной задачи, если при этом λ задача оказывается
вырожденной, т. е. имеет нетривиальное решение. Такое решение называют собственной функцией, а соответствующую точку спектра λ —
собственным значением.
§ 3.8. Спектральная задача Штурма–Лиувилля
165
Совокупность всех таких λ называют спектром рассматриваемой
задачи.
3.8.1. Структура спектра. Покажем, что спектр задачи (3.8.1) не
пуст и состоит из простых (в смысле алгебраической и геометрической
кратности) положительных собственных значений.
Дискретность спектра. Пусть функция Q(x) не убывает на отрезке [0, l]. Рассмотрим вспомогательную задачу
−d(pu ) + u dQ = dF ,
u(0) = u(l) = 0.
(3.8.2)
Как было доказано в теореме 3.7.3, задача (3.8.2) невырождена. Поэтому у нее существует функция влияния K(x, s), позволяющая представить решение (3.8.2) в виде
l
u(x) = K(x, s) dF (s).
0
Если λ0 — какая либо точка спектра исходной задачи и u0 (x) —
соответствующая собственная функция, то, полагая dF = λ0 u0 dM , т. е.
x
F (x) = λ u dM , мы можем с помощью функции влияния обратить
0
соответствующую краевую задачу
Du = dF ,
u(0) = u(l) = 0,
получив равенство
l
u(x) = λ K(x, s)u(s) dM (s).
(3.8.3)
0
Т е о р е м а 3.8.1. Оператор
l
Au(x) = K(x, s)u(s) dM (s)
0
действует и является вполне непрерывным в пространстве C[0, l]
непрерывных на отрезке [0, l] функций.
Доказательство достаточно стандартно (см. [7, 21, 46]) следует из
непрерывности по совокупности переменных функции K(x, s).
Таким образом, уравнение (3.8.3) оказывается в области применимости общей теории Рисса–Шаудера [46], что позволяет сразу установить следующее свойство.
166
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
С л е д с т в и е 3.8.1. Спектр оператора A состоит из собственных значений и не более чем счетен, причем единственно возможная
точка сгущения собственных значений оператора A есть нуль.
Отметим, что термин «спектр» здесь начинает раздваиваться. Выражаясь корректно, точки спектра краевой задачи являются не собственными, а характеристическими значениями оператора A. Точнее,
если λ — собственное значение краевой задачи, то для оператора A
собственным будет значение μ = 1/λ, и наоборот. Поэтому, например,
у интегрального оператора спектр может сгущаться только возле нуля,
а для краевой задачи — «в окрестности бесконечности».
Таким образом, спектр задачи (3.8.1) состоит из собственных значений и не более чем счетен, причем единственно возможная точка
сгущения собственных значений есть бесконечность.
Простота точек спектра.
ждение.
Сформулируем следующее утвер-
Т е о р е м а 3.8.2. Алгебраическая и геометрическая кратности
собственных значений равны единице.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ϕ1 (x) и ϕ2 (x) — две собственные
функции, отвечающие собственному значению λ0 . Тогда ϕ1 (0) = 0,
ϕ2 (0) = 0 и, следовательно, вронскиан W (ϕ1 , ϕ2 )(0) = 0, т. е. система
функций ϕ1 , ϕ2 линейно зависима. Значит, ϕ1 (x) = cϕ2 (x).
Покажем отсутствие присоединенных функций. Предположим, что
u(x) — присоединенная функция. Тогда u(x) является решением уравнения
Du = λ0 u dM + ϕ dM
при условиях u(0) = u(l) = 0, где ϕ(x) — собственная функция исходной задачи, отвечающая собственному значению λ0 . Значит,
−d(pu ) + u dQ = λ0 u dM + ϕ dM ,
откуда следует
l
l
l
l
− ϕ d(pu ) + uϕ dQ − λ0 uϕ dM = ϕ2 dM.
0
0
0
0
Проинтегрируем по частям все слагаемые слева, полагая при этом dz =
= ϕ dQ, dh = ϕ dM . Имеем
l
l
l
(pϕ ) du − zdu + λ0 hdu = ϕ2 dM ,
0
0
0
§ 3.8. Спектральная задача Штурма–Лиувилля
что означает
l
167
l
(pϕ − z + λ0 h) du = ϕ2 dM.
0
0
Выражение под левым интегралом, если вернуться от z и h к исходным
формулам, имеет вид
(pϕ ) − ϕ dQ + λ0 ϕ dM
и оказывается нулевым дифференциалом, поскольку ϕ — собственная
функция. Поэтому
l
l
(pϕ )(0) du = ϕ2 dM
0
0
ввиду равенства (pϕ ) − ϕ dQ + λ0 ϕ dM = (pϕ )(0).
Так как u(x) принимает нулевые значения на концах отрезка [0, l],
то последнее равенство принимает вид
l
ϕ2 dM = 0,
0
откуда следует ϕ(x) ≡ 0, что невозможно. Теорема доказана.
Вещественность и положительность спектра. Справедлива следующая теорема.
Т е о р е м а 3.8.3. Каждое собственное значение задачи (3.8.1)
положительно. Собственные функции можно выбрать вещественными.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что собственные значения задачи (3.8.1) вещественны. Пусть u(x) = u1 (x) + iu2 (x) — собственная функция, отвечающая собственному значению λ = α + iβ .
Тогда
⎧
x
x
x
⎪
⎪
⎨−(pu )(x) + (pu )(0) + u1 dQ = α u1 dM − β u2 dM ,
1
1
0
0
0
⎪
⎪
⎩u (0) = u (l) = 0,
1
1
⎧
x
x
x
⎪
⎪
⎨−(pu )(x) + (pu )(0) + u2 dQ = β u1 dM + α u2 dM ,
2
2
0
0
0
⎪
⎪
⎩u (0) = u (l) = 0.
2
2
168
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Значит,
− d(pu1 ) + u1 dQ = αu1 dM − βu2 dM ,
− d(pu2 ) + u2 dQ = βu1 dM + αu2 dM.
Умножая первое равенство на u2 , а второе на u1 и интегрируя, получим
l
β (u21 + u22 ) dM = 0,
0
откуда следует, что β = 0. Вещественность собственных значений доказана.
Покажем, что собственные функции можно выбрать вещественными. В самом деле, если u(x) = u1 (x) + iu2 (x) — собственная функция,
отвечающая вещественному собственному значению α, то, как легко
видеть, и u1 (x), и u2 (x) являются решениями задачи (3.8.1) при λ = α.
Заметим, что по крайней мере одна из функций u1 (x), u2 (x) отлична
от нуля, т. е. является вещественной собственной функцией.
Докажем положительность собственных значений. Пусть u(x) —
вещественная собственная функция, отвечающая собственному значению λ. Тогда справедливо
−d(pu ) + u dQ = λu dM ,
и, значит,
l
l
l
− u d(pu ) + u2 dQ = λ u2 dM.
0
Следовательно,
0
l
0
l
2
l
pu dx + u dQ = λ u2 dM ,
0
2
0
0
откуда вытекает, что λ > 0. Теорема доказана.
3.8.2. Ортогональность собственных функций.
Т е о р е м а 3.8.4. Собственные функции u(x, λ1 ), u(x, λ2 ), отвечающие различным собственным значениям λ1 и λ2 , ортогональны
с весом dM , т. е.
l
u(x, λ1 )u(x, λ2 ) dM = 0.
0
§ 3.8. Спектральная задача Штурма–Лиувилля
169
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим ϕ(x) = u(x, λ1 ), ψ(x) = u(x, λ2 ).
Тогда
d(pϕ ) = ϕ dQ − λ1 ϕ dM ,
d(pψ ) = ψ dQ − λ2 ψ dM.
Умножая первое тождество на ψ(x) и интегрируя его по отрезку [0, l],
будем иметь
l
l
l
ψ d(pϕ ) = ψϕ dQ − λ1 ψϕ dM.
0
0
0
Воспользовавшись формулой интегрирования по частям, получим
l
l
l
− pϕ ψ dx = ψϕ dQ − λ1 ψϕ dM.
Аналогично,
0
0
0
l
l
l
− pϕ ψ dx = ψϕ dQ − λ2 ψϕ dM.
0
0
Значит,
0
l
(λ1 − λ2 ) ψϕ dM = 0,
0
откуда следует, что
l
u(x, λ1 )u(x, λ2 ) dM = 0.
0
Теорема доказана.
3.8.3. Непустота спектра. Покажем теперь, что спектр задачи
(3.8.1) непуст.
Л е м м а 3.8.1. Пусть ξ ∈ (0, l) — нуль нетривиального решения
u0 (x) уравнения
x
x
−(pu )(x) + u dQ = λ u dM − (pu )(0).
0
0
Тогда при переходе через точку ξ функция u0 (x) меняет знак, т. е.
точка ξ является узлом.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u0 (ξ) = 0. Предположим, что функция u0 (x) сохраняет знак в некоторой окрестности точки ξ . Тогда
производные u0 (ξ − 0), u0 (ξ + 0) (доказательство проводится как в лем-
170
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
ме 3.5.3) равны нулю, что влечет за собой равенство u0 (x) ≡ 0, которое
невозможно.
Т е о р е м а 3.8.5. Пусть функция Q(x) не убывает на отрезке
[0, l], а функция M (x) строго возрастает на [0, l]. Тогда найдется
положительное конечное число λ∗ , такое что задача (3.8.1) при λ =
= λ∗ имеет нетривиальное решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся представлением
l
u(x) = λ K(x, s)u(s) dM (s).
0
Согласно теореме 3.7.4 функция K(x, s) строго положительна для всех
x, s, отличных от 0, l. По определению K(0, s) = K(l, s) = 0.
Рассмотрим оператор
l
Au(x) = K(x, s)u(s) dM (s).
0
Он действует из пространства C[0, l] непрерывных функций в C[0, l]
и является линейным вполне непрерывным оператором.
Обозначим через K множество всех неотрицательных функций из
C[0, l]. Как показано в [47], множество K является воспроизводящим
конусом. В силу неотрицательности K(x, s) на [0, l] × [0, l], оператор A
является положительным, т. е. AK ⊂ K .
Зафиксируем такие числа 0 < ε1 < ε2 и 0 < ε3 < ε4 , чтобы точки ε1 ,
ε2 , l − ε4 и l − ε3 принадлежали отрезку [0, l], причем в этих точках все
функции p, Q, M непрерывны и ε2 < l − ε4 . Существование такие чисел
достаточно очевидно, так как множество точек разрыва функций p, Q
и M не более чем счетно, тогда как отрезок [0, l] несчетен. Определим
функцию
⎧
⎪
0,
если 0 x < ε1 ,
⎪
⎪
⎪
x − ε1
⎪
⎪
C
,
если ε1 x < ε2 ,
⎪
⎪
⎨ ε2 − ε1
v0 (x) = C ,
если ε2 x < l − ε4 ,
⎪
⎪
⎪C l − ε3 − x , если l − ε
⎪
x < l − ε3 ,
4
⎪
⎪
ε4 − ε3
⎪
⎪
⎩0,
если x − ε3 x l,
где C — положительная константа. Ясно, что u0 ∈ K и
l−ε3
l
Av0 (x) = C K(x, s) dM (s)
0
K(x, s) dM (s)
C
ε2
Cα = αv0 (x),
§ 3.8. Спектральная задача Штурма–Лиувилля
где
171
l−ε3
α=
K(x, s) dM (s) > 0.
min
x∈[ε2 ,l−ε3 ]
ε2
Таким образом, мы доказали справедливость неравенства Au0
αu0 , где u0 ∈ K . Согласно результатам Красносельского, Крейна
и Рутмана найдутся положительное число μ0 > 0 и нетривиальная
функция u0 ∈ K , такие что Au0 = μ0 u0 . В силу свойств K(x, s) функция u0 ∈ E и u0 (0) = u0 (l) = 0. Теорема доказана.
С л е д с т в и е 3.8.2. Спектр Λ задачи (3.8.1) непуст. Собственная функция ϕ0 (x), отвечающая ведущему собственному значению,
не имеет нулей на (0, l).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предыдущей теореме найдется
число λ0 > 0, такое что задача (3.8.1) имеет неотрицательное нетривиальное решение ϕ0 (x). Таким образом, λ0 является собственным
значением, а ϕ0 (x) — собственной функцией задачи (3.8.1). В силу
предыдущей леммы ϕ0 (x) не имеет нулей на интервале (0, l). Предположим, что задача (3.8.1) имеет собственное значение λ∗ < λ0 . Тогда
согласно теореме сравнения Штурма функция ϕ0 (x) обязана иметь по
крайней мере один нуль внутри (0, l), что невозможно. Значит, λ0
является ведущим собственным значением задачи (3.8.1).
3.8.4. Зависимость решений от параметра.
В этом пункте в интересах спектральной задачи мы изучим зависимость от λ решения u(x, λ) задачи
Du = λu dM ,
u(0) = 0, u (0) = 1.
Непрерывная зависимость решения интегро-дифференциального
уравнения от начальных условий. Здесь изучается вопрос о непрерывной зависимости от параметра λ решения уравнения
−d(pu ) + u dQ = dF
(3.8.4)
с зависящими от λ начальными условиями
u(x0 ) = ψ1 (λ),
u (x0 ) = ψ2 (λ)
(3.8.5)
при некотором x0 ∈ [0, l](A) .
Т е о р е м а 3.8.6. Если функции ψ1 (λ) и ψ2 (λ) непрерывны по λ,
то соответствующее (3.8.5) решение u(x, λ) уравнения (3.8.4) зависит от λ непрерывно по норме (3.4.1).
172
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v(x) — решение уравнения (3.8.4)
с условиями v(x0 ) = v (x0 ) = 0. Пусть ϕ1 (x) и ϕ2 (x) — фундаментальная система решений однородного уравнения (3.8.4) с условиями
u(x0 ) = 1, u (x0 ) = 0 и u(x0 ) = 0, u (x0 ) = 1
соответственно. Тогда решение задачи (3.8.4), (3.8.5) может быть записано в виде
u(x, λ) = v(x) + ψ1 (λ)ϕ2 (x) + ψ2 (λ)ϕ1 (x).
Значит,
u(x, λ) − u(x, λ0 ) = ϕ1 (x) (ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 )) + ϕ2 (x) (ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )) ,
откуда непосредственно может быть получено неравенство
u(x, λ) − u(x, λ0 )
|ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 )| ϕ1 + |ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )| ϕ2 .
Для произвольного разбиения {xk }nk=0 множества [0, l](A) последовательно находим
n
|(pu (xk , λ) − pu (xk , λ0 )) − (pu (xk−1 , λ) − pu (xk−1 , λ0 ))|
k=1
n
|ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 )|
|pϕ1 (xk ) − pϕ1 (xk−1 )| +
k=1
n
+ |ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )|
|pϕ2 (xk ) − pϕ2 (xk−1 )|
|ψ1 (λ) −
k=1
− ψ1 (λ0 )|V01 (pϕ1 ) + |ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )|V01 (pϕ2 ),
откуда
V0l (pu )
|ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 )|V01 (pϕ1 ) + |ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )|V01 (pϕ2 ).
Тогда
u(x, λ) − u(x, λ0 )
S
|ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 )| ϕ1 + |ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )| ϕ2 ,
что доказывает теорему.
Непрерывная зависимость решения от коэффициентов уравнения. Здесь мы рассматриваем уравнение
−d(pu ) + u d(Q0 + ψ1 (λ)Q1 ) = d(F0 + ψ2 (λ)F1 ),
173
§ 3.8. Спектральная задача Штурма–Лиувилля
т. е.
x
−pu
x
0
x
+ u dQ0 + ψ1 (λ) u dQ1 =
0
0
= F0 (x) − F0 (0) + ψ2 (λ) (F1 (x) − F1 (0)) ,
(3.8.6)
где Q0 , Q1 , F0 , F1 — функции ограниченной вариации, причем Q1 =
= const.
Т е о р е м а 3.8.7. Пусть u(x, λ) — решение уравнения (3.8.6), удовлетворяющее для некоторого x0 ∈ [0, l](A) условиям
u(x0 ) = u0 ,
(3.8.7)
u (x0 ) = v0 .
Тогда функция u(x, λ) следом за ψ1 (λ), ψ2 (λ) непрерывно зависит
от λ по норме (3.4.1) и дифференцируема по λ столько раз, сколько
раз дифференцируемы ψ1 (λ), ψ2 (λ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x) = u(x, λ) и v(x) = v(x, λ0 ) —
решения задачи (3.8.6), (3.8.7) при значениях параметра λ и λ0 соответственно. Обозначим через w(x, λ) разность u(x) − v(x). Тогда функция
w(x) = w(x, λ) является решением задачи
⎧
x
x
⎪
⎪
⎪
(x)
+
w
d(Q
+
ψ
(λ)Q
)
=
(ψ
(λ
)
−
ψ
(λ))
u dQ1 +
−pw
⎪
1
1
1 0
1
0
⎪
⎪
⎪
⎨
0
0
(λ)
−
ψ
(λ
))
(F
(x)
−
F
(
0
))
−
p(
0)w (0), (3.8.8)
+
(ψ
1
1
2
2
0
⎪
⎪
⎪
⎪
w(x0 ) = 0,
⎪
⎪
⎪
⎩
w (x0 ) = 0.
Покажем, что w(x) сходится к нулю равномерно на множестве
[0, l](A) при λ → λ0 .
Перепишем задачу (3.8.8) в виде эквивалентного уравнения
x
w(x, λ) =
x0
1
p(s)
s
w(s, λ) d(Q0 (s) + ψ1 (λ)Q1 (s)) ds + z(x, λ),
x0
(3.8.9)
где через z(x, λ) обозначено
x
z(x, λ) = (ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 ))
x0
1
p(s)
s
u(s, λ) dQ1 (s) ds +
x0
x
+ (ψ2 (λ0 ) − ψ2 (λ))
x0
F1 (s) − F1 (x0 )
ds.
p(s)
174
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Функция z(x) непрерывна на отрезке [0, 1]. Рассмотрим оператор A,
определяемый как
x
(Aw)(x) =
s
1
p(s)
x0
w d(Q0 + ψ1 (λ)Q1 ) ds.
x0
Заметим, что оператор A действует из C[0, l] в C[0, l].
Аналогично доказательству теоремы Коши–Пеано можно показать,
что для любого натурального n справедливо неравенство
|(An z)(x)|
где C(λ) =
|x − x0 |n
,
n!
C n (λ) z
(3.8.10)
V0l (Q0 ) + |ψ1 (λ)|V0l (Q1 )
и c0 = min p(x).
c0
[0,l](A)
Тогда ряд Неймана
z + Az + A2 z + . . .
равномерно (по x) сходится на [0, l](A) к решению w(x, λ) уравнения
(3.8.9), причем справедлива оценка
max |w(x, λ)|
x
eC(λ) max |z(x, λ)|.
x
(3.8.11)
Оценим максимум функции |z(x, λ)|. Последовательно имеем
x
|z(x, λ)|
|ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 )|
1
p(s)
x0
x
+ |ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )|
s
|u(t)|dQ1 (t) ds +
x0
|F1 (s) − F1 (x0 )|
ds
p(s)
|ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 )|
x0
u 1
V (Q1 ) +
c0 0
+ |ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )|
V01 (F1 )
,
c0
откуда
max |z(x, λ)|
x
|ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 )|
u 1
V 1 (F )
V0 (Q1 ) + |ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )| 0 1 ,
c0
c0
(3.8.12)
здесь через · , как и ранее, обозначена норма в пространстве C[0, l]
непрерывных на [0, l] функций.
Из неравенств (3.8.11), (3.8.12) вытекает, что
max |w(x, λ)| → 0
x
при λ → λ0 .
175
§ 3.8. Спектральная задача Штурма–Лиувилля
Покажем теперь, что V01 (pw ) → 0 при λ → λ0 . Для любого разбиения {xk }n0 множества [0, l](A) последовательно находим
|(pw )(xk+1 , λ) − (pw )(xk , λ)|
xk+1
xk+1
w d(Q0 + ψ1 (λ)Q1 ) + (ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 ))
xk
v dQ1 +
xk
+ |(ψ2 (λ0 ) − ψ2 (λ))(F1 (xk+1 ) − F1 (xk ))|
max |w(x, λ)|(V01 (Q0 ) + |ψ1 (λ)|V01 (Q1 )) +
x
+ |ψ1 (λ) − ψ1 (λ0 )| u V01 (Q1 ) + |ψ2 (λ0 ) − ψ2 (λ)| V01 (F1 ),
откуда следует, что V01 (pw ) → 0 при λ → λ0 . Окончательно получаем,
что
w S = max |w(x, λ)| + V0l (pwx (x, λ)) → 0
x
при λ → λ0 .
Дифференцируемость по параметру. Пусть теперь функции ψ1 (λ)
и ψ2 (λ) непрерывно дифференцируемы. Перепишем уравнение из
(3.8.8) в виде
x
−pw (x) +
w d(Q0 + ψ1 (λ)Q1 ) =
x0
x
= (ψ1 (λ0 ) − ψ1 (λ))
u dQ1 + (ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )) · (F1 (x) − F1 (x0 )).
x0
(3.8.13)
Разделив (3.8.13) на λ − λ0 и обозначив
y=
w
,
λ − λ0
мы получим для определения y(x, λ) уравнение
x
−(py )
x
0
+
y d(Q0 + ψ1 (λ)Q1 ) =
x0
+
ψ1 (λ0 ) − ψ1 (λ)
·
λ − λ0
x
v dQ1 +
x0
ψ2 (λ) − ψ2 (λ0 )
· (F1 (x) − F1 (x0 )).
λ − λ0
(3.8.14)
176
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
Величина y(x, λ) пока определена только при λ = λ0 . Определим ее
при λ = λ0 , так чтобы y(x, λ) удовлетворяло уравнению
x
−py
x
+
0
x
y d(Q0 + ψ1 (λ)Q1 ) = −ψ1 (λ0 )
x0
v dQ1 + ψ2 (λ0 )(F1 (x) − F1 (x0 ))
x0
и при x = x0 обращалось в нуль вместе со своей производной. Так как y
и y обращаются в нуль при x = x0 при всех λ и уравнение (3.8.14)
удовлетворяет условию первой части теоремы, то согласно доказанному
выше y(x, λ) непрерывно зависит от параметра λ по норме (3.4.1) при
всех λ, достаточно близких к λ0 , следовательно, y(x, λ) и yx (x, λ)
стремятся к определенным пределам при λ → λ0 , что влечет существо∂u
∂ ∂u
вание производных
и
. Остается применить первую часть
∂λ
∂λ
∂x
теоремы, чтобы получить требуемое.
Пусть теперь функции ψ1 (λ) и ψ2 (λ) k раз непрерывно дифференцируемы. Применяя последовательно k раз только что доказанную
часть настоящей теоремы, мы получим утверждение теоремы. Теорема
доказана.
3.8.5. Теорема о неявной функции. В этом пункте устанавливается аналог теоремы о неявной функции.
Обозначим через Uδ (x0 , λ0 ) множество тех x ∈ (0, +∞) и λ ∈ R,
для которых выполняются неравенства |x − x0 | < δ и |λ − λ0 | < δ и
Uδ,(A) (x0 , λ0 ) = {x ∈ [0, l](A) ∪ (l, +∞), λ ∈ R : |x − x0 | < δ , |λ − λ0 | < δ}.
Т е о р е м а 3.8.8. Пусть u(x0 , λ0 ) = 0, причем функция u(x, λ)
непрерывна в некоторой окрестности Uδ (x0 , λ0 ) точки (x0 , λ0 )
и имеет непрерывную частную производную uλ с конечным изменением при фиксированном λ ∈ [λ0 − δ , λ0 + δ], а производная ux
(которая, вообще говоря, может иметь разрывы) имеет конечное
изменение на отрезке [x0 − δ , x0 + δ] при каждом фиксированном
λ ∈ [λ0 − δ , λ0 + δ]. Если производная ux (τ , λ) отлична от нуля и сохраняет знак при всех τ ∈ [x0 − δ , x0 + δ](A) и λ ∈ [λ0 − δ , λ0 + δ], то
существует прямоугольник
{x0 − δ1 < x < x0 + δ1 , λ0 − δ2 < λ < λ0 + δ2 },
внутри которого уравнение u(x, λ) = 0 определяет x как однозначную функцию λ для λ0 − δ2 < λ < λ0 + δ2 , принимающую значение x0 при λ = λ0 и обладающую производной, определенной
на I(A) = [x0 − δ1 , x0 + δ1 ](A) , которая имеет конечное изменение
на I(A) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ux (x, λ) сохраняет знак
в Uδ,(A) (x0 , λ0 ), то функция u(x, λ) строго возрастает (или строго
§ 3.8. Спектральная задача Штурма–Лиувилля
177
убывает) по x для [x0 − δ , x0 + δ] при каждом фиксированном значении
λ из отрезка [λ0 − δ , λ0 + δ]. В частности, это имеет место для u(x, λ0 ).
Но тогда из условия u(x0 , λ0 ) = 0 следует, что значения u(x0 − δ , λ0 ) и
u(x0 + δ , λ0 ) имеют разные знаки.
Так как u(x, λ) непрерывна в точках (x0 − δ , λ0 ) и (x0 + δ , λ0 ), то
она сохраняет знак вблизи каждой из этих точек, и, следовательно, при
достаточно малом δ > 0 значения u(x0 − δ , λ) и u(x0 + δ , λ) будут также
разных знаков для любого λ, подчиненного условию λ0 − δ < λ < λ0 + δ
(можем, очевидно, считать δ δ ). Раз так, то для каждого такого λ
в квадрате Uδ (x0 , λ0 ) найдется точка (x0 , λ0 ), для которой u(x, λ) = 0,
и эта точка для каждого данного значения x единственна, поскольку
u(x, λ) строго возрастает (или строго убывает) по x.
Итак, если оставаться в пределах прямоугольника
{x0 − δ
x
x0 + δ , λ 0 − δ
λ
λ0 + δ},
то каждому λ отвечает единственное x, для которого u(x, λ) = 0
(для λ0 этим единственным значением x будет x0 ). Это означает,
что в пределах упомянутого прямоугольника уравнение u(x, λ) = 0
определяет x как однозначную функцию от λ: x = x(λ), принимающую
при λ = λ0 значение x0 .
Заметим, что из установленных фактов для функции u(x, λ) = 0
из неравенства |λ − λ0 | < δ следует неравенство |x(λ) − x(λ0 )| < δ .
Поэтому, задав произвольно ε > 0 и повторив все предшествующие
рассуждения применительно к случаю δ < ε, найдем, что неравенство
|λ − λ0 | < δ влечет за собой неравенство |x(λ) − x(λ0 )| < ε, а это
доказывает непрерывность x(λ) в точке λ0 .
Таким же рассуждением доказывается и непрерывность x(λ) при
других λ. (Дело в том, что для каждой точки (x, λ), координаты которой связаны соотношением x = x(λ), выполнено равенство u(x, λ) = 0
и остальные предпосылки теоремы, т. е. мы попадаем в такие же
условия, как и для точки (x0 , λ0 ).)
Так как u(x(λ), λ) ≡ 0, то предел
lim
Δλ→0
u(x(λ + Δλ), λ + Δλ) − u(x, λ)
=
Δλ
= lim
Δλ→0
u(x(λ + Δλ), λ + Δλ) − u(x + Δx, λ)
u(x + Δx, λ) − u(x, λ)
+
,
Δλ
Δλ
где Δx = x(λ + Δλ) − x(λ) (причем в силу непрерывности x(λ) имеем:
Δx → 0 при Δλ → 0), существует и равен нулю. По условию
lim
Δλ→0
u(x + Δx, λ + Δλ) − u(x + Δx, λ)
= uλ (x, λ),
Δλ
178
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
следовательно,
lim
Δλ→0
u(x + Δx, λ) − u(x, λ)
Δλ
также существует. Если предел
lim
Δx→0
u(x + Δx, λ) − u(x, λ)
Δλ
(3.8.15)
существует (по условию он отличен от нуля), то существует и
предел
Δx
lim
.
Δλ→0
Δλ
Тогда
uλ (x, λ) + ux (x, λ)x (λ) = 0,
откуда
x (λ) = −
uλ (x, λ)
.
ux (x, λ)
Если предела (3.8.15) не существует, то существуют по крайней
мере две различные последовательности, Δk λ и Δk λ, для которых
Δk x < 0 и Δk x > 0 соответственно. Но по условию левая и правая
производные функции u(x, λ) по x существуют. Тогда
uλ (x − 0, λ) + ux (x − 0, λ)x (λ) = 0
и
uλ (x + 0, λ) + ux (x + 0, λ)x (λ) = 0.
Таким образом, мы получаем, что
x (λ) = −
uλ (x, λ)
,
ux (x, λ)
где x ∈ [x0 − δ , x0 + δ](A) . Так как производная uλ непрерывна и имеет ограниченную вариацию, ux отлична от нуля, сохраняет знак
и имеет конечное изменение, то xλ является функцией с конечным
изменением, на чем доказательство теоремы завершается.
§ 3.9. Осцилляционные свойства
собственных функций
Цель настоящего параграфа — анализ распределения нулей собственных функций основной задачи
Du = λu dM ,
u(0) = u(l) = 0,
§ 3.9. Осцилляционные свойства собственных функций
т. е.
⎧
x
x
⎪
⎪
⎨Lu ≡ −pu |x + u(s) dQ(s) = λ u(s) dM (s),
0
0
⎪
⎪
⎩u(0) = u(l) = 0,
0
179
(3.9.1)
и связь этого свойства с соответствующими точками спектра Λ.
Для этого введем в рассмотрение функцию ω(x, λ), удовлетворяющую уравнению
−d(pu ) + u d(Q − λM ) = 0
и условиям
u(0) = 0,
u (0) = 1.
Ясно, что если ω(x, λ) при некотором λ = λ∗ обращается в нуль на
правом конце x = l, то это значение λ∗ является собственным, так же
как и функция ω(x, λ∗ ) — собственной функцией. Значит, множество
решений уравнения
ω(l, λ) = 0
относительно λ содержит спектр исходной задачи. Мы будем изучать
решения этого уравнения, анализируя зависимость от λ решений x(λ)
другого уравнения:
ω(x, λ) = 0,
и фиксируя те значения λ, при которых x(λ) = l.
Продолжим вправо от точки x = l, т. е. на множество [l, ∞), коэффициенты p, Q, M исходного уравнения так, чтобы они были
непрерывными в точке x = l и чтобы p, Q были константами вправо
от l, а M — линейной возрастающей функцией (M (x) = m0 x + c при
m0 > 0). Решения этого продолженного уравнения будут определены
на [0, ∞), причем на [0, l] они будут совпадать с решениями исходного
уравнения. Сохраним за продолженными коэффициентами исходное
обозначение. На [l, ∞) это уравнение примет вид
−d(p0 u ) = λm du,
т. е. −p0 u = λm0 u (здесь p0 = p(l)). Распространяя на [l, ∞) соответствующее решение u(x, λ) задачи u(0) = 0, u (0) = 1, замечаем, что при
λ > 0 эта функция имеет бесконечное число нулей в [l, ∞) и, значит,
в [0, ∞).
Обозначим нули ω(x, λ) на [l, ∞) в порядке их возрастания через
z0 (λ), z1 (λ), . . . , zk (λ), . . . Все они являются простыми нулями функции
u(x, λ), непрерывно зависящими от λ. В силу теоремы Штурма каждая
из функций zk (λ) строго убывает по λ, когда ее значение принадлежит
лучу (0; ∞).
180
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
При λ, совпадающем с ведущим собственным значением λ0 , очевидно, z0 (λ0 ) = l. Если λ непрерывно увеличивать, то все нулевые точки
zi (λ) будут непрерывно, нигде не останавливаясь, двигаться влево (это
предстоит доказать). Когда очередная из них, zk (λ), совпадет с l,
соответствующее решение u(x, λ), обнулившись в точке x = l, окажется
собственной функцией (3.9.1), а значение λ, для которого zk (λ) = l, —
собственным значением. Поскольку попаданию zk (λ) в точку l должно
было предшествовать прохождение через эту точку предыдущих нулей
z0 (λ), z1 (λ), . . . , zk−1 (λ), то равенство zk (λ) = l определяет λk , т. е. k-е
собственное значение.
Характер предстоящих трудностей можно увидеть с помощью той
же функции ω(x, λ). Связь нулей этой функции с параметром λ и их
эволюцией при изменении λ определяется уравнением ω(x, λ) = 0 в
виде неявной функции x(λ). Эта функция заведомо многозначна (при
каждом λ функция ω(x, λ) может иметь по x много нулей, и количество
их на [0, l] возрастает с возрастанием λ). В этой многозначности удобно
разобраться, выделяя непрерывные ветви.
§ 3.10. Основная теорема
Т е о р е м а 3.10.1. Пусть уравнение Lu = 0 не осциллирует на
[0, l]. Тогда спектр Λ задачи (3.9.1) состоит из неограниченной последовательности вещественных строго положительных простых
собственных значений λ0 < λ1 < . . . При этом соответствующая λk
собственная функция ϕk (x) имеет в (0, l) точно k нулей, в каждом
из которых она меняет знак; нули ϕk (x) и ϕk+1 (x) перемежаются.
Доказательство вещественности, строгой положительности и простоты всех точек спектра Λ осуществлено ранее.
3.10.1. Ветви нулей. Очевидно, что число λ = λ∗ оказывается точкой спектра Λ исходной задачи тогда и только тогда, когда u(l, λ∗ ) = 0,
причем u(x, λ∗ ) как функция от x является собственной.
Обозначим через Z(λ) множество нулей ωλ (x) на [0, l], где через
ωλ (x) обозначена введеная ранее функция ω(x, λ), удовлетворяющая
Du = λu dM , u(0) = 0, u (0) = 1.
Т е о р е м а 3.10.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.10.1. Тогда существует счетный набор непрерывных и строго убывающих
функций {ζk (λ)}∞
k=1 , каждая из которых определена на (λk−1 ; +∞)
и принимает значения в (0, l), причем ζk (λk−1 + 0) = l, и при λ ∈ R
множество нулей Z(λ) функции uλ совпадает с {ζ1 (λ), . . . , ζk (λ)}.
Теорема 3.10.2 влечет утверждение теоремы 3.10.1 о количестве
нулей собственных функций задачи (3.9.1).
§ 3.10. Основная теорема
181
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы основано на серии лемм.
Л е м м а 3.10.1. Каково бы ни было число λ∗ > 0, найдутся ε > 0
и δ > 0, такие что для каждого нуля z функции ω(x, λ), т. е.
z ∈ Z(λ∗ ) = {x ∈ (0, l) : ωλ∗ (x) = 0},
существует и единственна функция
ζ : Uδ (λ∗ ) → Uε (z),
удовлетворяющая условиям
1) ζ(λ∗ ) = z ,
2) wλ (ζ(λ)) ≡ 0;
при этом ζ убывает и непрерывна на Uδ (λ∗ ). Если к тому же λ∗ ∈ Λ,
то ε > 0 и δ > 0 можно считать такими, что функция
ζ1 : (λ∗ ; λ∗ + δ) → Uε (l),
удовлетворяющая условиям
1) ζ1 (λ∗ + 0) = l,
2) ωλ (ζ1 (λ)) ≡ 0,
существует и единственна; при этом ζ1 убывает и непрерывна на
(λ∗ ; λ∗ + δ).
Здесь, как и ранее, Uδ (ξ) обозначает δ -окрестность точки ξ , т. е.
(ξ − δ , ξ + δ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим
Dλ u = Du − λu dM.
Пусть z ∈ Z(λ∗ ). Функцию ω(x, λ) подставим в уравнение Du = λu dM
и полученное тождество продифференцируем по λ:
D (ωλ ) = λωλ dM + ω dM ,
или, после подстановки λ∗ ,
Dλ h ≡ Dh − λh dM = ω dM ,
(3.10.1)
∂
ω(x, λ∗ ). Умножим равенство (3.10.1) на ωλ∗ (x), получим
где h(x) =
∂λ
неравенство
ωλ∗ Dλ∗ h = ωλ2 ∗ dM 0,
причем h(0) = 0. Если справедливо неравенство h(z)ω (z − 0, λ∗ ) 0,
то на (0, z) применима теорема 3.6.3, согласно которой неравенство
влечет выполнение на (0, z) тождества Dλ∗ h ≡ 0, которое в сочетании
с Dλ∗ h = ωλ∗ dM означает равенство нулю ωλ∗ на всем интервале
(0, z), противоречащее конечности множества нулей ωλ∗ . Стало быть,
h(z)ω (z , λ∗ ) > 0, что после применения теоремы о неявной функции
182
Гл. 3. Метод Штурма в теории импульсных задач
и влечет (с учетом конечности Z(λ∗ )) первую часть утверждения
леммы.
Вторая часть леммы, касающаяся случая λ∗ ∈ Λ, устанавливается
такими же рассуждениями, с той лишь разницей, что теорема о неявной функции «односторонняя». Лемма доказана.
Л е м м а 3.10.2. На любом интервале (ν1 ; ν2 ), не содержащем точек спектра, число нулей постоянно, т. е. |Z(λ)| ≡ const на (ν1 ; ν2 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равномерной непрерывности ωλ по λ
вытекает замкнутость множества
GZ = {(λ; x) ∈ R × [0, l] : ωλ (x) = 0}.
В самом деле, если (λk ; xk ) ∈ GZ и (λk ; xk ) → (λ0 ; x0 ), то x0 ∈ [0, l] и
|ωλ0 (x0 )| = |ωλk (xk ) − ωλ0 (x0 )|
|ωλk (xk ) − ωλ0 (xk )| + |ωλ0 (xk ) − ωλ0 (x0 )|.
Остается воспользоваться равномерной сходимостью ωλk к uλ0 и непрерывностью ωλ0 .
Пусть σ ∈ (ν1 ; ν2 ). В силу леммы 3.10.1 |Z(λ)| |Z(σ)| в некоторой окрестности σ ; поэтому если |Z(λ)| ≡ const в любой достаточно малой окрестности σ , то существует последовательность σk → σ ,
такая что |Z(σk )| > |Z(σ)|. Стало быть, существует как минимум
|Z(σ)| + 1 почленно различных последовательностей {zki }∞
k=1 ⊂ (0, 1)
(i = 1, . . . , |Z(σ)| + 1, zki = zkj при i = j ), таких что uσk (zki ) = 0 для
всех i и k, при этом никакие две из них не могут, в силу леммы 3.10.1,
сходиться к одной точке из Z(σ) ∪ {l} (последовательности {zki }∞
k=1
можно считать сходящимися ввиду компактности [0, l]). Как следствие,
существует i0 , такое что zki0 сходится к 0. Но этот факт, с учетом конечности Z(σk ), противоречит тому, что ωσk (x) не может иметь нулей
в интервале неосцилляции, например, уравнения Lσ+1 u = 0 (а такой
интервал, примыкающий к x = 0, наверняка существует).
Тем самым установлено, что |Z(λ)| ≡ |Z(σ)| в некоторой окрестности точки σ . Ввиду произвольности σ отсюда следует, что существует
покрытие интервала (ν1 ; ν2 ) интервалами постоянства |Z(λ)|. По лемме
Гейне–Бореля для всякого отрезка, содержащегося в (ν1 ; ν2 ), существует конечное подпокрытие этого покрытия, что влечет постоянство
|Z(λ)| на любом отрезке из (ν1 ; ν2 ).
З а м е ч а н и е 3.10.1. Совершенно аналогично доказывается,
что если в условиях предыдущей леммы ν2 ∈ Λ, то |Z(λ)| = |Z(ν2 )|
для всех λ ∈ (ν1 ; ν2 ]; разница лишь в том, что в случае σ = ν2 нужно
рассматривать левостороннюю окрестность точки ν .
§ 3.10. Основная теорема
183
Л е м м а 3.10.3. Если λ∗ ∈ Λ, то
|Z(λ∗ − 0)| = |Z(λ∗ )| = |Z(λ∗ + 0)| − 1,
т. е. при переходе λ через точку спектра задачи (3.8.1) количество
нулей wλ (x) увеличивается ровно на 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство
|Z(λ∗ − 0)| = |Z(λ∗ )|
следует из последнего замечания. В силу второй части леммы 3.10.1
|Z(λ∗ + 0)| > |Z(λ∗ )|,
поэтому если |Z(λ∗ )| = |Z(λ∗ + 0)| − 1, то
|Z(λ∗ + 0)|
|Z(λ∗ )| + 2,
что в силу принципа Дирихле приводит вместе с неравенством
|Z(λ∗ ) ∪ {l}| < |Z(λ∗ + 0)|
к противоречию с леммой 3.10.1. Лемма доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sturm C. M´emoire sur une classe d’´equations a` diff´erences partielles //
J. Math. Pures Appl. 1836. T. 1. P. 373–444.
2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. — М.: Мир,
1968; пер. с англ.: Atkinson F. V. Discrete and continous boundary problems //
Math. Sci. Eng. V. 8. — N. Y.–London: Academic Press, 1964.
3. Айнс Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков: ОНТИ, 1939; пер. с англ.: Ince E. L. Integration of ordinary differential equations. — Edinburgh: Oliver and Boyd, 1939.
¨
4. Weyl H. Uber
gew¨
ohnliche lineare Differentialgleichungen mit singul¨aren
Stellen und ihre Eigenfunktionen // G¨
ottinger Nachrichten. 1909. S. 37–64.
¨
5. Weyl H. Uber
gew¨
ohnliche Differentialgleichungen mit Singularit¨aten und die
zugeh¨origen Entwicklungen willk¨
urlicher // Funktionen, Math. Ann. 1910.
Bd. 68. S. 220–269.
¨
6. Weyl H. Uber
gew¨
ohnliche lineare Differentialgleichungen mit singul¨aren
Stellen und ihre // Eigenfunktionen, G¨
ottinger Nachrichten. 1910. S. 442–467.
7. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Ч. 1: Общая теория. —
М.: ИЛ, 1962; пер. с англ.: Dunford N., Schwartz J. T.. Linear Operators.
I. General theory // Pure Appl. Math. V. 6. — N. Y.–London: Interscience,
1958.
8. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию: самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. — М.: Наука,
1970; англ. пер.: Levitan B. M., Sargsjan I. S. Introduction to spectral theory:
Selfadjoint ordinary differential operators // Transl. Math. Monogr. V. 39.
Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1975.
9. Марченко В. А. Операторы Штурма–Лиувилля и их разложения. — Киев:
Наукова думка, 1977; англ. пер.: Marchenko V. A. Sturm–Liouville operators
and applications // Oper. Theory Adv. Appl. V. 22. — Basel–Boston–Stuttgart:
Birkh¨auser, 1986.
10. Хромов А. П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных
линиях // Матем. сб. 2006. Т. 197, № 11. С. 115–142; англ. пер.: Khromov
A. P. Integral operators with kernels that are discontinuous on broken lines //
Sb. Math. 2006. V. 197, № 11. P. 1669–1696.
Список литературы
185
11. Покорный Ю. В., Зверева М. Б., Шабров С. А. Осцилляционная теория
Штурма–Лиувилля для импульсных задач // УМН. 2008. Т. 63, вып. 1.
С. 379.
12. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые
колебания механических систем. — М.–Л.: ГИТТЛ, 1950.
13. Левин А. Ю., Степанов Г. Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не
понижающими числа перемен знака. I, II // Сиб. матем. журн. 1976. Т. 17,
№ 3. С. 606–626; № 4. С. 813–830; англ. пер.: Levin A. Yu., Stepanov G. D.
One-dimensional boundary value problems with operators that do not lower
the number of sign changes. I, II // Siberian Math. J. 1976. V. 17, № 3.
P. 466–482; № 4. P. 612–625.
14. Покорный Ю. В. О неклассической задаче Валле-Пуссена // Дифф. ур.
1978. Т. 14, № 6. С. 1018–1027; англ. пер.: Pokornyi Yu. V. A nonclassical
de la Vall´ee-Poussin problem // Differ. Equ. 1978. V. 14, № 6. P. 725–732.
15. Боровских А. В., Покорный Ю. В. Системы Чебышева–Хаара в теории разрывных ядер Келлога // УМН. 1994. Т. 49, № 3. С. 3–42; англ. пер.:
Borovskikh A. V., Pokornyi Yu. V. Chebyshev–Haar systems in the theory of
discontinuous Kellogg kernels // Russian Math. Surveys. 1994. V. 49, № 3.
P. 1–42.
16. Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям дифференциальных
уравнений второго порядка. — М.–Л.: ГИТТЛ, 1950.
17. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений: учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1984.
18. Беляев Н. М. Сопротивление материалов: учеб. для втузов. 9-е изд. — М.:
Гостехиздат, 1954. — 856 с.
19. Беккенбах Э. Ф., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965; пер. с англ.:
Beckenbach E. F., Bellman R. Inequalities // Ergeb. Math. Grenzgeb. V. 30. —
Berlin–G¨ottingen–Heidelberg: Springer, 1961.
20. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука,
1969.
21. Садовничий В. А. О тождествах для собственных значений системы Дирака и некоторых других систем высшего порядка // Вестн. МГУ. Сер. 1.
Матем., мех. 1967. Т. 22, № 3. С. 37–47.
22. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. I. — М.–Л.: Гостехиздат, 1951; пер. с нем.: Courant R., Hilbert D. Methoden der mathematischen Physic. Bd. I. — N. Y.: Interscience, 1943.
23. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1950; пер. с нем.: Kamke E. Differentialgleichungen. Losungsmethoden und Losungen. — Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft,
1944.
186
Список литературы
24. Ali-Mehmeti F., Nicaise S. Some realizations of interaction problems // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 1991. V. 135. P. 15–27.
25. Lumer G. Espaces ramifies, et diffusions sur les reseaux topologiques //
C. R. Acad. Sci. — Paris, 1980. Ser. A–B. T. 291, № 12. P. A627–A630.
26. Павлов Б. С., Фаддеев М. Д. Модель свободных электронов и задача рассеяния // ТМФ. 1983. Т. 55, № 2. С. 257–269.
27. Мерков А. Б. Эллиптические уравнения второго порядка на графах // Матем. сборник. 1989. Т. 127, № 4. С. 502–518.
28. Вольперт А. И. Дифференциальные уравнения на графах // Матем. сборник. 1985. Т. 127, № 4. С. 502–518.
29. Пенкин О. М., Покорный Ю. В., Провоторова Е. Н. Об одной векторной
краевой задаче // Краевые задачи. — Пермь, 1983. С. 64–70.
30. Roth J.-P. Spectre du laplacien sur un graphe // C. R. Acad.Sc. — Paris, 1983.
T. 296. P. 783–795.
31. Roth J.-P. Le spectre du laplasien sur un graphe // Lect. Notes Math. SpringerVerlag, 1984. P. 521–539.
32. Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve
impuls transmission // Lect. Notes Math. № 1771. Springer-Verlag, 1985.
P. 532–541.
33. von Below J. A characteristic equation associated to an eigenvalue problem on
c∞ -network // Linear Algebra and appl. 1985. V. 71. P. 309–325.
34. Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1968. — 352 с.
35. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — М.: Мир, 1977. — 328 с.
36. Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973. — 304 с.
37. Басакер Р., Саати Т. Конечные сети и графы. — М.: Наука, 1974. — 368 с.
38. Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. М.: «Высшая
школа», 1976. — 392 с.
39. Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. — М.: Гостехиздат,
1955.
40. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. — М.: ИЛ, 1958.
41. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — М.: Наука,
1989. — 736 с.
42. Feller W. Generalized second order differential operators and their lateral
conditions // Illinois J. Math. 1957. №. 1. P. 459–504.
43. Сакс С. Теория интеграла. — М.: ИЛ, 1949; пер. с англ.: Saks S. Theory of
the integral. 2nd edition. — N. Y.: G. E. Stechert & Co., 1937.
Список литературы
187
44. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. СПб.: Изд-во «Лань»,
2001.
45. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968.
46. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М..:
Наука, 1965.
47. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные
системы. Метод положительных операторов. Теория и методы системного
анализа. — М.: Наука, 1985; англ. пер.: Krasnosel’skij M. A., Lifshits Je. A.,
Sobolev A. V. Positive linear systems. The method of positive operators //
Sigma Ser. Appl. Math. V. 5. — Berlin: Heldermann-Verlag, 1989.
48. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических
графах. — М.: Физматлит, 2004. — 268 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
δ -функция 9
μ-производная 55
ind (a) 52
S -зона 57, 70, 83
s-расширение задачи 68, 69
Абсолютно непрерывная функция
124
— непрерывное решение 114
Алгебраическая и геометрическая
кратности 42
— кратность 36, 85
— простота 91
Амплитудная функция 21
Аргумент ветвящийся 9
Ассоциированные ядра 8
Биортогональный базис 63
Вариационная мотивация 19, 49
Вариационные принципы 19
Версия задачи 63
Вершина 47
Ветвь исходной сети 80
Ветвящиеся вершины 93
Внутренние узлы 49
Внутренний узел 47
Внутренняя вершина 47, 52
— точка 48
Вронскиан 144
Вторая теорема Э. Хелли 123
Вхождение нулей через точку b 17
Вырожденная задача 39
Высота шатра 76
Гармонические колебания 21, 46
Геометрическая кратность 36
— простота 91
— сеть 47, 49
Геометрический граф 45
Гладко примыкает к x0 93
Граничная вершина 47
Граничные вершины 48
Граничный узел 45
Граф 47, 56
— двудольный 61
Декомпозиционный подход 60
Дельта-функция Дирака 134
Дерево 61, 80, 92
Дефект вырождения E(L) в точке x0 92
— полный 92
Деформация 50
— поперечная 50
— продольная 50
Дивергентная природа 47
Дифференциал Стилтьеса 53, 114,
131
Дифференциальное неравенство 27,
28
Дифференциальные неравенства 72
Единичный шатер 76
Естественные условия 53, 61
Зависимость нулей от λ 9, 12
Задача Штурма–Лиувилля 6
Импульсные компоненты 9
Предметный указатель
Интеграл Стилтьеса 7, 9, 114,
118–120
Интегрирование по частям 130
Класс E 115
Колебания нити с бусинками 7
— однородной струны 7
— струны 19, 21
«Комплексификация» 36
Корневая простота 88
Корневое пространство 88
Косые произведения 8
Крайняя производная 48, 49
Критерий неосцилляции 84
Критическая неосцилляция 82
Критически неосциллирующее уравнение 84
— неосциллирующий оператор 83
Критические числа g(x, λ) для общей задачи 33
Лемма Дюбуа-Реймона 130
Локализация носителя 79
Локальная вырожденность 92
Мажорирующий шатер 76
Матрица графа 60
— инциденций 60, 61
Между нулями 46
Метод Штурма 12, 24, 117
— — нагнетания нулей 98
Метрическое пополнение 139
Множество [0, l](A) 139
— Γ(a) 49
— C[Γ] 48, 56
— C[R(Γ)] 49, 55
— C 2 [γ] 60
— D2 [Γ] 56
— D2 E m 60
— H(Γi ) 93
— R(Γ) 49
— Su 124
— Z(Γ) 92
— собственных значений 13
189
Наглядно-геометрический метод
Штурма 11
Не осциллирует лишь внутри интервала (0, l) 29
Невхождение нулей через точку a
17
Невырожденная задача 37, 62
Неосциллирующее уравнение 25, 70,
71
Неосциллирующий оператор 25
Неосцилляция 24, 25
— внутри Γ 82
— — интервала 28
— на [ξ1 , ξ2 ] 83
— — сети 69
Непрерывная зависимость корней
от λ 17
— — решения от параметров 142
Неравенство Харнака 75
Нетривиальный экстремум 58
Обобщенная в дифференциалах
форма 115
— выпуклость 74
— производная 114
Обобщенные коэффициенты 9
— производные 9
Общее положение 95
Общность положения спектральной
задачи 100
Ограниченная вариация 114
Однородное уравнение 55
Оператор Грина 63
— не осциллирующий внутри Γ 72
Основание ветви 80
Основной взгляд на задачу 61
Осцилляционная теорема Штурма
43
— теория Штурма 46
Осцилляционные спектральные
свойства 7
Осцилляционный анализ 9
— метод Штурма 46
190
Предметный указатель
Осцилляция на дереве 94
Открытый связный геометрический
граф 47
Первая вариация 20
Перемежаемость нулей 7, 8, 13, 46,
58
— спектров 113
Перемычка 80
Плотность внешней силы 19
— распределения внешней силы 49
— — масс 21
Подграф 47, 48, 56, 57
Полная вариация 121
Полный дефект 92
— нуль 95
Полуоднородная задача 63
Последовательные нули 14
Представление оператора Грина 63
Принцип максимума 58
— сравнения 57
Присоединенный элемент 36
«Проблема инкубатора» очередных
нулей 22
Простая точка 89
Простой скачок 123
Пространственная сеть 9, 45
Пространство BV [a, b] 121, 122
— D2 [Γ] 70
— H(Γi ), гладко примыкающее к x0
93
— допустимых решений 136
Пучок операторов 84
— уравнений 84
Раздвинутая область определения
уравнения 139
Разложение Жордана 121
Распадающаяся система краевых
условий 60
Распределение нулей 12, 19, 147
— — собственных функций 7, 33
Реальная деформация 52
— — системы 50
Реанимация метода Штурма 11
Ребра графа 49
Ребро 47
— сетки 45
Регулярная вершина 95
— точка 39
Регулярное значение 35
Регулярность функции ω(x, λ) 18
Решение дифференциального неравенства 72
Ряд Неймана 35, 140
Связное открытое подмножество 48
Связный подход 61
Сетка 45
Сеть 47, 56
Сила инерции 21, 52
Символ Кронекера 63
Сингулярное значение 35
Синтетический подход 61
Синхронизация аргументов 60
Слабая производная по Γ 53
Собственная функция 6, 116
Собственное значение 6, 34, 35, 39,
116
Собственные значения 12, 33
— функции 12, 40
— — ортогональные с весом 40
Собственный вектор 35
Спектр 34–37, 65
Спектральная задача в общем положении 96
Спектральный радиус 24, 141
Стандартная мотивация метода
Штурма 13
Структура многообразия решений
142
Структурная единица 72
Сужение задачи на ветвь 82
Схема Лагранжа 50
Теорема Келлога 7
— о неявной функции 17, 24
— осцилляции 16
Предметный указатель
Теорема Рисса 7, 127
— сравнения 15
— — Штурма 8, 46
— существования 136
— Фредгольма 38
— Штурма 6, 32
Теория неосцилляции на сети 58
— обобщенных функций 9
— распределений 9
— Штурма 45
Точка ветвления 93
— находится в общем положении
для задачи 97
— спектра 64
Тривиальная компонента Γi (x0 ) 95
Тупиковая вершина 47
Тупиковый узел 45
Узел 47
— сетки 45
Узлы 47
Упругая энергия 19
Упругие колебания 8
Упругое закрепление концов 20
Уравнение на геометрической сети
46
— не осциллирует на Γ 85
— — осциллирующее лишь внутри
(0, l) 28
— эллиптического типа 45
Условие общности положения 97
— Штурма–Лиувилля 55
191
Условия гладкости 61
— непрерывности 64
— склейки 45
— согласования 70
— трансмиссии 61, 70
Формула Неймана 23
Фундаментальное решение 66, 67
Функционал 114
Функция ω(x, λ) 9, 11
— u0 (x) 124
— Грина 8, 39, 65, 79
— конечной вариации 121
— ограниченной вариации 120, 121
— скачков 124
— Хевисайда 134
Характеристический детерминант
65
Характеристическое уравнение 34
Частичный порядок 100
Частота собственных колебаний 21
Число нулей 7, 17, 19
— — функции ω(x, λ) 16, 18
Шатер 76
Шатры на сетях 75
Эволюция нулей 9, 31
Эллиптическая задача 72
Ядро Келлога 13
Документ
Категория
Информатика и программирование
Просмотров
45
Размер файла
1 448 Кб
Теги
125
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа