close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

4 этап

код для вставкиСкачать
В полярной системе координат кривая, заданная уравнением r  sin 3
напоминает пропеллер или трехлепестковую розу. В окружающем мире большое
разнообразие видов цветов и их форм. Итальянский геометр Гвидо Гранди (16711742) создал в полярной системой координат с помощью линий прекрасные растения.
Полученный результат он назвал «розами». Полная теория этих кривых была
изложена им в сочинении «Flores geometrici ex rhodanearum et claelarum descriptione
resultantes», изданном в 1728 году.
Розы Гранди радуют правильными и плавными линиями, их очертания
определены математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны
природой, в большинстве случаев очертание листа или цветка представляет собой
кривую. Розы – семейство кривых, полярные уравнения которых имеют
вид r  a sin k  , где a – положительное число, k – положительное число
Построим кривую r  5 sin 2 . Полярный радиус должен
неотрицательным, значит должно выполняться неравенство
 
sin 2  0
3
область допустимых углов.
Найдем координаты точек, принадлежащих данной кривой
2





3
5

12
8
6
4
3
8
12
2
0º
15º
22,5º
30º
45º
60º
67,5º
75º
90º
0
2,5
3,6
4,4
5
4,4
3,6
2,5
0
0

r
13 
9
7
5
4
11
17 
3
12
8
6
4
3
8
12
2
180º
195º
202,5º
210º
225º
240º
247,5º
255º
270º
0
2,5
3,6
4,4
5
4,4
3,6
2,5
0


r
Отложим найденные точки в полярной системе координат.
, т.е
быть
0  

2
;
Получили двулистник или двухлепестковую розу.
Аналогично построим
2
  
3
;
3
5
3
0  

3
;
.




2
3
5
7
11 
12
8
6
4
3
3
4
6
8
12
0º
15º
22,5º
30º
45º
60º
120º
135º
150º
157,5
º
165º
0
3,6
4,6
5
3,6
0
0
3,6
5
4,6
3,6
4
11
17 
3
19 
13 
5
3
8
12
2
12
8
3
180º
240º
247,5
º
255º
270º
285º
292,5
300º
0
0
3,6
4,4
5
4,4
3,6
0



r

. Область допустимых углов

0
r
4
r  5 sin 3
Получился трилистник, трехлепестковая роза.
Кривая, заданная уравнением r  5 cos 3 выглядит тоже трилистником.
r  5 sin 4
.
Область допустимых углов
0

r
0


r
0
0  

4
;


3
2
4
 
;
5
4
,
3

2
7
4





7
5
2
3
12
8
6
4
2
12
8
3
4
4,4
5
4,4
0
0
4,4
5
4,4
0
13 
9
7
5
3
19 
13 
5
7
12
8
6
4
2
12
8
3
4
4,4
5
4,4
0
0
4,4
5
4,4
0
Четырехлистник
Построим кривую, заданную уравнением
Область допустимых углов
8
9
  
;
10 
9

11 
9
;
0  

9
4
3

r  5 sin 9
2
;

9
13 
9
;

3
14 
9
;

.
4

9
5
3
5
9
;
16 
9
;

2

3
17 
9
7
9
.
;
0




2

5

4

5
18
12
9
9
4
18
3
9
2
9
3,6
0
0
3,6
5
0
0
5
0
10 
9
7
9
8
6
0
1,9
5
r
0
5

2
13 
3
7
8
11
17 
3
18
4
9
9
12
18
r
0
5
3,6
0
0
3,6
5
0

11
4
11 
25 
17 
13 
14 
19 
29 
13 
5
9
3
8
18
12
9
9
12
18
8
3
0
0
4,6
3,6
0
0
3,6
4,6
0
16 
11
15 
17 

9
6
8
9
r
0
5
1,9
0
r
5

5
Вывод: уравнение вида r  a sin k  , где a – положительное число, k –
положительное натуральное число задаёт полярную k - лепестковую розу, длина
лепестка которой равна a .
Уравнение r  5 sin 2 задаёт двулистник длиной в 5 единиц, уравнения
r  5 sin 3
и r  5 cos 3 – трехлепестковые розы с длиной лепестка в 5 ед.,
r  5 sin 4 - четырехлепестковая роза, r  5 sin 9 - девятилепестковая роза.
Значит, чтобы получился «цветок», у которого шесть лепестков уравнение
кривой в полярной системе должно быть r  а sin 6 .
Но полярные розы часто рассматриваются в обобщенных полярных
координатах, этот способ очень распространен, в нем полярный радиус может
принимать и отрицательные значения. Если r  0 , то находим точку с таким же
углом, но положительного радиуса и отображают её симметрично относительно
полюса.
Вернемся еще раз к полярной розе
r  5 sin 2
. На промежутке

  
2
полярный радиус отрицательный. Найдем точки, данного промежутка,
принадлежащие уравнению и отобразим их симметрично относительно полюса,
получим еще один лепесток на промежутке
угла
3
2
   2
3
   2
2
. При рассмотрении значений
получается лепесток на промежутке
четырехлепестковая роза.
Восьмилепестковая роза получается при
k4
,
r  5 sin 4

2
  
. Получается
Интересно, что полярная роза r  5 sin 3 сохраняет своё количество лепестков.
Когда полярный радиус принимает отрицательные значения, то точки отображаются
накладываясь на те же лепестки.
Правило розы для обобщенной системы координат: уравнение вида r  a sin k 
задаёт полярную розу с длиной лепестка а , при этом:
1) если k -чётное, то роза имеет 2 k лепестков;
2) если k - нечётное, то роза имеет k лепестков.
Роза
роза
имеет 8 лепестков, роза r  a sin 5 - пять лепестков,
6 – 12 лепестков, роза r  a sin 9 – 9 лепестков.
r  5 sin 4
r  a sin
Но 6 – лепестковую розу можно получить, построив кривую
частично будут накладываться друг на друга.
r  5 sin
3
2

. Лепестки
Если k — рациональное число ( k 
этих чисел является четным.
r  5 sin
4
3

, 8 лепестков
m
n
), то роза состоит из 2m лепестков, когда одно из
r  5 sin
4

, 8 лепестков

, 10 лепестков
5
r  5 sin
5
6
r  5 sin
6
7

, 12 лепестков
Когда оба числа m и n нечетные, то роза состоит из m лепестков
лепестков
r  5 sin
5
3

, 5
Математическим исследованием формы цветов и листьев занимался также
Хабеннихт – геометр 19 столетия. Им был получен целый ряд уравнений, которые
выражали формы листьев клена, щавеля, ивы и т. д.
• кувшинки: r  1  cos  - кардиоида
• кислицы :
r  1  cos 3  sin
• настурции:
• клена :
r 1
1
8
 cos 
2
3
 cos 5 
r  1  sin  1  0 , 9 cos 8 1  0 ,1 cos 24  
• стрелолиста:
r 1
1
(27 cos   12 cos 3  8 cos 5  cos 7  )
48
Лист кислицы:
r  1  cos 3  sin
2
3

0º
15º
30º
45º
60º
75º
90º
105º
120º
135º
150º
165º
180º
r
2
2,2
2
0,8
0
0,8
2
2,2
2
2,2
2
0,8
0

195º
210º
225
240º
255º
270º
285º
300º
315º
330º
345º
360
r
0,8
2
2,2
2
2,2
2
0,8
0
0,8
2
2,2
2
r  1  sin  1  0 , 9 cos 8 1  0 ,1 cos 24  
- каннабола или каннабиноида
Документ
Категория
Математика
Просмотров
97
Размер файла
56 346 Кб
Теги
этап
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа