close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

323

код для вставкиСкачать
ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
8
Г л а в а 1. Комплексные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Определение комплексного числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел . . . . . . . . .
1.3. Операции над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Различные формы записи комплексного числа . . . . . . . . . . .
1.5. Представление произведения и частного комплексных чисел,
заданных в тригонометрической форме . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Возведение в степень. Формула Муавра. . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Извлечение корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
10
13
15
16
17
19
20
Г л а в а 2. Предел и непрерывность. . . . . .
2.1. Предел последовательности . . . . . . . . . .
2.2. Расширенная комплексная плоскость . . .
2.3. Понятие области и непрерывной кривой.
2.4. Определение функции . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . .
2.7. Задачи для самостоятельной работы . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
24
26
27
28
29
Г л а в а 3. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Понятие аналитической функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Правила дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Условия КРЭД в полярных координатах. . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Геометрический смысл модуля и аргумента производной . . .
3.8. Примеры конформного отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Геометрические свойства дробно-линейной функции . . . . . .
3.10. Инвариантности дробно-линейного отображения . . . . . . . . .
3.11. Гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
30
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
35
35
37
39
40
42
44
44
4
Оглавление
Г л а в а 4. Некоторые элементарные функции . . . .
4.1. Степенная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÒÞ........................
4.3. Функция Û
4.4. Логарифмическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Тригонометрические и гиперболические функции.
4.6. Общая степенная функция . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Общая показательная функция . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Обратные тригонометрические функции. . . . . . . .
4.9. Обратные гиперболические функции . . . . . . . . . .
4.10. Функция Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
4.12. Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ô
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Г л а в а 5. Интегрирование функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Определение интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Вычисление интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Теорема Коши для односвязной области. . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Теорема Коши для многосвязной области. . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Интегральная формула Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Вычисление интегралов по замкнутой кусочно-гладкой жордановой кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
5.8. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Г л а в а 6. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Свойства равномерно сходящихся рядов. . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Свойства степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7. Теорема единственности разложения аналитической функции в степенной ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8. Нули аналитической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9. Свойство единственности аналитических функций . . . . . . . .
6.10. Понятие об аналитическом продолжении . . . . . . . . . . . . . . .
6.11. Разложение функций в ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.12. Принцип максимума модуля функции. Теорема Лиувилля.
Основная теорема высшей алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
48
49
52
54
56
59
59
60
62
62
64
66
70
70
71
74
78
81
82
84
87
89
93
93
95
97
101
104
105
107
108
110
111
113
119
Оглавление
5
6.13. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.14. Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Г л а в а 7. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . .
7.1. Понятие ряда Лорана . . . . . . . . . . .
7.2. Разложение функции в ряд Лорана .
7.3. Особые точки и их классификация .
7.4. Разложение аналитической функции
ности бесконечно удаленной точки .
7.5. Целые и мероморфные функции . . .
7.6. Задачи для самостоятельной работы
7.7. Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..................
..................
..................
..................
в ряд Лорана в окрест..................
..................
..................
..................
Г л а в а 8. Вычеты и их приложения . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Определение вычета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Основной прием вычисления вычета . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Вычисление вычета функции в полюсе. . . . . . . . . . . . . .
8.4. Вычет функции в бесконечно удаленной точке . . . . . . . .
8.5. Основная теорема о вычетах (теорема Коши о вычетах) .
8.6. Логарифмический вычет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7. Принцип аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8. Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9. Применение вычетов к вычислению интегралов . . . . . . .
8.10. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . .
8.11. Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
126
126
127
133
139
141
142
142
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
145
145
145
147
149
151
153
156
157
159
167
168
Г л а в а 9. Основы операционного исчисления . . . . . . . . . . . .
9.1. Понятие преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Сходимость интеграла Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Основные свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . .
9.4. Изображения некоторых простейших функций. . . . . . . . . . .
9.5. Восстановление оригинала по известному изображению . . . .
9.6. Таблица некоторых изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9. Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
173
174
176
181
183
188
189
192
194
П р и л о ж е н и е . Типовой расчет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Основные обозначения
Æ
—
—
—
—
—
É
Ê
1, Ò
¾
Ö
Ö
½
— число принимает последовательно все значения от
1 до Ò из множества
— пустое множество
— элемент принадлежит множеству
— число, сопряженное числу
— модуль комплексного числа
— аргумент комплексного числа
— главное значение аргумента комплексного числа
( Ö
Ö ·2 )
— комплексная плоскость
Æ
— расширенная комплексная плоскость
— бесконечно удаленная точка расширенной комплексной плоскости
½
— действительная и мнимая части комплексного числа Þ
— предел последовательности ÞÒ
— область комплексных чисел
´ µ
´ µ
´µ
—
—
—
—
—
замкнутая область
область определения функции ´Þ µ
область значений функции ´Þ µ
значение функции ´Þ µ в точке
функция комплексного переменного Þ
µ
¸
—
—
—
—
мнимая единица
из высказывания
следует высказывание
высказывания
и
равносильны
окрестность точки Þ0 ¾ радиусом Æ
´Þ µ
Ù´Ü, ݵ · Ú´Ü, ݵ
Ç ´Þ0 , Æ µ
Æ
натуральных чисел
целых чисел
рациональных чисел
действительных чисел
комплексных чисел
Ë
Ê Þ, ÁÑ Þ
ÐÑ Þ
Ò ·½ Ò
Û
множество
множество
множество
множество
множество
Ç ´Þ0 , Æ µ
Ç ´½, ¡µ
Ð Ñ ´Þ µ
Þ Þ0
ÐÒ Ü
ÄÒ Þ
ÐÒ Þ
Ü· Ý
— проколотая окрестность точки Þ0
— ¡-окрестность бесконечно удаленной точки
— предел функции
´Þµ в точке Þ0 ¾
½
— натуральный логарифм действительного числа Ü
— логарифм комплексного числа Þ
— главное значение логарифма Þ
0
Основные обозначения
Ö × Ò Þ, Ö Ó× Þ,
Ö Ø Þ, Ö Ø Þ
Ö× Þ, Ö Þ,
ÖØ Þ, Ö Ø Þ
¼ ´Þµ
Ù
Ü
´Þµ
Á
·
Þ2
Þ1
Þ
Ë
Ì
Ò
×ÙÔ
— функции комплексного переменного, обратные к тригонометрическим функциям × Ò Þ , Ó× Þ , Ø Þ и Ø Þ
соответственно
— функции комплексного переменного, обратные к гиÞ, Ø Þ, Ø Þ
перболическим функциям × Þ ,
соответственно
— производная функции ´Þ µ
— частная производная функции Ù´Ü, Ý µ по переменной Ü
— интеграл от функции комплексного переменного
по ориентированной кривой
´Þµ
´Þµ
Þ
— интеграл от функции комплексного переменного ´Þ µ
по замкнутой жордановой кривой при ее обходе в
положительном направлении
´Þ µ
Þ
— интеграл от функции ´Þ µ комплексного переменного,
не зависящий от пути интегрирования, соединяющего
точки Þ1 и Þ2
— вычет функции ´Þ µ комплексного переменного в точке ¾
— окончание доказательства
— решение примера (задачи) завершено
— для любого (-ой, ых)
— существует (-ют)
— объединение множеств
— пересечение множеств
— разность двух множеств
— содержится в . . .
— верхняя грань множества
Ê× ´µ
¤
Á
7
Предисловие
Данное учебное пособие по теории функций комплексного переменного (ТФКП) соответствует программе курса математики для
инженерных специальностей технических вузов общей трудоемкостью
курса математики 700–800 часов (350–400 часов аудиторных занятий).
Оно написано на основе лекций, читаемых автором на протяжении
многих лет (более 30) в Рязанском радиотехническом университете для
студентов различных инженерных специальностей.
Теория ФКП и связанное с ней операционное исчисление находят
широкое применение при исследовании различных физических процессов и технических систем. Поэтому они используются в учебных
курсах при изучении, например, теоретических основ электротехники и
инженерных дисциплин по специальностям: радиотехника, автоматика,
электроника и др.
Пособие включает 9 разделов (глав). Каждый раздел содержит
достаточно подробное изложение теоретического материала, примеры
решения типовых задач и задания для самостоятельной работы. К заданиям для самостоятельной работы даются ответы, а в необходимых
случаях указания к решению и даже подробные решения. Многие
из приведенных заданий просты, не требуют больших вычислений и
способствуют более глубокому усвоению теории. Все это позволяет
рекомендовать данное пособие не только для работы в аудитории, но
и для самостоятельного изучения студентами курса или отдельных его
разделов.
В изложении материала большое внимание уделяется методам
ТФКП, которые позволяют глубже раскрыть некоторые темы теории
функций действительного переменного, например сходимость функциональных рядов. Подчеркивается, что идеи ТФКП обогащают математику и способствуют решению многих прикладных задач.
Раздел I «Комплексные числа» в пособии изложен кратко. Более
полно эта проблема рассмотрена в общем курсе математического анализа.
Выражаю искреннюю признательность коллективу кафедры высшей математики Рязанского государственного радиотехнического университета, в котором работаю более сорока лет. С коллегами кафедры
много раз обсуждались вопросы преподавания математики, в том числе
и методика изложения ТФКП. Глубоко благодарен заведующему кафедрой А.И. Новикову и доценту М.К. Яковлеву, которые прочитали
рукопись и сделали поправки и ценные замечания.
1.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.1. Определение комплексного числа
Определение 1. Комплексным числом
ченная пара действительных чисел и :
´
,
называется упорядо-
µ
Число
этой пары называется действительной частью комплексного числа и обозначается символом Ê
Ê (от
латинского слова realis — действительный), число — мнимой
ÁÑ (от латинского
частью числа и обозначается ÁÑ
слова imaginarius — мнимый).
Множество комплексных чисел будем обозначать буквой .
Комплексные числа не являются числами в обычном смысле
слова, применяемыми при подсчетах и измерениях. Они образуют
новый класс математических объектов, который определяется
описанными ниже свойствами.
´ 1, 1µ и
Определение 2. Два комплексных числа 1
´
,
µ
равны
в
том
и
только
в
том
случае,
если
соответ2
2 2
ственно равны их действительные и мнимые части, т. е. 1
2,
,
.
если 1
1
2
2
Определение 3. Комплексное число ´0, 1µ называется мнимой единицей и обозначается символом
´0, 1µ.
Комплексное число ´Ü, 0µ отождествляется с действительным
Ü; комплексное число ´0, Ý µ — c мнимым.
числом Ü ´Ü, 0µ
0; число
Комплексное число ´0, 0µ называется нулем: ´0, 0µ
´1, 0µ 1 — единицей.
´, µи
Определение 4. Два комплексных числа
´ , µ, имеющие одинаковые действительные и противоположные мнимые части, называются сопряженными комплексными числами.
1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел
Выберем прямоугольную декартову систему координат на
является
евклидовой плоскости. Так как комплексное число
и , то естественной геопарой ´ , µ действительных чисел
10
Комплексные числа
[ Гл. 1
метрической интерпретацией комплексного числа является его
изображение точкой Å на плоскости с декартовыми координатами и (рис.1.1).
Каждая точка Å ´ , µ рассматривается как образ комплексного
´ , µ. Это условие устачисла
навливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех
точек плоскости и множеством всех
комплексных чисел. В таком истолковании евклидова плоскость называется комплексной плоскостью и
обозначается символом . Множество действительных чисел изобраРис. 1.1
жается на оси абсцисс и называется действительной осью, множество всех мнимых чисел —
на оси ординат (кроме точки Ç) и называется мнимой осью
(рис. 1.1).
Термины «комплексное число » и «точка » употребляются
как синонимы.
´ , µ можно интерпретировать как
Комплексное число
´ , µ с проекциями и (радиус-вектор точки
вектор
Å ´ , µµ (рис. 1.1).
Ö
1.3. Операции над комплексными числами
и
Определение 1. Суммой двух комплексных чисел
´ 2 , 2 µ называется комплексное число
2
1
·
2
´ 1·
2,
1
1
´
1, 1
µ
· 2µ
Операция нахождения суммы комплексных чисел называется
сложением. Вычитание комплексных чисел 1 и 2 определяется
как операция, обратная сложению.
Определение 2. Разностью двух комплексных чисел 1
´ 1 , 1 µ и 2 ´ 2, 2 µ называется комплексное число
1 2 , обладающее свойством · 2
1.
Используя определение равенства двух комплексных чисел,
нетрудно показать, что
1
2
2
´ 1 2,
1
2µ
Геометрически сложение и вычитание чисел 1
´ 1, 1µ и
´ 2, 2 µ производится по правилу сложения и вычитания
1.3 ]
Операции над комплексными числами
векторов
(рис. 1.2).
Ö1 ´
1, 1
µ
и
Ö2 ´
2, 2
y
11
µ: Ö Ö1 · Ö2 , Ö
Ö1 Ö2
¼
y
r
r2
r2
r'
r1
r1
x
O
x
O
Рис. 1.2
´
Определение 3. Произведением комплексных чисел 1
´ 2 , 2 µ называется комплексное число , равное
1, 1µ и 2
1 2
´
1
2
1 2,
1 2
·
1
2
µ
(1.1)
Нахождение произведения двух чисел называется умножением комплексных чисел.
´ 1, 1 µ на комплексное
Деление комплексного числа 1
число 2 ´ 2 , 2 µ, отличное от нуля, определяется как операция,
обратная умножению.
Определение 4. Частным двух комплексных чисел 1
´ 1, 1 µ и 2 ´ 2 , 2µ , 2 0, называется комплексное число
´ , µ, обладающее
свойством 2 ¡
1.
1
. По определению 3
Найдем
1
2 ¡
2
´ ¡ 2 ¡ 2 , 2 ¡ · 2 ¡ µ.
По определению 2 из § 1.1 равенства двух комплексных чисел
получаем систему уравнений относительно и :
2
2
которая при
2
·
2
1,
2
1,
0 имеет единственное решение
1 2
2
2
·
·
1 2
2
2
,
1 2
2
2
·
1 2
2
2
Таким образом, число
1
2
1 2
2
2
·
·
1 2
2
2
,
1 2
2
2
·
1 2
2
2
(1.2)
12
Комплексные числа
[ Гл. 1
Формулу (1.2) можно получить другим способом:
1
1
2
2
2
2
´ 1, 1µ ´ 2, 2µ ´ 1 2 · 1 2, 1 2 1 2µ
2
2
´ 2, 2µ ´ 2, 2µ
2 · 2, 2 2 · 2 2
´ 1 2 · 1 2, 1 2 1 2µ
1 2 · 1 2
, 1 22
2
2
2
2
2 · 2
2 · 2
2 ·
1 2
2
2
П р и м е р ы . Перемножить комплексные числа.
1. 1 ´2, 3µ ,
´1, 1µ.
2
´2 ¡ 1 3 ¡ 1, 2 ¡ 1 · 3 ¡ 1µ
По формуле (1.1)
1 2
´ 1, 5µ. 2
´0, 1µ ¡ ´0, 1µ ´0 1, 0µ 1, 2 1 .
2. ¡
3
2
16
4
¡
4
1 ¡
1;
;
4Ò
4
2
¡
4Ò 2
1;
·
1¡
4Ò 1
´ 1µ ¡ ´ 1µ
2
·
1;
4Ò 3
3. ¡
´ , µ ¡ ´ , µ
· 2.
4. Найти частное комплексных чисел
´1, 1µ.
Решение.
1;
;
3
2
1
2
´2, 3µ
´1, 1µ
´2, 3µ ¡ ´1, 1µ
´1, 1µ ¡ ´1, 1µ
´2 3, 2 · 3µ
12 · 12
´2, 3µ
1
´ 1, 5µ
2
и
2
12 , 52
Á
Непосредственной проверкой можно установить, что для введенных арифметических операций справедливы законы:
1) переместительный (коммутативный) закон сложения:
1
·
2
2
·
1;
2) переместительный (коммутативный) закон умножения:
1 2
2 1;
3) сочетательный (ассоциативный) закон сложения:
´ 1 · 2µ ·
3
1
· ´ 2 · 3µ ;
4) сочетательный (ассоциативный) закон умножения:
´
1 2
µ¡
3
1
´
2 3
µ;
5) распределительный (дистрибутивный) закон:
6)
´
,
µ
´ 1 · 2µ 3
´ , µ , ¾ Ê.
1 3
·
2 3;
1.4 ]
Различные формы записи комплексного числа
13
1.4. Различные формы записи комплексного числа
Первая форма записи:
´ , µ — упорядоченная пара действительных чисел и (определение 1 из § 1.1).
Вторая форма записи — алгебраическая:
·
,
где — мнимая единица.
´ , µ ´ , 0µ · ´0, µ · ´0, 1µ ·
Действительно,
· . Очевиден переход от алгебраической формы записи к паре
´ , µ.
Легко проверить, что формула (1.1) получается при перемножении 1
1 ·
1 и 2
2 ·
2 по обычным правилам
умножения многочлена на многочлен:
´ 1 · 1µ ´ 2 · 2µ
1 2
·
1 2
1
·
2 · 212
2· ´ 1 2·
2 1
1
2 1
µ
Третья форма записи — тригонометрическая. Первая и
вторая формы записи комплексных чисел дают представление
комплексных чисел в декартовых координатах (см. § 1.2.). По0 можно записать в
кажем, что любое комплексное число
полярных координатах. Введем
полярную систему координат
следующим образом: полярную
ось совместим с положительной
полуосью ÇÜ, а полюс — с началом координат Ç.
Полярные координаты Ö и ³
точки
называются соответственно модулем и аргументом
комплексного числа (рис. 1.3).
Модуль и аргумент комплексноРис. 1.3
го числа соответственно обои Ö , т. е. Ö
, ³
Ö . Так как
значаются как
Ö Ó× ³,
Ö × Ò ³, то
·
Ö Ó× ³ · Ö × Ò ³
Ö ´ Ó× ³ · × Ò ³µ,
´ Ó× Ö · × Ò Ö µ
(1.3)
Формула (1.3) называется тригонометрической формой записи комплексного числа .
0 определен с точностью до слагаемого
Аргумент числа
2 , где — любое целое число. Среди всех значений Ö одно
14
Комплексные числа
[ Гл. 1
и только одно значение ³0 удовлетворяет условию ³0
,
которое называется главным значением аргумента и обознача³0
Ö . Следовательно,
ется через Ö
Ö
Ö ·2
¾
,
З а д а ч а . Найти модуль и Ö
для комплексного числа
0.
Решение. Из прямоугольного треугольника (см. рис. 1.3)
Ô
Так как
2
Ö
2
0, то
Рис. 1.4
·
2,
Ø
,
³
0
ÖØ
, то
2
ÖØ
при
0 ´рис. 1.4µ ,
Ö Ø · при 0, 0 ´рис. 1.5µ ,
Ö Ø при 0, 0 ´рис. 1.6µ ,
2
Если
2
при
0,
при
0и
0,
Ö
0,
0
не определен.
Рис. 1.5
Рис. 1.6
Четвертая форма записи — показательная:
³,
(1.4)
и ³ — соответственно модуль и аргумент комплексного
где
числа,
³
Ó× ³ · × Ò ³ — формула Эйлера
П р и м е р ы . Представить комплексные числа в тригонометрической форме.
1.5 ]
Представление произведения и частного комплексных чисел
Ô
15
1.
1 3 .
Решение. Комплексное число
Õ расположено в третьей чет-
Ô
Ô ¡2
1,
3.
´ 1µ2 · 3
2, Ö
Ô
Ö Ø 13 23 . По формуле (1.3) имеем
3
Ô
1 3 2 Ó× 23 · 2 · × Ò 23 · 2
,
¾
Ô
2
· × Ò 23 .
При
0 имеем 1 3 2 Ó× 3
4.
2.
4,
Ö
,
Ö
·2 , ¾ .
Решение.
4 4 Ó× ´ · 2 µ · × Ò ´ · 2 µ Á
верти:
1.5. Представление произведения и частного
комплексных чисел, заданных
в тригонометрической форме
З а д а ч а 1 . Даны два комплексных числа
1
1 ´ Ó× ³1 · × Ò ³1 µ , 2
2 ´ Ó× ³2 · × Ò ³2 µ
Найти
´ Ó× ³ · × Ò ³µ 1 ¡ 2.
Решение.
1¡ 2
1 ´ Ó× ³1 · × Ò ³1 µ ¡ 2 ´ Ó× ³2 · × Ò ³2 µ
1 ¡ 2 ´ Ó× ³1 ¡ Ó× ³2 × Ò ³1 ¡ × Ò ³2 µ ·
· ´× Ò ³1 ¡ Ó× ³2 · × Ò ³2 ¡ Ó× ³1µ
Ó× ´³1 · ³2 µ · × Ò ´³1 · ³2µ
1 ¡ 2
Таким образом, при умножении двух комплексных чисел их
модули перемножаются (
1 ¡ 2 µ, а аргументы складываются (³ ³1 · ³2 µ.
З а д а ч а 2 . Найти частное двух комплексных чисел
´ Ó× ³1 · × Ò ³1µ , 2
Решение.
´ Ó× ³ · × Ò ³µ
1
1
1
2
1
´ Ó× ³2 · × Ò ³2µ
2
´ Ó× ³1 · × Ò ³1 µ
1 ´ Ó× ³1 · × Ò ³1 µ ´ Ó× ³2 × Ò ³2 µ
´ Ó× ³2 · × Ò ³2 µ
2 ´ Ó× ³2 · × Ò ³2 µ ´ Ó× ³2 × Ò ³2 µ
Ó× ³1 ¡ Ó× ³2 · × Ò ³1 ¡ × Ò ³2 · ´× Ò ³1 ¡ Ó× ³2 × Ò ³2 ¡ Ó× ³1 µ
Ó×2 ³2 · × Ò2 ³2
1
2
2
1
2
1
2
´ Ó×´³1 ³2 µ · × Ò´³1 ³2µµ
16
Комплексные числа
[ Гл. 1
Следовательно, при делении комплексных чисел, заданных в
тригонометрической форме, модуль делимого делится на мо1
дуль делителя
аргумент делителя ´³
П р и м е р . Найти
Ô
1 2
, а из аргумента делимого вычитается
³1
1
¡
³2µ.
и
2
1
2
, если
1
1 ·
и
2
3 , представив их сначала в тригонометрической форме.
Ô
Ö 1 Ö Ø ´ 1µ · 34 ,
Ô
2,
Ö 2 Ö Ø ´ 3 µ 3 ,
2
Ô
3
2 ¡ 2 Ó×
3 · × Ò 34 3
1¡ 2
4
Ô
5
2 2 Ó×
· × Ò 512 ,
12
Ô Ò
Ó
2
3
3
Ó×
·
×
Ò
2
4
3
3
Ô4
2
Ó× 1312 · × Ò 1312
Á
2
Решение.
2,
1
1
2
1.6. Возведение в степень. Формула Муавра
¡ ´ Ó× ³ · × Ò ³µ. Справедлива формула
Ò
Ò
´ Ó× Ò³ · × Ò Ò³µ ,
Пусть
(1.5)
где Ò — натуральное число.
Доказательство.
¡ ¡ßÞ ¡
Ò
3
2
¡
,
¡
2
Ò раз
2
´ Ó× 2³ · × Ò 2³µ ,
´ Ó× 3³ · × Ò 3³µ , , Ò Ò 1 ¡
1
´ Ó× ´Ò 1µ ³ · × Ò ´Ò 1µ ³µ ¡ ´ Ó× ³ · × Ò ³µ
Ò
´ Ó× Ò³ · × Ò Ò³µ ,
3
Ò получена формула (1.5).
Формула (1.5) называется формулой Муавра.
Вывод: при возведении комплексного числа в натуральную
степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
П р и м е р . Найти 1 ·
Ô
3
18
.
1.7 ]
1·
Решение.
1·
Ô
3
18
Ô
Извлечение корня
3
17
Ó× 3 · × Ò 3
2
. Имеем
18
2
218
Ó× 3 · × Ò 3
Ó× 18 ¡ 3 · × Ò 18 ¡ 3
262144 ´ Ó× 6 · × Ò 6 µ
Á
262144
1.7. Извлечение корня
Пусть дано комплексное число
0.
Определение. Корнем натуральной степени Ò из числа
´ Ó× ³ · × Ò ³µ называется такое комплексное число Û
Û ´ Ó× · × Ò µ, Ò-я степень которого равна , т. е. ÛÒ
.
Теорема. При
0 существуют ровно Ò различных корней
Ô
Û из числа Ò , которые вычисляются по формулам
Û
Ô
Ò
Ó× Ö Ò· 2 · × Ò Ö Ò· 2
,
(1.6)
Ô
где Ò
арифметический корень из положительного числа
,
0, 1, , Ò 1.
. Применяя формулу (1.5) возведения
По определению ÛÒ
комплексного числа Û в натуральную степень Ò, получаем
ÛÒ
´ Ó× Ò · × Ò Ò µ
´ Ó× ³ · × Ò ³µ
Так как комплексные числа равны, то их модули равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное 2 . Поэтому
ÛÒ
Отсюда находим
Û
где
Ô
Ò
Ò
,
³
·2
³·2
Ò
,
— любое целое число.
Следовательно,
Û
где
,
Ô
´ Ó× · × Ò µ Ò
Ó× ³ ·Ò2 · × Ò ³ ·Ò2
0, ¦1,
Ô
Ò
0 µ Û0
Ó× ³Ò · × Ò ³Ò ,
Ô
Ò
1 µ Û1
Ó× ³Ò · 2Ò · × Ò ³Ò · 2Ò ,
Û
,
18
Комплексные числа
Ô
Ò
2 µ Û2
Ó×
³
Ò
[ Гл. 1
· 2 ¡ 2Ò · × Ò
³
Ò
· 2 ¡ 2Ò
,
1 µÔÛÒ Ò1
Ó
Ò
Ó× ³Ò · ´Ò 1µ 2Ò · × Ò ³Ò · ´Ò 1µ 2Ò ,
Ô
Ò
Ò µ ÛÒ
Ó× ³Ò · Ò ¡ 2Ò · × Ò ³Ò · Ò ¡ 2Ò
Ô
Ò
Ó× ³Ò · × Ò ³Ò Û0
Ò
Очевидно, что ÛÒ·1 Û1 , Û 1 ÛÒ 1 ,
Таким образом, среди Û , которые вычисляются по формуле (1.6), различными являются только Ò. Целым числам
можно придавать последовательно Ò значений, например
0, 1, , Ò 1.
Из формулы (1.6) следует, что все комплексныеÔчисла
Û ´
0, 1, , Ò 1µ имеют один и тот же модуль Ò
, а
аргументы точек Û и Û ·1 отличаются друг от друга на 2 Ò.
Следовательно, комплексные
числа Û располагаются на окружÔ
Ò
с центром в начале координат в
ности радиусом Ê
вершинах правильного Ò-угольника.
Ô
П р и м е р 1 . Найти 3 1 .
Ó× 0 ·
Решение. Так как 1
имеем
Ô3
Ô3
1
Û
0, 1, 2. При
Ó× 0 · × Ò 0
0
при
1
Û1
Ó×
2
3
Û2
Ó×
4
3
2
Сделаем проверку: Û03
Û13
Ó× 23 · × Ò 23
Û23
Ó× 43
то по формуле (1.6)
Ó× 0 ·32 · × Ò 0 ·32
Ó× 0 · × Ò 0
Û0
при
× Ò 0,
1;
· ×Ò
2
3
·
· ×Ò
4
3
13
,
1
2
1
2
Ô
3
2
;
Ô
3
2
1,
3
Ó× 3 ¡ 23 · × Ò 3 ¡ 23
Ó× 2 · × Ò 2
3
· × Ò 43
Ó× 4 · × Ò 4 1,
1,
1.8 ]
Задачи для самостоятельной работы
19
т. е. при возведении в куб чисел Û0 ,Û1 и Û2 получаем подкоренное число 1. Á
П р и м е р 2 . Решить уравнение Ü2 · 1 0.
Решение. Ü2 1,
Ô
Ô
Ó× ·22 · × Ò ·22
0, 1, Ü0
Ó× 2 · × Ò 2 ,
Ü1
Ó× ·2 2 · × Ò ·2 2
Ó× 32 · × Ò 32 2
Проверка. Ü20
1; Ü21 ´ µ2 1 Á
Ответ: ; .
1
Ü
Ó× · × Ò
,
1.8. Задачи для самостоятельной работы
1. Найти действительные решения уравнений:
а) ´2 · 8 µ Ü · ´ 3 ·
µ Ý 3 ·
; б) ´1 · 2 µ Ü · ´1 2 µ Ý
0
2. Представить комплексное число в алгебраической форме:
а)
· 22 · 2 3·
;
б)
·
´ · µ ´
1
2
1
µ2
3. Записать в тригонометрической форме числа:
а) 1 ;
в)
Ô
2 ; д) 5,
Ö
взяв для аргумента главное значение, т. е. б) ;
3
;
г)
.
4. Представить комплексные числа в показательной форме
(использовать Ö µ:
а)
1;
б) ;
2 ;
в)
5. Вычислить:
а)
г)
¡ ;
Ô
1 · 3
Ô6
б) ´1 ·
30
;
6. Найти: а) 1 ; б)
7. Решить уравнения:
а) Þ 6 1
г)
0;
д)
Ô4
1 1·
Ô
µ10 ;
3
;
3
;
д) 1 ·
в) ´1 е)
Ô
µ10 ;
3 1 1 .
б) Þ 3 · 1
0;
в) Þ 2 · 2Þ · 5
0
6
20
Комплексные числа
[ Гл. 1
8. Найти множества точек на комплексной плоскости
определяются условиями:
1;
а) Þ
г) Ê Þ 2;
Ö Þ
ж) 4
б) Þ 1
1;
д) Ö
Þ
Ê;
; з) Þ 1 · Þ · 1
4
, которые
в) Þ 1 е) Þ
2;
3; и) ÁÑ Þ 0
2;
9. Найти линии, заданные уравнениями:
´1 µ Ø;
Ø· ;
Ø
а) Þ
в) Þ
б) Þ
г) Þ
´ Ó× Ø · × Ò Øµ ,
Þ0 · Ê ³ , Ê 0
0;
10. Написать в комплексной форме уравнения следующих линий:
а) прямой Ü · Ý ·
в) прямой Ý Ü;
0; б) окружности Ü2 · Ý 2 2Ü 2Ý
г) координатных осей ÇÜ и ÇÝ
0;
1.9. Ответы
1. а) Выделим в левой части уравнения действительную и мнимую части:
´2Ü 3ݵ · ´8Ü · ݵ 3 ·
По определению равенства комплексных чисел имеем систему:
2Ü 3Ý
8Ü · Ý
решение которой Ü
б) Ü 0, Ý 0.
2. а)
2 3·
· 22 · 1,1 · 0,3 ; б)
2
г)
1,
1.
´2 µ ´3 µ · ´2 · µ2
2´3 ·2 ¡µ ´3 µ ´2 µ ´2 · µ
· ¡
2
2 2
· 3 ·5 4
5 5
10
.
1, ÁÑ
1,
Ôимеем Ê
2, Ö
Ö Ø ´ 1µ 4 , так как
Ô
0. Таким образом, 1 2 Ó× · × Ò 4 ;
4
Ô
Ó× 2 · × Ò 2 ; в) 3 2 Ó× 56 · × Ò 56 ;
2 2 Ó× 2 · × Ò 2 ; д) 5 5 ´ Ó× 0 · × Ò 0µ
Ô
2
2
5
6
4
3. Ôа) для числа
2· 2,
б)
0, Ý
3,
4. а)
; б)
1 1·1
Ô
; в) 2
; г) 2
; д)
2
.
1.9 ]
Ответы
21
2
5. а)
; б) 32 . Ук а з а н и е . 1 · записать в тригонометрической форме и применить формулу Муавра; в) 32 ; г) 230 ;
д) . Решение.
Ó× 32
1 1·
Ô Ô2
3
· × Ò 32
6. а) Ук а з а н и е . Þ
2
Ô6
1
4
3
¡
2 3
3
2
4
; е) 8 .
Ó× 0 ·62 · × Ò 0 ·62
Ô
Ô
,
0, 5.
· 23 , Þ2 12 · 23 ,
Ô
Ô
1
3
1
3
Þ3 1, Þ4 , Þ5
2
2
2
2
Ô8
Ô8
7
б) Û0
2 Ó× × Ò
, Û1
2 Ó×
· × Ò 167 ,
16
16
16
Ô8
Ô8
15
23
Û2
2 Ó×
· × Ò 15
, Û3
2 Ó×
· × Ò 23
.
16
16
16
16
Ô
Ô
1
· 23 ; Þ1 1; Þ2 12 23 .
7. а) см. 6, а; б) Þ0
2
в) Þ1 1 · 2 ; Þ2 1 2
8. а) Окружность Ü2 · Ý 2 1; б) окружность радиусом Ê 1 с
центром в точке Þ0 1; в) круг радиусом Ê 2 с центром в точке
Þ0
1 · ; г) Ü 2 – полуплоскость; д) кольцо, ограниченное
Þ0
1,
Þ1
1
2
окружностями радиусами Ö и Ê с центром в точке Þ0
0;
е) точки плоскости , расположенные вне круга радиусом Ê 2
с центром в точке Þ0 0; ж) замкнутая область, ограниченная
4 и Ö Þ 4 ; з) эллипс с фокусами ¦1;
лучами Ö Þ
и) верхняя полуплоскость Ý 0.
2 ; в) гипербола
9. а) Прямая Ý Ü; б) окружность Ü2 · Ý 2
1
Ý
; г) окружность ´Ü Ü0 µ2 · ´Ý Ý0 µ2 Ê2 .
Ü
10. а) Решение. Þ Ü · Ý , Þ Ü Ý , отсюда
Þ Þ
Þ·Þ
Ü
, Ý
,
2
2
· Ý·
´Þ · Þµ · ´Þ Þµ · 2 0
или
´ µÞ · ´ · µÞ · 2 0
Обозначив ·
, получим уравнение прямой в комплексной
форме:
Þ· Þ·2
0;
0; в) Þ · Þ · ´Þ Þ µ
0;
б) ÞÞ ´1 µ Þ ´1 · µ Þ
г)Þ Þ 0 и Þ · Þ 0.
Ü
2.
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
2.1. Предел последовательности
Определение 1. Комплексное число Þ0 Ü0 · Ý0 называется пределом последовательности комплексных чисел ÞÒ
ÜÒ · ÝÒ , Ò 1, 2, , если
0 Ò0 ´Ò0 ¾ µ, такое что
.
для всех Ò Ò0 выполняется неравенство ÞÒ Þ0
Последовательность ÞÒ , имеющая конечный предел, наÞ0 или
зывается сходящейся и обозначается как Ð Ñ ÞÒ
Ò ·½
ÞÒ
Þ0 , Ò
·½.
Определению 1 можно придать
геометрическое представление. Введем понятие окрестности точки на
комплексной плоскости .
Определение 2. Окрестностью
точки Þ0 радиусом Æ называется множество точек Þ , удовлетворяющих
Æ (рис. 2.1).
неравенству Þ Þ0
Определение 1 можно сформулировать следующим образом: число Þ0
Рис. 2.1
называется пределом последователь0
Ò0 ¾ ,
ности ÞÒ , если
, т. е. все точки ÞÒ ,
такое что для всех Ò Ò0 µ ÞÒ Þ0
для которых Ò Ò0 , принадлежат -окрестности точки Þ0 .
Так как ÜÒ Ü0
ÞÒ Þ0 и ÝÒ Ý0
ÞÒ Þ0 , то при
Ò Ò0
ÜÒ Ü0
и ÝÒ Ý0
, т. е.
Æ
Æ
Ò
Ð Ñ·
½
ÞÒ
Þ0
µ Ò Ð Ñ·
½
ÜÒ
Ü0 ,
Ò
Ð Ñ·
½
Справедливо и обратное утверждение. Если
Ò
Ð Ñ·
½
ÝÒ
Ý0 , то ÜÒ
Ü0
Ô и ÝÒ Ý0
2
ÝÒ
Ò
Ý0
Ð Ñ·
½
Ô при Ò
2
ÞÒ Þ0
ÜÒ · ÝÒ ´Ü0 ·
ÕСледовательно,
´ÜÒ Ü0 µ2 · ´ÝÒ Ý0µ2 , т. е. Ò Ð Ñ· ÞÒ Þ0.
½
Ü0 и
ÜÒ
´ µ.
Ò
Ý0
µ
2.2 ]
Расширенная комплексная плоскость
Вывод. Соотношение Ð Ñ ´ÜÒ · ÝÒ µ
Ò ·½
лентно двум соотношениям:
Ò
Ð Ñ·
½
ÜÒ
Ü0 ,
Ò
Ð Ñ·
½
ÝÒ
Ü0
23
·
Ý0 эквива-
Ý0
Отсюда следует, что теорию пределов последовательностей
действительных чисел можно перенести на последовательность комплексных чисел.
Например, критерий Коши сходимости последовательности
ÞÒ формулируется следующим образом: последовательность
ÞÒ сходится в том и только в том случае, если
0
Ò0 ¾ , такое что Ò Ò0 и Ñ ¾
справедливо неравенство
ÞÒ·Ñ ÞÒ
.
Æ
Æ
2.2. Расширенная комплексная плоскость
В теории функций комплексного переменного к множеству
комплексных чисел (собственных) добавляют еще одно несобственное число, обозначаемое символом ½. Оно называется бесконечно удаленной точкой.
вместе с бесконечно удаленной
Комплексную плоскость
точкой Þ ½ будем называть расширенной комплексной плоскостью и обозначать ее через .
Определение 1. Æ -окрестностью бесконечно удаленной точки
Þ ½ называется внешность круга с центром в начале коордиÆ.
нат и радиусом Æ , т. е. множество точек Þ , для которых Þ
Определение 2. Несобственное комплексное число Þ
½
называется пределом последовательности ÞÒ , если Æ
0
Ò0 ´Ò0 ¾ µ, такое что при Ò Ò0 µ ÞÒ
Æ.
0
Ò, то условие Ð Ñ ÞÒ
½ эквивалентЕсли ÞÒ
Æ
но условию
ÐÑ
Ò ·
½
ÞÒ
ÐÑ
Ò ·
·½.
½
1
ÞÒ
Ò
·
½
0, а также эквивалентно условию
По определению ½
½
0,
¦
½, ¦ ½ ½, ½ ¡ « ½,
½, где ¾ , « ¾ и « 0.
Несобственное комплексное число Þ ½ изображают геомет-
½ ¡ ½ ½, ½
рически с помощью представления комплексных чисел точками
сферы. Построим сферу Ë радиусом 1, касающуюся в точке Þ 0
плоскости . Пусть ÆÇ — диаметр сферы, перпендикулярный к
¾ проецируется в точку Å на
плоскости . Любая точка
сфере Ë , являющуюся точкой пересечения сферы с прямой Æ .
24
Предел и непрерывность
Таким образом, любой точке
и, обратно, каждой точке Å
¾Ë
Рис. 2.2
[ Гл. 2
¾ соответствует точка Å ¾
¾ Ë , отличной от Æ , соответствует точка ¾ .
Рассмотрим
последовательность
Ò , сходящуюся
к несобственному числу ½.
Очевидно, что изображения
ÅÒ ¾ Ë точек
с
Ò ¾
ростом Ò будут приближаться
к точке Æ . Условились
бесконечно удаленной точке
Þ ½ ставить в соответствие
точку Æ на сфере Ë . Следовательно, геометрическим
представлением расширенной
комплексной плоскости
является сфера Ë (рис. 2.2).
2.3. Понятие области и непрерывной кривой
Определение 1. Областью
на комплексной плоскости
называют множество точек, обладающее следующими свойствами:
свойство открытости вместе с каждой точкой из области
этому множеству принадлежат также точки достаточно
малого круга с центром в этой же точке;
можно
свойство связности: любые две точки области
соединить ломаной, состоящей из точек этой области.
П р и м е р 1 . Окрестность точки
Þ радиусом
является областью.
называется граничной точкой
Определение 2. Точка Å ¾
области , если в любой ее окрестности лежат точки области .
называется границей
Совокупность граничных точек области
этой области.
с присоединенной к ней граниОпределение 3. Область
цей называют замкнутой областью и обозначают через .
Пусть функция
Þ Þ ´Øµ ܴص · Ý ´Øµ
(2.1)
определена в промежутке Ø0 ; Ì действительного переменного Ø.
Если действительные функции ܴص и Ý ´Øµ непрерывны на Ø0 ; Ì ,
то уравнение (2.1) определяет непрерывную кривую на комплексной плоскости . Переменная Ø в уравнении (2.1) называется
2.3 ]
Понятие области и непрерывной кривой
25
параметром, а уравнение (2.1) — уравнением кривой в параметрической форме. Непрерывная кривая называется кривой
Жордана, если различным значениям параметра Ø (за исключением, быть может, значений Ø0 и Ì µ соответствуют различные
значения Þ ´Øµ.
Если Þ ´Ø0 µ Þ ´Ì µ, то кривая Жордана называется замкнутой.
Если при обходе замкнутой кривой ограничиваемая ее область
остается слева, то направление обхода называется положительным.
Жордан доказал, что замкнутая жорданова кривая делит расна две области — внутренширенную комплексную плоскость
нюю (ограничена) и внешнюю (не ограничена, содержит точку
Þ ½µ.
Æ делит
на внутренП р и м е р 2 . Окружность Þ Þ0
Æ и внешнюю область Þ Þ0
Æ.
нюю область Þ Þ0
П р и м е р 3 . Уравнение Þ
Ø, 1 Ø 1, определяет урав до точки Þ .
нение отрезка мнимой оси от точки Þ
Кривая является жордановой.
Þ0 · ´ Ó× Ø · × Ò Øµ, 0
Ø
П р и м е р 4 . Уравнение Þ
2 , Þ0 — комплексное число, — действительное положительс центром в
ное число, определяет окружность радиусом
точке Þ0 . Окружность — жорданова замкнутая кривая, так как
Þ ´0µ Þ ´2 µ Þ0 · ; Þ ´Ø1 µ Þ ´Ø2 µ для любых Ø1 и Ø2 из интервала ´0 ; 2 µ.
называется односвязной, если люОпределение. Область
бая жорданова замкнутая кривая Ä, проведенная в области ,
(рис. 2.3).
ограничивает некоторую область
y
L
D
E
G
x
O
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Область, не обладающую этим свойством, будем называть
ограничена
многосвязной (рис. 2.4). Односвязная область
одной жордановой замкнутой линией ÿ (на рис. 2.3 область
не заштрихована). На рис. 2.4 область
(не заштрихована) —
двусвязная. Ее граница состоит из двух не пересекающихся жор-
26
Предел и непрерывность
дановых замкнутых линий
y
G2 D
a
G1
g
G3
x
O
Рис. 2.5
[ Гл. 2
ÿ1 и ÿ2 . Линию ÿ1 назовем внешней
линией, линию ÿ2 — внутренней.
Область является двусвязной и в
том случае, если внутренняя линия ÿ2 вырождается в незамкнутую линию или в точку.
На рис. 2.5 изображена пятисвязная область , ее граница ÿ
объединяет внешнюю жорданову
замкнутую кривую ÿ1 и внутренние линии ÿ2 , ÿ3 , ­ и точку «.
2.4. Определение функции
Пусть
— некоторое множество точек расширенной комплексной плоскости .
поОпределение. Если каждому комплексному числу Þ ¾
ставлены в соответствие одно или несколько комплексных чисел
Û, то говорят, что на
определена функция комплексного пере´Þµ.
менного Þ : Û
соответствует одно значение Û, то
Если каждому Þ ¾
функция называется однозначной; если хотя бы одному значению Þ соответствует два или более значений Û, то — многозначной.
называется областью определения функции
Множество
Û
´Þµ и обозначается символом ´ µ; множество всех
значений Û, которые функция ´Þ µ принимает на , называется
множеством значений функции и обозначается символом ´ µ.
расположено на действиЗ а м е ч а н и е . Если множество
тельной оси, то приходим к функции действительного переменного Ü.
Введем обозначения: Þ Ü · Ý , Û Ù · Ú .
´Þµ равносильно заданию на
Тогда задание функции Û
двух действительных функций Ù Ù´Ü, Ý µ и Ú
множестве
Ú ´Ü, Ý µ от двух действительных переменных Ü и Ý : Ê Û
Ù ´Ü, Ý µ, ÁÑ Û Ú ´Ü, Ý µ.
П р и м е р . Для функции Û Þ 2 найти Ê Û и ÁÑ Û.
Решение. Û Þ 2 ´Ü · Ý µ2 Ü2 Ý 2 · 2ÜÝ , следовательно,
Ê Û Ù´Ü, ݵ Ü2 Ý2, ÁÑ Û Ú´Ü, ݵ 2ÜÝ Á
Геометрическая интерпретация понятия функции ´Þ µ заключается в следующем. Пусть даны две расширенные комплексные
2.5 ]
Предел функции
27
Ï
плоскости и . Функция комплексного переменного Û
´Þµ
отображает множество
на множество
(рис. 2.6).
называется образом точки Þ ¾ , а точка Þ —
Точка Û ¾
прообразом точки Û.
Ï
v
y
D
C
W
w
z
O
G
x
u
O'
Рис. 2.6
Введем определение обратной функции. Пусть дана функ´Þµ, отображающая множество на множество .
ция Û
1
´Ûµ называется обратной к функции Û ´Þµ,
Функция Þ
если каждой точке Û ¾ ставится в соответствие совокупность
´Þµ отображаются
всех тех точек Þ ¾ , которые функцией Û
в точку Û.
´Þµ — однозначная функция в . Если двум
Пусть Û
соответствуют разные образы
любым прообразам Þ1 Þ2 из
Û1
Û2 , то отображение Û
´Þµ называется взаимно однозначным или однолистным, а сама функция Û
´Þµ — однолистной.
2.5. Предел функции
Пусть однозначная функция Û
´Þµ определена в окрестности точки Þ0 , за исключением, быть может, самой точки.
Определение 1 (на языке последовательности). Комплексное
´Þµ в точке Þ Þ0,
число называется пределом функции Û
если для любой последовательности ÞÒ (Ò 1, 2, ; ÞÒ Þ0 ),
´ÞÒµ
сходящейся к Þ0 , соответствующая последовательность
значений функции ´Þ µ сходится к (
Ð Ñ ´Þµ).
Þ Þ0
называется пределом
Определение 2. Комплексное число
´Þµ в точке Þ Þ0, если для любого
0
функции Û
0, такое, что для всех точек из Æ -окрестности Þ0
найдется Æ
(кроме, может быть, самой точки Þ0 µ соответствующие точки Û
лежат в -окрестности , т. е. из неравенств 0
Þ Þ0
Æ
вытекает ´Þ µ .
Определения 1 и 2 эквивалентны.
28
Предел и непрерывность
Следует подчеркнуть, что
Ð Ñ ´Þ µ
[ Гл. 2
независимо от спосо-
Þ Þ0
ба приближения точки Þ к точке Þ0 (например, по любой линии
Þ0 µ.
или любой последовательности точек ÞÒ
Введем обозначения:
· , ´Þµ Ù´Ü, ݵ · Ú´Ü, ݵ,
Þ0 Ü0 · Ý0 ; тогда Ð Ñ , Ù´Ü, Ý µ
, ÜÐ Ñ
Ú ´ Ü, Ý µ
.
Ü Ü
Ü,
0
0
Ý Ý0
Ý Ý0
Отсюда очевидны следующие свойства:
Ð Ñ ´ ´Þµ ¦ ´Þµµ
Ð Ñ ´ ´Þµ ¡ ´Þµµ
Þ Þ
Þ Þ0
0
Ð Ñ ´´ÞÞµµ
Þ Þ0
Ð Ñ ´Þµ ¦ ÞÐ ÑÞ ´Þµ,
Ð Ñ ´Þµ ¡ ÞÐ ÑÞ ´Þµ,
Þ Þ
Þ Þ0
Ð Ñ ´Þ µ
Þ Þ
Ð Ñ ´Þ µ
Þ Þ
0
0
0
0
0
Ð Ñ ´Þµ
Þ Þ0
(2.2)
0 ,
при условии что пределы в правых частях равенств (2.2) существуют.
Аналогично рассматривается случай для несобственной точки Þ ½. Пусть однозначная функция определена в некоторой
окрестности точки Þ ½.
Определение 3. Число ¾ называется пределом функции
Û
´Þµ в точке Þ ½, если для любого 0 найдется Æ ´ µ
0 такое, что для всех Þ , удовлетворяющих неравенству Þ
Æ,
.
следует ´Þ µ Определение 4. Функция Û
´Þµ имеет своим предеÞ0 , если для любого Å
0 найдется талом ½ при Þ
кая Æ -окрестность точки Þ0 , что для всех точек Þ , удовлетвоÞ Þ0
Æ , выполняется неравенство
ряющих неравенству 0
´Þµ Å .
´Þµ называется бесконечно
Определение 5. Функция Û
малой при Þ
Þ0 , если Ð Ñ ´Þ µ 0.
Þ Þ0
Определение бесконечно малой функции легко сформулировать на языке определений 1 и 2.
2.6. Непрерывность функции
Пусть однозначная функция Û
´Þµ определена в облаи точка Þ0 ¾ .
´Þµ называется непрерывной
Определение 1. Функция Û
в точке Þ0 , если предел ´Þ µсуществует в этой точке и равен
´Þ0µ, т. е. если для любого 0 существует такое число Æ 0,
Æ выполняется неравенство ´Þ µ ´Þ0 µ
.
что при Þ Þ0
сти
2.7 ]
Задачи для самостоятельной работы
29
Определение 2. Функция ´Þ µ, непрерывная в каждой точке
области , называется непрерывной в этой области.
Ü0 · Ý0 , ´Þ µ
Ù´Ü, Ý µ · Ú ´Ü, Ý µ, ´Þ0 µ
Полагая Þ0
Ù´Ü0 , Ý0 µ · Ú ´Ü0 , Ý0 µ, легко показать, что определение непрерывности функции ´Þ µ в точке Þ0 эквивалентно следующим
двум условиям:
Ð Ñ Ù´Ü, ݵ
Ü Ü0 ,
Ý Ý0
´
µ
Ù Ü0 , Ý0 ,
Ð Ñ Ú´Ü, ݵ
Ü Ü0 ,
Ý Ý0
´
Ú Ü0 , Ý0
µ
Таким образом, функция Û
´Þµ непрерывна в точке Þ0
тогда и только тогда, когда функции Ù´Ü, Ý µ и Ú ´Ü, Ý µ непрерывны
в этой же точке. Поэтому все свойства непрерывных функций
двух действительных переменных переносятся без изменений на
функции комплексного переменного.
2.7. Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать, что линейная функция Û
Þ · в точке Þ0 имеет
Þ0 · (
0, — комплексные числа).
предел Û0
2Þ · 1
1.
2. Доказать, что Ð Ñ
Þ 1 Þ·2
Ó× 2Þ .
Þ2 3 Þ 2
; б) Ð Ñ
3. Вычислить пределы: а) Ð Ñ
Þ
Þ
· × Þ
Þ
Þ
4
4. Доказать, что следующие функции непрерывны на комплексной плоскости:
а) Û Þ ; б) Û Þ 2 ; в) Û ÁÑ Þ ; г) Û
Þ.
Решение задачи 1. Пусть
Æ
0 такое, чтобы Û Û0
как Û Û0
Þ
Þ0
Æ
, будем иметь Û Û0
´ · µ ´
0 — любое число. Найдем
при 0
Þ Þ0
Æ . Так
· µ
¡ Þ Þ0 , то, выбрав
при 0
Þ Þ0
Á
Решение задачи 4,б. Пусть Þ0 — любая точка комплексной
,
0 — любое положительное число. Так как
плоскости
Þ
Þ0 , то существует положительное число Å , при котором
Þ
Å и Þ0
Å . Тогда
¬¬ 2 2¬¬
¬Þ Þ0 ¬
Þ
· Þ0 ¡ Þ Þ0
Þ
Þ0 ¡ ´ Þ · Þ0 µ
¬¬ 2 2¬¬
Þ Þ0
2Å
2Å Þ Þ0
Выбрав Æ
, будем иметь
. Следо2Å
2Å
выполняется неравенство
вательно, для всех Þ Þ Þ0
2Å
¬¬ 2 2¬¬
2
Þ Þ0
, т. е. Û Þ — непрерывная функция. Á
3.
ПРОИЗВОДНАЯ
3.1. Определение производной
Пусть в области
определена однозначная функция ком´Þµ.
плексного переменного Û
и ´Þ0 · ¡Þ µ ¾
составим приращение
Для точек Þ0 ¾
´Þ0 · ¡Þµ ´Þ0µ, соответствующее приращефункции ¡Û
нию ¡Þ ´Þ0 · ¡Þ µ Þ0 .
´Þµ называется дифференциОпределение. Функция Û
руемой в точке Þ0 , если существует конечный предел
СÞÑ0 ¡¡ÛÞ ¼´Þ0µ
(3.1)
Этот предел
ке Þ0 .
¼
´Þ0µ называют производной функции ´Þµ в точ3.2. Дифференциал
Условие дифференцируемости функции Û
(3.1), запишем в виде
¡ ´Þ0µ
¼
´Þ0µ ¡ ¡Þ · Ó´¡Þµ,
´Þµ, используя
(3.2)
где Ó´¡Þ µ — бесконечно малая функция более высокого порядка
малости, чем ¡Þ (¡Þ
0).
´Þµ в точке
Определение. Дифференциалом функции Û
Þ0 называется линейная относительно ¡Þ часть ¼ ´Þ0 µ ¡ ¡Þ в равенстве (3.2). Дифференциал функции обозначается через Û.
Обозначая ¡Þ через Þ (дифференциал независимого перемен´Þµ:
ного), получаем формулу дифференциала функции Û
Û
¼
´Þµ
Þ
(3.3)
Если в равенстве (3.2) слагаемое, линейное относительно ¡Þ ,
отсутствует ´ ¼ ´Þ0 µ 0µ, то дифференциал функции полагают
равным нулю, т. е. формула (3.3) остается справедливой и в этом
случае.
З а м е ч а н и е . Используя равенство (3.2), легко показать,
´Þµ непрерывна
что дифференцируемая в точке Þ0 функция Û
в этой точке.
3.3 ] Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции 31
3.3. Необходимое и достаточное условия
дифференцируемости функции
Рассмотрим в области
однозначную функцию
´Þµ Ù´Ü, ݵ · Ú´Ü, ݵ
Дифференцируемость Ê Û Ù´Ü, Ý µ и ÁÑ Û
Û
Ú ´Ü, Ý µ не гарантирует дифференцируемость функции комплексного переменного. Приведем пример.
П р и м е р 1 . Исследовать дифференцируемость функции
Û Þ ¡ ÁÑ Þ .
Решение.
¡Û ´Þ · ¡Þµ ÁÑ ´Þ · ¡Þµ Þ ÁÑ Þ
(3.4)
¡Þ
¡Þ
Введем обозначения: Þ Ü · Ý , ¡Þ ¡Ü · ¡Ý . Вычислим
предел отношения (3.4) в точке Þ 0.
СÞÑ0 ¡¡ÛÞ ¡ÐÞÑ0 ¡Þ¡¡Þ¡Ý ¡ÐÞÑ0 ¡Ý 0
Следовательно, производная Û¼ ´0µ 0, функция Û Þ ¡ ÁÑ Þ
дифференцируема в точке Þ 0. Вычислим предел отношения
Þ по прямой, параллельной оси
(3.4) при Þ 0. Пусть Þ · ¡Þ
ÇÜ (рис. 3.1), т. е. ¡Ý 0, ¡Þ ¡Ü:
¡Û
´Ü · Ý · ¡Ü · ¡Ýµ ´Ý · ¡Ýµ ´Ü · ݵ Ý Ý
Ð
Ñ
Ð
Ñ
¡
Þ
¡Ü · ¡Ý
¡Ü 0,
¡Ü 0,
¡Ý
0
¡Ý
0
Рис. 3.1
Пусть Þ · ¡Þ
т. е. ¡Ü 0, ¡Þ
Рис. 3.2
Þ по прямой, параллельной оси ÇÝ (рис. 3.2),
Ý , тогда
¡Û Ü · 2 Ý 2Ý Ü
¡Þ 0 ¡Þ
¡
ÐÑ
Следовательно, предел отношения (3.4) не существует
2Ý Üµ при Þ
0. Функция Û
Þ ¡ ÁÑ Þ при Þ
0 не
дифференцируема.
´Ý
32
Производная
Ê
µ
Ê ´ ÁÑ µ
´
[ Гл. 3
µ
ÁÑ
Но
Û
Þ
Þ
Ù Ü, Ý
ÜÝ и мнимая часть
Û
Ý 2 — дифференцируемые функции при любых Ü
Ú Ü, Ý
и Ý . Следовательно, дифференцируемость
Û
Ù Ü, Ý и
Û
Ú Ü, Ý не гарантирует дифференцируемость функции
Þ .
комплексного переменного Û
Условия дифференцируемости функции
Þ
Ù Ü, Ý
Ú Ü, Ý дает следующая
Ù Ü, Ý
Ú Ü, Ý ,
Теорема. Для того чтобы функция Þ
определенная в области , была дифференцируема в точке
Þ
, необходимо и достаточно, чтобы функции Ù Ü, Ý и
Ú Ü, Ý были непрерывно дифференцируемы в той же точке,
как функции действительных переменных Ü и Ý , и чтобы,
кроме того, выполнялись условия
´
ÁÑ
´
· ´
µ
Ê
µ
´µ Á
´
Ù
Ý
´
µ·
µ· ´ µ
´ µ
¾
´ µ
Ú
,
Ý
µ
´µ
´µ
Ù
Ü
´
Ú
Ü
(3.5)
Условия (3.5) называются в литературе по разному: условия
Коши–Римана или Даламбера–Эйлера. Мы будем называть условия (3.5) условиями КРЭД (по начальным буквам всех четырех
авторов).
Доказательство.
´Þµ дифференцируема
Необходимость. Пусть функция Û
в точке Þ ¾ . Производная ¼ ´Þ µ существует независимо от
стремления приращения ¡Þ к нулю.
Пусть ¡Þ ¡Ü, тогда
¼
¼
СÞÑ0 ¡¡´ÞÞµ
СÜÑ 0 Ù ´Ü · ¡Ü¡, Ýܵ Ù ´Ü, ݵ · Ú ´Ü · ¡Ü¡, Ýܵ Ú ´Ü, ݵ
СÜÑ 0 ¡¡ÜÜÙ · ¡ÐÜÑ 0 ¡¡ÜÜÚ ÙÜ ·
Пусть ¡Þ
¡Ý, тогда
´Þµ ¡ÐÞÑ0 ¡¡´ÞÞµ ¡ÐÝÑ 0 ¡¡ÝÝÙ · ¡ÐÝÑ 0 ¡¡ÝÝÚ
Ð Ñ ¡Ý Ù · ÝÚ ÙÝ ·
¡Ý 0 ¡Ý
´Þµ
2
Следовательно,
Ù
· ÜÚ
Ü
Ù
Ý
·
Ú
Ý
т. е. получили условия (3.5).
µ
Ù
Ü
Ú
,
Ý
Ù
Ý
Ú
,
Ü
Ú
Ü
Ú
Ý
3.3 ] Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции 33
Достаточность. Даны условия (3.5). Доказать дифференци´Þµ в точке Þ.
руемость функции Û
Так как Ê Û Ù´Ü, Ý µ и ÁÑ Û Ú ´Ü, Ý µ непрерывно дифференцируемы, то
¡Ù ÙÜ ¡Ü · ÙÝ ¡Ý · «1 ¡Ü · «2¡Ý,
(3.6)
¡Ú ÜÚ ¡Ü · ÚÝ ¡Ý · ¬1¡Ü · ¬2¡Ý,
где «1 , «2 , ¬1 , ¬2 стремятся к нулю при одновременном стремлении к нулю ¡Ü и ¡Ý .
Ù
Ú
Ù
и
ÜÚ , то равенства (3.6) принимают
Так как
Ü
Ý
Ý
вид
¡ Ù ÙÜ ¡Ü ÜÚ ¡Ý · «1 ¡Ü · «2¡Ý,
¡Ú ÜÚ ¡Ü · ÜÙ ¡Ý · ¬1¡Ü · ¬2¡Ý
Тогда
¡ ´Þµ ¡Ù · ¡Ú ÙÜ ¡Ü ÜÚ ¡Ý · «1 ¡Ü · «2 ¡Ý ·
Ù
· ÜÚ ¡Ü · ÙÜ ¡Ý · ¬1¡Ü · ¬2¡Ý
´¡Ü · ¡Ýµ ·
Ü
· ÜÚ ´¡Ü · ¡Ýµ · ´«1 · ¬1µ ¡Ü · ´«2 · ¬2µ ¡Ý
Ù
· ÜÚ ´¡Ü · ¡Ýµ · ´«1 · ¬1µ ¡Ü¡·Þ´«2 · ¬2µ ¡Ý ¡Þ
Ü
Ù
· ÜÜ ¡Þ · ­ ¡Þ, ­ ´«1 · ¬1µ ¡Ü¡·Þ´«2 · ¬2µ ¡Ý
Ü
Ù
· ÜÚ ¡Þ · ­ ¡Þ
Ü
¡
´
Þµ
ÐÑ
ÐÑ
¡Þ
¡Þ 0 ¡ Þ
¡Þ 0
Ù
· ÜÚ · ¡ÐÞÑ0 ­ ÙÜ · ÜÚ ,
Ü
так как Ð Ñ ­ 0. Действительно,
¬
¬¬ ¡Þ 0 ¡Ü
¡
ݬ
­
¬´«1 · ¬1µ ¡Þ · ´«2 · ¬2µ ¡Þ ¬
¡Ü · « · ¬ ¡ ¡Ý
«1 · ¬1 ¡
2
¡Þ Õ 2
¡Þ
Õ
¡
Ü
¡Ý
«21 · ¬12 Ô
·
«22 · ¬22 Ô
¡Ü · ¡Ý
Õ ¡Ü · ¡ÝÕ
«21 · ¬12 · «22 · ¬22 ,
0 при ¡Þ ¡Ü · ¡Ý
0.
т. е. ­
2
2 И.П. Карасёв
2
2
2
34
Производная
[ Гл. 3
Таким образом,
Ð Ñ0 ¡¡´ÞÞµ
¼
¡Þ
´Þµ
Ù
Ü
·
Ú
Ü
¤
´Þµ функции ´Þµ
Из теоремы следует, что производную ¼
можно представить в следующих равносильных формах:
¼
´Þµ ÙÜ · ÜÚ ÚÝ ÙÝ ÙÜ ÙÝ ÝÚ · ÜÚ
(3.7)
Проверим выполнимость условий КРЭД в примере 1.
ÁÑ Þ ´Ü · ݵ Ý ÜÝ · Ý2,
Ù ´Ü, Ý µ ÜÝ , Ú ´Ü, Ý µ Ý 2
Найдем частные производные функций Ù´Ü, Ý µ и Ú ´Ü, Ý µ:
Û
Þ
Ù
Ü
Ù
Ý
Ý,
Ú
Ü
Ü,
0,
Ú
Ý
2Ý
Проверяем выполнимость условий КРЭД (3.5)
0
Ù
Ü
Ú
Ü
2Ý ,
Ý
Ü,
Ú
Ý
Ù
Ý
Ý
Ü
¸
0
0
µÞ
0
Следовательно, условия КРЭД для функции Û Þ ÁÑ Þ выполняются лишь при Þ 0, т. е. данная функция дифференцируема в одной точке Þ 0. Производную функции Û Þ ÁÑ Þ найдем
по любой (например, по первой) из равносильных форм (3.7):
¼
´0µ
Ù
Ü
·
Ú
Ü ÜÝ
0,
0
´Ý · 0 µ Ü
0,
Ý 0
0
П р и м е р 2 . Проверить выполнимость условий КРЭД для
функции Û Þ 2 .
Решение. Û Þ 2 ´Ü · Ý µ2 Ü2 Ý 2 · ¡ 2ÜÝ .
Ê
´ µ 2ÜÝ
Найдем частные производные функций Ù´Ü, Ý µ и Ú ´Ü, Ý µ:
Ù
Ù
2Ü ,
2Ý , ÜÚ 2Ý , ÚÝ 2Ü
Ü
Ý
Û
´
Ù Ü, Ý
µ
Ü2
Ý2, ÁÑ Û
Ú Ü, Ý
Условия КРЭД выполняются для любой точки комплексной
плоскости:
2Ü 2Ü , 2Ý 2Ý
3.5 ]
Правила дифференцирования
35
Следовательно, функция Û Þ 2 дифференцируема на коми ее производная
плексной плоскости
Þ2
Ù
Ü
¼
·
2Ü · 2Ý
Ú
Ü
2 ´Ü · Ý µ
Á
2Þ
3.4. Понятие аналитической функции
Определение. Однозначная функция Û
´Þµ, заданная в об(голоморфной,
ласти , называется аналитической в области
регулярной, моногенной), если она дифференцируема в каждой
точке этой области.
Следует заметить, что понятия дифференцируемости и ана´Þµ в точке Þ различны. Выражение:
литичности функции Û
«Функция ´Þ µ аналитична в точке Þ » употребляется в том смысле, что ´Þ µ аналитична в некоторой окрестности этой точки.
П р и м е р 1 . Является ли функция Û Þ ÁÑ Þ аналитической в точке Þ 0?
В § 3.3 доказано, что функция дифференцируема в точке
Þ
0. Но в любой окрестности точки Þ 0 функция не дифференцируема, поэтому она не является аналитической в точке
Þ 0.
П р и м е р 2 . Функция Û Þ 2 является аналитической на
комплексной плоскости .
3.5. Правила дифференцирования
Правила дифференцирования, известные из курса математического анализа для действительного случая, распространяются
и на дифференцируемые функции комплексного переменного.
, то ¼ ´Þ µ 0,
ÓÒ×Ø.
1. Если ´Þ µ
¼
¼
´Þµ, где — комплексное число.
2. ´ ´Þ µµ
3.
´ ´Þµ ¦ ´Þµµ
¼
´Þµ ¦ ´Þµ;
¼
Ò
1
´Þ µ
Ò
¼
¼
1
´Þµ.
´ ´Þµ ¡ ´Þµµ
´Þµ ¡ ´Þµ · ´Þµ ¡ ´Þµ,
´ 1´Þµ ¡ 2´Þµ ¡ ¡ Ò ´Þµµ 1´Þµ ¡ 2´Þµ ¡ 3´Þµ ¡ ¡ Ò ´Þµ ·
· 1´Þµ ¡ 2´Þµ ¡ 3 ´Þµ ¡ ¡ Ò´Þµ · · 1 ´Þµ ¡ ¡ Ò 1 ´Þµ ¡ Ò ´Þµ
4.
¼
¼
¼
¼
¼
¼
5.
2*
´Þµ
´Þµ
¼
¼
¼ ´Þµ ¡ ´Þµ ¼´Þµ ¡ ´Þµ
,
2
´Þ µ
´Þ µ
0.
36
Производная
[ Гл. 3
6. Дифференцирование сложной функции.
´Þµ дифференцируема в точке Þ0, а
Если функция
´ µ дифференцируема в точке 0 ´Þ0µ, то
функция Û
´ ´Þµµдифференцируема в точке Þ0 и ее
сложная функция Û
производная вычисляется по формуле:
Û
Û
Þ
Þ
Д о к а з а т е л ь с т в о . Используем формулу (3.2):
Подставляя
¡
¡
¡Û
´Þ0µ ¡ ¡Þ · 0´¡Þµ,
Û ´ 0 µ ¡ ¡ · 0´¡ µ
¼
¼
в нижнее равенство, получаем
¡
´ 0µ ¡ ´Þ0µ ¡ ¡Þ · 0´¡Þµ · 0 ´¡ µ
Û ´ 0 µ ¡ ´Þ0 µ ¡ ¡Þ · Û ´ 0 µ ¡ 0´¡Þ µ · 0 ´¡ µ ,
где Û ´ 0 µ ¡ 0´¡Þ µ · 0 ´¡ µ — бесконечно малая более высокого
порядка малости по сравнению с ¡Þ .
Следовательно,
¬
Û
Û¬
¤
¬
Þ Þ Þ
Þ
¡Û
Û
¼
¼
¼
¼
¼
¼
0
7. Производная обратной функции.
´Þµ — однолистное в , тогда обПусть отображение Û
´ µ. Если
ратная функция 1 ´Ûµ однозначна в области
Û
´Þµ дифференцируема
в точке Þ0 ¾ и ¼ ´Þ0 µ 0, то обрат 1
´Ûµ дифференцируема в точке Û0 ´Þ0µ и
ная функция Þ
ее производная вычисляется по формуле
1
´Û0 µ
¼
1
¼ ´Þ 0 µ
Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем обозначения:
Þ
Так как отображения Û
ны, то
¡³´Û0 µ Þ Þ0
¡Û
Û Û0
ÐÛ ÑÛ ¡¡³´ÛÛµ
1
´Ûµ ³´Ûµ
´Þµ и Þ ³´Ûµ взаимно однознач1
Û Û0 ,
Þ Þ0
1
0
Ð Ñ Û Û0
Þ Þ0 Þ Þ0
что и требовалось доказать.
¤
Þ
Þ0 , Û
СÞÑ0 ¡1Û
¡Þ
Û0
1
¼ ´Þ0µ ,
3.6 ]
Условия КРЭД в полярных координатах
37
3.6. Условия КРЭД в полярных координатах
З а д а ч а . Записать условия КРЭД в полярной системе координат.
Решение. Перейдем от декартовых координат Ü и Ý к полярным координатам Ö и ³ по формулам:
Ü
Ö
Тогда
Û
´
Ù Ü,Ý
µ · Ú´Ü, ݵ
Ó× ³ ,
Ý
Ö
× Ò³
´ Ó× ³ , Ö × Ò ³µ · Ú´Ö Ó× ³ , Ö × Ò ³µ
Ù´Ö, ³µ · Ú ´Ö, ³µ,
Ü
Ù Ü
Ù
· ÙÝ ÝÖ ,
· ÙÝ ³Ý ,
Ö
³
Ü ³
Ù
Ü
Ú Ü
Ü Ö
Ù
Ö
Ù
³
Ù
Ö
Ú
Ö
Ú
Ö
Ú
³
·
Ù Ö
Ú Ý
,
Ý Ö
Ù
³
Ü
Ù
Ö
Ü
Ú
³
Ù
Ý
Ú Ü
Ü ³
·
Ú Ý
,
Ý ³
Ó× · × Ò ³,
´ × Ò ³µ · ÙÝ Ö Ó× ³,
Ú
Ü
Ú
Ü
Ó× ³ · ÝÚ × Ò ³,
´ Ö × Ò ³µ · ÝÚ Ö Ó× ³
Ù
Из данных систем найдем
и
Ü
Крамера.
Определители систем равны: ¡
Ù
,
Ý
Ú
Ú
и
по формулам
Ü
Ý
¬¬ Ó× ³ × Ò ³ ¬¬
¬¬
¬
Ö × Ò ³ Ö Ó× ³ ¬ Ö.
Из первой системы найдем определители:
¬
¬¬ Ù
¬¬ Ö × Ò ³ ¬¬¬ Ù
¬¬ Ö Ö ³ ³Ù ³,
¬¬ Ù
1
¬ Ö Ó× ³¬
¬¬ ³
¬
¬¬ Ó× ³ ÙÖ ¬¬¬ Ù
Ù
³
Ö
³,
¬¬
2
Ù ¬¬
³
Ö
¬ Ö × Ò ³ ³ ¬
Ù
1
¡1
Ù
Ù
³
³ ,
Ü
¡
Ö
Ö
³
Ù
¡2 1 Ù
Ù
Ý
¡ Ö ³ ³ Ö ³
¡
Ó× ×Ò
¡
Ó× ·
×Ò
Ó×
×Ò
Ó× · × Ò
38
Производная
[ Гл. 3
Из второй системы найдем определители:
¬
¬¬
¬¬
¬¬
¬
Ú
× Ò ³ ¬¬¬
Ö
¬
Ú
Ö Ó× ³¬¬
³
¬¬
¬
¬¬ Ó× ³ ÚÖ ¬¬¬
¬¬
¬
¬ Ö × Ò ³ ³Ú ¬¬
¡1
¼
¡2
¼
¡¼1
¡
Ú
Ü
Ú
Ý
Ó× ³ Ú
Ö
Ö
Ú
³
Ó× ³ ·
Ó× Ú
³
Ö
Ú Ó׳
Ú
³ Ö
Ö
× Ò ³,
Ú
Ö
Ö
× Ò ³,
× Ò³,
Ú
³
·
Ú
³
Ö
× Ò³
Ú
Ù
Ù
Условия КРЭД (3.5)
и
Ü
Ý
Ý
ственно вид
Ù
Ó× ³ ³Ù × ÒÖ ³ ³Ú Ó×Ö ³ ·
Ö
Ù Ó× ³
· ÙÖ × Ò ³ Ö1 ³Ú × Ò ³ ³ Ö
Ù
Ö
1
Ö
Ö1
Ù
·
³
Ú
³
Ú
Ö
Ó× ³
Ó× ³
Ú
Ö
1
Ö
· Ö1
Ú
³
Ú
примут соответÜ
Ù
³
Ù
Ö
Ú
Ö
Ú
Ö
× Ò ³,
Ó× ³,
× Ò ³,
× Ò³
Перемножаем левые и правые части равенств:
Ù
Ö
Ö1
Ú
³
1 Ù
Ö ³
·
Ú
Ö
Ó×2 ³
Ú
Ö
Ù
Ö
Ö1
Ú
³
1 Ù
Ö ³
·
· Ö1
Ù
³
1 Ú
Ö ³
Ó×2 ³ · × Ò2 ³
Ú
Ö
Следовательно,
Ù
Ö
Ö1
Ú
³
0,
1 Ù
Ö ³
·
Ú
Ö
Ú
—
Ö
откуда следует
Ù
Ö
1 Ú
,
Ö ³
1 Ù
Ö ³
условия КРЭД в полярных координатах.
0,
Ù
Ö
0
× Ò2 ³,
3.7 ]
Геометрический смысл модуля и аргумента производной
39
3.7. Геометрический смысл модуля и
аргумента производной
Пусть Û
´Þµ Ù´Ü, ݵ · Ú´Ü, ݵ — аналитическая
функция в области
и пусть в точке Þ0 ¾
производная ¼ ´Þ0 µ 0.
жорданову гладкую дугу ­ , проРассмотрим в области
ходящую через точку Þ0 , и пусть дуга ÿ — образ дуги ­ при
´Þµ (рис. 3.3).
отображении Û
y
v
g
l
G
L
w
z
Dw
Dz
z0
w0
u
x
O
O'
Рис. 3.3
Û0 вдоль .
¬¬ Û Û ¬¬ ¬
¬
ÐÞ ÑÞ ¬ Þ Þ ¬ ¬ ´Þ0µ¬ ,
(3.8)
Ð Ñ Ö ÛÞ ÛÞ
Ö ´Þ0µ
(3.9)
Þ Þ
´Þµ аналитична в области , то раТак как функция Û
венства (3.8) и (3.9) справедливы для любой гладкой жордановой
дуги ­ ¾
и проходящей через точку Þ0 .
Из равенства (3.8) следует, что независимо от направления
касательной в точке Þ0 предел отношения расстояния Û Û0 к
Þ0 один и тот же и равен
´Þ0µ .
расстоянию Þ Þ0 при Þ
На языке бесконечно малых это означает, что бесконечно малый
´Þµ переходит
круг с центром в точке Þ0 отображением Û
в бесконечно
круг с центром в точке Û0 (рис. 3.3) и отн Û Û малый
¬¬
шение ¬
¬ радиусов этих кругов равно ´Þ0µ (с точностью
Если Þ
Имеем
Þ0 вдоль ­ , то Û
0
¼
0
0
0
¼
0
0
¼
0
¼
Þ Þ0
до малых высшего порядка).
Число ¼ Þ0 называют коэффициентом растяжения элеÞ .
мента длины в точке Þ0 при отображении Û
Выясним теперь геометрический смысл аргумента производной. Направления векторов Û Û Û0 и Þ Þ Þ0 стреÞ0 к касательным Ä и соответственно дуг ÿ и ­
мятся при Þ
´ µ
´µ
¡
¡
40
Производная
[ Гл. 3
(рис. 3.3). Так как
Ö ÛÞ ÛÞ00 Ö ´Û Û0 µ Ö ´Þ Þ0µ ,
то из равенства (3.9) следует, что угол, на который нужно
повернуть направление касательной в точке Þ0 до совпадения
с направлением касательной Ä в точке Û0 , равен Ö ¼ ´Þ0 µ.
Если в точке Þ0 рассмотреть две различные жордановы дуги
­1 и ­2 , угол между которыми равен ³, то при отображении
Û
´Þµ угол между образами ÿ1 и ÿ2 будет равен тому же углу
³. Таким образом, в каждой точке Þ0 , в которой ¼ ´Þ0 µ 0, при
´Þµ имеет место сохранение (консерватизм)
отображении Û
углов.
´Þµ аналитична в точке
Общий вывод: если функция Û
Þ0 и ¼ ´Þ0 µ
0, то отображение Û
´Þµ обладает свойством
сохранения углов и постоянством растяжений в точке Þ0 . Такое
отображение называется конформным в точке Þ0 . Если отобра´Þµ является конформным во всех точках области ,
жение Û
то его называют конформным отображением области .
3.8. Примеры конформного отображения
Выше дано важное понятие конформного отображения: если
´Þµ — аналитическая функция и ´Þ0µ 0, то функция Û
´Þµ конформно отображает некоторую окрестность точки Þ0
на окрестность точки Û0
´Þ0µ. Справедливо утверждение:
´Þµ, заданная в области , конаналитическая функция Û
формно отображает область на определенную область 1 ком1 ´Û µ
плексной плоскости Ï, причем обратная функция Þ
¼
является аналитической в области 1 .
Исследуем конформность дробно-линейной функции
Þ·
Û
,
(3.10)
Þ·
одновременно
где , , , — комплексные постоянные ( и
0. В случае
в нуль не обращаются). Предполагаем, что дробно-линейная функция вырождается в постоянную
Û
(проверить самостоятельно).
0 получаем целую линейную функцию Û
При
0, если
0.
которая имеет производную Û¼
Þ
·
,
0и
0 конформно
Следовательно, функция (3.10) при
отображает всю плоскость комплексного переменного . Коэф-
3.8 ]
Примеры конформного отображения
41
¬¬ ¬¬
фициент растяжения равен ¬ ¬, а угол поворота касательных к
кривым равен Ö .
1, то Û Þ · , т. е. растяжение и поворот отсутЕсли
ствуют и отображение сводится к сдвигу плоскости на
. При
1 конформное отображение является подобием с коэффициентом подобия
¬¬ ¬¬
¬ ¬.
0иÞ
Пусть
. Найдем производную функции Û:
Û¼
´ Þ · µ2
Так как Û¼
0,то дробно-линейное отображение является
конформным во всех точках Þ ¾ , отличных от . Коэффициент растяжения Û¼
Þ·
щим через любую точку Þ
Ö
Û¼
2
, касательные к кривым, проходя-
, поворачиваются на угол
Ö ´ µ 2 Ö ´ Þ· µ
Из равенства мы видим, что угол поворота касательной не
изменяется для точек, в которых Ö ´ Þ · µ сохраняет одно и
то же значение, т. е. для точек каждого из лучей, выходящих
из точки Þ
. В остальных точках Þ ¾ угол поворота
касательной изменяется.
Коэффициент растяжения Û¼ меняется от точки к точке,
Ê
кроме точек, лежащих на каждой из окружностей Þ ·
с центром в точке Þ0
, 0 Ê ·½. На окружности
Þ
·
Ê
тяжения Û¼
. Очевидно, что коэффициент расÊ2
1 для точек окружности ­ :
Û¼
¬¬
¬
¬Þ · ¬¬
1
Ô
,
1 для точек Þ ¾ , лежащих
коэффициент растяжения Û¼
1 для точек Þ ¾ , расположенных
внутри окружности ­ ; Û¼
вне окружности ­ .
Решая уравнение (3.10) относительно Þ , найдем обратную
Û · , которая является дробно-линейной функфункцию Þ
Û 42
Производная
[ Гл. 3
цией. Следовательно, дробно-линейная функция (3.10) осуществляет взаимно-однозначное отображение комплексной плоскости на себя и отображение является конформным при Þ .
3.9. Геометрические свойства
дробно-линейной функции
При
0 равенство (3.10) представим в виде
·
Û
2
´ Þ·
0µ
Пусть
Þ1
Þ
где
·
2
,
Þ2
Þ1 ,
Þ3
1
Þ2
,
Û
· Þ3 ,
(3.11)
, тогда преобразование (3.10) представляет со-
бой комбинацию преобразований (3.11). Первое из преобразова-
·
является параллельным переносом на
вектор , второе — подобием
с коэффициентом подобия
n
y
и с центром подобия Þ1
0,
третье
преобразование
своa
дится к выполнению двух последовательных симметрий —
инверсии и симметрии отноz
x
1
сительно действительной оси,
O
четвертое — параллельный перенос.
Подробнее остановимся на
1
. Выпреобразовании Þ3
Þ2
ясним геометрический смысл
1
. Построим
операции Û
Þ
Рис. 3.4
1. Пусть
окружность Þ
1. Восстановим
сначала Þ
из точки Þ перпендикуляр к лучу ÇÞ и обозначим через «
точку пересечения этого перпендикуляра с окружностью Þ
1
(рис. 3.4).
1 пересекается с лучом
Касательная ´« µ к окружности Þ
ÇÞ в точке . Найдем аргумент и модуль . Очевидно, аргумент
ний (3.11)
Þ1
Þ
3.9 ]
Геометрические свойства дробно-линейной функции
43
комплексного числа
равен аргументу комплексного числа Þ .
«
; отсюда
Из подобия ¡ÇÞ« и ¡Ç« находим, что
«
Þ
1
1
1
. Так как Þ
Þ и Ö Þ
Ö Þ Ö Þ , то
.
Þ
Þ
1
Построим точку, симметричную с точкой
относительно
Þ
1
и будет искомой точкой
действительной оси ÇÜ, точка Û
Þ
(рис. 3.4).
1
называется инверсией точПереход от точки Þ к точке
Þ
1. Для получеки Þ относительно единичной окружности Þ
1
точку симметрично отображают относительно
ния точки Û
Þ
действительной оси ÇÜ.
1
геометрически сводится к инСледовательно, операция Û
Þ
версии точки Þ относительно единичной окружности с центром
в начале координат с последующим симметричным отображением относительно действительной оси.
1, то все построения необходимо провести в обЕсли Þ
1, то
ратном порядке. Если точка Þ лежит на окружности Þ
1
сводится к симметрии
точка совпадает с Þ и построение Û
Þ
относительно действительной оси.
1
преобразует:
Можно показать, что отображение Û
Þ
1) прямые, проходящие через начало координат, в прямые, также
проходящие через начало координат;
2) окружности, проходящие через начало координат, в прямые,
не проходящие через начало координат, и наоборот — прямые,
не проходящие через начало координат, в окружности, проходящие через начало координат;
3) окружности, которые не проходят через начало координат, в
окружности, также не проходящие через начало координат.
Следовательно, дробно-линейное преобразование (3.10),
представляющее собой комбинацию простейших преобразований
(3.11), отображает прямую или окружность в прямую или
окружность, причем образом прямой могут быть и прямая, и
окружность, точно так же как и образом окружности могут
быть прямая и окружность. Можно показать, что отображение
(3.10) все прямые и окружности плоскости , проходящие через
, а прямые и
точку Þ , преобразует в прямые плоскости
Ï
окружности плоскости , не проходящие через точку Þ
.
преобразует в окружности плоскости
Ï
,
44
Производная
[ Гл. 3
3.10. Инвариантности дробно-линейного отображения
1. Дробно-линейная функция (3.10) устанавливает взаимно
и Ï.
однозначное соответствие между точками плоскостей
Отображение (3.10) имеет две инвариантные (неподвижные) точки
Õ
1
´ µ ¦ ´ µ2 · 4 ,
Þ1,2
2
отображающиеся сами в себя (которые могут и совпадать).
2. Двойным отношением четырех точек ´Þ1 , Þ2 , Þ3 , Þ4 µ называется величина
Þ2 Þ4 Þ3 Þ1
(3.12)
Þ2 Þ1 Þ3 Þ4
Отображение (3.10), выполненное для точек Þ1 , Þ2 , Þ3 , Þ4 ,
оставит инвариантным двойное отношение (3.12) для образов
Û1 , Û2 , Û3 , Û4 :
Þ2 Þ4 Þ3 Þ1
Û2 Û4 Û3 Û1
(3.13)
Þ2 Þ1 Þ3 Þ4
Û2 Û1 Û3 Û4
Используя инвариантность двойного отношения, можно найти единственное дробно-линейное отображение, переводящее три
заданные точки Þ1 , Þ2 , Þ3 из в три заданные точки Û1 , Û2 , Û3 из
. Для получения этого дробно-линейного отображения в равенстве (3.13) необходимо заменить Þ1 на Þ , Û1 на Û.
Ï
3.11. Гармонические функции
Пусть функция ´Þ µ Ù´Ü, Ý µ · Ú ´Ü, Ý µ является аналитической в области . В дальнейшем покажем (см. § 5.7), что функция ´Þ µ дифференцируема любое число раз и, следовательно,
функции Ù´Ü, Ý µ и Ú ´Ü, Ý µ также имеют непрерывные частные
производные любого порядка в области .
По теореме из § 3.3 функции Ù´Ü, Ý µ и Ú ´Ü, Ý µ удовлетворяют
условиям КРЭД:
Ù
Ú
Ù
,
ÜÚ
Ü
Ý
Ý
Дифференцируя первое уравнение по Ü, второе — по Ý и
почленно складывая, получаем дифференциальное уравнение
в частных производных второго порядка:
2
Ù
Ü2
·
2
Ù
Ý2
0
3.11 ]
Гармонические функции
45
Аналогично можно получить уравнение
2
Ú
Ü2
·
2
Ú
Ý2
0
(дифференцируем первое уравнение по Ý , а второе по Ü и вычитаем почленно второе равенство из первого).
Определение 1. Функция ´Ü, Ý µ, дважды непрерывно дифференцируемая в области и удовлетворяющая дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка
2
Ü2
·
2
Ý2
0,
(3.14)
называется гармонической функцией; уравнение (3.14) — уравнением Лапласа.
Ù´Ü, Ý µ и ÁÑ ´Þ µ
Таким образом, функции Ê ´Þ µ
Ú ´Ü, Ý µ аналитической функции Û
´Þµ в области являются гармоническими. Но две гармонические функции ´Ü, Ý µ и
³´Ü, Ý µ в области , вообще говоря, не образуют аналитическую
функцию
´Þµ ´Ü, ݵ · ³´Ü, ݵ,
т. е. условия КРЭД могут не выполняться.
функции
Определение 2. Две гармонические в области
Ù´Ü, Ý µ и Ú ´Ü, Ý µ называются сопряженными, если они удовлетворяют условиям КРЭД.
Ù´Ü, Ý µ · Ú ´Ü, Ý µ
Теорема. Аналитическую функцию Û
можно получить, произвольно задав одну из сопряженных
гармонических функций: Ù´Ü, Ý µ или Ú ´Ü, Ý µ.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дана, например, гармоническая
в области
функция Ù´Ü, Ý µ. Найдем функцию Ú ´Ü, Ý µ, использовав условия КРЭД:
Ù
Ú
Ú
Ù
É´Ü, Ý µ, È ´Ü, Ý µ
Ü
Ý
Ý
Ü
Так как
2
2
Ù
Ù
·
0,
2
Ü
Ý2
то
Ù
ÙÝ , т. е. ÉÜ ÈÝ
Ü
Ü
Ý
Следовательно, выражение
´
È Ü, Ý
µ
Ü
· É´Ü, ݵ
Ý
является полным дифференциалом некоторой функции Ú ´Ü, Ý µ.
46
Производная
[ Гл. 3
Из математического анализа известно [10], что функция
Ú Ü, Ý представляет собой криволинейный интеграл:
´
µ
´
µ
Ú Ü, Ý
´Ü,ݵ
´Ü0 ,Ý0 µ
´
È Ü, Ý
µ
Ü
· É´Ü, ݵ Ý ·
´Ü,ݵ
´Ü0 ,Ý0 µ
Ù
Ü
Ý
·
Ù
Ý
Ü
·
, (3.15)
который не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки ´Ü0 , Ý0 µ и ´Ü, Ý µ в области , — действительное число.
Найденная функция Ú ´Ü, Ý µ является мнимой частью комплексной функции ´Þ µ, аналитической в области .
Действительно,
Ú
Ú
Ù
Ù
Ú ´Ü, Ý µ
Ü·
Ý Ü·
Ý,
Ü
Ý
Ý
Ü
Ù
Ù
Ú
Ú
, — условия КРЭД выполнены,
Ü
Ý
Ý
Ü
´Þµ Ù´Ü, ݵ · Ú´Ü, ݵ
— аналитическая в области
функция. ¤
П р и м е р . Найти аналитическую функцию Û
´Þµ, если
3
2
известна ее действительная часть Ù´Ü, Ý µ Ü 3ÜÝ , Û´0µ 0.
Решение. Функция Ù Ü3 3ÜÝ 2 — гармоническая на плоскости :
2
Ù
Ù
Ù
3Ü2 3Ý 2 ,
6ÜÝ ,
6Ü,
Ü
Ý
Ü2
2
2
2
Ù
Ù
Ù
6Ü,
·
6Ü 6Ü 0
2
2
Ý
Ü
Ý2
По формуле (3.15) найдем Ú ´Ü, Ý µ:
´
Ú Ü, Ý
µ
´Ü,ݵ
´Ü0 ,Ý0 µ
6ÜÝ Ü · 3Ü2 3Ý 2
Ý
·
Выберем за точку ´Ü0 , Ý0 µ точку ´0; 0µ, линией интегрироваберем ломаную
ния от точки ´0; 0µ до точки ´Ü, Ý µ плоскости
со звеньями, параллельными осям координат. Тогда
´
Ú Ü, Ý
µ
Ü
0
6Ü ¡ 0 Ü · 3
Ý
0
Ü2
Ý2
Ý
·
3Ü2 Ý Ý 3 ·
3.11 ]
Гармонические функции
47
´Þµ имеет вид
´Þµ Ü3 3ÜÝ2 · 3Ü2Ý Ý3 ·
из условия ´0µ 0.
0 0· ,
0
Следовательно, искомая функция
Найдем
Тогда
´Þµ
Ü3
3ÜÝ2 ·
3Ü2 Ý Ý 3
Ü3
· 3 Ü2Ý · 3 2ÜÝ2 · 3Ý3
´Ü · ݵ3 Þ3 Á
Второй способ решения примера
Ù
3Ü2 3Ý 2
Ü
´ µ
Ú
3Ü2 3Ý 2 .
Ý
3Ü2 Ý Ý 3 ³ Ü , где ³ Ü —
Интегрируя, получаем Ú Ü, Ý
Ù
Ú
некоторая функция. По второму условию (3.5)
Ý
Ü
Ù
6ÜÝ ³¼ Ü . Так как
6ÜÝ (см. условие примера), то
Ý
6ÜÝ ³¼ Ü
6ÜÝ ; ³¼ Ü
0, ³ Ü
, Ú Ü, Ý
3Ü2 Ý
3
. Получен тот же результат.
Ý
По первому условию КРЭД (3.5) имеем:
´
· ´ µ
· ´ µ ·
µ
´ µ
´ µ
· ´ µ
´
µ
4.
НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
4.1. Степенная функция
Функция Û
Þ Ò , где Ò — натуральное число, называется
степенной. Она определена и однозначна на расширенной ком½ ставится в соответствие
плексной плоскости , точке Þ
точка Û ½.
Ее производная Û¼ ÒÞ Ò 1 существует в любой точке плоскости . Отображение, осуществляемое Û Þ Ò , конформно во
за исключением точки Þ 0. Так как
всех точках плоскости
Û
Þ Ò и Ö Û Ò Ö Þ , то каждая окружность радиусом Ê
с центром в точке Þ 0 отображается на окружность радиусом
ÊÒ с центром в точке Û
0. Если аргумент на окружности
Þ
Ê возрастает от 0 до 2 , то аргумент на окружности
Û
ÊÒ возрастает от 0 до 2 Ò, т. е. точка Û пробегает окружÊÒ Ò раз. Отображение Û Þ Ò каждый луч Ö Þ
ность Û
переводит в луч Ò Ö Þ .
Разделим комплексную плоскость
на Ò областей
2
Ò
³
2´
· 1µ
Ò
,
0, Ò 1
Каждая область
отображением Û Þ Ò конформно отображается на всю плоскость, из которой удалены точки луча
Ö Û 0, идущего вдоль положительного направления оси ǼÙ.
разрезали
В этом случае говорят, что комплексную плоскость
вдоль луча Ö Û 0. В полученном разрезе будем различать два
2
переходит в
края разреза: верхний и нижний. При этом луч
Ò
2´ · 1µ
— в нижний.
верхний край разреза, луч
Ò
П р и м е р 1 . Найти линии при отображении функцией Û
Þ 2 прямых, параллельных мнимой и действительной осям и не
совпадающих с самими осями.
· Ø,
0, ½
Ø
·½ — прямая, паПусть Þ
Þ 2 получим линию
раллельная оси Ý . При отображении Û
2 Ø2 · 2 Ø на комплексной плоскости
Û ´ · ص2
или
2 Ø2 , Ú
2 Ø. Исключая парав параметрической форме Ù
метр Ø, получаем уравнение параболы с осью, направленной по
Ï
Ï
4.2 ]
Показательная функция
49
действительной оси в отрицательную сторону (рис. 4.1):
Ú2
4
2
2
Ù
Рис. 4.1
Любая прямая Þ Ø · , параллельная
¡ действительной оси,
преобразуется в параболу Ú 2 4 2 Ù · 2 .
4.2. Показательная функция
Определение. Показательной функцией комплексного переменного называется функция вида
Û
Þ
Ü
´ Ó× Ý · × Ò Ýµ
ÜÔ Þ,
(4.1)
где Þ Ü · Ý .
Рассмотрим некоторые свойства показательной функции.
Þ1 ¡ Þ2 , Þ ¾ , Þ ¾
1. Þ1 ·Þ2
1
2
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Þ1 Ü1 · Ý1 , Þ2 Ü2 · Ý2 ,
то, используя определение, получаем
Þ1 ·Þ2
Ü1 · Ý1 ·Ü2 · Ý2
Ü1 ·Ü2
Ü1 Ü2
Ý1
Ý2
Ý1
Ü
1 Ü2
Ý2
Ý1
Ý1
Ü1
Ü2
Ý1
Ý1
Ó× ´Ý1 · Ý2µ · × Ò ´Ý1 · Ý2µ
Ó× ¡ Ó× × Ò ¡ × Ò Ý2 · ´× Ò Ý1 ¡ Ó× Ý2 ·
· × Ò ¡ Ó× µ
´ Ó× · × Ò Ý1µ ´ Ó× Ý2 · × Ò Ý2 µ
´ Ó× · × Ò µ ¡ ´ Ó× Ý2 · × Ò Ý2µ Þ Þ ¤
Ü, Ý
2. Þ
Ö Þ.
3.
0
4.
1.
Þ
5. ÑÞ
1
Þ.
´ Þ µÑ , где Ñ ¾
(целое число).
1
2
50
Некоторые элементарные функции
[ Гл. 4
Д о к а з а т е л ь с т в о:
Ñ´Ü· Ý µ
ÑÞ
ÑÜ
ÑÜ· ÑÝ
´ Ó× ÑÝ · × Ò Ñݵ
´ Ó× Ý · × Ò Ýµ Ñ ´ Þ µÑ ¤
Ü
6. Функция Þ — периодическая и ее период Ì
Доказательство:
Þ ·2
Ü· Ý · 2
Ü
Ü· ´Ý ·2
µ
Ó× ´Ý · 2 µ · × Ò ´Ý · 2 µ
2
.
´ Ó× Ý · × Ò Ýµ Þ ¤
¦1, ¦2, , также являются
Ü
Очевидно, что числа 2
,
периодами функции Þ .
Ü , т. е. на действительной оси показатель7. При Þ Ü Þ
Þ
ная функция
совпадает с показательной функцией действительного переменного.
Ý формула (4.1) принимает вид
8. При Þ
Ý
Ó× · × Ò
Ý
Ý — формула Эйлера
Þ
9. Функция
определена Þ
.
Ü, Ü
.
Это следует из того, что Þ
Þ
дифференцируема на всей комплексной плос10. Функция
кости, и ее производная
´ Þµ
¾
¼
¾Ê
Þ
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, что условия КРЭД (3.5) выполняются Þ ¾ , и производную вычислим по одной из формул
Ù
(3.7), например, ´ Þ µ¼
· ÜÚ . Из определения показательÜ
Ü Ó× Ý , Ú ´Ü, Ý µ
Ü × Ò Ý имеем
ной функции Ù´Ü, Ý µ
Ù
Ù
Ü Ó× Ý ,
Ü × Ò Ý; ÜÚ Ü × Ò Ý, ÝÚ Ü Ó× Ý
Ü
Ý
Следовательно,
Ù
Ú
Ù
и
ÜÚ Þ ¾ ,
Ü
Ý
Ý
´ Þ µ¼ ÙÜ · ÜÚ Ü Ó× Ý · Ü × Ò Ý Ü ´ Ó× Ý · × Ò Ýµ Þ
Так как Þ дифференцируема Þ ¾ , то она аналитична на
комплексной плоскости .
Þ , обладая
З а м е ч а н и е . Показательная функция Û
Ü
, приобретает новые
свойствами действительной функции
свойства, например, является периодической функцией с основным периодом 2 .
4.2 ]
Показательная функция
51
Рассмотрим отображение, осуществляемое показательной
Þ . Так как Û ¼
Þ 0 для Þ ¾ , то отображение
функцией Û
конформно во всех точках комплексной плоскости .
сводится к изучеИзучение функции Þ на всей плоскости
0 Ý 2 ввиду свойства периодичности
нию ее в полосе
функции.
Отображение (4.1) взаимно однозначно в этой полосе. Допустим противное. Пусть найдутся точки Þ1 ¾ и Þ2 ¾ , Þ1 Þ2 ,
Þ2 , Þ
Ü1 · Ý1 , Þ2 Ü2 · Ý2 . Из определения
такие, что Þ1
1
Ü
Ü
1
2
, Ó× Ý1
Ó× Ý2, × Ò Ý1 × Ò Ý2 . Следовательно,
имеем:
Ü1
Ü2 , Ý2
Ý1 · 2
или Þ2
Þ1 · 2
, откуда следует,
что точки Þ1 и Þ2 не могут одновременно принадлежать полосе
. Таким образом, для любых Þ1
Þ2 из области
следует
Þ1
Þ2 .
полярную систему координат с полярВведем в плоскости
ной осью, совпадающей с положительным направлением оси Ç1 Ù
и полюсом, совпадающим с началом координат Ç1 . Координаты
любой точки в полярной системе координат обозначим через
и . Запишем комплексное число Û ¾
в показательной форме
Û
, где
и — полярные координаты точки Û. Тогда
равенство (4.1) можно представить в виде двух равенств:
Ï
Ï
Ü,
(4.2)
Ý
Из равенства (4.2) видим, что отображение (4.1) преобразует
прямые Ý Ý0 в лучи
Ý0 , а отрезки Ü Ü0 , 0 Ý
2 —
Ü0 (рис. 4.2).
в окружности
y
v
q=
2pi
u
y = y0
O
y0
O1
1
x
x0
Рис. 4.2
Ï
Полоса 0 Ý 2 преобразуется в плоскость
с разрезом
вдоль положительной полуоси Ç1 Ù (на рис. 4.2 разрез заштрихован).
52
Некоторые элементарные функции
4.3. Функция
Û
ÔÒ Þ
[ Гл. 4
В § 1.7 дана формула извлечения корня Ò-й степени из любого комплексного числа Þ , Þ 0 и Þ ½ (формула (1.6)):
Ô
Ô
Ò Þ
ÒÞ
Ó× Ö Þ Ò· 2 · × Ò Ö Þ Ò· 2 , 0, 1, , Ò 1;
(4.3)
Ò различных значений (4.3), представляющих те точки плос, в которых ÛÒ принимает одно и то же значение Þ ,
кости
располагаются в вершинах
правильного Ò-угольника, вписанного
Ô
Ò
в окружность Û Ô Þ .
Ò Þ определяется как функция, обратная к
Функция Û
ÛÒ (Ò>1
степенной функции Þ
Ô — натуральное число). Для
любого Þ , кроме Þ 0 и Þ ½, Ò Þ имеет Ò различных значеÔ
ÒÞ
ний, которые вычисляются по формуле (4.3), т. е. функция
Ô
Ò
0,
Ò-значна. Значению Þ 0 соответствует одно значение 0
соответствует
одно
значение
½
.
значению Þ ½
Ô
0, определяется значением аргумента,
Значение Ò Þ , Þ
0 какое-либо
выбранным для точки Þ . Выберем в точке Þ0
определенное значение аргумента, для чего в формуле (4.3) за0. Предположим, что
фиксируем число . Пусть, например,
некоторую
точка Þ , начиная с Þ0 , описывает в плоскости
замкнутую линию Ä, не проходящую через начало координат Ç.
При непрерывном перемещении точки
вдоль кривой Ä величиÔÞÞ изменяются
непрерывно.
ны Ö Þ , Þ и, следовательно, Û
Ï
Рис. 4.3
ри
Предположим, что кривая Ä не содержит ÔвнутÒÞ
0 (рис. 4.3). Функция Û
себя точку Þ
Ô
Ò Þ
Ó× ÖÒ Þ · × Ò ÖÒ Þ отображает кривую Ä в кривую
Функция Û
4.3 ]
Ô
Ò
Þ
53
0 ¾ Ï
при полном обходе точки Þ вдоль кривой Ä, аргумент Þ
при этом возвращается к начальному значению аргумента ( Ö Þ0 ).
Выберем теперь другое значение аргумента Þ0 , например,
Ö Þ0 · 2 (в формуле (4.3) полагаем
1µ. Тогда при полном
обходе точки Þ вдоль кривой Ä отображение
Ô
Ô
Ò Þ
ÒÞ
Ó× Ö ÞÒ· 2 · × Ò Ö ÞÒ· 2
переводит кривую Ä в кривую 1 , отличающуюся от кривой 0
лишь поворотом на угол 2 Ò. Аналогично
для
2, 3, , Ò 1
Ô
соответствующие отображения Ò Þ переводят кривую Ä в кривую , отличающуюся от кривой 0 лишь поворотом на угол
Ò (рис. 4.3).
2
Пусть теперь Ä — замкнутая жорданова кривая, содержащая
0 внутри себя, и пусть Þ0 ¾ Ä — некоторая точка
точку Þ
на Ä. При полном обходе точки Þ в положительном направлении
получит приращение 2 . Пусть в начальный
вдоль Ä аргумент Þ0 Ô
Û0 (например, при
0 в формуле
момент в точке Þ0 Ò Þ0
Ô
Ò
(4.3)). После обхода точки Þ вдоль Ä точка Þ не возвращается
в свое первоначальное значение, а принимает новое значение
(рис. 4.4)
2
Û0¼
Û0 Ó×
· × Ò 2Ò
Ò
Точка Þ возвращается в исходное положение Û0 лишь при
Ò-кратном обходе кривой Ä (рис. 4.4).
y
v
z0
x
O'
O
u
Рис. 4.4
Рассмотрим область
.
не содержит ни одной замкнутой кривой, содержа1. Если
щей точку Þ 0 внутри себя, то можно выделить Ò непрерывных
и однозначныхÔфункций, называемых ветвями многозначной
Ò Þ . Каждой ветви соответствует фиксированное
функции Û
54
Некоторые элементарные функции
[ Гл. 4
значение в формуле (4.3). Различным фиксированным в фор0, 1, , Ò 1µ соответствуют размуле (4.3) значениям Ô´
личные ветви функции Ò Þ в области . Любая из построенных
является аналитической функцией, произветвей в области
водная любой ветви вычисляется по формуле:
Ô
Ò ¡
Þ
¼
1
Ò
1
Þ Ò 1
Ô
Ò Þ в области
Следовательно, функцию Û
можно расÒ
однозначных
аналитических
сматривать как совокупность
Ô
функций (ветвей Ò Þ при
0, Ò 1 в формуле (4.3)).
содержит хотя бы одну замкнутую кри2. Пусть область
0. В этом случае
вую Ä, содержащую внутри себя точку Þ
нельзя отделить Ò однозначных ветвей. Полный обход вдоль Ä
включает переход от одной ветви многозначной функции к дру0 к ветви при
1 в формуле
гой, например от ветви при
(4.3).
Точка Þ 0, в любой окрестности
которой нельзя отделить Ò
Ô
отдельных ветвей функции Ò Þ , называется точкой разветвления этой функции.
— комплексная плоскость
с
П р и м е р . Пусть область
разрезом вдоль положительной полуоси ÇÜ. Тогда ветви функÔ
2
Ò Þ отображают область
на секторы
ции Û
Ò
´ · 1µ 2Ò , 0, Ò 1.
Область , не содержащую точку Þ 0 внутри себя, назовем
областью первого типа. Область , содержащую точку Þ 0
внутри себя, назовем областью второго типа.
может быть любой
З а м е ч а н и е . Разрез в плоскости
жордановой кривой, соединяющей точки Þ 0 и Þ ½.
4.4. Логарифмическая функция
Определение. Функция Û ÄÒ Þ , обратная к показательной
Û , называется логарифмической функцией.
функции Þ
Логарифмическая функция определена на комплексной плоскости , и для всех Þ 0 и Þ ½ имеет место формула
ÄÒ Þ ÐÒ Þ · ´ Ö Þ · 2 µ ,
0, ¦1,
(4.4)
0; из условия равенства
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Þ
комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме
Þ
Þ
´ Ó× Ö Þ · × Ò Ö Þµ,
Û
Ù
´ Ó× Ú · × Ò Úµ,
4.4 ]
Логарифмическая функция
где Û
Ù
Ù
·
Ú , имеем
Þ ,
т. е. Ù
Следовательно,
Û
ÄÒ Þ
Ù
·
Ú
ÐÒ Þ
,
Ú
Ö
55
Ö Þ·2
Þ
ÐÒ Þ · ´ Ö Þ · 2 µ ,
¾
¤
Логарифмическая функция — бесконечнозначная для любого
Þ
0 и Þ
. Комплексное число Þ
0 имеет бесконечное
множество логарифмов, которые вычисляются по формуле (4.4).
соответствуют значения:
0
Значениям Þ 0 и Þ
и
.
Þ , полученное из формулы (4.4) при
0, назыЗначение
вается главным значением логарифма и обозначается как Þ :
½
ÄÒ ½ ½
½
ÄÒ
ÄÒ
ÐÒ Þ ÐÒ Þ · Ö
½
ÐÒ
(4 4¼ )
Þ
Если Þ
Ü является положительным действительным чисÜ, Ö Þ
0 и формула (4 4¼ ) принимает вид:
лом, то Þ
ÐÒ Þ ÐÒ Ü, т. е. совпадает с натуральным логарифмом числа Ü.
П р и м е р . Найти ÄÒ ´1 · µ, ÐÒ ´1 · µ.
Ô
2 , Ö ´1 · µ
·2 , ¾ .
Решение. Þ 1 · , Þ
4
По формуле (4.4)
Ô
ÄÒ ´1 · µ ÐÒ 2 · 4 · 2
ÐÒ ´1 · µ 12 ÐÒ 2 · 4
,
¾
;
Á
Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям § 4.3, сделаем следующие выводы.
первого типа можно выделить бесчислен1) Для области
ное множество непрерывных и однозначных ветвей многозначной
функции Û
ÄÒ Þ. Каждая ветвь, соответствующая фиксиров формуле (4.4), осуществляет взаимнооднозначное
ванному
и обладает производной (одной и той же
отображение области
1
¼
(для любой ветви).
для всех ветвей): ´ÄÒ Þ µ
Þ
Следовательно, все ветви ÄÒ Þ являются аналитическими
(первого типа);
в области
— область второго типа (содержит точку Þ
0
2. Если
внутри себя), то в этой области нельзя отделить ветви друг от
0 — точка разветвления ÄÒ Þ (в ней как бы
друга. Точка Þ
соединяются все ветви ÄÒ Þ µ. После однократного обхода по жордановой замкнутой кривой Ä, содержащей точку Þ 0 внутри
себя, происходит переход к следующей ветви ÄÒ Þ . (В формуле
(4.4) число изменяется на единицу.)
56
Некоторые элементарные функции
[ Гл. 4
4.5. Тригонометрические и гиперболические функции
Для действительного переменного Ü известны формулы:
Ü × ÒÜ
Ü
2
Ü·
Ó× Ü
,
Ü
2
Подставляя вместо Ü комплексное переменное Þ , по определению получаем формулы:
Þ
× ÒÞ
Þ,
2
Þ
Þ·
Ó× Þ
2
Ø
,
Þ
× ÒÞ , Ø
Ó× Þ
Þ
Ó× Þ
× ÒÞ
Ø
Þ
×
Þ ·2·
2 Þ
(4.5)
С тригонометрическими функциями связаны гиперболические функции, определяемые формулами:
×
Þ
Þ Þ
Þ·
Ø
×
Þ
Þ
(4.6)
Используя определения (4.5), можно доказать, что для комплексного переменного Þ остаются в силе формулы из тригонометрии:
2
2
Þ
Þ 1,
Þ
2
,
Þ
2
,
Þ
Þ
,
Þ
× Ò · Ó×
× Ò ´Þ1 ¦ Þ2µ × Ò Þ1 ¡ Ó× Þ2 ¦ Ó× Þ1 ¡ × Ò Þ2,
Ó× ´Þ1 ¦ Þ2µ Ó× Þ1 ¡ Ó× Þ2 § × Ò Þ1 ¡ × Ò Þ2,
Ó×2 Þ × Ò2 Þ Ó× 2Þ и т. д.
Докажем первое тождество:
Þ
Þ × Ò2 Þ · Ó×2 Þ
2
2
·
2
Þ
· Þ
2
2 Þ
Þ 2·
4
Докажем, например, что
2
·
2
1
4
Ó× Þ1 ¡ Ó× Þ2 × Ò Þ1 ¡ × Ò Þ2 Ó× ´Þ1 · Þ2µ ,
Ó× Þ1 ¡ Ó× Þ2 × Ò Þ1 ¡ × Ò Þ2
Þ Þ
Þ · Þ
Þ Þ
Þ · Þ
2
2
2
2
´Þ ·Þ µ · ´Þ ·Þ µ
´Þ ·Þ µ · ´Þ ·Þ µ
´ Þ ·Þ µ · ´ Þ · Þ µ
·
4
4
2
Ó× ´Þ1 · Þ2µ
1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
Аналогично можно доказать и другие формулы.
1
2
4.5 ]
Тригонометрические и гиперболические функции
57
Докажем, что
2
2
Þ
×
2
Þ
×
Þ·
Þ
2
2
Þ
Þ
×
1,
2
2× Þ ¡
2Þ
Þ Þ
Þ,
2
2
· 2 · 2 Þ 2 Þ 2 · 2 Þ
4
4
Þ Þ Þ · Þ
2Þ
2 Þ × 2 Þ
2Þ
2×
¡Þ
2
Þ
2
2
1,
2
С помощью формул (4.6) можно найти и другие формулы
для гиперболических функций. Используя формулы (4.5) и (4.6),
легко установить связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями:
×Ò Þ
× Þ
× Þ, Ó× Þ
Þ, Ø
× Ò Þ, Þ Ó× Þ, Ø
Например,
×Ò
Þ
¡Þ ¡Þ
2
Ó×
Þ
Þ ¡Þ· ¡Þ
2
Þ
Применяя
Þ
2
Þ
формулы
Ø
Ø
Þ
Þ·
Þ
2
(4.7),
Þ
Ø
Ø
Þ,
Þ,
Þ 2
Þ·
2
Þ
Þ
Þ
Þ
Ø
Ø
×
2
Þ;
(4.7)
Þ
Þ;
Þ,
Ó× Þ и т. д.
находим × Ò Þ ,
Ó× Þ, Ø
´2Ò · 1µ, Ò ¾ :
1µ × Ò Þ × Ò ´Ü · Ý µ × Ò Ü ¡ Ó× Ý · × Ò Ý ¡ Ó× Ü
× Ò Ü ¡ Ý · Ó× Ü ¡ ×
Ó× ´Ü · ݵ Ó× Ü ¡ Ó× Ý × Ò Ü ¡ × Ò Ý
2µ Ó× Þ
Ó× Ü ¡ Ý × Ò Ü ¡ ×
Ø
Ü·Ø Ý
3µ Ø Þ Ø ´Ü · Ý µ
1 Ø Ü¡Ø Ý
Þ
2
Ø Ü· Ø Ý
´Ø Ü · Ø Ýµ ´1 · Ø Ü ¡ Ø Ýµ
Ø Ü ¡ Ø Ý ´1 Ø Ü ¡ Ø Ýµ ´1 · Ø Ü ¡ Ø Ýµ
Ø Ü Ø Ü¡Ø 2Ý· Ø Ý·Ø 2Ü¡Ø Ý
1·Ø 2Ü¡Ø 2Ý
1 Ø 2Ý
1·Ø 2Ü
Ø
Ü
·
Ø
1·Ø 2Ü¡Ø 2Ý
1·Ø 2Ü¡Ø 2Ý
Ý;
Ý;
1 Ý
58
Некоторые элементарные функции
[ Гл. 4
× Ò Þ и Ó× Þ .
Õ
× ÒÞ
× Ò2 Ü ¡ 2 Ý · Ó×2 Ü ¡ × 2 Ý
Ö
Õ
¡ 2
2
2
2
×Ò Ü 1·× Ý · 1 ×Ò Ü × Ý
× Ò2 Ü · ×
Õ
Õ
2
2
2
2
Ó× Þ
Ó× Ü ¡ Ý · × Ò Ü ¡ × Ý
Ó×2 Ü · × 2 Ý
Из формул 1) и 2) найдем
2
Ý,
На комплексной плоскости
функция × 2 Ý может иметь
сколь угодно большие значения, поэтому × Ò Þ и Ó× Þ также
не являются ограниченными. Следует заметить, что для действительных функций × Ò Ü и Ó× Ü их модули не превышают
единицы.
Þ , Ø Þ и Ø Þ являФункции × Ò Þ , Ó× Þ , Ø Þ , Ø Þ , × Þ ,
ются аналитическими в области определения каждой функции,
и их производные вычисляются по формулам:
´× Ò Þµ Ó× Þ, ´ Ó× Þµ × Ò Þ,
´Ø Þµ Ó×1 Þ Þ 2 ´2 · 1µ , ¾
¼
¼
,
¼
2
´ Ø Þµ
× Ò1 Þ ´Þ
¼
´× Þµ
´Ø Þµ
¼
1
2
Þ
´
´ Ø Þµ
Þ,
¼
,
¼
¾ µ,
,
2
µ × Þ,
× 1 Þ ´Þ
Þ
¼
2
0µ
Для доказательства используются формулы (4.5) и (4.6).
Например,
´× Ò Þµ
¼
Þ
Þ
¼
2
П р и м е р . Вычислить
Решение.
Þ·
Þ
· Þ
Þ
2
Ó× Þ
2
и т. д.
× Ò ´ · ÐÒ 5µ.
× Ò ´ · ÐÒ 5µ × Ò ¡ Ó× ´ ÐÒ 5µ · Ó× ¡ × Ò ´ ÐÒ 5µ
× Ò ´ ÐÒ 5µ × ´ÐÒ 5µ ÐÒ 5 2
ÐÒ 5
5 2
1
5
2, 4
Á
4.7 ]
Общая показательная функция
59
4.6. Общая степенная функция
Определение. Функция
ÄÒ Þ
Þ
(4.8)
называется общей степенной функцией комплексного переменного Þ ´Þ 0, Þ ½µ с комплексным показателем . Так как
ÄÒ Þ — многозначная функция, то общая степенная функция также многозначная. Способы выделения ее однозначных ветвей
прежние. Точкой разветвления является Þ 0.
·
1 Ô
П р и м е р . Вычислить
1
2
.
Решение. По формуле (4.8) имеем
´1· µ ÄÒ 1Ô 2
·
1 1
Ô
¬¬2 1 ¬ ÄÒ Ô2
¬
ÐÒ 1 · 4 · 2
4 · 2 , ¾ ¬¬
´1· µ´ ·2 µ
·2 · ´ ·2 µ
·2
Ó× 4 · 2 · × Ò 4 · 2
·2
Ó× 4 · × Ò 4
Ô
Ô
Ô
2
2
2
·2
´1 µ ·2
2
2
2
Ô
2
0 получаем главное значение
´1 µ
числа
2
Á
Ô
2
4
4
1 4
4
При
4
4
·
1
4
4
4.7. Общая показательная функция
Определение. Функция
Þ
Þ
ÄÒ
(4.9)
называется общей показательной функцией комплексного пе0,
½µ.
ременного Þ ´
Для получения отдельной ветви функции (4.9) фиксируем
одно из значений ÄÒ (в формуле (4.4) фиксируем ), пусть
ÄÒ
, функция Þ — однозначная аналитическая функция.
Изменяя в формуле (4.4), получаем однозначные ветви функÞ , где
ÐÒ · ´ Ö · 2 µ.
ции Þ Û
60
Некоторые элементарные функции
[ Гл. 4
При
0 выделяется главное значение показательной функции Þ , равное 0 Þ , где 0 ÐÒ .
По какой бы замкнутой жордановой кривой не двигаться,
после полного обхода значение функции Û остается прежним
для фиксированного . Многозначная функция Þ не имеет точек
разветвления и представляет собой совокупность отдельных, не
связанных между собой аналитических функций на комплексной
плоскости .
4.8. Обратные тригонометрические функции
Определение. Функции Û
Ö × Ò Þ, Û
Ö Ó× Þ, Û
Ö Ø Þ и Û Ö Ø Þ определяются как функции, обратные по отношению к тригонометрическим функциям Þ × Ò Û,
Þ
Ó× Û, Þ Ø Û, Þ Ø Û соответственно, и называются
обратными тригонометрическими функциями комплексного
переменного.
Найдем формулы вычисления обратных тригонометрических
функций.
Докажем следующие формулы:
Ô
¡
Ö × Ò Þ ÄÒ Þ · 1 Þ2 ,
Ô
¡
Ö Ó× Þ ÄÒ Þ · Þ2 1 ,
Ö Ø Þ 2 ÄÒ 11 · ÞÞ ,
Ö Ø Þ 2 ÄÒ ÞÞ ·
Û
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
× Ò Û, то
Д о к а з а т е л ь с т в о формулы (4.10). Если Þ
Ö × Ò Þ называется арксинусом Þ. Для вычисления Û
Ö × ÒÞ
Þ
¾
из формулы
× ÒÛ
Û
2
Ø Ø 1
Û Þ най-
Þ , отØ, получим уравнение
дем Û. Обозначив Û
2
2
ÞØ 1 0. Решениями квадратного уравнения будут
куда Ø 2 Ô
Ø1,2
Þ · Þ 2 · 1 . Заметим, что перед радикалом нет знаимеет два значения.
ка ¦, так как квадратный
Ô корень
Û
2
Þ · 1 Þ , то
Так как
Ô
¡
ÄÒ
Þ · 1 Þ2
и
Ô
¡
Ô
¡
ÄÒ Þ · 1 Þ
ÄÒ Þ · 1 Þ2 ¤
Û
Û
2
Формулу (4.11) получить самостоятельно.
4.8 ]
Û
Обратные тригонометрические функции
61
Д о к а з а т е л ь с т в о формулы (4.12). Если Þ
Ø Û, то
Ö Ø Þ называется арктангенсом Þ. Для вычисления Û
Ö Ø Þ воспользуемся формулой:
Ø
Û
Û
Û· Û
× ÒÛ
Ó× Û
Û Введем обозначение: Û Ø.
Тогда
1
2
ØØ ·ØØ 1 ¡ Þ , ØØ2 ·11¡ Þ ,
Ø2 1
2Û
ÄÒ 11 · Þ
¡
Þ
, Û
Þ
1 · Þ,
ÖØ
Ø2
Þ
Ø2
1·
1 1
2
Þ
2
1
Þ
,
Þ
ÄÒ 11 · Ø
2
Û
¡
· 1 Þ,
1· Þ
,
1 Þ
1· Þ
2
1 Þ
ÄÒ
Þ
Þ
Формулу (4.13) получить самостоятельно.
П р и м е р 1 . Вычислить Ö Ø Þ , если Þ
ствительное число.
Решение. По формуле (4.12) имеем
Û
Ö Ø Ü 2 ÄÒ 11 · ÜÜ
¬
¬
2 ÐÒ ¬¬ 11 · ÜÜ ¬¬ · Ö 11 · ÜÜ · 2
¤
Ü — любое дей-
2 0 · ´ Ö ´1 · ܵ Ö ´1 ܵ · 2 µ
1
2 Ö ´1 · ܵ · 2
Ö ´1 · ܵ · , ¾ ,
2
так как числа 1 · Ü и 1 Ü являются сопряженными: их модули равны, Ö ´1 · ܵ и Ö ´1 ܵ отличаются только знаком
´ Ö Þ µ.
Ö Ø Ü получим при
0
Û
Главное значение
Ö ´1 · ܵ Ö Ø Ü — действительная функция независимой
переменной Ü. Á
П р и м е р 2 . Решить уравнение 12 Ó× Þ · 13 0.
13
Решение. Ó× Þ . По формуле (4.11) имеем
12
Ö
13
13
Þ
Ö Ó× 12 ÄÒ 12 · 169
1
144
ÄÒ 13
¦ 125
12
;
62
Þ1
Þ2
Некоторые элементарные функции
[ Гл. 4
ÄÒ 23 ÐÒ 23 · ´ · 2 µ
(применим формулу (4.4))
´ÐÒ 3 ÐÒ 2µ · ´2 · 1µ, ¾ ;
13
5
ÄÒ 12 12 ÄÒ 32 ÐÒ 32 · ´ · 2 µ
Á
ÐÒ 32 · ´2 · 1µ , ¾
ÄÒ 13
· 125
12
4.9. Обратные гиперболические функции
Определение. Функции, обратные функциям Þ × Û, Þ
Ø Û, Þ Ø Û, называются соответственно аркÛ, Þ
гиперболическим синусом, аркгиперболическим косинусом, аркгиперболическим тангенсом, аркгиперболическим котангенсом
Ö× Þ, Û
Ö Þ, Û
ÖØ Þ и
и обозначаются так: Û
Û
Ö Ø Þ.
Имеют место формулы:
Ö×
Þ
Ô
ÄÒ Þ · Þ2 · 1 ,
ÖØ Þ 12 ÄÒ 11 · ÞÞ ,
Ö
ÖØ
Þ
Þ
Ô
ÄÒ Þ · Þ2 1
1
ÄÒ ÞÞ · 11
2
,
Доказательство проводится аналогично доказательству формул для обратных тригонометрических функций. Докажем, наÖ× Þ, то Þ × Û
пример, первую формулу. Если Û
Û Û
2Þ Û 1 0. Решая это уравнение,
Ô
Ô
получаем Û Þ · Þ 2 · 1 , откуда Û ÄÒ Þ · Þ 2 · 1 .
Ô
Таким образом, Ö× Þ ÄÒ Þ · Þ 2 · 1 .
2
, откуда
2Û
Оставшиеся формулы доказать самостоятельно.
Функции многозначны, так как логарифм и квадратный корень многозначны.
4.10. Функция Жуковского
Функция
Û
1
2
Þ
· Þ1
(4.14)
называется функцией Жуковского.
Данную функцию русский ученый Н.Е. Жуковский применил
для расчета профиля крыла самолета.
4.10 ]
Функция Жуковского
63
Функция (4.14) определена, непрерывна и аналитична всюду,
кроме точек Þ 0 и Þ ½; ее производная
1 1
2
Û¼
1
Þ2
Таким образом, отображение (4.14) конформно во всех точ1.
ках области определения функции, кроме точек Þ
Найдем области взаимно-однозначного отображения функции
(4.14).
Пусть Þ1 и Þ2 такие, что выполняется равенство:
¦
Þ1
· Þ1
Þ2
1
· Þ1 ,
2
т. е. отображение (4.14) переводит точки Þ1
Отсюда
Þ12 Þ2
· Þ2
Þ2 в одну точку Û.
·
Þ1 Þ2 ´Þ2 Þ1 µ ´Þ2 Þ1 µ
´ µ ´Þ1 Þ2 1µ 0
Þ22 Þ1 Þ1 ,
Þ 2 Þ1
0,
Следовательно, отображение (4.14) взаимно однозначно в любой
области ´ µ, которая не содержит ни одной пары точек Þ1 Þ2 ,
связанных между собой условием:
Þ1 Þ2
1
В частности, отображение (4.14) взаимно однозначно в областях:
1;
1) Þ
2) Þ
1;
3)
ÁÑ Þ
0;
4)
ÁÑ Þ
0
Таким образом, область ´ µ не должна содержать ни одной
пары точек Þ1 Þ2 таких, что Þ2 симметрична с Þ1 одновременно
1 и относительно оси
относительно единичной окружности Þ
ÁÑ Þ 0.
Комплексное переменное Þ представим в показательной форÞ ³ . Множество точек Þ , для которых Þ
Ö,
ме: Þ
0 ³ 2 , Ö 0, будет окружностью радиусом Ö с центром в
начале координат:
Þ Ö ³
(4.15)
Подставляя (4.15) в равенство (4.14), получаем параметрический образ окружности:
Û
Ù
·
1
2
Ú
1
2
· Ö1 ³
Ó× ³ · Ö × Ò ³ · Ö1 Ó× ³ Ö × Ò ³
1
1
Ö·
Ó× ³ · 2 Ö Ö1 × Ò ³;
2
Ö
Ö ³
Ö
(4.16а)
64
Некоторые элементарные функции
Ù
1
2
Ö
· Ö1 Ó× ³,
Ú
1
2
Ö
Ö1 × Ò ³
[ Гл. 4
(4.16б)
— параметрические уравнения отображения окружности Þ
функцией (4.14).
Уравнения (4.16)¬ являются
эллипсом с полуосями
¬
1
2
Ö
· Ö1
и
Ö
¬¬ 1 ¬¬.
Ö
1
Ö
2
Фокусы эллипса лежат на действительной оси в точках
´1; 0µ и ´ 1; 0µ, так как квадрат полуфокусного расстояния 2
2 2
1.
1 эллипс (4.16) сжимается в отрезок 1; 1 оси Ù.
При Ö
Ö являются эллипсы
Если Ö 1, то образами окружностей Þ
(4.16), заполняющие комплексную плоскость Û с разрезом по от1 отображается на отрезок
резку 1; 1 оси Ù. Окружность Þ
1; 1 , обходимый дважды по часовой стрелке.
1 отображаются также
Окружности Þ
Ô в 2эллипсы (4.16).
Из уравнения (4.14) найдем Þ Þ Û · Û 1 — это функция, обратная к функции Жуковского, которая
Ô имеет две ветви
в зависимости от ветвей квадратного корня Û2 1 .
Можно показать, что одна ветвь отображает плоскость Û
с разрезом по отрезку 1; 1 вовнутрь единичного круга, а
вторая — вовне его.
4.11. Задачи для самостоятельной работы
1. Пользуясь условиями КРЭД, выяснить, какие из следующих функций являются аналитическими, и найти их производные:
Þ ; б) Û Þ ; в) Û × Ò Þ ; г) Û Þ 3 ;
а) Û
е) Û ´Ü · 2Ý µ · ´Ý 2ܵ
д) Û Þ Þ ;
2. Найти аналитическую в окрестности точки Þ0 функцию Û
по известной действительной части Ê Û Ù´Ü, Ý µ или мнимой
ÁÑ Û Ú´Ü, ݵ:
б) Ú Ü · Ý ;
а) Ù Ü2 Ý 2 · 2Ý ;
3
2
2
3
в) Ù Ü · 6Ü Ý 3ÜÝ 2Ý , Û´0µ 0; г) Ù Ü2
3. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отоб´Þµ в точке Þ0:
ражении Û
2
Þ, Þ
б) Û
1·
;
а) Û Þ , Þ0 2;
0
2
Þ 1
г) Û
, Þ0 2
в) Û × Ò Þ , Þ0 1 · ;
Þ·
4.11 ]
Задачи для самостоятельной работы
65
4. Дано отображение Û Þ Ò , Ò — натуральное число.
а) В какие точки перейдут точки Þ1 0 и Þ2 0, если Þ1
Ö Þ2 Ö Þ1 · 2Ò , где 0 — целое число?
б) На какую область отображается сектор
2
Ò
³
´ · 1µ 2Ò ,
0, 1,
Þ2 ,
, Ò 1?
Ï
даны прямые Ù Ù0 и Ú
в) В комплексной плоскости
Какие линии им соответствуют в плоскости ?
Þ . Во что отображает оно:
5. Дано отображение Û
а) прямые Ü Ü0 и Ý Ý0 ; б) полосу 0 Ý 2 ;
; г) 0 ÁÑ Þ
;
в) полосу 0 Ý
д) ½ Ü 0, 0 Ý
;
е) линию
Þ Ø ´1 · µ · , ½ Ø ·½,
Ú0 .
и
— действительные числа?
6. Доказать, что
2Ø Þ
;
а) Ø 2Þ
1 Ø 2Þ
Þ Þ2
Ó× Þ1 · Þ2 ;
б) × Ò Þ1 × Ò Þ2 2 × Ò 1
в)
г)
2
Ó× ´Þ1 Þ2µ
´Þ1 · Þ2µ
7. Найти:
а) ÄÒ ´1 · µ; б) ÄÒ ´ µ; в)
г) ÄÒ ´5 · 12 µ, ÐÒ ´5 · 12 µ;
8. а) ; б) 1
9. Найти:
1
а) Ö × Ò ; б)
Ö
2
2
Ó× Þ1 ¡ Ó× Þ2 · × Ò Þ1 ¡ × Ò Þ2;
Þ1 ¡ Þ2 · × Þ1 ¡ × Þ2 .
Ô
2;
в)
ÄÒ ´ 1µ;
´ 3 · 4 µ1· .
Ö × Ò ; в) Ö Ó× 2; г) Ö Ø
е) × ´ 2 · µ; ж) ÖØ ´1 µ.
3
;
2;
10. Найти отображение, осуществляемое функцией Жуковского
1
1
Û
Þ·
2
Þ
д)
а) Þ
Ö, Ö
1; Ö — число; б) Þ
Ö, Ö
1, — окружности
радиусом Ö;
в) луча Þ Ö ³0 , 0 Ö ·½, исходящего из начала координат
под углом ³0 к оси ÇÜ.
3 И.П. Карасёв
66
Некоторые элементарные функции
[ Гл. 4
4.12. Ответы
Ü ´ Ó× Ý · × Ò Ý µ. Так как Ù
1. а) По определению, Þ
Ü Ó× Ý , Ù
Ü Ó× Ý , Ú
Ü × Ò Ý , то Ù
Ü × Ò Ý, ÜÚ
Ü
Ý
Ü × Ò Ý, Ú
Ü Ó× Ý .
Ý
Проверяем условия КРЭД (см.§ 3.3):
Ù
Ú
Ù
и
ÜÜ ,
Ü
Ý
Ý
Ü Ó× Ý
Ü Ó× Ý и Ü × Ò Ý Ü × Ò Ý
Þ¾
Следовательно, условия КРЭД выполнены на всей комплексной
Þ аналитична в этой плоскости.
плоскости , функция Û
Производная
Ù
Û¼
· ÜÚ Ü Ó× Ý · Ü × Ò Ý Ü ´ Ó× Ý · × Ò Ýµ Þ ;
Ü
б) Û Þ Ü Ý , не дифференцируема ни в одной точке плоскости ;
в) Û
× Ò Þ × Ò ´Ü · ݵ × Ò Ü ¡ Ó× Ý · × Ò Ý ¡ Ó× Ü
× Ò Ü ¡ Ý · Ó× Ü ¡ × Ý;
Ó× Ü ¡ × Ý,
ÙÜ
Ý , ÙÝ × Ò Ü ¡ × Ý ,
ÚÜ
Ý , ÚÝ
Ó× Ü ¡ Ý
КРЭД выполняются, функция Û
× Ò Þ — аналитичеÙ
¼
¼
Условия
ская на плоскости
Û¼
× ÒÜ ¡
Ó× Ü ¡
× ÒÜ ¡
Ý,
Ú
¼
¼
, и ее производная
´× Ò Ü ¡ ݵ · Ü ´ Ó× Ü ¡ × Ýµ
Ó× Ü ¡ Ý × Ò Ü ¡ × Ý Ó× Ü ¡ Ó× Ý × Ò Ü ¡ × Ò
Ó× ´Ü · ݵ
Ü
Ý
Ó× Þ;
г) аналитическая функция, Û¼ 3Þ 2 ;
д) не является аналитической; дифференцируема в одной точке
Ü 0, Ý 0;
е) аналитическая функция, Û¼ 1 2 .
Ù
2Ü. По первому условию КРЭД Ù¼Ü Úݼ ,
2. а) Решение.
Ü
Ú
2Ü. Интегрированием находим Ú ´Ü, Ý µ
2ÜÝ ·
поэтому
Ý
· ³ ´Üµ, где ³ ´Üµ — некоторая дифференцируемая функция. Найдем ³ ´Üµ, используя второе условие КРЭД: Ù¼Ý Úܼ . Так как
Ù¼Ý
2Ý · 2, Úܼ 2Ý · ³¼ ´Üµ, то 2Ý · 2 2Ý ³¼ ´Üµ, т. е.
4.12 ]
Ответы
67
´ µ ´ µ 2Ü · . Подставляя ³´Üµ в Ú´Ü, ݵ, полу´ µ
2Ü · ; аналитическая функция
Û ´Ü2 Ý 2 · 2Ý µ · ´2ÜÝ 2Ü · µ
´Ü · ݵ2 2 ´Ü ݵ ·
Þ2 2 Þ ·
,
где Ü · Ý Þ , Ü Ý Þ ; Á
б) Û ´1 · µ Þ · ;
в) Û ´1 2 µ Þ 3 ;
³¼ Ü
2, ³ Ü
2ÜÝ
чаем Ú Ü, Ý
г) аналитической функции не существует.
3. а) Решение. Производная Û¼ 2Þ в точке Þ0 2 равна
¼
Û ´2µ 2 ¡ 2 4; модуль Û¼ ´2µ
4 — коэффициент растяжения,
Ö Û¼´2µ Ö 4 0 — угол поворота; Á
б) Û¼
, Ö Û¼
;
Ô
2
1 × Ò2 1 ; Ö Û¼ Ö Ø ´Ø 1 ¡ Ø 1µ.
в) Û
Ук а з а н и е . Использовать формулы, связывающие между
собой тригонометрические и гиперболические функции;
¼
г) Û¼
Ô
2,
2
Ö
Û¼
34
.
Þ Ò можно переписать в виде ра4. а) Отображение Û
Ò
Þ ,
Ò Ö Þ (почему?), где — модуль Û, —
венств:
Þ2 , то 1
Ò Ö Þ1 ,
аргумент Û. Так как Þ1
1
2;
2
Ò
Ö Þ1 · Ò
Ò Ö Þ1 · 2 . Следовательно, отобра2
жение Û Þ Ò точки Þ1 и Þ2 переводит в одну точку Û2 ;
б) сектор отображается на комплексную плоскость с разрезом
вдоль положительной полуоси Ù;
Рис. 4.5
3*
Рис. 4.6
68
Некоторые элементарные функции
в)
Решение. Û
Þ Ò Ó× Ò³, Ú0
уравнения:
Þ
Õ
Ò
Ù0
Ó× Ò³
· Ú
× Ò Ò³,
Ù
ÞÒ
(рис. 4.5),
´ Ó×
[ Гл. 4
· ×Ò µ
ÞÒ
Ò³
Ò³ ; Ù0
отсюда получаем полярные
Þ
Õ
Ò
Ú0
× Ò Ò³
(рис. 4.6)
Ù0 и Ú
Ú0 на комплексной
Следовательно, прямым Ù
соответствуют гиперболы. Á
плоскости
Þ
Ü ´ Ó× Ý · × Ò Ý µ,
5. а) Решение. С одной стороны, Û
Ü
´ Ó× · × Ò µ, отсюда
,
Ý — полярс другой — Û
. Подставляя Ü Ü0 и Ý Ý0
ные координаты в плоскости
Ü и
Ü0 и
в формулы
Ý , получаем
Ý0 . СледоваÞ
переводит прямую Ü Ü0 в окружность
тельно, отображение
Ü0 , а прямую Ý Ý — в луч
Ý0 ; Á
0
б) на комплексную плоскость
с разрезом вдоль положительной полуоси;
Ô
; д) Ù2 · Ú 2
1;
в) ÁÑ Û 0; г) 0
»
»
— логарифмическая спираль, где 0
,
е)
0
Ø· ·2 ,
¾ .
Ï
Ï
ÐÒ 2 · 4 · 2 , ¾ ; б) 2 · 2 , ¾ ;
¾ ; г) ÐÒ 13 · Ö Ø 125 · 2 , ¾ ;
в) ´2 · 1µ ,
ÐÒ 13 · Ö Ø 125 .
2
8. а) ´ ·2 µ
Ô
Ô , ¾ ;
2 ¡2
· ×Ò 2 ¡2 , ¾ ;
б) Ó×
в) 5 Ö Ø ·´2 ·1µ
Ó× ÐÒ 5 Ö Ø 43 · × Ò ÐÒ 5 Ö Ø 43 ,
¾ .
Ô
2 1 ,
¾ ;
9. а) · 2 , ¾ ; б) 2 ÐÒ
6
Ô
¾ ; г) 2 ÐÒ 2 · , ¾ ;
в) 2 ¦ ÐÒ 2 · 3 ,
Ô
1
5 ¦2 · 2 ¦
, ¾ ;
д) ÐÒ
2
е) Ó× 1 ¡ × 2 · × Ò 1 ¡ 2;
1
1
Ö Ø 2 · · 12 , ¾ .
ж) ÐÒ 5 ·
4
2
10. а) Образами окружностей
¬ 1 ¬¬ являются эллипсы с полуосями
1
1
1¬
Ù
Ö·
, Ú
¬Ö Ö ¬, заполняющие комплексную плос2
Ö
2
7. а)
1
2
2
4
3
2
4.12 ]
Ответы
69
Ï
кость
с разрезом по отрезку Ù ¾ 1; 1 . При этом окружность
Þ
1, проходимая по ходу движения часовой стрелки, является
разрезом Ù ¾ 1; 1 , проходимым дважды по часовой стрелке;
б) образами окружностей являются те же эллипсы (см. п. «а»),
с разрезом Ù ¾ 1; 1 . При этом
заполняющие плоскость
1, проходимая против часовой стрелки, являетокружность Þ
ся разрезом Ù ¾ 1; 1 , проходимым дважды по часовой стрелке;
, ¾ . Найдем параметрические
в) случай 1. Пусть ³0
2
уравнения луча:
Ï
Ù
1
2
Ö
· Ö1 Ó× ³0,
1
2
Ú
Ö
Ö1 × Ò ³0
Исключая Ö, получаем уравнение гиперболы
Ù2
Ó×2 ³0
2
× ÒÚ ³
2
2
1
0
Если 0 ³0
, то имеем правую ветвь гиперболы; если
2
³0
, то имеем левую ветвь гиперболы;
случай 2. Пусть ³0
3
2
2
,
¾
. Лучи
отображаются в действительную ось Ù
Ö
Þ
2
и
Ö
Þ
Ê Û 0.
·½, проходимый
При ³0 0 получаем промежуток 1 Ù
дважды : при 1 Ö ·½ промежуток проходится от точки Ù 1
до точки Ù ½, а при 0 Ö 1 — тот же промежуток, проходимый от точки Ù ½ до точки Ù 1. Аналогично при ³0
получается промежуток Ù ¾ ´ ½; 1 , проходимый дважды.
В случае 2 гипербола, рассмотренная в случае 1, вырождается в полуинтервалы, где точки ´ 1; 0µ и ´1; 0µ — фокусы
гиперболы.
5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
5.1. Определение интеграла
Рассмотрим на комплексной плоскости
жорданову кривую , на которой задано направление от начальной точки к
конечной точке .
y
b = zn
опреПусть на кривой
делена
однозначная
функция
zk+1
Û
´Þµ Ù ´Ü, ݵ · Ú ´Ü, ݵ.
z
zk
произвольРазобьем кривую
zk-1
ным образом на Ò дуг точкаl
Þ0 , Þ1 , Þ2 , . . ., Þ 1 ,
ми
Þ , . . ., ÞÒ
. Выберем на
z2
каждой дуге Þ 1 , Þ произz1
(рис. 5.1).
вольную точку
Составим интегральную сумa = z0
x
O
му
Ò
Ò
È
1
´ µ ¡ ¡Þ
, где
¡ Þ Þ Þ 1.
Определение. Предел интегральной суммы
Ò при
Ñ Ü ¡Þ
0, если он существует и конечен, называется
интегралом от функции ´Þ µ комплексного переменного
Þ по
Ê
´Þµ Þ, т. е.
кривой (вдоль кривой) и обозначается символом
Рис. 5.1
0 Æ
0,
¡Þ
Æ
¬¬
µ ¬¬
Ò
1
и для любых разбиений кривой
Итак, по определению
ÐÑ
Ñ Ü¡Þ
Ò
0
1
´ µ ¡Þ
¬¬
´Þµ Þ¬¬
¡Þ ¡Þ
таких, что
´Þ µ
Þ
Æ.
(5.1)
Кривую называют также путем интегрирования.
Теорема. Если кривая ´ µ — кусочно-гладкая, а однознач´Þµ непрерывна на этой кривой, то интеная функция Û
грал на пути интегрирования существует.
5.2 ]
Вычисление интеграла
71
При этом функция ´Þ µ называется интегрируемой по кривой . В дальнейшем предполагаем интегрируемость функции.
Из определения интеграла непосредственно следуют свойства:
1. Линейность. Если функции ´Þ µ и ´Þ µ непрерывны на
кусочно-гладкой кривой , то
´ ´Þµ · ´Þµµ
´Þµ Þ ·
Þ
´Þµ
Þ,
¾ и ¾ — комплексные числа.
и
2. Аддитивность. Для любой кусочно-гладкой кривой
´Þµ справедливо равенство:
интегрируемой на ней функции Û
где
´Þ µ
3.
´Þ µ
´Þ µ Þ ·
Þ
´Þµ
Þ
´Þµ
Þ
Þ , т. е. при изменении ориентации
кривой интеграл меняет знак.
4. Оценка модуля:
¬¬
¬¬
¬¬
´Þµ Þ¬¬
´Þµ
Ð,
где интеграл справа является криволинейным интегралом первого рода.
5.2. Вычисление интеграла
В равенстве (5.1) положим Þ
· Ú ´Ü, ݵ,
¡ Þ Þ Þ 1,
¡ Þ Ü · Ý ´Ü
·
·
Ý,
´Þµ
´
Ù Ü, Ý
µ·
· Ý 1,
· ´ Ý 1µ
1·
¡ Ü · ¡Ý
,
´ µ Ù´ , µ · Ú´ , µ
Þ
·
µ
Ü
Ü
Ý 1
Ý ,
Ü
Þ 1 Ü 1
Ü 1
Ý
,
Тогда выражение под знаком суммы в равенстве (5.1) примет вид
´ µ¡ Þ
´Ù ´
µ · Ú ´ , µµ ´¡ Ü · ¡ Ý µ
Ù´ , µ¡ Ü Ú´ , µ¡ Ý ·
· ´Ù ´ , µ ¡ Ý · Ú ´ , µ ¡ Ü µ
,
72
Интегрирование функции комплексного переменного
Условие
Ñ Ü ¡Þ
´Þµ интегрируема, то
´Þµ
Ò
ÐÑ
Ñ Ü¡Þ
Þ
0
0
0
Ñ Ü¡Ý
Ù
1
0,
Так как функция
0
´ µ¡ Þ
1
Ò
ÐÑ
Ñ Ü¡Ü
Ñ Ü ¡Ü
Ñ Ü ¡Ý
0¸
[ Гл. 5
´
µ¡Ü Ú´
,
· Ú´ , µ¡Ü · Ù´
Ù ´Ü, Ý µ Ü Ú ´Ü, Ý µ Ý ·
,
µ¡Ý ·
,
µ¡Ý
Ú ´Ü, Ý µ
Ü
· Ù ´Ü, ݵ
Ý
Таким образом, вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению двух криволинейных
интегралов второго рода от действительных функций:
´Þ µ
´
Ù Ü, Ý
Þ
µ
Ü
Ú ´Ü, ݵ Ý ·
´
Ú Ü, Ý
µ
Ü
· Ù ´Ü, ݵ
Ý
(5.2)
Для вычисления криволинейных интегралов, записанных
в правой части формулы (5.2), кривую Ð зададим параметрическими уравнениями:
´µ
Þ Ø
´ µ · Ý ´Ø µ ,
Ü Ø
Ø
¾
´ µ
«, ¬ ,
´ µ
Þ « ,
Þ ¬
Тогда формула (5.2) будет иметь вид
´Þµ
¬
¨
·
´µ
©
´ µ ´ µ Ú Ü ´Øµ , Ý ´Øµ Ý ´Øµ Ø ·
Ù Ü Ø , Ý Ø Ü¼ Ø
Þ
¬
«
¨
¼
©
´ µ ´ µ · Ù Ü ´Øµ , Ý ´Øµ Ý ´Øµ
´µ
Ú Ü Ø , Ý Ø Ü¼ Ø
«
¼
Преобразуем равенство (5.3)
´Þµ
¬
Þ
´µ
´µ·
Ù Ü Ø , Ý Ø
«
ݼ Ø
· ´µ
´µ ´µ·
Ù Ü Ø ,Ý Ø
´µ
´µ
Ú Ü Ø , Ý Ø
´µ ´µ
Ú Ü Ø ,Ý Ø
´ µ·
ܼ Ø
¡
Ø
Ø
(5.3)
5.2 ]
Вычисление интеграла
¬
´µ
´µ·
´µ
Ù Ü Ø , Ý Ø
«
73
¢
´µ
Ú Ü Ø , Ý Ø
´ µ·
£
´µ
ܼ Ø
ݼ Ø
¬
Ø
´Þ ´Øµµ Þ ´Øµ
¼
«
Ø
Следовательно, если Þ Þ ´Øµ , Ø ¾ «, ¬ — уравнение гладкой кривой , то имеет место формула
´Þµ
¬
Þ
´Þ ´Øµµ Þ ´Øµ
¼
«
(5.4)
Ø
Заметим, что если — замкнутая жорданова кривая, то используют обозначения:
Á
´Þµ
·
Á
Þ,
´Þµ
Þ
в зависимости от направления обхода контура. Обозначение
обход
À
в положительном направлении,
— обход
тельном направлении.
Ê
П р и м е р 1 . Вычислить ´Þ · 2Þ µ Þ , где
À
—
·
в отрица-
— отрезок пря-
мой от точки Þ 0 до точки Þ 1 .
Ü, 0 Ü
Решение. Уравнение отрезка прямой Ý
Ü·
Подставляя в интеграл Þ Ü · Ý , Þ Ü Ý , Þ
получаем
´Þ · 2Þµ
Þ
´Ü · Ý · 2 Ü 2 Ý µ ´ Ü ·
´3 Ü Ý µ ´ Ü ·
1
0
Ý
µ
´Ý Ü,
3Ü Ü · Ü Ü ·
1
3 Ü
Ý
µ
3Ü Ü · Ý Ý ·
Ý
Ü
·Ü
Ü,
0
Ü
1
0
4
3Ü Ý Ý Ü
1µ
4 Ü Ü·
Ü
Ü
2
2
¬¬10
¬¬ 2
0
1.
Ý,
2
Ü
2
1
¬¬10
¬¬
0
´ 2ܵ
2 Ü
Á
74
Интегрирование функции комплексного переменного
П р и м е р 2 . Найти
À
Þ
· Þ , где
[ Гл. 5
— комплексное число,
кривая — окружность Þ Æ , которая обходится в положительном направлении.
Решение. Напомним, что замкнутая кривая обходится в положительном направлении, если при обходе кривой ограничиваемая ею область остается слева (для окружности и других замкнутых жордановых кривых обход против хода часовой стрелки
является положительным).
Æ , то Þ Æ Ø , 0 Ø 2 (см. § 1.4 —
Так как Þ показательная форма комплексного числа). Найдем Þ Æ Ø Ø.
По формуле (5.4)
Á
Þ
Þ · Æ
Þ 2
Æ
0
2
Ø Ø
Æ Ø
Ø
2
,
0
т. е. данный интеграл не зависит ни от выбора точки
Æ. Á
радиуса Æ окружности Þ , ни от
5.3. Теорема Коши для односвязной области
Теорема Коши 1. Если функция
´Þµ — аналитическая
в односвязной области , то интеграл от ´Þ µ вдоль любой
равен
кусочно-гладкой замкнутой жордановой кривой
нулю, т. е.
Á
´Þµ Þ 0
(5.5)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как ´Þ µ Ù ´Ü, Ý µ · Ú ´Ü, Ý µ —
, то функции Ù ´Ü, Ý µ и
аналитическая функция в области
Ú ´Ü, Ý µ непрерывно дифференцируемы. Для функции ´Þ µ выполнены условия КРЭД (см. § 3.5):
Ù
Ü
Ú
,
Ý
Ù
Ý
Ú
Ü
Напомним формулу Грина (см. § 3.7 из [2]):
Á
·
´
È Ü, Ý
µ
Ü
· É ´Ü, ݵ
Ý
É
Ü
Ý
Ü Ý,
где — область, границей которой является кривая , обходимая
в положительном направлении.
5.3 ]
Теорема Коши для односвязной области
75
По формуле (5.2) имеем
Á
·
´Þµ
Á
Þ
·
´
Ù Ü, Ý
µ
Ü
Ú ´Ü, ݵ
Ý
Á
·
·
·
´
Ú Ü, Ý
µ
Ü
· Ù ´Ü, ݵ
Ý
(Применяем формулу Грина к интегралам в правой части
равенства)
ÜÚ Ù
Ý
Ü Ý
·
Ù
Ü
Ú
Ý
Ü Ý
0,
так как функции под знаком интегралов равны нулю по условиям
КРЭД. ¤
Теорема Коши является центральной в теории функций комплексного переменного. В теореме рассматривается односвязная
— односвязная, если любая
область. Напомним, что область
жорданова замкнутая кривая, проведенная в , ограничивает
.
область
Следствие 1. Если функция Û
´Þµ аналитична в односвязной области , то для любых кусочно-гладких жордановых
и имеющих общее начало
и
кривых, лежащих в области
общий конец
значение.
Символ
, интеграл
Ê
Ê
´Þ µ
Þ принимает одно и то же
y
означает,
что
b
кусочно-гладкий путь, соединяющий
l2
точки и , может быть произвольи
называются
ным, при этом
l1
соответственно нижним и верхним
a
пределами интегрирования.
Докажем следствие 1. Пусть 1
x
O
и 2 — две любые кусочно-гладкие
жордановы кривые, имеющие общие
Рис. 5.2
начало и конец (рис. 5.2).
Рассмотрим замкнутую кривую
1
2 , направление обхода
выберем,
например,
положительное.
По
теореме Коши
À
´Þµ Þ 0. Применяя свойство 2 аддитивности из § 5.1,
·
76
Интегрирование функции комплексного переменного
[ Гл. 5
получаем
Á
´Þµ
·
´Þµ Þ ·
Þ
1
2
´Þµ
0,
Þ
где « » указывает на изменение ориентации на кривой
По свойству 3 из § 5.1 следует, что
´Þµ Þ ´Þ µ
1
Þ
0µ
´Þµ
´Þµ
Þ
1
2
Þ
¤
2
´Þµ аналитична в односвязной
Следствие 2. Если функция
области , то интеграл
Þ
2.
´µ
´Þµ ,
(5.6)
рассматриваемый в зависимости от своего переменного верхнего
предела Þ , также является аналитической функцией в области , причем
y
g
z
z + Dz
¼
l
a
x
O
Рис. 5.3
´Þ · ¡Þµ
ÐÑ
¡Þ 0
ÐÑ
¡Þ 0
Þ ·¡ Þ
Þ·¡
Ê Þ
Þ
´µ
¡Þ
Þ
´µ
ÐÑ
¡Þ 0
´Þµ
´µ ·
´µ ·
´Ü·¡ ÜÊ,Ý·¡ ݵ
ÐÑ
¡ Ü 0,
¡Ý
0
Þ
´µ
´Þµ
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
— какая-либо кривая, соединяющая точки и Þ .
точку
Рассмотрим в
Þ · ¡ Þ , соединим ее с точкой
Þ прямолинейным отрезком ­
(рис. 5.3). Отсюда имеем
Þ
Ê
´Þ · ¡ Þµ ´Þµ
¡Þ
Þ
´ Ü, Ý µ
Þ·¡
Ê Þ
Þ
Þ ·¡ Þ
Þ
´µ
´µ Þ
Ê
;
´µ
¡Þ
´Ù ´Ü, ݵ · Ú ´Ü, ݵµ ´ Ü ·
¡ Ü · ¡Ý
ݵ
5.3 ]
Теорема Коши для односвязной области
77
(переходим к криволинейным интегралам первого рода ( Ü
Ð Ó× «, Ý
Ð × Ò «))
Ê
Ù ´Ü, ݵ · Ú ´Ü, ݵ ´ Ó× « · × Ò «µ Ð
Ð Ñ0, ­
¡Ü
¡Ý
¡Ü · ¡Ý
0
(применяем теорему о среднем значении интеграла)
Ð Ñ ´Ù ´ , µ ·´ ÚÓ×´«, ·µµ ×´ ÒÓ׫«µ ¡· Ð × Ò «µ ¡ Ð
¡ Ü 0,
¡Ý
0
Ð Ñ0, ´Ù ´
¡Ü
¡Ý
0
,
µ· Ú´
· ¡ÐÜÑ0, Ú ´
¡Ý
µµ
,
,
µ
Ð Ñ0, Ù ´
¡Ü
¡Ý
´
Ù Ü, Ý
,
0
µ·
µ · Ú ´Ü, ݵ
´Þ µ ,
0
так как функция является аналитической.
´Þ · ¡ Þµ ´Þµ
´Þµ ¼ ´Þµ. ¤
Таким образом, Ð Ñ
¡Þ
¡Þ 0
Определение. Функция ¨ ´Þ µ, аналитическая в обла, называется первообразной функции
´Þµ, если
сти
¨¼ ´Þµ ´Þµ Þ ¾ .
Следовательно, функция (5.6) согласно доказанному следствию 2 является первообразной от ´Þ µ.
Формула (5.6) показывает, что зависимость между подынтегральной функцией ´Þ µ и функцией
´Þµ такая же, как
и в случае функции действительного переменного. Очевидны
утверждения:
´Þµ — первообразная функция ´Þµ, то и любая
1) если
´Þµ · , где — произвольная постоянная, также
функция
является первообразной и называется неопределенным интегралом;
2) если 1 ´Þ µ и 2 ´Þ µ — первообразные функции ´Þ µ, то
разность 1 ´Þ µ 2 ´Þ µ будет постоянной.
Следствие 3. Если функция ´Þ µ — аналитическая в облаи ¾
сти , то для любых двух фиксированных точек ¾
справедлива формула Ньютона–Лейбница:
´Þµ
Þ
¬
´Þµ ¬¬
´ µ ´ µ,
(5.7)
где ´Þ µ — произвольная первообразная функция для подынтегральной функции ´Þ µ.
78
что
Интегрирование функции комплексного переменного
[ Гл. 5
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из предыдущих рассуждений следует,
Þ
µ
Тогда при Þ
´µ
Ê
´Þ µ ·
´µ
Þ
´ µ·
¾
0
µ
´ µ;
Ê
µ ´µ
´ µ· .
на ´ ´ µµ, получаем формулу (5.7). ¤
при Þ
Заменяя
П р и м е р . Вычислить
Ê
1
Þ2 Þ.
Решение. Так как подынтегральная функция Þ 2 — аналитическая на плоскости , то по формуле (5.7) имеем
Þ
2
Þ
¬
3¬
Þ 3 ¬¬
1
1
1
3
3
·1
1
3
´1 µ
Á
Пусть односвязная область
ограничена кусочно-гладкой
кривой Ä. Будем называть аналитической функцию ´Þ µ в замкнутой области , если функция аналитична и на границе Ä.
В этом случае
À теорема Коши 1 справедлива и для границы Ä
области :
´Þµ Þ 0, где Ä обходится, например, в положиÄ
тельном направлении.
Очевидно, что ´Þ µ является аналитической и в любой об. Существуют функции, аналитические на всей
ласти
комплексной плоскости , например Þ , × Ò Þ , Ó× Þ и др., их
называют целыми функциями.
5.4. Теорема Коши для многосвязной области
Теорема Коши 2. Пусть область ´Ò · 1µ — связная область, граница Ä которой представляет собой совокупность
попарно не пересекающихся замкнутых кусочно-гладких жордановых кривых Ä0 , Ä1 , , ÄÒ , причем Ä0 — внешняя кривая, Ä1 , , ÄÒ — внутренние кривые (рис. 5 4). Если функция
Û
´Þµ аналитична в замкнутой области , то интеграл
от ´Þ µ вдоль Ä равен нулю. Граница Ä обходится в одном (например, положительном) направлении. На рис. 5 4 обне заштрихована.
ласть
5.4 ]
Теорема Коши для многосвязной области
79
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы для многосвязной области сведем к случаю односвязной области. Соединим гладкими дугами
­1 , ­2 ,
, ­Ò кривые Ä0 , Ä1 , , ÄÒ (рис. 5.4) так, чтобы дуги
попарно не имели общих точек и принадлежали области .
Рис. 5.4
В
результате
Ò
Ë È
­
1
получили
односвязную
, границей которой является į
область
Ä
·È­
Ò
1
¯
.
Заметим, что при положительном обходе границы į
внешняя кривая Ä0 обходится против часовой стрелки,
внутренние кривые Ä1 , , ÄÒ — по часовой стрелке, каждая
дуга ­1 , ­2 , , ­Ò проходится дважды в противоположных
направлениях.
À
´Þµ Þ 0. Используя свойство 2
По теореме Коши 1
į·
аддитивности и свойство 3 изменения ориентации кривой (см.
§ 5.1), получаем Á
Á
´Þµ Þ 0,
·
Ä
так как интегралы по дугам ­ взаимно уничтожаются.
Ò À
À
À
´Þ µ Þ
´Þµ Þ · È
´Þµ Þ
Следовательно,
1 Ä Ä·
Ä·
į·
´Þµ
Þ
0
0
80
Интегрирование функции комплексного переменного
[ Гл. 5
Изменяем направление обхода на Ä :
Á
Ä·
´Þµ
Þ
0
Ò Á
1
´Þµ
Ä·
Þ
Á
0µ
´Þµ
Ä·
Ò Á
Þ
1
0
Ä·
´Þµ
Þ
(5.8)
Например, для двусвязной области (рис. 5.5) формула (5.8)
имеет вид
Á
y
´Þµ
Ä·
0
L1
Á
Þ
´Þµ
Ä·
1
À
Пример. Вычислить
Ä·
L0
Þ
´5 8 µ
¼
´Þ Þ0µÒ
Þ,
где Ò ¾ , Ä — кусочно-гладкая замкнутая жорданова кривая, содержащая фиксированную точку Þ0 внутри
x
O
себя.
Решение. Пусть Þ Þ0
Æ—
Рис. 5.5
окружность радиусом Æ с центром в точке Þ0 , содержащаяся в
области, границей которой является кривая Ä. По формуле (5.8¼ )
Á
Ä·
´Þ Þ0µÒ
¬¬
Þ Þ0
Þ
Á
Þ Þ0 · Æ
Ø, 0
Æ
´Þ Þ0µÒ
2 ,
Ø
Þ
Þ
¬¬
Ø Ø
Æ
¬¬2
Ò
·
1
¬
Æ
´Ò · 1µ ¬0
´Ò·1µØ
Æ Ò·1
2
´Ò·1µØ
Ø
2
Ø, Ò
0
2
¡Ò
Æ Ø Æ
Ø Ø
0
, Ò
1
1
0
Æ Ò·1
1 1 , Ò
Ò·1
1
2 , Ò
´ µ
1
0, Ò 1,
2 , Ò 1,
т. е. данный интеграл не зависит ни от выбора точки Þ0 , ни от
радиуса окружности. Например, при Þ0 0 и любом радиусе Ê
имеем
Á
0 при Ò 1,
ÞÒ Þ
Á
2 при Ò 1
Þ· Ê
5.5 ]
Интегральная формула Коши
81
5.5. Интегральная формула Коши
Теорема 3. Пусть ´Þ µ — функция, аналитическая в некоторой области , Ä — замкнутая кусочно-гладкая жорданова
вместе со своей внутренкривая, принадлежащая области
(рис. 5 6). Тогда для любой точки Þ0 ¾
ней областью
справедлива формула
´Þ 0 µ
Á
1
2
Ä·
´Þ µ Þ ,
Þ Þ0
(5.9)
называемая интегральной формулой Коши.
Контур Ä проходится в положительном направлении. По формуле (5.9) можно найти значения аналитической функции внутри
контура Ä через значения той же
y
функции на самом контуре Ä.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В формуле (5.9) подынтегральная функ´Þµ является аналитической
ция
z0
Þ Þ0
G
D L
в области за исключением точки
1
L
Þ0 . Опишем около точки Þ0 любую окружность Ä1 радиусом Æ
с центром в точке Þ0 такую, чтобы O
x
Ä1
, и ориентируем ее положиРис. 5.6
тельно (рис. 5.6). Тогда функция
´Þµ будет аналитической в двусвязной области, ограниченной
Þ Þ0
замкнутыми кривыми Ä и Ä1 . Используя формулу (5.8¼ ) теоремы 2 для двусвязной области, будем иметь
Á
1
2
Ä·
´Þ µ
Þ Þ0
1
Þ
2
Á
Ä·
1
´Þµ Þ
Þ Þ0
Следовательно, для получения формулы (5.9) достаточно доказать, что
Á
´Þ0µ 21 Þ ´ÞÞµ0 Þ,
Ä·
1
т. е.
2
´Þ0µ Á
Ä·
1
´Þ µ Þ
Þ Þ0
0
82
Интегрирование функции комплексного переменного
À
Так как
зать, что
´Þ0µ
Þ
2
Þ Þ0
Ä·
Á
Ä·
[ Гл. 5
(см. пример из § 5.4), то следует дока-
1
Þ
Þ Þ0
1
Á
Ä·
´Þµ
Þ Þ0
Á
µ
0
Þ
Ä·
1
µ
Þ Þ0
Þ
0
´5 9 µ
1
Из аналитичности функции
этому
0 Æ´
´Þ0 µ ´Þµ
¼
´Þµ следует ее непрерывность, по-
´Þµ ´Þ0µ
Пусть любая окружность Ä1 имеет радиус Æ Æ ´ µ. Тогда
¬¬ Á
¬
´Þ µ ´Þµ Þ¬¬ Á ´Þµ ´Þ µ Þ
¬¬
2 Æ 2 ,
¬
0,
Þ, Þ
Þ0
0
Ä1·
т. е.
Þ Þ0
Ä1·
ÐÑ
Æ 0
Á
Ä·
Æ
´µµ
Þ Þ0
´Þµ ´Þ0 µ
Þ Þ0
0
Æ
Þ
0
Но интеграл в левой части равенства (5.9¼ ) постоянен при
выбранных Æ , следовательно, он равен нулю. ¤
Интегральную формулу (5.9) можно применять для вычисления интегралов. Из формулы (5.9) следует, что
Á
´Þµ Þ 2 ´Þ µ
(5.10)
0
Þ Þ0
·
Ä
5.6. Вычисление интегралов по замкнутой
кусочно-гладкой жордановой кривой
1. Пусть функция ´Þ µ является аналитической в односвязной замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой
замкнутой жордановой кривой Ä. Тогда интеграл по любой
кусочно-гладкой замкнутой жордановой кривой ļ , содержащейся в , равен нулю, согласно теореме Коши из § 5.3.
À Ò
À Þ
0, Ò 0, 1, 2, ; 2.
0;
Þ Þ
Þ
П р и м е р ы . 1.
·
·
Ä
Ä
À
À
× Ò Þ Þ 0; 4. × Þ Þ 0, где Ä
— произвольная
3.
Ä·
Ä·
кусочно-гладкая жорданова кривая.
, ограниченной
2. Пусть в односвязной области
кусочно-гладкой замкнутой жордановой кривой Ä, есть точки
5.6 ]
Интегралы по замкнутой кусочно-гладкой жордановой кривой
83
Þ1 , Þ2 ,
, ÞÒ , в которых нарушена аналитичность функции ´Þ µ.
Такие точки называют особыми изолированными точками
функции комплексного переменного ´Þ µ. Точка Þ0 называется
изолированной особой точкой функции ´Þ µ, если существует
окрестность точки Þ0 , в которой нет других особых точек. К
особым относятся и точки, которые не принадлежат области
определения функции.
Точка Þ0 , в которой функция ´Þ µ аналитична, называется
правильной точкой функции ´Þ µ.
Пусть в особой точке Þ0 функцию ´Þ µ можно представить
´Þµ , где ´Þ µ аналитическая в функция.
в виде ´Þ µ
Þ Þ0
Тогда, используя формулу (5.10), получаем
Á
´Þ µ
Ä·
Á
Þ
Ä·
П р и м е р 5 . Вычислить
´Þ µ Þ
Þ Þ0
À
Þ 2
Þ
.
Þ2 · 1
2
´Þ0µ
´Þµ
(5.11)
1
является
Þ2 · 1
2 всюду, кроме точек Þ1
, Þ2
аналитической в круге Þ
, в которых знаменатель функции обращается в нуль. Точки
и
— изолированные особые точÞ . Построим окружки функции
Æ1 и Þ
Æ2 столь
ности Þ
малых радиусов Æ1 и Æ2 , чтобы окружности не пересекались и не пересекали границу замкнутой области
Þ
2 (рис. 5.7).
По формуле (5.8) имеем
Решение. Подынтегральная функция
·
Á
Þ· 2
Þ
2
´µ
Þ
·1
Á
Þ · Æ2
Þ2
·
·1
Þ
Á
Þ · · Æ1
Þ
Þ2 · 1
Рис. 5.7
Каждый интеграл в правой части предыдущего равенства
вычислим по формуле (5.11). В первом интеграле справа ´Þ µ
1
1
, во втором интеграле — ´Þ µ
.
Þ·
Þ 84
Интегрирование функции комплексного переменного
[ Гл. 5
Тогда
Á
Þ
Þ 2
2
Á
Þ2 · 1
Þ 2
¬
1 ¬
¬
Þ· Þ
1
Á
Þ
´Þ µ ´Þ ·
µ
·2
Þ 1
Þ П р и м е р 6 . Вычислить
¬¬
¬Þ
À
Þ·
Þ·
Þ Þ
·
Æ2
Ó× Þ
2
Þ
· 5Þ
2
Þ Þ·
Þ·
1
2
2
1
Á
Þ
Æ1
21
Á
0
Þ.
Ó× Þ является
Þ 2 · 5Þ
5, в которых
аналитической всюду, кроме точек Þ1 0, Þ2
знаменатель функции обращается в нуль. Точки 0 и 5 — изолиÞ . Открытому кругу Þ
2
рованные особые точки функции
принадлежит одна точка Þ1 0. Опишем окружность с центром
Æ
в точке Þ1 0 с таким радиусом Æ , чтобы окружность Þ
содержалась в круге Þ
2. По формуле (5.11)
Ó× Þ
Á
Á
Ó× Þ ¬¬¬
Ó× Þ Þ
2
Þ·5 Þ 2
Þ ´Þ · 5µ
Þ
Þ·5 Þ 0
5
Þ· Æ
Þ· 2
Решение. Подынтегральная функция
´Þµ
´µ
Á
5.7. Бесконечная дифференцируемость
аналитической функции
Теорема. Функция ´Þ µ, аналитическая в области , имеет производные любого порядка в этой области, и ее производная Ò-го порядка находится по формуле
´Òµ ´Þ µ
Ò
2
Á
´µ ,
´ ÞµÒ·1
·
Ò
1, 2,
,
(5.12)
Ä
где Ä — замкнутая кусочно-гладкая жорданова кривая, привместе со своей внутренней областью.
надлежащая
Из теоремы следует, что производная ¼ ´Þ µ аналитическoй
функции ´Þ µ является аналитической функцией. И, более
того, производная ´Òµ ´Þ µ для любого Ò является аналитической функцией. В этом состоит важнейшее отличие функции
комплексного переменного от функции действительного переменного. Функция ´Üµ действительного переменного Ü может
не иметь производной второго порядка, в то время как ¼ ´Üµ
существует.
5.7 ]
Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
85
Д о к а з а т е л ь с т в о . Запишем интегральную формулу Коши (5.9):
Á
´µ
´Þ µ 2 1
Þ
Ä·
Формула (5.12) получается из формулы (5.9) последовательным дифференцированием под знаком интеграла по параметру Þ .
Например,
¼
´Þµ
¼¼
´Þµ
1
2
Á
2
Á
´µ
Þ
Ä·
´µ
´ Þµ3
·
2
,
Á
´µ ,
´
Þ µ2
Ä· Á
Ò
´µ ,
2
´ ÞµÒ·1
·
1
¼
2
´Òµ ´Þ µ
,
Ä
Ä
Докажем справедливость такого дифференцирования для Ò
1. Пусть Þ и Þ · ¡ Þ — две точки в области . Тогда
´Þ µ
¡ ´Þ µ
1
2
Á
Ä·
´µ
´Þ · ¡Þµ
и
Þ
´Þ · ¡ÞµÁ ´Þµ
1
´µ
2
1
Þ ¡Þ
Ä·
2
2
Осталось показать, что
2
¬¬
¬¬ 1
2
Á
Ä·
Ä·
1
´µ
´ Þµ ´ Þ ¡Þµ 2
Á
Ä·
´µ
Þ ¡Þ
;
1
Þ
´ µ´
¡Þ
;
Þµ ´ Þ ¡Þ µ
´µ
´ Þµ ´ Þ ¡Þµ
1
2
Á
Ä
´µ .
´
Þµ2
·
Á
´µ
´
Þµ2
·
Ä
2
1
Á
¬¬ Ä
¡Þ
´ µ ¬¬
´
Þ µ ´ Þ ¡Þ µ
Ä·
Á
Ä·
Ð Ñ ¡ ´Þ µ
¡Þ 0 ¡Þ
Оценим разность
1
Á
1
2
Á
1
¡ ´Þµ
¡Þ
1
¡Þ
´µ
´
Þ µ2 ´ Þ ¡Þ µ
·
2
1
2
Á
Ä·
¡Þ ¡ ´ µ
Þ 2 Þ ¡Þ
1
¡Þ ¡ ÅÐ
2 Æ 2 ´Æ ¡Þ
µ
,
86
Интегрирование функции комплексного переменного
где
Ñ ÄÒ Þ
Æ
,
¾
[ Гл. 5
Ñ ÄÜ ´ µ ,
Å
¾
¡Þ настолько мало, что ¡Þ Æ, Þ ¡Þ
Þ ¡Þ
— длина кривой Ä.
Æ ¡Þ ,
Очевидно, что правая часть неравенства стремится к нулю
0 Следовательно, левая часть неравенства также
при ¡Þ
стремится к нулю и
¼
СÞÑ0 ´Þ · ¡¡ÞÞµ ´Þµ
´Þµ
Á
1
2
Ä·
´µ
´ Þµ2
Аналогичные рассуждения можно провести и для высших производных. ¤
Пусть подынтегральная функция в формуле (5.12) имеет вид
´Þµ ´Þ Þ´ÞµµÒ· ,
0
1
где функция ´Þ µ является аналитической в , Þ0 ¾ .Тогда,
используя формулу (5.12), получаем формулу для вычисления
интеграла по кривой Ä:
Á
´Þ µ
Ä·
Þ
Á
´Þ µ Þ
´
Þ Þ0 µÒ·1
·
Ä
П р и м е р . Вычислить
À
Þ· 2
× ÒÞ
Þ4
2
Ò
´Òµ ´Þ0 µ
(5.13)
Þ.
Решение. В области, ограниченной окружностью Þ
2, имеется одна особая точка Þ0 0; функция ´Þ µ × Ò Þ аналитична
2.
в круге Þ
Применяем формулу (5.13) для производной третьего порядка
´ Ò 3 µ:
Á
× Ò Þ Þ 2 ¼¼¼ ´0µ
3
Þ4
Þ· 2
Так как
¼¼¼
´0 µ
¼
´Þµ
Ó× Þ,
1, то
Á
Þ·
× ÒÞ
2
Þ
4
¼¼
Þ
´Þµ
2
6
× Ò Þ,
¡ ´ 1µ 3
¼¼¼
´Þµ
Ó× Þ,
Á
По гл. 5 рекомендуется провести два практических занятия.
5.8 ]
Задачи для самостоятельной работы
87
5.8. Задачи для самостоятельной работы
Занятие 1. Интегрирование функции комплексного переменного.
Ê
1. Вычислить Þ 3 Þ , где Ä — дуга параболы Ü Ý 2 , соедиÄ
няющая точки 0 и 1 · .
Ê
2. Вычислить интеграл Ü Þ , если путь интегрирования Ä:
Ä
а) прямолинейный отрезок, соединяющий точки 0 и 2 · ;
1, 0
Ö Þ ;
б) верхняя полуокружность Þ
Ê, обходимая в положительном нав) окружность Þ правлении.
Ê
Ê — окружность, обходи3. Вычислить Þ Þ , где Ä Þ
Ä
мая в положительном направлении.
Ê
4. Вычислить ´Þ · 2Þ µ Þ , где Ä следующие линии:
Ä
а) отрезок прямой от точки 0 до точки 1 ;
2, Ö Þ 2;
б) дуга окружности Þ
2
2.
в) окружность Þ 1
5. Найти интегралы:
а)
·
2Ê
1 3Þ 2 · 2Þ
À
¡
Þ ; б)
Ê
0
Þ
Ó× Þ
Þ.
Þ
, где Ä — окружность Þ
1.
Þ
ÄÀ·
Þ Þ , где Ä — окружность Þ
1.
7. Вычислить
ÄÀ·
8. Вычислить
Þ Þ0 Ò Þ , где Ò — целое число, линия Ä —
Ä·
Ê.
окружность Þ Þ0
¡
Ê 2
Þ Þ Þ , где Ä — дуга окружности Þ
9. Вычислить Þ
Ä
1, 0
Þ
.
À Þ
Þ , где Ä — граница области 1
Þ
10. Вычислить
Þ
Ä·
2,
Þ 0.
À
Þ Þ Þ , где Ä — замкнутый контур, огра11. Вычислить
Ä·
1 и линией Ý 0.
ниченный верхней полуокружностью Þ
6. Вычислить
Ö
ÁÑ
´ µ
· ¡
¡
88
Интегрирование функции комплексного переменного
Ê
´Þµ ´Ý · 1µ Ü ,
молинейный отрезок, соединяющий точки 1 и .
12. Вычислить
Ä
´Þµ
Þ , где
[ Гл. 5
Ä — пря-
Ê
Þ
, где Ä — линия, состоящая из полуÞ
Ä
1, расположенной вправо от оси ÇÝ , и
окружности Þ
, соединяющего точки 2 и 3 .
отрезка
Занятие 2. Теоремы Коши. Интегральная формула Коши.
À Þ
14. Вычислить
, где Ä — эллипс Ü 4
Ø, Ý
Ø.
Þ 5
ÄÀ· Þ ¡ Þ , где Ä окружность Þ
Þ2
15. Вычислить
Ä·
2.
2. Почему к интегралам
16. Пусть Ä — окружность Þ 1
Á Á
Á ¡
¡
¡
Þ
Þ 3 4 Þ , б)
, в)
Ü2 Ý 2
2ÜÝ Þ
а)
2
Þ ·4
Ä·
Ä·
Ä·
можно применить теорему Коши и утверждать, что они равны
нулю, а к интегралам
Á Á
¡
¡
Þ
г)
Ü2 Ý 2
2ÜÝ Þ , д)
Þ2 4
Ä·
Ä·
теорему Коши применять нельзя и, следовательно, нельзя утверждать, что они равны нулю?
À × ÒÞ
Þ , где Ä — окружность Þ
1.
17. Вычислить
Þ
ÄÀ·
Ó× Þ Þ , где Ä эллипс Ü 2 Ø, Ý
18. Вычислить
Þ
3
Ä·
Ø.
À × 4Þ
Þ , где Ä — окружность Ü2 Ý 2
19. Вычислить
2
Þ
·
1
·
Ä
2Ý 0.
À
Þ
при различных положениях
20. Вычислить интеграл
2
Þ
·
4
·
Ä
контура Ä, предполагая, что точки 2 не принадлежат Ä:
2 —
а) точка 2 находится внутри контура Ä, а точка Þ
вне его;
2 лежит внутри контура Ä, а точка 2 —
б) точка Þ
вне его;
в) точки 2 лежат внутри контура Ä;
г) точки 2 лежат вне контура Ä.
13. Вычислить
Ó×
·
·
×Ò
· ¡
· ¡
×Ò
Ó×
·
·
¦
¦
¦
·
5.9 ]
Ответы
89
À 21. Þ Вычислить все возможные значения интеграла
при различных положениях контура Ä, ограничи2
Ä· Þ Þ 1
вающего односвязную область, предполагая, что контур Ä не
проходит ни через одну из точек 0, 1, и 1:
а) точка 0 лежит внутри контура Ä, а точки ¦1 — вне его;
б) точка 1 лежит внутри контура Ä, а точки 0 и 1 — вне его;
в) точка 1 лежит внутри контура Ä, а точки 0 и 1 — вне его;
г) точки 0 и 1 лежат внутри контура Ä, а точка 1 — вне его;
д) точки 0 и 1 лежат внутри контура Ä, а точка 1 — вне его;
е) точки 0, ¦1 лежат внутри контура Ä;
ж) точки 0, ¦1 лежат вне контура Ä.
À Ó× Þ
Þ , где Ä — окружность Þ 2
2.
22. Вычислить
2
Ä· ´Þ µ
À
Þ Þ
, где Ä — окружность Þ
2.
23. Вычислить
3
Ä· ´Þ 1µ ´Þ · 1µ
24. Вычислить следующие интегралы:
Á
а)
Ó× Þ · 1
1
Þ3
Þ · 0,5
Á
×Ò
в)
Þ 1 · 1
Þ
Þ2 1
Þ;
Á
б)
1 × ÒÞ
Þ2
Þ · 0,5
Á
2
Þ;
Þ
г)
Þ 4Þ 2
3
Þ 2 3
Þ;
Þ
5.9. Ответы
1. Решение. П е р в ы й с п о с о б . Пусть Þ
Ü · Ý,
Ü · Ý.
¡
Тогда Þ 3 ´Ü · Ý µ3 Ü3 3ÜÝ 2 · 3Ü2 Ý Ý 3 .
Þ3 Þ
Ä
Ü3
Ä
3ÜÝ2 ·
·
Ý
Ü
·
Ý3
3Ü2Ý
Ý
3Ü2 Ý Ý 3
Ü
·
Ü3
3ÜÝ2
Ý
¬¬
2
¬¬ Ü Ý , Ü
так как Þ1
Ä
´ Ü·
3ÜÝ2
Ü3
Ä
3Ü2 Ý Ý 3
2Ý Ý ; Ý ¾ 0; 1
0, Þ2 1 ·
¬¬
¬¬
·
µ
Þ
90
Интегрирование функции комплексного переменного
1
Ý6
3Ý 4
2Ý Ý ·
0
1
Ý3
0
1
·
Ý
6
3Ý
4
Ý
0
3Ý 5
Ý
1
·
[ Гл. 5
3Ý 5 Ý 3 2Ý Ý ·
0
¬¬1
¬ ·
2 6 · 3
8
6
4
6 ¬
0
¬1
Ý
Ý
Ý
Ý ¬¬
· 6 7 2 5 · 7 3 5 ¬ 1
0
Ý8
Ý6
Ý4
7
5
Ý6
7
5
В т о р о й с п о с о б . Зададим линию Ä параметрически: Ý
Ø2 , Ø
0; 1 . Тогда Þ
Ø2
Ø, Þ
2Ø
Ø и
Ø, Ü
интеграл
¾
1
Þ
3
Ø2
Þ
Ä
·
·
Ø
3
´2Ø · µ
´ ·µ
Ø
0
1
2Ø7 6Ø5 3Ø5 · Ø3
6Ø6 3Ø4 2Ø4 · Ø6
·
1
Ø
0
Т р е т и й с п о с о б . Так как подынтегральная функция Û
Þ 3 аналитична на комплексной плоскости , то данный интеграл вычисляем по формуле Ньютона–Лейбница:
·
¬1·
4¬
0
Þ 4 ¬¬
1
Þ
Ä
3
Þ
Þ
3
Þ
0
2. а) 2 · ; б)
2
´1 · µ 4
Ô
2
4
6. 2 .
7. 2 .
8. 0 при Ò
9. 8 3.
4
4
4
4
´ Ó× · × Ò µ 1
.
Ук а з а н и е . Уравнение окружности Ä
Ó× Ø представить по формуле Эйлера;
в) Ê2 .
3. 0.
4. а) 2 ; б) 8 ; в) 16 ;
5. а) 7 · 19 ; б)
Ó× 4 · × Ò 4
1 1; 2
.
при Ò
1.
Þ
Ø ; функцию
5.9 ]
Ответы
91
10. 4 3.
Ук а з а н и е . Искомый интеграл должен быть вычислен по
1 и Þ
2 и двум отчетырем линиям: полуокружностям Þ
резкам действительной оси. При вычислении учесть направление
обхода контура Ä.
11. .
12. 1.
· ÐÒ 2.
13.
1
является аналитической в обла14. Решение. Функция
Þ 5
сти, ограниченной линией Ä, поэтому по теореме Коши интеграл
равен нулю.
15. 0.
16. Ук а з а н и е . Проверьте условия КРЭД для подынтегральных функций.
17. Решение. Для вычисления применяем интегральную форÀ ´Þ µ
Þ
2
´Þ0µ, где точка Þ0
мулу Коши, из которой
Þ Þ0
Ä·
лежит внутри контура Ä. В данном примере ´Þ µ × Ò Þ , Þ0
À ´Þ µ
0 лежит внутри окружности Þ
1, поэтому
Þ
· Þ Þ0
Ä
2 × Ò 0 0.
18. Ô .
19.
2
2
.
Ук а з а н и е . Внутри окружности Ä в точке Þ0 подынтегральная функция не является аналитической, интегральную
формулу Коши применяем для аналитической функции
×
´Þ µ
20. а)
2
4
Þ ; б)
Þ
,
т. е.
Á
Ä·
2 ; в) 0.
´Þµ Þ
Þ·
2
´ µ
Ук а з а н и е . Подынтегральную функцию разложить на про1
1
4
1
1
. Задачу «в» можно реÞ 2
Þ·2
Þ ·4
шить и другим способом. Построим окружности Ä1 и Ä2 с цен2 достаточно малых радиусов,
трами в точках Þ 2 и Þ
таких чтобы окружности не пересекались и целиком лежали
внутри контура Ä. В трехсвязной области, ограниченной контуром Ä и окружностями Ä1 и Ä2 , подынтегральная функция
стые дроби:
2
92
Интегрирование функции комплексного переменного
[ Гл. 5
аналитична. По теореме Коши для многосвязной области имеем
Á
Á
Á
Þ
Þ
Þ
·
2
2
2
Þ ·4
Þ ·4
Þ ·4
Ä·
Ä·
Ä·
1
2
Затем к каждому интегралу в правой части применяем интегральную формулу Коши; г) 0.
21. а) 2 ; б) ; в) ; г) .
и на ее
22. Решение. Если ´Þ µ аналитична в области
границе Ä, то имеет место формула
Á
´Þµ
´Òµ ´Þ0 µ Ò
Þ,
2
´
Þ Þ0 µÒ·1
·
Ä
À
´
Þµ Þ
2
´Òµ ´Þ0 µ , где ´Òµ ´Þ µ — Ò-я произ которой
Ò·1
Ò
´
Þ
Þ
µ
0
·
Ä
Ó× Þ аналитична
изводная функции ´Þ µ. В примере ´Þ µ
на плоскости , точка Þ
лежит внутри Ä, Ò 1, поэтому
¬
À Ó× Þ Þ
2 ´ Ó× Þ µ¼ ¬Þ
2 × Ò 2 × 1. Á
2
Ä· ´Þ µ
23. 0.
Ук а з а н и е . Применяем сначала теорему Коши для многосвязной области (см. второй способ решения примера 20).
24. а)
3
; б)
2
; в)
2
2
; г)
2
2
×
1.
6.
РЯДЫ
6.1. Числовые ряды
Пусть дана последовательность
Þ1 , Þ2 ,
, ÞÒ ,
Символ
·½
Þ
1
Þ1
комплексных чисел
ÞÒ
· Þ2 ·
· ÞÒ ·
(6.1)
называют комплексным числовым рядом.
Суммы Ë1
Þ1 , Ë2
Þ1 · Þ2 , Ë3
Þ1
ваются частичными суммами ряда
· Þ2 · Þ3,
Ò
È
Þ
(6.1), Ë
Ò
1
назы— Ò-й
частичной суммой, ÞÒ — общим (Ò-м) членом числового ряда
´6.1µ.
Определение 1. Ряд (6.1) называется сходящимся, если последовательность ËÒ его частичных сумм имеет конечный преÐ Ñ ËÒ называется суммой
дел Ë (сходится к Ë µ. Предел Ë
Ò
·
½
ряда. Для сходящегося ряда (6.1) можно записать
Ë
·
½
Þ
1
Если последовательность ËÒ частичных сумм ряда (6.1) не
имеет конечного предела или предел не существует, то ряд (6.1)
называется расходящимся.
Так как ÞÒ ËÒ ËÒ 1 , то необходимое условие сходимости
0
ряда (6.1) Ð Ñ ÞÒ 0, т. е. если ряд (6.1) сходится, то ÞÒ
Ò ·½
·½.
при Ò
Ряд
·È
½
Ò·1
Þ
называется остатком ряда (6.1) после Ò-го
члена, для сходящегося ряда сумма ÖÒ
·È
½
Ò·1
Þ
называется
также остатком ряда (6.1).
Для сходимости комплексного числового ряда (6.1) необходимо и достаточно, чтобы сходились два числовых ряда с действительными членами.
94
Ряды
[ Гл. 6
Запишем частичную сумму
ËÒ
Ò
·
так как Ë
Ò
Þ
1
1
´Ü ·
Ý
Ò
µ
·
Ü
1
Ò
Ý ;
1
, то
ÐÑ
Ò ·
Ò
½
ÐÑ
Ò ·
Ü ,
Ò
½
1
Ý
1
Применяя критерий Коши к последовательности ËÒ , получаем критерий сходимости Коши для рядов: для того чтобы ряд
0
Ò0
(6.1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы
´Ò0 ¾ µ, такое что неравенство ËÒ·Ñ ËÒ
будет выполняться при Ò Ò0 и Ñ ¾ .
Определение 2. Ряд (6.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд модулей его членов:
Æ
Æ
·
½
(6.2)
Þ
1
Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Теорема следует из критерия Коши, так как
¬¬ Ò·Ñ
¬¬
¬
Ò·1
Þ
¬¬
¬¬
¬
Ò·Ñ
Ò·1
Þ
Обратное предложение неверно. Если ряд (6.2) расходится, а
ряд (6.1) сходится, то ряд (6.1) называется условно сходящимся.
К абсолютно сходящимся числовым рядам применимы все
признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Напомним некоторые признаки.
Û для
Ò0
1. П р и з н а к с р а в н е н и я . Если Þ
и ряд
·È
½
1
Û
сходится, то и ряд
·È
½
1
Þ
сходится.
Ð Ñ·
ÞÒ·1
Õ , то ряд
ÞÒ
(6.2) сходится при Õ 1 и расходится при Õ 1.
Ô
Ò Þ
Õ , то ряд (6.2)
3. П р и з н а к К о ш и . Если
Ò
Ò ·½
сходится при Õ 1 и расходится при Õ 1.
Следует также заметить, что сумма абсолютно сходящегося
комплексного числового ряда не изменится при любой перестановке членов ряда.
2. П р и з н а к Д а л а м б е р а . Если
ÐÑ
Ò
½
6.2 ]
Функциональные ряды
95
·È Ò ´1 µÒ
.
2Ò
½
П р и м е р . Исследовать сходимость ряда
Решение. Составим ряд
·
½
Ò 1 Ò
2Ò
Ò 1
·
½
Ô
·
Ò 2Ò
½
2Ò
Ò 1
Ò 1
Ò 1
ÔÒÒ
2
По признаку Даламбера
Ò·1
ÐÑ
Ò ·
Ô Ò·1
2
½
Ô
Ò·1 1
Ô
Ò
½
2
2Ò
ÐÑ
Ò ·
Ò
Следовательно, ряд сходится абсолютно.
Ô1
2
Á
1
6.2. Функциональные ряды
Пусть на некотором множестве
тельность Ò ´Þ µ функций Ò ´Þ µ, Ò
Ряд
·
½
´Þµ
1
1
определена последова1, 2,
´Þµ · 2 ´Þµ ·
· Ò ´Þµ ·
(6.3)
называется функциональным.
В точке Þ Þ0 ¾ ряд (6.3) является числовым и его сходимость определена в § 6.1.
Определение 1. Ряд (6.3) называется сходящимся на множестве
, если он сходится в каждой точке Þ ¾ .
называется областью сходимости функциоМножество
определена сумма ряда
нального ряда (6.3). На множестве
´µ
ÐÑ
Ò ·
Ë Þ
´µ
ËÒ Þ
½
ÐÑ
Ò ·
Ò
½
1
´Þµ,
(6.4)
где ËÒ ´Þ µ Ò-я частичная сумма ряда (6.3), т. е.
Ð Ñ·
¸
Ò
½
´µ
Ë Þ
0и
Þ
ËÒ Þ
´µ¸
Ò0 ´ , Þ µ ¾ Æ ´Ò
Ò0
µ Ë ´Þµ ËÒ ´Þµ
µ
Определение 2. Сходящийся на множестве
ряд (6.3) называется равномерно сходящимся на этом множестве, если
´ µ¾Æ
µ Ë ´Þµ ËÒ ´Þµ µ ,
где Ë ´Þ µ — сумма функционального ряда, а ËÒ ´Þ µ — его Ò-я ча0
Ò0
стичная сумма.
Þ
¾
´Ò
Ò0
96
Ряды
Разность Ë ´Þ µ ËÒ ´Þ µ
[ Гл. 6
·È
´µ
´Þµ
½
ÊÒ Þ
Ò·1
называется
остатком ряда (6.3).
Через остаток определение 2 выглядит следующим образом:
´ µ¾Æ
´Ò Ò0 µ ÊÒ ´Þµ µ
Теорема 1. Если функция ´Þ µ — ограниченная по модулю
·È
на множестве , то ряд
´Þµ ´Þµ сходится равномерно
0
Ò0
¾
Þ
½
1
ряда (6.3).
в области равномерной сходимости
Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению 2
0
Ò0
Следовательно,
¬¬ ·
¬¬
½
Ò·1
¾Æ
¬¬
´Þµ ´Þµ¬¬
Þ
Ò0 и
Ò
¾
´Ò
Þ¾
¬¬ ·
´Þµ ¬¬
½
Ò· 1
Ò0
µ
´µ
ÊÒ Þ
Å
µ
имеем
¬¬
´Þµ¬¬
´µ
Å ÊÒ Þ
·È
Å
Å
По определению 2 функциональный ряд
´Þµ ´Þµ сходится
1
равномерно в области . ¤
Следующие две теоремы о равномерной сходимости функционального ряда (6.3) доказываются аналогично действительному
случаю (см.[9]).
Теорема 2 (достаточный признак Вейерштрасса). Если
в области сходимости для всех Þ ¾ члены Ò ´Þ µ функционального ряда (6.3), начиная с некоторого Ò0 , удовлетворяют
условию
´µ
Ò и ряд
Ò Þ
½
·È
½
Ò0
сходится, то ряд (6.3)
сходится равномерно в области .
Теорема 3 (критерий Коши). Для того чтобы ряд (6.3)
сходился равномерно в области , необходимо и достаточно,
0 существовало натуральное число Ò0 такое, что
чтобы
Þ¾
и для всех Ò Ò0 и Ñ ¾
выполнялось неравенство
Æ
Числовой ряд
·È
´ µ ËÒ ´Þµ
ËÒ·Ñ Þ
½
Ò 1
Ò называют мажорантой ряда (6.3), а сам
функциональный ряд (6.3) — мажорируемым в области .
П р и м е р . Найти область сходимости функционального ряда
· ÞÒ 1 · Будет ли в области сходимости
1 · Þ · Þ2 ·
данный ряд сходиться равномерно?
6.3 ]
Свойства равномерно сходящихся рядов
Решение.
ряда: Ô
1· Þ
ÐÑ Ò ÞÒ
·
Ò
½
Þ
Запишем
ряд¬ из ¬ модулей
¬ ¬
· ¬Þ2¬ · · ¬ÞÒ 1¬ · . По
членов данного
признаку Коши
1 и ряд абсолютно сходится в области
Þ
Ò
È
Þ
1. Частичная сумма ËÒ ´Þ µ
Так как Þ
´µ
Ë Þ
97
1
1, то
1
1 Þ
´µ
;
ÊÒ Þ
В открытом круге Þ
1
1 ÞÒ
1 Þ
.
ÞÒ
´ µ ËÒ ´Þµ
Ë Þ
1 Þ
1 найдутся точки, близкие к 1, поэтому
Ð Ñ ÊÒ ´Þµ
Þ 1
ÞÒ
1 Þ
ÐÑ
Þ 1
·½,
, где любое
т. е. Ò найдется точка Þ такая, что ÊÒ ´Þ µ
положительное число. А это означает, что не существует Ò0
такого, что Ò
Ò0
ÊÒ ´Þ µ
,
y
1 сходимость рят. е. в области Þ
да не является равномерной. Покажем, что данный ряд сходится рав1 Æ , где
номерно в круге Þ
Æ ¾ ´0; 1µ — любое число (рис. 6.1).
Числовой
является
·È
½
Ò 1
ряд
·È
½
Ò 1
мажорантой
Þ Ò 1 на множестве Þ
´1 ƵÒ
для
Þ
1
0
1-d
1 x
ряда
1 Æ .
Следовательно, по признаку ВейРис. 6.1
ерштрасса данный ряд сходится
1 Æ (на рис. 6.1 область равномерной
равномерно в круге Þ
сходимости заштрихована). Á
6.3. Свойства равномерно сходящихся рядов
Теорема 1 (о непрерывности суммы функционального ряда). Если члены функционального ряда ´6.3µ являются непреи ряд сходится равномерно
рывными функциями в области
в , то его сумма Ë ´Þ µ непрерывна в .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для любых точек Þ ¾ и Þ · ¡Þ ¾
´µ
Ë Þ
´ µ · ÊÒ´Þµ, Ë ´Þ · ¡Þµ
ËÒ Þ
4 И.П. Карасёв
´ · ¡Þµ · ÊÒ´Þ · ¡Þµ,
ËÒ Þ
98
Ряды
[ Гл. 6
где ËÒ ´Þ µ — частичная сумма ряда (6.3), ÊÒ ´Þ µ — его остаток.
Тогда
¡ Ë ´Þ µ
´ · ¡Þµ Ë ´Þµ
ËÒ ´Þ · ¡Þ µ ËÒ ´Þ µ · ÊÒ ´Þ · ¡Þ µ ÊÒ ´Þ µ ;
Ë Þ
используя свойство модуля, получаем
¡Ë ´Þµ
´ ·¡ µ ´µ·
´ · ¡Þ µ ·
ËÒ Þ
Þ
ËÒ Þ
ÊÒ Þ
Так как ряд (6.3) сходится равномерно, то
´µ
ÊÒ Þ
¾ Æ Ò Ò0 µ ÊÒ ´Þ · ¡Þµ 3 , ÊÒ ´Þµ 3
Функция ËÒ ´Þ µ является суммой непрерывных функций
0
Ò0
следовательно, непрерывна, поэтому
и,
¡Þ Æ µ ËÒ ´Þ · ¡Þµ ËÒ ´Þµ 3
Таким образом, ¡ Ë ´Þ µ
· 3 · 3 функция Ë ´Þµ
3
непрерывна. ¤
Теорема 2 (о почленном интегрировании ряда). Если члены
ряда ´6.3µ непрерывны на некоторой кусочно-гладкой дуге Ä
и ряд на дуге Ä сходится равномерно, то ряд ´6.3µ можно
3
0
Æ
почленно интегрировать вдоль этой дуги, т. е.
´µ
Ë Þ
Ä
Þ
·
½
Ò 1Ä
´µ
Ò Þ
(6.5)
Þ
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так
Ê как функция Ë ´Þ µ непрерывна по
предыдущей теореме 1, то Ë ´Þ µ Þ существует.
Ê
Ä
¬¬
¬¬
Введем обозначение
´ µ Þ Ò:
Ë Þ
´ µ Þ Ë Þ
Ä
Ò
1Ä
Ä
Ò
¬¬
´Þµ Þ¬¬
Ò Ê
È
1Ä
¬¬
¬¬
Ä
´Þµ
¬¬
Ë ´Þ µ ËÒ ´Þ µ Þ ¬¬
´µ
ÊÒ Þ
где
Þ
Ð, Ð
Ê
Ä
Þ
Ð
Ä
Ð — длина дуги Ä, ÊÒ Þ
´µ
(6.3) сходится равномерно на Ä.
Следовательно,
Þ и оценим разность
ÐÑ
Ò ·
½
Ò
Ò Ê
È
1Ä
´Þµ
Þ
Ð
Ä
Ð
Ê
Ä
Ð
Ð
,
, так как ряд
´µ
Ë Þ
Þ.
¤
6.3 ]
Свойства равномерно сходящихся рядов
99
Теорема 3 (об аналитичности суммы ряда). Если члены
функционального ряда ´6.3µ являются аналитическими функи ряд ´6.3µ в этой области сходитциями в области
ся равномерно, то его сумма Ë ´Þ µ является аналитической
функцией в области .
Д о к а з а т е л ь с т в о . В области
построим круг радиусом Æ с центром в любой точке Þ ¾ , границу круга обозначим
через ­
Þ
Æ . Так как Ë
Ë´
µ
1
Þ
·
´µ È
½
1
´ µ · 2´ µ ·
Þ
´ µ, то
· Ò ´ Þµ ·
Þ
(6.6)
Так как ряд (6.3) по условию сходится равномерно в области , то по теореме 1 из § 6.2 ряд (6.6) также сходится
Þ Æ и функции ´ Þµ
равномерно на окружности ­ , ибо
ограничены на ­ .
По теореме 2 возможно почленное интегрирование ряда (6.6)
(обе части (6.6) домножим на 1 ´2 µ):
Á
1
2
Ë´
µ
·
Þ
­·
½
1
1
2
Á
­·
´µ
Þ
В правой части равенства каждое слагаемое представляет
´Þµ, поэтому
собой, согласно интегральной формуле Коши,
1
2
т. е. Ë ´Þ µ
1
Á
Á
Ë´
­·
Ë´
µ
Þ
µ
·
½
1
´Þ µ
´µ
Ë Þ ,
— интегральная формула Коши (5.9).
·
­
(теорема 1), поэтому
Функция Ë ´Þ µ непрерывна в области
·È
½ À
À
Ë ´Þ µ Þ
´Þµ Þ 0. Так как функции
по теореме 2
1­
­·
À
´Þµ ,
1, 2, , — аналитические, то
Ë ´Þ µ Þ 0.
·
­
À
Ë ´Þ µ Þ
0, где ­ может быть любой
Таким образом,
­·
кусочно-гладкой кривой, содержащейся в . А это означает,
что интеграл от Ë ´Þ µ не зависит от пути интегрирования,
соединяющего любые две точки кривой ­ . Пусть Þ0 — фиксированная точка области , Þ — переменная точка . Тогда функ4*
2
Þ
100
Ряды
ция
ÊÞ
´Þ µ
Þ0
Ë
´µ
[ Гл. 6
является аналитической функцией. До-
казательство аналогично доказательству следствия 2 из § 5.3.
Ë ´Þ µ —
Следовательно, по теореме из § 5.7 функция ¼ ´Þ µ
аналитическая. ¤
Теорема 4. Если члены ряда ´6 3µ являются аналитическии ряд в
сходится равномерно к
ми функциями в области
Ë ´Þ µ, то ряд ´6 3µ можно дифференцировать почленно любое
число раз в области :
´µ
ËÑ Þ
где Ñ ¾
·
´Ñµ ´Þ µ ,
½
1
Æ — любое.
·È
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Ë ´Þ µ
Ë´ µ
´ ޵ѷ1
(6.7)
´Þµ, то
½
1
1´ µ
· 2´ µ ·
´ ޵ѷ1 ´ ޵ѷ1
Ò´
·´
µ ·
Þ µÑ·1
Дальше доказательство проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы. Имеем
Ñ
2
Á
­
Ë´
µ
´
Þ µÑ·1
·
·
½
1
Á
Ñ
2
­
´µ
´
Þ µÑ·1
·
Каждое слагаемое в правой части равенства, согласно формуле
´Ñµ ´Þ µ, поэтому
(5.12) из § 5.7, равно
Á
Ñ
2
­
·
Ë´
µ
´
Þ µÑ·1
·
½
1
´Ñµ ´Þ µ
Из формулы (5.12) § 5.7
Á
­
Ë´ µ
´
Þ µÑ· 1
·
2
Ñ
Ë ´Ñµ Þ ,
´µ
поэтому предыдущее равенство принимает вид
Ñ
2
¡ 2Ñ
Ë ´Ñµ Þ
´µ
·
½
1
´Ñµ ´Þ µ µ Ë ´Ñµ ´Þ µ
·
½
1
´Ñµ ´Þ µ
¤
6.4 ]
Степенные ряды
101
6.4. Степенные ряды
Функциональный ряд вида
0 · 1 ´Þ Þ0 µ ·
·
½
· Ò ´Þ Þ0µÒ ·
Ò 0
´ Þ0µÒ ,
Ò Þ
(6.8)
где Þ0 , 0 , 1 , , Ò , — заданные комплексные числа, Þ —
комплексное переменное, называется степенным рядом, числа
,
0, 1, 2, , называют коэффициентами степенного ряда.
степенного ряда
Представление об области сходимости
(6.8) можно получить из теоремы Абеля.
Теорема 1 (теорема Абеля). Если ряд ´6.8µ сходится в точÞ0 , то он абсолютно сходится в круге Þ Þ0
ке Þ1
Þ1 Þ0 . Если ряд (6.8) расходится в точке Þ2 ¾ , то он
Þ2 Þ0 .
расходится во всех точках Þ , для которых Þ Þ0
Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию теоремы ряд (6.8) сходится в точке Þ1 , поэтому общий член Ò ´Þ1 Þ0 µÒ числового ряда
·È
´ Þ0µÒ стремится к нулю при Ò ·½. Следовательно,
сходящаяся последовательность Ò ´Þ1 Þ0 µÒ ограничена, т. е.
Å
0 такое, что Ò ¾ Æ µ Ò ´Þ1 Þ0 µÒ
Å
Пусть Þ — любое число, удовлетворяющее условию Þ Þ0
Þ1 Þ0 . Тогда
¬¬
¬
Ò¬
´
Þ
Þ
µ
Ò
Ò
¬¬ Ò ´Þ1 Þ0µ
¬
Ò ´Þ Þ0 µ
´Þ Þ µÒ ¬
¬
¬
¬¬ Þ Þ ¬¬Ò
Ò
Ò ¬¬ ´Þ Þ µ ¬¬
Ò ´Þ1 Þ0 µ ¡ ¬ ´Þ Þ µÒ ¬ Å ¬ Þ Þ ¬
·È ¬¬ Þ Þ ¬¬Ò
Так как Þ Þ0
Þ1 Þ0 , то ряд
¬
¬ является бесÒ 0 Þ Þ
конечно убывающей
¬¬ Þ Þ ¬¬ геометрической прогрессией со знаменателем Õ
¬ Þ Þ ¬. По признаку сравнения ряд (6.8) сходится
Þ1 Þ0 .
абсолютно при Þ Þ0
½
Ò 0
Ò Þ1
0
1
0
0
1
0
1
0
½
0
0
1
0
0
1
0
Докажем вторую часть теоремы. Пусть в точке Þ2 Þ0 ряд
(6.8) расходится. Если бы ряд (6.8) сходился в некоторой точÞ2 Þ0 , то ряд (6.8) сходился
ке Þ , для которой Þ Þ0
бы абсолютно и в точке Þ2 в силу первой части теоремы, что
противоречит условию теоремы. Отсюда следует, что для всех Þ ,
102
Ряды
[ Гл. 6
удовлетворяющих условию Þ Þ0
Þ2 Þ0 , степенной ряд
(6.8) расходится. ¤
Выясним теперь, какой может быть область сходимости степенного ряда. В отличие от общих функциональных рядов (6.3),
для которых область сходимости может оказаться множеством
точек сложной структуры, областью сходимости степенного ряда
(6.8) является открытый круг с центром в точке Þ0 . Круг может
вырождаться в точку Þ0 0 или занимать всю плоскость .
Теорема 2. Если область сходимости степенного ряда
´6.8µ не вырождается в точку Þ0 и не совпадает с комплексной плоскостью , то существует открытый круг радиÊ) такой, что в любой точке Þ этого
усом Ê ( Þ Þ0
открытого круга степенной ряд ´6.8µ сходится абсолютно, а
в каждой точке Þ вне этого круга ряд ´6.8µ расходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теоремы 1 существуют точки
первого типа Þ1 , в которых ряд (6.8) сходится, и точки второго
Þ2 Þ0 .
типа Þ2 , в которых ряд расходится, причем Þ1 Þ0
Положим Ê ×ÙÔ Þ1 Þ0 , где Þ1 — множество точек первоÊ ряд (6.8)
го типа. По определению числа Ê при Þ Þ0
расходится.
Ê степенной ряд (6.8) схоДокажем, что для Þ Þ Þ0
дится абсолютно. По определению точной верхней грани существует точка сходимости Þ ¼ , удовлетворяющая условию Ê Þ ¼ Þ0
Ê, где выберем
Ê Þ Þ0 . Тогда Þ Þ0
Ê и по теореме Абеля в открытом круге Þ Þ0
Ê
степенной ряд (6.8) сходится абсолютно. ¤
Таким образом, если область сходимости степенного ряда
(6.8) не вырождается в точку Þ0 и не совпадает с плоскостью ,
то существует положительное число Ê такое, что ряд (6.8) схоÊ, а при Þ Þ0
Ê — расходится абсолютно при Þ Þ0
Ê называют кругом сходимодится. Открытый круг Þ Þ0
сти степенного ряда, а его радиус Ê — радиусом сходимости
степенного ряда.
Если степенной ряд сходится лишь в точке Þ0 , то радиус
сходимости принимают равным нулю.
Если степенной ряд сходится при всех Þ ¾ , то полагают
Ê ·½ (радиус сходимости бесконечен).
Ê называют границей
З а м е ч а н и е . Окружность Þ Þ0
круга сходимости. Степенной ряд в одних точках окружности
может сходиться, а в других — расходиться. Сходимость степенного ряда на границе круга сходимости зависит от конкретного
ряда и проводится дополнительно.
6.4 ]
Степенные ряды
103
Так как в круге сходимости Þ Þ0
Ê степенной ряд сходится абсолютно, то для сходимости можно применять известные достаточные признаки сходимости для действительных рядов (например, признак Даламбера, радикальный признак Коши
и др.).
Найдем некоторые способы вычисления радиуса сходимости
по коэффициентам ряда 0 , 1 , 2 ,
Теорема 3. Если для последовательности
0 , 1 ,
, Ò , , составленной из коэффициентов степенного ряда
(6.8), существует предел
Ò
Ð Ñ·
½
Ò·1
Ò
Ð,
´6.8µ
равен Ê
1
, при этом
Ð
иÊ
при Ð 0.
полагают Ê 0 при Ð
Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя признак Даламбера к степенному ряду (6.8), получаем
то радиус сходимости ряда
·½
ÐÑ
Ò ·
¡ Þ Þ0 Ò·1
¡ Þ Þ0 Ò
·½
Þ0 ¡ Ð
Если Ð 0, то ряд (6.8) сходится абсолютно при любых Þ ¾ ,
т. е. Ê ·½.
·½ и Þ Þ0, то Þ Þ0 Ð ·½ и ряд (6.8)
Если Ð
расходится при всех Þ Þ0 , т. е. Ê 0.
Если 0 Ð
·½, то при Þ Þ0 Ð 1 ряд (6.8) сходится
абсолютно, а при Þ Þ0 Ð 1 ряд расходится. Из неравенства
1
Þ Þ0 Ð 1 найдем Þ Þ0
, а из неравенства Þ Þ0 Ð 1
Ð
1
1
. Следовательно, Ê
.¤
найдем Þ Þ0
Ð
Ð
½
Ò ·1
Ò
Þ
Þ0 Ò Ð Ñ·
½
Ò ·1
Ò
Þ
Теорема 4 (Коши–Адамара). Если для последовательности
0, 1, 2, , составленной из коэффициентов степенного ряда ´6.8µ, существует предел
Ò ,Ò
ÐÑ
Ò ·
½
Ô
Ò
Ò
Ð,
то радиус сходимости Ê степенного ряда (6.8) находится по
формуле
1
Ê
Ð
Если Ð 0, то Ê ·½ и ряд (6.8) сходится абсолютно на
комплексной плоскости .
Если Ð ·½, то Ê 0 и ряд сходится только в точке
Þ Þ0 .
104
Ряды
[ Гл. 6
П р и м е р ы . Используя признак Даламбера, найти радиус
сходимости следующих степенных рядов:
а)
· ´Þ Þ µÒ
· ´Þ Þ µÒ
·
0
0
; б)
; в)
Ò
Ò
½
½
½
Ò 1
Ò 0
Ò 0
´ Þ0µÒ.
Ò Þ
Решение
¬¬
¬¬
Ò·1
´
Þ
Þ
Ò
µ
Ò
0
¬
Þ Þ0
1.
а) Ð Ñ ¬¬
Ò·1
´Þ Þ0 µÒ ¬ Þ Þ0 Ò Ð Ñ
Ò ·½
·½ Ò · 1
1, радиус сходимости Ê 1;
Круг области сходимости Þ Þ0
¬¬
¬¬
Ò
·
1
´Þ Þ0 µ
Ò
¬ Þ Þ0 Ð Ñ 1
0 1 для
б) Ð Ñ ¬¬
Ò ·½ ´Ò · 1µ ´Þ Þ0 µÒ ¬
Ò ·½ Ò · 1
любого Þ ¾ . Областью сходимости является комплексная плоссходимости
кость , радиус
¬¬
¬ Ê ·½;
1¬
Ò
·
´Ò · 1µ ´Þ Þ0 µ ¬ Þ Þ Ð Ñ ´Ò · 1µ ·½ при
в) Ð Ñ ¬¬
0
¬
Ò ´Þ Þ0 µÒ
Ò ·½
Ò ·½
Þ Þ0 . Ряд расходится в любой точке Þ Þ0 комплексной плоскости , радиус сходимости Ê 0. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что в точке Þ Þ0 ряд сходится и его сумма
равна 1. Á
Заметим, что радиус сходимости данных примеров можно
также найти, используя теоремы 3 или 4.
6.5. Свойства степенных рядов
Рассмотрим основные свойства степенных рядов.
Теорема 1. Степенной ряд ´6.8µ в области сходимости
Þ Þ0
Ê сходится равномерно в любом круге Þ Þ0
,
Ê.
где
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть любое положительное число
Ê. Рассмотрим на окружности Þ Þ0
фиксированную
точку Þ1 , в которой числовой ряд с положительными членами
·
½
Ò 0
´ Þ0µÒ
Ò Þ1
сходится
Тогда для любой точки Þ круга Þ Þ0
´ Þ0µÒ
Ò Þ
имеем
´ Þ0µÒ
Ò Þ1
,
и по теореме 2 из § 6.2 (признак Вейерштрасса) ряд (6.8) схо.¤
дится равномерно в круге Þ Þ0
6.6 ]
Ряд Тейлора
105
Теорема 2. Сумма степенного ряда (6.8) в круге сходимоÊ является аналитической функцией.
сти Þ Þ0
Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме 1 степенной ряд (6.8) схоÊ, поэтому для него
дится равномерно в круге Þ Þ0
справедлива теорема 3 из § 6.3. ¤
Теорема 3. Степенной ряд (6.8) в круге сходимости
Þ Þ0
Ê можно почленно дифференцировать любое число
раз. Полученные при этом степенные ряды
´µ
˼ Þ
´µ
· 2 2 ´Þ Þ0µ · · Ò Ò ´Þ Þ0µÒ 1 · ,
· Ò´Ò 1µ Ò´Þ Þ0µÒ 2 ·
2 · 3 ¡ 2 3 ´Þ Þ0 µ ·
1
Ë ¼¼ Þ
2
Ë ´ Ôµ Þ
· ´Ô · 1µ ¡ ¡ 2 Ô·1 ·
· ´ 1µ ¡ ¡ ´Ò Ô · 1µ Ò ´Þ Þ0µÒ Ô ·
·
Ò ´Ò 1µ ¡
¡ ´Ò Ô · 1µ Ò ¡ ´Þ Þ0µÒ
´µ
,
Ô Ô
Ò Ò
½
Ô
Ò Ô
имеют тот же круг сходимости, что и ряд (6.8).
Теорема 3 следует из теоремы 4 § 6.3.
Теорема 4. Степенной ряд ´6.8µ можно почленно интегриÊ
ровать в круге сходимости Þ Þ0
Þ
Ë
Þ0
´µ
0
´Þ Þ0µ ·
· 2 ´Þ Þ0µ2 ·
1
· Ò ·Ò 1 ´Þ Þ0µÒ·1 ·
,
где Þ Þ0 — любая точка круга сходимости. Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости Ê.
Теорема 4 следует из теоремы 2 § 6.3.
Заметим, что неизменяемость радиуса сходимости продифференцированных (проинтегрированных) степенных рядов можно
проверить непосредственно, применяя, например, признак Даламбера (убедитесь в этом самостоятельно).
6.6. Ряд Тейлора
В предыдущем параграфе доказано (см. теорему 2), что сумма
Ë Þ степенного ряда (6.8) в круге сходимости является аналитической функцией. Решим обратную задачу: докажем, что
Ê функция
любая аналитическая в открытом круге Þ Þ0
´µ
106
Ряды
[ Гл. 6
´Þµ представима в виде суммы степенного ряда (разложена
в степенной ряд).
Теорема. Функция ´Þ µ, аналитическая в открытом круге
Þ Þ0
Ê, представима в виде суммы степенного ряда
´Þµ
где
·
½
Ò 0
´ Þ0µÒ ,
Ò Þ
Þ
´Òµ ´Þ0 µ
Þ0
Ê,
(6.9)
´0µ Þ0
, Ò 0, 1, 2, ,
Þ0
(6.10)
Ò
Þ степенным рядом (6.9) назыПредставление функции
вают разложением функции в степенной ряд.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Þ —
любая
точка
открытого
круга
Þ Þ0
Ê. Выберем положительное число
Ê такое, чтобы
точка Þ принадлежала множеству
Þ Þ0
. Обозначим через ­
окружность Þ Þ0
(рис. 6.2).
Þ представляЗначение функции
ем по интегральной формуле Коши:
Ò
´ µ
´µ
´ µ
´Þµ
Рис. 6.2
Так как Þ Þ0
зование:
1
Þ
1
Þ0 ´Þ Þ0 µ
Þ0 , то для
1
Á
1
2
1
Þ
­·
´µ
´µ
(6.11)
Þ
справедливо преобра-
1
Þ0 1 Þ Þ0
Þ0
Þ Þ0
Þ Þ0 Ò
1
1·
·
·
Þ0
Þ0
Þ0 ·
·
´Þ Þ0 µÒ ,
´ Þ0 µÒ·1
0
½
Ò
(6.12)
поскольку ряд является бесконечно убывающей геометрической
Þ Þ0
прогрессией со знаменателем Õ
Þ0 .
·È
½
ÆÒ, 0
Õ
Полученный ряд мажорируется прогрессией
Ò 0
Æ
1, поэтому на окружности ­ ряд сходится равномерно по
признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Умножая обе части равенства (6.12) на непрерывную
6.7 ]
Теорема единственности разложения аналитической функции
´ µ, получаем
функцию
´µ
·
´µ
Þ
Ò
107
´Þ Þ0 µÒ
´ Þ0 µÒ·1
0
½
Ряд в правой части равенства сходится равномерно на окружности ­ в силу теоремы 1 из § 6.2, ибо непрерывная функция
на ­ является ограниченной. Поэтому равенство (6.11) принимает вид
Á ·½
Á
·½
´Þ Þ0 µÒ ´ µ
´µ
Ò 1
´Þµ 21
´
Þ
Þ
µ
0
Ò·1
2
´
Þ
´
Þ0 µÒ·1
0µ
Ò 0
­·Ò 0
­·
Вводя обозначение
1
Ò
´Þ µ
получаем
·È
½
Ò 0
2
Á
­
´µ
,
´
Þ0 µÒ·1
·
(6.13)
´ Þ0µÒ, т. е. разложение (6.9).
Ò Þ
По формуле (5.12) из § 5.7 для Ò-й производной аналитической функции формула (6.13) принимает вид
´Òµ ´Þ0 µ
, Ò 0, 1, 2, ,
Ò
Ò
а это и есть формула (6.10).
Степенной ряд (6.9), коэффициенты которого находят по
формулам (6.10), называется рядом Тейлора функции ´Þ µ по
степеням Þ Þ0 . Коэффициенты Ò , вычисленные по формулам
(6.10), называются коэффициентами Тейлора.
6.7. Теорема единственности разложения
аналитической функции в степенной ряд
Теорема. Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости является рядом Тейлора своей суммы.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теорем 2 и 3 из § 6.5 сумма
Ë ´Þ µ степенного ряда (6.8) является аналитической функцией,
а сам ряд можно почленно дифференцировать любое число раз.
Ê:
Имеем равенства в круге сходимости Þ Þ0
´µ
´µ
Ë Þ
˼ Þ
· 1 ´Þ Þ0µ · 2 ´Þ Þ0µ2 · · Ò ´Þ Þ0µÒ ·
1 · 2 2 ´Þ Þ0 µ ·
· 3 3 ´Þ Þ0µ2 · · Ò Ò ´Þ Þ0µÒ 1 ·
0
,
,
108
Ряды
´µ
· 3 ¡ 2 ´Þ Þ0µ ·
[ Гл. 6
· Ò ´Ò 1µ Ò ´Þ Þ0µÒ 2 ·
Ë ¼¼ Þ
2
Ë´
· ´ · 1µ ¡ ¡ 2 ·1 ´Þ Þ0µ ·
· Ò ´Ò 1µ ¡ ¡ ´Ò · 1µ Ò ´Þ Þ0µÒ ·
·
Ò ´ Ò 1µ ¡
¡ ´Ò · 1µ Ò ´Þ Þ0µÒ
µ ´Þ µ
2
,
½
,
Ò
Полагая в этих равенствах Þ
´ µ
Ë Þ0 ,
0
1
´ µ
Ë ¼ Þ0 ,
2
Þ0 , находим
Ë ¼¼ ´Þ0 µ
2
,
Ë ´ µ ´Þ0 µ
,
,
Следовательно, коэффициенты степенного ряда (6.8) вычисляются через сумму ряда и его производные по формулам (6.10),
т. е. степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы. ¤
Следствие (единственность ряда Тейлора). Разложение анафункции ´Þ µ в ряд Тейлора единственлитической в области
но по степеням Þ Þ0 , причем радиус сходимости Ê которого не
меньше, чем расстояние от точки Þ0 до границы области .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть степенные ряды
·È
´ Þ0µ
сходимости Þ Þ0
и
½
Ò 0
Ò
«Ò Þ
·È
½
Ò 0
имеют одну и ту же сумму
´ Þ0µÒ
Ò Þ
´Þµ
в круге
Ê. Тогда по доказанному в теореме имеем
´Òµ ´Þ0 µ
, Ò 0, 1, 2, ,
Ò
т. е. соответствующие коэффициенты двух рядов равны между
собой. Следовательно, аналитическая в области функция Þ
имеет единственное разложение в ряд Тейлора (6.9) в круге
Ê, где Ê не меньше, чем расстояние
сходимости Þ Þ0
от точки Þ0 до границы области . На границе области
или
могут быть особые точки функции
Þ , радиус
вне области
сходимости Ê равен расстоянию от точки Þ0 до ближайшей
особой точки.
Ò
«Ò
´µ
´µ
6.8. Нули аналитической функции
Определение 1. Точка Þ0 из области определения функции
´Þµ называется нулем функции ´Þµ, если ´Þ0µ 0.
Пусть функция ´Þ µ аналитична в окрестности своего нуля
Þ Þ0 , причем
´Þµ 0
6.8 ]
Нули аналитической функции
109
Разложим в окрестности Þ Þ0 функцию ´Þ µ в ряд Тейлора,
коэффициенты которого не все равны нулю (так как ´Þ µ 0µ:
´Þ µ
´ Þ0µÑ·1 ·
´ Þ0µÑ ·
Ñ·1 Þ
Ñ Þ
,
(6.14)
где Ñ 0.
Натуральное число Ñ в разложении (6.14) называется кратностью нуля Þ0 аналитической функции ´Þ µ. Если Ñ 1, то
точка Þ0 называется простым нулем ´Þ µ.
Из разложения ´6 14µ видно, что для простого нуля ´Þ0 µ
0, ¼ ´Þ0 µ 0. Для нуля Þ0 кратности Ñ
´Þ0µ
0,
¼
´Þ0µ
0,
,
´Ñ 1µ ´Þ0 µ
0,
´Ñµ ´Þ0 µ
Определение 2. Бесконечно удаленная точка Þ
ется нулем функции ´Þ µ, если
´½µ
Ð Ñ ´Þµ
Þ
0
½ называ-
0
½
Теорема. Если аналитическая функция ´Þ µ не равна тождественно нулю и Þ0 является нулем функции кратности Ñ,
то существует окрестность точки Þ0 , в которой функция
´Þµ не имеет других нулей.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из равенства (6.14) имеем ´Þ µ
´Þ Þ0µÑ ³ ´Þµ, где
´µ
· Ñ·1 ´Þ Þ0µ · · Ñ· ´Þ Þ0µ ·
Функция ³ ´Þ µ аналитична, поэтому
Ð Ñ ³ ´Þµ Ñ 0
Þ Þ
³ Þ
Ñ
,
0
Ñ
0
Покажем, что существует окрестность точки Þ0 , в которой
функция ´Þ µ не имеет нулей, отличных от Þ0 . По определению
непрерывности функции ³ ´Þ µ
0
Ñ
Пусть
Þ
Þ0
Ñ
3
µ
Æ
3
0
´ Þ Þ0
Æ
µ ³ ´Þµ Ñ
µ
. Если хотя бы в одной точке Þ1 из окрестности
´µ
Æ функция ³ Þ обратится в нуль, то будет 0
Ñ
Ñ
3
, что невозможно.
¤
Ñ
Если в некоторой окрестности нуля Þ0 функция ´Þ µ не
имеет других нулей, то точку Þ0 называют изолированным нулем
функции ´Þ µ.
110
Ряды
[ Гл. 6
6.9. Свойство единственности аналитических функций
С помощью степенных рядов можно установить одно из важнейших свойств аналитических функций — единственность.
функции
Теорема. Если две аналитические в области
´
Þ
µ
и
´
Þ
µ
совпадают
на
некоторой
последователь1
2
Þ1 , Þ2 ,
, ÞÒ¡, , сходящейся к точке Þ0
ности
точек
1, ·½ Þ0 ¾
, то функции 1 ´Þ µ и 2 ´Þ µ равны
Þ ¾ ,
между собой в области .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим аналитическую функцию
´µ
³ Þ
1
´Þµ 2 ´Þµ
Точки Þ ,
1, 2, , являются нулями функции ³´Þ µ. В силу непрерывности функции ³´Þ µ
Ð Ñ ³ ´ÞÒ µ
Ò
½
´ µ
³ Þ0
0,
т. е. точка Þ0 является нулем функции ³´Þ µ. Покажем, что
в некоторой окрестности точки Þ0 функция ³´Þ µ 0. Предположим, что это не так. Тогда имеет место разложение (6.14),
1, Ñ
0. Отсюда следует, что точка Þ0 является
где Ñ
нулем функции кратности Ñ. По теореме из § 6.8 существует
окрестность точки Þ0 , в которой функция ³´Þ µ не имеет других
Þ0 при Ò
·½.
нулей. Но это противоречит условию: ÞÒ
Следовательно,
³´Þ µ
0
1 ´Þ µ 2 ´Þ µ
в окрестности точки Þ0 , т. е. функции
Рис. 6.3
1
´Þµ и 2´Þµ совпадают.
6.10 ]
Понятие об аналитическом продолжении
111
Докажем, что функции 1 ´Þ µ и 2 ´Þ µ совпадают в любой
точке Þ ¼ ¾ . Соединим точки Þ0 и Þ ¼ кусочно-гладкой кривой Ä,
(рис. 6.3).
принадлежащей области
0 — кратчайшее расстояние от кривой Ä до граПусть
ницы области . Опишем окружность с центром в точке Þ0
радиусом . По доказанному выше функции 1 ´Þ µ и 2 ´Þ µ сов. Окружность Þ Þ0
падают в открытом круге Þ Þ0
пересекает кривую Ä в точке Ø1 . Проведем окружность радиуса
с центром в точке Ø1 . Пересечение открытых кругов Þ Þ0
и Þ Ø1
содержит бесконечно много точек, в которых
´
Þ
µ
´
Þ
µ
.
1
2
всюду 1 ´Þ µ
Следовательно, в открытом круге Þ Ø1
´
Þ
µ
.
Окружность
Þ
Ø
пересекает
кривую
Ä в точ1
2
. На пересечении отке Ø2 . Описываем окружность Þ Ø2
и Þ Ø2
функции 1 ´Þ µ и
крытых кругов Þ Ø1
´
Þ
µ
совпадают
и,
следовательно,
совпадают
в открытом круге
2
Þ Ø2
. Продолжая движение вдоль кривой Ä, получаем, что
¼
¼
1 ´Þ µ
2 ´Þ µ. ¤
6.10. Понятие об аналитическом продолжении
Со свойством единственности в теории функций комплексного переменного тесно связано понятие аналитического продолжения.
Пусть ´Þ µ — аналитическая функция в области . Задача
аналитического продолжения функции ´Þ µ состоит в расширении области аналитичности ´Þ µ. Примерами аналитического
продолжения является переход от функций действительного
переменного Ü , Ó× Ü, × Ò Ü к функциям комплексного переменного Þ , Ó× Þ , × Ò Þ , которые будут аналитическими на комплексной плоскости .
Введем понятие аналитического продолжения функции
´Þµ. Назовем элементом аналитическую функцию ´Þµ вместе
и обозначим элемент символом
с областью аналитичности
´ , µ.
Из двух элементов ´ 1 , 1 µ и ´ 2 , 2 µ, удовлетворяющих
условиям:
1) 1
2
0 — область,
2) в общей части 0 значения 1 ´Þ µ и 2 ´Þ µ совпадают
для всех Þ ¾ 0 , один элемент называется непосредственным
аналитическим продолжением другого.
112
Ряды
Функция
´Þ µ
[ Гл. 6
´Þµ, Þ ¾
2 ´Þ µ, Þ ¾
1
1,
2
единственна и аналитична в области 1
2 (по теореме из
§ 6.9).
Множество элементов ´ 1 , 1 µ , ´ 2 , 2 µ , , ´ Ò , Ò µ называется цепью, если каждый элемент ´ ·1 ,
·1 µ является непосредственным аналитическим продолжением элемента
´ , µ.
Рассмотрим на примере один способ аналитического продолжения, основанный на использовании цепочки круговых областей, в которых функция разлагается в ряд Тейлора.
П р и м е р . Найдем аналитическое продолжение функции
1
´Þ µ
·È
½
Ò 0
ÞÒ.
1µ
Сумма степенного ряда в круге сходимости ´ 1 Þ
1
равна
1, то
1 ´Þ µ. Так как ряд расходится вне круга Þ
1 Þ
функция 1 ´Þ µ не определена вне круга. Выберем точку Þ0 внутри
круга и разложим функцию
1 ´Þ µ в ряд Тейлора в окрестности точки Þ0 :
2
·
½
´Þ µ
Ò 0
где
Ò
´ Þ0µÒ,
Ò Þ
1
´1 Þ0 µÒ·1
(вычисляются по формуле
´Òµ ´Þ µ
0
1
.
Ò
Ò
Очевидно, что радиус схо1 Þ0
димости ряда Ê1
Рис. 6.4
(рис. 6.4). Следовательно, в
Þ Þ0
Ê1 , выходящем за окружность Þ
1,
круге
2
1
, совпадающую в обряд определяет функцию 2 ´Þ µ
1 Þ
щей части с функцией 1 ´Þ µ. Аналогичные рассуждения можно провести дальше. Получим цепь ´ 1 , 1 µ , ´ 2 , 2 µ , ,
каждый элемент которой является непосредственным аналитическим продолжением предыдущего элемента. В результате
функцию 1 ´Þ µ аналитически продолжим на всю комплексную
, за исключением точки Þ
1. Следовательно,
плоскость
6.11 ]
Разложение функций в ряд Тейлора
113
функция ´Þ µ
— аналитическое продолжение функции
1 Þ
1
из открытого круга Þ
1 в область Ò 1 , кото1 ´Þ µ
1 Þ
рая является единственной и аналитической. Á
1
6.11. Разложение функций в ряд Тейлора
Рассмотрим некоторые приемы разложения аналитических
функций в степенные ряды.
Функция ´Þ µ, аналитическая в точке Þ0 , согласно теореме
§ 6.6, разлагается в ряд Тейлора (6.9), коэффициенты которого
находятся по формулам (6.10) или (6.13). Окрестностью точки Þ0
является любой открытый круг Þ Þ0
Ê, в котором функция
´Þµ аналитическая. Максимальный радиус Ê равен расстоянию
от точки Þ0 до ближайшей точки, в которой функция не является
аналитической (такая точка называется особой).
Используя аналитическое продолжение, нетрудно показать
справедливость разложений:
·½ Þ Ò
ÞÒ
Þ2
·
·
, Ê ·½;
1µ Þ 1 · Þ · ·
2
Ò
Ò
2µ
Ó× Þ
3µ
× ÒÞ
4µ
Þ
1 Þ
· ´ µ
·
Þ2
2
6µ
ÐÒ ´1 · Þµ
·
2Ò
·
½
· ´Þ2Òµ ·
Þ ·
2Ò 1
Ò 0
· ´2Ò · 1µ ·
Þ2 · Þ3 2
3
½
Ò 0
´2Ò · 1µ ·
3
Þ
·
·
·
· ´ 1µÒ Þ
· Þ3 ·
×
Ò 0
2Ò 1
Þ3 ·
5µ
Þ
2
Þ 2Ò
1Ò
´2Òµ
3
1·
Þ
Þ2
ÖØ
Þ
Þ
Þ3 ·
3
Ê
·
½
·½;
·
2Ò 1
´ 1µÒ ´2ÞÒ · 1µ ,
Ò 0
Ê ·½;
ÞÒ
´2Òµ , Ê ·½;
2
·
Þ 2Ò·1
´2Ò · 1µ , Ê
½
Ò 0
Ò
Ò·1 Þ
1
Ò
´ µ
·
½
7µ
2Ò
´ 1µÒ ´Þ2Òµ ,
2Ò 1
Ò 1
· ´ 1µÒ·1 2ÞÒ 1 ·
·
½
Ò 1
·½;
·
Ò
´ 1µÒ·1 ÞÒ , Ê
2Ò 1
´ 1µÒ·1 2ÞÒ 1 , Ê
1;
1;
114
Ряды
8µ ´1 · Þ µ«
1 · «Þ ·
« ´« 1µ
2
Þ2
[ Гл. 6
·
· « ´« 1 µ Ò ´« Ò · 1 µ Þ Ò ·
, Ê
1
Разложения 1–8 называют стандартными.
С точки зрения теории функций комплексного переменного
находят объяснение некоторые результаты для функций действительного переменного.
Приведем примеры.
П р и м е р . Разложить функцию действительного переменно1
в ряд Тейлора по степеням Ü (ряд Маклорена).
го ´Üµ
1 · Ü2
1
Решение.
1 Ü2 · Ü4 · ´ 1µÒ Ü2Ò ·
1 · Ü2
Функция ´Üµ непрерывна и ограничена на всей числовой
1.
оси, однако ряд в правой части равенства расходится при Ü
Почему равенство не выполняется при Ü ¾ Ê ? Ответ на данный
вопрос становится ясным, если перейти в комплексную область.
Рассмотрим
1 Þ2 · Þ4 1
1 · Þ2
Функция
´Þ µ
1
1 · Þ2
· ´ 1µÒ Þ2Ò ·
является аналитической в открытом
круге Þ
1, ибо точки Þ ¦ являются особыми. Расстояние
от точки Þ0 0 до любой особой точки равно единице. Поэтому
1,
радиус сходимости равен единице. При Þ Ü получаем Ü
1
разлагается в ряд Тейлора по степеням
и функция ´Üµ
1 · Ü2
Ü в области Ü
1. Á
П р и м е р 2 . Разложить действительную функцию
1
´Üµ
Ü2
0
при Ü
при Ü
0,
0
в ряд Тейлора по степеням Ü.
Решение. Данная функция бесконечное число раз дифференцируема в точке Ü 0:
´0 µ
¼
´Òµ ´0µ
´0µ
0
Следовательно, все коэффициенты Тейлора для этой функции
равны нулю, ряд Тейлора сходится для всех Ü и его сумма равна
тождественно нулю:
´ µ
Ë Ü
0·0¡Ü·
0 2
Ü
2
·
· Ò0 ÜÒ ·
0,
6.11 ]
Разложение функций в ряд Тейлора
115
в то время как функция ´Üµ равна нулю только в точке Ü 0,
т. е. практически не разлагается в степенной ряд по степеням Ü.
При действительных Ü трудно найти объяснение такому результату. Данную функцию аналитически продолжим с действительной оси в комплексную плоскость :
´Þµ
Ý , тогда ´ Ý µ
Пусть Þ
Так как
ÐÑ
Þ 0
´Þ
Þ2
1
ݵ
ÐÑ
Ý 0
1
1
Þ2 , Þ
1
·½,
Ý2
0
´ 2 Ý2 µ
1
ÐÑ
Ü 0
а
Ý2 .
1
Ü2
0,
´Þ ܵ
то данную функцию нельзя доопределить в точке Þ 0, чтобы
она стала непрерывной. Функция ´Þ µ в точке Þ 0 не является
аналитической. Á
Следовательно, полное завершение теория степенных рядов
находит только в комплексной области.
Для разложения аналитической функции в ряд Тейлора (6.9)
довольно редко применяют формулы (6.10) или (6.13) из-за громоздких вычислений. Так как многие функции являются элементарными, то, применяя свойства степенных рядов, стандартные разложения 1–8, подстановки «ряда в ряд», представление
дробно-рациональных функций суммой простейших дробей и
другие операции, можно получить, выделяя особые точки, разложение функций в ряд Тейлора более простыми средствами.
В силу следствия из § 6.7 о единственности разложения аналитической функции в степенной ряд любые способы разложения
приводят к одному результату.
П р и м е р 3 . Найти первые три члена разложения в ряд
1
0.
Тейлора функции ´Þ µ
Þ в окрестности точки Þ0
1·
Решение. Найдем коэффициенты ряда Тейлора по формуле
(6.10):
¬
1 ¬
1
´0µ
;
Þ¬
0
¼
Þ
´Þµ ´1 · Þ µ ,
1·
2
¼¼
´Þµ
¼¼¼
´Þµ
Þ ´1 · Þ µ 2 · 2
2Þ
´1 · Þ µ
Þ 0
1
¼
2
´0µ 14 ;
Þ ´ Þ 1µ
,
´1 · Þ µ 3
´1 · Þ µ4
´2 2Þ Þ µ´1 · Þ µ3 3 2Þ ´1 · Þ µ2 ´ Þ 1µ
´1 · Þ µ 6
2
¼¼ ´0µ
2
Þ ´4 Þ ´1 ·
0;
2Þ
1µ ,
Þ µ4
116
Ряды
3
¼¼¼ ´0µ
1
8¡6
3
По формуле (6.9) имеем
1
1· Þ
1
2
[ Гл. 6
1
48
14 Þ · 481 Þ3 ·
Найдем радиус сходимости полученного ряда. Функция
´Þµ 1 ·1 Þ имеет особые точки в точках Þ, в которых знаменатель обращается в нуль: 1 · Þ
0, откуда
Þ
ÄÒ ´ 1µ
´ · 2 µ,
¾ . Найдем наименьшее
0 до особых точек ´ · 2 µ.
расстояние от точки Þ0
Очевидно, что ближайшей особой точкой является точка Þ1
при
0. Тогда радиус сходимости Ê
0 . Á
Если Þ
14 Ü · 481 Ü3 · имеет
1
, хотя функция ´Üµ
является
1· Ü
Ü, то разложение
1
1· Ü
1
2
радиус сходимости Ê
бесконечно дифференцируемой на всей числовой оси.
Из решения примера 3 видно, что процесс нахождения коэффициентов Тейлора довольно трудоемок.
Используя стандартные разложения 1–8, можно получить ряд
Тейлора для многих элементарных функций.
П р и м е р 4 . Найти разложение функции Ó× Þ 2 в ряд Тейлора в окрестности точки Þ0 0 по степеням Þ .
Решение. Подставляя в ряд 2 Þ 2 вместо Þ , получаем разложение
·½
4
4Ò
4Ò
Ó× Þ2 1 Þ2 · · ´ 1µÒ ´Þ2Òµ ·
´ 1µÒ ´Þ2Òµ
с радиусом сходимости Ê
Ò 0
·½. Á
П р и м е р 5 . Разложить функцию ´Þ µ
в ряд Тейло1·Þ
ра по степеням Þ .
Решение. Используем стандартный ряд 8 при « 1.
1
1·Þ
´1 · Þ µ
1
1 · ´ 1µ Þ ·
1
´ 1µ ´ 1 1µ Þ 2 ·
2
· ´ 1µ ´ 1 1µ ´ 1 Ò2µ ¡
После упрощения получаем разложение
1
1·Þ
1 Þ · Þ2 с радиусом сходимости Ê
· ´ 1µÒ ÞÒ ·
1.
Á
·
¡ ´ 1 Ò · 1µ Þ Ò ·
·
½
Ò 0
´ 1µÒ ÞÒ
6.11 ]
Разложение функций в ряд Тейлора
117
Пример 5 можно решить другим способом. Функция ´Þ µ
1
является суммой бесконечно убывающей геометрической
1·Þ
прогрессии со знаменателем Õ Þ :
1
1·Þ
1 · ´ Þ µ · ´ Þ µ2 ·
· ´ ÞµÒ ·
·
½
Ò 0
´ 1µÒ ÞÒ
Получен тот же результат.
1
в окрестноП р и м е р 6 . Разложить функцию ´Þ µ
Þ 4
сти точки Þ0 2.
2, так как особая точка
Решение. Круг сходимости Þ 2
Þ 4.
2
1
1
12 Þ1 2 12 1 · Þ 2 2 · Þ 2 2 ·
Þ 4
Þ 2 2
1 2
Þ 2 Ò
·
2
·
· ´Þ 2µÒ
½
2Ò·1
Ò 0
— это есть сумма бесконечно убывающей геометрической проÞ 2
.Á
грессии со знаменателем Õ
2
Þ·8
П р и м е р 7 . Функцию ´Þ µ
´Þ 2µ ´Þ · 3µ разложить в ряд
Тейлора в окрестности точки Þ0 1.
Решение. Дробно-рациональную функцию ´Þ µ разложим на
сумму простейших дробей:
Þ·8
2
1
´Þ 2µ ´Þ · 3µ Þ 2 · Þ · 3 Þ 2 Þ · 3
Разложим каждую из простейших дробей в правой части
равенства в ряд Тейлора:
2
Þ 2
1
Þ 1 1
1 ´Þ1 1µ
1 · ´Þ 1µ · ´Þ 1µ2 ·
· ´Þ 1µÒ ·
·
½
Ò 0
´Þ 1µÒ
Разложение имеет место в круге сходимости Þ 1
1, так
как расстояние от точки Þ0 1 до особой точки Þ 2 равно 1;
1
Þ·3
1
Þ 1·4
1
4
1 1
4
¡
1
1·
Þ 1
4
1
4
Þ 1
·
4
Þ 1
4
2
¡
1
1 Þ 4 1
· ´ 1µÒ
Þ 1 Ò
4
·
118
Ряды
[ Гл. 6
Разложение справедливо в круге сходимости Þ 1
4, так
как расстояние от точки Þ0 1 до особой точки Þ 3 равно 4.
Таким образом, заданная функция ´Þ µ разлагается в ряд
Тейлора:
Þ·8
´Þ 2µ ´Þ · 3µ
·
½
Ò 0
´Þ 1µÒ ·
½
Ò 0
´ 1µÒ ´Þ4 Ò·1µ
Ò
1
·
½
Ò 0
4Ò·1 · ´ 1µÒ
Þ
4Ò·1
´ 1µÒ
с кругом сходимости Þ 1
1, т. е. радиус сходимости Ê 1
является наименьшим расстоянием от точки Þ0 1 до особых
точек Þ 2 и Þ 3. Á
13
П р и м е р 8 . Функцию ´Þ µ
разложить
2
Þ 4 Þ2 · 9
в ряд Тейлора в окрестности точки Þ0 0.
Решение. Очевидно, что
13
Þ 4
2
Þ
2
1
·9
Þ2 4
·
½
Ò 0
Þ
2Ò
4Ò·1
Þ 1· 9 14
1
2
·
½
Ò 0
Þ2
1 2Ò
´ 1µÒ 9ÞÒ·
4
1
19
·
½
Ò 0
1
1·
1
4Ò·1
Þ2
9
· 9Ò1·
1
Þ 2Ò
Радиус сходимости равен 2, так как наименьшее расстояние
до особых точек ¦2 и ¦3 от точки Þ0 0 равно двум. Á
Þ
П р и м е р 9 . Найти разложение функции ´Þ µ
Þ
в ряд Тейлора по степеням Þ .
Решение.
Þ
Þ
Þ
Þ·
Þ
2
1 · 2Þ ·
2Þ
·1
2
´2Þµ2 · ´2Þµ3 · · ´2ÞµÒ · · 1
2
3
Ò
2
1 · Þ · Þ2 ·
2
2 3
Þ
3
·
Ò 1
· 2Ò
ÞÒ
·
·
½
1
2Ò
Ò
ÞÒ
·1
Ò 1
Данное разложение имеет радиус сходимости Ê
, так
Þ
Þ
Þ является аналитической функцией на комкак
´µ
плексной плоскости . Á
П р и м е р 1 0 . Функцию ´Þ µ
лора с центром в точке Þ0 0.
·½
× Ò Þ разложить в ряд Тей-
6.12 ]
Принцип максимума модуля функции. Теорема Лиувилля
× Ò Þ аналитична на плоскости
Решение. Функция
·½. Так как
1·Þ·
Ò
Þ
Þ Þ 1µÒ·1
·
·
´ 3
´2Ò 1µ ·
Þ
этому Ê
× ÒÞ
3
2
1
119
, поÞÒ
и
2
Ò
, то используем рас-
·
Þ2
·
·
пространенный прием подстановки «ряда в ряд»:
× ÒÞ
× Ò2 Þ ·
1 · × ÒÞ ·
2
1· Þ · 21
Þ
Þ3
Þ3 ·
3
3
·
· × ÒÒ Þ ·
Ò · ´ 1µÒ·1 ´2ÞÒ 1µ ·
Ò
2
2Ò 1
·
1
· ´ 1µÒ·1 ´2ÞÒ 1µ ·
2
·
1·Þ·
Þ2
2
·
Á
6.12. Принцип максимума модуля функции. Теорема
Лиувилля. Основная теорема высшей алгебры
Теорема 1 (принцип максимума модуля). Если модуль ´Þ µ
аналитической в области
функции ´Þ µ имеет максимум
в некоторой точке Þ0 ¾ , то функция ´Þ µ постоянна в области .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что функция ´Þ µ не
является постоянной в некоторой окрестности точки Þ0 радиусом
Æ , содержащейся в области
Þ Þ Þ0
Æ
. Отображение Û
´Þµ переводит область Þ Þ0 Æ в некоторую область
´Þ0µ. Рассмотрим в этой области окрестность
с точкой Û0
. Выберем в окрестности
точки Û0 радиусом : Û Û0
Û Û0
точку Û¼ такую, чтобы Û¼
Û0 . Образу Û¼
¼
соответствует прообраз Þ окрестности Þ Þ0
Æ , для котоÛ¼ . Имеем
´Þ¼µ Û¼ Û0 , т. е. существует
рой ´Þ ¼ µ
Æ (Æ можно выбрать достаточно малым),
окрестность Þ Þ0
´Þ0µ . Точка
в которой найдутся точки Þ такие, что ´Þ µ
Þ0 не является точкой максимума, что противоречит условию
теоремы.
Таким образом, если аналитическая функция ´Þ µ в окрестности точки Þ0 не является постоянной, то функция ´Þ µ не
имеет максимума в точке Þ0 . Если же известно, что ´Þ µ имеет
максимум в некоторой точке Þ0 области , то функция ´Þ µ
постоянна в некоторой окрестности Þ Þ0
Æ . По теореме из
§ 6.9 о единственности аналитической функции функция ´Þ µ
постоянна и в области . ¤
120
Ряды
[ Гл. 6
Теорема 2. Если функция ´Þ µ аналитична в ограниченной
области и непрерывна в замкнутой области , то наибольшее значение ´Þ µ достигается на границе Ä области .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Теорема 2 является следствием теоремы 1. Действительно, если ´Þ µ не является постоянной в области , то по теореме 1 ´Þ µ не может достичь максимума
в области . Следовательно, наибольшее значение ´Þ µ достипо известной теореме Вейергается на границе Ä области
штрасса: функция ´Þ µ , непрерывная в ограниченной и замкнутой области , достигает в этой области своих наименьшего и
наибольшего значений.
Заметим, что если ´Þ µ постоянна в области , то она постоянна и в замкнутой области . ¤
Будет ли верна теорема 2 для наименьшего значения функции
´Þµ ? Ответ отрицательный.
1
П р и м е р . Функция ´Þ µ × Þ в открытом круге Þ
достигает наименьшего значения модуля × Þ в точке Þ 0.
Но если ´Þ µ аналитична в ограниченной области , непреи не имеет нулей в этой области, то ´Þ µ достигает
рывна в
наименьшего значения на границе Ä данной области. В этом
1
случае введем функцию ´Þ µ
´Þµ , которая удовлетворяет условиям теоремы 2.
Теорема 3 (теорема Лиувилля). Целая функция, ограниченная по модулю, является константой.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Целая функция ´Þ µ аналитична на
комплексной плоскости . По теореме из § 6.6 ´Þ µ разлагается
в ряд Тейлора с радиусом сходимости Ê ·½:
´Þ µ
0·
1Þ
·
·
Ò
ÒÞ
·
½
·
Ò 0
ÒÞ
Ò
Оценим коэффициенты Ò в любом круге Þ
Ê. По теоÅ на окружности Þ
Ê, где Å — наибольшее
реме 2 ´Þ µ
значение ´Þ µ. Проведем оценку коэффициентов Ò , вычисляемых по формуле (6.13):
Ò
¬¬
¬¬ 1
2
Á
Þ· Ê
Пусть Ê
Разложение
¬¬
¬
´ Þ µÒ· ¬
´µ
0
1
1 Å
2 ÊÒ·1
¡2
Ê
Å
, Ò
ÊÒ
·½, тогда Ò 0, т. е. Ò 0,
´Þµ в ряд Тейлора примет вид: ´Þµ
0, 1, 2,
Ò
0.
¤
1, 2,
6.13 ]
Задачи для самостоятельной работы
121
Теорема 4 (основная теорема высшей алгебры). Любой
многочлен
´Þµ
0
·
1Þ
·
2Þ
2
·
·
Ò
ÒÞ ,
0,
Ò
степени Ò имеет, по крайней мере, один корень.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Известно. что точка Þ0 называется корнем (нулем) многочлена, если ´Þ0 µ 0. Предположим
противное. Пусть ´Þ µ не имеет ни одного корня. Функция
´Þµ ´1Þµ — целая, причем ÞРѽ ´Þµ 0. Докажем, что ´Þµ
ограничена по модулю на комплексной плоскости . Так как
Ð Ñ ´Þµ 0, то существует Ê 0 Þ Ê µ ´Þµ 1 .
Þ
½
´µ
Þ
Å на окружности Þ
Пусть наибольшее значение
Ê. Тогда, используя теорему 2, приходим к выводу, что
Þ
Å для Þ
. По теореме 3 получаем Þ
0, что
противоречит определению этой функции. Следовательно, многочлен Þ имеет, по крайней мере, один корень.
´µ
¾
´µ
¤
´µ
6.13. Задачи для самостоятельной работы
1. Исследовать на сходимость числовые ряды:
а)
·
½
Ò
2
Ò 1 Ò
; б)
·
½
Ò 1
Ó×
3Ò
Ò Ò
2 ; в)
·
Ò
½
Ò 1
Ò
·
½
; г)
Ò ´1 · 2 µÒ
Ò 1
5Ò
.
2. Найти радиус сходимости степенных рядов:
а)
·
½
Ò 0
в)
·
½
Ò 1
´1 µÒ ÞÒ ;
б)
´Þ 1µÒ ;
2Ò
г)
·
½
Ò 1
Ò
Ó×
Ò
¡ ÞÒ;
· ´Þ µÒ
½
Ò 1
Ò2
3. Разложить функции в ряд Тейлора по степеням Þ и найти
радиусы сходимости рядов:
Þ ; д) × Þ ; е) ´1 · Þ µ« ;
а) Þ ; б) × Ò Þ ; в) Ó× Þ ; г)
ж) ÐÒ ´1 · Þ µ; з) Ö Ø Þ .
4. Используя разложения задачи 3, разложить следующие
функции в ряд Тейлора и найти радиусы сходимости степенных
рядов:
а) × Ò ´2Þ · 1µ по степеням ´Þ 1µ; б) Þ по степеням ´2Þ · 1µ;
в)
Ó× Þ по степеням
Þ
4
.
122
Ряды
[ Гл. 6
5. Найти несколько первых членов ряда Тейлора по степеням Þ для функций, определить радиус сходимости полученных
рядов:
1
1
;
б)
а)
2Þ
2
·
× ÒÞ.
1·
6. Разложить в ряд Тейлора функции:
а)
1
´Þ · 1µ´Þ 2µ
по степеням Þ ; б)
1
Þ 2Þ · 5
2
по степеням ´Þ 1µ.
7. Найти нули функций и определить их кратность:
а) Û Þ 5 · 3Þ 3 ; б) Û Þ 3 × Ò Þ ; в) Û 1 Ó× Þ .
6.14. Ответы
1. а) сходится абсолютно; б) расходится; в) расходится; г)
сходится абсолютно.
1
2. а) Ô ; б) 1 ; в) 2; г) 1.
2
3. а) Решение. Согласно теореме § 6.6
·½
·½ ´Òµ
´Þµ È Ò ´Þ Þ0µÒ È Ò´Þ0µ ´Þ Þ0µÒ
Ò 0
Ò 0
Þ по степеням Þ . Найдем
Разложим ´Þ µ
Ò , для этого
вычислим производные функции Þ в точке Þ0 0:
´Òµ ´Þ µ
ÞÒ
, Ê
Ò 0Ò
·È
½
´ 1µÒ Þ 2Ò·1 , Ê
Ò 0 ´2Ò · 1µ
Следовательно, Þ
б)
× ÒÞ
в)
Ó× Þ
·È
´Òµ ´0µ
Þ,
·È ´ 1µÒ
½
Ò 0
´2Òµ
½
Þ 2Ò ,
Ê
1,
·½;
Ò
1
Ò
·½;
·½.
Ук а з а н и е . Разложение можно получить точно так же, как
в примере «а». Второй способ решения состоит в следующем.
Известно, что степенные ряды в области сходимости можно
почленно дифференцировать и интегрировать, при этом получаем
степенные ряды с теми же радиусами сходимости. Следовательно, дифференцируя почленно разложение для × Ò Þ в примере «б»,
будем иметь ответ примера «в»;
·È
½
·È
½
Þ 2Ò
Þ 2Ò·1
´
Ê ·½µ; д) × Þ
´Ê ·½µ.
г) Þ
Ò 0 ´2Òµ
Ò 0 ´2Ò · 1µ
6.14 ]
Ответы
123
Ук а з а н и е . Интегрируем почленно «г» от 0 до Þ ;
« ´« 1 µ 2
Þ ·
е) ´1 · Þ µ« 1 · «Þ ·
2
· « ´« 1µ ¡ Ò ¡ ´« Ò · 1µ ÞÒ ·
´Ê 1 µ
При « 1 имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
1
1 Þ · Þ2 ·
· ´ 1µÒ 1 ÞÒ·1 · ;
´£µ
1·Þ
·È
½
Ò
ж) ÐÒ ´1 · Þ µ
´ 1µÒ 1 ÞÒ .
Ò 1
Ук а з а н и е . Получается интегрированием ряда ´£µ, Ê 1;
·È
½
2Ò 1
´ 1µÒ 1 2ÞÒ 1 .
з) Ö Ø Þ
Ò 1
2 и интегрируем от 0
Ук а з а н и е . В ряде ´£µ полагаем Þ
до Þ .
4. а) Решение.
× Ò ´2Þ · 1µ × Ò 2 ´Þ 1µ · 3
× Ò 2 ´Þ 1µ Ó× 3 · Ó× 2 ´Þ 1µ × Ò 3
Ó× 3 ¡ 2 ´Þ 1µ 2 ´Þ 3 1µ · ·
3
· × Ò3 ¡
1 2 ´Þ 1µ 2
2
· 2 ´Þ 4 1µ × Ò3 ·
4
· Ó× 3 ¡ 2 ´Þ 1µ × 2Ò 3 ¡ 22 ´Þ 1µ2 Ó×3 3 ¡ 23 ´Þ 1µ3 ·
´Ê ·½µ ;
Ô1 1 · 1 ´2Þ · 1µ · ´2Þ · 1µ · ´2Þ · 1µ ·
б) Þ
2
22
32
´Ê ·½µ
2
3
2
´2Þ·1µ
Ук а з а н и е. Þ
в)
Ó× Þ
Ô
1 Þ 2
2
5. а) Решение.
Û
1
1·
,
2Þ
Û¼
Û¼¼¼
2
4
3
1 2;
Þ 2
2
4
2Þ
´1 ·2 Þ µ ,
2
8
2Þ
2
·
Þ Û¼¼
´ 4 2Þ · 1µ ,
´1 · 2 Þ µ 4
4Þ
3
3
4
·
´Ê ·½µ.
4 2Þ ´ 2Þ 1 µ
,
´1 · 2Þ µ3
124
Ряды
[ Гл. 6
Подставляя Þ 0, получаем: Û ´0µ
Û¼¼¼ ´0µ 1; отсюда
Þ
1
1
1·
1
, Û¼
2
´0µ 12 , Û ´0µ
¼¼
0,
2 Þ3 ·
2
2Þ
3
Найдем радиус сходимости ряда. Известно, что радиус сходимости степенного ряда равен расстоянию от центра Þ0 круга
сходимости до ближайшей особой точки функции Û. Найдем
особые точки данной функции (см. § 4.4.), приравнивая знаменатель к нулю:
1;
2Þ
ÄÒ ´ 1µ , Þ 12 ÄÒ ´ 1µ
ÐÒ 1 · ´ · 2 µ 2 ´2 · µ ,
2Þ
1
2
Ближайшими к точке Þ0
Следовательно,
Ê
0, ¦1,
0 особыми точками являются
¬¬
¬
¬¦ 2 0¬¬
2
¦2
.
;
21 Þ · 2 12 Þ2 3 12 Þ3 ·
Найдем Ê. Решим уравнение: × Ò Þ · 2 0
Согласно § 4.8 имеем
Õ
Þ
Ö × Ò ´ 2µ ÄÒ 2 · 1 ´ 2µ2
Ô
Ô
ÔÄÒ ´ 2 ¦ 3 µ ÄÒ ´¦ 3 2µ
Ô
ÐÒ ´ 3 2µ · ´ · 2 µ
· 2 ÐÒ ´2 ¦ 3 µ,
0, ¦1,
Ближайшими к нулю особыми точками функций являются
Õ
Ô
Ô
2 · ÐÒ2 ´2 ¦ 3 µ .
¦ ÐÒ ´2 ¦ 3 µ, поэтому Ê
б)
1
2· × ÒÞ
1
2
2
2
3
6. а) Решение.
13
13
· 2 ´1 1 Þ»2µ
(применяем к каждой дроби справа разложение ´£µ из решения
1
´Þ · 1µ ´Þ 2µ
1
Þ·1
примера «е» задачи 3)
13
·
½
Ò 0
´ 1µÒ ÞÒ · 12
·
Þ 1 2
½
Ò 0
ÞÒ
2Ò
1
3
·
½
Ò 0
1
Þ·1
¢
´ 1µÒ·1 2
´Ò·1µ £ Þ Ò ,
Ê
1;
6.14 ]
б)
Ответы
1
Þ 2Þ · 5
2
1
4
1
4
1
4
1
Þ 1 2
1
2
1 Þ 11· 2
Þ 1
2
1
·2
´Þ 1µ2 · ´Þ 1µ4 1 22
125
24
1·
Þ 1
2
·
´ 1µÒ ´Þ 2 Ò1µ
Ò 0
Ô
3; ¦ 3 — простые
1
4
2Ò
½
2
7. а) нуль Þ
0 имеет кратность ×
нули;
Ò, Ò
¦1, ¦2 —
б) нуль Þ 0 имеет кратность × 4; ÞÒ
простые нули;
в) Решение. ÞÒ 2 Ò, Ò 0, ¦1 — нули функции. Так как Û¼
× Ò ´2 Òµ 0, Û¼¼ Ó× ´2 Òµ 1 0, то нули ÞÒ 2 Ò
имеют кратность × 2.
7.
РЯД ЛОРАНА
7.1. Понятие ряда Лорана
Функциональный ряд вида
·
Ò
½
´ Þ0 µ Ò ,
(7.1)
Ò Þ
½
где Þ0 , Ò , Ò 0, ¦1, — постоянные числа, называется рядом
Лорана. Ряд (7.1) можно записать в виде суммы двух рядов
·
½
Ò 0
·
´ Þ0µÒ и
Ò Þ
½
Ñ 1
´ Þ0 µ
Ñ Þ
Ñ
(7.2)
Если оба ряда (7.2) сходятся в некоторой области , то ряд
Лорана (7.1) будем называть сходящимся в области .
ряда (7.1). Областью
Построим область сходимости
является общая часть областей сходимости рядов (7.2). Первый
из рядов (7.2) является степенным с радиусом сходимости Ê.
Второй ряд (7.2) имеет целые отрицательные степени ´Þ Þ0 µ.
Введем замену Þ Þ0
1
. Тогда второй ряд из (7.2)
·È
½
Ñ 1
Ñ
Ñ
будет степенным и его область
Ö1 . Возвращаясь к ста1
Ö, т. е. областью
рой переменной, будем иметь Þ Þ0
Ö1
сходимости является внешность круга радиусом Ö с центром
в точке Þ0 .
Ê, то имеется общая часть областей сходимости
Если Ö
рядов (7.2), представляющая собой круговое кольцо
Ö
Þ
Þ0
(7.3)
Ê
Внутри кольца (7.3) оба ряда (7.2) сходятся абсолютно и равномерно. Следовательно, областью сходимости ряда Лорана (7.1)
является кольцо (7.3), внутри которого ряд Лорана сходится равномерно и абсолютно к некоторой аналитической функции ´Þ µ:
´Þµ
·
½
Ò
´ Þ0µÒ,
Ò Þ
Ö
Þ
Þ0
Ê
(7.4)
½
Если Ö Ê, то ряды (7.2) не имеют общей области сходимости,
и ряд (7.1) всюду расходится.
7.2 ]
Разложение функции в ряд Лорана
127
7.2. Разложение функции в ряд Лорана
Теорема Лорана. Если ´Þ µ аналитична в кольце (7.3), то
существует единственное разложение функции ´Þ µ в ряд
Лорана (7.4), где
Á
´Þµ Þ , Ò 0, ¦ 1, ,
1
(7.5)
Ò
2
´
Þ Þ0 µÒ·1
Ä·
Æ , Ö Æ Ê.
где Ä — окружность радиусом Þ Þ0
0 (выколотый
В теореме не исключаются случаи Ö
центр Þ0 µ и Ê ·½.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Þ — любая фиксированная точка
кольца (7.3). Образуем новое кольцо ¼ с центром в точке Þ0 ,
и имеющее точку Þ (рис. 7.1). Обосодержащееся в кольце
значим внешнюю границу кольца ¼ радиусом ʼ через ļ , а
y
l
z
R
r'
z0
r
l'
L'
R'
x
O
Рис. 7.1
внутреннюю границу радиусом Ö¼ — через ¼ . Построим окрестность точки Þ с кусочно-гладкой границей , принадлежащую
´µ
кольцу ¼ вместе с границей . Так как функция ´ µ
Þ
является аналитической в трехсвязной области, границей которой являются внешняя граница ļ и внутренние границы ¼ и ,
то по формуле (5.8) (см. § 5.4) имеем
Á
ļ·
´µ
Þ
Á
¼·
´µ
Þ
·
Á
´µ
·
Умножая обе части полученного равенства на
Þ
1
2
и применяя ин-
128
Ряд Лорана
[ Гл. 7
тегральную формулу Коши (5.9) (см. § 5.5):
получаем
´Þµ
Á
1
2
´µ
Þ
ļ·
Á
21
À
1
2
´µ
Þ
·
´µ
¼·
´Þµ,
(7.6)
Þ
1
Разложим функцию
Þ под знаком первого интеграла в ряд
Тейлора по степеням Þ Þ0 :
1
1
1
Þ0 ´Þ Þ0 µ
Þ
Þ0
1
Þ Þ0
1 Þ0
1
Þ0
¬¬ Þ Þ ¬¬
¬ Þ ¬
где
· ´Þ Þ µÒ
0
·
Ò 0
Ò
´
´Þ Þ0 µÒ ,
´ Þ0 µÒ·1
0
½
½
Þ0 µÒ
Þ Þ
Þ Þ
Õ
¾Ä,
1, Õ
Þ
ʼ
Полученный
ряд
сходится
равномерно
на
Ä
, так как
¬¬
¬¬
·
Ò
Ò
Ò
È
Õ
¬¬ ´Þ Þ Òµ· ¬¬ Õ ¼ , где
¼ — мажоранта. Так как функция
Ê
Ê
´ Þ µ
Ò 0
0
¼
0
0
0
0
¼
½
0
0
´µ
1
ограничена на ļ , то, используя теорему 1 из § 6.2,
´ µ ·È½ ´ µ ·È½ ´Þ Þ0 µÒ
1
приходим к выводу, что ряд
2
Þ Ò 0 2 Ò 0 ´ Þ0 µÒ·1
также сходится равномерно на ļ . Полученный ряд можно
почленно интегрировать на ļ (см. теорему 2 из § 6.3):
2
1
2
Á
ļ·
´µ
Þ
·
Á
1
2
ļ· Ò
´µ
Ò
Ò·1 ¡ ´Þ Þ0 µ
´
Þ
0µ
0
½
·
½
Ò 0
где
Ò
1
2
Á
Ä
´µ ,
´
Þ0 µÒ·1
¼·
Ò
´ Þ0µÒ ,
Ò Þ
0, 1, 2,
Во втором интеграле равенства (7.6) функцию
1
Þ разло-
жим в функциональный ряд как сумму бесконечно убывающей
Þ0 , ¾ ¼ :
геометрической прогрессии со знаменателем Õ
Þ Þ0
·½ ´ Þ µÒ
0
1 Þ Þ0 ·1 Þ0 Þ Þ 1 Þ0 ¡ 1 Þ0
Ò·1
´
Þ
Þ
µ
0
1 Ò 0
Þ Þ0
7.2 ]
Разложение функции в ряд Лорана
129
Этот ряд также сходится равномерно на ¼ . Повторяя рассуждения для первого интеграла равенства (7.6), получаем
21
Á
´µ
¼·
Þ
·
½
2
½
Ò 0
·
1
Á
1
¼
Ò
2
Á
¡ 21
´Þ Þ0 µÒ·1
¼·
·
,
Ò 0
Á
¼·
1
¼
Ñ
´µ
1
Þ
Á
´µ
¼· ´Þ Þ0 µ
2
,
1, 2,
´ Þ0µÑ ,
Ñ Þ
¼
Ñ
´Þ Þ0 µÒ·1
0, 1, 2,
Ò
Пусть Ò · 1 Ñ
Так как Ò
0, 1, 2, , то соответственно Ñ
Тогда предыдущий ряд и ¼Ñ примут вид
21
¼Ò
½
´ µ ´ Þ0µÒ
´ µ ´Þ Þ0µÒ
¼·
´ µ ´ Þ0µÒ
1
Ò·1
¼· ´Þ Þ0 µ
Ò 0
1
где
Á
½
Ñ·1 ,
1, 2,
Ñ
Подставляя найденные разложения в равенство (7.6), получаем ряд Лорана для произвольной точки Þ ¾
´Þµ
где
Ò
1
2
·
½
Ò 0
Á
ļ·
´
Ò
Ò ´Þ Þ0 µ ·
´µ
Þ0 µÒ·1
и
1
Ò
(7.7)
½
1
¼
Ò
´ Þ0µÒ ,
Ò Þ
¼
2
Á
´µ
Ò·1
¼· ´ Þ0 µ
Из формулы (7.7) видно, что ряд Лорана (7.7) представляет
собой сумму двух функциональных рядов: первый ряд называется правильной частью ряда Лорана, второй ряд — главной
частью ряда Лорана. Правильная часть является степенным
Ê, где Ê —
рядом, сходящимся в круге сходимости Þ Þ0
радиус внешней окружности кольца (7.3). Главная часть ряда
Ö кольца (7.3).
Лорана сходится во внешней части Þ Þ0
0, 1, 2, , и ¼Ò ,
Формулы для коэффициентов Ò , Ò
Ò
1, 2, , можно объединить в одну, взяв вместо
окружностей ļ и ¼ любую окружность Ä1 с центром в точке Þ0 ,
5 И.П. Карасёв
130
Ряд Лорана
[ Гл. 7
расположенную между окружностями ļ и
Ò
1
2
Á
Ä·
´µ
´ Þ0 µÒ·1
,
¼
:
0, ¦1, ¦2,
Ò
(7.8)
1
Равенство (7.7) принимает вид
´Þ µ
·
Ò
½
´ Þ0µÒ
(7.9)
Ò Þ
½
Получено равенство (7.4) разложения аналитической функции ´Þ µ, причем ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно
в кольце ¼ , коэффициенты ряда Лорана вычисляются по формуле (7.8). ¤
В дальнейшем будем говорить, что ряд Лорана (7.4) сходится
абсолютно и равномерно к аналитической функции ´Þ µ внутри
. Очевидно, что справедливы теоремы о почленном
кольца
интегрировании и дифференцировании ряда Лорана по любой
кусочно-гладкой дуге в кольце сходимости (7.3).
Заметим, что функция ´Þ µ разлагается в ряд Лорана в
любом кольце, где она является аналитической. Максимальный
равен расстоянию от точки Þ0 до ближайшей
радиус Ê кольца
особой точки ´Þ µ, в которой сумма правильной части ряда Лорана не будет аналитической, минимальный радиус Ö равен расстоянию от точки Þ0 до ближайшей особой точки ´Þ µ, в которой
сумма главной части ряда Лорана теряет аналитичность.
Заметим также, что из доказательства теоремы 1 следует, что
разложение функции в ряд Лорана единственно, т. е. коэффициенты Ò , вычисляемые по формулам (7.8), находятся однозначно.
Данное замечание позволяет получать разложение (7.4) и другими способами.
П р и м е р 1 . Найти все возможные разложения функции
´Þµ ´Þ 2µ1´Þ 3µ в ряд Лорана по степеням Þ.
Решение. Так как разложение по степеням Þ , то центр разложения Þ0 0. Особыми точками функции ´Þ µ являются точки,
в которых знаменатель обращается в нуль: Þ1 2 и Þ2 3. Построим окружности, проходящие через особые точки с центром
2 и Þ
3. Эти окружности выделяют на
в точке Þ0 0: Þ
три области:
комплексной плоскости
1µ Þ
2,
2µ 2
Þ
3,
3µ Þ
3
Разложим заданную функцию в ряд Лорана в каждой области. Представим функцию
´Þµ в виде ´Þµ ´Þ 2µ1´Þ 3µ
7.2 ]
Разложение функции в ряд Лорана
·
· ´ µ
131
´ µ·
, найдем числа
и
. Так как
Þ 3
Þ 2
Þ 3
Þ 2
1, то, подставляя в это равенство Þ 2 и Þ 3,
1,
1. Таким образом
соответственно получаем
´Þµ Þ 1 2 · Þ 1 3
(7.10)
Для решения примера 1 нам потребуется биномиальный ряд 8
из § 6.11 при « 1
1 Þ · Þ2 1
1·Þ
· ´ 1µÒ ÞÒ ·
´Ê
1µ ,
который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем Õ Þ .
2. Преобразуем (7.10) следующим образом:
1) Пусть Þ
´Þµ
1
2
¡
1
1 1
2
13 ¡
Þ
2
1·
·
2
1
1 ´используем биномиальный рядµ
Þ
3
Ò
· Þ2Ò ·
Þ
1·
13
Ò
·
3
· Þ3Ò ·
Þ
(оба ряда справа сходятся соответственно при Þ
2)
т. е. сходятся при Þ
1
2
·
½
Ò 0
ÞÒ
13
2Ò
·
½
Ò 0
·
ÞÒ
½
3Ò
Ò 0
Это разложение является рядом Тейлора функции
Þ
3. Тогда (7.10) примет вид
Пусть 2
´Þµ Þ 1 2 · Þ 1 3 Þ1 ¡
Þ
1
1·
Так как 2
·Þ ·
Þ
2
4
2
2Ò
2
1 Þ
· ÞÒ ·
·
´Þ 2µ ´Þ 3µ Ò
1
3) Пусть Þ
´Þµ Þ
1
´Þµ.
Þ
3
1·
1
3
3Ò·1 2Ò·1 Ò
Þ
6Ò·1
Ò
· Þ3Ò ·
·
3
Þ
1 2Ò
½
0
·
½
13
Þ Ò·1
Ò 0
ÞÒ
3Ò
3. Тогда функцию (7.10) представим в виде
· Þ1
2
Þ
1
1 3
Þ
· Þ1
полученный ряд сходится к
5*
1
1 3,
3, то оба ряда сходятся в этой области, поэтому
Þ
1
13 ¡
1
2и Þ
Þ1
1·
1·
·
Þ
3
´Þµ при
Ò
·
Þ
· Þ2Ò ·
2
Ò
· Þ3Ò ·
Þ
3.
Á
·
·
½
Ò 0
3Ò 2Ò
Þ Ò·1
,
132
Ряд Лорана
[ Гл. 7
Выводы. Пусть функция ´Þ µ аналитична на плоскости за
исключением нескольких изолированных особых точек.
1. Пусть Þ0 — точка аналитичности ´Þ µ. Разложить ´Þ µ
в ряд Лорана по степеням Þ Þ0 . Проведем окружности с центром в точке Þ0 через все особые точки. Комплексная плоскость
будет разделена на области:
Ö1 , окружность
а) круг сходимости ряда Тейлора Þ Þ0
Þ Þ0
Ö1 проходит через ближайшую к точке Þ0 особую точку
(таких особых точек может быть несколько),
б) круговые кольца, в которых функция ´Þ µ разлагается в ряд
Лорана. Коэффициенты разложения Ò в общем случае находятся по формуле (7.8), в частных случаях проще находить
с помощью стандартных разложений 1 – 8 из § 6.11.
2. Пусть Þ0 особая точка функции ´Þ µ. В этом случае
применяем теорему разложения функции в ряд Лорана в вырожÞ Þ0
Ö1 .
денном круговом кольце 0
3. Пусть ´Þ µ — правильная дробно-рациональная функция
Þ Ñ · 1 Þ Ñ 1 · · Ñ
, Ñ Ò
Ò
Ò 1 · ·
Ò
0Þ · 1Þ
Известно, что любую правильную дробно-рациональную
функцию Þ можно разложить на сумму простейших дробей
×
вида
´Þ Þ× µÒ× , где × — некоторые числа, Þ× — корни многочлена
в знаменателе кратности Ò× .
Разложение данной функции Þ в ряд Лорана сводится к
´Þµ
0
´µ
´µ
×
разложению в ряд Лорана простейших дробей
. См.
´
Þ Þ× µÒ×
решение примера 1.
1
в ряд ЛоП р и м е р 2 . Разложить функцию ´Þ µ × Ò
Þ 2
рана в окрестности точки Þ0 2.
Решение. Функция ´Þ µ аналитична в кольце 0
Þ 2
·½. Для ее разложения в ряд Лорана применяем стандартный
1
:
ряд 3 из § 6.11, в котором Þ заменяем на
Þ 2
× Ò Þ 1 2
1 ·
Þ 2 3 ´Þ 2 µ
1
3
·
½
´ 1µ ´2 · 1µ ´1Þ 2µ
0
функцию ´Þ µ
Ó× ÞÞ 12
2
·1
Á
П р и м е р 3 . Разложить
в ряд
Лорана по степеням Þ 2.
Þ 2
Решение. Функция ´Þ µ аналитична в кольце 0
·½, поэтому она разлагается в ряд Лорана в этом кольце.
7.3 ]
Особые точки и их классификация
133
Ó× ÞÞ 12 :
Преобразуем
Ó× ÞÞ 12
Ó× 1 ¡ Ó× Þ 1 2 × Ò 1 ¡ × Ò Þ 1 2
Ó× 1 · Þ 1 2
1
1
Для функций Ó×
и ×Ò
применяем соответственно
Þ 2
Þ 2
стандартные ряды Тейлора 2 и 3 из § 6.11, заменяя Þ на
Ó× Þ 1 2
× Ò Þ 1 2
1 1
Þ 2
Тогда
1
2 ´Þ 2µ2
1
3 ´Þ 2µ3
·
·
· ´ 1µÒ ´2Òµ ´Þ1 2µ Ò ·
Ó× 1 ¡
:
,
2
· ´ 1µÒ ´2Ò · 1µ ´1Þ 2µ Ò· ·
2
1
·
´ 1µÒ 2Ò
Ò 0 ´2Òµ ´Þ 2µ
·
Ò
× Ò 1 ¡ ´2Ò · 1´µ ´1Þµ 2µ2Ò·1
Ò 0
Ó× ÞÞ 12
1
Þ 2
½
½
· × Ò 1 · ´Ò · 1µ
½
Ò 0
Ò ´Þ 2µÒ
7.3. Особые точки и их классификация
´µ
2
Á
´µ
Пусть функция Þ , аналитическая в кольце 0
Þ Þ0
Ê, в самой точке Þ0 не является аналитической. Точка Þ0
называется изолированной особой точкой функции
Þ По
теореме Лорана функция Þ разлагается в этом кольце в ряд
Лорана (7.4). Ряд (7.4) используется для классификации изолированных особых точек. Различают три типа изолированных
особых точек функции.
Определение 1. Изолированная особая точка Þ0 функции
Þ называется устранимой особой точкой, если в ряде Лорана нет коэффициентов при отрицательных степенях Þ Þ0 ,
т. е. ряд Лорана не содержит главной части.
Определение 2. Изолированная особая точка Þ0 функции
Þ называется полюсом, если множество отличных от нуля
коэффициентов при отрицательных степенях Þ Þ0 в ряде (4)
конечно, т. е. главная часть ряда Лорана содержит конечное
число слагаемых.
Определение 3. Изолированная особая точка Þ0 функции
Þ называется существенно особой точкой, если в ряде Лорана (7.4) множество отличных от нуля коэффициентов при
отрицательных степенях Þ Þ0 бесконечно, т. е. главная часть
ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых.
´µ
´µ
´ µ
´µ
´ µ
´µ
´ µ
134
Ряд Лорана
[ Гл. 7
А. Для устранимой особой точки Þ0 ряд Лорана (7.4), согласно определению 1, имеет вид
·
´Þµ
½
Ò 0
´ Þ0µÒ
Ò Þ
0
· 1 ´Þ Þ0µ · 2 ´Þ Þ0µ2 ·
(7.11)
Ряд (7.11) является степенным рядом, сходящимся в кольÞ Þ0
Ê к аналитической функции ´Þ µ. Так как
це 0
Ð Ñ ´Þµ 0 , то, положив ´Þ0µ 0 , получим аналитическую
Þ Þ0
´Þµ в открытом круге Þ Þ0 Ê.
× Ò Þ . Показать, что изоП р и м е р 1 . Дана функция ´Þ µ
Þ
функцию
лированная особая точка Þ0
точкой.
При Þ 0
× ÒÞ
Þ Þ
Þ3
3
0 является устранимой особой
5
· Þ5 Þ
1 Þ2
3
2Ò 2
· Þ5 · ´ 1µÒ 1 ´2ÞÒ 1µ ·
4
По определению 1 точка Þ0 0 — устранимая особая точка.
× Ò Þ 1, то, положив ´0µ 1, получим аналитичеТак как Ð Ñ
Þ 0 Þ
скую функцию в точке Þ0 0. Á
Теорема 1. Для того чтобы Þ0 была устранимой особой
Þ Þ0
точкой функции ´Þ µ, аналитической в кольце 0
Ê, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный
предел
Ð Ñ ´Þµ
(7.12)
Þ Þ0
Доказательство.
Необходимость. Если Þ0 устранимая особая точка, то спра.
ведливо разложение (7.11), из которого Ð Ñ ´Þ µ
0
Þ Þ0
Достаточность. Так как дано (7.12), то функция ´Þ µ ограÅ . Пусть окружность Þ Þ0
Æ
ничена в кольце, т. е. ´Þ µ
принадлежит кольцу 0
Þ Þ0
Ê. Оценим коэффициенты
1, 2, , главной части ряда Лорана (см. формулу
Ò, Ò
(7.8)):
Ò
¬¬
¬¬ 1
2
Á
Þ Þ0 · Æ
¬¬
¬
´ Þ µÒ· ¬
´µ
0
1
2
1
Á
Þ Þ 0 · Æ
´µ¡
Þ Þ0 Ò·1
1
2 Æ
Å Ò·1
2
Æ
Å
ÆÒ
7.3 ]
Особые точки и их классификация
135
Так как 0 Æ
Ê, где Æ — любое, то при Æ
0 получим
0, Ò 1, 2,
. А это означает, что в ряде Лорана (7.4)
отсутствует главная часть, т. е. Þ0 — устранимая особая точка. ¤
В. Пусть точка Þ0 является полюсом функции ´Þ µ, т. е.
в главной части ряда Лорана имеется лишь конечное число
отличных от нуля коэффициентов Ò . В этом случае ряд Лорана
имеет вид
Ò
´Þµ
1
´ Þ0µÒ ·
·
½
´ Þ0µÒ ,
0
(7.13)
Число Ñ называется порядком полюса Þ0 , особая точка Þ0 —
1, то полюс Þ0 называется
полюсом порядка Ñ. Если Ñ
простым.
Теорема 2. Для того чтобы изолированная особая точÞ Þ0
ка Þ0 функции ´Þ µ, аналитической в кольце 0
Ê, была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы
Ð Ñ ´Þµ ·½.
Ò
Ñ
Ò Þ
Ò 0
где
Ò Þ
Ñ
Þ Þ0
Доказательство.
Необходимость. Пусть Þ0 — полюс функции ´Þ µ, тогда справедливо разложение (7.13). Умножим обе части равенства (7.13)
на ´Þ Þ0 µÑ :
´Þ Þ0µÑ ´Þµ
Ñ
·
´ Þ0µ · · 1 ´Þ Þ0µÑ 1 ·
·
Ò·Ñ
,
0
·
Ò ´Þ Þ0 µ
Ñ
Ñ·1 Þ
½
Так как
Ð Ñ ´Þ Þ0µÑ ´Þµ
Ò 0
Ñ , то точка Þ0 является
Þ Þ0 Ñ Þ . Расустранимой особой точкой функции Þ
Ñ
смотрим модуль
Þ
Þ Þ0
Þ , который, очевидно,
:
больше любого числа Ð
Ñ
Ð
Ñ
Þ Þ0
Þ
Ð, т. е
Þ
Þ Þ0 Ñ
Þ Þ0
´µ
¡ ´µ
´µ ´ µ
¡ ´µ
´µ
´µ
Из полученного неравенства следует, что
Ð Ñ ´Þµ ·½
Þ Þ0
Достаточность. Пусть
Å
0
Æ
0
Ð Ñ ´Þµ ·½, т. е.
´ Þ Þ0 Æ µ ´Þµ
Þ Þ0
Å
µ
В окрестности Þ Þ0
Æ рассмотрим функцию ³´Þ µ
1
´Þµ , которая в этой окрестности является аналитической.
136
Ряд Лорана
[ Гл. 7
Разложим ³´Þ µ в ряд Тейлора по степеням
´Þ Þ0µÑ ´Þµ, ´Þ0µ 0.
Тогда
´Þµ
·
1
1
³´Þ µ
´Þ Þ µÑ ¡ ´Þµ ´Þ Þ µÑ Ò
1
1
0
½
0
0
´Þ Þ0µ: ³´Þµ
´ Þ0µÒ ,
Ò Þ
0
0
Следовательно,
´Þµ ´Þ 1Þ µÑ ´ 0 · 1 ´Þ Þ0µ · · Ò ´Þ Þ0µÒ · µ
·
Ò
Ñ ·
·
·
·
Ò·Ñ ´Þ Þ0 µ
Ñ
´Þ Þ µ
Þ Þ
´Þ Þ µÑ 0
1
0
0
½
1
1
0
0
Ò 0
и точка Þ0 является полюсом порядка Ñ функции ´Þ µ (см.
определение 2). ¤
Теорема 3. Для того чтобы точка Þ0 была полюсом порядка Ñ функции ´Þ µ, необходимо и достаточно, чтобы она
1
была нулем кратности Ñ функции ³´Þ µ
´Þµ .
Доказательство.
Необходимость. Если Þ0 — полюс порядка Ñ функции ´Þ µ,
то
´Þµ ´Þ ÞÑ µÑ ·
· Þ Þ · 0 · 1 ´Þ Þ0µ ·
1
Ñ 1
· 0 ´Þ Þ0µÑ ·
´Þ Þ µÑ Ñ · · 1 ´Þ Þ0 µ
· 1 ´Þ Þ0µÑ·1 ·
Введя обозначение ³´Þ µ
· 1 ´Þ Þ0µÑ 1 · ,
Ñ·
³´Þ µ
получим ´Þ µ
´Þ Þ µÑ , где ³´Þ µ — аналитическая функция
1
0
0
0
0
в точке Þ0 . Функция
1
³´Þ µ
0
1
³´Þ µ
также аналитична в точке Þ0 , поэтому
· 1 ´Þ Þ0µ ·
Следовательно,
´Þ Þ0 µÑ
1
´Þµ
³´Þ µ
´Þ Þ0µÑ ´
0
· Ò ´Þ Þ0µÒ ·
· 1 ´Þ Þ0µ ·
т. е. Þ0 нуль кратности Ñ функции
1
´Þµ .
· Ò ´Þ Þ0µÒ · µ ,
7.3 ]
Особые точки и их классификация
137
Достаточность. Если Þ0 нуль кратности Ñ функции
то по формуле (6.14) из § 6.8. имеем
1
´Þµ
Функция
1
´Þµ ,
´Þ Þ0µÑ ´ 0 · 1 ´Þ Þ0µ · µ ´Þ Þ0µÑ ´Þµ
1
´Þµ
аналитична в точке Þ0 , поэтому
´Þµ ´Þ 1Þ µÑ ¡ ´1Þµ
0
1
´Þ Þ0 µÑ
· 1 ´Þ Þ0µ ·
´Þµ. ¤
0
,
т. е. Þ0 — полюс порядка Ñ функции
С) Если главная часть ряда Лорана имеет бесконечное число
слагаемых, то по определению точка Þ0 будет существенно особой точкой.
Ó× Þ 1 2 имеет существенно
П р и м е р 2 . Функция ´Þ µ
Þ 2
·½ ряд
особую точку Þ0 2, так как в области 0
Лорана:
Ó× Þ 1 2
1 1
2 ´Þ 2µ2
·
· ´ 1µÒ ´2Òµ ´Þ1 2µ Ò ·
2
содержит в главной части бесконечное число отличных от нуля
коэффициентов. Для существенно особой точки Þ0 справедливо
следующее утверждение.
Теорема 4 (теорема Сохоцкого Ю.В.). Если Þ0 — существенно особая точка функции ´Þ µ, то для любого комплексного
½ не исключается) существует тачисла ü (случай
кая последовательность точек ÞÒ , сходящихся к Þ0 , что
Ð Ñ ´ÞÒµ .
Ò
·
½
½ очевиден. Если бы
Д о к а з а т е л ь с т в о . Случай
Ð Ñ ´Þµ был конечен, то по теореме 1 точка Þ0 была бы
Þ Þ0
устранимой особой точкой. Пусть теперь
½. Покажем,
Þ0 , для которой
что существует последовательность ÞÒ
´ÞÒ µ
. Предположим противное. Если в любой окрестноÞ0 такую,
сти точки Þ0 нельзя найти последовательность ÞÒ
´ÞÒµ
, то существуют окрестность 0
Þ Þ0
Æ
что
и положительное число þ такие, что ´Þ µ при 0
Þ Þ0
Æ.
1
Введем функцию ³´Þ µ
´Þµ . Функция ³´Þ µ1 ограниче1
Þ Þ0
Æ , ибо ³´Þ µ
.
на в окрестности 0
´Þ µ Þ Þ0
Æ . Из
Следовательно, ³´Þ µ аналитична в кольце 0
138
Ряд Лорана
[ Гл. 7
теоремы 1 следует, что Þ0 является устранимой особой точ,
½. Из определения
кой функции ³´Þ µ, т. е. Ð Ñ ³´Þ µ
Þ Þ0
функции ³´Þ µ следует, что
Если
´Þµ
· ³´1Þµ
0, то Ð Ñ ´Þ µ
½ и по теореме 2 точка Þ0
Þ Þ
полюсом для функции ³´Þ µ. Если
0, то
· 1 и по теореме 1 точка Þ0 была бы устранимой
0
являлась бы
Ð Ñ ´Þµ
Þ Þ0
особой точкой. Полученные результаты противоречат условию
данной теоремы. ¤
Справедлива теорема, обратная теореме Сохоцкого.
¾ суТеорема 5. Если для любого заданного числа
Þ0 , что поществует такая последовательность ÞÒ
´ÞÒµ значений аналитической в кольце
следовательность
Þ Þ0
Æ функции ´Þ µ стремится к , то точка Þ0
0
является существенно особой точкой функции ´Þ µ.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению предела функция
´Þµ не имеет в точке Þ0 ни конечного, ни бесконечного предела.
Поэтому точка Þ0 не является ни устранимой особой точкой, ни
полюсом. Следовательно, Þ0 — существенно особая точка функции ´Þ µ. ¤
1 Þ имеет суП р и м е р 3 . Показать, что функция ´Þ µ
щественно особую точку Þ0 0.
Решение. Пусть Þ Ü. Так как Ð Ñ 1 Ü 0 и Ð Ñ 1 Ü
Ü
·½,
Ü
0
·0
то функция 1 Þ не имеет предела в точке Þ0 0. По
теореме 5 точка Þ0 0 — существенно особая точка. Ряд Лорана
Þ
·½ имеет вид
в кольце 0
Þ
1
1·
1
Þ
· 2 1Þ ·
2
· Ò 1ÞÒ ·
Á
Выводы. 1. Тип особой точки определяется совокупностью
членов с отрицательными степенями ´Þ Þ0 µ в ряде Лорана (7.4)
разложения функции ´Þ µ в окрестности особой точки Þ0 .
Ряд
·È
½
Ò 1
´ Þ0 µ
Ò Þ
Ò называется главной частью лоранов-
ского разложения (7.4). Ряд с неотрицательными членами в ряде
(7.4) называется правильной частью ряда Лорана. Главная или
правильная части ряда Лорана (7.4) могут иметь и конечное
число слагаемых или отсутствовать вовсе.
7.4 ]
Разложение аналитической функции в ряд Лорана
2. Изолированная особая точка Þ0 функции
½;
1) устранимой, если Ð Ñ ´Þ µ
139
´Þµ является
Þ Þ0
Ð Ñ ´Þµ ·½ ;
3) существенно особой точкой, если Ð Ñ ´Þ µ не существуÞ Þ
2) полюсом порядка Ñ, если
ет.
Þ Þ0
0
7.4. Разложение аналитической функции в ряд
Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки
Пусть функция ´Þ µ аналитична в области Þ
Ê за ис½,
ключением, быть может, бесконечно удаленной точки Þ
Ê 0 — радиус круга с центром в начале координат, множество
Þ
Ê — окрестность точки Þ ½.
1
. Точка Þ ½
Введем дробно-линейное преобразование Þ
перейдет в точку
0, окрестность точки Þ
½ перейдет
1
0, функция ³ ´ µ
будет анав окрестность точки
0 за исключением, быть
литической в окрестности точки
0.
может, самой точки
Определение. Бесконечно удаленная точка Þ ½ называется
устранимой особой точкой, полюсом порядка Ñ или существенно
особой точкой функции ´Þ µ, если точка
0 соответственно
является устранимой особой точкой, полюсом порядка Ñ или
1
существенно особой точкой функции
Разложим функцию ³ ´
³
´µ
µ в окрестности
·
Ò
½
·
Ò
0 в ряд Лорана:
Ò
Ò
(7.14)
½
Возвращаясь к старой переменной Þ
´Þµ
.
1
½
½
ÒÞ
, получаем
Ò
(7.15)
Разложение (7.15) называется разложением функции ´Þ µ
в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки
Þ ½.
Сравнивая разложения (7.14) и (7.15), заключаем, что роли
членов с положительными и отрицательными степенями меняются между собой. Следовательно, главной частью лорановского
140
Ряд Лорана
[ Гл. 7
разложения в окрестности Þ ½ является совокупность членов
с положительными степенями, правильной частью — оставшаяся
часть ряда (7.15).
Выводы. 1. Если в разложении (7.15) отсутствуют коэффициенты при положительных степенях Þ , то бесконечно удаленная
точка является устранимой особой точкой функции ´Þ µ.
2. Если в лорановском разложении (7.15) множество отличных от нуля коэффициентов при положительных степенях Þ
конечно (бесконечно), то бесконечно удаленная точка Þ
½
является полюсом (существенно особой точкой) функции ´Þ µ.
Очевидно, что для устранимой особой точки, полюса и существенно особой точки соответственно Ð Ñ ´Þ µ
«
½,
Þ ½
Ð Ñ ´Þµ ·½, Ð Ñ ´Þµ не существует.
Þ
Þ
½
½
П р и м е р ы . Определить тип особой точки Þ
1
. В окрестности Þ
Пример 1. Û
5·Þ
функцию в ряд Лорана:
1
5·Þ
1
Þ 1·
1
5
Þ
Þ
1 ½.
5 разложим
· Þ5 Þ5 ·
Þ
5
2
3
2
3
Ò
Þ5 ·
Þ
· ´ 1µÒ Þ5Ò· ·
1
1
2
В ряде Лорана отсутствуют члены с положительными степенями
Þ , поэтому точка Þ ½ является устранимой особой точкой. Á
П р и м е р 2 . ´Þ µ
Ó× Þ. Преобразованием Þ 1 получим
1
Ó× 1 . Разложим полученную функцию Ó× 1
рана в окрестности точки
Ó× 1
1 0:
1
2
в ряд Ло-
2
·
· ´ 1µÒ ´2Òµ1
2Ò
·
Возвращаясь к старой переменной Þ , получаем
Ó× Þ
1 Þ2
2
·
2Ò
· ´ 1µÒ ´Þ2Òµ ·
Ряд Лорана имеет бесконечно много членов с положительными степенями Þ , поэтому точка Þ ½ является существенно
особой точкой. Á
7.5 ]
Целые и мероморфные функции
141
7.5. Целые и мероморфные функции
Определение 1. Целой функцией называется функция ´Þ µ,
аналитическая на комплексной плоскости .
точка Þ
½
На расширенной комплексной плоскости
является единственной особой точкой. Лорановское разложение
Ê точки Þ ½ в общем случае имеет
в любой окрестности Þ
вид
·½
Ò
´Þ µ
(7.16)
ÒÞ
Ò 0
Возможны следующие частные случаи:
½ является устранимой особой точкой
1. Если точка Þ
функции ´Þ µ, то ´Þ µ
0 , т. е. целая функция является постоянной.
½ есть полюс порядка Ñ, то ´Þµ
2. Если точка Þ
Ñ
È
Ò 0
Ò
Ò Þ , т. е. целая функция является полиномом (целая ра-
циональная функция).
3. Если точка Þ ½ — существенно особая точка функции
´Þµ, то имеет место общий случай (7.16).
Целая функция, для которой Þ ½ является существенно
особой точкой, называется целой трансцендентной функцией.
П р и м е р 3 . Функции × Ò Þ , Ó× Þ , Þ являются целыми
трансцендентными функциями (см. пример 2).
Определение 2. Функция ´Þ µ, аналитическая в области
всюду, кроме полюсов, называется мероморфной в .
× Ò Þ , Ø Þ Ó× Þ мероморфП р и м е р 4 . Функции Ø Þ
Ó× Þ
× ÒÞ
ны на комплексной плоскости . Мероморфную функцию ´Þ µ
можно представить в виде частного двух целых функций:
´Þµ ³´´ÞÞµµ . Действительно, нули функции ´Þµ являются полюсами функции ´Þ µ.
Частным классом мероморфных функций является дробнорациональная функция
Þ Ò · 1 Þ Ò 1 · · Ò
,
0,
0
0
0
Ñ · Þ Ñ 1 · ·
1
Ñ
0Þ
На комплексной плоскости
полюсами функции Þ являются нули знаменателя. На расширенной комплексной плоскости
добавляется особая точка Þ
, которая является полюсом
Ñ и устранимой особой точкой при
порядка Ò Ñ при Ò
Ò Ñ.
´Þµ
0
´µ
½
142
Ряд Лорана
[ Гл. 7
7.6. Задачи для самостоятельной работы
2Þ · 1
в ряд Лорана по стеÞ2 · Þ 2
1; б) 1
Þ
2;
пеням Þ в следующих областях: а) Þ
Þ
.
в) 2
1. Разложить функцию Û
·½
1
2. Разложить в ряд Лорана функцию Û
в окрестности точки: а) Þ0 0; б) Þ ½.
Þ 2
по степеням Þ
1
Þ 5Þ · 6
3. Разложить в ряд Лорана функцию Û
в окрест-
2
ности точки: а) Þ0 0, б) Þ0 2.
4. Найти особые точки на комплексной плоскости
делить их тип у следующих функций:
Þ 1
× ÒÞ
1
; б) Û
а) Û
2Þ
ÐÒ ´1 · Þµ ; в) Û Þ3 Þ5 ;
1
× ÒÞ;
1
Þ ; е) Û
; д) Û
г) Û
2
Þ4
´Þ · µ ´Þ · 5µ
и опре-
Þ 1
.
Þ ´1 Ó× Þ µ
для функций:
5. Определить тип особой точки Þ
3
6
2
2
Þ
3Þ 2Þ ·
Þ
а) 3
; б) 3
; в) 4
; г) Þ Þ 2 ; д)
Þ ; е)
Þ ·1
Þ 4
Þ · Þ2 · 2
Ñ 1
,
0, Ñ — постоянные.
ж) 0 Þ Ñ
Ñ;
1Þ
ж) Û
½
·
·
×Ò
·
Ó× Þ;
7.7. Ответы
1. См. решение примера 1 из § 7.2.
12 54 Þ 78 Þ2 17
Þ3 · ;
16
·È 1 1 ·È ÞÒ
б)
· 2 2Ò ; в) Þ2 Þ1 · Þ5 Þ7 ·
ÞÒ
а)
½
½
Ò 1
Ò 0
2. а)
12
1
Þ 2
2
1
1 4
3
.
Ò 1
12 1 · Þ2 · 2Þ 2 ·
Þ
· Þ2Ò ·
1
2
2
.
Разложение в ряд Лорана содержит только правильную часть,
радиус сходимости Ê 2;
2 точки Þ ½ функция Û аналитическая;
б) в окрестности Þ
разложим ее в этой окрестности по степеням Þ :
1
Þ 2
1
1
Þ 1 2
Þ
1
Þ
·
½
Ò 0
2Ò
ÞÒ
·
½
Ò 0
2Ò
Þ Ò ·1
7.7 ]
Ответы
143
3. а) Функция Û имеет две особые точки: Þ1
Представим Û в виде суммы простых дробей: Û
2 и Þ2
1
1
3.
.
Þ 3
Þ 2
2;
Разложения будут различными для областей: 1) в круге Þ
Þ
3; 3) в кольце 3
Þ
— окрестности
2) в кольце 2
.
точки Þ
Найдем ряды Лорана функции Û в каждой области.
2 функция Û — аналитическая и разлагается
1) В круге Þ
в ряд Тейлора:
·½
½
Û
1
Þ 3
Þ 1 2
1
2 Þ
3 1 Þ
1
2
·
½
Ò 0
1
2 1 ÞÒ
2Ò
·
1
3
Þ
2
½
Ò 0
1
3 1 ·
ÞÒ
3
3Ò·1 2Ò·1 Ò
Þ
6Ò·1
½
3Ò
Þ
Ò 0
(главная часть ряда Лорана отсутствует).
Þ
3 ряд Лорана функции Û будет иметь
2) В кольце 2
вид
·½ ÞÒ ·½ 2Ò
1
1
1
1
Û
ÞÒ·1 ,
2
Þ 3 Þ 2
3Ò·1
3 1 Þ3
Þ 1 Ò 0
Ò 0
Þ
присутствуют правильная и главная части ряда Лорана.
Þ
3) Получим ряд Лорана функции Û в окрестности 3
·½ точки Þ ½:
Û
1
Þ 3
Þ 1 2
1
Þ 1 3
Þ
1
Þ 1 ·
½
Ò 0
2
Þ
3Ò
Þ Ò·1
·
½
Ò 0
·
2Ò
½
Þ Ò·1
Ò 0
3Ò 2Ò
Þ Ò·1
;
б) Þ0 2. Областью сходимости ряда Лорана является кольцо
Þ 2
1(проколотая окрестность точки Þ0 2µ, разложе0
ние будет по степеням ´Þ 2µ:
Û
Þ 1 2
Þ 3
1
1
´Þ 2µ 1
Þ 1 2 ·
½
Ò 0
´Þ 2µÒ Þ 1 2
·
Ò
½
1
´Þ 2µÒ
4. а) Решение. Особой точкой функции Û является точка
Þ0 0.
Þ 1
Þ
1
Ð
Ñ
. Следовательно, Þ0
0—
Имеем Ð Ñ
2
Þ 0 2
Þ 0 2Þ
устранимая особая точка.
144
Ряд Лорана
[ Гл. 7
б) Þ0 0 — устранимая особая точка.
в) Решение. Найдем нули функций
1
Þ 3 Þ 5 , Þ 3 Þ 5 0; Þ 3 1 Þ 2
0,
Û
Þ1
0 — нуль кратности × 3, Þ2
1, Þ3
1 — простые нули. По теореме о связи между нулями и полюсами функции
(теорема 3 § 7.3), точка Þ1 0 — полюс 3-го порядка, Þ2 1 и
Þ3
1 — простые полюсы функции Û.
г) Þ
— полюс порядка два, Þ
5 — простой полюс.
— особая. Используя разложение Þ
д) Решение. Точка Þ0
·È
½
·È
½
1
ÞÒ
1
, получаем ряд Лорана Þ Ò
´
Þ
µÒ Ò , главная
Ò 0
Ò 0
часть которого содержит бесконечно много слагаемых. Следова— существенно особая точка.
тельно, Þ0
е) Þ0 0 — полюс третьего порядка.
ж) Þ0 0 — полюс второго порядка.
Ук а з а н и е . Подставив Þ
·È
½
0
´Þµ , где ´0µ
2
можно получить Û
Þ
ÞÒ
,
Ò
Ó× Þ
·È
½
0
2Ò
´ 1µÒ ´Þ2Òµ ,
0.
1
, сведем
5. а) Решение. Выполнив преобразование Þ
½ к изучеизучение функции Û в окрестности точки Þ
1
в окрестности точки
0. Функция
нию функции Û
Û
1
ки
0;
1
1 4
3
является аналитической в окрестности точ-
0 — устранимая особая точка функции Û
1
,
следовательно, Þ ½ — устранимая особая точка функции Û´Þ µ;
б) полюс третьего порядка;
в) нуль кратности два.
Ук а з а н и е . «а», «б», «в» можно решить, разложив Û в ряд
Лорана в окрестности точки Þ ½;
г) существенно особая точка;
д), е) — существенно особая точка;
ж) полюс Ñ-го порядка.
8.
ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
8.1. Определение вычета
Пусть функция ´Þ µ — аналитическая в области
за
исключением, быть может, точки Þ0 . Введем для этой функции
следующее определение.
Определение. Вычетом функции ´Þ µ в точке Þ0 называется
число, обозначаемое символом Ê × ´Þ0 µ и равное
Á
´Þµ Þ,
·
Ä
— произвольная кусочно-гладкая замкнутая жорданогде Ä
ва кривая, обходимая в положительном направлении и содержащая точку Þ0 внутри себя.
Вычеты обозначаются также следующими символами:
1
2
Ê × ´Þµ, Ö ×Þ ´Þµ, Ê × ´Þµ, Þ0
Þ Þ0
0
Таким образом, согласно определению,
Ê × ´Þ0µ
Á
´Þ µ Þ
(8.1)
·
Ä
При вычислении вычета функции Ä можно считать окружноÆ c достаточно малым радиусом Æ (см. теорему
стью Þ Þ0
Коши для многосвязной области, § 5.4).
Следует заметить, что в случае аналитичности функции ´Þ µ
в точке Þ0 вычет этой функции в точке Þ0 равен нулю (см.
теорему Коши для односвязной области, § 5.3). Поэтому теория
вычетов представляет интерес, если точка Þ0 является изолированной особой точкой функции ´Þ µ.
1
2
8.2. Основной прием вычисления вычета
Вычет функции ´Þ µ в изолированной особой точке Þ0 можно
найти по формуле (8.1), вычисляя интеграл по замкнутой кривой Ä.
На вычисление интегралов требуются определенные усилия и немалые затраты времени. Но вычет можно находить и более простым
способом, разлагая функцию в ряд Лорана в окрестности этой изолированной особой точки. Справедливо следующее утверждение.
146
Вычеты и их приложения
[ Гл. 8
Теорема. Вычет функции ´Þ µ в изолированной особой
точке Þ0 равен коэффициенту 1 ряда Лорана функции ´Þ µ
в окрестности точки Þ0 :
Ê × ´Þ0µ 1
(8.2)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Разложим функцию в ряд Лорана
в области 1 0
Þ Þ0
Æ,
:
1
´Þ µ
·
½
Ò
´ Þ0µÒ
(8.3)
Ò Þ
½
Так как в области 1 ряд Лорана сходится к ´Þ µ равномерно, то, интегрируя равенство (8.3) почленно по окружности Ä
´ Þ Þ0 Ƶ, получаем
¬
¬¬
Þ Þ0 Æ ³ , ¬¬
Á
Á
·½
¬
´Þµ Þ
´Þ Þ0µÒ Þ ¬¬ Þ Æ ³ ³, ¬¬
Ò
¬
¬0 ³ 2
Ò ½
Ä·
Ä·
·
2
½
Ò
Ò
½
Отсюда
1
1
2
Æ Ò·1
´Ò·1µ³
0
2
³
0
Á
Ä·
´Þµ
Þ
Ò
1,
Ò
1
1
Ê × ´Þ0µ , (см. формулу (8.1)) ¤
Таким образом, вычет ´Þ µ в особой точке Þ0
½ равен
коэффициенту 1 в ряде Лорана (8.3).
Если Þ0 — устранимая особая точка функции ´Þ µ, то
Ê × ´Þ0µ 0 (почему?).
Будем называть вычисление вычета по формуле (8.2) основным приемом вычисления вычета функции ´Þ µ в изолированной
особой точке Þ0 . Если коэффициент 1 отсутствует, т. е. нет
слагаемого ´Þ Þ0 µ 1 в ряде Лорана (8.3), то вычет функции
´Þµ в особой точке Þ0 равен нулю.
П р и м е р 1 . Найти вычет функции ´Þ µ Þ 1 Þ в особой
точке Þ0 0.
Решение.
Þ
· Þ1 · 2 1Þ · · Ò 1ÞÒ ·
1
Þ·1·
· 3 1Þ · · Ò Þ1Ò ·
2Þ
1
Þ
Þ 1
2
2
1
П р и м е р 2 . Найти вычет функции
ке Þ0 2.
1
Ê × ´0 µ
Á
1
2
´Þµ Þ Ó× Þ 1 2 в точ 8.3 ]
Вычисление вычета функции в полюсе
147
Решение.
Þ
Ó× Þ 1 2
´Þ 2 · 2µ Ó× Þ 1 2 ´Þ 2µ Ó× Þ 1 2 · 2 Ó× Þ 1 2
´Þ 2µ 1 2 ´Þ 1 2µ · · ´ 1µÒ ´2Òµ ´Þ1 2µ Ò · ·
2
2
· 2 1 2 ´Þ 1 2µ · · ´ 1µÒ ´2Òµ ´Þ1 2µ Ò ·
1
Коэффициент 1 при ´Þ 2µ 1 разложения ´Þ µ равен ,
2
1
т. е. Ê × ´2µ . Á
2
2
2
8.3. Вычисление вычета функции в полюсе
Из § 8.1 и 8.2 ясно, что вычет функции в точке Þ0 можно
найти по формулам (8.1) или (8.2). Но в случае полюса существует более простой способ вычисления вычета.
Рассмотрим сначала случай простого полюса Þ0 функции
´Þµ. Ряд Лорана (8.3) в этом случае имеет вид
´Þµ
1 · ·
Þ Þ
0
½
Ò 0
´ Þ0µÒ
Ò Þ
Умножив обе части этого соотношения на Þ
Þ0 :
предел при Þ
Ð Ñ ´Þ Þ0µ ´Þµ
Þ Þ
0
отсюда
1
ÐÑ
Þ Þ
Ê × ´Þ0µ
0
1
·
·
½
Ò 0
Þ0,
´ Þ0µÒ·1
Ò Þ
найдем
,
Ð Ñ ´Þ Þ0µ ´Þµ
(8.4)
Þ Þ0
³´Þ µ
´Þµ , ³ Þ0 0,
¼
Þ0
0,
Þ0
0, т. е. Þ0 является простым нулем функции
Þ . Применяем формулу (8.4):
³´Þ µ
Þ0
Þ Þ0
Þ
Þ Þ0
´Þ µ
Þ Þ0
Þ Þ0
Ð
Ñ
³´Þ µ
Þ Þ0
³´Þ µ
³ ´Þ0 µ
¼ ´Þ0 µ ,
´
Þ µ ´Þ0 µ
Þ Þ0 ´Þ µ ´Þ0 µ
Ð
Ñ
Þ Þ0
Þ Þ0
Þ Þ0
Рассмотрим теперь частный случай:
´ µ
´µ
Ê× ´ µ
´ µ
ÐÑ ´ µ ´ µ
ÐÑ
´Þ µ
ÐÑ ´ µ
´ µ
148
Вычеты и их приложения
т. е.
[ Гл. 8
³ ´Þ0 µ
¼ ´Þ0 µ
Ê × ´Þ0µ
(8.5)
´Þµ. Разложе-
Пусть точка Þ0 — полюс порядка Ñ функции
ние (8.3) в этом случае имеет вид
´Þµ ´Þ ÞÑ µÑ ·
· Þ Þ ·
1
0
0
·
½
Ò 0
´ Þ0µÒ
Ò Þ
Умножая обе части предыдущего равенства на ´Þ Þ0 µÑ , получаем
´Þ Þ0µÑ ´Þµ
Ñ
·
´ Þ0 µ · ·
·
·
Ñ·1 Þ
1
½
Ò 0
´Þ Þ0µÑ 1 ·
Ò·Ñ
Ò ´Þ Þ0 µ
Продифференцируем это равенство ´Ñ 1µ раз:
Ñ 1
Þ Ñ 1
´Þ Þ0µÑ ´Þµ
·
·
½
Ò 0
Отсюда при Þ
1
´Ñ 1µ
1
·
´ · ѵ ´Ò · Ñ 1µ ¡
Ò Ò
Þ0 найдем
1:
Ê × ´Þ0µ ´Ñ 1 1µ ÞÐ ÑÞ
0
Ñ 1
Þ Ñ 1
¡ ´Ò · 2µ ´Þ Þ0µÒ·1
´Þ Þ0µÑ ´Þµ
(8.6)
Þ
П р и м е р 1 . Найти вычет функции ´Þ µ
в особой
Þ 1
точке Þ0 1.
Решение. Точка Þ0 1 является простым полюсом функции
´Þµ. По формуле (8.4)
Ê × ´1µ
Þ
Ð Ñ ´Þ 1µ Þ 1 ÞÐ Ñ1
Þ Þ
Þ
1
Тот же результат получим, применив формулу (8.5).
Þ , ´Þ µ
Þ 1, находим
Действительно, обозначая ³´Þ µ
³ ´1µ
³ ´1 µ
, ´Þ µ Þ 1. По формуле (8.5) Ê × ´1µ
¼ ´1µ 1
.Á
Þ2
П р и м е р 2 . Найти вычет функции ´Þ µ
в особой
´Þ · 1µ3
точке Þ0 1.
8.4 ]
Вычет функции в бесконечно удаленной точке
149
Решение. Точка Þ0 1 полюс третьего порядка функции
´Þµ. По формуле (8.6) имеем
Ê × ´ 1µ
Ð Ñ1
1
2 Þ
2
Þ2
´Þ · 1µ3 ´Þ ·Þ 1µ
Ð Ñ1
2
1
2 Þ
3
Ð Ñ1 2
1
2 Þ
1
2
Þ2
¡2
¼¼
Á
1
8.4. Вычет функции в бесконечно удаленной точке
Пусть функция ´Þ µ аналитична в окрестности Þ
Ê за
исключением бесконечно удаленной точки Þ ½. Точка Þ ½
является изолированной особой точкой функции ´Þ µ.
Определение. Вычетом функции ´Þ µ в изолированной осо½ называется
число, обозначаемое символом
бой точке Þ
1 À
Ê × ´½µ и равное
´Þµ Þ, где Ä кусочно-гладкая заÄ 2
Ê
мкнутая жорданова кривая, принадлежащая окрестности Þ
бесконечно удаленной точки Þ ½ и обходимая в отрицательном направлении (по часовой стрелке). По отношению к точке
Þ ½ такой обход будем считать положительным.
Так как значение интеграла не зависит от кривой Ä, то за
£ радиусом £ Ê.
кривую Ä можно взять окружность Þ
Теорема. Вычет функции ´Þ µ в бесконечно удаленной точ½ равен коэффициенту 1 со знаком минус при Þ1
ке Þ
лорановского разложения функции ´Þ µ в точке Þ ½.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Ряд Лорана имеет вид
´Þµ
·
Ò
½
Ò
ÒÞ ,
Þ
Ê
½
Коэффициенты Ò ряда Лорана найдем по формуле (7.8) § 7.2,
из которой
Á
1
´Þµ Þ, £ Ê
1
2
Þ· £
Изменяя направление обхода окружности Þ
£ на противоположное, получаем, согласно определению, число
1
1
2
Á
Þ £
´Þµ
Þ
Ê × ´½µ
(8.7)
150
Вычеты и их приложения
[ Гл. 8
П р и м е р 1 . Найти вычет функции ´Þ µ, если бесконечно
удаленная точка ½ является устранимой особой точкой.
Решение. Для устранимой особой точки Þ ½ ряд Лорана
имеет вид
´Þµ
0
· Þ · Þ ·
1
· Þ ÒÒ ·
2
2
,
Þ
Ê
Чтобы найти коэффициент 1 , продифференцируем данное равенство:
¼
´Þµ Þ 21 2Þ 3 2 ÒÞÒ ·Ò1 · ,
затем умножим обе части равенства на Þ 2 и найдем предел при
Þ
½:
1 Ê × ´½µ Ð Ñ Þ2 ¼´Þµ
(8.8)
Þ
½
Из полученного равенства следует, что вычет функции
в устранимой особой точке Þ ½ может быть отличным от нуля.
В любой конечной устранимой особой точке, как ранее было
доказано, вычет всегда равен нулю. В этом состоит отличие
бесконечно удаленной особой точки от конечных особых точек
функции ´Þ µ.
1 Þ в бесконечно
П р и м е р 2 . Найти вычет функции ´Þ µ
удаленной особой точке ½.
Решение. Так как Ð Ñ 1 Þ 1, то Þ ½ является устраниÞ ½
мой особой точкой. Найдем вычет функции по формуле (8.8):
Ê × ´½µ
Ð Ñ Þ2
Þ
½
1
Þ
¼
Þ Ð Ñ Þ2 Þ1
2
½
1
1
Þ
Вычет можно найти и другим способом. Используя стандартное разложение 1 из § 6.11, получаем
· 2 1Þ · · Ò 1ÞÒ · , Þ 0
Отсюда Ê × ´½µ 1 по формуле (8.7). Á
П р и м е р 3 . Найти вычет ´Þ µ
Ó× Þ в точке Þ ½.
1
Þ
1·
1
Þ
2
Решение. Используем 2 из § 6.11:
2
Þ
2Ò
Ó× Þ 1 Þ2 · · ´ 1µÒ ´Þ2Òµ ·
Точка Þ ½ будет существенно особой точкой. Коэффициент
0, поэтому Ê × ´½µ 0. Á
1
Þ
П р и м е р 4 . Найти вычет функции ´Þ µ
в точке
Þ·2
½.
3
8.5 ]
Þ
Основная теорема о вычетах (теорема Коши о вычетах)
151
Решение. Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности
2:
Þ3
Þ3
Þ·2
1
Þ 1·
Þ2 1
2
Þ
Отсюда
Ò
Þ2 · Þ2 Þ2 ·
Ê × ´½µ 2
3
2
3
Á
8
1
· ´ 1µÒ Þ2Ò ·
8.5. Основная теорема о вычетах
(теорема Коши о вычетах)
Теорема 1 (теорема Коши). Если функция ´Þ µ аналитична в ограниченной области за исключением конечного числа
1, Ò, то
точек Þ ¾ ,
Á
´Þµ
Þ
´Þµ
Þ
Ò
1
Ò
Ê × ´Þ µ,
(8.9)
1
·
Ä
— произвольная кусочно-гладкая жорданова загде Ä
мкнутая кривая, содержащая внутри себя все особые точки
Þ ,
1, Ò.
¡
1, Ò
Д о к а з а т е л ь с т в о . Опишем окружности Ä
с центрами в особых точках Þ столь малых радиусов, чтобы Ä
не пересекались друг с другом и лежали внутри Ä.
По теореме Коши для многосвязной области (см. § 5.4) имеем
Á
Ä·
´Þµ
Þ
Ò Á
1
Ä·
2
1
2
2
2
2
Á
Ä·
Ò Á
1
´Þµ
Ä·
Þ
´Þµ
2
Þ
Ò
1
Ê × ´Þ µ ¤
Заметим, что в процессе решения нужно преодолеть трудности, связанные с вычислением интегралов. Основная теорема
о вычетах (формула (8.9)) позволяет найти тот же интеграл
с помощью простых операций вычисления вычетов по формулам
(8.2), (8.4)–(8.6).
П р и м е р 1 . Вычислить с помощью вычетов
Á
Þ
,
2
´
Þ
·
1
µ
Þ2 · 1
·
Ä
где Ä — окружность:
Ü2
· Ý 2 · 2Ü · 2Ý
0.
152
Вычеты и их приложения
[ Гл. 8
Решение. Особыми точками подынтегральной функции яв, Þ2
и полюс второляются два простых полюса Þ1
1. В области, ограниченной
окружностью
го порядка Þ3
Ä ´Ü · 1µ2 · ´Ý · 1µ2
2 с центром в точке Å0 ´ 1; 1µ, содержатся две особые точки Þ2 и
Þ3 1, третья особая точка находится вне Ä (рис. 8.1). По формуле
(8.9)
Á
´Þ · 1µ2
Ä·
Þ
Þ2 · 1
´Ê × ´Þ2µ · Ê × ´Þ3µµ
2
Найдем вычеты подынтегральной
и
функции в точках Þ2
Þ3 1. По формуле (8.4)
Рис. 8.1
Ê × ´ µ
ÐÑ
Þ
Þ·
´Þ · 1µ2
Ð Ñ ´Þ · 1µ1 ´Þ Þ
2
Ð Ñ ´Þ · 1µ ´ÞÞ·· µ ´Þ µ
1
1
1
´
2
µ
¡
2
4
µ
´ · 1 µ ¡ 2
Þ2 · 1
Þ
2
2
По формуле (8.6)
Ê × ´ 1µ
¼
ÐÞ Ñ1 ´Þ · 1µ2 ´Þ · 1µ 1´Þ · 1µ ÞÐ Ñ1 ´Þ 1· 1µ
ÞÐ Ñ1 ´Þ 2·Þ 1µ 24
2
2
2
¼
2
2
1
2
Таким образом,
Á
´Þ · 1µ2
Ä·
Þ
Þ2 · 1
2
14 · 12
2
Á
Теорема 2 (теорема о сумме вычетов). Если функция ´Þ µ
аналитична на расширенной комплексной плоскости
за
исключением конечного числа изолированных особых точек
Þ1 , Þ2 ,
, ÞÒ , ÞÒ·1 ½, то сумма вычетов во всех особых точках равна нулю:
Ò·1
1
Ê × ´Þ µ
0
(8.10)
8.6 ]
Логарифмический вычет
153
Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем окружность Þ
большого радиуса Ê, чтобы все особые точки Þ ,
лежали внутри окружности. По формуле (8.9)
Á
Þ· Ê
´Þµ
Þ
Ò
2
1
Ê × ´Þ µ
À
´Þµ
Ê × ´½µ 21
Þ Ê
Ê × ´½µ. Таким образом,
По определению из § 8.4
сюда
À
Þ· Ê
Ò
2
1
где
´Þµ
Þ
2
Ê столь
1, Ò,
Ê × ´Þ µ 2 Ê × ´½µ ,
Ê × ´ÞÒ·1µ Ê × ´½µ.
П р и м е р 2 . Вычислить
Á
Þ·
т. е.
1
Þ Þ
2
Ò·1
´Þ2 · 1µ´Þ 1µ
Þ , от-
Ê × ´Þ µ
0,
.
лежат внутРешение. Особые точки Þ1 1, Þ2 ,Þ3
ри окружности Þ
2. Используя формулу (8.10), получаем
Ò
È
Ê × ´Þ µ Ê × ´½µ.
1
Если особых точек внутри Ä несколько, то наиболее экономным способом вычисления интеграла будет его вычисление
через вычет в бесконечно удаленной точке ½. Подынтегральную
2 в ряд Лорана в точке
функцию разложим в окрестности Þ
Þ ½ (несколько первых слагаемых ряда Лорана можно найти,
разделив «уголком» числитель на знаменатель):
Þ
1
·1·
´Þ2 · 1µ´Þ 1µ Þ2 Þ3
Коэффициент 1 0, поэтому Ê × ´½µ 0. Следовательно,
данный интеграл равен нулю. Á
8.6. Логарифмический вычет
Пусть функция ´Þ µ — аналитическая в области
всюду,
кроме конечного числа изолированных особых точек. Функция
¼
´Þµ ´´ÞÞµµ
(8.11)
называется логарифмической производной функции ´Þ µ.
154
Вычеты и их приложения
[ Гл. 8
Определение. Логарифмическим вычетом функции ´Þ µ
в точке Þ0 ¾
называется вычет в этой точке логарифмической
производной функции ´Þ µ.
Очевидно, что логарифмический вычет функции ´Þ µ в точке
Þ0 , в которой ´Þ0 µ 0, равен нулю. Поэтому представляют интерес нули и особые точки функции, в которых логарифмическая
производная будет иметь особые точки.
Теорема 1. Если аналитическая функция ´Þ µ имеет
в точке Þ0 нуль кратности Ñ, то ее логарифмическая производная (8.11) в этой точке имеет простой полюс.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Разложим функцию ´Þ µ в ряд Тейлора в точке Þ0 . Согласно формуле (8.14) из § 6.8 имеем:
´Þµ ´Þ Þ0µÑ ³´Þµ, где ³´Þµ Ñ · Ñ·1 ´Þ Þ0µ · , при0. Найдем
чем ³ ´Þ0 µ
Ñ
´Þµ
¼ ´Þ µ
´Þµ
Ñ
³¼ ´Þ µ
Þ Þ0
³´ Þ µ
Ñ
Þ ,
Þ Þ0
Ñ´Þ Þ0 µÑ 1 ³´Þ µ · ´Þ Þ0 µÑ ³¼ ´Þ µ
´Þ Þ0 µÑ ³´Þµ
Ñ
Ñ·1 · 2 Ñ·2 ´Þ Þ0 µ ·
Þ Þ0
Ñ · Ñ·1 ´Þ Þ0 µ ·
·
·
· ´µ
где ´Þ µ — аналитическая функция. Отсюда следует, что точка
Þ0 — простой полюс. ¤
Следствие 1. В нуле Þ0 кратности Ñ аналитической функции ´Þ µ ее логарифмический вычет равен кратности нуля, т. е.
равен Ñ.
Ñ
· ´Þµ, то
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как ´Þ µ
Þ Þ0
¼
Ê × ´´ÞÞµµ Ñ
Теорема 2. Если Þ0 — полюс функции ´Þ µ порядка Ñ, то
ее логарифмическая производная (8.11) в этой точке имеет
простой полюс.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Разложим функцию ´Þ µ в ряд Лорана
в окрестности особой точки Þ0 :
´Þµ ´Þ ÞÑ µÑ · ´Þ ÞÑ·µÑ ·
1
0
0
где
´µ
причем ³ ´Þ0 µ
³ Þ
Ñ
·
Ñ
1
· Þ Þ ·
´ Þ0µ ·
Ñ·1 Þ
0.
1
0
·
½
Ò 0
´ Þ0µÒ
Ò Þ
´ Þ0µ2 ·
Ñ·2 Þ
³´Þ µ
´Þ Þ0 µÑ ,
,
8.6 ]
´Þµ
Логарифмический вычет
155
³¼ ´Þ µ ´Þ Þ0 µÑ Ñ ´Þ Þ0 µÑ 1 ³´Þ µ ´Þ Þ0 µÑ
³´Þ µ
´Þ Þ0 µ2Ñ
Ñ
Ñ
³¼ ´Þ µ
³´Þ µ
Þ Þ0
Þ Þ0
¼ ´Þ µ
´Þµ
· ´Þµ,
´Þµ — аналитическая функция. ¤
где
Следствие 2. В полюсе порядка Ñ особой точки Þ0 функции
´Þµ ее логарифмический вычет равен порядку полюса со знаком
минус:
Ê × ´Þ0µ Ñ
Доказательство очевидно.
П р и м е р . Найти логарифмический вычет функции
Þ2 · 4
в нулях и полюсах.
´Þ 2µ3 ´Þ · 1µ
Решение. Найдем нули функции:
´Þµ
0
µ
Þ2
·4
0
µ
— простые нули.
Найдем полюсы: ´Þ 2µ3 ´Þ · 1µ 0
рядка Ñ 3, Þ4 1 — простой полюс,
мическая производная функции
´Þµ.
Ê × ´2 µ Ê × ´ 2 µ 1
Ê × ´2µ 3, Ê × ´ 1µ 1
2,
Þ1
Þ2
´Þ µ
2
µ Þ3 ¼ 2 — полюс по´Þµ ´´ÞÞµµ — логариф-
(см. следствие 1),
(см. следствие 2)
Á
Теорема 3 (о логарифмическом вычете). Пусть функция
аналитична в односвязной области
за исключением конечного числа полюсов и пусть Ä
— произвольная
жорданова замкнутая кусочно-гладкая кривая, не проходящая через особые точки. Если внутри замкнутого контура Ä
имеются Ñ нулей Þ кратности
и Ò полюсов
порядка
, то логарифмический вычет функции ´Þ µ по контуру Ä
вычисляется по формуле:
´Þµ
1
2
Á
Ä·
¼´Þµ
´Þµ
Þ
Ñ
1
Ò
× 1
×
Æ
È,
(8.12)
где Æ и È — соответственно число нулей и полюсов функции
´Þµ внутри контура Ä (с учетом их кратности и порядка).
156
Вычеты и их приложения
[ Гл. 8
Д о к а з а т е л ь с т в о . Нули Þ ,
1, Ñ, и полюсы ,
1, Ò, являются простыми полюсами логарифмической производной (8.11). По основной теореме 1 о вычетах из § 8.5
Á
1
2
Ä·
´Þµ
Ñ
Þ
1
Ê × ´Þ µ ·
Ò
× 1
Ê× ´ µ
Согласно следствиям 1 и 2 соответственно имеем
Ê × ´Þ µ
Ê× ´ µ ,
1, Ñ;
,
1, Ò
Следовательно,
1
2
Á
Ä·
´Þµ
Þ
Ñ
1
·
Ò
× 1
´ × µ
Æ
È ¤
8.7. Принцип аргумента
Пусть для функции ´Þ µ выполнены условия теоремы 3 из
предыдущего параграфа. Логарифмический вычет (8.12) запишем в виде
1
2
Á
Ä·
¼ ´Þ µ
´Þµ
Þ
1
2
Á
Ä·
ÄÒ ´Þµ
Þ
Þ
1
2
Á
Ä·
ÄÒ ´Þµ
Под знаком дифференциала находится ветвь многозначной
Ö ´Þµ. Так
логарифмической функции ÄÒ ´Þ µ ÐÒ ´Þ µ ·
как ÐÒ ´Þ µ является однозначной и непрерывной функцией,
то ветвь многозначной функции ÄÒ ´Þ µ можно выбрать, задав
значение Ö ´Þ µ в любой точке Þ0 ¾ Ä. Если Þ0 переходит
в какую-либо точку Þ1 ¾ Ä по контуру Ä, то
Ö ´Þ1µ Ö ´Þ0µ · ¡Ä Ö ´Þ0µ ,
´Þ0µ — приращение функции Ö ´Þµ при
переходе
где ¡Ä
точки Þ0 в точку Þ1 вдоль Ä в положительном направлении. При
обходе кривой Ä в положительном направлении от начальной
точки Þ0 до конечной точки Þ0 (один оборот) значения ÄÒ ´Þ0 µ
отличаются друг от друга до и после обхода аргументом. Пусть
начальное значение Ö ´Þ0 µ равно ³0 , конечное — ³1 . Тогда,
задав уравнение кривой Ä в виде Þ Þ ´Øµ, Ø ¾ «; ¬ , получим
8.8 ]
Теорема Руше
(начальной точке Þ0 соответствует Ø
1
2
Á
Ä·
ÄÒ ´Þµ
ÄÒ
· Ö
1
2
¬
1
2
«
157
µ
« :
ÄÒ ´Þ ´Øµµ
´ µ ÄÒ
Þ ´¬ µ ÐÒ
´ µ 21 ÐÒ Þ ´¬ µ ·
Þ ´«µ Ö Þ ´«µ
1
¡Ä Ö ´Þ0µ ³ 2 ³
2
Þ ¬
Þ «
1
0
Используя (8.12), получаем равенство
Æ
È
1
2
¡Ä Ö ´Þµ,
(8.13)
которое называется принципом аргумента.
Таким образом, принцип аргумента (равенство (8.13)) формулируется следующим образом: разность Æ È числа нулей
Æ с учетом их кратности и числа полюсов È с учетом их
порядка функции ´Þ µ, заключенных внутри контура Ä, равна
приращению Ö ´Þ µ при однократном обходе точкой Þ контура Ä в положительном направлении, деленному на 2 .
Другими словами, разность Æ È равна числу полных оборотов, которые совершает вектор , идущий из точки Û 0
´Þµ, когда точка Þ описывает контур Ä в положив точку Û
тельном направлении; при этом число оборотов считается половращается против часовой стрелки,
жительным, если вектор
и отрицательным — в противоположном случае.
Очевидно, что формулы (8.12) и (8.13) эквивалентны, т. е.
принцип аргумента дает геометрическую интерпретацию теоремы 3 § 8.6.
Следствие из теоремы 3 § 8.6. Если функция аналитична
в области , то для любой кусочно-гладкой замкнутой жордановой кривой Ä
¡Ä Ö ´Þµ Æ ,
Û
Û
2
где Æ — число нулей функции
не имеет нулей.
´Þµ, причем на кривой Ä функция
8.8. Теорема Руше
Из принципа аргумента следует теорема Руше, которая позволяет указать число корней (нулей) аналитической функции
в некоторой ограниченной области, например число корней мно-
158
Вычеты и их приложения
[ Гл. 8
гочлена. С помощью теоремы Руше легко доказывается основная
теорема высшей алгебры.
Теорема 1 (Руше). Пусть функции ´Þ µ и ´Þ µ аналитичны
и на ее границе Ä и пусть во всех
в ограниченной области
точках Ä выполняется неравенство
´Þµ
´Þ µ , Þ ¾ Ä
(8.14)
´Þµ · ´Þµ и ´Þµ имеют в области
Тогда их сумма ´Þ µ
одинаковое число нулей с учетом их кратности.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из неравенства (8.14) следует, что
´Þµ 0, Þ ¾ Ä. Так как ´Þµ
´Þµ · ´Þµ
´Þ µ ´Þµ 0, то ´Þµ 0 на границе Ä. Найдем число нулей Æ
функции ´Þ µ в области :
1
¡Ä Ö ´Þµ · ´Þµ 21 ¡Ä Ö ´Þµ 1 · ´´ÞÞµµ
Æ
2
¡Ä Ö ´Þµ · 1 ¡ Ö 1 · ´Þµ
Ä
2
2
´Þµ
´
Þµ
Но ¡Ä Ö 1 ·
0 вокруг точки Û
0, так как вектор
´Þ µ
´Þµ находится внутри окружности Û 1 ¬¬¬ ´Þµ ¬¬¬ 1
Û 1·
´Þ µ
´Þµ
и не совершает оборотов.
1
Следовательно, Æ
¡Ä Ö ´Þµ. ¤
2
П р и м е р . Найти число корней уравнения Þ 5 · 6Þ · 2 0
1.
в открытом круге Þ
Решение. Введем функции ´Þ µ 6Þ¬ и ´Þ¬µ ¬Þ 5 ¬· 2. Если
Þ
1, то
´Þµ 6Þ 6, ´Þµ ¬Þ5 · 2¬ ¬Þ5¬ · 2 3.
´Þµ · ´Þµ и
По теореме Руше функции ´Þ µ Þ 5 · 6Þ · 2
´Þµ 6Þ имеют одинаковое число нулей в области Þ 1. Так
как функция ´Þ µ 6Þ имеет один корень, то данное уравнение
1. Á
имеет один корень в открытом круге Þ
С помощью теоремы Руше докажем основную теорему высшей алгебры (см. теорему 4 из § 6.12). Используем другую
формулировку теоремы.
Теорема 2 (основная теорема высшей алгебры). Многочлен
Ò-й степени имеет в комплексной плоскости
ровно Ò нулей
с учетом их кратности.
Ò
Ò 1 ·
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ÈÒ ´Þ µ
0Þ · 1Þ
· Ò 1 Þ · Ò — произвольный многочлен степени Ò. Введем
обозначения:
´Þµ 0ÞÒ, ´Þµ 1 ÞÒ 1 · · Ò
8.9 ]
Применение вычетов к вычислению интегралов
159
´Þµ · ´Þµ. Так как ÞÐ Ñ ´´ÞÞµµ 0, то Ê 0
¬¬ ´Þµ ¬¬
Þ
ʵ¬
´Þµ
´Þ µ
´Þµ ¬ 1,
По теореме Руше функции ÈÒ ´Þ µ
´Þµ · ´Þµ и ´Þµ имеют
одинаковое число нулей в открытом круге Þ
Ê. Но функция
´Þµ 0 ÞÒ имеет нуль кратности Ò в начале координат. Следовательно, многочлен ÈÒ ´Þ µ имеет также Ò нулей на комплексной
плоскости . ¤
Тогда ÈÒ ´Þ µ
½
8.9. Применение вычетов к вычислению интегралов
Вычеты применяются при вычислении различных интегралов
от функций действительного и комплексного переменных. Во
многих случаях результат интегрирования с помощью вычетов
можно получить гораздо быстрее и, самое главное, намного проще. Рассмотрим некоторые интегралы.
1. Вычисление интегралов от функции комплексного переменного. Применяя формулы (8.9) и (8.10), вычисляют интегралы по контуру Ä.
Á
Þ Þ
.
П р и м е р . Вычислить
´
Þ 2 · 1µ´Þ 1µ
·
2
Þ
Решение. В § 8.5 данный пример решен через Ê × ´½µ (пример 2). Найдем интеграл вторым способом, применяя формулу
(8.9).
являются простыми
Особые точки Þ1 1, Þ2 , Þ3
полюсами подынтегральной функции и лежат внутри окружности Þ
2. По формуле (8.9)
Á
Þ· 2
Þ Þ
´Þ · 1µ´Þ 1µ
2
Вычеты Ê × ´Þ µ ,
дем обозначения:
3
2
1
Ê × ´Þ µ
1, 3, вычислим по формуле (8.5). Вве-
´µ
´Þ µ
Þ,
³ Þ
Þ2
¡
· 1 ´Þ 1 µ
Найдем производную
´Þµ
³ ´1µ
¼
1) Þ1
1,
2Þ ´Þ 1µ · Þ 2 · 1
1,
¼
´1 µ
2,
3Þ 2 2Þ · 1
Ê × ´1µ
1
;
2
160
Вычеты и их приложения
2) Þ2
,
3) Þ3
,
´ µ 2 · 2 , Ê × ´ µ 1 ·4
´ µ 2 2 , Ê × ´ µ 2 1 ;
¼
¼
Á
Þ Þ
Þ· 2
[ Гл. 8
´Þ2 · 1µ´Þ 1µ
1
2
2
1 ·4 ·
1
;
0
4
Á
2Ê
Ê ´× Ò Ü, Ó× Üµ Ü, где
Ê — рациональная функция от × Ò Ü и Ó× Ü. Выражаем × Ò Ü
2. Вычисление интегралов вида
Ó× Ü по формулам Эйлера:
Ü Ü
× ÒÜ
,
2
и
0
Ü
Ü·
Ó× Ü
2
Ü приводит данный интеграл к интегралу
Замена Þ
1,
от функции комплексного переменного по окружности Þ
обходимой в положительном направлении при изменении Ü
Þ
Þ Þ 1
Ü Ü, Ü
от 0 до 2 . Так как Þ
,
Ü
,
Þ
2
1
Þ·Þ
Ü
, то
×Ò
Ó×
2
2
Ê
´× Ò Ü, Ó× Üµ
Ü
0
Á
Þ· 1
1
2
Ê
Þ
Þ1
,
1
2
Þ
· Þ1
Þ
Þ
Предполагая, что на окружности Þ
1 нет особых точек,
применяем формулу (8.9) о вычетах к вычислению полученного
интеграла.
П р и м е р . Вычислить
Þ
Решение. Так как
Þ
Ü, Ü
, × ÒÜ
Þ
2Ê
0
2 · Ó× Ü
2 × ÒÜ
1
2
Þ
Þ1
Ü.
,
Ó× Ü
1
2
Þ
· Þ1
, Þ
1,
то
2
Á
0
2 · Ó× Ü
2 × ÒÜ
Á
Ü
Þ· 1
2·
2 1
2
1
2
Þ·
Þ 1
Þ
Þ
Þ
1
Þ
Á
Þ·
1
Þ 2 · 4Þ · 1
Þ Þ2 4 Þ 1
Þ
8.9 ]
Применение вычетов к вычислению интегралов
161
Ô ¡
Ô ¡ имеет простые полюсы Þ 0, Þ2
функция
Подынтегральная
2 · 3 , Þ3
2 3 ; полюс Þ2 лежит вне окружности,
полюсы Þ1 и Þ3 лежат внутри окружности. Найдем Ê × ´Þ1 µ и
Ê × ´Þ3µ по формуле (8.4):
Ê × ´0µ ÞÐ Ñ0 Þ Þ´ÞÞ · 44ÞÞ· 11µ 1,
Ô ¡
Ê × 2 3
Ð Ñ Þ Þ · 4Þ · 1 ´Þ Þ3µ
Þ Þ Þ ´Þ Þ µ ´Þ Þ µ
2
2
2
2
3
3
Следовательно,
Á
·Ê
3.
2
1 · 1 · Ô3
2
Вычисление
Ü Ü.
Ô
4
Ô
3
несобственных
4 3
3
1· Ô
2
3
Á
интегралов
вида
Пусть подынтегральная функция ´Üµ является
´Üµ ÉÈ ´´Üܵµ , знаменатель которой
рациональной функцией
É ´Üµ не имеет нулей на действительной оси, причем степень
знаменателя превышает степень числителя, по крайней
мере, на два Теорию вычетов применяют следующим образом.
Функцию ´Üµ действительного переменного Ü аналитически
0. Ее аналитипродолжают на верхнюю полуплоскость ÁÑ Þ
ческое продолжение ´Üµ является аналитической функцией
в верхней полуплоскости всюду, кроме полюсов Þ функции
´Þµ. Тогда
½
½
·
½
´ µ
´Üµ
Ü
½
2
Ê × ´Þ µ
(8.15)
Докажем формулу (8.15).
Рассмотрим
положительно
ориентированный контур Ä,
ограниченный верхней полуÊ и отрезокружностью Þ
Рис. 8.2
ком Ê; Ê действительной
оси, где радиус Ê выбираем таким, чтобы все особые точки
0, оказались
функции ´Þ µ, расположенные в области ÁÑ Þ
внутри контура (рис. 8.2).
Разложим ´Þ µ в ряд Лорана в окрестности точки Þ ½. Так
как степень числителя меньше степени знаменателя, по крайней
6 И.П. Карасёв
162
Вычеты и их приложения
мере, на два, то
· Ò ·
½
ÐÑ ´ µ
2 · 3 ·
´Þ µ
[ Гл. 8
ÞÒ
Þ2
Þ3
Бесконечно удаленная особая точка Þ
является устраниÞ
0 , поэтому
мой особой точкой функции Þ
Þ ½
0
т. е.
ÐÑ
Þ
½
¬¬
¬¬
Ê,
Ê
Ä1
´Þµ
¬¬
´Þµ Þ¬¬
Ä1
тура Ä.
Имеем
´Þµ
Ä·
Ê
´Üµ
Þ
Ê
Ü
Þ
Ê
·
Ä1
´Þ µ
¡
,
Ê
Þ
·Ê
Ê
´Üµ Ü
·½ ´Þµ Þ 0, поэтому
Ä
È
Ê × ´Þ µ, т. е. получили формулу (8.15).
При Ê
2
´Þ µ ¡
Ä1
0, где Ä1 — верхняя полуокружность кон-
Þ
Á
´µ
½
½
1
À
Ä·
´Þµ
Þ
4. Лемма Жордана и ее применение к вычислению интегралов. Л е м м а Ж о р д а н а. Пусть правильная дробь ´Þ µ
аналитична в полуплоскости ÁÑ Þ 0 за исключением полюсов,
расположенных в области ÁÑ Þ 0. Тогда для любого положительного числа имеем
Ê
Ð Ñ·
½
Ä1
´Þ µ
Þ Þ
0,
(8.16)
где Ä1 — верхняя полуокружность с таким радиусом Ê, что все
полюсы функции ´Þ µ, расположенные в полуплоскости ÁÑ Þ 0,
находятся внутри контура Ä (рис. 8.2).
Ê Ø,
Д о к а з а т е л ь с т в о . На полуокружности Ä1 Þ
, для любого положительного числа существует такой
0 Ø
радиус Ê, что
¬¬
¬¬
Ä1
´Þµ
Þ
¬¬
Þ ¬¬
Ä1
¬
´Þµ ¡ ¬
¬¬ Ø¡¬¬ ¬¬
Ê
¡¬
0
Þ
¬¬
Þ
Ê Ø
¬¬ ¬
¬¡¬ Ê
¬¬
Ø Ø
8.9 ]
Применение вычетов к вычислению интегралов
¬¬ Ø ¡¬¬ ¬¬
Ê
¡¬
Ê´
0
¬¬ Ø ¡¬¬ ¬¬
Ê
¡
0
Ê
¬
Ó× Ø· × Ò Øµ ¬¬ ¡ ¬¬
¬
Ó× Ø ¬¬ ¡ ¬¬
¬¬ Ø¡¬¬
Ê
¡
2
Ê× ÒØ
163
¬
Ê Ø Ø¬
¬¬ ¬
¬¡¬ Ê
¬¬
Ø Ø
Ê× ÒØ Ê Ø
¡
Ê
0
¡
,
Ê
т. е. выполняется равенство (8.16). ¤
Теорема. Пусть функция ´Þ µ удовлетворяет условиям
леммы Жордана; тогда
·
½
´Üµ
Ü Ü
¢
Ê × ´Þµ ¡
2
Þ,
£
Þ ,
(8.17)
½
где вычеты вычисляются по всем полюсам Þ функции ´Þ µ
в верхней полуплоскости ÁÑ Þ 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Построим контур Ä (см. рис. 8.2),
внутри которого расположены особые точки функции ´Þ µ:
Á
Ä·
´Þµ
Þ Þ
Ê
Ê
´Þµ
Ü Þ
·
Ä1
´Þµ
Þ Þ
По лемме Жордана при Ê
½ второе слагаемое справа
стремится к нулю, интеграл в левой части равенства равен сумме вычетов, умноженной на 2 , следовательно, формула (8.17)
справедлива. ¤
Из равенства (8.17) выделим действительную и мнимую части:
·
½
½
´Üµ ´ Ó× Ü · × Ò Üµ Ü
¢
£¡
¢
Ê 2 Ê × ´Þµ Þ , Þ · ÁÑ 2 Ê × ´Þµ
·
¢
£¡
´Üµ Ó× Ü Ü Ê 2 Ê × ´Þµ Þ , Þ ,
Þ, Þ
£¡
,
½
½
·
½
½
6*
´Üµ × Ò
Ü Ü
ÁÑ
2
¢
Ê × ´Þµ
Þ, Þ
£¡
(8.18)
164
Вычеты и их приложения
[ Гл. 8
Из формулы (8.17) получим результаты для четных и нечетных функций ´Üµ. Преобразуем (8.17):
·
½
´Üµ
0
Ü Þ
½
´Üµ
Ü Ü
½
·
½
´ ܵ
Ü Ü
·
·
·
0
·
½
´Üµ
0
½
´Üµ
0
2
Если
·
½
´Üµ — четная функция, то
¡
´Üµ Ü · Ü Ü
0
·
½
´Üµ Ó×
Ü Ü
¢
Ê × ´Þµ
¢
Ê × ´Þ µ
2
¢
Ê × ´Þ µ
Ü Ü
Ü Ü
Þ, Þ
£
Þ, Þ
Þ, Þ
£
£
,
(8.19)
0
Если
·
½
´Üµ — нечетная функция, то
¡
´Üµ Ü Ü Ü 2
¢
Ê × ´Þµ
Þ, Þ
£
0
Разделив обе части равенства на 2 , получаем формулу
·
½
´Üµ × Ò
¢
Ê × ´Þµ
Ü Ü
0
П р и м е р 1 . Вычислить
·Ê
½
½
£
Þ, Þ
(8.20)
Ü2 Ü
.
Ü4 · 1
Þ2
, расРешение. Найдем особые точки функции ´Þ µ
4
Þ ·1
положенные в полуплоскости ÁÑ Þ 0 Особыми точками будут
нули многочлена Þ 4 · 1:
Þ4
Þ
В области
ÁÑ Þ
Þ0
· 1 0 µ Þ4 1 Ó× · × Ò
Ó× ·42 · × Ò ·42 ,
0, 1, 2, 3
0 лежат полюсы первого порядка
Ô
2
2
·
Ô
2
2
и
Þ1
Ô
2
2
·
Ô
2
2
8.9 ]
Применение вычетов к вычислению интегралов
165
Найдем вычеты в особых точках Þ0 и Þ1 :
Ê × ´Þ0µ
Þ02
4Þ03
Ê × ´Þ1µ
1
,
4Þ0
1
4Þ1
По формуле (8.15) имеем
·
½
½
Ü2 Ü
Ü4 · 1
2
1
4Þ0
· 41Þ
1
Þ0
2
1
1
·Ê Ó× 4Ü
½
П р и м е р 2 . Вычислить
´Üµ
меняем формулу (8.19). Функция ´Þ µ
1
Решение. Так как функция
·
½
0
Ó× 4Ü
Ü2 · 9
Ü
Ê×
4
Þ
2
Þ
·9
Ü2 ·19
2
Á
— четная, то при-
Þ2 · 9
3:
плоскости имеет простой полюс Þ1
2
Ü.
Ü2 · 9
0
Ô
Þ1 · Þ0
2 Þ0 ¡ Þ1
· Þ1
в верхней полу-
,3
12
Þ
Ð Ñ ´Þ 3 µ ´Þ 3 µ ´Þ · 3 µ
Þ 3
4
6
6
12
Á
·Ê
Ü × Ò 4Ü
Ü.
2
0 Ü ·9
Ü
Ü
— нечетная, поэтому приРешение. Функция
2
Ü ·9
Þ
Þ
имеет простой
меняем формулу (8.20). Функция
Þ2 · 9
Þ 0:
полюс Þ1 3 в полуплоскости
П р и м е р 3 . Найти
½
´ µ
·
½
0
ÁÑ
Ü × Ò 4Ü
Ü
Ü2 · 9
Ê×
Þ
Þ2 · 9
4
´µ
Þ, 3
Þ
ÐÞ Ñ3 ´Þ 3Þ µ ´Þ · 3 µ ´Þ 3 µ
4
П р и м е р 4 . Вычислить интеграл
3
6
·Ê × Ò Ü
½
0
12
Ü
2
12
Á
Ü.
имеет на действительной оси
Решение. Функция ´Þ µ
Þ
особую точку Þ 0, поэтому предыдущие рассуждения неприменимы.
1
166
Вычеты и их приложения
Á
Введем интеграл
[ Гл. 8
Þ
Þ , который будет равен нулю по
Þ
·
Ä
контуру Ä, изображенному на рис. 8.3, так как внутри контура
Þ
функция
является аналиÞ
тической. Контур Ä состоит
из двух полуокружностей Ä1
и Ä2 соответственно с радиусами Ê и Ö и двух отрезков
Ê; Ö , Ö; Ê действительной оси ÇÜ, причем обход
контура Ä положительный.
Имеем
Рис. 8.3
Á
Þ
Ö
Ü
Þ
Þ
Ä·
Ê
Ü
Ü
Ê
·
Ê
Ü
Ü
Ü
Ö
Þ
·
Þ
Ä1
Þ
Þ
Ä2
0
Þ
Þ
Найдем интегралы в правой части равенства при Ö
0 и
·½. Повторяя рассуждения леммы Жордана, получаем, что
Þ
ÐÑ
Ê
½
ÐÑ
Ö 0
Þ
Þ
Ä2
¬¬
Ä2
Þ
0
ÐÑ
Ö 0
Ö´
Þ
Ä1
Ö ³, 0
Þ
Ó× ³· × Ò ³µ
Ö ³ ³
Ö ³
Þ
0;
³
,
ÐÑ
Þ
0
Ö´
Ö 0
³ ³
Ö
¬¬
Ó× ³· × Ò ³µ
³
0
³
Ö
ÐÑ
Ö 0
Ê
·
½
Ê
Ü
Ü
·
ÐÑ Ö 0
Ê
Ü
·
½
Ê
Ö
Ê
Ö
Ü
Ü
2
Ü
Ü
Ü
Ü
Ö
Ê
;
·
Ê
Ö
Ü
Ü
ÐÑ
0,
·½
ÐÑ
Ö 0
Ü
Ê
Ö
Ê
Ü Ü¡2
·
½
Ü
Ê
Ü Ü
Ü
Ö
·
½
Ü
2
0
Ü
× ÒÜ
Ü
Ü
8.10 ]
Задачи для самостоятельной работы
Следовательно,
·2
·
½
0
× ÒÜ
Ü
Ü
0,
·
½
× ÒÜ
Ü
0
Ü
167
2
Á
8.10. Задачи для самостоятельной работы
Занятие 1.
1. Найти вычеты функций ´Þ µ в указанных точках:
Þ
Þ3
1
× Ò2 Þ , Þ
,Þ
; б)
, Þ 0; в)
, Þ 1; г) 3
а)
Þ × ÒÞ
Þ ´Þ 1µ
Þ Þ2
1
Þ
, Þ
0; е)
, Þ
1; ж) Þ1 , Þ
д) 2
Þ ´Þ 1µ
´Þ · 1µ3 ´Þ 2µ2
½;
0;
0;
и) Þ 2 × Ò , Þ ½.
Þ
2. Найти вычеты относительно всех особых точек функции
´Þµ:
Þ
1
Þ 2Ò
; б) 3
;
в)
а) 2
´1 · ÞµÒ , Ò — натуральное число;
´Þ · 1µ´Þ 1µ
Þ Þ5
1
1
г) Ó×
; д) Þ 3 Ó×
.
Þ 2
Þ 2
3. Вычислить следующие интегралы с помощью вычетов по
замкнутым контурам Ä, обходимым в положительном направлении:Á
Á
Þ
Þ
2 · Ý2
а)
,
Ä
Ü
2
Ü
;
б)
;
5
Þ4 · 1
´
Þ
3
µ
Þ
1
Ä·Á
Þ· 2
Á
Þ Þ
1
; г)
× Ò Þ Þ, Ä Þ Ö, Ö 0;
в)
2
2
· Þ Þ 9
·
1
з) Þ , Þ
Þ
д)
1
Ä
1
Á
Þ· 1
Þ2
× Ò Þ1
Þ;
е)
Á
Þ· 1
Þ3 · 1
Þ3
Þ
;
ж)
Á
Þ· 2
Þ Þ
1 2 × Ò2 Þ
.
Занятие 2.
4. Используя теорему
Á о ¼логарифмическом вычете (см. теоре´Þµ
му 3 § 8.6), вычислить
´Þµ Þ для функций:
Ä·
2
3 ¡
Þ ·9
,Ä Þ
4; б) ´Þ µ
Þ · 1 ¡ × Ò Þ, Ä Þ
3;
а) ´Þ µ
4
´Þ · 3 µ
Ó× Þ
, Ä Þ
4;
в) ´Þ µ
Þ 4 ´Þ · 2 µ4 ´Þ 2µ4
168
Вычеты и их приложения
[ Гл. 8
Ò
Ò 1 ·
г) ´Þ µ
· Ò , где ,
0, Ò — постоян0Þ · 1Þ
ные, контур Ä выбирается таким, чтобы внутри него находились
все нули функции ´Þ µ.
5. Вычислить с помощью вычетов следующие интегралы
(см. § 8.9)
2
2
2 · Ó× ³
2 × Ò³
а)
0
2
³;
2
³
б)
´3 · 2 Ó× ³µ2
0
³
; в)
0
;
3 2× Ò³
³
г)
× Ò ³ · Ó× ³ · 2 .
0
6. Вычислить с помощью вычетов несобственные интегралы
от функций действительного переменного Ü:
·
½
а)
½
·
½
г)
0
ж)
·
Ü2 Ü
;
Ü4 · 1
½
½
к)
·
д)
0
Ó×
·
·1
2
Ü
Ü
Ü
½
Ó× Ü
Ü2 2Ü · 10
Ü Ü2
Ü
2
Ü;
з)
2
·
·1
½
½
Ü
·4
3
2
Ü
;
е)
·9
·
½
0
Ü× ÒÜ Ü
;
Ü2 2Ü · 10
Ü, где
·
½
Ü
½
Ü
Ó×
½
½
Ü × Ò 2Ü
Ü;
Ü2 · 4
½
·
б)
0,
;
в)
0
Ó× 2Ü
Ü2 · 4
Ü;
× ÒÜ Ü ;
2
Ü Ü2 · 1
·
½
и)
× ÒÜ
Ü
Ü;
½
0.
8.11. Ответы
1. а) Решение. Точка Þ
функции. По формуле (8.3)
является простым полюсом данной
Ê × ´ µ ÞÐ Ñ ´Þ µ ¡ Þ Þ Ð Ñ Þ3
3
3
Þ
Á
Для вычисления вычета функции относительно простого
полюса можно воспользоваться и формулой (8.5): Ö × ´Þ0 µ
³ ´Þ0 µ
¼ ´Þ0 µ , где
´µ
³ Þ
Þ3,
´Þ µ
Þ
,
³
´µ
3
,
¼
1;
8.11 ]
Ответы
б) точка z
Ö × ´0µ
0
169
0 — простой полюс функции. По формуле (8.5)
1;
Ó× 0
в) 1; г) 0; д) Решение. Точка Þ 0 — полюс второго порядка,
поэтому используем формулу (8.6):
ÐÑ
Ö × ´0µ
1
1 Þ 0 Þ
Þ2
ÐÑ
Þ 0
1
Þ ´Þ 1µ
2
1
¼
Þ 1
ÞÐ Ñ0 ´Þ 1 1µ
2
е)
1
;
27
ж) 1; з)
1;
и)
1
.
6
1; Á
, Þ2
,
2. а) Решение. Особыми точками являются Þ1
Þ3
1, Þ4
. Точки Þ1 , Þ2 , Þ3 — полюсы первого порядка, по³ ´1µ
1
1
, так как ³ Þ
Þ,
этому
¼
½
Ö× ´µ
¼
´1µ
´µ
2
´Þµ ´Þ2 · 1µ´Þ 1µ,
´Þµ 2 ´Þ 1µ Þ · Þ2 · 1 3Þ2 2Þ · 1;
Ö × ´ µ 4 1 , Ö × ´ µ 1 ·4
½ — нуль кратности два, поэтому Ö × ´½µ
Точка Þ
0.
Проверим вычисления. Так как сумма вычетов на расширенной
комплексной плоскости равна нулю, то
Ö × ´½µ Ö × ´1µ Ö × ´ µ Ö × ´ µ
12 4 1 · 1 ·4
б)
Ö × ´0 µ
1;
Ö × ´ 1µ 12 , Ö × ´1µ 12 , Ö × ´½µ
Ò·1
Á
0;
0;
Ö × ´ 1µ ´Ò´2 Òµ1µ´ ´Ò1µ· 1µ , Ö × ´½µ ´Ò´ 11µµ ´´Ò2Ò·µ 1µ ;
г) Ö × ´2µ 0, Ö × ´½µ 0; д) Решение. Ряд Лорана имеет вид
1
1
Þ 3 Ó×
Þ3 1 · 1 ,
Þ 2
´Þ 2µ 2 ´Þ 2µ 4
в)
Ò
2
4
2 — существенно особая точка,
следовательно, Þ
143
. Действительно, представляя
1
Ö × ´2 µ
24
Þ3
´Þ 2µ · 2 3 ´Þ 2µ3 · 6 ´Þ 2µ2 · 12 ´Þ 2µ · 8,
170
Вычеты и их приложения
[ Гл. 8
получаем следующее выражение:
Þ3
Ó× Þ 1 2
´Þ 2µ 3 · 6 ´Þ 2µ2 · 12 ´Þ 2µ · 8 ¢
¢ 1 ´Þ 21µ
2
· ´Þ 21µ
¡2
4
¡4
122 · 41 ·
1
Þ 2
,
143
143
; Ö × ´½µ
Á
24
24
3. а) Решение. Найдем особые точки: Þ 4 · 1 0,
Ô4
Ô
Þ
1 4 Ó× · × Ò
Ó× ·42 · × Ò ·42 ,
отсюда коэффициент
0, 1, 2, 3, отсюда
Þ0
Þ2
Ô
122 · 41
1
Ô
· 22 ,
22 ´1 · µ ,
2
2Ô
Ô
2
2
Ô
2
2
Þ1
Þ3
´ 1 · µ ,
´1 µ
Внутри круга, границей которого является окружность Ä,
лежат две особые точки Þ0 и Þ3 . Применяя основную теорему о
вычетах (см. § 8.5), получаем
Á
Þ
2 Ö × ´Þ0 µ · Ö × ´Þ3 µ ,
4
Þ ·1
Ä
где ´Þ µ — подынтегральная функция. Точки z0 и z3 — простые
полюсы, поэтому
Ö × ´Þ0µ
³ ´Þ0 µ
¼ ´Þ0 µ
1
4Þ03
1
Ó× 4 · × Ò 4
4
2
Аналогично
Ö × ´Þ3µ Á
Ä·
Þ
4
Þ
·1
Ô
2
8
Ô
2
4
Ô
3
2
2 ´1 ·
16
µ
Ô
1
2
·
Ô
2 2
Ô
2
8
´1 · µ
´1 µ. Имеем
2
Ô2 ; Á
б) внутри окружности z =2 находится пять особых точек. Пример можно решать аналогично 3а, при этом нужно найти вычеты
в пяти точках, что приводит к большим вычислениям. Для
вычисления данного интеграла удобнее использовать теорему о
сумме вычетов на расширенной комплексной плоскости . Так
как особая точка z =3 лежит вне окружности z =2, то данный
8.11 ]
Ответы
интеграл
171
Ö × ´3µ Ö × ´½µ ,
1
Ö × ´3µ ÞÐ Ñ3 ´Þ 3µ ´Þ 3µ´1Þ 1µ ÞÐ Ñ3 Þ 1 1 242
Найдем Ö × ´½µ, для чего подынтегральную функцию нуж½. Требуется
но разложить в ряд Лорана в окрестности Þ
1 . Легко установить, что Þ
найти коэффициент
при
Þ
½
1
является нулем кратности × 6, т. е. ряд Лорана начинается со
степени Þ 6 и
0. Следовательно, Ö × ´½µ 1
0,
1
1
242 0 121 ;
поэтому Á 2
2
1
1
; г) 2 . Ук а з а н и е . × Ò
Þ 13 · ;
в) 9
Þ
Þ
.
д) ; е) 0; ж) 3
2
4. а) Решение. Функция ´Þ µ имеет два простых нуля и один
2
Á
5
5
3
2
полюс 4-го порядка, поэтому
´Æ È µ2
2
Á
0
2
´ 2µ 4
2 · Ó× ³
2 × Ò³
Ô
·
Ö× ´ µ Ö× ´ µ
Á
³
Ô
Þ 1
, где Á
¼ ´Þµ
´Þµ
Á
Þ,
·
Ä
Æ и È — соответственно число нулей и полюсов функции ´Þ µ
внутри контура Ä, причем учитывается их кратность; Á
б) 8 ; в) 16 ; г) 2 Ò .
Þ , получаем:
5. а) Решение. Применяя подстановку ³
Þ
Þ · Þ 1
Þ Þ 1
³ , Ó× ³
, × Ò³
. Если ³ изменяется
Þ
2
2
³
обходится в положительном
от 0 до 2 , то окружность Þ
направлении.
Имеем
Á
Þ 2 · 4Þ · 1
Þ Þ2 4 Þ 1
Þ
Подынтегральная функция имеет простые полюсы Þ1
0;
Þ2
2
3 , Þ3
2
3 . Полюс Þ2 лежит вне окруж2
Þ1
Þ3 . Так как
ности z =1, поэтому Á
Þ1
1,
Þ 2 · 4Þ · 1
2
Þ3
Þ Þ3
1 Ô ,
Þ ´Þ Þ2 µ ´Þ Þ3 µ
Þ Þ3
3
Ô
то
2
4
3
Á
2
1 1 Ô
;
б)
Ô
6 5
25
; в)
Ô
2 5
5
Ö × ´ µ·Ö × ´ µ
ÐÑ ´ µ
; г)
· ·
Ô
2 .
·
3
3
Á
172
Вычеты и их приложения
[ Гл. 8
´Þµ
6. а) Решение. Найдем особые точки функции
лежащие в верхней полуплоскости ÁÑ Þ
1 Ó× · × Ò , Þ
Ó× · 2
4
1, 2, 3).
Ô В области ÁÑ Þ
Þ1
1 . Согласно лемме Жордана
Ê
где ÄÊ — верхняя полуокружность Þ
Ê.
Поэтому
Ê
Þ Þ
Ü Ü
2
Ê ½
ÄÊ
Ê
ÐÑ
·Ê
½
т. е. Á
½
´µ ·
´Üµ
Ö × ´Þ0µ
2
Á
б)
60
1
4Þ0
·
Ð Ñ·
´ µ
½
1
0
´1 · µ и
´Þµ Þ 0,
2
2
Ê
ÄÊ
Ö × ´Þ µ,
Ö × ´Þ0µ · Ö × ´Þ1µ ,
2
Ü
,
Þ4 · 1
0, Þ 4
(
0,
0: Þ 4
0 лежат особые точки Þ0
´ µ
2
2
·1
· × Ò ·42Ô
Þ2
³ ´Þ0 µ
¼ ´Þ0 µ
Þ02
4Þ03
1
,
4Þ0
Ô
1
4Þ1
2
1
1·
2
·
Ö × ´Þ1µ
1
,
4Þ1
Ô
1
1 ·
2
2
Á
;
´Þµ
; в) Решение. Найдем особые точки функции
2
Þ
,
Þ2 · 4
0. Решая уравнение
4 0,
2 , один из которых, Þ1 2 ,
·
расположенные в области ÁÑ Þ
получаем два простых полюса ¦
лежит в области ÁÑ Þ 0.
1
— четная, то по формуле
Так как функция ´Üµ
Ü2 · 4
(8.19) имеем
Þ2
·
½
0
Ó× 2Ü
Ü2 · 4
Ü
Ê×
2
Þ
Þ2 · 4
4
,2
4
4
4
Á
;
г) Решение. Вычислим интеграл по формуле (8.20), так как
´Üµ Ü2 Ü· 4 — нечетная функция. В полуплоскости ÁÑ Þ 0
имеется одна особая точка Þ1 2 (простой полюс), поэтому
·
½
0
д)
3
8
; е)
Ü × Ò 2Ü
Ü
Ü2 · 4
2
и) ; к)
2
1 .
3
2
Ê×
; ж)
3
3
Þ 2Þ
,2
Þ2 · 4
4
2
4
2
4
;
Á
´ Ó× 1 3 × Ò 1µ; з) 3 ´3 Ó× 1 · × Ò 1µ;
3
9.
ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
9.1. Понятие преобразования Лапласа
Под операционным исчислением понимают совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными средствами получать решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, систем линейных дифференциальных уравнений, а также и некоторых других уравнений.
Операционное исчисление основано на функциональном преобразовании: некоторой функции Ü ´Øµ действительного переменного Ø,называемой оригиналом, ставится в соответствие другая
´Ôµ комплексного переменного Ô, называемая изобфункция
ражением функции Ü ´Øµ, по формуле
´Ôµ
·
½
´µ
Ü Ø
ÔØ Ø
(9.1)
0
Преобразование (9.1) называется преобразованием Лапласа,
несобственный интеграл, зависящий от параметра Ô, называется
интегралом Лапласа. Процесс нахождения изображения для
заданного оригинала Ü ´Øµ и нахождения оригинала по заданному изображению ´Ôµ называется операционным исчислением.
Операционное исчисление разработал английский инженер Хевисайд, который ввел другое преобразование:
´Ôµ
·
½
Ô
´µ
Ü Ø
ÔØ Ø,
0
отличающееся от преобразования Лапласа множителем Ô.
В дальнейшем рассматривается преобразование Лапласа.
Для связи изображения ´Ôµ и соответствующего оригинала
Ü ´Øµ вводятся различные обозначения:
Ü ´Øµ · ´Ôµ ,
´Ôµ Ü ´Øµ , Ü ´Øµ
´Ôµ , Ä ´Ü ´Øµµ
´ Ôµ
Введем определение оригинала.
Определение. Оригиналом называется функция Ü ´Øµ, удовлетворяющая следующим условиям:
1. Ü ´Øµ 0 при Ø 0.
2. Функция Ü ´Øµ кусочно-непрерывна на любом промежутке
при Ø 0.
174
Основы операционного исчисления
[ Гл. 9
3. Существуют такие действительные числа ×0 и Å
для всех Ø 0 выполняется неравенство
´µ
Å ×0 Ø ,
Ü Ø
0, что
(9.2)
число ×0 называется показателем роста функции Ü ´Øµ.
Следует заметить, что многие реальные процессы описываются функциями, для которых выполняется определение 1.
П р и м е р 1 . Единичная функция
1 при Ø
0 при Ø
1 ´Øµ
0,
0
является оригиналом, так как она удовлетворяет условиям 1–3
определения.
Если функция ´Øµ удовлетворяет условиям 2 и 3 определения, то функция
Ü ´Øµ 1 ´Øµ ¡ ´Øµ
является оригиналом.
Например, функции 1 ´Øµ ¡ Ø, 1 ´Øµ × Ò Ø, 1 ´Øµ 2Ø — оригиналы.
В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые нами
функции имеют множитель 1 ´Øµ, хотя сам множитель в написании часто будем опускать, т. е. будем писать Ø, × Ò Ø, 2Ø .
9.2. Сходимость интеграла Лапласа
Теорема 1. Интеграл Лапласа сходится абсолютно в по×0 , где ×0 показатель роста оригинала
луплоскости Ê Ô
Ü ´Øµ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ô × · Û, Ê Ô × ×0 . Оценим интеграл Лапласа:
¬¬·
¬¬
½
´µ
Ü Ø
ÔØ Ø
0
·
½
Å
¬
так как ¬
¬¬
0
¬¬ ·
¬¬
¬
´ µ ¡ ¬¬
½
¬¬
Ü Ø
0
×0 Ø
¡
×Ø
¡
ÛØ
¬
´×· ÛµØ ¬¬
¬¬
Ø
·
½
Ø
Å
´×
0
×0 µØ Ø
Å
,
× ×0
Ó× ÛØ × Ò ÛØ 1.
По признаку сравнения сходимости несобственных интегралов следует сходимость интеграла Лапласа в полуплоскости
Ê Ô × ×0 . ¤
Теорема 2. Интеграл Лапласа сходится равномерно в полуплоскости Ê Ô × ×1 ×0 .
ÛØ
9.2 ]
Сходимость интеграла Лапласа
175
Доказательство.
¬¬·
¬¬
½
´µ
Ü Ø
¬¬
¬¬
0
·
½
ÔØ Ø
Å
´×1
×0 µØ Ø
Å
×1 ×0
0
Ê
Следовательно, интеграл Лапласа мажорируется при
Ô
×1
×0 сходящимся интегралом, поэтому интеграл Лапласа
сходится равномерно.
Теорема 3. Если Ü Ø
оригинал, то его изображение
Ô является аналитической функцией в полуплоскости
Ô ×0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем, что производная ¼ Ô существует и вычисляется по формуле:
¤
Ê
´µ
´ µ ´µ
¼
´Ôµ ·
½
´µ
ØÜ Ø
ÔØ Ø,
(9.3)
0
т. е. мы должны показать справедливость дифференцирования
интеграла Лапласа по параметру Ô. Известно, что ¼ ´Ôµ существует, если интеграл в правой части равенства (9.3) сходится
×0 . Равномерная сходимость
равномерно в области Ê Ô ×1
этого интеграла доказывается аналогично доказательству равномерной сходимости интеграла Лапласа в теореме 2. Следователь´Ôµ является аналитической функцией в полуплоскости
но,
Ê Ô ×0. ¤
Теорема 4. Если Ü ´Øµ — оригинал, то Ð Ñ
´Ôµ 0.
Ê
Ô
·
½
Д о к а з а т е л ь с т в о . Теорема 4 является следствием теоремы 1.
´Ôµ аналитично в бескоТеорема 5. Если изображение
нечно удаленной точке Ô ½, то
ÐÑ
Ô
½
´Ôµ
0
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как функция
´Ôµ аналитична
в ½, то ее ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной
точки ½ имеет вид
´Ôµ
отсюда
0
ÐÑ
Ô
½
´Ôµ
0
0.
· Ô ·Ô ·
1
2
2
По теореме 4
0, теорема 5 доказана.
¤
· ÔÒÒ ·
ÐÑ
×
½
,
´Ôµ
0, поэтому
176
Основы операционного исчисления
[ Гл. 9
9.3. Основные свойства преобразования Лапласа
1. Линейность. Если Ü1 ´Øµ
1 ´Ôµ, Ü2 ´Øµ
2 ´Ôµ, . . .
ÜÒ ´Øµ
Ò ´Ôµ, то для любых комплексных чисел
. . .,
1,
2,
Ò
È
, Ò
1
Ò
È
´Øµ
Ü
´Ôµ.
1
Д о к а з а т е л ь с т в о . Используем преобразование Лапласа
(9.1):
·
Ò
½
0
´µ
Ü Ø
1
·
Ò
ÔØ Ø
½
1
´ ´ صµ
Ä Ü
·
½
Ü
´ ص
´ ص
ÔØ Ø
Ü
´µ
1
Ô
·
0
0
Ô
1
¬¬
¬¬
¬
0
½
´Ôµ
¤
1
´Ôµ, то для любого числа
Доказательство.
·
Ò
ÔØ Ø
0
2. Подобие. Если Ü ´Øµ
Ü
´µ
Ü Ø
,
Ø
Ø
½
Ü
´µ
¬¬
¬¬
¬
,
Ø
¤
Ô
1
Ô
0
3. Изображение производных. Если ܴص, ܼ ´Øµ, . . ., Ü´Òµ ´Øµ —
´Ôµ, то
оригиналы и ܴص
´µ
Ü Ø
¼¼
Ü´Òµ Ø
´µ
ܼ Ø
Ô2
´ µ ÔÒ ´Ôµ ÔÒ
Ð Ñ Ü´ µ ´Øµ,
где Ü´ µ ´0µ
Ø ·0
´Ôµ Ü´0µ,
´Ôµ ÔÜ´0µ Ü ´0µ,
Ô
´9 4µ
¼
Ü´Ò 1µ´0µ,
´0µ ÔÒ 2Ü ´0µ 0, Ò 1.
1Ü
¼
Д о к а з а т е л ь с т в о . По формуле (9.1)
·Ê
½
0
´µ
ܼ Ø
ÔØ Ø
Ê ·Ô × ×1 ×0
¬
Ê
·
(см. теоремы 2 и 3 в § 9.2)]
ܴص ÔØ ¬0 · Ô
ܴص ÔØ Ø
0
(так как Ê Ô
×0 , то подстановка Ø
½ дает нуль)
0 Ü´0µ · Ô ´Ôµ. Таким образом, Ü ´Øµ
Ô ´Ôµ Ü´0µ.
[интегрируем по частям, что допустимо при
½
¼
½
9.3 ]
Основные свойства преобразования Лапласа
177
Аналогично можно получить изображения производных высшего порядка, применяя интегрирование по частям соответствующее число раз. ¤
4. Изображение интеграла. Если ܴص
также является оригиналом и
Ø
Ü
Å
×0
Å
0
Ü
´µ
(9.5)
×0
×0
¬¬Ø
¬0
Å
×0
×0 Ø
ÊØ
´Øµ
Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем обозначение:
Å ×0 Ø и
Так как ܴص — оригинал, то ܴص
´Øµ
0
´Ôµ
Ô
´µ
0
Ø
ÊØ
´Ôµ, то
1
0
¡
Ü
´µ
.
Å ×0 Ø
×0
Следовательно, функция ´Øµ является оригиналом, т. е.
´Ôµ.
Продифференцируем функцию ´Øµ:
´Øµ
¼
´Øµ
´µ
´Øµ
Ü Ø
Из формулы (9.4) следует, что
Следовательно,
´Ôµ
Ô
Ø
´Ôµ
´Ôµ µ ´Ôµ
´Ôµ ´0µ
Ô
¼
Ü
Ô
´µ
Ô
´Ôµ.
¤
0
5. Запаздывание оригинала. Если ܴص
´Ôµ и ܴص 0
Ô
, где
0, то Ü ´Ø µ
´Ôµ, т. е. запаздывапри Ø
нию оригинала на соответствует умножение его изображения
на Ô .
Доказательство.
´ µ
Ü Ø
·
½
´ µ
Ü Ø
0
·
½
0
´ µ
Ü Ù
Ô´Ù·
µ
Ù
ÔØ Ø
·
½
0
·
½
´ µ
Ü Ù
´ µ
Ü Ø
ÔÙ
Ô
6. Смещение изображения. Если ܴص
го числа «
«Ø ܴص
´Ô «µ
ÔØ Ø
Ù
Ø
Ô
Ù
´Ôµ ¤
´Ôµ, то для любо-
178
Основы операционного исчисления
Доказательство.
Ä
¢
£ ·
´µ
«Ø Ü Ø
½
´µ
«Ø Ü Ø
·
ÔØ Ø
0
½
´µ
Ü Ø
[ Гл. 9
´Ô «µØ
´Ô «µ
¤
Ø
0
7. Изображение свёртки. Свёрткой кусочно-непрерывных
функций ܴص и Ý ´Øµ называется функция
Ø
Ü
´ µ Ý ´Ø µ
,
0
которая обозначается символом Ü £ Ý .
Таким образом, свёртка
Ø
£
Ü Ý
Ü
´ µ Ý ´Ø µ
0
Докажем, что операция свёртки коммутативна, т. е.
£
Ü Ý
Ý
Введем замену переменной: Ù
Ý
£Ü
Ø
Ý
£Ü
Ø . Тогда
0
´ µ Ü ´Ø µ
Ý ´Ø Ùµ Ü ´Ùµ
Ø
0
Ø
Ù
´ µ ´ Ùµ
Ü Ù Ý Ø
Ù
£
Ü Ý,
0
т. е. операция свёртки коммутативна.
Теорема (об изображении свёртки). Если ܴص и Ý ´Øµ —
оригиналы, то функция
´µ
³ Ø
£
Ø
Ü Ý
Ü
´ µ Ý ´Ø µ
0
также оригинал и свёртка
Ü£Ý
где
´Ôµ ´Ôµ,
´Ôµ ܴص, ´Ôµ ݴص
Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала покажем, что свёртка Ü £ Ý
является оригиналом. Функция ³´Øµ Ü £ Ý удовлетворяет условиям 1 и 2 определения из § 9.1, так как ܴص и Ý ´Øµ — оригиналы.
Пусть ×0 Ñ Ü ´×1 , ×2 µ, где ×1 ×2 — соответственно показатели
9.3 ]
Основные свойства преобразования Лапласа
179
роста оригиналов ܴص и Ý ´Øµ. Тогда существует число Å
такое, что
ܴص
Å ×0 Ø и
Ý ´Øµ
Å ×0 Ø
Оценим свёртку ³´Øµ:
´µ
³ Ø
2
Å
Ø
×0 ´Ø ×0
µ
Å
2
0
Ø
0
×0 Ø
0
Å 2 Ø ×0 Ø
Å1 ´×0 ·ÖµØ ,
где Ö 0.
Следовательно, свёртка ³´Øµ удовлетворяет условию 3 определения из § 9.1, т. е. свёртка Ü £ Ý является оригиналом.
Найдем теперь изображение свёртки.
´µ
Ø
³ Ø
·
´ µÝ´Ø µ
Ü
½
0
ÔØ
0
Ø
´ µÝ´Ø µ
Ü
Ø
0
Двойной интеграл абсолютно сходится при Ê Ô ×0 , поэтому можно изменить порядок интегрирования и получить
·
´µ
³ Ø
½
Ü
·
½
´µ
´ µ
Ý Ø
ÔØ Ø
0
По свойству 5 запаздывания оригинала интеграл
·
½
следовательно,
´µ
³ Ø
´ µ
Ý Ø
·
½
´µ
Ü Ø
0
Ô
ÔØ Ø
Ô
¡ ´Ôµ
´µ
´Ôµ,
´Ôµ ´Ôµ ¤
´ µ ´µ
´µ
Следствие. Пусть Ü Ø
Ô , Ý Ø
Ô , производная
ݼ Ø
Ô Ô
Ý 0 . Тогда имеет место формула Дюамеля
Ø
Ô
Ô
Ô
Ü Ø Ý 0
Ü
ݼ Ø
´µ
´ µ ´ µ
´µ ´µ
´ µ ´ µ·
´µ ´ µ
0
Доказательство.
´Ôµ ´Ôµ
Ø
´ µÝ´Ø µ
Ü
0
´µ
³ Ø
180
Основы операционного исчисления
[ Гл. 9
По свойству 3 дифференцирования оригинала получаем
´µ
´ µ · Ô ´Ôµ ´Ôµ
³ 0
³¼ Ø
Ô
´Ôµ ´Ôµ
Так как
´µ
Ø
´ µ ´ µ·
Ü Ø Ý 0
³¼ Ø
Ü
´ µ Ý ´Ø µ
,
¼
0
то
Ô
´Ôµ ´Ôµ
´ µ ´ µ·
Ø
Ü Ø Ý 0
Ü
´ µ Ý ´Ø µ
¤
¼
0
8. Дифференцирование изображения. Так как изображение
´Ôµ является аналитической функцией в полуплоскости Ê Ô
×0 (см. теорему 3 из § 9.2), то функция ´Ôµ дифференцируема
бесконечное число раз и
´Òµ ´Ôµ
´ 1µÒ ØÒܴص
(9.6)
Доказательство (9.6) аналогично доказательству формулы
(9.3).
Следовательно, при дифференцировании изображения оригинал умножается на ´ ص.
´Ôµ и
9. Интегрирование изображения. Если ܴص
ܴص
— оригинал, то
Ø
ܴص
Ø
½
Ô
´Õµ
Õ,
Ê
где путь интегрирования находится в полуплоскости
´Ôµ
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дифференцируем
¼
´Ôµ
·
½
0
Проинтегрируем
кости Ê Ô ×0 :
½
¼
Ô
´Õµ
Õ
½
Ô
¼
ܴص
Ø
´ ص
ÔØ Ø
Õ,
½
0
Ô ×0 .
ܴص ÔØ
Ø:
Ø
´Ôµ
´Ôµ ´Ôµ по пути
´Õµ
·Ê
Ô;
½µ
´½µ ´Ôµ в полуплос-
½
Ô
´Õµ
Õ
9.4 ]
Изображения некоторых простейших функций
´½µ
Так как
Ê
½
Ô
´Õµ
ܴص
.
Ø
Õ
Следствие.
ные интегралы.
¤
´ Ôµ
0, по теореме 5 из § 9.2, то
Ê Ü´Øµ
½
Ø
Ø
0
181
Ê
´Õµ
½
0
Õ , если сходятся несобствен-
9.4. Изображения некоторых простейших функций
1. ܴص
1. Докажем, что
1
1
Ô
Используем формулу (9.1):
½
1
2. ܴص
1¡
ÔØ ¬¬
¬¬
0
½
ÔØ Ø
Ô
0
Á
1
Ô
«Ø . Докажем, что
1
«Ø
Ô «
Используем свойство 6 смещения изображения из § 9.3:
1 ¡ «Ø
3. ܴص
Á
1
Ô «
Ó× ÛØ. Докажем, что
Ó× ÛØ Ô ·Ô Û
2
Так как
Ó× ÛØ
Ó× ÛØ
4. ܴص
ÛØ ·
ÛØ
2
1
Ô Û
, то
· Ô ·1 Û
2Ô
2
2
2 Ô
2
× Ò ÛØ
·Û
× Ò ÛØ. Докажем, что
× Ò ÛØ Ô ·Û Û
ÛØ 2
ÛØ
2
1
Ô Û
2
2
Á
Û
Á
,
Ô ·1 Û
2
Ô
Ô2 · Û2
Ô
2
· Û2
182
Основы операционного исчисления
5. ܴص
[ Гл. 9
ØÒ . Докажем, что
Ò
ÔÒ·1
ØÒ
Используем свойство 8 дифференцирования изображения из
1
1
§ 9.3. Если 1
, то 2
Ø, отсюда Ø Ô12 . АналогичÔ
Ô
2
´Ò 1µ , тогда ØÒ 1¡ ¡ ´ ص
. Пусть верно ØÒ 1
но, Ø2
3
ÔÒ
Ô
Ò ´ÔÒÒ ·11µ µ ØÒ ÔÒÒ·1 . Á
6. ܴص Ø Ó× ÛØ. Докажем, что
Ø
Ô2 Û2
´Ô2 · Û2 µ2
Ó× ÛØ
Используем свойство 8:
Ø Ó× ÛØ
Ô
Ô2 · Û2
¼
Ô2 · Û2 2Ô2
´Ô2 · Û2 µ2
Û 2 Ô2
,
´Ô2 · Û2 µ
Ó× ÛØ ´ÔÔ · ÛÛ µ .
7. ܴص Ø × Ò ÛØ. Докажем, что
2ÔÛ
Ø × Ò ÛØ
´Ô · Û µ
2
отсюда Ø
2
2
2 2
2
2 2
Используем свойство 8.
´ ص × Ò ÛØ
Ô
2
Û
·Û
¼
2
2ÔÛ
´Ô2 · Û2 µ2
µ Ø × Ò ÛØ
2ÔÛ
´Ô2 · Û2 µ2
Á
Используя свойство 6 смещения изображения из § 9.3, легко
находим изображения следующих оригиналов:
Ô «
;
8. «Ø Ó× ÛØ
´Ô «µ2 · Û2
Û
;
9. «Ø × Ò ÛØ
´Ô «µ2 · Û2
Ò
;
10. «Ø ØÒ
´Ô «µÒ·1
´Ô «µ2 Û2 ;
11. Ø «Ø Ó× ÛØ
2
´Ô «µ2 · Û2
2Û ´Ô «µ
;
12. Ø «Ø × Ò ÛØ
2
´Ô «µ2 · Û2
9.5 ]
Восстановление оригинала по известному изображению
13.
14.
×
ÛØ
ÛØ
1 2
1 2
ÛØ ÛØ ¡
ÛØ · ÛØ ¡
183
Û
;
Ô2 Û2
Ô
.
2
Ô Û2
9.5. Восстановление оригинала
по известному изображению
Для нахождения оригинала по известному изображению традиционно применяются следующие способы:
1. В простейших случаях используются изображения основных элементарных функций (см. § 9.4).
2. Если изображение является правильной рациональной дробью, то эту дробь разлагают на сумму простейших дробей и для
каждой дроби находят оригиналы, используя свойства § 9.3 и
изображения § 9.4.
3. Формула обращения преобразования Лапласа (формула
Меллина).
4. Теоремы разложения.
Рассмотрим нахождение оригиналов в случаях 2, 3, 4.
2. З а д а ч а . Восстановить оригинал ܴص по изображению
´Ôµ ÈÉÑÒ´´ÔÔµµ , где ÈÑ ´Ôµ и ÉÒ´Ôµ — многочлены степеней Ñ и Ò,
причем Ñ Ò.
Решение. Правильную рациональную дробь ´Ôµ представляем в виде суммы простейших дробей вида
,
,
Ô ´Ô µ
ÅÔ · Æ
ÅÔ · Æ
,
, где , Å , Æ , , , Õ — числа,
¾ и
Ô2 · Ô · Õ ´Ô2 · Ô · Õ µÖ
Ö¾ ,
1, Ö 1, знаменатель Ô2 · Ô · Õ имеет комплексные
корни. Для каждой дроби, используя изображения и их свойства
из § 9.4, находим ее оригинал, затем находим оригинал ܴص,
применяя свойство линейности преобразования Лапласа.
П р и м е р 1 . Найти оригинал ܴص по изображению ´Ôµ
Ô
.
4
Ô 1
Решение. Представим ´Ôµ в виде суммы простейших дробей:
Æ
Æ
´Ô µ
Ô
Ô4 1
Ô
´Ô 1µ´Ô · 1µ´Ô · 1µ
2
·Æ
· Ô · 1 · ÅÔ
Ô ·1
1 1
1 1
· 4 Ô · 1 12 Ô Ô· 1
4Ô 1
Ô 1
2
2
184
Основы операционного исчисления
[ Гл. 9
Используем соответствия 2 и 3 из § 9.4:
1
1
Ô
Ø,
Ø
,
Ó× Ø,
Ô 1
Ô·1
Ô2 · 1
затем, применяя свойство линейности 1 из § 9.3, получаем
´Ô µ
´µ
1 Ø
4
· 14
1 Ø·
2
2
12 Ó× Ø
Ø
12 Ó× Ø
1
´ Ø Ó× Øµ Á
2
3. Теорема 1. Если ܴص — оригинал, а ´Ôµ — его изображение, то в любой точке непрерывности функции ܴص имеет
Ü Ø
Ø
место формула
´µ
·
1
Ü Ø
½
´Ôµ
2
ÔØ Ô,
(9.7)
½
×0 , интеграл понимается
где действительное число
в смысле главного значения, ×0 — показатель роста оригинала
ܴص.
Формулу (9.7) называют формулой обращения преобразования Лапласа или формулой Меллина.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Формула обращения преобразования
Фурье для функции ܴص имеет вид 10 :
´µ
Ü Ø
½
´Û µ
ÛØ
½
·
½
´Ûµ
где
·
1
2
´µ
ÛØ Ü Ø
·
½
Ø
Û,
´µ
Ü Ø
(9.8)
ÛØ Ø
(9.9)
0
½
является преобразованием Фурье.
Вместо оригинала ܴص рассмотрим функцию
Ø
ܴص. Формулы (9.8) и (9.9) примут вид
где
¨ ´Û µ
´µ
1
2
ØÜ Ø
·
½
¨ ´Ûµ
´Øµ
ÛØ Û ,
(9.10)
½
·
½
0
´Øµ
ÛØ Ø
·
½
0
´µ
Ü Ø
Ø
ÛØ Ø
´Ôµ,
·
½
´µ
Ü Ø
0
где
Ô
ÔØ Ø
·
Û
9.5 ]
Восстановление оригинала по известному изображению
185
Так как интегрирование в (9.10) ведется по Û, то
´µ
1
2
Ü Ø
¬¬
¬ ·
·
½
´Ôµ
Ø
¡
·
½
1
2
ÛØ Û
´Ôµ
¬
¬
½
½
Ô,
Û
Ô,
Û
Ô¬
Û
1
´ · ÛµØ
·
½
Û
´Ôµ
2
ÔØ Ô
¤
½
З а м е ч а н и е . Из доказательства теоремы 1 следует, что
преобразование Лапласа ´Ôµ для функции ܴص совпадает с пре Ø
ܴص. Если показаобразованием Фурье для функции ´Øµ
тель роста оригинала ×0 0, то можно принять равным нулю
и тогда ´Øµ ܴص.
4. Первая теорема разложения. Если изображение ´Ôµ
аналитично в окрестности бесконечно удаленной точки Ô
½ и имеет разложение в ряд Лорана:
·
½
´Ôµ
,
Ô
1
то оригинал вычисляется по формуле
´µ
Ü Ø
·
½
1
Ø
1
(9.11)
´ 1µ
Д о к а з а т е л ь с т в о . Ряд Лорана в области сходимости
Ô
Ê сходится равномерно, поэтому его можно почленно интегрировать. Используем формулу Меллина (9.7) для нахождения
оригинала Ü Ø :
´µ
´µ
Ü Ø
1
·
½
´µ
Ô ÔØ Ô
2
·
1
½
2
½
½
·
½
Ô
1
ÔØ Ô
Применяем лемму Жордана, функция ÔØ Ô имеет единственную особую точку-полюс Ô 0. Вычет в этой точке
Ê×
ÔØ
Ô
,Ô
0
´ 1µ ÔÐ Ñ0
1
´ 1µ ÔÐ Ñ0
1
Ø
1
ÔØ
1
Ô 1
Ø 1
´ 1µ
ÔØ
Ô
¡Ô
1
2
2
·
½
·
1
½
1
Ø
1
´ 1µ
Ø 1
´ 1µ
¤
186
Основы операционного исчисления
[ Гл. 9
Вторая теорема разложения. Если изображение
´Ôµ
имеет конечное число особых точек Ô1 , Ô2 , , ÔÒ в полуплоскости Ê Ô
×0 , то оригиналом
ܴص является функция
Ò
´µ
Ü Ø
1
¢
Ê × ´Ôµ
£
ÔØ , Ô
(9.12)
Д о к а з а т е л ь с т в о . По формуле (9.7) ܴص
Рис. 9.1
´µ
2
·
´Ôµ
Ò
1
ÔØ Ô,
¢
Ê × ´Ôµ
ÔØ , Ô
£
·½. Так как по лемме Жордана
ÐÑ
´Ôµ ÔØ Ô 0,
Ê ·
Пусть Ê
½
то
´Ôµ
½
½
ÔØ Ô
2
ÐÑ
Ê ·
´Ôµ
½
×0 . Рассмотрим контур Ä, согде
стоящий из части окружности ÄÊ отпрямой Ê Ô
(рис. 9.1),
резка
обход контура Ä выберем положительным. Радиус Ê возьмем настолько большим, чтобы все особые точки
´Ôµ оказались внутри Ä. Имеем
Ô1 , Ô1 , . . ., ÔÒ функции
Á
Ô ÔØ Ô
Ô ÔØ Ô
ÄÊ
Ä·
´µ
·Ê
1
·
µ 21
ÔØ Ô
ÄÊ
Ò
2
1
½
´Ôµ
ÔØ Ô
¢
Ê × ´Ôµ
´µ
Ü Ø
½
ÔØ , Ô
Ò
1
£
µ
¢
Ê × ´Ôµ
ÔØ , Ô
£
¤
ÈÑ ´Ôµ
Следствие. Если ´Ôµ
, где ÈÑ ´Ôµ ÉÒ ´Ôµ — многоÉÒ ´Ôµ
члены соответственно степеней Ñ и Ò, и если Ñ Ò, то
´µ
Ü Ø
Ö
´× 1µ ÔÐ ÑÔ
1
1
× 1
Ô× 1
¢
´Ô Ô µ×
´Ôµ
£
ÔØ ,
(9.13)
, ÔÒ — корни многочлена ÉÒ ´Ôµс кратностями соотгде Ô1 , Ô2 ,
ветственно ×1 , ×2 , , ×Ö .
9.5 ]
Восстановление оригинала по известному изображению
187
Д о к а з а т е л ь с т в о . Особыми точками Ô ,
1, Ö, изоб´
Ôµ являются полюсы порядка × . Найдем вычеты
ражения
функции ÔØ ´Ôµ для каждого полюса:
¢
Ê × ´Ôµ
ÔØ , Ô
£
´× 1µ ÔÐ ÑÔ
1
× 1
Ô× 1
´Ô Ô µ×
´Ôµ
ÔØ
¡
Суммируя все вычеты, получаем формулу (9.13). ¤
В частном случае, если все полюсы функции ´Ôµ — простые,
то, используя формулу для вычисления вычета относительно
полюса первого порядка, получаем
´µ
Ü Ø
Ò
1
ÈÑ ´Ô
É¼Ò ´Ô
µ
µ
Ô Ø
Ô.
П р и м е р 2 . Найти оригинал функции ´Ôµ
Ô
Решение. Разложим функцию ´Ôµв ряд Лорана в окрестности точки Ô ½:
1
´Ô µ
1
Ô
1 1
Ô
· Ô 1¡ 2 · ´ 1µÒ ÔÒ 1¡ Ò ·
2
·
½
0
1
´ 1µ
1
Ô ·1
Используя формулу (9.11) первой теоремы разложения, получаем оригинал ܴص:
·½
ܴص
´ 1µ Ø 2 Á
´ µ
0
П р и м е р 3 . Найти оригинал функции
5Ô · 3
´Ôµ
´Ô 1µ Ô2 · 2Ô · 5
Ô2,3
Решение. Функция
1 ¦ 2 .
´Ôµ
имеет простые полюсы Ô1
¢
£
´ µ Ê × ¢ ´Ôµ ÔØ, 1 ·
£
¢
£
´
Ôµ ÔØ , 1 2
·
Ê
×
´
Ôµ ÔØ , 1 · 2 · Ê ×
¬¬
¬¬
¢
¡£
2
É
´
Ô
µ
´
Ô
1
µ
Ô
·
2
Ô
·
5
¬¬
¬¬
Ô2 · 2Ô · 5 · ´Ô 1µ ´2Ô · 2µ
¬¬ 2
¬
Ô · 2Ô · 5 · 2Ô2 2 3Ô2 · 2Ô · 3, È ´Ôµ 5Ô · 3 ¬
5·3
5 ´ 1 · 2 µ · 3
Ø·
´ 1·2 µØ ·
3·2·3
3 ´ 1 2 µ · 2 ´ 1 · 2 µ · 3
Ü Ø
¼
¼
2
1,
188
Основы операционного исчисления
[ Гл. 9
· 3 ´ 1 52´ µ 1· 22´ µ 1· 3 2 µ · 3 ´1·2 µØ
Ø · 1 ´ 2 3 µ ´ 1·2 µØ · 1 ´ 2 · 3 µ ´ 1 2 µØ
4
4
Ø · 1 ´ 2 3 µ Ø ´ Ó× 2Ø · × Ò 2ص ·
4
1
· 4 ´ 2 · 3 µ Ø ´ Ó× 2Ø × Ò 2ص
1
Ø ´ 2 Ó× 2Ø 3 Ó× 2Ø 2 × Ò 2Ø · 3 × Ò 2Ø 2 Ó× 2Ø ·
4
· 2 × Ò 2Ø · 3 Ó× 2Ø · 3 × Ò 2ص Ø · 14 Ø´ 4 Ó× 2Ø · 6 × Ò 2ص
Ø Ø Ó× 2Ø · 3 Ø × Ò 2Ø
Á
2
2
9.6. Таблица некоторых изображений
№
ܴص
1
1
2
«Ø
3
Ó× ÛØ
4
× Ò ÛØ
5
ØÒ
Ó× ÛØ
6
Ø
7
Ø × Ò ÛØ
8
«Ø
9
«Ø × Ò ÛØ
10
«Ø ¡ ØÒ
11 Ø «Ø
Ó× ÛØ
´Ô µ
1
Ô
1
Ô «
Ô
Ô2 · Û2
Û
Ô2 · Û2
Ò
ÔÒ·1
Ô2 Û2
2
¡
Ô · Û2 2
2ÔÛ
2
¡
Ô · Û2 2
Ô «
´Ô «µ2 · Û2
Û
´Ô «µ2 · Û2
Ò
´Ô «µÒ·1
Ó× ÛØ ¢´´ÔÔ
«µ2 Û2
£
2
2 2
«µ · Û
´Ôµ
№
ܴص
12
Ø « Ø × Ò ÛØ
×
13
ÛØ
14
ÛØ
15
ØÒ Ü´Øµ
16
ܼ ´Øµ
ÊØ
17
0
Ü´
ܴص
Ø
19
Ü ´Ø ·
ÊØ
0
´Ôµ Ü´0µ
Ô
½Ê
Ô
µ
ܴصݴ0µ ·
Ü ´ µÝ ¼ ´Ø «Ø ¡ ܴص
´Ôµ
Ô
´Õµ
Õ
Ô ´Ôµ
´Ôµ ¡ ´Ôµ
ܴص £ ݴص
20
22
2Û
´Ô
µ
18
21
´Ô «µ
£
«µ2 · Û2 2
Û
Ô2 Û2
Ô
Ô2 Û2
Ò
´ 1µÒ ÔÒ´Ôµ
¢
µ
Ô
´Ôµ ¡ ´Ôµ
´Ô «µ
9.7 ]
Решение дифференциальных уравнений и систем
189
9.7. Применение операционного исчисления
к решению дифференциальных уравнений
и систем дифференциальных уравнений
З а д а ч а 1 . Найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
´Òµ ·
0Ü
´Ò 1µ ·
1Ü
·
Ò 1 Ü
¼
·
удовлетворяющее начальным условиям
´µ
Ü 0
´µ
Ü0 ,
ܼ 0
Ü1 ,
´Øµ,
ÒÜ
Ü´Ò 1µ 0
´µ
,
(9.14)
ÜÒ 1 ,
где 0 , 1 , . . ., Ò — постоянные коэффициенты; Ü0 , Ü1 , . . .
. . . ÜÒ 1 — заданные числа (начальные условия Коши), ´Øµ —
функция-оригинал, ܴص — искомая функция. От дифференциального уравнения (9.14), используя свойства 3 и 1 из § 9.3, переходим к уравнению-изображению (его называют также операторным уравнением):
0
¢
ÔÒ
£
´Ôµ ÔÒ 1Ü0 ÔÒ 2Ü1 ÜÒ 1 ·
¢
£
· 1 ÔÒ 1 ´Ôµ ÔÒ 2Ü0 ÜÒ 2 ·
· Ò 1 Ô ´Ôµ Ü0 · Ò ´Ôµ
´Ôµ
Преобразуя полученное уравнение, получаем
Ò
0Ô
·
Ò 1
1Ô
Ü0
·
·
Ò 1
0Ô
·
1
¡
· Ò ´Ôµ
¡
· · Ò1 ·
Ò 1 Ô
ÔÒ 2
·
0 ÜÒ 1
· ´Ôµ
Из полученного операторного уравнения найдем ´Ôµ — изображение искомого частного решения ܴص:
´Ôµ ´Ôµ ·´Ôµ ´Ôµ ,
где
´Ôµ 0ÔÒ · 1 ÔÒ 1 · · Ò 1Ô · Ò,
´Ôµ
Ü0
Ò 1
0Ô
·
Ò 2
1Ô
·
·
Ò 1
¡
·
·
0 ÜÒ 1 ,
многочлен ´Ôµ называется характеристическим. При нулевых
начальных условиях
´Ôµ ´´ÔÔµµ
Используя методы восстановления оригинала, изложенные
в § 9.5, и таблицу изображений § 9.6, находим оригинал ܴص, который является частным решением данного дифференциального
уравнения.
190
Основы операционного исчисления
[ Гл. 9
П р и м е р 1 . Решить задачу Коши
ܼ¼
·Ü
´µ
0, ܼ ´0µ
Ø, Ü 0
1
Решение. Операторное уравнение, соответствующее данному
уравнению, имеет вид:
´Ôµ 1 · ´Ôµ
Ô2
1
Ô2
Из полученного алгебраического уравнения найдем
. Из таблицы § 9.6 (№ 5) получаем ܴص Ø. Á
Ô2
П р и м е р 2 . Решить задачу Коши
1
ܼ¼
· 4Ü
2
Ó× 2Ø, Ü´0µ
0, ܼ ´0µ
´Ôµ
4
Решение. Из операторного уравнения
´Ôµ 4 · 4 ´Ôµ
Ô2
найдем
´Ôµ
·
4
Ô2 · 4
2Ô
Ô2 · 4
2Ô
Ô
2
·4
2
Первому слагаемому соответствует оригинал 2 × Ò 2Ø, а оригинал второго слагаемого найдем, применив свойство 7 изображения свёртки оригиналов из § 9.3:
2Ô
Ô2 · 4
Ø
1
2
2
Ø
Ô
2
Ô2 · 4 Ô2 · 4
× Ò 2 Ó× ´2Ø 2 µ
0
× Ò 2Ø · × Ò ´4 2ص
0
1
Ø
2
´Ôµ
Таким образом,
¯
¯
× Ò 2ج¬0 18 Ó× ´4 2ص¬¬0
1
2
× Ò 2Ø 18 Ó× 2Ø · 18 Ó× 2Ø
´µ
Ü Ø
2 × Ò 2Ø ·
1
Ø
2
1
Ø
2
× Ò 2Ø
× Ò 2 Ø. Á
Заметим, что оригинал изображения можно было бы найти
из таблицы § 9.6 (№ 7):
2Ô
Ô
2
·4
2
2Ô ¡ 2
2 Ô
2
·4
2
1
Ø
2
× Ò 2Ø
9.7 ]
Решение дифференциальных уравнений и систем
191
З а д а ч а 2 . Найти частное решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
ܼÑ
·
Ò
1
´µ
Ñ Ø , Ñ
Ñ Ü
удовлетворяющее начальным условиям
´µ
Ü1 0
´µ
Ü10 , Ü2 0
1, Ò,
, ÜÒ ´0µ
Ü20 ,
(9.15)
ÜÒ0 ,
где Ñ , , Ñ 1, Ò — постоянные коэффициенты; Ü10 , Ü20 , . . .
. . ., ÜÒ0 — заданные числа, Ñ ´Øµ, Ñ 1, Ò — функции-оригиналы, Ü ´Øµ,
1, Ò, — искомое решение системы (9.15).
Решение. Систему дифференциальных уравнений, используя
свойства 3 и 1 из § 9.3, преобразуем в систему линейных ал´ Ôµ ,
1, Ò, когебраических уравнений с неизвестными
торые являются изображениями неизвестных оригиналов Ü ´Øµ,
1, Ò. Решив ее, найдем изображения
´Ôµ, 1, Ò. Затем,
использовав методы восстановления оригинала § 9.5 и таблицу
1, Ò. Задача 2 решена.
§ 9.6, получим оригиналы Ü ´Øµ,
П р и м е р 3 . Решить задачу Коши
2Ü 4Ý Ó× Ø,
· Ü · 2Ý × Ò Ø,
ܼ
ݼ
Решение. Пусть
´µ
Ü Ø
´Ôµ, ݴص
´µ
´Øµ, Ü ´Øµ
¼
´µ
Ü 0
Ô
Ý 0
´Ôµ, Ý ´Øµ
¼
0
Ô
´Ôµ
Система операторных уравнений имеет вид
´Ô 2µ ´Ôµ 4 ´Ôµ
´Ôµ · ´Ô · 2µ ´Ôµ
Ô
,
Ô2 · 1
1
Ô2 · 1
Решаем эту систему, например, по формулам Крамера.
¬¬ Ô
¬
4 ¬¬
¬¬Ô 2 4 ¬¬
¬
2
Ô
·
1
¬¬ Ô2 · 2Ô · 4 ,
¬¬ Ô2 , 1 ¬¬ 1
¬¬
¬¬ 2
Ô·2
1
Ô2 · 1
Ô · 2¬¬
Ô ·1
¬¬
Ô ¬
¬¬Ô 2 Ô2 · 1 ¬¬¬
2
,
¬¬
2
2
1 ¬¬
Ô
·1
1
¬
¬
2
Ô ·1
2
Ô · 2Ô · 4
2
Ô
,
Ô
Ô2 Ô2 · 1
Ô2 Ô2 · 1
¡
¡
¡
´µ
´µ 192
Основы операционного исчисления
[ Гл. 9
Разлагая правильные рациональные дроби ´Ôµ и ´Ôµ на
сумму простейших дробей, можно найти оригиналы ܴص и Ý ´Øµ.
Найдем оригиналы другим способом:
Ô2 · 2 Ô · 4
Ô2 Ô2 · 1
´Ôµ
1
Ô2 · 1
·
2
Ô Ô
2
·1
·
4
2
Ô
Ô2 · 1
Первому слагаемому в
´Ôµ соответствует оригинал × Ò Ø,
оригиналы второго и третьего слагаемых найдем, применив таблицу изображений § 9.6 (№ 4 и 17):
1
Ô Ô
1
2
2
Ô
Ô
2
1
Ô2 · 1 Ô
·1
1
·1
1
1
Ô Ô ·1 Ô
Ø
×Ò
Ó×
Ø
0
1 Ó× Ø,
0
Ø
2
´1 Ó× µ
´ × Ò µ Ø0
0
Ø
× ÒØ
Используя свойство 1 линейности из § 9.3, получаем
´Ô µ
´ µ × Ò Ø · 2 ´1 Ó× Øµ · 4 ´Ø × Ò Øµ
4Ø · 2 2 Ó× Ø 3 × Ò Ø,
´Ôµ ݴص 2 ´Ø × Ò Øµ
Ü Ø
Таким образом, частное решение данной системы при Ø
имеет вид
ܴص 4Ø · 2 2 Ó× Ø 3 × Ò Ø,
Á
Ý ´Øµ 2Ø · 2 × Ò Ø
0
9.8. Задачи для самостоятельной работы
1. Проверить, какие из указанных функций являются оригиналами:
1
1
3Ø × Ò 2Ø; б) ܴص
; в) ܴص Ø Ø; г) ܴص
.
а) ܴص
2
Ø 3
Ø ·2
2. Найти изображение функций:
Ó×3 Ø; в) ܴص × Ò ´ Ø µ;
а) ܴص 2 × Ò Ø 3 Ó× Ø; б) ܴص
г) ܴص
Ø
ж)
0
Ó× 2
3Ø × Ò Ø
Ø
.
;
д) ܴص
× ÒØ;
Ø
е) ܴص
Ø
0
×Ò
;
9.8 ]
Задачи для самостоятельной работы
193
3. Найти изображения функций, заданных графически:
à
x
x
á
1
1
0
t
1
0
1
2
t
-1
4. Найти оригиналы изображений:
2Ô 1
3Ô · 1
1
а) 2
; б) 2
; в)
;
Ô · 2Ô · 5
Ô · 25
´Ô 1µ ´Ô 2µ2
Ô
1
Ô2 · Ô 4
; д) 3
; е) 2
.
г) 2
2
Ô 8
Ô Ô3
Ô ·1 Ô ·4
5. Найти оригиналы, используя вторую теорему разложения
из § 9.5:=
1
Ô·3
; б) ´Ôµ
;
а) ´Ôµ
3
2
2
Ô 4Ô · 3Ô
Ô Ô · 1 Ô2 · 4
в)
´Ôµ
д)
´Ôµ
1 · 2Ô2
1·Ô
2
2
´Ôµ
; г)
Ô2 · 1
Ô2 Ô2 1
2
;
е)
´Ôµ
1
´Ô 1µ3
Ô5
Ô2 · 1
Ô 1
6
´Ô 2µ
;
.
6. Найти оригиналы, используя свойство 7 изображения
свёртки из § 9.3:
Ô2
1
; б) ´Ôµ
;
а) ´Ôµ
2
Ô2 · 4 Ô 2 · 9
Ô2 · 1
в)
´Ôµ
Ô2
Ô2 · 1
2
´Ôµ
; г)
Ô3
Ô2 · 1
2
.
7. Решить задачи Коши:
а) ܼ¼ · 3ܼ · 2Ü Ø Ø , Ü´0µ 1, ܼ ´0µ 2;
2Ø
, Ü´0µ 0;
б) ܼ · 3Ü
¼¼
¼
в) Ü 4Ü · 4Ü Ø 2Ø 2Ø , Ü´0µ 0, ܼ ´0µ
ÊØ
г) ܼ · 2Ü · ܴص Ø
0
7 И.П. Карасёв
´µ
Ø, Ü 0
0;
1;
194
Основы операционного исчисления
[ Гл. 9
¡
д) ܼ¼¼ ܼ 3 2 Ø2 , Ü´0µ ܼ ´0µ ܼ¼ ´0µ 1.
8. Найти решения систем дифференциальных уравнений,
удовлетворяющие заданным начальным условиям:
ܼ Ý ¼ × Ò Ø,
1
1
а)
ܼ · Ý ¼
Ó× Ø, Ü´0µ 2 , Ý´0µ 2 ;
ܼ · Ü 3Ý 0,
Ü´0µ 1, Ý ´0µ 1 ;
б)
Ý ¼ · Ü · 4Ý 0,
ܼ · 3Ü 4Ý 9 2Ø ,
Ü´0µ 2, Ý ´0µ 0 ;
в)
Ý ¼ · 2Ü 3Ý 3 3Ø ,
ܼ Ý · Þ ,
Ý ¼ 3Ü · Þ , Ü´0µ 0, Ý ´0µ 2, Þ ´0µ 3;
г)
Þ ¼ 3Ü · Ý ,
´
д)
Ü · Ý 32 Ø2, Ü´0µ Ý´0µ 0 ;
Ý · 4Ü · 2Ý 4Ø · 1,
Ü
Ü · Ý · Þ,
Ý
Ü Ý · Þ , Ü´0µ 1, Ý ´0µ 0, Þ ´0µ
Þ
Ü · Ý · Þ,
ܼ
¼
¼
е)
0.
¼
¼
9.9. Ответы
1. а) и г) — оригиналы; б) и в) функции не являются оригиналами.
2 3Ô
.
2. а) 2
Ô ·1
Решение. Применяя свойство линейности из § 9.3 и таблицу
§ 9.6 (№ 3 и 4), получаем
1
3Ô
2 3Ô
2¡ 2
; Á
2 × Ò Ø 3 Ó× Ø
2
Ô ·1
Ô ·1
Ô2 · 1
б)
Ô Ô2 · 7
Ô2 · 9
Ô2 · 1
Ø·
Ó× Ø
Решение.
Ó×3 Ø
.
Ø·
Ø
2
3
2
1
4
1
8
3Ø
Ø
;
3Ø
·3 Ø·3
· 3Ø · 3
2
4
Ø·
2
Ø
Ø
·
1
4
3Ø
Ó× 3Ø · 34 Ó× Ø,
9.9 ]
Ответы
Ó×3 Ø
в)
1
Ô
4 Ô2 · 9
¡Ô ·
Ô
2
2
195
Ô Ô2 · 7
· 34 Ô Ô· 1
Ô2 · 9
2
Ô2 · 1
Á
;
.
Ук а з а н и е : применить свойство 5 (запаздывание оригинала) из § 9.3;
г) Ö Ø ´Ô · 3µ.
Ук а з а н и е : применить свойство 9 из § 9.3;
Ö Ø Ô ; ж) 1 .
д) Ö Ø Ô; е)
Ô
Ô2 · 4
3. а)
1 Ô
Ô
.
Решение. ܴص
б)
1 Ô ¡
1
Ô
Ô
1 Ô
Ô
;
Á
.
Ø 2
Решение.
2Ô 1
Ô2 · 2Ô · 5
Ô
1 ´Ø 1µ
2
Ô
4. а)
1 ´ ص
Ó× 2Ø 32 × Ò 2Ø
2 ´Ô · 1µ 3
´Ô · 1µ2 · 22
.
2 ´Ô · 1 µ
2
3
´Ô · 1µ2 · 22 2 ´Ô · 1µ2 · 22
2
Ø
Ó× 2Ø 32
(см. таблицу из § 9.6, № 8, 9).
Ø
× Ò 2Ø Á
Ó× 5Ø · 15 × Ò 5Ø; в) Ø 2Ø · Ø 2Ø; г) 13 ´ Ó× Ø Ó× 2ص;
Ô
Ô
Ô
1 2Ø
1
Ø Ó× 3 Ø 3
Ø × Ò 3 Ø; е)2 Ø 4Ø 3.
д)
12
12
12
1
´3 4 Ó× Ø · Ó× 2ص;
5. а) ܴص 1 2 Ø · 3Ø ; б) ܴص
12
1
3
Ø Ó× Ø · × Ò Ø;
в) ܴص
2
2
Ø ¡ 1
1 2Ø
Ø2 · 1 ·
´ Ó× Ø 3 × Ò Øµ;
г) ܴص
5
4
20
Ô
Ø
Ø 3
1
2
Ø·
Ó×
;
д) ܴص Ø 2 × Ø · Ø Ø; е) ܴص
3
3
2
2
1
´× Ò Ø Ø Ó× Øµ.
6. а) ܴص
2
б) 3
Решение.
7*
× ÒØ £ × ÒØ
1
2
Ô
1
·1 Ô ·1
2
196
Основы операционного исчисления
[ Гл. 9
Вычисляем свёртку функций:
Ø
× ÒØ £ × ÒØ
Ø
× Ò ´Ø µ × Ò
´ Ó× ´2 ص Ó× Øµ
0
0
¬¬Ø
1 1
× Ò ´2 ص¬0 Ó× Ø Ø0 12 × Ò Ø 12 Ø Ó× Ø
2 2
1
´× Ò Ø Ø Ó× Øµ ; Á
2
1
б) ܴص
´3 × Ò 3Ø 2 × Ò 2ص; в) ܴص 12 ´× Ò Ø · Ø Ó× Øµ;
5
Ó× Ø 2Ø × Ò Ø.
г) ܴص
1
2
Ук а з а н и е . Продифференцировать оригинал в примере в).
Ø2 Ø
Ø Ø · 3 Ø 2 2Ø; б) ܴص 2Ø 3Ø;
7. а) ܴص 2
в) ܴص
д) ܴص
8. а)
´
в)
д)
´µ
Ý ´Øµ
Ü Ø
2 · Ø 2Ø; г) ܴص
6
Ø · Ø3 .
1
´× Ò Ø · Ó× Øµ ,
ܴص
2
1
Ý ´Øµ
´× Ò Ø Ó× Øµ ;
2
Ø3
Ø2
·
Ø Ø
2Ø ,
2Ø ;
´ µ 12 Ø2,
Ý ´Øµ Ø2 · Ø;
Ü Ø
Ø
Ø2
2
´
б)
´µ
Ý ´Øµ
Ü Ø
4
3
2Ø
´µ
Ý ´Øµ
Ü Ø
е)
3
3Ø 2
´ µ 3Ø 2Ø,
1
Ø · 3 3Ø ·
Ý ´Øµ 2
2
1 Ø
3 3Ø
Þ ´Øµ
·2 ·
2
Ü Ø
г)
Ø;
· 16 2Ø · 12
Ø · 1 2Ø 1
6
2
1
1
2Ø
Ø·
Þ ´Øµ 3
3
1
3
1
3
Ø
2Ø ,
2Ø ;
2Ø ,
2Ø ,
3Ø ,
2Ø ;
Приложение
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
Теоретическое задание
1. Найти Ö Þ и Ö Þ для любого комплексного числа Þ .
2. Доказать, что Û × Ò Þ является аналитической функцией.
3. Доказать: если ряд
·È
½
0
´ Þ0µÒ
Ò Þ
сходится в точке
Þ0 , то он абсолютно сходится в круге Þ Þ0
Þ1 Þ0 .
Á
Þ
по гладкому контуру Ä, не проходяще4. Вычислить
Þ Þ0
му через точку Þ0 .
³ 2.
5. Найти все решения уравнения
6. Пусть интеграл не зависит от пути, соединяющего две
любые заданные точки области . Чему равен тот же интеграл
по гладкому замкнутому контуру области .
·È
½
·È
½
Ò
Ò
7. Радиусы сходимости рядов
ÒÞ и
Ò Þ соответÞ1
Ó×
0
0
ственно равны Ê1 и Ê2 . Что можно сказать о радиусе Ê ряда
·È
½
0
Ò
Ò ÒÞ ?
8. Доказать, что в полярных координатах Ö и ³ условия
Ù
1 Ú 1 Ù
,
ÚÖ .
КРЭД имеют вид:
Ö
Ö ³ Ö ³
9. Доказать, что для четной функции ´Þ µ имеет место
равенство Ö × ´Þ0 µ Ö × ´ Þ0 µ, а для нечетной функции –
равенство Ö × ´Þ0 µ Ö × ´ Þ0 µ.
10. Пусть функции ´Þ µ и ´Þ µ – аналитические в точке Þ0 ,
¼
´Þ0µ 0, ¼¼ ´Þ0µ 0. Найти вычет
причем ´Þ0 µ 0, ´Þ0 µ
´Þµ ¡ ´Þµ в точке Þ0.
функции ³ ´Þ µ
Þ нигде не дифференцируе11. Доказать, что функция Û
ма.
Практические задания
Задание 1. Дано число . Найти , Ö и записать число
в тригонометрической и показательной формах:
1)
20
1·8
; 2)
2·
2 ; 3)
4 ; 4) 4 · 5 ; 5) 2 3 ;
·4
3 4
1·4
198
Типовой расчет
[ Прил.
Ô
·
2
2·3
4 3 ·
3·
Ô ; 9)
6)
; 7) Ô
; 8)
; 10) Ô
;
1·
1
·
3 ·
1· 3
3·
Ô
1· 3
1·
Ô ; 13) Ô2 · 2 ; 14) 2 ·Ô2 ;
; 12)
11)
1·
1· 3
3 Ô
Ô
Ô 1 · 3 Ô
3 2·2 3
2·2 3
3 Ô ; 16) Ô
; 17)
15)
3 · 3 ; 18) 2 · 2 ;
2 · 2 3
3 Ô
Ô
4 4
4 4
3 ·
3 ·
Ô ; 21)
Ô ; 22)
19) Ô
; 20)
1
;
Ô 3 ·
3Ô· 3 3
5 · 5 3
Ô
3 ; 24)
3 Ô ; 25) 1 · ; 26) Ô3 · ;
23) Ô
2 2
3 3 ·Ô 3 3
Ô3 ·
Ô
1 2·2 3
2 2 3
Ô ; 30) Ô 3 · .
Ô ; 29)
; 28)
27)
1·
3 3 3
1 Ô
· 3
3 Ô
Задание 2. Найти все значения 4 , где – соответствующее
число задания 1.
Задание 3. Вычислить 4 , где — соответствующее число
задания 1.
Задание 4. Установить, какие множества комплексных чисел
определяются следующими соотношениями:
4;
1) Ê Þ 4; 2) ÁÑ Þ 2; 3) Ö Þ ; 4) Þ 5) Þ 8) Ê Þ
12) Þ ·
1; 6) Þ 2
4; 7) 1
2
4; 9) Ê Þ
3; 10) Ê Þ 2
3
·
Þ 1
3; 11)
3;2 ¡
ʬ Þ ¬ Þ
¬ Þ ¬¬ 1;
14) ¬
ÁÑ ´1 µ ´Þ · 1µ 0;
Þ·
4; 16) Ö Þ 4 ; 17) Þ 8;
15) Þ · · Þ 4
1; 19) Þ ·
5; 20) Þ · · Þ 1
18) Þ · 5 2
21) Ê Þ 2; 22) ÁÑ Þ 2; 23) ÁÑ Þ 2 3; 24) Þ
2;
1; 26) 1
Þ 1·2
3;
25) Þ 1 3; 28) Ê Þ 2; 29) ÁÑ Þ 0;
27) Þ · · Þ 3
30) 1 Ê Þ 4.
4;
13)
0;
5;
Задание 5. Какие линии заданы следующими уравнениями:
Ø, Ø
, где Þ0 — комплексное число, —
1) Þ ´Øµ Þ0 ·
положительное число;
Ø, 0 Ø
; 3) Þ Ø ´1 · µ, Ø ¾ ;
2) Þ ´Øµ
Ó× Ø × Ò Ø, и — вещественные числа, Ø ¾ ;
4) Þ
Ê
5) Þ
7) Þ
Ø , Ø ¾ Ê, Ø
Ô
Ø · 1 Ø2 ,
Ø
0; 6) Þ
1
Ø
0;
Ø2
·
8) Þ
Ø4 ,
¾ Ê;
Ø
³,
Ê
³
0;
Прил. ]
9) Þ
12)
14)
16)
18)
20)
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
22) Þ
23) Þ
24)
25)
27)
29)
Þ
Þ
Þ
Þ
Типовой расчет
199
´1 µ Ø; 10) Þ Ø · Ø ; 11) Þ ´ Ó× Ø · × Ò Øµ, 0;
2 · · 5 Ø , 0 Ø 2 ; 13) Þ 3 ³ , 0 ³ 2 ;
Ø · Ø2 , 0 Ø 3; 15) Þ Ø · Ø2 , 0 Ø 3;
Ø Ø2 , 0 Ø 3; 17) Þ Ø Ø2 , 0 Ø 3;
· 2 Ø, 0 Ø ; 19) Þ · 2 Ø, Ø 0;
1 · Ø ; 21) Þ 1 · 2 Ø , 0 Ø
;
4
Ó× Ø · × Ò Ø,
0,
0;
Ó× Ø · × Ò Ø, 0 Ø 2 ,
0,
0;
´Ø × Ò Ø · ´1 Ó× Øµµ, 0 Ø 2 ,
0;
3
3
Ø · Ø ; 26) Þ Ø · Ø , 1 Ø 0;
1 · 3 ³, 0 ³
; 28) Þ 1 · · 3 ³ ;
3 ³, ³
; 30) Þ Ø ´1 · 3 µ, 0 Ø 5.
2
, осуществляемое
Задание 6. Найти отображение линии
´Þµ (см.таблицу).
функцией Û
´Þ µ
№№
1
Þ
2
Ü2 · Ý2
3
Þ
2
Þ
Þ2
4
Þ
2
Þ2
5
Þ
2
Þ
6
Þ
2
7
Ý
1
8
Ü2 · Ý2
9
10
11
12
Ü
Ü
1
4
1
Þ
Þ·3
Þ·
1
2
Þ
Þ3
2
Ü
3
Þ·2
1
´Ü 1µ2 · Ý2
Ý
Þ
1
3
1
Þ2
Þ2 · 1
´Þµ
№№
Ü
16
Ý
17
18
0
Þ3
1
Þ3
Ü2 · ´Ý 1µ2
19
Ý
20
Ü
1
Ü2 · 1
2
·Ý
2
9
Þ2
2Þ · 3
Þ3
21
Ü
1
Þ3
22
Ý
Ü2
Þ
Ü2 · 2
Þ
23
Ý
24
Ý
Ü
Þ2
25
Ý
2Ü
26
Ü
1
Þ2 · 2
27
Þ
2
Þ2 · 2
Þ2 · 1
3
Þ2 · 1
28
Ý
Ü2
2Þ 1
Ý
0
Þ
2
29
Ü
0
Þ2
Ý
0
Þ3
30
Ý
0
Þ2 1
13
Þ
14
15
200
Типовой расчет
[ Прил.
Задание 7. Проверить условия КРЭД (Коши–Римана–
Эйлера–Даламбера) и, если они выполняются, найти производные функций:
1) Û Þ 2 · Þ ; 2) Û 4Þ 2 Þ ; 3) Û Þ 3 · Þ ; 4) Û Þ ¡ ÁÑ Þ ;
¡
Þ
1 2
; 6) Û ÜÝ Ü Ý 2 ; 7) Û Þ 2 ; 8) Û Þ 3 ;
5) Û
Þ
2
Þ ; 10) Û Þ ; 11) Û × Ò Þ ; 12) Û
9) Û
Þ;
Ê
Þ
ÁÑ
Þ
Þ ; 14) Û
; 15) Û
; 16) Û Ê Þ ;
13) Û
Þ
Þ
17) Û
Ó× Þ; 18) Û × Þ; 19) Û Þ2 2Þ · 1;
20) Û Þ 3 2Þ · 1; 21) , , , , – комплексные числа;
22) Û Þ · Þ 3 ; 23) Û Þ 2 · ÁÑ Þ ; 24) Û Þ 3 · Ê Þ ;
25) Û Þ 3 · ÁÑ Þ ; 26) Û Ü2 · Ý 2 · 2ÜÝ ;
¡
27) Û Ü2 Ý 2 · 2ÜÝ ; 28) Û Ü3 3ÜÝ 2 · 3Ü2 Ý Ý 3 ;
29) Û
3ÜÝ 2 Ü3 ·
¡
3Ü2 Ý Ý 3 ;
30) Û
2ÜÝ ·
Ü2
Ý2
Ù·
¡
.
Ú,
Задание 8. Найти аналитическую функцию Û
если:
1) Ù Ü2 Ý 2 · Ü Ý , Û ´0µ 0
2) Ú Ü3 · 6Ü2 Ý 3ÜÝ 2 2Ý 3 , Û ´0µ 0
3) Ù Ü2 Ý 2 · Ü , Û ´0µ 2
4) Ù Ü3 3ÜÝ 2 , Û ´0µ 0
Ü
5) Ú 2ÜÝ · 3Ü, Û ´0µ 0 6) Ú
, Û ´0µ 0, 5
Ü2 · Ý2 · 1
7) Ù Ü2 Ý 2 · 2Ü , Û ´ µ 1 8) Ù 2 Ü × Ò Ý , Û ´1µ 0
Ý
9) Ú
Ö Ø , Ü 0 10) Ú Ü2 · Ý 2 2Ý , Û ´ µ 1 Ü
Ü Ó× Ý , Û ´0µ 1 12) Ú
Ü × Ò Ý , Û ´0 µ 1
11) Ù
13) Ù Ü2 Ý 2 · 3Ü · Ý 4, Û ´1µ
14) Ú
15) Ù
16) Ù
17) Ù
19) Ù
20) Ù
21) Ú
22) Ú
2 Ü Ó× Ý , Û ´0µ 2 ´1 · µ
Ü3 3Ý 2 Ü · 2 , Û ´0µ 2 · 3
Ý·4
Ü2 Ý 2 · 5Ü Ý ·
, Û ´0µ 4 1 · Ü2 · Ý 2
Ü2 Ý 2 ÜÝ , Û ´0µ
18) Ú 2ÜÝ , Û ´0µ
2
2
Ü · Ý , Û´ µ 1 Ü
1
1·
, Û´0µ 0
2
1 · Ü2 · Ý 2
Ý
1
1·
, Û ´0 µ 0
2
1 · Ü2 · Ý 2
3Ü2 Ý Ý 3 , Û ´0µ 0
0
Прил. ]
Типовой расчет
201
23) Ù Ü2 · Ý 2 3Ü · 2Ý , Û´0µ
24) Ù × Ò Ü
Ý , Û ´0 µ 0
25) Ú Ó× Ü Ý , Û ´0µ 26) Ù
Ó× Ü Ý, Û ´0µ 1
27) Ú × Ò Ü × Ý , Û ´0µ 0 28) Ù 2ÜÝ 2Ý , Û ´1µ 29) Ú 2ÜÝ · Ü , Û ´1µ 1 · 30) Ù ÜÝ · Ü , Û ´0µ 2
Задание 9. Вычислить интегралы:
Ê 3
Ý 2 , соединяющая точки
1) Þ Þ , где — дуга параболы Ü
Þ 0 и Þ 1· .
Ê
2) ´Þ · 2Þ µ Þ , где — дуга окружности Þ
3)
Ê
ÁÑ Þ
Þ , если
2,
Ö
0
Þ
2
.
— прямолинейный отрезок, соединяющий
точку с точкой 2 · .
Ê
4)
Þ Þ , если путь интегрирования — верхняя половина
1 от точки Þ 1 до точки Þ 1.
окружности Þ
Ê
5) Þ Þ Þ , если путь интегрирования – правая половина
окружности Þ
1 от точки Þ
до точки Þ .
Ê
Þ Þ Þ , где — замкнутый контур, состоящий из верхней
6)
·
1 и отрезка 1 Ü 1, Ý 0.
половины окружности Þ
Ê
1 от
7)
Þ Þ , если — нижняя половина окружности Þ
точки Þ 1 до точки Þ 1.
Ê
8) Þ × Ò Þ Þ , где — отрезок оси 0Ü от точки Ü
Ü 1.
Ê
9)
Þ
·
10)
1Ê
1
·
1
Þ , где
´2 Þ · 1 µ
12)
Þ Þ , где
Þ 1, Þ
.
Ê
13) Þ Þ , где
1.
Þ , где путь — отрезок прямой, соединяющий
данные точки.
Ê
11) Þ ÁÑ Þ 2 Þ , где
Ê
— окружность Þ
0 до точки
Þ
1,
0
Ö
Þ
.
— треугольник с вершинами в точках Þ
— полуокружность Þ
3,
Ö
Þ
0,
0.
202
14)
Типовой расчет
Ê
Þ Þ , где
Ê
15)
·
[ Прил.
— радиус-вектор точки Þ
´Þ µÒ
Þ,
где
Ò — целое
2· .
число,
— окружность
Þ
Ê.
Ê 2
16) Þ Þ , интегрирование ведется по нижней полуокружности
Þ
17)
18)
Ê
1 от точки Þ 1 до точки Þ 1.
Þ
, где — линия из упражнения 16.
Þ
ÁÑ Þ
Þ , где
состоит из прямолинейного отрезка, соеди-
няющего точку 0 с точкой , и прямолинейного отрезка, соединяющего точку с точкой 2 · .
19)
·
1Ê
Þ Þ , если линией интегрирования является ломаная,
0
состоящая из отрезков, граничные точки которых находятся в
точках 0, , 1 · .
Ê Þ
, где
Þ Ê,
— число.
20)
· Þ Ê
21) Ê Þ Þ , где — ломаная, состоящая из прямолинейных
отрезков, соединяющих точки 0, 1, 1 · 3 .
22)
·
1Ê
0
´1 · 2Þµ
параболы Ý
23)
Ê
Þ Þ
Þ , если путем интегрирования является дуга
Ü2 .
Þ , если путем интегрирования является левая поло-
вина окружности Þ
24)
Ê
Þ Þ
1 от точки Þ
до точки Þ
.
Þ , если путем интегрирования является правая поло-
1 от точки Þ до точки Þ
.
вина окружности Þ
Ê
Þ
, где
Þ Ê.
25)
2
· ´Þ µ
Ê
26) ´2Þ · 3Þ µ Þ , где — контур, составленный из верхней по·
1 и диаметра, на который она опирается.
луокружности Þ
27)
Ê
·
Þ
¡Ê
Þ Þ , где
Þ
1
Прил. ]
Ê
28)
Типовой расчет
Ê
Þ Þ , где
·
2, Þ
·
¡
с вершинами в точках Þ
Þ
2
.
Ê
29) Þ Þ , где — дуга параболы Ü
Ê Þ
30)
Þ , где
203
Ø, Ý
2Ø2 , 0
Ø
0,
1.
— отрезок прямой, соединяющий точки Þ0
0
и Þ1 1 · 2 .
Задание 10. Вычислить интегралы, применяя формулу Коши, интегральную формулу Коши и формулу для производных
любого порядка от аналитической функции (направление обхода
путиÁ интегрирования положительное):
Á
Ó× Þ Þ , где
´ 3µÞ Þ, где
Þ 1 2)
1)
Þ Þ2 · 1
Ü2
3)
· Ý2Þ 2Ý
Á
Þ2 · 9
0
Þ , где
Þ
1
4) См. 3), где
5) См. 3) где
Þ·3
2
À
6) Почему к интегралу
´Ü 2ݵ ·
Þ
´2Ü · ݵ
3
2
Þ можно при-
менять теорему
Коши и утверждать, что он равен нулю, а к
À
интегралу ´Ü · 2Ý µ · ´2Ü Ý µ Þ теорему Коши применять
нельзя?
( — кусочно-гладкий Áконтур).
Á
Þ
× ÒÞ Þ
. 8)
7)
2
´Þ · µ2
´Þ 2µ Þ · 1
Þ 3
9)
Á
Þ 1 2
Þ ·2
Þ·1
Þ
Þ 3 ´Þ 2µ
10)
11) См. 10), где
Þ 2
12) См. 11), где
Þ 4
Á
Þ
13)
, где
Þ 2 · 4 ´Þ · 2µ
14) См. 13), где
Þ·2
16) См.13), где
Þ 2
Á
Þ Þ
18)
, где
´Þ · 1µ3 ´Þ 2µ
19) См. 18), где
20) См. 18), где
Þ
Þ
2
Á
Þ 3 0,5
× Ò 2Þ Þ
Þ 2 5Þ · 6
0,5
0,5
Þ
2
1
1
Þ
·1
1·
1
15) См. 13), где
17) См. 13), где
2
1
1,5
2
Þ
Þ
·2
3
1
204
Типовой расчет
21) См. 18), где
À
22) ´Þ µÒ Þ ,
23)
24)
25)
26)
27)
28)
Á
Á
Á
Á
Á
À
29)
[ Прил.
2 0,5
Ò — натуральное число.
Þ
× Ò Þ Þ, где
Þ2 · 4
Ü2
× Ò Þ Þ , где
Þ2 · 4
× Ò Þ Þ , где
Þ2 · 4
· Ý 2 · 6Ý
0
Ü2
· Ý 2 6Ý
Ü2
· Ý 2 6Ü 7
0
0
Þ Þ
´Þ µ3 ´Þ 1µ
, где
Ü2
· Ý 2 2Ý
Þ Þ
´Þ µ3 ´Þ 1µ
, где
Ü2
· Ý2
Þ Þ
´Þ µ3 ´Þ 1µ
× ÒÞ Þ
´Þ · 2 µ3
, где
Ü2
· Ý 2 2Ü
30)
Þ 3
Þ 4
0
4
0
× ÒÞ Þ
´Þ 2 µ3
Задание 11. Разложить функции в ряд Тейлора в окрестности точки Þ0 и найти радиус сходимости Ê:
Þ
1
, Þ0
2) Û
, Þ0 0
1) Û
Þ Þ2 · 4
Þ 1
3Þ , Þ
3) Û
, Þ0 0 4) Û
0
0
Þ2 4
5) Û × Ò Þ , Þ0
6) Û × Ò 2Þ , Þ0 0
7) Û
9) Û
11) Û
13) Û
15) Û
17) Û
19) Û
21) Û
Þ, Þ
0
2
0
Ó× Þ, Þ0 2
10) Û
Ó× Þ, Þ0
8) Û
Ó× 2Þ, Þ0 0
0
× 2Þ, Þ0 0 12) Û
Þ , Þ0 0
× Þ, Þ0 0 14) Û ´Þ · µ 1´Þ · 2 µ , Þ0 4
ÐÒ ´5 · Þµ , Þ0 1 16) Û Þ ·Þ 4 , Þ0 3
Þ
Þ
, Þ0 3 18) Û
´Þ 1µ ´Þ 3µ , Þ0 5
Þ 4
Þ
2
´Þ 2µ´Þ 4µ , Þ0 3 20) Û ÐÒ ´Þ 5 Þ · 6µ, Þ0
1
1
× Ò Þ , Þ0 2 22) Û ´Þ 1µ ´Þ · 2µ , Þ0 3
2
2
2
7
Прил. ]
23) Û
25) Û
27) Û
29) Û
Типовой расчет
Þ
´Þ · 1µ ´Þ · 4µ ,
2
´1 · Þµ3
1
Þ2 · 3
4
Þ0
, Þ0
0
, Þ0
1
1
´1 Þµ2
Þ ´Þ · 3µ
, Þ
´3 Þµ3 0
1
28) Û
Þ0
1
, Þ0
1
24) Û
26) Û
´Þ · 1µ ´Þ 2µ ,
205
0
1 · Þ2
2
, Þ0
, Þ0
0
0
2
2Þ 5
, Þ0
Þ 5·6
30) Û
0
2
Задание 12. Разложить функции в ряд Лорана.
1) Û
3) Û
5) Û
7) Û
9) Û
11) Û
12) Û
13) Û
15) Û
16) Û
´Þ 1µ
2
Þ
2
·1
; 2) Û
1;
2
1
´Þ µÒ ,
0 — целое, Þ0
Ò
;
´Þ · 1µ ´Þ 2µ2
, Þ0
1;
´Þ · 1µ ´Þ 2µ
, Þ0
2; 14) Û
Þ
Þ
2
Þ 3
, Þ0 2;
Þ 3Þ · 2
1
´Þ 1µ ´Þ 3µ в области 1
Þ 3
, Þ0
Þ 3Þ · 2
2
2
1
Þ 2 5Þ · 6
19) Û
в области Þ
Þ 2 5Þ · 6
Þ3
´Þ · 1µ ´Þ 2µ в кольце 0
1
в области 2
1
Þ ´Þ 3µ2
1
Þ
2
Þ2 9
в кольце 1
в кольце 1
2;
3;
Þ
1
Þ
3;
Þ
в области Þ
18) Û
22) Û
, Þ0
0; 4) Û
´Þ · 1µ ´Þ · 2µ
21) Û
Þ2 · 1
Ó× Þ ·1 1 , Þ0 1;
× Ò ´Þ 1 µ , Þ0 ; 6) Û ´Þ · 2µ × Ò Þ ·1 2 , Þ0 2;
1
1 ´Þ 2µ ´Þ 2µ3 , Þ
2; 8) Û ´Þ µ2 Ó×
, Þ0
0
Þ 1
1
, Þ
2; 10) Û
, Þ
2;
Þ ´Þ 2µ 0
Þ ´Þ · 2µ 0
Þ2 , Þ
0
17) Û
20) Û
´Þ 1µ
1
2
3;
Þ
·1
1
Þ 1
1;
3, Þ0
2, Þ0
2, Þ0
1;
1;
1;
;
206
Типовой расчет
1
23) Û
Þ 1
2
Þ2 · 4
[ Прил.
в области Þ
2, Þ0
0;
1
в кольце 0
Þ
1, Þ0 0;
Þ ´1 · Þ µ2
Þ 1
в кольце 2
Þ
3, Þ0 0;
2
Þ Þ 6
Þ 1
в области Þ
3, Þ0 0;
2
Þ Þ 6
24) Û
25) Û
26) Û
27) Û
´Þ 4µ ´Þ 6µ
1
в кольце 4
28) Û
´Þ 2µ ´Þ · 4µ
1
в области 2
1
6, Þ0
Þ
4, Þ0
Þ
½
2;
0;
1
, Þ0
; 30) Û
´Þ · 3µ ´Þ · 4µ , Þ0 7.
Þ2 4
Задание 13. Найти вычеты во всех конечных особых точках
функции Û
Þ :
× Ò 4Þ ; 2) Û
Þ2
Þ
; 3) Û
1) Û
4
´Þ · µ ´Þ 2 µ ;
´Þ 3µ
´Þ 3µ2
Þ
× Ò ´Þ 3µ ; 6) Û
Þ3
; 5) Û
;
4) Û
´Þ · 2µ ´Þ · 3µ
´Þ 1µ2 ´Þ · 1µ
Þ2 · 4
29) Û
´µ
7) Û
Ó× Þ1 ;
Þ
1
10) Û
13) Û
16) Û
19) Û
Þ
2
· 1 ´Þ 3µ
Ó× Þ ;
1
Þ
2
Þ ´Þ · 3µ
;
14) Û
Þ2
Þ Þ3
1
8) Û
;
× ÒÞ ;
´Þ · 1µ
1
20) Û
23) Û
25) Û
Þ2
;
´1 · Þµ3
26) Û
28) Û
Þ 1;
Þ2 · Þ3
1
´Þ 2µ2
17) Û
;
22) Û
11) Û
Þ
29) Û
1
Þ
3
Þ
;
·1
Ó× Þ ;
Þ 4 ´Þ · 5µ
2
1
Þ
2
2
Þ 2 ´Þ · 1µ
·4
; 15) Û
1
Þ Þ
1
; 9) Û
·1
2
;
;
12) Û
× ÒÞ;
Þ2
× ÒÞ
;
´Þ 1µ2 ´Þ · µ
18) Û
21) Û
; 24) Û
1
´Þ 2µ ;
Þ4 1
;
Þ6 1
1
Þ Þ
2
·9
1
× Ò Þ ; 27) Û Ø Þ ;
Ó× Þ ; 30) Û
1
.
´Þ 1µ2
Þ 3 ´Þ 2 µ
;
Задание 14. Вычислить интегралы по замкнутому контуру с
помощью вычетов (направление обхода контуров является положительным).
Прил. ]
Типовой расчет
Á
1)
× Ò 5Þ Þ
;
´Þ 1µ ´Þ 2µ ´Þ 5µ
2)
2
Þ 4
Á
4)
Þ 2
Þ Þ
3
Þ 2
Á
7)
Þ 3
Þ;
2
Þ Þ
´Þ 2µ2 ´Þ ·
Á
9)
Þ Þ
2
;
· 1 ´Þ 3µ
Þ
2
Þ2 · 1
Þ 0,5
Á
Þ 2
Þ Þ
´Þ 2µ2 ´Þ ·
Þ·
;
1
10)
; 12)
2
Þ
;
2
´Þ 3µ
´Þ 1µ Þ
;
3
µ
Á
16)
Þ 2
Á
6)
Þ 1,5
´Þ 3µ2
Þ
· 1 ´Þ 3µ2
Á
Þ 4
Þ
Þ 0,5
· 1 ´Þ 3µ2
Þ Þ
´Þ 1µ Þ3
Þ Þ
´Þ 1 µ Þ 3
4
Þ Þ
´Þ 2µ2 ´Þ ·
µ
;
;
Þ
2
Þ4 Þ
;
Þ6 1
;
Þ
2
Á
14)
;
Á
3)
Þ
Þ2 · 1
Þ 15
· 1 ´Þ 3µ
Þ Þ
Á
207
Þ 12 Þ
;
Þ8 · 1
Á
8)
2
1
Á
15)
µ
Þ
Þ 3·
13)
Þ 2 1
Þ
1
Á
11)
Á
5)
Á
;
;
;
Þ 1 0 5
Þ 1 2
Á
Á
Á
Þ Þ
Þ Þ
Þ Þ
17)
; 18)
; 19)
;
2
2
2
2× Ò Þ 3
2× Ò Þ 3
Þ ´Þ · µ
Þ 1
Þ 2
Þ 2
Á
Á
Á
Þ3 Þ
Þ5 Þ
× Ò Þ Þ;
; 21)
; 22)
20)
Þ8 · 1
Þ 10 1
Þ 2 · 2Þ
Þ 2
Þ 3
Þ 3
Á
Á
Ó× Þ Þ; 24)
× Ò Þ Þ ; 25) Á Þ · Þ Þ ;
23)
Þ 2 · 2Þ
Þ2 · 1
Þ2 · Þ
Þ 3
Þ 2
Þ 2
Á
Á
Á
Þ2 Þ
Þ3 Þ
Þ3 Þ
;
27)
;
28)
;
26)
Þ3 8
´Þ · 1µ2 ´Þ · µ
´Þ · 1µ2 ´Þ · µ
Þ 3
Þ 2
Þ ·1 1
Á
Á
Þ
Þ
; 30)
.
29)
Þ2 ´ Þ µ
Þ2 ´ Þ µ
1
Þ 2
Þ 1 2
Задание 15. Вычислить интегралы (Ü — действительная пе-
ременная):
·
½
1)
4)
´Ü · 1µ
2
·
½
½
½
Ü
3
; 2)
·
½
½
Ü
Ü4 Ü
;
´1 · Ü2 µ4
´Ü2 · 1µ´Ü2 · 25µ´Ü2 · 9µ
;
5)
3)
·
·
½
½
½
½
Ü
´Ü · 16µ´Ü2 · 4µ
2
Ü
;
4
Ü · Ü2 · 1
;
·
½
6)
½
Ü4 Ü
;
´1 · 4Ü2 µ4
208
Типовой расчет
·
½
7)
0
Ó× Ü
Ü2 · 4
·
½
10)
0
½
13)
Ü;
½
16)
½
·
½
19)
½
·
½
22)
½
·
½
25)
½
·
½
28)
½
·
11)
½
·
;
2
1·Ü
14)
½
Ó× Ü
Ü2 · 36
Ü;
·
17)
½
Ó× 3Ü
Ü2 · 25
Ü;
·
20)
½
½
Ó× 3Ü
Ü2 · 4
·
Ü;
23)
½
Ü Ó× Ü
Ü;
Ü2 · 9
2
·
½
26)
½
Ü2 Ó× 3Ü
Ü;
Ü2 · 9
;
4
·
12)
Ü;
Ü;
½
Ü
Ü
·
½
½
· 25
·
Ü2
Ü2 · 49
½
Ü;
·
24)
Ü·3
½
Ü2 · 1
½
·
½
27)
½
·4
Ü;
2
30)
2
2Ü · 1
Ü4 · 1
·
½
Ü2
2
;
1 Ü
Ü;
Ü4 · 1
½
21)
Ü;
2
Ü2 · 1
Ü;
Ü4 · 1
2
18)
Ü × Ò 2Ü
Ü;
Ü4 · 1
Ü
½
½
× Ò 3Ü
Ü2 · 9
½
·
15)
Ü;
2
·
½
× ÒÜ
Ü2 · 1
½
29)
0
× Ò 4Ü
Ü2 · 1
½
× ÒÜ
Ü2 · 1
½
4 · Ü2
½
·
9)
Ü
Ó× Ü
Ü2 · 9
½
2
·
Ü× ÒÜ
Ü;
Ü2 · 1
½
Ü2 Ü
½
8)
0
Ó× Ü
Ü2 · 16
·
·
½
Ü;
[ Прил.
½
Ü;
2
Ü;
Ü;
Ü·2
Ü.
Ü4 · 16
Задание 16. Вычислить интегралы, используя вычеты:
2
1)
5·3
0
2
5
0
2
0
2
17
Ô
10)
0
· × ÒØ
Ø
Ô
7)
Ó× Ø ;
Ø
Ô
4)
2
Ø
37
0
2
26
0
2
11)
0
· × ÒØ
2
0
2
;
Ø
Ô
3)
Ø
Ô
6)
0
· Ó× Ø
Ø
;
3 2× ÒØ
17
0
2
;
12)
0
;
Ø
Ô
9)
;
· Ó× Ø
10
2
Ø
Ô
; 8)
· × ÒØ
Ø
;
· Ó× Ø
5
0
2
;
· Ó× Ø
2
Ô
; 5)
· Ó× Ø
Ø
Ô
2)
2
Ø
· × ÒØ
Ó× Ø Ø
× Ò Ø · 6;
;
Прил. ]
Типовой расчет
2
13)
0
2
16)
0
2
19)
0
2
21)
0
2
24)
´5 · 4 Ó× Øµ
0
2
28)
0
2
30)
0
2
; 14)
Ø; 17)
0
Ø
2
Ó× Ø
; 15)
0
Ó× Ø ·
1 2
,
0;
2
,
´3 · 2 Ó× Øµ
0
Ø;
Ó× Ø · Ô2
, 0
Ó×2 3Ø Ø ,
1 2Ô Ó× 2Ø · Ô2
Ó× Ø
Ø
1 2Ô × Ò Ø · Ô2
, 0
2
Ô
;
;
Ô
· × ÒØ
Ø;
0
26)
1·
0
Ø
Ó×2 Ø
;
1;
1;
29)
0
Ô
Ó×4 Ø
23)
2
0
Ø
26
;
· Ó×2 Ø
2
1 · × Ò2 Ø
0
Ø
Ø
20)
× Ò Ø · Ó× Ø · 2
Ø
25)
Ô
0
Ø
2
0;
«
1; 18)
0
; 22)
2
Ø
× Ò Ø · «,
2
Ø
2
Ø
1 2Ô
Ø
2
´ · Ó× Øµ2
Ó×2 Ø
5» 4
0
2
2 · Ó× Ø
2 × ÒØ
0
2
27)
2
Ø
209
1.
Ó× 2Ø Ø ,
1 2Ô Ó× Ø · Ô2
Ô
1;
;
Список литературы
1. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1969.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1984.
3. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач
по теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1975.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Т.2. — М.: Высшая школа, 1986.
5. Карасёв И.П. Функции комплексного переменного: Методические указания к практическим занятиям. — Рязань: Ред.-изд. центр
РГРТА, 1987.
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1987.
7. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. —
М.: Наука, 1978.
8. Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного. — М.:
Изд-во МГТУ, 2000.
9. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Высшая школа, 1999.
10. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. — М.:
Физматлит, 2006.
Предметный указатель
Абеля теорема, 101
Алгебраическая форма комплексного числа, 13
Аналитическая функция, 35
Аналитическое продолжение,
111
Аналитичность суммы степенного ряда, 105
Аргумент комплексного числа,
13
Арккосинус, 60
Арксинус, 60
Бесконечно удаленная точка, 23
Биноминальный ряд, 114, 131
Вейерштрасса признак, 96
Ветвь многозначной функции,
53
Взаимно однозначное соответствие, 27
Вычет функции, 145
— — логарифмический, 154
— — относительно бесконечно
удаленной точки, 149
— — — полюса, 147, 148
Вычисление интегралов с помощью вычетов, 159
Вычитание комплексных чисел,
10
Гармоническая функция, 45
Геометрическая интерпретация
комплексных чисел, 9
Гиперболические функции, 56
Главная часть ряда Лорана, 129
Главное значение аргумента, 14
— — логарифма, 55
Граница области, 24
Даламбера признак, 94
Действительная ось, 10
— часть комплексного числа, 9
Деление комплексных чисел, 11
Дифференциал функции, 30
Дифференцирование изображения, 180
— оригинала, 176
Дифференцируемость функции,
30
Дробно-линейная функция, 40
Дробно-рациональная функция,
141
Дюамеля формула, 179
Единица мнимая, 9
Единственность разложения в
степенной ряд, 107
Жордана кривая, 25
— лемма, 162
Жуковского функция, 62
Замкнутая кривая Жордана, 25
— область, 24
Извлечение корня из комплексного числа, 17
Изображение интеграла, 177
— производной, 176
— свертки функций, 178
Инвариантность двойного отношения, 44
Инверсия, 42
Интеграл Дюамеля, 179
— неопределенный, 77
212
Предметный указатель
Интеграл функции комплексного
переменного, 70
Интегральная формула Коши, 81
Интегрирование изображения,
180
— оригинала, 177
Классификация особых точек,
изолированных, 133
— — — на бесконечности, 139
Комплексная плоскость, 10
— — расширенная, 23
Комплексное число, 9
— — , алгебраическая форма, 13
— — , аргумент, 13
— — , модуль, 13
— — , показательная форма, 14
— — , тригонометрическая форма, 13
Комплексные числа сопряженные, 9
— — , последовательность, 22
— — , равенство, 9
— — , сложение, 10
— — , умножение, 11
Конформное отображение, 40
Коэффициент растяжения в точке при отображении, 39
Кратность нуля аналитической
функции, 109
Критерий дифференцируемости,
32
— Коши, 23, 94, 96
Круг сходимости степенного ряда, 102
Лапласа преобразование, 173
Линейность изображения, 176
Лиувилля теорема, 120
Логарифм комплексного числа,
54
Логарифмический вычет, 154
Лорана ряд, 126
— теорема, 127
Мажорирующий ряд, 96
Меллина формула, 184
Мнимая единица, 9
— ось, 10
— часть комплексного числа, 9
Многозначная функция, 26
Многосвязная область, 25
Модуль комплексного числа, 13
Муавра формула, 16
Направление обхода положительное, 25
Необходимое и достаточное
условия дифференцируемости функции, 32
Необходимое условие сходимости ряда, 93
Неподвижные точки дробно-линейного отображения, 44
Непрерывность функции, 28
Нуль функции, 108
Область, 24
— замкнутая, 24
— многосвязная, 25
— односвязная, 25
— существования функции, 26
— сходимости, 95
Обратная функция, 27
Обратные функции, гиперболические, 62
— — , тригонометрические, 60
Общая функция, показательная,
59
— — , степенная, 59
Окрестность бесконечно удаленной точки, 23, 139
— точки, 22
Операционное исчисление, 173
Операционный метод решения
дифференциальных уравнений, 189
— — решения систем дифференциальных уравнений, 191
Оригинал, 173
Основная теорема высшей алгебры, 121, 158
Особая точка, 113
Остаток ряда, 93, 96
Предметный указатель
Отображение дробно-линейное,
41
— конформное, 40
Первообразная, 77
Подстановка ряда в ряд, 115, 119
Показательная форма комплексного числа, 14
— функция, 49
Полюс, 133
— кратный, 135
— простой, 135
Предел функции в точке, 27
— числовой последовательности,
22
Признак Даламбера, 94
— Коши, 94
— равномерной сходимости
(признак Вейерштрасса), 96
Принцип аргумента, 157
— максимума модуля, 119
Произведение комплексных чисел, 11
Производная, 30
Производные высших порядков,
84
Простой нуль, 109
Путь интегрирования, 70
Равенство комплексных чисел, 9
Равномерная сходимость ряда,
95
Радиус сходимости, 102
Руше теорема, 158
Ряд, 93, 95
— абсолютно сходящийся, 94
— Лорана, 126
— — , главная часть, 129
— — , правильная часть, 129
— расходящийся, 93
— степенной, 101
— , сумма, 93, 95
— Тейлора, 107
Свёртка функций, 178
Сложение комплексных чисел,
10
213
Сохоцкого теорема, 137
Степенная функция, 48
Степенные ряды, 101
Сумма интегральная, 70
— ряда, 93, 95
— частичная, 93, 95
Существенно особая точка, 133,
137
Сходящаяся последовательность, 22
Таблица изображений, 188
Тейлора ряд, 105
Теорема Коши
— — для многосвязной области,
78
— — для односвязной области,
74
— — интегральная, 81
— Лорана, 127
— о разложении аналитической
функции в степенной ряд,
106
— о сумме вычетов, 151, 152
— разложения
— — вторая, 186
— — первая, 185
Тригонометрическая форма комплексного числа, 13
Тригонометрические функции,
56
Умножение комплексных чисел,
11
Условия КРЭД, 32
— существования изображения,
174
Устранимая особая точка, 133
Форма записи комплексного числа, алгебраическая, 13
— — — — , пара, 9
— — — — , показательная, 14
— — — — , тригонометрическая,
13
Формула Коши интегральная, 81
— Меллина, 184
214
Предметный указатель
Формула Муавра, 16
— Ньютона–Лейбница, 77
— Эйлера, 14
Формулы для производных аналитической функции, 84
Функция гармоническая, 45
— дробно-рациональная, 141
— Жуковского, 62
Функция комплексного переменного, 26
— логарифмическая, 54
— мероморфная, 141
— многозначная, 26
— обратная, 27
— степенная, 48
— трансцендентная, 141
— целая, 141
Документ
Категория
Математика
Просмотров
70
Размер файла
1 653 Кб
Теги
323
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа