close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

348

код для вставкиСкачать
КАФЕДРА СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНОЙ И
КВАНТОВОЙ РАДИОТЕХНИКИ (СВЧиКР)
Е.В. Падусова, С.Н. Шарангович
РАСЧЁТ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
И ОБЪЁМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
2009
2
Федеральное агентство по образованию
Томский Государственный Университет Систем
Управления и Радиоэлектроники
Е.В. Падусова, С.Н. Шарангович
РАСЧЁТ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ И
ОБЪЁМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ.
Учебное пособие
Рекомендовано
Сибирским региональным отделением
учебно-методического объединения высших учебных заведений РФ
по образованию в области радиотехники, электроники,
биомедицинской техники и автоматизации
для межвузовского использования в качестве учебного пособия
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
210300 «Радиотехника», 210400 «Телекоммуникации»
Томск 2009
3
УДК 537.8(075.8) + 621.371(075.8)
Рецензенты:
Гошин Г.Г. , д-р физ.-мат наук, проф. ТУСУРа;
Тихомиров А.А. , д-р техн. наук, проф. Института мониторинга
климатических и экологических систем СО РАН;
Саломатов Ю.П. , доц., к-т техн. наук, зав.каф . «Радиофизика»
Института ИФ и РЭ Сибирского федерального университета
Расчѐт диэлектрических волноводов и объѐмных резонаторов: учеб. пособие //
Падусова Е.В., Шарангович С.Н. / Под ред. С.Н. Шаранговича – Томск: Томск.
гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2009. -116 с.
В учебном пособии приведены основные теоретические материалы по
расчету объемных и планарных диэлектрических волноводов и объѐмных
резонаторов сантиметрового,
миллиметрового и оптического диапазонов.
Представлены методики и примеры расчетов конкретных волноводных и
резонаторных структур.
Даны рекомендации по выполнению курсовых работ по дисциплинам
“Электромагнитные поля и волны" и «Электродинамика и распространение
радиоволн» для
студентов специальностей: 210401 «Физика и техника
оптической связи», 210302 «Радиотехника», обучающихся по дневной, очнозаочной и вечерней формах обучения.
© Падусова Е.В., Шарангович С.Н., 2009
© Томский гос. ун-т систем управления
и радиоэлектроники, 2009.
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение………………………………………………………………..………………5
Глава 1 Основные теоретические предпосылки…………………..…………….8
1.1 Уравнения Максвелла в обобщѐнной системе координат…….………….. 8
1.2 Волновые уравнения…………….…………………………….……….……12
1.3 Анализ уравнений ……….……… ……………………………………...….13
1.4 Инвариантная форма уравнений……….……………………………..…….14
1.5 Типы диэлектрических волноводов………………….……………………..15
Глава 2 Расчѐт диэлектрических волноводов………………………………….18
2.1 Прямоугольный симметричный диэлектрический волновод………….....18
2.2 Планарный диэлектрический волновод……………………………………35
2.3 Несимметричный диэлектрический волновод……………………………..37
2.4 Цилиндрический диэлектрический волновод……………...………………49
Глава 3 Расчѐт объѐмных резонаторов………………….…….……………..…59
3.1 Диэлектрический Н-образный резонатор…………….……………………59
3.2 Планарные диэлектрические резонаторы………………………………….62
3.2.1 Круглый планарный резонатор……………………………………..62
3.2.2 Прямоугольный планарный резонатор…………………………….67
Глава 4 Примеры расчетов ……………………………………………….………71
4.1 Расчѐт симметричного диэлектрического волновода……………….…….71
4.2 Расчѐт несимметричного диэлектрического волновода.………………….80
4.3 Расчѐт круглого диэлектрического волновода………………………….…89
4.4 Расчѐт Н- образного диэлектрического резонатора…………………….…95
4.5 Расчѐт круглого планарного резонатора…………………………………...97
4.6 Расчѐт прямоугольного планарного резонатора …………….……….…104
Литература…………………………………………………….……………….......110
Приложение А Типовое задание на курсовую работу…………....……………..112
Приложение Б Варианты заданий……………………….…………...………….113
Список основных обозначений…………………………………….…………….114
5
ВВЕДЕНИЕ
Широкое
резонаторов
в
применение диэлектрических
сантиметровом,
волноводов
и
объѐмных
миллиметровом и оптическом диапазонах
определяет целесообразность применения их расчѐтов в качестве тем курсовых
работ по курсам “ Электродинамика и распространение радиоволн” и
“Электромагнитные поля и волны”.
В данном учебном пособии приведены основные теоретические материалы,
которые используются
диэлектрических
при выполнении курсовых работ по
расчѐту
волноводов и объемных резонаторов, даны методические
рекомендации и примеры расчета некоторых конкретных структур.
Пособие состоит из четырех разделов. Первый раздел посвящен описанию
волновых уравнений в различных системах координат. Во втором разделе
представлены методики расчета
диэлектрических волноводов, в третьем –
объемных резонаторов. В четвертом разделе даны примеры расчета объемных и
планарных
диэлектрических
волноводов
и
резонаторов.
В
приложениях
представлены типовое задание на курсовую работу и исходные данные для ее
выполнения для различных типов
рассчитываемых электродинамических
структур. Список литературы [1-11] включает источники, рекомендуемые для
самостоятельного и более углубленного
изучения вопросов, выносимых на
курсовое проектирование.
Тематика курсовых работ охватывает следующие направления :
1. Диэлектрические прямоугольные волноводы.
6
2. Планарные волноводы на металлической подложке.
3. Планарные волноводы интегральных оптических систем.
4. Диэлектрические круглые волноводы.
5. Диэлектрические Н-образные прямоугольные резонаторы.
6. Диэлектрические цилиндрические резонаторы
7. Планарные прямоугольные резонаторы.
8. Планарные круглые резонаторы.
В ходе
выполнения курсовых работ рекомендуется придерживаться
следующего плана:
1. Записать уравнения Максвелла в дифференциальной форме в выбранной
системе координат, воспользовавшись обобщѐнной формой их записи.
2. Записать
уравнения, определяющие
структуру
поля
для
конкретного
диэлектрического волновода или резонатора, заданного в задании.
3. Записать волновое уравнение и решить его для продольной составляющей
поля с применением граничных условий.
4. Вывести дисперсионное
уравнение и
решить его
численным
или
графическим методом.
5. Определить необходимые геометрические размеры.
6. Определить продольные и поперечные постоянные распространения.
7. Построить графики зависимости
поперечных
и продольной
постоянных
распространения от частоты в заданном диапазоне.
8. Определить критическую
частоту
и критическую длину
волны
для
7
заданного типа колебаний.
9. Построить структуру поля в волноводе.
10. Определить волновое сопротивление волновода.
11. Записать
формулу
для
мощности, канализируемой
по
волноводу и
рассчитать еѐ для заданного волновода.
12. Определить потери в волноводе.
13. При расчѐте резонаторов определить его продольный размер и построить
структуру поля в резонаторе.
При оформлении курсовой работы следует придерживаться общих
требований и правил Образовательного стандарта ТУСУРа
[12,13].
Учебное
пособие предназначено для студентов всех форм обучения направления
подготовки «Радиотехника» и «Телекоммуникации» по специальностям 210302
«Радиотехника» и 210401 «Физика и техника оптической связи».
8
ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
1.1 Уравнения Максвелла в обобщённой системе координат.
Записываются для обобщѐнной криволинейной системы координат
и
используются при решении задач в различных конкретных системах координат.
rot H  j 
rot E   j 
где
E  E
q1 , q 2 , q 3   е
0
Векторы
и
Е
j t
в
Н
H  H
,
,
E
a
a
H
(1.1)
,
q1 , q 2 , q 3   e
0
обобщѐнной
j t
системе координат
могут
быть
представлены в виде суммы проекций

Е  е1 E q  е 2 E q
1

Н  е1 Н
где
Eq
1
е 1, е 2 , е 3
,
Eq
2
,
Для
Eq
3
и
q1
 е2 Н
q2
 е3 E q
3
 е3 Н
q3
 exp
 j t  ,
(1.2)
 exp  j  t  ,
(1.3)
- единичные векторы соответствующие координатам
H
q1
,
H
q2
,
H
q3
- проекции ортов
нахождения векторов
спроектировать
2
Е
и
Н
Е
и
Н
q1, q2, q3;
на эти направления.
уравнения Максвелла (1.1) нужно
на оси координат, используя известную
формулу [1]. В
обобщѐнной системе координат выражения для rot Н и rot E имеют вид
9
rot Н 
1

h1 h 2 h 3
h1 е 1
h2 е 2
h3 е 3



 q1
q 2
q3
h1 H
h2 H
q1
h3 H
q2
1
rot Е 
,
h1 е 1
h2 е 2
h3 е 3



 q1
q 2
q3

h1 h 2 h 3
h1 Е q
q3
h2 Е q
1
h3 Е q
2
.
3
Используя данные выражения, систему (1.1) представим в виде
1
h1 е 1
h2 е 2
h3 е 3



 q1
q 2
q3

h1 h 2 h 3
h1 H
1
h1 h 2 h 3

h2 H
q1
h3 H
q2
h2 е 2
h3 е 3



 q1
q 2
q3
h2 Е q
1
h3 Е q
2
a
е 1 E q
1
 е2Eq  е3Eq
2
3
,
(1.4а)
q3
h1 е 1
h1 Е q
 j 
  j 
a
е 1 Н q
 е2Н
1
q2
 е3Н
q3
 . (1.4б)
3
В уравнениях (1.4a) и (1.4b) h1, h2, h3 - коэффициенты Ламе, позволяющие
записать уравнения в любой системе координат. Раскрыв определители, получим
систему уравнений, определяющих проекции векторов
и
Е
Н
на оси q1 и q2
обобщѐнной системы координат:
j 
j 
1
aEq 
2
 j  a H
 j 
Диэлектрические
1
aEq 
a
H
h2 h3
1
h1 h 3
q1
q2


 (h2 H
  ( h3 H q3 )



q 2
q3

 ( h3 H
  ( h1 H q1 )



q3
 q1

q3
q2
)



)



,
,
(1.5)
 (h2 E q ) 
  ( h3 E q )
,



h 2 h 3 
q2
q3

1
1
h1 h 3
3
2
 ( h3 E q
  ( h1 E q1 )
3



q3
 q1

волноводы
)
.


предназначены
для
передачи
10
электромагнитной
предположения о
Н
энергии, поэтому при их расчѐте нужно исходить из
волновом
характере поля и, в дальнейшем, векторы
и
Е
представлять в виде:
Е  Е  q 1 , q 2  exp j  t   q 3 
Н  Н  q 1 , q 2  exp
,
(1.6)
j  t   q 3  .
(1.7)
При этом нужно иметь в виду, что ось q3 является
продольной осью, вдоль
которой идѐт распространение волны.
После подстановки (1.6) и (1.7) в (1.5)
производных
(т.е.

замены
 j
q3
и
взятия
можно
),
соответствующих
определить
составляющие полей, выразив их через продольные составляющие В результате будет
получена
основная
система
поперечные
Eq
3
и
H
q3
.
уравнений, с помощью
которой, в дальнейшем, можно записать выражения определяющие структуру
полей в любом волноводе:
2
  Eq  j
1
2
  Eq
 j
2
q1
2
  H

q2

E q


h2
 j
3

H

a
H


a
q3
q3
q 2
 j

a
H

h1
a
,
q3


Е q
(1.8)
,
 q1
h2
 j
q3
q 2
h1
 q1
H

h2
q 2
h1
 j
 j
3
 q1
h1

 j
E q

h2
2
  H

3
q 2
E q
3
 q1
,
.
Диэлектрический волновод будем рассматривать состоящим
из двух
11
частей: собственно волновода (диэлектрический стержень или пластина) и
окружающего, чаще всего, воздушного пространства. Поэтому поле существует в
двух областях, как внутри диэлектрического стержня или пластины, так и во
внешнем пространстве. Следовательно, и уравнения (1.8) должны быть записаны
II
I
I
для двух областей : область I ( Е , Н ) и область II ( Е , Н
В уравнениях (1.8)

2
 k
2
 
2
II
).
- квадрат поперечной постоянной
распространения. Эта постоянная, тоже должна иметь два значения:
1 
k
 
2
2 
k0  
2
2
2
для области I ,
для области II, если окружающая среда- воздух.
Соответственно:
k= 
 0 а
=


r
- постоянная распространения волны в
c
свободном пространстве с параметрами
распространения волны в свободном
Постоянные распространения k0 и
=
с0
f

и
0
,
k 0 =
пространстве с
 0 0
=
2

-постоянная
параметрами
0
и
0,

выражаются через длины волн :  и

.
- длина волны свободного пространства,
с = 3х108
0
а
- постоянная распространения волны в волноводе.
  2 / 


м
с
– скорость света в воздушном пространстве, f – заданная частота,
-длина волны в волноводе.
Она неизвестна и должна быть определена в
ходе расчѐта.
Из уравнений системы (1.8) следует, что поперечные составляющие
12
поля
Eq
1
,
Eq
2
составляющие
и
Eq
H
q1
3
,
и
H
H
q2
q3
можно определить, если будут известны продольные
. Для их нахождения необходимо вывести ещѐ одно
уравнение, которое называется волновым или мембранным.
1.2. Волновые уравнения
Волновое уравнение выводится из уравнений Максвелла (1.1), путѐм
проведения операции rot над их обеими частями. Для изотропных сред получим
rotrot
Так как
rot Е   j 
0
Н
Н  j 
rot E
a
.
, то можно это уравнение записать в виде
rotrot
Н  k
2
Н.
Применяя известное из векторной алгебры тождество rotrot=graddiv-

,
а также положив div Н =0, можно окончательно записать:
 Н
= -k
2
Н
.
(1.9)
Это уравнение и является волновым. Аналогичным образом можно вывести
уравнение
 Е
Таким
образом,
распространяющегося
из
вдоль
(1.9)
= -k Е .
(1.10)
2
и
(1.10)
волновода
следовательно, и продольные составляющие
видно,
что
все
электромагнитного
Eq
3
и
H
q3
волновым уравнениям.
Именно эти уравнения используются для их определения.
векторы,
поля,
а
, удовлетворяют
13
Дифференциальный оператор

, входящий в волновые уравнения, является
оператором “ Лапласа “ и в обобщѐнной системе координат имеет вид:
 
   h2 h3 



h 1 h 2 h 3   q 1  h 1  q 1
1




 q 2
 h1 h 3 


 h2 q 2




 q3
 h1 h 2 


 h3 q 3
Внеся в уравнение (1.11) под знак производных
волновые уравнения для продольных составляющих
Eq
Eq




.
и
H
3
и
3
H
q3
(1.11)
q3
,
получим
, которые в
окончательном виде выглядят следующим образом:
   h 2 h3


h1 h 2 h 3   q 1  h1

 E q

 q
1

  h h

 2 3
h1 h 2 h 3   q 1  h1

 H q

 q
1

1
1
3
3


 
  q
2

h h
 1 3
 h
 2
 E q

 q
2



 
  q
2

h h
 1 3
 h
 2
 H q

 q
2

3
3


 
  q
3

h h
 1 2
 h
 3
 E q

 q
3



 
  q
3

h h
 1 2
 h
 3
 H q

 q
3

3
3

  k2Eq



2
  k H


, (1.12а)
3
q3
.(1.12б)
Подставляя в (1.8), (1.12) значения коэффициентов Ламе: (h1=1, h2=1,
h3=1) для прямоугольной системы
координат
и
(h1=1, h2=  , h3=1)
для
цилиндрической, заменяя q1 , q2 , q3 через соответствующие координаты (x,y,z)
или (  ,  ,z) , можно записать выражения для поперечных составляющих поля
и волновые уравнения в соответствующих системах координат.
1.3 Анализ системы уравнений
Если
внимательно рассмотреть
систему уравнений (1.8), то легко
заметить, что она представляет сумму двух частных и независимых решений,
14
одно из которых выражается через продольную составляющую электрического
поля
Eq
, другое через продольную составляющую магнитного поля
3
Каждое
из
этих
электромагнитной
волне,
решений
соответствует
которая может независимо
H
q3
.
самостоятельной
распространяться по
волноводу и имеет собственное название. Так волна содержащая продольную
электрическую составляющую
Eq
поперечной магнитной волной.
составляющую
H
q3
3
( H q =0 ) называется волной типа Е
или
3
Волна содержащая продольную магнитную
( E q =0) является волной типа Н или поперечной
3
электрической волной. Существуют также волны гибридного типа ЕН, у них
не равны нулю как
Eq
3
, так и
H
q3
, но о них мы будем говорить позднее.
Если в задании указана волна типа Е, положите в уравнениях (1.8)
H
q3
=0 и добавьте к системе уравнений волновое уравнение ( 1.12а.)
Если же в задании указана волна типа Н, положите в уравнениях (1.8)
Eq
3
=0 и добавьте к системе уравнений волновое уравнение (1.12б).
Таким образом, получите необходимые для решения уравнения в заданной
системе координат.
1.4 Инвариантная форма
Для
определения
поперечных
компонент
поля
можно
также
воспользоваться инвариантной по отношению к системе координат формой:
 
2
E   j  grad

E q  j 
3
a
grad

H
q3 e 3
,
(1.14)
15
2
  H
где
H

H

 iH
 0H
q1
x
 jH
  0H
q2
y
,
,

 j  grad

E   iE x  jE
y
H
q3
 j 
a
grad

E q e3
3
,
, . - в прямоугольной системе координат;
E    0 E q   0 E
1
,
grad

 0



1
0

 
-
в
цилиндрической системе координат.
Положив в (1.14
)
поперечные составляющие
H
q3
=0,
получают выражения, определяющие
для волн типа Е. Для
определяющих поперечные составляющие поля
положите
Eq
Н ,
получения выражений,
в уравнениях (1.14)
=0.
3
1.5 Типы диэлектрических волноводов.
На
рис.1
и
рис.2
представлены
симметричный
прямоугольный
диэлектрический волновод и планарный волновод, а на рис.3 несимметричный
диэлектрический волновод.
Рис.1
Схема
симметричного Рис.2 Схема планарного волновода
прямоугольного
диэлектрического
волновода
16
Рис. 3 Схема несимметричного диэлектрического волновода.
На рис.4 и рис.5 представлены диэлектрический круглый волновод и
диэлектрический круглый волновод с центральным металлическим стержнем.
Рис.4
Схема
диэлектрического Рис.5 Схема диэлектрического круглого
круглого волновода
волновода
с
центральным
металлическим стержнем
Некоторые из этих структур нашли применение в оптическом диапазоне
частот. Так круглый диэлектрический волновод является моделью оптического
волновода – световода.
Наиболее простыми моделями являются прямоугольные диэлектрические
и планарные
волноводы,
неограниченные
по одному
из
направлений. В этом случае получены простые дисперсионные
поперечных
уравнения,
которые имеют достаточно простые решения и физические трактовки.
В случае
ограниченных
по обеим поперечным осям прямоугольных
17
волноводов, дисперсионные уравнения имеют более сложный вид, которые,
однако, можно решить с помощью ЭВМ. В таких волноводах распространяются
гибридные волны ЕН. Они имеют более сложную структуру поля. Круглому
волноводу свойственны гибридные волны и справедливо всѐ, что было сказано
выше об этих волнах.
Однако в них могут существовать и симметричные волны, не зависящие
от координаты

, для которых получены более простые решения.
Ниже будут приведены примеры решений для некоторых прямоугольных,
планарных, круглых волноводов и планарных объѐмных резонаторов.
18
ГЛАВА 2 РАСЧЁТ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ.
2.1 Прямоугольный симметричный диэлектрический волновод
Плоская диэлектрическая пластина с параметрами μ0, εа толщиной 2d в
направлении координаты у, бесконечно протяженная вдоль координаты х и
неограниченная по оси z
находится в воздухе (рис. 6).
Рис. 6 Схема возбуждения прямоугольного диэлектрического волновода
При z=0 пластина обрывается и входит в рупор, также бесконечно
протяженный вдоль оси X и создающий электромагнитное поле излучения,
максимум которого совпадает с осью Z. Часть энергии этого поля проникает в
пластину и распространяется вдоль неѐ. Это объясняется тем, что в рупоре,
вектор Пойнтинга возбуждающего поля может иметь различное направление
относительно нормали к пластине, совпадающей с осью Y. Если угол,
составленный вектором Пойнтинга и осью Y, меньше угла полного внутреннего
отражения, то в соответствии с анализом подобных процессов, волна, попавшая
изнутри диэлектрика на границу раздела диэлектрик-воздух, преломится на
границе и выйдет в воздух. Если угол, составленный вектором Пойнтинга и осью
Y, равен или больше угла полного внутреннего отражения, то такая волна
19
отразится от границы раздела с воздухом и, попав под тем же углом на другую
границу раздела, вновь отразится от неѐ. Этот процесс будет продолжаться по
мере продвижения волны вдоль оси Z.
В результате в диэлектрической пластине возникает волна волноводного
типа, распространяющаяся в пластине с фазовой скоростью,
скорость поперечной
волны в диэлектрике  ф

1
 0
превышающей
. Другими словами в
a
пластине будет распространяться быстрая волна. В соответствии с явлением
полного внутреннего отражения в воздухе, у поверхностей пластины образуется
медленная волна, распространяющаяся вдоль оси Z, с фазовой скоростью,
меньшей скорости света в воздухе c0. Обе волны (внутренняя и внешняя)
образуют единое электромагнитное поле с одной и той же фазовой скоростью
удовлетворяющей неравенству:
c 
1
 0 а
  ф  c0 
ф
,
1
 0 0
Таким образом, волна, обладающая фазовой скоростью  ф
внутри и вне
диэлектрика, по отношению к скорости поперечной волны в диэлектрике
может считаться
быстрой, а по
отношению к скорости света в воздухе –
медленной.
Разумеется, бесконечно протяжѐнная вдоль поперечной координаты X (или
Y)
пластина не представляет собой
реальную волноводную систему,
ограниченную по этой оси. Однако, это предположение существенно упрощает
анализ и не влияет на представление процесса распространения волн в
диэлектрических волноводах.
20
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТА.
Предполагая известными параметры диэлектрика (  а ,
cреды (  ,
0
 0 ),
0
) и окружающей
которой чаще всего бывает воздух,, а также тип волны, которая
должна распространяться по волноводу (например Еmn, или Hmn где m -количество
вариаций поля вдоль оси х, а n количество вариаций поля вдоль оси у), обозначив
через 2d толщину слоя диэлектрика, приступаем к расчѐту:
1. Выбираем прямоугольную правовинтовую симметричную относительно
плоскости XZ систему координат.
2. Располагаем
диэлектрик согласно рис.7, начало координат совмещаем с
центром волновода.
Рис. 7 Геометрия волноводной структуры
Записываем волновые уравнения согласно (1.12а) для составляющей Еz
полагая

x
 0
, т.е. предполагая поле однородным вдоль оси X (m=0):
2
 E
y
2
I
z
2

 E
z
2
I
z
2
 k E
I
z
,
k
=
 0
а
,
 , 
,
,
(2.1.1а)
21
2
II
2
 Ez
y
3. Так как Еz  e
2
j  t   z 

II
 Ez

z
2
z
 
2
2
2
2
1
2
2
=
=
2
2
k0  r
2
k0
y
II
y

=
k0
 
I
 Ez
,
 Ez
Здесь
,
 0 0
.
(2.1.1б)
, перепишем волновые уравнения, заменив
2
2
II
 k0 E z
2

  k0
2

  k
 
2
E
2
II
z
 
2
E
2
I
z
II
 2 Ez
2
2
 2   
   
=
 r  

   
   
2
 
2
2
2
I
  1 E z
,
(2.1.2а)
.
(2.1.2б)
,
(2.1.3а)
2
2
 2   
   
=
 1 

   
   
(2.1.3б)
- квадраты поперечных волновых чисел для области I и области II.
Для
выполнения
распространения 
k 0 r  
2
и
c 
1
 0 a
  ф  c0 
1
 0 0
постоянная
должна быть действительным числом, причѐм должны
выполняться неравенство
1 
условия
k 0
2   j

r
2
   k0
2
 k0
, из которого следуют равенства:
, причѐм
1 
действительное число, а
2-
мнимое. Вследствие этого, волновое уравнение для первой области не изменится,
т.е. будет иметь прежний вид
2
I
 Ez
y
Для второй области
2
2
I
  1 E z
.
(2.1.4а)
22
2
II
 Ez
y

 
2
2
 k0
E
2
2
II
z
II
 2 Ez
.
(2.1.4б)
Продольная постоянная распространения одновременно равна

2
2
и
k0  r  1
=

2
2
k0   2
=
4. Запишем в соответствии с (1.8) выражения
.
(2.1.5)
для поперечных составляющих
поля в первой и второй областях:
I
E
I
y
 
j  E z
1
2
y
e
II
E
II
y
 
j  E z
2
2
e
y
 j Z
 j Z
,
,
H
I
x
H
II
x
I

 j
1
a
e
y
2
 j Z
II

 j
E z
0
2
E z
y
2
e
,
 j Z
.
5. Решения волнового уравнения для области I и II хорошо известны и имеют вид:
для области I
для области II
I
E z  A sin  1 y  B cos  1 y
II
Ez
 Ce

2
y

 De
2
,
y
(2.1.6а)
.
(2.1.6б)
6. Решение (2.1.6а) состоит из суммы двух частных, независимых решений:
I
E z  A sin  1 y
,
(2.1.7а)
I
E z  B cos  1 y
.
(2.1.7б)
Каждое из этих решений соответствует самостоятельной электромагнитной
волне, распространяющейся вдоль пластины: (a) соответствует электрической
четной волне, (б) - электрической нечетной волне. Название этих волн связано с
тем, что в первом случае составляющим поля
E
I
y
и
H
I
x
, определяющим вектор
Пойнтинга, направленный вдоль оси Z , соответствует закон cos  1 у, т.е. четный
23
относительно
7. Решение
, а во втором нечетный - sin  1 у .
y  0
II

 Ce
Ez
2
y
 De

2
нужно подчинить требованиям теоремы
y
единственности, для чего из него необходимо исключить второе слагаемое,
положив константу
так как функция e
D  0,
2y
при
равна бесконечности.
y  
Следовательно, в решении остаѐтся только одно слагаемое
II
-
Ez
 Ce
2y
.
8. Пользуясь формулами (2.1.6), записываем выражение для составляющих поля
волны Е 0 n в первой и второй средах для четных и нечетных волн:
- для четных волн.
I
E z  A sin  1 y
E
I
y
  j
I
x
H
A
1
cos  1 y
A 
 j
a
1
II
,
 Ce
Ez
,
E
cos  1 y
,
II
y
H
  j
II
x
 j

C
2
e
2
C 
y
,

0
2
e
2
y
,

2
y
(2.1.8а)
,
- для нечетных волн
E z  A cos  1 y
I
E
H
I
x
I
y
 j
  j
A
1
A 
1
a
II
,
Ez
sin  1 y
,
sin  1 y
,
E
H
II
x
II
y
 Ce
 j
  j
2y
C
2
C 
2
e

0
e
,
2
y

,
2
(2.1.8б)
y
.
Эти уравнения в дальнейшем будем использовать для построения
структуры поля, но прежде нужно определить поперечные постоянные
распространения
1
и
2
.
24
9. Вывод уравнений, предназначенных для определения поперечных волновых
чисел
1
и
2.
Для вывода этих уравнений используются граничные условия на границе
диэлектрик-диэлектрик:
и
E 1  E 2
H 1  H  2
при
y  d
.
Для случая электрических четных волн граничные условия записываем
I
II
и
j
и
Ez  Ez
или
A sin  1 d  Cе

2
d
A 
1
H
a
I
x
 H
II
x
,
cos  1 d  j
C 
0
2
e
  2d
.
Разделив почленно первое уравнение на второе, произведя необходимые
сокращения и домножив левую и правую части на d, получим:
для четных волн
 1d
для нечетных волн
 1d
10. Волны магнитного типа
H
1
r
1
r
tg  1 d   2 d
,
ctg  1 d    2 d
(2.1.9 а )
.
(2.1.9б)
0n
Как и в случае электрических волн запишем выражения для продольных
составляющих магнитного поля.
для области I
для области II
H
II
z
 Ce
H
I
z
 A sin  1 y
H
I
z
 B cos  1 y
2y
(четные волны)
,
,
(нечетные волны)
, для чѐтных и нечѐтных волн .
( 2.1.10а)
(2.1.10б)
(2.1.11)
Переход от продольных составляющих к поперечным осуществляется с
помощью формул:
25
H
I
y
H
II
y

  j
1
После подстановки
H
2

  j
2
I
z
I
z
H
y
H
2
II
z
y
и
H
,
E
,
II
x
E
II
z
I
x

  j
1

  j
2
I
z
H
0
2
y
H
0
2
II
z
y
,
( 2.1.12а)
.
( 2.1.12б)
получаем выражения, определяющие
структуру электромагнитных полей магнитного типа.
Для четных волн:
H
I
y
H
I
z
 A sin  1 y
  j
I
Ex   j
Для нечетных волн:
H
I
H
I
z
I
y
 j
Ex  j

1
0

1

0
1
,
A cos  1 y
 B cos  1 y
II
z
H
A cos  1 y
1

,
,
I
H
B sin  1 y
,
,
H
II
z
II
y
II
1
и
11.
2

2

 j
0
2

,
Ce
2
 Ce
Ex  j
Уравнения для определений поперечных

  j
Ex   j
,
B sin  1 y
II
y
H
2y
 Ce
Ce
2y
Ce
0
2
- 2y
- 2y
(2.1.13а)
.
,
- 2y
,
- 2y
Ce
,
постоянных
(2.1.13б)
.
распространения
и толщины диэлектрической пластины d имеют вид:
для четных волн
 1 d  tg(  1 d )   2 d
для нечетных волн
 1 d  ctg(  1 d )    2 d
(2.1.14а )
,
.
( 2.1.14б)
Решение трансцендентных уравнений.
Трансцендентные уравнения для волн типа Е, в которые входят
неизвестные поперечные волновые числа
1
и
2,
удобнее всего решать
26
графическим методом.
Но прежде чем преступить к построению графиков следует вывести еще
одно уравнение, так как число уравнений должно быть равно числу неизвестных.
Исходя из того, что продольная постоянная распространения
для I

и
II сред одинакова, мы можем записать равенство:
 
откуда
2
k2   2
2
2
k1   1

 1   2  k1  k 2
2
2
2
2
2
, здесь
k1  
,
k2  
 0 0
,
.
Помножив левую или правую часть уравнения на
(  1d )
Это уравнение
 0 а
является
2
 ( 2d )
2
 d
2
k
2
1
2
 k2
d
2
получим:
= R 2 .
(2.1.15)
уравнением окружности в координатах
и
2d
 1 d,
радиус которой:
R  d 
В координатах
1d
и
2d
2
2
k1  k 2  d  k 0
r 1.
(2.1.16)
могут быть построены и графики функций, входящих
в трансцендентные уравнения (2.14а), (2.14б). Точки пересечения окружности и
соответствующих трансцендентных функций позволяют определить
1d
и
 2 d.
12. Рассмотрим построение графиков для четных электрических волн, для
которых дисперсионное уравнение Отложим по оси абсцисс
1d
(  1 d ) tg(  1 d )   r  2 d
в радианах, а по оси ординат
.
2d
=
1
r
tg (  d).
1
27
Рис. 8 Графическое решение дисперсионного уравнения для волн четного типа.
Необходимо помнить, что
как
в
противном
случае
1d
и
могут
2d
быть
должны быть положительными, так
нарушены
требования
теоремы
единственности. После построения графиков функций (рис.8), проведѐм в этих
же координатах окружность радиуса R.
Точки пересечения окружности с кривыми определяют
решение
трансцендентного уравнения и, следовательно, определяют рабочие точки.
Опустив из этих точек перпендикуляры на оси
1d
и  d, определим их
2
значения, а следовательно, при известной толщине d и значения
1,  2.
Индекс n
определяет тип волны распространяющейся по волноводу. От него зависит
количество вариации поля по оси y.
Пересечение окружности c первой тангенсоидой соответствует n=0, т.е.
волне
Е 00
, со второй n=2 волне
Е 02
, с третьей n=4 волне
образом, для чѐтных волн могут существовать волны:
На рис.9
Е 04
Е 00 , Е 02 , Е 04
и т.д.. Таким
и так далее.
изображены графики для нечѐтных волн, соответствующие
28
дисперсионному уравнению
 1d
1
r
ctg  1 d    2 d
.
Рис. 9 Графическое решение дисперсионного уравнения для волн нечетного типа
Так как согласно формуле (2.16) радиус окружности
d
2 f
c0
r 1,
=d
R
2
то условием существования волн чѐтного типа Е0n будет


R
>n
r

1
=
(где
2
n=0,2,4,..) с
f кр 
Так для волны типа E 02
далее. Из диаграммы
существования волн
Е 0n
с0n
4d
1
и
r 1
 кр  2 d

r
 кр 
1
типов колебаний
4d
n

r
1
, для E 04
.
 кр  d
(рис.9) следует,
нечѐтного типа является
R  n


что
r
1
и так
условием
, где n=1,3,5… .
2
Следовательно, критическая длина волны для
волн чѐтного и нечѐтного
типов определяется общей формулой:
 кр 
4d

n
r
1
,
при этом n=1,2,3,4,5…. (2.1.17)
29
Откуда следует, что волна типа E 01 имеет самую большую критическую длину
Е
рассматриваемого волновода равную 
волны для
Е
за ней идѐт 
02
кр
 2d

1
r
01
 4d
кр

r
1
. Следом
и так далее.
Рис. 10 Диаграмма типов колебаний
Диапазон длин волн  может быть рассчитан по аналогии с металлическими
волноводами:
 max  0 , 8 
Е 01
кр
,
 min  1, 2 
Е 02
кр
(рис.10).
Из графиков (рис.8) видно, что волна четного типа
E 00
может существовать
при любом значении R, так как для неѐ имеются точки пересечения в интервале
от
 1d  0
до
 1d  
.
Но если потребовать, чтобы в волноводе распространялась только волна
E 00
, то
1d
должна лежать в пределах
0 

. Как видно из графиков рис.8,
2
2d
при этом тоже мало.
При малом
2
функция
e

2
y
убывает медленно. Это означает, что
значительная часть мощности в этом случае распространяется в воздухе. При
 1 =0
и
 2 =0,
поле вырождается:
I
Ez  B
,
I
Ex  E
II
y
 0
.
Для волны E 00 ,  кр   , при этом волновод теряет свои направляющие
30
свойства
и
поле
приобретает характер
поперечной
волны, излученной
возбуждающей системой в свободное пространство.
В диэлектрическом волноводе, также как и в металлических волноводах,
существует дисперсия, т.е. частотная зависимость основных параметров
волновода, в том числе длины волны в волноводе, от частоты.
13. Фазовая скорость и коэффициент замедления поверхностных волн
Фазовая скорость определяется известным соотношением -
Откуда , с учѐтом

vф 
=


2
2
k0   2


.
,


vф 

с0
2
  0 0   2
1
.
2
(2.1.18)
2
2
k0
Из этого соотношения следует, что волна в диэлектрическом волноводе
распространяется со скоростью меньше скорости света
с0
При
2  
 2 =0
фазовая скорость равна скорости света, при
Знаменатель (2.1.18) представляют в виде
1
2
.
vф  0
.
2
2
k0
 K
з
, при этом
K
з
называют
коэффициентом замедления.
14. Длина волны в волноводе.
Длина волны в волноводе определяется формулой 

v
f
, или с учетом (2.1.18)
31
с0
 
2
2
1
f
0

K
.
(2.1.19)
з
2
k0
Длина волны в волноводе изменяется от
при
  0
 2 =0
до

=0 при
 2 =
.
В первом случае волна должна рассматриваться как поперечная. Во втором
прекращается еѐ распространение, так как коэффициент замедления становится
равным бесконечности.
15. Групповая скорость.
Групповая скорость может быть определена из соотношения
v гр 
d
d

1
при:
d
  0;   0.
Откуда получим
d
d
d

d
2
  0 0  
2  0  0  2  2
 
 0 0
2
2
2
d
0

2
2
d 2
d
  0 0   2
,
2
2
  0 0

2
 0  0  1 
 0 

 0  0   2
d
  0 0   2
2
1
d 2

d

v гр 
2
2

2


d 
сK

1
Э
2
d
.
(2.1.20)
2
 0  0 d 
16. Мощность, канализируемая по волноводу.
В диэлектрическом волноводе мощность канализируется по двум областям:
I- внутри диэлектрического стержня, II- вне стержня.
Исходной формулой для расчета является среднее значение вектора Пойнтинга
П
ср

1
2



Re Е  H
*
.
32
Например, для чѐтной волны электрического типа поперечные составляющие
записываются
E
I
y
  j
H
I
x
 j
A
1
A 
A
I
2
a
1
Для области I отношение
П ср  k 0
cos  1 y
,
cos  1 y
Е
I
у
Н
I
х
 
E
,


H
II
x
C
  j
 j
2
C 
0
2
e
e

2
y
,

2
y
.
. Для области II отношение
а
2
2
1
II
y
Е
II
у
Н
II
х
2

a
cos
2
1 y
,
П
II
ср
 k0
A 
2
r
2
1

a
cos
2
(  1d )e
 
22 у


.
0
.
Средние мощности, канализируемые по областям равны:

d
I
Р ср
 2 П
I
ср
dy
II
Р ср
и
 2П
II
ср
dy
.
(2.1.21)
d
0
Общая мощность, канализируемая по волноводу равна :
Р ср 
Отношение
II
I
Р ср / Р ср
I
Р ср

II
Р ср

I
Р ср
II

Р
 1  ср
I

Р ср





.
показывает отношение мощностей, канализируемых по
областям.
17 . Затухание волн в диэлектрическом волноводе.
Затухание волн в волноводе происходит только в области I, так как во
внешней области II диэлектриком является воздух.
Для первой области  а является комплексной величиной
33


где
tg  

д

  а 1  j tg     a
а
1  tg
2
e
 j
,
- тангенс угла потерь диэлектрика. В этом случае постоянная
a
распространения тоже комплексная величина

I
 
I
 j
. Здесь

I
- фазовая
постоянная,  - постоянная затухания.
В общем случае определение
и  осуществляется в соответствии с

теорией распространения волн в неограниченных средах с потерями. Векторы
и
H
пропорциональны
е
 z
e

j t z

.
Для первой среды выражение для
 
a0
2

1  tg
2
 1
,
E

и

I



имеют вид
I
2
a0
2

1  tg
2

2
  1  1
.
Исходя из равенства постоянных распространения в первой и второй средах
и (2.1.5), необходимо считать постоянную распространения во второй среде тоже
комплексной величиной
 
a0
2


1  tg
II
2
 
II
 1
 j
,

, для которой
II


2
 00
2

1  tg
2

2
 1  2
.
18. Волновое сопротивление диэлектрического волновода.
Волновым сопротивлением является отношение поперечных составляющих
электромагнитного поля. В первой среде для чѐтных волн это будет отношение:
34
I
Z W 
Здесь
E
I
y
H
I
x
 
реальная
I
I
Re Z W  Z W сos 


I
  а

a0
2

1  tg

2
2
  1  1
I
 Z W e
  а
часть
комплексного
волнового
j
.
(2.1.22)
сопротивления
равна
 - сдвиг фаз между поперечными составляющими
где
,
2
электромагнитного поля и

2
1
I
Z W 
Во
второй
среде
120 
1  tg

2
 1 
1
2
k1
r
для
2
1  tg
определения
2
.

волнового
сопротивления
II
Z W
воспользуемся выражениями для поперечных составляющих (2.1.8а), где
константу С необходимо выразить через константу A, используя граничные
условия
I
II
I
x
Ez  Ez , H
 H
II
x
при y=d.
Выражая
уравнений системы (2.1.8а) и подставляя его в
C  A
 2 a
 1 0
cos(  1 d ) e
E
II
y
 2d
  jA
и подставляя в

2
sin(  1 d ) e
 z
e
H
yy
II
x
,
,
E
II
y
,а
C  A sin(  1 d ) e
 2d
из первых
также из третьих уравнений
-
получим
H
II
x
  jA
  a
1
cos(  1 d ) e
z
e
2y
.
Используя полученные выражения, определим волновое второй среды
сопротивление:
II
Z W

E
II
y
H
II
x
 

1
  a  2
I
tg  1 d   Z W
1
2
tg(  1 d ) e
j
.
(2.1.23)
Суммарное волновое сопротивление диэлектрического волновода определим как
35

Z W
2.2

I
II
Z W Z W
.
I
II
Z W  Z W
Планарный диэлектрический волновод.
Планарным диэлектрическим волноводом может служить металлическая
плоскость, покрытая слоем диэлектрика с относительной диэлектрической
проницаемостью
r 1
(рис.11). Толщина слоя по оси Y равна d .
Рис. 11 Геометрия планарного диэлектрического волновода
В большинстве случаев окружающей средой является воздух. Под областью
I понимают область
у  d , под областью II область
0 
d 
у  .
Волновые уравнения для продольных составляющих электромагнитных
полей в первой среде в соответствии с (2.1.12) будут иметь обычный вид:
2
I
2
d Ez
dy
2
  1 E
2
I
z
d Н
,
dy
I
z
2
2
  1 Н
I
z
.
Решением этих уравнений являются:
I
+Всos  y ,
(2.2.1а)
+ Dсos  1 у .
(2.2.1б)
E z  A sin  1 y
H
I
z
 С sin  1 y
1
В планарных волноводах должны удовлетворятся граничные условия при у=0 на
36
металлической поверхности:
I
Ez  0
и
H
I
z
 max
.
Из рассмотрения этих уравнений следует, что для волн типа Е необходимо
оставить
I
Ez  0,
I
E z  A sin  1 y
, так как при этом выполняется граничное условие для
а для волн типа Н необходимо оставить
выполняется граничное условие -
H
I
z
I
z
H
, так как при этом
 D cos  у
при у=0.
 max
Во второй среде волны, как и в п.2.1, носят поверхностный характер.
Поэтому в дальнейшем будем использовать выражения (2.1.8).
Если по заданию требуется рассчитать волновод, вдоль которого должна
распространяться волна тип Е, то для расчѐта таких волноводов используются
формулы для чѐтных электрических волн:
I
E z  A sin  1y
E
H
I
y
I
x
  j
 j
A
1
A 
II
,
cos  1 y
a
1
 Ce
Ez
cos  1 y
,
E
,
H
II
y
II
x

  j
 j
2
y
C
2
C 
,
e
0
2

e
2
y

,
2
y
(2.2.2)
.
Если по волноводу должна распространяться волна типа Н, то следует
использовать формулы для нечѐтных магнитных волн:
H
H
I
z
I
y
I
 D cos  1 y
 j
Ex  j
D
1
,
sin  1 y
 0 D
1
,
sin  1 y
,
H
II
z
 Ce
H
II
y
 j
II

C
Ex  j
2
2
e
y
,
- 2y
 0 C
2
e
,
- 2y
(2.2.3)
.
37
Таким образом, по такому волноводу могут распространяться только
чѐтные электрические и нечѐтные магнитные волны.
Трансцендентные
уравнения,
предназначенные
для
определения
поперечных волновых чисел и размера волновода имеют следующий вид:
0
a
(  1 d ) tg   1 d    2 d
(  1 d ) ctg(  1 d )   2 d
- для волн чѐтного электрического типа, (2.2.4а)
- для волн нечѐтного магнитного типа. (2.2.4б)
Дальнейшие расчѐты нужно
проводить в соответствии аналогичными
расчѐтами, проводимыми в предыдущих параграфах.
2.3 Несимметричный диэлектрический волновод
Несимметричный
диэлектрический
волновод
диэлектрическую пластину, имеющую размер
поперечных
осей,
в
данном
случае
диэлектрической проницаемостью
 а2
у,
и
представляет
из
себя
d в направлении одной из
обладающую
абсолютной
(рис.12).
При у=0 она граничит с диэлектриком, простирающимся до у=  и
обладающим абсолютной диэлектрической проницаемостью
 а1 .
При
у  d
пластина граничит с диэлектриком, обладающим абсолютной диэлектрической
проницаемостью
 а3
Предполагается, что
и простирающимся до у=   .
 а 2   а1
и
 а2   а3 .
Таким образом всѐ пространство делится на три области:
I. 0

у

, имеющей абсолютной диэлектрическую проницаемостью
 а1
,
38
II. 0 
y  
III. -d 
d, имеющей абсолютной диэлектрическую проницаемостью
 а2 ,
, имеющей абсолютной диэлектрическую проницаемостью
у  
 а3
.
Следовательно, показатели преломления диэлектриков данной структуры зависят
только от направления у и равны: n1=

r1
, n2=
 r2
, n3=
 r3
.
d
Рис. 12 Геометрия несимметричного диэлектрического волновода
Так как несимметричный диэлектрический волновод имеет три области с
различными диэлектрическими проницаемостями, необходимо решать три
волновых уравнения для продольных составляющих Еz и Нz, соответствующих
областям: I,II,III. Если ввести
 Еz ( у)

 H z ( у)
  
, то
2
d 1
dу
2
2
в области I, где
 1  k 0 n1  
 0
в области II, где
 2  k0 n2  
 0
в области III, где
 3  k 0 n3  
 1 1  0
2
2
2
2
,
(2.3.1а)
2
2
2
2
,
(2.3.1б)
2
2
2
2
.
(2.3.1в)
2
d 
2
2
dу
2
  2
2
2
d 
dу
2
3
2
  3
3
В данных формулах
k0  
 0 0
свободного воздушного пространства,
 
- постоянная
распространения
постоянная распространения волны в
39
волноводе, а
1,  2 ,  3
-поперечные постоянные распространения для первой,
второй и третьей областей соответственно.
Согласно
изложенной
выше
методики
расчѐта
диэлектрических
волноводов, следует искать выражения для Еz и Нz в каждой отдельной области,
затем выразить через них поперечные составляющие и используя граничные
условия (приравнивая тангенциальные составляющие на границе раздела),
определять неизвестные константы и записать дисперсионные уравнения.
Общее решение волнового уравнения для волны, бегущей вдоль оси z, имеет вид

1, 2 ,3
 Е ( у)
  z
  exp   j  y  .
 H z ( у)
2
Tак как для первой и третьей областей
1   j

2
2
2
 k 0 n1
и
3   j

2
2
2
k 0 n1  
2
 k 0 n3
, и
2
при
   y  d
exp(  j  2 y )
или
2
2
отрицательны, то
exp(   1 y )
при
0  y  
и
.
Для второй области разность
вид
2
k 0 n3  
решение для этих областей будет
представлено в виде затухающих экспонент:
exp(  3 y )
и
2
2
k0 n2  
2
положительна и решение будет иметь
  A 2 cos  2 y  B 2 sin  2 y
.
Следовательно:
А1 ехр(-  1 у ) ,

1, 2 ,3
 Е z ( у)
 
 
H
(
у
)

 z
при
A 2 cos  2 y  B 2 sin  2 y
А3 ехр(  3 ( d
 у))
Поперечные составляющие для волн типа Еmn
0  y  
, при -d 
, при
и
,
y  0
   y  d
( 2.3.2а)
, ( 2.3.2б)
. ( 2.3.2в)
Нmn найдѐм из системы
40
уравнений (1.8):
E z

2
  H x   j  a
,

у


   2 E  j   H z ,
х
0

у
2
  E
у
2
  H
у
 j
 j
E z
у
H
у
,
( 2.3.3)
z
.
Волны типа Н0m. Поперечные составляющие поля находятся из системы (2.3.3)
H z

2
  E х  j  0

у


   2 H  j  H z
у

у
Ну1=j
Eх1=j

Ех2=
j
1
1

A1е
0
1

 1 у
0
Hz2= A 2 cos
Ну3=-jA3

3
 2 y  B 2 cos  2 y
3
Hz3=A3е 
e
3
 3 (d  у )
(d  у)
0  у  
(2.3.5а)
3
) , область II -d 
y  0
(2.3.5б)
.
,
(d  у)
.
),
 2 y  B 2 cos  2 y
 2 y  B 2 sin  2 y
A3е 
0
область I
,
.
( A 2 sin
2

 1 у
( A 2 sin
2
j 
Eх3=-j
(2.3.4)
A1е   у ,
Hz1 = A1е
Hу2=
.
,
область III
-
 y  0
(2.3.5в)
41
Определение констант.
Для определения констант и вывода дисперсионных уравнений используем
граничные условия на границе диэлектрик-диэлектрик:
H  1 =H  2 , E  1 = E  2 при у=0, или Hz1=Hz2 , Eх1= Eх2 ,
H  2 =H  3 , E  2 = E  3 при у=-d, или Hz2=Hz3 , Eх2= Eх3 .
Для волн типа Н0n составим систему 4-х уравнений:
1. Hz1=Hz2 при y=0 , откуда A1= A2 =C ,
2
2. Eх1= Eх2 при y=0, откуда
3. Hz2=Hz3 при y=-d ,
1
(2.3.6)
C=- B 2 ,
откуда A3 = С (cos
4. Eх2= Eх3 при y=-d, откуда А3= C (
3
2
 2d 
(2.3.7)
2
sin  2 d 
1
sin  2 d ) ,
3
1
cos  2 d )
(2.3.8)
.
(2.3.9)
Окончательные уравнения, определяющие структуру поля волн типа Н0n,
запишутся в виде:
Ну1=j
Eх1=j

Cе   у ,
1
1

1
0
Cе  
Hz1 = Cе  
1у
.
1у
,
область I
0  у  
,
( 2.3.10а)
42
Hу2=
j
С
Ех2=
(sin  2 y 
2
jС 
0
( sin
2
2y 
Hz2= С (cos
Ну3=-jA3
Eх 3=-j

e
3

3
Hz3=A3е 
3
2
1
A3е 
(d  у)
3
cos  2 y
1
2y 
 3 (d  у)
а
2
2
1
) ,
cos  2 y
sin  2 y )
) , область II -d 
y  0
, (2.3.10б)
.
,
(d  ) у
область III - 
,
 y  d
(2.3.10в)
,
где А3 в Hz3 и Eх3 дается соответственно выражениями (2.3.8) и (2.3.9).
Для вывода дисперсионного уравнения приравняем (2.3.8) и (2.3.9):
cos  2 d 
или
(
3
2

2
1
) sin  2 d
=
(
2
1
3
1
sin  2 d
=
 1 ) cos  2 d
3
2
sin  2 d 
3
1
соs  2 d
,
(2.3.11)
.
Разделим левую и правую части этого уравнения на cos  2 d и проведя
простые преобразования получим окончательное выражение дисперсионного
уравнения для волн типа Н0n
tg (  2 d )
 
1
2
(1   3 )
(1 
1 3
2
2
)
.
(2.3.12)
43
Уравнения, определяющие структуру поля волн Н0n , можно также записать
и в следующем виде:


  1 y  j z
Ce
e
,


H z ( у , z )   C (cos(  2 у ) 


 C (cos(  2 d ) 

2
1
2
1
sin(  2 у )) e
sin(  2 d )) e
 j z

3
,
(d  y)
e
 j z
при
(0  y   )
при
( d  y  0)
, при
(2.3.13а)
(   y   d )
  0
  y  j z
Ce 1 e
,
при ( 0  y   )
j
1

  0
2
 j z
,
E x ( у, z)   j
C (sin  2 у 
cos  2 у ) e
,
при (  d  y  0 )


2
1


 0
3
3
 ( d  y )  j z
C(
sin(  2 d ) 
cos(  2 d )) e 3
e
, при (   y   d )
 j



3
2
1

(2.3.13б)
 
  y  j z
Ce 1 e
,
при ( 0  y   )
j
1


2
1
 j z
H y ( у , z )   j C
(sin(  2 у ) 
cos(  2 у )) e
,
при (  d  y  0 )


2
1


3
1 3
 ( d  y )  j z
(
sin(  2 d ) 
cos(  2 d )) e 3
e
, при (   y   d )
  j C



3
2
1

, (2.3.13в)
причем Ez=Ey=Hx =0.
Преобразование дисперсионного уравнения.
Преобразуем дисперсионное уравнение (2.3.12)
tg(  2 d ) 
1
2
1   3
1
1 3
2
2
, записав
1 

2
2
2
 k 0 n1
,
2 
2
2
k0 n2  
2
,
3 

2
2
2
 k 0 n3
,
44
2 2
k0 n2
tg (
2
 
Вынесем из под корня
d) 
2 2
k 0 n1
2
k0 

1
 
2
2
2
2

(1 
2
2
n2 
d

2
1
) 
2
k0

2
k0 n2  
2
2

0

2
2
n2 


2
k0
d
0

1

2
Отметим,
2
n2
что
n    2 d  ( n  1)

2
2
2 2
k 0 n3

.
)
1

d
1
arctg
2
n2

мода
n-ая
2
2
 n3
2
k0

2
 n1 
2
k0
2

2

2
k0
2
n1

2
k0
. Тогда отношение


2
2
n2
Обозначим
2
 k 0 n3
,


2

2 2
k 0 n1


tg (
2
 k 0 n1 
.
2
2
 n3
2
k0
2


2
k0
станет
0


2

1
2

 n1 
2
2
n1



2
n2  
должна
2
2
 n3
2

2
n3
.
2
удовлетворять
условию:
, где n=0,1,2.. . Согласно этому условию отношение
d
0
для
волны Н0n определяется выражением:
d
0
1

2
2
n2  
2
( n   arctg
1
2
n2  
2


2
n2  
2
2
2
 n1 
(1 

где n=0,1,2…. соответствует локализованной ТЕ моде.
2

2
 n3
2

2
2
 n1 
n2  
2
2
2
 n3
), (2.3.14 )
45
Волны типа Е0n
Для волн продольного электрического типа поперечные составляющие поля
находятся из системы (2.3.3):
E z
 2
 H х  j  a

y


   2 E  j  E z
у

y
где Ez= A 2 cos
 2 y  B 2 sin  2 y
,
(2.3.15)
.
С учѐтом найденных продольных составляющих (2.3.2) уравнения,
определяющие структуру поля, записываются ниже:
Нх1=-j
Eу1=j


A1е   у ,
j
j
 1 у

Еz2= A 2 cos
Eу3=-j
a2
2

а3
3

3
y  
(2.3.16а)
.
A 2 sin  2 y  B 2 cos  2 y
(
( A 2 sin
2
0
1
1
Hх2=
Нх3=j
1
1
Еz1 =A1е
Еу2=
A1е   у ,
а1
 2 y  B 2 cos  2 y
 2 y  B 2 sin  2 y
A3е 
A3е 
3
3
(d  у)
(d  у)
,
),
) ,
-d 
y  0
(2.3.16б)
.
,
-d 
y  0
(2.3.16в)
46
Ez3=A3е 
3
(d  у)
.
На основании граничных условий производим определение констант: А1,
А2, В2, А3. Граничные условия имеют следующий вид:
Ez1=Ez2 и Hx1=Hx2
при у =0 ,
Ez2=Ez3 и Hx2=Hx3
при у=-d.
Откуда
1. А1=А2=С .
2.
3.
 а1
1
A1= 
 a2
2
C (cos  2 d 
4.
C
 а2 3
(2.3.17а)
 а1  2
 а21
 а21
sin  2 d )
(sin  2 d 
 а3 2
 а1  2
и В2= 
В2
 а1  2
 а21
.
С
(2.3.17б)
=А3 .
(2.3.17в)
cos  2 d )
=A3 .
(2.3.17г)
Дисперсионное уравнение получим, приравняв уравнения (2.3.17в) и (2.3.17г),
cos  2 d 

а1  2

а2 1
Откуда:
sin  2 d
tg (  2 d )

=
 а2 3
 а3 2
(
Записав  1

k0

0:
0


 (

2 2
k 0 n1
)
2
 а3
 а2 31
2
 а3 2
1
2
 а1  3
(1 
1
2
(sin  2 d 

 а1  2
 а2 1
cos  2 d ) .
)
 а1
 а2
.
)
1
1
,
2 
2 2
(k 0 n2
 
2
)
2
,
 3  (
2

2 2
k 0 n3
)2
, и
обозначив
, получим отношение толщины пластины d к длине волны генератора
47
d
0
1

2
2
n2  
1
( n   arctg
2
2

2
n2  
2


 а2
 а3
2
 n1 
2
 а1

 а3
 n1 
2

2
n2
2

2
2
2
 n3
)
2
 n3
. (2.3.18)
 а1

 а2
Мощность, переносимая по волноводу.
Данный оптический волновод
предназначен для передачи мощности,
которая неравномерно распределена между тремя областями: I,II,III. В расчѐте
предусмотрено сосредоточение основной части мощности в пленке (область II),
что подтверждается распределением поперечных составляющих электрического и
магнитного полей Ех и Ну вдоль координаты у.
Исходными соотношениями являются: формула, определяющая среднее
значение вектора Пойнтинга
значения мощности
П ср
  

Re  E H 
2


1
, и выражение для расчета среднего
Р ср   П ср  ds .
s
Так как волновод не ограничен по оси X, мощность можно рассчитать на
единицу длины по этому направлению. Тогда:

I
d
0
I
Р ср   П ср dy
II
II
Р ср   П ср dy
,
,
III
d
0
III
Р ср   П ср dy
.

Общая мощность, канализируемая по волноводу равна :
Р ср 
II
Отношение
Р ср
I
Р ср
I
Р ср

II
Р ср

III
Р ср

I
Р ср
II
III

Р ср
Р ср
1 

I
I

Р ср
Р ср





.
(2.3.19)
III
и
Р ср
I
Р ср
показывает, как канализируемая мощность делится
48
между областями.
Для вычисления мощностей
I
III
II
Р ср , Р ср , Р ср
необходимо записать соответствующие
значения векторов Пойнтинга:
П ср
2
 I
C 
 П ср 
2
2 1

2

C 
 II
  П ср 
2
22


2
C 
III
П
ср 
2

23
21у
0
e
0
(sin  2 y 
0
(
3
2
2
cos  2 y ) ,
1
3
sin  2 d 
2
(0  y   )
при
,
1
( d  y  0)
при
2  3 (d  у)
2
cos  2 d ) e
, при
.
(   y   d )
Определим мощность, переносимую волной Н0m.
Мощность, канализируемая в области I

2
I
Р ср

C 
2
a
2
1
e
2 1 у
dy 
C
2

4
0
a
.
(2.3.20)
3
1
Мощность, канализируемая в области II.
Проведя расчет, получим
2
0
II
II
Р ср   П ср dy 
C 
2
d
2

C 
0
3
42
2
2
0
a
 (sin  2 y 
d
2
1
2
cos  2 y ) dy
=
2
2


1


 (1  2 )  d  (1  2 ) sin 2  2 d  2 (1  cos 2  2 d
2
2
2

2
1
1
1

Мощность, канализируемая в области III.
2
III
Р ср 
C 
4
2
3
0
(
3
2
sin  2 d 
3
1

cos  2 d )  e
d
 3 (d  у)
dy 

).


(2.3.21)
49
2
=
C 
4
3
3
0
(
3
2
sin  2 d 
3
1
cos  2 d )
2
.
(2.3.22)
2.4 Цилиндрический диэлектрический волновод
Круглый диэлектрический волновод (волоконный световод), показанный
на рис.13, представляет из себя диэлектрический стержень
диэлектрической проницаемостью
a
радиуса а с
и магнитной проницаемостью
0
. Обычно
он окружен воздухом.
Целью расчѐта является; решение дисперсионного уравнения, определение
структуры поля и канализируемой по волноводу мощности,
геометрических
размеров
длине
(радиуса
волновода)
при
заданном
типе
и
волны,
диэлектрической проницаемости волновода.
Рис. 13 Геометрия круглого диэлектрического волновода
Исходными данными для расчета являются частота f и тип поля: Еmn или
Нmn, где индекс m=0, а n задается. Рассмотрим решение для волн Н0n и E0n .
Порядок расчѐта:
1. На основании изложенной выше теории, при учѐте независимости полей
50
от координаты 
E  j
Н  




(
0
2
а
2

 0)
, записываются две частных и независимых системы:
z
H

Н

dE
z
d
,
  j

Е  j
,
 Н

z

2
 Е z


2
2. Поперечные составляющие поля Е  и
составляющую
поля
Нz,
для
которой
для волн типа Н0n ,
(2.4.1)
для волн типа E0n .
( 2.4.2)
Н  находим через продольную
решаем
волновое
уравнение
в
цилиндрической системе координат:
2
 Н

z
2

1 H
 
z
2
  H
z
 0
.
(2.4.3)
Это уравнение Бесселя и его общим решением является сумма двух функций:
функции Бесселя первого рода J0(  ) и функции Бесселя второго рода - функции
Неймана N0(  ) :
Нz=AJ0(  )+ВN0(  ) .
3. Первым частным решением являются решения для области I ( 0
N0(0)= 

и решение при
  0
)в
Нz1=AJ0(  1  ).
котором удерживается только функция Бесселя первого рода
Функция второго рода (Неймана) исключается, так как при
   а
  0
она равна
принимает бесконечное значение, что не
удовлетворяет требованиям теоремы единственности. Аргумент функции Бесселя
действителен, так как
1  
2
2
k 0 n1  
2
- действительная величина.
4. Вторым частным решением является решение для области II ( а
   
).
В этой области поле должно иметь поверхностный характер, так как аргумент
51
функций
2   j
Бесселя

2
для
2
   00
поверхностных
волн
становится
мнимым,
.
Поэтому общее решение волнового уравнения в этой области является
суммой двух частных решений, которое при мнимых аргументах является суммой
цилиндрических функций третьего рода
H IIz =C I 0 (  2  ) 
D
I0 (  2  )
и четвѐртого рода K0(  2  ):
K0(  2  ). Они называются функциями Макдональда и носят не
колебательный, а монотонно изменяющийся характер:
бесконечности при
  
стремится к
I0 ( 2  )
, а функцией K0(  2  ) стремится к нулю при
  
.
В соответствии с требованием теоремы единственности нужно исключить
I0 ( 2  )
, положив С=0,
и удержав функцию K0(  2  ) записать
Н
II
z
= DK0(  2  ).
В результате решение волнового уравнения для круглого волновода окончательно
запишется:
Н
Н
здесь А= Н
I
z0
I
z
II
z
, D= Н
=AJ0(  1  ), область I
0    а
= DK0(  2  ), область II
а    
II
z0
,
( 2.4.4)
,
( 2.4.5)
- амплитуды продольных составляющих магнитного поля
для первой и второй областей соответственно.
Воспользовавшись формулами (2.4.1), для волн типа Н0n найдѐм:
52
 0
 I
I
E  j
H z0 J1 (  1 )

1


 I
I
H z0 J1 (  1 ) ,
H    j
1

I
 I
H z  H z0 J 0 (1 )


для области I,
 0
 II
II
E
 j
H z0 K 1( 2  )
 
2


 II
II
H z0 K 1( 2  ) ,
H    j


Н


для области II.
2
II
z
II
z0
 H
Из граничного условия
I
z
Н
( 2.4.6)
( 2.4.7)
 K 0 ( 2 )
=Н
II
z
при
  а
, найдѐм
Н
II
z0
= H zI 0
J 0 (  1а )
K 0 ( 2а)
.
Для вывода дисперсионного уравнения приравняем тангенциальные
составляющие
II
E
=
I
и
E


H
0

I
z0
Н
H
I
z0
I
z
=Н
II
z
на границе диэлектриков при
J1 (  1а ) 
J 0 (  1а )  H
II
z0

0
2
Н
II
z0
K 1( 2а)
  а
,
.
K 0 ( 2а)
Поделив второе уравнение на первое, получим дисперсионное уравнение
 1a
J 0 (  1a )
J1 (  1a )
  2a
K 0 ( 2a)
K 1( 2a)
.
( 2.4.8)
Это трансцендентное дисперсионное уравнение можно решать на ЭВМ или
графически. Графическое решение является менее точным, но более наглядным.
Поэтому оно будет рассмотрено в примере ниже
5. Так как фазовая скорость едина для первой и второй областей, то и
53
волновое число
2
 
и
2
  0 0   2
2
2
  0 0   2
неизвестные
=
1
одинаково для быстрых и медленных волн и равно

2
 
2
2
  0 а   1
и
2
(  1а )
:
. Следовательно справедливо равенство
2
  0 а   1
, из которого вытекает уравнение, связывающее
2
 ( 2а)
2
2
 ( а ) (  0  а   0  0 ) = R
2
.
Как и в случае прямоугольных диэлектрических волноводов, получилось
уравнение окружности радиуса
 1а
и
 2а
R 
 0 0  a  r  1 
2 a
r 1

в координатах
.
Совмещение окружности и графического изображения дисперсионного
уравнения позволяет найти радиус волновода для заданного типа волны, что и
является конечной целью задачи.
Заметим, что
2 
2
  0 0  
2
  j

2
2
   0 0
поэтому решение будет находиться в отрицательной части
уравнения. При большом
характер, при этом
Проанализируем
2
  2,
отрицательна и
дисперсионного
волна будет иметь ярко выраженный поверхностный
но одновременно
дисперсионное
  1 ,
уравнение
с
2
 1 =   0 а  
точки
зрения
2
.
определения
поперечных чисел. Правая часть дисперсионного уравнения (2.4.8) является
функцией
Тогда
 2а
 1a
, а левая
J 0 (  1a )
J1 (  1a )
 1а
  2а
. Отношение
K 0 ( 2a)
K 1( 2a)
можно положить равным 1.
. Левая часть дисперсионного уравнения - функция
54
F 1( x )  x
от
J0 (x)
, где
J1 ( x )
аргумента
x   1a .
x   1а
Построим график зависимости этой функции (рис.14)
, который откладываем по оси абсцисс. Правая часть
дисперсионного уравнения - функция
уравнение окружности
x
2
 y
2
 R
2
, где
F2 ( у )  y
R 
, где
y   2a
 0 0  a  r  1 
рис.14. Найдем точки пересечение окружности с кривой
.
2 a

Построим
r 1
на
F 1( x ) .
Рис. 14 Графическое решение дисперсионного уравнения
Они определяют рабочие точки и количество типов колебаний, которые могут
распространяться по волноводу. Из рис.14 видно, что при R<2,405, на самой
низкой частоте пересечений нет, а следовательно нет корней дисперсионного
уравнения. С увеличением радиуса окружности сначала появляется один корень,
затем два и так далее. Как видно, все они лежат между нулями и полюсами
функции
 1а
J 0 (  1а )
J1 (  1а )
, то есть между нулями
J 0 (  1а )
(функция
 1а
J 0 (  1а )
J1 (  1а )
равна
55
нулю) и нулями
корни  0 m и
J1 (  1а )
 1m
(функция
функций
J 0 (  1а )
 1а
J 0 (  1а )
и
J1 (  1а )
J1 (  1а ) ,
обращается в бесконечность), а это
соответственно.
При критической частоте f=fкр, для которой
2  0
поле утрачивает
,
продольную составляющую (Еz=0, Нz=0) и становится Т-волной. В случае f<fкр
волна распространяется во второй среде, то есть во внешнем пространстве.
При этом постоянная распространения
J 0 (  1а )  0
,
 1а  
0n
 
 2 2
= 2 .
При
2  0
и
 кр 

с
0n
а
 r1  1
или
 кр 
а

2
 r1  1
.
(2.4.9)
0n
Так как условия распространения волн в волноводе выполняются тогда,
когда
   кр
или
   кр
, то, как обычно, можно

взять равной 0,8  кр и из
формулы (2.4.9) определить радиус волновода для заданного типа колебания
а 

0n
0 ,8 
с
 r1  1


0n
1, 6 

 r1  1
.
(2.4.10)
Мощность, канализируемая по круглому волноводу.
Волны типа H .
0n
Как и в случае прямоугольного диэлектрического волновода, мощность
канализируется по двум областям: в области I ( 0
(а
   
)-
II
Р ср
   а
) -
I
Р ср
и в области II
.
Для определения средней мощности используем формулу
Р ср 
 П ср
S
dS
,
56
ds=      . Запишем выражения для средней мощности:
через
где
H
I

II
ZW  ZW 
и через
где
z
для волн типа Н -
Еz
I
ZW 
0

IH
Р ср


II
ZW 
,
2
I
2
1
ZW

2
Н
2
I
z
IIH
Р ср
,
ds

S
1 
2
II
2
2
1

ZW
2

Н
2
II
z
ds
,
ds
,
s
,
для волн типа Е –


1 

a
Используя
IE
Р ср 

1
2
I

2  12 Z WI
2
Ez
IIE
,
ds

Р ср
S
2
2  22 Z WII

II
2
Ez
s
.
0
а
выражение

2
Jm
2
а
(  )  d  
2
J m
2
0
1
(  ) 
(а
2

2
m

2
2
2
) J m (  ) ,
получим для поля не зависящего от  :
IH
Р ср

1 2 
2
2
I
ZW
2
1
a
(Н
I
z0
)
2
2
J 0 (1 )d 

0
2
=
I
=
Pср
=
1 
2
+
1 

II
=
I
z0
I
2
ZW a 
(Н
2
1
2
I
z0
) ( J 0 (  1 а )  J 0 (  1 а ))
2
2
2
) (J 0 (  1 а )  J 0 (  1 а ))
II
Z W 2

2
2
2
=
2
2
,
(2.4.11)
a
(Н
II
z0
)
2
2
 K 0 ( 2  )d =
0
2
2
1
II
Pср
2
2
ZW a 
2
I
Pср
(Н
2
1
IIН
Р ср
2
2
1  ZW a 
2
1 

(Н
0a
2
II
z0
2
2
2
2
) ( K 0 (  2 а )  K 0 (  2 а ))
  1
 2 (Н
 1
I
z0
,
) ( J 0 (  1 а )  J 0 (  1 а ))
2
2
2
(2.4.12)
+
57
1
+
(Н
2
2
II
z0
) ( K 0 (  2 а )  K
2
2
где в (2.4.13) использовано соотношение
I
2
0

(  2 а )) 

II
ZW  ZW 

0

,
(2.4.13)
.
Волны типа Е .
0n
1. Структура волн типа Е0n. Уравнения, определяющие структуру поля
 а
 I
I
Н  j
Е z0 J1 (  1 )
 
1


 I
I
Е z0 J1 (  1 )
Е   j
1

I
 I
Е z  Е z0 J 0 (1 )


 0 II
 II
Н
 j
Е z0 K 1( 2  )
 
2


 II
II
Е z0 K 1( 2  )
Е   j
2

II
 II
Е z  Е z0  K 0 ( 2  )


для обл.I,
для обл.II . (2.4.14)
2. Дисперсионное уравнение.
 r1
 1a
 r2
3.
Определение
J 0 (  1a )
J1 (  1a )
поперечных
1
  2a
и
K 0 ( 2a)
K 1( 2a)
и
2
.
(2.4.15)
продольной

постоянных
распространения производится аналогично рассмотренному ранее для магнитных
волн.
4. Мощность канализируемая по волноводу
IE
Р ср
Откуда:

1

2
2
I
2 1 ZW
 E
S
I
z
2
ds
,
IIE
Р ср

1

2
2
II
II
2  2 ZW
 Ez
s
2
ds
.
58
IE
Р ср 
IIE
Р ср
где

I
ZW
2
2
1
2
2 
2
2
=
I
Z
1 
I
W
2
II
ZW


a
2
1 2 
(E z0 )

2
2
J 0 (1 )d 
0
(E
)
2
2
2
1
2
K
2
0
( 2  )d
0
II
ZW
=


2
1  a 
a
II
z0
и
а1
2
=
Z
I
W
I
2
2
2
, (2.4.16)
2
1  a 
2
( E z 0 ) ( J 0 (  1 а )  J 0 (  1 а ))
2
II
1 ZW
( Е Z 0 ) ( K 0 (  1 а )  K
II
2
2
2
0
(  1 а ))
.
0
В качестве примера на рис.15 представлена структура полей волны E01.
Рис. 15 Структура полей волны E01
, (2.4.17)
59
ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ОБЪЁМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
3.1 Диэлектрический Н-образный резонатор
На базе рассмотренных выше волноводов можно создать резонатор,
который
называют Н - образным диэлектрическим резонатором. Для этого
необходимо волновод ограничить металлическими торцевыми стенками. Если
расстояние между торцевыми стенками взять кратным половине длины волны в
волноводе, то в резонаторе возникнет резонанс. При расчѐте резонатора
необходимо после расчѐта волновода произвести:
1. Определение продольного размера объѐмного резонатора. Он равен
количеству полуволн l, укладывающихся при резонансе вдоль резонатора:
h=l
в
.
(3.1.1)
2
2. Определение собственной добротности резонатора.
Добротность резонатора определяется из формулы:
Q 
W
. Здесь

-
P
угловая
Р
резонансная частота резонатора,
- энергия, запасѐнная в резонаторе,
W
- мощность потерь в резонаторе в единицу времени. В рассматриваемом
резонаторе потери возникают в диэлектрике за счѐт протекающих в нем токов
проводимости -
d  dЕ
, а также в торцевых металлических пластинах, за счѐт
протекающих по ним токов проводимости -

м
 Н
Собственная добротность резонатора Q0 при
.
учѐте потерь в диэлектрике
и в торцевых стенках может быть определена из известной формулы:
60
1
1

Q0
Добротность
известном
tg 
Q 0d 

Q 0d
a
 E dv

2
 E dv
d
.
(3.1.2)
Q0м
2

1

1
может быть определена при
tg 
диэлектрика.
Добротность, обусловленная потерями в торцевых стенках, может быть
определена из интеграла:
Здесь
в
Q0м 

2
-длина волны в волноводе,
которая равна
  1/
 0 
м
0

v
H
2
dv
2
м

 H  ds

в
16 
.
-глубина проникновения поля в металл,
. Так как проводимость металла очень высока
2
(например, для
меди
она равна
5 , 8  10
7
См/м), то потери в резонаторе
практически определяются только потерями в диэлектрике. Так при
добротность резонатора
Q 0  1000
tg   10
3
,
.
3. Структура поля строится на основании уравнений, определяющих
структуру поля в резонаторе. Для получения этих уравнений необходимо
уравнения, определяющие структуру поля в соответствующем волноводе,
подчинить граничным условиям на торцевых стенках резонатора, т.е. потребовать
выполнения граничных условий на границе диэлектрик-металл:
Е   0 , Н   max .
Например, в случае волн электрического типа уравнения, определяющие
структуру поля, будут иметь вид
61

l
z
 E z р  A sin(  1 у )cos
h



l
A cos   1 у sin
z
 E xр 

h
1


H

yр

j 
1
0
A cos   1 у 
l
, область I,
(3.13)
z
h

l
- y
z
 E zp  B e 2 cos
h



l
 y
B e 2 sin
z
 E xp 

h
2


j  0
l
 y
B e 2 cos
z
 H yp  
2
h

,
область II .
(3.1.4)
В этих уравнениях l определяет количество полуволн, укладывающихся
вдоль резонатора, h –продольный размер резонатора. Структура поля колебания
Е021 показана на рис.16.
Рис.16 Структура поля колебания Е021
62
3.2 Планарные диэлектрические резонаторы.
Под планарным резонатором подразумевается резонатор, образованный
двумя
параллельными
расстоянии
h
металлическими
пластинами,
расположенными
значительно меньшем длины волны в диэлектрике
d
на
( h <<  d ).
По существу это может быть, плѐнка на которую с двух сторон напылѐн металл.
Так как
h
<<  d , в этом направлении поле может быть только однородным. Если
c ним совместить ось

z
 0
Z, то в уравнениях Максвелла необходимо положить
. По этой же причине в резонаторе будет отсутствовать продольная
магнитная составляющая поля
Н
z
.
Конфигурация резонатора может быть разнообразной. Резонаторы могут
быть
прямоугольными, круглыми, эллиптическими, кольцевыми. В данном
пособии рассмотрены первые два типа - прямоугольный и круглый.
3.2.1 Круглый планарный диэлектрический резонатор.
1. Вывод уравнений, определяющих структуру поля в резонаторе.
Расчет параметров резонатора.
Уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле в резонаторе
имеют вид:

ro t E   j   0  0 H

  0H   k0H
z
,

ro t H  j   0  0 E    0 E   k 0 E z
,
63
ro t E 
1


0
0




E
 E
k0
=-j  0 Н ,
0
1
ro t H 

Ez

0
0




H

H
k0
= j  a E . (3.2.1)
0
H
z
Откуда
Н

1 E z
1
  j

 
0
1 E z
1
Н  j

 
0
,
(3.2.2)
.
(3.2.3)
Так как в резонаторе могут существовать только продольные электрические
поля, для решения уравнений Максвелла достаточно найти составляющую
Еz
,
решив волновое уравнение:
2
 Ez

2
2

1  Ez
 
2
2

1  Еz

2

2
2
  Ez
.
(3.2.4)
Решением этого уравнения является выражение
E z  ( A J m (  )  N
(  )) cos m 
m
,
в котором для удовлетворения требований теоремы единственности нужно
положить
N
m
=0.
Так как в данном резонаторе при
  а
проходит граница диэлектрик-
диэлектрик, для определения неизвестных констант необходимо применить
граничные условия Олинера:
Е z

 0
. В результате получим выражение для Еz:
Еz= Ez0 Jm(
 mn
a

)cos(mα),
(3.2.5)
64
где
 
 mn
, а

a
mn
- корень производной функции Бесселя.
Подставляя (3.2.5) в (3.2.2), (3.2.3), получим выражения для составляющих
векторов поля колебаний типа Emn0:
E z  E z0 J m (
H

0
H
0
 E z0
m

,
H  0  E z0
1
0
a
 mn 
Jm (

0
 ) cos( m  ) ,
a
1
 jH
H    jH
где
 mn

 mn
Jm (
 ) sin( m  ) ,
(3.2.6)
a
 mn
 ) cos( m  ) ,
a
.
0
2. Расчѐт геометрических размеров резонатора
Основным отличием рассматриваемого резонатора от обычного замкнутого
резонатора
является
отсутствие
боковых
металлических
поверхностей.
Диэлектрик, находящийся между металлическими пластинами, с относительной
диэлектрической проницаемостью

r
при
  а
граничит с воздухом. В
результате чего электромагнитное поле выходит за пределы резонатора и
частично находится в воздухе (рис.17).
εr
Рис. 17 Геометрия круглого планарного резонатора
65
Поэтому целесообразно резонатор с неоднородным заполнением заменить
эквивалентным ему резонатором с однородным диэлектриком, относительная
диэлектрическая проницаемость которого равна εr эф (рис.18) .
εr эф
Рис. 18 Геометрия эквивалентного резонатора
Эквивалентный резонатор будет обладать «эффективными» размерами,
отличными от тех, которые были бы у резонатора закрытого металлическими
боковыми поверхностями. Резонансная длина волны при этом будет определяться
формулой
0 
где
а эф  a 1 
2h  a

ln
 1, 773


a  2h

2  a эф
 r эф
,
 mn
.
(3.2.7)
(3.2.8)
Для определения εr эф пользуются соотношением [1]:

 r эф 
где

C эф
=

C 0 эф 


C 0 эф
C kэф 

+ C kэф
,
 r a
 0h
2
1
C эф
=
0
C
1
эф
,
ZW (а , h, r )

(3.2.9)
1
+ C kэф
,
'
'

J m  1 (  mn )  J m  1 (  mn ) 
1 

'2
J m (  mn )


 a  120  Z W ( 2 а , h ,1 )


1
C 0 эф
C эф
2 r а 

h 
,
(3.2.10)
,
(3.2.11)
(3.2.12)
66
1 , при m  0
0  
 2 , при m  0
Z W ( 2 a , h ,1 )
.
- волновое сопротивление НПЛ с шириной полоски 2a с воздушным
заполнением,
- волновое сопротивление НПЛ с шириной полоски
ZW (2a, h, r )
2a с диэлектрическим заполнением:
120   2 а
2

(2a, h, r ) 

(ln( 17 ( а / h  0 , 92 ))



r  h

ZW
При расчѐте
Z W ( 2 a , h ,1 )
ZW
в формулу (3.2.13) вместо
r
1
.
(3.2.13)
нужно подставлять 1:
2
 2а

( 2 a , h ,1 )  120 

(ln( 17 ( а / h  0 , 92 ))
 h




1
.
3. Расчѐт добротности резонатора
В резонаторе существует два вида потерь: потери в диэлектрике и потери в
металле. В результате чего полная добротность резонатора определяется по
известной формуле:
1
Qп
Здесь
1
 tg 
, где
tg 

1
1

Qм
.
(3.2.14)
Qd
- тангенс угла потерь диэлектрика, который обычно
Qd
известен.
Полагая, что пластины резонатора выполнены из высокопроводящего
металла с проводимостью

м
, находим
Qм 
h

,
(3.2.15)
67
где
  1/
 0 
м
- глубина проникновения поля в металл.
2
Полная добротность резонатора равна:
Qп 
QdQм
.
Qd  Qм
(3.2.16)
3.2.2 Прямоугольный планарный резонатор
В качестве исходных данных задаются: тип колебаний Emnp (например: E110,
т.е. m=1, n=1, p=0), рабочая частота f0, толщина диэлектрика h, относительная
диэлектрическая проницаемость εr , окружающая среда - воздух.
1 . Уравнения, определяющие структуру поля
Для
вывода
уравнений,
определяющих
структуру
поля,
можно
воспользоваться инвариантной формой
2
  E   j  grad
2
  H
где
H

 e1 H
q1
 e2 H
q2

;
Eq

 j  grad

 j 
3
H
q3
 j 
E   e1 E q  e 2 E q ;
1
a
grad
a
grad
grad


2
e3
,
(3.2.17а)
E q e3
,
(3.2.17б)
H

q3
 e1
3

 q1
 e2

q 2
.
Так как в резонаторе отсутствует продольная составляющая магнитного
поля
Н
z
и поле не распространяющееся ( 
 0
), находим составляющие
поперечного магнитного поля из уравнения (3.2.17б):
2
 H

 j 
a
grad

Ezk
0
,
(3.2.18)
68
где
H

 iH
x
 jH
Н
y;
j 

x

Е z
a
;
y
2
Н
  j
у


Е z
a
х
2
;
grad

 i

x
 j

y
.
Они выражены через составляющую Еz, которую определим из волнового
уравнения
2
2
 Ez
х
 Ez

2
у
2
  Ez
2
и его общего решения
Еz=(Acoskxx+Bsinkxx)(Ccoskyy+Dsinkyy).
Применив граничные условия Олинера:
Е z
x
 0
при х=0, х=а
и
Е z
y
 0
при у=0, у=b, получим выражение для Еz :
Еz=Еz0coskxx coskyy,
где

2
2
2
 kx  kу
,
m
kx 
ky 
,
a
n
(3.2.19)
.
(3.2.20)
b
2. Структура поля
Используя (3.2.18), найдем выражения, определяющие структуру поля:
m
E z  E z 0 cos
H
H
где Нx0=Еz0
 a b
n
, Нy0=Еz0
y
x
  jH
  jH
 a a
m
y0
,
3. Резонансная длина волны
x0
x cos
a
y
,
b
m
cos
sin
n
n
x sin
a
m
a
x cos
y
b
n
b
y
,
,
69
Для волны типа Еmn она определяется выражением


2
рез

 m 


а

 эф 
2
r эф
,
 n 

 
b

 эф 
(3.2.21)
2
где m - количество вариаций поля по оси X, n -количество вариаций поля по оси
Z,
 r эф
относительная
-эффективная
диэлектрика
а эф , b эф
диэлектрическая
проницаемость
- эффективные размеры пластины. Вдоль оси Y поле
однородно.
4. Эффективная диэлектрическая проницаемость
Эффективная диэлектрическая проницаемость находится как

 r эф 
где

ѐмкость
-эффективная
C эф
диэлектрической
относительной
С эф
,
1
С эф
(3.2.22)
резонатора
прямоугольного
проницаемостью
диэлектрика
сечения

r
с
1
;
C эф
-
эффективная ѐмкость резонатора прямоугольного сечения с диэлектрической
относительной проницаемостью диэлектрика
В общем случае эффективная ѐмкость

C эф
где

C 0 эф
=

r
 
  h
=

C 0 эф


r
C эф
=1.
определяется выражением
+2 C k 1 эф +2 C k 2 эф ,
-эффективная ѐмкость плоского конденсатора,
(3.2.23)
70

C k 1 эф

C k 2 эф

C k 1 эф
,
=
=
  120  Z W ( а , h ,1 )  r а 



2   Z W2 ( а , h ,  r )
h 
  120  Z W ( b , h ,1 )

2  

C k 2 эф
2
Z W (b , h ,  r )

 r а 

h 
,
(3.2.24)
,
(3.2.25)
- эффективные краевые ѐмкости.
Ёмкость
1
C эф
вычисляется по этим же формулам, но вместо

r
в них надо
подставить 1.
В вышеприведенных формулах
m =0,
при m  0 ;
  2
Z W (а, h,  r )
 1
при n =0 ,
  2
при n  0 ;
 1
при
- волновое сопротивлении несимметричной
полосковой линии, у которой a -ширина полоски; h,

r
-толщина и относительная
диэлектрическая проницаемость подложки.
При
вычислении

C k 2 эф
Z W (b , h ,  r )
-
волновое
сопротивлении
несимметричной полосковой линии, у которой b - ширина полоски,
h,

r
-
толщина и относительная диэлектрическая проницаемость подложки :
Значения
а эф
и
ZW
120   а
2

(а , h, r ) =

(ln( 17 ( а / 2 h  0 , 92 ))
h


r 

ZW
120   b
2

(b , h ,  r ) =

(ln( 17 ( b / 2 h  0 , 92 ))
h


r 

b эф
1
,
(3.2.26)
.
(3.2.27)
1
, входящих в формулу (3.2.21), определяющую

рез
равны:
1
3

120  а h
а эф  
 Z W ( а , h ,  r ) 
эф



4
,
(3.2.28)
71
1

120  b h
 
 Z W ( b , h ,  r ) 
3
b эф
эф



4
.
(3.2.29)
5. Добротность
Добротность планарного прямоугольного резонатора рассчитывается в
соответствии с пунктом 3 предыдущего параграфа.
72
ГЛАВА 4 ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
4.1 Расчет симметричного диэлектрического волновода.
Исходные данные:
Рассчитать прямоугольный диэлектрический волновод, предназначенный
для канализации волны электрического чѐтного типа Е20 на частоте f=10 ГГц.
Относительная
tg 
 10
4
диэлектрическая
проницаемость диэлектрика

r
=4,
r  1,
. Окружающая среда - воздух. При расчете считать диэлектрическую
пластину неограниченной по оси Y.
В курсовую работу входит расчет следующих параметров волновода:
поперечных волновых чисел, толщины слоя диэлектрика 2d, коэффициента
распространения

, длины волны волновода
волны, коэффициента дисперсии
K
д

, фазовой и групповой скоростей
, канализируемой мощности Рпр, волнового
сопротивления Zw, постоянной затухания

. В итоге нужно построить структуру
поля волны в волноводе.
Расчѐт волновода
1. Система уравнений.
По волноводу должна распространяться волна типа Е20, поэтому полагаем
Нz=0, Еz≠0 . Система (1.8) примет вид
73
 E z

E   j
 x
2
x



j  a  E z
H  
y
2

x


.
(4.1.1)
2. Решение волнового уравнения
2
 E
x
I,II
z
2
2
I,II
z
z
2
 E

 
I , II
E
I,II
z
.
(4.1.2)
Для первой области решение уравнения (4.1.2) для чѐтной волны будет:
E z  A sin   1 x  .
I
Здесь
1  k0  r  
1 
k0 
2
2
2
r
 
2
2
(4.1.3)
- квадрат поперечной постоянной распространения. Откуда
.
Для второй области решение волнового уравнения (4.1.2) будет иметь вид:
II
Ez
а

 Be
2x
,
квадрат поперечной постоянной распространения
2


2
(4.1.4)
2
2
 2  k0  
2
, или
2
 k0
Как следует из (4.1.4) амплитуда волны во второй среде убывает по мере
удаления от диэлектрика по закону экспоненты, т.е. волна имеет поверхностный
характер.
Подставив в систему уравнений (4.1.1) Еz для первой среды из (4.1.3) и
для второй из (4.1.4), запишем уравнения, определяющие структуру поля
диэлектрического волновода, по которому должна распространяться волна
электрического типа Е20,
74


 j z
E  A sin(  1 x )e
 z

j
 j z
A cos   1 x e
E x  
1


j  a

A cos   1 x e
H y  
1



  x  j z
E zв  B e 2 e


j
 x 
Be 2 e
 E xв 


H

- диэлектрик (область I), (4.1.5а)
j z
j z
- воздух ( область II) .
2
yв

j 
2
0
Be
2x
e
(4.1.5б)
 j z
Выделим из этих уравнений составляющие тангенциальные к границе
раздела воздух-диэлектрик:
 E I  A sin   x 
z
1

 a
 I
cos   1 x 
 H y  jA


1
 E II  B e   2 x
zв


j  0
 x
II
H

Be 2
yв

2

Применяя граничные условия
H
I
y
=H
II
y
и
I
Ez
,
(4.1.6)
.
(4.1.7)
= E zII при х=d получим систему
уравнений:
j 
 j  a
A cos   1 d  

1
2

 d

A sin   1 d   B e 2

0
B e
  2d
Разделив второе уравнение системы на первое, получим:
.
75
1
a
tg   1 d
Умножив обе части уравнения на ε0d,
r
2
.
0
получаем трансцендентное уравнение,
связывающее поперечные волновые числа
1

и
1
в случае четных волн:
2
 1 d  tg   1 d    2 d
.
(4.1.8)
Как уже отмечалось раньше, фазовые скорости быстрой и медленной волн
должны быть одинаковыми. Поэтому должны быть одинаковыми и продольные
волновые числа β, а следовательно,
2
2
2
или
2
  0 а   1    0 0   2

2
 0 а
  0  0 d
2
2
2
 (  1   2 )d
2
,
из которых получаем:
R  d
 0
a
  0
0
 k0d

1
r
.
(4.1.9)
3. Графическое решение
В соответствии с формулой (4.1.8) построим графики зависимостей
у1(х)=
0
a
 1 d  tg   1 d    2 d
и у2(х)= R, где
x   1d
,
Рис. 19 Графическое решение дисперсионного уравнения
76
Из рис.19 следует, что условием существования волн типа Е20 будет R   .
Отсюда находим рабочую точку
 1 d  1 ,146
(  1d )
R 
2
и
 2 d  0 , 42 
 ( 2d )
2
 1 , 24 
, что соответствует
.
По известному R, использую формулу (4.1.9), определяем толщину пластины
d 
R
2
r 1
 0 , 35 
.
(4.1.10)
Пользуясь формулой (2.1.17), определим критическую частоту и критическую
длину волны :
n
f кр 
При этом
f / f кр  1 , 28
4d
r 1
 8 , 26
ГГц ,
 кр 
c
 3 , 63
см.
(4.1.11)
f кр
,
 1 d  1,146   3 , 59 .
 2 d  0 , 42   1 , 31 ,
(4.1.12)
Определим фазовую постоянную β, характеризующую распространение волн
вдоль волновода. Она определяется из формулы:
 
 
Так как
 
2
в
2
k0  
2
2
k0  
,
2
2
 00   2 
, то
в 

2

 0 0
1  0 , 59
 2 , 57
,
2

2

1 ,16
.
см и коэффициент дисперсии
1 ,17
K
д


в
 1 ,16
.
В итоге найдем фазовую скорость
vф 


 2 , 57  10
8
м/с .
(4.1.13)
77
Для определения групповой скорости необходимо воспользоваться формулой
(2.1.20).
4. Расчет мощности, канализируемой по волноводу
Рассчитаем величину средней мощности, канализируемой по волноводу
волной четного электрического типа Е20. Определим среднее значение вектора
Пойнтинга для I и II областей, пользуясь формулой:
П

ср
1



Re Е  H
2
*
.
В результате получим:
I
П ср 
II
П ср 
1
А
2

2
1
B
a
2


2
0
2
2
2
cos
2
1
e
2x
 1 x  ,
(4.1.14)
.
(4.1.15)
Так как из граничных условий следует, что
В  А sin(  1 d )e
 2d
,
то
II
П ср 
1 
2 
0
2
2
sin
2
(  1 d )e
2  2d
e
22x
.
(4.1.16)
Для определения мощности необходимо воспользоваться соотношением:
Р ср   П
ср
dS
,
(4.1.17)
S
где ds=dydx. Так как поле не зависит от y, можно интегрировать от 0 до любого
заданного значения y=a. Мы положим a=1.
Поток мощности в области I определится следующим образом:
78
1
Р ср  Р ср 0
r 1
3
1
1

 sin  2  1 d    1 d   5 , 27 Р ср 0
2
4

,
(4.1.18)
а в области II:
1
II
Р ср  Р ср 0
2
где
Р ср 0 
A 

0
d
2
3
 sin
 1d  
2
0 , 08 Р ср 0 ,
(4.1.19)
3
.
3
Общая мощность, канализируемая вдоль волновода, равна сумме:
Р ср 
Отношение
II
I
Р ср / Р ср
I
Р ср

II
Р ср

I
Р ср
II

Р
 1  ср
I

Р ср


.


(4.1.20)
показывает, какая часть мощности распространяется за
пределами диэлектрического стержня
Pср  Р ср
0
( 5 , 27  0 , 08 )  Р ср 0 5 , 27 (1  0 , 015 )
Вт.
Таким образом, в нашем случае во внешней области распространяется 1,5
% от канализируемой внутри волновода мощности.
5. Расчет волнового сопротивления
Воспользуемся соотношением (2.1.22) и учтем, что
tg
2
  1
результате получим
I
Z W 
2
120 
1
r
II
I
Z W  Z W
1
2
1
2
k1
 60 
tg(  1 d )  78
1  0 , 025  186
Ом,
Ом,
и
  0
.В
79

Z W

I
II
Z W Z W
I
II
Z W  Z W
 55
Ом.
2
2
6. Расчет постоянной затухания
 
a0
2

I


2

1  tg
a0
2

2

 1  0
1  tg
2
,

  1  1 

1 ,16
.
Структура поля волны Е20, рассчитанная по формулам (4.1.6), (4.1.7),
представлена на рис.20.
Рис.20 Структура поля волны Е20
80
4.2 Расчет несимметричного диэлектрического волновода
Исходные данные:
Планарный волновод (рис.21) должен быть выполнен из пленки GaAs на
подложке AlGaAs. Покровный слой - воздух. Вдоль волновода должна распространяться волна Н01. Длина волны генератора

=1 мкм. Толщина плѐнки d.
Рис.21 Геометрия несимметричного диэлектрического волновода
Показатели преломления:
1. плѐнки –
n2=

2. подложки – n3=
r2
=3,5 ,
 r3
3. воздуха – n1=1,
=3,2 ,
 а1  0
 a 2   r 2 0
,
 a 3   r 3 0
,
.
Система координат выбрана так, что волна распространяется вдоль оси z, а
показатели преломления в соответствии с рис.21 :
n(y)=
n1
при
n2
при
-d

y 0 ,
n3
при
-

y
0 
y

d
,
.
Расчѐт будем производить из тех предположений, что основная часть мощности
81
будет распространяться в плѐнке.
Расчѐт волновода
1. Система уравнений Максвелла для электромагнитных полей запишется
следующим образом :
i
rot Н 
j

0
H
k0
 j
y
H
x
h3 H
y
 j 
i E q
a
1
 jE q  k 0 E q
2
3
.
(4.2.1)
z
Аналогичное выражение можно записать и для второго уравнения
i
rot Е 
0
Еx
j
k0

y
Е
 j    j 
i Н x
a
 jН
y
 k 0Н
z
.
(4.2.2)
Еz
y
2. Уравнения, определяющие компоненты поля в волноводе для волны типа
Н01
2
  E х  j 
2
  H
у
0
 j 

H
z
у
H
у
z
,
(4.2.3)
.
(4.2.4)
3. Решение волнового уравнения для трѐх областей:
А1 ехр(-  1 у )

1, 2 ,3
 Е z ( у)
 
 
 H z ( у)
0
A 2 cos  2 y  B 2 sin  2 y
А3 ехр(  3 ( d
 у) )
y  
-d 
-
y  0
,
, ( 4.2.5)
 y  d
.
82
4. Выражение констант А1, А2, А3,В2 через константу С:
1. Hz1=Hz2 при y=0 , откуда A1= A2 =C .
2. Eх1= Eх2 при y=0, откуда
3. Hz2=Hz3 при y=-d ,
-
2
1
откуда
4. Eх2= Eх3 при y=-d, откуда
C= B 2 .
(4.2.6)
2
С (cos  2 d 
C(
3
1
sin  2 d 
2
sin  2 d )
3
1
=A3.
cos  2 d )


 y
Ce
,


2
H z ( у )   C (cos(  2 у ) 
sin(  2 у )) ,

3


2

sin(  2 d )) e
 C (cos(  2 d ) 
1

=А3.
при
1
Следовательно:
(4.2.7)
при
3
y
, при
(4.2.8)
(0  y   )
( d  y  0)
.
(   y   d )
5. Выражения составляющих поля для трѐх областей:


  y  j z
Ce
e
,




H z ( у , z )   C (cos  2 у )  2 sin  2 у ) e
1


2

sin  2 d ) e
 C (cos  2 d 
1

при
1
3
j z
при (  d  y  0 )
,
(d  y)
(0  y   )
e
 j z
  0
  y  j z
Ce
e
,
j
1

  0
2
 j z
E x ( у, z)   j
С (sin  2 у 
cos  2 у ) e
,


1
1


 0
3
3

C(
sin  2 d 
cos  2 d ) e
 j
3
2
1

,
(4.2.9)
, при (   y   d )
при ( 0  y   )
1
при
3
(d  y)
e
 j z
( d  y  0)
, при
(   y   d )
, (4.2.10)
83
H
y

 j


( у, z)   j





1

2
j
Ce
 1y
e
 j z
2
С (sin  2 у 

C(
3
3
2
при ( 0  y   )
,
1
cos  2 у ) e
sin  2 d 
3
1
 j z
( d  y  0)
при
,
 3 (d  y)
cos  2 d ) e
e
 j z
при
,
.
(   y   d )
(4.2.11)
Здесь
2
2
2
 1  k 0 n1  
2
,
2
2
2
 2  k0 n2  
2
2
2
2
 3  k 0 n3  
,
2
.
6. Дисперсионное уравнение для волны Н0n
записывается в виде формулы:
d
0
1

Здесь
( n   arctg
2
2
n2  

k0

1
0

2
 

2
n2  
,
n3  n2 ,

2
2
2
n2  
2
2
 n1 
(1 

2

2
 n3
2

2
2
 n1 
n2  
2
) . (4.2.12)
2
2
 n3
а структура поля во всѐм пространстве
n1  n 2 ,
определяется формулами (4.2.9)-(4.2.11).
Дисперсионное
n    2 d  ( n  1)
уравнение
удовлетворяет
модовому
условию:
, где n=0,1,2… определяет порядок моды.
Например, волна
H
0n
является волной магнитного типа, не имеющей
вариаций по оси х и содержащей n вариаций по оси у.
7. Вычислим значения функции
d

( ) Н
0
0n
для трѐх нижних мод : Н , Н , Н .
0
0
0
01
02
03
84
Таблица 1. Значения функции

3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
3.39
3.40
3.41
3.42
3.43
3.44
3.45
3.46
3.47
3.48
3.49
Н ,
0
01
d

d

( )
0.127
0.151
0.163
0.174
0.184
0.194
0.204
0.215
0.225
0.237
0.248
0.261
0.274
0.288
0.303
0.319
0.338
0.358
0.380
0.405
0.434
0.467
0.505
0.553
0.610
0.684
0.785
0.931
1.177
1.730
( ) Н
0
0n
Н ,
0
Н
0
01
02
d

( )
0.480
0.509
0.527
0.545
0.561
0.579
0.597
0.615
0.635
0.655
0.677
0.700
0.725
0.752
0.781
0.813
0.848
0.887
0.930
0.979
1.036
1.101
1.178
1.271
1.385
1.533
1.732
2.025
2.515
3.622
Н ,
0
Н
0
02
03
d

( )
Н
0
03
0.833
0.867
0.892
0.915
0.939
0.964
0.989
1.016
1.044
1.074
1.106
1.139
1.176
1.216
1.259
1.306
1.358
1.416
1.480
1.554
1.637
1.735
1.849
1.988
2.160
2.381
2.680
3.118
3.853
5.513
8. Построим дисперсионные кривые для этих локализованных мод (рис.22).
85
Рис. 22 Дисперсионные характеристики для локализованных мод
9. Расчѐт толщины плѐнки, соответствующей одномодовому режиму.
Для одномодового режима работы согласно дисперсионному уравнению
необходимо, чтобы выбранному значению
 
2

соответствовала определенная
толщина плѐнки d или наоборот.
Рассчитываем толщину плѐнки таким образом, чтобы по волноводу
распространялся один тип колебаний Н . Выбираем
0
01
соответствует отношение
d

 0 , 2 48
. Откуда, при
  3 ,3 .
  1 мкм
Этому значению

получим d=0,248 мкм
и
1 =
или
2


2
2
 n1
=
2

1 =
3,14;
1, 55 
d
,
2
=
2
2
=
2
n2  

0 , 57 
,
d
10. Постоянная распространения

k0
2
=
3 
 
2

1,166;
0 , 39 
3 
2


.
2
2
 n3
=
2

0 ,8
(4.2.13)
d
, поэтому
 
2

 2 , 07  10
7
см-1.
86
Таким же образом могут быть рассчитаны

и d для всех других типов волн.
11. Расчет распределения компоненты Ех(у) для волны
H
0
01
.
Из формул (4.2.10) получим расчетные формулы:
2

 0    3 ,14  y
 jС
e
,
при
(0  y   )
6 , 28 


 0 
0 , 57 
0 , 57 
.
Е х ( у , z )   jC
[sin(
у )  0 , 36 cos(
у )] ,
при
( d  y  0)
2
,
34

d
d


 0 
 ( yd )
[ 0 , 68 sin( 0 , 57  )  0 , 25 cos( 0 , 57  ) e 3
] , при (   y   d )
  jC
1, 6 

Для выбранной рабочей точки ( 
d=0,32 мкм,
 3 ,3 ,
 0  4  10
7
Гн/м), изменяя у
в указанных ниже пределах, рассчитаем распределение составляющей поля
Е х ( у, z  0)
для всех трѐх областей. Результаты расчета сведены в табл.2.
Таблица 2 Расчетные значения компонент поля
у/d
0,3
0,2
0,1
0
-0.05
-0,1
0,2
0,4
Еx(у)
0,08
0,19
0,22
0.36
0,27
0,18
0
-0,36
1
0,93
Hz(y)
0,95
у/d
-0,6
-0,8
1
-1,1
-1,2
-1,3
-1,4
-1,5
Еx(у)
-0,57
-0,88
-1
-0,99
-0,78
-0,69
-0,61
-0,54
Hz(y)
0,88
0,45
0,12
Графики зависимостей
Е х ( у, z  0)
и
H
z
( у, z  0)
представлены на рис.23.
87
Рис.23 Графики зависимостей
Е х ( у)
и
H
z
( у)
Структура поля волны Н01 показа на рис.24.
Рис.24 Структура поля волны Н01 в несимметричном волноводе.
Из табл.2 и графика рис.23 следует, что составляющая Ex имеет один
максимум в плѐнке. За пределами плѐнки поле убывает по экспоненциальному
закону, т.е. носит поверхностный характер.
12. Мощность, переносимая по волноводу
Эта мощность неравномерно распределена между тремя областями: I,II,III.
88
В данном расчѐте предусмотрено сосредоточение основной части мощности в
пленке (в области II), что подтверждается распределением поперечной
составляющей электрического поля Ех вдоль координаты y.
Исходными формулами являются: среднее значение вектора Пойнтинга
П
ср

1



Re Е  H
2
*
 и средняя мощность Р
ср
  П ср d s
.
s
Общая мощность, распространяющая вдоль волновода, определяется
суммой мощностей, канализируемых по отдельным областям:

I
Р ср 

II
Р ср 
,
Р ср 
Отношения
I
Р ср
III
Р ср 
,
I
Р ср

II
Р ср

III
Р ср
III
 П ср
dy
,
(4.2.14)


I
Р ср
II
III

Р
Р
 1  ср  ср
I
I

Р ср
Р ср


.


(4.2.15)
III
II
Р ср

II
П ср dy
d
0
и равна :
d
0
I
П ср dy
и
Р ср
I
Р ср
показывают, как канализируемая мощность делится между
областями.
Вводя обозначение
2
Р ср 0  0 , 25 C 
0
и используя для расчета мощности
формулы (2.3.20)-(2.3.22), получим
I
Р ср
 Р ср 0 0 , 268
d

3
3
,
II
Р ср
 Р ср 0 11 , 43
Р ср  Р ср 0 11 , 43
d

d

3
3
,
III
Р ср
 Р ср 0 10 , 77
d

3
3
,
3
3
(1  0 , 94  0 , 0234 ) .
Из расчета следует, что вся мощность распространяется преимущественно
в областях II и III. Это объясняется тем, что они имеют близкие коэффициенты
89
преломления:
n 2  3 ,5 , n 3  3 , 2 .
4.3. Расчет круглого диэлектрического волновода
Круглый диэлектрический волновод (волоконный световод) представлен на
рис .25.
Рис. 25 Геометрия волновода
Исходные данные:
Рассчитать волоконный оптический световод: определить радиус волокна а,
если относительная диэлектрическая проницаемость стекла
среды
 r 2 =1.
Длина волны генератора
  0 , 63
 r 1 =3,2,
окружающей
мкм. Структура поля волны Н01.
Расчѐт волновода
1. На основании изложенной выше теории, учитывая независимость полей от
координаты

(

 0)

и используя (1.4), запишем первое и второе уравнения
Максвелла в виде
0
1

 
H


0
0
H 
0
 j   j 
H
z
a
 0 E 
  0 E   0 E z
,
(4.3.1а)
90
0


1
0
0
 j    j 
0
 
E
E
0
 0 H 
  0H
 0H

z
.
(4.3.1б)
Ez
Откуда для волны магнитного типа Н0n получим :
E   j


0
2
Н
z

,
H

  j
 Н

z

2
.
(4.3.2)
2. Решение волнового уравнения для области I
H
I
z
II
z
 H
 H
I
z0
J 0 (1 ) ,
0    a
.
(4.3.3)
Для области II
H
II
z0
K 0 ( 2 ) ,
а    
.
(4.3.4)
3. Выражения, определяющие структуру поля волны Н :
01
 0
 I
I
E   j
H z0 J1 (  1 )
 
1


 I
I
H z0 J1 (  1 )
H   j
1

I
 I
H z  H z0 J 0 (1 )


для области I,
 0
 II
II
E   j
H z0 K 1( 2  )

2


 II
II
H z0 K 1( 2  )
H   j


Н


для области II.
2
II
z
 H
II
z0
 K 0 ( 2 )
4. Дисперсионное уравнение для волны Н
01
согласно (2.4.8) имеет вид
(4.3.5)
(4.3.6)
91
 1a
J 0 (  1a )
J1 (  1a )
  2a
K 0 ( 2a)
K 1( 2a)
.
(4.3.7)
5. Графическое решение дисперсионного уравнения, построение графиков.
Левая часть дисперсионного уравнения - функция
y1 ( x )  x
x   1a
. Построим график зависимости этой функции (рис.26) от
x   1а
, который откладываем по оси абсцисс, и график функции
J0 (x)
, где
J1 ( x )
аргумента
y2 (x)  R
.
Рис. 26 Графическое решение дисперсионного уравнения
Точки пересечения функций
y1 ( x )
и
y2 (x)
определяют рабочую точку для
заданного типа колебаний.
6. Определение поперечных волновых чисел
Для определения поперечных волновых чисел
окружность радиуса R (больше
координат,
например,
перпендикуляры на оси
R 
 1а
и

01
2  a

 2а
 2 , 405
r 1
1,  2
на графике проведѐм
и меньше 3,832) с центром в начале
=3. Из точки пересечения проводим
. Получим
 1 а  2 ,6
,
 2 а  1 , 66
.
92
Откуда
1 
2 .6
а
, 2  
1 . 66
а
.
7. Определение радиуса диэлектрического стержня.
Используя соотношение (2.4.9), получим
а 

0 ,8 
В
нашем

 2 , 405
01
а 
с
0n
 r1  1

примере


0n
1, 6 
 r1  1
заданы:
.
  0 . 63 мкм ,  r 1  2 . 25 , волна
Н
01
Поэтому
.
и
2 , 05
0 , 63
1, 6 
2 , 25  1
 0 , 268
мкм.
На практике рекомендуется выбирать a несколько больше рассчитанного, при
этом удовлетворяя условию существования выбранного типа колебаний.
9. Уравнения, определяющие структуру поля.
 0 а
2 .6
 

E    j
H z0 J1 (
)

2 .6
а

а
2 .6
 

H z0 J1 (
)
H   j
а
2
.
6


H


Z
 H

Z0
J0(
2 .6
а
для обл.I.
 0 а
1 . 66
 

E
 
H z0 K 1(
)


1 . 66
а

а
1 . 66
 

H z0 K 1(
)
H   j
а
1
.
66


Н

)

Z
 H

z0
K0(
1 . 66
а
для обл.II.
)
10. Проверка граничных условий:
Граничные
H

z0
= H z 0
J 0 (  1а )
K 0 ( 2а)
условия:
, а равенство
H


z
= H z

Е  Е
при
при
  а
  а
выполняется
требует равенства
при
93
 1a
При
  а
J 0 ( 2 ,6 ) 
следовательно:
 1a
-0,23 ,
J 0 (  1a )
J1 (  1a )
J 1 ( 2 ,6 ) =
J 0 (  1a )
J1 (  1a )
=1,3
  2a
0,46,
K 1( 2a)
K 0 (1 , 66 )
K 0 ( 2a )
  2a
K 0 ( 2a)
K 1( 2a )
.
=0,17,
K 1 (1 , 66 ) =0,22,
=1,28.
11. Проверка равенства постоянных распространения для I и II областей.
2
 
 
 
  0 0   2
2

1 (
2

 2
2 а
2 . 25  (
)
или
2
2

2

1 . 66  0 . 63
2   0 . 268
 
1
)
2

2
  0 а   1
( 2 . 6  0 . 63 )
2
( 2   0 . 268 )
2

1 . 38
2

2
2

.
1 . 39
,
.
Так как граничные условия выполняются и постоянная распространения
одинакова
для
обеих
областей,
математические
вычисления
проведены
правильно.
12. Мощность, канализируемая по круглому волноводу.
Как и в случае прямоугольного диэлектрического волновода, мощность
канализируется по двум областям: в области I ( 0
(а
   
   а
) - Р  ср и в области II
) - Р  ср .
Для определения средней мощности используем формулу
Р ср 

S
dS=      .
П
ср
dS
,
94
Запишем выражения для средней мощности через Нz для волн типа Н
2
IH
Р ср
I
1  ZW

2
1
2

Н
2
2
I
z
IIH
Р ср
,
ds

2
S
а
Учитывая выражение для интеграла  J
(  )  d  
2
m
II
1  ZW
а
II
z
2
,
ds
S
2
J m (  ) 
2
2
0

2
2
Н
1
(а
2

2
m

2
) J m (  )
2
2
[2], для поля, не зависящего от  , получим:
IH
Р ср

I
где
1 

1
2
)
I
z0
II
2
J
2
0
(1 )d 
I
2
1
2
2
) (J 1 (  1 а )  J 0 (  1 а ))
2
2
II
2
(Н
I
) ( J 0 (  1 а )  J 0 (  1 а ))
2
z0
2
2
=
II
z0
2
2
)  K 0 ( 2  )d
=
0

0

,
1  ZW a 
2
a
(Н
2
2
ZW  ZW 
I
(Н
Z W 2

2
(Н
2
2
2
2
1  ZW a 
a
I
z0
0
1  ZW a 
2
IIН
I
ZW
2
1
2
=
Р ср
2
1 2 
II
2
2
2
2
II
(Н
Z 0
) ( K 0 (  2 а )  K 0 (  2 а ))
2
2
2
,
.
Подставляя численные значения, получим
Pср
= PсрIH + PсрIIH = Pср0 (( 0 , 445
2
где
0
Pср 
II
 0 , 24
2
) / 2 ,6
2

0 , 24
0 , 445  1 , 66
2
( 0 , 22
2
 0 ,17
4
 ZW a 
2
2
(Н
I
Z0
2
) .
На рис.27 представлена рассчитанная структура поля волны H01.
2
0
))  0 ,192 Pср
,
95
Рис. 27 Структура поля волны H01
4.4 Расчет Н- образного диэлектрического резонатора
На базе волновода рассмотренного в параграфе 4.1 можно создать Нобразный объемный диэлектрический резонатор.
Для этого необходимо данный волновод ограничить металлическими
торцевыми стенками. Если расстояние между торцевыми стенками взять кратным
половине длины волны в волноводе, то в резонаторе возникнет резонанс.
Задание:
Рассчитать Н-образный объемный диэлектрический резонатор для
электрического
диэлектрическая
чѐтного
типа
Е201 на частоте f=10 ГГц.
проницаемость диэлектрика

r
=4,
волны
Относительная
r  1,
tg 
 10
4
.
Окружающая среда - воздух. При расчете считать диэлектрическую пластину
неограниченной по оси у.
96
В курсовую работу входит расчет следующих параметров резонатора:
поперечных волновых чисел, толщины слоя диэлектрика 2d, коэффициента
распространения

, длины волны волновода

, определение его добротности.
Необходимо также записать уравнения, определяющие структуру поля в
резонаторе, и на основании этих уравнений построить структуру поля волны Е201.
Расчѐт резонатора
1. В параграфе 4.1 проведѐн расчѐт волновода для заданных параметров и
заданного
типа волны
Е20.
Поэтому в данном примере мы можем
воспользоваться результатами данного расчѐта (d=1см,  в
 2 , 57
см) и определить
его геометрические размеры: длину резонатора - она равна количеству полуволн,
укладывающихся при резонансе вдоль резонатора: h=l
в
=1,285 см и толщину
2
диэлектрика равную 2d=2 см .
2. Уравнения, определяющих структуру поля в резонаторе в случае волн
электрического чѐтного типа, имеют вид:

l
z
 E zр  A sin(  1 x )cos
h



l
A cos   1 x sin
z
 E xp 

h
1


j  a
l
A cos   1 x cos
z
 H yp  
1
h

- диэлектрик (область I), (4.4.1)
97

l
 x
z
 E zp  B e 2 cos
h



l
 x
B e 2 sin
z
 E xp 

h
2


H

yp
 
j 
0
2
Be
2x
воздух ( область II) . (4.4.2)
l
cos
z
h
3. Определение собственной добротности резонатора.
1
1

Q0
Добротность
Q 0d 

Q 0d
2

a
 E dv
2
д
 E dv

1

1
.
Q0м
может быть определена при известном
tg 
tg  .
Добротность, обусловленная потерями в торцевых стенках, может быть
определена из интеграла:
Здесь
в
Q0м 
- длина волны в
металл, которая равна

0
2

v
 0 
м
2
dv
2
м

 H  ds
волноводе, а
  1/
H

в
16 
.
-глубина
проникновения поля в
. Так как проводимость металла очень
2
высока, например, для меди она равна
5 ,8  10
7
См/м, то потери в резонаторе,
практически определяются только потерями в диэлектрике. Так при
добротность резонатора
Q 0  1000
.
4. Структура поля строится на основании выражений (4.4.1), ( 4.4.2).
4.5 Расчет круглого планарного резонатора
Исходные данные:
tg   10
3
,
98
Тип резонатора: Круглый планарный диэлектрический. Тип колебаний:
E 110 ,
т.е.
m=1, n=1, l=0. Рабочая частота f0= 3,3 ГГц. Толщина диэлектрика: h =0,2 см.
Относительная диэлектрическая проницаемость: εr = 2,8. Волна Е110.
Расчет структуры поля резонатора
Так как данный тип колебаний не имеет вариаций поля вдоль оси z (
не имеет продольной составляющей магнитного поля ( H
определения проекций
 0
z

=0) и
z
), то для
векторов поля на оси координат уравнения
(1.4а) и
(1.4б ) нужно записать в следующем виде:
0


1

 
H
0
1
E
Откуда
Н 
0  j 

H 



 
0
0
0


E
 j
1
a
 0 E 
  0 E   0 E z
,
  0H
 .
0
0
0
  j 
0
 0 H 
Е Z
 0   
, Н
 j
Используя решение волнового уравнения
1
Е Z


0
 EZ

2
,
z
E   E  0
2

1  EZ

виде Еz=(AJ (  )+BN (  ))(Ccosm  +Dsin  ) и
m
 0H
Ez
2
m


2

( 4.5.1)
2
 ЕZ
1

.
2

2
 
2
EZ
в
исключая из решения
функцию Неймана в соответствии с требованием теоремы единственности, с
99
учетом граничных условий Олинера:
Е Z

= а , запишем выражение для
) ∙ cos(mα) .
(4.5.2)
 0

при
Еz:
Еz= Ez0 ∙ Jm(
Здесь
 
 mn
,а

a
mn
 mn

a
- корень производной функции Бесселя первого рода m-го
порядка, a - радиус резонатора.
Используя выражение для Еz (4.5.2) и систему (4.5.1), получим уравнения
для составляющих векторов поля колебаний типа Emn0. Для заданного поля (m=1,
n=1,
 11  1 . 84
) решения данных уравнений, определяющие структуру поля
запишутся:
Ez =
H
H
0
=
E z0


,
0
H  0 = E z0
1 . 84

)cos(α),
1 . 84
=- j H  0 J1 (


a
= j H  0 J1 (

H
где
E z 0 J1(

)sin(α),
(4.5.3)
a
1 . 84

)cos(α),
a
.
0
Структура поля типа Е110, построенная в соответствии с выражениями (4.53),
показана на рис.28.
100
E
+ + + + ++ +
++
+ + ++
++
+ + + + ++
+
H
Рис. 28 Структура поля типа Е110
.
Расчѐт геометрических размеров резонатора
В плоских резонаторах существует неоднородное заполнение. Между
металлическими
диэлектрической
пластинами
находится
проницаемостью
εr.
диэлектрик
Резонатор
с
относительной
окружен
воздухом.
Электрическое поле выходит за пределы диэлектрика и частично находится в
воздухе (рис.29).
εr
Рис. 29 Геометрия резонатора
Поэтому необходимо резонатор с неоднородным заполнением заменить
эквивалентным
ему
резонатором
с
однородным
диэлектриком
(рис.30),
проницаемость которого равна ε0 εr эф .
εr эф
Рис. 30 Геометрия эквивалентного резонатора
Эквивалентный резонатор будет обладать «эффективными» размерами,
101
отличными от размеров, которые он бы имел без учѐта краевого эффекта, и
эффективной диэлектрической проницаемостью

эф .
. Расчѐт геометрических
размеров резонатора производится в соответствии с методикой, изложенной в [5].
1. Резонансная длина волны определяется выражением:
0 
2  а эф
 r . эф
 mn
2  а эф

 r .эф
.
(4.5.4)
1 . 841
Из формулы (4.5.4) следует, что для определения резонансной длины
волны необходимо знать
 r . эф .
и
а эф . .
Однако, определить их непосредственным
расчѐтом достаточно трудно. Поэтому, для расчѐта удобно использовать
результаты расчѐтов изложенных в [5], которые позволяют определить радиус
резонатора по заданным
0 ,
εr и h.
Для определения радиуса резонатора
приведены резонансные длины волн 
0
а
используем табл.3.6 из [5]. В табл.3
[см] плоского круглого резонатора для
разных типов колебаний при εr=2,7, h=0,2 см.
Таблица 3 Резонансные длины волн
a/h
E110
E110
E210
E210
2,5
1,63
3,32
1,98
1,42
5,0
3,03
6,18
3,67
2,64
7,5
4,41
9,00
5,36
3,85
10,0
5,77
11,8
7,03
5,06
12,5
7,14
14,6
8,21
6,28
15,0
8,50
17,14
10,4
7,49
Из неѐ находим, что резонансной длине волны
0  9
см при волне типа Е110
102
соответствует отношение a/h =7,5, откуда а  7 , 5 h  1, 5 см.
По известному радиусу резонатора
проверить правильность определения
a эф  a 
1.
можно определить
и
0 .
2h  a

ln
 1 , 77  1, 45 а  1, 73


a  2h

1
 r . эф . и а эф .
см.
(4.5.5)
( )
 rэф 
2.
C эф
( )
где
,
(1 )
(4.5.6)
C эф
( )
( )
C эф  C 0 эф  C кэф

C 0 эф 
 rа

С к . эф . 
(1 )

J m  1 (  mn ) J m  1 (  mn
1 
2
J m (  mn )

2
h
 а  120  Z w ( 2 a , h ,1 )

 
(1 )
(1 )
C эф  C 0 эф  C кэф
,
2
Z w (2a, h,  r )

 2, при m  0
,
C
1
0 эф
2 r a 
h 
,
=>
  2
 1, п р и m  0
  
)


1
,
а

С к . эф 

1
C 0 эф = C 0 эф

C к . эф . 
1
1
r
(2а, h, r )
 12 , 36  10
2
r
а 
120 
2a 


  Z W ( 2 a , h ,1 )
h 

)


 73  15  4 , 3 
=6,19  ,
=10,3  10
2
,
(4.5.8)
1
.
1 , 5   120   2  1 , 5 



2  6 ,19 
0 ,2 
( 4.5.7)
.
1 , 5   120  6 ,19   2  2 , 7  1 , 5 


  27  10
2  3 , 78 2  2
0 ,2

C к . эф 

J m  1 (  mn ) J m  1 (  mn ) 
1 
,
2
J m (  mn )


h
120   2 а
2

ln( 17 ( а / 2 h  0 , 92
Z w (2а, h,  r ) =
 h

r 
Z w ( 2 а , h ,1 ) =Z W
2
,
2
,
1
 3 , 78 
,
103
( )
( )
( )
(1 )
(1 )
(1 )
C эф  C 0 эф  C кэф
=0,33+0,26=0,59,
C эф  C 0 эф  C кэф
( )
 rэф 
0 
C эф
(1 )
= 0,123+0,1=0,223,
0 , 59
=
 2 , 67
2  а эф
 r . эф

 mn
2  а эф
см.
а эф  1 , 73
,
0 , 223
C эф
 r . эф
=
2 
2 , 67  1 , 73
 9 ,7
см.
1 , 841
1 , 841
Расчет показал достаточно хорошее совпадение заданной и расчетной длин волн.
Расчѐт добротности резонатора
Используем выражение для полной добротности резонатора
1

Qп
где
Q0 
Q мQd
,
Qм  Qd
tg    10
3
Q0
 10
4
1
 tg  
Q0
Q пол
,
- собственная добротность резонатора,
- тангенс угла потерь в диэлектрике.
Полагая, что пластины резонатора выполнены из меди, имеющей проводимость
  5 , 8  10
7
См/м
,
tg    10
3
 10
4
и
 0 
  1/
 0  4   10
м
 1 , 207  10
7
, далее получаем:
6
м,
2
Qм 
В результате
Qп
h

 4 , 973  10
 1

 
 tg   
Q0

3
Qd 
,
1
 416 , 5
.
1
tg  
 909
.
(4.5.9)
104
4.6 Расчет прямоугольного планарного резонатора
Исходные данные:
Тип резонатора: прямоугольный планарный диэлектрический. Тип колебаний:
E110, т.е. m=1, n=1, p=0. Рабочая частота f0= 3 ГГц. Толщина диэлектрика h =2мм.
Относительная диэлектрическая проницаемость εr =6, окружающая среда- воздух.
Расчет структуры поля и параметров резонатора
1. Структура электромагнитного поля в резонаторе.
Уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле
rot H  j 
a
E
2
2
  H

 j  grad

Eq
H

3
 j 
q3
a
 j 
grad

 e1 H
q1
H
,
a
grad
 e2 H
q2
E   e1 E q  e 2 E q
;
1
2
;
e3
,
(4.6.1а)
E q e3
,
(4.6.1б)
H



H
a
, можно преобразовать в инвариантную форму (см. (1.14)):
  E   j  grad
где
rot E   j 
q3
3

E   е 1 E q  е 2 E q ; grad
1
2

 e1

 q1
 e2

q 2
.
Так как в резонаторе отсутствует продольная составляющая магнитного
поля
Н
z
и поле не распространяющееся ( 
), находим составляющие
 0
поперечного магнитного поля из уравнения (4.6.1б) :

H
Н

x

2

 j 


 i H
 jH
H
j 

2
x
a
Е z
y
a
grad

Ezk
0
,

,
y ,
grad
Н
у

  j
 i


2
(4.6.2)


x
a

 j
Е z
х
y
,
.
Они выражены через составляющую Еz, которую определим из волнового
105
2
 Ez
уравнения
х
2
2

 Ez
у
2
и
2
  Ez
его
общего
решения:
Еz=(Acoskxx+Bsinkxx)(Ccoskyy+Dsinkyy).
Применив граничные условия Олинера:
Е z
при х=0, х=а
 0
x
при у=0, у=b, получим выражение для Еz=Еz0coskxx coskyy,
kx 
m
a
n
, ky 
b
где
Е z
и

2
y
2
 0
2
 kx  kу
,
.
Используя (4.6.2) найдем выражения, определяющие структуру поля:
Еz=Еz0cos
Н
Н
где Нx0= Еz0


kx
a
2
. Ну0=Ez0
m
  jH
x
y
  jH
 a k y

2
x cos
n
a
x0
y0
y,
b
m
cos
x sin
a
sin
n
y
,
y
,
b
m
x cos
a
n
b
.
3. Резонансная длина волны типа Еmn0 определяется выражением (3.2.21)
 рез 
 эф .
2
 m 


а

 эф 
2
 n 

 
в

 эф 
,
2
где m - количество вариаций поля по оси X, n -количество вариаций поля по оси
Z,
 r эф , а эф , в эф
- эффективная относительная диэлектрическая проницаемость
диэлектрика и эффективные размеры пластины.
106
4. Эффективная диэлектрическая проницаемость
 эф
находится по формуле

С эф
 эф 
где

,
1
С эф
- эффективная ѐмкость резонатора прямоугольного сечения с
C эф
диэлектрической относительной проницаемостью подложки диэлектрика
диэлектрической относительной проницаемостью диэлектрика
В общем случае эффективная ѐмкость равна

С 0 эф


r а в
=
С k 1 эф
С k 1 эф
,
,
=
подставить 1;
 1

С k 2 эф
1

и
=1.
= С 0 эф +2 С k 1 эф + С k 2 эф .
,

С k 2 эф
=
а  120  Z W ( в , h ,1 )  r в 



2   Z W2 ( в , h ,  r )
h 
вычисляется по этим же формулам, но вместо

- символы Кроникера, причем
при m=0,
НПЛ, у которой
r
- эффективные краевые ѐмкости, определяемые формулами:
в  120  Z W ( а , h ,1 )
 rа 



2
2  Z W ( а , h ,  r )
h 
C эф

C эф

- эффективная ѐмкость плоского конденсатора,
  h
Ёмкость
n 0 ;
r
- эффективная ѐмкость резонатора прямоугольного сечения с
1
C эф
Здесь

а
  2
при
 1
при
r
n=0,
.
в них надо
  2
при
m  0 ; Z ( а , h ,  ) - волновое сопротивлении
r
W
- ширина полоски; h,
r
- толщина и относительная
диэлектрическая проницаемость подложки.
При вычислении

С k 2 эф
которой в -ширина полоски,
Z ( в , h ,  ) - волновое сопротивлении НПЛ, у
r
W
h,  - толщина и относительная диэлектрическая
r
107
проницаемость подложки. При отношении
а
:
 2
h
Z
Z
W
W
120   а
2

(ln( 17 , 08 ( а / 2 h  0 , 92
( а , h ,  r )=


r h

)


120   в
2

(ln( 17 , 08 ( в / 2 h  0 , 92
( в , h ,  r )=

 r  h

)


Значения
а эф
и
в эф
1
,
1
.
, входящих в формулу, определяющую
1
3

120   а h
а эф  
 Z W ( а , h ,  r )  эф .
4


 рез
, равны:
1
,
3

120   в h
в эф  
 Z W ( в , h ,  r )  эф .
4


.
Пример расчѐта:
Как и в случае круглого планарного резонатора, для оценки резонансной
длины волны
0
а
при заданном отношении
в
,
r
и h, рекомендуем
воспользоваться табл.3.4 из [5]. В табл.3.4 резонансные длины волны
колебаний Е110 и Е100 при различных
в
,
а
в
и
r
 2 ,3 )
волны колебания Е110 согласно [5] дает
Расчетное значение
 рез
при
даны для
.
Для нахождения резонансной длины волны
Тогда для подложки из ФАФ-4 (  r
0
0
в  4
 0 =9,142
а
возьмѐм отношение
в
=1.
см оценка резонансной длины
см.
получим, подставляя численные значения
в выше приведенные соотношения. В результате получим:
а
в
,
r
, h,
108
1. Z
120   а
2

(ln( 17 ( а / 2 h  0 , 92
( а , h ,  r )=


r h
W
120  
2
20 
(ln( 17 , 08 (10  0 , 92
=
1 , 51 

2. Z ( а , h ,1 )= Z ( а , h , 
W
W
r

)



)


1
=
1
 3 , 43   10 , 7
Ом.
)=5,15  Ом.
) r
3. Z ( в , h ,  )= 3 , 43  Ом.
r
W
4. Z ( в , h ,1 )= Z ( а , h , 
W
W

5.
С 0 эф
=
6.
С 0 эф
1
=
7.
С k 1 эф
8.
С k 2 эф
9.
С k 1 эф

r а в
  h
а в
  h
=
4  0 , 2  10
=
11.
C эф
12.
C эф
2
 0 , 46
.
 120   5 ,15 

 rа 
в  120   Z W ( а , h ,1 )

 46   6 , 52

  
2
2
2
2 
h 
Z W (а, h, r )
 3 , 43  

1
1
4
=0,2.
= С k 1 эф =6,52.
С k 2 эф
=5,15  Ом.
) r
2 . 3  16  10

10.
 120 

в  120 
а
   
 20   3 , 5

2   Z W ( а , h ,1 )
h
 5 ,15 


= С 0 эф +2 С k 1 эф +2 С k 2 эф =0,46+4  6 , 52
1
= С 01 эф +2 С k1 1 эф +2 С k1 2 эф =0,2+4  3 , 5
 эф 
.
=3,5.

13.
=
r
С эф
С
1
эф
=
26 , 54
14 , 2
 1 , 87
.
 26 , 54
 14 , 2
.
.
.
109
1
1
14.
а эф .
3

120  а h
 
 Z W (а, h, r ) 

эф .




 120   4  0 , 2  4
  4 ,7
3
,
43

2
,
3


3
4
 
см.
=4,7 см.
15.
в эф
16.
 рез 
 эф
2
 m 


а

 эф 
2
 n 

 
в

 эф 
2
=
2  1 , 37  4 , 7
Вывод: результаты расчѐта
значением
 9 ,13
см.
1 , 41
 рез
дают хорошее совпадение с оценочным
0 .
Добротность
планарного
прямоугольного
резонатора
рассчитывается
аналогично приведенному расчету в п.4.5. Структура поля показана на рис.31.
H
E
Рис.31 Структура поля колебания Е110.
110
Литература
1. Вольман В.И., Пименов Ю. В. Техническая электродинамика. - М.: Связь,
1971. -486 с.
2. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. – М.: Высшая школа, 1980. - 399 с.
3. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и
распространение
радиоволн. – М.: Наука, 1989. - 540 с.
4. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы.–М.: Советское радио, 1970.-216 с.
5. Справочник по расчѐту и конструированию СВЧ полосковых устройств. Под
редакцией Вольмана В.И.. - М.: Радио и связь, 1982. - 328 с.
6. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. - М.: Мир, 1987. - 616 с.
7. Гончаренко А.М. Редько В.П. Введение в интегральную оптику. - Минск:
Наука и техника, 1975. - 147 с.
8. Гончаренко А. М., Карпенко В. А.Основы теории оптических волноводов. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 236 с.
9. Петров Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн.- М.: Горячая
линия- Телеком, 2007.-558 с.
10. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика:
Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 2002. - 536 с.
11. Гильденбург В.Б., Миллер М.А. Сборник задач по электродинамике: Учебное
пособие для вузов. - М.: Физматлит, 2001. - 164 с.
12. Чернышев А.А. Кирпиченко Л. И. Работы студенческие учебные и выпускные
111
квалификационные. ОС ТУСУР 6.1-97: Общие требования и правила
оформления: Система образовательных стандартов. -Томск: ТУСУР, 2003.35с.
13. Кураков В.А., Шарангович С.Н. Информатика. Методические указания по
выполнению курсовой работы. – Томск: ТУСУР, 2006. -35с.
112
Приложение А
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники
Утверждаю:
Зав. каф. СВЧ и КР
______ Шарангович С.Н.
«10» февраля 2007 г.
ЗАДАНИЕ № 1
на курсовую работу по дисциплине
«Электродинамика и распространение радиоволн»
Студенту гр.156 РТФ Сустретовой Анне Сергеевне
1. Тема работы: Н-образный диэлектрический резонатор
2. Срок сдачи работы: 30 мая 2007 г.
3. Технические требования к заданию:
3.1. Резонансная длина волны   3  10 м . .
3.2. Относительная диэлектрическая проницаемость материала .  2 . 4 .
3.3. Тангенс угла диэлектрических потерь .tg   10 .
3.4. Удельная проводимость металла   5 . 7  10 См / м .
3.5. Тип колебания Н101
4. Содержание пояснительной записки:
4.1. Вывод уравнений, определяющих структуру электромагнитного поля в
резонаторе, и их решение.
4.2. Расчѐт геометрических размеров резонатора
4.3. Расчѐт продольного и поперечных волновых чисел.
4.4. Расчет собственной добротности резонатора.
5.Графический материал:
5.1.Графическое изображение объѐмного резонатора
5.2.Эпюры для составляющих поля и структура электромагнитного поля
колебания Н101
6. Рекомендуемая литература:
6.1 Никольский В.В., Никольская Электродинамика и распространение
радиоволн. - М: Высшая школа, 1989, 540 с..
6.2 Федоров Н.Н. Основы электродинамики. – М.: Высшая школа, 1980,
399 с.
6. Дата выдачи зания: 10 февраля 2007 г.
2
рез .
r
3
7
Руководитель:
Задание принял
к исполнению:
____________Е..В. Падусрва
____________ А.С. Сустретова
113
Приложение Б
Таблица Б.1
Задания для курсовых работ
Тема
2. волновод металлической
подложке
3. Круглый волновод
4. Диэлектрический H-образный
прямоугольный резонатор
5. Диэлектрический H-образный
цилиндрический резонатор
6. Планарный прямоугольный
резонатор
7. Планарный круглый
резонатор
№
вариа
нта
Диапазон,
ГГц
Отн. диэл.
прон-ть
f min  f max
r
1
2.8-3.2
6
Н01 ЧЁТ
2
3.2-4.8
4
Е01НЕЧЁТ
3
4.8-5.2
3
Е02 НЕЧЁТ
4
5
5.2-5.8
3.4- 4.4
5
3
Е01НЕЧЁТ
Н01ЧЁТ.
6
6-7.5
4
Е02 НЕЧЁТ
7
29-30
2.4
Е01
8
10-12
4
Н01
9
3.2-3.8
6
Е02
10
3
1.6
Н011 ЧЁТ
11
12
10
8
3
2.4
Е011 ЧЁТ
Е021 ЧЁТ
13
3
1.6
Н011
14
10
3
Е011
15
10
4
Е110
16
17
3
5
2.5
7
Е210
Е120
18
4
4
Е110
19
2.5
2.5
Е210
20
7
7
Е120
Тип
колеб-я
 r1  1
8. Несимметричный
диэлектрический волновод
(Планарный интегральнооптический волновод)
21
  0 , 63 мкм
 r 2  3 ,5
Н01
 r3  3
 r1  1
21
  0 , 63 мкм
 r 2  3 ,5
 r3  3
Е01
114
Список основных обозначений
E
- вектор напряженности электрического поля
H
- вектор напряженности магнитного поля
[В/м].
[A/м].
 q 1 , q 2 , q 3   координаты в обобщѐнной системе координат.
е 1, е 2 , е 3
- единичные векторы соответствующие координатам q1, q2, q3,
Еq1, Еq2, Еq3 и Нq1, Нq2, Нq3
- проекции векторов
E
и
H
на q1, q2, q3,.
h1, h2, h3 - коэффициенты Ламе.
=с0/f - длина волны свободного пространства [м].

с = 3х108 м/c – скорость света в воздушном пространстве.
0
- длина волны в волноводе [м].

f – заданная частота [Гц].
- постоянная распространения в воздухе.
k0
постоянная распространения в диэлектрике.
k 

- постоянная распространения волновода.

- поперечная постоянная распространения.
0 
Ф
1
36  10
9
м
 0  4   10
7
Гн
м
- диэлектрическая проницаемость воздуха.
- магнитная проницаемость воздуха.
r 
относительная магнитная проницаемость диэлектрика.
r 
относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика.
a 
абсолютная магнитная проницаемость диэлектрика.
a 
абсолютная диэлектрическая проницаемость диэлектрика.
vф
- фазовая скорость [м/с].
v гр
- групповая скорость [м/с]..
П
- вектор Пойнтинга [Вт/м2].
Р
- мощность, канализируемая по волноводу [Вт].
Q
- добротность, безразмерная величина.
115
- удельная проводимость [Cм/м].

d
- плотность тока проводимости в диэлектрике [А/м2].

- плотность тока проводимости в металле [А/м2].

м
- глубина проникновения поля в металл [м].
116
Учебное издание
Е.В. Падусова, С.Н. Шарангович
РАСЧЁТ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ И
ОБЪЁМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ.
Учебное пособие
по дисциплинам “Электромагнитные поля и волны"
и «Электродинамика и распространение радиоволн».
Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 5,35.
Тираж 30 экз. Заказ 1330
Отпечатано в Томском государственном университете
систем управления и радиоэлектроники.
634050, Томск, пр. Ленина, 40. Тел. (3822) 533018.
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
26
Размер файла
1 673 Кб
Теги
348
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа