close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

403

код для вставкиСкачать
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Г л а в а 1. Разрешающие соотношения для исследования устойчивости многослойных ортотропных оболочек . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Разрешающие соотношения для исследования устойчивости трёхслойных ортотропных оболочек с лёгким заполнителем . . . . . . . .
1.2. Трёхслойные с жёстким заполнителем и многослойные композитные оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Разрешающие соотношения для многослойных композитных оболочек (классическая модель). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Полубезмоментная модель и непологие оболочки. . . . . . . . . . . . .
Г л а в а 2. Методы расчёта на устойчивость трёхслойных и многослойных стержней и арок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Расчёт на общую устойчивость трёхслойных стержней с лёгким
заполнителем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Трёхслойные с жёстким заполнителем и многослойные стержни . .
2.3. Многослойные стержни на упругом основании и местная устойчивость трёхслойных стержней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Запасы устойчивости трёхслойных стержней с лёгким заполнителем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Расчёт на устойчивость трёхслойных арок с лёгким заполнителем
2.6. Устойчивость трёхслойных с жёстким заполнителем и многослойных арок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Арки на упругом основании и расчёт местной устойчивости трёхслойных арок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Г л а в а 3. Расчёт изотропных цилиндрических оболочек на общую
устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Разрешающие соотношения для исследования общей устойчивости
7
12
21
21
27
30
30
33
33
38
38
41
42
45
46
48
48
4
Оглавление
3.2. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек (классическая модель) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Осевое сжатие (51).
3.2.2. Внешнее давление (52).
3.2.3. Кручение (54). 3.2.4. О зависимостях между критическими
усилиями в изотропных цилиндрических оболочках (56).
3.3. Устойчивость трёхслойных цилиндрических оболочек с лёгким заполнителем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Осевое сжатие (57).
3.3.2. Внешнее давление (62).
3.3.3. Особенности расчёта на устойчивость при кручении (65).
3.4. Трёхслойные с жёстким заполнителем и многослойные изотропные
оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Г л а в а 4. Методы расчёта на устойчивость многослойных композитных цилиндрических оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
50
56
4.1. Устойчивость тонкостенных композитных оболочек (классическая
модель) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1. Осевое сжатие (75). 4.1.2. Осевое сжатие: теория и эксперимент (79). 4.1.3. Нагружение внешним давлением (96). 4.1.4. Нагружение крутящим моментом и перерезывающими усилиями (99).
4.1.5. О специфических зависимостях между критическими параметрами в тонкостенных ортотропных оболочках (102).
4.2. Методы расчёта на устойчивость трёхслойных композитных оболочек с лёгким заполнителем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.1. Осевое сжатие (103). 4.2.2. Осевое сжатие: сравнение теоретических и экспериментальных данных (115). 4.2.3. Действие
внешнего давления (120). 4.2.4. Особенности расчёта трёхслойных
оболочек при кручении (124).
4.3. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек с жёстким заполнителем и многослойных оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Г л а в а 5. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
при комбинированном нагружении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.1. Устойчивость многослойных композитных оболочек при нагружении осевой сжимающей нагрузкой и внутренним давлением . . . . .
5.1.1. Многослойные ортотропные оболочки (классическая
модель) (134). 5.1.2. Трёхслойные ортотропные оболочки (144).
5.2. Устойчивость многослойных композитных оболочек при нагружении осевой сжимающей нагрузкой и внешним давлением . . . . . . .
5.2.1. Многослойные ортотропные оболочки (классическая
модель) (148). 5.2.2. Трёхслойные ортотропные оболочки (154).
5.3. Устойчивость многослойных ортотропных оболочек при нагружении внешним давлением и растягивающим осевым усилием . . . . .
5.3.1. Многослойные ортотропные оболочки (классическая
модель) (161). 5.3.2. Трёхслойные ортотропные оболочки (163).
5.4. Устойчивость при совместном действии осевого сжатия и кручения
134
148
161
168
Оглавление
5
5.5. Устойчивость при совместном действии внешнего давления и кручения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6. Устойчивость при совместном действии осевой сжимающей силы
и изгибающего момента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.7. Устойчивость при поперечном изгибе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Г л а в а 6. Устойчивость цилиндрических оболочек со сплошным заполнителем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.1. Математическая модель и разрешающие соотношения . . . . . . . . .
6.2. Расчёт на устойчивость при осевом сжатии . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Расчёт на устойчивость при действии внешнего давления . . . . . . .
6.4. Особенности расчётов на устойчивость при кручении. . . . . . . . . .
6.5. Совместное действие осевого сжатия и наружного давления . . . . .
6.6. Расчёт на местную устойчивость трёхслойных оболочек с лёгким
заполнителем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
173
177
179
180
184
Г л а в а 7. Устойчивость многослойных композитных конических
оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.1. Математические модели и разрешающие соотношения . . . . . . . . .
7.2. Расчёт критических нагрузок при осевом сжатии . . . . . . . . . . . .
7.3. Расчёт критического внешнего давления . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Устойчивость при действии крутящего момента и сдвигающих усилий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
189
190
192
Г л а в а 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек при
действии внешнего давления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.1. Разрешающие соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Устойчивость изотропных оболочек (классическая модель) . . . . . .
8.3. Изотропные трёхслойные оболочки c лёгким заполнителем. . . . . .
8.4. Устойчивость многослойных ортотропных оболочек (классическая
модель) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек . . . . . . . . . . . .
194
195
196
198
200
Г л а в а 9. Устойчивость при осевом сжатии цилиндрических оболочек с отверстиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.1. Выбор математической модели и постановка задачи . . . . . . . . . . . 208
9.2. Влияние отверстий на критическую нагрузку изотропных оболочек 212
9.3. Влияние отверстий на критическую нагрузку многослойных композитных оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6
Оглавление
П р и л о ж е н и е A. Расчёт жесткостей неоднородных по толщине
многослойных и трёхслойных композитных конструкций . . . . . . 221
A.1. Неоднородные по толщине многослойные оболочки . . . . . . . . . . . 221
A.1.1. Структура и жёсткости многослойного ортотропного пакета (221). A.1.2. Расчёт характеристик упругости многослойных
ортотропных пакетов с произвольным армированием (226).
A.2. Трёхслойные оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
A.2.1. Трёхслойные оболочки с лёгким заполнителем (232).
A.2.2. Трёхслойные оболочки с жёстким заполнителем (234).
П р и л о ж е н и е Б. Основные обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Б.1. Геометрические параметры (i = 1, 2, 3, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Б.2. Жесткостные характеристики многослойных оболочечных конструкций из композитов (i = 1, 2, 3, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Б.3. Параметры анизотропии многослойных ортотропных оболочек. . . .
Б.4. Дифференциальные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Б.5. Силовые факторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
235
235
237
237
237
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге решаются задачи исследования устойчивости
стержней, арок и оболочек (цилиндрических, конических, сферических) с учётом особенностей сопротивления анизотропных многослойных и трёхслойных оболочечных конструкций. С использованием
асимптотического анализа получены простые и удобные при оперативном инженерном анализе формулы для расчёта критических нагрузок. Установлены критерии применимости основных математических
моделей, используемых для расчёта на устойчивость трёхслойных и
многослойных конструкций, и погрешности применения этих моделей.
Проводится сравнительный экспериментально-теоретический анализ,
и даются рекомендации по выбору эмпирических поправочных коэффициентов.
В первой главе на основе модели ломаной линии [16] получены
разрешающие соотношения для исследования устойчивости трёхслойных ортотропных оболочек вращения из композиционных материалов
(КМ). Описана структура трёхслойного пакета, формулируются гипотезы ломаной линии, выписаны дифференциальные уравнения устойчивости. Обращается внимание на дифференциальный оператор, отвечающий за сопротивление трёхслойного пакета поперечным сдвигам.
Представляя решение в виде, предложенном С. П. Тимошенко [79],
можно получить разрешающие соотношения, из которых критические
параметры находятся минимизацией по параметрам волнообразования.
Асимптотически выделяются два типа заполнителей — слабо сопротивляющиеся поперечным сдвигам и достаточно жёсткие на поперечные
сдвиги. Для каждого типа заполнителя строится функция влияния поперечных сдвигов, что помогает получить простые расчётные формулы.
Как частный случай из полученных соотношений следуют зависимости
для классических оболочек и для оболочек, сопротивляющихся в соответствии с моделью прямой линии. Получены также разрешающие
соотношения, основанные на полубезмоментной модели сопротивления
трёхслойных оболочек. Эта модель удобна для анализа устойчивости
при действии наружного давления и кручения.
Вторая глава посвящена исследованию устойчивости трёхслойных
стержней и круговых арок. Разрешающие дифференциальные соотношения получены как частный случай из соответствующих зависимостей гл. 1. В результате решения получены простые формулы
для расчёта критических усилий. Эти формулы определяются тремя естественными обобщёнными жесткостями трёхслойных конструкций: обобщённая жёсткость несущих слоёв — критическое усилие
8
Предисловие
при сопротивлении стержней без заполнителя; обобщённая жёсткость
трёхслойного стержня — критическое усилие в стержне с абсолютно
жёстким на поперечные сдвиги заполнителем и обобщённая жёсткость
трёхслойной конструкции на поперечный сдвиг. Как частные случаи
из полученных формул следуют расчётные зависимости для многослойных стержней и арок. Анализ полученных соотношений позволил установить критерии применимости математических моделей, основанных
на гипотезах ломаной линии, прямолинейного элемента и классических гипотезах. Рассмотрены и решены также задачи об устойчивости
стержней и арок на упругом основании Власова–Пастернака и местной
устойчивости трёхслойных стержней и арок.
Третья глава содержит материалы по устойчивости изотропных
однослойных и трёхслойных цилиндрических оболочек. Обращается
внимание на то, что в расчётах на устойчивость при осевом сжатии изотропных однородных оболочек нельзя однозначно определить
форму волнообразования — этих форм может быть бесконечно много,
и все они соответствуют одному и тому же значению критического
усилия. В то же время при исследовании устойчивости от действия
наружного давления или кручения формы волнообразования однозначно определяются расчётным путём. Этот факт сказывается на степени
различия теоретических и экспериментальных значений критических
усилий [4, 69]. Получены зависимости для расчёта критических усилий
в изотропных трёхслойных цилиндрических оболочках при действии
осевого сжатия, наружного давления и кручения. Установлены критерии применимости различных математических моделей к исследованию
устойчивости трёхслойных изотропных оболочек.
В четвёртой главе помещены результаты исследования устойчивости ортотропных цилиндрических оболочек, выполненных из композиционных материалов.
Начало гл. 4 посвящено исследованию устойчивости тонкостенных многослойных и однородных композитных цилиндрических оболочек. Исследования проводятся в рамках классических оболочек
с неизменной нормалью. Показано, что в реальных конструкциях
порядок погрешности при этом составляет h/R (h, R — соответственно толщина и радиус оболочки). В зависимости от вида анизотропии получены расчётные соотношения для критических усилий
при действии осевых сил. Отмечено, что при расчётах получаются
однозначные формы потери устойчивости, что вселяет надежду [4]
на хорошее согласование теоретических и экспериментальных значений
критических усилий. Особое внимание в гл. 4 уделено сравнительному экспериментально-теоретическому анализу критических усилий
при осевом сжатии цилиндрических оболочек. Как известно, в изотропных оболочках различие теории и эксперимента может достигать 2 ÷ 3 раз. С целью установить разницу в аналогичном случае для ортотропных композитных оболочек был проведён анализ
270 результатов испытаний композитных оболочек, стеклопластиковых
Предисловие
9
и углепластиковых, изготовленных в заводских условиях или с помощью ручной укладки. Статистический анализ проводился на основе
нормального закона распределения, который в данном случае хорошо выполняется. На основании проведённого статистического анализа
даны рекомендации по выбору поправочных эмпирических коэффициентов. В отличие от изотропных оболочек различие между теорией
и экспериментом для композитных оболочек находится в пределах
20 ÷ 30 %.
С применением полубезмоментной модели получены расчётные зависимости для анализа устойчивости многослойных композитных оболочек при действии внешнего давления. Установлены критерии применимости различных математических моделей и соответствующие
погрешности. Сравнение с экспериментальными данными показало хорошее согласование теоретических и экспериментальных результатов.
Аналогичные результаты получены для исследования устойчивости при
действии кручения. Здесь обобщена на многослойные ортотропные
оболочки известная для изотропных однородных оболочек формула
Шверина [79].
Конец гл. 4 посвящён исследованию устойчивости трёхслойных
композитных оболочек. Исследование проведено на основе наиболее
общей модели, построенной на гипотезах ломаной линии [16]. Получено дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее
потерю устойчивости трёхслойных композитных оболочек вращения.
При анализе устойчивости цилиндрических оболочек с использованием асимптотических методов получены простые расчётные формулы
для вычисления критических усилий при осевом сжатии. Полученные
зависимости хорошо согласуются с точным решением, полученным
в результате дискретной минимизации по параметрам волнообразования. Из соотношений, полученных на основе наиболее общей модели
ломаной линии, естественным путём следуют зависимости для модели
прямой линии и классической модели оболочек, а также для многослойных композитных оболочек. Установлены критерии применимости
различных математических моделей и погрешности их применения.
Проведён сравнительный экспериментально-теоретический анализ
критических нагрузок на основе экспериментальных данных по осевому сжатию порядка 40 трёхслойных оболочек. Отмечены особенности
проектирования моделей для экспериментальных исследований. На основе сравнительного анализа рекомендованы поправочные эмпирические коэффициенты.
Получены зависимости для расчёта критических усилий в трёхслойных цилиндрических оболочках при действии внешнего давления.
Установлены критерии применения математических моделей и погрешности их применения.
Разработаны методики расчёта критических усилий при кручении
трёхслойных ортотропных оболочек. Отмечены особенности волнообразования при слабых заполнителях. Обобщены на трёхслойные
10
Предисловие
оболочки формулы Шверина. Установлены критерии и погрешности
применения различных математических моделей.
Полученные результаты распространены на трёхслойные оболочки
с так называемым жёстким заполнителем, когда жёсткости заполнителя и несущих слоёв — одного порядка.
Пятая глава посвящена исследованию потери устойчивости при
комбинированном нагружении многослойных и трёхслойных цилиндрических оболочек из композитов. Решены задачи устойчивости при
совместном действии осевого сжатия и внутреннего давления, осевого
сжатия и наружного давления. Дано сравнение теоретических результатов с имеющимися экспериментальными данными. Решены задачи об
устойчивости ортотропных оболочек при совместном действии наружного бокового давления и осевого растяжения. Получены и построены
графики взаимного влияния.
Даны рекомендации по учёту взаимного влияния на устойчивость
осевого сжатия и кручения, внешнего давления и кручения, комбинированного нагружения осевой сжимающей силой и изгибающим моментом. Рассмотрена задача об устойчивости при поперечном изгибе.
В шестой главе решаются задачи об устойчивости многослойных
ортотропных оболочек со сплошным упругим заполнителем и смежные
задачи местной потери устойчивости трёхслойных оболочек. Принята
модель упругого основания Власова–Пастернака, сопротивление тонкостенных оболочек и несущих слоёв моделируется на основе гипотез
неизменной нормали.
Построены зависимости для расчёта критических усилий при действии осевого сжатия, внешнего давления и кручения. Расчётные зависимости содержат обобщённые жёсткости упругого основания и оболочки, что позволяет полностью определить критические усилия. Результаты расчётов сравниваются с экспериментальными данными; показано, что данные расчётов и экспериментов хорошо согласуются.
Рассмотрена задача и построены кривые взаимного влияния при совместном действии осевых сжимающих сил и внешнего давления. Даны
рекомендации для оценки предельных кривых.
На основе полученных результатов даны рекомендации по расчёту
запасов устойчивости при исследовании местной формы потери устойчивости трёхслойных оболочек с лёгким заполнителем.
В седьмой главе на основе традиционного подхода к расчёту конструкций с малой конусностью исследуется устойчивость ортотропных
многослойных и трёхслойных конических оболочек при действии осевого сжатия, внешнего давления и крутящих моментов.
В восьмой главе решаются задачи по устойчивости сферических
оболочек при действии наружного давления. На основе наиболее общей модели ломаной линии получены разрешающие соотношения для
расчёта критических усилий. Из общей модели как частные случаи
следуют модель прямой линии и классическая модель оболочек. Даны
критерии применимости используемых моделей. На примере анализа
Предисловие
11
устойчивости конкретных трёхслойных оболочек показано, что полученные расчётные формулы хорошо согласуются с точным решением
(погрешность 2 ÷ 3 %).
В девятой главе приводятся результаты обработки экспериментальных данных по исследованию устойчивости композитных и металлических цилиндрических оболочек с дефектами в виде отверстий квадратной и круговой форм. Предложена и обоснована математическая модель
учёта влияния отверстий на несущую способность. Даны рекомендации
по назначению эмпирических коэффициентов, учитывающих снижение
несущей способности в зависимости от безразмерного параметра площади дефекта.
В Приложении А приводятся зависимости для расчёта жёсткостей,
необходимых при анализе устойчивости многослойных и трёхслойных
ортотропных оболочек. Отмечается ряд принципиальных особенностей
по сравнению с изотропными и однородными тонкостенными конструкциями. В Приложении Б приведены основные обозначения.
Автор выражает искреннюю благодарность инженерам И. В. Матвеевой и Г. Е. Тащиловой за большую работу по проведению расчётов
и оформлению материалов книги.
Книга издаётся при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-08-07010-д).
Введение
К конструкциям современной техники предъявляются требования
высокой прочности при жёстких ограничениях по массе. В то же время
условия эксплуатации конструкций становятся все более неблагоприятными: помимо интенсивного силового нагружения, они испытывают
воздействие высоких и низких температур, эрозии, химических реагентов и т. п. В этих условиях наиболее эффективными становятся многослойные конструкции, выполненные из композиционных материалов
(КМ). В начальные времена интенсивного применения КМ они считались прекрасными заменителями металлов. К настоящему времени КМ
сами стали незаменимыми при создании многих изделий современной
техники.
Особое место в ряду многослойных конструкций из КМ занимают
трёхслойные конструкции, применение которых позволяет в комплексе
решить ряд важных задач при проектировании изделий: обеспечить
высокую прочность и жёсткость, теплоизоляцию и теплостойкость,
снизить затраты на технологические процессы и т. п. В данной книге основное внимание уделяется исследованию устойчивости именно
трёхслойных конструкций. Из решения задач для трёхслойных конструкций как частный случай получены решения для многослойных
композитных конструкций.
Трёхслойные оболочечные конструкции, как известно, состоят
из двух тонкостенных достаточно жёстких несущих слоёв и сравнительно толстого слоя маложёсткого и малоплотного заполнителя
между ними. Несущие слои обычно воспринимают растягивающие
и сжимающие нагрузки, а заполнитель должен обеспечить совместное
сопротивление несущих слоёв при изгибе. В современных трёхслойных
конструкциях из КМ несущие слои выполняются в виде слоистых
пакетов и в общем случае различаются между собой по толщинам
и жесткостям, поэтому трёхслойная конструкция оказывается несимметричной по толщине.
Несущий слой толщиной hi (i = 1, 2) в общем случае состоит
(k)
из Ni слоёв (подслоёв), каждый из которых имеет толщину hi
(k = 1, 2, . . . , Ni ). Свойства упругости ортотропного подслоя харак(k)
(k)
теризуются модулями упругости E1
и E2
в двух направлени(k)
ях, модулем G12 сдвига в тангенциальной плоскости, коэффициен(k)
(k)
(k)
том Пуассона ν1 , а также модулями G13 , G23 поперечного сдвига. Таким образом, габаритно-жесткостные свойства каждого подслоя
Введение
13
несущего слоя в трёхслойной оболочечной конструкции характеризуются в общем случае семью параметрами. Точно так же слой
заполнителя толщиной δ может в свою очередь состоять из N
слоёв, и каждый подслой характеризуется не менее, чем восемью
габаритно-жесткостными параметрами (к семи перечисленным добавляется модуль упругости E3 в направлении нормали).
Из сказанного следует, что анизотропия и сложная структура трёхслойных оболочечных конструкций из КМ приводят к значительному
росту числа габаритно-жесткостных параметров, определяющих прочность и устойчивость конструкции. Общее число этих параметров
в трёхслойной оболочке из КМ определяется величиной
PN = 7(N1 + N2 ) + 8Nз + 4,
(0.1)
где N1 , N2 , Nз — числа подслоёв соответственно в первом, втором
несущих слоях и слое заполнителя (N = N1 + N2 + Nз ). Последнее
слагаемое, равное четырём, соответствует в общем случае двум радиусам кривизны оболочки и двум её размерам в плане. Отсюда можно
видеть, что в реальных трёхслойных конструкциях из КМ число рассматриваемых габаритно-жесткостных параметров достигает десятков.
Даже в простейшем случае ортотропной цилиндрической оболочки
с однородными одинаковыми несущими слоями (N1 + N2 = 1) и однородным заполнителем (Nз = 1) число параметров достигает семнадцати
(P2 = 7 + 8 + 2 = 17).
Такая многопараметричность габаритно-жесткостных свойств трёхслойных оболочечных конструкций чрезвычайно затрудняет выявление
основополагающих законов сопротивления таких конструкций и получение приемлемых для инженерного анализа расчётных формул.
В этой ситуации важно установить минимальное количество комплексных габаритно-жесткостных факторов, определяющих напряжённодеформированное состояние (НДС), жёсткость и устойчивость многослойных конструкций, и отыскать общие закономерности сопротивления в зависимости от этих факторов.
Рассмотрим основные математические модели (расчётные схемы),
применяемые при анализе трёхслойных конструкций. Как известно,
основной эффект повышения изгибной жёсткости в трёхслойных конструкциях достигается разнесением несущих слоёв на некоторую величину H , которая определяется толщинами заполнителя и несущих
слоёв:
1
H ≈ δ + (h1 + h2 ) .
(0.2)
2
При этом изгибная жёсткость трёхслойного пакета пропорциональна квадрату величины H . Таким образом, разнесение несущих слоёв позволяет существенно повысить сопротивление трёхслойных конструкций действию изгибающих моментов. В то же время при нагружении поперечными силами в заполнителе возникают значительные
14
Введение
поперечные сдвиговые деформации, проистекающие от малой жёсткости заполнителя на сдвиги и увеличения относительной толщины
конструкции. В связи с этим во многих практически важных случаях
становятся непригодными математические модели, основанные на классических гипотезах неизменной нормали. Модернизация этих моделей
связана с различными способами учёта деформаций заполнителя.
В зависимости от конструктивно-жесткостных параметров и условий нагружения трёхслойных тонкостенных конструкций при решении
прикладных задач обычно используют один из следующих комплексов
гипотез:
— классические гипотезы неизменной нормали;
— гипотезы прямолинейного элемента (прямой линии);
— гипотезы ломаной линии при несжимаемом по нормали заполнителе;
— гипотезы, учитывающие сжимаемость заполнителя по нормали.
Классические гипотезы неизменной нормали применяются в случае
достаточно жёсткого заполнителя и малой относительной толщины
оболочечной конструкции. Заполнитель считается абсолютно жёстким
на сдвиг и обжатие по нормали. В соответствии с этими гипотезами
отрезок abcd (рис. 0.1 а) нормали поворачивается на угол θ и переходит
а
θ
1
2
d
M
c
x, u
b
a
z, w
б
u
w
θ
1
2
M
a
b
d
c
Рис. 0.1. Деформация трёхслойного пакета по классической модели: abcd —
элемент до деформации; a b c d — элемент после деформации; 1 — нормаль
до деформации; 2 — нормаль после деформации; θ — угол поворота нормали
15
Введение
после деформации в положение a b c d . При этом его длина не изменяется, он остается прямолинейным и нормальным к деформированной
оси (рис. 0.1 б). Деформированное состояние при изгибе трёхслойной
конструкции определяется в этом случае её прогибом. В соответствии
с моделью неизменной нормали сопротивляются также многослойные
тонкостенные оболочечные конструкции.
Гипотезы прямолинейного элемента [13, 37, 61] используются
при достаточно (но не абсолютно) жёстком на сдвиги заполнителе и тонких несущих слоях, слабо сопротивляющихся изгибу.
В этом случае (рис. 0.2 а) отрезок abcd нормали после деформации
а
1
2
θ
γ
d
M
c
b
a
1
2
θ
γ
б
M
a
d
c
b
Рис. 0.2. Деформация трёхслойного пакета по модели прямолинейного элемента: abcd — элемент до деформации; a b c d — элемент после деформации; 1 —
нормаль до деформации; 2 — нормаль после деформации; θ — угол поворота
нормали; γ — угол поперечного сдвига пакета; θ + γ — угол полного поворота
элемента abcd относительно начальной нормали 1
переходит в отрезок a b c d (рис. 0.2 б), который остаётся прямолинейным и сохраняет длину, но перестаёт быть нормалью к упругой
линии: за счёт поперечных сдвигов в заполнителе отрезок a b c d
поворачивается относительно нормали к деформированной оси на угол
сдвига γ . Суммарный поворот элемента относительно первоначальной
16
Введение
нормали составляет γ + θ , где θ — угол поворота нормали
(рис. 0.2 б). Деформированное состояние конструкции в рассматриваемом случае определяется прогибом и поперечными сдвигами всего пакета. Расчётную схему для трёхслойных или многослойных конструкций, основанную на гипотезах
прямой линии, в литературе часто связывают со сдвиговой
моделью Тимошенко, предложенной им для учёта поперечных
сдвигов в фермах и балочных элементах. Типичными оболочками,
сопротивляющимися в соответствии с моделью прямой линии,
являются сравнительно толстостенные многослойные оболочки из КМ,
а также трёхслойные конструкции с сотовым заполнителем.
Модель ломаной линии [16, 19] необходима для исследования
трёхслойных конструкций с достаточно жёсткими на изгибы несущими слоями и маложёстким заполнителем. При этом обычно предполагается, что несущие слои сопротивляются в соответствии с классическими гипотезами, а недеформируемый по нормали заполнитель
претерпевает сдвиговые деформации. Отрезок abcd первоначальной
нормали (рис. 0.3 а) в процессе деформирования переходит в ломаную
а
1
θ
2
γ
d
M
c
b
a
1
2
θ
γ
б
d
M
c
b
a
Рис. 0.3. Деформация трёхслойного пакета по модели ломаной линии: abcd —
элемент до деформации; a b c d — элемент после деформации; 1 — нормаль
до деформации; 2 — нормаль после деформации; θ — угол поворота нормали;
γ — угол поперечного сдвига заполнителя; θ + γ — угол поворота элемента b
заполнителя относительно начальной нормали 1
Введение
17
линию a b c d (рис. 0.3 б), полная длина которой равна длине первоначального отрезка bd. Часть b c ломаной, относящаяся к заполнителю, повёрнута относительно новой нормали на угол сдвига γ ,
а части ломаной a b , d , связанные с несущими слоями, повёрнуты
на угол θ и совпадают по направлению с новой нормалью, поскольку
считается, что поперечные сдвиги в несущих слоях отсутствуют. Таким
образом, излом отрезка abcd произошёл вследствие разных законов
сопротивления поперечному изгибу для несущих слоёв и для заполнителя. В соответствии с моделью ломаной линии сопротивляются,
например, трёхслойные оболочечные конструкции со слабым на сдвиг
пенопластовым заполнителем.
Расчётные схемы, учитывающие деформации заполнителя в направлении нормали, сложны, приводят к разрешающим дифференциальным уравнениям высокого порядка и описывают специфическое
напряжённо-деформированное состояние весьма локального характера.
В связи с этим такие модели в расчётной практике применяются
редко. Например, в [49, 50, 78] такие модели использовались для
анализа устойчивости трёхслойных конструкций. Во многих случаях
податливость заполнителя в направлении нормали можно учитывать
с помощью различных моделей упругого основания [44]. Так решены
задачи о местной устойчивости (выпучивании) несущих слоёв при
сжатии трёхслойных конструкций [73].
Обычно при исследовании НДС и устойчивости трёхслойных конструкций считается, что заполнитель не сопротивляется в тангенциальной плоскости, а сопротивляется только поперечным сдвигам. В этом
случае заполнитель принято называть лёгким. В большинстве трёхслойных конструкций в качестве заполнителя используются лёгкие
типы пенопластов или различного рода соты, поэтому гипотеза о лёгком заполнителе вполне оправдана. Если жёсткости заполнителя соизмеримы с жесткостями несущих слоёв, то заполнитель принято называть жёстким. В этом случае трёхслойная конструкция представляет
собой частный случай многослойной конструкции и, как показали
исследования [62, 64], к ней применимы модели прямой линии или
даже неизменной нормали.
Как уже отмечалось, усложнение математических моделей приводит
к повышению порядка разрешающих дифференциальных уравнений,
что часто исключает возможность получения обозримых расчётных соотношений, пригодных для оперативного инженерного анализа. В связи
с этим естественно стремиться по возможности упростить модель,
с тем чтобы без потери точности получить простые расчётные формулы, наглядно отражающие основные закономерности сопротивления
сложных по структуре многослойных конструктивных элементов. Отсюда проистекает задача чёткого определения границ применимости
тех или иных математических моделей. В своё время оценки границ
применимости различных расчётных моделей для изотропных оболочек
18
Введение
были проведены в [46, 47], а для ортотропных — в [37]. Более чётко
границы применимости для трёхслойных ортотропных оболочек из КМ
были установлены в [9, 64, 72].
Отметим принципиальную особенность исследования НДС, жёсткости и устойчивости анизотропных многослойных и, в частности,
трёхслойных оболочечных конструкций, выполненных из КМ. Речь
идёт о выборе координатной поверхности (поверхности приведения).
В случае классических однородных по толщине оболочечных конструкций и пластин за поверхность приведения принимают срединную
поверхность, которая в большинстве случаев совпадает с нейтральной
поверхностью.
В отличие от однородных конструкций, в многослойных ортотропных оболочках с произвольным расположением слоёв по толщине срединная и нейтральная поверхности в большинстве случаев не совпадают. Кроме того, поскольку каждый ортотропный слой имеет четыре
независимых постоянных упругости, а слои могут быть расположены
по толщине произвольным образом, многослойные ортотропные оболочки не имеют единой нейтральной поверхности. При этом жёсткости многослойного пакета на растяжения-сжатия и сдвиги не зависят
от выбора поверхности приведения, а изгибно-крутильные жёсткости
существенно зависят от этого выбора. В каждой многослойной ортотропной оболочечной конструкции имеется в общем случае четыре поверхности, относительно которых соответствующие статические
моменты обращаются в нуль, а изгибно-крутильные жёсткости принимают минимальные значения. Именно эти минимальные жёсткости
определяют сопротивление многослойных конструкций изгибу и кручению. В этом состоит известный принцип минимальных жесткостей
[30, 32], позволяющий получить простые инженерные решения многих
задач по расчёту на прочность многослойных оболочечных конструкций с произвольной структурой по толщине [68].
Необходимо также обратить внимание на методическую ошибку при
определении жесткостей многослойной конструкции, которая иногда
встречается при проведении расчётов реальных конструкций. Минимальные жёсткости, определяющие прочность и устойчивость многослойных ортотропных конструкций, включают в себя жёсткости D1 , D2
на изгиб в двух направлениях, крутильную жёсткость D3 и жёсткость
D4 , соответствующую учёту коэффициентов Пуассона при изгибе.
Кроме того, ортотропная оболочечная конструкция имеет жёсткости
B1 , B2 на растяжение-сжатие в двух направлениях, на сдвиги B3
и жёсткость B4 , соответствующую учёту коэффициентов Пуассона при
растяжении-сжатии.
Иногда в практических расчётах вместо указанных жесткостей
используют так называемые приведённые («средние») модули
19
Введение
упругости. Указанные модули упругости определяются иногда как отношение жёсткости B на растяжение-сжатие к полной толщине h
оболочки:
B
E = .
(0.3)
h
Так определив приведённый («средний») модуль упругости, вычисляют по известной формуле «среднюю» изгибную жёсткость
E h3
.
(0.4)
12
Как показал анализ [41], вычисленная таким образом изгибная
жёсткость может существенно (в ту или другую сторону) отличаться
от истинного значения минимальной изгибной жёсткости D пакета.
На рис. 0.4 [41] показано отношение минимальной изгибной жёсткости D к «средней» жёсткости D в зависимости от 12 вариантов чередования слоёв в семислойных конструкциях двух типов. Из рисунка
следует, что при расчёте изгибной жёсткости по формулам (0.3), (0.4)
погрешность расчёта достигает двух раз. Меняя только чередование
слоёв, можно добиться увеличения минимальной жёсткости более,
D =
D/D
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
тип 1
тип 2
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
номер
варианта
Рис. 0.4. Зависимость минимальной изгибной жёсткости от порядка чередования слоёв
чем в 2 раза: от относительного значения 0,7, соответствующего первому варианту, до значения 1,5, отвечающего двенадцатому варианту.
При этом ясно, что если более жёсткие слои располагаются по периферии многослойного пакета, то минимальная жёсткость D будет выше
20
Введение
«средней» D . Если же более жёсткие слои располагаются вблизи
геометрической середины пакета, то усреднённая жёсткость D будет
выше истинной минимальной жёсткости D. Таким образом, в зависимости от расположения слоёв по толщине многослойной оболочки
расчёты на прочность и устойчивость по «средним» модулям могут
происходить как в запас, так и в не запас прочности. Методы определения жесткостей многослойных ортотропных оболочек изложены
в Приложении А.
Глава 1
РАЗРЕШАЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
МНОГОСЛОЙНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
1.1. Разрешающие соотношения для исследования
устойчивости трёхслойных ортотропных оболочек
с лёгким заполнителем
Рассмотрим оболочку вращения, геометрические параметры которой показаны на рис. 1.1. Трёхслойный пакет, составляющий стенку
оболочки, показан на рис. 1.2 и состоит из двух несущих слоёв
с толщинами h1 , h2 и слоя заполнителя толщиной δ . Несущие слои
а
x, u
0
y, v
z, w
б
x, u
0
z, w
R1 (x)
R2 (x)
Рис. 1.1. Геометрия оболочки вращения и принятая система координат: а —
система координат; б — геометрия оболочки вращения
могут быть выполнены в виде неоднородных по толщине многослойных ортотропных пакетов и различаться между собой. Ортотропный
заполнитель в общем случае также может быть изготовлен в виде
многослойного пакета. Полагаем, как обычно, что оси анизотропии
(ортотропии) совпадают с главными направлениями кривизны оболочки.
22
Гл. 1. Разрешающие соотношения для многослойных оболочек
x(1)
а
0
y(2)
(2 )
z(3)
x(1)
(1 )
z1
h1
δ
z1
(1 )
H1
H1
H1
(2 )
h2
z1
б
z(3)
Рис. 1.2. Структура трёхслойного пакета: а — система координат; б —
геометрические размеры
В разделе 1.1 исследуется общая потеря устойчивости, когда трёхслойный пакет изгибается как единое целое. В случае местной потери
устойчивости оболочка в целом не теряет форму, а изгибаются (сморщиваются) лишь несущие слои (см. раздел 2.3 и гл. 6).
При выводе разрешающих соотношений для исследования общей
устойчивости примем за основу гипотезы ломаной линии при несжимаемом по нормали лёгком заполнителе [16], хорошо отражающие сопротивление несущих трёхслойных конструкций. Эти гипотезы состоят
в следующем:
— сопротивление несущих слоёв описывается классическими гипотезами неизменной нормали;
— заполнитель сопротивляется только поперечным сдвигам; жёсткости его в тангенциальной плоскости равны нулю;
— деформациями пакета в направлении нормали (оси z ) пренебрегаем.
23
1.1. Разрешающие соотношения для трёхслойных оболочек
При таких предпосылках жёсткости слоёв, из которых состоят
(k)
(k)
наружные несущие слои, определяются модулями упругости E1 , E2 ,
(k)
(k) (k)
(k)
G12 , коэффициентами Пуассона ν1 ν2 и толщинами h (k — номер
слоя). Если заполнитель выполнен в виде многослойного пакета, то его
(k)
(k)
сдвиговые жёсткости определяются модулями G13 , G23 поперечного
сдвига и толщинами δ (k) составляющих слоёв. Во многих случаях
заполнитель однороден, и тогда его жёсткости на сдвиги определяются
модулями сдвига G13 , G23 и толщиной δ (рис. 1.2).
При исследовании НДС, устойчивости и колебаний многослойных оболочечных конструкций из композитов коэффициенты Пуассона
в большинстве случаев слабо влияют на конечный результат. Поэтому
обычно принимается, что коэффициенты Пуассона одинаковы для всего
пакета и равны некоторым приведенным величинам ν1 , ν2 . Формулы
для расчёта приведенных коэффициентов ν1 , ν2 даны в Приложении А.
Считаем также, что оболочка пологая, т. е. параметры Ламе её координатной поверхности мало изменяются и в пределах рассматриваемой
области полагаются постоянными.
На основе указанных предпосылок можно получить следующее
дифференциальное уравнение для исследования устойчивости трёхслойных пологих оболочек вращения [66, 72]:
∂2
∂2
∗
4
4
D1 ∇1 − ω 2 2 + ω 1 2 ∇2∗ ∇42 w +
∂x
∂y
B2 4
4 4
+
∇ + D1 ∇1 ∇2 ∇4c w = ∇42 ∇4c qw;
R22 R
∇41 =
∂4
∂4
∂4
+
α
+
β
;
1
1
∂x4
∂y 4
∂x2 ∂y 2
∇42∗ =
∂4
∂4
∂4
+
α
+
β
;
2
2
∂x4
∂y 4
∂x2 ∂y 2
2
2
∂
R2 ∂ 2
∇4R =
+
;
∂x2 R1 ∂y 2
∇42 =
∂4
∂4
∂4
+ α2∗ 2 2 + β2∗ 4 ;
4
∂x
∂x ∂y
∂y
∂2
∂2
− (ω 2 + ω 1 ) 2 + ω 1 ω 2 ∇42∗ ;
2
∂x
∂y
D
D
α1 = 2 2 12 + ν2 ;
β1 = 2 ;
D1
D1
∇4c = 1 − (ω 1 + ω 2 )
α2 =
B2
− 2 ν2 ;
B12
D∗
ω1 = 1 ;
K1
β2 =
ω2 =
q = T10
B2
;
B1
D2∗
;
K2
ω 1
∗
B2∗
B2
∗
−
2
ν
;
β
=
;
2
2
∗
B12
B1∗
D∗
D∗
= 12 ; ω 2 = 12 ;
K1
K2
α2∗ =
∂2
∂2
∂2
+ T20 2 ;
+ 2S 0
2
∂x
∂x∂y
∂y
(1.1)
24
Гл. 1. Разрешающие соотношения для многослойных оболочек
T10 , T20 , S 0 — докритические безмоментные усилия, действующие в оболочке.
Уравнение (1.1) можно записать также в следующем операторном
виде:
B 2 ∇4
(D1 + D1∗ Ωxy ) ∇41 w + 2 R4 w = qw;
R2 ∇2
∂2
∂ 2 ∇42∗
1 − ω 2 2 + ω 1 2
∂x
∂y
∇41
Ωxy =
.
(1.2)
∇4c
В формулах (1.1), (1.2) введены следующие обозначения:
B1 , B2 , B12 — жёсткости трёхслойного пакета на растяжениесжатие и сдвиг в плоскости x, y ;
∗
B 2 = B2∗ (1 − ν1 ν2 );
B 2 = B2 (1 − ν1 ν2 );
B1∗ =
(1)
(1)
(2)
4B1 B1
;
B1
(1)
(1)
B2∗ =
(2)
(1)
(2)
4B2 B2
;
B2
(2)
∗
B12
=
(1)
(2)
4B12 B12
;
B12
(2)
B1 , B2 , B12 , B1 , B2 , B12 — жёсткости на растяжение-сжатие
и сдвиги соответствующих несущих слоев;
D1 , D2 , D12 — минимальные изгибные и крутильная жёсткости
трёхслойного пакета;
∗
D1 = D1 + D1∗ ; D2 = D2 + D2∗ ; D12 = D12
+ D12
;
D1 , D2 , D12
— суммарные минимальные изгибные и крутильная
жёсткости несущих слоёв;
∗
D1∗ , D2∗ , D12
— минимальные изгибные и крутильная жёсткости
= 0) несущитрёхслойного пакета с безмоментными (D1 = D2 = D12
ми слоями;
K1 , K2 — жёсткости трёхслойного пакета на поперечные сдвиги
в плоскостях xz и yz соответственно.
Методы определения указанных жесткостей изложены в Приложении А.
Решение дифференциального уравнения (1.1) будем искать в виде
[79]:
w(x, y) = w0 sin
ny
λx
cos ;
R
R
w(x, y) = w0 sin
λx + ny
;
R
(1.3)
mπR
λ=
;
m, n — параметры волнообразования; R, — характерные размеры
оболочки.
25
1.1. Разрешающие соотношения для трёхслойных оболочек
Подставляя (1.3) в (1.1), с помощью соотношения (1.2) получим
разрешающее уравнение для отыскания критических параметров:
q (λ, n) = [D1 + D1∗ Ω (λ, n)]
Φ1 (λ, n) B 2 R2 ΦR (λ, n)
+
;
R2
R22 Φ2 (λ, n)
Φ∗2 (λ, n)
1 + ω2 λ2 + ω1 n2
Φ1 (λ, n)
Ω(λ, n) =
;
Φc (λ, n)
Φ1 (λ, n) = λ4 + α1 λ2 n2 + β1 n4 ;
Φ∗2 (λ, n) = λ4 + α2∗ λ2 n2 + β2∗ n4 ;
Φ2 (λ, n) = λ4 + α2 λ2 n2 + β2 n4 ;
2
R
ΦR (λ, n) = λ2 + 2 n2 ;
R1
Φ (λ, n) = 1 + (ω1 + ω2 )λ2 + (ω2 + ω1 )n2 + ω1 ω2 Φ∗2 (λ, n);
ω1 =
ω1 =
D1∗
ω1
=
;
2
R
K1 R 2
∗
D12
ω 1
=
;
R2
K1 R 2
ω2 =
D2∗
ω2
=
;
2
R
K2 R 2
ω2 =
∗
D12
ω 2
=
;
R2
K2 R 2
q (λ, n) = λ2 T1 + 2 S λ n + n2 T 2 ;
(1.4)
T1 , T2 , S — сжимающие усилия, действующие до потери устойчивости.
Критические значения усилий T1 , T2 , S определяются минимизацией выражения (1.4) по параметрам λ и n волнообразования.
При решении конкретных задач часто вместо параметров
n
волнообразования λ и n удобно использовать параметры λ и ψ = .
λ
Производя эту замену, из соотношений (1.4) можно получить:
q (λ, ψ) = [D1 + D1∗ Ω (λ, ψ)] λ2
F1 (ψ) =
F1 (ψ) B 2 R2 FR (ψ)
+
;
R2
R22 λ2 F2 (ψ)
1
Φ1 (λ, n) = 1 + α1 ψ 2 + β1 ψ 4 ;
λ4
1
Φ2 (λ, n) = 1 + α2 ψ 2 + β2 ψ 4 ;
λ4
2
R
1
FR (ψ) = 4 ΦR (λ, n) = 1 + 2 ψ 2
;
λ
R1
F2 (ψ) =
26
Гл. 1. Разрешающие соотношения для многослойных оболочек
Ω (λ, ψ) =
1
;
Ω1 (λ, ψ) + λ2 (ω1 + ω2 ψ 2 ) Ω2 (λ, ψ)
Ω1 (λ, ψ) =
1 + λ2 (ω2 + ω1 ψ 2 )
;
F ∗ (ψ)
1 + λ2 (ω2 + ω1 ψ 2 ) 2
F1 (ψ)
ω1 ω2 λ2 F2∗ (ψ)
ω1 + ω2 ψ 2
Ω2 (λ, ψ) =
;
F ∗ (ψ)
1 + λ2 (ω2 + ω1 ψ 2 ) 2
F1 (ψ)
1+
n
.
(1.5)
λ
Уравнения устойчивости (1.4), (1.5) трёхслойных оболочек, построенные на основе модели ломаной линии, совпадают с аналогичными
соотношениями для классических оболочек с неизменной нормалью,
если величину D1 + Ω D1∗ заменить полной изгибной жёсткостью
D1 = D1 + D1∗ . Следовательно, величину
q(λ, ψ) = T1 + 2ψ S + ψ 2 T2 ;
ψ=
D1 = D1 + Ω D1∗
(1.6)
можно назвать эффективной изгибной жёсткостью трёхслойной оболочки. Она представляет собой изгибную жёсткость D1 оболочки,
уменьшенную за счёт влияния поперечных сдвигов. Влияние поперечных сдвигов определяется функцией Ω(λ, ψ), которая зависит как
от податливостей ω1 , ω2 , ω1 , ω2 заполнителя на поперечные сдвиги,
так и от параметров λ и ψ волнообразования. При отсутствии заполнителя податливости на сдвиги стремятся к бесконечности, а функция Ω(λ, ψ) становится равной нулю, т. е. D1 + Ω D1∗ = D1 , и несущие
слои сопротивляются независимо друг от друга. Если заполнитель
абсолютно жёсткий на сдвиги, то податливости равны нулю, Ω = 1,
и оболочка сопротивляется в соответствии с классической моделью
неизменной нормали. Назовём функцию Ω (λ, ψ) функцией влияния
поперечных сдвигов. Эта функция изменяется в зависимости от сдвиговой жёсткости заполнителя в пределах от нуля до единицы: 0 Ω 1.
В общем случае можно записать
D1 = D1 + Ω D1∗ = Ω D1 + (1 − Ω) D1 .
Для достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей величина
Ω ∼ 1, а поскольку в трёхслойных оболочках D1 D1 , получим
D1 = Ω D1 .
В этом случае оболочка сопротивляется в соответствии с моделью
прямой линии [37].
1.2. Трёхслойные с жёстким заполнителем и композитные оболочки
27
Если заполнитель имеет малую жёсткость на поперечные сдвиги,
то Ω 1, и D1 ∼ Ω D1∗ , что соответствует модели ломаной линии.
Заметим, что функция Ω влияния поперечных сдвигов не зависит
от характерного радиуса кривизны оболочки и, таким образом, пригодна как для анализа пологих оболочек вращения произвольной формы,
так и для пластин и балок.
Рассмотрим слабые заполнители с высокой податливостью на поперечные сдвиги, когда выполняется условие
ω1 λ2 F2 1.
(1.7)
Тогда функцию Ω влияния поперечных сдвигов можно представить
в виде:
K1 + K2 ψ 2 2
K1 + K2 ψ 2 2
Ω (λ, ψ) =
R
1
−
R
;
D1∗ λ2 F1
D1∗ λ2 F2∗
K1 + K2 ψ 2 2
R 1.
D1∗ λ2 F1
(1.8)
Соотношения (1.7), (1.8) характерны для модели ломаной линии.
В том случае, когда заполнитель достаточно жёсткий на поперечные сдвиги, выполняется условие
ω1 λ2 F2 1.
(1.9)
Тогда функцию Ω влияния поперечных сдвигов можно представить
в виде (Ω1 ≈ Ω2 ≈ 1):
Ω(λ, ψ) =
1
1+
λ2 (ω1
+ ω2
ψ2 )
=
k12
;
k12 + λ2
k12 =
1
λ2 .
ω1 + ω2 ψ 2
(1.10)
Зависимости (1.8), (1.10) используем в дальнейшем для получения
расчётных формул.
1.2. Трёхслойные с жёстким заполнителем
и многослойные композитные оболочки
Рассмотрим трёхслойные оболочки с так называемым жёстким заполнителем, когда тангенциальные жёсткости заполнителя соизмеримы
с соответствующими жёсткостями несущих слоёв и пакета в целом.
В этом случае несущие слои и заполнитель по существу равноправны,
т. е. трёхслойные оболочки с жёстким заполнителем являются частным случаем многослойных оболочек. Если рассматривать многослойные оболочечные конструкции, слои которых имеют жёсткости одного
28
Гл. 1. Разрешающие соотношения для многослойных оболочек
порядка (рис. 1.3), то ломаная линия спрямляется, и сдвиг можно
учитывать по модели прямой линии [9, 13, 17, 37, 72].
а
h
x(1)
0
z0
y(2)
z(3)
б
N
k
a(k
2
2
1
x(1)
h
)
0
z0
h(k
)
3
1
z(3)
Рис. 1.3. Координаты и структура многослойного пакета: а — элемент оболочки; б — структура пакета: 1 — внутренняя поверхность оболочки, 2 — координатная поверхность, 3 нейтральная (срединная) поверхность k-го однородного
слоя
Разрешающие соотношения для оболочек, сопротивляющихся
по модели прямой линии, получаются из соответствующих зависимостей (1.4, 1.5), если положить
Di = 0;
Di∗ = Di ;
∇42∗ = ∇42 .
(1.11)
В результате такой подстановки из (1.1) получим дифференциальное уравнение устойчивости трёхслойных с жёстким заполнителем
и многослойных оболочек вращения, сопротивляющихся в соответствии
с моделью прямой линии:
1.2. Трёхслойные с жёстким заполнителем и композитные оболочки
29
∂2
∂2
B2
D1 ∇41 − ω 2 2 + ω 1 2 ∇42 ∇42 w + 2 ∇4R ∇4c w = ∇42 ∇4c qw.
∂x
∂y
R2
(1.12)
Полученное дифференциальное уравнение имеет десятый порядок
и учитывает в многослойных оболочках быстро изменяющееся НДС
типа погранслоя.
При исследовании устойчивости многослойных оболочек погранслой не оказывает заметного влияния на значения критических параметров [19]. Пренебрегая этим влиянием, получим дифференциальное
уравнение для исследования устойчивости многослойных оболочек:
B2 2 4
4 4
D1 ∇1 ∇2 + 2 ∇T ∇R w = ∇42 ∇2T q w;
R2
∇2T = 1 − ω 1
∂2
∂2
−
ω
.
2
∂x2
∂y 2
(1.13)
Порядок этого уравнения равен восьми, оно учитывает поперечные
сдвиги параметрически и соответствует модели прямолинейного элемента. Заметим, что входящие в податливости ω 1 , ω 2 жёсткости K1 , K2
на поперечные сдвиги должны вычисляться с учётом неоднородности
пакета по толщине. Формулы для расчёта величин K1 , K2 приведены
в Приложении А.
Уравнение (1.13) по аналогии с (1.2) можно записать в операторном
виде:
∇4
B ∇4
q = D1 21 + 22 R4 .
(1.14)
∇T
R2 ∇2
Входящие в коэффициенты и операторы дифференциальных уравнений (1.12)–(1.14) жёсткости на изгиб и кручение являются соответствующими минимальными жесткостями многослойного пакета. Они
вычисляются в соответствии с Приложением А.
Представляя решение в виде (1.3), найдём соотношение для расчёта
критических параметров, аналогичное зависимости (1.4):
q(λ, n) =
1 (λ, n) B 2 R2 R (λ, n)
D1
.
+
1 + λ2 ω1 + n2 ω2
R2
R22 2 (λ, n)
Переходя к параметрам λ и ψ =
q(λ, ψ) =
(1.15)
n
, получим
λ
D1
λ2 F1 (ψ) B 2 R2 FR (ψ)
.
+
1 + λ2 (ω1 + ω2 ψ 2 )
R2
R22 λ2 F2 (ψ)
(1.16)
30
Гл. 1. Разрешающие соотношения для многослойных оболочек
Как следует из (1.16), влияние поперечных сдвигов в оболочках,
сопротивляющихся по модели прямой линии, определяется величиной
1
ΩT =
(1.17)
.
2
1 + λ (ω1 + ω2 ψ 2 )
Сравнивая эту величину с функцией (1.10) влияния поперечных
сдвигов в трёхслойных оболочках с достаточно жёстким на сдвиги
заполнителем, видим, что они полностью совпадают. Отсюда следует,
что соотношение (1.9) может служить критерием применимости модели
прямой линии к оболочкам: если выполняется условие
D12
;
K1 R 2
то можно применять модель прямой линии.
λ2 (ω2 + ω1 ψ 2 ) 1;
где
ω1 =
ω2 =
D12
,
K2 R 2
(1.18)
1.3. Разрешающие соотношения для многослойных
композитных оболочек (классическая модель)
Во многих практически важных случаях при расчёте многослойных
оболочек на устойчивость хорошие результаты даёт теория, основанная
на классической гипотезе о неизменной нормали. Из соотношений
(1.16), (1.17) следует, что модель оболочки с неизменной нормалью
применима, если
λ2 (ω1 + ω2 ψ 2 ) 1.
(1.19)
В этом случае дифференциальные соотношения (1.13), (1.14) примут
вид:
B
B ∇4
D1 ∇41 ∇42 + 22 ∇4R w = ∇42 qw ; q = D1 ∇41 + 22 R4 .
(1.20)
R2
R2 ∇2
Зависимости (1.15), (1.16) для расчёта критических параметров
запишутся следующим образом:
q(λ, n) =
q(λ, ψ) =
D1
B 2 R2 R (λ, n)
(λ
,
n)
+
;
1
R2
R22 2 (λ, n)
D1 λ2
B R2 FR (ψ)
.
F1 (ψ) + 2 2
2
R
R2 λ2 F2 (ψ)
(1.21)
Входящие в зависимости (1.20), (1.21) жёсткости представляют
собой минимальные жёсткости многослойного пакета.
1.4. Полубезмоментная модель и непологие оболочки
В ряде случаев, когда количество волн при потере устойчивости
недостаточно велико, соотношения, полученные на основе гипотез о
пологости оболочки, могут дать заметную погрешность. Такая картина
1.4. Полубезмоментная модель и непологие оболочки
31
характерна, например, при потере устойчивости от действия наружного
давления и кручения. В то же время в этих случаях почти всегда
законно применение полубезмоментной теории трёхслойных оболочек,
учитывающей непологость [19, 61, 65]. Используя результаты [61],
найдём дифференциальное уравнение устойчивости полубезмоментных
оболочек в следующем виде [66]:
2
2
∂
∂4
∂4 2
1
B1 ∂4 2
2
(D2∗ + ∇ D2 ) 4
+
w + 2 4 ∇c w = 4 ∇c q w ;
2
2
∂y
∂y
∂y
R
R2 ∂x
2
∇c = 1 − ω 1
∂2
− ω2
∂x2
∂2
1
+ 2
2
∂y
R
;
2
2
∂
∂
∂
∂q
∂2
1
1
0 ∂
=
T10 2 + T20
+
. (1.22)
+
2
S
+
∂y
∂y
∂x ∂y 2 R2
∂x
∂y 2 R2
Полученное дифференциальной уравнение имеет четвёртый порядок
по меридиональной координате x и десятый — по окружной координате y . В нём не учтены эффекты погранслоя [65], поскольку они
не оказывают заметного влияния при исследовании устойчивости полубезмоментных оболочек.
Представим решение уравнения (1.22) в виде (1.3). Тогда для отыскания критических значений нагрузок получим следующие соотношения:
2
2
n −1
D2∗
R 2 B 1 λ4
q (λ, n) = D2 +
+
;
1 + ω1 λ2 + ω2 (n2 − 1)
R2
R22 n4
λ
q (λ, n) = T1 λ2 + 2S (n2 − 1) + T2 (n2 − 1) ;
n
(1.23)
T1 , T2 , S — сжимающие усилия.
В случае цилиндрических оболочек в соотношениях (1.22), (1.23)
необходимо положить R = R2 .
Как видно из (1.23), эффективная изгибная кольцевая жёсткость D2 полубезмоментной оболочки определяется выражением
D2 = D2 +
D2∗
,
1 + ω1 λ2 + ω2 (n2 − 1)
(1.24)
аналогичным (1.6). При этом функция влияния поперечных сдвигов
равна
1
Ω =
(1.25)
1 + ω1 λ2 + ω2 (n2 − 1)
и изменяется от нуля (раздельно работающие слои) до единицы (абсолютно жёсткий на поперечные сдвиги заполнитель): 0 Ω 1.
32
Гл. 1. Разрешающие соотношения для многослойных оболочек
Если заполнитель достаточно жёсткий на поперечные сдвиги
в кольцевом направлении, т. е. выполняется условие
D2∗
,
(1.26)
1 + ω1 + ω2 (n2 − 1)
то можно применять гипотезы прямой линии. В этом случае уравнение
(1.22) и соотношение (1.23) примут вид:
2
2
∂
∂4 2
∂4
1
B ∂4 2
D2 4
+
w + 22 4 ∇c w = 4 ∇c q w ;
2
2
∂y
∂y
R
∂y
R2 ∂x
D2 λ2
2
2
n −1
D2
R 2 B 1 λ4
q (λ, n) =
+
.
1 + ω1 λ2 + ω2 (n2 − 1)
R2
R22 n4
(1.27)
Зависимости (1.27) пригодны также для анализа устойчивости трёхслойных оболочек с так называемым жёстким заполнителем и многослойных оболочек.
В том случае, когда можно пренебречь поперечными сдвигами в пакете, т. е. выполняется условие
ω1 λ2 + ω2 (n2 − 1) 1,
(1.28)
применима классическая модель тонкостенной полубезмоментной оболочки с неизменной нормалью.
Разрешающие соотношения для классических оболочек получаются
2
из (1.27) при ω1 = ω2 = 0; ∇ = 1:
2
2
∂4
1
B1 ∂4w
∂
∂4
D2 4
+
w
+
=
q w ;
∂y
∂y 2 R2
∂y 4
R22 ∂x4
q (λ, n) =
2 R2 B 1 λ4
D2 2
−
1
+ 2
.
n
R2
R2 n4
(1.29)
Зависимости, полученные здесь на основе полубезмоментной теории оболочек, будут применены при анализе устойчивости конкретных
видов оболочек.
Глава 2
МЕТОДЫ РАСЧЁТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ТРЁХСЛОЙНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ
СТЕРЖНЕЙ И АРОК
2.1. Расчёт на общую устойчивость
трёхслойных стержней с лёгким заполнителем
Уравнение общей устойчивости сжатых стержней получается
из уравнения (1.1) как частный случай, если положить
∂
= 0;
∂y
B2 = 0;
ω 2 = 0.
В итоге найдём:
4
d2
d w
d2 d2 w
∗
2
D + D (1 − ω 2 )
+
T
(
1
−
ω
)
= 0, ;
dξ
dξ 4
dξ 2 dξ 2
(2.1)
(2.2)
D∗
; D = D∗ + D ;
K2
D — суммарная изгибная жёсткость несущих слоёв трёхслойного
стержня; D* — изгибная жёсткость трёхслойного стержня с безмоментными (D = 0) несущими слоями; D — изгибная жёсткость
стержня; K — жёсткость стержня на поперечные сдвиги; ω — безразмерная податливость стержня на поперечные сдвиги; T — сжимающая
сила; — длина стержня.
Изгибные жёсткости и жёсткость на поперечные сдвиги определяются в соответствии с Приложением А.
Дифференциальное уравнение (2.2) удобно записать в виде [31]:
ξ = x/;
ω=
d4 w
d2 w
d6 w
− k2 (1 − ωt) 4 − k2 t 2 = 0;
6
dξ
dξ
dξ
D
T 2
.
; t=
(2.3)
ωD
D
Общее решение однородного уравнения (2.3) запишем в следующей
форме:
k2 =
w(ξ) = A1 + A2 ξ + A3 cos λξ + A4 sin λξ + A5 eμξ + A6 e−μξ ;
2 С. Н. Сухинин
34
Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок
λ =
2
μ =
2
1 4
k2 (1 − ωt)
;
k (1 − ωt)2 + k2 t −
4
2
k2 (1 − ωt)
1 4
k (1 − ωt)2 + k2 t +
.
4
2
(2.4)
Здесь λ и μ — параметры формоизменения, собственные числа задачи,
определяющие критические значения сил. Параметр μ определяет влияние погранслоя, а λ — параметр волнообразования при выпучивании
трёхслойного стержня.
Процедура определения критического значения величины t обычна
и состоит в следующем. Удовлетворяя шести граничным условиям
(по три на каждом торце) трёхслойного стержня, получаем с помощью решения (2.4) систему шести линейных однородных уравнений
относительно шести постоянных интегрирования A1 ÷ A6 . Для существования нетривиального решения необходимо, чтобы определитель
системы был равен нулю. Из этого условия определяем набор чисел
t , из которых выбираем наименьшее [31].
Краевые условия, которые управляют быстроизменяющейся частью
решения типа погранслоя, обычно слабо влияют на значения критических параметров [19, 33]. Например, с помощью [19] можно показать,
что различие между критическими значениями параметров λ и t для
шарнирно опёртого стержня со свободным на торце заполнителем и заполнителем, закреплённым от поперечных сдвигов, составляет доли
процента. В связи с этим значение критического параметра волнообразования λ практически совпадает со значением, соответствующим
стержню с неизменной нормалью. Отсюда следует важный для практических целей вывод о том, что и стержни с раздельно работающими
слоями, и стержни с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем, и трёхслойные стержни с ограниченной сдвиговой жёсткостью имеют одну и ту же форму волнообразования, если они одинаково
закреплены по краям.
С помощью характеристического многочлена дифференциального
уравнения (2.3) можно получить для трёхслойных стержней следующее
выражение силового параметра t через параметр волнообразования λ:
t=
T 2
1 + λ2 /k2
= λ2
.
D
1 + ωλ2
(2.5)
Критическое значение осевой сжимающей силы T получается из
(2.5) минимизацией по параметру λ. Легко показать, что функция (2.5)
есть монотонно возрастающая функция λ2 , т. е. критическое значение
T достигается при минимальном значении λ2min = λ2 . Минимальные
значения величины λ для различных случаев закрепления приведены
в табл. 2.1.
35
2.1. Трёхслойные стержни с лёгким заполнителем
Т а б л и ц а 2.1
Схема нагружения
Вид закрепления
T
Шарнирное опирание
концов
T
Жесткая заделка
концов
T
Один конец свободен,
другой заделан
Один конец заделан,
на втором — подвижная
заделка
T
π
2π
Один конец заделан,
другой свободно опёрт
T
λ
π
0, 699
π
2
π
Подставляя λ = λ в формулу (2.5), получим
t =
1 + λ2 /k2
T 2
= λ2
.
D
1 + ωλ2
(2.6)
Используя принятые обозначения, найдём отсюда выражение для
критической силы при сжатии трёхслойного стержня:
T = T T =
λ2 D
;
2
T =
T + K ;
T + K
λ2 D
;
2
K =
D
K ≈ K.
D∗
(2.7)
Здесь T — критическая сила для абсолютно жёсткого на поперечные
сдвиги стержня; T — критическая сила для стержня с раздельно
работающими слоями (заполнитель отсутствует); K — критическая
сила, соответствующая так называемой сдвиговой форме потери устойчивости (K ≈ K).
Из универсальной для трёхслойных стержней формулы (2.7) следуют частные случаи.
Так, для трёхслойных стержней с достаточно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем, когда выполняется условие
2*
36
Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок
λ2 D
,
(2.8)
2
критическая нагрузка определяется критической силой стержня с абсолютно жёстким на сдвиги заполнителем: T = T .
Таким образом, соотношение (2.8) является критерием применимости классической модели к трёхслойным стержням. Погрешность
применения классической модели составляет
1
BH
T
Δ
= ≈ λ2
,
(2.9)
K
4
G2
K T или
K
где B — жёсткость стержня на растяжение-сжатие, G — модуль
поперечного сдвига, H — расстояние между нейтральными линиями
несущих слоёв.
Если сдвиговая жёсткость заполнителя достаточно велика, но конечна, а несущие слои слабо сопротивляются изгибам, т. е. выполняется условие
λ2 D
T K или
K,
(2.10)
2
то из (2.7) получим соотношение для критической силы, соответствующее модели прямой линии (сдвиговой модели Тимошенко):
T =
λ2 D
T
1
=
.
2
1 + T /K
1 + ωλ2
(2.11)
Величины T /K и ωλ2 в формулах (2.11) определяют поправку
к классическому решению, полученную путем учёта сдвигов по сдвиговой модели Тимошенко. Таким образом, условие (2.10) служит критерием применимости к расчёту на устойчивость трёхслойных стержней модели прямолинейного элемента (сдвиговой модели Тимошенко).
Заметим, что правомерность применения модели прямой линии иногда
неправильно связывают только с малостью изгибной жёсткости несущих слоёв по сравнению с жёсткостью всего пакета:
T T ;
D D.
Как следует из зависимостей (2.7), такой критерий некорректен.
Погрешность применимости модели прямолинейного элемента составляет
T D
= λ2
Δ =
.
(2.12)
K
K2
В случае стержней с маложёстким заполнителем (например, типа
пенопластов) обычно выполняется зависимость K T . С учётом
этого из (2.7) найдём соотношение, типичное для трёхслойных конструкций с лёгким заполнителем:
T = T + K .
(2.13)
2.1. Трёхслойные стержни с лёгким заполнителем
37
Высокая эффективность трёхслойных конструкций при действии
сжимающих сил определяется тем, что критическая сила трёхслойной
конструкции существенно превосходит критическую силу конструкции, составленной только из склеенных несущих слоёв, т. е.
K T .
(2.14)
Таким образом, условие (2.14) является критерием эффективности
трёхслойной конструкции. Из этого критерия следует, что соединение
мощных несущих слоёв (T велика) со слабым заполнителем (величина K мала) неэффективно: «в одну телегу впрячь не можно коня
и трепетную лань».
Анализ полученных формул для расчёта критических сил позволяет судить о влиянии граничных условий на критическую силу
трёхслойного стержня. Как видно из (2.7), от граничных условий
зависит величина λ , входящая в параметры T и T . Величина K от граничных условий не зависит. В случае достаточно жёстких
на сдвиги заполнителей, когда выполняется условие (2.10), а расчёт
критической силы проводится по формуле (2.11), значение этой силы определяется параметром T . Этот параметр существенно зависит
от граничных условий. Если заполнитель имеет сравнительно малую
жёсткость (T K T ), а расчёт проводится по формуле (2.13), то
критическая сила трёхслойного стержня определяется величиной K ,
которая не зависит от граничных условий. Таким образом, критическая
сила широкого класса трёхслойных стержней (для которых выполняется условие T K T ) слабо зависит от граничных условий.
Анализ полученных расчётных формул показывает, что критическая
сила трёхслойного стержня в общем случае определяется тремя параметрами, которые имеют простой и ясный физический смысл:
T — критическая сила классического стержня, т. е. трёхслойного
стержня с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем;
эта величина характеризует жёсткость в целом трёхслойного стержня;
T — критическая сила в стержне с раздельно сопротивляющимися
несущими слоями; эта величина характеризует собственную жёсткость
несущих слоёв трёхслойного стержня;
K — критическая сила так называемой сдвиговой формы потери устойчивости; эта величина характеризует жёсткость заполнителя
(сдвиговую жёсткость трёхслойного пакета).
Три собственные характеристики T , T , K можно назвать обобщёнными жесткостями трёхслойного стержня при осевом сжатии.
Анализ зависимостей (2.7)–(2.14) показывает, что обобщённые жёсткости определяют критическую силу, области применимости различных расчётных моделей и дают критерий эффективности трёхслойного
стержня.
38
Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок
2.2. Трёхслойные с жёстким заполнителем
и многослойные стержни
В области так называемых жёстких заполнителей жесткостные
свойства несущих слоёв и заполнителя — одного порядка, при этом
выполняется условие (2.10). Следовательно, в случае жёстких заполнителей к расчёту на устойчивость трёхслойных стержней можно
применить модель прямолинейного элемента. В то же время в этом
случае, поскольку все слои трёхслойного пакета имеют жёсткости
одного порядка, трёхслойный стержень является частным случаем многослойного.
Таким образом, соотношения для расчёта устойчивости трёхслойных стержней обобщаются для расчёта многослойных. Итак, критическая сила трёхслойного с жёстким заполнителем и многослойного
стержней определяется соотношением (2.11), полученным на основе
модели прямолинейного элемента:
λ2 D
T
T
D
=
T =
;
T
=
; ω=
.
(2.15)
1 + T /K
1 + ωλ2
2
K2
Здесь D — минимальная изгибная жёсткость стержня; K — его эффективная жёсткость на поперечные сдвиги, вычисленная с учётом
неоднородности стержня по толщине; жёсткости D и K вычисляются
с помощью зависимостей, приведённых в Приложении А. Критическое значение λ зависит от способа закрепления краёв стержня
(см. табл. 2.1). Соотношения (2.15) в частном случае совпадают с соответствующими формулами [13, 55, 60].
В том случае, когда сдвиговая жёсткость K стержня достаточно
велика, для расчёта пригодна классическая модель стержня с неизменной нормалью:
λ2 D
T
2
= ωλ 1 .
T =T =
(2.16)
2
K
2.3. Многослойные стержни на упругом основании
и местная устойчивость трёхслойных стержней
Рассмотрим устойчивость сжатого многослойного стержня, скреплённого с упругим основанием. Полагаем, что стержень сопротивляется в соответствии с классической моделью (неизменная нормаль), а упругое основание поддерживает стержень адекватно модели
Власова–Пастернака [28, 44]. Используя соотношения [73], получим
следующую зависимость для определения критических сил в многослойных шарнирно-опёртых стержнях на упругом основании:
b Ez G
mπ
(1 + ν )
2
T = Dλ +
; λ=
; Ez =
E.
(2.17)
λ
2(1 − ν 2 )2
39
2.3. Многослойные стержни на упругом основании
Здесь D, , b — соответственно минимальная изгибная жёсткость
стержня, его длина и ширина; E , G , ν — модули упругости и коэффициент Пуассона заполнителя; m — число полуволн при потере
устойчивости.
Подкрепляющее влияние упругого основания определяется вторым
слагаемым в выражении (2.17).
Критическое значение силы получается минимизацией по параметру λ. Полагаем, что число m полуволн достаточно велико, т. е. считаем
параметр λ непрерывным. Находя минимум функции T (λ), получим
критические значения силы и числа полуволн:
1/3
λ 3
E
G
b
3
z
. (2.18)
T =
2b2 DEz G ; λ =
; m =
2
2D
π
Как видим, критическая сила T и критический параметр волнообразования λ в стержне на упругом основании не зависят от длины
стержня и, следовательно, от граничных условий. Это объясняется тем,
что в рассматриваемом случае при потере устойчивости образуется, как
правило, большое число полуволн. Оценка числа полуволн проводится
на основе соотношений (2.18):
1/3
1/3
b Ez G
G
m =
∼
.
(2.19)
π
D
h E
Здесь h — толщина стержня прямоугольного сечения, E , G — характерные модули упругости стержня и упругого основания.
Если стержень толщиной h выполнен из однородного материала, то
Eh3
,
12
а критические параметры (2.18) принимают вид:
D=b
σ =
T = 0,825 3 EEz G ;
bh
m = 0,58
h
(2.20)
Ez G
E2
1/6
.
(2.21)
Как видно из формулы (2.21), критическое напряжение σ сжатия
прямоугольного стержня на упругом основании не зависит от формы
и площади сечения стержня (h < b).
В частном случае ν = 0,5 получаем известный результат [52]:
σ = 0, 91 3 EE G .
(2.22)
Одна из форм потери устойчивости трёхслойных конструкций
(местная форма потери устойчивости) характерна тем, что несущие
слои сморщиваются, а опорная линия трёхслойного пакета остаётся
прямолинейной (рис. 2.1). При исследовании этого явления полагаем,
что заполнитель достаточно толстый, т. е. несущие слои сопротивляются независимо друг от друга [78]. В таком случае каждый несущий
40
Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок
слой можно рассматривать как стержень на упругом основании, а для
расчёта критических усилий использовать формулы (2.18)–(2.21).
Если заполнитель в трёхслойном стержне не очень толстый, а несущие слои влияют друг на друга, оказывая взаимное подкрепляющее
действие, то расчёт критических усилий при местной потере устойчивости в несущем слое рекомендуется проводить по специальным
формулам, приведённым, например, в [52, 55]. В наших обозначениях критическую силу при местной потере устойчивости несущего
слоя в трёхслойном стержне с тонким заполнителем можно записать
в виде [52]:
h
δ
EE
< 0,8 3
T
= 0,82 bh EE
при
;
(2.23)
δ
h
G2
(b — ширина стержня, h — толщина рассматриваемого несущего слоя,
δ — толщина заполнителя).
а
P
P
б
P
P
Рис. 2.1. Характерные формы потери устойчивости трёхслойных конструкций: а — форма потери общей устойчивости; б — форма потери местной
устойчивости
Однако можно показать, что если изгибные жёсткости несущих
слоёв — одного порядка, а заполнитель тонкий, то критическая нагрузка для стержня в целом, вычисленная по формуле (2.23), будет больше, чем критическая нагрузка (2.7) общей потери устойчивости. Это
означает, что местная форма потери устойчивости по законам (2.23)
практически невозможна
стержнях с тонким слоем
в трёхслойных
EE
δ
< 0,8 3
и примерно одинаковыми несущими
заполнителя
h
G2
слоями.
41
2.4. Запасы устойчивости стержней с лёгким заполнителем
Чтобы доказать это утверждение, достаточно доказать справедливость неравенства
T
(2.24)
< 1.
2T
Здесь T
— критическая сила при общей потере устойчивости, T
—
критическое усилие (2.23) в одном несущем слое, если заполнитель
тонкий. Анализ соотношения (2.7) показывает, что в реальных трёхслойных конструкциях с лёгким заполнителем (K T ) выполняется соотношение
T 1+ T
+
K
K K ,
T
= T = K
(2.25)
K
T + K
1+ T
поскольку для несущих трёхслойных конструкций T K ; K ∼ T .
Подставляя в (2.24) зависимости (2.23) и (2.25), получим
1/2
3/2
T
δ
δ
Kc
Gδ
G
=
=
0,61
.
2T
2T
h
h
1,64 h EE
EE
Учитывая неравенство (2.23), найдём отсюда
T
3/2
= 0,436 < 1,
< 0,61(0,8)
2T
что и требовалось доказать.
2.4. Запасы устойчивости трёхслойных стержней
с лёгким заполнителем
В результате расчётов получим критическую силу (2.7) общей поте
ри устойчивости T
трёхслойного стержня и критические силы (2.18)
местной потери устойчивости T1 , T2 для каждого несущего слоя.
Чтобы вычислить запасы устойчивости стержня, полученные значения
критических сил необходимо сравнить с расчётным значением T силы,
сжимающей стержень. Между несущими слоями эта сила распределяется пропорционально их жесткостям:
B (1)
B (2)
Tp ; T(2) =
Tp ; T(1) + T(2) = Tp .
(2.26)
B
B
Здесь B (1) , B (2) , B = B (1) + B (2) — жёсткости на сжатие несущих
слоёв и всего трёхслойного пакета с лёгким заполнителем.
Запасы устойчивости определяются по известным соотношениям:
T(1) =
η=
T
;
T
η (1) =
T1
;
(1)
Tp
η (2) =
T2
(2)
Tp
.
(2.27)
42
Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок
Минимальная из величин η , η (1) , η (2) определяет запас устойчивости трёхслойного стержня при сжатии его осевой силой T , действующей вдоль нейтральной оси стержня.
2.5. Расчёт на устойчивость трёхслойных арок
с лёгким заполнителем
Дифференциальное уравнение для исследования устойчивости
трёхслойных арок при действии наружного давления p получим
из полубезмоментного уравнения (1.22), учитывающего непологость.
Оставляя в (1.22) дифференцирование только по координате y , найдём:
d2
1
2 2
∗
w = T2 ∇c w;
+
(2.28)
D2 + ∇c D2
dy 2 R2
d2
2
∇ = 1 − ω2 R2 2 + 1 ;
dy
ω2 =
D2∗
;
K2 R 2
T2 = pR — кольцевая сжимающая сила; D2∗ , D2 , K2 — изгибные
и сдвиговая жёсткости арки; p — погонная нагрузка.
Форму потери устойчивости арки будем искать в виде
w = w0 sin λn ϕ;
λn =
nπ
;
ϕ0
ϕ=
(2.29)
y
;
R
ϕ0 — угловой размер арки (рис. 2.2).
p
ϕ
ϕ0
Рис. 2.2. К устойчивости трёхслойной круговой арки при внешнем давлении
43
2.5. Устойчивость трёхслойных арок с лёгким заполнителем
Тогда с помощью зависимостей (2.28) получим следующее соотношение для определения критических значений силы T2 и параметра
волнообразования λn :
2
D2∗
λn − 1
T2 = pR = D2 +
.
1 + ω2 (λ2n − 1)
R2
Минимизацией данного выражения по параметру λn найдём критические значения величин. Легко убедиться,
что правая часть является
монотонной функцией аргумента λ2n − 1 , т. е. минимум правой части
достигается при минимально возможном значении n = 2. В результате получим следующие значения критической силы и формы волнообразования при общей потере устойчивости трёхслойной круговой арки
с лёгким заполнителем:
2
λ2 − 1
D2∗
2
T2 = D2 +
;
R2
1 + ω2 λ2 − 1
λ = λ2 =
2π
;
ϕ0
n = 2.
(2.30)
Таким образом, форма волнообразования при потере устойчивости
трёхслойной арки с лёгким заполнителем такая же, как и в классических арках [79]. Используя это, получим из формулы (2.30) выражения
для критической силы, полностью совпадающие по форме с соответствующей зависимостью (2.7) для трёхслойных стержней:
T2 = T2
T2 + K2
;
T2 + K2
K2 =
T2 =
D2 2
−
1
;
λ
2
R2
D2
K2 ≈ K2 ;
D2∗
λ2 =
T2 =
2π
.
ϕ0
D2 2
−
1
;
λ
2
R2
(2.31)
Из соотношений (2.31) следуют зависимости для расчёта критических сил на основе более простых моделей. Например, если сдвиговая
жёсткость заполнителя велика, т. е. выполняется условие
D
K2 λ22 − 1 22 ,
(2.32)
R
то можно применять классическую модель арки с неизменной нормалью, и
D T2 = T2 = 22 λ22 − 1 .
(2.33)
R
Таким образом, условие (2.32) является критерием применимости
классических гипотез неизменной нормали к анализу устойчивости
K2c T или
44
Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок
трёхслойной арки. По аналогии со стержнями получим погрешность
применения классической модели:
B2 H
T
1 2
.
λ2 − 1
Δ
= 2 ≈
(2.34)
K2
4
GR2
Если сдвиговая жёсткость заполнителя достаточно велика, но конечна, а несущие слои слабо сопротивляются изгибу, т. е. выполняется
условие
2
D2
λ2 − 1
T2 K2 или
K2 ,
(2.35)
R2
то получим зависимость, соответствующую модели арки с прямолинейным элементом:
T2
T2 =
.
(2.36)
T2
1+ K2
Следовательно, условие (2.35) служит критерием применимости модели
прямолинейного элемента к расчёту трёхслойных арок. Погрешность
применения этой модели определяется формулой
D2
T Δ = 2 ≈ λ22 − 1
.
(2.37)
K2
K2 R 2
Для многих трёхслойных конструкций характерны маложёсткие
(типа пенопластов) заполнители, при этом выполняется условие K2c T2 . Тогда из выражений (2.31) получим одну из типичных для
трёхслойных конструкций зависимостей:
T2 = T2 + K2 .
(2.38)
По аналогии со стержнями (2.13) найдём отсюда критерий эффективности конструкции трёхслойной арки:
K2 T2 .
(2.39)
Проведём анализ влияния граничных условий. В случае достаточно
жёстких на поперечные сдвиги заполнителей, когда выполняются условия (2.32) или (2.35), влияние граничных условий в точности такое же,
как и для классических арок [79]. В этом случае в формулы (2.31) или
(2.36) следует подставлять значения T2 вычисленные для реальных
условий закрепления классических арок. Если же выполняется условие
K2 T2 , а расчёт ведётся по формуле (2.38) (маложёсткие заполнители), то граничные условия не оказывают существенного влияния,
поскольку в этом случае обычно K2 T2 а величина K2 (критическая сила при так называемой сдвиговой форме потери устойчивости)
не зависит от граничных условий.
Как и в случае трёхслойных стержней, устойчивость трёхслойных
арок определяют три величины T2 , T2 , K2 ≈ K2 которые назовём обобщёнными жесткостями трёхслойной арки. Эти три величины
45
2.6. Устойчивость многослойных арок
определяют критические усилия, критерии применимости математических моделей и влияние граничных условий.
Если в формулах (2.30), (2.31) положить ϕ0 = π , то придём к зависимостям для расчёта критических сил в трёхслойном кольце:
D2∗
3
.
T2 = 2 D2 +
(2.40)
1 + 3ω2
R
2.6. Устойчивость трёхслойных с жёстким
заполнителем и многослойных арок
Если жёсткости заполнителя имеют тот же порядок, что и жёсткости несущих слоёв, то такой заполнитель принято называть жёстким.
В этом случае жёсткость заполнителя на поперечные сдвиги достаточно высока, выполняется условие (2.35), т. е. применима модель прямолинейного элемента. Кроме того, поскольку все слои в трёхслойной
конструкции с жёстким заполнителем становятся равноправными, то
такую конструкцию можно рассматривать как частный случай многослойной арки. Таким образом, расчётные формулы модели прямолинейного элемента обобщаются на многослойные арки. В итоге для
расчёта критических усилий в трёхслойных арках с жёстким заполнителем и многослойных арках получаем с помощью соотношения (2.36)
следующие зависимости:
T2 =
T2 =
T2
T2
;
=
T2
1 + ω2 (λ22 − 1)
1+ K2
D2 2
λ2 − 1 ;
2
R
K2 = K2 ;
λ2 =
ω2 =
2π
;
ϕ0
D2
.
K2 R 2
(2.41)
Величины D2 и K2 суть соответственно минимальная изгибная
жёсткость многослойной арки и жёсткость многослойной арки на поперечные сдвиги. Формулы для вычисления этих величин приведены
в Приложении А.
При расчёте на устойчивость трёхслойных с жёстким заполнителем
и многослойных колец воспользуемся соответствующими формулами,
следующими из соотношений (2.40):
T2
3D2
T2 =
; T2 = 2 ; K2 = K2 ;
T2
R
1+ K2
(2.42)
D2
3
D2
T2 =
;
; ω2 =
.
1 + 3ω2
R2
K2 R 2
46
Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок
В том случае, когда сдвиговая жёсткость K2 многослойного пакета
велика (3ω2 1), можно пользоваться классической формулой для
расчёта критической силы в кольце с неизменной нормалью:
T2 = T2 =
3D2
.
R2
(2.43)
2.7. Арки на упругом основании
и расчёт местной устойчивости трёхслойных арок
При исследовании устойчивости арки на упругом основании от действия внешней погонной нагрузки p воспользуемся классической моделью арки с неизменной нормалью и моделью Власова–Пастернака
для упругого основания. При таких предположениях для определения
критической сжимающей силы можно получить следующее соотношение [73]:
D2 2 Rb Ez G
nπ
T2 = 2 λ n +
; λn =
;
(2.44)
λn
ϕ0
R
ϕ0 — угловой размер арки, b — её ширина.
При получении зависимости (2.44) предполагалось, что число волн
n велико (λ2n 1), т. е. арка пологая.
Проводя минимизацию по параметру λn , найдём критические значения параметров для расчёта на устойчивость арки на упругом основании:
1/3
b Ez G
3
3
2
T2 =
2b D2 Ez G ; λn =
R;
2
2D2
(2.45)
λ
ϕ
n = n 0 .
π
Как и в случае стержня, критическая сила в арке на упругом
основании не зависит от её размера и, следовательно, граничных условий. Это происходит вследствие образования большого числа волн при
потере устойчивости:
1/3
1/3
b Ez G
ϕ0
R G
R
n =
∼ ϕ0
.
(2.46)
π
2D2
h E2
По этой же причине формулы (2.18), (2.45) для расчёта критических
усилий в стержне и в арке на упругом основании совпадают с точностью до обозначений.
Если арка прямоугольного сечения выполнена из однородного материала, то по аналогии со стержнями можно найти критическое
2.7. Арки на упругом основании
47
напряжение в арке на упругом основании, не зависящее от размеров
поперечного сечения арки:
σ = 0,825 3 E2 Ez G ;
(2.47)
E2 — модуль упругости материала арки.
Если арка представляет собой замкнутое кольцо, то расчёт критической сжимающей силы в кольце на упругом основании производится
по формулам (2.45), где положено ϕ0 = π .
По формулам (2.45) находится в общем случае критическая сила
при местной потере устойчивости каждого несущего слоя трёхслойной
арки под действием наружного давления. При этом запасы устойчивости вычисляются так же, как и в случае трёхслойного стержня,
см. формулы (2.26), (2.27).
Глава 3
РАСЧЁТ ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК НА ОБЩУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
3.1. Разрешающие соотношения
для исследования общей устойчивости
Уравнение устойчивости для ортотропных трёхслойных цилиндрических оболочек получается из соотношений (1.1), если в них положить: R1 → ∞; R2 = R (R — радиус опорной поверхности цилиндрической оболочки):
D1∗
∇41
∂2
∂2
4
− ω 2 2 + ω 1 2 ∇2∗ ∇42 w +
∂x
∂y
B2 ∂4
4 4
+ D1 ∇1 ∇2 ∇4 w = ∇42 ∇4 q w. (3.1)
+
R2 ∂x4
Здесь сохраняются обозначения, принятые в (1.1).
Если решение уравнения (3.1) искать в виде (1.3), то для определения критических величин усилий T1 , T2 , S получим зависимости,
следующие из соотношений (1.4) и (1.5) при R1 → ∞, R2 = R:
λ2 T1 + 2Sλn + n2 T2 = [D1 + D1∗ Ω (λ, n)]
T1 + 2ψ S + ψ 2 T2 = [D1 + D1∗ Ω (λ, ψ)]
B 2 λ4
Φ1 (λ, n)
+
;
2
Φ2 (λ, n)
R
λ2 F1 (ψ)
B
+ 2 2 .
R2
λ F2 (ψ)
(3.2)
Здесь приняты те же обозначения, что в (1.4), (1.5). Критические
значения нагрузок T1 , S , T2 определяются минимизацией выражений
(3.2) по параметрам λ и n (λ и ψ ).
Для слабых заполнителей с высокой податливостью на поперечные
сдвиги, когда выполняется условие (1.7) и влияние поперечных сдвигов
велико (Ω 1), функцию Ω можно записать в виде (1.8).
В том случае, когда заполнитель достаточно жёсткий на поперечные сдвиги и выполняется условие (1.9), применима модель прямой
3.1. Разрешающие соотношения для общей устойчивости
49
линии, и вместо соотношений (3.2) можно использовать зависимости,
следующие из (1.15), (1.16) при R1 → ∞, R2 = R:
λ2 T1 + 2λnS + n2 T2 =
T1 + 2ψ S + ψ 2 T2 =
D1
λ4 B 2
Φ1 (λ, n)
+
;
2
2
2
1 + ω1 λ + ω2 n
R
Φ2 (λ, n)
D1
B
λ2 F1 (ψ)
+ 2 2 .
2
2
2
1 + λ (ω1 + ω2 ψ )
R
λ F2 (ψ)
(3.3)
Если поперечные сдвиги оказывают несущественное влияние (Ω ≈
≈ 1), то применима модель классических оболочек с неизменной нормалью. В этом случае из зависимостей (1.21) получим для цилиндрических оболочек:
λ2 T1 + 2λnS + n2 T2 =
T1 + 2ψ S + ψ 2 T2 =
D1
B 2 λ4
Φ1 (λ, n) +
;
2
R
Φ2 (λ, n)
D1 2
B
λ F1 (ψ) + 2 2 .
R2
λ F2 (ψ)
(3.4)
В заключение выпишем аналогичные соотношения для расчёта критических усилий в непологих полубезмоментных цилиндрических оболочках. В случае трёхслойных оболочек, сопротивляющихся адекватно
модели ломаной линии, получим из (1.23):
T1 λ2 + 2S
λ 2
(n − 1) + T2 (n2 − 1) =
n
2
D2∗
(n − 1)2 B 1 λ4
+
. (3.5)
= D2 +
1 + ω1 λ2 + ω2 (n2 − 1)
R2
n4
В случае достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей
приходим к модели прямой линии, и соотношения для расчёта критических усилий примут вид:
T1 λ2 + 2S
λ 2
(n − 1) + T2 (n2 − 1) =
n
=
1 + ω1
λ2
D2∗
(n2 − 1)2 B 1 λ4
+
. (3.6)
2
+ ω2 (n − 1)
R2
n4
Если влиянием поперечных сдвигов можно пренебречь, то получаем
зависимость для классических цилиндрических оболочек:
T1 λ2 + 2S
λ 2
D2 (n2 − 1)2 B 1 λ4
+
.
(n − 1) + T2 (n2 − 1) =
n
n4
R2
(3.7)
50
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
В случае оболочек с изотропными несущими слоями и заполнителем в полученных выше соотношениях необходимо положить:
B1 = B2 = B;
D1 = D2 = D;
D1∗ = D2∗ = D∗ ;
D1 = D2 = D ;
K1 = K2 = K ;
β1 = β2 = β2∗ = 1; α1 = α2 = α2∗ = 2;
2
Φ 1 = Φ2 = λ 2 + n 2 ; F 1 = F 2 = ( 1 + ψ 2 ) 2 .
(3.8)
3.2. Устойчивость многослойных цилиндрических
оболочек (классическая модель)
Рассмотрим устойчивость многослойных цилиндрических оболочек,
собранных по толщине из изотропных слоёв. Во многих практически
важных случаях к такого рода конструкциям применима классическая
оболочечная расчётная схема, основанная на гипотезах неизменной
нормали. В соответствии с этой моделью разрешающее уравнение
(1.20) устойчивости изотропных пологих оболочек примет вид:
∇4 q w = D∇8 w +
B ∂4w
;
R2 ∂x4
∂2
∂2
∂2
∂2
∂2
+ 2 S0
+ 2.
+ T20 2 ; ∇2 =
2
2
∂x ∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
Соответственно, для полубезмоментных непологих оболочек из соотношений (1.29) получим:
2 4
2
∂
∂4w
1
∂ w
B ∂4w
q 4 = D
+
+ 2
;
2
2
4
∂y
∂y
R
∂y
R ∂x4
q = T10
2
2
∂
∂
∂
∂
∂2
1
1
0 ∂
q =
T10 2 + T20
+
.
+
2
S
+
∂y
∂y
∂x ∂y 2 R2
∂x
∂y 2 R2
Для расчёта критических параметров воспользуемся зависимостями
(3.4), (3.7):
λ2 T1 + 2Sλn + n2 T2 =
T1 + 2ψ S + ψ 2 T2 =
2
D 2
Bλ4
λ + n2 +
;
2
2
R
(λ2 + n2 )
2
B
D 2
λ 1 + ψ2 +
;
2
2
2
R
λ (1 + ψ 2 )
ψ=
λ
D(n2 − 1)2 Bλ4
T1 λ2 + 2S (n2 − 1) + T2 (n2 − 1) =
+ 4 .
n
R2
n
n
;
λ
(3.9)
3.2. Многослойные цилиндрические оболочки (классическая модель)
51
3.2.1. Осевое сжатие. В этом случае, полагая S = T2 = 0, найдём
T1 =
D 2
B
λ (1 + ψ 2 )2 + 2
.
2
R
λ (1 + ψ 2 )2
Критическое усилие T1 находится отсюда минимизацией по обобщённому параметру волнообразования λ(1 + ψ 2 ):
2
T1 = T10 =
BD ; B = B(1 − ν 2 );
R
2
2
2
λ
+
n
4 BR
.
λ(1 + ψ 2 ) =
= λ0 =
(3.10)
λ
D
В случае однородных изотропных оболочек, полагая
B = Eh ;
D=
Eh3
12 (1 − ν 2 )
(E , ν , h — соответственно модуль упругости, коэффициент Пуассона и толщина оболочки), из зависимостей (3.10) получим известные
формулы для расчёта критических напряжений и параметров волнообразования:
1
Eh
Eh
≈ 0,605
σ1 = ;
2
R
R
3(1 − ν )
λ2 + n 2
λ
R
R
2
= λ0 = 2 3(1 − ν )
≈ 1,82
.
h
h
(3.11)
Обратим внимание на то, что при расчёте на устойчивость изотропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии форма волнообразования не определена однозначно: параметры волнообразования λ
и n могут принимать произвольные значения, лишь бы между ними
выполнялись соотношения (3.10) или (3.11). Таким образом, одной
критической силе соответствует множество вариантов форм волнообразования. Это многообразие форм [36] является одной из причин
большого различия между теоретическими и экспериментальными значениями критических напряжений [4, 10, 16, 45, 64, 81]. В связи с этим
различием необходимо вводить поправочный коэффициент, умножая
на него значения критических усилий и напряжений в формулах (3.10),
(3.11). Поправочный коэффициент k можно принимать в соответствии с рекомендациями [8]:
R/h
250
500
750
1000
1500
k
0,3
0,23
0,20
0,165
0,15
52
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
При расчёте натурных оболочечных конструкций следует с осторожностью относиться к данным, опубликованным в [12, 83], поскольку многие из упомянутых там экспериментальных результатов получены на специальным образом изготовленных оболочках, в которых
число неправильностей сведено к минимуму, что не всегда соответствует реалиям.
Приведенные выше формулы пригодны для оболочек средней длины, когда выполняется условие
π 4 BR2
π 4 D
√
<
<
R
2
D
BR2
2
< 3 R/h .
1,2 h/R <
(3.12)
R
Если оболочка короткая, т. е. выполняется условие
π 4 D
< √
< 1,2 h/R ,
R
R
BR2
2
то она теряет устойчивость по осесимметричной форме с одной полуволной в осевом направлении. В этом случае критическое усилие
в многослойных оболочках определяется формулой
π2 D
.
2
Для однородных по толщине оболочек отсюда получаем известные
[8] зависимости:
T1 =
σ1 =
π 2 Eh2
h2
= 0,90 E 2 ;
2
2
12 (1 − ν )
< 1,2 h/R .
R
В случае длинных оболочек, когда
π 4
2
BR /D
>
> 3 R/h ,
R
2
R
расчёт их на устойчивость следует проводить по формулам для сжатых
стержней [81]
π 2 BR2
T1 =
.
22
3.2.2. Внешнее давление. Для исследования критических параметров при действии внешнего давления p примем известное положение, что при потере устойчивости образуется одна полуволна в осевом
направлении:
πR
m = 1 ;
λ = λ1 =
3.2. Многослойные цилиндрические оболочки (классическая модель)
53
(R, — соответственно радиус и длина оболочки).
Полагая в зависимости (3.9) T1 = S = 0, получим соотношение для
отыскания критических параметров n и T2 при потере устойчивости
цилиндрической изотропной пологой оболочки от действия внешнего
давления:
2
D 1 + λ21 /n2 n2
Bλ41
T2 =
+ (3.13)
2 ;
2
R
n6 1 + λ2 /n2
1
πR
.
Критическое значение кольцевого усилия T2 получается минимизацией по дискретному параметру n. Если параметр n достаточно велик,
то его можно считать непрерывно изменяющимся. Проведя в этом
случае минимизацию при условии, что величина λ21 /n2 , содержащаяся
в скобках, мала, найдём:
2
1,75 π 4
4 3BR
T2 =
BD3 ; n2 = λ1
; λ = λ1 .
(3.14)
1
/
2
D
R
T2 = p R ;
λ1 =
Если положить
B = Eh;
D=
Eh3
,
12(1 − ν 2 )
(3.15)
то из соотношений (3.14) получим известные формулы П. Ф. Папковича:
0,85
Eh5/2
R R
4
2
2
T2 = ;
3/4 R1/2 ; n = 7,7 1 − ν h
1 − ν2
p = 0,85
Eh5/2
3/4 R3/2 .
1 − ν2
(3.16)
Если число волн n в кольцевом направлении мало́ и оболочку
нельзя считать пологой, то необходимо воспользоваться соотношениями для непологих полубезмоментных оболочек. В этом случае найдём
T2 =
D(n2 − 1)
Bλ4
+ 4 21 .
2
R
n (n − 1)
Критическое значение T2 кольцевого сжимающего усилия получается минимизацией по дискретному параметру n волнообразования.
Как показывают соотношения (3.14), при потере устойчивости цилиндрической оболочки от внешнего давления параметры λ и n
волнообразования однозначно определены. Это позволяет предполагать, что теоретические и экспериментальные значения критических
усилий должны хорошо согласоваться. Опыт показывает, что различие
54
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
теоретических и экспериментальных результатов для многослойных
оболочек находится в пределах 10 ÷ 15 %.
Полученные выше расчётные зависимости пригодны для оболочек
средней длины, когда выполняются условия
4
4
2
2
< 2 BR /D
< 3 R/h . (3.17)
6 D/BR <
3 h/R <
R
R
В случае коротких оболочек, когда выполняются зависимости
4
2
< 6 D/BR
< 3 h/R ,
R
R
критические усилия в них соответствуют критическим усилиям шарнирно опёртой прямоугольной пластины [8]:
π2 D
.
2
Длинные оболочки, для которых выполняются условия
4
2
> 2 BR /D
> 3 R/h ,
R
R
T2 =
теряют устойчивость, как кольца, с образованием двух волн в окружном направлении:
3D
T2 = 2 ; n = 2.
R
3.2.3. Кручение. В этом случае, как и в случае действия бокового
давления, в оболочках средней длины при потере
устойчивости
образуπR
ется одна полуволна в осевом направлении λ = λ1 =
. С учётом
этого из соотношений (3.9) можно получить для пологих оболочек:
2
D n3 1 + λ21 /n2
πR
Bλ31
2S =
.
+
; λ1 =
(3.18)
2
2
2
λ1 R
n5 1 + λ /n2
1
Это соотношение соответствует решению (1.3), которое в рассматриваемом случае не удовлетворяет граничным условиям шарнирного
опирания и даёт заниженный результат. Используя результаты [24],
где граничные условия удовлетворены точно, можно найти следующее
выражение для расчёта критических параметров (n2 1, n2 λ21 ):
2
8
3,3
4 BR
3
S = 1/2 3/4 B D5 ; n2 = 2,7λ1
;
D
R
τ
0,7
Eh5/4
=
;
2
5
/
8
(1 − ν )
R3/4 1/2
n2
R
4
= 15,8 1 − ν 2
R
.
h
(3.19)
3.2. Многослойные цилиндрические оболочки (классическая модель)
55
Зависимости (3.19) относятся к шарнирно опёртым оболочкам. Если
осуществляется жёсткая заделка, то коэффициент 3,3 в формуле для
S следует заменить на 3,96, а коэффициент 0,7 в формуле для τ —
на 0,84 [24, 81].
Однозначность формы волнообразования при потере устойчивости
от кручения позволяет предполагать удовлетворительное согласование
теоретических и экспериментальных результатов. Поправочные коэффициенты k на влияние начальных неправильностей можно найти
в [8]:
R/h
250
500
750
1000
1500
k
0,80
0,70
0,63
0,58
0,5
Полученные зависимости пригодны для оболочек средней длины,
когда выполняется условие
4
4
6 D/BR2 <
< 5 BR2 /D
< 7 R/h . (3.20)
3 h/R <
R
R
Для коротких оболочек, когда
4
< 6 D/BR2
R
< 3 h/R ,
R
следуя [8], найдём
S = kS
π2 D
;
2
τ = kS
π 2 Eh2
.
12 1 − ν 2 2
Здесь kS = 5,34 для шарнирно закреплённых оболочек, kS = 8,97
для жёстко защемлённых.
Если длина оболочки достаточно велика, то в кольцевом направлении образуются две волны ( n = 2), а величина критического усилия
не зависит от длины оболочки и граничных условий. Полагая n = 2,
с помощью (3.9) найдём:
3D
Bλ3
S=
+
.
λR2
48
Минимизируя это соотношение по параметру λ, придём к формуле,
аналогичной известной формуле Шверина [14, 66]:
√
4
2
BD3
48D
S = √
; λ4 =
; n = 2.
(3.21)
4
3
/
2
BR2
3 R
В частном случае однородных по толщине конструкций, полагая
в (3.21)
E h3
,
B = E h; D = 12 1 − ν 2
56
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
получим формулу Шверина [79]
E
τ = √
3/4
3 2 (1 − ν 2 )
3/2
h
.
R
3.2.4. О зависимостях между критическими усилиями в изотропных цилиндрических оболочках. Выпишем полученные выше
значения критических усилий для многослойных цилиндрических оболочек при осевом сжатии, внешнем боковом давлении и кручении:
8
2
1,75π 3,3
4
3
3
T1 =
BD ; T2 =
BD ; S = 1/2 3/4 B D5 .
1
/
2
R
R
R
Нетрудно видеть, что между этими критическими нагрузками существует зависимость
S = T1 T2 .
(3.22)
Точно так же, между известными критическими напряжениями
в однородных цилиндрических оболочках:
Eh
1
σ1 = R ;
3 1 − ν2
τ =
0,85
Eh3/2
σ2 = 3/4 R1/2 ;
1 − ν2
0,7
Eh5/4
.
2
5
/
8
1
(1 − ν )
/2 R3/4
— выполняется соотношение
τ =
σ1 σ2 .
(3.23)
Заметим, что соотношения (3.22) и (3.23) получены для случая
шарнирного опирания цилиндрических оболочек.
3.3. Устойчивость трёхслойных цилиндрических
оболочек с лёгким заполнителем
Для исследования общей устойчивости при сжатии и кручении
трёхслойных оболочек с легким заполнителем воспользуемся гипотезами ломаной линии. Разрешающие соотношения в этом случае имеют
вид (3.2). Принимая во внимание зависимости (3.8), получим следующие соотношения для расчёта критических усилий в трёхслойных
изотропных цилиндрических оболочках с лёгким заполнителем [34]:
57
3.3. Трёхслойные цилиндрические оболочки с лёгким заполнителем
2
2
λ + n2
Bλ4
λ T1 + 2λnS + n T2 = [D + Ω (λ, n) D ]
+
2 ;
R2
λ2 + n 2
2
2 2
B
2
∗ λ 1+ψ
T1 + 2ψ S + ψ T2 = [D + Ω (λ, ψ) D ]
+
;
2
2
R2
λ (1 + ψ 2 )
2
∗
2
Ω (λ, n) = Ω (λ, ψ) =
1
1
;
=
1 + ω(λ2 + n2 )
1 + ωλ2 (1 + ψ 2 )
n
D∗
G H2
.
; ω=
;
K
=
(3.24)
λ
KR2
δ
Разрешающие соотношения (3.5) на основе полубезмоментной модели непологих трёхслойных оболочек в случае изотропных цилиндрических оболочек примут вид:
ψ=
T1 λ 2 + 2
λ 2
n − 1 S + T2 n 2 − 1 =
n
2
2
n −1
D∗
Bλ4
= D +
+
. (3.25)
n4
1 + ωλ2 + ω (n2 − 1)
R2
3.3.1. Осевое сжатие. В этом случае, полагая в зависимостях
(3.24) T2 = S = 0, найдём
2
2
λ 1 + ψ2
B
D∗
T1 = D +
+
.
2
2
2
2
1 + ωλ (1 + ψ )
R
λ2 ( 1 + ψ 2 )
Можно показать, что минимум величины T1 достигается при ψ = 0,
т. е. трёхслойные изотропные оболочки с лёгким заполнителем теряют
устойчивость по осесимметричной форме (n = 0). В результате получим следующее выражение для расчёта критических усилий:
2
B
λ
D∗
T1 = D +
+ 2.
(3.26)
1 + ωλ2 R2
λ
Проводя минимизацию этого выражения по параметру волнообразования λ, получим выражение для расчёта его критического значения:
λ4 =
1+
∗
λ40
D
D
=
1
1 + ωλ2
λ40 =
2
BR2
;
D
λ4∗
D
+
D∗
λ4∗ =
1
1 + ωλ2
=
2
BR2
D + BR2
BR2
= λ4 .
≈
D∗
D
D∗
1 + ωλ2
;
2
(3.27)
58
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
Из соотношений (3.27) следует, что при общей потере устойчивости
от осевого сжатия трёхслойная изотропная оболочка образует меньше
осесимметричных волн, чем её раздельно работающие несущие слои
(λ = λ0 ) и больше, чем соответствующая трёхслойная оболочка
с абсолютно жёстким на сдвиги заполнителем (λ = λ ). Таким образом, для критического параметра λ в трёхслойной цилиндрической
изотропной оболочке выполняется неравенство
λ λ λ0 .
(3.28)
В общем случае затруднительно вывести конечные формулы для
определения критических параметров. Чтобы получить удобные расчётные соотношения, рассмотрим два характерных класса трёхслойных оболочек: оболочки со слабым на поперечные сдвиги заполнителем и оболочки с заполнителем, достаточно жёстким на поперечные
сдвиги.
Если заполнитель имеет малую сдвиговую жёсткость, то выполняется условие ωλ2 1. Используя это условие, найдём из зависимостей
(3.27):
2K
2K
λ4 = λ40 1 − b2 ; b = ∗ ≈ ;
T10
T10
2
2
∗
BD ≈ T10
=
BD∗ ; D = D∗ + D ≈ D∗ .
(3.29)
R
R
— критическое усилие в трёхслойной оболочке с абсолютно
Здесь T10
жёстким на сдвиги заполнителем; K — жёсткость трёхслойного пакета
на поперечные сдвиги. Пренебрегая в соотношении (3.26) единицей
2
по сравнению с величиной ωλ2 , приведём его к виду
D λ2 B 1 − b2
T1 =
+
+ K.
(3.30)
R2
λ2
Подставляя сюда найденное значение λ , получим формулы для
расчёта критических параметров в изотропных трёхслойных цилиндрических оболочках со слабым на сдвиги заполнителем:
T1 = T10
(3.31)
1 − b2 + K ; λ4 = λ40 1 − b2 ; n = 0.
√
2
Здесь T10
=
BD — критическое усилие при осевом сжатии,
R
соответствующее оболочке с раздельно сопротивляющимися несущими
слоями. Зависимости (3.31) можно получить также непосредственной
минимизацией по параметру λ выражения (3.30).
Как видно, полученные расчётные формулы (3.31) пригодны, если
выполняется условие
2K
1 K T10
.
b= 1
(3.32)
T10
2
T10
=
3.3. Трёхслойные цилиндрические оболочки с лёгким заполнителем
59
B случае выполнения равенства 2K = T10
наступает так называемая
сдвиговая форма потери устойчивости, и расчётные формулы принимают вид:
T1 = K ; λ = 0.
(3.33)
Если заполнитель имеет достаточно высокую жёсткость на сдвиги,
то ωλ2 ∼ 1. В этом случае можно из зависимостей (3.27) получить
λ2 =
λ2
;
1 − ωλ2
ωλ2 =
T10
;
2K
n = 0,
(3.34)
а соотношение (3.26) представить в виде
D
λ2
B
+ 2.
(3.35)
2
1 + ωλ R2
λ
Зависимость (3.35) по существу определяет критические параметры
при осевом сжатии трёхслойной оболочки, сопротивляющейся в соответствии с моделью прямолинейного элемента. Подставляя в выражение (3.35) значение λ = λ , получим формулу для расчёта критических усилий в изотропных трёхслойных оболочках с жёстким
на сдвиги заполнителем:
T10
T10
(2K > T10
≈ T10 1 −
T1 = ).
(3.36)
4K
T10
1+
2K
Как следует из формулы (3.36), она пригодна, если выполняется
условие
1 K > T10
.
(3.37)
2
Формулу (3.36) можно получить также непосредственной минимизацией зависимости (3.35) по параметру λ. Сравнение критических
усилий, полученных по формулам (3.31), (3.36), с результатами минимизации по параметру λ общего выражения (3.26) показало их практическое совпадение: погрешность не превосходит одного процента.
Из формул (3.31), (3.36) следует, что критические усилия при
сжатии трёхслойных цилиндрических оболочек определяются тремя
величинами:
T10
— критическое усилие, соответствующее оболочке с раздельно
работающими несущими слоями (жесткостная характеристика несущих слоёв);
T10
— критическое усилие при осевом сжатии трёхслойной оболочки с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем
(жесткостная характеристика всего трёхслойного пакета);
K — критическое усилие трёхслойной оболочки при так называемой
сдвиговой форме потери устойчивости (жёсткость трёхслойного пакета
на поперечные сдвиги).
T1 =
60
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
Эти три величины естественно назвать обобщёнными жесткостями
трёхслойных цилиндрических оболочек при осевом сжатии. Обобщённые жёсткости определяют основные закономерности потери устойчивости. Так, из соотношений (3.31), (3.36) следует, что для трёхслойных оболочек характерны две области влияния поперечных сдвигов.
(слабый на сдвиги заполнитель) критическое
В области 2K < T10
усилие практически прямо пропорционально сдвиговой жёсткости K
заполнителя (T1 ≈ K) и слабо зависит от жёсткости несущих слоёв.
В этой области критическое усилие рационально увеличивать за счёт
повышения жёсткости K оболочки на поперечные сдвиги. В области
) в соответствии
достаточно жёстких на сдвиги заполнителей (2K > T10
с соотношениями (3.36) критическое усилие определяется величиной
H
2
H
T10
=
BD ≈ B ≈ Eh ,
R
R
R
а сдвиги играют поправочную роль. Так, увеличение жёсткости заполнителя на сдвиги в несколько раз приводит к увеличению критического
усилия лишь на несколько процентов. Отсюда следует, что в области
повышения критического усилия рационально добиваться
2K > T10
за счёт повышения жёсткости B на растяжение-сжатие или увеличения
расстояния H между нейтральными поверхностями несущих слоёв.
Соотношение между обобщёнными жесткостями позволяет определить критерий рациональности трёхслойной конструкции. Применение трёхслойной конструкции оправдано, если её критическое усилие
, соответствующее
значительно превосходит критическое усилие T10
раздельно работающим несущим слоям. Учитывая это, из соотношения (3.31) получим критерий эффективности проекта трёхслойной
оболочки:
K T10
.
(3.38)
Отсюда видно, что в трёхслойных оболочках, как и в стержнях, соединение мощных несущих слоёв со слабым заполнителем неэффективно.
Обобщённые жёсткости и соотношение между ними определяют
области применения различных расчётных моделей. Известно, что
если пренебречь собственной изгибной жёсткостью несущих слоёв
= 0), то придём от модели ломаной линии к модели прямолинейно(T10
го элемента. Из соотношения (3.31) следует, что переход к модели пря
.
молинейного элемента оправдан, если выполняется условие K T10
Поскольку это условие, как только что было показано, является одновременно и условием (3.38) эффективности трёхслойных оболочек,
то для трёхслойных конструкций во многих случаях при расчётах
на устойчивость можно использовать модель прямолинейного элемента.
При этом погрешность Δ применения такой модели составляет
Δ <
T10
1 Bh
1 Eh h
≈ √
≈ √
.
K
2 3 KR
2 3 GH R
(3.39)
3.3. Трёхслойные цилиндрические оболочки с лёгким заполнителем
61
Таким образом, возможность применения модели прямой линии
связана не с малостью собственной изгибной жёсткости несущих слоёв
по сравнению с изгибной жёсткостью трёхслойного пакета (D1 D1 ),
как иногда считают, а существенно зависит от жёсткости K трёхслойного пакета на поперечные сдвиги.
Зависимость (3.36) позволяет получить критерий применимости
классической модели оболочек с неизменной нормалью к трёхслойным
оболочкам. В самом деле, из формулы (3.36) следует, что классическую
модель можно использовать для расчёта на устойчивость при осевом
сжатии, если влияние поперечных сдвигов пренебрежимо мало, т. е.
T10
1.
(3.40)
4K
При этом погрешность применения классической модели составляет
Δ
=
T10
BH
Eh
≈
≈
.
4K
4KR
4G R
(3.41)
Из зависимостей (3.41) следует, что критерий применимости классической модели практически не зависит от толщины заполнителя.
От соотношений между обобщёнными жесткостями зависит также степень влияния граничных условий на критическое усилие. Так,
), как
в области слабых на поперечные сдвиги заполнителей (2K T10
отмечалось выше, критическое усилие определяется, в основном, сдвиговой жёсткостью заполнителя (T1 ≈ K) и слабо зависит от собствен
несущих слоёв, см. (3.31). Поскольку сдвиговая
ной жёсткости T10
жёсткость K трёхслойного пакета не зависит от граничных условий,
то и критическое усилие в области слабых на сдвиги заполнителей
практически не зависит от граничных условий. В области достаточно
) критическое
жёстких на поперечные сдвиги заполнителей (2K > T10
усилие согласно формуле (3.36) определяется значением, рассчитанным
по классической теории, поэтому влияние граничных условий в этой
области практически такое же, как и для классических оболочек [1, 8,
14, 24].
Обратим внимание, что, в отличие от тонкостенных изотропных
оболочек, где форма волнообразования (3.10) при потере устойчивости от осевого сжатия однозначно не определена, в цилиндрических
изотропных трёхслойных оболочках со слабым на сдвиг заполнителем
параметры волнообразования (λ = λ , n = 0) определены однозначно, см. (3.31), (3.34). В связи с этим можно предположить, что в таких
оболочках экспериментальные и теоретические значения критических
сжимающих осевых усилий не должны сильно различаться. Имеющиеся экспериментальные данные [80] не противоречат этому утверждению. В том случае, когда сдвиговая жёсткость заполнителя велика
), приходим к классической модели оболочек с неизменной
(4K T10
нормалью, и форма волнообразования снова становится неоднозначной.
62
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
Поправочный экспериментальный коэффициент в этом случае можно
оценить с помощью [8].
3.3.2. Внешнее давление. Для определения критических параметров (кольцевого усилия T2 = pR, характеристик волнообразования
λ , n ) при потере устойчивости от действия внешнего давления p
воспользуемся соотношениями (3.25) для полубезмоментных непологих
оболочек [19, 61]. Это можно сделать, поскольку при потере устойчивости от внешнего давления в цилиндрической оболочке образуется одна
полуволна в осевом направлении (λ = λ1 ). Полагая в соотношении
(3.25) T1 = S = 0, найдём:
T2 = D +
2
Dp∗
n −1
Bλ41
=
+
R2
n4 (n2 − 1)
1 + ωp n2 − 1
D n2 − 1
ωp n2 − 1
Bλ41
+K
;
=
+ 4 2
R2
n n −1
1 + ωp n2 − 1
λ = λ1 = πR/;
Dp∗ =
D∗
;
1 + ωλ21
ωp =
ω
.
1 + ωλ21
(3.42)
Критическое значение кольцевого усилия T2 получается отсюда
минимизацией по параметру волнообразования n. Если количество
волн в кольцевом направлении достаточно велико (n2 1; n2 λ21 ),
то можно получить следующее соотношение для расчёта критического
значения величины n:
n8 = 3λ41
BR2
.
D∗
D +
2
1 + ω n2
(3.43)
Отсюда найдём границы изменяемости величины n :
n < n < n ;
n8 = 3λ41
BR2
;
D
n8 = 3λ41
BR2
.
D
(3.44)
В том случае, когда заполнитель слабо сопротивляется
поперечным
сдвигам, т. е. выполняется условие ω n2 − 1 1, из второго равенства
(3.42) можно получить:
D n2 − 1
B 1 λ4
T2 =
+ 4 2 1 + K.
(3.45)
2
R
n n −1
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае форма потери
устойчивости (n ) не зависит от сдвиговой жёсткости заполнителя,
3.3. Трёхслойные цилиндрические оболочки с лёгким заполнителем
63
а определяется только свойствами несущих слоёв. Проводя минимизацию выражения (3.45) по параметру n, можно найти:
T2 = T2 + K.
(3.46)
Здесь величина T2 определяется критическим усилием в оболочке
с раздельно работающими несущими слоями. Если число волн достаточно велико (n2 1, n2 λ21 ), то минимизацию можно провести
аналитически, считая величину n непрерывной. В результате:
2
1,75 π 4
8
8
4 BR
)3 ;
T2 =
B(D
n
=
n
=
3
λ
.
(3.47)
1
D
R1/2
Если заполнитель достаточно
жёсткий на поперечные сдвиги, т. е.
выполняется условие ω n2 − 1 ∼ 1, то соотношение (3.42) можно
привести к виду:
T2 =
n2 − 1
Bλ41
D
+
;
1 + ω (n2 − 1) R2
n4 (n2 − 1)
Dp =
D
.
1 + ωλ21
(3.48)
Полагая, что число волн достаточно велико (n2 1; n2 λ21 ), и проводя минимизацию выражения (3.48) по непрерывному параметру n,
найдём:
√
t2 + 1 + 1 2
8K
2
np ; t =
T2 = Tp fp (t) ; n =
;
t
3Tp
t
0,5
fp (t) = √
1− √
;
t2 + 1 + 1
t2 + 1 + 1
1,75π 4
BD3 ;
1
/
2
R
2
2
3
BR
4 3BR
.
n2p = λ1 4
≈ n2 = λ1
D
D
Tp =
1,75π
R1/2
4
BDp3 ≈ T2 =
(3.49)
В этих соотношениях параметр t зависит от сдвиговой жёсткости
заполнителя, а функция fp (t) определяет влияние поперечных сдвигов
в заполнителе на критическое усилие.
Соотношение (3.49) можно упростить. Так, для малых значений
параметра t (слабый на сдвиги заполнитель) функция f (t) аппроксимируется выражением
3 t 1 − 0,14 t2 .
8
Подставляя это выражение в зависимости (3.49), получим с учётом соотношения (3.46) формулу для расчёта критического усилия
fp (t) =
64
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
при действии внешнего давления
на трёхслойную оболочку со слабым
1
на сдвиги заполнителем K Tp :
2
2 K
T2 = T2 + K 1 −
(3.50)
.
Tp
В случае больших значений t (достаточно жёсткий на сдвиги заполнитель) функцию fp (t) можно представить в виде
3
8
+
fp (t) = 1 −
.
2t 9t2
Подставляя это соотношение в зависимости (3.49), получим формулу
для расчёта критических усилий в оболочках с достаточно жёстким
1
на сдвиги заполнителем K > Tp :
2
2 T
9
T
1
3 Tp
p
p
+
n2p . (3.51)
T2 = Tp 1 −
; n2 = 1 +
16 K
8 K
8 K
При расчётах по формулам (3.50), (3.51) необходимо следить, чтобы
величина n была достаточно велика (n2 1; n2 λ21 ). Если эти
условия не выполняются, то указанные формулы дают лишь оценки
критических усилий. Для точного определения критических усилий
необходимо проводить минимизацию выражений (3.42) или (3.45),
(3.48) соответственно по дискретному параметру n.
Как следует из расчётных формул (3.50), (3.51), критические усилия T2 в трёхслойных оболочках при действии внешнего давления
определяются тремя параметрами:
T2 — критическое усилие, соответствующее раздельно сопротивляющимся несущим слоям;
T2 — критическое усилие в трёхслойной оболочке с абсолютно
жестким на сдвиг заполнителем;
K — жёсткость трёхслойной оболочки на поперечные сдвиги.
По аналогии со случаем осевого сжатия назовём эти три величины
обобщёнными жесткостями трёхслойной оболочки при действии внешнего давления.
Соотношения между обобщёнными жесткостями определяют характерные закономерности при потере устойчивости трёхслойных оболочек от действия внешнего давления. В частности, по аналогии со случаем осевого сжатия можно построить критерий эффективности трёхслойной конструкции:
K T2 .
С помощью обобщённых жесткостей можно установить границы
применимости различных расчётных моделей. Так, если K T2 ,
то с погрешностью
3.3. Трёхслойные цилиндрические оболочки с лёгким заполнителем
65
T2
(3.52)
K
можно применять модель прямолинейного элемента (типа сдвиговой
модели С. П. Тимошенко). В том случае, когда жёсткость заполнителя
на поперечные сдвиги достаточно велика (K T2 ), с погрешностью
Δ 9T2
(3.53)
16K
можно применять классическую модель оболочек с неизменной нормалью.
Точно так же, как и в случае осевого сжатия, можно оценить
степень влияния граничных условий. Так, в области слабых на сдвиги
заполнителей (2K T2 ) влияние граничных условий мало́, а в области достаточно жёстких на сдвиги заполнителей (2K > T2 ) влияние
граничных условий такое же, как и для классических оболочек с неизменной нормалью [1, 24].
Однозначность формы волнообразования при потере устойчивости
трёхслойных цилиндрических оболочек от действия внешнего давления, а также опыт расчётов однослойных оболочек позволяют полагать,
что теоретические и экспериментальные значения критических давлений хорошо согласуются. Отдельные экспериментальные результаты
подтверждают это.
Достаточно длинные оболочки при действии внешнего давления
ведут себя как кольца и теряют устойчивость с образованием двух
волн. В этом случае с помощью зависимости (3.42) при n = 2 получим
D∗
3
T2 = 2 D +
; n = 2.
(3.54)
R
1 + 3ω
Δ
=
3.3.3. Особенности расчёта на устойчивость при кручении.
Как показал анализ [66], трёхслойные цилиндрические оболочки при
потере устойчивости от кручения ведут себя не всегда так, как классические. Специфическая особенность трёхслойных оболочек с лёгким
заполнителем состоит в том, что при потере устойчивости от кручения
может образоваться не одна продольная полуволна, как в классических
тонкостенных оболочках, а несколько, т. е. нельзя заранее полагать
πR
λ = λ1 =
. При этом величины критических параметров волнооб
разования λ и n велики или одного порядка, т. е. нельзя полагать
n2 λ2 , как это часто принимается в теории классических оболочек.
Сказанное распространяется, в основном, на трёхслойные оболочки,
слабо сопротивляющиеся поперечным сдвигам. Оболочки с достаточно
жёстким на поперечные сдвиги заполнителем ведут себя во многом
аналогично соответствующим классическим оболочкам с неизменной
нормалью.
3 С. Н. Сухинин
66
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
Для исследования устойчивости при кручении трёхслойных цилиндрических оболочек воспользуемся как соотношениями (3.4) теории
трёхслойных пологих оболочек, так и полубезмоментными соотношениями (3.5), позволяющими учесть непологость. Полагая в указанных
соотношениях T1 = T2 = 0, получим:
2
_
2
D∗
λ 1 + ψ2
B
2ψS = D –
+
+ 2 ;
R2
1 + ωλ2 1 + ψ 2
λ2 1 + ψ 2
2S = D +
ψ=
n
;
λ
Dp∗ =
D∗
n(n2 − 1)
Bλ3
+ 3 2
;
2
2
1 + ω (n − 1)
λR
n (n − 1)
D∗
;
1 + ωλ2
ω
;
1 + ωλ2
ωp =
S=
M
;
2πR2
(3.55)
M — крутящий момент, действующий на оболочку.
Рассмотрим сначала трёхслойные оболочки со слабым на поперечные сдвиги заполнителем, когда выполняется условие
2
ωλ2 1 + ψ
(3.56)
= ω λ2 + n2 1.
2 2
Пренебрегая единицей по сравнению с величиной ω 2 λ4 1 + ψ
,
можно из первого соотношения (3.55) получить:
2
∗
D 1 + ψ 2
B
2
2
2ψS =
λ + 2 + K 1 + ψ ;
R2
2
2
λ 1+ψ
∗
B = B 1 − b2∗ (1 + ψ 2 )2 ;
2K
∗ ;
T10
b∗ =
∗
T10
=
2
BD∗ .
R
(3.57)
Минимизируя это соотношение по параметру λ, найдём:
2S =
T (ψ) + K
+ Kψ ;
ψ
T (ψ) = T10
∗
λ4 =
2
1 − b2∗ (1 + ψ 2 ) ;
B R2
;
2 2
D 1 + ψ
T10
=
2 BD .
R
(3.58)
Из соотношений (3.57), (3.58) видно, что они пригодны, если выполняется условие
2
< 1.
b∗ 1 + ψ
Критические значения параметров волнообразования и сдвигающего усилия определяются из соотношений (3.58) после минимизации его по аргументу ψ . Численный анализ показывает,
3.3. Трёхслойные цилиндрические оболочки с лёгким заполнителем
67
что функция T (ψ) в области минимума слабо зависит от аргумента ψ ,
поэтому при определении величины критического параметра ψ будем
считать T (ψ) = const. Проведя с таким условием минимизацию выражения (3.58), можно получить:
T10
S =K 1+
1 − 4b2∗ ;
K
2
ψ
=1+
T10
K
1 − 4b2∗ ;
∗
λ4 =
B R2
.
2 2
D 1 + ψ
Формулами (3.59) рекомендуется пользоваться, если
K
1
1
2
√
4b∗ ;
∗ 2
T10
4 2
если же зависимости (3.60) не выполняются, т. е.
1
K
1
1
2
√ < ∗ < 4b∗ 1
,
2
T10
4
4 2
(3.59)
(3.60)
(3.61)
то расчёт критических усилий проводится по формуле
S = K ,
(3.62)
совпадающей с известным результатом [68]. Этот результат следует
из зависимости (3.59), если положить T10
= 0, и соответствует так
называемой сдвиговой форме потери устойчивости.
Можно показать, что для слабых на поперечные сдвиги заполнителей, когда выполняется условие (3.56), критические усилия заключены
в пределах:
T K S K 1 + 10 .
K
Заметим, что в соответствии с зависимостями (3.59) параметры волнообразования λ и n близки друг к другу (ψ ≈ 1) и, кроме того,
велики (n 1, λ 1). Отсюда можно сделать вывод о слабом влиянии граничных условий на значения критических сдвигающих усилий.
Поэтому в рассматриваемом случае достаточно слабых на поперечные
сдвиги заполнителей, когда выполняется условие (3.56); применение
первой из зависимостей (3.55) оправдано, хотя эта зависимость и не
полностью соответствует условиям шарнирного опирания.
Полученные выше соотношения характерны при потере устойчивости от кручения достаточно коротких трёхслойных оболочек со слабым
на поперечные сдвиги заполнителем.
Если жёсткость K заполнителя на поперечные сдвиги достаточно
велика, так что соотношения (3.56), (3.60), (3.61) не выполняются,
то форма волнообразования существенно изменяется и становится
3*
68
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
аналогичной форме при потере устойчивости классических оболочек
с неизменной нормалью: образуются одна полуволна в осевом направлении (λ = λ1 = πR/) и несколько спиральных волн [66]. В этом
случае поперечные сдвиги можно учитывать по модели прямолинейного элемента, а характер волнообразования позволяет применить полубезмоментную теорию трёхслойных оболочек.
В результате для расчётов критических параметров воспользуемся
вторым соотношением (3.55) при λ = λ1 :
2S =
Dp
Bλ3
n(n2 − 1)
+ 3 21 ;
2
2
1 + ωp (n − 1) λ1 R
n (n − 1)
λ = λ1 = πR/;
Dp =
D
;
1 + ωλ21
ωp =
ω
.
1 + ωλ21
(3.63)
Соотношение (3.63) пригодно, если выполняется условие
1 ∗
T .
(3.64)
4 10
Критическое значение сдвигающего усилия S определяется отсюда
минимизацией по параметру волнообразования n — числу спиральных
волн в окружном направлении.
Если число волн достаточно велико n2 1 , то выражение (3.63)
приводится к виду, соответствующему пологим оболочкам:
K>
2S =
Bλ31
Dp
n3
·
+
.
1 + ωp n2 λ1 R2
n5
(3.65)
Выражение (3.65) можно проминимизировать по параметру n, считая его непрерывным. В результате, используя решение [24], получим
следующие формулы для расчёта критических параметров:
√
s2 + 1 + 1 2
K
ns ; s = 3,7 ;
S = Sp fs (s) ; n2 =
s
Tp
s
0,75
√
√
fs (s) =
1−
;
s2 + 1 + 1
s2 + 1 + 1
3,3
3,3
≈ S =
;
3
8
8
3
1/2 R3/4 B Dp5
1/2 R3/4 B D5
2
2
BR
4 BR
n2s = 2,7λ1 4
≈ n2 = 2,7λ1
;
Dp
D
Sp =
Tp =
1,75π
1,75π
≈ T2 =
.
√
4
1
/
3
R 2 BD3
BDp
R1/2 4
(3.66)
3.3. Трёхслойные цилиндрические оболочки с лёгким заполнителем
69
В полученных соотношениях функция fs (s) характеризует влияние
поперечных сдвигов. При абсолютно жёстком на сдвиги заполнителе,
когда s → ∞, fs (s) → 1, получаем классические формулы (3.19).
В случае достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей,
когда выполняется условие (3.64), величина s довольно велика, поэтому можно положить
√
5
s2 + 1 + 1
1
=1+ .
fs (s) = 1 − ;
(3.67)
4s
s
s
Тогда для расчёта критических параметров можно получить:
T
T
πR
2
2
.
S = Sp 1 − 0,34
; n = ns 1 + 0,27
; λ =
K
K
(3.68)
Анализ показал, что при выборе расчётных формул можно пользоваться следующими оценками:
– если выполняется условие
1 S ,
3
то необходимо вести расчёт по формулам (3.59) или (3.62);
– если выполняется условие
K<
1 S ,
3
то целесообразно применять формулы (3.66) или (3.68).
Полученные выше зависимости (3.66), (3.68) относятся к оболочкам с шарнирно опёртыми краями. Если края жёстко закреплены, то
в соответствии с [24] в формуле (3.66) для Sp , S коэффициент 3,3
следует заменить на 3,96.
По аналогии со случаями осевого сжатия и наружного давления,
при кручении также можно выделить жесткостные характеристики
(обобщённые жёсткости), которые определяют критические усилия
и параметры волнообразования: это величины S , T2 , T10
, T10
, K.
В том случае, когда оболочки достаточно длинные, а критический
параметр n волнообразования снижается до двух, можно получить
расчётную зависимость, обобщающую на трёхслойные оболочки известную для изотропных однослойных оболочек формулу Шверина.
Полагая во втором выражении (3.55) n = 2, найдём:
D∗
3
Bλ3
D
+
S=
+
.
(3.69)
2
λR
1 + 3ω
48
K>
Проведя минимизацию по параметру λ, получим:
3
D∗
D∗
1,52
48
4
D
S = 3/2 B D +
; λ4 =
+
;
1 + 3ω
1 + 3ω
R
BR2
70
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
n = 2;
D∗ =
D∗
;
1 + ωλ2
ωp =
ω
.
1 + ωλ2
(3.70)
При абсолютно жёстком на поперечные сдвиги заполнителе ( ω = 0)
отсюда следуют формулы (3.21). Заметим, что в рассматриваемом случае, как следует из зависимости (3.70), ωλ2 1, поэтому в соотношениях (3.70) можно полагать Dp∗ = D∗ , ω = ω .
При расчёте конструкций необходимо считаться с тем, что теоретические значения критических усилий вследствие влияния начальных
неправильностей могут отличаться от их экспериментальных значений.
Как отмечалось выше, особенно большие различия наблюдаются в тех
случаях, когда имеет место неоднозначность формы потери устойчивости. К счастью, при кручении форма волнообразования при потере
устойчивости всегда однозначно определена. Это позволяет предположить, что при кручении трёхслойных оболочек не будет больших
различий между теоретическими и экспериментальными значениями
критических усилий. Кроме того, в области слабых на поперечные
сдвиги заполнителей, когда расчёт проводится по формулам (3.59), критическое усилие определяется величиной сдвиговой жёсткости K трёхслойного пакета, а эта величина не подвержена влиянию начальных
неправильностей. В области достаточно жёстких на поперечные сдвиги
заполнителей, когда расчёт ведётся по формулам (3.68), критическое
усилие определяет величина S , полученная на основе классической
модели оболочек с неизменной нормалью. В этом случае при выборе
поправочного коэффициента для тонких оболочек можно ориентироваться на рекомендации [8] для классических оболочек.
3.4. Трёхслойные с жёстким заполнителем
и многослойные изотропные оболочки
Заполнитель в трёхслойных конструкциях принято называть жёстким, если его жёсткости на растяжение-сжатие, сдвиги, изгибы и кручения сравнимы с соответствующими жесткостями несущих слоёв. Из
полученных выше расчётных зависимостей следует, что если сдвиговая
жёсткость заполнителя велика, т. е. выполняется условие
H
1 ∗
BD∗
≈
B,
K > T10 =
(3.71)
2
R
2R
то для расчёта критических усилий можно пользоваться сдвиговой
моделью оболочек с прямолинейным элементом. Из соотношения (3.71)
следует, что если жёсткости заполнителя и трёхслойного пакета одного
порядка (K ∼ B), то это соотношение всегда выполняется, поскольку величина H/2R 1. Таким образом, к трёхслойным оболочкам
с жёстким заполнителем применима модель прямолинейного элемента
или даже классическая модель оболочек с неизменной нормалью.
3.4. Трёхслойные и многослойные изотропные оболочки
71
Коль скоро жёсткости заполнителя и несущих слоёв сопоставимы
по порядку, то все три слоя становятся равноправными, и трёхслойную
оболочку можно рассматривать как частный случай многослойной.
Таким образом, результаты, полученные выше, обобщаются на трёхслойные оболочки с жёстким заполнителем и многослойные оболочки.
Учитывая сказанное, можно рекомендовать следующие соотношения для расчёта критических параметров в шарнирно опёртых
трёхслойных с жёстким заполнителем и многослойных изотропных
оболочках.
Осевое сжатие:
2 λ2 + n 2
T10
λ2
T1 = T10 1 −
;
=
;
T
4K
λ2
1 − 10
2K
2
BR2
T10
=
BD ; λ2 =
; B = B(1 − ν 2 ).
(3.72)
R
D
Внешнее давление:
9 T2
T2 = T2 1 −
;
16 K
T2
1,75π 4
=
BD3 ;
R1/2
3 T2
n2 ;
n2 = 1 +
8 K
n2 = 1,32λ1
4
BR2
;
D
λ = λ1 = πR/. (3.73)
Длинные оболочки (кольца):
T2 =
R2
3D
;
(1 + 3ω)
n = 2;
ω=
D
.
KR2
(3.74)
Кручение:
S
T2
=S
1 − 0,34
;
K
S
3,3
= 1/2 3/4
R
n2
T
= 1 + 0,27 2
K
8
3
B D5 ;
n2 ;
λ = λ1 = πR/;
n2
= 2,71λ1
4
BR2
.
D
(3.75)
n = 2.
(3.76)
Длинные оболочки:
S
1,52
= 3/2
R
4
BD3
(1 + 3ω)
3
;
λ4 =
48D
;
BR2 (1 + 3ω)
72
Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек
Входящие в формулы величины B , D, K , ν представляют собой соответственно жёсткости многослойных оболочек на растяжениесжатие, минимальную изгибную жёсткость, жёсткость многослойного
пакета на поперечные сдвиги и приведённый коэффициент Пуассона.
Соотношения для расчёта этих величин приводятся в Приложении А.
Обычно в многослойных оболочках поправочные члены от учёта
поперечных сдвигов малы. Например, такая поправка при расчёте критических осевых усилий составляет
√
T10
E
BD
h
Eh
=
≈ √
= 0,17
.
Δ
=
(3.77)
4K
2KR
R
G
4 3 G13
13 R
Здесь h, R — соответственно толщина и радиус многослойной оболочки, E — характерный модуль упругости слоёв, G13 — характерный
модуль поперечного сдвига. Даже если отношение E/G13 достигает
двадцати, поправка от учёта сдвигов имеет порядок 3h/R, т. е. мала
по сравнению с единицей.
Сказанное позволяет полагать, что изотропные трёхслойные с жёстким заполнителем и многослойные оболочки следуют тем же закономерностям, что и классические оболочки с неизменной нормалью.
Это касается и влияния граничных условий, и влияния начальных
несовершенств.
Глава 4
МЕТОДЫ РАСЧЁТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ
МНОГОСЛОЙНЫХ КОМПОЗИТНЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
4.1. Устойчивость тонкостенных композитных
оболочек (классическая модель)
Рассмотрим устойчивость цилиндрических композитных оболочечных конструкций с позиций классических гипотез неизменной нормали. Эти гипотезы вносят погрешность, не превышающую величины
[62, 72]
h
B2 D1 (1 − ν1 ν2 )
E1 E2 h
≈ 0,17
∼
1.
Δ=
(4.1)
2 K13 R
G13 R
R
Здесь B2 , D1 — жёсткости на растяжение и изгиб, K13 — жёсткость
многослойного пакета на поперечные сдвиги в осевом направлении, E1 ,
E2 , G13 — модули упругости материала оболочки и модуль поперечного сдвига; h, R — толщина и радиус оболочки соответственно. Как
следует из формулы (4.1), классические гипотезы тонкостенных оболочек можно использовать для расчёта широкого класса композитных
оболочечных конструкций.
Уравнение устойчивости многослойных ортотропных пологих цилиндрических оболочек в этом случае можно получить из соотношений
(1.20):
B (1 − ν1 ν2 ) ∂ 4 w
∇42 q w = D1 ∇41 ∇42 w + 2
;
R2
∂x4
∇41 =
∂4
∂4
∂4
+ α1 2 2 + β1 4 ;
4
∂x
∂x ∂y
∂y
q = T1
∇42 =
∂2
∂2
∂2
+ T2 2 ;
+ 2S
2
∂x
∂x∂y
∂y
α1 =
4D12
+ 2ν2 ;
D1
α2 =
∂4
∂4
∂4
+ α2 2 2 + β2 4 ;
4
∂x
∂x ∂y
∂y
β1 =
D2
;
D1
β2 =
B2 (1 − ν1 ν2 )
− 2ν2 .
B12
B2
;
B1
(4.2)
74
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Для полубезмоментных непологих оболочек разрешающее дифференциальное уравнение получается с помощью зависимостей (1.29):
2
2
∂
B1 (1 − ν1 ν2 ) ∂ 4 w
∂4
∂4
1
q
w
=
D
+
w+
;
2
4
4
2
2
∂y
∂y
∂y
R
R2
∂x4
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂2
1
1
q =
T1 2 + T2
+
. (4.3)
+
2
S
+
∂y
∂y
∂x
∂y 2
R2
∂x ∂y 2 R2
В соотношениях (4.2), (4.3) B1 , B2 , B12 — жёсткости оболочки
на растяжение-сжатие и на сдвиги в тангенциальной плоскости; D1 ,
D2 , D12 — минимальные [30, 31] изгибные и крутильная жёсткости
соответственно; ν1 , ν2 — коэффициенты Пуассона; T1 , T2 , S — безмоментные докритические усилия. Жёсткости многослойной оболочки
вычисляются в соответствии с Приложением А.
Представляя решение в виде (1.3), из уравнений (4.2), (4.3) можно
получить соотношения для расчёта критических параметров при потере
устойчивости тонкостенных многослойных оболочек:
D1 λ2 T1 + 2λnS + n2 T2 = 2 λ4 + α1 λ2 n2 + β1 n4 +
R
+
B2 (1 − ν1 ν2 )λ4
; (4.4)
λ4 + α2 λ2 n2 + β2 n4
mπR
; — длина оболочки.
λ
T1 λ2 + 2S n2 − 1 + T2 n2 − 1 =
n
λ=
D2 (n2 − 1)2 B1 1 − ν1 ν2 λ4
+
. (4.5)
=
R2
n4
Соотношение (4.4) удобно записать в виде:
T1 + 2ψS + ψ 2 T2 = D1
F1 (ψ) = 1 + α1 ψ 2 + β1 ψ 4 ;
λ2 F1 (ψ) B2 (1 − ν1 ν2 )
+
;
R2
λ2 F2 (ψ)
F2 (ψ) = 1 + α2 ψ 2 + β2 ψ 4 ;
ψ = n/λ.
(4.6)
В соотношениях (4.4)–(4.6) величины m и n представляют собой
параметры волнообразования при потере устойчивости: m — число
полуволн в осевом направлении; n — число волн в кольцевом направлении.
Заметим, что соотношения (4.4)–(4.6) а также полученные ниже
формулы можно использовать для расчёта подкреплённых, вафельных
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
75
и сетчатых композитных оболочек, если подставлять соответствующие
жёсткости.
4.1.1. Осевое сжатие. В случае осевого сжатия из уравнения
(4.6) можно получить следующую зависимость для определения критических параметров:
T1 = λ2 F1 (ψ)
D1
B2 (1 − ν1 ν2 )
.
+
R2
λ2 F2 (ψ)
(4.7)
Проведя минимизацию по аргументу λ, можно найти:
2
T1 = k(ψ)T10 ; T10 =
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ;
R
k2 (ψ) =
F1 (ψ)
;
F2 (ψ)
λ4 =
λ40
;
F1 (ψ)F2 (ψ)
λ40 =
B2 (1 − ν1 ν2 ) R2
.
D1
(4.8)
Здесь T10 — критическое усилие при осесимметричной форме
(ψ = 0) потери устойчивости; λ0 — соответствующий параметр продольного волнообразования.
Чтобы найти критические значения усилий T1 и параметров волнообразования λ и ψ , выражение (4.8) необходимо проминимизировать по аргументу ψ . Искомые критические значения существенно
зависят от соотношения между показателями анизотропии α1 и α2 .
Наиболее типичной для существующих композитных оболочек является зависимость α1 < α2 (жёсткость B12 оболочки на сдвиги мала
по сравнению с жесткостями на растяжение-сжатие). В этом случае
минимизация зависимости (4.8) по аргументу ψ приводит к следующим
значениям критических величин:
T1 = k T10 ;
2
ψ
2
k
=
F1 (ψ )
;
F2 (ψ )
2
k
< 1;
(β1 − β2 )2 + (α2 − α1 )(β1 α2 − β2 α1 ) − (β1 − β2 )
=
;
β1 α2 − β2 α1
λ4 =
λ40
;
F1 (ψ )F2 (ψ )
n = ψ λ .
(4.9)
Обычно в ортотропных оболочках можно полагать
β1 ≈ β 2 = β =
B2
;
B1
B
D
12 ≈ 12 .
D1 D2
B1 B2
(4.10)
В этом случае зависимости для расчёта критических параметров принимают вид (α1 < α2 ):
76
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
T1
=
√ √
2
2 2 4 B2
k
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) =
B12 D1 (1 + ν1 ν2 ) ;
R
R
B1
4
ψ
=
1
;
β
2
k
λ4 =
λ4
0
;
(2 + α1 / β )(2 + α2 / β )
λ
n = ;
4
β
2 + α1 / β
2B12
=
< 1.
=
√
2 + α2 / β
B1 B2 (1 − ν1 ν2 )
(4.11)
Заметим, что при анализе устойчивости многослойных оболочек
с различными слоями некорректно вычислять критическое напряжение
сжатия как отношение критической силы к площади поперечного сечения оболочки. В этом случае общими для всех слоёв будут осевое усилие и деформация осевого сжатия, а сжимающие напряжения в каждом
слое — свои, зависящие от модуля упругости слоя.
Если оболочка квазиоднородна по толщине, то из зависимостей
(4.11) получаются соотношения для расчёта критических напряжений
σ и соответствующих параметров λ , n волнообразования:
E
E
2G12 E1 E2 h
h
1 2
=
√
σ1 = k ;
3(1 − ν1 ν2 ) R
3(1 − ν1 ν2 ) R
4
ψ
=
E1
;
E2
λ4 =
λ4
0
;
(2 + α1 / β )(2 + α2 / β )
λ40 = 12(1 − ν1 ν2 )
α1 =
E2 R 2
;
E1 h2
2
k
=
4G12 (1 − ν1 ν2 )
+ 2ν2 ;
E1
n4 =
E1 4
λ ;
E2 √
2G12 (1 + ν1 ν2 )
< 1;
E1 E2
α2 =
E2
− 2ν2 .
G12
(4.12)
Из полученных формул как частный случай следуют результаты [21].
Если структура композита такова, что выполняется условие α1 >
> α2 (жёсткость B12 на сдвиги достаточно велика), то в зависимости
от соотношения между величинами β1 и β2 имеют место два исхода:
— при β1 β2 можно показать, что оболочки теряют устойчивость
по однозначно определённой осесимметричной форме, и критические
параметры определяются соотношениями:
2
T1 = T10 =
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ; λ = λ0 ; n = 0;
(4.13)
R
— при β1 < β2 критические параметры определяются зависимостями:
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
T1 =
β1
2
T10 =
B1 D2 (1 − ν1 ν2 ) ;
β2
R
ψ → ∞;
77
λ → 0. (4.14)
Второй случай (β1 < β2 ), видимо, всё-таки невозможен даже формально, так как критический параметр λ при этом устремляется
к нулю, а величина λ = 0 не является собственным числом рассматриваемой задачи, поскольку она даёт тривиальное решение уравнения
(4.2) для прогиба (w ≡ 0).
В случае, когда α1 > α2 , однородные по толщине ортотропные оболочки теряют устойчивость по осесимметричной форме, а критические
параметры определяются следующим образом:
E1 E2
h
σ1 = ; λ = λ0 ; n = 0;
R
3 (1 − ν1 ν2 )
E1 E2
√
.
G12 >
(4.15)
2(1 + ν1 ν2 )
В частном случае, когда α1 = α2 , можно показать, что при β1 > β2
оболочка теряет устойчивость по осесимметричной форме, и критические параметры определяются зависимостями (4.13). Если же β1 < β2 ,
то критические параметры определяются зависимостями (4.14).
В том случае, когда при условии α1 = α2 имеет место также равенство β1 = β2 = β , можно получить:
α1 = α2 = 2 β ;
F1 (ψ) = F2 (ψ) = (1 + β ψ 2 )2 ; k(ψ) ≡ 1.
Тогда критические усилия и напряжения с помощью зависимости
(4.7) определяются, как и при осесимметричном волнообразовании,
формулами (4.13) и (4.15). Но в этом случае форма волнообразования
не определена однозначно: возможны любые из бесконечного множества значений параметров λ и n , удовлетворяющих соотношению
λ2 + β n2
= λ0 .
(4.16)
λ
Геометрическим
местом этого множества на плоскости переменных
4
(λ , n = β n ) служит верхняя полуокружность радиуса λ0 /2,
центр которой смещён из начала координат по оси λ вправо на длину
радиуса (рис. 4.1).
Конструкции, для которых выполняются условия α1 = α2 , β1 = β2 =
= β , можно назвать квазиизотропными. Если оболочки ещё и однородны по толщине, то из условия α1 = α2 следует соотношение
E1 E2
√
.
G12 =
2(1 + ν1 ν2 )
78
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
4
β n
λ 0 /2
0
λ 0 /2
λ0
λ
Рис. 4.1. Геометрическое место критических параметров волнообразования при
осевом сжатии изотропных (β = 1) и «квазиизотропных» (α1 = α2 , β = 1)
цилиндрических оболочек
Проведённый анализ устойчивости при осевом сжатии позволяет
сформулировать некоторые особенности потери устойчивости ортотропных оболочек по сравнению с изотропными:
— типы расчётных формул принципиально зависят от соотношений
между жесткостями B1 , B2 на растяжение-сжатие и жёсткостью B12
на сдвиги в тангенциальной плоскости (случаи α1 α2 и α1 < α2 );
— расчётные формулы для определения критических усилий принципиально (при α1 < α2 ) и существенно содержат жёсткость 12
на сдвиги (формулы (4.11), (4.12));
— форма волнообразования (величины λ и n ), в отличие от изотропных оболочек, однозначно определена (неосесимметричная при
α1 < α2 и осесимметричная при α1 > α2 );
— форма волнообразования ортотропных оболочек не определена
однозначно
лишь в одном частном случае, когда β1 = β2 = β , α1 = α2 =
=2 β.
Некоторые из этих особенностей могут влиять на так называемый
коэффициент устойчивости — отношение экспериментального значения
критического осевого усилия к его теоретическому значению [4, 69].
Полученные расчётные зависимости пригодны для оболочек средней длины, когда выполняются условия
π
√
2
4
π
D1
<
<
B2 (1 − ν1 ν2 )R2
R
2
B1
k B2
4
B2 (1 − ν1 ν2 )R2
. (4.17)
D1
Короткие оболочки теряют устойчивость аналогично пластинам,
и критическое усилие определяется соотношением
T1 =
π 2 D1
.
2
79
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
Длинные оболочки теряют устойчивость как стержни:
2
2
2
π
π
B
(
1
−
ν
ν
)R
B
4 B2 (1 − ν1 ν2 )R
1
1 2
1
>
T1 =
;
.
22
R
2 k B2
D1
4.1.2. Осевое сжатие: теория и эксперимент. Известно, что во
многих случаях теоретические расчёты несущей способности оболочечных конструкций приводят к завышенным результатам. Особенно
существенно это проявляется при расчётах на устойчивость при осевом сжатии изотропных цилиндрических оболочек и в сферических
оболочках при действии внешнего давления [10, 12, 45]. Различие
между результатами теории и эксперимента в этих случаях достигает
нескольких раз. Многолетний опыт исследований позволил предложить
для металлических оболочек поправочные экспериментальные коэффициенты, которые обеспечивают надёжное проектирование конструкций.
Вопрос о соответствии теоретических и экспериментальных результатов для композитных оболочечных конструкций во многом открыт, так
как отсутствуют систематические исследования по сравнению теоретических и экспериментальных значений несущей способности.
Ниже такое сравнение проводится для широкого класса цилиндрических композитных оболочек, нагружаемых осевыми силами. Выявленные при этом закономерности позволяют по-новому осмыслить
проблему влияния начальных несовершенств в оболочках на значения
критических нагрузок.
За числовую меру сравнения примем отношение экспериментального значения критической силы P к её теоретическому значению P .
Это отношение принято называть коэффициентом устойчивости (k ):
P
.
(4.18)
P
Таким образом, коэффициент устойчивости k является поправочным коэффициентом при расчётах на устойчивость при осевом сжатии
композитных цилиндрических оболочек:
k =
P = k P .
(4.19)
P
Здесь P — расчётное значение критической нагрузки,
— теоретическое значение критической нагрузки, полученное с помощью одной
из формул п. 4.1.1.
Для сравнительного анализа использованы результаты испытаний
на осевые сжатия в общей сложности 270 цилиндрических оболочек,
изготовленных из стеклопластиков и углепластиков различными методами намотки или укладки. При этом 194 стеклопластиковые оболочки
получены намоткой стеклотканей и продольно-поперечной намоткой
стеклонитей в заводских условиях, 54 оболочки из стеклопластика
изготовлены с применением ручной укладки, 22 оболочки изготовлены
методом намотки углепластиковой ленты.
80
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Геометрические размеры оболочек варьировались в следующих пределах:
0,5 мм h 5 мм;
40 мм R 400 мм;
30 < R/h < 500;
1,4 < /R < 6.
Характеристики упругости имели следующие порядки:
E1 = (0,1 ÷ 0,73) · 105 МПа;
E2 = (0,17 ÷ 0,55) · 105 МПа;
G12 = (0,035 ÷ 0,15) · 105 МПа;
ν1 = (0,09 ÷ 0,37).
Ряд оболочек [57, 82] испытывались в нагретом состоянии. В этом
случае физико-механические характеристики определялись с учётом
влияния температуры.
Из 194 результатов испытаний стеклопластиковых оболочек, изготовленных в заводских условиях, 39 принадлежат А. А. Буштыркову и А. И. Отвечалину [11], 100 — В. И. Смыкову и О. Н. Иванову [57], 17 — Н. А. Иванкову, В.И. Смыкову и О.Н. Иванову [25],
7 — Ю. Ф. Крашакову и А. Л. Рубиной [39], 31 — Л. Г. Белозерову
и А. Л. Рубиной [6]. В работе В. С. Гуменюка и В. С. Кравчука [20]
представлены результаты испытаний на осевые сжатия 54 цилиндрических стеклопластиковых оболочек, изготовленных с применением
ручной укладки стекломатериала. Наконец, в работе А. Е. Ушакова
и В. А. Киреева [82] представлены результаты испытаний 22 углепластиковых многослойных оболочек, изготовленных заводским способом.
Расчёты на устойчивость перечисленных выше оболочек проводились по формулам п. 4.1.1 [4] для многослойных или квазиоднородных
конструкций. Статистический анализ, проведённый по результатам испытаний на устойчивость при осевом сжатии указанных 270 композитных цилиндрических оболочек, показал, что значения коэффициентов
устойчивости k (4.18) расположены в интервале 0,30 ÷ 1,16. Среднее
значение k = 0,73; среднеквадратичное отклонение σ = 0,18; коэффициент вариации r = 0,25.
Можно попытаться, как это сделано для изотропных оболочек
[12, 79, 83], установить соответствие между значением коэффициента
устойчивости k и отношением R/h радиуса к толщине оболочки.
На рис. 4.2 нанесены 270 значений коэффициентов k в зависимости от значения R/h. Как видно из рис. 4.2, явной зависимости
k от R/h не наблюдается. На рис. 4.3 для сравнения показана
зависимость k ∼ R/h для изотропных оболочек [12]. Если для изотропных оболочек наблюдается некоторая тенденция снижения минимального значения коэффициента k с ростом величины R/h, то для
композитных оболочек такая закономерность отсутствует. Мало того,
строго говоря, из рис. 4.2 следует повышение минимальных значений
коэффициентов k в композитных оболочках с ростом отношения R/h
(в исследуемой области 30 < R/h < 500).
0
k
100
* ** **
*
* *
*
*
* *
* *
*
*
*
*
*
*
200
*
**
*
**
*
*
*
*
300
*
*
400
*
*
*
*
*
500
R/h
*****
—
—
—
—
—
—
—
А.А. Буштырков, А.И. Отвечалин
В.И. Смыков, О.Н. Иванов
Н.А. Иванков и др.
Ю.Ф. Крашаков, А.Л. Рубина
В.С. Гуменюк, В.С. Кравчук
А.Е. Ушаков, В.А. Киреев (угл.)
Л.Г. Белозёров, А.Л. Рубина
Рис. 4.2. Зависимость коэффициента устойчивости k при осевом сжатии композитных оболочек от величины R/h
(270 испытаний)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
81
82
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Критические нагрузки в композитных оболочках зависят как от геометрических параметров, так и от показателей анизотропии. В качестве обобщённой характеристики было выбрано число m полуволн
в осевом направлении при потере устойчивости. Считая параметр m
непрерывным, с помощью соотношений (4.9) можно найти:
√
4
2
3
B
(
1
−
ν
ν
)h
β
1 2
2
√
≈
m =
;
θ ; θ = 4
π
3D1 F1 (ψ )F2 (ψ )
g0 + 1/g0
Rh
g0 =
2B12
;
√
B1 B2 (1 + ν1 ν2 )
β=
B2
.
B1
Величина m более объективно, чем отношение R/h, характеризует габаритно-жесткостные свойства композитных оболочек, поскольку
содержит как геометрические параметры R, h, , так и показатель
анизотропии θорт . На рис. 4.4 представлена зависимость коэффициента k от величины m . Как видно, значения коэффициентов k
более равномерно «рассеялись» вдоль оси m , чем на рис. 4.2 вдоль
оси R/h, однако не наблюдается корреляции между величинами k
и m .
При сравнительном анализе теоретических и экспериментальных
данных было замечено, что наибольший разброс коэффициентов k
и их наименьшее значение имеют место в оболочках с малой абсолютной толщиной. На рис. 4.5 показана зависимость коэффициента k
от толщины h оболочек (270 штук). Как видно из рис. 4.5, в области
малых толщин (h 1 мм) для стеклопластиковых оболочек наблюдается максимальный разброс (0,3 k < 1,1). Если считать, что
толщина слоя стеклопластика составляет ∼ 0,25 мм, причём на 1 мм
толщины приходится 4 слоя, то наибольший разброс и наименьшее
значение коэффициентов k приходятся на малослойные (2 ÷ 4 слоя)
стеклопластиковые оболочки.
Результаты, полученные при испытаниях малослойных (2 ÷ 4 слоя)
оболочек, следует с осторожностью использовать в целях сравнения
их с теоретическими данными. При расчётах критических нагрузок
такие оболочки уже нельзя считать квазиоднородными, т. е. необходимо учитывать свойства каждого слоя. К сожалению, в данном случае
это сделать невозможно, поскольку в рассмотренных работах [11, 20,
25, 57] не указаны структура слоёв по толщине и свойства упругости
составляющих слоёв.
В таких малослойных (2 ÷ 4 слоя) оболочках могут возникнуть погрешности при экспериментальном определении анизотропных характеристик упругости стеклопластика. В частности, заметную долю толщины, например, двухслойного образца может составлять связующее, жёсткость которого меньше жёсткости стеклонаполнителя на порядок или более и которое не вносит существенный
0
h
R
0,6
400
1600
= 0,606 P
/P
1200
C = 0,606 k
800
C = 0,606 − 0,5446 1 − e−(1/16)/ R/h
C=9
2000
2400
R/h
Рис. 4.3. Сравнение теоретических и экспериментальных значений критических сил при осевом сжатии изотропных
цилиндрических оболочек
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
C
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
83
Рис. 4.4.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
0
2
4
6
8
10
12
14
* *
*
** *
*
**
*
*
*
*
* *
**
*
***
*
*
*
* *
*
*
*
***
* *
*
16
*
*
18
*
20
*
22
24
m
*****
—
—
—
—
—
—
—
А.А. Буштырков, А.И. Отвечалин
В.И. Смыков, О.Н. Иванов
Н.А. Иванков и др.
Ю.Ф. Крашаков, А.Л. Рубина
В.С. Гуменюк, В.С. Кравчук
А.Е. Ушаков, В.А. Киреев (угл.)
Л.Г. Белозёров, А.Л. Рубина
Зависимость коэффициента устойчивости k при осевом сжатии композитных цилиндрических оболочек
от параметра волнообразования m (270 испытаний)
k
84
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Рис. 4.5.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
0
*
*
*
1
*
***
*
*
2
3
** * **
* *
*
***
**
*
*
*
*
*
*
*
**
*
*
*
* *
4
*
5
6
h, мм
*****
—
—
—
—
—
—
—
А.А. Буштырков, А.И. Отвечалин
В.И. Смыков, О.Н. Иванов
Н.А. Иванков и др.
Ю.Ф. Крашаков, А.Л. Рубина
В.С. Гуменюк, В.С. Кравчук
А.Е. Ушаков, В.А. Киреев (угл.)
Л.Г. Белозёров, А.Л. Рубина
Зависимость коэффициента устойчивости k при осевом сжатии композитных цилиндрических оболочек
от толщины h (270 испытаний)
f4041
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
85
86
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
вклад в жёсткость образца. Поскольку при подсчётах модулей
упругости толщина связующего равноправно входит в толщину
образца, модули упругости оказываются заниженными. Это приводит
к занижению теоретического значения критической нагрузки и,
следовательно, к завышению коэффициента устойчивости. Возможно, поэтому столь высоки коэффициенты устойчивости для
двухслойных оболочек (h ≈ 0,5 мм), полученные на основе анализа
работ [25, 57].
Наконец, при изготовлении двух-четырёхслойных оболочек (методом намотки или путём отдирания лишних слоёв) повышается вероятность проявления различного рода технологических дефектов, что
приводит к понижению коэффициента устойчивости.
Результаты сравнительного анализа, представленные на рис. 4.5,
указывают на три характерных класса оболочек:
— 54 стеклопластиковые оболочки [20], изготовленные с применением ручной укладки стекломатериала;
— 22 углепластиковые оболочки [82], изготовленные заводским
способом с применением «косой» намотки;
— 194 стеклопластиковые оболочки [6, 11, 25, 39, 57], изготовленные заводским способом намоткой стеклоткани или продольнопоперечной намоткой стекложгута.
Стеклопластиковые оболочки (54 штуки), изготовленные с применением ручной укладки стекломатериала, имели следующие геометрические характеристики:
38 мм < R < 160 мм;
0,6 мм < h < 2,2 мм;
24 < R/h < 294;
/R ∼ 3 ÷ 4;
5 m 23.
Анализ показывает, что указанные оболочки имеют самые низкие
показатели коэффициентов устойчивости k . Величина k изменяется в интервале 0,30 ÷ 0,84, среднее значение k = 0,50, среднеквадратичное отклонение σ = 0,12, коэффициент вариации r = 0,24.
Большинство рассматриваемых оболочек имело малую толщину стенки
(0,5 h 1,5 мм), что, как показывается выше, заставляет с осторожностью подходить к результатам сравнительного экспериментальнотеоретического анализа. Нельзя исключать и влияния особенностей
технологии (ручная укладка) изготовления оболочек. Сказанное позволяет полагать, что на результаты анализа испытаний рассматриваемых
54 оболочек не следует ориентироваться при расчётах на устойчивость
промышленных оболочечных конструкций из стеклопластика, изготовленных в заводских условиях.
Углепластиковые оболочки [82] в количестве 22 штуки имели следующие характеристики:
R = 395 мм;
2,9 мм h 5,07 мм;
78 R/h 136; 1,8 < /R < 3,4;
4 m 11.
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
87
Число слоёв изменялось в пределах от 16 до 29. Статистический
анализ значений коэффициента устойчивости k этих оболочек показал, что коэффициент k изменяется в интервале 0,32 ÷ 0,92, среднее
значение k = 0,66, среднеквадратичное отклонение σ = 0,12, коэффициент вариации r = 0,18.
Результаты сравнения теоретических и экспериментальных значений
критических нагрузок углепластиковых оболочек показаны в табл. 4.1.
Обращает на себя внимание, что оболочки одинаковой структуры,
изготовленные по одинаковой технологии, имеющие практически
одинаковую толщину и испытанные в одинаковых условиях, имеют
экспериментальные значения критических сил, различающиеся до двух
и более раз (оболочки №№ 3, 6 и 9, 8 и 11 и т. п.). Кроме
того, оболочки, имеющие одинаковое число слоёв (№№ 2 ÷ 12,
13 ÷ 16), заметно различаются по толщинам, что можно отнести
к недостаточной стабильности технологии изготовления. Наконец,
необходимо отметить, что практически все «провалы» критических сил
относятся к нагретым до ∼ 170 ◦ С оболочкам (№№ 8, 9, 15, 16, 18).
Авторы [82] объясняют большой разброс критических сил влиянием
не обнаруженных при осмотре дефектов, с чем можно согласиться.
Сравнительно небольшое количество испытаний и разброс экспериментальных результатов не позволяют однозначно рекомендовать
поправочные коэффициенты для расчёта критических нагрузок в углепластиковых оболочках. На основе имеющихся в табл. 4.1 результатов для расчётов реальных углепластиковых оболочечных конструкций
в условиях нормальных и умеренных температур (до 100 ◦C) можно
рекомендовать k = 0,6 ÷ 0,7. При этом необходима тщательная дефектоскопия готового изделия.
Стеклопластиковые оболочки (194 штуки), изготовленные в заводских условиях и испытанные на осевое сжатие [6, 11, 25, 39, 57], имели
следующие характеристики:
0,5 мм h 4,5 мм;
50 мм R 400 мм;
40 < R/h < 500;
1,4 < /R < 6; 3 m 22.
Оболочки изготовлены независимо на различных предприятиях
и испытаны в различных лабораториях, также независимо друг от друга. Это говорит в пользу объективности полученных экспериментальных данных. Результаты расчётов, проведённых по формулам п. 4.1.1,
практически совпадают с расчётными результатами [6].
Статистический анализ рассматриваемых 194 оболочек показал, что
их коэффициенты k изменяются в интервале 0,49 ÷ 1,16; среднее
значение k = 0,80; среднеквадратичное отклонение составляет σ =
= 0,14; коэффициент вариации r = 0,18. Зависимость коэффициента
устойчивости k от относительной толщины R/h оболочки показана
на рис. 4.6. Здесь, как и на рис. 4.2, отсутствует заметная корреляция
между величинами k и R/h. Точно так же нет заметной корреляции
между величиной k и параметром волнообразования m (рис. 4.7).
88
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
I
[90/02 /90/+45/90/0]s
II
[90/02 /90/+45/90/03 /901/2 ]s
21
III
IV
V
[90/03 /90/(+45)2 /90/0/01/2 ]s
[90/03 /90/(+45)2 /0/90/03/2 ]s
Номер
оболочки
Схема армирования
Число
слоёв
Номер
варианта
Т а б л и ц а 4.1
h,
мм
T,
◦C
P ,
16
1
2,90
120
0,675
1,007
0,67
2
3,50
20
1,150
1,684
0,69
3
3,40
120
1,140
1,324
0,87
4
3,80
170
0,920
1,487
0,62
5
3,70
170
1,200
1,409
0,86
6
3,40
170
1,082
1,190
0,92
7
3,70
170
0,888
1,409
0,63
8
3,30
170
0,438
1,121
0,39
9
3,45
170
0,578
1,225
0,48
10
3,25
170
0,860
1,087
0,80
11
3,30
170
1,000
1,121
0,90
12
3,45
170
0,763
1,225
0,63
23
25
[(90/02 )2 /90/(+45)2 /0/90/03/2 ]s 29
P ,
k
МН
13
3,89
20
1,550
2,451
0,65
14
4,09
100
1,740
2,380
0,75
15
3,82
170
0,575
1,824
0,32
16
4,09
170
0,940
2,091
0,46
17
4,69
100
2,260
3,110
0,76
18
4,64
170
1,250
2,671
0,49
19
5,07
100
2,430
3,366
0,74
20
5,07
100
1,680
3,390
0,51
21
5,07
170
1,755
2,938
0,61
22
5,07
170
2,040
2,938
0,71
На рис. 4.8 показана зависимость коэффициента устойчивости k
от толщины оболочки h применительно к изучаемым стеклопластиковым оболочкам. Так же, как на рис. 4.5, наибольший разброс
и наименьшие значения величины k наблюдаются в области малых
толщин (толщина не более 1 мм, число слоёв не более 4). По указаным выше причинам при статистическом анализе будем принимать
0
f4041
100
* ** **
*
* *
*
*
* *
* *
*
*
*
*
*
*
200
*
**
*
**
*
*
*
*
300
*
*
400
*
*
*
*
*
500
f4043
*****
f4045
Рис. 4.6. Зависимость коэффициента устойчивости k при осевом сжатии стеклопластиковых цилиндрических оболочек
от величины R/h (194 испытания)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
89
0
f4041
2
4
6
8
10
12
14
* **
*
** *
*
** *
*
*
*
*
* *
*
*
***
*
*
*
* *
*
*
*
***
* *
*
16
*
*
18
*
20
*
22
m
*****
—
—
—
—
—
А.А. Буштырков, А.И. Отвечалин
В.И. Смыков, О.Н. Иванов
Н.А. Иванков и др.
Ю.Ф. Крашаков, А.Л. Рубина
Л.Г. Белозёров, А.Л. Рубина
Рис. 4.7. Зависимость коэффициента устойчивости k при осевом сжатии стеклопластиковых цилиндрических оболочек
от параметра волнообразования m (194 испытания)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
90
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
0
f4041
*
*
*
1
*
***
*
*
2
3
** * **
* *
*
***
**
*
*
*
*
*
*
*
**
*
*
*
* *
4
*
5
h, мм
*****
f4075
Рис. 4.8. Зависимость коэффициента устойчивости k при осевом сжатии стеклопластиковых цилиндрических оболочек
от толщины h (194 испытания)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
91
92
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
во внимание экспериментальные результаты, полученные только при
испытаниях многослойных (h > 1 мм) оболочек. Таких многослойных
(квазиоднородных) оболочек среди общего числа 194 насчитывается
117 [6, 11, 39, 57 ].
Статистический анализ результатов испытаний и расчётов 117 оболочек с толщиной, большей 1 мм, показал следующее. Величины k
расположены в интервале 0,56 ÷ 1,16; среднее значение k = 0,81;
среднеквадратичное отклонение составляет σ = 0,14; коэффициент вариации r = 0,17. Свыше 80 % оболочек имеют коэффициент устойчивости k > 0,7. Не отмечено каких-либо специальных особенностей
при сравнительном анализе результатов испытаний нагретых оболочек
[57]. Оболочки нагревались до различных температур, не больших
100 ◦C, а при расчётах учитывалось понижение физико-механических
характеристик.
Гистограмма и нормальный закон распределения для коэффициента k при осевом сжатии 117 стеклопластиковых оболочек с толщиной, большей 1 мм, показаны на рис. 4.9. Как видно, нормальный
закон вполне удовлетворительно описывает плотность распределения
вероятностей величины k .
Анализ результатов испытаний 194 оболочек, представленных
на рис. 4.8, позволяет дать рекомендации для выбора поправочного
коэффициента при расчётах на устойчивость от осевого сжатия
стеклопластиковых натурных оболочечных конструкций. Из рис. 4.8
видно, что минимальные значения поправочных коэффициентов
(4.19), полученные на основе обработки результатов 194 опытов
на сжатие стеклопластиковых оболочек, имеют явную тенденцию
к увеличению с ростом толщины оболочки. Эту зависимость можно
аппроксимировать показанной на рисунке линией. Уравнение этой
линии записывается следующим образом:
⎧
0,5
при h 1 мм;
⎪
⎪
⎨ 0,56
при 1 мм < h 2 мм;
k =
(4.20)
+
0,12
h
при
2 мм < h 4 мм;
0,32
⎪
⎪
⎩
0,8
при h > 4 мм.
В этих зависимостях толщина h оболочки измеряется в миллиметрах.
Если полагать, что на 1 мм толщины стенки приходится 4 слоя
стеклопластика, то получим зависимость величины поправочного коэффициента k от числа nc слоёв в оболочке:
⎧
0,5
при nc 4;
⎪
⎪
⎨ 0,56
при 4 < nc 8;
k =
+
0,03
n
при
8 < nc 16;
0,32
⎪
c
⎪
⎩
0,8
при nc > 16.
93
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
Поскольку поведение стеклопластиковых оболочек в области больших толщин (h > 5 мм; nc > 20) изучено мало, для повышения надёжности проектирования можно при h > 5 мм принять k = 0,7.
f (k )
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
k
0,0
0,2
0,4
0,6
N = 117;
0,56 < k
k
0,8
1,0
1 мм < h 5 мм;
< 1,16; k
1,2
1,4
50 < R/h < 500;
= 0,81; σ = 0,135; r = 0,17.
[0,5;0,6] [0,6;0,7] [0,7;0,8] [0,8;0,9] [0,9;1,0] [1,0;1,1] [1,1;1,2]
Ni
6
17
33
34
14
11
2
Ni /(0,1 · 117)
0,51
1,45
2,82
2,91
1,2
0,94
0,17
Рис. 4.9. Гистограмма и нормальный закон распределения для коэффициента устойчивости k при осевом сжатии многослойных стеклопластиковых
цилиндрических оболочек (h > 1 мм)
Сформулируем некоторые особенности, выявленные в результате
экспериментально-теоретического анализа устойчивости при осевом
сжатии ортотропных многослойных цилиндрических оболочек из композитов:
94
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
— теоретические и экспериментальные значения критических нагрузок удовлетворительно согласуются: для стеклопластиковых оболочек различие в среднем составляет 20 % (как известно, для металлических изотропных оболочек различие достигает 2 ÷ 3 раз);
— величина поправочного экспериментального коэффициента
устойчивости k практически не зависит от относительной толщины
оболочки h/R;
— для многослойных стеклопластиковых оболочек, полученных намоткой, коэффициент устойчивости k возрастает с толщиной (числом слоёв) оболочки.
Как следует из проведённого сравнительного анализа, в случае осевого сжатия ортотропных (стеклопластиковых) цилиндрических оболочек теоретические и экспериментальные значения критических напряжений согласуются гораздо лучше, чем в случае изотропных оболочек
[12, 79, 83]. Частично это можно объяснить тем, что технология
изготовления цилиндрических стеклопластиковых оболочек (намотка)
приводит к меньшим несовершенствам формы, чем в аналогичных
металлических оболочках. Однако известно, что в тех же цилиндрических металлических оболочках с начальными неправильностями при
действии бокового давления или кручения теоретические и экспериментальные значения критических напряжений удовлетворительно
согласуются [8]. Это соображение приводит к мысли, что уровень
различия между теоретическими и экспериментальными значениями
критических усилий в оболочках зависит не только от начальных
неправильностей, но и от других факторов.
В этой связи при расчётах на устойчивость обращает на себя внимание феномен однозначности (или неоднозначности) формы потери
устойчивости оболочки и влияние его на соотношение между теорией
и экспериментом.
Так, при расчёте на осевое сжатие изотропных цилиндрических
оболочек форма потери устойчивости не определена: критические параметры волнообразования λ , n не определяются однозначно, а могут
принимать бесконечное множество значений, удовлетворяющих соотношениям (3.10) или (3.11). Именно в этом случае различие между
теорией и экспериментом велико (до 2 ÷ 3 раз и более).
При расчёте тех же оболочек, например, на действие внешнего
давления форма потери устойчивости однозначно определяется: получается одна полуволна (m = 1) в осевом направлении и вполне
определённое число волн n в кольцевом. Именно в этом случае теоретические и экспериментальные результаты мало различаются. В случае
осевого сжатия ортотропных цилиндрических оболочек при выполнении условия α1 = α2 расчётная форма потери устойчивости также
однозначно определена: критические параметры λ , n однозначно
выражены соотношениями (4.9), (4.11), (4.12). Анализ результатов испытаний 194 стеклопластиковых ( α1 < α2 ) оболочек на осевое сжатие
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
95
показал, что в этом случае наблюдается хорошее согласование теории
и эксперимента: среднее различие не превосходит 20 %.
Аналогичная картина наблюдается и при исследовании устойчивости других типов оболочек. Так, при расчёте на устойчивость от внешнего давления сферических изотропных оболочек критические параметры λ , n волнообразования не определяются однозначно: они
лишь связаны соотношением (3.11). В этом случае экспериментальные
значения критических напряжений в 2 ÷ 3 раза меньше теоретических
[10, 12]. В трёхслойных и вафельных цилиндрических оболочках при
осевом сжатии расчётная форма потери устойчивости однозначно определена [72] и, как показал сравнительный анализ [40, 59, 64], различие
между теоретическими и экспериментальными значениями критических усилий этих оболочек невелико и находится в пределах 20 ÷ 30 %.
Хорошо согласуются также теоретические и экспериментальные значения критических усилий в коротких изотропных цилиндрических
оболочках при осевом сжатии. И в этом случае форма волнообразования однозначно определена (осесимметричное выпучивание по одной
полуволне в осевом направлении). Однозначно определены формы волнообразования при потере устойчивости стержней и пластин, где также
наблюдается хорошее согласование теоретических и экспериментальных результатов. В так называемых квазиизотропных цилиндрических
оболочках, когда выполняются условия α1 = α2 ; β1 = β2 , форма волнообразования не определена однозначно: параметры λ и n лишь
связаны соотношением (4.16). В этом случае можно ожидать более
значительных расхождений между теорией и экспериментом.
Существенное влияние факторов однозначности или неоднозначности формы потери устойчивости оболочек на разницу между теорией
и экспериментом можно объяснить, исходя из энергетических соображений. В соответствии с законами механики оболочка стремится
перейти в новое положение равновесия (потерять устойчивость) на самом низком энергетическом уровне, проще говоря, при наименьшем
критическом усилии. Если форма волнообразования однозначно определена, то в процессе потери устойчивости оболочка взаимодействует
лишь с теми своими неправильностями, форма которых «резонирует»
с формой волнообразования оболочки при потере устойчивости. Таким
образом, на величину критического усилия влияют не все неправильности, а лишь те из них, которые по форме совпадают с однозначно
определённой формой потери устойчивости оболочки. Однако неправильностей такого частного вида в оболочке вообще может не быть, поэтому влияние неправильностей существенно снижается, что приводит
к хорошему согласованию теоретических и экспериментальных данных. Если же форма потери устойчивости не определена однозначно,
то при потере устойчивости оболочка может взаимодействовать практически с любыми имеющимися у неё начальными неправильностями,
«выбирая» среди них те, которые максимально снижают критическую
96
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
нагрузку. В итоге теоретические и экспериментальные результаты для
такого рода оболочек существенно различаются.
Таким образом, в процессе сравнительных экспериментальнотеоретических исследований устойчивости различного рода оболочек,
как изотропных, так и ортотропных, выявлена новая закономерность
[4], которая заключается в следующем. Если форма волнообразования
оболочки при потере устойчивости однозначно определена расчётным путём, то наблюдается хорошее согласование теоретических
и экспериментальных значений критических усилий. Если же форма
волнообразования не определена однозначно, то теоретические
и экспериментальные значения критических усилий существенно
различаются. Нам неизвестны результаты, которые опровергали бы
эту закономерность.
4.1.3. Нагружение внешним давлением. При потере устойчивости от внешнего бокового давления цилиндрические оболочки, как
известно, образуют одну полуволну (m = 1) в осевом направлении
и несколько волн в кольцевом. При таком волнообразовании закономерности потери устойчивости хорошо описываются полубезмоментной
теорией оболочек. Для расчёта критических параметров при потере
устойчивости воспользуемся соотношением (4.5), положив T1 = S = 0:
D2 n2 − 1
πR
λ4
T2 =
+ B1 1 − ν1 ν2 4 21 ; λ1 = λ =
;
2
R
n n −1
T2 = pR.
(4.21)
Полученное соотношение учитывает непологость оболочки, что
важно в случае образования малого числа волн в кольцевом направлении.
Критическое значение усилия T2 при потере устойчивости от действия внешнего бокового давления получается из соотношений (4.21)
минимизацией по параметру n волнообразования. В том случае, когда
число волн в окружном направлении достаточно велико (n2 1),
зависимость (4.21) можно записать в виде
D2 n2
λ41
+
B
(
1
−
ν
ν
)
.
(4.22)
1
1
2
R2
n6
После минимизации этого выражения по параметру n можно получить следующие формулы для расчёта критических параметров:
1,75π 4
B1 (1 − ν1 ν2 ) R2
T2 =
B1 D23 (1 − ν1 ν2 ) ; n8 = 3λ41
. (4.23)
1
/
2
D2
R
T2 =
Если оболочка квазиоднородна по толщине, то соотношения (4.23)
примут вид:
97
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
0,85
h5/2
T2 = 3/4 R1/2
1 − ν1 ν2
λ
πR
= λ1 =
;
n2
4
E1 E23 ;
R
= 7,7
σ2 =
R
h
4
T2
;
h
p =
E1 (1 − ν1 ν2 )
.
E2
T2
;
R
(4.24)
В случае однородных изотропных оболочек отсюда следует известная формула П. Ф. Папковича.
Если величина n мала (не выполняется условие n2 1), то для
определения критических параметров при потере устойчивости необходимо дискретно минимизировать по n выражение (4.21).
Расчётные зависимости (4.21)÷(4.24) пригодны для оболочек средней длины, когда выполняется условие
2
D1
4 B1 (1 − ν1 ν2 ) R
4
<2
<
.
(4.25)
6
2
B2 (1 − ν1 ν2 ) R
R
D2
Длинные оболочки теряют устойчивость подобно кольцам с образованием в окружном направлении двух волн. Критические параметры
вычисляются при этом по следующим формулам:
3D2
3D2
; p = 3 ; n = 2.
(4.26)
2
R
R
В случае коротких оболочек можно воспользоваться расчётной формулой [8] для шарнирно закреплённой прямоугольной пластины:
T2 =
π 2 D2
.
(4.27)
2
Результаты расчёта критической нагрузки по предложенным формулам удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Обработка экспериментальных данных, проведённая на основе
[23, 57], показала, что различие между теоретическими и экспериментальными значениями критических усилий находится на уровне
±10 %. На рис. 4.10 в двойной логарифмической шкале представлена
зависимость безразмерного критического давления q ∗ от габаритножесткостного параметра Λ оболочки, полученная А. А. Буштырковым.
На рисунке введены обозначения:
3
R
E2
2
∗
q =
; Λ= 2
.
E2 h
π Rh E1
T2 =
Теоретическое значение критического давления p вычислено по
формуле (4.24), а соответствующая величина q ∗ показана сплошной линией. Точками нанесены экспериментальные значения величины q ∗ . Как видно, теоретические и экспериментальные данные хорошо согласуются. При этом в рассматриваемом диапазоне изменения
4 С. Н. Сухинин
3
4
6
8
10
20
40
60
80
100
200
400
Λ
Рис. 4.10. Сравнение теоретических и экспериментальных значений критических нагрузок при действии на композитную
цилиндрическую оболочку бокового давления
0,01
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
q∗
98
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
99
параметра Λ (3 Λ 500) выполняется условие (4.25), т. е. пригодны
соотношения для расчёта критических параметров в оболочках средней
длины.
Рис. 4.10 показывает, что в области Λ < 10 теоретические значения параметра критической нагрузки несколько выше экспериментальных. Это объясняется тем, что в сравнительно коротких оболочках (Λ < 10) на критическое давление начинает влиять податливость
оболочки на сдвиги в её поверхности. Эта податливость уменьшает
эффективную жёсткость оболочки и соответственно теоретическое значение критического давления. Формулы (4.23), (4.24) не учитывают
влияние указанной податливости, поэтому в области Λ < 10 дают
чуть завышенные значения критических давлений. Для учёта влияния
податливости на сдвиги в формуле (4.23) достаточно вместо величин
B1 и D2 подставить соответственно
B1 (1 − ν1 ν2 )
α1 λ21
.
Bp =
;
D
=
D
1
+
p
2
β1 n2
α2 λ21
1+
β2 n2
В случае однородных оболочек в формуле (4.24) при расчёте критических усилий необходимо величину E1 E23 заменить на
E1p E23p
2 3
λ1
4G12 (1 − ν1 ν2 )
1+
+ 2ν2
E2
n2
= E1 E23
.
2
λ1
E1 (1 − ν1 ν2 )
1+
− 2ν1
G12
n2
Учёт указанных поправок необходимо проводить для коротких оболочек. Как показал анализ, это необходимо делать для оболочек, у
которых длина краевого эффекта превосходит четверть длины
оболочки: > 0,25 . В этом случае поправка от учёта сдвигов
в поверхности оболочки даёт снижение критического усилия T2 порядка (5 ÷ 8) %.
4.1.4. Нагружение крутящим моментом и перерезывающими
усилиями. При потере устойчивости от кручения в многослойных
композитных оболочках, как обычно, образуются одна полуволна в осевом направлении и несколько волн в кольцевом. При такой деформации
к оболочке можно применять полубезмоментную теорию. Разрешающее соотношение получим в этом случае из зависимости (4.5) при
T1 = T2 = 0:
2S =
4*
λ3
n(n2 − 1)D2
+ B1 (1 − ν1 ν2 ) 3 21
;
2
λ1 R
n (n − 1)
λ1 = λ =
πR
. (4.28)
100
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Если оболочку можно считать пологой (n2 1), то соотношение
(4.28) преобразуется к виду
λ3
n3 D2
+ B1 (1 − ν1 ν2 ) 15 .
2
λ1 R
n
В этом случае можно произвести минимизацию, считая величину
n непрерывной. В результате минимизации получаются следующие
зависимости:
2
1,72 8 3 5
4 B1 (1 − ν1 ν2 ) R
3
S = 1/2 3/4 B1 D2 (1 − ν1 ν2 ) ; n2 = 1,14λ1
.
D2
R
2S =
Эти зависимости получены с использованием решения в виде (1.3),
которое в рассматриваемом случае не точно удовлетворяет граничным
условиям и даёт заниженные значения критических усилий сдвига.
Уточняя решение на основе [24], где полностью учтены граничные
условия, можно получить следующие выражения для расчёта на устойчивость при кручении шарнирно закреплённых ортотропных многослойных оболочек:
3,3
8
S = 1/2 3/4 B13 D25 (1 − ν1 ν2 )3 ;
R
λ1 = λ
πR
=
;
n2
= 2,7λ1
4
B1 (1 − ν1 ν2 ) R2
.
D2
(4.29)
В случае квазиоднородных ортотропных оболочек из соотношений
(4.29) получаются следующие расчётные формулы:
0,7
h9/4 8 3 5
S =
E1 E2 ;
(1 − ν1 ν2 )5/8 1/2 R3/4
n2
τ =
R
= 15, 8
0,7
(1 − ν1 ν2 )
5/8
h5/4
1
/
2 R3/4
R
h
4
E1 (1 − ν1 ν2 )
;
E2
8
E13 E25 ;
λ = λ1 =
πR
.
(4.30)
Зависимости (4.29), (4.30) относятся к шарнирно закреплённым
оболочкам. Если края оболочки жёстко защемлены, то критические
усилия и напряжения в формулах (4.29), (4.30) следует увеличить в 1,2
раза [24].
Систематические сравнительные экспериментально-теоретические
исследования устойчивости композитных оболочек при действии
кручения отсутствуют. Тот факт, что форма волнообразования
однозначно определена, позволяет предположить, что теоретические
4.1. Тонкостенные композитные оболочки (классическая модель)
101
и экспериментальные результаты не должны существенно различаться.
Некоторые результаты, полученные при испытаниях на кручение цилиндрических стеклопластиковых оболочек [39], подтвердили хорошее
согласование теоретических и экспериментальных критических значений крутящих моментов.
Расчётные зависимости (4.29), (4.30) получены для оболочек средней длины, когда выполняются условия
6
4
D1
<5
<
2
B2 (1 − ν1 ν2 ) R
R
4
B1 (1 − ν1 ν2 ) R2
.
D2
(4.31)
Если оболочка достаточно длинная, то при потере устойчивости образуются две волны (n = 2) в окружном направлении, и критическое
усилие не зависит от длины и граничных условий. Полагая для такого
случая в соотношениях (4.28) n = 2, можно найти
B1 (1 − ν1 ν2 ) λ3
3D2
+
.
(4.32)
2
λR
48
В результате минимизации этого выражения по параметру λ получается соотношение, аналогичное формуле Шверина [66]:
1,52
S = 3/2 4 B1 D23 (1 − ν1 ν2 ) ; n = 2;
R
(4.33)
√
D2
2
λ = 4 3
.
B1 (1 − ν1 ν2 ) R2
S=
Если оболочка квазиоднородна по толщине, то формулы (4.33)
переходят в следующие:
0,24
h5/2 4
S =
E1 E23 ;
(1 − ν1 ν2 )3/4 R3/2
τ
=
0,24
(1 − ν1 ν2 )3/4
3/2 h
4
E1 E23 ;
R
λ2
E2 h
.
=2
E1 R
(4.34)
Для коротких оболочек аналогично [8] можно записать:
S = KS
π 2 D2
;
2
τ = KS
π 2 E2 h2
.
12 (1 − ν1 ν2 ) 2
(4.35)
Здесь KS = 5,34 для шарнирно закреплённых оболочек, KS = 8,97
для жёстко защемлённых.
Для вычисления критического значения M крутящего момента
достаточно воспользоваться известным выражением = 2πR2 S .
102
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
4.1.5. О специфических зависимостях между критическими
параметрами в тонкостенных ортотропных оболочках. Соотношения для расчёта критических усилий, соответствующих осевому сжатию, боковому давлению и кручению оболочек, полученные в п.п. 4.1.1,
4.1.3, 4.1.4, имеют вид:
2
B2 (1 − ν1 ν2 ) R2
T10
=
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ;
λ40 =
;
R
D1
2
1,75π 4
8
3 (1 − ν ν ) ;
4 B1 (1 − ν1 ν2 ) R ;
T2 =
B
D
n
=
3
λ
1
1
2
1
2
D2
R1/2
3,3
B1 (1 − ν1 ν2 ) R2
8
8
S = 1/2 3/4 B13 D25 (1 − ν1 ν2 )3 ; nS = 53,1 λ41
;
D2
R
λ1 = πR/.
(4.36)
Для ортотропных оболочек выполняется также равенство B1 D2 =
= B2 D1 .
Тогда из соотношений (4.36) следует зависимость между критическими значениями нагрузок при осевом сжатии, боковом давлении
и кручении [66]:
S =
T10
T2 .
(4.37)
Критические параметры волнообразования λ0 , λ1 , n и nS , как
следует из соотношений (4.36), связаны зависимостями:
√
2
S 2
4
nS
n
n
3
2,7
= ;
= ;
= 1,43;
n
λ0 λ1
λ
λ
1
0
β
β
n nS
1,88
= ;
λ0 λ1
β
β=
B2
D
= 2.
B1
D1
(4.38)
Как видно, полученные соотношения между критическими параметрами волнообразования не зависят от геометрических размеров
оболочки и слабо зависят от отношения β жесткостей, поскольку
параметр β обычно не намного отличается от единицы. Таким образом, соотношения (4.38) можно считать некими критериями подобия
при исследовании устойчивости шарнирно закреплённых ортотропных
цилиндрических оболочек.
4.2. Методы расчёта на устойчивость трёхслойных
композитных оболочек с лёгким заполнителем
В этом разделе исследуются критические нагрузки и особенности
сопротивления трёхслойных ортотропных цилиндрических оболочек
при общей потере устойчивости, когда пакет изгибается как единое
103
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
целое, в отличие от местной потери устойчивости, когда поверхность
приведения трёхслойного пакета не искривляется, а сморщиваются
лишь несущие слои (рис. 2.1).
В общем случае анализ общей устойчивости построен на основе
гипотез ломаной линии при несжимаемом по нормали заполнителе.
Разрешающие соотношения для шарнирно опёртой оболочки с лёгким
заполнителем имеют вид (3.2). Уравнения общей устойчивости непологих цилиндрических оболочек, построенные на основе полубезмоментной теории, имеют вид (3.5).
4.2.1. Осевое сжатие. Форма волнообразования в этом случае
показана на рис. 4.11.
Разрешающее соотношение для отыскания критических параметров
можно получить из соотношения (3.2), положив T2 = S = 0:
T1 = [D1 + D1∗ Ω(λ, ψ)]
λ2 F1 (ψ) B2 (1 − ν1 ν2 )
.
+
R2
λ2 F2 (ψ)
(4.39)
Здесь приняты те же обозначения, что в (1.4), (1.5):
F1 (ψ) = 1 + α1 ψ 2 + β1 ψ 4 ;
F2 (ψ) = 1 + α2 ψ 2 + β2 ψ 4 ;
F2∗ (ψ) = 1 + α2∗ ψ 2 + β2∗ ψ 4 ;
Ω(λ, ψ) =
Ω1 (λ, ψ) =
Ω2 (λ, ψ) =
1
;
Ω1 (λ, ψ) + λ2 (ω1 + ω2 ψ 2 )Ω2 (λ, ψ)
1+
0Ω
1;
1 + λ2 (ω2 + ω1 ψ 2 )
;
+ ω1 ψ 2 )F2∗ (ψ)/F1 (ψ)
λ2 (ω2
1 + ω1 ω2 λ2 F2∗ (ψ)/(ω1 + ω2 ψ 2 )
.
1 + λ2 (ω2 + ω1 ψ 2 )F2∗ (ψ)/F1 (ψ)
(4.40)
Сравнивая соотношение (4.39) для трёхслойных оболочек с соответствующим соотношением (4.7) для тонкостенных ортотропных
оболочек, можно видеть, что они полностью совпадают, если величину
D1 + D1∗ Ω(λ, ψ) считать эффективной жёсткостью трёхслойной оболочки на продольный изгиб.
Рассмотрим сначала слабые заполнители с высокой податливостью
на поперечные сдвиги, когда выполняется условие ω1 λ2 F2 1.
104
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Рис. 4.11. Потеря устойчивости трёхслойной оболочки с пенопластовым
заполнителем при осевом сжатии
В этом случае функцию Ω(λ, ψ), характеризующую податливость
оболочки на поперечные сдвиги, можно привести к виду:
K1 + K2 ψ 2 2
K1 + K 2 ψ 2 2
Ω(λ, ψ) =
R 1−
R ;
D1∗ λ2 F1
D1∗ λ2 F2
K1 + K2 ψ 2 2
R 1.
D1∗ λ2 F1
(4.41)
Из этих соотношений следует, что в рассматриваемом случае слабых на сдвиги заполнителей функция Ω(λ, ψ) мала по сравнению
с единицей.
Подставляя значение функции из формул (4.41) в зависимость
(4.39), найдём
2 D1 λ2 F1 (ψ) B2 (1 − ν1 ν2 )
K1 + K2 ψ 2
T1 =
+
1− 2
+ K1 + K 2 ψ 2 .
T10
R2
λ2 F2 (ψ)
Проведя минимизацию этого выражения по параметру волнообразования λ, получим:
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
105
2
K1 + K2 ψ 2
T1 = k(ψ)T10 1 − 2
+ K1 + K2 ψ 2 ;
T10
λ4
2 λ40
K1 + K2 ψ 2
=
1− 2
;
F1 (ψ) F2 (ψ)
T10
T10
=
2 B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ;
R
T10
=
k (ψ) =
2
R
λ40 =
B2 (1 − ν1 ν2 ) R2
;
D1
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ;
F1 (ψ)
.
F2 (ψ)
(4.42)
В соотношениях (4.42) положено, как это принято в практических
расчётах трёхслойных оболочек, D1 ≈ D1∗ . Это связано с тем, что
в трёхслойных оболочках, как правило, собственная изгибная жёсткость D1 несущих слоёв много меньше полной изгибной жёсткости
D1 = D1 + D1∗ . Величины T10
и T10
соответствуют критическим на
грузкам для раздельно работающих слоёв (T10
) и для трёхслойной
).
оболочки с абсолютно жёстким на сдвиги пакетом (T10
Критическая осевая нагрузка определяется из (4.42) минимизацией
по параметру ψ 2 . Как показывает анализ, для класса трёхслойных
оболочек со слабым на сдвиги заполнителем форма волнообразования
близка к осесимметричной (ψ 2 1). Это объясняется тем, что величина k (ψ) меняется мало и не превосходит единицы, подкоренное
,
выражение слабо зависит от параметра ψ 2 , поскольку K1 , K2 T10
2
и при вычислении минимума по параметру ψ определяющую роль
играет слагаемое K2 ψ 2 . Учитывая сказанное, запишем разрешающее
соотношение (4.42) следующим образом:
T1 = k (ψ) T 10 + K1 + K2 ψ 2 ;
T 10 = T10
1 − b2 ;
b=
2K1
.
T10
(4.43)
Проводя минимизацию выражения (4.43) по параметру ψ 2 и отбрасывая малые величины порядка ψ 4 , можно получить следующие
расчётные формулы ( α1 < α2 ):
T1 = (1 − a )T 10 + K1 ;
2
α2 − α1 1 − K 2
a =
;
3α2 + α1
K2
2
ψ
=
K2 =
2
1 − K2
;
3α2 + α1 K 2
2K2
.
(α2 − α1 ) T 10
(4.44)
106
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Здесь α1 , α2 — известные (1.1) параметры анизотропии трёхслойной
конструкции, K1 , K2 — жёсткости трёхслойной оболочки на поперечные сдвиги. Для лёгких однородных по толщине заполнителей
G13 H 2
G23 H 2
; K2 =
;
(4.45)
δ
δ
H — расстояние между нейтральными поверхностями несущих слоёв;
δ — толщина заполнителя.
Величина a , характеризующая неосесимметричность волнообразования при потере устойчивости, в большинстве случаев мала
(a < 0,3), и для оценок можно полагать a = 0.
Из формулы (4.44) следует принятое выше в виде гипотезы соотно2
шение ψ
1. В самом деле,
K1 =
2
ψ
α − α1 T 10
2
1 − K2
T
=
= 2
(1 − K 2 ) < 10 1,
3α2 + α1 K 2
3α2 + α1 K2
3K2
поскольку в трёхслойных оболочках обычно выполняется зависимость
T 10 K2 .
Если жёсткость K2 на поперечные сдвиги в кольцевом направлении
достаточно велика (K 2 1), т. е. выполняется условие
K2 α2 − α1 T 10 ,
2
(4.46)
то оболочка теряет устойчивость по осесимметричной форме (ψ = 0),
а критические параметры вычисляются по следующим соотношениям,
получаемым из зависимостей (4.42) при ψ = 0:
T1 = T 10 + K1 ;
λ4 = λ40 (1 − b2 ).
(4.47)
Если анизотропия несущих слоёв такова, что выполняется условие α1 α2 , то из (4.43) следует осесимметричная форма потери
устойчивости (ψ = 0), и расчёт критических параметров необходимо
проводить также по формулам (4.47).
Из соотношений (4.44), (4.47) следует, что полученные расчётные
формулы пригодны для слабых на поперечные сдвиги заполнителей,
когда выполняется условие b < 1, т. е.
K1 <
1 T .
2 10
(4.48)
Обратим внимание, что при потере устойчивости от осевого сжатия
трёхслойных ортотропных цилиндрических оболочек форма их волнообразования (параметры λ , ψ ) однозначно определена.
Если в соотношениях (4.44), (4.47) в формулах для расчёта критических усилий можно пренебречь первыми слагаемыми (T 10 K1 ),
107
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
то приходим к модели прямолинейного элемента, в соответствии с которой пренебрегают собственной изгибной жёсткостью несущих слоёв:
T1 = K1 .
(4.49)
Эту величину иногда называют критическим усилием сдвиговой
формы потери устойчивости. Как видно, значение критического усилия
в этом случае не зависит от формы оболочки и её кривизны.
В случае достаточно жёстких на сдвиги заполнителей, когда условие (4.48) не выполняется, а имеет место соотношение ω1 λ2 F2 1,
функцию влияния поперечных сдвигов можно представить в виде:
Ω (λ, ψ) =
k12
1
=
;
k12 + λ2
1 + λ2 ω1 + ω2 ψ 2
k12 =
1
λ2 .
ω1 + ω2 ψ 2
Отсюда следует, что величина Ω ∼ 1, а эффективную изгибную
жёсткость трёхслойного пакета можно представить в форме
D1 + D1∗ Ω = D1 Ω + D1 (1 − Ω) ≈ D1 Ω,
поскольку D1 Ω D1 (1 − Ω).
Учитывая полученные зависимости, разрешающее соотношение
(4.39) можно записать в виде
T1 =
k12
D1 λ2 F1 (ψ)
B2 (1 − ν1 ν2 )
.
+
R2
k12 + λ2
λ2 F2 (ψ)
Это соотношение соответствует модели прямолинейного элемента (типа
сдвиговой модели С. П. Тимошенко). Критическая нагрузка и форма
волнообразования получаются минимизацией по параметрам λ и ψ .
Проводя минимизацию по параметру λ, получим:
k (ψ) T10
1 + ψ 2 β2 K1 /K2
T1 = k (ψ) T10
1−
;
4K1
F1 (ψ)
2
λ2 =
λ
1−
2
λ /k12
;
4
λ =
k (ψ) =
λ4
;
F1 (ψ) F2 (ψ)
F1 (ψ)
;
F2 (ψ)
k12 =
λ4 =
B2 (1 − ν1 ν2 ) R2
;
D1
1
.
ω1 + ω2 ψ 2
(4.50)
Теперь выражение для T1 необходимо проминимизировать по параметру ψ . Численный анализ показал, что в области достаточно жёстких
108
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
1 на сдвиги заполнителей K1 > T10
сдвиговые факторы слабо влия2
ют на форму волнообразования. Учтём также, что в области минимума
критическая нагрузка малочувствительна к параметрам волнообразования. На основе сказанного за критическое значение параметра ψ примем значение, соответствующее классическим оболочкам с неизменной
нормалью. Тогда ψ определяется зависимостями (4.9) для классических оболочек, в которые подставлены соответствующие жёсткости
4
4
трёхслойной оболочки: ψ
= ψ
= 1/β . В результате получим следующие расчётные формулы для критических параметров при осевом
сжатии трёхслойных цилиндрических
оболочек с достаточно жёстким
1 на поперечные сдвиги K1 > T10 заполнителем:
2
T1
=
k T10
k T10
1 + β K1 /K2
1−
;
4K1
2 + α1 / β
λ2
λ2 = ;
2 + α1 / β
2 + α2 / β
k =
2 + α1 / β
;
2 + α2 / β
T10
=
λ4 =
4
ψ
=
B1
1
=
;
β
B2
B2 (1 − ν1 ν2 ) R2
.
D1
2
B2 (1 − ν1 ν2 ) D1 .
R
(4.51)
Сомножителем при скобке в первой формуле является критическая
нагрузка для трёхслойной оболочки с абсолютно жёстким на сдвиги
заполнителем (модель неизменной нормали), а выражение в скобках
определяет поправку от поперечных сдвигов. Как уже упоминалось,
1 формулы (4.51) применимы, если выполняется условие K1 > T10
.
2
В рассматриваемом случае форма волнообразования при потере
устойчивости (параметры λ и ψ ) однозначно определена зависимостями (4.51).
Если параметры анизотропии оболочки таковы, что выполняется
условие α1 α2 (оболочки, достаточно жёсткие на сдвиги в плоскости), то форма потери устойчивости становится осесимметричной,
и критические параметры определяются соотношениями:
T10
2 (1 − ν1 ν2 )R2
T1 = T10 1 −
; λ4 =
; n = 0.
(4.52)
41
D
Полученные выше формулы
для расчёта критических усилий T1
1 1 в области K1 ≈ T10
дают несколько заниженный реK1 T10
2
2
зультат. Для уточнения расчётных формул представим соотношение
(4.39) в виде:
109
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
T1 =
D1 λ2 F1 (ψ)
B2 (1 − ν1 ν2 )
Ω+
;
2
R
λ2 F2 (ψ)
Ω=
1
1+
λ2 (ω1
+ ω2 ψ 2 )
.
Поскольку в области достаточно жёстких на поперечные сдвиги
заполнителей параметр сдвига Ω близок к единице и слабо влияет
на форму волнообразования, при минимизации считаем его постоянным. Тогда в результате минимизации по параметрам λ и ψ можно
получить следующую зависимость для расчёта критических усилий:
T1
T1 = ,
(4.53)
1 + εT 1 + εT
T1
1 + β K1 /K2
; aT =
.
где T1 = k T10 ; εT = aT
2K1
2 + α1 / β
Сравнение соотношений (4.44) и (4.53) показывает, что расчётные
формулы (4.44) следует применять, если выполняется условие
K1
k
(4.54)
<
T10
1 + k aT 1 + k aT
Если же выполняется условие
K1
k
,
T10
1 + k aT 1 + k aT
(4.55)
то следует применять расчётные формулы (4.53).
В случае осесимметричной формы потери устойчивости (α1 > α2 ,
ψ = 0) необходимо положить k = 1, aT = 1.
Если величина εT мала (εT < 0,3), то достаточную точность для
расчёта критических усилий дают формулы (4.51).
Некоторые особенности имеет случай, когда несущие слои трёхслойной конструкции выполняются из изотропного материала (например, металла), а заполнитель представляет собой ортотропное тело
(например, соты). В этом случае в области слабых на поперечные
1 сдвиги заполнителей K1 < T10
, как следует из (4.42), (4.43), трёх2
слойная оболочка теряет устойчивость по осесимметричной форме,
а критические параметры выражаются следующим образом:
2K1
T1 = T 10 + K1 ; T 10 = T10
1 − b2 ; b = ;
T10
2
2
T10
=
B (1 − ν1 ν2 ) D ; T10
=
B (1 − ν1 ν2 ) D .
(4.56)
R
R
В областидостаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей
1 K1 T10
с учётом изотропности несущих слоёв из зависимости
2
(4.50) можно получить
110
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
2
T
1
+
ψ
K
/K
1
2
T1 = T10
1 − 10
;
4K1 1 + ψ 2 2
2
B 1 − ν 2 R2
λ4
λ
4
2
4
.
λ =
; λ = 4 ; λ =
2
D
1 + ψ2
1 − λ /k
12
Как видно, минимальное значение усилия T1 достигается при
максимуме вычитаемого в квадратной скобке. Можно показать, что
K
2
этот максимум достигается при ψ
= 1 − 2 2.
K1
Подставляя эту величину в формулы, получим значения критических параметров:
T10
1
T1 = T10 1 −
;
16K1 (1 − K2 /K1 ) K2 /K1
2
λ2 =
λ
1−
2
λ /k12
;
λ2
2
λ = ;
2 2
1 + ψ
k12 =
1
.
ω1 + ω2 ψ
(4.57)
Расчётные зависимости (4.57) пригодны, пока положительна вели2
чина ψ
, т. е. в случае
1
K2 < K1 .
(4.58)
2
1
В противном случае K2 K1 форма потери устойчивости ста2
новится осесимметричной, и формулы для расчёта критических параметров получаются при ψ = 0:
T10
λ2
T1 = T10 1 −
; ψ = 0; λ2 =
.
(4.59)
4K1
1 − T10
/2K1
Анализ полученных расчётных формул показывает, что критические
параметры при осевом сжатии трёхслойных ортотропных оболочек
определяются некоторыми обобщёнными жесткостями:
T10
— жесткостная характеристика несущих слоев, она соответствует критическому усилию при раздельной работе несущих слоев,
т. е. при отсутствии заполнителя;
T10
— жесткостная характеристика трёхслойного пакета, она соответствует критическому усилию в трёхслойной оболочке с абсолютно
жёстким на поперечные сдвиги заполнителем;
K1 , K2 — жесткостные характеристики заполнителя — жёсткости
их на поперечные сдвиги соответственно в осевом и кольцевом направлениях.
Кроме этого, расчётные формулы содержат безразмерные параметры
анизотропии: α1 , α2 , β1 , β2 , k .
Обобщённые жёсткости не только определяют форму волнообразования при потере устойчивости и критические усилия, но и помогают
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
111
установить основные закономерности потери устойчивости, границы
применимости математических моделей и погрешности их применения.
На рис. 4.12 показана типичная зависимость относительной вели
чины критического усилия T1 /T1 (T1 = k T10
) от относительной
сдвиговой жёсткости K1 /T10 трёхслойной оболочки. Кривые построены
для оболочки со следующими обобщёнными жесткостями и параметрами анизотропии:
T10
= 16,0 КПа·м;
K1 = K2 = K ;
α1 = 0,76;
α2 = 6,82;
T10
= 816,7 КПа·м;
25 КПа·м K 5256 КПа·м;
β = 1;
kорт = 0,56;
aT = 0,72.
Линией ( ) показана точная кривая, полученная в результате минимизации соотношения (4.39) по параметрам волнообразования λ и n,
линией ( ) обозначена кривая, построенная с помощью формул (4.53),
а линией ( ) показана кривая, построенная на основе формул (4.44).
Как видно, предложенные расчётные формулы (4.44), (4.53) дают
результаты, практически совпадающие с точным решением.
Результаты расчёта критических параметров помещены также
K
1
в табл. 4.2. Из таблицы следует, что в области 1 ≈
происходит
T10
2
резкое перестроение критических параметров: параметр λ волнообразования в осевом направлении уменьшается примерно в 10
раз,параметр ψ возрастает от 0 до 1. При этом критическое значение
Ω функции, характеризующей жёсткость трёхслойной оболочки при
поперечном сдвиге, возрастает в десятки раз и становится по порядку
близкой к единице. Последнее обстоятельство ещё раз указывает
K
1
на то, что при выполнении условия 1 >
можно использовать
T10
2
модель прямой линии (типа сдвиговой модели С.П. Тимошенко).
Как
видно из рис. 4.12, в области слабых на сдвиги заполните1 лей K1 < T10
критические усилия осевого сжатия практически
2
прямо пропорциональны жёсткости заполнителя на сдвиг. В области
оболочек с достаточно
жёстким на поперечные сдвиги заполнителем
1 K1 T10
критические усилия слабо зависят от поперечных сдви2
гов: увеличение сдвиговой жёсткости в несколько раз приводит к увеличению критических усилий лишь на несколько процентов.
Учитывая, что сдвиговая жёсткость заполнителя пропорциональна его удельной плотности, можно рекомендовать в области слабых
заполнителей увеличивать критическое усилие за счёт увеличения
сдвиговой жёсткости K1 оболочки. В области достаточно жёстких
заполнителей влияние поперечных сдвигов мало́, и критическое усилие
следует увеличивать за счёт повышения жёсткости несущих слоёв
на растяжение-сжатие или увеличения «разноса» несущих слоёв.
0
0,5
1,0
Формула (4.44)
Формула (4.53)
1,5
2,0
Формула (4.39)
2,5
3,0
3,5
K/T10
Рис. 4.12. Зависимость безразмерного критического усилия при осевом сжатии трёхслойной цилиндрической оболочки
от безразмерной жёсткости на поперечные сдвиги
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
T1 /T1
112
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
K1 , КПа·м
25,0
50,1
75,1
125,1
175,2
200,2
250,3
375,4
500,6
1001,2
1501,7
2502,9
3754,3
5256,0
G13 , МПа
1
2
3
5
7
8
10
15
20
40
60
100
150
210
6,44
4,59
3,06
1,84
1,23
0,61
0,46
0,31
0,25
0,21
0,15
0,09
0,06
0,03
K1 /T10
(4.39)
0,99
0,99
0,98
0,96
0,95
0,88
0,83
0,58
0,47
0,41
0,31
0,20
0,14
0,09
T1 /T1
(4.44)
—
—
—
—
—
—
0,83
0,56
0,45
0,40
0,29
0,18
0,13
0,07
T1 /T1
(4.53)
0,98
0,98
0,97
0,95
0,93
0,87
0,83
0,78
0,74
—
—
—
—
—
T1 /T1
6
6
6
6
6
8
10
82
86
88
90
92
92
82
λ
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,88
0,70
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,28
ψ = n /λ
0,98
0,97
0,95
0,93
0,89
0,72
0,59
0,0152
0,0111
0,0093
0,0064
0,0037
0,0024
0,0016
Ω
Т а б л и ц а 4.2
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
113
114
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Можно построить критерий эффективности ортотропных трёхслойных оболочек при работе на осевое сжатие. Из формулы (4.44) следует,
что трёхслойная оболочка эффективна, если выполняется условие
2
2K1
K1 T10
1−
= T 10 ,
(4.60)
T10
т. е. критическое усилие в трёхслойной оболочке должно значительно превосходить аналогичное усилие в соответствующей однослойной
оболочке. Это значит, что соединять мощные несущие слои со слабым
на поперечные сдвиги заполнителем нерационально.
Анализ соотношений между обобщёнными жесткостями позволяет
установить границы применимости различных математических моделей, используемых при расчётах трёхслойных конструкций.
Так, модель прямолинейного элемента (типа сдвиговой модели
С. П. Тимошенко) получается из модели ломаной линии, если пренебречь жёсткостью несущих слоёв, т. е. принять K1 T 10 . Этот же
критерий является критерием эффективности трёхслойных конструкций, поэтому многие трёхслойные оболочки сопротивляются адекватно
модели прямолинейного элемента. Погрешность Δ применения такой
модели относительно модели ломаной линии составляет
2
T10
2K1
Δ <
1−
.
(4.61)
K1
T10
Еще раз отметим, что возможность применения модели прямолинейного элемента связана не с малостью собственной изгибной жёсткости D1 несущих слоёв по сравнению с полной изгибной жёсткостью
трёхслойного пакета D1 , а с величиной сдвиговой жёсткости K1 трёх
слойного пакета при выполнении условия K1 T 10 .
Если заполнитель имеет высокую жёсткость на поперечные сдвиги,
то можно переходить от модели прямолинейного элемента к классической оболочечной модели с неизменной нормалью. В этом случае
погрешность Δ
применения классической модели составит
Δ
< k
T10
.
4K1
(4.62)
С помощью соотношений между обобщёнными жесткостями можно
оценить влияние
граничных
условий. В оболочках со слабым на сдвиги
1 заполнителем K1 < T10
критическое усилие определяется в основ2
ном сдвиговой жёсткостью K1 (T1 ≈ K1 ), которая не зависит от граничных условий. Поэтому влияние граничных условий вэтом случае
1 минимально. В случае достаточно жёстких заполнителей K1 > T10
2
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
115
трёхслойные оболочки ведут себя аналогично классическим с неизменной нормалью, и оценки влияния граничных условий можно проводить,
опираясь на результаты [8, 14, 29].
4.2.2. Осевое сжатие: сравнение теоретических и экспериментальных данных. Как показывают полученные выше результаты,
форма волнообразования трёхслойных ортотропных оболочек однозначно определена, поэтому (если отсутствуют дефекты расслоения) можно
ожидать хорошего согласования теоретических и экспериментальных
результатов. Этому способствует и ряд других факторов.
В частно
1 основную долю
сти, в области слабых заполнителей K1 < T10
2
в критическое усилие вносит величина K1 (см. формулу 4.44), которая
не подвержена влиянию начальных неправильностей формы оболочки.
жёстких на поперечные сдвиги заполнителей
В области
1 K1 > T10 влияние сдвигов играет поправочную роль, и трёх2
слойные оболочки теряют устойчивость практически так же, как
и классические ортотропные оболочки с неизменной нормалью. В этом
случае для оценок можно воспользоваться результатами сравнительного экспериментально-теоретического анализа для классических
оболочек (см. п. 4.1.2).
Количественным показателем различия между теоретическими
и экспериментальными значениями критических усилий служит, как
известно, так называемый коэффициент устойчивости:
P
,
P
где P — экспериментальное значение критической силы осевого
сжатия, P — её теоретическое значение.
На этот коэффициент при расчётах критических усилий следует
умножать теоретические значения критических нагрузок. Значения коэффициента устойчивости k определяются испытаниями образцов —
моделей и натурных трёхслойных конструкций.
Постановка задачи и планирование экспериментальных исследований критических нагрузок на образцах — моделях трёхслойных конструкций — имеют некоторые особенности. Во-первых, модель и натурная конструкция должны иметь соответствующие соотношения между
, T10
, K1 , K2 . В частности, и модель,
обобщёнными жесткостями T10
и натурная конструкция должны быть адекватны по относительной
жёсткости заполнителя, т. е. обе должны находиться либо в области
слабых на поперечные сдвиги заполнителей, где выполняется усло1 , либо в области достаточно жёстких на поперечные
вие K1 < T10
k =
2
1
сдвиги заполнителей, где K1 > T10
. Короче говоря, и модельная
2
образец-оболочка и натурная конструкция должны иметь близкие зна
. В области слабых на поперечные сдвиги
чения величины K1 /T10
116
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
1 оболочек K1 < T10
необходимо также, чтобы для оболочки-модели
2
и натурной конструкции соблюдалась близость отношения T10
/K1 .
Тем самым для модели и натуры будет соблюдено соотношение между
двумя слагаемыми в формулах (4.44), (4.47).
Во-вторых, при проектировании оболочек-моделей для экспериментальных исследований необходимо следить, чтобы формы потери устойчивости модели и натуры были одинаковы. Если расчёты натурной
конструкции показали, что она теряет устойчивость по общей форме
(общий изгиб трёхслойного пакета), то и модель необходимо спроектировать на такую же форму потери устойчивости. В области слабых
заполнителей, например, пенопластов, может случиться, что натурная
конструкция теряет устойчивость по местной форме (сморщивание
несущих слоёв без изгиба пакета как единого целого). В этом случае
и модель должна быть спроектирована таким образом, чтобы форма
потери устойчивости модели была местной.
Кроме того, надо соблюдать определённую идентичность параметров анизотропии натурного изделия и модели. Важно, например, чтобы
для натуры и модели одновременно выполнялось неравенство α1 < α2
(или α1 > α2 , или α1 = α2 ), чтобы были близки параметры β1 и β2 .
В итоге у натуры и модели должны быть близки параметры анизотропии kорт .
Систематические данные по сравнению теоретических и экспериментальных значений критических нагрузок в трёхслойных оболочках
малочисленны [77], хотя имеется довольно много публикаций экспериментальных результатов [3, 27, 39, 48, 50, 80, 84]. В ряде работ
модельные оболочки спроектированы и изготовлены такими, что их
сдвиговая жёсткость K1 меньше или даже много меньше, чем величина
T10
, характеризующая критическое усилие для раздельно сопротивляющихся несущих слоёв, что не характерно для силовых трёхслойных
оболочек. В силу этого полученные экспериментальные результаты не
имеют большого практического значения, хотя и представляют определённый методический интерес. Некоторые модели имели явно заниженные значения экспериментальных критических нагрузок: видимо,
имели место неконтролируемые расслоения.
Экспериментальные результаты, представленные в ранних работах
[80, 84], носят противоречивый характер, в них отсутствуют некоторые
исходные характеристики исследуемых конструкций, что не позволяет провести собственные расчёты, поэтому сделать на их основе
какие-либо определённые выводы о поправочных экспериментальных
коэффициентах не представляется возможным.
В [3] приводятся результаты экспериментальных исследований
и расчётов критических нагрузок при осевом сжатии трёхслойных
оболочек с алюминиевыми несущими слоями и сотовым алюминиевым заполнителем. Радиус оболочек составлял R = 70 см; толщина
заполнителя δ = 0,3 ÷ 0,8 см; толщина несущих слоёв составляла
117
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
h = 0,26 ÷ 0,39 мм; отношение радиуса к полной толщине трёхслойного
пакета находится в пределах 80 ÷ 200. Модуль сдвига заполнителя
не приводится, но сотовые заполнители обычно имеют высокую сдви
говую жёсткость, и выполняется условие K1 /T10
> 1/2. Поскольку
из-за отсутствия исходных данных не удалось провести расчёты критических нагрузок, были использованы результаты расчётов автора.
В табл. 4.3 приводятся значения коэффициентов k устойчивости для
пяти испытанных цилиндрических оболочек.
Т а б л и ц а 4.3
№
оболочек
k [3]
1
2
3
4
5
0,82 0,90 0,77 0,77 0,51
6
7
8
9
10
11
—
—
—
—
—
—
k [48] 0,56 0,62 0,75 0,40 0,77 0,52 0,60 0,37 0,67 0,52 0,47
k [50] 0,88 1,00 0,79 1,03 0,88 0,80 0,79 0,94 0,90 1,00
k [27] 0,96 1,00 1,01 0,88 0,90 0,99 1,04
—
—
—
—
k [39] 0,65 0,81 0,81 0,86 0,58 0,87
—
—
—
—
—
Для пятой оболочки, несущие слои которой были очень тонкими,
получено минимальное значение коэффициента k = 0,51. Толщина
каждого составляла 0,26 мм, что в полтора раза меньше толщины
несущих слоёв других оболочек. В связи с этим на значении критической нагрузки могло сказаться влияние дефектов изготовления или
возможных непроклеев.
В [48] представлены результаты экспериментальных исследований
устойчивости при осевом сжатии трёхслойных цилиндрических оболочек со стеклопластиковыми несущими слоями и пенопластовым заполнителем. Испытанные оболочки (11 штук) относятся к классу оболочек
со слабым на поперечные сдвиги заполнителем. Обобщённые жёсткости оболочек имели следующие характеристики:
T10
= 67 ÷ 337 кгс/см;
T10
= 1674 ÷ 3923 кгс/см;
K1 = 114 ÷ 140 кгс/см.
Расчёты теоретических значений критических нагрузок проведены с помощью соотношений (4.44). Результаты расчёта коэффициентов k помещены в табл. 4.3. Как видно, коэффициенты устойчивости
имеют значительный разброс, их значения сравнительно невелики.
Анализ показал, что несущие слои рассмотренных оболочек выполнены
в виде малослойных пакетов (3 ÷ 4 слоя), и лишь оболочка № 3
118
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
(k = 0,75) имеет семислойные несущие слои. Несущие слои оболочки № 5 (k = 0,77) выполнены в виде четырёхслойных пакетов.
Отметим также, что обобщённые жёсткости T10
и K1 — одного
порядка, что не характерно для силовых трёхслойных конструкций,
для которых обычно должно выполняться условие T1 K1 .
В [50] исследуется устойчивость цилиндрических трёхслойных оболочек также со стеклопластиковыми несущими слоями и пенопластовым заполнителем. На действие осевого сжатия испытано 10 моделей
со следующими значениями обобщённых жесткостей:
T10
= 160 ÷ 260 кгс/см;
T10
= 700 ÷ 1300 кгс/см;
K1 = 70 ÷ 90 кгс/см.
Как видно, и в этом
оболочки со слабым
случае фигурируют
1 на сдвиги заполнителем K1 < T10
. При этом жёсткость K1 запол2
нителя на поперечные сдвиги в 2 ÷ 3 раза меньше обобщённой жёст
несущих слоёв, что не типично для силовых трёхслойных
кости T10
конструкций.
Результаты расчёта коэффициента k на основе соотношений
(4.44) и экспериментальных данных [50] помещены в табл. 4.3.
Как видно, разброс коэффициентов k сравнительно небольшой.
Среднее значение составляет k = 0,90, коэффициент вариации r = 0,1.
Анализируя представленные сравнительные результаты, можно заключить, что согласование теоретических и опытных вполне хорошее.
Несущие слои рассмотренных моделей выполнены в виде многослойных (5 ÷ 7 слоёв) пакетов. К сожалению, испытанные образцы обо
лочек (K1 < T10
) не моделируют большинство силовых трёхслойных
.
конструкций, для которых характерна зависимость K1 T10
Заметим, что полученные инженерные формулы (4.44) дают результаты, практически совпадающие с точным решением [49], в котором
заполнитель рассматривается как трёхмерное упругое тело. Это ещё
раз подтверждает высокую эффективность математической модели, основанной на гипотезах ломаной линии даже в случае очень слабого
заполнителя.
В [27] приведены результаты испытаний на осевое сжатие семи
трёхслойных оболочек со стеклопластиковыми несущими слоями и пенопластовым заполнителем. Исследовались оболочки того же типа,
что и в [50]. Значение коэффициентов k приведены в табл. 4.3.
Обратим внимание, что в [27] так же, как и в [50], испытаны оболочки
со слабым на сдвиг заполнителем (K1 < T10
). Как следует из табл. 4.3,
теоретические и экспериментальные результаты хорошо согласуются
(коэффициент k близок к единице). Отметим, что несущие слои
в рассмотренных трёхслойных оболочках выполнены одинаковыми,
каждый в виде четырёхслойного пакета.
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
119
В [39] приводятся результаты испытаний на осевое сжатие шести
цилиндрических трёхслойных оболочек со стеклопластиковыми несущими слоями и довольно податливым (G = 40 кгс/cм2 ) пенопластовым
и жёсткость на поперечные
заполнителем. Обобщённая жёсткость T10
сдвиги K1 заполнителя близки:
T10
= 50 ÷ 150 кгс/см;
K1 = 50 ÷ 85 кгс/см.
на то, что заполнитель — слабый на сдвиги
Это указывает
1 , а выбранный тип модельных оболочек (K1 T10
) не отK1 < T10
2
ражает законы сопротивления силовых трёхслойных конструкций. Тем
не менее, работа представляет большой методический интерес.
Результаты сравнения расчётов по предложенным выше формулам
(4.44) и экспериментальных данных по шести указанным оболочкам
приведены в табл. 4.3. Как видно из таблицы, наибольшее расхождение
между теорией и экспериментом наблюдается в оболочках № 1 и № 5.
Авторы указывают на наличие непроклеев в этих оболочках. Можно
отметить также, что оболочки № 1 и № 5 имеют наименьшую толщину
несущих слоёв.
Анализ представленных выше экспериментальных данных показывает, что испытаниям на осевое сжатие подвергались два типа трёхслойных конструкций. В [3] исследовались оболочки с металлическими
(алюминиевыми) несущими слоями и достаточно жёсткими на поперечные сдвиги сотовым заполнителем. Обычно для таких конструкций
1 , а влияние поперечных сдвигов
выполняется соотношение K1 > T10
2
на значение критической нагрузки не превышает 10 ÷ 20 %. Результаты
сравнения теоретических и экспериментальных результатов показаны
в табл. 4.3. Если отбросить явно выпадающий коэффициент k = 0,51,
то среднее значение коэффициентов устойчивости составит k = 0,81.
Если учесть все пять экспериментальных результатов, то среднее значение коэффициента устойчивости составит k = 0,75. По причине
отсутствия достаточного материала для статистической обработки это
последнее значение можно рекомендовать в качестве первого приближения для оценки поправочного коэффициента k при расчётах
на устойчивость трёхслойных металлических цилиндрических оболочек с сотовым заполнителем в случае действия осевых сжимающих
сил. Как отмечалось выше, довольно высокое значение коэффициентов устойчивости для рассматриваемого класса трёхслойных оболочек
обусловлено, в частности, однозначной определённостью форм волнообразования, рассчитанных по формулам (4.57), (4.59). При этом предполагается, что в оболочках отсутствуют дефекты типа расслоений,
непроклеев и т. п.
Второй тип конструкций представляет собой трёхслойные цилиндрические оболочки со стеклопластиковыми несущими слоями и пенопластовым заполнителем. При этом жёсткость K1 трёхслойного пакета
120
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
на поперечные сдвиги достаточно мала, она меньше или порядка ве
личины T10
, характеризующей обобщённую жёсткость несущих слоёв.
Результаты испытаний такого рода конструкций даются в [27, 39, 48,
50]. Полученные на основе результатов [48] коэффициенты k имеют
большой разброс и, судя по дальнейшим публикациям авторов [27, 50],
носят предварительный характер, поэтому для статистического анализа
они не используются. Статистический анализ проводится на основе результатов [27, 39, 50]. Значения коэффициентов устойчивости
k рассчитаны для 21 экспериментальной оболочки. Статистический
анализ результатов этих испытаний показал, что среднее значение
коэффициента устойчивости k составляет k = 0,91; среднеквадратичное отклонение σ = 0,085; коэффициент вариации r = 0,093.
Полученные результаты относятся к трёхслойным оболочкам с очень
). Такого рослабым на поперечные сдвиги заполнителем (K1 T10
да оболочки не характерны для трёхслойных силовых конструкций,
. Однако можно ожидать,
где обычно выполняется условие K1 T10
что для силовых оболочек (K1 T10 ) с пенопластовым заполнителем
поправочный экспериментальный коэффициент k будет не меньше
полученного выше. В этом случае критическое усилие вычисляется по
формуле (4.44), где определяющую роль играет величина K1 , которая
не подвержена влиянию начальных неправильностей формы оболочки.
Следовательно, критическая нагрузка T1 = K1 + T 10 при выполнении
для оболочек условия K1 T 10 в ещё меньшей степени подвержена
влиянию начальных несовершенств формы по сравнению с испытанны
ми оболочками [27, 39, 50], для которых K1 T10
.
4.2.3. Действие внешнего давления. Для исследования критических параметров цилиндрических трёхслойных ортотропных оболочек
при потере устойчивости от внешнего бокового давления воспользуемся соотношениями, полученными на основе полубезмоментной модели
сопротивления. Это можно сделать, поскольку в этом случае при потере устойчивости образуется одна полуволна в осевом направлении
(λ = λ1 ). С учётом сказанного из соотношений (1.23), (3.5) получим
следующую зависимость для анализа критических параметров:
2
D2∗
n − 1 B1 1 − ν1 ν2 λ41
. (4.63)
T2 = D2 +
+
R2
1 + ω1 λ21 + ω2 n2 − 1
n4 n2 − 1
Зависимость (4.63) можно записать в следующей более удобной для
анализа форме:
2
D∗
n −1
B 1 λ41
;
T2 = D2 +
+
R2
1 + ω n2 − 1
n4 n2 − 1
D∗ =
D2∗
;
1 + ω1 λ21
B 1 = B1 1 − ν1 ν2 ;
ωp =
ω2
.
1 + ω1 λ21
(4.64)
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
121
В
слабого на поперечные сдвиги заполнителя
случае
(ω n2 − 1 1) соотношение (4.64) преобразуется к виду
T2 = D2
n2 − 1
B 1 λ4
+ 4 2 1 + K2 .
2
R
n n −1
(4.65)
В том случае, когда жёсткость заполнителя на поперечные сдвиги
достаточно велика и выполняется условие
D∗
D2 ,
1 + ω n2 − 1
(4.66)
из соотношения (4.64) можно получить:
T2 =
D
B 1 λ4
n2 − 1
+ 4 2 1 ;
2
2
R
1 + ω n − 1
n n −1
Dp =
D2
.
1 + ω1 λ21
(4.67)
В зависимости (4.65) для слабых на сдвиги заполнителей первые
два слагаемых определяют критическое кольцевое усилие T2 в оболочке
с раздельно сопротивляющимися несущими слоями, а третье слагаемое
определяет вклад заполнителя. Критическое усилие получается минимизацией выражения (4.65) по параметру n волнообразования. Как следует из (4.65), критический параметр n волнообразования в случае
слабого на поперечные сдвиги заполнителя не зависит от жёсткости K2
заполнителя, а определяется лишь жесткостными свойствами несущих
слоёв. В результате, проводя минимизацию, получим
T2 = T2 + K2 .
(4.68)
Здесь T2 — критическая нагрузка для раздельно сопротивляющихся
слоёв.
Если число волн достаточно велико (n2 1), то критическое усилие T2 для раздельно работающих слоёв можно найти в соответствии
с (4.23):
T2 =
1,75π
R1/2
4
B 1 (D2 )3 ;
λ = λ1 =
πR
;
n8 = n8 = 3λ41
B 1 = B1 1 − ν1 ν2 .
B 1 R2
;
D2
(4.69)
В случае достаточно жёсткого на поперечные сдвиги заполнителя,
когда выполняется зависимость (4.66), следует применять соотношение (4.67). Критические параметры получаются минимизацией соотношения (4.67) по параметру волнообразования n. В случае достаточно большого числа n (n2 1) указанную минимизацию можно
122
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
провести аналитически [72]. В результате получим следующие выражения для критических параметров:
1 + t2 + 1
T2 = T f (t) ; n2 = n2
;
t
0,5
8 K2
t
fp (t) = 1− ; t=
;
3 T
t2 + 1 + 1
1 + t2 + 1
1,75π 4
4
B 1 Dp3 ≈ T2 =
B 1 D23 ;
R1/2
2
2
8
4 B1 1 − ν1 ν2 R
8
4 1 1 − ν1 ν2 R
n = 3λ1
≈ n = 3λ1
.
D
D2
T =
1,75π
R1/2
(4.70)
Функция fp (t) характеризует влияние поперечных сдвигов заполнителя на критическое усилие трёхслойной оболочки. При достаточно
больших величинах t (жёсткие на сдвиги заполнители) функция fp
близка к единице, и оболочка сопротивляется в соответствии с классическими гипотезами.
Для малых t (t 1,6) функция f (t) аппроксимируется выражением
f (t) =
3 t 1 − 0,14t2 .
8
Учитывая зависимости (4.71) и (4.68), из (4.70) найдём
2 K2
T2 = T2 + K2 1 −
.
T
(4.71)
(4.72)
Эта формула работает в области слабых на сдвиги заполнителей,
когда выполняется условие
K2 1
1
T ≈ T2 .
2
2
(4.73)
Если заполнитель достаточно жёсткий на сдвиги (t > 1,6), то функцию fp (t) можно представить в виде
f (t) = 1 −
3
8
+ 2.
2t 9t
(4.74)
С учётом этой зависимости из (4.70) получим формулу для расчёта
критического усилия:
2 9 T
1 T
T2 = T 1 −
+
(4.75)
.
16 K2
8 K2
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
123
Эта формула применима при выполнении условия
K2 >
1
1
T ≈ T2 .
2
2
(4.76)
Для достаточно длинных оболочек (λ1 → 0) критическое усилие
определяется выражением, полученным из (4.63):
2
D2∗
n −1
T2 = D2 +
.
(4.77)
R2
1 + ω2 n2 − 1
Зависимость (4.77) соответствует критической нагрузке в трёхслойном кольце, нагруженном внешним давлением. Нетрудно показать, что
минимум выражения (4.77) достигается при n = 2. В итоге получим
следующую расчётную формулу:
D2∗
3
.
T2 = 2 D2 +
(4.78)
R
1 + 3ω2
Из расчётных формул (4.70), (4.72), (4.75) следует, что при действии внешнего давления критические усилия зависят от трёх параметров T2 , T2 , K2 , характеризующих жёсткости несущих слоёв,
трёхслойного пакета в целом и заполнителя:
T2 — критическое усилие, соответствующее раздельно работающим несущим слоям;
T2 — критическое усилие для трёхслойной оболочки с абсолютно
жёстким на сдвиги заполнителем;
K2 — жёсткость на сдвиги трёхслойного пакета в кольцевом направлении.
Назовём эти параметры обобщёнными жесткостями трёхслойной
цилиндрической оболочки при её сопротивлении внешнему давлению.
Этими тремя параметрами определяются не только критические
усилия, но и критерии применимости различных математических моделей. Если заполнитель очень слабо сопротивляется сдвигу (K2 T2 ),
то несущие слои работают независимо друг от друга, и трёхслойная конструкция в силовом отношении неэффективна. Если сдвиговая
жёсткость пакета такова, что выполняется условие K2 ∼ T2 , то оболочка сопротивляется в соответствии с гипотезами ломаной линии.
В этом случае пренебрежение собственными изгибными жесткостями
несущих слоёв недопустимо. Для умеренно жёстких на сдвиги пакетов
(K2 T2 ), как следует из (4.72), можно применять гипотезы прямолинейного элемента, что соответствует в данном случае так называемой
сдвиговой форме потери устойчивости:
2 K2
1
T2 = K2 1 −
; K2 < T2 .
(4.79)
T2
2
124
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
1
При достаточно жёстких на сдвиги заполнителях K2 > T2 ,
2
как следует из (4.75), сдвиговые факторы играют поправочную роль,
оболочка сопротивляется в соответствии с гипотезами прямолинейного
элемента. При K2 > 10T2 поправка, вносимая поперечными сдвигами,
не превосходит 5 %, в технических расчётах ею можно пренебречь,
считая нормаль трёхслойной оболочки недеформируемой.
Необходимо иметь в виду, что применение рекомендованных формул обусловлено выполнением условия n2 1. Если это условие не выполняется, то критические усилия определяются дискретной минимизацией по n выражения
(4.63).
Обычно в области слабых на сдвиги
1
заполнителей K2 T2 указанные условия выполняются. Для дос2
1
таточно жёстких на сдвиги пакетов K2 > T2 форма волнообразо2
вания близка к форме для оболочек с абсолютно жёстким на сдвиги
заполнителем (n ≈ n ). В этом случае, если не выполняется условие
n2 > 1, хорошие результаты даёт подстановка в (4.63) величины n ,
вычисленной по формуле (4.70).
При исследовании устойчивости при внешнем давлении трёхслойных конструкций с дискретными шпангоутами необходимо иметь в виду, что для слабых на сдвиги заполнителей критическое усилие опреусловий.
деляется величиной K2 , которая не зависит от граничных
1
Для достаточно жёстких на сдвиги пакетов K2 > T2 определяю2
щую роль играет критическое усилие T2 , вычисленное для оболочки
с абсолютно жёстким на сдвиги заполнителем. В этом случае подкрепляющее влияние дискретных шпангоутов учитывается также, как для
классических оболочек [1].
В заключение отметим, что результаты ряда экспериментов [27]
по нагружению внешним давлением трёхслойных цилиндрических оболочек показывают хорошее согласование теоретических и экспериментальных значений критических параметров.
4.2.4. Особенности расчёта трёхслойных оболочек при кручении. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек при действии
крутящего момента M исследуется на основе соотношений (3.2),
(3.5). Полагая в них T1 = T2 = 0, получим следующие разрешающие
соотношения для определения критических параметров [66]:
λ2 F1 (ψ)
B
+ 2 2 ;
2
R
λ F2 (ψ)
n n2 − 1
D2∗
B 1 λ3
2S = D2 +
+ 3 2
;
2
2
2
1 + ω1 λ + ω2 (n − 1)
λR
n (n − 1)
2ψ S = [D1 + D1∗ Ω (λ, ψ)]
S=
M
;
2πR2
λ=
mπR
;
l
ψ=
n
.
λ
(4.80)
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
125
В соотношениях (4.80) сохранены обозначения (1.4), (1.5), (4.40).
Первое из соотношений (4.80) соответствует пологим оболочкам, второе — непологим полубезмоментным. Здесь m и n — числа полуволн
в осевом и волн в кольцевом направлениях соответственно.
Заметим, что соотношения (4.80) получены лишь при частичном
выполнении условий шарнирного опирания. Ниже будет показано, что
в случае слабых на поперечные сдвиги заполнителей критические параметры слабо зависят от граничных условий и определяются первым
соотношением (4.80), а в оболочках с достаточно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем расчётные формулы будут скорректированы
в соответствии с результатами [24], где граничные условия удовлетворяются точно.
Рассмотрим сначала трёхслойные оболочки со слабым на поперечные сдвиги заполнителем, когда выполняется условие ω2 + ω1 ψ 2 ω1 ω2 λ2 F2 (ψ). В этом случае функция Ω (λ, ψ), характеризующая
податливость трёхслойной оболочки на поперечные сдвиги, приводится
к виду (4.41):
K1 + K2 ψ 2 2
K1 + K 2 ψ 2 2
R 1− ∗ 2
R ;
Ω (λ, ψ) = ∗ 2
D1 λ F1 (ψ)
D1 λ F2 (ψ)
K1 + K2 ψ 2 2
R 1.
D1∗ λ2 F1 (ψ)
Подставляя это выражение в первое соотношение (4.80), после алгебраических преобразований получим:
2 B2
K1 + K2 ψ 2
D1 λ2 F1 (ψ)
2ψ S =
+ 2
1− 2
+ K1 + K2 ψ 2 ;
∗
R2
λ F2 (ψ)
T10
2
B 2 D1∗ .
(4.81)
R
Для определения критического сдвигающего усилия S выражение
(4.81) необходимо проминизировать по параметрам волнообразования
λ и ψ . Проводя минимизацию по параметру λ, найдём:
2
1
K1 + K2 ψ 2
2S = [K1 + T (ψ)] + K2 ψ ; T (ψ) = k (ψ) T10 1 − 2
;
∗
ψ
T10
∗
T10
=
k (ψ) =
λ4
F1 (ψ)
;
F2 (ψ)
T10
=
2
R
B 2 D1 ;
λ40 =
B 2 R2
;
D1
2 λ40
K1 + K2 ψ 2
=
1− 2
.
∗
F1 (ψ) F2 (ψ)
T10
(4.82)
126
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Из полученных соотношений видно, что они пригодны, если выпол2
∗
няется условие K1 + K2 ψ
< 0,5 T10
, т. е. оболочка имеет не слишком
большие жёсткости на поперечные сдвиги.
Проминимизируем величину S в соотношении (4.82) по параметру ψ . Как показал анализ, величина T (ψ) в области критических
значений параметра ψ слабо зависит от этого параметра; кроме того,
в трёхслойных конструкциях, как правило, K1 T (ψ). Учитывая сказанное, при минимизации будем полагать величину T (ψ) постоянной.
Тогда можно получить:
K1 + T (ψ )
2
S = (K1 + T (ψ ))K2 ; ψ
=
.
K2
K
2
Поскольку K1 T (ψ), примем ψ
= 1 . Кроме этого, в некоторый
K2
«запас» примем k(ψ) = k , где k — коэффициент ортотропии, вычисляемый по формулам (4.9) или (4.12) для несущих слоёв и не превосходящий единицы (k 1).
В итоге выражения (4.82) для расчёта критических параметров
принимают вид:
K1 + T 2
S = (K1 + T )K2 ; ψ
=
;
K2
2
4K1
T = k T10 1 −
;
∗
T10
2 λ40
4K1
B 2 R2
4
λ =
1−
; λ40 =
.
(4.83)
∗
F1 (ψ )F2 (ψ )
T10
D1
Как видно, зависимости (4.83) применимы для слабых на поперечные сдвиги заполнителей, когда выполняется условие
1 ∗
T .
(4.84)
4 10
Если это условие не выполняется, то T = 0, и из соотношений
(4.83) получим:
K1
2
S = K1 K2 ; ψ
=
.
(4.85)
K2
Из (4.85) следует, что критическая нагрузка S не зависит от
формы (кривизны) оболочки, т. е. формулы (4.85) можно применять
для оценки сдвиговых критических усилий в оболочках вращения
произвольной формы и в пластинах.
Формулы (4.85) соответствуют так называемой сдвиговой форме
потери устойчивости и совпадают с результатом [85], который как
частный случай получается из (4.83), если пренебречь изгибной жёст
костью несущих слоёв (T10
= 0).
K1 4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
127
В трёхслойных конструкциях обычно изгибная жёсткость пакета D1
много больше изгибной жёсткости D1 отдельно взятых несущих слоёв
(D1 > D1 ), поэтому выполняется условие D1∗ ≈ D1 . Тогда в формулах
(4.83), (4.84) можно полагать
2
∗
T10
≈ T10
=
B 2 D1 .
R
Анализ расчётных соотношений (4.83), (4.84) приводит к интересному выводу о том, что при потере устойчивости от кручения трёхслойных оболочек, достаточно коротких и со слабым на поперечные сдвиги
2
1 (n2 λ2 ),
(4.84) заполнителем, не выполняется условие ψ
характерное для классических оболочек. Поскольку анизотропия слабых на поперечные сдвиги заполнителей (типа пенопластов) невелика
2
∼ 1, т. е. λ ∼ n . Из (4.83)
(K1 ∼ K2 ), то из (4.83) следует, что ψ
следует также, что параметры λ и n волнообразования в этом
случае являются большими величинами, т. е. при потере устойчивости
от кручения в трёхслойных оболочках со слабым на сдвиги заполнителем образуется большое число ромбовидных волн. Образование
большого числа коротких волн свидетельствует о слабой зависимости
критической нагрузки от граничных условий. Формально этот вывод
следует из соотношений (4.83), в которых от граничных условий зависит лишь малая величина T K1 . Заметим также, что величина
критического усилия не зависит от длины оболочки.
Для достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей, когда
ω2 + ω1 ψ 2 ω1 ω2 λ2 F2 (ψ), как показывает численный анализ, закономерности сопротивления трёхслойных оболочек аналогичны закономерностям для классических оболочек: в продольном направлении образуется одна полуволна, сопротивление оболочки хорошо описывается
полубезмоментной теорией, а критические параметры определяются
πR
:
из второго соотношения (4.80) при λ = λ1 =
Dp∗
n(n2 − 1)
B 1 λ31
2S = D2 +
+
;
1 + ωp (n2 − 1)
λ1 R 2
n3 (n2 − 1)
Dp∗ =
D2∗
;
1 + ω1 λ21
ωp =
ω2
;
1 + ω1 λ21
λ1 = λ =
πR
.
(4.86)
Критическое усилие в этом случае существенно зависит от длины
оболочки. С учётом зависимостей D2 Dp∗ ≈ Dp соотношения (4.86)
можно записать следующим образом:
2S =
Dp
n(n2 − 1)
B 1 λ3
+ 3 2 1 ;
2
2
1 + ωp (n − 1) λ1 R
n (n − 1)
Dp =
D2
. (4.87)
1 + ω1 λ21
Критическое усилие S получается отсюда минимизацией по параметру волнообразования n.
128
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Соотношение (4.87) соответствует модели прямолинейного элемента
(типа сдвиговой модели С. П. Тимошенко). Если число кольцевых волн
достаточно велико (n2 1), то приходим к зависимости для пологих
полубезмоментных оболочек:
2S =
n3
B 1 λ31
Dp
+
.
2
2
1 + ωp n λ1 R
n5
(4.88)
Это выражение можно в аналитическом виде проминимизировать
по параметру n и получить формулы для расчёта критических параметров:
πR
s2 + 1 + 1 2
ns ; λ = λ1 =
S = Sp fs (s); ; n =
;
s
s
0,75
K2
fs (s) = 1− ; s = 3,7
;
Tp
s2 + 1 + 1
s2 + 1 + 1
3,3
3,3
3
3
8
8
Sp = 1/2 3/4 B 1 Dp5 ≈ S = 1/2 3/4 B 1 D25 ;
R
R
2
2
BR
4 B1R
n2s = 2,7λ1 4
≈ n2 = 2,7λ1
;
Dp
D2
T =
1,75π
R1/2
1,75π 4
4
B 1 Dp3 ≈ T2 =
B 1 D23 .
R1/2
(4.89)
Здесь функция fs (s) определяет влияние поперечных сдвигов
на критическое усилие, а s — безразмерная жёсткость на поперечные
сдвиги. При абсолютно жёстком на сдвиги заполнителе (s2 1) приходим к формулам (4.29) для классических оболочек (fs = 1). Заметим,
что при получении расчётных зависимостей (4.89) дополнительно использовались результаты [24], где точно удовлетворены условия шарнирного опирания.
В случае достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей
можно положить:
5
s2 + 1 + 1
1
fs (s) = 1 − ;
=1+ .
4s
s
s
Тогда для расчёта критических параметров из зависимостей (4.89)
получаются следующие формулы:
T
T
2
2
S = Sp 1 − 0,34
; n = ns 1 + 0,27
;
K2
K2
(4.90)
πR
.
λ = λ1 =
4.2. Трёхслойные композитные оболочки с лёгким заполнителем
129
Поскольку в рассматриваемом случае Sp ≈ S , Tp ≈ T2 , n2s ≈ n2 ,
формулы (4.90) можно преобразовать к виду:
T
T
S = S 1 − 0,34 2 ; n2 = n2 1 + 0,27 2 .
(4.91)
K2
K2
, то для
Если условие (4.84) не выполняется, т. е. K1 > 0,25 T10
расчёта критических параметров необходимо применять либо соотношения (4.85), либо (4.91). При практических расчётах в этом случае
следует выбирать минимальное из значений критического усилия S ,
полученных по формулам (4.85) и (4.91). Численный анализ показал,
что при выборе расчётных формул можно исходить из следующих
оценок:
— если выполняется условие
1
K1 K2 < S ,
3
то необходимо вести расчёт по формулам (4.83) или (4.85) для слабых
на поперечные сдвиги заполнителей;
— если выполняется условие
1
K1 K2 > S ,
3
то расчёт необходимо вести по формулам (4.89) или (4.90), (4.91) для
достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей.
При проведении расчётов следует также иметь в виду, что формулы
для слабых заполнителей (4.83) определяют нижнюю границу критических сдвигающих усилий. Эти формулы тем точнее, тем меньше
величина
T Δs =
.
K1
В случае достаточно длинных оболочек, когда в кольцевом направлении образуются две волны (n = 2), для расчёта критических
усилий можно получить формулу, аналогичную формуле Шверина для
классических оболочек [66, 79]. Полагая в (4.86) n = 2, получим:
S=
D∗
3
B1 λ3
;
(D2 +
)+
2
λR
1 + 3ω
48
D∗ =
D2∗
;
1 + ω1 λ2
ωp =
ω2
.
1 + ω1 λ2
(4.92)
Чтобы найти критические параметры, выражение (4.92) необходимо
проминимизировать по параметру λ. Поскольку для оболочек с достаточно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем выполняется
условие ω1 λ2 1, при минимизации будем считать, что величины D∗
5 С. Н. Сухинин
130
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
и ωp не зависят от λ. Тогда после минимизации из (4.92) можно
получить следующие расчётные формулы:
3
D∗
D2∗
2
4
D
S = √
B
+
; D∗ =
;
1
2
4
1 + 3ω
1 + ω1 λ2
3 R3/2
ωp =
λ4
48
=
B1 R2
ω2
;
1 + ω1 λ2
D2 +
D2∗
1 + 3ω2
;
n = 2.
(4.93)
Если учесть, что в рассматриваемом случае ω1 λ2 1, то зависимости (4.93) можно привести к следующему виду:
3
D2∗
2
4
D
S = √
B
+
;
1
2
4
1 + 3ω2
3 R3/2
λ4
48
=
B 1 R2
D2 +
D2∗
1 + 3ω2
;
n = 2.
(4.94)
Формулы (4.93), (4.94) следует применять для расчёта критических
усилий в достаточно длинных оболочках, когда расчёт по формуле
(4.91) даёт меньшие величины критических усилий, чем по (4.94).
Анализ расчётных формул (4.83) и (4.91) показывает, что критические нагрузки при кручении трёхслойных ортотропных оболочек
определяются рядом параметров, которые можно назвать обобщёнными
жесткостями:
K1 , K2 — жёсткости оболочки на поперечные сдвиги в двух направлениях;
T10
, T2 , S — критические усилия при абсолютно жёстком на
поперечные сдвиги заполнителе; они характеризуют общую жёсткость
трёхслойного пакета;
T10
— критическое усилие при осевом сжатии оболочки при раздельно работающих несущих слоях; они характеризуют жёсткость
несущих слоёв.
Кроме того, расчётные формулы содержат необходимые параметры
анизотропии: k , F1 (ψ ), F2 (ψ ) и т. п.
Анализ расчётных формул на основе обобщённых жесткостей позволяет установить границы применимости различных математических
моделей (расчётных схем) при исследовании потери устойчивости
от кручения трёхслойных ортотропных цилиндрических оболочек. Так,
из (4.91) следует, что если
Δ
= 0,34
T2
1,
K2
(4.95)
4.3. Трёхслойные ортотропные оболочки с жёстким заполнителем
131
то можно применять классическую модель неизменной нормали. При
этом погрешность применения классической модели составляет Δ
.
В том случае, когда
1 K1 < T10
,
(4.96)
4
следует применять модель ломаной линии. Сдвиговую модель прямой
линии, очевидно, следует применять в том случае, когда не выполняются ни условие (4.95), ни условие (4.96).
4.3. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек
с жёстким заполнителем и многослойных оболочек
При исследовании трёхслойных оболочек заполнитель принято называть жёстким, если его жесткостные характеристики на растяжениесжатие и изгиб имеют тот же порядок, что и соответствующие характеристики несущих слоёв. Покажем, что в этом случае трёхслойная
оболочечная конструкция сопротивляется в соответствии с моделью
прямой линии.
Как показано выше, модель прямой линии можно применять, если
выполняются условия:
1/2 1 1
H H H
4
B1 B2 ; K2 > T2 ≈
B1 B23 . (4.97)
K1 > T10
≈
2
2R
2
R
Поскольку заполнитель
жёсткий, то выполняются условия K1 ∼
4
3
∼ B1 B2 , K2 ∼ B1 B2 ; кроме того, выполняются обычные для теории оболочек соотношения:
H
H
1,
1.
R
В силу сказанного условия (4.97) выполняются с большим запасом.
Это указывает на то, что при расчётах на устойчивость трёхслойных оболочек с так называемым жёстким заполнителем допустимо
применять не только модель прямой линии, но даже и классическую
оболочечную модель неизменной нормали.
При этом коль скоро жёсткости заполнителя и несущих слоёв —
одного порядка, то все три слоя становятся равноправными, и трёхслойную оболочку можно рассматривать как частный случай многослойной. Таким образом, полученные выше расчётные зависимости для
многослойных оболочек можно применить и к трёхслойным оболочкам
с жёстким заполнителем.
Учитывая сказанное, для расчёта критических усилий в шарнирно
опёртых трёхслойных с жёстким заполнителем и многослойных оболочках можно рекомендовать следующие соотношения, которые получены из соответствующих зависимостей раздела 4.2.
5*
132
Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек
Осевое сжатие:
T1
=
k T10
k T10
1 + β K1 /K2
1−
;
4K1
2 + α1 / β
λ2
λ2 = ;
(2 + α1 / β )(2 + α2 / β )
k =
2 + α1 / β
;
2 + α2 / β
α1 =
4D12
+ 2ν2 ;
D1
T10
=
α2 =
2
R
λ2
n2 = ;
β
B 2 D1 ;
B2
− 2ν2 ;
B12
λ4 =
β=
B 2 R2
;
D1
B2
.
B1
(4.98)
Формулы (4.98) справедливы в том случае, когда выполняется условие α1 < α2 , т. е. форма потери устойчивости — неосесимметричная.
Если α1 > α2 (сдвиговая и крутильная жёсткости достаточно велики),
то форма потери устойчивости становится осесимметричной. Тогда
расчёт критических усилий следует проводить по формулам:
T
B 2 R2
T1 = T10
1 − 10 ; λ4 =
; n = 0.
(4.99)
4K1
D1
Внешнее давление:
T
T2 = T2 1 − 0,56 2 ;
K2
λ
T2 =
T
= 1 + 0,38 2
K2
2
4 B1R
n2 = 1,32 λ1
.
D2
πR
= λ1 =
;
n2
4
B 1 D23 ;
1,75π
R1/2
n2 ;
(4.100)
Длинные оболочки (кольца):
T2 =
3D2
;
+ 3 ω2 )
R 2 (1
ω2 =
D2
;
K2 R 2
n = 2.
Кручение:
T
S = S 1 − 0,34 2 ;
K2
S =
3,3
1/2 R1/2
3
8
B 1 D25 ;
(4.101)
4.3. Трёхслойные ортотропные оболочки с жёстким заполнителем
λ = λ1 =
πR
;
n2 =
n2 = 2,71 λ1
Длинные оболочки:
4
1,52
= 3/2
R
48 D2
;
B 1 R2 (1 + 3 ω2 )
4
T2
K2
133
n2 ;
(4.102)
B 1 R2
.
D2
S λ4 =
1 + 0,27
B 1 D23
;
(1 + 3 ω2 )3
n = 2;
ω2 =
D2
.
K2 R 2
(4.103)
Величины B 1 = B1 (1 − ν1 ν2 ); B 2 = B2 (1 − ν1 ν2 ); B12 ; D1 ; D2 ;
D12 , входящие в расчётные формулы, представляют собой жёсткости
на растяжение-сжатие и сдвиги многослойных оболочек, минимальные
жёсткости на изгиб и кручение, а также приведённые коэффициенты
Пуассона. Все эти величины рассчитываются по формулам, данным
в Приложении А.
Обычно поправочные члены от учёта поперечных сдвигов в многослойных оболочках малы. Так, поправки при расчётах на устойчивость
при осевом сжатии (Δ1 ), внешнем давлении (Δ2 ) и кручении (Δ3 )
не превосходят следующих величин [62]:
T10
h
2 D1 (1 − ν1 ν2 )
E1 E2
≈ 0,17
Δ1 ≈
·
;
4K1
2K1 R
G13
R
T
Δ2 = 0,56 2 ≈ 3,09
K2
4
B1 D23 (1 − ν1 ν2 )
K2 R1/2
4
E1 E23 h
h
·
.
Δ3 = 0,34
≈ 1,87
≈ 0,35
K2
G23
R
K2 R1/2
(4.104)
Здесь E1 , E2 , G13 — характерные модули упругости и поперечного
сдвига; h, R, — толщина, радиус и длина оболочки соответственно.
Малые значения поправок (4.104) указывают на то, что многослойные оболочки и трёхслойные оболочки с жёстким заполнителем подчиняются тем же общим закономерностям, что и оболочки с неизменной
нормалью, рассмотренные в разделе 4.1.
T2
4
B1 D23 (1 − ν1 ν2 )
4
E1 E23 h
h
·
≈ 0,58
;
G23
R
Глава 5
УСТОЙЧИВОСТЬ КОМПОЗИТНЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ
5.1. Устойчивость многослойных композитных
оболочек при нагружении осевой сжимающей
нагрузкой и внутренним давлением
5.1.1. Многослойные ортотропные оболочки (классическая
модель). В этом случае многослойные оболочки рассматриваются
с позиций классической модели (гипотезы неизменной нормали). Как
показал анализ (гл. 4), в практически важных случаях погрешность
этой модели не превосходит погрешности самой теории тонкостенных
оболочек.
Разрешающие соотношения для анализа устойчивости при совместном действии осевого сжатия T1 и внутреннего давления получаются
из зависимостей (4.6):
T1 = D1
λ2 F1 (ψ) B2 (1 − ν1 ν2 )
+ T2 ψ 2 ;
+
R2
λ2 F2 (ψ)
F1 (ψ) = 1 + α1 ψ 2 + β1 ψ 4 ;
4D12
+ 2ν2 ;
D1
F2 (ψ) = 1 + α2 ψ 2 + β2 ψ 4 ;
mπR
;
B (1 − ν1 ν2 )
α2 = 2
− 2ν2 ;
B12
ψ = n/λ;
α1 =
T2 = R;
λ=
(5.1)
D2
B2
; β2 =
.
D1
B1
Здесь m, n — параметры волнообразования.
Для получения критического значения осевого усилия T1 и параметров волнообразования λ и ψ выражение (5.1) необходимо проминимизировать по этим параметрам. Проводя минимизацию по λ, получим:
F1 (ψ)
2
T1 = k (ψ) T10 + T2 ψ ; k (ψ) =
;
F2 (ψ)
β1 =
λ4 =
λ40
;
F1 (ψ) F2 (ψ)
λ40 =
B2 (1 − ν1 ν2 ) R2
;
D1
(5.2)
5.1. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой
135
2
T10 =
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) — критическое усилие при осесимметричной
R
форме (ψ = n = 0) потери устойчивости.
Минимизируя выражение (5.2) по параметру ψ , получим следующее
уравнение для определения критического значения этого параметра:
βψ 4 = 1 − p0 F2 (ψ) F1 (ψ) F2 (ψ) .
(5.3)
Здесь p0 — безразмерное внутреннее давление:
p0 =
2pR
.
(α2 − α1 ) T10
(5.4)
Рассмотрим сначала оболочки с относительно малыми сдвиговыми и крутильными жесткостями, когда выполняется условие α1 < α2 .
В этом случае при отсутствии внутреннего давления (p0 = 0) критические параметры вычисляются следующим образом [4]:
B
2 + α1 / β
< 1; β = 2 ;
T1 = k T10 ; k =
B
1
2 + α2 / β
n4
λ4
1
4
0
; ψ
= 4 = .
(5.5)
λ
β
(2 + α1 / β )(2 + α2 / β )
Из (5.3) следует, что при p0 F2 F1 F2 1 форма волнообразования
осесимметрична. При этом критическое усилие и параметры волнообразования определяются соотношениями:
2
T1 = T10 =
B 2 D1 ; λ = λ0 ; ψ = n = 0.
(5.6)
R
Таким образом, при повышении внутреннего давления от нуля
до значения, соответствующего ψ = 0, критическое усилие осевого сжатия, как следует из (5.5), (5.6), повышается от значения
T1 = k T10 до T1 = T10 , т. е. в 1/k раз (k 1).
Исследуем более детально зависимость критического значения осевого усилия T1 от значения внутреннего бокового давления на участке
0 p0 1. Запишем соотношение (5.2) в виде
α − α1
T1
1 + α1 ψ 2 + β1 ψ 4
=
+ 2
p0 ψ 2 .
(5.7)
T10
1 + α2 ψ 2 + β2 ψ 4
2
λ4 =
Отсюда видно, что подкрепляющее влияние внутреннего давления
зависит лишь от безразмерной величины p0 внутреннего давления и параметров α1 , α2 , β анизотропии оболочки. Подкрепляющее влияние
внутреннего давления проявляется в том, что с увеличением давления
форма потери устойчивости при осевом сжатии все более приближается к осесимметричной (n = ψ = 0), а критическое значение
136
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
осевого сжимающего усилия приближается к максимально возможной величине T1 = T10 . При этом чем ближе к единице величина
коэффициента ортотропии k , тем меньше подкрепляющее влияние
внутреннего бокового давления.
Типичные зависимости безразмерного критического осевого усилия
T1 /T10 = t10 (p0 )
(5.8)
от безразмерного параметра p0 внутреннего бокового давления показаны на рис. 5.1 (α1 < α2 ). Значки на оси ординат при p0 = 0
обозначают значения коэффициентов ортотропии k , определяемых
по формуле (5.5).
Если внутреннее давление достаточно велико, то прогиб оболочки
может быть такого же порядка, что и её толщина h. В этом случае
становится непригодной линейная теория, на основе которой получены
приведённые выше расчётные формулы. Оценим величину внутреннего
давления p, при котором прогибы w оболочки достигают значения w =
= ε h (ε < 1). Прогиб равен
pR2
w=
.
B2
Условие, что прогиб не превосходит ε h, записывается в виде:
w=
pR2
< ε h;
B2
p < εh
B2
R2
(ε < 1).
Отсюда можно получить следующее ограничение на безразмерное
давление p0 :
εh
B2
p0 <
.
α2 − α1 D1
Если за исходные данные взять характеристики, например, оболочки 1 из таблицы к рис. 5.1, то получим
p0 < 0,38 ε.
Для оболочки 4 из той же таблицы найдём
p0 < 1,22 ε.
Если полагать, что ε = 0,5, как часто принимают для оценки
границы применимости линейной теории, то для оболочки 4 имеем
p0 < 0,61. Таким образом, при расчёте реальных конструкций в рамках
геометрически линейной модели безразмерное внутреннее давление
практически не достигает значения p0 = 1.
Численный анализ показал, что при p0 0,4 критическое значение
2
параметра ψ становится малым (ψ
1), т. е. форма волнообразования
близка к осесимметричной. Как следует из рис. 5.1, при p0 0,4
137
5.1. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой
T1 /T10
1,0
* * * * * * *
* * *
*
*
* *
0,9
0,8
*
0,7
*
*
0,6
0,5
*
*
*
*****
0,4
0,3
0,2
оболочка
оболочка
оболочка
оболочка
1
2
3
4
0,1
p0
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
p0 = 2pR/[(α2 − α1 ) T10 ]
№ E1 · 10−5 , E2 · 10−5 , G12 · 10−5 ,
обол. кгс/см2
кгс/см2
кгс/см2
ν1
ν2
α1
α2
β
k
1
2,38
3,90
0,294
0,18 0,29 1,048 12,685 1,64 0,487
2
3,40
4,41
0,659
0,17 0,22 1,186
6,252
1,30 0,637
3
3,75
5,35
0,902
0,14 0,20 1,335
5,531
1,43 0,686
4
1,80
2,50
0,480
0,15 0,21 1,453
4,788
1,39 0,730
Рис. 5.1. Типичные зависимости безразмерных критических усилий при осевом
сжатии от безразмерной величины p0 внутреннего давления (классические
оболочки)
критические нагрузки T1 отличаются от соответственных нагрузок
при осесимметричной форме потери устойчивости T10 не более, чем
на 10 %. Из рис. 5.1 видно также, что при p0 0,4 кривые для оболочек
с различной анизотропией свойств мало различаются между собой.
При p0 0,8 величина t10 практически совпадает с единицей. В связи
с этим для практических расчётов можно полагать:
t10 (p0 ) =
T1
= 0,85 + 0,18p0
T10
t10 (p0 ) =
(0,4 < p0 0,8);
T1
= 1 (p0 > 0,8).
T10
(5.9)
138
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
В области сравнительно небольших давлений (p0 < 0,4) критические нагрузки определяются минимизацией по параметру волнообразования ψ соотношения (5.7) или с помощью графиков на рис. 5.1.
В этой области можно построить следующую аппроксимацию зависимости T1 /T10 от параметра внутреннего давления p0 :
T1
= k + 3 (1 − k ) p0 − p20 (0 < p0 0,4). (5.10)
T10
Для анализа устойчивости реальных конструкций полученные теоретические результаты необходимо скорректировать на основе сравнительных экспериментально-теоретических исследований, поскольку, как известно, экспериментальные значения критических усилий при осевом сжатии могут быть заметно меньше теоретических.
С этой целью обратимся к экспериментальным результатам, полученным А. А. Буштырковым и А. И. Отвечалиным на стеклопластиковых
оболочках в 1964 г.
На совместное действие осевого сжатия и внутреннего давления
было испытано 5 оболочек. Габариты оболочек и их механические
характеристики показаны в табл. 5.1.
Испытуемые оболочки нагружались внутренним давлением до некоторого значения p, а затем осевой нагрузкой доводились до потери
устойчивости. Оболочки 3 и 4 доводились до потери устойчивости при
одном уровне внутреннего давления (однократное испытание). Оболочка 1 подвергалась испытаниям два раза: один раз её доводили до потери устойчивости только лишь осевой силой при отсутствии внутреннего давления, а после разгрузки её ещё раз доводили до потери
устойчивости от осевого сжатия при фиксированном значении внутреннего давления. Наиболее тонкостенные оболочки (2 и 5) нагружались
несколько раз: сначала их нагружали осевой силой без давления до потери устойчивости; затем после разгрузки оболочку снова нагружали
осевой силой до потери устойчивости при фиксированном значении
внутреннего давления p и т. д. при различных уровнях внутреннего
давления. При этом оболочка 2 доводилась до потери устойчивости 9
раз, а оболочка 5 — 11 раз.
Авторы эксперимента отмечают, что в силу высокой упругости
стеклопластика и тонкостенности оболочек критические усилия при
многократных нагружениях до потери устойчивости мало меняются.
Например, в оболочке 2 после восьми нагружений до потери устойчивости при последнем, девятом нагружении критическое усилие оказалось
даже выше, чем при первом нагружении.
Отмечается также, что в случае внутреннего давления, соответствующего в наших обозначениях p0 > 0,4, волны при потере устойчивости
носят вытянутый в окружном направлении характер. Это свидетель2
ствует о тенденции к осесимметричному волнообразованию (ψ
1) и подтверждает результаты приведённого выше теоретического
анализа.
t10 (p0 ) =
R,
мм
247
244
248
245
246
№
обол.
1
2
3
4
5
700
710
710
710
700
,
мм
0,71
1,50
1,65
0,94
2,24
h,
мм
417
163
150
260
110
R /h
1,80
2,03
2,32
2,12
2,90
1,78
1,93
1,86
2,27
МПа
МПа
3,00
2 · 10−6 ,
1 · 10−6 ,
0,475
0,42
0,42
0,42
0,50
G12 · 10−6 ,
МПа
0,13
0,165
0,18
0,165
0,165
ν1
0,21
0,145
0,15
0,145
0,125
ν2
1,45
1,10
1,01
1,06
0,90
α1
5,69
3,95
4,30
4,14
4,29
α2
1,61
0,88
0,83
0,88
0,76
β
0,70
0,72
0,68
0,70
0,67
k
Т а б л и ц а 5.1
5.1. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой
139
140
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
Т а б л и ц а 5.2
№
оболочки
1
2
3
4
5
p, ат
p0
T1 , кг/cм
0
3,95
0
0,35
0,55
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
0
2,0
3,0
0
0,04
0,11
0,18
0,25
0,32
0,40
0,47
0,61
0,75
1,50
0
0,186
0
0,13
0,21
0,28
0,38
0,47
0,57
0,66
0
0,22
0,51
0
0,03
0,07
0,11
0,15
0,20
0,25
0,29
0,37
0,46
0,92
123,9
212,4
14,9
19,6
23,7
22,6
24,5
24,1
24,9
26,0
17,4
74,6
75,8
8,0
11,4
13,2
15,5
15,2
15,3
15,8
16,5
16,2
18,5
19,8
t
1
0,40
0,69
0,36
0,47
0,56
0,54
0,58
0,57
0,59
0,62
0,41
0,55
0,74
0,35
0,50
0,58
0,68
0,67
0,67
0,70
0,73
0,71
0,81
0,87
2
ψ
0,85
0,35
0,85
0,43
0,31
0,24
0,18
0,13
0,09
0,07
0,85
0,30
0,12
0,79
0,57
0,43
0,35
0,29
0,24
0,20
0,17
0,13
0,10
0,01
t
1
k 0
0,67
0,85
0,70
0,83
0,87
0,90
0,93
0,96
0,97
0,98
0,70
0,87
0,96
0,70
0,74
0,78
0,81
0,84
0,87
0,89
0,90
0,93
0,95
1.00
0,60
0,81
0,51
0,57
0,64
0,60
0,62
0,60
0,61
0,63
0,59
0,63
0,77
0,50
0,68
0,75
0,84
0,80
0,78
0,77
0,81
0,76
0,85
0,87
В табл. 5.2 показаны экспериментальные значения критических
усилий T1
при совместном действии осевого сжатия и внутреннего давления, а также относительная величина критического осевого
сжатия:
T1
t
=
,
(5.11)
10
T10
где T10 — теоретическое значение критического усилия при осесимметричной форме потери устойчивости. Здесь же даны теоретические
значения
T1
t
=
,
(5.12)
10
T10
полученные на основе минимизации соотношения (5.7).
141
5.1. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой
2
В табл. 5.2 приведены также теоретические значения параметра ψ
волнообразования в зависимости от безразмерной величины внутреннего давления p0 . Видно, что при p0 > 0,4 параметр волнообразования
2
1), т. е. форма волнообразования близка к осесимметричмал (ψ
ной.
Последний столбец таблицы содержит отношение экспериментального значения величины t10 к её теоретическому значению, т. е. ко0
, зависящий от безразмерной величины
эффициент устойчивости k
внутреннего давления p0 :
0
k
=
t
10 (0 )
.
t10 (0 )
(5.13)
T1 /T10
1,0
0,9
0,8
0,7
*
0,6
0,5
0,4
*****
0,3
0,2
оболочка
оболочка
оболочка
оболочка
оболочка
1
2
3
4
5
0,1
p0
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
p0 = 2pR/[(α2 − α1 ) T10 ]
Рис. 5.2. Сравнение теоретических и экспериментальных значений критических
усилий при совместном действии осевого сжатия и внутреннего давления
(стеклопластиковые оболочки)
Сравнение экспериментальных и теоретических результатов показано также на рис. 5.2. По оси ординат отложена безразмерная величина t10 , по оси абсцисс — безразмерное внутреннее давление p0 ,
подсчитанное по формуле (5.4). Верхний пучок кривых получен для
оболочек 1 ÷ 5 теоретическим путём — минимизацией выражения (5.7).
Различными значками показаны экспериментальные результаты. Как
видно из графика, теоретические и экспериментальные результаты
заметно различаются, и, чтобы получить зависимости для расчёта
142
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
реальных конструкций, необходимо теоретические значения умножать
0
на коэффициент устойчивости k
, зависящий в общем случае также
от безразмерного внутреннего давления p0 .
0
Зависимость коэффициентов устойчивости k
от величины p0 безразмерного внутреннего давления показана на рис. 5.3. Из рисунка
0
видно, что в оболочках 2 и 3 коэффициент устойчивости k
мало
0
зависит от величины p0 и находится в области k
= 0,6. В оболоч0
на участке 0 < p0 0,1 быстро возрастает
ках 1, 4, 5 коэффициент k
от минимального значения 0,5, а при p0 > 0,1 практически остается
0
= 0,8. Как видно из таблицы 5.1, пять
постоянным на уровне k
исследуемых оболочек внешне, по физико-механическим характеристикам и параметрам анизотропии не сильно отличаются друг от друга.
T1 /T10
1,0
0,9
1, 4, 5
*
0,8
0,7
2, 3
0,6
0,5
0,4
*****
0,3
0,2
оболочка
оболочка
оболочка
оболочка
оболочка
1
2
3
4
5
0,1
p0
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
p0 = 2pR/[(α2 − α1 ) T10 ]
Рис. 5.3. Зависимость поправочного экспериментального коэффициента k от безразмерного внутреннего давления p0 (стеклопластиковые оболочки)
По крайней мере, между группами оболочек 1, 4, 5 и 2, 3 нет
каких-либо видимых закономерных различий. Вместе с тем коэффици0
енты k
этих групп при совместном действии осевого сжатия и внутреннего давления заметно различаются: для оболочек 1, 4, 5 коэффи0
0
циент k
≈ 0,8, а для оболочек 2, 3 значение k
≈ 0,6. Этот феномен
затруднительно объяснить. Возможно, эти группы отличаются качеством изготовления и в связи с этим — уровнем начальныхнеправиль
ностей. Кроме того, оболочка 5 сравнительно тонкостенна
R
= 417 ,
h
5.1. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой
143
0
поэтому, видимо, и происходит быстрое увеличение коэффициента k
с ростом безразмерного давления p0 : в тонкостенной оболочке внутреннее давление более эффективно «выправляет» начальные неправильности формы, и коэффициент устойчивости поэтому возрастает.
Таким образом, сравнительный экспериментально-теоретический
анализ показал, что эффект повышения критических осевых нагрузок
в ортотропных оболочках (α1 < α2 ) при совместном действии осевого
сжатия и внутреннего бокового давления проявляется через два фактора:
— внутреннее давление создаёт тенденцию к потере устойчивости
по осесимметричной форме, что приводит к повышению критических
осевых усилий в 1/k раз (k 1);
— внутреннее давление «выправляет» начальные несовершенства
формы, поэтому снижается их отрицательное воздействие.
Влияние первого фактора показано на рис. 5.1. Действие второго
фактора можно проследить на рис. 5.3 для наиболее тонкостенной
оболочки 5.
Обобщая сказанное, можно дать следующие рекомендации по учёту
подкрепляющего влияния внутреннего бокового давления на критические усилия при осевом сжатии ортотропных цилиндрических многослойных оболочек, для которых выполняется условие α1 α2 .
Расчёт критических усилий T1 осевого сжатия проводится по формуле
0
T1 = k
t10 (p0 ) T10
(5.14)
Здесь T10 — теоретическое значение (5.6) критического усилия при
осесимметричной форме потери устойчивости; t10 (p0 ) — теоретический коэффициент, определяющий подкрепляющее влияние внутреннего давления (первый фактор) и определяемый либо минимизацией
выражения (5.7), либо из графиков на рис. 5.1, либо по приближён0
— поправочный экспериментальный
ным формулам (5.9), (5.10); k
коэффициент, в общем случае зависящий от параметра внутреннего
давления p0 (второй фактор).
0
от велиПредставление о типах зависимости коэффициента k
чины p0 дает рис. 5.3. Однако недостаток экспериментальных данных
не позволяет рекомендовать определённый тип зависимости. В некоp0
(p0 ) = k , где коэффициент k
торый запас можно полагать k
определяется из экспериментов на чистое осевое сжатие без внутреннего давления. Рекомендации для назначения коэффициента k даны
в п. 4.1.2.
Полученные выше зависимости и предложенные рекомендации верны в том случае, когда сдвиговая и крутильная жёсткости многослойной ортотропной оболочки не очень велики, т. е. выполняется
условие α1 < α2 . Большинство (но не все) композитных тонкостенных
конструкций удовлетворяют этому условию. Если анизотропия оболочки такова, что выполняется противоположное неравенство α1 > α2
144
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
(cдвиговая и крутильная жёсткости достаточно велики), то, как следует из (5.2), форма волнообразования при
2 потере
устойчивости от осевого сжатия будет осесимметричной ψ
= 0 даже при отсутствии
внутреннего давления (см. п. 4.1.1). В этом случае расчёт следует вести по формуле (5.14), где положено t10 (p0 ) = 1, т. е. упомянутый выше
первый фактор повышения критического осевого усилия перестаёт действовать. Для таких оболочек отсутствуют экспериментальные данные,
0
позволяющие установить коэффициент k
в зависимости от значения
внутреннего давления. Для оценок можно использовать рекомендации
п. 4.1.2.
Заметим, что в изотропных оболочках, как следует из соотношений
(5.2) с учётом тождества k (ψ) ≡ 1, осесимметричная форма потери
устойчивости при осевом сжатии наступает теоретически при любом
значении внутреннего давления, отличном от нуля; ранее это было
показано, например, в [38]. Таким образом, теоретически внутреннее боковое давление не должно оказывать подкрепляющего влияния
на критическое значение осевой сжимающей силы. Однако внутреннее
давление «расправляет» начальные несовершенства формы и сглаживает их отрицательное воздействие. Поэтому в реальных изотропных
оболочках внутреннее боковое давление повышает уровень осевых критических усилий. Это повышение учитывают с помощью различного
рода полуэмпирических коэффициентов [8]. В частности, показано
[38], что теоретические и экспериментальные значения критических
нагрузок при совместном действии осевого сжатия и внутреннего давления хорошо согласуются. При этом осуществляется осесимметричная
форма потери устойчивости.
5.1.2. Трёхслойные ортотропные оболочки. В этом случае разрешающее соотношение для расчёта критических осевых усилий при
совместном действии осевого сжатия T1 и внутреннего бокового давления получается из зависимости (3.2):
T1 = [D1 + D1∗ Ω(λ, ψ)]
λ2 F1 (ψ) B2 (1 − ν1 ν2 )
+ T2 ψ 2 ;
+
R2
λ2 F2 (ψ)
(5.15)
T2 = pR.
Здесь Ω (λ, ψ) — функция влияния поперечных сдвигов (3.2); D1 ,
B2 — известные жёсткости.
Если заполнитель — достаточно слабый на поперечные сдвиги,
т. е. выполняется условие K1 < 0,5 T10
, то выражение (5.15) можно
с помощью оценок (4.41) преобразовать к виду
2 D1 λ2 F1 (ψ)
B2
K1 + K2 ψ 2
T1 =
+ 2
1− 2
+
R2
λ F2 (ψ)
T10
D1∗ ,
+ K1 + (K2 + T2 ) ψ 2 . (5.16)
145
5.1. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой
Здесь K1 , K2 — жёсткости оболочки на поперечные сдвиги в осевом
и кольцевом направлениях; T10
— критическое усилие при осесимметричной форме потери устойчивости цилиндрической оболочки с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем.
Проведя минимизацию выражения (5.16) по параметру λ, получим:
2
K1 + (K2 + T2 ) ψ 2
T1 = k(ψ)T10 1 − 2
+ K1 + (K2 + T2 ) ψ 2 ;
T10
F1 (ψ)
k (ψ) =
;
F2 (ψ)
2
2
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ; T10
=
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ;
R
R
2 λ40
K1 + (K2 + T2 ) ψ 2
4
λ =
1− 2
;
F1 (ψ) F2 (ψ)
T10
T10
=
B2 (1 − ν1 ν2 ) R2
.
D1
λ40 =
(5.17)
Сравнивая соотношения (5.17) с зависимостями (4.42), видим, что
подкрепляющее влияние внутреннего давления на критическое осевое
сжимающее усилие заключается в «увеличении» жёсткости K2 оболочки на поперечные сдвиги в кольцевом направлении: вместо величины
K2 ψ 2 в формуле (4.42) появляется величина (K2 + T2 )ψ 2 в формуле
(5.17). Поскольку соотношения (4.42) и (5.17) по структуре одинаковы,
то в результате минимизации по параметру ψ получим выражение для
критического усилия, аналогичное (4.44):
T1 = (1 − a0 )T 10 + K1 ;
a0 =
λ4
2
ψ
=
α2 − α1 (1 − K0 )2
;;
3α2 + α1
K0
2
1 − K0
;
3α2 + α1 K0
K0 =
2 (K2 + T2 )
;
(α2 − α1 ) T 10
2 2
K1 + (K2 + T2 ) ψ
λ40
=
1− 2
;
F1 (ψ ) F2 (ψ )
T10
T 10
= T10
1−
2K1
T10
2
;
T2 = pR.
(5.18)
146
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
Как только K0 1, форма волнообразования становится осесимметричной (ψ = 0) и подкрепляющее влияние внутреннего давления прекращается. В этом случае критическое усилие вычисляется
по формуле
2 2K1
4
4
T1 = T 10 + K1 ; λ = λ0 1 −
(5.19)
.
T10
Анализ соотношений (5.18) показывает, что внутреннее давление
в случае слабых на сдвиг заполнителей в очень малой степени увеличивает значение критического усилия [72], поскольку, как прави2
1 и результаты расчётов по формуле
ло, выполняется условие ψ
(5.18) мало отличаются от результатов, полученных по формуле (5.19).
Поэтому в большинстве случаев влиянием внутреннего бокового давления на критическое усилие осевого сжатия в оболочках со слабым
на поперечные сдвиги заполнителем можно пренебречь. Вместе с тем
соотношения (5.18) позволяют учесть подкрепляющее влияние внутреннего давления на осевое критическое усилие.
В случае достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей,
, закономерности сопротивлекогда выполняется условие K1 > 0,5 T10
ния трёхслойных оболочек приближаются к аналогичным закономерностям для соответствующих классических оболочек. В этом случае
разрешающее соотношение для расчёта критических осевых сжимающих усилий при действии ещё и внутреннего давления p принимает
вид:
D1 λ2 F1 (ψ) k12
B2 (1 − ν1 ν2 )
+ T2 ψ 2 ;
T1 =
+
R2
k12 + λ2
λ2 F2 (ψ)
k12 =
1
λ2 ;
ω1 + ω2 ψ 2
T2 = pR.
(5.20)
Здесь величины ω1 и ω2 (1.4) определяют безразмерную податливость трёхслойного пакета на поперечные сдвиги в осевом и окружном
направлениях.
Проведя минимизацию выражения (5.20) по параметру волнообразования λ, можно получить:
F1 (ψ)
2
T1 = k (ψ) T10 (1 − Δ1 ) + T2 ψ ; k (ψ) =
;
F2 (ψ)
Δ1 =
k (ψ) T10
1 + ψ 2 β2 K1 /K2
.
4K1
F1 (ψ)
(5.21)
Величина Δ1 определяет влияние поперечных сдвигов на критическое усилие и для рассматриваемых жёстких на поперечные сдвиги
заполнителей носит поправочный характер.
5.1. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой
147
Анализ показывает, что поправка Δ1 практически не влияет на форму волнообразования, т. е. на величину ψ . Принимая это во внимание, получим из соотношения (5.21) выражение, аналогичное выражению (5.7):
T1
1 + α1 ψ 2 + β1 ψ 4
α2 − α1
=
+
p0 ψ 2 ;
(1 − Δ1 ) T10
2
1 + α2 ψ 2 + β2 ψ 4
p0 =
p0
;
1 − Δ1
p0 =
2pR
.
(α2 − α1 ) T10
(5.22)
Таким образом, подкрепляющее влияние внутреннего бокового давления на критическое усилие осевого сжатия определяется только
параметром p0 внутреннего давления и параметрами α1 , α2 , β1 , β2
анизотропии трёхслойной оболочки. Отсюда следует, что для анализа подкрепляющего влияния внутреннего давления на устойчивость
от осевого сжатия цилиндрических оболочек с достаточно жёстким
на поперечные сдвиги заполнителем можно пользоваться оценками,
приведёнными в п. 5.1.1 для классических многослойных оболочек.
При этом величину p0 в п. 5.1.1 следует заменить на величину p0
(5.22), а для поправки Δ1 от поперечных сдвигов принять её максимальное значение
T
Δmax
= Δ10 = 10 .
1
4K1
Если жёсткости слоя заполнителя соизмеримы с соответствующими
жесткостями несущих слоёв, то заполнитель принято называть жёстким. В этом случае механизм подкрепляющего влияния внутреннего
давления имеет тот же характер, что и для классических многослойных
оболочек, рассмотренных в п. 5.1.1.
Полученные выше соотношения выведены при предположении, что
параметры α1 и α2 анизотропии оболочек удовлетворяют условию
α1 < α2 . В противном случае оболочки теряют устойчивость по осесимметричной форме (ψ = 0) и расчётные формулы (5.18), (5.21)
принимают вид:
T1 = T10
+ K1
при
K1 <
1 T ;
2 10
T10
.
4K1
Таким образом, при выполнении условия α1 > α2 подкрепляющее
влияние внутреннего бокового давления может быть только за счёт
того, что оно выправляет начальные неправильности формы оболочки и снижает их отрицательное воздействие. Количественные оценки
в этом случае можно получить только на основе экспериментальных
данных, которые отсутствуют.
T1 = T10
(1 − Δ10 )
при
K1 1 T ;
2 10
Δ10 =
148
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
5.2. Устойчивость многослойных композитных
оболочек при нагружении осевой сжимающей
нагрузкой и внешним давлением
5.2.1. Многослойные ортотропные оболочки (классическая
модель). В этом случае для анализа устойчивости используется
классическая модель неизменной нормали. Разрешающее соотношение
для отыскания критических значений нагрузок и параметров волнообразования получается из зависимости (4.4):
λ 2 T1 + n 2 T2 =
D1 4
B2 (1 − ν1 ν2 )λ4
2 2
4
+
α
λ
n
+
β
n
. (5.23)
λ
+
1
1
R2
λ4 + α2 λ2 n2 + β2 n4
Эту зависимость можно преобразовать к следующему виду:
n2 T 0
1 D1 Φ1 (λ, n) B2 (1 − ν1 ν2 )λ2
+
− 2 20 t2 ;
t1 = 0
2
λR
Φ2 (λ, n)
λ T1
T1
t1 =
k =
T1
;
T10
t2 =
T2
;
T20
2 + α1 / β
;
2 + α2 / β
T20 =
1,75π
R1/2
T20
0,87 πR
=
k T10
T10 = k T10 ;
T10 =
2
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ;
R
4
B1 D23 (1 − ν1 ν2 ) ;
4
D2
1;
B1 (1 − ν1 ν2 )R2
Φ1 (λ, n) = λ4 + α1 λ2 n2 + β1 n4 ;
Φ2 (λ, n) = λ4 + α2 λ2 n2 + β2 n4 ;
D12
B2 (1 − ν1 ν2 )
+ 2ν2 ; α2 =
− 2 ν2 ;
D1
B12
(5.24)
D
B
β1 = 2 β2 = 2 = β.
D1
B1
Здесь соответственно: T1 , T2 — осевое и кольцевое усилия в оболочке; T10 , T20 — критические усилия при раздельном действии осевого сжатия и наружного давления; T10 — критическое усилие при
осесимметричной форме потери устойчивости от осевого сжатия; t1 ,
t2 — безразмерные осевое и кольцевое сжимающие усилия; α1 , α2 , β1 ,
β2 = β — параметры анизотропии; λ, n — параметры волнообразования при потере устойчивости. Критическое значение t1 безразмерного
осевого усилия в зависимости от безразмерной величины t2 наружного
α1 = 4
5.2. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой и внешним давлением 149
давления получается из соотношений (5.24) минимизацией по параметрам λ и n.
Первое соотношение (5.24) можно записать также в следующем
виде:
T20 2
1 D1 λ2 F1 (ψ) B2 (1 − ν1 ν2 )
t1 = 0
+
ψ t2 ;
−
R2
λ2 F2 (ψ)
T1
T10
ψ2 =
n2
;
λ2
F1 (ψ) = 1 + α1 ψ 2 + β1 ψ 4 ;
F2 (ψ) = 1 + α2 ψ 2 + β2 ψ 4 .
(5.25)
Если наружное давление невелико, то определяющую роль при
потере устойчивости играет осевое сжимающее усилие. Проведя в этом
случае минимизацию выражения (5.25) по λ2 , можно найти:
k(ψ) T20 2
F1 (ψ)
.
t1 =
− 0 ψ t2 ; k(ψ) =
(5.26)
k
F2 (ψ)
T1
Критические значения безразмерного осевого усилия t1 в зависимости от безразмерной величины t2 кольцевого сжатия получаются
минимизацией выражения (5.26) по параметру ψ . При этом в результате минимизации получается следующее уравнение для определения
критического значения ψ , аналогичное уравнению (5.3):
2k T20
βψ 4 = 1 + p0 F2 (ψ) F1 (ψ)F2 (ψ) ; p0 =
t2
(5.27)
α2 − α1 T10
Отсюда следует, что если α1 < α2 , то
1 + p0
1
4
= ψ04 + p0 .
ψ
>
β
β
1
Здесь ψ04 =
— критическое значение параметра ψ при дейβ
ствии только осевого сжатия. Таким образом, при потере устойчивости
от совместного действия осевого сжатия и наружного давления в цилиндрической оболочке (α1 < α2 ) образуются волны, более вытянутые
в осевом направлении, чем волны, образующиеся при действии только
осевого сжатия.
Из (5.26) следует, что при любом значении критического параметра
ψ волнообразования зависимость между критическими параметрами t1
и t2 носит линейный характер:
T0
k(ψ)
t1 = A1 (ψ) − B1 (ψ)t;2 A1 (ψ) =
; B1 (ψ) = 20 ψ 2 .
(5.28)
k
T1
Если наружное давление невелико (t2 < 0,2 ÷ 0,3), то оно мало
влияет на форму волнообразования, поскольку
t2 1;
T20
1;
T10
ψ 2 ∼ 1.
150
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
4
Поэтому, принимая ψ
= ψ04 = 1/β и пренебрегая квадратами малых величин, из (5.26) можно найти:
t1 = 1 −
T20
T10
β
t2 ;
(t2 < 0,2 ÷ 0,3);
T
T1 = T10 − 2 .
β
(5.29)
Следует обратить внимание на то, что в соответствии с (5.24)
T0
0,88 πR 4 D1
2 0 =
1,
(5.30)
k B2 R2
β T1
т. е. при малых значениях величины t2 внешнее давление оказывает
слабое влияние на критическую нагрузку при осевом сжатии.
В том случае, когда анизотропия оболочки такова, что выполняется
условие α1 > α2 (достаточно
высокие значения модуля G12 относи
E1 E2 ), можно показать, что в области малых
тельно величины
t2 влияние наружного давления на критическое усилие при осевом
сжатии будет ещё меньше, чем в случае α1 < α2 .
В области заметного влияния внешнего давления (t2 > 0,4 ÷ 0,5)
при совместном действии осевого сжатия и внешнего давления при
потере устойчивости образуется одна полуволна в осевом направлении, т. е. волнообразование аналогично тому, что бывает при действии
только внешнего давления. В этой области целесообразно использовать
соотношения для непологих полубезмоментных оболочек. Используя
зависимости (4.5), вместо соотношения (5.23) можно записать в этом
случае:
T1 λ21 + T2 (n2 − 1) =
D2 (n2 − 1)2 B1 (1 − ν1 ν2 )λ41
+
;
R2
n4
λ1 =
πR
. (5.31)
Преобразуя это выражение к виду, аналогичному (5.24), можно
получить
1 D2 (n2 − 1) B1 (1 − ν1 ν2 )λ41
λ2 T10
t2 = 0
+
t1 .
(5.32)
− 2 1
2
4
2
R
n (n − 1)
n − 1 T20
T2
Зависимость между параметрами t1 и t2 получается отсюда минимизацией по числу n волн в кольцевом направлении. При этом для
каждого критического значения n числа волн сохраняется линейная
зависимость между критическими параметрами t1 и t2 :
t2 = A2 (n) − B2 (n)t1 ;
A2 (n) =
1 D2 (n2 − 1) B1 (1 − ν1 ν2 )λ41
+
;
R2
n4 (n2 − 1)
T20
λ2 T10
B2 (n) = 2 1
.
n − 1 T20
(5.33)
5.2. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой и внешним давлением 151
Если оболочку можно считать пологой (n2 1), то соотношения
(5.32) примут вид:
1 D2 n2
B1 (1 − ν1 ν2 )λ41
λ21 T10
t2 = 0
+
t1 .
(5.34)
−
R2
n6
n2 T20
T2
Численный анализ показывает, что в области t2 ∼ 1 при потере
устойчивости образуется такое же число волн n0 , как и в случае
действия одного только наружного давления. С учётом этого замечания
зависимость (5.34) преобразуется к виду:
2
√
λ21 T10
4
4 B1 (1 − ν1 ν2 )R
t2 = 1 − 2 0 t1 ; n20 = λ1 3
.
(5.35)
D2
n 0 T2
Подставляя значения n20 и T10 /T20 из зависимостей (5.24), можно
получить
λ21 T10
= 0,87 k .
(5.36)
n20 T20
Тогда (5.35) преобразуется к виду
t2 = 1 − 0,87 k t1 .
(5.37)
Интересно отметить, что в этом случае соотношение между величинами t1 и t2 не зависит от габаритно-жесткостных характеристик
оболочки, а содержит только параметр k анизотропии оболочки.
Выражение (5.37) можно записать также в виде
t2 = 1 − 0,87 t10 ;
0
t10 = k t1 = T1 /T10
.
(5.38)
Из (5.38) видно, что при t2 ∼ 1 в координатах (t10 , t2 ) предельная
прямая, определяющая область устойчивости при совместном действии
осевого сжатия и наружного давления в цилиндрических оболочках,
не зависит от свойств оболочек и является универсальной прямой для
всех типов ортотропных оболочек. Проведённый численный анализ
подтвердил зависимость (5.38). Аналогичная зависимость для изотропных оболочек получена в [81].
На рис. 5.4 показаны результаты численного анализа зависимостей
между безразмерными критическими параметрами t1 и t2 для четырёх
типов стеклопластиковых оболочек (1 ÷ 4), трёх типов органопластиковых (5 ÷ 7) и углепластиковой оболочки (8). Расчёты проводились
на основе соотношений (5.24). Габаритно-жесткостные параметры исследуемых оболочек показаны в таблице к рисунку. Пунктиром на ри3/2
3/2
сунке показана кривая, соответствующая зависимости t1 + t2 = 1.
Несмотря на довольно значительные различия оболочек по модулям
упругости E1 , E2 и сдвига G12 , по относительной толщине R/h и длине /R, кривые (ломаные) зависимости t1 и t2 , как видно из графиков,
152
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
t1 =T1 /T10
1,0
*
*
*
0,9
0,8
*
0,7
*****
0,6
*
оболочка 1
оболочка 2
оболочка 3
оболочка 4
оболочка 5
оболочка 6
оболочка 7
оболочка 8
3/ 2
3/ 2
t1 + t2 =1
эксперимент
0,5
0,4
0,3
0,2
*
0,1
t2 =T2 /T20
0,0
0,2
0,0
0,4
0,6
1,0
0,8
№ R/h /R E1 · 10−5 , E2 · 10−5 , G12 · 10−5 , ν1
обол.
кгс/см2
кгс/см2
кгс/см2
ν2
α1
α2
β
k
1
130 2,3
1,8
2,9
0,48
0,13 0,21 1,46 5,62 1,61
0,7
2
140 4,7
2,01
2,48
0,48
0,13 1,16 1,25 4,85 1,23
0,7
3
96
1,6
2,7
2,13
0,5
0,17 0,13 0,98
4
110 2,4
2,5
1,8
0,48
0,21 0,15 1,04 3,45 0,72 0,73
5
51
2,3
3,75
5,35
0,9
0,14
0,2
6
51
2,3
5,35
3,75
0,9
0,2
0,14 0,93 3,89 0,7
0,68
7
110 3,6
3,79
2,85
0,68
0,12 0,17 1,04 3,85 0,75
0,7
8
110 3,3
5,98
4,44
0,73
0,13 0,095 0,67 5,89 0,74 0,56
4
0,79 0,696
1,33 5,54 1,43 0,68
Рис. 5.4. Предельные кривые при совместном действии осевого сжатия
и наружного давления на стеклопластиковые оболочки
располагаются в довольно узкой зоне. Заметно, что чуть выше других
кривых расположены кривые для оболочек 2 и 7. От других подобных
оболочек (1, 3 ÷ 6) указанные две отличаются лишь большей относительной длиной /R: /R = 4,7 для оболочки 2 и 3,6 для оболочки 7.
Явно выпадают результаты расчётов для углепластиковой оболочки 8:
расчётная кривая, особенно в области малых значений t2 (t2 < 0,6),
5.2. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой и внешним давлением 153
проходит выше всех остальных кривых. Оболочка
8 отличается тем,
что её модуль G12 много меньше величины E1 E2 , вследствие чего
значение параметра анизотропии k = 0,56 у неё заметно меньше значения k ≈ 0,7 для остальных оболочек. Кроме этого, относительная
длина оболочки 8 достаточно велика (/R = 3,3).
Анализ графиков на рис. 5.4 показывает, что асимптотические оценки (5.29) и (5.37) хорошо отражают закономерности сопротивления ортотропных цилиндрических оболочек при совместном действии на них
осевого сжатия и наружного давления. Так, в области малых значений
внешнего давления (t2 < 0,2), как видно из графиков, критическое
значение осевого сжимающего усилия слабо зависит от внешнего давления: снижение критического осевого усилия находится в пределах
2 %. В области t2 < 0,3 снижение не превосходит 10 %. В области
большого взаимного влияния наружного давления и осевого сжатия
(t2 > 0,5) зависимость между критическими значениями величин t1 и t2
хорошо описывает соотношение (5.37).
Черными кружками на рис. 5.4 показаны экспериментальные данные, полученные А. А. Буштырковым и А. И. Отвечалиным при испытаниях стеклопластиковых оболочек. Из рисунка видно, что в области
t2 > 0,5, где главную роль играет наружное давление, согласование
теоретических и экспериментальных результатов удовлетворительное.
В той области (t2 < 0,5), где определяющую роль играет осевое сжатие, наблюдается заметное превышение теоретических результатов над
экспериментальными. Эта разница является, как известно, следствием
влияния несовершенств формы оболочек при потере устойчивости их
от осевого сжатия. Поправочные коэффициенты для этого случая исследованы в п. 4.1.2.
На основании результатов проведённого численного анализа и экспериментальных данных можно рекомендовать следующие зависимости для оценок несущей способности цилиндрических многослойных
ортотропных оболочек при совместном действии осевого сжатия и наружного давления.
В области малых давлений (t2 < 0,2) можно пренебречь влиянием
наружного давления и оценивать несущую способность только по критическому усилию при осевом сжатии с поправочными экспериментальными коэффициентами из п. 4.1.2.
В области превалирующего влияния наружного давления (t2 > 0,5)
целесообразно использовать зависимость (5.38), записав её следующим
образом:
T
T1
0,87
+ 2 = 1.
(5.39)
T10 T20
Здесь T10 — критическое усилие при осесимметричной форме потери устойчивости от действия осевого сжатия; T20 — критическое усилие
при потере устойчивости от действия внешнего давления; T1 , T2 —
154
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
предельные значения осевого и кольцевого усилий при совместном
действии осевого сжатия и наружного бокового давления.
В промежуточной области (0,2 < t2 < 0,5) для оценок можно использовать рекомендованную А. А. Буштырковым эмпирическую зависимость
3/2
3/2
T2
T1
+
= 1,
(5.40)
T10
T20
для всей области совместного действия осевого сжатия и наружного
давления. При этом значения величин T10 и T20 следует вычислять
с учётом экспериментальных поправочных коэффициентов.
5.2.2. Трёхслойные ортотропные оболочки.
Исследование
устойчивости трёхслойных цилиндрических оболочек при совместном
действии осевого сжатия и наружного давления p производится
на основе модели ломаной линии. Разрешающие соотношения для
определения критических параметров в этом случае имеют вид (3.1),
(3.2). Применительно к рассматриваемой задаче зависимости (3.2)
записываются так [72]:
λ2 T1 + n2 T2 = [ D1 + D1∗ Ω (λ, n)]
T1 + ψ 2 T2 = [ D1 + D1∗ Ω(λ, ψ)]
Φ1 (λ, n) B2 (1 − ν1 ν2 ) λ4
+
;
R2
Φ2 (λ, n)
λ2 F1 (ψ) B2 (1 − ν1 ν2 )
+
;
R2
λ2 F2 (ψ)
T2 = pR.
(5.41)
Здесь и далее используются прежние обозначения.
Наиболее ярко специфика сопротивления трёхслойных оболочек
проявляется при слабом на поперечные сдвиги заполнителе (K1 <
). В этом случае в области малых значений наружного бо< 0,5 T10
кового давления, когда превалирует осевое сжимающее усилие T1 ,
разрешающее соотношение для анализа критических параметров при
совместном действии осевого сжатия и наружного давления имеет вид:
2
K1 + (K2 − T2 )ψ 2
T1 = k(ψ) T10 1 − 2
+ K1 + (K2 − T2 ) ψ 2 ;
T10
2
2
(
=
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ; T10 =
B2 D1 1 − ν1 ν2 ) .
(5.42)
R
R
Критическое значение T1 осевой сжимающей силы в зависимости
от кольцевого усилия T2 получается из соотношений (5.42) минимизацией по параметру волнообразования ψ . На основе расчётных формул (4.72), (4.75) можно показать, что должно выполняться условие
T2 < K2 , в противном случае оболочка потеряет устойчивость только
T10
5.2. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой и внешним давлением 155
от действия наружного давления при отсутствии осевой сжимающей
силы.
Проводя минимизацию по аналогии с формулами (4.44), (5.18),
можно получить:
α − α1 (1 − Kp )2
2
1 − Kp
2
+ K1 ; ψ
T1 = T 10 1 − 2
=
;
3α2 + α1
Kp
3α2 + α1 Kp
T 10
=
T10
1−
2K1
T10
2
;
Kp =
2(K2 − T2 )
.
(α2 − α1 )T 10
(5.43)
Как следует из (5.43), влияние наружного давления осуществляется
через величину Kp . Необходимо отметить, что если Kp 1, то форма
волнообразования осесимметрична (ψ = 0) и критическое значение
осевой сжимающей силы не зависит от наружного давления. В этом
случае из (5.42) при ψ = 0 следует
T1 = T 10 + K1 ,
(5.44)
что совпадает с (4.47).
Соотношения (5.43) показывают, что для малых значений наружного давления (T2 T20 ) в трёхслойных оболочках со слабым на попереч
ные сдвиги заполнителем (K1 < 0,5 T10
) влияние наружного давления
на критическое значение осевой сжимающей силы мало́.
Рассмотрим оболочки с достаточно жёстким на поперечные сдви
. При этом
ги заполнителем, когда выполняется условие K1 > 0,5 T10
по-прежнему считаем, что превалирующее значение имеет осевая сила.
В этом случае за основу при расчёте критического осевого усилия
принимаются соотношения (4.51), которые в нашем случае примут вид:
k(ψ) T10
1 + ψ 2 β2 K1 /K2
− T2 ψ 2 ;
T1 = k(ψ) T10 1 −
4K1
F1 (ψ)
F1 (ψ)
k(ψ) =
;
F2 (ψ)
F1 (ψ) = 1 + α1 ψ 2 + β1 ψ 4 ;
F2 (ψ) = 1 + α2 ψ 2 + β2 ψ 4 .
(5.45)
Зависимость (5.45) удобно преобразовать по аналогии с формулой
(5.26):
T20
k(ψ) T10
k(ψ) T10
1 + ψ 2 β2 K1 /K2
−
t1 =
1
−
t2 ψ 2 ;
4K1
F1 (ψ)
T10
T10
t1 =
T1
;
T10
t2 =
T2
.
T20
(5.46)
156
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
Входящие в соотношения (5.46) величины T10 и T20 представляют
собой соответственно значения критического осевого усилия T10 при
отсутствии наружного давления и критического кольцевого усилия
T20 при отсутствии осевого сжатия (см. пп. 4.2.1, 4.2.3). В случае
абсолютно жёсткого на поперечные сдвиги заполнителя соотношения
(5.46) и (5.26) совпадают.
Критические значения безразмерного параметра t1 осевого сжимающего усилия в зависимости от безразмерного параметра t2 наружного
давления получаются в результате минимизации соотношения (5.46)
по параметру волнообразования ψ . В силу того, что T20 T10 , t2 1,
последнее вычитаемое мало́ и слабо влияет на форму волнообразова4
ния. Тогда, положив ψ
= 1/β , получим из (5.46):
t
1 =1−
T20
t2 ;
T10 β
β=
B2
.
B1
Соотношение (5.47) можно записать также в виде:
1
T1 = T10 − T2 ; T2 T10 .
β
(5.47)
(5.48)
Из зависимостей (5.47), (5.48) следует, что в области малых значений наружного давления (t2 1; T2 T20 ) в случае достаточно
жёстких на поперечные сдвиги заполнителей (K1 > 0,5 T10
) влияние
наружного давления на критическое значение осевой сжимающей силы
мало́.
Таким образом, для трёхслойных оболочек в области превалирующего влияния осевого сжатия (T2 T20 , T1 ∼ T10 ) критическое усилие
осевого сжатия слабо зависит от наружного давления.
Рассмотрим теперь область достаточно больших значений наружного давления (T2 ∼ T20 ; t2 ∼ 1). В этом случае, как показал численный
анализ, форма волнообразования при потере устойчивости от совместного действия осевого сжатия и наружного давления такая же, как
при действии только наружного давления: образуются одна полуволна
в осевом направлении (λ = λ1 ) и несколько волн в кольцевом. Это
означает, что можно воспользоваться зависимостями (3.5) для полубезмоментных оболочек:
2
D2∗
n −1
T2 = D2 +
+
R2
1 + ω1 λ21 + ω2 (n2 − 1)
+
λ21
B1 (1 − ν1 ν2 )λ41
−
T1 ;
n4 (n2 − 1)
n2 − 1
πR
(5.49)
.
Критическое значение кольцевого сжимающего усилия T2 в зависимости от осевого сжатия T1 получается отсюда минимизацией
λ1 =
5.2. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой и внешним давлением 157
по параметру n волнообразования. Для пологих оболочек (n2 1)
из (5.49) можно получить
2
D2∗
n
B1 (1 − ν1 ν2 )λ41 λ21
T2 = D2 +
+
− 2 T1 . (5.50)
n6
n
1 + ω1 λ21 + ω2 n2 R2
Используя результаты п. 4.2.3, получим зависимость для оболочек
со слабым на поперечные сдвиги заполнителем:
T2 = D2
n2
B1 (1 − ν1 ν2 )λ41
λ21
+
+
K
−
T1 ;
2
R2
n6
n2
K2 < 0,5 T2
(5.51)
Аналогично найдём зависимость для оболочек с достаточно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем:
T2 =
D2
B1 (1 − ν1 ν2 )λ41 λ21
n2
+
− 2 T1 ;
n6
n
1 + ω1 λ21 + ω2 n2 R2
K2 0,5 T2 .
(5.52)
Соотношение (5.51) для оболочек со слабым на поперечные сдвиги
заполнителем можно записать в виде:
2
λ21 T10
B2 (1 − ν1 ν2 )λ41
1
K2
n
−
t2 = D2 2 +
;
t10 +
6
2
T2
R
n
n T2
T2
t
=
2
T2
;
T2
t
10 =
T1
.
T10
(5.53)
— соответствующие критические усилия для разЗдесь T2 и T10
дельно сопротивляющихся несущих слоёв.
Предполагается, что в области t2 ∼ 1 волнообразование такое же,
как в оболочке, нагруженной только наружным давлением:
3B1 (1 − ν1 ν2 )R2
n2 = n2 = λ1 4
.
(5.54)
D2
Учитывая это, из (5.53) находим
t
2 = 1 − 0,87 t10 +
K2
.
T2
Отсюда можно получить:
T2
T ;
1
T10
2 K
2
T20 = T2 + K2 1 −
.
T2
T2 = T20 − 0,87
(5.55)
158
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
Здесь T20 — критическое усилие в трёхслойной оболочке от действия
только наружного давления.
Поскольку T2 T1 , то в области превалирующего влияния наружного давления (T1 < T20 ) для слабых на поперечные сдвиги заполнителей (K2 < 0,5 T2 ) влияние сжимающего усилия T1 на критическую величину наружного давления мало́.
Рассмотрим оболочки с достаточно жёстким на поперечные сдвиги
заполнителем (K2 > 0,5 T2 ). Для анализа воспользуемся соотношением (5.52), которое запишем в виде:
1
n2
D2
λ21 T10
B1 (1 − ν1 ν2 )λ41
−
t2 = 0
+
t10 ;
n6
n2 T20
T2 1 + ω1 λ21 + ω2 λ2 R2
t2 =
T2
;
T20
t10 =
T1
.
T10
(5.56)
В этом случае оболочки сопротивляются аналогично классическим
оболочкам, а поперечные сдвиги играют поправочную роль. Учитывая
дополнительно, что волнообразование практически такое же, как в оболочках с абсолютно жёстким заполнителем, найдём из соотношения
(5.56):
2
t10
λ21 T10
4 3B1 (1 − ν1 ν2 )R
t2 = 1 − 2 ; n2 = λ1
;
n T2 1 − Δ2
D2
2
9 T2
1 T2
T20 = T2 (1 − Δ2 ); Δ2 =
−
.
(5.57)
16 K2
8 K2
Учитывая, что
λ21 T10
= 0,87,
n2 T2
(5.58)
из (5.57) можно получить:
t
2 = 1 − 0,87
t10
;
1 − Δ2
t
2 =
T2
;
T20
t10 =
T1
.
T10
(5.59)
Из зависимостей (5.59) следует, что для трёхслойных оболочек
с достаточно жёстким заполнителем (K2 > 0,5 T2 ) в области больших
значений наружного давления (t2 ∼ 1) влияние осевых сжимающих
усилий на критическое значение наружного давления заметно.
Проведённый анализ показал, что для трёхслойных цилиндрических оболочек в зависимости от сдвиговой жёсткости заполнителя
можно выделить три характерные области взаимного влияния осевых
и кольцевых сжимающих усилий (рис. 5.5). В первой области содержатся трёхслойные оболочки с достаточно слабым на поперечные
сдвиги заполнителем.
5.2. Нагружение осевой сжимающей нагрузкой и внешним давлением 159
t1 =T1 /T10
1,0
1
2
3
0,5
t2 =T2 /T20
0,0
0,0
0,5
1,0
; K2 0,5 T2 ;
1 — K1 0,5 T10
2 — K1 0,5 T10
; K2 > 0,5 T2 ;
3 — K1 > 0,5 T10
; K2 > 0,5 T2 .
Рис. 5.5. Типовые схемы взаимного влияния осевых и кольцевых усилий при
потере устойчивости трёхслойных оболочек от совместного действия осевого
сжатия и наружного давления
При действии только осевой силы они имеют неосесимметричную
форму волнообразования. Для таких конструкций взаимное влияние
осевого сжатия и наружного давления сравнительно мало́ (ломаная 1).
С повышением сдвиговой жёсткости K2 заполнителя форма волнообразования становится осесимметричной, и наружное давление в этой
(второй) области не влияет на критическую осевую силу. Лишь при
давлениях, близких к критическим, наблюдается заметное влияние
осевого сжатия на критическое давление. Характер взаимного влияния
во второй области показан ломаной 2. Наконец, в области достаточно
жёстких на поперечные сдвиги заполнителей (третья область) трёхслойные конструкции качественно сопротивляются, как классические
оболочки. В этой области взаимное влияние осевого сжатия и наружного давления увеличивается и носит такой же характер, что и для
классических оболочек (ломаная 3).
Численный анализ [72] показал удовлетворительное согласование
полученных асимптотических формул с результатами минимизации
исходного соотношения (5.41) по числам m и n.
Сравнение теоретических результатов с некоторыми экспериментальными данными [27] показало их удовлетворительное согласование. На рис. 5.6 показаны данные расчёта, полученные минимизацией
160
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
зависимостей (5.41) по целочисленным значениям m и n для двух
типов трёхслойных оболочек (линии 1 и 2), и экспериментальные
точки. Треугольники относятся к первому типу оболочек (линия 1),
а кружки — по второму типу оболочек (линия 2).
Необходимо отметить, что испытанные модели относятся к оболочкам с очень слабым на поперечные сдвиги заполнителем, для которых
выполняется не характерное для трёхслойных конструкций соотноше
ние K1 ∼ T10
(T10
— критическое усилие осевого сжатия, соответствующее раздельно работающим несущим слоям, K1 — жёсткость
трёхслойного пакета на поперечные сдвиги). Для силовых трёхслойных
оболочечных конструкций характерна, как уже отмечалось, зависи
мость K1 T10
. Однако на представленные сравнительные данные
можно ориентироваться при анализе устойчивости трёхслойных обо
лочек со слабым на поперечные сдвиги заполнителем (K1 < 0,5 T10
).
T1 /T10
1,0
0,9
2
0,8
0,7
1
0,6
3
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
T2 /T20
Рис. 5.6. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов для
совместного действия осевого сжатия и наружного давления (трёхслойные
оболочки)
В случае достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей
(K1 > 0,5 T10
) можно опираться на оценки для классических оболочек (см. п. 5.2.1). Так, линия 3 (звёздочки) на рис. 5.6 построена на основе экспериментальных результатов А. И. Отвечалина, полученных им при испытаниях трёхслойных оболочек с достаточно
жёстким на поперечные сдвиги сотовым заполнителем. Результаты
5.3. Нагружение внешним давлением и растягивающим усилием
161
сравнительных экспериментально-теоретических исследований устойчивости трёхслойных оболочек при совместном действии осевого сжатия и наружного давления (рис. 5.6) подтверждают данные качественного теоретического анализа, показанные на рис. 5.5.
Из рис. 5.6 следует также, что для рассматриваемого класса трёхслойных конструкций наблюдается хорошее согласование теоретических и экспериментальных значений критических нагрузок при раздельном действии осевых сжимающих сил (T2 = 0) и наружного давления (T1 = 0).
5.3. Устойчивость многослойных ортотропных
оболочек при нагружении внешним давлением
и растягивающим осевым усилием
5.3.1. Многослойные ортотропные оболочки (классическая
модель). При совместном действии наружного бокового давления p
и осевого растяжения, как показал численный анализ, форма
волнообразования в случае потери устойчивости имеет тот же
характер, что и при потере устойчивости только от наружного
давления, т. е. образуются одна полуволна в осевом направлении
и несколько волн в кольцевом направлении. При этом число кольцевых
волн не меньше аналогичного числа при потере устойчивости только
от наружного давления.
В связи со сказанным за исходные соотношения для анализа приняты соотношения, аналогичные зависимостям (5.32), (5.34). Зависимость (5.34) в рассматриваемом случае принимает вид:
0
1 D2 n2
λ21 T10
B1 (1 − ν1 ν2 ) λ41
+
t2 = 0
+
t0 ;
R2
n6
n2 T20 10
T2
t2 =
T2
;
T20
t010 =
T1
;
0
T10
λ1 =
πR
;
T2 = pR;
2 1,75 π 4
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ; T20 =
B1 D23 (1 − ν1 ν2 ) . (5.60)
R
R1/2
Здесь T1 — усилие в оболочке при растяжении вдоль оси; T2 = pR —
0
кольцевое сжимающее усилие, T10
— критическое усилие осевого сжатия при осесимметричной форме потери устойчивости, T20 — критическое усилие в оболочке при действии только внешнего давления.
Критическое значение параметра t2 внешнего давления получается
из зависимостей (5.60) минимизацией по числу n волн в кольцевом
направлении. Если осевое растяжение невелико (t010 < 1), то число
волн совпадает с соответствующим числом в оболочке, подвергнутой
нагружению только наружным давлением (без осевого растяжения).
0
T10
=
6 С. Н. Сухинин
162
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
В этом случае из (5.60) можно получить соотношение, аналогичное
соотношению (5.38):
0
t
(5.61)
2 = 1 + 0,87t10 .
Зависимость (5.61) является универсальной для ортотропных оболочек в области малых растягивающих усилий (t010 < 1).
В области больших растягивающих усилий (t010 1) форма волнообразования меняется: число волн при потере устойчивости от совместного действия осевого растяжения и внешнего бокового давления
увеличивается, и зависимость (5.61) не имеет места. Для исследования закономерностей влияния растяжения (параметр t010 ) на критический параметр t2 внешнего давления была проведена серия численных экспериментов на нескольких оболочках с различными габаритножесткостными характеристиками. Для исследования были использованы
8 оболочек, характеристики которых показаны в таблице к рис. 5.4.
T2 /T20
10
7t 0
7
а3
чк
о
ол
Об
t2 =1
+0
,8
6
5
4
3
2
1
0
t010 =T1 /T10
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рис. 5.7. Зависимость критических значений кольцевых усилий от осевого
растяжения (классические оболочки)
Результаты расчётов представлены в виде графиков на рис. 5.7.
По оси абсцисс отложены безразмерные значения осевого растяжения t010 . Исходя из соображений сохранения необходимой прочности
5.3. Нагружение внешним давлением и растягивающим усилием
163
при растяжении, можно показать, что в большинстве случаев максимальные значения величины t010 для различных типов материалов
и относительных толщин оболочек не превосходят 10 (t010 < 10).
По оси ординат отложены критические значения величины t2 , полученные минимизацией по числу n волн соотношения (5.60). Как
отмечалось выше, число волн с ростом усилия растяжения возрастает,
но до некоторого предела. После этого предела (для рассматриваемой
серии оболочек предельное значение n составляет 9 ÷ 10) число волн
остается неизменным, и повышение величины t
2 за счёт увеличения
растяжения происходит по прямой линии, прямо пропорционально величине растяжения t010 .
Из графиков на рис. 5.7 видно, что для рассматриваемых оболочек зависимость t2 ∼ t010 в области реальных значений величины
t010 (t010 10) носит универсальный характер: независимо от свойств
упругости, анизотропии и габаритных характеристик кривые для всех
оболочек практически сливаются в одну. При этом в области малых
0
значений t010 (t010 < 1) зависимость t
2 ∼ t10 определяется формулой
(5.61). Заметим, кстати, что на графике при t010 < 0 (осевое сжатие
с наружным давлением) также имеет место универсальная зависимость
(единая прямая линии в области −0,6 < t010 < 0), т. е. подтверждается
зависимость (5.38).
0
Зависимость t
2 ∼ t10 на графике рис. 5.7 можно аппроксимировать
следующими формулами:
t
2 =
⎧
⎪
1 + 0,87t010
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
2
1 + 0,8t010 − 0,05 t010
2,5 + 0,25t010
при
t010 < 1;
при
1 t010 < 6;
при
t10 6.
(5.62)
Как видно из рис. 5.7, за пределы формул (5.62) «вылезает» график
для оболочки 3: начиная с t010 = 2,5, число волн n устанавливается
на уровне n = 10 и график устремляется по прямой линии
t2 =
11 + 3t010
.
7
Оболочка 3 отличается тем, что она в 1,5 ÷ 3 раза короче остальных. В связи с этим её параметр волнообразования λ1 = 1,96 в 1,5 ÷ 3
раза больше, чем у остальных оболочек, число окружных волн
(n = 7) без осевого растяжения близко к предельному (при действии
осевого растяжения) значению n = 10. Таким образом, в коротких
оболочках влияние осевого растяжения на критическое усилие кольцевого сжатия при больших значениях величины t010 проявляется сильнее.
6*
164
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
5.3.2. Трёхслойные ортотропные оболочки. При совместном
действии наружного бокового давления и растягивающих осевых усилий трёхслойная оболочка теряет устойчивость аналогично классическим: образуются одна полуволна в осевом направлении и несколько
волн в кольцевом. В связи с этим исследование основано на соотношении (5.50), которое в рассматриваемом случае принимает вид:
2
D2∗
n
B1 (1 − ν1 ν2 ) λ41 λ21
T2 = D2 +
+
+ 2 T1 ;
2
2
2
R
n6
n
1 + ω1 λ1 + ω2 n
(5.63)
πR
.
λ1 = λ =
Зависимость кольцевого критического усилия T2 от осевого растяжения T1 получается отсюда в результате минимизации по параметру
волнообразования n.
В области оболочек со слабым на поперечные сдвиги заполнителем
(K2 < 0,5 T2 ) соотношение (5.63) принимает вид, аналогичный (5.53):
λ2 T K2
B1 (1 − ν1 ν2 ) λ41
1
n2
+ 12 10
t2 = D2 2 +
t +
;
6
T2
R
n
n T2 10 T2
T2
T1
; t
;
10 =
T2
T10
1,75π 4
=
B1 (1 − ν1 ν2 ) (D2 )3 ;
R 1/2
t2 =
T2
2
B2 (1 − ν1 ν2 ) D1 .
(5.64)
R
Критическое значение безразмерного наружного давления t
по2
лучается из (5.64) минимизацией по параметру волнообразования n.
Поскольку последнее слагаемое, содержащее сдвиговую жёсткость K2
трёхслойной оболочки, не зависит от параметра n, то результат минимизации соотношения (5.64) совпадает с результатом минимизации
выражения (5.60) для классических оболочек. Это значит, что можно
использовать зависимости (5.62), т. е.
⎧
K2
⎪
⎪
1 + 0,87t
при t
⎪
10 +
10 < 1;
⎪
T2
⎪
⎪
⎨
K2
T2
2
при 1 t
1 + 0,8t
= t
10 − 0,05 (t10 ) +
10 < 6;
2 =⎪
T2
T
2
⎪
⎪
⎪
K2
⎪
⎪
при 6 t
⎩ 2,5 + 0,25t10 + 10 20;
T2
T10
=
t
2 = T2 /T2 .
(5.65)
5.3. Нагружение внешним давлением и растягивающим усилием
165
Отсюда можно получить соотношения для расчёта критических
кольцевых усилий T2 в зависимости от величины осевого растягивающего усилия T1 :
⎧
T ⎪
T20 + 0,87 2 T1
⎪
⎪
⎪
T10
⎪
⎪
⎪
⎨
T T T1
T2 = T20 + 0,8 2 T1 − 0,05 2 T1
T10
T10 T10
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
T
⎪
⎪
⎩ T20 + 0,25 2 T1
T10
при T1 < T10
;
при T10
T1 < 6T10
;
при 6T10
T1 < 20 T10
.
(5.66)
Здесь T20 — критическое кольцевое усилие в трёхслойной оболочке при
отсутствии осевого растяжения (4.72):
2 K2
o
T2 = T2 + K 2 1 −
; K2 < 0,5 T2 .
(5.67)
T2
Соотношения (5.66) свидетельствуют о слабой зависимости критического наружного давления от растягивающего усилия T1 , поскольку
T2 T10
и
T2
D2
λ21
= 0,875 λ1 4
=
1,15
1.
T10
n2
B 1 R2
Полученные закономерности справедливы для трёхслойных оболочек со слабым на поперечные сдвиги заполнителем, когда выполняется
условие K2 < 0,5 T2 . В этом случае в соответствии с формулой (5.67)
критическое усилие при внешнем давлении определяет величина K2 ,
поскольку обычно T2 K2 . Таким образом, несущие слои вносят
малый вклад в критическое усилие. Видимо, поэтому и растягивающее
осевое усилие, приложенное к несущим слоям (заполнитель лёгкий),
слабо влияет на критическое усилие от внешнего давления.
Рассмотрим трёхслойные оболочки с достаточно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем, когда выполняется условие K2 > 0,5 T2 .
В этом случае исходное соотношение (5.63) можно записать в виде:
T2 =
D2
B1 (1 − ν1 ν2 ) λ41 λ21
n2
+
+ 2 T1 .
2
2
2
n6
n
1 + ω1 λ1 + ω2 n R
(5.68)
Критическое значение T2 кольцевого сжимающего усилия в зависимости от растягивающего осевого усилия T1 получается отсюда
минимизацией по параметру волнообразования n.
Для дальнейшего анализа соотношение (5.68) удобно записать в виде, аналогичном (5.60) для тонкостенных классических оболочек:
166
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
t2 =
D2
1
n2
B1 (1 − ν1 ν2 ) λ41
λ2 T +
t10 ;
+ 12 10
0
2
2
6
2
n
n T2
T2 1 + ω1 λ1 + ω2 n R
t2 =
T10
T2
;
T20
t10 =
T1
;
T10
(1 − Δ2 )
2
=
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ;
R
T2
Δ2 =
1,75π
=
R 1/2
9 T2
1
−
16 K2
8
T2
K2
2
;
4
B1 D23 (1 − ν1 ν2 ) . (5.69)
Здесь T20 — критическое кольцевое усилие при отсутствии осевого
растяжения:
2 9 T2
1 T2
0
T2 = T2 (1 − Δ2 ) = T2 1 −
+
; K2 > 0,5 T2 .
16 K2
8 K2
Критическое значение безразмерного кольцевого усилия t2 в зависимости от безразмерного осевого растяжения t10 получается из соотношений (5.69) минимизацией по числу n волн.
Если заполнитель достаточно жёсткий на поперечные сдвиги
(Δ2 1), то в отсутствие осевого растяжения при потере устойчивости
от внешнего давления число волн близко к числу волн в оболочках
с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем. В этом
случае при малых значениях растяжения t10 (t10 < 1) форма волнообразования не меняется, и из (5.69) можно получить соотношение,
аналогичное (5.61):
t
2 =
T2
= 1 + 0,87 t10 .
T2o
(5.70)
Учитывая, что T20 = T2 (1 − Δ2 ), из (5.70) можно найти:
t
2 =
T2
T1
= 1 − Δ2 + 0,87 .
T2
T10
(5.71)
При отсутствии поперечных сдвигов (Δ2 = 0) зависимость (5.71)
совпадает с аналогичной зависимостью (5.61) для классических
оболочек.
Результаты численного исследования влияния осевого растяжения
на критическое усилие при внешнем давлении для семи различного
рода трёхслойных оболочек показаны на рис. 5.8. В таблице к рисунку помещены обобщённые жесткостные и габаритные характеристики
оболочек.
Из рисунка видно, что с увеличением жёсткости заполнителя
на поперечные сдвиги (с уменьшением величины Δ2 ) влияние осевого
растяжения на безразмерную величину t
критического наружного
2
давления заметно повышается. Максимальное влияние осевого растяжения наблюдается в оболочках 5, 6, 7, где поперечные сдвиги играют
5.3. Нагружение внешним давлением и растягивающим усилием
167
t
1
10
7t 0
7
t2 =1
+0
,8
6
5
4
*
*
*
*
*
*****
3
оболочка 1
оболочка 2
оболочка 3
оболочка 4
оболочка 5
оболочка 6
оболочка 7
2
1
t10
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№
оболочки
λ1
R/H
T2 ,
кгс/см
K2 ,
кгс/см
Δ2
ω1
ω2
1
0,67
26
448
426
0,45
0,107
0,132
2
0,67
26
448
851
0,26
0,054
0,066
3
0,67
26
448
1280
0,18
0,036
0,044
4
0,67
26
448
2450
0,099
0,019
0,023
5
0,67
111
25
926
0,015
0,001
0,002
6
1,37
111
109
926
0,064
0,003
0,004
7
0,95
111
73
926
0,044
0,004
0,003
Рис. 5.8. Зависимость критических значений кольцевых усилий от значения
осевого растяжения (трёхслойные оболочки, K2 > 0,5 T2 )
незначительную роль (Δ2 0,06). Из рис. 5.8 следует также, что
в оболочках с не очень жёстким на поперечные сдвиги заполнителем
(оболочка 1, Δ2 = 0,45) влияние осевого растяжения сравнительно
невелико.
168
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
В области совместного действия осевого сжатия и наружного давления (−0,6 < t10 < 0) взаимное влияние осевого сжатия и наружного
давления мало зависит от вида оболочек, и все кривые практически
сливаются в одну:
t
2 = 1 − 0,87t10 .
В этом случае наблюдается полная аналогия с формулой (5.38)
и графиком на рис. 5.7 для классических оболочек с неизменной нормалью.
5.4. Устойчивость при совместном действии
осевого сжатия и кручения
Численный анализ, проведённый на основе решения дифференциальных уравнений (1.1), (1.2) при условии отсутствия бокового давления, показал следующее.
Для тонкостенных многослойных оболочек взаимное влияние осевого сжатия и кручения достаточно велико, предельные кривые близки
к прямой линии
S
T1
+ 0 = 1.
(5.72)
0
S
T1
Здесь T1 , S — осевое и сдвигающее усилия в оболочке, T10 , S 0 —
критические усилия при раздельном действии осевого сжатия и кручения соответственно.
Трёхслойные оболочки с достаточно жёстким на поперечные сдви
ги заполнителем (K1 > 0,5 T10
) сопротивляются по закономерностям,
близким к закономерностям для классических оболочек. В связи с этим
в качестве предельных кривых при совместном действии осевого сжатия и кручения на такие оболочки можно использовать зависимость
(5.72).
В случае слабых на поперечные сдвиги заполнителей (K1 < 0,5 T10
)
по аналогии с соотношениями (4.43) получается следующая зависимость:
T1 + 2Sψ = k(ψ)T 10 + K1 + K2 ψ 2 .
(5.73)
Проводя минимизацию этого выражения по параметру волнообразования ψ , можно получить как в случае превалирующего влияния
сдвигающих усилий (S ∼ S 0 ; T1 T10 ), так и в случае превалирующего
влияния осевых усилий (S S 0 ; T1 ∼ T10 ) следующую предельную
кривую:
2
T1
S
+
= 1.
(5.74)
0
S0
T1
Как показал численный анализ, оценка (5.74) в области S/S 0 0,5
идет в некоторый запас. Более точные результаты получаются минимизацией выражения (3.2) по параметрам волнообразования λ и ψ .
169
5.7. Устойчивость при поперечном изгибе
5.5. Устойчивость при совместном действии
внешнего давления и кручения
Численный анализ показал, что в этом случае как для многослойных тонкостенных, так и для трёхслойных оболочек в некоторый запас
для расчёта несущей способности можно использовать соотношение
T2
S
+ 0 = 1.
0
S
T2
(5.75)
5.6. Устойчивость при совместном действии
осевой сжимающей силы и изгибающего момента
В рассматриваемом случае не представляется возможным получить
точное аналитическое решение для расчёта критических значений осевого сжимающего усилия и изгибающего момента. Расчёты показывают, что при действии чистого изгиба критические эквивалентные
осевые нагрузки в многослойных ортотропных оболочках повышаются
на 15 ÷ 20 % по сравнению с нагрузками при равномерном осевом сжа
тии. Эквивалентное критическое усилие T
при совместном действии
равномерного осевого сжатия и изгибающего момента можно оценить
следующим соотношением:
T
.
T = T1
1 + Δ
(5.76)
T + T1
Здесь T1 — критическое усилие при равномерном осевом сжатии;
T1 — действующее усилие осевого сжатия; T = M/πR2 — эквивалентное осевое сжатие от действующего изгибающего момента M ;
Δ = 0,15 ÷ 0,20.
Расчёт критических нагрузок в трёхслойных оболочках с доста
точно жёстким заполнителем (K1 > 0,5 T10
) можно также проводить
на основе соотношения (5.76).
Если заполнитель в трёхслойных оболочках имеет малую жёст
), то в формуле (5.76) следует
кость на поперечные сдвиги (K1 < 0,5 T10
полагать Δ = 0.
5.7. Устойчивость при поперечном изгибе
В этом случае от действия поперечной силы Q в оболочке возникают изгибающий момент M и эквивалентное сдвигающее усилие S :
S =
Q
.
πR
(5.77)
170
Гл. 5. Устойчивость при комбинированном нагружении
Изгибающему моменту M соответствует эквивалентное осевое сжимающее усилие
M
T =
.
(5.78)
πR2
При этом максимальные значения эквивалентных сдвигов и сжатия приходятся на разные сечения оболочки. Максимальное сжатие
приходится на прикорневую область, а максимальное сдвигающее усилие — на зону меридионального сечения, перпендикулярного силе Q
(рис. 5.9).
T1 =0; Smax
T1 max ; S=0
Q
Рис. 5.9. Распределение усилий при действии поперечной силы на цилиндрическую оболочку
В связи со сказанным максимальные осевые сжимающие усилия
и сдвигающие усилия в рассматриваемом случае между собой не взаимодействуют. Следовательно, для оценки несущей способности можно
по отдельности найти величину критического изгибающего момента
и критической перерезывающей силы:
M = πR2 T1 (1 + Δ ) ;
Q = πRS .
(5.79)
Здесь T1 и S — критические усилия осевого сжатия и кручения,
вычисленные для рассматриваемой оболочки. Поправка Δ учитывается в соответствии с рекомендациями раздела 5.6. При этом для
трёхслойных оболочек со слабым на поперечные сдвиги заполнителем
(K1 < 0,5 T10
) следует полагать Δ = 0.
Глава 6
УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК СО СПЛОШНЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
6.1. Математическая модель
и разрешающие соотношения
Цилиндрическая ортотропная многослойная оболочка рассматривается с позиций классической модели тонкостенных оболочек с неизменной нормалью. Считается, что оболочка сплошь заполнена упругим
телом. В [44] показано, что возможное центральное осевое отверстие
в заполнителе начинает влиять на критические усилия лишь при достаточно большом диаметре отверстия. Заполнитель в общем случае
считается ортотропным и имеет малую жёсткость, так что все сжимающие нагрузки воспринимает оболочка. Сдвиговые напряжения между
оболочкой и упругим заполнителем практически не влияют на критические усилия [26, 28], поэтому взаимодействие между оболочкой
и упругим основанием осуществляется только через нормальные напряжения (контактное давление). При таких предположениях заполнитель
можно рассматривать как упругое основание Власова–Пастернака. Как
показано в [44], применение соотношений винклеровского упругого
основания в рассматриваемой задаче не отражает её физической сущности.
С учётом перечисленных гипотез для исследования устойчивости
классических многослойных оболочек на упругом основании можно получить [44, 86] следующее дифференциальное уравнение, аналогичное
уравнению (4.2):
∇42 (qw − σr ) = D1 ∇41 ∇42 w +
B2 (1 − ν1 ν2 ) ∂ 4 w
.
R2
∂x4
(6.1)
Здесь сохраняются обозначения соотношений (4.2), а σr — неизвестное подкрепляющее давление на оболочку со стороны заполнителя.
При потере устойчивости оболочек на упругом основании образуется большое число сравнительно коротких волн, поэтому условия
закрепления краёв оболочки слабо влияют на критические усилия [26].
Учитывая это, представим решение уравнения (6.1) в виде
w (x, y , r) = W (r) sin
λx + ny
;
R
λ=
mπR
.
(6.2)
172
Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
Здесь m — число полуволн в осевом направлении, n — число волн
в кольцевом направлении; функция W (r) определяет распределение
деформаций по толщине заполнителя и выражается через модифицированные функции Бесселя [44].
Подставляя решение (6.2) в уравнение (6.1), определяя из совместности деформаций оболочки и заполнителя контактное давление σr и
используя асимптотическое представление функций Бесселя при больших значениях λ и n, получим следующее разрешающее соотношение
для определения критических усилий в цилиндрической оболочке со
сплошным заполнителем [73]:
B2 (1 − ν1 ν2 ) D1 2
R
+
T1 + 2ψS + ψ 2 T2 =
λ
F
(ψ)
+
Ez (G13 + ψ 2 G23 ) ;
1
λ
λ2 F2 (ψ)
R2
Fi (ψ) = 1 + αi ψ 2 + βi ψ 4 i = 1, 2 ;
ψ=
n
.
λ
(6.3)
Здесь дополнительно введены обозначения:
Ez =
( 1 + ν 3 ) E3
2 — приведённый модуль упругости заполнителя
2 1 − ν32
в радиальном направлении;
E3 , ν3 — соответственно модуль упругости заполнителя в радиальном направлении и коэффициент Пуассона;
G13 , G23 — модули сдвига заполнителя в осевом и кольцевом
направлениях соответственно.
Соотношение (6.3) показывает, что первые два слагаемых в правой
части характеризуют устойчивость не подкреплённой заполнителем
(«пустой») цилиндрической оболочки, а третье слагаемое определяет
влияние упругого основания на критические усилия в оболочке.
После ряда алгебраических преобразований выражение (6.3) можно
представить в виде:
2
T1 + 2ψS + ψ 2 T2
λ
1
e1 (ψ)
=
+ 2+
;
k (ψ) T10
2
λ
2λ
F1 (ψ)
4 D1 F1 (ψ) F2 (ψ)
λ=λ
; k (ψ) =
;
B2 (1 − ν1 ν2 ) R2
F2 (ψ)
G23 2 F2 (ψ)
e1 = e1
1+
ψ
;
G13
k (ψ)
R3/2 Ez G13
e1 = .
4
2 D1 B23 (1 − ν1 ν2 )3
(6.4)
Для определения критических нагрузок необходимо минимизировать соотношение (6.4) по параметрам волнообразования λ и ψ . Находя
минимум правой части (6.4) по параметру λ, можно получить
173
6.2. Расчёт на устойчивость при осевом сжатии
T1 + 2ψS + ψ 2 T2
= P [e1 (ψ)] .
k (ψ) T10
(6.5)
Анализ функции P (e1 ) показал, что с относительной погрешностью
менее 2 % она аппроксимируется зависимостями [74]:
P (e1 ) = 1 + e1 − 0,1 e12
P (e1 ) =
3 2/3
1
e1 +
2/3
2
2 e1
при e1 2;
при
e1 > 2.
(6.6)
При e1 5 вторым слагаемым можно пренебречь и с помощью
соотношений (6.4) найти
T1 + 2ψS + ψ 2 T2 = 1,89 3 D1 Ez (G13 + ψ 2 G23 ) F1 (ψ) .
(6.7)
Соотношение (6.7) означает, что для достаточно жёстких заполнителей критические усилия оболочки не зависят от её радиуса и длины,
т. е. оболочка работает как пластина бесконечной длины на упругом
основании. Это соотношение может служить для определения нижней
границы критических усилий.
6.2. Расчёт на устойчивость при осевом сжатии
В этом случае зависимость (6.5) для расчёта критических сжимающих осевых усилий примет вид
T1
= k (ψ) P [e1 (ψ)] ;
T10
(6.8)
2 T10 =
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) — критическое усилие осевого сжатия для
R
оболочки без заполнителя при осесимметричной форме волнообразования.
Рассмотрим сначала изотропные конструкции. Тогда можно положить:
2
k (ψ) = 1; F1 (ψ) = F2 (ψ) = 1 + ψ 2 ; G13 = G23 = G3 ;
3/2
e1 (ψ) = e1 1 + ψ 2
;
R3/2 Ez G3
e1 = .
4
2 B 3 D (1 − ν1 ν2 )3
Анализ этих соотношений и формулы (6.8) показывает, что критическая нагрузка достигается при ψ = 0, т. е. потеря устойчивости при
осевом сжатии изотропных оболочек на упругом основании является
осесимметричной. Тогда формулы для расчёта критических усилий
174
Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
при осевом сжатии изотропных цилиндрических оболочек на упругом
основании примут вид:
⎧
2
⎪
⎪
⎨ 1 + e1 − 0,1 e1 при e1 2;
T1
=
(6.9)
3 2/3
1
T10
⎪
⎪
⎩ 2 e1 + 2/3 при e1 > 2.
2 e1
Если заполнитель достаточно жёсткий (e1 5), то
T1 = 1,89 3 Dz G3 .
(6.10)
В случае ортотропных оболочек волнообразование при потере
устойчивости зависит не только от анизотропии оболочки, но и от
жёсткости заполнителя, оно может быть как осесимметричным,
так и неосесимметричным. При этом для ортотропных оболочек
с маложёстким заполнителем характерна неосесимметричная форма
с параметрами волнообразования, близкими к параметрам «пустой»
оболочки:
1
2
ψ
= ψ02 (1 − ε) ; ψ02 = .
β2
Разлагая правую часть соотношения (6.8) в ряд по малому параметру ε с сохранением величин порядка ε2 и проводя минимизацию, после
довольно громоздких выкладок и пренебрежения малыми величинами
можно получить [74]:
T1
2 + α1 / β1
.
= k + 2e1 ; k =
(6.11)
T10
2 + α2 / β2
Численный анализ показал, что с увеличением жёсткости заполнителя волнообразование в ортотропных оболочках приобретает тенденцию к осесимметричной форме, т. е. параметр ψ становится малым.
Воспользовавшись этим, можно представить выражение (6.8) в виде
ряда по малому параметру ψ 2 , сохранив члены с ψ 4 . Полученное выражение минимизируется в аналитическом виде. В результате отбрасывания несущественных малых членов получается следующая формула:
T1
α2 − α1
1
= P (e1 ) −
1 − e1 ≈ 0,83 + e1 .
(6.12)
T10
2 (3α2 + α1 )
2
С дальнейшим ростом жёсткости заполнителя форма волнообразования становится осесимметричной. Осесимметричная форма потери
устойчивости осуществляется [74] при выполнении условия
e1 >
2 (α2 − α1 )
.
α2 + α1 + 2G23 /G13
(6.13)
6.2. Расчёт на устойчивость при осевом сжатии
175
В практических расчётах при e1 > 1,3 волнообразование можно считать осесимметричным и получить из (6.8), полагая ψ = 0, следующие
зависимости для расчёта критических усилий:
⎧
2
⎪
⎪
⎨ 1 + e1 − 0,1 e1 при 1,3 < e1 2;
T1
=
(6.14)
1
3 2/3
T10
⎪
⎪
e
+
при
e
>
2
.
1
⎩ 2 1
2/3
2e
1
Сравнивая между собой соотношения (6.11), (6.12), (6.14), можно
предложить следующие расчётные формулы для критических усилий
при осевом сжатии цилиндрических многослойных ортотропных оболочек с заполнителем:
⎧
⎪
при e1 < 0,83 − k ;
k + 2e1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0,83 + e1
при 0,83 − k e1 1,3;
⎪
⎨
T1
=
(6.15)
T10
2
⎪
⎪
+
e
−
0,1
e
при
1,3
<
e
2;
1
1
1
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1
3 2/3
⎪
⎪
⎩ e1 + 2/3 при e1 > 2.
2
2 e1
Соотношения (6.15) применимы к оболочкам, для которых выполняется зависимость α1 < α2 (k < 1). Если анизотропия оболочки такова, что α1 α2 (k 1), то форма волнообразования осесимметрична,
и для расчёта критических сжимающих усилий следует использовать
зависимости, аналогичные (6.9):
⎧
⎪
⎪
1 + e1 − 0,1 e21 при e1 2;
⎪
⎨
T1
=
1
3 2/3
T10
⎪
⎪
⎪
⎩ 2 e1 + 2/3 при e1 > 2.
2 e1
Если жёсткость заполнителя велика (e1 5), то влияние кривизны
исчезает, и оболочка работает как пластина на упругом основании.
В этом случае
T1 = 1,89 3 D1 Ez G13 .
(6.16)
Из приведённых расчётных формул следует, что критическая нагрузка при осевом сжатии ортотропной оболочки с заполнителем выражается через три параметра:
2
T10 =
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) — критическое усилие при осесимметR
ричной потере устойчивости «пустой» оболочки (обобщённая жёсткость оболочки);
176
Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
R3/2 Ez G13
e1 = — обобщённый параметр «осевой» жёстко4
2 B23 D1 (1 − ν1 ν2 )3
сти заполнителя (коэффициент «постели»);
k =
2 + α1 /
2 + α2 /
β1
— параметр анизотропии оболочки.
β2
Две обобщённые жёсткости естественным образом характеризуют
жёсткости оболочки T10 и заполнителя e1 и вместе с параметром анизотропии k полностью определяют критические усилия при осевом
сжатии ортотропных многослойных цилиндрических оболочек с упругим заполнителем.
Сравнительный анализ показал хорошее согласование расчётов
по формулам (6.15) с точным решением: погрешность находится в пределах 2 %÷5 %, причём расчёт по формулам (6.15) идёт в некоторый запас. Хорошее согласование предложенных расчётных формул
(сплошная кривая) с точным решением [44] (кружки) иллюстрируется
на рис. 6.1.
T1 /T10
3,0
2,5
1+e1 −0,1e21
2,0
0,83+e1
1,5
1,0
k
+2e1
0,5
e1
0,0
0
0,5
1,0
1,5
2,0
по формулам (6.15)
точное решение
Рис. 6.1. Зависимость критического усилия при осевом сжатии ортотропных
цилиндрических оболочек на упругом основании от безразмерной жёсткости e1
основания
6.3. Расчёт на устойчивость при действии внешнего давления
177
Сравнительный экспериментально-теоретический анализ [74] показал, что при осевом сжатии цилиндрических оболочек с заполнителем теоретические и экспериментальные результаты удовлетворительно
согласуются. При этом даже сравнительно маложёсткий заполнитель
(e1 = 0,13) практически полностью гасит влияние начальных неправильностей формы оболочки, и теоретические и экспериментальные
значения критических нагрузок совпадают. Максимальное различие
между теоретическими и экспериментальными значениями критических усилий в стеклопластиковых оболочках не превосходит 20 %.
6.3. Расчёт на устойчивость
при действии внешнего давления
При потере устойчивости цилиндрической оболочки с заполнителем
от внешнего давления, как показал численный анализ, образуется одна
полуволна в осевом направлении и значительное число кольцевых волн
(n2 1, ψ 2 1). Используя это, можно привести соотношение (6.3)
при T1 = S = 0 к виду:
B1 (1 − ν1 ν2 ) λ41 D2 2 R πR
.
T2 =
+ 2n +
Ez G23 ; λ1 =
(6.17)
n6
R
n
После несложных преобразований из этого выражения следует [73]:
e
T2
3
1
1,75π 4
B1 D23 (1 − ν1 ν2 ) ;
= n2 + 6 + 2 ; T20 =
T20
4
n
R1/2
4n
B1 (1 − ν1 ν2 ) R2
;
D2
R9/4 Ez G23
e2 = 3/2 .
1/8
2λ1 B13 D25
(1 − ν1 ν2 )3/8
n=
n
;
n0
n80 = 3λ41
(6.18)
Здесь T20 — критическое усилие, n0 — параметр волнообразования
«пустой» оболочки.
Минимизируя соотношение (6.18) по параметру n, можно получить
зависимость критического кольцевого усилия T2 от жёсткости e2
заполнителя. Эта зависимость с погрешностью меньше 1 % аппроксимируется выражениями:
T2
= 1 + e2 − 0,04 e22
T20
при e2 5;
T2
2/3
= 1,71 e2
при e2 > 5.
(6.19)
T20
Из соотношений (6.19) видно, что критическое усилие в случае
действия внешнего давления полностью определяется обобщёнными
178
Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
жесткостными параметрами оболочки (T20 ) и заполнителя (e2 ), которые
находятся из (6.18).
Если во вторую формулу (6.19) подставить значения T20 и e2 из зависимостей (6.18), то получается критическое усилие для бесконечной
пластины на упругом основании
T2 = 1,89 3 D2 Ez G23 .
(6.20)
Систематические экспериментальные исследования по устойчивости цилиндрических оболочек с заполнителем при внешнем давлении
отсутствуют. Имеющиеся экспериментальные результаты [86] показывают, что при действии внешнего давления расчётные и экспериментальные значения критических усилий хорошо согласуются.
Если оболочки однородны по толщине, то формулы (6.16) для случая осевого сжатия и (6.20) для наружного давления преобразуются
к виду, содержащему критические напряжения σ1 и σ2 :
σ1
T = 1 = 0,83
h
σ2
T = 2 = 0,83
h
3
3
E1 Ez G13
;
1 − ν1 ν2
(6.21)
E2 Ez G23
.
1 − ν1 ν2
Если положить в заполнителе ν3 = 0,5 (коэффициент Пуассона
для заполнителя равен половине), то из зависимостей (6.21) следуют
соответствующие соотношения [52].
Как следует из (6.21), критические напряжения в однородных оболочках на достаточно жёстком упругом основании (e1 > 5; e2 > 5)
не зависят от толщины оболочки, а содержат только характеристики
упругости оболочки и заполнителя.
Сравнивая зависимости (6.4) и (6.18) для обобщённых жесткостей e1 и e2 заполнителя, можно получить следующее соотношение
между ними:
3/2 3/8
B2 R2
G23
1/8
e2 = β1
e1 .
(6.22)
πR
G13
D2
В случае однородных по толщине оболочек эта зависимость принимает вид:
1/8 3/4 3/2
E2
R
G23
e2 = 0,46
e1 .
(6.23)
E1
G13
h
R
Отсюда следует, что e2 e1 .
6.4. Особенности расчётов на устойчивость при кручении
179
6.4. Особенности расчётов
на устойчивость при кручении
Для исследования устойчивости цилиндрических оболочек с заполнителем при кручении воспользуемся соотношением (6.5), которое при
T1 = T2 = 0 запишем в виде
k (ψ)
S
P [e1 (ψ)] .
=
(6.24)
T10
2ψ
Анализ показывает, что присутствие упругого заполнителя существенно сказывается на форме волнообразования при потере устойчивости [73]. Так, если для «пустой» оболочки обычно выполняются
условия
πR
2
m = 1; λ = λ1 =
; n2 λ2 ; ψ
1,
то в оболочках с заполнителем эти условия не соблюдаются. Как
показали расчёты, даже для конструкций с очень слабым заполнителем
(e1 0,01) форма потери устойчивости при кручении характеризуется
зависимостями:
n2 1; λ2 1; n ∼ λ ; ψ ∼ 1.
(6.25)
Рассмотрим сначала изотропные оболочки с заполнителем. В этом
случае:
3/2
k (ψ) = 1; e1 (ψ) = e1 1 + ψ 2
; G13 = G23 = G3 ;
R3/2 Ez G3
2
e1 =
; T10 =
B(1 − ν 2 ) D .
4
R
3
2 DB
Представляя функцию P [e1 (ψ)] в виде (6.6) и учитывая соотношения (6.25), после минимизации соотношения (6.24) по параметру ψ 2
можно получить следующие зависимости для расчёта критических
усилий:
⎧
1/3
⎪
⎪
⎨ 0,93 e1 + 0,66 e1 при 0,01 e1 < 1,5;
S =
(6.26)
1
3 2/3
T10
⎪
при e1 1,5.
⎪
⎩ 2 e1 +
2/3
8 e1
Сравнение с точным решением задачи показало, что погрешность
формул (6.26) не превосходит 1 %.
Для достаточно жёстких заполнителей (e1 5) с погрешностью,
не превосходящей 1%, можно пренебречь вторым слагаемым во второй
формуле (6.26). В результате получается формула для расчёта критических усилий пластины на упругом основании [73]:
S = 1,89 3 DEz G3 .
(6.27)
180
Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
В общем случае ортотропных оболочек и ортотропного заполнителя
не удаётся получить приемлемые формулы для расчёта критических
усилий. Критические усилия при кручении можно получить минимизацией по параметрам λ и ψ выражения
2
S
1
e1 (ψ)
k (ψ) λ
=
+
+
,
(6.28)
2
T10
2ψ
2
λ
2λ
полученного из (6.4) при T1 = T2 = 0.
Для оценок можно воспользоваться зависимостями (6.24), (6.6),
положив в соответствии с (6.25) ψ = 1 [73]:
⎧
1
⎪
⎪
k (1) 1 + e1 (1) − 0,1 e12 (1)
при e1 (1) 2;
⎪
⎨
2
S
=
⎪
3 2/3
1
1
T10
⎪
⎪
при e1 (1) > 2;
⎩ 2 k (1) 2 e1 (1) +
2/3
2 e1 (1)
2
1 + α1 + β1
T10 =
B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ; k (1) =
;
R
1 + α2 + β2
G (1 + α2 + β2 )3/4
e1 (1) = e1 1 + 23
.
(6.29)
G13 (1 + α1 + β1 )1/4
В случае достаточно жёстких заполнителей (e1 (1) 5) оболочка
ведет себя как пластина на упругом основании, и для расчёта критических усилий имеются соотношения [73]:
S = 0,945 3 (1 + α1 + β1 ) D1 Ez (G13 + G23 ) .
(6.30)
В настоящее время не имеется систематических данных по экспериментальному исследованию устойчивости цилиндрических оболочек
с заполнителем при кручении. Учитывая близость форм волнообразования при кручении и осевом сжатии (неосесимметричная форма),
в первом приближении можно пользоваться оценками, полученными
для осевого сжатия.
6.5. Совместное действие
осевого сжатия и наружного давления
Исследование предельных кривых при совместном действии осевого
сжимающего усилия T1 и кольцевого сжимающего усилия T2 = pR (p —
наружное давление) целесообразно проводить с помощью зависимости,
полученной из соотношений (6.4) при S = 0:
6.5. Совместное действие осевого сжатия и наружного давления
T1 +
181
n2
D1 B2 (1 − ν1 ν2 ) λ2
T2 = 2 2 λ4 + α1 λ2 n2 + β1 n4 + 4
+
2
λ
λR
λ + α2 λ2 n2 + β2 n4
R
G23 n2
+
1+
Ez G13 . (6.31)
λ
G13 λ2
Если заполнитель изотропный, то последнее слагаемое в зависимости (6.31) принимает вид
E3 R
λ2 + n 2
.
λ2
2 1 − ν02
В области малых значений внешнего давления (T2 T2 ) можно
воспользоваться соотношением (6.5):
T1 = k (ψ) T10 P [e1 (ψ)] − ψ 2 T2 .
(6.32)
Предельную кривую можно получить минимизацией выражения
(6.32) по параметру ψ .
В области достаточно больших давлений (T2 ∼ T2 ) оболочка теряет устойчивость по форме, близкой к той, которая имеет место при
действии наружного давления. В этом случае, используя полубезмоментную постановку, из (6.31) можно получить
D2 n2 B1 (1 − ν1 ν2 ) λ41 R λ21
T2 =
+
+
G
E
−
T1 .
(6.33)
z
23
R2
n6
n
n2
Связь между предельными значениями осевых и кольцевых сжимающих усилий получается после минимизации выражения (6.33) по параметру волнообразования n.
К сожалению, не удалось получить в аналитической форме предельные кривые при совместном действии осевого сжатия и наружного
давления на цилиндрическую оболочку с заполнителем. Структура соотношений (6.32), (6.33) подсказывает, что предельная кривая должна
быть близка к ломаной линии, состоящей из двух участков. Это подтвердил и численный анализ, проведённый на примерах характерных
конструкций.
Были рассмотрены 2 типа оболочек. Оболочки 1-го типа считались однородными по толщине, ортотропными и имели следующие
габаритно-жесткостные характеристики:
E1 = 3,75 · 104 МПа;
E2 = 5, 35 · 104 МПа; G12 = 0,9 · 104 МПа;
R
= 2,3;
= 50; e2 = 32e1 .
ν1 = 0,14; ν2 = 0,2;
R
h
Аналогично, оболочки 2-го типа имели следующие характеристики:
E1 = 1,8 · 104 МПа;
ν1 = 0,16;
E2 = 2,5 · 104 МПа; G12 = 0,46 · 104 МПа;
R
= 2,4;
= 112; e2 = 60 e1 .
ν2 = 0,22;
R
h
182
Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
Обобщённая жёсткость e1 заполнителя в процессе численного анализа изменялась в пределах 0,00046 e1 1,6.
На рис. 6.2 и 6.3 показаны результаты расчётов предельных кривых
при совместном действии осевого сжатия и наружного давления на цилиндрическую оболочку с упругим сплошным заполнителем. Расчёты
y
1,0
0,9
*
0,8
0,7
*
0,6
*
0,5
0,4
*
0,3
*
0,2
0,1
x
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
*
0,4
e1
e1
e1
e1
e1
e1
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
= 0; e2 = 0
= 0,00046; e2 = 0,14
= 0,00068; e2 = 0,21
= 0,011; e2 = 0,35
= 0,018; e2 = 0,56
= 0,046; e2 = 1,4
Рис. 6.2. Предельные кривые при совместном действии осевого сжатия
и бокового давления в оболочках с заполнителем (1-й тип оболочек)
проведены с помощью минимизации соотношения (6.31) по параметрам
волнообразования. Предельные кривые построены в координатах
T2
T1
x = ; y = .
(6.34)
T2
T1
Здесь T1 , T2 — действующие осевое и кольцевое сжимающие усилия
(T2 = pR); T1 , T2 — критические усилия в оболочке с заполнителем
при раздельном действии осевого сжатия и наружного давления соответственно.
6.5. Совместное действие осевого сжатия и наружного давления
183
y
1,0
*
*
0,9
*
*
0,8
*
0,7
*
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
*
e1
e1
e1
e1
e1
e1
e1
e1
e1
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
= 0; e2 = 0
= 0,032; e2 = 1,9
= 0,047; e2 = 2,9
= 0,079; e2 = 4,8
= 0,13; e2 = 7,7
= 0,22; e2 = 13
= 0,32; e2 = 19
= 1,6; e2 = 96
= 3,18; e2 = 192
Рис. 6.3. Предельные кривые при совместном действии осевого сжатия
и бокового давления в оболочках с заполнителем (2-й тип оболочек)
Как и следовало ожидать, при повышении жёсткости заполнителя
взаимное влияние осевых и кольцевых сжимающих усилий уменьшается. При этом в области 0,03 e1 0,3 все предельные кривые
практически совпадают, т. е. не зависят от жёсткости заполнителя
(рис. 6.3). Кроме того, из рис. 6.3 видно, что в достаточно большой
области изменения жёсткости e1 (0,03 < e1 < 1,6) предельные кривые
различаются сравнительно мало.
184
Гл. 6. Устойчивость оболочек со сплошным заполнителем
Обобщая результаты приведённого параметрического анализа, можно в небольшой запас рекомендовать следующие оценки для предельных кривых:
e1 < 0,03:
T2
T1
= 1 (T2 < 0,4T2 ) ;
+
T1
4T2
T2
2T1
= 1 (T2 0,4T2 ) ;
+
3T1
T2
0,03 e1 0,3:
T2
T1
= 1 (T2 0,8T2 ) ;
+
T1
4T2
T2
T1
= 1 (T2 > 0,8T2 ) ;
+
4T1
T2
e1 1,6:
T1
T2
= 1 (T2 < 0,9T2 ) ;
+
T1
9T2
T1
T2
= 1 (T2 0,9T2 ) .
+
9T1
T2
(6.35)
6.6. Расчёт на местную устойчивость
трёхслойных оболочек с лёгким заполнителем
Под местной формой потери устойчивости трёхслойных оболочек
подразумевается такая форма выпучивания при действии сжимающих
усилий, когда трёхслойный пакет в целом не изгибается, а теряют
устойчивость (сморщиваются) лишь несущие слои (рис. 2.1 б). Критические усилия в этом случае не зависят от толщины заполнителя,
а несущий слой можно рассматривать как оболочку на упругом основании Власова–Пастернака [37, 44].
Ниже рассматривается трёхслойная цилиндрическая оболочка, нагруженная в общем случае осевыми сжимающими усилиями, внешним давлением и крутящим моментом. Несущие слои представляют
собой многослойные оболочки, скомпонованные из ортотропных слоев.
Слой заполнителя выполнен из ортотропного материала; считается, что
слой заполнителя имеет малую жёсткость и все сжимающие нагрузки воспринимаются несущими слоями. Полагается, что несущие слои
сопротивляются согласно классической модели оболочек с неизменной
нормалью.
При таких предпосылках по расчётным формулам, приведённым
в пп. 6.2, 6.3, 6.4 настоящего раздела, можно для каждого несущего
слоя найти критическое усилие T
при действии осевого сжатия,
наружного давления или кручения. Для оценки коэффициента η
запаса устойчивости каждого несущего слоя трёхслойной оболочки
необходимо полученные значения критических усилий T
в слое от
нести к расчётному значению сжимающего усилия T , приходящего
6.6. Местная устойчивость трёхслойных оболочек
185
на рассматриваемый слой от полной расчётной нагрузки T , действующей на трёхслойную оболочку:
T
(6.36)
.
T
Расчётная величина сжимающего усилия T
определяется соответствующей жёсткостью B несущего слоя и жёсткостью B трёхслойного пакета в целом:
B T .
T
=
(6.37)
B
Анализ некоторых экспериментальных результатов [39] показывает,
что при местной форме потери устойчивости трёхслойных оболочек
теоретические и экспериментальные значения критических нагрузок
хорошо согласуются: погрешность находится в пределах 20 %.
η =
Глава 7
УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ
КОМПОЗИТНЫХ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
7.1. Математические модели
и разрешающие соотношения
При анализе устойчивости трёхслойных конических оболочек используется модель ломаной линии для пологих оболочек вращения. Из
соотношений этой модели как частные случаи следуют соотношения
для моделей прямой линии и неизменной нормали. Это позволяет
автоматически исследовать устойчивость трёхслойных оболочек с так
называемым жёстким заполнителем и многослойных оболочек.
Схема конической оболочки показана на рис. 7.1. Здесь — длина
образующей, Θ — угол конусности, r1 и r2 — радиусы оснований,
r(x) — текущий радиус, ρ(x) — главный радиус кривизны:
r (x)
.
(7.1)
cos Θ
Разрешающее дифференциальное уравнение получается из уравнения (1.1) для пологих оболочек вращения, где следует положить
R1 = ∞; R2 = ρ:
∂2
∂2
∗
4
4
D1 ∇1 − ω 2 2 + ω 1 2 ∇2∗ ∇42 w +
∂x
∂y
B2 ∂4
4 4
+
+ D1 ∇1 ∇2 ∇4c w = ∇42 ∇4c qw;
ρ2 ∂x4
ρ(x) =
∇41 =
∂4
∂4
∂4
+ α1 2 2 + β1 4 ;
4
∂x
∂x ∂y
∂y
∇4c = 1 − (ω1 + ω 2 )
D
α1 = 2 2 12 + ν2 ;
D1
∇42 =
∂4
∂4
∂4
+ α2 2 2 + β2 4 ;
4
∂x
∂x ∂y
∂y
∂2
∂2
− (ω 2 + ω 1 ) 2 + ω 1 ω 2 ∇42 ;
2
∂x
∂y
β1 =
D2
;
D1
α2 =
B2
− 2 ν2 ;
B12
β2 =
B2
;
B1
7.1. Математические модели и разрешающие соотношения
ω1 =
D1∗
;
K1
ω2 =
q = T10
D2∗
;
K2
ω 1 =
∗
D12
;
K1
ω 2 =
187
∗
D12
;
K2
∂2
∂2
∂2
+ 2S 0
+ T20 2 ;
2
∂x∂y
∂x
∂y
(7.2)
T10 , T20 , S 0 — докритические безмоментные усилия, действующие в оболочке.
P
Θ
r1
T1
r(x)
ρ(x)
r2
P
ρmax
x
Рис. 7.1.
Геометрические параметры конической оболочки и схема её
нагружения осевой силой P
Отыскивая решение в форме [79]:
ny
λx
mπR
cos
; λ=
;
R
R
(7.3)
λx + ny
w = w0 sin
,
R
можно получить разрешающие соотношения для расчёта критических
параметров m и n волнообразования и критических усилий:
w = w0 sin
q(λ, ψ) = [D1 + D1∗ Ω(λ, ψ)] λ2
F1 (ψ) B 2 R2
1
+
;
R2
ρ2 λ2 F2 (ψ)
F1 (ψ) =
1
Φ1 (λ, n) = 1 + α1 ψ 2 + β1 ψ 4 ;
λ4
F2 (ψ) =
1
Φ2 (λ, n) = 1 + α2 ψ 2 + β2 ψ 4 ;
λ4
188 Гл. 7. Устойчивость многослойных композитных конических оболочек
Ω (λ, ψ) =
1
;
Ω1 (λ, ψ) + λ2 (ω1 + ω2 ψ 2 ) Ω2 (λ, ψ)
Ω1 (λ, ψ) =
1 + λ2 (ω2 + ω1 ψ 2 )
;
F ∗ (Ψ)
1 + λ2 (ω2 + ω1 ψ 2 ) 2
F1 (Ψ)
ω1 ω2 λ2 F2∗ (ψ)
ω1 + ω2 ψ 2
Ω2 (λ, ψ) =
;
F ∗ (ψ)
1 + λ2 (ω2 + ω1 ψ 2 ) 2(
F1 ψ)
1+
q(λ, ψ) = T1 + 2ψS + ψ 2 T2 ;
ψ=
n
.
λ
(7.4)
Здесь R — некоторый характерный размер конуса.
По аналогии с цилиндрическими рассматриваются два типа конических оболочек: оболочки со слабым на поперечные сдвиги заполнителем и оболочки с достаточно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем. Из соотношений для оболочек с большой сдвиговой жёсткостью
автоматически вытекают соотношения для многослойных оболочек,
к которым применима модель прямой линии или классическая модель
оболочек с неизменной нормалью.
При анализе устойчивости конических оболочек в случае действия
внешнего давления и кручения весьма эффективна модель полубезмоментных оболочек. Разрешающие зависимости для этой модели имеют
вид:
2
2
4
∂
∂4 2
1
B1 ∂4 2
2 ∂
∗
(D2 + ∇ D2 ) 4
+
w
+
∇
w
=
∇ q w;
∂y
∂y 2 R2
ρ2 ∂x4 c
∂y 4 c
2
∇c = 1 − ω 1
∂2
∂2
1
− ω 2 ( 2 + 2 );
2
∂x
∂y
R
∂ 0 ∂2
∂q
1
∂ ∂2
1
∂2
=
[T1 2 + T20 ( 2 + 2 )] + 2S 0 ( 2 + 2 );
∂y
∂y
∂x
∂y
R
∂x ∂y
R
q (λ, n) = (D2 +
1 + ω1
λ2
D2∗
(n2 − 1)2 R2 B 1 λ4
+ 2
;
)
2
n4
+ ω2 (n − 1)
R2
ρ
λ
q (λ, n) = T1 λ2 + 2S (n2 − 1) + T2 (n2 − 1);
n
T1 , T2 , S — сжимающие усилия.
(7.5)
7.2. Расчёт критических нагрузок при осевом сжатии
189
7.2. Расчёт критических нагрузок при осевом сжатии
Разрешающие соотношения в этом случае примут вид:
T1 = [D1 + D1∗ Ω(λ, ψ)] λ2
F1 (ψ) B 2 R2
1
.
+
2
2
2
R
ρ
λ F2 (ψ)
(7.6)
Если заполнитель имеет высокую податливость на сдвиг, то по аналогии с анализом цилиндрических оболочек [72] можно получить следующие зависимости для расчёта критических усилий:
T1 = (1 − a )T 0 + K1 ;
2K1
T 0 = T0 1 − b2 ; b = ;
T0
2
2
T0 =
B 2 D1 ; T0 =
B 2 D1 ;
ρmax
ρmax
2
α2 − α1 1 − K 2
2K2
a =
; K2 =
.
3α2 + α1
K2
(α2 − α1 ) T 10
(7.7)
Если K 2 1 или α1 α2 , то форма потери устойчивости — осесимметричная. В результате
T1 = T 0 + K1 .
(7.8)
Критическую сжимающую силу можно получить из следующей
формулы:
P = 2π r (x) T1 cos Θ.
Минимальное значение критической силы определяется соотношением
P = 4π (1 − a ) B 2 D1 (1 − b2 ) + 2πρmin K1 cos2 Θ;
K1 ρmax
b= ;
B 2 D1
ρmin =
r1
;
cos Θ
ρmax =
r2
.
cos Θ
(7.9)
Зависимости (7.7)–(7.9) применяются в области слабых заполнителей, когда выполняется условие K1 < 0,5 T0 .
В случае достаточно жёсткого на поперечные сдвиги заполнителя
(K1 0,5T0 ) для конических оболочек по аналогии с цилиндрическими можно получить следующие зависимости для расчёта критических
усилий осевого сжатия:
T
α1 + 2 β
1
.
T1 = ; T1 = k T0 ; k =
(7.10)
α2 + 2 β
1 + ε
190 Гл. 7. Устойчивость многослойных композитных конических оболочек
Величина ε влияния поперечных сдвигов вычисляется с помощью
соотношений:
K1
1+ β
T
K2
ε = a 1 ; a =
(7.11)
α1 .
2K1
2+ β
Критическая сжимающая сила P отыскивается по формуле
P
P = ; P = 4π k B 2 D1 cos2 Θ.
(7.12)
1 + ε
Если величина ε мала (ε < 0,3), то критические усилия и силы
при осевом сжатии можно найти по следующим формулам:
1
T1 = T1 (1 − Δ ) ; P = P (1 − Δ ) ; Δ = ε .
(7.13)
2
Если форма потери устойчивости осесимметричная (α1 α2 ), то в
расчётных формулах следует положить k = 1, a = 1.
Величина Δ представляет собой поправку на поперечные сдвиги.
Если Δ 1, то можно применять модель неизменной нормали.
Полученные соотношения при подстановке в них соответствующих
жёсткостей могут быть использованы для расчёта многослойных и однородных конических ортотропных оболочек.
Эмпирические поправочные коэффициенты к теоретическим значениям критических сил оцениваются так же, как и для цилиндрических
оболочек [4, 69].
7.3. Расчёт критического внешнего давления
В этом случае используется полубезмоментная теория, и разрешающее соотношение для расчёта критического кольцевого усилия T2
принимает вид:
2
B 1 λ41
n −1
D
R2
T2 = D2 +
+
;
1 + ω (n2 − 1)
R2
ρ2max n4 (n2 − 1)
Dp =
D2∗
;
1 + ω1 λ21
ω =
ω2
;
1 + ω1 λ21
λ1 =
πR
.
(7.14)
Здесь n — число волн в кольцевом направлении, λ1 — параметр
волнообразования в осевом направлении, соответствующий одной полуволне.
Для конструкций со слабым на поперечные сдвиги заполнителем
(ω (n2 − 1) 1) из соотношений (7.14) можно получить:
T2 =
D2 ( n2 − 1 )
R2
B 1 λ41
+ K2 ;
+ 2
2
4
R
ρmax n (n2 − 1)
ρmax =
r2
. (7.15)
cos Θ
7.3. Расчёт критического внешнего давления
191
Обычно при потере устойчивости от внешнего давления выполняется условие n2 1. В этом случае из соотношения (7.15) после минимизации по параметру n получаются следующие расчётные формулы
для определения критического кольцевого усилия:
1, 75π 4
T2 = T2 + K2 ; T2 = γ
B 1 (D2 )3 .
(7.16)
1/2
ρmax
Коэффициент γ в соответствии с [8] вычисляется по формуле:
r1
r1
γ = 3 − 2,1 ; 0 0,8.
(7.17)
r2
r2
r
1
> 0,8 полагают γ = 1 .
При малой конусности
r2
Полученные расчётные формулы применимы, если выполняется
условие
1, 75π 4
K2 0,5 T2 ; T2 = γ
B 1 D23 .
(7.18)
1/2
ρmax
Если заполнитель достаточно жёсткий на поперечные сдвиги: K2 >
> 0,5 T2 , то можно использовать модель прямолинейного элемента
(типа сдвиговой модели Тимошенко). Тогда разрешающее соотношение
имеет вид
D
n2
R2 B 1 λ41
T2 =
· 2+ 2 ·
.
(7.19)
2
1 + ω n R
ρmax
n6
После минимизации этого выражения по параметру n можно получить следующую формулу для определения критического кольцевого
усилия [72]:
9 T2
.
T2 = T2
1−
(7.20)
16 K2
Зная значения критических усилий, можно найти критическое
внешнее давление. Для оболочек со слабым на поперечные сдвиги
заполнителем (K2 0,5 T2 ):
1, 75π 4
K2
p = p +
; p = γ
;
(7.21)
B 1 (D2 )3 .
3/2
ρmax
ρmax
В случае достаточно жёсткого на поперечные сдвиги заполнителя
1
K2 > T2 критическое внешнее давление определяется формулой
2
9 T2
1, 75π 4
p = p 1 −
; p = γ
B 1 D23 .
(7.22)
3/2
16 K2
ρmax
При действии внешнего давления в расчётные теоретические формулы вводится поправочный эмпирический коэффициент
k = 0,8 ÷ 0,9 [23, 27].
192 Гл. 7. Устойчивость многослойных композитных конических оболочек
7.4. Устойчивость при действии крутящего момента
и сдвигающих усилий
При исследовании устойчивости от действия крутящего момента
Mкр или сдвиговых усилий S ограничимся слабоконическими пологими трёхслойными оболочками. Тогда можно воспользоваться зависимостями для цилиндрических оболочек. Особенностью потери устойчивости подобных оболочек является то, что в случае слабых на поперечные
сдвиги заполнителей при потере устойчивости образуется много волн
как в кольцевом, так и в осевом направлениях [66]. В то же время достаточно жёсткие на поперечные сдвиги оболочки теряют устойчивость
по классической схеме, образуя одну полуволну в осевом направлении.
Поэтому необходимо рассмотреть отдельно каждый из этих типов
потери устойчивости.
В случае трёхслойных оболочек со слабым на поперечные сдвиги заполнителем по аналогии с цилиндрическими оболочками можно
получить следующие зависимости для расчёта критических усилий
сдвига [66]:
2
4K1
S = (K1 + T ) K2 ; T = k T0 1 −
;
T0
2
2
r2
. (7.23)
T0 =
B 2 D1 ; T0 =
B 2 D1 ; ρmax =
ρmax
ρmax
cos Θ
Если трёхслойные или многослойные оболочки имеют высокую
жёсткость на поперечные сдвиги, то по аналогии с цилиндрическими
оболочками для расчёта критических усилий сдвига можно получить
[66]:
T
S = S 1 − 0,34 2 ;
K2
3,3
1, 75π 4
3 5
8
S =
B
D
;
T
=
B 1 D23 .
(7.24)
1 2
2
3/4
1/2
1/2 ρmax
ρmax
Расчётные зависимости (7.23) для оболочек с малыми жесткостями
на поперечные сдвиги применяются, когда выполняется условие
K1 K2 < 0,33 S .
(7.25)
Расчётные зависимости (7.24) для оболочек с большой жёсткостью
на поперечные сдвиги применяются, когда выполняется условие
K1 K2 > 0,33 S .
(7.26)
В пограничной области ( K1 K2 ≈ 0,33 S ) следует провести расчёты по формулам (7.23), (7.24) и выбрать минимальный результат.
7.4. Действие крутящего момента и сдвигающих усилий
193
Критические значения крутящего момента M и эквивалентной
перерезывающей силы Q определяются зависимостями:
K1 K2 < 0,33 S :
M = 2πρ2min (K1 + T ) K2 ;
K1 K2 > 0,33 S :
M
Q
Q = πρmin
T2
=M
1 − 0,34
;
K2
T2
=Q
1 − 0,34
;
K2
(K1 + T ) K2 ;
M
5/4
6,6π ρmin
=
1/2
1/4
3,3π ρmin
Q =
1/2
(7.27)
3
8
B 1 D25 ;
3
8
B 1 D25 .
(7.28)
Соотношения (7.27), (7.28) получены с помощью формул (7.23),
(7.24) и с учетом зависимостей
M = 2πR2 S ;
7 С. Н. Сухинин
Q = πRS.
Глава 8
УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ
СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ
8.1. Разрешающие соотношения
Рассмотрим устойчивость сферического сегмента c углом полураствора ϑ. Значению ϑ = π/2 соответствует полусфера, значению ϑ = π —
полная сфера. Разрешающие соотношения на основе модели ломаной линии применительно к исследованию устойчивости трёхслойных
и многослойных сферических оболочек получаются из зависимостей
(1.1)÷(1.5), если положить в них вместо радиусов кривизн R1 , R2
радиус сферической оболочки R = R1 = R2 . При S = 0 получаются
разрешающие соотношения для анализа устойчивости сферического
сегмента в случае действия наружного давления [71]:
T = (D1 + Ω D1∗ )
B 2 1 + ψ2
F1 (ψ) λ2
+
;
R2 1 + ψ 2 F2 (ψ) λ2
F1 (ψ) = 1 + α1 ψ 2 + β1 ψ 4 ;
ψ = n/λ;
λ=
mπ
;
ϑ
F2 (ψ) = 1 + α2 ψ 2 + β2 ψ 4 ;
T = T1 = T2 =
pR
;
2
β1 =
D2
;
D1
β2 = β =
B2
;
B1
4 D12
B
+ 2 ν2 ; α2 = 2 − 2 ν2 .
(8.1)
D1
B12
Здесь D1 — суммарная изгибная жёсткость несущих слоёв, D1 =
= D1 + D1∗ — изгибная жёсткость трёхслойного пакета; D1 + Ω D1∗ —
эффективная изгибная жёсткость трёхслойного пакета; B 2 = B2 ×
×(1 − ν1 ν2 ); B2 , ν1 , ν2 — жёсткость пакета c лёгким заполнителем
в широтном направлении и соответствующие коэффициенты поперечной деформации; p — наружное давление; α1 , α2 , β1 , β2 — параметры
анизотропии трёхслойной конструкции. Величина Ω(λ, ψ), определяющая влияние поперечных сдвигов (0 < Ω 1), имеет вид (1.5).
Критическое значение усилия T и соответствующие значения λ ,
ψ параметров волнообразования получаются из (8.1) минимизацией
по λ и ψ .
Из разрешающего уравнения (8.1), построенного на основе общей
модели ломаной линии, как частные случаи получаются зависимости,
α1 =
8.2. Устойчивость изотропных оболочек (классическая модель)
195
соответствующие моделям более низкого уровня. Так, если Ω D1∗ D1 , то применима модель прямой линии, и соотношение (8.1)
примет вид:
λ2 F1 (ψ)
1 + ψ2
D1
T =
+
B
;
2
1 + λ2 (ω1 + ω2 ψ 2 ) (1 + ψ 2 ) R2
λ2 F2 (ψ)
D1
D2
; ω2 =
.
(8.2)
2
K1 R
K2 R 2
Здесь D1 , D2 — жёсткости ортотропной оболочки на изгибы в двух
направлениях; ω1 , ω2 — безразмерные податливости оболочки на поперечные сдвиги; K1 , K2 — жёсткости пакета на поперечные сдвиги [41].
В том случае, когда жёсткость на поперечные сдвиги заполнителя велика, т. е. податливости ω1 , ω2 малы и выполняется условие
λ2 (ω1 + ω2 ψ 2 ) 1, справедлива классическая модель оболочек c неизменной нормалью. Тогда из соотношений (8.2) получается зависимость
для классических сферических оболочек:
ω1 =
T =
D1 λ2 F1 (ψ)
1 + ψ2
.
+ B2 2
2
2
R 1+ψ
λ F2 (ψ)
(8.3)
8.2. Устойчивость изотропных оболочек
(классическая модель)
Рассмотрим сначала решение задачи об устойчивости изотропных
сферических оболочек, построенное на основе классической модели
оболочек c неизменной нормалью. Количественный критерий применимости классической модели будет дан ниже. В случае изотропных
оболочек соотношение (8.3) приводится к виду:
T =
D
B
x+ ;
R2
x
x = λ2 ( 1 + ψ 2 ) = λ2 + n 2 ;
B = B (1 − ν 2 ).
(8.4)
Минимизируя выражение (8.4) по параметру x, получим классический результат:
R
2
B R2
p
.
T =
=
B D ; λ2 + n2 = λ2 =
(8.5)
2
R
D
Как видно, в случае изотропных сферических оболочек форма
волнообразования при потере устойчивости (параметры λ и n )
однозначно не определена: параметры λ и n могут быть любыми,
лишь бы выполнялось условие λ2 + n2 = λ2 . Таким образом, одному
значению критической нагрузки T соответствует множество форм
волнообразования. Это позволяет предположить [4, 69], что результаты
7*
196
Гл. 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек
расчёта критического значения наружного давления в общем случае
могут значительно отличаться от экспериментальных данных, что и наблюдается в изотропных однородных сферических оболочках.
В случае однородных по толщине h оболочек c характеристиками
упругости E и ν жёсткости определяются соотношениями
E h3
B=Eh, D=
,
12 (1 − ν 2 )
а формулы для расчёта критических параметров примут вид [8, 81]:
2
h2
Eh2
p = · 2 ≈ 1,21 E 2 ;
R
R
3 (1 − ν 2 )
λ2 + n2 = λ2 = 3,3
R
.
h
(8.6)
8.3. Изотропные трёхслойные оболочки
c лёгким заполнителем
Рассмотрим устойчивость при действии наружного давления трёхслойных изотропных сферических оболочек. В этом случае разрешающее соотношение (8.1) приводится к виду:
x
B
D∗
T = D +
+ ;
2
1 + ωx R
x
∗
2
D
GH
ω=
; K=
; x = λ2 1 + ψ 2 = λ2 + n 2 .
(8.7)
KR2
δ
Здесь G , δ — соответственно модуль упругости заполнителя при
поперечных сдвигах и его толщина; H — расстояние между нейтральными поверхностями несущих слоёв.
Если заполнитель достаточно слабый на поперечные сдвиги (ωx 1, K < 0,5 T0 ), то из соотношений (8.7) прямой минимизацией
можно получить:
T = T0 1 − b2 + K ;
λ2 + n2 = λ2
1 − b2 ;
λ2 =
BR2
;
D
T0 =
b=
2
BD ;
R
2K
< 1;
T0
T0 =
2
BD .
R
(8.8)
При выводе формул (8.8) принималось во внимание характерное
для трёхслойных конструкций соотношение D∗ ≈ D.
Если жёсткость K заполнителя на поперечные сдвиги достаточно велика (ωx 1, K 0,5 T0 ), то анализ устойчивости можно проводить
8.3. Изотропные трёхслойные оболочки c лёгким заполнителем
197
на основе модели прямой линии. В этом случае соотношение (8.7)
примет вид:
T =
D
B
x+ ;
x
R2
D=
D
;
1+ωx
x = λ2 ( 1 + ψ 2 ) = λ2 + n 2 .
(8.9)
Здесь величина ωx 1, и, как показал численный анализ, она слабо
влияет на форму волнообразования. Учитывая это, проминимизируем
выражение (8.9) по параметру x , считая величину D постоянной. Тогда
T
T
T = 0
; x = λ2 1 + ε0 ; ε0 = 0 .
(8.10)
2K
1 + ε0
Если пренебречь квадратом малой величины ε0 , то расчётные формулы (8.10) примут вид:
T0
T = T0
1−
;
4K
T
BR2
.
λ2 + n2 = λ2 1 + 0 ; λ2 =
(8.11)
4K
D
Как видно из (8.8), (8.10), (8.11), критические усилия определяются
тремя величинами: T0 — критическое усилие, соответствующее оболочке c раздельно работающими несущими слоями; T0 — критическое
усилие трёхслойной оболочки c абсолютно жёстким (K → ∞) на поперечные сдвиги заполнителем; K — жёсткость заполнителя на поперечные сдвиги — критическое усилие при так называемой сдвиговой
форме потери устойчивости (b = 1). Этими тремя величинами (T0 ,
T0 , K ) определяются обобщённые жёсткости трёхслойной изотропной
сферической оболочки в задаче об устойчивости.
Соотношение между обобщёнными жесткостями оболочки определяет две характерные области потери устойчивости. Так , в области
слабых на поперечные сдвиги заполнителей (K < 0,5T0 , b < 1), как
следует из соотношений (8.8), критическое усилие пропорционально
жёсткости K заполнителя и слабо зависит от жёсткости T0 несущих слоёв, поскольку для силовых трёхслойных конструкций характерна зависимость K T0 . Если заполнитель достаточно жёсткий
(K > 0,5 T0 , b > 1), то, как следует из соотношений (8.10), (8.11),
критическое усилие определяется обобщённой жёсткостью T0 , а поперечные сдвиги играют поправочную роль и слабо влияют на критическое усилие. Поправка от сдвигов определяется величиной
Δ =
T0
B
≈
.
4K
4G R
(8.12)
Если Δ 1, то можно применять классическую модель оболочек
c неизменной нормалью и пользоваться формулами (8.5).
198
Гл. 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек
Зависимости (8.10), (8.11) пригодны также для расчёта на устойчивость многослойных сферических оболочек, сопротивляющихся по модели прямой линии либо по классической модели. Для этого достаточно при вычислении величины T0 подставлять соответствующие
жёсткости оболочки на растяжение и изгиб; кроме того, необходимо
принимать во внимание жёсткость K многослойного пакета на поперечные сдвиги [32, 41].
8.4. Устойчивость многослойных ортотропных
оболочек (классическая модель)
Рассмотрим ортотропные оболочки сначала на основе классической
модели. Критические характеристики таких оболочек определяются
минимизацией выражения (8.3) по параметрам волнообразования λ
и ψ . Проводя минимизацию по параметру λ, найдём [71]:
pR
2
2
T =
= k(ψ)
B 2 D1 = k(ψ)T0 ; T0 =
B 2 D1 ;
2
R
R
2
F1 (ψ)
B 2 R2
2
2 1+ψ
2
k(ψ) =
; λ = λ ; λ =
.
(8.13)
F2 (ψ)
D1
F1 F2
Величина T0 соответствует критическому наружному давлению при
осесимметричной форме (ψ = 0) потери устойчивости. При этом критическое значение параметра λ становится равным λ (λ = λ ).
В общем случае волнообразование неосесимметрично (ψ = 0), и для
определения критических параметров T , λ , ψ необходимо провести минимизацию функции k(ψ) по ψ . Проводя минимизацию, получим
формулы для расчёта критической нагрузки и параметров волнообразования при потере устойчивости многослойных ортотропных сферических оболочек при действии наружного давления (α1 < α2 ):
F1 (ψ )
α1 + 2 β
p R
;
T =
= k T0 ; k =
≈
2
F2 (ψ )
α2 + 2 β
2
1 + ψ
λ2 = λ2 ;
F1 (ψ ) F2 (ψ )
2
ψ
2
n2 = λ2 ψ
.
(β1 −β2 )2 + (α2 −α1 ) (β1 α2 −β2 α1 ) − (β1 − β2 )
1
=
≈ . (8.14)
β1 α2 − β2 α1
β
Как следует из
в рассматриваемом
ности, замеченные
и для сферических,
(8.14), параметры волнообразования λ и n
случае однозначно определены. Если закономердля цилиндрических оболочек [4, 69], верны
то однозначная определённость волнообразования
8.4. Многослойные ортотропные оболочки (классическая модель)
199
при потере устойчивости указывает на возможность удовлетворительного согласования теоретических и экспериментальных результатов.
Как известно, в случае изотропных оболочек, когда форма волнообразования теоретическим путём однозначно не определена, различие
между и теоретическими и экспериментальными значениями критических усилий достигает 3 ÷ 4 раз [8, 18]. Систематизированные экспериментальные результаты по устойчивости ортотропных сферических
оболочек нам неизвестны.
При подстановке в формулы (8.13), (8.14) соответствующих жёсткостей можно рассчитать критическое внешнее давление для вафельных
сферических оболочек [40].
Для однородных по толщине h ортотропных сферических оболочек
зависимости (8.14) принимают вид:
p R
E1
E1
2
T =
= k T0 ; ψ
=
; n2 = λ2
;
2
E2
E2
1
+
β
E2 (1 − ν1 ν2 ) R
2
λ2 = λ2 ;
; λ = 3,46
E1
h
(α1 + 2 β ) (α2 + 2 β )
√
E1 E2
2G12 (1 + ν1 ν2 )
h2
T0 = ; k =
;
(8.15)
3 (1 − ν1 ν2 ) R
E1 E2
Здесь E1 , E2 , G12 , ν1 , ν2 — характеристики упругости ортотропного
материала оболочки.
Если анизотропия оболочек такова, что α1 > α2 , то оболочки теряют
устойчивость по осесимметричной форме. Это следует из соотношения
(8.13), поскольку в этом случае величина k(ψ) достигает минимума
при ψ = 0 (k = 1). Критические параметры при этом определяются
соотношениями:
p R
2
T =
= T0 =
B 2 D1 ; λ = λ0 ; ψ = 0 (n = 0). (8.16)
2
R
Расчёт критических нагрузок в случае α1 = α2 также проводится
по формуле (8.16). Однако форму волнообразования в этом случае
нельзя определить однозначно. Анализ зависимости (8.3) показывает,
что критические параметры волнообразования при α1 = α2 определяются формулой
B 2 R2
λ2 + β n2 = λ2 =
.
(8.17)
D1
Таким образом, форма волнообразования при потере устойчивости
от наружного давления в случае α1 = α2 может быть любой, лишь бы
выполнялось условие (8.17).
200
Гл. 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек
8.5. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек
При исследовании устойчивости трёхслойных сферических оболочек примем наиболее общую модель — модель ломаной линии. При
этом критические параметры получаются минимизацией выражения
(8.1) по λ и ψ . Применяя приемы асимптотического анализа [72],
можно получить простые формулы для расчёта критических нагрузок
и параметров волнообразования [71].
Так, в области заполнителей, слабо сопротивляющихся поперечным
сдвигам, когда
K1 + K2 ψ 2 R 2
·
1.
(8.18)
λ2 F1 (ψ) D1
функцию Ω влияния поперечных сдвигов можно представить в виде
R 2 K1 + K2 ψ 2
R 2 K1 + K 2 ψ 2
.
Ω=
·
1
−
·
(8.19)
D1
λ2 F1 (ψ)
D1
λ2 F2 (ψ)
Подставляя это значение Ω в формулу (8.1), получим:
T =
D1 F1 (ψ)
B∗ 1 K1 + K2 ψ 2
x
+
· +
;
F2 x
R2
1 + ψ2
⎡
⎛
⎢
⎜ 2K1
B∗ = B 2 ⎢
⎣1 − ⎝ T ·
0
1+
⎞ ⎤
K2 2 2
ψ
⎟ ⎥
K1
⎥
1 + ψ2
⎠ ⎦.
(8.20)
Проминимизируем это выражение по параметру x и найдём:
⎛
⎞
K2 2 2
1
+
ψ
K1 + K2 ψ 2
⎜ 2K1
⎟
K1
T = k(ψ) T0 ;
⎠ +
1 − ⎝ ·
2
T0
1+ψ
1 + ψ2
T0 =
λ2 = λ2
2 B2 D1 ;
R
⎛
⎞2
K2 2
2
1
+
ψ
1 + ψ
⎟
K1
1 − ⎜ 2K1 ·
⎝ ⎠ .
2
T
1
+
ψ
0
F1 (ψ ) F2 (ψ )
(8.21)
Критическое значение параметра ψ находится минимизацией по
ψ величины T в формуле (8.21). Рассмотрим случай изотропного
8.5. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек
201
заполнителя (K1 = K2 = K ), что характерно для трёхслойных сферических оболочек. Тогда выражения (8.21) примут вид:
1 − b2 + K ;
2
1 + ψ
λ2 = λ2 1 − b2 .
F1 (ψ ) F2 (ψ )
(8.22)
После минимизации первого выражения по ψ найдём значения
критических параметров:
T = T 1 − b2 + K ;
λ2 1 + β
λ2
1
2
2
2;
λ2 = 1
−
b
n
=
; ψ
= ;
β
β
α2 + 2 β
α1 + 2 β
T = k(ψ)T0
T
=
k T0 ;
2K
b = ;
T0
λ2
=
B 2 R2
;
D1
2
2
=
B 2 D1 ; T0 =
B 2 D1 ;
R
R
2B (1 + √ν ν )
α1 + 2 β
1 2
≈ 12
=
.
α2 + 2 β
B B
T0
k
1
(8.23)
2
Если жёсткости K1 и K2 заполнителя — одного порядка, то можно
в некоторый запас считать заполнитель изотропным c жёсткостью K =
= min(K1 , K2 ) и расчёт проводить по формулам (8.23).
Если предположить, что величина
1
K1 + K2 ψ 2
слабо влияет на фор1 + ψ2
2
≈ , и расчёт критических параметров
му волнообразования, то ψ
β
можно проводить по формулам (8.21), полагая в них k(ψ) = k ,
1
ψ = ψ = .
β
В области достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей
(K 0,5 T ) трёхслойная оболочка сопротивляется в соответствии
c моделью прямой линии [62]. В этом случае критические параметры
определяются из соотношения (8.2). Запишем это соотношение в виде,
удобном для дальнейшего анализа:
λ2
F1 (ψ)
B2
1 + ψ2
·
·
+
;
R2
1 + ψ2
F2 (ψ)
λ2
1
Ω=
; λ2 ω1 + ω2 ψ 2 1.
2
2
1 + λ (ω1 + ω2 ψ )
T = D1
D1 = D1 Ω;
(8.24)
202
Гл. 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек
Поскольку функция Ω влияния поперечных сдвигов — порядка
единицы, считаем, что она слабо влияет на форму волнообразования
при потере устойчивости. Проводя при этом условии минимизацию
выражения для T по параметру
√
T = k(ψ)T0 Ω ;
λ2
, найдём:
1 + ψ2
1 + ψ2
λ2 = λ2 .
Ω F1 (ψ) F2 (ψ)
(8.25)
Чтобы найти критические параметры T , λ , ψ , необходимо
выражение (8.25) проминимизировать по ψ . В результате минимизации при условии, что функция Ω поперечных сдвигов практически
не влияет на форму волнообразования, получим следующие зависимости (α1 < α2 ):
T
T = ; T = k T0 ;
1 + ε 1 + ε
2
ψ
α1 + 2 β
< 1;
k =
α2 + 2 β
K1 1
+
β
1
+
β
T
K2
ε = a
;
;
=
2K1
α1 + 2 β
(1 + β ) 1 + ε
1
2
2
= ; λ = λ .
β
α1 + 2 β
α2 + 2 β
F1 (ψ )
=
F2 (ψ )
(8.26)
Сравнение показывает, что расчётными формулами (8.23) целесообразно пользоваться в области
K1
k
<
.
T0
1 + k a 1 + k a
В противном случае необходимо применять формулы (8.26).
Если пренебречь квадратом величины ε (ε2 1), то выражение
(8.26) для критического усилия принимает вид
1
T
.
T =T
1 − ε = T
1 − a
(8.27)
2
4K1
В том случае, когда сдвиговые B12 и крутильные D12 жёсткости
достаточно велики и выполняется условие α1 > α2 , форма волнообразования становится осесимметричной (ψ = n = 0). Тогда расчётные
формулы для критических усилий примут вид:
8.5. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек
K < 0,5 T0 :
T = T0 1 − b2 + K1 ;
2
ψ
= n2 = 0;
K 0,5 T0 :
T
ε0 =
T0
=
1 + ε0 1 + ε0
T
;
2K1
2
ψ
= n2 = 0;
≈
T0
λ2 = λ2
203
1 − b2 . (8.28)
T0
1−
;
4K1
λ2 = λ2
1 + ε0 ;
(8.29)
В случае выполнения условий α1 = α2 = 2 β (квазиизотропная
оболочка) расчёт критических усилий проводится по формулам (8.28),
(8.29), но форма потери устойчивости при этом может стать неопределённой.
Величины T0 (критическое усилие, соответствующее раздельно работающим слоям), T0 (критическое усилие для оболочки c абсолютно
жёстким на поперечные сдвиги заполнителем) и K (жёсткость трёхслойной оболочки на поперечные сдвиги) можно назвать обобщёнными
жесткостями трёхслойных сферических ортотропных оболочек. Этими
тремя обобщёнными жесткостями и параметрами анизотропии (α1 , α2 ,
β ) определяются критические усилия и границы применимости различных математических моделей. Так, погрешность применения модели
неизменной нормали в соответствии c (8.27) составляет
T0
.
(8.30)
4K
Если Δ 1, то можно не учитывать влияния поперечных сдвигов и применять модель оболочек c неизменной нормалью. Модель
прямолинейного элемента (типа сдвиговой модели С. П. Тимошенко)
применима тогда, когда достаточно велика сдвиговая жёсткость K
и сравнительно мала величина T0 , определяющая жёсткость несущих
слоёв. Погрешность применения модели прямолинейного элемента составляет
T .
Δ =
(8.31)
K
Если Δ 1, то можно использовать модель прямолинейного
элемента. Заметим, что критерий применимости модели прямолинейного элемента определяется не малостью изгибной жёсткости несущих
слоёв по сравнению c изгибной жёсткостью трёхслойного пакета (как
иногда считают), а малостью обобщённой жёсткости T0 несущих слоёв по сравнению c жёсткостью K трёхслойного пакета на поперечные
сдвиги.
В том случае, когда величины Δ и Δ не малы, необходимо
пользоваться моделью ломаной линии.
Δc =
204
Гл. 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек
Формулы (8.26), (8.27), (8.29) можно использовать и для расчёта критических усилий в многослойных сферических оболочках, составленных из ортотропных слоёв. Достаточно в указанные формулы
подставить соответствующие жёсткости на растяжение, минимальные
жёсткости на изгиб и кручение, а также жёсткость многослойного
пакета на поперечные сдвиги [32, 41].
С целью обоснования полученных инженерных зависимостей и иллюстрации закономерностей поведения трёхслойных сферических оболочек при потере устойчивости от действия внешнего давления, была
рассмотрена оболочка в виде полусферы радиусом R = 118 см.
Характеристики упругости и параметры анизотропии несущих слоёв определялись следующими величинами:
E1 = E2 = E = 29400 МПа;
ν1 = ν2 = ν = 0,1;
α1 = 0,975;
k = 0,656;
G12 = 5750 МПа;
α2 = 4,913;
β = 1;
= 1,34 .
Толщины слоёв оболочки: h = 0,133 см; δ = 2,367 см; H = 2,43 см.
Обобщенные жёсткости сферической оболочки:
T0 = 12,8 КПа · м;
T0 = 809,3 КПа · м.
Слой заполнителя считался изотропным по модулям поперечного
сдвига (K1 = K2 = K ), а сам модуль G3 сдвига заполнителя изменялся
в пределах 0 G3 210 МПа.
В табл. 8.1 и на графике (рис. 8.1) демонстрируется зависимость
безразмерного параметра критического усилия (T /T ) и критических параметров λ , ψ волнообразования от безразмерной жёсткости
K/T0 трёхслойной оболочки на поперечные сдвиги. Кроме того, вычисляется безразмерная функция Ω влияния поперечных сдвигов. Безразмерные параметры T /T критических усилий вычислялись путём
минимизации выражения (8.1) по параметрам λ и n (точное решение),
по приближённым формулам (8.23) для случая слабых на поперечные
сдвиги заполнителей и по приближённым формулам (8.26) для оболочек c достаточно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем.
Обращает на себя внимание следующее. Как и предсказывалось
зависимостями (8.23), (8.26), форма волнообразования при потере
устойчивости неосесимметричная, при этом ψ ≈ 1, т. е. λ ≈ n .
В окрестности значения безразмерной сдвиговой жёсткости K/T0 =
= 0,5 происходит качественное изменение критических параметров
λ и n волнообразования. Например, из табл. 8.1 следует, что
величина λ снижается от нескольких десятков при K/T0 < 0,5
до нескольких единиц в области K/T0 0,5. Граница K/T0 = 0,5
разделяет области сильного влияния сдвиговой жёсткости заполнителя
на критические усилия (K/T0 < 0,5) и слабого влияния (K/T0 0,5),
когда критическую нагрузку определяет обобщённая жёсткость T 24,9
49,9
74,8
124,7
174,6
199,6
249,5
374,2
498,9
997,9
1496,8
2494,7
3742,0
5238,8
1
2
3
5
7
8
10
15
20
40
60
100
150
210
6,47
4,62
3,08
1,85
1,23
0,62
0,46
0,31
0,25
0,22
0,15
0,09
0,06
0,03
0,99
0,98
0,96
0,92
0,87
0,74
0,65
0,48
0,39
0,34
0,25
0,16
0,11
0,06
—
—
—
—
—
—
0,71
0,48
0,39
0,34
0,25
0,16
0,11
0,06
0,97
0,95
0,93
0,89
0,84
0,72
0,66
0,55
0,50
—
—
—
—
—
6
6
6
8
8
10
12
34
42
46
48
50
52
52
1,17
1,17
1,17
0,88
1
1
1
1
1,02
0,98
1,02
1,02
0,98
1
G3 , МПа K , КПа·м K/T0 T /T (8.1) T /T (8.23) T /T (8.26) λ = 2m ψ = n /λ
0,95
0,93
0,90
0,81
0,71
0,45
0,29
0,03
0,02
0,0134
0,0084
0,0047
0,0030
0,0015
Ω
Т а б л и ц а 8.1
8.5. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек
205
0
T /T 0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
формула (8.26)
формула (8.23)
формула (8.1)
3,0
K/T0
Рис. 8.1. Зависимость безразмерной критической нагрузки от безразмерной жёсткости трёхслойной сферической оболочки
на поперечные сдвиги
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
206
Гл. 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек
8.5. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек
207
(критическое усилие для оболочки c абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем). В последнем случае сдвиги играют относительно малую поправочную роль. В окрестности значения K/T0 = 0,5,
как следует из таблицы, происходит резкое (почти на порядок) увеличение функции Ω влияния поперечных сдвигов. Заметим, что чем
больше величина Ω , тем меньше влияние сдвигов (0 Ω 1).
Сказанное выше иллюстрируется и на графике (рис. 8.1). В частности,
в окрестности значения K/T0 = 0,5 происходит резкое изменение
характера зависимости критических усилий от сдвиговой жёсткости
заполнителя: при K/T < 0,5 критическое усилие прямо пропорционально зависит от сдвиговой жёсткости K трёхслойной оболочки, а при
K/T > 0,5 влияние поперечных сдвигов заметно ослабевает и при
K/T > 2,5 не превосходит 5 % .
Из таблицы и графиков следует, что в области K/T 0,5 формула
(8.26) хорошо приближает точное значение, полученное минимизацией выражения (8.1): максимальная погрешность не превосходит 3 %,
причём расчёт по формуле (8.26) проводится в небольшой запас устойчивости.
Для расчёта несущей способности сферических оболочек при действии наружного давления необходимо результаты, полученные по приведённым выше теоретическим формулам, умножить на эмпирический
поправочный коэффициент. Нам неизвестны систематизированные экспериментальные результаты, полученные при испытаниях на устойчивость трёхслойных анизотропных сферических оболочек.
Глава 9
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
С ОТВЕРСТИЯМИ
9.1. Выбор математической модели
и постановка задачи
Рассматривается задача исследования влияния различного рода
отверстий на устойчивость изотропных и композитных цилиндрических оболочек при действии осевого сжатия. Такие отверстия могут
появляться, например, в результате воздействия метеорных частиц,
космического мусора, при пробое пулями и другими снарядами, при
повреждении конструкций в процессе эксплуатации и т. п.
Оболочечные конструкции по причине наличия отверстий являются
существенно неоднородными, что чрезвычайно затрудняет их теоретический анализ [22, 51, 58, 87]. Вместе с тем имеется довольно много
экспериментальных исследований по влиянию размеров и формы отверстий на величину критической силы. В связи с этим целесообразно
проанализировать результаты этих исследований и на основе этого
анализа разработать рекомендации по выбору поправочных эмпирических коэффициентов, учитывающих уменьшение критических сил
в зависимости от размера отверстия.
Обозначим через R, h, соответственно радиус оболочки, её толщину и длину. Радиус кругового отверстия обозначим через ρ, сторону отверстия квадратной формы через . Для анализа критических
напряжений выберем классическую модель оболочек с неизменной
нормалью. Рассмотренные ниже изотропные оболочки были доста
R
точно тонкими
80 , что позволяет уверенно применять модель
h
неизменной нормали. Погрешность применения классической модели
к анализу композитных ортотропных оболочек, как показано выше,
определяется величиной
E1 E2 R
Δ = 0,17
· .
(9.1)
G13
h
Здесь E1 , E2 , G13 — модули упругости в двух направлениях и модуль поперечного сдвига соответственно. Как показал анализ, для
рассматриваемых композитных (стеклопластиковых) оболочек погрешность применения классической модели составляет не более 1,3 %.
9.1. Выбор математической модели и постановка задачи
209
Изучению устойчивости цилиндрических оболочек с отверстиями
(рис. 9.1) посвящены экспериментальные исследования [15, 25, 35, 51,
58, 87]. Представляется интересным проанализировать применяемые
безразмерные параметры отверстий (математические модели), которые
определяют влияние отверстия на критическую силу [42]. Так, в [87]
за безразмерный параметр кругового отверстия принимается величина ρ/R. В [58] показывается, что параметром отверстия, характеризующим задачу, является величина ρ2 /Rh (в наших обозначениях). В связи
с этим в [58] предлагается учитывать влияние отверстий с помощью
безразмерного параметра
ρ
1
ρ
μ = 4 12(1 − ν 2 ) √
(9.2)
≈ 0,909 √
.
2
Rh
Rh
Рис. 9.1. Потеря устойчивости при осевом сжатии стальных оболочек
с квадратными и круговыми отверстиями [51]
В [35] предлагается учитывать влияние отверстия с помощью неко 2
ρ
, которая определяется на основе эксперименторой функции ϕ
Rh
тальных результатов. В [15, 51] за параметр влияния принята величина a/(2R) (для квадратных отверстий) или ρ/R (для отверстий
круговой формы). Как сказано в [58], эти безразмерные величины
не полностью характеризуют физику задачи о влиянии размеров отверстий на критическую нагрузку. В [5] дана обработка экспериментальных результатов на основе сравнения радиуса кругового отверстия
с линейным размером полуволны при потере устойчивости.
Из физических соображений представляется целесообразным за
безразмерный параметр отверстия принять отношение площади S отверстия к площади S полуволны при потере устойчивости оболочки
без отверстия. При этом, исходя из удобств анализа, целесообразно
извлечь квадратный корень из этого безразмерного параметра. Таким
образом, предлагается учитывать влияние отверстия на критическую
210
Гл. 9. Устойчивость при осевом сжатии цилиндрических оболочек
силу при осевом сжатии цилиндрических оболочек с помощью параметра
S
s =
.
(9.3)
S
В случае изотопных оболочек без отверстий критическая сила определяется соотношением
P = 1,21 πE h2 ;
(9.4)
E — модуль упругости материала оболочки. При этом зависимость
между критическими параметрами волнообразования при потере устойчивости определяется соотношением:
λ2 +n2
m πR
R
R
4
≈ 1,82
. (9.5)
= λ0 = 12(1 − ν 2 ) ·
; λ =
λ
h
h
Здесь m и n — числа полуволн в осевом и волн в кольцевом
направлениях соответственно.
Полагая, что волнообразование имеет квадратную форму (λ =
= n ), из соотношений (9.5) получим
1 4
R
2
.
λ =
12(1 − ν )
(9.6)
2
h
Обозначая через A размер полуволны в осевом направлении, а через
B — в кольцевом направлении, найдём:
A=
πR
=
;
m
λ
B=
πR
2πR
=
;
2n
λ
S = A · B =
π 2 R2
.
λ2
(9.7)
Площади кругового и квадратного отверстий соответственно равны:
S = πρ2 ;
S = a2 .
(9.8)
В соответствии с зависимостями (9.3), (9.6), (9.7) и (9.8) найдём
безразмерные параметры s в случае изотропных оболочек:
— для кругового отверстия
ρ
1
ρ
s = √ 4 12(1 − ν 2 ) √
;
(9.9)
≈ 0,513 √
2 π
Rh
Rh
— для отверстия квадратной формы
1 4
a
a
≈ 0,289 √
.
s =
12(1 − ν 2 ) √
2π
Rh
Rh
(9.10)
Как видно, физический параметр s для кругового отверстия в изо1
тропных оболочках с точностью до множителя √ совпадает с параметром (9.2).
π
9.1. Выбор математической модели и постановка задачи
211
В случае многослойных ортотропных оболочек теоретическая критическая сила при осевом сжатии цилиндрических оболочек без отверстия определяется следующими соотношениями [64]:
F1
1 = 4π k B2 D1 (1 − ν1 ν2 ) ; k =
;
F2
α1
F1 = 2 + ;
β
α1 =
α
F2 = 2 + 2 ;
β
D12
+ 2ν2 ;
D1
α2 =
β=
B2
;
B1
B2 (1 − ν1 ν2 )
− 2ν2 .
B12
(9.11)
Здесь B1 , B2 , B12 , D1 , D12 — соответственно жёсткости многослойной оболочки на растяжение-сжатие в двух направлениях, на сдвиги
в поверхности, минимальные жёсткости на изгиб в осевом направлении
и на кручение. Форма волнообразования при потере устойчивости
определяется однозначно:
λ4 =
λ40
;
F1 F2
n4 =
λ4
;
β
λ =
m πR
.
(9.12)
Из (9.7) можно получить размеры A и B полуволн соответственно
в осевом и в кольцевом направлениях:
πR πR R2
4
4
A=
F1 F2 ; B =
β F1 F2 : λ40 = 12(1 − ν1 ν2 )β 2 . (9.13)
λ0
λ0
h
Отсюда следуют соотношения для вычисления параметра s ортотропной оболочки:
— для кругового отверстия
πρ2
1 4 12(1 − ν1 ν2 ) ρ
=√
s =
· β ·√
;
(9.14)
AB
F1 F2
π
Rh
— для отверстия квадратной формы
a
a2
1 4 12(1 − ν1 ν2 ) =
s =
· β ·√
.
AB
π
F1 F2
Rh
(9.15)
Влияние величины s — безразмерной площади отверстия — на критическую силу определим функцией
P0
.
(9.16)
P Здесь P0 — экспериментальное значение критической силы осевого сжатия в цилиндрической оболочке с отверстием размером s , P —
теоретическое значение критической силы для оболочки без отверстия.
F (s ) =
212
Гл. 9. Устойчивость при осевом сжатии цилиндрических оболочек
Таким образом, задача состоит в следующем: на основе анализа
экспериментальных результатов построить зависимость относительной
критической силы F (s ) от безразмерного параметра s площади отверстия в изотропных и многослойных ортотропных (композитных)
оболочках при осевом сжатии.
9.2. Влияние отверстий
на критическую нагрузку изотропных оболочек
Анализ влияния безразмерной площади s отверстия на критическую силу изотропных оболочек [42] проведён на основе обработки
экспериментальных данных [15, 35, 51, 58] по формулам (9.4), (9.9),
(9.10), (9.16).
В [35] приведены результаты испытаний 30 стальных оболочек с одним круговым отверстием. Среди них 15 оболочек (№№ 1 ÷ 15) радиусом R = 60 мм и толщиной h = 0,28 мм (R/h = 214) и 15 (№№ 16 ÷ 30)
радиусом R = 50 мм и толщиной h = 0,24 мм (R/h = 208). Первая
серия имела теоретическую критическую силу для оболочек без отверстия P = 6221 кгс, вторая серия — 4600 кгс. Радиус ρ кругового
отверстия изменялся в пределах 0 ρ 26 мм. Безразмерная площадь
s отверстия изменялась в пределах 0 s 3,85. Результаты обработки экспериментальных материалов помещены на рис. 9.2.
В [58] приведены результаты экспериментального исследования
устойчивости цилиндрических оболочек из майлара с одним круговым отверстием. Радиус оболочек составлял R = 100 мм, длина —
250 мм, толщины оболочек составляли h1 = 0,254 мм, h2 = 0,19 мм,
h3 = 0,127 мм. Соответственно R/h1 = 394; R/h2 = 526; R/h3 = 787.
Модуль упругости майлара определялся экспериментально и составил
E = 3,5 · 107 Н/м2 , коэффициент Пуассона ν = 0,3. Обработанные
экспериментальные результаты [58] показаны также на рис. 9.2.
Интересно отметить что, как следует из рис. 9.2, в металлических
оболочках [35] без отверстия различие между теоретическими и экспериментальными значениями критических сил в среднем составляет 2,5
раза. В оболочках из майлара [58] это различие порядка всего лишь
20 %. Это объясняется тем, что майларовые оболочки (майлар — тонкая
полимерная плёнка), в отличие от металлических, не имеют больших
начальных неправильностей формы. На примере майларовых оболочек
(рис. 9.2) хорошо видна закономерность влияния размера s отверстия
на величину F (s ): размер малых отверстий не влияет на значение критической силы, затем происходит резкое падение критической нагрузки
с ростом параметра s , наконец, в дальнейшем размер отверстия слабо
влияет на критическую нагрузку. Однако на результаты [58] не следует ориентироваться при расчётах на устойчивость промышленных
металлических оболочечных конструкций. Эти результаты важны с методической точки зрения, поскольку они ярко характеризуют влияние
размера отверстия на критическую силу.
0
F (s
)
2
3
4
5
— без отверстия
— круговое отверстие;
1
— без отверстия
— круговое отверстие;
Майларовые оболочки:
Металлические оболочки:
6
s
Рис. 9.2. Функция F (s
) влияния безразмерной площади s
кругового отверстия на критическую силу изотропных оболочек
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
9.2. Влияние отверстий на нагрузку изотропных оболочек
213
214
Гл. 9. Устойчивость при осевом сжатии цилиндрических оболочек
В [15, 51] представлены экспериментальные результаты исследования устойчивости цилиндрических стальных (E = 19, 6 · 1010 Н/м2 ,
ν = 0,25) оболочек с круговыми и квадратными отверстиями, расположенными на уровне полудлины оболочек. Радиус оболочек составлял
R = 40 мм, толщина h = 0,2 мм (R/h = 200), длина = 80 мм.
Круговые отверстия имели следующие радиусы: ρ = 0; 2; 4; 8; 16 мм.
Стороны квадратных отверстий равнялись a = 0; 4; 8; 16; 24; 32 мм.
Влияние размера отверстия на величину критической силы для круговых и квадратных отверстий показано на рис. 9.3.
F (s
)
0,6
— круговое отверстие
— квадратное отверстие
— без отверстия
0,4
0,2
s
0
0
1
2
3
4
Рис. 9.3. График влияния размера круговых и квадратных отверстий на критическую нагрузку при осевом сжатии изотропных (металлических) оболочек
Экспериментальные результаты, представленные на рис. 9.3, подтверждают закономерности влияния безразмерной площади s на относительную критическую силу F (s ). Кроме того, из рис. 9.3 следует,
что закономерности влияния круговых и квадратных отверстий практически одинаковы, т. е. форма отверстия в рассматриваемых случаях
несущественна, а уменьшение критической силы происходит за счёт
увеличения безразмерной площади s отверстия.
В [15, 51] представлены также результаты испытаний на устойчивость цилиндрических оболочек с двумя диаметрально противоположными отверстиями. Были испытаны 6 оболочек с круговыми отверстиями радиуса ρ = 8 мм и 16 мм. Аналогично испытывались 3
пары оболочек с квадратными отверстиями (a = 8; 16; 32 мм). Стальные оболочки имели радиус R = 40 мм, толщину h = 0,2 мм, длину
= 80 мм, R/h = 200. Результаты обработки экспериментальных данных приведены на рис. 9.4. При этом параметр s определялся по формулам (9.9), (9.10), в которые подставлялся размер одного отверстия.
215
9.2. Влияние отверстий на нагрузку изотропных оболочек
Как видно из рис. 9.4, закономерность влияния двух отверстий на критическую силу такая же, как и для одного отверстия.
F (s
)
0,5
— круговое отверстие
— квадратное отверстие
— без отверстия
0,4
0,3
0,2
0,1
s
0
0
1
2
3
4
Рис. 9.4. Влияние двух отверстий на критическую силу при осевом сжатии
изотропных (металлических) оболочек
Влияют ли отверстия друг на друга? Полагаем, что если размер
0 перемычки между отверстиями много больше размера B полуволны
в кольцевом направлении при потере устойчивости, то взаимное влияние отверстий незначительно. Проводя вычисления по формулам (9.6),
(9.7), найдём B = 9,56 мм. Минимальный размер перемычки при двух
диаметрально противоположных отверстиях составлял 0 = 93,7 мм.
Поскольку 93,7 9,56, можно ожидать малозаметного влияния двух
отверстий друг на друга, т. е. закон снижения критической силы при
двух отверстиях должен быть таким же, что и для одного отверстия.
Эта теоретическая оценка подтверждается экспериментальными
данными, приведёнными на рис. 9.5. На рис. 9.5 представлены результаты обработки и объединения экспериментальных данных [15, 35, 51,
58]. Как следует из рис. 9.5, экспериментальные данные для оболочек
с двумя отверстиями в рамках разброса не «вылезают» из общей
зависимости критической силы от размера s отверстия. Это говорит
о том, что соотношение 0 B можно использовать как критерий
отсутствия взаимовлияния двух отверстий. Рис. 9.5 показывает также,
что форма отверстия (круговое или квадратное) не влияет на значение
критической силы, т. е. функции F (s ). Наконец, из рис. 9.5 видно,
что для различных оболочек, разных форм отверстий, для одного
и двух отверстий зависимость приведённой критической силы F (s ) от
безразмерной площади s отверстия довольно компактна. Это говорит
в пользу удачного выбора параметра s и функции F (s ) .
0
F (s
)
1
2
3
— одно круговое отверстие
, ,
4
— без отверстий
5
— два квадратных отверстия
— два круговых отверстия
— одно квадратное отверстие
, ,
6
s
Рис. 9.5. Объединённый график влияния безразмерной площади s
отверстий на безразмерную критическую силу F (s
)
при осевом сжатии изотропных оболочек
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
216
Гл. 9. Устойчивость при осевом сжатии цилиндрических оболочек
9.3. Влияние отверстий на многослойные композитные оболочки
217
Обобщая
экспериментальные
результаты,
представленные
на рис. 9.5, можно дать следующие рекомендации по расчёту снижения
критической осевой силы в изотропных оболочках в зависимости от
размера s площади отверстия:
— при s < 0,3 влияние отверстия практически не сказывается
на критической осевой силе;
— при 0,3 < s < 1 происходит резкое падение критической нагрузки с ростом размера отверстия;
— при 1 < s < 3 имеет место слабая зависимость критической силы
от безразмерной площади s отверстия, F (s ) ≈ 0,2;
— при s > 3 наблюдается слабое линейное снижение функции
F (s ) в зависимости от величины s .
9.3. Влияние отверстий на критическую нагрузку
многослойных композитных оболочек
В [25] представлены результаты экспериментальных исследований
устойчивости при осевом сжатии композитных (стеклопластиковых)
цилиндрических оболочек с одним и двумя отверстиями. Испытаниям
на осевое сжатие подвергались две серии оболочек; круговые отверстия
при этом располагались в середине оболочки. Первая серия оболочек
имела диаметр 129 мм и толщину h порядка 0,5 мм. Было испытано 15
таких оболочек без отверстия, 46 оболочек с одним круговым отверстием и 12 оболочек с двумя круговыми отверстиями, расположенными
в середине оболочек в диаметрально противоположных местах. Радиус
отверстий менялся от ρ = 1,5 мм (s = 0,149) до ρ = 53 мм (s = 5,37).
Характеристики упругости этой серии оболочек определяются значениями:
E1 = 1,82 · 103 кгс/мм2 ;
E2 = 2,82 · 103 кгс/мм2 ;
G12 = 0,493 · 103 кгс/мм2 ; ν1 = 0,117;
ν2 = 0,182.
Вторая серия оболочек имела диаметр 102 мм и толщину h порядка
0,73 мм. Было испытано две оболочки без отверстия и 8 оболочек
с одним отверстием. Радиус отверстия менялся при этом от ρ = 5 мм
(s = 0,431) до ρ = 12 мм (s = 1,03). Характеристики упругости
второй серии определяются следующими значениями:
E1 = 1,78 · 103 кгс/мм2 ;
E2 = 2,71 · 103 кгс/мм2 ;
G12 = 0,483 · 103 кгс/мм; ν1 = 0,117;
ν2 = 0,179.
Результаты обработки экспериментальных данных [42] по предложенной методике представлены на рис. 9.6. Сплошной линией обозначена минимальная огибающая экспериментальных значений функции F (s ).
0
F (s
)
1
2
3
2-я серия:
1-я серия:
4
— одно отверстие
— одно отверстие,
5
— два отверстия
6
s
Рис. 9.6. Зависимость функции F (s
) влияния отверстий на критическую силу от безразмерной площади s
отверстия
для случая осевого сжатия ортотропных (стеклопластиковых) оболочек
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
218
Гл. 9. Устойчивость при осевом сжатии цилиндрических оболочек
0
1
2
3
4
5
6
s
Рис. 9.7. Сводный график влияния отверстий в изотропных и ортотропных (композитных) оболочках
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
F (s
)
9.3. Влияние отверстий на многослойные композитные оболочки
219
220
Гл. 9. Устойчивость при осевом сжатии цилиндрических оболочек
Рис. 9.6 показывает, что в ортотропных композитных оболочках
безразмерная площадь s отверстия качественно также как и в случае
изотропных оболочек, влияет на критическую силу. В области s < 0,3
наличие отверстия практически не уменьшает критическую силу. При
0,3 < s < 1 происходит резкое падение критической силы с ростом
размера отверстия. С дальнейшим ростом размера отверстия (s > 1)
происходит сравнительно медленное уменьшение критической силы.
В случае двух диаметрально противоположных отверстий степень
их взаимовлияния определяется соотношением между размером 0 перемычки между отверстиями и размером B полуволны в кольцевом
направлении. Если 0 B , то влиянием отверстий друг на друга
можно пренебречь, и критическая сила в оболочке с двумя отверстиями
такая же, как и в оболочке с одним отверстием. Минимальный размер
перемычки в стеклопластиковой оболочке с двумя отверстиями равен
0 = 97 мм, по формуле (9.13) найдём B = 18,45 мм; 0 /B = 5,26.
Таким образом, в перемычке помещается не меньше 5 полуволн, т. е.
можно сделать вывод о сравнительно малом влиянии отверстий друг
на друга. Этот вывод подтверждает и рис. 9.6, на котором экспериментальные результаты для оболочки с двумя отверстиями в рамках
разброса практически такие же, как для оболочек с одним отверстием.
Анализ результатов обработки экспериментальных данных по стеклопластиковым оболочкам (рис. 9.6) показывает, что при отсутствии
отверстий теоретические и экспериментальные данные хорошо согласуются: максимальное различие находится в пределах 20 %. Заметим,
что в металлических оболочках (рис. 9.5) различие достигает 2,5 и более раз. Это объясняется особенностями волнообразования при потере
устойчивости изотропных и ортотропных оболочек (см. п. 4.1.2).
На рис. 9.7 показан сводный график влияния отверстий в изотропных и ортотропных композитных (стеклопластиковых) оболочках. Как
следует из рис. 9.7, при одинаковом размере s отверстия влияние
размера отверстия на критическую нагрузку в стеклопластиковых оболочках меньше, чем в металлических.
Приложение A
РАСЧЁТ ЖЕСТКОСТЕЙ НЕОДНОРОДНЫХ ПО
ТОЛЩИНЕ МНОГОСЛОЙНЫХ И ТРЁХСЛОЙНЫХ
КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
A.1. Неоднородные по толщине
многослойные оболочки
A.1.1. Структура и жёсткости многослойного ортотропного
пакета. Рассматривается в общем случае неоднородный, в частности, многослойный пакет общей толщиной h, состоящий из N слоёв
(рис. А.1). Нумерация слоёв производится, начиная с внутренней поверхности оболочки. Каждый k-й слой толщиной h(k) (k = 1, 2, . . . , N )
имеет однородную структуру, его нейтральная (срединная) поверхность
отстоит от внутренней поверхности оболочки на расстояние a(k) .
Полагается, что все слои являются ортотропными, их оси ортотропии совпадают с линиями главных кривизн оболочки. В этом
случае характеристики упругости каждого k-го слоя в тангенциаль(k)
ной плоскости xy определяются четырьмя модулями упругости Ei
(k)
(k)
(i = 1, 2, 3, 4): E1 , E2 — модули упругости в направлениях осей
(k)
x (i = 1) и y (i = 2); E3
(k)
= G(k) — модуль сдвига в тангенциальной
(k)
(k)
(k)
(k)
плоскости (i = 3); E4 = ν1 E2 = ν2 E1 — модули, связанные
с влиянием коэффициентов Пуассона ν1 и ν2 (i = 4).
Сопротивление слоёв поперечным сдвигам характеризуется величи(k)
нами Gi (i = 1, 2), которые представляют собой модули сдвига k-го
слоя в плоскостях xz (i = 1) и yz (i = 2).
Здесь и в дальнейшем нижний индекс i относится к направлению
анизотропии, а верхний индекс k — к номеру слоя.
Сопротивление ортотропного k-го слоя в рамках модели прямой
(k)
(k)
линии определяется жесткостями B1 , B2 на растяжение-сжатие
(k)
в двух направлениях, жёсткостью B3
(k)
= B12 на сдвиги в тангенци(k)
(k)
альной плоскости, изгибными жесткостями D1 , D2 в двух направ(k)
(k)
лениях, крутильной жёсткостью D3 = D12 , а также влиянием коэффициентов Пуассона. Кроме того, сопротивление поперечным сдвигам
(k)
в плоскостях xz , yz характеризуется сдвиговыми жесткостями K1 ,
(k)
K2 . Перечисленные жёсткости находятся с помощью известных соотношений [31]:
222
Прил. A. Неоднородные по толщине композитные конструкции
(k)
Bi
=
(k)
B3
(k)
B4
(k)
Ei
h(k)
(k)
;
(k)
1 − ν1 ν2
(k)
Di
=
(k)
(k)
= B12 = G(k) h(k) ;
(k)
(k)
= ν1 B2
(k)
Ki
=
(k)
D3
(k)
= ν2 B1 ;
5 (k) (k)
G h ;
6 i
а
(k)
E (hk )3
i
;
(k) (k)
12 1 − ν1 ν2
(k)
= D12 =
(k)
D4
i = 1, 2;
(k)
i = 1, 2;
G(k) (h(k) )3
;
12
(k)
= ν1 D2
(k)
(k)
= ν2 D1 ;
k = 1, 2, . . . , N.
(А.1)
h
x(1)
0
z0
y(2)
z(3)
б
N
k
a(k
2
1
x(1)
h
)
0
z0
h(k
)
3
2
1
z(3)
Рис. A.1. Координаты и структура многослойного пакета: а — элемент оболочки; б — структура пакета: 1 — внутренняя поверхность оболочки, 2 —
координатная поверхность, 3 — нейтральная (срединная) поверхность k-го
однородного слоя
Для вычисления жесткостей многослойного пакета, состоящего
из N ортотропных слоёв, выбирается некоторая координатная поверхность, отстоящая на расстояние z0 от внутренней поверхности
A.1. Неоднородные по толщине многослойные оболочки
223
оболочки (рис. А.1). Тогда для расчёта жесткостей получаются следующие зависимости:
z
z
0
0
Bi =
E i (z) dz ; Ci =
E i (z)z dz ;
z
0
z0 −h
Di =
z0 −h
E i (z) z 2 dz ;
E i (z) =
z0 −h
E 3 (z) = G (z) ;
Ei (z)
;
1 − ν1 (z) ν2 (z)
E 4 (z) = ν1 (z)E 2 (z) = ν2 (z)E 1 (z);
i = 1, 2, 3, 4.
(А.2)
Здесь Bi — жёсткости многослойного пакета на растяжение-сжатие
в двух направлениях (i = 1, 2), на сдвиги в тангенциальной плоскости
(i = 3) и жёсткости на растяжение-сжатие, связанные с коэффициентами Пуассона (i = 4); Di — некоторые изгибные жёсткости в двух
направлениях (i = 1, 2), крутильная жёсткость (i = 3), изгибные жёсткости, связанные с коэффициентами Пуассона (i = 4), вычисленные
относительно координатной поверхности z0 . Величины Ci являются
статическими моментами соответствующих жесткостей Bi относительно оси, проходящей на уровне z0 ; эти величины характеризуют взаимное влияние изгибных и мембранных компонент НДС в соотношениях
закона Гука [32].
Как следует из (А.2), жёсткости Bi многослойного пакета
на растяжение-сжатие и сдвиги в тангенциальной плоскости не зависят
от величины z0 , т. е. от выбора координатной поверхности. В то же
время статические моменты Ci жесткостей и изгибные и крутильные
жёсткости Di существенно зависят от величины z0 .
Можно показать, что для многослойного пакета с ортотропными
слоями имеется четыре положения координатной поверхности zi
(i = 1, 2, 3, 4), для которых соответствующие статические моменты Ci
обращаются в нуль, а изгибные и крутильные жёсткости принимают минимальные значения. Именно минимальными жесткостями
определяется сопротивление многослойной конструкции изгибам
и кручениям [30].
Принимая это во внимание, из (А.2) получаем следующие зависимости для определения минимальных жесткостей многослойного
ортотропного пакета:
z
h
i
Bi = E i (z) dz ; Di =
E i (z) z 2 dz ; Ci = 0;
−(h−zi )
0
zi =
1
Bi
h
E i (z) z dz ;
0
i = 1, 2, 3, 4.
(А.3)
224
Прил. A. Неоднородные по толщине композитные конструкции
Жёсткости Ki многослойного пакета на поперечные сдвиги в плоскостях xz (i = 1) и yz (i = 2) определяются зависимостями [31]:
1
1
= 2
Ki
Di
z
i
Ci2 (z)
dz ;
Gi (z)
zi −h
z
i
Ci (z) =
E i (z) z dz ;
z
i = 1, 2.
(А.4)
Учитывая, что в многослойных конструкциях модули упругости
изменяются по толщине ступенчато, целесообразно (при N > 3) в приведённых соотношениях интегрирование заменить суммированием:
Bi =
Ci =
N
'
(k)
Bi ;
k=1
N
'
k=1
(k) Di = Di +
Di
=
N
'
k=1
N
'
(k)
z0 − a(k) = Bi z0 −
Bi a(k) ;
Bi
k=1
Di∗ ;
(k)
Di ;
Di∗ =
N
'
k=1
(А.5)
(k) Bi
2
z0 − a(k) ;
i = 1, 2, 3, 4.
Величина Di
представляет собой сумму собственных изгибно(k)
крутильных жесткостей Di слоёв, составляющих пакет. Величина Di∗
(k)
— сумма моментов жесткостей Bi слоёв относительно выбранной оси,
отстоящей от внутренней поверхности на расстояние z0 .
Из (А.5) видно, что жёсткости Bi не зависят от выбора величины
z0 , т. е. от выбора координатной поверхности. В то же время статические моменты Ci и изгибно-крутильные жёсткости Di существенно
содержат величину z0 . Для каждого номера i (i = 1, 2, 3, 4) можно
найти такое положение z0 = zi координатной поверхности, при котором соответствующие статические моменты равны нулю. Приравнивая
в (А.5) величину Ci нулю, получим:
zi =
N
N
(k)
1 ( (k) (k) ( (k) Bi
a Bi =
a
;
Bi
Bi
k=1
i = 1, 2, 3, 4.
(А.6)
k=1
Из (А.5) следует, что величина Ci равна нулю, если z0 = zi . Легко
показать, что если изгибно-крутильные жёсткости Di (i = 1, 2, 3, 4) вычислять относительно осей, проходящих на уровне zi , то эти жёсткости
принимают минимальные значения. Минимальные жёсткости не зависят от выбора координатной поверхности, являются собственными числами многослойного пакета и определяют сопротивление многослойной
конструкции изгибам и кручению.
A.1. Неоднородные по толщине многослойные оболочки
225
Подставляя в (А.5) вместо z0 соответствующие величины zi
из (А.6), можно найти минимальные изгибные и крутильную
жёсткости:
Di = Di
+ Di∗ ;
Di
=
Bi =
N
'
=1
N
'
k=1
(k)
Di ;
(k)
Bi ;
Di∗ =
N
'
k=1
(k)
Bi
2
zi − a(k) ;
(А.7)
Ci = 0; i = 1, 2, 3, 4.
Заменяя в (А.4) интегрирование послойным суммированием, можно получить зависимости для определения жесткостей многослойного
пакета на поперечные сдвиги:
2
(k) (k)
h
C
N−
1
i
1
1 '
5 (k) (k)
(k)
= 2
; Ki
=
G h ;
(k)
Ki
6 i
Di k=1
K
i
(k)
Ci
(0)
Ci
=
k
'
j=1
(k)
(j) (k−1)
Bi zi − a(j) = Ci
+ zi − a(k) Bi ;
(N)
= Ci
= 0;
(А.8)
i = 1, 2.
В случае однородных оболочек все четыре значения zi сливаются
в одно: z1 = z2 = z3 = z4 = h/2. При этом срединная поверхность
одновременно является и нейтральной, т.е. вычисленные относительно
неё статические моменты равны нулю (C1 = C2 = C3 = C4 = 0).
Точки в поперечном сечении многослойного пакета, отстоящие от
внутренней поверхности на расстояниях zi (i = 1, 2, 3, 4) и вычисленные по формулам (А.3) или (А.6), принято называть центрами жесткостей. Четыре центра жесткостей соответствуют четырём независимым
характеристикам упругости ортотропных пластин и оболочек: E1 , E2 ,
G, E1 ν2 = E2 ν1 .
Таким образом, в отличие от однородных конструкций, многослойные оболочки, составленные из ортотропных слоёв, в силу независимости четырёх постоянных упругости ортотропного слоя и произвольности расположения слоёв в пакете в общем случае не имеют
единой нейтральной поверхности. Вместо этого имеется четыре определённых поверхности zi (i = 1, 2, 3, 4), относительно которых соответствующие статические моменты Ci равны нулю, а соответствующие
изгибно-крутильные жёсткости Di принимают минимальные значения.
По аналогии с однородными оболочками четыре поверхности, соответствующие уровням zi , можно условно назвать «нейтральными» [32].
Единая нейтральная поверхность существует в многослойной оболочке только в том случае, когда правая часть (А.6) не зависит
от индекса i. В частности, это условие выполняется для оболочек, составленных из слоёв, одинаковых по механическим свойствам,
8 С. Н. Сухинин
226
Прил. A. Неоднородные по толщине композитные конструкции
но разной толщины. Оно выполняется также, если многослойный пакет симметричен по толщине относительно срединной поверхности.
В обоих этих случаях нейтральная поверхность совпадает со срединной. Из (А.6) следует, что многослойная ортотропная оболочка имеет
единую нейтральную поверхность, если выполняется условие:
(k)
(k)
(k)
(k)
B
B
B1
B
= 2 = 3 = 4 ;
B1
B2
B3
B4
k = 1, 2, 3, . . . , N.
Можно попытаться найти и другие частные случаи, когда многослойный пакет, составленный из ортотропных слоёв, имеет единую
нейтральную поверхность.
Как известно, во многих случаях коэффициенты Пуассона оказывают незначительное влияние на результаты расчёта НДС, устойчивости
и колебаний тонкостенных конструкций. Поэтому при решении инженерных задач обычно вводятся приведённые значения коэффициентов
Пуассона, одинаковые для всего пакета. Приведенные коэффициенты
Пуассона получаются из зависимостей (А.5) при i = 4:
N
N
1 '
1 '
(k) (k)
(k) (k)
ν1 =
B2 ν1 =
B ν ;
B2 k=1
B2 =1 1 2
ν2 =
N
N
1 '
1 '
(k) (k)
(k) (k)
B1 ν2 =
B ν
B1 k=1
B1 =1 2 1
(А.9)
;
B1 ν2 = B2 ν1 .
Если за коэффициенты Пуассона принять величины (А.9), то выполняются следующие зависимости, получаемые из (А.6):
z1 = z2 = z4 =
N
N
N
1 ( (k) (k)
1 ( (k) (k)
1 ( (k) (k)
B1 a =
B2 a =
B4 a ;
B1
B2
B4
k=1
k=1
z3 =
N
1 ( (k) (k)
B3 a
B3
k=1
(А.10)
k=1
Отсюда следует, что если коэффициенты Пуассона одинаковы для
всего пакета, то число центров жесткостей zi (число «нейтральных»
поверхностей) снижается до двух. Один из них соответствует изгибу,
другой — кручению многослойного пакета.
A.1.2. Расчёт характеристик упругости многослойных ортотропных пакетов с произвольным армированием. Структура многослойного композитного пакета представляет собой в общем случае
произвольно расположенные слои следующих четырёх видов:
— слой, образованный армированием в некотором 1-м направлении
с углом укладки ϕ = 0◦ (например, в осевом направлении цилиндрической оболочки) — рис. А.2;
A.1. Неоднородные по толщине многослойные оболочки
227
— слой, образованный армированием во 2-м направлении, перпендикулярном 1-му с углом укладки ϕ = 900 (например, кольцевой слой
в цилиндрической оболочке) – рис. А.2;
1
ϕ=0◦
2
ϕ=90
◦
Рис. A.2. Продольно-поперечное армирование
— двойной слой («бислой»), образованный двумя семействами армирующих элементов, расположенными под углами ±ϕ к направлению 1 — рис. А.3;
— слой ортотропного материала, оси ортотропии которого совпадают с направлениями 1 и 2.
1
−ϕ
ϕ
2
Рис. A.3. «Бислой»
При расчёте жесткостей многослойного пакета удобно составить
таблицу (табл. А.1), содержащую исходные данные для расчёта. Номер k1 , в таблице соответствует номеру слоя, армированного в 1-м
направлении (угол армирования ϕ = 0◦ ). Этот слой характеризуется толщиной h(k1 ) , расстоянием a(k1 ) срединной поверхности слоя
(k )
(k )
от опорной поверхности (рис. А.1), модулями упругости E1 1 , E2 1 ,
(k1 )
(k1 )
коэффициентами Пуассона ν1 , ν2 , модулем сдвига в тангенциаль(k )
(k )
ном направлении G(k1 ) и модулями поперечного сдвига G1 1 и G2 1 .
8*
N
k4
......
k3
......
k2
......
k1
......
1
......
Номер
слоя
a(1)
a(k1 )
a(k2 )
a(k3 )
a(k4 )
a(N )
h(1)
h(k1 )
h(k2 )
h(k3 )
h(k4 )
h(N )
±ϕ(N )
—
±ϕ(k3 )
90o
0o
±ϕ
(1)
Толщина
Расстояние
Угол ϕ
слоя
от опорной армирования
(«бислоя») поверхности
до слоя
(k1 )
(k2 )
(k3 )
(k4 )
(N )
(k2 )
(k3 )
(k4 )
(N )
1
1
1
1
2
2
2
2
2
(k1 )
1
(1 )
2
2
(1 )
1
1
ν1(N )
ν1(k4 )
(k3 )
ν1
(k2 )
ν1
(k1 )
ν1
ν1(1)
ν1
ν2(N )
ν2(k4 )
(k3 )
ν2
(k2 )
ν2
(k1 )
ν2
ν2(1)
ν2
G(N )
G(k4 )
G(k3 )
G(k2 )
G(k1 )
G(1)
G
)
G(N
1
4)
G(k
1
(k3 )
G1
(k2 )
G1
(k1 )
G1
G(11)
G1
)
G(N
2
4)
G(k
2
(k3 )
G2
(k2 )
G2
(k1 )
G2
G(21)
G2
Т а б л и ц а А.1
228
Прил. A. Неоднородные по толщине композитные конструкции
A.1. Неоднородные по толщине многослойные оболочки
229
Аналогично, номера k2 , k3 , k4 в табл. А.1 соответствуют слою, армированному в перпендикулярном направлении (ϕ = 90◦ ), двойному слою
(«бислою») с углом армирования ±ϕ и ортотропному слою. Заметим,
что за толщину h(k3 ) «бислоя» следует принимать суммарную толщину
двух монослоёв, составляющих «бислой».
В соответствии с исходными данными, помещенными в табл. А.1,
производится расчёт многослойного, неоднородного по толщине композитного пакета. Однако в табл. А.1 заданы лишь свойства ортотропного
слоя под номером k4 . Свойства упругости перекрестно армированных
(±ϕ) и однонаправленных (ϕ = 0◦ , ϕ = 90◦ ) слоёв остаются неизвестными.
Расчет неизвестных характеристик упругости для перекрестно армированных слоёв, а также для слоёв, армированных в направлениях
1 (ϕ = 0◦ ) и 2 (ϕ = 90◦ ), приводится ниже.
Характеристики упругости двойного слоя с перекрестным армированием под углами ±ϕ. Перекрестное армирование с углами
укладки ±ϕ характеризуется тем, что на каждый слой, уложенный
под углом ϕ, накладывается такой же ответный слой, уложенный под
углом (−ϕ). Такая пара слоёв составляет ортотропный «бислой», оси
упругости которого совпадают с направлениями 1 и 2 (рис. А.3).
Для каждого монослоя рассматриваемого «бислоя» задаются толщина h, модули упругости E1 ϕ, E2 ϕ в направлениях вдоль и поперёк
армирования, коэффициенты ν1 ϕ («сужение» при растяжении вдоль
армирования) и ν2 ϕ («укорочение» при растяжении поперек армирования), модуль сдвига Gϕ в плоскости монослоя, а также модули G1 ϕ,
G2 ϕ поперечных сдвигов вдоль и поперек армирования соответственно.
Эти заданные или определённые экспериментально величины являются исходными данными для получения характеристик упругости
ортотропного «бислоя». Характеристики упругости «бислоя» определяются следующими величинами:
E1 , E2 — модули упругости в первом и втором направлениях соответственно;
ν1 , ν2 — коэффициенты поперечной деформации (Пуассона);
E1 ν2 = E2 ν1 ;
G — модуль сдвига в поверхности (12);
G1 , G2 — модули поперечных сдвигов в первом и втором направлениях соответственно.
В указанных величинах в данном случае опущены верхние индексы k3 .
Необходимые характеристики упругости «бислоя» находятся с использованием результатов [13]:
A
A
E1 = A11 (1 − ν1 ν2 ); ν1 = 12 ; ν2 = 12 ;
A22
A11
(А.11)
E2 = A22 (1 − ν1 ν2 ); E1 ν2 = E2 ν1 = A12 (1 − ν1 ν2 );
G12 = G = A33 .
230
Прил. A. Неоднородные по толщине композитные конструкции
Здесь введены следующие обозначения:
1
A11 = E 1ϕ cos4 ϕ + E 2ϕ sin4 ϕ + (E 1ϕ ν2ϕ + 2Gϕ ) sin2 2ϕ;
2
1
A22 = E 1ϕ sin4 ϕ + E 2ϕ cos4 ϕ + (E 1ϕ ν2ϕ + 2Gϕ ) sin2 2ϕ;
2
1
12 = 21 = E 1ϕ ν2ϕ +
E 1ϕ + E 2ϕ − 2(E 1ϕ ν2ϕ + 2Gϕ ) sin2 2ϕ;
4
1
33 = Gϕ cos2 2ϕ +
E 1ϕ + E 2ϕ − 2E 1ϕ ν2ϕ sin2 2ϕ;
4
E2ϕ
E1ϕ
E 1ϕ =
; E 2ϕ =
.
(А.12)
1 − ν1ϕ ν2ϕ
1 − ν1ϕ ν2ϕ
Модули поперечных сдвигов определяются соотношениями:
G1 = G1ϕ cos2 ϕ + G2ϕ sin2 ϕ;
G2 = G1ϕ sin2 ϕ + G2ϕ cos2 ϕ.
(А.13)
Для полной характеристики «бислоя» необходимо задать его общую толщину hϕ =2h = h(k3 ) (h — толщина монослоя) и расстояние
aϕ = a(k3 ) середины «бислоя» от опорной поверхности — в рассматриваемом случае от внутренней поверхности оболочки.
Характеристики упругости монослоя с осевой и кольцевой армировками под углами ϕ = 0◦ и ϕ = 90◦ . Армировку с углом армирования ϕ = 0◦ составляют слои, уложенные вдоль оси 1 (рис. А.2).
Из (А.11), (А.12) и (А.13) при ϕ = 0 получаем:
E1 = E1ϕ ; E2 = E2ϕ ; ν1 = ν1ϕ ;
G = Gϕ ;
ν2 = ν2ϕ ;
G1 = G1ϕ ; G2 = G2ϕ ; (ϕ = 0◦ ).
(А.14)
Таким образом, характеристики упругости монослоя совпадают
с соответствующими характеристиками армирующих элементов. В этих
формулах опущены верхние индексы k1 .
Армировку с углом армирования ϕ = 90◦ составляют слои, уложенные в направлении 2 (рис. А.2). Из формул (А.11), (А.12) и (А.13) при
ϕ = 90◦ следуют значения характеристик упругости монослоя второго
направления:
E1 = E2ϕ ; E2 = E1ϕ ; ν1 = ν2ϕ ;
G = Gϕ ;
ν2 = ν1ϕ ;
G1 = G2ϕ ; G2 = G1ϕ ; (ϕ = 0◦ ).
(А.15)
Здесь опущены верхние индексы k2 .
Полученные по формулам (А.11), (А.13), (А.14) и (А.15) характеристики слоёв, составляющих многослойный, неоднородный по толщине композитный пакет, вносят в табл. А.1, которая содержит все
необходимые исходные данные для расчёта жесткостей многослойного
A.2. Трёхслойные оболочки
231
пакета по формулам (А.3), (А.4) или (А.6), (А.7), (А.8). Этот расчёт
можно запрограммировать, основываясь на предложенных выше соотношениях.
A.2. Трёхслойные оболочки
Трёхслойный пакет (рис. А.4) состоит из двух несущих наружных
слоёв и слоя заполнителя, расположенного между ними. Все три слоя
в свою очередь могут быть выполнены также в виде многослойных
пакетов. Первый несущий слой (рис. А.4) имеет толщину h1 и состоит
в общем случае из N1 слоёв, каждый из которых характеризуется тол(k)
(k)
щиной h1 (k = 1, 2, . . . , N1 ), модулями упругости Ei1 (i = 1, 2, 3, 4)
(k)
(k)
и двумя модулями G11 , G21 (i = 1, 2) поперечного сдвига.
(k)
(k)
Здесь E11 , E21 — модули упругости соответственно в первом
и втором направлениях k-го подслоя первого несущего слоя;
(k)
E31 — модуль сдвига в тангенциальной плоскости k-го подслоя
первого несущего слоя;
(k)
(k) (k)
(k) (k)
E41 = E11 ν21 = E21 ν11 — модуль, связанный с коэффициентами
(k)
(k)
Пуассона ν21 , ν11 k-го подслоя первого несущего слоя.
Второй несущий слой (рис. А.4) также характеризуется
(k)
(k)
(k)
(k)
соответствующими величинами: h2 , N2 , h2 , Ei2 , G12 , G22
(i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, . . . , N2 ). Слой заполнителя (рис. А.4) толщиной
δ состоит из N3 слоёв с толщинами δ (k) (k = 1, 2, . . . , N3 ) и, в общем
случае, с таким же, как у наружных слоёв, набором констант
(k)
(k)
(k)
упругости: Ei3 , G13 , G23 (i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, . . . , N3 ).
Здесь у модулей упругости и сдвига первый нижний индекс относится к направлению анизотропии (i = 1, 2, 3, 4), а второй — соответствует первому несущему слою (1), второму (2) или слою заполнителя (3).
Прежде чем определять жесткостные характеристики трёхслойного
пакета, необходимо с помощью соотношений раздела А.1 найти жёсткости каждого из трёх слоёв. В результате применения формул (А.3),
(А.4) или (А.6), (А.7), (А.8) можно найти (i = 1, 2, 3, 4):
(1)
(2)
(3)
Bi , Bi , Bi — жёсткости на растяжение-сжатие, сдвиги и жёсткости, соответствующие коэффициентам Пуассона (i = 4), несущих
слоёв и заполнителя;
(1)
(2)
(3)
Di , Di , Di — минимальные жёсткости несущих слоев и заполнителя на изгибы, кручение и жёсткости, соответствующие коэффициентам Пуассона;
(1)
(2)
(3)
zi , zi , zi — величины, определяющие центры жесткостей
в несущих слоях и заполнителе;
(1)
(2)
(3)
Ki , Ki , Ki — жёсткости несущих слоев и заполнителя на
поперечные сдвиги в двух направлениях (i = 1, 2).
232
Прил. A. Неоднородные по толщине композитные конструкции
x(1)
а
0
y(2)
(2 )
z(3)
δ
x(1)
z1
(1 )
z1
h1
(1 )
H1
H1
H1
(2 )
h2
z1
б
z(3)
Рис. A.4. Структура трёхслойного пакета: а — система координат; б —
геометрические размеры
A.2.1. Трёхслойные оболочки с лёгким заполнителем. Если
жёсткости заполнителя в тангенциальной плоскости малы по сравнению с жесткостями несущих слоёв, т. е.
(3)
Bi
(1)
(2)
Bi + Bi ,
(А.16)
то жесткостями заполнителя в тангенциальной плоскости пренебрегают. В этом случае заполнитель принято называть лёгким, а его
(3)
(3)
жесткостные свойства характеризуются только жесткостями K1 , K2
на поперечные сдвиги.
С учётом сказанного жёсткости трёхслойного пакета с лёгким заполнителем можно найти с помощью следующих соотношений:
(1)
Bi = Bic = Bi
(1)
(2)
Dic = Di + Di ;
(2)
+ Bi ;
Di∗ =
Di = Dic + Di∗ ;
1 ∗ 2
B H ;
4 i i
Bi∗ =
(1)
(2)
4Bi Bi
;
Bi
233
A.2. Трёхслойные оболочки
h1 + h2
+
2
Hi = δ +
(1)
Hi
=
(2)
Bi
Hi ;
Bi
(1) (1)
Bi Hi
=
h1
(1)
−
− zi
2
(2)
Hi
=
(2) (2)
Bi Hi ;
h2
(2)
− zi
2
(1)
Bi
Hi ;
Bi
(1)
Hi
≈δ+
(2)
+ Hi
h1 + h2
;
2
= Hi ;
(А.17)
i = 1, 2, 3, 4.
Здесь Bi , Di — соостветственно жёсткости трёхслойного пакета
на растяжение и сдвиг в тангенциальной плоскости и минимальные
изгибно-крутильные жёсткости;
Bi , Di — соответствующие суммарные жёсткости несущих слоёв; Di∗ — минимальные изгибно-крутильные жёсткости трёхслойного
пакета с безмоментными (Di = 0) несущими слоями. Величины Hi
представляют собой расстояния между соответствующими центрами
жесткостей несущих слоёв (рис. А.4).
Минимальные изгибно-крутильные жёсткости Di (i = 1, 2, 3, 4) вычислены относительно соответствующих центров жесткостей zi трёхслойного пакета. Положения центров жесткостей для трёхслойных пакетов с лёгким заполнителем (рис. А.4) определяются зависимостями:
(2)
Bi
Hi .
(А.18)
Bi
Таких центров жесткостей для ортотропных многослойных пакетов
в общем случае четыре. Если принять коэффициенты Пуассона одинаковыми для всего пакета, то число независимых центров жесткостей
сократится до двух. Один из них соответствует изгибам, второй — кручению. За коэффициенты Пуассона в этом случае следует принимать
следующие приведённые значения:
(1)
(1)
zi = zi + Hi
(1)
ν1 =
(1)
(2)
(2)
ν1 B2 + ν1 B2
B2
(1)
= zi +
(1)
=
(1)
(2)
(2)
ν2 B1 + ν2 B1
;
B2
(А.19)
(1) (1)
(2) (2)
(1) (1)
(2) (2)
ν2 B1 + ν2 B1
ν1 B2 + ν1 B2
ν2 =
=
.
B1
B1
При этом должны выполняться известные для ортотропных оболочек зависимости:
B1 ν2 = B2 ν1 ;
D2 ν1 = D1 ν2 .
(А.20)
Анализ разрешающих зависимостей, опыт отработки и расчётов
изделий показывают, что трёхслойные конструкции с лёгким заполнителем, как правило, сопротивляются в соответствии с моделью ломаной
линии или моделями более низкого уровня (прямая линия, неизменная
нормаль). Согласно модели ломаной линии поперечные сдвиги в несущих слоях отсутствуют, а в заполнителе они распределены равномерно
234
Прил. A. Неоднородные по толщине композитные конструкции
по толщине. В этом случае для заполнителей получено следующее соотношение для расчёта жесткостей на поперечные сдвиги Ki (i = 1, 2)
трёхслойного пакета:
Gi3 Hi2
, i = 1, 2.
(А.21)
δ
Если заполнитель выполнен в виде однородного слоя, то величины
Gi3 представляют собой модули сдвига материала заполнителя в плоскостях xz и yz соответственно. В том случае, когда лёгкий заполнитель
выполнен в виде многослойного пакета, величины Gi3 представляют
собой приведённые значения модулей сдвига. Они определяются с помощью соотношений (А.4) или (А.8).
Ki =
A.2.2. Трёхслойные оболочки с жёстким заполнителем. Если
условия (А.16) не выполняются, то заполнитель нельзя считать лёгким,
т. е. его жёсткости будут сопоставимы с жесткостями наружных слоёв.
В этом случае трёхслойный пакет будет частным случаем многослойного, и его жёсткости и положения центров жесткостей определяются
зависимостями (А.3), (А.4) или (А.6), (А.7), (А.8).
Приложение Б
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Б.1. Геометрические параметры (i = 1, 2, 3, 4)
h1 , h2 — толщины несущих слоёв;
δ — толщина заполнителя;
h — суммарная толщина многослойного (трёхслойного) пакета;
(1)
(2)
(3)
zi , zi , zi — величины, определяющие центры жёсткостей
несущих слоёв и заполнителя;
zi — величины, определяющие центры жёсткостей
многослойного (трёхслойного) пакета;
(1)
(2)
Hi , Hi — расстояния между соответствующими центрами жёсткостей трёхслойного пакета и центрами жёсткостей несущих слоёв;
(1)
(2)
Hi = Hi + Hi — расстояния между соответствующими центрами жёсткостей несущих слоёв;
R1 , R2 — радиусы кривизны оболочки вращения;
R — радиус цилиндрической оболочки;
— длина цилиндрической оболочки;
ρ(x) — главный радиус кривизны конической оболочки;
Θ — угол конусности, т. е. угол между осью конуса
и его образующей;
r1 — радиус малого основания конуса;
r2 — радиус большого основания конуса;
R1 = R2 = R — радиус сферической оболочки;
Б.2. Жесткостные характеристики многослойных
оболочечных конструкций из композитов
(i = 1, 2, 3, 4)
Ei — модули упругости в ортотропных пластинах
и оболочках;
E3 = G12 , E4 = ν1 E2 = ν2 E1 ,
236
Прил. Б. Основные обозначения
ν1 , ν2 — коэффициенты Пуассона;
(1)
Bi ,
(2)
Bi ,
(3)
Bi
Bi
(1)
(2)
(3)
Di , Di , Di
(1)
(2)
Di = Di + Di
Di∗
Di∗ =
— жёсткости на растяжение-сжатие и сдвиги
несущих слоёв и заполнителя;
— суммарные жёсткости пакета на растяжениесжатие и сдвиги;
— минимальные изгибно-крутильные жёсткости
несущих слоёв и заполнителя;
— суммарные минимальные изгибно-крутильные
жёсткости несущих слоёв;
— минимальные изгибно-крутильные жёсткости
трёхслойного пакета с безмоментными несу(1)
(2)
(3)
щими слоями (Di = Di = Di = 0);
(1 ) (2 )
1 ∗ 2
4B B
Bi Hi ; Bi∗ = (1)i i (2) ;
4
Bi + Bi
(3)
Di = Di +Di +Di∗ — полные минимальные изгибно-крутильные
жёсткости трёхслойного пакета;
G13 , G23 — модули заполнителя на поперечные сдвиги;
K1 , K2 — жёсткости пакета на поперечные сдвиги;
ω1 , ω2 , ω1 , ω2 — безразмерные податливости конструкции
на поперечные сдвиги;
ω1 =
D1∗
;
K1 R2
ω2 =
D2∗
;
K2 R2
ω1 =
∗
D12
;
K1 R2
ω2 =
∗
D12
;
K2 R2
Ω — параметр влияния поперечных сдвигов (0 <
< Ω 1);
Δ1 , Δ2 , Δ3 — поправки от поперечных сдвигов на критические усилия при действии осевых, кольцевых
и сдвигающих нагрузок;
Δ
— погрешность применения к трёхслойным оболочкам модели неизменной нормали при расчётах на устойчивость;
Δ — погрешность применения модели прямолинейного элемента;
p0 — параметр влияния внутреннего давления
на критическое усилие при осевом сжатии;
0
t10 — параметр влияния осевого растяжения на критическое усилие при действии внешнего давления;
237
Б.4. Дифференциальные операторы
e1 — параметр подкрепляющего влияния сплошного заполнителя на устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии;
e2 — аналогичный параметр при действии наружного давления (e2 e1 ).
Б.3. Параметры анизотропии
многослойных ортотропных оболочек
α1 =
4D12
+ 2ν2 ;
D1
β1 =
D2
;
D1
k
α2 =
B2
;
B1
α1 + 2 β
=
α2 + 2 β
B2 (1 − ν1 ν2 )
− 2ν2 ;
B12
β2∗ =
β2 =
B2∗
;
B1∗
(α2 ≈ α2∗ ;
α2∗ =
B2∗
− 2ν2 ;
B12
β1 ≈ β2∗ ≈ β2 = β);
— коэффициент ортотропии, характеризующий
влияние вида анизотропии на критические усилия при осевом сжатии и форму
волнообразования.
Б.4. Дифференциальные операторы
∇4i =
∂4
∂4
∂4
+
α
+
β
(i = 1, 2) — основные операторы, опреi
i
∂x4
∂y 4
∂x2 ∂y 2
деляющие устойчивость и формы волнообразования ортотропных оболочек;
∂2
∂2
2
−
R
(ω
+
ω
)
+ ω1 ω2 R4 ∇42 — опера1
2
∂x2
∂y 2
тор, определяющий сопротивление оболочки поперечным сдвигам;
∇4c = 1 − R2 (ω1 + ω2 )
Ωxy =
4
∇2
∂2
∂2
1 − R 2 ω 2 2 + ω 1 2
4
∂x
∇4c
∂y
∇1
— оператор, определяющий влия-
ние поперечных сдвигов на критические усилия;
Fi (ψ) = 1 + αi ψ 2 + βi ψ 4 ;
(i = 1, 2);
ψ=
n
;
λ
λ=
mπR
;
m — число полуволн в меридиональном направлении;
n — число волн в кольцевом направлении.
238
Прил. Б. Основные обозначения
Б.5. Силовые факторы
T1 , T2 , S , M , Q — действующие на оболочку усилия, могущие привести к потере
устойчивости;
T1 — осевое сжимающее усилие;
T2 — кольцевое сжимающее усилие;
S — усилие сдвига в поверхности
оболочки;
M — крутящий момент;
Q — перерезывающая сила;
q = T1
∂2
∂2
∂2
+ 2S
+ T2 2 ;
2
∂x∂y
∂x
∂y
T1 , T2 , S , M , Q — критические значения действующих усилий, приводящие к потере устойчивости;
T1 = k T10 — критическое усилие при осевом
сжатии многослойной цилиндрической ортотропной оболочки;
2
T10 =
B2 (1 − ν1 ν2 )D1 — критическое усилие осевого сжаR
тия при осесимметричном волнообразовании;
T10
=
T10
2
R
B2 (1 − ν1 ν2 )D1 — критическое усилие трёхслойной
оболочки при раздельно работающих несущих слоях и осесимметричной форме волнообразования;
2
=
B2 (1 − ν1 ν2 )D1 — критическое усилие при осесимR
метричном
волнообразовании
в трёхслойной оболочке с абсолютно жёстким на поперечные
сдвиги заполнителем;
T1 = k T10 — критическое усилие в трёхслойной ортотропной оболочке с абсолютно жёстким на поперечные
сдвиги заполнителем;
T
k = — коэффициент устойчивости;
T
Б.5. Силовые факторы
239
T
— экспериментальное значение сжимающего осевого критического
усилия;
T — теоретическое значение сжимающего осевого критического усилия;
T2 =
S =
4
B1 D23 (1 − ν1 ν2 ) — критическое значение кольцевоR1/2
го усилия в цилиндрической оболочке с абсолютно жёстким на
поперечные сдвиги заполнителем;
1,75π
3, 3
1/2 R1/4
B13 (1 − ν1 ν2 )3 D25 — критическое значение сдвигового
усилия при кручении оболочки
с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем;
T1 , T2 , S , K1 , K2 , T10
, T2 — обобщённые жёсткости трёхслойных и многослойных оболочек
при потере устойчивости;
8
T =
p R
= k T0 — критическое усилие в класси2
T0 =
2
B2 (1 − ν1 ν2 )D1
R
T0 =
2
B2 (1 − ν1 ν2 )D1
R
ческой сферической ортотропной
оболочке при действии наружного давления;
— критическое усилие в классической сферической оболочке при
осесимметричной форме волнообразования;
— критическое усилие в трёхслойной сферической оболочке с абсолютно жёстким на поперечные
сдвиги заполнителем при действии наружного давления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алфутов Н.А. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение, 1978. — 312 с.
2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность,
устойчивость и колебания. Изд. 2-е. — М.: Наука, 1987. — 360 с.
3. Бейкер Е. Экспериментальное исследование трёхслойных цилиндров и конусов, подверженных осевому сжатию. // Ракетная техника и космонавтика (пер. с англ.). 1968. T. 6, № 9. C. 201–202.
4. Белова О.А., Горохова И.А., Сухинин С.Н. Устойчивость при осевом сжатии многослойных композитных оболочек: теория и эксперимент // Изв. РАН: МТТ. 1999, № 1. C. 163–169.
5. Белова О. А., Сухинин С.Н. Исследование влияния круговых отверстий в цилиндрических оболочках из композиционных материалов на величину осевой критической нагрузки // Космонавтика
и ракетостроение. 1998, № 13. C. 156–163.
6. Белозеров Л.Г., Рубина А.Л. Устойчивость стеклопластиковых
оболочек при осевом сжатии // Уч. записки ЦАГИ. 1970. T. I,
№ 1. C. 124–133.
7. Бижляр П.П. Расчет упругой и пластической устойчивости трёхслойных пластин методом разделенных жесткостей // Сб. пер.
«Механика». — 1952, № 6 (16). C. 98–125.
8. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчёт на прочность
деталей машин: Справочник. — М.: Машиностроение, 1979. —
503 с.
9. Будрейка О.В., Носова З.М., Сухинин С.Н. О границах применимости различных гипотез к анализу осесимметричного НДС
трёхслойных оболочек из КМ // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. — Горький: ГГУ, 1988,
C. 92–99.
10. Бушнелл Д. Потеря устойчивости и выпучивание оболочек — ловушка для проектировщиков // Ракетная техника и космонавтика
(пер. с англ.). 1981. T. 19, № 10. C. 93–154.
11. Буштырков А.А. О нижних и верхних критических нагрузках
и об одном новом аспекте проблемы закритического поведения
тонкостенных оболочек // Тр. VI Всесоюзной конф. по теории
оболочек и пластин. — М. Наука, 1966. — C. 221–227.
12. Вайнгартен В.И., Морган Е.Дж., Сейд П. Устойчивость упругих
тонкостенных цилиндрических и конических оболочек при осевом
сжатии // Ракетная техника и космонавтика (пер. с англ.). 1965.
T. 3, № 3. C. 151-157.
13. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. — М.: Машиностроение, 1988. — 272 с.
Список литературы
241
14. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1967. — C. 557–560.
15. Голда Ю.Л., Преображенский И.Н., Штукарёв В.С. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями //
Прикладная механика. 1973. T. 9, № 1. C. 27–32.
16. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем // Изв. АН СССР: ОТН. 1957, № 1. C. 77–84.
17. Григолюк Э.И., Коган Е.А. Статика упругих слоистых оболочек. — М.: НИИ Механики МГУ, 1999. — 215 с.
18. Григолюк Э.И., Лопаницин Е.А. Конечные прогибы, устойчивость и закритическое поведение тонких пологих оболочек. — М.:
МГТУ «МАМИ», 2004. — 162 с.
19. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трёхслойных оболочек. — М.: Машиностроение, 1973. — 170 с.
20. Гуменюк В.С., Кравчук В.С. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек из стеклопластика // Механика полимеров.
1969, № 5. C. 886–891.
21. Дау Н., Розен Б. Конструкционная эффективность ортотропных
цилиндрических оболочек при осевом сжатии // Ракетная техника и космонавтика (пер. с англ.). 1966. T. 4, № 3. C. 125–131.
22. Евдокимов Е.В., Сафронов В.С., Туркин И.К. Исследование
устойчивости цилиндрической оболочки с вырезом при действии
осевого сжатия и внешнего давления. // Механика тв. тела. 2007,
№ 1, C. 123–141.
23. Ершов Н.П. Методы проектирования и испытаний корпусов
летательных аппаратов из композиционных и конструктивноанизотропных материалов // Механика конструкций из композиционных материалов. — Киев: Наук. думка, 1977. — C. 124–138.
24. Зюзин В.А. Влияние граничных условий на устойчивость цилиндрической оболочки при действии кручения и поперечного
давления // Изв. АН СССР: МТТ. 1969, № 5. C. 82–87.
25. Иванков Н.А., Смыков В.И., Иванов О.Н. Экспериментальное
исследование устойчивости цилиндрической стеклопластиковой
оболочки, ослабленной круговым отверстием // Труды МИХМ.
1975, вып. 60. C. 101–106.
26. Иванов В.А. Обзор литературы по устойчивости оболочек с упругим заполнителем // Труды семинара по теории оболочек Казанского физ-техн. института. 1971, вып. 2. C. 237.
27. Иванов О.Н., Лебедев К.Н., Мысык Д.А. Экспериментальнотеоретическое исследование устойчивости трёхслойных стеклопластиковых цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении // Механика конструкций из композиционных материалов. — Киев: Наук. думка, 1977. — C. 119–124.
28. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. — М.:
Наука, 1977. — 332 с.
242
Список литературы
29. Кармишин А.В. и др. Статика и динамика тонкостенных конструкций. — М.: Машиностроение, 1975. — 376 с.
30. Кармишин А.В. Потенциальная энергия деформации непологой
ортотропной оболочки неоднородного строения // Изв. АН СССР:
МТТ. 1976, № 4. C. 183–185.
31. Кармишин А.В., Лиходед А.И., Паничкин Н.Г., Сухинин С.Н. Основы отработки прочности ракетно-космических конструкций. —
М.: Машиностроение, 2007. — 480 с.
32. Кармишин А.В., Сухинин С.Н. Основы теории и прикладные
методы расчёта прочности неоднородных конструктивных элементов // Космонавтика и ракетостроение. 1998, № 13. C. 82–87.
33. Кобелев В.Н., Коварский А.М., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций: cправочник. — М.: Машиностроение, 1984. —
304 с.
34. Кобелев В.Н., Сухинин С.Н. и др. Расчёт прочности и устойчивости трёхслойных конструкций. — Махачкала: ДГТУ, 2004. —
156 с.
35. Коноплёв Ю.Г. Экспериментальное исследование устойчивости
цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием //
Исследования по теории пластин и оболочек, вып. VI, VII. —
Казань: КГУ, 1970. — C. 500–503.
36. Корнев В.М. Особенности задач выпучивания тонкостенных оболочек // Динамика сплошной среды. 1976, вып. 25. C. 61–74.
37. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из
армированных пластмасс. — М.: Машиностроение, 1965. — 272 с.
38. Королев В.И. Упруго-пластические деформации оболочек. — М.:
Машиностроение, 1970. — 304 с.
39. Крашаков Ю.Ф., Рубина А.Л. Испытания и расчёт оболочечных
конструкций из композиционных материалов при осевом сжатии
и кручении // Механика конструкций из композиционных материалов. — Киев: Наук. Думка, 1977. — C. 92–99.
40. Крофорд Р.Ф., Шварц Д.Б. Общая неустойчивость и оптимальное
проектирование сферических днищ с вафельным подкреплением // Ракетная техника и космонавтика (пер. с англ.). 1965. T. 3,
№ 3. C. 164–170.
41. Куркина Н.И., Сухинин С.Н. Специфика расчёта поперечных
сдвигов в неоднородных многослойных конструкциях // Космонавтика и ракетостроение. 1998, № 13. C. 144–155.
42. Матвеева И.В., Сухинин С.Н., Тащилова Г.Е. О критической нагрузке при осевом сжатии изотропных и композитных ортотропных цилиндрических оболочек при наличии в них отверстий //
Вопросы оборонной техники: сер. 15. Композитные неметаллические материалы в машиностроении. Вып. 1 (152). — М.: НТЦ
Информатика, 2009. — C. 3–8.
Список литературы
243
43. Матвеева И.В., Сухинин С.Н., Тащилова Г.Е. Устойчивость
композитных конических оболочек при действии осевого сжатия,
внешнего давления и кручения // Космонавтика и ракетостроение. 2007, вып. 2 (47). C. 50–57.
44. Микишева В.И. О влиянии жёсткости упругого заполнителя на
форму потери устойчивости и величину критической нагрузки цилиндрических оболочек из стеклопластика при осевом сжатии //
Механика полимеров. 1971, № 5. C. 931–939.
45. Моссаковский В.И., Маневич Л.И., Мильцин А.М. Моделирование несущей способности цилиндрических оболочек. — Киев:
Наук. думка, 1977. — 141 с.
46. Муштари Х.М. К общей теории пологих оболочек с заполнителем // Изв. АН СССР: Отделение механики и машиностроения.
1961, № 2. C. 27.
47. Муштари Х.М. О применении различных теорий трёхслойных
пластин и оболочек // Изв. АН СССР: Отделение механики
и машиностроения. 1960, № 6. C. 165.
48. Мысык Д.А. и др. Исследование устойчивости трёхслойных ортотропных цилиндрических оболочек при равномерном осевом
сжатии // Труды МИХМ. 1975, вып. 60. C. 38–47.
49. Мысык Д.А., Шакимов Л.А. Исследование устойчивости трёхслойных ортотропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии // Прикладная механика. 1977. T. 13, № 12. C. 58–62.
50. Мысык Д.А., Шакимов Л.А. Экспериментально-теоретическое
исследование устойчивости трёхслойных стеклопластиковых цилиндрических оболочек // Механика конструкций из композиционных материалов. — Киев: Наук. думка, 1977. — C. 110–118.
51. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и
оболочек с отверстиями. — М.: Машиностроение, 1981. — 191 c.
52. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3 томах. —
М.: Машиностроение, 1968.
53. Расчет критических напряжений неравномерно нагретых по толщине цилиндрических оболочек из композиционных материалов
при осевом сжатии // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. Вып. IV. — Жуковский: ЦАГИ, 1975. — C. 73–80.
54. Рикардс Р.Б., Тетерс Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. — Рига: Зинатне, 1974. — 312 с.
55. Сандвичевые конструкции // Справочник по композиционным материалам, кн. 2. — Пер. с англ. — М.: Машиностроение, 1988. —
C. 369–376.
56. Серов М.В. и др. Приближенное определение устойчивости трёхслойных цилиндрических стеклопластиковых оболочек при внешнем радиальном давлении // Труды МИХМ. 1975, вып. 60.
C. 77–80.
244
Список литературы
57. Смыков В.И., Иванов О.Н. Устойчивость осесимметрично нагретой стеклопластиковой цилиндрической оболочки при комбинированном нагружении осевой и радиальной нагрузками // М.:
Труды МИХМ. 1975, вып. 60. C. 16–24.
58. Старнс М.Л. Влияние кругового отверстия на выпучивание цилиндрических оболочек при осевом сжатии// Ракетная техника
и космонавтика (пер с англ.). — 1972. Т. 10, № 11. C. 96–104.
59. Степкин В.И., Сухинин С.Н. Экспериментально-теоретическое
исследование устойчивости вафельных оболочечных конструкций
с учетом параметров анизотропии // Ракетно-космическая техника: сер. 2. 1995, вып. 1. C. 89–101.
60. Сухинин С.Н. Изгиб и устойчивость балок, имеющих различные
модули упругости при растяжении и сжатии // Тонкостенные
конструкции из стеклопластиков. — Под ред. В. И. Королёва. —
М.: Дом техники, 1966. — C. 77–84.
61. Сухинин С.Н. Исследование НДС трёхслойных цилиндрических
оболочек при действии локальных нагрузок // Механика полимеров. 1975, № 2. C. 300–305.
62. Сухинин С.Н. Математические модели и критические параметры при исследовании устойчивости многослойных композитных
оболочек // Математические модели в образовании, науке и промышленности. — СПб., 2003. — C. 210–214.
63. Сухинин С.Н. Математическое моделирование при исследовании
устойчивости трёхслойных композитных оболочек и критерии
применимости математических моделей // Вестник ХНТУ. 2006,
№ 2 (25). C. 473–478.
64. Сухинин С.Н. Модели сопротивления и особенности поведения при потере устойчивости трёхслойных оболочек из КМ //
Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994, № 5.
C. 57–62.
65. Сухинин С.Н. Напряженно-деформированное состояние типа погранслоя в трехслойных оболочках из композиционных материалов // Механика композитных материалов. 1981, № 1. C. 87–92.
66. Сухинин С.Н. Некоторые особенности потери устойчивости трёхслойных оболочек из композитных материалов при кручении //
Механика композитных материалов. 1990, № 2. C. 305–311.
67. Сухинин С.Н. Рациональное соотношение между средствами физического и математического моделирования при экспериментальной отработке прочности изделий ракетно-космической техники // Космонавтика и ракетостроение. 2007, вып. 2 (47). C. 43–49.
68. Сухинин С.Н. Устойчивость трёхслойных и многослойных композитных оболочек. — М.: МГТУ «МАМИ», 2008. — 285 с.
69. Сухинин С.Н., Горохова И.А. Некоторые особенности исследования устойчивости при осевом сжатии стеклопластиковых
Список литературы
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
245
цилиндрических оболочек: от эксперимента к теории // Проблемы прочности и пластичности.. — Н. Новгород: ННГУ, 2000. —
C. 175–178.
Сухинин С.Н., Матвеева И.В. Задачи математического и физического моделирования при отработке прочности композитных
конструкций летательных аппаратов // Вестник ХНТУ, 2007, № 2
(28). C. 335–339.
Сухинин С.Н., Матвеева И.В. Устойчивость трёх- и многослойных сферических оболочек из композитов и критерии применимости математических моделей // Конструкции из композиционных
материалов. 2006, вып. 1. C. 16–25.
Сухинин С.Н., Микишева В.И. Устойчивость трёхслойных оболочек из КМ при совместном действии осевого сжатия и бокового давления // Механика композитных материалов. 1981, № 6.
C. 1035–1041.
Сухинин С.Н., Микишева В.И. Устойчивость цилиндрических
оболочек из стеклопластика с упругим заполнителем при действии осевого сжатия, внешнего давления и кручения // Механика полимеров. 1974, № 3. C. 484–489.
Сухинин С.Н., Микишева В.И., Смыков В.И. Экспериментальнотеоретические исследования устойчивости ортотропных оболочек
с заполнителем при осевом сжатии // Механика полимеров. 1978,
№ 3. C. 485–489.
Сухинин С.Н., Тащилова Г.Е. О влиянии внутреннего давления
на устойчивость композитных цилиндрических оболочек при осевом сжатии // Космонавтика и ракетостроение. 2008, № 4 (53).
С. 79–84.
Сухинин С.Н., Тащилова Г.Е. Сравнительный экспериментальнотеоретический анализ устойчивости композитных цилиндрических оболочек // Избранные проблемы прочности современного машиностроения: cб. науч. трудов, посвящённый 85-летию
чл.-корр. РАН Э.И. Григолюка. — М.: Наука, 2008. — C. 197–207.
Сухинин С.Н., Тащилова Г.Е. Экспериментально - теоретический
анализ устойчивости трёхслойных цилиндрических оболочек из
композитов при действии осевого сжатия // Конструкции из
композиционных материалов. 2007, вып. 2. C. 17–24.
Сухинин С.Н., Трошин В.П., Трошина Л.А. Исследование устойчивости трехслойных цилиндров при осевом сжатии // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1979, вып. 13.
C. 133–139.
Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. — М.: ГИТТЛ,
1955. — 568 c.
Тичман Ф., Вань Ч.-Т., Джеральд Дж. Устойчивость трёхслойных цилиндров при осевом сжатии // Мех. (сб. пер.). 1952, № 5
(15). C. 121–136.
246
Список литературы
81. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические
методы. — М.: Наука, Физматгиз, 1995. — 320 с.
82. Ушаков А.Е., Киреев В.А. Определение несущей способности
сжатых углепластиковых оболочек при отсутствии и наличии
концентраторов напряжений в условиях воздействия повышенной
температуры // Механика композитных материалов. 1988, № 2.
C. 299–305.
83. Фын Юань-чжен, Секлер Е.Е. Неустойчивость тонких упругих
оболочек // Упругие оболочки. — М.: ИЛ, 1962. — C. 66–150.
84. Эринген А. Устойчивость трёхслойного цилиндра при равномерном осевом сжатии // Мех. (сб. пер.). 1952, № 5 (15). C. 137–151.
85. Plantema F.J. Sandvich Construction. — Wiley N. J. 1966. — 193 p.
86. Seid P. The Stability under axial compression and lateral pressure of
circular-cylindrical shell with a soft elastic // J. Aerosp. Sci. 1962.
Vol. 29, № 7. P. 851.
87. Tennyson R.C. The Effects of Unreinforced Circular Cutouts on the
Buckling of Circular Cylindrical Shells Under Axial Compression //
Journal of Engineering for Industry. Vol. 90, Nov. 1968. P. 541–546.
Документ
Категория
Другое
Просмотров
99
Размер файла
1 727 Кб
Теги
403
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа