close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

410

код для вставкиСкачать
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
10
Г л а в а I. Заметки о некоторых основных понятиях. . . . . . . . . . . .
1. Развитие понятия материальной точки в моделях механики . . . . .
1.1. Классическое понятие материальной точки (17). 1.2. Модели
точки комплексной массы и точки переменной массы (18). 1.3. Модель термодинамической точки (19).
2. О понятиях скорости и ускорения материальной точки. . . . . . . . .
2.1. Скорость материальной точки и производная по времени её радиуса-вектора (21). 2.2. Об ускорении материальной точки (22).
3. К обоснованию принципа Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Из истории «силы» и «действия» (25). 3.2. О выводе принципа
Гамильтона из общего уравнения динамики (28).
4. О действии и противодействии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Основные задачи механики и третий закон Ньютона (33).
4.2. Принцип равновесия Даламбера и «даламберово равновесие» (35). 4.3. О силах инерции (37). 4.4. Интегральное
равенство действия и противодействия (41). 4.5. О лоренцовой
«силе торможения» (45).
5. Об энергии и действии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Склерономные и реономные системы (47). 5.2. Аналоги теоремы об изменении кинетической энергии реономных систем (48).
5.3. Теорема об изменении полной механической энергии (50).
5.4. Функция Гамильтона и уравнение энергии (51). 5.5. Теорема об изменении кинетического потенциала. Динамический смысл
обобщённой силы для времени (55).
6. Примеры величин, называемых «действие» . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Функционалы «действие» (57).
6.2. Функции «действие» (60).
17
17
Г л а в а II. Заметки о способах виртуального варьирования . . . . . .
7. О дифференцировании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Дифференцирование функции при неявной зависимости от параметров (62). 7.2. Вариационная производная (65).
8. Некоторые приёмы и способы варьирования . . . . . . . . . . . . . . . .
21
25
33
47
57
62
62
66
4
Оглавление
8.1. Синхронные вариации (66).
8.2. Асинхронное варьирование (66). 8.3. Варьирование по Гельмгольцу (68). 8.4. Расширенное варьирование по Гельмгольцу (69). 8.5. Вариации в скользящих режимах реализации связей (69).
9. Уравнения для виртуальных вариаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.1. Уравнения для виртуальных вариаций при неголономных
связях (71). 9.2. Виртуальное варьирование связи, представляющей огибающую (73). 9.3. О варьировании уравнения связи
при двух независимых переменных (74). 9.4. О неравенствах для
виртуальных перемещений при неудерживающих связях (74).
10. О применении неопределённых множителей . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1. «Заметка о равновесии упругой нити» (М. В. Остроградский) (75). 10.2. Неопределённые множители в задачах на экстремум функции (77). 10.3. О представлении реакций идеальных
связей (79). 10.4. Неопределённые множители при скользящем режиме (80). 10.5. О неопределённых множителях при варьировании
функционалов (82). 10.6. О неопределённых множителях в других
задачах (83).
11. О принципе Герца. Принцип наименьшей кривизны . . . . . . . . . . . 84
11.1. Принцип прямейшего пути Герца (85). 11.2. Некоторые направления развития принципа прямейшего пути (90). 11.3. Принцип наименьшей кривизны (91).
12. О принципах несвободных динамических систем. . . . . . . . . . . . . 94
12.1. Принцип освобождаемости по Четаеву (94). 12.2. Свойство
идеальности. Общее уравнение несвободных динамических систем (95). 12.3. Принцип наименьшего отклонения (97). 12.4. Общее уравнение динамики систем с вероятностными связями (98).
12.5. Принцип освобождаемости для динамических систем (99).
13. О применении вириалов. Центральное вириальное равенство. . . . . 102
13.1. О вириале количеств движения и вириале системы сил (102).
13.2. Центральное вириальное равенство (103).
Г л а в а III. Об интегральных принципах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14. Центральное интегральное равенство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1. Центральное уравнение Лагранжа при асинхронном варьировании (106). 14.2. Центральное интегральное равенство (107).
14.3. Об изменении действия по Гамильтону и действия по Лагранжу при синхронном и асинхронном варьировании (108).
15. О принципе Гамильтона–Остроградского в теории реономных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1. Принцип Гамильтона–Остроградского (111). 15.2. Асинхронное варьирование действия вспомогательной склерономной системы (111). 15.3. Расширенный принцип Гамильтона–Остроградского (113).
16. Обобщение интегрального принципа Гёльдера . . . . . . . . . . . . . .
16.1. Применение варьирования по Гельмгольцу при выводе принципа Гёльдера (118).
16.2. Частные формы принципа (119).
16.3. Новое обобщение принципа Гёльдера (120).
106
106
111
118
Оглавление
17. Вириальный интегральный принцип. Интегральный принцип
для систем Четаева–Румянцева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1. Вириальный интегральный принцип (121).
17.2. Интегральный принцип для систем Четаева–Румянцева (122).
17.3. Интегральный принцип изменяемого действия для систем
Четаева (125).
18. Заметка об евклидовом действии (Э. и Ф. Коссера) . . . . . . . . . . .
18.1. Аксиомы об однородности и изотропности пространства (127). 18.2. «Евклидовское действие деформации» (128).
18.3. Евклидовское действие и натуральные системы (129).
19. О принципе Гамильтона–Остроградского при импульсивных движениях динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1. Постановка задачи. Потенциал ударных импульсов (132).
19.2. Функционал «действие» и условия его стационарности (134).
19.3. Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана (136). 19.4. Об
оптико-механической аналогии для движений с ударами (138).
20. Об интегральных равенствах для неголономных систем . . . . . . . .
20.1. Интегральные равенства Гёльдера, Воронца и Суслова (142).
20.2. О вариационной форме интегрального принципа для неголономных систем (144).
5
121
127
132
142
Г л а в а IV. Решение прикладных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
21. Модель динамики системы «жёсткое колесо — деформируемый
рельс» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.1. Механическая схема (146). 21.2. Действие (147). 21.3. Анализ связей (149). 21.4. Интегральный принцип. Уравнения движения системы (150). 21.5. Стационарный режим движения системы (152).
22. О качении деформируемого колеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.1. Механическая схема (156). 22.2. Вариация функционала
«действие» (158).
22.3. Уравнения для определения формы
кольца (159). 22.4. Условия на границе зоны контакта (160).
22.5. О сопротивлении качению (161).
23. О квазистатическом скольжении нагрузки на деформируемом
стержне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.1. «Энергетический парадокс» (162). 23.2. Схема взаимодействия. Выражение действия деформации (163). 23.3. Энергетические соотношения (165).
24. К оценке частот поперечных колебаний стержня . . . . . . . . . . . . .
24.1. Формула и теорема Релея. Формула Граммеля (165).
24.2. Оценка точности определения частоты колебаний по форме
изгиба (168). 24.3. Учёт продольных сил инерции (169).
25. Об устойчивости равновесной формы стержня при изгибе. . . . . . .
25.1. Задача Эйлера (170). 25.2. Функционалы потенциальной
энергии (171). 25.3. Уравнения равновесных форм оси стойки (172). 25.4. Уравнения смежных форм равновесия. Условие
устойчивости прямолинейной формы (173). 25.5. О применении
146
156
162
165
170
6
Оглавление
энергетического метода в задаче об устойчивости формы изгиба
стержня (174).
26. Уравнения движения систем с линейным деформируемым элементом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.1. Уравнения движения однородной цепи (177). 26.2. Модель
движения гибкого элемента волнового редуктора (180).
27. К динамике раскрытия поверхности космического паруса . . . . . . .
27.1. Описание процесса раскрытия поверхности паруса. Допущения и приближённые соотношения (182).
27.2. Вывод
уравнений движения оболочки в процессе её развёртывания (185).
27.3. О форме равновесия вращающейся отражающей поверхности (190).
28. О влиянии гистерезиса податливой опоры на сферическое движение
тела, несущего маховик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.1. Механическая схема. Общее уравнение динамики системы (192). 28.2. Уравнения движения оси маховика (линейная
модель) (195). 28.3. О влиянии гистерезиса на устойчивость
движения оси маховика (195). 28.4. Влияние гистерезиса на
вынужденные периодические колебания (196).
29. Построение периодического решения системы с малым параметром
29.1. Приведение динамической системы Е. Лоренца к форме систем Н. Четаева (199). 29.2. Несвободная система Четаева (200).
29.3. Условия периодичности движения (200).
30. Об энергии в динамике точки переменной массы (в первой задаче
Циолковского). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.1. О моделях точки переменной массы (202). 30.2. Кинетическая энергия и работа реактивных сил в системе «ТПМ — изменяющая масса» (203). 30.3. О внутренней энергии ракеты (206).
Г л а в а V. Принцип предикативности. Некоторые свойства гамильтоновых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31. О понятии «предикативность» в математике и механике . . . . . . . .
31.1. Краткая характеристика понятия «непредикативность» (208).
31.2. «Определимость» и «предикативность» понятий и правил соответствия по А. Пуанкаре (210). 31.3. Аксиома сводимости Рассела. Примеры (216).
32. О преобразовании времени и функции Гамильтона в склерономных
системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.1. Лемма Уинтнера для гамильтоновых систем (221).
32.2. Применение леммы Уинтнера и «обращение» времени (223).
32.3. Свойство взаимности гамильтонианов (224).
33. Интегральные инварианты и гамильтонова форма уравнений движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.1. Основной и универсальный классические интегральные инварианты гамильтоновых систем (225). 33.2. Задача о гамильтоновой
форме уравнений, имеющих инвариант (226). 33.3. О приведении уравнений движения динамической системы к гамильтоновой
форме (227).
177
182
192
199
202
208
208
221
225
Оглавление
7
34. Об однородных свойствах гамильтонова действия . . . . . . . . . . . . 232
34.1. Определение квазиоднородной функции (232). 34.2. Об однородности гамильтонова действия (233).
35. О реализации реакций и реализации связей . . . . . . . . . . . . . . . . 234
35.1. Идеальные связи и идеальные реакции (234). 35.2. Определение реакций как решение задачи особого оптимального управления (235).
Г л а в а VI. Принцип инерционности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36. Масса и принцип инерционности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37. К задаче о собственном энергоресурсе гравитирующей массы . . . .
37.1. Две схемы формирования гравитирующего тела из бесконечно
удалённой массы (249). 37.2. Эффективный собственный энергоресурс массы, из которой формируется шар (252).
38. Об инерционности при релятивистском ограничении скорости . . . .
38.1. О наблюдении инерционных свойств (255). 38.2. О массе
и энергии в системе из двух тел (256). 38.3. Кинетический потенциал частицы и её собственного поля (259). 38.4. Предварительные заключения (262).
238
239
248
255
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Предисловие
По предложению редакции весь прежний материал оставлен без
изменений, но в некоторые заметки первого издания включены дополнительные пункты. Новые заметки вошли в главу IV «Решение
прикладных задач», составили главу V «Принцип предикативности.
Некоторые свойства гамильтоновых систем» и главу VI «Принцип инерционности».
На характере изложения и тематике заметок отразились новые
впечатления от работ А. Пуанкаре, 150-лет со дня рождения которого
отмечалось в 2004 году. А. Пуанкаре считал, что при кризисе всех
основных принципов физики в начале XX века «пока остаётся вне
сомнений принцип наименьшего действия. . . он является более общим
и неопределённым» (курсив наш). С этими качествами связана предикативность понятий (правил, отношений, доказательств), что является
существенным не только в логике, но, по-нашему мнению, и в теории
механики. По-видимому, в математике первым рассматривал определимость и предикативность именно А. Пуанкаре. Одной из ключевых
в механике и физике по-прежнему остаётся проблема инерционности
и гравитации, но теперь принцип инерционности приобретает новую,
более общую форму.
При работе над вторым изданием книги авторы имели финансовую поддержку в рамках научных программ ФЦП «Интеграция»
и НП «Университеты России».
Посвящается памяти наших родителей
Предисловие к первому изданию
Книга написана в форме собрания заметок. В их число входят
некоторые классические результаты с нашими комментариями, содержание ряда докладов, с которыми авторы выступали на конференциях
и семинарах, а также статей в части, относящейся к рассматриваемым
методам. Заметки логически связывает между собой близость тематики обсуждаемых вопросов, они сгруппированы по принадлежности
к двум методам: виртуального варьирования и переменного действия.
Эти методы образуют основу аппарата аналитической механики и используются также в небесной механике, механике сплошных сред,
некоторых разделах теоретической физики, математической физики,
ряда направлений математики и т. д.
В теоретической механике содержание работы было бы отнесено
к разделам «Дифференциальные принципы механики» и «Интегральные принципы механики». Здесь мы рассматриваем метод виртуального
варьирования и метод переменного действия как дополняющие друг
друга и составляющие общий аналитический подход, который является
концептуальным для естествознания. На примере механических систем
изучается изменение действия в результате применения виртуального
варьирования, при котором из рассмотрения исключаются реакции
идеальных связей. Таким образом, создаётся своего рода «инструмент»,
освоение которого необходимо для учёта ограничений при исследовании несвободных динамических систем.
Надеемся, что наши «Заметки» будут полезны при изучении механики.
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Интеграция»
и Конкурса грантов по фундаментальным исследованиям в области
технических наук.
Введение
Заметки объединяет аналитический подход, основанный на применении двух взаимосвязанных методов: метода виртуального варьирования и метода переменного действия. Основы этих методов являются
составной частью содержания современных курсов теоретической механики [30, 39, 62].
Метод виртуального варьирования возник вместе с принципом «возможных» перемещений (принципом виртуальных скоростей Лагранжа
(J. L. Lagrang)) и принципом Даламбера (J. d’Alembert) при объединении их в единый принцип Даламбера–Лагранжа, дающий общее
уравнение аналитической механики. С использованием понятия «возможных перемещений» задаются реакции связей, в частности с помощью известного критерия идеальности связей. Принцип «возможных»
перемещений вначале применялся при решении задач статики как
необходимое условие равновесия. Достаточность принципа виртуальных скоростей для равновесия могла быть доказана только в теории,
описывающей движение, так как «под виртуальной скоростью следует
понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово
принять в тот момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость,
какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения. . .» [51]. Здесь мы вместо термина «возможное перемещение» предпочитаем пользоваться термином «виртуальное перемещение», чтобы
избежать терминологического противоречия, указанного М. В. Остроградским [79]: при нестационарных связях виртуальные перемещения
в общем случае не являются возможными в смысле физической реализации (иначе получилось бы, что «возможные перемещения» не
являются возможными). Термин «виртуальные вариации» применяем,
следуя авторам работ [74, 101], чтобы подчеркнуть, что варьирование
производится в соответствии с требованиями, налагаемыми на виртуальные перемещения. Совокупность способов получения виртуальных
вариаций, правила выбора множества последних и условия их применения составляют метод виртуального варьирования.
Метод виртуального варьирования является непременной составной
частью дифференциальных и интегральных принципов механики на
основе интегралов, называемых «действие».
Исследование роли интегрального принципа стационарного
действия в развитии физики имеется в работе [87]. Гамильтон
(W. R. Hamilton), занимаясь задачей объединения оптики и механики
в единой математической схеме, задачу динамики свёл к задаче отыс-
Введение
11
кания и дифференцирования характеристической функции V движения
системы (действия). «Уравнение, выражающее фундаментальный закон
вариации V , мы назовём уравнением характеристической функции или
законом переменного действия» (цитата по кн. [87]) (курсив наш).
Приёмы и способы изменения действия с целью выявления свойств
движения составляют метод переменного (варьируемого) действия.
В частных случаях движения систем обнаруживается, что действие
имеет стационарное значение и может иметь максимум или минимум.
Тогда говорят о принципе стационарного действия или о принципе
наименьшего действия.
В общем случае метод позволяет вскрыть важные свойства движений путём сравнения их не только с возможными, но и с невозможными (перефразированное высказывание Эддингтона в отношении
принципа Гамильтона [87]). Такая широкая свобода сравнений открывает целый спектр направлений исследования интегральных свойств
движения на базе современных методов неголономной механики [101],
обратных методов аналитической динамики, движения систем Гельмгольца, Биркгофа, Намбу [24], конструктивного подхода к реализации
связей [44] и других приложений математической теории в современном естествознании. Постоянно происходит расширение области применения метода. Он применяется для описания систем с распределёнными параметрами, используется в динамике систем с деформируемыми элементами, систем, обладающих термодинамическими свойствами,
систем со случайными связями и т. д.
Процесс развития и применения рассматриваемых методов со времён Мопертюи и до наших дней сопровождается критическими высказываниями в их адрес. По поводу принципа наименьшего действия
Пуассон (S. D. Poisson, 1838) писал: «Если сравнить принцип наименьшего действия с законом живых сил, с законом сохранения центра
тяжести и законом площадей, то мы увидим, что принцип наименьшего
действия является лишь правилом для составления дифференциальных уравнений, являющимся ныне бесполезным. . .» [87] (курсив наш).
Ответ на критику Пуассона дала история, показав, что метод переменного действия даёт правило составления уравнений процессов и вне
классической механики. Известны критические высказывания Герца,
ошибка Линделёфа в составлении с помощью принципа Гамильтона
модели движения системы при наличии дифференциальных связей.
В последнее время критике подверглись некоторые математические
модели механических систем с дифференциальными связями (модели,
получаемые с помощью принципа Гамильтона) [126]. В частности,
«неприемлемость» некоторых новых моделей механики в некоторой
мере обусловлена неприятием представлений о «реализации связи».
Здесь мы также изучим модели с различными способами «реализации
связи» и заметим, что этот термин входит в состав «гипотезы о реализации допустимых связей» в формулировке достаточности принципа
12
Введение
Даламбера–Лагранжа [25]. Термин, оставляя возможность отвлечься
от способа реализации в случае идеальных связей, наполняется новым
содержанием при появлении новых моделей. В частности, модель системы с идеальными связями может быть получена как предел различных
последовательностей моделей, в которых рассматриваются конкретные
силовые поля, участвующие в создании сил, являющихся реакциями.
Для «конструктивных» способов реализации связей [44] требуется
обобщение представления о виртуальных перемещениях и расширение
сферы применения изучаемых методов. Заметим, что известная [119]
«некорректность Пуанкаре в постановке задачи о теории возмущений»
также может быть устранена с помощью конструктивного построения
физических моделей.
Отрицание новых результатов или неправильное понимание как
старых, так и новых результатов, а также неоправданное ограничение
развития понятий и т. д. часто имеют объяснение в сфере методологии.
Возникает подобная критика из-за неприятия её авторами одной простой, но важной, по нашему мнению, методологической схемы развития
естественнонаучного знания. По этой схеме некая первичная модель
используется при обосновании более общей модели, в которой первичная является частным случаем (получаемым при некоторых условиях
согласно принципу соответствия). Указанная схема может характеризовать взаимоотношение теорий (например, квантовой и классической
механики). «Квантовая механика занимает очень своеобразное положение в ряду физических теорий: она содержит классическую механику
как свой предельный случай и в то же время нуждается в этом
предельном случае для самого своего обоснования» [54]. Связующим
элементом этих механических теорий является «действие». Добавим
также, что описанная ситуация является типичной.
В приведённую выше схему (в несколько более сложном варианте
для физико-математических моделей, когда речь идёт как о физических
свойствах, так и об их математическом описании) укладывается и развитие отдельных понятий. Уточнение смысла основных применяемых
понятий дано в заметках первой главы работы. Дано обобщение понятия материальной точки (заметка 1), рассмотрены понятия скорости
и ускорения (заметка 2), обсуждается соотношение виртуальных перемещений и вариаций, используемых в дифференциальных и интегральных принципах (заметка 3). Закон Ньютона о действии и противодействии получен как следствие принципа равновесия Даламбера и второго закона Ньютона. Прослеживается логическая цепь, соединяющая
принцип равновесия Даламбера с уравнениями «даламберова равновесия», использующими понятие о силе инерции. Предложено описание
взаимодействия в форме интегрального равенства (заметка 4). Обсуждаются аналоги теоремы об изменении кинетической энергии для
реономных систем и место функции Гамильтона в уравнении энергии
Введение
13
(заметка 5). Приводятся примеры функционалов и функций «действие»
различного физического смысла (заметка 6).
Содержание второй и третьей глав составляет разработка двух
взаимосвязанных методов: метода виртуального варьирования и метода
переменного действия.
Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким
путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала «действие» увязывается с физическим смыслом
учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7
о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его
расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается
составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи;
связи, представляющей огибающую; связи, зависящей от двух независимых параметров; неравенства для виртуальных перемещений при
неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского «Заметка о равновесии упругой нити», написанная им по
поводу одной известной классической ошибки Лагранжа; в других
пунктах рассматривается использование неопределённых множителей
при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение
принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными
связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных
движениях; составлено общее уравнение несвободных динамических
систем, основные уравнения «немеханической» части которых имеют
первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения
которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство
(заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа.
Практическое применение интегральных принципов происходит через составление интегральных равенств, получаемых методом переменного действия. Классические примеры таких равенств дают интегральный принцип Гамильтона–Остроградского и интегральные принципы
для неголономных систем.
В методе переменного действия развивается подход, состоящий
в использовании способов синхронного, асинхронного варьирования
и варьирования по Гельмгольцу. Среди полученных интегральных равенств (заметки 14–17): центральное интегральное равенство, составленное на основе центрального уравнения Лагранжа при асинхронном
14
Введение
варьировании; обоснование аналога принципа Гамильтона–Остроградского в теории реономных систем; новое обобщение принципа Гёльдера, интегральный вириальный принцип и принцип систем Четаева–
Румянцева, содержащих так называемые термодинамические точки,
и т. д. В заметке 18 приведены требования, полученные Э. и Ф. Коссера к форме евклидового действия деформации на изменяемую линию. Применению интегральных принципов при движениях с ударами
и в неголономных системах посвящены заметки 19, 20.
В качестве примеров приложения разрабатываемой теории анализируются (гл. IV) модели механических систем, содержащих абсолютно
твёрдое тело и одномерный деформируемый элемент (стержень, нить).
Модели динамики конкретных механических систем составлены с учётом замечаний Э. и Ф. Коссера в отношении формы евклидового действия, замечаний М. В. Остроградского о применении неопределённых
множителей при наличии условных уравнений и т. д.
Полученные результаты исследования динамики конкретных механических систем имеют, на наш взгляд, самостоятельный прикладной
интерес. В задаче о движении системы «жёсткое колесо — деформируемый рельс» (заметка 21) обнаружено некое псевдоскольжение (на пройденном пути действительное число оборотов колеса меньше, чем геометрическое число оборотов). В отличие от известного классического
крипа (creep) [136], обусловленного продольными деформациями основания и (или) периферии колеса, причиной псевдоскольжения является
поперечная деформация изгиба. В динамике колеса с деформируемым
ободом (заметка 22) наблюдается эффект диссипации, являющийся
причиной сопротивления качению. Свойства деформируемого стержня
изучаются в заметках 23–25. Рассматривается схема перспективного
волнового редуктора.
Основные связующие темы сохранились и для дополнительного
материала, включённого во второе издание. Кинетическая энергия,
кинетический потенциал и действие применяются при исследовании
динамики общих и специальных систем. В их числе: реономные системы (п. 5.5); динамические системы (п. 12.5) и системы Четаева
(п. 17.3), (заметка 29); системы с неевклидовым действием (п. 18.3);
системы с распределёнными параметрами — стержень в задаче об
устойчивости его формы (п. 25.5) и развёртываемая центробежными
силами в космосе поверхность (заметка 27); система с диссипацией
энергии за счёт гистерезиса в опоре (заметка 28); система переменного состава (заметка 30); гамильтоновы системы (заметки 32–35);
системы, включающие бесконечно удалённые гравитирующие массы со
сферической симметрией и инерционные объекты, нарушающие общую
симметрию (заметки 36, 37); система, состоящая из релятивистской
частицы и её собственного поля (заметка 38).
Общими являются вопросы учёта ограничений и взаимодействий.
Предложен принцип освобождаемости от связей для динамических
Введение
15
систем (п. 12.5), включающих в себя как частный случай системы
Четаева. Распространение классического принципа освобождаемости
соответствует последовательному включению: классические механические системы — системы Четаева (механическая часть и «немеханическая» часть) — динамические системы, описываемые обыкновенными
дифференциальными уравнениями. Свойство идеальности связей формулируется как результат расширенного применения гипотезы Гаусса
о мыслимых движениях механической системы (и виртуального варьирования по Лагранжу–Остроградскому). Применение принципа и свойство идеальности продемонстрированы на примере построения периодического решения системы с малым параметром (динамическая система
Лоренца, преобразованная к форме системы Четаева, при наложении
связей) (заметка 29). Неголономной связью является релятивистское
ограничение скорости (сочетание свойств «свободная релятивистская»
частица противоречиво).
Тесно связаны проблема инерционности и проблема гравитации,
становящаяся всё более злободневной по мере её осознания. Предложение Э. Маха [64] по расширению аксиоматики Ньютона за счёт
бесконечно удалённых масс учитывается при исследовании инерционности механического движения в форме принципа, названного принципом изменения нарушения симметрии (заметка 36) (аналог известного
«спонтанного нарушения симметрии» при наблюдениях массы элементарных частиц). Нарушение симметрии — исходная посылка появления
так называемого гравитационного парадокса [75]. Обсуждается задача
вычисления энергоресурса бесконечно удалённых масс, из которых
при наличии закона тяготения Ньютона в мысленных экспериментах
формируется тело конечных размеров (шар) (заметка 37). Составлен
кинетический потенциал системы: релятивистская частица — собственное поле, обладающее инерционными свойствами (заметка 38).
Может показаться, что заметка 31 не относится к рассматриваемому методу. Однако это только на первый взгляд. Более того, рекомендуем ознакомиться с заметкой 31 прежде, чем с остальными, так
как в ней обсуждается предикативность понятий (правил, отношений,
доказательств) — свойств, универсальных для логики, математики
и естествознания. В заметке содержатся практически весь доклад
А. Пуанкаре [91], наши комментарии и примечания, представляющие
собой размышления и попытку лучше понять требования научной
строгости на примерах. Механика весьма подходящий предмет для выработки отношение к научным результатам, получаемым в мысленных
экспериментах с бесконечно удалёнными массами, с применением виртуального варьирования, интегральных принципов и интегральных инвариантов. Первооткрыватель интегральных инвариантов — А. Пуанкаре — широко пользовался принципом наименьшего действия и внёс
свой вклад в его развитие. В то же время он высказывал и свою
неудовлетворённость формой принципа: «Самая формулировка принци-
16
Введение
па наименьшего действия имеет в себе нечто, неприятно поражающее
наш ум. При переходе от одной точки к другой материальная частица,
не подверженная действию какой-либо силы, но подчинённая условию
не сходить с некоторой поверхности, движется по геодезической линии,
т. е. по кратчайшему пути. Эта частица как будто бы знает ту точку,
куда её желают привести, предвидит время, которое она затратит,
следуя по тому или иному пути, и наконец, выбирает путь, наиболее
подходящий. В такой формулировке принципа частица представлена
нам как бы одушевлённым существом, обладающим свободой воли.
Ясно, что следовало бы заменить эту формулировку другой, более подходящей, в которой, выражаясь языком философа, конечные причины
не становились бы явным образом на место причин действующих» [94].
Очевидно, что это не критика принципа изменяемого действия,
а скорее, желание его усовершенствовать.
Заметки могут читаться независимо друг от друга, имеющиеся
ссылки на формулы из других заметок снабжены двойной нумерацией.
Заметки дополняют тематику учебных пособий, написанных с участием авторов [13, 108, 114].
Глава I
ЗАМЕТКИ О НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ
ПОНЯТИЯХ
1. Развитие понятия материальной точки
в моделях механики
В истории механики можно выделить исследования, в которых
вводятся расширения классического понятия материальной точки: точка комплексной массы, точка переменной массы, термодинамическая
точка. Для объяснения свойств последней здесь предлагается использовать гипердействительные числа.
Известно, что объекты (в том числе идеальные, являющиеся математическими моделями) проявляются только через отношения (в виде физических взаимодействий, установленных качественно и количественно с помощью математики). Отношения же и свойства зависят
от системы, в которую объект входит как элемент [50]. Реальные
физические системы и отношения изучает физика, а идеальные свойства описываются на языке математики (аналогичная ситуация имеет
место и в других естественных науках). Поэтому возникновение (и развитие) научного понятия сопровождается, условно говоря, созданием
(и обновлением) «словарей» (терминологических и толковых), которые
позволяют осуществлять «переводы» результатов физических экспериментов и наблюдений на язык математики и обратно. В качестве
примера обсудим развитие понятия материальной точки в дискретных
механических системах (неквантовых, нерелятивистских).
1.1. Классическое понятие материальной точки. Понятие материальной точки в классической механике сохранилось со времён
Галилея и Ньютона до наших дней практически в неизменном виде:
положение определяется геометрической точкой в трёхмерном евклидовом пространстве (пространстве R3 ), а масса описывается с помощью
трёхстолбцового словаря (см. табл.) [137].
В процессе развития понятия записи в «словаре» могут уточняться,
таблица может расширяться за счёт столбцов, где указывалась бы
система, в которой используется модель материальной точки, а также
решаемая задача (проводимое исследование). Даже условие «изолированности» материальной точки в законе инерции Галилея (первый
закон Ньютона) предполагает упоминание об инерциальной системе
отсчёта, что указывает на возможность пополнения словаря информацией о новых физических явлениях, соответствующих математиче-
18
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
ским моделям пространства и времени (в последнее время открыты
реликтовое излучение, являющееся наилучшим из известных ныне
приближений к инерциальной системе координат, и атомные эталоны
Таблица
Наименование
понятия
Математические
понятия
Физические понятия
1
2
3
Масса
Положительное
число (m)
Количество вещества в теле. Мера сопротивления тела изменению скорости.
Мера способности тела гравитационно
притягивать другое тело.
времени). В первом столбце таблицы также неявно фигурирует гипотеза о тождестве инерционной и тяготеющей масс. Схему словаря для
классического понятия материальной точки примем за основу, отмечая
новые свойства более общих терминов.
1.2. Модели точки комплексной массы и точки переменной
массы. Потребность в понятиях точка комплексной массы и точка
переменной массы возникла при решении конкретных задач динамики
некоторых механических систем.
Примером применения комплексных чисел для описания массы является представление нецентрального гравитационного поля в задаче
о движении искусственного спутника [33]. Классическая задача двух
центров в небесной механике (Эйлер, Н. Е. Жуковский [38]) в случае
комплексных масс двух притягивающих центров принимает обобщённую трактовку. Отметим, что комплексные массы вводятся одновременно для двух точек и используется комплексное пространство C 3,
в котором для вычисления «расстояния» принято эрмитово скалярное
произведение. Ограничения на комплексные числа выводятся из требования, чтобы силовая функция
U=
μm1
μm2
+
,
r1
r2
где μ — гравитационная постоянная Гаусса (μ = f m, f — универсальная гравитационная постоянная), m1 и m2 — массы неподвижных
притягивающих центров M1 и M2 , а r1 и r2 — расстояния от них до
пассивно гравитирующей массы m, имела действительные значения.
Для этого массы притягивающих центров представляются комплексными сопряжёнными числами, а «расстояния» от них до точки с массой m
имеют вид
ri = x2 + y 2 + (z − ci )2 , i = 1,2.
Здесь c1 и c2 — комплексные сопряжённые числа.
1. Развитие понятия материальной точки в моделях механики
19
Точка переменной массы (A. Cayley, И. В. Мещерский) — термин,
используемый для определения некоторых моделей систем переменного
состава. История развития этого направления динамики рассмотрена
в работах Г. К. Михайлова (см., например, [69]). Заметим, что даже
при малых размерах системы, когда её положение может быть задано
одной геометрической точкой, определение «материальная точка переменной массы» может служить источником ошибочного учёта внешних
сил. Если силы приложены к материальной точке, то они аксиоматически эквивалентны одной равнодействующей. Однако для точки
переменной массы такой вывод в общем случае сделать нельзя, так
как внешние силы могут быть приложены к разным материальным точкам, составляющим точку переменной массы (например, «уходящей»
и «остающейся»), даже если эти материальные точки представлять находящимися в одном и том же геометрическом месте. Анализ подобных
моделей имеется в работе [13].
Для описания массы материальной точки в рассматриваемых системах служат математические понятия: комплексное число и функция
времени.
1.3. Модель термодинамической точки. Сразу же отметим, что
при формировании понятия термодинамической точки отношение механики и термодинамики принимается в некотором смысле противоположным традиционному. Обычно термодинамические системы рассматриваются состоящими из материальных точек. «Точки», о которых идёт
речь, ввёл Н. Г. Четаев при формулировке своего принципа [128], наделив их термодинамическими свойствами. Затем В. В. Румянцев, обосновывая принцип Четаева, отметил, что изучается физическая система,
которая «состоит из совокупности физически малых материальных
частиц («точек»), рассматриваемых как термодинамические системы,
для каждой из которых определены механические понятия о положении и движении и физические понятия о внутреннем состоянии,
характеризуемые конечным числом величин, задаваемых числами —
определяющими параметрами» [103]. Для краткости каждую такую
«физически малую материальную частицу» будем называть термодинамической точкой.
Полагается, что каждая термодинамическая точка обладает свойствами материальной точки, и кроме того, характеризуется внутренней энергией, способностью к теплообмену (абсолютной температурой,
энтропией). Системы из термодинамических точек (названные в работе [14] системами Четаева–Румянцева) удобны для аналитического
исследования и являются обобщением чисто механических систем,
в которых тепловые процессы несущественны. Несмотря на имеющееся
внешнее оправдание существования таких объектов, нельзя считать
удовлетворительной суть данного понятия. Дело в том, что в нём присутствуют противоречивые свойства: детерминированное однозначное
20
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
определение положения точки и её вероятностные термодинамические
свойства (описываемые энтропией). Последние невозможно математически описать без раскрытия внутренней структуры термодинамической точки. Разъяснение возникшего противоречия даёт, на наш
взгляд, представление положения точки в пространстве, координатами
которого являются гипердействительные числа.
Основа противоречия состоит в том, что положение точки детерминированно и однозначно определено в том случае, если используется
пространство, координаты которого — действительные числа. В настоящее время в математике интенсивно развивается так называемый
нестандартный анализ (см., например, [119]). Один из его вариантов
основывается на рассмотрении поля гипердействительных чисел R∗,
представляющего собой неархимедово расширение поля действительных чисел R. (Напомним аксиому Архимеда: если |x| < 1/n, для
любого натурального n, то x = 0.) Поле R этой аксиоме удовлетворяет,
а поле R∗ — нет. Разница состоит в том, что, например, отрезки
[0, 1/n], n = 1, 2, ... , имеющие лишь единственное общее действительное число 0, содержат бесконечно много общих гипердействительных
чисел (которые все называются бесконечно малыми: 0 < λ < 1/n для
любого натурального n). «Числами» являются формальные ряды вида
a1 λρ1 + a2 λρ2 + ... ,
где a1 , ρ1 , a2 , ρ2 , ... — действительные числа; последовательность
ρ1 , ρ2 , ... — неограниченно возрастающая. К каждому действительному
числу поле гипердействительных чисел добавляет, как образно говорят,
«ореол» из бесконечно малых чисел. Отмеченные выше противоречия снимаются, поскольку появляются новые математические объекты
для описания внутренней структуры и дополнительных физических
свойств «точки».
В число определяющих параметров термодинамической точки, кроме массы, координат радиуса-вектора r и вектора скорости v, могут
входить переменные параметры μi и физические постоянные [103].
Изменение определяющих параметров в функции времени представляет собой некоторый процесс, включающий и механическое движение.
В определение термодинамической точки входит также описание возможных состояний и процессов, обусловленное её взаимодействиями
с другими телами.
Представление о массе, находящейся не только в точке, заданной действительным числом, но и «размазанной» по бесконечно малой окрестности (по её «ореолу»), расширяет понятие классической
материальной точки. Геометрическое пространство R∗ 3 для задания
положений массы позволяет более полно представить пространственные свойства понятий точки переменой массы и термодинамической
точки и даёт возможность применения их в математических моделях
механики (и других физических систем).
2. О понятиях скорости и ускорения материальной точки
21
2. О понятиях скорости и ускорения
материальной точки
Для формирования понятий скорости и ускорения был необходим
метод исчисления бесконечно малых, связанный с именами Ньютона
и Лейбница. Ньютон применяет его в важнейшем из своих произведений — «Principia» — только в неявной форме, и лишь спустя полвека
анализ позволил Л. Эйлеру систематически изложить механику в работе «Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим
методом», Петербург, 1736 г. (см. [132]). Современные представления
требуют для этих понятий ещё более сложного математического описания.
2.1. Скорость материальной точки и производная по времени
её радиуса-вектора. С помощью производной переменного радиусавектора r точки в современных учебниках по теоретической механике
вводится вектор скорости точки:
v(t) =
dr
.
dt
(1)
Сравним производную (1) с определением скорости, которое дал
Эйлер: «О всяком теле, которое движется, говорят, что оно имеет
быстроту или скорость, и эта скорость измеряется тем расстоянием,
которое тело, двигаясь равномерно, проходит в данное время» (определение 5, [132]). Далее Эйлер описывает условия мысленного эксперимента для измерения скорости: «Скорость, которую имеет движущееся
неравномерно тело в какой-либо точке проходимого пути, должна измеряться тем расстоянием, которое могло бы пройти в данное время тело,
движущееся равномерно с этой же скоростью» (следствие 2, [132];
курсив наш). Курсивом выделено указание Эйлера на виртуальность
событий 1), происходящих в последующие моменты времени.
Физический смысл, содержащийся в определении Эйлера, в формуле (1) отсутствует. Эта формула может быть использована только для движений, траектории которых являются кривыми класса C 1
(r — непрерывные дифференцируемые функции времени). Для нахождения скорости в данный момент времени требуется информация об
однозначном положении точки в момент времени t + dt , т. е. фактически в «будущем». Задача прогнозирования будущего положения
точки полагается фактически решённой в линейном приближении на
элементарном промежутке времени.
1)
Событие в классической механике характеризуется совокупностью определяющих координат и временем [137].
22
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
Отмеченные недостатки лишают скорость (1) статуса самостоятельной характеристики (независимой от действительного изменения
положения и изменения времени) 1).
Модификация определения (1) с помощью понятия об односторонних производных пригодна для некоторых движений, траектории
которых содержат угловые точки. Односторонние производные позволяют описывать движение, при котором в изолированных точках
траектории происходят удары (в числе основных аксиом теории стереомеханического удара — аксиома о конечном изменении скорости
при ударе). Однако уже в задаче о соударении двух тел при наличии
сухого трения в месте контакта для описания изменения скорости (при
фиксированном времени) составляются дифференциальные уравнения
относительно скорости v(N ) как функции монотонно возрастающего
импульса нормальной составляющей реакции в месте контакта (N )
(см., например, [113]).
В моделях точки переменной массы (системы переменного состава)
рассматриваются «непрерывные удары». При этом вектор относительной скорости «присоединяющейся» и (или) «отделяющейся частицы»
представляет собой усреднение по некоторому промежутку времени.
Точнее говоря, усредняется импульс, а это значит, что усреднение
происходит не только по времени, но и по пространственному распределению массы этих «частиц».
Современные представления о физическом смысле скорости материальной точки, используемые в понятиях кинетической и потенциальной
энергии, действия и других, требуют сопоставления им математических
объектов, называемых обобщёнными функциями (распределениями)
[99, 135]. Так, например, в интегральных принципах, использующих
выражение кинетической энергии, скорости v(t) — функции, интегрируемые не менее чем с квадратом, т. е. принадлежащие пространству
распределений L2 2). Если кинетическая энергия является локально
интегрируемой функцией, то ей однозначно сопоставляется (в случае
её существования) обобщённая функция.
2.2. Об ускорении материальной точки. После замечаний в отношении скорости становятся понятными трудности поиска [85] «ускорения — физической величины, характеризующей изменение скорости»
1)
Этот вопрос, по-видимому, относится к проблеме неопределённости
в классической механике [124] (подобной принципу неопределённости Гейзенберга в квантовой механике).
2)
Пространство L2 можно рассматривать как наименьшее полное пространство (пополнение относительно L2 -нормы), содержащее пространство C (2)
(C (2) — пространство непрерывных квадратично интегрируемых функций) [99].
2. О понятиях скорости и ускорения материальной точки
23
в виде производной по времени от (1):
w=
dv
d2 r
= 2.
dt
dt
(2)
Историку не удалось найти ни у Галилея, ни у А. М. Ампера, ни
у Лагранжа ускорение в форме (2). В своём исследовании формирования понятия ускорения И. Б. Погребысский отмечает: «Что касается картезианской механики, то она вообще обошлась без ускорения,
оперируя возрастанием импульса или скорости», а «введение понятия
ускорения как понятия «sui generis», подготовленное Галилеем, каково
бы оно ни было, осуществилось только после Лагранжа. И так как
было уже привычно понятие ускоряющей силы, то это прошло почти
незамечено, в процессе исследований, можно сказать само собой» (курсив наш).
Этот результат, по нашему мнению, не случаен, так как без ускоряющих сил в динамике физический смысл ускорения неясен. Формула (2) даёт чисто кинематическое представление об изменении «скорости» (1) в случае траекторий, принадлежащих кривым класса C 2.
Модели механического движения, в которых траектория не является кривой класса C 2, не единичны. Так, в динамике несвободных
систем рассматриваются последовательности моделей, в которых связь
реализуется бесконечно возрастающими силами (движение в «скользящем режиме»). Приведём примеры моделей, в которых возникают
такие режимы.
При бесконечном возрастании коэффициента жёсткости потенциальные упругие силы могут обеспечить условие голономной связи.
Движение с ограничением в виде уравнения, линейного относительно скорости, может рассматриваться как движение относительно
некоторой гипотетической проницаемой сплошной среды [67].
Как известно, в моделях гидромеханики [49] к воздействиям среды
на тело относят вязкие силы сопротивления движению и сопротивление изменению ускорения путём учёта инерционных свойств идеальной
жидкости с помощью присоединённых масс. Поэтому в качестве сил,
обеспечивающих условие связи, могут использоваться диссипативные
силы вязкого трения при бесконечно возрастающем коэффициенте вязкого трения, а также присоединённые массы, возрастающие до бесконечности [44].
В первом способе реализации связи при отклонении положения
точки от поверхности, заданной уравнением связи, создаются упругие
силы; во втором способе силы вязкого трения противодействуют «скорости деформации связи»; наличие присоединённых масс эквивалентно
действию сил, линейно зависящих от ускорения, поэтому третьим способом реализации связи обеспечивается противодействие «ускорению
деформации связи». Эти способы можно использовать в некоторых
сочетаниях. В результате движения принимают вид соответствующих
24
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
скользящих режимов [121], обеспечивающих заданную точность выполнения условий связи лишь на конечном интервале времени.
Вместо уравнения движения материальной точки в скользящем
режиме имеем дифференциальное включение [13]
mw ∈ Φ,
(3)
где m — масса материальной точки; Φ — множество допустимых
векторов (F + R), F — равнодействующая активных сил, а R —
равнодействующая сил реакции, приложенных к материальной точке.
Например, пусть в течение бесконечно малых промежутков времени Δt1 и Δt2 попеременно создаются ускорения w1 и w2 . Тогда
одним из способов выбора w является доопределение следующего вида
(рис. 2.1):
w = γw1 + (1 − γ) w2 ,
0 γ 1,
γ = lim
Δt1
,
Δt
Δt = Δt1 + Δt2 ,
Δt → 0,
где коэффициент γ находится из условия выполнения уравнения связи.
Рис. 2.1
Рис. 2.2
П р и м е р. Одномерная консервативная система двух материальных
точек (рис. 2.2) движется в потенциальном силовом поле с энергией
Π=
1
c(x1 − x2 − l)2,
2
где c и l — константы.
Изменение разности координат точек происходит по закону
2E
c
x1 − x2 = l +
sin
(t − t0 ) ,
c
E = T + Π = const,
μ
(4)
m1 m2
μ=
.
m1 + m2
Из (4) следует, что при c → ∞ потенциальные силы «реализуют»
связь |x1 − x2 | = l, а относительная скорость точек и относительное
ускорение равны нулю в среднем на периоде.
3. К обоснованию принципа Гамильтона
25
3. К обоснованию принципа Гамильтона
3.1. Из истории «силы» и «действия». В 1744 году Мопертюи для объяснения некоторых оптических и механических явлений
сформулировал «принцип наименьшего действия», в котором термин
«действие» используется в смысле «деятельности», и измеряется это
действие произведением mvs, где m — масса, v — скорость, s — путь,
пройденный телом. Суждение, расширяющее представление о действии, было высказано Даламбером в связи с происходившим в то
время спором о том, что считать «силой» (производящей «действие»)
при движении тела: импульс mv или живую силу Лейбница mv 2 ?
«Вся трудность . . . сводится к тому, чтобы определить, следует ли
измерять силу числом препятствий или суммой сопротивлений этих
препятствий. Может показаться более естественным измерять силу
именно последним способом . . . И тем не менее, поскольку в слове
сила не содержится никакого ясного и точного смысла, помимо соответствующего ей действия, я полагаю, что нужно каждому предоставить свободу решать данный вопрос по его усмотрению» [32] (курсив наш).
Эйлер, пользуясь равенством
mv ds = mv 2 dt,
(1)
т. е. при ds = v dt, показал, «что для кривой, описываемой брошенным
телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле в отдельные моменты времени, будет наименьшей» [133]. И как отклик на тогдашние
споры, Эйлер в этой же работе отметил: «. . .таким образом ни те,
кто полагает, что силы следует оценивать по самим скоростям, ни те,
кто — по квадратам скоростей, не найдут здесь ничего неприемлемого».
П р и м е ч а н и е. Термин «сила» в контексте приведённых цитат
классиков по своему смыслу отличается от современного применения этого термина. Однако можно отметить уместность его в данном
тексте и, что немаловажно, согласованность с понятием о действии.
Данную ситуацию можно сравнить (по этому поводу см. замечания
Бертрана [51]) с применением термина «сила» Лагранжем для обозначения ставших общепринятыми понятий обобщённых сил (набор
которых составляет ковектор для выбранного вектора обобщённых
координат).
Пусть движение материальной точки происходит в потенциальном
силовом поле. Обозначим
H = T + Π,
(2)
где T = mv 2 /2 — кинетическая энергия; Π — потенциальная энергия.
26
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
Перенесём слагаемое из правой части (1) в левую часть и воспользуемся равенством (2):
mv ds − (T − Π) dt = H dt.
Обозначив через L функцию Лагранжа:
имеем
или
L = T − Π,
(3)
mv ds − L dt = H dt,
(4)
mv ds − H dt = L dt.
(5)
После интегрирования равенства (5) на фиксированном промежутке
времени [t0 , t1 ] имеем
(mv ds − H dt) =
t1
(6)
L dt.
t0
Интеграл в левой части (6) является криволинейным по траектории
(в пространстве координат–времени) из начального положения в конечное. Интегралы в равенстве (6) называют действием по Гамильтону:
t1
б) S = (mv ds − H dt).
L dt,
а) S =
(7)
t0
Если при движении сохраняется полная механическая энергия, т. е.
H = T + Π = h = const,
(8)
то из (7) с учётом (8) имеем также
t1
S = −h(t1 − t0 ) + 2T dt,
S = −h(t1 − t0 ) +
t0
Интегралы
s1
mv ds.
(9)
s0
t1
s1
2T dt =
W =
t0
mv ds
(10)
s0
называются действием по Лагранжу. Исторически они использовались
раньше, чем было обосновано применение действия по Гамильтону (7)
в неконсервативном случае. Однако здесь нами принята иная последовательность с целью показать соотношения между действием по
Лагранжу и действием по Гамильтону в виде равенств (9). Заметим,
что при выводе первого из этих равенств с помощью интеграла энергии (8) в выражении функции Лагранжа произведена замена потенци-
3. К обоснованию принципа Гамильтона
27
альной энергии Π. Выражая кинетическую энергию, получим
t1
S = −h(t1 − t0 ) − 2Π dt.
(11)
t0
Последнее равенство показывает, почему Лагранж не называл свой
принцип принципом наименьшего действия: «рассматриваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от
момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда
они приходят в другие заданные точки, является максимумом или
минимумом. Следовательно, его с большим основанием можно было
бы назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы; эта
формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей как
для движения, так и для равновесия; . . . мы видели, что при прохождении положения равновесия живая сила всегда бывает наибольшей или
наименьшей» [51].
Принцип, будучи пригодным к задаче о равновесии, полезен, очевидно, и в случае квазистатических процессов, настолько медленных,
что можно пренебречь кинетической энергией, как, например, в задаче о квазистатическом нагружении стержня скользящей нагрузкой
(см. заметку 23).
Для системы материальных точек, положение которой задаётся
обобщёнными координатами qi (пространство конфигураций), в переменных Лагранжа qi , t, q̇i (q̇i — обобщённые скорости) действие по
Гамильтону имеет вид
t1
L(qi , t, q̇i ) dt,
q = (q1 , ... , qn ).
(12)
t0
При использовании переменных Гамильтона qi , t, pi (pi — обобщённые импульсы):
∂L
pi =
,
(13)
∂ q̇i
интеграл (7 б) примет следующую форму:
S=
pi dqi − H dt .
(14)
i
Интегралы, называемые «действие», используются в двух направлениях: для описания свойств движения и при составлении уравнений движения [51]. Интересна роль действия в теориях, граничащих
с классической механикой. Например, в обосновании взаимоотношения
классической и квантовой физики [54] действие используется как математический объект, позволяющий проводить квантование, а в перспективе — и вторичное квантование [106]. Понятие о действии является
основой утверждений в форме принципов.
28
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
3.2. О выводе принципа Гамильтона из общего уравнения динамики. Рассмотрим вывод [25] принципа Гамильтона–Остроградского для голономных систем с помощью общего уравнения динамики:
N
(Fk − mk r̈k )δrk = 0,
(15)
k=1
где Fk — векторы активных сил, приложенных к материальным точкам
с массами mk ; rk и r̈k — радиусы-векторы и ускорения материальных
точек с номерами k; δrk — виртуальные перемещения материальных
точек.
Как известно, общее уравнение динамики выражает необходимое
и достаточное условие для того, чтобы движение, совместимое с идеальными связями, соответствовало заданной системе активных сил.
Общее уравнение (15) справедливо в любой момент времени t и при
любых виртуальных перемещениях; рассматривается общее уравнение динамики вместе с уравнениями для виртуальных перемещений.
Из общего уравнения динамики следует столько уравнений движения,
сколько имеется независимых виртуальных перемещений (число последних называется числом степеней свободы системы). Совокупность
уравнений движения включает, кроме уравнений, получаемых путём
приравнивания нулю коэффициентов при независимых виртуальных
перемещениях в (15), также и уравнения связей.
В переменных Лагранжа qi , t, q̇i (i = 1, ... , n) общее уравнение
динамики (15) принимает вид
n
∂T
d ∂T
−
(16)
Qi +
δqi = 0,
i=1
∂qi
dt ∂ q̇i
где Qi — обобщённые силы, q̇i — обобщённые скорости, T (q , t, q̇) —
кинетическая энергия, выраженная через переменные Лагранжа.
Напомним, что виртуальные перемещения согласованы со связями
в том смысле, что являются «мысленными перемещениями» материальных точек из заданного при фиксированном времени действительного
положения при неизменных действительных скоростях. Следовательно,
при операциях, указанных в общем уравнении динамики, значения
кинетической и потенциальной энергии системы, а также силы (полагаемые зависящими только от состояния) остаются неизменными.
Пусть траектория действительного движения системы rk (t), k =
= 1, ... , N (и qi (t), i = 1, ... , n), включена в однопараметрическое сеrk (t, α) (аналогично qi (t, α)) и содержится в нём при
мейство кривых k и δq
i , равных разностям
α = 0 [25]. Тогда для вариаций δr
k = rk (t, α) − rk (t),
δr
k = 1, ... , N ,
i = qi (t, α) − qi (t),
δq
i = 1, ... , n,
(17)
3. К обоснованию принципа Гамильтона
29
имеют место такие же, как и для виртуальных перемещений δrk и δqi ,
соотношения:
n
k = ∂rk δq
i , k = 1, ... , N.
δr
i=1
∂qi
k при любом t можно подПоэтому вариации радиусов-векторов δr
ставить в (15) вместо виртуальных перемещений δrk . Учитывая имеющуюся в рассматриваемом случае перестановочность операций d/dt
и ∂/∂α (производная по параметру α используется при получении
вариации δ [25]), т. е.
d d
(18)
δ=δ ,
dt
dt
имеем преобразование
N
k= d
mk r̈k δr
dt
k=1
где
δT =
N
N
mk ṙk δṙk
k − δT,
mk ṙk δr
(19)
k=1
и
1
T =
2
k=1
N
mk ṙ2k .
(20)
k=1
При замене виртуальных перемещений вариациями радиусов-векторов виртуальная работа сил потенциального силового поля заменяется
Таким образом,
со знаком минус, т. е. −δΠ.
вариацией функции Π
вместо (15) получаем уравнение
+
δT − δΠ
N
k−
Fk δr
k=1
N
d k = 0,
mk ṙk δr
dt
(21)
k=1
где Fk — активные непотенциальные силы.
не вносит какойПрименение обозначений T и Π вместо T и Π
либо путаницы в выражения для действий, поэтому подынтегральные
выражения в действии обычно обозначают так же, как кинетическую
и потенциальную энергию соответственно. Значок «тильда» над вариацией, отличающий её от виртуального перемещения, также можно
опустить, но при этом вариации, удовлетворяющие тем же уравнениям,
что и виртуальные перемещения, называются виртуальными вариациями (см. введение). Результат преобразования (21) записывается
в следующем виде:
δT − δΠ + δ A −
N
d mk ṙk δrk = 0.
dt
(22)
k=1
Здесь δ A =
N
k=1
Fk δrk — виртуальная работа активных непотенциаль-
ных сил (на перемещениях, равных виртуальным вариациям). Штрих
у символа δ указывает, что результат математической операции не
30
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
всегда является результатом варьирования некоторой функции (но,
в частности, δ Π = δΠ).
Если перестановочное соотношение (18) не выполняется, то вместо (22) получаем [58] центральное уравнение Лагранжа:
N
N
d δT − δΠ + δ A +
mk ṙk (δrk )˙− δ ṙk −
mk ṙk δrk = 0. (23)
dt
k=1
k=1
После интегрирования обеих частей уравнения (22) по времени на
фиксированном промежутке [t0 , t1 ] имеем
t1
t1
δ L dt = − δ A dt +
t0
N
k=1
t0
t1
mk ṙk δrk .
(24)
t0
t1
Здесь означает разность значений при t0 и t1 .
t0
Если радиус-вектор при t0 и t1 не варьировать, т. е. начальное
и конечное положение считать фиксированными, то второй член
в правой части уравнения (24) равен нулю. При этом в отсутствие
непотенциальных активных сил из (24) следует условие стационарности действия по Гамильтону:
t1
δ L dt = 0
(25)
t0
при
δrk (t0 ) = δrk (t1 ) = 0,
(26)
или интегральный вариационный принцип Гамильтона.
С другой стороны, первое необходимое условие экстремума функционала (25) в переменных Лагранжа составляют уравнения Эйлера–
Лагранжа [58]:
d ∂L
∂L
−
= 0, i = 1, ... , n.
(27)
dt ∂ q̇i
∂qi
В случае, когда имеются непотенциальные силы, из (24) (при условии (26)) следует интегральный принцип Гамильтона:
t1
t1
δ L dt = − δ A dt.
t0
(28)
t0
Применение принципа Гамильтона для систем с нестационарными
связями обосновано М. В. Остроградским, поэтому свойство (28) при
условии (26) называют также принципом Гамильтона–Остроградского.
3. К обоснованию принципа Гамильтона
31
Из (28) следуют уравнения Лагранжа второго рода для голономных
i :
систем с непотенциальными обобщёнными силами Q
d ∂L
∂L
i ,
−
=Q
dt ∂ q̇i
∂qi
i = 1, ... , n.
(29)
Если составить функцию Гамильтона
H=
pi q̇ i − L ,
H = H (q , t, p)
(30)
i
(значок в виде дуги означает, что обобщённые скорости должны быть
выражены через переменные Гамильтона из равенств (13)), то из
условия стационарности действия (25) следуют уравнения в форме
Гамильтона:
∂H
∂H
q̇i =
, ṗi = −
, i = 1, ... , n.
(31)
∂pi
∂qi
В приведённом рассуждении немало недосказанного, вызывающего
вопросы, и различного рода ограничительных предположений.
1. Сразу же заметим, что это не «вывод», поскольку в условиях
принципа Даламбера–Лагранжа виртуальные перемещения рассматриваются при фиксированном состоянии и времени и никаких изменений
скоростей не допускается, так что кинетическая и потенциальная энергии при виртуальных перемещениях должны оставаться неизменными.
А что же тогда варьируется? Согласно Э. и Ф. Коссера [48], варьи
руется действие, в котором плотностями являются функции T и Π
(см. уравнение (21)) — действие движения и действие деформации
соответственно. Это не единственный случай, когда одна и та же
функция играет различные смысловые роли (см. ниже о двух ролях
функции Гамильтона).
2. Используется предположение о наличии свойства перестановочности (18) операций варьирования и дифференцирования по времени, т. е. виртуальные вариации считаются дифференцируемыми
функциями времени, и вариации скоростей равны этим производным.
В общем уравнении динамики в каждый момент времени виртуальные перемещения могут быть любыми из множества, определяемого
ограничениями, а в общем случае коммутатор dδ − δd двух дифференциальных операторов d и δ требует доопределения [74].
В отличие от операции d, операция варьирования δ выполняется
при фиксированном времени (изохронное варьирование).
3. Применение в принципе Гамильтона малых вариаций для координат и скоростей соответствует предположению, что варьированные
траектории находятся в окрестности первого порядка или, иначе, слабой окрестности траектории действительного движения [127].
Действительное и варьированное состояния сравниваются в одни и те
же моменты времени, т. е. изохронно.
32
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
4. Траектории действительного движения и варьированные траектории («окольные пути») сравниваются при одинаковых начальных и одинаковых конечных положениях (см. (26)) на фиксированном промежутке времени, что не позволяет считать обоснованным применение
уравнений движения (27) (а также (29) и (31)), полученных с помощью интегрального принципа, для определения ускорений в моменты
времени t0 и t1 . В противном случае возникает вопрос: являются ли
условия фиксированности начального и конечного положений связями,
из которых следуют уравнения (26) для виртуальных перемещений,
и не требуется ли рассматривать их «реализацию» с помощью реакций?
Иначе говоря, является ли область интегрирования, в которой вычисляется действие, замкнутой или открытой? При применении общего уравнения динамики (15) этот вопрос не возникает, так как виртуальные
перемещения на концах временного промежутка могут быть любыми из
множества, определяемого ограничениями, в том числе и не равными
нулю. Однако в отличие от «силовой механики», действие применяется
и при решении проблем квантования, связанных с проблемой краевых
условий. Эти проблемы существуют в механике, математике и физике
(вообще в естествознании).
Математики, например, полагают, что для их целей точное
указа
ние области интегрирования Ω в выражении «действия» L dx1 ... dxn
Ω
является «лишней
деталью», и предлагают математический «смысл
иероглифов типа L dx1 ... dxn (без Ω!)» [106].
5. В приведённом обосновании интегрального принципа на основе
общего уравнения динамики (15) остались не затронутыми вопросы
применения их совместно с принципом освобождаемости.
Мысленное освобождение системы от связей на основе принципа
освобождаемости расширяет множество независимых виртуальных перемещений. Возможно также мысленное наложение новых связей для
реализации «окольных путей».
Принцип освобождаемости предполагает включение в число активных сил в общем уравнении динамики (15) реакций тех связей,
от которых система освобождена. При этом механические свойства
системы могут составлять только часть свойств более общей системы,
и уравнения связей могут содержать также какие-либо «немеханические» параметры, «вынужденно изменяющиеся согласно дифференциальным уравнениям» [129]. Тогда влияние связи на изменение параметра также может описываться путём включения в уравнение (описывающее изменение этого параметра) дополнительного слагаемого,
названного Н. Г. Четаевым «принуждение реакции» (см. также [13]).
Приём введения «принуждений реакции» аналогичен представлению
реакций с помощью неопределённых множителей Лагранжа. Остаются
не рассмотренными только следующие вопросы. Когда можно учиты-
4. О действии и противодействии
33
вать уравнения связей с неопределёнными множителями, а когда —
уравнения для виртуальных вариаций, и как составлять уравнения для
виртуальных вариаций по уравнениям связей? Какие условия требуют
физической реализации с помощью реакций, а какие — нет?
Состав ограничений при применении интегральных принципов оказывается по сравнению с дифференциальными принципами разнообразнее: связи могут иметь вид интегральных, интегро-дифференциальных,
интегро-разностных и других соотношений с участием интегрирования.
Обсуждение физического смысла способов реализации связей имеется
в [13, 43, 44] и в гл. II настоящей работы.
6. Функция H , согласно выражению (8), является энергетической
характеристикой, представляющей полную механическую энергию консервативной системы, а в действии (14) функция −H и время t могут
рассматриваться как сопряжённые переменные, где −H имеет смысл
обобщённого импульса (pn+1 = −H ), а время t — обобщённой координаты (qn+1 = t). Тогда для того, чтобы время было равноправной
обобщённой координатой при сравнении с окольными путями, оно
также должно быть варьируемым. Для обобщённого импульса pn+1 по
аналогии с (31) можно написать равенство
dH
∂H
∂H
=
(32)
ṗn+1 = −
.
dt
∂t
∂t
Равенство (32) является верным и следует также из уравнений (31).
Однако время t в (32) не стало равноправной с другими обобщённой
координатой, поскольку за ней сохранена роль независимой переменной. Очевидно, что теперь требуются новый независимый параметр
и новая энергетическая характеристика. Отметим, что в физике при построении квантовой механики небезразлично, представляет некоторая
величина импульс или энергию, так как при этом принимаются разные
аксиомы о квантовании действия, зависящего от данных величин [40].
Подробнее об энергии и о функции Гамильтона см. в заметке 5.
4. О действии и противодействии
Третий закон Ньютона анализируется с помощью принципа равновесия Даламбера. Приводятся три трактовки понятия «сила инерции»
в уравнении «даламберова равновесия». На основе принципа Гамильтона–Остроградского дано обоснование интегрального равенства действия и противодействия.
4.1. Основные задачи механики и третий закон Ньютона.
По Ньютону механика «есть учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами, и о силах, требуемых для производства
каких бы то ни было движений, точно изложенное и доказанное».
А «приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы
изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного дви2 В. Г. Веретенников, В. А. Синицын
34
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
жения» (И. Ньютон «Математические начала натуральной философии»,
перевод А. Н. Крылова).
В современном понимании механика — это наука о механическом
движении и взаимодействии материальных тел (см., например, [62]).
Из всех взаимодействий в механике, основанной на аксиоматике Ньютона, выделено механическое взаимодействие посредством только сил,
подчинённых третьему закону Ньютона (равенства действия и противодействия). Более того, дополнительно полагается, что силы действия
и противодействия «всегда возникают одновременно и представляют
собой силы совершенно одинаковой природы» [125]. Такие ограничения
на способы «передачи движения» не позволяют с достаточной ясностью
и общностью изучать механическое движение, если для взаимодействия не представлен (или вообще отсутствует) «перевод» на язык
силовой механики. Этот «перевод» требует, чтобы в описании взаимодействия всегда имелись две силы с указанием реальных материальных
источников силового действия и противодействия (обычно это тела,
обладающие конечной, бесконечно большой или пренебрежимо малой
массой).
П р и м е ч а н и е. В учебной литературе иногда объясняют первую
основную задачу следующим образом: «Задача отыскания равнодействующей силы, действующей на материальную точку, по заданным
уравнениям движения решается дифференцированием уравнений движения. В силу этого решение первой основной задачи динамики всегда
возможно и не представляет затруднений» (цитата из учебника). Решение задачи демонстрируется следующим примером. Пусть уравнения
движения точки M (точка движется по эллипсу) имеют вид
x = a cos ωt,
y = b sin ωt,
x2
y2
+ 2 = 1.
2
a
b
Определить действующую силу.
Р е ш е н и е. Проводится дифференцирование
ния (П. 1) и составляются выражения
Fx = −maω 2 cos ωt,
закона
Fy = −mbω 2 sin ωt.
(П.1)
движе(П.2)
Исключением времени в (П.2) с помощью (П.1) находится F =
= −mω 2 r, и задача считается решённой. Однако следуя той же логике,
можно написать
Fx = −
maω
ẏ ,
b
Fy = −
mbω
ẋ,
a
и считать, что сила зависит от скорости F(v). Ущербность такой
интерпретации первой основной задачи механики очевидна.
Спектр задач об изменении механического движения оказывается
гораздо шире, чем можно описать с помощью силового воздействия,
и поэтому имеется почва для возникновения парадоксов и спорных
4. О действии и противодействии
35
суждений. Например, гравитационный парадокс, парадокс Даламбера
о сопротивлении движению тела в идеальной жидкости, споры о «реальности» даламберовых и эйлеровых сил инерции, разногласия по
поводу существования «источника» противодействия для сил инерции,
а также для силы электромагнитного поля (силы Лоренца), дискуссия
о конструктивных способах реализации связей и т. д.
Поиск выхода из парадоксальной ситуации приводит к более ясному
пониманию изучаемых процессов: обнаруживаются несовершенство модели, неоднозначная роль перехода к бесконечности, нарушение логических требований при образовании понятий и прочие несоответствия.
Чаще всего объяснение находится вне теории ньютоновой механики:
в релятивистской динамике, в ньютоновой квантовой динамике, в общей теории относительности и т. д. Здесь мы ограничимся динамикой
Даламбера и аналитической механикой, использующей метод переменного действия.
Внесём изменение в редакцию основных задач механики. Откажемся от требования, чтобы в способах передачи движения взаимодействие
тел было сведено непременно к силовому, и первой основной задачей
механики будем считать задачу изучения способов передачи механического движения, а второй — задачу определения состояния системы
в любой (последующий) момент времени, если её состояние задано
в данный (начальный) момент времени. Задачи решаются в своём
единстве, что и отражено в принципах Даламбера [32], где в качестве
первого и главного предмета механики принимается движение и его
общие свойства.
4.2. Принцип равновесия Даламбера и «даламберово равновесие». В динамике Даламбера исходным является представление
о том, что взаимодействие тел между собой (или тела и поля) вместе с его следствием и есть способ передачи движения. В определении способа передачи движения можно выделить три элемента: два
внутренних, образующих систему, и один внешний. Внешний элемент
необходим для описания изменения движения первых двух, которые
взаимодействуют между собой. В механике Ньютона внешним объектом для любой механической системы является инерциальная система
отсчёта, включающая евклидово пространство и абсолютное время.
Роль внешнего элемента в задаче о взаимодействии не всегда требуется
специально отмечать, но именно в данном обсуждении она важна
и даёт, на наш взгляд, основные признаки, разделяющие различные
точки зрения на силы инерции и трактовку уравнения «даламберова
равновесия». Путь к этому уравнению попытаемся пройти от принципа
равновесия Даламбера, учитывая, что автор принципа считал термин
«сила» неясным и не связывал с ним «никаких представлений, отличных от тех, которые вытекают из принципов. . .» (динамики Даламбера) [32].
2*
36
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
Принцип равновесия Даламбер включил в число трёх основных
принципов динамики вместе с принципами силы инерции и сложения
движений. Эти три основные принципа позволяют «расширить рамки
механики и сделать подход к этой науке гладким и ровным» [32].
Принцип равновесия предложен Даламбером для описания равновесия и свойств передачи движения. «Законы передачи движения сводятся к законам равновесия, а законы равновесия. . . сводятся к законам
равновесия двух равных тел, обладающих двумя равными и противоположно направленными виртуальными скоростями. В этом последнем
случае движения обоих тел, очевидно, уничтожат друг друга. Отсюда. . . будет вытекать, что равновесие будет иметь место и в том случае,
когда массы обратно пропорциональны скоростям (виртуальным, наше
примечание)» (см. [32], с. 30). Цитированное условие равновесия при
взаимодействии двух тел (при поступательном движении) или двух
материальных точек Даламбер считает уже всеми признанным. Обозначим виртуальные скорости по Даламберу, т. е. «скорости, с которыми
тела стремятся двигаться», как δv1 , δv2 . Тогда принцип равновесия
Даламбера имеет вид равенства
m1 δv1 = −m2 δv2 ,
(1)
где m1 , m2 — массы тел (материальных точек).
Виртуальные скорости в данном контексте представляют собой приращения скоростей, пропорциональные ускорениям wk , которые тела
могли бы получить (виртуально) на бесконечно малом промежутке
времени δt, следующим за рассматриваемым моментом времени, т. е.
δvk = wk δt,
k = 1,2.
Поэтому равенство (1) можно записать в виде,
или
m1 w1 + m2 w2 = 0,
(2)
−m1 w1 − m2 w2 = 0.
(3)
Подставив в равенство (2) уравнения второго закона Ньютона:
m1 w1 = F12 ,
m2 w2 = F21 ,
(4)
получаем для силы действия и силы противодействия (третий закон
Ньютона) равенство
F12 = −F21 ,
(5)
где F12 — сила, действующая на первое тело со стороны второго,
а F21 — сила, действующая на второе тело со стороны первого.
Таким образом, закон Ньютона о равенстве сил действия и противодействия получен здесь как следствие принципа равновесия Даламбера
и второго закона Ньютона. При этом использовалась «смесь» двух
разных систем аксиом: из динамики Даламбера и силовой механики
4. О действии и противодействии
37
Ньютона. Третий закон Ньютона, как известно, совместим с аксиомой
об однородности и изотропности пространства, но он более ограничителен, поскольку не позволяет охватить никакие электродинамические
взаимодействия, кроме простого притяжения и отталкивания Кулона [137].
Уравнения движения (4) (уравнения второго закона Ньютона), записанные в виде
−m1 w1 + F12 = 0,
−m2 w2 + F21 = 0,
(6)
в настоящее время называют уравнениями даламберова равновесия
(для каждой материальной точки). Можно заметить, что после суммирования равенств (6) в предположении (5) приходим к равенству (3),
т. е. к принципу равновесия Даламбера.
В формулировке даламберова равновесия равенства вида (6) рассматриваются как уравнения равновесия сил с использованием термина
«сила инерции». Однако единой трактовки сил инерции (физической
природы, места приложения и наличия для них сил противодействия)
до настоящего времени нет [26, 41, 83, 105].
4.3. О силах инерции. Обсудим вопросы применения понятия
о силах инерции в равенствах, имеющих смысл равновесия системы сил.
В ньютоновой механике сила является промежуточной физической
характеристикой, введение которой разделило основную задачу механики на две части и тем самым позволило существенно продвинуться
вперёд в решении основной задачи механики. Сила в механике Ньютона является и «причиной» изменения движения и средством «передачи»
движения (см. п. 4.1). Силой инерции называют вектор −mw (далее
этот термин будет уточнён). Поэтому равенство (3) может рассматриваться как сумма двух сил инерции. Две силы могут находиться
в равновесии при условии, что они приложены к одной материальной
точке (имеющей массу или являющейся материальным элементом системы, масса которого в пределе принимается равной нулю). Приведём
некоторые суждения о силах инерции.
1. Термин сила инерции введён Кеплером (см. [26]) для вектора,
характеризующего инерционное сопротивление тела при воздействии
на него других тел. Эта сила считается противодействующей и приложенной к ускоряющему телу (связи). В таком же смысле писал о «силе
инерции» и сам Ньютон. Для этой силы предлагается [41] ввести термин «ньютонова сила инерции» или «кеплерова сила» и рекомендуется
в изложении основ механики для устранения разночтений различать
ещё одну силу инерции: даламберову. Ньютонова сила инерции —
абсолютная сила. Она является «мерой обратного суммарного воздействия рассматриваемого точечного тела на другие тела, вызывающие
ускорение данного. К самому телу она, конечно, не приложена.
38
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
«Даламберовы силы инерции — искусственно вводимые векторные
величины. . . Даламберова сила инерции. . . — вектор, который условно
считается приложенным к данной материальной точке» [41]. Полагается, что в отличие от даламберовых, ньютоновы силы инерции
сопровождаются «противодействиями», и следовательно, удовлетворяют третьему закону Ньютона о взаимодействии в виде двух равных
и противоположных сил.
Далее мы также будем пользоваться двумя терминами: сила инерции Даламбера и сила инерции Ньютона [26, 41]. Соответственно,
введём два обозначения: −mw — сила инерции Даламбера, −mw∗ —
сила инерции Ньютона. Поскольку силы инерции Ньютона считаются
приложенными к тем же телам, к которым приложены равные им силы
взаимодействия, мы имеем эквивалентность сил (знак «∼» является
знаком эквивалентности):
−m1 w1∗ ∼ F21 ,
w1∗ = w1 ,
−m2 w2∗ ∼ F12 ,
w2∗ = w2 .
(7)
Наименование векторов −m1 w1∗ , −m2 w2∗ силами инерции Ньютон
считал как нельзя более «вразумительным».
Условия эквивалентности (7) дают повод говорить об одновременности появления сил инерции Ньютона (при предположении мгновенности их передачи на расстояние) и тождествественности их природы.
Относительно реальности даламберовых сил инерции имеется
и другое мнение.
2. В работе [105] рассматривается уравнение движения материальной точки, записанное (с точностью до обозначений) в виде
Здесь
от
−mw + F1 + F2 + ... + Fn = 0.
(8)
−mw = −mwот − mwпер − mwдоб ,
(9)
пер
где w — относительное ускорение; w
— переносное ускорение;
wдоб — обобщённое ускорение Кориолиса, которое возникает, когда
переносная система координат вращается или вращается и деформируется.
Слагаемые в правой части равенства (9) называются силами инерции: относительной, переносной и добавочной соответственно. «В локальных эффектах проявление действия распределённых по объёму
тела внешних сил инерции согласно законам физики аналогично действию также распределённых по объёму внешних сил тяжести. . . С содержательной точки зрения не возникает сомнений в реальности или
фиктивности каких-либо векторных членов в уравнении (см. (8)) и,
в частности, в реальности члена −mw. В ньютоновой механике физическое пространство евклидово и время абсолютно. Это постулат типа
наложенной связи» (курсив наш) [105].
4. О действии и противодействии
39
Возможность (хотя бы и локально) моделировать силы инерции
силами гравитационного поля (и построение теорий на основе гипотезы
об их эквивалентности) указывает на конструктивный характер данной
точки зрения. Приведём ещё одно наблюдение, состоящее в том, что
переносная сила инерции и сила инерции Кориолиса (эйлеровы силы
инерции) могут моделироваться силой инерции Лоренца. На точечный
электрический заряд в электромагнитном поле действует сила Лоренца [53]
v
F=e E+ ×H ,
(10)
c
где e — заряд; v — скорость точки; E и H — напряжённости электрического и магнитного полей. Векторы E и H выражаются через
скалярный потенциал ϕ и векторный потенциал A с помощью формул
E = − grad ϕ −
1 ∂A
,
c ∂t
H = rot A.
(11)
Сравнив силу Лоренца (10), (11) с выражением эйлеровых сил инерции
в уравнении относительного движения материальной точки массы m
по отношению к жёсткой системе, замечаем их совпадение при
ϕ=
mω 2 ρ2
,
2e
A=
mc
(V0 + ω × ρ) ,
e
(12)
где V0 (t) — скорость центра подвижных осей, ω(t) — угловая скорость
подвижных осей; ρ = (x, y , z) — радиус-вектор положения материальной точки относительно центра подвижных осей.
Следовательно, эйлеровы силы инерции в движении по отношению
к подвижным жёстким осям действуют аналогично силе электромагнитного поля со скалярным и векторным потенциалами (12) в абсолютном движении. Сила Лоренца относится к реальным силам, поэтому
ответ на вопрос о природе силы инерции в (8) неоднозначен. Например,
в (9) составляющей силы инерции (вектор −mwот ) может быть придан
смысл гравитационной силы, а другим слагаемым — смысл силы Лоренца.
При сравнении точек зрения 1 и 2 существенно то, что одна из
них относится к взаимодействию между телами, а в другой речь
идёт о взаимодействии тела и поля. Различие трудно было усмотреть
на примере представления силы инерции только с помощью гравитационного поля, так как в классической механике гравитационные
поля создаются гравитирующими телами, что соответствует и первой
точке зрения. Вторая точка зрения в своих доводах выходит за рамки
механики Ньютона и опирается на более «физичные» представления
о пространстве (и времени). Здесь уместно напомнить о современных
теориях, в которых пространство имеет вид гравитирующего вакуума,
и о недавнем (1965 г.) открытии так называемого реликтового излучения (электромагнитного происхождения). Последнее, благодаря своим
свойствам однородности и изотропности, в настоящее время претен-
40
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
дует на роль наиболее точной физической реализации инерциальной
системы (наличие которой составляет содержание закона инерции Галилея — первой аксиомы Ньютона).
Таким образом, вторая точка зрения допускает для сил инерции Даламбера физическую природу различного происхождения в виде полей
(гравитационного, электромагнитного). Признав реальность даламберовых сил инерции, для каждого тела получим равновесие двух сил:
−m1 w1 − m2 w2∗ = 0,
−m2 w2 − m1 w1∗ = 0.
(13)
Однако и после признания реальности даламберовой силы инерции,
приложенной к телу, для неё не найдена противодействующая. Дополнительные возможности поиска ответа этот вопрос даёт ещё одна точка
зрения, в которой в рассмотрение вводится пространство как объект,
участвующий во взаимодействии.
3. При выводе прямой и обратной форм дифференциальных уравнений колебаний упругих систем используются две различные отправные
позиции. «В обоих случаях предполагается мысленное расчленение системы путём отделения обладающих массой грузов от упругого скелета
системы. В первом случае записываются законы движения грузов, а во
втором случае — зависимости, определяющие движение безмассового упругого скелета; соответственно первый путь приводит к прямой
форме уравнений движения, а второй путь — к обратной форме этих
уравнений» [83]. Прямая форма уравнений получается, если кинетическая энергия имеет вид суммы квадратов, а обратная — если суммой
квадратов является потенциальная энергия. Эти два случая иллюстрируют схемы упругой балки с грузами в виде точечных масс, к которым
приложены заданные силы (рисунки 4.1, 4.2). На рис. 4.2 к упругому
Рис. 4.1
скелету приложены заданные силы и силы инерции (грузы от балки
отделены). Авторы работы [83] отмечают, что понятие об упругом
безмассовом скелете «условно и, в сущности, речь идёт о системе
внутренних связей» (курсив наш). Полагается, что на освобождённую
от массы m связь действует реальная сила. Далее указывается, что
«понятия механической системы и её безмассового каркаса требуется
различать».
П р и м е ч а н и е. Пространству можно приписать не только упругие
свойства. Пусть, например, линейная система задана тремя квадратичными формами с постоянными коэффициентами: кинетической энергией, потенциальной энергией и диссипативной функцией Релея. Выбо-
4. О действии и противодействии
41
Рис. 4.2
ром обобщённых координат одна или одновременно две из этих форм
(знакоопределённые) могут быть представлены в виде суммы квадратов. Тогда каждому представлению, определяющему форму уравнений движения, сопоставляются и соответствующие свойства пространственного скелета (упругие и (или) диссипативные).
В качестве внутренних безмассовых связей, способных противодействовать силам любой природы, примем элементы пространства
(в обобщённых координатах — конфигурационного пространства). Образуем систему, являющуюся наложением двух взаимодействующих
систем [117]. В аксиоматике К. Трусделла наложение имеется для
любых двух, в том числе отделённых, тел и содержит нулевое тело —
пространственный элемент. Пространственному элементу, полученному
в результате наложения, отведём роль промежуточного звена между
взаимодействующими системами. Безмассовые элементы нередко используются в моделях механических систем (например, пружина, нить,
стержень и т. д.). В данном случае речь идёт об условной внутренней
связи.
Для двух отделённых тел (материальных точек) равновесие сил на
нулевом теле имеет вид равенства (3). В полный набор вариантов уравнений равновесия с применением сил инерции входит также равенство
−m1 w1∗ − m2 w2∗ = 0.
(14)
В (14) для ньютоновых сил инерции приняты те же обозначения,
что и ранее в (7) и (13), хотя теперь они имеют иное место приложения.
Заметим, что взаимодействия тел в схеме с безмассовыми пространственными элементами снимают все вопросы о дальнодействии
по причине его отсутствия.
Итак, все варианты равенств с участием векторов даламберовых
и ньютоновых сил инерции исчерпаны (из принципа равновесия Даламбера (3) получены уравнения равновесия (13), (14) для сил на телах:
первом, втором и нулевом). Включение пространственного элемента
в число рассматриваемых тел позволило примирить кажущиеся противоречивыми точки зрения на силы инерции.
4.4. Интегральное равенство действия и противодействия. Получим закон о действии и противодействии в форме интегрального
равенства для действия.
42
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
Напомним, что эквивалентность нулю системы сил записывается
в виде общего уравнения (принцип виртуальных скоростей):
N
Fk δvk = 0,
k=1
или
N
Fk δrk = 0.
(15)
k=1
В уравнении (15) Fk — силы известной природы (точнее — известного происхождения: активные и реакции неидеальных связей),
приложенные к материальным точкам (точкам, обладающим инерционной массой); δvk и δrk — совместимые с идеальными связями виртуальные скорости и виртуальные перемещения материальных точек
(связи предполагаются стационарными удерживающими). Возможны
некоторые равновесные положения и в системах с нестационарными
связями, но мы ограничимся более простой ситуацией. Равенство (15)
даёт условие эквивалентности нулю сил известного происхождения.
Виртуальная работа даламберовой силы инерции материальной точки представляется (при условии перестановочности операций d и δ )
в следующей форме:
−mwδr = −
d
(mvδr) + δT ,
dt
T =
mv 2
.
2
(16)
Пусть имеются не содержащие общих материальных точек две взаимодействующие механические системы. Обозначим их кинетические
энергии через T (i) (i = 1,2), виртуальные работы сил, не являющихся силами взаимодействия, — через δ A(i) (i = 1,2), а виртуальные
работы сил взаимодействия первой и второй систем — через δ A(12)
и δ A(21) соответственно. Применение принципа Гамильтона–Остроградского для каждой системы на фиксированном промежутке времени
[t1 , t2 ] даёт интегральные равенства
t2
(1)
δT + δ A(1) + δ A(12) dt = 0 при δr(1) ∈ D1 ,
(17)
(2)
δT + δ A(2) + δ A(21) dt = 0 при δr(2) ∈ D2 ,
(18)
t1
t2
t1
где D1 и D2 — множества виртуальных перемещений соответствующих
систем. Множество виртуальных перемещений D0 системы, являющейся наложением рассматриваемых систем, получаем как пересечение
множеств D1 и D2 : D0 = D1 ∩ D2 .
Для системы, полученной наложением взаимодействующих систем,
имеем интегральное равенство (δr(0) — виртуальное перемещение на-
4. О действии и противодействии
43
ложения):
t2
(12)
δA
+ δ A(21) dt = 0 при δr(0) ∈ D0 = ∅.
(19)
t1
При вычислении виртуальной работы в подынтегральное выражение
в (19) может включаться и виртуальная работа сил инерции.
Равенство (19) имеет следующие частные случаи.
1. В условиях принципа равновесия Даламбера (см. п. 4.2) подставим в (19) виртуальную работу сил инерции (16). Получаем равенство
t2
(1)
δT + δT (2) dt = 0 при δr1 = δr2 ,
(20)
t1
T (1) =
m1 v12
2
,
T (2) =
m2 v22
2
.
Сомнения в реальности величин в (20) не возникают. Однако из
него непосредственно следует равенство (3), которое в «силовой» аксиоматике создаёт трудности с ответами на подобные вопросы. Отсутствие явной зависимости выражения (20) от сил взаимодействия
позволяет сделать вывод о том, что силы инерции Даламбера могут
иметь любую физическую природу (в том числе разную для взаимодействующих тел). Тем самым ещё раз подтверждается вспомогательная
роль сил в описании физических процессов.
2. Форма интегрального равенства (19) содержит как частный случай третий закон Ньютона (5), для которого
t2
(F12 δr1 + F21 δr2 ) dt = 0 при δr1 = δr2 .
(21)
t1
Из равенства (21) следует равенство (5), но только для класса сил,
зависящих от состояния (и времени). При этом исключается, например,
широко применяемая модель взаимодействия с использованием понятия о присоединённых массах.
3. Пусть ограничение движениям сплошной однородной идеальной
жидкости доставляет только замкнутая достаточно гладкая (в математическом смысле — поверхность Ляпунова и без трения) поверхность
недеформируемого тела. Взаимодействие при потенциальном обтекании
свободного абсолютно твёрдого тела (поверхности) при установившемся движении может описываться с помощью виртуальных работ
δ A(12) = −δT (1) − FδrO − MO δϕ,
δ A(21) = −δT (2) ,
(22)
где F, MO — главный вектор и главный момент внешних сил (за
исключением сил взаимодействия с жидкостью), приложенных к телу
и приведённых к центру O ; δrO , δϕ — виртуальное перемещение
44
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
центра и вектор виртуального угла поворота тела; T (1) и T (2) — кинетическая энергия тела и жидкости соответственно (T (2) выражается
через кинематические параметры движения тела); в частности, при
поступательном движении тела T (1) = m1 v 2 /2, T (2) = m2 v 2 /2 (m2 —
присоединённая масса). В общем случае движения тела кинетическая
энергия жидкости при потенциальном обтекании вычисляется по формуле [49]
T (2) =
6
1
λij Ui Uj ,
2
i, j
где λij (i, j = 1, 2, ... , 6) — присоединённые массы тела (коэффициенты,
зависящие от формы тела и массовой плотности среды); Ui (i = 1, 2, 3)
и Ui (i = 4, 5, 6) — координаты вектора скорости полюса и угловой
скорости тела по осям, связанным с телом.
П р и м е р. В работе [18] в модели динамики большого испаряющегося тела при высокоскоростном входе в атмосферу планеты учитывается присоединённая масса. На больших высотах плотность среды мала
по сравнению с плотностью тела, аналогично соотносятся присоединённая масса и масса тела. Однако малость величины присоединённой
массы по сравнению с массой тела не означает a priori, что ей можно
пренебречь при расчёте силового влияния на тело. Присоединённая
масса при изменении плотности является переменной, и процесс её
изменения вызывает появление реактивной силы, зависящей от быстроты изменения массы и относительной скорости частиц, изменяющих
состав системы. Относительная скорость частиц, изменяющих присоединённую массу в покоящейся атмосфере, по величине равна скорости
тела и противоположна ей по направлению. При таком рассмотрении
на этапе возрастания скорости тела (см. «парадокс спутника» [26])
удаётся избежать ошибки в оценке уноса массы тела и получить зависимости относительного уноса массы от условий входа в атмосферу,
от величины пути, пройденного телом, силы притяжения и других
параметров для двух моделей уноса массы.
Если наложение систем содержит материальные точки, то обозначив через T (0) кинетическую энергию наложения, а через δ A(0) —
виртуальную работу внешних сил, приложенных к этим материальным
точкам, имеем интегральное равенство
t2
(0)
δT + δ A(0) + δ A(01) + δ A(02) dt = 0 при δr(0) ∈ D0 ,
(23)
t1
где δ A(01) , δ A(02) — виртуальная работа сил со стороны частей систем,
не вошедших в наложение; D0 — множество виртуальных перемещений
системы, полученной наложением.
Если наложение не содержит объектов, имеющих массу, то из
интегрального равенства (23) следует интегральное равенство (19).
4. О действии и противодействии
45
Очевидно, что эти интегральные равенства представляют собой не
что иное, как интегральный принцип Гамильтона–Остроградского для
специально сформированной системы. Интегральные равенства справедливы при интегрировании на фиксированном промежутке времени,
на концах которого виртуальные перемещения принимаются равными
нулю.
Интегральная форма позволяет использовать в законе о действии
и противодействии не только силы, зависящие от состояния, но и непосредственно силы инерции, виртуальная работа которых, в соответствии с равенством (16), выражается с помощью вариации выражения
кинетической энергии. Кроме того, интегральные равенства обладают
бо́льшими эвристическими возможностями, например, подобным образом можно формировать интегральные равенства действия и противодействия для систем, не являющихся натуральными системами, систем
с термодинамическими точками [14] и т. д.
4.5. О лоренцовой «силе торможения». К рассматриваемой проблеме относится также вопрос о «самодействии». Это понятие вводится
в аксиоматике работы [117]. Известен и важный пример из физики [53] (см. также [98], задача 5.20): при движении материальной
точки с электрическим зарядом в электромагнитном поле происходит
потеря энергии. Эту потерю энергии описывают с помощью лоренцовой
силы торможения, пропорциональной ускорению второго порядка (производной по времени от ускорения точки), с учётом которой уравнение
движения имеет вид
v
2e2
mw = e E + × H + 3 ẇ.
(24)
c
3c
Физики отмечают [53] ограниченность этого уравнения, так как
«при отсутствии внешнего поля (E = 0, H = 0) оно имеет решение
3mc3
v = exp
t
,
2
2e
приводящее к абсурдному выводу о неограниченном «самоускорении»
заряда при выходе из поля. Поэтому выражение для лоренцовой силы
применимо лишь в том случае, когда она оказывается малой по сравнению с силами внешнего поля» [98]. Предлагается искать решение
в два этапа: сначала решить уравнение
v
mw = e E + × H ,
(25)
c
а затем результат использовать при решении уравнения (24). Иначе
говоря, наличие лоренцовой силы торможения в уравнении (24), не отвечающей требованиям ньютоновой механики, приводит к двум механическим системам. Первая задана уравнением (25), а вторая не имеет,
46
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
к сожалению, единственного описания. В (24) ẇ можно подставлять
в виде функции состояния и ускорения:
e
w
v
Ė + × H + × Ḣ ,
(26)
ẇ =
m
c
c
или в виде функции состояния (выразив в (26) ускорение с помощью (25)), или, может быть, в виде функции только времени ẇ(t)
(и констант интегрирования) и т. д.
Для того чтобы подставляемую в (24) функцию отличать от ускорения второго порядка, обозначим её ẇ∗ (пока не уточняя её вида)
и будем рассматривать уравнение
v
2e2
mw = e E + × H + 3 ẇ∗ .
(27)
c
3c
Убедимся, что при некоторых условиях последнее слагаемое в правой части уравнения (27) является тормозящей силой. Для этого
умножим обе части равенства (27) скалярно на скорость v. При положительном знаке произведения w · v движение является ускоренным,
а при отрицательном — замедленным, что является признаком тормозящего эффекта слагаемых правой части. В полученном равенстве
последнее слагаемое представляем в форме
ẇ∗ v =
d
(w∗ v) − w∗ w.
dt
(28)
Вид правой части (28) показывает, что после усреднения на достаточно большом промежутке времени (движение предполагается финитным) слагаемое, представляющее среднюю мощность силы торможения в (27), имеет знак, совпадающий со знаком −w∗ w. Этот знак
отрицательный, если ускорение w отлично от нуля и ускорение w∗
достаточно мало отличается от w. Заметим, что при w∗ = 0, согласно
уравнению (27), никакого неограниченного «самоускорения» при выходе из поля не происходит. Интересно, что тормозящий эффект имеет
место независимо от структуры «обычных сил» и получен при условиях финитности (по состоянию и ускорению) и достаточной близости
ускорений: в порождающем и действительном движениях.
Учитывая, что рассматривается нерелятивистский случай (v/c 1), для оценки малости членов уравнений введём малый параметр
ε = vmax /c, где vmax — некоторая характерная скорость (например,
максимальная в финитном движении), и представим уравнение (24)
в следующем виде:
v̇ = α0 E + εα1 v × H + ε2 α2 v̈,
α0 =
e
,
m
α1 =
e
,
mvmax
α2 =
2e2
2
3mcvmax
(29)
.
5. Об энергии и действии
47
Пусть векторы E(t), H(t) являются функциями времени и решение
представляется в виде ряда по степеням малого параметра [9]:
r = r(0) + εr(1) + ε2 r(2) + ...
(30)
Припишем верхние индексы и всем кинематическим характеристикам,
имеющим множителем малый параметр в соответствующей степени.
Тогда для нахождения членов ряда (30) можно составить бесконечный
набор уравнений:
ε0 : w(0) = α0 E,
ε1 : w(1) = α1 v(0) × H ,
ε2 : w(2) = α1 v(1) × H + α2 ẇ(0) ,
ε3 : w(3) = α1 v(2) × H + α2 ẇ(1) ,
(31)
. . . ..............................
Каждое из уравнений (31) (и далее) имеет структуру второго закона
Ньютона с силами, зависящими только от времени. Таким образом,
метод малого параметра даёт иное доопределение динамической системы (29) в виде последовательности моделей ньютоновой механики.
5. Об энергии и действии
5.1. Склерономные и реономные системы. В зависимости от
того, являются голономные связи, наложенные на систему, стационарными или нестационарными, голономные системы разделяют на
склерономные («твёрдые») и реономные («текущие»). Однако свойство
системы быть реономной или склерономной проявляется только после
того, как выбраны обобщённые координаты qi , i = 1, ... , n, и через них
выражены радиусы-векторы материальных точек rk (q , t), k = 1, ... , N.
Если все радиусы-векторы не зависят явно от времени, т. е. ∂rk /∂t = 0,
то будем называть такую систему склерономной, а в противном случае — реономной.
Выражения скоростей материальных точек реономной системы после введения обобщённых координат, в отличие от скоростей точек
склерономной системы, в общем случае не являются однородными
относительно обобщённых скоростей:
vk =
n
∂rk
i=1
∂qi
q̇i +
∂rk
,
∂t
k = 1, ... , N ,
(1)
где vk — скорости материальных точек.
Свойство системы быть «реономной» отражает следующая кинематическая трактовка равенства (1). Если в правой части (1) векторы ∂rk /∂t рассматривать как переносные скорости точек, то суммы
48
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
(∂rk /∂qi )q̇i будут соответствующими относительными скоростями
i
точек. Переносные скорости точек склерономной системы равны нулю.
Представление абсолютных скоростей точек в виде суммы относительной и переносной
позволяет также установить смысл «мощности
обобщённых сил»
Qi q̇i .
i
Мощность системы сил Fk в абсолютном движении и мощность
соответствующей системы обобщённых сил связаны соотношением
Fk · vk =
Qi q̇i +
i
k
Fk ·
k
∂rk
.
∂t
(2)
Из равенства (2) следует, что мощность сил Fk в абсолютном движении равна сумме мощности обобщённых сил (мощности сил Fk в относительном движении) и мощности сил Fk в переносном движении.
Поэтому, например, понятие о гироскопических свойствах сил (сил,
мощность которых тождественно равна нулю) для сил Fk и соответствующих им обобщённых сил Qi совпадают только в относительном
движении. В склерономной системе мощность сил Fk в абсолютном
движении равна мощности обобщённых сил Qi .
Неоднородная зависимость абсолютных скоростей от обобщённых
скоростей в (1) приводит к тому, что кинетическая энергия T (q , t, q̇) ,
выраженная через обобщённые координаты, обобщённые скорости
и время, является суммой трёх однородных форм относительно обобщённых скоростей:
T = T2 + T1 + T0 ,
(3)
где T2 , T1 , T0 — формы второй, первой и нулевой степени соответственно.
Кинетическая энергия склерономной системы является только квадратичной формой с коэффициентами, не зависящими явно от времени,
т. е.
∂T
T = T2 ,
= 0.
(4)
∂t
Мощность реакций идеальных нестационарных связей согласно (2)
не равна нулю. Тем не менее для реономных систем имеются аналоги
теорем об изменении кинетической энергии и полной механической
энергии в форме, не содержащей реакций идеальных связей. Приведём
вывод этих теорем с помощью уравнений Лагранжа второго рода.
5.2. Аналоги теоремы об изменении кинетической энергии реономных систем. Умножим каждое из уравнений Лагранжа второго
рода на соответствующую ему обобщённую скорость и просуммируем
полученные равенства:
d ∂T ∂T
q̇i =
Qi q̇i .
(5)
q̇i −
i
dt
∂ q̇i
i
∂qi
i
49
5. Об энергии и действии
Преобразовав слагаемые первой группы в (5) по формуле
d ∂T
d ∂T
∂T
q̇i =
q̇i −
q̈i ,
dt
∂ q̇i
dt
∂ q̇i
∂ q̇i
(6)
получим возможность использовать однородные относительно обобщённых скоростей составляющие кинетической энергии:
∂T
q̇i = 2T2 + T1 .
(7)
i
∂ q̇i
Учтём выражение производной от кинетической энергии по времени:
∂T
∂T
dT
∂T
=
+
q̇i +
q̈i .
(8)
dt
∂t
i
∂qi
i
∂ q̇i
Подставив (6)–(8) в (5), получаем известное утверждение теоремы
об изменении кинетической энергии голономной системы в обобщённых координатах, называемое аналогом теоремы об изменении кинетической энергии для реономных систем [46]:
∂T
d(T2 − T0 )
+
=
Qi q̇i .
∂t
dt
(9)
i
При частных предположениях из (9) следуют
— теорема об изменении кинетической энергии склерономной системы в обобщённых координатах (см. свойства (4)):
Ṫ =
Qi q̇i ;
(10)
i
— обобщённый интеграл энергии при движении реономной системы
в стационарном силовом поле с потенциальной энергией Π(q) при
∂T /∂t = 0 (Qi = −∂Π/∂qi ):
T2 − T0 + Π = h = const;
(11)
— если T и Π не зависят явно от времени, но имеются непотенциальные активные силы, то
d(T2 − T0 + Π)
i q̇i ,
=
Q
dt
i
(12)
i — непотенциальные обобщённые силы.
где Q
Для склерономной системы из (10) получаем
— в нестационарном силовом поле
Ṫ =
∂Π
− Π̇;
∂t
— в стационарном потенциальном силовом поле
T + Π = const,
т. е. система является консервативной.
(13)
50
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
Предложим аналог теоремы об изменении кинетической энергии
реономной системы в новой форме. Силы в системе представим в виде потенциальной и непотенциальной составляющих (если таковые
имеются). Перепишем равенство (9), оставив в левой части только
полную производную по времени от квадратичной формы кинетической
энергии:
dT2
i q̇i − ∂(T2 + T1 ) − d(Π − T0 ) + ∂(Π − T0 ) ,
=
Q
dt
∂t
dt
∂t
i
i — непотенциальные обобщёнгде Π(q , t) — потенциальная энергия, Q
ные силы.
Слагаемые в правой части полученного равенства также имеют
смысл мощностей обобщённых потенциальных сил и обобщённых
непотенциальных сил. Последние два слагаемые представляют мощность обобщённых потенциальных сил с новой потенциальной энергией, равной Π − T0 , а оставшиеся слагаемые — мощность обобщённых
i
непотенциальных сил, полученных сложением обобщённых сил Q
исходной системы с «обобщёнными силами» Q∗i (кавычки поставлены
для того, чтобы подчеркнуть отличие происхождения этих слагаемых):
Q∗i = −
n
1 ∂aij
∂b
q̇j − i ,
2
∂t
∂t
j=1
где aij (q , t), bi (q , t) — коэффициенты в выражениях T2 и T1 :
T2 =
1
aij q̇i q̇j ,
2
T1 =
i, j
bi q̇i .
i
Таким образом, для реономных систем доказана следующая теорема: полная производная по времени от квадратичной формы в выражении кинетической энергии равна сумме мощностей обобщённых
потенциальных сил с потенциальной энергией Π − T0 и обобщённых
i + Q∗i .
непотенциальных сил Q
Приём выделения квадратичной формы в выражении кинетической
энергии удобен при формулировке теорем об энергии при импульсивных движениях [13].
5.3. Теорема об изменении полной механической энергии.
Полная механическая энергия системы E равна сумме кинетической (3) и потенциальной Π энергии:
E = T + Π.
(14)
Пусть кроме потенциальных сил на материальные точки системы
действуют непотенциальные силы, которым соответствуют непотенци-
51
5. Об энергии и действии
i . Мощность потенциальных обобщённых
альные обобщённые силы Q
сил равна разности
∂Π
− Π̇.
(15)
∂t
Заменив в правой части (9) мощность потенциальных обобщённых
сил выражением (15), имеем
∂T
d(T2 − T0 )
i q̇i − Π̇ + ∂Π ,
+
=
Q
∂t
dt
∂t
i
откуда следует теорема об изменении полной механической энергии [25]:
Ė =
i q̇i + d(T1 + 2T0 ) − ∂L ,
Q
dt
i
∂t
L = T − Π.
(16)
Поскольку группа слагаемых в правой части (16) связана с мощно непотенциальных сил F
k равенством вида (2):
стью N
∂rk
k
= Fk vk = Q
i q̇i +
F
,
N
i
k
∂t
k
теорема (16) принимает следующую форму:
∂rk d(T1 + 2T0 ) ∂L
−
k
+
−
.
Ė = N
F
∂t
k
dt
∂t
(17)
Для склерономной системы из (17) получаем
+ ∂Π = Q
i q̇i + ∂Π .
Ė = N
∂t
i
∂t
(18)
При движении склерономной системы в стационарном потенциальном силовом поле при непотенциальных силах, являющихся гироскопическими, полная механическая энергия сохраняется:
E = const .
Если ∂L/∂t = 0 и непотенциальные обобщённые силы — гироско i q̇i = 0, то из (16) следует обобщённый интеграл
Q
пические, т. е.
энергии (11).
i
5.4. Функция Гамильтона и уравнение энергии. Функция Гамильтона H связана с функцией Лагранжа L (в условиях преобразования Лежандра при переходе от переменных q̇i к переменным pi )
равенством
H=
pi q̇ i − L(q , t, q̇ ).
(19)
i
52
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
Получим из равенства (19) некоторые энергетические свойства
функции Гамильтона. Подставив в него выражения обобщённых импульсов (3.13), находим
∂L
H=
q̇i − L = 2T2 + T1 − (T2 + T1 + T0 − Π),
(20)
i
∂ q̇i
т. е. H = T2 − T0 + Π.
Отсюда следует, что в фазовом пространстве (пространство
щённых координат, обобщённых импульсов — пространство QP)
щённо-консервативные системы имеют интеграл энергии (см.
в форме
H(q , p) = const .
обобобоб(11))
(21)
Дифференцируя равенство (19) частным образом по t (при фиксированных q и p с учётом разрешимости линейных уравнений (3.13)
относительно q̇i ), для частных производных по времени от функции
Гамильтона и функции Лагранжа имеем равенство
∂H
∂L
=−
∂t
∂t
(22)
(дифференцирование в правой части при фиксированных q и q̇ ).
Из аналога теоремы об изменении кинетической энергии (9), подставляя выражение мощности потенциальных сил (15), получаем равенство
d(T2 − T0 + Π)
i q̇i − ∂L .
=
(23)
Q
dt
∂t
i
С учётом (21), (22) из (23) получаем выражение, связывающее
изменение функции Гамильтона во времени в зависимости от мощности
непотенциальных обобщённых сил:
Ḣ =
∂H
i q̇i .
Q
+
∂t
i
(24)
При составлении уравнений движения в переменных Гамильтона
в случае непотенциальных сил можно заметить следующее. Первая
группа уравнений (см. (3.31)) не изменится, так как они представляют
собой соотношения в преобразовании Лежандра (19) (при обратном
переходе от переменных pi к переменным q̇i ). Изменение правых частей
второй группы уравнений (см. (3.31)) состоит в появлении дополнительных слагаемых Pi . Таким образом, уравнения движения при
наличии непотенциальных сил имеют следующую форму:
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
+ Pi .
∂qi
(25)
5. Об энергии и действии
53
Выясним механический смысл слагаемых Pi . Вычисляя производную Ḣ в (24), с учётом уравнений (25) находим, что дополнительные
слагаемые Pi в (25) обладают свойством
Pi q̇i =
i
i q̇i .
Q
i
Далее, в преобразовании от q̇i к pi обобщённые координаты qi и время t, i = 1, ... , n, фигурируют как параметры, для которых, согласно
теореме Донкина [25], справедливы равенства
∂H
∂L
=−
∂qi
∂qi
и
∂H
∂L
=− .
∂t
∂t
Поэтому, сравнивая уравнения Лагранжа второго рода:
d ∂L
∂L
i ,
+Q
=
dt
∂ q̇i
∂qi
со второй группой уравнений (25), можно увидеть, что слагаемые Pi
i . Таким образом,
имеют смысл непотенциальных обобщённых сил Q
уравнения движения в переменных Гамильтона имеют вид
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
i,
+Q
∂qi
i = 1, ... , n,
(26)
i получены из Q
i путём выражения обобщённых скоростей через
где Q
переменные qi , t, pi .
Вернёмся к вопросу об использовании времени в качестве дополнительной обобщённой координаты qn+1 и введении сопряжённого с ней
обобщённого импульса pn+1 . Набор получаемых переменных составляет пространство состояний и энергии (пространство QTPH [137]).
Чтобы избежать путаницы, вызванной двумя ролями, которые играет
функция Гамильтона в этом пространстве, кроме pn+1 = −H используем также обозначение [137]
H = ω(q1 , ... , qn+1 , p1 , ... , pn ) = −pn+1
или
(27)
Ω = pn+1 + ω(q1 , ... , qn+1 , p1 , ... , pn ) = 0.
В симметричной записи это равенство можно представить в виде
уравнения
Ω (q1 , ... , qn+1 , p1 , ... , pn+1 ) = 0.
(28)
Уравнение (28) (его называют уравнением энергии [137], а также
вспомогательным условием) налагает на координаты изображающей
точки в пространстве QTPH ограничение в виде (2n + 1)-мерной поверхности энергии. Использование термина «энергия» оправдывается
тем, что применение функции Ω(q , p) может быть аналогично применению функции Гамильтона склерономной системы, имеющей интеграл
54
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
энергии (21). Динамическая система определена, если задана поверхность энергии и находящаяся на этой поверхности изображающая
точка. Введение функции энергии Ω(q , p) вместо поверхности энергии
позволяет расширить рамки динамики в QTPH, рассматривая действие
S=
n+
1
pi dqi
(29)
l i=1
вместе с дополнительным условием [137]
Ω(q1 , ... , qn+1 , p1 , ... , pn+1 ) = const .
(30)
Требование, чтобы на сравниваемых траекториях функция энергии
имела одно и тоже значение (изоэнергетическое варьирование), даёт
уравнение для вариаций:
n+
1 ∂Ω
∂Ω
δqi +
δpi = 0.
(31)
i=1
∂qi
∂pi
Варьирование функционала (29) (при фиксированных концевых значениях обобщённых координат q1 , ... , qn+1 ) с учётом дополнительного
условия (30) и его вариации (31) приводит к уравнениям, имеющим
гамильтонову форму:
qi =
∂Ω
,
∂pi
pi = −
∂Ω
,
∂qi
i = 1, ... , n + 1,
(32)
где штрихом обозначено дифференцирование по параметру w, элементарное приращение которого определяется равенством
n+
1
i=1
pi dqi =
n+
1
i=1
pi
∂Ω
dw.
∂pi
(33)
По своему смыслу dw — бесконечно малый неопределённый множитель Лагранжа. Физический смысл независимого параметра w может
быть различен и определяется функцией Ω. При этом произведение Ωw
имеет размерность действия. Сильные и слабые стороны представления
уравнения энергии в формах (27) или (28) объясняются аналогией
с сильными и слабыми сторонами представления поверхности в трёхмерном пространстве с помощью уравнения z = f (x, y) или уравнения
F (x, y , z) = 0 соответственно. Для энергии в форме (27) из (32) сразу
следует, что число независимых уравнений — 2n (уменьшить число
уравнений до 2n можно и при использовании энергии в форме (28)).
При этом
t = 1 и t = w + const,
(34)
и следовательно, в качестве независимого параметра может быть принято время t.
55
5. Об энергии и действии
Совершив такой «круг» в рассуждениях (вначале обобщение от
H -гамильтоновых систем к Ω-гамильтоновым системам [137], а затем
обратно — от вторых к первым как частному случаю) можно сделать
следующие наблюдения:
— в рассматриваемых системах математическое время как частный
случай параметра является однородным и обратимым (см. (34));
— функция энергии для реономных механических систем, находящихся в потенциальном силовом поле, имеет вид (см. (20))
Ω = pn+1 + T 2 − T0 + Π;
— динамическая гамильтонова система может быть задана функцией энергии (и уравнением энергии Ω = 0) вместе с элементарным
действием dS и параметром w, для которых имеется дифференциальное соотношение (см. (33)):
S =
n+
1 ∂Ω
dS
=
pi
,
dw
∂pi
или
S =
i=1
n+
1
i=1
qi
∂L∗
,
∂qi
L∗ =
pi qi − Ω. (35)
i
Подчеркнём ещё раз, что уравнение энергии даёт ограничение
в дифференциальной форме (31) и приводит к дифференциальному
равенству (35), в котором фигурирует элементарное действие. Для действия как функционала вариационной задачи функцию энергии можно
использовать также в изопараметрическом ограничении вида
w
1
Ω dw = const,
(36)
w0
что даёт ещё один способ задания динамических систем.
5.5. Теорема об изменении кинетического потенциала. Динамический смысл обобщённой силы для времени. Пусть голономная реономная система имеет функцию Лагранжа (кинетический
потенциал) в виде полинома второй степени относительно обобщённых
скоростей:
L (q , t, q̇) = L2 + L1 + L0 ,
(37)
где функции L2 , L1 , L0 являются однородными соответствующих степеней относительно обобщённых скоростей (индекс указывает степень
однородности). Уравнения движения системы имеют вид
d ∂L
∂L
i , i = 1, ... , n,
=Q
(38)
−
dt
∂ q̇i
∂qi
i —
где qi — обобщённые координаты, q̇i — обобщённые скорости, Q
непотенциальные обобщённые силы.
Теорему об изменении кинетического потенциала докажем так же,
как и аналог теоремы об изменении кинетической энергии (см. п. 5.2.).
56
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
Выполнив над (38) с учётом (37) те же операции, что и в формулах
(5)–(8), получаем аналогичное (9) равенство:
∂L
d(L2 − L0 )
i q̇i .
+
−=
Q
∂t
dt
i
(39)
Равенство (39) выражает теорему об изменении кинетического потенциала реономной голономной системы.
Применим теорему (39) при установлении динамического смысла
обобщённой силы для времени, если его рассматривать в качестве
дополнительной обобщённой координаты.
Дополнительная обобщённая координата в аналитической механике
может вводиться для унификации формул реономных и склерономных
систем. Введём дополнительную обобщённую координату qn+1 и на
основе функции Лагранжа (37) образуем функцию [22]
2
L∗ = L2 + L1 q̇n+1 + L0 q̇n+
1,
(40)
однородную относительно обобщённых скоростей с учётом дополнительной обобщённой скорости. Для дополнительной обобщённой координаты имеем уравнение
d
∂L∗
∂L∗
n+1 ,
=Q
(41)
−
dt
∂ q̇n+1
∂qn+1
n+1 — непотенциальная обобщённая сила, соответствующая qn+1 .
где Q
При заданном законе изменения дополнительной координаты
(qn+1 = qn+1 (t)) из уравнения (41) можно найти обобщённую
n+1 . Пусть дополнительная обобщённая координата имеет
силу Q
также смысл независимой переменной (qn+1 = t). Тогда структуру
обобщённой силы с учётом свойств однородных функций можно
получить по виду функции Лагранжа исходной системы, так как
из (41) имеем равенства
n+1 = (L1 + 2L0 )˙− ∂L = L̇ − (L2 − L0 )˙− ∂L .
Q
∂t
∂t
(42)
Подставляя (39) в (42), находим
n
n+1 = L̇ − Q
i q̇i ,
Q
i=1
т. е. обобщённая сила, соответствующая времени в роли дополнительной обобщённой координаты, равна скорости изменения кинетического
потенциала, уменьшенной на величину «мощности» непотенциальных
обобщённых сил, соответствующих первым n обобщённым координатам.
6. Примеры величин, называемых «действие»
57
6. Примеры величин, называемых «действие»
Приведём некоторые примеры, показывающие разнообразие смысла,
вкладываемого в понятие «действие». Обсуждение применения этих
понятий при формировании принципов и получении моделей движения
составляет содержание последующих заметок.
6.1. Функционалы «действие». 1. Действие в форме Якоби.
Действием в форме Якоби называют функционалы, составленные на
основе действия по Лагранжу (3.10) при необходимости увеличить или
желании уменьшить число обобщённых координат.
Первая ситуация возникает при стремлении унифицировать формулы аналитической механики за счёт включения времени (или какойлибо функции от t) в число обобщённых координат.
Пусть в качестве независимого аргумента вместо времени t используется новый независимый параметр τ :
t = f (τ ),
(1)
и вводится новая «кинетическая энергия» T ∗ :
q
∗
T = t T q , t(τ ), ,
(2)
t
где штрих обозначает дифференцирование по параметру τ. Для действия движения с кинетической энергией (2) составляется функционал
τ1
τ0
T ∗ dτ =
t1
T dt,
τ0 τ τ1 ,
t0 = f (τ0 ) ,
t1 = f (τ1 ) .
(3)
t0
Действие (3) содержит время наравне с обобщёнными координатами, также как и их производные по τ . Однако можно заметить, что
зависимость функции T ∗ в (3) от t не совпадает по форме с зависимостью её от обобщённых скоростей. Функция T ∗ содержит слагаемые
первой, нулевой и минус первой степени относительно t , тогда как
относительно производных от обобщённых координат qi (i = 1, ... , n)
функция T ∗ состоит из однородных форм второй, первой и нулевой
степени. Поэтому полной идентичности между t и обобщёнными скоростями в выражении T ∗ нет. Это несоответствие устраняет подход, который предложил В. А. Вуйичич (см., например, [22]): дополнительная
координата q0 , совпадающая со временем, включается в кинетическую
энергию по соглашению
T = T2 + T1 q̇0 + T0 q̇02 .
(4)
Выражение (4) является квадратичной формой относительно скоростей q̇0 , q̇1 , ... , q̇n .
58
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
Якобиева форма действия живой силы для консервативной системы
может содержать меньшее число обобщённых координат, чем лагранжева форма действия. Достигается это тем, что одна из обобщённых
координат принимается в качестве независимой переменной вместо
времени. Функционал «действие» получается следующим путём.
Для консервативных систем, в которых T + Π = h = const, в качестве независимой переменной Якоби предложил выбирать одну из
обобщённых координат. Интеграл энергии в консервативной системе
можно использовать для исключения дифференциала времени с помощью равенства
2T (dt)2 =
aij dqi dqj = 2(h − Π)(dt)2 .
(5)
i, j
Величина dt выражается из (5) через дифференциалы обобщённых
координат:
1/2
1
1
dt =
aij dqi dqj .
(6)
2 (h − Π)
i, j
Подставляя это значение dt в выражение действия живой силы
в форме Лагранжа, получаем якобиеву форму действия живой силы:
(1)
q1
t1
2T dt =
R = 2(h − Π)
(7)
(0)
q1
t0
где
√
R dq1 ,
n
aij qi qj ,
qi =
i,j=2
dqi
,
dq1
i = 2, ... , n.
В случае обобщённо-консервативных систем можно также принять
в качестве независимой переменной одну из обобщённых координат [25].
2. Функционалы «действие» в механике сплошной среды описываются в работе [4].
3. Элемент действия в релятивистской динамике. Вопрос о физическом смысле функции Лагранжа в виде разности кинетической и потенциальной энергий получил разъяснение после создания специальной
теории относительности.
Пусть полная энергия частицы с массой покоя m0 в поле сил
с потенциальной энергией Π(q) есть E = m0 c2 + Π(q) (где c — скорость
света). Время наблюдателя t и собственное время t∗ частицы связаны
соотношением
dt∗ =
1−
v2
dt,
c2
где v — 3-скорость частицы (в пространстве).
6. Примеры величин, называемых «действие»
59
Преобразуем элемент действия E dt∗ [4] (в ньютоновском приближении v/c 1, Π/m0 c2 1):
v2
m v2
∗
E dt = E 1 − 2 dt = m0 c2 + Π(q) − 0 + ... dt.
(8)
2
c
После отбрасывания постоянного слагаемого m0 c2 в круглых скобках в (8) остаётся выражение функции Лагранжа со знаком минус.
К подобному же объяснению приводит преобразование элемента
действия [137] свободной частицы:
m0 c dσ = m0 c2
1−
v2
dt,
c2
(9)
где dσ — элементарная длина дуги траектории в 4-мерном пространстве–времени (в координатах Минковского):
dσ 2 = ε dx2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt2 ,
а ε берётся равным +1 или −1 так, чтобы сделать dσ действительным.
Физический смысл различия между плотностью действия в исходных выражениях (8), (9) и функцией Лагранжа как плотностью
действия по Гамильтону состоит в следующем: разные знаки соответствуют противоположным тенденциям влияния движения на изменение
действия; отброшенные слагаемые, степень малости которых выше,
чем v 2 /c2 , отражают эффекты, игнорируемые в классической механике; наличие постоянного слагаемого представляет интерес в проблеме
квантования и применения принципов в задачах на равновесие.
4. Функционал «действие» для волновой функции. Математический
аппарат квантовой (нерелятивистской) механики основан на описании состояния системы частиц с помощью волновой функции Ψ(q , t)
(Э. Шрёдингер). Квадрат модуля этой функции задаёт распределение
вероятностей значений координат: |Ψ| dV есть вероятность того, что
произведённое над системой измерение обнаружит значения координат в элементарном объёме dV конфигурационного пространства [54].
Волновая функция позволяет вычислить вероятности различных результатов произведённых измерений (под «произведённым измерением»
понимается взаимодействие частиц с «классическим» прибором без
предположения о наличии постороннего наблюдателя).
Систему уравнений для параметров, определяющих волновую функцию (в форме уравнений Эйлера–Лагранжа), можно получить из условия стационарности функционала [81]:
∂Ψ ∂Ψ∗
L Ψ, Ψ∗ ,
,
, ∇Ψ, ∇Ψ∗ dV dt,
(10)
∂t
∂t
60
Гл. I. Заметки о некоторых основных понятиях
где плотность действия
ih̄ ∂Ψ∗
∂Ψ
1
L =
Ψ − Ψ∗
(−ih̄∇Ψ)∗ (−ih̄∇Ψ) + Π (q) Ψ∗ Ψ. (11)
+
2
∂t
2m
∂t
Звёздочкой отмечены сопряжённые величины; i2 = −1; h̄ = h/(2π),
h — постоянная Планка; m — масса; ∇ — оператор Гамильтона. После
подстановки в (11) волновой функции специальной структуры:
√
Ψ = ρ exp (iS/h̄) ,
(12)
лагранжиан (11) принимает вид
√
∂S
1
h̄2
+
(∇S)2 + Π (q) +
(∇ ρ )2 .
L =ρ
∂t
2m
2m
(13)
Условие стационарности функционала (10) с лагранжианом (13)
приводит в квазиклассическом приближении к уравнению Гамильтона–
Якоби относительно функции S и уравнению неразрывности относительно плотности вероятности ρ.
Таким образом, имеем двухуровневую иерархию применения понятия «действие», соответствующую применениям механики в областях
явлений (микро- и макро-): действие как функционал (10) для волновой функции и действие S как функция в классической механике.
Соответственно для двух названных областей описания явлений
проблема квантования является двухуровневой, а в общем случае —
многоуровневой [124].
При построении квантовой механики к классическим принципам
добавляются две квантовые аксиомы в виде двух уравнений [40]:
p dq = nh
(квантовое условие),
(14)
hν = E1 − E2 (условие частот).
Здесь h — постоянная Планка; ν — частота излучения (она может не
быть целым числом); энергия E нормирована, исходя из некоторого
рационально выбранного нулевого уровня. «Первое уравнение определяет избранные или стационарные состояния атома и характеризует
их целым числом n («квантовое число»); второе определяет излучение,
испускаемое при переходе из некоторого начального в некоторое конечное состояние, посредством соответствующих энергий E1 и E2 » [40].
6.2. Функции «действие».
1. Действие в роли одноточечной и двухточечной характеристических функций, главной функции Гамильтона, производящей функции
для канонических преобразований, описано в работах [25, 137]. Например: «Определим двухточечную характеристическую, или главную,
функцию как лагранжево или гамильтоново действие (они равны) от
точки B ∗ до точки B вдоль луча. . .» (см. [137], с. 235). Эта функция
двух точек расширенного координатного пространства (пространства
6. Примеры величин, называемых «действие»
61
событий) может существовать или не существовать, может быть многозначной и т. д.
2. Изменение действия при ударе. При импульсивном движении
в случае обобщённых ударных импульсов, имеющих потенциал, действие по Гамильтону составляется как функционал разрывной вариационной задачи (кроме интегралов имеется слагаемое в виде функции,
определяющей изменение обобщённых импульсов при ударе) [107].
3. Действие как фаза волны вероятности. Действие S в (12) может
рассматриваться как фаза плоской волны вероятности [54].
4. В диссипативных системах Гамильтона–Якоби [63] функция S
комплексная:
S = S1 + iS2 , i2 = −1,
(15)
где S1 = Re S , S2 = Im S.
Функции S1 и S2 , рассматриваемые как производящие функции,
каждой обобщённой координате ставят в соответствие два обобщённых
импульса:
∂S
∂S
p(1) = 1 , p(2) = 2 .
∂q
∂q
Диссипативная система Гамильтона–Якоби задаётся двумя вещественными функциями f1 , f2 переменных q , t, p(1), p(2) и сводится к уравнению Гамильтона–Якоби с комплекснозначной функцией Гамильтона.
Перечень примеров действия может пополняться путём конструирования плотности действия для конкретных задач, в частности за счёт
более общих математических объектов, обладающих определёнными
инвариантными свойствами.
Г л а в а II
ЗАМЕТКИ О СПОСОБАХ ВИРТУАЛЬНОГО
ВАРЬИРОВАНИЯ
7. О дифференцировании
7.1. Дифференцирование функции при неявной зависимости
от параметров. Приведём правила частного дифференцирования при
определении условий стационарности функции (градиента функции)
при наличии ограничений. Будем пользоваться матричными обозначениями.
Скалярная функция
L(x, u),
x = [x1 , ... , xn ]T ;
u = [u1 , ... , ur ]T ,
(1)
зависит от n параметров состояния x1 , ... , xn и r параметров u1 , ... , ur ,
которые связаны соотношениями (f = [f1 , ... , fn ]T )
f (x, u) = 0.
(2)
Стационарной точкой функции (1) в задаче оптимизации вектора u с ограничениями в виде равенств (2) называется такая точка,
для которой dL = 0 при произвольном значении du, удовлетворяющем
равенству df = 0 (при этом dx изменяется в зависимости от du так,
чтобы не нарушалось условие df (x, u) = 0) [8].
Дифференциалы функций L и f имеют вид
dL = Lx dx + Lu du,
df = fx dx + fu du,
где
Lx =
∂L
∂L
, ... ,
,
∂x1
∂xn
⎛ ∂f1
⎜ ∂x1
fx = ⎝
(3)
(4)
, ... ,
∂f1 ⎞
∂xn ⎟
∂fn
∂f
, ... , n
∂x1
∂xn
⎠
(аналогично для Lu и fu ).
В стационарной точке должно выполняться равенство df = 0. Поэтому, если матрица fx невырождена, то уравнения (4) можно разрешить относительно dx:
dx = −fx−1 fu du.
С учётом (5) выражение (3) представляется в виде
dL = Lu − Lx fx−1 fu du.
(5)
(6)
63
7. О дифференцировании
Так как в стационарной точке dL должно быть равно нулю для
любого значения du, необходимо, чтобы выполнялись уравнения (их
число — r )
Lu − Lx fx−1 fu = 0.
(7)
Левая часть уравнения (7) представляет собой частную производную функции L по u при фиксированном значении f , тогда как Lu —
частная производная функции L по u при фиксированном значении
вектора x. Для того чтобы различать эти частные производные, применяются [131] два термина: «частная производная» и «полная частная
производная», с разными обозначениями:
∂L
= Lu
∂u
и
∂
{L} = Lu − Lx fx−1 fu
∂u
(8)
соответственно.
Очевидно, что прежде чем возникнет задача частного дифференцирования функции, необходимо составить эту функцию и определить
те постоянные условия, при которых находится полная частная производная.
П р и м е р. Механическая система представляет собой «связку» абсолютно твёрдого тела и материальной точки. Требуется составить
уравнение связи и найти градиент функции связи. Направление градиента функции связи должно определять направление натяжения
нити: связка состоит из абсолютно твёрдого тела и материальной точки, соединённых абсолютно гибкой нерастяжимой безмассовой нитью.
Изучается плоское движение: материальная точка, нить и сечение,
проходящее через центр масс O
тела, всё время находятся в одной плоскости. На рис. 7.1 показаны оси Oξ и Oη , связанные с телом
(ось Oζ перпендикулярна плоскости движения). Материальная точка соединена с телом нитью, второй
конец которой прикреплён в точке K с координатами (l0 , 0, 0), длина нити — l; сечение поверхности
тела плоскостью имеет вид окружности радиуса l0 . Нить натянута
Рис. 7.1
и имеет участок на поверхности тела. Обозначим через N реакцию
связи на материальную точку (сила натяжения нити), а через ρ и r —
радиусы-векторы положения материальной точки относительно центров G и O (G — центр масс системы, O — центр масс тела) соотM +m
ветственно. Введём безразмерный вектор ρ∗ = ρ
(M — масса
Ml
64
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
тела) с координатами x, y в системе координат Gxy (ось Oξ составляет с осью Gx угол Θ, который является обобщённой координатой,
определяющей поворот тела относительно осей Gxy ). Для описания
движения с наматыванием нити примем, что точка K крепления нити
находится на оси Oξ и обозначим через α угол между направлением на
точку касания в месте схода нити с поверхности тела (точка P ) и осью
Oξ. Ограничимся случаями, когда нить натянута и угол α > 0 (нить
имеет участок, намотанный в положительном направлении отсчёта
угла α).
Возможны разные формы записи условия постоянства длины нити.
Например, в виде уравнения
ϕ1 (x, y , α) = nα + x2 + y 2 − n2 − 1 = 0,
(9)
n=
l0
,
l
|α| <
l
,
l0
или уравнения [15]
ϕ2 (x, y , α) = −x sin (Θ + α) + y cos (Θ + α) + nα − 1 = 0.
(10)
В уравнениях (9), (10) угол Θ = const и n — тоже постоянная
величина. Кроме того, имеет место равенство
n − x cos (Θ + α) − y sin (Θ + α) = 0.
(11)
Выполнив частное дифференцирование функций ϕ1 и ϕ2 по x и y
(при α = const), получаем
x
y
x
y
=
(ϕ1x , ϕ1y ) = ,
,
,
x2 + y 2 − n2
x2 + y 2 − n2
1 − nα 1 − nα
(ϕ2x , ϕ2y ) = − sin (Θ + α), cos (Θ + α) .
(12)
(13)
Нетрудно проверить, что векторы (12) и (13) имеют разное направление, причём вектору N коллинеарен только вектор (13) (см. рис. 7.1).
При вычислении полных частных производных функций (9), (10)
учтём соотношения между углом α и координатами x, y :
x = n cos (Θ + α) − (1 − nα) sin (Θ + α),
y = n sin (Θ + α) + (1 − nα) cos (Θ + α).
(14)
Для дифференциалов dx, dy , dα из (14) имеем равенства
dx = −(1 − nα) cos (Θ + α) dα,
dα = −
dy = −(1 − nα) sin (Θ + α) dα,
cos (Θ + α)
sin (Θ + α)
dx −
dy ,
1 − nα
1 − nα
(15)
из которых получаем частные производные
αx = −
cos (Θ + α)
,
1 − nα
αy = −
sin (Θ + α)
.
1 − nα
(16)
65
7. О дифференцировании
С учётом (16) находим полные частные производные функции ϕ1 :
∂
{ϕ1 } = ϕ1x + nαx = − sin (Θ + α),
∂x
∂
{ϕ1 } = ϕ1y + nαy = cos (Θ + α),
∂y
(17)
которые совпадают с (13). Градиент функции ϕ2 при вычислении
полных частных производных при переменном α остаётся тем же
(см. (13)), поскольку при (11) ∂ϕ2 /∂α = 0 и
∂
{ϕ2 } = ϕ2x ,
∂x
∂
{ϕ2 } = ϕ2y .
∂y
Таким образом, оба уравнения связи, (9) и (10), позволяют найти
направление реакции нити и могут применяться как уравнения связи
при составлении уравнения для виртуальных вариаций.
7.2. Вариационная производная. Операции, выполняемые при
составлении уравнений движения в форме уравнений Лагранжа второго рода (см. (3.29)), представляют собой действие оператора Эйлера–
Лагранжа на функцию Лагранжа L (q , t, q̇):
εi (L) =
d ∂L
∂L
−
,
dt ∂ q̇i
∂qi
i = 1, ... , n.
(18)
Оператор с противоположным знаком называют также вариационной производной [29]:
∂
d ∂
δ
−
=
.
∂qi
dt ∂ q̇i
δqi
(19)
Пока независимая переменная — одна (например, t), никаких
неудобств с обозначениями производных не возникает: d/dt — полная
производная по времени, ∂/∂qi , ∂/∂ q̇i — частные производные по
обобщённым координатам и по обобщённым скоростям. Однако уже
здесь, рассматривая совокупность переменных Лагранжа (qi , t, q̇i ,
i = 1, ... , n) с учётом зависимости обобщённых координат и обобщённых скоростей от времени (qi (t), q̇i (t)), можно записать вариационную
производную (19) с помощью понятия полной частной производной:
∂L
∂ ∂L
−
(20)
.
∂qi
∂t
∂ q̇i
Если же независимых переменных несколько, например в случае
непрерывных систем (систем с распределёнными параметрами), то понятие полной частной производной позволяет более чётко записать
вариационную производную. Так, если независимых переменных две: s
и t, а варьируемый функционал для определения функции η(s, t) имеет
плотность действия (удельный лагранжиан):
L (η , s, t, η , η̇),
3 В. Г. Веретенников, В. А. Синицын
η =
∂η
,
∂s
η̇ =
∂η
,
∂t
66
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
то вариационная производная вычисляется по формуле
∂L
∂
∂L
∂ ∂L
−
−
.
∂η
∂s
∂η
∂t
∂ η̇
(21)
Вариационная производная (21) представляет собой оператор Остроградского (точнее Эйлера–Остроградского) и позволяет составлять
уравнения для определения функции η(s, t) из условия стационарности
действия.
8. Некоторые приёмы и способы варьирования
8.1. Синхронные вариации. Синхронные вариации обобщённых
координат и обобщённых скоростей, применённые в п. 3.2 при обосновании принципа Гамильтона с помощью общего уравнения динамики,
были связаны соотношением (перестановочность операций d и δ )
δ q̇i =
d(δqi )
.
dt
(1)
Более общим является приём вариационного исчисления [131], при
котором изохронно в момент времени t действительному состоянию
qi (t), q̇i (t) ставится в соответствие варьированное состояние, получаемое следующим образом. Действительное состояние включается в зависящее от некоторого параметра α семейство функций qi (t, α), q̇i (t, α)
и полагается содержащимся в нём при α = 0. Вариации получаются
вычислением производной по α при α = 0. При линейной зависимости
от α имеем
qi (t, α) = qi (t) + αξi (t),
Тогда
q̇i (t, α) = q̇i (t) + αηi (t),
δqi (t) = αξi (t),
i = 1, ... , n.
(2)
δ q̇i (t) = αηi (t).
В общем случае возможны неравенства ηi = ξ̇i . Время t не варьируется, поэтому вариации называются изохронными (их также называют
синхронными). Аналогичные действия производятся при варьировании
функций и функционалов. Например, синхронными являются виртуальные вариации, обладающие свойствами виртуальных перемещений
при фиксированном состоянии и времени.
8.2. Асинхронное варьирование. Варьируемыми можно считать
не только обобщённые координаты и обобщённые скорости, но и время.
Варьирование с изменением времени называется асинхронным [58].
В способе асинхронного варьирования, применявшемся ещё Лагранжем, обозначим операцию классического асинхронного варьирования
обобщённых координат и обобщённых скоростей через Δ:
Δqi (t) = δqi (t) + q̇i (t)Δt,
Δq̇i (t) = δ q̇i (t) + q̈i (t)Δt,
(3)
(4)
8. Некоторые приёмы и способы варьирования
67
где Δt(t) — произвольная бесконечно малая функция времени [58].
Операции варьирования δ в (3), (4) являются изохронными и переставимы с операцией дифференцирования по времени (см. (1)) (предполагается, что функции δqi (t), Δt(t) принадлежат классу функций C 2 ).
Геометрическая интерпретация асинхронного варьирования определяется равенствами (3), (4): пусть qi = qi (t) — некоторая траектория системы в действительном движении под действием активных
сил и реакций связей, согласующих движение с наложенными связями; наряду с траекторией действительного движения рассматриваются варьированные кривые такие, что точке qi в момент времени t
на действительной траектории соответствуют точки qi + Δqi в момент времени t + Δt на варьированной кривой. Точке M траектории
действительного движения ставятся в соответствие точка M1 , полученная синхронным варьированием, и точка M2 , полученная классическим асинхронным варьированием (рис. 8.1).
Из (3), (4) для операций Δ и d/dt
следуют соотношения [58]
d(Δqi )
d(Δt)
= Δq̇i + q̇i
.
dt
dt
(5)
Далее соотношения вида (5) между
Рис. 8.1
производной от вариации и вариацией
производной будем называть перестановочными соотношениями. Эти
соотношения в подынтегральных выражениях удобны при интегрировании по частям.
Операции асинхронного варьирования функции и функционала обозначим так же, как и вариации варьирования обобщённых координат,
через Δ. Напомним, что операция δ выполняется изохронно. Применительно к функции Лагранжа L и функционалу S (действие по
Гамильтону) имеем следующие выражения вариаций:
∂L
∂L
∂L
ΔL =
Δqi +
Δq̇i +
Δt,
∂qi
i
δL =
∂ q̇i
i
∂t
∂L
∂L
δqi +
δ q̇i ,
∂qi
∂ q̇i
t2
t2
ΔS = Δ L dt =
t1
(6)
ΔL + L
d(Δt)
dt,
dt
t1
t2
(7)
t2
δS = δ L dt =
t1
δL dt.
t1
Здесь t1 и t2 — начальный и конечный моменты времени.
3*
68
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
Асинхронное варьирование позволяет в варьированном движении
обобщённо-консервативных систем сохранить одинаковыми значения
интеграла энергии (изоэнергетическое варьирование). Изоэнергетическое варьирование движения можно считать следствием влияния дополнительно наложенных идеальных стационарных связей (см. [51],
Примечание Бертрана). Однако сам интеграл энергии как связь, требующую физической реализации с помощью реакций, Бертран не рассматривает. Выполнение условия изоэнергетичности достигается соотнесением действительного и варьированного состояний в разные моменты времени, в частности при прохождении начального и конечного
положений.
8.3. Варьирование по Гельмгольцу. Иной способ варьирования
применил Гельмгольц при выводе своего принципа (см. [113]). Далее
способ, применённый Гельмгольцем, будем называть варьированием
по Гельмгольцу. В отличие от асинхронного варьирования, в этом
способе время как переменная, не варьируется, но варьируется дифференциал времени dt. (Например, при введении новой независимой
переменной ϑ вместо t, когда принимается t = t(ϑ), t = dt/dϑ = 0.)
Обозначим через Δ вариации по Гельмгольцу и покажем, что это
варьирование перестановочно с операцией d/dϑ. Способ Гельмгольца
приведём в сравнении со способом асинхронного варьирования.
В качестве вариаций обобщённых координат в способе Гельмгольца
принимаются изохронные вариации
Δqi = δqi .
(8)
Производные от обобщённых координат по новой переменной
(qi = dqi /dϑ) примем со свойством перестановочности: Δqi = (Δqi ) .
Преобразуем это равенство с учётом варьирования дифференциала dt:
Δqi = Δ (q̇i t ) = t Δq̇i + q̇i Δt ,
то есть
d(Δqi ) t = t Δq̇i + q̇i Δt .
dt
(9)
Из (9) следуют перестановочные соотношения в способе Гельмгольца:
d(Δqi )
Δ(dt)
= Δq̇i + q̇i
.
dt
dt
(10)
Из сравнения (10) и (5) следует, что перестановочные соотношения
в способе Гельмгольца и способе асинхронного варьирования совпадают с точностью до обозначения (используем его и далее в способе
Гельмгольца):
d(Δt)
Δ(dt)
=
.
(11)
dt
dt
Равенство (11) показывает, что относительное изменение дифференциала времени (отношение вариации Δ(dt) к дифференциалу dt) в спо-
8. Некоторые приёмы и способы варьирования
69
собе Гельмгольца равно производной от бесконечно малой функции
Δt в асинхронном варьировании. Однако варьирование обобщённых
координат в способе Гельмгольца производится изохронно (см. (8)),
и это должно учитываться при варьировании функций и функционалов:
∂L
∂L
ΔL =
Δqi +
Δq̇i ,
(12)
∂qi
i
∂ q̇i
t1 Δ(dt)
dt.
Δ L dt =
ΔL + L
t1
dt
t0
(13)
t0
Варьирование по Гельмгольцу ставит в соответствие точкам qi
действительного движения точки qi + δqi в тот же момент времени
(точки M и M1 на рис. 8.1), а скорости в варьированном состоянии
q̇i + Δq̇i получаются с учётом соотношения (5) (операции Δ и дифференцирование d/dt не переставимы). Интегрированием равенства (11)
каждой кривой, полученной варьированием по Гельмгольцу, сопоставляется функция Δt в способе асинхронного варьирования.
П р и м е ч а н и е. В работе [22] операция асинхронного варьирования (3) в реономной голономной системе рассматривается как расширенное варьирование вспомогательной склерономной системы с n + 1
степенями свободы. Заметим, что для дополнительной обобщённой
координаты, которой считается время, в равенстве вида (3),
Δt = ṫΔt + δt,
(14)
виртуальная вариация δt должна быть равна нулю, так как виртуальные перемещения являются изохронными, т. е. (14) соответствует
тождеству Δt ≡ Δt. Последнее, само по себе очевидное обстоятельство меняет смысл величины Δt в равенствах (3): для склерономной
системы это вариация дополнительной обобщённой координаты. Следовательно, теперь равенства (3) могут рассматриваться как уравнения
для вариаций Δqi , Δt. Об условиях, которые налагают на вариации
связи, рассказывается в заметке 9.
8.4. Расширенное варьирование по Гельмгольцу. Положим, что
изменение дифференциала времени производится различно для каждой обобщённой скорости, т. е. вводятся несколько функций Δτ i (t)
со свойствами функции Δt. Тогда перестановочные соотношения примут вид
d(Δqi )
d(Δτi )
= Δq̇i + q̇i
.
(15)
dt
dt
Вместе с (8) равенства (15) составляют расширение способа Гельмгольца.
8.5. Вариации в скользящих режимах реализации связей. Выше рассматривалось варьирование непосредственно кинематических
70
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
параметров состояния (обобщённых координат, обобщённых скоростей
и времени). Влияние на вариации состояния может быть и опосредованным через некоторые параметры. Выбор закона изменения этих
параметров, при котором процесс был бы оптимальным, составляет
основную задачу теории управления (а сами эти параметры и называют управлениями). В несвободном движении роль управлений могут
играть неопределённые множители Лагранжа, с помощью которых
вводятся реакции идеальных связей.
Неопределённые множители входят в уравнения движения линейно
(первая форма уравнений Лагранжа). В уравнениях движения в форме
(5.26) реакции связей с неопределёнными множителями включаются
в правые части в число обобщённых непотенциальных сил.
Обозначим для краткости вектор фазовых координат через x и
положим, что в скользящем режиме реализуется одна связь. Тогда
уравнения движения автономной
системы запишутся в виде
ẋ = f0 (x) + λf1 (x),
(16)
где λ — скалярный неопределённый
множитель; f0 (x), f1 (x) — векторфункции фазовых координат.
Нахождение реакции связи из
условия минимума действия приводит к задаче поиска неопределённого множителя λ. В скользящем режиме (см. заметку 2) для λ возможны «игольчатые» вариации, «двуРис. 8.2
сторонние» вариации и более общие
«пакетные» вариации [23]. Двусторонняя вариация — вариация Келли
(H. T. Kelley) — показана на рис. 8.2 и описывается соотношениями
⎧
v , t ∈ [τ , τ + ε] ,
⎪
⎨
δλ = −v , t ∈ [τ + ε, τ + 2ε] ,
(17)
⎪
⎩
/ [τ , τ + 2ε] .
0, t ∈
Варьирование множителя λ соответствует изменениям ускорений.
9. Уравнения для виртуальных вариаций
Совокупность уравнений для виртуальных вариаций составляют
уравнения для виртуальных перемещений (задающие направления реакций связей) или уравнения для вариаций обобщённых скоростей и,
вообще говоря, времени. Уравнения для вариаций обобщённых скоростей необходимо рассматривать вместе с перестановочными соотношениями для операций dδ и δd, так как в числе стандартных операций
9. Уравнения для виртуальных вариаций
71
вариационного исчисления применяется приём «интегрирования по частям».
Составление уравнений для виртуальных вариаций демонстрируется на примере учёта неголономных связей. Показано, что уравнение
голономной связи с параметром является идеальной связью, когда оно
описывает огибающую. Обсуждаются правила виртуального варьирования связей при двух независимых переменных.
9.1. Уравнения для виртуальных вариаций при неголономных
связях. Пусть уравнения идеальных неинтегрируемых связей представлены уравнениями
fl (q , t, q̇) = 0,
l = 1, ... , r,
(1)
разрешимыми относительно обобщённых скоростей. Полагая, что
q̇1 , ... , q̇k — независимые обобщённые скорости, k = n − r, имеем
q̇k+l = ϕl (q1 , ... , qn , t, q̇1 , ... , q̇k ) ,
l = 1, ... , r,
(2)
где q1 , ... , qn , t, q̇1 , ... , q̇k — переменные Лагранжа. Виртуальные перемещения δqi , i = 1, ... , n, идеальных связей (1), согласно Остроградскому [79] и Четаеву [130], удовлетворяют условиям
n
∂fl
i=1
∂ q̇i
δqi = 0,
l = 1, ... , r,
(3)
принимающим для связей (2) вид
δqk+l =
k
∂ϕl
s=1
∂ q̇s
δqs ,
l = 1, ... , r.
(4)
Наиболее простым и удобным является предположение о переставимости операций дифференцирования и варьирования:
δ q̇i =
d
δq ,
dt i
i = 1, ... , ν.
(5)
Свойство (5) принималось для вариаций всех обобщённых скоростей
(ν = n) при «выводе» принципа Гамильтона для голономных систем
(см. заметку 3) и в подходе Гёльдера при обосновании интегрального
принципа неголономных систем [101]:
t1
δL dt = 0,
δqi (t0 ) = δqi (t1 ) = 0.
(6)
t0
В отличие от принципа Гамильтона, интегральный принцип Гёльдера (6) не является вариационным. Кроме того, в случае неголономных
связей кривые сравнения не удовлетворяют уравнениям неголономных
связей.
Сторонники другой точки зрения (П. В. Воронец, Г. К. Суслов) признавали переставимость операций дифференцирования и варьирования
72
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
для независимых обобщённых скоростей, число которых в (5) ν = k.
Для остальных обобщённых скоростей перестановочные соотношения
устанавливались с учётом связей.
Промежуточный между этими двумя точками зрения вариант
(k ν n) для связей, линейных относительно обобщённых скоростей,
предложен Ю. И. Неймарком и Н. А. Фуфаевым [74]. Очевидно, что
возможен также вариант выбора соотношений в (5) при 1 ν < k.
В последнем случае в выборе вариаций обобщённых скоростей остаётся
произвол, который может быть устранён путём введения дополнительных (произвольных) соотношений: в виде либо условных уравнений,
либо уравнений для вариаций (число их равно n − r − ν ).
При ν > k после выбора виртуальных перемещений число условий,
которым должны удовлетворять вариации обобщённых скоростей, избыточно (ν + r > n). Этим объясняется невозможность в общем случае
удовлетворить уравнениям связей (1) (или (2)) на варьированных кривых, т. е. δfl = 0.
Варьирование функций связи (1) после подстановки (5) с учётом
уравнений (3) даёт выражение
n n
∂fl
d ∂fl
δfl
δfl =
−
δqi ,
(7)
δqi =
i=1
∂qi
dt ∂ q̇i
i=1
δqi
где использовано обозначение вариационных производных (см. (7.19)).
Для функций fl , полученных из уравнений (2), выражения (7)
принимают вид
δfl = −
k
δϕl
s=1
δqs
δqs −
r
m=1
δϕl
δqk+m .
δqk+m
(8)
Если связь с номером l интегрируема, т. е. fl = dΦ/dt, где Φ(q , t), то
соответствующее выражение (7) тождественно равно нулю (δfl = 0).
Выражения (7) (или (8)) для неинтегрируемых связей могут также
обращаться в нуль в силу уравнений движения при нелинейной зависимости от обобщённых скоростей или при специальном выборе вариаций
δqi (см., например, [101]). В этих случаях варьированные состояния
удовлетворяют уравнениям связей.
При ν = k также можно обеспечить уравнения связей в варьированных состояниях. Приняв
δ q̇s =
d
δqs ,
dt
s = 1, ... , k,
δfl = 0,
l = 1, ... , r,
(9)
получим для зависимых вариаций обобщённых скоростей условия
δ q̇k+l =
k
d
δqk+l −
Ask+l δqs ,
dt
l = 1, ... , r,
s=1
Ask+l
r
δϕ
∂ϕl ∂ϕm
=− l −
.
δqs
∂qk+m ∂ q̇s
m=1
(10)
9. Уравнения для виртуальных вариаций
73
Связь, заданная уравнением вида (7), является голономной, если
существует некоторая функция Ψ(q , t) такая, что в каждый момент
времени выполняется равенство δfl = δΨ. Иначе говоря, для голономной связи имеем (см. (7)) общее уравнение
n d ∂fl
∂f
∂Ψ
δqi = 0,
− l+
(11)
i=1
dt ∂ q̇i
∂qi
∂qi
которое при учёте уравнений для виртуальных перемещений (3) соответствует системе n − r уравнений. Голономная связь позволяет уменьшить число обобщённых координат на единицу с помощью уравнения
Ψ(q , t) = 0, и тогда в варьированном состоянии выполняется уравнение
связи δfl = δΨ = 0.
9.2. Виртуальное варьирование связи, представляющей огибающую. Рассмотрим уравнения (7.9), (7.10), имеющие вид голономных
связей. Оба уравнения описывают одно и то же условие: постоянную
длину нерастяжимой нити, но форма их записи различна и кроме
координат имеется зависимость от угла α. Зависимость от угла представляет собой частный случай параметра (обозначим его тоже α)
в уравнении следующего вида:
F (x, y , α) = 0.
(12)
Из теории огибающей семейства кривых с параметром α известно,
что иногда существует кривая, которая касается каждой кривой семейства в одной или нескольких точках и состоит из этих точек касания.
Координаты точки касания определяются значением параметра α. При
предположении существования и непрерывности частных производных
по x, y и α от функции F (x, y , α) параметрические уравнения огибающей получаются как решения относительно x и y системы уравнений:
F (x, y , α) = 0,
∂F
= 0.
∂α
(13)
Из уравнений (7.9) и (7.10), описывающих одно и то же условие
связи, только второе удовлетворяет условиям (13). И именно из него
следует уравнение для виртуальных перемещений материальной точки
с координатами x, y :
∂F
∂F
δx +
δy = 0.
(14)
∂x
∂y
Таким образом, имеем уравнение для вариаций в форме (14), если
голономная связь с параметром (12) описывает огибающую.
Заметим, что уравнение для виртуальных перемещений можно получить и с помощью уравнения (7.9), для которого второе равенство
в (13) не выполнено, однако при этом нужно операцию частного
дифференцирования в (14) заменить операцией полного частного дифференцирования, предварительно вычислив частные производные от α
по x и y (см. пример в заметке 7).
74
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
9.3. О варьировании уравнения связи при двух независимых
переменных. Связи в системе с двумя независимыми параметрами
(время t и пространственный линейный параметр s) можно разделить
на три категории: условия, налагаемые при всех значениях параметра
(во всём диапазоне их изменения); условия, которые должны выполняться при фиксированных значениях одного параметра; и наконец,
условия, которые должны удовлетворяться интегрально для заданного
диапазона изменения параметров. Примеры связей первых двух категорий применяются в модели качения жёсткого колеса по деформируемому рельсу (см. заметку 21).
При вычислении вариации функционала переменные t и s выступают как равноправные аргументы. В составлении же уравнений для
виртуальных вариаций роль t и s, вообще говоря, различна. Чтобы
продемонстрировать это различие, возьмём связь, зависящую от двух
определяющих параметров u1 (s, t) и u2 (s, t) и их производных по t и s
(обозначим производные точкой и штрихом соответственно):
f (t, s, u1 , u2 , u̇1 , u̇2 , u1 , u2 ) = 0.
(15)
Реакцию идеальной связи (15), как и в дискретных механических
системах, будем задавать с помощью уравнения для виртуальных вариаций, получаемого из уравнения связи. В зависимости от наличия
в (15) производных по времени имеем два случая:
1)
∂f
= 0,
∂ u̇j
j ∈ 1,2;
2)
∂f
= 0,
∂ u̇j
j = 1,2.
В случае 1 имеем уравнение для виртуальных перемещений (матричная форма записи с обозначением u = (u1 , u2 )T ):
∂f
δu = 0,
∂ u̇
если
∂f
= 0,
∂ u̇j
j ∈ 1,2.
(16)
В случае 2 уравнение для виртуальных вариаций имеет вид
∂f
∂f
δu + δu = 0,
∂u
∂u
если
∂f
= 0,
∂ u̇j
j = 1,2.
(17)
Уравнения (17) для связей применяются в прикладных задачах
(см. гл. IV).
9.4. О неравенствах для виртуальных перемещений при
неудерживающих связях.
Неудерживающие связи, создающие
реакции, математически представляются в виде нестрогих неравенств.
Это связи, которые не могут быть нарушены (в отличие от связей,
которые не должны быть нарушены [12]). Если состояние системы
таково, что в условии связи выполняется строгое неравенство, то
10. О применении неопределённых множителей
75
в данном состоянии система свободна и никаких ограничений на
виртуальные перемещения такая связь не налагает.
Если же состояние системы согласовано с условием связи в виде
равенства (система находится «на связи»), то задачей несвободного
движения является определение влияния связи на движение системы,
а именно: «напряжена» связь (создаёт реакцию) или «ослаблена» (для
действительных ускорений точек выполняется строгое неравенство,
и реакция её равна нулю). Реакции
идеальных неудерживающих связей
удовлетворяют неравенству
Rk δrk 0, из которого следует неравенство
k
n
(Fk − mk wk ) δrk 0.
(18)
k=1
Отметим два важные положения, отличающие формирование множества виртуальных перемещений неудерживающих связей (см., например, [13]).
1. В множество включаются виртуальные перемещения, которые
оставляют систему «на связи», и те, при которых происходит её
мысленное «ослабление» (виртуальные перемещения пропорциональны
разностям соответствующих мысленных ускорений).
2. В общее неравенство (18), не опасаясь его нарушить, можно
подставить любые виртуальные перемещения, удовлетворяющие только
тем неравенствам, которые соответствуют связям, не ослабевающим
при действительном движении [7].
10. О применении неопределённых множителей
Учёту варьированного уравнения одной связи в варьированном уравнении другой связи с применением неопределённых множителей посвящена заметка М. В. Остроградского [80]. Эта заметка приведена
полностью с нашими примечаниями. В ней обсуждается применение
неопределённых множителей на разных этапах дифференцирования
функции, исследуемой на экстремум, а также представление реакций
идеальных удерживающих и неудерживающих связей. Сформулирована
задача оптимального особого управления с использованием в качестве
управлений неопределённых множителей.
10.1. «Заметка о равновесии упругой нити» (М. В. Остроградский). «Профессор Шультен первый указал в печати, что у Лагранжа
вкралась неточность при применении его метода вариаций к равновесию упругой нити ([51]); но Шультен не объясняет происхождение этой
неточности, ибо не говорит, по какой причине нельзя принять, как это
сделал Лагранж, что δ ds = 0.
Заметим, что дифференциалы, относящиеся к виртуальным перемещениям системы и обозначенные в «Аналитической механике» через
76
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
δ 1), изменяют свои свойства при применении множителей и не соответствуют тогда виртуальным движениям; так, условному уравнению,
например, L = 0, в уравнении равновесия системы, к которой относится
L = 0, соответствует член λδL, где δL не равно нулю; ибо δL равно
нулю только тогда, когда δ соответствует виртуальному перемещению,
между тем δ в λδL означает произвольное дифференцирование. Вследствие этого в аналитической механике нельзя положить ни δ ds = 0, ни
δd2 s = 0 в дифференциале δ величины
e=
Вместо
δe =
d2 x2 + d2 y 2 + d2 z 2 − d2 s2 2)
.
ds
d2 xδd2 x + d2 yδd2 y + d2 zδd2 z
ds d2 x2 + d2 y 2 + d2 z 2 − d2 s2
надо писать
δe =
d2 xδd2 x + d2 yδd2 y + d2 zδd2 z − d2 sδd2 s
eδ ds
−
.
ds
ds d2 x2 + d2 y 2 + d2 z 2 − d2 s2
Это последнее выражение для δe даст верные уравнения равновесия
упругой нити или, лучше сказать, верное выражение натяжения λ,
ибо легко видеть, что варьируемость ds ничуть не меняет уравнений,
относящихся ко всем точкам кривой, и влияет только на выражение λ.
Это замечание имеет общее значение, и его легко пояснить. В самом
деле, если есть некоторое условное уравнение L = 0, обусловленное
свойствами системы, и требуется прибавить к виртуальным моментам 3) сил, приложенных к системе, такую величину, как μδM , где
M — функция L, dL, d2 L. . ., то в общее уравнение равновесия системы
будет входить величина 4)
S(μδM + λδL).
Если положим δM = δP + QδL + RδdL + Sδd2 L + ... и примем во
внимание только величины под знаком S 5), то получим выражение
!
"
S μδP + λ + μQ − d (μR) + d2 (μS) − ... δL .
Эта же величина, в предположении, что δM = δP , т. е. когда δL = 0,
будет
S(μδP + λδL).
1)
Под операцией δ понимается варьирование.
Здесь e — угол смежности.
3)
«Момент» здесь означает виртуальную работу.
4)
Здесь S — знак интегрирования, когда оно возникает как предел суммирования по всем материальным точкам.
5)
После интегрирования по частям.
2)
10. О применении неопределённых множителей
77
Таким образом, варьируемость L, dL, d2 L, . . . только заменяет λ
на λ + μQ − d(μR) + d2 (μS) − ... Следовательно, пишем ли λ или
λ + μQ − d(μR) + d2 (μS) − ... , исключение даст всегда один и тот же
результат» [80].
П р и м е ч а н и я.
1. Учёт варьированного уравнения связи с неопределённым множителем позволяет считать множество виртуальных вариаций свободным
от условия, налагаемого на них этим уравнением, что вполне соответствует принципу освобождаемости от связи.
2. Утверждение 1 распространяется М. В. Остроградским и на связи, образованные «сложным» образом, когда функция связи M зависит
от функции L и её дифференциалов dL, d2 L ... связи L = 0, и показывает, как изменяется множитель при δL.
3. Исключение множителя при δL приводит к одним и тем же уравнениям равновесия, пишем ли мы λ или λ + μQ − d(μR) + d2 (μS)− ...,
однако разные множители определяют разные реакции при реализации
связей.
4. Принцип Даламбера позволяет распространить утверждения 1–3
на динамику, что и подтверждается при решении прикладных задач.
Однако остаётся сомнение в возможности безусловной зависимости
связей от функции и её последовательных дифференциалов второго
порядка и выше, которую допускает М. В. Остроградский. Ситуация
здесь, на наш взгляд, аналогична той, которая возникает, когда в число определяющих параметров системы, кроме параметра, входят его
первая и вторая производные по времени. Параметры, находящиеся
в таком отношении, связаны неголономным соотношением и тоже могут
учитываться с помощью неопределённых множителей.
Пример зависимого уравнения в вариациях даёт уравнение δe = 0,
т. е. варьирование, при котором сохраняется угол смежности (так называемое изоповоротное варьирование) при условии нерастяжимости
нити δ ds = 0.
10.2. Неопределённые множители в задачах на экстремум
функции. Необходимое условие стационарности (и выражение градиента) функции (7.1) при наличии ограничений в виде равенств (7.2)
можно получить и с помощью неопределённых множителей. Приведём
два подхода.
В первом подходе в стационарной точке равенства dL = 0 и df = 0
(см. (7.3), (7.4)) рассматриваются как система линейных алгебраических уравнений относительно векторов-столбцов dx и du. Из условия
совместности этих уравнений следует, что можно выбрать [8] n постоянных множителей λ1 , ... , λn так, что
Ly +
n
l=1
λl
∂fl
= 0,
∂y
(1)
78
где
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
y = (x1 , ... , xn , u1 , ... , ur ) .
(2)
Уравнение (1) показывает, что линейная комбинация строк матрицы
fy = ∂f /∂y должна быть равна вектору Ly . В скалярной форме система
уравнений (1):
Lxi +
Luj +
n
l=1
n
λl
∂fl
= 0,
∂xi
i = 1, ... , n,
(3)
λl
∂fl
= 0,
∂uj
j = 1, ... , r,
(4)
l=1
рассматриваемая вместе с уравнениями (7.2), позволяет найти u, x и λ.
Уравнение (3) можно разрешить относительно λ:
T
T
∂L
λ = − Lx (fx )−1 = −
.
(5)
∂f
u
Последнее равенство в (5) означает, что величины λl являются
частными производными от L по f при постоянном значении u и допустимом изменении x.
Во втором подходе неопределённые множители λl используются при
образовании вспомогательной функции H :
H (x, u, λ) = L (x, u) +
n
λl fl (x, u).
(6)
l=1
Полагается, что для некоторого номинального значения u из равенств (7.2) найдено соответствующее ему значение x, так что H = L.
Поскольку представляет интерес изменение H (и L) при изменении
вектора u, то λ выбирается так, чтобы ∂H/∂x = 0, откуда для λ следует
выражение (5).
Учитывая, что x определяется из соотношения f (x, u) = 0, получаем
dL ≡ dH =
∂H
du.
∂u
(7)
Таким образом, ∂H/∂u есть градиент L по u при выполнении условия f (x, u) = 0. Следовательно, необходимые условия стационарности
функции L (при f (x, u) = 0) представляются с помощью функции H (6)
в виде
∂H
∂H
= 0,
= 0.
∂x
∂u
Перечисленные условия позволяют найти u, x и λ.
Обратим внимание на то, что в этих двух подходах к учёту ограничений с применением неопределённых множителей последние вводятся на разных этапах дифференцирования функции, исследуемой на
экстремум. В первом подходе с неопределёнными множителями уравнения для дифференциалов учитываются, когда функция уже продифференцирована, а во втором формируется новая функция, в которую
79
10. О применении неопределённых множителей
включаются с неопределёнными множителями уравнения ограничений,
и затем уже дифференцируется эта новая функция. Результат одинаков
по той причине, что в обоих подходах выполнялись одинаковые дифференциальные операции.
Заметим, что варьирование также является дифференциальной операцией. Однако варьирование функции и составление уравнений для
виртуальных вариаций, вообще говоря, проводятся по разным правилам
(см. заметки 8, 9). Исключение составляют системы с идеальными
голономными связями при применении классического изохронного варьирования (см. п. 8.1). Во всех остальных случаях условия стационарности дадут разные уравнения в зависимости от того, на каком этапе
применяются неопределённые множители.
10.3. О представлении реакций идеальных связей. Пусть материальная точка движется по регулярной гладкой (без трения) поверхности (голономная связь):
f (x, y , z , t) = 0.
(8)
Функция поверхности непрерывна вместе с производными до второго
порядка включительно по своим аргументам. Связь может создавать
реакцию в направлении градиента функции и с помощью неопределённого множителя λ представляется произведением λ∇f (∇f = 0).
Уравнения движения материальной точки в декартовых координатах
принимают вид
mẍ = Fx + λ
∂f
,
∂x
mÿ = Fy + λ
∂f
,
∂y
mz̈ = Fz + λ
∂f
,
∂z
(9)
где F — равнодействующая активных сил, приложенных к материальной точке; m — масса материальной точки; x, y , z — координаты точки
в декартовой системе.
Число уравнений (8), (9) совпадает с числом неизвестных x, y ,
z , λ. Выражение множителя λ находится следующим образом. Дважды
дифференцируем по времени уравнение связи (8):
w∇f + d (r, v, t) = 0.
(10)
Здесь w и v — ускорение и скорость точки; d(r, v, t) — слагаемые
в продифференцированном уравнении связи, не содержащие ускорения.
Из (9), (10) находится выражение неопределённого множителя:
λ=−
F∇f + md
.
(∇f )2
(11)
Из (11) следует, что множитель Лагранжа λ, и следовательно,
реакция связи находятся по известной активной силе, массе точки и её
состоянию в данный момент времени (без каких-либо предположений
о способе реализации). Такие реакции называются идеальными.
80
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
В отсутствие трения направление реакции по нормали к поверхности ещё не обеспечивает свойство идеальности связи. На рис. 10.1
показано разложение реакции неидеальной связи на составляющие.
Направленная по нормали составляющая равна реакции идеальной
связи только для множителя λ, найденного по формуле (11). Малые
неидеальности, вызванные деформируемостью связи, могут означать
наличие неидеальной составляющей, обусловленной упругими силами,
возможно, в сочетании с силами вязкого трения, пропорциональными относительной составляющей скорости точки по отношению к поверхности [13].
Идеальные реакции не являются силами естественного взаимодействия материальных точек
системы с ограничениями, а представляют собой мысленный образ, искусственно реализуемый
Рис. 10.1
по описанной выше схеме (что
и оправдывает предложенный для
них термин — идеальные реакции). Можно отметить, что идеальные
связи, реализуемые идеальными реакциями, являются частным случаем сервосвязей (Бёген А.), и способ представления реакций идеальных
связей и сервосвязей един [13].
Способ реализации связи с помощью идеальных реакций освобождает нас от анализа физических свойств ограничений. При этом сужается класс рассматриваемых траекторий, так как идеальные реакции
находятся совместно с траекториями, являющимися дважды дифференцируемыми функциями времени.
10.4. Неопределённые множители при скользящем режиме.
Идеальные реакции и соответствующие траектории, как уже упоминалось, не отражают «физических» свойств, которые уже рассматривались на примере реализации голономной связи упругими потенциальными силами с бесконечно большим коэффициентом жёсткости
(см. заметку 2). Действительно, увеличение коэффициента жёсткости
упругой силы в пределе приводит ко всё более частому изменению
направления ускорения, т. е. к движению, называемому идеальным
скользящим режимом. В скользящем режиме траектория не имеет
того порядка гладкости, который соответствует идеальным реакциям.
В нём условия связи могут быть выполнены с заданной точностью
лишь на ограниченном отрезке времени. Найдём механический смысл
неопределённых множителей в реакции связи, полагая что реализация
голономной связи осуществляется потенциальными силами, а неголономной связи — диссипативными силами. Пусть система задана функ-
10. О применении неопределённых множителей
81
цией Лагранжа L в переменных Лагранжа и имеются две идеальные
связи — голономная и неголономная:
f (q , t) = 0,
ϕ (q , t, q̇) = 0.
(12)
Уравнения движения системы с неопределёнными множителями,
представляющими реакции идеальных связей, имеют вид
Ei (L) = λ
∂f
∂ϕ
+μ ,
∂qi
∂ q̇i
Ei = −
δ
.
δqi
(13)
В скользящем режиме условия связей (12) могут нарушаться, поэтому принимаем
f (q , t) = α,
ϕ (q , t, q̇) = β.
(14)
Введём потенциальную энергию и диссипативную функцию Релея:
cα2
,
2
kβ 2
,
2
N → ∞.
(15)
Если неголономная связь является линейной относительно обобщённых скоростей, то удвоенная функция R задаёт мощность сил линейного вязкого трения в относительном движении [13]. Множество моделей
(с той же функцией Лагранжа, но при разных значениях N в (15))
описывается уравнениями
Π=
R=
c = c0 N ,
Ei (L) = −
k = k0 N ,
∂Π
∂R
−
,
∂qi
∂ q̇i
c0 , k0 > 0,
i = 1, ... , n.
(16)
Сравнение (13) и (16) с учётом (14) показывает, что
λ = −cα,
μ = −kβ ,
(c = c0 N ,
k = k0 N ).
(17)
Равенства (17) определяют механический смысл множителей λ и μ.
При N →∞ значения α и β стремятся к нулю, а их произведения (17) — к значениям неопределённых множителей реакций идеальных связей. Однако в отличие от траектории с идеальными связями,
траектории в полученном таким путём скользящем режиме имеют
другой порядок гладкости.
В частности, второе уравнение в (12) может быть следствием первого, т. е.
∂f
f (q , t) = 0, ϕ = ∇f q̇ +
= 0.
∂t
Тогда и потенциальные, и диссипативные силы, заданные с помощью
функций (15), будут обеспечивать реализацию одной голономной свя
зи и
c
λ = −cα − kα̇ = −N k0 α̇ + 0 α .
k0
При достаточно больших N отношение коэффициентов c0 /k0 будет характеризовать быстроту затухания величины «деформации» связи (α).
82
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
Ещё более общий способ реализации связи можно обеспечить, учитывая присоединённые массы [43, 67].
10.5. О неопределённых множителях при варьировании функционалов. Пусть связь в системе с двумя независимыми аргументами
(например, временем t и линейной координатой одномерного деформируемого элемента s) и двумя функциями, зависящими от этих аргументов, имеет вид
f (t, s, u1 , u2 , u̇1 , u̇2 , u1 , u2 ) = 0.
(18)
Составление уравнений для виртуальных вариаций связи (18) обсуждалось в заметке 9. Если реакция идеальной связи задаётся с помощью
неопределённого множителя λ (s, t) , то вариация действия реакции,
в зависимости от того, является связь (18) неголономной или голономной, содержит слагаемое (u =(u1 , u2 )):
t2 s2
λ
∂f
δu ds dt
∂ u̇
(19)
t1 s1
или
t2 s2 ∂f
∂f
λ
δu + δu ds dt.
∂u
(20)
∂u
t1 s1
Сравним применение неопределённого множителя в задаче о несвободной механической системе с голономной связью с задачей вариационного исчисления. Выражение (20) после интегрирования по частям
преобразуется к виду
t2
t1
s2
∂f
λ δu dt +
∂u
s1
t2 s2 ∂f
∂
∂f
∂f
λ
− λ δu ds dt.
−
∂u
∂s
∂u
∂u
(21)
t1 s1
В (21) введено обозначение
s2
Φ(s, t)
= Φ(s2 , t) − Φ(s1 , t).
s1
Для сравнения приведём результат варьирования при решении вариационной задачи на экстремум функционала при условии (18). Функционал безусловной вариационной задачи содержит слагаемое
t2 s2
χf ds dt,
t1 s1
где χ(s, t) — неопределённый множитель.
(22)
83
10. О применении неопределённых множителей
Составляем вариацию (22):
t2
t2 s2
δ
χf ds dt =
t1 s1
t1
s2
∂f
χ δu dt +
∂u
s1
s
2
t2
∂f
χ δu ds +
∂ u̇
t
1
s1
t2 s2
∂f
χ δu ds dt −
∂u
t1 s1
t2 s2 ∂
∂f
∂ ∂f
∂f
∂f
−
χ
+
+ χ + χ̇
δu ds dt. (23)
∂s
∂t
∂u
∂ u̇
∂ u̇
∂u
t1 s1
Вид вариации (23) показывает, что условие стационарности функционала безусловной вариационной задачи содержит производную по
времени от неопределённого множителя (χ̇), и следовательно, для
определения χ требуются начальные условия, которые в механической постановке задачи отсутствуют (согласно принципу причинности
Ньютона движение должно определяться только состоянием системы в начальный момент времени). Поэтому траектории неголономной
системы будут принадлежать к решениям вариационной задачи при
дополнительных условиях. Можно показать, что в число этих условий
входят равенства
s2
t2
∂f
χ δu dt = 0,
∂u
s1
t1
∂f
∂ ∂f
∂ ∂f
∂f
χ
−
−
χ
−
δu = 0.
∂u
∂s
∂u
∂t
∂ u̇
(24)
∂u
10.6. О неопределённых множителях в других задачах.
1. О реакциях неудерживающих связей. Для неудерживающей идеальной связи неопределённый множитель может принимать значения
только одного знака. Если связь не напряжена, то множитель λ равен
нулю. В случае одной неудерживающей связи условие «ухода со связи»
математически соответствует моменту изменения знака неопределённого множителя. Однако если неудерживающих связей несколько, то
изменение знака неопределённого множителя одной (или нескольких)
связей ещё не означает, что именно данная связь (связи) ослабляется.
Это сигнал о том, что модель движения с одним составом напряжённых
связей (рассматриваемых как удерживающие) должна быть заменена
моделью движения с другим составом напряжённых связей. Задача
определения связей, ослабевающих или остающихся напряжёнными
в любой момент времени, решается с помощью принципа наименьшего
отклонения Больцмана–Болотова [7] и его обобщений [13, 109].
2. Бесконечно малый неопределённый множитель используется при
варьировании расширенного функционала «действие» (5.29) при посто-
84
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
янной функции энергии Ω = const (5.30) (см. заметку 5). Уравнение
для изоэнергетических вариаций (5.31) учитывается с помощью бесконечно малого множителя dw, определяющего параметр w. По параметру w ведётся дифференцирование при составлении уравнений
движения в гамильтоновой форме (5.32).
3. Неопределённые множители в изопериметрических задачах. Вариационные задачи со связями в виде постоянных значений функционалов называются изопериметрическими. Правило множителей в этих
задачах состоит в том, что для исследования на безусловный экстремум составляется функционал, в подынтегральное выражение которого
включаются подынтегральные выражения функционалов связей с постоянными множителями. Неопределённые множители в изопериметрических задачах являются константами [127].
4. В задаче оптимального управления движением неопределённые множители, представляющие реакции, можно рассматривать как
управления, обеспечивающие минимум функционала «действие». При
этом вместо условий на ускорения, которые позволяют находить идеальные реакции, для устранения неопределённости реакции можно использовать условия оптимальности управлений. Неопределённые множители входят в уравнения движения линейно, поэтому возможны
скользящие режимы и особые экстремали [23].
11. О принципе Герца.
Принцип наименьшей кривизны
Тенденции развития механики находят своё концентрированное отражение в принципах, которые, согласно Герцу, представляют основные
образы трёх «картин» механики. В современных курсах теоретической
механики технических университетов менее полно, чем «силовая» механика Ньютона, представлены «энергетическая» механика Лагранжа,
Гамильтона, Остроградского и «геометрическая» механика Гамильтона,
Герца, Каратеодори. В то же время именно последние две картины
находят широкое применение в современных естественно-научных физических и общединамических теориях.
Наиболее перспективна, по-видимому, тенденция рационального использования образов всех трёх картин [16]. К этому наименее подготовлен подход Герца. Классический принцип прямейшего пути сформулирован как «эмпирический основной закон», объединяющий «обычный
закон энергии и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно
утверждение» [27]. Позже Дж. Л. Синг с помощью введённого им
понятия относительной кривизны обосновал более общее утверждение
принципа, допускающее наличие силового поля [137].
На основе принципа наименьшего отклонения одного движения
от другого [13] здесь приводится дальнейшее обобщение принципа
11. О принципе Герца. Принцип наименьшей кривизны
85
наименьшей кривизны в координатном пространстве Герца. Оно применимо к системам с нестационарными и неудерживающими связями
на множестве траекторий мыслимых движений, в которых касательные
ускорения материальных точек равны касательным ускорениям в их
действительном движении. Из полученного принципа как частный
случай следуют обобщение принципа, данное Сингом, и принцип прямейшего пути Герца.
11.1. Принцип прямейшего пути Герца. Основные подходы
к изучению механического движения Герц описал в виде трёх «картин»
образов механики, приняв для анализа каждой теории критерии её
допустимости, правильности, целесообразности и простоты [27].
Первая картина даётся «силовой» механикой Ньютона, основанной
на представлениях о пространстве (евклидовом), времени (математическом, непрерывном, однородном), массе (одновременно инерционной
и тяжёлой) и силе как мере взаимодействия материальных тел. Вторую
картину составляет «энергетический» подход, использующий понятия
пространства (риманова), времени, массы и энергии и опирающийся на
интегральные принципы.
В основу третьей своей картины Герц положил категории пространства, времени и массы с широким использованием геометрии систем
материальных точек. При построении третьей картины движения Герц
дополнительно в качестве гипотезы полагает, что «одновременно действует нечто скрытое (не имеющее особой категории), являющееся
опять-таки движением и массой. . ., отличающееся от видимого не по
существу, а в отношении наших средств восприятия. Отношения, имеющиеся между пространством и временем, составляют кинематику,
а между массой и временем не существует никакой связи. Между
массой и пространством имеются важные эмпирические соотношения
(пространственные связи, касающиеся только относительного положения масс между собой в виде однородных линейных уравнений между
первыми дифференциалами положений)» [27].
Новый основной принцип прямейшего пути Герц сформулировал
как эмпирический «основной закон: каждое естественное движение
самостоятельной материальной системы состоит в том, что система
движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших
путей. Это положение объединяет обычный закон энергии и принцип
наименьшего принуждения Гаусса в одно утверждение. . . Если бы связи
были разрушены (на один момент), то массы рассеялись бы в прямолинейном и равномерном движении. . . Это первый и последний основной
принцип механики. Из него и допущенной гипотезы скрытых масс
дедуктивно выводится содержание механики» [27]. В предложенном
законе Герц усматривает также объединение первого закона Ньютона
и принципа наименьшего принуждения Гаусса, а в числе преимуществ
отмечает, что «метод бросает яркий свет на разработанный Гамильто-
86
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
ном способ рассмотрения проблем механики при помощи характеристических функций».
Проиллюстрируем применение перечисленных трёх подходов на
простом примере.
П р и м е р. Пусть наблюдается движение материальной точки, находящейся на идеальной сфере постоянного радиуса в отсутствие активных сил.
В «силовой» механике применяется принцип «освобождаемости от
связей», согласно которому в уравнения движения включаются реакции связей. В случае идеальных связей для представления реакций
используются неопределённые множители Лагранжа (первая форма
уравнений Лагранжа или, иначе, уравнения Лагранжа первого рода).
Для несвободного движения материальной точки на сфере имеем уравнения
3
∂f
mẍi = λ
, f=
x2i − R2 = 0,
(1)
∂xi
i=1
где m — масса материальной точки, xi — декартовы координаты точки,
R — радиус сферы.
При «энергетическом» подходе для описания движения составляется функционал, например действие по Гамильтону с функцией
Лагранжа L = T − Π, где кинетическая и потенциальная энергия имеют вид
mR2 2
ϕ̇ + ψ̇ 2 cos2 ϕ ,
T =
2
(2)
Π = 0.
Здесь R, ϕ, ψ — сферические координаты точки (рис. 11.1).
Из условий стационарности действия по Гамильтону следует, что
движение описывается уравнениями Лагранжа второго рода, с помощью которых получаем уравнения
движения материальной точки:
ϕ̈ − ψ̇ 2 sin ϕ cos ϕ = 0,
d
ψ̇ cos2 ϕ = 0.
dt
∂L
∂L
Поскольку
=0 и
= 0, урав∂t
∂ψ
нения имеют два первых интеграла
(интеграл энергии и циклический
интеграл для циклической координаты ψ ):
ϕ̇2 + ψ̇ 2 cos2 ϕ = h = const,
Рис. 11.1
ψ̇ cos2 ϕ = ψ̇0 cos2 ϕ0 .
11. О принципе Герца. Принцип наименьшей кривизны
87
Следовательно, без ограничения общности отсчёт обобщённых координат можно выбрать с учётом начальных условий так, что движение будет происходить по дуге окружности большого радиуса R (при
ψ̇0 = 0 точка движется по меридиану). Условие стационарности функционала выделяет из всех «окольных путей» действительное движение
(«прямой путь»).
Геометрическая картина движения по Герцу достаточно ясна: прямейшими на сфере являются дуги окружностей больших радиусов.
Центр сферы и направление скорости точки в каждый момент времени
определяют соприкасающуюся плоскость.
Приведём аналитическое обоснование того, что траектория действительного движения имеет наименьшую кривизну. Вектор кривизны k
кривой в трёхмерном пространстве определяется как производная единичного вектора касательной τ по длине дуги ds:
dτ
= k = kn,
ds
τ
=
dr
,
ds
т. е. k =
d2 r
.
ds2
(3)
Выражения элементарной длины дуги траектории в декартовых
координатах и обобщённых координатах ϕ и ψ имеют вид
ds2 =
3
dx2i ,
ds2 = r2 dϕ2 + cos2 dψ 2 .
(4)
i=1
Классический принцип прямейшего пути (при условии движения по
инерции, т. е. с постоянной кинетической энергией) выводится непосредственно из принципа наименьшего принуждения Гаусса. В качестве меры принуждения принимается отклонение сравниваемых мыслимых движений, среди которых находится и действительное движение,
от действительного же движения системы, полученной из данной освобождением от всех связей [7]. Поскольку активные силы отсутствуют,
свободная материальная точка имеет ускорение, равное нулю (равномерное прямолинейное движение), поэтому принуждение имеет вид
Zw =
1
mw2.
2
(5)
Здесь через w обозначено любое мыслимое ускорение, которое при
фиксированном времени и заданном состоянии удовлетворяет условию
связи
r w + v 2 = 0.
(6)
Задача выбора действительного движения в множестве мыслимых
с помощью принципа Гаусса сводится к решению задачи на минимум
функции (5) при условии (6), т. е. для исследования на безусловный
экстремум по ускорению имеем функцию
1
Z = mw2 + μ r w + v 2 ,
(7)
2
где μ — неопределённый множитель.
88
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
П р и м е ч а н и е 1. Термин «мыслимые движения» мы используем
как синоним для обозначения кинематически возможных движений
(в данном состоянии, в данный момент времени с мыслимыми по Четаеву ускорениями) (см. заметку 9). Для мыслимых ускорений специального обозначения не вводим (далее такое же обозначение используем
для ускорения в действительном движении), то же самое относится
и к кривизне.
Разложим ускорение точки на касательное и нормальное:
wτ = s̈τ,
wn = kv 2 n,
и учтём ортогональность векторов r и wτ . После этого функция Z (7)
и уравнение связи (6) принимают вид
1 Z = m wτ2 + wn2 + μ r wn + v 2 ,
(8)
2
v 2 − Rkv 2 cos α = 0,
(9)
где α — угол между вектором n и радиусом сферы; −π/2 < α < π/2.
Можно заметить (см. (9)), что кривизна траекторий кинематически
возможных движений не превосходит величины, обратной радиусу
сферы.
Функция (8) минимизируется по параметрам, характеризующим
мыслимое ускорение. Мыслимое касательное ускорение определяется
одним параметром (s̈), а нормальное — двумя параметрами: кривизной k и углом α, который равен двугранному углу между соприкасающимися плоскостями мыслимого и действительного движений. Условия
стационарности функции (8) по перечисленным параметрам имеют вид
∂Z
= ms̈ = 0,
∂s̈
∂Z
= mkv 4 − μRv 2 cos α = 0,
∂k
∂Z
= μkv 2 sin α = 0.
∂α
(10)
(11)
(12)
Равенство (10) показывает, что в действительном движении величина
скорости точки постоянна. Поскольку при v = 0 реакция связи не равна
нулю (μ = 0), из (12) следует, что sin α = 0; как следствие (9) находим
кривизну траектории действительного движения:
k=
1
.
R
(13)
С учётом сделанного выше замечания о кривизне мыслимых траекторий найденная кривизна (13) является наименьшей из них, а траектория, соответственно, прямейшей.
Неопределённый множитель μ определяет реакцию сферы на материальную точку и находится из уравнения (11). Отметим, что вывод
о равномерности движения (постоянстве кинетической энергии) явился
11. О принципе Герца. Принцип наименьшей кривизны
89
не следствием принципа наименьшей кривизны, а условием применения
этого принципа в его классической формулировке.
П р и м е ч а н и е 2. Пример показывает также необходимость уточнения области применения термина «прямой путь» для траектории
в действительном движении. Пусть движение материальной точки происходит в течение достаточно большого промежутка времени, так что
пройденный точкой путь будет иметь длину более половины длины
окружности радиуса R. Тогда, несмотря на то, что действительный
путь является в каждой точке «прямейшим» по Герцу и «прямым»
в интегральном смысле, он не будет кратчайшим, так как расстояние
между начальным и конечным положениями точки короче не по дуге
траектории, а по дуге, дополняющей её до полной окружности. Кроме того, для начального и конечного положений точки, являющихся
концами большого диаметра сферы, «прямых» путей бесконечно много.
Точки, через которые могут проходить два или целый пучок прямых
путей, называются сопряжёнными кинетическими фокусами. Известно,
что при достаточной близости начального и конечного положений (когда между ними нет фокуса, сопряжённого с начальным положением)
и в общем случае на действительной траектории достигается минимум
действия. Тогда прямой путь является кратчайшим в смысле функционала, определяющего «расстояние» между точками.
Геометрическая картина, рассмотренная в примере для одной материальной точки, естественным образом обобщается на систему материальных точек. Системе N материальных точек ставится в соответствие
геометрическая точка (изображающая точка) в евклидовом пространстве 3N измерений с координатами
xi =
μ
i
M
ξi ,
M=
3N
N
1
μi =
mk ,
3
i=1
μ3k−2 = μ3k−1 = μ3k = mk ,
k=1
(14)
k = 1, ... , N ,
где mk — массы материальных точек с номерами k; M — масса
системы; ξi (i = 1, ... , 3N ) — декартовы координаты материальных
точек. Координаты (14) далее будем называть координатами Герца.
Элемент дуги траектории, изображающей точки, имеет вид
dσ 2 =
N
3N
3N
1 1 mk ds2k =
μi dξi2 =
dx2i .
M
M
k=1
i=1
(15)
i=1
Аналогично векторам (3), но только размерности 3N , вводятся
радиус-вектор r(x1 , ... , x3N ), единичные векторы τ, n, векторы скорости v и ускорения w изображающей точки и вектор кривизны её
траектории K:
K=
d2 r
.
dσ 2
(16)
90
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
Дальнейший ход рассуждений проводится по той же схеме, что
и в приведённом выше примере.
Учитывая, что связи — только однородные относительно скоростей (катастатические [84]), имеем интеграл энергии (напомним, что
в классической формулировке обобщённые силы отсутствуют), поэтому
касательное ускорение равно нулю и принуждение как отклонение
движения системы от движения тех же, но свободных материальных
точек определяется только нормальными ускорениями. Минимум принуждения
1
1
1
Zw = M w2 = M wn2 = M v 2 K 2
2
2
2
находится при условии, что выполняются ограничения на ускорение,
следующие из уравнений связей (в данном случае в этих уравнениях
остаются только нормальные ускорения). При нахождении минимума
принуждения по ускорениям, кроме уравнения вида (10), подтверждающего, что движение изображающей точки будет равномерным,
и уравнений связей, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно компонент вектора кривизны и неопределённых
множителей. Найденный из этих уравнений вектор кривизны имеет
наименьший модуль, что соответствует действительному движению.
11.2. Некоторые направления развития принципа прямейшего пути. Отмечая незавершённость своей работы, Герц пишет:
«. . .честнее будет признать, что наше понятие допустимых связей носит
характер гипотезы, принятой в виде пробы». «Оказывается также, что
формы силовых функций могут иметь весьма общий характер, и мы
не устанавливаем для них никаких ограничений. Но с другой стороны,
остаётся ещё открытым вопрос, не существует ли среди форм, встречающихся в природе, хотя бы одна, которая не поддаётся такому объяснению» ([27], с. 55). Иначе говоря, Герц усматривал необходимость
продолжения исследований принципа как в направлении расширения
гипотезы о допустимых связях, так и в ответе на вопрос о существовании силовых полей, которые невозможно представить связями.
Напомним, что Герц рассматривал только связи, однородные относительно скоростей. Более общим является известный класс нестационарных связей, а ещё более общим — класс сервосвязей Бёгена [3].
Кроме того, не ожидая кардинального решения проблемы представления силовых полей с помощью реакций связей, можно одновременно
изучать принцип Герца для несвободных систем с учётом действующих сил. Конечно, «чистота» геометрической картины будет нарушена,
так как будут присутствовать образы первой картины, однако более
перспективно, по-видимому, использование образов всех трёх картин.
К обобщениям принципа относится также применение принципа для
систем с неудерживающими связями.
Приложение принципа к консервативным системам становится возможным на основе концепции Герца о кинетическом происхождении
11. О принципе Герца. Принцип наименьшей кривизны
91
потенциальной энергии. Согласно этой концепции потенциальная энергия консервативной системы всегда может быть рассматриваема как
кинетическая энергия так называемых «скрытых» движений. Скрытыми движениями называют такие движения, при которых изменяются
только циклические (скрытые) координаты. Циклические координаты
в данном случае вводятся искусственно, что приводит к изучению
«расширенной» системы.
Для учёта заданных (активных) сил, не являющихся, вообще говоря, потенциальными, и связей, допускающих применение принципа
наименьшего принуждения, в работе [137] вводится так называемая
динамическая кривизна Kd , равная положительному квадратному корню из выражения
N
1 F 2
Kd2 =
m k wk −
.
(17)
2
k=1
mk
Поскольку (17) совпадает с принуждением по Гауссу, принцип
наименьшей (динамической) кривизны Kd (17), сформулированный
Сингом, тождествен принципу наименьшего принуждения. Далее будем изучать свойства траектории, изображающей точки с помощью
понятия кривизны по Герцу (16) (геометрической кривизны [27]),
а также понятия относительной геометрической кривизны двух траекторий [137], определяемой как модуль разности векторов кривизны
этих траекторий. Например, если траектории 1 и 2 имеют векторы
кривизны K1 и K2 , то в равенстве
2
(K1 − K2 )2 = K12
(18)
величина K12 есть относительная кривизна траектории 1 по отношению
к траектории 2.
Понятие относительной кривизны позволяет использовать различные формы принципа наименьшего принуждения [13], полученные
сравнением отклонений движений друг от друга по мере принуждения Гаусса. Обоснование новых формулировок принципа наименьшей
кривизны для систем, в которых имеются и силовые поля, и связи, не
только однородные относительно скоростей (и не только удерживающие), даётся в п. 11.3.
11.3. Принцип наименьшей кривизны. Получим формулировку
принципа наименьшей кривизны для систем с идеальными удерживающими нестационарными связями с помощью принципа наименьшего
отклонения [7]. В этом принципе наряду с данной (несвободной) системой рассматривается так называемая освобождённая система: система, состоящая из тех же материальных точек, движение которых
ограничено лишь частью связей. Материальные точки освобождённой
системы находятся под действием тех же активных сил и имеют то же
состояние. В пространстве координат Герца (14) с евклидовой метрикой
92
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
имеем отклонение действительного движения от действительного же
движения освобождённой системы, равное
2
1
Z = M w − w0 ,
(19)
2
0
где w, w — действительное ускорение системы и действительное
ускорение освобождённой системы соответственно.
Составляем условие стационарности функции (19) в множестве
мыслимых движений с мыслимыми ускорениями w∗ :
δZ = M (w − w0 )(w∗ − w) = 0.
(20)
Каждое из ускорений в (20) представляется в виде суммы касательного
и нормального:
w = wτ + v 2 K ,
w0 = wτ0 + v 2 K0 ,
w∗ = wτ∗ + v 2 K∗ .
(21)
Для сравнения используем мыслимые движения, в которых мыслимые касательные ускорения равны касательному ускорению в действительном движении, т. е. wτ∗ = wτ . Тогда уравнение (20) после
подстановки (21) принимает вид
wτ − wτ0 + v 2 K − v 2 K0 v 2 K∗ − v 2 K = 0.
(22)
С учётом того, что векторы wτ , wτ0 ортогональны векторам K, K∗, при
условии v 2 = 0 из (22) получаем
K − K0 (K∗ − K) = 0.
(23)
Произведение в левой части (23) представляется в следующем виде:
2 1
2
1
1 ∗
K − K0 (K∗ − K) =
K − K0 + (K∗ − K)2 −
K − K0 .
2
2
2
(24)
Согласно (23) правая часть (24) равна нулю, откуда имеем равенство
2
2
K − K0 + (K∗ − K)2 = K∗ − K0 .
(25)
Каждой величине относительной кривизны в равенстве (25) можно поставить в соответствие стороны прямоугольного треугольника,
каждая из вершин которого условно обозначает траекторию одного из трёх движений: d — траектория
действительного движения, δ — траектория мыслимого движения, ∂ — траектория действительного движения освобождённой системы (рис. 11.2).
Катеты в этом треугольнике изображают относительную
кривизну траектории действительного двиРис. 11.2
жения относительно траектории освобождённой системы и относительную кривизну траектории любого мыслимого движения (имеющего касательное ускорение, равное касательному уско-
11. О принципе Герца. Принцип наименьшей кривизны
93
рению системы в действительном движении) относительно траектории
действительного движения, а гипотенуза — относительную кривизну
траектории мыслимого движения относительно траектории освобождённой системы.
Из (25) следуют неравенства
∗
2 2
∗
2
(26)
K − K0 > K − K0 ,
K − K0 > (K∗ − K)2 .
Неравенства (26) в координатном пространстве Герца выражают
принцип наименьшей кривизны систем с нестационарными удерживающими связями: на множестве траекторий мыслимых движений, в которых касательные ускорения материальных точек равны касательным
ускорениям в их действительном движении, траектория действительного движения системы со связями имеет наименьшую относительную кривизну по отношению к траектории действительного
же движения системы, полученной освобождением от любой части
удерживающих связей.
Приведём некоторые частные случаи применения полученного
принципа.
1. Пусть силовое поле активных (заданных) сил отсутствует, в качестве освобождённой системы принята система свободных материальных точек (освобождение от всех связей); соответственно, кривизна
траектории освобождённой системы равна нулю (K 0 = 0). Тогда неравенство (26) принимает вид
(K ∗ )2 > (K)2 ,
т. е. кривизна действительной траектории системы является наименьшей по сравнению с кривизной траекторий мыслимых движений, в которых касательные ускорения равны касательному ускорению системы
в действительном движении.
2. Пусть кроме условий, принятых в 1, дополнительно имеется
предположение, что все связи являются катастатическими. Тогда касательные ускорения в действительном движении (и мыслимых движениях, принятых к сравнению) равны нулю и из (25) следует принцип
прямейшего пути Герца, который можно рассматривать как обобщение
закона инерции Галилея: система движется по прямейшему пути (т. е.
по пути наименьшей кривизны) с постоянной по величине скоростью.
Равенство (25) получено как следствие принципа наименьшего отклонения при отыскании действительного ускорения в множестве сравниваемых мыслимых ускорений, различающихся только нормальными
составляющими (и следовательно, кривизной траекторий).
Аналогичный приём ограничения на принимаемые к сравнению
мыслимые ускорения позволяет получить из других форм принципа
наименьшего отклонения [13] соответствующие утверждения принципа
наименьшей кривизны. Например, из принципа наименьшего отклоне-
94
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
ния для систем с неудерживающими связями в форме Больцмана–Болотова [7, 13] получаем следующую форму принципа наименьшей кривизны: в координатном пространстве Герца на множестве траекторий
мыслимых движений, в которых касательные ускорения материальных
точек равны касательным ускорениям в их действительном движении,
траектория действительного движения системы со связями имеет
наименьшую относительную кривизну по отношению к траектории
действительного же движения системы, полученной освобождением
от всех неудерживающих и от любой части удерживающих связей.
Обобщение принципа, данное Сингом, и принцип прямейшего пути
Герца являются частными случаями полученных утверждений.
12. О принципах несвободных
динамических систем
Принцип освобождаемости от связей Н. Г. Четаев обобщил на системы, в которых кроме чисто механической части содержатся переменные параметры, описываемые обыкновенными дифференциальными
уравнениями первого порядка [129]. По современной терминологии такие системы называют динамическими. Если существуют ограничения
на движение, то мы имеем несвободную динамическую систему. В отличие от связей, создающих реакции только на материальные точки
механической системы, в уравнения для параметров несвободной динамической системы также включаются слагаемые, названные Четаевым
принуждениями реакций. Связи являются условиями, налагаемыми
на состояние материальных точек системы и на значения параметров
в каждый момент времени.
В заметке приведены свойство идеальности, принцип наименьшего
принуждения и принцип виртуальных скоростей для несвободных динамических систем.
12.1. Принцип освобождаемости по Четаеву. В задаче Четаева
о вынужденных движениях [129] предполагается, что силы, приложенные к материальным точкам, могут определяться не только состоянием
и временем, но и некоторыми параметрами. Изменение параметров
описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. Динамика свободной системы задана системой уравнений
второго порядка относительно координат точек и уравнений первого
порядка для параметров:
mk wk = Fk ,
μν ṗν = Φν , ... ,
k = 1, ... , n,
ν = 1, ... , m,
(1)
где mk — массы материальных точек; wk — ускорения; Fk — силы,
зависящие от состояния материальных точек, времени и значений параметров (rk , vk , t, pν ); μν — положительные функции координат точек,
12. О принципах несвободных динамических систем
95
времени и параметров; Φν — принуждения, являющиеся функциями
тех же аргументов, что и силы Fk .
Пусть состояние материальных точек и значения параметров в каждый момент времени удовлетворяют уравнениям связей (вообще говоря,
нелинейным относительно скоростей):
ψl (r1 , v1 , ... , rn , vn , p1 , ... , pm , t) = 0,
l = 1, ... , r < 3n + m.
(2)
Обобщение принципа освобождаемости, данное Четаевым, состоит
в том, что наложение связей вида (2) влияет и на процесс изменения
параметров через так называемые «принуждения реакций», которые
добавляются в виде слагаемых в уравнения для параметров. Уравнения
несвободной системы по Четаеву принимаются в виде [129]
mk wk = Fk + Rk ,
μν ṗν = Φν + Pν , ... ,
k = 1, ... , n,
ν = 1, ... , m,
(3)
где Rk — реакции связей, Pν — принуждения реакций.
Уравнения (3) рассматриваются вместе с уравнениями (2).
12.2. Свойство идеальности. Общее уравнение несвободных
динамических систем. Для задания реакций и принуждений реакций
система (2), (3) должна быть доопределена. В этих целях используем аналог свойства идеальности связей. Свойство идеальности связей
в аналитической механике вводится с помощью приёма сравнения
мыслимых движений из одного и того же состояния и может быть
записано в трёх эквивалентных формах:
n
(Rk · δrk ) = 0,
k=1
n
(Rk · δvk ) = 0,
k=1
n
(Rk · δwk ) = 0,
(4)
k=1
где δrk — векторы виртуальных перемещений, δvk — векторы виртуальных скоростей, δwk — векторы варьированных ускорений. Первая
и вторая совокупности векторов образуются из третьей умножением на
коэффициенты пропорциональности с размерностями [с2 ] и [с] [13].
Состояние системы с параметрическими связями задаётся в каждый момент времени t значениями радиусов-векторов rk , скоростей
точек vk и параметров pν . Дифференцированием по времени уравнений
связей (2) получаем уравнения, которым удовлетворяют мыслимые
ускорения точек и мыслимые скорости изменения параметров:
n
∂ψl
k=1
∂vk
wk +
m
∂ψl
ν=1
∂pν
ṗν + dl (r1 , v1 , ... , rn , vn , p1 , ... , pm , t) = 0,
l = 1, ... , r,
где dl — слагаемые, не содержащие wk и ṗν .
(5)
96
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
Соответственно для вариаций ускорений δwk и вариаций скоростей
изменения параметров δ ṗν (при фиксированном состоянии и фиксированном времени) из (5) имеем уравнения
n
∂ψl
k=1
δwk +
∂vk
m
∂ψl
ν=1
∂pν
δ ṗν = 0,
l = 1, ... , r.
(6)
В уравнениях (6) величины δwk и δ ṗν не обязательно являются
малыми. Приняв пропорциональные векторам δwk и δ ṗν бесконечно
малые виртуальные скорости (по Лагранжу) δvk и виртуальные изменения параметров δpν , имеем также
n
∂ψl
k=1
∂vk
δvk +
m
∂ψl
ν=1
∂pν
δpν = 0,
l = 1, ... , r.
(7)
Очевидно, что критерий идеальности параметрических связей в отсутствие параметров не должен противоречить равенствам (4). Поэтому естественно с помощью приёма сравнения мыслимых движений для
реакций и принуждений реакций параметрических связей (2) составить
равенство
n
m
(Rk δwk ) +
Pν δ ṗν = 0,
(8)
k=1
или
n
ν=1
(Rk δvk ) +
k=1
m
Pν δpν = 0.
(9)
ν=1
Таким образом, в качестве критерия идеальности параметрических
связей (2) принимается равенство (8) или эквивалентное ему равенство (9).
Умножим каждую группу уравнений (3) на δwk и δ ṗν соответственно и просуммируем по индексам k = 1, ... , n; ν = 1, ... , m. Из полученных сумм с учётом свойства идеальности (8) (или (9)) составляем
общее уравнение
n
(mk wk − Fk ) δwk +
m
(μν ṗν − Pν )δ ṗν = 0,
(10)
ν=1
k=1
или эквивалентное общее уравнение
n
k=1
(mk wk − Fk ) δvk +
m
(μν ṗν − Pν )δpν = 0.
(11)
ν=1
Общее уравнение (10) (и (11)) несвободных динамических систем (3) с идеальными связями (2) является необходимым и достаточным (при предположении реализуемости реакций и принуждений
реакций) условием того, что действительное движение системы для
заданных сил Fk и принуждений Pν согласовано с уравнениями связей [13].
12. О принципах несвободных динамических систем
97
Доказательство утверждения почти дословно повторяет доказательство классического принципа Даламбера–Лагранжа (см., например, [25]).
В отсутствие параметров pν уравнение (11) имеет вид общего уравнения, называемого принципом Журдена:
n
(mk wk − Fk )δvk = 0.
(12)
k=1
В общем уравнении (12) применяются виртуальные скорости
в смысле Лагранжа и М. В. Остроградского [79], поэтому оно
является следствием любой из двух других эквивалентных форм (4)
свойства идеальности связей. Для систем с параметрическими связями
вариантов общего уравнения осталось только два: (10) и (11).
Свойство идеальности в третьей записи в (4) приводит, как известно, к общему уравнению аналитической механики:
n
(mk wk − Fk )δwk = 0,
(13)
k=1
которое является условием стационарности функции принуждения по
Гауссу.
12.3. Принцип наименьшего отклонения. Уравнение с вариациями ускорений (10) также будем рассматривать как условие стационарности функции отклонения несвободного движения (3) со связями (2)
от свободного движения, описываемого уравнениями (1).
В качестве меры отклонения движения 1 от движения 2 в момент
времени t примем величину
Z=
n
m
(1)
2
1 (2) 2
m k wk − wk +
μν ṗν(1) − ṗν(2) ,
2
(1)
(2)
(1)
(14)
ν=1
k=1
(2)
где wk , wk и ṗν , ṗν — ускорения точек и скорости изменения
параметров в первом и во втором движении соответственно. Состояния
материальных точек и значения параметров в обоих движениях одинаковы. Приняв в (14) за первое мыслимое несвободное движение, а за
второе — движение системы, освобождённой от всех связей, получаем
функцию
n
m
1 F 2 P 2
Z=
mk wk∗ − k +
μν ṗ∗ν − ν .
(15)
2
k=1
mk
ν=1
μν
В (15) звёздочкой отмечены мыслимые ускорения точек и мыслимые
скорости изменения параметров, которые удовлетворяют уравнению (5)
независимо от действующих сил и принуждений. Действительные
ускорения wk и скорости изменения параметров ṗν принадлежат мно4 В. Г. Веретенников, В. А. Синицын
98
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
жеству мыслимых. В качестве вариаций ускорений и скоростей изменения параметров принимаются разности
δwk = wk∗ − wk ,
δ ṗν =
ṗ∗ν
− ṗν ,
k = 1, ... , n,
ν = 1, ... , m.
Функция (15) положительно определена, и условие её стационарности по wk и ṗν даёт общее уравнение (10).
Полагая, что общее уравнение (10) при условиях (5) и (6) имеет
единственное решение, сформулируем результат как принцип наименьшего отклонения: в любой момент времени из всех мыслимых движений истинное движение несвободной динамической системы с идеальными удерживающими связями имеет наименьшее отклонение от
движения системы, полученной освобождением от всех связей.
Обобщение принципа наименьшего отклонения для несвободных
динамических систем с идеальными связями можно получить в тех же
направлениях, что для принципа Гаусса [13]: при сравнения истинного
движения с движениями системы, полученной освобождением от части
связей, при наличии неудерживающих связей и т. д.
12.4. Общее уравнение динамики систем с вероятностными
связями. Пусть в каждый момент времени положение системы описывается набором обобщённых координат q1 , ... , qn механической части
и случайными параметрами p1 , ... , pm . Система задана функциями
T = T (q , q̇ , p, t),
Π = Π(q , q̇ , p, t),
R = R(q , q̇ , p, t),
(16)
где T , Π, R — кинетическая, потенциальная энергия и диссипативная
функция Релея соответственно.
Вектор случайных параметров p удовлетворяет стохастическому
дифференциальному уравнению Ито вида [71]
ṗ = ϕ(q, p, t) + ψ(q, p, t)V,
p(t0 ) = p0 ,
(17)
где ϕ(q, p, t) и ψ(q, p, t) — вектор-столбец и матрица размерности m × l
детерминированных функций, V = [V1 (t), ... , Vl (t)]T — вектор-столбец
белых шумов (равный производной по времени от произвольного случайного процесса с независимыми приращениями).
Во всякий момент времени t на движение системы наложены идеальные линейные относительно обобщённых скоростей и параметров
связи в виде уравнений
n+m
aij πj + ai = 0,
i = 1, ... , l < m,
(18)
j=1
где π — вектор с координатами q̇1 , ... , q̇n , p1 , ... , pm ; aij , ai — дифференцируемые функции обобщённых координат и времени. Уравнения
для виртуальных скоростей δ q̇1 , ... , δ q̇n и виртуальных изменений па-
12. О принципах несвободных динамических систем
99
раметров δp1 , ... , δpm (вектор виртуальных вариаций δπ) связей (18)
имеют вид
n+m
aij δπj = 0,
i = 1, ... , l.
(19)
j=1
Ковектор обобщённых сил, соответствующих обобщённым координатам, считаем допускающим представление
Q = Q(1) (q , q̇ , p, t) + Q(2) (q , q̇ , p, t) V,
где Q(1) и Q(2) — вектор-столбец и матрица размерности n × l.
Условие идеальности связей (18) позволяет исключить обобщённые
реакции и принуждения реакций при составлении общего уравнения:
n d ∂T
∂T
∂Π
∂R
−
+
+
− Qi δ q̇i + (ṗ − ϕ − ψV) δp = 0. (20)
i=1
dt
∂ q̇i
∂qi
∂qi
∂ q̇i
В уравнении (20) может быть проведена подстановка зависимых
виртуальных вариаций вектора δπ через независимые с помощью уравнений (19). После этого из общего уравнения (20), приравнивая нулю
коэффициенты при независимых виртуальных вариациях вектора δπ,
получаем n + m − l уравнений в стохастических дифференциалах Ито,
по которым с применением обобщённой формулы Ито можно составить
уравнения для распределений вектора состояния системы [71]. Полученные уравнения рассматриваются вместе с уравнениями связей (18).
Здесь система отличается тем, что учитывается влияние связи на изменение параметров через идеальные принуждения реакций по Четаеву.
12.5. Принцип освобождаемости для динамических систем.
Принцип освобождаемости от связей в механике (заключающийся во
введении в уравнения дополнительных слагаемых, называемых реакциями связей) распространяется на динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями при наличии
ограничений на фазовые координаты. Составлено общее уравнение
движения динамических систем с идеальными связями, частными случаями которых являются системы Н. Г. Четаева (см. п. 12.1) и системы
с производными высших порядков [88]. Теория применяется при построении уравнений для медленных переменных в системах с малым
параметром (не равным нулю). В качестве примера рассматривается
автоколебательная система с инерционным возбуждением, к которой
приводится динамическая система Лоренца (E. N. Lorenz) [73].
1. Принцип освобождаемости от связей. Реакции идеальных связей.
Принцип освобождаемости от связей для несвободных динамических систем получается как естественное обобщение приёма, применённого Н. Г. Четаевым в работе [129], а свойство идеальности связей
формулируется как результат расширенного применения гипотезы Гаусса о мыслимых движениях механической системы (см. [88]).
4*
100
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
Моделью физического процесса (или процесса другой природы)
является динамическая система, которая, будучи свободной (без ограничений), описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями:
ẋ = f (x, t), x ∈ Rn,
(21)
где x — вектор фазовых координат размерности n (фазовое пространство с евклидовой метрикой); координаты вектора f — дифференцируемые функции своих аргументов; t — время; точкой обозначена
производная по времени.
Пусть движение системы (21) вынужденно изменяется удерживающей связью, уравнение которой имеет вид
ϕ(x, t) = 0,
(22)
где ϕ — непрерывная дифференцируемая регулярная функция (для
простоты считаем, что она одна).
Известно, что связь (22) реализуется с помощью реакций — воздействий того же физического содержания, что и описываемые функциями
в правых частях соответствующих уравнений системы (21).
Принцип освобождаемости состоит в том, что несвободная система
рассматривается как свободная, которая описывается уравнениями
ẋ = f (x, t) + r∗
(23)
совместно с уравнением связи (22). В правых частях уравнений (23)
реакциями r∗ являются объективные воздействия, изменяющие составляющие фазовой скорости некоторых отмеченных (согласно свойствам системы) фазовых координат (обозначим этот вектор через x∗ =
= (x1 , ... , xl , 0, ... , 0), l n; координаты вектора r∗ c номерами от l + 1
до n принимаются равными нулю).
Например, в механических системах такие «отмеченные» фазовые координаты определяются аксиомами Ньютона (это обобщённые
скорости в механике Лагранжа и обобщённые импульсы в динамике Гамильтона). Если в системе (21) некоторые фазовые координаты
являются производными по времени от других фазовых координат,
то реакция вводится только в уравнение с производной наиболее
высокого порядка. В случае, когда динамическая система содержит
подсистему, являющуюся чисто механической, реакциями в этой подсистеме являются обобщённые силы, которые соответствуют силам
реакции.
Модель (22), (23) требуется доопределить: нужна информация,
относящаяся к проблеме реализации связей. Вопрос о способах реализации связей является одним из основных в динамике несвободных систем. Отвлечься от способа реализации связей, как и в аналитической
механике, позволяет представление о свойстве идеальности связей,
которое формулируется с помощью понятия о виртуальных вариациях
12. О принципах несвободных динамических систем
101
(в механике им соответствуют виртуальные перемещения, виртуальные
скорости, вариации ускорений по Гауссу).
Расширим область применения гипотезы Гаусса о виртуальном варьировании в механике следующим образом: при составлении уравнений для виртуальных вариаций неизменными принимаются время
и те фазовые координаты, в уравнения которых реакции не входят.
Соответственно получаем варьированное уравнение связи:
ϕx∗ · δx∗ = 0,
ϕx∗ =
∂ϕ
,
∂x∗
(24)
где δx∗ — вектор виртуальных вариаций (бесконечно малых виртуальных изменений координат вектора x∗, не нарушающих условие связи (22)).
Для множества виртуальных вариаций, удовлетворяющих уравнению (24), аксиоматически вводим критерий (необходимое и достаточное условие) идеальности связи:
r∗ · δx∗ = 0.
(25)
При предположении, что связь (22) является идеальной, реакция
представляется с помощью неопределённого множителя λ в виде r∗ =
= λϕx∗ . Множитель λ находится из уравнения, получаемого путём
дифференцирования уравнения связи с последующей подстановкой в
него уравнений несвободного движения.
2. Общее уравнение динамических систем.
С учётом свойства идеальности (25) и уравнений (23) получаем
общее уравнение динамических систем вида (21):
[ẋ − f (x, t)] · δx∗ = 0.
(26)
Общее уравнение (26) рассматривается вместе с уравнениями связей вида (22) и уравнениями для виртуальных вариаций вида (25). Для
динамических систем (23) общее уравнение (26) не содержит реакций идеальных связей, из него следует столько уравнений движения,
сколько имеется независимых виртуальных вариаций. Таким путём
из уравнений несвободной системы исключаются реакции идеальных
связей.
Частным случаем рассматриваемых динамических систем являются
системы с производными высших порядков [88] и системы, включающие механическую часть, описываемую дифференциальными уравнениями второго порядка (системы Четаева; см. п. 12.1).
Приложение принципа демонстрируется на примере автоколебательной системы с инерционным возбуждением [73] (в форме системы
Четаева) (см. заметку 29).
102
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
13. О применении вириалов.
Центральное вириальное равенство
Рассматривается применение вириала [13, 55] системы векторов,
являющихся динамическими величинами. Составлен вириальный дифференциальный принцип динамики физической системы, модель которой предложена В. В. Румянцевым [103] при обосновании принципа
Н. Г. Четаева. Обсуждаемый подход может быть использован при решении задач термомеханики.
13.1. О вириале количеств движения и вириале системы сил.
Вириалом системы векторов ak относительно некоторого центра называется скалярная величина
ak rk , где rk — радиусы-векторы точек
k
приложения векторов относительно центра [55]. Исторически понятие
о вириале введено Р. Клаузиусом в его теореме о вириале (см.,
# напри$
1 Fk rk
мер, [29]), в которой вириалом была названа величина −
2
k
(Fk — векторы сил, — знак усреднения по времени). Мы будем
пользоваться приведённым выше определением для физических величин, представляемых векторами.
Обозначим через V0 вириал количества движения системы материальных точек относительно центра O :
V0 =
mk vk r k ,
(1)
k
где mk и vk — массы и скорости материальных точек, k = 1, ... , N.
П р и м е р 1. Целесообразность использования понятия о вириале
количества движения показывает задача о соударении двух одинаковых
однородных шаров. Пусть движение шаров является поступательным
с одинаковыми по величине скоростями по прямой, соединяющей центры шаров, удар абсолютно упругий в предположениях стереомеханической теории, ударные активные силы отсутствуют. Как известно,
в доударном и послеударном состояниях системы одинаковы её основные динамические величины (количество движения, кинетический
момент и кинетическая энергия). Однако между шарами происходит
«обмен движениями», который перечисленные динамические величины
не отражают. В тех же условиях за время движения вириал количества
движения изменяется, и это изменение нетрудно найти с помощью
теоремы об изменении вириала количества движения.
Теорема об изменении вириала количества движения: производная по времени вириала количества движения системы, вычисленного
относительно некоторого центра, равна сумме удвоенной кинетической
энергии системы и вириала системы сил относительно того же центра.
Доказательство состоит в непосредственном дифференцировании
по времени обеих частей равенства (1). Дифференцируя выражение (1)
13. О применении вириалов. Центральное вириальное равенство
103
по времени и используя второй закон Ньютона, получаем равенство
(центр неподвижный)
V̇0 = 2T +
Fk rk ,
(2)
k
где T — кинетическая энергия системы. Что и требовалось доказать.
Для движения в осях Кёнига получаем равенство, аналогичное
равенству (2) и выражающее теорему об изменении вириала количества
относительного движения:
V̇cr = 2Tcr +
Fk ρk ,
ρk
= rk − rc ,
(3)
k
где V̇cr — вириал количества относительного движения в осях Кёнига,
вычисленный относительно центра масс C ; Tcr — кинетическая энергия
относительного движения в осях Кёнига; rc — радиус-вектор положения точки C в инерциальных осях.
Теорема об изменении вириала количества движения в интегральной форме. Интегрируя равенство (2) на фиксированном промежутке времени [t1 , t2 ], получаем равенство
V0 (t2 ) − V0 (t1 ) =
t2
t2
2T dt +
t1
Fk rk dt.
(4)
t1 k
П р и м е р 2. Приращение вириала количества движения системы,
описанной в примере 1, получаем по формуле (4). При вычислении
интегралов в правой части (4) с учётом исчезающе малой продолжительности удара первое слагаемое равно нулю, а второе равно вириалу
импульсов сил, создающих поле ускорений (однородное).
П р и м е р 3. Пусть система представляет собой абсолютно твёрдое
тело. Тогда из (3) следует равенство
Fk ρk = −2Tcr .
(5)
k
П р и м е р 4. Если движение системы материальных точек является
финитным, то усредняя по времени (на периоде или бесконечно большом промежутке времени) равенства (2), (3), в пределе имеем
1 Fk rk ,
2
T = − k
1 Fk ρk .
2
Tcr = − (6)
k
Первое равенство в (6) (теорема Р. Клаузиуса о вириале) является
одним из основных законов в кинетической теории газов.
13.2. Центральное вириальное равенство. Рассмотрим механическую систему с идеальными удерживающими связями, возможно, неголономными, зависящими от скоростей. Согласно принци-
104
Гл. II. Заметки о способах виртуального варьирования
пу освобождаемости уравнения движения материальных точек имеют вид
mk wk = Fk + Rk , k = 1, ... , N ,
(7)
где mk и wk — массы и ускорения точек; Fk и Rk — равнодействующие
активных сил и сил реакций, приложенные к точке с номером k
(обозначение Fk , в отличие от п. 13.1, сохранено только для активных
сил); N — число материальных точек.
Теорема об изменении вириала количества движения (2) для движений, описываемых уравнениями (7), имеет форму
V̇0 = 2T +
Fk rk +
k
(8)
Rk rk .
k
Применим к равенству (8) операцию изохронного варьирования (см. заметку 8). Переход в варьированное состояние осуществляется следующим способом: действительное состояние включается в зависящее
от параметра α семейство функций rk (t, α), vk (t, α) и полагается, что
оно содержится в этом семействе при α = 0. Операция варьирования
состояния заключается в вычислении производной по α (α = 0).
Обсуждение варьирования ускорений приведём ниже, а пока из
равенства (8) формально имеем
δ V̇0 = 2δT +
Fk δrk +
k
δFk rk +
k
Rk δrk +
k
δRk rk .
(9)
k
Положим, что вариации δrk являются виртуальными. Тогда
Fk δrk = δ A,
k
Rk δrk = 0,
(10)
k
где δ A — виртуальная работа активных сил. Второе равенство выражает свойство идеальности связей.
Подставляем (10) в равенство (9):
δ V̇0 = 2δT + δ A +
(δFk + δRk ) rk .
(11)
k
Обсудим варьирование в последней группе слагаемых в правой части (11) вместе с варьированием ускорений. Напомним, что виртуальные вариации δrk должны удовлетворять уравнениям для виртуальных
перемещений, число которых равно числу независимых удерживающих
связей (обозначим это число через l). Кроме того, виртуальным вариациям δrk могут быть поставлены в соответствие разности ускорений
wk − wk , где wk — мыслимые ускорения по Четаеву, удовлетворяющие
условиям связей в фиксированный момент времени в действительном
состоянии. Будем использовать только мыслимые ускорения, близкие
действительным, т. е.
δrk = τ δwk ,
δwk = wk − wk ,
k = 1, ... , N ,
(12)
13. О применении вириалов. Центральное вириальное равенство
105
где τ — не равный нулю скалярный множитель, имеющий размерность
квадрата времени.
Рассмотрим два варианта дальнейших преобразований равенства (11). Оба они связаны с имеющейся свободой выбора δrk ,
δvk , k = 1, ... , N.
1. Мыслимые ускорения wk будем рассматривать как имеющие
место в некотором движении в результате действия активных сил Fk
и соответствующих реакций Rk тех же связей, что и в исходной
системе. Тогда имеются уравнения, аналогичные (7):
mk wk = Fk + Rk ,
Обозначив через δFk = Fk − Fk и δRk
и (13) для вариаций δwk (12) находим
k = 1, ... , N.
(13)
Rk
=
− Rk , k = 1, ... , N , из (7)
равенства
mk δwk = δFk + δRk ,
k = 1, ... , N.
(14)
Последнюю сумму в (11) заменяем суммой из равенства (14). Получаем
равенство
δ V̇0 = 2δT + δ A +
mk δwk rk .
(15)
k
2. Приведём другой вариант вывода равенства (15). Наложим на
вариации δvk условия в виде перестановочных соотношений: δvk =
d(δrk )
, k = 1, ... , N. Тогда, как известно [58], имеем центральное
=
dt
уравнение Лагранжа:
d mk vk δrk = δT + δ A,
dt
(16)
k
вычитание которого из (11) даёт равенство
k
mk δwk rk =
(δFk + δRk ) rk .
(17)
k
С учётом (17) равенство (11) также принимает вид (15).
Таким образом, оба варианта преобразований (11) привели к равенству (15), которое, как и (16), можно назвать центральным. Однако
поскольку оно содержит вириалы вариаций ускорений по Гауссу, мы
назовём его более полно: центральное вириальное равенство.
Центральное вириальное равенство (15) может рассматриваться как
общее уравнение. Далее оно используется при выводе интегральных
принципов в вириальной форме (см. заметку 17).
Г л а в а III
ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРИНЦИПАХ
Составляются интегральные равенства, представляющие собой выражения изменения действия при варьировании. В качестве действия
рассматриваются классические действия по Гамильтону, по Лагранжу
и вириальная форма действия для систем Четаева–Румянцева. Обобщения интегральных равенств получены при рассмотрении истинной
траектории и варьированных кривых при совместном применении синхронного и асинхронного варьирования. Даётся обоснование расширенного принципа Гамильтона–Остроградского в теории реономных
систем. На основе способа варьирования по Гельмгольцу сформулированы новые обобщения принципа Гёльдера.
14. Центральное интегральное равенство
При совместном использовании синхронных и асинхронных вариаций получен расширенный аналог (обобщение) центрального уравнения Лагранжа. На основе этого уравнения составлено интегральное равенство (называемое здесь центральным интегральным равенством), связывающее действие по Лагранжу и действие по Гамильтону.
Полученное интегральное равенство позволяет находить синхронные
и асинхронные вариации действия при различных вариантах задания
условий варьирования концевых точек траектории. Из центрального
интегрального равенства как частные случаи следуют классические
принципы стационарного действия и другие интегральные выражения
изменения действия при варьировании.
14.1. Центральное уравнение Лагранжа при асинхронном варьировании. Центральным уравнением Лагранжа по предложению
Гамеля называют равенство [58]
N
d mk vk δrk = δT + δ A,
dt
(1)
k=1
где mk vk — количества движения, δrk — виртуальные перемещения
материальных точек; T — кинетическая энергия системы; δ A — виртуальная работа всех активных сил.
107
14. Центральное интегральное равенство
Уравнение (1) получается непосредственным дифференцированием
с последующим учётом общего уравнения динамики при предположении свойства переставимости
d(δrk )
= δvk ,
dt
k = 1, ... , N.
(2)
В отсутствие свойства (2) имеем общее центральное уравнение Лагранжа [58]:
N
N
d d(δrk )
mk vk δrk = δT + δ A +
mk vk
− δvk .
(3)
dt
k=1
dt
k=1
Предполагая использовать далее асинхронные вариации:
Δrk = δrk + vk Δt,
k = 1, ... , N ,
(4)
составим также «элементарную работу количеств движения» на перемещениях Δrk :
N
(5)
mk vk Δrk .
k=1
Вычислим производную по времени от выражения (5), предварительно сделав подстановку (2) и учитывая (1):
N
d d
mk vk Δrk = δ A + δT + (2T Δt).
dt
dt
(6)
k=1
Равенство (6) является обобщением центрального уравнения Лагранжа. В частном случае, при Δt ≡ 0, из (6) следует центральное уравнение Лагранжа (1). В отсутствие свойства (2) с учётом общего центрального уравнения Лагранжа (3) получаем равенство
N
N
d(δrk )
d d
mk vk Δrk = δ A + δT + (2T Δt) +
mk vk
− δvk .
dt
dt
k=1
k=1
dt
(7)
Равенство (7) является расширенным аналогом общего центрального
уравнения. Из (7), в частности, следуют уравнения (6), (3), (1).
14.2. Центральное интегральное равенство. Будем называть
интегралы по времени на промежутке [t0 , t1 ] от центральных равенств
центральными интегральными равенствами. Интегрируя по времени
равенство (6), получаем
t1
t0
(δT + δ A) dt =
k
t1
t1
mk vk Δrk − (2T Δt)
.
t0
t0
(8)
Заметим, что произведение 2T Δt имеет смысл элементарного действия по Лагранжу на промежутке времени Δt (Δt(t) — бесконечно
малая функция времени). При использовании обобщённых координат
108
Гл. III. Об интегральных принципах
в равенстве (8) следует учитывать условия, налагаемые на виртуальные
перемещения неголономными связями (и условия голономных связей,
не учтённых выбором обобщённых координат).
14.3. Об изменении действия по Гамильтону и действия по
Лагранжу при синхронном и асинхронном варьировании. Левая часть интегрального равенства (8) представляет собой выражение, которое равно нулю при предположениях принципа Гамильтона–
Остроградского. Действительно, если кривые сравнения получаются
изохронным виртуальным варьированием (Δt ≡ 0) и при условиях на
концах
δrk (t0 ) = δrk (t1 ) = 0,
(9)
то при этом также и Δrk (t0 ) = Δrk (t1 ) = 0 (см. (4)), т. е. правая
часть (8) будет равна нулю, и тогда приходим к принципу Гамильтона–
Остроградского:
t1
(δT + δ A) dt = 0.
(10)
t0
Представим центральное интегральное равенство (8) в виде формулы для изохронной вариации действия по Гамильтону. Для этого
в составе активных сил выделим потенциальные силы, виртуальная
работа которых равна −δΠ, и введём функцию Лагранжа L = T − Π.
—
После этого равенство (8) можно записать в следующей форме (δ A
виртуальная работа активных непотенциальных сил):
t1
t1
t1
dt + mk vk Δrk − 2T Δt .
δ L dt = − δ A
(11)
t0
t0
k
t0
В частности, если кривые, полученные асинхронным варьированием, проходят через концы истинной траектории в моменты времени
t0 + Δt(t0 ), t1 + Δt(t1 ):
Δrk (t0 ) = Δrk (t1 ) = 0,
k = 1, ... , N ,
(12)
то для изохронной вариации действия по Гамильтону получим формулу
t1
t1
t1
dt − (2T Δt)
.
δ L dt = − δ A
t0
t0
t0
(13)
Таким образом, равенство нулю изохронной вариации действия по
Гамильтону:
t1
δ L dt = 0,
t0
14. Центральное интегральное равенство
выполняется при условии (12) и равенстве
t1
t1
dt + (2T Δt)
= 0,
δ A
t0
t0
109
(14)
т. е. если сумма интеграла от виртуальной работы непотенциальных
сил и приращения виртуального действия по Лагранжу (2T Δt) на
промежутке времени [t0 , t1 ] равна нулю.
Принцип стационарного действия Лагранжа для голономных консервативных систем:
t1
Δ 2T dt = 0,
(15)
t0
выведем также из центрального интегрального равенства (8).
С учётом условий, при которых получено равенство (15), центральное интегральное равенство (8) можно переписать в виде
t1 d
2δT + 2 (T Δt) dt = 0.
dt
(16)
t0
Преобразуем подынтегральное выражение (16) к виду
2δT + 2Ṫ Δt + 2T
d
d
(Δt) = 2ΔT + 2T (Δt)
dt
dt
(17)
и используем асинхронную вариацию интеграла [58]:
t1 d
Δ F dt =
ΔF + F (Δt) dt.
t1
t0
dt
(18)
t0
Поэтому из (16) окончательно получаем принцип стационарного
действия Лагранжа (15).
Для вывода формулы асинхронной вариации действия по Гамильтону обратимся к интегральному равенству (11). При условиях на
концах (12) перепишем (11) в следующей форме:
t1 δL +
t0
d
(2T Δt)
dt
t1
dt.
dt = − δ A
(19)
t0
Для подынтегрального выражения (19) составим цепочку равенств:
δL + 2Ṫ Δt + 2T
d
d
(Δt) = ΔL + ĖΔt + 2T (Δt) =
dt
dt
d
d
= ΔL + L (Δt) + (EΔt),
dt
dt
где E = T + Π — полная механическая энергия.
(20)
110
Гл. III. Об интегральных принципах
Подставляя результат преобразования (20) в (19), находим интегральное равенство
t1
t1
t1
dt − (EΔt)
.
Δ L dt = − δ A
(21)
t0
t0
t0
При асинхронном варьировании из (21) следует условие стационарности действия по Гамильтону:
t1
Δ L dt = 0,
(22)
t0
если приняты предположения (12) и выполнено равенство
t1
t1
δ A dt + (EΔt)
= 0.
(23)
t0
t0
Из (21) нетрудно получить также выражение асинхронной вариации
действия по Лагранжу для неконсервативных систем:
t1
Δ 2T dt = −2 δ A dt − (2T Δt)
.
t1
t1
t0
t0
t0
(24)
Изохронная вариация действия по Лагранжу непосредственно следует из центрального интегрального равенства (8) (или из (24)): при
условиях на концах (12) получаем
t1
t1
t1
δ 2T dt = −2 δ A dt − (4T Δt)
.
(25)
t0
t0
t0
Для полноты выпишем ещё одно несколько более общее, чем принцип
Гамильтона–Остроградского (10), интегральное равенство:
t1
t0
t1
(δT + δ A) dt = − (2T Δt)
.
t0
(26)
Полученные интегральные равенства (13), (21), (24)–(26) представляют собой различные частные формы записи центрального интегрального равенства (8). Однако, как известно, полезность формулы
определяется не только содержанием, но и формой её представления
и, добавим ещё, способом, которым она получена. Поэтому сделаем
следующие примечания.
1. Действие здесь рассматривалось как характеристика, не зависящая от способа варьирования.
2. Интегральные равенства, в которых фигурируют только изохронные вариации и функция Δt(t), можно получить также приме-
15. О принципе Гамильтона–Остроградского
111
нением способа варьирования по Гельмгольцу (см. заметку 8). Примечательно, что в формулах фигурируют только значения вариаций
времени на концах промежутка [t0 , t1 ]. Поэтому для того, чтобы, например, равенство (26) приняло вид принципа Гамильтона–Остроградского (10), достаточно положить Δt(t0 ) = Δt(t1 ) = 0 (не требуется
условия Δt(t) ≡ 0).
3. Условия вида (14), (23) полезны тем, что выделяют множество сравниваемых варьированных кривых, в котором действие имеет
стационарное значение. Ситуация противоположна той, когда ищется
условие стационарности при ограничениях; здесь, напротив, получены
условия (ограничения на варьирование), при которых истинное движение доставляет функционалу «действие» стационарное значение.
15. О принципе Гамильтона–Остроградского в теории
реономных систем
Стремление к унификации формул аналитической механики приводит к идее рассматривать реономные системы как склерономные
с n + 1 обобщённой координатой, включив в это число время. Здесь
изучается вспомогательная склерономная система, построенная на основе функционала «действие» по Якоби. Обсуждается обоснование
расширенного принципа Гамильтона–Остроградского вспомогательной
системы с применением асинхронного варьирования. Получены уравнения движения и условия трансверсальности.
15.1. Принцип Гамильтона–Остроградского. Согласно этому
принципу движение реономной системы с n степенями свободы удовлетворяет интегральному равенству
t2
t2
t1
t1
δ L dt + δ A dt = 0,
δ A =
n
i δqi ,
Q
(1)
i=1
i —
где L — функция Лагранжа, δqi — виртуальные перемещения, Q
непотенциальные обобщённые силы. Промежуток времени и концы
траектории фиксированы, варьирование функционала «действие» по
Гамильтону в (1) — изохронное.
15.2. Асинхронное варьирование действия вспомогательной
склерономной системы. Исходной реономной системе (1) сопоставляется вспомогательная склерономная система по способу Якоби
(см. п. 6.1). В этой системе время t рассматривается как дополнительная обобщённая координата и вводится независимый аргумент τ
112
Гл. III. Об интегральных принципах
(t = f (τ ), df /dτ > 0). Вспомогательная система задаётся функцией L∗
Лагранжа:
q
L∗ = T ∗ − Π∗ , T ∗ = t T q , t, , Π∗ = t Π (q , t) ,
(2)
t
∗
где T — новая кинетическая энергия (6.2), Π∗ — новая потенциальная
энергия, штрихом обозначены производные по τ.
Действие по Гамильтону вспомогательной системы представляет
функционал
τ
2
L∗ dτ ,
tj = f (τj ) ,
j = 1,2.
(3)
τ1
Начальное и конечное значения аргумента (τ1 и τ2 ) фиксированы.
Воспользуемся асинхронными вариациями обобщённых координат (8.3), для которых после перехода к новому аргументу τ имеем
равенства
t Δqi − qi Δt = t δqi , i = 1, ... , n.
(4)
Операции Δ и d/dτ переставимы, т. е.
Δqi = (Δqi ) ,
Δt = (Δt) .
(5)
Будем в дальнейшем равенства (4) рассматривать как связи, а равенства (5) использовать при интегрировании по частям.
Вначале проделаем обычные операции вариационного исчисления
при варьировании Δ на примере функционалов, составляющих действие (3). Варьируем интеграл функции T ∗ :
τ2
τ2
τ1
τ1
Δ T ∗ dτ =
ΔT ∗ dτ.
(6)
Раскроем в (6) подынтегральное выражение:
∂T ∗
∂T ∗
∂T ∗
∂T ∗
∗
ΔT =
Δqi + Δt +
Δt.
Δqi +
∂qi
∂qi
i
∂t
∂t
(7)
Слагаемые в правой части (7), содержащие Δqi и Δt, с учётом перестановочных соотношений (5) интегрируются по частям. В результате
выражение (6) преобразуется следующим образом:
∗
τ2
τ2
∂T
∂T ∗
∗
−
ΔT dτ =
Δqi +
Δt i
τ1
τ
2
−
τ1
∂qi
d ∂T ∗ i
dτ
∂qi
∂t
∂T ∗
−
Δqi dτ −
∂qi
τ1
τ
2 τ1
d
dτ
∂T ∗
∂t
−
∂T ∗
Δt dτ.
∂t
(8)
15. О принципе Гамильтона–Остроградского
113
Найдём вариацию Δ интеграла от функции Π∗ :
τ2
τ2
τ1
τ1
Δ Π∗ dτ =
ΔΠ∗ dτ ,
(9)
где Π∗ = t Π(q , t), Π(q , t) — потенциальная энергия исходной системы.
Во вспомогательной системе функция Π∗ линейно зависит от t,
что придаёт ей форму обобщённого потенциала. Если же обобщённый
потенциал V (линейно зависящий от обобщённых скоростей [25]) имеется в исходной системе:
V =
Πi (q , t)q̇i + Π0 (q , t),
(10)
i
то во вспомогательной системе ему соответствует функция V ∗, также
имеющая форму обобщённого потенциала:
V∗ =
Πi (q , t)qi + t Π0 (q , t),
t = f (τ ).
(11)
i
Различие состоит в том, что в исходной системе обобщённый потенциал (10) является в общем случае неоднородной функцией обобщённых
скоростей, а во вспомогательной системе относительно производных qi ,
t функция V ∗ становится однородной функцией первой степени.
С учётом перестановочных соотношений (5) получаем преобразование вариации (9):
τ2 τ2 ∂Π Δ Π dτ = ΠΔt
+
(t Δqi − qi Δt) dτ.
τ2
∗
τ1
τ1
τ1
∂qi
i
(12)
Аналогичными действиями находим вариацию интеграла от функции V ∗ (11):
τ2
∗
Δ V dτ =
τ1
i
τ2 τ2 ∂Πi
∂Πj
Πi Δqi + Π0 Δt −
−
qj Δqi dτ −
∂qj
∂qi
τ1
τ1 i,j
τ
2
−
τ1
∂Πi
i
∂t
qi Δt dτ
τ
2
+
τ1
∂Π0
i
∂qi
(t Δqi − qi Δt) dτ. (13)
15.3. Расширенный принцип Гамильтона–Остроградского.
Получим аналог принципа Гамильтона–Остроградского для вспомогательной системы на основе функции Лагранжа L∗ (2). С учётом
114
Гл. III. Об интегральных принципах
равенств (4) для вариаций обобщённых координат и времени составляем интегральное равенство
τ2 ∗
ΔL + t δ A +
λi (t Δqi − qi Δt − t δqi ) dτ = 0,
(14)
i
τ1
где λi (τ ) — неопределённые множители Лагранжа.
Первое слагаемое в (14) варьируется так же, как и (8) (достаточно
заменить T ∗ на L∗, а затем учесть (2) и (9)). Перегруппировав слагаемые, преобразуем равенство (14) к виду
∗
∗
τ
2
∂T
∂T
Δq
+
−
Π
Δt −
i
i
∂qi
∂t
τ2 −
τ1
d ∂T ∗ d
−
dτ
∂qi
dτ
i
τ1
∂T ∗
∂t
−
∂T ∗
∂Π +
t − λi t Δqi −
∂qi
∂qi
∂Π
∂T ∗
−
−
q +
λi qi Δt −
∂t
∂qi i
i
−
i
t (λi − Qi )δqi dτ = 0. (15)
i
В силу независимости вариаций Δqi (i = 1, ... , n), Δt и δqi
(i = 1, ... , n) к равенству (15) может быть применена основная лемма вариационного исчисления [131]. Приравняв нулю коэффициенты
при независимых вариациях в подынтегральном выражении и внеинтегральную часть равенства (15), получаем дифференциальные уравнения
∗
d
∂T
∂T ∗
∂Π −
+
t − λi t = 0, i = 1, ... , n,
(16)
dτ
∂qi
∂qi
d
dτ
∗
∂T
∂t
−
∂qi
∂Π
∂T ∗
−
qi +
λi qi = 0,
∂t
∂qi
i
(17)
i
значения неопределённых множителей
i
λi = Q
i = 1, ... , n,
(18)
и равенство
i
∂T ∗
Δqi +
∂qi
τ2
∂T ∗
= 0.
− Π Δt ∂t
τ1
(19)
15. О принципе Гамильтона–Остроградского
115
Равенства (16)–(19) являются следствием интегрального равенства (14). Из (19) на концах траектории вспомогательной системы
имеем условия трансверсальности:
∗
∗
∂T
∂T
= 0, j = 1,2.
(20)
Δqi +
− Π Δt i
∂qi
∂t
τ =τj
Уравнения (16), (17) с учётом равенств (18) представляют собой
уравнения движения вспомогательной системы. Действительно, подстановка в (16) и (17) неопределённых множителей, равных, согласно (18), соответствующим непотенциальным обобщённым силам, приводит к уравнениям [22]
∗
d
∂T
∂T ∗
∂Π
i , i = 1, ... , n,
−
= −t
+ t Q
(21)
dτ
∂qi
∂qi
d
dτ
∗
∂T
∂t
−
∂qi
∂Π
∂T
i qi .
=
q −
Q
∂t
∂qi i
(22)
d
(·)t ,
dt
(23)
∗
i
i
Так как
∂T ∗
∂T
=
,
∂ q̇i
∂qi
i = 1, ... , n,
(·) =
уравнения (21) совпадают с классическими уравнениями Лагранжа
второго рода (3.29) исходной реономной системы. Равенство (22) с учётом выражений (23) и равенств
∂T q ∂T ∗
q
i
=
T
q
,
t
,
= T − 2T2 − T1 = −T2 + T0 ,
− t
2
∂t
t
i
∂ q̇i (t )
∂T ∗
∂T
= t ,
∂t
∂t
где T2 и T0 — квадратичная форма и форма нулевой степени относительно обобщённых скоростей в выражении кинетической энергии,
принимает вид аналога теоремы об изменении кинетической энергии
реономных систем (5.9). В частности, в случае потенциального поля
получаем
∂Π
∂T
d
+ (T2 − T0 ) = −
q̇i .
∂t
dt
i
∂qi
Согласно равенству (19) для исходной реономной системы требуется
выполнение условия
t2
∂T
Δqi + (−T2 + T0 − Π)Δt = 0.
(24)
i
∂ q̇i
t1
116
Гл. III. Об интегральных принципах
Равенство (24) выполняется, если на концах промежутка времени
движения исходной реономной системы выполняются условия трансверсальности:
∂T
Δqi + −T2 + T0 − Π Δt = 0, j = 1,2.
(25)
i
∂ q̇i
t=tj
Очевидно, что равенства (25) выполняются, если равны нулю
виртуальные вариации на концах траектории: δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0,
i = 1, ... , n, и кроме того, Δt1 = Δt2 = 0, так как приняты равенства
Δqi = q̇i Δt + δqi ,
i = 1, ... , n
(26)
(сравните с равенствами (4)).
Полученный результат позволяет сделать вывод о том, что интегральное равенство (14) на фиксированном промежутке [τ1 , τ2 ] является некоторым расширением принципа Гамильтона–Остроградского.
Расширение обеспечивается за счёт введения неопределённых множителей, которые позволяют рассматривать как независимые обе группы
вариаций: асинхронные (и Δt) и изохронные. Если на какие-либо из
них наложены ограничения в виде уравнений, то они также могут быть
учтены с неопределёнными множителями.
П р и м е р 1. Пусть виртуальные перемещения связаны уравнением
ai (q , t)δqi = 0.
(27)
i
Соответственно, для системы с функцией L∗ (2), с учётом уравнений (4) и (27), для вариаций переменных имеем интегральное равенство
τ
2
ΔL∗ + νt
ai δqi +
λi (t Δqi − qi Δt − t δqi ) dτ = 0,
(28)
i
τ1
i
где ν(τ ), λi (τ ) — неопределённые множители Лагранжа.
При произвольных вариациях δqi , i = 1, ... , n, из (28) по основной
лемме вариационного исчисления, как и следовало ожидать, имеем
равенства вида (18):
i = 1, ... , n,
λi = νai
подстановка которых в (16), (17) даёт соответственно равенства
∗
d
∂T
∂T ∗
∂Π −
+
t − νt ai = 0, i = 1, ... , n,
dτ
∂qi
d
dτ
∂T ∗
∂t
∂qi
−
∂qi
∂Π
∂T ∗
−
qi + ν
ai qi = 0.
∂t
∂qi
i
i
(29)
(30)
15. О принципе Гамильтона–Остроградского
117
Используя для производных функции T ∗ равенства (23), в переменных
исходной системы имеем уравнения движения
d ∂T
∂T
∂Π
=−
+ νai , i = 1, ... , n.
(31)
−
dt
∂ q̇i
∂qi
∂qi
Из (30) (а также из уравнений движения (31)) следует утверждение
теоремы об изменении кинетической энергии реономной системы:
∂Π
∂T
d
+ (T2 − T0 ) = −
− νai q̇i .
(32)
∂t
dt
i
∂qi
Для нахождения неопределённого множителя ν в равенствах (31),
(32) требуется также уравнение связи, которому соответствуют уравнения для виртуальных перемещений (27). Связь может быть голономной
или неголономной линейной относительно обобщённых скоростей с коэффициентами ai .
Рассмотрим пример, в котором условия наложены на асинхронные
вариации.
П р и м е р 2. Пусть асинхронные вариации удовлетворяют уравнению
ai (q , t)Δqi + a0 (q , t)Δt = 0.
(33)
i
При составлении интегрального равенства вида (14) требуется дополнительно учесть условие (33). Это можно сделать, включив в подынтегральное выражение левую часть равенства (33) с неопределённым
множителем. Предварительно для удобства сравнения с примером 1
в (33) сделаем подстановку (26). Кроме того, включим в подынтегральное выражение с неопределённым множителем ν выражение
ν t
ai δqi +
ai qi + t a0 Δt .
(34)
i
i
Коэффициент при ν в (34) соответствует идеальной связи только в случаях, когда
Δt = 0 или
ai q̇i + a0 = 0.
(35)
i
Первое равенство в (35) определяет условие изохронного получения
виртуальных перемещений, а второе задаёт определённый вид уравнения связи. В этих случаях получаем уравнения (29) и равенство
∂Π
d ∂T ∗
∂T ∗
−
qi + νt a0 = 0,
(36)
−
dτ
∂t
∂t
i
∂qi
из которого с учётом уравнения связи (35) также следует аналог
теоремы об изменении кинетической энергии для исходной системы.
Другой путь, не предполагающий использования неопределённых
множителей, состоит в том, чтобы выразить зависимые вариации через
118
Гл. III. Об интегральных принципах
независимые. В работе [22] это делается следующим образом. В качестве принципа принимается интегральное равенство
τ2
τ2 τ1
τ1
Δ T ∗ dτ +
Qi δqi t dτ = 0,
(37)
i
где Qi — обобщённые силы.
Функции δqi в (37) выражаются с помощью (26). Выкладки проводятся с заменой функции L∗ на функцию T ∗ при предположении
независимости вариаций Δqi (i = 1, ... , n) и Δt. Результат отличается
тем, что слагаемое с потенциальной энергией не входит в условия на
концах:
t2
∂T
Δqi + (−T2 + T0 )Δt = 0.
i
∂ q̇i
t1
Из интегрального равенства (37) находим, что движение описывается уравнениями Лагранжа второго рода и имеет место аналог теоремы
об изменении кинетической энергии.
16. Обобщение интегрального принципа Гёльдера
Показано, что интегральное равенство обобщённого принципа Гёльдера справедливо также для кривых сравнения, полученных варьированием по Гельмгольцу. Принцип Гамильтона–Остроградского и принцип стационарного действия Лагранжа выводятся как частные случаи.
Предложено новое обобщение принципа Гёльдера [17].
16.1. Применение варьирования по Гельмгольцу при выводе
принципа Гёльдера. Применим варьирование по Гельмгольцу при
выводе интегрального равенства в обобщённом принципе Гёльдера.
Проинтегрируем вариацию (8.12) по времени на фиксированном временно́м промежутке:
t1
ΔL dt =
t0
t1 t0
i
∂L
∂L
Δqi +
Δq̇i
∂qi
∂ q̇i
dt.
(1)
С учётом перестановочных соотношений (8.10) и равенства (8.11)
после интегрирования по частям равенство (1) преобразуется к виду (Δt = Δτ )
t1
ΔL dt=
t0
t1 t1 ∂L
d ∂L
∂L d
Δqi +
−
Δqi dt − q̇i
(Δτ ) dt.
∂ q̇i
∂qi
dt ∂ q̇i
∂ q̇i dt
t0
∂L
i
t0
i
(2)
119
16. Обобщение интегрального принципа Гёльдера
При условиях на концах
Δqi (t0 ) = Δqi (t1 ) = 0,
i = 1, ... , n,
(3)
перепишем равенство (2) в следующей форме:
t1
ΔL +
t0
i
∂L d
i Δqi
q̇i
(Δτ ) +
Q
∂ q̇i dt
dt =
i
=
t1 t0
i
∂L
d ∂L
i Δqi dt.
−
+Q
∂qi
dt ∂ q̇i
(4)
В качестве вариаций обобщённых координат в (4) возьмём виртуальные вариации (Δqi = δqi ). Тогда, принимая во внимание общее
уравнение аналитической динамики и условия на концах (3), из равенства (4) получаем интегральное равенство
t1
ΔL +
t0
i
∂L d
q̇i
(Δτ ) + δ A dt = 0.
∂ q̇i dt
(5)
Интегральное равенство (5) по виду совпадает (с точностью до обозначений) с обобщённым принципом Гёльдера, полученным [102] при
интегрировании асинхронной вариации функции ΔL (первое выражение в (8.6)). Однако здесь функция L варьируется по Гельмгольцу,
и поэтому имеется различие кинематического смысла условий на концах: кривые, варьированные по Гельмгольцу, проходят через начальное
и конечное положения системы в моменты времени t0 и t1 , а кривые, полученные асинхронным варьированием — в моменты времени
t0 + Δτ (t0 ), t1 + Δτ (t1 ).
16.2. Частные формы принципа. Приведём некоторые частные
специализации варьирования в (5).
1. Пусть d(Δτ )/dt ≡ 0. Тогда равенство (5) принимает вид принципа
Гамильтона–Остроградского:
t1
(δL + δ A) dt = 0.
(6)
t0
Кроме классического принципа Гамильтона–Остроградского, получаемого изохронным варьированием (Δτ = 0), принятому условию
можно сопоставить расширенный вариант принципа, получаемого асинхронным варьированием. Например, условию d(Δτ )/dt ≡ 0 удовлетворяет также функция Δτ = cdt, где c = const, т. е. могут рассматриваться асинхронно варьированные кривые, получаемые путём бесконечно
120
Гл. III. Об интегральных принципах
малого сдвига вдоль оси времени на величину, пропорциональную
элементарному промежутку времени dt.
2. Изоэнергетическое варьирование в обобщённо-консервативных
i = 0, ∂L/∂t = 0 и связях, однородных первой стесистемах. При Q
пени относительно обобщённых скоростей, имеет место обобщённый
интеграл энергии Якоби: T2 − T0 + Π = h = const (T2 , T1 , T0 — формы
второй, первой и нулевой степени относительно обобщённых скоростей в выражении кинетической энергии системы; Π — потенциальная
энергия). Для вариаций, сохраняющих интеграл энергии, равенство (5)
преобразуется к следующему виду:
t1 Δ
q̇i
i
t0
∂L
dt = 0.
∂ q̇i
(7)
Действительно (ср. (8.13)),
Δ
t1 t0
i
∂L
q̇i
dt =
∂ q̇i
t1 ∂L
∂L Δ(dt)
+
dt.
Δ
q̇i
q̇i
∂ q̇i
i
t0
Поскольку в данном случае
i
q̇i
∂ q̇i
i
dt
(8)
∂L
= 2T2 + T1 = L + h, правая часть
∂ q̇i
равенства (8), согласно интегральному равенству (5) (с учётом обозначения (8.11)), равна нулю. Таким образом, при «изоэнергетическом» варьировании (способом Гельмгольца) функционала «действие»
по Лагранжу имеем принцип стационарного действия для обобщённоконсервативных систем:
t1
Δ (2T2 + T1 ) dt = 0.
(9)
t0
Действие по Гамильтону в данном случае не является стационарным:
t1
t1
т. е. Δ L dt = h [Δτ (t0 ) − Δτ (t1 )] .
Δ (L + h) dt = 0,
t0
t0
16.3. Новое обобщение принципа Гёльдера. Получим на основе
расширения способа варьирования по Гельмгольцу (см. (8.8), (8.15))
соответствующее ему новое обобщение принципа Гёльдера.
Повторив те же, что и при выводе (5), выкладки при интегрировании ΔL, получаем интегральное равенство, выражающее новое
обобщение принципа Гёльдера:
t1 ΔL +
t0
i
q̇i
∂L d
(Δτi ) + δ A dt =0.
∂ q̇i dt
(10)
17. Вириальный интегральный принцип
121
Из (10) при Δτi (t) = Δτ (t), i = 1, ... , n, следует равенство (5)
(обобщённый принцип Гёльдера).
В заключение отметим, что принцип, предложенный Гёльдером
в форме интегрального равенства
t1
δL dt = 0,
t0
где δ — символ изохронного варьирования, применяется как для голономных, так и для неголономных систем (подробнее см. в заметке 20).
17. Вириальный интегральный принцип.
Интегральный принцип для систем
Четаева–Румянцева
Получена вириальная форма интегрального принципа механики.
Составлен [14] интегральный принцип динамики физической системы,
модель которой предложена В. В. Румянцевым [103] при обосновании
принципа Н. Г. Четаева [128]. Обсуждаемый подход может быть использован при решении задач термомеханики.
17.1. Вириальный интегральный принцип. Используем центральное вириальное равенство (13.15) при выводе интегрального принципа в вириальной форме. Интегрируем равенство (13.15) по времени
на фиксированном временно́м промежутке:
t2
t2
δ V̇0 dt = (2δT + δ A) dt +
t1
t1
t2
t1
k
mk δwk rk dt.
(1)
Допуская перестановочные соотношения, на том же промежутке времени интегрируем центральное уравнение Лагранжа (13.16):
t2 t2
mk vk δrk = (δT + δ A) dt.
t1
k
(2)
t1
С учётом равенств (13.12) имеем перестановочность операции δ и интегрирования по времени в левой части (1). Поэтому, приняв во внимание (2), из (1) получаем
k
t2 t2 mk δvk rk = δT +
mk δwk rk dt.
t1
t1
(3)
k
Пусть наряду с траекторией действительного движения между начальным и конечным состояниями рассматривается кривая, которая
122
Гл. III. Об интегральных принципах
получена изохронным варьированием по правилам, описанным в заметке 13. При этом считаем фиксированными начальный и конечный
моменты времени, а также начальные и конечные скорости точек, т. е.
δvk = 0,
k = 1, ... , N ,
при t = t1
и t = t2 .
(4)
Тогда равенство (3) примет вид
t2 δT +
mk δwk rk dt = 0.
(5)
k
t1
Интегральное равенство (5) и условия на концах (4) составляют вириальный интегральный принцип. Формулировка его очевидна и выражает свойство действительного движения.
17.2. Интегральный принцип для систем Четаева–Румянцева. Рассмотрим физическую систему, состоящую из «совокупности
физически малых материальных частиц («точек»), рассматриваемых
как термодинамические системы, для каждой из которых определены механические понятия о внутреннем состоянии, характеризуемые
конечным числом величин, задаваемых числами — определяющими
параметрами» [103]. Понятие термодинамической точки обсуждалось
в заметке 1. Силы, действующие на частицы, делятся на три группы:
Fk — силы, зависящие от состояния, времени и физических констант;
Φk — внутренние силы взаимодействия, которые зависят, кроме того,
от переменных физических параметров; Rk — силы реакции идеальных
связей, зависящие от переменных физических параметров. Для данной
модели физической системы путём рассуждений, аналогичных приведённым при выводе (13.15), получаем
δ V̇0 = 2δT + δ A(F) + δ A(Φ) +
δ A(F) =
Fk δrk ,
δ A(Φ) =
k
mk δwk rk ,
k
Φk δrk .
(6)
k
Взаимосвязь механического движения и термодинамических процессов
проявляется через переменные физические параметры. Обозначим их
через μki (индекс указывает номер частицы k и номер параметра i, соответствующего этой частице). Пусть в уравнениях внутренних связей,
зависящих от переменных параметров, не содержится скоростей точек,
т. е. они имеют вид
f rk , μki , t = 0
(7)
и в отсутствие варьирования переменных параметров являются идеальными. При этом виртуальные вариации δrk и вариации параметров δμki
для связи вида (7) удовлетворяют уравнению
∂f
δrk +
aki δμki = 0.
(8)
k
∂rk
ki
17. Вириальный интегральный принцип
123
Коэффициенты aki в (8) являются некоторыми функциями от rk , μki , t.
Вид этих функций определяется конкретной физической системой.
Если включить физические параметры в параметрическое семейство
μki (α, t), содержащее действительные значения μki (t) при α = 0, то
∂f
ak i =
.
∂μki
α=0
В действительном процессе и любых возможных процессах [103]
имеем уравнение притока тепла, равносильное закону сохранения
энергии:
ΔQ = ΔU + ΔA(Φ),
Δ∗ Q = Δ∗ U + Δ∗ A(Φ),
(9)
∗
где ΔQ, Δ Q — приток тепла к телу извне, равный сумме притоков
тепла к частицам в действительном и возможном движениях соответственно; ΔU , Δ∗ U — приращения внутренней энергии U (внутренняя
энергия системы принимается равной сумме внутренних энергий частиц); ΔA(Φ), Δ∗ A(Φ) — работа сил Φk на действительном и возможном перемещениях [103] из положения rk , μki (в момент времени t).
Вычитая в (9) из второго уравнения первое, получаем для виртуальных
изменений соответствующих величин
δ Q = δU + δ A (Φ) ,
(10)
где δ Q — виртуальный приток тепла к системе извне; δU — виртуальное изменение внутренней энергии; δ A(Φ) — виртуальная работа
сил Φk . Подставляя δ A(Φ) из (10) в (6), находим
δ V̇0 = 2δT + δ A(F) + δ Q − δU +
mk δwk rk .
(11)
k
Интегрированием по времени с учётом переставимости операции δ
и интегрирования из (11) получаем равенство
t2 t2 δV0 =
2δT + δ A(F) + δ Q − δU +
mk δwk rk dt.
(12)
t1
k
t1
Пусть фиксированы начальный t1 и конечный t2 моменты времени,
а также вириалы количеств движения в эти моменты времени, т. е.
δV0 = 0 при t = t1
и
t = t2 .
(13)
Тогда равенство (12) принимает вид
t2 2δT + δ A(F) + δ Q − δU +
t1
mk δwk rk dt = 0.
(14)
k
Интегральное равенство (14) и условия на концах (13) составляют
вириальный интегральный принцип для физической системы [14].
124
Гл. III. Об интегральных принципах
П р и м е р. Прямолинейный однородный стержень массы m вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его торец. Ось вращения установлена в идеальных опорах,
внешние активные силы отсутствуют. При равномерном нагреве (по
длине) длина стержня l связана с температурой ϑ линейным законом
расширения:
l = l0 a(ϑ), a(ϑ) = 1 + κ (ϑ − ϑ0 ) ,
(15)
где l0 — длина стержня при температуре ϑ0 , κ — постоянный коэффициент теплового расширения.
Переменным физическим параметром в данной системе является
температура ϑ, а частицами — элементарные массы dm, по условию
расположенные на прямой. Направим ось Ox вдоль стержня (центр O
поместим в точке пересечения оси вращения и стержня). Координаты x
элементарных масс и параметр ϑ связаны уравнением
x = x0 a(ϑ),
(16)
где x0 — координата элемента dm при ϑ = ϑ0 .
Составим равенство
(14). При%варьировании кинетической энергии
%
стержня T = Jω 2 2, где J = ml2 3 — момент инерции стержня относительно оси вращения, ω — величина угловой скорости, имеем
δT =
Вариации δl и
(см. (15), (16))
δx
ω2
δJ + Jωδω.
2
связаны
δl = l0 κδϑ,
с
вариацией
(17)
δϑ
соотношениями
δx = x0 κδϑ.
(18)
Через вариацию δϑ выражается и вариация внутренней энергии:
δU = cl (ϑ)δϑ,
(19)
где cl (ϑ) — коэффициент теплоёмкости стержня при постоянной длине.
Последняя группа слагаемых в равенстве (14) в данной задаче сводится к интегралу по длине недеформированного стержня (при ϑ = ϑ0 ):
− δ(ω 2 x)x dm = −2Jωδω − ω 2 κaJ0 δϑ,
J = J0 a2 .
(20)
После подстановки (17), (19), (20) с учётом (18) интегральное
равенство (14) принимает вид
t1
! "
δ Q − (cl − ω 2 κaJ0 )δϑ dt = 0.
(21)
t0
Равенство (21) выполняется на произвольном заданном промежутке
времени, если
δQ
= cl − 2κa−1 T.
(22)
δϑ
17. Вириальный интегральный принцип
125
Из (22) следует, что «виртуальная теплоёмкость» (при κ > 0) для
вращающегося стержня меньше, чем теплоёмкость при постоянной
длине cl . В отсутствие некомпенсированного тепла δ Q = ϑdS , где S —
энтропия стержня [103]. Пусть при этом κ (ϑ − ϑ0 ) 1 и cl = const .
Тогда из (22) находим выражение для приращения энтропии:
S = (cl − κJ0 ω02 ) ln
ϑ
.
ϑ0
(23)
Пример показывает, что предложенный принцип позволяет связать
термодинамические величины с механическими. В частности, подтвердилось, что энтропия не выражает чисто тепловые свойства, а связана
также с локальными перемещениями масс. В данной задаче деформирование не является термоупругим; в отсутствие же деформирования
(при κ = 0) из (23) следует выражение, совпадающее с энтропией
в теории термоупругости для недеформированной среды [86].
17.3. Интегральный принцип изменяемого действия для систем Четаева. Составим принцип изменяемого действия для динамических систем, имеющих в своём составе кроме «механической»
также «немеханическую» часть, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, которые называются
системами Четаева (см. п.п. 12.1, 12.2):
mk wk = Fk ,
k = 1, ... , n,
μν ṗν = Φν ,
ν = 1, ... , m,
(24)
где mk — массы материальных точек; wk — ускорения; Fk — силы,
зависящие от состояния материальных точек, времени и значений параметров rk , vk , t и pν ; μν — положительные функции координат точек,
времени и параметров; Φν — принуждения, являющиеся функциями
тех же аргументов, что и силы Fk .
П р и м е р. Форму систем Четаева имеют автоколебательные системы с инерционным самовозбуждением [73]. В таких системах генерация колебаний происходит за счёт инерционности цепи обратной связи,
приводящей к так называемому инерционному взаимодействию между
динамическими переменными. В простейшем случае соответствующие
уравнения колебаний имеют вид
ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = −ky + f (x, ẋ, y) ,
ẏ + γy = ax + ϕ (x, ẋ, y) ,
где δ — коэффициент трения, γ — параметр инерционности, k и a —
коэффициенты линейной связи между переменными, f и ϕ — нелинейные функции.
126
Гл. III. Об интегральных принципах
Пусть состояние материальных точек и значения параметров системы (24) в каждый момент времени удовлетворяют уравнениям связей
(вообще говоря, нелинейным относительно скоростей):
ψl (r1 , v1 , ... , rn , vn , p1 , ... , pm , t) = 0,
l = 1, ... , r < 3n + m.
(25)
Наложенные связи вида (25) влияют на процесс изменения параметров
через так называемые принуждения реакций; тогда уравнения несвободной системы по Четаеву принимаются в виде [129]
mk wk = Fk + Rk ,
k = 1, ... , n,
μν ṗν = Φν + Pν ,
ν = 1, ... , m,
(26)
где Rk — реакции связей, Pν — принуждения реакций.
Уравнения (26) рассматриваются вместе с уравнениями (25).
Если связи вида (25) являются идеальными, то общее уравнение
динамики несвободной системы имеет вид (см. (12.11))
n
(mk wk − Fk )δvk +
k=1
m
(μν ṗν − Φν ) δpν = 0,
(27)
ν=1
где δvk — виртуальные скорости (по Лагранжу), δpν — виртуальные
изменения параметров.
Общее уравнение динамики несвободной системы, получаемой из
свободной системы (24) путём включения в правые части уравнений
реакций и принуждений реакций идеальных связей (25), является
необходимым и достаточным (при предположении реализуемости) условием того, что действительное движение системы для заданных сил Fk
и принуждений Φν согласовано с уравнениями связей [13].
Из общего уравнения динамической системы с идеальными связями
(27) при условии перестановочности операций dδ и δd следует равенство
d δT + δ A = τ
Pi δpi +
(28)
mk ṙk δrk ,
dt
где δT — вариация кинетической энергии механической части системы;
δ A — виртуальная работа сил механической части системы; δpi — виртуальные вариации определяющих параметров немеханической части
системы; τ — множитель, имеющий размерность времени (δrk = τ δvk ).
Для определения коэффициента τ имеем равенство
τ
Pi δ ṗi =
Pi δpi .
(29)
Если принимается постоянное значение коэффициента τ , то при
фиксировании значений параметров на концах траектории и условии
перестановочности операций d и δ имеем также
τ
Ṗi δpi dt = −
Pi δpi .
18. Заметка об евклидовом действии
127
Интегрирование равенства (28) на фиксированном замкнутом интервале времени [t0 , t1 ] при фиксированных положениях материальных точек
системы и фиксированных значениях параметров на концах траектории даёт для рассматриваемых динамических систем интегральный
принцип:
t1
t1
(δT + δ A) dt =
t0
τ
Pi δpi dt.
(30)
t0
Таким образом, изменение действия механической части системы Четаева отличается от изменения действия по Гамильтону–Остроградскому
на интеграл по времени от величины, пропорциональной «виртуальной
работе принуждений реакций». Коэффициент пропорциональности удовлетворяет равенству (29).
18. Заметка об евклидовом действии
(Э. и Ф. Коссера)
«Заметка о теории Евклидовского действия» представляет «главный
интерес этого нового тома», как отмечено в предисловии книги [48],
в которой помещена заметка Э. и Ф. Коссера. Далее П. Аппелль
пишет: «Известно, что в современной механике господствуют две величины: энергия, зависящая от разности T − U , и действие, выражаемое посредством суммы T + U » (смысл обозначений здесь очевиден). Э. и Ф. Коссера удалось «извлечь всё наиболее существенное
(из теорий Гамильтона и Гельмгольца — ред.) и установить прямое
определение действия, форма которого может быть перенесена во все
области Естественной философии. Отправная их точка заключается
в том соображении, что действие, в том виде, как его ввёл Мопертюи,
является инвариантом в группе евклидовых перемещений . . .» Из результатов, полученных Э. и Ф. Коссера, приведём только рекомендации
относительно формы «действия деформации на изменяемую линию»
(плотности действия), которым мы следуем при решении прикладных
задач, и формулы внешней силы и внешнего момента в точке, учитывая
их важность для понимания аксиом механики.
18.1. Аксиомы об однородности и изотропности пространства.
Евклидовская группа перемещений включает поступательные перемещения и повороты, что соответствует аксиоме об однородности и изотропности пространства соответственно. Совокупность уравнений движения имеет одну и ту же форму для всех координатных систем,
полученных одна из другой переносом начала координат и поворотом
вокруг оси (при равномерном прямолинейном движении центра имеем
галилееву группу преобразований [30]). Принимаются собственные
ортогональные преобразования, т. е. не включаются отражения (инвариантность по отношению к отражениям от плоскости означала бы
128
Гл. III. Об интегральных принципах
эквивалентность правых и левых винтов: кинематических и силовых).
Рассматриваемое преобразование точно соответствует перемещению
абсолютно твёрдого тела. С аксиомой об однородности и изотропности
связан вопрос об условиях, которым должна удовлетворять система
сил, действующих на материальные точки системы. Очевидно, что
аксиома выполняется, если все внешние силы рассматривать приложенными к жёсткой конфигурации, совпадающей с конфигурацией
материальных точек, составляющих систему, а внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона. Аксиома «о равенстве действия
и противодействия» в виде третьего закона Ньютона (см. заметку
4) совместима с аксиомой об однородности и изотропности, но сужает
класс сил, не позволяя охватить электродинамические взаимодействия.
Электродинамические взаимодействия имеют релятивистское истолкование (вводится аксиома однородности и изотропности пространства–
времени, согласно которой уравнения, определяющие движение системы, должны быть инвариантны относительно собственного преобразования Лоренца [137]).
18.2. «Евклидовское действие деформации». Рассмотрим кривую, описываемую точкой M0 , координаты которой относительно трёх
неподвижных прямоугольных осей Ox, Oy , Oz представляют функции
одного и того же параметра, например дуги s0 , отсчитываемой от
определённого начала в определённую сторону. С точкой M0 по кривой
перемещается трёхгранник, направляющие косинусы которого являются функциями того же параметра. Сплошная совокупность (одного измерения) таких трёхгранников называется изменяемой линией [48]. Сообщим трёхграннику бесконечно малое перемещение (поступательное
и поворот) и обозначим через M начало координат в новом положении.
Сплошная совокупность одного измерения трёхгранников с началом
в точке M называется деформированным состоянием рассматриваемой
изменяемой линии [48].
Возьмём функцию W от двух бесконечно близких положений трёхгранника с началом в M , т. е. от s0 , координат x, y , z точки M ,
направляющих косинусов трёхгранника и от их первых производных
по s0 .
Требуется ответить на вопрос: какова должна быть форма функции W для того, чтобы изменение интеграла W ds0 , распространённого на какой-нибудь участок траектории точки M0 , равнялось
нулю, когда совокупность всех трёхгранников свободной изменяемой
линии, взятой в своём деформированном состоянии, подвергается одному и тому же произвольному дифференциальному преобразованию
группы евклидовых
перемещений.
Интеграл W ds0 , взятый между точками A0 и B0 линии (M0 ),
представляет действие деформации на деформированную линию между
соответствующими точками A и B кривой (M ). На поставленный
129
18. Заметка об евклидовом действии
вопрос авторы работы [48] дали следующий ответ: искомая функция W
имеет замечательную форму:
W (s0 , ξ , η , ζ , p, q , r).
(1)
Здесь W — плотность действия деформации в точке деформированной
линии. Смысл обозначений в (1) следующий. Предположим, что s0
меняется и играет роль времени; обозначим при этом через ξ0 , η0 , ζ0
проекции скорости M0 на оси связанного с ней трёхгранника, а через
p0 , q0 , r0 — проекции на те же оси мгновенной угловой скорости этого
трёхгранника. Аналогичные количества для трёхгранника, связанного
с M , обозначены через ξ , η , ζ , p, q , r. Линейный элемент кривой,
описываемой точкой M , определяется формулой
ds2 = (ξ 2 + η 2 + ζ 2 ) ds20 .
(2)
Рассматривая изменение действия деформации на деформированную линию между точками A и B линии (M ), имеем
B
0
δ
B0 B0
W ds0 = (Pδr + Lδχ)
− (Fδr + Mδχ) ds0 ,
A0
A0
(3)
A0
где δr — виртуальное перемещение точки M ; δχ — виртуальный поворот трёхгранника M x y z , связанного с M , в соответствующих точках
траектории;
∂W ∂W ∂W
∂W ∂W ∂W
P=
,
,
, L=
,
,
,
∂ξ
∂η
Fx =
Mx
∂ζ
∂p
∂q
∂r
d ∂W
∂W
∂W
+q
−r
,
ds0 ∂ξ
∂ζ
∂η
(4)
d ∂W
∂W
∂W
∂W
∂W
=
+q
−r
+η
−ζ
ds0 ∂p
∂r
∂q
∂ζ
∂p
{x y z ; ξ η ζ ; p q r} .
Циклическая перестановка индексов, указанных в фигурных скобках
(по три), позволяет записать два другие, не выписанные в (4) выражения проекций силы и момента; F и M — внешняя сила и внешний
момент в точке M , отнесённые к единице длины недеформированной
линии; P
A и L
A — внешнее усилие и внешний момент деформации
0
0 в точке A, а P
B и L
B — в точке B.
0
0
18.3. Евклидовское действие и натуральные системы. «Классические системы, в которых силы имеют обычный потенциал Π(qi , t)
или обобщённый потенциал V (qi , t, q̇i ) , мы будем называть натуральными. Для таких систем функция Лагранжа L является функцией
второй степени от обобщённых скоростей, т. е. представляется выражением L = L2 + L1 + L0 , где L2 — положительно определённая квадра5 В. Г. Веретенников, В. А. Синицын
130
Гл. III. Об интегральных принципах
тичная форма относительно обобщённых скоростей» [25]. Функции L2 ,
L1 , L0 являются однородными соответствующих степеней относительно
обобщённых скоростей (индекс указывает степень однородности):
L = L2 + L1 + L0 .
(5)
Функциями Лагранжа второй степени относительно обобщённых
скоростей описываются ньютоновские механические системы, если для
них принято декартово описание, поскольку тогда действие является
«евклидовым» (см. п. 18.2). Если функция Лагранжа в виде многочлена
второй степени относительно обобщённых скоростей (5) имеет гессиан
по обобщённым скоростям, отличный от нуля, то уравнения Лагранжа
второго рода разрешимы относительно обобщённых ускорений.
Понятие «натуральная система» по своему смысловому содержанию
является более широким, чем приведённое выше. К «натуральным» системам естественно относить любые динамические системы, аксиоматика которых имеет научные физические основания. Тогда, например,
релятивистская частица, описываемая функцией Лагранжа (коэффициент при dt в формуле (38.15)), не будет считаться «ненатуральной»
на том лишь основании, что выражение функции L не является полиномом второй степени относительно скорости. Системы с функцией
Лагранжа вида (5) далее будем называть системами с евклидовым
действием.
Обобщённый потенциал в определении натуральной системы представляет собой линейную функцию от обобщённых скоростей:
V (q , q̇ , t) =
n
Vi (q , t)q̇i + V0 .
(6)
i=1
Покажем, что системы с обобщённым потенциалом (6) являются
частным случаем систем с интегральным ограничением
t1
V (q , t, q̇) dt = const
(7)
t0
(интегральное изопериметрическое условие).
t1
L (q , t, q̇) dt при условии (7) пред-
Отыскание экстремума действия
t0
ставляет собой изопериметрическую задачу на безусловный экстремум
функционала (см., например, [127])
t1
F (q , t, q̇) dt,
F (q , t, q̇) = L (q , t, q̇) + λV (q , t, q̇) ,
t0
где λ — множитель Лагранжа.
(8)
18. Заметка об евклидовом действии
131
Уравнения прямого изопериметрического пути, получаемые применением оператора Эйлера–Лагранжа к функции F (q , t, q̇) (8), имеют
множитель λ у группы слагаемых, определяемых функцией V (q , t, q̇) .
Поэтому получаемые уравнения можно рассматривать как некоторое
обобщение уравнений движения системы с функцией Лагранжа (5)
и обобщённым потенциалом (6) (последние получаются при λ = 1).
В частности, если функция Лагранжа и обобщённый потенциал не
зависят явно от времени (∂F /∂t = 0), то в системе (7), (8) имеется
первый интеграл:
L2 − L0 − λV0 = const,
аналогичный обобщённому интегралу энергии Якоби. Постоянный
множитель Лагранжа (λ = const) находится из условия (7). Обычные обобщённо-консервативные системы являются частным случаем
(λ = 1) рассмотренной системы.
Примером систем с неевклидовым действием являются динамические системы Биркгофа (см., например, [24]), элементарное действие
которых имеет вид
n
Ri (q , t)q̇i − B(q , t) dt,
(9)
i=1
где функция B называется биркгофианом; Ri (q , t) — дифференцируемые функции своих аргументов.
Сравним обобщённый потенциал (6) с выражением в квадратных
скобках в (9): они совпадают с точностью до обозначений, поэтому
результаты применения к ним оператора Эйлера–Лагранжа (см. формулу (3.27)) также будут иметь одинаковую форму.
Пусть динамическая система имеет действие по Пфаффу [24] в виде
интеграла
t1
Λ (q , t, q̇) dt,
(10)
t0
где роль функции Лагранжа играет выражение
Λ=
n
Ri (q , t)q̇i − B(q , t).
(11)
i=1
Вторая форма уравнений Лагранжа с функцией (11) (применение
оператора Эйлера–Лагранжа) приводит к дифференциальным уравнениям движения системы Биркгофа [24]:
n
∂B(q , t)
∂Ri (q , t)
= 0,
Ωij (q , t)q̇j −
+
(12)
∂qi
j=1
Ωij (q , t) =
5*
∂t
∂Rj (q , t)
∂Ri (q , t)
−
.
∂qi
∂qj
132
Гл. III. Об интегральных принципах
Матрица коэффициентов при обобщённых скоростях в уравнениях (12)
кососимметричная. Прослеживается аналогия с известным свойством
обобщённого потенциала (6) создавать (в числе прочих) также обобщённые гироскопические силы.
19. О принципе Гамильтона–Остроградского
при импульсивных движениях динамических систем
Рассматривается движение динамических систем, описываемых
уравнениями Гамильтона, при действии обобщённых ударных сил,
мгновенные ударные импульсы которых имеют потенциал. В этом
случае уравнения движения определяются из условия стационарности
функционала вариационной задачи Больца [127], где интегральная
часть является действием по Гамильтону. Показано, что при потенциальности ударных импульсов имеет место интегральный инвариант
Пуанкаре–Картана. Обсуждается применение полученных результатов
к исследованию натуральных систем с разрывами обобщённых импульсов, происходящими в результате мгновенного изменения обобщённого
потенциала.
19.1. Постановка задачи. Потенциал ударных импульсов.
Пусть движение динамической системы описывается уравнениями
Гамильтона:
dqi
∂H
=
,
dt
∂pi
dpi
∂H
=−
+ Qi ,
dt
∂qi
i = 1, ... , n,
(1)
где H — функция Гамильтона динамической системы; qi , pi (i =
= 1, ... , n) — канонические переменные; Qi — обобщённые ударные
силы.
Обозначим через Si импульсы ударных обобщённых сил за время
удара τ (обобщённые ударные импульсы):
τ
Si = lim
Qi →∞
τ →0 0
Qi dt,
i = 1, ... , n.
(2)
При действии мгновенных ударных импульсов уравнения импульсивного движения в соответствии с (1) и (2) получаем в виде
qi+ − qi− = 0,
−
p+
i − p i = Si ,
i = 1, ... , n.
(3)
Индексы «плюс» и «минус» указывают на принадлежность значений
переменных моментам времени до и после удара.
Известно, что движение системы (1) на интервалах времени, на
которых отсутствуют ударные силы Qi , может рассматриваться как
непрерывная последовательность канонических преобразований, порождённая функцией H. Подобно этому, наложим на обобщённые
133
19. Импульсивные движения динамических систем
ударные импульсы ограничения, при выполнении которых уравнения
импульсивного движения (3):
qi+ = qi− ,
−
p+
i = p i + Si ,
i = 1, ... , n,
(4)
являются каноническими преобразованиями переменных qi , pi .
Необходимые и достаточные условия каноничности преобразования
состоят в том, чтобы скобки Лагранжа удовлетворяли следующим
равенствам [25]:
[qi− qk− ] = 0,
−
[p−
i pk ] = 0,
[qi− p−
k ] = cδik .
(5)
Здесь c — валентность канонического преобразования; δik — символ
Кронекера.
Составляем скобки Лагранжа для преобразования (4):
[qi− qk− ] =
∂Si
∂Sk
,
− −
∂qk
∂qi−
−
[p−
i pk ] = 0,
[qi− p−
k ] = δik +
∂Si
.
∂p−
k
(6)
Из условия (5) для равенств (6) следует, что преобразование (4)
будет каноническим, если ударные импульсы обобщённых сил удовлетворяют равенствам
∂Si
∂S
− −k = 0,
∂qk−
∂qi
∂Si
= 0,
∂p−
k
i = k,
i, k = 1, ... , n,
1+
∂Si
= c,
∂p−
k
(7)
i = k.
Условия (7), налагаемые на ударные импульсы Si , будут, очевидно,
выполнены, если принять их в виде
−
−
Si = (c − 1)p−
(8)
i + Fi (q1 , ... , qn , t) + ci
%
−
−
при ∂Fi ∂qk = ∂Fk ∂qi , i, k = 1, ... , n.
Здесь ci — некоторые постоянные, определяемые условиями, с помощью которых задаётся момент удара (см. ниже).
Ударные импульсы (8) при c = 1 (далее речь будет идти только об
импульсивных движениях, соответствующих унивалентным каноническим преобразованиям) определяются некоторой функцией Π, которую
мы назовём потенциалом ударных импульсов. Поскольку поле ударных импульсов (8) образуется как результат наложения двух полей,
в функции Π также выделим слагаемые, линейно зависящие от qi
(i = 1, ... , n) и t:
n
Π = −Π0 −
ci qi − c0 t.
(9)
%
i=1
С помощью потенциала Π ударные импульсы определяются аналогично
силам потенциального силового поля:
Si = −
∂Π
,
∂qi−
i = 1, ... , n.
(10)
134
Гл. III. Об интегральных принципах
Однако поле ударных импульсов отличает то, что его действие локализовано во времени, т. е. происходит мгновенное наложение и снятие
поля.
С учётом (9) запишем производящую функцию K канонического
преобразования (4) в виде
K=
n
+ −
pi qi + Π(q1− , ... , qn− , t).
(11)
i=1
Действительно, производящая функция (11) приводит к каноническому преобразованию, соответствующему импульсивному движению (4):
∂K
∂Π
= p+
= p−
i +
i ,
∂qi−
∂qi−
H+
∂K
= qi− = qi+ ,
∂p+
i
i = 1, ... , n,
(12)
∂K
∂Π
= H− +
= H− +
.
∂t
∂t
Здесь qi− , p+
i (i = 1, ... , n) — независимые переменные.
Заметим, что некоторая характеристика X(q , t, p) динамического
процесса при изучаемом импульсивном движении изменяется так, что
для скобок Пуассона справедливо равенство (XH)− = (XH)+ [25].
В частности, интеграл, не зависящий от времени, сохраняет своё значение.
19.2. Функционал «действие» и условия его стационарности.
Покажем, что в случае потенциального поля ударных импульсов на
действительном движении динамической системы имеет место условие стационарности функционала, составленного в виде суммы функции −Π и действия по Гамильтону. При этом фиксируются начальный
и конечный моменты времени (t0 и t1 ), начальное и конечное положение системы, а также обобщённые координаты (не обязательно все)
и (или) момент времени приложения ударных импульсов.
В момент времени t− начинается импульсивное движение, которое
описывается производящей функцией (11). Обозначим через L функцию Лагранжа и введём в рассмотрение функционал
J=
−Π0 (q1− , ... , qn− , t)
t−
+
t1
L dt +
t0
L dt.
(13)
t+
Мгновенное приложение ударных импульсов, при котором обобщённые координаты не изменяются, а также фиксирование некоторых
обобщённых координат и, возможно, времени приложения удара при-
19. Импульсивные движения динамических систем
135
водят к равенствам
Φl = ql+ − ql− = 0, l = 1, ... , n, Φn+1 = t+ − t− = 0,
−
Φl = ql−n−
l = n + 2, ... , r < 2n + 1,
1 − αl−n−1 = 0,
−
Φ0 = t − α0 = 0,
(14)
где αs (s = 0, 1, ... , r − n − 1) — фиксированные постоянные.
Отыскание условий минимума J (13) при ограничениях (14) является разрывной вариационной задачей [12]. Необходимое условие стационарности функционала с последующим переходом к каноническим
переменным (pi = ∂L/∂ q̇i ) приводит к уравнениям (1) на интервалах,
на которых отсутствуют ударные импульсы (Qi = 0), и равенствам
p−
i =−
H− =
∂Φ
,
∂t−
∂Φ
,
∂qi−
p+
i =
H+ = −
∂Φ
,
∂qi+
∂Φ
,
∂t+
i = 1, ... , n,
Φ = −Π0 +
r
(15)
ρ l Φl .
l=0
Здесь ρl (l = 0, 1, ... , r) — неопределённые постоянные множители.
Исключая из уравнений (15) неопределённые множители ρl (l =
= 1, ... , n + 1), получаем
∂Π0
+ ρn+1+i , i = 1, ... , n,
∂qi−
∂Π
H + = H − − −0 − ρ0 .
∂t
−
p+
i = pi −
(16)
Из сравнения (16) и (12) видно, что постоянные ci (i = 0, 1, ... , n)
в (9) должны быть выбраны равными соответствующим неопределённым множителям, т. е.
ci = ρn+1+i
при
i = 1, ... , r − n − 1,
ci = 0 при i > r − n − 1.
(17)
Если момент времени t− не фиксирован, то следует также принять c0 = 0.
Таким образом, на действительном движении динамической системы в условиях принципа Гамильтона–Остроградского при приложении потенциальных ударных импульсов (10) выполняется необходимое
условие стационарности функционала J :
δJ = 0,
J = −Π + S ,
t−
S=
t0
где S — действие по Гамильтону.
t1
L dt,
L dt +
t+
136
Гл. III. Об интегральных принципах
Для определения постоянных ci (i = 0, 1, ... , n), входящих в функцию Π, привлекается вторая группа уравнений (14) в соответствии
с условиями (17).
Полученное утверждение принципа Гамильтона–Остроградского
естественным образом распространяется на случай конечного
(фиксированного) числа моментов приложения мгновенных ударных
импульсов с потенциалами вида (9).
19.3. Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана. Покажем,
что в случае потенциальных ударных импульсов в системе (1) имеет место интегральный инвариант Пуанкаре–Картана. С этой целью
рассмотрим расширенное фазовое (2n + 1)-мерное пространство переменных qi , t, pi (рис. 19.1). В этом пространстве выберем замкнутую
трубку прямых путей с контуром C 0, определяющим начальное состояние системы в момент времени t0 . На трубке выделим замкнутую
кривую C −, охватывающую её и имеющую с каждой образующей лишь
одну общую точку. Контур C − характеризует состояние системы перед
Рис. 19.1
ударом и, вообще говоря, является произвольным, так как условия,
определяющие момент приложения ударных импульсов, могут быть
заданы различным образом. Полагая, что преобразование (4) — взаимно однозначное, дополним его равенством t+ = t− (мгновенность
удара) и построим контур C +. При последующем движении системы он
задаёт новую трубку прямых путей, на которой выделим произвольный
замкнутый контур C 1, охватывающий эту трубку.
137
19. Импульсивные движения динамических систем
Две полученные трубки пересекаются в подпространстве qi , i =
= 1, ... , n, t. Для каждой из них имеем интегральные инварианты
Пуанкаре–Картана [25].
Обозначим через S (1) и S (2) действие по Гамильтону вдоль образующих трубок от кривой C 0 до кривой C − и от C + до C 1 :
S
(1)
t−(α)
L dt,
=
S
(2)
t1 (α)
L dt,
=
t0 (α)
L=
n
pi q̇i − H.
i=1
t+ (α)
Здесь L — функция Лагранжа, выраженная через канонические переменные; α — параметр, с помощью которого уравнения кривых
представляются в виде qi = qi (α), pi = pi (α), i = 1, ... , n, t = t(α).
При любом α имеем [25]
−
1
(1)
(2)
δS =
pi δqi − Hδt , δS =
pi δqi − Hδt .
0
i
i
+
Найдём сумму δS (1) и δS (2) с учётом (14):
δS = δS (1) + δS (2) =
1 −
−
+
−
−
=
pi δqi − Hδt − (p+
i − pi )δqi + (H − H )δt
0
i
(18)
i
(δqi− = δqi+ , δt− = δt+ ).
После подстановки в (18) равенств (12) и интегрирования по α для
замкнутых контуров C 0 и C 1 получаем
pi δqi − Hδt =
pi δqi − Hδt .
(19)
C0
i
C1
i
Таким образом, значение интегрального инварианта Пуанкаре–Картана при разрывах фазовых координат данного вида сохраняется.
П р и м е р. В качестве примера системы с разрывами фазовых координат рассмотрим момент перехода натуральной системы из одной
области пространства состояний в другую с различными обобщёнными
потенциалами. Обобщённый потенциал описывается выражением вида
V =
n
Ai q̇i + A0 ,
i=1
где Ai (i = 0, 1, ... , n) — функции обобщённых координат и времени t.
Обобщённые импульсы определяются равенствами
pi =
∂L
∂T
=
− Ai ,
∂ q̇i
∂ q̇i
i = 1, ... , n
138
Гл. III. Об интегральных принципах
(где T — кинетическая энергия), из которых следует, что разрывы первого рода функций Ai приводят к разрывности обобщённых импульсов.
Момент мгновенного изменения обобщённого потенциала характеризуется условиями
−
+
−
p+
i − pi = −Ai + Ai ,
i = 1, ... , n.
Если для разностей в правых частях этих равенств существует
функция Π(q1 , ... , qn , t) такая, что
+
A−
i − Ai =
∂Π
,
∂qi
i = 1, ... , n,
то все предыдущие рассуждения и выводы справедливы.
Не только интегральный инвариант, но и скобки Пуассона других
механических величин инвариантны по отношению к такому преобразованию обобщённого потенциала. Используя терминологию, принятую в теории поля, назовём функцию A0 скалярным потенциалом,
а (A1 , ... , An )T — векторным потенциалом. Тогда имеющаяся неоднозначность потенциалов позволяет выбрать их так, чтобы скалярный
потенциал был равен нулю. Для этого достаточно выполнения условия
(при импульсивном движении оно может быть выполнено только непосредственно после окончания приложения ударной силы)
A0 −
∂Π
= 0.
∂t
Отмеченное свойство известно в теории поля [53] как калибровочная (или градиентная) инвариантность физических величин по отношению к такому же преобразованию потенциала поля лоренцовой
силы [25].
Отметим, что в выражении функции Лагранжа реономных систем
роль скалярного и векторного потенциалов могут играть члены нулевой
формы и набор коэффициентов линейной формы относительно обобщённых скоростей соответственно.
19.4. Об оптико-механической аналогии для движений с ударами. Известна аналогия оптических явлений и непрерывных (без
ударов) механических явлений (см., например, [1, 4]).
В данном пункте показано, что аналогию с волновой теорией света
Гюйгенса имеет динамика расширенной системы (расширение системы
производится на основе метода Лиувилля за счёт введения дополнительных переменных, сопряжённых с обобщёнными координатами
и обобщёнными импульсами [1]). Аналогия механики с корпускулярной теорией света Ферма распространяется на движения с ударами,
имеющими потенциал ударных импульсов и не меняющими значения
обобщённого интеграла энергии.
Рассмотрим систему, движение которой на интервалах времени
между ударами (непрерывное движение) описывается каноническими
19. Импульсивные движения динамических систем
139
переменными qi , pi , i = 1, ... , n (обобщёнными координатами и обобщёнными импульсами), и функцией Гамильтона H :
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
,
∂qi
i = 1, ... , n.
(20)
В некоторые дискретные моменты времени происходит ударное взаимодействие материальных точек системы с неудерживающей связью:
q̇n =
n−
1
as q̇s ,
as = as (q1 , ... , qn , t).
(21)
s=1
Ограничимся изучением движения с одним ударом, момент которого
определяется условием вида
Ψ0 (q1 , ... , qn , t) = 0.
(22)
Получим замкнутую систему уравнений импульсивного движения
(позволяющую находить обобщённые скорости после удара) с помощью
понятия о коэффициенте восстановления (κ ) [113]:
+
−
−
p+
s + as p n = p s + as p n ,
q̇ +
n −
n−
1
s=1
s = 1, ... , n − 1,
n−
1
−
−
as q̇ +
=
−κ
q̇
−
a
q̇
s s ,
s
n
(23)
s=1
где индексами «минус» и «плюс» отмечены доударные и послеудар
ные значения переменных соответственно, а символ « » указывает,
что обобщённые скорости заменяются союзными выражениями (через
обобщённые импульсы).
Аналогия между механикой и волновой теорией света Гюйгенса
основана на представлении процесса движения с помощью канонических уравнений Гамильтона. В общем случае при ударе преобразование
переменных состояния не является каноническим. При этом и разрывное движение (включающее, кроме участков непрерывного движения,
также импульсивное движение) исходной системы не имеет указанной
аналогии.
Покажем, что оптико-механическая аналогия распространяется на
системы, в которых кроме переменных (qi , pi , i = 1, ... , n), удовлетворяющих уравнениям (20), (23), введены дополнительно две группы
переменных — ξi и ηi , i = 1, ... , n, сопряжённые соответственно с qi
и pi . Систему, движение которой описывается 4n переменными — qi ,
pi , ξi , ηi , далее будем называть расширенной. Для того чтобы имела
место аналогия с волновой теорией света Гюйгенса, импульсивное движение расширенной системы должно быть каноническим преобразованием. Построение расширенной системы проведём на основе метода
Лиувилля приведения уравнений к канонической форме [1]. Кроме
уравнений (20), (23), которым должны удовлетворять переменные qi ,
140
Гл. III. Об интегральных принципах
pi , потребуем также, чтобы на участках непрерывного движения расширенной системы выполнялось условие стационарности действия по
Гамильтону исходной системы с функцией Лагранжа L:
n
L=
pi q̇i − H.
i=1
Тогда функция Гамильтона H∗ расширенной системы имеет вид
n ∂H
∂H
∂H
H∗ = H −
− ξi
+ ηi
(24)
pi
.
∂pi
i=1
∂pi
∂qi
Функция H∗ определяет уравнения для сопряжённых переменных ξi , ηi на участках непрерывного движения:
n
n
∂H
∂H
∂2H
∂2H
+
(pj − ξj ) +
ηj ,
ξ˙i = − ∗ = −
∂qi
∂qi
η̇i = −
j=1
∂pj ∂qi
j=1
∂qj ∂qi
n
n
∂H
∂2H
∂2H
=
(pj − ξj ) +
η .
∂pi
∂pj ∂pi
∂qj ∂pi j
j=1
(25)
(26)
j=1
Если ввести обозначения ζi = ξi − pi , то уравнения (25), (26) примут вид уравнений в вариациях Пуанкаре:
ζ̇i = −
n
j=1
η̇i = −
n
∂2H
∂2H
ζj +
ηj ,
∂pj ∂qi
∂qj ∂qi
n
j=1
n
∂ H
∂2H
ζi +
η .
∂pj ∂pi
∂qj ∂pi j
2
j=1
j=1
Функционал в вариационном принципе Гамильтона–Остроградского в случае разрывных движений имеет вид
(27)
I = Π + S.
Необходимые условия стационарности функционала (27) включают
следующие выражения для доударных и послеударных значений переменных ξi , ηi :
ξi− = −
∂Π
,
∂qi−
ξi+ =
+
H =H
−
∂Π
,
∂qi+
∂Π
−
,
∂t
ηi− = −
Π=
∂Π
,
∂p−
i
2n
ηi+ =
∂Π
;
∂p+
i
(28)
ρl Ψl ,
l=0
где Ψl = 0 (l = 1, ... , n) — символическая запись равенств, полученных
+
−
− ql−n
= 0 (l = n + 1, ... , 2n) — условия непрерывноиз (23); Ψl = ql−n
сти обобщённых координат (непрерывность времени в (23) уже учтена); ρl (l = 0, 1, ... , 2n) — неопределённые множители (постоянные),
19. Импульсивные движения динамических систем
141
для определения которых привлекаются уравнения (22), (23) и условия
непрерывности обобщённых координат.
Равенства (28) имеют вид свободных унивалентных канонических
преобразований с производящей функцией Π и независимыми пере+
+
менными qi− , p−
i , qi , pi , i = 1, ... , n [25]. Эти переменные могут
рассматриваться как независимые за счёт учёта в функции Π условных
уравнений, выражающих зависимости между переменными, с неопределёнными множителями ρl .
Заметим, что каноническое преобразование переменных состояния
расширенной системы можно получить и в более общем случае, когда
замкнутая система уравнений импульсивного движения составлена при
других ограничениях и функции Ψl принадлежат классу C 1.
Таким образом, канонический формализм Гамильтона распространяется на разрывное движение расширенной системы. Отсюда следует
вывод об оптико-механической аналогии динамики расширенной системы и волновой теории света Гюйгенса (оптико-механическая аналогия
Гамильтона, основанная на представлении движения с помощью группы канонических преобразований).
П р и м е ч а н и е. Известно, что в случае системы со стационарными связями при одной неудерживающей абсолютно упругой (κ = 1)
мгновенной связи уравнения движения могут быть приведены к канонической форме (без расширения системы) путём замены переменных.
Аналогию с оптическим принципом Ферма, известную для непрерывного движения [25], обнаруживаем, используя соотношение между
действием (27) и действием по Лагранжу для обобщённо-консервативных систем:
W = Π + S + h(t1 − t0 ),
(29)
в случае, когда значение обобщённого интеграла энергии H = h при
ударе не меняется.
Действительно, из принципа взаимности вариационных задач на
условный экстремум следует, что экстремали в задаче на минимум
функционала (27) при фиксированном времени движения совпадают
с экстремалями задачи на минимальное время движения при фиксированном (или стационарном) действии I (27). Поэтому из (29)
непосредственно получаем, что стационарному значению действия I
соответствует стационарное значение функционала быстродействия.
Таким образом, движение с ударами, имеющими потенциал ударных
импульсов, в случае обобщённо-консервативных систем имеет аналогию с оптическим принципом Ферма.
Полагаем, что аналогию с колебательными процессами световых
явлений (оптико-механическую аналогию Н. Г. Четаева) для механических движений с ударами также следует искать в классе движений
с потенциалом ударных импульсов, к которому при определённых требованиях относится движение расширенной системы.
142
Гл. III. Об интегральных принципах
20. Об интегральных равенствах
для неголономных систем
Принцип Гамильтона, рассматриваемый как вариационный принцип стационарного действия, справедлив только для голономных систем. Невозможность непосредственного распространения интегральных принципов, установленных для голономных систем, на неголономные системы была отмечена ещё Герцем [27]. Он обратил внимание
на то, что не всякие две точки конфигурационного пространства могут быть соединены траекторией системы с неинтегрируемой дифференциальной связью. Первым, кто предложил интегральный принцип,
пригодный для неголономных систем, по-видимому, был Гёльдер: его
принцип имеет форму интегрального равенства, не являющегося условием стационарности функционала; он был получен при предположении перестановочности операций d и δ (см. заметку 16). При этом,
во-первых, варьированные траектории не удовлетворяют уравнениям
неголономных связей, и во-вторых, уравнения движения неголономной
системы не совпадают с уравнениями Эйлера вариационной задачи
Лагранжа. Обсуждению этих двух вопросов посвящена обширная литература с начала двадцатого века и до настоящего времени. Приведём
некоторые результаты [101].
20.1. Интегральные равенства Гёльдера, Воронца и Суслова.
Рассматривается неголономная система, заданная функцией Лагранжа
L(q , t, q̇) = T − Π, с идеальными независимыми неголономными связями:
n
fl =
ali q̇i + a0 = 0, l = 1, ... , r.
(1)
i=1
Здесь qi и q̇i — обобщённые лагранжевы координаты и обобщённые
скорости; t — время; T (q , t, q̇) = T2 + T1 + T0 — кинетическая энергия
системы; Tα — однородные относительно обобщённых скоростей q̇i
степени α функции (α = 0, 1, 2); Π — потенциальная энергия; ali (q , t),
a0 (q , t). В силу независимости связей (1) их можно представить в разрешённом виде:
q̇k+l = ϕl (q1 , ... , qn , q̇1 , ... , q̇k , t),
l = 1, ... , r,
(2)
приняв q̇s (s = 1, ... , k = n − r) за независимые обобщённые скорости.
Виртуальные перемещения δ qi удовлетворяют уравнениям
n
ali δqi = 0,
l = 1, ... , r,
(3)
i=1
принимающим для связей (2) вид
δqk+l =
k
s=1
bls δqs ,
l = 1, ... , r.
(4)
20. Об интегральных равенствах для неголономных систем
143
Интегральное равенство Гёльдера
t1
δL dt = 0
(5)
t0
при
δqi (t0 ) = δqi (t1 ) = 0,
i = 1, ... , n,
(6)
справедливо как для голономных, так и для неголономных систем при
допущении перестановочности операций d и δ :
δ q̇i =
d
(δqi ),
dt
(7)
для всех переменных (i = 1, ... , n). После изохронного варьирования
в подынтегральном выражении (5) получаем
t1 n ∂L
∂L
δ q̇i +
δqi dt = 0.
(8)
t0 i=1
∂ q̇i
∂qi
Исключив с помощью (2) из выражения кинетической энергии
зависимые обобщённые скорости, получаем функцию
ϑ(q1 , ... , qn , q̇1 , ... , q̇k , t),
(9)
вариация которой связана с вариацией кинетической энергии равенством
r
∂T
δT = δϑ +
(δ q̇k+l − δϕl ).
(10)
l=1
∂ q̇k+l
Подстановка (10) в (5) приводит к интегральному равенству Воронца (форма Воронца принципа Гамильтона) (при условии (6)):
t1
δ(ϑ − Π) +
r
∂T
l=1
t0
∂ q̇k+l
(δ q̇k+l − δϕl ) dt = 0.
(11)
Свойство (7) можно оставить только для независимых обобщённых
скоростей, т. е.
d
δ q̇s = (δqs ), s = 1, ... , k,
(12)
dt
а для зависимых с учётом (2) принять выражения
δ q̇k+l =
Ask+l =
r
d
(δqk+l ) −
Ask+l δqs ,
dt
d ∂ϕl
∂ϕ
− l−
dt ∂ q̇s
∂qs
s=1
r
v=1
(13)
∂ϕl ∂ϕυ
.
∂qk+υ ∂ q̇s
Символ δ означает вариацию функции, содержащей зависимые скорости, в смысле (12), (13).
144
Гл. III. Об интегральных принципах
При таком способе варьирования кривые сравнения в первом приближении удовлетворяют уравнениям связей.
Используя соотношения (12), (13) в интегральном равенстве (8),
получаем интегральное равенство Суслова (форма Суслова принципа
Гамильтона):
t1
δL +
r
∂T
l=1
t0
k
∂ q̇k+l
Ask+l δqs
dt = 0
(14)
s=1
при условиях (6).
Все три приведённые интегральные равенства в общем случае не
представляют собой вариационного принципа стационарного действия
для неголономных систем. Принцип стационарного действия для неголономных систем при некоторых условиях имеет вариационную форму [101].
20.2. О вариационной форме интегрального принципа для
неголономных систем. Вариационной задаче на условный экстремум
функционала (действие по Гамильтону) с условиями (1) сопоставляется
задача на безусловный экстремум функционала
t1
L∗ dt,
t0
∗
L =L+
(15)
χl fl ,
(16)
l
где χl — множители Лагранжа.
Необходимое условие стационарности функционала (16):
t1
δ L∗ dt = 0,
(17)
t0
состоит в выполнении уравнения
d ∂L∗
i
dt ∂ q̇i
−
∂L∗
δqi = 0.
∂qi
(18)
Сравним уравнение (18) с общим уравнением динамики. Общее
уравнение динамики голономной системы с функцией Лагранжа L
и идеальными связями (1) имеет вид
d ∂L
∂fl ∂L
−
−
λl
(19)
δqi = 0,
i
dt ∂ q̇i
где λl — множители связей.
∂qi
l
∂ q̇i
20. Об интегральных равенствах для неголономных систем
145
Уравнения (18) и (19) совпадают, если имеет место равенство
∂fl
d ∂fl
χl
−
(20)
δqi = 0.
∂qi
i, l
При этом
dt ∂ q̇i
λl = −χ̇l ,
l = 1, ... , r.
(21)
Условие (20) необходимо и достаточно (А. С. Сумбатов, см. [101]) для
того, чтобы некоторое решение qi (t) уравнений несвободой системы
с множителями связей (при связях (1)) находилось среди решений
уравнений, полученных из (18), (1). Соответственно интегральный
принцип Гамильтона для неголономной системы имеет характер вариационного принципа стационарного действия (17) только для движений,
удовлетворяющих равенству (20).
Покажем, что при указанных условиях можно получить каноническое представление уравнений движения в новых переменных qi , t, πi :
πi =
∂L∗
,
∂ q̇i
(22)
с помощью функции Гамильтона H1 , получаемой в результате преобразования [98]
H1 (q , π , t) = max
πi q̇i − L fl = 0 .
(23)
q̇i
i
В переменных Гамильтона qi , t, πi для функции H1 уравнения движения имеют вид
∂H1
∂H
q̇i =
, π̇i = − 1 .
(24)
∂πi
∂qi
Уравнения (24) при условии (20) (и (21)) равносильны уравнениям
с множителями связей:
∂fl
∂H
∂H
q̇i =
, ṗi = −
+
λl
,
∂pi
pi =
∂qi
∂L
,
∂ q̇i
H=
∂ q̇l
l
pi q̇ i − L.
i
Таким образом, при выполнении условия (20) движения неголономной системы описываются каноническими уравнениями (24), которые
могут быть положены в основу описания с помощью принципа стационарного действия в вариационной форме [101]:
t1 δ
t0
πi q̇i − H1 dt = 0,
i
равносильного (при условиях на концах (6)) принципу Гёльдера (5).
Г л а в а IV
РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
21. Модель динамики системы
«жёсткое колесо — деформируемый рельс»
Изучается качение жёсткого колеса по деформируемому упругому
рельсу, лежащему на вязкоупругом основании. Ранее [20, 115] при составлении модели системы использовалась приближённая теория Бернулли–Эйлера. Здесь применяется уточнённая теория изгиба стержней
(С. П. Тимошенко). С помощью принципа Гамильтона–Остроградского
составлены уравнения движения. Показано, что связи, описывающие
условия контакта, создают реакции в виде силы и пары. Дана оценка
величины псевдоскольжения, обусловленного поперечными (в отличие
от классического крипа) деформациями. Найдены две характерные
скорости стационарного качения колеса, разделяющие области качественно различного движения рельса.
21.1. Механическая схема. Рассматривается плоское движение
системы «жёсткое колесо — деформируемый рельс». Ось колеса является осью динамической симметрии, рельс моделируется однородной балкой, испытывающей поперечный изгиб в условиях гипотезы
плоских сечений. В недеформированном состоянии рельс расположен
Рис. 21.1
горизонтально на вязкоупругом основании. Внешние по отношению
к системе активные силы, приложенные к колесу, приведены к его
центру и включают силу (представленную в виде двух составляющих
F e1 и −P e2 ) и пару с моментом M (рис. 21.1). Примем следующие
обозначения: w(s, t) — поперечное перемещение точки нейтральной
линии рельса с горизонтальной координатой s (s ∈ [s1 , s2 ]), параллельное оси O1 Y1 инерциальной системы координат в момент времени t;
21. Динамика системы «жёсткое колесо — деформируемый рельс»
147
s0 ∈ [s1 , s2 ] — координата той точки нейтральной линии рельса l0 ,
которой соответствует точка K на линии контакта l1 ; ψ(s, t) — угол
поворота плоского сечения балки; x1 , y1 , ϑ — координаты центра
масс O колеса и угол его поворота (Oxyz — оси координат, связанные
с колесом).
Составим модель динамики системы с помощью метода переменного
действия, состоящего в распространении принципа Гамильтона–Остроградского на системы с распределёнными параметрами. Для применения этого принципа требуются функционал действия по Гамильтону
и изменение действия за счёт активных непотенциальных сил и сил
реакций связей, не учтённых выбором определяющих параметров.
21.2. Действие. Действие по Гамильтону S строится на основе
функции Лагранжа L = T − Π (где T — кинетическая энергия системы,
Π — её потенциальная энергия):
t2
L dt,
S=
(1)
t1
где [t1 , t2 ] — фиксированный отрезок времени. Кинетическая энергия
системы складывается из кинетической энергии круглого колеса при
плоском качении и кинетической энергии рельса:
m
J ϑ̇2
1
T = (ẋ21 + ẏ12 ) + 0 +
2
2
2
s2
(ρẇ2 + J ψ̇ 2 ) ds,
(2)
s1
где m и J0 — масса и момент инерции колеса относительно оси
симметрии соответственно; ρ и J ds — линейная массовая плотность
и момент инерции элементарной массы рельса относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через соответствующую точку нейтральной линии; точка означает дифференцирование
по времени t.
П р и м е ч а н и е 1. С помощью параметра J характеризуются продольные силы инерции. Иногда эта величина трактуется как «момент
инерции единицы длины стержня относительно центральной оси», но
это не так. Малость отношения высоты сечения к длине балки не является, вообще говоря, достаточным основанием возможности пренебречь
членами с коэффициентом J в (2) (и соответственно в уравнениях
движения).
Составим функционал потенциальной энергии. Потенциальными
считаем внутренние упругие силы изгиба балки и линейные упругие
силы основания.
Используем уточнённую теорию С. П. Тимошенко, в которой функционал потенциальной энергии имеет вид [4]
1
2
s2
s1
!
"
k1 ψ 2 + k3 (ψ − w )2 ds,
(3)
148
Гл. IV. Решение прикладных задач
где k1 — коэффициент, зависящий от модуля упругости и геометрии
поперечного сечения рельса (пропорциональный h4 ; h — характерный
размер поперечного сечения); k3 — коэффициент, определяемый по модулю сдвига и геометрии поперечного сечения (пропорциональный h2 )
и учитывающий также неравномерность касательных напряжений по
сечению; штрихом обозначено дифференцирование по s.
Слагаемые в (3) имеют следующий механический смысл: первое
слагаемое — потенциальная энергия упругих изгибающих моментов
и зависящих от них перерезывающих сил, а второе — потенциальная
энергия дополнительных упругих перерезывающих сил.
П р и м е ч а н и е 2. В теории Бернулли–Эйлера потенциальная
энергия имеет вид интеграла
1
2
s2
kw 2 ds,
s1
где k — изгибная жёсткость рельса. Этот функционал можно получить из (3) подстановкой равенства ψ = w (далее это условие
будет рассматриваться как связь) и равенства, получаемого из него
дифференцированием по s. Однако, в отличие от (3), функционал
потенциальной энергии в теории Бернулли–Эйлера не удовлетворяет
требованиям, предъявляемым к функционалам, представляющим действие деформации [48], в части порядка производной от функции w
по аргументу s (плотность евклидового действия деформации, как
показали Э. и Ф. Коссера, не должна зависеть от производных второго
порядка; см. также заметку 18). Кроме того, этот функционал не
является голономным в смысле работы [4] (в голономном функционале
подынтегральное выражение может зависеть от вторых производных
только линейно).
С учётом линейных упругих сил деформации основания, на котором
лежит рельс, потенциальная энергия системы представляется функционалом
s2
Π=
1
2
[k1 ψ 2 + k2 w2 + k3 (ψ − w )2 ] ds,
(4)
s1
где k2 — жёсткость основания.
При кинетической энергии (2) и потенциальной энергии (4) функция Лагранжа представляется в виде двух слагаемых:
s2
Λ ds,
L = L0 +
s1
L0 =
m 2
J ϑ̇2
(ẋ1 + ẏ12 ) + 0 ,
2
2
(5)
1
Λ = ρẇ2 + J ψ̇ 2 − k1 ψ 2 − k2 w2 − k3 (ψ − w )2 .
2
Изменение действия по Гамильтону (1) при варьировании определяющих координат и их производных (с учётом перестановочных
21. Динамика системы «жёсткое колесо — деформируемый рельс»
149
соотношений) находим по правилам вариационного исчисления [131]:
t2
δ L0 dt =
t1 i=1
t1
t2 s2
δ
Λ ds dt =
t1 s1
t2 3
q1 = x1 (t),
t2 s2 2 t1 s1 j=1
∂L0
d ∂L0
−
∂qi
dt ∂ q̇i
q2 = y1 (t),
∂Λ
∂
−
∂uj
∂t
∂Λ
∂ u̇j
u1 (s, t) = w(s, t),
где
∂
∂
−
∂uj
∂t
∂
∂ u̇j
δqi + ... ,
q3 = ϑ(t),
∂
∂Λ
−
δuj ds dt + ... ,
∂s
∂uj
u2 (s, t) = ψ(s, t),
−
∂
∂s
(6)
∂
∂uj
(7)
= Ej
представляет собой оператор Эйлера–Остроградского (операция над
выражением в фигурных скобках является полной частной производной [131]). В выражения (6), (7) не включены слагаемые, относящиеся
к моментам времени t1 , t2 и точкам с координатами s = s1 , s = s2 .
Структура функционала диссипативных сил вязкого трения часто
принимается [20] аналогичной структуре функционала потенциальной
энергии. Однако вопрос об экспериментальном подтверждении существования материалов, в которых внутренняя диссипация энергии пропорциональна скорости деформирования (материал Кельвина–Фойхта),
остаётся открытым [112]. Учтём только малые силы внешнего вязкого
трения, действующие на рельс, с диссипативным функционалом следующего вида:
s2
1
D=
ε d1 ψ̇ 2 + d2 ẇ2 ds,
(8)
2
s1
где d1 , d2 — коэффициенты вязкого трения; ε — малый параметр.
Изменение действия за счёт виртуальной работы сил вязкого трения, заданных функционалом (8), имеет вид
−
t2 s2
ε d1 ψ̇δψ + d2 ẇδw ds dt.
(9)
t1 s1
Изменение действия за счёт виртуальной работы внешних активных
(заданных) сил, приложенных к жёсткому колесу, находится так же,
как обычно в аналитической механике.
21.3. Анализ связей. Общие свойства связей в системе с несколькими независимыми параметрами (в данной задаче это t и s)
рассмотрены в п. 9.3.
Упоминавшееся в примечании 2 условие
f = ψ − w = 0
(10)
150
Гл. IV. Решение прикладных задач
будем рассматривать как идеальную связь. Реакция идеальной связи
задаётся с помощью уравнения для виртуальных вариаций, получаемого из уравнения связи (10):
δf = δψ − δw = 0.
(11)
Условия в месте контакта колеса и рельса также являются связями.
Положим, что при качении колеса в месте контакта отсутствует проскальзывание. Тогда имеем равенство скоростей материальных точек
колеса и рельса, находящихся
в точке K (рис. 21.2):
ẋ1 + rϑ̇ cos α = −hẇ0 cos α,
ẏ1 + rϑ̇ sin α = −hẇ0 sin α + ẇ0 .
(12)
В (12) и на рис. 21.2 нижний
индекс 0 указывает на то, что параметр принимается при s = s0 ,
где s0 — координата точки нейтральной линии l0 , которой соответствует точка K на линии касания l1 (в недеформированном состоянии нейтральная линия совпадает с осью O1 X1 , а линия касания l1 задаётся уравнением Y1 = h;
Рис. 21.2
2h — высота рельса); w0 = w(s0 , t);
ψ0 = ψ(s0 , t); α — угол между вертикалью и радиусом OK ; ϕ — угловая
координата точек обода колеса (ϕ0 соответствует точке K в месте
контакта). Соответственно имеется равенство [20]
α = ϑ + ϕ0 −
3π
.
2
(13)
Отдельно взятое равенство (13) представляет собой чисто кинематическое соотношение. Однако учитывая в точке контакта равенство
tg α = w0 ,
(14)
после исключения α из (13) и (14) получаем связь между физическими
параметрами. Ограничив область исследования неравенствами |α| 1,
|w0 | 1, из (12) и (13), (14) получаем уравнения для виртуальных
вариаций:
δx1 + rδϑ = −hδw0 ,
δy1 + rw0 δϑ = −hw0 δw0 + δw0 ,
δϑ = δw0 , (15)
где r — радиус колеса.
Уравнения связей и уравнения для виртуальных вариаций вместе
с функционалами (см. п. 21.2) определяют модель движения системы.
21.4. Интегральный принцип. Уравнения движения системы.
Получим уравнения движения системы с помощью интегрального
21. Динамика системы «жёсткое колесо — деформируемый рельс»
151
принципа для интервала изменения s, состоящего из двух равных
частей — [s1 , s0 ) и (s0 , s2 ], при s1 = −b, s2 = b и достаточно большом
значении b [20].
Составляем интегральное равенство принципа Гамильтона–Остроградского:
t2
t2 s2
δ L dt +
t1
[−ε(d1 ψ̇δψ + d2 ẇδw) + λ(δψ − δw )] ds dt +
t1 s1
t2
t2
+ (F δx1 − P δy1 + M δϑ) dt + μ1 (δx1 + rδϑ + hδw0 ) dt +
t1
t2
t1
+ [μ2 (δy1 + rw0 δϑ + hw0 δw0 − δw0 ) + ν(δϑ − δw0 )] dt = 0,
(16)
t1
δuj (s, t1 ) = δuj (s, t2 ) = 0,
j = 1,2,
где λ(s, t), μ1 (t), μ2 (t), ν(t) — неопределённые множители Лагранжа,
задающие реакции связей. В подынтегральном выражении (16) вариации произвольны.
Раскрываем первое слагаемое в (16) по формулам (6), (7) с учётом
перестановочных соотношений δψ = (δψ) , δw = (δw) . После интегрирования по частям, приравнивая нулю коэффициенты при вариациях
δx1 , δy1 , δϑ, δw, δψ , получаем дифференциальные уравнения
mẍ1 = F + μ1 ,
mÿ1 = −P + μ2 ,
J0 ϑ̈ = M + μ1 r + μ2 rw0 + ν ,
J ψ̈ − k1 ψ + k3 (ψ − w ) + εd1 ψ̇ − λ = 0,
ρẅ + k2 w + k3 (ψ − w ) + εd2 ẇ − λ = 0
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
и условия сопряжения в точке s = s0
−ν + μ1 h + μ2 hw0 = 0,
−λ(s0 − 0, t) + λ(s0 + 0, t) − μ2 (t) = 0.
(22)
(23)
Полученные уравнения дополняются условиями непрерывности определяющих координат и их производных по s (до второго порядка)
в месте контакта, граничными условиями (uj (s1 , t) = uj (s2 , t) = 0),
уравнениями связей и начальными условиями.
Вид правых частей уравнений (17)–(19) показывает, что реакция
рельса на колесо состоит из силы, приложенной в точке K , и пары,
момент которой направлен по оси колеса. Момент реакции ν можно
трактовать как момент трения качения. Равенство (22) означает, что
главный момент этой реакции относительно центра, лежащего на нейтральной оси, равен нулю, т. е. реакция рельса на колесо имеет равнодействующую, проходящую через этот центр. Таким образом, имеем
152
Гл. IV. Решение прикладных задач
обоснование предложения, сделанного в [20]: «считать, что реакция,
возникающая в точке K , переносится в соответствующую точку нейтральной линии с координатой s0 . . .». Неравенство нулю момента реакции относительно точки контакта отражает тот факт, что физически
контакт колеса и рельса не является точечным. Аналогичную ситуацию
имеем при учёте момента трения качения с помощью коэффициента
трения качения (получаемого на основе моделей с деформируемыми
телами или экспериментально).
Неопределённый множитель λ(s, t) имеет смысл перерезывающей
силы (см. (20)) в сечениях рельса. Перерезывающая сила в сечении
рельса с координатой s = s0 (см. (23)) претерпевает разрыв, равный по
величине вертикальной составляющей реакции колеса на рельс.
Уравнения (20), (21) в отсутствие связи (10) и диссипации совпадают с уравнениями, полученными в работе [122].
П р и м е ч а н и е 3. В работе [122, с. 115] дан вывод дифференциального уравнения собственных поперечных колебаний балки (уравнение С. П. Тимошенко) из чисто физических соображений (потенциальная энергия при этом не использовалась) и показан его волновой
характер.
Подставив уравнение связи (10) в уравнения (20), (21), имеем
J ψ̈ − k1 ψ + εd1 ψ̇ − λ = 0,
ρẅ + k2 w + εd2 ẇ − λ = 0.
(24)
(25)
Сопоставление (24), (25) с уравнениями, полученными в отсутствие
связи (10), приводит к выводу о том, что идеальная связь (10) может быть реализована бесконечным увеличением жёсткости балки при
сдвиге (k3 → ∞) (переход от теории Тимошенко к теории Бернулли–
Эйлера).
Исключив множитель λ и координату ψ (с учётом уравнения связи (10)), из уравнений (24), (25) находим уравнение для определения
прогиба рельса:
k1 wIV − J ẅ + ρẅ − εd1 ẇ + εd2 ẇ + k2 w = 0,
s = s0 .
(26)
Если закон изменения прогиба w(s,t) получен, то из (24), (25)
(с учётом уравнения связи (10)) находится дополнительная перерезывающая сила, обусловленная реакцией. В частности, это может быть
сделано в стационарном режиме движения.
21.5. Стационарный режим движения системы. Стационарный
режим движения системы характеризуется постоянной скоростью оси
колеса, постоянной угловой скоростью и неизменным положением точки контакта в системе координат, поступательно перемещающейся
с осью, а также постоянным значением мощности диссипативных сил,
т. е. когда
ẋ1 = c,
y1 = const,
ϑ̇ = const,
α = const,
D = const,
(27)
21. Динамика системы «жёсткое колесо — деформируемый рельс»
153
где c — скорость оси колеса, D — значение функционала (8).
Подстановка (27) в уравнения связей и в уравнения движения
(18)–(20) приводит к равенствам
c + rϑ̇ cos α = −hẇ0 cos α,
F + μ1 = 0,
−P + μ2 = 0,
rϑ̇ sin α = −hẇ0 sin α + ẇ0 ,
(28)
μ2 rw0
(29)
M + μ1 r +
+ ν = 0.
Из (27) и (28) с учётом сделанных выше предположений о малых
величинах имеем
ẇ0 = const = −cw0 ,
c + r1 ϑ̇ = 0 (ẇ0 = ϑ̇,
r1 = r + h).
(30)
Мгновенный центр вращения колеса в общем случае смещён на
величину r1 α по горизонтали относительно точки нейтральной линии
рельса, имеющей координату s0 . Поэтому, согласно (30), на пройденном
пути действительное число оборотов колеса x1 /(2πr1 cos α) в общем
случае отличается от геометрического числа оборотов x1 /(2πr), т. е.
проявляется своего рода псевдоскольжение. Известное [136] явление крипа (creep) обусловлено продольными деформациями основания
и (или) периферии колеса, здесь же причиной псевдоскольжения является поперечная деформация.
При стационарном движении выполняется равенство (см. (19), (29))
M − r1 F + P r1 α = 0.
(31)
Из (30), (31) получаем кинематическое и динамическое выражения
для угла α (при c > 0):
α=−
ẇ0
r F −M
= 1
,
c
r1 P
(32)
которым соответствуют три варианта относительного расположения
колеса и рельса (рис. 21.3):
а) α > 0, ẇ0 < 0 при r1 F − M > 0;
б) α < 0, ẇ0 > 0 при r1 F − M < 0;
в) α = 0, ẇ0 = 0 при r1 F = M.
(33)
Сравнение мощности активных сил (N (a) = M ϑ̇ + F c) и мощности
всех внешних сил (N = M ϑ̇ + F c + P ẇ0 = 0), приложенных к колесу,
приводит к равенству −2D = P ẇ0 , где D — значение функционала (8)
диссипативных сил. Из последнего равенства следуют два вывода:
1) сила P в стационарном движении постоянна; 2) из трёх вариантов (33) возможны лишь варианты а и в, причём варианту в соответствует модель без диссипации энергии (ε = 0 в (8)). Для консервативной системы при c = 0 имеем: α = 0, касательная к нейтральной
линии — горизонтальна (w0 = 0), ẇ0 = 0. В этом случае пригодна
кинематическая интерпретация [20] движения оси колеса: гипотетическое колесо радиуса r1 с центром в точке O катится без скольжения
154
Гл. IV. Решение прикладных задач
Рис. 21.3
по горизонтальной направляющей, совпадающей с недеформированной
нейтральной линией.
Система координат, связанная с осью колеса, в стационарном режиме является инерциальной. В таких осях удобно использовать координату ξ = s − ct для точек рельса перед колесом (s > s0 ) и координату
ζ = ct − s для точек рельса позади колеса (s < s0 ). Функции W (ξ)
и w(s, t) (W (ξ) = ω(s, t)) имеют производные, связанные равенствами
вида
ẇ = −c
∂W
,
∂ξ
w =
∂W
,
∂ξ
ẅ = c2
∂2W
,
∂ξ 2
ẇ = −c
∂3W
,
∂ξ 3
w =
∂2W
∂ξ 2
(34)
(аналогично для функций Ψ(ξ) = ψ(s, t)). Производные от функции
W (ζ) = w(s, t) (они отличаются знаком в нечётном порядке) имеют вид
ẇ = c
∂W
,
∂ζ
w = −
∂W
,
∂ζ
ẅ = c2
∂2W
,
∂ζ 2
ẇ = c
∂3W
,
∂ζ 3
w =
∂2W
∂ζ 2
(35)
(аналогично для функций Ψ(ζ) = ψ(s, t)).
Подставив (34), (35) в (26), получаем соответственно уравнения
(оставляем одинаковое обозначение производных по переменным ξ и ζ )
(k1 − Jc2 )W IV + εd1 cW + ρc2 W − εd2 cW + k2 W = 0,
ξ > 0, (36)
(k1 − Jc2 )W IV − εd1 cW + ρc2 W + εd2 cW + k2 W = 0,
ζ > 0. (37)
В консервативном случае уравнения (36) и (37) совпадают:
(k1 − Jc2 )W IV + ρc2 W + k2 W = 0,
(38)
что соответствует симметрии решений относительно оси Oy1 . Можно
заметить, что порядок уравнения для консервативной системы тот же,
что и уравнения, полученного с учётом внешнего вязкого трения.
21. Динамика системы «жёсткое колесо — деформируемый рельс»
155
Корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (38), вычисляются по формулам
−ρc2 ± Δ
Dn = ±
, Δ = ρ2 c4 + 4k2 Jc2 − 4k1 k2 , n = 1, ... , 4.
2
2(k1 − Jc )
Величина Δ в (39) представляется в виде произведения
= ρ (c2 − c20 )(c2 − c21 ) :
c20
=
2
k1 k2
ρ
− 1 + μ2 − μ ,
J
μ=
ρ
c21
=
2
k1 k2
ρ
(39)
Δ=
1 + μ2 − μ , (40)
k2
.
k1
%
√
Характерные скорости c1 (см. (40)) и c2 (c22 = k1 /J = k1 k2 (μρ)),
причём c2 > c1 , разделяют весь диапазон скоростей на области, в которых форма рельса качественно различна. Скорость c1 является критической скоростью в том смысле, что в области c < c1 существуют
нетривиальные решения уравнения (38), удовлетворяющие граничным
условиям (значение критической скорости, найденное в [20], получается при μ = 0).
Учёт параметра J , как показывает выражение (40), снижает значение критической скорости c1 и приводит к появлению второй характерной скорости c2 .
В области скоростей 0 < c < c1 корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (38), имеют вид ±α ± iβ. Поэтому
форма нейтральной оси рельса описывается уравнением
W (ξ) = C1 exp [(−α + iβ)ξ] + C 1 exp [(−α − iβ)ξ] ,
ξ > 0,
(41)
где C1 и C 1 — комплексные постоянные интегрирования (C 1 — комплексное число, сопряжённое с числом C1 ); другие постоянные интегрирования равны нулю согласно условиям на бесконечности. Заменой ξ на ζ получаем уравнение, аналогичное (41):
W (ζ) = C2 exp [(−α + iβ)ζ] + C 2 exp [(−α − iβ)ζ] ,
ζ > 0.
При скоростях c > c2 корни характеристического уравнения — вещественные (±ω1 , ±ω2 ), а условия на бесконечности можно удовлетворить при специальном выборе постоянных интегрирования.
В области скоростей c2 > c > c1 корни характеристического уравнения — чисто мнимые: ±iω1 , ±iω2 (ω1 < ω2 ). В этой области параметров
условия на бесконечности нетривиально не удовлетворяются, но можно
ожидать, что учёт малого вязкого сопротивления изменит ситуацию.
Найдём малые поправки к корням характеристического уравнения
консервативной системы в области скоростей c2 > c > c1 .
156
Гл. IV. Решение прикладных задач
Составляем характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (36), в форме
(k1 − Jc2 )(Dn + εδ)4 + εd1 c(Dn + εδ)3 + ρc2 (Dn + εδ)2 −
− εd2 c(Dn + εδ) + k2 = 0 (n = 1, ... , 4),
(42)
где величины Dn (39) удовлетворяют уравнению (38), а εδ — малые
приращения. С учётом малых первого порядка относительно ε из (42)
находим, что корни ±iω1 , ±iω2 получают поправки εδj (j = 1, 2), где
δj = −(−1)j
c(d2 + d1 ωj2 )
2Δ
(j = 1,2; δ1 > 0; δ2 < 0).
(43)
Следовательно, форма нейтральной оси рельса перед колесом описывается уравнением:
W (ξ) = C1 exp [(εδ2 + iω2 )ξ] + C 1 exp [(εδ2 − iω2 )ξ] ,
ξ > 0.
(44)
Характеристическое уравнение для (37) имеет вид
(k1 − Jc2 )(Dn + εδ)4 − εd1 c(Dn + εδ)3 + ρc2 (Dn + εδ)2 +
+ εd2 c(Dn + εδ) + k2 = 0 (n = 1, ... , 4). (45)
Далее имеем
δj = (−1)j
c(d2 + d1 ωj2 )
2Δ
(j = 1, 2; δ1 < 0; δ2 > 0),
и поправка εδ1 к корням ±iω1 является отрицательной. Соответственно
получаем решение уравнения (37):
W∗ (ζ) = C2 exp [(εδ1 + iω1 )ζ] + C 2 exp [(εδ1 − iω1 )ζ] ,
ζ > 0,
(46)
описывающее форму нейтральной оси рельса позади колеса. Для определения постоянных интегрирования в функциях (44) и (46) имеем равенство этих функций и равенство их производных (с учётом различия
знаков в нечётных производных) до третьего порядка включительно
в точке ξ = ζ = 0. Форма нейтральной оси рельса имеет вид двух затухающих гармоник: гармоника перед колесом имеет больший декремент
и меньший период по сравнению с гармоникой позади колеса.
22. О качении деформируемого колеса
Рассматривается плоское стационарное качение колеса по прямолинейной направляющей (модель В. Г. Вильке). Колесо состоит из жёсткого диска и деформируемой периферии [21], инерционные свойства
которой представляет абсолютно гибкое нерастяжимое кольцо.
22.1. Механическая схема. В качестве модели колеса возьмём
жёсткий динамически-симметричный круглый диск и тонкое однородное кольцо, которое в недеформированном состоянии образует окруж-
22. О качении деформируемого колеса
157
ность радиуса r , концентричную диску. К периферии относится кольцо
и безынерционные соединения, создающие упругие силы при смещении
точек кольца от их положений относительно диска в недеформированном состоянии системы. Положим, что качение колеса является
плоским стационарным движением по недеформируемой прямолинейной направляющей.
Колесо совершает движение в однородном поле силы тяжести,
контактируя без проскальзывания с прямолинейной горизонтальной
направляющей. В стационарном движении центр масс колеса движется
равномерно и прямолинейно.
Известно, что перемещение элементов деформируемой системы
можно представить в виде перемещения её как целого (поступательное
перемещение и поворот недеформированной конфигурации) и деформационных перемещений относительно жёсткой системы, связанной
с недеформированной конфигурацией. Недеформированная конфигурация кольца определяет положение его как целого (окружность радиуса r ).
Положение материальных точек кольца зададим [21] в средних осях
кольца (далее просто средние оси) вектором R с помощью переменных
Эйлера в полярных координатах (C — центр масс кольца, рис. 22.1):
R(ϕ) = [r + u(ϕ)]er + v(ϕ)eϕ ,
(1)
где ϕ — полярный угол (отсчитываемый от вертикали); u и v —
радиальное и поперечное деформационные перемещения; er и eϕ —
орты полярной системы координат. На рис. 22.1 введены следующие
обозначения: d — вектор поступательного перемещения средних
осей относительно центра O диска; r∗ — радиусы-векторы материальных точек недеформированного кольца в осях, связанных с диском;
w∗ — перемещения материальных точек кольца относительно диска.
Условие нерастяжимости кольца
имеет вид (см. (1))
(dR)2 = [(u − v)2 +
+ (r + u + v )2 ]dϕ2 = r2 dϕ2 ,
(2)
Рис. 22.1
где штрих означает дифференцирование по ϕ.
Из равенства (2) следует нелинейное уравнение связи:
(u − v)2 + 2r(u + v ) + (u + v )2 = 0,
(3)
158
Гл. IV. Решение прикладных задач
из которого в линейном приближении по u, v , u, v имеем условие
u + v = 0,
(4)
являющееся уравнением связи.
22.2. Вариация функционала «действие». Будем считать кольцо состоящим из двух участков, составленных из материальных точек,
находящихся вне зоны контакта и в зоне контакта соответственно.
Участок в зоне контакта принимаем прямолинейным (хорда с центральным углом 2γ ), абсолютные скорости точек этого участка равны нулю.
Получим выражение кинетической энергии участка, находящегося вне
зоны контакта. При стационарном качении колеса (см. рис. 22.1) относительно осей, движущихся поступательно вместе с центром масс C ,
деформированная конфигурация является неизменной, поэтому вместо двух независимых переменных можно рассматривать одну. Независимое изменение координаты ϕ при переходе от одного элемента
кольца к другому в фиксированный момент будем рассматривать как
перемещение, происходящее за элементарный промежуток времени dt.
Обозначив dϕ = ω dt, где ω — постоянная угловая скорость, находим
(см. (1)) выражение скорости элементарной массы кольца относительно
осей Кёнига с центром в точке C :
dR
= ω(u − v)er + ω(r + u + v )eϕ .
dt
(5)
Поскольку указанные оси являются инерциальными, примем их за
основную систему координат. В отсутствие внешних горизонтальных
сил и внешнего момента относительно оси колеса форма кольца при
стационарном движении симметрична относительно вертикали; при
этом поворот средних осей относительно диска равен нулю; точка C
лежит на оси Oy (d = dey ); центральный угол γ (γ = π − ϕ1 ), опирающийся на зону контакта, делится осью пополам. Кинетическая энергия
кольца представляется выражением
T =
ρrω 2
2
ϕ1
! "
(u − v)2 + (r + u + v )2 dϕ + ... ,
(6)
−ϕ1
где ρ — масса единицы длины кольца. В формуле (6) не выписано
постоянное слагаемое.
Кольцо находится в поле постоянных радиальных сил, в поле линейных упругих сил взаимодействия с диском и в однородном поле сил
тяжести, так что сила F, отнесённая к единице длины кольца, имеет
вид [21]
F = (c0 − c1 u)er − c2 veϕ + ρg,
(7)
где c0 — константа (радиальное усилие c0 er обеспечивает круговую
форму кольца в свободном состоянии; в пневматике, например, оно
создаётся давлением); c1 , c2 — постоянные коэффициенты жёсткости
159
22. О качении деформируемого колеса
(c2 c1 ); g — ускорение свободного падения в однородном поле силы тяжести. Виртуальная работа этих сил, действующих на участок
вне зоны контакта, является полной вариацией функции A = −Π
(Π — потенциальная энергия):
ϕ1
(Fr δu + Fϕ δv)r dϕ,
δA =
(8)
−ϕ1
Fr = c1 (a − u − b1 cos ϕ),
Fϕ = −c2 (v − b2 sin ϕ),
где a = c0 /c1 ; b1 = d + ρg/c1 ; b2 = d + ρg/c2 . Вариация действия по
Гамильтону для участка кольца вне зоны контакта имеет вид
t2
(δT + δA) dt,
(9)
t1
где δT и δA берутся из выражений (6) и (8).
22.3. Уравнения для определения формы кольца. Рассмотрим
условие нерастяжимости кольца как идеальную связь (3), виртуальные
вариации которой удовлетворяют уравнению
(u − v)(δu − δv) + (r + u + v )(δu + δv ) = 0
(10)
и перестановочным соотношениям δu = (δu) , δv = (δv) . Воспользовавшись принципом освобождаемости, составляем виртуальную работу
реакции связи, действующую на элемент кольца, в виде произведения
неопределённого множителя λ(s, t) и выражения, стоящего в левой
части уравнения (10). Теперь не требуется выполнения уравнения (10)
(и равенства δu + δv = 0). Физический смысл множителя связи λ
установим, сопоставив виртуальную работу реакции связи и виртуальную работу силы натяжения N нити, моделирующей кольцо, на
виртуальном перемещении δu (при прочих вариациях, равных нулю).
Виртуальная работа силы натяжения N в линейном приближении
равна работе реакции на перемещении недеформированного элемента, т. е.
λrδu = −N dϕδu.
(11)
Из (11) следует, что
λ=−
N dϕ
.
r
(12)
В результате виртуальная работа сил натяжения вне зоны контакта δ A
представляется интегралом
=−
δ A
1
r
ϕ1
N [(u − v)(δu − δv) + (r + u + v )(δu + δv )] dϕ.
(13)
−ϕ1
Прибавляя к интегралу (9) изменение действия за счёт реакции связи,
получаем интегральное равенство принципа Гамильтона–Остроград-
160
Гл. IV. Решение прикладных задач
ского:
t2
dt = 0.
(δT + δA + δ A)
(14)
t1
После интегрирования по частям, приравняв нулю коэффициенты при
δu и δv , из (14) получаем равенства
u − v − r
u − v
+ N 2 ,
2
r
r
u
−
v
N
ρω 2 (u − v) = Fϕ + N 2 +
.
r
r
ρω 2 (u − v − r) = Fr + N
(15)
С помощью представления силы натяжения в виде двух слагаемых
(см. [21]): N = N0 + rq(ϕ), где q вместе со своей производной по ϕ
является малой величиной, из уравнений (15) выделяем слагаемые
нулевого порядка малости, которые позволяют найти постоянную составляющую: N0 = c0 r + ρω 2 r 2 . После этого в линейном приближении
относительно u, v , q и их производных имеем
ρω 2 (u − v − r) = Fr + N0 r−2 (u − v − r) − q ,
ρω 2 (u − v) = Fϕ + N0 r−2 (u − v) + q .
(16)
Для исключения переменной составляющей реакции дифференцируем
первое уравнение в (16) по ϕ, складываем результат со вторым уравнением и получаем
c0 r
−1
(u − v + u − v) = −Fr − Fϕ .
(17)
Уравнение (17) и уравнение связи (4) составляют систему, описывающую деформационные перемещения точек кольца. Краевые условия
определяются условиями на границе зоны контакта.
22.4. Условия на границе зоны контакта. Пусть при вертикальной нагрузке P (учитывающей вес кольца) параметры колеса обеспечивают малость угла γ (γ 1, 2γ — центральный угол, опирающийся
на зону контакта). Тогда внутри зоны контакта выполняются равенства
Rex = rγ ,
τ
=
dR
= ex ,
ds
из которых следует, что
v(ϕ1 ) = v(ϕ2 ) = 0,
u (ϕ1 + 0) = −u (ϕ2 − 0) = −rγ.
(18)
Конфигурация кольца (и зоны контакта) симметрична относительно
вертикали, и величина угла γ определяется выражением (с точностью
до обозначений [21])
2γ =
P − 2N0 u− /r
,
r(c0 + c1 d + ρg) + N0
где d = (P − 2πrρ)[πr(c1 + c2 )]−1, u− = u (ϕ1 − 0).
(19)
22. О качении деформируемого колеса
161
Значение u− находим из условия трансверсальности на свободном
конце [127]:
∂Λ
= (u − v)− = 0,
∂u
−
где Λ — подынтегральное выражение функционала «действие» (u входит только в выражение кинетической энергии (6)). Отсюда с учётом
равенства (18) следует, что u− = 0.
П р и м е ч а н и е. Сделанный вывод имеет ясное физическое содержание [21]. Сначала находится постоянная составляющая силы
натяжения N0 = c1 ar + ρV 2 (V = ωr ). Затем к объяснению привлекается известный физический эффект, состоящий в том, что с увеличением угловой скорости вращения гибкое кольцо под действием
центробежных сил в пределе приобретает свойства абсолютно твёрдого
тела, и тогда зона контакта должна стягиваться в точку (γ = 0).
Последнее возможно (при найденном выражении N0 ), только если
в (19) u− = u (ϕ1 − 0) = 0.
Поэтому в число граничных условий включаем равенства
u (ϕ1 − 0) = u (ϕ2 + 0) = 0.
(20)
Полученные уравнения и условия в угловых точках позволяют найти форму деформированного кольца (см. [21]).
22.5. О сопротивлении качению. Переход частицы кольца в зону контакта сопровождается ударным изменением скорости от некоторого значения до нуля при абсолютно неупругом ударе (или квазипластическом процессе). Покидают зону контакта частицы кольца также
импульсивно, приобретая вертикальную конечную скорость в результате импульса силы натяжения. Эти два процесса приводят к сопротивлению качению. В отличие от работы [21], в которой в качестве
причины диссипации принимались силы линейного вязкого трения соединений кольца и диска, здесь мы замечаем, что система не является
консервативной и в отсутствие вязкого трения.
Непосредственно перед приходом частиц кольца в контакт с основанием они имеют вертикальную скорость ẏ− :
ẏ− = −ω [u cos γ + (r + v ) sin γ] ≈ −V γ.
(21)
Подставляя в (21) выражение для γ , получаем зависимость ẏ− от
скорости колеса:
PV
ẏ− = −
,
(22)
2
b + 2ρV
где b = r(2ac1 + c1 d + ρg).
Можно заметить, что «потерянная» скорость (и скорость, приобретаемая в другой угловой точке) согласно зависимости (22)
от скорости
колеса имеет максимум, который достигается при V ∗ = b/2ρ .
Переменность состава частиц кольца в зоне контакта при ударном
характере выхода из этой зоны означает наличие в «задней» угловой
6 В. Г. Веретенников, В. А. Синицын
162
Гл. IV. Решение прикладных задач
точке вертикальной реактивной силы, создающей момент сопротивления rργ 2 V 2 относительно центра кольца. Абсолютно неупругие удары
в «передней» угловой точке приводят к потере энергии, которая может
быть компенсирована приложением в центре колеса силы ργ 2 V 2 /2.
Отметим, что найденные величины момента и силы сопротивления
пропорциональны квадрату малого угла (в работе [21] задача решалась
с точностью до первой степени γ ).
Таким образом, постоянная скорость колеса невозможна без дополнительных активных сил.
23. О квазистатическом скольжении нагрузки
на деформируемом стержне
Рассматривается деформирование защемлённого упругого стержня
при квазистатическом скольжении по нему сосредоточенной нагрузки.
Эта задача неоднократно обсуждалась в связи с кажущимся «исчезновением» части работы силы, известным в литературе под названием
«энергетический парадокс» [82]. Обсуждается способ реализации нагрузки, уточняющий постановку задачи и позволяющий дать ещё одно
разъяснение парадокса.
23.1. «Энергетический парадокс». На упругую нерастяжимую
консольную балку действует сосредоточенная сила P (рис. 23.1). Точка
её приложения к балке определяется координатой ξ. В положении
равновесия малый поперечный прогиб балки описывается функцией w(x, ξ). Происходит медленное
перемещение нагрузки от места защемления к концу балки (величина ξ меняется от нуля до l). Статический прогиб в месте приложения
нагрузки равен w(ξ , ξ). Нагрузка на
Рис. 23.1
правом конце балки при x = ξ = l
даёт прогиб f , т. е. w(l, l) = f. В этом
положении, как сказано в [82], «потенциальная энергия деформации
балки равна P f /2. Разумеется, она накоплена в результате работы,
которую совершает сила P при постепенном опускании точки её приложения на величину f. Однако если вычислять работу силы P как
произведение P f , то получается результат, вдвое больший потенциальной энергии деформации. Возникает вопрос: куда израсходована
вторая половина этой работы?». Разъяснение парадокса, приведённое
в цитированной книге, основано на введении скорости скольжения
и переходе к распределённой нагрузке (и обратно). Сделан вывод о том,
что результат вычисления работы силы, прилагаемой к материальным
точкам балки, не зависит от скорости движения и в любом положении
23. О квазистатическом скольжении нагрузки
163
составляет ровно половину потенциальной энергии упругих сил балки.
Источник парадоксальности состоит в несоблюдении известного правила вычисления работы силы [1]: при вычислении элементарной работы
силы, как действительной, так и виртуальной, вектор силы скалярно
умножается на элементарное (соответственно виртуальное) перемещение материальной точки. Потенциальная энергия деформации балки
вычислена правильно, работа силы P, прилагаемой к материальным
точкам балки, также равна P f /2, а работы, равной P f , просто нет, так
как f — перемещение геометрической точки.
Дополним схему элементами, реализующими нагрузку. Допустим,
что нагрузка обеспечивается взаимодействием стержня и весомой материальной точки. Работа силы P, приложенной к материальной точке,
при вертикальном перемещении на величину f равна P f. Парадоксальный вопрос остался, только теперь он относится к системе «стержень —
материальная точка». Для ответа на него необходимо уточнить способ
реализации взаимодействия материальной точки и стержня.
23.2. Схема взаимодействия. Выражение действия деформации. Пусть объектом, создающим перемещающуюся нагрузку,
является материальная точка M , скользящая по балке (например,
P — сила тяжести в однородном потенциальном поле). Тогда P f —
работа силы этого поля, приложенной к материальной точке M.
Квазистатическая постановка задачи предполагает равновесие M
в каждом положении.
Пусть стержень идеально гладкий. Тогда для равновесия материальной точки на стержне потребуется приложить к ней некоторую горизонтальную силу F. На рис. 23.2 показаны реакция N, направленная
по нормали к кривой, описывающей
прогиб стержня, и дополнительная
горизонтальная сила F. В равновесном положении материальной точки
имеем уравнение
P + F + N = 0.
(1)
При малости угла между касаРис. 23.2
тельной к кривой, описывающей прогиб стержня, и осью Ox справедливо следующее соотношение между
величинами сил P и F:
∂w
F = P w x=ξ , w =
, |w | 1.
(2)
∂x
Можно заметить, что теперь стержень нагружается силой давления
в направлении нормали, а не силой постоянного направления.
Составим действие деформации (термин Э. и Ф. Коссера, см. заметку 18) потенциальных полей сил F, P и поля внутренних упругих
сил стержня. Нулевой уровень потенциальных силовых полей при6*
164
Гл. IV. Решение прикладных задач
мем в недеформированном горизонтальном положении стержня при
расположении сосредоточенной нагрузки в месте защемления (ξ = 0).
Переменной ξ отведём такую же роль, какую играет время t в принципе
Гамильтона. Различие физических размерностей аргументов несущественно, поскольку применение теории размерностей позволяет переходить к безразмерным параметрам, поэтому подобную замену переменных делать не будем, а аналогичную величину назовём действием
деформации.
Действие деформации потенциального поля силы F на стержень
равно нулю, а действие деформации потенциального поля силы P на
стержень определяется выражением
l ξ
P
∂w
∂ξ
(3)
dξ dξ.
x=ξ
0 0
Потенциальная энергия внутренних сил балки по теории изгиба
стержней Бернулли–Эйлера имеет вид следующего функционала:
1
Π=
2
ξ
1
k (w ) dx +
2
2
l
k (w ) dx,
w =
2
ξ
0
∂2w
,
∂x2
(4)
где k = EJ — жёсткость балки на изгиб (постоянная).
Соответственно действие деформации внутренних упругих сил
стержня равно
l
− Π dξ.
(5)
0
Суммируя (3) и (4), имеем действие деформации потенциальных полей
сил F, P и потенциального поля внутренних упругих сил балки:
l ξ ∂w
S=
P
∂ξ
0
x=ξ
dξ − Π dξ ,
(6)
0
где Π имеет вид (4).
Функционал (6) в рассматриваемом приближении совпадает с действием при нагружении стержня только силой P. По правилам виртуального варьирования и вариационного исчисления из (6) следует дифференциальное уравнение, решение которого с учётом условий в месте защемления даёт известное уравнение упругой ли⎧
нии [82]:
⎪
P x2
⎪
(3ξ − x) при 0 x ξ ,
⎨
6k
w(x, ξ) =
(7)
2
⎪
⎪
⎩ P ξ (3x − ξ) при x > ξ.
6k
Используем уравнения (7) для проверки энергетических соотношений.
24. К оценке частот поперечных колебаний стержня
165
23.3. Энергетические соотношения. В данной схеме к балке
прикладывается сила −N, имеющая составляющие, равные силам P
и F. При этом составляющая P совершает работу, которая, как показано в [82], равна потенциальной энергии внутренних упругих сил
балки. Сила F, приложенная к балке, работу не производит, так как
она в любом положении перпендикулярна перемещению материальной
точки.
С другой стороны, сила F, приложенная к материальной точке M ,
совершает работу. Выражение для элементарной работы этой силы при
перемещении точки M имеет вид
d A = −P w dξ.
(8)
x=ξ
Для сравнения на рис. 23.3 показаны перемещение материальной точки
M в положение M1 и перемещение M → M точки стержня. Находим
полную работу силы F при перемещении точки M к концу балки:
l
− P
P ξ2
P 2 l3
dξ = −
.
2k
6k
(9)
0
%
Подставляя в (9) значение f , равное P l3 (3k) согласно уравнениям (7),
получаем для силы F работу −P f /2,
т. е. в точности равную «потерянной»
работе.
Таким образом, при выбранной схеме реализации имеется баланс энергии: работа, совершённая силами P
и F при перемещении материальной
точки, равна энергии внутренних упруРис. 23.3
гих сил стержня. Заметим, что в рассмотренной постановке нельзя сделать вывод о независимости решения
от скорости скольжения, так как в равенстве (1) для материальной
точки должна быть учтена сила инерции.
24. К оценке частот поперечных колебаний стержня
Рассматриваются способы определения частот изгибных колебаний
однородного прямолинейного стержня, основанные на формулах Релея и Граммеля (см. [83]). С помощью принципа Гамильтона–Остроградского проведён анализ точности вычисления частот колебаний по
принятой форме изгиба стержня. Получены аналоги формул Релея
и Граммеля, учитывающие влияние продольных сил инерции.
24.1. Формула и теорема Релея. Формула Граммеля. Идея метода Релея в применении к колебаниям стержня при предположениях
технической теории изгиба состоит в следующем. Форма колебаний
166
Гл. IV. Решение прикладных задач
является функцией одной пространственной координаты z :
f = f (z),
(1)
где z — координата текущего сечения стержня; f — прогиб оси в том
же сечении. Свободные малые линейные колебания описываются зависимостью
w(z , t) = f (z) sin ωt,
(2)
где ω — постоянная циклическая частота колебаний.
Выражения кинетической и потенциальной энергии стержня при
изгибе соответственно имеют вид
T =
1
2
l
mẇ2 dz ,
(3)
0
1
2
Π=
l
kψ dz ,
ψ = w ,
2
(4)
0
где l — длина стержня; k — жёсткость на изгиб (k = EI ); ψ(z) —
угол поворота сечения; m(z) — линейная массовая плотность стержня;
штрихом обозначена производная по z , а точкой — производная по
времени t.
Подставив (2) в выражения (3) и (4), получаем
l
T =
1 2
ω cos2 (ωt) mf 2 dz ,
2
(5)
0
l
Π=
1
sin2 (ωt) kf 2 dz.
2
(6)
0
Равенство ψ = w будем рассматривать как идеальную связь, реализуемую потенциальными перерезывающими силами с бесконечно большим коэффициентом жёсткости. Поскольку система — консервативная
и T + Π = const, отсюда следует формула Релея:
l
−1
l
2
2
2
ω = k(f ) dz mf dz
.
(7)
0
0
Формула Релея (7) даёт точное значение собственной частоты колебаний ω в том случае, когда f (z) является собственной формой. Если
же вместо собственной формы подставляется некоторое приближение
(обозначим эту функцию f∗ (z) и будем называть её «форма изгиба»
стержня), то аналогичная формула для приближённых вычислений
имеет вид
l
−1
l
2
2
2
p = k(f∗ ) dz mf∗ dz
.
(8)
0
0
24. К оценке частот поперечных колебаний стержня
167
«Релею принадлежит не только вывод формулы, но и доказательство очень важной теоремы: при любом выборе формы колебаний f (z),
удовлетворяющей кинематическим условиям задачи, формула даёт значение основной частоты p, всегда более высокое, чем истинное значение основной частоты» [83].
Приведённая редакция теоремы кажется небезупречной. Вначале
о терминах. Собственная форма колебаний не выбирается, а определяется при решении задачи вместе с частотой собственных колебаний. Допущение о том, что в формуле (8) функция f (z), удовлетворяющая кинематическим условиям задачи, может быть «любой»,
становится источником недоразумений. Примерами являются формы
изгиба, представленные на рис. 24.1. Приняв форму изгиба рис. 24.1, а,
автор примера (см. [83] со ссылкой на С. А. Бернштейна) полагал, что
Рис. 24.1
нашёл приближённую собственную частоту p = 0 (см. (8) при f∗ = 0),
и привёл форму изгиба (рис. 24.1, б), якобы исправляющую «порок»,
заключающийся в нарушении плавности упругой линии. Однако значение частоты p = 0 противоречит теореме Релея, а форма изгиба
рис. 24.1, б по той же формуле даёт в пределе бесконечно большое
значение частоты.
Заметим, что обе формы изгиба, изображённые на рис. 24.1, не
могут рассматриваться как приближённые собственные формы стержня: они противоречат предположению о близости деформированной
и истинной линий, поскольку не выполнено исходное условие линейной
теории о малости производной угла ψ (см. в п. 24.3 более полную
модель). Анализу форм изгиба
рис. 24.1, приведённому в [83],
фактически соответствует двухстержневая система, схема которой представлена на рис. 24.2.
Сопротивление изгибу в узле
шарнирного соединения стержней
изображено в виде спиральной
Рис. 24.2
пружины с жёсткостью c. Очевидно, что при c = 0 получим равную нулю собственную частоту, а при
c → ∞ частота стремится к бесконечности.
168
Гл. IV. Решение прикладных задач
Из равенства
Tmax = Πmax
получается известная формула Граммеля:
l 2
−1
l
&из
M
p2 = mf∗2 dz
dz
,
k
0
(9)
(10)
0
&из ; Mиз (z) — изгибающие моменты, вызываемые нагде Mиз = p2 M
&из — изгибающий момент, вызываемый условной
грузкой mf∗ p2 (M
нагрузкой mf∗ , т. е. в p2 раз меньшей, чем силы инерции).
Считается, что формула Граммеля (10) всегда позволяет (при одних и тех же аппроксимационных формулах) находить более близкие
к точным собственные частоты, чем формула Релея. Одной из причин
этого является отсутствие в формуле Граммеля операции дифференцирования приближённой функции, что, как известно, всегда ведёт
к возрастанию ошибок.
Получим оценку ошибок частот колебаний на основе анализа действия по Гамильтону.
24.2. Оценка точности определения частоты колебаний по
форме изгиба. Составим для рассматриваемой системы с функцией
Лагранжа L = T − Π действие по Гамильтону
τ
S = L dt,
(11)
0
где [0, τ ] — фиксированный промежуток времени.
Состоянию, приближённо заданному функцией f∗ и частотой p∗ ,
соответствует действие
τ
S∗ = (T∗ − Π∗ ) dt,
(12)
0
где
l
T∗ =
1 2
p cos2 (p∗ t) mf∗2 dz ,
2 ∗
(13)
0
l
Π∗ =
1
sin2 (p∗ t) kf∗ 2 dz.
2
(14)
0
Полагая, что действие на истинном движении имеет минимум, для
близких движений, к которым отнесём приближённое, получаем
S∗ − S 0.
(15)
Из условия (15) следует неравенство для средних значений функций
Лагранжа:
T∗ − Π∗ − T − Π 0.
(16)
169
24. К оценке частот поперечных колебаний стержня
Подставляем в (16) средние значения интегралов
1
τ
τ
1
1
sin at dt = −
sin 2aτ ,
2
4aτ
1
τ
2
0
τ
cos2 at dt =
1
1
+
sin 2aτ.
2
4aτ
0
Получаем
1
1
p2∗ 1 +
sin 2p∗ τ A∗ − 1 −
sin 2p∗ τ B∗ 2p∗ τ
2p∗ τ
1
1
ω2 1 +
sin 2ωτ A − 1 −
sin 2ωτ B ,
2ωτ
где
2ωτ
l
(17)
l
B = kf 2 dz
A = mf 2 dz ,
0
0
(для A∗ , B∗ имеют место аналогичные выражения, если вместо f (z)
использовать f∗ (z)). Поскольку ω 2 = B/A (см. (7)), неравенство (17)
принимает вид
A∗ p2∗ +
A∗ p∗
B p
sin 2ωτ
sin 2p∗ τ + ∗ ∗ sin 2p∗ τ − B∗ (Aω 2 + B). (18)
2τ
2p∗ τ
2ωτ
Учитывая, что на промежутках времени, бо́льших, чем период собственных колебаний, приближённое решение всё менее удовлетворяет
требованиям, предъявляемым к варьированным движениям в принципе
Гамильтона–Остроградского,
примем τ = 2π/ω. Тогда для приближён
ных значений p = p∗ = B∗ /A∗ неравенство (18) выполняется, если
p
0.
sin 4π
(19)
ω
Из (19) следует, что приближённое значение частоты, вычисленное
по формуле Релея в принятых предположениях, находится в диапазоне
1,25 ω p ω.
(20)
Напомним, что дополнительно было принято условие близости приближённого действия к минимальному значению действия, достигаемому на истинном движении.
24.3. Учёт продольных сил инерции. Для учёта инерции поворота поперечных сечений введём в рассмотрение угол поворота сечений ψ. Тогда кинетическая и потенциальная энергии стержня имеют
вид функционалов:
l
T =
1
(mẇ2 + J ψ̇ 2 ) dz ,
2
0
Π=
1
2
l
kψ 2 dz ,
(21)
0
где Jdz — момент инерции элементарной массы стержня относительно
оси, перпендикулярной плоскости колебаний и проходящей через соответствующую точку нейтральной линии.
170
Гл. IV. Решение прикладных задач
Система является консервативной, поэтому, следуя идее метода
Релея, получаем обобщение формулы (8):
l
−1
l
2
2
2
2
p = k(f∗ ) dz (mf∗ + Jf∗ ) dz
.
(22)
0
0
Если f∗ (z) является собственной формой f (z), то формула (22) даёт
точное значение квадрата собственной частоты: p2 = ω 2 . Обобщение
формулы Граммеля получается, если в (10) подставлять изгибающий
&из , вызываемый условной нагрузкой (mf∗ + Jf∗ ).
момент M
Сравнение формулы Релея (8) и её обобщения (22) показывает, что
учёт продольной силы инерции стержня при поворотах приводит, как
и следовало ожидать, к уменьшению частоты поперечных колебаний.
25. Об устойчивости равновесной формы стержня
при изгибе
Решаемая задача относится к проблеме потери устойчивости при
появлении смежных форм равновесия стержня. Дифференциальные
уравнения, описывающие равновесную форму стержня, составляются
с использованием уточнённой
теории С. П. Тимошенко. Предельный переход к приближённой теории осуществляется путём введения некоторой идеальной связи, реакция которой представляет собой момент распределённой
пары, реализуемой перерезывающими силами. Получено
условие устойчивости прямолинейной формы шарнирно
опёртой стойки при действии
продольной силы.
25.1. Задача Эйлера.
История одного из направлений решения проблемы
устойчивости форм равновеРис. 25.1
Рис. 25.2
сия упругих систем восходит
к задаче, поставленной Эйлером. Им было составлено уравнение формы оси шарнирно опёртой
стойки, сжимаемой продольной силой (рисунки 25.1, 25.2). Первоначально принятая Эйлером схема сил привела к уравнению, на основании которого автор заключил, что стойка вообще не может потерять
устойчивость, однако при повторном рассмотрении это показалось ему
25. Об устойчивости равновесной формы стержня при изгибе
171
«не только парадоксальным, но и весьма подозрительным» [83]. Разъяснение ошибки состояло в необходимости учёта при составлении
уравнения для моментов горизонтальных реакций (реакций, перпендикулярных оси стойки в недеформированном состоянии).
Дифференциальное уравнение, получаемое после дифференцирования интегродифференциального уравнения моментов в состоянии равновесия, имеет вид [83]
EJ
d3 w
dw
+ (qz + P )
= N,
dz
dz 3
(1)
где q — постоянная интенсивность распределённой нагрузки; P —
постоянная сжимающая сила на верхнем конце стойки; z — абсцисса
произвольного сечения стойки, изменяющаяся от нуля до l (l — длина
стержня); w(z) — прогиб оси; EJ — постоянная по длине стержня
изгибная жёсткость; N — горизонтальная составляющая реакции.
Решение уравнения (1) должно удовлетворять следующим условиям:
d2 w
w = 0,
= 0 при z = 0 и z = l.
(2)
2
dz
Число граничных условий (2) превышает число постоянных интегрирования в общем решении уравнения (1), что в отсутствие N в (1)
и привело Эйлера к ошибке (в следующей публикации уравнение (1)
решалось им при P = 0, и прежний вывод о неограниченной устойчивости стойки был отвергнут) [83].
Будем считать, что в схеме сил (см. рисунки 25.1, 25.2) распределённая нагрузка равна нулю (q = 0), но учтём влияние жёсткости на
сдвиг. Уравнения равновесных форм получим из условия стационарности потенциальной энергии.
25.2. Функционалы потенциальной энергии. Составной частью
действия по Гамильтону является функционал потенциальной энергии.
В уточнённой теории С. П. Тимошенко для описания положения
стержня используются два определяющих параметра: w(z) и ψ(z) (ψ —
угол поворота поперечного сечения). Функционал потенциальной энергии имеет вид [4]
1
2
l
!
"
k1 ψ 2 + k2 (ψ − w )2 dz ,
(3)
0
где k1 — коэффициент, зависящий от модуля упругости и геометрии
поперечного сечения рельса (пропорциональный h4 ; h — характерный
размер поперечного сечения); k2 — коэффициент, определяемый по модулю сдвига и геометрии поперечного сечения (пропорциональный h2 )
и учитывающий также неравномерность касательных напряжений по
сечению. Слагаемые в (3) имеют следующий механический смысл:
первое слагаемое — потенциальная энергия упругих изгибающих мо-
172
Гл. IV. Решение прикладных задач
ментов и зависящих от них перерезывающих сил, а второе — потенциальная энергия дополнительных упругих перерезывающих сил.
С учётом продольных перемещений точки приложения силы P
потенциальная энергия системы имеет вид функционала:
Π=
1
2
s2 2
k1 ψ 2 + k2 (ψ − w ) − P w 2 ds.
(4)
s1
Равенство
ψ = w
(5)
будем рассматривать как идеальную связь.
П р и м е ч а н и е. Если мы подставим равенство (5) и результат его
дифференцирования по z в (3), то согласно теории Бернулли–Эйлера
получим функционал потенциальной энергии внутренних упругих сил
при изгибе стержня:
l
1
(kw 2 ) dz ,
2
(6)
0
где k — изгибная жёсткость (EJ ); штрихом обозначено дифференцирование по z. В заметке 21 показано, что связь (5) может быть
реализована упругими потенциальными силами (см. второе слагаемое
в подынтегральном выражении (4)). Здесь эту связь учтём в вариационной задаче с множителем Лагранжа, который в данном случае
(см. условия в п. 9.3) совпадает с множителем связи.
В задаче на безусловный экстремум требуется варьировать функционал Π, составленный с учётом выражения (4) и связи (5):
Π=
1
2
2
k1 ψ 2 + k2 (ψ − w ) − P w 2 + 2λ (ψ − w ) dz ,
s2 (7)
s1
где λ(z) — неопределённый множитель.
При составлении уравнений формы оси стойки будем использовать
потенциальную энергию (7).
25.3. Уравнения равновесных форм оси стойки. Равновесные
формы должны удовлетворять условиям стационарности функционала (7), т. е. δΠ = 0.
Варьирование выражения (7) согласно правилам вариационного исчисления [131] приводит к необходимости выполнения внутри интервала интегрирования уравнений Эйлера–Лагранжа:
d ∂Λ
∂Λ
−
= 0,
dz ∂ui
∂ui
i = 1,2,
(8)
25. Об устойчивости равновесной формы стержня при изгибе
173
где Λ(ui , ui ) — подынтегральное выражение в (7), u1 = ψ , u2 = w;
а также к условию на концах интервала интегрирования:
z=l
2
(ui δui )
= 0.
(9)
i=1
z=0
Применение оператора (8) к подынтегральному выражению в (7)
даёт следующие уравнения:
k1 ψ − k2 (ψ − w ) − λ = 0,
(k2 − P )w − k2 ψ − λ = 0.
(10)
(11)
Из возможных вариантов граничных условий, удовлетворяющих (9),
примем условия, аналогичные (2):
ψ = 0 при z = 0 и z = l.
w = 0,
(12)
В отсутствие связи (5) уравнения формы оси при равновесии имеют вид
k1 ψ − k2 (ψ − w ) = 0,
(13)
(k2 − P )w − k2 ψ = 0.
(14)
При наличии связи (5) (и уравнения, полученного дифференцированием (5)) из (10), (11) получаем уравнения
k1 ψ − λ = 0,
P w + λ = 0.
(15)
Как и следовало ожидать, реакция связи (5), представленная в (15)
неопределённым множителем λ и его производной λ, имеет смысл
момента и перерезывающей силы соответственно. Сравнение (15) с (13)
и (14) показывает, что реализация связи (5) может осуществляться
внутренними упругими силами при k2 → ∞ (при этом достигается
предельный переход (ψ − w ) → 0).
25.4. Уравнения смежных форм равновесия. Условие устойчивости прямолинейной формы. Проведём анализ уравнений (13),
(14). При k2 P форм равновесия, кроме прямолинейной, нет.
Пусть k2 > P. Из (14) следует первый интеграл (c1 — постоянная
интегрирования):
w − bψ = c1 ,
b=
k2
> 1.
k2 − P
(16)
Используя (16), находим общее решение (13), (14) (A, α, c2 — постоянные интегрирования):
ψ = A sin (ωz + α) +
w=−
ω=
c1
,
b−1
ω2 =
k2 (b − 1)
,
k1
Ab
c
cos (ωz + α) − 1 z + c2 ,
ω
b−1
π
(±s ± r),
l
s, r = 0, 1, 2, 3, ...
(17)
(18)
174
Гл. IV. Решение прикладных задач
С учётом граничных условий (12) имеем уравнения формы изгиба
стержня:
Abl
πn
w=±
sin
z , n = 0, 1, 2, ... ,
(19)
πn
l
которые возможны (см. (16)–(18)) при следующих значениях продольного сжимающего усилия:
Pn∗ =
P0n
,
1 + P0n /k2
где
P0n =
n 2 π 2 k1
,
l2
n = 1, 2, ...
(20)
Для оценки устойчивости прямолинейной формы стержня воспользуемся теоремой Лагранжа–Дирихле. Достаточно, как известно, чтобы
потенциальная энергия (6) в равновесном состоянии имела строгий
минимум. В окрестности устойчивого положения (в котором потенциальная энергия равна нулю) должно выполняться неравенство Π > 0.
Это неравенство выполняется на кривых (19), рассматриваемых как
уравнения формы стержня
в варьированном состоянии, при условии
%
P < P01 (P01 = π 2 k1 l2 ). Таким образом, при n = 1 появление смежной
формы равновесия происходит при меньшей сжимающей силе, чем
потеря устойчивости (в отличие от предельного случая бесконечно
большой сдвиговой жёсткости: k2 → ∞ (см. (20)).
25.5. О применении энергетического метода в задаче об устойчивости формы изгиба стержня. Обсуждается применение энергетического метода при определении критической силы и оценке устойчивости прямолинейной формы в классической задаче Эйлера об изгибе
стержня. Получена формула расчёта критической силы при дополнительном учёте свойства сжимаемости стержня.
1. Идея применения метода в теории устойчивости упругих систем.
Энергетический метод введён в
теорию упругости Кирхгофом (1850)
и применялся С. П. Тимошенко [116]
и другими авторами. Применительно
к задаче о форме консольной балки, нагруженной продольной силой
постоянного направления вдоль оси
балки в недеформированном состоянии (рис. 25.3), идея этого метода
излагается так [116]: «Допустим, что
произошло боковое смещение, покаРис. 25.3
Рис. 25.4
занное на рис. 25.4; тогда энергия деформации увеличивается вследствие
того, что к энергии сжатия прибавляется энергия изгиба стержня.
В то же время потенциальная энергия нагрузки уменьшается сообраз-
25. Об устойчивости равновесной формы стержня при изгибе
175
но с понижением точки приложения. Это уменьшение потенциальной
энергии является просто работой, произведённой нагрузкой в результате понижения верха стержня. Если ΔV означает энергию деформации
стержня, а ΔA — работу, произведённую нагрузкой вследствие изгиба,
то можно сделать заключение, что прямая форма сжатого стержня
будет устойчивой, если
ΔV − ΔA > 0;
она будет неустойчивой, если
ΔV − ΔA < 0.
Критическое значение нагрузки, при котором прямолинейная форма
равновесия переходит из устойчивого состояния в неустойчивое, определяется из уравнения ΔV = ΔA» (здесь мы для удобства используем
букву A вместо обозначения, принятого в оригинале).
Левые части приведённых выше неравенств равны потенциальной
энергии упругих сил изгиба и внешней силы P (см. рис. 25.4). Полагается, что изогнутая ось описывается уравнением (f — боковое
смещение точки приложения сил)
πz
v = f 1 − cos
,
(21)
2l
а потенциальная энергия вычисляется по формуле (EJ — жёсткость при
изгибе)
l 2
M dz
ΔV =
,
(22)
2EJ
0
где M — изгибающий момент:
M = P (f − v) = P f cos
πz
.
2l
(23)
Энергетический метод используется для определения критической
силы, которая согласно Эйлеру определяется как «сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны». В концепции «упругой
устойчивости» полагается, что критическая сила обнаруживается при
появлении новых форм равновесия. «Предполагается, что при достаточно малых нагрузках равновесие упругой системы устойчиво и что оно
остаётся таковым вплоть до первой точки разветвления форм равновесия, за которой исходная форма равновесия становится неустойчивой»
[6]. В литературе отмечается [83] парадокс в оценке устойчивости,
который, однако, не возникнет, если при вычислении потенциальной
энергии изгиба подставить момент не по формуле (23), а считать
(см. [83]), что «изгибающий момент, определяемый деформациями оси
(её кривизной) в смежных, вообще говоря, неравновесных состояниях:
M = EJ
d2 v
».
dz 2
(24)
176
Гл. IV. Решение прикладных задач
В постановке задачи упоминается энергия сжатия, которая в анализе [83, 116] не фигурирует, как если бы она не зависела от изгиба
(в данном случае — малого линейного приближения). Поэтому найденное энергетическим методом в работах [83, 116] эйлерово значение
критической силы
Pкрит =
π 2 EJ
4l 2
(25)
следует относить только к несжимаемым стержням.
2. Расчёт критической силы при учёте сжимаемости стержня.
Стержень однородный, испытывает плоский изгиб. Потенциальная
энергия деформации стержня при изгибе в плоскости yoz и сжатии
выражается формулой
1
V =
2
l Mx2
N2
+
EJ
EF
dz ,
(26)
0
где N — упругая сила, перпендикулярная плоскости сечения; EF —
жёсткость на сжатие;
v 2
Mx = −EJv , N = −P 1 −
,
(27)
2
штрихом обозначены частные производные по z. Приняв за нулевой уровень потенциальной энергии прямолинейную форму (сжатого)
стержня, имеем
l 2
1
Mx
P 2 v 2
dz.
ΔV =
−
(28)
2
EJ
EF
0
При изгибе стержня его конец, к которому приложена сила P ,
сместится на величину
l
P (1 − v 2 )
Pl
P
dz −
=−
EF
EF
EF
l
v 2 dz ,
0
0
т. е. в сторону защемлённого конца, и величина работы этой силы будет
соответственно равна
ΔA =
P2
EF
l
v 2 dz.
(29)
0
Из равенства ΔV = ΔA величин (28), (29) с учётом (27) для кривых
(21) после дифференцирования и интегрирования имеем (при f = 0)
равенство
3P 2
π 2 EJ
=
.
EF
4l 2
(30)
26. Системы с линейным деформируемым элементом
177
Учитывая выражение эйлеровой критической силы (25), из (30) получаем
P=
Pкрит
EF
.
3
(31)
Смысл полученного выражения следующий: при значениях силы P ,
вычисленных по формуле (31), стержень имеет, кроме прямолинейной формы, также другие равновесные состояния вида (21). Из (31),
в частности, при соотношении параметров 4l2 F = 3π 2 J следует, что
сила P равна критической силе Эйлера (т. е. как и для несжимаемого
стержня). К тому же результату приводит и вычисление потенциальной
энергии изгиба по схеме С. П. Тимошенко [116].
3. Замечание об оценке устойчивости.
Авторы цитированных выше работ в оценке устойчивости применяют формулировку, аналогичную теореме Лагранжа–Дирихле. Однако
напомним, что теорема Лагранжа–Дирихле доказана для дискретных
консервативных систем с конечным числом степеней свободы и даёт
достаточное условие устойчивости по Ляпунову для изолированного положения равновесия. Выделенные курсивом условия теоремы
Лагранжа–Дирихле в приведённом выше суждении об устойчивости
прямолинейной формы стержня не выполняются. Это замечание относительно применения теоремы Лагранжа–Дирихле в данной задаче
показывает целесообразность проведения дальнейших исследований на
основе более строгой математической теории устойчивости для систем
с распределёнными параметрами (см., например, [111]). Энергетический метод при этом может быть использован при формировании мер
отклонения от равновесного состояния, которые при вычислении потенциальной энергии по формулам (22) и (26) являются разными.
В полном объёме задача об устойчивости может решаться только
в динамике.
26. Уравнения движения систем с линейным
деформируемым элементом
Приводятся уравнения плоского движения цепи, подвешенной за
один конец в однородном поле силы тяжести. Рассматривается одна из
схем применения поперечной бегущей волны, являющейся движителем
в волновом редукторе непрерывного вращения. Составлены уравнения
для определения формы гибкого элемента волнового редуктора.
26.1. Уравнения движения однородной цепи. Конфигурация
цепи при плоском движении определяется двумя координатами, являющимися функциями двух аргументов [19]:
x(s, t),
y(s, t),
0 < s < l,
t1 < t < t2 ,
(1)
178
Гл. IV. Решение прикладных задач
где x и y — декартовы координаты элемента цепи, координата s в естественном способе задания движения отсчитывается от точки подвеса
цепи, l — длина цепи, t — время.
Связи, наложенные на перемещения, имеют вид
x(0, t) = 0,
y(0, t) = 0,
x 2 + y 2 − 1 = 0.
(2)
Последнее равенство в (2) имеет смысл условия нерастяжимости,
а штрихом в нём обозначены частные производные по s. Из (2) следуют
условия для вариаций:
δx = δy = 0 при s = 0,
x δx + y δy = 0.
(3)
Составляем функцию Лагранжа:
L=
ρ
2
l
l
2
ẋ + ẏ 2 ds + gρ (s − x) ds,
0
(4)
0
где g — ускорение свободного падения в однородном поле силы тяжести, ρ — массовая линейная плотность (далее примем её равной
единице).
Умножаем последнее уравнение в (3) на неопределённый множитель λ, складываем с вариацией подынтегрального выражения в функционале (4), составляем интегральное равенство принципа, интегрируем последнее по частям и приравниваем нулю коэффициенты при δx
и δy. В результате получаем уравнения
ẍ + λx + λ x − g = 0,
ÿ + λy + λ y = 0.
(5)
Уравнения (5) вместе с уравнением связи (2) образуют систему для
определения x, y и λ. Неопределённый множитель λ в (5) представляет
реакцию связи и равен (со знаком минус) силе натяжения цепи, отнесённой к плотности ρ. Физическая адекватность уравнений (5) очевидна, так как они являются проекциями основного уравнения динамики
нити на неподвижные декартовы оси. Таким образом, вариации в (3)
являются виртуальными.
Далее будем использовать обобщённую координату ϕ(s, t) — угол
между касательной к цепи и вертикалью. Координаты элемента цепи
выражаются через угол ϕ следующим образом:
s
x(s, t) = cos ϕ(ξ , t) dξ ,
0
s
y(s, t) = sin ϕ(ξ , t) dξ ,
(6)
0
где ξ (0 < ξ < l) — текущая координата элементов цепи. Интегральные
выражения (6) приводят к тому, что уравнения движения относительно ϕ становятся интегродифференциальными, но при этом условие
26. Системы с линейным деформируемым элементом
179
нерастяжимости (2) и уравнение для вариаций (3) выполняются тождественно и имеет место свойство перестановочности, поскольку
x (s, t) = cos ϕ(s, t),
s
ẋ = − sin ϕ(ξ , t)ϕ̇ dξ ,
0
s
y (s, t) = sin ϕ(s, t),
s
ẏ = cos ϕ(ξ , t)ϕ̇ dξ ,
0
δx = − sin ϕ(ξ , t)δϕ(ξ , t) dξ ,
0
δx (s, t) = − sin ϕ(s, t)δϕ(s, t),
s
δ ẋ = − sin ϕ(ξ , t)δ ϕ̇(ξ , t) dξ ,
0
s
δy = cos ϕ(ξ , t)δϕ(ξ , t) dξ ,
(7)
0
δy (s, t) = cos ϕ(s, t)δϕ(s, t),
s
δ ẏ = cos ϕ(ξ , t)δ ϕ̇(ξ , t) dξ.
0
Из уравнений (5), исключая λ, а затем — λ, получаем
λ = (g − ẍ) cos ϕ − ÿ sin ϕ,
(8)
(ẍ − g) sin ϕ − λϕ − ÿ cos ϕ = 0,
где
ẍ = −
s !
"
ϕ̈ (ξ , t) sin ϕ (ξ , t) + ϕ̇2 (ξ , t) cos ϕ (ξ , t) dξ ,
0
ÿ =
s !
"
ϕ̈ (ξ , t) cos ϕ (ξ , t) − ϕ̇2 (ξ , t) sin ϕ (ξ , t) dξ.
0
Учитывая механический смысл множителя λ, применим принцип
Даламбера к участку цепи s < ξ < l. Равенство нулю суммы главных
векторов (активных сил, сил инерции и реакций) в проекциях на
касательную и нормаль к кривой даёт уравнения для определения λ
и ϕ:
l
l
λ = − cos ϕ(s, t) (g − ẍ(ξ , t)) dξ + sin ϕ(s, t) ÿ(ξ , t) dξ ,
s
s
l
l
s
s
(9)
sin ϕ(s, t) (g − ẍ(ξ , t)) dξ + cos ϕ(s, t) ÿ(ξ , t) dξ = 0,
где
ẍ(ξ , t) = −
ξ !
"
ϕ̈ (η , t) sin ϕ (η , t) + ϕ̇2 (η , t) cos ϕ (η , t) dη ,
0
ÿ(ξ , t) =
ξ !
"
ϕ̈ (η , t) cos ϕ (η , t) − ϕ̇2 (η , t) sin ϕ (η , t) dη.
0
Уравнения движения в формах (8) и (9) являются интегродифференциальными, только в первых уравнениях выполняется однократное
180
Гл. IV. Решение прикладных задач
интегрирование, а во вторых — двукратное. Выражение λ в (8) можно
получить из (9).
26.2. Модель движения гибкого элемента волнового редуктора. Свойства бегущих волн на протяжённых деформируемых элементах используются в различных инженерных устройствах. В частности, редуцирующее свойство (волна движется по телу гораздо быстрее,
чем само тело) составляет основу принципа действия волновых механизмов — редукторов.
1. Принцип работы волнового редуктора. Схема волнового механизма непрерывного вращения показана на рис. 26.1. Принцип работы
редуктора состоит в следующем 1): идеальная гибкая нерастяжимая нить 1 охватывает своей внутренней стороной жёсткие
круговые цилиндры 3 и 4; цилиндр 4 (обкатной ролик) свободно вращается на оси O1 ведущего
звена (водила) 5, вращающегося
вокруг оси O. Внешняя сторона нити 1 катится по внутренней
поверхности цилиндра 2, концентричного цилиндру 3.
Если цилиндр 3 неподвижен
(жёстко закреплён), а цилиндр 2
подвижен, то вращение водила
вызывает качение нити по поРис. 26.1
верхности цилиндра 3. Скорость
вершины A гребня волны передаётся подвижному цилиндру 2, который
получает медленное вращение в сторону вращения водила. Соответственно имеем волновой редуктор попутного вращения.
Если неподвижен цилиндр 2, а цилиндр 3 — подвижный, то являясь
ведомым звеном, он получит медленное вращение в сторону, противоположную вращению водила 5. Это волновой редуктор встречного
вращения.
На примере волнового редуктора попутного вращения поставим
задачу определения формы гибкого элемента 1.
2. Уравнения для определения формы гибкого элемента волнового
редуктора. Пусть происходит стационарное движение, при котором водило вращается с постоянной угловой скоростью ω. В схеме попутного
вращения происходит редукция, и цилиндр 2 вращается с угловой
скоростью ω2 = vA /R2 , где R2 — радиус цилиндра 2, скорость точки A
vA = ω(|OA| − R), R — радиус цилиндра 3.
1)
Добролюбов А. И. Скольжение, качение, волна. — М: Наука, 1991.
26. Системы с линейным деформируемым элементом
181
Для нахождения формы нити составим уравнения для определения
малых отклонений от линейной формы в недеформированном состоянии (рис. 26.1): w = (v , u) (где v — перемещение вдоль оси OX , параллельной недеформированному прямолинейному участку нити между
цилиндрами, u — вдоль оси OY ), так что координаты точки имеют
значения
ξ = x + v(x, t), η = R + u(x, t).
(10)
Из условия нерастяжимости гибкого элемента ds = dx (ds — дифференциал дуги) имеем
2 2
∂ξ
∂η
+
= 1,
∂x
или, пользуясь (10),
v = −
∂x
1 2
u + v 2 ,
2
(11)
где штрихом обозначены частные производные по координате s = x.
Считая перемещения u и их производные u малыми, из последнего
равенства находим, что производные v и перемещения v будут величинами второго порядка малости.
В стационарном движении в осях, вращающихся вместе с водилом, нить совершает равноскоростное движение со скоростью ωR.
Связь (11) налагает на виртуальные вариации условие
δv + u δu + v δv = 0.
(12)
Учитывая, что система координат OXY вращается вокруг оси OZ ,
получаем выражение квадрата скорости элемента нити с координатами (10):
V 2 = [ẋ + v̇ − (R + u)ω]2 + [u̇ + (x + v) ω]2 ,
ẋ = ωR,
(13)
где точкой обозначены частные производные по времени.
Варьируем действие, состоящее в данном случае только из действия
движения, определяемого кинетической энергией частиц со скоростями (13), и интегрируем «по частям» с учётом изменения действия за
счёт виртуальной работы связи (12) с неопределённым множителем λ.
Приравняв нулю коэффициенты при независимых виртуальных вариациях, получаем уравнения
ü + 2ω v̇ − ω 2 u + λ u − Rω 2 = 0,
v̈ − 2u̇ω − v̇ω + λv + λ (1 + v ) − Rω 2 = 0.
(14)
В стационарном режиме будем вместо двух аргументов использовать один: ζ = x + ωRt, и введём преобразование u(x, t) = U (ζ),
v(x, t) = W (ζ), λ(x, t) = Λ(ζ). Тогда u = ∂U /∂ζ , u̇ = ωR∂U /∂ζ (аналогично для функций v(x, t) и W , а также λ(x, t) и Λ(ζ)). Приняв во
внимание замечание о том, что продольные деформационные переме-
182
Гл. IV. Решение прикладных задач
щения v и их производные имеют второй порядок малости, из второго
уравнения в (14) имеем приближённое уравнение:
Λ − 2ω 2 RU − ω 2 R = 0,
имеющее первый интеграл
Λ = 2ω 2 RU + ω 2 Rζ + const .
Первое уравнение в (14) в новых переменных с учётом полученного
интеграла приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, позволяющему определить форму гибкого элемента на свободном
участке.
27. К динамике раскрытия поверхности
космического паруса
Искусственная поверхность, полученная в космосе развёртыванием
мягкой оболочки, может применяться для отражения и (или) поглощения солнечного света (с целью создания аккумуляторов солнечной
энергии) и мобильной направленной транспортировки энергии в заданные районы Земли или для энергообеспечения космических объектов.
Поверхность может применяться и в дальнем космосе вблизи границ
областей притяжения планет как космический парус, использующий
давление солнечной радиации.
Традиционно полагается, что поверхность получается в результате
сборки большой космической конструкции из элементов, имеющих
некоторую жёсткость. Последнее обстоятельство отодвигает решение
многих неотложных космических задач в отдалённую перспективу.
В некоторых ситуациях выход состоит в том, чтобы в качестве основного элемента поверхности использовать тонкую мягкую оболочку.
Тонкая мягкая оболочка с малой массовой плотностью удобна для
вывода её на орбиту, так как её компактная упаковка возможна и проста для развёртывания (при специальной схеме укладки). Форма её
в развёрнутом состоянии может поддерживаться за счёт центробежных
сил инерции во вращательном движении [89]. Развёрнутая поверхность представляет собой основу для сборки конструкции заданного
назначения. В простейших задачах (маховик, зонт, отражатель, парус)
достаточно развернуть поверхность, и она может выполнять своё назначение, если имеется управление ориентацией и стабилизация заданного
направления оси вращения.
27.1. Описание процесса раскрытия поверхности паруса. Допущения и приближённые соотношения. Отражающая поверхность
паруса представляет собой тонкую однородную плёнку, которая в свёрнутом виде имеет форму гофрированной поверхности, уплощающейся
при раскрытии. Перед началом раскрытия она специальным образом
уложена на барабане цилиндрической формы радиуса Rb и длиной Lb
27. К динамике раскрытия поверхности космического паруса
183
(рис. 27.1). К барабану плёнка присоединяется по вантовой схеме с оттяжками по внутренней границе, имеющей в развёрнутом состоянии
форму окружности радиуса Rv .
Рис. 27.1
Рис. 27.2
При укладке плёнки путём намотки её на барабан формируются
складки (поверхность гофрируется): следы от «гребней» и «впадин» на
раскрытой поверхности чередуются при обходе по окружности с центром на оси барабана (рис. 27.2) 1). Участки поверхности, примыкающие к каждому гребню, будем называть гранями. Две такие грани
образуют гофр. Введём элементарный гофр в виде двух элементарных
площадок с углом 2γ между гранями в сечении, перпендикулярном
гребню (рис. 27.3, а). В процессе раскрытия гофры разглаживаются
(уплощаются), при этом угол между гранями изменяется от 0 до π
в плоском состоянии.
Рис. 27.3
Центры тяжести сечений гофра (точки G на рис. 27.3, б) образуют
линии, которые мы будем называть нейтральными. Нейтральные ли1)
Форму складок на плёнке авторам показал О. А. Александров.
184
Гл. IV. Решение прикладных задач
нии, как показывает форма складок на рис. 27.2, разветвляются. Появление новых ветвей нейтральной линии вызвано тем, что с увеличением
расстояния от оси барабана (вдоль нейтральной линии) при заданной
длине образующей барабана на его поверхности укладывается бо́льшая
площадь отражающей поверхности паруса.
Условимся считать, что нейтральные линии расположены в одной
плоскости, перпендикулярной оси, и описываются параметрически с помощью полярных координат. В качестве параметра принимаем координату s — длину дуги нейтральной линии от точки крепления к барабану (K) до центра G рассматриваемого элемента гофра. Изменение
формы нейтральной линии во времени означает, что полярные координаты (ρ, ϕ) текущей точки являются функциями двух независимых
аргументов (s, t).
Грань элементарного гофра имеет форму прямоугольника со сторонами ds и h (рис. 27.4). Элементарный гофр расположен вдоль
касательной к нейтральной линии с единичным вектором τ, который
Рис. 27.4
Рис. 27.5
составляет угол ν с радиальным направлением полярных координат eρ
(рис. 27.5). Таким образом, для определения положения элементарного
гофра и его конфигурации вводятся четыре определяющих параметра:
ρ(s, t),
ϕ(s, t),
γ(s, t),
ν(s, t).
(1)
Для этих параметров приближённо выполняются равенства
h∼
=
π(Rb + s)
;
N
2πρ ∼
= 2N h sin γ cos ν
при
h Lb ,
(2)
где N — число гофров на окружности радиуса ρ.
Из выражений (2) следует не зависящее от числа N соотношение:
ρ = (Rb + s) sin γ cos ν.
(3)
Очевидно, что при s = 0 должно выполняться равенство ρ = Rb .
Однако равенство (3) показывает, что для этого угол γ не должен быть
равен 0. Действительно, крепление плёнки к барабану по окружности
27. К динамике раскрытия поверхности космического паруса
185
требует, чтобы гофр, примыкающий непосредственно к барабану, также
«уплощался», и тогда угол γ = π/2. Подобные переходные участки имеют малую протяжённость и ими можно пренебречь. То же самое можно
сказать об участках, где происходит переход от гребня к впадине
(гофр «выворачивается», образуя своего рода «карманы», в которых при
укладке может «упаковаться» воздух).
Грани, примыкающие к одному гребню, в уложенном состоянии
касаются друг друга и на каждом обороте вокруг барабана равномерно
удаляются от оси на одинаковое расстояние. Подобным свойством
обладает архимедова спираль:
ρ = Rb + aϕ.
(4)
Примем уравнение (4) в качестве начального условия при t = 0.
Будем считать, что ρ, ϕ — полярные координаты точки на нейтральной
линии; a — не зависящий от s параметр.
Полагаем также, что влияние внешних сил и внутренних диссипативных сил на промежутке времени раскрытия поверхности паруса
пренебрежимо мало.
27.2. Вывод уравнений движения оболочки в процессе её
развёртывания.
1. Применение принципа Гамильтона–Остроградского. Принятое
описание простейших элементов (их однотипно изменяемая конфигурация и расположение) задаёт структуру раскрываемой поверхности
и позволяет использовать интегральные принципы изменяемого действия для составления уравнений её движения. Для относительного
движения в осях, жёстко связанных с барабаном, согласно принципу
Гамильтона–Остроградского имеем интегральное равенство следующего вида:
t1
(r)
δ L
0
t1
dt + [δ A (F) + δ A (Ф) + δ A (R)] dt = 0.
(5)
0
Здесь δ — знак изохронной вариации; L(r) — функция Лагранжа
раскрываемой поверхности паруса:
L(r) = T (r) − П,
(6)
где T (r) — кинетическая энергия раскрываемой поверхности паруса
в относительном движении, Π — суммарная потенциальная энергия сил
инерции поступательного переносного движения и центробежных сил
инерции; δ A (F) — виртуальная работа активных непотенциальных
сил; δ A (Ф) — виртуальная работа непотенциальных сил инерции;
δ A (R) — виртуальная работа реакций неидеальных связей и идеальных связей, не учтённых выбором определяющих параметров; [0, t1 ] —
фиксированный отрезок времени течения рассматриваемого процесса
186
Гл. IV. Решение прикладных задач
раскрытия; на концах промежутка состояние системы при варьировании также фиксировано.
Рассматриваемая система является распределённой (с одномерным
распределением), поэтому
L(r) = Λ dm,
dm = 2μh ds,
(7)
где Λ — удельный лагранжиан элементарного гофра массой dm; μ —
масса единицы поверхности паруса.
Элементарный гофр соединён с другими гофрами как в продольном
(τ), так и в поперечном (n) направлениях. Уравнения, описывающие
эти условия, рассматриваем как связи.
2. Уравнения связей. Определяющие параметры (1) не являются
независимыми. Условие (2) и учитываемые далее (в плоском случае)
кинематические соотношения выражают наложенные связи, уравнения
которых запишем в следующем виде:
ρ − h0 (s) sin γ cos ν = 0,
ρ2 + ρ2 ϕ2 − 1 = 0,
h0 =
N
h(s);
π
ρϕ − sin ν = 0.
(8)
Штрихом в (8) и далее обозначены частные производные по s, т. е.
∂/∂s. Связи, описанные уравнениями (8), имеют следующий механический смысл. Первое уравнение в системе (8) (условие (2)) уже
обсуждалось выше. Здесь оно представлено в более общем виде, так
как возможно уточнение вида зависимости h0 (s). Второе уравнение —
геометрическое выражение квадрата длины элемента нейтральной линии (ds)2 ; третье — условие ориентации элементарного гофра вдоль
нейтральной линии.
Будем рассматривать уравнения (8) как уравнения идеальных связей. Для левых частей этих уравнений, а также для определяющих
параметров введём единообразные обозначения:
fj (u, u ) = 0,
j = 1, 2, 3,
u = (u1 , u2 , u3 , u4 ),
(9)
где u1 = ρ, u2 = ϕ, u3 = γ , u4 = ν.
По правилам виртуального варьирования, используя векторно-матричную запись, имеем
∂fj
∂f
δu + j δu = 0,
∂u
∂u
j = 1, 2, 3,
(10)
где δu, δu — виртуальные вариации параметров u, u . Применяя равенство (10) к уравнениям системы (8), получаем уравнения для виртуальных вариаций:
δρ − h0 (s) cos γ cos νδγ + h0 (s) sin γ sin νδν = 0,
ρ δρ + ρϕ2 δρ + ρ2 ϕ δϕ = 0,
ϕ δρ + ρδϕ − cos νδν = 0.
(11)
27. К динамике раскрытия поверхности космического паруса
187
Учёт уравнений для виртуальных перемещений с множителями связей λj (s, t) (неопределёнными множителями Лагранжа) означает освобождение системы от этих связей и даёт в интегральном равенстве (5)
слагаемые вида
δ A (R) =
s1 3
λj
0 j=1
∂fj
∂f
δu + j δu ds.
∂u
∂u
(12)
Силовые характеристики определяются множителями Лагранжа,
которые и являются коэффициентами пропорциональности при вычислении реакций связей.
3. Вычисление лагранжиана и виртуальной работы сил инерции.
Для получения функции Лагранжа вычислим удельные величины,
отнесённые к массе dm элементарного гофра с учётом переменности
его конфигурации, положения и ориентации. Ограничимся плоским
случаем, когда корпус КА имеет угловую скорость и угловое ускорение,
направленные по оси паруса (e1 ; см. рис. 27.1).
Составим выражение кинетической энергии одного гофра плёнки
в относительном движении в осях, жёстко связанных с барабаном:
1
1
7h2
2
2
(r)
2
2 2
2
2
T =
(1 + 6 cos γ)γ̇ +
(ϕ̇ + ν̇) sin γ dm.
ρ̇ + ρ ϕ̇ +
2
12
12
(13)
В (13) и далее точкой обозначены частные производные по t, т. е. ∂/∂t,
и производные по t от функций, зависящих только от t.
Принимая центр масс паруса за начало отсчёта инерциальной системы и полагая, что плёнка нерастяжимая, а соединение гофров идеально
гибкое, находим выражение потенциальной энергии центробежных сил
инерции:
1
1
1
Ω · I + E ρ2 + h2 sin2 γ − ρρ − h2 sin2 γnn dm,
П=−
2
4
4
'
'1
0
0
h '
' 0 cos2 γ
0
I=
12 '
'0
0
sin2 γ
2
Ω = ω + ϕ̇1 e1 ,
'
'
'
',
'
'
(14)
где Ω — переносная угловая скорость, состоящая из угловой скорости
корпуса космического аппарата (ω) и угловой скорости вращения барабана относительно корпуса (ϕ̇1 e1 ); E — единичный тензор; ρρ, nn —
тензоры, записанные в форме диадных произведений векторов.
Тензор I составлен в проекциях на естественные оси нейтральной
линии; по своему смыслу это сумма тензоров инерции граней элементарного гофра относительно их собственных центров масс.
188
Гл. IV. Решение прикладных задач
Диадные произведения и вектор переносной угловой скорости представляем в тех же осях:
'
'
'
'
'
'0 0 0'
− sin ν cos ν 0 '
cos2 ν
'
'
'
'
ρρ = ' − sin ν cos ν
sin ν
0 ' , nn = ' 0 1 0 ' ,
'
'
'
0 0 0 '
0
0
0
Ω = (0, 0, r + ϕ̇1 ) ,
(15)
где r — проекция угловой скорости корпуса КА на ось паруса.
После подстановки выражений (15) в (14) потенциальная энергия
центробежных сил принимает вид
2
1
h
2
2
П=−
(1 − 3 sin γ) + ρ (r + ϕ̇1 )2 dm.
(16)
2
12
Для вычисления виртуальной работы вращательных и кориолисовых сил инерции имеем [58]
Qвращ
= − (ω̇
ω + ϕ̈1 e1 )
i
(r)
∂KO
,
∂ u̇i
i = 1, ... , 4 (или i = ρ, ϕ, γ , ν),
(r)
Qкор
= − (ω + ϕ̇1 e1 ) Ei∗ (KO ),
i
(17)
(r)
KO
— главный момент количества относительного движения
где
элементарного гофра относительно центра O (точки пересечения оси
паруса и оси динамической симметрии корпуса; см. рис. 27.1):
h2
(r)
2
2
KO = − ρ ϕ̇ + (ϕ̇ + ν̇) sin γ e1 dm.
(18)
3
Для обобщённых сил инерции, отнесённых к единице длины ds,
оставим те же обозначения, что и в (17), и используем нижние индексы, соответствующие обозначениям определяющих параметров. Выполним операции, указанные в (17). С учётом (18) находим обобщённые
вращательные силы инерции, отнесённые к единице длины:
h2
вращ
2
Qвращ
=
0,
Q
=
2
μh
ρ
+
sin
γ
(ṙ + ϕ̈1 ) ,
ρ
ϕ
3
Qвращ
= 0,
γ
Qвращ
=
ν
3
2μh
sin γ (ṙ + ϕ̈1 ) ,
3
(19)
и обобщённые кориолисовы силы инерции, отнесённые к единице длины (ḣ = 0):
Qкор
ρ = 4μhρ (r + ϕ̇1 ) ϕ̇,
2μh3
Qкор
=
(r
+
ϕ̇
)
4
μhρ
ρ̇
+
γ̇
sin
2
γ
,
1
ϕ
3
2μh
(r + ϕ̇1 ) (ϕ̇ + ν̇) sin 2γ ,
3
2μh3
=−
(r + ϕ̇1 ) γ̇ sin 2γ.
3
Qкор
γ =−
Qкор
ν
3
(20)
189
27. К динамике раскрытия поверхности космического паруса
Выражения (19), (20) позволяют получить выражение виртуальной
работы сил инерции:
4 Qвращ
δui ds.
δ A (Φ) =
+ Qкор
(21)
i
i
i=1
Таким образом, найдены все слагаемые в интегральном равенстве (6) принципа изменяемого действия. Равенство (6) выполняется,
если коэффициенты при независимых виртуальных вариациях определяющих параметров равны нулю. Остаётся найти эти коэффициенты
и получить уравнения движения.
4. Уравнения относительного движения паруса при плоском развёртывании. Выполним преобразования равенства (5), обычные при применении интегральных принципов.
После варьирования первого слагаемого в (5) по определяющим
параметрам и их производным (по обоим аргументам) и применения
операции интегрирования «по частям» с учётом перестановочных соотношений находим, что коэффициенты при независимых виртуальных
вариациях равны вариационным производным от плотности лагранжиана (L = Λ2μh; см. (7)):
δ
∂
∂
∂
∂
∂
−
=
, i = 1, ... , 4,
(22)
+
δui
∂t ∂ u̇i
∂s ∂ui
∂ui
∂
∂
{·} и
{·} — полные частные производные.
где
∂t
∂s
Вычисляем вариационные производные (22) от плотности лагранжиана (L), составленной из разности подынтегральных выражений (13)
и (16):
δL
= ρ̈ − ρϕ̇2 − ρ (r + ϕ̇1 )2 2μh,
δρ
δL
∂
7h2
2
2
ρ ϕ̇ +
= 2μh
(ϕ̇ + ν̇) sin γ ,
δL
∂
= 2μh
δγ
∂t
δϕ
∂t
h2
γ̇(1 + 6 cos2 γ)
12
+
12
+
2μh3
6γ̇ 2 − 7 (ϕ̇ + ν̇)2 + 3 (r + ϕ̇1 )2 sin 2γ ,
6
δL
∂
= 2μh
δν
∂t
7h2
(ϕ̇ + ν̇) sin2 γ
12
.
(23)
Слагаемые, получаемые при преобразовании виртуальной работы
реакций (12) с учётом уравнений для виртуальных вариаций (11),
сразу включим в уравнения. Тогда
δL
2
− Qкор
ρ + λ1 + 2λ2 ρϕ − λ2 ρ − λ2 ρ + λ3 ϕ = 0,
δρ
δL
2 2 − Qвращ
− Qкор
ϕ
ϕ − λ2 ρ ϕ − 2λ2 ρρ ϕ − λ2 ρ ϕ − λ3 ρ − λ3 ρ = 0,
δϕ
190
Гл. IV. Решение прикладных задач
δL
− Qкор
γ − λ1 h0 cos γ cos ν = 0,
δγ
δL
− Qвращ
− Qкор
ν
ν + λ1 h0 sin γ sin ν − λ3 cos ν = 0.
δν
(24)
В (24) используются выражения, приведённые выше (см. (20) и (23)).
Уравнения (24) вместе с уравнениями связей (8) составляют замкнутую систему относительно семи неизвестных функций (четырёх
определяющих параметров и трёх множителей связи). Это уравнения
в частных производных второго порядка относительно двух аргументов. Начальные условия предоставляет уравнение (4), а также значения
γ(s, 0) = 0, ν(s, 0) = π/2 и уравнения связей (8). Процесс развёртывания характеризуется неравенствами ν̇(s, t) < 0, ρ̇ (s, t) > 0, ϕ̇(s, t) < 0.
Можно заметить, что последние два уравнения в (24) позволяют
выразить неопределённые множители λ1 , λ3 через остальные переменные (и их производные). После этого из первых двух уравнений находятся λ2 и λ2 . Остаётся одно уравнение для четырёх определяющих
параметров, которые связаны тремя уравнениями связей (8) (с помощью этих уравнений тригонометрические функции от ν выражаются
через другие переменные). Следовательно, система сводится к одному
уравнению в частных производных для одной неизвестной функции от
двух аргументов. Указанные выкладки громоздки для «ручной» работы,
но алгоритм их проведения достаточно прозрачен и может быть реализован в процессе разработки программного обеспечения вычислений.
Составленные уравнения описывают развёртывание, которое названо плоским, так как нейтральная линия в процессе движения предполагается плоской, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси паруса.
В этой плоскости гофр является абсолютно гибким, но рассматривается
как жёсткий в плоскости второй кривизны нейтральной линии.
Представленная модель, с одной стороны, является частным случаем более детальных моделей, а с другой — сама может использоваться
для составления упрощённых расчётных моделей.
27.3. О форме равновесия вращающейся отражающей поверхности. При действии только центробежных сил инерции нейтральные
линии гофров развёрнутой поверхности являются прямыми, расположенными в одной плоскости (невозмущённой плоскости). Последняя
перпендикулярна оси паруса.
Пусть в направлении, перпендикулярном к невозмущённой плоскости, падает световой поток. Тогда в стационарном движении элементарный гофр будет находиться в относительном равновесии под действием
трёх сил: N — растягивающего усилия в направлении касательной;
D — силы, обусловленной давлением и действующей в направлении
нормали; Φцен — центробежной силы инерции (рис. 27.6).
Обозначим отклонения точек нейтральной линии гофра от невозмущённой плоскости через u(s). В условиях равномерного вращения
отражающей поверхности с абсолютной угловой скоростью Ω в линей-
27. К динамике раскрытия поверхности космического паруса
191
Рис. 27.6
ном приближении, |u | 1 (α = u , sin α = u , cos α = 1), составляем
уравнение относительного равновесия элементарного гофра (проекции
сил на нормаль к нейтральной линии):
Ddσ = (Ω2 ρdm)u .
(25)
В (25) приняты те же обозначения, что и в п. 2:
dσ = 2h sin γds,
dm = 2hμds,
ρ = Rb + s.
(26)
Из (25) с учётом (26) получаем дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными:
du =
D sin γ
ds
.
2
(R
b + s)
μΩ
(27)
Принимая в (27) sin γ = const (в развёрнутом состоянии sin γ ≈ 1)
и интегрируя уравнение (27) при граничном условии
u(sv ) = uv ,
находим
u = uv +
sv = Rv − Rb ,
D
R +s
ln b
.
2
Rv
μΩ
(28)
Выбором конструктивных параметров можно обеспечить значение uv , равное нулю.
Уравнение (28) отклонения нейтральной линии от невозмущённой
плоскости показывает, что в стационарном режиме равновесная форма
отражающей поверхности является вогнутой (к направлению внешнего
потока, перпендикулярному невозмущённой плоскости). Величина отклонения нейтральной линии гофра изменяется по логарифмическому
закону (28).
192
Гл. IV. Решение прикладных задач
28. О влиянии гистерезиса податливой опоры
на сферическое движение тела, несущего маховик
Исследуется движение оси динамической симметрии абсолютно
твёрдого тела, несущего маховик, ось которого совпадает с осью симметрии тела. Система находится в однородном поле силы тяжести.
Центр тяжести системы расположен выше неподвижной точки (рис. 28.1). Учитывается внешнее вязкое трение. Сопротивление отклонению
оси тела от вертикали оказывает радиальная
податливая опора, обладающая упругими свойствами и гистерезисом. Показано, что реакция
этой опоры представляется силовым полем, получаемым в результате применения композиции оператора Гамильтона и оператора поворота
к силовой функции (после линеаризации это
поле позиционной неконсервативной силы).
Получены условия устойчивости по Ляпунову вертикальной ориентации оси тела. При
изучении линейных периодических вынужденных колебаний найдены три типа зависимостей сдвига фазы колебаний от частоты. Одна из этих зависимостей имеет точку минимума и точку максимума. Теоретические выводы
подтверждены результатами физического эксперимента, проведённого над роторной системой
сепаратора, имеющего подобную механическую
Рис. 28.1
схему.
28.1. Механическая схема. Общее уравнение динамики системы. Система (несущее тело-маховик) состоит из двух динамически-симметричных абсолютно твёрдых тел с общей осью симметрии и неподвижным центром в точке O (рис. 28.1). В инерциальных осях Oξηζ (орты i, j, k) положение оси симметрии Oz задаётся углами α, β (α, β , ψ — корабельные углы), определяющими также
связанные с несущим телом оси Oxyz с ортами i1 , i2 , i3 (рис. 28.2).
Положение системы задаётся обобщёнными координатами α, β , ψ , ϕ.
Маховик вращается равномерно относительно собственной оси Oz :
Ω(r) = ϕ̇i3 , ϕ̇ = const = ω.
Составляем выражение для кинетической энергии системы:
1
2
T = Ω · Θ(0) Ω + Ω · Θ(m) Ω
(r)
+
J ϕ̇2
,
2
(1)
где Θ(0) — тензор инерции системы для точки O ; Ω — угловая
28. О влиянии гистерезиса податливой опоры на движение тела
193
скорость несущего тела (в осях
Oxyz ):
Θ(0) = diag (A, A, C),
Ω1 = α̇,
(2)
Ω2 = β̇ cos α,
Ω3 = −β̇ sin α + ψ̇ ;
(m)
Θ
— тензор инерции маховика
для точки O (J — момент инерции
относительно оси Oz).
Потенциальная энергия однородного поля силы тяжести с ускорением свободного падения g, параллельным оси Oζ (при нулевом
уровне в вертикальном положении
оси ротора):
Пg = M gL (i3 k − 1) ,
Рис. 28.2
(3)
где M — масса системы; L — расстояние от точки O до центра тяжести
системы.
Составляем функцию Лагранжа:
L = T − Пg ,
(4)
из которой, с учётом выражений (1) и (3), следует, что обобщённые
координаты ψ , ϕ являются циклическими.
Условие постоянства угловой скорости собственного вращения маховика рассматриваем как идеальную связь с уравнением для виртуальной вариации
ϕ̇ − const = 0, δϕ = 0.
(5)
Принцип Гамильтона–Остроградского для рассматриваемой системы записывается как
t1
(δL + λδϕ + δ A) dt = 0,
(6)
t0
где λ — неопределённый множитель идеальной связи (5); δ A — виртуальная работа непотенциальных сил.
Непотенциальные силы представлены моментом внешних сил вязкого трения относительно центра O (−ν Ω; ν — неотрицательная
константа) и силами со стороны радиальной опоры, контактирующей
с валом несущего тела в точке P , находящейся достаточно близко к оси
симметрии (см. рис. 28.1).
Отклонению оси тела от вертикали оказывает сопротивление радиальная опора со свойствами упругости и гистерезиса. Упругие свойства
считаем заданными с помощью силовой функции U.
7 В. Г. Веретенников, В. А. Синицын
194
Гл. IV. Решение прикладных задач
Учёт влияния гистерезиса материала при разработке математических моделей динамики и рекомендаций по их практическому применению относится к первой основной задаче механики и представляет
самостоятельный интерес. Для учёта гистерезиса воспользуемся приёмом, применяемым при составлении модели внутреннего неупругого сопротивления [112]: вектор силы сопротивления деформированию
считаем отклонённым на некоторый угол γ от вектора реакции, полученного в предположении, что сопротивление является чисто упругим
(рис. 28.3). Угол γ = μ/(2π), где μ — коэффициент поглощения, характеризующий гистерезисные потери на цикле «нагрузка–разгрузка».
В общем случае полной ясности построения этой модели сопротивления нет [112], однако в рассматриваемой системе указанный приём имеет прозрачный физический смысл, который поясняет рис. 28.3.
На рисунке показан контакт вала и податливой опоры как малая конечная область (в окрестности точки P ) в виде двух
зон: «нагружаемой» и «разгружаемой». Качественно гистерезис проявляется в том,
что в нагружаемой зоне создаётся реакция R1 большей величины по сравнению
с величиной реакции R2 в разгружаемой
зоне. Результат такого учёта гистерезиса
приводит в рассматриваемой модели к появлению сил, называемых собственно консервативными [66] или неконсервативными
позиционными силами (силы, линейно зависящие от обобщённых координат с кососимметрической матрицей коэффициенРис. 28.3
тов). Все аналитические выкладки сохраняются как при положительном, так и при отрицательном значении
угла γ. Для численных расчётов, сравниваемых далее с экспериментальными данными, принят угол, при котором реакция оказывает «сопротивление» движению, имеющему место в отсутствие гистерезиса.
В этом случае полученные частотные характеристики качественно
и количественно близки результатам физического эксперимента.
В приведённом объяснении закономерности, моделирующей гистерезис, нетрудно усмотреть некую аналогию с законом сухого трения
и законом трения качения. Возможно, что закономерность для учёта
гистерезиса также должна иметь разрывный характер (с изменением
знака угла γ ). Более полное исследование требует проведения дополнительных экспериментов.
Силовое поле, получаемое поворотом оси потенциального поля,
математически можно записать с помощью оператора (◦ ∇) (см. [13]),
представляющего собой композицию оператора Гамильтона и оператора
поворота, последовательно действующих на силовую функцию.
28. О влиянии гистерезиса податливой опоры на движение тела
195
Соответственно виртуальная работа непотенциальных сил определяется выражением (δrp — виртуальное перемещение точки P )
δ A = (◦ ∇U )δrp − ν Ω · (i1 δα + jδβ + i3 δψ) .
(7)
Теперь мы имеем все слагаемые для вывода уравнений динамики
на основе равенства (6). Приравнивая коэффициенты при независимых
виртуальных перемещениях по обобщённым координатам нулю, получаем четыре уравнения движения и уравнение связи для определения
обобщённых координат и неопределённого множителя.
Для циклических обобщённых координат с учётом уравнения связи
находим первые интегралы уравнений движения:
ϕ̇ = const
при λ + Qϕ = 0,
∂T
+ νψ = const .
∂ ψ̇
(8)
Второе равенство в (8) означает, что реакция связи (5) уравновешивает обобщённую силу Qϕ , соответствующую обобщённой координате ϕ.
28.2. Уравнения движения оси маховика (линейная модель).
В линейном приближении по α, β и α̇, β̇ уравнения для соответствующих обобщённых координат отделяются:
Aα̈ + Jω β̇ − M gLα = −cl2 α cos γ − cl2 β sin γ − ν α̇,
Aβ̈ − Jω α̇ − M gLβ = −cl2 β cos γ + cl2 α sin γ − ν β̇ ,
(9)
где c — коэффициент жёсткости податливой опоры; l — расстояние от
точки O до места установки податливой опоры (точка P ), l r.
Запишем оба уравнения (9) в виде одного для комплексной переменной u = α + iβ , i2 = −1:
ü + 2(h0 + h1 i)u̇ + (k0 + k1 i)u = 0,
ν
2h0 = ,
A
2h1 = −
Jω
,
A
k0 =
cl2 cos γ − M gL
,
A
k1 = −
cl2 sin γ
. (10)
A
Заметим, что учёт гистерезиса в данной системе соответствует появлению в уравнениях движения обобщённых сил, называемых «собственно
неконсервативными» [66].
28.3. О влиянии гистерезиса на устойчивость движения оси
маховика. Рассмотрим влияние гистерезиса (sin γ = 0) на устойчивость тривиального решения u ≡ 0 уравнения (10) по отношению к малым возмущениям начальных условий. В данном случае уравнение (10)
является уравнением возмущённого движения. Поиск решения в форме
u = H exp (iλt) приводит к общему решению
u = H1 exp (iλ1 t) + H2 exp (iλ2 t),
(11)
где H1 , H2 — комплекснозначные постоянные интегрирования; λ1 , λ2 —
корни характеристического уравнения
λ2 + 2(h1 − h0 i)λ − (k0 + k1 i) = 0.
7*
(12)
196
Гл. IV. Решение прикладных задач
Решая уравнение (12) относительно λ, имеем
λ1,2 = −h1 + h0 i ± (h1 − h0 i)2 + k0 + k1 i .
(13)
Подкоренное выражение (13) является комплексным числом m + in,
и корень из него равен (a, b — действительные числа)
√
m + m2 + n2
n
m + in = ±(a + ib), a =
, b= .
(14)
2
2a
Для устойчивости решения u = 0 необходимо, чтобы мнимые части
корней m + in (13) были неотрицательны (h0 ± b 0), т. е.
√
ν m + m2 + n2 ± 2 An 0.
(15)
Из (15) следует, что в отсутствие внешнего вязкого трения (ν = 0)
при наличии гистерезиса (γ = 0) «спящая» вертикальная ориентация
оси неустойчива. При знаке строгого неравенства имеет место асимптотическая устойчивость.
28.4. Влияние гистерезиса на вынужденные периодические
колебания. Введём периодическое силовое возмущение в правую
часть уравнения (10):
ü + 2(h0 + h1 i)u̇ + (k0 + k1 i)u = Qeiωt.
(16)
Частное решение (16) (где G0 , G1 — вещественные величины)
u∗ = Geiωt ,
G = G0 + G1 i,
(17)
соответствует вынужденным колебаниям с частотой возмущения.
Подставив (17) в (16) и приравняв коэффициенты при вещественной, а также при мнимой частях в обеих частях равенства, получаем
уравнения для определения G0 и G1 , из которых находим
G0 =
Qp
,
B2
G1 = −
Qq
,
B2
q = 2h0 ω + k1 ,
p = −ω 2 − 2h1 ω + k0 ,
B = p2 + q 2 .
(18)
Соответственно частное решение (17) имеет вид
u∗ =
Q i(ωt+δ)
e
,
B
q
B
sin δ = − ,
cos δ =
p
.
B
Выраженные через параметры системы (10) амплитуда Q/B и сдвиг
фазы δ вынужденных колебаний имеют вид
Q
=
B
Q(ω)
− k0 ]2 + (2h0 ω + k1 )2
2h0 ω + k1
J
δ = arctg
, ε= .
A
(1 − ε)ω 2 − k0
[(1 −
,
(19)
ε)ω 2
(20)
Коэффициент ε характеризует вытянутость эллипсоида инерции
системы для точки O. Рассмотрим случай, когда ε < 1. Вид зависимо-
28. О влиянии гистерезиса податливой опоры на движение тела
197
стей (19), (20) показывает, что имеются два характерные соотношения
параметров, которые мы обозначим как ω∗ и ω∗∗ :
ω∗ = −
k1
,
2h0
ω∗∗ =
k0
.
1−ε
(21)
В данном случае характерные частоты ω∗ и ω∗∗ — положительные
вещественные, поскольку h0 > 0, k1 < 0, ε < 1.
Вначале остановимся на анализе функции δ (ω ). График этой кривой зависит от взаимного расположения характерных частот (21) на
оси аргумента. Возможны три варианта их относительного положения:
1) ω∗ < ω∗∗ ;
2) ω∗ > ω∗∗ ;
3) ω∗ = ω∗∗ .
(22)
Если гистерезиса нет, то ω∗ = 0 и описываемые ниже бифуркации
отсутствуют. Перепишем функцию δ(ω ) (20) в следующей форме:
δ = arctg
2h0 (ω − ω∗ )
.
2
(1 − ε)(ω 2 − ω∗∗
)
(23)
Из (23) видно, что δ (ω∗ ) = 0, π ; δ(ω∗∗ ) = ±π/2 при ω∗ =
ω∗∗ .
Функции δ (ω ) для первых двух вариантов (22) монотонные. На ри-
Рис. 28.4
Рис. 28.5
сунках 28.4, 28.5 показан их типовой вид. В третьем варианте (22)
функция δ(ω ) имеет минимумы при
(
)
ω1,2 = ω∗ 1 ∓
1−
2
ω∗∗
ω∗2
.
(24)
Аналитическая зависимость δ(ω) (рис. 28.6, сплошная линия)
построена при значениях параметров, соответствующих конкретной
системе, над которой проводился эксперимент 1) (результаты эксперимента показаны точками).
1)
Эксперимент проведён в Московском авиационном институте под руководством В. М. Рыженкова над роторной системой сепаратора, которая при
некоторых ограничениях на осевые перемещения описывается принятой здесь
моделью.
198
Гл. IV. Решение прикладных задач
Рис. 28.6
Для изучения амплитуды вынужденных колебаний (19) функция
Q(ω) принята в виде (d, ωm = const)
2
Q(ω) = d(ω 2 + ωm
).
(25)
Зависимость (25) моделирует (хотя и не всегда [83]) влияние
экс
центриситета e центра масс маховика; d = m0 l0 e/A; ωm = g/l0 ; m0 ,
l0 — масса ротора (маховика) и расстояние от точки O до центра масс
маховика. Обозначим амплитуду вынужденных колебаний через U (ω).
Тогда из (19) с учётом (25) имеем
2
d(ω 2 + ωm
)
U (ω) = p = (1 −
2
ε)(ω∗∗
p2 + q 2
− ω ),
2
,
(26)
q = 2h0 (ω − ω∗ ).
График функции U (ω) (26), построенный расчётным путём для
параметров конечной системы, показан на рис. 28.7 сплошной линией,
а результаты экспериментальных
измерений отмечены точками.
В области, близкой к резонансной
частоте ω∗∗ , в эксперименте наблюдалось нарушение устойчивого
режима работы роторной системы.
Отличие теории и эксперимента
объясняется, в частности, тем,
что теоретически рассматривались
только вынужденные колебания
с частотой, равной частоте периРис. 28.7
одического возмущения, которая
для удобства сравнения с измерениями принята равной «роторной»
частоте (угловой скорости маховика). Очевидно, что реально имеются
также вынужденные колебания с собственной частотой и частотами
других источников возмущений. Процедура анализа этих колебаний
в линейной теории известна.
29. Построение периодического решения системы с малым параметром199
29. Построение периодического решения системы
с малым параметром
Применим уравнение несвободного движения (см. п. 12.5) при построении периодического решения для системы с малым параметром,
к которой приводится динамическая система Е. Лоренца (E. N. Lorenz)
[59, 73]. Методы и схемы построения решений систем с малым параметром обычно [70] относятся к системам, в которых порождающее решение получено при равенстве нулю малого параметра (μ = 0). Из системы Лоренца система с малым параметром получается при условии
0 < μ 1; по смыслу это автоколебательная система с инерционным
возбуждением, на которую налагаются идеальные связи, обеспечивающие заданное решение, а по форме — система Четаева (см. п. 12.1).
Условия для реакций дают дополнительные уравнения для начальных условий при нахождении периодического решения.
29.1. Приведение динамической системы Е. Лоренца к форме
систем Н. Четаева. Системой Лоренца называют систему обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка [59, 73]:
x1 = −σ(x1 − x2 ),
x2 = ax1 − x2 − x1 x3 ,
x3 = −bx3 + x1 x2 ,
(1)
где σ , a и b — постоянные положительные коэффициенты; штрих
означает производную по независимой переменной τ.
П р и м е ч а н и е. Система Лоренца была получена при составлении
математической модели конвективного движения в подогреваемом слое
жидкости. Вопрос адекватности такой модели конвективного движения
не является предметом нашего обсуждения, но также может быть
рассмотрен с позиций предлагаемого подхода. Большой объём исследований, посвящённых системе (1), сделал её по сути классическим математическим объектом (см., например, [59, 73]); среди решений этой
системы есть отвечающие устойчивым и неустойчивым положениям
равновесия, регулярные колебания и хаотические движения с широким
сплошным спектром, стохастические колебания. К уравнениям Лоренца при некоторых предположениях исследователи сводят (см., например, [73]) уравнения для медленных амплитуд напряжённости поля,
поляризации и разности населённостей в лазерах и мазерах, уравнения
генераторов с нелинейностью. Исследуются различные комплексные
формы уравнений Лоренца и т. д.
Продемонстрируем изложенную в п. 12.5 методику построения
несвободной порождающей системы при решении задачи отыскания
периодических движений системы (1).
Переход в (1) к новым переменным
μx
1 2
σ+1
ξ = √ 1 , η = μ2 x3 −
x1 , μt = (σ + 1)τ , μ = (2)
2σ
2σ
σ(a − 1)
200
Гл. IV. Решение прикладных задач
приводит к уравнениям (см., например, [73])
ξ¨ + μξ̇ + (η − 1)ξ + ξ 3 = 0,
η̇ = −μf (ξ , η),
(3)
bη − (2σ − b)ξ
.
σ+1
2
f (ξ , η) =
В уравнениях (3) при больших значениях a коэффициент μ может
рассматриваться как малый параметр.
Система (3) получена преобразованием переменных при условии,
что μ = 0 [73]. Модель порождающей системы, получаемой при μ = 0,
выпадает из класса моделей, описываемых уравнениями (3).
29.2. Несвободная система Четаева. Поступим иначе: вместо
«волевого» выбора консервативного нелинейного осциллятора в качестве порождающей системы, получаемой при μ = 0, построим несвободную систему при 0 < μ 1, имеющую решение, совпадающее
с «порождающим решением». Этим путём мы также изменяем класс
рассматриваемых моделей, но введение реакций — это более конструктивный способ обеспечить движение системы с заданными свойствами.
Несвободную систему получим путём введения идеальных связей,
при наличии которых постоянными являются полная механическая
энергия «механической части» (первое уравнение в системе (3)) и переменная η.
Указанные связи представляются уравнениями
ξ̇ 2 + (η − 1)ξ 2 +
ξ4
= 2E = const,
2
η = const .
(4)
Выражение E по форме совпадает с полной механической энергией.
Из уравнений связей (4) по правилам, описанным в п. 12.5, для
виртуальных вариаций δξ , δη получаем уравнения
˙ + ξ 2 δη = 0,
2ξδξ
δη = 0.
Учитывая реакции идеальных связей с помощью неопределённых множителей λ1 и λ2 , имеем уравнения несвободного движения:
˙
+ 2λ1 ),
ξ¨ + (η − 1)ξ + ξ 3 = ξ(−μ
η̇ = −μf (ξ , η) + λ1 ξ 2 + λ2 .
(5)
Вместе с уравнениями (5) для определения множителей λ1 и λ2
рассматриваются уравнения связей (4), дифференцируя которые по t,
с учётом уравнений движения (5) находим
μ
ξ2
.
λ1 = , λ2 = μ f (η , ξ) −
(6)
2
2
29.3. Условия периодичности движения. Будем рассматривать
переменные E и η как «медленные» переменные исходной системы,
а в выражениях Ė и η̇ , получаемых с учётом уравнений (5), выделим
29. Построение периодического решения системы с малым параметром201
слагаемые, являющиеся реакциями (обозначим их rE и rη соответственно):
μrE = 2λ1 ξ˙2 +
ξ 2 (λ1 ξ 2 + λ2 )
,
2
μrη = λ1 ξ 2 + λ2 ,
(7)
где λ1 и λ2 имеют вид (6).
Реакции обеспечивают свойства (4), при которых изменение «быстрой» переменной (ξ) является периодическим при любых начальных
условиях (удовлетворяющих этим уравнениям). Выберем из всех движений то, на котором реакции (7) в среднем по времени на периоде T
равны нулю:
T
ri ξ(t), ξ̇(t) dt = 0, i = E , η.
(8)
0
П р и м е ч а н и е. В системах с малым параметром равенство нулю
средних значений всех реакций на конечном периоде T решений уравнений означает, что уравнения, получаемые усреднением на периоде
несвободной системы, совпадают с укороченными уравнениями свободной системы.
Прежде чем воспользоваться уравнениями (8), найдём закон изменения «быстрой» переменной (ξ(t)). Из уравнений (4) непосредственно
следует интеграл (при начальных значениях t0 = 0, ξ0 = 0, ξ˙0 > 0)
ξ
t=
0
1
F (ξ)
dξ ,
F (ξ) = 2E − (η − 1)ξ 2 −
ξ4
.
2
(9)
В периодическом движении при некотором значении t координата ξ
достигает своего наибольшего значения (d); при этом
2E = (η − 1)d2 +
d4
.
2
(10)
Интеграл в (9) с учётом выражения (10) после замены переменной с
помощью равенства ξ 2 = d2 (1 − ζ 2 ) преобразуется к нормальной форме
Лежандра:
ζ
dζ
ωt = ,
0
ω=
(1 − ζ 2 )(1 − k2 ζ 2 )
η − 1 + d2 ,
k2 =
d2
,
2ω 2
η + d2 > 1.
(11)
Обращение интеграла (11) является эллиптическим синусом Якоби
с модулем k, т. е. ζ = sn (ωt; k). Возвращаясь к исходной переменной ξ
(с учётом тождества для функций Якоби: sn2 (u; k) + cn2 (u; k) = 1),
имеем
ξ = d cn (ωt; k).
(12)
202
Гл. IV. Решение прикладных задач
Соответственно период колебаний (действительный) T = 4K(k)/ω ,
где K(k) — полный эллиптический интеграл Якоби первого рода в
нормальной форме с модулем k.
Равенства (8) с учётом реакций (7) и выражения f (η , ξ) (см. (3))
имеют вид
d d
1
dξ
F (ξ) dξ −
ξ 2 f (η , ξ) 2
0
0
F (ξ)
d
f (η , ξ) = 0,
0
dξ
= 0.
F (ξ)
(13)
Уравнения (13) совпадают с уравнениями, полученными в работе [73]. Однако имеется принципиальное отличие их приложения, состоящее в том, что здесь это уравнения для несвободной системы, они
позволяют найти начальные условия, при которых движение является
периодическим, а реакции в среднем на периоде равны нулю (см. (8)).
30. Об энергии в динамике точки переменной массы
(в первой задаче Циолковского)
Модели точки переменной массы используются при изучении реактивного движения, в том числе в теории полёта ракет. Из решения
первой задачи К. Э. Циолковского следует возможность сообщения
ракете в свободном пространстве неограниченно большой скорости
за конечное время; естественно возникает вопрос: может ли ракета
достичь скорости света? В научной литературе обсуждаются вопросы
создания с помощью реактивного принципа объектов, обладающих
большой энергией при полном расходе массы (ситуация, для классической механики парадоксальная). Актуальными становятся проблемы
полётов со скоростями, при которых нельзя пренебречь релятивистскими эффектами (см. [104]).
В данной заметке приведён анализ энергетических соотношений
в условиях классической задачи Циолковского в системе «точка переменной массы (ТПМ) — изменяющая масса (уходящие частицы непосредственно перед их отделением и отделившаяся масса)». В конечной
форме получено выражение работы реактивной силы, приложенной
к ТПМ и создающей кинетическую энергию ТПМ и кинетическую
энергию изменяющей массы непосредственно перед отделением частиц.
Получено выражение внутренней энергии, необходимой для реализации реактивного принципа (с учётом работы реактивной силы, приложенной к отделяющимся частицам). Показано, что в случае полного
расхода массы (m → 0) полная работа реактивных сил в системе
целиком идёт на создание кинетической энергии изменяющей массы
и ожидать появления нового безмассового объекта, обладающего энергией, не приходится.
30. Об энергии в динамике точки переменной массы
203
30.1. О моделях точки переменной массы. Переменность массы в классической динамике является следствием изменения состава [68] и (или) внутренних движений в системах, представляемых для
описания кинематики геометрической точкой, но имеющих протяжённость [76].
Основная задача механики о силах сохраняет своё значение и в динамике систем точек переменной массы и становится ещё более сложной: в уравнения движения включаются реактивные силы. Уравнение
движения точки переменной массы при отсутствии внутренних движений и присоединяющихся масс имеет вид
m
dv
= F + P,
dt
P = ṁvr ,
(1)
где m — масса частиц, составляющих ТПМ; v — абсолютная скорость
точки в инерциальной системе; F — равнодействующая внешних сил
(за исключением взаимодействия с изменяющими массами), приложенных к точке; P — импульсная (ударная) реактивная сила (И. В. Мещерский, A. Cayley); vr — относительная скорость элементарной массы
|dm| относительно точки переменной массы; точкой обозначена производная по времени (d/dt).
Известно, что второму закону Ньютона ((mv)˙ = F) также можно придать форму уравнения движения точки переменной массы
(при vr = −v).
Полагаем, что отделяющаяся частица представляется точечной массой (в более общем случае вводится понятие эффективной скорости
истечения). Различные варианты описания модели с учётом приложения внешних сил к разным частям ТПМ как системы переменного
состава «ТПМ — отделяющаяся частица» имеются в работе [13], в том
числе с учётом переменного состава связей.
Классической задачей, решаемой с помощью модели ТПМ, является
первая задача К. Э. Циолковского. Из её решения следует возможность
сообщения ракете неограниченно большой скорости за конечное время.
В процессе движения ракеты работа реактивной силы, приложенной
к ней, увеличивается. Должна ли при этом увеличиваться полная
энергия ракеты? В результате полного расхода массы ракета как объект
прекращает своё существование. Каков тогда материальный носитель
энергии, равной работе реактивной силы, приложенной к ракете? Возникает своего рода энергетический парадокс, удовлетворительное разъяснение которого можно получить только на основе анализа системы,
включающей как ТПМ, так и изменяющую массу.
30.2. Кинетическая энергия и работа реактивных сил в системе «ТПМ — изменяющая масса». Рассмотрим решение задачи Циолковского о поступательном прямолинейном движении ракеты в свободном пространстве при действии только реактивной силы
204
Гл. IV. Решение прикладных задач
(в уравнении (1) F = 0):
P=
dm
v,
dt r
(2)
vr = const .
При расходовании массы до величины m ракета приобретает скорость (начальную скорость ракеты без ограничения общности принимаем равной нулю), величина v которой связана с массой ракеты m
формулой Циолковского:
v = −vr ln
m
,
m0
(3)
где m0 — масса ракеты в начальный момент времени.
Из формулы (3) следует, что в результате расходования всей массы
ракете сообщается неограниченная по величине скорость.
Вычислим работу реактивной силы и кинетическую энергию ракеты.
Работа приложенной к ракете реактивной силы на промежутке времени [0, t] вычисляется как интеграл от мощности силы (2) (используем
одинаковые обозначения для граничных значений массы и скорости
и их текущих значений в качестве переменных под знаком интеграла):
t A=
dm
mv 2
−
−vr
v dt =
dt
2
m
v2
dm.
2
(4)
m0
0
В правой части равенства (4) первое слагаемое — кинетическая
энергия ракеты. Учитывая соотношение (3), имеем кинетическую энергию ракеты T как функцию начального и конечного значений массы
ракеты:
mv 2
mvr2
m 2
ln
T =
=
.
(5)
2
2
m0
Рассмотрим механический смысл последнего члена в выражении (4).
П р и м е ч а н и е 1. В научной литературе последнее слагаемое
в (4) не всегда имеет удовлетворительную трактовку. В работе [104]
полагается, что формулой (4) можно пользоваться для вычисления
«полной переменной энергии E , равной работе реактивной силы тяги на
перемещениях ракеты». В результате следует парадоксальное суждение
о возможности в пределе при m → 0 получить безмассовый объект,
обладающий энергией. Интеграл противоположного знака фигурирует
в теоремах об изменении кинетической энергии точки переменной массы. Для получения этого слагаемого к реактивной силе в [76] делается
«добавка» — вектор ṁv/2. Затем «добавка» и реактивная сила объединяются в «добавочную силу». Смысловое назначение этой добавки —
диссипация энергии, равной кинетической энергии изменяющей массы
перед отделением составляющих её частиц. Однако реальной силы, соответствующей этому вектору, нет («добавка» не является ни внешней,
ни внутренней силой, не имеет противодействующей силы); он фор-
30. Об энергии в динамике точки переменной массы
205
мально добавляется для придания теореме об изменении кинетической
энергии точки переменной массы того же вида, что и вид теоремы об
изменении кинетической энергии точки постоянной массы.
Нетрудно убедиться в том, что последнее слагаемое в (4) имеет
смысл кинетической энергии частиц, изменяющих массу, непосредственно перед их отделением, т. е. когда они ещё находятся в составе ракеты. Суммативная величина кинетической энергии изменяющей
массы до сообщения частицам относительной скорости (обозначим её
через Ts− ) равна
Ts−
m0−m
=
v 2 (μ)
dμ,
2
μ = m0 − m (dμ = −dm = |dm|),
(6)
0
где μ — величина отделившейся массы.
При возвращении к исходной переменной m интеграл (6) принимает
форму последнего интеграла в (4), т. е.
m
2
v (m)
−
Ts = −
dm.
(7)
2
m0
Таким образом, имеем
A = T + Ts−.
(8)
C учётом зависимости скорости ракеты от массы (3) интеграл в (7)
вычисляется в конечной форме:
mvr2
m 2
m
Ts− = m0 vr2 −
− 2 ln
+2 .
(9)
ln
2
m0
Соответственно
mv 2
mvr2
A=
+ m0 vr2 −
2
2
m0
m 2
m
− 2 ln
+2 .
ln
m0
m0
(10)
Подстановкой (5) в (10) находим выражение полной работы реактивной
силы, приложенной к ракете:
m
m
m
A = m0 vr2 1 −
+
ln
(11)
.
m0
m0
m0
Составляем выражение кинетической энергии отделившихся частиц (Ts+ ):
m
m
m
m
2
2
(v + vr )2
v
vr
Ts+ = −
dm = −
dm − vvr dm −
dm. (12)
2
m0
2
m0
2
m0
m0
Смысл первого слагаемого в (12) рассмотрен выше (см. (6) и (7)).
Второе слагаемое равно взятой со знаком минус работе A реактивной
206
Гл. IV. Решение прикладных задач
силы, приложенной к ракете (см. (4)). Третье слагаемое — кинетическая энергия относительного движения отделившихся частиц (Tr ):
m
2
vr
v2
Tr = −
dm = (m0 − m) r
(13)
2
2
m0
Получим выражение работы внутренних сил взаимодействия в системе «ракета — отделяющиеся частицы». Внутренними силами являются реактивная сила P, приложенная к ракете, и противодействующая
ей сила −P, приложенная к отделяющейся частице. Элементарные импульсы реактивной (Pdt) и противодействующей (−P dt) сил сообщают
материальным точкам с массами m и |dm| приращения скоростей dv
и vr соответственно. Для вычисления работы воспользуемся теоремой
Томсона и Тета в теории импульсивных движений (см., например,
[13]): работа ударной силы при ударе равна произведению импульса
этой силы на вектор средней скорости (для доударного и послеударного
значений скорости) материальной точки, к которой приложена ударная
сила:
t
t
v + (v + dv)
v + (v + vr )
(i)
A = P
dt − P
dt,
(14)
2
0
2
0
где A(i) — работа внутренних ударных сил в системе. Опуская малые
второго порядка и переходя к другой независимой переменной (массе),
с учётом равенства (3) выражение (14) преобразуем к виду
m
2
vr
v2
A(i) = −
dm = (m0 − m) r = Tr .
(15)
2
2
m0
Приращение кинетической энергии системы происходит вследствие
совершения работы реактивными силами (теорема об изменении кинетической энергии системы постоянного состава):
Ts+ + T = A(i) .
(16)
Имеем также равенство (где As — работа реактивной силы, действующей на отделяющиеся частицы)
As = Ts+ − Ts− ,
выражающее теорему об изменении кинетической энергии отделившихся частиц.
30.3. О внутренней энергии ракеты. Кинетическая энергия системы (левая часть равенства (16)) представляет собой приращение
внешней энергии, а правая часть — расход внутренней энергии, т. е.
ΔE (i) (m0 , m) = −(m0 − m)
vr2
.
2
(17)
30. Об энергии в динамике точки переменной массы
207
Начальное значение приращения внутренней энергии (17), очевидно, равно нулю (ΔE (i) (m0 , m0 ) = 0). Полёт ракеты до полного расходования массы (при m → 0) в правой части (17) требует приращения
внутренней энергии ΔE (i) (m0 , 0) = −m0 vr2 /2 (знак минус показывает,
что внутренняя энергия убывает).
Составляем выражение полной переменной энергии ракеты E в виде
суммы внутренней и внешней энергии:
(i)
E = E0 + ΔE (i) (m0 , m) +
mv 2
,
2
(18)
(i)
где E0 — начальный запас внутренней энергии.
Из (18) следует, что для обеспечения полного расхода изменяющей
массы начальный запас внутренней энергии должен удовлетворять
неравенству
m v2
(i)
E0 0 r .
(19)
2
П р и м е ч а н и е 2. Понятие внутренней энергии в классической
механике неявно фигурирует в стереомеханической теории удара,
в частности в теоремах об энергии Карно–Остроградского. В неупругой
фазе удара часть кинетической энергии трансформируется во внутреннюю энергию, а фаза восстановления представляет в некотором
смысле обратный процесс. Пример с трансформацией внешней энергии
во внутреннюю и обратно (но уже с другой целью) в задаче о движении
летательного аппарата с прямоточным воздушно-реактивным двигателем имеется в работе [13], где показано, что энергия, выделяющаяся
при внешнем трении и используемая как внутренняя энергия для
создания реактивных сил, может обеспечить при некоторых условиях
ускоренное движение ракеты, несмотря на наличие сил сопротивления
и отсутствие других ускоряющих сил, кроме реактивной.
Предельный переход при m → 0 в формулах
(9) и (10) даёт сов
падение значений работыреактивной силы A , приложенной к ракете,
и кинетической энергии T −
s частиц перед их отделением:
2
A = T−
s = m0 vr .
(20)
Иначе говоря, работа реактивной силы, приложенной к ракете,
идёт на создание кинетической энергии, уносимой изменяющей массой
после отделения. Никакого энергетического парадокса нет.
Отметим любопытное совпадение: при относительной скорости, равной скорости света (vr = c), из (20) следует
2
A = T−
s = m0 с = E 0 .
(21)
Согласно формуле для энергии в специальной теории относительности
величина E0 в релятивистской динамике равна «собственной энергии»
частицы c «массой покоя», равной m0 .
Глава V
ПРИНЦИП ПРЕДИКАТИВНОСТИ.
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
В философии, логике, математике, физике и в любой другой сфере
деятельности с применением научного знания требуются анализ отношений между понятиями, проверка логической чистоты и математической строгости. Одно из свойств применяемых математических понятий, названное в работе А. Пуанкаре [91] предикативностью (и непредикативностью), необходимо учитывать и в механике. Это относится
и к методам принципа изменяемого действия, которые, как отметил
А. Пуанкаре, несут в себе «неопределённость».
О непредикативности понятий известно из логики; непредикативные понятия и доказательства в математике также обсуждались ранее [91], [5], [93]. В философии неоднозначные категории и противоречивые понятия используются в диалектическом методе (демонстрацию
приложений этого метода в физике дал Аристотель [2]). Дискуссия
в конце XIX — начале XX века, в которой участвовали Больцман,
Пуанкаре, Цермело и другие великие учёные, показала, что математическая физика не может обходиться без противоречивого понятия
«бесконечного».
Непредикативные доказательства отличаются тем, что в них используются доказываемые положения или их следствия. Решение задач
с помощью предположений, принимаемых уже в процессе решения,
использование «нестрогих» или «некорректных» суждений — всё это
может служить причиной парадоксальных выводов и «неправильных»
умозаключений. Высказывания типа: «если не грешить против логики,
то нельзя получить никаких научных результатов», не могут убедить
нас не замечать «курьёзные доказательства» или «бег по кругу» и не
искать выхода из подобных ситуаций.
31. О понятии «предикативность»
в математике и механике
31.1. Краткая характеристика понятия «непредикативность».
Предикат — языковое выражение, обозначающее некоторое свойство
или отношение [31]. Слово «предикативный» (definit) означает «определимый», поэтому уже само по себе сочетание слов «непредикативное
определение» содержит в себе противоречие. Возможность сформулировать определение имеется не всегда. Например, свойства, полу-
31. О понятии «предикативность» в математике и механике
209
чаемые через постулат [93] (или через абстракцию (см. [31]) по
некоторым правилам, обнаруживаются в самих изучаемых предметах.
Определение двух понятий A и A непредикативно (по Расселу),
если A упоминается в определении понятия A , и обратно. Определение
называется непредикативным, если с его помощью некоторый объект
вводится через множество, включающее этот объект в качестве своего
элемента (определяемое уже включено в определяющее). Например,
«Верхней границей множества действительных чисел называется самое
большое число этого множества, т. е. число, которое больше любого
числа этого множества». Здесь определяемое включено в множество
действительных чисел и тем самым участвует в его формировании.
Подобные определения рассматриваются как определения с «порочным
логическим кругом».
Непредикативность часто является следствием стремления исследователя понять причины физических явлений, в результате которого
из четырёх основных причин нередко «три . . . сводятся в одну, ибо
«что именно есть» и «ради чего» — одно и то же, а «откуда первое
движение» — по виду одинаково с ними . . .» [2]. «Ради чего» — это
некоторым образом цель, которая вольно или невольно присутствует
в результатах, поэтому естественно её рассматривать ещё и как причину, влияющую на весь процесс (без процесса оказывается, как сказал
поэт: «. . .Нашёл кончину, ради которой родился» (Эврипид)). В интегральных принципах шире, по сравнению с дифференциальными,
выражается участие «цели» и «стремление» к некоторой оптимальности
при нахождении закона движения.
Одним из источников непредикативности является понятие бесконечного. За пояснением смысла бесконечного обратимся к физике
Аристотеля [2]. «. . . теоретическое рассмотрение бесконечного является
вполне подходящим для физика» (а не только для философа или
математика). Рассмотрение бесконечного имеет свои трудности, так
как много невозможного следует и за отрицанием его существования,
и за признанием. . . . бесконечное существует таким образом, что всегда
берётся иное и иное и взятое всегда бывает конечным, но всегда
разным и разным (курсив наш). . . . бесконечное имеется там, где беря
известное количество, всегда можно взять что-нибудь за ним . . . Так
что бесконечное не следует брать как определённый предмет, например
как человека или дом, а в том смысле, как говорится о дне или
о состязании, бытие которых не является определённой сущностью,
а всегда находится в возникновении и уничтожении, и хотя является
конечным, но всегда иным и иным. . . . бесконечное скорее подходит под
определение части, чем целого, так как материя есть часть целого. . .
и в мире мысли «большое» и «малое» должны охватывать мыслимые
предметы».
Из сказанного о бесконечном следует непредикативность правила
его формирования.
210
Гл. V. Принцип предикативности
Непредикативность не должна восприниматься a priori как отрицательная оценка, а скорее, лишь как важная характеристика применяемых понятий, отношений, выводов, причём с обязательным выявлением
по возможности всех обстоятельств, приводящих к противоречиям. Эта
дополнительная характеристика позволяет многие, на первый взгляд,
бесполезные результаты воспринимать как естественный промежуточный этап и искать возможность разорвать «порочный круг», перевести
«непримиримую» борьбу в сферу противоречий, кажущихся противоречий, а может быть и дополнений.
Если непредикативность не замечена, то полученный «логический
круг» может продлить жизнь некоторым научным «парадигмам». И наоборот, замеченный парадокс, возникший по причине непредикативности, нередко принимается в качестве предлога для полного «ниспровержения» теории, тогда как более ценным является поиск иных существующих (согласно аксиоме о сводимости Рассела) способов задания
множеств, в которые включается определяемый объект, независимо от
имеющегося непредикативного определения. Выявление непредикативности позволяет установить наличие «нестрогости» в математических
доказательствах, причины возникновения «парадоксов», «порочных логических кругов» в рассуждениях и т. д.
Смысл слов «предикативное отношение» мы даём не в виде определения, а пытаемся раскрыть его, опираясь на работы А. Пуанкаре [91],
[93] и анализируя примеры «непредикативных» понятий, правил, соответствий.
31.2. «Определимость» и «предикативность» понятий и правил
соответствия по А. Пуанкаре. Анализу на предикативность подлежат «отношения», устанавливаемые «правилами соответствия». Правило соответствия предполагает «классификацию», которая меняется
(или не меняется) в зависимости от введения новых элементов. Каждый новый элемент имеет своё «определение». Поэтому первичными
являются «определимость» понятия, а также его атрибут быть «предикативным» или «непредикативным». Эта цепочка, ведущая к смыслу
«предикативности отношений», выстраивается, следуя работе А. Пуанкаре [91] (только последними звеньями этой цепочки с атрибутом
непредикативности являются «правила соответствия» и «отношение»,
устанавливаемое «правилами соответствия»). Поскольку считается, что
«разъяснение значения слова „предикативный“, данное в лекции, не
совсем ясно» [5], приведём с нашими комментариями (и примерами)
значительную часть (в противном случае потребовалось бы неоднократное цитирование с перекрывающимися контекстами) доклада А. Пуанкаре в Гёттингене на тему: «О трансфинитных числах» (доклад пятый,
1909) [91].
«Господа! Сегодня мой доклад посвящён понятию трансфинитного
кардинального числа 1), и прежде всего я хочу поговорить об од-
31. О понятии «предикативность» в математике и механике
211
ном кажущемся противоречии, которое якобы содержит это понятие.
Но прежде чем начать, я хотел бы сделать следующее предварительное
замечание: по моему мнению, предмет мыслим только тогда, когда
его можно определить конечным числом слов. Предмет, определимый
конечным числом слов, я буду для краткости называть просто определимым. С этой точки зрения неопределимый предмет просто немыслим.
Аналогично я буду называть закономерность высказываемой, если её
можно высказать за конечное число слов.
Г-н Ришар доказал, что множество определимых предметов счётно,
т. е. кардинальное число этого множества есть ℵ0 . Доказательство
совсем просто: пусть α — число слов в словаре, тогда n словами можно
определить самое большее αn предметов 2). Если теперь разрешить n
неограниченно возрастать, то, как нетрудно видеть, даже в этом случае
невозможно выйти за пределы счётного множества. Следовательно,
мощность множества мыслимых предметов была бы равна ℵ0 . Г-н Шенфлис возразил против этого доказательства, заметив, что с помощью
одного-единственного определения можно задать несколько, даже бесконечно много предметов. В качестве примера он приводит определение
функций-констант. Такое возражение неприемлемо потому, что определения этого типа задают не отдельные предметы, а их совокупность,
в нашем примере — множество функций-констант, и это множество
представляет собой один-единственный предмет. Итак, выдвинутое
г-ном Шёнфлисом возражение необоснованно.
Как известно, Кантор доказал, что континуум не счётно-бесконечен 3) ; это противоречит доказательству Ришара. Возникает вопрос:
какое из двух доказательств верно. Я утверждаю, что оба доказательства верны и что противоречие, о котором идёт речь, лишь кажущееся.
Для обоснования этого утверждения я приведу новое доказательство
теоремы Кантора. Предположим, что задан отрезок AB и правило,
по которому каждой точке этого отрезка 4) поставлено в соответствие
целое число. Для простоты условимся обозначать точки соответствующими им целыми числами. Разделим наш отрезок двумя произвольно
выбранными точками A1 и A2 на три части, которые назовём подотрезками первой ступени; каждую из этих частей, в свою очередь,
разделим на три части и получим подотрезки второй ступени; мысленно
представим себе этот процесс продолженным до бесконечности, причём
длины подотрезков у каждой границы должны уменьшаться. Точка
1 принадлежит одной или, самое большее (когда точка 1 совпадает
с точкой A1 или точкой A2 ), двум подотрезкам первой ступени, и
следовательно, заведомо существует один подотрезок первой ступени,
которому точка 1 не принадлежит . . . Продолжив наш метод . . ., мы
получим в итоге последовательность отрезков, обладающих следующими свойствами: каждый из них содержится во всех предыдущих
отрезках и один из отрезков n-й ступени не содержит ни одну из точек
с номерами от 1 до n − 1. Из первого свойства следует, что должна
212
Гл. V. Принцип предикативности
существовать по крайней мере одна точка, общая для всех отрезков;
тогда как из второго свойства следует, что номер этой точки должен
быть больше любого конечного числа, т. е. этой точке невозможно
поставить в соответствие ни одно из чисел 4).
Из какого предположения мы исходили в этом примере? Мы приняли предположение о правиле, по которому каждой точке отрезка
поставлено в соответствие некоторое целое число. Затем нам удалось
определить точку, которой не соответствует никакое число. В этом
отношении приведённые выше различные доказательства теоремы не
отличаются. Но прежде всего необходимо установить правило. По Ришару, такое правило, по-видимому, существует, но Кантор доказал
противоположное. Можно ли найти выход из создавшейся дилеммы? Проанализируем, как надлежит понимать слово «определимый».
Мы берём перечень всех конечных утверждений и вычёркиваем из
него все утверждения, которые не определяют никакой точки. Оставшиеся утверждения мы поставим в соответствие целым числам. Если теперь мы снова просмотрим наш перечень, то в общем случае
можно показать, что некоторые из ранее вычеркнутых утверждений
придётся оставить. Действительно, утверждения, в которых шла речь
о правиле соответствия, ранее не имели значения, так как точки
не были поставлены в соответствие целым числам. Теперь же эти
утверждения обрели значение и поэтому должны оставаться в нашем
списке. Если бы мы изменили правило, по которому устанавливается соответствие между точками и целыми числами, то та же самая
трудность повторилась бы, и так до бесконечности. Но именно в этом
и заключается разрешение кажущегося противоречия между Ришаром
и Кантором. Пусть M0 — множество целых чисел, M1 — множество
точек нашего отрезка, определяемых всеми конечными утверждениями,
сохранившимися в нашем перечне после первого вычёркивания, G1 —
правило, устанавливающее соответствие между M0 и M1 . Правило G1
порождает новое множество определимых точек M2 . Но множеству
M1 + M2 соответствует новое правило G2 , которое, в свою очередь,
порождает новое множество M3 и т. д. Доказательство Ришара учит
нас, что там, где я оборву применение нашего построения, всегда
существует некоторое правило соответствия, тогда как Кантор доказывает, что наше построение можно продолжать сколь угодно долго.
Таким образом, между доказательствами Ришара и Кантора никакого
противоречия не возникает.
Видимость противоречия связана с тем, что правилу соответствия
по Ришару недостаёт одного свойства, которое я назову «предикативностью», заимствуя это выражение у одного английского философа.
(По Расселу, у которого я заимствую этот термин, определение двух
понятий A и A не предикативно, если A упоминается в определении
понятия A , и наоборот.) Под предикативностью я понимаю следующее.
Каждое правило соответствия предполагает определённую классифи-
31. О понятии «предикативность» в математике и механике
213
кацию. Я называю соответствие предикативным, если лежащая в его
основе классификация предикативна. Что же касается классификации,
то я называю её предикативной, если она не изменяется от введения
новых элементов. В этом смысле правило соответствия Ришара не
предикативно; более того, введение предложенного им правила соответствия изменяет классификацию утверждений на имеющие значение
и на не имеющие значения. То, что в этом случае имеется в виду
под атрибутом «предикативный», лучше всего пояснить на примере.
Если мне требуется упорядочить множество, распределив образующие
его предметы по некоторому числу коробок, то могут представиться
два случая: либо упорядоченные предметы в конце концов окажутся
на своих местах, либо мне придётся всякий раз, когда я буду классифицировать новый предмет, извлекать какой-то другой предмет (или
другие предметы) из той коробки (или тех коробок), в которой он
(или они) находились. В первом случае я называю классификацию
предикативной, во втором — непредикативной. Хороший пример непредикативного определения привёл Рассел: пусть A — наименьшее число,
для определения которого требуется более ста немецких слов. Число A
должно существовать, так как с помощью ста слов можно определить
лишь конечное количество чисел. Но определение, которое мы выше
дали числу A, содержит меньше ста слов; таким образом, число A и
определимо, и неопределимо.
Цермело высказал возражение против отказа от непредикативных
определений, ссылаясь на то, что в таком случае пришлось бы отказаться от большей части математики, например от доказательства
существования корня алгебраического уравнения.
Как известно, это доказательство состоит в следующем.
Дано алгебраическое уравнение F (x) = 0. Доказывают, что у |F (x)|
должен быть минимум. Пусть x0 — то значение аргумента, при котором
достигается минимум, следовательно,
|F (x)| |F (x0 )| .
Отсюда далее следует, что |F (x0 )| = 0. Такое определение F (x0 ) не
предикативно, так как значение F (x0 ) зависит от множества значений
F (x), к которому оно принадлежит.
Я не могу останавливаться на обосновании этого возражения. Доказательство можно преобразовать так, чтобы непредикативные определения из него исчезли. Для этого√я рассмотрю совокупность значений
аргумента вида (m + in)/p, i = −1 , где m, n и p — целые числа.
Я могу воспользоваться теми же рассуждениями, что и прежде, но
значение аргумента, при котором достигается минимум |F |, вообще
говоря, не принадлежит к рассматриваемым значениям аргумента. Тем
самым мы избегаем круга в доказательстве 5). От каждого математического доказательства можно потребовать, чтобы оно содержало
214
Гл. V. Принцип предикативности
только предикативные определения и т. д., так как в противном случае
доказательство нестрого. . .
Что же касается второго трансфинитного кардинального числа ℵ1 6),
то я не совсем убеждён в том, что оно существует. Мы приходим
к нему через рассмотрение множества ординальных чисел мощности
ℵ0 ; ясно, что это множество должно иметь более высокую мощность.
Спрашивается, однако, замкнуто ли оно, чтобы мы могли говорить
о его мощности, не впадая при этом в противоречие. Актуальной
бесконечности здесь во всяком случае не существует.
А как обстоит дело со знаменитой проблемой континуума? Можно
ли вполне упорядочить точки пространства? Что мы под этим понимаем? Возможны два случая. Во-первых, мы можем утверждать,
что правило вполне упорядочения высказываемо за конечное число
слов; тогда это утверждение не доказуемо, и даже г-н Цермело не
претендует на то, чтобы представить такое доказательство. Но мы
допускаем и такую возможность, что правило невыразимо с помощью
конечного числа слов. В этом случае я не могу придать утверждению
никакого смысла, оно для меня — «пустой звук». В этом и заключается
трудность. И в этом же причина споров по поводу почти гениальной
теоремы Цермело. Эти споры весьма примечательны: одни отвергают
постулат выбора, но тем не менее считают доказательство правильным,
другие считают постулат выбора приемлемым, но не признают доказательство 7).
Я могу говорить на эту тему ещё несколько часов, но не в силах
решить проблему».
Комментарии.
1)
Трансфинитные числа — обобщение понятия порядковых чисел
для бесконечных множеств. Если множество может быть сделано
вполне упорядоченным различными способами, то одинаковые кардинальные числа (обобщение количественных чисел) могут быть заданы
различными трансфинитными числами (в случае конечных множеств
эти понятия совпадают) [60].
2)
В этом месте А. Пуанкаре, как и Ришар, признаёт только объекты, а не классы, и потому не принимает возражение Шёнфлиса. Однако далее А. Пуанкаре сам отступает от данного ограничения, когда
использует понятие отрезка и понятие точки (см. комментарии 3, 4).
Можно согласиться с Дж. Д. Биркгофом [93] в том, что понятие класса
ограничивает обсуждение проблемы, однако мы не согласны с тем, что
понятие класса ограничивает взгляды А. Пуанкаре на проблему. Напротив, А. Пуанкаре не отрицает полезность непредикативных понятий
и правил соответствия и демонстрирует применение «аксиомы сводимости» Рассела, допускающей существование иного способа задания
элементов множества не через это множество.
31. О понятии «предикативность» в математике и механике
215
3)
Континуум (непрерывное), конечно, не сводится к дискретному
и просто не сопоставим с числами. Представление о «непрерывном» отрезке и «дискретных» точках делает противоречивым суждение о том,
что «отрезок состоит из точек». Например, если точки представлять
как единые неделимые элементы, а отрезок считать сплошным непрерывным, то возникающее противоречие приводит к выводу [2], что
прямая (и любой её отрезок) не составляется из точек. Принимая
в качестве «слов» слова «отрезок» и «подотрезки», состоящие из точек,
А. Пуанкаре вслед за Кантором поступает, как и Шёнфлис, вводя
«слова», означающие целый класс. Это тоже делает несравнимыми
доказательство Ришара и доказательство Кантора (см. также комментарий 4).
4)
Представление об отрезке как множестве, состоящем из «точек», приводит к непредикативности, так как «точки», в свою очередь, определяются через множество (с помощью правила образования
«точек» путём вложения «подотрезков»). «Подотрезки» представляют
собой подмножества, эквивалентные отрезку. При отказе от аксиомы
Архимеда (см. заметку 1) в результате вложения отрезков мы не будем
иметь того, что называется точкой. Таким образом, множество (отрезок) составляется из элементов (точек), которые сами определяются
через свойства этого множества. Следовательно, и в доказательстве
Кантора используются непредикативные понятия и правила.
Приведём пример образования элементов множества с помощью
непредикативного приёма (только в обратном порядке: от точки к отрезку). Составляем счётно-бесконечный ряд:
1 + (−1) + 1 + (−1) + ...
Сумма любого конечного числа членов этого ряда даёт одну из двух
чередующихся «точек», которые можно принять за «концы непрерывного отрезка». Ничто не мешает принять в качестве суммы ряда также
любые другие числа для точек, расположенных внутри этого отрезка
(например, иррациональные). Иррациональные числа — это символы
нового (по сравнению с рациональными числами) правила «вставления» новых «точек» на отрезке. Получается, что счётная бесконечность
и непредикативное правило образования элементов множества с помощью натуральных чисел позволили построить «континуум»? (Сравните
с результатом в комментарии 6.)
5)
Вводя более широкое числовое множество (множество комплексных чисел вместо множества действительных), А. Пуанкаре на этом
примере демонстрирует применение аксиомы сводимости Рассела.
6)
«Долгое время оставался открытым вопрос: существует ли такое
кардинальное число c, что ℵ0 < c < ℵ1 ? Оказалось, однако, что как
утверждение о существовании такого c, так и отрицание этого утверждения совместимы с общепринятой аксиоматикой теории множеств»
(см. [65]). (Сравните с комментарием 4.)
216
Гл. V. Принцип предикативности
В современной алгебре трансфинитными числами (трансфинитами,
порядковыми числами, ординальными числами и ординалами) называют элементы вполне упорядоченного множества. Например, множество
целых чисел становится вполне упорядоченным, если его элементы
расположить в следующем порядке (здесь «<» — знак упорядочения,
а не сравнения величин):
1 < 2 < 3 < ... < 0 < −1 < −2 < −3 < ...
7)
Аксиому Цермело (1904 г.) называют также принципом произвольного выбора, согласно которому для любой системы непустых
непересекающихся множеств существует функция, сопоставляющая
каждому множеству один его элемент [60]. Иначе говоря, предполагается, что из каждого множества произвольной системы непустых и не
имеющих общих элементов множеств можно сразу выбрать по одному
элементу. На эту аксиому опирался Цермело в доказательстве теоремы
о возможности всякое множество сделать вполне упорядоченным (полное упорядочение состоит в установлении отношения порядка следования и требовании, чтобы в каждом подмножестве существовал первый
элемент). Аксиома Цермело вызвала много споров, ряд математиков
не признал её, а следовательно, не считает установленной и теорему
о возможности вполне упорядочить произвольные множества.
Противоречие опять возникает вследствие непредикативности.
В теореме Цермело понятие выбора и понятие вполне упорядоченного
множества связаны и используется непредикативное правило. Выбрать
можно актуально или виртуально, т. е. «по природе» или «для нас»
(Аристотель). Актуальный выбор требует существования также
множеств, «лишённых» выбранных элементов (множеств, получаемых
после удаления выбранных элементов). Выбранный актуально элемент
и лишённое этого элемента множество являются непредикативными
понятиями. Виртуальный выбор (без удаления) элементов состоит
в том, что делается «указание» на выбираемый элемент, который тем
самым приобретает ещё один признак; следовательно, меняется набор
признаков, по которому составлено множество. Последнее означает
непредикативность отношения правила выбора элемента и правила
формирования множеств, в которых делается выбор элементов, так как
при каждом выборе даётся новое определение множества, в котором
ведётся упорядочение.
31.3. Аксиома сводимости Рассела. Примеры. «Я предоставляю
слово автору (Расселу, наше примечание), так как не уверен в том, что
правильно понял его мысль: „Мы предполагаем, что всякая функция
эквивалентна для всех её значений некоторой предикативной функции
того же самого аргумента“» [93].
31. О понятии «предикативность» в математике и механике
217
В современной логике предикация рассматривается как частный
случай функциональной зависимости. Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания [31].
На основе иерархии типов Рассела А. Пуанкаре применил аксиому
сводимости при построении предикативной функции. «Предложение
(предикат, наше примечание) будет определённого порядка в иерархии
типов, и этот порядок не будет одним и тем же, каково бы ни было x
(неопределённый предмет, наше примечание), так как он будет зависеть от порядка x. Функция будет называться предикативной порядка
k + 1, когда x порядка k. После этих определений смысл аксиомы всё
ещё не очень ясен, и несколько примеров не помешают» [93]. Приведём
примеры, демонстрирующие использование аксиомы.
П р и м е р 1. Покажем, что в доказательстве существования корня
алгебраического уравнения (см. п. 31.2) Пуанкаре практически использует аксиому сводимости. Обсудим этот пример несколько подробнее,
воспользовавшись приведёнными определениями и расширив иерархию
типов аргумента.
Итак: «Дано алгебраическое уравнение F (x) = 0. Доказывают, что
у |F (x)| должен быть минимум. Пусть x0 — то значение аргумента,
при котором достигается минимум, следовательно
|F (x)| |F (x0 )| .
Отсюда далее следует, что |F (x0 )| = 0. Такое определение F (x0 ) не
предикативно, так как значение F (x0 ) зависит от множества значений
F (x), к которому оно принадлежит».
Для переменной x устанавливаем иерархию типов, присваивая им,
например, следующий порядок:
— нулевой, если x ∈ Z (Z — множество целых чисел);
— первый, если x ∈ R (R — множество действительных чисел);
— второй, если x ∈ C (C — множество комплексных (плоских)
чисел);
— третий, если x ∈ P (P — множество пространственных комплексных чисел) 1).
1)
Пространственным
комплексным числом называют
[37] выражение
z+ σ j , где z и σ — комплексные числа вида u + v i , ξ + η i , а символы i ,
j — мнимые единицы, таблица умножения которых задаётся в следующем
виде:
i i = j j = −1, i j = j i = k , ( i j )2 = ( j i )2 = k 2 = 1.
Тогда, например, в множествах Z, R, C уравнение x2 − 1 = 0 имеет корни
x1,2 = ±1, а в множестве пространственныхкомплексных
чисел
P, кроме
√того,
имеет√«пространственные корни»: x3,4= ± k = ± i j = ± j i , где i = −1 ,
j = −1 . Действительно, x23,4 = k 2 = ( i j )2 = 1, и следовательно, это
218
Гл. V. Принцип предикативности
Для этих множеств имеем включение: Z ⊂ R ⊂ C ⊂ P, т. е. каждое из них включает в себя предыдущее. Поэтому высказываниям
относительно значений F (x0 ) можно присвоить порядок, на единицу
больший, чем порядок её аргумента. В доказательстве существования
корня алгебраического уравнения А. Пуанкаре вместо непредикативного определения значения F (x0 ) (x0 ∈ R) использовал принадлежащий
более широкому множеству аргумент второго порядка, для которого
определение (дефиниция) значения F (x0 ) предикативно.
В связи с примером в сноске на с. 217 поставим вопрос: сколько
решений имеет квадратное уравнение x2 − 1 = 0? Ответ не единственный: одно (в области натуральных чисел); два (в множествах Z, R, C);
четыре (в множестве P) и т. д.
П р и м е р 2. Непредикативны такие дополнительные понятия, как
случайное и детерминированное (в смысле не вероятностное), абсолютное и относительное, непрерывное и дискретное и т. д.
В работе [94] А. Пуанкаре отмечает неполноту (непредикативность)
классического определения вероятности: «Определение, скажут, —
очень просто: вероятность какого-нибудь события есть отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию, к полному числу
возможных случаев . . . приходится дополнить (это определение, наше
примечание), говоря: «. . .при условии, чтобы эти случаи были равновероятны». Замена термина «равновероятны» словами «несовместимы
и равновозможны» не отменяет непредикативность классического определения.
Иной подход (аксиоматический) к построению теории вероятностей предложен А. Н. Колмогоровым. Здесь также рассматривается
множество Ω элементарных событий, но, кроме того, вводится множество подмножеств элементарных событий (алгебра множеств),
удовлетворяющее ряду требований. Первое из этих требований (см.,
например, [28]), имеющее вид
Ω ∈ , ∅ ∈ (∅ — пустое множество),
как нетрудно заметить, представляет собой применение аксиомы сводимости Рассела (вводится расширение множества элементарных событий).
П р и м е ч а н и е. «Проблема детерминизма и тесно связанная с ней
проблема корректного определения случайного, вводящего в детерминизм вероятность» видится Луи де Бройлю [57] следующим образом: «Согласно современным представлениям явления на этом уровне
(атомном, наше примечание) происходят чисто случайно, и если на
макроскопическом уровне нам кажется, будто мы располагаем неким
точным законом, то это происходит лишь потому, что макроскопичетоже корни
многочлена.
Отметим, что в множестве P имеются делители ну
ля: 0 = ( i + j )( i − j ).
31. О понятии «предикативность» в математике и механике
219
ские явления представляют собой статистическое среднее огромного
числа элементарных явлений. Эта точка зрения прямо противоположна
классической точке зрения на природу случайности, которую разделял ещё Пуанкаре. Согласно классической точке зрения лишь строго
детерминированный закон соответствовал глубокому слою физической
реальности, а статистический закон был лишь его макроскопическим
проявлением. Согласно современной точке зрения, наоборот, статистический закон играет основную роль, а детерминированный служит
лишь его макроскопическим проявлением». В этих высказываниях Луи
де Бройля отражаются его собственные переходы от одной крайней
точки зрения к другой, имеющей в науке название «господствующая
парадигма». Возможно, поэтому ему не удалось заметить многосторонность взглядов А. Пуанкаре при решении вероятностных проблем ([94],
глава XI «Исчисление вероятностей»; [95] («Замечания о кинетической
теории газов»)). «Знание», «незнание» и его различные степени в контексте работы [94] также относятся к вероятностному подходу.
Непредикативность возникает при попытке ввести время («абсолютное», объективное) путём наблюдения (всегда относительного, субъективного) явлений, на которые влияет суточное вращение Земли.
К недостаткам способов измерения времени с использованием явлений, на которые влияет суточное вращение Земли, А. Пуанкаре отнёс
следующий. «Один из факторов какого-либо явления есть скорость
вращения Земли; если эта скорость меняется, она представляет собой
фактор, который не остаётся больше идентичным при повторении этого
явления. Но принять эту скорость постоянной значит предположить,
что мы умеем измерять время. (Цитируется Калинон (A. Calinon) —
наше примечание). Измерение времени с использованием причин не
позволяет нам полностью выйти из порочного круга». Пуанкаре приходит к выводу: «Одновременность двух событий или порядок их следования, равенство двух длительностей должны определяться таким
образом, чтобы формулировка законов природы была настолько простой, насколько это возможно. . . . все эти правила, все эти определения
являются лишь плодом . . . соглашения» [96], которое стало основой
принципа относительности.
П р и м е р 3. Развитие теории через непредикативные отношения
даёт история обоснования уравнений Гамильтона–Якоби. Первоначально было показано, что уравнению Гамильтона–Якоби удовлетворяет
главная функция Гамильтона (W ), которая позволяет получить конечные уравнения движения.
П р и м е ч а н и е. Главная функция Гамильтона представляет собой
действие по Гамильтону, вычисленное при переменном верхнем пределе
и выраженное через начальные и текущие значения обобщённых координат. Будучи производящей функцией канонического преобразования
начальных значений обобщённых координат и импульсов в их текущие значения, главная функция позволяет ответить на вопрос: какие
220
Гл. V. Принцип предикативности
начальные импульсы надо сообщить системе в начальном положении,
чтобы она в назначенный момент времени пришла в заданное конечное
положение (см., например, [58]).
Главная функция удовлетворяет уравнению Якоби и является его
полным интегралом вида W = W (q1 , ... , qs, α1 , ... , αs , t), в котором постоянные равны начальным значениям обобщённых координат.
Если известно решение задачи Коши (закон изменения обобщённых
координат и импульсов как функция времени и начального состояния), то действие вычисляется через начальные значения обобщённых
координат, импульсов и время. Последующее исключение начальных
обобщённых импульсов даёт выражение главной функции.
Однако в результате возникает порочный круг: для написания конечных уравнений движения (закона движения) нужна функция W ,
а для составления этой функции нужно знать конечные уравнения
движения. Определение полного интеграла в виде главной функции
Гамильтона для нахождения закона движения непредикативно по отношению к решению с заданными начальными условиями, которое
находится с помощью полного интеграла в виде главной функции
Гамильтона. Этот порочный круг разорвал Якоби, показавший, что
конечные уравнения могут быть написаны при помощи произвольного
полного интеграла S уравнения Гамильтона–Якоби (приём расширения множества, в которое включено одно из понятий, участвовавших
в непредикативном определении).
Дальнейшее обобщение метода Якоби дал А. Пуанкаре. В задаче
возмущённого движения он предложил [92] увеличить число степеней
свободы голономной системы так, чтобы стало возможно применять
метод вариации постоянных и каноническую форму уравнений возмущённой системы.
П р и м е р 4. Преобразование одной конкретной гамильтоновой системы к другой её гамильтоновой форме представляет собой пример
непредикативного правила. Непредикативность отсутствует при канонических преобразованиях сопряжённых переменных (за счёт расширения множества преобразуемых систем), так как каноническое
преобразование не связано с конкретной функцией Гамильтона: оно
преобразует любую гамильтонову систему снова к гамильтоновой форме. Сопряжённые величины (переменные, числа, функции, уравнения
и т. д.) всегда непредикативны.
В заключение отметим, что при сопоставлении аксиомы сводимости и принципа индукции А. Пуанкаре не пришёл к выводу об их
сравнительной общности. Если иметь в виду только математическую
индукцию и пропозициональные функции, то можно заметить, что применение аксиомы сводимости возможно и для аргументов предметного
содержания.
Приведённые примеры показывают, что следовать принципу предикативности удаётся, переходя от пропозициональных функций непре-
32. О преобразовании времени и функции Гамильтона
221
дикативных аргументов к пропозициональным функциям от предикативных аргументов (область значений этих функций составляют высказывания).
Принцип предикативности, как и другие принципы, имеет высокую
степень неопределённости и не даёт конкретных рекомендаций, а относится скорее к аналитической работе ума. Интуитивно он широко
используется в логике и математике, но ещё не вполне оформился
в статусе общего научного принципа естествознания.
При изучении свойств гамильтоновых систем попутно обращается
внимание на ситуации, в которых используются непредикативно определённые понятия, непредикативные правила и доказательства.
32. О преобразовании времени и функции Гамильтона
в склерономных системах
При «изоэнергетической» редукции гамильтоновых систем [118]
и регуляризации уравнений [34] применяется преобразование независимой переменной в гамильтоновых системах. Следуя [34], мы называем правило преобразования леммой Уинтнера 1).
32.1. Лемма Уинтнера для гамильтоновых систем. Согласно лемме Уинтнера [118] решение автономной гамильтоновой системы (q(t), p(t)) ∈ R2n c функцией H(q, p), принадлежащее уровню H(q, p) = h, эквивалентно решению гамильтоновой системы с гамильтонианом
, p, h) = (H(q, p) − h) G(q, p)
H(q
(1)
при новой независимой переменной τ , полученной с помощью замены
t → τ вдоль траектории (q(t), p(t)):
dτ
1
=
,
dt
G (q(t), p(t))
(2)
где G(q, p) — гладкая, не обращающаяся в нуль скалярная функция.
= 0.
При этом решение (q(τ ), p(τ )) ∈ R2n принадлежит уровню H
Доказательство леммы состоит в непосредственном подсчёте производной:
dp
dp dt
∂H
∂G(H − h)
∂G
=
= −G (q(t), p(t))
=−
+ (H − h)
dτ
dt dτ
∂q
∂q
∂q
1)
Применение леммы позволяет получить новую картину движения с замедлением времени вблизи нерегулярной точки в уравнениях плоской задачи
трёх тел (в нерегулярной точке лемма и производящая функция канонического
преобразования не применимы).
222
Гл. V. Принцип предикативности
(аналогично для производной dq/dτ ). На энергетическом уровне
H(q, p) = h эти равенства являются уравнениями Гамильтона (штрихом далее мы будем обозначать производные по переменной τ ):
q =
∂H
,
∂p
p = −
∂H
,
∂q
(3)
что и доказывает лемму.
Покажем, что элементарные действия по Гамильтону сопоставляемых гамильтоновых систем равны и не зависят от вида гамильтонианов (они зависят только от величины энергетических уровней).
Действительно, с учётом (2) для элементарных действий «новой» и исходной систем имеем равенство
=
pi dqi − Hdτ
i
pi dqi − Hdt + hdt.
(4)
i
= 0 и H = h на любых конечных
Из (4) следует, что при H
интервалах времени с учётом его преобразования или обращения,
t
τ ≡ τ (t) =
dt∗
,
G (q(t∗ ), p(t∗ ))
τ
t ≡ t(τ ) = G (q(t∗ ), p(t∗ )) dt∗ ,
0
0
величины действия одинаковы.
Согласно лемме при преобразовании времени с применением функции G = H(q, p) − α (где α — константа; α = h) структуру (1) имеет
гамильтониан
, p, h) = (H(q, p) − h) (H(q, p) − α) .
H(q
(5)
Рассматриваемое преобразование независимой переменной в данном
случае сводится к умножению времени на постоянный множитель.
П р и м е ч а н и е. Аналогичные уравнения получаются, если принять
функцию Гамильтона в виде
H∗ =
(H − α)2
.
2
Здесь также можно усмотреть преобразование независимой переменной
с функцией G = H − α (α = h). Однако в отличие от леммы Уинтнера, мы имеем непредикативное преобразование, так как при каждом
преобразовании система переходит на разные энергетические уровни.
Кроме того, элементарное действие системы с гамильтонианом H ∗, как
показывает равенство
H
α
pi dqi − H ∗ dτ =
pi dqi − dt + dt,
i
i
2
2
отличается от элементарного действия по Гамильтону исходной системы. Однако отличие представляет собой полный дифференциал,
32. О преобразовании времени и функции Гамильтона
223
и поэтому происходит известное «преобразование симметрии» (см.,
например, [36]), позволяющее получить те же уравнения движения, но
изменяющее величину действия на фиксированном интервале времени.
32.2. Применение леммы Уинтнера и «обращение» времени.
Применим лемму Уинтнера при сопоставлении решений системы, имеющей гамильтониан H , с решениями системы, имеющей гамильтониан (1) (в форме, позволяющей различать значения энергетического
уровня исходной системы):
, p, α) = (H(q, p) − α) (H(q, p) − β) при α = β ;
а) H(q
, p, β) = (H(q, p) − β) (H(q, p) − α) при β = α.
б) H(q
(6)
Лемма Уинтнера позволяет в случаях (6а) и (6б) получить следующие сопоставления:
a) решению системы с гамильтонианом H на энергетическом уровне
h = α ставится в соответствие решение системы с гамильтонианом (6)
, p, α) = const = χ на уровне χ = 0;
H(q
б) решению системы с гамильтонианом H на энергетическом уровне
h = β ставится в соответствие решение системы с гамильтонианом (6)
, p, β) = const = χ на уровне χ = 0.
H(q
Оба проведённые сопоставления определяются преобразованием
независимой переменной t → τ , которое состоит (см. (2)) в умножении
независимой переменной на постоянный множитель (размерность множителя сохраняет размерность «действия»):
а) τ = −ϑt,
б) τ = ϑt,
ϑ = (β − α)−1 ,
ϑ = (β − α)−1 .
(7)
Заметим, что при преобразовании t → τ множители в случаях (7а)
и (7б) отличаются лишь знаком. Иначе говоря, сопоставление траекторий сопровождается так называемым обращением нового времени
(τ → −τ ). Для определённости положим β > α, т. е. ϑ > 0 и для со+
кращения записи примем следующие обозначения: Г
α для траектории
, p, α) = χ на уровне
q(τ ), p(τ ) при τ > 0 гамильтоновой системы H(q
−
χ = 0; Г
α для траектории гамильтоновой системы H(q, p, α) = χ на
уровне χ = 0 с обращённым «новым» временем, т. е. q(−τ ), p(−τ );
+
−
аналогично (с заменой α на β ) обозначаются траектории Г
β и Гβ .
+
Тогда наблюдаемое свойство для траекторий Г+
α и Гβ (траектории q(t),
p(t) при t 0 системы с гамильтонианом H = h на уровнях h = α
и h = β соответственно) можно сформулировать следующим образом:
+
−
траекториям Г+
α и Гβ ставятся в соответствие траектории Гα
+ соответственно.
иГ
β
224
Гл. V. Принцип предикативности
Введём в рассмотрение также «обращённое» «старое» время, которому соответствуют траектории q(−t), p(−t), обозначаемые далее
−
через Г−
α и Гβ для гамильтоновой системы H = h на уровнях h = α
и h = β соответственно. Варианты сопоставления траекторий очевидны
и даются условиями (6) и (7):
+
— траектории Г−
α ставится в соответствие траектория Гα ;
− .
— траектории Г− ставится в соответствие траектория Г
β
β
32.3. Свойство взаимности гамильтонианов. Обобщим задачу
преобразования независимой переменной, допустив, что в гамильтониане (1) значение H = h может быть не равным значению α (α = h).
Такое допущение принималось и в гамильтониане (6б), но взамен
аналогичную роль начинал играть второй сомножитель. Составим гамильтониан:
, p) = (H(q, p) − α) G(q, p),
H(q
(8)
α = const .
Из (8) при α = h, в частности, получается гамильтониан (1), для
которого применима лемма Уинтнера. В отличие от (1) и (6), при α = h
требуется найти условия, при которых решение гамильтоновых уравнений системы с гамильтонианом (8) имеет первый интеграл:
H(q, p) = const .
(9)
Необходимое и достаточное условие состоит в тождественном ра ≡ 0. Раскрывая выражение
венстве нулю скобки Пуассона: {H , H}
в левой части этого равенства, с учётом (8) и (9) находим, что тождество имеет место
при h = α либо при h = a и {G, H} ≡ 0,
т. е. когда функции G и H находятся в инволюции. Иначе говоря,
если рассматривать систему с гамильтонианом G(q, p), то в этой си имеется первый интестеме (как и в системе с гамильтонианом H)
грал H(q, p) = const = h.
Используем ещё один имеющийся первый интеграл, G = const =
= g , при составлении симметричных функций Гамильтона (аналогично (6)):
, p, α) = (H(q, p) − α) (G(q, p) − β) при h = α,
а) H(q
g = β ;
, p, β) = (G(q, p) − β) (H(q, p) − α) при h = α,
б) G(q
g = β.
(10)
Лемма Уинтнера позволяет в случаях (10а) и (10б) получить следующие сопоставления:
a) решению системы с гамильтонианом H на энергетическом уровне
h = α ставится в соответствие решение системы с гамильтониа , p, α) = const = χ на уровне χ = 0;
ном (10): H(q
33. Интегральные инварианты и гамильтонова форма уравнений
225
б) решению системы с гамильтонианом G на энергетическом уровне
g = β ставится в соответствие решение системы с гамильтонианом (10):
, p, β) = const = χ на уровне χ = 0.
G(q
Оба сопоставления сделаны при преобразовании независимой переменной t → τ , которое состоит (см. (2)) в умножении независимой
переменной на постоянный множитель (размерность множителя сохраняет размерность «действия»):
а) τ = ϑt,
ϑ = (g − β)−1 ,
б) τ = ϑt,
ϑ = (h − α)−1 .
(11)
Согласно (11) обращение времени при сопоставлении траекторий
происходит при β > g и при α > h соответственно.
33. Интегральные инварианты и гамильтонова форма
уравнений движения
33.1. Основной и универсальный классические интегральные
инварианты гамильтоновых систем. Пусть при движении гамильтоновой системы сохраняется интеграл (интегральный инвариант, открытый Пуанкаре)
n
I1 =
pi δqi ,
(1)
C i=1
где C — замкнутый односвязный контур на одной и той же трубке
прямых путей для одновременных состояний (в момент времени t);
интегрирование ведётся по параметру α (0 α l);
pi = pi (t, α),
δqi = δqi (t, α) (i = 1, ... , n).
(2)
При α = 0 и α = l на контуре, охватывающем трубку, имеем одну
и ту же точку в фазовом пространстве обобщённых координат — обобщённых импульсов (пространство (Q, P ): обозначение работы [137]);
δqi — изохронные виртуальные вариации (см. заметку 8).
Интеграл I1 сохраняет своё значение для всех моментов времени
(инвариант) и называется универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре.
Обычно (см., например, [25]) доказательство инвариантности интеграла I1 получают с помощью основного интегрального инварианта,
установленного Картаном позже. Основной интегральный инвариант
(интегральный инвариант Пуанкаре–Картана) также представляет собой криволинейный интеграл:
n
I=
pi Δqi − HΔt .
(3)
i=1
8 В. Г. Веретенников, В. А. Синицын
226
Гл. V. Принцип предикативности
Синхронные вариации в выражении (1) и асинхронные в выражении
(3) связаны равенствами
Δqi = δqi + q̇i Δt,
поэтому из (3) при Δt = 0 следует (1).
В фазовом пространстве (QTPH), полученном расширением за счёт
добавления сопряжённых переменных t и −H , интеграл (3) является
интегральным инвариантом, и варьирование, не являясь изохронным,
может рассматриваться как синхронное по отношению к новому независимому параметру τ (см. ниже). Поэтому вместо (3) будем писать
n
I=
pi δqi − Hδt = inv .
(4)
i=1
Криволинейный интеграл (4), взятый вдоль произвольного односвязного замкнутого контура, не меняет своего значения при произвольном смещении (с деформацией) этого контура вдоль трубки прямых путей. Замкнутая трубка прямых путей описывается уравнениями
qi = qi (t, α),
pi = pi (t, α),
t = t(α) (i = 1, ... , n)
(5)
при условиях
qi (t, 0) = qi (t, l),
pi (t, 0) = pi (t, l),
t(0) = t(l) (i = 1, ... , n).
Варьированию δ в (4) соответствует операция дифференцирования по
параметру α.
33.2. Задача о гамильтоновой форме уравнений, имеющих инвариант. Пусть движение системы описывается дифференциальными
уравнениями первого порядка для сопряжённых фазовых переменных:
dqi
= Qi (q , t, p),
dt
dpi
= Pi (q , t, p)
dt
(6)
(i = 1, ... , n),
и имеется интегральный инвариант. Требуется установить условия, при
которых система (6) имеет гамильтонову форму.
Достаточно просто доказывается [25], что система (6) имеет интегральный инвариант (1), если она является гамильтоновой:
Qi =
∂H
,
∂pi
Pi = −
∂H
∂qi
(i = 1, ... , n).
(7)
Предпосылки простоты вывода в том, что имеются две группы
сопряжённых переменных, qi (i = 1, ... , n) и pi (i = 1, ... , n), и контур
в криволинейном интеграле располагается на трубке прямых путей,
т. е. траекторий, доставляющих стационарное значение функционалу
«действие».
33. Интегральные инварианты и гамильтонова форма уравнений
227
Для системы (6), имеющей интегральный инвариант вида (3), также
известно обратное утверждение: «инвариантность интеграла Пуанкаре–Картана может быть положена в основу механики, так как
из этой инвариантности вытекает, что движение системы подчиняется
каноническим уравнениям Гамильтона» [25]. Однако теперь ситуация
является более сложной, поскольку в интегральном инварианте используется ещё одна пара сопряжённых переменных. Наличие в интегральном инварианте (3) функции H и условие, что система имеет вид (7)
c гамильтонианом H , дают лишь тривиальный случай по совпадению.
Причины, по которым доказательство обратного утверждения для интегрального инварианта Пуанкаре–Картана, приведённое в [25], мы не
считаем убедительным, будут отмечены ниже.
Поэтому продолжим поиск условий, при которых система (6) имеет
интегральный инвариант вида (4).
33.3. О приведении уравнений движения динамической системы к гамильтоновой форме. Пусть система дифференциальных
уравнений первого порядка (6) имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных условий так, что для любой трубки
траекторий системы инвариантен интеграл (относительный интегральный инвариант первого порядка)
n
pi δqi − Gδt = inv,
(8)
I =
i=1
где G = G(q , t, p) — непрерывная дважды дифференцируемая функция;
интеграл (8) (вычисленный вдоль охватывающего трубку замкнутого
контура) не изменяет своей величины при произвольном смещении
точек контура вдоль образующих трубки.
Требуется найти соотношение между функцией G и функциями Qi , Pi , при котором уравнениям (6) можно придать гамильтонову
форму.
Вначале будем следовать доказательству, приведённому в работе [25]. Изменим только некоторые обозначения: новую независимую
переменную обозначим τ (вместо μ); произвольную положительную
функцию обозначим ψ(q , t, p) (вместо π(q , t, p)) и G (вместо H ). Введение τ и ψ дополняет систему (6) ещё одним уравнением:
dq1
dq
dp
dp
dt
= ... = n = 1 = ... = n =
= ψdτ.
Q1
Qn
P1
Pn
1
(9)
П р и м е ч а н и е 1. Ранее в теории реономных систем (см. заметку 15) принималась явная (недифференциальная) зависимость новой
независимой переменной от времени, т. е. такая, как если бы функция ψ зависела только от t. Здесь же функция ψ зависит также и от
фазовых координат. Для новой независимой переменной τ должно быть
принято некоторое начальное значение.
8*
228
Гл. V. Принцип предикативности
Для прямых путей, образующих данную трубку, при новой независимой переменной имеем параметрические уравнения:
qi = qi (τ , α),
pi = pi (τ , α),
(i = 1, ... , n;
t = t(τ , α)
0 α l).
Обход замкнутого контура при изменении параметра α от α = 0 до
α = l даёт одну и ту же точку.
Поскольку интеграл (8) инвариантен, имеем
dI = 0,
где буква d означает дифференциал по параметру τ. Выполняем дифференцирование под знаком интеграла (8):
n
0=
(dpi δqi + pi dδqi ) − dGδt − Gdδt .
(10)
i=1
Написав δdqi и δdt на месте dδqi и dδt (условие перестановочности
операций: δd = dδ) и проинтегрировав по частям вдоль замкнутого
контура, получаем
n
0=
(dpi δqi − δpi dqi ) − dGδt + δGdt =
i=1
=
n ∂G
∂G
dt δqi + −dqi +
dt δpi +
dpi +
∂qi
i=1
∂pi
∂G
dt δt . (11)
+ −dG +
∂t
П р и м е ч а н и е 2. Далее в работе [25] выполняется деление
последнего равенства на dμ = dt/π (в обозначениях [25]), в результате
которого в подынтегральное выражение вводится множитель π(q , t, p).
Затем делается вывод о том, что «выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом при произвольном множителе π ». Однако функция, которую мы ввели и обозначили через ψ
(вместо π ), в каждом определённом преобразовании не может быть
произвольной (в первую очередь знакопеременной), как этого требует
основная лемма вариационного исчисления (в частности, ψ должна
обеспечивать монотонное изменение независимой переменной). Далее
в работе [25] вариации δqi , δpi , δt рассматриваются как независимые,
т. е. игнорируется существование условного уравнения dt − πdμ = 0,
налагающего ограничение на вариации переменных. Доказательство
заканчивается утверждением о том, что функции Qi , Pi выражаются
через функцию H в интегральном инварианте (4) согласно равенствам
Qi =
∂H
,
∂pi
Pi = −
∂H
∂qi
(i = 1, ... , n),
33. Интегральные инварианты и гамильтонова форма уравнений
229
т. е. в тривиальном случае. Применение одинакового обозначения (H )
для функции в интегральном инварианте и искомого гамильтониана
системы не позволяет различить в доказательстве свойство единственности и тривиальности. Для общности естественно не считать эти
функции одинаковыми (что и сделано нами выше).
Продолжим решение поставленной задачи. Получим уравнения, для
которых имеет место инвариант (8) и выполняется последнее уравнение
в (9). Для этого уравнения имеем следующую зависимость между вариациями:
n ∂ψ
∂ψ
∂ψ
δdt − δψdτ = 0, δψ =
δqi +
δpi +
δt.
(12)
i=1
∂qi
∂pi
∂t
При составлении (12) выполнено синхронное варьирование относительно новой независимой переменой (δτ = 0). Уравнение для вариаций (12) учтём с неопределённым множителем λ (τ ):
λ(δdt − δψdτ ),
(13)
включив его как слагаемое в подынтегральное выражение (11). Выполнив интегрирование по частям с учётом того, что δλ = 0, имеем
n ∂G
∂ψ
dpi +
0=
dt − λ
dτ δqi +
i=1
∂qi
∂qi
∂G
∂ψ
∂G
∂ψ
+ −dqi +
dt − λ
dτ δpi + −dG +
dt − λ
dτ δt .
∂pi
∂pi
∂t
∂t
(14)
Вариации переменных в (14) могут рассматриваться как независимые.
Разделим равенство (14) на dτ и приравняем нулю коэффициенты
при независимых вариациях δqi , δpi , δt. Получаем уравнения
qi = ψ
∂G
∂ψ
−λ
,
∂pi
∂pi
pi = −ψ
∂G
∂ψ
+λ ,
∂qi
∂qi
dG
∂G
∂ψ
=ψ
−λ ,
dτ
∂t
∂t
(15)
где штрихом обозначены производные по τ и подставлено уравнение t = ψ.
Вернёмся в уравнениях (15) к исходной независимой переменной t:
q̇i =
∂G
λ ∂ψ
−
;
∂pi
ψ ∂pi
ṗi = −
∂G
λ ∂ψ
+
;
∂qi
ψ ∂qi
dG
∂G
λ ∂ψ
=
−
.
dt
∂t
ψ ∂t
(16)
(17)
230
Гл. V. Принцип предикативности
Видно, что правые части уравнений (16) для сопряжённых переменных qi , pi имеют гамильтонову форму:
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
∂qi
(i = 1, ... , n)
(18)
с функцией Гамильтона
= G − λ ln ψ.
H
(19)
В общем случае функцию ψ(q , t, p), а также множитель λ требуется
найти. Получим соответствующие уравнения.
Приравниваем правые части уравнений (16) и правые части уравнений (6):
∂G
λ ∂ψ
∂G
λ ∂ψ
Qi =
−
, Pi = −
+
.
(20)
∂pi
ψ ∂pi
∂qi
ψ ∂qi
Умножая равенства первой группы (20) на ∂ψ/∂qi , а равенства
второй группы — на ∂ψ/∂pi и затем суммируя по индексу, получаем
уравнение, которому должна удовлетворять функция ψ :
n ∂ψ
∂ψ
Qi +
Pi = {ψ , G},
(21)
i=1
∂qi
∂pi
где {ψ , G} — скобка Пуассона функций ψ и G.
Аналогично, умножая равенства первой группы (20) на ∂G/∂qi , а
равенства второй группы — на ∂G/∂pi и затем суммируя по индексу,
получаем уравнение, которому удовлетворяет множитель λ:
n ∂G
∂G
λ{ln ψ , G} =
Qi +
Pi ,
(22)
i=1
∂qi
∂pi
где {ln ψ , G} — скобка Пуассона функций ln ψ и G.
Из (21) и (22) следует равенство
n n ∂ψ
∂ψ
∂G
∂G
λ
Qi +
Pi = ψ
Qi +
Pi ,
i=1
∂qi
∂pi
i=1
∂qi
∂pi
(23)
которое, как нетрудно проверить, представляет собой необходимое и
:
достаточное условие того, что сопряжёнными являются также t и −H
ṫ = 1,
dH
∂H
=
.
dt
∂t
(24)
Таким образом, система (6), имеющая интегральный инвариант (8),
приведена к гамильтоновой форме с гамильтонианом (19).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Тривиальный случай: рассматриваемая система уже имеет гамильтонову форму, и интегральный инвариант (8) является интегральным инвариантом Пуанкаре–Картана, т. е.
q̇i = Qi =
∂G
,
∂pi
ṗi = Pi = −
∂G
.
∂qi
33. Интегральные инварианты и гамильтонова форма уравнений
231
Тогда из (18), (19) следует, что функция ψ ≡ 1. Иначе говоря, преобразованием независимой переменной является либо тождество, либо
постоянный сдвиг.
2. Случай, когда система (6) уже имеет гамильтонову форму вида (7) c не зависящим от времени гамильтонианом (H ) и инвариант (8)
с функцией G. Тогда для выполнения равенств (21) и (22) достаточно, чтобы функции G и ψ были первыми интегралами в инволюции
({ψ , G} = 0) обобщённо-консервативной системы.
Проведённые выкладки позволяют сделать следующее утверждение. Если для траекторий системы (6) имеются фазовые трубки прямых
путей и интегральный инвариант вида (8), то система имеет гамильтонову форму с гамильтонианом (19).
Вместо тривиального случая 1, в котором то, что требуется доказать, предполагается имеющим место по совпадению, здесь получены
уравнения (21) и (22) для определения функции ψ(q , t, p) и множителя λ и формула гамильтониана (19).
В заключение заметим, что дополнительное уравнение для вспомогательной переменной τ можно принять в другом (неголономном) виде:
N (τ , q , t, p)dt − M (τ , q , t, p)dτ = 0,
M > 0,
N > 0.
(25)
Можно также использовать голономное (в явной или неявной форме)
уравнение
τ = f (q , t, p), или ϕ(τ , q , t, p) = 0,
или полуголономное уравнение (представляющее собой полный дифференциал)
N (τ , q , t, p)dt − M (τ , q , t, p)dτ = dU (τ , q , t, p) = 0.
В отличие от (9), преобразование (25) зависит также и от новой
независимой переменной τ. Варьирование равенства (25) (синхронное
относительно новой переменной) для вариаций δqi , δt, δpi даёт уравнение
δN dt + N δdt − δM dτ = 0,
(26)
где для δM (и аналогично для δN ) справедливо выражение
∂M
∂M
∂M
δM =
δqi +
δpi +
δt.
i
∂qi
i
∂pi
∂t
Учёт уравнения (26) с неопределённым множителем в подынтегральном
выражении вариации инварианта позволит рассматривать вариации
δqi , δt, δpi как независимые. Дальнейшие выкладки по составлению
условий «гамильтоновости» формы уравнений (6), имеющих интегральный инвариант (8), могут быть проведены по той же схеме, что и для
уравнения (9).
232
Гл. V. Принцип предикативности
34. Об однородных свойствах гамильтонова действия
На основе метода размерностей даётся расширенное определение
квазиоднородной функции фазовых координат, частным случаем которой являются автономные квазиоднородные функции и функции,
однородные по Эйлеру.
Показано, что элементарное действие и уравнения Гамильтона будут инвариантными по отношению к преобразованию подобия, если
суммы показателей квазиоднородности сопряжённых величин равны
между собой. При этом преобразование Лежандра даёт функцию
Лагранжа, которая является квазиоднородной той же степени, что
и функция Гамильтона.
34.1. Определение квазиоднородной функции. Дадим определение квазиоднородной функции, используя изменение масштабов фазовых координат z1 , ... , zn и времени t (преобразование подобия):
z1 → αg1 z1 , ... , zn → αgn zn ,
t → αgn+1 t,
(1)
где α = 0; t > 0; g1 , ... , gn , gn+1 — вещественные числа.
Пусть время t и фазовые координаты z1 , ... , zn являются аргументами дифференцируемой функции f (z1 , ... , zn , t). Будем называть
f (z1 , ... , zn , t) квазиоднородной функцией степени g0 с показателями
квазиоднородности g1 , ... , gn , gn+1 , если в области определения функции при α = 0 выполняется равенство
f (αg1 z1 , ... , αgn zn , αgn+1 t, ) = αg0 f (z1 , ... , zn , t).
(2)
Приведём некоторые свойства квазиоднородных функций, которые могут быть использованы при интегрировании дифференциальных
уравнений и в других математических преобразованиях.
1. Тождественному преобразованию переменной соответствует показатель квазиоднородности, равный нулю.
2. Если все показатели квазиоднородности равны единице (g1 = ...
. . . = gn = 1), то функция v(z1 , ... , zn ) со свойством
v(αz1 , ... , αzn ) = αg0 v(z1 , ... , zn )
(3)
является однородной степени g0 (α = 0). Для однородных функций
вида (3) известна формула Эйлера:
n
i=1
zi
∂v
= g0 v.
∂zi
(4)
Формулу Эйлера (4) можно получить из равенства (3), если его
продифференцировать по α и принять α = 1.
3. Функция v(z1 , ... , zn ) (не зависящая от времени):
v(αg1 z1 , ... , αgn zn ) = αg0 v(z1 , ... , zn ),
(5)
34. Об однородных свойствах гамильтонова действия
233
является квазиоднородной степени g0 c показателями квазиоднородности g1 , ... , gn (см., например, [45]). После дифференцирования квазиоднородной функции (5) по α при значении α = 1 имеем равенство
n
gi zi
i=1
∂v
(z) = g0 v(z).
∂zi
(6)
Из (6) следует, что квазиоднородная функция степени g0 в случае
одинаковых показателей квазиоднородности (g1 = ... = gn = g) является однородной степени g0 /g.
Если для некоторых переменных показатели квазиоднородности
равны нулю, а для других — одинаковы, то функция со свойством (6)
является однородной по соответствующей части переменных.
34.2. Об однородности гамильтонова действия. Гамильтоново
действие вдоль кривой в расширенном конфигурационном пространстве определяется интегралом, в котором подынтегральное выражение
имеет вид
pi dqi − Hdt,
(7)
i
где qi , pi — обобщённые координаты и обобщённые импульсы; H , t —
функция Гамильтона и время.
Функция Гамильтона в (7) определяет уравнения
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
.
∂qi
(8)
Пусть функция Гамильтона является квазиоднородной функцией
вида
H(αg1 q1 , αh1 p1 , ... , αgn qn , αhn pn , αg t) = αh H(q1 , p1 , ... , qn , pn , t)
(9)
степени h с показателями квазиоднородности g1 , h1 , ... , gn , hn , g. Тогда
элементарное действие (7) и уравнения (8) будут инвариантными по
отношению к преобразованию подобия (1), если показатели квазиоднородности и степень квазиоднородности функции H удовлетворяют
равенствам
gi + hi = g + h, i = 1, ... , n.
(10)
Равенства (10) означают, что при данном преобразовании суммы
показателей квазиоднородности сопряжённых величин равны.
Заметим, что степень квазиоднородности функции H в равенствах (10) играет также роль показателя квазиоднородности величины,
сопряжённой с независимой переменной (временем), а суммы показателей (включая и правую часть равенства) дают значение степени
действия. При условиях (10) преобразование Лежандра даёт функцию
Лагранжа, которая является квазиоднородной той же степени, что
и функция Гамильтона.
234
Гл. V. Принцип предикативности
35. О реализации реакций и реализации связей
35.1. Идеальные связи и идеальные реакции. Восходящий
к Лагранжу классический способ составления уравнений несвободного
движения состоит в том, что реакции представляются в виде произведений неопределённых множителей и коэффициентов в уравнениях для виртуальных вариаций (уравнения Лагранжа первого рода).
Неопределённые множители (соответственно и реакции), найденные
с помощью уравнений связей, в каждый момент времени зависят от
положений, скоростей и масс материальных точек. Полученные таким
путём реакции идеальных связей для сокращения записей будем называть идеальными реакциями (идеальных связей). В невырожденных
случаях идеальные реакции обеспечивают траектории, не нарушающие
условия идеальных связей.
Оснований считать, что свойства идеальных связей указывают на
какое-либо природное происхождение идеальных реакций, нет. Тем не
менее идеальные реакции интересны уже тем, что, например, в случае
стационарных связей они не совершают механическую работу и обладают известным дифференциальным свойством минимальности [61];
поэтому они могут рассматриваться как управляющие воздействия
с очевидными критериями оптимальности. Идеальные реакции, не являясь силами естественного взаимодействия материальных точек системы с ограничениями, представляют собой математический объект,
получаемый по описанной выше схеме (что и оправдывает предложенный для них термин — идеальные реакции). В этом, на наш взгляд,
и заключается смысл известного утверждения о том, что «реакции
идеальных связей не зависят от способа реализации связи» [3].
Способ реализации связи с помощью идеальных реакций освобождает от анализа физических свойств ограничений математика, но не
физика. В физике к понятию «идеальная связь» приходят в предельном
случае потенциального поля (при бесконечном возрастании коэффициента жёсткости), когда происходит «вымораживание» степени свободы
и возникает кинематическое условие в виде голономной связи [29],
[123]. Таким образом, в задачу реализуемости связи включается также задача реализации реакций. Если идеальная реакция голономной
связи реализуется упругими силами с бесконечно большим коэффициентом жёсткости, то идеальные реакции линейной неголономной связи
можно реализовать линейными вязкими силами (при бесконечном увеличении коэффициента вязкого трения), введением «присоединённых
масс» (стремящихся к бесконечности) и т. д. (см. [42], [13]). Упомянутый «физический» подход называется также конструктивным [44].
Реализация связи с помощью идеальных реакций является одним
из способов реализации реакций сервосвязей: в отличие от идеальной,
реакция сервосвязи может содержать касательную составляющую, но
35. О реализации реакций и реализации связей
235
направление её также задаётся уравнениями для виртуальных перемещений.
Идеальные реакции и соответствующие траектории, как уже упоминалось, не отражают «физических» свойств, которые иллюстрировались на примере реализации голономной связи упругими потенциальными силами с бесконечно большим коэффициентом жёсткости.
Действительно, увеличение коэффициента жёсткости упругой силы
в пределе приводит ко всё более частому изменению направления
ускорения, т. е. к движению, называемому идеальным скользящим
режимом. В этом случае траектория не имеет того порядка гладкости,
который соответствует идеальным реакциям. В скользящем режиме
условия связи могут быть выполнены с заданной точностью лишь
на ограниченном отрезке времени, тогда как уравнения, полученные
с учётом идеальных реакций, можно использовать для анализа и на
бесконечном интервале времени.
Единственность движений со связями, реализуемыми идеальными
реакциями, зачастую позволяет при исследовании ограничиться использованием условий, получаемых на основе анализа первой вариации
функционала. Из условий второго порядка в задачах минимизации действия обычно упоминаются только сопряжённые кинетические фокусы,
причём в виде оговорки, что их не должно быть между начальной
и конечной точками траектории.
35.2. Определение реакций как решение задачи особого оптимального управления. Рассмотрим метод определения реакций,
основанный на использовании условий оптимальности в особых случаях [23], когда нет единственного решения при определении идеальных
реакций идеальных связей.
Вместо условий на ускорения, которые можно получить из уравнений связей, для устранения неопределённости реакции обратимся
к принципу наименьшего действия. Иначе говоря, будем решать задачу
определения реакций как задачу оптимального управления движением. В качестве критерия оптимальности примем действие, а в роли
управлений будем рассматривать неопределённые множители. Неопределённые множители входят в уравнения движения линейно, поэтому
здесь применимы методы теории особых оптимальных управлений [23].
Постановку задачи рассмотрим на примере автономной механической системы с одной идеальной (вообще говоря, неголономной)
связью. Уравнения движения с неопределённым множителем в канонических переменных qi , pi (i = 1, ... , n) имеют вид
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
+ Qi + λbi (q, p),
∂qi
(1)
где H(q, p) — функция Гамильтона; Qi — обобщённые непотенциальные активные силы; λbi (q, p) — обобщённые силы реакции связи,
λ(t) — скалярный неопределённый множитель (кусочно-непрерывная
236
Гл. V. Принцип предикативности
функция), коэффициенты bi находятся из уравнения, полученного виртуальным варьированием уравнения связи
a(q, p) = 0.
(2)
Коэффициенты bi могут быть выбраны и из других соображений,
например, если уравнение (2) представляет сервосвязь.
Минимизируемое действие является функционалом на фиксированном промежутке времени [t0 , t1 ]:
t1 pi q̇i − H dt.
(3)
t0
i
Примем для фазовых координат единое обозначение: x1 , ... , x2n ,
и введём ещё одну координату, x2n+1 , для перехода от задачи Лагранжа с функционалом (3) к задаче Майера–Больца. В пространстве
с координатами x1 , ... , x2n+1 с учётом уравнений (1) и функционала (3)
имеем в векторной форме уравнения
ẋ = f (0) (x) + λf (1) (x),
x = (q1 , ... , qn , p1 , ... , pn , x2n+1 ),
t ∈ [t0 , t1 ],
(4)
t
x2n+1 =
pi q̇i − H dt,
t0
(0)
fi
∂H
=
∂pi
(i = 1, ... , n),
(0)
(0)
fi
f2n+1 =
(1)
fi
= 0 (i = 1, ... , n),
∂H
=−
+ Qi
∂qi
(1)
fi
(1)
f2n+1
(i = n + 1, ... , 2n),
pi q̇i − H ,
= bi−n
(i = n + 1, ... , 2n),
= 0.
Значения координат в начальный и конечный моменты времени должны
удовлетворять условию связи (2). Поэтому критерий оптимальности
задачи терминального управления со скалярным управлением λ имеет вид
J(λ) = x2n+1 (t1 ) + μa(x1 (t1 ), ... , x2n (t1 )) → min,
(5)
λ
где μ — постоянный неопределённый множитель, который находится
с учётом уравнения связи в момент времени t1 :
a(x1 (t1 ), ... , x2n (t1 )) = 0.
(6)
Относительно функций f (0) и f (1) полагаем, что они дифференцируемы достаточное число раз. Введём дифференцируемую вектор
функцию ψ(t), сопряжённую с вектором x, и составим гамильтониан H
задачи оптимального управления (4)–(6):
= ψт f (0) + λψт f (1) = H0 (x, ψ) + λH1 (x, ψ),
H
(7)
35. О реализации реакций и реализации связей
∂ϕ(x) ψ(t1 ) = −
∂x
ψ̇
ψ
=−
t=t1
,
237
∂H0
∂H
− λ 1,
∂x
∂x
(8)
ϕ(x) = x2n+1 + μa(x1 , ... , x2n ).
(9)
Реакцию связи будем называть особой, если коэффициент при множителе λ в гамильтониане (7) тождественно равен нулю:
H1 (x, ψ) ≡ 0.
(10)
При этом на отрезке [t0 , t1 ] выполняется и тождество
d
H (x, ψ) = 0.
dt 1
(11)
Полная производная по времени в (11) вычисляется вдоль траекторий канонически сопряжённых переменных x(t), ψ(t), поэтому с помощью скобок Пуассона {... , ...} для двух функций она представляется
в виде
d
H1 (x, ψ) = −{H0 , H1 } + λ{H1 , H1 }.
(12)
dt
Поскольку в (12) скобка Пуассона при λ тождественно равна нулю
(в силу свойства скобок Пуассона), равенство (11) не содержит множителя λ. Вычисляем вторую производную по времени:
d2
d
H1 = − {H0 , H1 } ≡ 0.
2
dt
dt
Последнее равенство принимает вид уравнения
d2
H1 = {H0 , {H0 , H1 }} + λ{H1 , {H0 , H1 }} ≡ 0,
dt2
из которого находится множитель λ, а также особая реакция (если
коэффициент при λ не равен нулю).
Неопределённые множители могут быть представлены в роли управлений и в процедуре формирования пакетных вариаций ускорений. При
этом появляется возможность использовать условия оптимальности,
называемые условиями второго порядка. Действие в исходной системе
доставляет минимизируемый функционал; исходная система уравнений
дополняется системой уравнений для сопряжённых переменных. Производится «игольчатое» варьирование множителя для использования
условия оптимальности первого порядка, а также двусторонние и пакетные вариации для определения оптимальных реакций с помощью
условий второго порядка.
Г л а в а VI
ПРИНЦИП ИНЕРЦИОННОСТИ
Продолжим изучение инерционных свойств материи, начатое в моделях материального объекта, положение которого определяется одной точкой (см. заметку 1). Термин «инерционность» кажется нам
более подходящим для обозначения исследуемого физического явления (оставим термин «инертность» для характеристики химических
превращений); кроме того, более созвучны исторически принятые сочетания «закон инерции» и «центр инерции», которые наполняются
новым содержанием с тех пор, как обнаружены инерционные свойства
энергетических полей. Всплеск интереса к закону инерции наблюдался
в конце XIX в. и в начале XX в. [64], в период зарождения принципа
относительности в физике [90]. Проблема до сих пор не потеряла своей
актуальности и требует повышенного внимания в настоящее время
и в ближайшем будущем.
Физические поля и различные виды энергии проявляют свойства,
подобные свойствам, которые характеризует масса. Потребовалась детализация определения массы: «масса покоя» («собственная масса»),
«релятивистская», «продольная», «поперечная», «электромагнитная»,
«топологическая», «нулевая», «отрицательная», «масса античастиц»,
«масса, эквивалентная энергии», «масса полевая», «активная гравитационная», «пассивная гравитационная», «универсальная элементарная», «масса динамической системы», «масса, невыделимая из полной
массы. . .», «массэргия» и т. д. (см. [134], [78], [100]). Приведённый
«спектр» применения понятия массы (или непризнания какого-либо
из перечисленных понятий) показывает, что принцип инерции или,
в более общем виде, «концепция инерционности» ещё не сформировались. Детализация в определениях потребовалась в связи с изучением
взаимодействий тел, полей и ограничения в виде выделенной в природе
скорости движения, равной скорости света в вакууме и играющей
особую роль в электромагнитных и других явлениях.
Понятие «масса» естественно рассматривать в совокупности с понятиями энергия, импульс (количество движения), момент импульса
и действие, которые связаны с пространством, временем и движением.
Поэтому определение массы должно быть включено в систему основных понятий механики.
36. Масса и принцип инерционности
239
36. Масса и принцип инерционности
Исследование природы движения, состоящего в перемене места
с течением времени, без понятия массы невозможно («Природа массы — вопрос № 1 современной физики» [78]). Проблемы с применением
термина «масса» требуют как анализа возникновения релятивистских
понятий, так и нового отношения к основам классической механики. Сравнение показывает, что инерционная и гравитационная массы
проявляются в ситуациях, сопровождаемых явлением, которое можно
характеризовать как «изменение нарушения симметрии». Этому принципиальному положению требуется конкретизация, содержащая указания о том, о какой симметрии идёт речь, в чём состоит её нарушение
и как происходит изменение этого нарушения. Например, в физике
элементарных частиц наблюдается появление массы при «спонтанном
нарушении калибровочной симметрии». Естественно провести анализ
подобных ситуаций в классической механике.
Обсудим свойства массы в аксиоматических соотношениях механики с учётом концепции Маха [64] о бесконечно удалённой массе,
которую мы используем для представления о сферической симметрии,
нарушениях этой симметрии и изменениях этих нарушений.
Перечислим свойства массы в классической механике.
1. Масса является мерой количества вещества, количества материи.
2. Масса замкнутой системы равна сумме масс составляющих её
тел (независимо от их движений и взаимодействий).
3. Масса изолированной системы тел сохраняется (не меняется со
временем).
4. Масса тела не меняется при переходе от одной системы отсчёта
к другой; в частности, она одинакова во всех инерциальных системах
отсчёта.
5. Масса тела является мерой его инерционности (инерционная
масса равна гравитационной массе; см. п. 6).
6. Массы тел являются источником их гравитационного притяжения друг к другу (гравитационная масса равна инерционной массе;
см. п. 5).
7. Тела, имеющие массу, характеризуются кинетической энергией,
импульсом, моментом импульса и действием.
8. Масса бесконечно удалённой (от наблюдателя) Вселенной распределена относительно него однородно и сферически-симметрично.
9. Масса тела как инерционная характеристика проявляется в моделях с изменением нарушения симметрии Вселенной, введённой в п. 8.
В принципе инерции Галилея масса не упоминается, а в принципе
инерции А. Пуанкаре ей отводится роль коэффициента, который удобно
ввести в вычисления [94].
240
Гл. VI. Принцип инерционности
Предмет обсуждения фигурирует в пп. 1–9 то как свойство, то как
количество, то как вещество, то как тело (то как существующее, то
как возникающее), т. е. в тех многочисленных «обличьях», в которых
представляется нам и масса.
Формулировки первых шести перечисленных свойств близки по
содержанию свойствам, приведённым в статье [78], где проведено их
сравнение со свойствами массы в теории относительности. Понятие
массы как меры (см. свойство 1) по сути «доклассическое» (связанное
с философскими категориями), но возврат к этой стороне понятия
оказался неизбежным и в «постньютоновской» механике. Далее мы не
будем разграничивать указанные периоды.
Среди равноправных инерциальных систем (свойство 4) выделим
как логически «первичную» ту инерциальную систему координат, в
которой изолированная материальная точка покоится.
Об эквивалентности инерционной (свойство 5) и гравитационной
(свойство 6) масс будет говориться ниже в задаче двух тел (см. пример 2).
К свойству 7 добавим, что понятия работы силы и импульса силы
имеют смысл, если сила приложена к материальной точке (в том числе
и в тех моделях, где массой этой материальной точки пренебрегается).
В перечень динамических величин включаем также действие, которое,
в отличие от других динамических величин, является интегральной
характеристикой.
Пункт 8 выражает необходимость учёта бесконечно удалённых
масс: «. . .даже в простейшем случае, в котором мы как будто занимаемся взаимодействием только двух масс, отвлечься от остального мира
невозможно (курсив наш). Дело именно в том, что природа не начинает с элементов, как мы вынуждены начинать» [64]. Распределение
массы должно быть таковым, чтобы пространство было однородным
и изотропным (и тогда оно описывается геометрией Евклида). Без
обращения к бесконечно удалённым массам не удастся рассматривать
задачи об энергоресурсе тела (см. заметку 37) и скрытых движениях.
Пункт 9 выражает новое для классической механики наблюдение за
проявлением свойства тела «иметь инерционную массу» и «изменением
нарушения симметрии» бесконечной Вселенной.
Остановимся на данном вопросе несколько подробнее. Удалённые
массы мы примем во внимание (в рассуждениях, а не во взаимодействиях), начиная с аксиом о движении одного тела.
Пусть наблюдатель (и с ним система отсчёта) движется вместе с изолированной материальной точкой поступательно, равномерно
и прямолинейно («первичная» инерциальная система). Тогда материальная точка постоянно находится в начале координат и Вселенная
остаётся сферически-симметричной: нарушения симметрии нет (и изменения тоже). Однако и масса никак не проявляется: скорость тела
равна нулю (все динамические величины равны нулю, и действие в том
36. Масса и принцип инерционности
241
числе, причём на любом интервале времени) независимо от величины
массы тела. Поэтому непосредственно «масса покоя» как свойство
тела в «первичной» инерциальной системе в классической механике
не проявляется. Масса наблюдается в опытах, а наличие последних
автоматически означает нарушение симметрии. Выход из этого логически порочного круга состоит в том, что покоящемуся телу масса
просто приписывается после принятия постулата о её эквивалентности
массам в других («не первичных») инерциальных системах, в которых
тело не покоится, динамические величины не равны нулю, а действие
изменяется равномерно с течением времени. Отсюда и эквивалентность
массы во всех инерциальных системах. Полагается, что свойство иметь
массу и притом такой же величины, сохраняется независимо от того,
рассматривается тело в движении или в покое.
В чём усматривается нарушение симметрии, если для описания
движения изолированной материальной точки используется «не первичная» инерциальная система?
Пусть инерциальное движение (материальной точки) наблюдается
теперь из другой инерциальной системы отсчёта, в которой изолированная материальная точка движется равномерно и прямолинейно.
Тогда и появляется масса как характеристика, участвующая в формировании всех названных динамических величин. Заметим, однако,
что этому сопутствует изменение нарушения сферичекой симметрии
Вселенной (далее просто «изменение нарушения симметрии»). Действительно, центр однородно распределённых удалённых масс теперь
находится (вместе с наблюдателем) в начале координат, а материальная
точка — уже не в её центре и (или) с течением времени смещается
относительно этого центра. Вселенная, включающая, кроме удалённых масс, также и рассматриваемую материальную точку, перестала
быть симметричной для наблюдателя: имеется нарушение симметрии,
которое изменяется вместе с перемещением материальной точки. Получается, что Вселенная (её модель) зависит от тех правил, по которым наблюдатель формирует её в бесконечности? Действительно,
таково непредикативное понятие бесконечного (подробнее см. заметку 31): модель бесконечной Вселенной включает мысленный процесс
достраивания «видимой Вселенной» (область её расширяется вместе
с нашими знаниями: извне, изнутри, на границе и т. д.) к некоему
образу бесконечной Вселенной (отсюда, в частности, и так называемый
гравитационный парадокс [75]).
Во втором законе Ньютона фигурирует сила, приложенная к материальной точке и сообщающая ей ускорение, что также позволяет
выявить её массу. Этому опять сопутствует изменение нарушения
симметрии, поскольку для силы неявно предполагается наличие её
материального носителя («источника») — силового поля.
Таким образом, масса изолированного находящегося в покое (в
«первичной» инерциальной системе) тела не является «первичным»
242
Гл. VI. Принцип инерционности
понятием (не наблюдаема по определению). Это относится и к массе
как характеристике «количества вещества». Информация о массе тела,
находящегося в покое, вносится из других («не первичных») инерциальных систем, в которых кинетическая энергия, импульс, момент
импульса и действие содержат коэффициент, называемый массой.
Если полагать, что инерционность — «врождённое» свойство тел,
то нет оснований сомневаться в наличии свойства тела иметь массу
и в покое. Однако это означает принятие доклассического понимания
массы, что не входит в нашу задачу. Таким образом, нужно признать,
что релятивистские теории имеют логически небезупречный классический ориентир — «массу тела в состоянии покоя». Последнее относится
к термину «масса» («масса покоя», «собственная масса»), принимаемому в теории относительности и совпадающему с классической, как
выяснилось, «не первичной» массой. Поскольку все массы в классической механике эквивалентны, в релятивистских теориях вопрос
о пересмотре соответствия пока не ставится.
Напротив, в классической механике для соответствия её релятивистской теории требуется ответить на вопрос: можно ли приписать
энергию (E0 ) телу с массой (m0 ), находящемуся в покое? Притом так,
чтобы энергия E0 = m0 c2 (где c — некоторая скорость) имела механический смысл. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся
классической моделью точки переменной массы (см. пример 1).
П р и м е ч а н и е. Соответствие между наблюдением массы и «изменением нарушения симметрии» давно известно в физике элементарных частиц: «. . .оказывается, принципы симметрии, справедливые на
изначальном уровне, не проявляются на уровне наблюдаемых непосредственно на опыте величин, например масс частиц. . . .механизм
спонтанного (т. е. самопроизвольного, наше примечание) нарушения
калибровочной симметрии приводит к появлению масс у промежуточных бозонов и тем самым к различиям во внешних проявлениях слабых и электромагнитных взаимодействий» [72]. С экспериментальным
подтверждением существования бозонов есть много неясного, но для
фотонов наблюдение их массы и «изменение нарушения симметрии»
происходят при образовании и аннигиляции пар электронов и позитронов. Спонтанные нарушения симметрии как закономерность используются в доказательстве существования античастиц [120]. Термин
«изменение нарушения симметрии» можно детализировать, отметив,
в частности, возможную «регулярность» изменения. В термодинамических процессах имеются изменения нарушения симметрии, которые
описываются как «стохастические». «Регулярные», «стохастические»
и «спонтанные» изменения нарушения симметрии наблюдаются как
закономерности в микро-, макро- и мегамире. Соотнесение характера
изменения с определённой масштабной областью не является, вообще говоря, однозначным, поскольку наблюдение изменения нарушения
243
36. Масса и принцип инерционности
симметрии происходит при участии наблюдателя (факте его присутствия и его представления о симметрии).
Таким образом, свойства 8, 9 выражают некоторый принцип, распространяемый нами на классическую механику и названный изменением нарушения симметрии.
Предлагаемое название принципа является достаточно общим
(и неопределённым) и включает в себя как обсуждаемый принцип
инерционности для сферически-симметричной Вселенной, так
и принцип спонтанного нарушения калибровочной симметрии при
взаимодействии элементарных частиц.
Приведём примеры «изменения нарушения симметрии».
П р и м е р 1. Рассмотрим точку переменной массы в задаче о прямолинейном движении ракеты в свободном пространстве при постоянной относительной скорости c отделяющихся частиц (первой задаче
К. Э. Циолковского; см. заметку 30). Пусть начальная скорость ракеты
равна нулю, начальная масса — m0 , текущая масса ракеты — m. Для
удобства возьмём предельный случай полного расхода массы (m → 0);
тогда имеем следующие соотношения (см. формулы (30.19), (30.20),
(30.16)):
(i)
а) E0 (i)
m0 c2
,
2
2
б) T −
s = m0 с ,
в) T +
s =
m0 c2
,
2
(1)
где E0 — начальный запас внутренней энергии, необходимой для
реализации реактивного принципа; T −
s — суммативная кинетическая
энергия частиц непосредственно перед
их отделением (при скорости
—
суммативная кинетическая
равной текущей скорости ракеты); T +
s
энергия частиц непосредственно после их отделения (с последующим
свободным движением).
«Масса» m0 в выражении (1а) участвует в оценке внутренней энергии, за счёт которой реализуется реактивный принцип (информация
о ракете в её начальном состоянии). Ракета как носитель своей внутренней энергии находится в определённом месте в определённое время.
Нарушения симметрии нет, но и параметр m0 не описывает внешние
инерционные свойства, а скорее является параметром во внутренней
энергетической информационной характеристике.
Какой
смысл имеет коэффициент m0 в выражении (1б)? Выражение
для T −
s является результатом суммирования кинетических энергий
изменяющих масс в их состояниях непосредственно перед отделением.
Частицы находятся в разных местах (пространственно) и скорости
их вычисляются в разные моменты времени (термин «суммативность»
подчёркивает, что величина не относится к системе, существующей
единовременно). Величина T −
s не является кинетической энергией системы в обычном понимании этого слова. Она равна работе реактивной
силы, приложенной к ракете, но работа эта идёт также и на создание
244
Гл. VI. Принцип инерционности
кинетической энергии, уносимой изменяющей массой после её отделения (поэтому возможно заблуждение, что ракета может дать нам
объект, имеющий большую энергию, но не имеющий массы). Таким
образом, можно говорить о массе m0 в выражении (1б) как о количестве вещества, не составляющего никакой системы, имеющей инерционную характеристику m0 . Иначе говоря, масса есть, а системы нет
(специальная теории относительности даёт противоположный пример:
система есть, а «массы нет»; см. заметку 38). Замечание это не новое,
например, «Г. Герц определяет массу как „число одинаковых частиц,
сравниваемое с числом материальных частиц, находящихся в некоторой выбранной части пространства в определённое время. Понятие
материальной частицы — понятие внутренней интуиции, с помощью
которого мы соотносим определённую точку пространства в данный
момент времени с определённой точкой пространства в другой момент времени“» (цитата из [134]). Определение системы материальных
частиц требует введения единой для всех частиц системы отсчёта
(системы координат и математического времени).
Энергия частиц непосредственно после отделения (формула (1в))
сохраняется и в дальнейшем свободном их движении. Вместе с отделившимися частицами должна также уноситься та часть внутренней
энергии, которая имеется сверх значения в правой части формулы (1а).
Пример показателен тем, что во всех соотношениях (1) фигурирует
одна и та же величина массы, однако в выражениях энергии она
играет совершенно разные роли: в формулах (1а) и (1б) это количество
вещества, не представляющее инерционные свойства. Закон сохранения энергии (как суммы внутренней и кинетической энергии) для
начального и конечного состояний системы (см. 1(а) и (1в)) выполняется (с учётом последнего замечания о возможности уноса внутренней
энергии). Появился термин «изменяющая» масса (И. В. Мещерский),
т. е. масса, не составляющая единой механической системы при вычислении кинетической энергии частиц перед их отделением. Отделившиеся частицы распределяются по линии, что нарушает сферическую
симметрию распределения массы вокруг ракеты; происходит изменение
этого нарушения.
П р и м е р 2. Закон гравитационного притяжения Ньютона сформулирован для двух тел (малого размера по сравнению с расстоянием
между ними). В этом случае из любой (инерциальной) системы наблюдается нарушение сферической симметрии, и следовательно, проявляются массы обоих тел (m1 и m2 ). Свяжем инерциальную систему
с общим центром масс двух тел и обозначим радиусы-векторы тел
через r1 и r2 :
m1 r1 + m2 r2 = 0.
(2)
245
36. Масса и принцип инерционности
Если ввести вектор относительного положения тел: r = r1 − r2 , то
r1 =
m2
r,
m1 + m2
r2 = −
m1
r.
m1 + m2
(3)
Тогда кинетическая энергия системы выражается через относительную скорость тел и приведённую массу μ [52]:
T =
μṙ2
,
2
μ=
m1 m2
,
m1 + m2
(4)
(положение первого тела задаётся относительно второго).
Потенциальная энергия, зависящая только от расстояния между телами, сохраняет свой вид: П(r). Пусть П(r) — потенциальная энергия
притяжения по закону Ньютона (G — гравитационная постоянная), т. е.
П(r) =
грав
Gmграв
1 m2
.
r
(5)
При разных коэффициентах пропорциональности гравитационных
грав
грав
масс m1 , m2 инерционным массам m1 , m2 для обоих тел возникла бы неоднозначность соответствия инерционной и гравитационной
массы при стремлении инерционных масс к одной величине (был бы
нарушен принцип детерминированности Ньютона). Для центра гравитации имеем
грав
mграв
(6)
1 r1 + m2 r2 = 0.
грав
грав
В случае пропорциональности гравитационных масс m1 , m2
инерционным массам m1 , m2 с одинаковым коэффициентом пропорциональности центр тяжести с весами, пропорциональными гравитационным массам, согласно (6) совпадает с центром инерции (2). Квадрат
коэффициента пропорциональности между инерционной и гравитационной массами в (5) может быть без ограничения общности включён
в гравитационную постоянную G.
Задача двух тел свелась к задаче о движении одной материальной
точки относительно осей, связанных с материальной точкой массы m2
(неинерциальные оси), с функцией Лагранжа
L=
μṙ2
Gm1 m2
−
.
2
r
(7)
Модель динамики в задаче двух тел привела к понятию «приведённая
масса» и понятию «центр масс», который для изолированной механической системы предоставляет инерциальную систему отсчёта, а также
к выводу о пропорциональности «инерционной» и «гравитационной»
масс для согласования с аксиомами и принципами механики.
Гравитационное притяжение двух тел, как мы видим, также сопровождается нарушением симметрии и его изменением при движении тел.
П р и м е р 3 (опыт Ньютона). Два тела на разных концах связывающей их и вращающейся в плоскости верёвки создают натяжение.
Нарушение симметрии, создаваемое инерционными массами, в данном
246
Гл. VI. Принцип инерционности
случае не является «статичным», а изменяется, поскольку изменяется
расположение этих масс.
П р и м е р 4. Регулярная прецессия по инерции динамически-симметричного тела демонстрирует регулярное «изменение нарушения симметрии». Инерционные свойства тела характеризуются тензором инерции. Гироскопический момент при вынужденной регулярной прецессии
направлен так, чтобы «стремились» совместиться две оси: ось быстрого
собственного вращения и ось прецессионного вращения (правило Жуковского). При совпадении этих осей имеем «спящий» волчок, который
удивляет свойством сохранять направления своей оси в пространстве.
Вращающийся по инерции однородный шар даёт пример циклического
движения, в котором сохранение симметрии лишь кажущееся, поскольку в каждый момент времени на место одних масс приходят другие
равные им массы с такими же скоростями.
П р и м е р 5. Гравитационный парадокс. Считается, что «. . . применение закона Ньютона для вычисления гравитационного поля, создаваемого всем веществом в бесконечной Вселенной, ведёт к противоречию,
названному гравитационным парадоксом» [75]. Непредикативность понятия о бесконечном (см. заметку 31) и обсуждаемый принцип позволяют найти другое объяснение этого парадокса.
Парадокс состоит в следующем. Полагается, что «Вселенная в среднем равномерно заполнена небесными телами так, что средняя плотность вещества в очень больших объёмах пространства одинакова».
В предположении, что вначале Вселенная «пуста», проводятся два
мысленных эксперимента по её построению. В первом эксперименте
сферически-симметричная однородная Вселенная строится добавлением сферических слоёв вокруг точечного пробного тела. Гравитационные
силы, действующие на тело, в этом случае уравновешены. Во втором
эксперименте сначала выделяется однородный шар и пробное тело
помещается на его поверхность. На пробное тело должна действовать
отличная от нуля сила притяжения. Затем бесконечная Вселенная
строится последовательным добавлением сферических слоёв той же
плотности с центром в центре шара. Эти слои не изменяют силу
гравитационного взаимодействия пробного тела и шара. В первом
эксперименте сила гравитационного взаимодействия равна нулю, а во
втором отлична от нуля.
В первом эксперименте нет противоречия принципу инерционности
(не проявляются ни инерционная, ни гравитационная массы). Во втором эксперименте имеется нарушение симметрии (но нет изменений
этого нарушения): пробное тело неподвижно относительно центра и не
может проявить своих инерционных свойств, но ему приписывается
гравитационная масса (пассивная). Казалось бы, мы имеем ситуацию,
в которой различаются гравитационная и инерционная массы. Однако
возникший парадокс лишает нас такой возможности: отсутствует проявление инерционной массы (согласно принципу инерционности) и мы
36. Масса и принцип инерционности
247
имеем неопределённость гравитационного взаимодействия, а соответственно, и гравитационных масс.
Возможны два выхода из сложившейся ситуации: либо не вводить гравитационные массы при отсутствии изменения нарушения
симметрии (так же, как и инерционные); либо так изменить условия
эксперимента, чтобы происходило изменение нарушения симметрии.
По сути оба выхода предполагают одно: соблюдение принципа изменения нарушения симметрии не только для инерционной, но и для
гравитационной массы. В свою очередь, это означает, что требуется
отказаться от модели покоящихся инерционных и гравитационных масс
во Вселенной. Ещё один недостаток модели, принятой в «экспериментах», приведших к гравитационному парадоксу, состоит в том, что
пробное тело характеризуется лишь пассивной гравитационной массой
(притягивается, но не притягивает), что нарушает закон равенства
действия и противодействия, «позволяя» первоначально выделенному
шару находиться «в покое». Таким образом, рассматриваемый принцип
в классической теории позволил прийти к известному выводу о «нестационарности» Вселенной. Изменение нарушения симметрии происходит
также и в циклических системах (см. пример 4). Поэтому уже из
классической теории следует, что материальная точка, обладающая
массой, является моделью со скрытыми движениями и внутренней
энергией.
Таким образом, гравитационный парадокс демонстрирует не условия
ограничения закона Ньютона (которые имеются объективно), а разные
правила построения моделей, имеющих различные свойства и, как
следствие, неодинаковость гравитационной силы. С равным успехом
можно считать парадоксальными неодинаковые значения кинетической
энергии, импульса, кинетического момента, действия при наблюдении
тела в разных инерциальных системах координат, имеющих разные
скорости, а затем делать выводы о непригодности принципа инерции
Галилея. Конечно, аналогия не полная. Вместо принципа Галилея более
подходящими для сравнения являются условия гидродинамического
принципа Даламбера движения относительно идеальной среды (с инерционной массой).
Условия гравитационного парадокса позволили с помощью принципа изменения нарушения симметрии выявить свойство пробного тела
иметь гравитационную (пассивную) массу, если тело и наблюдатель
находятся в разных местах.
Гравитационная сила должна быть тем больше, чем дальше тело
от наблюдателя (в качестве инструмента наблюдатель использует шар,
в центре которого он находится, с радиусом, равным расстоянию до
пробного тела). Чтобы тело находилось в покое, нужна ещё одна сила,
тоже пропорциональная расстоянию, но не притягивающая, а отталкивающая. Этим свойством обладает центробежная сила инерции, однако
для её появления придётся отказаться от возможности наблюдать поко-
248
Гл. VI. Принцип инерционности
ящееся тело в инерциальной системе из другого места. Движение тела
не может быть и прямолинейным (для выбора направления движения
в условиях гравитационного парадокса нет достаточного основания).
Наблюдения за циклическими движениями приводят к открытию закона площадей.
Упоминание сил инерции означает, что опять придётся использовать
понятие инерционной массы, т. е. логический круг зависимости между
наблюдениями гравитационной и инерционной массы замкнулся. Принципиальный вывод не сделан, однако можно извлечь некоторую пользу
и из самого процесса рассуждений.
Попутно мы ещё раз убедились, что однородная бесконечная Вселенная, гравитирующая по закону Ньютона, при нарушении сферической симметрии не может быть стационарной (точнее, нет возможности
наблюдать покоящееся тело в инерциальной системе на расстоянии).
На примере пробного тела явной стала роль понятия пассивной гравитационной массы, с помощью которого можно более точно очертить
условия задачи о гравитационном парадоксе: Вселенная имеет активную гравитационную массу («вырезанный» в ней шар используется как
инструмент наблюдателя) по отношению к пробному телу, которому
приписывается только пассивная гравитационная масса. Модели пассивной гравитационной массы широко применяются и в других задачах, где только одно тело (с массой, большей по сравнению с массами
других тел системы) полагается активно гравитирующим; наоборот,
в ограниченной задаче трёх тел (см., например, [62]) одно из них
(сравнительно малой массы) принимается пассивно гравитирующим.
Нарушения симметрии вследствие присутствия активных и пассивных гравитационных масс различны, соответственно получаем разные
модели силовых и инерционных свойств. Заметим также, что применение моделей тел с пассивной гравитационной массой нарушает принцип
равенства действия и противодействия гравитационных сил.
Самый общий вывод из сказанного состоит в том, что, с одной
стороны, масса является мерой инерционных свойств, препятствующих
изменению движения, а с другой — первопричиной движения.
37. К задаче о собственном энергоресурсе
гравитирующей массы
Под ресурсом мы понимаем, как и обычно, запас энергии, которую
можно трансформировать в какие-либо другие виды энергии. Полагается, что имеется начальная потенциальная энергия, и если она превышает минимальное значение потенциальной энергии, то возможно
использование ресурса в целях создания кинетической энергии или
получения других видов энергии. «В этом смысле указанная разность
характеризует собственный энергетический ресурс системы» [30], ко-
37. К задаче о собственном энергоресурсе гравитирующей массы
249
торый вычисляется как работа, совершаемая потенциальными силами
при формировании тела из элементарных масс, изначально находящихся в бесконечном удалении, где они не взаимодействуют между
собой. Формирование тела представляет собой образование неоднородности в каком-либо месте Вселенной и, по предположению, не сопровождается появлением неоднородности в другой её части. Если тело
представляет собой однородный шар, то происходит переход от одной
сферической симметрии к другой сферической симметрии: в первой
из них гравитационные взаимодействия скомпенсированы, а во второй
появляется тело, создающее потенциальное гравитационное поле.
37.1. Две схемы формирования гравитирующего тела из бесконечно удалённой массы. На бесконечности гравитационный потенциал принимается равным нулю. Формируемое тело создаёт поле гравитационных сил всемирного тяготения по закону Ньютона. Скорости
материальных точек в начале и в конце мысленного эксперимента равны нулю. Очевидно, что гравитационные силы притяжения совершат
положительную работу. Энергоресурсом (согласно приведённому выше
определению) обладает масса, из которой «создаётся» тело, и в этом
смысле будем называть его собственным гравитационным энергоресурсом. Вопрос о механизме «возмещения» энергии, затраченной на
формирование тела так, чтобы сохранялся общий баланс энергии в системе, включающей сформированное тело и бесконечно удалённую её
часть, оставим открытым.
Проведём подсчёт энергетического гравитационного ресурса массы
M при формировании из неё однородного шара радиуса R. Плотность
шара равна ρ = 3M /(4πR3 ). Гравитационный потенциал шара V (r) на
расстоянии r от центра шара (см., например, [30])
⎧
GM
⎪
,
если r R,
⎨
r
V (r) =
(1)
⎪
⎩ GM (3R2 − r2 ), если r < R
3
2R
(где G — универсальная гравитационная постоянная).
Найдём энергетические затраты на формирование шара по двум
схемам мысленных экспериментов, приводящим к одному и тому же
известному результату.
А. Рассмотрим схему «создания» шара путём его последовательного
«наращивания» до тех пор, пока шар не примет нужные размер и массу. В результате будет получен потенциал (1). Материальные точки
«мысленно» перемещаем из бесконечности, где достигается максимум
потенциальной энергии, и присоединяем к «промежуточному» шару
массы m и радиуса a. В качестве материальной точки принимается
элементарная масса dm, которая после присоединения распределяется
по сферическому слою радиуса a и толщины da (по эквипотенциальной
поверхности).
250
Гл. VI. Принцип инерционности
Согласно (1) работа гравитационных сил, действующих на массу
dm, при перемещении её из бесконечности на поверхность шара массы
m и радиуса a равна
Gm
dA =
dm.
(2)
a
Выражение зависимости массы m от радиуса шара a: m = 4πa3 ρ/3,
подставляем в (2) и вычисляем полную работу гравитационных сил по
формированию шара:
4πρG
A=
a2 ρdΩ,
3
Ω
где Ω — объём, занимаемый телом.
Интеграл в правой части последнего равенства имеет смысл момента инерции шара относительно своего центра (3M R2 /5). Таким
образом, в результате сформирован шар и гравитационными силами
выполнена работа
3GM 2
.
5R
A=
(3)
Б. Вывод формулы энергетического гравитационного ресурса из
теории потенциала.
При формировании системы заданной конфигурации работа сил
потенциального поля (см. [30])
N
1
mi Vi ,
2
A=
(4)
i=1
где Vi — потенциал, созданный всеми остальными материальными точками (кроме неё самой), в точке пространства, где должна находиться
масса mi :
m1
m
m
m
Vi = G
+ 2 + ... + i−1 + i+1 + ... .
ri1
ri2
ri,i−1
ri,i+1
Гравитационный потенциал внутри однородного шара вычисляется по
формуле (1):
GM
V (r) =
(3R2 − r2 ).
(5)
3
2R
Умножая (5) на dm и составляя для вычисления работы по формуле
(4) выражение
1 3GM 2
GM
2
A=
−
r ρdΩ ,
(6)
3
2
2R
2R
Ω
снова имеем значение работы (3).
П р и м е ч а н и е. Двумя способами получена работа, противоположная той, «которую необходимо затратить, чтобы всю массу данного
тела удалить в бесконечность» [35] (в цитированном источнике формула работы по непонятной причине имеет коэффициент 5/6 вместо 3/5).
37. К задаче о собственном энергоресурсе гравитирующей массы
251
Убедимся в том, что поле (1) обладает ресурсом (Э), равным работе (3):
3GM 2
Э=A=
.
(7)
5R
Переход к интегрированию вместо суммы (4) даёт формулу
A=
1
2
V ρdΩ,
(8)
Ω
где V — потенциал точки в объёме, занимаемом телом, которую мы
используем во второй схеме формирования шара.
Перемещаем элементарные массы из бесконечности на своё место
в области будущего шара в неизменном гравитационном поле, эквивалентном гравитационному полю шара массы M и радиуса R. Перемещение элемента dm из бесконечности составляется из двух этапов:
перемещения на поверхность шара радиуса R, а затем с поверхности
внутрь этого шара с образованием сферического слоя. При этом работа
будет равна 2A. Действительно, при перемещении элемента dm на
обратном ходе цикла суммарная работа сил тяготения
A1 + A2 =
3GM 2
2R
3
−
GM
2R 3
r2 ρdΩ.
(9)
Ω
Интеграл в правой части последнего равенства есть момент инерции
шара относительно центра, поэтому
A1 + A2 =
6GM 2
= 2A.
5R
(10)
Во второй схеме считается, что поле уже имеется, а массу ещё
только предстоит доставить на своё место. Последнее возможно, когда
поле отделено от массы и существует само по себе, т. е. оно должно
быть физическим. Поэтому и работа получилась по величине вдвое
большая, чем энергоресурс. В результате, кроме введённого по предположению физического поля, появляется гравитирующее тело, имеющее
такое же потенциальное поле (математическое).
Применение формул (9), (10) неявно предполагает эквивалентность
физического поля (без предположения о наличии масс, его создающих)
и массивного тела с потенциальным математическим гравитационным
полем. Вторая схема строилась в условиях, когда физическое поле
было «отделено» от массы. В мысленных экспериментах с «пробными»
телами, наоборот, их масса рассматривается отдельно от собственного
поля.
Теперь становятся очевидными условия применения определений
«пассивная» и «активная» гравитационная масса. Пассивную гравитационную массу определяют как объект гравитационного притяжения
или как массу, склонную к восприятию гравитации. Активная гравитационная масса характеризует материальный источник гравитационного
поля.
252
Гл. VI. Принцип инерционности
Приведённое рассуждение о «формировании» шара, конечно же,
не может претендовать на статус способа создания шара в смысле
возникновения неоднородности в однородной Вселенной. В принятой
постановке очень многое чрезмерно схематично, в том числе статичность масс и их перемещение на бесконечно большое расстояние без
ограничения скорости. В рассмотренных схемах формирования тел
можно проследить роль принципа изменения нарушения симметрии
(см. заметку 36). Изменение нарушения симметрии происходит при
«переносе» выделенного элемента на своё место.
37.2. Эффективный собственный энергоресурс массы, из которой формируется шар. Из того, что свободные гравитационно
взаимодействующие тела не могут находиться в покое, следует нестационарность всей Вселенной [75]. Поэтому при оценке собственного энергоресурса в мысленном эксперименте по формированию шара
(из бесконечно удалённых материальных частиц) будем принимать во
внимание их движение. В формуле (3) собственного гравитационного
ресурса это свойство не использовалось.
Вначале напомним, что «эффективный» потенциал учитывает гравитацию и центробежные силы инерции (являющиеся потенциальными).
Рассмотрим систему, включающую абсолютно твёрдый однородный
шар радиуса a, имеющий массу m, и материальную точку, масса
которой равна m1 . Гравитационное взаимодействие однородного шара
и материальной точки по закону Ньютона позволяет изучать движение
центра шара и материальной точки в условиях задачи двух тел.
Сведение к задаче двух тел происходит следующим образом. Начало координат помещается в инерциально движущемся центре масс
системы. После введения вектора относительного положения материальной точки относительно центра шара (r) кинетический потенциал
системы преобразуется к виду
μṙ2
+ Tc − П(r),
2
μ=
mm1
,
m + m1
(11)
где μ — приведённая масса; Tc — кинетическая энергия массы шара
относительно собственных осей Кёнига; П(r) — потенциальная энергия
взаимодействия шара и точки.
Кинетическая энергия Tc в процессе движения до контакта с элементарной массой остаётся постоянной. После введения обобщённых
координат r , ϕ и соответствующих обобщённых скоростей
ṙ2 = ṙ2 + r2 ϕ̇2
и система описывается функцией Лагранжа
L=
μ 2
(ṙ + r2 ϕ̇2 ) − П(r),
2
отличающейся от функции (11) на аддитивную константу.
(12)
37. К задаче о собственном энергоресурсе гравитирующей массы
253
Функция Лагранжа (12) формально представляет некоторую гипотетическую материальную точку с массой, равной приведённой массе,
движущуюся в поле неподвижного центра с полярными координатами r
и ϕ.
В системе, представленной лагранжианом (12), имеется циклический интеграл (постоянный обобщённый импульс, сопряжённый с циклической обобщённой координатой ϕ)
pϕ = μr2 ϕ̇ = k = const,
(13)
имеющий смысл момента импульса гипотетической материальной точки относительно оси, проходящей через центр шара перпендикулярно
плоскости.
Составив сумму кинетической и потенциальной энергий, с учётом
интеграла (13) получаем функцию Рауса:
=
μṙ2
k2
+
+ П(r),
2
2μr2
вид которой показывает, что после игнорирования циклической координаты в преобразованной системе роль потенциальной энергии играет
функция, называемая «эффективной» потенциальной энергией:
Пэф =
k2
+ П(r).
2μr2
Слагаемое k2 /(2μr 2 ) называют центробежной энергией [52].
Далее вместо постоянного момента импульса удобнее будет использовать постоянную σ , равную удвоенной секториальной скорости:
σ = r2 ϕ̇ =
k
,
μ
(14)
μσ 2
.
2r 2
(15)
т. е. закон площадей. Тогда
Пэф = П(r) +
Получим формулу, оценивающую энергетический ресурс массы,
формирующей однородный шар массы M и радиуса R путём перемещения элементарных масс dm из бесконечности в поле эффективного
потенциала по схеме А (см. п. 37.1). Кинетическую энергию Tc в энергоресурс массы, образующей шар, не включаем.
Элементарная масса dm как точка мысленно перемещается на поверхность шара массы m (и радиуса a) в силовом поле потенциальной
энергии (15), а затем распределяется в виде сферического слоя с толщиной da и плотностью, равной плотности шара. Из гравитационного
потенциала по закону Ньютона и центробежного потенциала с учётом полученного выражения эффективной потенциальной энергии (15)
254
Гл. VI. Принцип инерционности
составляем эффективный потенциал Vэф , действующий на единичную
пробную массу:
Gm(a)
σ 2 (a)
−
, r = a,
a
2a2
4
3M
m(a) = πρa3 , ρ =
,
3
4πR3
Vэф (a) =
(16)
где G — универсальная гравитационная постоянная.
По формуле (8), учитывая, что μ = dm = ρdΩ, составляем выражение работы в поле с эффективным потенциалом (16):
Gm(a)
1
σ2
A=
− 2 ρdΩ.
(17)
2
a
Ω
2a
Подставляем в (17) значение
dΩ = 4πa2 da
и интегрируем по a. Интеграл от первого слагаемого вычислен ранее
(см. (3)). Поэтому (17) принимает следующий вид:
A=
3GM 2
3M δ(R)
−
,
5R
4R 3
R
δ(R) =
σ 2 (a) da.
(18)
0
Из (18) следует, что при одинаковой секториальной скорости для
всех перемещаемых элементарных масс эффективный энергоресурс
определяется выражением
Э=
3GM 2
3M σ 2
−
.
5R
4R 2
(19)
В отличие от гравитационного энергоресурса (7) эффективный
энергоресурс (19) может иметь отрицательный знак и быть равным
нулю.
Отсюда уже можно делать заключения, выходящие за пределы
модели. Например, положительный энергоресурс массы наводит на
мысль о возможности его естественного расходования при «конденсации» масс, а отрицательный способствует тенденции их «разбегания».
Нулевому ресурсу соответствует «компенсация» взаимного влияния
двух учтённых факторов (возможно, основных). Условия, при которых
массы будут «разбегаться», полезно знать при прогнозе изменений,
ожидаемых для уже имеющихся скоплений масс. При положительном
знаке ресурса возникает вопрос: как массы «узнают», в какой шар (по
размерам и массе) им объединяться? Например, чисто гравитационный
энергоресурс масс (7) может оцениваться от нуля (на бесконечности)
и до бесконечности, если мысленно попытаться собрать конечную массу в «материальную точку». Для одной и той же массы эффективный
38. Об инерционности при релятивистском ограничении скорости
255
энергоресурс (19) как функция радиуса шара имеет значения от нуля
(на бесконечности) до некоторого максимума, затем уменьшается до
нуля и становится отрицательным неограниченной величины.
П р и м е ч а н и е. В 1900 г. А. Пуанкаре показал, что фотон с энергией E должен обладать инерционной массой m = E/c2 (где c — скорость света в вакууме). Соответственно, рассматривая ресурс энергии
при трансформации массы в световую (электромагнитную) энергию как
предельный для массы M , составим равенство
E = M c2 = Э + X ,
(20)
где X — другие виды энергоресурсов. Полагая их неотрицательными
(X 0), получаем ограничение на эффективный энергоресурс (19)
(Э M c2 ) и соотношение
4GM R − 5σ 2 20 2 2
R c.
3
M
5c2
Если константа площадей равна нулю, то имеем неравенство
,
R
3G
ограничивающее отношение массы к радиусу для шаров, образуемых
из бесконечно удалённых масс.
38. Об инерционности при релятивистском
ограничении скорости
К самым релятивистским объектам относится фотон, для которого
А. Пуанкаре установил меру инерции: m = E/c2 (где E — энергия
фотона, c — скорость света в вакууме). Фотон движется со скоростью
света, в теории относительности это безмассовая частица, а m —
мера присущей телу (электромагнитной) энергии. «В 1905 г. Эйнштейн
выступил в печати с утверждением, что если тело теряет энергию
путём излучения (электромагнитного, наше примечание), то масса
тела уменьшается приблизительно на величину потерянной энергии,
умноженной на 1/c2 » [138]. Более общим, чем равенство E = mc2,
выражением соотношения массы и энергии считается единое определение импульса в виде универсального утверждения (Планк, 1908 г.),
а не только утверждения для случая электромагнитного излучения.
«В 1911 г. Лоренц показал, что необходимо включать в рассмотрение
любые виды энергии» [138]. Означает ли это, что в общую сумму энергий надо включать и потенциальную энергию сил инерции? Например,
силы инерции поступательного движения имеют потенциал, зависящий
от ускорения. Тогда и масса должна зависеть от переносного ускорения. Ответ на поставленный вопрос могут дать только эксперименты.
38.1. О наблюдении инерционных свойств. Начнём с вопроса:
почему фотон не имеет массы покоя? Типичными являются следующие
ответы: потому что в специальной теории относительности нет системы
256
Гл. VI. Принцип инерционности
отсчёта, в которой фотон покоится, или «у безмассовой частицы нет системы координат, в которой она покоится». Есть и более убедительный
ответ. «Оказывается, что фотоны, которые движутся со скоростями c
относительно любой системы отсчёта, состоящей из материальных частиц с нулевыми массами (по-видимому, имеются в виду массы покоя,
наше примечание), отличными от нуля, относительно друг друга могут
двигаться с любыми скоростями!» [100].
Таким образом, если наблюдатель — реальный (его система отсчёта движется со скоростью меньшей, чем скорость света, и связана
с телами, имеющими массу покоя), то у него просто нет возможности
приписать фотону массу покоя, поскольку он не может обеспечить
своим движением (по определению) относительную скорость фотона,
равную нулю. Вообразим себе наблюдателя, движущегося как другой
фотон. Оказывается, что тогда наблюдаемому фотону можно приписать
любую относительную скорость, в том числе и равную нулю (но система отсчёта такого наблюдателя не может состоять из тел, имеющих
массу покоя). Можно представить себе и третьего, виртуального,
наблюдателя с системой отсчёта, движущейся с бесконечной скоростью
по отношению к реальному наблюдателю. Тогда каждый из двух наблюдателей (реальный и виртуальный) для одного тела (не обязательно
фотона) находит свою относительную скорость (u и v, причём одна
из них больше скорости света), эти две скорости направлены в одну
сторону и связаны соотношением uv = c2, одна из них удовлетворяет
прямому преобразованию Лоренца, а другая — обратному (см. [100]).
Относительно реального и виртуального наблюдателей скорость фотона одинакова и равна скорости света. Введению трёх таких систем
отсчёта соответствует положительная, равная нулю и отрицательная
масса наблюдаемого объекта, но и системы отсчёта должны строиться
из объектов, имеющих положительную, равную нулю и отрицательную массу соответственно. Поскольку фотон не может иметь строго
постоянной скорости, число наблюдателей не может быть меньше трёх
(один из них — реальный, и он может пользоваться информацией,
теоретически получаемой с позиций двух других наблюдателей).
38.2. О массе и энергии в системе из двух тел. Приведём
известную [78] оценку массы покоя атома водорода.
Атом водорода, состоящий из протона и электрона, имеет энергию
покоя E0 , представляемую «с хорошей степенью точности . . . суммой
четырёх слагаемых»:
E0 = mp c2 + me c2 + T + П,
(1)
где mp — масса протона; me — масса электрона; T и Π — кинетическая и потенциальная энергия электрона (обозначения кинетической
и потенциальной энергии заменены на традиционные для классической
механики). «Потенциальная энергия Π обусловлена взаимным притя-
38. Об инерционности при релятивистском ограничении скорости
257
жением электрических зарядов протона и электрона, которое не даёт
электрону улететь от протона. Из теории, исчерпывающе проверенной
опытом, следует, что
1
2
T + П = −T = − me ve2,
(2)
где ve — скорость электрона в атоме водорода. Отсюда масса атома
водорода
2
mH =
E0
mv
= mp + me − e 2 e .
c2
2c
(3)
Таким образом, масса атома водорода на несколько стотысячных
доли массы электрона меньше, чем mp + me » [78].
Очевидно, что при выводе формулы (3) использован некий «гибрид»
классических и релятивистских понятий. Тем не менее процедура вычисления массы атома позволяет обнаружить так называемый дефект
массы: масса частицы, состоящей из двух частиц, меньше суммы их
масс. Поэтому продолжим обсуждение на том же уровне строгости,
условно называя тела «протон» и «электрон», а систему — «атом».
Отметим, что потенциальная энергия в формуле (1) является только
электростатической, а формула (2) напоминает не вполне строго записанную теорему о вириале.
На первый взгляд, внутренняя энергия атома должна кроме энергии
масс содержать ещё и кинетическую энергию электрона, и тогда вместо
«дефекта» получился бы «избыток» массы. Но так было бы, если бы
в правую часть выражения (3) не была включена потенциальная энергия. Следовательно, за «дефект массы» (отрицательный вклад в выражение массы) ответственна отрицательная потенциальная энергия
(отрицательный энергоресурс). Этот ресурс проявится, в частности,
в том, что при разрушении атома водорода потребуется энергия, не
меньшая по величине, чем энергоресурс («энергия связи»). Попытаемся объяснить «дефект массы» и роль других видов потенциальной
энергии, не учтённых в (3). Предположение о возможности пренебречь
гравитационным ресурсом протона и электрона преждевременно, так
как в модели шара малых размеров этот собственный гравитационный
ресурс велик (см. заметку 37).
П р и м е ч а н и е 1. Конечно, можно было бы сослаться на приведённое выше в категоричной форме правило: при оценке массы нужно
учитывать все виды энергии и во всём пространстве. Но именно это
«правило» и требует более убедительного логического обоснования,
чем те, которые нам известны из работ начала ХХ века. Остаётся
вопрос: почему же всё-таки энергия, существующая, судя по названию, в потенции, представляется как уменьшение реальной массы?
Или иначе, в духе физики Аристотеля [2]: как здесь преодолевается
«противопоставление бытия в возможности или в потенции бытию
актуальному, находящемуся в состоянии реализации, завершения или
9 В. Г. Веретенников, В. А. Синицын
258
Гл. VI. Принцип инерционности
энтелехии . . .»? «Наряду с термином „энтелехия“, и даже чаще, Аристотель пользуется термином энергия, но с несколько иным оттенком.
Энергия обозначает переход потенции в её реализацию, деятельность,
акт; энтелехия — завершение этой деятельности» (примечание к [2]).
Пример потенции дают бесконечно удалённые массы (и их энергоресурс), из которых формируется тело с относящимися к нему энергетическими свойствами. Поэтому потенциальная энергия как энергия
положения, зависящая исключительно от расположения тел, представляет бытие актуальное (она потенциальна только в смысле возможной
трансформации в другие виды энергии) и в потенции по Аристотелю
не находится.
Соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной энергии даёт теорема о вириале в следующей форме:
2T = −vir F.
(4)
Треугольные скобки означают, что берётся усреднённое по времени
значение заключённой в них величины. Вириалом силы (vir (F)) мы
называем скалярное произведение Fr силы на радиус-вектор точки её
приложения (по сравнению с вириалом Клаузиуса знак изменён на
противоположный и отсутствует усреднение по времени).
Если потенциальная энергия является однородной функцией степени s относительно расстояния от электрона до центра, практически
совпадающего с центром протона, то
vir F = Fr = −
∂П
r = −sП.
∂r
(5)
Поэтому теорема о вириале (4) для однородных функций принимает вид
(6)
2T = sП.
Потенциальная энергия сил притяжения зарядов имеет степень
однородности s = −1. Поэтому соотношение (6) показывает, что вместо (3) мы имеем равенство
mH = mp + me −
1
c2
T .
(7)
Или иначе, выразив среднее значение кинетической энергии через
среднее значение потенциальной энергии и снабдив её нижним индексом, указывающим принадлежность к полю притяжения электрических
зарядов, получаем
mH = mp + me +
1
2c2
Пэл .
(8)
Пусть теперь внутреннее движение в атоме водорода представляется моделью электрона и протона в задаче двух тел (см. заметку
38. Об инерционности при релятивистском ограничении скорости
259
37). Применим теорему о вириале (4) в условиях движения электрона
относительно протона. Тогда
T =
mp me ṙ2
.
mp + me 2
(9)
Взаимодействие зарядов учтём в прежней форме и добавим эффективную потенциальную энергию, состоящую из потенциальной гравитационной энергии (Пграв ) и потенциальной энергии центробежных сил
(Пцен ). Для этой модели теорема вириала (6) даёт равенство
2T = s1 (Пэл + Пграв ) + s2 Пцен ,
s1 = −1, s2 = −2.
(10)
Соответственно вместо правой части (8) получаем выражение
mp + me +
1
2c2
(Пэл + Пграв ) ,
Пграв = −
Gmp me
,
r
(11)
где r — средний радиус орбиты электрона в движении около протона.
Формула (11) показывает, что
— дефект массы атома не зависит от потенциальной энергии центробежных сил;
— гравитационное поле притяжения увеличивает дефект массы
атома.
Если атом движется с постоянным ускорением, то нетрудно убедиться, что при периодическом круговом движении электрона среднее
значение вириала переносной силы инерции стремится к нулю (с увеличением времени усреднения).
Можем ли мы выражение (11) считать значением массы рассматриваемой системы? Утвердительное суждение преждевременно, так как
неясно, где находится отрицательная масса, называемая «дефектом
массы».
Отметим также, что теорема о вириале (4) получена при условии
финитного движения. Финитность движения позволяет ввести для
системы с внутренними движениями «массу покоя», которая характеризует среднюю по времени энергию.
38.3. Кинетический потенциал частицы и её собственного
поля. На основе аналога действия по Мопертюи и аналога действия
по Гамильтону получено элементарное действие для релятивистской
частицы. Построено элементарное действие системы «частица — собственное поле» («внешняя субстанция», «эфир», «физический вакуум»).
A. Аналог действия по Мопертюи для частицы.
В ньютоновской динамике элементарное действие по Мопертюи
представляет собой произведение импульса материальной точки на
элементарное перемещение (см. (3.1)).
9*
260
Гл. VI. Принцип инерционности
В релятивистской динамике используется четырёхмерное пространство с интервалом между событиями
ds2 = ε(dx2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt2 ),
(12)
где c — фундаментальная постоянная (скорость света); ε = ±1.
Будем рассматривать временно-подобные события (ε = −1), в которых смещение происходит из прошедшего в будущее:
ds = idσ ,
dσ = cdt∗ ,
i2 = −1.
(13)
Здесь dt∗ — элементарный промежуток времени в собственной системе
частицы:
dt
1
v
dt∗ = , γ = , β= ,
(14)
γ
1 − β2
c
где v — 3-скорость частицы (координатами её являются производные
от пространственных координат по времени).
С учётом (12), (13) составляем аналог действия по Мопертюи для
релятивистской частицы:
m0 V ds = −m0 cdσ = −m0 c2 γ −1 dt,
(15)
где m0 — масса покоя частицы; V = ic — модуль 4-скорости в специальной теории относительности (чисто мнимое число).
Коэффициент при dt в (15) (обозначим его Lm )
Lm = −m0 c2 γ −1
(16)
имеет смысл кинетического потенциала частицы в системе наблюдателя.
Б. Аналог действия по Гамильтону для частицы.
В собственной системе скорость частицы равна нулю, поэтому инвариантность элементарного действия по Гамильтону при переходе от
находящегося в этой системе наблюдателя к другому, для которого
скорость частицы отлична от нуля, имеет вид равенства
−H ∗ dt∗ = Lm dt.
(17)
Поскольку здесь H ∗ = m0 c2 , с учётом (14) из (17) снова получаем
кинетический потенциал частицы (16). Знак кинетического потенциала
частицы получен однозначно, и поэтому не требуется искусственного
сравнения с функцией противоположного знака (сравните с [137]).
В. Аналог действия по Гамильтону для системы «частица — собственное поле».
Кинетическая энергия T релятивистской частицы определяется выражением
T = m0 c2 (γ − 1),
(18)
где m0 — масса покоя; γ — вещественное число, поскольку мы рассматриваем временно-подобные движения.
38. Об инерционности при релятивистском ограничении скорости
Разложение выражения (18) по степеням отношения v/c:
1
3 v2
2
T = m0 v 1 +
+ ... ,
2
2
4 c
261
(19)
показывает, что его первый член совпадает с кинетической энергией
в классической механике.
В (18) имеется слагаемое
m 0 c2 γ ,
(20)
неограниченно возрастающее с увеличением скорости, что приводит
к трудностям в его использовании.
П р и м е ч а н и е 2. Описанная ситуация нередко встречается в физике. «Можно подсчитать энергию взаимодействия частицы самой с собой через виртуальные кванты. Однако такой подсчёт привёл к удручающе нелепому результату. Эта энергия, а значит, и собственная масса
заряженной частицы получилась бесконечно большой. Фотонная «шуба» электрона, а значит, и он сам весят бесконечно много! Несомненно,
взаимодействие с собственным полем должно вносить какой-то вклад
в массу частицы. Но не бесконечный же! Выход из трудностей до сих
пор не найден» [72].
Ситуация сравнима с парадоксом Даламбера в гидродинамике [49],
когда получается бесконечная кинетическая энергия системы «тело —
сплошная среда», если в бесконечности скорость среды не равна нулю.
Только в случае с частицей уже нет «массовой» среды, поэтому, как
и для электрона, можно ввести «собственное поле» частицы, имеющее
инерционные свойства.
Будем рассматривать энергию (20) как полную энергию системы,
включающей частицу и внешнее по отношению к ней «собственное
поле». Эта энергия наблюдается в системе реального наблюдателя. Будем называть его первым. Первому наблюдателю не удаётся различать
энергии частицы и её собственного поля.
Вторым назовём наблюдателя, покоящегося в собственной системе
частицы. Для него не наблюдаема та часть энергии, которой обладает
собственное поле. Вообще говоря, и энергия частицы (m0 c2 ) является
лишь информацией о собственной энергии. О ненаблюдаемой энергии
второй наблюдатель узнаёт от первого (также информация). Она вычисляется как разность
E − m 0 c2 = T ∗ ,
2
(21)
где E = m0 c γ.
Недоступная наблюдению для второго наблюдателя величина T ∗
равна (см. (18)) кинетической энергии, известной первому наблюдателю. Только эта кинетическая энергия отнесена к собственной системе
частицы.
262
Гл. VI. Принцип инерционности
Одинаковое элементарное действие для собственного поля в системах обоих наблюдателей соответствует равенству
T ∗ dt∗ = Lμ dt,
(22)
где Lμ — кинетический потенциал собственного поля («присоединённый кинетический потенциал»):
Lμ = m0 c2 (1 − γ −1 ).
(23)
П р и м е ч а н и е 3. В классической теории с абсолютным временем (dt∗ = dt) ненаблюдаемая для второго наблюдателя кинетическая
энергия T ∗ равна кинетической энергии T в осях первого наблюдателя; в этом случае нет потребности в энергии покоя массового тела.
К понятию «собственной» энергии тела m0 c2 привело релятивистское
ограничение скорости.
При β = 0 имеем Lμ = 0 (при традиционном представлении о кинетическом потенциале имело бы место равенство нулю разности кинетической и потенциальной энергий). В предельном случае β = 1, когда
нет массы покоя (и самой весомой частицы), кинетический потенциал
собственного поля (23) имеет значение, равное собственной энергии
тела (m0 c2 ).
Из (16) и (23), предполагая аддитивность этих кинетических потенциалов, составляем суммарный кинетический потенциал системы
«частица — собственное поле»:
L = Lm + Lμ = m0 c2 (1 − 2γ −1 ).
(24)
В классическом приближении
из (24) следует выражение, отличающееся на аддитивную константу от «живой силы» (2T ), фигурирующей в действии по Лагранжу
(см. формулу (3.10)).
На рис. 38.1 показано изменение кинетических потенциалов (16), (23) и (24) в зависимости от аргумента β 2 в пределах
Рис. 38.1
0 β 2 1, т. е. в диапазоне скоростей от нуля до скорости света (1 γ < ∞). Для наблюдателя,
покоящегося в собственной системе частицы, кинетические потенциалы L(0) = Lm (0) = −m0 c2, что соответствует значению потенциальной энергии m0 c2 (информация о внутренней энергии частицы). При
скорости, равной скорости света (β = 1), значения кинетических потенциалов составляют L(1) = Lμ (1) = m0 c2, т. е. остаётся только поле,
энергия которого равна собственной энергии покоившегося тела.
38. Об инерционности при релятивистском ограничении скорости
263
38.4. Предварительные заключения. В предварительных заключениях (п. 11 статьи [97] (1895) «К теории Лармора» А. Пуанкаре)
читаем: «Опыт дал множество фактов, которые допускают следующее
обобщение: невозможно обнаружить абсолютное движение материи,
или, точнее, относительное движение весомой материи и эфира. Всё,
что можно сделать, — это выявить движение весомой материи относительно весомой материи. . . .невозможность выявить движение материи
относительно эфира, а также равенство, которое, несомненно, имеет
место между действием и противодействием без учёта действия материи на эфир, представляют собой два факта, связь которых кажется
очевидной. Может быть, оба пробела будут заполнены одновременно».
В модели системы, описанной в п. 38.3, энергии частицы и собственного поля с точки зрения двух наблюдателей также не разделены
и никакого относительного движения частицы и её собственного поля
не наблюдается. Однако мы надеемся, что предложенная схема с двумя
кинетическими потенциалами составных частей системы «частица —
собственное поле» будет полезна, и не только в случае электромагнитных полей.
Если успех действительно достигнут, то в этом заслуга тех двух наблюдателей, которые не соперничают, доказывая каждый свою правоту, а сотрудничают, понимая, что дополняют друг друга. Даже один
«универсальный» наблюдатель (принимающий позицию то первого, то
второго наблюдателя) не может заменить двух, так как лишён наблюдения с той позиции, где его нет. Напомним, что есть ещё и третий —
виртуальный — наблюдатель (см. п. 38.1): его возможности полностью
ещё не раскрыты, но когда вместо частицы образуется объект, не
имеющий массы покоя, виртуальный наблюдатель заменяет второго
и вместе с первым констатирует это событие, наблюдая только поле.
Наличие в (24) присоединённого кинетического потенциала означает, что релятивистская частица не является полностью изолированной, поскольку имеется её собственное поле.
Отметим также некоторые другие обстоятельства изучения движения релятивистских частиц методами теоретической механики. Ограничение скорости релятивистской частицы не позволяет считать её
свободной по определению: ограничение величины скорости представляет собой неголономную связь в пространстве–времени (другое дело,
что пока не вполне ясно, как она реализуется). Известно, что при
выводе уравнений движения условие неголономной связи не должно
быть использовано в функции Лагранжа, как это было сделано в (15).
Эта связь неидеальная: в уравнении движения релятивистской частицы [78] в составе сил имеется слагаемое, противоположное скорости.
Заключение
В настоящей работе мы сосредоточили внимание на применении
метода виртуального варьирования и метода переменного действия
в области механики в связи с изучением классических дифференциальных и интегральных принципов. Метод переменного действия
позволяет изучать основные образы всех трёх «картин» механики:
силовой, энергетической и геометрической. Без понятия о действии не
обходятся и в других областях естествознания. Вспомним, например,
принцип неопределённости в квантовой механике; законы сохранения
и симметрии уравнений движения в математической физике; теорию
интегральных инвариантов; построение аналитической динамики систем Гельмгольца, Биркгофа и Намбу и т. д. Эти и многие другие
направления исследования остались вне рамок книги. Обобщая сказанное, можно заметить важнейшую роль понятия о действии в развитии
теории несвободных динамических систем и в становлении новой парадигмы науки в целом. Достаточно отметить, что понятие о действии
стоит в одном ряду с понятиями энтропии и информации, которые
являются концептуальными для естествознания.
Полагаем, что изучение метода переменного действия и его применений станет одной из фундаментальных составляющих не только
естественнонаучного, но и технического, и гуманитарного образования.
Список литературы
1. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1. 2. — М.: Физматгиз, 1960.
2. Аристотель. Физика. — М.: Гос. социально-экономическое изд-во,
1936. — 190 с.
3. Беген А. Теория гироскопических компасов Аншютца и Сперри и общая
теория систем с сервосвязями. — М.: Наука, 1967. — 171 с.
4. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, 1983.
5. Биркгоф Дж. Д. Гёттингенские лекции Пуанкаре // Последние работы
А. Пуанкаре. — Москва–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
6. Болотин В. В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости. — М.:
Гостиздат, 1961.
7. Болотов Е. А. О принципе Гаусса // Известия физико-математического
об-ва при Казанском ун-те. — Казань, 1916.
8. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления /
Пер. с англ. — М.: Мир, 1972.
9. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. — М.:
Наука, 1984.
10. Веретенников В. Г., Синицын В. А. Интегральный принцип равенства
действия и противодействия // Сб. Научно-методических статей Теоретическая механика. Вып. 24. — М.: Изд. Московского университета, 2003.
С. 15–22.
11. Веретенников В. Г., Синицын В. А. К динамике точки переменной массы // Российско-американский журнал: Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем: процессы, модели, эксперимент. № 2(16).
Т. 8. 2003. С. 90–102.: Казанский гос. Тех университет — Embry-Riddle
Aeronautical Univercity, Казань — Daytona Beach.
12. Веретенников В. Г., Синицын В. А. Разрывная вариационная задача оптимизации процессов управления // ПММ. 1972. Т. 36. Вып. 2. C. 357–360.
13. Веретенников В. Г., Синицын В. А. Теоретическая механика. Дополнения
к общим разделам. — М.: Изд. МАИ, 1996.
14. Веретенников В. Г., Синицын В. А. Интегральный принцип динамики систем Четаева–Румянцева // VII-я Четаевская конференция «Аналитич.
мех., устойчивость и управление движением». Тезисы докл. — Казань,
1997. С. 6.
15. Веретенников В. Г., Синицын В. А. К динамике связки: абсолютно твёрдое тело — материальная точка // Межведомственный сборник «Актуальные проблемы классической и небесной механики» / Под ред. С. Д. Фурты. — М.: ТОО «Эльф», 1998. С. 33–39.
16. Веретенников В. Г., Синицын В. А. Принцип наименьшей кривизны //
Второе Всероссийское совещание-семинар заведующих кафедрами теоре-
266
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Список литературы
тической механики. Тезисы докл. Москва, 11–16 октября 1999 г. — М.:
Христианское изд-во, 1999. С. 11–12.
Веретенников В. Г., Синицын В. А. К изучению интегральных принципов
механики // Сб. Научно-методических статей «Теоретическая механика». — М.: Изд. МГУ, 2000. Вып. 23. С. 21–29.
Веретенников В. Г., Синицын В. А. К динамике большого тела в атмосфере планеты // Вестник МАИ. Т. 6, № 1. — М.: Изд. МАИ, 1999. С. 50–53.
Вильке В. Г. Аналитические и качественные методы в динамике систем
с бесконечным числом степеней свободы. — М: Изд. МГУ, 1982.
Вильке В. Г. О качении жёсткого колеса по деформируемому рельсу //
ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 3. C. 512–517.
Вильке В. Г., Синицын В. А. Стационарный режим качения колеса с вязкоупругой периферией // Изв. АН МТТ. 1997. № 3. С. 39–46.
Вуйичич В. А., Козлов В. В. К теории реономных систем // Вестн. МГУ.
Сер. 1, Математика, механика. 1995. № 5. С. 79–85.
Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. — М.:
Наука, 1973. — 256 с.
Галиуллин А. С., Гафаров Г. Г., Малайшка Р. П., Хван А. М. Аналитическая динамика систем Гельмгольца, Биркгофа, Намбу. — М.: Ред.
журнала «Успехи физических наук», 1997.
Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. Изд. 2-е. — М.:
Наука, 1966.
Геронимус Я. Л. Теоретическая механика. Очерки об основных положениях. — М.: Наука, 1973.
Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. — М.: Изд. АН
СССР, 1959.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Изд. 6-е. — М.: Наука, Физматлит, 1988. — 448 с.
Голдстейн Г. Классическая механика / Пер. с англ. — М.: Наука, 1975.
Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. Изд. 2-е. — М.: Изд.
МГУ, 2000.
Горский Д. П., Ивин А. А., Никифоров А. Л. Краткий словарь по логике. —
М.: Просвещение, 1991. — 208 с.
Даламбер Ж. Динамика. — М.-Л.: Госиздат, 1950.
Демин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле
тяготения. — М.: Наука, 1968.
Демин В. Г., Косенко И. И., Красильников П. С., Фурта С. Д. Избранные
задачи небесной механики. Уч. пособие / Под ред. П. С. Красильникова. —
Ижевск: Ред. журнала «Регулярная и хаотическая динамика». — Изд. дом
«Удмуртский ун-т», 1999 г. — 211 с.
Дибай Э. А., Каплан С. А. Размерности и подобие астрофизических величин. — М.: Наука, 1976. — 400 с.
Добронравов В. В. Основы аналитической механики. — М.: Высшая школа, 1976. — 263 с.
Елисеев В. И. Введение в методы теории функций пространственного
комплексного переменного // Сб. статей. — М.: Тип. НИАТ, 1990. —
190 с.
Список литературы
267
38. Жуковский Н. Е. К вопросу о движении материальной точки под притяжением одного и двух центров / Соч. Н. Е. Жуковского. Юбилейное
издание (1870–1910 гг.). Т. 1. — М: Тип. Императорского Московского
Ун-та, 1912. С. 185–189.
39. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. — М.: Наука, 1997.
40. Зоммерфельд А. Волновая механика / Пер. С. 1-го нем. — М.-Л.: Гостехиздат, 1933.
41. Ишлинский А. Ю. К вопросу об абсолютных силах и силах инерции
в классической механике // Сб. научно-методических статей «Теоретическая механика». Вып. 23. — М.: Изд. МГУ, 2000. С. 3–9.
42. Козлов В. В. К вопросу о реализации связей // ПММ. 1991. Т. 56. Вып. 4.
С. 692–698.
43. Козлов В. В. Конструктивный метод обоснования теории систем с неудерживающими связями // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 6. С. 883–894.
44. Козлов В. В. Конструктивный подход к обоснованию динамики систем
со связями (к 200-летию «Аналитической механики» Лагранжа) // Сб.
Научно-методических статей. Теоретическая механика. — М.: Изд. МПИ,
1990. Вып. 20. С. 8–15.
45. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск: Изд. Удмуртского гос. Ун-та, 1995. — 429 с.
46. Козлов В. В., Колесников Н. Н. О теоремах динамики // ПММ. 1978.
Т. 42. Вып. 1. С. 28–33.
47. Космодемьянский В. А. Об определении реакций при вращательном движении твёрдого тела относительно неподвижной оси // Сб. научно-методических статей «Теоретическая механика». — М.: Изд. МГУ, 2000.
Вып. 23. С. 58–70
48. Коссера Э. Ф. Заметка о теории евклидовского действия // В кн. П. Аппелль. Руководство теоретической (рациональной) механики. — М.: Типолитогр. Т-ва И. Н. Кушнерев и К◦. 1911. Т. 3. C. 612–682.
49. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. —
М.-Л.: Госиздат, 1948. Т. 1.
50. Кузнецов И. И., Идлис Г. М., Гутина В. Н. Естествознание. — М.: Изд.
фирма «Агар», 1996.
51. Лагранж Ж. Аналитическая механика. Изд. 2-е. — М.-Л., 1950. Т. 1.
52. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. I. Механика. Изд.
4-е. — М.: Наука, 1988. — 216 с.
53. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. II. Теория поля.
Изд. 6-е. — М.: Наука, 1973. — 504 с.
54. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. III. Квантовая
механика. Изд 3-е. — М.: Наука, 1974. — 752 с.
55. Леви-Чивита Г., Амальди У. Курс теоретической механики / Пер.
с итал. — М.: Ин.-лит. 1952. Т. 1. Ч. 1.
56. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные
аттракторы. — М.: Мир, 1981. — С. 88–116. Lorenz E. N. Deterministic
Nonperiode Flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20, № 2. P. 130–141.
57. Луи де Бройль. Анри Пуанкаре и физические теории // А. Пуанкаре.
Избранные труды. Т. III. — М.: Наука, 1974. С. 703–711.
58. Лурье А. И. Аналитическая механика — М: Физматгиз, 1961.
268
Список литературы
59. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. — М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 335 с.
60. Мантуров О. В., Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г. Толковый
словарь математических терминов / Под ред. В. А. Диткина. — М.: Просвещение, 1965. — 539 с.
61. Маркеев А. П. О принципе Гаусса // Сб. научно-методических статей
«Теоретическая механика». — М.: Изд. МГУ, 2000. Вып. 23. С. 29–44.
62. Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990.
63. Маслов В. П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1987.
64. Мах Э. Механика. Историко-критический опыт её развития / Пер. С. 6-го
нем. изд. — Ижевск: Ред. журнала «Регулярная и хаотическая механика»,
2000. — 455 с.
65. Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. и др. Общая алгебра. Т. 1. Серия СМБ / Под общей ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука,
Физматлит, 1990. — 591 с.
66. Метелицын И. И. Некоторые теоремы об устойчивости движения неконсервативных систем // Избр. тр. — М.: Наука, 1977. С. 38–45.
67. Мещерский И. В. Дифференциальные связи в случае одной материальной
точки // Сообщения и протоколы заседаний Математического об-ва при
Харьковском ун-те. 1887. Ч. II.
68. Мещерский И. В. Уравнения движения точки переменной массы в общем
случае // В кн. И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной
массы. Изд. 2-е. — М.: Госиздат, 1952. — 280 с.
69. Михайлов Г. К. К истории систем переменного состава // Изв. АН СССР.
МТТ. № 5. С. 11–51.
70. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. Изд.
2-е. — М.: Наука, 1981. — 400 с.
71. Мощук Н. К., Синицын И. Н. О стохастических неголономных системах //
ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 2. C. 213–223.
72. Мякишев Г. Я. Элементарные частицы. Изд. 3-е, перераб. — М.: Наука,
Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1979. — 179 с.
73. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. —
М.: Наука, 1987. — 424 с.
74. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. — М.:
Наука, 1967.
75. Новиков И. Д. Эволюция вселенной. Изд. 3-е, ПНТП. — М.: Наука,
1990. — 189 с.
76. Новоселов В. С. Аналитическая механика систем с переменными массами. — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1969. — 240 с.
77. Общая алгебра. Т. 1. Серия СМБ / О. В. Мельников, В. Н. Ремесленников, В. А. Романьков, Л. А. Скорняков, И. П. Шестаков. Под общей ред.
Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, Физматлит, 1990. — 591 с.
78. Окунь Л. Б. Понятие массы (масса, энергия, относительность) // УФН.
1989. Т. 158. Вып. 3. С. 511–530.
79. Остроградский М. В. О принципе виртуальных скоростей и о силе инерции / Избр. тр.: Изд. АН СССР, 1958. С. 270–279.
Список литературы
269
80. Остроградский М. В. Заметка о равновесии упругой нити / Полн. собр.
трудов в трёх томах. — Киев: Изд. АН Укр.ССР. 1959. Т. 1. С. 116–117.
81. Павленко Ю. Г. Гамильтоновы методы в электродинамике и в квантовой
механике. — М.: Изд. МГУ, 1985.
82. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твёрдого тела. — М.: Наука,
1985.
83. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем.
Современные концепции, парадоксы и ошибки. Изд. 4-е. — М.: Наука,
1987.
84. Парс Л. А. Аналитическая динамика / Пер. с англ. — М., 1971.
85. Погребысский И. Б. Формирование понятия ускорения / В кн. Исследования по истории физики и механики 1993–1994. — М.: Наука, 1997.
С. 218–222.
86. Подстригач Я. С., Ломакин В. А., Коляно Ю. М. Термоупругость тел неоднородной структуры. — М.: Наука, 1984.
87. Полак Л. С. В. Р. Гамильтон и принцип стационарного действия. — М.-Л.:
Изд. АН СССР, 1936.
88. Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Теоретическая механика. —
Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. — 536 с.
89. Поляхова Е. Н. Космический полёт с солнечным парусом. — М.: Наука,
1986.
90. Принцип относительности. Сборник работ по СТО. — М.: Атомиздат,
1972.
91. Пуанкаре А. О трансфинитных числах // Последние работы А. Пуанкаре. — Москва-Ижевск: Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
92. Пуанкаре А. Об обобщении метода Якоби / Последние работы А. Пуанкаре. — Москва-Ижевск: Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2001. С. 25–28.
93. Пуанкаре А. Последние мысли // Анри Пуанкаре о науке. — М.: Наука,
Физматлит, 1983. С. 405–520.
94. Пуанкаре А. Наука и гипотеза // Анри Пуанкаре о науке. — М.: Наука,
Физматлит, 1983. С. 5–152.
95. Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов // А. Пуанкаре.
Избранные труды. Т. III. — М.: Наука, 1974.
96. Пуанкаре А. Измерение времени // А. Пуанкаре. Избранные труды.
Т. III. — М.: Наука, 1974. С. 419–428.
97. Пуанкаре А. К теории Лармора // Принцип относительности. — М.:
Атомиздат, 1973. С. 8–9.
98. Пятницкий Е. С. Динамика неголономных систем // Сб. Научно-методических статей «Теоретическая механика». — М.: Изд. МГУ, 2000. Вып. 23.
С. 72–86.
99. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики / Пер.
с англ. — М.: Изд. «Мир», 1982.
100. Родимов Б. Н. Автоколебательная квантовая механика. Изд. 2-е. — Томск:
Изд. Томского ун-та, 1976. — 408 с.
101. Румянцев В. В. Об интегральных принципах для неголономных систем //
ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 1. С. 3–12.
270
Список литературы
102. Румянцев В. В. О некоторых вопросах аналитической механики // Проблемы аналитической механики и управления движением. — М.: ВЦ АН
СССР, 1985. С. 20–35.
103. Румянцев В. В. О совместимости двух основных принципов динамики
и о принципе Четаева // Проблемы аналитической механики, теории
устойчивости и управления. — М.: Наука, 1975. С. 258–267.
104. Седов Л. И. К релятивистской теории полёта ракеты // Об основных
моделях в механике. — М.: Изд. МГУ, 1992.
105. Седов Л. И. Очерки, связанные с основами механики // Сб. научных
трудов, посвящённых памяти акад. М. А. Лаврентьева. — Новосибирск:
Наука, 1983. С. 224–243.
106. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Под
ред. А. М. Виноградова, И. С. Красильщика. РАЕН Ин-т Диффеотопии. —
М.: Факториал, 1997.
107. Синицын В. А. О принципе Гамильтона–Остроградского при импульсивных движениях динамических систем // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 3.
C. 488–493.
108. Синицын В. А. Связи в механике / Уч. пособие. — М.: МАИ, 1983.
109. Синицын В. А. О принципе наименьшего принуждения для систем
с неудерживающими связями // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 6.
110. Синицын В. А. Развитие понятия материальной точки в моделях механики // Научные чтения по авиации, посвящённые творческому наследию
Н. Е. Жуковского. Программа и тезисы докладов. — М.: ИИЕТ РАН,
2000. С. 9.
111. Сиразетдинов Т. К. Устойчивость систем с распределёнными параметрами. — Новосибирск: Наука, 1987.
112. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих
систем. — М.: Госиздат по строит., архитектуре и строит. материалам,
1960.
113. Суслов Г. К. Теоретическая механика. — М.-Л.: Госиздат, 1944.
114. Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ /
Под ред. В. Г. Веретенникова. — М.: Высшая школа, 1990.
115. Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций // Избр.
работы. — М.: Наука, 1975.
116. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. — М.: Гостехиздат, 1955.
117. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных
сред. — М.: Мир, 1975.
118. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики / Пер. с англ. —
М.: Наука, 1967. — 523 с.
119. Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? — М.: Наука, 1987.
120. Фейнман Р. Ф. Почему существуют античастицы / УФН. 1989. Т. 157.
Вып. 1. С. 163–183.
121. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М., 1985.
122. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. — М.: Машиностроение, 1970.
123. тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики / Пер. с англ. — М.: Наука,
1974.
Список литературы
271
124. Хазен А. М. Введение меры информации в аксиоматическую базу механики. 2-е дополненное издание. — М.: Рауб, 1998.
125. Хайкин С. Э. Силы инерции и невесомость. — М.: Наука, 1967.
126. Харламов П. В. Неприемлемость некоторых математических моделей механических систем с дифференциальными связями // ПММ. 1991. Т. 56.
Вып. 4. С. 683–692.
127. Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. — М.:
Наука, 1966.
128. Четаев Н. Г. Из записной книжки. (1939, 23.10) / В кн. Устойчивость
движения. Работы по аналитической механике. — М.: Изд. АН СССР,
1962. С. 490–499.
129. Четаев Н. Г. О вынужденных движениях / В кн. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. — М.: Изд. АН СССР, 1962.
С. 329–334.
130. Четаев Н. Г. О принципе Гаусса / В кн. Устойчивость движения. Работы
по аналитической механике. — М.: Изд. АН СССР, 1962. С. 323–326.
131. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
132. Эйлер Л. Основы динамики точки. «Классики естествознания». — М.-Л.:
ОНТИ–НКТП СССР, 1938.
133. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами
максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи. —
М.: Гостехиздат, 1934.
134. Jammer M. Concepts of Mass in Classical and Modern Physics. — Cambridge: Harvard Univ. Press, 1961. (Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике / Пер. с англ. и комментарии Н. Ф. Овчинникова. — М.: Прогресс, 1967. — 254 с.)
135. Mikusinsi J., Sikorski R. The elementare theory of distributions (II).
Warszawa, 1961. (Рус. пер. Микусинский Я., Сикорский Р. Элементарная
теория обобщённых функций. — М.: ИЛ., 1963).
136. Rocard Y. L’Instabilite en Mecanique. Automobiles. Avions. Ponts suspendus. Masson ET Cie, Editeurs — Paris, 1954. (Рокар И. Неустойчивость
в механике / Пер. с фр. — М.: Ин. лит., 1959.)
137. Synge J. L. Classikal dinamics. — Springer-Verlag / Berlin-Göttingen–Heidelberg, 1960. (Синг Дж. Л. Классическая динамика. — М.: Физматгиз,
1963).
138. Whittaker E. A. History of the Theories of Aether and Electrisity. V. 2 —
London: Nelson, 1953. (Уиттекер Э. Теория относительности Пуанкаре и Лоренца // Принцип относительности: Сб. работ по специальной
теории относительности / Сост. А. А. Тяпкин. — М.: Атомиздат, 1973.)
С. 205–231.
Документ
Категория
Фундаментальная
Просмотров
202
Размер файла
1 735 Кб
Теги
410
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа