close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

482

код для вставкиСкачать
ОГЛАВЛЕНИЕ
Институт им. Ландау и Вадим Березинский . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Идеи В. Л. Березинского и современная статистическая физика . . . . . .
7
9
Г л а в а 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1. Содержание работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопрос о фазовом состоянии двумерных магнетиков, кристаллов
и бозе-жидкостей при низких температурах (13). История вопроса (16). Основные результаты работы (20). Аналогичные
результаты других авторов (32). Обзор содержания работы по
главам (32).
§ 2. Простая двумерная решетка и функции на ней . . . . . . . . . . . . . .
Обозначения, связанные с решеткой (34). Дуальная решетка (36).
Функции на решетке и их фурье-представления (36). Дискретный
оператор Лапласа (37). Функция Грина дискретного оператора
Лапласа и ее асимптотики (39).
§ 3. Решеточные формы (дискретные аналоги линейных дифференциальных форм или вектор-функций) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Определение решеточных форм. Переход от дискретного описания
к непрерывному (42). Дискретные аналоги градиента, дивергенции, линейного интеграла и ротора и связанные с ними теоремы (43). Дуальные формы. Теорема о представлении поперечной
формы (46). Разложение произвольной решеточной формы на сумму продольной и поперечной компонент (48).
13
13
Г л а в а 2. Двумерная решетка плоских классических спинов . . . . .
§ 1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Описание системы. Выражение для энергии (51). Определения
корреляций и n-точечных функций распределения (53).
Свободная энергия для «магнитных» внешних воздействий (55).
«Сверхтекучая свободная энергия» и ее свойства как функционала
e (r) (56). Функции корреляции
от внешнего вектор-потенциала A
токов и их свойства (59). Выражения сверхтекучей свободной
энергии и функций корреляции токов для случаев ρs = 0 и
ρs = 0 (61). Граничные условия (63).
§ 2. Квадратичное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Квадратичное приближение (65). Свободная энергия и корреляции
в квадратичном приближении. Пределы его применимости (67).
§ 3. Одномерная задача. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
34
42
65
68
4
Оглавление
Точное решение одномерной задачи и его асимптотика (68).
Свойства функции θ(ϕ|t) (70). Анализ одномерного решения.
Способ решения, основанный на введении полных углов (71).
Выводы для двумерного случая (73).
§ 4. Построение низкотемпературного разложения. . . . . . . . . . . . . . . 74
Введение полных углов в двумерном случае (74). Формулировка
основного приближения (75). Классификация поправок. Необходимость учета вихрей (76). Построение систематического низкотемпературного разложения (77). Основное приближение как
главный член низкотемпературного разложения (85).
§ 5. Основное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Свободная энергия в основном приближении (86). Сверхтекучая
свободная энергия в основном приближении (86). Корреляция в
основном приближении (87). Асимптотики n-точечных корреляций и функций распределения при больших расстояниях между
точками (88). Одноточечные распределения и спонтанный момент
в случае большой, но конечной системы (89). Двухточечные корреляции (90). Свойство однородности для асимптотик n-точечных
корреляций и функций распределения (90).
Дополнение к § 5: Независимый способ вывода соотношений однородности для асимптотик функций распределения . . . . . . . . . . . . . . 92
§ 6. Дальнейшие члены низкотемпературного разложения и общая
структура поправок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Сводка основных результатов (102). Классификация поправок и
порядок их рассмотрения (103).
1. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями . . . . . . . . . 104
Разложение по связанным группам f -дефектов (104). Поправки
первого порядка к свободной энергии (105). Поправки первого
порядка к асимптотикам корреляций (107). Диаграммная техника для поправок к свободной энергии (109). Диаграммное
представление для асимптотик корреляций (112). Выражение
сверхтекучей свободной энергии и корреляций через функционал Ψ(A, λ) (115). Диаграммное представление для функционала Ψ(A, λ) (117). Сверхтекучая свободная энергия безвихревых конфигураций (123). Асимптотики корреляций углов ϕr и
скоростей Vrδ на основе полного выражения для функционала
Ψ(A, λ) (124). Асимптотики корреляций в присутствии внешнего
e (126).
вектор-потенциала A
2. Поправки, связанные с вихрями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Эффективная
энергия
безвихревых
конфигураций (127).
Эквивалентность вихрей частицам решеточного газа с логарифмическим взаимодействием (130). Разложение свободной энергии
по концентрациям «вихревых квазимолекул» (133). Разложение
по концентрациям «вихревых квазимолекул» для сверхтекучей
свободной энергии (134). Общее выражение для ρs с учетом
всех поправок (138). Общее выражение для корреляций с учетом
вклада вихрей (139).
Построение представителей класса D,
соответствующих данному распределению циркуляций (141).
на больших расстояниях от вихрей (142).
Вид функции ϕD
r
Оглавление
5
Общее выражение для показателя степени в асимптотиках
корреляций (143).
§ 7. Система спинов в слабом магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Главные члены разложений свободной энергии, среднего момента и
восприимчивости при h/J → 0 (145). Имеет ли свободная энергия
системы особенность в точке перехода от бесконечной восприимчивости к конечной? (149).
§ 8. Существование фазового перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Высокотемпературное разложение (152). Выражения для сверхтекучей свободной энергии и корреляций при высоких температурах (153). Аргументы в пользу того, что точка обращения в
нуль сверхтекучей плотности ρs (T ) соответствует фазовому переходу (155). Система, дуальная к системе вихрей («целочисленный
Изинг») и фазовый переход к ней (157). Система, точно дуальная исходной (в смысле Крамерса—Ванье), и фазовый переход в
ней (161). Существование при T < Tk метастабильных «состояний
со сверхтекучим потоком» (164).
§ 9. «Тонкие» системы (пленки, прутки) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Г л а в а 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов и двумерная бозе-жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
§ 1. Квантовая система плоских ротаторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Формулировка задачи (179). Построение основного приближения (181). Асимптотики корреляций и сверхтекучая свободная
энергия в основном приближении (186). Диаграммная техника для
учета вклада безвихревых конфигураций в квантовом случае (190).
Применимость квазиклассического рассмотрения к описанию поведения корреляции на больших расстояниях (191).
§ 2. Двумерная бозе-жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Постановка задачи (194).
Построение эффективного гамильтониана (196).
Асимптотики корреляций в двумерной бозежидкости (202).
Г л а в а 4. Двумерные кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Основное приближение (204). Асимптотика двухточечной функции распределения на больших расстояниях (206). Другие вопросы (209).
Г л а в а 5. Двумерные изотропные магнетики . . . . . . . . . . . . . . . . 210
§ 1. Классические изотропные магнетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Описание системы (210).
Основное приближение (211).
Квадратичное приближение (212). Свойство однородности для
асимптотик корреляций (214). Двухточечная функция распределения и свободная энергия в слабом магнитном поле (216).
§ 2. Квантовые изотропные магнетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6
Оглавление
Основное тождество (217). Эквивалентность квантовой и классической систем с точки зрения асимптотик корреляций на больших
расстояниях (219).
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Институт им. Ландау и Вадим Березинский
В семидесятые годы Институт Ландау был оазисом в пустыне.
Я нигде не встречал такой концентрации талантливых людей и такой интенсивности научного общения. Разговоры в автобусе МоскваЧерноголовка и в коридоре, составлявшем основную часть института,
научили меня многому. В одну из «пятниц» я увидел, что Толя Ларкин
разговаривает с незнакомым мне молодым человеком и, судя по формулам на доске, о чем-то очень интересном. Человеком этим был Вадим
Березинский, а рассказывал он о двумерной сверхтекучести. Он доказывал, что хотя параметр порядка равен нулю, а корреляторы падают
степенным образом, сверхтекучая плотность нулю не равняется. Мне
показалось, что его манипуляции с гауссовыми интегралами не дают
фазового перехода. Вадим ответил что-то непонятное, Толя молчал.
Я уже думал перейти к другой группе людей, обсуждавшей общую
теорию относительности, как вдруг Толя сказал: «Это вихри». Было
непонятно что это за вихри в Гауссовом интеграле, но через неделю
Вадим появился с потрясающе красивой теорией вихрей и «вихревых
молекул» распадающихся в точке фазового перехода. На меня это
произвело очень сильное впечатление и повлияло на мою работу по
решеточным калибровочным теориям (как видно из диссертации, в
абелевом случае Вадим ее фактически сформулировал, я обобщил его
результаты на неабелев случай, но, к сожалению, не напечатал), а
также на работы по монополям и инстантонам.
Через несколько лет я рассмотрел неабелевы поля Голдстоуна в
двух измерениях; мои результаты (появление непертурбативной щели
в спектре) противоречили тому, что писал об этом Вадим. Мы довольно горячо спорили, часто пользуясь нестандартной лексикой. Потом
Вадим согласился. Один из его контраргументов был связан с антиферромагнетиком Гейзенберга. Он говорил, что в нем есть релятивистские
бесщелевые голдстоуны в противоречии с моими результатами. Я не
знал что возразить, но был уверен в правильности своих расчетов (я
сделал их тремя разными методами). В конце концов, я просто забыл о
возражении Вадима и совершенно напрасно! Через много лет Холдейн
понял, что в случае полуцелых спинов надо учитывать топологические
8
Институт им. Ландау и Вадим Березинский
конфигурации, и щели нет, а для целых спинов применимы мои результаты.
Вадим совсем не был дипломатом и с разными «великими» людьми
разговаривал без особого почтения. Это приводило к разным проблемам. При обсуждении возможности его приема в Институт, кто-то
сказал, что это все равно как взять на работу носорога. Носорог в
Институт был все-таки взят и сделал несколько блистательных работ.
К несчастью, жить Вадиму оставалось недолго. Его главные результаты
стали научной классикой, и их влияние на физику не ослабевает.
А. М. Поляков
Идеи В. Л. Березинского и современная статистическая физика
Вадим Львович Березинский прожил недолгую жизнь и написал
мало статей, но его работы существенно изменили пейзаж статистической физики и физики твердого тела. Прочно вошедшие в обиход термины «переход Березинского—Костерлица—Таулеса» и «закон
Березинского—Мотта», часто употребляемые без ссылки, весомо свидетельствуют о важности его работ. К сожалению, значительная часть
его исследований по статистике двумерных систем с непрерывной группой симметрии не была опубликована. Они вошли в его докторскую
диссертацию. Березинский намеревался опубликовать обзор своих результатов в УФН, но новые идеи в другой области и последовавшие
сложные расчеты отвлекли его, а вскоре он смертельно заболел и
проект так и не осуществился. Между тем диссертация Березинского
долгое время была популярным чтением среди сотрудников и студентов
Института им. Ландау. Она привлекала свежестью подхода, обилием
идей и результатов в новой тогда области топологических фазовых переходов. Она и сейчас не утеряла полностью новизны, хотя некоторые
методы и результаты были переоткрыты другими авторами. Поэтому
публикация диссертации В. Л. Березинского представляется полезной
и важной не только как обнародование классического наследия, но
и как издание уникальной монографии посвященной живой области
физики. В этом предисловии будут кратко описаны наиболее важные
опубликованные результаты В. Л. Березинского, а также некоторые
неопубликованные, вошедшие в диссертацию.
За Вадимом Березинским числится три важных достижения: теория
топологического фазового перехода в двумерной XY -модели [1,2], теория динамической проводимости одномерного неупорядоченного проводника [3] и теория гипотетической сверхпроводимости с параметром порядка, нечетным по отношению к обращению времени [4]. Мы
сосредоточимся на первом цикле работ, имеющем непосредственное
отношение к публикуемой книге.
Темой его первой работы [1] была теория двумерных систем с группой симметрии SO(2), к которым относятся сверхтекучие жидкости,
сверхпроводники, двумерные кристаллы, планарные магнетики. В этой
работе впервые было аналитически показано, что в таких системах при
10
Идеи В. Л. Березинского и современная статистическая физика
низких температурах появляется алгебраический порядок. Это значит,
что корреляционные функции параметра порядка убывают по степенному закону. Другими словами, средний параметр порядка в двумерной
системе с линейным размером L убывает как L−Δ . Догадка о возможности такого поведения была высказана несколько ранее Стенли
и Капланом [5] на основании численных расчетов. Доказательство,
найденное Березинским основано на представлении о невзаимодействующих голдстоуновских возбуждениях (спиновых волнах). По сути оно
является развитием идей Ландау—Пайерлса о неустойчивости далекого
порядка в двумерных системах с непрерывной группой симметрии [6],
доведенных до статуса точного доказательства Хоэнбергом [7] и Мермином и Вагнером [8]. Березинский впервые указал, что в низкотемпературной фазе указанных систем появляется поперечная жесткость.
Это общее название охватывает, например, плотность сверхтекучей
компоненты двумерных сверхтекучих жидкостей и модуль сдвига кристаллов. Березинский нашел соотношение между поперечной жесткостью J и скейлинговой размерностью параметра порядка:
kB T
.
4πJ
Во второй работе [2], появившейся вскоре после первой, Березинский впервые ввел локализованные топологические возбуждения
систем с указанной группой симметрии — вихри и исследовал их
роль в фазовом переходе. Он обнаружил, что при низких температурах
вихрь и антивихрь образуют связанное состояние — вихревую пару, а
при достаточно высоких температурах пары диссоциируют. В отличие
от диссоциации, в трехмерном газе двумерная диссоциация осуществляется не постепенно, а путем фазового перехода при определенной
температуре. С тех пор исследование топологических возбуждений, их
термических и динамических свойств шагнуло далеко как в статистической физике, так и в теории поля.
Следующий фундаментальный шаг был сделан через два года Костерлицем и Таулесом [9,10] и независимо от них Фейнманом [11].
Они заметили, что не только энергия, но и энтропия индивидуального
вихря пропорциональны логарифму размеров системы. Поэтому условие обращения свободной энергии вихря в нуль однозначно определяет
отношение поперечной жесткости в точке фазового перехода к его
температуре. Для пленки сверхтекучего гелия отношение сверхтекучей
плотности к температуре перехода, найденное теоретически Костерлицем и Нелсоном [12] и подтвержденное экспериментом Бишопа и Реппи
[13], оказалось комбинацией мировых постоянных
Δ=
ρs (Tc )
2m2He
=
.
kB Tc
(πh̄2 )
Еще проще выглядит универсальное значение скейлинговой размерности параметра порядка в точке перехода: Δ = 1/8 [14]. Стало также
Идеи В. Л. Березинского и современная статистическая физика
11
ясным, что этот фазовый переход комбинирует черты скачкообразности
и дискретности: энтропия, площадь и даже теплоемкость изменяются
непрерывно, но поперечная жесткость (сверхтекучая плотность) падает
скачком до нуля. Халперин и Нелсон [15] показали, что алгебраический кристалл плавится при определенной температуре, превращаясь в
новую, гексатическую фазу, в которой трансляционный порядок, даже
алгебраический, отсутствует, но остается алгебраический ориентационный порядок.
В представляемой монографии, кроме уже упомянутых идей и расчетов, читатель найдет анализ вихревых возбуждений на решетке,
низкотемпературные ряды для свободной энергии, уникальный анализ сверхтекучей плотности и энергии. Здесь впервые была обнаружена статистическая эквивалентность моделей с симметрией U (1) и
двумерного кулоновского газа, впоследствии развитая A. П. Юнгом,
П. Минхагеном и др. [16]. Особо следует отметить периодическую
Гауссову модель, впервые введенную Березинским, чрезвычайно удобную в ренормализационной процедуре. Она была заново открыта через
несколько лет и получила в литературе название модели Виллэна [17].
Березинского очень интересовала статистика двумерной модели с
симметрией SO(3) или SU (2) (гейзенберговский магнетик), но в этой
проблеме он не продвинулся далеко. Более того, его заключение о
существовании алгебраического порядка в этой системе и фазового перехода парамагнетик — алгебраический ферромагнетик было ошибочным. Правильная теория была построена Поляковым [18], показавшим,
что флуктуации в системах с неабелевой группой симметрии (SO(N ))
полностью разрушают даже алгебраический порядок и устанавливают
конечный радиус корреляции при любой конечной температуре. Точное
доказательство отсутствия фазового перехода и вычисление зависимости радиуса корреляции от температуры было дано Вигманом и
Поляковым [19]. Как случалось и раньше, ошибки хорошего физика
стимулировали новый, более глубокий подход. В теории Полякова
очень полезным оказался метод ковариантного разделения флуктуирующего момента на быструю и медленную части, предложенный в
работе Березинского и Бланка [20]. Показательно, что в пятой главе
монографии, посвященной гейзенберговским магнетикам, Березинский
высказывает сомнение в правильности своих выводов. Особенно его
тревожило незнание топологических возбуждений для данной симметрии. Он не знал, что элементарное возбуждение поля с группой
симметрии SU (2) было сконструировано Скирмом для нужд ядерной
физики еще в 1957 г. [21]. Общая топологическая теория скирмионов
была дана Белавиным и Поляковым [22].
Приведенный выше краткий обзор показывает, сколь плодотворны
были идеи Березинского и сколь разнообразно было их развитие. Еще
более разнообразны ее экспериментальные применения, включающие
сверхтекучие пленки гелия, специально приготовленные ансамбли лазерно охлажденных атомов щелочных металлов, двумерные кристаллы
12
Идеи В. Л. Березинского и современная статистическая физика
и решетки Джозефсоновских контактов, двумерные магнетики и многое другое. Публикация монографии Березинского даст новый толчок
развитию этой плодотворной области статистической физики.
Список литературы.
1. В. Л. Березинский, ЖЭТФ 59, 907 (1970) [Sov. Phys. JETP 32, 493 (1971)]
2. В. Л. Березинский, ЖЭТФ 61, 1144 (1971) [Sov. Phys. JETP 34, 610
(1971)]
3. В. Л. Березинский, ЖЭТФ 65, 1251 (1973) [Sov. Phys. JETP 38, 620
(1974)]
4. В. Л. Березинский, Письма в ЖЭТФ 20, 628 (1974)
5. H. E. Stanley and Kaplan, Phys. Rev. Lett., 17, 913 (1966)
6. Л. Д. Ландау Phys. Z. der Sowietunion, II, 26 (1937); R. E. Peierls,
Ann. Inst. Henri Poincare, 5, 177 (1935).
7. P. Hohenberg, Phys. Rev. 158, 383 (1967)
8. N. D. Mermin and H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17, 1133 (1966)
9. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, 1181
(1973).
10. J. M. Kosterlitz, J. Phys. C: Solid State Phys. 7, 1046 (1974)
11. R. P. Feynman, unpublished.
12. D. R. Nelson and M. Kosterlitz, Phys. Rev. Lett. 39, 1201 (1977)
13. D. J. Bishop and J. D. Reppy, 40, 783 (1978)
14. А. З. Паташинский, В. Л. Покровский, Флуктуационная теория фазовых
переходов, Наука, Москва, 1982.
15. D. R. Nelson and B. I. Halperin, Phys. Rev B 19, 2457 (1979)
16. P. Minhagen, Rev. Mod. Phys. 59 (1987).
17. J. Villain, J. Phys. C 10, 1717 (1977)
18. A. M. Polyakov, Phys. Lett. B 59, 79 (1975)
19. A. M. Polyakov and P. B. Wiegmann, Phys. Lett. B 131, 121 (1983)
20. В. Л. Березинский, А. Я. Бланк ЖЭТФ 64, 725 (1973) [Sov. Phys. JETP
37, 369 (1973)]
21. R. T. H. Skyrm, Proc. Roy. Soc. London A 247, 260 (1958)
22. A. A. Belavin and A. M. Polyakov, Письма в ЖЭТФ 22, 503 (1975)
[Sov. Phys. JETP Lett. 22, 245 (1975)]
В. Л. Покровский
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Содержание работы
Вопрос о фазовом состоянии двумерных магнетиков, кристаллов
и бозе-жидкостей при низких температурах. В то время, как свойства трехмерных магнетиков, кристаллов и бозе-жидкостей при низких
температурах хорошо изучены и поняты, низкотемпературные свойства
соответствующих двумерных систем во многом остаются неясными.
Целью данной работы является устранение этих неясностей. Будет
получено описание низкотемпературных свойств двумерных магнетиков, кристаллов и бозе-жидкостей и дана интерпретация этих свойств.
(Основные результаты кратко и частично без доказательств излагались
в статьях [1]).
Общей чертой рассматриваемых систем (как трехмерных, так и двумерных) является спонтанное нарушение непрерывной симметрии в
основном состоянии (т. е. при температуре T = 0). Группой спонтанно
нарушаемой симметрии гамильтониана при этом служит:
• для кристалла — группа трансляций (сдвигов)
ur → ur + u,
(1.1)
ur — смещение атома из узла решетки r; u — вектор трансляции,
пробегающий элементарную ячейку 0 < ui < a (a — постоянная
решетки);
• для плоских магнетиков — группа вращений плоскости
Sr(±) → Sr(±) e±iϕ ,
(1.2)
Гл. 1. Введение
14
(x)
(±)
(y) (x)
(y)
Sr = √12 Sr ± iSr , где Sr и Sr — компоненты спина в
плоскости легкого намагничения OXY , ϕ — угол поворота;
• для бозе-жидкостей — группа фазовых преобразований
Ψr → Ψr e−iϕ ,
(1.3)
Ψr и Ψ+
r — бозе-операторы вторичного квантования; группы (1.2)
и (1.3) изоморфны обе группе вращений окружности;
• для изотропных магнетиков — группа трехмерных вращений
Sr(α) → Rβα Sr(β)
(суммирование по β = x, y , z),
(1.4)
r = {Sr(α) }α=x,y,z — спин в узле r; Rα — ортогональные матрицы
S
β
трехмерных вращений: Rβα Rγβ = δγα , образующие группу O(3).
Спонтанное нарушение симметрии при T = 0 означает, что в пределе бесконечной системы имеется непрерывное множество эквивалентных, но различных основных состояний, 1) не инвариантных относительно преобразований группы и переходящих друг в друга под
действием этих преобразований. Это множество содержит следующие
состояния (в скобках указан вид одноточечных средних):
• в случае кристаллов — состояния
u | eikur | u = eiku e−w(k) ,
|u 0<ui <a
(1.5)
параметризуемые смещением u (e−2w(k) — фактор Дебая—
Уоллера);
• в случае плоских магнетиков — состояния
ϕ | Sr(±) | ϕ = m e±iϕ ,
|ϕ −π<ϕπ
(1.6)
m — величина, ϕ — направление проекции спонтанного момента
на плоскость легкого намагничения XOY ;
1)
Состояние системы определяется заданием средних для всех физических
величин системы, для чего достаточно задать подходящий набор корреляционных функций; этот способ годится как для конечных, так и для бесконечных
систем. Последовательность конечных систем с возрастающими размерами R
стремится к состоянию бесконечной системы, если все средние по состояниям
конечных систем стремятся при R → ∞ к средним по состоянию бесконечной
системы.
§ 1. Содержание работы
15
• в случае бозе-жидкости — состояния
r | ϕ = √ρ0 e−iϕ ,
ϕ|Ψ
|ϕ −π<ϕπ
(1.7)
ϕ — фаза, ρ0 — плотность бозе-конденсата;
• в случае изотропных магнетиков — состояния
n | Sr | n = m n ,
|n n2x +n2y +n2z =1
(1.8)
m — величина спонтанного момента, n — единичный вектор,
задающий его направление.
Состояния (1.5)–(1.8) характеризуются также наличием дальнего
порядка (корреляций на бесконечности); для двухточечных корреляций
в пределе |r − r | → ∞ имеем:
u | eik(ur −ur ) | u → e−2w(k) ;
ϕ | Sr(+) Sr | ϕ → (m )2 ;
ϕ | Ψ+
r Ψr | ϕ → ρ0 ;
n | Sr Sr | n → m2 .
(−)
(1.9)
Кроме дальнего порядка, следствием спонтанного нарушения симметрии является, как известно, наличие специальной ветви элементарных возбуждений («голдстоунов») с законом дисперсии εk таким, что
εk → 0 при k → 0. Это будут:
• для кристаллов — акустические фононы
εk ∼ |k|,
1
0| ur |k ∼ √ eikr
k
(k → 0),
• для плоских магнетиков — плоские спиновые волны
1
εk ∼ |k|, 0| Sr(±) |k ∼ √ eikr (k → 0),
k
(1.10)
(1.11)
• для бозе-жидкости — фононы Ландау
εk ∼ |k|,
1
0| Ψr |k ∼ √ eikr
k
(k → 0),
(1.12)
• для изотропных ферромагнетиков — спиновые волны Блоха
εk ∼ k 2 ,
0| Sr(±) |k ∼ eikr
(k → 0).
(1.13)
(кроме закона дисперсии, выписана также зависимость амплитуды
«голдстоунов» при k → 0).
16
Гл. 1. Введение
Подчеркнем, что спонтанное нарушение симметрии в основном состоянии с перечисленными выше свойствами имеет место как для
трехмерных, так и для двумерных систем (это можно проверить на
разрешимых моделях). Однако при T = 0 между трехмерными и двумерными системами в этом отношении возникает различие.
В трехмерных системах, как хорошо известно, спонтанное нарушение симметрии имеет место и при конечных температурах T < Tk , где
Tk — критическая температура (точка фазового перехода второго рода).
При этом низкотемпературное поведение трехмерных систем можно
описать на основе представления низколежащих возбужденных состояний в виде газа слабо взаимодействующих элементарных возбуждений
(голдстоунов), что приводит к простой и достаточно наглядной картине.
Иная ситуация в случае двумерных систем. Подсчет влияния тепловых флуктуаций (Блох, Пайерлс, Ландау, см. ниже) показывает, что
в двумерном случае флуктуации должны разрушать дальний порядок в
пределе бесконечной системы. В последнее время с помощью неравенства Боголюбова было строго доказано, что в рассматриваемых двумерных системах в термодинамическом пределе R → ∞ не может быть
дальнего порядка и спонтанного нарушения симметрии при отличной
от нуля температуре T = 0.
С другой стороны, численные расчеты на основе высокотемпературных разложений неизменно указывали на наличие фазового перехода
в рассматриваемых двумерных системах. В связи с этим неоднократно
высказывались предположения, что в двумерных системах с непрерывной группой симметрии существует низкотемпературная фаза, хотя и
не обладающая дальним порядком и спонтанным нарушением симметрии, но тем не менее качественно отличная от высокотемпературной.
В качестве характерной черты, отличающей низкотемпературную фазу
предлагалась, например, бесконечность магнитной восприимчивости (в
отличие от конечной восприимчивости в высокотемпературной фазе).
Этот вопрос также не был окончательно выяснен.
Нам предстоит, таким образом, рассмотреть как вопрос об описании
и интерпретации низкотемпературных свойств двумерных систем с
непрерывной группой симметрии, так и связанный с ним вопрос о
наличии и характере фазового перехода в этих системах.
История вопроса. Уже в классической статье Ф. Блоха [2], где была
сформулирована теория спиновых волн в ферромагнетике, обращалось
внимание на трудности в трактовке двумерного случая. Действительно,
согласно теории спиновых волн, флуктуации намагниченности (спиновые волны) уменьшают при низких температурах спонтанную намагниченность на величину Δm, пропорциональную среднему числу
возбужденных спиновых волн. Для длинных спиновых волн распределение Планка имеет вид:
nk ∼ (eεk /T − 1)−1 ≈ T /εk ∼ T /k 2 ,
§ 1. Содержание работы
17
поэтому вклад длинных спиновых волн в Δm пропорционален интегралу
(dk)
T
(1.14)
k2
где (dk) — элемент объема в пространстве волновых чисел. В двумерном случае, когда (dk) ∼ kdk , интеграл (1.14) логарифмически расходится на нижнем пределе, что должно означать разрушение спонтанной
намагниченности флуктуациями.
Несколько позднее, Р. Пайерлс [3] и Л. Д. Ландау [4] показали,
что расчет среднего квадрата флуктуационного смещения в кристалле
приводит к интегралу такого же вида (1.14) (этот расчет изложен в
[5]), и интерпретировали расходимость интеграла в двумерном случае
как указание на то, что в двумерных системах невозможно существование дальнего кристаллического порядка.
Вывод о невозможности двумерных магнетиков с отличным от нуля
спонтанным моментом после Ф. Блоха обсуждался в ряде работ в связи
с различными аспектами расходимости флуктуаций (например, в [6]
— в связи с расходимостью энергии доменных стенок в двумерном
случае).
В дальнейшем, когда была установлена связь явлений сверхтекучести и сверхпроводимости с наличием бoзе-конденсата, было показано, что расчет флуктуаций фазы бозе-конденсата опять приводит к
интегралу типа (1.14) и расходимость этого интеграла в двумерном
случае опять интерпретировалась как указание на невозможность бозеконденсата. В табл. 1 собраны некоторые работы, в которых рассматривался подобный «флуктуационный» подход в применении к упоминавшимся двумерная системам.
Таблица 1
Работы, в которых отсутствие дальнего порядка в двумерных
магнетиках, кристаллах и бозе-жидкостях выводилось из расходимости
флуктуаций параметра упорядочения
[3], [4], [5]
кристаллы;
[2], [6], [7], [8]
магнетики;
[9], [10], [11]
бозе-жидкости и сверхпроводники;
Общность всех рассматривавшихся задач (магнетики, кристаллы,
бозе-жидкости) стала особенно ясной после того как была сформулирована общая концепция спонтанного нарушения симметрии (см.
обзор [12]). Н. Н. Боголюбов [13] рассмотрел следствия спонтанного
нарушения симметрии для задач статистической физики и, в частности,
установил «теорему об особенности 1/k 2 » для сверхтекучих и сверхпроводящих систем, а также вывел неравенство, эквивалентное оценке
18
Гл. 1. Введение
коэффициента перед интегралом (1.14). Эта теорема и неравенство
были затем распространены на магнетики и кристаллы в работе [14] 2) .
Затем Хогенберг [15] заметил, что неравенство Боголюбова, представленное в абстрактной форме, позволяет дать простое, но совершенно строгое доказательство отсутствия бозе-конденсата и спонтанного
нарушения симметрии для двумерных бозе-жидкостей, а в работе Мермина и Вагнера [16] было аналогичным образом доказано отсутствие
спонтанной намагниченности в двумерном гейзенберговском ферромагнетике (работа [16] была опубликована раньше [15], но Мермин и
Вагнер сослались на доклад Хогенберга, так что приоритет должен
быть признан за ним). После этого появилось большое число работ,
где эти доказательства были распространены на другие системы с
непрерывной группой симметрии (в том числе на все, рассматриваемые
в настоящей работе), на системы с конечной геометрией в одном
или двух измерениях («тонкие» системы: пленки, прутки), были даны
различные варианты и уточнения доказательств и т.д. По видимому,
в популярности этой темы сыграли роль также «эстетические» соображения: соответствующие доказательства с одной стороны довольно
просты и элегантны, а с другой стороны, являются совершенно строгими, что является редкостью в статистической механике. Некоторые
(вероятно, не все) из этих работ перечислены ниже, в таблице 2.
Наконец, в работе [16] — первой (по времени) из перечисленных
выше — отмечалось, что полученное доказательство не исключает
возможности фазового перехода в рассмотренных там двумерных системах гейзенберговских спинов. Это замечание было вызвано тем, что
к тому времени имелась работа Стенли и Каплана [28], авторы которой
на основе численного анализа коэффициентов высокотемпературного
разложения (соответствующая техника описана в [29]) пришли к выводу о наличии фазового перехода в двумерных изотропных спиновых
системах. В дальнейшем подобные расчеты были уточнены, а также
распространены на другие двумерные системы с непрерывной группой симметрии и неизменно показывали наличие фазового перехода
(заметим, что еще до работы Стенли и Каплана, в работе [30] на
основе другого метода (компьютерное моделирование) были получены
указания на возможность фазового перехода типа жидкость—кристалл
2)
Появление особенности 1/k2 интеграле (1.14) можно проследить
из (1.10)–(1.13). Вклад длинноволновых голдстоунов в среднеквадратичную флуктуацию соответствующей величины ur пропорционален интегралу
(dk)(T /εk )|0| ... |k|2 , где εk и 0| ... |k — закон дисперсии и матричный
элемент из (1.10)–(1.13). Видно, что во всех случаях получается интеграл
типа (1.14). В доказательстве Боголюбова голдстоуны не вводятся явно —
используется только факт спонтанного нарушения симметрии и спектральные
представления, что, однако, эквивалентно учету голдстоунов. (Действительно,
согласно теореме Голдстоуна (см. [12]), появление голдстоунов есть следствие
спонтанного нарушения симметрии.)
§ 1. Содержание работы
19
Таблица 2
Работы, где отсутствие дальнего порядка при T = 0 в
двумерных системах с непрерывной группой симметрии
доказывалось на основе неравенства Боголюбова
[16]
изотропные магнетики;
[15]
бозе-жидкость;
[17]
кристаллы, классический гейзенберговский ферромагнетик, решетка плоских ротаторов
[18]
кристаллы
[19]
бозе-жидкость
[20]
обзор применений неравенства Боголюбова
[21], [22], [23]
бозе-жидкость, конечная геометрия
[24]
магнетики, конечная геометрия
[25]
решетка плоских ротаторов
в системе плоских дисков). Ниже перечислены известные автору работы, в которых на основе численного анализа коэффициентов высокотемпературных рядов устанавливалось наличие фазового перехода в
двумерных системах с непрерывной группой симметрии.
Таблица 3
Работы, в которых на основании компьютерных расчетов получены
указания на фазовый переход в двумерных системах
с непрерывной группой симметрии
[30]
переход жидкость-кристалл в системе плоских дисков,
машинное моделирование;
[28], [31], [32]
гейзенберговский ферромагнетик и решетка плоских
спинов, высокотемпературное разложение;
[33]
решетка плоских спинов, высокотемпературное разложение;
[34]
решетка плоских спинов, тот же метод.
Конечно, численные расчеты и компьютерное моделирование не
могут рассматриваться как строгое доказательство, однако применения
этого метода к вопросам, связанным с фазовыми переходами второго
рода согласованы и внушают доверие (см. [29]). В связи с полученным
ими выводом Стенли и Каплан в [28] во-первых, выразили сомнение в доказательности рассуждений типа Блоха—Пайерлса—Ландау
— эти сомнения вскоре были опровергнуты строгим доказательством
Мермина и Вагнера — и, во-вторых, высказали альтернативное предположение, что в двумерных магнетиках имеется низкотемпературная
фаза, хотя и не обладающая спонтанной намагниченностью но, тем не
20
Гл. 1. Введение
менее, качественно отличная от высокотемпературной фазы. Аналогичные предположения высказывались и другими авторами. В качестве
характерного признака низкотемпературной фазы обычно называлась
бесконечная восприимчивость. Некоторые работы, содержащие подобные предположения, указаны в нижеследующей таблице 4.
Таблица 4
Работы, в которых высказывались предположения
о существовании в двумерных системах с непрерывной
группой симметрии низкотемпературной фазы
с бесконечной восприимчивостью
[28], [31], [22], [35], [36], [37], [38]
Некоторые другие работы, результаты которых частично перекрываются с нашими, будут указаны несколько позже, после изложения
основных выводов настоящей работы.
Основные результаты работы. В настоящей работе найдены асимптотики корреляционных функций в низкотемпературном состоянии двумерных систем с непрерывной группой симметрии; показано, что в
таких системах должен иметь место фазовый переход при некоторой
температуре Tk и выяснена природа качественного различия к между
свойствами системы при T < Tk и T > Tk .
Это различие, как оно будет установлено в результате нашего
исследования, состоит не в бесконечности восприимчивости (хотя восприимчивость, действительно, бесконечна при достаточно низких температурах, но не обязательно вплоть до Tk , см. ниже, сноску 4), а в
том, что при T < Tk рассматриваемые системы обладают, а при T > Tk
не обладают свойством, которое мы назовем «жесткостью относительно
поперечных воздействий» или просто поперечной жесткостью. Это
свойство имеет место и для упорядоченной фазы трехмерных систем,
где оно оказывается следствием дальнего порядка и спонтанного нарушения симметрии, но, как будет показано, в двумерных системах,
где дальний порядок и спонтанное нарушение симметрии отсутствуют, свойство поперечной жесткости, тем не менее, имеет место ниже
некоторой температуры Tk , а его исчезновение при T = Tk связано с
фазовым переходом.
Наиболее наглядно свойство поперечной жесткости для случая
кристаллов, когда оно соответствует просто сдвиговой жесткости.
В частности, в двумерных кристаллах, наряду с продольными, могут распространяться также и поперечные волны. Именно сдвиговую
жесткость, а не наличие дальнего кристаллического порядка следует
считать характерным отличием твердого состояния от жидкого. Двумерные кристаллы представляют из себя твердое тело, несмотря
на то, что дальний кристаллический порядок в них отсутствует (в связи
с чем само название «двумерные кристаллы» является условным).
§ 1. Содержание работы
21
Аналогично, двумерные бозе-жидкости при T < Tk обладают
свойством сверхтекучести, несмотря на отсутствие бозе-конденсата
и вырождения по фазе. Свойство сверхтекучести также можно сформулировать как свойство жесткости относительно поперечных воздействий: роль поперечного зонда в случае нейтральной жидкости играет
вращение стенок сосуда, а в случае заряженной (сверхпроводник) —
поперечная часть вектор-потенциала внешнего магнитного поля. Само свойство при этом состоит в том, что нейтральная сверхтекучая
жидкость не приходит во вращение, а в заряженную не проникает
магнитное поле (эффект Мейсснера).
Наименее наглядным соответствующее свойство поперечной жесткости представляется в случае магнетиков. Характеристику и математическую формулировку этого свойства, которое мы назовем магнитной жесткостью, можно получить, используя изоморфизм между
математическим описанием бозе-жидкости и плоского магнетика (угол
ϕ, характеризующий направление магнитного спина в плоскости легкого намагничения, соответствует фазе бозе-конденсата). Наглядность
интерпретации, однако, затрудняется тем обстоятельством, что внешним воздействиям, естественным для бозе-жидкости, соответствуют
воздействия на магнетик, которые выглядят совершенно искусственными (хотя в принципе и выполнимыми) и обратно. Впрочем, свойство
поперечной жесткости магнетиков можно все же связать с откликом
магнетика на слабое магнитное поле, изменяющееся в пространстве
таким образом, что направление, в котором происходит изменение
поля, перпендикулярно самому полю (см. [39]). Однако более важно
то, что из свойства магнитной жесткости вытекает возможность распространения спиновых волн в системе; в частности, в двумерном магнетике должны иметь место обычные магнитные резонансные явления.
Таким образом, магнитную жесткость также надо рассматривать как
свойство, более характерное для магнетика, чем наличие спонтанной
намагниченности.
Центральное место в тексте занимает глава 2, где рассмотрена
двумерная решетка плоских классических спинов — система, являющаяся идеализированной моделью как плоского магнетика, так и
бозе-жидкости. Эта система представляет собой двумерную решетку,
с каждым узлом которой r связан угол ϕr (меняющийся от −π до
π ). При магнитной интерпретации этот угол задает направление спина
в плоскости легкого намагничения, а при бозе-жидкостной — фазу
конденсата. Энергия конфигураций имеет вид суммы взаимодействий
ближайших соседей типа
H = −J
cos (ϕr+δ − ϕr ) ,
(1.15)
rδ
(в гл. 2 рассмотрено более общее выражение с энергией парного
взаимодействия, являющейся общей периодической функцией соседних
разностей Vrδ = ϕr+δ − ϕr ). В (1.15) через δ обозначены векторы, со-
Гл. 1. Введение
22
единяющие соседние узлы, и суммирование идет по всем связям (парам
соседних узлов) rδ . Сверхтекучие внешние воздействия описываются
e (r), гамильтониан в котором имеет
«сверхтекучим внешним полем» A
вид
H(Ae ) = −J
cos (ϕr+δ − ϕr + Aerδ ) .
(1.16)
rδ
e (r)
связаны с непрерывным вектор-потенциалом A
Величины
(вектор-потенциал сверхтекучего поля) соотношениями
δ e
e
e (r) · δ .
Arδ = A (r + ) · δ ≈ A
(1.17)
2
Aerδ
Важную роль в работе играет «сверхтекучая свободная энергия»
ΔF (Ae ), определяемая как разность свободных энергий для гамильтонианов (1.15) и (1.16), выраженная в виде функционала от Ae . Этот
функционал, как показано в главе 2, обладает свойством «градиентной
инвариантности» и имеет вид при |Ae | 1:
e e ek A
e−k − (k Ak )(k A−k ) (dk) + o (Ae )2 , (1.18)
ρs (k 2 ) A
k2
e — фурье-образ A
e (r). Имеются, как показано в § 1 главы 2, две
где A
k
принципиально различные возможности:
1
ΔF (A ) =
2
e
lim ρs (k 2 ) = ρs = 0;
ρs (k 2 ) = ρs + O(k 2 ),
(1.19a)
lim ρs (k 2 ) = 0;
ρs (k 2 ) = σk 2 + o(k 2 ).
(1.19b)
k→0
k→0
При этом (1.19a) соответствует наличию сверхтекучести или магнитной жесткости, а (1.19b) — их отсутствию. Один из основных результатов состоит, как уже говорилось, в том, что при достаточно низких
температурах имеет место (1.19a), а при достаточно высоких — (1.19b),
а переход между ними при некоторой T = Tk есть фазовый переход
второго рода.
Основную трудность в данной задаче представляет описание системы при низких температурах. В § 4 построено низкотемпературное
разложение, вывод которого основан на том, что при достаточно низких температурах асимптотически существенны только конфигурации,
в которых |ϕr+δ − ϕr | на каждой связи достаточно мал. Для таких
конфигураций угол ϕr меняется при переходе к соседним узлам почти
непрерывно, и можно определить «полный набег угла» (учитывающий
число полных оборотов на 2π ) вдоль любого, сколь угодно длинного решеточного пути. Конфигурации, в которых этот набег различен
для каких-нибудь различных двух путей, соединяющих те же точки,
должны содержать где-то между этими путями «дефект», обход вокруг
которого дает изменение полного угла равное 2πK , с целым K = 0. Такие дефекты представляют собой модель квантованных вихревых нитей
§ 1. Содержание работы
23
в бозе-жидкости и названы «вихрями», а целое число K — циркуляцией вихря. При T J конфигурациями, содержащими вихри, можно
пренебречь, т. к. их вклад имеет порядок O(e−O(1/T ) ), и учитывать
только безвихревые конфигурации. Последние описываются заданием
r , определенной как полный набег угла на
в каждом узле r величины ϕ
r
любом пути, соединяющем r с фиксированным узлом r0 . Величины ϕ
(«полные углы») меняются от −∞ до +∞, в отличие от исходных углов
ϕr . Выражения физических величин через полные углы ϕ
r получаются
из их выражений через исходное углы ϕr периодическим продолжением
с интервала −π , π на −∞, ∞.
Основное приближение, справедливое асимптотически при T J ,
получается квадратичным разложением энергии безвихревых конфигу
r+δ − ϕ
r что дает для гамильтониана
раций по малым разностям ϕ
H=
1 1 J
(ϕ
r+δ − ϕ
r )2 = − J
ϕ
r Δrr ϕ
r ,
2
2
r
r
rδ
где Δrr — матрица оператора, представляющего собой дискретный
аналог оператора Лапласа. Соответствующее приближение для распределения Гиббса представляет собой гауссово распределение полных
углов с корреляционной матрицей
ϕ
r ϕ
r =
T
Grr ,
J
где Grr = −(Δ−1 )rr функция Грина оператора Δrr , имеющая логарифмическую асимптотику на больших расстояниях. В § 5 главы 2
найдены асимптотики корреляций и сверхтекучая свободная энергия
в основном приближении. Корреляции убывают с расстоянием по степенному закону с показателем степени ∼ T /J , и имеет место (1.19a) с
ρs = J . Далее, в § 6 рассмотрены поправки к основному приближению,
в рамках систематического низкотемпературного приближения. Получены следующие результаты:
а) Сверхтекучая свободная энергия ΔF (Ae ) имеет вид (для медленно меняющихся Ae (r)):
e )
e )(k A
(k A
1
k
−k
e
e e
ΔF (A ) ≈ ρs (T )
Ak A−k −
(1.20)
(dk),
2
k2
где ρs (T ) убывает с повышением температуры;
б) асимптотики корреляций (средних от произведений фурьеэкспонент eimk ϕrk с целыми mk ) при |r − r | a и в пределе
бесконечных размеров системы имеют вид
Гл. 1. Введение
24
n
imk ϕrk
e
≈ δm1 +...mn ,0
k=1
n
L(m2k ,T )
e
k=1
×
1k<k n
×
rk − rk mk mk α(T )
, (1.21)
a
(δs,s — символ Кронекера, a — постоянная решетки)
Поправки к основному приближению связаны, во-первых, с членами
четвертого и высших порядков по (ϕ
r+δ − ϕ
r ) в энергии безвихревых
конфигураций, и, во-вторых, с вкладом конфигураций, содержащих
вихри. Наряду с описанным выше наглядным подходом, в § 4 гл. 2
приведено формальное преобразование статсуммы, в результате которого исходные интегралы в пределах −π < ϕn < π преобразуются в
сумму членов, каждый из которых представляет собой интеграл по
ϕ
r в пределах −∞, ∞. Различные члены соответствуют всевозможным
целочисленным функциям Kr∗ на дуальной решетке (узлы которой r∗
расположены в центрах ячеек исходной решетки). Каждой функции
Kr∗ отвечает определенная конфигурация вихрей (величины Kr∗ имеют смысл циркуляции по контуру ячейки r∗ ). Члену с Kr∗ ≡ 0 при
этом соответствует вклад безвихревых конфигураций.
T
В основном приближении ρs = J и α = 2πJ
. В безвихревом приближении, рассмотренном в первой части § 6, для расчета ρ0s (T ) и α0 (T )
(верхним индексом 0 отмечены величины, рассчитанные в безвихревом
приближении) может быть применена простая диаграммная техника,
которая приводит к асимптотическому низкотемпературных ряду по
степеням T для сверхтекучей плотности:
ρ0s (T ) = J + a1 T + a2 T 2 + ... ,
при этом α0 (T ) выражается через ρ0s (T ) в виде α0 (T ) = T /(2πρ0s (T )).
Учет вихрей произведен во второй части § 6. Показано, что в силу
логарифмического возрастания энергии взаимодействия противоположных вихрей с расстоянием и такого же отталкивания одноименных
вихрей, при достаточно низких температурах все вихри объединяется
в связанные «квазимолекулы», представляющие собой группы близко
расположенных вихрей с нулевой суммарной циркуляцией. Если рассматривать циркуляции вихрей как аналог зарядов, то полный заряд
квазимолекул равен нулю и созданное ими возмущение на больших
расстояниях определяется величиной аналогичной дипольному моменту. Полные ρs (T ) и α(T ) (с учетом вихрей) выражаются через ρ0s (T ) и
2
«среднеквадратичный дипольный момент квазимолекул» d (T ):
2
2
4π 2 d 0
1
T
0
2d
ρs = ρs 1 −
ρ ; α=
+ 4π 2 .
(1.22)
T a2 s
2π ρ0s
a
§ 1. Содержание работы
25
2
Так как d = O(e−O(1/T ) ), т. е. имеет экспоненциальный порядок малости при T J , вклад вихрей не существенен для коэффициентов
степенных асимптотических рядов по степеням T для ρs (T ) и α(T ).
В § 8 главы 2 рассмотрен вопрос о фазовом переходе. Сначала
построено высокотемпературное разложение для рассматриваемой системы и показано, что при достаточно высоких температурах должен
иметь место случай (1.19b), так что должна существовать температура
Tk , при которой ρs (T ) обращается в нуль:
ρs (Tk ) = 0.
(1.23)
Приведены аргументы, что этой температуре должен отвечать некоторый фазовый переход. Для этого статсумма исходной системы преобразована в статсумму некоторой «дуальной» системы, состояния которой
описывается целочисленными функциями nr∗ на дуальной решетке
(эта дуальность обобщает известную дуальность Крамерса—Ванье для
задачи Изинга) и показано, что переходу от (1.19b) к (1.19a) в исходной системе, в дуальной системе отвечает переход, при котором исчезает спонтанное нарушение симметрии относительно преобразований
nr∗ → nr∗ + n (с целыми n). Естественно принять, что этот переход
в дуальной системе является переходом второго рода и ему отвечает
сингулярность в статсумме, типичная для таких переходов; но тогда и
в статсумме исходной системы будем иметь такую же сингулярность
при температуре Tk , соответствующей (1.22).
В § 8 также приведены аргументы, что особые свойства низкотемпературной фазы соответствуют наличию в системе сверхтекучести
(в бозе-жидкостной интерпретации). Собственно говоря, это следует
уже из того, что при T < Tk имеет место (1.19a), чему соответствует
следующий вид функции корреляции токов в длинноволновом пределе
(аналогом тока служат величины
jrδ = −
∂H
= J sin(ϕr+δ − ϕr ),
∂(ϕr+δ − ϕr )
аналогом полной плотности — величина
∂2H
ρ=
,
(∂(ϕr+δ − ϕr ))2
jk = {jkμ }μ=1,2 — фурье-компоненты тока):
kμ kμ
1
jkμ j−kμ = (ρ − ρs )δμμ + ρs 2 + o(k → 0).
(1.24)
T
k
Такой вид функции корреляции токов соответствует различным длинноволновым пределам для корреляций продольных и поперечных токов
(компонент jk , параллельной и перпендикулярной волновому векто
⊥
ру k ), именно jk j−k
→ T ρ и jk⊥ j−k
→ T (ρ − ρs ). Различие этих
пределов представляет собой некоторый вид дальнего порядка, свя-
26
Гл. 1. Введение
занного с характерной для сверхтекучести «жесткостью относительно
поперечных воздействий» (см. [41–43]). Так как, однако, непосредственным признаком сверхтекучести (по которому она и узнается в
эксперименте) является возможность сверхтекучего потока в системе,
то в § 8 вопрос рассмотрен и с этой точки зрения. Показано, что
состояния со сверхтекучим потоком описываются конфигурациями полных углов, соответствующими неоднородным граничным условиям (в
дальнейшем — г.у.) для полных углов, вида ϕ
rгр = ϕs (rгр ), где ϕs (rгр ) —
медленно меняющаяся функция граничной точки rгр . Переход от таких
неоднородных г.у. к нулевым г.у. ϕ
s (rгр ) = 0 осуществляется путем
сдвига полных углов ϕ
r на величины
ϕs (r) определяется
ϕs (r), где
как решение уравнения Лапласа
r Δrr ϕs (r ) = 0 с граничными
значениями ϕs (rгр ). Корреляции в таком «сдвинутом» состоянии отличаются от корреляций при нулевых г.у. (т. е. от (1.21)) множителями
n
imk ϕs (rk )
. Сверхтекучей скорости при этом соответствует велиk=1 e
чина
vs (r) = ∇ϕs (r).
(1.25)
В состоянии с vs (r) = 0 имеется отличный от нуля средний ток
js ≈ ρsvs ,
(1.26)
а энергия от энергии состояний с vs (r) = 0 отличается на величину
1
ΔEs ≈ ρs (∇ϕs )2 (dr)
(1.27)
2
((1.26) и (1.27) справедливы при достаточно малых vs ). Так как состояния с vs = 0 получаются из состояний с vs = 0 однозначным
преобразованием (сдвигом ϕ
r → ϕ
r + ϕs (r)), то энтропия при этом
не меняется, так что плотности энергии ε и энтропии s связаны с
соответствующим величинами ε0 и s0 при vs = 0 соотношениями
1
ε ≈ ε0 + ρs vs2 ,
2
1
1
ρs vs2 .
s(ε) ≈ s0 ε − ρs vs2 ≈ s0 (ε) −
2
2T
(1.28)
(1.29)
Построенные «состояния со сверхтекучим потоком» являются, однако, не состояниями полного термодинамического равновесия, а только
метастабильными состояниями с большим временем жизни. В описанном выше построении не учтено, что при переходе к формулировке,
основанной на полных углах, надо учитывать для полных углов всевозможные г.у. вида ϕ
rгр = ϕs (rгр ) + 2πn(rгр ), где n(rгр ) — произвольные
целочисленные функции, так как все такие г.у. соответствуют одной
и той же граничной конфигурации исходных углов ϕrгр . Г.у. с
n(rгр ) = 0 эквивалентны разрывам ϕ
rгр (скачкам на 2πn) в некоторых
точках границы или вихрям, локализованным на границе. Среди г.у.
с n(rгр ) = 0 всегда есть такие, для которых решение задачи Дирихле
§ 1. Содержание работы
27
для г.у. ϕs (rгр) + 2πn(rгр ) затухает вглубь системы, т. е. сверхтекучая
скорость (1.25) равна нулю вдали от границ. Хотя энергия для таких
г.у. содержит дополнительный вклад, связанный с разрывами ϕ
rгр на
границе (т. е. с граничными вихрями), этот вклад по порядку величины
пропорционален длине границы, тогда как с состояниями для vs = 0
связана, согласно (1.27), энергия порядка площади системы. При достаточно больших размерах системы состояния с vs = 0 имеют энергию
меньшую, чем у состояний с vs = 0, и в пределе бесконечных размеров
системы вклад состояний с vs = 0 асимптотически несущественен.
С другой стороны, если в некоторый момент система находилась
в состоянии с vs = 0, то непрерывный переход в энергетически более
выгодные состояния с разрывами ϕ
rгр на границе (т. е. с граничными
вихрями) может осуществляться только путем рождения пары вихрей
внутри системы, после чего компоненты пары с противоположными
циркуляциями отправляются, удаляясь друг от друга, к противоположным границам системы, пока не высадятся на них. И действительно, если рассмотреть энергию вихревой пары в сверхтекучем
потоке с vs = 0, то к энергии притяжения, логарифмически растущей
с расстоянием r между компонентами пары, добавится отрицательный
член ∼ −vs r, за счет которого полная энергия пары становится отрицательной при расстояниях r rc , где
1
1
.
log
vs
vs a
Однако для того, чтобы дойти до таких размеров, пара должна пройти
через состояния с размерами r rc , для которых энергия положительна, т. е. должна преодолеть высокий и широкий энергетический барьер.
Поэтому состояния со сверхтекучим потоком должны быть метастастабильными состояниями с большим временем жизни, стремящимся к ∞
при vs → 0. В рамках равновесной статистики приближенное описание
таких состояний можно получить, ограничившись при вычислении
статсуммы и средних только вкладом конфигураций полных углов с
г.у. вида ϕ
rгр = ϕs (rгр ) и вихревыми квазимолекулами размеров rc
внутри системы 3) .
Отметим, что из (1.25)–(1.29) может быть выведена также и неравновесная термодинамика состояний со сверхтекучим потоком, т. е.
двухжидкостная гидродинамика сверхтекучей жидкости и соответствующая теория для магнетиков — совершенно аналогично тому, как это
сделано в работе [39] (для трехмерного случая).
Рассмотрение двумерных кристаллов (гл. 4) производится полностью аналогично рассмотрению системы плоских спинов в гл. 2. Вместо
rc ≈
3)
Отдельное рассмотрение выделенных конфигураций соответствует приближению, в котором переходы из них запрещены (время жизни бесконечно).
Строгая трактовка метастабильных состояний возможна только в рамках кинетики.
Гл. 1. Введение
28
полных углов ϕ
r конфигурации описываются величинами ur — смещениями атомов из соответствующих узлов решетки; основное приближение соответствует квадратичному разложению энергии конфигураций
по разностям ur+δ − ur , а безвихревое — учету членов высших порядков по ur+δ − ur . Роль вихрей играют теперь дислокации, определяемые как дефекты, обход вокруг которых дает изменение смещения
ur на некоторый вектор решетки (вектор Бюргерса), соответствующий понятию циркуляции для вихрей, и т.д. Сверхтекучести бозежидкости для системы гл. 2. соответствует теперь наличие поперечной
(сдвиговой) жесткости; состояниям со сверхтекучим потоком при этом
соответствует состояния с упругой деформацией. Аналогом (1.25) для
них служат компоненты тензора деформации
ε
μμ
1
=
2
∂uμ
∂uμ
+
∂xμ
∂xμ
,
(1.30)
где u(r) определяется, аналогично ϕs (r), как решение уравнений упругого равновесия при соответствующих граничных условиях. Роль, аналогичную вектору тока, играют компоненты тензора натяжений (тензор
потока импульса); при этом аналогом (1.26) является закон Гука, а
аналогом (1.27) — обычное выражение для упругой энергии 4) .
Столь полная аналогия между плоскими магнетиками, бозежидкостями и кристаллами связана с тем, что во всех этих системах
группа симметрии коммутативна. В изотропных магнетиках, где
состояние каждого узла характеризуется единичным трехмерным
вектором nr , группой симметрии служит группа трехмерных вращений,
и некоммутативность этой группы приводит к тому, что утверждения,
аналогичные приведенным выше, принимают более сложную форму
и в ряде случаев остались нами не выясненными. Впрочем, здесь
также имеют место степенные асимптотики корреляций, можно
определить аналог величины ρs (см. [39]) и при T < Tk существуют
состояния с медленно меняющимся направлением намагниченности
n(r), аналогичные состояниям со сверхтекучим потоком и упругой
деформацией (мы объединим все такие состояния общим названием
«деформированные состояния»). Один важный вопрос, однако,
остался невыясненным: что соответствует (и соответствует ли чтонибудь вообще) в случае изотропных магнетиков вихрям в бозежидкости или дислокациям в кристалле?
Некоторые из полученных результатов собраны в таблицу 5.
4)
Обратим внимание на то, что упруго деформированные состояния также
являются метастабильными (как в двумерном, так и в трехмерном случае). Это
обстоятельство не всегда отмечается.
§ 1. Содержание работы
29
Таблица 5
Сравнительная таблица свойств трехмерных и двумерных
систем с непрерывной группой симметрии
трехмерные системы
1.
2.
Спонтанное нарушение
симметрии
при T = 0
имеет место
имеет место
при T < Tk
имеет место
не имеет места
при T > Tk
не имеет места
не имеет места
Однородные состояния непрерывное
мно- единственное
бесконечной
системы жество
однородных однородное состояние
при T < Tk
состояний
кристаллы
...u ; 0 ui a
...0
бозе-жидкости и
плоские магнетики
...ϕ ; −π ϕ π
...0
изотропные магнетики
3.
4.
двумерные системы
...n ; n2x + n2y + n2z = ...0
=1
Средние в однородных не инвариантны отно- инвариантны относисостояниях при T < Tk сительно группы
тельно группы
eikur 0 ∼ δ(k)
кристаллы
eikur u = eiku e−w(k)
плоские ротаторы
eimϕr ϕ = eimϕ eL(m ) eimϕr 0 ∼ δm,0
бозе-жидкости
Ψ(r)ϕ =
плоские магнетики
Sr(±) ϕ = m e±iϕ
Sr(±) 0 = 0
изотропные магнетики
r n = mn
S
r 0 = 0
S
√
ρ0 e−iϕ
Ψ(r)0 = 0
Поведение корреляций существует предел при спадают по степеннопри |r − r | → ∞ (T < |r − r | → ∞
му закону
< Tk )
Гл. 1. Введение
30
2
кристаллы:
eik(ur −ur ) → e−2w(k)
∼ |r − r |−α(T )k
плоские
ротаторы:
eim(ϕr −ϕr ) →1
∼ |r − r |−α(T )m
бозе-жидкости:
Ψ+ (r)Ψ(r)
→ ρ0
∼ |r − r |−α(T )
плоские магнетики:
Sr(+) Sr(−)
→ (m )2
∼ |r − r |−α(T )
изотропные магнетики:
r S
r S
→ m2
∼ |r − r |−2α(T )
5.
Поведение корреляций
|r − r | → ∞
при
(T > Tk )
6.
Деформированные
состояния
2
корреляции спадают с расстоянием
экспоненциально ∼ exp(−λ(T )|r − r |)
при T > Tk
не существуют
не существуют
при T < Tk
существуют
существуют
кристаллы
бозе-жидкости
магнетики
упруго-деформированные состояния
состояния со сверхтекучим потоком
состояния с меняющимся направлением
намагниченности
Индексы i, j , ... = 1, 2, 3 или 1, 2 в зависимости от размерности
7.
Переменные, описываю- пространственные производные от параметщие деформированные ров, описывающих однородные состояния
состояния
(см. п. 2)
∂uj
∂ui
кристаллы
тензор деформаций εij = 12 ∂x
+
∂xi
j
бозе-жидкости и
; vi = ∂φ
сверхтекучая скорость vs = ∇φ
плоские магнетики
∂xi
изотропные магнетики производные
∂
n
n ∂x
=0
i
8.
∂
n
∂xi ,
удовлетворяющие условию
Энергия деформирован- плотность энергии квадратична по производных состояний
ным из п.7
кристаллы
(квадратичная форма от εij (r)) dr
бозе-жидкости и
1
ρ (T ) (∇φ)2 dr
плоские магнетики
2 s
∂n 2
1
изотропные магнетики
ρ (T )
r
i ( ∂xi ) d
2 s
§ 1. Содержание работы
9.
Локальный закон сохранения
кристаллы
∂
∂t
плотность
сохран.
величины
= − div
плот. потока
сохран.
величины
∂
∂t pi (r)
= − ∂x∂ j σij (r)
pi (r) = mu̇i (r) – плотность импульса,
σij (r) – тензор натяжений
бозе-жидкости и
плоские магнетики
изотропные магнетики
31
∂ ∂t S
∂
∂t ρ(n) = − div j
∂ r ;
= − ∂xi Πi , S = S
i – поток углового момента
Π
иΠ
i – векторы в спиновом
(S
пространстве)
10. Плотность потока сохр. Плотность потока есть линейная и локальвеличины в деформиро- ная функция переменных описывающих деванных состояниях
формированные состояния (см. п. 7)
кристаллы
бозе-жидкости и
плоские магнетики
изотропные магнетики
11. Характерные свойства,
отличающие деформированные состояния от
свойств при T > Tk
σij (r) = (линейная функция от εi j (r))
j = ρs (T ) vs = ρs (T )∇ϕ
i ∼ ∂n
Π
∂xi
Поперечная жесткость. Возможность состояний с неизотропным переносом сохраняющейся величины. Необходимость дополнительных переменных (см. п. 7) для описания
равновесных состояний.
кристаллы
Сдвиговая жесткость. Возможность состояний с ненулевыми касательными напряжениями. Наличие поперечных волн.
бозе-жидкости
Неувлечение жидкости вращением стенок
(эффект Мейсснера). Сверхтекучесть (возможность состояний с js = 0)
магнетики
Магнитная жесткость. Спиновые волны.
12. Корреляции токов при Корреляции поперечных токов = корреляции продольных токов даже в длинноволноT < Tk
вом пределе k → 0.
кристаллы
бозе-жидкости
магнетики
(не выписываем)
jki
j−ki = Tρ
ki ki
k2
⊥ ⊥
; jki
j−ki = T ρn
ki⊥ ki⊥
k2
(не выписываем)
13. Дальнодействующие де- Описываются так же, как деформированные
фекты
состояния, но с неоднозначными функциями, имеющими сингулярностями на: линиях
(в пространстве), в точках (на плоскости)
Гл. 1. Введение
32
кристаллы
бозе-жидкости
плоские магнетики
изотропные магнетики
дислокации
квантованные вихри
дисклинации
(не знаем)
Аналогичные результаты других авторов. Степенные асимптотики
корреляций в двумерной бозе-жидкости были получены в работах [44]
и [45], и в работе [46] — для двумерной системы плоских спинов.
В нескольких работая имеются ссылки на неопубликованные результаты Дайсона (F. Dyson) о степенной асимптотике корреляций
и фазовом переходе в двумерном гейзенберговском ферромагнетике.
Ссылки на это имеются в работах [31], [38], [44,45], но изложения
самих рассуждений Дайсона автор не видел.
В. Н. Попов на основе формализма, развитого им в работе [47],
пришел к таким же выводам, что и автор настоящей работы — именно, относительно степенных асимптотик корреляций и сверхтекучести
двумерной бозе-жидкости. Эти результаты излагались им в институте
теоретической физики им. Л. Д. Ландау в мае 1971 г., и по-видимому
нигде не были опубликованы. Автор благодарен В. Н. Попову за
сообщение о своих результатах и их обсуждение.
Имеются работы, в которых делались попытки найти корреляции
в двумерном гейзенберговском ферромагнетике методом расцепления
цепочки уравнений для функций Грина. Ввиду произвольности делавшихся при этом предположений расхождение результатов этих работ с
нашими не заслуживает внимания и мы этих работ не касаемся.
Утверждение о возможности существования тел со сдвиговой жесткостью (т. е. твердых тел) но без дальнего кристаллического порядка
имеется в работе [48].
Обзор содержания работы по главам. В § 2 и § 3 главы 1 рассмотрены необходимые для дальнейшего математические построения. В § 2
описаны обозначения, связанные двумерной решеткой и функциями на
ней и рассмотрен дискретный оператор Лапласа для таких функций,
а также — функция Грина этого оператора, играющая в дальнейшем
важную роль. В § 3 введены специальные функции связи на решетке
— решеточные формы, которые можно рассматривать как дискретный
аналог непрерывных векторных функций на плоскости и рассмотрены
дискретные обобщения на случай двумерной решетки ряда понятий и
теорем векторного анализа на плоскости.
Центральное место в работе занимает глава 2, в которой подробно
рассмотрена решетка плоских спинов (ротаторов), представляющая
собой идеализированную модель плоского магнетика и бозе-жидкости.
Постановка задачи описана в § 1, где, в частности, введена важная
§ 1. Содержание работы
33
величина — «сверхтекучая свободная энергия», представляющая собой
e (r),
функционал от внешнего векторного поля — вектор-потенциала A
описывающего «сверхтекучие» внешние воздействия; в § 1 рассмотрены свойства этого функционала, вытекающие из определения и его
связь с функциями корреляций токов. § 2 и § 3 содержат вспомогательные построения, нужные для дальнейшего (в § 2 рассмотрено
квадратичное приближение, применимое на малых расстояниях, в § 3
рассмотрено точное решение одномерной задачи). В § 4 развивается
способ рассмотрения двумерной задачи. Сначала описан не вполне
строгий, но наглядный подход, а затем построено систематическое
низкотемпературное разложение, служащее основой для дальнейшего
рассмотрения. В § 5 подробно рассмотрено основное приближение,
соответствующее главному члену низкотемпературного разложения и
найдены выражения асимптотик корреляций и сверхтекучей свободной
энергии в этом приближении. В дополнении к § 5 изложен другой
способ вывода части полученных результатов, ценность которого в том,
что он может быть обобщен на изотропные спиновые системы (гл. 5). В
§ 6 рассмотрены поправки к основному приближение, происходящие от
дальнейших членов низкотемпературного разложения и найдена общая
структура асимптотик корреляций и выражения сверхтекучей энергии
с учетом всех поправок. § 6 разделен на две части: в первой рассмотрены поправки, соответствующие вкладу безвихревых конфигураций,
а вторая содержит рассмотрение поправок, связанных с вихрями. В
§ 7 найдена свободная энергия и намагниченность плоского магнетика
в слабом внешнем поле (магнитном), а также рассмотрен вопрос о
бесконечности восприимчивости. В § 8 рассмотрен центральный вопрос
о фазовом переходе в системе двумерных плоских спинов. Наконец, в
§ 9 кратко рассмотрены системы с конечными размерами в одном или
двух измерениях (пленки, прутки).
В главе 3 рассмотрены квантовые системы — решетка квантовых
плоских ротаторов и двумерная бозе-жидкость. Первой из этих систем,
представляющей собой квантовый аналог системы, рассматривавшейся
в главе 2, посвящен § 1, а в § 2 показано, что рассмотрение бозежидкости может быть сведено к рассмотрению предыдущей системы.
В главе 4 кратко рассмотрены двумерные кристаллы, а в главе 5
— двумерный гейзенберговский ферромагнетик: в § 1 классический, а
в § 2 — квантовый. Рассмотрение в главах 4 и 5 менее законченное
и полное, чем в главе 2 — фактически рассмотрены только асимптотики корреляций. Но если для двумерных кристаллов пропущенные
вопросы легко разрешить по аналогии с гл. 2, то для гейзенберговского
магнетика они требуют преодоления ряда трудностей, связанных с
более сложной параметризацией группы вращений по сравнению с
коммутативными группами симметрии для систем плоских спинов и
кристаллов. Впрочем, трудности носят чисто технический характер и,
в общем, видно, как их можно было бы разрешить. Ответ на один
вопрос, автору, однако, в настоящее время и принципиально не ясен
2 В. Л. Березинский
34
Гл. 1. Введение
— это вопрос о том, существуют ли в случае изотропных магнетиков
образования, аналогичные вихрям в бозе-жидкости или дислокациям в
кристалле.
Работа завершается кратким заключением и списком литературы.
§ 2. Простая двумерная решетка и функции на ней
Описаны обозначения, связанные с простой квадратной решеткой
и решеткой, дуальной к ней. Рассмотрены функции на решетке
и введен дискретный аналог оператора Лапласа, действующий на
эти функции. Подробно рассмотрены свойства функции Грина Grr
дискретного оператора Лапласа, в частности ее асимптотики при
больших размерах системы и на больших расстояниях.
Обозначения, связанные с решеткой. Всюду в этой работе, когда
рассматриваются двумерные решеточные системы, эти системы связываются с простой квадратной решеткой (см. рис. 1). Без пояснений
используются следующие обозначения:
• a — постоянная решетки;
• a1 и a2 — базисные векторы решетки, |a1 | = |a2 | = a;
• aμ (μ = 1, 2) обозначает a1 при μ = 1 и a2 при μ = 2;
• r = n1a1 + n2a2 — обозначения узлов решетки; n1 и n2 пробегают
целочисленные значения (для конечной решетки — в некоторой
ограниченной области);
• δ — векторы, соединяющие ближайших соседей:
|δ| = a;
δ = ±aμ , (μ = 1, 2);
(1.31)
• N — полное число узлов в решетке;
• R — размеры решетки — радиус, если решетка имеет круговую
форму, или, для решетки в форме квадрата, — его сторона очевидно, N = O(R2 /a2 ) (при N → ∞, R → ∞);
• Далее, элементарная связь (упорядоченная пара ближайших соседей) обозначается через
r, δ или (r, r ),
(1.32)
где r — начальный, а r = r + δ — конечный узел соседней пары,
а δ - вектор (1.31), направленный от r к r . Если же связь должна
рассматриваться как ненаправленная, то можно написать:
(r, r ) = (r , r) или r, δ = r + δ , −δ ;
(1.33)
§ 2. Простая двумерная решетка и функции на ней
35
a2
−a1
a1
r
−a2
r4
δ3
r3
r1
δ1
r2
1111
0000
0000
1111
0000
δ4 1111
δ2
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
Рис. 1. Простая квадратная решетка и решетка, дуальная к ней
• — узлы решетки, ∗ — узлы дуальной решетки.
Слева жирными стрелками выделены четыре связи rδ , выходящие из узла r.
Справа вверху — три пары дуальных друг к другу (в смысле (1.35)) связей
(связи на исходной решетке изображены жирными стрелками, дуальные к ним
связи дуальной решетки — пунктирными стрелками).
Справа внизу изображена грань r∗ (заштрихована), представляющая собой квадратик r1 , r2 , r3 , r4 ; ее граница r∗ образована четырьмя связями
δ1 , δ2 , δ3 , δ4 .
• Суммирование по узлам решетки обозначается через
=
;
r
n1
n2
• Суммирование по связям обозначается так:
(r ,r )
=
r ,δ
=
1 ,
2
r
δ
(т. к. при независимом суммировании по r и δ каждая связь
учитывается дважды);
2*
Гл. 1. Введение
36
• Граница решетки обозначается через Γ, лежащие на ней узлы —
через
rгр ∈ Γ.
Элементарные квадратики решетки (см. рис. 1) часто именуются
гранями (решетку можно рассматривать как плоский граф, вершинами которого служат решетки, ребрами — связи, а гранями
— элементарные квадратики решетки).
Дуальная решетка. Решетка, дуальная простой квадратной решетке,
сама является простой квадратной решеткой (см. рис. 1). Ее узлы
расположены в центрах граней исходной решетки и обозначаются в
дальнейшем через r∗ или r∗ (как удобнее):
1
1
r∗ = r∗ = n1 + a1 + n2 + a2 .
(1.34)
2
2
Между связями на исходной и дуальной решетками имеет место
взаимно-однозначное соответствие. Именно, каждой связи (1.31) исходной решетки сопоставлена связь на дуальной решетке, обозначаемая
в дальнейшем через
(r, r )∗ = (rδ)∗ = r∗ δ ∗ = r∗ δ∗ ,
(1.35)
и соединяющая центры соседних граней, для которых исходная связь
(1.31) является границей. Точнее, связь (1.35) есть связь дуальной
решетки, пересекающая исходную связь r, δ = (r, r ) таким образом,
что если идти по исходной связи от r к r + δ , то связь (1.35) пересекает
исходную связь в направлении слева направо (см. рис. 1):
δ ∗ = δ∗ есть вектор δ повернутый на 900 ,
(против часовой стрелки), (δ , δ ∗ ) = 0. (1.36)
Обозначение r∗ используется не только для узлов (1.34), но и для
граней, центрами которых они являются; граница грани r∗ (четыре
связи, обрисовывающие квадратик решетки) обозначаются через (см.
рис. 1):
r = r∗ = −
r−→
r +−
r−→
r +−
r−→
r +−
r−→
r = δ + δ + δ + δ ,
(1.37)
∗
1 2
2 3
3 4
4 1
1
2
3
4
(r1 , r2 , r3 и r4 — вершины квадратика r∗ в порядке обхода против
часовой стрелки, δ1 , δ2 , δ3 и δ4 — связи, образующие r∗ )
Функции на решетке и их фурье-представления. Функция, определенная на узлах решетки обозначается через
fr .
(1.38)
Для случая бесконечной решетки фурье-представление этой функции
записывается в виде:
i
k
r
fr = fk e a (dk),
(1.39)
§ 2. Простая двумерная решетка и функции на ней
где
dk1 dk2
(dk) =
(2π)2
37
(1.40)
— элемент объема в k -пространстве и интегрирование в (1.39) идет по
ячейке обратной решетки
−π < k1 < π ,
−π < k2 < π.
(1.41)
Фурье-образ fk из (1.39) определяется по функции fr (которая предполагается достаточно быстро убывающей при r → ∞) как
fk =
fr e−ikr/a ,
(1.42)
r
что вытекает из следующих тождеств
e−ikr/a = δ(k) = (2π)2 δ(k1 )δ(k2 ),
r
i
k
r
(dk)e a = δr,0 = δn1 ,0 δn2 ,0 ,
(1.43)
где δs,s - обозначение для символа Кронекера:
1 при s = s ,
δ s ,s =
(s, s − целые).
0 при s = s ,
Для большой, но конечной решетки представление Фурье имеет
вид, подобный (1.39), только интегралы по k заменяются суммами;
закон соответствия можно записать в виде
1 fk (dk) →
fk ; δ(k) → N δk,0 ,
(1.44)
N
k
где суммирование идет по дискретным точкам k -пространства, заполняющим ячейку обратной решетки (1.41) с плотностью N (dk) точек на
элемент объема dk1 dk2 .
Дискретный оператор Лапласа. Рассмотрим квадратичный функционал следующего вида (fr — произвольная решеточная функция (1.38)):
ϕ=
1 1
(fr − fr )2 =
(fr+δ − fr )2 .
2
2
(r ,r )
(1.45)
r ,δ
Так как ϕ есть квадратичная форма от fr , ее можно представить в виде
ϕ=
1 ∂2ϕ
1 fr fr = −
fr Δrr fr ,
2 r ∂fr ∂fr
2 r r
r
(1.46)
Гл. 1. Введение
38
где Δrr есть матрица оператора, представляющего собой дискретный
аналог оператора Лапласа и действующего на произвольную решеточную функцию (1.38) по правилу:
Δrr fr =
(fr+δ−fr ) =
(fr+aμ + fr−aμ − 2fr ),
(1.47)
r
δ
т. е. матрица Δ
rr μ=1,2
имеет вид:
Δrr =
δr+δ,r − 4δr,r .
(1.48)
δ
Если функция fr определена на конечной решетке, надо определить
пространство рассматриваемых функций заданием граничных условий.
Нам понадобятся в дальнейшем:
(A) Периодические граничные условия с периодом La по обеим осям
(L — целое число):
fr+Laμ = fr
(μ = 1, 2).
(1.49a)
(B) Нулевые граничные условия:
fr |r∈Γ = frгр = 0.
(1.49b)
(C) Свободные граничные условия, когда функция может принимать
на границе любые значения. Добавив к каждой точке границы
, и распространив значения функближайшую внешнюю точку rгр
ции fr на добавленные точки, можем представить условия (С) в
виде разностного аналога условий ∂f /∂n = 0:
frгр − frгр = 0.
(1.49c)
Рассмотрим фурье-представление оператора (1.47). Для периодических граничных условий (А) оператор Δrr будет диагонален в фурьепредставлении, т. е. будет иметь собственные функции eikr/a (kμ =
= 2Lπ nμ , где nμ — целые числа, 0 nμ L) с собственными значения ми
kμ
2
ikδ/a
e
Δ(k) =
−1 =−
sin
(1.50)
.
2
δ
μ=1,2
Для бесконечной решетки (1.50) являются собственными значениями
Δrr при всех k , принадлежащих ячейке обратной решетки (1.41),
поэтому можно утверждать, что для любых граничных условий в случае большой решетки с размерами R a собственные значения Δrr
могут быть выражены формулой (1.50), где k пробегают совокупность
§ 2. Простая двумерная решетка и функции на ней
39
N точек, расположенных внутри (1.41) с плотностью, стремящейся к
равномерной. При малых k (1.50) может быть представлено в виде
−Δ(k) = k2 + o(k 2 ),
(1.51)
что, очевидно, выражает на языке фурье-представления тот факт, что
оператор (1.47) при действии на медленно меняющиеся функции эквивалентен оператору Лапласа.
Функция Грина дискретного оператора Лапласа и ее асимптотики. В дальнейшем большую роль будет играть функция Грина оператора (1.47), поэтому мы рассмотрим ее подробнее.
Функция Грина оператора (1.47) есть матрица Grr , обратная матрице −Δrr , т. е. удовлетворяющая уравнениям
−
Δrr1 Gr1 r = −
Gr1 r Δr1 r = δrr ,
(1.52)
r1
r1
к которым надо добавить соответствующие граничные условия (1.49)
(по переменным r и, отдельно, по r ). Так, для (1.49a) это будет условие
периодичности, для (1.49b) — нулевое условие
Grr |r∈Γ = Grгр r = 0
(1.53)
и дискретный аналог условий ∂G/∂n = 0 для условий (С).
Решая уравнения (1.52) с помощью разложения по собственным
функциям и учитывая асимптотическое распределение собственных
значений (1.50) получаем для Grr в пределе бесконечной системы
(dk) ik(r−r )/a
e
Grr →
.
(1.54)
−Δ(k)
Однако в силу (1.51) интеграл (1.54) расходится на нижнем пределе. Для системы конечных размеров R он должен быть обрезан
при kmin ≈ 1/R. Учитывая, что интеграл, представляющий разность
Grr − Grr при R → ∞ стремится к конечному пределу
(dk) ik(r−r )/a
r − r
=
e
g
−1 ,
(1.55)
a
−Δ(k)
получаем для Grr следующее представление при R → ∞:
r − r
R
Grr = O(ln ) + g
,
a
a
(1.56)
где первое слагаемое есть логарифмически расходящаяся при R → ∞
константа, вид которой будет впоследствии уточнен (см. (1.65)).
Функция (1.55) удовлетворяет условию
g(0) = 0,
(1.57)
Гл. 1. Введение
40
а ее асимптотика при |r − r | a может быть записана в следующем
виде (см. [49], § 12 , стр. 153–156) 5) :
1
|r − r |
r − r
= − ln
g
+ (член → 0 при |r − r | → ∞), (1.58)
a
2π
r0
где r0 определяется следующим образом:
(dk)
π
r0
= −γ − ln − lim
+ ln ε ,
ln
a
2 ε→0
−Δ(k)
(1.59)
(γ = 0.5772 ... — постоянная Эйлера). Из (1.59) можно получить
r0 = ae−γ 2− 2 ≈ 0.2a.
3
(1.60)
Приведем уточненное выражение для Grr в случае системы больших, но конечных размеров R. Пусть граница решетки Γ при этом приближается достаточно гладкой линией, которая может рассматриваться
как граница некоторой области на плоскости. Рассмотрим функцию
Грина g(r, r ) обычного (дифференциального) уравнения Лапласа. Она
имеет вид:
1
1
ln
+ ϕ(r, r ),
g(r, r ) =
(1.61)
2π |r − r |
где ϕ(r, r ) — так называемая «регулярная часть» функции Грина.
Отметим, что ϕ(r, r ) логарифмически зависит от размеров области R,
именно, может быть представлено в виде
r r
1
ln RA
ϕ(r, r ) =
,
,
(1.62)
2π
R R
где A( Rr , rR ) — однородная функция от r, r и R; при |r − r | R
можно положить
r r
r
r r
A
,
,
(1.63)
≈A
=A
.
R R
R R
R
Функция A( Rr ) меняется от нуля до единицы, причем вблизи от границы A( Rr ) ≈ 0, а вдали от нее A( Rr ) ≈ 1. Так, для круга радиуса R
имеем:
r
1
R2 − r 2
r 2
ln
= 1 − 2.
ϕ(r, r ) =
; A
(1.64)
2π
R
R
R
5)
Асимптотика (1.58)–(1.60) получается следующим образом: интеграл
(1.54) разбивается на два: по областям |k| < ε и |k| > ε с достаточно малым
ε. Во втором интеграле можно перейти к пределу |r − r | → ∞ (полагая
eik(r−r )/a = 0), а в первом — заменить −Δ(k) на (1.51), после чего он
вычисляется точно. Вся сумма не зависит от ε и дает (1.58)–(1.60).
§ 2. Простая двумерная решетка и функции на ней
41
Можно показать, что асимптотика функции Грина Grr при R a
более точно может быть выражена в виде 6) :
G
rr ≈g
r − r
a
−
1
ln r0 + ϕ(r, r ) ≈
2π
RA( Rr )
r − r
1
≈g
+
ln
,
a
2π
r0
(1.65)
что, очевидно, является уточнением (1.56).
Рассмотрим систему точек rs (s = 1, 2, ... , n), находящихся на расстояниях |rs − rs | a друг от друга. Нам понадобятся в дальнейшем
асимптотики матрицы Grs ,rs . Согласно (1.64) и (1.71), их можно записать в виде
Grs ,rs =
то есть
Grs ,rs ≈
1
1
AR
|rs − rs |
ln
− (1 − δs,s ) ln
,
2π
r0
2π
r0
⎧
1
AR
⎪
⎨ 2π ln r0
⎪
⎩
1
2π
ln AR
r0 −
(1.66)
при s = s ,
1
2π
s |
ln |rs −r
r0
(1.67)
при s = s .
Таблицу значений функции g( ar ) можно найти в [49], § 15, стр.
182: рассмотренная там функция a(x) («ядро потенциала») связана с
функцией (1.55) соотношением a(x) = −4g(x). Нам ниже понадобится
только значение (1.55) для r и r , являющихся ближайшими соседями.
Оно равно
δ
1
=− .
g
(1.68)
a
4
Коснемся еще функции Грина для оператора Δrr − λδrr ; (λ > 0),
она равна
(dk)
λ
−1
eik(r−r )/a .
Grr = − Δrr + λδrr =
(1.69)
(−Δ(k) + λ)
1
Действительно, представим Grr в виде Grr = g( r−r
r,r
a ) + 2π ln r0 + ϕ
и покажем, что ϕ
r,r при R a совпадает с регулярной частью функции Грина
(1.62). Для этого составим уравнение и граничные условия для ϕ
r,r по r (при
фиксированном r ) и используем для граничных условий (1.58), считая, что
граница расположена далеко от r . В силу той же причины можно заменить
Δrr на лапласиан в уравнении для ϕ
r,r , после чего как уравнения, так и
r,r ≈ ϕr,r .
граничные условия для ϕ
r,r перейдут в таковые для ϕr,r , так что ϕ
6)
42
Гл. 1. Введение
Асимптотика функции Грина (1.69) (рассматриваемой для бесконечной
решетки) при λ 1 имеет вид
1
r − r
λ
−5/ 2
Grr ≈ − ln(λ2
)+g
(1.70)
2π
a
Как нетрудно видеть из сравнения (1.54) и (1.69), асимптотики (1.69)
для λ → 0 и асимптотики Grr при R a переходят друг в друга если
λ и R связаны соотношениями (при λ → 0, R → ∞):
a
R
1
=O
.
; λ=O
(1.71)
a
λ
R
§ 3. Решеточные формы (дискретные аналоги
линейных дифференциальных форм или
вектор-функций)
Введены антисимметричные функции связи на решетке, названные
решеточными формами; их можно рассматривать как дискретный
аналог непрерывных векторных функций или линейных дифференциальных форм на плоскости. В частности, для них можно
ввести аналоги понятий дивергенции, ротора и линейного интеграла. Кроме дискретных аналогов теоремы Стокса на плоскости
и теоремы о роторе и градиенте, справедливо также чисто двумерное утверждение, названное теоремой о представлении поперечной
формы и представляющее собой дискретный аналог представления
=0
двумерной вектор-функции, удовлетворяющей условию div A
в виде A1 = ∂Ψ/∂x2 ; A1 = −∂Ψ/∂x1 через некоторую функцию
Ψ(x). В заключение рассмотрено разложение произвольной формы
на сумму продольной и поперечной компонент, которому соответствует разложение фурье-образа вектор-функции на компоненты,
параллельную и перпендикулярную волновому вектору k .
Определение решеточных форм. Переход от дискретного описания
к непрерывному. В дальнейшем нам часто придется иметь дело со
специального вида функциями связи на решетке, которые мы назовем
решеточными формами. Это будут функции, определенные на упорядоченных парах соседних узлов (связях) (1.32) и обозначаемые через
A(r,r ) или Ar,δ
(1.72)
и удовлетворяющие свойству антисимметрии, т. е. меняющие знак при
изменении направления связи:
A(r ,r) = −A(r,r ) или Ar,δ = −Ar+δ,−δ .
(1.73)
Решеточные формы можно также рассматривать как функции пары
точек r, r , отличные от нуля только когда r и r являются ближайшими
соседями и антисимметричные относительно перестановки аргументов.
§ 3. Решеточные формы
43
Фурье-образы разностных форм (1.72) будут обозначаться через
Akδ =
eikr/a Arδ .
(1.74)
r
Основное свойство (1.73) при этом запишется в виде
Akδ = −eikδ/a Ak,−δ .
(1.75)
Решеточные формы можно рассматривать как дискретный аналог
линейных дифференциальных форм вида
A(x, dx) = A1 (x)dx1 + A2 (x)dx2 = (A(x)
· dx),
(1.76)
(зависимости от δ соответствует зависимость от dx = (dx1 , dx2 )). Для
медленно меняющихся (как функция от r) форм можно заменить их на
дифференциальные: действительно, при малых k соотношение (1.75)
переходит в Ak,δ = −Ak,−δ , откуда следует, что при малых k фурьеобраз (1.74) может быть представлен в виде
· δ),
Akδ ≈ (A
k
(1.77)
k — некоторая векторная функция от k . Если рассматривать ее
где A
, то (1.77) соответкак фурье-образ некоторой вектор-функции A(x)
ствует приближению
· δ).
Arδ ≈ (A(r)
(1.78)
Обратно, если имеется медленно меняющаяся вектор-функция
x) = {A1 (x), A2 (x)}; |∇Aμ | 1,
A(
(1.79)
то ей можно сопоставить решеточную форму
+ δ/2) · δ)
Arδ = (A(r
(1.80)
очевидно, удовлетворяющую (1.73) и переходящую в (1.78) при учете
.
медленности изменения A(x)
Такого рода переходы от дискретного описания к непрерывному
будут часто производиться в дальнейшем, иногда без специального
пояснения.
Дискретные аналоги градиента, дивергенции, линейного интеграла и ротора и связанные с ними теоремы. На языке решеточных
форм можно определить дискретные аналоги всем понятиям векторного анализа: градиенту, дивергенции, ротору и линейному интегралу.
Ценность этих определений состоит в том, что для них имеют место
теоремы, полностью аналогичные известным теоремам векторного анализа. Эти теоремы будут использоваться в дальнейшем.
Начнем с определения градиента. Пусть имеется решеточная функция fr ; сопоставим этой функции форму
(grad f )rδ = dδ fr = fr+δ − fr .
(1.81)
Гл. 1. Введение
44
Для медленно меняющихся функций fr (1.81), очевидно, соответствует
градиенту в смысле (1.77) и (1.78):
dδ fr ≈ (δ∇)fr ;
(dδ f )k ≈ i
(k , δ)
fk .
a
(1.82)
(Обозначения типа (1.81) будут ниже часто использоваться).
Дискретным аналогом дивергенции вектор-функции является решеточная функция, сопоставляемая форме (1.72) по формуле
(div A)r =
Arδ .
(1.83)
δ
Легко проверить, что в непрерывном приближении (1.83) действительно переходит в дивергенцию; в частности, для фурье-образа (1.83) при
малых k получаем:
(div A)k =
Akδ =
δ
1
(Akδ + Ak,−δ ) =
2
δ
1
k ),
(1 − e−ikδ/a )Akδ ≈ i(k , A
=
2
(1.84)
δ
(использовано (1.75)). Отметим, что рассмотренный в § 2 дискретный
оператор Лапласа (1.47) может быть представлен в виде
Δrr fr = div(grad f ) =
dδ fr ,
(1.85)
r
δ
в полной аналогии с непрерывным случаем.
Определим теперь аналог линейного интеграла. Сначала определим,
что следует понимать под путем интегрирования.
Решеточным путем L назовем последовательность узлов ri
(i = 0, 1, ... , l), в которой каждый узел является ближайшим соседом
предыдущего. Целое число l можно назвать длиной пути. Путь L
можно обозначить следующим образом
L(r, r ) : {ri }i=0,1,...,l ;
r0 = r; rl = r ; ri+1 − ri = δi , где |ri+1 − ri | = |δi | = a.
(1.86)
Замкнутым путем (контуром) назовем решеточный путь, у которого
начальная точка совпадает с конечной
L(r, r ), r0 = rl = r;
l
i=1
δi = 0.
(1.87)
§ 3. Решеточные формы
45
Дискретным линейным интегралом от решеточной формы (1.72) на
пути (1.86) назовем сумму
l
SL(r,r ) A(ri ,ri+1 ) = SL(r,r ) Ari δi =
A(ri ,ri+1 ) =
i=0
l
Ari δi ,
(1.88)
i=1
(первые два выражения слева вводят обозначения).
Дискретный линейный интеграл (1.88) обладает всеми свойствами
обычного линейного интеграла, в частности, он меняет свой знак при
изменении направления пути интегрирования. Если рассмотреть интеграл по замкнутому контуру Γ, то он будет равен сумме интегралов по
границам квадратиков (граней), расположенных внутри контура Γ (при
сложении интегралов по границам граней, вклады границ, проходимых
дважды, сократятся и останется только вклад от внешнего граничного
контура Γ). Это утверждение есть дискретный аналог теоремы Стокса
и может быть записано в виде
Ari δi =
(rot A)r∗ ,
(1.89)
Γ
r∗ ⊂Γ
где введено обозначение для интегралов по границам граней
(rot A)r∗ =
Ari δi = A(r1 r2 ) + A(r2 r3 ) + A(r3 r4 ) + A(r4 r1 ) =
r∗
= Ar1 δ1 + Ar2 δ2 + Ar3 δ3 + Ar4 δ4 , (1.90)
(использованы обозначения (1.37)). Величина (1.90) есть дискретный
аналог ротора (в двумерном случае rot A = ∂A1 /∂x2 − ∂A2 /∂x1 ). Отметим, что дискретный ротор (1.90) от формы, заданной на исходной
решетке, представляет собой функцию, определенную на дуальной
решетке.
Совершенно также, как в непрерывном случае, можно доказать
следующую теорему (аналог теоремы о роторе и градиенте):
Теорема 1. Следующие свойства формы Arδ эквивалентны и вытекают из другого:
а) Линейный интеграл
SL(r,r ) Arδ
(1.91)
одинаков для всех путей L(r, r ), соединяющих точки r и r , т. е.
зависит только от начальной и конечной точек пути;
б) Линейный интеграл (1.91) по любому замкнутому контуру Γ
равен нулю;
Гл. 1. Введение
46
в) Для формы Arδ всюду на дуальной решетке удовлетворяется
уравнение
(rot Arδ )r∗ = 0.
(1.92)
г) Форма Arδ может быть представлена в виде решеточного градиента
Arδ = (grad ϕ)
(1.93)
от некоторой решеточной функции ϕr , определяемой по форме
Arδ с точностью до аддитивной константы;
д) Линейный интеграл (1.91) может быть представлен в виде разности значений функции ϕr (той же, что и в (г)) в конечной и
начальной точках пути:
SL(r,r ) Ari δi = ϕr − ϕr
(1.94)
Arδ ,
удовлетворяюМы введем следующую терминологию: форму
щую условию (1.92) назовем продольной:
(rot Arδ )r∗ =
Ari δi = 0 (продольная форма).
(1.95)
r∗
Форму ⊥ Arδ , дивергенция которой равна нулю, назовем поперечной:
(divA⊥
A⊥
(1.96)
rδ )r =
rδ = 0 (поперечная форма).
δ
Согласно теореме 1, продольная форма (1.95) может быть представлена
в виде градиента (1.93) от некоторой функции ϕr , что дает для фурье в непрерывном описании (см. (1.77)) представобраза этой формы A
k
ление
= ikϕk ,
A
(1.97)
k
k параллельно волновому вектору k , что и позволяоткуда видно, что A
ет назвать такие формы продольными. Для поперечной формы условие
(1.96) согласно (1.84) дает
⊥
i(k · A
k ) = 0,
(1.98)
⊥ перпендикулярно волновому вектору k , почему формы (1.96) и
т. е. A
k
названы поперечными.
Дуальные формы. Теорема о представлении поперечной формы.
Поскольку между связями на исходной и дуальной решетках имеет
место взаимно-однозначное соответствие, (каждой связи rδ исходной
решетки соответствует связь дуальной решетки, пересекающая исходную связь справа налево, см. (1.35)–(1.36)), каждой решеточной форме
§ 3. Решеточные формы
47
Arδ на исходной решетке можно сопоставить дуальную форму A∗r∗ δ∗ ,
определенную на связях дуальной решетки по формуле
A∗r∗ δ∗ = Arδ ,
(1.99)
(т. е. значение дуальной формы на связи r∗ δ∗ равно значению исходной
формы на связи rδ ). Непосредственно проверяются следующие тождества
а) ротор (1.90) от исходной формы совпадает с дивергенцией от
дуальной формы (на дуальной решетке):
Ari δi = (rot A)r∗ = (div∗ A∗ )r∗ =
A∗r∗ δ∗ .
(1.100)
δ∗
r∗
б) дивергенция (1.83) исходной формы есть ротор дуальной формы
(относительно граней дуальной решетки):
(div A)r = (rot∗ A∗ )r .
(1.101)
Тождества (1.100) и (1.101) взаимно-дуальны и следуют друг из
друга (т. к. решетка, дуальная к дуальной, совпадает с исходной).
В данной работе будет несколько раз использована теорема, дуальная к теореме 1:
Теорема 2. Пусть имеем поперечную форму A⊥
rδ , определенную на
исходной решетке:
(div A⊥ )r =
A⊥
(1.102)
rδ = 0.
δ
Тогда существует такая функция Ψr∗ на дуальной решетке, что форма
A⊥
rδ может быть представлена в виде
A⊥
rδ = dδ∗ Ψr∗ = Ψr∗ +δ∗ − Ψr∗ ,
(1.103)
где r∗ δ∗ есть связь, взаимная к rδ в смысле (1.35)–(1.36). Функция
Ψr∗ определяется по форме A⊥
rδ с точностью до аддитивной константы.
⊥
∗
Доказательство: форма A⊥
r∗ δ∗ , дуальная форме Arδ , в силу (1.101)
⊥∗
удовлетворяет (на дуальной решетке) условию (rot A )r = 0 и в силу
теоремы 1, примененной к дуальной решетке, может быть представлена
в виде градиента на дуальной решетке от некоторой функции Ψr∗ :
∗
A⊥
r∗ δ∗ = dδ∗ Ψr∗ = Ψr∗ +δ∗ − Ψr∗ .
(1.104)
Из (1.104), возвращаясь к исходной форме согласно (1.99), получим
(1.103), т. е. утверждение теоремы.
Теореме 2 можно дать наглядную интерпретацию: именно, будем
представлять себе связи исходной решетки как проводники, а значение
Гл. 1. Введение
48
формы A⊥
rδ на них — как силы токов, текущих по связям. Тогда условие
поперечности (1.102) означает выполнение первого закона Кирхгофа
в узлах решетки. Известно, что в этом случае распределение токов
всегда можно представить через систему контурных токов; это утверждение и выражает теорема 2 (функция Ψr∗ соответствует контурному
току по границам грани r∗ ).
В непрерывном случае теорема 2 переходит в следующее утвержде ⊥ (x), удовлетворяющая условию
ние: вектор-функция A
∂A⊥
∂A⊥
1
2
+
= 0,
∂x1
∂x2
⊥
может быть представлена в виде A⊥
1 = ∂Ψ/∂x2 , A2 = −∂Ψ/∂x1 с
некоторой функцией Ψ(x). Заметим, что это (так же, как и теорема 2)
– чисто двумерное утверждение.
Из доказательства нетрудно усмотреть, что функция Ψr∗ должна
определяться только значениями (rot A⊥ )r∗ , т. е. интегралами от A⊥
rδ
по границам граней. И действительно, подставляя (1.104) в тождество
(1.100) и используя (1.85) получаем, что Ψr∗ есть решение уравнения
⊥
Δr∗ r∗ Ψr∗ = (rot A )r∗ =
A⊥
(1.105)
ri δi ,
r∗
r∗
из которого Ψr∗ может быть определена с точностью до аддитивной
константы.
Разложение произвольной решеточной формы на сумму продольной и поперечной компонент.
Теорема 3. Произвольную решеточную форму Arδ можно представить в виде сумму продольной и поперечной компонент:
Arδ = Arδ + ⊥ Arδ ,
(rot A)r∗ = 0; (div ⊥ A)r = 0,
(1.106)
выражающихся через две функции, ϕr (на исходной решетке) и ψr∗
(на дуальной решетке) по формулам:
Arδ = dδ ϕr = ϕr+δ − ϕr ,
Arδ = dδ∗ ψr∗ = ψr∗ +δ∗ − ψr∗ .
⊥
(1.107)
(1.108)
Функция ϕr , называемая продольным потенциалом, определяется (с
точностью до аддитивной константы) через дивергенцию (1.83) из
решения уравнения
Δrr ϕr = (div A)r =
Arδ ,
(1.109)
r
δ
§ 3. Решеточные формы
49
а функция Ψr∗ , называемая поперечным потенциалом, определяется
через ротор (1.90) (опять же, с точностью до аддитивной константы)
из уравнения на дуальной решетке:
Δr∗ r∗ ψr∗ = (rot A)r∗ =
Ari δi .
(1.110)
r∗
r∗
Для разложения (1.106) выполняется следующее тождество:
(Arδ )2 =
( Arδ )2 +
(⊥ Arδ )2 =
rδ
rδ
rδ
=
(dδ ϕr )2 +
rδ
(dδ∗ ψr∗ )2
(1.111)
r∗ δ∗
(предполагается, что Arδ как функция от r достаточно быстро убывает
на бесконечности).
Доказательство теоремы 3. Представим сначала Arδ в виде
Arδ = dδ ϕr + ⊥ Arδ ,
где ϕr определяется из требования, чтобы второе слагаемое было
поперечно, т. е. чтобы для ⊥ Arδ имело место (1.102). Для этого необходимо и достаточно, чтобы ϕr удовлетворяла уравнению (1.109). После
этого для ⊥ Arδ можно использовать представление (1.103), причем ψr∗
определится согласно (1.105), что и даст (1.110). Тождество (1.111)
получается из представления (1.106), если учесть, что
⊥
Arδ ⊥ Arδ =
(ϕr+δ − ϕr ) ⊥ Arδ = −2
ϕr (
Arδ ) = 0.
rδ
r
rδ
δ
(1.112)
При переходе к непрерывному представлению разложение (1.106)
k на компоненты, параллельную и
соответствует разложению вектора A
перпендикулярную волновому вектору k :
k = A
k + ⊥A
k;
A
k ||k ,
A
⊥
k ⊥ k.
A
(1.113)
Действительно, (1.107) и (1.108) можно записать в виде
k = ikϕk ;
A
⊥
k = −ik⊥ ψk ,
A
(1.114)
где через k⊥ обозначен вектор k , повернутый на 900 против часовой
стрелки:
k⊥ = k ⊥ = (k1 , k2 )⊥ = (k2 , −k1 ).
(1.115)
Далее, согласно (1.109) и (1.110) для фурье-образов ϕk и ψk имеем:
ϕk = −
i(k , Ak )
;
k2
ψk =
i(k⊥ , Ak )
,
k2
(1.116)
Гл. 1. Введение
50
откуда для продольной компоненты находим:
Ak = ikϕk =
k(A
kk)
,
k2
(1.117)
а для поперечной компоненты
k(A
kk⊥ )
kk) k⊥ (A
=
,
(1.118)
2
k
k2
(все формулы (1.113)–(1.118) справедливы при малых k ).
Разложение на продольную и поперечную компоненты также будет
широко использовано в дальнейшем.
⊥
k −
Ak = ik⊥ ψk = A
Глава 2
ДВУМЕРНАЯ РЕШЕТКА ПЛОСКИХ
КЛАССИЧЕСКИХ СПИНОВ
§ 1. Постановка задачи
Формулируется распределение Гиббса для решетки плоских классических спинов (ротаторов), являющейся идеализированной моделью плоского магнетика и бозе-жидкости. Определяется изменение свободной энергии как для «магнитных» внешних воздействий
(помещение системы в магнитное поле), так и для «сверхтекучих» внешних воздействий, описываемых векторным полем Ae (r)
(«внешним вектор-потенциалом»). Рассмотрены вытекающие из
определения свойства сверхтекучей свободной энергии ΔF (Ae )
e (r), а также связь квадратичного разложекак функционала от A
e
ния для ΔF (A ) с функциями корреляции токов. Выписаны выражения для сверхтекучей свободной энергии и функций корреляции
токов в двух принципиально различных возможных случаях, соответствующих значениям сверхтекучей плотности ρs = 0 и ρs = 0.
В заключение описаны типы граничных условий, приводящих к
пространственно-однородному состоянию.
Описание системы. Выражение для энергии. Систему плоских спинов (ротаторов) можно рассматривать как идеализированную модель
магнетика с легкой плоскостью намагничения. Каждый ротатор представляет собой вектор фиксированной длины S , могущий вращаться
только в одной плоскости. Положение ротатора в этой плоскости характеризуется углом ϕ относительно некоторой оси, так что каждый
спин имеет только одну степень свободы.
Мы рассмотрим решеточную систему плоских спинов, представляющую собой простую двумерную решетку, с каждым узлом которой
r . Выбрав оси OX и OY в
r связан плоский классический спин S
52
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
плоскости вращения спинов и обозначив через ϕr угол, составляемый
r с осью OX , можем записать компоненты спина по осям OX
спином S
и OY в виде:
r = {cos ϕr , sin ϕr }.
(2.1)
S
Кроме отмеченной выше «магнитной» интерпретации, система плоских спинов допускает еще одну интерпретацию — как идеализированная модель бозе-жидкости. Эта интерпретация, впервые отмеченная
Ваксом и Ларкиным (см. [50]) будет подробно обоснована в главе 3.
Как увидим, углам ϕr при этой интерпретации будут соответствовать
значения фазы конденсата в различных частях жидкости. Во введении уже отмечалось, что, несмотря на математический изоморфизм,
физическая эквивалентность не вполне имеет место, так как внешние
воздействия, являющиеся естественными для бозе-жидкости, на языке
магнетиков выглядят искусственно и обратно. (Например, помещению
магнетиков во внешнее магнитное поле соответствовало бы когерентное рождение частиц бозе-жидкости во всей системе). Поэтому постановка одних вопросов выглядит естественной на языке магнетиков, а
других — на языке бозе-жидкости, и мы будем использовать оба языка.
Перейдем к математической постановке задачи. Конфигурация всей
системы задается набором углов ϕr для всех узлов r, то есть решеточной функцией ϕr , принимающей значения в интервале
−π ϕr π.
(2.2)
Статистический вес конфигураций ϕr определится, согласно распределению Гиббса, заданием выражения для энергии конфигураций.
Собственно говоря, для задания состояния рассматриваемой классической системы, кроме углов ϕr надо еще задать и угловые скорости ϕ̇r
всех спинов, или соответствующие угловые импульсы. Соответственно
этому, статистический вес должен определяться полным гамильтонианом, состоящим из кинетической энергии вращения спинов и потенциальной энергии их взаимодействия
H=
1
r
2
η ϕ̇2r + E(... , ϕr , ...).
(2.3)
Однако в классической статистике распределения координат можно
рассматривать независимо от распределения импульсов, поэтому в этой
главе будет рассматриваться только конфигурационная часть статистического веса, определяемая потенциальной энергией взаимодействия.
Мы ограничимся только случаем взаимодействия ближайших соседей,
так что потенциальная энергия взаимодействия имеет вид
E(... , ϕr , ...) =
1
E r ,r =
Erδ ,
2
|r−r |=a
rδ
(2.4)
§ 1. Постановка задачи
53
где Er,r есть потенциальная энергия парного взаимодействия. Для
обычного гейзенберговского взаимодействия мы имели бы
r · S
r ) = −J cos(ϕr+δ − ϕr ).
Er,r = Erδ = −J(S
(2.5)
Однако с точки зрения бозе-жидкостной интерпретации такая детализация была бы слишком ограничительной. Мы примем, поэтому, что
энергия взаимодействия есть некоторая общая функция от относительного угла соседних спинов
Er,r = Erδ = J(ϕr − ϕr ) = J(ϕr+δ − ϕr ) = J(Vrδ ),
(2.6)
где через Vrδ обозначены разности соседних углов (аналог сверхтекучей скорости на языке бозе-жидкости)
Vrδ = ϕr+δ − ϕr
(2.7)
(это обозначение будет использоваться всюду в главах 2 и 3).
На вид функции J(Vrδ ) накладываются следующие ограничения:
(1) J(Vrδ ) есть четная периодическая функция от Vrδ :
J(Vrδ ) =
∞
∗
Jm eimVrδ , Jm = J−m = Jm
.
(2.8)
m=−∞
(2) J(Vrδ ) имеет единственный минимум на интервале |Vrδ | < π при
значении Vrδ = 0, т. е. взаимодействие ферромагнитное:
J(Vrδ ) J(0).
(2.9)
В частности, для выполнения (2.9) необходимо, чтобы была положительна константа
∞
J = J (0) =
m2 Jm > 0.
(2.10)
m=−∞
Кроме (2.8) и (2.9) мы примем еще для удобства, что значение J(0)
равно нулю
∞
J(0) =
Jm = 0,
(2.11)
m=−∞
что, конечно, не является дополнительным ограничением, так как из
(2.6) всегда можно вычесть J(0), что приведет только к аддитивной
добавке к энергии и свободной энергии.
Определения корреляций и n-точечных функций распределения.
Мы будем рассматривать средние от физических величин, зависящих
от конечного числа углов ϕr :
U = Uпер (ϕr1 , ... , ϕrn ) = Uпер (... , ϕrs , ...),
(2.12)
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
54
(запись подчеркивает, что (2.12) есть периодическая функция от ϕrs ).
Согласно распределению Гиббса, средние величин типа (2.12) выражаются через конфигурационную часть статистического веса, определяемую потенциальной энергией (2.4), именно
π
π
dϕr 1
F/T
U = e
... Uпер (... , ϕrs , ...)e− T E(...,ϕr ,...)
, (2.13)
2π
r
−π
−π
где интегрирование по углам ϕr идет в пределах (2.2) и F — свободная
энергия, определяемая из условия нормировки
π
π
dϕr 1
=1
1 = eF/T
... e− T rδ J(Vrδ )
(2.14)
2π
r
и равная
⎛
F = −T log ⎝
−π
−π
π
π
...
−π
e− T E(...,ϕr ,...)
1
dϕr r
−π
2π
⎞
⎠.
(2.15)
Для вычисления средних (2.13) от любой величины вида (2.12)
достаточно знать средние от фурье-экспонент
π
π dϕr F/T
i s ms ϕrs − T1 E(...,ϕr ,...)
Fn (ms , rs ) = e
... e
e
, (2.16)
2π
r
−π
−π
где введены сокращенные обозначения для фурье-экспонент
Fn (ms , rs ) = ei
n
s=1
m s ϕr s
(2.17)
и ms в (2.16)–(2.17) есть целые числа. Средние типа (2.16) в дальнейшем именуются корреляциями.
Среднее от произвольной функции (2.12) может быть выражено в
виде:
π
π
dϕ1
dϕn
U =
... Uпер (ϕ1 , ... , ϕn )Pn (ϕ1 , r1 ; ... ; ϕn , rn )
, (2.18)
...
2π
2π
−π
−π
где Pn (ϕ1 , r1 , ... , ϕn , rn ) — плотность вероятности, определяемая следующим образом:
dϕn
dϕ1
...
=
π
2π
2вероятность
того, что углы ϕ заклю= чены в пределах ϕs ϕr rϕss + dϕs . (2.19)
s
Pn (ϕ1 , r1 ; ... ; ϕn , rn )
Функции (2.19) будут называться n-точечными функциями распределения.
§ 1. Постановка задачи
55
Из разложения в ряд Фурье произвольной функции вида (2.12)
вытекает, что функции распределения выражаются через корреляции
(2.16) следующим образом:
Pn (ϕ1 , r1 ; ... ; ϕn , rn ) =
∞
∞
n
=
...
Fn (m1 , r1 ; ... ; mn , rn )e−i s=1 ms ϕs . (2.20)
m1 =−∞
mn =−∞
Свободная энергия для «магнитных» внешних воздействий. На
языке магнетиков естественно рассматривать поведение систем при
помещении спинов во внешнее магнитное поле. Это соответствует
добавлению к энергии (2.4) энергии взаимодействия спинов с внешним
магнитным полем h:
ΔEh = −h
cos ϕr ,
(2.21)
r
(углы ϕr отсчитываются от направления внешнего поля).
Изменение свободной энергии во внешнем магнитном поле определяется из
π
π
dϕr − T1 ΔF (h)
F/T
− T1 E(...,ϕr ,...)− T1 ΔEn
.
e
=e
... e
(2.22)
2π
r
−π
−π
Магнитный момент во внешнем поле при этом равен:
1 ∂ΔF (h)
1 =
mh =
cos ϕr h −−−−→ cos ϕr h ,
N →∞
N
∂r
N r
(2.23)
где ...h означает усреднение в присутствии внешнего поля h. Как
указывалось в § 1 гл. 1, строго доказано, что спонтанный момент
отсутствует
mh=0 = lim mh = 0,
(2.24)
h→0
однако это не исключает возможности того, что ΔF (h) имеет особенность при h → 0; в частности, вопрос о том, конечна или нет
восприимчивость
∂
1 ∂2
mh = lim
ΔF (h),
(2.25)
n→0 ∂h
n→0 N ∂h2
связан с вопросом об интегрируемости при r → ∞ функции парной
корреляции спинов
χ = lim
r = cos(ϕr − ϕ0 ).
0 S
S
(2.26)
Вопрос о виде свободной энергии и момента в слабом магнитном поле
будет разрешен в § 7.
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
56
«Сверхтекучая свободная энергия» и ее свойства как функциона e (r). «Сверхтекучие» внешние
ла от внешнего вектор-потенциала A
воздействия можно описывать гамильтонианом, получающимся из исходного гамильтониана заменой
Vrδ → Vrδ + Aerδ ,
(2.27)
где Aerδ представляет собой «векторный потенциал» сверхтекучего
внешнего воздействия. Сверхтекучая свободная энергия представляет
собой связанное с (2.27) изменение свободной энергии, выраженное
как функционал от внешнего вектор-потенциала Aerδ : она будет обозначаться через ΔF (Ae ) и определяется из формулы
− T1 ΔF (Ae )
e
π
F/T
=e
...
−π
где
π
e− T E(...,Vrδ +Arδ ,...)
e
1
r
−π
E(... , Vrδ + Aerδ , ...) =
dϕr 2π
J(Vrδ + Aerδ )
,
(2.28)
(2.29)
rδ
— выражение для энергии, полученное из (2.4)–(2.6) заменой (2.27), а
F — свободная энергия при Aerδ = 0, даваемая (2.15).
Заметим, что если для заряженной системы Aerδ действительно
представляет собой вектор-потенциал внешнего магнитного поля (с
точностью до множителя, определяемого системой единиц) 7) , то для
нейтральной бозе-жидкости смысл Aerδ состоит в том, что Aerδ по
существу представляет собой среднюю сверхтекучую скорость, созданную внешними (по отношению к данной системе) источниками. Эта
интерпретация выяснится в ходе дальнейшего рассмотрения, пока же
мы будем рассматривать (2.28) просто как математическое определение
функционала ΔF (Aerδ ), не вдаваясь в его физический смысл.
Непосредственно из определения вытекают следующие свойства
функционала ΔF (Aerδ ):
(1) Периодичность. ΔF (Aerδ ) есть периодическая функция от Aerδ с
периодом 2π :
ΔF (... , Aerδ + 2πnrδ , ...) = ΔF (... , Aerδ , ...)
(2.30)
для любой целочисленной формы nrδ . Периодичность вытекает из
определения (2.28) и того, что (2.29) есть периодическая функция
от Aerδ .
7)
, с
→ p + ec A
Замена (2.27) есть дискретный вариант обычной замены p
помощью которой получается гамильтониан заряженной системы во внешнем
.
магнитном поле с вектор-потенциалом A
§ 1. Постановка задачи
57
(2) Градиентная инвариантность, заключается в том, что изменение продольной части Aerδ не влияет на значение ΔF (Ae ): для
любой функции ϕr имеем
ΔF (... , Aerδ + dδ ϕr , ...) = ΔF (... , Aerδ , ...).
(2.31a)
Aerδ
Для медленно меняющихся функций
и ϕr (2.31a) переходит
в
e + ∇ϕ) = ΔF (A
e ).
ΔF (A
(2.31b)
Градиентная инвариантность вытекает из того, что результат замены
Aerδ → Aerδ + ϕr+δ − ϕr
(2.32)
уничтожается заменой переменных интегрирования
ϕ → ϕ − ϕr
(2.33)
в интеграле (2.28), определяющем ΔF (Ae ).
Применим к Aerδ описанное в § 3 гл. 1 разложение на продольную
и поперечную части. Aerδ при этом представится в виде:
Aerδ = Aerδ + ⊥ Aerδ ,
(2.34)
где продольная часть равна
Aerδ = dδ ϕer = ϕer+δ − ϕer ,
(2.35)
так что функция ϕer , называемая дальше продольным потенциалом,
определяется из уравнения
Δrr ϕer = (div Ae )r =
Aerδ ,
(2.36)
r
δ
⊥
Aerδ
выражается через функцию Ψer∗ на дуальной
а поперечная часть
решетке решетке (поперечный потенциал):
⊥
Aerδ = dδ∗ Ψer∗ = Ψer∗ +δ∗ − Ψer∗ .
(2.37)
Поперечный потенциал является градиентно-инвариантной величиной
и определяется через инварианты градиентного преобразования (2.31),
представляющие собой дискретный ротор (1.90) от Aerδ , деленный на
2π , т. е. линейные интегралы от Aerδ по границам граней, деленные на
2π :
1
1
(rot Ae )r∗ =
Kre∗ =
Aeri δi .
(2.38)
2π
2π
r∗
Величины (2.38) будут именоваться внешними циркуляциями; продольный потенциал выражается через них, как решение уравнения
Δr∗ r∗ Ψer∗ = 2πKre∗ ,
(2.39)
r∗
58
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
т. е. в виде
Ψer∗ = 2π
r∗
Gr∗ r∗ Kre∗ .
(2.40)
Если перейти от дискретного описания к непрерывному, т. е. считать Aerδ медленно меняющейся формой, выражающейся через непре e (r):
рывную вектор-функцию A
e (r) · δ); A
e (r) = {Ae1 (r), Ae2 (r)} = eikr/a A
ek (dk),
Aerδ ≈ (A
(2.41)
то (2.35) и (2.37) перейдут в соотношения
e
∂Ψ
∂Ψe
e
Arδ = ∇ϕe ; {⊥ Ae1 (r),⊥ Ae2 (r)} =
,−
∂x2
∂x1
.
(2.42)
e разложение (2.34) примет вид
Для компонент Фурье A
k
ek = A
ek + ⊥ A
ek = ikϕek + ik⊥ Ψek ,
A
(2.43)
где k⊥ — вектор k , повернутый на 900 (см. (1.115)), а ϕek и Ψek —
фурье-образы продольного и поперечного потенциалов, определяемые,
согласно (2.36) и (2.39) по формулам:
e )
2πKke
i(k · A
i(k⊥ · Aek )
e
k
;
Ψ
=
−
=
−
.
(2.44)
k
k2
k2
k2
В последней формуле через Kke обозначен фурье-образ функции Kre∗ ,
e , согласно (2.38), в виде
определяемый через A
k
ϕek = −
i ek ).
(k⊥ · A
(2.45)
2π
Свойство градиентной инвариантности (2.31) означает, что сверхтекучая свободная энергия ΔF (Ae ) на самом деле зависит только от
поперечной компоненты ⊥ Aerδ и значит может быть выражена через Ψe
или Kre∗ :
Kke =
ΔF (Ae ) = ΔF (... ,⊥ Aerδ , ...) =
= ΔF (... , dδ∗ Ψer∗ , ...) = ΔF (... , Kre∗ , ...). (2.46)
Мы будем ниже использовать все эти представления, смотря по тому,
какое будет удобнее, притом как в координатном, так и в фурье er , Ψe , K e . Переход от одного из предпредставлении для функций A
ставлений (2.46) к другому может быть произведен с помощью формул
(2.34)–(2.45).
Отметим еще запись условия периодичности (2.30) для сверхтекучей свободной энергии, выраженной через внешние циркуляции Kre∗ . В
этой записи условие периодичности примет вид:
ΔF (... , Kre∗ + nr∗ , ...) = ΔF (... , Kre∗ , ...)
(2.47)
§ 1. Постановка задачи
59
для произвольных целых nr∗ , так что ΔF (... , Kre∗ , ...) зависит только
от дробной части Kre∗ (т. е. от Kre∗ минус ближайшее целое число).
Функции корреляции токов и их свойства. Если ограничиться квадратичным по Ae членом в разложении ΔF (Ae ) и перейти к непрерывному описанию (2.41), то ΔF (Ae ) примет вид
ΔF (Ae ) = ΔFкв (Ae ) + o((Ae )2 ),
ΔFкв (Ae ) =
1
2
μ
Aeμ (r)Aeμ (r)Kμμ (r − r )(dr)(dr ) =
μ
1
=
2
μ
Aek,μ Ae−k,μ Kμμ (k)(dk), (2.48)
μ
где Kμμ (k) — фурье-образ ядра Kμμ (r). Для того, чтобы (2.48) удовлетворяло градиентной инвариантности, т. е. чтобы ΔFкв (Ae ) не менялось
e + ikϕk с произвольной ϕk , ядро Kμμ (k) должно
e → A
при замене A
k
k
удовлетворять условиям
kμ Kμμ (k) =
Kμμ (k)kμ = 0,
(2.49)
μ
μ
откуда следует, что Kμμ (k) должно иметь вид:
kμ kμ
2
Kμμ (k) = ρs (k ) δμμ −
,
k2
(2.50)
где ρs (k 2 ) — некоторая функция от k 2 .
С другой стороны, энергию (2.29) можно представить в виде
E(... , Vrδ + Aerδ , ...) = E(... , Vrδ , ...) +
jrδ (Vrδ )Aerδ +
rδ
1 J (Vrδ )(Aerδ )2 + o((Aerδ )2 ),
+
2
(2.51)
rδ
где через jrδ (Vrδ ) обозначена величина, являющаяся дискретным аналогом вектора тока:
jrδ (Vrδ ) = −
∞
∂E
= −J (Vrδ ) = −
imJm eimVrδ .
∂Vrδ
m=−∞
Введя далее обозначение для среднего
2 ∂ E
ρ=
= J (Vrδ ),
2
∂Vrδ
(2.52)
(2.53)
60
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
играющего роль полной плотности (среднее (2.53) не зависит от r, δ в
силу однородности), можем, исходя из определения (2.29) и из (2.51),
записать квадратичное разложение ΔF (Ae ) в виде
1 e 2
1 ΔFкв (Ae ) = ρ
(Arδ ) −
jrδ jr δ Aerδ Aer δ ,
(2.54)
2
2T
rδ
rδ r δ
где введено обозначение для функции корреляции токов
jrδ jr δ = (dk)eik(r−r )/a jkδ j−kδ ,
(2.55)
(правая часть (2.55) вводит обозначение для фурье-образа левой части
по разности r − r ; подобные обозначения будут в дальнейшем применяться без пояснений).
Сравнивая (2.48) и (2.54), видим, что Kμμ (k) выражается через
функцию корреляции токов по формуле
1
Kμμ (k) = ρ δμμ − jkμ j−kμ .
(2.56)
T
Соотношения (2.49), выведенные выше из градиентной инвариантности, можно вывести и из представления (2.56). Покажем, как это
делается. Интегрируя по частям определение средних (2.13), получим
следующее тождество, справедливое для любой величины U :
1 ∂E
1
∂U
(div j)r U .
U =
(2.57)
=
∂ϕr
T ∂ϕr
T
Второе равенство следует из того, что
∂E
=−
J (ϕr+δ − ϕr ) =
jrδ = (div j)r .
∂ϕr
δ
δ
Если подставить в (2.57) в качестве U величину (div j)r , то получим
после не сложных вычислений:
1
(div j)r (div j)r = −ρΔrr ,
(2.58)
T
где Δrr — матрица дискретного оператора Лапласа (1.48). Для малых
k (2.58) дает
1 kμ kμ jkμ j−kμ = ρk 2 .
(2.59)
T μ μ
Соотношение (2.59) заменяет для данной задачи известное «правило
f -сумм» (см. гл. 3). Из него следует, ввиду (2.56) равенство
Kμμ (k)kμ kμ = 0,
(2.60)
μ
μ
которое является следствием (2.49). Сами тождества (2.49) можно
получить аналогично, подставляя в (2.57) вместо U величину jr δ .
§ 1. Постановка задачи
61
Отметим еще следующую интерпретацию (2.59). Разложим ток jk
на продольную и поперечную части:
⊥ ⊥ jk = jk + ⊥jk = k(k · jk ) + k (k · jk ) ,
2
k
k2
тогда (2.60) дает для функции корреляции продольных токов
(2.61)
kμ kμ
.
(2.62)
k2
Функция корреляции поперечных токов (в силу ее поперечности)
должна иметь вид
kμ kμ
⊥ jkμ ⊥ j−kμ = T ρn (k 2 ) δμμ −
,
(2.63)
k2
jkμ j−kμ = T ρ
где ρn (k 2 ) 0. Подставляя (2.62) и (2.63) в (2.56) и сравнивая с (2.50),
видим, что ρs (k 2 ) из (2.50) и ρn (k 2 ) из (2.63) связаны соотношением
ρs (k 2 ) + ρn (k 2 ) = ρ.
(2.64)
Выражения сверхтекучей свободной энергии и функций корреляции токов для случаев ρs = 0 и ρs = 0. Если принять, что введенная
выше функция ρs (k 2 ) регулярна при k → 0, имеются две возможности,
в зависимости от того, отлична от нуля или равна нулю величина
ρs = lim ρs (k 2 ),
k→0
(2.65)
которую мы будем называть сверхтекучей плотностью. Рассмотрим
выражения квадратичной свободной энергии и функций корреляции
токов для этих случаев.
(1) Сверхтекучая плотность отлична от нуля. Тогда, в силу (2.64)
ρs = 0, ρn = ρ − ρs < ρ.
В этом случае ядро Kμμ (k) при малых k имеет вид
kμ kμ
Kμμ (k) = ρs δμμ −
+ O(k 2 ).
k2
(2.66)
(2.67)
Формула (2.67) означает, что Kμμ (k) зависит от направления k
даже в пределе k → 0, что означает некоторый вид сингулярности
(член kμ kμ /k 2 в фурье-образе (2.67) соответствует дипольной
особенности вида nμ nμ /r2 (где n = r/r) в ядре Kμμ (r)). Для
функций корреляции токов в рассматриваемом случае (2.66) имеем (при k → 0):
jkμ j−kμ = T ρ
kμ⊥ kμ⊥
kμ kμ
⊥
⊥
;
j
j
=
T
ρ
.
kμ
−kμ
n
k2
k2
(2.68)
62
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Таким образом, в случае ρs = 0 функция корреляции продольных
токов не равна функции корреляции поперечных токов даже в
длинноволновом пределе k → 0, что означает (см. [43]) констатацию той же особенности, что и в случае ядра (2.67). Квадратичный член в ΔF (Ae ) имеет в рассматриваемом случае вид:
1 ⊥ e 2
1
erδ )2 (dr)/a2 ≈
ΔFкв (Ae ) = ρs
( Arδ ) ≈ ρs (⊥ A
2
2
rδ
1
ek ⊥ A
e−k (dk) =
≈ ρs ⊥ A
2
e
e
1
ek A
e−k − (kAk )(kA−k ) (dk), (2.69)
A
= ρs
2
k2
(использовано то, что для медленно меняющихся функций их
фурье-компоненты отличны от нуля только в области малых k ,
так что можно заменить ρs (k 2 ) наинизшим членом разложения
при k → 0). Соответствующее (2.69) выражение сверхтекучей
свободной энергии через поперечный потенциал имеет вид
2
1 e
1 e
Ψr∗ +δ∗ − Ψer∗ = − ρs
ρs
Ψr∗ Δr∗ r∗ Ψer∗ ≈
2
2
r∗ r∗
r∗ δ∗
1
1
≈ ρs (∇Ψe )2 (dr)/a2 ≈ ρs k 2 Ψek Ψe−k (dk), (2.69a)
2
2
ΔFкв (Ψe ) ≈
а выражение через внешние циркуляции будет
ΔFкв (K e ) =
4π 2 e e
ρs
Kr∗ Kr∗ Gr∗ r∗ ≈
2
r
∗
r∗
≈
4π 2
ρs
2
e
Kke K−k
(dk). (2.69b)
k2
Рассмотрим теперь другой возможный случай.
(2) Сверхтекучая плотность равна нулю. В этом случае
ρs = 0, ρn = ρ,
(2.70)
и функция ρs (k 2 ) имеет при малых k вид:
ρs (k 2 ) = σk 2 + o(k 2 ).
(2.71)
Ядро Kμμ (k) при этом выражается формулой
Kμμ (k) = σ(k2 δμμ − kμ kμ ) + o(k 2 ).
(2.72)
§ 1. Постановка задачи
63
Для функций корреляция токов имеем c точностью до O(k 2 ):
jkμ j−kμ ≈ ⊥ jkμ ⊥ j−kμ ≈ T ρ
kμ kμ ,
k2
(2.73)
т. е. особенности в длинноволновом пределе отсутствуют как в
(2.72), так и в (2.73).
Выражения сверхтекучей свободной энергии теперь примут вид:
e
∂A1 ∂Ae2 (dr)
1 1
ΔFкв (Ae ) = σ
[(rot Ae )r∗ ]2 ≈ σ
−
≈
2 r
2
∂x2
∂x1
a2
∗
1
1
e e
≈ σ (k⊥ Ak )(k⊥ A−k )(dk) ≈ σ k 2 ⊥ Aek ⊥ Ae−k (dk) ≈
2
2
!
"
1
2 e e
ek )(k A
e−k ) (dk), (2.74)
≈ σ k (Ak A−k ) − (k A
2
ΔFкв (Ψe ) =
ΔFкв (K e ) =
2 1 1 σ
Δr∗ r∗ Ψer
≈ σ (∇Ψe )2 (dr)/a2 ≈
∗
2 r
2
r∗
∗
1
≈ σ k 4 Ψek Ψe−k (dk),
2
1 e 2
1
σ
Kr∗ ≈ σ (K e (r))2 (dr)/a2 ≈
2 r
2
∗
1
e
(dk).
≈ σ Kke K−k
2
(2.74a)
(2.74b)
В дальнейшем мы покажем (и это есть один из главных результатов
работы), что при достаточно низких температурах имеет место случай
ρs = 0, а при достаточно высоких температурах — случай ρs = 0,
причем переход между этими случаями при некоторой температуре Tk
является фазовым переходом второго рода.
Граничные условия. Как уже отмечалось в § 1 гл. 1, в многофазном
случае (который, как будет показано, имеет место для рассматриваемой
системы при T < Tk ), состояние системы даже в пределе бесконечных
размеров системы зависит от граничных условий. Поэтому фиксирование граничных условий в этом случае весьма важно и соответствует
фиксированию состояния бесконечной системы, по которому производится усреднение. Мы рассмотрим сначала граничные условия, приводящие при R → ∞ к однородному состоянию ...0 . Граничные условия,
приводящие к деформированным состояниям, будут рассмотрены позже
(в § 8).
64
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Конкретно мы будем рассматривать следующие типы однородных
граничных условий:
(А) Периодические условия, когда решетка топологически эквивалентна тору, т. е. конфигурации ϕr есть периодические функции
от r с периодами La1 и La2 , где L — большое целое число:
(2.75a)
ϕr+La1 = ϕr+La2 = ϕr .
(В) Нулевые граничные условия, когда граничные спины закреплены
в одном направлении, которое можно принять за нулевое
ϕr r∈Γ = ϕrгр = 0.
(2.75b)
(С) Свободные граничные условия, когда на направления граничных
спинов не накладывается никаких ограничений, т. е. интегрирование по направлениям граничных спинов в (2.13) и (2.15)
происходит в тех же пределах
−π ϕrгр π ,
(2.75c)
как и для внутренних спинов.
Однородные граничные условия (А), (В), (С) обладают следующим
свойством, которое фактически используется в дальнейших рассуждениях (хотя это не всегда подчеркивается явно):
• для однородных граничных условий (А), (В), (С) конфигурация
(min)
ϕr
, на которой достигается минимум энергии (2.4)–(2.6) соответствует одинаковому направлению всех спинов:
(min)
ϕ(min)
= const; ϕ(min)
= ϕr
r
r
(min)
, Vrδ
= 0.
(2.76)
При этом для условий (В) общее значение всех углов равно нулю, а
для условий (А) и (С) оно может быть любым.
Последнее различие возникает вследствие того, что условия (А) и
(С) инвариантны относительно одновременного поворота всех спинов
на один и тот же угол, а условия (В) — нет. Соответственно этому
условия (А) и (С) можно назвать условиями со свободным, а условия
(В) — с закрепленным общим углом. Для условий со свободным общим углом в дальнейших рассуждениях (если бы проводить их более
подробно) то и дело должен был бы появляться произвольный общий
угол, аддитивно добавляющийся к углам ϕr ; в окончательных результатах по этому углу должно производиться усреднение. Чтобы избежать
необходимости все время упоминать об этом, можно представить себе,
§ 2. Квадратичное приближение
65
что условия (А) и (С) слегка изменены закреплением всего только
одного спина, чего уже достаточно для фиксирования общего угла.
§ 2. Квадратичное приближение
Описано приближение, заключающееся в аппроксимации энергии
конфигурации ее квадратичным разложением по углам ϕr , предполагаемым малыми. Это приближение приводит к гауссовому
распределению для углов ϕr с корреляционной матрицей ϕr ϕr ,
ведущей себя на больших расстояниях ∼ (T /J) log |r − r |. Квадратичное приближение теряет свою применимость на достаточно
больших расстояниях или в достаточно слабом магнитном поле.
Квадратичное приближение. При T = 0 флуктуации отсутствуют и
состояние системы описывается конфигурацией, при которой энергия
имеет минимум. Для рассматриваемых нами однородных граничных
условий этот минимум, как уже отмечалось, достигается, когда все
углы ϕr равны друг другу; это общее значение всех углов мы примем
за нулевое, так что минимальная конфигурация есть ϕr = 0.
Для системы конечных размеров R отсюда следует (по непрерывности), что при T /J 1 направления спинов мало отклоняются от
направления ϕr = 0. В трехмерном случае это верно и для системы
бесконечных размеров (направление ϕr = 0 при этом соответствует
направлению спонтанного момента). В двумерной системе, как увидим,
пределы R → ∞ и T → 0 не перестановочны. Тем не менее, тенденция к
одинаковому направлению спинов имеет место при всех размерностях,
поскольку в статистическом весе каждой паре соседей соответствует
множитель
1
Z(Vrδ ) = e− T J(Vrδ ) ,
(2.77)
имеющий при T → 0 δ -образный характер относительно углового отклонения Vrδ (т. е. при T → 0 вероятность данного конечного отклонения спинов сколь угодно мала). Все дело, однако, в том, что
это относится только к направлениям соседних спинов, и, как будет
выяснено в дальнейшем, особенность двумерной (и одномерной) задачи
как раз состоит в том, что в двумерном и одномерном случаях направления далеких спинов могут значительно отличаться из-за возможности накопления малых случайных отклонений. В данном параграфе
мы хотим, однако, рассмотреть состояние, в котором направления
всех спинов мало отклоняются от направления ϕr = 0. Кроме системы конечных размеров, это состояние имеет место (при достаточно
низких температурах) также и для системы бесконечных размеров в
достаточно сильном магнитном поле h, поэтому мы рассмотрим и этот
случай, добавив к энергии взаимодействия спинов также энергию их
взаимодействия с магнитным полем (2.21).
Для состояния, в котором направления всех спинов мало отличаются от нулевого направления ϕr = 0, можно применить приближение,
3 В. Л. Березинский
66
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
которое мы назовем квадратичным приближением, и которое заключается в том, что:
(а) выражение для энергии аппроксимируется его квадратичным разложением относительно малых углов ϕr . Для энергии взаимодействия спинов (2.4)–(2.6) это даст
1 1 E(... , ϕr , ...) ≈ J
(Vrδ )2 = J
(ϕr+δ − ϕr )2 ,
(2.78)
2
2
rδ
rδ
где J — константа (2.10); для энергии взаимодействия с магнитным полем (2.21)
1 2
ΔEh = −N h + h
ϕ .
(2.79)
2 r r
(б) пределы интегрирования по углам ϕr распространяются до бесконечных, считая, что заметную вероятность все равно имеют
только очень малые ϕr , так что замена пределов интегрирования
с (2.2) на −∞ < ϕr < ∞ не вносит существенной ошибки.
Выражение (2.78) есть квадратичная форма типа (1.45) относительно
переменных ϕr и может быть записано также в виде
1 Eкв (... , ϕr , ...) = − J
ϕr Δrr ϕr ,
(2.80)
2 r r
где Δrr — матрица дискретного оператора Лапласа (1.47). Квадратичное приближение (2.78)–(2.80) приводит к следующему выражению
для статистического веса
dϕr − 2JT
(ϕr+δ −ϕr )2
rδ
=
dZ ∼ e
2π
r
dϕr J = e 2T r r ϕr Δrr ϕr
, (2.81)
2π
r
а для случая наличия магнитного поля в экспоненту добавляется
(2.79), деленное на −T . Поскольку пределы интегрирования распространены до бесконечных, выражение (2.81) соответствует гауссовому
распределению для углов ϕr . Корреляционная матрица этого гауссова
распределения равна
T
T
(2.82)
(−Δ−1 )rr = Grr ,
J
J
где значок «к.п.» относится к средним, вычисленным в квадратичном
приближении.
ϕr ϕr к.п. =
§ 2. Квадратичное приближение
67
Свободная энергия и корреляции в квадратичном приближении.
Пределы его применимости. Рассмотрим сначала свободную энергию
в квадратичном приближении. Соответствующий гауссовский интеграл
легко вычисляется и мы получаем (в случае h = 0)
1
2πJ
T
T
h
F (h) = log
−h+
.
(2.83)
(dk) log −Δ(k) +
N
2
T
2
J
Интеграл по (dk) в (2.83) сходится, в том числе и при h = 0, когда
выражение для удельной свободной энергии принимает вид
1
2πJ
T
Fк.п. =
+ (dk) log(−Δ(k)) .
(2.84)
log
N
2
T
В дальнейшем мы подтвердим, что (2.84) действительно применимо при
низких температурах и является главным членом низкотемпературного
асимптотического разложения для свободной энергии.
Для среднего удельного момента получаем из (2.83)
(dk)
∂ F (h)
T
=1−
.
mh = −
(2.85)
∂h N
2J −Δ(k) + h/J
При h J это дает (см. (1.70))
T
log
mh = 1 +
4πJ
#
h −5/ 2
2
.
J
(2.86)
Таким образом, выражение для момента при h = 0 (т. е. спонтанного
момента) расходится. Также расходится при R → ∞ выражение для
спонтанного удельного момента системы конечных размеров:
m(R) = 1 −
AR
T
log
.
4πJ
r0
(2.87)
Отметим, кстати, что расходимость (2.87) при R → ∞ и есть тот
аргумент (применительно к данной системе), который доказывает, согласно Блоху, Пайерлсу и Ландау, невозможность существования фазы
с отличным от нуля спонтанным моментом (см. § 1 гл. 1).
Приведем еще формулу для дисперсии углового отклонения далеких
спинов в нулевом внешнем поле:
(ϕr − ϕr )2 к.п. =
2T
(Grr − Grr ) ≈
J
|r − r |
T
log
≈
(при |r − r | a).
πJ
r0
(2.88)
Из (2.86)–(2.88) видно, что основная предпосылка квадратичного
приближения — малость всех угловых отклонений — перестает вы3*
68
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
полняться (в нулевом внешнем поле) при размерах системы R и на
расстояниях r таких, что
T
T
R
r
log = O(1);
log = O(1),
(2.89)
J
a
J
a
а для системы бесконечных размеров — при внешних магнитных полях
h таких, что
T h log = O(1).
(2.90)
J
J
Расстояния порядка (2.89) представляют собой масштабы, на которых происходит разрушение дальнего порядка в двумерной системе.
Для таких масштабов квадратичное приближение, в том виде, как оно
здесь было рассмотрено, становится неприменимым, и должно быть
заменено другим описанием.
§ 3. Одномерная задача
Рассмотрено точное решение одномерной задачи и его асимптотика, выражающаяся через функцию θ(ϕ|t) – переходную вероятность для блуждания (диффузии) по окружности. Рассмотрены
свойства этой функции, т. к. через нее выражается асимптотика
двухточечной функции распределения и для двумерной задачи,
как будет показано в § 5. Затем изложен другой способ вывода
асимптотики, основанный на введении полного набега угла; этот
способ окажется годным и для двумерной задачи.
В одномерном случае функция Грина растет с расстоянием даже
быстрее, чем в двумерном — не логарифмически, а линейно, и квадратичное приближение теряет свою применимость на масштабах порядка
r
n = = O(J/T ).
(2.91)
a
С другой стороны, одномерную задачу можно решить точно, и выяснить поведение корреляций на масштабах порядка (2.91). Анализ этого
точного решения приведет нас к правильной трактовке и двумерного
случая.
Точное решение одномерной задачи и его асимптотика. Рассмотрим
0 , ... , S
N , расположенных в точках r0 = 0, ...
цепочку из N + 1 спинов S
. . . , rN = N a, а граничные условия зададим, зафиксировав направления
0 и S
N . Энергия конфигураций одномерной
ϕ0 и ϕN граничных спинов S
системы выражается в виде
E(... , ϕn , ...) =
N
n=1
J(ϕn+1 − ϕn ).
(2.92)
§ 3. Одномерная задача
69
Соответствующее распределение Гиббса имеет такую же структуру,
как распределение вероятности для однородной марковской цепи, именно
N dϕ n
− T1 J(ϕn+1 −ϕn )
e
.
dZ ∼
(2.93)
2
π
n
n=1
Поэтому задача может быть решена методом, известным из теории
марковских цепей. Если обозначить через
Z(m)
=
2π
dv − T1 J(V ) −imV
e
e
, m = 0, ±1, ±2, ...
2π
(2.94)
0
коэффициенты Фурье функции e− T J(V ) , связывающей в (2.93) каждую
пару соседних спинов, то для свободной энергии получим:
∞
F
N
im(ϕ
−ϕ
)
N
0
0).
− = log
(Z(m))
e
(2.95)
≈ N log Z(
T
−∞
1
При этом для плотности вероятностного распределения l выделенных
спинов (т. е. для вероятности того, что спины, расположенные в узлах r1 = n1 a, ... , rl = nl a, имеют направления ϕ1 , ... , ϕl ) имеет место
равенство
Pl (ϕ1 , n1 , ... , ϕl , nl ) = (const) Pn1 (ϕ0 − ϕ1 ) ... PN −nl (ϕl − ϕN ), (2.96)
где обозначено
Pn (ϕ − ϕ ) =
∞
m=−∞
Z(m)
0)
Z(
n
eim(ϕ−ϕ ) .
(2.97)
Вычисление асимптотики (2.95) при T J подтверждает применимость квадратичного приближения для вычисления свободной энергии.
Что же касается вероятностного распределения (2.96), то следует при
0) имеет вид
нять во внимание, что асимптотика отношения Z(m)/
Z(
1
T
T2
Z(m)
= 1 − m2 + O
(2.98)
.
0)
2
J
J2
Z(
Функция (2.97) при T → 0 и фиксированном n стремиться к пределу
∞
m=−∞
im(ϕ−ϕ )
e
= δпер (ϕ − ϕ ) =
∞
δ(ϕ − ϕ − 2πn),
(2.99)
n=−∞
т. е. к «периодической δ -функции», отличной от нуля только при
ϕ − ϕ = 2πn. Этого предела и следовало ожидать в связи с тем, что
при T = 0 все спины имеют одно и то же направление (см. начало
§ 2). Рассмотрим, однако, асимптотику для масштабов (2.91), т. е.
предел функции (2.97), когда вместе со стремлением температуры к
70
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
нулю, расстояние n = r/a неограниченно возрастает таким образом,
что произведение nT /J стремится к конечному пределу, равному t, т. е.
рассмотрим асимптотику при условиях
T
= t = O(1).
(2.100)
J
0))n получаем
Z(
В этом случае для отношения (Z(m)/
n
n
Z(m)
2 T
lim
= lim 1 − m
=
0)
(2.100)
(2.100)
2J
Z(
n
2
1
m2 t
= e− 2 m t . (2.101)
= lim 1 −
n→∞
2n
T → 0, n → ∞, n
Введем обычное обозначение для функции с коэффициентами Фурье
(2.101):
θ(ϕ|t) =
∞
e− 2 m t eimϕ = 1 + 2
1
2
m=−∞
∞
e− 2 m t cos mϕ.
1
2
(2.102)
m=1
В силу (2.101), асимптотику функции (2.97) для условий (2.100) можно
записать в виде
T
T
T
1, n 1, n = O(1) . (2.103)
Pn (ϕ − ϕ ) ≈ θ ϕ − ϕ |n
J
J
J
Ввиду того, что функция (2.102) будет встречаться в формулах и
дальше, рассмотрим ее свойства подробнее.
Свойства функции θ(ϕ|t). Функция (2.102) является решением уравнения
∂θ
1 ∂2θ
=
,
(2.104)
∂t
2 ∂ϕ2
при начальных и граничных условиях
lim θ(ϕ|t) = δпер (ϕ); θ(ϕ + 2π|t) = θ(ϕ|t).
t→+0
(2.105)
Иначе говоря, она является функцией источника (переходной вероятностью) для диффузии (случайного блуждания) по окружности. Представление (2.102) получается, если решать (2.104)–(2.105) с помощью
разложения в ряд Фурье, т. е. использовать для δпер (ϕ) представление,
стоящее в левой части формулы (2.99). Использование представления,
стоящего в правой части (2.99), соответствует разматыванию окружности на прямую −∞ < ϕ < ∞; при этом источник в точке окружности
ϕ = 0 переходит в периодическую последовательность источников в
точках прямой ϕn = 2πn (n = 0, ±1, ±2, ...). Так как функция источни-
§ 3. Одномерная задача
71
ка для диффузии на прямой дается известным гауссовым выражением,
для θ(ϕ|t) получается представление
θ(ϕ|t) = √
∞
1
2πt
e− 2t (ϕ−2πn) ,
2
1
(2.106)
n=−∞
внешне отличное от (2.102), но эквивалентное ему.
При t 1 в области −π < ϕ < π существенен только первый член
из (2.106), так что мы имеем:
θ(ϕ|t) ≈ √
1
e− 2t ϕ .
1
2
(2.107)
2πt
При t 1 существенен только первый член в представлении (2.102):
θ(ϕ|t) ≈ 1 (t 1).
(2.108)
Таким образом, функция θ(ϕ|t) переходит от гауссовского распределения, сосредоточенного вблизи нулевого угла при t 1 к равномерному
распределению по окружности при t 1.
Анализ одномерного решения. Способ решения, основанный на
введении полных углов. Ввиду (2.103), из (2.107) следует, что на
расстояниях n = r/a J/T направления спинов отклоняются мало,
и применимо квадратичное приближение, а из (2.108) видно, что на
расстояниях n J/T направления спинов распределены независимо.
Таким образом, дальний порядок, действительно, разрушается на расстояниях порядка (2.91).
Появление уравнения случайных блужданий легко понять, т. к.
мы встречаемся с ситуацией, полностью эквивалентной той, которая
имеет место для непрерывного марковского блуждания (роль времени играет расстояние n): последовательные угловые отклонения
vn = ϕn+1 − ϕn независимы (в силу структуры (2.93)) и малы (диспер2
сия vn = (ϕn+
1 − ϕn ) ∼ T /J 1); суммарное угловое отклонение
ϕn+dn − ϕn = n<i<ndn имеет дисперсию, пропорциональную малой
величине T /J :
T
(ϕn+dn − ϕn )2 =
(ϕi+1 − ϕi )2 ∼ dn .
(2.109)
J
n<i<n+dn
В силу сказанного, для изменения функции распределения на масштабах dn , таких, что 1 dn J/T , применимо дифференциальное уравнение случайных блужданий (уравнение Фоккера—Планка—
Эйнштейна—Чепмена—Колмогорова, см.[51]).
Уже из формулы (2.109) видно, почему квадратичное приближение
теряет свою применимость на масштабах порядка (2.91). Действительно, согласно (2.109) при произвольно малом, (но фиксированном) T /J
дисперсия суммарного углового отклонения на достаточно больших
расстояниях (именно O(J/T )) все равно достигает конечной величины.
72
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Другими словами, несмотря на малость отклонения соседних спинов
при T /J 1, они накапливаются таким образом, что суммарное отклонение далеких спинов может стать конечным. Это и объясняет
неприменимость квадратичного приближения на достаточно больших
расстояниях.
Итак, специфика одномерной задачи состоит в том, что надо учитывать возможность конечного отклонения спинов на достаточно больших расстояниях. Вид формулы (2.106) (в связи с (2.103)) наводит на
мысль, что этот учет, наряду с «инфинитезимальным» способом, рассмотренным выше и приводящим к уравнению случайных блужданий
на окружности, может быть также произведен «глобальным» способом,
основанным на введении полного набега угла.
Исходным моментом снова является малость отклонений соседних
спинов для подавляющего большинства конфигураций. Для таких конфигураций можно непрерывно следить за изменением угла при переходе от данного спина к соседнему и таким образом для любой пары
сколь угодно далеких спинов однозначно определить полный набег
угла, учитывающий число оборотов на 2π при переходе от начального
спина к конечному. В связи с этим введем следующие определения:
• геометрическим углом между двумя спинами назовем угол между ними, выраженный числом из интервала (−π , π);
• полным набегом угла между двумя спинами в данной конфигурации назовем действительное число (могущее принимать значения
от −∞ до ∞), такое, что если его представить в виде (2πn) +
(число из интервала ((−π , π))), то второе слагаемое есть геометрический угол между спинами в данной конфигурации, а целое
число n указывает, сколько полных оборотов (на 2π ) совершает
вектор спина в данной конфигурации при непрерывном изменении
от начального спина до конечного.
Полный набег угла в данной конфигурации при переходе от спина
n к спину S
n может быть определен формулой
S
ϕn,n =
(ϕi+1 − ϕi )геом ,
(2.110)
n<i<n
где каждое слагаемое из (2.110) является малым геометрическим углом между двумя спинами, вся же сумма выражает полный набег
угла. Малость отдельных слагаемых существенна для однозначности
определения: в противном случае величина (2.110) не менялась бы
непрерывно при непрерывном изменении конфигурации. Если ввести
величину ϕ
n , представляющую собой полный набег угла между спиn и некоторым фиксированным спином S
0 , то заданием значеном S
ний ϕ
n («полных углов») для всех n можно однозначно описывать
конфигурацию (очевидно, ϕ
n определено с точностью до аддитивной
§ 3. Одномерная задача
73
константы, см. по этому поводу конец § 1). Далее, для соседних углов
i+1 − ϕ
i совпадает с геометрическим углом между ними
разность v
i = ϕ
и мала, поэтому можно использовать квадратичное разложение для
энергии по этим разностям, совпадающее с одномерным вариантом
(2.78) (квадратичное приближение формулировалось как разложение
по малым углам, но т. к. энергия зависит только от разностей соседних
углов, оно же дает разложение для энергии по малым разностям v
i ).
Учтя еще, что полные углы могут меняться в пределах от −∞ до
∞ приходим к выводу, что для полных углов имеет место гауссово
распределение, определяемое квадратичным разложением энергии.
Отличие от квадратичного приближения в форме, рассмотренной в
§ 2, состоит в учете того обстоятельства, что любая величина, зависящая от геометрических углов, будучи выражена через полные углы,
должна представляться периодической функцией полных углов. Только
для периодических функций средние по гауссовскому распределению
полных углов соответствуют средним по конфигурациям спинов.
n
Например, вычисляя вероятность того, что угол между спинами S
и Sn равен Ψ, надо вычислять не среднее от δ(ϕn − ϕn − Ψ) — это
среднее представляет собой вероятностное распределение для разности
полных углов и дается гауссовым выражением — а надо вычислять
среднее от δпер (ϕn − ϕn − Ψ) — вероятность того, что геометрический
n и S
n равен Ψ. Для последней вероятности и полуугол между S
чим как раз (2.103), причем для θ-функции получается представление
(2.102) или (2.106), смотря по тому, какое из двух представлений
периодической δ -функции было использовано (см. (2.99)).
Выводы для двумерного случая. Хотя закон накопления отклонений
(дисперсия пропорциональна расстоянию) специфичен для одномерного
случая, в двумерном случае, как видно из (2.88), дисперсия отклонения
также растет с расстоянием, хотя и медленнее (только логарифмически). Значит, в двумерном случае неприменимость квадратичного
приближения на достаточно больших расстояниях также связана с
накоплением конечных отклонений. Только в трехмерном случае, где
из-за увеличения числа связей между узлами дисперсия отклонения
при увеличении расстояния стремится к конечному пределу (пропорциональному T /J ), учет конечных отклонений не существенен, и квадратичное приближение применимо.
Как увидим, описанная ситуация имеет место для всех систем,
рассматриваемых в данной работе, однако учет конечных отклонений
должен в каждом случае производиться по-своему. В следующем параграфе мы покажем, что описанный выше способ учета конечных отклонений, связанный с введением полного набега угла, можно распространить на двумерную систему. В дополнении к § 5 будет изложен подход,
обобщающий на двумерный случай уравнение случайных блужданий.
74
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
§ 4. Построение низкотемпературного разложения
Построено систематическое низкотемпературное разложение для
двумерной решетки плоских классических спинов. Сначала изложен наглядный подход, основанный на введении полных углов.
Этот подход приводит к основному приближению, согласно которому средние представляются в виде гауссовских интегралов по
полным углам, меняющимся от −∞ до ∞. Поправки к основному
приближению должны соответствовать учету членов O((∇ϕ)4 )
в выражении для энергии и, во-вторых, вкладу конфигураций,
содержащих сингулярные грани, обход вокруг которых дает изменение полного угла, кратное 2π ; такие грани названы вихрями,
т. к. они представляют собой модель квантованных вихрей в бозежидкости. Затем описано формальное преобразование статсуммы,
приводящее к систематическому низкотемпературному разложению, автоматически учитывающему все виды поправок. Средние
представляются в виде суммы вкладов от классов D(... , Kr∗ , ...),
каждый из которых задается определенным распределением целочисленных циркуляций Kr∗ по граням решетки и соответствует некоторой конфигурации вихрей. Вклад от каждого класса
представляется интегралом по углам ϕr в бесконечных пределах.
Основное приближение соответствует квадратичному разложению
энергии в интеграле, представляющем вклад класса D0 (которому
соответствует распределение циркуляций Kr∗ = 0)
Введение полных углов в двумерном случае. В соответствии с
раcсмотрениями § 2–3 предположим, что в двумерной системе при
достаточно низких температурах существенны только конфигурации, в
которых угловое отклонение для соседних (или близких) спинов мало;
можно, например, предположить, что достаточно учесть только конфигурации, в которых для каждой пары соседних углов r, r + δ угловое
отклонение Vrδ (геометрический угол между соседними спинами) не
превосходит некоторого достаточно малого ε:
|Vrδ | = |ϕr+δ − ϕr | ε.
(2.111)
Можно ожидать, что вклад остальных конфигураций (в удельную
свободную энергию и локальные средние типа (2.13) будет порядка
1
O(e− T ΔEε )) , где ΔEε — конечная энергия, связанная с нарушением
(2.111) на некоторой связи. Так как в дальнейшем будет построено систематическое низкотемпературное разложение и произведена оценка
поправок, мы не будем уточнять это предположение, ограничившись
только рассмотрением конфигураций, удовлетворяющих (2.111).
Рассмотрим в такой конфигурации два каких-либо, сколь угодно
далеких спина в узлах r и r и соединим эти спины некоторым решеточным путем L(r, r ) (см. § 3 гл. 1). Определим полный набег угла на
§ 4. Построение низкотемпературного разложения
75
этом пути как
полный набег уг= SL(r,r ) Vri δi = SL(r,r ) (ϕri +δi − ϕri ), (2.112)
ла на пути L(r, r )
где справа стоит определенный в § 3 гл. 1 дискретный линейный
интеграл от углового отклонения, т. е. сумма угловых отклонений
на всех связях, составляющих путь L(r, r ). Как указывалось в § 3,
малость соседних угловых отклонений (типа (2.111)) существенна для
однозначности определения величины (2.112) и ее непрерывной зависимости от конфигурации.
Покажем теперь, что при выполнении неравенств (2.111) на всех
связях, полный набег угла одинаков для всех путей, соединяющих
точки r и r , т. е. зависит только от начальной и конечной точки пути.
Это утверждение эквивалентно тому, что полный набег угла (2.112)
для любого, в том числе и сколь угодно большого замкнутого пути
(контура) Γ равен нулю. Определим циркуляцию по контуру Γ как
полный набег угла вдоль этого контура, деленный на 2π , то есть
циркуляция 1
1
(2.113)
по контуру Γ = 2π Vri δi = 2π (ϕri+1 − ϕri ).
Γ
Γ
Циркуляция (2.113) есть целое число (положительное, отрицательное
или нуль). Легко видеть, что при выполнении условий (2.111) циркуляция по достаточно малому контуру должна равняться нулю; в частности, циркуляции по границам граней, с одной стороны, ограничены
сверху величиной 4ε/2π , а с другой стороны, должны быть целыми
числами, и поэтому равны нулю при ε < π/2. Далее, согласно (1.89)
циркуляция по любому большому контуру Γ равна сумме циркуляции
по границам элементарных квадратиков (граней), содержащихся внутри области, охваченной контуром, и поэтому тоже равна нулю.
Независимость полного набега угла (2.112) от пути, соединяющего
узлы r и r позволяет представить (2.112) в виде разности
полный набег уг
r ,
(2.114)
=ϕ
r − ϕ
ла на пути L(r, r )
где ϕ
r — некоторая решеточная функция, которую мы назовем полным
углом. Приведенными рассуждениями полный угол определяется с точностью до аддитивной константы, которая соответствует возможности
поворота всех спинов на общий угол и должна фиксироваться при
учете граничных условий (см. конец § 1).
Формулировка основного приближения. Предыдущие рассуждения
показывают, что конфигурации, удовлетворяющие условию (2.111)
можно описывать, задавая полные углы ϕ
r для всех r. Обратно,
каждый набор полных углов ϕ
r , удовлетворяющих условиям (2.111),
описывает такую конфигурацию. Значит, интегрирование по конфигурациям (2.111) сводится к интегрированию по полным углам ϕ
r в
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
76
пределах −∞ < ϕ
r < ∞, но при ограничениях |ϕ
r+δ − ϕ
r | < ε. Далее, в
силу малости ε, для энергии конфигураций (2.111), выраженной через
полные углы, можно взять квадратичное разложение (2.78), так что
статистический вес будет иметь гауссов вид. Наконец, ограничения
|ϕ
r+δ − ϕ
r | < ε можно отбросить, т. к. вклад не удовлетворяющих
им конфигураций в получающийся гауссов интеграл будет порядка
2
J
O(e− T O(ε ) ), т. е. экспоненциально мал. Поэтому в полученном приближении, которое должно быть применимым при достаточно низких
температурах, средние (2.13) должны выражаться интегралами
Uо.п. = eFо.п. /T ×
∞
∞
J
×
...
Uпер (... , ϕ
rs , ...)e− 2T
−∞
−∞
r+δ −ϕ
r )
rδ (ϕ
2
dϕ
r
r
2π
,
(2.115)
где усредняемая функция (2.12), будучи выражена через полные углы,
r , определенная
должна рассматриваться как периодическая функция ϕ
r < ∞. Именно учет периодичности усредняемых
на всей оси −∞ < ϕ
функций отличает (2.115) от квадратичного приближения, как уже
объяснялось в § 3. Значок «о.п.» в записи среднего (2.115) означает,
что это среднее вычислено в основном приближении; такое название приближению (2.115) мы даем потому, что (2.115) соответствует
главному члену систематического низкотемпературного разложения,
которое будет построено ниже.
Классификация поправок. Необходимость учета вихрей. Очевидный источник поправок к основному приближению (2.115) связан с заменой точного выражения для энергии на его квадратичное разложение
по разностям Vrδ . Члены четвертого и высших порядков в разложении
энергии по степеням Vrδ должны быть учтены в качестве поправок.
Однако, существует еще один источник поправок. Действительно,
сама возможность введения полных углов опиралась на то следствие
(2.111), согласно которому полный набег угла для всех путей, соединяющих любые далекие точки r и r , одинаков. Но при учете
возможности конечных отклонений Vrδ может случиться, что полный
набег угла для двух различных путей, соединяющих те же точки,
различен. Рассмотрим случай, когда оба пути проходят в области, где
угловые отклонения малы, так что определение (2.112) имеет смысл,
но где-то между этими путями расположен дефект, связанный с конечными угловыми отклонениями на некоторых связях. Тогда циркуляция
по замкнутому контуру, окружающему этот дефект и проведенному
достаточно далеко от дефекта (там, где угловые отклонения уже малы), будет отлична от нуля. До тех пор, пока контур, проведенный
вокруг этого дефекта не захватит другой подобный дефект, циркуляция
по контуру не может измениться, поэтому описанные дефекты будут
«дальнодействующими» (их влияние не может быстро затухнуть). Мы
§ 4. Построение низкотемпературного разложения
77
назовем эти дефекты вихрями, поскольку они соответствуют хорошо
известным квантованным вихрям в бозе-жидкости (см. [52]); на магнитном языке их можно назвать «дисклинациями». Может даже показаться, что вихри, несмотря на то, что их концентрация будет порядка
ΔE
O(e− T ), где δE — конечная энергия, требуемая для создания вихря, в
силу их дальнодействия должны качественно изменить корреляции на
масштабах порядка среднего расстояния между вихрями. Мы увидим
в § 6 что этого не случается потому, что вихри с противоположными
циркуляциями объединяются в связанные пары (и, вообще, «квазимолекулы») с нулевой суммарной циркуляцией, которые уже представляют собой менее дальнодействующие и «разупорядочивающие» дефекты,
чем отдельные вихри. Тем не менее, учет вклада вихрей принципиально
необходим вблизи точки фазового перехода.
Ниже будет развит формальный подход, приводящий к систематическому низкотемпературному разложению, в котором поправки, связанные с вихрями, равно как и другие поправки, появятся автоматически.
Построение систематического низкотемпературного разложения.
Переходим к построению низкотемпературного разложения. Выражения (2.13) для средних переписываем в виде
π
π
dϕr U = eF/T
... Uпер (... , ϕrs , ...)
Z(Vrδ )
,
(2.116)
2π
r
−π
rδ
−π
т. е. представляем статистический вес как произведение множителей
Z(Vrδ ) = Z(ϕr+δ − ϕr ) = e− T J(Vrδ )
1
(2.117)
для всех связей rδ . Примерный вид функции Z(Vrδ ) при T /J 1
изображен на рис. 2. Z(Vrδ ) имеет острые максимумы при Vrδ $
= 2πn,
n = 0, ±1, ±2, ..., ширина каждого максимума имеет порядок T /J .
Вблизи максимума Vrδ = 0 функция Z(Vrδ ) может быть заменена выражением
2
J
Z(Vrδ ) ≈ e− 2T (Vrδ )
(2.118)
(показатель экспоненты в (2.117) разложен в ряд по Vrδ и оставлен
только квадратичный член). Члены высших порядков можно учесть в
качестве поправок, представив (2.117) в виде
Z(Vrδ ) = e− 2T (Vrδ ) e− T J4 (Vrδ ) ,
J
2
1
(2.119)
где J4 (Vrδ ) есть сумма членов четвертого и высших порядков по Vrδ .
Второй сомножитель в (2.119) представляет собой ряд вида
e− T J4 (Vrδ ) = e− T
1
1
∞
n=2
cn (Vrδ )2n
=1+
∞ ∞
ζpq T −p (Vrδ )4p+2q . (2.120)
p=1 q=0
Однако, хотя ряд (2.120) сходится на всей оси −∞ < Vrδ < ∞, его
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
78
O
% T J
Vrδ
−4π
−3π
−2π
−π
0
π
2π
3π
4π
Рис. 2. Вид функции Z(Vrδ ) при T /J 1.
члены, как видно из рис. 2, дают малые поправки к (2.118) только
на интервале −π < Vrδ <$π (во всяком случае, не дальше, чем для
|Vrδ | < 2π − ε, где ε = O( T /J )). Поэтому мы поступим следующим
образом: разобьем ось −∞ < Vrδ < ∞ на интервалы
(2n − 1)π < Vrδ < (2n + 1)π
и на каждом интервале используем представление (2.119) относительно центра своего интервала. Если обозначить характеристическую
функцию интервала (−π , π) как
1, при −π < Vrδ < π ;
(2.121)
χ(Vrδ ) =
0, при |Vrδ | > π ,
тогда характеристическая функция интервала
(2n − 1)π < Vrδ < (2n + 1)π
будет равна χ(Vrδ − 2πn) и представление Z(Vrδ ), о котором шла речь
можно записать в виде
Z(Vrδ ) =
∞
e− 2T (Vrδ −2πn) e− T J4 (Vrδ −2πn) ζ(Vrδ − 2πn) =
J
2
1
n=−∞
=
∞
Zχ (Vrδ − 2πn), (2.122)
n=−∞
где введено обозначение
Zχ (Vrδ − 2πn) = Z(Vrδ − 2πn)χ(Vrδ − 2πn) =
− 2JT (Vrδ −2πn)2 − T1 J4 (Vrδ −2πn)
e
, при (2n − 1)π < Vrδ < (2n + 1)π ;
= e
0,
вне [(2n − 1)π , (2n + 1)π].
(2.123)
Построение низкотемпературного разложения начинается с того, что
представление сомножителей (2.117) в виде сумм (2.122) подставляется
в выражение (2.116) для средних. Раскрыв полученное произведение
сумм по дистрибутивному правилу, представим (2.116) в виде суммы
членов, соответствующих всевозможным способам выбора слагаемых
§ 4. Построение низкотемпературного разложения
79
из сумм (2.122) в качестве сомножителей. Это представление можно
записать в виде
U = e
F/T
...
π
π
×
...
{...,nrδ,... } −π
−π
× Uпер (... , ϕrs , ...)Z...,nrδ ,... (... , ϕr , ...)
dϕr r
где введено обозначение
Z...,nrδ ,... (... , ϕr , ...) =
2π
Zχ (ϕr+δ − ϕr − 2πnrδ ).
,
(2.124)
(2.125)
rδ
Суммирование в (2.124) идет по всевозможным целочисленным решеточным формам nrδ , описывающим различные способы выбора слагаемых из (2.122) для каждой связи в качестве сомножителей. Именно,
значение формы nrδ на данной связи rδ указывает, что для связи
rδ в качестве сомножителя в (2.125) выбран член суммы (2.122),
соответствующий n = nrδ (т. е. интервалу (2nrδ − 1)π < Vrδ < (2nrδ +
+ 1)π ). Так как произведение в (2.116) берется по ненаправленным
связям, а в (2.122) изменение направления связи эквивалентно замене
n → −n, то nrδ надо рассматривать как антисимметричную функцию
связи:
nr,r = −nr ,r (где |r − r | = a); nrδ=−nr+δ,−δ ,
(2.126)
т. е. как целочисленную решеточную форму в смысле § 3 гл. 1. (Действительно, один и тот же выбор слагаемого из (2.122) запишется в
виде nr,r = n или nr ,r = −n, в зависимости от того, какое направление
приписано связи, соединяющей данную пару соседних узлов r, r ).
При условии (2.126) между целочисленными формами nrδ и способами выбора слагаемых из (2.122) имеет место взаимно-однозначное
соответствие и суммирование в (2.124) должно идти по всем целочисленным формам nrδ . Дальнейшее преобразование (2.124) ведется
следующим образом: суммирование по целочисленным формам nrδ
сводится к суммированию по двум целочисленным функциям nr и
Kr∗ , заданным, соответственно, на исходной и дуальной решетках;
суммирование по nr удается выполнить в явном виде, после чего
среднее (2.116) представится в виде суммы вкладов, соответствующих
различным целочисленным функциям Kr∗ на дуальной решетке. Каждой такой функции однозначно соответствует конфигурация вихрей,
описанных выше в рамках наглядного подхода: именно, значения Kr∗
как раз совпадают с циркуляциями (2.113) по границам граней r∗ в
соответствующей конфигурации вихрей; безвихревым конфигурациям,
в частности, основному приближению (2.115), будет соответствовать
Kr∗ = 0.
80
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Приступим к выполнению намеченной программы. Значения функции Kr∗ определим как линейные интегралы от формы nrδ по границам
граней r∗ :
Kr∗ = (rot n)r∗ =
nri δi .
(2.127)
r∗
В соответствии со сказанным выше, назовем величины (2.127) циркуляциями.
Отметим, что для граничных условий (А) и (В) возможные наборы
циркуляций Kr∗ должны удовлетворять ограничению
Kr∗ = 0 (для (А) и (Б)),
(2.128)
r∗
где суммирование идет по всем граням. В самом деле, для условия
(А) решетка топологически эквивалентна тору (т. е. замкнутой поверхности) и при вычислении суммы всех циркуляций каждая связь
проходится дважды в противоположных направлениях, так что вся
сумма равна нулю. Для условий (В) и (С) сумма всех циркуляций
равна интегралу от nrδ по граничному контуру и для (В) равна нулю
(т. к. в этом случае nrδ = 0 на границе). Для условий (С) на сумму
циркуляции не накладывается ограничений.
Разобьем суммирование по nrδ в (2.124) на суммирование при фиксированных значениях Kr∗ и последующее суммирование по Kr∗ . Если
назвать D-эквивалентными все целочисленные формы nrδ , у которых
совпадают все циркуляции Kr∗ , то множество форм nrδ разобьется на
классы D-эквивалентных форм, причем каждый класс D(... , Kr∗ , ...)
задается некоторым распределением циркуляций по граням решетки.
Суммирование по nrδ разбивается при этом на суммирования внутри
каждого класса и последующее суммирование по классам (т. е. по
допустимым Kr∗ ).
Рассмотрим сначала класс D0 , состоящий из форм nrδ , таких, что
для них все циркуляции Kr∗ равны нулю. Этот класс состоит из форм
вида
nrδ = nr+δ − nr (nrδ ∈ D0 ),
(2.129)
где nr — произвольная целочисленная функция на решетке. Действительно, все формы вида (2.129), очевидно, принадлежат классу D0
(циркуляции (2.127) для них равны нулю); обратно, каждая форма
класса D0 может быть представлена в виде (2.129), для чего достаточно
определить nr (по данной форме nrδ ∈ D0 ) как
nr = nr0 + SL(r0 ,r) nri δi ,
(2.130)
где r0 — некоторый фиксированный узел, а L(r0 , r) — любой путь,
соединяющий r0 и r (независимость (2.130) от выбора пути как раз
и является следствием того, что nrδ ∈ D0 ). Значение nr0 представляет
§ 4. Построение низкотемпературного разложения
81
собой аддитивную целочисленную константу, с точностью до которой
определяется nr .
Рассмотрим теперь множество целочисленных форм nrδ , принадлежащих некоторому классу D(... , Kr∗ , ...). Очевидно, разность двух
таких форм есть форма, принадлежащая классу D0 , так что все формы,
принадлежащие классу D, представляются в виде
D
D
nD
rδ = nrδ + nr+δ − nr (nrδ ∈ D),
(2.131)
nD
rδ
— некоторый (любой) представитель класса D, а nr — произгде
вольная целочисленная функция.
Все формы данного класса D(... , Kr∗ , ...) получаются по (2.131),
причем каждая по одному разу, когда числа nr (все, кроме одного
некоторого nr0 , которое остается фиксированным, например, nr0 = 0 ),
пробегают независимо все целочисленные значения nr = 0, ±1, ±2, ...
Поэтому суммирование по классу D сводится к суммированию по nr .
Этим можно воспользоваться для того, чтобы вычислить в явном виде
сумму слагаемых из (2.124) по всем nrδ , принадлежащим данному
классу D. Для этого выберем какой-нибудь (любой) представитель
класса D и представим все формы nrδ ∈ D в виде (2.131). Учтем
далее, что соответствующий подынтегральный множитель (2.125) при
использовании (2.131) может быть представлен в виде
Z...,nrδ ,... (... , ϕr , ...) = Z...,nD
(... , ϕr − 2πnr , ...),
rδ ,...
(2.132)
т. е. как результат преобразования ϕr → ϕr − 2πnr в выражении
(2.125), соответствующем выбранному представителю nD
rδ . Если теперь
произвести суммирование по всем nr 8) , то видно, что по отношению
к каждой переменной интегрирования ϕr производится следующая
операция:
+∞
π
Uпер (... , ϕr , ...)Z...,nD
(... , ϕr − 2πnr , ...)
rδ ,...
nr =−∞ −π
=
+∞
nr =−∞
dϕr
=
2π
(2nr+1)π
Uпер (... , ϕr , ...)Z...,nD
(... , ϕr , ...)
rδ ,...
(2nr −1)π
∞
Uпер (... , ϕr , ...)Z...,nD
(... , ϕr , ...)
rδ ,...
=
−∞
dϕr
=
2π
dϕr
. (2.133)
2π
8)
Суммируемое выражение зависит только от разностей nr − nr , и суммировать надо по всем nr , кроме одного фиксированного nr0 (результат суммирования от nr0 не зависит). Фиксирование nr0 соответствует фиксированию
общего угла (см. конец § 1).
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
82
В силу чего сумма слагаемых из (2.124), соответствующих классу D,
представится в виде
∞
U
(D)
∞
F/T
=e
Uпер (ϕrs )Z...,nD
(... , ϕr , ...)
rδ ,...
...
Uпер (ϕrs )
...
−∞
2π
r
−∞
−∞
∞
∞
= eF/T
dϕr Zχ (Vrδ − 2πnD
rδ )
r
rδ
−∞
dϕr 2π
,
=
(2.134)
nD
rδ
где
есть некоторый (любой) представитель класса D (выражение
(2.134) не зависит от выбора этого представителя).
Заметим, что выражение (2.134) для класса D отличается от соответствующего выражения для класса D0 только заменой
Vrδ → Vrδ − 2πnD
rδ ,
что эквивалентно введению вектор-потенциала
D
AD
rδ = −2πnrδ .
(2.135)
Поэтому окончательные результаты наших преобразований можно
сформулировать следующим образом.
Определим величины, соответствующие классу D0 (эти величины
будем снабжать значком (0)): свободную энергию — из равенства
∞
∞
dϕr
−F 0 /T
e
=
...
Zχ (Vrδ )
,
(2.136)
2π
r
−∞
−∞ rδ
сверхтекучую свободную энергию — из равенства
∞
∞
dϕr
0
e
1
e− T ΔF (A ) =
...
Zχ (Vrδ + Aerδ )
,
2π
r
−∞
средние по классу D0 — равенством
∞
∞
dϕr
0
F0 /T
U = e
...
Uпер (... , ϕr , ...)
Zχ (Vrδ )
2π
r
−∞
(2.137)
−∞ rδ
(2.138)
rδ
−∞
и, наконец, средние по классу D0 в присутствии внешнего векторпотенциала Aerδ — равенством
1
0
1
0
e
U||Ae = e T F e T ΔF (A ) ×
∞
∞
dϕr
×
. (2.139)
...
Uпер (... , ϕrs , ...)
Zχ (Vrδ + Aerδ )
2π
r
−∞
−∞
rδ
§ 4. Построение низкотемпературного разложения
83
Тогда полные величины будут определяться следующим образом:
• свободная энергия — из равенства
1 0 D
0
e−F/T = e−F /T
e− T ΔF (A ) ,
(2.140)
(D)
• сверхтекучая свободная энергия — из равенства
e
0 0
e
D
1
1
1
e− T ΔF (A ) = e T (F −F )
e− T ΔF (A +A ) ,
(2.141)
(D)
• наконец, полные средние — равенством
0 0
D
1
1
U = e T (F −F )
e− T ΔF (A ) U||AD .
(2.142)
(D)
Суммирование по классам D = D(... , Kr∗ , ...) в (2.140)–(2.142) соответствует суммированию по целочисленным Kr∗ = 0, ±1, ±2, ...:
=
D
...
{...,Kr∗ ,...}
=
∞
−∞
...
∞
...
Kr∗ =−∞
∞
,
(2.143)
−∞
причем при суммировании по Kr∗ в случае граничных условий (А) и
(В) надо учитывать ограничения (2.128).
Собственно говоря, для справедливости (2.143) надо еще показать,
что любому набору целочисленных циркуляций Kr∗ (совместимых с
(2.128) для условий (А) и (В)) отвечает некоторый класс D (т. е. имеются формы nrδ с наперед заданным набором Kr∗ ). Это доказательство
нам будет удобно изложить несколько позже, в § 6. Доказательство
будет самым прямым: будет указан способ построения хотя бы одной
nrδ с заданными циркуляциями Kr∗ .
То, что члены сумм (2.140)–(2.142) действительно зависят только
от циркуляций Kr∗ , т. е. от класса D, и не зависят от выбора его
представителя в (2.135), конечно, следует непосредственно из вывода,
но полезно проверить это еще раз, идя обратным путем, т. е. исходя
из конечных выражений (2.140)–(2.143). Для этого рассмотрим зависимость эквивалентного вектор-потенциала AD
rδ (см. (2.135)) от выбора представителя класса. Разложим, согласно (1.106), эквивалентный
вектор-потенциал AD
rδ на сумму продольной и поперечной компонент
D
⊥
D
AD
rδ = Arδ + Arδ ,
(2.144)
выражающихся через продольный и поперечный потенциалы, (которые
D
мы будем обозначать ϕD
r и Ψr∗ по формулам (см. (1.107)–(1.108))
D
D
D
AD
rδ = dδ ϕr = ϕr+δ − ϕr ,
⊥
D
D
D
AD
rδ = dδ∗ Ψr∗ = Ψr∗ +δ∗ − Ψr∗ .
(2.145)
(2.146)
84
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
При этом, согласно (1.110) поперечный потенциал ΨD
r∗ определяется из
решения уравнения на дуальной решетке 9)
D
Δr∗ r∗ ΨD
(2.147)
r∗ = (rot A )r∗ = −2πKr∗ .
r∗
Решение уравнения (2.147) можно записать в виде
ΨD
Gr∗ r∗ Kr∗ .
r∗ = 2π
(2.148)
r∗
Таким образом, поперечный потенциал ΨD
r∗ выражается только через
Kr∗ , т. е. не зависит от выбора представителя класса. Напротив,
продольный потенциал ϕD
r должен определяться из решения уравнения
D
Δrr ϕD
nrδ
(2.149)
r = (div A )r = −2π
r
δ
и, как следует из (2.131), зависит от выбора представителя класса
следующим образом:
D
ϕD
(2.150)
r = ϕr − 2πnr ,
где ϕD
r — продольный потенциал для некоторого одного представителя
класса, а nr — целочисленная функция, параметризующая, согласно
(2.131), других представителей того же класса.
Заметим теперь, что сверхтекучая свободная энергия ΔF 0 (Ae ) для
класса D0 , определяемая из (2.137), так же, как и полная сверхтекучая
свободная энергия, удовлетворяет свойству градиентной инвариантности: действительно, изменение продольной части внешнего векторпотенциала AD компенсируется такой же заменой переменных (2.33)
в интеграле (2.137). Так как, согласно (2.145) и (2.150) переход от
одного представителя к другому эквивалентен изменению продольного
потенциала на 2πnr , то отсюда следует инвариантность слагаемых из
(2.141) относительно выбора представителя класса. Инвариантность
слагаемых из (2.142) устанавливается с помощью той же замены переменных ϕr → ϕr − 2πnr , причем надо учесть периодичность функции
Uпер (... , ϕrs , ...), в силу чего она не меняется при указанной замене
(напомним, что nr есть целые числа).
Другое свойство полной сверхтекучей энергии — периодичность, не
имеет места для ΔF (Ae ); оно выполняется только для полной ΔF (Ae )
в силу структуры суммы (2.141). Действительно, (2.141) можно переписать в виде
9)
Для конечной решетки, как показывает более детальное исследование,
к уравнению (2.147) надо добавить граничное условие: ΨD
r∗ = const на всех
гранях, расположенных вне системы. Поэтому в (2.148) стоит функция Грина
для нулевых граничных условий (на дуальной решетке).
§ 4. Построение низкотемпературного разложения
85
e− T ΔF (...,Kr∗ ,...) =
1
= e T (F −F
1
0
)
∞
...
−∞
∞
Kr∗ =−∞
...
∞
e− T ΔF
1
0
(...,Kr∗ +Kr0 ∗ ,...)
,
(2.151)
−∞
откуда видно, что изменение внешних циркуляций Kre на целое число
устраняется соответствующим переобозначением целочисленных переменных суммирования Kr∗ , например, изменение Kre∗ → Kre∗ + 1
компенсируется заменой Kr∗ → Kr∗ − 1. Таким образом, для (2.151)
выполняется свойство (2.47).
Основное приближение как главный член низкотемпературного
разложения. Выражения (2.136)–(2.142) и есть окончательный итог
наших преобразований. Они полностью смыкаются с результатами
предыдущего наглядного рассмотрения: члены сумм (2.140)–(2.142),
соответствующие классам D = D0 , описывают вклады конфигураций,
содержащих вихри, тогда как член, соответствующий классу D0 (т. е.
выражения (2.136)–(2.138)) учитывает безвихревые конфигурации. Основное приближение (2.115) получается, если
(а) ограничиться только учетом вкладов от класса D0 , т. е. вместо
(2.140)–(2.142) рассматривать (2.136)–(2.138);
(б) в этих выражениях использовать приближение (2.118), т. е. заменить энергию ее квадратичным разложением по Vrδ и отбросить
ограничения |Vrδ | < π на область интегрирования, выражаемые
множителями χ(Vrδ ). Чтобы сформулировать это точно, представим Zχ (Vrδ ) в виде
Zχ (Vrδ ) = e− 2T (Vrδ ) e− T J4 (Vrδ ) χ(Vrδ ) =
J
2
1
= e− 2T (Vrδ ) (1 + f (Vrδ )) , (2.152)
2
J
где функция f (Vrδ ), согласно (2.152), определяется так:
f (Vrδ ) = e− T J4 (Vrδ ) χ(Vrδ ) − 1 =
− T1 J4 (Vrδ )
− 1, при |Vrδ | < π ;
= e
−1,
при |Vrδ | > π .
1
(2.153)
Тогда основное приближение (2.115) получается из (2.138) если пренебречь функцией f (Vrδ ) под знаком среднего, т. е. положить
f (Vrδ ) ≈ 0; Zχ (Vrδ ) ≈ e− 2T (Vrδ ) .
J
2
(2.154)
Подставив (2.154) в (2.136)–(2.139), получим соответствующие выражения для Fо.п. , ΔFо.п. (Ae ), U||Ae о.п., где значок «о.п.» отмечает величины, вычисленные в основном приближении. Эти выражения будут
рассмотрены в следующем параграфе.
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
86
§ 5. Основное приближение
Найдены выражения для сверхтекучей свободной энергии и корреляций в основном приближении. Сверхтекучая плотность равна
константе взаимодействия J ; корреляции на больших расстояниях убывают по степенному закону с показателем степени ∼ T .
Для асимптотик корреляций на больших расстояниях имеет место
свойство однородности относительно растяжения всех расстояний.
Свободная энергия в основном приближении. Свободная энергия
Fо.п. определяется по (2.115) из условия нормировки (2.14) и, очевидно,
совпадает со свободной энергией (2.84), вычисленной в квадратичном
приближении:
T
1
1
2πJ
T
Fо.п. = Fк.п. = log
+
(2.155)
(dk) log(−Δ(k)).
N
N
2
T
2
Это совпадение объясняется тем, что энергия есть величина, зависящая
не от самих углов ϕr , а от их разностей в соседних точках Vrδ . Для
всех таких величин учет периодичности по углам не существенен, а
основное приближение (2.115) дает те же результаты, что и квадратичное приближение. Напротив, для величин, зависящих от самих
углов ϕr или от угловых отклонений в далеких точках, это не имеет
места; в частности, замена cos ϕr на 1 − 12 ϕ2r в выражении для энергии
взаимодействия спинов со слабым внешним магнитным полем была бы
незаконна. Правильное выражение для свободной энергии в слабом
магнитном поле будет получено в § 7.
Сверхтекучая свободная энергия в основном приближении. Выражение для сверхтекучей свободной энергии ΔFо.п. в основном приближении дается гауссовым интегралом:
e− T ΔFо.п. (A ) =
e
1
∞
Fо.п. /T
=e
∞
− 2JT
...
−∞
e
e 2
rδ (ϕr+δ −ϕr +Arδ )
dϕr r
−∞
2π
. (2.156)
Согласно (1.111), квадратичная форма, стоящая в гауссовой экспоненте
из (2.156), может быть записана в виде
(dδ ϕr + Aerδ )2 =
(dδ ϕr + dδ ϕer )2 +
(⊥ Aerδ )2 ,
(2.157)
rδ
ϕer
rδ
rδ
где
— внешний продольный потенциал, а Aerδ — поперечная часть
e
Arδ (см. (2.34)–(2.36)). Поэтому, сделав в (2.156) замену переменных
интегрирования
ϕr = ϕr − ϕer ,
(2.158)
⊥
§ 5. Основное приближение
получим
ΔFо.п. (Ae ) =
87
1 ⊥ e 2
J
( Arδ ) ,
2
(2.159)
rδ
так что мы имеем случай (2.66) со всеми соответствующими формулами (2.67)–(2.69) при значении сверхтекучей плотности
(2.160)
(ρs )о.п. = J.
Корреляция в основном приближении. n-точечные корреляции
(2.16) выражаются в основном приближении гауссовым интегралом
Fn (ms , rs )о.п. =
∞
∞
n
J
Fо.п. /T
=e
...
ei s=1 ms ϕs e− 2T
−∞
rδ (ϕr+δ −ϕr )
2
dϕr 2π
r
−∞
. (2.161)
Этот интеграл есть частный случай хорошо известного гауссовского
интеграла, выражающего характеристический функционал гауссовского распределения. В данном случае этот общий интеграл имеет вид
∞
Fо.п. /T
e
∞
i
...
−∞
e
r
μr ϕr − 2JT
e
rδ (ϕr+δ −ϕr )
2
dϕr 2π
r
−∞
= e− 2
1
r
r
μr μr ϕr ϕr = e− 2J
T
r
r
=
μr μr Grr
. (2.162)
Средние фурье-экспонент (2.161) можно вычислить из этого общего
интеграла, положив в (2.162) μr = s ms δrrs , т. е. μr = ms при r = rs и
μr = 0 при r = rs . Если ms есть целые числа, то усредняемая функция
будет периодична, и гауссовское среднее от нее даст корреляции (2.16)
в основном приближении. Получаем
n
n
T (R)
Fn (ms , rs )о.п. = exp −
ms ms Grs rs ,
(2.163)
2J
s=1 s =1
где значок (R) означает, что корреляции (2.163) рассматриваются для
системы конечных размеров R; запись без значка (R) резервируется
для выражений, относящихся к бесконечной системе (т. е. в пределе
R → ∞).
Интеграл (2.161) можно также вычислить, произведя сдвиг переменных интегрирования
ϕr → ϕr +
T (m)
ϕ ,
J r
(2.164)
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
88
(m)
где ϕr
определяется из решения уравнения
Δϕ(m)
=
r
Δrr ϕ(m)
=
r
ms δrrs ; ϕ(m)
=
r
s
n
Grrs ms .
(2.165)
s=1
Аналогично вычисляются и другие интегралы, содержащие экспоненту
от неоднородной квадратичной формы. В частности, корреляции в
присутствии внешнего вектор-потенциала Aerδ (см. (2.139)) в основном
приближении равны
Fn (ms , rs )||Ae о.п. = ei
n
s=1
ms ϕers
Fn (ms , rs )о.п.
(2.166)
где ϕer — продольный потенциал внешнего сверхтекучего поля, а второй
множитель справа совпадает с (2.163).
Асимптотики n-точечных корреляций и функций распределения
при больших расстояниях между точками. Рассмотрим асимптотики
выражений (2.163), когда размеры системы и расстояния между точками rs велики:
R a, |rs − rs | a.
(2.167)
Подставив в правую часть (2.163) асимптотику (1.66) для Grs rs , получаем для квадратичной формы, стоящей в экспоненте (2.163):
−
n n
ms ms Grs rs s=1 s =1
−
n n
ms ms s=1 s =1
1
=−
2π
n
s=1
ms
2
log
1
1
AR
|rs − rs |
log
− (1 − δss ) log
2π
r0
2π
r0
1
|rs − rs |
AR
log
+
ms ms r0
2π
r0
=
(2.168)
1s=s n
(предполагается, что расстояния |rs − rs | хотя и много больше a, но
гораздо меньше чем R, так что все A(r/R) можно считать совпадающими и равными некоторой константе A, зависящей от положения
центра тяжести системы точек rs ).
В дальнейших формулах используется обозначение
T
.
(2.169)
2πJ
Подставив (2.168) в (2.163), получим асимптотику для условий (2.167):
1
− 12 α( ns=1 m2s ) rs − rs 2 αms ms
AR
(R)
Fn (ms , rs )о.п. .
r0 r0
1s=s n
(2.170)
α = αо.п. =
§ 5. Основное приближение
89
При R → ∞ первый множитель справа в (2.170) стремится к
δm1 +...+mn ,0 , так что для бесконечной системы получаем
Fn (ms , rs )о.п.
1
rs − rs 2 αms ms
δm1 +...+mn ,0
=
r0 1s=s n
rs − rs αms ms
. (2.171)
= δm1 +...+mn ,0
r0 1s<s n
Соответствующие асимптотики для функций распределения (2.19) имеют вид (для случая бесконечной системы):
Pn (ϕ1 , r1 ; ... ; ϕn , rn ) n
...
ei s=1 ms ϕs
m1
mn
m1 +...+mn =0
rs − rs αms ms
. (2.172)
r0 1s<s n
Ниже мы рассмотрим некоторые следствия полученных формул.
Одноточечные распределения и спонтанный момент в случае
большой, но конечной системы. Для одноточечного распределения
получаем из (2.163):
∞
2
AR
A( Rr )R
(R)
imϕ −αm log r0
P (ϕ, r) =
e
e
= θ ϕα log
. (2.173)
r0
m=−∞
При R → ∞ получаем:
lim P (R) (ϕ, r) = 1,
R→∞
lim eimϕr (R) = δm,0 ,
R→∞
(2.174)
так что в пределе бесконечной системы направления спинов распределены равномерно и спонтанного нарушения симметрии нет.
Из (2.173) получаем для пространственного распределения плотности момента конечной системы (в качестве примера взят круг радиуса
R a при граничных условиях (В)):
−α −α
RA( Rr ) −α
R
r2
m(r) = cos ϕr =
=
1− 2
. (2.175)
r0
r0
R
(Формула (2.175) применима вплоть до расстояний a от границы).
Интегрируя (2.175), получим следующее выражение для полного спонтанного момента конечной системы
−α
−α
1
M (R)
1
R
πR2 R
=
M (R) =
cos ϕr = 2
;
.
r0
1−α
N
1 − α r0
a
|r|<R
(2.176)
90
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Формулы (2.173)–(2.176) наглядно показывают, каким образом происходит разрушение дальнего порядка в результате накопления флуктуаций при увеличении размеров системы.
Двухточечные корреляции. Для двухточечной корреляции в бесконечной системе получаем из (2.171)
F2 (m, r, ; m , r )о.п.
2
r − r −αm
= δm+m ,0 ,
r0 (2.177)
а для двухточечной функции распределения будем иметь
P2 (ϕ, r· ; ϕ , r ) =
2
−αm
r − r eim(ϕ−ϕ ) =
r0 m=−∞
|r − r |
= θ ϕ − ϕ 2α log
. (2.178)
r0
+∞
Таким образом, двухточечная функция распределения получается из
переходной вероятности для блуждания по окружности, если вместо
времени t подставить
|r − r |
t = 2α log
.
r0
Мы увидим в дальнейшем, что аналогичная связь между двухточечными функциями распределения и переходными вероятностями для
соответствующего случайного блуждания имеет место и для других
задач, рассматриваемых в этой работе (см. гл. 4 и 5).
Отметим еще формулу для корреляции спинов (частный случай
(2.177) при m = 1):
−α
r · S
r о.п. = cos(ϕr − ϕr )о.п. = r − r .
S
(2.179)
r0 Свойство однородности для асимптотик n-точечных корреляций и
функций распределения. Асимптотики корреляций обладают важным
свойством однородности относительно преобразования
rs → λrs ; |rs − rs | → |λ| |rr − rs |,
(2.180)
т. е. относительно однородного растяжения всех расстояний в |λ| раз.
Непосредственно из (2.171) видно, что при преобразовании (2.180)
асимптотики корреляций умножаются на |λ|αp , где
p=
1 ms ms .
2
s=s
§ 5. Основное приближение
91
Но
при учете того, что в силу множителя δm1 +,...,+mn ,0 должно быть
s ms = 0, мы можем записать p в виде
n
2
n
1 1 1 2
p=
ms ms =
ms −
ms =
2
2
2
1s=s n
s=1
s=1
n
n
1 2
=−
ms (при
ms = 0). (2.181)
2
s=1
s=1
Таким образом, асимптотики (2.171) при преобразовании (2.180) умноn
жаются на
2
2
2
1
1
|λ|− 2 α s=1 ms = |λ|− 2 α(m1 +...+mn ) ,
(2.182)
так что мы имеем:
Fn (ms ; λrs )0 = |λ|− 2 α
1
n
s=1
m2s
Fn (ms ; rs ).
(2.183)
Для соответствующих асимптотик в системе конечных размеров R
надо рассматривать преобразование, при котором одновременно с растяжением расстояний между точками в то же число раз растягиваются
и размеры системы. При этом получим, как и в (2.183)
n
Fn (ms ; λrs )(λR) = |λ|− 2 α s=1 ms Fn (ms ; rs )(R) .
(2.184)
n
2
Действительно, хотя условие s=1 ms = 0 теперь отсутствует, но показатель степени вычисляется по-другому: именно, ввиду (2.170):
n
2
n
1 1 1 2
p=−
ms +
ms ms = −
ms .
(2.185)
2
2
2
s=1
s=1
1
2
s=s
Для асимптотик функции распределения соответствующее свойство
однородности удобнее сформулировать, рассматривая инфинитезимальное преобразование подобия (2.180) с λ = 1 + δλ. Для системы конечных размеров R это даст:
n
n
∂2
∂
1
∂
(R)
+
rs
R
Pn (ϕs , rs ) = α
Pn(R) (ϕs , rs ).
2
∂R s=1 ∂rs
2
∂ϕ
s
s=1
(2.186)
∂
Для системы бесконечных размеров R ∂R
= 0 и (2.186) переходит в
n
∂
rs
Pn (ϕ1 , r1 ; ... ; ϕn , rn ) =
∂rs
s=1
n
∂2
1
= α
Pn (ϕ1 , r1 ; ... ; ϕn , rn ). (2.187)
2
∂ϕ2s
s=1
Соотношения (2.186) и (2.187) напоминают уравнение Фоккер—
∂
Планка для случайных блужданий: роль ∂t
играет оператор Эйлера
92
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
rr ∂r∂ s . Для двухточечной функции распределения (2.187) прямо переходит в уравнение блуждания по окружности, в котором в качестве
времени выступает
|r − r |
t = 2α log
.
r0
Все это наводит на мысль, что существует независимый способ вывода
соотношений (2.186) и (2.187), обобщающий на двумерный случай
те соображения, которые в одномерном случае (см. § 3) привели к
уравнению случайных блужданий. Такой способ будет изложен ниже.
Мы излагаем его ввиду как его поучительности, так и возможности
обобщения на другие задачи (конкретно — на гейзенберговский ферромагнетик, рассмотренный в главе 5).
Дополнение к § 5: Независимый способ вывода соотношений
однородности для асимптотик функций распределения
Рассмотрен вывод соотношений однородности, использующий
только факт применимости квадратичного приближения § 2 на
достаточно малых (но макроскопических) расстояниях, а также
общую структуру распределения Гиббса для систем с близкодействием.
1. Излагаемый ниже способ вывода использует только установленный
в § 2 факт квадратичного приближения на расстояниях, малых по сравнению с масштабами (2.89), но больших по сравнению с постоянной
решетки a.
Возможность связать свойства системы на малых и больших расстояниях вытекает из общей структуры статистического распределения
Гиббса для систем с взаимодействием ближайших соседей 10) .
Именно, предположим, что мы выделили внутри системы подсистему, состоящую из спинов, расположенных внутри некоторого замкнутого решеточного контура Γ. Тогда из структуры статистического веса
видно, что если зафиксировать конфигурацию спинов, расположенных
на граничном контуре Γ, то распределения спинов внутри Γ и вне Γ
станут независимыми, так что распределение спинов внутри Γ зависит
от состояния внешней части системы только через граничное распределение спинов на Γ. Это свойство аналогично марковскому свойству
в одномерном случае (но запись его сложнее, т. к. граница теперь не
точка, а линия).
10)
На самом деле, путем некоторого усложнения определений, нижеследующие рассуждения можно было бы распространить и на системы с конечным
радиусом взаимодействия. Заметим, кстати, что это относится и вообще ко
всем рассмотрениям настоящей главы. Например, под границей Γ решеточной
области Ω надо понимать совокупность внешних узлов, связанных непосредственным взаимодействием с каким-либо внутренним узлом из Ω.
§ 5. Независимый способ вывода соотношений однородности...
93
Обозначим через ϕΓ конфигурацию спинов на граничном контуре
Γ (т. е. совокупность переменных
ϕri для всех граничных узлов ri ∈
∈ Γ; при этом dϕΓ = dϕri ). Через Pr (ϕΓ ) обозначим вероятностное распределение спинов на Γ, пропорциональное величине ZΓ (ϕΓ )
— статистической сумме внешней части системы при фиксированной
конфигурации спинов на Γ. Рассмотрим, далее, два контура, Γ и Γ,
причем Γ расположен внутри Γ (см. рис. 3). Тогда связь между ZΓ (ϕΓ )
Γ
Γ
Рис. 3.
и ZΓ (ϕΓ ) можно выразить в виде
ZΓ (ϕΓ ) ∼ ZΓ Γ (ϕΓ |ϕΓ )ZΓ (ϕΓ )dϕΓ ,
(2.188)
где через ZΓ Γ (ϕΓ |ϕΓ ) обозначена статсумма кольцеобразной системы,
расположенной между Γ и Γ. При фиксированных граничных конфигурациях ϕΓ и ϕΓ (т. е. ZΓ Γ (ϕΓ |ϕΓ ) есть результат интегрирования
статвеса кольцеобразной системы по состояниям всех внутренних спинов).
Другое представление (основанное на том же свойстве) получится,
если разбить систему с границей Γ (не обязательно
односвязной)
&
на области (подсистемы) Ων с границами Γν = ν Γνν (через
Γνν &
обозначена общая граница соседних областей Ων и Ων .
— знак
объединения множеств, см. рис. 4). Тогда, зафиксировав конфигурации
спинов на границах областей, и проинтегрировав по конфигурациям
внутренних спинов, запишем оставшийся интеграл в виде
Z(ϕΓ ) ∼ ...
Zν (ϕΓν )
(dϕΓνν ).
(2.189)
ν
νν 2. При использовании соотношений (2.188) и (2.189) в дальнейших
рассуждениях существенным упрощением явится то, что в нашем случае граничные конфигурации можно будет описывать макроскопически, непрерывными функциями от полярного угла ζ , параметризующего
точки границы. Так как буква ϕ уже занята для обозначения основных
94
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Γ
Γ
Γ
Ων
Γνν Ων Рис. 4.
величин — углов ϕr , описывающих состояния спинов, мы обозначим
полярные углы в некоторой полярной системе координат на плоскости
через ζ , тогда граничные конфигурации ϕΓ для областей, граница которых задается уравнением r = r(ζ), будут описываться непрерывными
функциями ϕ(ζ). Статистический вес такой системы, выраженный как
функция от граничной конфигурации, будет при таком описании функционалом от ϕ(ζ). Для многосвязной области, граница которой состоит
из нескольких связных частей Γs (как на рис. 4) статистический вес
будет функционалом от функций ϕs (ζs ), описывающих конфигурации
на границах Γs :
Z& s Γs (... , ϕΓs , ...) = Z(... , ϕs (·), ...),
(2.190)
(полярные углы ζs обозначены точками, чтобы подчеркнуть, что это —
«немые» переменные и (2.190) есть функционал)
Возможность макроскопического (непрерывного) описания конфигураций, дающих основной вклад в асимптотики корреляций на больших расстояниях, вообще вытекает из принципов статистической физики, но в данном случае нет необходимости ссылаться на такие
общие соображения (обосновать которые в конкретных случаях зачастую совсем не просто). Дело в том, что нижеследующий вывод
будет основан на рассмотрении областей, размеры которых выбраны
так, чтобы они удовлетворяли условию применимости квадратичного
приближения § 2, т. е.
T
p
log 1,
(2.191)
2πJ
a
но, с другой стороны, были макроскопическими
p a.
(2.192)
(Возможность выбора масштабов p, удовлетворяющих и (2.191) и
(2.192), связана с тем, что мы рассматриваем низкие температуры
T J ). Поскольку для рассматриваемых областей применимо квадратичное приближение, можно было бы провести все нижеследующие
§ 5. Независимый способ вывода соотношений однородности...
95
рассуждения, не прибегая к непрерывному описанию, а переходя к
асимптотикам для макроразмеров (2.192) в соответствующих точных
выражениях, аналогично тому, как это делалось в § 2 гл. 1 в отношении
асимптотик, связанных с функцией Грина Grr (в сущности, ничего,
кроме полученных там асимптотик и не пришлось бы использовать).
Мы не применяем такого, более строгого способа изложения для краткости и чтобы не затемнить суть дела.
Интересующие нас функции распределения (2.19) также можно
рассматривать на основе макроскопического подхода. Согласно определению, для вычисления функций распределения Pn (... , ϕs , rs , ...) надо
было закрепить спины в точках rS при углах ϕrs = ϕs и проинтегрировать по остальным спинам. Но оказывается, что в случае макроскопических расстояний
|rs − rs | a
(2.193)
вместо рассмотрения системы с закрепленными в точках rs спинами,
можно поступить следующим образом: окружить каждую точку rs
кружком радиуса ρs (такого, что выполняются (2.191) и (2.192)) и
задать на границах кружков условия
ϕr |r−rs |=ρs = ϕs ,
(2.194)
т. е. закрепить спины на границе кружка |r − rs | = ρs в постоянном
направлении ϕs . Более точно будет доказано следующее: пусть
Z...,ρs ,... (... , ϕs , rs , ...)
будет статсумма «дырявой» системы, полученной выбрасыванием из
исходной системы кружков радиусов ρs с центрами в точках rs , при
граничных условиях (2.194) на границах кружков. Тогда для функций
распределения (2.19) имеем:
Pn (... , ϕs , rs , ...) ∼ Z...,ρs ,... (... , ϕs , rs , ...)ρs =r ,
(2.195)
0
т. е. Pn (ϕs , rs ) получается из Zρs (ϕs , rs ) подстановкой ρ = r0 ,
где r0 дается (1.60). В силу выбора радиусов кружков, правую часть (2.195) можно рассматривать макроскопически.
3. Для функционала (2.190) (статсуммы системы как функционала
от граничных конфигураций ϕs (·)) будет установлено следующее
свойство однородности: при подобном преобразовании всех размеров
системы в λ раз, функционал (2.190) не меняется (с точностью) до
постоянного множителя):
ZλΩ (... , ϕs (·), ...) ∼ ZΩ (... , ϕs (·), ...),
(2.196)
где через λΩ обозначена область, полученная растяжением области Ω
в λ раз. В частности, при граничных конфигурациях (2.194) получаем
96
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
для введенной выше величины Z...,ρs ,... (... , ϕs , rs , ...)
Z...,λρs ,... (... , ϕs , λrs , ... |λR) ∼ Z...,ρs ,... (... , ϕs , rs , ... |R),
(2.197)
(учтена еще зависимость от размеров системы R).
Согласно (2.197), исследование закона изменения Zρs (ϕs , rs |R) при
однородном растяжении расстояний |rs − rs | и размеров системы можно заменить исследованием зависимости от радиусов при неизменных
|rs − rs | и R. Последнюю зависимость можно исследовать на основе
(2.188), причем, в силу выбора величины ρs , при этом применимо
квадратичное приближение. Итак, мы будем действовать по следующему плану: сначала рассмотрим зависимость Zρs (ϕs , rs |R) от радиусов ρs , используя (2.188) и квадратичное приближение, затем с
помощью (2.197) переведем найденную зависимость на зависимость
от растяжения rs и R, и, положив после этого все ρs равными r0 ,
получим уравнения для интересующих нас функций распределения.
4. Начнем с вывода (2.196). Рассмотрим сначала односвязную область Ω, размеры которой удовлетворяют условиям (2.191) и (2.192).
Поскольку для этой области применимо квадратичное приближение,
дающее гауссово распределение для углов ϕr , мы можем, используя
известное свойство гауссовых распределений, написать
1
ZΩ (ϕ(·)) ∼ exp − Emin (ϕ(·)) ,
(2.198)
T
где Emin (·) — минимум энергии при заданной граничной конфигурации
ϕ(ζ), который для непрерывного описания равен
1
Emin (ϕ(·)) =
min
(∇ϕ)2 (dr).
(2.199)
(ϕ:ϕr |Γ =ϕ(ζ)) 2
Ω
Как известно, функция ϕ(r, ζ), на которой достигается минимум
(2.199), есть решение уравнения Лапласа в области Ω:
Δϕ = 0 при условии на границе ϕΓ = ϕ(ζ).
(2.200)
Нетрудно видеть, что при растяжении (подобном преобразовании) области Ω в λ раз, соответствующее решение (2.200) переходит в ϕ(λr, ζ);
значение же минимума (2.199) при этом не меняется: множитель λ−2
от квадрата градиента компенсируется множителем λ2 от растяжения
элемента объема (это свойство специфично для двумерного случая).
Отсюда следует, что (2.198) удовлетворяет свойству однородности
(2.196).
Покажем теперь, что это свойство можно распространить на произвольно большую область, размеры которой не обязательно удовлетворяют ограничению (2.191). Действительно, рассмотрим такую область (в
общем случае, не односвязную) и разобьем ее на области Ων , размеры
которых уже удовлетворяют (2.191) и (2.192) (см. рис. 4). Рассмотрим
§ 5. Независимый способ вывода соотношений однородности...
97
далее растянутую в λ раз область Ω и соответствующим образом
растянутое предыдущее разбиение (на области λΩν ). Построим теперь
представление статсуммы исходной области, соответствующее (2.189),
для исходного разбиения Ων , и представление (2.189) для растянутой
области λΩ с растянутым разбиением λΩν . Согласно доказанному
выше свойству (2.196) для областей Ων , подынтегральные выражения
в обоих представлениях (2.189) (для исходной и растянутой областей)
будут пропорциональны, откуда и следует свойство (2.196) для любой
большой области Ω.
Важно подчеркнуть, что в этом рассуждении не использовано введение полных углов: углы ϕr внутри каждой области Ων
можно отсчитывать от своего значения, и при написании интеграла (2.189) связь между этими различными системами отсчета углов надо учитывать только для соседних областей и не надо вводить единой глобальной системы отсчета углов по всей системе.
5. Рассмотрим теперь зависимость Zρs (ϕs , rs |R) от радиусов кружков
ρs . Поскольку мы пока будем рассматривать зависимость только от
одного из ρs , полагая все другие ρs , rs и ϕs , а также R фиксированными, то мы не будем выписывать зависимости от этих фиксированных
переменных, а запишем рассматриваемую величину в виде Zρ (ϕ).
Рассмотрим более общий случай, когда на границе кружка задана
общая конфигурация спинов, которую мы представим в виде
ϕ(ζ) = ϕ +
εm eimζ .
(2.201)
m=0
Статсумму нашей «дырявой» системы, рассматриваемую как функционал от (2.201) можно тогда представить в виде функции от ϕ и εm :
Zρ (ϕ(·)) = Zρ (ϕ, εm ).
(2.202)
Очевидно, интересующая нас величина Zρ (ϕ) есть, ввиду (2.194),
частный случай (2.202) при εm = 0.
Zρ (ϕ) = Zρ (ϕ, εm )
.
(2.203)
εm =0
В промежуточных выкладках, однако, нам понадобиться исследовать и
зависимость (2.202) от ε.
Рассмотрим теперь другую подобную систему, у которой удален
кружок меньшего радиуса ρ < ρ. Согласно (2.188), функционалы
(2.201) для этих систем связаны следующим образом
Zρ (ϕ , εm ) ∼ Zρ ρ (ϕ , εm |ϕ, εm )Zρ (ϕ, εm ) dϕ
dεm ,
(2.204)
m=0
4 В. Л. Березинский
98
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
где Zρ ρ (ϕ , εm |ϕ, εm ) – статсумма кольца ρ < r < ρ при фиксированных конфигурациях на его внутренней и внешней границе, заданных в
форме (2.201).
Заметим теперь, что в силу выбора радиуса кружка по (2.201), величина (2.202) будет иметь острый максимум для таких конфигураций
(2.201), в которых направления граничных спинов мало отклоняются
от среднего угла ϕ, т. е. для которых
|εm | 1, (m = ±1, ±2, ...).
(2.205)
Действительно, создание конфигураций, не удовлетворяющих (2.205),
т. е. с большими градиентами, требует большой энергии, и статсумма
(2.202) будет для них мала. В силу тех же причин, статсумма кольца
ρ < r < ρ при достаточной близости ρ и ρ будет иметь заметную
величину только если разность ϕ − ϕ мала. Далее, если представить
конфигурации спинов внутри кольца в виде
ϕr = ϕ + ε(r) = ϕ + ε(r, ζ),
(2.206)
где ϕ — среднее значение ϕr на наружной границе кольца (при r = ρ),
то функции ε(r, ζ) будут удовлетворять граничным условиям:
ε(ρ, ζ) =
εm eimζ ,
(2.207a)
при r = ρ :
m=0
при r = ρ :
ε(ρ , ζ) = (ϕ − ϕ) +
εm eimζ ,
(2.207b)
m=0
и будучи малы на границах кольца, будут малы и внутри него. Поэтому относительно ε(r, ζ) применимо квадратичное приближение, и мы
получаем, аналогично (2.198):
1
Zρ ρ (ϕ , εm |ϕ, εm ) ∼ exp − Emin (ϕ , εm |ϕ, εm ) ,
(2.208)
T
где
⎞
⎛
1
⎝ J
Emin (ϕ , εm |ϕ, εm ) =
min
(∇ε)2 rdrdζ ⎠ (2.209)
(2.207a)−(2.207b)
2
ρ <r<ρ
и минимум берется по функциям ε(r, ζ), удовлетворяющим на границах
кольца условиям (2.207a)–(2.207b). Находя этот минимум из решения
уравнения Лапласа в кольце, получаем:
1
(ϕ − ϕ)2
Emin (ϕ , εm |ϕ, εm ) =
+
T
2αΔt
∞
1 1
cosh(mΔt)
∗
∗
+
(|εm |2 + |εm |2 ) −
(εm ε m + εm εm ) ,
m
2
sinh(mΔt)
sinh(mΔt)
m=1
(2.210)
§ 5. Независимый способ вывода соотношений однородности...
99
где введены обозначения
t = log 1/ρ; t = log 1/ρ ; Δt = t − t = log ρ/ρ
(2.211)
и использовано обозначение (2.169), т. е.
α=
T
.
2πJ
Выражение (2.210) применимо при (ϕ − ϕ)2 = αΔt 1; так как
α 1, то можно выбрать такое Δt, что αΔt 1, но eΔt 1, при этом
tanh(mΔt) ≈ 1, 1/ sinh(mΔt) ≈ 0
и мы получаем из (2.210) и (2.208)
2
(ϕ −ϕ)
− 2α
log ρ/ρ
Zρ ρ (ϕ , εm |ϕ, εm ) ∼ e
e−
m|εm |2
α
m=0
e−
m |ε |2
m
α
.
(2.212)
m=0
Подстановка (2.212) в (2.204) теперь показывает, что, во-первых,
Zρ (ϕ, εm ) должно иметь вид
Zρ (ϕ, εm ) = Zρ (ϕ)e− α
1
∞
m=1
m|εm |2
(2.213)
и, во-вторых, что изменение Zρ (ϕ) при изменении ρ управляется соотношением
2
− (ϕ −ϕ)
Zρ (ϕ ) ∼ e 2α log ρ/ρ Zρ (ϕ)dϕ,
(2.214)
которое можно записать в виде
Z1+Δt (ϕ ) ∼ e−
(ϕ −ϕ)2
2αΔt
Zt (ϕ)dϕ,
(2.215)
где t = log 1/ρ, Δt = log ρ/ρ > 0.
Из (2.215) следует, что Zρ (ϕ) удовлетворяет уравнению Фоккера—
Планка для случайных блужданий по окружности, где роль времени
играет t = log 1/ρ = − log ρ, т. е.
∂
1 ∂2
Zρ (ϕ) = α 2 Zρ (ϕ).
∂(− log ρ)
2 ∂ϕ
(2.216)
Функция Zρ (ϕ), очевидно, совпадает с (2.203).
6. Докажем теперь соотношение (2.195), которое в предыдущих обозначениях можно записать в виде
P (ϕ) ∼ Z0 (ϕ) ∼ Zρ (ϕ)
,
(2.217)
по опр.
4*
ρ=r0
100
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
где Z0 (ϕ) — статсумма при закрепленном на угле ϕr0 = ϕ спине в
центре кружка (при r0 = 0), т. е. при условии
ϕr = ϕ.
(2.218)
r=0
Для этой величины можно написать, аналогично (2.204)
Z0 (ϕ) ∼ Z0ρ (ϕ|ϕ, εm )Zρ (ϕ, εm )dϕ
dεm ,
(2.219)
m=0
где Z0ρ (ϕ|ϕ, εm ) — статсумма кружка |r| < ρ, в центре которого спин
закреплен согласно (2.218), а на внешней границе задана конфигурация (2.201). Поскольку для зависимости от ρ применимы предыдущие
рассмотрения, можно написать
∞
Z0ρ (ϕ|ϕ, εm ) ∼ Z0ρ (ϕ|ϕ)
e− α m|εm | ,
1
2
(2.220)
m=1
что дает после подстановки в (2.219)
Z0 (ϕ) ∼ Z0ρ (ϕ|ϕ)Zρ (ϕ)dϕ.
(2.221)
Если представить конфигурации ϕr внутри кружка в виде, аналогичном (2.206), то для Z0ρ (ϕ|ϕ) из (2.221) получим
1 J
Z0ρ (ϕ|ϕ) ∼ exp − min
(εr+δ − εr )2 ,
(2.222)
T
2
rδ
|r|ρ
где минимум берется при условиях
εr = ϕ − ϕ; ε r r=0
|r|=ρ
= 0,
(2.223)
(внутри кружка применимо квадратичное приближение, но нельзя заменять разности на градиенты). Минимум в экспоненте (2.222) равен
1
1
−1
2 (G00 ) , где G00 = 2π log ρ/r0 — значение функции Грина Grr при
r = r = 0 (т. е. в центре кружка). Получаем для (2.222):
1
Z0ρ (ϕ|ϕ) ∼ exp −
(ϕ − ϕ)2
(2.224)
2α log ρ/r0
и сравнивая (2.224) с (2.214), получаем (2.217).
7. Вернемся теперь к рассмотрению многоточечной функции
Zρs (ϕs , rs |R). Согласно (2.216), ее зависимость от каждого из ρs
описывается уравнением:
ρs
∂
1 ∂2
Zρs (ϕs , rs |R) = −
Zρ (ϕs , rs |R).
∂ρs
2 ∂ϕ2s s
(2.225)
§ 6. Дальнейшие члены низкотемпературного разложения...
101
С другой стороны, из (2.197) получим
n
n
∂
∂
∂
+
rs
+R
ρs
Z...,ρs ,... (... , ϕs , rs , ... |R) = 0. (2.226)
∂rs
∂R
∂ρs
s=1
s=1
Сравнивая (2.225) и (2.226), придем к уравнению
n
∂
∂
rs
+R
∂r
∂R
s
s=1
Z...,ρs ,... (... , ϕs , rs , ... |R) =
n
∂2
1
= α
Z...,ρs ,... (... , ϕs , rs , ... |R). (2.227)
2
∂ϕ2s
s=1
Поскольку ρs выступают здесь уже как параметры, можно использовать (2.195), что и даст искомые уравнения
n
∂
∂
rs
+R
∂rs
∂R
s=1
Pn(R) (... , ϕs , rs , ...) =
n
∂2
1
= α
Pn(R) (... , ϕs , rs , ...).
2
∂ϕ2s
(2.228)
s=1
§ 6. Дальнейшие члены низкотемпературного
разложения и общая структура поправок
Рассмотрены поправки к основному приближению, связанные с
дальнейшими членами низкотемпературного разложения. Учет поправок приводит к температурной зависимости сверхтекучей плотности ρs и показателя степени α в асимптотиках корреляций; кроме того, перед асимптотиками появляется дополнительный множитель, распадающийся на произведение множителей exp L(ms , T ),
относящихся к отдельным точкам. Рассмотрение поправок разделено на две части: в первой части рассмотрены поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями D0 , а во второй — поправки,
связанные с вихрями. Для безвихревых поправок построено диаграммное разложение, на основе которого можно выяснить общую
структуру поправок: в безвихревом приближении α и ρs связаны
соотношением α0 (T ) = T /2πρ0s (T ), причем для ρ0s (T ) диаграммная
техника дает асимптотический ряд по степеням T . При рассмотрении вихрей выясняется, что вихри объединяются в связанные
комплексы («квазимолекулы») с нулевой суммарной циркуляцией.
Полные ρs (T ) и α(T ) выражаются, кроме ρ0s (T ), еще через d2 — «среднеквадратичный дипольный момент квазимолекул», имеющий экспоненциальный порядок малости по 1/T .
102
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Сводка основных результатов. Переходим к рассмотрению поправок
к выражениям сверхтекучей свободной энергии и асимптотик корреляций, полученным в основном приближении. Мы покажем, что при
T J эти поправки малы и при достаточно низких температурах
сохраняются основные черты асимптотик, найденных в § 5. Именно,
мы покажем, что
(а) При достаточно низких температурах сверхтекучая свободная
энергия и функции корреляции токов имеют вид, соответствующий выражениям (2.67)–(2.69), т. е. для случая ρs = 0, причем
сверхтекучая плотность
ρs = ρs (T )
(2.229)
убывает с возрастанием температуры.
(б) Асимптотики многоточечных корреляций при достаточно низких
температурах сохраняют свой вид, именно
Fn (ms , rs ) (при |rs − rs | a, R a) δm1 +...+mn ,0 ×
⎛
⎞
n
−
r
|
α(T
)
|r
s
s ⎠
× exp ⎝
L(ms , T ) +
ms ms log
2
a
s=1
1s=s n
1
n
rs − rs 2 α(T )ms ms
L(ms ,T )
δm1 +...+mn ,0
e
. (2.230)
a s=1
s=s
В частности, для двухточечной корреляции (2.230) означает
2
r − r −m α(T )
eim(ϕr −ϕr ) e2L(m,T ) .
(2.231)
a В формулах (2.230) и (2.231) α(T ) > 0.
(в) Параметры ρs (T ) и α(T ) выражаются через две величины, ρ0s (T )
и d 2 (T ), из которых первая представляет собой сверхтекучую
плотность ρs , рассчитанную в безвихревом приближении (т. е.
при учете только вклада от конфигураций класса D0 ), а вторая
связана с «среднеквадратичным дипольным моментом вихревых
квазимолекул» (подробнее см. ниже) — по формуле
4π 2 d 2 0
0
ρs (T ) = ρs (T ) 1 −
ρ (T ) ,
(2.232)
T a2 s
2
1
T
2 d + 4π
α(T ) =
(2.233)
.
2π ρ0s (T )
a2
§ 6. Дальнейшие члены низкотемпературного разложения...
103
При этом величина d 2 имеет экспоненциальный порядок малости относительно 1/T :
1
d 2 =
O(e− T ΔEi ); lim T −n d 2 = 0,
(2.234)
i
T →0
тогда как ρ0s (T ) включает члены как степенных, так и экспоненциальных порядков малости:
T
T2
Tn
0
ρs (T ) = J 1 + a1 + a2 2 + ... + an n + ... +
J
J
J
+ члены экспоненциальных порядков малости (типа (2.234))
(2.235)
Мы покажем, что коэффициенты степенного асимптотического
ряда по T в (2.235) могут быть найдены с помощью простой
диаграммной техники.
Классификация поправок и порядок их рассмотрения. Как установлено в § 4, поправки к основному приближению происходят, вопервых, от учета множителей 1 + f (Vrδ ) в выражениях (2.136)–(2.138)
(для класса D0 ), где f (Vrδ ) дается (2.152)–(2.153), и, во-вторых, от
учета слагаемых в (2.140)–(2.142), соответствующих другим классам
D = D0 . Мы рассмотрим сначала поправки первого типа, что соответствует на языке наглядного подхода учету отклонений от квадратичного разложения энергии для безвихревых конфигураций. Затем будут
рассмотрены поправки, связанные с классами D = D0 , что соответствует учету вихрей. Соответственно этому, § 6 разделен на две части.
Безвихревые поправки (часть 1) рассмотрены двумя методами. Первый способ состоит в построении разложения, порядок членов которого
определяется числом множителей f (Vrδ ) под знаком среднего; мы рассматриваем конкретно только члены первого порядка, главным образом
с целью показать, что поправки действительно малы при низких температурах, и выяснить, по каким параметрам идет разложение. Затем
развивается другой, независимый способ, основанный на диаграммной
технике, похожей на технику теории поля; этот способ позволяет обозреть общую структуру членов теории возмущений для безвихревых
конфигураций во всех порядках.
В части 2 этого параграфа рассмотрены поправки, связанные с
классами D = D0 (т. е. с вихрями); при этом используются результаты
предыдущего рассмотрения безвихревых конфигураций. Строится разложение по концентрациям вихрей, которое оказывается на самом деле
разложением по концентрациям «вихревых квазимолекул», поскольку
из-за логарифмического характера взаимодействия вихрей на больших
расстояниях они объединяются в связанные комплексы («квазимолекулы») с нулевой суммарной циркуляцией. Сначала рассмотрен вклад
вихрей в сверхтекучую свободную энергию — сперва член первого
104
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
порядка по концентрациям простейших квазимолекул — вихревых пар,
а затем структура общего выражения. После этого в той же последовательности рассмотрен вклад вихрей в асимптотики корреляций.
1. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
Разложение по связанным группам f -дефектов. Выражение (2.138)
может быть записано в виде
'
(
0
1
U0 = e− T (F −Fо.п. ) U(... , ϕrs , ...) (1 + f (Vrδ )) о.п. ,
(2.236)
rδ
где ...о.п. обозначает среднее, вычисленное в основном приближении.
Разность F 0 − Fо.п. находится из условия нормировки:
10 = 1.
(2.237)
Разлагая произведение множителей 1 + f (Vrδ ) по степеням f (Vrδ ),
получим:
0
− T1 (F 0 −Fо.п. )
U = e
Uf (Vrδ )о.п. + ... .
(2.238)
Uо.п. +
rδ
Пользуясь тем, что средние, входящие в (2.238), обладают свойством
распадения
корреляций (при удалении точек ri друг от друга среднее
от i f (Vri δi ) распадается в произведение средних), можно показать,
что имеет место разложение вида
F 0 − Fо.п. = F 0(1) + F 0(2) + ... ,
U0 = Uо.п. exp l(1) (U) + l(2) (U) + ... ,
(2.239)
(2.240)
где члены F 0(n) и l(n) имеют n-ый порядок по f (Vrδ ). Каждому члену
разложения (2.239)–(2.240) можно сопоставить диаграммы, аналогичные диаграммам известного группового разложения Майера для разреженных газов 11) . Мы не будем описывать правил соответствия между
диаграммами Майера и членами разложений (2.239) и (2.240): для
выяснения общей структуры поправок ниже будет использована другая
диаграммная техника, а выражения членов низших порядков проще
11)
Наличие множителя f (Vrδ ) под знаком среднего можно рассматривать как некоторый «дефект», локализованный на связи rδ . Разложение
(2.239)–(2.240) будет тогда групповым разложением по концентрации этих
«f -дефектов».
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
105
получить, непосредственно сравнивая члены одинакового порядка в
разложении левой и правой частей (2.240) 12) . Это даст:
F 0( 1) =
f (Vrδ )о.п. ,
(2.241a)
T
rδ
2
1 F 0( 2)
=
−
f (Vr1 δ1 )f (Vr2 δ2 )о.п. −
f (Vrδ )о.п. , (2.241b)
T
2
r1 δ1 =r2 δ2
rδ
... ... ... ... ... ... ...
−
l(1) (U) =
Uf (Vrδ )о.п.
rδ
l
( 2)
Uf (Vr
Uо.п.
− f (Vrδ )о.п. ,
(2.242a)
)f (Vr2 δ2 )о.п.
(U) =
− f (Vr1 δ1 )f (Vr2 δ2 )о.п. +
Uо.п.
r1 δ1 =r2 δ2
⎛
2 2 ⎞
1
Uf (Vrδ )о.п. ⎠
+ ⎝
f (Vrδ )о.п. −
. (2.242b)
2
Uо.п.
1 δ1
rδ
rδ
... ... ... ... ... ... ...
Проверка применимости разложения (2.239)–(2.240) заключается в
том, что выражения (2.241) и (2.242) должны правильно вести себя
при R → ∞: выражения для F 0(n) должны быть ∼ N , а выражения
для l(n) (U) иметь конечный предел при R → ∞. Это накладывает ограничения на скорость распадения корреляций с расстоянием; если они
выполняются, то разложение (2.239)–(2.240) применимо, по крайней
мере, как асимптотическое.
Поправки первого порядка к свободной энергии. Из (2.241) получаем:
1 1 F 0( 1)
=
f (Vrδ )о.п. = 2f (Vrδ )о.п.
(2.243)
N T
N
rδ
(в силу однородности f (Vrδ )о.п. не зависит от r, δ ). Для вычисления среднего в (2.243) замечаем, что поскольку основное приближение (2.115) соответствует гауссову распределению полных углов ϕr ,
то, проинтегрировав это распределение при фиксированном значении
Vrδ = ϕr+δ − ϕr , мы получим гауссово же распределение для Vrδ :
P (V )dV = δ(Vrδ − V )о.п. dV ∼ e− 2DT V dV ,
J
12)
2
(2.244)
Разлагаем в ряд экспоненты в (2.239) и (2.240), подставляем эти ряды в
(2.237) и (2.238), и приравниваем члены одинакового порядка в левой и правой
частях.
106
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
где DT /J — дисперсия Vrδ . Из вида (2.115) ясно, что D < 1, так как
1
1
= 1 + ; D > 0.
D
D
Впрочем, D можно вычислить явно; имеем
(2.245)
D = (ϕr+δ − ϕr )2 о.п. = −2g(δ/a) = 1/2
(2.246)
(использовано (1.68)), т. е. D = 1.
Для (2.243) получаем из (2.244):
1 F 0( 1)
= −2
N T
∞
−∞
(2πDT /J)−1/2 e− 2DT V f (V )dV =
J
⎛
= −2 ⎝
π
2
⎞
J
− 2DT
(2πDT /J)−1/2 e
V
2
− T1
e
J4 (V )
− 1⎠ . (2.247)
−π
Так как T J , т. е. J/T — большой параметр, то асимптотику интеграла (2.247) можно найти хорошо известным методом Лапласа (см.
[53]). Степенные члены асимптотики (т. е. члены порядков O((T /J)n ))
получаются, если распространить пределы интегрирования в (2.247) от
−π < V < π до −∞ < V < ∞, и использовать (2.120).
1
1 F 0( 1)
= −2e− T J4 (Vrδ ) − 1о.п. ,
(2.248)
N T
где усреднение по гауссовому распределению (2.244) формального степенного ряда (2.120) выполняется с помощью известных гауссовских
интегралов
∞
n
2
J
V 2n e− 2DT V
DT
2n
$
dV = (2n − 1)!!
(Vrδ ) о.п. =
.
(2.249)
J
2πDT /J
−∞
В частности, для первого члена разложения (2.239) получим
1T
D2 T
T
T
1 F 0( 1)
=−
+o
=−
+o
.
N T
2 J
J
8J
J
Кроме членов степенных порядков по T , в асимптотике имеются
еще и экспоненциальные, связанные с концами интервала π , −π . Эти
члены имеют порядок
J
T − T1 J4 (π)− 2DT
T − T1 J(π)− J π2
π2
2D T
O
(2.250)
e
e
=O
J
J
(для малости (2.250) и существенно (2.245)).
Таким образом, поправки к свободной энергии имеют степенной и
экспоненциальный порядок малости по T /J . Поправки к корреляциям
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
107
должны иметь тот же температурный порядок, но нас интересует
равномерность этой оценки с расстоянием. Если бы оказалось, что,
например, степенной характер асимптотик относительно убывания их с
расстоянием при учете поправок сменился бы экспоненциальным (при
любой зависимости радиуса корреляции от T /J ), то это бы означало,
что поправки качественно меняют вид асимптотик. Мы увидим, что
это не имеет места.
Поправки первого порядка к асимптотикам корреляций. Для поправок к корреляциям получаем (подставляя в (2.240) в качестве U
величины (2.16)):
Fn (ms , rs )0 = Fn (ms , rs )о.п. el
(1)
(ms ,rs )+l(2) (ms ,rs )+...
,
(2.251)
где l (ms , rs ) есть выражение (2.242a) для U = Fn (ms , rs ) и т.д.,
а первый сомножитель справа в (2.251) есть корреляции в основном
приближении. Напомним, что в пределе бесконечной системы они
отличны от нуля только при выполнении условия
( 1)
n
ms = m1 + ... + mn = 0.
(2.252)
s=1
Умножение гауссова статистического веса из (2.115) на Fn (ms , rs )
эквивалентно, как мы видели в связи с (2.164), смещению центра гаус(m)
(m)
сова распределения на величину i(T /J)ϕr , где ϕr дается (2.165)
и, стало быть, смещению центра распределения (2.244) на величину
(m)
i(T /J)V rδ , где
n
(m)
V rδ =
ms V δ (r − rs )
(2.253)
s=1
есть линейная комбинация слагаемых
r
1 (rδ)
r+δ
−g
−
V δ (r) = g
(при |r| a).
a
a
2π |r|2
Формулу (2.253) можно записать также в виде
n
(dk) ikδ/a
(m)
ik(r−rs )/a
e
V rδ =
−1
ms e
.
−Δ(k)
(2.254)
(2.255)
s=1
Учитывая это, получаем из (2.242a) для U = Fn (ms , rs ):
l
( 1)
(ms , rs ) =
π
rδ −π
∞
rδ −∞
(m) 2
e− 2DT (V −i J V rδ
J
e− 2DT V
J
T
2
)
− e− 2DT V
J
(m)
e− T J4 (V +i J V rδ
1
T
)
2
e− T J4 (V ) dV 1
1
− e− T J4 (V ) dV
(2.256)
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
108
(мы распространили пределы интегрирования по V от −π < V < π до
−∞ < V < ∞, что внесет только поправку экспоненциальной малости,
типа (2.250), и преобразовали получившийся интеграл сдвигом контура
интегрирования; под
1
T (m)
exp − J4 (V + i V rδ )
T
J
следует понимать формальный ряд, получающийся из (2.120) подста(m)
(m)
новкой V → V + i TJ V rδ ). Разлагая (2.256) по степеням V rδ , получим
l(1) (ms , rs ) =
(m) 2
T 2 d2 1
− T J4 (V )
e
V rδ
+
− 2
2J dV 2
о.п.
rδ
3
T
(m) 4
+O
V
+
...
. (2.257)
rδ
J3
(m)
Коэффициенты при членах, пропорциональных (V rδ )2n при n 2 не
выписаны явно — мы увидим, что эти члены вносят вклад только в
(m)
L(ms , T ) из (2.231). Действительно, представим V rδ в виде суммы
(2.253) и затем возведем эту сумму в степень 2n, где n 2. Тогда
получим сумму, состоящую из членов вида (V δ (r − rs ))2n и членов, содержащих произведения множителей V δ (r − rs )V δ (r − rs ) для разных
точек s = s . Последние члены при безграничном удалении точек rs
друг от друга стремятся к нулю, так что мы получаем
n
(m) 2n
2n
2n
lim
V rδ
=
m
V δ (r)
(n 2). (2.258)
|rs −rs |→∞
rδ
s=1
rδ
Для этого рассуждения существенно, что сумма в правой части (2.258)
сходится при R → ∞:
2n
1
V δ (r)
≈ O 2n (dr) < ∞ при n 2.
(2.259)
r
rδ
Напротив, при n = 1 соответствующая сумма (интеграл) логарифмически расходится на верхнем пределе; т. к., однако, все вы (m) 2
сходится при R → ∞ (при проверке схоражение
rδ V rδ
димости существенен учет (2.252)), то это значит, что расходи2
мость
при R → ∞ обрезается за счет членов
rδ V δ (r − rs )
V
(r
−
r
)V
(r
−
r
)
на
расстояниях порядка |rs − rs |, так что
s
δ
s
rδ δ
первое слагаемое в (2.257) должно при |rs − rs | a иметь порядок
s |
O(log |rs −r
). Это нетрудно проверить прямым вычислением. Имеем:
a
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
rδ
V
(m) 2n
rδ
109
2
(dk)
1
ikδ/a
e
=
−1
×
2 (Δ(k))2
δ
⎛
⎞
n
×⎝
m2s +
ms ms eik(rs −rs )/a ⎠ =
s=s
s=1
(dk) ik(rs −rs )/a
e
−1 =
−Δ(k)
s=s
rs − rs
=
ms ms g
a
s=s
1 |rs − rs |
−
(при |rs − rs | a) (2.260)
ms ms log
2π
a
=
ms ms s=s
(мы использовали, кроме (2.255) еще то, что
eikδ/a − 12 = −2Δ(k),
δ
а также заменили
n
2
s=1 ms
на
(2.261)
ms ms , используя (2.252)
s=s
(см.(2.181))). Таким образом, член l(1) (ms , rs ) дает поправку к
показателю степени α в асимптотиках корреляций, так что он
становится равным
2
d − T1 J4 (V )
T
T
α ( 1) =
1−
e
+
...
=
2πJ
2J dV 2
о.п.
T
T
+ ... . (2.262)
=
1+
2πJ
4J
Кроме того, член первого порядка вносит вклад в L(ms , T ), т. е. в
множители перед асимптотикой.
Мы не будем рассматривать поправок второго и высших порядков
по f (Vrδ ), а перейдем к рассмотрению общей структуры поправок на
основе другого диаграммного разложения.
Диаграммная техника для поправок к свободной энергии. Диаграммное разложение, о котором шла речь, строится следующим образом: средние для класса D0 выражаются через средние по основному
приближению, а последние, будучи средними по гауссовскому распределению, представляются диаграммами. Покажем, как это делается
сначала на примере диаграммного разложения свободной энергии.
Определение разности F 0 − Fо.п. можно записать в виде:
− T1 (F 0 −Fо.п. )
− T1 J4 (Vrδ )
e
e
=
χ(Vrδ )
.
(2.263)
rδ
о.п.
110
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Мы сначала рассмотрим выражение (2.263), в котором множители
χ(Vrδ ) заменены единицами, а потом покажем, как можно распространить полученные результаты на случай, когда такая замена не делается
(напомним, что с точки зрения асимптотического разложения по степеням T /J такая замена является вообще точной, так как она дает
изменения только экспоненциального порядка по J/T , типа (2.250)).
Для построения диаграммного разложения преобразуем экспоненту
в (2.263) в ряд по степеням J4 (Vrδ ), а затем используем и разложение
самих J4 (Vrδ ) в ряд по степеням Vrδ (начиная с четвертой). В конечном
итоге вычисление среднего в правой части (2.263) сведется к вычислению средних вида
Vr1 δ1 ... Vrn δn о.п. ,
(2.264)
которые, используя Vrδ = ϕr+δ − ϕr , можно свести к средним
ϕr1 ... ϕrn о.п. .
(2.265)
Так как (2.265) есть средние по гауссовскому распределению, все они
выражаются через парный коррелятор
(dk) ik(r−r )/a
T
e
ϕr1 ϕr2 о.п. =
(2.266)
J −Δ(k)
по правилу, аналогичному правилу Вика в квантовой теории поля:
именно, средние (2.265) (отличные от нуля только для четных n),
равны сумме произведений парных корреляторов ϕri ϕrj о.п. для всевозможных способов разбиения усредняемых ϕri на пары 13) . Средние
(2.264) очевидно, выражаются аналогичным образом через произведения корреляторов
eikδ/a − 1 e−ikδ /a − 1
eik(r−r )/a (dk). (2.267)
Vrδ Vr δ о.п. =
−Δ(k)
Так же, как это делается в теории поля, члены полученных рядов
для (2.263) можно изображать диаграммами. Вершины диаграмм соответствуют членам разложения J4 (Vrδ ) по степеням Vrδ : в вершине,
соответствующей члену ∼ T1 (Vrδ )2n сходится 2n линий, причем каждая
линия либо соединяет данную вершину с другой, либо замыкается
на эту вершину. Возможны две точки зрения: каждой линии можно сопоставить либо корреляторы (2.267), либо корреляторы (2.266).
Если (просуммировав по положениям вершин r) перейти к фурьепредставлению, то при первой точке зрения линии с квазиимпульсом k
13)
Это правило получается, если сравнить разложения в ряд по μr левой и
правой частей равенства (2.162).
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
111
будет соответствовать множитель
−ikδ /a
ikδ/a
e
e
−
1
−
1
T (kδ)(kδ )
T
≈
Vkδ V−kδ о.п. =
, (2.268)
J
−Δ(k)
J
k2
а вершинам — обычный множитель δ( j kj ) (где kj — квазиимпульсы
линий, сходящихся к вершине) и еще числовые множители. При второй
точке зрения линиям соответствуют множители
T 1
1
T
≈
,
(2.269)
J −Δ(k)
J k2
тогда каждой вершине надо сопоставлять дополнительно множитель
ik δ j
ikj δ/a
e
.
−1 ≈
(2.270)
a
j
j
ϕk ϕ−k о.п. =
Таким образом, различие между двумя точками зрения сводится к
тому, относить ли множители eikδ/a − 1 ≈ (ikδ)/a к линиям или к вершинам. Мы будем, если не оговорено противное, использовать первую
точку зрения, сопоставляя линиям корреляторы (2.268).
С учетом сказанного, легко получить диаграммное представление
для свободной энергии. Первая часть (2.263) обычным образом представляется в виде экспоненты от суммы вкладов связных диаграмм, так
что сама свободная энергия определяется только связными диаграммами. Низшие члены разложения для свободной энергии имеют вид
−F
0
−Fо.п. =
T
+
O(T )
+
+
+
...
O(T 2 )
(2.271)
Отметим, что сходимость интегралов, выражающих вклады этих диаграмм в области малых квазиимпульсов k обеспечиваются тем, что
множители eikδ/a − 1 ≈ ikδ/a в числителе подынтегрального выражения компенсируют особенности при k → 0, связанные с наличием
−Δ(k) ≈ k2 в знаменателях. С учетом этого диаграммное разложение
приводит к представлению свободной энергии в виде ряда по степеням
T /J (каждая линия дает множитель T , каждая вершина 1/T ), причем
все коэффициенты этого ряда конечны и он является поэтому асимптотическим рядом.
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
112
Диаграммное представление для асимптотик корреляций. Корреляции в безвихревом приближении можно представить аналогично
(2.263):
1
0
1
e− T J4 (Vrδ )) χ(Vrδ
Fn (ms , rs )0 = e T (F −Fо.п. ) Fn (ms , rs )
.
rδ
о.п.
(2.272)
При диаграммном разложении (2.272), кроме описанных выше вершин,
изображающих взаимодействие J4 (Vrδ ), появятся еще дополнительные
m-вершины, изображающие показатель экспоненты exp(i s ms ϕs ).
Линии, связывающей m-вершину с вершиной взаимодействия соответствует связка
i
n
ms ϕrs Vrδ о.п. =
s=1
T
=i
J
n
(dk) ikδ/a
T (m)
ik(r−rs )/a
e
−1
ms e
= i V rδ , (2.273)
−Δ(k)
J
s=1
(m)
(где V rδ есть функция (2.253), (2.255)), а линии, связывающей две
m-вершины — связка
(dk) T
−
ms ms ϕrs ϕrs о.п. =
ms ms eik(rs −rs )/a .
J −Δ(k)
s=s
s=s
(2.274)
Правая часть (2.272), как и раньше, равна экспоненте от суммы
связных диаграмм; диаграммы, не содержащие m-вершин, сокращаются с нормировочным множителем и остаются только связные диаграммы с m-вершинами. Из них диаграмма, изображающая (2.274),
соответствует корреляциям в основном приближении, а остальные дают поправки. Диаграммы, содержащие четыре и более m-вершин будут
(m)
иметь порядок O((V rδ )2n ) с n 2 по величине (2.253), и, как мы
видели в связи (2.259), при |rs − rs | → ∞ имеют конечный предел,
т. е. дают вклады только в L(ms , T ). Таким образом мы имеем
n
1 Fn (ms , rs )0 exp
L(ms , T ) −
ms ms ϕrs ϕrs 0 ,
2
s=1
s=s
(2.275)
где через
ϕr ϕr 0 = (dk)ϕk ϕ−k 0 eik(r−r )/a
(2.276)
обозначена сумма вкладов всех диаграмм, содержащих две mвершины. (2.276) представляет собой «полный коррелятор», связанный
с «невозмущенным коррелятором» (2.266) так же, как «полный
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
113
пропагатор» с «невозмущенным пропагатором» в теории поля. Для
ϕk ϕ−k 0 справедливо представление
δ
δ
δ
δ
=
+
+
+
T 1
ϕk ϕ−k 0
J k2
δ
δ
+
+ ...
(2.277)
где крайние линии слева и справа изображают связки (2.273), а промежуточные линии — связки (2.267). Кружки изображают компактные
части, которые нельзя разделить на меньшие части, связанные одной
линией. Сумму таких компактных частей мы обозначим через Πδδ (k),
где δ относится к вершине, в которую входит (слева) внешняя линия,
а δ — к вершине, из которой выходит (справа) другая внешняя линия
(напомним, что каждой вершине приписывается некоторое δ и по этим
δ надо суммировать). Величина Πδδ (k) с формальной точки зрения
аналогична «поляризационному оператору» в теории поля.
Суммируя диаграммы из (2.277) обычным методом, получаем для
фурье-образа полного коррелятора
ϕk ϕ−k 0 = −
1
T
,
J Δ(k) + TJ Π(k)
(2.278)
где через Π(k) обозначено
1 ikδ/a
e
Π(k) =
− 1 Πδδ (k) e−ikδ/a − 1 .
4
δ
(2.279)
δ
Диаграммы низших порядков для Πδδ (k) имеют вид
δ
δ
=
δ = δ
+
δ = δ
+
+
δ
δ = δ
δ
+
+
δ = δ
δ
+
δ
δ = δ
+
+ ...
(2.280)
Как видно из (2.280), Πδδ (k) представляется в виде:
( 2)
Πδδ (k) = Π(1) δδδ + Πδδ (k),
(2.281)
где первое слагаемое есть сумма диаграмм, у которых точки входа
и выхода совпадают (такие диаграммы изображены в верхней строке
( 2)
(2.280)), а Π (k) представляет собой сумму вкладов от диаграмм с
δδ
различными входной и выходной точками (диаграммы из нижней строки (2.280)). Можно видеть, что последние диаграммы представляют
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
114
собой регулярные при k → 0 функции от k , и потому могут быть
представлены в виде
( 2)
Πδδ (k) = ρ0n (T ) (δ · δ ) + O(k 2 ),
(2.282)
где ρ0n (T ) — некоторая константа. Например, вклад в ρ0n (T ) от первой
диаграммы из нижней строки в (2.280) пропорционален интегралу
3
3 ikj δ/a
T3
− 1|2 |e
(dkj );
(2.283)
−Δ(kj )
J3
j=1
j=1
Что касается Π(1) , то эта величина равна, как это легко видеть,
1
− J4 (Vrδ )0 ;
T
среднее от J4 (Vrδ ) по классу D0 есть не что иное, как величина (2.53),
вычисленная только с учетом безвихревых конфигураций (т. е. для
класса D0 ), из которой вычтено ее значение в основном приближении,
равное J . Если обозначить величину (2.53) для класса D0 через ρ0
(вообще, верхним индексом «0» мы будем обозначать величины, относящиеся к полному вкладу безвихревых конфигураций) то для (2.281)
при малых k получим, используя (2.282) и переходя к непрерывному
описанию
J − ρ0s
δμμ + O(k 2 ),
Πμμ (k) =
(2.284)
T
где через ρ0s обозначена величина
ρ0s (T ) = ρ0 (T ) − ρ0n (T )
(2.285)
(мы увидим, что это действительно есть сверхтекучая плотность ρs для
безвихревых конфигураций). Для величины (2.279) это даст:
J − ρ0s 2
k + o(k 2 ).
T
Подставляя (2.286) в (2.278), теперь получаем
T 1
ϕk ϕ−k 0 0
.
ρs (T ) k 2
(2.286)
Π(k) =
(2.287)
Отсюда следует, что при |rs − rs | a:
−
ms ms ϕrs ϕrs 0 s=s
T
|rs − rs | 2
+
ms ms log
ms L2 (T ), (2.288)
0
a
2πρs (T )
s=1
n
s=s
где m2s L2 (T ) — некоторая константа, которую можно отнести к
L(ms , T ). Таким образом, из (2.275) теперь следует, что полные асимп-
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
115
тотики корреляций для класса D0 (т. е. с учетом всех безвихревых
конфигураций) выражаются формулой (2.230) со значением α(T ), равным
T
α0 (T ) =
(2.289)
.
2πρ0s (T )
Предыдущие результаты были получены рассмотрением диаграммного разложения, при построении которого множители χ(Vrδ ) были
заменены единицами. Покажем, что учет этих множителей (т. е. ограничений |Vrδ | < π на область интегрирования) не изменит структуры
полученных результатов. Единственное, что измениться — это численные значения коэффициентов ρ0s (T ), L(ms , T ) и т. д., и притом можно
утверждать, что эти изменения будут иметь экспоненциальный порядок
малости по 1/T типа (2.250). Действительно, представим функции
χ(Vrδ ) в виде пределов
χ(Vrδ ) = lim χM (Vrδ ) = lim e
M →∞
M →∞
Vrδ
π
2M
.
(2.290)
Если сначала заменить все χ(Vrδ ) на χM (Vrδ ) с большим, но конечным
M , то это эквивалентно появлению в диаграммах дополнительной
2 M
, в которой сходится 2M линий.
«M -вершины», изображающей Vπrδ
При этом к ρ0s , L(ms , T ) и т.д. добавится только вклад диаграмм, содержащих M -вершины, структура же диаграмм, поведение вкладов при
k → 0 и асимптотики корреляций не изменятся, что должно сохраниться и после перехода к пределу M → ∞. Тот факт, что после перехода
к пределу M → ∞ вклады диаграмм с M -вершинами будут в сумме
иметь экспоненциальный (по 1/T ) порядок малости, таким образом
увидеть трудно, но это можно установить сравнением с результатами
расчетов, основанных на разложении (2.239)–(2.240).
Выражение сверхтекучей свободной энергии и корреляций через
функционал Ψ(A, λ). Сверхтекучая свободная энергия безвихревых
конфигураций определяется интегралом 14)
∞
∞
1
dϕr 0
e
F0 /T
×
exp − ΔF (A ) = e
...
T
2π
r
−∞
−∞
1
J e 2
e
× exp −
(V + A ) −
J4 (V + A ) , (2.291)
2T
T
где использованы сокращенные обозначения (стрелка здесь и ниже
обозначает переход к непрерывной записи, когда индексу δ соответ14)
Здесь и ниже опускаем множители χ(Vrδ ) под интегралами, считая, что
их можно учесть рассмотренным выше (см. (2.290)) способом.
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
116
ствует векторный индекс μ = 1, 2):
1
1
1
(∇μ ϕ + Aeμ )2 (dr),
(Vrδ + Aerδ )2 →
(V + Ae )2 =
2
2
2 μ
rδ
(2.292)
J4 (∇μ ϕ + Aeμ )(dr).
J4 (Vrδ + Aerδ ) →
J4 (V + Ae ) =
μ
rδ
(2.293)
Представив 2 (V + Ae )2 в виде 2
V 2 + (AV ) + 12 (Ae )2 и учитывая определение средних по основному приближению, получаем для
ΔF 0 (Ae ) − ΔFо.п. (Ae ) (разности между сверхтекучей энергией безвихревых конфигураций и ее выражением в основном приближении)
следующее представление в виде среднего по основному приближению:
1
0
e
e
exp − (ΔF (A ) − ΔFо.п. (A )) =
T
0
e
e
1
J 1
= e T (F −Fо.п. ) e− T (A V )− T J4 (V +A )
. (2.294)
1
1
о.п.
Выражение (2.294) можно рассматривать как частный случай общего
выражения
0
1
1
1
,
+A)−
− T1 Ψ (A
(F
−F
)
−
J
(
V
(
V
,
λ)
λ)
о.п.
4
T
e
= eT
,
(2.295)
e T
о.п.
которое следует понимать как определение функционала, зависящего
= {Aμ (r)} и λ = {λμ (r)} (для дискретот двух векторных функций A
, λ),
ного описания от Arδ и λrδ ). Удобнее рассмотреть функционал Ψ(A
определяемый равенством
,
− T1 Ψ(A
λ)
e
F 0 /T
∞
=e
∞
...
−∞
e− T
J
1
2 (V
+A)2 − T1
J4 (V +A)− T1 (V λ)
(2.296)
−∞
, λ) из (2.295) соотношением
и связанный с Ψ (A
, λ) = 1 J
, λ + J A).
(Aμ )2 (dr) + Ψ (A
Ψ(A
2 μ
(2.297)
Через функционал (2.297) выражаются, как увидим, все интересующие нас величины. Так, сверхтекучая свободная энергия безвихревых
конфигураций выражается через значение (2.297) при λrδ = 0:
ΔF 0 (Ae ) = Ψ(Ae , 0).
(2.298)
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
117
Далее, корреляции скоростей Vrδ выражаются, в виду (2.296), как
0
1
= exp − Ψ(0, −iT l ) ,
(2.299)
ei rδ lrδ Vrδ
T
где l = lrδ → {lμ (r)} — целочисленная форма. Корреляции
Fn (ms , rs )0 тоже можно связать с (2.296). Действительно, как легко
проверить, имеет место тождество
ei
(m)
где ϕr
s
m s ϕr s
= ei
rδ
Vrδ dδ ϕ(m)
r
→ ei
(∇ϕ·∇ϕ(m) )(dr)
— функция (2.165). Отсюда получаем
1 0
(m)
.
Fn (ms , rs ) = exp − Ψ 0, iT ∇ϕ
T
,
(2.300)
(2.301)
Наконец, корреляции в присутствии внешнего вектор-потенциала Ae
(см. (2.139)) выражаются через Ψ(A, λ) следующим образом:
"
1! e
Ψ A , iT ∇ϕ(m) − Ψ (Ae , 0) .
Fn (ms , rs )|Ae 0 = exp −
T
(2.302)
Итак, через Ψ(A, λ) выражаются все интересующие нас выражения.
Диаграммное представление для функционала Ψ(A, λ). В силу
(2.297), функционал Ψ(A, λ) сводится к функционалу Ψ (A, λ), определяемому согласно (2.295). Для правой части (2.295) получаем диаграммное представление, в которое входят, во-первых, все описанные
выше (см. (2.271)) диаграммы для свободной энергии, состоящие из
вершин взаимодействия, во-вторых, диаграммы, включающие вершины, в которых некоторые из скоростей Vrδ остаются неспаренными, и
заменяются на внешнее поле Arδ (такие вершины будем называть Aвершинами, а поле A изображать волнистыми линиями, идущими в
данную A-вершину из внешнего края диаграммы), и, наконец, в диаграммах для (2.295) могут еще иметься λ-вершины, соответствующие
взаимодействию
λμ (r)∇μ ϕr (dr).
Eλ =
(V λ) =
Vrδ λrδ →
(2.303)
rδ
μ
Величина Ψ (A, λ) равна сумме вкладов от всех связных диаграмм,
включающих A- или λ-вершины (сумма вкладов диаграмм без A- и
λ-вершин сокращается с нормировочным множителем). Дальнейшего
упрощения диаграммного представления для Ψ (A, λ) можно достичь с
помощью процесса приведения диаграмм, заключающегося в том, что
части диаграммы, сочлененные с остальной диаграммой в одной точке,
заменяются на перенормированное внешнее поле Aμ . Процесс приведения диаграмм поясняется на рис. 5. Чтобы исключить возникающую
при этом неоднозначность (например, диаграмма на рис. 5а может быть
118
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
приведена либо к 5а’, либо к 5а”), удобнее рассмотреть диаграммы для
вариационных производных
jrδ
(A, λ)
δΨ (A, λ)
J (Vrδ + Arδ )e− T J4 (V +A)− T (λV ) о.п.
=
= 4
→
1
1
δArδ
e− T J4 (V +A)− T (λV ) о.п.
1
1
−T
J4 (∇ϕ+A)− T
(λ∇ϕ)
о.п.
jμ (r|A, λ) = δΨ (A, λ) = J4 (∇μ ϕ + 1Aμ )e
1
−
J
(∇ϕ+A)−
(λ∇ϕ)
4
δAμ (r)
T
e T
о.п.
(2.304)
1
1
и
δΨ (A, λ)
Vrδ e− T J4 (V +A)− T (λV ) о.п.
=
→
V
rδ (A, λ) =
1
1
δλrδ
e− T J4 (V +A)− T (λV ) о.п.
1
1
∇μ ϕe− T J4 (∇ϕ+A)− T (λ∇ϕ) о.п.
δΨ (A, λ)
=
. (2.305)
Vμ (r|A, λ) =
1
1
δλμ (r)
e− T J4 (∇ϕ+A)− T (λ∇ϕ) о.п.
1
1
Диаграммы для (2.304) и (2.305) уже содержат выделенную точку
r, δ → r, μ, по отношению к которой можно однозначно проводить
процесс приведения. Этот процесс пояснен рис. 5б, 5б’, 5б”, и состоит
в следующем: если диаграмма для (2.304) может быть разбита на две
части, соединенные одной линией, то та из этих частей, в которой
содержится выделенная точка (назовем эту часть основной) остается
неизменной, а другая часть (вместе с соединительной линией) заменяется на эквивалентное внешнее поле Arδ (эту замененную часть
назовем перенормировочной). Если полученная таким образом сокращенная диаграмма опять окажется приводимой, то процесс приведения
повторяется. В конце концов исходная диаграмма сведется к некоторой
неприводимой далее диаграмме (т. е. такой, которую нельзя разделить
на две части, соединенные одной линией). Легко видеть, что в силу
наличия выделенной точки процесс приведения однозначен, в частности, его результат не зависит от того, в каком порядке производятся приведения, и исходная диаграмма однозначно восстанавливается
по полностью приведенной, если в последней заменить в некоторых
вершинах внешнее поле Arδ на соответствующие перенормировочные
части.
Далее, легко видеть, что каждая перенормировочная часть однозначно соответствует некоторой диаграмме для среднего (2.305). Введем обозначение для суммы вкладов всех неприводимых диаграмм для
(2.304), выраженной как функции внешнего поля Arδ (в неприводимых диаграммах для (2.304) не может содержаться λ-вершин, т. к.
λ-вершина соединяется с остальной частью диаграммы одной линией,
а потому может быть приведена). Именно, обозначим
(н.п.)
(н.п.)
сумма вкладов в (2.304) от
(2.306)
j rδ (A) → j μ (r|A) =
неприводимых диаграмм
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
(а)
(а’)
(а”)
(б)
(б’)
(б”)
119
(в)
rδ
j
=
+
+
+
+
+
+
+ ...
+
(г)
rδ
= rδ
+
Aerδ
Arδ
rδ
V
(д)
rδ
V
λ
=
rδ
r δ +
rδ r δ j
Рис. 5. Приведение диаграмм для функционала Ψ (A, λ) и его вариационных
производных. (а) Приводимая диаграмма для Ψ (A, λ) и две приведенные
диаграммы для нее (а’) и (а”). (б) Пример приводимой диаграммы для (2.304),
соответствующая приведенная диаграмма (б’) и перенормировочная часть (б”).
(в) Простейшие диаграммы для (2.306). (г) Диаграммное представление для
полного перенормированного внешнего вектор-потенциала (2.307). (д) Структура суммы перенормировочных диаграмм (2.305).
120
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
(см. рис. 5в). Тогда результат предыдущих рассуждений можно сформулировать так: полный функционал (2.304) может быть получен из
(2.306) заменой исходного внешнего поля Arδ на перенормированное
поле (см. рис. 5г):
Arδ = Arδ + V
rδ (A, λ) → Aμ (r) = Aμ (r) + V
μ (r|A, λ),
(2.307)
где второе слагаемое представляет собой среднее (2.305), равное, как
мы видели, сумме вкладов всех перенормировочных диаграмм. Его
структура изображена на рис. 5д: действительно, во всех диаграммах
для (2.305) (они же — перенормировочные диаграммы) выделенная
точка rδ(rμ) соединена с остальной частью диаграммы одной линией,
изображающей связку (2.267). Далее, эта остальная часть (т. е. перенормировочная диаграмма без соединительной линии) может представлять собой либо λ-вершину, либо некоторую диаграмму для (2.304).
Поэтому мы можем написать для фурье-образа (2.305)
1
V
μ (k|A, λ) = −
T
Vkμ V−kμ о.п. (λμ (k) + jμ (k|A, λ)) =
μ
=−
1 kμ kμ (λμ (k) + jμ (k|A, λ))
J k2 (2.308)
μ
(
jμ (k|A, λ) и λμ (k) — фурье-образы (2.304) и λμ (r)). Если ввести
теперь функцию ϕ(r)
, определив ее фурье-образ равенством
1 1 jμ (k|A, λ) + λμ (k) ,
ϕ(k)
= ϕ(k|A
, λ) =
ik
(2.309)
μ
J k2 μ
то на основании (2.308) можем написать
, λ).
V
μ (k|A, λ) = ikμ ϕ(k|A
(2.310)
В координатном представлении (2.310) означает
, λ),
V
μ (r|A, λ) = ∇μ ϕ(r|A
а соотношение (2.309) может быть записано в виде
JΔϕ
+
∇μ jμ (r|A, λ) + λμ (r) = 0.
(2.311)
(2.312)
μ
Подставив (2.311) в (2.307), видим, что полный перенормированный
равенством
вектор-потенциал выражается через функцию ϕ
Aμ (r) = Aμ (r) + ∇μ ϕ(r|A
, λ).
(2.313)
То есть, перенормирмировке подвергается только продольная часть
Aμ (r). Далее, поскольку jμ (r|A, λ) получается из (2.306) заменой Aμ
на (2.313), то ,
jμ (r|A, λ) можно выразить в виде функционала от ∇ϕ
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
121
так что (2.312) представляет собой уравнение, определяющее функцию
ϕ(r)
. Покажем, что это уравнение можно рассматривать как вариационное уравнение Эйлера для экстремали некоторого функционала.
Для этого замечаем, прежде всего, что функционал (2.306) можно
представить в виде вариационной производной
δΨн.п. (A)
j
μ (r|A) =
,
δAμ (r)
(2.314)
где функционал Ψн.п. определяется через сумму вкладов неприводимых
диаграмм для Ψ (A, 0) (т. е. не могущих быть разделенными на части,
сочлененные в одной точке), именно
)сумма вкладов неприводимых диаграмм для
н.п.
(2.315)
Ψ (A) = Ψ (A, 0), взятых каждая с весом 1/2n где
2n — число A-вершин в диаграмме.
Множитель 1/2n хорошо известен: он встречается во многих разложениях свободной энергии и связан с эквивалентностью всех A-вершин
относительно варьирования по A (см. работу [54], на идеях которой
основан излагаемый подход).
Рассмотрим теперь функционал L (ϕ, A, λ), зависящий от функций
ϕ(r), Aμ (r) и λμ (r) и определяемый равенством
1
2
н.п.
L (ϕ, A, λ) = J (∇ϕ) (dr) + Ψ (A + ∇ϕ) + (λ · ∇ϕ)(dr).
(2.316)
2
Учитывая (2.314), видим, что уравнение (2.312) может быть записано
как вариационное уравнение Эйлера для экстремали (2.316):
+ ∇ϕ)
δL
δΨн.п. (A
= −JΔϕ − div
− div λ = 0.
δϕ(r)
δ A(r)
(2.317)
Покажем теперь, что интересующий нас функционал Ψ (A, λ) получается из (2.316), если в качестве ϕ подставить функцию
ϕ(r) = ϕ(r|A
, λ),
(2.318)
являющуюся решением уравнения (2.317). Иными словами, (2.318)
есть минималь, а Ψ (A, λ) — минимальное значение (2.316) на множестве допустимых функций ϕ:
Ψ (A, λ) = min L (ϕ, A, λ) = L (ϕ(A
, λ), A, λ).
(ϕ)
(2.319)
Действительно, в силу выполнения (2.317), варьируя правую часть
(2.319) по A и λ, можно не учитывать неявной зависимости от A и λ,
происходящей через зависимость от них функции (2.318); значит
δ
δ
L (ϕ(A
Ψн.п. (A + ∇ϕ)
, λ), A, λ) =
= jμ (r|A, λ) (2.320)
δAμ (r)
δAμ (r)
122
и
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
δ
L (ϕ(A
, λ), A, λ) = ∇μ ϕ(A
, λ) = V
μ (r|A, λ),
δλμ (r)
(2.321)
т. е. вариации от правой части (2.319) совпадают (в силу определений
= λ = 0 равенство
(2.304) и (2.305)) с вариациями от левой; т. к. при A
и
(2.319) также выполняется, то тем самым (2.319) верно при всех A
λ.
Если ввести функционал
1
=
2 (dr) + L (ϕ, A
, λ + J A)
L(ϕ, A, λ) = J (A)
2
1
2
н.п.
= J (∇ϕ + A) (dr) + Ψ (A + ∇ϕ) + λ · ∇ϕ(dr)
, (2.322)
2
то для функционала Ψ(A, λ), связанного с (2.319) определением
(2.297), получим
Ψ(A, λ) = min L(ϕ, A, λ) = L(ϕ(A
, λ), A, λ).
(ϕ)
(2.323)
Через (2.319) выражаются все интересующие нас величины.
Выражение (2.322) для функционала L(ϕ, A, λ) удобно несколь + ∇ϕ)
ко преобразовать, выделив из Ψн.п. (A
член, квадратичный по
, содержащие две
+ ∇ϕ
. Неприводимые диаграммы для Ψн.п. (A)
A
A-вершины, по существу совпадают с диаграммами для (2.280)(к последним надо только подсоединить линии внешнего поля Arδ в точках
δ и δ ). Поэтому квадратичный по Aμ (r) член в (2.315) равен
1
2
kA
−k (dk) = 1 (ρ0s − J) (A(r))
Ψ2 (A) = (ρ0s − J) A
(dr). (2.324)
2
2
Соответствующее (2.324) выражение для (2.314) приводит к локальной
связи между jμн.п. (r) и Aμ (r). Рассмотрение неприводимых диаграмм
показывает, что их вклад в (2.306) также свявысших порядков по A
со значениями Ar δ в близких точках r (находящихся
jμн.п. (A)
зывает от r на расстояниях порядка a). Поэтому для медленно меняющегося
внешнего поля Arδ можно представить функционал (2.306) в виде
jμ (r) и Aμ (r):
локальной связи между jμ (r) = (ρ0s − J)Aμ (r) + jμ(4) (r|A),
(2.325)
где
jμ(4) (r|A) =
∞ n=2 μ1
...
μ2n−1
1
Cμ,μ1 ...μ2n−1 Aμ1 (r) ... Aμ2n−1 (r),
(2n − 1)!
(2.326)
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
123
что соответствует выражению Ψн.п. (A) в виде интеграла от локальной
плотности
1
2
Ψн.п. (A) = (ρ0s − J) (A(r))
(dr) + F4 (A(r))(dr)
,
(2.327)
2
где F4 (A(r))
— локальная плотность, содержащая Aμ (r) в степени не
ниже четвертой
F4 (A(r))
=
∞ n=2 μ1
...
μ2n
1
Cμ ...μ Aμ (r) ... Aμ2n (r).
(2n)! 1 2n 1
(2.328)
Объединяя в (2.316) член (2.324) с первым слагаемым, получаем
2
1 0
+ ∇ϕ
L(ϕ, a, λ) = ρs (T ) A
(dr)+
2
, (2.329)
+ F4 (A + ∇ϕ)(dr) + (λ · ∇ϕ)(dr)
что соответствует записи уравнения (2.317) в виде
+ div j (4) rA
+ ∇ϕ
ρ0s (Δϕ + div A)
+ div λ = 0.
(2.330)
Это уравнение можно записать также в виде
+ ∇ϕ
div j rA
+ div λ = 0,
(2.331)
:
где j(r| ...) — полный ток, включающий кроме (2.325) еще член J A
+ ∇ϕ)
+ j (4) rA
+ ∇ϕ
+ ∇ϕ
j rA
(2.332)
.
= ρ0s (A
Сверхтекучая свободная энергия безвихревых конфигураций.
Сверхтекучая свободная энергия ΔF 0 (Ae ), согласно (2.298), получается из функционала (2.329) при λ = 0 подстановкой в него в качестве ϕ
решения уравнения (2.330) (тоже для λ = 0). То есть
ΔF 0 (Ae ) = min L(ϕ, Ae , 0) = L(ϕ(A
e , 0), Ae , 0) =
(ϕ)
1 0
e 2
ϕ
e )(dr), (2.333)
= ρs (T ) (∇ϕ
+ A ) (dr) + F4 (∇
+A
2
e
где ϕ(r)
= ϕ(r|A
) есть решение уравнения
e + div j (4) rA
ϕ
e + ∇
ρ0s Δϕ
+ ρ0s div A
= 0.
(2.334)
Из представления ΔF 0 (Ae ) в виде минимума (2.333) следует и градиентная инвариантность ΔF 0 (Ae ): действительно, поскольку L(ϕ, Ae , 0)
124
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
, при преобразовании A
e + ∇ϕ
соот e + ∇ϕ
e → A
зависит только от A
e
A ) преобразуется в
ветствующая ϕ(r|
e − ϕ (r),
e + ∇ϕ
=ϕ
r|A
ϕ
r|A
(2.335)
так что значение минимума (2.333) остается неизменным. ((2.335) можно, конечно, проверить и непосредственным рассмотрением уравнения
(2.334)). Таким образом, мы имеем
= ΔF 0 A
e + ∇ϕ
e ,
ΔF 0 A
(2.336)
что и выражает градиентную инвариантность.
Для явного выражения ΔF 0 (Ae ) через Ae надо знать соответствуe
), которое может быть получено только в
ющее выражение для ϕ(r|A
виде ряда по Ae . Мы выпишем только квадратичный по Ae член, предполагая Ae (фактически ⊥ Ae ) достаточно малым. Уравнение (2.334)
при оставлении только членов, линейных по Ae и ∇ϕ принимает вид
ρ0s div(∇ϕ + Ae ) = 0, откуда видно, что в линейном приближении по
e
Ae в качестве ϕ(r|A
) выступает продольный потенциал поля Ae :
e
ϕ(r|A
) = ϕer + o(Ae ), (где Ae = −∇ϕe + ⊥ Ae и div ⊥ Ae = 0). (2.337)
Подставляя (2.337) в (2.333) получаем
1
e )2 (dr) + o((Ae )2 ),
ΔF 0 (Ae ) = ρ0s (T ) (⊥ A
2
(2.338)
так что учет всех поправок, связанных с безвихревым приближением
(учет всех конфигураций класса D0 ) приводит к формулам ((2.67)–
(2.69)) со значением сверхтекучей плотности
ρs = ρ0s (T ),
(2.339)
определяемым через вклад диаграмм согласно (2.282) и (2.285).
Асимптотики корреляций углов ϕr и скоростей Vrδ на основе полного выражения для функционала Ψ(A, λ). Мы еще раз рассмотрим
асимптотики корреляций Fn (ms , rs )0 на основе точного выражения
их через функционал Ψ(A, λ), а затем рассмотрим тем же методом
асимптотики корреляций для скоростей Vrδ . В силу (2.301) имеем
1
(m) , 0, iT ∇ϕ(m) ) ,
Fn (ms , rs )0 = exp − L(ϕ
(2.340)
T
где ϕ
(m) — функция, являющаяся решением уравнения
ρ0s Δϕ
(m) + div j (4) (r|∇ϕ
(m) ) + iT
n
s=1
ms δ(r − rs ) = 0
(2.341)
§ 6. Поправки, связанные с безвихревыми конфигурациями
125
(мы подставили в (2.329) Ae = 0, λμ = iT ∇μ ϕ(m) и учли (2.165)).
Если точки rs находятся далеко друг от друга, решение (2.341) можно
представить в виде
ϕ
m (r) n
ϕ
ms (r − rs ),
(2.342)
s=1
где ϕ
ms (r) — решение, относящееся к изолированной точке r = 0, т. е.
решение уравнения
ρ0s Δϕ
(m) + div j (4) (r|∇ϕ
(m) ) = −iT mδ(r).
(2.343)
На больших расстояниях |r| a вторым слагаемым в (2.343) можно
пренебречь, т. к. оно содержит высшие степени градиента, малого на
m (r) на больших расстояниях будет
больших расстояниях. Поэтому ϕ
удовлетворять уравнению Лапласа и должно иметь асимптотику в виде
|r| + C1 + ... ,
(2.344)
a
где многоточие означает дальнейшие члены мультипольного разложе
0 можно
ния для решений двумерного уравнения Лапласа. Константу C
найти, если учесть, что левая часть (2.343) имеет вид дивергенции.
Проинтегрировав (2.343) по области с центром в точке r = 0, граница
которой проведена достаточно далеко, так, чтобы вкладом в поверхностный интеграл от второго члена в (2.343) можно было пренебречь,
m (r) в виде
находим асимптотику ϕ
0 log
ϕ
m (r) = C
ϕ
m (r) = −
imT
|r| + C1 (m, T ).
log
a
2πρ0s
(2.345)
Подставив теперь (2.345)
в (2.340) и учитывая, что в силу свойства
(m) )(dr) для (2.342) распадется на сумму
(2.259) функционал F4 (∇ϕ
выражений, относящихся к отдельным точкам rs , а также учитывая
(m)
уравнение (2.165) для ϕr , получаем для (2.340) уже найденные ранее
асимптотики вида (2.230) со значением α0 (T ), даваемым (2.289).
Корреляции скоростей Vrδ выражаются аналогично (2.340)
1 (l)
r ) 0
i s ( ls V
s
e
, 0, iT l
= exp − L ϕ
,
(2.346)
T
n
где s ls V
rs есть сокращенная запись для
s=1 ls Vrs δs с целыми ls , а
ϕ
(l) представляет собой решение уравнения (2.330) для
λ = iT
ls δ(r − rs ),
s
которое при |rs − rs | a также может быть представлено в виде, ана
l(r − rs ), относящихся к
логичном (2.342), т. е. как сумма выражений ϕ
126
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
отдельным точкам rs . Функция ϕ
l(r) при этом должна удовлетворять
уравнению
ρ0s Δϕ
l(r) + div j (4) (r|∇ϕl) + iT (l∇)δ(r)
= 0,
(2.347)
в силу чего разложение типа (2.345) начинается с дипольного члена:
, T ) (l · r) + o(1/r).
ϕ
l(r) = C(l
r2
(2.348)
, T ) от l, T не может быть
Существенно, что теперь зависимость C(l
определена из поведения при |r| a, а должна определяться сшивкой
асимптотики (2.348) с решением (2.347) при малых r. Поэтому для
асимптотик корреляций скоростей можно только написать (для простоты рассмотрена только двухточечная асимптотика)
0 0
0
eilVr +il Vr eilVr
eil Vr ×
(l · l ) − 2(l · n)(l · n )
0
× exp C(l, T )C(l , T )α (T )
, (2.349)
r2
, T ) могут быть
где r = |r − r |, n = (r − r )/r. Выражения для C(l
получены только в виде диаграммных рядов, на чем мы не будем
останавливаться. Заметим только, что при этом попутно получается
соотношение
∞
0
, T )Jl eilVrδ ,
ρ0s (T ) =
(2.350)
C(l
l=−∞
которое необходимо для согласованности (2.349) и соответствующего
(2.339) выражения для функции корреляции токов (2.68) ввиду микроскопического соотношения (2.52).
Асимптотики корреляций в присутствии внешнего вектор e . Для корреляций в присутствии внешнего векторпотенциала A
e
потенциала A , согласно (2.302) имеем
Fn (ms , rs )||Ae 0 =
"
1!
(m,e) e
(m)
(m)
(m)
L(ϕ
, A , iT ∇ϕ ) − L(ϕ
, 0, iT ∇ϕ )
(2.351)
= exp −
T
(m,e) есть решение уравнения
где ϕ
ρ0s Δϕ
(m,e) + ρ0s div Ae + div j (4) (r|Ae + ∇ϕ
(m,e) ) + iT
n
s=1
δ(r − rs )ms = 0
(2.352)
§ 6. Поправки, связанные с вихрями
127
Если точки rs находятся далеко друг от друга, то на основании тех же
соображений, что и выше, можем написать
n
e
ϕ
(m,e) ϕ(r|A
)+
ϕ
m (r − rs |Ae ),
(2.353)
s=1
e
где ϕ(r|A
) — решение уравнения (2.352) при ms = 0 (т. е. (2.334)), а
ϕ
m (r|Ae ) – добавка, связанная с точкой r = 0, т. е. решение уравнения
!
"
e
ρ0s Δϕ(r|A
) + div j (4) (r|Ae + ∇ϕ
m ) − j (4) (r|Ae ) + iT mδ(r) = 0.
(2.354)
Хотя решения (2.354) теперь зависят от Ae , для асимптотик этих
решений опять имеем (2.345), так что по сравнению с рассмотренным
выше случае асимптотик (2.340) (т. е. без внешнего поля) имеют место
только следующие различия:
(а) L(ms , T ) теперь могут зависеть от Ae , т. е. их надо теперь
записывать в виде L(ms , T |Ae ), причем теперь не обязательно
L(−ms , T |Ae ) = L(ms , T |Ae );
(б) от последнего члена из (2.329) произойдет дополнительный множитель:
n
exp i
ms ϕ(r
s |Ae ) .
(2.355)
s=1
Таким образом, асимптотики корреляций в присутствии внешнего
сверхтекучего поля примут вид:
n
e 0
e
Fn (ms , rs )||A = δm1 +...+mn ,0 × exp i
ms ϕ(r
s |A ) ×
×
n
s=1
L(ms ,T |Ae )
e
s=1
1 0
rs − rs 2 α (T )ms ms
. (2.356)
a s=s
s |Ae ) надо брать
Если пренебречь членами o(Ae ), то в качестве ϕ(r
e
продольный потенциал ϕr (см. (2.337)).
2. Поправки, связанные с вихрями
Эффективная энергия безвихревых конфигураций. В суммах
(2.140)–(2.141) роль эффективной энергии классов D = D0 играет
величина
ΔF D (Ae ) = ΔF 0 (Ae + AD ),
(2.357)
где Aerδ — вектор-потенциал внешнего сверхтекучего поля, а AD
rδ
— вектор-потенциал (2.135), который можно трактовать как векторпотенциал, созданный имеющимися в системе вихрями. Внешнее поле
128
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Aerδ мы вправе предполагать медленно меняющимся и достаточно малым, но относительно AD
rδ это в общем случае не имеет места. Однако,
как увидим, при низких температурах основной вклад в статсумму
и средние дают классы D, соответствующие таким распределениям
циркуляций Kr∗ , в которых грани с отличными от нуля циркуляциями
встречаются достаточно редко. Для таких конфигураций поперечный
вектор-потенциал ⊥ AD
rδ будет малой и медленно меняющейся функцией
всюду, кроме окрестностей граней rj∗ , в которых расположены вихри
(см. ниже, формулы (2.361)–(2.362)). Поэтому квадратичный по ⊥ AD
rδ
член в выражении ΔF D дает главный вклад в выражение (2.357) для
существенных конфигураций.
Рассмотрим конфигурацию вихрей с циркуляциями K1 , ... , Kn , расположенных в гранях r1∗ , ... , rn∗ . Такой конфигурации (мы будем ее
иногда обозначать (1, ... , n)) соответствует распределение циркуляций
Kr(∗1,...,n) =
n
Kj δr∗ rj∗ .
(2.358)
j=1
Соответствующее (2.339) выражение для квадратичного члена в
(2.357), выраженного через циркуляции — внутренние Kr∗ и внешние
Kre∗ — будет иметь вид (см. (2.69b)):
D
0
ΔFкв
(... , Kre∗ , ...) = ΔFкв
(... , Kr∗ + Kre∗ , ...) =
4π 2 0 Kr∗ + Kre∗ Kr∗ + Kre∗ Gr∗ r∗ . (2.359)
ρ
=
2 s r
r
∗
∗
Для конфигураций (2.358) это выражение (при Kre∗ = 0) можно записать в виде
4π 2 0 ρ
Kj Kj Grj∗ rj∗ 2 s
j=1 j =1
∗
n
n
rj − rj∗
4π 2 0 1
AR
log
=
ρs
Kj Kj +g
2
2π
r0
a
j=1 j =1
∗
n
2
rj − rj∗
4π 2 0 AR 4π 2 0 .
ρ
Kj log
+
ρ
Kj Kj g
=
2 s
r0
2 s
a
n
n
(1,...,n)
ΔFкв
=
1j=j n
j=1
(2.360)
Поперечный вектор-потенциал, соответствующий конфигурации
(2.358) можно, согласно (2.146)–(2.148), записать в виде
⊥
(1,...,n)
Arδ
=
n
j=1
Kj Aδ (rj∗ , r),
(2.361)
§ 6. Поправки, связанные с вихрями
129
где асимптотика функции Aδ (rj∗ , r) = dδ∗ Gr∗ rj∗ имеет вид
Aδ (rj∗ , r) (n⊥ · δ)
(n · δ⊥ )
=
r
r
(2.362)
(n⊥ и δ⊥ обозначают вектора, полученные из n и δ поворотом на 900
против часовой стрелки). Формула (2.362) описывает распределение
скоростей, созданное вихрем единичной циркуляции на больших расстояниях от вихря. Как видно из (2.362) эта скорость перпендикулярна
вектору r, направленному от вихря в точку наблюдения и убывает
обратно пропорционально расстоянию от вихря. Поскольку закон убывания (2.362) с расстоянием такой же, как для выражения (2.254),
мы можем применить к рассматриваемому случаю те же соображения,
что и ранее в связи с (2.258). Именно, из сходимости (аналогично
(2.259)) интегралов от (2.362) в степени четвертой и выше, вытекает,
что если мы будем подставлять в выражение (2.333) сумму Ae + AD , то
член, происходящий от второго слагаемого из (2.333) при увеличении
расстояния между вихрями распадется на сумму выражений, относящихся к отдельным вихрям. Это значит, что эффективная энергия
конфигураций (2.358) может быть записана в виде
ΔF (1,...,n) =
n
2
4π 2 0 AR
ρs
Kj log
−
2
r0
j=1
−
|rj∗ − rj∗ |
2π 0 (1,...,n)
+ ΔFкор
ρs
Kj Kj log
2
a
(2.363)
j=j
(1...n)
(по сравнению с (2.360) мы отнесли еще к ΔFкор , кроме членов,
происшедших от второго слагаемого из (2.333), также разницу между
g((rj∗ − rj∗ )/a) и их асимптотиками − 21π log(|rj∗ − rj∗ |/a)). Последнее
слагаемое в (2.363) должно удовлетворять, согласно сказанному выше,
свойству асимптотической аддитивности: при увеличении расстояний
между двумя группами вихрей оно должно распадаться на сумму
выражений, соответствующих этим группам, плюс постоянная энергия
(1,...,p,p+1,...,n)
ΔFкор
(1...p)
(p+1,...,n)
(1,...,p,p+1,...,n)
ΔFкор + ΔFкор
+ ΔEкор
∗
∗
при |rj − rj | a, 1 j p ; p + 1 j n
(1,...,p,p+1,...,n)
ΔEкор
= const (не зависит от rj∗ ).
(2.364)
Первый член в (2.363) для граничных условий (А) и (В) тождественно равен нулю, т. к. в этом случае допустимы только распределения циркуляций Kr∗ , удовлетворяющие (2.128), т. е. для записи (2.358)
r∗
5 В. Л. Березинский
Kr ∗ =
n
j=1
Kj = 0 .
(2.365)
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
130
Что же касается условий (С), то хотя для них (2.365) не обязательно,
однако для конфигураций, не удовлетворяющих (2.365) первое слагаемое в (2.363) приводит к бесконечной энергии при R → ∞, т. е. в
пределе R → ∞ такие конфигурации тоже выпадают из статистической
суммы (см. ниже, формула (2.372)).
Рассмотрим выражение (2.363) для простейших конфигураций
(2.365), представляющих собой пару вихрей, с циркуляциями +K и
∗
∗
−K , расположенных в гранях r+
и r−
. Эффективная энергия такой
∗
∗
пары при |r+ − r− | a должна иметь вид
∗
∗
ΔF (+−) (r+
− r−
) = 2πρ0s K 2 log
∗
∗
|r+
− r−
|
(+−)
+ ΔEкор ,
a
(2.366)
(+−)
где ΔEкор — конечная энергия, связанная с поведением взаимодействия на расстояниях порядка a. (2.366) можно переписать в виде
∗
∗
ΔF (+−) (r+
− r−
) = 2πρ0s K 2 log
∗
∗
|r+
− r−
|
,
dK
(2.367)
(+−)
где расстояние dK связано с ΔEкор
1
(+−)
ΔEкор
k2
соотношениями
(+−)
ΔEкор
dK
0
= exp
= 2πρs log(dk /a);
.
a
2πρ0s K 2
(2.368)
При оценках, в которых поведение (2.366) на малых расстояниях не
существенно, мы будем аппроксимировать (2.366) выражением:
∗
∗
ΔF (+−) (r+
− r−
)=
∗
∗
|r+
−r−
|
0 2
∗
∗
, при |r+
− r−
| a,
a
= 2πρs K log
∗
∗
∞,
при |r+ − r−
| < a.
(2.369)
Эквивалентность вихрей частицам решеточного газа с логарифмическим взаимодействием. Согласно (2.140) и (2.363), выражение,
определяющее полную свободную энергию можно записать в виде
e− T (F −F
1
0
)
exp −
=
{...,Kr∗ ,...}
4π 2 ρ0s
2T
r∗
r∗
или, для записи (2.358)
Kr∗ Kr∗ Gr∗ r∗
1
− ΔFкор (... , Kr∗ , ...) ,
T
(2.370)
§ 6. Поправки, связанные с вихрями
− T1
e
(F −F )
0
131
⎛
n
2
1
4π 2 0 AR
⎝
exp −
ρ
=
Kj log
+
Π(Kj !)
2T s
r0
j=1
n=0 (1,...,n)
⎞
∗
∗
|r
−
r
|
2π
1
j
j
(1...n)
− ΔFкор ⎠ , (2.371)
Kj Kj log
+ ρ0s
2T
a
T
∞ j=j
где суммирование по (1, ... , n) означает суммирование по
K1 , r1∗ ... , Kn , rn∗ ,
а 1/Π(Kj !) — обычные множители, обеспечивающие учет каждой конфигурации (2.358) только по одному разу.
Из (2.371) видно, что вихри можно рассматривать как частицы
некоторого эквивалентного решеточного газа (на дуальной решетке),
причем циркуляции вихрей можно трактовать как «заряды» частиц,
принимающие целочисленные значения K = ±1, ±2, .... Выражение
(2.363) будет эффективной энергией взаимодействия частиц; при этом,
поскольку в (2.371) учитываются конфигурации с различным числом
частиц, химической потенциал эквивалентного газа должен считаться
равным нулю.
Для граничных условий (А) и (В) суммирование в (2.371) ограничивается конфигурациями, удовлетворяющими условию (2.365), которое
можно рассматривать как условие нейтральности эквивалентного газа.
Для условий (С) первое слагаемое в (2.363) приводит при R → ∞ к
тому же самому ограничению, поскольку
− T1 (
lim e
R→∞
j
Kj )2 log
AR
r0
= δK1 +...+Kn ,0 ,
(2.372)
т. е. конфигурации, не удовлетворяющие (2.365), выпадают из статистической суммы.
Второй член в (2.363) имеет такой же вид, как для двумерной
кулоновской плазмы, поскольку функция Грина уравнения Лапласа,
описывающая взаимодействия заряженных частиц в двумерном случае
логарифмически зависит от расстояния. Однако свойства двумерной
плазмы (с логарифмическим взаимодействием) совсем не похожи на
свойства трехмерной (с взаимодействием, обратно пропорциональным
расстоянию). Рассмотрим, например, вероятность того, что две частицы
с зарядами +K и −K находятся на расстоянии r. Эта вероятность
пропорциональна «парной» статсумме
−K 2 /α0 r
T
− T1 ΔF (+−) (r)
0
. (2.373)
ZK (r) ∼ e
∼
, где α =
dK
2πρ0s
Существенное отличие от трехмерной плазмы состоит в том, что для
двумерной плазмы интеграл от (2.373) сходится при достаточно низких
температурах и притом весьма быстро, т. к. при низких температурах
5*
132
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
α0 1. Более того, частицы находятся на конечных расстояниях порядка a друг от друга, поскольку средний квадрат расстояния между
частицами конечен и имеет порядок a2 (при T J ):
∞ 2
r ZK (r)(dr)
2 − K 2 /α0 2
2α 0
2
a
=
d = ∞
a 1 + 2 a2 ≈ a2 . (2.374)
2 /α0
4
−
K
K
Z
(r)(dr)
K
a
Это означает, что две частицы с противоположенными зарядами объединяются в связанную пару («квазимолекулу»), которая может рассматриваться как одна частица. Аналогично этому, все конфигурации,
состоящие из некоторых частиц (вихрей) должны распадаться на связанные «квазимолекулы», с нулевым суммарным зарядом (циркуляцией). Кроме пар, возможны, например, еще квазимолекулы, состоящие
из одного вихря с K = +2 и двух вихрей с K = −1 и так далее.
Квазимолекулы можно характеризовать их «дипольным моментом»
d =
n
Kj rj∗
(2.375)
j=1
и, аналогично (2.374), будем иметь
d квазимолекулы = O(a2 ) < ∞.
(2.376)
Например, конфигурации из четырех частиц (вихрей) 1,2,3,4 с зарядами (циркуляциями) K1 = K2 = +1, K3 = K4 = −1, могут иметь
следующие возможные типы состояний: (а) состояния (1,2,3,4), когда
все четыре частицы объединяются в одну квазимолекулу; (б) состояния
(1,3)(2,4), когда частицы 1 и 3 соединяются в одну квазимолекулу, а 2 и
4 — в другую; (в) состояния (1,4)(2,3), когда в одну пару объединяются
частицы 1 и 4, в другую — 2 и 3.
Энергия взаимодействия квазимолекул на больших расстояниях
между ними имеет вид
∂
∂
2(na da )(nb db ) − (da db )
Vab ∼ da
, (2.377)
db
log rab ∼
∂ra
∂rb
(rab )2
где rab — расстояние между квазимолекулами a и b, а nab — единичный
вектор в направлении от одной квазимолекулы к другой; da и db
обозначают дипольные моменты (2.375) квазимолекул a и b.
Взаимодействие (2.377) убывает уже достаточно быстро, чтобы
квазимолекулы можно было рассматривать как частицы обычного газа,
в частности, групповые интегралы для разреженного газа частиц с
взаимодействием (2.377) сходятся, (правда, только при учете усреднения по направлениям дипольных моментов квазимолекул), так, что
разложение Майера для газа частиц с взаимодействием (2.377) приводит к конечным выражениям. Мы ниже покажем, что разложение по
концентрациям вихрей типа (2.239)–(2.240) на самом деле оказывается
разложением по концентрациям квазимолекул.
§ 6. Поправки, связанные с вихрями
133
Подчеркнем еще раз, что описанная выше ситуация в двумерной
(логарифмической) плазме в корне отлична от ситуации в обычной
плазме (с кулоновским взаимодействием Kj Kj /|rj − rj |). В последнем
случае величина Zk (r), аналогичная (2.373), ведет себя на больших
2
расстояниях ∼ exp(−K 2 /T r) 1 − KT r1 , и интеграл от ZK (r) расходится на верхнем пределе. Это соответствует тому, что в обычной плазме
при любой, сколь угодно низкой температуре, имеется отличная от
нуля концентрация свободных частиц (ионов), которая и обеспечивает
известные специфические свойства плазмы. В рассмотренной же выше
«логарифмической плазме» при достаточно низких температурах концентрация свободных зарядов строго равна нулю, а появление состояний с отличной от нуля концентрацией ионов («ионизация») должно
быть связано с некоторым фазовым переходом (см. § 8).
Разложение свободной энергии по концентрациям «вихревых квазимолекул». Для свободной энергии и сверхтекучей свободной энергии
можно построить разложение по концентрации вихрей, которое на самом деле оказывается разложением по концентрациям «квазимолекул»,
поскольку не связанные в квазимолекулы вихри выпадают из статистической суммы. Рассмотрим сначала разложение для свободной энергии.
Оно строится аналогично (2.239): свободная энергия представляется в
виде ряда
F − F 0 = F (1) + F (2) + ... + F (n) + ...
(2.378)
где порядок члена соответствует числу частиц (вернее, их концентрации). Разложение (2.378) подставляется в левую часть (2.370) или
(2.371), экспонента от (2.378) разлагается в ряд, и сравниваются члены
одного порядка в разложении левой и правой частей (приписывая
каждому члену суммы по Kr∗ = 0 порядок, равный числу граней
r∗ в которых Kr∗ = 0, т. е. числу вихрей в конфигурации (2.358)).
Учет (2.365) можно вводить явно, поскольку в силу (2.372) он все
равно автоматически производится при переходе к пределу R → ∞.
Например, член первого порядка равен
−
∞ ∞
2πρ0
2πρ0
s K 2 log AR
s K 2 log AR
F ( 1)
−
−
r0
r0
=
e T
=N
e T
−→ 0, (2.379)
R→0
T
K=1 r
K=1
∗
т. е. исчезает в пределе R → ∞, в соответствии со сказанным выше.
Член второго порядка равен (учитываем сразу, что конфигурации с
K+ + K− = 0 выпадут при переходе к пределу R → ∞, так что останутся только конфигурации с K+ = −K− = K ):
∞
−
∗
F (2) − T1 ΔFK(+−) (r+∗ −r−
)
=
e
,
T
∗
∗ K=1
r+ =r−
(2.380)
134
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
где в экспоненте стоит энергия пары (2.366). Используя для нее аппроксимацию (2.369) и заменяя суммирование интегрированием, получаем (использовано еще обозначение (2.373))
−K
∞ ∞
2πrdr
1
F ( 2)
a
=N
−
ZK (r) 2 = N
2 /α0 − 1
T
d
a
K
k
K=1
K=1
∞
a
N
2
/α0
∞
(+−)
α0 − T1 ΔEкор
e
. (2.381)
2
K
K=1
Если выразить ZK (r) через нормированное вероятностное распределение PK (r) для расстояний частиц в паре
ZK (r) = cK PK (r); cK =
(+−)
α0 − T1 ΔEкор
e
,
2
K
(2.382)
то cK можно рассматривать как концентрацию пар с зарядами K , −
−K . Член (2.381) пропорционален cK и, таким образом, вклад пар (и
других квазимолекул, см. ниже) будет экспоненциально мал по 1/T ,
чего и следовало ожидать, ввиду того, что создание пар и других
квазимолекул требует конечной энергии.
Члены следующего порядка F (3) , учитывающие конфигурации из
трех вихрей, сводятся к вкладу трехчастичных квазимолекул. Более
сложную структуру имеют члены F (4) , учитывающие конфигурации из
четырех вихрей; здесь впервые появляются характерные для группового разложения вычитания. Именно, из статсуммы для четырех частиц
вычитаются произведения парных статсумм (2.381), соответствующие
возможным способам разбиения четырех частиц на пары. Исследование
полученных выражений показывают сходимость полного выражения
для F (4) , причем вклады происходят либо от конфигураций, где близки
все четыре частицы, либо от конфигураций, где они разбиты на две
близкие пары. При этом для конфигураций второго типа, если произвести сначала интегрирование по расстояниям частиц внутри пар, оставшийся интеграл по расстоянию между парами имеет такой же вид, как
интеграл, появляющийся в вириальном разложении Майера для двух
частиц с взаимодействием (2.377). Таким образом, разложение (2.378)
является ни чем иным, как разложением Майера по концентрациям
квазимолекул.
Разложение по концентрациям «вихревых квазимолекул» для
сверхтекучей свободной энергии. При наличии внешнего векторпотенциала Ae , описываемого внешними циркуляциями Kre∗ , выражение сверхтекучей свободной энергии может быть найдено из соотношения
§ 6. Поправки, связанные с вихрями
135
1
1
exp − ΔF (... , Kre∗ , ...) = exp − (F − F 0 )
...
T
T
{...,Kr∗ ,...}
1
0
exp − ΔFкв
(... , Kr∗ + Kre∗ , ...) + ΔFкор (... , Kr∗ + Kre∗ , ...) ,
T
(2.383)
где ΔFкв (K + K e ) дается (2.359). Аналогично (2.378), построим разложение по концентрациям вихрей в виде
ΔF (... , Kre∗ , ...) = ΔF 0 (... , Kre∗ , ...) + ΔF (1) (... , Kre∗ , ...) + ... (2.384)
Выражения для членов (2.384) получается так же, как и раньше,
сравнением разложений левой и правой частей (2.378), причем в правой
части надо еще разложить exp(−(F − F 0 )/T ), используя (2.378). При
проведении расчетов мы используем свойство периодичности (2.47),
которое, как уже отмечалось в § 4, непосредственно видно из (2.383),
так как изменение какого-либо из Kre∗ на целое число устраняется
соответствующей заменой переменной суммирования Kr∗ . В силу того,
что ΔF (... , Kre∗ , ...) не меняется при изменении Kre∗ на целые числа,
можно принять условие
1
(2.385)
|Kre∗ | ,
2
поскольку вычитанием или прибавлением целых чисел любое число
может быть приведено к этому интервалу. Фиксирование интервала
(2.385) важно для разложения (2.384), поскольку только при таком
условии главный член разложения будет соответствовать конфигурации
Kr∗ = 0. Разложение (2.384) можно переписать в следующем виде
0
(K e )/T ):
(разделив обе части (2.382) на exp(−ΔFкв
1
1
exp − ΔF (1) (K e ) + ΔF (2) (K e ) + ... = exp − (F (1) + F (2) + ...)
T
T
"
2 0 !
4π ρs
(Kre∗ + Kr∗ )(Kre∗ + Kr∗ ) − Kre∗ Kre∗ Gr∗ r∗ −
exp −
...
2T
r∗ r∗
{...,Kre∗ ,...}
"
1!
e
e
ΔFкор (... , Kr∗ + Kr∗ , ...) − ΔFкор (... , Kr∗ , ...) , (2.386)
−
T
где (при условии (2.385)) порядок члена суммы определяется числом
граней r∗ , в которых Kr∗ отличны от нуля (т. е. числом вихрей). Член
первого порядка в (2.384) равен
∞ 2π *
+
AR ΔF (1)
− F ( 1)
=
−
exp − ρ0s (K + Kre∗ )2 − (Kre∗ )2 log
T
T
r
0
K=1 r∗
(2.387)
и при R → ∞ стремится к нулю, поскольку при выполнении (2.385)
всегда (K + Kre∗ )2 − (Kre∗ )2 0 при целых K . Аналогично, в дальней-
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
136
ших членах разложения в пределе R → ∞ вклад будут давать только
конфигурации вихрей, для которых выполняется (2.365). Член второго
порядка из (2.384) (учитывающий пары) равен
∞ 2π 0 e
ΔF (2)
∗
∗
=
−
Kr∗ ΨK (r∗ |r+ , r− ) − 1 ×
exp − ρs
T
T
∗
∗
r
K=1 r+ =r−
∗
∗
∗
− r−
). (2.388)
× ZK (r+
Стоящая в экспоненте из (2.388) функция
∗
r ∗ − r r − r∗ ∗
∗
∗
−g −
=
ΨK (r∗ |r+
, r−
) = 2πK g +
a
a
∗
∗
(dk) ikr+∗ /a
= 2πK
e
− e−ikr− /a e−ikr /a
−Δ(k)
(2.389)
есть не что иное, как поперечный потенциал, созданный парой вихрей,
∗
∗
и r−
. Считая Kre∗ малыми, получаем из
расположенных в гранях r+
e
(2.388) квадратичный по Kr∗ член в виде
4π 2 (ρ0s )2 e e ΔF (2)
Ψ(r
=
K
K
|
+
−)Ψ(r
|
+
−)
,
∗
r
r
∗
∗
∗
T
2 T2 r
пары
r∗
∗
(2.390)
где обозначено
Ψ(r∗ | + −)Ψ(r∗ | + −)
=
−
пары
=
∞ K=1
∗ =r ∗
r+
−
∗
∗
∗
∗
∗
∗
ΨK (r∗ |r+
, r−
)ΨK (r∗ |r+
, r−
)ZK (r+
− r−
). (2.391)
Подставляя в (2.391) фурье-представления (2.389) и учитывая, что
∗
∗
∗
∗
∗
∗
eikr+ /a − e−ikr− /a eik r+ /a − e−ik r− /a ZK (r+
− r−
) −→
∗
∗
r+
r−
−→ 2δ(k + k ) Z
K (0) − Z
K (k) , (2.392)
R→∞
K (k) — фурье-образ ZK (r):
где Z
Z
K (k) =
∞
1 d2 2
2
eikr/a ZK (r)(dr) = cK 1 −
k
+
o(k
)
2 a2
(2.393)
a
(cK и d даются (2.382) и (2.374)) получаем для фурье-образа (2.391)
по разности r∗ − r∗ :
2
§ 6. Поправки, связанные с вихрями
137
∞
K (k))
2K 2 (Z
K (0) − Z
Ψ(k| + −)Ψ(−k| + −) = 4π 2
(Δ(k))2
K=1
4π 2 d 2 пар
,
k2
a2
(2.394)
где через d2 пар обозначен средний квадрат дипольного момента всех
пар на единицу объема
d 2 пар =
∞
cK K 2 d2 K =
K=1
∞
cK d 2 K .
(2.395)
K=1
Отметим еще одно представление для величины (2.395). Введем корреляционную функцию «плотности заряда» для пар. Именно, усредняя
(+−)
∗ ) для двух точек, получим
произведение Kr∗
= K(δr∗ r+∗ − δr∗ r−
(+−)
Kr(+−)
=
K
r∗
∗
∞
∗
∗
∗
∗
=
δr∗ r+∗ − δr∗ r−
ZK (r+
K 2 δr∗ r+∗ − δr∗ r−
− r−
)=
∗ =r ∗
K=1 r+
−
=2
∞
k=1
⎤
⎡
K2 ⎣
ZK (r∗ ) δr∗ r∗ − ZK (r∗ − r∗ )⎦ . (2.396)
r∗
Легко видеть, что фурье-образ (2.396) по r∗ − r∗ имеет вид
∞
!
"
2
(+−) (+−)
K (0) − Z
K (k) = d парн k 2 + o(k2 ).
Kk
K−k
=
2K 2 Z
a2
парн
K=1
(2.397)
Поэтому (2.395) может быть определено как коэффициент при k 2 в
длинноволновом разложении (2.397). Мы увидим, что это определение
обобщается на общий случай.
Из (2.390) и (2.394) следует, что добавка к сверхтекучей свободной
энергии, связанная с парами, имеет вид:
ΔF (2) (K e ) = −
1 (4π 2 ρ0s )2 d 2 парн e e
Kr∗ Kr∗ Gr∗ r∗ + o (K e )2 .
2
T
a2
r
∗
r∗
(2.398)
Выражение (2.398) соответствует тому, что при учете пар сверхтекучая
плотность заменяется на величину
4π 2 ρ0s d 2 парн
0
ρs
= ρs 1 −
(2.399)
.
T
a2
парн
Отметим, что поправка к ρs , происходящая от учета пар, имеет, ввиду
(2.395) и (2.382) экспоненциальный по 1/T порядок малости.
138
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Общее выражение для ρs с учетом всех поправок. Мы не будем
рассматривать дальнейшие члены разложения (2.384), а вместо этого покажем, что выражение (2.399) имеет общий характер, только
средний квадрат дипольного момента всех пар заменяется на средний
квадрат дипольного момента всех квазимолекул.
Считая Kre∗ малыми, получаем из (2.383) выражение квадратичного
по Kre∗ члена в выражении для сверхтекучей энергии в виде:
0
ΔFкв (K e ) = ΔFкв
(K e ) −
4π 2 (ρ0s )2 e e
D
Kr∗ Kr∗ ΨD
r∗ Ψr∗ ,
2T
r
∗
(2.400)
r∗
D
где ΨD
r∗ Ψr∗ есть среднее от произведения значений поперечного потенциала (2.148) в двух точках
D
2
ΨD
Gr∗ r1∗ Gr∗ r2∗ Kr1∗ Kr2∗ (2.401)
r∗ Ψr∗ = 4π
r1∗
r2∗
(имеется ввиду усреднение по распределению, соответствующему
(2.370)). Рассмотрим подробнее свойства среднего Kr1∗ Kr2∗ . Из того,
что для всех конфигураций должно выполнятся ограничение (2.365),
следует, что
Kr∗ Kr∗ =
Kr∗ Kr∗ = 0.
(2.402)
r∗
r∗
В силу (2.402) длинноволновое разложение фурье-образа Kk K−k должно начинаться с квадратичного по k 2 члена:
Kk K−k =
d 2 2
k + o(k 2 ),
a2
(2.403)
где d 2 /a2 — некоторая положительная величина. Используя определение фурье-образа, можно также написать
d 2 1 d2
1
|r∗ |2
∗ Kr ∗ +r =
K
K
=
−
K
.
k
−k
r
∗
0
0
2 dk 2
2 r
a2
a2
k=0
(2.404)
∗
Из (2.403) получаем, что фурье-образ (2.401) при малых k имеет вид:
D
2
ΨD
k Ψ−k ≈ 4π
d 2 1
, при k → 0,
a2 k 2
(2.405)
что ввиду (2.400) приводит к следующему выражению для ΔFкв (Kre∗ ):
ΔFкв (Kre∗ )
=
0
ΔFкв
(Kre∗ )
4π 2 0 2 d 2 1 e e
(ρ )
−
K K (dk).
2T s a2
k 2 k −k
(2.406)
§ 6. Поправки, связанные с вихрями
139
Таким образом, полная сверхтекучая энергия имеет вид (2.69b) со
значением сверхтекучей плотности ρs , равным
4π 2 ρ0s d 2 0
ρs = ρs 1 −
(2.407)
.
T
a2
Величина d 2 имеет смысл среднего квадрата дипольного момента
квазимолекул на единицу объема (вернее, площади, т. к. рассматриваемая система двумерна). Она имеет экспоненциальный порядок малости
по 1/T , откуда следует, что при достаточно низких температурах
ρs = 0.
Общее выражение для корреляций с учетом вклада вихрей. Рассмотрев влияние вклада вихрей на выражения сверхтекучей свободной
энергии, перейдем к рассмотрению этого вклада в асимптотики корреляций. Согласно (2.142), полные асимптотики корреляций получаются
усреднением по конфигурациям вихрей выражения Fn (ms , rs )||AD .
Выделив из этого выражения (т. е. из выражения (2.356) для Ae =
= AD ) в качестве сомножителя асимптотики корреляций для безвихревых конфигураций D0 (см.(2.289)), и обозначив через ΔL(ms |AD )
изменение L(ms , T ) вызванное AD , можем записать выражение для
полных асимптотик корреляций в виде
Fn (ms , rs ) = Fn (ms , rs )0 ×
n
n
ΔL(ms |AD )
i s=1 ms ϕ(r
s |AD )
×
e
e
s=1
,
(2.408)
вихри
где второй сомножитель есть среднее по конфигурациям вихрей (со
статистическим весом, даваемым слагаемыми из (2.370)). Для этих
средних можно построить разложение по концентрациям вихрей (которое окажется фактически разложением по концентрациям квазимолекул) вполне аналогичное (2.240). Мы уже рассматривали соответствующее разложение для свободной энергии (2.378) и сверхтекучей
свободной энергии (2.384), а теперь могли бы рассмотреть и такое
разложение для корреляций, что привело бы к выражениям типа
(2.251). Во всех предыдущих случаях, когда нам встречались такие
разложения, мы поступали по следующему плану: сначала рассматривался первый член разложения, а затем, после выяснения его характерных черт, рассматривалась общая структура выражений, к которым
приводит разложение во всех порядках. Теперь мы можем позволить
себе пропустить первый этап, поскольку свойства разложения уже
достаточно хорошо знакомы. Так, мы можем утверждать, что основной
вклад в асимптотики корреляций дадут конфигурации, в которых вихри (объединенные в квазимолекулы) находятся достаточно далеко от
точек rs , в которых вычисляются корреляции: конфигурации, где вихри
находятся близко от точек rs , существенны только для расчета полных
140
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
e
L(ms , T ). Далее, как уже отмечалось (см. (2.337)), функция ϕ(r|A
)в
e
e
первом порядке по A совпадает с продольным потенциалом ϕ для Ae ;
D
а так как вдали от вихрей ⊥ AD будет мало, то ϕ(r|A
) можно заменить
на значения продольного потенциала, связанного с AD , т. е. на ϕD
r .
Кроме того, сами ϕD
для
существенных
конфигураций
будут
малы,
и
r
в экспонентах, выражающих полные корреляции, можно ограничиться
только членами второго порядка по ϕD
r (члены высших порядков, как
мы уже не раз убеждались, дают вклад только в L(ms , T )). Все это
позволяет представить выражение асимптотик корреляций в следующем виде
Fn (ms , rs ) = Fn (ms , rs )0
n
eΔL(ms ,T ) ×
1 D D
× exp −
ms ms ϕrs ϕrs (2.409)
2 s s=1
s
и если не интересоваться точным видом полных L(ms , T ), то вычисление асимптотик корреляций сводится теперь к вычислению средних
D
ϕD
r ϕr по конфигурациям вихрей.
По поводу последнего пункта предыдущих рассуждений — именно
малости ϕD
r вдали от вихрей — надо, впрочем, сделать одно замечание.
Как мы уже отмечали, выражение для продольного потенциала ϕD
r
неоднозначно – переход к другому представителю того же класса D
изменяет ϕD
r на 2πnr , где nr — целочисленная функция. Это не меняет
усредняемых экспонент (т. к. exp(2πims nr ) = 1 для целых ms и nr ), но,
казалось бы, лишает смысла утверждения о малости ϕD
r . Однако, как
будет ниже показано, для данной компактной группы вихрей («квазимолекулы») среди всех эквивалентных выражений для ϕD
r , только одно
убывает на больших расстояниях от вихрей: вернее, для убывающих
выражений имеется одна общая асимптотика на больших расстояниях.
Именно средние от произведения значений этой асимптотики в двух
точках и входят в (2.409).
Таким образом, нам необходимо рассмотреть выражения соответствующие данному распределению вихрей Kr∗ . Прежде, чем переходить к рассмотрению аналитических выражений для ϕD
r , мы восполним
один пробел в предыдущих доказательствах, а именно, покажем, как
по данному распределению циркуляций Kr∗ можно построить хотя бы
один представитель класса D(... , Kr∗ , ...) (для граничных условий (А)
и (В) это окажется возможным только в случае выполнения условий
(2.128)); тем самым, будет показано, что в рассмотренных выше (и
ниже) формулах суммирование действительно должно идти по всем
без исключения допустимым ... , Kr∗ , .... Это доказательство будет
содержать также прямой способ построения nD
rδ по данным Kr∗ и
понадобится для нахождения явных выражений ϕD
r .
§ 6. Поправки, связанные с вихрями
141
Построение представителей класса D, соответствующих данному
распределению циркуляций. Мы должны по заданной функции Kr∗
на дуальной решетке построить такую целочисленную форму nrδ на
исходной решетке, чтобы циркуляции от нее по границам граней r∗
были равны Kr∗ . Рассмотрим сначала простейший пример, когда за∗ , т. е. соотданное распределение имеет вид Kr∗ = Kδr∗ r+∗ − Kδr∗ r−
ветствует паре вихрей интенсивностью +K и −K , расположенных в
∗
∗
∗
∗
гранях r+
и r−
. Проведем от r+
к r−
произвольный решеточный путь
по связям дуальной решетки; этот путь мы назовем «разрезом» (см.
рис. 6). Припишем теперь значение nrδ = +K на каждой связи rδ ,
+K
o
o
o
o
∗
r+
o
−K
∗
r−
Рис. 6. Построение представителя класса D для пары вихрей. Пунктир изобра∗
∗
к r−
, стрелки — соответствующие этому разрезу формы nD
жает разрез от r+
rδ
D
(для выделенных стрелками связей nD
rδ = K , для остальных nrδ = 0). +K , O
и −K –циркуляции от построенной формы nD
rδ по границам граней; ∗–центры
граней (узлы дуальной решетки).
∗
∗
пересекающей разрез справа налево (если идти по разрезу от r+
к r−
)и
nrδ = 0 для остальных связей (не пересекающих разреза). Построенная
форма nrδ изображена на рис. 6; из рисунка видно, что, действительно,
циркуляции от нее по границам граней имеют требуемые значения.
Ясно, что если провести разрез по другому пути, то построенная
по нему форма будет принадлежать тому же классу D, т. е. будет
эквивалентна изображенной на рис. 6.
Подобным же образом можно построить представитель nD
rδ для
класса D(... , Kr∗ , ...) с наперед заданными Kr∗ . Выберем произвольный узел r0∗ и соединим его разрезами со всеми узлами rj∗ , в которых
Krj∗ = Kj = 0. Для каждого разреза построим указанным выше спосо-
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
142
бом форму nrδ (т. е. связям, пересекающим разрез, идущий в точку rj∗ ,
n
(j)
(j)
приписываем nrδ = Kj ), а общую nD
rδ построим как сумму
j=1 nrδ .
Нетрудно видеть, что построенная таким образом форма nD
rδ действительно имеет заданные циркуляции Kr∗ для всех граней r∗ = r0∗ 15) .
∗
D
Только
Kr0∗ =
для грани r0 построенная выше nrδ имеет циркуляцию
Kr ∗ ,
= − r∗ Kr∗ ;. Поэтому, если Kr∗ не удовлетворяет условию
то точку r0∗ надо брать вне системы и разрезы должны пересекать
границу; но для условий (А) и(В) построенные nD
rδ тогда не будут
удовлетворять граничным условиям.
(j)
Вид функции ϕD
r на больших расстояниях от вихрей. Хотя выражения ϕD
r , соответствующие различным представителям класса, отличаются слагаемыми вида 2πnr∗ , для нейтральной квазимолекулы среди
этих выражений существует одно, характеризующееся тем, что оно
убывает на больших расстояниях от квазимолекулы. Это выражение
опять отвечает не одному какому-то представителю, а целой группе
их (именно, таких, что соответствующие им разрезы локализованы
вблизи квазимолекулы); но асимптотики ϕD
r на больших расстояниях
от квазимолекулы совпадают, для всех этих представителей, а только
эти асимптотики нам и нужны.
При нахождении этих асимптотик можно использовать непрерывное
описание, и из (2.149) следует, что в области вне разрезов асимптотика
ϕD
r должна удовлетворять уравнению Лапласа. Рассмотрим, например,
(±)
выражение асимптотики ϕr для пары вихрей (+K , r+ ; −K , r− ). Про(±)
ведем разрез от r+ к r− , тогда ϕr на больших расстояниях переходит
в функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа и испытывающую
на разрезе скачок, равный 2π . Такая функция может быть записана в
виде
∗
∗
ϕ(±)
= K θ(r − r+
) − θ(r − r−
) ,
(2.410)
r
где θ(r) — полярный угол, описывающий положение точки r в соответствующей полярной системе координат (т. е. r = |r|(cos θ(r), sin θ(r))).
Иными словами, если ∠(v , e) — угол между вектором v и единичным
вектором e, то ϕD
r = K∠(r − r+ , e) − K∠(r − r− , e) (это выражение
не зависит от направления e). Асимптотика (2.410) имеет место при
∗
∗
∗
∗
∗
∗
|r − r+
|, |r − r+
| a; если же |r − r+
|, |r − r−
| |r+
− r−
| (т. е. на
Приведем формальное доказательство. Построенная nD
rδ в силу самого
построения дуальна форме n∗D
r∗ δ∗ на дуальной решетке, определенной следующим образом: n∗D
r∗ δ∗ = Kj , если связь r∗ δ∗ принадлежит разрезу, идущему в
∗D
)r∗ = Kr∗ ;
точку rj∗ и n∗D
r∗ δ∗ = 0 для остальных связей. Очевидно, что (div n
но в силу дуальности дивергенции и ротора (см. (1.100)), на исходной решетке
это отвечает (rot n∗D )r∗ = Kr∗ , что и требовалось доказать.
15)
§ 6. Поправки, связанные с вихрями
143
расстояниях размера пары), (2.410) переходит в
ϕD
r ≈
|d | sin ∠(r − rср , d)
,
|r − rср |
(2.411)
∗
∗
∗
∗
где d = K(r+
− r−
) — дипольный момент пары, а rср = 1/2(r+
+ r−
)—
положение «центра тяжести» пары.
Для общих квазимолекул (2.410) обобщается следующим образом:
ϕD
r =
n
Kj θ(r − rj∗ ) =
Kr∗ θ(r − rj∗ )
(2.412)
r∗
j=1
(предполагается, что выполнено условие нейтральности (2.365), в противном случае (2.412) будет зависеть от направления единичного
вектора e, относительно которого отсчитываются углы; впрочем, для
граничных условий (С) можно применять (2.412) и при невыполнении
(2.365); зависимость от e соответствует при этом возможности поворота всех спинов на общий угол). Асимптотики ϕD
r на расстояниях много
больших размеров квазимолекулы по-прежнему даются выражением
(2.411), где под d надо понимать полный дипольный момент (2.375).
Выражение (2.411) удобно переписать в виде интеграла Фурье. Проще
всего это сделать, заметив, что (2.411) можно формально получить из
асимптотики (2.254), если заменить там вектор δ на вектор d⊥ (т. е.
вектор d, повернутый на 900 против часовой стрелки); действительно, при этом cos ∠(r, δ) из скалярного произведения (r, δ) перейдет в
sin ∠(r, δ) из (2.411), и эти выражения станут пропорциональны. Таким
образом из фурье-представления (2.255) получаем для (2.411):
2πi (k , d⊥ ) ik(r−rср∗ )/a
ϕD
≈
−
e
(dk).
(2.413)
r
a
k2
Общее выражение для показателя степени в асимптотиках корD
реляций. Вычисление среднего ϕD
r ϕr проще всего произвести используя (2.413). Учитывая, что вклады в ϕD
r отдельных квазимолекул
независимы, усредним произведение (2.413) для двух точек r и r по
∗
и используем то, что в силу равновероположениям квазимолекул rср
ятности направлений дипольных моментов квазимолекул будем иметь
k⊥ d)
= k2 d 2 .
(k d⊥ )(k d⊥ ) = (k⊥ d)(
Окончательно получаем поэтому
D
ϕD
r ϕr = 4π
2 eik(r−r )/a
(dk),
a2
k2
2 d
(2.414)
(2.415)
где d 2 /a2 для пар дается (2.395), а в общем случае, кроме определения, обобщающего (2.395), можно определять d 2 /a2 также посред-
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
144
ством (2.403). Для большей убедительности приведем более детальный
вывод (2.415). Для этого напишем, используя (2.412)
D
ϕD
θ(r − r1∗ )θ(r − r2∗ )Kr1∗ Kr2∗ .
(2.416)
r ϕr =
r1∗
r2∗
Выражение (2.416) можно переписать в эквивалентном виде
1
D
ϕD
r ϕr = ×
2
θ(r − r1∗ ) − θ(r − r2∗ ) θ(r − r1∗ ) − θ(r − r2∗ ) Kr1∗ Kr2∗ .
×
r1∗
r2∗
(2.417)
Эквивалентность (2.417) и (2.416) следует из (2.402). Введем переменные суммирования
∗
∗
r12
= r2∗ − r1∗ ; rср
=
1 ∗
(r + r2∗ )
2 1
и используя эквивалентное (2.413) представление
2πi (k⊥r12 ) ik(r−rср )/a
θ(r − r1∗ ) − θ(r − r2∗ ) ≈ −
e
(dk).
a
k2
(2.418)
(2.419)
Подставив (2.419) в (2.417) и учтя, что в силу (2.414) выполняется
−
1
∗ 2
Krср∗ Krср∗ +r12∗ (r12
, k) = d 2 ,
2 ∗
(2.420)
r12
получаем опять (2.415). Очевидно, (2.415) соответствует асимптотике
вида
−
n n
s=1 s =1
≈
D
ms ms ϕD
r s ϕr s ≈
n
4π 2 d 2 |rs − rs | 2 m
m
log
ms L2 (T ),
+
s s
2π a2
a
s=s
(2.421)
s=1
так что, если включить второе слагаемое справа в полные L(ms , T ),
получим окончательное выражение для асимптотик корреляций (2.230)
с показателем степени α(T ), равным
2
1
T
2 d α(T ) =
(2.422)
.
+ 4π
2π ρ0s (T )
a2
§ 7. Система спинов в слабом магнитном поле
145
§ 7. Система спинов в слабом магнитном поле
Показано, что свободная энергия и средний момент спинов в
слабом магнитном поле h имеют (при достаточно низких температурах) степенные особенности по h/J когда h → 0. Показатель
степени для свободной энергии есть 4/(4 − α) что = 1 + O(T ) при
T → 0; для момента этот показатель α/(4 − α), что при T → 0
будет O(T ). Восприимчивость при h → 0 бесконечна, как h/J
в степени −(4 − 2α)/(4 − α) = −1 + O(T ). Особенности имеют
место вплоть до температуры T1 , такой, что α(T1 ) = 2. Неизвестно,
больше или меньше эта температура критической температуры
Tкр , выше которой исчезают степенные асимптотики корреляций
и предыдущие рассмотрения вообще неприменимы; но если взять
взаимодействие с полем в виде hm cos mϕr с целым m, то исчезновение особенностей по hm /J будет иметь место при температуре
Tm , такой, что α(Tm ) = 2/m2 , наверняка попадающей в область
Tm < Tкр при достаточно больших m. При этом свободная энергия
исходной системы (в нулевом поле hm = 0) не имеет особенностей
при T = Tm ; это поддерживает заключение, что точка перехода
от бесконечной восприимчивости к конечной не соответствует
фазовому переходу, что следует также из принятого определения
фазового перехода (см. § 8).
Главные члены разложений свободной энергии, среднего момента
и восприимчивости при h/J → 0. Полученные выше выражения для
асимптотик корреляций позволяют найти вид свободной энергии в
слабом магнитном поле h (см. (2.22)). Как уже отмечалось, выражение
(2.83), соответствующее квадратичному приближению, неприменимо
в слабых полях, именно, при h J . Неприменимость квадратичного
приближения для вычисления ΔF (h) связана с незаконностью аппроксимации cos ϕr ≈ 1 − 12 ϕ2r : разлагать в ряд можно по малым разностям
соседних углов, но не по самим углам ϕr . Для вычисления ΔF (h)
в слабом поле надо использовать точное определение (2.22), которое
можно записать в виде
h
1
e− T ΔF (h) = e T cos ϕr ,
(2.423)
где усреднение идет по состоянию исходной системы (в нулевом внешнем поле h = 0). Формальное разложение по h дало бы
1
1
ΔF (h) = − χh2 + o(h2 ),
N
2
(2.424)
где χ равно
1 Tχ =
cos ϕr1 cos ϕr2 ≈
N r r
1
2
R→∞
cos ϕ0 cos ϕr 0
(dr)
.
a2
(2.425)
146
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Поскольку, как было установлено выше, асимптотика среднего
cos ϕ0 cos ϕr должна иметь вид
r −α(T )
cos ϕ0 cos ϕr ∼ ,
(2.426)
a
интеграл в (2.425) расходится при достаточно низких температурах,
именно, пока имеет место неравенство
α(T ) 2.
(2.427)
Расходимость (2.425) означает, что ΔF (h) должно иметь особенность
при h → 0. Поскольку при h = 0 средний момент = 0, т. е.
lim cos ϕ0 cos ϕr h = cos ϕ0 h cos ϕr h = m2h ,
|r|→∞
(2.428)
то переход от (2.426) к (2.428) должен происходить на расстояниях
порядка r = rh , где rh — радиус корреляции при h = 0, такой, что
rh → ∞ при h → 0. Интеграл в (2.425) будет обрезаться при R = rh ,
так что ΔF (h) ∼ h2 (rh )2−α .
Для определения вида особенности ΔF (h) при h → 0, рассмотрим
сначала систему больших, но конечных размеров R. Обозначим через
ΔF (h, R) изменение свободной энергии такой системы в поле h. Разложив (2.423) в ряд по h, можем представить величину exp(− T1 ΔF (h, R))
в виде ряда, общий член которого имеет вид
p1 +...+pn
1
h
1
...
... (cos ϕr1 )p1 ... (cos ϕrn )pn (2.429)
p1 ! pn !
T
|rs |<R
(суммы по r заменены интегралами). При малых h достаточно учесть
только «наиболее расходящиеся» члены ряда (2.429), именно, члены,
содержащие максимальную степень R при данной степени h = минимальную степень h при данной степени R. Легко видеть, что такими
членами являются члены (2.429) для значений
p1 = p2 = ... = pn = 1.
(2.430)
ps
Действительно, (cos ϕrs ) равен сумме линейной комбинации фурьеэкспонент exp(ims ϕrs ) со значениями ms , равными
ms = ps , ps − 2, ... , −(ps − 2), −ps .
(2.431)
Подынтегральное выражение в (2.429) представляется в виде суммы
интегралов от Fn (ms , rs ), где каждое из ms имеет какое-либо из значений (2.431). Сделав в этих интегралах замену переменных rs = Rrs и учтя свойство однородности корреляций (2.184), представим члены
(2.429) в виде суммы слагаемых, пропорциональных
p1 +...+pn
h
2n− 12 α n
m2s
s=
1
R
,
(2.432)
T
§ 7. Система спинов в слабом магнитном поле
147
где каждое ms пробегает значения (2.431). Исходя
n из последнего,
нетрудно произвести подсчет возможных значений s=1 m2s , но и без
такого подсчета видно, что члены (2.430) дают наименьшую степень
h при данной степени R (это верно при α = 0 и должно сохраниться
при достаточно малых α). Так как для членов (2.430) все ms = ±1, то
n
2
s=1 ms = n и слагаемые (2.429) пропорциональны
n
n 1
h
h
R2n− 2 αn
= R2−α/2
.
(2.433)
T
T
В силу этого, сумма вкладов в (2.423) от членов (2.430) имеет вид
n
∞
h
cn (α) R2−α/2
= f (α, x),
(2.434)
T
n=0
где для сокращения введено обозначение
h
x = R2−α/2 .
(2.435)
T
Итак, учет только «наиболее расходящихся» членов приводит к
представлению свободной энергии в виде
ΔF (h)
= f (α, x)
(2.436)
T
(функция f (α, x) в (2.436) есть логарифм f (α, x) из (2.434)). Из представления (2.436) видно, что обрезание интеграла в (2.425) должно
происходить на расстояниях rh ∼ h1/(2−α/2) , так что должно быть:
ΔF (h) ∼ h2 (rh )2−α ∼ h4/(4−α) . Более строго это можно вывести из
представления (2.436), если учесть, что при R → ∞ должен существовать предел
−
lim
R→∞
ΔF (R, h)
ΔF (R, h)
= −T Ψ(α, h),
= lim
2
2
N
→∞
N
πR /a
(2.437)
представляющий собой удельную свободную энергию (на один узел).
Из того, что, с одной стороны, должен существовать предел (2.437),
а, с другой стороны, имеет место (2.436), заключаем, что функция
f (α, x) в (2.436) должна быть степенной по x, и, соответственно,
функция Ψ(α, h) из (2.437) (т. е. удельная свободная энергия в слабом
магнитном поле h) при малых h должна иметь степенную особенность
по h. Действительно, заменив в (2.437) R на R = Rλ, где λ > 0 —
произвольно, получим
f (α, R2−α/2 h/T )
=
R →∞
πR2 /a2
f (α, R2−α/2 h/T λ2−α/2 )
= lim
= −T λ−2 Ψ(α, hλ2−α/2 ),
R→∞
λ2 πR2 /a2
− T Ψ(α, h) = lim
148
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
так что Ψ(α, h) удовлетворяет функциональному уравнению
Ψ(α, hλ2−α/2 ) = λ2 Ψ(α, h)
(2.438)
и должно иметь вид
2
2−α/
2
h
Ψ(α, h) = Ψ0 (α)
.
T
(2.439)
Выражению (2.439) соответствует зависимость среднего момента:
α
α
4−α
4−α
2
∂
h
h
(T Ψ(α, h)) =
mh =
Ψ0 (α)
= Ψ1 (α)
.
∂h
2 − α/2
T
T
(2.440)
Это выражение можно было бы также найти из представления для
средних
' imϕr ((R)
2
α
h
e
≈ R− 2 m fm (α, R2−α/2 ),
(2.441)
h
T
которое можно получить суммированием «наиболее расходящихся»
членов соответствующего ряда, аналогичного тому, как это делалось
выше для свободной энергии. Из представления (2.441) и требования,
что (2.441) должно иметь предел при R → ∞, получим для этого
предела, аналогично тому как получили (2.440):
'
imϕr
e
(
h
2
αm
h 4−α
= Ψm (α)
.
T
(2.442)
При m = 1 это совпадает с (2.440).
Коэффициенты Ψ0 (α) в (2.439), Ψ1 (α) в (2.440) и Ψm (α) в (2.442)
можно найти (в виде ряда по α), из требования, чтобы при условиях
α 1, но α(log h/J) 1,
(2.443)
(2.439), (2.440), и (2.442) переходили в соответствующие выражения,
даваемые квадратичным приближением § 2, ибо (2.443) есть область
применимости как (2.439)–(2.442), так и квадратичного приближения.
Так, (2.440) можно написать, при выполнении (2.443), в виде
mh = (Ψ1 (0) + αΨ1 (0) + ...)e 4−α log h/T =
1
h
α + ... (2.444)
= Ψ1 (0) + Ψ1 (0) + log
4
T
α
Из условия совпадения этого выражения с (2.86) находим:
α
α
T −5/ 2
T −5/2 −1 α−4
α
Ψ1 (α) = 1 + log
2
2
e
. (2.445)
− + ... =
4
J
4
J
§ 7. Система спинов в слабом магнитном поле
149
Запись Ψ1 (α) в виде степени, эквивалентная предыдущей с точностью
до o(α), удобна тем, что позволяет записать mh в виде
α
h 4−α
mh = C1
где C1 = 2−5/2 e−1 ,
(2.446)
J
а это представление более ясно обнаруживает, что в данном случае параметром разложения является не h/T , а h/J . Для свободной энергии
аналогично можно получить
2
1
h 2−α/2
ΔF (h) = −T C0
.
(2.447)
N
J
Из (2.446)–(2.447) получаем для восприимчивости χ в слабом поле
2α
− 44−−α
h
χ∼
→ ∞ при h → 0.
(2.448)
J
Отметим также, что из (2.442) можно получить асимптотическое
распределение направлений спина в случае слабого поля в виде
h
α
.
Pn (ϕ, r) = θ(ϕ|tn ) где tn = −
log C1
(2.449)
2 − α/2
J
Имеет ли свободная энергия системы особенность в точке перехода от бесконечной восприимчивости к конечной? Когда α > 2,
интеграл (2.425) сходится, и разложение свободной энергии при h → 0
имеет вид (2.424) (оценка (2.432) для порядка роста членов ряда
(2.429) при R → ∞ становится неверной, как только интегралы по (drs )
начинают сходиться). Таким образом, свободная энергия в слабом поле
h имеет вид
) 2
h 2−α
1 ΔF (h)
, при α < 2;
∼ J 2
−
(2.450)
h
T N
,
при
α
>
2
.
J
Однако не известно, осуществляется случай α > 2 или нет. Степенные
асимптотики корреляций имеют место только при температурах T < Tk
(см. ниже § 8) и показатель степени α(T ) изменяется от α(0) = 0
до α(Tk ). Не исключено, что α(Tk ) < 2 и тогда точка перехода от
бесконечной восприимчивости к конечной совпадает с точкой фазового
перехода Tk (при T > Tk восприимчивость конечна и ΔF (h) имеет вид
(2.424)). Но даже если такое совпадение имеет место, его следует рассматривать как случайное. Конечно, такому утверждению невозможно
придать точный смысл; но вот что служит для него основанием: вопервых, согласно принятому в настоящей работе критерию фазового
перехода (см. кратко § 1 гл. 1 и подробнее — ниже, в § 8) фазовый переход связывается с изменением числа состояний бесконечной
системы, т. е. хотя бы по одну сторону от точки фазового перехода
150
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
должна иметься величина, могущая принимать несколько возможных
равновесных значений (например, момент — несколько направлений,
или плотность — несколько значений и т.д.); ясно, что восприимчивость не может служить такой величиной, так как она принимает при
данной температуре только одно значение (конечное или бесконечное)
и переход от конечной восприимчивости к бесконечной (если он не сопровождается другими изменениями) не является фазовым переходом в
смысле принятого определения 16) . Во-вторых, мы можем рассмотреть
взаимодействие с полем более общего вида, взяв его в виде
ΔEhm = −hm
cos mϕr
(2.451)
r
(случай взаимодействия (2.22) соответствует m = 1). Рассмотрения,
полностью аналогичные проведенным выше, покажут, что главный
член разложения свободной энергии при hm /J → 0 имеет вид
) 2
h 2−αm2 /2
1 ΔF (hm )
, при α < 2/m2 ;
∼ J 2
−
(2.452)
h
2
T
N
,
при
α
>
2
/m
.
J
Таким образом, для взаимодействия с внешнем полем (2.451) переход
от бесконечной восприимчивости к конечной происходит при температуре Tm , для которой
2
α(Tm ) = 2 .
(2.453)
m
При достаточно больших m это температура обязательно попадет в
область Tm < Tk , так что будет иметь место (2.452); кроме того,
при еще больших m будут применимы низкотемпературные формулы,
полученные в § 5 и § 6 (т. к. Tm → 0 при m → ∞) и мы видим, что
при температурах Tm с достаточно большим m с одной стороны, имеет
место (2.452), а, с другой стороны, никаких особенностей в свободной
энергии для hm = 0 (т. е. в свободной энергии F (T ) исходной системы) в точке T = Tm нет. Не видно, почему это заключение должно
нарушаться при малых m.
Впрочем, случай m = 1 все же несколько выделен. Дело в том,
что при m 2 функция − cos mϕr , описывающая взаимодействие спина с внешним полем, будет иметь m минимумов, т. е. при m 2
— не один, а несколько эквивалентных минимумов. При достаточно
низких температурах система с hm = 0 будет иметь соответствующее
число состояний, в каждом из которых углы ϕr будут флуктуировать
вокруг одного минимума, т. е. будет иметь место спонтанное нарушение дискретной симметрии (связанной с поворотами всех спинов
16)
В первой из работ [1] (ЖЭТФ, 59 907 (1970)) автор аргументировал
необходимость фазового перехода необходимостью перехода от бесконечной
восприимчивости к конечной, т. е. разделял мнение, которое впоследствии
нашел ошибочным.
§ 8. Существование фазового перехода
151
на углы, кратные 2π/m — эта симметрия остается и при включении
поля (2.451)). Например, в поле −h2 cos 2ϕr минимумы будут при
ϕr = 0 и ϕr = π (предполагается h2 > 0) и фазовая диаграмма системы
будет аналогична фазовой диаграмме двумерной системы Изинга: при
низких температурах будет иметься две фазы (в которых вероятность
P (ϕ, r) вблизи одного минимума больше, чем вблизи другого), а при
некоторой температуре Tk (h2 ) система с h2 = 0 будет испытывать
фазовый переход второго рода (когда вероятности вблизи обоих минимумов сравниваются, и P (ϕ, r) становится симметрично относительно
ϕ → π − ϕ). Заметим, что при h2 → ∞ система в поле −h2 cos 2ϕr
вообще переходит в двумерный изинговый ферромагнетик (т. к. углы
ϕr при h2 = ∞ могут принимать только два значения: ϕr = 0 и ϕr = π )
и при h2 → ∞ температура Tk (h2 ) → ∞ к критической температуре
Изинговского магнетика.
При других m аналогичное соответствие имеет место между рассматриваемой системой в поле (2.451) и «m-значным Изингом», (когда
спин в узле может принимать m дискретных значений); но при m = 1
имеется только один минимум (при ϕr = 0), что отличает этот случай
от случаев m 2.
§ 8. Существование фазового перехода
Рассмотрено высокотемпературное разложение и на его основе
показано, что при достаточно высоких температурах имеет место
случай ρs = 0. Приведены аргументы, что температура Tk , при
которой сверхтекучая плотность ρ(Tk ) обращается в нуль, является критической точкой перехода второго рода. Именно, построена
система, дуальная исходной (эта дуальность обобщает известную
дуальность Крамерса-Ванье для задачи Изинга) и показано, что
переходу от ρs = 0 к ρs = 0 в исходной системе, соответствует в
дуальной системе переход, связанный со спонтанным нарушением
некоторой группы симметрии, присущей дуальной системе. Если
принять (в соответствии с обычными взглядами), что это есть
переход второго рода и ему соответствует типичная сингулярность
в свободной энергии, то тогда свободная энергия исходной системы, будет иметь при T = Tk такую же сингулярность, как
свободная энергия дуальной системы, т. е. типичную для фазовых
переходов второго рода. Далее показано, что свойства системы
при T < Tk соответствуют наличию в системе сверхтекучести.
Именно, показано, что при T < Tk можно построить состояния,
описывающие сверхтекучий поток в системе. Эти состояния не
являются полностью равновесными, но для перехода из них в
равновесное состояние надо преодолеть энергетический барьер,
так что они являются метастабильными состояниями.
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
152
Высокотемпературное разложение. Высокотемпературное разложение для рассматриваемой задачи может быть построено на основе
разложения множителей (2.117) в ряд Фурье по eimVrδ :
∞
Z(Vrδ ) =
imVrδ
Z(m)e
,
(2.454)
m=−∞
где Z(m)
— коэффициенты Фурье функции Z(Vrδ ), равные
Z(m)
=
π
−mV
Z(V )e
−π
dV
=
2π
π
e− T J(V ) e−imV
1
−π
dV
.
2π
(2.455)
При высоких температурах, когда J/T 1, имеем, разлагая (2.455) по
обратной температуре
1
1,
при m = 0;
Z(m) = δm,0 − Jm + o(J/T ) ≈
(2.456)
− T1 Jm , при m = 0.
T
Таким образом, члены с m = 0 малы по сравнению с Z(m)
при m = 0
0) Z(m
= 0) при T J.
Z(
(2.457)
Высокотемпературное разложение получается из представления (2.454)
точно так же, как низкотемпературное разложение в § 4 получалось
из представления (2.122). Именно, в (2.116) подставляется представление (2.454), тогда выражения для средних становятся равными сумме
членов, соответствующих различным способам выбора слагаемых из
(2.454) для каждой связи rδ . Как и в § 4, каждый определенный
способ выбора (и соответствующий ему член суммы) характеризуется
целочисленной формой mrδ , такой что
mrr = −mr r ; mr,δ = −mr+δ,−δ
(2.458)
и выражение для свободной энергии, например, запишется в виде
e− T F =
1
=
...
π
{...,mrδ ,...} −π
...
π rδ )eimrδ (ϕr+δ −ϕr )
Z(m
dϕ r
r
−π rδ
2π
,
(2.459)
где суммирование идет по всевозможным целочисленным формам. Выполним далее интегрирование по углам ϕr , учитывая, что интегрирование по данному ϕr дает множитель
1
2π
π
−π
e−i(
δ
mrδ )ϕr
= δ(div m)
r ,0 ,
(2.460)
§ 8. Существование фазового перехода
так что (2.459) преобразуется в виду
rδ ),
e−F/T =
...
Z(m
{...
,mrδ ,...}
{...,
153
(2.461)
rδ
mrδ =0,...}
т. е. сумма в (2.461) идет по всевозможным целочисленным формам
mrδ , удовлетворяющим условиям
(div m)
r=
mrδ = 0.
(2.462)
δ
Члены суммы (2.461) можно изображать диаграммами: каждую связь
rδ , для которой mrδ = 0 можно изображать как отрезок направленной
линии (проводника), несущей целочисленный «ток» m = mrδ ; при этом
сумма токов, сходящихся в каждом узле равна нулю в силу (2.462).
rδ ) для
Вклад каждой диаграммы равен произведению множителей Z(m
всех входящих в нее связей 17) .
При вычислении корреляций F(ms , rs ) условия (2.462) в точках
rs заменяются не условия
(div m)
rs =
m r s δ = ms ,
(2.463)
δ
которые на диаграммах можно изображать «внешними токами» величины ms , входящими в диаграммы в узлах rs . Для вычисления
корреляций F(ms , rs ) надо сумму вкладов от диаграмм с «внешними
токами» (2.463) поделить на суму вкладов диаграмм без внешних токов
(т. е. на (2.461)). Некоторые односвязные диаграммы для свободной
энергии и корреляций приведены на рис. 7 и 8.
Наконец, при вычислении сверхтекучей свободной энергии, т. е.
величины
1
exp(− (F + ΔF (Ae ))),
T
применима такая же диаграммная техника, как для свободной энергии
(т. е. для (2.461)), но только каждой связи, входящей в диаграмму,
rδ ) еще и дополнительный мносоответствует, e кроме множителя Z(m
житель eimrδ Arδ . Нетрудно видеть, что свойство (2.31), т. е. градиентная инвариантность сверхтекучей свободной энергии, обеспечивается
условиями (2.462).
Выражения для сверхтекучей свободной энергии и корреляций
при высоких температурах. Ввиду (2.456) и (2.457), каждая линия
диаграммы mrδ = 0 дает множитель порядка O(1/T ). Основной вклад
при высоких температурах дает «нулевая диаграмма», соответствую17)
Диаграммы, получающиеся друг из друга изменением направления некоторой линии с одновременным изменением знака mrδ на ней, соответствует
одному и тому же члену из (2.461) и не должны различаться.
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
154
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
m1
m
(0)
(m)
m
r∗
(0)
m
(0)
m
(0)
(0)
(0)
m 2 − m1
m2
(0)
(0) m
2
(m1 )
m1
(m2 )
(m2 )
m2
m2
m2
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(а)
m1
(0)
(б)
Рис. 7. Примеры диаграмм высокотемпературного разложения для свободной
энергии. Пунктиром обозначены связи, на которых mrδ = 0, жирными стрелками — связи, образующие диаграмму (соответствующие значения mrδ указаны
над связями диаграмм). В скобках, рядом с узлами обратной решетки ∗
указаны значения функции nr∗ в этих узлах (см. ниже).
(а)
(б)
m
m
m
m
r
r
m
r
m
m − m1
m
r
r
Рис. 8. Примеры диаграмм высокотемпературного разложения для двухточечной корреляции eim(ϕr −ϕr ) . Волнистые линии в узлах r и r обозначают
в r и
r соответственно,
«внешний ток» m, входящий и выходящий в диаграмму
и служащий для изображения условий δ mrδ = m и δ mr δ = m.
щая члену со всеми mrδ = 0; ее вклад эквивалентен равномерному
и независимому распределению всех углов ϕr по окружности. Поправки наинизшего порядка по 1/T соответствуют вкладам диаграмм,
содержащих наименьшее число линий. Последовательность вкладов
диаграмм с увеличивающимся числом линий и образует высокотемпературное разложение.
Рассмотрим выражение для сверхтекучей свободной энергии
ΔF (Ae ). Наименьшему порядку по 1/T соответствует диаграммы вида
(а) на рис. 7. Вклад одной такой диаграммы, соответствующей грани
§ 8. Существование фазового перехода
r∗ равен
155
4
e
1 e
exp im1
Ari δi ≈ 4
(Jm1 )4 e2πim1 Kr∗ .
T
m1 =0
m1 =0
r∗
(2.464)
Вычитая отсюда вклад при Aerδ = 0, соответствующий −F/T , получим:
∞
1
1 e
4
2πimKrρ∗
− ΔF (A ) = 4
(Jm ) e
−1
+ o(1/T 4 ).
T
T r
m=−∞
∗
(2.465)
Это выражение удовлетворяет всем необходимым требованиям (2.46) и
(2.47); при малых |Kre∗ | 1 оно переходит в
1)
Z(m
0)
Z(
ΔF (Ae ) =
1 e 2
Kr∗ ,
σ
2 r
(2.466)
∗
где величина σ равна
σ=
∞
1
2
4
π
(Jm )4 m2 + o(1/T 3 ).
T3
−∞
(2.467)
Таким образом, при высоких температурах имеет место случай ρs = 0
и все соответствующие ему формулы (2.72)–(2.74).
Нетрудно также получить выражение для корреляций при высоких температурах. Рассмотрим, например, двухточечную корреляцию
eim(ϕr −ϕr ) . Если точки r и r расположены на одной линии (например, горизонтальной), наименьший порядок по 1/T имеет диаграмма типа изображенной на рис. 8 а. Вклад ее пропорционален
0))n , где n = |r−r | — число связей на кратчайшем пути,
(Z(m)/
Z(
a
соединяющем точки r и r . Поэтому мы имеем
'
im(ϕr −ϕr )
e
(
|
|r−r
a
|r−r |
Z(m)
∼
∼ e−λm (T ) a ,
0)
Z(
(2.468)
где через λm обозначена величина
λm (T ) = log
Jm
Z(m)
≈ log
,
T
Z(0)
(2.469)
так что 1/λ2 (T ) есть радиус корреляции при высоких температурах.
Аргументы в пользу того, что точка обращения в нуль сверхтекучей плотности ρs (T ) соответствует фазовому переходу. Сравнение
предыдущих результатов с результатами § 6 показывает, что должна
156
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
существовать температура Tk , разделяющая области температур, при
которых имеют место случаи ρs = 0 и ρs = 0, т. е.
ρs (T ) = 0
ρs (T ) = 0
при T < Tk ,
при T > Tk .
(2.470)
Различие между случаями, когда ρs = 0 и ρs = 0 рассматривалось
в § 1. Возникает вопрос: можно ли на основании этих различий
рассматривать точку Tk как точку фазового перехода? И если да,
то каков характер этого перехода? (Напомним, что в предыдущем
параграфе мы пришли к заключению, что температура, при которой
бесконечная восприимчивость сменяется конечной, не соответствует
никакому фазовому переходу).
Для того, чтобы придать четкий смысл этому и подобным вопросам
надо прежде всего определить, что понимается под фазовым переходом.
Во введении (гл. 1, § 1) было кратко описано используемое нами определение, согласно которому фазовым переходам соответствуют такие
значения температуры и других параметров, при которых изменяется
число предельных состояний бесконечной системы. Мы займемся этим
определением чуть позже, в частности, разъясним, почему мы считаем
это определение наиболее адекватно отражающим суть дела, уточним
смысл этого определения и докажем сформулированное во введении
утверждение, что при T < Tk существует особый класс предельных
состояний бесконечной системы – «состояния со сверхтекучем потоком», тогда как при T > Tk предельное состояние бесконечной системы
единственно — из этого следует, что температура Tk является для
рассматриваемой двумерной системы точкой фазового перехода второго
рода (в смысле принятого определения). Однако прежде, чем переходить ко всему этому, мы хотим подойти к вопросу с несколько другой
стороны.
В этой связи отметим, что сам вопрос, в сущности, возник потому, что в известных случаях фазовых переходов второго рода (в
том числе и в трехмерном аналоге рассматриваемой системы) фазовый переход второго рода всегда связан с исчезновением спонтанного
нарушения некоторой симметрии — непрерывной (или как в системах
типа Изинга) дискретной. Поэтому наличие изменения, связанного с
исчезновением (или появлением) новых элементов симметрии принято считать характерным признаком фазового перехода второго рода.
Считается также, по аналогии с решением Онзагера для двумерного
Изинговского магнетика, что при критической температуре Tk , соответствующей такому переходу, свободная энергия системы должна иметь
сингулярность, вид которой типичен для широкого класса фазовых переходов второго рода. Отсутствие в рассматриваемой двумерной задаче
спонтанного нарушения симметрии и делает утверждение о наличии
фазового перехода необычным. Оказывается, однако, что фазовый переход при T = Tk в рассматриваемой системе можно все же связать со
§ 8. Существование фазового перехода
157
спонтанным нарушением симметрии в некоторой другой, связанной с
ней, системе.
Именно, ход наших рассуждений будет следующим: мы покажем,
что свободная энергия F (T ) рассматриваемой системы простым образом связана со свободной энергией некоторой другой, «дуальной»
системы, так что наличие особенностей в одной из них влечет и наличие соответствующей особенности в другой. (Как увидим, эта связь
является обобщением известной симметрии Крамерса-Ванье для задачи
Изинга). Далее мы покажем, что в дуальной системе на одном конце
температурной шкалы спонтанно нарушена некоторая (характерная для
дуальной системы) дискретная симметрия, а на другом конце температурной шкалы нарушение этой симметрии отсутствует. Значит в
дуальной системе имеет место фазовый переход второго рода, которому
соответствует особенность в свободной энергии дуальной системы,
типичная для фазовых переходов второго рода; в силу изложенной
выше связи, такая особенность должна иметь место и в свободной
энергии F (T ) исходной системы, и притом, как оказывается, как раз
при температуре Tk , определенной согласно (2.470). Это хотя и не
является строгим доказательством (поскольку ни вид особенностей,
типичных для фазовых переходов второго рода, ни само существование
строго не установлены), тем не менее, является сильным аргументом в
поддержку нашего утверждения.
Затем вопрос будет рассмотрен вновь, на основе принятого определения фазовых переходов.
Система, дуальная к системе вихрей («целочисленный Изинг») и
фазовый переход к ней. Рассмотрим выражение (2.370) для свободной энергии и пренебрежем сначала эффективным взаимодействием
Fкор (Kr∗ ), оставив под экспонентой в (2.370) лишь первый член. Это
даст
1 2
− T1 (F −F0 )
e
=
...
exp −β∗
4π Kr∗ Kr∗ Gr∗ r∗ , (2.471)
2 r
{...,Kr∗ ,...}
∗
r∗
где введено обозначение для эффективной обратной температуры
1 0
(2.472)
ρ (T ).
T s
Представим теперь слагаемые в (2.471) с помощью гауссовского интеграла типа (2.162) в виде
1 2
exp −β∗
4π Kr∗ Kr∗ Gr∗ r∗ = N (β∗ )×
2 r
r
β∗ = β∗ (T ) =
∞
×
∞
...
−∞
−∞
∗
∗
e− 2β∗
1
rδ (Ψr∗ +δ∗ −Ψr∗ )
2
e2πi
r∗
Kr ∗ Ψ r ∗
dΨr ∗
r∗
2π
,
(2.473)
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
158
N (β∗ ) — нормировочный множитель. Подставляя (2.473) в (2.471),
меняя порядок суммирования по Kr∗ и интегрирования и учитывая,
также тождество (2.99), то есть
∞
∞
Ψ r∗
=
e2πiΨr∗ Kr∗ = δпер
δ(Ψr∗ − nr∗ ),
(2.474)
2π
n =−∞
Kr∗ =−∞
r∗
получаем для свободной энергии выражение:
1
exp − (F − F 0 ) = N (β∗ )×
T
∞
∞
Ψ dΨ
2 1
r∗
r∗
×
. (2.475)
...
e− 2β∗ rδ (Ψr∗ +δ∗ −Ψr∗ )
δпер
2
π
2
π
r
r
−∞
∗
−∞
∗
Выполняя затем интегрирование по dΨr∗ в (2.475) с помощью представления, стоящего в правой части (2.474), получаем
− 1 2
1
0
exp − (F − F ) = N (β∗ )
...
e 2β∗ r∗ δ∗ (nr∗ +δ∗ −nr∗ ) ,
T
{...,nr∗ ,...}
(2.476)
где суммирование идет по всевозможным целочисленным nr∗ . Иными
словами, вычисление свободной энергии сводится формулой (2.476)
к вычислению свободной энергии системы, которую мы назовем «эквивалентный целочисленный Изинг», и которая представляет собой
двумерную решетку, в каждом узле которой r∗ расположен «спин» nr∗ ,
принимающий всевозможные целочисленные значения
nr∗ = 0, ±1, ±2, ...
(2.477)
причем энергия выражается через nr∗ по формуле
1
1 E(... , nr∗ , ...) =
(nr∗ +δ∗ − nr∗ )2 = −
nr∗ nr∗ Δr∗ r∗ ,
2
2 r
r∗ δ∗
∗
r∗
(2.478)
а роль температуры играет величина (2.472).
Для сверхтекучей свободной энергии, выраженной через внешние
циркуляции Kre∗ аналогичным образом получаем
2
− 1 e
... e 2β∗ r∗ δ∗ (nr∗ +δ∗ −nr∗ ) e2πi r∗ Kr∗ nr∗
e− T ΔF (K
1
e
)
=
{...,nr∗ ,...}
...
e− 2β∗
1
r∗ δ∗ (nr∗ +δ∗ −nr∗ )
2
. (2.479)
{...,nr∗ ,...}
Иными словами, величина exp(− T1 ΔF (K e )) равна среднему по
состояниям «эквивалентного целочисленного Изинга» от величины
§ 8. Существование фазового перехода
exp(2πi
159
Kr∗ nr∗ ), т. е. корреляции в «целочисленном Изинге»:
1
exp − ΔF (K e ) = exp(2πi
Kre∗ nr∗ )
.
(2.480)
T
экв.цел.Изинг
r
r∗
∗
Итак, свободная энергия исходной системы выражается через свободную энергию «эквивалентного целочисленного Изинга», а сверхтекучая
свободная энергия — через корреляции в нем.
Коснемся еще вопроса о граничных условиях для «эквивалентного
целочисленного Изинга». Так как (см. сноску на стр. 84) в (2.471)
стоит функция Грина Gr∗ r∗ для нулевых граничных условий, в (2.476)
и (2.479) конфигурации nr∗ удовлетворяют граничным условиям
nr∗ =0
(2.481)
r∗ ∈Γ∗
на границе дуальной решетки.
Если отвлечься от граничных условий (2.481), энергия (2.478) инвариантна относительно преобразований
nr∗ → nr∗ + n
(2.482)
с произвольным целочисленным n. Граничные условия (2.481) нарушают эту инвариантность, выделяя значение nr∗ = 0. Пусть теперь
размеры решетки неограниченно возрастают. Возможны два случая:
1) В пределе R → ∞ влияние граничных условий пропадает и предельные распределения для спинов nr∗ инвариантны относительно преобразований (2.482);
2) в пределе R → ∞ вероятностные распределения значений спинов
nr∗ не инвариантны относительно (2.482), т. е. выделенность
значений nr∗ = 0 сохраняется.
Второй случай соответствует спонтанному нарушению симметрии относительно преобразования (2.482), первый — отсутствию такого спонтанного нарушения симметрии.
Покажем, что при малых β∗ (т. е. при высоких температурах исходной системы) имеет место случай 2), т. е. спонтанное нарушение
симметрии, а при больших β∗ (низкие температуры исходной системы)
— случай 1), т. е. отсутствие спонтанного нарушения симметрии. Наше
доказательство будет основано на рассмотрении двух видов разложений, соответствующих случаям β∗ 1 и β∗ 1, и фактически совпадающих с рассмотренным выше высокотемпературным разложением
для исходной задачи и разложением по концентрации вихрей в § 6 (см.
(2.378), (2.384)).
При малых β∗ 1 основной вклад в (2.476) и (2.479) дает конфигурация nr∗ = 0. Другие конфигурации отделены от нее энергетической
щелью и дают вклады порядка O(exp(− β1∗ Δ)), где Δ — целые числа.
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
160
Если расположить члены суммы по nr∗ в (2.476) и (2.479) по числу
узлов r∗ , в которых nr∗ = 0, то получатся разложения неоднократно
рассматривавшегося типа, где порядок членов соответствует числу
спинов nr∗ , отличных от нуля. При учете членов, соответствующих
отклонению nr∗ от нуля не более чем в одном узле, получаем для
величины (2.479)
2πiKre∗ n −(4/β∗ )n2
1+ e
+ ...
e
r∗
n=0 e
e2πi r∗ Kr∗ nr∗ =
=
4
2
1 + r∗ n=0 e− β∗ n + ...
2
4
e
(e2πiKr∗ n − 1)e− β∗ n + ... (2.483)
=1+
r∗
n=0
что, в связи с (2.480) полностью соответствует (2.465) и (2.466). В
частности, из (2.483) видим, что при β∗ 1 для функций распределения спинов nr∗ , определенных как (R — размеры системы):
Pr(R) (ns , rs∗ ) = (вероятность того, что nrs∗ = ns )
(2.484)
существуют конечные пределы при R → ∞. Например, для вероятностного распределения P (n, r) значений произвольного спина nr∗ ,
расположенного вдали от границ, получим в пределе R → ∞:
1/2
dK e e−2πK
P (n, r∗ ) = P (n) =
e
n
e
e2πiK nr∗ ≈
−1/ 2
− 4 m2 2
4
+ (1 − δn,0 )e− β∗ n . (2.485)
≈ δn,0 1 −
e β∗
m=0
При больших β∗ надо использовать исходное представление (2.471) и
основной вклад дает конфигурация Kr∗ = 0, а поправки соответствуют
разложению по числу узлов, в которых Kr∗ = 0, т. е. разложение при
β∗ 1 есть рассмотренное в § 6 разложение по концентрациям вихрей,
так что мы получаем (из (2.480)):
1/2
P
(R)
(n, r∗ ) =
dK e e−2πiK n e2πiK
e
e
nr∗
− 2β
∼e
n2
∗ log R/a
,
(2.486)
−1/ 2
где введено обозначение
1
4π 2 d 2 ρs (T ) = β∗ 1 − β∗
.
(2.487)
T
a
Согласно (2.486), распределение значений спина nr∗ имеет при β∗ 1
гауссоподобный вид (отличие от гауссова распределения состоит в том,
что переменная n принимает только целочисленные значения), причем
β∗ =
§ 8. Существование фазового перехода
161
«дисперсия» β ∗ log R/a при R → ∞ стремится к бесконечности, т. е.
распределение (2.486) при R → ∞ неограниченно расплывается по
множеству целых чисел, так что
lim P (R) (n, r∗ ) = 0.
R→∞
(2.488)
Очевидно, (2.488) отвечает тому, что в пределе R → ∞ имеется симметрия относительно (2.482). Аналогично, рассмотрение двухточечной
функции распределения при β∗ 1 дало бы
1 (n − n )2 P (n, r∗ ; n , r∗ ) ∼ exp −
,
(2.489)
∗|
2β ∗ log |r∗ −r
a
так что при |r∗ − r∗ | → ∞ корреляция между спинами nr∗ и nr∗
исчезает, тогда как в случае β∗ 1 из (2.483) получили бы
lim
|r∗ −r∗ |→∞
P (n, r∗ ; n , r∗ ) = P (n)P (n ).
(2.490)
Итак, мы видим, что различие между видом сверхтекучей свободной
энергии при ρs = 0 и ρs = 0 соответствует для эквивалентного целочисленного Изинга различию между отсутствием спонтанного нарушения
симметрии (2.482) и наличием такого спонтанного нарушения симметрии. Поэтому переход, при котором ρs (T ) обращается в нуль, чему
соответствует обращение в нуль величины (2.487), для эквивалентного
Изинга связан с переходом между наличием и отсутствием спонтанного нарушения симметрии, и должен рассматриваться как фазовый
переход второго рода. Отсюда, как указывалось, заключаем, что и для
исходной системы переход этот будет фазовым переходом второго рода, поскольку свободные энергии исходной системы и эквивалентного
целочисленного Изинга связаны так, что наличие особенности в одной
из них влечет наличие особенности и в другой.
Система, точно дуальная исходной (в смысле Крамерса—Ванье), и
фазовый переход в ней. Переход от системы вихрей к эквивалентному
целочисленному Изингу был осуществлен при пренебрежении членом
Fкор (Kre∗ ) в эффективной энергии взаимодействия вихрей. Легко показать, что пренебрежение короткодействующей частью взаимодействия
не влияет на полученные выше заключения. Вместо этого, мы рассмотрим вопрос заново и покажем, как, исходя непосредственно из
формулировки задачи и минуя промежуточный этап, заключавшийся
в сведении исходной системы к системе вихрей, можно свести свободную энергию исходной системы к свободной энергии «дуальной»
системы, отличающейся от «эквивалентного целочисленного Изинга»
только несущественным (с точки зрения полученных выше заключений) изменением выражения для энергии. Это сведение можно рассматривать как обобщение известного преобразования Крамерса-Ванье
для двумерной системы Изинга (см., например, [55]).
6 В. Л. Березинский
162
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Исходным пунктом является полученное выше представление
(2.461) для свободной энергии. Суммирование в (2.461) проводится
по целочисленным формам mrδ , удовлетворяющим условиям (2.462).
Но теорема 2 из § 3 гл. 1 утверждает, что такие формы могут быть
представлены через некоторую функцию nr∗ на дуальной решетке по
формуле (1.103), т. е. в виде
mrδ = dδ∗ nr∗ = nr∗ +δ∗ − nr∗ .
(2.491)
Нетрудно видеть, что функция nr∗ может быть выбрана целочисленной. На диаграммах, изображенных на рис. 7 вблизи узлов дуальной
решетки в скобках указаны соответствующие этой диаграмме значения
функции nr∗ ; из этого становится более ясным принцип построения
функции nr∗ для любой диаграммы и возможность выбрать для нее
целочисленные значения.
Таким образом, суммирование по mrδ в (2.461) может быть заменено на суммирование по nr∗ , и (2.461) представится в виде
1
r∗ +δ∗ − nr∗ ).
Z(n
e− T F =
...
(2.492)
{...,nr∗ ,...} r∗ δ∗
Формула (2.492) сводит свободную энергию исходной системы к свободной энергии дуальной системы, представляющей собой тот же эквивалентный целочисленный Изинг, и отличающейся от него только тем,
что показатель Гиббсовской экспоненты заменен на выражение
r∗ +δ∗ − nr∗ ),
log Z(n
(2.493)
r∗ δ∗
которое, кстати, при T /J 1 в точности переходит в соответствующее
выражение для (2.478), ввиду того, что при T /J 1
1
T
m2 T
≈−
.
log Z(m)
≈ log 1 − m2
2
J
2 J
(2.494)
Далее, нетрудно видеть, что для построенной дуальной системы имеет
место соотношение (2.480), т. е. сверхтекучая свободная энергия исходной системы выражается через корреляции в дуальной. Поэтому различие выражений ΔF (K e ) при ρs = 0 и ρs = 0 для исходной системы,
означает для дуальной системы различие между свойствами функций
распределения в случае наличия и отсутствия симметрии относительно
(2.482), откуда следуют те же выводы, что и выше.
Действительно, выражение для сверхтекучей свободной энергии
rδ ) на
ΔF (Ae ) отличается от (2.459) заменой множителей Z(m
rδ )eimrδ Aerδ . При переходе от суммирования по mrδ к суммироZ(m
e
ванию по nr∗ , согласно (2.491), дополнительный множитель eimrδ Arδ
§ 8. Существование фазового перехода
163
принимает вид
exp i
mrδ Aerδ = exp i
(rot Ae )r∗ nr∗ = exp 2πi
Kre∗ nr∗ ,
r∗
rδ
r∗
(2.495)
использовано легко проверяемое тождество
Aerδ (nr∗ +δ∗ − nr∗ ) =
Aer∗ δ∗ nr∗ =
(rot Ae )r∗ nr∗ . (2.496)
rδ
r∗
r∗
δ∗
В силу (2.495) получаем для сверхтекучей свободной энергии:
e
1
r∗ +δ∗ − nr∗ ) e2πi r∗ Kre∗ nr∗ =
e− T ΔF (A ) = eF/T
...
Z(n
{...,nr∗ ,...}
r∗ δ∗
= exp 2πi
Kre∗ nr∗
r∗
дуальн. система
,
(2.497)
то есть точно такую же связь, какую мы имели в отношении приближенной дуальной системы — «эквивалентного целочисленного Изинга»
(см. (2.480)): выражение сверхтекучей свободной энергии исходной сиKre∗ совпадает с выражением циркустемы через внешние
циркуляции
e
ляций exp 2πi r∗ Kr∗ nr∗ в дуальной системе. Поэтому, аналогично
тому как (2.489) и (2.490) следовало из (2.480), из (2.497) следует,
что случаю ρs = 0 в исходной системе соответствует в дуальной системе спонтанное нарушение симметрии относительно преобразований
(2.482), а случаю ρs = 0 — отсутствие такого спонтанного нарушения
симметрии. В самом деле:
• если имеет место (2.70), то в дуальной системе
2
2σ
2πiK(nr∗ −nr∗ )
1
2
lim
e
= e− T K .
∗
∗
|r1 −r2 |→∞
(2.498)
В (2.497) положено Kr∗ = K(δr∗ r1∗ − δr∗ r2∗ ) и использовано
(2.74b);
• если имеет место (2.66), то из (2.497) и (2.69b) получим:
r1∗ −r ∗
4π 2 ρs
2
2
2πiK(nr∗ −nr∗ )
1
2
e
≈ e− T K g( a ) ≈
∗
2πρs 2
r − r2∗ − T K
≈ 1
→ 0. (2.499)
a Различие между (2.498) и (2.499) соответствует различию между
(2.490) и (2.489) и означает: (2.498) — наличие, а (2.499) — отсутствие
спонтанного нарушения симметрии относительно (2.482).
6*
164
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Итак, без всяких допущений, вполне строго доказано, что переход
от случая ρs = 0 к случаю ρs = 0 в исходной системе, если он имеет
место, влечет за собой в дуальной системе переход, связанный со
спонтанным нарушением симметрии относительно (2.482). То, что в
исходной системе при достаточно высоких температурах действительно
имеет место случай ρs = 0, вряд ли может вызвать сомнения, но
доказательство того, что при достаточно низких температурах ρs = 0
получено только на основе низкотемпературного разложения и может
показаться не вполне убедительным. Конечно, было бы отнюдь не лишним получить строгое доказательство этого иным путем, или хотя бы
оценить остаточный член в низкотемпературном разложении, но, хотя
автору и не удалось это сделать, можно привести соображения в пользу
того, что к результатам, полученным на основе низкотемпературного
разложения, следует относиться с доверием.
Действительно, при T = 0 будет ρs = J . Если бы при T = 0 было
ρs = 0, то это означало бы неперестановочность предельных переходов
T → 0 и k → 0 для ρs (k 2 , T ). Обратно, перестановочность предельных
переходов
lim lim ρs (k 2 , T ) = lim lim ρs (k 2 , T )
(2.500)
k→0 T →0
T →0 k→0
означала бы, что при достаточно низких температурах ρs = 0. Нами
было получено низкотемпературное разложение по T при фиксированном k = 0:
ρs (k 2 , T ) = J + ρ(s1) (k 2 , T ) + ρ(s2) (k 2 , T ) + ...
(2.501)
(каждый последующий член при T → 0 более высокого порядка, чем
предыдущий). В случае неперестановочности пределов (2.501) существовала бы характерная длина 1/k0 (T ), где k0 (T ) → 0 при T → 0,
такая, что поведение ρs (k 2 , T ) при малых T и k 2 существенно различно
при k 2 k02 (T ) и k 2 k02 (T ), именно было бы ρs (k 2 , T ) ≈ J при k 2 k02 (T ) и ρs (k 2 , T ) ≈ 0 при k 2 k02 (T ). В этом случае, однако, члены
разложения (2.501) обязательно были бы сингулярными функциями
Jk2
от k 2 при k 2 → 0. (Например, для функции вида ρs (k 2 , T ) = k2 +k
2 (T )
0
(простейшее выражение, приводящие к неперестановочности пределов
(2.501)) разложение типа (2.501) имело бы вид:
k 2 (T ) k 4 (T )
ρs (k 2 , T ) = J 1 − 0 2 + 0 4 − ... .
k
k
Так как члены полученного нами разложения (2.501) имеют конечные
(m)
(m)
пределы limk→0 ρs (k 2 , T ) = ρs (T ), то заключаем, что перестановочность пределов (2.500) имеет место, и ρs (T ) = 0 при достаточно низких
температурах.
Существование при T < Tk метастабильных «состояний со сверхтекучим потоком». Как уже отмечалось во введении (гл. 1, § 1),
свойство ρs = 0, и соответствующий ему вид функции корреляции
§ 8. Существование фазового перехода
165
токов (2.68) физически соответствуют наличию сверхтекучести в бозежидкостной интерпретации (или магнитной жесткости для плоских
магнетиков). Так как, однако, на эксперименте признаком сверхтекучести служат явления, связанные с возбуждением сверхтекучего потока
в системе, то необходимо показать, что в рассматриваемом случае
такие явления также должны иметь место при T < Tk . Трудности,
с которыми мы при этом столкнемся, будут связаны с тем, что в
этой работе вопрос рассматривается в рамках равновесной статистики,
тогда как состояния со сверхтекучим потоком представляют собой
метастабильные состояния, хотя и с большим (макроскопическим)
временем жизни, и могут быть строго рассмотрены только в рамках
физической кинетики. Известно, что из распределения Гиббса в термодинамическом пределе R → ∞ автоматически выпадают все состояния
с конечным временем жизни, и остаются только состояния полного
термодинамического равновесия. Мы покажем, однако, что в рамках
равновесной статистики все-таки можно, хотя и приближенно и не
вполне четко, ввести некоторым паллиативным путем метастабильные состояния, ограничив суммирование в статсумме конфигурациями
определенного вида: хотя вклад выделенных конфигураций в полную
статсумму и несущественен в пределе R → ∞, но переход из этих
конфигураций в другие (с меньшей энергией) связан с преодолением энергетического барьера и поэтому маловероятен; в приближении,
когда вероятность такого перехода равна нулю, выделенные конфигурации можно рассматривать отдельно, и определить для них статсумму
и средние. Приближенность такого подхода проявляется в том, что
границы области выделенных конфигураций определяются с некоторой
нечеткостью; строгая трактовка вопроса, видимо, возможна только в
рамках физической кинетики 18) .
В этой связи отметим, что даже строгое определение полностью
равновесных состояний было разработано сравнительно недавно, на
основе понятия «гиббсовских предельных состояний бесконечной системы» (см. обзор [40]). Это определение (оно нам ниже понадобится) вкратце таково. Рассмотрим расширяющуюся последовательность
конечных систем Ωn с граничными контурами Γn ⊂ Γn+1 , так что в
пределе n → ∞ системы Ωn охватывают все точки решетки:
... , Ωn ⊂ Ωn+1 , ... , Γn внутри Γn+1 , ... , lim Ωn = (вся решетка).
n→∞
(2.502)
18)
Наличие метастабильных состояний все же проявляется в свойствах
асимптотик корреляционных функций, так что не исключено, что понятия,
связанные с метастабильными состояниями, можно каким-то образом ввести
и в рамках равновесной статистики (например, с помощью аналитического
продолжения по каким-либо переменным и т.д.). В настоящее время этот
вопрос совершенно не разработан.
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
166
При заданных температуре и гамильтониане системы распределение
внутренних спинов внутри Ωn полностью определяется заданием распределения Pn (ϕrn ) граничных спинов (на Γn ). Пусть теперь последовательность (2.502) дополнена последовательностью граничных распределений Pn (ϕrn ); тем самым такой последовательности сопоставлена
последовательность состояний конечных систем Ωn . Если при этом
корреляционные функции для любого конечного набора точек стремятся при n → ∞ (т. е. при безграничном расширении системы) к
определенным пределам, то это предельные корреляционные функции
и определяют «гиббсовское предельное состояние бесконечной системы». Иными словами, гиббсовские предельные состояния определяются как предельные состояния для последовательностей расширяющихся конечных систем вида (2.502), снабженных соответствующей
последовательностью граничных условий. В принципе возможны два
случая: либо имеется единственное предельное состояние (для любой
последовательности граничных условий — в дальнейшем г.у. — предельные корреляции совпадают), либо существуют последовательности
г.у., приводящие к различным предельным состояниям. Первый случай
можно назвать «однофазным», а второй – «многофазным». Например, в
системе изинговских спинов выше критической температуры Tk имеет
место однофазный случай, а ниже Tk — многофазный (в двумерной
системе множество предельных состояний ниже Tk состоит из двух состояний со спинами «вверх» и «вниз», а также из средних взвешенных,
в трехмерной системе к ним добавляются состояния, описывающие
плоскую переходную границу между двумя полупространствами, в одном из которых спины направлены «вверх», а в другом — «вниз») 19) . В
19)
Множество предельных состояний можно также определить как множество решений некоторой бесконечной системы уравнений. Рассмотрим последовательность типа (2.502) и определим величины Zn (ϕr ) как статсуммы бесконечной системы по состояниям всех спинов, лежащих вне Γn , выраженные в
виде функционала от граничной конфигурации ϕr (и деленные для нормировки
на полную статсумму). Согласно (2.188) имеем:
Zn (ϕΓn ) = Zn,n+1 (ϕΓn |ϕΓn+1 )Zn+1 (ϕΓn+1 )dϕΓn+1 ,
(*)
причем Zn,n+1 (ϕΓn |ϕΓn+1 ) определяются только температурой и гамильтонианом системы. Последовательность Zn (ϕΓn ), очевидно, может служить для
однозначного задания состояния бесконечной системы. Обратно, каждому
неотрицательному решению бесконечной системы уравнений (*) соответствует,
как легко показать, предельное гиббсовское состояние. В многофазном случае все решения (*) представляются в виде среднего взвешенного некоторых
«неразложимых» состояний:
Zn (ϕΓn ) = Zn(α) (ϕΓn )P (α)dα.
(**)
(α)
Состояния Zn (ϕΓn ) можно связать с точками так называемой «границы
Мартина» для некоторого марковского блуждания (см. [57], [58]). Уравнения
§ 8. Существование фазового перехода
167
трехмерном варианте рассматриваемой системы плоских спинов ниже
Tk имеется непрерывное множество предельных состояний ...ϕ , параметризуемое углом ϕ, указывающим направление спонтанного момента
в этом состоянии, а также их средние взвешенные типа
π
... =
...ϕ P (ϕ)dϕ.
−π
Во всех рассмотренных выше примерах критическая точка совпадает с точкой перехода между однофазным (при T > Tk ) и многофазным
(при T < Tk ) случаями. Весьма естественным выглядит предположение, что все критические точки связаны с таким переходом (или,
в более общем случае, вообще с изменением множества предельных
гиббсовских состояний). Однако, как раз в рассматриваемой нами
двумерной системе, как увидим, однофазный случай имеет место как
при t > Tk , так и при t < Tk . Отметим, впрочем, следующие обстоятельства: (а) в дуальной системе соответствующей критической точке
соответствует переход между однофазным и многофазным случаями
(многофазному случаю соответствует отсутствие симметрии относительно (2.482)); (б) не исключено, что в рассматриваемой двумерной
системе при t < Tk также имеет место многофазный случай, если
обобщить определение множества предельных состояний, рассматривая
все (а не только неотрицательные) решения системы ∗ из сноски 19.
Так или иначе, этот вопрос остается открытым.
Переходя к вопросу о состояниях, описывающих сверхтекучий поток в системе, мы начнем с попытки построить их как гиббсовские состояния системы, отвечающие определенным типам граничных условий
(г.у.). Построение в § 5 и § 6 состояние, корреляции в котором даются
(2.230), соответствовало однородным г.у. (А), (В), (С). Из них наиболее
удобны для обобщения г.у. (В), которые можно записать в виде ϕrгр =
= 0. Более общие г.у., должны, очевидно, состоять в закреплении
углов ϕrгр при направлениях, меняющихся от точки к точке. Если это
направление меняется вдоль границы достаточно медленно, то можно
s (rгр ), описывающий положения граничных спиввести полный угол ϕ
нов. Точную формулировку соответствующих г.у. можно записать так:
+
*
ϕs (rгр ) = Геом ϕ
s (rгр ), sin ϕ
s (rгр )}.
(2.503)
s (rгр ) ; sr = {cos ϕ
s (rгр ) есть достаточно медленно меняющаяся функция
Здесь ϕ
ϕ
s (rгр + δгр ) − ϕ
s (rгр ) < ε,
(2.504)
принимающая значения в интервале −∞, +∞ и имеющая смысл полного угла (из (2.504), в частности, следует, что полный набег угла при
(*) будут уравнениями «гармонических функций» для этого блуждания, а (**)
– «представлением Мартина» для них.
168
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
обходе границы равен нулю). Под Геом[ϕ]
в (2.503) подразумевается
геометрический угол, соответствующий полному углу ϕ
, т. е. полный
угол ϕ
, приведенный к интервалу −π , π вычитанием целого кратного
2π . При переходе от суммирования по исходным углам ϕr к суммированию по полным углам ϕ
r , как это делалось в § 4, в случае с г.у. вида
(2.503) оказывается, что для полных углов ϕrгр надо учесть не только
г.у.
ϕ
rгр = ϕ
s (rгр ),
(2.505)
но и всевозможные г.у. вида
ϕ
rгр = ϕ
s (rгр ) + 2πn(rгр ),
(2.506)
где n(rгр ) — произвольная целочисленная функция граничной точки.
Это достаточно очевидно в рамках наглядного подхода (действительно,
все г.у. вида (2.506) для полных углов приводят к одной и той же
конфигурации (2.503) для исходных углов ϕrгр ), но это можно также
вывести и из формального преобразования статсуммы, описанного в
конце § 4: наряду с представлением (2.122) для множителей, соответствующих внутренним связям, надо использовать представление в виде
суммы для множителей
∞
δпер (ϕrгр − ϕ
s (rгр )) =
δ(ϕrгр − ϕ
s (rгр ) − 2πn),
(2.507)
n=−∞
введение которых под статсумму эквивалентно г.у. (2.503). Учет слагаемых из (2.507) в построениях § 4 оказывается эквивалентным учету
вихрей, расположенных на границе дуальной решетки, что, в свою
очередь, эквивалентно учету разрывов граничных значений полного
угла: циркуляции граничных вихрей как раз равны деленным на 2π
скачкам ϕ
rгр на соответствующей связи rгр δгр . Учет всевозможных
граничных конфигураций с такими скачками, очевидно, эквивалентен
учету всевозможных г.у. (2.506).
Конечно, учет конфигураций полных углов с г.у. (2.506) необходим
и для нулевых г.у. (В) (в § 4 необходимость особого рассмотрения
граничных узлов была несколько смазана), но для г.у. (В) энергии
конфигураций с n(rгр ) = 0 (т. е. с разрывами граничной функции)
отделены от энергии конфигураций с n(rгр ) = 0 конечной энергетической щелью. Последние дают только экспоненциально малый вклад
при T J («граничные вихри», т. е. разрывы вдоль границы и не
отличаются в этом отношении от внутренних вихрей). Однако при
некоторых типах г.у. (2.503) наинизшая энергия соответствует как раз
конфигурациям полных углов с г.у. (2.506), соответствующими n(rгр ) =
= 0. Рассмотрим для простоты случай совсем низких температур, когда
применимо основное приближение, и энергия конфигураций выражается формой
1
J
(ϕ
r+δ − ϕ
r )2 .
2
rδ
§ 8. Существование фазового перехода
169
Переход от неоднородных г.у. (2.506) для полных углов к нулевым г.у.
осуществляется сдвигом полных углов ϕ
r на ϕ(r):
ϕ
r = ϕ
r + ϕ(r).
(2.508)
ϕ
r
Здесь
— новые переменные интегрирования, а ϕ(r) — функция,
дающая минимум энергии при данных г.у., т. е. решение уравнения
Лапласа
Δrr ϕ(r ) = 0,
(2.509)
r
принимающее на границе заданные граничные значения
ϕs (rгр ) = ϕ
s (rгр ); в общем случае ϕs (rгр ) = ϕ
s (rгр ) + 2πn(rгр ).
(2.510)
В силу (2.508) и (2.506) углы ϕr принимают на границе нулевые
значения, а в силу (2.510) энергия конфигураций, выраженная через
ϕ
r отличается от ее выражения через ϕ
r слагаемым
2
1 1
ΔE = J
ϕ(r + δ) − ϕ(r) → J (∇ϕ)2 (dn),
(2.511)
2
2
rδ
r и являющимся минимальной энергией конфигуране зависящим от ϕ
ций при заданных г.у.. Поэтому корреляции при г.у. (2.506) получаются
из корреляций для нулевых г.у. умножением последних (корреляций
для нулевых г.у.) на множители
n
eimk ϕ(rk ) .
(2.512)
k=1
Рассмотрим в качестве примера г.у., определяемые функцией
ϕs (rгр ) = (vs · rгр ),
(2.513)
где vs — постоянный вектор достаточно малой величины |vs |a 1. Соответствующее (2.513) решение задачи Дирихле (2.509)–(2.510) равно
ϕs (r) = (vs · r)
(2.514)
(для случая n(rгр ) = 0). При этом множители (2.512) имеют вид
n
eimk (vs ·rk ) ,
(2.515)
k=1
а сдвиг энергии (2.511) равен (vs = |vs |):
1 2
Jv × (площадь системы).
(2.516)
2 s
Рассмотрим, с другой стороны, конфигурации, соответствующие г.у.
(2.506), где n(rгр ) выбрано так, чтобы выполнялось
ΔEs =
|ϕ
n (rгр )| = |ϕ
s (rгр ) − 2πn(rгр )| π.
(2.517)
170
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
Для г.у., задаваемых функцией (2.513) граничное значение (2.517)
представляет собой пилообразную функцию, испытывающую в определенных точках границы скачки от π до −π , а в промежутках между
скачками меняющуюся от −π до π . Нетрудно показать, что решение
задачи Дирихле (2.509)–(2.510) с такой граничной функцией есть
функция ϕn (r), затухающая при удалении точки r от границ вглубь
системы, так что вдали от границ
ϕn (r) ≈ 0.
(2.518)
В силу этого, соответствующая (2.517) энергия (2.511) будет расти при
увеличении размеров системы пропорционально длине границы (т. е.
будет O(R)), когда как энергия (2.516) соответствующая г.у. (2.513) с
n(rгр ) = 0, растет как площадь, т. е. O(R2 ). Ясно, что при достаточно
больших размерах системы конфигурации с г.у. (2.517) будут иметь
меньшую энергию, чем конфигурации (2.514) и, более того, все конфигурации с г.у. (2.506), для которых не выполняется (2.518) в пределе
бесконечных размеров системы, вообще не дадут вклада в статсумму
и корреляции. Так как в пределе R → ∞ существенны лишь конфигурации, для которых выполняется (2.518), а для них множители (2.512)
обращаются в единицу, то в рассматриваемой системе при любых,
сколь угодно низких температурах (и тем более высоких) корреляции
в пределе R → ∞ не зависят от граничных условий, т. е. имеет место
однофазный случай.
Рассмотрим, однако, вопрос с другой стороны. Предположим, что в
начальный момент система находится в состоянии, описываемом конфигурацией полных углов, отвечающей таким г.у. (2.506), для которых
отлична от нуля внутри системы величина
vs (r) = ∇ϕs (r).
(2.519)
Например, в состоянии с г.у. (2.513) и минимальной функцией (2.514).
Спросим себя: каким образом система могла бы непрерывно перейти
из этого состояния в энергетически более выгодное состояние, соответствующее г.у., для которых выполняется (2.518), например, г.у.
(2.517)? Как уже говорилось, г.у. (2.517) можно получить из г.у. (2.505)
введением разрывов (скачков) функции ϕ(r
гр ), которые интерпретируются как вихри, расположенные на границе. Непрерывный переход
от состояний с vs = 0 к состояниям с vs = 0 возможен только путем
рождения внутри системы пары близко расположенных вихрей (или
другой квазимолекулы), после чего вихри, составляющие квазимолекулу, начинают удаляться друг от друга к противоположным границам
системы (вихри с K > 0 отправляются к участкам границы, где ϕ(r
гр )
возрастает в положительном направлении обхода границы, а вихри с
K < 0 — к участкам, где ϕ(r
гр ) убывает). Когда на границе высадится
достаточное количество вихрей, они редуцируют г.у. к условиям типа
(2.517), т. е. сведут сверхтекучую скорость (2.519) внутри системы к
нулю.
§ 8. Существование фазового перехода
171
Для того, чтобы рассмотреть энергии промежуточных состояний,
через которые должна пройти система при описанном выше переходе
от состояний с vs = 0 к состояниям с vs = 0, надо получить выражение
для энергии вихревой квазимолекулы при г.у., для которых vs = 0. Проще всего этосделать в основном приближении. Выполнив в выражении
2
энергии 12 J rδ (dδ ϕ
r + AD
rδ ) ту же подстановку (2.508), сведем его к
такому же выражению через ϕ
r
, плюс сдвиг энергии (2.511), плюс дополнительный член ΔE s,D = J rδ AD
rδ dδ ϕ(r), представляющий собой
искомую энергию взаимодействия вихревой квазимолекулы со сверхтекучим потоком. Этот член, как нетрудно видеть, преобразуется к виду
vs⊥ ) = 2πJ|d|vs sin(d0
ΔE s,D = 2πJ(d⊥vs ) = 2πJ(d
vs ),
где d — «дипольный момент квазимолекулы» (2.375), а vs — сверхтекучая скорость (2.519) в месте нахождения квазимолекулы. Это очевидно
для простейшей квазимолекулы — пары соседних вихрей, когда AD
rδ
отлично от нуля (и равно 2πK ) только на связи rδ , разделяющей
грани
r∗ и r∗ + δ∗ , в которых расположены вихри, так что из сумD
мы
rδ dδ ϕs (r) остается только один член, равный 2πKJdδ ϕ(r) =
⊥ , поскольку d = K δ∗ = K d⊥ . Используя представление AD
= 2πJ(Vs d)
rδ
в виде суммы по разрезам, нетрудно распространить этот результат на
общую квазимолекулу.
Аналогичную формулу для энергии взаимодействия вихревой квазимолекулы со сверхтекучим потоком можно получить и при учете
полного вклада всех безвихревых конфигураций, при этом только J
заменится на ρs (T ). Приведем краткий вывод соответствующих формул
для полного безвихревого приближения. Используя построения § 6
(стр. 117-127) нетрудно видеть, что изменение корреляций в полном
безвихревом приближении по-прежнему дается множителями (2.512),
где ϕ(r) есть теперь функция, удовлетворяющая уравнению
div js (r) = div(ρ0s ∇ϕs + j (4) (r)∇ϕ) = ρ0s Δϕs + div j (4) (∇ϕ) = 0
(2.520)
при соответствующих г.у. (2.510). Через js(r) обозначен полный ток
(2.334), т. е. js (r) = ρ0s ∇ϕ + j (4) (∇ϕ). Изменение свободной энергии
относительно нулевых г.у. равно
1 0
2
ΔEs = ρs (∇ϕs ) (dr) + F (4) (∇ϕs )(dr),
(2.521)
2
т. е. минимуму функционала L(ϕs , 0, 0) (см. (2.329)) на функциях,
удовлетворяющих данным г.у. (этот минимум достигается как раз на
решении уравнения (2.520)). В частности, функции (2.514) всегда являются решениями уравнения (2.520). Энергия взаимодействия вихрей
со сверхтекучим потоком равна
(s,D)
D (s)
D (r)js (r)(dr)
ΔE
=
Arδ j rδ → A
(2.522)
rδ
172
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
(приведены как дискретное, так и непрерывное представления). Используя уравнение (2.520) можем представить js (r) в виде
4
1
2 3
js (r) = j (s) (r), j (s) (r) = ∂Ψs (r) ; − ∂Ψs (r) ,
1
2
∂x2
∂x1
(2.523)
где Ψs (r) — некоторая функция, которую мы назовем «функцией тока».
(В дискретном формализме надо использовать соответствующее (2.520)
(s)
уравнение div j (s) = δ jrδ = 0, в силу которого можно по теореме 2 из
(s)
(s)
§ 3 главы 1, представить jrδ в виде jrδ = dδ∗ Ψs (r∗ ), что представляет
собой аналог (2.523)). Отметим, что для достаточно малых vs = |vs |,
когда js ≈ ρ0svs и уравнение (2.520) сводится к уравнению Лапласа,
функция тока Ψs (r) есть ни что иное, как функция, гармонически
сопряженная к ϕs (r). В частности, функции (2.514) при этом соответствует функция тока Ψs (r) = (vs⊥ · r). Подставляя (2.523) в (2.522) и
интегрируя по частям, а также учитывая, что
KrD∗ =
∂AD
1
1 ∂AD
1
2
rot AD →
−
,
2π
2π ∂x2
∂x1
(2.524)
получаем для энергии взаимодействия вихрей со сверхтекучим потоком
выражение
(s)
ΔE (s,D) = −2π
KrD∗ Ψr∗ → −2π K D (r)Ψs (r)(dr)
(2.525)
r∗
(в дискретном формализме надо использовать тождество (2.496), эквивалентное интегрированию по частям). Выражение
(2.525) удобно
преобразовать. Для этого учтем, что, в силу r∗ KrD∗ = 0, можно представить K D (r) в виде дивергенции K D (r) = − div P D (r) (из уравнения
ΔΨD = −2πK D видно, что P D (r) = 21π ∇ΨD , но это для нас сейчас
не существенно). Если рассматривать K D (r) как аналог плотности
заряда, то P D (r) будет аналогом вектора поляризации, т. е. дипольным
моментом квазимолекул на одну ячейку. Подставляя K D = − div P D в
(2.525) и интегрируя по частям, преобразуем (2.525) к виду
ΔE (s,D) = −2π P D (r)∇Ψs (dr);
учитывая далее, что в силу (2.523) ∇Ψs = −js⊥ , получим окончательно
⊥
(s,D)
D
ΔE
= 2π js · P (dr) = 2π js · P D⊥ (dr) =
= 2π js (r)P D sin(js , P D )(dr). (2.526)
§ 8. Существование фазового перехода
173
0
Для достаточно
D v s имеем Djs ≈ ρsvs и (2.526) можно записать
малых
0 в виде 2πρs vs (r) P sin(vs , P )(dr). В частности, для отдельной
квазимолекулы получаем при малых vs :
d sin(vs , d).
ΔE (s,D) ≈ 2πρ0s vs (2.527)
Рассмотрим в качестве простейшего случая энергию пары вихрей с
циркуляциями K = ±1 в сверхтекучем потоке с vs a 1. Прежде всего,
между vs и d такова,
из (2.527) видим, что зависимость от угла (vs , d)
что энергия взаимодействия минимальна при
= 900 ; sin(vs , d)
= 0.
vs ⊥ d, (vs , d)
(2.528)
Это вполне естественно, т. к. квазимолекула при этом стремится расположиться так, чтобы скачок фазы на 2π происходил в направлении
возрастания фазы (т. е. в направлении vs = ∇ϕs ). Пусть теперь квазимолекула повернулась в наиболее выгодное положение (2.528); рассмотрим, как зависит ее энергия от расстояния r между образующими
ее вихрями. Полная энергия равна
r
(+−) − 2πρ0s vs r
ΔEs(+−) = 2πρ0s log + ΔEкор
(2.529)
a
(первое слагаемое есть энергия пары (2.366) при vs = 0). Примерный
вид функции (2.529) изображен на рис. 9. Энергия пары возрастает при
−1
(+−)
(+−)
a r 1/vs от ΔEкор − 2πρ0s vs a до ΔEкор + 2πρ0s log evs a и затем
начинает убывать, стремясь к −∞ при неограниченном возрастании r.
Энергия пары становится отрицательной при расстоянии rc , определя(+−)
ΔEs
r0
a
1/vs
r
Рис. 9. Зависимость энергии взаимодействия вихревой пары со сверхтекучим
потоком от расстояния между компонентами пары.
174
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
емом уравнением
rc =
(+−)
1
rc ΔEкор .
log +
vs
a
2πρ0s a
Асимптотическое решение (2.530) при vs a 1 имеет вид
1
1
1
1
1
log
+ log log
+ ... ≈
.
rc =
log
vs
vs a
vs a
vs
vs a
(2.530)
(2.531)
Таким образом, энергетически выгодно создание пары вихрей на расстоянии r rs и дальнейшее увеличение этого расстояния — в полном
соответствии с описанным выше механизмом разрушения сверхтекучего состояния. Однако, поскольку непрерывный переход возможен
только путем создания пары сначала на малом расстоянии или путем
разрушения уже существовавших компактных квазимолекул, (до того,
как в системе был возбужден сверхтекучий поток), при этом, как видно
из рис. 9, необходимо пройти через конфигурации с высокой энергией,
именно, преодолеть энергетический барьер высоты ΔE ≈ 2πρ0s log vs1a
и ширины Δr = rc ≈ v1s log vs1a . Ясно, что при кинетическом рассмотрении вероятность такого перехода была бы очень мала, и состояния
со сверхтекучим потоком должны иметь очень большое время жизни,
стремящееся к бесконечности. Лучшее, что мы можем сделать в рамках
равновесной статистики — это ограничиться при вычислении статсуммы и корреляций только конфигурациями полных углов, соответствующими г.у. (2.505) и конфигурациями, отличающимися от них наличием
квазимолекул в размерами rc . Это, очевидно, эквивалентно приближению, в котором время перехода из выделенных конфигураций в
другие считается бесконечным (в этом случае выделение конфигурации
можно было бы рассматривать совершенно отдельно от остальных).
Заметим, что при vs = 0 выделенные конфигурации включают в себя
все конфигурации, дающие существенный вклад в статсумму и средние
и описывают состояние, совпадающее с равновесным. Состояние же
с vs = 0 получается из состояния, соответствующего нулевым г.у. (и
совпадающего, фактически, с полностью равновесным состоянием) однозначным преобразованием (2.508). Поэтому корреляции в состоянии
с vs = 0 отличаются от равновесных корреляций (2.230) множителями
(2.512), энтропия совпадает с энтропией равновесных состояний, так
что все изменение свободной энергии (2.521) должно быть отнесено за
счет изменения энергии, т. е. плотность энергии εs при vs = 0 связана
с плотностью энергии ε0 при vs = 0 соотношением
1 0 2
1
ρs vs + F4 (vs ) ≈ ρ0s vs2 .
2
2
Для энтропии, выраженной не через T , но через ε, получаем
εs =
s(ε) = s0 (ε − εs ) ≈ s0 (ε) −
1 0 2
ρ v .
2T s s
(2.532)
(2.533)
§ 8. Существование фазового перехода
175
Отметим, что эти выводы безусловно справедливы только без учета
малых вихревых квазимолекул. При учете их вклада множитель перед
корреляциями изменяется (но все же отличен от единицы: к единице
он сводится только при учете сколь угодно больших квазимолекул,
не входящих по определению в выделенные конфигурации). В (2.521)
учет малых квазимолекул приведет к замене ρ0s на полную ρs , даваемую (2.232), но не ясно, можно ли так же поступать в отношении
(2.532) и (2.533) (именно, неясно, будет ли таким образом правильно
учтена энтропия, связанная с ориентацией квазимолекул относительно
сверхтекучей скорости vs ). Автор пока не выяснил этот вопрос.
В заключение остановимся еще на физическом смысле функции
ϕs (r), описывающей состояния со сверхтекучим потоком. Эта функция
может быть интерпретирована следующим образом:
(а) как среднее значение полного угла в состоянии со сверхтекучим
потоком ...s . Это определение нуждается в пояснении: одноточечная корреляция в состоянии ...s должна иметь вид
eimϕr s = eimϕs (r) e−αm
2
log
AR
a
eL(m,T ) ,
(2.534)
что соответствует распределению полного угла вокруг среднего
ϕs (r) с дисперсией O(log AR
a ) и конечными остальными моментами (четвертым и выше) при R → ∞. Из-за того, что дисперсия
O(log AR
a ), распределение полных углов расплывается при R → ∞
по действительной оси −∞ < ϕ
r < ∞, но среднее стремится при
R → ∞ к вполне определенному пределу ϕs (r), который может,
таким образом, рассматриваться и при R = ∞ как «среднее по
бесконечно-расплывшемуся распределению»;
(б) в силу (2.508), ϕs (r) может быть интерпретирована как функция,
описывающая преобразование локальной группы, действием которого на состояние с vs = 0 может быть получено данное состояние
со сверхтекучим потоком;
(в) наконец, если считать более непосредственно измеряемой величиной не ϕs (r), но распределение сверхтекучей скорости vs (r), то
по данному распределению величины vs (r) = ∇ϕs функция ϕs (r)
может быть однозначно восстановлена с точностью до аддитивной
константы. Иными словами, ϕs (r) можно определять как потенциал сверхтекучей скорости vs (r).
176
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
§ 9. «Тонкие» системы (пленки, прутки)
Рассмотрен характер статистического распределения направлений
спинов в трехмерных системах, размеры которых в различных
измерениях сильно различаются.
Мы коснемся еще одного вопроса — о применимости полученных
результатов к «тонким» системам (пленкам, пруткам), размеры которых
в одном из измерений значительно больше или меньше, чем в других
двух. Большинства рассмотрений § 1, § 2, § 4 и § 5 применимо
непосредственно к трехмерным системам, и из них следует, что при
низких температурах асимптотики корреляций могут быть найдены из
выражений
n n
T ' i m s ϕr (
s
e s
= exp −
ms ms Grs rs ,
(2.535)
2J
s=1 s =1
где Grr — функция Грина дискретного уравнения Лапласа на соответствующей трехмерной решетке и с соответствующими граничными
условиями. При макроскопических размерах решетки во всех трех
измерениях асимптотика этой функции Грина дается выражением
r − r + ϕ(r, r ),
Grr = g3
(2.536)
a
где ϕ(r, r ) — регулярная часть функции Грина обычного дифференциального уравнения Лапласа
для данной формы области и данных
граничных условий, а g3 ar определяется интегралом
r eikr/a
=
(d3k)
g3
(2.537)
a
−Δ3 (k)
(интеграл берется по ячейке трехмерной обратной решетки |ki | < π ).
Функция (2.537) имеет следующие свойства 20) :
r
1
1 a
≈
g3 (0) = · 1.5163 ... = −0.2527 ... ; g
при |r| a (2.538)
6
a
4T |r|
Когда размеры системы R имеют одинаковый порядок во всех измерениях, ϕ(r, r ) = R1 ϕ(r/R, r /R) ∼ R1 → 0 при R → ∞ и из (2.535)
и (2.536) следует, что для бесконечной трехмерной системы углы ϕr
распределены вокруг некоторого направления ϕr = 0 (соответствующего направлению спонтанного момента системы) с дисперсией TJ g3 (0);
именно, распределение угла ϕr при T J имеет вид
T
T
−1/2 − 2T gJ (0) ϕ2
3
P (∞) (ϕ, r) = θ ϕ g3 (0) ≈ 2π g3 (0)
e
,
(2.539)
J
J
20)
См. [49], § 26 и задача 11 в гл. 2. Функция G(0, x) из [49] есть − G1 g3 (x)
в наших обозначениях.
§ 9. «Тонкие» системы (пленки, прутки)
177
а для многоточечных функций распределения можно получить
n n
J P (∞) (ϕ1 , r1 , ... , ϕn , rn ) ∼ exp −
ϕs ϕs Css ,
(2.540)
2T
s=1 s =1
где Css — матрица, обратная матрице g3 (0) + 4π|rsa−r | .
s
Рассмотрим теперь систему больших a, но конечных размеров,
которые могут быть и сильно различны в разных измерениях. Одноточечная корреляция имеет вид
' imϕr (
2
2
T
T
e
= e− J m g3 (0) e− J m ϕrr .
(2.541)
Если ввести функцию
P
(ϕ, r) =
∞
m=−∞
eimϕ e− J m
T
2
ϕ(r ,r)
T
= θ ϕ ϕ(r, r) ,
J
(2.542)
то (2.541) соответствует представлению
dϕ
P (ϕ, r) = P
(ϕ, r)P ∞ (ϕ − ϕ) .
(2.543)
2π
Для n точек r1 , ... , rn , расположенных на расстояниях много меньших
наименьшего размера системы Rmin (но много больших чем a) можно
получить
dϕ
Pn (ϕs , rs ) = P
(ϕ, r)Pn∞ (ϕs − ϕ, rs ) ,
(2.544)
2π
где r — некоторое среднее положение точек rs .
Это соответствует следующей картине: если Rmin — наименьший
размер системы, то внутри участков размеров Rmin (но a) спины
распределены вокруг некоторого общего направления ϕ так же, как
спины в бесконечной трехмерной системе вокруг направления спонтанного момента; само же направление ϕ распределено по закону (2.542).
При этом P
(ϕ, r) согласно (2.542) зависит от геометрии системы и
граничных условий через ϕ(r, r), т. е. может быть найдено чисто
макроскопически. В частности, для пленки размеров R и толщины
l (R l a) при свободных граничных условиях (С) на верхней и
нижней поверхностях пленки, функция ϕ(r, r), усредненная по масштабам порядка l, имеет вид, подобный A( Rr ) из (1.63) (например,
типа (1.64)). При этом распределение P
(ϕ, r) подобно (2.173), в частности, распределение момента, усредненного по областям порядка l
подобно (2.175) и зависимость полного момента от R при l R дается
(2.176). Корреляции на расстояниях l но R будут такими же,
как в двумерной системе, тогда как корреляции на расстояниях l (но a) соответствуют (2.544). Эти результаты можно описать
следующим образом: разобьем плоскость пленки на области размеров
порядка толщины пленки l; например, можно взять ячейки решетки с
, а
постоянной l. Центры граней этой решетки мы обозначим через R
178
Гл. 2. Двумерная решетка плоских классических спинов
направление среднего момента ячейки — через ϕR . Тогда из сказанного
выше следует, что углы ϕR распределены так же, как в двумерной
системе, а углы ϕrs внутри каждой ячейки распределены относительно
своего ϕR по закону
P (∞) (... , ϕs − ϕR , ...)
такому же, как в бесконечной трехмерной системе.
Аналогично, если имеем «пруток» — цилиндрическую систему, длина которой L много больше радиуса цилиндра d — то если разбить
пруток на отрезки длины d, и обозначить через ϕn направление среднего момента в n-ном отрезке, то углы ϕn распределены как в одномерной
системе, а углы ϕrs в каждом отрезке распределены вокруг ϕr по
закону (2.544).
Глава 3
ДВУМЕРНАЯ РЕШЕТКА КВАНТОВЫХ ПЛОСКИХ
РОТАТОРОВ И ДВУМЕРНАЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТЬ
§ 1. Квантовая система плоских ротаторов
Рассмотрена двумерная решетка квантовых плоских ротаторов –
квантовый аналог системы, рассматривавшейся в главе 2. Результаты полностью аналогичны полученным в главе 2. Показано, что
вообще, квантовый характер системы несущественен для поведения асимптотик на макроскопических расстояниях.
Формулировка задачи. Рассмотрим теперь двумерную решетку квантовых плоских ротаторов — квантовый аналог системы, рассматривавшейся в главе 2. Ротатор, расположенный в узле r, описывается динаr и νr , где ϕ
r — угол, а νr — сопряженная
мическими переменными ϕ
динамическая переменная (угловой импульс)
νr = −i
∂
; −π < ϕr < π.
∂ϕr
(3.1)
r выражается требованием периодичности
Угловой характер величин ϕ
по ним волновых функций состояний системы:
Ψ(... , ϕr + 2πnr , ...) = Ψ(... , ϕr , ...),
(3.2)
где nr — произвольные целые числа.
Соответствующие ограничения на νr состоят в том, что
собственные значения νr целочисленны.
(3.3)
В гильбертовом пространстве состояний, удовлетворяющих (3.2) и
r не определен; имеют смысл только операторы вида
(3.3), оператор ϕ
180
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
uпер (ϕ
r ), где uпер (ϕ) — произвольная периодическая функция. Все
такие операторы можно выразить через операторы фурье-экспонент:
rm νr = mR
rm δrr ,
rm = eimϕ r ; νr R
rm − R
R
(3.4)
образующие неприводимый базис кольца операторов.
Гамильтонианиан системы слагается из кинетической и потенциальной энергии
H = K + E,
(3.5)
где
K=
1
νr2 ; η > 0,
2
η
r
(3.6)
а E — та же потенциальная энергия, что и в (2.4):
E=
Erδ =
J(
vrδ ),
rδ
Erδ = J(
vrδ ) =
∞
(3.7)
rδ
Jm eim(ϕ r+δ −ϕ r ) =
m=−∞
=
∞
m=−∞
∗
Jm = J−m = Jm
; J(0) =
∞
∞
Jm eimvrδ =
rm R
−m , (3.8)
Jm R
r+δ
m=−∞
Jm = 0; J =
m=−∞
∞
m2 Jm > 0.
(3.9)
m=−∞
Через vrδ обозначен оператор
vrδ = ϕ
r+δ − ϕ
r ,
(3.10)
(опять же, непосредственный смысл имеют только периодические
функции от (3.10)).
Граничные условия (А) и (С) в квантовом случае формулируются
так же, как и в классическом, для формулировки условий (В) удобнее
rгр ) для гравсего ввести добавочную потенциальную энергию Eгр (ϕ
ничных спинов и рассмотреть предел, когда Eгр → δпер (ϕrгр ), т. е. когда
энергия с ϕrгр = 0 становится бесконечной.
Свободная энергия определяется равенством
1 1
e− T F = Sp e− T H ,
(3.11)
где шпур берется по подпростанству волновых функций, удовлетворяющих условиям (3.2), (3.3) и граничным условиям. Корреляции определяются как
'
(
(3.12)
Fn (ms , rs ) = eF/T Sp Fn (ms , rs )e−H/T ,
§ 1. Квантовая система плоских ротаторов
181
где под Fn (ms , rs ) следует понимать оператор
Fn (ms , rs ) =
n
rms .
R
s
(3.13)
s=1
Наконец, сверхтекучая свободная энергия определяется равенством:
1
e
e 1
e− T ΔF (A ) = eF/T Sp e− T H(A ) ,
(3.14)
где
H(Ae ) = K +
J(vrδ + Aerδ )
(3.15)
rδ
— гамильтониан, полученный из (3.5) подстановкой
vrδ → vrδ + Aerδ .
(3.16)
Aerδ
При этом
есть числовая (не операторная) величина, так же, как
в главе 2. Свойства сверхтекучей свободной энергии, установленные в
§ 1 главы 2, сохраняются все, без изменений.
Построение основного приближения. Хотя нас в конечном итоге
интересуют волновые функции, удовлетворяющие условиям (3.2), (3.3),
мы будем строить приближенные собственные состояния гамильтониана (3.5) из функций, не удовлетворяющих (3.2), (3.3). Рассмотрим
поэтому тот же гамильтониан (3.5)–(3.9), но на более широком пространстве волновых функций, не обязательно удовлетворяющих (3.2),
(3.3). Иными словами, переменные ϕ
r и νr теперь могут принимать
значения в непрерывном интервале (−∞, ∞). Чтобы отличить их от
переменных исходной задачи, мы будем иногда (не всегда) обозначать
их ϕ
r , ν
r , т. е. для переменных с тильдой считаем
∂
,
(3.17)
∂ϕ
r
так что эти переменные имеют непрерывный спектр в интервале
(−∞, ∞). «Расширенный» гамильтониан
1 2 =
ν
+
J(ϕ
r+δ − ϕ
r )
(3.18)
H
2η r
r
−∞ < ϕ
r < +∞; νr = −i
rδ
выражается через (3.17) так же, как исходный через ϕ
r , νr . На подпространстве (3.2), (3.3) он сводится к исходному гамильтониану (3.5).
Поэтому все собственные функции (3.5) есть в то же время собственные функции (3.17). Обратное не имеет места, однако в силу
инвариантности (3.18) относительно преобразований
ϕ
r → ϕ
r + 2πnr (nr − целые),
(3.19)
из любой собственной функции (3.18) можно, симметризируя ее относительно (3.19), получить собственную функцию (3.5). Поэтому мы
начнем с рассмотрения низколежащих собственных состояний (3.18).
182
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
На функцию J(ϕ − ϕ ), описывающую взаимодействие пары ротаторов, наложено требование, чтобы на интервале (−π , π) она имела единственный минимум при ϕ − ϕ = 0. Поэтому периодическая
функция J(ϕ
−ϕ
), рассматриваемая на всей оси −∞ < ϕ
−ϕ
< ∞,
имеет минимумы при ϕ
−ϕ
= 2πn с любым целым n. Следовательно,
потенциальная энергия взаимодействия в расширенном гамильтониане
(второе слагаемое в (3.18)) будет иметь минимумы при конфигурациях
(min)
ϕ
r
, удовлетворяющих условиям
(min)
ϕ
r+δ − ϕ
(min)
= 2πnrδ ,
r
(3.20)
где nrδ — произвольная целочисленная форма. Каждой такой форме
отвечает своя минимальная конфигурация (3.20). Предположим, что
в окрестности этой минимальной конфигурации можно заменить гамильтониан его квадратичным разложением по малым отклонениям от
(3.20), т. е. положить
≈H
кв =
H
1
1 ν
r2 + J
(ϕ
r+δ − ϕ
r − 2πnrδ )2 .
2
η
2
r
(3.21)
rδ
Иными словами, если представить (3.18) в виде
=H
кв +
J4 (ϕ
r+δ − ϕ
r − 2πnrδ ),
H
(3.22)
rδ
то второе слагаемое в (3.22) дает вблизи минимума (3.20) только
малую поправку.
Мы получим тогда ситуацию, аналогичную той, которая встречается в известном методе Гайтлера-Лондона или в методе Гейзенберга
для возбужденных состояний атома гелия (см. [59], § 28): в разных
областях конфигурационного пространства гамильтониан по разному
разбивается на основную часть и возмущение («несимметричная теория
возмущений», (см. [59], § 25). Несимметричная теория возмущений
работает в том случае, когда приближенный гамильтониан для данной
области конфигурационного пространства имеет собственные функции,
сосредоточенные в основном в той же области пространства. Тогда
в других областях, где использование приближенного гамильтониана
незаконно, приближенные собственные функции малы, вследствие чего
малы и соответствующие поправки (хотя гамильтониан там может
сильно отклоняться от невозмущенного).
Итак, условие применимости «несимметричной теории возмущений»
состоит в том, что собственные функции приближенного гамильтониана (3.21) должны быть сосредоточены вблизи соответствующего
минимума (3.20). Рассмотрим сначала минимальную конфигурацию
(3.20), соответствующую nrδ = 0. Гамильтониан (3.21) для этого слу-
§ 1. Квантовая система плоских ротаторов
183
чая примет вид
(D0 )
кв
=
H
1
1 ν
r2 + J
(ϕ
r+δ − ϕ
r )2 .
2
η
2
r
(3.23)
rδ
Гамильтониан (3.23) представляет собой гамильтониан системы гармонических осцилляторов и он диагонализуется обычным способом,
r и ν
r к их фурье-компонентам:
именно, переходом от операторов ϕ
ϕ
k =
ϕ
r e−ikr/a
r
и аналогично для ν
r . Выраженный через ϕ
k и ν
k , гамильтониан (3.23)
принимает виды гамильтониана системы гармонических осцилляторов,
соответствующих элементарным возбуждениям («фононам», которые
для магнитной интерпретации соответствуют спиновым волнам в плоском магнетике). Энергия возбуждений при малых k имеет вид
εk = h̄ωk = h̄c|k| + o(|k|),
где через c обозначена величина
a
c=
h̄
(3.24)
5
J
.
η
(3.25)
Волновые функции основного и низколежащих возбужденных состояний сосредоточены в области
%'
(
(ϕ
r+δ − ϕ
= O (Jη)−1/4 .
|ϕ
r+δ − ϕ
r | O
r )2
(3.26)
(Дисперсия разности vrδ , т. е. корень из среднего (
vrδ )2 по основному
состоянию легко находится из волновой функции основного состояния
системы осцилляторов и имеет порядок O((Jη)−1/4 )). Условие применимости «несимметричной теории возмущений» требует, чтобы волновые функции гамильтониана (3.21) были сосредоточены вблизи (3.20),
и мало перекрывались с собственными функциями для других минимумов; в данном случае оно сводится к требованию, чтобы собственные
r+δ − ϕ
r | 2π , что
функции (3.23) были сосредоточены в области |ϕ
ввиду (3.26) налагает на параметры гамильтониана ограничения
(Jη)−1/4 1.
(3.27)
Рассмотрим теперь гамильтониан (3.21) для других минимумов,
отличных от nrδ = 0. Преобразование (3.19) переводит гамильтониан
(3.21) для минимума, задаваемого nrδ , в гамильтониан для минимума,
задаваемого другой формой, nrδ , связанной с nrδ соотношением
nrδ = nrδ + nr+δ − nr ,
(3.28)
184
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
где nr — целые числа, задающие преобразование (3.19). Поэтому если
(E)
Ψ...,nrδ ,... (... , ϕr , ...)
– собственные функции гамильтониана (3.21) для минимума nrδ , то
собственные функции для гамильтониана (3.21), соответствующего
форме (3.28) связаны с ними соотношением
(E)
Ψ(E)
...,nrδ ,... (... , ϕr , ...) = Ψ...,nrδ ,... (... , ϕr − 2πnr , ...).
(3.29)
Напомним в этой связи, что мы уже рассматривали преобразование
(3.28) на множестве целочисленных форм nrδ , и установили (см. § 4,
гл. 2), что отношение эквивалентности (3.28) разбивает множество
форм nrδ на непересекающиеся классы D = D(... , Kr∗ , ...), так что
если nrδ есть некоторый (любой) представитель класса D, то все
другие представители того же класса получаются по (3.28), когда nr
пробегает множество всех целочисленных функций. В силу (3.29) между собственными функциями гамильтонианов (3.21), относящихся к
одному классу D существует взаимно однозначное соответствие (3.29),
а энергетические спектры этих гамильтонианов совпадают. Поэтому
найденный выше спектр для nrδ = 0 относится ко всем гамильтонианам (3.21) для форм nrδ , принадлежащих классу D0 , и спектр этих
гамильтонианов имеет вид
E(k1 , ... , kn ) = E0 + εk1 + ... + εkn ,
(3.30)
где E0 — энергия основного состояния (нам нет нужды ее выписывать),
а εki — энергия (3.24) возбуждений с импульсами ki .
Для состояний, принадлежащих классам D = D0 , гамильтониан
(3.21) есть гамильтониан системы «смещенных» гармонических осцилляторов; он приводится к виду (3.23) если выполнить преобразование
ϕ
r = ϕ
r + ϕD
r = ν
r ,
r , ν
(3.31)
где ϕ
r — новые переменные, а ϕD
r — числовая функция, представляющая собой не что иное, как продольный потенциал формы 2πnrδ
(см. (2.149), (2.412)). Преобразованный гамильтониан, выраженный
через ϕr и νr , отличается от (3.21) аддитивным слагаемым ΔE D , представляющим собой эффективную энергию конфигурации вихрей (см.
(2.366)) в квадратичном по dδ∗ ΨD
r∗ приближении. Следует отметить,
однако, что условие малого перекрытия волновых функций различных
минимумов, для минимумов, относящихся к классам D = D0 , кроме
2
(3.27), включают также требование (dδ∗ ΨD
r∗ ) 1, которое не выполняется для связей, расположенных вблизи вихрей. Поэтому для классов
D = D0 приближенный гамильтониан (3.21) надо несколько усложнить:
r+δ − ϕ
r ) надо
именно, квадратичное разложение взаимодействия J(ϕ
применять только для связей, расположенных далеко от вихрей (т. е.
от граней, где Kr∗ = 0), а для связей rδ , близких к вихрям, оставлять
полное J(ϕ
r+δ − ϕ
r ). Это, как легко видеть, приведет к тому, что ΔE D
§ 1. Квантовая система плоских ротаторов
185
отличается от квадратичного выражения (2.360) на величину типа
Fкор (Kr∗ ) из ((2.363),(2.364), но другую, чем в классическом случае.
Поэтому спектр низколежащих состояний гамильтониана, описывающего состояния вблизи минимума (3.20) для формы nrδ , принадлежащей классу D = D0 , смещен относительно (3.30) (спектра для класса
D0 ) на величину
J 2
|r∗ − r∗ |
+ ΔEкор (... , Kr∗ , ...)
ΔE D =
4π Kr∗ Kr∗ Gr∗ r∗ log
2π r
a
∗
r∗
(3.32)
(где ΔEкор отлично от ΔEкор из (2.363)) и имеет вид
E D (k1 , ... , kn ) = E 0 + ΔE D + εk1 + ... + εkn
(3.33)
Для построения из найденных выше приближенных собственных
функций гамильтониана (3.18), собственных функций гамильтониана
(3.5) надо, как указывалось выше, симметризовать функции
ΨE
...,nrδ ,... (... , ϕr , ...)
относительно преобразований (3.19), после чего они будут удовлетворять условиям (3.2). В силу (3.29), симметризация относительно (3.19)
эквивалентна суммированию соответственных собственных функций
для всех nrδ , принадлежащих классу D, что дает состояния
ΨE
...
ΨE
D (... , ϕr , ...) ∼
...,nrδ ,... (... , ϕr , ...) ∼
{nrδ ∈D}
∼
...
ΨE
...,nrδ ,... (... , ϕr + 2πnr , ...), (3.34)
{...,nr ,...}
являющиеся приближенными собственными функциями низколежащих
состояний исходного гамильтониана (3.5).
Отметим, что если состояния (3.34) для класса D0 отделены от
состояний классов D = D0 щелью ΔED и потому в следующем приближении будут очень мало смешиваться с ними, между состояниями
классов D, описывающих конфигурации вихрей имеет место дополнительное вырождение. Именно, если класс D соответствует конфигурации из достаточно далеко отстоящих друг от друга вихрей, то
при изменении положения одного или нескольких вихрей (так, чтобы
они по-прежнему далеко отстояли друг от друга) энергия ΔE D почти
не изменится. Поэтому в следующем приближении волновые функции
(3.34), соответствующие таким конфигурациям, будут смешиваться
между собой, и для определения уточненных энергетических уровней, надо решать секулярное уравнение, т. е. учитывать матричные
элементы, гамильтониана между такими состояниями (3.34). Учет таких матричных элементов, очевидно, эквивалентен учету кинетической
энергии вихрей. При этом, т. к. движущийся вихрь может возбуж-
186
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
дать фотоны, построение волновой функции даже для одного вихря с
квазиимпульсом kвихрь было бы нетривиальной задачей (типа задачи о
поляроне). Однако на самом деле матричные элементы, связанные с
переходом вихря из данной грани в соседнюю или с рождением пары
вихрей и т.д. имеют порядок величины интегралов перекрытия для
волновых функций системы осцилляторов, т. е. порядок
√ O exp(−O( η )) 1,
(3.35)
и при выполнении (3.27) будут очень малы. Поэтому при пренебрежении величинами порядка (3.35) вихри можно рассматривать как бесконечно тяжелые классические частицы, по координатам которых надо
только проводить статистическое усреднение с весом exp(− T1 ΔE D ),
т. е. мы возвращаемся к такому же положению, как в классической
задаче. Далее, в пренебрежении величинами порядка (3.35), т. е. перекрытием осцилляторных волновых функций, соответствующих различным минимумам, выражение для средних по состояниям (3.34)
принимает вид
∗E
E
... Ψ...,nrδ ,... |U|Ψ
...,nrδ ,... {n
∈D}
rδ
E
∗E E
.
UD = ΨD |U|ΨD = ∗E
(3.36)
... Ψ...,nrδ ,... |ΨE
...,nrδ ,... {nrδ ∈D}
Как будет видно, при этом все интересующие нас асимптотики (для
корреляций и свободной энергии), связанные с поведением на макроскопических расстояниях совпадают с соответствующими выражениями для классической задачи (с точностью до несущественного
изменения параметров обрезания). Поэтому мы не будем развивать
систематического низкотемпературного разложения для квантовой задачи, ограничившись лишь основным приближением, а также кратким
описанием безвихревого приближения. Если пренебрегать величинами
порядка (3.35), то учет вихрей не отличается от классического рассмотрения, если же учитывать величины порядка (3.35), то он станет
весьма сложным (но, по-видимому, не приведет к принципиальным
изменениям). Отметим в этой связи, что если для рассматриваемой
формулировки задачи параметры J и η являются независимыми и, в
принципе, условие (3.27) не обязано выполняться, то для двумерной
бозе-жидкости, гамильтониан которой, как мы покажем в § 2, сводится
к эффективному гамильтониану вида (3.5)–(3.9), параметры эффективного гамильтониана J и η выражаются через параметры исходной
бозе-жидкости таким образом, что (3.27) выполняется автоматически.
Асимптотики корреляций и сверхтекучая свободная энергия в
основном приближении. Основное приближение в квантовом случае
соответствует учету вклада только от состояний (3.34), принадлежащих классу D0 и пренебрежению перекрытием волновых функций
систем осцилляторов для различных минимумов, что дает выражение
§ 1. Квантовая система плоских ротаторов
187
(3.36) для средних. С учетом этого, вычисление средних от периодических функций углов ϕ
rs (например, вычисление (3.12)) сводится
к вычислению средних от этих функций для системы гармонических
осцилляторов (т. е. для гамильтониана (3.23)). Действительно, пусть
производится усреднение (с гиббсовским весом) по приближенным
собственным функциям (3.34) для класса D0 и усредняемая величина
является периодической функцией Uпер (... , ϕrs , ...) от углов ϕrs . Тогда
каждый член суммы (3.36) даст одинаковый вклад в среднее,и оно совпадает поэтому с термическим средним от величины Uпер (... , ϕrs , ...)
для системы гармонических осцилляторов с гамильтонианом (3.23). В
квантовом случае естественно рассматривать более общее выражение,
чем (3.12) — именно, зависящие от времени корреляции
n
'
( rms (ts ) ,
Fn (ms , rs , ts ) =
(3.37)
R
s
s=1
rm (t) = exp(imϕ
r (t)) — зависящий от времени гейзенберговский
где R
оператор. Для средних по системе осцилляторов мы имеем
n
n n
1
'
(
eims ϕ
rs (ts ) = exp −
ms ms ϕ
rs (ts )ϕ
rs (ts ) , (3.38)
2
s=1
s=1 s =1
где в экспоненте справа стоит коррелятор для системы гармонических
осцилляторов. Собственно говоря, когда времена ts не совпадают, как
среднее слева, так и среднее справа в (3.38) зависят от способа упорядочения некоммутирующих операторов ϕ
rs (ts ). Для правильности
формулы (3.38) требуется, чтобы операторы ϕ
rs (ts ) стояли в средних
под знаком экспоненты из правой части (3.38) в том же порядке, в
каком операторы exp(ims ϕ
rs (ts )) стоят под знаком среднего в левой
части. При этом соглашении равенство (3.38) справедливо для средних
по системе осцилляторов при любых ms (его можно получить с помощью обычной диаграммной техники для средних по системе осцилляторов или из уравнения Швингера для производящего функционала
корреляторов (см. [60])). Однако, согласно сказанному выше, в том
случае, когда ms есть целые числа (и, значит, усредняемая функция
периодична) среднее от нее по системе осцилляторов совпадает (при
T J ) со средним по гиббсовскому состоянию исходной системы.
Асимптотики корреляторов, стоящих под знаком экспоненты в правой части (3.38) можно получить из точных выражений для этих корреляторов, представляющих собой интегралы по (dk) от корреляторов
ϕ
k (t)ϕ
−k (t ), которые вычисляются, если выразить операторы ϕ
k (t)
± ±iεk t
через фононные операторы рождения-уничтожения a±
(t)
=
a
e
и
k
k
использовать, что
εk
−
− 1)−1 .
a+
k ak = (exp
T
Метод получения этих асимптотик точно такой же, как для получения
асимптотики функции Грина Grr в § 2 гл. 1 (см. сноску 5 на стр.
188
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
40). В результате такого рассмотрения получаем эти асимптотики в
следующем виде: если ввести обозначение
⎧
при |r| > c(t),
⎨ |r|
(3.39)
u(r, t) =
$
⎩
c|r| + c2 t2 − |r|2 при |r| < c(t),
то асимптотики корреляторов ϕ
rs (ts )ϕ
rs (ts ) имеют вид
R
uss
− (1 − δss )α log
ϕ
rs (ts )ϕ
rs (ts ) ≈ O log
,
a
(r0 )квант
(3.40)
где введено сокращенное обозначение
uss = u(rs − rs , ts − ts ),
(3.41)
а первое слагаемое в (3.40) представляет собой логарифмически расходящуюся при R → ∞ константу; через α так же, как в § 5 главы 2,
обозначена величина
T
α=
,
(3.42)
2πJ
а параметр обрезания r0 имеет в квантовом случае значение 21)
h̄c
h̄c
≈ 1.28 ,
(3.43)
T
T
(γ — так же как в (1.59) и (3.30) — постоянная Эйлера). При этом
хотя сами корреляторы зависят от порядка некоммутирующих операто
rs (ts ), асимптотики корреляторов на больших пространственноров ϕ
временных интервалах совпадают при любом способе упорядоче
r (t) в
ния,(различия имеют порядок O(1/uss )), так что операторы ϕ
далеких точках асимптотически коммутируют.
Подставляя (3.40) в (3.38) и учитывая, что первые слагаемые из
(3.40) дадут в правой части (3.38) множитель
n
R 2 exp −O log
ms ,
a s=1
(r0 )квант = e−γ
равный δm1 +...+mn ,0 в пределе R → ∞, находим асимптотики в виде
n
uss 12 αms ms
'
(
eims ϕrs (ts ) ≈ δm1 +...+mn ,0
,
(3.44)
r0
s=1
1s=s n
21)
Обратим внимание на то, что в квантовом случае r0 зависит от T .
Это связано с тем, что в квантовом случае обрезание происходит за счет
распределения Планка для фононов при длинах волн, отвечающих условию
ε ≈ T , откуда r0 ∼ 1/k ∼ h̄c/T , что при достаточно низких температурах
параметр обрезания определяется длинноволновым поведением εk , в отличие
от классического случая.
§ 1. Квантовая система плоских ротаторов
189
что при совпадении времен ts = ts переходит в (2.171) с тем только
отличием, что параметр обрезания r0 имеет другое значение.
Асимптотики средних, включающих величины νr (t) легко полуd
чить, учитывая, что νr (t) = η dt
ϕ
r (t), так что, например, коррелятор
vr (t)νr (t ) равен
vr (t)νr (t ) = η
d
ϕ
r (t)ϕr (t ),
dt
откуда видно, что корреляторы, включающие vr (t), имеют тот же порядок O(1/n), что и отброшенные выше члены, учитывающие некоммутативность операторов ϕr (t). Следовательно на больших расстояниях с
точностью до O(1/uss ) можно принять
rms (ts )
R
νrs (ts ) ≈ vrs (ts )
vrs (ts ) ≈ 0.
s
(3.45)
Формулы (3.44) и (3.45) позволяют вычислить асимптотику среднего
rms (ts )
от любой величины, представленной как функция от величин R
s
и νrs (ts ) в далеких точках.
Рассмотрим теперь сверхтекучую свободную энергию в основном приближении для квантового случая. Приближенные собственные
функции гамильтониана (3.15) при малых Aerδ можно построить так
же, как для гамильтониана (3.5) (т. е. при Aerδ = 0). В основном приближении в (3.14) можно ограничиться шпуром только по собственным
функциям гамильтониана
1
1 ν
r2 + J
H кв =
(ϕ
r+δ − ϕ
r + Aerδ )2 ,
(3.46)
2η
2
rδ
т. е. по состояниям класса D0 . Устраняя продольную часть ϕer в (3.46)
r + ϕer = ϕ
r , приведем (3.46) к виду, отличающемуся
преобразованием ϕ
от (3.23) только аддитивной добавкой
1 ⊥ e 2
ΔFо.п. ≈ J
( Arδ ) ,
(3.47)
2
rδ
которая и представляет собой сверхтекучую свободную энергию в основном приближении для квантовой системы, полностью совпадающую
с соответствующей классической величиной (2.159).
Коснемся еще вопроса о построении состояний со сверхтекучим
потоком для квантового случая в основном приближении. Это построение производится точно так же, как в классическом случае (см. § 8
главы 2) с помощью преобразования операторов
ϕ
r → ϕ
r + ϕ(r) (или ϕ
r → ϕ
r + ϕ∞ (r) в пределе R → ∞),
∞
(3.48)
где ϕr или ϕ (r) точно те же числовые функции, что и в (2.504) и
(2.513), удовлетворяющие уравнению Лапласа. Преобразованию (3.48)
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
190
соответствует преобразование волновых функций (и матриц плотности), описываемое оператором канонического преобразования
ϕ = exp i
νr ϕ(r)
(3.49)
U
r
под действием которого матрица плотности однородного состояния
...U переходит в матрицу плотности состояния со сверхтекучим потоком.
Диаграммная техника для учета вклада безвихревых конфигураций в квантовом случае. Диаграммная техника, учитывающая поправки, связанные с отклонением от квадратичного разложения, т. е. с
членами
4 =
J4 (
vrδ ) и H4 (Ae ) =
J4 (
vrδ + Ae ),
(3.50)
H
rδ
rδ
(где J4 (vrδ ) — сумма членов четвертого и высших порядков по vrδ в
разложении J(
vrδ ) по степеням vrδ ) может быть построена аналогично
классическому случаю (см. глава 2, § 6, ч.1). Именно, с помощью «температурной теории возмущений» представляем корреляции и сверхтекучую свободную энергию в виде средних по основному приближению
n
1/T
1
Fn (ms , rs )0 = e T (F −Fо.п. )
Rrmss TU e− 0 H4 (u)du
,
(3.51)
о.п.
s=1
− T1
e
0
(ΔF (A
e
0
)−ΔFо.п.
(Ae ))
1/T
= e (F −Fо.п. ) TU e− 0 H4 (u)du
1
T
о.п.
,
(3.52)
где H4 (u) и H4 (u, Ae ) — «гамильтонианы возмущений» (3.50), выраженные через операторы
ϕ
r (u) = e−Hкв u ϕ
r eHкв u ,
(3.53)
чья зависимость от «температурного времени» u (0 < u < 1/T ) определяется гамильтонианом осцилляторов (3.23). Через T4 (...) обозначено
хронологическое упорядочение в порядке возрастания температурного
времени u, а через ...о.п. — усреднение по основному приближению,
т. е. по гиббсовскому состоянию системы осцилляторов с гамильтонианом (3.23).
Средние в правых частях (3.51) и (3.52) могут быть представлены
диаграммами температурной теории возмущений (см. [61]), которые в
данном случае отличаются от рассмотренных в § 6 главы 2 только тем,
что в них имеются дополнительные интегрирования по «температурному времени» u. При переходе к фурье-представлению это сводится к
тому, что наряду с квазиимпульсом k , каждой линии приписывается
дискретная частотная переменная, принимающая значения ωn = 2πT n,
где n пробегает целые числа, и по этим дискретным частотам надо
суммировать наряду с интегрированием по k (см. [61]). К описанным
§ 1. Квантовая система плоских ротаторов
191
выше диаграммам применимы все рассмотрения из § 6 главы 2; более
того, поскольку Rrmss в (3.51) и Aerδ в (3.52) не зависят от u, внешние
линии в диаграммах для (3.51) и (3.52) несут нулевую частоту и в
силу сохранения суммарной частоты в вершинах линии, соединяющие компактные («собственно-энергетические») части на диаграммах
(2.277) и для ΔF (Ae ), также несут нулевую частоту и по ним не надо
суммировать. Таким образом, все рассмотрения из части 1 § 6 главы
2 полностью сохраняют свою силу; отличие будет связано только с
тем, что конкретные диаграммные выражения для Πδδ (k) и, значит,
для ρ0s (T ) включают в себя еще суммирования по частотам внутренних
линий диаграмм и потому отличаются от классических (в частности,
при таком суммировании автоматически учитывается распределение
Планка для фононов в промежуточных состояниях). Поэтому все выражения для корреляций и сверхтекучей энергии из части 1 § 6 главы
2, в частности, связь
T
α0 (T ) =
,
2πρ0s (T )
(см. (2.289)) сохраняют силу, изменяются только коэффициенты асимптотического степенного ряда T для ρ0s (T ).
Применимость квазиклассического рассмотрения к описанию поведения корреляции на больших расстояниях. Как следует из вышеизложенного, результаты квантового рассмотрения полностью совпадают с результатами классического. Это и не удивительно, поскольку нас
интересовали асимптотики, связанные с поведением на больших (макроскопических) расстояниях, а в таких вопросах естественно ожидать
применимость классического рассмотрения. Тем не менее, представляется нелишним дать прямое доказательство того, что рассмотрение
асимптотик на больших расстояниях в квантовой задаче сводится к
такому же рассмотрению для классической системы. Этот метод будет
использован в главе 5 для сведения асимптотик в квантовой системе
гейзенберговских спинов к классическим.
Начнем с того, что запишем шпуры в (3.11), (3.12) и (3.14) в
rm , так что
r , вернее R
представлении, где диагональны операторы ϕ
rm | ... , ϕr , ... = eimϕr | ... , ϕr , ....
R
В частности, для (3.12) можем написать
n
'
s=1
(
rms = eF/T
R
s
π
...
−π
π −π
r
dϕr ims ϕrs
e
×
2π
s=1
n
× ... , ϕr , ... |e−H/T | ... , ϕr , .... (3.54)
Для состояний | ... , ϕr , ... можем использовать представление
ϕ | ... , 0, ... = ei
| ... , ϕr , ... = U
r
v
r ϕr
| ... , 0, ...,
(3.55)
192
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
где | ... , 0, ... — состояние
значениями ϕr = 0 (его
с фиксированными
волновая функция есть r δпер (ϕr )), а exp(i vr ϕr ) = Uϕ — оператор,
порождающий унитарное преобразование (3.49), так что
Uϕ+ U(... , νrs , ϕrs , ...)Uϕ = U(... , νrs , ϕ
rs + ϕrs , ...),
(3.56)
для любого оператора, выраженного как функция от νr и ϕr .
Подставляя (3.55) в (3.54), введем эффективную энергию
Eэфф (... , ϕr , ...) равенством
e− T Eэфф (...,ϕr ,...) = ... , ϕr , ... |e−H/T | ... , ϕr , ... =
1
+
= ... , 0, ... |e− T Uϕ HUϕ | ... , 0, .... (3.57)
1
Показатель экспоненты в формуле (3.57) согласно (3.56)
1
νr2 +
Uϕ+ HUϕ =
J(
vrδ + dδ ϕr )
2η
r
(3.58)
rδ
есть преобразованный гамильтониан, вследствие чего получаем из
(3.54)
π
π n
n
1
dϕr '
(
ms
F/T
. (3.59)
R rs = e
...
eims ϕs e− T Eэфф (...,ϕr ,...)
2π
r
s=1
−π s=1
−π
Таким образом, квантовые средние представлены в виде средних по
эквивалентной классической системе, конфигурации которой описываются функциями ϕr , а их энергия определяется согласно (3.57). Как
показано в главе 2 (см., в частности, дополнение к § 5) корреляции на
больших расстояниях определяются энергией медленно меняющихся
конфигураций, описываемых функциями ϕr , такими, что
|dδ ϕr | 1.
(3.60)
Вид эффективной энергии для таких конфигураций может быть установлен в общем виде и оказывается совпадающим с классической
энергией медленно меняющихся конфигураций. Покажем это.
Разложим (3.58) по степеням dδ ϕr до второго порядка. Имеем
Uϕ+ HUϕ = H + H1 (ϕ, dδ ϕ) + H2 (ϕ, dδ ϕ) + o (dδ ϕ)2 ,
(3.61)
где
H1 =
J (vrδ )dδ ϕ = −
rδ
и
H2 =
Jrδ dδ ϕ,
(3.62)
rδ
1 J (vrδ )(dδ ϕ)2 .
2
(3.63)
rδ
Используя (3.61), можем вычислить (3.57) для медленно меняющихся
конфигураций по теории возмущений, рассматривая первое слагаемое
§ 1. Квантовая система плоских ротаторов
193
в (3.61) как основной член, а H1 и H2 — как возмущения. Вычисления
по теории возмущений сильно упрощаются если заменить состояние
| ... , 0, ..., среднее по которому надо вычислить, на точное основное
состояние |0: хотя эти состояния не совпадают, они отличаются только
флуктуациями ϕr , имеющими порядок (Jη)−1/4 , т. е. малыми при
выполнении (3.27). В этом случае можно положить
0 = E0 |0.
| ... , 0, ... ≈ |0 где H|
(3.64)
При учете (3.64) термодинамическая теория возмущений дает
T
Eэфф (... , ϕr , ...) ≈ 0|H2 |0 −
2
1
/T
du
0
u T
du0|H1 e−u(H−E0 ) H1 |0.
0
(3.65)
Если представить второй член в виде сумм по промежуточным состояниям, являющимся собственными состояниями H и вычислить
интеграл, этот член представится в виде
T En − E0 |0|H1 |n|2
·
−
e2
,
(3.66)
2
T
(En − E0 )2
|n
где
e2 (x) = e−x − 1 + x.
Сравним теперь разложение в правой части (3.61) с разложением левой
части, полученным из ряда
Uϕ = 1 + i
νr ϕ+ ... .
r
Таким образом получим
H1 = i
ϕr [H , νr ],
(3.67)
r
H2 =
r
r
1
1
(
νr H νr − νr νr H − H νr νr ).
2
2
(3.68)
Учтем, далее, что из матричных элементов 0|
νr |n отличны от нуля
только матричные элементы
0|
νr |k = eikr 0|
ν0 |k
(3.69)
между |0 и состояниями |k, представляющими собой одиночные
элементарные возбуждения с энергиями (3.24) (0|
νr |k ∼ √1k (смотри
(1.11) и (1.12), но это не потребуется). Поэтому из (3.67) получим
отличные от нуля 0|H1 |n в виде (ϕk — фурье-образ ϕr ):
0|H1 |k = iϕk εk 0|
ν0 |k,
7 В. Л. Березинский
(3.70)
194
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
а из (3.68) находим
0|H2 |0 = |ϕk |2 εk |0|
ν0 |k|2 (dk).
На основании (3.70) можем записать (3.66) в виде
ε T
k
(dk)e2
|ϕk |2 |0|
−
ν0 |k|2 ,
2
T
(3.71)
(3.72)
и сравнивая с (3.71) видим, что в существенной области малых k , в
которой
εk ε k 2
≈ 1/2
e2
1,
T
T
второй член в правой части (3.65) пренебрежимо мал по сравнению с
первым, так что
1 Eэфф (... , ϕr , ...) ≈ 0|H2 |0 + o (dδ ϕ)2 = ρ
(dδ ϕ)2 + o (dδ ϕ)2 ,
2
rδ
(3.73)
где ρ = J + O(T /J) — величина (2.53) для квантового случая. Из
(3.59) и (3.73) следует, что асимптотики корреляций в квантовом
случае должны совпадать с классическими с точностью до величин,
определяемых энергией коротковолновых конфигураций, в данном случае — с точностью до величин L(ms , T ) из (2.230).
Аналогичное рассмотрение (3.14) покажет, что квадратичное выражение сверхтекучей свободной энергии также должно совпадать в
квантовом и классическом случаях (с точностью до выражения ρs (T ),
которое различно в квантовом и классическом случаях; но при T = 0
оба выражения должны совпадать).
§ 2. Двумерная бозе-жидкость
Показано, что асимптотики на больших расстояниях в двумерной
бозе-жидкости можно рассматривать на основе эквивалетного гамильтониана, изоморфного гамильтониану решетки плоских ротаторов.
Постановка задачи. Мы рассмотрим теперь нейтральную бозежидкость и покажем, что корреляции на больших расстояниях в этой
системе можно рассматривать на основе эффективного гамильтониана,
изоморфного гамильтониану решетки плоских ротаторов. Построенный
ниже эффективный гамильтониан может применяться и в трехмерном
случае. Отметим, что доказываемый ниже изоморофизм бозе-жидкости
и решетки ротаторов хорошо известен; он был впервые указан, повидимому, в работе [50]. Тем не менее, как нам кажется, излагаемый
ниже подход может представить некоторый интерес.
Мы предполагаем, что имеется двумерная бозе-жидкость, основное состояние которой содержит бозе-конденсат. Однако при T = 0
§ 2. Двумерная бозе-жидкость
195
этот бозе-конденсат должен разрушаться флуктуациями фазы; задача
состоит в описании этих флуктуаций, которые и определяют далекие
корреляции при низких температурах.
Пусть N — число частиц в системе, S — ее объем (т. е. площадь,
т. к. система двумерная),
1
N
= 2
(3.74)
S
l
— средняя плотность (l — среднее расстояние между частицами).
Энергия основного состояния, которое мы обозначим
ρ=
|N ,
(3.75)
где N — полное число частиц, имеет при N 1 вид
E0 (N ) ≈ N ε(N/S) = N ε(ρ),
(3.76)
где ε(ρ) — удельная энергия (на одну частицу), имеющая предел при
N → ∞, который мы будем считать достаточно гладкой функцией от ρ.
В силу этого, изменение числа частиц на δN N , чему соответствует
изменение плотности
δN
δN
=
ρ,
δρ =
S
N
приводит к состоянию с энергией, равной
δN 2 1
(δN )2 + o (
) .
E0 (N + δN ) ≈ E0 (N ) + μδN −
(3.77)
2N H
N
В формуле (3.77)
∂E0
= ρε (ρ) + ε(ρ)
μ=
(3.78)
∂N
— химический потенциал, H = N1 ∂N
∂μ — сжимаемость в основном состоянии, т. е.
1
∂μ
=N
= 2ρε (ρ) + ρ2 ε (ρ).
(3.79)
H
∂N
Скорость звука в основном состоянии связана со сжимаемостью соотношением
c2зв = 1/mH,
(3.80)
1
где m — масса атомов; H
= mc2зв есть некоторая энергия, по порядку
величины равная энергии взаимодействия атомов.
Квантовый характер жидкости выражается неравенством
ξ l,
(3.81)
где через ξ обозначена характерная длина волны де-Бройля в основном
$
состоянии
ξ = h̄/mcзв = h̄ H/m .
(3.82)
Только при выполнении условия (3.81) возможно существование незамерзающей квантовой жидкости, это условие можно записать также в
7*
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
196
виде: h̄2 /2nl2 1/H, т. е. квантовая неопределенность энергии много
больше энергии взаимодействия атомов).
Наличие бозе-конденсата в основном состоянии эквивалентно вырождению основного состояния в пределе N → ∞. При этом «чистым»
состояниям, удовлетворяющим условию эргодичности (распадения корреляций) соответствуют пределы
|ϕ = lim
|N + νeiνϕ Cν ,
(3.83)
N →∞
ν
где |Cν | — распределение числа
√ частиц вокруг среднего равновесного
N с дисперсией порядка O( N ). В предельных состояниях (3.83)
спонтанно нарушена фазовая симметрия. Средние по ним совпадают
с Боголюбовскими «квазисредними» (см. [13]) и обладают свойствами
распадения корреляций:
2
ϕ|
n
s )|ϕ ≈
U(r
s=1
n
s )|ϕ при |rs − rs | ξ.
ϕ|U(r
(3.84)
s=1
В частности, для операторов вторичного квантования они равны
√
+ (r)|ϕ = √ρ0 e−iϕ ,
ϕ|Ψ(r)|ϕ
= ρ0 e−iϕ ; ϕ|Ψ
(3.85)
где ρ0 — плотность частиц бозе-конденсата (ρ0 ρ).
Построение эффективного гамильтониана. Очевидно, что если при
T = 0 конденсат существует, а при T = 0 уничтожается флуктуациями
фазы, это уничтожение должно происходить на масштабах rф (T ), безгранично увеличивающихся с уменьшением температуры
rф (T ) → ∞ при T → 0.
(3.86)
Рассмотрим, например, среднее Ψ+ (r)Ψ(r ); при T = 0 имеем:
lim
|r−r |→∞
Ψ+ (r)Ψ(r) = ρ0 при T = 0,
(3.87)
а при отсутствии конденсата, т. е. для T = 0 должно быть
lim
|r−r |→∞
Ψ+ (r)Ψ(r) = 0 при T = 0.
(3.88)
Таким образом, пределы |r − r | → ∞ и T → 0 не перестановочны,
и переход от поведения, соответствующего (3.87) к поведению, соответствующему (3.88), должен происходить на расстояниях (3.88). Из
полученных ниже результатов следует, что
1
exp −O(ξ 2 /e2 H) ,
rф ≈ ξ
(3.89)
HT
но для нас пока существенно только (3.86).
§ 2. Двумерная бозе-жидкость
197
В силу выполнения (3.86) при достаточно низких температурах
можно выбрать длину a, удовлетворяющую условиям
ξ a rф (T ).
(3.90)
Разделим теперь всю систему на ячейки, имеющие макроскопические
размеры a, удовлетворяющие (3.90). Для простоты будем считать, что
эти ячейки являются ячейками квадратной решетки, а их центры
совпадают с узлами решетки r.
Представим далее гамильтониан системы в виде суммы гамильтонианов отдельных ячеек и членов, описывающих переходы между
ячейками
H=
Hr +
Hrδ ,
(3.91)
r
rδ
здесь Hr — гамильтониан ячейки r, а член Hrδ описывает переходы
частиц из ячейки r в ячейку r + δ и взаимодействие между этими
ячейками. Если пренебречь сначала членами Hrδ , оставшийся гамильтониан распадется на сумму независимых гамильтонианов отдельных
ячеек
H≈
Hr .
(3.92)
r
Собственные состояния гамильтониана (3.92) можно построить как
произведения волновых функций, описывающих состояния отдельных
ячеек. Наинизшим энергиям будут отвечать произведения, в которых
каждой ячейке сопоставлено основное состояние (3.75) для некоторого
числа частиц. Такие произведения соответствуют всевозможным размещениям частиц по ячейкам, при которых в каждую ячейку попадает
число частиц
Nr = N a + ν r ,
(3.93)
слегка отличающееся от равновесного числа частиц в ячейке
N a = ρa2 .
(3.94)
Мы будем обозначать такие размещения через ... , νr , ..., причем, т. к.
полное число частиц в системе считается фиксированным, на числа νr
налагается ограничение
νr = 0 .
(3.95)
r
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
198
Каждому такому размещению частиц по ячейкам сопоставляется состояние всей системы, которое мы обозначим 22)
| ... , νr , ... =
|νr r ,
(3.96)
r
где через |νr r обозначена волновая функция основного состояния
(3.75) для r-той ячейки при числе частиц в ней, равном (3.93):
|νr r = |N a + νr для r-той ячейки.
(3.97)
Энергия состояний (3.96) слагается из энергий отдельных ячеек и
ввиду формулы (3.77) может быть записана в виде
1
νr2 + o(νr2 ),
E(... , νr , ...) = E0 +
(3.98)
2N a H
r
(линейные по νr члены выпадают в силу (3.95)).
Так как вторые члены в (3.98) малы (они имеют тот же порядок, что
и отброшенные члены Hrδ , связанные с переходами между ячейками),
состояния (3.96) образуют почти-вырожденную систему состояний.
Согласно теории возмущений для этого случая, энергии и волновые
функции в следующем приближении определяется как собственные
значения и собственные состояния эффективного гамильтониана, действующего между состояниями (3.96). Эффективный гамильтониан
равен Hэфф = P HP , где P — проектор на подпростаноство, натянутое
на состояния (3.96), а H — полный гамильтониан. В силу (3.91) и
(3.98) можем написать
1
νr2 +
Hэфф = E0 +
P Hrδ P ,
(3.99)
2N a H
r
rδ
где νr — оператор, умножающий состояние (3.96) на число νr :
νr | ... , νr , ... = νr | ... , νr , ...,
(3.100)
а P Hrδ P — оператор Hrδ , от которого оставлены только матричные
элементы между состояниями (3.96), т. е. матричные элементы
... , νr , ... |Hrδ | ... , νr , ....
(3.101)
Очевидно, эти матричные элементы будут отличны от нуля только
для таких переходов ... , νr , ... → ... , νr , ..., при которых из ячейки r в
ячейку r + δ переходит m частиц, а числа частиц в остальных ячейках
не изменяются. Обозначим величину такого матричного элемента через
22)
Собственно говоря, в правой части (3.96) надо еще произвести симметризацию по перестановкам частиц, попавших в разные ячейки. Однако, т. к.
волновые функции частиц из разных ячеек не перекрываются, при вычислении
средних имеет место свойство, аналогичное (3.36) и симметризацию можно не
учитывать.
§ 2. Двумерная бозе-жидкость
199
Jm (предполагая однородность, т. е. независимость от rδ ) и введем для
rm , действующие на
записи эффективного гамильтониана операторы R
состояния (3.96) по правилу
rm | ... , νr , ... = |νr + m
|νr r = | ... , νr + m, ...,
(3.102)
R
r =r
rm изменяет число частиц в r-той ячейке на m, а
то есть оператор R
числа частиц в остальных ячейках оставляет неизменными. С помощью
операторов (3.102) можно записать P Hrδ P в виде
∞
P Hrδ P =
rm R
−m .
Jm R
r+δ
(3.103)
m=−∞
Легко видеть, что гамильтониан (3.99), (3.99) изоморфен гамильтониану плоских ротаторов (3.5)–(3.9). Действительно, коммутационные
соотношения операторов (3.102) и (3.100) совпадают с (3.4) и операторы (3.100) по построению имеют целочисленные собственные значения,
так что (3.100) и (3.102) совпадают с операторами (3.2) и (3.4) в
представлении, где диагональны операторы νr из § 1. Чтобы сделать
изоморфизм еще более ясным, перейдем к другому представлению,
унитарно эквивалентному (3.96). Именно, рассмотрим состояния
| ... , ϕr , ... =
|ϕr r ,
(3.104)
r
построенные как произведения состояний отдельных ячеек с фиксированной фазой, но неопределенным числом частиц:
∞
|ϕr r =
|νr eiνr ϕr .
(3.105)
r=−∞
Состояния (3.104) образуют базис, эквивалентный (3.96), поскольку
| ... , ϕr , ... =
...
| ... , νr , ...ei r νr ϕr .
(3.106)
{...,νr ,...}
Нетрудно видеть, что операторы (3.100) и (3.102) действуют на состояния (31) следующим образом:
∂
| ... , ϕr , ...,
∂ϕr
rm | ... , ϕr , ... = eimϕr | ... , ϕr , ...,
R
νr | ... , ϕr , ... = −i
(3.107)
(3.108)
rm и νrm из
откуда становится ясным полный изоморфизм операторов R
этого и предыдущего параграфов, а значит и гамильтонианов.
Нам осталось только установить соотношение между параметрами гамильтониана (3.5)–(3.9) и эффективного гамильтониана (3.99),
(3.103), тогда мы сможем непосредственно применить полученные в § 1
200
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
результаты к бозе-жидкости. Значение параметра η для бозе-жидкости
получается непосредственным сравнением (3.99) и (3.6):
η = HN a = Hρa2 .
(3.109)
Что касается величин Jm , то нам достаточно установить значение
величины
∞
J=
m2 Jm ,
(3.110)
m=−∞
через которую выражались все результаты для основного приближения
в § 1. Проще всего это сделать, сравнив выражения для энергии
состояний со сверхтекучим потоком в основном приближении. Оператор, преобразующий основное состояние в состояние со сверхтекучим
потоком, имеет в данном случае вид
ϕ = exp i ϕ(x)
U
ρ(x)(dx) ,
(3.111)
где
+ (x)Ψ(x)
ρ(x) = Ψ
= ρk eikx (dk)
(3.112)
— оператор плотности частиц (ρk — фурье-компоненты). Оператор
(3.111) является порождающим оператором фазового канонического
преобразования
−iϕ(x)
+ (x) → Ψ+ (x)eiϕ(x) .
; Ψ
Ψ(x)
→ Uϕ+ Ψ(x)U
ϕ = Ψ(x)e
Если гамильтониан бозе-жидкости имеет обычный вид
h̄2
(∇Ψ+ · ∇Ψ)(dx)+
H=
2m
1
Ψ+ (x)Ψ+ (x )V (x − x )Ψ(x)Ψ(x )(dx)(dx ),
+
2
то преобразованный гамильтониан равен
Uϕ+ HUϕ = H + H1 + H2 ,
где
(3.113)
(3.114)
(3.115)
h̄i
− ∇Ψ
+ Ψ)∇ϕ(dx)
(Ψ+ ∇Ψ
H1 = j(x)∇ϕ dx =
,
(3.116)
2m
h̄2 H2 =
(3.117)
j(x)(∇ϕ)2 dx.
2m
Энергия состояний со сверхтекучим потоком в основном приближении
равна
h̄2
+
ρ (∇ϕ)2 dx,
ΔEϕ = N |Uϕ HUϕ |N − N |H|N =
(3.118)
2m
§ 2. Двумерная бозе-жидкость
201
откуда сравнивая с выражением этой энергии для системы плоских
ротаторов, получаем
ρh̄2
.
J=
(3.119)
m
Несколько другой (а по сути дела, тот же) вывод (3.119) может быть
получен из «правила f -сумм» (см. [43])
N
N |[[
ρk , H], ρ−k ]|N = h̄2 k 2 ,
(3.120)
m
представляющего собой результат усреднения по основному состоянию
соотношения, аналогичного (3.68) (и так же выводимого из (3.115) как
(3.68) выводилось из (3.61)). Вместо усреднения по точному основному
состоянию можно усреднить по любому состоянию, отличающемуся
от него малыми флуктуациями частиц в ячейках (сравни с (3.64)). В
качестве такого состояния возьмем в (3.120) состояние
|N ≈ 2(ΔNa )−Nя
| ... , νr , ...,
(3.121)
...
{...,|νr |<ΔNa ,...}
где через −Nя = N/N a = N/ρa2 обозначено число ячеек, и суммирование в (3.121) распространено на все состояния (3.96), у которых числа
νr заключены в пределах
−(ΔNa ) νr ΔNa ,
$
ΔNa = O( N a — величина флуктуации числа частиц в ячейках).
Отметим, что любая линейная комбинация состояний (3.96), обеспечивающая такие флуктуации, равно годилась бы для наших целей.
Для фурье-компонент ρk при малых k получаем, заменяя функцию eikx
внутри ячейки ее значением в центре ячейки eikr :
ikr
ρk ≈
e
ρ(x)dx =
eikr (Na + νr ).
(3.122)
r
r
ячейка
Подставив теперь (3.122) в (3.120) и учитывая (3.99) и (3.103), получаем левую часть (3.120) в виде
Nя
ΔN
a
m=−ΔNa
m2 Jm
eikδ/a ≈ Nя Jk2 a2 ,
(3.123)
δ
(мы заменили пределы суммирования по m на бесконечные, т. к. Jm
все равно отлично от нуля только при m ΔNa и оставили только
квадратичный по k член в разложении δ eikδ , т. к. (3.122) все равно
справедливо только при малых k ). Сравнивая теперь (3.123) с правой
частью (3.120), снова получаем (3.119).
Отметим,
√ что условие (3.27) для (3.109) и (3.119) сводится к условию l aξ , выполняющемуся автоматически в силу (3.81) и выбора
a (см. (3.90)).
202
Гл. 3. Двумерная решетка квантовых плоских ротаторов. . .
Асимптотики корреляций в двумерной бозе-жидкости. Из (3.109)
и (3.110) получаем следующие значения параметров α, c и r0 , через
которые выражаются асимптотики (3.44)
#
1
h̄cзв
mT
= cзв ; r0 ≈ 1.28
.
α=
; c=
(3.124)
2
mH
T
2πh̄ ρ
При этих значениях формула (3.44) дает средние значения для произrms в далеких точках и вместе с (3.45) позволяет
ведений операторов R
вычислить среднее от любого оператора, зависящего от ϕ
rs и νrs в
далеких точках rs . При вычислении таких средних для операторов
исходной системы (т. е. бозе-жидкости) надо заменить оператор U,
, действуотносящийся к бозе-системе, на эффективный оператор P UP
ющий между состояниями (3.96). Если Ur есть локальный оператор,
относящийся к окрестности точки r (т. е. выражающийся через опе
и Ψ+ (x) в точках окрестности
раторы вторичного квантования Ψ(x)
должен выражаться через
|x − r| ξ ), то эффективный оператор P UP
в виде
ϕ
r и νr . Можно, например, всегда выразить оператор P UP
∞
=
P UP
rm ,
Um (
νr )R
(3.125)
m=−∞
rm ; в качестве функции Um тогда надо
помещая операторы νr слева от R
брать
U(ν) = lim N + ν|Ur |N + ν + m.
(3.126)
N →∞
rm . Для
Эквивалентное представление получим, помещая νr справа от R
вычисления асимптотик оба представления в равной степени подходят.
Более того, т. к. при вычислении асимптотик в силу (3.45) можно
положить ν
r = 0, оба представления дают для эффективного оператора
P Ur P совпадающие выражения, именно
P Ur P ≈
∞
rm =
Um (0)R
m=−∞
∞
Um (0)eimϕ r = Ur (ϕ
r ),
(3.127)
m=−∞
где видно из (3.126), Um = Um (0) = limN →∞ N |Ur |N + m, так что в
качестве функции Ur (ϕ), сопоставляемой оператору Ur ввиду формулы
(3.127) надо брать
Ur (ϕ) = lim N |Ur |N + meimϕ = ϕ|Ur |ϕ.
N →∞
(3.128)
Иными словами, эффективный оператор P Ur P получается, если выразить квазисреднее ϕ|Ur |ϕ оператора Ur через фазу ϕ и затем заменить
ϕ на оператор ϕ
r . Закон соответствия для асимптотик среднего от
§ 2. Двумерная бозе-жидкость
203
произведения локальных операторов можно записать как
n
'
s=1
Urs
(
бозе система
≈
n
'
(
Us (ϕ
rs ) система ротаторов .
(3.129)
s=1
В частности, операторам вторичного квантования согласно (3.127),
(3.128) соответствуют операторы
√
√
P Ψ(r)P ≈ ρ0 e−iϕ r ; P Ψ+ (r)P ≈ ρ0 e−iϕ r ,
(3.130)
так что для среднего Ψ+ (r)Ψ(r ) получаем асимптотику в виде
r − r −α
Ψ+ (r)Ψ(r ) ≈ ρ0 (3.131)
.
r0
Эта формула была получена в работах [44] и [45].
Глава 4
ДВУМЕРНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
С математической точки зрения рассмотрение двумерных
кристаллов почти полностью аналогично рассмотрению двумерной решетки плоских ротаторов, проведенному в главах
2 и 3. Переменным ϕr , описывающим состояния ротаторов
соответствуют в случае кристалла смещения ur ; некоторые
различия имеют место только в отношении интерпретации,
т. к. периодичность относительно ur имеет несколько иной
смысл, чем периодичность относительно ϕr . Это позволяет
ограничиться только кратким рассмотрением, обращая внимание главным образом на отличия от плоских ротаторов.
Основное приближение. Под двумерными кристаллами понимается
система частиц на плоскости, основное состояние которой (при T = 0)
соответствует размещению частиц в узлах простой квадратной решетки. При достаточно низких температурах частицы в окрестности атома
располагаются вблизи соответствующих узлов решетки; поэтому в достаточно малом (но макроскопическом) участке системы каждый атом
можно отнести к определенному узлу решетки. Двигаясь по непрерывному пути, можно осуществить такое соответствие и для далеких атомов. Однако при этом не исключено, что двигаясь по двум различным
путям мы получили бы разные соответствия для одного и того же атома
— это и будет в том случае, когда где-то между этими путями расположена дислокация. Дислокации играют для рассматриваемой системы
роль, полностью аналогичную роли вихрей для системы плоских ротаторов. В частности, каждая дислокация требует для своего создания
конечной энергии и поэтому при достаточно низких температурах их
вкладом можно пренебречь, что полностью соответствует безвихревому
приближению для системы плоских ротаторов. В этом приближении
Гл. 4. Двумерные кристаллы
205
каждый атом можно отнести к определенному узлу решетки, так что
координаты атома, отнесенного к узлу r представляются в виде
χ
r = r + ur .
(4.1)
Основное приближение, кроме ограничения только «бездислокационными» конфигурациями (4.1), состоит также в использовании квадратичного приближения для их энергии, т. е. в аппроксимации энергии
выражением, квадратичным относительно величин
εrδ = ur+δ − ur ,
(4.2)
которые при непрерывном описании переходят в компоненты тензора
деформации
1 ∂uμ
∂uμ .
εμμ =
+
(4.3)
2 ∂xμ
∂xμ
Выражение энергии в квадратичной аппроксимации в переменных εμμ
имеет вид (см. например [62]):
(dr)
1 2
1
H − E0 ≈ J
λ (ε11 + ε222 ) + λ ε11 ε22 + λ (ε12 + ε21 )2
, (4.4)
2
2
a2
(J имеет размерность энергии, λ , λ , λ — безразмерные величины).
Распределение Гиббса для энергии (4.4) соответствует гауссову
распределению для смещений ur , так что мы имеем:
kr ur = exp − J
exp i
a2 (kr )μ (kr )μ Grμ,r μ , (4.5)
2T rμ r
r μ
где Grμ,r μ — функция Грина, имеющая при R → ∞ асимптотику
r − r Grμ,r μ = O(log R/a) + gμμ
,
(4.6)
a
в которой второе слагаемое определяется как
r −1 (k))μμ ,
= (dk) eikr/a − 1 (−Δ
gμμ
(4.7)
a
−1 (k))μμ есть матрица, обратная матрице
причем (−Δ
⎡
⎤
λ k12 + λ k22
2(λ + λ )k1 k2
⎦ + o(k 2 ).
(−Δ(k))
μμ = ⎣
2
2
2(λ + λ )k1 k2
λ k2 + λ k1
(4.8)
Длинноволновое разложение (4.8) соответствует выражению для энергии (4.4) и определяет, аналогично случаю функции Грина g( ar ) (см.
гл. 1, § 2) асимптотику (4.7) на больших расстояниях. Эта асимптотика
также логарифмически зависит от расстояния, но в случае произвольных λ , λ , λ включает еще зависимость от направления вектора
r относительно кристаллических осей. Так как это обстоятельство
Гл. 4. Двумерные кристаллы
206
не носит принципиального характера, мы, чтобы избежать ненужного
усложнения формул, ограничимся рассмотрением случая
λ = λ = 1, λ = −1,
когда
gμμ ( ar )
принимает вид
r
(4.9)
r
,
(4.10)
a
a
где g(r/a) — функция (1.55) с асимптотикой (1.58), неоднократно
встречавшаяся раньше.
Для случая (4.9) и в пределе R → ∞ асимптотики корреляций (4.5)
принимают вид
a−2
rs − rs α(ksks )a2
ei s ks urs =
δ(k1 + ... + kn )
, (4.11)
N
r0
gμμ
= δμμ g
1s=s n
где использовано то же обозначение, что и в главах 2, 3:
α=
T
,
2πJ
(4.12)
(множитель 1/N перед (4.11) связан с тем, что ks теперь пробегают
непрерывный ряд значений и δ(k1 + ... + kn ) — непрерывная δ -функция
Дирака, а не символ Кронекера).
Асимптотика двухточечной функции распределения на больших
расстояниях. Распределение (4.5) можно интерпретировать следующим образом: из формул (4.5) и (4.6) видно, что смещение данного
атома из его равновесного положения по порядку величин равно
%
# T
log N .
u2r = O
(4.13)
J
Это значит, что при R a смещение атома из узла, к которому он
приписан, может быть большим, несмотря на то, что, разность смещений соседних атомов мала. Этот факт является следствием накопления
флуктуационных смещений в двумерной решетки. Таким образом, двумерная кристаллическая решетка может «шататься»: если в трехмерной
решетке положение каждого атома жестко фиксировано связями, и
вблизи данной точки пространства может находиться самое большее
один атом, приписанный к определенному узлу решетки, то в двумерном случае надо учитывать много конфигураций, отличающихся, в
частности, тем, какой атом (т. е. приписанный к какому узлу решетки)
находится вблизи данной точки пространства. Иными словами, в двумерном кристалле в результате флуктуационного «шатания» решетки
вблизи данной точки пространства могут оказаться разные атомы, и
этим двумерный кристалл напоминает жидкость. Поэтому целесооб-
Гл. 4. Двумерные кристаллы
207
разно описывать распределение частиц в кристалле не корреляциями
смещений ur , а многочастичными функциями распределения
fn (x1 , ... , xn ) = ρ(x1 ) ... ρ(xn ),
где
ρ(x) =
N
δ(x − xl )
(4.14)
(4.15)
l=1
— плотность частиц в точке x (суммирование по l в (4.15) означает суммирование по частицам). Функция распределения (4.14) имеет смысл вероятности нахождения любых n частиц вблизи точек
x1 , ... , xn , отнесенной к объемам (dx1 ), ... , (dxn ). Можно также представить (4.14) в виде
fn (x1 , ... , xn ) = ei(k1 x1 +...kn xn ) ρ(k1 ) ... ρ(kn )(dk1 ) ... (dkn ), (4.16)
где
ρ(k) = e−ikx ρ(x)dx =
n
e−ikxl
(4.17)
l=1
— фурье-компоненты плотности частиц. Для конфигураций (4.1) суммирование по частицам в (4.17) можно заменить на суммирование по
узлам решетки (т. к. каждая частица приписана к определенному узлу)
и мы получаем
ρ(k) =
e−ikr e−ikur .
(4.18)
r
Отсюда, используя (4.5), (4.6) и (4.10), получаем для случая (4.9) в
пределе бесконечной системы
a−2
δ(k1 + ... + kn )×
N
rs −r − 2TJ
(ks ks )g( a s )
n
s=s
×
...
e−i s=1 (ks rs )/a e
, (4.19)
ρ(k1 ) ... ρ(kn ) =
r1
rn
и, подставив (4.19) в (4.16) найдем для функций распределения (4.14):
a−2
(dk1 ) ... (dkn )δ(k1 + ... kn )×
fn (x1 , ... , xn ) =
N
n
2
rs − rs ks (xs − rs ) − Ja
...
exp i
(ksks )g
,
×
2T
a
r
r
1
n
s=1
s=s
(4.20)
(в формулах (4.19) и (4.20) можно одновременно опустить множитель
1/N и суммирование по одному из rs , так как фактически суммируется
выражение, зависящее только от разностей rs − rs ).
Гл. 4. Двумерные кристаллы
208
Рассмотрим, в частности, двухточечную функцию распределения
(одноточечная функция распределения в пределе бесконечной системы
равна f1 (x) = a−2 ). Из (4.20) получим
T 2 2
r
a2 f2 (x, x ) = (dk)
eik(x−x −r) e− J a k g( a ) =
r
=
(x − x − r)2 T
r −1
. (4.21)
2 a2 g
exp − T 2 r
J
a
2 J a g( a )
r
Для случая |x − x | a и при учете того, что T /J 1, в сумме (4.21)
существенны вклады от узлов r, удовлетворяющих условию
T r
T x − x
≈ 2 g(
);
|x − x − r| 2 g
J a
J
a
для всех таких узлов можно заменить g( ar ) на − 21π log
получим
x − x |x − x | a2 f2 (x, x ) ≈ F
,
2α log
a
r0
где введено обозначение
x (x − r)2 .
F
(2πt)−1 exp −
t =
a
2 + a2
r
|x−x |
a
и мы
(4.22)
(4.23)
Функция (4.23) допускает простую интерпретацию. Она представляет
собой решение уравнения диффузии на плоскости
∂F
1
1 ∂2
∂2 F,
= Δ2 F =
+
(4.24)
∂t
2
2 ∂x21
∂x22
при начальном условии
F (x|t = 0) =
δ(x − r).
(4.25)
r
Иными словами, если в начальный момент диффундирующее вещество
сосредоточено в узлах решетки r (в каждом узле единичное количество вещества), то (4.23) представляет собой концентрацию диффундирующего вещества в последующие моменты времени; при t → ∞
поэтому F (x/a|t) → a−2 . Согласно (4.22), функция f2 (x, x ) получается подстановкой t = 2α log(|x − x |/a) в переходную вероятность для
такой диффузии (такую же связь между переходной вероятностью и
двухточечной функцией распределения мы нашли для системы плоских
спинов и найдем для гейзенберговского ферромагнетика). В частности,
свойству
lim F (x|t) = a−2
t→∞
соответствует поведение (4.22), какого и следует ожидать при отсутствии дальнего порядка.
Гл. 4. Двумерные кристаллы
209
Другие вопросы. Хотя функция распределения (4.22) ведет себя на
больших расстояниях так, как считается типичным для жидкости, двумерные кристаллы надо считать твердым телом, так как они обладают
сдвиговой жесткостью. Действительно, совершенно так же, как в § 8
гл. 2, можно построить для двумерного кристалла деформированные
состояния, например, как предельные состояния для граничных усло
вий
ur = urгр = u(rгр ).
(4.26)
Γ
Эти состояния получаются из описанного выше однородного состояния
(для условий (4.26) с u(rгр ) = 0) преобразованием
ur → ur + ur ,
(4.27)
где ur — функция, осуществляющая минимум энергии (4.4) при граничных условиях (4.26), т. е. решение уравнений упругого равновесия
для этих условий. Энергия деформированных состояний дается выражением (4.4), в котором надо заменить εμμ на
εμμ =
1 ∂uμ
∂uμ
(
+
).
2 ∂xμ
∂xμ
Как объяснено во введении (см. гл. 1, § 1) существование деформированных состояний означает наличие сдвиговой жесткости в системе, в
частности, поперечных волн, почему мы и должны считать двумерный
кристалл твердым телом.
Безвихревое приближение для двумерных кристаллов можно было
бы построить в полной аналогии с частью 1 § 6 главы 2, добавив к
энергии (4.4) ангармонические члены (четвертого и высших порядков
по εrδ ). Трактовка дислокаций также могла бы быть проведена аналогично трактовке вихрей во второй части § 6 главы 2.
В случае квантовых двумерных кристаллов к энергии (4.4) надо
добавить кинетическую энергию; получается гамильтониан системы
гармонических осцилляторов и корреляции опять даются выражением
(4.5). Все формулы для асимптотик корреляций также остаются в силе
(под ρ(x) надо теперь понимать оператор плотности частиц, т. е. xl в
(4.15), (4.17) и ur в (4.18) понимать как операторы).
Глава 5
ДВУМЕРНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ МАГНЕТИКИ
§ 1. Классические изотропные магнетики
Доказано свойство однородности корреляций относительно растяжения расстояний в двумерной системе трехмерных спинов с
изотропным взаимодействием. Найдены асимптотика двухточечной корреляции и свободная энергия системы в слабом магнитном
поле.
Описание системы. Рассматриваемая система представляет собой двумерную решетку, в каждом узле которой r расположен трехмерный
спин, длина которого считается фиксированной, и состояние которого
поэтому задается единичным трехмерным вектором nr , т. е. направлением спина в пространстве. Если описывать это направление углами
θr , ϕr относительно некоторой сферической системы координат, то
компоненты nr в прямоугольной системе координат будут равны
nr = {sin θr cos ϕr , sin θr sin ϕr , cos θr }.
Для энергии взаимодействия спинов возьмем выражение
E(... , nr , ...) =
J(cos γrδ ),
(5.1)
(5.2)
rδ
где γrδ — угол между соседними спинами, т. е.
cos γrδ = (nr · nr+δ ) =
= cos θr cos θr+δ + sin θr sin θr+δ cos(ϕr+δ − ϕr ) (5.3)
§ 1. Классические изотропные магнетики
и
J(cos γrδ ) =
∞
211
(5.4)
Jl Pl (cos γrδ )
l=1
— энергия взаимодействия двух спинов как функция угла между
ними (Pl (z) — полиномы Лежандра). Например, для гейзенберговского
взаимодействия было бы (S — величина спина):
Jгейз (cos γrδ ) = −S 2 cos γrδ .
(5.5)
Мы примем, что взаимодействие ферромагнитное, т. е. что
J(cos γ) J(1).
(5.6)
В частности, из (5.6) следует, что положительна величина
∞
d2
J = 2 J(cos γ) = −
Jl Pl (0) 0.
dγ
γ=0
(5.7)
l=0
Средние по гиббсовскому распределению, соответствующему (5.2),
выражаются интегралами
(
'
U(nr1 , ... , nrn ) =
1
= eF/T ... e− T rδ J(cos γrδ ) U(... , nrs , ...) (dnr ), (5.8)
r
где интегрирование по каждому из nr идет по единичной сфере
0 θr π , 0 ϕr 2π причем элемент объема (вернее, площади) на
сфере берется в обычном виде
1
sin θr dθr dϕr .
4π
Среднее (5.8) может быть представлено в виде интеграла
'
(
U(nr1 , ... , nrn ) =
= ... Pn (n1 , r1 ; ... ; nn , rn )U(nr1 , ... , nrn )(dn1 ) ... (dnn ),
(dnr ) =
(5.9)
(5.10)
где Pn (n1 , r1 ; ... ; nn , rn ) — вероятностная функция распределения направлений n выделенных спинов; эти функции мы назовем функциями
распределения, а корреляции определим как
1
n
Fn (ls , ms ; rs ) = Ylm
(nr1 ) ... Ylm
(nrn ),
n
1
(5.11)
т. е. как средние от произведений сферических функций.
Основное приближение. Основное приближение, применимое при
T J , можно построить с помощью тех же соображений, что и в
случае системы плоских спинов (см. гл. 2, § 4). Именно, рассуждаем
следующим образом: поскольку в основном состоянии (при T = 0) все
212
Гл. 5. Двумерные изотропные магнетики
спины имеют одно и то же направление, то при низких температурах
(при T J ) угловое отклонение соседних спинов должно быть мало.
Из дальнейшего будет следовать, что
|γrδ |2 = O(T /J) 1,
(5.12)
т. е. предположение о малости соседних угловых отклонений является
самосогласованным.
В силу малости соседних угловых отклонений, энергию взаимодействия спинов можно аппроксимировать выражением
1 H − E0 ≈ J
(γrδ )2 ,
(5.13)
2
rδ
(E0 — энергия основного состояния; мы не требуем, чтобы (5.4) обращалось в нуль при γrδ = 0). В представлении (5.1) малость соседних
угловых отклонений соответствует малости
|dδ θr | = |θr+δ − θr | 1; |dδ ϕr | = |ϕr+δ − ϕr | 1
(5.14)
и из (5.3) находим (с точностью до второго порядка по (5.14)):
(γrδ )2 = (dδ θr )2 + sin2 θr (dδ ϕr )2 ,
так что аппроксимацию (5.13) можно записать в виде
1 (dδ θr )2 + sin2 θr (dδ ϕr )2 .
H − E0 ≈ J
2
(5.15)
(5.16a)
rδ
В непрерывном описании (т. е. для конфигураций, описываемых плавными дифференцируемыми функциями θ(r), ϕ(r)) можно записать
1 H − E0 ≈ J (∇θ)2 + sin2 θ(∇ϕ)2 (dr).
(5.16b)
2
Соответствующее выражение для статистического веса в основном
приближении, соответствующем (5.16a), имеет вид
J *
+ (dδ θr )2 + sin2 θr (dδ ϕr )2
dZ ∼ exp −
(dnr ).
(5.17)
2T
r
rδ
Существенным отличием от рассматривавшихся ранее задач является
то, что статистическое распределение в основном приближении не
является гауссовым. Этот факт можно связать с некоммутативностью
группы вращений, в отличие от коммутативности групп симметрии
гамильтониана в задачах, рассмотренных в главах 2, 3 и 4.
Квадратичное приближение. Хотя распределение (5.17) не является
гауссовым, для конфигураций, в которых направления всех спинов
мало отличаются от некоторого среднего направления, распределение
(5.17) сводится к гауссовому. Такое приближение применимо для трех-
§ 1. Классические изотропные магнетики
213
мерной системы, а в рассматриваемом случае двумерной системы —
при достаточно малых размерах системы, именно, пока
T
R
log 1,
(5.18)
J
a
как станет ясно из последующего.
Действительно, пусть конфигурации спинов, дающие существенный
вклад в средние, могут быть представлены в виде
nr → n + εr ,
(5.19)
где n — некоторый постоянный единичный вектор, а векторная функция εr удовлетворяет условию
|εr | 1; (n · εr ) = 0,
(5.20)
(второе условие следует из того, что (nr )2 = (n + εr )2 = n2 = 1). Выберем n в качестве оси сферической системы координат θ
, ϕ
, тогда в
новой системе будем иметь
|θ
r |, |6
ϕr | 1; sin θ
r ≈ θr
и выражение (5.17) переходит для этого случая в
J *
+ (dδ θ
r )2 + θ
r2 (dδ ϕ
θ
r dθ
r dϕ
dZ ∼ exp −
r )2
r .
2T
r
(5.21)
(5.22)
rδ
r как полярные координаты двумерного
Если рассматривать θ
r и ϕ
вектора
ε
r = {
ε(r1) , ε
(r2) } = {θ
r cos ϕ
r , θ
r sin ϕ
r },
(5.23)
то относительно ε
r распределение (5.22) является гауссовым
J *
+ (1) (2) (dδ ε
r(1) )2 + (dδ ε
r(2) )2
dεr dεr .
dZ ∼ exp −
2T
r
(5.24)
rδ
Смысл перехода от (5.22) к (5.24) весьма прост. В приближении
(5.19) состояния всех спинов конфигурации изображаются точками
небольшого участка единичной сферы, расположенного в окрестности
точки n. Приближение (5.19) соответствует замене распределения на
этом участке сферы распределением на соответствующем участке касательной плоскости (касающейся сферы в точке n). Система координат
θ
, ϕ
на сфере переходит при проекции на касательную плоскость в
полярную систему координат на касательной плоскости (θ
переходит в
радиус, ϕ
— в полярный угол). Это и выражает формула (5.22), а (5.24)
соответствует переходу от полярной системы координат на касательной
плоскости к прямоугольной.
Приближение (5.22), (5.24) полностью соответствует по своему
смыслу квадратичному приближению для системы плоских спинов,
рассмотренному в § 2 главы 2. Оно применимо до тех пор, пока
214
Гл. 5. Двумерные изотропные магнетики
ε2r 1, что и дает условие его применимости (5.18). Рассмотрим, в
частности, систему, имеющую форму кольца с внутренним и наружным
радиусами ρ < ρ, удовлетворяющими (5.18). Центр кольца обозначим
r = 0, и точки кольца будем описывать полярными координатами r, ζ
(ζ — полярный угол, т. к. буква ϕ уже занята). Зададим, далее,
граничные конфигурации на внутренней и внешней границах кольца в
виде (сравни с (2.207)):
∞
n(ρ, ζ) = n + ε(ζ) = n +
εm eimζ ,
(5.25a)
m=0
n(ρ , ζ) = n + ε (ζ) = n + (n − n) +
∞
εm eimζ .
(5.25b)
m=0
Причем примем, что выполнены условия |n − n| 1, |εm | 1 и
|εm | 1, тогда внутри кольца будет выполняться (5.19) и можно применять гауссово приближение (5.24). В силу гауссовости, статсумма
кольца при условиях (5.25) может быть записана в виде (сравни с
(2.208)):
1
Zρ ρ (n εm |n, εm ) ∼ exp − Emin (n εm |n, εm ) ,
(5.26)
T
где Emin (...) — минимум энергии в экспоненте из (5.24) при граничных
условиях (5.25). Из решения уравнения Лапласа находим (сравни с
(2.210)):
∞
1
1 ! cosh(mΔt)
(n − n )2
Emin (n εm |n, εm ) =
+
(|εm |2 + |εm |2 )−
m
T
2αΔt
α m=1
sinh(mΔt)
"
1
∗
∗
(εm ε m + εm εm ) , (5.27)
−
sinh(mΔt)
с теми же обозначениями, как в (2.211), т. е.
ρ
T
Δt = log ; α =
;
ρ
2πJ
выбрав Δt так же, как в Дополнении к § 5 гл. 2, т. е. чтобы выполнялось αΔt 1, но eΔt 1, получаем (сравни с (2.212)):
Zρ ρ (n, εm |n, εm ) ∼ e−
(n−n )2
2αΔt
∞
m=1
e− α |εm |
m
2
∞
e− α |εm | .
m
2
(5.28)
m=1
Свойство однородности для асимптотик корреляций. Полученные
выше соотношения позволяют применить к рассматриваемой задаче
метод, описанный в дополнении к § 5 главы 2. Именно, рассмотрим
систему, из которой удален кружок радиуса ρ с центром в некоторой
точке r, и зададим на границе кружка граничное условие (5.25b).
§ 1. Классические изотропные магнетики
215
Введем функционал Zρ (n, εm ), представляющий собой статсумму такой
«продырявленной» системы, как функцию от n, εm , ρ (граничные условия на других границах считаем фиксированными). Тогда, аналогично
(2.204) можем написать для ρ < ρ:
Zρ (n , εm ) ∼ Zρ ρ (n , εm |n, εm )Zρ (n, εm )(dn)
dεm .
(5.29)
m=0
Используя теперь (5.28) находим, аналогично (2.213)
Zρ (n, εm ) ∼ Zρ (n)
∞
e−
m|εm |2
α
,
(5.30)
m=1
где Zρ (n) есть статсумма «продырявленной» системы при граничном
условии nr = n на границе кружка; при этом Zρ (n) удовлетворяет
соотношению
− (n−n )
Zρ (n ) ∼ e 2α log ρ/ρ Zρ (n)(dn),
(5.31)
которое означает, что Zρ (n) удовлетворяет по параметру t = α log 1/ρ
уравнению Фоккера-Планка для вращательного броуновского движения (диффузии по поверхности сферы) (см. [51]), именно
ρ
∂
Zρ (n) = α L2 Zρ (n),
∂ρ
(5.32)
где −L2 есть угловая часть оператора Лапласа, т. е. оператор
1 ∂ 1 ∂2
∂ sin θ
+
.
−L2 =
(5.33)
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ
Кроме того, из (5.31) следует, аналогично (2.217), что вероятностное
распределение P (n, r) для исходной (непродырявленной) системы получается из Zρ (n) подстановкой ρ = r0 :
P (n, r) ∼ Zρ (n)
.
(5.34)
ρ=r0
Поэтому, так же, как в дополнении к § 5 главы 2, рассмотрев величины
Z...,ρs ,... (... , ns , rs , ...),
(5.35)
представляющие собой статсумму системы, у которой удалены кружки
радиусов ρs с центрами в точках rs , и спины на границах кружков
закреплены при направлениях ns , заключаем что, во-первых, величина
(5.35) удовлетворяет уравнениям (5.32) отдельно по каждому из ρs ,
и, во-вторых, что n-точечная функция распределении Pn (... , ns , rs , ...)
получается из (5.35) (с точностью до нормировки), если положить
в (5.35) все ρs равными r0 . Кроме того, (5.35) обладает свойством
однородности относительно одновременного растяжения всех расстояний (как rs , так и ρs ) в одинаковое число раз, аналогичное (2.197)
Гл. 5. Двумерные изотропные магнетики
216
и доказываемое так же; в силу этого свойства зависимость от ρs
можно перенести на зависимость от ρs = r0 , и положив после этого все
ρs = r0 , получим окончательно
∂ Pn (n1 , r1 ; ... ; nn , rn ) =
rs
∂rs
s
n
1 2 =− α
Ls Pn (n1 , r1 ; ... ; nn , rn ), (5.36)
2
s=1
где L2s есть оператор (5.33), действующий на переменные ns . Уравнения
(5.36) и есть искомые соотношения, выражающие свойства однородности асимптотик функций распределения. Для асимптотик корреляций
(5.11) получаем
n
'
'
(
(
1
Fn (ls , ms ; λrs ) = |λ|− 2 α s=1 ls (ls +1) Fn (ls , ms ; rs ) .
(5.37)
Двухточечная функция распределения и свободная энергия в слабом магнитном поле. Из (5.36), учитывая, что двухточечная функция
распределения P2 (n, r; n , r ) должна зависеть только от r − r и (n · n )
(в силу пространственной однородности и спиновой изотропии), получаем
|r − r | P2 (n, r; n , r ) = Ω n, n 2α log
,
(5.38)
r0
где введено обозначение
Ω(n, n |t) =
∞
(2l + 1)Pl (n · n )e− 2 l(l+1)t =
1
l=0
=
∞ ∗
Ylm (n)Ylm (n )e− 2 l(l+1)t , (5.39)
1
l=0 |m|<l
т. е. Ω(n, n |t) есть переходная вероятность для вращательного броуновского движения (фундаментальное решение уравнения диффузии
на сфере). Для двухточечной корреляции (5.38) дает
r − r − 12 αl(l+1)
' m
(
Yl (nr )Ylm
(nr ) ≈ δll δm+m ,0 .
(5.40)
r0
В частности, функция корреляции направлений спинов равна
r − r − 12 α
nr · nr ≈ .
r0
(5.41)
Для определения многоточечных функций распределения уравнений
(5.36) недостаточно: если функция зависит от нескольких расстояний,
то уравнения (5.36) определяют ее с точностью до зависимости от
отношений между этими расстояниями. Однако из (5.37), совершено
§ 2. Квантовые изотропные магнетики
217
аналогично тому, как это сделано в § 7 главы 2 для системы плоских
спинов, можно найти главные члены разложений для свободной энергии и момента в слабом магнитном поле.
Функция взаимодействия спина с магнитным полем равна
(h · nr ) = h cos ∠(h, nr ),
т. е. разлагается на гармоники с l = 1. Соответственно этому, «наиболее расходящиеся» члены ряда для свободной энергии в слабом
магнитном поле пропорциональны интегралам от корреляций (5.11) с
l1 = l2 = ... = ln = 1. Это дает для суммы «наиболее расходящихся
членов» представление
h
ΔF (h)
T
= f α, R2−α
.
−
, где α =
(5.42)
T
T
2πJ
Откуда, так же, как в § 7 главы 2, получаем главные члены разложений
для свободной энергии и момента в виде
2
h 2−α
ΔF (h)
= −T C
,
(5.43)
N
J
α
h 2−α
mh = C1
,
(5.44)
J
где C , C1 — некоторые константы, которые можно определить из соответствия с результатами, даваемыми квадратичным разложением.
§ 2. Квантовые изотропные магнетики
Показано, что асимптотики корреляций в квантовой системе изотропных спинов точно такие же, как в соответствующей классической системе.
Основное тождество. Мы покажем сейчас, что в квантовой системе
изотропных спинов асимптотики корреляций совпадают с асимптотиками в соответствующей классической системе. Метод доказательства
подобен методу, примененному для аналогичного доказательства, приведенного в конце § 1 главы 3. Нижеследующее доказательство основано на использовании одного тождества, вытекающего из соотношений
ортогональности в теории представлений группы SU (2).
Мы начнем с доказательства этого тождества. Рассмотрим сначала
один спин. Как известно, компоненты спина S(α) (α = x, y , z) являются
генераторами представлений группы SU (2). Элементы группы SU (2),
служащей универсальной накрывающей для группы вращений, можно параметризовать так же, как элементы этой последней — углами
Эйлера θ, ϕ, ψ , только период по углу ψ будет не 2π , а 4π . Для
сокращения тройка углов Эйлера, параметризующих элементы SU (2),
будет обозначаться далее одним символом u:
u = {θ, ϕ, ψ}, 0 θ π ; 0 ϕ 2π ; 0 ψ 4π.
(5.45)
Гл. 5. Двумерные изотропные магнетики
218
Элемент объема на группе будет обозначаться через
(du) =
1
sin θ dθ dϕ dψ.
16π 2
(5.46)
Если рассмотреть неприводимое представление, отвечающее полному
спину S , то для элементов 2S + 1–мерных матриц представления
D(u)
= DM M (u); −S M , M S
(5.47)
имеют место известные соотношения ортогональности (см. [63])
∗
DM
M (u)DM M1 (u)(du) =
2
1
2
1
δM M δM M ,
2S + 1 1 2 1 2
(5.48)
SU (2)
где интеграл берется по группе SU (2), т. е. в пределах (5.45). Соотношения (5.48) допускают следующую эквивалентную формулировку,
которая и будет ниже использована: для любого оператора F = FM M действующего на 2S + 1-мерном пространстве представления и для
любого нормированного вектора |· этого пространства имеет место
следующее тождество
Sp F =
S
M =−S
FM M = (2S + 1)
+ (u)FD(u)|·.
·|D
(5.49)
SU (2)
Пусть теперь имеем решетку, с каждым узлом которой r связан
r (все спины имеют одинаковую величину (Sr )2 = S(S + 1)).
спин S
Сопоставим каждому узлу r свое независимое SU (2)-преобразование с
r ), действующий
параметрами ur и соответствующий ему оператор D(u
только на переменные, относящиеся к спину Sr . Тогда каждой решеточной функции ur , т. е. тройке функций θr , ϕr , ψr можно сопоставить
оператор
r (ur ),
, ur , ...) =
(5.50)
D(...
D
r
преобразующий состояния всей системы. Это преобразование можно
также рассматривать как преобразование операторов, при котором
каждому оператору F = F (... , Sr , ...), действующему на пространстве
состояний системы, сопоставляется преобразованный оператор
§ 2. Квантовые изотропные магнетики
219
F{... , ur , ...} = D+ (... , ur , ...) F D(... , ur , ...) =
= F (... , Sr (ur ), ...). (5.51)
Если оператор F выражен через Sr , то преобразованный оператор
(α)
(5.51) получается из этого выражения заменой каждого из Sr на
Rαβ (ur )Sr(β) ,
(5.52)
Sr(α) (ur ) = Dr+ (ur ) Sr(α) Dr (ur ) =
β=x,y ,z
где
Rαβ (u) = Rαβ (θ, ϕ, ψ) (α, β = x, y , z)
(5.53)
– матрица трехмерного вращения с углами Эйлера θ, ϕ, ψ .
Для шпура произвольного оператора F, действующего на состояния
всей системы получаем (беря последовательно шпуры по переменным,
относящимся к каждому узлу и каждый раз применяя (5.49))
N
... 0|F{... , ur , ...}|0 (dur ).
Sp F = (2S + 1)
(5.54)
r
Здесь N — число узлов решетки, F {...} — оператор (5.51), т. е.
преобразованный по (5.50) исходный оператор F, и |0 — любой нормированный вектор из пространства состояний решетки. Тождество
(5.54) сводит операцию взятия шпура к усреднению преобразованного
оператора по одному какому-нибудь состоянию и интегрированию по
параметрам локальной группы. Наше рассмотрение и будет основано
на использовании тождества (5.54) при специальном выборе вектора
состояния |0.
Эквивалентность квантовой и классической систем с точки зрения
асимптотик корреляций на больших расстояниях. Для простоты
рассмотрим гейзенберговский ферромагнетик с гамильтонианом взаимодействия
r · S
r+δ ).
H = −J
(S
(5.55)
rδ
Гиббсовское среднее для произвольного оператора F имеет вид
= eF/T Sp e− HT F ,
F
(5.56)
где F — свободная энергия системы, определяемая из требования
нормировки 1 = 1. Используем для эквивалентной записи (5.56) тождество (5.54), взяв в качестве состояния |0 в (5.54) основное состояние
гамильтониана (5.55), для которого
Sr(z) |0 = +S|0.
(5.57)
Гл. 5. Двумерные изотропные магнетики
220
Среднее (5.56) тогда запишется в виде
= eF/T (2S + 1)N ×
F
1
× ... 0|F{...
, ur , ...}e− T H{...,ur ,...} |0 (dur ). (5.58)
r
Заметим, что подынтегральное выражение в (5.58) фактически не зависит от углов ψr . Действительно, из тождества (см. [63])
r (θr , ϕr , ψr ) = D
r (θr , ϕr , 0)eiψr Sr(z)
D
(5.59)
, ur , ...)|0 зависят от ψr только через мновидно, что состояния D(...
жители eiψr S , которые сокращаются с сопряженными множителями от
+ (... , ur , ...). Поэтому в (5.58) можно опустить интегрисостояния 0|D
рования по dψr и положить
ur = {θr , ϕr , 0},
(5.60)
что упростит конкретные вычисления.
Введем теперь функционал E{... , ur , ...}, определив его равенством
0|e− T H{...,ur ,...} |0 = e− T E0 e− T E{...,ur ,...} ,
1
1
1
(5.61)
(E0 — энергия основного состояния). Учтем далее, что если вычисляется среднее от произведения локальных операторов Fs (rs ), относящихся
к далеко отстоящим точкам rs (таким, что |rs − rs | a), то в силу
принципа распадения корреляций (эргодичности), который в данном
случае (для состояния (5.57)) можно проверить непосредственно, имеем
n
n
1
1
0|
0|Fs (urs )|0e− T E{...,ur ,...} . (5.62)
Fs (urs )e− T H{...,ur ,...} |0 ≈
s=1
s=1
Сопоставим каждому оператору Fr , зависящему от спина Sr в одной
точке r, классическую функцию
Fr (ur ) = 0|Fr (ur )|0 = 0|Fr (Sr (ur ))|0,
(5.63)
т. е. среднее от преобразованного оператора Fr (ur ) по основному состоянию (5.57), выраженное как функция от ur . Тогда на основании (5.58)
и (5.62) мы можем написать для асимптотик среднего от произведения
локальных операторов в далеких точках
n
n
1
F −E0
Fs (urs ) ≈ e T
Fs (urs ) e− T E{...,ur ,...} (dur ). (5.64)
...
s=1
s=1
r
Формулу (5.64) можно интерпретировать в том смысле, что квантовомеханическое среднее от произведения локальных операторов, относящихся к далеким точкам, совпадает со средним по эквивалентной
§ 2. Квантовые изотропные магнетики
221
классической системе, конфигурации которой описываются функциями (5.60), эффективная энергия конфигураций дается величиной
E{... , ur , ...} из (5.61), а соответствие между величинами осуществляется по следующему правилу: квантовомеханической величине F сопоставляются классическая величина (т. е. функция от ur ), определяемая
по (5.64). В частности, компонентам спина Sr сопоставляется по этому
правилу Snr , где nr — единичный вектор с направлением θr , ϕr − π/2
в сферической системе координат:
r → Snr = S{sin θr sin ϕr , − sin θr cos ϕr , cos θr }.
S
(5.65)
(α)
Действительно, согласно (5.64) и (5.52) компонентам Sr сопоставля(α)
ется величина 0|Sr (ur )|0 = Rαz (ur )S = Snr (α), что и дает (5.65).
Чтобы воспользоваться результатами рассмотрения, проведенного в
предыдущем параграфе, остается только найти выражения для эквивалентной энергии E{... , ur , ...}, притом его достаточно знать только
для медленно меняющихся конфигураций (5.14). Это выражение может
быть получено точно так же, как в конце § 1 главы 3. Именно,
представляем преобразованный гамильтониан в виде
H{... , ur , ...} = H + H1 (u, dδ u) + H2 (u, dδ u) + o((dδ u)2 ),
(5.66)
где H1 и H2 есть члены первого и второго порядка по dδ u. Выражения
для H1 и H2 мы не будем выписывать; их можно получить, исходя из
r S
r+δ имеет вид
того, что преобразованное S
(γ)
r+δ (ur+δ ) =
r )S
Rαβ (ur )Rαγ (ur + dδ ur )Sr(β) Sr+δ
(5.67)
S(u
αβγ
и вычисляя разложение величины
Rαβ (u)Rαγ (ur + du)
α
из известных выражений для матриц (5.53). Далее, для E{... , ur , ...}
имеет место представление (3.65), и таким же способом, как в § 1
главы 3, можно показать, что второй член в (3.65) в данном случае
также пренебрежим по сравнению с первым (можно использовать как
тождества, аналогичные соотношениям (3.67)–(3.68), что приводит к
формулам, аналогичным (3.71)–(3.72), так и то, что в данном случае
явно известны волновые функции основного и возбужденных состояний). Поэтому мы имеем
E{... , ur , ...} ≈ 0|H2 (u, dδ u)|0 + o((dδ u)2 ) =
"
!
1
(dδ θr )2 + sin2 θr (dδ ϕr )2 , (5.68)
= JS 2
2
rδ
что полностью совпадает с (5.16a) для случая (5.5). Поэтому все полученные в § 1 асимптотики имеют место и для квантовой задачи (при
222
Гл. 5. Двумерные изотропные магнетики
учете соответствий типа (5.65)). Отметим, что параметры обрезания
типа r0 , зависящие от коротковолновой энергии, в квантовом случае
будут другими; их можно определить из соответствия с выражениями,
даваемыми теорией спиновых волн (играющей в квантовом случае
роль, эквивалентную
$ квадратичному приближению). Для r0 из (5.41)
это даст r0 = 12 a JS/T .
Заключение
Вопрос о низкотемпературных свойствах двумерных систем представляет интерес с двух точек зрения: как вопрос статистической теории фазовых переходов и в связи с описанием свойств реальных пленок
(кристаллических, магнитных, сверхпроводящих, жидкого гелия). Рассмотрение вопроса на предельно упрощенной модели, как это сделано
в настоящей работе, удобно тем, что позволяет рассмотреть принципиальную сторону дела на основе четкой математической постановки
задачи. Однако при этом могут быть опущены детали, существенные
в других отношениях (не связанных с рассматриваемым вопросом).
Поэтому сравнения полученных результатов с экспериментом автор
намеренно не касался, считая, что это лежит в стороне от поставленной задачи. Особого рассмотрения требует также случай заряженных
бозе-жидкостей (сверхпроводников), где наличие электромагнитного
взаимодействия может внести существенные изменения в полученные
результаты. Этот вопрос представляет собой задачу дальнейших исследований.
Основным результатом настоящей работы является выяснение природы низкотемпературного состояния двумерных систем с непрерывной
группой симметрии, в частности наличия в них при достаточно низких
температурах сверхтекучести без бозе-конденсата, сдвиговой жесткости без дальнего кристаллического порядка и магнитной жесткости без
спонтанной намагниченности, а также фазового перехода при некоторой температуре Tk , связанного с исчезновением этих свойств.
Насколько надежно установлены эти результаты? Основное утверждение, что при достаточно низких температурах (при T < Tk ) имеет
место случай ρs (T ) = 0, получено на основе низкотемпературного разложения, т. е. не с полной математической строгостью. Однако, несмотря на то, что низкотемпературное разложение в той части, которая
связана с вкладом вихрей, имеет несколько непривычные (не встречавшиеся в других достаточно известных задачах) черты, аргументы,
приведенные на стр. 164, как нам кажется, достаточно убедительно
обосновывают применимость низкотемпературного разложения в этом
вопросе. Это подтверждается также тем, что в трехмерной задаче, где
выполнение свойства ρs (T ) = 0 при низких температурах общепринято,
224
Заключение
низкотемпературное разложение полностью аналогично двухмерному
(в отношении величины ρs (T )); в частности, вместо вихревых квазимолекул, в трехмерном случае появляются замкнутые вихревые нити,
энергия которых также логарифмически зависит от их размеров, с
чем связано, точно так же, как и в двумерном случае, пренебрежимо
малое влияние вклада больших вихревых нитей в ρs (T ) и корреляции. (Заметим, кстати, что квазимолекулы в двумерном случае можно
рассматривать как плоские сечения замкнутых трехмерных вихревых
нитей.) Правда, в трехмерном случае, наряду со свойством ρs (T ) = 0,
при T < Tk также имеет место спонтанное нарушение симметрии, с исчезновением которого и принято связывать фазовый переход, но если в
магнитной интерпретации с этим связано действительно наиболее важное изменение (исчезновение спонтанной намагниченности), а одновременное обращение в нуль ρs (T ) (исчезновение магнитной жесткости)
может рассматриваться как вторичный эффект, то в бозе-жидкостной
интерпретации физически существенно именно исчезновение сверхтекучести (обращение в нуль ρs (T )), тогда как фазовое вырождение при
T < Tk есть практически вообще не наблюдаемое свойство. Возможно,
именно с обращением в нуль ρs (T ), а не спонтанной намагниченности
(как это принято ныне, по историческим причинам) следует связывать
фазовый переход. К сожалению, вопрос о строгом математическом
определении фазового перехода и классификации связанных с этим
возможностей, в настоящее время почти не разработан. Мы обсуждали некоторые связанные с этим вопросы в § 8 гл. 2. Несомненно,
выяснение этих вопросов, в частности, в связи с рассматриваемыми
двумерными системами, представляло бы большой интерес.
Кроме непосредственных результатов работы, развитые здесь математические методы могут, возможно, найти применение в смежных
вопросах. Это в частности, относится к трактовке вихрей (применимой
и в трехмерном случае). Не исключено, что метод, развитый в дополнении к § 5 гл. 2 и в § 1 гл. 5 удастся обобщить на рассмотрение
асимптотик корреляций в окрестности критической точки.
Благодарности
Значительная часть этой работы (в частности, § 6 и часть § 8 главы
2) возникла в качестве ответа на вопросы, поставленные при обсуждении первой из работ [1] в Институте теоретической физики АН им.
Л. Д. Ландау. В этих обсуждениях участвовали А. И. Ларкин, В. Л.
Покровский и Ю. Н. Овчинников, которым автор приносит глубокую
благодарность. Автор благодарит также В. Н. Попова за ознакомление
с полученными им результатами и их обсуждение и Я. Г. Синая за
консультацию по вопросам строгой математической теории фазовых
переходов.
Список литературы
1. В. Л. Березинский, Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии, ЖЭТФ, 59, 907 (1970),
ЖЭТФ, 61, 1144 (1971).
2. F. Bloch, Z. Physik, 61, 206 (1930)
3. R. Peierls, Ann. Inst. Henri Poincare, 5, 177 (1935), Helv. Phys. Acta
7, Suppl. 2, 81 (1934)
4. Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 7, 627 (1937) (сб. трудов 1 Изд. Наука.)
5. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика, Изд. Наука, 2006
6. C. H. Hering, C. Kittel, Phys. Rev, 81, 869 (1951), сноска на странице 873
7. G. Wannier, Elements of Solid State Theory, Cambridge, 1959 (стр. 111-113)
8. J. Van Kranendonk, J. H. Van Fleck, Rev. Mod. Phys. 30, 1 (1958)
9. R. Ferrel, Phys. Rev. Lett., 13, 330 (1964)
10. T. M. Rice, Phys. Rev, 104A, 1889 (1965)
11. T. M. Rice, J. Math. Phys., 8, 1581 (1967)
12. А. А. Гриб, Е. В. Дамаскинский, В. М. Максимов, УФН 102, 587 (1970)
13. Н. Н. Боголюбов, Квазисредние в задачах статистической механики,
ОИЯИ, Р-511, Дубна, 1963 (2-ое изд.)
14. H. Wagner, Zs. Phys., 195, 273 (1966)
15. P. C. Hogenberg, Phys. Rev., 158, 383 (1967)
16. N. D. Mermin, H. Wagner, Phys. Rev. Lett., 17, 1133 (1966)
17. N. D. Mermin, J. Math. Phys., 8, 1061 (1967)
18. N. D. Mermin, Phys. Rev., 176, 251 (1968)
19. B. Jasnow, M. C. Fisher, Phys. Rev. Lett., 23, 286 (1969)
20. N. D. Mermin, Jour. of Phys. Soc. of Japan, 26, Suppl. (Proceeding of
International Conference on Statistical Mechanics), 203 (1969)
21. D. A. Krueger, Phys. Rev. Lett., 19, 563 (1967)
22. G. V. Chester, M. E. Fisher, N. D. Mermin, Phys. Rev., 185, 760 (1969)
23. M. D. Girardeau, J. Math. Phys., 10, 993 (1969)
24. C. Costache, G. Nenciu, Phys. Lett., 33A, 193 (1970)
25. J. D. Patterson, G. L. Jones, Phys. Rev., B3, 3004 (1971)
26. J. F. Fernandez, Phys. Rev., B1, 1345 (1970)
27. J. F. Fernandez, Phys. Rev., 3A, 1104 (1971)
28. H. E. Stanley, T. A. Kaplan, Phys. Rev. Lett., 17, 913 (1966)
Список литературы
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
8*
227
М. Фишер, Природа критического состояния, изд «Мир», 1968
B. J. Adler, T. E. Weinwright, Phys. Rev., 127, 359 (1962)
H. E. Stanley, T. A. Kaplan, J. Appl. Phys., 38, 975 (1967)
H. E. Stanley, Phys. Rev. Lett., 20, 589 (1968)
M. A. Moore, Phys. Rev. Lett., 23, 861 (1969)
R. E. Watson, M. Blume, G. H. Vineyard, Phys. Rev., B2, 684 (1970)
G. Chester, L. Reatto, Phys. Lett. 22, 276 (1966)
L. Reatto, Phys. Lett., 26A 400 (1967)
G. Chester, L. Reatto, Phys. Rev., 155, 88 (1967)
B. Jancovici, Phys. Rev. Lett., 19, 20 (1967)
B. I. Halperin, P. C. Hohenberg, Phys. Rev., 188, 898 (1969)
Р. Л. Добрушин, Р. А. Милнос, Ю. М. Сухов, Приложение к книге
Д. Рюэль, Статистическая механика, «Мир», 1971 (см. [56])
J. Bardeen, Phys. Rev. Lett., 1, 399 (1959)
P. C. Hohenberg, P. C. Martin, Ann. of Phys.(NY), 34, 291 (1965)
D. Pines, Proc. 9th Intern. Conf. on Low Temper. Phys V1, 61, N.Y., 1965
(русск. перевод: Проблема многих тел и физика плазмы, «Наука», 1967,
стр. 79)
J. W. Kane, L. P. Kadanoff, Phys. Rev., 155, 80 (1967)
G. Lashaer, Phys. Rev., 172, 224 (1968)
F. Wegner, Z. Phys., 206, 465 (1967)
В. Н. Попов, Теор. Мат. Физ. 6, 90 (1971)
B. J. Adler, W. R. Gardner, J. K. Hoffer, N. E. Phillips, D. A. Young,
Phys. Rev. Lett., 21, 732 (1968)
Ф. Спицер, Принципы случайного блуждания, «Мир», 1969
В. Г. Вакс, А. И. Ларкин, ЖЭТФ 49, 975 (1965)
М. А. Леонтович, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944; С. М. Рытов,
Введение в статистическую радиофизику, «Наука», 1962
W. F. Winer в книге Quantum Fields, ed. B. F. Brewer, Amsterdam, 1966,
p.74
А. Эрдеи, Асимптотические разложения, Физматгиз, 1962; Э. Т. Копсон,
Асимптотические разложения, «Мир», 1966
J. M. Luttinger, J. C. Ward, Phys. Rev., 118, 1417 (1960)
Т. Хилл, Статистическая механика, ИЛ, 1960
Д. Рюэль, Статистическая механика (строгие результаты), «Мир», 1971
Е. Б. Дынкин, УМН 24, 3 (1969)
Е. Б. Дынкин, в книге «Зимняя школа по теории вероятностей и математической статистике, Ужгород, 1964», Киев, 1964.
Г. Бете, Э. Солпитер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, Физматгиз, 1960
J. Schwinger, J. Math. Phys., 2, 407 (1961)
А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой
теории поля в статистической физике, Физматгиз, 1962
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория упругости, Изд. Наука, 1965
Н. Я. Виленкин, Специальные функции и терия представлений групп, Изд.
Наука, 1965
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
72
Размер файла
1 811 Кб
Теги
482
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа