close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

589

код для вставкиСкачать
ОТ АВТОА
Математические методы исследования получили широкое распространение в естествознании и медицине. Поэтому подготовка будущих учителей специальностей ѕХимияї, ѕБиологияї и выпускников
медицинских специальностей вузов тесно связана с получением прочных математических знаний и практических навыков. Основой этих
знаний является курс ѕВысшей математикиї, читаемый студентам
этих специальностей.
В связи с этим в нем особое внимание уделено понятиям и методам, имеющим прикладное значение. Это отражено как в изическом,
химическом, биологическом и геометрическом истолковании основных понятий высшей математики, так и в большом числе рассмотренных примеров, задач и математических моделей из изики, химии,
биологии и медицины.
Изложение теоретического материала сопровождается разобранными примерами и задачами, а также упражнениями для самостоятельной работы. (Ответы к упражнениям даются по необходимости
сразу после текста в квадратных скобках).
Книга может быть использована и студентами сельскохозяйственных вузов. Она будет полезна также и студентам математических
специальностей педвузов, учителям математики и учащимся школ и
классов с углубленным изучением математики как материал применения математики в естествознании.
Читателям, желающим углубить свои математические знания и
расширить серу их применения в химии, биологии и медицине, следует обратиться к дополнительной литературе, список которой приведен в конце книги (ссылки на нее по мере изложения приводятся
в квадратных скобках).
ЧАСТЬ I
ЭЛЕМЕНТЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЕОМЕТИИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОО АНАЛИЗА
Введение
оль математики в различных областях естествознания и в разное
время была неодинаковой. Она складывалась исторически, и существенное влияние на нее оказывали два актора: уровень развития
математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом
объекте, возможность описать его основные черты и свойства на языке
математических понятий и соотношений, или, как теперь принято говорить, возможность построить ѕматематическую модельї изучаемого
объекта.
Приведем простейший пример математической модели. Представим себе, что требуется определить площадь пола комнаты. Для выполнения такого задания измеряют длину и ширину комнаты, а затем
перемножают полученные числа. Эта элементарная процедура актически означает следующее. еальный объект пол комнаты заменяется абстрактной математической моделью прямоугольником.
Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате
измерения, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь.
Математическая модель, основанная на некотором упрощении,
идеализации, никогда не бывает тождественна рассматриваемому
объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является
его приближенным отражением. Однако благодаря замене реального
объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сормулировать задачу его изучения и воспользоваться
для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг актов и наблюдений,
провести их детальный количественный анализ, предсказать, как
поведет себя объект в различных условиях, т. е. прогнозировать
результаты будущих наблюдений.
Математические модели давно и весьма успешно применяются в
механике, изике, астрономии.
В современный период роль математических методов в естествознании все возрастает. Они теперь широко используются и в биологии,
8
л. I. Элементы аналитической геометрии
и в химии. Здесь также успешно применяются математические модели.
Данная книга содержит некоторые из этих применений.
лава I
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЕОМЕТИИ
џ 1. Метод координат на плоскости
1. Декартовы прямоугольные координаты. Выберем на
плоскости две взаимно перпендикулярные прямые Ox и Oy с указанными на них положительными направлениями. Прямые Ox и Oy называются координатными осями ,
точка их пересечения O начаy
лом координат . Обычно полагают,
что ось Ox горизонтальна, а
M (x; y)
ось Oy вертикальна относительно наблюдателя; положительное
y
направление на Ox слева напраeplaements
во, на Oy снизу вверх (рис. 1).
Возьмем теперь некоторую
0
x
единицу масштаба, с помощью
x
которой будут производиться все
измерения на плоскости xOy .
Совокупность координатных
ис. 1
осей Ox; Oy и выбранной единицы масштаба называется декартовой прямоугольной (или кратко
прямоугольной ) системой координат на плоскости *).
Произвольной точке M плоскости поставим в соответствие два числа (рис. 1):
а) абсциссу x, равную расстоянию точки M от оси Oy; взятому
со знаком ѕ+ї, если M лежит правее Oy; и со знаком ѕ ї, если M
лежит левее Oy ;
б) ординату y , равную расстоянию точки M от оси Ox; взятому
со знаком ѕ+ї, если M лежит выше Ox; и со знаком ѕ ї, если M
лежит ниже Ox.
Абсцисса x и ордината y называются декартовыми прямоугольными (или кратко прямоугольными ) координатами точки M: Обозначение M (x; y ) означает: точка M с абсциссой, равной x; и ординатой,
равной y:
Отметим, что каждой точке плоскости соответствует одна пара
действительных чисел x и y (ее координат). Верно и обратное: каждой паре действительных чисел x и y соответствует одна точка
*) Декартова прямоугольная система координат носит имя ранцузского математика, основателя аналитической геометрии ене Декарта
(15961650).
9
џ 1. Метод координат на плоскости
плоскости . Это значит, что на плоскости положение произвольной
точки M полностью определяется
ее координатами x и y:
I
II
III
IV
Координатные оси Ox и Oy
x
+
+
PSfrag
разбивают плоскость
на I,replaements
II, III
y
+
+
и IV квадранты *). Знаки координат точек в различных квадранy
тах указаны в таблице. При этом
если точка M (x; y ) лежит на
M2
3
оси Oy; то x = 0; если M (x; y )
2
лежит на оси Ox; то y = 0:
M1
На рисунке 2 построены точки
M1 (2; 1); M2( 4; 3); M3 ( 4; 2);
и M4 (0; 2).
2. Полярные координаты.
1
4
3
2 1 0
1
1
2
x
Заиксируем на плоскости точ2 M4
M3
ку O и выходящую из нее полупрямую Op; а также выберем
ис. 2
единицу масштаба. Точка O называется полюсом, полупрямая Op полярной осью (рис. 3).
Произвольной точке M плоскости поставим в соответствие два числа:
M
расстоянию
полярный радиус r; равныйPSfrag
replaements
точки M от полюса O; измеренному выбr
ранной единицей масштаба;
полярный угол '; равный углу между
'
полярной осью Op и полупрямой OM:
p
0
Полярный угол ' измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательис. 3
ных) значений ' ведется от Op против
y
движения (по движению) часовой стрелPSfrag
M (x; y)
ки. При этом обычно полагают,
чтоreplaements
<
< ' 6 :
r
Полюсу O соответствует полярный раy
диус r = 0; полярный угол для него не
'
определен.
x
0
Запись M (r; ') означает: точка M с
x
полярными координатами r и ':
ис. 4
Будем считать начало координат O
прямоугольной системы xOy одновременно полюсом O; а положительную часть оси Ox примем за полярную
ось Op (рис. 4).
Из рисунка 4 видно, что для точки M (x; y ) (M (r; ')) справедливы
соотношения:
x = r os ';
и
*)
y = r sin '
Иногда их также называют координатными углами.
(1)
plaements
10
л. I. Элементы аналитической геометрии
tg ' = xy :
p
r = x2 + y 2
(2)
Формулы (1) выражают прямоугольные координаты точки M через ее полярные координаты. Это можно доказать для любого расположения точки M на координатной плоскости. Формулы (2) выражают
полярные координаты точки M через ее прямоугольные координаты
и тоже верны при любом положении точки M:
y
Заметим, что tg ' =
x дает два значения '; так как < ' 6 :
Поэтому для вычисления полярного угла ' точки M по ее прямоугольным координатам x и y предварительно выясняют, в каком
квадранте лежит точка M:
П р и м е р 1. Даны прямоугольные координаты точки A:
Найти ее полярные координаты. По ормулам (2) находим r
p
= 2; tg ' = 1.
x =p 1; y = 1:
= 12 + 12 =
' = 3 выбираем ' = ; так
Из двух значений ' =
4 и
4
4
как точка A лежит
квадранте. Итак, полярные координаты данp в первом
ной точки: r = 2, ' = :
4
П р и м е р 2. Полярные координаты точки A таковы: r = 2; ' =
да по ормулам (1) прямоугольные координаты этой точки будут:
x = 2os 2 = 0;
: Тог-
2
y = 2sin 2 = 2:
3. Основные задачи, решаемые методом координат.
y
B2
Задача о расстоянии между двумя точками . Найдем расстояние d
между двумя заданными точками
M1 (x1 ; y1) и M2 (x2 ; y2) (рис. 5).
Из прямоугольного треугольM2
ника M1NM2 по теореме Пиагора имеем:
p
d = jM1M2j = jM1N j2 + jM2 N j2:
B1
0
M1
N
A1
A2
ис. 5
x
Из курса геометрии девятилетней школы известно, что расстояние d между точками A и B ,
расположенными на координатной прямой (оси), вычисляется по
ормуле d = jAB j = jxB xA j;
где xA и xB координаты то-
A и B этой прямой. Тогда jM1N j = jA1A2 j = jx2 x1 j; jM2 N j =
= jB1B2j = jy2 y1 j: Поэтому
p
(3)
d = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 :
чек
П р и м е р. Найти расстояние между точками
По ормуле (3) имеем:
p
A( 1; 2)
jAB j = ( 4 + 1)2 + (2 + 2)2 = 5:
и
B ( 4; 2).
11
џ 1. Метод координат на плоскости
PSfragв replaements
Задача о делении отрезка
данном отношении.
M1 (x1 ; y1 )
M2 (x2 ; y2 ):
Требуется найти точку M (x; y ) , лежащую на отрезке [M1 M2 ? и делящую его
и
Пусть даны точки
y
M
в данном отношении
M2
M1
jM1 M j = :
(4)
jMM2 j
Опустим из точек M1 ; M и M2 перпендикуляры на ось Ox (рис. 6). По из-
0
A1
A
A2 x
ис. 6
вестному предложению из элементарной
геометрии о пересечении сторон угла параллельными прямыми получим:
jM1M j = jA1 Aj
jMM2j jAA2 j
При выбранном расположении точек имеем:
jA1 Aj = x x1;
jAA2 j = x2 x:
Поэтому заданное отношение (4) принимает вид:
откуда:
Аналогично
В частности, если
получаем:
x x1 = ;
x2 x
+ x2 :
x = x11+
y
1 + y2
y = 1+ :
= 1; т. е. при делении отрезка [M1 M2 ?
x = x1 +2 x2 ;
y = y1 +2 y2 :
(5)
(6)
пополам,
П р и м е ч а н и е. Формулы (5) и (6) верны при любом расположении
точек M1 и M2 .
П р и м е р. Вычислить координаты точки M (x; y ); делящей отрезок
[M1 M2 ? между точками M1 (1; 1) и M2 (4; 7) в отношении jM1 M j = 2: Согласно
jMM2j
ормулам (5) и (6) имеем:
x = 1+23 4 = 3;
y = 1+23 7 = 5:
4. Уравнение линии на плоскости. Прямоугольная и полярная
системы координат позволяют задавать различные линии на плоскости их уравнениями.
О п р е д е л е н и е. Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат называется уравнение
f (x; y) = 0
с переменными x и y; которому удовлетворяют координаты каждой
точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки
плоскости, не лежащей на этой линии.
Переменные x и y уравнения линии называются текущими координатами.
12
л. I. Элементы аналитической геометрии
Покажем, например, что уравнение
x=y
x y=0
или
(7)
является уравнением биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
По свойству биссектрисы угла для произвольной точки M (x; y )
(лежащей на биссектрисе) имеем: jN2 M j = jN1 M j или jON1 j =
= jON2 j (рис. 7) и поэтому x = y,
т. е. координаты всех точек биссектy
рисы удовлетворяют уравнению (7).
N2
Очевидно также, что у любой точки,
M (x; y)
не лежащей на данной биссектрисе,
plaements
координаты не равны между собой и
не удовлетворяют уравнению (7).
y
Отметим, что геометрическим образом данного заранее уравнения не
всегда является линия. Может слуx
N1
0
x
читься, что уравнению соответствует
лишь несколько точек (уравнению
ис. 7
x2 + y2 = 0, например, на плоскости соответствует только одна точка (0; 0)). Встречаются и такие случаи,
когда заданному уравнению не соответствует на плоскости ни одной
точки (например, уравнению x2 + y 2 + 1 = 0):
џ 2. Прямая линия
1. Уравнение прямой с угловым коэициентом. Пусть
прямая
plaements
l
не параллельна оси
y
B (0; b)
' b
0
ис. 8
текущими координатами
BNM (рис. 8) имеем:
x
Oy
(рис. 8). Обозначим точку пересечения l с осью Oy через B (0; b), а угол между
l
положительным направлением оси Ox и l через ':
M (x; y)
Угол ', отсчитываемый
от Ox против часовой
стрелки (0 6 ' < ); называется углом наклона
N
прямой l к оси Ox:
Выведем уравнение пряx
мой l:
Пусть M (x; y ) произвольная точка прямой l с
и y: Из прямоугольного треугольника
tg ' = y x b :
(1)
Эту величину называют угловым коэициентом прямой и обозначают через k : k = tg ': Тогда из (1) получим:
џ 2. Прямая линия
откуда:
k = y x b;
y = kx + b
13
(2)
Уравнение (2) называется уравнением прямой с угловым коэициентом ; число b называется начальной ординатой (это ордината
точки B ):
' = 4 ; b = 3; то k = tg 4 = 1; и уравнение данной
прямой имеет вид y = x 3:
Если в уравнении (2) k = 0; то имеем уравнение прямой
y = b;
(3)
параллельной оси Ox и проходящей через точку B (0; b): При b = 0
из (3) получаем уравнение координатной оси Ox: y = 0:
П р и м е р. Если
По аналогии с уравнением (3) уравнение
x=a
(4)
есть уравнение прямой, параллельной оси Oy и проходящей через
точку A(a; 0): При a = 0 из (4) имеем уравнение координатной
оси Oy : x = 0:
2. Общее уравнение прямой. Уравнением с угловым коэициентом может быть задана любая прямая на плоскости, не параллельная оси ординат. При рассмотрении уравнения первой степени
Ax + By + C = 0;
(5)
в котором коэициенты A и B одновременно не равны нулю, оказывается, что любую прямую без каких-либо ограничений, можно
задать уравнением (5).
Т е о р е м а. Каждая прямая на плоскости с прямоугольной декартовой системой координат определяется уравнением первой
степени , и наоборот : каждое уравнение первой степени определяет
некоторую прямую на плоскости .
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть дана прямая, не параллельная
оси ординат. В этом случае прямая описывается уравнением с угловым коэициентом y = kx + b, которое является частным случаем
уравнения (5) при A = k; B = 1; C = b:
Пусть теперь прямая параллельна оси Oy: Тогда ее уравнение
запишется в виде x = a. Это уравнение тоже частный случай уравнения (5) при A = 1; B = 0; C = a. Итак, любая прямая на плоскости
определяется уравнением первой степени.
2) Покажем теперь, что произвольному уравнению первой степени (5) (A и B одновременно не равны нулю) соответствует некоторая
прямая на плоскости.
Действительно, если B =
6 0; то уравнение (5) можно преобразовать в уравнение
C
A
y = B x B:
14
л. I. Элементы аналитической геометрии
т. е. в уравнение прямой с угловым коэициентом
A
k= B
и на-
C
чальной ординатой b =
B = 0; A 6= 0; то уравнение (5)
B : Если
C
преобразуется к виду x =
A ; т. е. в уравнение прямой, парал-
лельной оси Oy: Теорема доказана.
Уравнение первой степени (5) (A и B одновременно не равны
нулю), описывающее на плоскости любую прямую, называется общим
уравнением прямой .
3. Уравнение прямой с данным угловым коэициентом
и проходящей через данную точку. Выведем уравнение прямой,
проходящей через данную точку M1 (x1 ; y1 ) и имеющей данный угловой коэициент k: Уравнение этой прямой имеет вид:
y = kx + b:
Так как искомая прямая проходит через точку
y1 = kx1 + b:
M1 ; то
Вычитая из равенства (6) равенство (7), получаем:
y y1 = k(x x1 ):
(6)
(8)
Это и есть уравнение искомой прямой.
П р и м е р. Уравнение прямой, проходящей через точку M ( 1; 8);
с угловым коэициентом k = 1 согласно (8) есть y 8 = x + 1; или
x y + 9 = 0:
4. Уравнение прямой в отрезках. Предположим, что в общем
уравнении прямой
A 6= 0; B 6= 0
y
и C 6= 0. Перенеся в нем C в правую
часть и разделив обе части полученного уравнения на C; получим:
B (0; b)
plaements
или
b
A x+
C
x +
C
A
0
A(a; 0)
x
a
ис. 9
B y=1
C
y = 1:
C
B
C = a;
A
C = b; приходим к уравнению
B
x + y = 1:
(9)
a b
Отсюда, вводя обозначения
Уравнение (9) называется уравнением прямой в отрезках . Это
название объясняется тем, что числа a и b определяются отрезками [OA? и [OB ?, которые прямая отсекает на осях координат (рис. 9).
Такой вид уравнения удобен для построения прямой.
Заметим, что прямые, параллельные координатным осям, и прямые, проходящие через начало координат, не могут быть записаны
уравнениями в отрезках.
15
џ 3. Основные задачи на использование уравнений прямой
П р и м е р. Записать уравнение прямой 2x + 5y 10 = 0 в отрезках и
построить эту прямую. Перепишем данное уравнение в виде 2x + 5y = 10;
x + y = 1 и, значит, a = 5; b = 2: Наконец, откладываем на осях
откуда
5 2
координат отрезки a = 5; b = 2 и через их концы (5; 0) и (0; 2) проводим
прямую.
џ 3. Основные задачи на использование уравнений
прямой
1. Угол между двумя прямыми. ассмотрим на плоскости
две прямые l1 : y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2 с углами наклона к оси Ox
соответственно '1 и '2 (рис. 10).
[
Углом между прямыми l1 и l2 будем называть угол (l1 ; l2 ) = ' наименьший угол , на который надо повернуть первую прямую l1
вокруг точки пересечения M
против часовой стрелки до совy
PSfrag
replaements
l1
падения ее со второй
прямой
l2
(0 6 ' < ):
l2
Из рисунка 10 видно, что
' = '2 '1 : Поэтому
'
M
tg ' = tg('2 '1 ) =
или
= tg '2 tg '1
1 + tg '2 tg '1
tg ' = 1k+2k k k1 :
1 2
'1
'2
'1
x
0
(1)
ис. 10
Формула (1) дает выражение тангенса угла между двумя прямыми через угловые коэициенты этих прямых.
Если прямые l1 и l2 параллельны, то '1 = '2 и, следовательно,
k1 = k2 ; т. е. параллельные прямые имеют равные угловые коэициенты .
Пусть ' = ; т. е. l1 и l2 взаимно перпендикулярны. В этом слу-
2
'2 = '1 + 2 ; откуда tg '2 = tg '1 + 2 = tg '1 = tg1' или
1
k2 = k1 ; т. е. угловые коэициенты взаимно перпендикулярных
чае
1
прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по
знаку .
П р и м е р. Найти две прямые, проходящие через начало координат,
одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна прямой y =
= 2x 3: Так как искомые прямые проходят через точку (0; 0); то их уравнения имеют вид y = k1 x и y = k2 x: Для данной прямой k = 2; и отсюда,
на основании условий параллельности и перпендикулярности прямых, по-
16
л. I. Элементы аналитической геометрии
лучаем
ниями:
k1 = 2 и k2 = 21 :
y = 2x и y = 12 x:
Поэтому искомые прямые запишутся уравне-
2. Взаимное расположение двух прямых. Пусть даны два
уравнения прямых
l1
и
l2 в общем виде:
A1 x + B1 y + C1 = 0;
A2 x + B2 y + C2 = 0;
(2)
(3)
Если прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке M (x; y ), то
координаты этой точки должны удовлетворять одновременно двум
уравнениям (2) и (3). Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2 , надо решить систему уравнений (2)
и (3). Если эта система имеет единственное решение, то прямые пересекаются в одной точке. Если указанная система не имеет решения
или имеет бесконечно много решений, то прямые соответственно параллельны или совпадают.
П р и м е р 1. Найти точку пересечения прямых 2x + 3y 8 = 0 и
x 2y + 3 = 0: ешая систему уравнений
2x + 3y 8 = 0;
x 2y + 3 = 0;
получим x = 1; y = 2: Следовательно, данные прямые пересекаются в точке M (1; 2):
П р и м е р 2. Параллельны ли прямые 5x 3y + 1 = 0 и 10x 6y + 6 =
= 0? Переписав эти уравнения в виде y = 35 x + 31 и y = 53 x + 1; получа-
ем, что угловые коэициенты равны, т. е. данные прямые параллельны.
3. асстояние от точки до прямой. ешим следующую задачу:
найти расстояние d от точки M0 (x0 ; y0 ) до прямой l: Ax + By + C = 0
(под расстоянием d от точки M0 (x0 ; y0 ) до прямой l понимается длина перпендикуляра, опущенного из M0
на l):
y
Предположим, что прямая l не параллельна
ни одной из координатных
M0(x0 ; y0 )
осей Ox и Oy: Так как угловой коэ-
eplaements
A
ициент прямой l есть
B ; то уравнение перпендикуляра к прямой l; проходящего через точку M0 (x0 ; y0 ) (рис. 11),
запишется в виде:
M1(x1 ; y1 )
l
x
0
ис. 11
или
y y0 = B
A (x x0 )
B (x x0 ) A(y y0 ) = 0:
Пусть M1 (x1 ; y1 ) точка пересечения перпендикуляра с прямой l: Тогда Ax1 + By1 + C = 0; B (x1 x0 ) A(y1 y0 ) = 0 и
џ 4. Кривые второго порядка
17
p
(4)
d = jM0 M1 j = (x1 x0 )2 + (y1 y0 )2 :
Найдем значения x1 x0 и y1 y0 :
Для этого, переписав равенство Ax1 + By1 + C = 0 в виде A(x1
x0 ) + B (y1 y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0; решим систему уравнений:
A(x1 x0 ) + B (y1 y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0;
Ax1 + By1 + C = 0
относительно x1 x0 и y1 y0 : Имеем:
x1 x0 = 2 A 2 (Ax0 + By0 + C );
(5)
A +B
y1 y0 = 2 B 2 (Ax0 + By0 + C );
A +B
(6)
Из (4), (5) и (6) получаем:
d = jAxp0 + By0 + C j :
A2 + B 2
(7)
Можно показать, что ормула (7) верна и в тех случаях, когда прямая l параллельна одной из координатных осей.
M1( 1; 2) до прямой 2x + y
p
d = j2 ( p1)+1 2 1j = p1 = 55 :
П р и м е р. Найдем расстояние от точки
Пользуясь ормулой (7), получаем:
1 = 0:
2 +1
2
2
5
џ 4. Кривые второго порядка
Кривыми второго порядка называются линии, уравнения которых
могут быть записаны следующим образом:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0;
A; B; C; D; E и F некоторые действительные числа, называе-
где
мые коэициентами уравнения, причем по крайней мере один из
коэициентов A; B или C отличен от нуля.
К числу линий второго порядка относятся окружность , эллипс ,
гипербола и парабола . Они играют большую роль в математике, естествознании и технике.
1. Уравнение окружности. Как известно, окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной
точки, называемой центром окружности. Выведем уравнение окружности.
Пусть M0 (x0 ; y0 ) центр окружности, R ее радиус, а M (x; y ) произвольная точка окружности с текущими координатами x и y
2 И. И. Баврин
18
л. I. Элементы аналитической геометрии
(рис. 12). По определению окружности jM0 M j = R: Отсюда, согласно ормуле расстояния между двумя
точками,
y
M (x; y)
p
R
eplaements
(x x0 )2 + (y y0 )2 = R
(x x0 )2 + (y y0 )2 = R2:
или
M0 (x0 ; y0 )
x
0
(1)
Формула (1) представляет собой каноническое (т. е. простейшее) уравнение
окружности. Если центр окружности
совпадает с началом координат, то ее
уравнение принимает вид:
x2 + y2 = R2:
ис. 12
П р и м е р. Написать уравнение окружности радиуса
в точке C (1; 2): Согласно ормуле (1) имеем:
R=3
с центром
(x 1)2 + (y 2)2 = 9:
2. Каноническое уравнение эллипса. Эллипсом называется
множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 (называемых окусами эллипса )
есть величина постоянная, равная 2a.
Выведем каноническое уравнение эллипса. Для этого выберем
прямоугольную систему координат так, чтобы ее ось Ox проходила
через окусы F1 и F2 (расстояние между окусами обозначим чеeplaements
рез 2); а начало координат находилось в середине отрезка [F1 F2 ?
(рис. 13). Тогда окусы будут иметь коy
ординаты F1 ( ; 0) и F2 (; 0):
Пусть M (x; y ) произвольная точB
ка эллипса. Согласно определению эллипса имеем:
A1
A
F1
F2
0
или, по ормуле расстояния между двумя точками,
B1
M (x; y)
jMF1j + jMF2 j = 2a
x
p
ис. 13
p
(x + )2 + y2 + (x )2 + y2 = 2a:
Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к каноническому виду.
Перенося один из радикалов вправо, получим:
p
(x + )2 + y2 = 2a
p
(x )2 + y2 :
Возведем теперь обе части последнего равенства в квадрат:
p
x2 + 2x + 2 + y2 = 4a2 4a (x )2 + y2 + x2 2x + 2 + y2 ;
откуда
p
a (x )2 + y2 = a2 x:
Возведем в квадрат обе части равенства (2):
(2)
19
џ 4. Кривые второго порядка
a2 x2 2a2 x + a2 2 + a2 y2 = a2 2a2 x + 2 x2 ;
откуда
(a2 2 ) x2 + a2 y2 = a2 (a2 2 ):
Заметим, что a2 2 > 0; так как 2a > 2 или a > (сумма двух
сторон треугольника больше третьей его стороны). Поэтому, обозначив a2 2 через b2 ; получаем:
Деля обе части
чаем:
b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 :
последнего равенства на a2 b2 ;
x2 + y2 = 1:
a2 b2
окончательно полу-
(3)
Формула (3) и есть каноническое уравнение эллипса.
Эллипс, отвечающий уравнению (3), изображен на рисунке 13.
Так как уравнение (3) содержит текущие координаты x и y только в четных степенях, то при замене x на x; а y на y это уравнение не изменяется, т. е. эллипс симметричен относительно обеих
осей координат. Из уравнения (3) при y = 0 получаем x = a, т. е.
эллипс пересекает ось Ox в двух точках A(a; 0) и A1 ( a; 0); при
x = 0 получаем y = b; т. е. эллипс пересекает ось Oy в двух точках B (0; b) и B1 (0; b): Эти четыре точки называются вершинами
эллипса. Отрезок [A1 A? называется большой осью эллипса, а отрезок [B1 B ? его малой осью . Следовательно, a длина большой
полуоси эллипса, b длина его малой полуоси.
В частном случае, когда a = b; уравнение (3) принимает вид
x2 + y2 = a2 и определяет окружность с центром в начале координат.
В этом случае = 0:
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния
между окусами к длине его большой оси, т. е.
" = 22a = a :
(4)
Так как < a; то для любого эллипса будет 0 6 " < 1 (случай
" = 0 соответствует окружности). Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса. Действительно, из (4) и того, что b2 = a2 2 ;
следует:
2
2 2
2
и, значит,
"2 = 2 = a 2 b = 1
a
a
b = p1 "2 :
a
b
a
b
Отсюда видно, что, чем больше "; тем меньше отношение
a и тем
больше вытянут эллипс.
Эксцентриситет ("); полуоси (a и b), расстояние между окусами (2) параметры, которые полностью определяют эллипс с центром в начале координат.
2*
20
л. I. Элементы аналитической геометрии
П р и м е р. Найти параметры
a; b; и " эллипса, заданного уравнением
x2 + y2 = 4: Для этого приведем данное уравнение
16 9
x2 + y2 = 1: Отсюда следует, что a = 8; b = 6,
64 36
p
p
p
= 64 36 = 28 = 2 7;
к каноническому виду
p p
" = 2 8 7 = 47 :
3. Каноническое уравнение гиперболы. иперболой называется множество всех точек плоскости, разность расстояний каждой
из которых до двух данных точек F1 и F2 (называемых окусами гиперболы ) есть величина постоянная, равная 2a: Обозначим
y
через 2 расстояние между окусами F1 и F2 (рис. 14).
eplaements
Пусть M (x; y ) произвольM (x; y)
ная точка гиперболы. Тогда по
определению jMF1 j jMF2 j =
x = 2a или jMF2 j jMF1 j = 2a:
F1 A1 0 A F2
Эти условия, определяющие
гиперболу, можно записать в
виде:
jMF1 j jMF2 j = 2a:
ис. 14
Заметим, что a < ; так как
2a < 2; что следует из определения гиперболы.
Далее вывод канонического уравнения гиперболы проводится
аналогично выводу канонического уравнения эллипса. Каноническое
уравнение гиперболы имеет вид:
где
b 2 = 2 a2 :
x2
a2
y2 = 1;
b2
(5)
ипербола, отвечающая уравнению (5), изображена на рисунке 14.
Подобно эллипсу гипербола симметрична относительно обеих осей
координат. Она состоит из двух частей, которые называются ее ветвями . Из уравнения (5) при y = 0 получаем x = a; т. е. гипербола
пересекает ось Ox в двух точках A(a; 0) и A1 ( a; 0); называемых
вершинами гиперболы, отрезок [A1 A? называется вещественной осью
гиперболы.
Прямые
y = ab x
называются асимптотами гиперболы. При увеличении x по абсолютной величине ветви гиперболы все ближе прилегают к своим
асимптотам. Для построения асимптот гиперболы целесообразно
предварительно построить прямоугольник со сторонами 2a и 2b;
параллельными координатным осям, и с центром в начале координат
21
џ 4. Кривые второго порядка
(такой прямоугольник называется основным прямоугольником гиперболы).
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение
Так как
a < ;
то для любой гиперболы
= 2 a2 ; имеем:
и, значит,
" = a :
" > 1:
2
2 2
2
"2 = 2 = a +2 b = 1 + ab
a
Учитывая, что
b2 =
a
p
b
2
a = " 1:
Отсюда видно, что, чем меньше эксцентриситет гиперболы, т. е.
чем ближе он к единице, тем больше вытянут основной прямоугольник по оси Ox:
Если у гиперболыPSfrag
(5) replaements
a = b,
y
Y
то она называется равносторонней
(или равнобочной ) и ее уравнение
D
имеет вид:
x2 y2 = a2:
M (x; y)
(6)
C
Асимптотами для равносторонней
0
A E x
гиперболы (6) служат взаимно перB
пендикулярные прямые y = x.
Поэтому их можно принять за оси
прямоугольной системы координат
X
(OX за ось абсцисс, OY за
ось ординат) и рассматривать эту
ис. 15
равностороннюю гиперболу по отношению к этим новым осям. Взяв на указанной гиперболе произвольную точку M (x; y ) (рис. 15), выразим новые координаты X и Y
точки M через старые x и y: Из рисунка 15 видно, что
p p
X = XB = xC os 4 = (xA y) 22 = 22 (x y);
p p
Y = YD = xE os 4 = (xA + y) 22 = 22 (x + y);
(7)
(8)
Перемножив равенства (7) и (8) и приняв во внимание равенство (6),
получаем:
1 2 2
1 2
XY = 2 (x
или, полагая для краткости
a2 = m;
2
y )= 2a
XY = m:
xy = a; где a > 0;
Следовательно, уравнению
соответствует равносторонняя гипербола, имеющая своими асимптотами оси координат
22
л. I. Элементы аналитической геометрии
и лежащая в I и III квадрантах (рис. 16). При
лежит во II и IV квадрантах (рис. 17).
y
эта гипербола
y
a<0
a>0
PSfrag replaements
a<0
x
0
x
0
ис. 16
ис. 17
П р и м е р. Найти параметры (a; b; ; ") гиперболы, заданной уравнением x2 4y 2 = 36: Для этого приведем данное уравнение к каноническому
y2 = 1: Отсюда следует, что a = 6; b = 3, = p36 + 9 = p45 =
p 36 9 p p
= 3 5 и " = 3 5 = 5 : Уравнения асимптот гиперболы y = 1 x:
виду
x2
6
2
2
4. Каноническое уравнение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной
точки F (называемой окусом параболы)
y
и от данной прямой l (называемой директрисой параболы).
M
Для вывода канонического уравнения
A
параболы проведем ось Ox прямоугольной
системы координат через окус F перпендикулярно директрисе, начало коордиeplaements
нат O поместим на равных расстояниях
0
x
F
от окуса и директрисы (рис. 18). асстояние от окуса до директрисы обозначим
через (оно называется параметром паl
раболы). В этом
окус будет иметь
случае
p ; 0; а уравнение директкоординаты F
2p
рисы будет x =
:
2
ис. 18
Возьмем произвольную точку
параболы. Согласно определению параболы имеем:
jMF j = jMAj
точка A имеет координаты
ду двумя точками r
Отсюда:
2
M (x; y)
p ; y или по ормуле расстояния меж2
x p2 + y2 =
r
2
x + p2 :
23
џ 4. Кривые второго порядка
или
2
2
x p2 + y2 = x + p2
2
и окончательно:
2
x2 px + p4 + y2 = x2 + px + p4
y2 = 2px:
(9)
Формула (9) и есть каноническое уравнение параболы. Парабола,
отвечающая уравнению (9), изображена на рисунке 18.
Уравнение (9) имеет смысл только для неотрицательных значений x; т. е. все точки параболы лежат в I и IV квадрантах. Так как
уравнение (9) содержит y 2 ; то парабола симметрична относительно
оси Ox: Вершиной параболы называется точка пересечения параболы
с ее осью симметрии (рис. 18). При возрастании x значения y возрастают по абсолютной величине. В отличие от гиперболы парабола не
имеет асимптот. Ось симметрии параболы называется осью параболы.
Парабола, определяемая уравнением (9), имеет ось, совпадающую с
осью Ox:
П р и м е ч а н и е. Очевидно, что каждому из уравнений y 2 = 2px;
соответствует парабола, по орме тождественная с
x2 = 2py; x2 = 2py
eplaements
y
y
x2 = 2py
y2 = 2px
0 x
а)
0
x
2
x = 2py
б)
ис. 19
y
x2 = 2p(y )
0
x
x2 = 2p(y + )
ис. 20
параболой (9), но иначе расположенная. На рисунке 19 изображены общие
виды этих парабол при p > 0:
К параболам, например, симметричным относительно оси Oy; относятся также кривые, заданные уравнениями
x2 = 2p(y )
x2 = 2p(y + )
(p > 0; > 0);
(p < 0; > 0)
(рис. 20).
П р и м е р. Парабола с вершиной в начале координат проходит через
точку A(9; 3) и симметрична относительно оси Ox: Написать ее каноническое уравнение. Подставляя координаты точки A в уравнение (9), найдем,
что
p = 21 : Значит, уравнение искомой параболы y2 = x:
24
л. I. Элементы аналитической геометрии
џ 5. Простейшие сведения из аналитической геометрии
в пространстве
Три взаимно перпендикулярные оси Ox; Oy и Oz в трехмерном
пространстве (с указанными на них положительными направлениями), проходящие через некоторую точz
ку O (рис. 21), образуют прямоугольную декартову систему координат
пространства. Точка O называется
началом координат , прямые Ox; Oy
z M (x; y; z)
и Oz осями координат (Ox ось
абсцисс , Oy ось ординат , Oz ось
plaements
0
аппликат ), а плоскости xOy; yOz;
y zOx координатными плоскостями .
y
Прямоугольными координатами
x
точки M называются взятые с определенным знаком расстояния (выраx
женные в единицах некоторого масшис. 21
таба) этой точки до координатных
плоскостей yOz; zOx; xOy: Эти коz
ординаты обозначаются через x; y; z и
(0; 0; 1)
называются соответственно абсциссой ,
ординатой и аппликатой .
plaements
При рассмотрении аналитической
геометрии на плоскости было установлено (см. џ 2), что уравнение первой
y
0
степени с двумя переменными Ax +
(0; 1; 0)
+ By + C = 0 (A;B не равны нулю одновременно) определяет прямую. Подобно этому уравнение первой степени
x (1; 0; 0)
с тремя переменными Ax + By + Cz +
ис. 22
+ D = 0 (A;B;C не равны нулю одновременно) имеет в пространстве
z
своим геометрическим образом плоскость , которую можно назвать поверхностью первого порядка . Так,
уравнение z = 1 x y представляет
плоскость, проходящую через точки
(1; 0; 0); (0; 1; 0); и (0; 0; 1) (рис. 22).
plaements
0
y
Переход к уравнению с тремя переменными второй степени приводит
уже к поверхности второго порядка.
Простейшей поверхностью второго
x
порядка является серическая (или
ис. 23
шаровая) поверхность с центром в начале координат. Ее уравнение по аналогии с уравнением окружности x2 + y 2 = R2 записывается в виде
x2 + y2 + z 2 = R2 (рис. 23).
џ 6. Определители второго и третьего порядков
25
Дополнительные сведения по аналитической геометрии можно
найти, например, в [5?.
џ 6. Определители второго и третьего порядков
1. Определители второго порядка. Пусть дана таблица (называемая матрицей ), состоящая из четырех чисел:
a11
a21
a12 :
a22
(1)
Она имеет две строки и два столбца. Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквами с двумя индексами. Первый индекс указывает
номер строки, второй номер столбца, в которых стоит данное число.
О п р е д е л е н и е. Определителем второго порядка , соответствующим матрице (1), называется число a11 a22 a12 a21 .
Определитель обозначается символом
Таким образом,
a11
a21
a11
a21
a12 :
a22 (2)
a12 = a a a a :
a22 11 22 12 21
(3)
Числа a11 ; a12 ; a21 ; a22 называются элементами определителя. Диагональ, на которой находятся элементы a11 и a22 , называется главной ,
а диагональ, на которой находятся элементы a12 и a21 побочной .
Из (3) видно, что для вычисления определителя второго порядка
нужно из произведения элементов , стоящих на главной диагонали ,
вычесть произведение элементов , стоящих на побочной диагонали .
П р и м е р. Вычислить определитель второго порядка
2 4
3 7 = 14 12 = 2:
Легко проверяются следующие свойства определителя второго порядка (с помощью правила вычисления его по ормуле (3)).
Величина определителя (2)
1) не меняется , если у него заменить строки соответствующими столбцами ;
2) не меняется , если к элементам какой-либо его строки или
столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или
столбца , умноженные на одно и то же число ;
3) меняет знак, если у него поменять местами строки или
столбцы ;
4) увеличивается в k раз , если элементы какого-либо его столбца или строки увеличить в k раз ;
5) равна нулю , если элементы какой-либо его строки или столбца равны нулю ;
26
л. I. Элементы аналитической геометрии
6) равна нулю , если элементы двух строк или столбцов соответственно равны .
Покажем на следующем примере, как использовать эти свойства
при вычислении определителей.
П р и м е р. С использованием свойств 4 и 2 имеем:
325
13 ( 12) 11 132 25 13 132 175
60 = 25 7
60 = 25 7 ( 12) 5 = 25(
1 1
6 6
= 300 7 5 = 300 6 7 5 =
13
12) 7
11 5 =
1800(5 7) = 3600:
2. Определители третьего порядка. ассмотрим таблицу
(матрицу), составленную из девяти чисел:
1
0
a11 a12 a13
a21 a22 a23 A:
a31 a32 a33
(4)
О п р е д е л е н и е. Определителем третьего порядка , соответствующим матрице (4), называется число, определяемое равенством
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32
a33 a13 a22a31 a11 a23 a32 a12 a21a33 :
(5)
Структура выражения (5) довольно проста. Каждое его слагаемое
представляет собой произведение элементов определителя, взятых
по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Этому произведению приписывается соответствующий знак. Чтобы запомнить, какие произведения следует брать со знаком ѕплюсї,
ис. 24
какие со знаком ѕминусї, полезно следующее правило, называемое
правилом треугольника (рис. 24).
П р и м е р. По ормуле (5) имеем:
1 2 3
2 3 4 = 15 + 24 + 24
3 4 5
27 20 16 = 0:
27
Упражнения
Все свойства определителей второго порядка (свойства 16) остаются справедливыми и для определителей третьего порядка (проверка идет по ормуле (5)).
3. Площадь треугольника на плоскости. Найдем площадь
треугольника, заданного координатами его вершин
A(x1; y1); B (x2; y2);
C (x3; y3 ): Как известно, S = 12 hjBC j; где h высота треугольника,
опущенная на сторону BC: Имеем (см џ 1, п. 3):
jBC j =
p
(x3 x2 )2 + (y3 y2 )2 :
BC :
(x x2 )(y3 y2 ) (y y2 )(x3 x2 ) = 0
(оно линейно, и точки B; C ему удовлетворяют). Отсюда согласно
Уравнение прямой
ормуле (7) из џ 3
2 )(y3 y2) (y1 y2)(x3 x2)j :
h = j(x1 xp
(x3 x2 )2 + (y3 y2 )2
Следовательно,
S = 21 j(x2 x1 )(y3 y2 ) (x3 x2 )(y2 y1 )j
или, используя понятие определителя второго порядка,
x
x x x
S = 21 y2 y 1 y3 y 2 :
2 1 3 2
(6)
П р и м е р. Найти площадь треугольника с вершинами
B (3; 5); C ( 1; 4):
Имеем:
3 + 2
5 + 1
1 3 5
=
4 5 6
Отсюда искомая площадь
A( 2; 1);
4 1 = 5 + 24 = 19:
S = 21 19 = 9,5 (кв. ед.).
Упражнения
Найти расстояние между точками:
б) A(2; 1) и B (5; 3):
[а) 10; б) 5.?
2. Вычислить площадь квадрата, две смежные вершины которого A(3; 7) и B ( 1; 4):
[137:?
1.
а)
A( 3; 9) и B (3; 1);
3):
3. Даны две противоположные вершины квадрата A(3; 5) и C (1;
Вычислить площадь квадрата.
[34:?
4. Найти координаты точки C; делящей отрезок [AB ? между точками A( 2; 1) и B (8; 6) в отношении 3 : 2; считая от точки A:
[C (4; 4):?
3): Найти
5. Даны вершины треугольника A( 7; 4); B ( 5; 2) и C (6;
координаты середин всех сторон треугольника.
h
1 ; 1 и 1 ; 1 :i
( 6; 3);
2 2
2
2
28
л. I. Элементы аналитической геометрии
Найти полярные координаты точек
6.
p
M (2; 2);hN ( 3; 1): i
p
M 2 2; 4 ; N 2; 6 :
A 2; 4 ; B 4; 6 :
p p
p
[A( 2; 2); B (2 3; 2):?
8. Определить, какие из точек A(2; 3), B (3; 3) и C (4; 4) лежат на прямой
y = 12 x + 2:
[A и C лежат, B не лежит.?
9. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M (0; b) и имеющей угловой коэициент k:
а) M (0; 2); k = 1;
б) M (0; 0); k = 3;
в) M (0; 1); k = 0;
h
i
г) M (0; 0); k = 0:
а) y = x 2; б) y = 3x;
в) y = 1;
г) y = 0:
10. Найти координаты точки C , делящей отрезок [AB ? между точкаh i
ми A(1; 2) и B ( 1; 4) в отношении 1 : 2, считая от точки A:
C 13 ; 83 :
Найти прямоугольные координаты точек
7.
Отрезок [AB ? разделен точкой C (4; 1) в отношении
точки A: Найти:
а) координаты точки A;
б) длину отрезка [AB ?; если известна точка B (8; 5):
11.
= 14 ; считая от
а)
б)
Ap(3; 0);
5 2:
12. Три последовательные вершины параллелограмма имеют координаты A(3; 3); B ( 1; 1); C (1; 6): Найти:
а) координаты четвертой вершины D;
p
б) длину отрезка [BD?.
[а) D(5; 2), б) 37:?
13.
а)
б)
Найти координаты точки
A(5; 4) и B ( 1; 2);
A (6; 3) и B ( 2; 7):
C середины отрезка [AB ?; если:
точки по их полярным
14. Построить
C 3; 34 ; D(4; ):
[а) C (2; 1), б) C (2;
5):?
;
координатам: A(6; 0); B 2;
2
15. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
имеющей угловой коэициент k:
а)
M (1; 2); k = 1;
4
б) M (3; 2); k = ;
3
h
а) y = x + 1; б)
в)
Найти угол
и
M ( 4; 5); k = 32 :
y = 34 x 2;
в)
= 1;
б)
16. Прямая проходит через точки A и B :
а) A(0; 3); B (4; 0);
б) A( 2; 0); B (0; 5):
Написать уравнение прямой в отрезках. h
x+y
а)
17.
M (x0 ; y0)
4 3
i
y = 32 x 1:
x
y = 1:i
2 5
'; образованный прямыми y = 3x + 5 и y = 2xh+ 7: i
' = 4
Упражнения
p
p
x 3 + y 2 2h = 0 иi
x 6 3y + 3 = 0:
' = 2
19. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A( 2; 6) и
параллельной прямой 5x + 3y 7 = 0:
[5x + 3y 8 = 0:?
20. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A( 1; 1) и
перпендикулярной прямой 3x y 2 = 0:
[x + 3y 2 = 0:?
21. Параллельны ли прямые 3x
6y + 4 = 0 и 5x 10y 1 = 0?
p 18.
Найти угол
';
29
образованный прямыми
[Параллельны.?
Найти точку пересечения двух прямых:
а) x + y 7 = 0 и x 7y + 1 = 0;
б) 2x + 3y 12 = 0 и x y 1 = 0:
22.
[а) (6; 1);
б)
(3; 2):?
Определить координаты вершин треугольника, если даны уравнения его сторон: y = 2x 1; 2y x = 3; 3y + 2x 5 = 0:
h
i
23.
5 7
1 11
3 ; 3 ; (1; 1); 7 ; 7 :
A(2; 5) до прямой 6x + 8y 5 = 0:
[d = 4;7:?
25. Найти расстояние от точки A( 3; 4) до прямой 12x + 5y
10 = 0:
[d = 2:?
26. Написать уравнение окружности с центром в точке M0 и радиусом R; если даны:
3
2
а) (x + 1)2 + (y 2)2 = 25;
а) M0 ( 1; 2) и R = 5;
p
4 б) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 5; 5
б) M0 ( 2; 3) и R = 5;
в) M0 (0; 5) и R = 6:
в) x2 + (y 5)2 = 36:
24.
Найти расстояние от точки
27.
Написать каноническое уравнение эллипса, если даны
полуосиi
h его
2
2
a = 5; b = 4:
Дан эллипс
окусами.
28.
x2 + y2 = 1:
225 81
x + y = 1:
25 16
Определить его оси и расстояние между
16x2 + 25y 2 = 400:
29. Дан эллипс
шин и окусов и эксцентриситет.
30.
а)
"
[2a = 30; 2b = 18; 2 = 24:?
Найти длины осей, координаты вер#
2a = 10;
2b = 8;
A1 (5; 0);
A2 ( 5; 0); B1 (0; 4); B2 (0; 4);
F1(3; 0); F2 ( 3; 0); " = 0;6:
Написать каноническое уравнение гиперболы, если даны:
б) a = 4; = 5; в) b = 9; = 15:
h
x2 y2 = 1; б) x2 y2 = 1; в) x2
а)
a = 7; b = 2;
31.
сами.
Дана гипербола
x2
9
49
Дана гипербола 9x2
окусами и эксцентриситет.
32.
4
y2 = 1:
16
16
9
y2 = 1:i
144 81
Определить расстояние между оку-
16y 2 = 144:
[2 = 10:?
Определить расстояние
междуi
h
2 = 10; " = 5 :
4
30
л. II. Функции, пределы, непрерывность
33. Написать уравнения двух парабол с вершиной в начале координат,
зная, что координаты их окусов равны:
а) F (4; 0);
б) F ( 2; 0):
[а) y 2 = 16x; б) y 2 = 8x:?
34.
а)
Определить координаты окусов следующих
парабол:
h
5 ; 0; б)
б) y 2 = 12x:
а) F
y2 = 10x;
35.
Дана парабола
2
F ( 3; 0):
y2 = 12x: Написать уравнение директрисы.
i
[x = 3:?
36. Написать уравнения парабол с вершиной в начале координат, для
которых директрисами служат прямые:
а) x = 2;
б) x = 3:
[а) y 2 = 8x; б) y 2 = 12x:?
Вычислить определители:
3 2
[26:?
37. 4 6 :
39.
41.
43.
44.
а)
б)
sin os os sin :
2 3 4
5 2 1 :
1 2 3
12 6 4 6 4 4 :
3 2 8
38.
[1:?
40.
[ 10:?
42.
2
6
3
10 :
105 55 245 154 :
1 b 1
0 b 0 :
b 0 b
[ 38:?
[2695:?
[ 2b2 :?
[72:?
Вычислить площадь треугольника с вершинами:
A(0; 3); B (2; 2); C (3; 0);
A(2; 3); B (4; 1); C (6; 5):
[а) 1;5;
б)
10:?
л а в а II
ФУНКЦИИ, ПЕДЕЛЫ, НЕПЕЫВНОСТЬ
џ 7. Определение и способы задания ункций
1. Действительные числа. Будем считать, что нам известны
основные свойства целых чисел (0; 1; 2; . . .):
Число x называется рациональным , если его можно представить
m
как частное двух целых чисел m и n (n 6= 0): x = : Любое рациоn
нальное число x представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Число x называется иррациональным , если оно представимо в виде бесконечной
десятичной дроби x = a0 ;a1 a2 . . .an . . .
p непериодической
p
(например, 2; 3; и т. д.). Каждое иррациональное число можно с любой заданной степенью точности приблизить рациональными
31
џ 7. Определение и способы задания ункций
frag replaements
числами; для этого достаточно брать в десятичном разложении этого
числа конечное множество знаков после запятой. Поэтому на практике при различных измерениях оперируют рациональными числами.
Но в общих математических законах и ормулах нельзя обойтись
без иррациональных чисел (например, ормула длины окружности
l = 2R включает иррациональное число ):
Множество (совокупность) всех рациональных и иррациональных
чисел называется множеством действительных чисел. Действительные числа изображаются на числовой оси Ox точками (рис. 25).
7
4
4
3
2
0;5 1;4
1
0
1
p
5
2
3
4
x
ис. 25
При этом каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и каждой точке оси соответствует определенное действительное число. Поэтому вместо слов ѕдействительное
числої можно говорить ѕточкаї.
Абсолютной величиной (или модулем ) действительного числа x
называется неотрицательное число jxj; определяемое соотношением
jxj =
x;
x;
если
если
x > 0;
x < 0:
Непосредственно из определения абсолютной величины вытекают свойства 1 и 2.
1. j xj = jxj:
2.
jxj 6 x 6 jxj:
3. Неравенства jxj 6 a и a 6 x 6 a равносильны .
Докажем свойство 3. Из jxj 6 a и свойства 2 имеем x 6 a: В то
же время jxj 6 a равносильно a 6 jxj; откуда с учетом свойства 2
следует a 6 x: Таким образом, получаем a 6 x 6 a: Обратно, из
неравенства a 6 x 6 a вытекает, что одновременно x 6 a и x 6 a;
т. е. по определению абсолютной величины jxj 6 a:
4. Модуль суммы двух действительных чисел меньше или равен
сумме модулей этих чисел :
jx + yj 6 jxj + jyj:
Действительно, если x + y > 0; то по определению абсолютной
величины и свойству 2: jx + y j = x + y 6 jxj + jy j: Если x + y < 0; то
jx + yj = (x + y) = x + ( y) 6 jxj + jyj:
П р и м е ч а н и е 1. Свойство 4 справедливо для любого конечного
числа слагаемых.
5. Модуль разности двух действительных чисел больше или равен
разности модулей этих чисел :
32
л. II. Функции, пределы, непрерывность
По свойству 4
jx yj > jxj jyj:
jx yj > jxj jyj:
имеем: jxj = jy + (x y )j 6 jy j + jx y j;
откуда:
6. Модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей этих чисел :
jxyj = jxjjyj:
П р и м е ч а н и е 2. Свойство 6 справедливо для любого конечного
числа сомножителей.
7. Модуль частного двух действительных чисел (если делитель
отличен от нуля ) равен частному модулей этих чисел :
x
=
y
jxj :
jyj
Свойства 6, 7 непосредственно следуют из определения абсолютной величины числа.
Множество действительных чисел x; удовлетворяющих неравенствам a 6 x 6 b (a < x < b); называется сегментом или отрезком
(интервалом ) и обозначается [a; b? ((a; b)). Полусегментом [a; b)
((a; b?) называют множество действительных чисел x; удовлетворяющих неравенствам a 6 x < b (a < x 6 b): Множества действительных чисел x; удовлетворяющих условиям x < a (x 6 a) или x > b
(x > b); обозначаются соответственно ( 1; a) (( 1; a?) или (b; +1)
([b; +1)): Множество всех действительных чисел x обозначается
символом ( 1; +1); или jxj < 1; или R: Все указанные множества
называются промежутками . Окрестностью точки x0 называется
любой интервал, содержащий эту точку. "-окрестностью (" > 0) точки x0 называется интервал (x0 "; x0 + "); т. е. множество чисел x;
удовлетворяющих условию jx x0 j < ":
2. Погрешности вычисления. Пусть некоторая величина имеет точное значение a: В результате измерения этой величины получено ее приближенное значение x: Абсолютной погрешностью 0
приближенного значения x называется модуль разности между числом x и точным значением a: 0 = jx aj:
Если число a неизвестно (что бывает в большинстве измерений),
то абсолютную погрешность вычислить нельзя. В этом случае используется предельная абсолютная погрешность положительное число ; такое, что 0 6 : Очевидно, что
x 6 a 6 x + :
Кратко последнее неравенство записывается так:
a = x :
П р и м е р 1. Если x1 и x2 приближенные значения точного значения числа a; причем известно, что x1 6 a 6 x2 ; то в этом случае можно
положить a = x ; где
x = 21 (x1 + x2 );
= 1 (x2 x1 ):
2
џ 7. Определение и способы задания ункций
33
Точность измерения характеризуется с помощью относительной
погрешности . Относительной погрешностью Ж0 приближенного значения x называется отношение абсолютной погрешности этого значения к модулю точного значения a:
0
Ж0 = jaj :
Если точное значение a неизвестно, то используют предельную
относительную погрешность положительное число Ж; такое, что
Ж0 6 Ж:
Для вычисления относительных погрешностей часто используются приближенные ормулы:
Ж jxj :
Эти ормулы тем точнее, чем значение x ближе
нию a; т. е. чем меньше погрешность 0 или :
0
Ж0 jxj
и
к точному значе-
П р и м е р 2. Каковы предельные абсолютная и относительная
поp
грешности
значения числа
2? Так как
p числа 1,41 приближенного
p
1;410 < 2 < 1;415; то 0 = 2 1;410 < 0;005: Следовательно, можно
положить = 0;005: Далее
0 < 0;005 < 0;0036;
Ж0 = p
2 1;41
откуда Ж = 0;0036; или Ж = 0;36 %. Как здесь (например, при делении 0,005
на 1,41), так и в ряде других примеров для облегчения вычислений можно
использовать калькулятор.
оворят, что приближенное значение x (записанное в виде десятичной дроби) имеет n верных знаков, если абсолютная погрешность
этого числа меньше или равна половине единицы его n-го разряда.
Например, если 9,263 имеет 3 верных знака 9, 2 и 6, то абсолютная
погрешность этого числа 0 6 0;005:
3. Понятие ункции. При изучении природных и технических
процессов исследователи сталкиваются с величинами, одни из которых сохраняют одно и то же численное значение они называются
постоянными , а другие могут принимать различные численные значения и называются переменными . Примерами постоянных величин
могут служить: температура кипения воды при нормальном давлении, скорость тела, движущегося равномерно и прямолинейно. Скорость камня, брошенного вверх, есть переменная величина: сначала
она уменьшается, и, когда камень достигает наивысшей точки полета,
скорость его становится равной нулю. Затем начинается свободное
падение под действием силы тяжести, и скорость камня увеличивается.
В практических задачах изменение переменной величины обычно
связано с изменением одной или нескольких других переменных величин. Например, путь, пройденный телом с постоянной скоростью,
3 И. И. Баврин
34
л. II. Функции, пределы, непрерывность
прямо пропорционален времени движения: s = v t: Этой ормулой
выражена зависимость переменной s пути, пройденного телом, от
переменной t времени движения. Видно, что переменные s и t не
могут принимать произвольные значения независимо друг от друга.
Придав определенное значение переменной t; мы тем самым единственным образом определим значение переменной s:
О п р е д е л е н и е. Если каждому значению, которое может принять переменная x; по некоторому правилу или закону ставится в
соответствие одно определенное значение переменной y; то говорят,
что y есть однозначная ункция от x; и обозначают y = f (x) (читается ѕигрек равно э от иксї).
Используются и другие обозначения ункции: y = '(x); y = (x);
y = y(x) и т. п.
Переменная x называется независимой переменной или аргументом .
Совокупность всех значений аргумента x; для которых ункция
y = f (x) определена, называется областью определения этой ункции. Совокупность всех значений, принимаемых переменной y; называют областью значений ункции y = f (x):
p
П р и м е р. Найти область определения ункции y = 4 x2 : Эта
ункция имеет смысл, если 4 x2 > 0: Отсюда x2 6 4 или jxj 6 2: Следовательно, область определения данной ункции есть сегмент [ 2; 2?: Множество значений этой ункции есть сегмент [0; 2?:
4. Способы задания ункции. Аналитический способ это
задание ункции при помощи ормул. Например, y = 2x; y = x + 1;
y = lg x; y = sin x; y = x2: Если уравнение, с помощью которого задается ункция, не разрешено относительно y; то ункция называется неявной . Когда такое решение возможно, неявная ункция может быть приведена к явной орме, т. е. к виду y = f (x): Например,
уравнение 2x + 3y 5 = 0 можно рассматривать как неявно задающее
ункцию. ешив его относительно y; мы получаем ту же ункцию,
5 2x
:
но уже в явном виде: y =
3
Отметим, что при аналитическом способе задания ункции встречаются случаи, когда ункция задана не одной, а несколькими ормулами, например,
x2 ; если x 6 0;
y = x;
если x > 0:
Табличный способ это способ задания ункции при помощи
таблицы. Примерами такого задания являются таблицы тригонометрических ункций, логаримов и т. п. Табличный способ задания
ункции широко используется в различного рода экспериментах и
наблюдениях. Таблицы просты в обращении, для нахождения значения ункции не надо производить вычисления. Недостатком табличного способа является то, что ункция задается не для всех значений
аргумента.
џ 8. Обзор элементарных ункций и их граиков
35
раический способ. раиком ункции y = f (x) называется множество точек (x; y ) плоскости xOy; координаты которых связаны
соотношением y = f (x): Само равенство y = f (x) называется уравнением этого граика .
С построением граиков мы уже встречались в главе I. Например,
граиком ункции y = 2x является прямая.
y
оворят, что ункция
задаPSfrag replaements
на граически , если на плосM
кости имеется ее граик. Замеf (x0 )
тим, что если начерчен граик
ункции y = f (x); то для наf (x0 )
хождения значения y = f (x0 );
отвечающего какому-нибудь
0
x
A
x0
заданному значению x0 ; надо
отложить это значение x0 по
ис. 26
оси абсцисс и из полученной
точки восстановить перпендикуляр до пересечения с граиком. Длина этого перпендикуляра, взятая с соответствующим знаком, и
равна f (x0): Например, на рисунке 26 имеем jOAj = x0 ; jAM j = f (x0):
Преимуществом граического способа задания ункции по сравнению с аналитическим и табличным является его наглядность.
раический способ задания ункции используется при работе
различных самопишущих приборов. В медицине, например, работа
сердца анализируется с помощью кардиограа.
џ 8. Обзор элементарных ункций и их граиков
1. Целая рациональная ункция. Многочлен вида
y = a0 xm + a1 xm 1 + . . . + am 1 x + am
(a0 ; a1; a2 ; . . .; am 1; am постоянные числа, называемые коэициентами многочлена; m натуральное число, называемое степенью
многочлена) целая рациональная ункция . Эта ункция определена при всех значениях x:
П р и м е р. y = kx + b линейная ункция. Ее граик прямая линия (см. гл. I, џ 2). При b = 0 линейная ункция y = kx выражает прямо
пропорциональную зависимость y от x: В этом случае ее граик проходит
через начало координат.
2. Дробно-рациональная ункция. Эта ункция определя-
ется как отношение двух многочленов
m
m 1
y = a0x n+ a1x n 1 + . . . + am 1x + am :
b0 x + b1 x
+ . . . + b n 1 x + bn
Она определена при всех значениях x; кроме тех, при которых
знаменатель обращается в нуль. Дробно-рациональной ункцией яв3*
36
л. II. Функции, пределы, непрерывность
k
ляется, например, ункция y = ; выражающая обратно пропорциоx
нальную зависимость между x и y: Ее граик есть равносторонняя
гипербола (см. џ 4, п. 3, рис. 16, 17).
3. Степенная ункция. Степенная ункция это ункция
вида y = x ; где действительное число. Она определена при
всех значениях x; если натуральное число; при всех x; не равных
нулю, если целое отрицательное число, и при всех x > 0; если произвольное действительное число.
П р и м е р 1.
рис. 19, б ).
y = ax2 : раик этой ункции парабола (см. џ 4, п. 4,
= q1 ; где q натуральное число, то степенная ункция
p
p
примет вид: y = q x: (Символ q называют корнем степени q или радикалом.)
p
Функция y = q x определена при всех неотрицательных x; если q четное, и при всех x; если q нечетное.
p
П р и м е р 2. y = x: раик этой ункции (рис. 27) верхняя ветвь
Если
параболы
y2 = x (см. џ 4, п. 4).
eplaements y
y
p
y= x
a>1
1
0
y
0<a<1
1
x
1
0
1
а)
ис. 27
x
0
x
б)
ис. 28
4. Показательная ункция. Функция вида y = ax ; где a > 0
и a 6= 1; называется показательной . Она определена при всех
граик изображен на рисунке 28.
x:
Ее
5. Логаримическая ункция. Функция вида y = loga x;
a > 0 и a 6= 1; называется логаримической . Она определена при
x > 0: Ее граик изображен на рисунке 29.
где
6. Понятие обратной ункции. Между степенной ункцией
и радикалом, а также между показательной и логаримической
ункциями существует связь, выражаемая через понятие обратной
ункции.
Пусть
y = f (x)
(1)
есть ункция независимой переменной x: Это значит, что задавая
значения x; мы вполне определяем значения зависимой перемен-
37
џ 8. Обзор элементарных ункций и их граиков
replaements y
y
a>1
0
0<a<1
x
1
y
y = '(x)
x
0 1
x
0
y = f (x)
а)
б)
ис. 29
ис. 30
ной y: Поступим наоборот, а именно: будем считать независимой переменной y; а зависимой переменную x: Тогда x будет являться
ункцией переменной y; которая называется ункцией, обратной к
данной.
Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно x; получим явное выражение обратной ункции
x = '(y):
(2)
Обратная ункция однозначной ункции может быть многозначной,
т. е. данному значению y может соответствовать несколько значений
переменной x: Иногда удается сделать обратную ункцию однозначной, вводя дополнительные ограничения на ее значения.
p
П р и м е р. Двузначная ункция x = y является обратной по отношению к ункции y = x2 : Если условиться для корня брать лишь его
ариметическое значение, то обратная ункция будет однозначной.
Очевидно, что если (2) есть ункция, обратная к (1), то и ункция (1) будет обратной по отношению к ункции (2), т. е. эти ункции являются взаимно обратными .
Иногда придерживаются стандартных обозначений: под x понимают независимую переменную, а под y ункцию, т. е. зависимую
переменную. В таком случае обратную ункцию следует писать в виде y = '(x): Например, можно говорить, что ункции y = 2x и
y = log2 x являются взаимно обратными.
Чтобы из граика данной ункции y = f (x) получить граик
обратной ей ункции y = '(x); очевидно, достаточно первый граик симметрично отобразить относительно биссектрисы 1-го и 3-го
координатных углов (рис. 30).
7. Тригонометрические ункции. Функции y = sin x; y =
= os x определены для всех x: Они являются периодическими с
периодом 2; т. е. при изменении аргумента на число, кратное 2 ,
значение ункции остается прежним. Кроме того, ункция sin x
нечетная (sin( x) = sin x), os x четная (os( x) = os x). раики
1
38
л. II. Функции, пределы, непрерывность
y
2
3
2
y = os x
0
2
2
3
2
2
x
y = sin x
ис. 31
этих ункций синусоида и косинусоида изображены на рисунке 31.
Функция y = tg x не определена только в точках, где os x = 0; т. е.
2k + 1
(k = 0; 1; 2; . . .); а ункция y = tg x не
в точках x =
2
определена только в точках, где sin x = 0; т. е. в точках x = k (k =
= 0; 1; 2; . . .): При этом tg x и tg x нечетные ункции. раики
y
PSfrag replaements
y = tg x
3
2
2
0 2
3
2
2 x
y = tg x
ис. 32
ункций y = tg x и y = tg x; имеющие период ; изображены на
рисунке 32.
Отметим, что в тригонометрических ункциях переменная x
обычно выражается в радианах.
8. Обратные тригонометрические ункции. Функция y =
= arsin x: Здесь y переменная из сегмента jyj 6 2 ; синус которой
равен x; т. е. x = sin y: Область определения этой ункции сегмент jxj 6 1; а ее граик изображен на рисунке 33.
Функция y = aros x означает, что x = os y; причем jxj 6 1 и
0 6 y 6 : раик y = aros x изображен на рисунке 34.
39
џ 8. Обзор элементарных ункций и их граиков
Sfrag replaements
y
y
2
y = arsin x
1
0
1
x
y = aros x
2
2
1
0
ис. 33
x
1
ис. 34
Функция y = artg x есть переменная, тангенс которой равен x; т. е.
x = tg y; причем x любое и jyj < (рис. 35), а ункция y = artg x
PSfrag replaements
y
2
2
y = artg x
0
x
2
ис. 35
y
PSfrag replaements
2
y = artg x
x
0
ис. 36
есть переменная, для которой
(рис. 36).
x = tg y;
где
x
любое и
0<y<
9. Сложная ункция. Пусть переменная y зависит от пере-
u; которая в свою очередь зависит от переменной x; т. е.
y = f (u); u = '(x): Тогда при изменении x будет меняться u; а потому будет меняться y: Значит, y является ункцией x: y = f ('(x)):
менной
Эта ункция называется сложной ункцией (или ункцией от
40
л. II. Функции, пределы, непрерывность
ункции ), переменная u промежуточной . Указанную сложную
ункцию называют также суперпозицией ункций f и ':
П р и м е р. Если y = sin u, а
ция независимой переменной x:
u = x2 ; то y = sin x2
есть сложная унк-
Функции степенная, показательная, логаримическая, тригонометрические и обратные тригонометрические ункции, постоянная
(константа) называются основными элементарными ункциями .
Всякая ункция, которая получается из основных элементарных
ункций путем конечного числа суперпозиций и четырех ариметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), называется элементарной ункцией .
Например, элементарными ункциями будут рассмотренные выше целая рациональная и дробно-рациональная ункции.
10. армонические колебания. В природе и технике часто происходят явления и процессы, повторяющиеся периодически, например,
колебание маятника, переменный
ток, электромагнитные
y
колебания и др.
A
ассмотрим простейший
вид колебаний, так называеplaements
мое гармоническое колебание
!
бания, а
0
!
!
2
!
t
y = A sin !t
(3)
(A и ! положительные пос-
тоянные).
раик ункции (3) изображен на рисунке 37.
Коэициент A; представA
ляющий наибольшую величиис. 37
ну, которую может иметь y;
называется амплитудой коле частотой колебания. Функция (3) является периодичес-
2
2
кой, с периодом
! : значения y в точках t + k ! (k
одни и те же. Если считать, что t время, то период
T = 2!
= 0; 1; 2; . . .)
показывает время, в течение которого совершается одно колебание.
2 число колебаний за время 2 . раик гармониПоэтому ! =
T
ческого колебания (рис. 37) называется простой гармоникой .
Однако далеко не всегда периодическое явление описывается простой гармоникой. Многие из таких явлений есть результат сложения
нескольких простых гармоник, который называется сложным гармоническим колебанием , а его граик сложной гармоникой .
ag replaements
41
џ 9. Предел ункции
y
y = sin t + sin 2t
y = sin t
2
3
1
0
1
3
2
2
t
y = sin 2t
ис. 38
На рисунке 38 изображена сложная гармоника y = sin t + sin2t результат сложения двух простых гармоник y = sin t и y = sin2t:
џ 9. Предел ункции
1. Предел числовой последовательности. Бесконечной чис-
ловой последовательностью (или просто числоPSfragункция
replaements y
вой последовательностью) называется
an = f (n); определенная на множестве всех на4
туральных чисел 1; 2; . . .; n; . . . Значения после3
довательности a1 ; a2 ; . . .; an ; . . . называются ее
2
членами .
1
Последовательность an = f (n) иногда обозначают так: fan g: Это означает, что задана
0 1 2 3 4 x
1
последовательность с общим членом an : По
2
данному общему члену всегда можно найти
любой член последовательности ak ; подставив
3
в an вместо n число k: Ниже приведены
ис. 39
примеры последовательностей, причем сначала приведена орма записи fan g; а затем записаны первые члены:
1) [( 1)n n?;
1; 2; 3; . . .;
2) [3n + 1?;
4; 7; 10; . . .; y
PSfrag
3) [2 n?;
1; 0replaements
; 1; . . .;
4)
5)
6)
7)
n o
1 ;
nn
n
o
n + 1 o;
n+1 ;
o
n 2n
( 1)n n1 ;
n
1; 12 ; 31 ; . . .;
1 2
; ; . . .;
2 3
1; 34 ; 32 ; . . .;
1; 21 ; 31 ; . . .;
1
0
1
2
3
4
x
ис. 40
Для числовой последовательности, как и для любой ункции,
можно построить граик. Он не является линией, а состоит из отдельных точек, расположенных справа от оси Oy: На рисунках 39
и 40 построены граики последовательностей 1) и 5).
42
л. II. Функции, пределы, непрерывность
Числовая последовательность fan g называется невозрастающей
(неубывающей ), если для любого номера n справедливо неравенство
an > an+1 (an 6 an+1):
Если an > an+1 (an < an+1 ); то последовательность fan g убываю-
щая (возрастающая ). Например, последовательность 3) убывающая,
последовательность 2) возрастающая.
Последовательности всех этих типов носят общее название монотонных .
Последовательность fan g называется ограниченной сверху (снизу ),
если существует такое число M; что для любого номера n выполняется неравенство an 6 M (an > M ): Последовательность 3) ограничена сверху, например, числом 1. Последовательности, одновременно
ограниченные сверху и снизу, называются ограниченными . Последовательность 4) ограничена.
На граике последовательности 5) (рис. 40) видно, что ординаты точек с увеличением номера n приближаются к единице. Члены
последовательности 4) с возрастанием номера становятся близкими
к нулю.
О п р е д е л е н и е. Число a называется пределом числовой последовательности fan g; если для любого числа " > 0 существует такой
номер N = N ("); зависящий от "; что для всех n > N выполняется
неравенство jan aj < ": Это обозначают так: lim an = a или an ! a
n!1
при n ! 1:
П р и м е р ы. Доказать, что
lim
1 = 0;
а)
n!1 n
в)
n!1 n
lim n
б)
1 = 1;
г)
1 = 0;
n
lim ( 1)n n +1 = 1 :
n!1
2n 2
lim ( 1)n
n!1
Ограничимся доказательством первого из этих четырех равенств, так
как доказательство трех других проводится аналогично.
Пусть " > 0 произвольное число. Тогда:
1
0 = 1 < ";
если
n
n > "1 :
n
Из последнего неравенства следует,
h iчто в качестве номера
1
1 :
взять целую часть числа ; т. е. N =
Итак,
lim 1 = 0:
n!1 n
"
N
можно
"
Характер стремления последовательности к своему пределу различен. Последовательности 4) и 6) стремятся к своим пределам
убывая; последовательность 5) стремится к единице возрастая;
последовательность 7) стремится к нулю так, что ее члены становятся
поочередно то больше, то меньше нуля.
Сормулируем без доказательства важные свойства пределов
последовательностей. (Доказательство можно найти, например, в [10?.)
43
џ 9. Предел ункции
1. Последовательность может иметь только один предел .
2. Любая неубывающая (невозрастающая ) и ограниченная сверху
(снизу ) числовая последовательность имеет предел . На основании
свойства 2 можно показать, например, что последовательность f21=n g
имеет предел, так как ее члены убывают, оставаясь больше единицы.
2. Число e. ассмотрим числовую последовательность
n
1 n o
:
1+ n
(1)
Для доказательства существования предела этой последовательности
воспользуемся свойством 2 из предыдущего пункта. Для этого покажем сначала, что наша последовательность
возрастающая.
азложим
общий член последовательности
Ньютона:
an = 1 + n1
или
n
an = 1 + n1
n
по ормуле бинома
= 1 + n 1 + n(n 1) 12 + n(n 1)(n 2) 13 + . . .
n
12
123
n
n
n(n 1). . .[n (n 1)? 1
... +
1 2 3. . .n
nn
an = 2 + 21 1 n1 + 21 3 1 n1 1 n2 + . . .
...
+
1
1
2 3. . .n
1 n
1 n2
...
1 n n 1 : (2)
Из равенства (2) видно, что с увеличением номера n каждое слагаемое, кроме первого, увеличивается и возрастает число таких слагаемых.
Следовательно, an < an+1 для всех n; и поэтому последовательность
возрастающая.
Покажем теперь, что последовательность (1) ограничена сверху.
Заменим во всех членах разложения (2) выражения в круглых скобках
единицами. Тогда:
an < 2 + 11 2 + 1 12 3 + . . . + 1 2 13. . .n :
Подставляя вместо множителей 3; 4; . . .;n в знаменателях число 2,
мы еще больше увеличим правую часть:
an < 2 + 21 + . . . + n1 1 :
2
Но по ормуле суммы членов геометрической прогрессии
1
1
n
1 1
+ + . . . + n1 1 = 2 21 = 1
2 22
2
1 2
1
2n 1
< 1:
Поэтому an < 3 при любом n:
По свойству 2 из предыдущего пункта последовательность (1),
как возрастающая и ограниченная сверху, имеет предел. Этот предел
44
л. II. Функции, пределы, непрерывность
принято обозначать буквой
ный предел ):
e
(так называемый второй замечательn
1 :
e = nlim
!1 1 + n
(3)
Число e является иррациональным и приблизительно равно 2,71828
(e = 2;71828182. . .):
З а д а ч а. Одним из свойств радиоактивных элементов является
их самораспад. Пусть в начальный момент t = 0 имелось m0 граммов
радия. За время t масса нераспавшегося радия составила x граммов.
Оказывается, как это далее будет показано (см. гл. VII, џ 38), что
масса x связана с начальной массой m0 и времени t ормулой
x = m0 e
kt ;
k коэициент пропорциональности.
Аналогичный же закон (показательный с основанием e) встречается при изучении целого ряда процессов, как-то: охлаждение тел,
размножение бактерий и т. п. Отсюда ясно, какую важную роль играет число e в математическом анализе и его приложениях.
где
3. Натуральные логаримы. Число e принято за основание
системы логаримов, называемых натуральными логаримами . Оказалось, что с помощью натуральных логаримов некоторые ормулы
записываются проще. Для обозначения натурального логарима числа N пользуются символом ln N:
Для отыскания приближенных значений натуральных логаримов по таблицам десятичных логаримов найдем связь между натуральными и десятичными логаримами.
Если ln N = a; то N = ea и логаримирование обеих частей последнего равенства по основанию 10 дает lg N = a lg e (lg e 0;4343)
или lg N = ln N lg e; откуда:
ln N = lglgNe
1
2
;
3026
:
lg e
4. Предел ункции. Выше рассмотрено понятие предела для
частного вида ункций числовых последовательностей.
Пусть ункция f (x) определена в некоторой окрестности точки
x = a; кроме, быть может, самой точки a:
О п р е д е л е н и е. Число A называется пределом ункции f (x)
при стремлении x к a (или в точке a), если для любого числа " > 0
существует такое число Ж > 0; что для всех x 6= a; удовлетворяющих условию
имеет место неравенство
Обозначают это так:
jx aj < Ж;
jf (x) Aj < ":
lim f (x) = A или f (x) ! A при x ! a:
Отсюда, если число A есть предел ункции f (x) в точке x = a;
x!a
то для всех
x;
достаточно близких к числу
a
и отличных от него,
45
џ 9. Предел ункции
соответствующие им значения ункции f (x) оказываются сколь угодно близкими к числу A (естественно в тех точках x; в которых ункция f (x) определена).
П р и м е р 1. Доказать, что lim x = 1: Пусть " произвольное полоx!1
жительное число. Найдем такое число Ж > 0; что для всех x; удовлетворяющих неравенству 0 < jx 1j < Ж; выполняется неравенство jx 1j < ":
Очевидно, здесь таким Ж является ":
П р и м е р 2. Показать, что lim x2 = 1: Пусть " произвольное
x!1
положительное число. Найдем такое число Ж > 0; что для всех x; удовлетворяющих неравенству 0 < jx 1j < Ж; выполняется неравенство jx2 1j < ":
Если 0 < jx 1j < Ж; то jx + 1j = j(x 1) + 2j 6 jx 1j + 2 < Ж + 2: Следовательно, jx2 1j = jx 1jjx + 1j < Ж (Ж + 2): Для выполнения неравенства jx2 1j < " достаточно потребовать,
чтобы Ж (Ж + 2) = ";p т. е. чтобы
p
Ж2 + 2Ж " = 0: Отсюда Ж = 1 + 1 + " (второй корень 1 1 + " отбрасываем, так как Ж > 0) :
1 = z; то она примет
П р и м е ч а н и е. Если в ормуле (3) положить
n
вид:
1=z
e = zlim
(1 + z )
!0
:
(4)
Оказывается, что ормула (4) верна не только когда переменная
гает последовательность значений
стремления z к нулю.
z
пробе-
zn = n1 ; но и при любом другом законе
При изучении свойств ункции приходится рассматривать и предел ункции при стремлении аргумента x к бесконечности.
О п р е д е л е н и е. Число A называется пределом ункции f (x)
при стремлении x к бесконечности (или в бесконечности), если для
любого числа " > 0 существует такое положительное число N; что
для всех x; удовлетворяющих условию jxj > N; имеет место неравенство jf (x) Aj < ": При этом пишут lim f (x) = A:
x!1
П р и м е р 3. Показать, что
lim x +1 = 1:
x!1 x3
3
Пусть " произвольное положительное число. Найдем такое число
N > 0; что для всех x; удовлетворяющих неравенству jxj > N; выполняет-
ся неравенство
Если
jxj > N; то jxj3 > N 3 и
x3 +1
x3
x3 +1
x3
1 =
Поэтому для выполнения неравенства
x3 +1
x3
1 < ":
1 < 1:
N
jxj3
1 < "
3
46
л. II. Функции, пределы, непрерывность
1 = "; т. е. взять N =
N3
3
= 1:
lim x +1
x!1 x3
достаточно найти N из условия
но, по определению
p31" : Следователь-
lim f (x); и x!
lim1 f (x):
Предел ункции f (x) при x ! +1 (x ! 1) определяется
аналогично lim f (x), только в самой ормулировке определения
x!1
lim
f
(
x
)
условие jxj > N следует заменить на x > N (x < N ):
x!1
ассматривают также
x!+1
џ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
1. Бесконечно малые и их свойства. При изучении свойств
пределов ункций особую роль играют ункции, предел которых при
стремлении аргумента к какой-либо точке равен нулю.
Числовая последовательность fan g называется бесконечно малой
n o,
1 ;
если ее предел
равен нулю: lim an = 0: Последовательности
n
o
( 1)n 1
n
n!1
n
являются бесконечно малыми: их пределами является
нуль (см. џ 9). Понятие бесконечно малой последовательности можно
перенести на произвольные ункции.
О п р е д е л е н и е. Функция (x) называется бесконечно малой
при x ! a; если lim (x) = 0; т. е. если для любого числа " > 0 суx!a
ществует такое число Ж > 0; что для всех x; удовлетворяющих неравенству 0 < jx aj < Ж; выполняется неравенство j(x)j < ":
Бесконечно малую ункцию (x) называют также бесконечно
малой величиной или просто бесконечно малой.
П р и м е р. Показать, что ункция y = x2 1 является бесконечно малой при x ! 1: Пусть " произвольное положительное число. Найдем
такое число Ж > 0; что для всех x; удовлетворяющих неравенству 0 <
< jx 1j < Ж; выполняется неравенство jx2 1j < ":
p Как показано ранее
(см. џ 9, п. 4, пример 2), таким Ж является Ж = 1 + 1 + ": Следовательно,
ункции y = x2 1 является бесконечно малой при x ! 1:
В дальнейшем в этом параграе при рассмотрении бесконечно
малых будем иметь в виду, что они являются бесконечно малыми
при x ! a:
Остановимся на основных свойствах бесконечно малых ункций.
Эти свойства будут верны также и для бесконечно малых последовательностей.
1. Если ункции 1 (x) и 2 (x) являются бесконечно малыми ,
то ункция 1 (x) + 2 (x) также есть бесконечно малая .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть " произвольное положительное
число. Так как ункции 1 (x) и 2 (x) бесконечно малые, то найдут-
џ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
ся такие числа Ж1 ; Ж2 > 0; что при 0 < jx
имеют место соответственно неравенства:
j1 (x)j < "2
и
aj < Ж1
и
47
0 < jx aj < Ж2
j2 (x)j < "2 :
(1)
Обозначим через Ж наименьшее из двух чисел Ж1 и Ж2 : Тогда при
0 < jx aj < Ж будут верны неравенства (1) и, следовательно,
j1 (x) + 2 (x)j 6 j1 (x)j + j2 (x)j < "2 + "2 = ":
Итак, для любого " > 0 существует такое Ж > 0, что при 0 <
выполняется неравенство j1 (x) + 2 (x)j < "; а это и
означает, что 1 (x) + 2 (x) есть ункция бесконечно малая.
< jx aj < Ж
П р и м е ч а н и е 1. Свойство 1 распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малым.
Функция f (x) называется ограниченной при x ! a; если существуют положительные числа M и Ж; такие, что при условии 0 < jx aj <
< Ж выполняется неравенство jf (x)j 6 M: Например, любая бесконечно
малая (x) является ограниченной ункцией при x ! a:
Температура воздуха T в данной местности ограниченная ункция времени t: Изменяясь днем и ночью, зимой и летом, она никогда
не достигнет +1000 C и 1000 C. Таким образом, jT (t)j < 100:
2. Произведение ограниченной при x ! a ункции на бесконечно
малую есть ункция бесконечно малая .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (x) ограниченная ункция при
x ! a и (x) бесконечно малая. Тогда существует такое число
M > 0; что jf (x)j 6 M для всех x; достаточно близких к a: Возьмем
любое " > 0: Для " существует такое Ж > 0; что при условии 0 <
< jx aj < Ж одновременно выполняются неравенства jf (x)j 6 M и
j(x)j < " : Поэтому
M
jf (x) (x)j = jf (x)jj(x)j < M M" = ":
Непосредственно из свойства 2 следуют свойства 3 и 4.
3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая .
4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая .
П р и м е ч а н и е 2. Свойство 4 распространяется на любое конечное
число бесконечно малых.
2. Бесконечно большие. Числовая последовательность fan g
называется бесконечно большой , если для любого положительного
числа M найдется такое натуральное число N; что для любого n > N
выполняется неравенство jan j > M : В этом случае пишут lim an = 1:
n!1
Последовательности fng; f( 1)n ng являются бесконечно большими.
48
л. II. Функции, пределы, непрерывность
Понятие бесконечно большой последовательности можно перенести на произвольные ункции.
Функция f (x) называется бесконечно большой при x ! a, если для
любого числа M > 0 существует такое число Ж > 0; что jf (x)j > M
для всех x; удовлетворяющих неравенству 0 < jx aj < Ж: Обозначается это так: lim f (x) = 1:
x!a
f (x) положительна (отрицательна) в окрестности
lim f (x) = +1 (xlim
x!a
!a f (x) = 1):
1 = +1: Действительно, при любом
П р и м е р. Доказать, что lim
x
!
1
(1
x)
M > 0 будем иметь 1 > M; если только (1 x)2 < M1 ; j1 xj < p1 =
x)
M
1 (1 принимает
только положительные значения.
= Ж: Функция
(1 x)
П р и м е ч а н и я 1. Бесконечность (1) не число, а символ, который
Если при этом
точки a; то пишут
2
2
2
употребляется, например, для того, чтобы указать, что соответствующая
ункция есть бесконечно большая.
2. Бесконечно большая ункция f (x) при x ! a не имеет предела,
так как предел переменной (если он существует) некоторое число. То же
в случае бесконечно большой числовой последовательности.
В дальнейшем всегда под пределом последовательности (ункции) будем понимать конечный предел, т. е. число, если не оговорено противное.
Ниже рассматриваются бесконечно большие ункции при x ! a:
Как видно из следующих свойств, которые верны и для последовательностей, бесконечно большие и бесконечно малые ункции
тесно связаны между собой.
1 бесконечно
1. Если ункция f (x) бесконечно большая , то
f
(
x)
малая .
1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое " > 0 и обозначим = M:
"
Так как f (x) бесконечно большая, то числу M соответствует Ж > 0;
такое, что при 0 < jx aj < Ж выполняется неравенство jf (x)j > M =
= "1 ; откуда jf (1x)j < ":
2. Если ункция
(x)
бесконечно малая и не обращается в нуль ,
1
то
(x) бесконечно большая .
1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое M > 0 и обозначим
M = ":
Так как (x) бесконечно малая, то числу " > 0 соответствует Ж > 0;
такое, что при
1
0 < jx aj < Ж выполняется неравенство j(x)j < " = 1 ;
M
j(x)j > M:
В данном параграе были рассмотрены ункции аргумента x для
случая, когда x ! a: Однако все предложения, установленные здесь,
остаются в силе и для случая, когда x стремится к бесконечности.
откуда
При этом все доказательства аналогичны.
џ 11. Основные теоремы о пределах и их применение
49
џ 11. Основные теоремы о пределах и их применение
1. Основные теоремы о пределах. Прежде сделаем следующее замечание. Ниже рассматриваются ункции аргумента x; при
этом x стремится к a или x стремится к бесконечности. Все устанавливаемые в этом пункте предложения о пределах имеют место в
обоих случаях; они верны также и для последовательностей. Здесь
приводится доказательство для одного из этих случаев (x ! a); так
как для другого доказательство аналогично. Это замечание относится и к пункту 4.
Т е о р е м а 1. Для того чтобы число A было пределом ункции f (x) при x ! a; необходимо и достаточно , чтобы эта ункция
была представима в виде :
f (x) = A + (x);
где
(x) бесконечно малая .
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть
lim f (x) = A: Это значит, что
для любого " > 0 существует такое Ж > 0; что для всех x; удовлетворяющих условию 0 < jx aj < Ж; имеет место неравенство jf (x) Aj <
< "; т. е. ункция (x) = f (x) A есть бесконечно малая и f (x) =
= A + (x):
2) Пусть f (x) = A + (x); где (x) бесконечно малая. Тогда для
любого " > 0 существует такое Ж > 0; что для x из 0 < jx aj < Ж
будет j(x)j = jf (x) Aj < "; т. е. A предел ункции f (x) при
x!a
x ! a:
Т е о р е м а 2. Предел постоянной величины равен самой постоянной .
Это предложение непосредственно вытекает из определения предела.
Т е о р е м а 3. Если ункция f (x) > 0 (f (x) 6 0) для всех x в
некоторой окрестности точки a; кроме , быть может , самой точки a; и в точке a имеет предел , то lim f (x) > 0 ( lim f (x) 6 0):
x!a
x!a
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например, f (x) > 0 и
" = jAj
lim f (x) = A:
x!a
неравенство jf (x) Aj < " при
0 < jx aj < Ж было бы невозможно ни при каком Ж > 0; так как
влекло бы за собой отрицательность f (x):
Если бы было
A < 0; то для
2
lim f (x) существует, из f (x) > 0 (f (x) < 0); вообще говоря, не вытекает lim f (x) > 0
x!a
( lim f (x) < 0); а только lim f (x) > 0 ( lim f (x) 6 0): Так, jxj > 0 для
x!a
x!a
x!a
j
x
j
= 0:
всех x =
6 0; но xlim
!0
П р и м е ч а н и е 1. Заметим, что при условии, что
x!a
Т е о р е м а 4. Если ункции f1 (x) и f2 (x) имеют пределы при
имеют пределы также их сумма f1 (x) + f2 (x);
x ! a; то при x ! a
4 И. И. Баврин
50
л. II. Функции, пределы, непрерывность
произведение
причем
f1 (x) f2 (x) и при условии xlim
!a f2 (x) 6= 0 частное
lim [f (x) + f2 (x)? = xlim
x!a 1
!a f1 (x) + xlim
!a f2 (x);
lim [f (x) f2 (x)? = xlim
x!a 1
!a f1 (x) xlim
!a f2 (x);
f1(x) = xlim
!a f1 (x) :
lim
x!a f2 (x)
lim f (x)
x!a 2
f1(x) ;
f2(x)
(1)
(2)
(3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ограничимся рассмотрением случая суммы. Все остальные утверждения доказываются аналогично. Пусть
lim f1 (x) = A1 ; lim f2 (x) = A2 : Тогда согласно теореме 1
x!a
x!a
f1 (x) = A1 + 1 (x);
f2 (x) = A2 + 2 (x);
1 (x); 2 (x) бесконечно малые. Отсюда:
f1 (x) + f2 (x) = (A1 + A2 ) + (1 (x) + 2 (x)):
По свойству 1 бесконечно малых (џ 10) сумма 1 (x) + 2 (x)
где
но мала. Следовательно, по теореме 1
бесконеч-
lim [f (x) + f2 (x)? = A1 + A2 :
x!a 1
П р и м е ч а н и е 2. Формула (1) распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых, а ормула (2) на
случай любого конечного числа сомножителей.
С л е д с т в и е 1. Если ункция
f (x) имеет предел при x ! a; то
n
lim [f (x)?n = xlim
x!a
!a f (x) ;
n натуральное число .
С л е д с т в и е 2. Постоянный множитель можно выносить за
знак предела :
lim f (x) = lim f (x); onst.
где
x!a
x!a
Т е о р е м а 5. Если для ункций f (x); f1 (x) и
окрестности точки a выполняется неравенство
и
f2 (x) в некоторой
f1 (x) 6 f (x) 6 f2 (x)
lim f (x) = xlim
x!a 1
!a f2 (x) = A; то xlim
!a f (x) = A:
(4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения предела вытекает, что в
некоторой окрестности точки a (при x 6= a) будут одновременно выполняться следующие неравенства:
jf1 (x) Aj < ";
jf2 (x) Aj < ";
где " произвольное положительное число. Запишем эти неравенства, освободившись от знака абсолютной величины:
A " < f1 (x) < A + ";
(5)
51
џ 11. Основные теоремы о пределах и их применение
A " < f2 (x) < A + ":
(6)
Из неравенств (4) и (5) имеем:
A " < f1 (x) 6 f (x);
откуда
A " < f (x):
(7)
Аналогично из неравенств (4) и (6) получим:
Из (7) и (8) следует, что
т. е. lim f (x) = A:
f (x) < A + ":
A " < f (x) < A + "
(8)
или
x!a
jf (x) Aj < ";
2. Примеры вычисления пределов.
П р и м е р 1. Найти
lim (2x2 + 1):
x!1
Используя теоремы 4, 2, следствия 2, 1 и пример 1 из п. 4 џ 9, последовательно получаем:
lim (2x2 + 1) = lim 2x2 + lim 1 = 2( lim x)2 + 1 = 2 + 1 = 3:
x!1
x!1
x!1
2
x
5
x
+1
П р и м е р 2. Найти lim
: Применяя теоремы 4, 2,
x!1 x3 +1
x!1
следст-
вия 1, 2 и пример 1 из п. 4 џ 9, находим:
lim (x2 5x +1) xlim
x2 lim 5x + lim 1
2
x
5
x
+1
!
1
x!1
x!1
x!1
=
=
lim
x!1 x3 +1
lim (x3 +1) =
lim x3 + lim 1
x!1
x!1
x!1
( lim x) 5 xlim
x +1 1 5+1
!
= x!
=
= 3:
1+1
2
(xlim
x) +1
!
2
1
1
3
1
Как показывают решения приведенных примеров, в простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Однако не всегда можно вычислить предел с
помощью ормул (1), (2), (3). Так, ормулы (1) и (2) утрачивают смысл,
если хотя бы одна из ункций f1 (x) и f2 (x) не имеет предела. Формула (3)
неверна, если знаменатель дроби стремится к нулю. ассмотрим здесь два
случая.
а) Предел числителя не равен нулю.
П р и м е р 3. Найти
lim x :
x!1 1 x2
2
Имеем:
lim (1 x2 ) = 0:
x!1
Поэтому ор-
мулу (3) в этом примере использовать нельзя. Так как
lim (1 x2)
2
lim 1 2x = x!1 2 = 0 = 0:
1
x!1 x
lim x
то ункция
п. 2)
4*
1 x
x!1
2
x ! 1 (см. џ 10, п. 1). Тогда (џ 10,
x2 = 1:
бесконечно большая при x ! 1; т. е. lim
2
x!1
бесконечно малая при
x2 x2
ункция
1 x2
1 x
52
л. II. Функции, пределы, непрерывность
Можно отметить, что, когда
x
приближается к 1 слева, т. е. оставаясь
все время меньше 1 (что записывают x ! 1 0); ункция
все время положительной. В этом случае записывают:
x2
1 x2
остается
lim x = +1:
x!1 0 1 x2
2
Если же x приближается к 1 справа, т. е. оставаясь все время больше 1
(что записывают x ! 1 + 0); эта ункция остается все время отрицательной. В этом случае записывают:
x2 =
lim
x!1+0 1 x2
1:
б) Предел числителя равен нулю.
П р и м е р 4. Найти
2
lim x 2+3x :
x!0 x + x
Здесь
lim (x2 + 3x) = 0 + 3 0 = 0;
x!0
lim (x2 + x) = 0 + 0 = 0: оворят, что в этом случае имеем неопределенность
0
x2 +3x существует, и его можно найти. Для
вида : Однако предел lim 2
0
x!0 x + x
0
x!0
его нахождения, т. е. раскрытия неопределенности вида
x2 +3x ;
x2 + x
рительно преобразовать дробь
0 ; нужно предва-
разделив числитель и знаменатель
почленно на x; что возможно, так как до перехода к предельному значению
x 6= 0: Следовательно, получим:
Но
lim x +3 = 3
x!0 x +1
2
lim x 2+3x = lim x +3 :
x!0 x + x x!0 x +1
(здесь ормула (3) применима, так как
В результате имеем:
lim x
2
+3x = 3:
lim (x + 1) = 1 6= 0):
x!0
x!0 x2 + x
lim
x!0
p
lim 4 x
x!0
П р и м е р 5. Найти
p
4 x p4+ x : Так как
x
p 4 + x = 0;
lim x = 0;
x!0
0
то здесь также имеется неопределенность вида : Для того чтобы раск0
рыть эту неопределенность, преобразуем дробь, стоящуюpпод знаком
p предела, умножив числитель и знаменатель этой дроби на 4 x + 4 + x и
сделав после чего необходимые упрощения:
lim
x!0
p
4 x p4+ x = lim (p4 x pp4+ x)(pp4 x + p4+ x) =
x
x!0
x( 4 x + 4+ x)
4
x
(4+
x
= lim p
=
p ) = lim p 2xp
x!0 x( 4 x + 4+ x) x!0 x( 4 x + 4+ x)
1p
= 2 1 = 1:
= 2 lim p
2+2 2
x!0 4 x + 4+ x
53
џ 11. Основные теоремы о пределах и их применение
ассмотрим теперь примеры на вычисление пределов ункций при
x ! 1:
П р и м е р 6. Найти
4 :
lim
x!1 3x +2
Очевидно,
lim (3x + 2) = 1:
x!1
Поэто-
1
4
3x +2 ; значит, и ункция 3x +2 бесконечно малая при
4 = 0:
x ! 1; т. е. xlim
!1 3x +2
3x +5 : Здесь lim (3x +5) = 1; lim (4x +1) =
П р и м е р 7. Найти lim
x!1 4x +1
x!1
x!1 1
= 1: оворят, что в этом случае имеем неопределенность вида 1
: Для
3
x
+5
ее раскрытия предварительно числитель и знаменатель дроби
4x +1 почленно разделим на x: Следовательно, получим:
му (џ 10) ункция
3+ 5
x:
lim 3x +5 = lim
x!1 4x +1 x!1 4+ 1
Но
lim
В результате имеем:
1 =0
x!1 x
x
и
lim
5 = 0:
x!1 x
lim 3x +5 = 3 :
x!1 4x +1
4
Аналогично устанавливается, что при x ! 1 дробно-рациональная
ункция стремится либо к нулю, либо к бесконечности, либо к конечному
числу, отличному от нуля, в зависимости от того, будет ли степень числителя
меньше степени знаменателя, больше ее или равна ей.
3. Первый замечательный предел. Справедливо равенство
lim sin x = 1:
(9)
C
x!0 x
B
PSfrag замечаreplaements
авенство (9) называется первым
1
тельным пределом. С его помощью можно
вычислять пределы различных ункций,
x
содержащих тригонометрические ункции и
O
D A
степени x:
Перейдем к доказательству равенства (9).
Возьмем круг единичного радиуса и предположим, что угол x, выраженный
в радианах,
ис. 41
заключен в интервале 0;
(рис. 41). Обоз2
начим площади треугольников OAB и OAC соответственно через S1
и S2 ; а площадь сектора OAB через S: Из рисунка 41 видно, что
S1 < S < S 2 :
(10)
1
1
Замечая, что jBDj = sin x; jAC j = tg x; имеем: S1 = sin x; S = x;
2
2
S2 = 12 tg x: Поэтому с учетом (10) получаем:
54
л. II. Функции, пределы, непрерывность
1 sin x < 1 x < 1 tg x;
2
2
2
sin x и сокращения на 1 находим:
2
1< x < 1
sin x os x
или
os x < sinxx < 1:
(11)
sin x
Неравенства (11) получены для 0 < x < : Однако os x и
2 sin x sin x
x sin(
x
)
четные ункции: os( x) = os x;
x = x = x : Тем са< x < 0:
мым неравенства (11) справедливы в интервале
откуда после деления на
2
Так как lim os x = 1 (это следует из геометрического определения
x!0
косинуса), то из (11) на основании теоремы 5 заключаем, что действительно имеет место равенство (9).
lim sin3x : Имеем:
x
sin3
x
= lim 3sin3x = 3 lim sin3x = 3:
lim
x!0 3x
x!0 3x
x!0 x
sin2
x
2. Найти lim
: Имеем:
x!0 sin5x
П р и м е р 1. Найти
Пример
x!0
2sin2x
lim sin2x 2
2
sin2
x
2
x
x! 2x
=
= :
lim
= lim
x!0 sin5x x!0 5sin5x 5 lim sin5x 5
5x
x! 5x
0
0
4. Сравнение бесконечно малых. ассмотрим отношение
двух бесконечно малых (x) и (x) при x ! a (для компактности
записи будем обозначать их просто и ): Выделим три случая.
1. lim = 0: В этом случае говорят, что бесконечно малая
x!a более высокого порядка, чем
:
x ! 2 ункция (x 2)3 бесконечно малая более
(x 2)3 = 0:
высокого порядка, чем x 2; так как lim
x!2 x 2
2. lim = A 6= 0 (A число). В этом случае ункции и наx!a П р и м е р 1. При
зываются бесконечно малыми одного и того же порядка.
П р и м е р 2. При
x!0
ункции
5x2
и
x2
являются бесконечно ма-
5x = 5:
лыми одного порядка, так как lim
x!0 x
3. lim = 1: В этом случае говорят, что бесконечно малая
x!a более низкого порядка, чем : Можно сказать также, что бесконечно малая более высокого порядка, чем :
2
2
55
џ 12. Непрерывность ункции
П р и м е р 3. При
кого порядка, чем (x
x ! 1 ункция x + 1 бесконечно малая более низ1)(x + 1)2 ; так как
x +1
lim
= 1:
x! 1 (x 1)(x +1)2
О п р е д е л е н и е. Если ункции и бесконечно малые одного
и того же порядка, причем lim = 1; то они называются эквивалент-
x!a ными бесконечно малыми. Символически это записывают так:
Из определения, в частности, следует, что если
т. е. если и бесконечно малые одного порядка, то и
являться эквивалентными бесконечно малыми: A:
П р и м е р 4. Как установлено в пункте 3,
lim
:
lim = A 6= 0;
x!a A
будут
sin x = 1; т. е. sin x и x
x!0 x
при x ! 0 являются эквивалентными бесконечно малыми.
П р и м е р 5. Так как
tg x = lim sin x 1 = lim sin x lim 1 = 1 1 = 1;
x!0 x os x
x!0 x x!0 os x
то tg x x при x ! 0:
lim
x!0 x
Т е о р е м а. Если существует предел отношения двух бесконечно
малых и ; то он равен пределу отношения соответствующих им
эквивалентных бесконечно малых .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если 1 ; 1 и су
= 1 1 ;
ществует lim ; то, перейдя к пределу в равенстве
1 1 x!a получим:
= lim 1 1 = lim lim 1 lim 1 =
lim
x!a 1 x!a 1 x!a x!a x!a 1 1 1
1
= 1 xlim
!a 1 1 = xlim
!a 1 :
Доказанная теорема позволяет во многих случаях упрощать отыскание предела.
П р и м е р 6. lim
x!0
при x ! 0:
sin5x = lim 5x = 5 ;
tg3x x!0 3x 3
так как
sin5x 5x
и
tg 3x 3x
џ 12. Непрерывность ункции
1. Понятие непрерывности. Мы видели, что граиками последовательностей являются множества точек; эти точки всегда находятся на некотором расстоянии друг от друга (дискретное множество
точек). раиком же, например, степенной ункции является кривая, которая похожа на росчерк пера, на ѕсплошнуюї, ѕнепрерывнуюї
56
л. II. Функции, пределы, непрерывность
линию. Оказывается, эту разницу характеризует точное математическое понятие непрерывности, к введению которого и перейдем. Пусть
ункция y = f (x) определена в некотором интервале, x0 и x два
произвольных значения аргумента из этого интервала. Обозначим
x x0 = x; откуда: x = x0 + x: оворят, что для перехода от
значения аргумента x0 к значению x первоначальному значению придано приращение x.
Приращением y ункции y = f (x); соответствующим приращению x аргумента x в точке x0 ; называется разность
y = f (x0 + x) f (x0 ):
Например, приращением ункции y = x3 ; которое соответствует приращению x аргумента x в точке x0 , будет величина
y = (x0 + x)3 x30 = 3x20 x + 3x0 (x)2 + (x)3 :
О п р е д е л е н и е. Функция y = f (x) называется непрерывной в
точке x0 , если бесконечно малому приращению x аргумента x в
точке x0 соответствует бесконечно малое приращение ункции y ,
т. е.
lim y = lim [f (x0 + x) f (x0 )? = 0:
x!0
x!0
Другими словами, ункция y = f (x) непрерывна в точке x0 , если
lim
f (x) = f (x0); т. е. предел ункции в точке x0 равен значению
x!x0
ункции в этой точке.
П р и м е р 1. Функция y = x непрерывна при любом значении x = x0 :
В самом деле, y = x0 + x x0 = x и, значит, lim y = lim x = 0:
П р и м е р 2. Функция
= x0: В самом деле,
y = sinx
x!0
x!0
непрерывна при любом значении
y = sin(x0 + x) sin x0 = 2os x0 + x sin x =
2
2
= os x0 + x
2
Отсюда:
h
lim y = lim x os x0 + x
2
x!0
x!0
x=
i
x
2
x x:
2
sin
sin x
2 = 0 1 = 0:
lim
x!0 x
2
Аналогично доказывается непрерывность ункции os x:
Функция, непрерывная в каждой точке интервала, называется непрерывной на этом интервале.
Т е о р е м а 1. Если ункции f1 (x) и f2 (x) непрерывны в точке x0 ; то непрерывны в этой точке также их алгебраическая сумма f1 (x) f2 (x); произведение f1 (x) f2 (x) и при условии f2 (x0 ) 6= 0
частное
f1 (x)
f2 (x) :
Эта теорема вытекает из аналогичной теоремы о пределах.
џ 12. Непрерывность ункции
57
П р и м е ч а н и е. Для алгебраической суммы и произведения теорема 1
распространяется на любое конечное число ункций.
Т е о р е м а 2. Если ункция u = '(x) непрерывна в точке x0 ; а
ункция y = f (u) непрерывна в точке u0 = '(x0 ); то сложная ункция y = f ('(x)) непрерывна в точке x0 :
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно непрерывности ункции u =
= '(x) имеем xlim
!x0 '(x) = '(x0 ) = u0 ; т. е. при x ! x0 также и
u ! u0 : Поэтому в силу непрерывности ункции f (u) xlim
!x0 f ('(x)) =
= lim f (u) = f (u0 ) = f ('(x0)); что и доказывает теорему.
u!u0
Таким образом, сложная ункция y = f ('(x)); образованная
из двух непрерывных ункций f (u) и '(x); является непрерывной
ункцией.
Например, сложная ункция y = os(x2 + 2x 1) непрерывна для
всех значений x, так как ункции y = os u и u = x2 + 2x 1 всюду
непрерывны.
Имеет место и следующая теорема:
Т е о р е м а 3. Если f (x) непрерывная ункция , имеющая однозначную обратную ункцию , то обратная ункция тоже непрерывна .
Вместо доказательства ограничимся следующим наглядным соображением: если граик ункции f (x) непрерывная кривая, то
граик обратной к ней ункции тоже непрерывная кривая.
Т е о р е м а 4. Все основные элементарные ункции непрерывны
там , где они определены .
Д о к а з а т е л ь с т в о Постоянная ункция y = C непрерывна
при любом значении x = x0 ; так как y = C C = 0; и, следовательно, lim y = 0: Так как ункция y = x непрерывна при любом x
x!0
(см. пример 1 этого пункта), то согласно теореме 1 степенная ункция
y = xn ; где n натуральное число, также непрерывна при любом x.
Непрерывность тригонометрических ункций sin x и os x имеет
место всюду (см. пример 2 этого пункта); tg x и tg x непрерывны
всюду, где они определены, как отношение двух непрерывных ункций sin x и os x:
Можно доказать непрерывность и других основных элементарных
ункций там, где они определены.
Из теорем 1, 2 и 4 получаем
С л е д с т в и е. Всякая элементарная ункция непрерывна во всех
точках , принадлежащих ее области определения .
Имеет место следующее предложение (см. [2?):
Т е о р е м а 5. Функция f (x); непрерывная в точке x0 ; не равная
нулю в этой точке , сохраняет знак f (x0 ) в некоторой окрестности
этой точки .
Если ункция f (x) не является непрерывной в точке x0 , то говорят, что в точке x0 ункция f (x) разрывна , а точка x0 называется
точкой разрыва ункции f (x).
58
л. II. Функции, пределы, непрерывность
В качестве конкретного примера ункции, имеющей точку разрыва, рассмотрим скорость тела, падающего на землю. Эта скорость
вообще является непрерывной ункцией времени, но для момента
удара можно условно считать, что она мгновенно (скачком) падает
до нуля, т. е. скорость терпит разрыв.
Пределом ункции f (x) в точке x0 слева (справа ) называется предел, вычисляемый в предположении, что x стремится к x0 ; оставаясь
все время меньше (больше) значения x0 : Пределы слева и справа,
называемые односторонними пределами, соответственно обозначают:
lim f (x) и
lim f (x):
x!x0 0
x!x0 +0
Функция f (x) называется непрерывной в точке
если lim f (x) = f (x0 )
lim f (x) = f (x0 ) :
x!x0 0
x0 слева
(справа ),
x!x0 +0
2. Свойства ункций, непрерывных на сегменте. Функция f (x) называется непрерывной на сегменте [a; b?; если она непрерывна в интервале (a; b) и, кроме того, в точке a непрерывна справа,
а в точке b слева.
Приведем без доказательстy
replaements
ва следующие свойства ункций, непрерывных на отрезке.
y = f (x)
(Доказательство см. в [2?.)
1. Если ункция f (x) непрерывна на сегменте [a; b? и на
b x
0 a
концах его принимает значения
разных знаков , то между точками a и b найдется точка ;
ис. 42
такая , что f () = 0:
Это свойство имеет простой геометрический смысл (рис. 42): если
непрерывная кривая переходит с одной стороны оси Ox на другую,
то она пересекает ось Ox.
2. Если ункция f (x) непрерывна на сегменте [a; b?; то она ограничена на нем , т . е . существует такое положительное число M;
что jf (x)j 6 M при a 6 x 6 b:
3. Если ункция f (x) непрерывна на сегменте [a; b?; то на этом
сегменте найдутся точки x1 и x2 ; такие, что значения ункции f (x1 ) и f (x2 ) будут соответственно наибольшим и наименьшим из всех значений ункции f (x) на сегменте [a; b?:
3. Непрерывные и разрывные ункции в биологии. Укажем несколько простых биологических явлений, которые описываются
непрерывными или разрывными ункциями. Заметим прежде всего,
что слух, зрение, восприятие ультразвука, используемые многими
биологическими видами, все эти явления связаны с колебательными процессами, описание которых достигается с помощью тригонометрических ункций sin x и os x:
џ 12. Непрерывность ункции
59
В конкретном эксперименте такие величины, как путь, биомасса
популяции, численность популяции (число особей в популяции), температура, время и т. п., не могут принимать значения, равные любому действительному числу. Так, путь может быть измерен целым
числом километров или миллиметров; биомасса измеряется тоннами
или десятыми миллиграммов; время годами или сотыми долями
секунды. И, ормально говоря, область значений и область определения упомянутых ункций не являются промежутками, а представляют собой некоторые шкалы, может быть, с очень мелкими,
но стандартными делениями. Величина этих делений определяется
характером эксперимента и точностью приборов. Возраст крупных
животных мы измеряем годами, а время жизни некоторых элементарных частиц миллиардными долями секунды. Но дело не в величине
делений, а в том, что мы можем сказать: ѕв этом эксперименте частица прожила 3,1 или 3,2 секундыї, но не можем заявить, что она
прожила секунд. Понятно, что, имея дело с такими ункциями,
невозможно говорить о непрерывности. Чтобы иметь возможность
пользоваться аппаратом математического анализа там, где это удобно, ункции, заданные на шкале, заменяются их непрерывными аналогами. азумеется, это не всегда удобно и целесообразно. Например,
если область определения ункции состоит всего из двух элементов,
вряд ли стоит ее заменять промежутком. Однако, если области определения и значений ункции состоят хотя и из конечного, но достаточно
большого количества элементов, в каком-то смысле ѕблизко расположенных друг к другуї (как мелкие деления на шкале), то мы вправе
заменить их сплошным промежутком и ункцию, определенную на
одном из них со значениями в другом, считать непрерывной. Изучив
эту модельную ункцию, мы затем сумеем сделать выводы и относительно ункции, игурирующей в эксперименте.
Эта идея лежит в основе построения математических моделей с
использованием непрерывных ункций. Именно такие математические модели и приводятся в этой книге. Поэтому рассматриваемые в
них ункции будем считать непрерывными, в дальнейшем это специально не оговаривая.
Возвращаясь к примерам непрерывных ункций в биологии, отметим, что при изучении роста численности микроорганизмов при делении клеток встречается ункция
f (t) = aekt
(здесь аргументом является время t):
Посредством степенной ункции
f (x) = Ax
описывается зависимость интенсивности основного обмена от веса
животного. Здесь x вес животного; f (x) количество кислорода,
поглощаемого животным в единицу времени; A и параметры,
постоянные для данного класса живых существ. Для млекопитающих
и птиц, например, = 0;74, A = 70; для рыб = 0;8; A = 0;3:
60
л. II. Функции, пределы, непрерывность
Приведем примеры разрывных ункций. ассмотрим клетку, способную возбуждаться от внешних воздействий, например нервные
клетки, клетки мышц и т. п. Если величину возбуждения E измерить
replaements
m
E
E = E (t)
0 t0 t1
t
0
t0
t1
ис. 43
t2
t3
t
ис. 44
в тех или иных единицах, то граик возбуждения E = E (t) имеет
вид, изображенный на рисунке 43.
В момент t0 клетка получает сигнал. Однако возбуждение происходит в некоторый момент t1 > t0 : Отрезок [t0 ; t1 ? называется латентным периодом. В момент t1 клетка мгновенно возбуждается
до максимальной величины, а затем возбуждение постепенно уменьшается до тех пор, пока не будет нового сигнала. Если сигнала нет
достаточно долго, то возбуждение становится равным нулю.
Таким образом, ункция, изображающая зависимость величины
возбуждения от времени, имеет разрывы на концах латентных периодов.
ассмотрим изменение биомассы микроорганизмов, чувствительных к температурным колебаниям. При увеличении температуры общая биомасса m; как правило, увеличивается тепло способствует
размножению.
Однако, когда температура слишком высока, практически вся коллония гибнет; значение m; скачкообразно меняясь, становится
равным нулю. Примерно то же самое происходит и при понижении
температуры: как только она достигает некоторого нижнего предела,
микроорганизмы погибают. В реальных условиях температура меняется в зависимости от времени, то повышаясь, то понижаясь. Поэтому
граическим изображением изменения биомассы в зависимости от времени может быть разрывная кривая (рис. 44). Точки разрыва t1 ; t2 ; t3
соответствуют тем моментам времени, когда температура стала
слишком высокой или слишком низкой.
џ 13. Комплексные числа
1. Определение комплексных чисел и основные операции
над ними. К комплексным числам обычно приходят, рассматривая
уравнение
x2 + 1 = 0: Очевидно, не существует действительных чисел,
61
џ 13. Комплексные числа
удовлетворяющих этому уравнению. Корнями этого уравнения (как и
целого ряда других уравнений) оказываются комплексные числа.
Под комплексным числом понимается выражение
z = x + iy;
(1)
x и y действительные числа, a i мнимая единица .
Числа x + i 0 = x отождествляются с действительными числами; в
частности, 0 + i0 = 0: Числа 0 + iy = iy называются чисто мнимыми .
Действительные числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями числа z и обозначаются следующим образом:
y = Im z:
x = Re z;
Под модулем
комплексного числа z понимается неотрицательное
p
число jz j = x2 + y 2 :
Сопряженным числом z к числу (1) называется комплексное число z = x iy:
Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равны тогда
и только тогда, когда x1 = x2 и y1 = y2 :
где
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
определяются следующим образом.
I. z1 z2 = (x1 x2 ) + i(y1 y2 ):
II. z1 z2 = (x1 x2 y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ):
Отсюда в частности:
i2 = (0 + i1)(0 + i1) = (0 1) + i(0 + 0) = 1;
z z = x2 + y2 = jz j2:
III.
z1 z1 z2 (x1 x2 + y1y2 ) + i(x2 y1 x1 y2 ) (z 6= 0):
2
z2 = z2 z2 =
x22 + y22
2. еометрическое изображение комплексных чисел. ассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат xOy (рис. 45). Так как комплексное число
y
z = x + iy
y
является парой (x; y ) действительных чисел,
а каждой паре (x; y ) действительных чисел
PSfrag replaements
M (x; y)
z=
x+
iy
соответствует одна точка плоскости, и наоборот (см. џ 1), то каждую точку (x; y ) плоскости можно принять за изображение комплексного числа z = x + iy: В этом случае
'
эта плоскость называется комплексной плоскостью, a z точкой этой плоскости. На
x
O
оси Ox расположены действительные числа:
ис. 45
z = x + i0 = x; поэтому она называется действительной осью. На оси Oy расположены чисто мнимые числа
= 0 + iy = iy; она называется мнимой осью .
x
z=
62
л. II. Функции, пределы, непрерывность
Заметим, что r = jz j представляет собой расстояние точки z от
начала координат (см. џ 1). Положение точки z на плоскости, кроме
ее декартовых координат x; y , может быть определено также и полярными координатами r; '; при этом (см. џ 1)
x = r os ';
y = r sin ':
(2)
Число ' будем называть аргументом комплексного числа z и пользоваться обозначением ' = arg z: Аргумент считается положительным
или отрицательным в зависимости от того, ведется ли его отсчет от
положительного направления действительной оси против или по движению часовой стрелки соответственно.
По заданной точке z ее модуль определяется единственным образом, а аргумент с точностью до слагаемого 2k; k = 0; 1; 2; . . .
Значение arg z; удовлетворяющее условию < arg z 6 ; называется
главным .
Точка z = 0 является единственной точкой комплексной плоскости, для которой аргумент не определен.
3. Умножение и деление комплексных чисел, записанных
в тригонометрической орме. Из ормул (1) и (2) получается
тригонометрическая орма записи комплексного числа
z = r(os ' + i sin '):
(3)
Пользуясь записью (3) для комплексных чисел:
имеем:
z1 = r1 (os '1 + i sin '1 );
z2 = r2 (os '2 + i sin '2 );
z1 z2 = r1 r2 [(os '1 os '2 sin'1 sin '2 ) + i(sin'1 os '2 +
+ os '1 sin '2 )? = r1 r2 [os('1 + '2 ) + i sin('1 + '2 )?: (4)
z1 r1 os '1 + i sin '1
z2 = r2 os '2 + i sin '2 =
= r1 (os '1 + i sin '1 )[os( '2 ) + i sin( '2 )? =
r2
(os '2 + i sin '2 )(os '2 i sin '2 )
= r1 [os('1 '2 ) + i sin('1 '2 )?
r2
(r2 6= 0):
Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных
чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
4. Возведение в степень и извлечение корня. Формула Эйлера. Следствием ормулы (4) является ормула
z n = rn (os n' + i sin n')
(n натуральное число).
Пусть
где
pn z = (os
+ i sin );
z = r (os ' + i sin '): Тогда на основании ормулы (5) имеем:
(5)
63
Упражнения
z = [ ((os + i sin )?n = n (os n + i sin n ):
Отсюда:
n = r;
n = ' + 2k (k = 0; 1; 2; . . .)
p
p
и, следовательно, = n r (под n r понимается ариметическое значение корня),
= ' +n2k :
Здесь в качестве k достаточно брать лишь значения k = 0; 1; 2; . . .
. . .; n
1; так как при прочих значениях k получаются повторения
уже найденных значений корня. Таким образом, окончательно:
p
pn z = p
n
r (os ' + i sin ') = n r os ' + 2k
n
k = 0; 1; 2; . . .; n 1:
П р и м е р 1. Найти !
вании ормулы (6) имеем:
=
+ i sin ' +n2k ;
(6)
p 1: Так как 1 = os + i sin ; то на осно-
p
Отсюда
1 = os +2k + i sin +2k ;
k = 0; 1:
2
2
!1 = os 3 + i sin 3 = i:
!0 = os + i sin = i;
2
2
П р и м е р 2. ешить уравнение
нение в виде (z 1)2 + 1 = 0; имеем z
2
2
z2 2pz + 2 = 0: Переписав это
1 = 1; откуда z1;2 = 1 i:
урав-
Формула (5) может быть переписана в виде
rn (os ' + i sin ')n = rn (os n' + i sin n');
Полагая здесь r = 1; получим ормулу
(os ' + i sin ')n = os n' + i sin n';
называемую ормулой Муавра *). Справедлива **) и следующая ормула:
i'
os ' + i sin ' = e ;
называемая ормулой Эйлера ***).
Упражнения
2x 1 : Найти f (1).
Дано f (x) =
x +3
2
1.
2.
3.
ных
h
i
f (1) = 41 :
f (x) = x2 5x + 6: Показать, что f (2) = f (3) = 0:
2x +1 для значений аргумента, равНайти значения ункции f (x) = 2
x +1
h
i
1; 0; 1; 2:
f ( 1) = 21 ; f (0) = 1; f (1) = 23 ; f (2) = 1:
Дано
А. Муавр (16671754) английский математик.
См., например, [6?.
Леонард Эйлер (17071783) великий математик, большую часть
своей жизни провел в оссии, по происхождению швейцарец.
*)
**)
***)
64
л. II. Функции, пределы, непрерывность
:
f 2 ; f 4 ; f 12
p i
= 3:
f (0) = 1; f 2 = 1; f 4 = 0; f 12
2
4.
Полагая f (x) = os2x; вычислить f (0);
h
5.
Найти
p области определения ункций:
y = 3 4 x2 :
y= p 2 :
25p x2
5
y = p x 2:
p 5 xp
y = 3 + x + 4 7 x:
p
p
y = 3 1 x + 5 x 3:
y = x arsin x:
y = 2x :
y = 11+ xx :
6.
[[2; 5):?
y = 3x + 5;
5
г) y = ;
x
ж) y = os3x;
к) y = 2tg x;
[[ 3; 7?:?
1; +1):?
[(
[(
Построить граики ункций:
а)
[[ 2; 2?:?
[( 5; 5):?
б)
д)
з)
л)
y = 21 x2 + 1;
y = x3 + 1;
y = sin x2 ;
y = 4sin x;
[[ 1; 1?:?
1; 1):?
[x 6= 1:?
y = 4 4x2;
е) y = sin2x;
x
и) y = os ;
3
м) y = 5os x:
в)
7. Изобразить точками на плоскости следующие последовательности,
заданные общими членами:
а)
г)
1 ;
an = n +1
;
an = n2+1
n
б)
д)
an = 1+(n 1) ;
n
an = 3nn+1 :
Вычислить указанные пределы.
lim (x2 + 6x + 8):
x! 2
x2 3x +2 :
10. lim
x!1 x 1
2x3 +3x2 x :
12. lim
7x
x!0
2
x
5
x +6 :
14. lim
x!2 x2 7x +10
x4 +3x2 :
16. lim
5
x!0 x + x3 +2x2
p
1+ x 1 :
18. lim
x
x!0
p3
20.
lim 1+ x :
x! 1 1+ x
[0:?
8.
[ 1:?
h
i
1:
7
h i
1:
3
h i
3:
2
h i
1
2:
h i
1
3:
в)
an = 12 ;
n
lim x +2x +3 :
x!1 x2 +1
x3 1 :
11. lim
x!1 x 1
x4 1 :
13. lim
x!1 x2 1
x2 6x +8 :
15. lim
x!4 x2 5x +4
x4 +2x2 3 :
17. lim
x!1 x2 3x +2
p3
1+ x 1 :
19. lim
x
x!0
p
1+
x + x2
21. lim
x
x!0
2
[3:?
9.
[3:?
[2:?
h
2 :i
3
[ 8:?
h
1:
1 :i
3
h i
1
2:
65
Упражнения
22.
p1+ x
p
p
1+ x :
[1:?
1+
x 1
p
p
3+ x + x
9 2x + x :
lim
x!2
x
3
x
+2
p
5xp :
lim p3
x!0 1+ x 3 1 x
p3
h i
1:
lim p3 1+2x +1 :
2
x! 1 2+ x + x
p
p
h i
5:
lim 1+3x 1 2x :
2
x!0
x+x
p
h i
1
lim ( x 1 2) :
16 :
x!5 (x 5)
h i
3
lim 3n n +1 :
n!1 2n + n
2:
lim 3n + n 1 :
[0:?
n!1 n +2n
h i
2:
lim 2x 3x +5 :
3
x!1 3x 5x +1
h i
x
1:
lim 1 1 :
lim
x!0
2
2
24.
25.
26.
28.
p
23.
2
p
27.
29.
2
31.
3
2
33.
3
34.
36.
38.
40.
42.
44.
46.
48.
50.
52.
54.
56.
1+3x 1 :
x +x
2
2
4
x!1
4
3
4
2
x
x x:
lim
x!1 1+ x
lim ln(1+ x) :
x!0 x
lim ln(1+2x) :
x
x!0
2
x4
lim x 2 1 :
x!1 x
lim tg 2x :
x!0 x
lim sin mx :
x!0 sin nx
lim (1 + tg x)tg x :
x!0
p
( 4 1+ x2 1) tg x3
:
lim
x
x!0
lim x tg x:
x!0
h
h
35.
37.
e
39.
e
[1:?
41.
43.
[2:?
45.
[0:?
47.
1 :i
[2:?
m :i
n
[e:?
49.
51.
53.
[0:?
55.
[1:?
57.
p
lim p 2+ x p3x 2 :
x!2 4x +1 5x 1
p
lim 9+2
p x 5:
x!8 3 x 2
p
p
3
lim ( 1 x 3 1+ x) :
x!0
x
2
x
2
x
+3 :
lim
x!1 x3 +7x 1
4
lim 2x3 x +3 :
x!1 x 8x +5
n+5
:
lim 1 + 1
n
n
lim n +4 :
n!1 n
x+1
lim 2x +3
:
x!1 2x +1
x
lim x +1 :
x!1 x 1
lim 1 ln x +1 :
x!0 x x 1
lim sin x :
x!0 sin2x
lim 2n sin xn :
n!1
2
lim (1 x) tg x :
2
x!1
tg
x
sin
x
lim
:
x
x!0
p
lim ( 1+ x 1) os x :
x
x!0
2
lim (1 + 3tg2 x)tg x:
x!0
n!1
[1:?
3
2
3
32.
3
2
2
30.
lim
x!0
h
1 :i
2
h
15 :i
2
[3:?
h
12 :i
5
[ 1:?
[0:?
[1:?
[e:?
[e4 :?
[e:?
[e2 :?
[2:?
h
h
1 :i
2
[x:?
2 :i
[0:?
h
1 :i
2
[e3 :?
Для вычисления некоторых пределов бывает необходимым использование тригонометрических ормул:
sin + sin = 2sin + os ;
5 И. И. Баврин
2
2
66
л. II. Функции, пределы, непрерывность
sin sin = 2sin os + ;
2
2
+
;
os + os = 2os
os
2
2
os os = 2sin + sin ;
2
2
2
1 os = 2sin2 ;
1 + os = 2os ;
2
2
2
sin = 2sin os ;
os = os
sin2 :
58.
59.
60.
61.
62.
64.
66.
68.
70.
71.
2 2
sin(
a
+
x
)+sin(
a x) 2sin a
lim
2
2
[ sin a:?
x2
lim sin(a + x) sin(a x)
[2os a:?
x
x!0
h
1 (n2 m2 ):i
lim os mx 2 os nx
2
x!0
x
os(
a
+
x
)+os(
a
x
)
2os
a
lim
[ 2os a:?
1 os x
x!0
p
h i
h
1 : 63. lim os x 1 :
1 :i
lim tg x 3sin x :
2
4
x!0
x!0
x
x2
p
p
x
x
h
h
os 2 sin 2
2 :i 65. lim sin x 3 :
3 :i
lim
:
os x
2
3
x! 2
x! 3 1 2os x
p
h i
h i
1:
1 : 67. lim tg x :
lim 2 os2x 1 :
4
sin2
x
2
x
!
0
x! 4 1 tg
x
h i
1
os
x
1+os2 2os x :
1
lim
:
[1:?
2 : 69. xlim
x!0 x2
!0 2os x 2
p
lim sin2x os2x 1 :
[ 2:?
sin
x
os
x
x! 4
Какие нижеследующие бесконечно малые при x ! 0 будут бескоx!0
нечно малыми одного порядка, высшего порядка, низшего порядка по отношению к ункции (x) = x?
а) (x) = 3x;
б) (x) = 2sin x;
в) (x) = x2 ;
p
2
3
г) (x) = sin x;
д) (x) = tg x:
i
h
Одного порядка: а), б); высшего порядка: в), г);
низшего порядка: д).
Исследовать на непрерывность следующие ункции.
f (x) = x + 1 в точках x = 1 и x = 1:
(1
; если x > 1;
x
73. f (x) =
x; если x < 1;
в точке x = 1:
72.
[В обеих точках непрерывна.?
[В точке
x = 1 непрерывна.?
67
џ 14. Понятие производной и ее геометрический смысл
x 1; если 0 6 x < 3;
f (x) = 3 x; если 3 6 x 6 4;
в точке x = 3:
75. Найти (3 + 5i)(4
i):
76. Найти (6 + 11i)(7 + 3i):
74.
3 i
4+5i :
77.
Найти
78.
Найти а)
79.
Представить числа
орме.
(4 7i)2 ;
б)
[В точке
x = 3 разрывна.?
[17 + 17i:?
[9 + 95i:?
h
i10 :
33 56i;
[а)
p
7
7
1 + i = 2 os + i sin ; 7
4
4 i 75
p h + i sin :
1 i = 2 os
4
Найти все значения для указанных радикалов.
81.
82.
1:?
б)
i; 2; i; 1 + i; 1 i в тригонометрической
3
2
i = os 2 + i sin 2 ;
7
6
2 = 2(os + i sin );
6
7
6
7
6
i = os 2 + i sin 2 ; 7
6
7
6
6
6
6
4
80.
7 19 i:i
41 41
p3
1:
p4
1:
p 5 12i:
h
4
p
p
i
1; 1 + i 3 ; 1 i 3 :
2 2 2 2
[1; i; 1; i:?
[2 3i; 2 + 3i:?
83. Используя ормулу Эйлера, вычислить действительную и мнимую
части, а также модуль выражений:
#
"
а) e3i ; б) e i :
а) Re e3i = os3; Im e3i = sin3; je3i j = 1;
б)
Re e i = os1;
Im e i =
sin1; je i j = 1:
л а в а III
ДИФФЕЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
џ 14. Понятие производной и ее геометрический смысл
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
Задача о скорости движущейся точки. Пусть s = s(t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Это
уравнение выражает путь s; пройденный точкой, как ункцию времени t: Обозначим через s путь, пройденный точкой за промежуток
времени t от момента t до t + t; т. е. s = s(t + t) s(t): От5*
68
л. III. Диеренциальное исчисление
s
ношение
называется средней скоростью точки за время от t до
t
t + t: Чем меньше t; т. е. чем короче промежуток времени от t
до t + t; тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t: Поэтому естественно ввести понятие скорости v в данный момент t; определив ее как предел средней скорости
за промежуток от t до t + t; когда t ! 0:
s
:
v = lim
t!0 t
Величина v называется мгновенной скоростью точки в данный момент t:
Аналогично задаче о скорости прямолинейного движения рассматривается задача о скорости химической реакции.
Задача о скорости химической реакции. Пусть дана ункция
m = m(t); где m количество некоторого вещества, вступившего
в химическую реакцию к моменту времени t: Приращению времени t будет соответствовать приращение m величины m: Отношение
m средняя скорость химической реакции за промежуток
t
t: Предел этого отношения при стремлении t к нулю,
m
т. е. lim
t!0 t , есть скорость химической реакции в данный момент
времени
времени t:
Аналогично этим задачам рассматривается задача о скорости
роста популяции . Пусть p = p(t) размер популяции бактерий в момент
eplaements
t:
Тогда, рассуждая, как и выше, получим, что
lim p
t!0 t
есть
скорость роста популяции бактерий в данный момент t:
M0
Задача о касательной к
данной кривой . Пусть на плоскости xOy дана кривая уравT
нением y = f (x): Требуется
y
провести касательную к данной кривой в данной точке
M0
M0 (x0; f (x0 )): Так как точка
x
касания M0 дана, то для ре' шения задачи потребуется
O
x0
x0 + x x
найти угловой коэициент
искомой касательной, т. е.
ис. 46
tg ' тангенс угла наклона
касательной к положительному направлению оси Ox (рис. 46).
Через точки M0 (x0 ; f (x0 )) и M 0 (x0 + x; f (x0 + x)) проведем
секущую M0 M 0 : Из рисунка 46 видно, что угловой коэициент tg секущей M0 M 0 равен отношению
y
где
y
tg = x;
џ 14. Понятие производной и ее геометрический смысл
69
y = f (x0 + x) f (x0 ):
Угловой коэициент касательной M0 T к данной кривой в точке M0
может быть найден на основании следующего определения: касательной к кривой в точке M0 называется прямая M0 T; угловой коэициент которой равен пределу углового коэициента секущей M0 M 0 ;
когда x ! 0: Отсюда следует, что
y
:
tg ' = lim tg = lim x!0
x!0 x
2. Определение производной. Математическая операция, требуемая для решения рассмотренных выше трех задач, одна и та же.
Выясним аналитическую сущность этой операции, отвлекаясь от
вызвавших ее конкретных вопросов.
Пусть ункция y = f (x) определена в промежутке (a; b): Возьмем
какое-нибудь значение x из (a; b): Затем возьмем новое значение
аргумента x + x из этого промежутка, придав первоначальному значению x приращение x (положительное или отрицательное). Этому
новому значению аргумента соответствует и новое значение ункции
y + y = f (x + x); где y = f (x + x) f (x): Теперь составим отношение
y = f (x + x) f (x) :
x
x
Оно является ункцией от x:
y
Если существует предел отношения
приращения ункции y
x
к вызвавшему его приращению аргумента x; когда x стремится
к нулю, то этот предел называется производной от ункции y = f (x)
в данной точке x и обозначается через y 0 или f 0 (x) (читается ѕигрек
штрихї или ѕэ штрих от иксї):
y
= lim f (x + xx) f (x) :
y0 = f 0 (x) = lim
x!0 x x!0
(1)
Для обозначения производной принят также и следующий симdy
вол
dx (читается ѕдэ игрек по дэ иксї). Эту запись надо рассматривать
пока как целый символ, а не как частное.
Если существует предел справа
lim y или предел слева
x!0+0 x
y lim ;
то он называется правой (или левой ) производной
x!0 0 x
ункции f (x) в точке x:
Действие нахождения производной ункции называется ее диеренцированием, а ункцию, имеющую производную в точке x; называют диеренцируемой в этой точке. Функция, диеренцируемая
в каждой точке промежутка, называется диеренцируемой в этом
промежутке. При этом если промежуток от a до b есть отрезок [a; b?;
то в точке a речь идет о правой производной, а в точке b о левой
производной.
70
л. III. Диеренциальное исчисление
П р и м е р 1. Найти производную ункции y = C; где C постоянная.
y = 0; lim = 0; т. е. y0 = 0: Следовательно,
Имеем: y + y = C; y = 0;
x
x!0
производная постоянной равна нулю.
П р и м е р 2. Найти производную ункции
y + y = x + x;
т. е. y 0 = 1:
y = x;
y = x: Имеем:
y
x = 1;
lim
y = 1;
x!0 x
y = sin x: Имеем:
y + y = sin(x + x);
y = sin(x + x) sin x = 2sin x os x + x ;
2
2
x
x
y sin 2
x = 2x os x + 2 ;
sin x
lim y = lim x2 lim os x + x = os x
x
x!0
x!0 x x!0
2
(здесь используется ормула (9) из џ 11 и непрерывность ункции os x):
П р и м е р 3. Найти производную ункции
Из рассмотренных выше задач, приводящих к понятию производной, следует:
1. Скорость v прямолинейного движения есть производная ny-
ds
ти s по времени t: x =
st : В этом состоит механический смысл
производной. Скорость v химической реакции есть производная коdm : Скорость роста популичества вещества m по времени t: v =
dt
dp
ляции есть производная размера популяции p по времени t:
dt : По
аналогии с этим производную любой ункции часто называют скоростью изменения этой ункции.
2. Угловой коэициент касательной к кривой y = f (x) в точке с
абсциссой x есть производная f 0 (x): В этом состоит геометрический
смысл производной.
З а д а ч а 1. Точка движется по прямой по закону s = t; где s путь (в см), а t время (в с). Найти скорость движения точки в момент t = 3:
е ш е н и е. Имеем v = s0 = 1 (пример 2). В частности, при t = 3
v = 1 (см/с).
З а д а ч а 2 *). азмер популяции бактерий в момент t (время
выражено в часах) задается ормулой p(t) = 3000 + 100t2 : Найти скорость роста популяции в момент t = 5:
*) Много задач из биологии, иллюстрирующих методы высшей математики, содержится в книге [4?; часть этих задач используется в настоящем
пособии.
џ 14. Понятие производной и ее геометрический смысл
71
3000 + 100(t + t)2 3000 100t2
=
p0(t) = lim
t
t!0
100(2t + t)t
= lim
= 100 lim (2t + t) = 200t: В частности, при
t
t!0
t!0
t = 5 скорость роста составляет 1000 бактерий в час.
е ш е н и е. Имеем
З а д а ч а 3. Найти уравнение касательной и нормали *) к кривой y = x2 + 1 в точке A(1; 2):
е ш е н и е. Найдем производную ункции y = x2 + 1:
((x + x)2 + 1) (x2 + 1)
=
y0 = lim
x
x!0
2
= lim 2xx + (x) = lim (2x + x) = 2x:
x
x!0
x!0
В точке касания A x = 1 и, следовательно, угловой коэициент
1
(џ 3). Поэтому (см. џ 2, п. 3)
касательной k1 = 2; а нормали k2 =
2
искомые уравнения запишутся в виде
y 2 = 2(x 1);
или
y = 2x; y = 21 x + 52 :
y 2 = 21 (x 1)
Т е о р е м а. Если ункция y = f (x) диеренцируема в некоторой точке x; то она непрерывна в этой точке .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно ормуле (1) (џ 14) и теореме 1
(џ 11, п. 1) имеем:
y
= y0 + (x);
x
(x) бесконечно малая. Отсюда y = y0x + (x)x и
lim y = 0; т. е. ункция y = f (x) непрерывна в данной точке x:
x!0
y
П р и м е ч а н и е. Обратное утверж-
где
дение уже не имеет места, что видно из
следующего примера.
П р и м е р 4. Функция y = jxj; граy = jxj
ик которой приведен на PSfrag
рисунке
47, неreplaements
прерывна в точке x = 0; но ясно, что в
этой точке в соответствии с геометрическим смыслом производной ункция y =
= jxj не диеренцируема, так как в ней
x
O
нет определенной касательной.
З а м е ч а н и е. В дополнение к замеис. 47
чанию, сделанному в џ 12 п. 3 в отношении
непрерывности ункций, используемых при построении математических
моделей, будем в тех случаях, где нужно, считать эти ункции диеренцируемыми, специально не оговаривая это в дальнейшем.
*) Т. е. прямой, проходящей через точку
тельной к данной кривой в точке A:
A и перпендикулярной к каса-
72
л. III. Диеренциальное исчисление
џ 15. Правила диеренцирования и производные
элементарных ункций
и
1. Вывод общих правил диеренцирования. Пусть u
v две ункции аргумента x; имеющие производные u0 и v0:
Производная суммы . Пусть y = u + v: Тогда имеем:
y + y = (u + y) + (v + v);
y u v
=
+ ;
x x x
lim y = lim u + lim v ;
x!0 x x!0 x x!0 x
y 0 = u0 + v 0
y = u + v;
т. е.
или
(u + v)0 = u0 + v0 :
(x + sin x)0 = (x)0 + (sin x)0 = 1 + os x:
П р и м е р 1.
П р и м е ч а н и е 1. Правило диеренцирования суммы двух слагаемых распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного
числа слагаемых, что доказывается аналогично.
y = uv: Тогда имеем:
y + y = (u + u)(v + v) = uv + vu + uv + u v;
Производная произведения . Пусть
y u
v u
=
v+u x x
x + x v;
u
v
lim y
+ u lim + lim u lim v =
x!0 x = v lim
x!0 x
x!0 x x!0 x x!0
= vu0 + uv0 + u0 0 *)
т. е.
y0 = u0 v + uv0
y = vu + uv + u v;
или
П р и м е р 2.
(uv)0 = u0 v + uv0 :
(x sin x)0 = (x)0 sin x + x (sin x)0 = sin x + x os x:
(1)
Вынесение постоянного множителя за знак производной . Так как
()0 = 0 (см. џ 14, п. 2, пример 1), то из ормулы (1) непосредственно
получаем:
(u)0 = u0 :
u
Производная частного . Пусть y = ; где v 6= 0: Тогда имеем:
v
u
+ u ;
y + y = v + v
*) Мы воспользовались здесь тем, что в силу непрерывности ункции
(непрерывность следует из ее диеренцируемости) lim v = 0:
x!0
v
73
џ 15. Правила диеренцирования
u
y = uv +
+ v
u
v
y x v u x
= (v + v) v ;
x
т. е.
или
u = (u + u) v u (v + v) = vu uv ;
v
(v + v ) v
(v + v ) v
v
u
x u lim
x vu0 uv0
y v lim
x
!
0
x
!
0
lim
=
= (v + 0) v ;
(v + lim v ) v
x!0 x
x!0
0
0
y0 = u v 2 uv
v
0
0
u = u v uv0 :
v
v2
x 1 0 = (x 1)0 (x +1) (x +1)0 (x 1) =
x +1
(x +1)2
= 1 (x +1) 1 2(x 1) = 2 2 :
(x +1)
(x +1)
Производная сложной ункции . Пусть y = f (u); где u = '(x);
причем f (u) имеет производную по u; а '(x) по x: Тогда y буП р и м е р 3.
дет сложной ункцией от x: Требуется найти производную
Имеем:
y y u
x
= u x
y
(предполагается, что u при достаточно малых значениях
обращается в нуль), откуда:
или
lim y = lim y lim u
x!0 x u!0 u x!0 x
dy dy du
dx = du dx :
П р и м е р 4. Найти производную от ункции y = sin3x:
u = 3x; тогда y = sin u и, следовательно, по ормуле (2) имеем:
dy = d sin u d(3x) = (os u)3 = 3os3x:
dx
du
dx
по
x:
x не
(2)
Полагаем
П р и м е ч а н и е 2. При достаточном навыке промежуточную переменную u не пишут, вводя ее лишь мысленно.
Производная обратной ункции . Пусть y = f (x) и x = '(y ) взаимно обратные ункции. Тогда если ункция y = f (x) имеет не
равную нулю производную f 0 (x); то обратная ункция имеет производную '0 (y ) и
1
или, короче,
'0(y) = 0
f (x)
x0y = 10 :
yx
(3)
74
л. III. Диеренциальное исчисление
Действительно, так как y = f (x) и x = '(y ) взаимно обратные
ункции, то x = '[f (x)?: Отсюда, используя ормулу (2) диеренцирования сложной ункции, получим:
1 = '0(y) f 0 (x);
откуда и следует искомая ормула (3).
2. Производные элементарных ункций. Пусть u; как и
выше, ункция аргумента x; имеющая производную u0 :
Производные тригонометрических ункций . Как установлено ранее (џ 14, п. 2, пример 3),
0
(sin x) = os x:
Отсюда с учетом ормулы (2):
(sin u)0 = u0 os u:
(4)
На основании ормулы (4) имеем:
h
i0 0
(os x)0 = sin x = x os x = sin x:
2
2
2
Отсюда с учетом (2) получаем:
(os u)0 = u0 sin u:
Далее имеем:
sin x 0 = (sin x)0 os x sin x (os x)0 os2 x + sin2 x
=
= 12 :
(tg x)0 = os
2
2
x
os x
os x
os x
Отсюда с учетом ормулы (2):
0
(tg u)0 = u2 :
os u
Используя ормулу (5), находим:
h i0 0
(tg x)0 = tg x = x
2
2
Отсюда с учетом (2):
(tg u)0 =
(5)
1
1
=
:
sin2 x
os2 2 x
u0 :
sin2 u
y = ln x: Тогда имеем:
y + y = ln(x + x);
Производная логарима . Пусть
y = ln(x + x) ln x = ln x +xx = ln 1 + xx ;
x ln
1
+
x
1 x x 1 x x=x
y
=
=
:
x
x
x x ln 1 + x = x ln 1 + x
Пользуясь известным пределом
будем иметь
e = zlim
(1 + z )1=z
!0
(џ 9, примечание),
75
џ 15. Правила диеренцирования
или
lim y = 1 ; т. е. y0 = x1
x!0 x x
(ln x)0 = x1 :
Пусть теперь y = loga x (a > 0; a 6= 1): Тогда
y ln a = ln x или y = ln x ; откуда согласно (6)
ln a
или
(6)
ay = x:
Отсюда
y0 = x ln1 a
(loga x)0 = 1 :
x ln a
(7)
Из ормул (6), (7) с учетом ормулы (2) получаем:
В частности,
0
(ln u)0 = uu ;
0
(loga u)0 = u :
u ln a
(8)
0
(lg u)0 = (log10 u)0 = u :
u ln10
x)0 = sin x = tg x:
y = lnos x; y0 = (os
os x
os x
Производная степенной ункции . Пусть y = x ( действительное число и x > 0): Тогда ln y = ln x; и согласно ормуле (8)
y0 = 1 : Отсюда y0 = y 1 = x 1 = x 1 ; т. е.
y
x
x
x
0
(x ) = x 1 :
(9)
Формула (9) верна и в случае, когда ункция y = x определена на
П р и м е р 1.
всей числовой оси (например, когда натуральное число).
Из ормулы (9) с учетом ормулы (2) получаем:
П р и м е р 2.
(u )0 = u 1 u0 :
p
os x :
Если y = sin x; то y 0 = p
2 sin x
y =0 au (0 < a 6= 1):
y = u0 ln a: Отсюормулам (8), (10)
y
Производная показательной ункции . Пусть
Тогда ln y = u ln a; и согласно
да: y 0 = yu0 ln a = au u0 ln a; т. е.
В частности,
П р и м е р 3.
(10)
(au )0 = au u0 ln a:
(eu )0 = eu u0 :
2
2
2
y = 2x ; y0 = 2x 2x ln2 = 2x +1x ln2:
76
л. III. Диеренциальное исчисление
Производные обратных тригонометрических ункций . Функция
является обратной по отношению к ункции x = sin y:
Поэтому по правилу диеренцирования обратной ункции получаем:
y = arsin x
(arsin x)0 =
1
= os1 y = p 1 2 = p 1
0
(sin y )y
1 x2
+ 1 sin y
< y < :
2
Таким же приемом получаем:
(aros x)0 =
1
1 =
1 =
p
=
sin y
(os y )0y
+ 1 os2 y
(artg x)0 =
(artg x)0 =
2
1
p
1 x2
(0 < y < );
1
= os2 y = 12 = 1 2 = 1 2 ;
0
(tg y )y
se y 1 + tg y 1 + x
1
1
1
1
= sin2 y =
=
=
:
(tg y )0y
ose2 y
1 + tg 2 y
1 + x2
Отсюда с учетом (2) получаем:
(arsin u)0 = p u
(aros u)0 =
П р и м е р 4.
0
1 u2
u0
;
p
1 u2
(artg x2 )0 =
;
0
(artg u)0 = u 2 ;
1+u
u0 ;
(artg u)0 =
1 + u2
(x )0 = 2x :
1+(x ) 1+ x
2
2 2
4
Для удобства нахождения производных различных ункций сведем все правила и ормулы диеренцирования в одну таблицу.
Правила диеренцирования и производные основных
элементарных ункций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(C 0) = 0:
(u + v)0 = u0 + v0 :
(uv)0 = u0 v + uv0 :
(Cu)0 = Cu0 :
0
u = u0v uv0 :
v
v2
1
0
xy = 0 :
yx
0
(u ) = u 1 u0 :
(au )0 = au u0 ln a:
(eu )0 = eu u0 :
u0 :
10. (loga u)0 =
u ln a
0
u
0
11. (ln u) = :
u
12. (sin u)0 = u0 os u:
13. (os u)0 = u0 sin u:
u0 :
14. (tg u)0 =
os2 u
u0 :
15. (tg u)0 =
sin2 u
9.
77
џ 16. Диеренциал ункции
16.
(arsin u)0 = p u
17.
(aros u)0 =
0
1 u2
u0
p
:
1 u2
0
(artg u)0 = u 2 :
1+u
u0 :
0
19. (artg u) =
1 + u2
18.
:
Здесь u = u(x) и v = v (x) диеренцируемые ункции; y = f (x)
и x = '(y ) взаимно обратные ункции, причем y = f (x) имеет не
равную нулю производную.
џ 16. Диеренциал ункции
1. Понятие диеренциала. Из определения производной
y
0
lim x!0 x = y
с учетом теоремы 1 (џ 11) получаем:
y
= y0 + ;
x
(1)
где = (x) бесконечно малая при x ! 0:
Умножим обе части равенства (1) на x:
y = y0x + x:
0
Пусть y 6= 0: Тогда первое слагаемое y 0 x линейно по x; поскольку
y0 не зависит от x: При x ! 0 это слагаемое бесконечно мало, но
порядок его малости ниже порядка малости второго слагаемого, так
как для всех значений y 0 6= 0
x = lim = 0:
lim
x!0 y 0 x x!0 y 0
Поэтому слагаемое y 0 x является главной частью приращения ункции. Это слагаемое называют диеренциалом ункции y = f (x) и
обозначают символом dy или df (x):
PSfrag replaements
Итак, dy = y 0 x:
y
2. еометрический смысл
M0 T
диеренциала. Для выяснения
геометрического смысла диеренциала к граику ункции y =
= f (x) в точке M (x; y) проведем касательную MT; обозначив через '
ее угол наклона к положительному
направлению оси Ox (рис. 48).
Так как tg ' = f 0 (x); то
dy = tg ' x:
N
M
O
'
x
ис. 48
dy
x L
x + x x
Поэтому из треугольника MLN
следует, что диеренциал dy есть приращение ординаты касательной,
соответствующее приращению аргумента x:
78
л. III. Диеренциальное исчисление
Замечая, что dx = x0 x = x; т. е. что диеренциал независимой переменной равен ее приращению, получаем:
dy = y0 dx:
(2)
Таким образом, диеренциал ункции равен произведению ее производной на диеренциал (или приращение) независимой переменной.
Из (2) имеем:
dy
y0 = dx ;
т. е. производная ункции равна отношению диеренциала этой
ункции к диеренциалу аргумента. Это оправдывает введенное
dy
ранее обозначение производной
dx :
Ввиду общности операций нахождения производной и диеренциала обе они носят название диеренцирования.
3. Таблица ормул для диеренциалов. Согласно ормуле (2) для получения диеренциала нужно умножить производную
на dx (диеренциал независимой переменной) . Это позволяет нам
из таблицы ормул для производных сразу получить соответствующую таблицу ормул для диеренциалов. Например, из ормулы
(u + v)0 = u0 + v0 ;
умножив обе части на dx; получим:
(u + v)0 dx = u0 dx + v0 dx
или
d(u + v) = du + dv:
Таблица диеренциалов
1.
2.
3.
4.
5.
dC = 0:
d(u + v) = du + dv:
d(uv) = v du + udv:
d(Cu) = C du:
d uv = v du 2 udv :
v
6. d(u ) = u 1 du:
7. d(au ) = au ln adu:
8. d(eu ) = eu du:
9.
:
d(loga u) = udu
ln a
13.
d(sin u) = os udu:
d(os u) = sin udu:
d(tg u) = du2 :
14.
d(tg u) =
15.
d(arsin u) = p du :
16.
d(aros u) =
17.
d(artg u) = du 2 :
11.
12.
os u
du :
sin2 u
1 u2
p
du
1 u2
1+u
du :
du
18. d(artg u) =
10. d(ln u) =
1 + u2
u:
Здесь u = u(x) и v = v (x) диеренцируемые ункции.
:
79
џ 16. Диеренциал ункции
4. Применение диеренциала для приближенных вычислений. Мы выяснили, что приращение ункции y отличается
от диеренциала dy на бесконечно малую
порядка, чем y 0 x: Следовательно, для малых
y dy
y y0x:
или
x
jxj
более высокого
(3)
авенство (3) может быть применено для приближенного подсчета
приращения ункции, так как согласно этой ормуле вычисление
приращения ункции сводится к вычислению производной ункции,
что представляет собой обычно более простую задачу.
З а д а ч а. ебро куба длиной 30 см увеличено на 0,1 см. Требуется определить величину изменения объема этого куба.
е ш е н и е. Обозначая ребро куба через x; имеем для объема
v = x3: Отсюда: dv = 3x2 x: В нашем случае x = 0;1 и, значит,
dv = 3 900 0;1 = 270: Следовательно, v 270 (см3 ):
С помощью замены приращения ункции ее диеренциалом решается также задача нахождения приближенного значения ункции
f (x + x) по ее значению f (x): Действительно,
y = f (x + x) f (x) f 0 (x)x:
f (x + x) f (x) + f 0 (x)x:
Отсюда:
p
П р и м е р 1. Вычислить 16;02: Взяв ункцию f (x)
f 0 (x) = p1 : Теперь, полагая x = 16; x = 0;02; получаем:
2 x
p
16;02 16 + p1
p
2 16
p
= x;
(4)
имеем:
0;02 = 4 + 81 0;02 = 4 + 0;0025 = 4;0025:
Формула (4) служит источником многих ормул приближенных вычислений.
p
1 mpx и согласно (4)
П р и м е р 2. Если y = m x; m = 2; 3; . . .; то y 0 =
m x
при малых значениях jxj имеем:
p
p
m
x + x px + 1
mx
x:
m x
В частности, при x = 1
p
m
1 + x 1 + x :
m
П р и м е р 3. Если y = sin x; то, как и в предыдущем примере, при малых значениях jxj получаем:
sin(x + x) sin x + os x x:
В частности, при x = 0
sinx x:
П р и м е р 4. Если
получаем:
В частности, при
x=1
m
y = ln x; то, как и выше, при малых значениях jxj
ln(x + x) ln x + x :
x
ln(1 + x) x:
80
л. III. Диеренциальное исчисление
5. Производные и диеренциалы высших порядков.
Производная y 0 = f 0(x) данной диеренцируемой ункции y =
= f (x); называемая производной первого порядка , представляет собой некоторую новую ункцию. Возможно, что эта ункция сама
имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной
и обозначается так: y 00 = (y 0 )0 или f 00 (x): Аналогично если существует производная от производной второго порядка, то она называется
производной третьего порядка или третьей производной и обозначается так: y 000 = (y 00 )0 или f 000 (x) и т. д.
Вообще производная от производной порядка n 1 называется
производной n-го порядка и обозначается (y (n 1))0 = y (n) :
Диеренциалом n-го порядка называется произведение производной n-го порядка на n-ю степень приращения аргумента:
dn y = y(n)(x)n = y(n)(dx)n = y(n)dxn :
Отсюда получается другая запись для n-й производной:
dn y :
y(n) = dx
n
П р и м е ч а н и е. Символ dxn необходимо отличать от символа d(xn );
обозначающего диеренциал ункции xn ; т. е. nxn 1 dx:
П р и м е р 1. Если y = ekx ; то y 0 = kekx ; y 00 = k2 ekx : Поэтому y (n) =
n
= k ekx :
; y 00 = sin x =
П р и м е р 2. Если y =sin x; то y 0 = os x = sin x +
2
= sin(x + ) = sin x + 2 2 : Поэтому
с привлечением метода математичес
кой индукции получаем
y(n) = sin x + n 2 :
6. Физический смысл второй производной. Пусть s = s(t) уравнение прямолинейного движения материальной точки. Как установлено ранее (см. џ 14, п. 1), мгновенная скорость v этого движения
ds : Если теперь эту
есть производная пути s по времени t; т. е. v =
dt
скорость рассматривать как ункцию времени, то так же, как и в
dv есть ускорение a в момент t: Таким обdt 2
a = d s2 ; т. е. вторая производная пути s по
dt
п. 1 (џ 14), установим, что
разом, получаем, что
времени t есть ускорение a движущейся точки в момент t: В этом
и заключается изический смысл второй производной.
З а д а ч а. Точка движется по прямой по закону s = t3 ; где s путь (в см), a t время (в с). Найти скорость и ускорение движения
точки в момент t = 2 .
е ш е н и е. Имеем: v = s0 = 3t2 ; a = s00 = 6t: В частности, при
t = 2 с v = 12 см и a = 12 см2 :
с
с
81
џ 17. Свойства диеренцируемых ункций
џ 17. Свойства диеренцируемых ункций
1. Теорема Ферма *). Если ункция y = f (x); определенная в
интервале (a; b); достигает в некоторой точке с этого интервала
наибольшего (или наименьшего ) значения и существует производная f 0 (); то f 0 () = 0:
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что в точке ункция f (x)
достигает наибольшего значения. Придадим значению достаточно
малое приращение x: Тогда f ( + x) < f (): Отсюда при x < 0
y f ( + x) f ()
=
>0
x
x
и, следовательно,
y
lim y = f 0() > 0:
(1)
x!0 x
x<0
y
При x > 0
и, следоваreplaements
x < 0 PSfrag
тельно,
lim y = f 0() 6 0:
(2)
x!0 x
x>0
O
Из неравенств (1) и (2) следует, что
f 0 () = 0:
x
ис. 49
еометрический смысл заключения теоремы состоит в том, что
касательная к граику ункции f (x) в точке параллельна оси
абсцисс (рис. 49).
2. Теорема олля **). Если ункция f (x); непрерывная на сегменте [a; b? и диеренцируемая в интервале (a; b); принимает на
концах этого сегмента равные значения f (a) = f (b); то в интервале (a; b) существует точка ; такая , что f 0 () = 0:
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ункция f (x) непрерывна на сегменте [a; b? ; то по свойству 3 непрерывных ункций (см. џ 12, п. 2) она
принимает на этом сегменте как свое наибольшее значение M ; так и
свое наименьшее значение m: Возможны только два случая.
1) M = m: Тогда f (x) постоянна на [a; b?: в самом деле, неравенство m 6 f (x) 6 M в этом случае дает f (x) = M для всех x из [a; b?:
Поэтому в любой точке интервала (a; b) f 0 (x) = 0:
2) M > m: Так как f (a) = f (b); то хоть одно из значений M и m
достигается в некоторой точке (a < < b): Следовательно, согласно
теореме Ферма f 0 () = 0: Теорема доказана.
*)
**)
Пьер Ферма (16011665) ранцузский математик.
Мишель олль (16521719) ранцузский математик.
6 И. И. Баврин
82
л. III. Диеренциальное исчисление
replaements y
y
C
B
A
O
a
b
x
O
a
ис. 50
b
x
ис. 51
еометрически теорема олля означает следующее: если крайние
ординаты кривой y = f (x) равны, то на кривой найдется точка, где
касательная параллельна оси абсцисс (рис. 50).
3. Теорема Лагранжа *). Если ункция
сегменте [a; b? и диеренцируема в интервале
ле (a; b) найдется такая точка ; что
f (x) непрерывна на
(a; b); то в интерва-
f (b) f (a) = f 0 ():
b a
(3)
f (b) f (a) = b a
(4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим:
и рассмотрим вспомогательную ункцию
'(x) = f (x) f (a) (x a):
Эта ункция удовлетворяет первым двум условиям теоремы олля
как алгебраическая сумма трех непрерывных и диеренцируемых
ункций. При этом '(a) = '(b) = 0: Следовательно, к ункции '(x)
применима теорема олля, т. е. существует точка ; a < < b; такая,
что '0 () = 0: Но '0 (x) = f 0 (x) ; поэтому f 0 () = 0 или =
= f 0 () : Отсюда с учетом (4) получаем искомое равенство (3).
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл (рис. 51):
на граике от A до B ункции y = f (x) есть внутренняя точка C;
такая, что касательная к нему в точке C параллельна хорде AB:
В самом деле, левая часть равенства (3) угловой коэициент
хорды AB; а правая угловой коэициент касательной к граику
в точке C:
П р и м е ч а н и е. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы
олля, так как если f (a) = f (b); то из (3) следует f 0 () = 0:
Формула (3) называется ормулой Лагранжа или ормулой
конечных приращений. Из нее получаем: f (b) f (a) = f 0 ()(b a):
*) Жозе-Луи Лагранж (17361813) ранцузский математик и
механик.
џ 17. Свойства диеренцируемых ункций
Наконец, взяв вместо
83
a и b соответственно x0 и x и обозначив x =
= x x0 ; y = f (x) f (x0 ); ормулу Лагранжа запишем так:
y = f 0 ()x:
Из теоремы Лагранжа вытекает следствие.
С л е д с т в и е. Если f 0 (x) = 0 в интервале (a; b); то в этом интервале ункция f (x) постоянна .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любых значений x1 и x2 (x1 < x2 ) из
рассматриваемого интервала выполняется теорема Лагранжа, т. е.
f (x2 ) f (x1) = f 0 ()(x2 x1 ); где x1 < < x2 : Но f 0 () = 0; а потому
и f (x2 ) f (x1 ) = 0; т. е. f (x2 ) = f (x1 ) для любых значений x1 и x2 ; а
это значит, что f (x) = onst в интервале (a; b):
4. Правило Лопиталя. В главе II (см. џ 11) мы познакомились
с некоторыми приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших, т. е. раскрытия неопределен0 или 1 : Здесь будет рассмотрен новый
ности соответственно вида
0
1
простой прием для раскрытия этих неопределенностей, называемый
правилом Лопиталя *).
ассмотрим отношение
f (x)
'(x) ;
где ункции f (x) и '(x) определены и диеренцируемы в некоторой окрестности точки a; исключая, быть может, саму точку a: Пусть
далее эти ункции одновременно являются бесконечно малыми или
бесконечно большими при x ! a:
Т е о р е м а. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших ункций равен пределу отношения их производных ,
если последний существует , т . е .
f (x) = lim f 0 (x)
lim
x!a '(x) x!a '0 (x)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проведем для неопреде0
ленности вида ; причем для простоты будем предполагать, что
0
ункции f (x) и '(x) вместе с их производными f 0 (x) и '0 (x) не1
прерывны в точке a и '0 (a) 6= 0: В случае неопределенности
1
доказательство несколько сложнее (см., например, [10?).
Итак, пусть
и
(6)
lim '(x) = '(a) = 0:
(7)
x!a
*)
6*
lim f (x) = f (a) = 0
x!a
ильом Франсуа де Лопиталь (16611704) ранцузский математик.
84
л. III. Диеренциальное исчисление
азность f (x) f (a) можно рассматривать как приращение ункции f (x) в точке a; соответствующее приращению аргумента x =
= x a: Поэтому
f (x) f (a)
0
x a = f (a);
аналогично
lim '(x) '(a) = '0 (a) 6= 0:
x!a x a
Учитывая ормулы (6) и (7), при x 6= a получаем:
f (x) f (a)
f (x) = f (x) f (a) = x a :
'(x) '(x) '(a) '(x) '(a)
lim
x!a
Отсюда, переходя к пределу при
и (9), будем иметь:
x!a
(8)
(9)
x a
и используя ормулы (8)
f (x) = f 0 (a) :
(10)
lim
x!a '(x) '0 (a)
По предположению производные f 0 (x) и '0 (x) непрерывны при
x ! a; причем '0 (a) 6= 0: Поэтому
0
f 0(x) = xlim
!a f (x) = f 0 (a) :
lim
(11)
x!a '0 (x)
lim '0 (x) '0 (a)
x!a
Наконец, сопоставляя равенства (10), (11), получим искомое правило
Лопиталя (5).
П р и м е р 1.
П р и м е р 2.
0
lim 2 1 = lim (2 1) = lim 2 ln2 = ln2:
x!0 sin x x!0 (sin x)0 x!0 os x
x
x
lim e 1 = lim e = 1:
x!0 x
x!0 1
x
x
x
Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз.
П р и м е р 3.
os x = lim sin x = 1 :
2x x! 2 2 2
1 sin x
lim
= lim
x! 2 x2 x! 2 2
П р и м е ч а н и е. Правило Лопиталя верно и в том случае, когда
символ 1:
x
1
П р и м е р 4. lim x = lim x = 0:
x!+1 e
a
x!+1 e
Случаи других неопределенностей
0 1; 00 ;
10 ;
11 ;
1 1
с помощью тождественных преобразований сводятся к основным ти0
1
пам неопределенностей или :
П р и м е р 5.
0
lim x ln x:
x!0+0
1
Здесь мы имеем неопределенность
ние в виде:
0 1:
Переписывая данное выраже-
85
џ 18. Возрастание и убывание ункций
lim x ln x = lim ln1x ;
x!0+0
x!0+0
x
1 : Отсюда, применяя правило Лопиталя,
получаем неопределенность вида
1
находим:
1
lim x ln x = lim x1 = lim x = 0:
x!0+0
x!0+0
x!0+0 2
П р и м е р 6.
lim tg x 1 :
x
x!0
x
Данное выражение представляет собой неопределенность вида
os x ; имеем:
Используя, что tg x =
sinx
1 1:
1 = lim os x 1 = lim x os x sin x :
x!0 sin x x
x!0 x sin x
0
Так как получилась неопределенность ; то применяем правило Лопиталя:
0
1
os
x
x
sin
x
os
x
lim tg x
= lim
=
x
x!0
x!0 sin x + x os x
= lim x sin x = lim sin x + x os x = 0 = 0:
2
x!0 sin x + x os x
x!0 os x +os x x sin x
lim tg x
x!0
x
П р и м е р 7. lim xx : Здесь неопределенность вида
y = xx ; имеем: x!0+0
00 :
Положив
ln lim y = lim ln y = lim x ln x = 0:
x!0+0
x!0+0
x!0+0
Следовательно, ln lim y = 0; откуда:
x!0+0
lim y = e0 = 1; т. e. lim xx = 1:
x!0+0
x!0+0
Использовавшийся в последнем примере прием логаримирования
применяется также и в случае неопределенностей 10 ; 11 :
џ 18. Возрастание и убывание ункций. Максимумы
и минимумы. Асимптоты
1. Возрастание и убывание ункций. Функция f (x) называется возрастающей (убывающей ) в интервале (a; b); если, каковы бы
ни были значения x1 и x2 из этого интервала, из неравенства x2 > x1
вытекает неравенство f (x2 ) > f (x1 ) (соответственно f (x2 ) < f (x1 )):
Если же для таких x1 и x2 из неравенства x2 > x1 следует неравенство f (x2 ) > f (x1 ) (f (x2 ) 6 f (x1 )); то ункция f (x) называется
неубывающей (невозрастающей ) на (a; b):
Функции всех этих типов носят общее название монотонных .
Монотонные ункции часто встречаются в различных исследованиях. Высота растущего дерева, например, или вес созревающего
зерна это монотонно неубывающие ункции времени; освещен-
86
л. III. Диеренциальное исчисление
ность, меняющаяся по мере удаления от источника света, монотонно убывающая ункция расстояния.
азумеется, существуют и не монотонные ункции. Например,
температура воздуха в течение года не монотонная ункция времени, хотя на протяжении нескольких часов она может быть и монотонной, повышаясь к полудню или понижаясь к вечеру.
Т е о р е м а 1. Если ункция y = f (x); диеренцируемая в интервале (a; b); неубывающая (невозрастающая ) на нем , то ее производная в этом интервале не отрицательна (не положительна ), т . е .
f 0 (x) > 0
(f 0 (x) 6 0):
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x произвольное значение из интервала (a; b) : Придадим этому значению x приращение x; такое,
чтобы точка x + x принадлежала интервалу (a; b): Если f (x) неубывающая ункция, то y > 0 при x > 0 и y 6 0 при x < 0:
В обоих случаях
y
x
>0
y
f 0 (x) = lim
> 0:
x
!
0
y 6 0 и f 0 (x) 6 x0:
x
и, следовательно,
Ес-
f (x) невозрастающая ункция, то
Т е о р е м а 2. Если ункция f (x); диеренцируемая в интервале (a; b) удовлетворяет в нем условию f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0); то эта
ункция возрастает (убывает ) в интервале (a; b):
ли же
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно ормуле Лагранжа для произвольных x1 и x2 (x1 < x2 ) из (a; b) имеем: f (x2 ) f (x1 ) = f 0 () (x2 x1 ); где x1 < < x2 : Следовательно, если f 0 (x) > 0 в (a; b);
то f (x2 ) f (x1 ) > 0 или f (x2 ) > f (x1 ) и заданная ункция возрастает в (a; b): Если же f 0 (x) < 0 в (a; b); то f (x2 ) f (x1 ) < 0 или
f (x2 ) < f (x1 ) и данная ункция убывает.
Приведем несколько примеров исследования ункции на возрастание и убывание.
П р и м е р 1. Функция y = ex всюду возрастает, так как y 0 = ex > 0
для всех x:
П р и м е р 2. Функция y = x2 убывает в промежутке ( 1; 0); так как
в этом промежутке y 0 = 2x < 0: Эта же ункция в промежутке (0; +1)
возрастает, так как в последнем промежутке y 0 = 2x > 0:
2. Максимумы и минимумы ункций.
О п р е д е л е н и е. оворят, что ункция f (x) имеет в точке x0
максимум (минимум ), если существует такая окрестность точки x0
(x0 Ж; x0 + Ж); что для всех x из этой окрестности, отличных от x0 ;
выполняется неравенство
f (x) < f (x0 )
ункция f (x)
(f (x) > f (x0)):
Иначе говоря,
имеет в точке x0 максимум (минимум), если для достаточно малого приращения x (любого знака)
выполняется неравенство
f (x0 + x) < f (x0 )
(f (x0 + x) > f (x0 )):
џ 18. Возрастание и убывание ункций
87
Максимум или минимум ункции называется экстремумом
ункции.
По определению максимумов и минимумов ункции они могут
достигаться лишь внутри области
y
определения, концы сегментов области определения PSfrag
не могут
слуreplaements
жить точками, в которых ункция
y = f (x)
принимает экстремум.
На рисунке 52 изображен граик ункции, которая принимает
в точке x1 максимум, а в точке x2
O
x1
x2
x
минимум.
Если исследуемая на экстреис. 52
мум ункция диеренцируема,
то изучение свойств ее производной дает возможность находить точки, в которых ункция принимает экстремум.
Т е о р е м а 1 (необходимое условие существования экстремума).
Если ункция f (x); диеренцируемая в интервале (a; b); имеет в
точке x0 ; a < x0 < b; экстремум , то ее производная в этой точке
равна нулю :
0
f (x0) = 0:
(1)
Эта теорема есть непосредственное следствие теоремы Ферма.
П р и м е ч а н и е. Условие (1), будучи необходимым условием экстремума, не является достаточным условием экстремума, что показывает следующий пример.
П р и м е р 1. Функция f (x) = x3 не имеет экстремума в точке x0 = 0
(разность f (x) f (0) меняет знак при изменении знака аргумента x); хотя
ее производная y 0 = 3x2 обращается в этой точке в нуль.
Т е о р е м а 2 (достаточное условие существования экстремума).
Если производная ункции f (x) обращается в точке x0 в нуль
(такие точки называются стационарными ) и при переходе через эту
точку в направлении возрастания x меняет знак плюс (минус ) на
минус (плюс ), то в точке x0 эта ункция имеет максимум (минимум ). Если же при переходе через точку x0 производная ункции
f (x) не меняет знака , то в этой точке ункция f (x) экстремума
не имеет .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что f 0 (x) меняет знак плюс на
минус. Тогда, согласно теореме 2 п. 1 настоящего параграа, в достаточно малой окрестности точки x0 слева от x0 ункция f (x) возрастает и f (x) < f (x0 ); а справа от нее ункция f (x) убывает и
снова f (x) < f (x0 ): Следовательно, для всех x из достаточно малой
окрестности точки x0 (кроме самой этой точки) будет выполняться
неравенство f (x) < f (x0 ); т. е. в точке x0 ункция f (x) имеет максимум.
Аналогичное доказательство и в случае обратной смены знака.
Предположим теперь, что при переходе через точку x0 производная ункции f (x) не меняет знака. Тогда по теореме 2 п. 1 настоящего
88
л. III. Диеренциальное исчисление
параграа как слева, так и справа от x0 ункция f (x) либо возрастает, либо убывает и, следовательно, не может иметь экстремума в
точке x0 :
Отсюда следует такое правило исследования ункции на экстремум с помощью первой производной. Пусть в интервале (a; b) дана
диеренцируемая ункция f (x):
1) находим ее производную f 0 (x);
2) находим корни уравнения f 0 (x) = 0;
3) выясняем знак f 0 (x) слева и справа от каждого из этих корней и
согласно теореме 2 выносим заключение об экстремуме;
4) вычисляем значения ункции в точках экстремума.
П р и м е р 2. Исследовать на экстремум ункцию f (x) = ex x: Для
этого находим: f 0 (x) = ex 1: Приравнивая ее к нулю, получаем ex 1 = 0;
откуда: x = 0: Так как для x < 0 ex 1 < 0; а для x > 0 ex 1 > 0; то в
точке x = 0 данная ункция имеет минимум, причем f (0) = 1:
П р и м е р 3. Исследовать на экстремум ункцию f (x) = x3 3x + 2:
Для этого вычисляем производную
f 0 (x) = 3x2 3 = 3(x2 1) = 3(x + 1)(x 1)
и находим корни уравнения f 0 (x) = 0: Имеем: x1 = 1; x2 = 1:
Затем согласно полученному правилу последовательно заполняем строки таблицы:
x
f 0 (x)
f (x)
x< 1
+
x1 = 1
x2 = 1
x>1
0
0
+
максимум
минимум
f (x1 ) = 4
1<x<1
f (x2 ) = 0
П р и м е р 4. Исследовать на экстремум ункцию f (x) = x3 +2: Имеем
0
f (x) = 3x2 = 0; откуда x = 0: Так как при x < 0 и x > 0 f 0 (x) > 0; то ункция f (x) = x3 + 2 в точке x = 0 экстремума не имеет.
3. Исследование ункций на экстремум с помощью второй производной. Следующая теорема является вторым достаточ-
ным условием существования экстремума.
Т е о р е м а. Пусть ункция f (x) имеет в точке x0 и ее окрестности непрерывные первую и вторую производные , причем f 0 (x0 ) =
= 0; f 00 (x0 ) 6= 0: Тогда
ункция f (x) имеет в точке x0 минимум
(максимум ), если f 00 (x0 ) > 0 (f 00 (x0 ) < 0):
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f 00 (x0 ) > 0: Так как f 00 (x) непрерывна в точке x0 ; то (см. џ 12, п. 1) f 00 (x) > 0 и в некоторой окрестности
точки x0 : В этой окрестности точки x0 ункция z = f 0 (x) возрастает,
так как z 0 = f 00 (x) > 0: Но f 0 (x0 ) = 0: Следовательно, при переходе
через точку x0 в направлении возрастания f 0 (x) меняет знак минус на
плюс и потому, согласно теореме 2 п. 2 настоящего параграа, f (x)
џ 18. Возрастание и убывание ункций
89
имеет в точке x0 минимум. Доказательство в случае f 00 (x0 ) < 0 аналогично.
Эта теорема позволяет сормулировать второе правило отыскания экстремума ункции, в котором меняется лишь пункт 3). Этот
пункт заменяется на следующее:
находим вторую производную f 00 (x); вычисляем ее значения для
каждого из найденных корней уравнения f 0 (x) = 0 и согласно только
что доказанной теореме выносим заключение об экстремуме.
Заметим, что пользоваться вторым правилом обычно проще, чем
первым. Но если вторая производная в корне первой производной
обращается в нуль, то используют первое правило отыскания экстремума.
П р и м е р. Применим второе правило отыскания экстремума для рассмотренной выше ункции f (x) = ex x: Имеем: f 0 (0) = 0; f 00 (x) = ex ;
f 00 (0) = 1 > 0; следовательно, x = 0 дает минимум, т. е. приходим к тому
же результату.
4. Наибольшее и наименьшее значения ункции на отрезке. Пусть ункция f (x) непрерывна на отрезке [a; b?: Тогда на
этом отрезке ункция f (x) достигает наибольшего и наименьшего
значений (џ 12, п. 2). Остановимся для определенности на наибольшем значении. Если эта ункция достигает наибольшего значения в
интервале (a; b); то оно, очевидно, будет максимумом ункции f (x):
Но ункция может достигать своего наибольшего значения также на
одном из концов отрезка [a; b? (см. рис. 42). Таким образом, чтобы
найти наибольшее значение ункции f (x) на отрезке [a; b?; надо найти
на интервале (a; b) все максимумы этой ункции, затем вычислить
значения ункции f (x) на концах отрезка [a; b?; т. е. f (a) и f (b):
Наибольшее из всех этих чисел и будет наибольшим значением ункции f (x) на отрезке [a; b?: Аналогично для нахождения наименьшего
значения ункции f (x) на отрезке [a; b? надо найти все минимумы
этой ункции на интервале (a; b); затем вычислить f (a) и f (b): Наименьшее из всех этих чисел и будет наименьшим значением ункции
на отрезке [a; b?:
П р и м е р. Найти наибольшее
h и iнаименьшее значения ункции
3
2
= 2x 9x + 12x 3 на отрезке 3 ; 3 :
f (x) =
4
Исследуем эту ункцию на экстремум:
f 0(x) = 6x2 18x + 12;
2
6x 18x + 12 = 0
или
x2 3x + 2 = 0;
откуда: x1 = 1; x2 = 2: Так как f 00 (x) = 12x 18; то f 00 (1) = 6 < 0 и
f 00 (2) = 6 > 0: Следовательно, при x = 1 ункция f (x) имеет максимум,
причем f (1) = 2; а при x = 2 эта ункция имеет минимум,hпричем
f (2) = 1:
3 ; 3i:
Находим далее значения ункции f (x) на концах отрезка
4
57 ; f (3) = 6:
f 34 = 32
90
л. III. Диеренциальное исчисление
Таким
наибольшее значение рассматриваемой ункции на отрезh образом,
i
3
ке
; 3 есть 6; а наименьшее равно 1.
4
З а м е ч а н и е. Очевидно, если непрерывная на отрезке [a; b? и диеренцируемая в интервале (a; b) ункция имеет в интервале (a; b) только
одну стационарную точку и экстремум в ней, то в этой точке она имеет
наибольшее значение в случае максимума и наименьшее в случае минимума.
5. Задачи на экстремум. Теория экстремума ункции имеет
многочисленные практические применения.
З а д а ч а 1. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону
p(t) = 1000 + 1000t 2 ;
100 + t
где t выражается в часах. Найти максимальный размер этой популяции.
Имеем:
2
p0 (t) = 1000(100 2 t2 ) ;
2
p00 (t) = 2000t 300 t2 3 :
(100 + t )
(100 + t )
p00(10) < 0; то максимальный размер популяции
1000 10 = 1050
p(10) = 1000 + 100
+ 100
Так как p0 (10) = 0 и
составляет
и достигается по прошествии 10 часов роста.
З а д а ч а 2. еакция организма на введенное лекарство может
выражаться в повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изменении пульса или других изиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства.
Предположим, что x обозначает дозу назначенного лекарства, а степень реакции y описывается ункцией y = f (x) = x2 (a x); где a некоторая положительная постоянная. При каком значении x реакция
максимальна?
2
Имеем f 0 (x) = 2ax 3x2 ; f 00 (x) = 2a 6x: Так как x = a 2a
2a 3
= 2a < 0; то x = 3 тот
корень уравнения f 0 (x) = 0 и f 00
3
уровень дозы, который дает максимальную реакцию.
З а д а ч а 3. азовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода (О2 ): Требуется найти концентрацию О2 ; при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью.
е ш е н и е. В условиях практической необратимости скорость v
реакции 2NO + O2 = 2NO2 выражается ормулой v = kx2 y; где x концентрация NO в любой момент времени, y концентрация О2 ; k константа скорости реакции, не зависящая от концентрации реагирующих компонентов и зависящая только от температуры. Концентрации газов будем выражать в объемных процентах. В этом случае
y = 100 x и v = kx2 (100 x): Очевидно, 0 < x < 100: Производная
91
џ 18. Возрастание и убывание ункций
dv
2
корень x =
dx = k(200x 3x ) между 0 dи2 v100 имеет единственный
2v(x1 )
d
= x1 = 66;67: Далее имеем: 2 = k(200 6x);
< 0; т. е. в
dx
dx2
точке x1 максимум. Следовательно, согласно замечанию п. 4 скорость v реакции наибольшая, когда x = 66;67 % и y = 33;33 %.
З а д а ч а 4. Из квадратного листа жести со стороной a; вырезая
по углам равные квадраты и сгибая края (рис.
53), необходимо сделать прямоугольную коx x
робку наибольшего объема.
x
x
е ш е н и е. Обозначим сторону вырезаемого квадрата через x: Тогда объем коробки
a 2x
выразится равенством V= x(a 2x)2 ; где x
0; a2 :PSfrag
Производная
replaements
a
0
V = (a 2x)(a 6x) между 0 и 2 обращаетa
ся в нуль в единственной точке x = : Это
изменяется в интервале
6
ис. 53
значение x и доставляет объему V максимум
(значит, согласно замечанию п. 4 и наибольшее значение), так как
a V 00 = 4a < 0: Таким образом, объем коробки будет наипри x =
6
большим при стороне вырезаемого квадрата
x = a6 :
6. Выпуклость и вогнутость граика ункции. Точки перегиба. На рисунке 54 построен граик диеренцируемой унк-
ции y = f (x): В точках A; B и C построим касательные к граику.
Видно, что все точки граика,
достаточно близкие к точке A и
y
лежащие по обе стороны от нее,
PSfrag replaements
расположены ниже касательной.
В
A
этом случае граик ункции f (x)
B
C
называется выпуклым в точке A:
Все точки граика, достаточно
близкие к точке C и лежащие по
обе стороны от нее, расположены
O
x
выше касательной. В таком случае
граик ункции f (x) называется
ис. 54
вогнутым в точке C:
раик диеренцируемой ункции y = f (x) называется выпуклым (вогнутым ) в интервале (a; b); если он является выпуклым
(вогнутым) в каждой своей точке с первой координатой из (a; b): На
рисунке 54 граик между точками A и B является выпуклым, а
между точками B и C вогнутым.
Касательная, проведенная через точку B (рис. 54), пересекает граик. При этом во всех точках граика, близких к точке B и лежащих
слева от нее, граик является выпуклым, а во всех точках граика,
лежащих справа от точки B и близких к ней, граик является вогнутым. Точка граика диеренцируемой ункции y = f (x); при
92
л. III. Диеренциальное исчисление
переходе через которую граик меняет выпуклость на вогнутость и
наоборот, называется точкой перегиба . В частности, на рисунке 54
точка B точка перегиба.
Сормулируем без доказательства теоремы, позволяющие находить интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба.
Т е о р е м а 1. Если вторая производная f 00 (x) ункции y = f (x)
положительна (отрицательна ) в интервале (a; b); то граик этой
ункции является вогнутым (выпуклым ) в этом интервале .
Т е о р е м а 2. Если вторая производная f 00 (x) ункции y = f (x)
обращается в точке x0 в нуль и при переходе через эту точку меняет
знак , то точка (x0 ; f (x0 )) граика данной ункции является точкой
перегиба .
Из этих теорем вытекает схема исследования на выпуклость и вогнутость дважды диеренцируемой ункции y = f (x):
1) находится вторая производная f 00 (x) и решается уравнение
f 00 (x) = 0;
(2)
2) корни этого уравнения делят область определения второй производной f 00 (x) на интервалы, в каждом из которых f 00 (x) сохраняет
свой знак. В интервалах, где f 00 (x) < 0; граик ункции y = f (x)
является выпуклым; в интервалах, где f 00 (x) > 0; граик этой ункции является вогнутым. Корни уравнения (2), при переходе через
которые f 00 (x) меняет знак, являются точками перегиба граика.
П р и м е р 1. Кривая
= 2 > 0 (рис. 55)
y = x2
вогнута на всей числовой оси, так как
y00 =
y = ln x выпукла в промежутке (0; +1); так как
1 < 0 (рис. 56).
в этом промежутке
x2 3
П р и м е р 3. Кривая y = x выпукла в промежутке ( 1; 0); так как в
этом промежутке y 00 = 6x < 0; и вогнута в промежутке (0; +1); так как в
П р и м е р 2. Кривая
y00 =
y
y
y
y = x2
y = x3
y = ln x
replaements
O
O
1
x
1
O1
x
x
ис. 55
нем y 00 = 6x > 0; при
перегиба (рис. 57).
ис. 56
x = 0 y00 = 0;
ис. 57
следовательно, точка
(0; 0)
точка
93
џ 18. Возрастание и убывание ункций
Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса,
наиболее (или наименее) чувствительна к каким-либо воздействиям.
ассмотрим, например (см. [7?), способность буера препятствовать
изменению pH (pH = lg [H+ ?) ; которое может быть обусловлено, к
примеру, добавлением щелочи. Эта ситуация описывается уравнением
[соль?
pH = pK + lg [кислота
?
(pK = lg K ; K константа диссоциации кислоты). Для буера,
приготовленного добавлением x мольл 1 NaOH к раствору уксусной
кислоты НОА (для краткости через А обозначено СН3 СО), началь-
ная концентрация которого равна А, мы имеем:
? = pK + 0;4343ln [NaOA ? =
pH = pK + lg [NaOA
[HOA ?
[HOA ?
= pK + 0;4343 ln A x x ; (3)
поскольку до тех пор, пока x меньше А, практически все добавляемые ионы OH стехиометрически превращают молекулы НОА в
ионы OA : Диеренцируя по x; получаем:
d pH = 0;4343 A x A x + x = 0;4343A :
dx
x (A x)2 x(A x)
Эта первая производная является мерой чувствительности рН к
действию щелочи. Ясно, что буер наиболее эективен, когда производная минимальна (или обратная ей величина, известная под
названием буерной емкости, максимальна). Для нахождения зна-
чения x; при котором
производную
d pH
dx
минимальная, следует взять вторую
d2pH = 0;4343A A 2x :
dx2
(Ax x2 )2
Отсюда видно, что вторая производная равна нулю в точке
при переходе через нее в направлении возрастания
d pH
x
x = A2
и
меняет знак
ѕминусї на ѕплюсї. Следовательно,
dx минимальна в точке перегиба
ункции рН. Подставив это значение x в (3), найдем, что
2A
pH = pK + 0;4343 ln 2A
= pK :
Таким образом, буер наиболее эективен при рН, равном рK
кислоты, которая участвует в нитровании.
7. Асимптоты. В џ 4 (пункт 3) рассматривались асимптоты гиперболы. Многие другие линии также имеют асимптоты, т. е. прямые,
к которым неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.
94
л. III. Диеренциальное исчисление
азличают асимптоты вертикальные (т. е. параллельные оси ординат) и наклонные (т. е. не параллельные оси ординат). Прямая x = a
называется вертикальной асимптотой граика ункции y = f (x);
если хотя бы одно из предельных значений lim f (x); lim f (x)
x!a+0
x!a 0
является бесконечным, т. е. равно +1 или 1:
П р и м е р 1. Прямая x =
1
ика ункции y = ; так как
x
lim
0
является вертикальной асимптотой гра-
1 = +1;
x!0+0 x
lim
1 = 1:
x!0 0 x
Предположим, что ункция y = f (x) определена при сколь угодно больших (по модулю) значениях аргумента; для определенности
будем рассматривать положительные значения аргумента.
Прямая
y = kx + b
(4)
называется наклонной асимптотой граика ункции
x ! +1; если эта ункция представима в виде
y = f (x)
f (x) = kx + b + (x);
lim (x) = 0:
x!+1
где
при
(5)
(6)
Т е о р е м а. раик ункции y = f (x) имеет при x ! +1 наклонную асимптоту тогда и только тогда , когда существуют два
предела
lim f (x) = k;
(7)
lim [f (x) kx? = b:
(8)
x!+1 x
x!+1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть граик ункции y = f (x) имеет
при x ! +1 наклонную асимптоту (4). Тогда справедливы равенства (5) и (6). Следовательно,
f (x) = lim kx + b + (x) = lim hk + b + (x) i = k;
lim
x!+1 x
x!+1
x
x!+1
x
x
lim [f (x) kx? = x!
lim
+1[b + (x)? = b:
x!+1
Обратно: пусть существуют предельные значения (7) и (8). Из (8)
согласно установленной в џ 11 (п. 1) теореме 1 имеем:
f (x) kx = b + (x);
f (x) = kx + b + (x);
Следовательно, прямая y = kx + b является
той граика ункции y = f (x) при x ! +1:
или
где
lim (x) = 0:
x!+1
наклонной асимпто-
П р и м е ч а н и е 1. Аналогично определяется наклонная асимптота и
доказывается только что установленная теорема и для случая x ! 1:
џ 19. Построение граиков ункций
95
П р и м е ч а н и е 2. Для k = 0 наклонная асимптота (4) при x ! +1
1) называется горизонтальной асимптотой
при x ! +1 (x ! 1):
p
П р и м е р 2. раик ункции y = x2 + 1 имеет наклонную асимптоту y = x при x ! +1: В самом деле,
p
r
(x !
x2 +1
= lim
1 + 12 = 1;
x
x!+1
x
p
2
2
x
+1
x
1
x2 + 1 x = x!lim
lim
+1 px2 +1+ x = x!lim
+1 px2 +1+ x = 0:
x!+1
П р и м е р 3. Прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой
1
ика ункции y = при x ! +1 и при x ! 1:
x
lim
x!+1
гра-
џ 19. Построение граиков ункций
Наиболее наглядное представление о ходе изменения ункции
дает ее граик. Поэтому построение граика является заключительным этапом исследования ункции, в котором используются все результаты ее исследования. Построение граика ункции проводится
по следующей схеме.
I. Находится область определения ункции. Функция исследуется
на четность, нечетность и периодичность. Напомним эти свойства.
Функция f (x) называется четной в интервале ( a; a); если в нем
выполнено условие f ( x) = f (x); граик четной ункции симметричен относительно оси ординат. Например, y = os x или y = sin x четные ункции. Функция f (x) называется нечетной в интервале
( a; a); если в нем выполнено условие f ( x) = f (x): раик нечетной ункции симметричен относительно начала координат. Например, y = x3 или y = x os2x нечетные ункции. Функция f (x)
называется периодической, если существует положительное число T
(период ункции), такое, что f (x + T ) = f (x): Например, периодическими являются ункции sin x; os x (период 2 ); tg x; tg x
(период ) (см. гл. II, џ 8).
II. Находятся точки разрыва ункции и в них вычисляются односторонние пределы.
III. Находятся точки пересечения граика ункции с осями координат.
IV. Выясняется поведение ункции в бесконечности.
V. Находятся промежутки возрастания и убывания ункции.
VI. Функция исследуется на экстремум.
VII. Функция исследуется на выпуклость и вогнутость. Находятся точки перегиба.
VIII. Находят??я уравнения асимптот, если они существуют.
IX. Строится граик ункции.
Заметим, что в некоторых случаях достаточно проводить частичные исследования, опуская некоторые пункты схемы.
96
л. III. Диеренциальное исчисление
y = xx +11 : Функция f (x) =
всех значений x; кроме x = 1:
2
П р и м е р 1. Построить граик ункции
= xx +11
2
определена и непрерывна для
Функция не является ни четной, ни нечетной. Ее граик не имеет точек
пересечения с осью Ox; так как x2 + 1 > 0 для всех вещественных x: При
x = 0 y = 1:
lim f (x) =
x!1 0
т. е. прямая
1;
lim f (x) = +1;
x!1+0
x = 1 является вертикальной асимптотой. При x ! +1 y ! +1;
а при x ! 1 y ! 1: Производная данной ункции
y
2
y0 = x 2x 2 1
(x 1)
plaements
p
2+2 2 5
4
3
2
p
2 1 1 + p2
1
0 1
p
2 2 2
обращается
p в нульpв точках x1 =
= 1 2; x2 = 1 + 2: Эти точки
разбивают всю числовую ось
p на
три p
промежутка
(
1
;
1
p
p 2);
2; 1 + 2); (1 + 2; +1);
(1
внутри каждого из которых
производная y 0 сохраняет постоянный знак. Очевидно, что в
первом и третьем промежутках
y0 > 0; и, следовательно, здесь
ункция y возрастает, во втором промежутке y 0 < 0; и, следовательно, в этом промежутке
данная ункция убывает. Ее
вторая производная
x
y00 =
4
(x 1)
3
всюду отлична от нуля (значит,
точек перегиба граик рассматриваемой ункции не имеет), в
промежутке ( 1; 1) y 00 < 0; и, следовательно, здесь граик данной ункции являетсяpвыпуклым и в точке x1 эта ункция имеет максимум, причем
f (x1 ) = 2 2 2; в промежутке (1; +1) y00 > 0; и, следовательно, в последнем промежутке этот граик является вогнутым
p и в точке x2 данная
ункция имеет минимум, причем f (x2 ) = 2 + 2 2: Наконец, поскольку
ис. 58
x2 +1 = x + 1 + 2
x 1
x 1
и
lim
x!1 x
2 = 0;
1
то граик данной ункции имеет наклонную асимптоту
x ! +1
сунке 58.
и при
x ! 1:
раик ункции
2
y = xx +11
2
y = x+1
и при
изображен на ри-
П р и м е р 2. Построить граик ункции y = e x :
Эта ункция определена, непрерывна, положительна на всей числовой
оси и является четной. Поэтому достаточно построить ее граик в первом
97
Упражнения
квадранте. При x = 0 y = 1; при x ! +1 y ! 0: Поэтому прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой граика данной ункции при x ! +1:
2
Производная y 0 = 2xe x обращается в нуль только в точке x0 = 0; при
0
x > 0 y < 0; т. е. при x > 0 данная ункция убывает. Ее вторая произ2
1
водная y 00 = 2(2x2 1) e x в точке x1 = p обращается в нуль, в проме
2
1
жутке p ; +1 y 00 > 0; и, следовательно, здесь граик данной ункции
2
является вогнутым, а в промежутке [x0 ; x1 ) y 00 < 0; и, следовательно,
в нем этот же граик является выпуклым и x1 абсцисса
егоreplaements
точки
replaements
PSfrag
O
2
1
O
y
2
2
2
x2 O
1
y
ис. 59
1 O
1
2
x
2
x
x x12
x1 1
1
ис. 60
перегиба (значит, ордината этой точки е 1=2 ); и, наконец, в точке x0 данная
ункция имеет максимум. раик данной ункции изображен на рисунке 59. Это так называемая кривая а у с с а.
П р и м е р 3. Построить граик ункции
раик ункции
2
y= x 2
1 x
2
y = x 2:
1 x
изображен на рисунке 60.
Упражнения
Найти производные ункций, пользуясь непосредственно определением
производной:
1.
3.
5.
y = 3x:
y = (4x + 1)2 :
y = x 1 3:
[y 0 = 3:?
[y 0 = 8(4x + 1):?
h
1 :i
y0 =
(x 3)2
2.
4.
6.
Найти производные следующих ункций:
7.
9.
y = 1 2x3:
y = 23 :
11.
h
y0 =
1
p
y = 2 x p31x + 5:
x
7 И. И. Баврин
[y 0 = 6x2 :?
i
6x
(x 1) :
2
2
8.
y = 8 x2 :
3
y = x3 :
p
y = 1 + x2 :
h
y = x +2
:
x
10.
y = 12 :
x
[y 0 = 2x:?
[y 0 = x2 :?
h
i
y0 = p x :
1+ x2
y0 =
h
y0 =
h
2 :i
x2
2 :i
x3
i
y0 = p1x + 3x1p3 x :
98
л. III. Диеренциальное исчисление
h
i
16.
y = x3 + 33 : y0 = x2 94 :
x
x
2
y = x (2x 1):
y = (x3 + 3)(4x2 5):
y = (x 5)4 (x + 3)5 :
17.
y = (x 1) x:
3
12.
14.
15.
p
23.
p
y = 3 (4 + 3x)2 :
24.
y= p 5
21.
25.
26.
28.
30.
31.
32.
33.
34.
(5 x )
i
0
y = 5(5+4x4) :
(5 2x)
h
i
2
2
2
y0 = (3x +5) (30x 254x 10) :
(2x 3)
h
x2 :i
y0 = 30
3
(x +5)6
h
4x :i
y0 = p
3 (6x2 5)2
h
i
y0 = p3 2 :
4+3x i
h
5
x
0
y= 2 p
:
(x +4) x2 +4
h
3
3
5
y = y = 6x
x2 +4
r
y = xx +32 :
i
y0 = 32xpx1 :
4
2
x :i
y0 = x 15x 2 +6
2
3
2
20.
i
y0 = 25 :
[y 0 = 6x2 2x:?
[y 0 = 20x4 15x2 + 24x:?
[y 0 = (x 5)3 (x + 3)4 (9x 13):?
h
22.
19.
h
y = 2x5+1 :
h
3
y = x 32 :
5 x
y = 5x :
(5 2x)
y = (32xx +5)
3 :
y= 2 :
(x +5)
p3 2
18.
13.
5:
:
h
y = sin3 x: [y0 = 3sin2 x os x:?
h
i
y0 = sin x :
y = os2 x :
2
2
y = x2 os x:
sin2x :
y = os3
x
2
y = (x 2) sin x + 2x os x:
y = 1 ossinx x :
x os x
y = sin
sin x +os x :
35.
y = tg4 (x2 + 1):
36.
y = (tg x tg x)2 :
27.
29.
y0 =
y = sin x2 :
i
5
p
2(x +3) x + x 6
2
:
[y 0 = 2x os x2 :?
h
3
3 i
y = os x2 : y0 = 32 x2 sin x2 :
[y 0 = x(2os x s sin x):?
h
i
y0 = 5os x 2 os5x :
2os 3x
[y 0 = x2 os x:?
h
i
y0 = 1 1sin x :
h
i
2
y0 =
:
(sin x +os x)2
h
i
x +1) :
y0 = 8x tg(
2
2
3
h
2
os (x +1)
x :i
0
y = 16os2
3
sin 2x
99
i
Упражнения
37.
[y 0 = tg 2 x:?
y = x tg x:
p4
39.
y = 1 + os2 x:
40.
y = ln2 x:
41.
42.
h
i
y0 = sin1 x :
2
45.
46.
x
x
y= e e :
47.
48.
54.
55.
56.
57.
58.
7*
2
x
x i
y0 = e + e :
y0 = 2epx :
[y 0 = 2tg2 2x(3 2sin2 2x:?
i
h
y0 = 1+x x :
y0 =
1
i
24x
:
(x 9)(x 1)
2
3
3
h
y = x artg x:
p
y = x2 1 x2 + 12 arsin x:
x 1
y = 41 ln 1+
1 x + 2 artg x:
+4 :
y = lnsin 2xx+1
2
y = arsin ex :
x
y = x arsin x +1
i
2
y0 = x 2 :
1+ x
p 2
0
[y = 1 x :?
h
h
y0 =
i
y0 = 1 4 :
1 x
2 tg 2x +4 :i
x +1
(x +1)
i
h
x2
y0 = p2xe 2 :
1 ex
h
i
y0 = 1+1ex :
i
h
2
2
ex
y = ln 1+ ex :
px i
h
h
r
60.
y = ln x2:
[y 0 = ex ln x (1 + ln x):?
[y 0 = (2x + x2 ln2)2x ?
3
y = ln x3 9 :
q
59.
2 :i
2
y = ln(e x + xe x):
x
x
y0 = x2 + ln2x
x
x2
i
y0 = x2 :
[y 0 = xex :?
i
h
2
y0 = x ex=2 :
2
51.
53.
43.
3
h
y = ex ln x :
y = x22x :
50.
52.
2
h
p
y = e x:
y = tg3 2x os2 2x:
49.
y0 =
h
y = x1 + 2ln x lnxx :
y = lntg x :
4x sin2x
4xpx os x :
h
sin2x :i
y0 = p
4 4 (1+os x)
h
i
y0 = 2ln x :
y = tg
pxx :
2
y = (x 1) ex :
y = (x2 4x + 8) ex=2 :
44.
38.
h
px + artg px:
y = artg xa + ln xx + aa :
q
x :
y0 = arsin x +1
h
i
3
y0 = 42a 4 :
x
a
100
л. III. Диеренциальное исчисление
61.
h
y = arsin x 3 2 :
x x:
y = (1+ x )artg
2
2
62.
63.
p
y = 4artg x2 +1:
70.
Лит после включения движется по закону
p
y0 = 4artg x2+1 ln4 h
i
1
:
5+4x x
y0 = p
2
[y 0 = xartg x:?
i
xp
:
(x2 +2) x2 +1
i
h
p 2x
ex p
:
e :
y0 = p
64. y = lnarsin 1
1 e2x arsin 1 e2x
2
65. Написать уравнение касательной к кривой y = x в точке A(2; 4):
[Касательная y = 4x 4:?
66. Написать уравнение касательной к синусоиде y = sin x в точке
( ; 0):
[Касательная y = x:?
67. Найти угловой коэициент касательной к кривой y = 5
3x2 в
точке с абсциссой x = 2:
[k = 12:?
2
68. Написать уравнение нормали к параболе y = 2x в точке A(8; 4):
[Нормаль 4x + y 36 = 0:?
2 2
69. Написать уравнение нормали к окружности x + y = 25 в точке
A(3; 4):
[Нормаль 4x + 3y = 0:?
где s путь (в метрах),
момент времени t = 2:
71.
s = 1;5t2 + 2t + 12;
t время (в секундах). Найти скорость лита
в
h i
8
м
с
:
Закон движения точки по прямой описывается уравнением
s = t3 3t2 + 3t + 5;
где s путь (в метрах), t время (в секундах). В какие моменты времени t скорость v точки равна нулю?
[v = 0 при t = 1 с.?
72. азложение некоторого химического вещества протекает в соответствии с уравнением m = m0 e kt ; где m количество вещества в момент
времени t; k положительная постоянная. Найти скорость разложения
вещества и выразить ее как ункцию от m:
[v = km:?
73. Зависимость количества Q вещества, получаемого в химической
реакции, от времени t определяется ормулой Q = a(1 + be kt ): Определить скорость v реакции и выразить ее как ункцию от Q:
[v = k(a Q):?
74. Атмосерное давление воздуха p на высоте h над уровнем моря
можно вычислить по ормуле p = p0 e h=a ; где p0 давление над уровнем моря и a постоянная. Найти скорость v изменения давления с выh
сотой и выразить ее как ункцию от p:
pi
v = a:
101
Упражнения
75. азмер популяции насекомых в момент t (время выражено в днях)
задается величиной p(t) = 1000 9000(1 + t) 1 : Вычислить скорость роста
h
p0(t) в момент t:
9000 i
0
p (t) =
(1+ t) :
2
76. азмер популяции бактерий в момент t (время выражено в часах)
задается ормулой p(t) = 106 + 104 t 103 t2 : Найти скорость роста популяции, когда t = 1 ч.
[8000 бактерий в час.?
Найти диеренциалы следующих ункций:
77.
78.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
87.
y = (a2 x2 )2 :
h
i
p
y = 4 + x2: dy = pxdx :
4+ x
y = 13 tg3 x + tg x:
y = artg (x2 ):
2
[dy = 4x(a2 x2 ) dx:?
x +1 : hdy = dx :i
x 1
1 x2
79.
y = ln
86.
[dy = se4 xdx:?
h
i
dy = 2xdx4 :
1+ x
2
[dy = (24x 4x 15) dx:?
h
i
dy = 17 dx 2 :
(2x +3)
2
x
[dy = (2xe + 1) dx:?
h
i
y = os2 x : dy = 1 sin x dx:
y = x(2x 3)(4x + 5):
y = 32xx +34 :
2
y = ex + x + 1:
y = 8x :
[dy = 8x ln8 dx:?
y = sin(2x + 3):
r
2
2
[dy = 2os(2x + 3) dx:?
Найти с помощью диеренциала приближенные значения для данных выражений.
88.
90.
92.
p3 1;1:
p3 26;19:
ln1;007:
p
[ 3 1;1 1;033:?
p
[ 3 26;19 2;97:?
[ln1;007 0;007:?
89.
91.
93.
p5 1;02:
sin310 :
os610 :
p
[ 5 1;02 1;004:?
[sin310 0;515:?
[os610 0;4849:?
Найти производные высших порядков следующих ункций:
y = x5 3x4 + x3 5x2 + x 1; y00 =? [y00 = 20x3 36x2 + 6x 10:?
3 3x2 + 1; y000 =?
95. y = 2x
[y 000 = 12:?
3
2
96. y = x + 3x + 4; y =?
[y = 0:?
i
h
1
2
x
000
000
00
00
[y = 8e2x :?
97. y = x ln x; y =?
y = x : 98. y = e ; y =?
x 2
99. y = e + x ; y
=?
[y = ex :?
os x ; y00 =?
[y 00 = eos x (sin2 x os x):?
100. y = e
00
101. y = sin x; y =?
[y 00 = 4sin2x:?
i
h
00
102. y = artg x; y =?
y00 = 2x 2 2 :
94.
V
IV
V
IV
(1+ x )
102
л. III. Диеренциальное исчисление
Используя правило Лопиталя, найти следующие пределы.
h i
lim
sin5x :
103.
x!0 sin10x
105.
x!0
107.
109.
1 os x :
x
ln
lim x :
lim
2
113.
115.
117.
119.
121.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
132.
134.
[0:?
x!+1 x
lim xn ln x (n > 0):
x!0+0
111.
1
2:
h i
1:
2
lim 1
x!0 x
1 :
sin x
lim sin3x :
x! tg5x
lim lnos ax :
x!0 lnos bx
x
x
lim e e :
x!0 sin x
x
a
lim ln(e e ) :
x!a+0 ln(x a)
h
104.
106.
110.
[0:?
112.
114.
i
a :
b2
2
h
lim x :
x!+1 ex
i
h
116.
[2:?
118.
[1:?
120.
i
[1:?
[1:?
135.
[0:?
6 :
lim 1
x!3 x 3 x2 9
lim tg x :
x!0 x
lim x 1 :
x!1 xn 1
lim tg x 1 :
x! 4 sin4x
lim tg5x :
x! 2 tg3x
lim ln(sin ax) :
x!0+0 ln(sin bx)
lim (1 x) tg x :
2
x!1
1
lim x tg 2x:
2 : 122.
x!0
lim (a1=x 1) x (a > 0):
x!1
lim n2 (a1=x + a 1=x 2) (a > 0):
x!1
:
lim x
x! 2 tg x 2os x
m
lim xax ; m натуральное число и a > 0:
x!+1 e
lim 1 os x :
x!0 5x2
5 :
lim 1
2
x!3 x 3 x x 6
x :
lim 1
x!1 ln x x 1
lim (sin x)tg x :
[1:? 131. lim (os x)1=x2 :
x! 2
x!0
1=x2
(1 sin x)os x :
lim sin x
: [e 1=6:? 133. xlim
! 2
x!0 x
lim (x2 + 1)1=x :
x!1
[ 3:?
2
108.
[0:?
3:
5
os3x :
os x
lim ln x :
x!1 x 1
lim
x! 2
lim (tg x)tg2x :
x! 4
h
1 :i
6
[1:?
h
h
1 :i
n
1 :i
2
h i
3:
5
[1:?
h
2 :i
[ln a:?
[ln2 a:?
[ 1:?
[0:?
1 :i
10
h i
1
5:
1 :i
2
h
h
[e 1=2 :?
[1:?
h
1 :i
e
103
Упражнения
Найти интервалы возрастания и убывания следующих ункций.
136.
137.
138.
y = 3x x3:
1; 1) и (1; +1) и возрастает на ( 1; 1):?
[Убывает на ( 1; 2) и возрастает на (2; +1):?
[Убывает на
(
[Убывает на
( 1; 1)
и возрастает на
(
1; 1) и (1; +1):?
(0; 1)
и возрастает на
(
1; 1) и (1; +1)?:
( 1; +1)?:
y = x2 4x:
y = 32 x3 2x + 1:
139.
y = 3x + x3 + 5:
140.
y = 4x 3:
[Убывает на
( 1; 0)
и
[Возрастает на
Исследовать на экстремум следующие ункции.
143.
y = 2x2
y = 2x
y = x3
144.
y = x ln x:
141.
142.
145.
146.
8:
x2 :
9x2 + 15x 3:
[Минимум при
[Максимум при
[Минимум при
x = 0:?
x = 1:?
x = 5;
максимум при x = 1:?
h
1i
Минимум при x = :
[Минимум при x = 2;
y = 2x :
x +4
4
y = x4 23 x3 23 x2 + 2:
[Минимум при x = 1 и x = 3;
максимум при
e
x = 2:?
максимум при
x = 0:?
Найти наименьшее и наибольшее значения следующих ункций:
147.
148.
y = x4 8x2 + 3 на отрезке [ 2; 2?:
y = 31 x3 2x2 + 3 на отрезке [ 1; 2?:
y = 21
на отрезке
h
1 ; 1 i:
2 2
150.
x 1
y = tg x x
151.
Найти положительное число
149.
большей.
на отрезке
h
; i:
4 4
x;
чтобы разность
[ 13
h
h
h
4
4
x x2
4
3
и
и
3:?
7 и 3:i
3
i
и
1:
4 :i
4
была наи-
[0;5:?
Найти число, которое в сумме со своим квадратом дает этой сумме наименьшее значение.
[ 0;5:?
152.
153. Окно имеет орму прямоугольника, завершенного полукругом.
Каковы должны быть размеры этого окна, чтобы при данном его периметре 2p оно пропускало наибольшее"количество света?
#
адиус полукруга должен быть равен
2p :
высоте прямоугольника: R = H =
4+ 104
л. III. Диеренциальное исчисление
154. Нужно изготовить коническую воронку с образующей l: Какова
должна быть высота H воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
p i
h
H = l 33 :
155. Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону s(t) = 18t + 9t2 t3 ; где s путь (в метрах), t время (в секундах).
В какой момент времени t скорость v движения точки будет наибольшей
h
i
и какова величина этой наибольшей скорости?
t = 3 ; v = 45 м :
Скорость роста популяции x задана ормулой y = 0;001x(100 x);
когда время выражается в днях. При каком размере популяции эта скорость максимальна?
[50.?
156.
157. еакции организма на два лекарства как ункции t (время выражается в часах) составляют r1 (t) = te t и r2 (t) = t2 e t : У какого из лекарств выше максимальная реакция?
[У второго лекарства максимальная реакция выше.?
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости следующих
кривых:
158.
159.
160.
y = x5 :
1; 0) и вогнута на (0; +1):?
[Точка перегиба
(0; 0);
выпукла на
(
[Точка перегиба
(1; 0);
выпукла на
(1; +1)
и вогнута на
(
1; 1):?
[Точка перегиба
(5; 5);
выпукла на
(5; +1)
и вогнута на
(
1; 5):?
p
y= 3x 1
y = x3 + 15x2 x 250:
Найти асимптоты кривых:
4 : [x = 0 и y = 1:?
x
161.
y=1
163.
y = xx+1 :
2
2
y = x x+1 : [x = 0 и y = x:?
2
162.
[x = 1 и y = x 1:?
Исследовать ункции и построить их граики:
164.
y = 2x3 12x2 + 18x
165.
y=
[Область определения: 1 < x < +1; ункция не является ни четной,
ни нечетной; граик проходит через начало координат и, кроме того, пересекает ось абсцисс еще в точке (3; 0); убывает на (1; 3); возрастает на
( 1; 1) и (3;+1); при x = 1 максимум, ymax = 8; при x = 3 минимум,
ymin = 0; выпукла на ( 1; 2) и вогнута на (2; +1); x = 2 абсцисса точки
перегиба граика; асимптот нет.?
x :
x2 +16
[Область определения: 1 < x < +1; ункция нечетная; граик проходит через начало координат; убывает на ( 1; 4) и (4; +1); возрас-
( 4; 4); при x = 4 максимум, ymax = 1 ; при x = 4 минимум,
p
p 8
p
ymin = 81 ; выпукла на ( 1; 4 3) и (0; 4 3); вогнута на (4 3; +1) и
тает на
џ 20. Первообразная ункция и неопределенный интеграл
p
p
p
( 4 3; 0); x = 4 3; x = 0 и x = 4 3 абсциссы точек
ика; y = 0 горизонтальная асимптота при x ! +1 (x !
166.
y=e
x2 =4
105
перегиба гра-
1):?
:
[Область определения: 1 < x < +1; ункция четная, положительна
на всей числовой оси, граик не пересекает ось абсцисс и пересекает ось
ординат в точке (0; 1); убывает на (0; +1
при
p) ; pвозрастает на ( 1; 0); p
2;
2)
и вогнута на ( 1;
2)
x =p0 максимум, ymax
=
1;
выпукла на (
p
p
2 абсциссы точек перегиба граика;
и ( 2; +1); x = 2 и x =
y = 0 горизонтальная асимптота при x ! +1 и при x ! 1:?
л а в а IV
ИНТЕАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
џ 20. Первообразная ункция и неопределенный
интеграл
1. Понятие первообразной ункции и неопределенного
интеграла. В III главе было введено новое действие диерен-
цирование: нахождение по заданной ункции ее производной. Оказывается, что для диеренцирования существует обратное действие интегрирование: отыскание ункции по заданной ее производной.
К этому приводят многочисленные задачи из изики, химии и других
областей науки и техники. анее (см. џ 14, п. 1) было установлено, что
если известен закон s = s(t) прямолинейного движения материальной
точки, выражающий зависимость пути s от времени движения t; то
скорость точки выражается производной пути по времени: v = s0 (t):
Обратная задача: известна скорость прямолинейного движения точки
v = v(t) как ункция времени. Надо найти закон движения. Ясно,
что искомой ункцией s = s(t) будет такая, для которой s0 (t) = v (t):
Аналогично, если известна скорость v = v (t) протекания химической
реакции, показывающая количество вещества, реагирующего в единицу времени, то законом реакции будет ункция m = m(t) такая, что
m0(t) = v(t):
О п р е д е л е н и е 1. Функция F (x) называется первообразной
ункцией для данной ункции f (x) (или, короче, первообразной
данной ункции) на данном промежутке, если на этом промежутке
F 0(x) = f (x):
П р и м е р. Функция F (x) = x3 является первообразной ункции
f (x) = 3x2 на всей числовой оси, так как при любом x (x3 )0 = 3x2: Отметим
при этом, что вместе с ункцией F (x) = x3 первообразной для f (x) = 3x2
является любая ункция (x) = x3 + C; где C произвольное постоянное
число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю). Это
свойство имеет место и в общем случае.
106
л. IV. Интегральное исчисление
Т е о р е м а 1. Если F1 (x) и F2 (x) две первообразные для ункции f (x) в некотором промежутке , то разность между ними в этом
промежутке равна постоянному числу .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например, указанный промежуток интервал (a; b): Из определения первообразной имеем: F10 (x) =
= f (x) и F20 (x) = f (x) для любого x из (a; b): Пусть (x) =
= F2 (x) F1 (x): Тогда для любого x из (a; b)
0 (x) = F20 (x) F10 (x) = f (x) f (x) = 0;
следовательно (см. следствие из џ 17, п. 3), (x) = C:
Из теоремы 1 следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (x) данной ункции f (x); то все множество первообразных
для f (x) исчерпывается ункциями F (x) + C:
Подчеркнем важный акт: если производная для ункции одна,
т. е. операция диеренцирования однозначна, то нахождение первообразной для ункции возможно лишь с точностью до некоторого
постоянного слагаемого.
О п р е д е л е н и е 2. Выражение F (x) + C; где F (x) первообразная ункции f (x) и C произвольная постоянная, называется
неопределенным
интегралом от ункции f (x) и обозначается симZ
волом f (x) dx; причем f (x) называется подынтегральной ункцией ,
f (x) dx подынтегральным
выражением , x переменной интегZ
рирования , знак
знаком интеграла . Таким образом, по опреде-
лению, f (x) dx = F (x) + C; если F 0 (x) = f (x):
Возникает вопрос: для всякой ли ункции f (x) существует
первообразная, а значит и неопределенный интеграл. В связи с этим
вопросом приведем без доказательства следующую теорему (см. [10?).
Т е о р е м а 2. Если ункция f (x) непрерывна на сегменте [a; b?;
то на этом сегменте у ункции f (x) существует первообразная .
Ниже мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных
ункций. Поэтому рассматриваемые нами далее в этом параграе все
интегралы существуют.
2. Свойства неопределенного интеграла. Из определения
неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие
два свойства.
d Z f (x) dx = f (x) и, значит, d Z f (x) dx = f (x) dx:
dx
Z
2. F 0 (x) dx = F (x) + C; что может быть переписано так:
1.
Z
dF (x) = F (x) + C:
3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
Z
Действительно, имеем:
Z
f (x) dx = f (x) dx:
(1)
107
џ 20. Первообразная ункция и неопределенный интеграл
Z
0
f (x) dx = Z
0
f (x) dx = f (x):
Совершенно так же доказывается свойство 4.
4. Интеграл от суммы двух ункций равен сумме интегралов от
этих ункций:
Z
Z
Z
[f1 (x) + f2 (x)? dx = f1 (x) dx + f2 (x) dx:
(2)
П р и м е ч а н и е 1. авенства (1) и (2) следует понимать с точностью
до постоянного слагаемого.
П р и м е ч а н и е 2. Свойство 4 распространяется на случаи алгебраической суммы любого конечного числа ункций.
З а д а ч а. ассмотрим скорость простой реакции первого порядка
(подробно о химических реакциях см. в гл. VII, џ 38, п. 4), которую
можно представить так:
dx
dt
= kx;
где x концентрация реагирующего вещества в момент времени t; k константа (знак ѕминусї показывает, что реагирующее
вещество исчезает, т. е. концентрация его в ходе реакции уменьшается).
dx = k; или, что то же, d (ln x) = k:
Отсюда
xdt
ln x =
Значит,
Z
dt
k dt; и потому ln x = kt + C; откуда
x = eC e kt:
Если мы примем, что при t = 0 x = x0 ;
Тогда
x = x0 e kt :
то будем иметь
Это соотношение позволяет найти концентрацию
мента времени.
x
x 0 = eC :
для любого мо-
3. Таблица основных интегралов. Таблица содержит ормулы, легко проверяемые непосредственным диеренцированием.
1.
Z
+1
x dx = x +1 + C ( 6= 1):
x
ax dx = lna a + C:
Z
5. sin axdx = 1 os ax + C:
a
Z
dx
1
7.
os ax = a tg ax + C:
Z xdx
9.
= 1 ln jx2 + aj + C:
x +a 2
3.
Z
2
2
dx = ln jxj + C:
x
Z
kx
4. ekx dx = e + C:
k
2.
6.
Z
Z
os axdx = a1 sin ax + C:
dx
1
sin ax = a tg ax + C:
Z
dx = 1 artg x + C:
10.
a
a
x +a
8.
Z
2
2
2
108
л. IV. Интегральное исчисление
11.
12.
13.
Z
Z
Z
dx = arsin x + C:
a
a2 x2
dx = ln x + px2 + a + C:
p
x2 + a
dx = 1 ln x a + C:
2
2
2a x + a x a
p
Проверим, например, ормулу 2. Если x > 0; то jxj = x и (ln jxj)0 =
= (ln x)0 = x1 : Если x < 0; то jxj = x и (ln jxj)0 = [ln( x)?0 = x1 : Значит, ормула 2 справедлива как при x > 0; так и при x < 0:
4. Примеры непосредственного интегрирования. Метод
непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной орме путем преобразований и
применения свойств неопределенного интеграла.
П р и м е р 1.
+ x + C:
П р и м е р 2.
П р и м е р 3.
+ 35 x5=3 + C = x2
2
Z
(5x4 3x2 +1) dx = 5 x4 dx 3 x2 dx + dx = x5 x3 +
Z
x6 x5 + 1 dx = Z (x4 x3 + x 2 ) dx = x5 x4 1 + C:
5 4 x
x2
px p3 x2 dx = Z (x 2x5=6 + x2=3 ) dx = x2 12 x11=6 +
Z
Z
Z
Z
2 11
12 x p6 x5 + 3 x p3 x2 + C:
11
5
џ 21. Основные методы интегрирования
1. Замена переменной интегрирования. Этот
способ часто
Z
бывает полезным в тех случаях, когда интеграл
f (x) dx (f (x)
непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду
табличного. Сделаем подстановку x = '(t); где '(t) ункция, имеющая непрерывную производную. Тогда: f (x) = f ['(t)?; dx = '0 (t) dt и
Z
Z
f (x) dx = f ['(t)? '0(t) dt:
(1)
Формула (1) называется ормулой замены переменной в неопределенном интеграле .
p
ep x dx найдем подстановкой x = t2 :
П р и м е р 1. Интеграл
p
x
Z e x
Z
p
t
dx = 2tdt и p dx = 2 e dt = 2et + C = 2e x + C:
x
Z
Иногда вместо подстановки
ременной вида t = (x):
x = '(t)
Тогда:
лучше выполнить замену пе-
џ 21. Основные методы интегрирования
dx : Полагая t = ex ; получаем dt = ex dx = tdx;
ex +Z e x
dx =
dt = Z dt = artg t + C = artg ex + C:
ex + e x
t(t + t 1 )
t2 +1
П р и м е р 2.
dx = dtt
и
Z
109
Z
Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выражение мы принимаем за новую переменную. Вычисления удобно располагать так, как указано в следующих примерах.
px + 3 dx = Z (x + 3)1=2 d(x + 3) = 2 (x + 3)3=2 + C = 2 3
3
p
(x + 3) x + 3 + C:Z
2
1 Z ex2 d(x2 ) = 1 ex2 + C:
П р и м е р 4. xex dx =
2
2
Z
Z ln x
ln
3
dx = ln xd ln x = 4 x + C:
П р и м е р 5.
x
2. Интегрирование по частям. Пусть u = u(x) и v = v (x) непрерывно диеренцируемые ункции. Как известно (см. џ 16, п. 3),
d(uv) = v du + udv; откуда udv = d (uv) v du: Интегрируя последП р и м е р 3.
Z
4
3
нее соотношение, получим:
Z
udv = d (uv)
или
Z
Z
udv = uv
Z
Z
v du
v du
произвольная постоянная интегрирования
Z
C
(2)
здесь включена в сла-
гаемое v du : Это и есть ормула интегрирования по частям.
Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том
случае, когда интеграл в правой части (2) окажется более простым
для вычисления, чем исходный интеграл.
П р и м е р 1.
Z
ln x |{z}
dx = x ln x
|{z}
u
dv
Z
dx = x ln x x + C:
К числу интегралов, вычисляемых
с помощью ормулы (2), отноZ
сятся, например, интегралы вида: P (x) f (x)dx; где P (x) многочлен
(в частности, степенная ункция xn ); f (x) одна из следующих
ункций: eax ; sin ax; os ax; lnZ x; artg x; artg
x; arsin x; Zaros x:
Z
При этом для интегралов вида P (x) eax dx; P (x) sin axdx; P (x) Z os axdx; за uZ принимается многочлен
P (x); а дляZ интегралов вида
Z
P (x) ln xdx; P (x)artg xdx; P (x)artg xdx; P (x) arsin xdx;
P (x)aros xdx; за u принимается ln x; artg x; artg x; arsin x;
aros x:
Z
Z
Z
П р и м е р 2.
x
x e| {zdx} = xe
|{z}
u
dv
x
ex dx = xex ex + C:
110
л. IV. Интегральное исчисление
П р и м е р 3.
П р и м е р 4.
Z
Z
x os
xdx} = x sin x
|{z}
| {z
u
dv
sin xdx = x sin x + os x + C:
Z
artg x |{z}
dx = x artg x
| {z }
ln(1 + x2) + C:
Z
u
xdx
1+ x = x artg x
2
dv
Иногда полезно повторное интегрирование по частям.
П р и м е р 5.
Z
x2 os
xdx} = x2 sin x
|{z}
| {z
u
dv
2
Z
xdx}
x sin
| {z
|{z}
u1
dv1
+ 2x os x 2 os xdx = x2 sin x + 2x os x 2sin x + C:
Z
1
2
= x2 sin x +
џ 22. Интегрирование дробно-рациональных ункций
и некоторых тригонометрических выражений
1. Интегрирование дробно-рациональных ункций. ДробP (x)
но-рациональная ункция
Q(x) называется правильной , если степень
многочлена, стоящего в числителе, ниже степени многочлена в
знаменателе, и неправильной в противном случае. Например, дроби
3x +2 ; x +2 ; x
x 4x +12 x 1 x 1
5
2
2
6
правильные, а дроби
x5 ; x3 1 ; x +1 x +1 x +1 3x 1
2
неправильные.
При интегрировании неправильной дроби следует предварительно
перейти к правильной дроби путем выделения целой части.
П р и м е р 1. Вычислить
Z
x3 dx: Имеем:
x 1
x3 = x3 x + x = x(x2 1)+ x = x + x ;
x2 1
x2 1
x2 1
x2 1
а потому
Z
2
x3 dx = Z xdx + Z xdx = x2 + 1 ln jx2 1j + C:
x 1
x2 1 2 2
2
ассмотрим некоторые простейшие случаи интегрирования правильных дробей.
1.
2.
3.
Z
Z
A dx = A Z d(x a) = A ln jx aj + C:
x a
x a
A dx = A Z (x a) k d(x a) = A (x a)1
1 k
(x a)k
+B
I = x Ax
+ px + q dx:
Z
k
+ C;
k = 2; 3; 4; . . .
2
При вычислении интеграла I следует различать два основных случая.
џ 22. Интегрирование дробно-рациональных ункций
111
а) Квадратный трехчлен x2 + px + q является полным квадратом.
Тогда интеграл I сводится к уже рассмотренным интегралам в случаях 1 и 2.
б) Квадратный трехчлен x2 + px + q не является полным квадратом. Тогда его дополняют до полного квадрата, после чего интеграл I
сводится к табличным интегралам 9 и 10 или 9 и 13. Поясним это на
примерах.
2x 2 dx = Z
2x 2
x x +1
(x 1=2) +3=4 dx:
1
1
Сделаем подстановку x
2 = t: Тогда: x = t +2 ; dx = dt и
Z
Z
2t dt Z dt = ln t2 + 3 p2 artg p2t + C =
I = 2t 1 dt =
4
t +3=4
t +3=4
t +3=4
3
3
= ln(x2 x + 1) p2 artg 2xp 1 + C:
3
3
Z
Z
x
+1
x
+1
П р и м е р 3. I =
dx =
x 5x +6
(x 5=2) 1=4 dx:
5 = t: Тогда: x = t + 5 ; dx = dt и
Сделаем подстановку x
2
2
Z
Z
Z t +7=2
dt
tdt
7
1
dt =
+
= ln t2 1 + 7 ln jt 1=2j + C =
I=
4 2 jt +1=2j
t 1=4
t 1=4 2 t 1=4 2
= 4ln t 1 3ln t + 1 + C = 4ln jx 3j 3ln jx 2j + C:
2
2
Z
dx
П р и м е ч а н и е. При взятии интеграла вида
6 b) по(x a)(x b) (a =
П р и м е р 2.
2
I=
Z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
лезно также воспользоваться тождеством
1
1
1 :
= 1
(x a)(x b) b a x b x a
2. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений. Интегралы вида
Z
R(sin x; os x) dx;
где R(u; v ) рациональная ункция аргументов u и v , могут быть
сведены к интегралам от рациональной ункции аргумента t подстаx
новкой t = tg : Действительно,
2
2tg x2
2sin x2 os x2
=
= 2t ;
os x2 +sin x2 1+tg x2 1+ t
os x2 sin x2 1 tg x2 1 t
=
=
:
os х =
os x2 +sin x2 1+tg x2 1+ t
x
Из подстановки t = tg следует, что
2
sin х =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
112
л. IV. Интегральное исчисление
Таким образом,
Z
2 dt :
dx = 1+
t
x = 2artg t;
Z
2
Z
2 dt = R (t) dt;
R(sin x; os x) dx = R 1+2tt ; 11+ tt 1+
1
t
где R1 (t) рациональная ункция t:
Z dx
Z
Z
П р и м е р 1.
= 1+ t 2 dt = dt = ln jtj + C = ln tg x + C:
sin x
2t 1+ t
t 2
Z dx
Z d(=2 x)
x
П р и м е р 2.
os x = sin(=2 x) = ln tg 4 2 + C:
2
2
2
2
2
2
П р и м е ч а н и е. Заметим, что хотя для всякой непрерывной ункции
существует первообразная (џ 20, п. 1, теорема 2), но эта первообразная не
для всякой ункции является элементарной ункцией. Например, для
2
ункции e x первообразная не выражается
в элементарных ункциях.
Z
2
В этом случае говорят, что интеграл e x dx не берется в элементарных
ункциях.
џ 23. Понятие определенного интеграла
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Задача о пройденном пути . Требуется найти путь, пройденный
движущейся по прямой точкой за отрезок времени [t0 ; T ?; если известен закон изменения мгновенной скорости v = v (t): азобьем отрезок
времени [t0 ; T ? моментами времени (точками) t0 < t1 < t2 < . . . < tn =
= T на n частичных отрезков времени и положим tk = tk tk 1 ;
k = 1; 2; . . .; n: Наибольшую из этих разностей обозначим через =
= maxtk : Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на каждом из них движение можно считать равномерным, что
дает приближенное выражение для пути
s v(1)t1 + v(2 )t2 + . . . + v(n )tn;
где k одна из точек сегмента
[tk 1 ; tk ?: Эта сумма ее кратко будем
n
P
v(k )tk будет тем точнее выражать искомый
обозначать через
k=1
путь s; чем меньше будет каждый из временных отрезков [tk 1 ; tk ?;
k = 1; 2; . . .; n: Поэтому за путь s; пройденный точкой за время T t0
со скоростью v = v (t) ; естественно принять:
s = lim
!0
n
X
k=1
v(k )tk :
(1)
Задача о количестве вещества , вступившего в реакцию . Пусть
скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть ункция времени v = v (t): Найти
количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток вре-
џ 23. Понятие определенного интеграла
113
мени от t0 до T: Проделаем последовательно те же операции, что и при
решении предыдущей задачи. В результате получим:
m = lim
!0
n
X
k=1
v(k )tk :
(2)
абота переменной силы . Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы.
Если пройденный путь равен s; то, как известно из курса изики,
работа P этой силы F вычисляется по ормуле
P = F s:
Пусть теперь материальная точка движется по оси Ox от точки A(a) до точки B (b) (b > a) под действием переменной силы, направленной по Ox и являющейся ункцией от x:
F = f (x):
Для нахождения работы P в этом случае разобьем отрезок [a; b?
точками a = x0 < x1 < . . . < xn = b на n частичных отрезков и положим: xk = xk xk 1 ; k = 1; 2; . . .; n: Наибольшую из этих разностей
обозначим через = max xk : Если эти отрезки достаточно малы, то
без большой ошибки на каждом из них силу F можно считать постоянной (равной f (k )); что дает приближенное выражение для работы
P
n
X
k=1
где k одна из точек сегмента
P = lim
!0
f (k )xk ;
[xk 1; xk ?: Отсюда:
n
X
k=1
f (k )xk :
(3)
Задачи о площади криволинейной трапеции . Пусть требуется найPSfrag replaements
ти площадь плоской
игуры aABb (рис. 61), ограниченной граиком
ункции y = f (x); непрерывной и неотрицательной y
B
на сегменте [a; b?; и отрезками прямых y = 0; x = a;
x = b: Эта игура называется криволинейной трапецией. азобьем отрезок
f (k )
A
[a; b? точками a = x0 <
< x1 < . . . < xn = b на n
частичных отрезков и поx
ложим xk = xk xk 1 ; O a = x0 x1 xk 1 k xk xn = b
k = 1; 2; . . .; n: Наибольшую
ис. 61
из этих разностей обозначим через : = max xk : На каждом частичном сегменте [xk 1 ; xk ?;
8 И. И. Баврин
114
л. IV. Интегральное исчисление
k = 1; 2; . . .; n;
Произведение
основание
выберем произвольную точку k ; xk 1 6 k 6 xk :
даст площадь прямоугольника, имеющего
f (k ) xk
xk и высоту f (k ); а сумма
n
P
но площадь S криволинейной трапеции
предыдущих задачах,
n
S = lim
!0
X
k=1
f (k )xk приближенaABb: Отсюда, как и в
k=1
f (k )xk :
(4)
2. Понятие определенного интеграла. Из решения приведенных трех задач видно, что хотя они имеют различный смысл, но математический аппарат для их решения один и тот же. Во всех этих
задачах получаем выражение одного и того же вида:
lim
n
X
!0 k=1
f (k )xk :
(5)
Если существует предел (4), не зависящий от способа разбиения
отрезка [a; b? и выбора точек k ; то этот предел будем называть определенным интегралом ункции f (x) на сегменте [a; b? и обозначать
символом
Zb
a
f (x) dx = lim
!0
n
X
k=1
f (k )xk :
Функция f (x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a; b?: При этом f (x) называется подынтегральной ункцией, f (x) dx подынтегральным выражением, числа
aиb
пределами интегриро-
n
P
f (k)xk вания (a нижний предел, b верхний предел), сумма
k=1
интегральной суммой .
Справедлива следующая теорема (она доказывается в подробных
курсах математического анализа см., например, [10?):
Т е о р е м а. Если ункция f (x) непрерывна на отрезке [a; b?; то
она интегрируема на нем .
В условиях рассмотренных выше задач, приведших к понятию
определенного интеграла, выражения вида (1)(4) (пределы сумм)
являются определенными интегралами. ассмотрим это подробнее.
1. Путь s; пройденный точкой за время T t0 со скоростью v =
= v(t) (v(t) непрерывна на [t0; T ?); есть
TZ
t0
v(t) dt:
Аналогично количество вступившего в химическую реакцию вещества за промежуток времени от t0 до T; скорость химического превращения которого
TZ
v = v(t) (v(t) непрерывна на [t0; T ?); есть v(t) dt:
t0
115
џ 24. Основные свойства определенного интеграла
2. Если переменная сила F = f (x) действует в направлении
оси Ox; (f (x) непрерывна на [a; b?); то работа этой силы на отрезке [a; b? равна:
b
Z
a
f (x) dx:
При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон ука
F = kx;
где F сила (в Н), x величина растяжения или сжатия (в м),
вызванного силой F; a k коэициент пропорциональности.
3. Если ункция f (x) непрерывна и неотрицательна на сегменте
[a; b?; то
Zb
a
f (x) dx
геометрически представляет собой площадь
криволинейной трапеции , ограниченной сверху граиком ункции
y = f (x); снизу осью Ox; с боков прямыми x = a и x = b:
џ 24. Основные свойства определенного интеграла
1. Свойства определенного интеграла. Ниже рассматриваем
ункцию f (x); непрерывную на отрезке [a;b?: По определению полагают, что определенный интеграл от ункции с равными верхним и
нижним пределами интегрирования равен нулю:
Za
a
f (x) dx = 0:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла :
b
b
Z
a
Z
f (x) dx = f (x) dx:
a
Действительно, по определению определенного интеграла, как
предела интегральной суммы, имеем:
Zb
a
f (x) dx = lim
!0
n
X
k=1
f (k )xk =
n
X
n
X
Zb
= lim f (k )xk = lim f (k )xk = f (x) dx:
!0 k=1
!0 k=1
a
Аналогично устанавливается свойство 2.
2. Определенный интеграл от суммы двух ункций равен сумме
определенных интегралов от этих ункций :
8*
116
л. IV. Интегральное исчисление
Zb
a
Zb
Zb
a
a
[f1 (x) + f2 (x)? dx = f1 (x) dx + f2 (x) dx:
П р и м е ч а н и е. Свойство 2 распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа ункций.
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный :
Zb
Za
a
f (x) dx =
f (x) dx:
b
Действительно, здесь соответствующие интегральные суммы различаются по знаку, ибо в одной из них все xk = xk xk 1 положительны, в другой аналогичные разности все отрицательны.
4. Интеграл по сегменту равен сумме интегралов по его частям :
Zb
где
a < < b:
a
Z
Zb
a
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx;
Это свойство вытекает из определения определенного интеграла.
2. Формула НьютонаЛейбница *).
Т е о р е м а. Если ункция f (x) непрерывна на сегменте [a; b? и
F (x) первообразная ункции f (x) на этом отрезке , то
Zb
a
f (x) dx = F (b) F (a):
(1)
Формула (1) называется ормулой НьютонаЛейбница . Эта ормула дает удобное правило вычисления определенного интеграла.
Кроме того, она устанавливает связь между определенным интегралом и неопределенным интегралом.
Д о к а з а т е л ь с т в о. азобьем сегмент [a; b? на n частичных
отрезков точками a = x0 < x1 < . . . < xn = b: Согласно ормуле Лагранжа и ормуле F 0 (x) = f (x) имеем:
F (x1) F (a) = F 0(1 )(x1 a) = f (1 )x1;
a < 1 < x1 ;
F (x2 ) F (x1 ) = F 0(2 )(x2 x1 ) = f (2)x2 ;
x1 < 2 < x2 ;
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
F (b) F (xn 1) = F 0(n )(b xn 1 ) = f (n )xn;
xn 1 < n < b:
Суммируя эти равенства, получим:
*) Исаак Ньютон (16431727) английский математик и изик; отрид Лейбниц (16461716) немецкий илосо и математик. Ньютон
и Лейбниц создатели диеренциального и интегрального исчислений.
џ 24. Основные свойства определенного интеграла
F (b) F (a) =
n
X
k=1
f (k )xk :
117
(2)
Так как ункция f (x) непрерывна на сегменте [a; b?; то
n
X
Zb
f (k )xk = f (x) dx:
lim
!0
k=1
a
Поэтому, переходя в (2) к пределу при
мулу (1).
! 0; получим искомую ор-
П р и м е ч а н и е. Для краткости записи употребляются обозначения:
F (x)b = F (b) F (a) или
F (x) b = F (b) F (a):
a
a
Поэтому ормула НьютонаЛейбница принимает вид:
Zb
f (x) dx = F (x)ba или F (x) ba :
a
Заметим, что в ормуле (1) можно взять любую из первообразных для
b
F (x) + C a = F (b) + C F (a) C = F (b) F (a):
Z1
1
П р и м е р 1. 2xdx = x2 0 = 1:
0
=
Z2
=2
os xdx = sin x0 = sin sin0 = 1:
П р и м е р 2.
2
0
f (x);
так как
З а д а ч а 1. Скорость движения тела задана уравнением v =
= 12t 3t2 (м/с). Найти путь, пройденный телом от начала его дви-
жения до остановки.
е ш е н и е. Скорость тела равна нулю в момент начала его движения и остановки. Найдем момент остановки тела, для этого приравняем скорость к нулю и решим уравнение относительно t:
12t 3t2 = 0;
t(4 t) = 0;
Теперь искомый путь будет:
Z4
t1 = 0;
t2 = 4:
S = (12t 3t2 ) dt = (6t2 t3 )40 = 32 (м).
0
З а д а ч а 2. Сжатие x винтовой пружины пропорционально приложенной силе F: Вычислить работу силы F при сжатии пружины
на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.
е ш е н и е. Из условия следует, что 10 = k 0;01; откуда k =
= 1000 и, следовательно, F = 1000x;, т. е. f (x) = 1000x: Поэтому искомая работа
118
л. IV. Интегральное исчисление
0Z;04
P=
0
1000xdx = 500x2 00;04 = 0;8 (Дж):
3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Пусть ункция f (x) непрерывна на отрезке [a; b?: ассмотрим
интеграл
Zx
a
f (t) dt;
где x любая точка из [a; b?:
Если F (x) первообразная ункции f (x); т. е.
согласно ормуле НьютонаЛейбница имеем:
Zx
Отсюда:
Zx
a
F 0(x) = f (x); то
f (t) dt = F (x) F (a):
d f (t) dt = d [F (x) F (a) = f (x):
dx
dx
a
Таким образом, производная определенного интеграла с переменным
верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной ункции для этого предела .
4. Теорема о среднем.
f (x) непрерывна на сегменте [a; b?; то
в интервале (a; b) найдется такая
точка с; что
B
b
Т е о р е м а. Если ункция
eplaementsy
Z
y = f (x)
a
O
a
(3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. По ормуле НьютонаЛейбница имеем:
f ()
A
f (x) dx = (b a) f ():
Zb
b x
a
f (x) dx = F (b) F (a);
где F 0 (x) = f (x): Применяя к разтеорему Лагранжа (џ 17), получим:
ис. 62
F (b) F (a)
F (b) F (a) = (b a) F 0 () = (b a) f ();
где a < < b; что и приводит к искомой ормуле (3).
Формула (3) при f (x) > 0 имеет простое геометрическое истолкование. Площадь криволинейной трапеции ABba равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной f () (рис. 62).
ности
119
џ 25. Несобственные интегралы
5. Замена переменной в определенном интеграле. Предположим, что ункция f (x) непрерывна на сегменте [a; b?; ункция
x = '(t) имеет на сегменте [; ? непрерывную производную, при
этом a 6 '(t) 6 b и '() = a; '( ) = b: Пусть F (x) одна из первообразных ункций для f (x): Тогда F 0 (x) = f (x) и в силу ормулы
производной сложной ункции (см. џ 15, п. 1)
[F ('(t))?0 = F 0('(t)) '0(t) = f ('(t)) '0(t):
Теперь воспользуемся дважды ормулой НьютонаЛейбница:
Z
Zb
f ('(t)) '0(t) dt = F ['( )? F ('()? = F (b) F (a) = f (x) dx:
a
Тем самым доказана ормула замены переменной в определенном
интеграле
b
Z
a
Z
f (x) dx = f ['(t)? '0(t) dt:
x = et дает:
Zx
Z1
1
dx
= dt 2 = artg t 0 = :
2
4
x(1+ln x)
1+
t
1
0
П р и м е р. Подстановка
6. Интегрирование по частям. Пусть u = u(x); v = v (x) непрерывно диеренцируемые на сегменте [a; b? ункции. Пользуясь
ормулой НьютонаЛейбница, имеем:
uvb
Zb
Zb
Zb
Zb
Zb
a
a
Zb
a
a
a
0
a = (uv ) dx = d(uv ) = [v du + udv ? = v du + udv;
откуда:
a
Zb
udv = uvb
a
a
v du:
Эта ормула называется ормулой интегрирования по частям
для определенного интеграла .
П р и м е р.
Z
x os
xdx} = (x sin x)0
|{z}
| {z
0 u
dv
Z
0
sin xdx = os x0 = 2:
џ 25. Несобственные интегралы
При введении понятия определенного интеграла мы исходили из
условий непрерывности подынтегральной ункции и конечности отрезка интегрирования. Такой интеграл называется собственным (слово
120
л. IV. Интегральное исчисление
ѕсобственныйї обычно опускается). Если хотя бы одно из этих двух
условий не выполнено, то интеграл называется несобственным .
Остановимся на интегралах с бесконечными пределами. Пусть
ункция f (x) непрерывна при a 6 x < +1; т. е. для x > a: Тогда по
определению полагают:
+Z1
a
Zb
f (x) dx = b!lim
f (x) dx:
+1
(1)
a
Если последний предел существует, то говорят, что интеграл
+Z1
a
f (x) dx
сходится и его значение определяется ормулой (1); если этот предел не существует, то указанный интеграл называют расходящимся .
Такому интегралу не приписывают никакого значения.
еометрически для неотрицательной при x > a ункции f (x) несобственный интеграл (1) (по аналогии с собственным интегралом џ 23, п. 2) представляет собой площадь игуры, ограниченной сверху
граиком ункции y = f (x); слева отрезком прямой x = a; снизу
осью Ox (рис. 63).
y
y
eplaements
O
1
x
a
ис. 63
П р и м е р 1.
x
O
ис. 64
+Z1
b
Z
e x dx = lim e x dx = lim [1 e b? = 1;
b!+1
b!+1
0
0
т. е. данный интеграл сходится. Он равен площади заштрихованной неограниченной игуры (рис. 64).
П р и м е р 2.
+Z1 dx
1
Zb
= lim dx = lim ln b = +1:
x b!+1 x b!+1
1
Это означает, что последний интеграл расходится.
П р и м е р 3.
+Z1
0
Zb
os xdx = lim os xdx = lim sin xb0 = lim sin b:
b!+1
b!+1
b!+1
0
Но предел справа не существует, следовательно, заданный интеграл расходится.
На несобственные интегралы вида (1) непосредственно распространяются многие свойства собственных интегралов. ассмотрим одно
из них.
џ 26. Приложения определенного интеграла
121
Пусть F (x) первообразная ункция для подынтегральной ункции f (x): На основании ормулы (1) и ормулы НьютонаЛейбница
имеем:
+Z1
a
f (x) dx = b!lim
[F (b) F (a)?:
+1
Если ввести условное обозначение F (+1) =
lim F (b); то получим
b!+1
для сходящегося несобственного интеграла (1) обобщенную ормулу
НьютонаЛейбница :
+Z1
a
f (x) dx = F (+1) F (a):
(2)
П р и м е ч а н и е. Формулу (2) записывают также в виде
+Z1
+Z1
f (x) dx = F (x)+a 1 или
f (x) dx = F (x) +a 1 :
a
a
Все изложенное непосредственно переносится на интегралы вида
Zb
1
Zb
f (x) dx = a!lim1 f (x) dx
a
(3)
(кстати, от интеграла (3) легко перейти к интегралу (1) с помощью
подстановки x = y ):
Наконец, по определению
+Z1
1
f (x) dx =
Z
1
f (x) dx +
+Z1
f (x) dx;
(4)
где какое-нибудь число (выбор его безразличен). Если сходятся
оба интеграла правой части равенства (4), то сходится и интеграл с
двумя бесконечными пределами. Если же расходится хотя бы один из
интегралов правой части равенства (4), то расходится и интеграл с
двумя бесконечными пределами.
џ 26. еометрические и изические приложения
определенного интеграла
1. Вычисление площадей плоских игур. Пусть ункция f (x) непрерывна на сегменте [a; b?: Известно (см. џ 23, п. 2), что
если f (x) > 0 на [a; b?; то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = f (x) ; y = 0; x = a; x = b; равна интегралу
Zb
S = f (x) dx:
a
(1)
122
л. IV. Интегральное исчисление
Если же f (x) 6 0 на [a; b?; то f (x) > 0 на [a; b?: Поэтому площадь
соответствующей криволинейной трапеции выразится ормулой S
Zb
=
a
f (x) dx или
Zb
S = f (x) dx:
S
=
(2)
a
Если, наконец, кривая y = f (x) пересекает ось Ox; то сегмент [a; b?
надо разбить на части, в пределах которых f (x) не меняет знака, и к
каждой такой части применить ту из ормул (1) или (2), которая ей соответствует.
y
9
П р и м е р 1. Найти площадь плоской игуры, ограниченной параболой y = x2 ; прямыми
x = 1; x = 3 и осью Ox (рис. 65). Пользуясь
ормулой (1), находим искомую площадь
Z3
3 3
S = x2 dx = x = 9 1 = 8 2 :
PSfrag replaements
y = x2
ag replaements
1
3 1
3
3
y
3 1
92
y=x
1
2 O
1
3
x
O
2
x
1
ис. 65
ис. 66
П р и м е р 2. Найти площадь плоской игуры, ограниченной граиком ункции y = sin x и осью абсцисс при условии 0 6 x 6 2 (рис 66).
азбиваем сегмент [0; 2 ? на два сегмента [0; ? и [ ; 2 ?: На первом из них
sin x > 0; на втором sin x 6 0: Следовательно, используя ормулы (1)
и (2), имеем, что искомая площадь
2
Z
Z
S = sin xdx + sin xdx = os x0 + os x2 = 4:
0
2. Вычисление площади в полярных координатах. Пусть
требуется определить площадь сектора OAB (рис. 67), ограниченного
лучами ' = ; ' = и кривой AB; заданной в полярной системе
координат уравнением r = r('); где r(') ункция, непрерывная
на сегменте [; ?:
азобьем отрезок [; ? на n частей точками = '0 < '1 < . . .
. . . < 'n 1 < 'n = и положим: 'k = 'k
'k 1 ; k = 1; 2; . . .; n: Наибольшую из этих разностей обозначим через : = max 'k : азобьем данный сектор на n частей лучами ' = 'k (k = 1; 2; . . .; n 1):
123
џ 26. Приложения определенного интеграла
frag replaements
B
)
r( k
k
O
p
O
A
p
ис. 67
ис. 68
k-й элементарный сектор круговым сектором радиуса r(k );
n
1P
2
где k 2 ['k 1 ; 'k ?: Тогда сумма
2 k=1 r (k )'k приближенно
площадь сектора OAB: Отсюда:
Z
n
X
1
1
2
S = 2 lim
r (k )'k = 2 r2 (') d':
(3)
!0 k=1
Заменим
П р и м е р. Найти площадь плоской игуры, ограниченной кардиоидой
(рис. 68). Учитывая симметричность кривой относительно
полярной оси, по ормуле (3) получаем
r = a(1 + os ')
Z
Z
S = a2 (1 + os ')2 d' = a2 (1 + 2os ' + os2 ') d' =
0
0
Z
2 = a2 '0 + 2a2 sin '0 + a (1 + os2') d' =
2 0
2
2
= a2 + a '0 + a sin2'0 = 3 a2 :
2
4
2
PSfrag replaements
3. Вычисление длины дуги и площади поверхности вра^
щения. Пусть дуга AB задана уравнением y = f (x); где f (x) ункция, имеющая на сегменте [a; b? непрерывную
производную.
^
Длиной дуги AB называется предел, к которому
стремится длина ломаной
линии, вписанной в эту дугу, когда длина наибольшего звена стремится к нулю.
^
Найдем длину дуги AB:
^
y
M1
Mk 1 Mk
B = Mn
A = M0
O a = x0 x1
xk 1 xk
ис. 69
b = xn
x
Впишем в дугу AB ломаную линию M0 M1 M2 . . .Mn (рис. 69). Пусть абсциссы точек M0 ; M1 ;
M2 ; . . .; Mn соответственно a = x0 ; x1; x2 ; . . .; xn = b (ординаты этих
124
л. IV. Интегральное исчисление
точек обозначим через y0 ; y1 ; . . .;yn ): Имеем разбиение отрезка [a; b?
на частичные отрезки [xk 1 ; xk ?; k = 1; 2; . . .; n: Длина отрезка
[xk 1; xk ? равна xk = xk xk 1 : Через yk обозначим приращение ункции p
y = f (x) на отрезке [xk 1 ; xk ?: По теореме Пиагора
jMk 1 Mk j = (xk )2 + (yk )2 : Но по теореме Лагранжа yk =
= f 0 (k ) xk ; где k некоторая
p промежуточная точка отрезка
[xk 1; xk ?: Отсюда: jMk 1Mk j = 1 + f 0 2 (k )xk и, следовательно,
длина ломаной линии M0 M1 . . .Mn
n p
X
^
Отсюда длина дуги AB
k=1
l=
Zb
1 + f 0 2 (k )xk :
p
1 + f 0 2 (x) dx или
a
l=
Zb p
1 + y0 2 dx
a
(4)
AB задана параметрически уравнениями
x = x(t);
y = y(t) ( 6 t 6 );
(5)
причем ункции x(t) и y (t) имеют непрерывные производные x0 (t)
и y 0 (t) в [; ?; то путем замены переменной x = x(t) в (4) получим:
Если кривая
l=
Если плоская кривая
y
replaements
l
O
1
ис. 70
x0 2 + y0 2 dt:
(6)
AB задана в полярных координатах уравнением
r = r(') ( 6 ' 6 ):
(7)
y = 12 (ex + e x )
1
Z p
x
то, учитывая связь между прямоугольными и полярными координатами (см.
џ 1, п. 2), параметрические уравнения
этой кривой будут x = r os '; y =
= r sin ' ( 6 ' 6 ): Поэтому x0 =
= r0 os ' r sin '; y0 = r0 sin ' + r os ' и
по ормуле (6) получим:
l=
Z p
r2 + r0 2 d':
(8)
y = 12 (ex + e x ); 0 6
1
6 x 6 1 (рис. 70). Имеем y0 = 2 (ex e x ) и по ормуле (4) находим
r
Z1
Z1
l = 1 + 14 (22x 2 + e 2x) dx = 21 (ex+ e x ) dx = 21 (ex e x )10 = 21 e e1 :
0
0
П р и м е р 1. Найти длину дуги данной линии
125
џ 26. Приложения определенного интеграла
П р и м е р 2. Вычислить длину окружности радиуса
уравнение окружности в полярных координатах: r = R при
по ормуле (8) получим
2
l=
Z
R:
Напишем
и
0 6 ' 6 2;
Rd' = 2R:
0
Переходя к площади поверхности вращения, предположим, что, как
^
и выше, дуга AB задана уравнением y = f (x); где f (x) ункция,
имеющая на сегменте [a; b? непрерывную производную. Поверхность,
образованная вращением k -го звена ломаной M0 M1 . . .Mn вокруг
оси Ox; есть боковая поверхность усеченного конуса с площадью
(yk 1 + yk )jMk 1Mk j
p
2f (k ) 1 + f 0 2 (k )xk ;
f (xk ) :
f (k ) = f (xk )+
2
или
где
1
Следовательно, площадь поверхности вращения ломаной
вокруг оси Ox равна:
n =
n
X
k=1
M0 M1 . . .Mn
p
2f (k ) 1 + f 02 (k )xk :
(9)
^
Площадь поверхности вращения дуги AB вокруг оси Ox определим
как lim n : Заметим при этом, что сумма (9) не является интегральp
!0
ной суммой для ункции 2f (x) 1 + f 0 2 (x); так как в слагаемом,
соответствующем отрезку [xk 1 ; xk ?; значения ункций f (x) и f 0 2 (x)
взяты в разных точках этого отрезка. Но можно доказать, что предел суммы
p (9) равняется пределу интегральной суммы для ункции
2f (x) 1 + f 0 2 (x); т. е.
n
X
Поэтому
p
2f (k ) 1 + f 0 2 (k )xk :
lim = lim
!0 n !0 k=1
Zb p
= 2 y 1 + y0 2 dx:
(10)
a
Если данная кривая AB задана параметрическими уравнениями (5)
или уравнением (7) в полярных координатах, то получим:
Z p
= 2 y x0 2 + y0 2 dt;
Z
p
= 2 r sin ' r2 + r0 2 d':
П р и м е р 3. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением вокруг оси Ox дуги окружности x2 + y 2 = R2 ; соответствующей изменению x от a до b ( R 6 a < 0; 0 < b 6 R): Здесь
126
л. IV. Интегральное исчисление
p
y0 = xy ;
y = R 2 x2 ;
Zb
1 + y 0 2 = R2
y
2
= 2R dx = 2R(b a):
a
b = R получаем площадь серы: = 4R2:
и по ормуле (10)
В частности, при
a = R;
4. Вычисление объема. ассмотрим тело B; содержащееся
(рис. 71). Пусть для каждого x
из сегмента [a; b? дана площадь сечения этого тела
Q(x); перпендикулярного
Q(x)
eplaements
оси Ox: Найдем объем V
xk 1
xk
данного тела при условии
непрерывности
(x) на
a
x
b x [a; b?: азделим Qсегмент
[a; b? на n частей и через
точки деления проведем
плоскости, перпендикулярные оси Ox: Эти плоскосис. 71
ти разобьют B на слои.
Выделим k -й слой, ограниченный плоскостями x = xk 1 и x = xk :
Объем этого слоя Vk приближенно равен: Q(xk 1 ) xk : Образуем
между плоскостями
x=a
и
x=b
n
P
n = Q(xk 1 )xk :
k=1
Объем V тела B определим как lim n : Этот предел существует
!0
Zb
в силу непрерывности Q(x) на [a; b? и равен Q(x) dx: Итак,
сумму
a
Zb
V = Q(x) dx:
a
В частности, если тело ограничено поверхностью вращения линии y = f (x) вокруг оси Ox в пределах изменения x от a до b; то
Q(x) = f 2 (x)
или, более кратко,
Zb
V = f 2 (x) dx;
и
Zb
a
V = y2 dx:
(11)
a
П
pр и м е р 1. Вычислить объем шара радиуса
y = R2 x2 получаем:
V =
R
Z
R
R: По ормуле (11) при
3 R
(R2 x2 ) dx = R2 x x = 4 R3 :
3
R
3
џ 26. Приложения определенного интеграла
127
П р и м е р 2. Найти объем тела, образованного вращением плоской
игуры, ограниченной линиями y 2 = x и
x = 1; вокруг оси Ox: Это тело называется y
сегментом параболоида вращения (рис. 72).
Согласно ормуле (11) имеем:
Z1
2 1 PSfrag replaements
V = xdx = x = :
1
x
O
2 0 2
0
5. Вычисление статических моментов и центра тяжести. Стати-
ис. 72
ческим моментом материальной точки,
находящейся в плоскости xOy; относительно координатной оси Ox
(или Oy ) называется произведение массы этой точки на ее ординату
(соответственно абсциссу). Статическим моментом системы таких
точек M1 ; . . .; Mn относительно координатной оси называется сумма
статических моментов всех точек системы относительно этой оси.
Центром тяжести системы материальных точек с массами
m1 ; . . .; mn называется точка C; обладающая тем свойством, что если
в ней сосредоточить всю массу системы m = m1 + . . . + mn ; то ее
статический момент по отношению к любой оси равен статическому
моменту системы точек относительно той же оси. Поэтому если
обозначить через Sx и Sy статические моменты системы точек относительно координатных осей Ox и Oy; то координаты x и y центра
тяжести C удовлетворяют соотношениям
mx = Sy = m1x1 + . . . + mn xn ;
my = Sx = m1y1 + . . . + mn yn ;
где xk ; yk декартовы координаты точки с массой mk : Следователь-
но, центр тяжести данной системы материальных точек имеет координаты:
n
n
P
P
mk xk
x = k m
1
;
mk yk
y = k m
1
:
Статические моменты и координаты центра тяжести дуги плоской линии можно выразить через определенные интегралы. Пусть ду^
га AB задана уравнением y = f (x); где f (x) ункция, имеющая
на сегменте [a; b? непрерывную производную, и на этой же дуге
непрерывно распределено вещество с плотностью = (x): азделим
^
дугу AB на n частичных дуг Mk 1 Mk (k = 1; . . .; n): Сосредоточим
массу каждого из элементов Mk 1 Mk в одной его точке Nk (xk ; yk ):
Тогда получим приближенные выражения элемента массы
m (xk )jMk 1 Mk j
и элементарных статических моментов относительно координатных
осей
Sxk yk mk ;
Syk xk mk :
Суммируя и переходя к пределу при ! 0; получим выражение массы материальной дуги
128
л. IV. Интегральное исчисление
Zb p
m = 1 + y0 2 dx
(1)
a
и ее статических моментов относительно координатных осей
Zb
Zb
p
Sx = y 1 + y0 2 dx;
p
Sy = x 1 + y0 2 dx:
a
a
(2)
^
Для нахождения центра тяжести C (x ; y ) материальной дуги AB
в соответствии с определением этого понятия составим равенства
mx = Sy и my = Sx ; из которых следует, что
где
m; Sx
и
Sy
y = Smx ;
x = Smy ;
(3)
определяются ормулами (1) и (2).
p
П р и м е р 1. Найти центр тяжести полуокружности y = R2 x2 при
условии = 1 *). Из соображений симметрии заключаем, что x = 0: Далее
имеем: m = R;
r
R
R
Z p
Z
2
Sx =
R2 x2 1 + x dx = R dx = RxR = 2R2 :
Поэтому
R2 x2
R
y = 2R 0;637R:
R
R
(Здесь можно использовать калькулятор.)
Остановимся еще на статических моментах и координатах центра
тяжести плоской игуры. Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями
x = a;
x = b;
y = 0;
y = f (x);
и на ней равномерно распределено вещество с плотностью = 1:
азделим отрезок [a; b? на n частичных отрезков, а криволинейную
трапецию на n соответствующих частей. Заменим каждую частичную
трапецию прямоугольником с основанием xk и высотой yk 1 =
= f (xk 1 ): Тогда приближенные выражения элемента массы mk yk 1 xk и элементарных статических моментов относительно
1
координатных осей Sxk yk 1 mk ; Syk xk 1 m: Сумми2
руя и переходя к пределу при ! 0; получим выражение массы и
статических моментов всей игуры
Zb
m = y dx;
a
Zb
Sx = 21 y2 dx;
a
Zb
Sy = xy dx:
a
*) азумеется, результат не изменится, если плотность
отлична от 1.
(4)
постоянна, но
129
џ 27. Биологические приложения определенного интеграла
Координаты центра тяжести x и y определяются так же, как и
для материальной дуги, ормулами (3), в которых m; Sx ; Sy определяются по ормулам (4).
П р и м е р 2. Найти центр
p тяжести полукруга, ограниченного осью Ox
и полуокружностью y = R2 x2 ( = 1): Из соображений симметрии заключаем, что x = 0: Далее имеем:
R
Z
3 R
2
Sx = 1 (R2 x2) dx = 1 R2 x x = 2 R3:
m = R ;
2
Поэтому
тор.
2
2
R
y = 43R 0;424R:
3
R
3
Здесь также можно использовать калькуля-
џ 27. Биологические приложения определенного
интеграла
1. Численность популяции. Число особей в популяции (числен-
ность популяции) меняется со временем. Если условия существования
популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью
роста популяции прирост числа особей в единицу времени. Обозначим
эту скорость v = v (t): В ѕстарыхї, установившихся популяциях, давно
обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно
стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с
другими местными популяциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например
сознательное вмешательство человека, то v (t) может значительно колебаться, уменьшаясь или увеличиваясь.
Если известна скорость роста популяции v (t); то мы можем найти
прирост численности популяции за промежуток времени от t0 до T:
В самом деле, из определения v (t) следует, что эта ункция является
производной от численности популяции N (t) в момент t; и, следовательно, численность популяции N (t) является первообразной для v (t):
Поэтому
ZT
N (T ) N (t0 ) = v(t) dt:
(1)
t0
Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v (t) = aekt : Популяция в этом случае как бы ѕне стареетї. Такие условия можно
создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой.
Применяя ормулу (1), в этом случае получим:
ZT
N (T ) = N (t0) + a ekt dt = N (t0) + ka ekt Tt = N (t0 ) + ka ekT ekt :
t0
9 И. И. Баврин
0
0
(2)
130
л. IV. Интегральное исчисление
По ормуле, подобной (2), подсчитывают, в частности, численность
культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.
2. Биомасса популяции. ассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую
биомассу популяции.
Пусть означает возраст в тех или иных единицах времени,
а N ( ) число особей популяции, возраст которых равен : Пусть,
наконец, P ( ) средняя масса особи возраста ; а M ( ) биомасса
всех особей в возрасте от 0 до :
Заметив, что произведение N ( ) P ( ) равно биомассе всех особей
возраста ; рассмотрим разность
M ( + ) M ( );
где > 0: Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех особей в
возрасте от до + ; удовлетворяет неравенствам:
(3)
N (_) P (_) 6 M ( + ) M ( ) 6 M (b) P (b);
_ _
где N ( ) P ( ) наименьшее, а N (b) P (b) наибольшее значения
ункции N ( ) P ( ) на отрезке [; + ?: Учитывая, что > 0; из
неравенств (3) имеем:
N (_) P (_) 6 M ( +) M ( ) 6 M (b) P (b):
Из непрерывности ункции N ( ) ( ) (ее непрерывность следует из
непрерывности N ( ) и P ( )) следует, что
_ _
lim N ( ) P ( ) = lim N (b) P (b) = N ( ) P ( ):
!0
!0
Поэтому согласно теореме 5 (џ 11) будем иметь:
или
lim M ( +) M ( ) = N ( ) P ( )
!0
d(M ( ) = N ( ) P ( ):
d
Следовательно, биомасса M ( ) является первообразной для N ( ) P ( ):
Отсюда:
ZT
M (T ) M (0) = N ( ) P ( ) d;
0
T максимальный возраст особи в данной популяции.
M (0); очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:
где
ZT
M (T ) = N ( ) P ( ) d:
0
Так как
џ 27. Биологические приложения определенного интеграла
131
3. Средняя длина пролета. В некоторых исследованиях необходимо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при
прохождении животным некоторого иксированного участка. Приведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг
радиуса R (рис. 73). Будем считать, что R не слишком велико, так
что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.
Птица может под любым углом в любой
y
точке пересечь окружность. В зависимосC
PSfrag
ти от этого длина ее пролета
над replaements
кругом
может быть равной любой величине от 0
до 2R: Нас интересует средняя длина проA
B
лета. Обозначим ее через l:
Так как круг симметричен относительно любого своего диаметра, нам достаточно
ограничиться лишь теми птицами, котоC1
рые летят в каком-нибудь одном направO a
b x
лении, параллельном оси Oy (см. рис. 73).
Тогда средняя длина пролета это среднее
ис. 73
расстояние между дугами ACB и AC1 B:
Иными словами, это среднее значение ункции f1 (x) f2 (x); где
y = f1 (x) уравнение верхней дуги, а y = f2 (x) уравнение нижней
дуги, т. е.
Zb
l=
или
Zb
l=
Так как
a
a
[f (x) f (x)? dx
1
2
b a
f1 (x) dx
Zb
a
f2 (x) dx
(4)
b a
Zb
a
f1 (x) dx
равен площади криволинейной трапеции
Zb
a
aACBb (см. џ 23), а
f2 (x) dx
равен площади криволинейной трапеции
равна площади круга, т. е. R2 : азность
Подставив это в (4), получим:
l = R
2R = 2 R:
aAC1 Bb; то их разность
b a равна, очевидно, 2R:
2
Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла в биологии [4?.
9*
132
л. IV. Интегральное исчисление
Упражнения
Непосредственным интегрирование или методом замены переменной вычислить интегралы.
i
h 7
Z
x6 dx:
1.
Z
2.
7
3 x p3 x + C:i
h4
1 + C:i
4x
h
i
p3 xdx:
h
dx :
x5
Z
(x x3 ) dx:
Z
3.
4.
4
x2
h
(x5 4x3 + x 1) dx:
Z
p
(2x 3 x) dx:
Z
5.
6.
13.
(ex e x )2 dx:
Z
xdx :
p
x2 +1
Z
dx :
x2 +16
Z
dx :
p
25 x2
Z
sin7xdx:
Z
14.
15.
16.
17.
18.
Z
19.
(ex + e 2x ) dx:
Z
dx :
p
x2 5
Z
20.
21.
3x dx:
4
2
p
x2 2x x + C:
3 + C:i
12 2x
h
i
p
8
4x + x x + x + C:
3
2
h
i
12
9
x + px
+ C:
2x
[2ln jxj + x + C:?
h
7.
e 4x dx:
2
x4 + C:
x6 x4 + x2 x + C:i
6
x3 + 3 dx:
3 x3
Z
p
8.
(2 + x)2 dx:
Z (x px 3)2
dx:
9.
x3
Z (2+ x) dx
10.
x :
Z
11.
x2 (1 + 2x) dx:
Z 2x2 + x 1
12.
dx:
x3
Z
Z
x + C:
x4
2
2
2
h
x3 + x4 + C:i
3 2
i
1
2ln jxj
+ 1 + C:
h x 2x
1 e 4x + C:i
4
i
h
2
h
1 2x
2x
2 (e e ) 2x + C:
p2
[ x + 1 + C:?
h
1 artg x + C:i
4
4
h
i
arsin x + C:
5
1 os7x + C:i
7 h x
3 + C:i
ln3
h
i
1
x
e 2 e 2x + C:
p
[ln jx + x2 5j + C:?
h
133
i
Упражнения
Z
22.
23.
h
1 tg 5x + C:
h 5
1 sin3x + C:i
3
h
1 ln x 4 + C:i
8 x +4
h
1 tg 3x + C:i
3
dx
os 5x :
Z
2
os3xdx:
dx :
x2 16
Z
dx :
2
Z sin 3x
(2 + os x) dx:
Z
24.
25.
26.
Z
27.
(3 + x sin x) dx:
Z
e2x+1 dx:
Z
3x 22x dx:
Z
(x + 5)3 dx:
28.
29.
30.
Z
31.
h
p1 + 2xdx:
2h
h
h
33.
x(x2 1)3 dx:
Z
(x2 + 5)7 2xdx:
Z
34.
36.
37.
p
x 1 + x2 dx:
xdx :
x2 +1
Z
dx :
(
x 1)4
Z
2
ex+x (1 + 2x) dx:
Z
(sin x2 ) xdx:
Z
os5 4x sin4xdx:
38.
39.
1
4
4 (x + 5) + C:i
p
2
Z
35.
1 e2x+1 + C:i
2h x
12 + C:i
ln12
i
1 (1 + 2x) 1 + 2x + C:
3 h
1 (x2 1)4 + C:i
8h
(x +5) + C:i
8
h
1 (1 + x2 ) p1 + x2 + C:i
3 h
1 ln(x2 + 1) + C:i
2
h
1 + C:i
3(x 1)
Z
32.
[2x + sin x + C:?
i
2
3x + x + os x + C:
8
3
2
h
h
[ex+x + C:?
1 os x2 + C:i
2
i
1 6
24 os 4x + C:
При нахождении интегралов (ќ4042) следует предварительно в подынтегральной ункции выделить целую часть.
h
i
Z 3
2
3
40.
Z
41.
Z
42.
Z
43.
Z
44.
x dx :
x +1
2x 1 dx:
2x +3
x2 +1 dx:
x 1
e x dx :
1+ e x
3 2
ex +x x+1(3x2 + 2x 1) dx:
x x2 + x3 ln jx + 1j + C:
[x 2ln j2x + 3j + C:?
h
x2 + x + 2ln jx 1j + C:i
2
[ ln (1 + e x ) + C:?
x3 +x2 x+1
e
+ C:
134
л. IV. Интегральное исчисление
Z
45.
Z
46.
47.
48.
49.
dx
9x 4 :
Z
2
p
Z
52.
Z
53.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
Z
65.
Z
66.
:
p
dx
:
[arsin(ln x) + C:?
x 1 ln2 x
(4 ln x)2 dx:
x
x dx
e
px :
e +4
e 1=x dx :
x2
3
2x x2 dx:
Z
sin xdx :
p
1+os2 x
Z x2 dx
os2 x3 :
Z
dx :
x2 2x +1
Z
dx
:
p
2+ x x2
Z
dx :
1+
x + x2
Z
dx
:
p
3x x2 2
Z
dx :
4+2
x + x2
Z
dx
2x2 2x +1 :
Z
dx :
x2 +3x +1
Z
(os3x sin2x) dx:
Z
58.
2
4
Z
57.
dx
16 9x
Z 5xdx
:
p
1 x
51.
56.
dx
2
50.
55.
1 etg3x + C:i
3
h
1 artg 2x + C:i
6
3
h
1 ln 3x 2 + C:i
12h 3x +2
1 arsin 3x + C:i
3
4
h
5 arsin x2 + C:i
2
4x +9 :
Z
Z
54.
h
etg3x se2 3xdx:
(sin3x + os5x) dx:
os(x + 3) dx:
h
1 (4 ln x)3 + C:i
3
i
px
[2 e + 4 + C:
e 1=x + C:
h x3
2
3ln2
+ C:
i
p
ln os x + 1 + os2 x + C:
h
1 tg x3 + C:i
h3
1 + C:i
x 1
h
2
x
1 + C:i
arsin
3
i
h
p2 artg 2xp+1 + C:
3
3
[arsin(2x 3) + C:?
h
p1 artg xp+1 + C:
3
i
3
[artg (2x 1) + C:?
p
i
1
2x +3
p5 + C:
p ln 5 2x +3+ 5
h
1 sin3x + 1 os2x + C:i
3
2
1 os3x + 1 sin5x + C:i
3
5
h
h
[sin(x + 3) + C:?
135
Упражнения
Z
sin3 x os xdx:
Z
os5 x sin xdx:
67.
68.
h
h
sin x + C:i
4
os x + C:i
6
4
6
При нахождении интегралов от тригонометрических ункций полезно
использование тригонометрических ормул, приведенных ранее в главе II.
h
i
Z
(1 sin2 x) dx:
69.
Z
70.
Z
71.
Z
72.
(1 os2 x) dx:
sin2x os2xdx:
os 3 x sin 1 xdx:
4
4
Z
os3x os 4 xdx:
Z
sin5 xdx:
Z
os5 xdx:
73.
74.
75.
Z
76.
Z
77.
3
sin x sin5xdx:
sin3 x os2 xdx:
sin2 x os4 xdx:
Z
dx
3x2 +7 :
Z
dx :
5
x2 2
Z p
3 2x 3 dx:
Z
dx :
p
x2 + x
Z
dx :
p
x2 2
Z
dx :
p
2 x2
Z
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
1 x + 1 sin2x + C:
2 4
h
1 x 1 sin2x + C:i
2h 4
1 os4x + C:i
8
h
1 os x + os 1 x + C:i
2
2
h
3 sin 13 x + 3 sin 5 x + C:i
26 3 10 3
h
1 os5 x + 2 os3 x os x + C:i
3
h5
1 sin5 x 2 sin3 x + sin x + C:i
5 h 3
1 sin4x 1 sin6x + C:i
12
h8
1 os5 x 1 os3 x + C:i
5
3
h
1 x 1 sin4x + 1 sin3 2x + C:i
16 64h
48 q i
1
p artg x 37 + C:
21 p p i
h
1
ln x 5 2 + C:
2hp10 xp5+ p2 i
3 (2x 3) p3 2x 3+ C:
i
h 8
p
ln x + 1 + x2 + x + C:
2
p 2 ln x + x
h
2 + C:
i
arsin px + C:
2
При нахождении следующих интегралов использовать метод интегрирования по частям
h
i
Z
(2x 5) e 3x dx:
85.
Z
86.
Z
87.
x os2xdx:
xe 2x dx:
13 6x e 3x + C:
9
h
x sin2x + 1 os2x + C:i
2 h
4
2x +1 e 2x + C:i
4
136
л. IV. Интегральное исчисление
h
(2x 3) sin x dx:
2
Z ln x
px dx:
Z
aros2xdx:
(6 4x) os x + 8sin x + C:
Z
88.
89.
90.
Z
91.
Z
92.
Z
93.
95.
2
2
p
2 x (ln x 2) + C:
i
h
p
x aros2x 12 1 4x2 + C:
h
i
x artg 3x + 16 ln(1 + 9x2) + C:
h
2 x px ln x 2 + C:i
3
3 artg 3xdx:
px ln xdx:
(x2 + 1) ex dx:
ex x2 2x + 3 + C:
x ln2 x 2ln x + 2 + C:
ln2 xdx:
Z ln xdx
(x +1)2 :
Z
94.
i
h
x ln x ln(x + 1) + C:i
x +1
Вычислить интегралы от дробно-рациональных ункций.
x dx:
x +2
Z
dx
97.
(x +1)4 :
Z
dx :
98.
x2 +2x +5
Z
dx :
99.
x2 6x +5
Z
xdx :
100.
x2 +2x +5
Z
dx
101.
(x 2)(x 3) :
Z
[x 2ln jx + 2j + C:?
96.
h
1 + C:i
3(x +1)
h
1 artg x +1 + C:i
2 2 i
h
1 ln x 5 + C:
4 x 1
h
1 ln jx2 + 2x + 5j 1 artg x +1 + C:i
2
2h 2 i
ln x 3 + C:
x 2
3
Вычислить интегралы от следующих тригонометрических ункций.
h
Z
102.
dx
sin x os2 x :
dx
5 3os x :
dx
2+3os x :
(1+sin x) dx
(1+os x) sin x :
tg x 2tg x
4
Z
103.
Z
104.
Z
105.
h
1 tg3 x + C:i
3 i
1 artg 2tg x + C:
2
p2 i
h
tg(
x=
2)+
1
p ln p5 + C:
5 tg(x=2) 5 i
h
x
1
tg + tg 2 x + 1 ln tg x + C:
2 4 2 2
2
Применяя ормулу НьютонаЛейбница, вычислить определенные интегралы.
h i
Z1
i
h
Z1
1
106.
108.
x4 dx:
0
Z4 p
1
x dx:
5:
h
107.
i
4 2:
3
1
(x2 + 1) dx:
2 dx
Z
109.
1
x
:
2 2:
3
[ln2:?
137
Упражнения
0
Z
110.
1
=
Z2
112.
114.
h
e 2x dx:
1=2
111.
[1:?
113.
:i
115.
2
os xdx:
p03=2
Z
p
dx
1 x
2
=
Z 2
e2 1 :i
h
:
6
sin4xdx:
0
=
Z 4 dx
os2 x :
0
p3
Z
dx :
1+
x2
0
[0:?
[1:?
h
3
Вычислить определенные интегралы методом подстановки.
1 xdx
:
p
0 1 x2
ln2
Z p
ex 1 dx:
0
=
Z2
sin2 2xdx:
0
Z4 x 1
px +1 dx:
0
Z1 p
4 5x dx:
12
Z8
dx :
x2 +6x +8
2
Z1
dx p :
(1+
x) x
0
Z0
dx :
(1
2x)3
2
Z7
dx
p
3 (8 x)2 :
0
Z3
2xdx :
p
0 16+ x2
Z4
p
x x2 7 dx:
2p2
=
Z 2 os xdx
:
3
sin
x
=4
Z
116.
118.
120.
122.
124.
126.
128.
130.
132.
134.
136.
138.
[1:?
h
4 :i
2
h
:i
4
i
h
1 1:
3
h
i
64 2 :
3
h
1 ln 5 :i
2 4
h
Z
117.
119.
121.
123.
125.
127.
2
Z
129.
[0;24?
131.
[3:?
133.
[2:?
135.
h
p dx :
0 3x +1
1Z=2 5xdx
:
(1
x)
p0
2 3
Z
i
8 2:
137.
[0;5:?
139.
3
0 sin (=6+ x)
2
1
i
:
4 xdx
:
p
1 2+4x
Z7 p
49 x2 dx:
0
Z2 ex
dx:
ex 1
1
Z1
xdx :
(
x2 +1)2
0
Z1
e x dx::
3
=Z12
dx
3 xdx
:
p
p
h
3 2 :i
2
h
49 :i
4
[ln(1 + e):?
h
1 :i
4
i
h
e3 e1 :
:
p
3 1:
2 :i
3
h
35 :i
36
[1:?
2
2
h
2
Z
sin xdx :
(1
os x)
=2
2
=
Z3
sin xdx :
0 os x
4
h
1+ x
2xdx :
(2
x +1)
1
0
Z2
:i
1 :i
9
[0;5:?
h
i
2 1:
3
138
л. IV. Интегральное исчисление
Вычислить определенные интегралы, используя ормулу интегрирования по частям.
Ze
2
Z8
2
140.
1
ln xdx:
Ze
142.
1
x2 ln xdx:
e :
h
2e +1 :i
9
141.
3
143.
pxdx :
[8:?
1 3x +1
Z2
(3 2x) e 3x dx:
0
h
5e :i
9
6
Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).
+Z1 dx
h i
+Z1
h i
1
144.
146.
148.
150.
152.
153.
1
+Z1
x4
:
e 5x dx:
0
+Z1 dx
:
3
e x ln x
+Z1 os x
dx:
3
1 x
+Z1 ln x
p3 x dx:
3:
h
h
1 :i
5
1 :i
2
[Сходится.?
145.
147.
149.
151.
dx :
x2 +9
0
+Z1 x +5
p3 dx:
1 x x
+Z1 artg x
dx:
2
0 1+ x
+Z1 dx
2
x :
1 x (1+ e )
e
:
6
[асходится?
h
8
[Сходится.?
[асходится.?
Найти площадь плоской игуры, ограниченной параболой y =
и x = 4:
[24.?
= x2 + 1; осью Ox и прямыми x = 1
154.
2 :i
Найти площадь плоской игуры, ограниченной линиями
y = 0; x = 1; x = e:
y = ln x;
[1.?
Найти площадь плоской игуры, ограниченной полукубической
параболой y 2 = x3 и прямой x = 4:
[25,6.?
155.
156. Переходя к полярным координатам, вычислить площадь круга,
ограниченного окружностью x2 + y 2 = 4:
[4:?
157. Найти площадь плоской игуры, ограниченной первым витком
h
спирали Архимеда r = a' и полярной осью (рис. 74).
4 3 2i
3 a :
r = 4sin2 ' (рис. 75). [3:?
2
3
159. Найти длину дуги полукубической параболы y = x от начала
h
координат до точки A(4; 8) (рис. 76).
8 10 p10 1:i
27
3
3
160. Найти длину дуги астроиды x = a os t; y = a sin t; 0 6 t 6 2
(рис. 77).
[6a:?
161. Найти длину одной арки циклоиды x = a(t
sin t); y = a(1 os t)
(рис. 78).
[8a:?
158.
Найти площадь одного лепестка кривой
139
Упражнения
Sfrag replaements
r = 4sin2 '
y
r
O
8
S
O
p
O
ис. 74
ис. 75
y
a
g replaements
ис. 76
y
a x
a
x
4
2a x
O
O
p
a
ис. 77
Sfrag replaementsy
ис. 78
y
y2 = 4x
x
O
O
ис. 80
оси
ис. 79
y
2a
x
ис. 81
O
a
R
x
ис. 82
= a(1 + os ') (рис. 79).
[8a:?
162.
Найти длину кардиоиды
163.
Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг
h
i
Ox дуги параболы y2 = 4x; 0 6 x 6 3 (рис. 80).
56 :
3
164. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг
оси Ox первой арки циклоиды x = a(t sin t); y = a(1 os t); 0 6 t 6 2
h
(рис. 81).
64 2 i
3 a :
165. Найти площадь поверхности серического сегмента (рис. 82), образованного вращением вокруг оси Ox дуги окружности x2 + y 2 = R2 ;
соответствующей изменению x от a до R (0 < a < R):
[2R(R a):?
140
g replaements
л. IV. Интегральное исчисление
y
y
b
1
O
x
1
y
a
O
1
x
O
2
1
1
ис. 83
ис. 84
x
ис. 85
166. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox плос1
кой игуры, ограниченной линиями: y = (ex + e x ); yh= 0; x = 0; x = 1i
2
(e2 e 2 ) + :
(рис. 83).
8
167.
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
кой игуры, ограниченной линиями
и II квадрантах (рис. 84).
2
Ox плос-
x2 + y2 = 1; y = 0 и расположенной в I
h
a 2 b2
4 2i
3 ab :
168. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox плоской игуры, ограниченной полуволной синусоиды y = sin x; 0 6 x 6 и
h 2 i
осью Ox (рис. 85).
2:
169. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox плоской игуры, ограниченной аркой циклоиды x = a(t sin t); y = a(1 os t);
0 6 t 6 2 и осью Ox (рис. 81).
[5 2 a3 :?
170.
Найти координаты центра тяжести той четверти окружности
171.
Найти координаты центра тяжести плоской игуры, ограничен-
x2 + y2 = 1 (с плотностью = 1); которая расположена в первом
квадранте.
h
i
2
x = ; y = 2 :
ной линиями
replaements
y
1
O
x2 + y2 = 1; x = 0; y = 0 и расположенной в I квадранте (плотh
i
a2 b2
ность = 1):
x = 34a ; y = 34b :
172.
плоской
2
ис. 86
x
y = sin x
Найти координаты центра тяжести
игуры, ограниченной линиями
(0 6 x 6 ); y = 0 ( = 1) (рис.86).
h
i
x = 2 ; y = 8 :
173. Найти путь, пройденный точкой за
четвертую секунду, зная скорость ее прямолинейного движения v = 3t2
[27 м.?
2t 3 (м/с).
174. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки, зная скорость ее прямолинейного движения v = 18t 6t2 (м/с). [27 м.?
џ 28. Свойства ункций нескольких переменных
141
175. Сила упругости пружины, растянутой на 0,05 м, равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на эти 0,05 м?
[0,075 Дж.?
176. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на
0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?
[12,5 Дж.?
л а в а V
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕЕМЕННЫХ
џ 28. Определение и основные свойства ункций
нескольких переменных
1. Определение ункции нескольких переменных. Понятие ункции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются
величины, значения которых определяются совокупностью значений
нескольких величин.
П р и м е р 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y; выражается ормулой S = xy; т. е. значения S определяются совокупностью значений x и y:
П р и м е р 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами,
длины которых равны x; y; z; выражается ормулой V = xyz; т. е. значения V определяются совокупностью значений x; y и z:
Для изучения подобных зависимостей вводится понятие ункции
нескольких переменных . Так как все важнейшие акты теории ункций нескольких переменных наблюдаются уже на ункциях двух
переменных, то ограничимся рассмотрением этих ункций.
Переменная z называется ункцией двух независимых переменных x и y; если некоторым парам значений x и y по какому-либо
правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z:
Символически ункция двух переменных обозначается так: z =
= f (x; y); z = F (x; y) и т. д.
Пара значений (x; y ) может рассматриваться как точка на плоскости. Поэтому, имея дело с ункцией z = f (x; y ); часто говорят,
что z есть ункция точки (x; y ):
Множество пар значений, которые могут принимать переменные x
и y; называется областью определения или областью существования
ункции. В случае явного аналитического задания ункции область
ее существования определяется самой ормулой, задающей ункцию.
П р и м е р 3. Функция z = x2 + y задана для всевозможных x и y:
Поэтому пара чисел (x; y ) может представлять собой координаты любой
точки плоскости. В связи с этим говорят, что данная ункция определена
на всей плоскости.
142
л. V. Функции нескольких переменных
p
П р и м е р 4. Функция z = 1 x2 y 2 определена (здесь речь идет
лишь о действительных значениях z ) только при x2 + y 2 6 1; т. е. в круге,
ограниченном окружностью x2 + y 2 = 1; включая эту окружность.
П р и м е р 5. Функция
< 1;
z=p
1
1 x y
2
2
определена в круге
т. е. в круге, ограниченном окружностью
окружность.
x2 + y2 = 1;
x2 + y 2 <
исключая эту
Таким образом, областью определения ункции двух переменных
служит вся плоскость или некоторая ее часть (говорят: область на
плоскости и обозначают G):
2. еометрическое изображение ункции двух переменных. Функции двух переменных допускают граическую иллюст-
рацию. раиком ункции z = f (x; y ); определенной на некотором
множестве G точек плоскости xOy , называется множество точек
(x; y; z ) пространства, у которых (x; y) принадлежат G и z = f (x; y):
В наиболее простых случаях такой граик представляет собой некоторую поверхность.
П р и м е р 1. раиком ункции z = 1 x y является плоскость,
проходящая через точки (1; 0; 0); (0; 1; 0) и (0; 0; 1) (рис. 87).
z
eplaements
z
z
(0; 0; 1)
O
x (1; 0; 0)
ис. 87
П р и м е р 2.
П р и м е р 3.
y
(0; 1; 0)
O
x
y
O
y
x
ис. 88
ис. 89
p
z = 1 x2 y2 (полусера, рис. 88).
z = x2 + y2 (параболоид вращения, рис. 89).
Функции трех (и большего числа) переменных не имеют наглядного геометрического представления.
3. Непрерывность ункции двух переменных. Пусть ункция z = f (x; y ) определена в области G: Возьмем точку M0 (x0 ; y0 ) из
этой области и дадим x0 и y0 соответственно приращения x и y;
такие, чтобы точка (x0 + x; y0 + y ) принадлежала области G: азность z = f (x0 + x; y0 + y ) f (x0; y0 ) называется полным приращением ункции z = f (x; y ) в точке (x0 ; y0 ):
143
џ 29. Частные производные и диеренциалы
По аналогии с ункцией одной переменной непрерывность ункции двух независимых переменных определяется так.
Функция z = f (x; y ) называется непрерывной при x = x0 ; y = y0
или в точке (x0 ; y0 ); если ее полное приращение z стремится к нулю,
когда x ! 0; y ! 0; т. е.
lim [f (x0 + x; y0 + y) f (x0 ; y0)? = 0 :
xy!
!00
Если ункция непрерывна в каждой точке области
называется непрерывной в этой области G:
G;
то она
џ 29. Частные производные и диеренциалы
1. Частные производные первого порядка. Частной производной ункции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по
этой переменной, считая другие переменные иксированными (постоянными). Например, для ункции двух переменных z = f (x; y )
частные производные определяются так:
z = lim f (x +x; y) f (x; y) ;
x x!0
x
z = lim f (x; y +y) f (x; y) ;
y y!0
y
если эти пределы существуют. Используются и другие обозначения:
f ; z 0 ; f 0 (x; y );
x
x
x
f ; z 0 ; f 0 (x; y ):
y
y
y
Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных остаются теми же, что и для ункций одной переменной, и
только требуется каждый раз помнить, по какой переменной ищется
производная.
П р и м е р 1. Если
П р и м е р 2. Если
z = x2 + y2 ; то zx0 = 2x; zy0 = 2y:
z = xy + xy2 1; то zx0 = y + y2 ; zy0 = x + 2xy:
З а д а ч а. еакция на инъекцию x ед. лекарственного препарата
описывается ункцией y = x2 (a x) te t ; где t выражается в часах с
момента инъекции. Когда при заданной дозе лекарства реакция достигает максимума?
Имеем:
y
2
t
t
= x (a x) e (1 t):
Отсюда в силу теоремы 2 из џ 18 (п. 2) искомый максимум наступает
при t = 1; т. е. спустя 1 час после инъекции.
2. Диеренциал ункции двух переменных. Пусть ункция z = f (x; y ) имеет непрерывные производные zx0 и zy0 :
Произведение zx0 x называют частным диеренциалом по x
ункции z и обозначают символом dx z = zx0 x или dx z = zx0 dx;
144
л. V. Функции нескольких переменных
где dx = x приращение независимой переменной x: Аналогично dy z = zy0 dy; где dy = y:
Сумма частных диеренциалов ункции z называется ее полным диеренциалом и обозначается символом dz: Таким образом,
dz = zx0 dx + zy0 dy:
П р и м е р. Если
(dx + dy):
z = (x + y)2 ;
то
zx0 = zy0 = 2(x + y)
и
dz = 2(x + y)
Очевидно, для полного диеренциала справедливы ормулы
вида 15 из таблицы диеренциалов (гл. III, џ 16, п. 3):
1. dC = 0:
4. d(Cu) = C du:
u
v du udv
2. d(u + v ) = du + dv:
=
:
5. d
v
v2
3. d(uv ) = v du + udv:
Здесь C постоянная, u = u(x; y ); v = v (x; y ) ункции, имеющие непрерывные частные производные.
3. Производные и диеренциал от сложной ункции.
Пусть z = f (x; y ) где x = '(t); y = (t): Тогда в конечном итоге z
будет ункцией одной переменной t: Предположим, что zx0 ; zy0 неdx ; dy существуют. Найдем dz : Дадим переменной t
прерывны и
dt dt
dt
приращение t: Тогда x; y; а следовательно и z; получат свои приращения x; y и z: Имеем, учитывая ормулу Лагранжа (см.
џ 17, п. 3),
z = f (x + x; y + y) f (x; y) =
= [f (x + x; y + y) f (x; y + y)? + [f (x; y + y) f (x; y)? =
= fx0 (x + x; y + y)x + fy0 (x; y + 1 y)y;
0 < < 1;
0 < 1 < 1;
откуда
z = f 0 (x + x; y + y) x + f 0 (x; y + y) y :
1
t x
t y
t
Переходя в последнем равенстве к пределу при t ! 0 и учитывая
непрерывность частных производных zx0 ; zy0 ; получим:
dz = f 0 (x; y ) dx + f 0 (x; y ) dy
x
y
dt
dt
dt
или
dz = z dx + z dy :
dt x dt y dt
Пусть теперь x = '(t; ); y = (t; ) (здесь предполагается существование первых производных от ункций x; y по t и ): В этом
случае z будет ункцией двух независимых переменных t и и
встает вопрос о вычислении частных производных zt0 и z0 : Но этот
случай не отличается существенно от предыдущего, ибо при вычислении частной производной ункции двух переменных мы одну из
џ 29. Частные производные и диеренциалы
145
них иксируем и у нас остается ункция только от одной переменной.
Следовательно, для этого случая только что полученную ормулу
можно переписать в виде:
z = z x + z
t x t y
Аналогично
z = z x + z
x y
Предположим еще, что x0 ; x0 ;y 0 и y 0
y :
t
y :
t t
непрерывны.
Если бы x и y были независимыми переменными, то полный диеренциал ункции z был бы равен dz = zx0 dx + zy0 dy: В данном
случае z зависит через посредство x; y от переменных t и ; следовательно, dz = zt0 dt + z0 d:
Но
zt0 = zx0 x0t + zy0 yt0 и z0 = zx0 x0 + zy0 y0
Поэтому
dz = (zx0 x0t + zy0 yt0 ) dt + (zx0 x0 + zy0 y0 ) d =
= zx0 (x0t dt + x0 d ) + zy0 (yt0 dt + y0 d ):
Нетрудно видеть, что выражения, стоящие в скобках, являются диеренциалами ункций x; y; поэтому можно записать:
dz = zx0 dx + zy0 dy:
Мы пришли к той же орме записи диеренциала, что и в случае,
когда x и y были независимыми переменными.
П р и м е р. Если z = xy;
+2xt; z0 = 2yt sin2 + xt2 :
где
x = t os2; y = t2 ;
то
zt0 = y os2 +
4. Неявные ункции и их диеренцирование. Как уже
отмечалось (см. гл. II, џ 7), если уравнение, с помощью которого задается ункция одной переменной x; не разрешено относительно y;
то эта ункция называется неявной . азрешая это уравнение относительно y; мы получаем ту же ункцию, но уже заданную в явной
орме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y невозможно (например, 2y 2y + x2 1 = 0) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в
общем виде (после переноса всех членов в левую часть):
F (x; y) = 0:
(1)
В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной
ункции, не разрешая уравнения (1) относительно y:
Если в уравнении (1), определяющем неявную ункцию y = f (x);
задавать значения независимой переменной x; то для нахождения соответствующего значения y надо решать уравнение. Теперь если в это
уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому
можно сказать также, что неявная ункция y = f (x); определенная
уравнением (1), это такая ункция, которая, будучи подставлена в
10 И. И. Баврин
146
л. V. Функции нескольких переменных
уравнение (1), обращает его в тождество. Диеренцируя это тождество по x согласно правилу диеренцирования сложной ункции, получим:
Fx0 (x; y) + Fy0 (x; y) dy = 0 где y = f (x):
dx
0
Отсюда при Fy (x; y ) 6= 0 вытекает ормула для производной не-
явной ункции
dy = Fx0 (x; y) :
dx
Fy0 (x; y)
П р и м е р. Пусть
y = 0: Найти
y
как ункция от
x
задана соотношением
dy : Так как для F (x; y ) = exy x y имеем:
dx
Fx0 (x; y) = yexy 1;
Fy0 (x; y) = xexy 1;
exy x
то согласно ормуле для производной неявной ункции
dy = 1 yexy :
dx xexy 1
5. Частные производные и диеренциалы высших порядков. Частные производные ункции нескольких переменных
сами являются ункциями этих переменных и могут иметь частные
производные. Для исходной ункции эти последние производные
будут частными производными второго порядка. Так, для ункции
z = f (x; y) двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами:
z = z ;
zx00 = x
x x
2
2
2
00 = z = z ;
zyx
y x x y
2
00 = z = z ;
zxy
xy y x
2
z = z :
zy00 = y
y y
2
2
2
00 и zyx
00 ; отличающиеся порядком диеренЧастные производные zxy
цирования, называются смешанными частными производными второго порядка .
Аналогичным образом определяются частные производные 3-го,
4-го и старших порядков.
П р и м е р 1. Найти частные производные второго порядка ункции
00 = 2ex 2y ;
z = ex 2y : Имеем: zx0 = ex 2y ; zy0 = 2ex 2y ; zx002 = ex 2y ; zxy
00
x
2
y
00
x
2
y
zyx = 2e
; zy2 = 4e
:
П р и м е р 2. Найти частные производные второго порядка ункции
00 = os y; zyx
00 =
z = x sin y: Имеем: zx0 = sin y; zy0 = x os y; zx002 = 0; zxy
00
= os y; zy2 = x sin y:
147
џ 29. Частные производные и диеренциалы
00 = zyx
00 : Оказывается, имеет место следующее
В обоих примерах zxy
предложение, которое мы приведем без доказательства.
Т е о р е м а. Непрерывные смешанные производные высших порядков не зависят от последовательности диеренцирования , а зависят лишь от того , по каким переменным и сколько раз по каждой
переменной произведено диеренцирование (см. [10?).
Пусть теперь имеется ункция z = f (x; y ); обладающая непрерывными частными производными второго порядка. ассмотрим ее
полный диеренциал
z
z
z dx + z dy:
dz = x
y
и
по предположению имеют непрерывные частТак как
x
y
ные производные первого порядка, то от ункции dz; в свою очередь,
можно взять полный диеренциал d(dz ): Так получим полный диеренциал второго порядка (или второй диеренциал ), который
обозначается d2 z:
Аналогично, потребовав существование непрерывных частных
производных третьего, четвертого, n-го порядков, можно получить
полные диеренциалы соответственно третьего, четвертого, n-го порядков.
Найдем выражение второго диеренциала через вторые частные
производные. Пользуясь правилами 2 и 4 (dx и dy не зависят от x
и y; т. е. рассматриваются как постоянные) и приведенной выше теоремой, можно записать:
z dx + z dy = d z dx + d z dy =
d2 z = d x
y
x
y
2
2 z dxdy + 2 z dy dx + 2 z (dy )2 =
= z2 (dx)2 + xy
y x
x
y2
2
2 z dxdy + 2 z dy 2
= z2 dx2 + 2 xy
x
y2
(для краткости обозначено dx2 = (dx)2 ; dy 2 = (dy )2 ):
Последнюю сумму можно записать кратко так:
dx + dy 2 z:
d2 z = x
y
Этот символ расшировывается следующим образом. Сначала раскрываются скобки, как будто слагаемые в них числа, а число 2 показатель степени. Затем числители полученных дробей умножаются на z: Формула для d2 z обобщается на случай dn z :
dx + dy n z:
dn z = x
y
Этот символ расшировывается так же, как и в случае
10*
n = 2:
148
л. V. Функции нескольких переменных
Подчеркнем, что в случае зависимых переменных x и y эти ормулы для d2 z и dn z; вообще говоря, не имеют места, так как в этом
случае x и y являются ункциями независимых переменных.
П р и м е р 3. Если
+ dy)2:
z = (x + y)2 ;
то zx002
00 = z 002 = 2
= zxy
y
и
d2 z = 2(dx +
6. Признак полного диеренциала. Выясним, при каких
условиях выражение
P (x; y) dx + Q(x; y) dy;
(2)
du = P (x; y) dx + Q(x; y) dy:
(3)
du = F
dx + F
dy:
x
y
(4)
F = P (x; y );
x
F = Q(x; y );
y
(5)
где P (x; y ) и Q(x; y ) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, является полным диеренциалом некоторой ункции u = F (x; y ); или, кратко, полным диеренциалом.
Пусть (2) полный диеренциал ункции u = F (x; y ): Тогда
имеем:
С другой стороны,
Из (3) и (4) следует, что
P = 2 F ; Q = 2 F :
y xy x y x
2 F = 2 F : Поэтому
Но (см. п. 5)
xy y x
P = Q :
y x
(6)
откуда:
(7)
Пусть теперь для выражения (2) выполнено соотношение (7). ассмотрим ункцию
Z
F (x; y) = P (x; y) dx + '(y);
(8)
где '(y ) произвольная ункция от y: Функция (8) удовлетворяет
соотношению (5). Чтобы имело место и соотношение (6), надо подобрать '(y ) так, чтобы было
Z
или
или, наконец,
y
0
P (x; y) dx + '(y) = Q(x; y);
Z
y
P (x; y) dx + '0 (y) = Q(x; y);
149
џ 29. Частные производные и диеренциалы
y
'0(y) = Q(x; y)
Z
P (x; y) dx:
(9)
Обозначим правую часть равенства (9) через M: Имеем:
M = Q
x x
x y
Согласно теореме пункта 5
x y
Но
Z
и в силу (7)
P (x; y) dx :
P (x; y) dx = y
x
x
Поэтому
Z
Z
Z
P (x; y) dx :
P (x; y) dx = P (x; y):
M = Q
x x
P
y
M = 0; т. е. требуемую ункцию найти можно.
x
Тем самым получена следующая теорема.
Т е о р е м а. Выражение (2) есть полный диеренциал тогда и
только тогда , когда выполнено (7).
При наличии условия (7) из хода доказательства полученной здесь
теоремы следует способ актического построения полного диеренциала.
П р и м е р. Для выражения
(3x2 y 2 + os x) dx + 2x3 y
и потому
1 dy
y
2
2
Q(x; y) = 2x3 y y1
P (x; y) = 3x y + os x;
P = 6x2 y ;
Q = 6x2 y:
y
x
(10)
т. е. (7) выполнено. Следовательно, согласно установленной теореме выражение (10) есть полный диеренциал некоторой ункции. Найдем эту
ункцию. Имеем:
Z
откуда:
Окончательно:
где
(3x2 y 2 + os x) dx = x3 y 2 + sin x + '(y );
'0(y) = 2x3 y y1 2x3 y = y1 ;
'(y) =
Z
dy = ln jy j + C:
y
F (x; y) = x3y2 + sin x ln jyj + C;
C произвольная постоянная.
150
л. V. Функции нескольких переменных
џ 30. Экстремум ункций двух переменных
Ниже в этой главе под окрестностью точки плоскости понимается
внутренность любого прямоугольника, содержащего эту точку.
1. Необходимые условия существования экстремума. Понятие максимума и минимума можно распространить и на ункции
нескольких переменных (здесь для случая двух переменных).
оворят, что ункция z = f (x; y ) имеет в точке M0 (x0 ; y0 ) максимум
(минимум), если существует такая окрестность точки M0 ; что для всех
точек M (x; y ) из этой окрестности и отличных от M0 выполняется
неравенство
или
f (x0 ; y0) > f (x; y)
z = f (x; y) f (x0 ; y0) < 0;
(f (x0; y0 ) < f (x; y))
(z = f (x; y) f (x0 ; y0 ) > 0):
Т е о р е м а (необходимые условия существования экстремума).
Если ункция z = f (x; y ) имеет в точке M0 (x0 ; y0 ) экстремум и в
этой точке существуют частные производные zx и zy ; то
fx0 (x0; y0 ) = 0;
fy0 (x0; y0 ) = 0:
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения экстремума следует, что
ункция f (x; y0 ); рассматриваемая как ункция одной переменной x; при x = x0 также имеет экстремум. Поэтому (см. џ 18, п. 2)
fx0 (x0 ; y0) = 0: Аналогично получаем равенство fy0 (x0 ; y0) = 0:
П р и м е ч а н и е. Приведенные условия существования экстремума не
являются достаточными, о чем свидетельствует следующий пример.
П р и м е р 2. z = x3 + y 3 ; zx0 = 3x2 ; zy0 = 3y 2 : Производные равны нулю
в точке (0; 0); но экстремума эта ункция в точке (0; 0) не имеет, так как в
любой окрестности этой точки она принимает значения разных знаков, а в
самой точке (0; 0) z = 0:
2. Достаточные условия существования экстремума. Достаточные условия существования экстремума для ункций нескольких переменных имеют более сложный вид, чем для ункций одной
переменной. Приведем эти условия для случая двух переменных без
доказательства (см. [8?).
Т е о р е м а (достаточные условия существования экстремума).
Пусть ункция f (x; y ); непрерывная вместе со своими частными
производными первого и второго порядков в некоторой окрестности
точки M0 (x0 ; y0 ); удовлетворяет условиям
fx0 (x0; y0 ) = 0;
fy0 (x0; y0 ) = 0:
00 (x0 ; y0);
Обозначим : A = fx00 (x0 ; y0 ); B = fxy
C = fy00 (x0 ; y0 );
D = AC B 2 :
2
Тогда :
2
џ 30. Экстремум ункций двух переменных
151
1) если D > 0; то в точке M0 ункция f (x; y ) имеет экстремум ,
а именно максимум при A < 0 и минимум при A > 0;
2) если же D < 0; то в точке M0 ункция f (x; y ) экстремума
не имеет .
П р и м е р 1. Исследовать на экстремум ункцию z = x3 + y 3 3xy:
Ее частные производные zx0 = 3x2 3y; zy0 = 3y 2 3x обращаются в нуль в
00 =
точках M0 (0; 0) и M1 (1; 1): Ее вторые производные равны zx002 = 6x; zxy
00
= 3; zy2 = 6y: В точке M0 имеем: D = 9 < 0; следовательно, экстремума
в этой точке нет. В точке M1 имеем: D = 27 > 0; причем A = 6 > 0; следовательно, в точке M1 минимум.
П р и м е ч а н и е. Отметим, что в случае D = 0 экстремум может быть,
но его может и не быть.
П р и м е р 2. z = x3 + y 3 : В точке (0; 0); где D = 0; эта ункция, как
показана выше (см. п. 1), экстремума не имеет.
П р и м е р 3. z = x4 + y 4 : В точке (0; 0); где D = 0; эта ункция
имеет минимум, потому что в любой окрестности этой точки данная ункция положительна, а в самой точке (0;0) z = 0:
З а д а ч а. В химической реакции участвуют три вещества с концентрациями x; y и z: Скорость реакции v в любой момент времени
выражается законом
2
v = kx yz:
Найти концентрации x; y и z; при которых скорость v течения реакции максимальна.
е ш е н и е. Пусть
x + y + z = 100 (%). Тогда:
z = 100 x y
и
v = kx2y(100 x y):
Найдем частные производные ункции v :
v = k (200xy 3x2 y 2xy 2 );
x
(1)
v = k (100x2 x3 2x2 y ):
y
Приравнивая полученные выражения к нулю, приходим к системе
двух уравнений с двумя неизвестными:
(
200xy 3x2 y 2xy2 = 0;
100x2 x3 2x2 y = 0:
Так как значения x = 0 и y = 0 максимума ункции (1) не дают,
то сводим оба уравнения сокращением к виду:
(
200 3x 2y = 0;
100 x 2y = 0:
ешая эту систему, получим x = 50; y = 25: Тогда z = 25: Легко проверить, что в точке M0 (50; 25) D > 0 и A < 0:
152
л. V. Функции нескольких переменных
Следовательно, при концентрациях x = 50 %,
скорость v течения реакции максимальна.
y = 25 %
и
z = 25 %
3. Метод наименьших квадратов. В естествознании приходится пользоваться эмпирическими ормулами, составленными на
основе опыта и наблюдений. Один из наилучших методов получения
таких ормул это способ наименьших квадратов . Изложим идею
этого способа, ограничиваясь случаем линейной зависимости двух величин.
Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами x и y (например, температурой и удлинением металлического
стержня). Производим соответствующие измерения (например, n измерений) и результаты измерений сводим в таблицу:
x x1
y y1
Будем рассматривать
x
и
y
replaements
x2
y2
x3
y3
...
xn
yn
(1)
y как прямоугольные координаты точек
на плоскости. Предположим, что точки
(xk ; yk ); k = 1; . . .; n; группируются вдоль
некоторой прямой линии (рис 90). Естественно в этом случае считать, что между x
и y существует приближенная линейная
зависимость, т. е.
y = ax + b
x
O
...
(2)
Назовем уклонением (или отклонением ) разность между точным значением
ис. 90
ункции (2) в точке xk и соответствующим
значением yk из таблицы (1): "k = axk + b yk : Сумма квадратов
уклонений ункция величин a и b:
U (a; b) =
n
X
k=1
"2k =
n
X
k=1
(axk + b yk )2 :
В методе наименьших квадратов на величины a и b накладывается
условие они должны доставлять минимум сумме квадратов уклонений U (a; b): Требуется найти a и b; удовлетворяющие этому условию.
Для этого (см. п. 1) необходимо, чтобы
n
n
n
n
k=1
k=1
k=1
k=1
U = 2 X(ax + b y ) x = 2a X x2 + 2b X x 2 X x y = 0;
k
k k
k
k k
k
a
n
n
n
U = 2 X(ax + b y ) = 2a X x + 2bn 2 X y = 0:
k
k
k
k
b
k=1
Отсюда:
k=1
k=1
153
џ 31. Скалярное поле, его лапласиан
8 n
n
X
X
>
2
>
xk + b xk
>a
>
<
k=1
n
>
> X
>
>
:a
k=1
k=1
xk + bn =
=
n
X
k=1
n
X
k=1
xk yk ;
(3)
yk :
Это окончательный вид так называемой нормальной системы способа наименьших квадратов. Пусть a = a0 ; b = b0 решение системы (3). Можно доказать, что a0 и b0 доставляют величине U (a; b)
минимум. Функция (2) при a = a0 и b = b0 дает эмпирическую ормулу y = a0 x + b0 :
П р и м е р. езультаты измерения величин
xиy
x
y
4
3
2
0;5
0
1
1
1;5
2
2
даны в таблице.
Предполагая, что между x и y существует линейная зависимость y
способом наименьших квадратов определить коэициенты
и b: Здесь n = 5;
= ax + b;
5
X
k=1
x2k = 25;
5
X
k=1
xk = 5;
5
X
k=1
и нормальная система (3) принимает вид:
ешая эту систему, получим:
+1;175:
xk yk = 16;5;
25a + 5b = 16; 5;
5a + 5b = 8:
a = 0;425; b = 1;175:
5
X
k=1
Поэтому
=
a
yk = 8;
y = 0;425x+
џ 31. Скалярное поле, его лапласиан
1. Скалярное поле, его задание в различных системах координат. Величины, которые полностью определяются заданием их
численных значений, называются скалярными . Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура
тела и др.
Если каждой точке M пространства или некоторой его части V
поставлено в соответствие определенное значение u некоторой скалярной изической величины, то говорят, что в V определено скалярное
поле этой величины, т. е. ункция точки M : u = u(M ): Эту ункцию
называют ункцией поля или просто полем .
u может быть температурой, давлением газа и т. д.
величина u = u(M ) не зависит от времени t; то скалярное
П р и м е р.
Если
поле называется стационарным .
154
л. V. Функции нескольких переменных
Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат Oxyz; то точка M в этой системе будет иметь определенные
координаты x; y; z и скалярная величина u станет ункцией этих
координат: u = u(x; y; z ): Можно ввести в пространстве и другие
системы координат, например цилиндрическую и серическую.
В цилиндрической системе координат положение точки M пространства определяется полярными координатами r и ' точки M 0 проекции точки M на плоскость xOy и аппликатой z самой точки M
(рис. 91). Числа r; '; z называются цилиндрическими координатами
точки M; причем r > 0; 0 6 ' < 2; z любое действительное число.
z
z
ag replaements
M (x; y; z)
M (x; y; z)
O
x
z
r
'
O
y
M0
x
y
'
ис. 91
M0
ис. 92
Из рисунка 91 видно, что для точки
ведливы соотношения
x = r os ';
и
r
p
M (x; y; z ) (M (r; '; z )) спра-
y = r sin ';
r = x2 + y 2 ;
z=z
(1)
tg ' = xy :
(2)
В серической системе координат положение точки M в пространстве определяется ее расстоянием r от начала O; углом ' между
положительным направлением оси Ox и проекцией отрезка OM на
плоскость xOy; углом между положительным направлением оси Oz
и отрезком OM (рис. 92). Числа r; ' и называются серическими
координатами точки M; при этом r > 0; 0 6 ' < 2; 0 6 6 : Из
рисунка 92 видно, что для точки M (x; y; z ) (M (r; '; )) справедливы
соотношения
и
x = r sin os ';
p
r = x2 + y 2 + z 2 ;
y = r sin sin ';
tg ' = xy ;
z = r os p
x +y
tg =
:
2
2
z
В цилиндрической системе координат ункция поля имеет вид
системе координат эта ункция имеет
u = u(r; '; z ); в серической
вид u = u(r; '; ):
џ 31. Скалярное поле, его лапласиан
155
2. Лапласиан скалярного поля. Введем для скалярного поля
u = u(x; y; z ) диеренциальный оператор второго порядка
u = u + u + u ;
x y
z
2
2
2
2
2
2
называемый оператором Лапласа или лапласианом .
Найдем выражение лапласиана в цилиндрических координатах.
Подставляя в ункцию u = u(x; y; z ) вместо x и y их выражения
согласно ормулам (1), получим u = u(r os '; r sin '; z ): Выразим теперь вторые производные ункции u по x и по y через производные
по r и ':
По правилу диеренцирования сложной ункции (џ 29, п. 3)
u = u r + u ' ;
x r x ' x
u = u r + u ' :
y r y ' y
Но из ормул (2)
и
r = x ;
x r
y
1 '
os2 ' x = x2 ;
(3)
r = y
y x
1 ' 1
os2 ' y = x :
Или, заменяя x и y по ормулам (1),
и
r
x = os ';
' = sin ' ;
x
r
r
y = sin '
' = os ' :
y
r
Подставляя это в (3), получаем:
u = u os ' u sin ' ;
x r
' r
u = u sin ' + u os ' :
y r
' r
(4)
Перейдем к отысканию вторых производных. Согласно правилу
диеренцирования сложной ункции и с учетом равенства (4) имеем:
u
u
u
2 u = x = x r + x ' ;
x
r x
' x
x2
2
2
u
x = u os ' u sin ' + u sin ' ;
2
r
'r r
' r2
r
(5)
(6)
2
2
u
x = u os ' u sin ' u sin ' u os ' ;
(7)
'
r '
r
' r
'2 r
r = os '; а обе части раУмножим обе части равенства (6) на
x
'
sin
'
венства (7) на
= r и сложим. Получим (с учетом (5) и после
x
приведения подобных членов):
156
л. V. Функции нескольких переменных
2 u = 2 u os2 ' 2 2 u sin ' os ' + 2 u sin ' os ' +
r '
r
'
x2 r2
r2
sin2 ' + 2 u sin2 ' :
+ u
r r
'2 r2
(8)
Совершенно аналогично найдем, что
2 u = 2 u sin2 ' + 2 2 u sin ' os ' 2 u sin ' os ' +
r '
r
'
y2 r2
r2
os2 ' + 2 u os2 ' :
+ u
r r
'2 r2
Отсюда
2 u + 2 u = 2 u + 1 u + 1 2 u :
x2 y2 r2 r r r2 '2
Итак, выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид:
2
2
2
u = u2 + r1 u
+ 1 u + u:
r r2 '2 z 2
r
Последнее выражение часто бывает удобно записать и в таком виде
r u + 1 2 u + 2 u :
u = r1 r
r
r2 '2 z 2
В случае серических координат непосредственное преобразование
производных ункции u(r sin os '; r sin sin '; r os ) очень громоздко и потому его проводить не будем, а выпишем окончательное
выражение оператора Лапласа в серических координатах:
2
os u + 1 2 u + 1 2 u :
+
u = u2 + r2 u
2
r r sin r2 2 r2 sin2 '2
r
Эту ормулу часто записывают в виде
r2 u + 1 sin u + 1 2 u :
u = 12 r
r
r
r2 sin r2 sin2 '2
џ 32. Двойной интеграл
1. Задача об объеме цилиндроида. Пусть дана ункция
f (x; y); непрерывная и неотрицательная в области G плоскости xOy:
Найти объем тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (x; y );
снизу областью G и с боков прямой цилиндрической поверхностью,
направляющей которой служит замкнутый контур, ограничивающий
область G (рис. 93) *).
Т. е. поверхностью, описываемой прямой, перпендикулярной плоси пересекающей указанный замкнутый контур (он называется
направляющей этой поверхности).
*)
кости
xOy
157
џ 32. Двойной интеграл
Такое тело для краткости будем называть цилиндроидом . В частности, когда верхнее основание
цилиндроида есть плоскость,
z
z = f (x; y)
параллельная нижнему основанию, то цилиндроид называется
цилиндром. Примером цилиндра
служит круговой цилиндр.
PSfrag replaements
Для нахождения
объема V
данного цилиндроида разобьем
область G произвольным образом на n частичных областей
O
1 ; 2; . . .; n ; площади которых
y
обозначим соответственно через
Mk
G
w1 ; w2; . . .; wn : В каждой
x
k
из этих частичных областей k
выберем произвольную иксиис. 93
рованную точку Mk (k ; k ) и
построим прямой цилиндрический столбик с основанием k и высотой f (k ; k ): Объем такого столбика равен f (k ; k )wk :
Сумма объемов таких цилиндрических столбиков представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего объем данного цилиндроида. Следовательно,
V
n
X
k=1
f (k ; k )wk :
Эта сумма будет тем точнее выражать искомый объем V; чем меньше будет каждый из диаметров *) частичных областей 1 ; 2 ; . . .; n :
Поэтому за объем V естественно принять
n
X
; n :
где
V = lim
f (k ; k )wk ;
!0 k=1
наибольший из диаметров частичных областей
...
1 ; 2 ; . . .
2. Определение двойного интеграла. В џ 23 было показано,
что к составлению выражения одного и того же вида
n
P
f (k )xn
lim
!0 k=1
для ункции одной переменной приводят самые разнообразные задачи. Аналогично к составлению выражения вида
n
X
lim f (k ; k )wk
!0
k=1
(1)
*) Под диаметром игуры понимается наибольшее из расстояний между точками этой игуры.
158
л. V. Функции нескольких переменных
для ункции двух переменных также приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме цилиндроида. Поэтому в
выражении (1) f (x; y ) не обязательно неотрицательна.
О п р е д е л е н и е. Если существует предел (1), не зависящий от
способа разбиения области G на частичные области k и выбора точек (k ; k ) в них, то он называется двойным интегралом от ункции f (x; y ) по области G и обозначается символом
ZZ
G
f (x; y) dw = lim
!0
n
X
k=1
f (k ; k )wk :
Функция f (x; y ) в этом случае называется интегрируемой в области G: При этом f (x; y ) называется подынтегральной ункцией , dw элементом площади , G областью интегрирования , x и y пере-
n
P
менными интегрирования , сумма
f (k ; k )wk интегральной
k=1
суммой .
З аZZм е ч а н и е. Для двойного интеграла используется также обозначение f (x; y ) dxdy:
G
Справедлива следующая теорема (она доказывается в более полных
курсах математического анализа, см., например, [8?):
Т е о р е м а. Если область G с кусочно гладкой *) границей ограничена и замкнута **), а ункция f (x; y ) непрерывна в области G;
то эта ункция интегрируема в области G:
В дальнейшем будем предполагать, что условия этой теоремы
выполнены.
Имея в виду задачу об объеме цилиндроида и определение двойного интеграла, заключаем, что искомый объем
ZZ
V = f (x; y) dw (f (x; y) > 0 в G):
G
ZZ
Из этой ормулы следует, что
G
области G; т. е.
ZZ
SG =
G
dw
численно равен площади
dw:
*) Кривая называется гладкой, если она непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющую свое положение от точки к
точке. Кривая, состоящая из конечного числа гладких кривых, называется
кусочно гладкой .
причисляется к области G:
**) Т. е. граница
159
џ 32. Двойной интеграл
3. Свойства двойного интеграла. Эти свойства, как и их доказательства, аналогичны соответствующим свойствам определенного
интеграла.
Поэтому приведем их без доказательства.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного
интеграла :
ZZ
ZZ
G
f (x; y) dw = G
f (x; y) dw:
2. Двойной интеграл от суммы двух ункций равен сумме двойных интегралов от этих ункций :
ZZ
ZZ
ZZ
G
[f1(x; y) + f2 (x; y)? dw =
G
f1 (x; y) dw +
G
f2 (x; y) dw:
П р и м е ч а н и е. Свойство 2 распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа ункций.
3. Если область
ZZ
G
G
разбита на две области
ZZ
ZZ
f (x; y) dw =
G1
f (x; y) dw +
G2
G1 и G2 ; то
f (x; y) dw:
4. Двойной интеграл равен произведению значения подынтегральной ункции в некоторой точке области интегрирования на
площадь этой области , т . е .
ZZ
(теорема о среднем).
G
f (x; y) dw = f (; ) SG
4. Вычисление двойных
интегралов. Пусть требуется вычисZZ
лить двойной интеграл
x; y) dw
PSfragf (replaements
G
y
от непрерывной ункции f (x; y ):
d
Случай прямоуг ольной
о б л а с т и. Пусть область G yj
прямоугольник a 6 x 6 b; 6 y 6
j
6 d (кратко [a; b; ; d?). азобьем yj 1
область G на частичные области
прямыми, параллельными коор
динатным осям (рис. 94) и проходящими через точки x0 = a; x1 ; . . .
a x 1 x
b x
O
. . .; xm 1 ; xm = b оси Ox и точки
y0 = ; y1 ; . . .; yp 1; yp = d оси Oy:
ис. 94
Тогда область G разобьется на
прямоугольники, наибольший из диаметров которых обозначим
через :
160
л. V. Функции нескольких переменных
Пусть j прямоугольник, являющийся пересечением столбца
j горизонтальной полосы. Площадь его будет wj = x yj ; где
x = x x 1; yj = yj yj 1 : Выберем точку (j ; j ) 2 j
так, чтобы j = x 1 ; j = 1 ; . . .; p: Тогда интегральная сумма будет:
и
=
X
f (x 1 ; j )x yj ;
j
(2)
где сумма распространена по всем прямоугольникам, т. е. по всем
значениям и j; = 1; 2; . . .; m; j = 1; 2; . . .; p:
Сумма вида (2) с двумя индексами суммирования называется
двойной интегральной суммой . Для ее вычисления можно сначала
произвести суммирование по j при иксированном ; т. е. сложить
слагаемые, отвечающие одному (любому) столбцу, а затем результаты
просуммировать по : Тогда получим:
=
m
X
p
X
=1 j =1
m
X
f (x 1; j )x yj =
p
X
=1 j =1
f (x 1 ; j )yj x :
азумеется, такой переход от двойной суммы к так называемой повторной можно было бы осуществить и вторым способом: первое,
внутреннее суммирование произвести по ; а второе, внешнее по j:
Используя одно из свойств определенного интеграла (џ 24, п. 1,
свойство 4) и теорему о среднем (џ 24, п. 4), будем иметь:
Zd
f (x 1; y) dy =
p yZj
X
j =1 yj
Следовательно,
1
=
где
f (x 1 ; y) dy =
m
X
=1
p
X
j =1
f (x 1; j )yj :
(x 1)x ;
(3)
Zd
(x 1) = f (x 1; y) dy:
Перейдя в (3) к пределу при
будем иметь:
ZZ
или с учетом (4):
G
ZZ
G
*)
Как и прежде,
! 0 (при ! 0 maxx ! 0) *),
Zb
f (x; y) dw = (x) dx;
f (x; y) dw =
(4)
a
Zb Zd
a
f (x; y) dy dx:
(5)
наибольший из диаметров частичных областей.
161
џ 32. Двойной интеграл
Обычно ормулу (5) записывают в виде
ZZ
G
Zb
Zd
a
f (x; y) dw = dx f (x; y) dy:
(6)
Выражение, стоящее в правой части последней ормулы, называется повторным интегралом . Для его вычисления надо последовательно взять два обычных интеграла: сначала внутренний интеграл
Zd
f (x; y) dy; в
котором
x
считается постоянным, а затем полученное
выражение (оно зависит от x) проинтегрировать по x от a до b внешний интеграл .
Аналогично при втором способе перехода от двойной интегральной суммы к повторной получили бы
ZZ
G
Zd
Zb
a
f (x; y) dw = dy f (x; y) dx:
(7)
Таким образом, двойной интеграл равен соответствующему повторному интегралу.
П р и м е р. Вычислить двойной интеграл
I = (x2 + y2) dw;
ZZ
G
PSfrag replaements
где G квадрат 0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1:
По ормуле (6) имеем:
3
Z1 Z1
Z1
Z1 3 1
I = dx (x2 + y2) dy = x2 y + y dx = x2 + 1 dx = x
0
0
3 0
0
= 1 + 1 = 2:
y
3 3 3
Этот же двойной интеграл
можно вычислить и по ормуле (7).
d
С л у ч а й п р о и з в о л ьн о й о б л а с т и. Пусть теперь G область в плоскости xOy; изображенная
на рисунке 95. Тогда вывод
предыдущего пункта переносится с небольшим изме-
нением: вместо интеграла
11 И. И. Баврин
3
3
1
=
0
y = '2 (x) D x = (y)
2
x = 1 (y)
B
G
A
y = '1 (x)
C
O
Zd
3
0
+1x
a
x 1 x b
x
ис. 95
f (x 1 ; y) dy
будем иметь интеграл
162
л. V. Функции нескольких переменных
'2 (xZ 1 )
f (x 1 ; y) dy:
'1 (x 1 )
Здесь
y = '1 (x) и y = '2(x)
уравнения нижней и верхней частей контура области G; на которые он делится точками A и B: Соответственно и окончательный
результат взамен (6) запишется в виде
ZZ
G
Zb
'2Z(x)
a
'1 (x)
f (x; y) dw = dx
f (x; y) dy:
(8)
Таким образом, пределы интегрирования во внутреннем интеграле в общем случае переменные. Пределы же у внешнего интеграла
постоянные.
Можно интегрировать и в другом порядке, сначала по x; а затем
по y: Тогда вместо (7) получается ормула
ZZ
G
где
Zd
f (x; y) dw = dy
x = 1(y)
Z(y)
2
f (x; y) dx;
(y)
x = 2 (y)
(9)
1
и
y
П р и м е р Найти
x=
y
p
уравнения левой и правой частей контура области G (рис. 95),
на которые он делится точками C и D:
y
Формула (8) ((9)) получена при условии,
что
область G пересекается прямыми, парал1
лельными оси Oy (Ox); не более чем в двух
eplaements
точках. Если это условие нарушено, то обx
ласть G разбивают на части.
=
O
ZZ
1 x
G
(x + y ) dxdy
по области G; ограниченной линиями
= x2 (рис. 96).
Интегрируя сначала по y; а потом по x; получаем:
Z1
Zx
Z1 h
2 ix
ис. 96
ZZ
G
(x + y ) dxdy = dx (x + y ) dy =
0
x2
=
1
Z
0
x2 + x2
2
0
xy + y2
y = x; y =
dx =
x2
3
4
4
5 1
x3 x2 dx = x2 x4 x10 = 203 :
0
163
џ 32. Двойной интеграл
Правильность результата можно проверить, изменив порядок интегрирования.
5. Двойной интеграл в полярных координатах. Пусть
рассматривается двойной интеграл
ZZ
f (x; y) dw
от непрерывной
G
r=
G
в области G ункции f (x; y );
где G область на плоскосy
ти xOy; изображенная на рисунке 97 : Как известно, x = r os ';
y = r sin ': азобьем область G
на частичные области
посредстPSfrag
replaements
вом координатных линий полярной системы, т. е. линий r = onst
и ' = onst (рис. 97).
f2 (
'
)
dw
dr
d'
')
f 1(
Выделим частичную область,
для
которой
центральный
угол d' и боковая сторона dr;
а радиус, соответствующий ниж
нему основанию этой области, r
(значит, нижнее основание r d'):
O
Эту частичную область, представляющую собой криволинейис. 97
ный четырехугольник, можно
принять приближенно за прямоугольник со сторонами
Тогда dw = rdrd' и мы будем иметь:
r=
ZZ
G
f (x; y) dw =
ZZ
G
x
dr
и
f (r os '; r sin ') rdrd':
rd' *).
(10)
Переходя в интеграле справа в равенстве (10) к повторному (это делается аналогично (9)) , получим:
ZZ
G
Z
f2Z(')
f1 (')
f (r os '; r sin ') rdrd' = d'
f (r os '; r sin ') rdr;
(11)
где смысл пределов интегрирования показан на рисунке 97.
З а м е ч а н и е. Если подынтегральная ункция или уравнение границы области интегрирования содержит сумму x2 + y 2 ; то в большинстве
*) Это будет замена с точностью до малых высшего порядка, так как
площадь криволинейного четырехугольника будет
(r + dr) d' r d' = r dr d' + (dr) d' :
2
2
2
2
11*
2
2
164
л. V. Функции нескольких переменных
случаев упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам, так как данная сумма в полярных
координатах
получает весьма простой вид:
y
eplaements
(r os ')2 + (r sin ')2 = r2 :
O
r
'
П р и м е р. Переходя к полярным координатам,
вычислить двойной интеграл
M
I=
R=1 x
ZZ
dxdy ;
x2 + y 2
p
G
где G первая четверть круга радиуса R =
ис. 98
центром
в начале координат (рис. 98).
p
Так как x2 + y 2 = r; то, применяя ормулы (10) и (11), получим:
I=
1
с
=
Z2
Z1
d' dr = 2 :
0
0
џ 33. Криволинейный интеграл
1. Определение криволинейного интеграла по координатам и его свойства. Пусть x = x(t); y = y (t) (t 2 [; ?) гладкая *)
кривая L с выбранным направлением (такую линию для краткости
будем называть путем ) и P (x; y ) ; Q(x; y ) пара ункций, непрерывных на кривой **) L:
Имеем:
0
0
dx = x (t) dt;
dy = y (t) dt:
О п р е д е л е н и е. Под криволинейным интегралом от ункции
по переменной x(y ) понимается интеграл
P (x; y) (Q(x; y)) по кривой L
Z
L
Z
L
Z
P (x; y) dx = P (x(t); y(t)) x0(t) dt
Z
Q(x; y) dy = Q(x(t); y(t)) y0(t) dt :
*) Т. е. эта кривая непрерывна и в каждой точке имеет касательную,
непрерывно меняющую свое положение от точки к точке. Для такой кривой ункции x (t); y (t) на отрезке [; ? непрерывны и имеют на нем непрерывные производные, причем x0 2 (t) + y 0 2 (t) > 0 на [; ?:
**) Непрерывность f (x; y ) вдоль кривой L означает, что в любой точке (x0 ; y0 ) этой кривой lim [f (x0 + x; y0 + y ) f (x0 ; y0 )? = 0; причем
(x0 + x; y0 + y )
x!0
y!0
также точка кривой
L:
165
џ 33. Криволинейный интеграл
Сумму интегралов
Z
L
P (x; y) dx
и
Z
L
Q(x; y) dy
называют криволи-
нейным интегралом (общего вида) и обозначают
Z
L
P (x; y) dx + Q(x; y) dy:
(1)
В силу предыдущего имеем ормулу
Z
Z
P (x; y) dx + Q(x; y) dy = [P (x(t); y(t)) x0(t) + Q(x(t); y(t)) y0(t)? dt:
L
Из определения криволинейного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства:
1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл
изменяет
свой знак на обратный . Записывается это
Z
Z
так:
P dx + Qdy =
P dx + Qdy *), где через L и L+ обозначена
L
L+
линия L при двух ее взаимно противоположных направлениях.
2. Если путь интегрирования L состоит из двух частей :
= L1 + L2 ; то
y
Z
L
Z
PSfrag
replaements
Z
P dx + Qdy = P dx + Qdy + P dx + Qdy:
L1
рал
Z
AB
2xy dx + xdy;
где точки A(2; 0) и B ( 1; 3) соединены: 1) прямой
(рис. 99).
е ш е н и е. 1) Вдоль прямой AB имеем y = 2
1
I = [2x(2 x) x? dx = 23 :
2
Z
ке
B
L2
П р и м е р. Вычислить криволинейный интег-
I=
L=
A x
C O
AB ; 2)
ис. 99
ломаной
ACB
x; dy = dx; и потому
2) Вдоль ломаной ACB на участке
имеем x = 1 ; dx = 0: Поэтому
AC имеем y = 0 и dy = 0; на участZ
Z
Z3
I = 2xy dx + xdy + 2xy dx + xdy = dy = 3:
0
AC
CB
CB
2. Условие независимости криволинейного интеграла от
пути интегрирования. Пусть P = P (x; y ); Q = Q(x; y ) непре-
рывные ункции в области G: ассмотрим две произвольные точки A и B этой области. Эти точки можно соединить различными
и
*)
Для сокращения записи пишем
Q(x; y):
P и Q вместо соответственно P (x; y)
166
л. V. Функции нескольких переменных
путями (A начало пути, B конец пути), лежащими в области G;
вдоль которых значения криволинейного интеграла (1), вообще говоря, различны. Так, рассмотренный Zвыше пример (см. п. 1) показывает, что криволинейный интеграл 2xy dx + xdy зависит от пути
L
интегрирования, т. е. зависит от вида линии, соединяющей точки
A и B: Наоборот, как легко проверить, криволинейный интеграл
Z
2xy dx + x2 dy вдоль тех же линий, что и в указанном примере, сое-
L
диняющих точки A (2; 0) и B ( 1; 3); дает одно и то же значение, равное 3.
Если криволинейный интеграл (1) по любому из путей, лежащих
в G и соединяющих ее точки A и B; принимает одно и то же значение,
то говорят, что он не зависит от пути интегрирования в G:
В этом случае нет необходимости указывать путь интегрирования,
а достаточно отметить лишь его начальную точку A(x1 ; y1 ) и его
конечную точку B (x2 ; y2 ) пути. Поэтому здесь употребляется обозначение
(x2;y2 )
Z
(x1;y1 )
P dx + Qdy:
(2)
Справедлива следующая теорема:
Т е о р е м а. Если в области G выражение
полным диеренциалом *) некоторой ункции
du = P dx + Qdy
P dx + Qdy является
u = u(x; y); т . е .
((x; y) 2 G);
(3)
то криволинейный интеграл (1) не зависит от пути интегрирования в области G:
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x = '(t); y = (t) (t 2 [; ?); L произвольный путь в области G; соединяющий точки A(x1 ; y1 )
и B (x2 ; y2 ) ; причем
'() = x1 ;
() = y1 ;
Из ормулы (3) имеем:
Отсюда получаем:
Z
L
Z
'( ) = x2 ;
( ) = y2 :
P dx + Qdy = du('(t); (t)):
P dx + Qdy = du('(t); (t)) = u('(t); (t)) =
= u('( ); ( )) u('(); ()) = u(B ) u(A): (4)
Таким образом, значение интеграла (4) одно и то же при любом
выборе ункций ' (t); (t) и, следовательно, этот интеграл не зависит
от вида пути, соединяющего точки A (x1 ; y1 ) и B (x2 ; y2 ):
*)
См. џ 29, п. 6.
167
Упражнения
С л е д с т в и е 1. Если выполнено соотношение (3), то в силу (4)
имеем :
(x2Z;y2)
(x1 ;y1 )
P dx + Qdy = u(x2 ; y2 ) u(x1 ; y1)
(5)
(обобщенная ормула НьютонаЛейбница ).
С л е д с т в и е 2. Если выражение P dx + Qdy есть
полный диI
еренциал и путь интегрирования L замкнутый , то P dx + Qdy =
L
= 0 (кружок при интеграле обозначает интегрирование вдоль замкнутого пути L ):
П р и м е р. Найти
(3;4)
Z
y dx + xdy:
I=
(1;2)
P = Q (см. џ 29,
Здесь y dx + xdy полный диеренциал, так как
y
x
п. 6). Имеем y dx + xdy = d(xy ):
Поэтому по ормуле (5)
I=
(3;4)
Z
(1;2)
d(xy) = xy(3;4)
(1;2) = 3 4 1 2 = 10:
Упражнения
Найти область существования следующих ункций.
u = 4 x + 2y:
[Вся плоскость
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
u= 3 :
x +y
u = p1 :
2
[Вся плоскость
2
u = x1 + y1 :
10. u = ln x ln y:
1 1
11. u = p + p :
y
x
x > 0; y > 0 и x < 0; y < 0:?
[Полоса 1 6 x + y 6 1:?
[Полуплоскость x + y > 0:?
[Круг x2 + y 2 < 4:?
[Круг x2 + y 2 6 1:?
[Вся плоскость xOy; кроме прямой y = x:?
[I и III квадранты:
xy
u = aros (x + y):
u = ln(x + y) + x y + 1:
u= p 1
:
4 x2 y 2
u = arsin(x2 + y2):
u = xxyy :
9.
xOy; кроме точки
xOy:?
(0; 0):?
[Вся плоскость
xOy; кроме осей Ox и Oy:?
[I квадрант x > 0; y > 0:?
[I квадрант x > 0; y > 0:?
Найти частные производные первого порядка от следующих ункций.
12.
u = x3 + 3x2 y y3:
[u0x = 3x2 + 6xy; u0y = 3x2 3y 2 :?
168
л. V. Функции нескольких переменных
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
u = x3 + 3x2 y y2:
p
u = x + 3y:
[u0x = 3x2 + 6xy; u0y = 3x2 2y:?
i
u0x = p 1 ; u0y = p 3 :
2 x +3y
2 x +3y
i
h
y
y
u0x = 2 2 ; u0x = 2 x 2 :
u = artg x :
x +y
x +y
h
i
2
1
0y =
u = artg (2x y):
u0x =
;
u
:
1+(2x y)2
1+(2x y)2
2
2
2
u = (1 x)y
[u0x = y 2 (1 x)y 1 ; u0y = 2y (1 x)y ln(1 x):?
h
y2 u ; u0 = uh ln(1 + xy ) + xy i:i
u = (1 + xy)y :
u0x = 1+
xy y
1+ xy
3
2
y
3
2
u = x y + 2x ln y + x
u0x = 3x2 y2 + 2ln y + yxy 1;
h
5
4
20.
21.
u = x3 sin y + y4:
u = x6 y 4 :
u0y = 2x3y + 2yx + xy ln x:
[u0x = 3x2 sin y; u0y = x3 os y + 4y 3 :?
[u0x = 6x5 ; u0y = 4y 3 :?
В следующих примерах для ункции
точке.
22.
23.
24.
u = xx + yy ; A(2; 1):
1 xy ; A(0; 1):
u = 1+
xy
u = x py + p3y ; B (1; 1):
x
u
найти
[В точке
u0x
u0y
и
в указанной
A(2; 1) u0x = 2; u0y = 4:?
[В точке A(0; 1) u0x =
h
В точке B (1; 1) u0x =
2; u0y = 0:?
2 ; u0 = 3 :i
3 y 2
25. При лечении некоторого заболевания одновременно назначаются
два препарата. еакция на инъекцию x ед. первого препарата и y ед. второго препарата выражается ункцией z = x2 y 2 (a x)(b y ): Какое
количество y второго препарата вызывает максимальную реакцию при
h i
иксированном количестве x первого препарата?
2b
Найти полные диеренциалы первого порядка от ункций.
h
26.
27.
28.
29.
30.
31.
u = 95xx +32yy :
u = ln(3x + 2y):
u = e2x sin3y:
u = xe xy :
u = x2 + 3xy:
u = x2 2xy y2:
3:
) :i
du = 37( y dx + xdy
2
h
(9x 2y)
+2dy :i
du = 3dx
3x +2y
[du = e2x (2sin 3y dx + 3os3y dy ):?
[du = e xy [(1 xy ) dx x2 dy ?:?
[du = (2x + 3y ) dx + 3xdy:?
[du = 2[(x y ) dx (x + y ) dy ?:?
Упражнения
32.
u = xy :
33.
u = xy :
h
h
169
ii
du = xy xy dx + ln xdy :
h
i
du = y1 dx x2 dy:
y
i
dx
34. u = ln(xy ):
du = x + dy
:
y
2
2
2
35. u = x + xy + sin y:
[du = (2x + y ) dx + (2xy + os y ) dy:?
du :
В следующих упражнениях считать, что x = x(t); y = y (t); и найти
dt
h
i
du
dy
dx
x
x
36. u = ye + 1:
=e y +
:
dt
dt dt
h
i
x:
du = 1 sin x x dy dx :
37. u = os
y
dt y
y y dt dt
h
2
dx + y dy :i
du
2 2
=
x
38. u = ln(4 + x + y ):
dt 4+ x2 + y2 dt
dt
u
u
Найти
и
; считая, что x = x(t; ); y = y(t; ):
t 2
y2 =x :
u = y ey2 =x y x + 2 y ; 3
39. u = e
x
x t
t 7
6 t
4
u = y ey2 =x y x + 2 y : 5
x
x 2 u
40. u = x tg y:
x
x
x
1
x
y
y ; 3
sin y +
= tg y + 2
=
t os y t os y
t os y t 7
6 t
4
5
u = 1 sin y x + x y :
os y
os y dy
41. Найти
от ункций, заданных неявно:
dx
3
3
а) x + y
3xy = 0; б) xy ln y = 0; в) yex + ey = 0:
h
dy = y x2 ; б) dy = y2 ; в) dy = yex :i
а)
dx y2 x
dx 1 xy
dx
ex + ey
h
Найти частные производные второго порядка от ункций.
42.
б)
u = x3 4x2 y + 5y2:
u = ex ln y:
а)
43.
u = sin(x + y):
44.
u = xartg y:
45.
u = e y=x:
[u00x2 = 6x 8y; u00xy = 8x; u00y2 = 10:?
x
x i
u00x2 = ex ln y; u00xy = ey ; u00y2 = e 2 :
y
[u00x2 = u00xy = u00y2 = sin(x + y ):?
h
2xy :i
u00x2 = 0; u00xy = 1 2 ; u00y2 =
1+ y
(1+ y2 )2
2
3
00 2 = y e y=x y 2 ;
u
x
3
6
7
x
x
4
5
1
y
1
00
y=x
00
y=x
uxy = 2 e
1
;
u
:
= 2e
2
y
x
x
x
h
170
л. V. Функции нескольких переменных
Найти указанные частные производные третьего порядка от ункций.
h 3
i
3
3
3
46.
47.
u = x5 + 3y3 + 2x y: u3 =? u3 =?
x
3
u = os(x y): 2 u =?
x
u = xy + 10: u 2
xy
3
u = y ln x: u3 =?
x
3
48.
49.
y
y
3 u =?
x2 y
3 u =?
xy2
=?
u = 60x2 ; u = 18:
x3
y3
h 3
u = sin(x y ):i
x2 y
h 3
u = 0; 3 u = 2 :i
xy2
x2 y x3
h 3
u = 2y ; 3 u = 0:i
x3 x3 xy2
Написать диеренциалы второго порядка для следующих ункций.
50.
51.
52.
53.
u = x2 + y 2 :
u = x + xy + 1:
u = x sin2 y:
2
u = ex+y :
2
[2(dx2 + dy 2 ):?
[2dxdy:?
[2sin2y dxdy + 2x os2y dy 2 :?
[ex+y (dx2 + 4y dxdy + (2 + 4y 2 ) dy 2 ):?
54. Выяснить, какие из данных выражений являются полными диеренциалами:
(x2 + y 2 ) dx + 2xy dy ;
2x dx + 2y dy;
x +y
x +y
2
2
2
2
2y dx 2xdy:
[Первые два выражения являются полными диеренциалами, третье нет.?
55.
56.
F (x; y); если ее полный диеренциал
dF = x2 dx + y2 dy:
h
i
F (x; y) = 31 (x3 + y3) + C; где C произвольная постоянная.
Проверить, является ли выражение 4(x2 y 2 )(xdx y dy ) полным
Найти ункцию
диеренциалом некоторой ункции, и если да, то найти эту ункцию.
[F (x; y ) = (x2 y 2 )2 + C; где C произвольная постоянная.?
Исследовать на экстремум следующие ункции:
h
i
u = 2x2 + 6xy + 5y2 x + 4y 5: umin = 422;25 в точке 172 ; 11
2 :
3
2
58. u = 2x + xy
216x:
[В точке ( 6; 0) ункция имеет максимум
= 864); в точке (6; 0) p (umax p
минимум (umin = 864): В точках (0; 6 6) и (0; 6 6) ункция не имеет
57.
экстремума.?
u = x2 + y2 + xy 4x 5y:
[umin = 7 в точке (1; 2):?
2
2
60. u = y
x + xy 2x 6y:
[Экстремума нет.?
61. u = xy (1
x
y
)
h
i
umax = 271 в точке 13 ; 31 ; в точках (0; 0) (1; 0) и (0; 1) экстремума нет.
59.
171
Упражнения
62.
63.
64.
65.
u = x3 y3 3xy:
[umax = 1 в точке ( 1; 1); в точке (0; 0) экстремума нет.?
u = sin x + sin y + sin(x + y); 0 6 x 6 2 ; 0 6 y 6 2 :
p
i
h
umax = 3 2 3 в точке 3 ; 3 :
u = 3x + 6y x2 xy y2:
[В точке (0; 3) ункция имеет максимум (umax = 9):?
x=
2
2
u = e (x +
y ):
h
2 :i
В точке ( 2; 0) ункция имеет минимум umin =
e
66. Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема при
данной сумме 12a всех его ребер.
[Куб.?
67. Найти размеры открытого прямоугольного бассейна объема V; на
облицовку которого нужно затратить минимум материала.
p3
i
h
p
x = y = 3 2V ; H = 2V ; где x и y размеры дна и H высота.
2
В химической реакции участвуют три вещества с концентрациями x; y и z: Скорость реакции V в любой момент времени выражается
законом v = kxy 2 z:
Найти концентрации x; y и z; при которых скорость течения реакции
максимальная.
[x = 25 %, y = 50 %, z = 25 %.?
68.
69. Полагая, что x и y связаны линейной зависимостью y = ax + b;
определить коэициенты a
1
2
3
4
5
x
и b по способу наименьших
квадратов, если данные
y
2,9
6,1
9,2
11,8
16
опыта представлены в виде
таблицы значений переменных x и y .
[a = 3;19; b = 0;37:?
70. Приводятся данные о внесении минеральных удобрений и урожае
сахарной свеклы с гектара посева за 5 лет:
од
1971
1972
1973
1974
1975
Минеральные
удобрения, ц
4
5
6
8
9
Урожай с 1 га, т
20
24
29
35
50
Предполагая линейную зависимость урожайности от количества внесенных удобрений y = ax + b; найти по этим данным коэициенты a
и b; применяя способ наименьших квадратов.
[a 5;4; b 2;9:?
71.
а)
в)
Найти оператор Лапласа следующих скалярных полей:
p
x2 + y 2 + z ;
u = x2 + y2 5x + 2y + 1; б) u = 1
p
u = x2 + y 2 + z 2 :
h
1 ; в) u = p
а) u = 2; б) u = p
x2 + y 2
i
2
:
x +y +z
2
2
2
172
л. V. Функции нескольких переменных
Вычислить интегралы.
2
72.
74.
2
Zx
Z
Z
xZ2
dx 3 dy:
[6.? 73. dx (2x y ) dy:
0ZZ 0
1 x
p
x y dxdy; где D квадрат 0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1:
D
ZZ
75.
D
ZZ
76.
D
y dxdy;
(x
где область
y) dxdy;
D
[0,9.?
h
1 :i
3
y2 = x; y = x h 2i:
9
4:
линиями x + y = 2;
ограничена линиями
где область
D
ограничена
h
y = x; y = 0:
Поменять порядок интегрирования в интегралах.
2 :i
3
1
1
Zx
Z
Z1
dx f (x; y) dy:
dy f (x; y) dx:
0 0
0 y
1
xZ2
Z1
Z
Z1
dx f (x; y) dy:
dy f (x; y) dx:
0 0
0 py
p1 x2
Z1
Z
dx
f (x; y) dy:
p1 y2
#
"
py+1
1 x2 1
Z
Z0
Z
Z1
f (x; y) dx:
dy
f (x; y) dx + dy
py+1
p1 y2
1
0
yZ+2
Z1
dy f (x; y) dx:
y "
#
0
Z1
Zx
Z2
Z1
Z3
Z1
dx f (x; y) dy + dx f (x; y) dy + dx f (x; y) dy:
0 0
1 0
2 x 2
Z
77.
78.
79.
80.
Переходя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы.
ZZ
81.
D
ZZ
82.
D
ZZ
83.
D
+ y2 6 2x:
ZZ
84.
D
2
2
ex +y dxdy; где D круг x2 + y2 6 1:
[ (e 1):?
h
(x2 + y 2 )2 dxdy; где D круг x2 + y 2 6 4:
(x2 + y 2 ) dxdy;
p
где область
D
ограничена окружностью
64 :i
3
h
x2 +i
3 :
2
1 + x2 + y 2 dxdy; где D четверть круга x2 + y 2 6 1; лежащая
h
(2 p2 1):i
в первом квадранте.
6
173
Упражнения
Записать двойными интегралами и вычислить площади плоских игур,
ограниченных линиями (в задачах 89, 90 перейти к полярным координатам).
85.
86.
87.
88.
89.
90.
x + y = 2; x = 0; y = 0:
y = x2; 4y = x2 ; x = 2:
y2 = 4 + x; x + 3y = 0:
x = 4y y2; x + y = 6:
(x2 + y 2 )2 = 2a2 xy (лемниската, рис. 100).
x3 + y3 = xy (лист Декарта, рис. 101).
y
h
[2:?
[4:?
i
20 5 :
h6 i
1:
6
[ha2 :i?
1:
6
y
O
x
x
O
g replaements
ис. 100
ис. 101
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями (в задачах 9497
перейти к полярным координатам).
h i
91.
x + y + z = 1; x = 0; y = 0; z = 0:
92.
z = 1 + x + y; x + y = 1; x = 0; y = 0; z = 0:
93.
94.
z = x + y; x + y = 1; x = 0; y = 0; z = 0:
z = x2 + y2; x = 1; y = 1; x = 0; y = 0; z = 0:
96.
z = x2 + y2; y = x2 ; y = 1; z = 0:
z = x2 + y2; x2 + y2 = 1; z = 0:
97.
z = 1 x2 y2 ; z = 0:
95.
1:
6
h i
5:
h6 i
1:
h3 i
2:
3
h
88 :i
105
h i
:
h2 i
:
2
Вычислить криволинейные интегралы.
Z
98.
прямой.
AB
(x2 y 2 ) dx + xy dy;
если путь от
A(1; 1)
до
B (3; 4)
отрезок
h
i
67 :
6
174
л. VI. яды
Z
99.
AB
xdy y dx по параболе y = x2
Z
100.
AB
(4x
y) dx + 5x2 y dy;
A(0; 0); B (1; 3):
Z
101.
(x y )2 dx + (x + y )2 dy;
L
если
A(0; 0) и B (2;h 4)i:
8
3:
параболы y = 3x2 ;
между точками
AB
дуга
[16.?
если
A(2; 0); B (4; 2):
(2;3)
Z
xdy + y dx:
[8.?
102.
( 1;2)
(1;1)
Z
(x y ) dx + (y x) dy:
104.
(1; 1)
(2;3)
Z
(x + y ) dx + (x y ) dy:
105.
(0;1)
L
ломаная
(3;Z 4)
103.
(0;1)
OAB;
xdx + y dy:
где
O(0; 0);
h
136 :i
3
[12.?
[ 2:?
[48.?
л а в а VI
ЯДЫ
џ 34. Числовые ряды
1. Основные понятия. Пусть дана бесконечная последовательность чисел a1 ; a2 ; . . .; an ; . . .
О п р е д е л е н и е. Символ
a1 + a2 + . . . + a1 + . . .
(1)
называется числовым рядом , или просто рядом , а числа a1 ; a2 ; . . .
; an ; . . . называются членами ряда. Вместо (1), пользуясь знаком сум1
мы, кратко пишут так:
X
...
n=1
an :
Суммы конечного числа членов ряда (1) S1 = a1 ; S2 = a1 + a2 ;
S3 = a1 + a2 + a3 ; . . .; Sn = a1 + a2 + . . . + an ; . . . называются частичны-
ми суммами (или отрезками ряда (1)).
ассмотрим последовательность
S1 ; S2 ; S3 ; . . .; Sn ; . . .
(2)
О п р е д е л е н и е. Если существует предел S = lim Sn ; то ряд (1)
n!1
называется сходящимся , а число S суммой этого ряда. В этом случае пишут:
175
џ 34. Числовые ряды
S = a 1 + a2 + a 3 + . . . + a n + . . . =
1
X
n=1
an :
Если последовательность (2) не имеет предела, то ряд (1) называется расходящимся . асходящийся ряд суммы не имеет.
П р и м е р 1. ассмотрим ряд, составленный из членов геометрической
прогрессии 1; q; q 2 ; . . .; q n 1 ; . . .:
Если
1 + q + q2 + . . . + qn 1 + . . .
q 6= 1; то, как известно,
n 1
Sn = 1 + q + q2 + . . . + qn 1 = q q q1 1 ;
(3)
n
n
Sn = 11 qq = 1 1 q 1q q :
1
При jq j < 1 lim Sn =
n!1
1 q ; т. е. ряд (3) при jqj < 1 сходится.
При q = 1 получаем ряд 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . . Следовательно, Sn = n
и lim Sn = 1; т. е. ряд (3) при q = 1 расходится.
n!1
или
П р и м е р 2. Исследовать на сходимость ряд
1
X
1
Очевидно,
Поэтому
1
n(n +1)
=
1
n
n=1
n(n +1)
1
:
(n = 1; 2; 3; . . .):
n +1
1 =1 1 :
Sn = 1 12 + 21 13 + 13 14 + . . . + n1 n +1
n +1
Отсюда
1 = 1:
lim S = lim 1
n +1
n!1 n n!1
Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1.
2. Основные свойства рядов. Если в ряде (1) отбросить конеч-
m членов, то получим ряд
am+1 + am+2 + . . . + am+k + . . .;
(4)
который называется остатком ряда (1) после m-го члена или кратко
остаток m:
ное число первых членов, например
Т е о р е м а 1. яд (4) сходится (или расходится ) одновременно с
рядом (1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим
Sk0 = am+1 + am+2 + . . . + am+k :
Имеем:
Sk0 = Sm+k Sm :
(5)
Отсюда видно, что существование или отсутствие предела при
k ! 1 частичной суммы одного ряда влечет за собой существова
176
л. VI. яды
ние или отсутствие предела частичной суммы другого ряда. Теорема
доказана.
С л е д с т в и е 1. При исследовании ряда на сходимость можно
игнорировать конечное число его первых членов .
Пусть ряд (1) сходится. Тогда согласно теореме 1 сходится и
ряд (4), значит, существует его сумма. Обозначим ее через Rm : Тогда,
перейдя к пределу в (5) при k ! 1; получим:
Rm
мы
Rm = S S m :
есть та погрешность, которую мы допускаем, если вместо сумсходящегося ряда (1) берем сумму m первых его членов. Так как
S
lim R = lim (S
m!1 m m!1
Sm ) = S S = 0;
то погрешность уменьшается с ростом m: Следовательно, абсолютная
величина остатка
jRmj = jS Sm j
будет как угодно мала, если только число m взято достаточно большим. Таким образом, мы всегда имеем возможность подсчитать приближенно сумму сходящегося ряда, взяв достаточно большое число
первых его членов.
Т е о р е м а 2. (необходимый признак сходимости ряда). Общий
член an сходящегося ряда (1) стремится к нулю при неограниченном
возрастании n; т . е .
lim a = 0:
n!1 n
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (1) сходится. Имеем:
= Sn Sn 1 ; откуда nlim
!1 an = nlim
!1 Sn nlim
!1 Sn 1 = S S = 0:
С л е д с т в и е 2. Если общий член an ряда (1) при
стремится к нулю , то этот ряд расходится .
an =
n!1
не
П р и м е р. Для ряда (1), у которого jq j > 1; имеем jq jn > 1 для n =
= 1; 2; . . . т. е. q n не стремится к нулю при n ! 1: Поэтому такой ряд
расходится.
П р и м е ч а н и е. Отметим, что условие (6) не является достаточным
для сходимости ряда. Действительно, для ряда
1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .;
2 3
n
1 = 0:
называемого гармоническим рядом , lim an = lim
n!1
n!1 n
(7)
Однако этот ряд
расходится, что можно установить рассуждениями от противного. Предположим, что ряд (7) сходится и его сумма равна S: Тогда
lim (S
S ) = lim S
lim S = S S = 0;
n!1 2n n n!1 2n n!1 n
что противоречит неравенству
1 + ... + 1 > n 1 = 1:
S2n Sn = n +1
2n
2n 2
Следовательно, гармонический ряд расходится.
177
џ 34. Числовые ряды
Т е о р е м а 3. Если ряд (1) сходится и его сумма равна
1
X
n=1
S; то ряд
an ;
(8)
произвольное число , также сходится и его сумма равна S:
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Sn и n частичные суммы соответственно рядов (1) и (8). Тогда
где
n = a1 + a2 + . . . + an = (a1 + a2 + . . . + an ) = Sn :
Отсюда
lim = lim S = nlim
n!1 n n!1 n
!1 Sn = S:
Теорема доказана.
Т е о р е м а 4. Если ряды
a1 + a 2 + + a n + ;
b1 + b2 + + bn +
...
...
(A)
...
...
(B )
сходятся и их суммы соответственно равны
1
X
A и B; то и ряд
(an bn )
(C )
n=1
сходится и его сумма равна A B:
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть An ; Bn и
соответственно рядов (A); (B ); (C ): Тогда
Cn
частичные суммы
Cn = (a1 b1 ) + (a2 b2 ) + . . . + (an bn ) =
Отсюда
= (a1 + a2 + . . . + an ) (b1 + b2 + . . . + bn ) = An Bn :
lim C = lim (A Bn ) = nlim
n!1 n n!1 n
!1 An nlim
!1 Bn = A B:
Теорема доказана.
3. Положительные ряды. Положительным рядом называется ряд, члены которого неотрицательны.
Пусть ряд (1), т. е. ряд a1 + a2 + . . . + an + . . .; будет положительный, т. е. an > 0 (n = 1; 2; . . .): Тогда, очевидно, Sn+1 = Sn + an+1 > Sn
(n = 1; 2; . . .) ; т. е. последовательность S1 ; S2 ; . . .; Sn ; . . . является неубывающей.
Это с учетом приведенного в џ 9 (п. 1) свойства 2 позволяет сормулировать следующее утверждение:
Т е о р е м а 1. Для того чтобы положительный ряд (1) сходился , необходимо и достаточно , чтобы последовательность частичных
сумм этого ряда была ограничена сверху .
12 И. И. Баврин
178
л. VI. яды
Т е о р е м а 2 (признак сравнения рядов). Пусть даны два положительных ряда
a1 + a 2 + + a n + ;
b1 + b2 + + bn +
Если члены ряда
ряда (B ):
...
...
...
...
(A)
(B )
(A) не превосходят соответствующих членов
an 6 bn (n = 1; 2; . . .);
(9)
то из сходимости ряда (B ) следует сходимость ряда (A); а из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B ):
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначив через An и Bn соответственно
частичные суммы рядов (A) и (B ); в силу неравенства (9) будем
иметь:
An 6 Bn :
Если ряд (B ) сходится, то по теореме 1 частичные суммы
ограничены сверху:
Bn 6 L(L
onst);
n = 1; 2; . . .
(10)
Bn
(11)
Из соотношений (10) и (11) имеем:
An 6 L;
n = 1; 2; . . .;
и, значит, согласно той же теореме 1 ряд (A) сходится.
Пусть теперь ряд (A) расходится. Тогда расходится
и ряд (B ):
В противном случае согласно по только что доказанному сходился бы
и ряд (A).
П р и м е ч а н и е 1. Теорема 2 остается справедливой, если условие (9)
выполняется не для всех n; а лишь начиная с некоторого n (см. п. 2, следствие 1).
П р и м е р 1. Исследовать на сходимость ряд
1
X
1
n=1 (n +1)
2
:
Сравнивая данный ряд со сходящимся рядом (см. п. 1, пример 2)
1
X
имеем
1
n(n +1)
n=1
1
1
(n +1) < n(n +1)
2
;
(n = 1; 2; 3; . . .):
Отсюда согласно теореме 2 получаем, что данный ряд сходится. Попутно
1 1
P
отметим, что тогда в силу следствия 1 из п. 2 сходится и ряд
:
2
n=1 n
П р и з н а к Д а л а м б е р а. Если члены положительного ряда (1)
таковы , что существует предел
џ 34. Числовые ряды
179
lim an+1 = ;
n!1 an
то при < 1 ряд (1) сходится , а при > 1 ряд (1) расходится .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения предела последовательности для любого " > 0 существует такое натуральное число
N = N ("); что для всех n > N выполняется неравенство
an+1
< ":
an
Отсюда
" < aan
+1
n
или
< ";
" < aan < + ":
+1
n
(12)
Если < 1; то выберем " столь малым, чтобы + " было меньше
единицы. Полагая + " = q; на основании соотношения (12) имеем:
an+1 < q;
или
an+1 < an q;
an
для n = N + 1; N + 2; . . . Давая n эти значения, из последнего нера-
венства получаем:
aN +2 < aN +1q;
aN +3 < aN +2q < aN +1 q2 ;
aN +4 < aN +3q < aN +2 q2 < aN +1q3 ;
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::
т. е. члены ряда
aN +2 + aN +3 + aN +4 + . . .
(13)
меньше соответствующих членов сходящегося ряда
aN +1 q + aN +1 q2 + aN +1 q3 + . . .
Тогда по признаку сравнения ряд (13) сходится, и, следовательно,
согласно теореме 1 из п. 2 сходится и ряд (1).
Пусть теперь > 1: Возьмем " столь малым, чтобы " > 1: Тогда при n > N в силу соотношения (12) будет выполняться неравенстa
во n+1 > 1; или an+1 > an : Таким образом, члены ряда, начиная
an
с номера N + 1; возрастают с увеличением их номеров, т. е. общий
член ряда an не стремится к нулю при n ! 1: Следовательно, согласно следствию 2 из п. 2 ряд (1) расходится.
П р и м е ч а н и е 2. При = 1 признак Даламбера на вопрос о том,
сходится или расходится ряд, ответа не дает. В самом деле, для гармонического ряда = 1; причем этот ряд расходится (см. п. 2). Вместе с тем
1 1
P
также = 1; но этот ряд сходится (см. п. 3, пример 1).
для ряда
2
12*
n=1(n +1)
180
л. VI. яды
П р и м е ч а н и е 3. Из доказательства признака Даламбера следует,
что при > 1 общий член an ряда (1) не стремится к нулю при n ! 1:
П р и м е ч а н и е 4. яд (1) будет расходиться и в том случае, когда
номера N; будет
lim an+1 = 1; так как тогда, начиная с некоторого
n!1 an
an+1 > 1; и, значит, a не стремится к нулю при n ! 1:
n
an
1
П р и м е р 2. яд
P
1
n=1 n!
сходится, так как
lim an+1 = lim n! = lim 1 = 0 < 1:
n!1 (n +1)! n!1 n +1
1 nn
P
П р и м е р 3. яд
расходится, так как
n=1 n!
n
n
n+1
lim an+1 = lim (n +1) nn! = lim n +1 = lim 1 + 1 = e > 1:
n!1 (n +1)! n
n!1 n
n!1
n
n!1 an
n!1 an
4. Знакочередующиеся ряды. Знакочередующимся рядом на-
зывается ряд вида
a1 a2 + a3 a4 + . . . + ( 1)n 1 an + . . .;
где an > 0 (n = 1; 2; . . .):
(14)
an+1 < an
(15)
Т е о р е м а 1 (теорема Лейбница). Если члены ряда (14) по абсолютной величине монотонно убывают :
(n = 1; 2; . . .)
и общий член стремится к нулю :
lim a = 0;
n!1 n
то ряд (14) сходится .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Частичную сумму
вить двояко:
(16)
S2m
можно предста-
S2m = (a1 a2 ) + (a3 a4 ) + . . . + (a2m 1 a2m );
S2m = a1 (a2 a3 ) (a4 a5 ) . . . (a2m 2 a2m 1) a2m :
(17)
(18)
Здесь в каждой круглой скобке разность положительная в силу условия (15). Из (17) следует, что S2m > 0 и последовательность fS2m g
монотонно возрастающая. Из (18) видно, что S2m < a1 ; т. е. последовательность fS2m g ограничена сверху. Следовательно (џ 9, п. 1), эта
последовательность имеет предел:
причем
lim S = S;
m!1 2m
0 < S < a1 :
Далее, с учетом (19) и (16) имеем:
lim S
= lim S + lim a
= S:
m!1 2m+1 m!1 2m m!1 2m+1
Из (19) и (21) следует, что lim Sn = S; т. е. ряд (14) сходится.
n!1
(19)
(20)
(21)
181
џ 34. Числовые ряды
П р и м е р. яд
1 1 1
n 11
2 + 3 4 + . . . + ( 1) n + . . .
1
сходится, так как условия теоремы 1 здесь выполнены.
Т е о р е м а 2. Остаток Rn знакочередующегося ряда (14), удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница , имеет знак своего
первого члена и меньше его по абсолютной величине .
Д о к а з а т е л ь с т в о Если n четное, то
Rn = an+1 an+2 + . . .
Так как этот ряд удовлетворяет теореме Лейбница, то согласно (20)
имеем: 0 < Rn < an+1 :
Если n нечетное, то
Rn = an+1 + an+2 . . .
Rn = an+1 an+2 + . . .
Отсюда
и согласно (20)
0 < Rn < an+1;
откуда Rn < 0 и jRn j < an+1 :
Теорема доказана.
П р и м е р. Вычислить с точностью до 0,1 сумму сходящегося ряда
1
1 + 1 1 + . . . + ( 1)n + . . .
2 3 4
n
1
(22)
В качестве приближенного значения суммы S ряда (22) мы должны
взять ту частичную сумму Sn ; для которой jRn j < 0;1: Согласно теореме 2
1 : Следовательно, достаточно положить n + 1 = 10; т. е.
jRn j < an+1 = n +1
n = 9; тогда
S9 = 1 21 + 31 14 + 15 16 + 17 18 + 19 0;74:
Отсюда S 0;7 с точностью до 0,1.
5. Абсолютная и условная сходимость. Перейдем теперь к
рядам с членами, имеющими любой знак. С каждым таким рядом
1
X
n=1
an
(23)
связан ряд с неотрицательными членами, составленный из модулей
членов данного ряда, т. е. ряд
1
X
n=1
1
P
janj:
(24)
Имеет место следующая теорема:
1
P
Т е о р е м а 1. Если сходится ряд
n=1
an :
n=1
jan j;
то сходится и ряд
182
л. VI. яды
Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим два положительных ряда
1
X
и
где
bn
(25)
сn ;
(26)
n=1
1
X
n=1
an > 0;
0
если an > 0;
n =
0 если an 6 0;
jan j; если an < 0:
Так как при n = 1; 2; . . . bn 6 jan j и n 6 jan j; то по теореме 2 из
bn =
an
если
п. 3 џ 34 ряды (25) и (26) сходятся. Обозначим их суммы соответственно через B и C: Частичную сумму Sn данного ряда (23) можно с
помощью обозначений для bn и n переписать в виде
Sn = (b1 + b2 + . . . + bn ) (1 + 2 + . . . + n ):
Переходя здесь к пределу при n ! 1; получим:
lim S = B C:
n!1 n
(27)
Следовательно, ряд (23) сходится.
О п р е д е л е н и е. яд
1
P
1 n=1
P
janj:
an
называется абсолютно сходящим-
1
P
an сходится, а ряд
n=1 P
n=1
1
jan j расходится, то ряд an называется неабсолютно или условn=1
n=1
ся , если сходится ряд
1
P
Если же ряд
но сходящимся .
П р и м е ч а н и е. авенство (27) показывает, что сумма абсолютно сходящегося ряда равна разности сумм двух положительных рядов, составленных из всех его положительных членов и из абсолютных величин всех его
отрицательных членов.
П р и м е р. яд
1
X
( 1)n 1
n=1
n2
абсолютно сходится, так как сходится ряд
1
X
1
2
n=1 n
(см. п. 3, пример 1); ряд
1
X
(
n=1
по теореме Лейбница сходится, но ряд
1)n
n
1
(28)
џ 35. Степенные ряды
1
X
183
1
n
n=1
расходится как гармонический. Следовательно, ряд (28) сходится условно.
џ 35. Степенные ряды
1
P
ассмотрим ряд
an (x); каждый член которого является ункn=1
цией от x: Такие ряды называются ункциональными . Ограничимся
рассмотрением двух наиболее употребительных видов ункциональных рядов степенных и тригонометрических .
1. Интервал сходимости. Функциональный ряд вида
1
X
n=1
an xn ;
(1)
где a0 ; a1 ; a2 ; . . .; an ; . . . постоянные вещественные числа, называется
степенным рядом . Иногда рассматривают степенной ряд более общего
вида
1
X
n=1
an (x x0 )n ;
(2)
где x0 некоторое постоянное число. яд (2) легко приводится к
виду (1), если положить
x x0 = y:
Поэтому в дальнейшем почти исключительно будем заниматься степенными рядами вида (1).
При каждом конкретном значении x ряд (1) становится числовым,
который в зависимости от x сходится или расходится.
Очевидно, всякий степенной ряд (1) сходится при x = 0: Существуют степенные ряды вида (1), сходящиеся лишь при x = 0 (ряды
I класса, см. ниже пример 2), а также степенные ряды вида (1), сходящиеся на всей числовой прямой (ряды II класса, см. ниже пример 3).
Остальные степенные ряды вида (1) относят к рядам III класса.
В подробных курсах математического анализа (см., например, [6?)
доказывается, что для каждого степенного ряда (1) III класса существует положительное число R; такое , что этот ряд абсолютно
сходится при jxj < R и расходится при jxj > R:
Это число R называется радиусом сходимости рассматриваемого
ряда, а интервал ( R; R) называется интервалом сходимости этого
ряда.
П р и м е ч а н и е 1. На концах интервала сходимости, т. е. в точках
и x = R степенной ряд (1) может быть как сходящимся, так и
расходящимся. Это зависит от конкретного исследуемого ряда.
П р и м е ч а н и е 2. Для ряда I класса полагают R = 0; для ряда
II класса полагают R = +1:
x= R
184
л. VI. яды
В простейших случаях радиус сходимости R степенного ряда (1)
III класса может быть определен с помощью признака Даламбера.
Пусть существует предел
lim an+1 = L 6= 0:
n!1 an
Образовав ряд
1
X
n=1
jan xn j;
(3)
применим к нему признак Даламбера
jan+1 xn+1 j = jxj lim an+1 = Ljxj:
lim
n!1 jan xn j
n!1 an
В соответствии с этим признаком ряд (1) сходится, если Ljxj < 1;
1
1
т. е. если jxj < ; и расходится, если Ljxj > 1; т. е. если jxj > (в этом
L
L
случае согласно примечанию 3 из п. 3 џ 34 общий член ряда (3), а
значит, и ряда (1) не стремится к нулю при n ! 1): Следовательно,
1 и расходится при jxj > 1 ;
ряд (1) сходится абсолютно
при jxj <
т. е.
L
an R = L1 = nlim
:
!1 a L
n+1
П р и м е ч а н и е 3. Если L = 0; то при любом x из числовой оси Ljxj =
= 0 < 1 и ряд (3), а значит, и ряд (1) сходятся на всей числовой оси, т. е.
R = +1: Если же L = +1; то при любом x 6= 0 из числовой оси Ljxj = +1
и, значит, в силу примечания 4 из п. 3 џ 34 ряд (1) при любом x 6= 0 расходится, т. е. R = 0:
П р и м е р 1. Для ряда
1 n
X
1 x
L = nlim
!1
n3n
(n +1)3n
+1
= 1:
3
n=1
(4)
n 3
Следовательно,
R = 3:
Поэтому данный ряд
абсолютно сходится в интервале ( 3; 3) и расходится вне отрезка [ 3; 3?:
В точке x = 3 получаем гармонический ряд, т. е. в этой точке ряд (4)
x = 3 имеем ряд 1 + 21 31 + . . .; который сходится в
силу теоремы Лейбница (џ 34, п. 4). Значит, в точке x = 3 ряд (4) сходится
расходится. В точке
условно.
1
P
П р и м е р 2. В случае ряда
n=1
n! xn
(n +1)! = lim (n + 1) = 1:
L = nlim
n!1
!1 n!
Значит, R = 0:
1
P
П р и м е р 3. Для ряда
Следовательно,
xn
n=0 n!
n!
1
L = nlim
!1 (n +1)! = nlim
!1 n +1 = 0:
R = 1:
185
џ 35. Степенные ряды
2. Диеренцирование и интегрирование степенных рядов. Сумма сходящегося степенного ряда
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . .
(5)
представляет собой ункцию от x; определенную в интервале сходимости ( R; R) (R > 0) этого ряда.
В более полных курсах (см., например, [6?) доказывается, что ункция f (x) диеренцируема в интервале ( R; R) и ее производная f 0 (x)
может быть найдена почленным диеренцированием ряда (5), т. е.
f 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . . . + nan xn 1 + . . .
Аналогично могут быть вычислены и производные старших порядков. При этом получаемые здесь ряды имеют тот же интервал
сходимости, что и ряд (5).
Доказывается также ([6?), что для всякого x из интервала ( R; R)
ряд (5) можно почленно интегрировать на отрезке [0; x?; т. е.
Zx
1
0
n+1
f (t) dt = a0 x + a 2x + a 3x + . . . + annx+1 + . . .
2
2
3
Последний ряд имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (5).
3. азложение ункций в степенные ряды. Для приложений
важно уметь данную ункцию f (x) разлагать в степенной ряд , т. е.
ункцию f (x) представлять в виде суммы степенного ряда, так как
тем самым мы получаем возможность просто вычислять значения
этой ункции с любой степенью точности.
азберем частные случаи.
ассмотрим степенной ряд
1 + x + x2 + . . . + x n + . . .
Этот ряд (см. џ 34, п. 1, пример 1) сходится при
1 :
его равна
jxj < 1; причем сумма
1 x
Следовательно,
1
2
n
1 x = 1 + x + x + ... + x + ...
и это равенство справедливо при всех x из ( 1; 1):
(6)
1
Формула (6) называется разложением ункции
1 x в степенной
ряд .
Формула (6) является источником новых разложений.
а з л о ж е н и е у н к ц и и ln(1+ x): Заменяя в разложении (6) x
на t; получим
Считая
от 0 до
1
2 3
n n
1+ t = 1 t + t t + . . . + ( 1) t + . . .
jxj < 1; можно
x: Получим:
ряд (7) проинтегрировать по
(7)
t
в пределах
186
л. VI. яды
Zx
0
Zx
Zx
0
0
dt
1+ t = dt
Zx
Zx
0
0
tdt + t2 dt
Zx
t3 dt + . . . + ( 1)n tn dt + . . .
0
Отсюда
2
3
4
n+1
ln(1 + x) = x x2 + x3 x4 + . . . + ( 1)n xn +1 + . . .;
(8)
если jxj < 1: Можно показать, что это разложение справедливо также
при x = 1:
а з л о ж е н и е у н к ц и и artg x: Аналогично, полагая в (6) x =
= t2 и интегрируя полученное равенство по t от 0 до x; получим
разложение ункции artg x :
5
7
2n+1
3
(9)
artg x = x x3 + x5 x7 + . . . + ( 1)n 2xn +1 + . . .;
справедливое для jxj < 1: Можно доказать, что это разложение остается верным и при x = 1; и при x = 1:
Т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и. Если ункция f (x) на интервале (x0 R; x0 + R) разлагается в степенной ряд
f (x) = a0 + a1 (x x0 ) + a2 (x x0 )2 + . . . + an (x x0 )n + . . .; (10)
то это разложение единственно .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно результатам *) п.2
f 0 (x) = 1 a1 + 2a2 (x x0 ) + 3a3 (x x0 )2 + . . . + nan (x x0 )n 1 + . . .;
f 00(x) = 1 2a2 + 2 3a3 (x x0 ) + . . . + n(n 1)an (x x0 )n 2 + . . .;
f 000 (x) = 1 2 3a3 + 2 3 4a4 (x x0 ) + . . .
. . . + (n
2)(n 1) nan (x x0 )n 3 + . . .;
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
f (n) (x) = 1 2 3 . . . (n 1) nan + 2 3 . . . n(n + 1) an+1 (x x0 ) + . . .;
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Полагая в этих равенствах и в равенстве (10) x = x0 ; найдем, что
000
00
n
a0 = f (x0 ); a1 = f 0(x0 ); a2 = f 2!(x ) ; a3 = f 3!(x ) ; . . .; an = f n(!x ) ; . . .
0
( )
0
0
(11)
Подставляя полученные выражения коэициентов в равенство (10), получим ряд
0
00
n
f (x) = f (x0)+ f 1!(x ) (x x0)+ f 2!(x ) (x x0)2 + . . . + f n(!x ) (x x0)n + . . .;
который называется рядом Тейлором ункции f (x):
0
0
( )
0
*) Они, как и другие результаты этого параграа, распространяются и
на ряды вида (2) в силу подстановки x x0 = y:
187
џ 35. Степенные ряды
Таким образом, если ункция f (x) разлагается в степенной ряд по
степеням x x0 ; то этот ряд обязательно является рядом Тейлора
этой ункции .
Если в ряде Тейлора положить x0 = 0; то получим частный случай
ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена :
0
00
n
f (x) = f (0) + f 1!(0) x + f 2!(0) x2 + . . . + f n!(0) xn + . . .
( )
Отсюда следует, что ряды (6), (8), (9) представляют собой соответст1 ; ln(1+ x) и artg x; чтобы в этом
венно ряды Маклорена ункций
1 x
убедиться, достаточно вычислить коэициенты указанных рядов по
ормулам (11) (предоставляем это сделать читателю самостоятельно).
а з л о ж е н и е у н к ц и и ex :
Пусть f (x) = ex : Имеем
f (n) (x) = ex ; n = 1; 2; . . . Отсюда f (n)(0) = 1; n = 1; 2; . . . Значит,
ункция ex имеет следующий ряд Маклорена:
2
n
1 + 1!x + x2! + . . . + xn! + . . .
анее (см. п. 1, пример 3) установлено, что этот ряд сходится на всей
числовой оси. В подробных курсах (см., например, [6?) доказывается,
что сумма этого ряда для любого значения x равна ex ; т. е.
n
ex = 1 + 1!x + x2! + . . . + xn! + . . .
(12)
а з л о же н и е у н к ц и и sin x: Пусть f (x) = sin x: Здесь
(
k
)
; откуда f (k) (0) = sin k
f (x) = sin x + k
2
2 = 0 при k = 2n и
(
k
)
n
f (0) = ( 1) при k = 2n + 1: Поэтому ункция sin x имеет следую2
щий ряд Маклорена:
1
X
2n+1
( 1)n (2xn +1)! :
n=0
Последний ряд, как и ряд (12), также сходится при любом
сумма равна sin x; т. е.
1
x;
и его
X
2n+1
( 1)n (2xn +1)! :
(13)
n=0
а з л о ж е н и е у н к ц и и os x: Продиеренцировав по-
sin x =
членно ряд (13), получим:
4
2
os x = 1 x2! + x4!
x6 + . . . + ( 1)n 1 x2n 2 + . . .;
6!
(2n 2)!
при этом это разложение также справедливо для любого x:
а з л о ж е н и е у н к ц и и (1 + x) : Пусть f (x) =
где любое вещественное число. Здесь
и
f (n) (x) = ( 1). . .( n + 1)(1 + x)
n
(1 + x) ;
188
л. VI. яды
f (n)(0) = ( 1). . .( n + 1):
Можно доказать (см., например, [6?), что равенство
(1 + x) = 1 + x + (2! 1) x2 + . . . + ( 1). .n.(! n +1) xn + . . .
верно при jxj < 1:
(14)
яд (14) называется биномиальным .
Если = m (m натуральное), то имеем так называемый бином
Ньютона:
m(m 1). . .(m n +1) n
1) 2
(1 + x)m = 1 + mx + m(m
1 2 x + . . . + 1 2 3 . . . (n 1) n x :
4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям. Степенные ряды являются мощным вычислительным
средством. С их помощью можно, например, вычислять приближенные значения ункций, приближенно вычислять некоторые ѕнеберущиесяї определенные интегралы.
П р и м е р 1. Вычислить значение
Согласно ормуле (12) имеем:
e0;2 с точностью до 0,0001.
3
4
2
e0;2 = 1 + 0;2 + 0;2!2 + 0;3!2 + 0;4!2 + . . .
Оценим погрешность, получаемую при отбрасывании всех членов этого
ряда, начиная с пятого:
4
5
6
4 2
R4 = 0;4!2 + 0;5!2 + 0;6!2 + . . . = 0;4!2 1 + 05;2 + 05;26 + . . . <
2
4 < 0;4!2 1 + 05;2 + 05;2 + . . . = 0;0016
24 Значит, с точностью до 0,0001 имеем:
1 < 0;0001:
1 05;2
e0;2 1 + 0;2 + 0;2!2 + 0;3!2 = 1;2 + 0;204 + 0;008
6 1;2213
2
3
(здесь можно использовать калькулятор).
П р и м е р 2. Вычислить интеграл
В силу ормулы (12)
e
Отсюда (п. 2)
1Z=4
0
2
e x dx =
1Z=4
0
dx
1Z=4
0
x2
1Z=4
0
4
2
=1 x +x
1! 2!
x2 dx + 12
1Z=4
0
2
e x dx с точностью до 0,0001.
x6 + . . .
3!
x4 dx 3!1
= 0;25
1Z=4
0
x6 dx + . . . =
1
1
3 4 + 10 4
3
5
1
42 4 + . . . (15)
7
Это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий теореме Лейбница (см.
џ 34, п. 4). Так как
189
џ 36. яд Фурье
1
1
1
10 4 = 10 240 < 10000 = 0;0001;
5
то для получения нужной точности достаточно взять первые два члена
ряда (15):
1=4
Z
0
2
e x dx 0;25
1
3 4 0;25 0;0052 = 0;2448
3
(здесь также можно использовать калькулятор).
џ 36. яд Фурье
1. Тригонометрические ряды. Степенные ряды, рассмотренные в предыдущем параграе, позволили нам представить ункцию f (x) в виде суммы (с некоторыми коэициентами) простейших
ункций степеней x:
1; x; x2 ; x3 ;
; xn ;
...
...
В этом параграе рассмотрим ункциональные ряды, в которых
вместо степеней x выбраны другие, также достаточно простые и хорошо изученные ункции тригонометрические:
1; sin x; os x; sin2x; os 2x;
; ; sin nx; os nx;
...
...
(1)
Иными словами, будем рассматривать ряды вида
a0 + a os x + b sin x + a os2x + b sin2x + . . .
1
1
2
2
2
. . . + an os nx + bn sin nx + . . .
Такие ряды называются тригонометрическими .
2. Тригонометрическая система ункций, ее ортогональность. Функции '(x) и (x) называются ортогональными друг
[a; b?; если
другу на промежутке
Zb
a
'(x) (x) dx = 0:
Система ункций называется ортогональной на промежутке [a; b?;
если каждые две ункции из этой системы ортогональны друг другу
на этом промежутке.
П р и м е р. Тригонометрическая система ункций (1) ортогональна на
промежутке [ ; ?:
В самом деле, если k 6= 0 и целое, то
Z
(2)
os kxdx = 1 sin kx = 0;
Z
sin kxdx =
k
1
os kx
k
= 0:
(3)
190
л. VI. яды
Это значит, что единица ортогональна ко всем остальным ункциям системы (1).
Заметим теперь, что при натуральных m; n произведения sin nx sin mx
(m 6= n); os nx os mx (m 6= n); sin nx os mx всегда можно представить
суммой ункций вида sin kx или os kx: Например,
os nx os mx = 1 [os(n m) x + os(n + m) x?:
2
Поэтому интеграл от до от этих произведений также равен нулю.
Укажем еще на одно свойство системы (1), заключающееся в том, что при
любом натуральном n
Z
Например,
Z
Z
os2 nxdx = ;
os2 nxdx = 1
2
Z
sin2 nxdx = :
(4)
(1 + os2nx) dx = 1 x + 1 sin2nx = :
2
2n
3. азложение ункций в ряд Фурье. Предположим теперь,
что некоторая ункция f (x); которую для определенности считаем
непрерывной на [ ; ?; представима на этом промежутке суммой
тригонометрического ряда
f (x) = a2 + a1 os x + b1 sin x + a2 os2x + b2 sin2x + . . .
0
...
+ an os nx + bn sin nx + . . .
(5)
Предположим также, что, подобно степенным рядам, ряд (5) можно
почленно интегрировать (на выяснении условий, при которых это возможно, здесь не останавливаемся). Тогда в силу (2) и (3) будем иметь:
Z
Отсюда
f (x) dx =
Z
a0 dx = a0 2 = a :
0
2
2
Z
a0 = 1 f (x) dx:
(6)
Умножим теперь ряд (5) на os nx; n > 0; и снова проинтегрируем
от до : Тогда в силу ортогональности тригонометрической системы все слагаемые проинтегрированного ряда обратятся в нуль, за
исключением слагаемого, содержащего an : Получим:
Z
f (x) os nxdx =
или согласно ормуле (4):
Z
Z
an os2 nxdx;
f (x) os nxdx = an ; откуда
191
џ 36. яд Фурье
an = 1
Z
f (x) os nxdx
(n = 1; 2; . . .):
Аналогично, умножая обе части равенства (5) на
руя полученное равенство от до ; получим:
bn = 1
Z
f (x) sin nxdx
(7)
sin nx и интегри-
(n = 1; 2; . . .):
(8)
Таким образом, если непрерывная ункция f (x) разлагается в
тригонометрический ряд, допускающий почленное интегрирование,
то коэициенты этого ряда a0 ; an ; bn выражаются через f (x) посредством ормул (6)(8).
Пусть теперь в промежутке [ ; ? задана произвольная непрерывная ункция f (x): Для такой ункции, ничего заранее не предполагая о возможности ее представления суммой тригонометрического
ряда, можем по ормулам (6)(8) определить числа a0 ; an ; bn и
составить с этими числами тригонометрический ряд
a0 + a os x + b sin x + a os2x + b sin2x + . . .
1
1
2
2
2
...
+ an os nx + bn sin nx + . . .
(9)
Числа a0 ; an ; bn ; найденные по ормулам (6)(8), называются
коэициентами Фурье ункции f (x); а тригонометрический ряд (9)
с этими коэициентами называется рядом Фурье для этой ункции.
Как и при изучении степенных рядов, возникает вопрос: что нужно
потребовать от ункции f (x); чтобы ряд Фурье, составленный для
нее, сходился к самой ункции?
Имеет место следующая теорема:
Т е о р е м а р а з л о ж е н и я. Пусть ункция f (x) задана на
отрезке [ ; ? и в каждой точке этого отрезка имеет производную f 0 (x): Тогда ряд Фурье этой ункции сходится на всей числовой
оси , причем сумма его S (x) равна f (x) в точках , для которых
< x < ; и
f ( )+ f ()
S () =
2
:
(10)
Эту теорему примем без доказательства.
З а м е ч а н и е 1. В теореме говорится о том, какова сумма ряда S (x)
в точках, принадлежащих отрезку [ ; ?: Однако поскольку эта сумма 2
периодична, то ее значения на [ ; ? определяют собой и все остальные
значения.
З а м е ч а н и е 2. Теорема гарантирует разложимость всякой диеренцируемой на [ ; ? ункции в ее ряд Фурье не на всем этом отрезке, а
лишь на интервале ( ; ): Однако если разлагаемая ункция удовлетворяет еще дополнительному условию
f ( ) = f ();
(11)
192
л. VI. яды
то, как это видно из (10), она будет представима своим рядом Фурье на всем
отрезке [ ; ?.
4. яды Фурье для четных и нечетных ункций. Если f (x) четная ункция на отрезке [ ; ?; то ее коэициенты
Фурье bn в ряду (9) равны нулю. В самом деле,
bn = 1
Z
f (x) sin nxdx = 1
Z0
Z
f (x) sin nxdx + f (x) sin nxdx :
0
В первом интеграле сделаем замену переменной x =
зуясь четностью f (x) и нечетностью синуса, получим:
Z0
f (x) sin nxdx =
Z0
f ( t) sin n( t) dt =
Z
0
t: Тогда, поль-
f (t) sin ntdt:
Отсюда и из предыдущего равенства следунт наше утверждение.
Коэициенты an в этом случае (это тоже легко показать) можно
подсчитать по ормулам
Z
an = 2 f (x) os nxdx;
0
Аналогично показывается, что если
an = 0 (n = 0; 1; 2; . . .) и
Z
bn = 2 f (x) sin nxdx
0
n = 0; 1; 2; . . .
(12)
f (x) нечетная ункция, то
(n = 0; 1; 2; . . .):
(13)
Таким образом, если ункция четная, то ее ряд Фурье (9) содержит
только косинусы, а если нечетная только синусы. оворят, что ункция разлагается в неполный ряд по косинусам или соответственно по
синусам .
П р и м е р 1. Пусть f (x) = x: В силу (13) имеем:
Z
Z
1
1
2
2
x os nx + os nxdx =
bn = x sin nxdx =
0
n
0 n0
=
2 os n = ( 1)n+1 2 : (14)
n
n
Следовательно, согласно теореме разложения при
x sin3x
x = 2 sin x sin2
2 + 3
<x<
... :
(15)
В точках же x = равенство (15) заведомо неверно, ибо сумма ряда в
этих точках равна нулю. В силу 2 -периодичности суммы S (x) ряда (15)
граик этой суммы имеет вид, изображенный на рисунке 102 жирной линией.
193
џ 36. яд Фурье
y
plaements
y
2
3
2 O
2 3 x
3 2 O
ис. 102
2 3 x
ис. 103
Интересно, что S (x) оказывается разрывной ункцией (хотя все члены
ряда непрерывны!).
П р и м е р 2. Пусть f (x) = x2 : Согласно (12) имеем:
Z
2
3 a0 = 2 x2 dx = 2 x = 2 ;
3 0
3
0
Z
Z
4 Z x sin nxdx
an = 2 x2 os nxdx = 2 n1 x2 sin nx n2 x sin nxdx = n
0
0
0
0
(n = 1; 2; . . .);
4
откуда с учетом равенства (14) an = ( 1)n 2 : Значит, по теореме разлоn
жения при < x < 2
(16)
x2 = 3 4 os x os22 x + os32 x . . . :
2
3
Так как ункция f (x) = x2 удовлетворяет условиям (11), то ормула (16) верна на всем отрезке [ ; ?:
Благодаря 2 -периодичности суммы ряда (16) граик ее имеет вид,
изображенный на рисунке 103.
Функция S (x) оказывается непрерывной, но не гладкой.
5. яды Фурье с периодом 2l. Если ункция f (x) удовлетворяет условию теоремы разложения (п. 3) в случае произвольного
отрезка [ l; l?; то в этом случае вместо (5) будем иметь разложение
f (x) = a2 +
0
где
1
X
n=1
Zl
an os nx
+ bn sin nx
l
l
an = 1l f (x) os nx
dx
l
l
13 И. И. Баврин
( l < x < l);
(n = 0; 1; 2; . . .);
194
л. VI. яды
Zl
bn = 1l f (x) sin nx
dx
l
(n = 1; 2; . . .):
l
f (x) четная ункция, то bn = 0 (n = 1; 2; . . .) и
an = 2l f (x) os nx
dx (n = 0; 1; 2; . . .); если же f (x) нечетная ункl
0
2 Zl f (x) sin nx dx (n = 1; 2; . . .):
ция, то a = 0 (n = 0; 1; 2; . . .) и b =
При этом если
Zl
n
n
l
l
0
Упражнения
Найти сумму ряда.
1.
1 + 1 + 1 + ...
3.
5.
2 4
1 + 1 + 1 + ...
1 4 4 7 7 10
1 1 1
1 4 + 2 5 + 3 6 + ...
[2:?
h
2.
1 :i
3
4.
[асходится.?
7.
Исследовать сходимость ряда.
6.
1 + 2 + 3 + ...
2 3 4
1
P
nn
n:
n=1 (1+ n)
1 1
P
10.
n:
n=1 1+2
1 1
P
:
12.
n=1 2n 1
8.
14.
16.
17.
19.
21.
1
P
n2 :
1 n
P
2 sin
n=1
1
P
1
P
[асходится.?
2
(n!) :
n=1 (2n)!
2
n=1 n
2
:
15.
1
P
h
3 :i
4
h i
1:
2
h
11 :i
18
[асходится.?
1 1 1
2 + 4 + 6 + ...
1 n +1
P
11.
:
n=1 n(n +2)
1
P
1 :
13.
p
n=1 n +2n
n tg n+1 :
1 3n
P
[асходится.?
9.
3n ; 0 < < 3:
1 :
(2
n
+1)!
n=1
n=1
[Сходится.?
[Сходится.?
n
n=1 3
1
P
[асходится.?
1 1 1
3 + 9 27 + . . .
1 1 1
1 3 + 3 5 + 5 7 + ...
1
[асходится.?
[асходится.?
2
n2 :
n=1 n!
[Сходится.?
[Сходится.?
[Сходится.?
18.
[Сходится.?
20.
[Сходится.?
22.
1
P
1
n : [Сходится.?
(2
n
1)2
n=1
1 1000n
P
:
[Сходится.?
n=1 n!
1 3n n!
P
:
[асходится.?
2
1
n
n=1 n
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд.
1 ( 1)n
P
:
[Условно сходится.?
23.
n=2
ln n
195
Упражнения
24.
25.
26.
27.
28.
1
P
3
( 1)n 1 nn :
[Абсолютно сходится.?
2
n=1
1
P
( 1)n+1 n :
2n +1
n=1
1
n
1
P ( 1)
:
n=1 100n +1
1
P
( 1)n 1 :
n=1
1
P
( 1)n n
2n
n=1
(
=
1) 2
[асходится.?
[Условно сходится.?
[асходится.?
:
[Абсолютно сходится.?
Найти интервал сходимости ряда.
h
1 n n
P
1i
29.
31.
32.
34.
35.
n=1
3 x :
1
P
n
( 1)n 1 x :
n
n=1
1 n 3 xn
P
:
n=1 n +1
1 xn
P
n:
n=1 n 7
1 xn
P
:
n=0 (2n)!
jxj < 3 :
36.
e
37.
x2 e 2x:
38.
sin x2 :
39.
os2 x:
40.
41.
42.
13*
:
1
1 x:
r
ln 1+ x :
1 x
1
(1 x) :
2
2
1
P
(n + 1)2 xn :
[jxj < 1:?
n=1
[jxj < 1; при x = 1 условно сходится.?
[jxj < 1:?
азложить в ряд по степеням
x2
30.
33.
1
P
xn :
n
n=0 e
[jxj < e:?
[jxj < 7; при x = 7 условно сходится.?
[
1 < x < +1:?
x следующие ункции:
hP
1
n
i
( 1)n x ; jxj < 1:
n!
n=0
hP
i
1
n n+2
( 1)n 2 x ; jxj < 1:
n!
n=0
hP
i
1
2(2n+1)
( 1)n x
;
j
x
j
<
1
:
(2n +1)!
n=0
h
1
2n 1 2n
P
x ; jxj < 1:i
1 + ( 1)n 2
(2n)!
n=1
hP
i
1 2n
x ; jxj < 1:
2
n=0
hP
1
hP
1
x2n+1 ; jxj < 1:i
n=0 2n +1
(n + 1) xn ; jxj < 1:
n=0
i
196
л. VII. Диеренциальные уравнения
h
1 :
1 x
43.
p
44.
artg x :
1+
2
hP
1
2
n=0
1
P
(2n 1)!! x2n; jxj < 1:i
n=1 (2n)!!
( 1)n
x2n+1 ; jxj 6 2:i
22n+1 (2n +1)
Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить с точностью
до 0,001.
45.
47.
48.
49.
[ ; ?:
pe:
Z1
0
[1,649.?
46.
sin18Ж :
[0,309.?
2
e x dx:
[0,747.?
азложить в ряд Фурье ункцию
f (x) = jxj в промежутке [ ; ?:
азложить в ряд Фурье ункцию
h
1 os(2k 1) x i
4P
2 k=1 (2k 1) :
2
f (x) = + x
h
+2
1
P
k=1
в промежутке
i
k+1
( 1)
k
sin kx:
л а в а VII
ДИФФЕЕНЦИАЛЬНЫЕ УАВНЕНИЯ
џ 37. Задачи, приводящие к диеренциальным
уравнениям
В различных областях науки и техники весьма часто встречаются
задачи, для решения которых требуется решить одно или несколько
уравнений, содержащих производные искомых ункций. Такие уравнения называются диеренциальными . ассмотрим несколько задач,
приводящих к диеренциальным уравнениям.
З а д а ч а 1. На плоскости xOy найти кривую, проходящую через
точку O (0; 0); у которой угловой коэициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания.
е ш е н и е. Пусть y = f (x) уравнение искомой кривой. По
условию задачи в каждой точке M (x; f (x)) есть касательная к этой
кривой, угловой коэициент которой, т. е. f 0 (x); равняется 2x: Таким
образом, имеем:
dy
dx = 2x:
(1)
Это диеренциальное уравнение, так как оно содержит производную искомой ункции. Из уравнения (1) следует, что ункция y есть
первообразная ункции 2x: Следовательно,
џ 37. Задачи, приводящие к диеренциальным уравнениям
197
Z
y = 2xdx
или
y = x2 + C;
(2)
C произвольная постоянная.
Из ормулы (2) следует, что диеренциальное уравнение (1)
имеет бесконечное множество решений, т. е. уравнению (1) удовлетворяет не одна кривая, а бесконечное множество кривых парабол
(рис. 104 ). Чтобы из этого множества кривых
выбрать нужную нам кривую, надо воспольy
зоваться тем, что искомая кривая проходит
через точку O(0; 0): Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (2). Поэтому 0 = 0 + C; т. е. C = 0:
Значит, искомая кривая будет y = x2 :
З а д а ч а 2. Найти закон движения свободно падающего в пустоте тела, если
пройденный путь начинает отсчитываться от
1
момента времени t = 0 и начальная скорость
падения равна нулю. Скорость в этом случае
O
1
x
выражается, как известно, ормулой
v = gt:
PSfrag replaements
е ш е н и е. Как уже отмечалось (см.
џ 14, п. 2), скорость прямолинейного движения
есть производная пути по времени. Поэтому
где
= gt:
v = ds
dt
(3)
Из этого уравнения следует, что ункция
ции gt: Следовательно,
Z
ис. 104
s есть первообразная унк-
s = gtdt
или
s = gt2 + C:
2
(4)
Для определения произвольной постоянной C используем то условие, что начало отсчета пути совпадает с началом отсчета времени,
т. е. при t = 0 s = 0: Подставляя эти значения в равенство (4), находим:
0 = 0 + C; т. е. C = 0; и, следовательно, окончательно получаем:
s = gt2 :
2
В рассмотренных двух задачах мы приходим к диеренциальdy = '(x): Это уравнение является простейному уравнению вида
dx
шим диеренциальным уравнением. Однако в большинстве случаев
естественные и технические процессы описываются гораздо общими
и сложными диеренциальными уравнениями.
198
л. VII. Диеренциальные уравнения
Диеренциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную x; искомую ункцию y = f (x) и
ее производные. Если искомая ункция есть ункция одного независимого переменного, то диеренциальное уравнение называется
обыкновенным . В этой главе (за исключением џ 41) будем заниматься
обыкновенными диеренциальными уравнениями. Порядок старшей
производной, входящей в диеренциальное уравнение, называется
порядком данного уравнения. Следовательно, общий вид диеренциального уравнения n-го порядка следующий:
F (x; y; y0 ; y00; . . .; y(n)) = 0;
(5)
причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить x; y и
отдельные производные порядка ниже, чем n: Например, уравнения
y0 xy = x; y00 + y0 = 1 имеют соответственно первый и второй порядок.
Всякая ункция y = f (x); которая, будучи подставлена в уравнение (5), обращает его в тождество, называется решением этого уравнения.
x3 =3
0 2
П р и м е р. Функция
y=e
является решением уравнения
= 0; так как она обращает это уравнение в тождество.
y x y=
џ 38. Диеренциальные уравнения первого порядка,
их частные случаи. Приложения в естествознании
1. Диеренциальное уравнение первого порядка, его
общее решение и начальные условия. Диеренциальное уравнение первого порядка имеет общий вид:
F (x; y; y0) = 0
или (если это уравнение можно разрешить относительно
y0 = f (x; y):
y0 ) вид:
(1)
Будем рассматривать в уравнении (1) переменные x и y как декартовы прямоугольные координаты точки на плоскости xOy: Пусть
y = '(x) решение уравнения (1); тогда кривая, определяемая уравнением y = '(x); называется интегральной кривой диеренциального уравнения (1). ассмотрим на интегральной кривой произвольную
точку M (x; y ): Согласно геометрическому смыслу производной в этой
точке имеем:
dy
dx
= tg ;
где угол, образуемый касательной к этой кривой в точке
осью Ox: Из последнего равенства и из (1) получаем:
tg = f (x; y);
M
с
где x; y координаты точки M: Таким образом, угловой коэициент касательной к интегральной кривой в каждой ее точке равен
значению в этой точке правой части уравнения (1). Итак, уравнение (1)
џ 38. Диеренциальные уравнения первого порядка
199
определяет в каждой точке интегральной кривой направление касательной к этой кривой.
Каждой точке M (x; y ) той области, где определена ункция
f (x; y) (правая часть уравнения (1)), сопоставим отрезок с угловым
коэициентом k = f (x; y ); где (x; y ) координаты точки M: Мы
получаем совокупность направлений, или, как говорят, поле направлений данного диеренциального уравнения.
Таким образом, уравнению (1) соответствует его поле направлений.
В этом состоит геометрический смысл диеренциального уравнения
первого порядка (1). Проведя указанные выше отрезки для достаточно
большого числа точек области, получим наглядное изображение поля
направлений. Так как касательная в точке интегральной кривой имеет
то же направление, что и отрезок в этой точке, то задачу решения
(интегрирования) уравнения (1) геометрически можно истолковать
следующим образом: найти такую кривую, чтобы ее касательная в
каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля
в этой точке.
Приведенные рассуждения хорошо иллюстрировать на известном
опыте с железными опилками, помещенными в магнитное поле. Сами
опилки образуют поле направлений, а интегральной кривой служит
одна из магнитных силовых линий.
В задачи, приводящие к диеренциальным уравнениям, точнее
в их решения (см. (2) и (4) џ 37) входит произвольная постоянная C:
Такие решения называются общими решениями этих уравнений.
Аналогично решение уравнения (1), содержащее произвольную постоянную C; т. е. имеющее вид:
y = '(x; C );
(2)
называется общим решением этого уравнения. Иногда, впрочем, это
решение получается в неявной орме (x; y; C ) = 0 или (x; y ) = C:
В этом случае соотношение (x; y; C ) = 0 (или (x; y ) = C ) называется общим интегралом уравнения (1) :
ешить или проинтегрировать данное диеренциальное уравнение значит найти его общее решение в той или иной орме.
ешение, которое получается из общего решения при некотором
иксированном значении произвольной постоянной C; называется
gt2
частным решением . Например, ункции y = x2 ; s =
2 частные
решения соответственно уравнений (1), (3), рассмотренных в џ 37.
Для уравнения (1) справедлива следующая теорема, называемая
теоремой о существовании и единственности решения диеренциального уравнения (1).
Т е о р е м а *). Если в уравнении (1) ункция f (x; y ) и ее частная
производная fy0 (x; y ) непрерывны в некоторой области D на плос*) Доказательство этой теоремы выходит за рамки настоящей книги
(читатель может найти его, например, в книге [12?).
200
л. VII. Диеренциальные уравнения
кости xOy; содержащей некоторую точку (x0 ; y0 ); то существует
единственное решение этого уравнения y = '(x); удовлетворяющее
условию : при x = x0 y = y0 :
еометрический смысл этой теоремы состоит в том, что существует
и притом единственная ункция y = '(x); граик которой проходит
через точку (x0 ; y0 ):
Условие, что при x = x0 ункция y должна равняться заданному
числу y0 ; называется начальным условием . Начальное условие дает
возможность выделить из общего решения (2) частное решение. Действительно, из уравнения y0 = '(x0 ; C ) определится конкретное значение C = C0 ; и тогда искомое частное решение запишется в виде
y = ' (x; C0 ) = (x):
2. Уравнения с разделяющимися переменными. Запишем
уравнение (1) в виде:
dy = f (x; y ) или dy = f (x; y ) dx:
dx
Такому уравнению можно придать следующую орму:
M (x; y) dx + N (x; y) dy = 0:
(3)
Форма (3) удобна тем, что здесь переменные x и y равноправны, т. е.
каждую из них можно рассматривать как ункцию другой. Предположим, что ункции M (x; y ) и N (x; y ) можно представить произведениями
M (x; y) = M1 (x) M2(y);
N (x; y) = N1 (x) N2(y);
в которых сомножители зависят только от одной переменной. Тогда
уравнение (3) перепишется в виде:
M1 (x) M2 (y) dx + N1 (x) N2(y) dy = 0;
почленно на произведение M2 (y ) N1 (x)
откуда, деля
что оно не равно нулю), имеем:
M1 (x) dx + N2 (y) dy = 0:
N1 (x)
M2 (y)
(4)
(предполагаем,
(5)
Заметим, что в уравнении (5) множитель перед dx ункция
только одной переменной x; а множитель перед dy ункция только
одной переменной y:
Уравнение (5) называется уравнением с разделенными переменными, а уравнение (4) уравнением с разделяющимися переменными.
Итак, уравнение с разделяющимися переменными (4) сводится к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих частей
уравнения (4) на произведение M2 (y ) N1 (x): Эта операция называется
ѕразделениемї переменных.
Покажем, что соотношение
F (x; y) = C;
где
(6)
џ 38. Диеренциальные уравнения первого порядка
Z
201
Z
(x) dx + N (y) dy;
F (x; y) = M
N (x)
M (y)
1
2
1
2
есть общий интеграл уравнения (5) и уравнения (4). Действительно,
пусть y = '(x; C ) (или кратко y = ') ункция, определяемая уравнением (6). Тогда имеем тождество
F (x; ') C:
Диеренцируя это тождество по x; получим тождество
Fx0 (x; ') + Fy0 (x; ') '0 0
или
M1 (x) dx + N2 (y) dy 0:
N1 (x)
M2 (y)
Следовательно, ункция y = '(x; C ) оказывается общим (поскольку
зависит от C ) решением уравнения (5), а следовательно, и уравнения (4). Значит, соотношение (6) или соотношение
Z
Z
M1 (x) dx + N2 (y) dy = C
N1 (x)
M2 (y)
есть общий интеграл уравнения (5) и уравнения (4).
П р и м е ч а н и е. В общем случае, деля на произведение
мы рискуем потерять те решения уравнения (4), которые обращают это произведение
y
в нуль. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что ункция y = b; где b корень уравнения M2 (y ) = 0; есть решение
уравнения (4). Аналогично, ункция x = a;
где a корень уравнения N1 (x) = 0; также
является решением уравнения (4).
O
П р и м е р 1. ешить уравнение
xdx +
PSfrag replaements
M2(y) N1 (x);
x
+ y dy = 0: Интегрируя, находим x2 + y2 =
= C1 : Так как левая часть последнего ра2
2
венства неотрицательна, то и правая часть
ис. 105
тоже неотрицательна. Обозначив 2C1 через C 2 ; будем иметь x2 + y 2 = C 2 : Это уравнение семейства концентрических окружностей (рис. 105) с центром в
начале координат и радиусом C:
П р и м е р 2. ешить уравнение xdy = y dx: азделяя переменные, поdy = dx : Интегрируя последнее уравнение, будем иметь:
лучим:
y
x
ln y = ln x + C *).
(7)
*) Строго говоря, мы должны писать ln jy j = ln jxj + ln C; где C > 0:
Однако допущенная в (7) ѕвольностьї не отразится на окончательном результате, если после потенцирования произвольную постоянную C считать
действительным числом. Это следует иметь в виду и для дальнейшего.
202
л. VII. Диеренциальные уравнения
В (7) произвольная постоянная взята в логаримической орме, что законно, так как всякое положительное или отрицательное число C1 может
быть представлено как логарим другого числа: C1 = ln C; где C = eC1 :
Потенцируя равенство (7), получим общее решение данного диеренциального уравнения:
y = xC или y = Cx:
Это семейство прямых, проходящих через начало координат (рис. 106).
П р и м е р 3. Найти частное решение
y
уравнения (1+ y 2 ) dx = xy dy; если y = 1 при
x = 2: азделяя переменные и интегрируя,
получаем:
dx
y
eplaements
=
dy;
x 1+ y2
ln x = 1 ln(1 + y 2 ) + ln C;
2
x
O
что после потенцирования дает:
x2 = C 2 (1 + y2):
Используя начальное условие, имеем:
ис. 106
откуда: C 2 = 2:
4 = 2C 2 ;
Итак, частным решением данного уравнения, соответствующим
начальr
ному условию:
y = 1 при x = 2; является ункция y =
x2 1:
2
3. Задачи из естествознания. ассмотрим несколько примеров
приложений диеренциальных уравнений с разделяющимися переменными к задачам естествознания, выделив отдельно химические
реакции (п. 4) и оставив более содержательные задачи из биологии для
специального рассмотрения (џ 42).
З а д а ч а 1. (Об охлаждении тела .) Скорость охлаждения тела в
воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна 20Ж C. Известно, что в
течение 20 мин тело охлаждается от 100 до 60Ж C. Определить закон
изменения температуры тела в зависимости от времени t:
е ш е н и е. Согласно условию задачи имеем:
d = k ( 20);
dt
где k коэициент пропорциональности. азделяя переменные и
интегрируя, получаем:
d
20 = k dt;
ln( 20) = kt + ln C;
что после потенцирования дает:
и, следовательно,
20 = Cekt
= 20 + Cekt :
џ 38. Диеренциальные уравнения первого порядка
Для определения C используем начальное условие: при
Отсюда: C = 80: Поэтому
203
t = 0 = 100:
= 20 + 80ekt :
Коэициент пропорциональности k определяем из дополнительного
условия: при t = 20 = 60: Отсюда:
60 = 20 + 80e20k или e20k = 12
и, следовательно,
Итак, искомая ункция
1=20
ek = 12
:
t=20
:
= 20 + 80 21
З а д а ч а 2. (О радиоактивном распаде .) Скорость распада радия
в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе.
Найти закон распада радия, если известно, что в начальный момент
t = 0 имелось m0 г радия и период полураспада радия (период времени, по истечении которого распадается половина наличной массы
радия) равен 1590 лет.
е ш е н и е. Пусть в момент времени t масса радия составляет x г. Тогда скорость распада радия равна:
d(m0 x) = dx :
dt
dt
dx = kx;
dt
По условию задачи
(8)
где k коэициент пропорциональности. азделяя в уравнении (8)
переменные и затем интегрируя, получаем:
dx = k dt;
x
ln x = kt + ln C;
что после потенцирования дает:
x = Ce kt:
Для определения C используем начальное условие: при
Имеем: C = m0 и, значит,
t = 0 x = m0 :
x = m0 e kt:
Коэициент пропорциональности k определяем из дополнительного
m : Имеем:
условия: при t = 1590 x =
2
m = m e 1590k или e1590k = 2
0
2
и, следовательно, ek = 21=1590 : Поэтому искомая ункция
x = m02 t=1590:
0
0
З а д а ч а 3. (О скорости размножения бактерий .) Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный
204
л. VII. Диеренциальные уравнения
момент t = 0 имелось 100 бактерий, а в течение 3 ч их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько
раз увеличится количество бактерий в течение 9 ч?
е ш е н и е. Пусть x количество бактерий, имеющихся в данный момент. Тогда согласно условию диеренциальное уравнение
задачи:
dx
dt = kx;
где k коэициент пропорциональности. Как и при решении уравнения (8) в предыдущей задаче, находим:
x = Cekt :
Для определения C используем начальное условие: при
Имеем: C = 100; и, значит,
t = 0 x = 100:
x = 100ekt :
Коэициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия: при t = 3 x = 200: Имеем:
200 = 100e3k или 2 = e3k ;
и, следовательно, ek = 21=3 : Поэтому искомая ункция
x = 100 2t=3;
откуда при t = 9 x = 800: Следовательно, в течение 9 ч количество
бактерий увеличивается в 8 раз.
З а д а ч а 4. (Об увеличении количества ермента .) В культуре
пивных дрожжей быстрота прироста действующего ермента пропорциональна наличному его количеству x: Первоначальное количество ермента a в течение часа удвоилось. Во сколько раз оно
увеличится через 3 ч?
е ш е н и е. По условию задачи диеренциальное уравнение
процесса
dx
dt
= kx;
где k коэициент пропорциональности. Поэтому (см. решение
предыдущих задач)
kt
x = Ce :
Для определения C используем начальное условие: при
Имеем: C = a и, значит,
kt
t = 0 x = a:
x = ae :
Коэициент пропорциональности определяем из дополнительного
условия: при t = 1 ч x = 2a: Имеем: 2a = aek или ek = 2: Поэтому
x = a2t ;
откуда при t = 3 ч x = 8a: Следовательно, количество ермента
через 3 ч увеличится в 8 раз.
З а д а ч а 5. (О концентрации раствора .) В резервуар, содержащий 10 кг соли на 100 л смеси, каждую минуту поступает 30 л воды
џ 38. Диеренциальные уравнения первого порядка
205
и вытекает 20 л смеси (рис. 107). Определить, какое количество соли
останется в резервуаре через t мин, предполагая, что смесь мгновенно
перемешивается.
л
е ш е н и е. Пусть x коли30 мин
чество соли в резервуаре в момент
времени t; dx количество соли,
выходящее из резервуара за врел
20 мин
мя dt (знак минус обусловлен
тем,
PSfrag replaements
что x убывающая ункция времени). Объем смеси в резервуаре в
момент времени t; очевидно, равен:
v = 100 + 30t 20t = 100 + 10t;
ис. 107
поэтому концентрация соли (т. е. количество соли, содержащейся в
одном литре смеси) в момент времени t будет равна:
x
100+10t :
Следовательно, за короткий промежуток времени
уменьшится на
x
dt
количество соли
100+10t 20 dt:
Отсюда имеем диеренциальное уравнение:
20xdt
dx = 100+10
t
2xdt :
dx = 10+
t
или
азделяя переменные и интегрируя, получаем:
dx = 2 dt ;
x
10+ t
и, следовательно,
ln x = 2ln(10 + t) + ln C
C :
x = (10+
t)
2
При t = 0 x = 10: Поэтому C = 1000: Итак, закон изменения количества соли в кг, находящейся в резервуаре, в зависимости от прошедшего
времени t в мин задается ормулой
1000 :
x = (10+
t)
2
(9)
Заметим, что из ормулы (9), зная количество соли, оставшейся
в резервуаре (последнее легко установить, измеряя объем резервуара и концентрацию соли в нем), можно определить, сколько времени
прошло от начала процесса. На этой идее основано вычисление возраста морей и океанов.
4. Химические реакции. Порядок химической реакции равен
общему числу молекул, входящих в левую часть химического уравнения. Так, Ra B ! Ra C есть реакция первого порядка. Скорость реакции есть скорость v; с которой система компонентов левой части превращается в систему компонентов правой части уравнения реакции.
206
л. VII. Диеренциальные уравнения
Действующая масса или концентрация реагирующего вещества A есть
количество молей *) этого вещества в единице объема. Согласно закону
действующих масс скорость реакции пропорциональна действующим
массам в данный момент.
Химические реакции первого порядка . Если a начальная концентрация вещества A; x количество молей на литр, прореагировавших
dx ; а действуюза время t от начала реакции, то скорость реакции
dt
щая масса к этому моменту a x: Согласно закону действующих масс
dx = k (a x);
dt
(10)
где k коэициент пропорциональности (константа скорости),
зависящий от рода и условий химического процесса. азделяя в уравнении (10) переменные и затем интегрируя, получаем:
или
dx
a x = k dt;
ln(a x) + ln C = kt
ln a C x = kt:
Для определения C используем начальное условие: при
Имеем: C = a; и, значит,
a
откуда:
и
ln a x = kt;
a = ekt
a x
или
x = a(1 e
a x = ae
t = 0 x = 0:
kt
kt ):
З а д а ч а 1. адиоактивный элемент Ra B распадается наполовину, образуя радиоактивный элемент Ra C; в течение 26,7 мин. Найти
время распада 0,2 первоначального количества Ra B:
е ш е н и е. Здесь имеет место реакция первого порядка: Ra B !
! Ra C: Поэтому согласно предыдущему диеренциальное уравнение реакции
dx
dt
и, значит,
= k(a x)
ln a a x = kt;
откуда:
t = k1 ln a a x :
Коэициент погрешности k определяем из дополнительного условия
a
при t = 26;7 мин x = : Имеем:
2
*) Моль (или грамм-молекула) вещества число граммов этого вещества, равное его молекулярному весу. Например, 1 моль кислорода равен 16 г,
1 моль воды 18 г.
џ 38. Диеренциальные уравнения первого порядка
26;7 = k1 ln a aa=2 = k1 ln2
или
Теперь искомое время
207
k = 26ln2;7 :
;7
a
26;7 1 26;7 5
t = 26
ln2 ln a 0;2a = ln2 ln 0;8 = ln2 ln 4 8;6 (мин).
Как и прежде, для облегчения вычислений здесь можно использовать калькулятор. То же в задаче 3.
З а д а ч а 2. Вещество A превращается в вещество B: Спустя 1 ч
после начала реакции осталось 44,8 г вещества A; а после 3 ч 11,2 г
вещества. Определить первоначальное количество a вещества A и
время, когда останется половина этого вещества.
е ш е н и е. Здесь имеет место реакция первого порядка. Поэтому
диеренциальное уравнение реакции
dx = k (a x)
dt
и, значит, как установлено выше,
x = a(1 e
kt ):
Используя дополнительные условия (при
t = 3 x = a 11;2); имеем:
a 44;8 = a(1 e k );
a 11;2 = a(1 e 3k )
t = 1 x = a 44;8;
при
44;8 = ae k ;
11;2 = ae 3k :
Из последней системы находим: e k = 2 1 ; a = 89;6 г. Теперь находим
искомое время. Имеем:
a = a(1 2 t );
откуда:
1
2 =2
2
или
t или 2 1 = 2 t
и, следовательно, t = 1 ч.
Химические реакции второго порядка . Пусть a и b начальные
концентрации веществ A и B ; x число прореагировавших к моменту t молей вещества A; а следовательно, и вещества B; так как каждый моль вещества A соединяется с молем вещества B; и поэтому
число прореагировавших молей обоих веществ одинаково. В момент t
dx : Действующая масса вещества A равскорость реакции будет
dt
на a x; действующая масса вещества B будет b x: Согласно
закону действующих масс
dx = k (a x)(b x);
dt
где k коэициент пропорциональности. азделяя переменные и
интегрируя, получим:
Z
Z
dx
(x a)(x b) = k dt + C:
208
л. VII. Диеренциальные уравнения
Если
C= 1
a
a = b;
1 = kt + C:
то имеем:
a x
и поэтому
Так как при
t = 0 x = 0;
то
x = a 1+aakt :
a 6= b; то (џ 22, п. 1, примечание):
1 ln b x = kt + C:
b a a x
1 ln b и поэтому
Так как при t = 0 x = 0; то C =
Если
b a
откуда:
1 ln b x = kt + 1 ln b
b a a x
b a a
a
или
kt = b 1 a ln ba((ab xx)) ;
b x = b e(b a) kt и x = ab[e(b
a x a
b e(b
a) kt
a) kt
1? :
a
З а д а ч а 3. В реакции омыления уксусноэтилового эира гидроксидом натрия
CH3 COOC2 H5 + NaOH ! CH3 COONa +C2 H5 OH
уксусноэтиловый гидроксид
эир
натрия
ацетат
натрия
этиловый
спирт
первоначальные концентрации уксусноэтилового эира и гидроксида
натрия соответственно a = 0;01 и b = 0;002: Спустя 23 мин концентрация уксусноэтилового эира уменьшилась на 10 %. В какое время она
уменьшится на 15 %?
е ш е н и е. Здесь имеет место реакция второго порядка. Поэтому
диеренциальное уравнение реакции
dx = k (a x)(b x)
dt
и, значит, как установлено выше,
kt = b 1 a ln ba((ab xx)) :
Коэициент пропорциональности k определим из дополнительного
условия: при t = 23 мин x = 0;01 0;1 = 0;001: Имеем:
01(0;002 0;001) или k = 125 ln1;8:
23k = 0;0021 0;01 ln 00;;002(0
;01 0;001)
23
Теперь находим искомое время. Имеем:
или
125ln1;8 t =
1
0;01(0;002 0;0015)
23
0;002 0;01 ln 0;002(0;01 0;0015)
ln3;4 47;9 (мин).
t = 23 ln1
;8
209
џ 38. Диеренциальные уравнения первого порядка
П р и м е ч а н и е. Аналогично рассматриваются реакции и более
высокого порядка (см. [11?).
5. Однородные уравнения. Функция f (x; y ) называется одно-
родной измерения
m; если имеет место тождество
f (tx; ty) = tmf (x; y):
П р и м е р 1. Функция f (x; y )
ункцией измерения 2, так как
= x2 + 2y 2
xy
является однородной
(tx)2 + 2(ty )2 (txty ) = t2 (x2 + 2y 2 xy ):
С понятием однородной ункции связано понятие однородного
диеренциального уравнения. Уравнение
M (x; y) dx + N (x; y) dy = 0
(11)
называется однородным диеренциальным уравнением первого порядка , если M (x; y ) и N (x; y ) являются однородными ункциями одного
и того же измерения.
Можно показать, что с помощью подстановки y = ux; где u новая
искомая ункция от x; однородное уравнение (11) легко приводится к
уравнению с разделяющимися переменными. Заметим, что
dy = udx + xdu:
Иногда целесообразно вместо подстановки
подстановку x = uy:
y = ux
П р и м е р 2. ешить уравнение (y 2 3x2 ) dx + 2xy dy
при x = 0: Применяя подстановку y = ux; имеем:
откуда:
использовать
= 0;
если
y=0
(u2 x2 3x2 ) dx + 2x2 u(udx + xdu) = 0;
3(u2 1) dx + 2xudu = 0:
азделяя переменные и интегрируя, получаем:
3 dx + 2udu = 0;
x u 1
2
3ln x + ln(u2 1) = ln C;
3 2
что
потенцирования дает x (u
после
2
y
2 1 = C и общий интеграл x(y2
x
условие, имеем:
y = x:
1) = C: Так как u = y ; то x3 x
x2 ) = C: Используя начальное
C = 0: Поэтому искомыми частными решениями являются
6. Линейные диеренциальные уравнения первого порядка. Уравнение
0
y + py = q;
(12)
где p = p(x) и q = q (x) заданные непрерывные в интервале (a; b)
ункции, называется линейным диеренциальным уравнением первого порядка. Для решения уравнения (12) применим подстановку
y = uv; причем ункцию u = u(x) будем считать новой неизвест14 И. И. Баврин
210
л. VII. Диеренциальные уравнения
v = v(x) мы выбираем произвольно.
Эта
du
dv
0
0
подстановка дает u v + uv + puv = q или v
+ dx + pv u = q:
dx
Используя произвольный выбор ункции v; подчиним ее условию
dv + pv = 0: азделяя переменные и интегрируя, получаем:
dx
Z
dv = pdx;
ln v =
pdx;
v
ной ункцией, а ункцию
откуда:
v=e
Поэтому имеем уравнение
ешая его, получаем:
R
e
Z
R
pdx :
pdx du = q:
u = qe
R
dx
pdx dx + C:
Возвращаясь к переменной y; находим общее решение уравнения (12):
Z
R
R
y=e
pdx
qe
pdx dx + C
:
(13)
П р и м е ч а н и е. Если в уравнении (12) q (x) = 0; то оно называется
линейным однородным уравнением первого порядка, в противном случае
линейным неоднородным уравнением первого порядка. Следовательно, линейное однородное уравнение первого порядка имеет вид:
y0 + py = 0:
(14)
Из ормулы (13) следует ормула общего решения уравнения (14):
R
y = Ce pdx:
(15)
П р и м е р. ешить уравнение
y0 xy = x:
Согласно ормуле (13) имеем:
R
R dx
Z
y = e x C + xe
dx
x dx =
Z
Z
= eln x C + xe ln x dx = x C + dx = Cx + x2 :
7. Применение линейных уравнений в естествознании.
З а д а ч а 1. ассмотрим колонию микроорганизмов, обитающую
в условиях неограниченных ресурсов питания. Предположим, что колония не подавляется никаким другим видом. В силу размножения и
смертности число живых организмов в этой колонии будет меняться с
течением времени. Найдем закон этого изменения.
џ 38. Диеренциальные уравнения первого порядка
211
е ш е н и е. Пусть x = x(t) обозначает число живых организмов
в момент t; а x(t + t) в момент t + t: Тогда разность
x(t + t) x(t) = x
дает приращение ункции x(t) за промежуток времени от t до t +t:
Из чего складывается это приращение? За время t все взрослые
особи или часть их произведут потомство; часть особей может погибнуть.
Таким образом,
x = G H;
где G число родившихся за время от t до t + t; а H число
погибших за это время.
Число G зависит от длины промежутка t (чем больше t; тем
больше G) и от количества ѕродителейї (чем больше взрослых особей, тем больше потомство). Таким образом,
G = (x; t);
где ункция (x; t) растет с ростом x или t и равна нулю, если
равна нулю одна из этих переменных.
Что касается переменной t; то самые простые эксперименты
показывают, что она должна входить линейно: если промежуточные
наблюдения увеличить, например, в два раза, то и прирост потомства
микроорганизмов увеличится в два раза. Таким образом,
(x; t) = f (x)t:
Вопрос о характере ункции f (x) сложнее. Пока мы знаем только,
что она монотонно возрастает с ростом x и равна нулю при x = 0: Но
каков этот рост? Он существенно зависит от биологических особенностей исследуемого вида, и для его описания могут понадобиться те
или иные положительные степени x; рациональная ункция и т. п.
Ограничимся простейшим случаем, когда численность потомства пропорциональна количеству ѕродителейї, f (x) = x; = onst:
Этот случай реализуется, например, при делении клеток.
Итак,
G = x t:
По аналогии
и, следовательно,
H = x t
x = x t x t
или
x = x t;
где
= :
(16)
азделим обе части равенства (16) на t и перейдем к пределу при
t ! 0: Вспомнив, что
x dx
в результате получим:
14*
= dt ;
lim
t!0 t
212
л. VII. Диеренциальные уравнения
dx = x
dt
dx x = 0:
dt
или
(17)
Имеем линейное однородное уравнение первого порядка. Согласно
ормуле (15) общее решение
x = Cet:
(18)
Начальное условие: при t = t0 x = x(t0 ); где t0 время начала наблюдения за колонией, x(t0 ) = x0 количество живых организмов в
колонии в начальный момент. Используя начальное условие, из (18)
имеем:
t0
:
C = x0 e
Подставляя это в (18), получаем искомый закон изменения числа
организмов с течением времени:
x = x0 e (t t ) :
0
(19)
Однако найденный закон носит пока предположительный характер. Вопрос о том, насколько эта модель соответствует реальности,
решает экспериментальная проверка. Из ормулы (19) следует, что с
ростом t численность поголовья растет неограниченно как экспонента.
Однако ни в одной реально существующей популяции такой рост не
наблюдается. Это и понятно. Те предположения, на основе которых
мы вывели уравнение (17) (неограниченность ресурсов питания, отсутствие влияния других видов и т. п.), в реальных природных условиях не выполняются. Таким образом, уравнение (17) либо имеет
смысл в теоретическом аспекте (оно показывает, как развивалась бы
популяция, если бы ей не мешали и неограниченно подкармливали),
либо описывает динамику искусственно созданной и поддерживаемой
популяции (например, популяции грибков, выделяющих пенициллин,
о которых говорилось в џ 27).
Уравнение (17) впервые в 1802 г. получил Мальтус. Заблуждение
Мальтуса заключалось в том, что это уравнение, справедливое для
очень узкого класса популяций, он считал универсальным законом не
только для всей природы, но и для человеческого общества.
З а д а ч а 2. (М о д е л ь с е з о н н о г о р о с т а.) Диеренциdx = rx(t) os t; где r полоальное уравнение первого порядка
dt
жительная постоянная, можно рассматривать как простую модель
dx популяции x(t) становится
сезонного роста. Скорость роста
dt
попеременно то положительной, то отрицательной, и популяция то
возрастает, то убывает. Это может вызываться такими сезонными
акторами, как доступность пищи. Переписав данное уравнение в
виде
dx
dt
согласно ормуле (15) имеем:
(r os t) x = 0;
џ 38. Диеренциальные уравнения первого порядка
213
R
x = Ce r os tdt = Cer sin t :
PSfrag replaements
Полагая t = 0, получим C = x(0); т. е. размер популяции в момент t
есть x = x(0) er sin t: Максимальный размер популяции, равный
erx(0); достигается при t =
x(t)
= ; 5 ; 9 ; . . .; когда sin t =
2 2 2
Минимальный размер,
равный e r x(0); достигается
3 7 11 ; . . .; когда
при t = ; ;
2 2 2
sin t = 1:
= 1:
x(0) er
x(0)
r
В этой модели размер x(0) e
популяции колеблется от
er x(0) до e r x(0) с периоO 3 5 3 7 2 t
дом 2: Моменты времени
4 2 4
4 2 4
t = 0; 2; 4; . . . можно считать серединами сезонов
ис. 108
наибольшей доступности пищи (летних сезонов), а моменты t = ; 3; . . . соответствуют серединам
сезонов наибольшей нехватки пищи (зимних сезонов). Продолжительность одного года соответствует 2 ед. времени. Это показано на
рисунке 108.
З а д а ч а 3. (В н у т р е н н е е п и т а н и е г л ю к о з о й). Вливание
глюкозы в кровеносную систему является важной лечебной процедурой. Для изучения этого процесса определим = (t) как количество
глюкозы в крови пациента в момент времени t: Допустим, что глюкоза
вводится в кровь с постоянной скоростью (г/мин). В то же время
глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы.
Пусть 1 скорость удаления глюкозы из кровеносной системы
и (0) начальное количество глюкозы в крови пациента. Имеем
d (t) = : Но в силу условия задачи = k (t); где k положи1
1
dt
d (t) = k (t); или, что то же,
тельная постоянная. Таким образом,
dt
d + k = :
dt
Это неоднородное линейное диеренциальное уравнение первого
порядка. Согласно ормуле (13) имеем:
=e
R
kdt
Z
C + e
R
kdt dt = e kt
Z
C + ekt dt =
= e kt C + k ekt = Ce kt + k :
214
л. VII. Диеренциальные уравнения
Постоянную C можно выразить через начальное количество глюко
зы в крови (0): Имеем (0) = C + : Значит, общее решение может
k
быть записано в виде
i
h
(t) = k + (0) k e kt:
С увеличением времени величина (t) приближается к пределу,
равному : Это есть равновесное количество глюкозы в крови.
k
З а д а ч а 4. (З а к о н п е р е х о д а в е щ е с т в а в р а с т в о р . )
ассмотрим процесс перехода вещества в раствор. Известно, что при
иксированной температуре количество вещества, содержащееся в
определенном объеме растворителя, не может превзойти некоторого,
определенного для каждого вещества числа P; соответствующего
насыщенному раствору. Известно также, что по мере приближения
к насыщенному раствору уменьшается количество вещества, переходящего в раствор за единицу времени. Иными словами, чем больше
вещества перешло в раствор, тем меньше скорость перехода.
Пусть x = x(t) количество вещества, перешедшего в раствор к
dx скорость перехода, и в соответствии
моменту времени t: Тогда
dt
со сказанным можно написать:
dx = (x);
dt
где (x) стремится к нулю при x ! P (x < P ): Эксперименты показывают, что для многих веществ ункция (x) пропорциональна
разности P x; т. е. (x) = k (P x); и, следовательно,
где k
dx = k (P x);
dt
(k > 0) коэициент пропрциональности, или
dx + kx = kP:
dt
Это неоднородное линейное диеренциальное уравнение первого
порядка. Согласно ормуле (13) имеем:
x=e
R
kdt
Z
C + kP e
R
kdt dt = e kt
Z
C + kP ekt dt =
= Ce kt + kk P e ktekt = Ce kt + P:
Пусть t0 момент времени, с которого начался процесс перехода вещества в раствор. Очевидно, x(t0 ) = 0: Поэтому P + Ce kt0 = 0; откуда
C = P ekt0 ; и, значит,
x(t) = P [1 e k(t t ) ?:
0
(20)
Значения k и P определяются характером растворенного вещества
и растворителя. Из (20) видно, что при любых k > 0 и P величи-
215
џ 38. Диеренциальные уравнения первого порядка
на x(t) стремится к P; если t ! 1: Вид ункции x(t) хорошо согласуется с экспериментальными данными. Поэтому ормулу (20) можно
рассматривать как закон перехода вещества в раствор.
З а д а ч а 5. Конденсатор емкостью Q включается в цепь с напряжением U и сопротивлением R: Определить заряд q конденсатора в
момент t после включения.
е ш е н и е. Сила I электрического тока представляет производную от количества электричества q; прошедшего через проводник, по
времени t
I = dq
:
dt
dq
В момент t заряд конденсатора q и сила тока I = ; в цепи дейстdt
вует электродвижущая сила E; равная разности между напряжеq
нием цепи U и напряжением конденсатора ; т. е.
Согласно закону Ома
Поэтому
Q
E = U Qq :
I = ER :
q
dq = U Q :
dt
R
Отсюда:
dq + q = U :
dt QR R
Теперь согласно ормуле (13) имеем:
q=e
Z
R dt Z
R dt t QR C + U e QR dt = e QR C + U
t
e QR dt =
R
R
t t t
= e QR C + UQR
e QR = Ce QR + UQ:
R
По условию при t = 0 q = 0 и потому 0 = C + UQ и C =
Таким образом, в момент времени t
UQ:
t q = UQ 1 e QR :
З а д а ч а 6. Скорость v; путь s и время t связаны уравнением
v os t + s sin t = 1: Найти закон движения, если при t = 0 s = 2:
ds
е ш е н и е. Так как v = ; то, подставляя это значение v в данdt
ное уравнение, получаем диеренциальное уравнение движения
ds os t + s sin t = 1
dt
или
Теперь согласно ормуле (13) имеем:
ds + s sin t = 1 :
dt
os t os t
216
л. VII. Диеренциальные уравнения
s=e
R
sin t dt Z 1 R sin t dt os t C +
os t dt =
os t e
Z
R d os t = e os t C +
Z
1
os t e
R d os t os t dt =
Z
= elnos t C + os1 t e lnos t dt = os t C + dt2 =
os t
= os t (C + tg t) = C os t + sin t:
По условию при t = 0 s = 2 и потому C = 2: Таким образом, искомый
закон движения s = sin t + 2os t:
џ 39. Диеренциальные уравнения второго порядка
1. Диеренциальное уравнение второго порядка, его общее решение и начальные условия. Диеренциальное уравнение второго порядка , разрешенное относительно y 00 ; имеет вид:
y00 = f (x; y; y0 ):
(1)
В общее решение уравнения первого порядка входит одна произвольная постоянная C: Естественно ожидать, что в общее решение уравнения (1) будут входить уже две произвольные постоянные C1 и C2 :
Функция y = '(x; C1 ; C2 ); удовлетворяющая уравнению (1), называется его общим решением .
Так как в ункцию y = '(x; C1 ; C2 ) входят две произвольные
постоянные C1 и C2 ; то для выделения из общего решения уравнения (1) некоторого частного решения необходимо иметь два начальных условия: при x = x0 y = y0 ; y 0 = y00 : Тогда:
y0 = '(x0 ; C1 ; C2 );
y00 = '0x (x0 ; C1; C2 ):
Из этой системы можно, вообще говоря, определить постоянные
и C2 и тем самым найти частное решение уравнения (1).
C1
П р и м е р. Найти решение уравнения y 00 = 2; удовлетворяющее начальным условиям: y = 1 и y 0 = 2 при x = 0: Интегрируя данное уравнение
по x последовательно два раза, получим: y 0 = 2x + C1 ; а затем y = x2 +
+ C1 x + C2 : Используя теперь начальные
условия, найдем: C1 = 2; C2 = 1:
Следовательно, искомое решение y = x2 + 2x + 1 или y = (x + 1)2 :
2. Понижение порядка диеренциального уравнения.
ассмотрим два частных случая, когда уравнение второго порядка
сводится к диеренциальному уравнению первого порядка.
I. Уравнение вида:
00
y = f (x)
(2)
217
џ 39. Диеренциальные уравнения второго порядка
с непрерывной в интервале (a; b) ункцией f (x) может быть интегрировано последовательно.
В результате получим общее решение
Z
Z
уравнения (2) y = dx f (x) dx + C1 x + C2 :
d2 s(t)
З а д а ч а 1. Тело движется прямолинейно с ускорением
=
dt2
= 12t2 + 6t: Найти закон движения тела, если в начальный момент
движения пройденный путь и скорость равнялись нулю.
е ш е н и е. ешая данное уравнение по типу уравнения (2), получаем: s(t) = t4 + t3 + C1 t + C2 : Теперь, используя начальные условия
s(0) = 0; ds(0) = 0; находим: C2 = 0; C1 = 0: Следовательно, s(t) =
= t 4 + t3 :
dt
II. Пусть уравнение (1) имеет вид: y 00 = f (y ): Полагаем: y 0 = p:
dp = dp dy = p dp и данное уравнение принимает вид:
Тогда: y 00 =
dp = f (y )
p dy
dx
dy dx
dy
или pdp = f (y ) dy; т. е. приходим к уравнению первого
порядка с разделенными переменными.
З а д а ч а 2. Материальная точка массой m движется по прямой
km
линии к центру O (рис. 109), притягивающему ее силой 3 ; где r r
PSfrag replaements
a
m
O
r
ис. 109
расстояние точки от центра. Движение начинается с состояния покоя
при r = a: Найти время, за которое точка достигнет цента O:
е ш е н и е. По условию задачи в любой момент времени t на
km : Отсюда получаем диеренциальточку действует сила F =
r3
ное уравнение
m ddtr = km
r
2
2
или
3
d2 r = k :
(3)
dt2
r3
dr = p: Тогда d2 r = p dp и уравнение (3) перепишется в
Обозначим
dt
dr
dt2
виде:
pdp = k :
dr
r3
азделяя переменные и интегрируя, будем иметь:
откуда:
pdp = rk dr;
3
p2 = rk + C1
2
218
л. VII. Диеренциальные уравнения
r
p = dr
=
dt
k +C
1
r2
перед радикалом ставится знак минус, так как по смыслу задачи
dr < 0 или
ункция r убывает и
dt
dr =
dt
p
k + C1 r 2
:
r
азделяя переменные в последнем уравнении и затем интегрируя,
получаем:
dr
r dr = dt;
= dt или
q
p
k +C
k + C1 r 2
1
r2
p
k + C1 r 2
= t + C2 :
C1
Используя начальные условия, имеем: при t = 0
лучим:
p
p
C2 =
откуда:
k + C1 a2
;
C1
0=
C1 = ak ; C2 = 0: Поэтому
2
r = a; dr
= 0:
dt
По-
k + C1 a2
;
r
p
2
2
t = a pa r :
k
Когда точка достигает центра
a2
мя t = p :
O;
расстояние
r=0
и искомое вре-
k
џ 40. Линейные диеренциальные уравнения
второго порядка
1. Общие сведения о линейных диеренциальных уравнениях второго порядка. Уравнение
y00 + py0 + qy = f (x);
(1)
где p = p(x); q = q (x) и f (x) непрерывные ункции в интервале (a; b); называется неоднородным линейным диеренциальным
уравнением второго порядка , ункции p; q его коэициентами .
Если f (x) = 0 в этом интервале, то уравнение принимает вид:
y00 + py0 + qy = 0
(2)
и называется однородным линейным диеренциальным уравнением
второго порядка . Если уравнение (2) имеет те же коэициенты,
как (1), то оно называется однородным уравнением , соответствующим неоднородному уравнению (1).
Функции y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x); определенные и непрерывные в
интервале (a; b); называются линейно зависимыми в этом интервале,
џ 40. Линейные диеренциальные уравнения второго порядка
219
если существуют постоянные числа 1 и 2 (причем по крайней мере
одно из них не равно нулю), такие, что для всех значений x в рассматриваемом интервале выполняется тождественное соотношение
1 y1 + 2 y2 = 0:
ле
(3)
Функции y1 и y2 называются линейно независимыми в интерва(a; b); если тождество (3) может иметь место только при 1 =
= 2 = 0:
Т е о р е м а 1. Если y1 и y2 линейно независимые частные
решения линейного однородного уравнения второго порядка (2), то
общее решение этого уравнения имеет вид :
y = C 1 y1 + C 2 y2 ;
(4)
C1 и C2 произвольные постоянные.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как y1 и y2 решения уравнения (2),
то имеем тождества:
где
y100 + py10 + qy1 = 0;
Используя их, получаем тождество
y200 + py20 + qy2 = 0:
(C1 y1 + C2 y2 )00 + p(C1 y1 + C2 y2)0 + q(C1 y1 + C2 y2 ) =
= C1(y100 + py10 + qy1 ) + C2 (y200 + py20 + qy2 ) = 0 :
Следовательно, выражение (4) является решением уравнения (2), и
поскольку это решение содержит две произвольные постоянные, то
оно является общим решением однородного уравнения (2). Теорема
доказана.
Пусть y1 и y2 два линейно зависимых решения уравнения (2).
Тогда:
y + y = 0;
1 1 2 2
где либо 1 6= 0; либо 2 6= 0: Предположим дляопределенности,
что
1
1
2 6= 0: Тогда из (3) y2 = y1 или y2 = ay1 a = : Подстав2
2
ляя это в (4), получаем: y = C1 y1 + C2 ay1 = (C1 + aC2 ) y1 = Cy1 ; где
C = C1 + aC2 : Отсюда видно, что если y1 и y2 линейно зависимые
решения однородные уравнения (2), то решение (4) содержит только одну произвольную постоянную C и, следовательно, не является
общим.
Для общего решения неоднородного уравнения (1) справедлива
следующая теорема.
Т е о р е м а 2. Общее решение неоднородного уравнения (1) равно
сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (2)
и любого частного решения данного неоднородного уравнения .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Y = C1 y1 + C2 y2 общее решение
уравнения (2) и z любое частное решение уравнения (1). Имеем
тождества Y 00 + pY 0 + qY = 0; z 00 + pz 0 + qz = f (x): Складывая почленно эти два тождества, получим тождество (Y + z )00 + p (Y + z )0 +
220
л. VII. Диеренциальные уравнения
+ q(Y + z ) = f (x): Следовательно, ункция y = Y + z = C1 y1 + C2 y2 +
+ z решение уравнения (1) и при этом общее, так как в эту ункцию
входят две произвольные постоянные C1 и C2 :
2. Линейные однородные уравнения второго порядка с
постоянными коэициентами. Пусть в линейном однородном
уравнении
y00 + py0 + qy = 0
(5)
p и q постоянные действительные числа.
Частное решение уравнения (5) будем искать в виде ункции
y = ekx ;
(6)
где k действительное или комплексное число, подлежащее определению. Диеренцируя по x выражение (6), получим:
y00 = k2ekx :
y0 = kekx;
(7)
Внося выражения (6) и (7) в уравнение (5), будем иметь:
ekx (k2 + pk + q) = 0:
Отсюда, учитывая, что ekx 6= 0; имеем:
k2 + pk + q = 0:
(8)
Алгебраическое уравнение (8) называется характеристическим
уравнением однородного уравнения (5). Характеристическое уравнение и дает возможность найти k: Уравнение (8) есть уравнение второй степени и потому имеет два корня. Обозначим их через k1 и k2 :
Возможны три случая.
1) Корни k1 и k2 действительные и разные (k1 6= k2 ): В этом
случае по ормуле (6) получим два частных решения уравнения (5)
y1 = ek1 x ; y2 = ek2 x ; которые являются линейно независимыми.
Действительно, если бы эти решения были линейно зависимы, то в
интервале (a; b) должно было бы выполняться тождество 1 ek1 x +
+ 2 ek2 x = 0 (1 и 2 одновременно не нули) или тождество 1 ek1 x =
= 2 ek2x : Отсюда 1 e(k1 k2 ) x = 2 ; что невозможно, так как
справа в последнем тождестве постоянное число, а слева ункция
от x: По теореме 1 следует, что общее решение уравнения (5) будет
y = C 1 ek x + C 2 ek x :
1
2
П р и м е р 1. ешить уравнение y 00 3y 0 + 2y = 0: Его характеристическое уравнение k2 3k + 2 = 0 имеет два различных действительных
корня k1 = 1 и k2 = 2: Поэтому общее решение есть y = C1 ex + C2 e2x :
2) Корни k1 и k2 действительные и равные (k1 = k2 ): В этом
случае одно частное решение уравнения (5) выразится унцкией
y1 = ek1 x : Частным решением уравнения (5) в случае 2) будет также ункция y2 = xek1 x : Действительно, y200 + py20 + qy2 = (2 + k1 x) k1 ek x + p(1 + k1 x) ek x + qxek x = ek x [(k12 + pk1 + q)x + 2k1 + p? =
1
= ek1 x(
p + p) = 0:
1
1
1
Заметим, что решения ek1 x и
xek x
1
были линейно
џ 40. Линейные диеренциальные уравнения второго порядка
221
независимы, так как если бы ункции ek1 x и xek1 x были линейно зависимы, то в интервале (a; b) выполнялось бы тождество 1 ek1 x +
+ 2 xek1x = 0 (1 и 2 одновременно не нули) и, значит, тождество
1 + 2 x = 0; что невозможно. Следовательно, общее решение уравнения (5) в данном случае
y = C1 ek x + C2 xek x = ek x (C1 + C2 x):
1
1
1
П р и м е р 2. Уравнению y 00 6y 0 + 9y = 0 соответствует характеристическое уравнение k2 6k + 9 = 0; имеющее равные корни k1 = k2 = 3:
Поэтому общее решение будет y = (C1 + C2 x) e3x .
3) Корни k1 = + i и k2 = i комплексные. Можно пока-
зать, что общее решение уравнения (5) в этом случае
y = ex (C1 os x + C2 sin x):
П р и м е р 3. y 00 2y 0 + 2y = 0: Характеристическое уравнение k2
имеет комплексные корни k1 = 1 + i; k2 = 1 i: Следовательно,
общим решением будет ункция y = ex (C1 os x + C2 sin x):
2k + 2 = 0
3. Линейные неоднородные диеренциальные уравнения второго порядка с постоянными коэициентами. ас-
смотрим теперь решение некоторых типов линейного неоднородного
диеренциального уравнения с постоянными коэициентами:
y00 + py0 + qy = f (x);
(9)
где p; q постоянные действительные числа, f (x) известная непрерывная ункция в интервале (a; b): По теореме 2 для нахождения общего решения уравнения (9) надо знать общее решение Y
соответствующего однородного уравнения y 00 + py 0 + qy = 0 (для
этого используются результаты пункта 2 настоящего параграа) и
частное решение z уравнения (9).
Вид частного решения уравнения (9) зависит от вида правой части
этого уравнения. Укажем на некоторые случаи.
а) f (x) = a0 x2 + a1 x + a2 (a0 6= 0): Если q 6= 0; то частное решение z уравнения (9) ищется также в орме квадратного трехчлена:
z = A0 x2 + A1 x + A2 ; где A0 ; A1 и A2 неопределенные коэициенты. Отсюда z 0 = 2A0 x + A1 ; z 00 = 2A0 : Подставляя эти выражения в
уравнение (9), в котором f (x) = a0 x2 + a1 x + a2 ; получим:
A0 qx2 + (2A0 p + A1 q) x + 2A0 + A1 p + A2 q = a0 x2 + a1 x + a2 :
Сравнивая коэициенты при одинаковых степенях x в левой
правой частях последнего соотношения, имеем:
A0 q = a0 ;
как q 6= 0;
и
2A0p + A1 q = a1 ;
2A0 + A1 p + A2 q = a2 :
(10)
то из (10) для коэициентов A0 ; A1 и A2 получа-
Так
ются определенные числовые значения. Тем самым частное решение z будет вполне определено. Если q = 0; то частное решение z
уравнения (9) ищется в орме z = x(A0 x2 + A1 x + A2 ); когда 0 однократный корень характеристического уравнения (8), и в орме
222
л. VII. Диеренциальные уравнения
z = x2 (A0x2 + A1x + A2 ); когда
0 двукратный корень характеристического уравнения (8). Аналогично обстоит дело, если f (x) многочлен Pn (x) степени n:
П р и м е р 1. ешить уравнение y 00 y = x2: Характеристическое уравнение k2 1 = 0 имеет корни k1 = 1 и k2 = 1: Поэтому общее решение
соответствующего однородного уравнения будет Y = C1 ex + C2 e x: Частное решение данного уравнения ищем в виде z = A0 x2 + A1 x + A2 : Находим:
z0 = 2A0 x + A1 ; z00 = 2A0 : Подставив эти выражения в данное уравнение,
получим: 2A0 A0 x2 A1 x A2 = x2 ; откуда: A0 = 1; A1 = 0; 2A0 A2 =
= 0: Поэтому z = x2 2 и общее решение данного уравнения будет y =
= C1 ex + C2 e x x2 2:
б) f (x) = aebx (a 6= 0): Частное решение ищется в орме показательной ункции z = Aebx ; где A неопределенный коэициент.
Отсюда z 0 = Abebx ; z 00 = Ab2 ebx : Подставляя эти выражения в уравнение (9), в котором f (x) = aebx ; после сокращения на ebx будем
иметь: A(b2 + pb + q ) = a: Отсюда видно, что если b не является корнем характеристического уравнения, то
kx
z = b +aepb + q :
2
Если b корень характеристического уравнения, то частное решение
уравнения (9) ищется в орме z = Axebx ; когда b однократный
корень, и в орме z = Ax2 ebx ; когда b двукратный корень.
y00 2y0 + y = 2ex: Имеем: k2 2k + 1 =
x
= 0; k1 = k2 = 1; Y = (C1 + C2 x) e : Так как в данном уравнении b = 1 П р и м е р 2. ешить уравнение
корень кратности 2 характеристического уравнения, то частное решение
данного уравнения ищем в виде: z = Ax2 ex : Далее имеем:
z0 = Ax(x + 2) ex ;
z00 = A(x2 + 4x + 2) ex ;
Aex (x2 + 4x + 2) 2Axex(x + 2) + Ax2 ex = 2ex ;
A = 1;
2
x
x
2
x
z=x e ;
y = (C1 + C2 x) e + x e :
в) f (x) = a os !x + b sin !x (a и b не нули одновременно). В этом
случае частное решение z ищется также в орме тригонометрического двучлена
z = A os !x + B sin !x
(A и B неопределенные коэициенты); отсюда:
z 0 = A! sin !x + B! os !x;
z 00 = A!2 os !x B!2 sin !x:
Подставляя эти выражения в уравнение (9), в котором f (x) = a os !x +
+ b sin !x; получим:
( A!2 + Bp! + Aq) os !x + ( B!2 Ap! + Bq) sin !x a os !x + b sin !x:
џ 40. Линейные диеренциальные уравнения второго порядка
223
Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэициенты при os !x и sin !x в левой и правой частях этого равенства
должны быть соответственно равны друг другу. Поэтому
A(q !2 ) + Bp! = a;
Ap! + B (q !2 ) = b:
Эти уравнения определяют коэициенты A и B; кроме случая, когда p = 0; q = ! 2 (или когда !i корни характеристического урав-
нения). В последнем случае частное решение уравнения (9) ищется в
виде: z = x(A os !x + B sin !x):
y00 + y = os x: Имеем:
k2 = i;
Y = C1 os x + C2 sin x:
П р и м е р 3. ешить уравнение
k2 + 1 = 0;
k1 = i;
Так как i корни характеристического уравнения, то
данного уравнения ищем в виде: z = x(A os x + B sin x):
частное решение
Далее имеем:
z0 = A os x + B sin x + x( A sin x + B os x);
z00 = 2A sin x + 2B os x x(A os x + B sin x);
2A sin x + 2B os x = os x;
A = 0;
B = 21 ;
z = x2 sin x;
y = C1 os x + C2 sin x + x2 sin x:
4. армонический осциллятор. езонанс. Пусть на идеально
гладком столе лежит шарик массы
m;
прикрепленный к пружине с
PSfrag replaements
O
x0
x
ис. 110
коэициентом жесткости > 0 (рис. 110). Направим ось Ox вдоль
пружины, а за начало координат примем ту точку, в которой шарик
находится в положении равновесия (пружина не растянута). Отведем
теперь шарик от положения равновесия на расстояние x0 и отпустим
его. Тогда со стороны пружины на шарик будет действовать сила F;
стремящаяся вернуть его в положение равновесия. Из изики известно, что эта сила равна (для малых x)
F (x) = x
(11)
(знак минус поставлен потому, что направление действующей силы
обратно по знаку смещению x):
Запишем второй закон Ньютона для шарика
F = ma;
2
d
x
где ускорение a = 2 (см. џ 16, п. 6).
dt
(12)
224
л. VII. Диеренциальные уравнения
Из (11, (12) имеем:
ma = x
Отсюда:
где
!=
r
или
m ddtx = x:
2
2
d2 x + ! 2 x = 0;
dt2
:
m
(13)
Для уравнения (13) запишем характеристическое уравнение
k2 + !2 = 0:
k1 = !i; k2 = !i: Поэтому общее решение урав-
Его корнями будут:
нения (13) имеет вид:
x = C1 os !t + C2 sin !t;
(14)
C1 и C2 произвольные постоянные.
Выясним теперь, каковы начальные условия. В момент времени
t = 0 x = x0; а скорость равна нулю; значит,
где
Но из (14) следует, что
x(0) = x0;
x0 (0) = 0:
(15)
dx = C ! sin !t + C ! os !t:
1
2
dt
Поэтому (15) перепишется в виде:
Отсюда:
C1 = x0 ; C2 = 0 и
C1 + 0 = x 0 ;
0 + C2 ! = 0:
x = x0 os !t:
(16)
Другими словами, шарик будет совершать гармонические колебания с
амплитудой jx0 j и периодом
q
T = 2! = 2 m
(! называется частотой колебаний) *).
Как говорят в изике, мы имеем здесь гармонический осциллятор.
В действительности мы знаем, что шарик не может колебаться
бесконечно долго, и амплитуда колебаний стремится к нулю. Это происходит потому, что в любом реальном опыте присутствует сила
трения, которой мы пренебрегли при выводе уравнения (13).
Однако если сила трения очень мала, а промежуток времени не
слишком большой, то (13) и (16) описывают процесс с хорошим приближением.
Пусть теперь на шарик действует еще одна сила F1 ; направленная
вдоль оси Ox и изменяющаяся по закону
*) Период
косинуса.
T
находим из ормулы
!(t + T ) = !t + 2; где 2 период
џ 40. Линейные диеренциальные уравнения второго порядка
225
F1 = F0 sin pt
(F0 и p положительные постоянные).
Тогда второй закон Ньютона примет вид:
m ddtx = x + F0 sin pt
2
2
или
F
где 0 = 0 :
m
d2 x + ! 2 x = sin pt;
0
dt2
(17)
Уравнение (17) называется уравнением вынужденных колебаний ,
а уравнение (13) уравнением свободных колебаний .
Найдем частное решение неоднородного уравнения (17).
1) Пусть p 6= !; т. е. частота внешней силы не совпадает с частотой свободных колебаний. Частное решение ищем в виде:
z = A os pt + B sin pt;
откуда
z 00 = p2 A os pt p2 B sin pt:
z 0 = pA sin pt + pB os pt;
Подставляя эти выражения в уравнение (17), получим:
Отсюда:
p2 (A os pt + B sin pt) + !2 (A os pt + B sin pt) = 0 sin pt;
A(!2 p2 ) os pt + B (!2 p2 ) sin pt = 0 sin pt:
A(!2 p2 ) = 0;
B (!2 p2 ) = 0
: Поэтому
и, следовательно, A = 0; B =
! p
0
2
2
0
z = ! p sin pt
2
2
p 6= ! будет:
x = C1 os !t + C2 sin !t + !2 0 p2 sin pt:
и общее решение уравнения (17) для случая
Это решение представляет собой наложение двух гармонических
колебаний с частотами ! и p; причем колебания ограничены.
2) p = !; т. е. частота внешней силы совпадает с частотой свободных колебаний. В этом случае частное решение уравнения (17) ищем в
виде:
z = t(A os !t + B sin !t):
Отсюда:
z 0 = A os !t + B sin !t + t!( A sin !t + B os !t);
z 00 = 2!( A sin !t + B os !t) t!2 (A os !t + B sin !t):
Подставляя эти выражения в уравнение (17), получим:
15 И. И. Баврин
226
л. VII. Диеренциальные уравнения
2!( A sin !t + B os !t) = 0 sin !t;
откуда:
2A! = 0 ;
2B! = 0
A = 2! ; B = 0: Поэтому
z = 2!t os !t
и общее решение уравнения (17) в случае p = ! будет:
x = C1 os !t + C2 sin !t 2!t os !t:
0
или
0
0
Последняя ормула показывает, что размах колебаний x неограниченно растет вместе со временем t (рис. 111). Это явление носит
z
z = 2!0 t
ag replaements
O
z = 2!0 t os !t
t
z = 2!0 t
ис. 111
название резонанса. При работе многих механизмов резонанс крайне
нежелателен, так как он приводит к нарушению их правильной работы и даже к разрушению.
џ 41. Волновое уравнение и уравнение Лапласа
1. Уравнение в частных производных. Пусть ункция u
описывает некоторый изический процесс. Всякий процесс протекает
в пространстве, точки которого можно характеризовать декартовыми прямоугольными координатами (x; y; z ); и во времени t: Поэтому
в общем случае ункция u является ункцией четырех переменных:
u = u(x; y; z; t): Диеренцируя ункцию u; получаем частные проu ; u и т. д. В данном процессе эти производные связаны
изводные
x y
известными соотношениями, и, таким образом, приходим к диеренциальному уравнению , содержащему частные производные .
Для изических приложений особый интерес представляют диеренциальные уравнения, для которых входящие в них старшие
џ 41. Волновое уравнение и уравнение Лапласа
227
частные производные имеют второй порядок (так называемые диеренциальные уравнения второго порядка ). К числу их относятся уравнения газовой динамики, уравнения гидродинамики, математические
уравнения электромагнетизма (уравнения Максвелла) и многие другие. Поэтому диеренциальные уравнения с частными производными второго порядка получили название уравнений математической
изики .
Ограничимся для простоты случаем двух независимых переменных x; y : u = u(x; y ): Тогда общий вид диеренциального уравнения с частными производными второго порядка для неизвестной
ункции u следующий:
F (x; y; u; u0x ; u0y ; u00x ; u00xy ; u00y ) = 0;
2
2
(1)
где F известная ункция.
Всякая ункция u = '(x; y ); обращающая уравнение (1) в тождество, называется его решением . Такое решение по аналогии с обыкновенными диеренциальными уравнениями называется частным .
Нахождение частного решения, удовлетворяющего тем или иным
условиям, основная задача теории диеренциальных уравнений
в частных производных. Здесь мы не будем заниматься этой задачей
в сколько-нибудь общей орме, а остановимся только на одной из
таких задач.
2. Задача о свободных колебаниях струны, закрепленной
на концах. ассмотрим однородную упругую струну, натянутую
вдоль оси Ox и закрепленную за два конца. Пусть в какой-то момент времени струна выводится из этого состояния покоя (например,
щипком или нажимом в какой-либо ее точке) и затем внешнее механическое воздействие на струну прекращается. Струна начинает
колебаться, и ее колебания будем называть свободными колебаниями . Предположим, что колебания происходят так, что каждая точка
струны отклоняется по перпендикуляру к оси Ox и все эти перпендикуляры лежат в одной и той же плоскости. Будем, кроме того,
изучать ѕмалыеї колебания струны, т. е. такие колебания, при которых наклон струны к оси Ox (т. е. угол между касательной к струне
и осью Ox) остается все время очень малым.
В учебниках по математической изике (см., например, [9?) выводится уравнение движения точек струны при сделанных выше предположениях.
Если обозначить через u(x; t) смещение (по перпендикуляру к
оси Ox) точки струны с абсциссой x в любой момент времени t; то
уравнение свободных малых колебаний струны имеем вид:
2 u = a2 2 u ;
t2
x2
(2)
где a2 есть положительная постоянная, величина которой определяется материалом струны и ее натяжением. Уравнение (2) представ15*
228
л. VII. Диеренциальные уравнения
ляет собой диеренциальное уравнение с частными производными
второго порядка. Его называют одномерным волновым уравнением .
Для полного определения движения струны одного уравнения (2)
недостаточно. Искомая ункция u(x; t) должна еще удовлетворять
граничным (краевым ) условиям , указывающим, что делается на концах струны (x = 0 и x = l); и начальным условиям, описывающим
состояние струны в начальный момент (t = 0):
Пусть, например, как мы полагаем, концы струны при x = 0 и x = l
неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства
u(0; t) = 0;
u(l; t) = 0:
(3)
(4)
Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.
В начальный момент t = 0 струна имеет определенную орму, которую мы ей придали. Пусть эта орма определяется ункцией f (x):
Таким образом, должно быть
u(x; 0) = ut=0 = f (x):
(5)
Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая пусть определяется ункцией '(x): Таким
образом, должно быть
u t t=0
= '(x):
(6)
Условия (5) и (6) являются начальными условиями.
3. Метод Фурье. Уравнение (2) будем решать методом разделения переменных (методом Фурье). Суть его заключается в том, что
мы отыскиваем частные решения уравнения (2), удовлетворяющие
пока только краевым условиям (3), (4), в виде произведения двух
ункций, каждая из которых зависит только от одной переменной
u(x; t) = X (x) T (t):
При этом мы ищем нетривиальные решения, т. е. тождественно не
равные нулю.
Подставим ункцию u(x; t) = X (x) T (t) в уравнение (2):
X (x) T 00 (t) = a2 X 00 (x) T (t)
или
T 00 (t) = X 00 (x) :
a2 T (t) X (x)
Мы получили равенство, в котором левая часть не зависит от x; а
правая от t: Следовательно, обе части равенства не зависят ни от x;
ни от t; т. е. являются постоянными. Обозначим эту постоянную *)
символом 2 :
T 00 (t) X 00 (x)
2
Тогда
a2 T (t)
= X (x) = :
*) Если она положительна или равна нулю, то придем к тривиальному
решению (см. [9?).
229
џ 41. Волновое уравнение и уравнение Лапласа
T 00 (t) + 2 a2 T (t) = 0;
X 00 (x) + 2 X (x) = 0:
Из этих уравнений находим:
T (t) = A os at + B sin at;
X (x) = C os x + D sin x:
Таким образом,
u(x; t) = (A os at + B sin at)(C os x + D sin x):
Полагая здесь x = 0; получим:
u(0; t) = (A os at + B sin at) C 0:
Значит, C = 0: Далее, поскольку
u(l; t) = (A os at + B sin at) D sin l 0;
то следует выбрать так, чтобы
sin l = 0;
l = k;
= kl :
Эти значения называются собственными значениями для данной
k x краевой задачи, а соответствующие им ункции X (x) = D sin
l
собственными ункциями .
Итак, частное решение уравнения (2), удовлетворяющее краевым
условиям (3), (4), найдено:
t + bk sin ka
t sin kl x:
uk (x; t) = ak os ka
l
l
Здесь числа ak = AD; bk = BD произвольны.
Заметим теперь, что уравнение (2) линейное и однородное, и потому
сумма его решений также будет решением. Так что ункция
u(x; t) =
1
X
k=1
uk (x; t) =
1
X
t + bk sin ka
t sin kl x
ak os ka
l
l
k=1
является решением уравнения (2). Ясно, что эта ункция удовлетворяет краевым условием (3), (4), так как им удовлетворяет каждая из
ункций uk (x; t):
Подберем теперь числа ak и bk так, чтобы удовлетворить и начальным условиям (5), (6). Имеем:
u(x; 0) = f (x) =
Это разложение ункции
тельно,
l
Z
f (x) в
1
X
k=1
ak sin kl x:
ряд Фурье по синусам. Следова-
dx;
ak = 2l f (x) sin kx
l
(см. гл. VI, џ 36, п. 5).
0
k = 1; 2; . . .
(7)
230
л. VII. Диеренциальные уравнения
Далее, так как
u0t (x; 0) = '(x) =
то
Zl
1
X
ka b sin k x;
l k
l
k=1
ka b = 2 '(x) sin kx dx;
l k l
l
0
откуда
Zl
2 '(x) sin kx dx:
bk = ka
l
(8)
0
Таким образом, найдено решение уравнения свободного колебания
струны, удовлетворяющее указанным краевым и начальным условиям:
u(x; t) =
1 X
ak os ka
t + bk sin ka
t sin kl x;
l
l
k=1
где ak и bk находятся из равенств (7) и (8).
plaements
u
П р и м е р. Струна, закрепленная на концах x = 0; x = l; имеет в начальный момент орму параболы
u = 4h2 x(l x):
l
h
Определить смещение точек струны
от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют (рис. 112).
Здесь
h
l x
l
O
2
f (x) = 4h2 x(l x);
ис. 112
'(x) = 0:
l
Находим коэициенты ряда, определяющего решение уравнения колебаний струны:
l
l
Z
Z
ak = 2l f (x) sin kx
dx
= 8h3 (lx x2 ) sin kx dx =
l
l | {z } | {zl }
0
0
u1
kx l
dv1
8h Zl (l 2x) os kx dx =
= 8h (lx x2 ) l os
+
k
l 0 kl
l
l
0
l
Z
Zl
l
= 8h (l 2x) os kx dx = 8h (l 2x) sin kx + 16h sin kx dx =
l
l
l
kl
kl
kl
3
2
2
0
2
0
2
2
2
0
l
= 16h os kx = 16h (os k 1) = 16h [1 ( 1)k ?;
l 0
k
k
k
3
Но при
3
3
bk = 0:
k = 2n ak = 0; поэтому
u(x; t) = 323h
1
X
1
n=0 (2n +1)3
3
3
3
os (2n +1) at sin (2n +1) x :
l
l
џ 41. Волновое уравнение и уравнение Лапласа
231
4. Уравнение Лапласа. Уравнением Лапласа называется урав-
нение
u = 0;
где u лапласиан (см. џ 31, п. 2), имеющий в декартовых координатах следующий вид:
2
2
2
u = u2 + u2 + u2 :
x y
z
Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях. К исследованию этого уравнения приводит, например, рассмотрение задач о
стационарном тепловом состоянии, задач диузии и т. д. (см. [13?).
Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической ункцией .
П р и м е р. Для ункции
Аналогично
u= p
1
имеем:
x2 + y 2 + z 2
2
2
2
x
0
ux = 2 2 2 3=2 ;
u00x2 = 22x 2y 2z5=2 :
(x + y + z )
(x + y + z )
2
2
2
u00y2 = 22y 2x 2z5=2 ;
(x + y + z )
2
2
2
u00z2 = 22z 2x 2y5=2 :
(x + y + z )
Поэтому u = 0: Следовательно, данная ункция гармоническая всюду в
трехмерном пространстве, кроме точки (0; 0; 0):
ассмотрим выражения
u0 (x; y; z ) = a000;
u1 (x; y; z ) = a000 + a100 x + a010 y + a001 z;
u2 (x; y; z ) = a000 + a100 x + a010 y + a001z +
+ a200 x2 + a020 y2 + a002 z 2 + a110 xy + a101 xz + a011 yz;
где a000 ; a100 ; a010 ; . . .; a011 постоянные числа.
(9)
(10)
(11)
Выражения (9), (10) и (11) являются многочленами по переменным x; y; z соответственно нулевой, первой и второй степени.
О п р е д е л е н и е. Многочлен по переменным x; y; z , удовлетворяющий уравнению Лапласа, называется гармоническим многочленом .
Очевидно, многочлены (9), (10) являются гармоническими, а многочлен (11) является гармоническим при условии, что a200 + a020 +
+ a002 = 0:
Если в (10), (11) перейти к серическим координатам, то получим:
где ункции
u1 (x; y; z ) = a000 + rY1 (; ');
u2 (x; y; z ) = a000 + rY1 (; ') + r2 Y2(; ');
Y1 (; ') = a100 sin os ' + a010 sin sin ' + a001 os ;
Y2 (; ') = a200 sin2 ' os2 ' + a020 sin2 sin2 ' + a002 os2 +
+ a110 sin2 sin ' os ' + a101 sin os os ' + a011 sin os sin '
232
л. VII. Диеренциальные уравнения
называются серическими ункциями Лапласа соответственно первого и второго порядка.
џ 42. Диеренциальные уравнения в биологии
1. Динамика численности популяции. Динамика численности популяции (т. е. изменение общего количества живых особей в популяции в связи с рождаемостью и смертностью) один из важнейших
вопросов экологии популяций. Изучая диеренциальные уравнения
первого порядка, мы рассмотрели (см. џ 38, п. 7) простейшую задачу
из этой области. Было показано, что если считать популяцию изолированной, ресурсы питания неограниченными, а прирост поголовья
пропорциональным количеству взрослых особей, то динамика численности популяции описывается диеренциальным уравнением
где
dx = x;
dt
(1)
x = x(t) численность популяции в момент времени t:
ешением этого уравнения (см. џ 38, п. 7) является ункция
x = x0e (t t );
0
x0 численность популяции в начальный момент t0 :
Как уже отмечалось (см. џ 38, п. 7), уравнение (1) либо имеет смысл
в теоретическом аспекте, либо описывает динамику искусственно
созданной и поддерживаемой популяции.
Более точное описание развития популяции дает уравнение
ФерхюльстаПерла , полученное в 1845 г. Оно учитывает так называемый ѕактор самоотравленияї популяции, или внутривидовую
борьбу в популяциях. Этот актор, снижающий скорость роста популяции, объясняется многими причинами: конкурентной борьбой
за место и пищу, распространением инекций из-за тесноты и т. п.
Желая учесть этот эект, мы должны при подсчете прироста x
(см. џ 38, п. 7) от величины x t вычесть некоторую величину
h(x; t):
x = x t h(x; t):
где
Функция h(x; t) для многих популяций может быть взята в виде
произведения
2
h(x; t) = Жx t;
где Ж коэициент самоотравления (или внутренней борьбы в популяции).
Линейная зависимость по t объясняется так же, как и в первом
слагаемом (см. џ 38, п, 7). А вид ункции x2 обосновывается следующим образом. Величина h(x; t) отражает снижение скорости роста
популяции из-за внутривидовой конкуренции. Но конкуренция тем
выше, чем больше количество встреч между особями, а количество
встреч пропорционально произведению xx; т. е. x2 : Здесь в порядке
сравнения следует заметить, что количество встреч между особями
двух разных видов пропорционально как численности одного, так и
233
џ 42. Диеренциальные уравнения в биологии
численности другого, т. е. пропорционально произведению xy; где x
и y соответствующие численности видов. При встречах особей одного вида место y занимает x; и мы получаем x2 : Итак,
x = x t Жx2 t:
авенство (2) делим почленно на t:
x = x Жx2
t
(2)
t ! 0 получим диеренциальное
2
(3)
dt = x Жx :
и после перехода к пределу при
уравнение
dx
Это и есть уравнение ФерхюльстаПерла.
Уравнение (3) часто записывают в ином виде. Вынеся за скобки
в правой части уравнения (3), получим:
x
dx = x1 Ж x
dt
или
dx = x Ж x :
dt
Ж
Введя обозначение
(4)
= ; уравнение (4) перепишется в виде:
Ж
dx = x x :
dt
(5)
Величина имеет определенный биологический смысл. Мы выясним
его после интеграции, а сейчас отметим только, что если начальное
значение x0 < ; то для всех моментов времени t > t0 x(t) < :
В самом деле, x(t) диеренцируемая ункция. Из уравнения (5)
dx положительна, и, слеследует, что пока x(t) < ; производная
dt
довательно, x(t) растет (џ 18, п. 1). Отсюда следует, что принимать
replaements
x
x
x0
x0
O
t0
t
ис. 113
O
t0
t
ис. 114
значение, равное ; x(t) может либо возрастая и пересекая
x = (рис. 113), либо касаясь этой прямой рис. 114).
прямую
234
л. VII. Диеренциальные уравнения
В первом случае справа от точки пересечения имеем: x(t) > и
x0(t) > 0: Это противоречит уравнению (5). Во втором случае справа
от точки касания x(t) < и x0 (t) < 0; что тоже противоречит уравнению (5). Таким образом x(t) не может достигать значения, равного ; если x0 < : Проинтегрируем теперь уравнение (5). азделяя
переменные, получим:
откуда:
dx = dt
x( x)
Считая
1+ 1
x
( x)+ x dx = dt;
x( x)
или
x
dx = dt:
x0 < ; после интеграции будем иметь:
ln x ln ( x) = t + ln C;
откуда, потенцируя, получаем:
x = Cet:
x
(6)
Пусть для простоты t0 = 0 и x(0) = x0
x0 :
начальные данные, найдем: C =
< : Подставляя в (6) эти
x0
Подставив это значение C в (6), получим:
x = x0 et:
x x0
Отсюда искомый закон (модель ФерхюльстаПерла):
t
x = xx e
+ x et :
(7)
0
0
0
Исследуем граик этой ункции. Воспользовавшись самим уравнением (5), заключаем, что поскольку x < ; то x0 (t) всюду положительна. Диеренцированием из (5) получаем:
0(t) = 1 2x x0(t):
x00(t) = x x
x
Подставив сюда выражение для x из (7), найдем:
t x00 (t) = xx + xx eet x0 (t):
0
0
0
0
(8)
Отсюда видно, что при x0 x0 et > 0 производная x00 (t) > 0 и,
следовательно, ункция x(t) вогнута; при x0 x0 et < 0 производная x00 (t) < 0 и, следовательно, ункция x(t) выпукла. Из первого
неравенства находим область вогнутости:
x0 x0 et > 0;
т. е.
et < x x :
0
0
Следовательно, область вогнутости определяется неравенством
џ 42. Диеренциальные уравнения в биологии
235
0 < t < 1 ln x x0 :
0
Аналогично область выпуклости определяется неравенством
1 ln x0 < t < +1:
x0
1
x
0
Так как при t = ln
x00(t) = 0 и x = 2 ; то точка
x0
M 1 ln x x0 ; 2
0
является точкой перегиба.
Далее, так как производная x0 (t) для всех t больше нуля, то это
значит, что искомая кривая нигде не имеет экстремумов. Наконец, из
ормулы (7) с учетом того, что x < ; видно, что x(t) ! снизу
при t ! +1; а из начальных
данных следует, что при t = 0
x(0) = x0 : Всего этого достаточ- x
но, чтобы представить себе вид
кривой (рис. 115).
Из рисунка
PSfrag
replaements
видно, что если в начальный
1 x0
момент популяция
была не ln x0
; то развитие
большая x0 <
2
2
популяции идет по вогнутой
x0
кривой до точки
1 ln x ; :
x
2
0
0
O
t
В этой точке кривая перегибаис. 115
ется, становясь далее выпуклой,
и при t ! +1 стремится к прямой x = ; никогда не достигая этой
прямой. Поэтому величину называют максимальной численностью
популяции (теоретически), возможной в данных условиях.
раик x = x(t) напоминает вытянутую букву S: Поэтому его
называют S -образной кривой (иногда логистической кривой). Для
многих популяций эта кривая хорошо совпадает с экспериментальными данными.
Совершенно аналогично исследуется случай, когда x0 = x(t0 ) > :
В этом случае решение x(t) при t ! +1 стремится к ; мотононно
уменьшаясь.
2. Диеренциальные уравнения в теории эпидемий.
Более полно этот вопрос рассмотрен, например, в [1?. Ниже мы ограничимся лишь рассмотрением эпидемий простейшего вида. Предположим, что изучаемое заболевание носит длительный характер, так
что процесс передачи инекции значительно более быстрый, чем
течение самой болезни. Нас будет интересовать именно первый процесс процесс передачи инекции. При этом будем предполагать, что
236
л. VII. Диеренциальные уравнения
зараженные особи не удаляются из колонии и передают при встречах
инекцию незараженным.
Пусть a и n соответственно число зараженных и незараженных в начальный момент, x = x(t) число незараженных в момент t;
а y = y (t) число зараженных к моменту t: Для всех моментов времени из некоторого не слишком большого отрезка 0 6 t 6 T *) имеет
место равенство
x + y = n + a:
(9)
Так как инекция передается при встречах зараженных с незараженными, то число незараженных будет убывать с течением времени пропорционально количеству встреч между теми и другими, т. е.
пропорционально произведению xy: Поэтому скорость убывания числа незараженных равна:
dx
dt
= xy;
(10)
где коэициент пропорциональности. Подставив в равенство (10) выражение y из (9), получим:
dx = x(n + a x):
dt
(11)
азделяя в уравнении (11) переменные, находим:
dx
= dt
x(n + a x)
откуда:
(n + a x)+ x dx = (n + a) dt;
x(n + a x)
или
dx + dx = (n + a) dt:
x n x+a
Интегрируя, будем иметь:
ln x ln (n x + a) = (n + a) t + ln C
ln n xx + a = (n + a) t + ln C:
Потенцируя, получим
x = Ce (n+a) t:
n x+a
или
Для определения C используем начальное условие: при t = 0 число
n
незараженных равно n; т. е. при t = 0 x = n: Имеем: C = ; и, знаa
чит,
x
n (n+a) t
n x+a
= ae
:
азрешая последнее уравнение относительно
тельно:
n(n + a)
x=
n + ae(n+a) t
Эта ормула дает закон убывания
x;
получим оконча-
:
x с течением времени.
*) Точнее отрезок [0; T ? должен быть меньше времени жизни одного
поколения. Тогда в наших уравнениях мы можем не учитывать естественную смертность особей.
џ 42. Диеренциальные уравнения в биологии
237
3. Плотность муравьев вне муравейника. Хорошо известен
общинный характер жизни муравьев. Найденную пищу или строительный материал муравьи не употребляют на месте, а несут
в мураPSfrag replaements
r
M
вейник. Поэтому вблизи муравейника
муравьев всегда больше, чем вдали
r
от него.
Будем считать для простоты,
A
B
что основанием муравейника служит
O a
круг радиуса a (рис. 116) и что
пространство вне муравейника одh
нородно и по распределению питаh N
тельных веществ и по проходимости.
Это значит, что все точки, лежащие
ис. 116
на окружности радиуса r; равноправны в смысле ценности их окрестности для муравьев. Поэтому плотность муравьев во всех точках
окружности радиуса r (r > a) будет одной и той же. (Плотность
насекомых отношение их количества, находящегося в некоторой
окрестности, к площади этой окрестности.) Отсюда следует, что
при анализе плотности как ункции от расстояния r мы можем
ограничиться рассмотрением точек, лежащих на одном луче.
Для простоты рассматриваем стационарный случай, т. е. такой,
когда плотность в каждой точке не меняется со временем. Это не
значит, что муравьи не перемещаются. В поисках пищи они переходят с одного места на другое до тех пор, пока что-нибудь не найдут.
Мы считаем их поисковые перемещения случайными, т. е. если некоторое количество муравьев покинуло какую-нибудь окрестность за
единицу времени, то примерно такое же количество пришло в эту
окрестность из соседних участков. Точно так же если некоторое количество скрылось в муравейнике с пищей, то примерно такое же
количество вышло из муравейника в поисках новой пищи. Описанная
ситуация осуществляется в реальных муравейниках в течение нескольких дневных часов.
ассмотрим две соседние точки, лежащие на одном луче: точку A;
отстоящую от центра муравейника на расстоянии r; и точку B;
отстоящую на расстоянии r + r (рис. 116). Проследим за обменом
муравьями между окрестностями этих точек. Пусть Q(r) количество муравьев в окрестности точки A; a Q(r + r) соответствующее количество в окрестности точки B: В поисках пищи муравьи
разбегаются в разных направлениях, при этом ни одно из направлений не является предпочтительным, так как пространство однородно.
Поэтому доля муравьев (от общего числа муравьев в окрестности),
выходящих в поисках пищи, не зависит от направления выхода:
сколько процентов вышло на запад, столько же выйдет на восток,
столько же на север, столько же на юг и т. д. Следовательно, если
238
л. VII. Диеренциальные уравнения
из окрестности точки A в направлении к точке B вышло Q(r);
< 1 муравьев, то из окрестности точки B в направлении к точке A выйдет Q(r +r) муравьев. Существенно здесь то, что коэициент в обоих случаях один и тот же. Он определяет долю муравьев,
выходящих в иксированном направлении.
Однако не все муравьи, вышедшие из окрестности точки A в
направлении к точке B; дойдут до окрестности этой точки. Часть
из них, найдя по дороге пищу, вернется в муравейник. Понятно,
что эта часть будет тем больше, чем длиннее путь, т. е. чем больше r расстояние между A и B: Таким образом количество
муравьев, вышедших из окрестности точки A и дошедших до окрестности точки B; выразится разностью
QAB = Q(r) Q(r)r;
где коэициент пропорциональности, определяющий долю
вернувшихся. Этот коэициент зависит от ценности пространства.
Так как пространство вне муравейника однородно, то для данного
пространства постоянно.
Что же касается величины Q(r + r); то к этому случайному
количеству прибавятся еще муравьи, которые вышли из окрестности
точки B не в направлении к точке A; но по дороге что-то нашли
и, изменив направление, пошли к муравейнику. Такие муравьи, если
они еще не успели выйти за пределы сектора OMN (рис. 116),
также попадут в окрестность точки A; и их будет тем больше, чем
больше r: Таким образом, количество муравьев, вышедших из окрестности точки B и попавших в окрестность точки A; выразится
суммой
QBA = Q(r + r) + 1 Q(r + r)r;
где 1 коэициент пропорциональности, определяющий долю
муравьев, изменивших направление в сторону муравейника.
Так как мы находимся в условиях стационарного случая, когда
количество муравьев в окрестности каждой точки должно оставаться постоянным, то должно выполняться равенство QAB = QBA ; т. е.
Q(r) Q(r)r = Q(r + r) + 1 Q(r + r)r:
Это основное балансовое соотношение. Из него мы получим диеренциальное уравнение. Поскольку количество муравьев равно
плотности, умноженной на площадь, то последнее равенство можем
переписать (сократив предварительно на ) так:
n(r) SA n(r) SA r = n(r + r) SB + 1 n(r + r) SB r; (12)
где через n(r) и n(r + r) обозначены плотности в окрестностях точек A и B соответственно; SA и SB площади этих окрестностей.
Подсчитав площади в полярных координатах, будем иметь
(рис. 116):
SA hr ;
SB h(r + r):
Подставив эти выражения в равенство (12), получим:
џ 42. Диеренциальные уравнения в биологии
239
n(r) hr n(r) hr r =
= n(r + r) h(r + r) + 1 n(r + r) h(r + r)r:
Отсюда, сократив на h и сгруппировав слагаемые, будем иметь:
(r + r) n(r + r) rn(r) = [1 n(r + r)(r + r) + n(r) r?r:
азделим теперь это равенство на r и перейдем к пределу при
r ! 0: Получим:
d (rn(r)) = ( + ) rn(r):
(13)
1
dr
Обозначим для краткости 1 + = и перепишем уравнение (13) в
виде:
d[rn(r)? = dr:
(14)
rn(r)
Мы получили диеренциальное уравнение для плотности n(r):
Пусть n(a) значение плотности на границе муравейника (r = a):
Интегрируя уравнение (14), получаем:
ln[rn(r)? = r + C:
(15)
Используя только что указанное начальное условие, находим, что
C = ln[an(a)? + a: Подставляя это в (15), получаем:
rn(r) = (r a);
ln an
(a)
откуда:
n(r) = ar n(a) e (r a):
(16)
Это и есть уравнение искомой кривой. раик ее легко построить,
если известны значения a; n(a) и (рис. 117). Эта кривая убывает с
ростом r: Величины a и n(a) несложно найти экспериментальным
n(p)
путем. Коэициент подсчитать
гораздо труднее. Однако можно поступить следующим образом.
Если
PSfrag replaements
считать, что построенная модель
достаточно верно отражает суть
дела и, следовательно, существует некоторое число ; с которым
O a
b
p
ормула (16) дает зависимость
плотности от расстояния, то эту ис. 117
можно вычислить из самой ормулы (16). В самом деле, если ормула (16) верна, то она верна для
всех r > a; и, в частности, для некоторого r = b: Подставив r = b
в (16), получим:
a
(b a)
откуда:
n(b) = b n(a) e
;
(a) :
= b 1 a ln an
bn(b)
(17)
240
л. VII. Диеренциальные уравнения
Таким образом, чтобы вычислить по ормуле (17), нам, кроn(a); нужно знать значение плотности n еще в одной точке
r = b: Это значение можно найти экспериментально так же, как
и n(a): Подставив найденное значение в ормулу (16), мы получим конкретную кривую плотности n(r): Эта теоретическая кривая,
найденная на основе модели, хорошо согласуется с кривыми, полученными экспериментально. При этом надо учесть следующие два
замечания.
ме
П р и м е ч а н и е 1. Из ормулы (16) следует, что n(r) отлична от
нуля при любых сколь угодно больших r: В реальных муравейниках это,
конечно, не так. Однако при больших r величина n(r); подсчитываемая
по ормуле (16), становится исчезаюше малой, и мы без особой погрешности можем ею пренебречь.
П р и м е ч а н и е 2. Величина есть объективная характеристика
вида муравьев. Точнее говоря, это характеристика взаимоотношения данного вида с данной питательной средой. В нашей модели мы считаем среду неизменной. Это значит, что либо деятельность муравьев мало меняет
среду (например, за короткий промежуток времени), либо среду искусственно восстанавливают. Тем не менее величина ; вообще говоря,
зависит от времени, так как ночью, например, и в полуденную жару активность муравьев меньше, чем в другое время.
Измеряя пару значений n(a) и n(b) в разное время суток, мы по ормуле (17) найдем соответствующие этим парам значения : Подставив
эти в (16), получим для каждого времени суток свою кривую плотности.
4. ост листьев растения. Скорость увеличения площади
молодого листа виктории-регии, имеющего орму круга, пропорциональна длине окружности листа и количеству солнечного света,
падающего на него. Последнее пропорционально площади листа и
косинусу угла между направлением лучей и вертикалью к листу.
Найти зависимость между площадью S листа и временем t; если
в 6 ч утра эта площадь равнялась 1600 см2; а в 18 ч того же дня 2500 см2:
Принять, что угол между направлением луча Солнца и вертикалью в 6 ч утра и в 18 ч (без учета знака) равен 90Ж; а в полдень 0Ж:
Пусть t время, отсчитываемое от полуночи. Если S переменная площадь листа, то скорость роста листа
dS = k 2rQ;
1
dt
где 2r длина окружности листа, Q количество солнечного
света, k1 коэициент пропорциональности.
Площадь листа S = r2 ; откуда:
r
Тогда:
По условию
r = S :
dS = k p2 pS Q:
1 dt
(18)
џ 42. Диеренциальные уравнения в биологии
Q = k2 S os ;
241
(19)
где угол между направлением лучей и вертикалью, k2 коэициент пропорциональности. Угол является линейной возрастающей ункцией аргумента t:
b находим из дополнительных условий:
;
при t = 6 =
2
при t = 12 = 0;
при t = 18 = :
2
Параметры
k3
= k3 t + b:
и
Из двух последних условий имеем:
(
0 = 12k3 + b;
= 18k + b:
3
2
ешая эту систему, получаем:
;
k3 = 12
Следовательно,
b = :
(t 12):
= 12
Значение подставляем в равенство (19), откуда:
h
(t 12)i:
Q = k2S os 12
Подставив это в уравнение (18), получаем:
dS = k k p2 S pS os h (t 12)i:
1 2 dt
12
Введем обозначение k = k1 k2 : Тогда после разделения переменных
h
(t 12)i dt:
dS
p = k p2 os 12
S S
Интегрируя, получим:
h
(t 12)i + C:
p2 = 24
pk sin 12
S
Начальные условия: при t
Отсюда:
8
>
<
>
:
= 6 S = 1600 и при t = 18 S = 2500:
24k
1
20 = p + C;
1 24k
25 = p + C:
ешая эту систему, получим:
16 И. И. Баврин
(20)
242
л. VII. Диеренциальные уравнения
9;
C = 200
p
:
k = 24 200
Подставляя эти значения в (20), получаем:
откуда:
p
h
(t 12)i 9 ;
sin 12
p2 = 2424
p
200
200 S
160000
:
9 sin 12 (t 12)
S=
2
5. ост дерева. Почему даже в самых благоприятных условиях
рост дерева не превышает некоторого предела? Почему все деревья
независимо от породы растут сначала быстро, а затем их рост замедляется, пока, наконец, совсем не прекращается?
Интуитивно ясно, что с ростом кроны, с одной стороны, увеличивается приток энергии благодаря отосинтезу, а с другой увеличиваются трудности, связанные, например, с транспортировкой
питательных веществ, и, следовательно, увеличивается расход энергии на подобные нужды. В конце концов притока энергии уже не
хватает для покрытия расходов, и дерево перестает расти.
На основе этих интуитивных соображений сормулируем основные предположения, на которых будет основано составление уравнения баланса энергии, т. е. построена математическая модель.
1. Зрелое растение в процессе роста сохраняет геометрическое
подобие. Это значит, что у зрелого растения с ростом не меняются
отношения геометрических размеров, например отношение высоты к
диаметру и т. п.
2. Свободную энергию (или активное вещество) растение получает только путем отосинтеза.
3. Свободная энергия расходуется на отосинтез, на построение
живой ткани (рост) и на подъем раствора из почвы.
4. В среднем за большие отрезки времени растение получает
постоянное количество света на единицу поверхности и может поглощать необходимые вещества из неограниченного запаса.
Приступим к составлению уравнения баланса энергии.
Пусть x обозначает линейный размер растения. Это значит, что
высоту растения мы будем измерять величиной x; площадь поверхности листьев величиной x2; наконец, объем растения будет
выражаться величиной x3: Ясно, что x изменяется со временем:
x = x(t): При этом пусть x(t0 ) = 0: Постараемся выразить все величины, входящие в уравнение баланса, через x:
Сначала найдем выражение для поступающей свободной энергии E: Эта энергия образуется благодаря отосинтезу в зеленой
части растения, и ее тем больше, чем больше поверхность зеленой
части. Таким образом, можем считать, что E пропорциональна x2 :
E = x2 ;
џ 42. Диеренциальные уравнения в биологии
243
где коэициент пропорциональности (он зависит от размеров
и ормы листьев и от интенсивности отосинтеза).
Других источников энергии в силу наших предположений нет, и
мы должны теперь проследить за расходом энергии. Энергия прежде всего тратится на нужды самого процесса отосинтеза. Этот
расход также пропорционален x2 ; и мы можем записать его в
виде x2 ; где некий коэициент пропорциональности, меньший :
Далее энергия расходуется на транспортировку питательного
раствора во все части растения. Ясно, что этот расход будет тем
больше, чем больше путей транспортировки, т. е. чем больше объем
растения. Кроме того, этот расход связан с преодолением силы тяжести и, следовательно, будет тем больше, чем на большую высоту
приходится поднимать питательные вещества. Таким образом, этот
расход пропорционален как объему x3 ; так и высоте x; и мы можем
его считать пропорциональным их произведению, т. е. равным x3 x:
Наконец, энергия расходуется на увеличение массы растения (т. е.
на рост). Этот расход пропорционален скорости роста, т. е. производной по времени от массы m = x3 ( средняя плотность растения, x3 объем). Таким образом, последний расход может быть
d
выражен как Ж (x3 ):
dt
В силу закона сохранения энергии расход энергии должен быть
равен ее притоку, и мы получаем:
или
E = x2 + x4 + Ж dtd (x3 )
:
x2 = x2 + x4 + 3Жx2 dx
dt
(21)
Это и есть искомое балансовое соотношение.
азделив уравнение (21) на 3Жx2 и обозначив
получим:
= a;
3Ж
3Ж = b;
dx = a bx2 ;
dt
a > 0;
b > 0:
(22)
dx положительна. Это знаdt a
чит, что a bx2 > 0 и, следовательно, x2 < : Поэтому, переписав
b
уравнение (22) в виде
dx = dt
b x2 ab
Так как дерево растет, то производная
и интегрируя последнее, будем иметь:
q
a
+x
p1 ln q b = t + C:
a
2 ab
16*
b x
244
л. VII. Диеренциальные уравнения
Используя начальное условие x(t0 )
значит,
q
= 0; получаем, что C = t0 и,
a
+x
p1 ln q b = t t0 :
a
2 ab
азрешая уравнение (23) относительно
x=
(23)
b x
q
x;
получаем окончательно:
p
a 1 e pab (t t0 ) :
b 1+ e 2 ab (t t0 )
2
(24)
Формула (24) дает кривую роста дерева. Если известны a; b и t0
(величины a и b зависят от породы дерева), то по этой ормуле можно подсчитать средний рост дерева данной породы в зависимости от
возраста (т. е. от времени t ):
Вид кривой (24) нетрудно исследовать. Уже отмечалось, что
dx > 0: Далее диеренцированием из (22) получаем:
dt
d2 x = 2bx dx :
dt
dt2
Так как при t > t0 x(t) > 0 (это высота дерева), то из последнего
d2 x < 0: Таким образом, кривая (24) это
равенства следует, что
dt2
растущая выпуклая кривая. Из самой
ормулы (24) видно, что
x
q
replaements
q
x(t) ! ab
a
b
при
t ! +1:
Этого достаточно, чтобы представить себе граикqкривой (рис. 118).
a
Высота дерева
соответствует
b
тому случаю, когда вся поступающая энергия тратится только на
ис. 118
обеспечение нужд процесса отосинтеза и на транспортировку питательного раствора. Дерево при
этом не растет.
Насколько верно кривая (24) отражает реальный процесс роста
дерева? Чтобы ответить на этот вопрос, средние значения высоты
дуба в 40 лет и в 220 лет (x(40) и x(220)) были подставлены в ормулу (24). Образовалась система двух уравнений с двумя неизвестными a и b; из которой эти неизвестные можно найти. Затем была
построена конкретная кривая (24) с найденными значениями a и b:
Эта кривая удивительно хорошо совпадала с экспериментальной
кривой роста дуба. Иными словами, из совпадения теоретической
кривой с экспериментальной всего в двух точках (40; x(40)) и
(220; x(220)) последовало совпадение этих кривых во всех проме-
O
t
Упражнения
245
жуточных точках. Этот акт является убедительным аргументом
в пользу построенной модели.
Упражнения
ешить уравнения.
1.
2.
3.
(1 + y ) dx (1 x) dy = 0:
(1 + y 2 ) dx + (1 + x2 ) dy = 0:
(1 + ex ) yy 0 = ex :
p
1 + y 2 + yy 0 1 + x2 = 0:
4. x
y (1 + y 0 ) = 1:
5. e
0
x+y :
6. y = 2
y
2
7. e (1 + x ) dy
2x(1 + ey ) dx = 0:
0 2 2
8. 2xyy = x + y :
9. (x + y ) dx + xdy = 0:
2 y2) dy = 0:
10. x(x + 2y ) dx + (x
0 x y:
11. y =
x 2y
0
x2:
12. y + 2xy = 2xe
1
0
13. y =
:
x os y +sin2y
p
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
y0 + 2y = e x :
2
y0 2xy = 2xex :
2
y0 + 2xy = e x :
y0x ln x y = 3x3 ln2 x:
(2x y 2 ) y 0 = 2y:
xy0 2y = x3 os x:
y0 = 2y ln yy+ y x :
2
(e y =2 xy ) dy dx = 0:
x
y0 yex = 2xee :
x
y0 + xexy = e(1 x) e :
Найти частные решения уравнений:
24.
25.
x2 + xy0 = y; если y = 0 при x = 1:
y0 + y os x = os x; если y = 1 при x = 0:
[(1 + y )(1 x) = C:?
[artg x + artg y = C:?
h 2
y = ln(1 + ex ) + C:i
p 2 2 p 2
[ 1 + x + 1 + y = C:?
[ex = C (1 e y ):?
[2x + 2 y = C:?
[1 + ey = C (1 + x2 ):?
[x2 y 2 Cx = 0:?
i
h
y = x2 + Cx :
[x3 + 3x2 y y = C:?
[x2 2xy + 2y 2 = C:?
2
[y = (x2 + C ) e x :?
[x = Cesin y 2(1 + sin y ):?
[y = Ce 2x + e x :?
2
[y = (C + x2 ) ex :?
2
[y = (C + x) e x :?
[y = (C + x3 ) ln x:?
h
2 i
x = Cy y :
2
[y = Cx2 + x2 sin x:?
h
i
x = Cy + y ln y:
2
[x = (C + y ) e y =2:?
x
[y = (C + x2 ) ee :?
x
[y = (C + x) e(1 x) e :?
[y = x x2 :?
[y = 1:?
246
л. VII. Диеренциальные уравнения
26.
x(x 1) y0 + y = x2 (2x 1); если y = 4 при x = 2:
27.
Скорость прямолинейного движения тела
[y = x2:?
v = (2t2 + t) см
:
с
Найти путь, пройденный им за 6 с от начала движения.
28.
[162 см?
Скорость прямолинейного движения тела
v = 4t 62
t
см
с
:
Определить путь его за третью секунду.
[9 см.?
Скорость тела пропорциональна пройденному пути. За первые 10 с
тело проходит 100 м, за 15 с 200 м. Какой путь пройдет тело за время t?
29.
[s = 25 2t=5:?
30. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности
между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20Ж C и тело в течение 20 мин охлаждается со 100Ж C до 60Ж C,
то через сколько времени его температура понизится до 30Ж C?
[Через 60 мин.?
У к а з а н и е. Воспользоваться установленным ранее (џ 38, п. 3, задача 1) законом изменения температуры.
31. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак
со скоростью 3 л в минуту подается вода и одновременно со скоростью
2 л в минуту раствор выливается из бака, причем концентрация раствора
остается все время равномерной благодаря перемешиванию. Сколько соли в
баке останется через час?
[3,9 кг.?
ешить уравнения:
32.
h
y00 = x:
y00 = sin x + os x:
y00 = ex :
y00 y = 0:
i
y = x3 + C1 x + C2 :
3
[y = sin x os x + C1 x + C2 :?
34.
[y = ex + C1 x + C2 :?
35.
[y = C1 ex + C2 e x :?
00
36. Найти частное решение уравнения y =
6x; удовлетворяющее
начальным условиям: y = 0; y 0 = 0 при x = 0:
[y = x3 :?
2
d s(t) = 4: Найти за37. Тело движется прямолинейно с ускорением
dt2
33.
кон движения тела, если в начальный момент движения пройденный путь
и скорость равнялись нулю.
[s(t) = 2t2 :?
38. Ускорение прямолинейного движения пропорционально времени.
Найти зависимость между пройденным расстоянием и временем, если
приi
h
3
1
t = 0 v = 0 и s = 0; а также при t = 1 s = :
s= t :
3
3
Ускорение прямолинейного движения пропорционально квадрату
времени. Найти зависимость между s и t; если при t = 0 v = 0; s = 1 и при
39.
t = 1 s = 2:
[s = t4 + 1:?
Упражнения
247
Составить линейные однородные уравнения, зная их характеристические уравнения.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
k2 5k + 6 = 0:
k2 k = 0:
k2 4 = 0:
(k + 2)2 = 0:
k2 6k + 8 = 0:
k(k + 2) = 0:
[y 00 5y 0 + 6y = 0:?
[y 00 y 0 = 0:?
[y 00 4y = 0:?
[y 00 + 4y 0 + 4y = 0:?
[y 00 6y 0 + 8y = 0:?
[y 00 + 2y 0 = 0:?
Составить линейное однородное уравнение, если известны корни его
характеристического уравнения, и написать его общее решение.
46.
47.
48.
49.
k1 = 1; k2 = 2:
k1 = 1; k2 = 3:
k1 = 2i; k2 = 2i:
k1 = 1 i; k2 = 1 + i:
ешить уравнения.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
y00 y0 2y = 0:
y00 + 24y0 + 144y = 0:
y00 y0 6y = 0:
y00 7y0 + 10y = 0:
y00 5y = 0:
y00 22y0 + 121y = 0:
y00 4y0 + 20y = 0:
y00 + 15y0 = 0:
y00 + 49y = 0:
y00 + 7y0 = 0:
y00 49y = 0:
y00 + 20y0 + 19y = 0:
p
y00 + 2 3 y0 + 7y = 0:
y00 y0 12y = 0:
y00 + 4y0 7y = 0:
y00 9y0 10y = 0:
y00 + 16y = 0:
y00 + 2y0 2y = 0:
y00 4y0 + 10y = 0:
y00 + 3y = 0:
[y 00 y 0 2y = 0; y = C1 e x + C2 e2x :?
[y 00 4y 0 + 3y = 0; y = C1 ex + C2 e3x :?
[y 00 + 4y = 0; y = C1 os2x + C2 sin2x:?
[y 00 2y 0 + 2y = 0; y = ex (C1 os x + C2 sin x:?
[y = C1 e2x + C2 e x :?
[y = e 12x(C1 + C2 x):?
[y = C1 e 2x + C2 e3x :?
[y = Cp1 e2x + C2pe5x :?
[y = C1 e 5 x + C2 e 5 x :?
[y = e11x (C1 + C2 x):?
[y = e2x (C1 os4x + C2 sin4x):?
[y = C1 + C2 e 15x :?
[y = C1 os7x + C2 sin7x:?
[y = C1 + C2 e 7x :?
[y = C1 e7x + C2 e 7x :?
[y = C1 e x + C2 e 19x:?
p3 x
(C1 os2x + C2 sin2x):?
[y = e
[y = C1 e4x + C2 e 3x:?
p
p
[y = C1 e( 2+ 11) x + C2 e (2+ 11) x:?
[y = C1 e10x + C2 e x:?
[y = C1 os4x + C2 sin4x:?
p
p
[y = (C1 e (1 3) x + C2 e (1+ 3) x:?
p
p
[y = e2x (C1 os 6 x + C2 sin 6 x):?
p
p
[y = C1 os 3 x + C2 sin 3 x:?
248
л. VII. Диеренциальные уравнения
Определить вид частного решения линейного неоднородного уравнения,
если известны корни характеристического уравнения соответствующего
однородного уравнения и правая часть f (x):
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
k1 = 1; k2 = 2; f (x) = a0 x2 + a1 x + a2:
[z = A0 x2 + A1 x + A2 :?
k1 = 0; k2 = 2; f (x) = a0 x2 + a1 x + a2: [z = x(A0 x2 + A1x + A2 ):?
k1 = 2; k2 = 3; f (x) = ex:
[z = Aex:?
x
k1 = 1; k2 = 2; f (x) = e :
[z = Axex:?
k1 = 1; k2 = 1; f (x) = ex:
[z = Ax2 ex:?
k1 = 1; k2 = 2; f (x) = os x + sin x:
[z = A os x + B sin x:?
k1 = 2i; k2 = 2i; f (x) = os2x + sin2x: [z = x(A os2x + B sin2x):?
Для следующих линейных неоднородных уравнений определить вид
частного решения.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
y00 y = 2:
y00 + y = x:
y00 + 2y0 + y = e4x:
y00 + 2y0 + y = e x:
y00 + 4y = sin2x:
y00 + 2y0 + y = os x:
[z = A:?
[z = A0 x + A:?
[z = Ae4x:?
[z = Ax2 e x:?
[z = x(A os2x + B sin2x):?
[z = A os x + B sin x:?
ешить уравнения.
83.
84.
y00 + 4y0 = 0:
y00 + y0 = 21 :
85.
y00 9y = 2 x:
86.
y00 + y0 = ex:
88.
y00 4y0 = 4e4x:
y00 y0 = 4 + x:
89.
y00 + y = sin5x:
90.
y00 + y = os x:
87.
91.
92.
93.
[y = C1 + C2 e 4x:?
i
y = C +C e x + x:
h
h
h
1
2
2
i
y = C1 e3x + C2 e 3x + 91 x 29 :
i
h
y = C1 + C2 e x + 21 ex:
[y = e4x (C1 + x) + C2 :?
i
h
y = C1 + C2 e x + 1 x2 5x:
2
i
y = C1 os x + C2 sin x 241 sin5x:
i
h
y = C1 os x + C2 + x2 sin x:
h
i
y = C1 e 2x + C2 e x + 1 e2x:
y00 + 3y0 + 2y = 3e2x:
4
y00 + 7y0 + 20y = ex:
p p
i
h
31
7
x=
2
y=e
C1 os 2 x + C2 sin 231 x + 281 ex:
y00 + 9y = os3x:
h
y = C1 os3x + C2 + x6 sin3x:
i
249
Упражнения
94.
95.
h
96.
y00 6y0 + 9y = e3x:
97.
y00 + 100y = sin2x:
98.
y00 + 3y0 = 1:
99.
y00 + 2y0 + y = e x:
i
2
y = C1 e x + C2 e3x x3 + 94 x 14
27 :i
h
y = C1 e3x + C2 e 3x 1 e2x:
y00 2y0 3y = x2 :
y00 9y = e2x:
h
h
5
i
y = e3x C1 + C2 x + x2 :
2
i
1 sin2x:
y = C1 os10x + C2 sin10x + 96
i
h
y = C1 + C2 e 3x + x :
h
h
3 i
2
y = e x C1 + C 2 x + x :
2
i
00
0
100. y + 2y = 1
x:
y = C1 + C2 e 2x 41 x2 + 43 x:
00
0
0
101. y + 4y + 29y = 0; y = 0; y = 15 при x = 0:
[y = 3e 2x sin5x:?
00
0
0
102. 4y + 4y + y = 0; y = 2; y = 0 при x = 0:
[y = e x=2 (2 + x):?
00
0
0
103. y
2y + 10y = 0; y = 1; y = 0 при x =h0:
i
y = ex os3x 31 sin3x :
00 4y 0 + 3y = 0; y = 6; y 0 = 10 при x = 0:
104. y
[y = 4ex + 2e3x:?
00 2y 0 + 2y = 0; y = 0; y 0 = 1 при x = 0:
105. y
[y = ex sin x:?
00
0
0
106. y
2y + 3y = 0; y = 1; y = 3 при x = 0:
p p p
[y = ex (os 2 x + 2 sin 2 x):?
00 9y = 2 x; если y = 0; y 0 = 1 при x = 0:
107. y
h
1 e 3x + 1 x 2 :i
y = 277 e3x 27
9 9
00
0
0
PSfrag replaements
108. y + 4y = 2os2x; если y = 0; y = 4 при x = 0:
i
h
y = 2sin2x + 12 x sin2x:
u
A
00
0
2 2x + 2; если y =
109. y + 4y = 12x
= 0; y0 = 0 при x = 0:
h
[y = 0;25 + 0;25e 4x + x3 x2 + x:?
Дана струна, закрепленная на
O
концах x = 0; x = l: Пусть в начальный
момент орма струны имеет вид ломаной OAB; изображенной на рисунке 119.
Найти орму струны для любого момента времени
1
рости отсутствуют.
8h X
1
B
l x
l
110.
2
ис. 119
t; если начальные ско-
u(x; t) = 2
sin k sin kx os kat :
2
l
l
k=1 k2
111.
а)
б)
в)
Проверить, являются ли следующие ункции гармоническими:
u = x2 + 2xy y2 ;
u = x2y + y2 z + z2 x;
u = x2 y 2 :
[а) Да;
б) нет;
в) да.?
Ч А С Т Ь II
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОИИ ВЕОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Введение
В предыдущих главах части I приводились примеры из химии и
биологии, в которых различные процессы описывались с помощью
ункций. Функциональная связь между переменными являлась
ѕжесткойї: значение одной из них вполне определялось значением
другой. Однако часто приходится изучать явления, для которых
практически трудно или принципиально невозможно отыскать все
причины, порождающие их, и тем более количественно их выразить.
Такие явления невозможно описать ункционально.
Например, при бросании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадет; для этого необходимо было бы учесть слишком
много различных акторов: работу мышц руки, участвующей в
бросании, малейшие отклонения в распределении массы монеты,
движение воздуха и т. д. езультат бросания монеты случаен. Но,
оказывается, при достаточно большом числе бросаний монеты существует определенная закономерность (герб и цира выпадут приблизительно поровну).
Закономерности, которым подчиняются случайные события, изучаются в разделах математики, которые называются теорией вероятностей и математической статистикой.
Методы теории вероятностей и математической статистики широко применяются в естествознании, технике, экономике, медицине.
В частности, они широко применяются и в биологии (например, в
теории наследственности). Квалиицированная обработка биологических результатов всегда базировалась на теории вероятностей и
математической статистике.
л а в а VIII
СОБЫТИЕ И ВЕОЯТНОСТЬ
џ 43. Основные понятия. Определение вероятности
1. Понятие о случайном событии. Опыт, эксперимент, наблю-
дение явления называется испытанием . Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной
џ 43. Основные понятия. Определение вероятности
251
кости (кубика с нанесенными на каждую грань числом очков от
одного до шести).
езультат, исход испытания называется событием. Событиями
являются: выпадение герба или циры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной
кости.
Для обозначения событий используются большие буквы латинского алавита: A; B; C и т. д.
О п р е д е л е н и е 1. Два события называются совместимыми ,
если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.
П р и м е р 1. Испытание: однократное бросание игральной кости.
Событие A появление четырех очков. Событие B появление четного
числа очков. События A и B совместимые.
О п р е д е л е н и е 2. Два события называются несовместимыми , если появление одного из них исключает появление другого в
одном и том же испытании.
П р и м е р 2. Испытание: однократное бросание монеты. Событие A выпадение герба, событие B выпадение циры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.
Несовместимость более чем двух событий означает их попарную
несовместимость.
П р и м е р 3. Испытание: однократное бросание игральной кости. Пусть
события A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 ; A6 соответственно выпадение одного очка,
двух, трех и т. д. Эти события являются несовместимыми.
О п р е д е л е н и е 3. Два события A и B называются противоположными , если в данном испытании они несовместимы и одно из
них обязательно происходит.
Событие, противоположное событию A; обозначают через A:
П р и м е р 4. Испытание: однократное бросание монеты. Событие A выпадение герба, событие B выпадение циры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление
одного из них исключает появление другого, т. е. A = B или A = B:
О п р е д е л е н и е 4. Событие называется достоверным , если в
данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не
может произойти.
П р и м е р 5. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все
шары белые. Событие A вынут белый шар достоверное событие; событие B вынут черный шар невозможное событие.
Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.
252
л. VIII. Событие и вероятность
О п р е д е л е н и е 5. Событие A называется случайным , если оно
объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
П р и м е р 6. Событие A6 выпадение шести очков при бросании
игральной кости случайное. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.
П р и м е р 7. Событие A98 прорастание девяноста восьми зерен пшеницы из ста случайное. Это событие может наступить, но, может быть,
прорастет зерен больше или меньше.
Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого
случайного события? Другими словами, можно ли охарактеризовать
эту возможность некоторым числом?
2. Классическое определение вероятности. Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов результатов
испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить
все события, которые могут быть исходами данного испытания.
О п р е д е л е н и е 1. оворят, что совокупность событий образует
полную группу событий для данного испытания, если его результатом
обязательно становится хотя бы одно из них.
Приведем примеры полных групп событий: выпадение герба и
выпадение циры при одном бросании монеты; попадание в цель и
промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех,
пяти и шести очков при одном бросании игральной кости.
ассмотрим полную группу попарно несовместимых событий
U1 ; U2 ; . . .; Un ; связанную с некоторым испытанием. Предположим,
что в этом испытании осуществление каждого из событий Ui (i =
= 1; 2; . . .; n) равновозможно, т. е. условия испытания не создают
преимущества в появлении какого-либо события перед другими возможными.
О п р е д е л е н и е 2. События U1 ; U2 ; . . .; Un ; образующие полную
группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем
называть элементарными событиями .
П р и м е р 1. Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости.
Пусть Ui событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цирой i: Как уже отмечалось (пункты 1, 2), события U1 ; U2 ; . . .; U6 образуют
полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то события U1 ; U2 ; . . .; U6 являются и
равновозможными, т. е. элементарными.
О п р е д е л е н и е 3. Событие A называется благоприятствующим событию B; если наступление события A влечет за собой наступление события B:
П р и м е р 2. Пусть при бросании игральной кости события U2 ; U4
и U6 появление соответственно двух, четырех и шести очков и A событие, состоящее в появлении четного очка; события U2 ; U4 и U6 благоприятствуют событию A:
џ 43. Основные понятия. Определение вероятности
253
О п р е д е л е н и е 4 (классическое определение вероятности). Веm числа элероятностью P (A) события A называется отношение
n
ментарных событий, благоприятствующих событию A; к числу всех
элементарных событий, т. е.
m
P (A) = n :
П р и м е р 3. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие A выпадение герба и событие B выпадение циры образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь n = 2: Событию A
благоприятствует лишь одно событие само A; т. е. здесь m = 1: Поэто1
му P (A) = :
2
П р и м е р 4. Очевидно, что в опыте с игральной костью (пункт 2,
пример 1)
P (Ui ) = 16 ; i = 1; 2; . . .; 6:
П р и м е р 5. Найти вероятность того, что при бросании игральной
кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие A):
Число элементарых событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событии 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому
P (A) = 63 = 12 :
П р и м е р 6. У кабинета дежурного психотерапевта ожидают приема
трое больных. Врачу известно по медицинским карточкам, что один из
ожидающих, по амилии Петров, болел в прошлом маниакально-депрессивным психозом. Врач интересуется этим больным, но не хочет вне очереди вызывать его в кабинет. Обозначим как событие A тот акт, что в
кабинет врача входит больной Петров;
1
как событие B обозначим то, что вхоb1
дит другой больной Сидоров и как
2
событие C входит Иванов. Собы1
b2
1
тия A; B и C несовместимые и обb3
разуют полную группу (предполагает2
1
b4
a1
ся, что к врачу больные входят по
2
одному). Так как появиться согласно
1
b
очереди может равновероятно
любой
1
PSfrag replaements
a2
из больных, то до начала приема вероb2
ятность появиться первым в кабинете
1
врача для одного из больных, в том
1
1
числе для Петрова, равна :
3
a3
b1
2
П р и м е р 7. При составлении ко1
b2
манды космического корабля возника1
b3
ет вопрос о психологической совмес2
1
тимости отдельных членов экипажа.
b4
Допустим, что надо составить команду
2
из трех человек: командира, инженера
и врача. На место командира есть три
ис. 120
кандидата a1 ; a2 ; a3 ; на место инженера четыре кандидата b1 ; b2 ; b3 ; b4 ; на место врача два кандида-
254
л. VIII. Событие и вероятность
та 1 ; 2 : Проведенная проверка показала психологическую несовместимость командира a2 с инженерами b3 ; b4 и с врачом 2 ; а также инженера b2 с врачом 2 : Будем для простоты считать, что без учета актора
несовместимости все варианты составления команды равновозможны.
Какова в этом случае вероятность того, что будет составлен экипаж, все
члены которого психологически совместимы друг с другом.
Представим все варианты состава, при которых члены экипажа совместимы друг с другом в виде ѕдереваї (рис. 120). Число ветвей этого
дерева, т. е. исходов, благоприятствующих событию A; равно 16, а общее
число возможных комбинаций по правилу умножения равно произведению
4 3 2 = 24: Искомая вероятность P (A) = 16 = 2 :
24 3
З а д а ч а (Вероятности рождения мальчиков и девочек). Будем предполагать, что рождения мальчиков и девочек равновозможные события.
Пусть в семье двое детей. Какова вероятность, что оба ребенка мальчики? Если известно, что один мальчик, какова вероятность, что оба
ребенка мальчики?
На первый вопрос ответить нетрудно. Имеется четыре равновозможных исхода: ММ , МД , ДМ , ДД (М мальчик, Д девочка). Исходы МД
и ДМ различны, так как в первом из них сначала родился мальчик, а
потом девочка, во втором наоборот. Из этих четырех исходов только
один ММ благоприятствует нашему событию. Отсюда следует, что
P (MM ) = 41 :
Если дополнительно известно, что один ребенок мальчик, то событие ДД исключается. Из трех равновозможных событий ММ , МД , ДМ
по-прежнему только одно ММ благоприятствует желаемому исходу. Поэ1
тому P (MM ) = :
3
Если известно, что старший ребенок мальчик, то исключается
1
и ДД . В этом случае P (MM ) = :
ДМ
2
Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства
1. Вероятность достоверного события равна единице .
Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т. е. m = n и, следовательно,
P (A) = mn = nn = 1:
2. Вероятность невозможного события равна нулю .
В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т. е. m = 0; откуда:
P (A) = mn = n0 = 0:
3. Вероятность случайного события есть положительное число ,
заключенное между нулем и единицей .
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть
из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 <
< m < n и, значит, 0 < m < 1: Следовательно, 0 < P (A) < 1:
n
џ 43. Основные понятия. Определение вероятности
255
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:
0 6 P (A) 6 1:
3. Относительная частота. Статистическое определение
вероятности. Классическое определение вероятности не является
пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так,
оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны.
Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение
ее различных граней не равновозможно.
В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.
Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие A
наступило m раз.
О п р е д е л е н и е 1. Число m называется абсолютной частотой
(или просто частотой ) события A; а отношение
P (A) = mn :
называется относительной частотой события
A:
П р и м е р 1. При транспортировке из 10 000 арбузов испортилось 26.
Здесь m = 26 абсолютная частота испорченных арбузов, а
относительная.
26 = 0;0026
P (A) = 10000
езультаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота P (A) принимает значения,
которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n числа испытаний в сериях относительная частота
P (A) = mn
приближается к некоторому числу P (A); стабилизируясь возле него
и принимая все более устойчивые значения.
П р и м е р 2. Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000
бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484
(см. [14?). Эти частоты группируются около числа 0,5.
О п р е д е л е н и е 2 (статистическое определение вероятности).
Вероятностью события A в данном испытании называется число P (A); около которого группируются значения относительной частоты при больших n:
В условиях только что приведенного примера 2 указанная вероятность равна 0,5.
П р и м е р 3. По оициальным данным шведской статистики, относительные частоты рождения девочек по месяцам 1935 г. характеризуются
следующими числами (расположены в порядке следования месяцев, начи-
256
л. VIII. Событие и вероятность
ная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485;
0,491; 0,482; 0,473 (см. [3?). Эти частоты группируются около числа 0,482.
Таким образом, относительная частота события приближенно
совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Имеется огромный опытный материал по проверке последнего
утверждения. Укажем еще один такой пример с бросанием монеты
(см. [3?).
Число
бросаний
Число выпадений
герба
Относительная
частота
4 040
2 048
0,5080
К. Пирсон
12 000
6 019
0,5016
К. Пирсон
24 000
12 012
0,5005
Экспериментатор
Бюон
Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5,
причем тем меньше, чем больше число испытаний. При 4 040 испытаниях
отклонение равно 0,008, а при 24 000 0,0005.
П р и м е р 4. Чтобы знать, какова вероятность для данного станка изготовить годную деталь, поступают так: проверяют одну или несколько
партий деталей, изготовленных станком, подсчитывают количество годных
деталей, вычисляют относительную частоту и в соответствии с определением вероятность принимают равной этой частоте. Допустим, при проверке
партии из 200 деталей 190 оказались годными. Тогда вероятность наудачу
выбранной детали быть годной
190 = 0;95:
P 200
Вероятность найдена приближенно, так как 0,95 это относительная частота.
Аналогичным образом поступают, например, при определении процента
всхожести семян.
4. Основные ормулы комбинаторики. Комбинаторика раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций
определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Как при решении задач с использованием классического определения вероятности, так и в дальнейшем нам понадобятся некоторые
ормулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из
них.
О п р е д е л е н и е 1. азмещениями из n различных элементов
по m элементов (m 6 n) называются комбинации, составленные из
данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Например, из трех элементов a; b; можно составить по два элемента следующие размещения:
257
џ 43. Основные понятия. Определение вероятности
ab; a; b; ba; a; b:
размещений из n элементов
Число различных
определяется с помощью ормулы
по
m
элементов
Am
n = n(n 1)(n 2). . .(n m + 1):
П р и м е р 1. Сколько можно составить сигналов из 6 лажков различного цвета, взятых по 2? Искомое число сигналов A26 = 6 5 = 30:
О п р е д е л е н и е 2. Перестановками из n различных элементов
называются размещения из этих n элементов по n:
Как видно из определений 1 и 2, перестановки можно считать
частным случаем размещений при m = n: Следовательно, число всех
перестановок из n элементов вычисляется по ормуле
Pn = n(n 1)(n 2). . .3 2 1 = n!
П р и м е р 2. Для лечения заболевания применяют три лекарства.
Полагают, что последовательность, в которой применяют лекарства, оказывает существенное влияние на результат лечения. Сколько имеется различных порядков назначения этих лекарств? Имеется P3 = 3! = 1 2 3 = 6
различных порядков назначения трех лекарств.
О п р е д е л е н и е 3. Сочетаниями из n различных элементов
по m элементов называются комбинации, составленные из данных n
элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в первых
не учитывается порядок элементов.
Число сочетаний из n элементов по m элементов вычисляется по
ормуле
Am n(n 1)(n 2). . .(n m +1)
или
Cnm = P n =
m
1 2 3. . .(m 1) m
Cnm = m!(nn! m)! :
Отметим особенность ормулы (1):
Cnm = Cnn
(1)
m:
П р и м е р 3. В лабораторной клетке содержат трех белых и трех коричневых мышей. Найти число способов выбора двух мышей, если они
могут быть любого цвета.
6! = 5 6 =
В данном случае цвет не существен. Поэтому имеется C62 =
2!4!
2
= 15 способов, которыми две мыши можно выбрать из шести.
Приведем, наконец, один из примеров применения ормул комбинаторики к нахождению вероятности события.
П р и м е р 4. Набирая номер телеона, абонент забыл две последние
циры и, помня лишь, что эти циры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?
17 И. И. Баврин
258
л. VIII. Событие и вероятность
Две последние циры можно набрать A210 способами, а благоприятствовать событию M (циры набраны правильно) будет только один способ.
Поэтому
1
1
1
P (M ) =
A210
=
10 9 = 90 :
џ 44. Свойства вероятности
1. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.
О п р е д е л е н и е 1. Суммой событий A и B называется событие C = A + B; состоящее в наступлении по крайней мере одного из
событий A или B:
П р и м е р 1. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по
одному выстрелу). Событие A попадание в мишень первым стрелком,
событие B попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий A
и B будет событие C = A + B; состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.
Аналогично суммой конечного числа событий A1 ; A2 ; . . .; Ak называется событие A = A1 + A2 + . . . + Ak ; состоящее в наступлении хотя
бы одного из событий Ai (i = 1; . . .; k ):
О п р е д е л е н и е 2. Произведением событий A и B называется
событие C = AB; состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие A и событие B:
Аналогично произведением конечного числа событий A1 ; A2 ; . . .
. . .; Ak называется событие A = A1 A2 . . .Ak ; состоящее в том, что в
результате испытания произошли все указанные события.
В условиях предыдущего примера произведением событий A и B будет событие C = AB; состоящее в попадании в мишень двух стрелков.
Из определения 2 непосредственно следует, что AB = BA:
Т е о р е м а. Вероятность суммы двух несовместимых событий A и B равна сумме вероятностей этих событий :
P (A + B ) = P (A) + P (B ):
(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем классическое определение
вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех
элементарных событий равно n; событию A благоприятствуют k
элементарных событий, событию B l элементарных событий. Так
как A и B несовместимые события, то ни одно из элементарных
событий U1 ; U2 ; . . .; Un не может одновременно благоприятствовать
и событию A и событию B: Следовательно, событию A + B будет
благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению
вероятности имеем:
P (A) = nk ;
P (B ) = nl ;
откуда и следует утверждение теоремы.
P (A + B ) = k n+ l ;
џ 44. Свойства вероятности
259
Совершенно так же теорема ормулируется и доказывается для
любого конечного числа попарно несовместимых событий.
С л е д с т в и е. Сумма вероятностей противоположных событий A и A равна единице :
P (A) + P (A) = 1:
(2)
Так как события A и A несовместимы, то по доказанной выше
теореме имеем: P (A) + P (A) = P (A + A): Событие A + A есть достоверное событие (ибо одно из событий A или A произойдет). Поэтому
P (A + A) = 1; что и приводит к искомому соотношению (2).
П р и м е р 2. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова
вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность
3
5
вынуть красный шар P (A) =
10 ; синий P (B ) = 10 : Так как события A
и B несовместимы, то по доказанной выше теореме
P (A + B ) = P (A) + P (B ) = 103 + 105 = 0;8:
П р и м е р 3. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр.
Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если рвется
одна астра? Искомая вероятность равна сумме вероятностей сорвать красную или сннюю астру, т. е.
20 + 30 = 50 = 5 :
P = 90
90 90 9
2. Теорема умножения вероятностей.
О п р е д е л е н и е 1. Два события A и B называются независимыми , если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет *). В противном случае события A
и B называют зависимыми .
П р и м е р 1. Пусть в урне наводятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть
1
событие A вынут белый шар. Очевидно, P (A) = : После первого ис2
пытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и
снова вынимается шар. Событие B во втором испытании вынут белый
1
шар также имеет вероятность P (B ) = ; т. е. события A и B незави2
симые.
Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется
обратно в урну. Тогда если произошло событие A; т. е. в первом
испытании
1 ;
вынут белый шар, то вероятность события B уменьшается P (B) =
3
если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность собы*) Несколько событий A1 ; . . .; Ak называются независимыми в совокупности (или просто независимыми ), если вероятность появления любого
из них не зависит от того, произошли какие-либо другие рассматриваемые
события или нет.
17*
260
тия
л. VIII. Событие и вероятность
B
увеличивается
P (B ) = 32 : Итак,
вероятность события
венно зависит от того, произошло или не произошло событие
случаях события A и B зависимые.
B
A;
существ таких
О п р е д е л е н и е 2. Пусть A и B зависимые события. Условной вероятностью PA (B ) события B называется вероятность события B; найденная в предположении, что событие A уже наступило.
1
Так, в примере 1 PA (B ) = :
3
Заметим, что если события A и B независимы, то PA (B ) = P (B ):
Т е о р е м а 1. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого , найденную в предположении , что первое
событие уже наступило :
P (AB ) = P (A) PA(B ):
(3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию A и пусть из этих k событий l
благоприятствуют событию B; а значит, и событию AB: Тогда:
P (AB ) = nl = nk kl = P (A) PA(B );
что и доказывает искомое равенство (3).
З а м е ч а н и е. Применив ормулу (3) к событию
Так как
BA; получим:
P (BA) = P (B ) PB (A):
(4)
AB = BA (см. пункт 1), то, сравнивая (3) и (4), получаем, что
P (A) PA (B ) = P (B ) PB (A):
П р и м е р 2. В условиях примера 1 берем тот случай, когда вынутый
шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары?
По ормуле (3) имеем:
1 1 1
P (AB ) = 2 3 = 6 :
П р и м е р 3. В терапевтическом отделении больницы 70 % пациентов женщины, а 21 % курящие мужчины. Наугад выбирают пациента.
Он оказывается мужчиной. Какова вероятность, что он курит?
Пусть М означает, что пациент мужчина, а К что пациент курит.
Тогда в силу условия задачи P (M ) = 0;3; а P (MK ) = 0;21: Поэтому с учетом ормулы (3) искомая условная вероятность
) 0;21
PM (K ) = PP(MK
(M ) = 0;3 = 0;7:
П р и м е р 4. В группе туристов 20 % детей, причем 12 % девочки.
Наугад выбирают ребенка. Какова вероятность, что это девочка? Какова
вероятность, что это мальчик?
Пусть А означает, что турист ребенок, Ж что турист женского
пола, М мужского. Тогда по условию
P (A) = 0;2;
Следовательно,
P (ЖА) = 0;12;
P (MA) = 0;08:
џ 44. Свойства вероятности
261
) 0;12
PA (Ж ) = PP(ЖА
(A) = 0;2 = 0;6;
) 0;08
PA (M ) = PP(MA
(A) = 0;2 = 0;4:
З а д а ч а (курение и заболевания легких). В группе обследуемых 1 000
человек. Из них 600 курящих и 400 некурящих. Среди курящих 240 человек имеют те или иные заболевания легких. Среди некурящих легочных
больных 120 человек. Являются ли курение и заболевание легких независимыми событиями?
е ш е н и е. Пусть событие A обследуемый курит, событие B обследуемый страдает заболеванием легких.
Тогда согласно условию задачи
240 2
P (B ) = 240+120
1000 = 0;36; PA (B ) = 600 = 5 = 0;4:
Так как 0;36 6= 0;4; события A и B зависимы.
Т е о р е м а 2. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий *):
P (AB ) = P (A) P (B ):
(5)
Действительно, если A и B независимые события, то PA (B ) =
= P (B ) и ормула (3) превращается в ормулу (5).
П р и м е р 5. Найти вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие A) равна 0,8, а вторым (событие B ) 0,7.
События A и B независимы, поэтому по теореме 2 искомая вероятность
P (AB ) = 0;7 0;8 = 0;56:
П р и м е р 6. Вероятность выживания одного организма в течение 20
минут P = 0;7: В пробирке с благоприятными для существования этих
организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма.
Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?
Пусть событие A первый организм жив через 20 мин, событие B второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т. е. события A и B независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие AB: По теореме 2 получаем:
P (AB ) = 0;7 0;7 = 0;49:
П р и м е р 7. Пусть у нас перемешаны записи нейронной активности
10 клеток из одной области мозга (у 5 клеток зарегистрирована активность, характерная для клеток ѕвниманияї, у 5 другой вид активности)
и 20 из другой области (у 15 активность типа клеток ѕвниманияї, у 5 другого вида). Выясним, зависимы ли события A ѕвыбранная наугад
запись сделана в первой областиї и B на ѕвыбранной наугад записи зарегистрирована активность, характерная для клеток ѕвниманияїї.
Имеем
*) В случае независимых событий эта теорема распространяется на
любое конечное число их.
262
л. VIII. Событие и вероятность
10 = 1 ;
P (A) = 30
3
5 = 1;
P (AB ) = 30
6
2
P (B ) = 20
30 = 3 ;
P (AB ) 6= P (A) P (B ):
Следовательно, события A и B зависимы.
Ц е п ь р е а к ц и й. Цепной называют химическую реакцию, которая
представляет собой цепочку одинаковых звеньев. Звеном может быть одна,
две, реже несколько стадий. Например, звено
R_ + O2 ! RO_ 2 ;
RO_ 2 + RH ! ROOH + R_ ;
начавшись с появления свободного радикала углеводорода R, во второй
стадии снова выделяет этот радикал и тем самым создает возможность
повторения такого же звена.
На некотором этапе цепгая реакция может оборваться. Причиной обрыва может служить захват свободного радикала стенкой сосуда, действие
ингибитора и т. п. Таким образом, на каждом этапе существует некоторая
вероятность p продолжения цепи и вероятность q = 1 p обрыва цепи.
Какова вероятность, что цепная реакция содержит n звеньев? Для осуществления такой реакции нужно, чтобы n раз произошло продолжение
реакции и после этого произошел обрыв. Так как процессы продолжения и
обрыва независимы, то по ормуле умножения вероятностей для P (n) вероятности появления цепи длины n; т. е. содержащей n звеньев, можем написать
P (n) = p| p{z p} q = pnq = pn(1 p):
n раз
М о л е к у л а п о л и м е р а. Процесс полимеризации состоит в том,
что к звену-мономеру присоединяется такой же мономер, к этому звену еще один такой же мономер и т. д. Присоединение происходит с некоторой
вероятностью p и, следовательно, не происходит с вероятностью q = 1 p:
Так как каждое следующее присоединение происходит независимо от предыдущих, то вероятность образования молекулы, содержащей n мономеров, как и в предыдущем примере, вычисляется по ормуле
P (n) = p| p{z p} q = pnq = pn(1 p):
n раз
3. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.
Т е о р е м а. Вероятность суммы двух совместимых событий A
и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их
произведения :
P (A + B ) = P (A) + P (B ) P (AB ):
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию A; l событию B и m одновременно событиям A и B: Отсюда событию A + B благоприятствуют k + l m элементарных событий. Тогда:
P (A + B ) = k + ln m = nk + nl mn = P (A) + P (B ) P (AB ):
263
џ 44. Свойства вероятности
З а м е ч а н и е. Если события A и B несовместимы, то их произведение AB есть невозможное событие и, следовательно, P (AB ) = 0; т. е. ормула (1) является частным случаем ормулы (6).
П р и м е р. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: P (A) = 0;7 и P (B ) = 0;8: Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из
орудий.
Очевидно, события A и B совместимы и независимы. Поэтому
P (A + B ) = P (A) + P (B ) P (AB ) = 0;7 + 0;8 0;7 0;8 = 1;5 0;56 = 0;94:
4. Формула полной вероятности.
Т е о р е м а. Вероятность события A; которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий B1 ; B2 ; . . .; Bn ; образующих полную группу , равна сумме
произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:
P (A) = P (B1) PB (A) + P (B2) PB (A) + . . . + P (Bn) PBn (A)
2
1
(7)
(ормула полной вероятности ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Событие A может наступить лишь при
условии наступления одного из событий B1 ; B2 ; . . .; Bn ; т. е. A =
= B1 A + B2 A + . . . + BnA; причем ввиду несовместимости событий
B1; B2 ; . . .; Bn события B1A; B2A; . . .; Bn A также несовместимы. Поэтому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем:
P (A) = P (B1A) + P (B2 A) + . . . + P (BnA) =
= P (B1) PB (A) + P (B2) PB (A) + . . . + P (Bn ) PBn (A):
2
1
П р и м е р 1. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач:
20 задач по диеренциальному исчислению, 30 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся
наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет
решить 18 задач по диеренциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?
Вероятность получить задачу по диеренциальному исчислению (событие B1) равна P (B1) = 0;4; по интегральному исчислению (событие B2) P (B2) = 0;6: Если событие A означает, что задача решена, то PB1 (A) = 0;9;
PB2 (A) = 0;5: Теперь по ормуле (7) имеем: P (A) = 0;4 0;9 + 0;6 0;5 =
= 0;36 + 0;3 = 0;66:
П р и м е р 2. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором три белые н одна серая,
в третьем две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из
наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?
Обозначим B1 выбор первого ящика, B2 выбор второго ящика, B3 выбор третьего ящика, A извлечение белой мыши.
1
Так как все ящики одинаковы, то P (B1 ) = P (B2 ) = P (B3 ) = : Если
2
выбран первый ящик, то PB1 (A) = : Аналогично
3
Наконец, по ормуле (7) получаем:
3
PB2 (A) = 43 ; PB3 (A) = 21 :
264
л. VIII. Событие и вероятность
23 :
P (A) = 13 23 + 13 43 + 13 12 = 36
П р и м е р 3. В санатории 30 % пациентов мужчины (М ) и 70 % женщины (Ж ). Сердечные болезни среди мужчин встречаются в два раза
чаще, чем среди женщин. Какова вероятность, что наугад выбранный пациент сердечник?
Обозначив C наличие сердечного заболевания, можно написать
P (Ж) = 0;7;
P (M ) = 0;3;
PM (C ) = 32 ;
PЖ (C ) = 13 :
Подставляя это в ормулу полной вероятности (7), получим
P (C ) = 0;3 32 + 0;7 31 0;2 + 0;23 = 0;43:
З а д а ч а (смог над городом). На город примерно 100 дней в году дует
ветер с севера и 200 дней в году с запада. Промышленноые предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе в последний день каждой
недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов?
Иными словами, какова вероятность того, что в наугад выбранный день
город будет накрыт промышленным смогом?
Обозначив C ветер с севера, З ветер с запада и B воздействие
вредных выбросов на город, можем написать
100 = 20 ;
P (C ) = 365
73
40
P (З) = 200
365 = 73 ;
Отсюда по ормуле полной вероятности
PC (B ) = 31 ;
PЗ (B ) = 17 :
20 1 + 40 1 0;09 + 0;08 = 0;17:
P (B ) = P (C ) PC (B ) + P (З) PЗ (B ) = 73
3 73 7
Таким образом, примерно два месяца в году город накрыт смогом.
џ 45. Приложения в биологии
1. Законы Менделя. Известно, что в простейших случаях передача некоторого признака по наследству зависит от определенного
гена. В половых клетках гены, отвечающие за некоторый признак,
находятся парами. Например, в клетках гороха имеется пара генов,
отвечающих за цвет цветков потомства красный или белый. Эти
гены могут находиться в двух состояниях доминантном (оно обозначается буквой A) и рецессивном (оно обозначается буквой a): Поэтому пары генов могут быть такими:
AA; Aa или aA; aa:
Выписанные возможности определяют генотипы данной особи: первый доминантный, второй смешанный, третий рецессивный.
Оказывается, что наследование признака зависит от генотипа особи.
Например, для гороха красный цвет цветков доминантный признак, а белый рецессивный.
џ 45. Приложения в биологии
265
Из опытов известен I закон Менделя : особи доминантного и смешанного генотипов в енотипе *) обладают доминантным признаком,
и только особи рецессивного генотипа в енотипе обладают рецессивным признаком.
Согласно этому закону для гороха особи доминантного и смешанного генотипов имеют красный цвет цветков и только особи с рецессивным генотипом имеют цвет цветков белый.
Пусть имеется популяция чистых линий с генотипами AA и aa поколение F0 (родительские ормы).
После скрещивания особей с генотипом AA с особями с генотипом aa поколения F0 образуется поколение гибридов с генотипом Aa:
Это поколение в генетике принято обозначать F1 : В поколении F1
других генотипов, кроме генотипа Aa; нет.
При случайном скрещивании особей поколения F1 образуется
поколение F2 ; в котором одинаково часто встречаются 4 генотипа:
AA; Aa; aA; aa:
Из опытов известен II закон Менделя : в поколении F2 происходит
расщепление енотипов в отношении 3:1 (3 части составляют особи
с доминантным признаком в енотипе, 1 часть приходится на особи с
рецессивным признаком в енотипе).
Из этого закона следует, что для поколения F2 вероятность того,
3
что в енотипе особи проявляется доминантный признак, равна ; а
4
вероятность того, что в енотипе особи проявится рецессивный приз1
нак, равна :
4
2. Закон Харди **). Пусть в популяции встречаются три генотипа: AA; Aa; aa: Доля особей генотипа AA равна u, доля особей
генотипа Aa равна 2v и доля особей генотипа aa равна w: Коротко
будем говорить о структуре популяции и записывать ее так:
AA Aa aa
u 2v w
(1)
Под этим мы понимаем следующее: если популяция содержит N особей, то особей генотипа AA в ней uN; особей смешанного генотипа Aa
в ней 2vN и особей рецессивного генотипа aa в ней wN: При этом,
так как
uN + 2vN + wN = N;
то
u + 2v + w = 1:
(2)
Подсчитаем число генов A в популяции. Все особи доминантного
генотипа имеют 2uN генов A (у каждой особи два гена A; и всех
особей uN ); особи смешанного генотипа имеют 2vN генов A (у каждой особи один ген A; и всех особей 2vN ); у особей рецессивного
Фенотип внешнее проявление признака.
Об этом законе и других приложениях теории вероятностей в биологии см., например, в [14?.
*)
**)
266
л. VIII. Событие и вероятность
генотипа генов A нет. Следовательно, в популяции (1) число доминантных генов A равно:
или, короче,
2Np; где
2uN + 2vN = 2N (u + v);
p = u + v:
(3)
P (A) = 22Np
= p:
N
(4)
Число p имеет простой вероятностный смысл это есть P (A); т. е.
вероятность того, что выбранный наудачу ген доминантен. Действительно, доминантных генов 2Np; и всех генов 2N (у каждой особи
популяции два гена). Следовательно,
Аналогично подсчитывается, что число всех рецессивных генов
в популяции (1) равно:
2Nq;
где
При этом число
q
q = w + v:
a
(5)
имеет аналогичный вероятностный смысл:
= q:
(6)
P (a) = 22Nq
N
Из вероятностного см??сла чисел p и q; а также из ормул (3), (5)
и (2) следует, что
p + q = 1:
(7)
Заметим, что числа u; 2v и w в (1) тоже имеют простой вероятностный смысл (подсчет аналогичен проведенному выше подсчету для
доминантных генов):
uN
P (AA) = N = u;
P (Aa) = 2vN = 2v;
N
P (aa) = wN
N = w:
(8)
(9)
(10)
(P (AA) вероятность того, что выбранная наудачу особь имеет генотип AA; аналогично P (Aa) и P (aa):)
Теперь посмотрим, какова будет структура потомства. Пусть потомство имеет структуру:
AA Aa aa
u1 2v1 w1
(11)
(это понимается так же, как и (1)). Подсчитаем u1 ; 2v1 и w1 : Числа
и w1 есть вероятности того, что взятый наудачу потомок
имеет соответственно генотип AA; Aa и aa (см. соответственно
ормулы (8), (9), (10)). Так как скрещивания происходят независимым образом, то вероятность u1 может рассматриваться как вероятность следующего события: выбрали наудачу и независимым образом
из всего запаса два гена A: Так как выбрать каждый ген A можно
с вероятностью p (ормула (4)), то в силу теоремы умножения
u1 ; 2v1
Упражнения
267
вероятностей независимых событий (џ 44, п. 2) интересующая нас
вероятность равна p2 ; т. е.
u = p2 :
(12)
1
Аналогично с использованием ормулы (6) получаем:
w1 = q 2 :
(13)
v1 = pq:
(14)
AA Aa aa
p2 2pq q2 :
(15)
Вероятность генотипа Aa в популяции потомков складывается из
двух возможностей либо ген A получен от отца, а ген a от матери,
либо ген A получен от матери, а ген a от отца соответствующие
вероятности есть pq и qp: Следовательно, вероятность генотипа Aa
в популяции потомков равна 2pq; т. е. 2v1 = 2pq: Отсюда:
Следовательно, потомство (11) имеет следующую структуру:
Самое замечательное состоит в том, что если для потомства взять
и w1 + v1 ; как это делалось для родителей в ормулах (3)
и (5), то получим те же самые числа p и q: Действительно, согласно ормулам (12), (14), (13) и (7) имеем:
u1 + v1
u1 + v1 = p2 + pq = p(p + q) = p;
w1 + v1 = q2 + pq = q(q + p) = q:
Так как структура (15) потомства вычислена только с использованием этих сумм, то потомки популяции со структурой (15) будут иметь
ту же структуру. При этом говорят, что структура (15) стационарна,
т. е. от поколения к поколению не меняется.
Этот замечательный акт, что со второго поколения устанавливается стационарная структура популяции, является непосредственным обобщением второго закона Менделя и называется законом
Харди .
На практике возможно отклонение, однако для больших популяций закон Харди остается в силе.
Для гороха вероятность получения белой особи равна q 2 (рецессивный признак), вероятность получения красной особи равна 1 q 2
(как для противоположного события) и отношение числа красных и
белых особей равно (1 q 2 ) : q 2 :
1
Для описанного в пункте 1 случая q = ; и мы опять получа2
ем 3 : 1 (см. II закон Менделя).
Упражнения
1. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найти вероятность того, что вынутое яйцо некачественное.
[0,05.?
2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.
[0,5.?
268
л. VIII. Событие и вероятность
3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1
до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного
жетона не содержит циры 5.
[0,81.?
4. В сосуд емкостью 10 л попала ровно одна болезнетворная бактерия. Какова вероятность зачерпнуть ее при наборе из этого сосуда стакана
воды (200 см3 )?
[0,02.?
5. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5
нестандартных деталей. Чему равна относительня частота появления нестандартных деталей?
[0,05.?
6. При транспортировке из 1000 дынь испортилось 5. Чему равна относительная частота испорченных дынь?
[0,005.?
7. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел
равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку ѕхорошої равна 0,4. Какова
вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже ѕхорошої?
[0,7.?
8. Вероятность того, что лицо умрет на 71-м году жизни, равна 0,04.
Какова вероятность того, что человек не умрет на 71-м году?
[0,96.?
9. Бросается один раз игральная кость. Определить вероятность выпаh i
1
дения 3 или 5 очков.
3:
10. В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?
[0,5.?
11. В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится
120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо
выигрыша на один лотерейный билет?
[0,2.?
12. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают
по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления
белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.
[0,6.?
13. В колоде 36 карт. Наудачу вынимаются из колоды 2 карты. Определить вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут
h
туз.
3 i
35 :
14. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два
шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
[0,1.?
15. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты
h
подряд два туза?
1 i
105 :
Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым
стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым стрелком 0,7. Найти
вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.
[0,56.?
16.
17. Найти вероятность одновременного появления герба при одном
бросании двух монет.
[0,25.?
18. Имеется два ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8,
во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают
по одной детали. Найти вероятность того, что все две вынутые детали
окажутся стандартными.
[0,56.?
269
19. В семье двое детей. Принимая события, состоящие в рождении
мальчика и девочки равновероятными, найти вероятность того, что в семье:
а) все девочки;
б) дети одного пола.
[а) 0,25; б) 0,5.?
20. Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из двух посеянных семян взойдет какое-либо одно?
[0,91.?
21. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность
h i
1
того, что будет вынута пика или туз?
22. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что
четное или кратное трем число очков.
3:
выпадет
h i
2
3:
23. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого
набора стандартна, равна 0,8, а второго 0,9. Найти вероятность того,
что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) стандартная.
[0,85.?
24. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность
того, что лампа, наудачу извлеченная нз первой коробки, будет стандартной.
[0,9.?
25. Студент M может заболеть гриппом (событие A) только в результате либо переохлаждения (событие B ); либо контакта с другим больным
(событие C ): Требуется найти P (A) ; если P (B ) = 0;5; P (C ) = 0;5; PB (A) =
= 0;3; PC (A) = 0;1 при условии несовместимости B и C:
[P (A) = 0;2:?
26. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки для
карманного онарика. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки
h
15 i
наудачу батарейки окажутся новыми?
28 :
На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного
перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом.
h i
1
Какова вероятность того, что получится слово ѕЖУКї?
27.
6:
28. Слово ѕкерамитї составлено нз букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются, и из них извлекаются по очереди четыре
карточки. Какова вероятность того, что эти четыре карточки в порядке
h
выхода составят слово ѕрекаї?
1 i
840 :
л а в а IX
ДИСКЕТНЫЕ И НЕПЕЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ
џ 46. Случайные величины
1. Понятие ѕслучайные величиныї.
О п р е д е л е н и е 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно
принимает одно значение из множества возможных значений.
270
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
П р и м е р ы 1) Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
2) прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная величина,
которая может принять значение из некоторого числового промежутка;
3) число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Случайные величины будем обозначать прописными буквами X;
а их возможные значения соответствующими строчными
буквами x; y; z: Например, если случайная величина X имеет три
возможных значения, то они будут обозначены так:
Y; Z;
x1 ; x2 ; x3 :
О п р е д е л е н и е 2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или
бесконечной последовательности, называется дискретной случайной
величиной.
Ниже рассматриваются дискретные случайные величины, множество допустимых значений которых конечно.
Случайные величины из примеров 1) и 3) дискретные.
О п р е д е л е н и е 3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется
непрерывной случайной величиной.
Случайная величина из примера 2) является непрерывной.
2. Законы распределения дискретных случайных величин. ассмотрим дискретную случайную величину X с конечным
множеством возможных значений. Величина X считается заданной,
если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности,
с которыми величина X может принять эти значения. Указанный
перечень возможных значений и их вероятностей называется законом
распределения дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью
таблицы:
X
p
x1
p1
x2
p2
x3
p3
...
...
xn 1
pn 1
xn
pn
В верхней строке выписываются все возможные значения x1 ; x2 ; . . .
; xn величины X; в нижней строке выписываются вероятности
p1 ; p2 ; . . .; pn значений x1 ; x2; . . .; xn : Читается таблица следующим
образом: случайная величина X может принять значение xi с вероятностью pi (i = 1; 2; . . .; n):
Так как в результате испытания величина X всегда примет одно
из значений x1 ; x2 ; . . .; xn ; то
...
p1 + p2 + . . . + pn = 1:
џ 47. Математическое ожидание дискретной случайной величины
271
П р и м е р. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100 000 р.,
10 выигрышей по 10 000 р. и 100 выигрышей по 100 р. при общем числе
билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для
владельца одного лотерейного билета.
Здесь возможные значения для X есть: x1 = 0; x2 = 100; x3 = 10000;
x4 = 100000: Вероятности их будут: p2 = 0;01; p3 = 0;001; p4 = 0;0001;
p1 = 1 0;01 0;001 0;0001 = 0;9889: Следовательно, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:
X
p
0
100
10000
100000
0;9889
0;01
0;001
0;0001
џ 47. Математическое ожидание дискретной
случайной величины
1. Понятие математического ожидания. Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако
часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной
величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают
по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик
является математическое ожидание .
Пусть некоторая дискретная случайная величина X с конечным
числом своих значений задана законом распределения:
X
p
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
О п р е д е л е н и е. Математическим ожиданием M (X ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:
M (X ) = x1p1 + x2 p2 + . . . + xn pn :
П р и м е р. Найти математическое ожидание выигрыша
из џ 46 (пункт 2).
Используя полученную там таблицу, имеем:
X
(1)
в примере
M (X ) = 0 0;9889+100 0;01+10000 0;001+100000 0;0001 = 1+10+20 = 21 р.
Очевидно, M (X ) = 21 р. есть справедливая цена одного лотерейного
билета.
Т е о р е м а. Математическое ожидание дискретной случайной
величины X приближенно равно среднему ариметическому всех ее
значений (при достаточно большом числе испытаний ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что произведено n испытаний, в которых дискретная случайная величина X приняла значения
x1 ; . . .; xk соответственно m1; . . .; mk раз, так, что m1 + . . . + mk = n:
272
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
Тогда среднее ариметическое всех значений, принятых величиной X;
выразится равенством
xср: = x m + x mn+ . . . + xk mk
1
или
1
2
2
xср: = x1 mn + x2 mn + . . . + xk mnk :
1
2
m
Так как коэициент i является относительной частотой события
n
ѕвеличина X приняла значение xi ї (i = 1; 2; . . .; k ); то
xср: = x1p1 + x2 p2 + . . . + xk pk :
Из статистического определения вероятности следует, что при достаточно большом числе испытаний pi pi (i = 1; 2; . . .; k ): Поэтому
или
xср: x1p1 + x2 p2 + . . . + xk pk
xср: M (X ):
П р и м е ч а н и е. В связи с только что установленной теоремой математическое ожидание случайной величины называют также ее средним
значением , или ожидаемым значением .
2. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
1. Математическое ожидание *) постоянной величины C равно
этой величине .
Постоянную C можно рассматривать как дискретную случайную
величину, принимающую лишь одно значение C с вероятностью p = 1:
Поэтому M (C ) = C 1 = C:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания , т . е . M (CX ) = CM (X ):
Используя соотношение (1), имеем:
M (CX ) = Cx1 p1 + Cx2 p2 + . . . + Cxn pn =
= C (x1 p1 + x2 p2 + . . . + xn pn ) = CM (X ):
Следующие два (3 и 4) свойства примем без доказательства.
3. МО суммы двух случайных величин X и Y равно сумме их МО :
M (X + Y ) = M (X ) + M (Y ):
О п р е д е л е н и е. Случайные величины X и Y
называются независимыми , если закон распределения каждой из них не зависит от
того, какое возможное значение приняла другая величина.
Примером двух независимых случайных величин могут служить
суммы выигрышей по каждому из двух билетов по двум различным
денежно-вещевым лотереям. Здесь ставший известным размер выиг*) В дальнейшем часто ради краткости вместо слов ѕматематическое
ожиданиеї будем писать МО.
273
џ 48. Дисперсия дискретной случайной величины
рыша по билету одной лотереи не влияет на ожидаемый размер
выигрыша и соответствующую ему вероятность по билету другой
лотереи.
Несколько случайных величин называются независимыми, если
закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.
4. МО произведения двух независимых случайных величин равно
произведению их математических ожиданий :
M (XY ) = M (X ) M (Y ):
Следствием свойств 2 и 3 является свойство 5.
5. Математическое ожидание разности двух случайных величин X и Y равно разности их математических ожиданий :
M (X Y ) = M (X ) M (Y ):
П р и м е ч а н и е. Свойства 3 и 4 имеют место и для любого конечного числа случайных величин.
П р и м е р 1. Найти математическое ожидание случайной величины
Z = X + 2Y; если известны математические ожидания случайных величин X и Y : M (X ) = 5; M (Y ) = 3:
Используя свойства 3 и 2 математического ожидания, получим:
M (Z ) = M (X + 2Y ) = M (X ) + M (2Y ) = M (X ) + 2M (Y ) = 5 + 2 3 = 11:
П р и м е р 2. Независимые случайные величины заданы законами
распределения
X
p
1
0;2
Y
p
2
0;8
0;5
0;3
1
0;7
Найти математическое ожидание случайной величины XY:
Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
M (X ) = 1 0;2 + 2 0;8 = 1;8:
M (Y ) = 0;5 0;3 + 1 0;7 = 0;15 + 0;7 = 0;85:
величины X и Y независимы, поэтому искомое
Случайные
ческое ожидание
математи-
M (XY ) = M (X ) M (Y ) = 1;8 0;85 = 1;53:
џ 48. Дисперсия дискретной случайной величины
1. Понятие дисперсии. МО не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере.
Пусть заданы две дискретные случайные величины X и Y своими
законами распределения:
X
p
2
0;4
18 И. И. Баврин
0
0;2
2
0;4
Y
p
100
0;3
0
0;4
100
0;3
274
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
Несмотря на то что МО величин X и Y одинаковы: M (X ) =
= M (Y ) = 0; возможные значения величин X и Y ѕразбросаныї или
ѕрассеяныї около своих МО по-разному: возможные значения величины X расположены гораздо ближе к своему МО, чем значения
величины Y:
Укажем еще на один пример. При одинаковой средней величине
годовых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и
летом), а другая благоприятной для ведения сельского хозяйства.
Из сказанного вытекает необходимость введения новой числовой
характеристики случайной величины, по которой можно судить о
ѕрассеянииї возможных значений этой случайной величины.
Пусть задана дискретная случайная величина X :
X
p
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
О п р е д е л е н и е 1. Отклонением случайной величины X от
ее МО M (X ) (или просто отклонением случайной величины X ) называется случайная величина X M (X ):
Видно, что, для того чтобы отклонение случайной величины приняло значение x1 M (X ); достаточно, чтобы случайная величина X
приняла значение x1 : Вероятность же этого события равна p1 ;
следовательно, и вероятность того, что отклонение случайной величины X примет значение x1 M (X ); также равна p1 : Аналогично
обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения случайной величины X: Используя это, запишем закон распределена отклонения случайной величины X :
X M (X )
p
x1 M (X )
p1
x2 M (X )
p2
Вычислим теперь МО отклонения
вами 5 и 1 (џ 47, п. 2), получим:
xn M (X )
pn
...
...
X M (X ):
Пользуясь свойст-
M [X M (X )? = M (X ) M (X ) = 0:
Следовательно, справедлива следующая теорема.
Т е о р е м а. МО отклонения X M (X ) равно нулю :
M [X M (X )? = 0:
Из теоремы видно, что с помощью отклонения X M (X ) не
удается определить среднее отклонение возможных значений величины X от ее МО, т. е. степень рассеяния величины X: Это объясняется
взаимным погашением положительных и отрицательных возможных
значений отклонения. Однако можно освободиться от этого недостатка, если рассматривать квадрат отклонения случайной величины X:
275
џ 48. Дисперсия дискретной случайной величины
M (X )?2
M (X )):
Запишем закон распределения случайной величины [X
(рассуждения те же, что и в случае случайной величины X
[X M (X )?2
p
[x1 M (X )?2
p1
[x2 M (X )?2
p2
...
...
[xn M (X )?2
pn
О п р е д е л е н и е 2. Дисперсией D(X ) дискретной случайной
величины X называется МО квадрата отклонения случайной величины X от ее МО:
2
D(X ) = M [(X M (X )) ?:
Из закона распределения величины [X M (X )?2 следует, что
D(X ) = [x1 M (X )?2 p1 + [x2 M (X )?2 p2 + . . . + [xn M (X )?2 pn :
2. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.
1. Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности
между МО квадрата величины X и квадратом ее МО :
D(X ) = M (X 2 ) M 2 (X ):
Действительно, используя свойства МО, имеем:
D(X ) = M [(X M (X ))2 ? = M [X 2 2XM (X ) + M 2 (X )? =
= M (X 2 ) 2M (X ) M (X ) + M 2 (X ) =
= M (X 2) 2M 2 (X ) + M 2 (X ) = M (X 2 ) M 2 (X ):
С помощью этого свойства и свойства МО устанавливаются следующие свойства.
2. Дисперсия постоянной величины C равна нулю .
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии ,
возводя его в квадрат :
D(CX ) = C 2 D(X ):
4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна
сумме дисперсий этих величин :
D(X + Y ) = D(X ) + D(Y ):
Методом математической индукции это свойство распространяется и на случай любого конечного числа слагаемых.
Следствием свойств 3 и 4 является свойство 5.
5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин X
и Y равна сумме их дисперсий :
D(X Y ) = D(X ) + D(Y ):
П р и м е р. Дисперсия случайной величины X равна 3. Найти дисперсию
следующих величин: а) 3X ; б) 4X + 3:
Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии имеем:
а) D( 3X ) = 9D(X ) = 9 3 = 27;
б) D(4X + 3) = D(4X ) + D(3) = 16D(X ) + 0 = 16 3 = 48:
18*
276
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
3. Среднее квадратическое отклонение.
О п р е д е л е н и е. Средним квадратическим отклонением (X )
случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперp
сии:
(X ) = D(X ):
Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем,
что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. Например, если возможные
значения некоторой случайной величины измеряются в метрах, то ее
дисперсия измеряется в квадратных метрах. В тех случаях, когда
нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратическое отклонение.
П р и м е р. Случайная величина X число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить (X ): Имеем:
M (X ) = 1 61 + 2 16 + 3 16 + 4 16 + 5 16 + 6 16 = 3;5;
D(X ) = (1 3;5)2 61 + (2 3;5)2 61 + (3 3;5)2 61 +
+(4 3;5)2 1 + (5 3;5)2 1 + (6 3;5)2 1 = 35 ;
6
6
6 12
(X ) =
r
35 1;71:
12
Здесь для облегчения вычислений можно использовать калькулятор.
То же следует иметь в виду и в ряде других примеров этой главы.
4. Понятие о моментах распределения.
О п р е д е л е н и е 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называется МО случайной величины X k ; где k натуральное число:
k
Следовательно, если
X
p
то
X
k = M (X ):
имеет распределение:
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
k = xk1 p1 + xk2 p2 + . . . + xkn pn :
МО и дисперсию случайной величины X можно выразить через начальные моменты порядков 1 и 2: M (X ) = 1 ;
D(X ) = M (X 2) M 2 (X ) = 2 12 :
(1)
О п р е д е л е н и е 2. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется МО величины [X M (X )?k :
k = M [(X M (X ))k ?:
џ 49. Непрерывные случайные величины
277
Из определения 2, установленной выше теоремы (пункт 1) и определения дисперсии следует, что 1 = M [X M (X )? = 0;
2 = M [(X M (X ))2 ? = D(X ):
(2)
2 = 2 12 :
(3)
Сравнивая соотношения (1) и (2), получим:
П р и м е р. Дискретная случайная величина
деления:
X
p
1
0;4
X
задана законом распре-
3
0;6
Найти начальные моменты первого, второго порядков и центральный момент второго порядка. Имеем:
1 = M (X ) = 1 0;4 + 3 0;6 = 2;2;
2 = M (X 2 ) = 1 0;4 + 9 0;6 = 5;8;
2 = 5;8 2;22 = 5;8 4;84 = 0;96:
џ 49. Непрерывные случайные величины
1. Интегральная ункция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить
таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины
изучаются другим способом, который мы сейчас рассмотрим.
Пусть X непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (a; b) и x действительное число.
Под выражением X < x понимается событие ѕслучайная величина X приняла значение, меньшее xї. Вероятность этого события
P (X < x) есть некоторая ункция переменной x:
F (x) = P (X < x):
О п р е д е л е н и е. Интегральной ункцией распределения (или
кратко ункцией распределения ) непрерывной случайной величины X называется ункция F (x); равная вероятности того, что X
приняла значение, меньшее x:
F (x) = P (X < x):
(1)
Отметим, что ункция распределения совершенно так же определяется для дискретных случайных величин.
Укажем свойства, которыми обладает ункция F (x):
1. 0 6 F (x) 6 1:
Это свойство следует из того, что F (x) есть вероятность.
2. F (x) неубывающая ункция, т . е . если x1 < x2 ; то
F (x1) 6 F (x2 ):
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что x1 < x2 : Событие
ѕX примет значение, меньшее x2 ї можно представить в виде суммы
двух несовместимых событий: ѕX примет значение, меньшее x1 ї и
278
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
ѕX примет значение, удовлетворяющее неравенствам x1 6 X < x2 ї.
Обозначим вероятности последних двух событий соответственно через P (X < x1 ) и P (x1 6 X < x2 ): По теореме о вероятности суммы
двух несовместимых событий имеем:
P (X < x2) = P (X < x1) + P (x1 6 X < x2);
откуда с учетом (1)
P (x1 6 X < x2 ) = F (x2) F (x1 ):
(2)
Так как вероятность любого события есть число неотрицательное, то P (x1 6 X < x2 ) > 0 и, значит,
F (x2 ) > F (x1):
Формула (2) утверждает свойство 3.
3. Вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [a; b) равна разности между значениями ункции распределения
в правом и левом концах интервала (a; b):
P (a 6 X < b) = F (b) F (a):
(3)
X задана ункцией распределения:
x 6 1;
1
F (x) = 4 + 4 при 1 < x 6 3;
>
:
1 при x > 3:
Найти вероятности того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее полуинтервалу [0; 2): Так как на полуинтервале [0; 2)
F (x) = x4 + 41 ; то
P (0 6 X < 2) = F (2) F (0) = 12 + 14 14 = 21 :
П р и м е р. Случайная величина
8
0 при
>
<x
В дальнейшем случайную величину X будем называть непрерывной , если непрерывна ее ункция распределения F (x):
4. Вероятность того , что непрерывная случайная величина X
примет какое-либо заранее заданное значение , равна нулю :
P (X = x1 ) = 0:
(4)
x2 = x1 + x; будем иметь:
P (x1 6 X < x1 + x) = F (x1 + x) F (x1 ):
(5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положив в (2)
Так как F (x) непрерывная ункция, то, перейдя в (5) к пределу
при x ! 0; получим искомое равенство (4).
Из свойства 4 следует свойство 5.
5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в
интервал , сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами
одинаковы :
P (a < X < b) = P (a 6 X 6 b) = P (a 6 X < b) = P (a < X 6 b): (6)
6. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a; b); то :
џ 49. Непрерывные случайные величины
279
1) F (x) = 0 при x 6 a;
2) F (x) = 1 при x > b:
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть x1 6 a: Тогда событие X < x1
невозможно, и, следовательно, вероятность его равна нулю.
2) Пусть x2 > b: Тогда событие X < x2 достоверно, и, следовательно, вероятность его равна 1.
С л е д с т в и е. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси , то справедливы
следующие предельные соотношения :
F ( 1) = x!lim1 F (x) = 0;
F (+1) = x!lim
+1 F (x) = 1:
2. Диеренциальная ункция распределения. Диеренциальной ункцией распределения непрерывной случайной величины X (или ее плотностью вероятности ) называется ункция f (x);
равная производной интегральной ункции распределения *)
f (x) = F 0(x):
Так как F (x) неубывающая ункция, то f (x) > 0 (см. ч. I, џ 18).
Т е о р е м а. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (a; b) равна определенному интегралу от
диеренциальной ункции распределения величины X; взятому в
пределах от a до b:
Zb
P (a < X < b) = f (x) dx:
a
(7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как F (x) является первообразной
для f (x); то на основании ормулы НьютонаЛейбница (ч. I, џ 24)
имеем:
Zb
a
f (x) dx = F (b) F (a):
(8)
Теперь с учетом соотношений (3), (6), (8) получим искомое равенство.
Из (7) следует, что геометрически (ч. I, џ 23) вероятность P (a <
< X < b) представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной граиком плотности вероятности y = f (x) и отрезками
прямых y = 0; x = a и x = b:
С л е д с т в и е. В частности , если f (x) четная ункция и концы интервала симметричны относительно начала координат , то
Za
P ( a < X < a) = P (jX j < a) = 2 f (x) dx:
0
(9)
П р и м е р 1. Продолжительность жизни растений данного вида в
определенной среде представляет собой непрерывную случайную величи-
0
*) Предполагается, что F (x) непрерывна, за исключением, быть может,
конечного числа точек, в которых значения f (x) можно задавать произвольно.
280
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
1
X: Пусть ункцией плотности вероятности для X является f (x) = 120
e x=120: Какая доля растений данного вида умирает за период 100 дней?
ну
Имея в виду свойство 5 (п. 1), согласно ормуле (7) имеем:
100
Z
1 e x=120 dx = e x=120100 = 1 e 5=6 0;7:
P (0 6 X 6 100) =
0
120
0
Заменяя в ормуле (8)
a на 1 и b на x; получим:
F (x) F ( 1) =
Zx
1
f (x) dx;
откуда, в силу найденного выше следствия (пункт 1),
Zx
F (x) =
1
f (x) dx:
(10)
Формула (10) дает возможность отыскать интегральную ункцию распределения F (x) по ее плотности вероятности.
Отметим, что из ормулы (10) и из только что отмеченного следствия вытекает, что
+Z1
f (x) dx = 1:
1
(11)
П р и м е р 2. Плотность вероятности случайной величины
так:
A
f (x) =
1+ x
(
2
1 < x < +1):
X
задана
Требуется найти коэициент A; ункцию распределения F (x) и вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; 1):
Коэициент A найдем, воспользовавшись соотношением (11). Так как
+Z1
1
то
+Z1 Adx
+Z1 Adx
Z0 Adx
=
+
=
2
2
2
1 1+ x
1 1+ x
0 1+ x
0
+1
= Aartg x 1 + Aartg x0 = A[artg (+1) artg ( 1)? = A;
f (x) dx =
A = 1 ; откуда A = 1 :
Применяя ормулу (10), получим ункцию распределения
Zx
dx = 1 artg xx =
F (x) =
2
1 (1+ x )
F (x):
1
=
1 artg x artg ( 1) = 1 + 1 artg x:
2 Наконец, ормулы (3) и (6) с учетом найденной ункции
P (0 < X < 1) = F (1) F (0) = 41 :
F (x) дают:
џ 49. Непрерывные случайные величины
281
3. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной
случайной величины.
О п р е д е л е н и е 1. Математическим ожиданием (МО) непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f (x) называется величина несобственного интеграла (если он сходится):
+Z1
M (X ) =
1
xf (x) dx:
О п р е д е л е н и е 2. Дисперсией непрерывной случайной величины X; математическое ожидание которой M (X ) = a; а ункция f (x)
является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):
+Z1
D(X ) =
1
(x a)2 f (x) dx:
Можно показать, что МО и дисперсия непрерывной случайной
величины имеют те же свойства, что и МО и дисперсия дискретной
случайной величины.
Для непрерывной случайной величины X среднее квадратическое отклонение (Xp) определяется, как и для дискретной величины,
ормулой: (X ) = D(X ):
П р и м е р. Случайная величина X задана плотностью вероятности
8
при x < 0;
>
<0
x при 0 6 x 6 2;
f (x) = 2
>
:
0 при x > 2:
Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X:
Согласно определениям 1 и 2 имеем
+Z1
Z2
3 2
M (X ) = xf (x) dx = 1 x2 dx = x = 4 :
1
20
6 0 3
2
2
Z2 x 34 f (x) dx = x 43 12 xdx =
1
0
Z2 = 1 x3 8 x2 + 16 x dx = 2
20
3
9
9
и, наконец,
p
p
(X ) = D(X ) = 32 0;47:
D(X ) =
+Z1 282
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
џ 50. Некоторые законы распределения
случайных величин
1. Биномиальное распределение. Пусть производится n испытаний, причем вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (независимые
испытания). Так как вероятность наступления события A в одном
испытании равна p; то вероятность его ненаступления равна q =
= 1 p:
Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз (m 6 n):
Пусть событие A наступило в первых m испытаниях m раз и не
наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие
можно записать в виде произведения:
. . .A AA. . .A :
} | {z }
|AA{z
m раз n m раз
Общее число сложных событий, в которых событие A наступает m
раз, равно числу сочетаний из n элементов по m элементов. При этом
вероятность каждого сложного события равна: pm q n m: Так как эти
сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, если Pn (m) есть вероятность
появления события A m раз в n испытаниях, то
или
Pn (m) = Cnm pm qn
m
Pn (m) = m!(nn! m)! pm qn
m:
(1)
Формула (1) называется ормулой Бернулли .
П р и м е р 1. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90 %.
Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут:
а) три;
б) не менее трех.
а) В данном случае n = 4; m = 3; p = 0;9; q = 1 p = 0;1:
Применяя ормулу Бернулли (1), получим:
4! (0;9)3 0;1 = 0;2916:
P4 (3) = 3!1!
б) Искомое событие A состоит в том, что из четырех семян взойдут
или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей P (A) = P4 (3) +
+ P4(4): Но P4(4) = (0;9)4 = 0;6561: Поэтому P (A) = 0;2916+0;6561 = 0;9477:
Снова рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие A с вероятностью p: Обозначим через X случайную величину, равную числу появлений события A в n испытаниях.
Понятно, что событие A может вообще не наступить, наступить
один раз, два раза и т. д. и, наконец, наступить n раз. Следовательно,
возможными значениями величины X будут числа 0; 1; 2; . . .; n 1; n:
283
џ 50. Некоторые законы распределения случайных величин
По ормуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:
Pn (0) = qn ;
Pn (1) = Cn1 qn 1 p;
:::::::::::::::::::::
Pn (n) = pn :
Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:
X
p
0
qn
1
Cn1 pqn 1
...
...
m
Cnm pmqn m
...
...
n
pn
Построенный закон распределения дискретной случайной величины X
называется законом биномиального распределения .
Найдем M (X ): Очевидно, что Xi число появлений события A
в каждом испытании представляет собой случайную величину со
следующим распределением:
Xi
pi
0
q
1
p
Поэтому M (Xi ) = 0 q + 1 p = p: Но так как X = X1 + . . . + Xn ; то
M (X ) = np:
Найдем далее D(X ) и (X ): Так как величина Xi2 имеет распределение:
Xi2
pi
02
q
12
p
M (Xi2) = 02 q + 12 p = p: Поэтому
D(Xi ) = M (Xi2) M 2 (Xi ) = p p2 = p(1 p) = pq:
Наконец, в силу независимости величин X1 ; X2 ; . . .; Xn ;
D(X ) = D(X1 ) + D(X2 ) + . . . + D(Xn ) = npq:
Отсюда:
(X ) = pnpq:
то
П р и м е р 2. Случайная величина X определена как число выпавших
гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X:
1
Вероятность появления герба в каждом бросании монеты p = : Сле-
2
q = 1 21 = 12 : Случайная вели1
чина X имеет биномиальное распределение при n = 100 и p = : Поэтому
2
Mp
(X ) = np = 100 1 = 50; D(X ) = npq = 100 1 1 = 25; (X ) = pnpq =
2
2 2
= 25 = 5:
довательно, вероятность непоявления герба
284
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
П р и м е р 3. Допустим, что для хищника вероятность поимки отдельной жертвы составляет 0,4 при каждом столкновении с жертвой. Каково
ожидаемое число пойманных жертв в 20 столкновениях?
Это пример биномиального распределения при n = 20 и p = 0;4: Ожидаемое число есть M (X ) = np = 20 0;4 = 8:
П р и м е р 4. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению
в 80 % случаев. Какова вероятность того, что из пяти больных выздоровеет
четыре?
В данном случае p = 0;8; q = 1 p = 0;2; n = 5; m = 4: Поэтому по ормуле Бернулли
4
4
P5 (4) = 4!(55! 4)! (0;8)4 (0;2)5 4 = 5 8 5 2 = 8 4 = 0;4096 0;41:
10
10
П р и м е р 5. В условии предыдущего примера найти вероятность того,
что из пяти больных выздоровеет не менее четырех.
Искомая вероятность есть сумма вероятностей P5 (4) + P5 (5): Имеем
P5(4) + P5 (5) = 0;4096 + (0;8)5 = 0;4096 + 0;32768 = 0;73728 0;74:
З а д а ч а о б э к с т р а с е н с е. Обычный человек примерно в половине
случаев правильно угадывает, в какой руке спрятан мелкий предмет. Предположим, что верный ответ получен в трех случаях из четырех. Случайно
ли это? Или при таком результате можно говорить о необычных способностях угадывающего?
1
Если принять вероятность угадывания в норме p = ; то по ормуле
2
Бернулли
3 3
P4(3) = C4 p q;
q = 1 p;
3
P4 (3) = 4 21 12 = 41 :
где
или
Как видим, каждый четвертый нормальный человек правильно угадывает в
трех случаях из четырех.
Допустим, что верный ответ получен в девяти случаях из десяти. Какова вероятность такого угадывания у нормального человека? По ормуле
9
Бернулли
9 1 1 = C10
1 1 = 10 1 0;01:
P10(9) = C10
2 2
210
210
Таким образом, нормальный человек лишь в одном случае из 100 может
случайно продемонстрировать такой результат. И если подобное угадывание происходит чаще, то можно по-видимому, говорить, что угадыватель экстрасенс (или мистиикатор).
2. авномерное распределение. аспределение вероятностей
непрерывной случайной величины X; принимающей все свои значения из отрезка [a; b?; называется равномерным , если ее плотность
вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т. е.
8
<0
f (x) = : 0
Отсюда (см. ч. I, џ 25)
при
при
при
x < a;
a 6 x 6 b;
x > b:
џ 50. Некоторые законы распределения случайных величин
+Z1
1
Zb
f (x) dx = dx = (b a):
a
285
(2)
Но, как известно (см. џ 49, пункт 2):
+Z1
1
f (x) dx = 1:
Из сравнения этого равенства с (2) получаем:
ны
= b 1 a:
Итак, плотность вероятности непрерывной случайной величиX; распределенной равномерно на отрезке [a; b?; имеет вид
8
> 0 при x < a;
< 1
f (x) = > b a
:
0
a 6 x 6 b;
x > b:
при
при
П р и м е р. На отрезке [a; b? наугад указывают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?
Пусть X случайная величина, равная координате выбранной точки. X распределена равномерно (в этом и состоит точный смысл слов
ѕнаугад указывают точкуї), а так как середина отрезка [a; b? имеет коорa + b ; то искомая вероятность равна (см. џ 49, п. 2):
динату
2
(a+Zb)=2
(a+Zb)=2
1 dx = 1 a + b a = 1 :
f (x) dx =
P a < X < a +2 b =
b a
b a 2
2
a
a
Впрочем, этот результат был ясен с самого начала.
3. Закон нормального распределения. Центральная предельная теорема. Закон распределения вероятностей непрерывной
случайной величины X называется нормальным , если ее диеренциальная ункция f (x) определяется ормулой
(3)
f (x) = p1 e (x a) =(2 );
2
где параметр a совпадает с МО величины X : a = M (X ); параметр является средним квадратическим отклонением величины X : =
= (X ):
В џ 19 построен граик ункции y = e x (кривая аусса). С учетом граика этой ункции граик ункции (3) будет иметь вид, как
1
на рисунке 121. Причем его максимальная ордината равна p :
2
Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения (кривая
ѕсжимаетсяї к оси Ox) и возрастает с убыванием значения (кривая ѕрастягиваетсяї в положительном направлении оси Oy ); что от2
2
2
286
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
y
f (x)
replaements
1
3
x
a
O
1 < 2 < 3
2
x
a
O
ис. 121
ис. 122
ражено на рисунке 122. Изменение значений параметра a (при
неизменном значении ) не влияет на орму кривой.
Нормальное распределение с параметрами a = 0 и = 1 называется нормированным . Диеренциальная ункция в случае такого
распределения будет:
2
'(x) = p1 e
2
x =2:
Для этой ункции составлена таблица (см. приложение 1) ее значений для положительных значений x (ункция '(x) четная).
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее
интервалу (; ); согласно известной теореме (џ 49, пункт 2)
Z
e (x a) =(2 )dx:
P ( < X < ) = p1
2
2
2
Сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая
Тогда: x = a + t; dx = dt и
( Za)=
Однако
e
P ( < X < ) = p1
2
( a)=
Z
1
t
=
2
e
dt не берется
интеграл p
2
2
x a = t:
t2 =2 dt:
(4)
в элементарных унк-
циях. Поэтому для вычисления интеграла (4) вводится ункция
Zx
(x) = p1 e
2
0
t2 =2 dt;
(5)
называемая ункцией Лапласа *) или интегралом вероятностей . Для
этой ункции составлена таблица (см. приложение 2) ее значений
*)
Пьер Лаплас (17491827) ранцузский математик н астроном.
287
џ 50. Некоторые законы распределения случайных величин
x;
для положительных значений
нечетная
x
( x) = p1
2
Z
0
e
так как
p1
t2 =2 dt =
Zx
2
0
(0) = 0 и ункция (x)
e
z2 =2 dz = (x)
(t = z; dt = dz ):
Отметим также, что ункция (x) монотонно возрастающая.
Действительно, если x2 > x1 ; то (џ 24, п. 1, свойство 4)
(x2) = p1
2
xZ2
0
t2 =2 dt =
e
p1
2
xZ1
0
e
t2 =2 dt + p1
xZ2
2 x
e
t2 =2 dt =
1
xZ2
e
= (x1) + p1
2 x
t2 =2 dt > (x );
1
1
ибо, в силу геометрического смысла определенного интеграла
(ч. I, џ 23),
xZ2
x1
e
t2 =2 dt > 0:
Используя ункцию (5), получим:
P ( < X < ) =
= p1
2
( Za)=
( a)=
( Za)=
= p1
2
Итак,
e
0
t2 =2 dt =
p1
2
t2 =2 dt
p1
e
Z0
e
( a)=
( Za)=
2
0
t2 =2 dt + p1
e
( Za)=
2
e
0
t2 =2 dt = P ( < X < ) = a :
t2 =2 dt =
a :
(6)
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение
нормально распределенной случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного
положительного числа Ж; т. е. найти P (jX aj < Ж ): Используя ормулу (6) и нечетность ункции (x); имеем:
P (jX aj < Ж) = P (a Ж < X < a + Ж) = Ж Ж = 2 Ж ;
т. е.
P (jX aj < Ж) = 2 Ж :
(7)
288
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
П р и м е р. Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a = 20 и = 10: Найти P (jX 20j < 3):
Используя ормулу (7), имеем:
P (jX 20j < 3) = 2 103 :
По таблице приложения 2 находим: (0;3) = 0;1179:
Поэтому P (jX 20j < 3) = 0;2358:
Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероятностей большое значение. Нормальному закону подчиняется вероятность при стрельбе по цели, в измерениях и т. п. В частности,
оказывается, что закон распределения суммы достаточно большого
числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых
на всю сумму ничтожно мало, близок к нормальному распределению. Этот акт, называемый центральной предельной теоремой ,
был доказан выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым
(18571918).
4. аспределение случайных ошибок измерения. Пусть
производится измерение некоторой величины. азность x a между
результатом измерения x и истинным значением a измеряемой величины называется ошибкой измерения. Вследствие воздействия на
измерение большого количества акторов, которые невозможно
учесть (случайные изменения температуры, колебание прибора, ошибки, возникающие при округлении, и т. п.), ошибку измерения можно
считать суммой большого числа независимых случайных величин,
которая по центральной предельной теореме должна быть распределена нормально. Если при этом нет систематически действующих
акторов (например, неисправности приборов, завышающих при каждом измерении показания приборов), приводящих к систематическим
ошибкам, то МО случайных ошибок равно нулю.
Итак, принимается положение: при отсутствии систематически
действующих акторов ошибка измерения есть случайная величина
(обозначим ее через T ); распределенная нормально, причем ее МО
равно нулю, т. е. плотность вероятности величины T равна:
2
2
p1 e t =(2 );
2
где среднеквадратическое отклонение величины T; характеризующее разброс результатов измерения вокруг измеряемой величины.
В силу предыдущего результат измерения есть также случайная
величина (обозначим ее через X ); связанная с T зависимостью X =
= a + T: Отсюда:
M (X ) = a;
(X ) = (T ) = и X имеет нормальный закон распределения.
Заметим, что случайная ошибка измерения, как и результаты измерения, всегда выражаются в некоторых целых единицах, связанных
289
џ 51. Двумерные случайные величины
с шагом шкалы измерительного прибора; в теории удобнее считать
случайную ошибку непрерывной случайной величиной, что упрощает
расчеты.
При измерении возможны две ситуации:
а) известно (это характеристика прибора и комплекса условий,
при которых производятся наблюдения), требуется по результатам измерений оценить a;
б) неизвестно, требуется по результатам измерений оценить a
и :
Эти очень важные задачи будут обсуждаться в џ 54.
џ 51. Двумерные случайные величины
В различных задачах практики встречаются случайные величины, возможные значения которых определяются не одним числом,
PSfrag replaements
а несколькими. Так, при вытачивании на станке цилиндрического
бруска его размеры (диаметр основания и высота) являются случайными величинами. Таким образом, здесь мы имеем дело с совокупностью двух случайных величин. Можно привести примеры, в которых
рассматривается совокупность трех и более случайных величин.
Двумерная дискретная случайная величина (X; Y ) задается таблицей значений ее составляющих X и Y и вероятностей. Общий вид
такой таблицы:
X
Y
x1
x2
y1
p11
p21
y2
p12
p22
ym
p1m
p2m
xn
pn1
pn2
pnm
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Здесь, например, p12 есть вероятность того, что двумерная величина
примет значение (x1 ; y2 ):
Указанной таблицей задан закон распределения дискретной двумерной случайной величины.
Непрерывная двумерная случайная величина может аналогично
непрерывной одномерной величине определяться диеренциальной
ункцией распределения f (x; y ) (плотностью вероятности двумерной
случайной величины).
Аналогично одномерному случаю вводятся понятия математического ожидания M (X; Y ); дисперсии D(X; Y ) и среднего квадратического отклонения (X; Y ):
19 И. И. Баврин
290
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
Упражнения
1. Пусть случайная величина X число очков, выпавших при одном
подбрасывании игральной кости. Найти закон распределения случайной
3
величины X: 2
6
4
X
1
2
1
6
p
3
1
6
4
1
6
5
1
6
6
1
6
7
5
1
6
2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. азыгрывается 1 выигрыш в 5000 р. и 10 выигрышей по 100 р. Найти закон распределения
случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.
3
2
X
p
4
3.
0
0;89
Закон распределения случайной величины
X
p
1
0;3
Найти математическое ожидание
2
0;2
100
0;1
5000
0;01
5
X задан таблицей:
3
0;5
X.
Найти математическое ожидание выигрыша
[2,2.?
X
в упражнении 2.
[60 р.?
5. Найти математическое ожидание случайной величины X; зная закон
ее распределения:
4.
X
p
6.
2
0;3
3
0;1
5
0;6
[3,9.?
Производятся 2 выстрела с вероятностями попадания в цель, рав-
ными p1 = 0;4; p2 = 0;3:
Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
[0,7 попаданий.?
7. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.
[7.?
8. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.
[12,25.?
9. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
X
p
2
0;1
4
0;3
5
0;6
и
Y
p
Найти математическое ожидание случайной величины
7
0;8
XY:
9
0;2
[32,56.?
291
Упражнения
10. Найти дисперсию случайной величины
щим законом распределения:
X
p
1
0;3
2
0;5
X; которая задана следую5
0;2
[2,01.?
Известны дисперсии двух независимых случайных величин X; Y :
D(X ) = 4; D(Y ) = 3: Найти дисперсию суммы этих величин.
[7.?
12. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин: a) X 1; б) 2Х; в) 3X + 6:
[а) 5; б) 20; в) 45.?
11.
Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин.
13.
X
p
2
0;1
1
0;2
0
0;3
1
0;3
2
0;1
[M (X ) = 0;1 и D(X ) = 1;29:?
14.
X
p
1
0;1
3
0;1
4
0;3
6
0;4
7
0;1
[M (X ) = 4;7 и D(X ) = 3;01:?
15.
X
p
5
0;2
7
0;5
10
0;2
15
0;1
[M (X ) = 8 и D(X ) = 8:?
К случайной величине прибавили постоянную a: Как при этом изменятся ее а) математическое ожидание; б) дисперсия?
[а) прибавится a; б) не изменится.?
16.
17. Случайную величину умножили на a: Как при этом изменятся ее
а) математическое ожидание; б) дисперсия?
[а) умножится на a; б) умножится на a2 :?
18. Случайная величина X принимает только 2 значения: 1 и
1;
каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию D(X ) и среднее квадратическое отклонение (X ):
[D(X ) = 1; (X ) = 1:?
19. Дисперсия случайной величины
ратическое отклонение (X ):
20.
Пусть закон распределения случайной величины
X
p
19*
D(X ) = 6;25: Найти среднее квад-
4
1
4
10
1
2
20
1
4
X
[2,5.?
задан таблицей:
292
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
M (X ); дисперсию D(X ) и среднее
[M (X ) = 11; D(X ) = 33; (X ) 5;75:?
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Определить математическое ожидание
квадратическое отклонение (X ):
21.
X
p
3
0;2
5
0;8
Найти начальные моменты первого и второго порядков.
[1 = 4;6; 2 = 21;8:?
22. Дискретная случайная величина X задана законом распределения,
приведенном в предыдущем примере. Найти центральный момент второго
порядка.
[2 = 0;64:?
23.
Случайная величина X задана ункцией распределения
8
0 при x 6 1;
>
<x 1
F (x) = 3 + 3 при 1 < x 6 2;
>
:
0 при x > 2:
Найти вероятность того, что в результате испытания
ние, заключенное в интервале (0; 1):
24.
X
Найти вероятность попадания случайной величины
X
( 1 < x < +1):
Плотность вероятности случайной величины
f (x) =
1
(1+ x2 )
Найти вероятность того, что величина
X
1
3:
примет значе-
[0;5:?
Случайная величина X задана плотностью вероятности
8
0 при x < 0;
>
<3
f (x) = 32 (4x x2 ) при 0 6 x 6 4;
>
:
0 при x > 4:
[ 2; 3?:
26.
примет значеh i
Случайная величина X задана ункцией распределения:
8
0 при x 6 0;
>
<x
F (x) = 2 1 при 2 < x 6 4;
>
:
1 при x > 4:
Найти вероятность того, что в результате испытания
ние, заключенное в интервале (2; 3):
25.
X
X
на отрезок
i
h
27
32 :
задана ормулой
попадает на интервал
( 1; 1):
[0,5.?
293
Упражнения
27.
Случайная величина задана плотностью вероятности
8
0 при x < ;
>
>
2
<
f (x) = a os x
>
>
:0
Найти коэициент
28.
при
a:
2
x> :
при
2
6 x 6 2 ;
[a = 0;5:?
Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины
8
0 при x 6 0;
>
<
f (x) = os x при 0 < x 6 2 ;
>
: 0 при x > :
X:
2
Найти интегральную ункцию распределения F (x):
8
2
0 при x 6 0;
>
<
6
4F (x) = sin x при 0 < x 6
>
: 1 при x > :
2
29.
3
; 7
2
Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины
8
0 при x 6 0;
>
<
f (x) = sin x при 0 < x 6 2 ;
>
: 0 при x > :
5
X:
2
Найти интегральную ункцию распределения F (x):
8
2
0 при x 6 0;
>
<
6
4F (x) = 1 os x при 0 < x 6
>
: 1 при x > :
30.
Функция
f (x) =
2A
ex + e
2
x
(
3
; 7
2
5
1 < x < +1)
является плотностью вероятности случайной величины X:
Найти коэициент A и ункцию распределения F (x):
h
i
A = 1 ; F (x) = 2 artg ex :
31. Найти математическое ожидание случайной величины X; заданной плотностью вероятности: 8
0 при x 6 0;
>
<
f (x) = 14 при 0 < x 6 4;
>
:
0 при x > 4:
[M (X ) = 2:?
32. Случайная величина X задана плотностью вероятности:
(
0 при x 6 0;
f (x) = 1 при 0 < x 6 1;
0 при x > 1:
294
л. IX. Дискретные и непрерывные случайные величины
Найти математическое ожидание и дисперсиюhслучайной величины
X:
1 :i
M (X ) = 21 ; D(X ) = 12
33. В хлопке 75 % длинных волокон. Какова вероятность того, что
h
среди взятых наудачу 3 волокон окажутся 2 длинных волокна?
27 i
64 :
34.
При некоторых условиях стрельбы вероятность попадания в цель
1
равна : Производится 6 выстрелов. Какова вероятность в точности двух
h
3
80 :i
попаданий?
243
35. Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность того, что два
h
80 i
раза появится число очков, кратное трем.
243 :
36. Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что герб
h
13 i
появится не менее двух раз?
16 :
37. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 80 %. Найти
вероятность того, что из 3 посеянных семян взойдут а) два; б) не менее
двух.
[а) 0,384; б) 0,896.?
38. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два
мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
[0,31.?
39. По мишени производится 3 выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. ассматривается случайная величина X число попаданий в мишень.
Найти ее закон распределения.
3
2
4
X
p
0
0;008
1
0;096
2
0;384
3
0;512
5
40. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 4 новорожденных 2 мальчика.
[0,375.?
41. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p = 0;6:
Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
[6 попаданий.?
42. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на
которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.
[6 билетов.?
43. Найти дисперсию случайной величины X числа появления
события A в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события A равна 0,7.
[21.?
44. Найти а) математическое ожидание и б) дисперсию числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может
оказаться бракованным с вероятностью 0,02.
[а) 100 изделий; б) 98.?
295
Упражнения
45. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появлений события A равна 0,6. Найти дисперсию случайной
величины X числа появления события A в этих испытаниях.
[2,4.?
тия
46.
A
Найти дисперсию случайной величины X числа появлений собыв двух независимых испытаниях, если M (X ) = 0;8:
[0,48.?
47. ост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: a = 164 см, = 5;5 см.
h
i
Найти плотность вероятности:
2
1
f (x) =
5;5 p2
e (x 164) =60;5:
48. Случайная величина X распределена по нормальному закону.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найти вероятность того, что X примет
значение, принадлежащее интервалу ( 2; 3):
[0,77453.?
49. Случайная величина X распределена по нормальному закону.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найти вероятность того, что X примет
значение, принадлежащее интервалу (4; 8):
[0,6826.?
50. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с
параметрами: a = 375 г, = 25 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.
[0,9759.?
51. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001,
а математическое ожидание 2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.
[2,47; 2,53.?
52. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического
ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.
[0,5468.?
53. Случайная величина X распределена по нормальному закону.
Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 2. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического
ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,1.
[0,03988.?
54. Случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 30 и дисперсией 100. Найти
вероятность того, что значение случайной величины заключено в интервале (10; 50):
[0,954.?
55. Найти дисперсию случайной величины
пределения:
X
p
2
0;1
3
0;6
X;
5
0;3
заданной таблицей рас-
[1,05.?
296
л. X. Элементы математической статистики
л а в а X
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
џ 52. енеральная совокупность и выборка
Мы приступим к изучению элементов математической статистики,
в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки.
1. енеральная совокупность и выборка. Пусть требуется
изучить множество однородных объектов (это множество называется
статистической совокупностью) относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.
Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком
может служить стандартность детали, а количественным контролируемый размер детали.
Лучше всего произвести сплошное обследование, т. е. изучить
каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам
это сделать невозможно. Препятствовать сплошному обследованию
может большое число объектов, недоступность их. Если, например,
нужно знать среднюю глубину воронки при взрыве снаряда из опытной партии, то, производя сплошное обследование, мы уничтожим
всю партию.
Если сплошное обследование невозможно, то из всей совокупности
выбирают для изучения часть объектов.
Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью . Множество объектов,
случайно отобранных из генеральной совокупности, называется выборкой .
Число объектов генеральной совокупности и выборки называется
соответственно объемом генеральной совокупности и объемом выборки.
П р и м е р. Плоды одного дерева (200 штук) обследуют на наличие
специического для данного сорта вкуса. Для этого отбирают 10 шт. Здесь
200 объем генеральной совокупности, а 10 объем выборки.
Если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют
и снова возвращают в генеральную совокупность, то выборка называется повторной . Если объекты выборки уже не возвращаются в
генеральную совокупность, то выборка называется бесповоротной .
На практике чаще встречается бесповоротная выборка. Если объем
выборки составляет небольшую долю объема генеральной совокупности, то разница между повторной и бесповоротной выборками незначительна.
Свойства объектов выборки должны правильно отражать свойства объектов генеральной совокупности, или, как говорят, выборка
должна быть репрезентативной (представительной). Считается, что
џ 52. енеральная совокупность и выборка
297
выборка репрезентативна, если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку, т. е. выбор
производится случайно. Например, для того чтобы оценить будущий
урожай, можно сделать выборку из генеральной совокупности еще не
созревших плодов и исследовать их характеристики (массу, качество
и пр.). Если вся выборка будет сделана с одного дерева, то она не
будет репрезентативной. епрезентативная выборка должна состоять
из случайно выбранных плодов со случайно выбранных деревьев.
2. Статистическое распределение выборки. Полигон.
истограмма. Пусть из генеральной совокупности извлечена вы-
борка, причем x1 наблюдалось n1 раз, x2 n2 раз, xk nk раз и
n1 + n2 + . . . + nk = n объем выборки. Наблюдаемые значения
x1 ; x2; . . .; xk называются вариантами , а последовательность вари-
ант, записанная в возрастающем порядке, вариационным рядом .
Числа наблюдений n1 ; n2 ; . . .; nk называются частотами , а их отn
n
n
ношения к объему выборки 1 = p1 ; 2 = p2 ; . . .; k = p
k относиn
n
n
тельными частотами . Отметим, что сумма относительных частот
равна единице: p
1 + p2 + . . . + pk = 1:
Статистическим распределением выборки называют перечень
вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (непрерывное
распределение). В качестве частоты, соответствующей интервалу,
принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал. Для
граического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы .
Для построения полигона на оси Ox откладывают значения вариант xi ; на оси Oy значения частот ni (относительных частот p
i ):
П р и м е р 1. На рисунке 123 изображен полигон следующего распределения:
Варианта
xi
Относительная
частота p
i
1
2
3
5
0,4
0,2
0,3
0,1
Полигоном обычно пользуются в случае небольшого количества
вариант. В случае большого количества вариант и в случае непрерывного распределения признака чаще строят гистограммы. Для этого
интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят
для каждого частичного интервала ni сумму частот вариант, попавших в i интервал. Затем на этих интервалах,
как на основаниях, строят
n n
прямоугольники с высотами i или i ; где n объем выборки :
Площадь
i
h
nh
частичного прямоугольника равна
hni = n или hni =
i
h
nh
298
л. X. Элементы математической статистики
y
y
0;4
0;3
0;2
0;1
7
6
5
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
x
O
5 10 15 20 25 30 35 40
ис. 123
x
ис. 124
= nni = pi : Следовательно, площадь гистограммы равна сумме всех
частот (или относительных частот), т. е. объему выборки (или единице).
П р и м е р 2. На рисунке 124 изображена гистограмма непрерывного
распределения объема n = 100; приведенного в следующей таблице:
Частичный интервал
510
1015
1520
2025
2530
3035
3540
h
Сумма частот вариант
частичного интервала ni
ni
h
4
6
16
36
24
10
4
0,8
1,2
3,2
7,2
4,8
2,0
0,8
џ 53. Оценки параметров генеральной совокупности
по ее выборке
1. Выборка как набор случайных величин. Пусть имеется
некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X: При случайном извлечении
объекта из генеральной совокупности становится известным значение x признака X этого объекта. Таким образом, мы можем рассматривать извлечение объекта из генеральной совокупности как испытание, X как случайную величину, а x как одно из возможных
значений X:
Допустим, что из теоретических соображений удалось установить,
к какому типу распределений относится признак X: Естественно,
299
џ 53. Оценки параметров генеральной совокупности
возникает задача оценки (приближенного нахождения) параметров,
которыми определяется это распределение. Например, если известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности
нормально, то необходимо оценить, т. е. приближенно найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как
эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.
Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные
выборки генеральной совокупности, например значения количественного признака x1 ; x2 ; . . .; xn ; полученные в результате n наблюдений
(здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти
данные и выражают оцениваемый параметр.
Опытные значения признака X можно рассматривать и как значения разных случайных величин X1 ; X2 ; . . .; Xn с тем же распределением, что и X; и, следовательно, с теми же числовыми характеристиками, которые имеет X: Значит,
M (Xi ) = M (X ) и D(Xi ) = D(X ):
Величины X1 ; X2 ; . . .; Xn можно считать независимыми в силу
независимости наблюдений. Значения x1 ; x2 ; . . .; xn в этом случае
называются реализациями случайных величин X1 ; X2 ; . . .; Xn : Отсю-
да и из предыдущего следует, что найти оценку неизвестного параметра это значит найти ункцию от наблюдаемых случайных
величин X1 ; X2 ; . . .; Xn ; которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.
2. енеральная и выборочная средние. Методы их расчета. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объе-
N относительно количественного признака X:
О п р е д е л е н и е 1. енеральной средней x
г (или a) называется
среднее ариметическое значений признака генеральной совокупности.
Если все значения x1 ; x2 ; . . .; xN признака генеральной совокупности объема N различны, то
ма
xг = N1 (x1 + x2 + . . . + xN ):
Если же значения признака x1 ; x2 ; . . .; xk имеют соответственно
частоты N1 ; N2 ; . . .; Nk ; причем N1 + N2 + . . . + Nk = N; то
xг = N1 (x1 N1 + x2 N2 + . . . + xk Nk ):
или
k
X
xг = N1
x i Ni
(1)
i=1
Как уже отмечалось (п. 1), извлечение объекта из генеральной
совокупности есть наблюдение случайной величины X:
Пусть все значения x1 ; x2 ; . . .; xN различны. Так как каждый
1
объект может быть извлечен с одной и той же вероятностью ; то
N
300
л. X. Элементы математической статистики
т. е.
M (X ) = x1 N1 + x2 N1 + . . . + xN N1 = xг ;
M (X ) = xг :
(2)
Такой же итог следует, если значения x1 ; x2 ; . . .; xk имеют соответственно частоты N1 ; N2 ; . . .; Nk :
В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают x
г = M (X ):
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X произведена выборка объема n:
О п р е д е л е н и е 2. Выборочной средней x
B называется среднее
ариметическое значений признака выборочной совокупности.
Если все значения x1 ; x2 ; . . .; xn признака выборки объема n различны, то
1
x B = n (x1 + x2 + . . . + xn ):
(3)
Если же значения признака x1 ; x2 ; . . .; xk имеют соответственно
частоты n1 ; n2 ; . . .; nk ; причем n1 + n2 + . . . + nk = n; то
или
x B = n1 (x1n1 + x2 n2 + . . . + xk nk )
k
X
xB = n1 xini :
i=1
(4)
П р и м е р 1. Выборочным путем были получены следующие данные
о массе 20 морских свинок при рождении (в г): 30, 30, 25, 32, 30, 25, 33, 32,
29, 28, 27, 36, 31, 34, 30, 23, 28, 31, 36, 30. Найти выборочную среднюю x
B :
Согласно ормуле (4) имеем:
2+27+36 2+31 2+34+23 = 30:
xB = 30 5+25 2+32 2+33+29+28
20
Итак, x
B = 30 г.
Здесь для облегчения вычислений можно использовать калькулятор. То
же следует иметь в виду и в ряде других примеров этой главы.
Ниже, не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения x1 ; x2 ; . . .; xn признака различными.
азумеется, выборочная средняя для различных выборок того
же объема n из той же генеральной совокупности будет получаться,
вообще говоря, различной. И это не удивительно ведь извлечение
i-го по счету объекта есть наблюдение случайной величины Xi ; а их
среднее ариметическое
X = n1 (X1 + X2 + . . . + Xn )
есть тоже случайная величина.
Таким образом, всевозможные могущие получиться выборочные
средние есть возможные значения случайной величины X; которая
называется выборочной средней случайной величиной .
301
џ 53. Оценки параметров генеральной совокупности
Найдем M (X); пользуясь тем, что M (Xi ) = M (X ) (см. п. 1).
С учетом свойств МО (глава IX) получаем:
h
i
M (X) = M n1 (X1 + X2 + . . . + Xn) = n1 [M (X1)+ M (X2)+ . . . + M (Xn)? =
= 1 [M (X ) + M (X ) + . . . + M (X )? = 1 na = a:
n
n
Итак, M (X ) (МО выборочной средней) совпадает с a (генеральной средней).
Теперь найдем D(X ): Так как D(Xi ) = D(X ) (п. 1) и X1 ; X2 ; . . .
. . .; Xn независимы, то согласно свойствам дисперсии (гл. IX) получаем:
i
h
D(X) = D n1 (X1 + X2 + . . . + Xn ) = n1 [D(X1 )+ D(X2 )+ . . . + D(Xn )? =
= 1 [D(X ) + D(X ) + . . . + D(X )? = 1 nD(X ) = D(X ) ;
2
т. е.
n2
D(X) = D(nX ) :
n2
n
(5)
Наконец, отметим, что если варианта xi большие числа, то для
облегчения вычисления выборочной средней применяют следующий
прием. Пусть C константа.
Так как
n
n
X
X
i=1
xi =
i=1
(xi C ) + nC;
то ормула (3) преобразуется к виду:
n
X
(xi C ):
x B = C + n1
i=1
(6)
Константу C (так называемый ложный нуль ) берут такой, чтобы,
во-первых, разности xi C были небольшими и, во-вторых, число C
было по возможности ѕкруглымї.
П р и м е р 2. Имеется выборка:
x1 = 71;88;
x2 = 71;93;
x3 = 72;05;
x4 = 72;07;
x5 = 71;90;
x6 = 72;02;
x7 = 71;93;
x8 = 71;77;
x9 = 72;71;
x10 = 71;96:
Берем C = 72;00 и вычисляем разности: i = xi C
1 = 0;12;
2 = 0;07;
3 = 0;05;
4 = 0;07;
5 = 0;10;
6 = 0;02;
7 = 0;07;
8 = 0;23;
9 = 0;11;
10 = 0;04:
1
Их сумма: 1 + 2 + . . . + 10 = 0;38; их среднее ариметическое:
10
(1 + 2 + . . . + 10) = 0;038 0;04: Выборочная средняя:
xB 72;00 0;04 = 71;96:
302
л. X. Элементы математической статистики
3. енеральная и выборочная дисперсии. Для того чтобы
охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X
генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят
следующую характеристику генеральную дисперсию.
О п р е д е л е н и е 1. енеральной дисперсией Dг называется среднее ариметическое квадратов отклонений значений признака X
генеральной совокупности от генеральной средней x
г:
Если все значения x1 ; x2 ; . . .; xN признака генеральной совокупности объема N различны, то
N
X
Dг = N1 (xi xг )2 :
i=1
Если же значения признака x1 ; x2 ; . . .; xk имеют соответственно
частоты N1 ; N2 ; . . .; Nk ; причем N1 + N2 + . . . + Nk = N; то
k
X
Dг = N1
(xi xг )2 Ni :
(7)
i=1
П р и м е р 1. енеральная совокупность задана таблицей распределения:
xi
Ni
2
4
5
6
8
9
10
3
Найти генеральную дисперсию. Согласно ормулам (1) и (7) имеем:
9+5 10+6 3 120
xг = 2 8+4
8+9+10+3 = 30 = 4;
2
2
4)2 10+(6 4)2 3 = 54 = 1;8:
Dг = (2 4) 8+(4 4) 9+(5
30
30
енеральным средним
p квадратическим отклонением (стандартом ) называется г = Dг :
Пусть все значения x1 ; x2 ; . . .; xN различны.
Найдем дисперсию признака X; рассматриваемого как случайную
величину:
2
D(X ) = M [(X M (X )) ?:
Так как M (X ) = x
г и P fX = xig = N1 (см. п. 2), то
D(X ) = (x1 xг )2 N1 + (x2 xг )2 N1 + . . . + (xN xг )2 N1 = Dг ;
т. е.
D(X ) = Dг :
Таким образом, дисперсия D(X ) равна Dг :
Такой же итог следует, если значения x1 ; x2 ; . . .; xk
ветственно частоты N1 ; N2 ; . . .; Nk :
имеют соот-
303
џ 53. Оценки параметров генеральной совокупности
В случае непрерывного распределения признака
полагают:
Dг = D(X ):
X
по определению
(8)
С учетом ормулы (8) ормула (5) (п. 2) перепишется в виде:
откуда
q
D(X) = Dnг ;
p
D(X) = pDnг
или
(X) = pгn : Величина (X)
называется
средней квадратической ошибкой.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения x
B ; вводят нижеследующую характеристику.
О п р е д е л е н и е 2. Выборочной дисперсией DB называется среднее ариметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений
признака X от выборочной средней x
B :
Если все значения x1 ; x2 ; . . .; xn признака выборки объема n различны, то
n
X
(xi xB )2 :
DB = n1
(9)
i=1
Если же значения признака x1 ; x2 ; . . .; xk имеют соответственно
частоты n1 ; n2 ; . . .; nk ; причем n1 + n2 + . . . + nk = n; то
k
X
DB = n1 (xi xB )2 ni:
(10)
i=1
П р и м е р 2. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:
xi
ni
1
2
3
4
20
15
10
5
Найти выборочную дисперсию. Согласно ормулам (4) и (10) имеем:
15+3 10+4 5 100
xB = 1 20+2
20+15+10+5 = 50 = 2;
2
2
2)2 10+(4 2)2 5 = 50 = 1:
DB = (1 2) 20+(2 2) 15+(3
50
50
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом ) называется квадратный корень из выборочной дисперсии:
p
B = DB :
p
p
В условиях примера 2 получаем, что B = DB = 1 = 1:
Ниже, не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения x1 ; x2 ; . . .; xn признака различными.
304
л. X. Элементы математической статистики
Выборочную дисперсию, рассматриваемую нами как случайную
величину, будем обозначать Se2 :
n
X
(Xi X)2:
Se2 = n1
i=1
Т е о р е м а. МО выборочной дисперсии равно
M (Se2 ) = n n 1 Dг :
n 1 D ; т. е.
n г
Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом свойств МО (глава IX) получаем:
n
n
1 X (X X)2 = 1 X M [(Xi X)2 ?:
n i=1 i
n i=1
Вычислим одно слагаемое M [(Xi X)2 ?: Имеем:
M [(Xi X)2 ? = M (Xi2 2Xi X + X2 ) = M (Xi2 ) 2M (Xi X) + M (X2 ):
M (Se2) = M
Вычислим по отдельности эти МО.
Согласно свойству 1 дисперсии (глава IX) и ормулам (2), (8)
имеем:
2
2
2
2
M (Xi ) = M (X ) = D(X ) + M (X ) = Dг + a :
Далее, с учетом свойства 4 МО (гл. IX),
h
i
M (Xi X) = M Xi n1 (X1 + X2 + . . . + Xn ) =
= n1 [M (Xi X1 ) + M (Xi X2 ) + . . . + M (Xi Xn )?:
То слагаемое этой суммы, у которого второй индекс равен i; т. е.
M (Xi Xi ); равно M (Xi2) = Dг + a2 : У всех остальных слагаемых
M (Xi Xj ) индексы разные. Поэтому в силу независимости Xi и Xj
(см. главу IX):
M (Xi Xj ) = M (Xi ) M (Xj ) = M (X ) M (X ) = M 2 (X ) = a2 :
Так как имеется n 1 таких слагаемых, то
M (Xi X) = n1 [Dг + a2 + (n 1) a2 ? = a2 + Dnг :
В силу свойства 1 дисперсии (глава IX) получаем:
M (X2 ) = D(X) + M 2 (X):
Нами уже найдены (п. 2 и п. 3):
M (X) = M (X ) = a;
Поэтому
Таким образом,
D(X) = n1 Dг :
M (X2 ) = Dnг + a2 :
џ 53. Оценки параметров генеральной совокупности
305
M [(Xi X)2? = Dг + a2 2 a2 + Dnг + Dnг + a2 = n n 1 Dг
и не зависит от индекса суммирования i: Поэтому
M (Se2 ) = n1 n n n 1 Dг = n n 1 Dг :
Теорема доказана.
В заключение настоящего пункта отметим, что если варианты xi большие числа, то для облегчения вычисления выборочной
дисперсии DB ормулу (9) преобразуют к следующему виду:
где
n
X
DB = n1 (xi C )2 (xB C )2 ;
C ложный нуль.
i=1
4. Оценки параметров распределения. Уже говорилось
(п. 1) о том, что одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины X по данным выборки.
При этом в теоретических рассуждениях считают, что генеральная
совокупность бесконечна. Это делается для того, чтобы можно было
переходить к пределу при n ! 1; где n объем выборки. Для
оценки параметров распределения X из данных выборки составляют
выражения, которые должны служить оценками неизвестных параметров. Например, X (п. 2) является оценкой генеральной средней,
а Se2 (п. 3) оценкой генеральной дисперсии Dг : Обозначим чеe n оценку этого параметрез оцениваемый параметр, через e
ра (n является выражением, составленным из X1 ; X2 ; . . .; Xn (см.
e n давала хорошее приближение,
п. 1)). Для того чтобы оценка она должна удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти
требования.
e n ; МО которой равно оцениваеНесмещенной называют оценку e n ) = ; в противном случае оценка
мому параметру ; т. е. M (
называется смещенной .
П р и м е р 1. Оценка X является несмещенной оценкой генеральной
средней a; так как M (X) = a (см. п. 2).
e2 является смещенной оценкой генеральной
П р и м е р 2. Оценка S
дисперсии Dг ; так как согласно установленной выше теореме (п. 3)
M (Se2 ) = n n 1 Dг 6= Dг :
e2 рассматривают еще
П р и м е р 3. Наряду с выборочной дисперсией S
n
2
Se2; которая является
так называемую исправленную дисперсию S =
n 1
также оценкой генеральной дисперсии. Для S 2 с учетом установленной
выше теоремы ( п. 3) имеем:
M (S 2 ) = M n Se2 = n M (Se2 ) = n n 1 Dг = Dг :
n 1
20 И. И. Баврин
n 1
n 1
n
306
л. X. Элементы математической статистики
Таким образом, оценка S 2 в отличие от оценки Se2 является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Явное выражение для S 2
имеет вид:
т. е.
n
n
X
X
(Xi X)2 = n 1 1
(Xi X)2 ;
S 2 = n n 1 Se2 = n n 1 n1
i=1
S2 = n 1 1
n
X
i=1
i=1
(Xi X)2 :
(11)
Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра
брать несмещенные оценки, для того чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.
e n параметра ; что для
Состоятельной называют такую оценку e n j < "g
любого наперед заданного числа " > 0 вероятность P fj
при n ! 1 стремится к 1 *). Это значит, что при достаточно больших n можно с вероятностью, близкой к 1, т. е. почти наверное утверждать, что оценка n отличается от оцениваемого параметра меньше чем на ":
Очевидно, такому требованию должна удовлетворять всякая оценка, пригодная для практического использования.
Заметим, что несмещенная оценка n будет состоятельной, если
e n ) ! 0:
при n ! 1 ее дисперсия стремится к нулю: D(
П р и м е р 4. Как установлено выше (см. п. 3),
следует, что несмещенная оценка
X
D(X) = Dnг :
Отсюда
является и состоятельной, так как
lim D(X) = lim Dг = Dг lim 1 = 0:
n!1 n
n!1 n
n!1
Можно показать, что несмещенная оценка S 2 является также состоятельной. Поэтому в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправe2 отличаются множителем
ленную дисперсию. Заметим, что оценки S 2 и S
n ; который стремится к 1 при n ! 1: На практике Se2 и S 2 не различаn 1
ют при n > 30:
Для оценки генерального среднего квадратического отклонения
используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:
S
v
u
u
=t
1
n
X
n 1 i=1
(Xi X)2:
(12)
Левые части ормул (11), (12), в которых случайные величины
X1 ; X2 ; . . .; Xn заменены их реализациями x1 ; x2 ; . . .; xn и X выборочной средней x
B ; будем обозначать соответственно через s2 и s:
*)
e n сходится к
В таком случае говорят, что по вероятности.
џ 53. Оценки параметров генеральной совокупности
307
Отметим, что если варианты xi большие числа, то для облегчения
вычисления s2 ормулу для s2 аналогично ормуле (9) преобразуют к
виду:
n
X
s2 = n n 1 n1
i=1
(xi C )2 (xB C )2 ;
(13)
где C ложный нуль.
Оценки, обладающие свойствами несмещенности и состоятельности, при ограниченном числе опытов могут отличаться дисперсиями.
Ясно, что, чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность
грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной.
Оценка, обладающая таким свойством, называется эективной .
Из отмеченных требований, предъявляемых к оценке, наиболее
важными являются требования несмещенности и состоятельности.
П р и м е р 5. С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов. Их веса x1 ; x2 ; . . .; x10 (в граммах) записаны в первой колонке приведенной ниже таблицы. Обработаем статистические данные выборки. Для
вычисления x
B и s по ормулам (6) и (13) введем ложный нуль C = 250
и все необходимые при этом вычисления сведем в указанную таблицу:
i
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
225
274
305
253
220
245
211
234
230
231
Сумма
Следовательно,
1
xB = 250 + 10
v
u u
s = t 10
10
X
i=1
(xi 250) = 250 +
(xi C )2
xi C
25
24
55
3
30
5
39
16
20
19
625
576
3025
9
900
25
1521
256
400
261
72
7598
1
10 ( 72) = 250 7;2 243 (г);
10
1X
2
2
9 10 i=1 (xi 250) (250 7;2 250) =
r
Отсюда:
20*
ps
10
9 (г).
=
10 [759;8 ( 7;2)2 ? 28 (г).
9
308
л. X. Элементы математической статистики
Итак, оценка генеральной средней веса плода равна 243 г со средней
квадратической ошибкой 9 г.
Оценка генерального среднего квадратического отклонения веса плода
равна 28 г.
џ 54. Доверительные интервалы для параметров
нормального распределения
1. Надежность. Доверительные интервалы. Пусть e n его оценка, составленная из X1 ; X2 ; . . .
оцениваемый параметр, ; Xn :
...
e n является несмещенной и состояЕсли известно, что оценка e n и считают
тельной, то по данным выборки вычисляют значение его приближением истинного значения : При этом среднее квадратическое отклонение (если его вообще вычисляют) оценивает порядок
ошибки. Такие оценки называют точечными . Например, в предыдущем параграе речь шла о точечных оценках генеральной средней и
генеральной дисперсии. В общем случае, когда о распределении признака X ничего неизвестно, это уже немало.
Если же о распределении имеется какая-либо инормация, то
можно сделать больше.
В данном параграе речь будет идти об оценке параметров a и случайной величины, имеющей нормальное распределение. Это
очень важный случай. Например (см. џ 50, п. 4), результат измерения
имеет нормальное распределение. В этом случае становится возможным применять так называемое интервальное оценивание, к изложению которого мы и переходим.
Пусть Ж > 0 некоторое число. Если выполняется неравенство
j e n j < Ж; т. е. Ж < e n < Ж; что можно записать в виде: e n Ж <
< < e n + Ж; то говорят, что интервал (e n Ж; e n + Ж) покрывает
e n ; такую, чтобы
параметр : Однако невозможно указать оценку e n j < Ж g было достоверным, поэтому мы будем говособытие fj рить о вероятности этого события. Число Ж называется точностью
e n:
оценки О п р е д е л е н и е. Надежностью (доверительной вероятностью)
e n параметра для заданного Ж > 0 называется вероятность оценки e n Ж; e n + Ж ) покроет параметр ; т. е.
того, что интервал (
= P fe n Ж < < e n + Жg = P fje n j < Жg:
Заметим, что после того как по данным выборки вычислена оценe n ; событие fj
e n j < Ж g становится или достоверным, или нека e n Ж; e n + Ж ) или покрывает ; или
возможным, так как интервал (
нет. Но дело в том, что параметр нам неизвестен. Поэтому мы
309
џ 54. Доверительные интервалы
e n вероятность
называем надежностью уже вычисленной оценки e
e
того, что интервал (n Ж; n + Ж ); найденный для произвольной выборки, покроет : Если мы сделаем много выборок объема n и для
e n Ж; e n + Ж ); то доля тех выбокаждой из них построим интервал (
рок, чьи интервалы покроют ; равна :
Иными словами, есть мера нашего доверия вычисленной оценe n:
ке Ясно, что, чем меньше число Ж; тем меньше надежность :
О п р е д е л е н и е. Доверительным интервалом называется найe n Ж; e n + Ж ); который поденный по данным выборки интервал (
крывает параметр с заданной надежностью :
Надежность обычно принимают равной 0,95, или 0,99, или 0,999.
Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный доверительный интервал покрывает параметр : Но в этом можно быть
уверенным на 95 % при = 0;95; на 99 % при = 0;99 и т. д. Это
значит, что если сделать много выборок, то для 95 % из них (если,
например, = 0;95) вычисленные доверительные интервалы действительно покроют :
2. Доверительный интервал для МО при известном .
В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно.
Например, если измерения производятся одним и тем же прибором
при одних и тех же условиях, то для всех измерений одно и то же
и обычно бывает известно.
Итак, пусть случайная величина X распределена нормально с
параметрами a и ; причем известно. Построим доверительный
интервал, покрывающий неизвестный параметр a с заданной надежностью : Данные выборки есть реализация случайных величин
X1 ; X2 ; . . .; Xn ; имеющих нормальное распределение с параметрами a
и (џ 53, п. 1). Оказывается, что и выборочная средняя случайная
1
величина X = (X1 + X2 + . . . + Xn ) тоже имеет нормальное распреn
деление (это мы примем без доказательства). При этом (см. џ 53,
п. 2, 3):
M (X) = a;
(X) = pn :
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение P (jX aj < ) = ;
где заданная надежность. Пользуясь ормулой (7) (џ 50, п. 3),
получим:
p или
P (jX aj < Ж) = 2 Ж n
P (jX aj < Ж) = 2(t);
Найдя из равенства (1)
где
p
t = Ж n:
Ж = ptn ; можем написать:
(1)
310
л. X. Элементы математической статистики
P jX aj < ptn = 2(t):
Так как P задана и равна ; то окончательно имеем (для получения
рабочей ормулы выборочную среднюю заменяем на x
B ):
P x B ptn < a < x B + ptn = 2(t) = :
Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно
ут
t
t
верждать, что доверительный интервал x
B p ; xB + p покры-
n
n
t
вает неизвестный параметр a; точность оценки Ж = p : Здесь число t
n
(оно следует из
определяется из равенства (t) =
2(t) = ) по
2
таблице приложения 2.
Как уже упоминалось, надежность
или 0,95, или 0,99, или 0,999.
обычно принимают равной
П р и м е р. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально с известным = 0;40: Найти по данным выборки доверительный
интервал для a с надежностью = 0;99; если n = 20; x
B = 6;34:
(t) = = 0;99 = 0;495 находим по таблице приложения 2 t =
2
2
0;40 0;23: Концы доверительного интер= 2;58: Следовательно, Ж = 2;58 p
20
вала 6;34 0;23 = 6;11 и 6;34 + 0;23 = 6;57: Итак, доверительный интервал
(6;11; 6;57) покрывает a с надежностью 0,99.
Для
3. Доверительный интервал для МО при неизвестном .
Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с
неизвестными нам параметрами a и : Оказывается, что случайная
величина (ее возможные значения будем обозначать через t):
T = XS a ;
pn
где n объем выборки, X выборочная средняя, S исправленное
среднее квадратическое отклонение, имеет распределение, не зависящее от a и : Оно называется распределением Стьюдента *).
Плотность вероятности распределения Стьюдента дается ормулой
2 n=2
S (t; n) = Bn 1 + nt 1
;
где коэициент Bn зависит от объема выборки.
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
P (jT j < t ) = ;
где заданная надежность.
*)
Стьюдент псевдоним английского статистика оссета.
311
џ 54. Доверительные интервалы
Так как S (t; n) четная ункция от
лой (9) (џ 49), получим:
t;
то, пользуясь орму-
tZ
p
P jX Saj n < t = 2 S (t; n) dt = :
0
Отсюда:
P X tp nS < a < X + tp nS = :
Следовательно, приходим к утверждению:
снадежностью можно
утверждать, что доверительный интер
вал x
B tp s ; x B + tp s покрывает известный параметр a; точность
оценки
n
t s :
Ж=p
n
n
Здесь случайные величины
X
и
S
заменены неслу-
чайными величинами x
B и s; найденными по выборке.
В приложении 3 приведена таблица значений t = t(; n) для
различных значений n и обычно задаваемых значений надежности.
Заметим, что при n > 30 распределение Стьюдента практически
не отличается от нормированного нормального распределения (џ 50,
п. 3). Это связано с тем, что
t2 n=2 = e t2 =2:
1
+
lim
n!1
n 1
П р и м е р. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найти доверительный интервал для x
г с надежностью = 0;99;
если n = 20; x
B = 6;34; s = 0;40: Для надежности = 0;99 и n = 20 находим
0;40
по таблице приложения 3 t = 2;861: Следовательно, Ж = 2;861 p 0;26:
20
Концы доверительного интервала 6;34 0;26 = 6;08 и 6;34 + 0;26 = 6;60:
Итак, доверительный интервал (6;08; 6;60) покрывает x
г с надежностью 0;99:
4. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения. Для нахождения доверительного интервала для
среднего квадратического отклонения будем использовать следующее предложение, устанавливаемое аналогично двум предыдущим
(п. 2 и 3).
С надежностью можно утверждать, что доверительный интервал (s sq ; s + sq ) покрывает неизвестный параметр ; точность
оценки Ж = sq:
В приложении 4 приведена таблица значений q = q (; n) для различных значений n и обычно задаваемых значений надежности :
П р и м е р 1. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найти доверительный интервал для г с надежностью = 0;95;
если n = 20; s = 0;40:
Для надежности = 0;95 и n = 20 находим в таблице приложения 4
q = 0;37: Далее sq = 0;40 0;37 0;15: Концы доверительного интервала
0;40 0;15 = 0;25 и 0;40 + 0;15 = 0;55: Итак, доверительный интервал
(0;25; 0;55) покрывает г с надежностью 0,95.
312
л. X. Элементы математической статистики
П р и м е ч а н и е. Выше предполагалось, что
учитывая, что > 0; получаем:
q < 1:
Если
q > 1;
то,
0 < < s + sq:
Значения q и в этом случае определяются по таблице приложения 4.
П р и м е р 2. Признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 10 найдено ѕисправленноеї среднее квадратическое отклонение s = 0;16: Найти доверительный интервал для г с
надежностью 0,999.
Для надежности = 0;999 и n = 10 по таблице приложения 4 находим
q = 1;80:
Следовательно, искомый доверительный интервал таков:
или
0 < < 0;16 + 0;16 1;80
0 < < 0;448:
5. Оценка истинного значения измеряемой величины.
Пусть производится n независимых равноточных измерений *) некоторой изической величины, истинное значение a которой неизвестно.
Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины X1 ; X2 ; . . .; Xn : Эти величины независимы (измерения
независимы), имеют одно и то же математическое ожидание a (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии 2
(измерения равноточны) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом). Таким образом, все предположения,
которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в
пунктах 2 и 3 настоящего параграа, выполняются, следовательно,
мы вправе использовать полученные в них предложения. Так как
обычно неизвестно, следует пользоваться предложением, найденным в пункте 3 данного параграа.
П р и м е р. По данным 9 независимых равноточных измерений изической величины найдены среднее ариметическое результатов отдельных
измерений x
B = 42;319 и ѕисправленноеї среднее квадратическое отклонение s = 5;0: Требуется оценить истинное значение a измеряемой величины
с надежностью = 0;99:
Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому
ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания
(при неизвестном ) при помощи доверительного интервала
t s < a < x + tp s ;
xB p
B
n
n
покрывающего a с заданной надежностью = 0;99:
Пользуясь таблицей приложения 3 по = 0;99 и
= 3;36:
n = 9;
находим t
=
*) Т. е. измерений, проводимых в одинаковых условиях. Эти условия
считают выполненными, если измерения проводятся одним прибором.
313
џ 55. Проверка статистических гипотез
Найдем точность оценки:
Ж = tp s = 3;36 p5 = 3;36 35 = 5;60:
n
Концы доверительного интервала
9
42;319 5;60 = 36;719
42;319 + 5;60 = 47;919:
Итак, с надежностью = 0;99 истинное значение измеряемой
ны a заключено в доверительном интервале 36;719 < a < 47;919:
и
величи-
6. Оценка точности измерений. В теории ошибок принято
точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью
среднего квадратического отклонения случайных ошибок измерений. Для оценки используют ѕисправленноеї среднее квадратическое отклонение s: Поскольку обычно результаты измерений независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное
значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае
равноточных измерений), то утверждение, приведенное в пункте 4,
применимо для оценки точности измерений.
П р и м е р. По 16 независимым равноточным измерениям найдено
ѕисправленноеї среднее квадратическое отклонение s = 0;4: Найти точность измерений с надежностью = 0;99:
Как отмечено выше, точность измерений характеризуется средним
квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому
задача сводится к отысканию доверительного интервала (s sq ; s + sq );
покрывающего с заданной надежностью = 0;99 (п. 4). По таблице
приложения 4 по = 0;99 и n = 16 найдем q = 0;70: Следовательно, искомый доверительный интервал таков:
0;4(1 0;70) < < 0;4(1 + 0;70)
0;12 < < 0;68:
или
џ 55. Проверка статистических гипотез
Пусть по выборке объема
n получено эмпирическое распределение:
Варианты
Эмпирические (наблюдаемые) частоты
x1
n1
x2
n2
...
...
xm
nm
По данным наблюдения выдвигают гипотезу о законе распределения генеральной совокупности, например, предполагают, что генеральная совокупность распределена равномерно или нормально. Такие
гипотезы называются статистическими . Затем для тех же объектов,
которые попали в выборку, вычисляют частоты, уже исходя из теоретической гипотезы. В результате получаются частоты (их называют
выравнивающими частотами), которые, вообще говоря, отличаются
314
л. X. Элементы математической статистики
от наблюдавшихся. Как определить, правильно или нет выдвинута
гипотеза, т. е. случайны ли расхождения наблюдавшихся и выравнивающих частот или эти расхождения являются следствием неправильности гипотезы? Для решения этого вопроса применяют критерии
согласия эмпирических наблюдений выдвинутой гипотезе. Имеется
несколько критериев согласия: 2 (ѕхи квадратї) К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Мы познакомимся с критерием согласия 2
(ѕхи квадратї) Пирсона.
Предположим, что на основе приведенного выше распределения
выдвинута гипотеза H : генеральная совокупность имеет нормальное
распределение. Для вычисления выравнивающих частот поступают
следующим образом:
p
1) находят значения x
B ; B = DB ;
2) выравнивающие частоты n0i ищут по ормуле
n0i = nh '(ui );
B
где n сумма наблюдавшихся частот, h разность между двумя
2
1
x x
соседними вариантами, ui = i B и '(u) = p e u =2 :
2
B
В результате получено множество выравнивающих частот:
n01 ; n02; . . .; n0m :
Обозначим через 2 сумму квадратов разностей между эмпирическими и выравнивающими частотами, деленных на соответствующие выравнивающие частоты:
2 =
m
X
(n
i=1
i
n0i )2 ) :
n0
i
(1)
Для данной выборки по ормуле (1) находим значение случайной
величины 2 : Обозначим его через 20 : Затем определяется число
k = m 3; называемое числом степеней свободы , где m число различных вариант выборки.
Теперь проверка гипотезы H проводится так. Задаются уровнем
значимости p; т. е. столь малой вероятностью p; при которой о
событии f20 > 2 g; имеющем вероятность p; можно с большой уверенностью сказать, что в единичном испытании оно не произойдет.
В таблице значений 2 по заданному уровню значимости p и числу
степеней свободы k (приложение 5) находят значение 2 (p; k ): Если
окажется, что 20 > 2 (p; k ); то гипотеза H отвергается на уровне
значимости p; так как произошло событие, которое не должно было
произойти при верной гипотезе H ; если же 20 < 2 (p; k ); то H
*) Из этой ормулы видно, что, чем меньше различие между эмпирическими и выравнивающими частотами, тем меньше будет 2 :
315
џ 56. Линейная корреляция
принимается на уровне значимости
либо 0,05, либо 0,01, либо 0,001.
p:
Обычно в качестве
p
берут
П р и м е р. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические
и теоретические частоты:
эмпирические частоты
6 13 38 74 106 85 30 14
теоретические частоты 3 14 42 82
99 76 37 13
Вычислим
20
i
ni
n0i
ni n0i
(ni n0i )2
1
6
3
3
9
3
2
13
14
1
0,07
3
38
42
16
0,38
4
74
82
1
4
8
64
0,78
5
106
99
7
49
0,49
6
85
76
9
81
1,07
7
30
37
7
49
1,32
8
14
13
1
1
0,08
по ормуле (1) (см. расчетную таблицу)
(ni n0i )
n0
2
i
20 = 7;19
Найдем число степеней свободы, учитывая, что число различных вариант m = 8: Имеем: k = 8 3 = 5: По уровню значимости p = 0;05 и числу
степеней свободы k = 5 по таблице значений 2 (приложение 5) находим:
2 (0;05; 5) = 11;1: Так как 20 < 2(0;05; 5); нет оснований отвергнуть гипотезу H:
џ 56. Линейная корреляция
1. Корреляционная зависимость. Часто приходится иметь
дело с более сложной зависимостью, чем ункциональная. Такова,
например, связь между осадками и урожаем или связь между толщиной снегового покрова зимой и объемом стока последующего половодья. Здесь каждому значению одной величины соответствует
множество возможных значений другой величины. Подобного рода
зависимости относятся к корреляционным зависимостям.
О п р е д е л е н и е 1. Две случайные величины X и Y находятся
в корреляционной зависимости, если каждому значению любой из
этих величин соответствует определенное распределение вероятностей другой величины.
316
л. X. Элементы математической статистики
О п р е д е л е н и е 2. Условным математическим ожиданием
(кратко УМО ) дискретной случайной величины X при Y = y (y определенное возможное значение Y ) называется сумма произведений возможных значений величины X на их условные вероятности.
My (X ) =
n
X
i=1
xi Py (X = xi );
где Py (X = xi ) условная вероятность равенства
вии, что Y = y:
Для непрерывных величин
My (X ) =
+Z1
1
X = xi
при усло-
x'y (x) dx;
где 'y (x) плотность вероятности случайной величины X при условии Y = y:
УМО My (X ) есть ункция от y : My (X ) = f (y ); которую называют ункцией регрессии величины X на величину Y:
Аналогично определяется УМО случайной величины Y и ункция
регрессии Y на X :
y
Mx (Y ) = g(x):
Уравнение x = f (y ) (y = g (x))
называется уравнением регрессии X
на Y (Y на X ); а линия на плоскос-
егрессия
X на Y
eplaements
b
ти, соответствующая этому уравнению, называется линией регрессии .
Линия регрессии Y на X (X
на Y ) показывает, как в среднем
зависит Y от X (X от Y ):
(a; b)
егрессия
Y на X
O
a
x
ис. 125
П р и м е р 1. X и Y независимы,
M (X ) = a; M (Y ) = b: Тогда g(x) =
= Mx (Y ) = M (Y ) = b; f (y) = My (X ) =
= M (X ) = a: Линии регрессии изоб-
ражены на рисунке 125.
П р и м е р 2. X и Y связаны линейной зависимостью:
A 6= 0: Тогда ункция регрессии Y на X будет иметь вид:
Y = AX + B;
g(x) = Mx (Y ) = M (Ax + B ) = Ax + B:
1
Так как X = (Y B ); то ункция регрессии X на Y имеет вид:
A
i
h
f (y) = My (X ) = M A1 (y B ) = A1 (y B ):
1
Значит, линия регрессии X на Y : x = (y B ); т. е. y = Ax + B: Таким
A
образом, в случае линейной зависимости X и
и Y на X совпадают, и эта линия прямая.
Y
линия регрессии
X
на
Y
317
џ 56. Линейная корреляция
2. Коэициент корреляции. Для характеристики корреляционной зивисимости между случайными величинами вводится
понятие коэициента корреляции.
О п р е д е л е н и е 1. Если X и Y независимые случайные величины, то (см. гл. IX):
M (XY ) = M (X ) M (Y ):
(1)
(X ) M (Y )
r = M (XY)(XM
) (Y )
(2)
r = ;
(3)
Если же X и Y не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря, M (XY ) 6= M (X ) M (Y ): Условились за меру
связи (зависимости) двух случайных величин X и Y принять безразмерную величину r; определяемую соотношением
или более кратко соотношением
где
1
= M (XY ) M (X ) M (Y );
2
1 = (X );
и называемую коэициентом корреляции .
Легко видеть, что
2 = (Y );
= M (XY ) M (X ) M (Y ) = M [(X M (X ))(Y M (Y ))?:
О п р е д е л е н и е 2. Случайные величины X и Y называются
некоррелированными , если r = 0; и коррелированными , если r 6= 0:
П р и м е р 1. Независимые случайные величины X и Y являются некоррелированными, так как в силу соотношения (1) r = 0:
П р и м е р 2. Пусть случайные величины X и Y связаны линейной
зависимостью: Y = AX + B; A 6= 0: Найдем коэициент корреляции.
Имеем:
= M (XY ) M (X ) M (Y ) = M (AX 2 + BX ) M (X ) M (AX + B ) =
= AM (X 2 ) + BM (X ) AM 2 (X ) BM (X ) =
= A(M (X 2 ) M 2 (X )) = A 2 (X ) (см. главу IX);
2(Y ) = D(Y ) = D(AX + B ) = D(AX ) = A2 D(X ) = A2 2(X );
откуда:
Поэтому
(Y ) = jAj (X ):
) = 1:
jrj = jjAAjj ((X
X)
2
2
Таким образом, коэициент корреляции случайных величин,
связанных линейной зависимостью, равен 1 (точнее, r = 1; если
A > 0; и r = 1; если A < 0):
Отметим некоторые свойства коэициента корреляции.
318
л. X. Элементы математической статистики
Из примера 1 следует:
1. Если X и Y независимые случайные величины, то коэициент корреляции равен нулю.
Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
(Доказательство см. в [3?.)
2. Укажем без доказательства, что jrj 6 1: При этом если jrj = 1;
то между случайными величинами X и Y имеет место ункциональная, а именно линейная зависимость. (Доказательство см. в [3?.)
3. Как видно из ормулы (2), коэициент корреляции характеризует относительную величину отклонения математического
ожидания произведения M (XY ) от произведения математических
ожиданий M (X ) M (Y ) величин X и Y: Так как это отклонение
имеет место только для зависимых величин, то можно сказать,
что коэициент корреляции характеризует тесноту зависимости
между X и Y:
3. Линейная корреляция. Этот вид корреляционной зависимости встречается довольно часто.
О п р е д е л е н и е. Корреляционная зависимость между случайными величинами X и Y называется линейной корреляцией , если обе
ункции регрессии f (y ) и g (x) являются линейными. В этом случае
обе линии регрессии являются прямыми; они называются прямыми
регрессии .
Выведем уравнения прямой регрессии Y на X; т. е. найдем коэициенты линейной ункции g (x) = Ax + B:
Обозначим M (X ) = a; M (Y ) = b; M [(X a)2 ? = 12 ; M [(Y b)2 ? =
= 22: С использованием свойств МО (гл.IX) находим:
M (Y ) = M [g(X )? = M (AX + B ) = AM (X ) + B;
откуда: B = b Aa:
т. е.
b = Aa + B;
Далее с помощью тех же свойств МО имеем:
M (XY ) = M [Xg(X )? = M (AX 2 + BX ) =
= AM (X 2) + BM (X ) = AM (X 2 ) + (b Aa) a;
откуда:
A = M (X) a
2
2
или, согласно свойству 1 дисперсии (см. гл. IX),
A = :
2
1
Полученный коэициент называется коэициентом регрессии
на X и обозначается через (Y=X ):
(Y=X ) = :
2
1
Таким образом, уравнение прямой регрессии
Y
на
X
имеет вид:
Y
(4)
џ 56. Линейная корреляция
319
y = (Y=X )(x a) + b:
(5)
Аналогично можно получить уравнение прямой регрессии
x = (X=Y )(y b) + a;
где
(X=Y ) = есть коэициент регрессии X на Y:
X
Y
на
(6)
(7)
2
2
Уравнения прямых регрессии можно записать в более симметричном виде, если воспользоваться коэициентом корреляции. С учетом этого коэициента имеем:
(Y=X ) = r ;
2
1
(X=Y ) = r ;
(8)
1
2
и поэтому уравнения прямых регрессии принимают вид:
y b = r (x a);
2
1
x a = r (y b):
1
2
Из уравнений прямых регрессии видно, что обе эти прямые проходят через точку (a; b); угловые коэициенты прямых регрессии
равны соответственно (обозначения углов см. на рисунке 126):
tg = r1 2 :
1
Так как jrj 6 1; то j tg j 6
PSfrag replaements
6 j tg j: Это означает,
что пряtg = r 2 ;
1
мая регрессии Y на X имеет
меньший наклон к оси абсцисс,
чем прямая регрессии X на Y:
Чем ближе jrj к 1, тем меньше
угол между прямыми регрессии.
Эти прямые сливаются тогда и
только тогда, когда jrj = 1:
При r = 0 прямые регрессии
имеют уравнения y = b; x = a:
В этом случае Mx (Y ) = b =
y
егрессия
X на Y
егрессия
Y на X
b
O
a
x
ис. 126
= M (Y ); My (X ) = a = M (X ):
Из (8) видно, что коэициенты регрессии имеют тот же знак,
что и коэициент корреляции r; и связаны соотношением
(Y=X ) (X=Y ) = r2 :
4. асчет прямых регрессии. Пусть проведено n опытов, в
результате которых получены следующие значения системы величин
(X ; Y ): (xi; yi ); i = 1; 2; . . .; n: За приближенные значения M (X );
M (Y ); D(X ) и D(Y ) принимают их выборочные значения
n
X
x B = n1 xi ;
i=1
n
X
yB = n1
yi;
i=1
320
л. X. Элементы математической статистики
s21 = n 1 1
n
X
i=1
s22 = n 1 1
(xi xB )2 ;
n
X
i=1
(yi yB )2 :
служит величина
n
X
B = n 1 1 (xi xB )(yi yB ):
i=1
Заменяя в соотношениях (3), (4), (7) величины ; 1 ; 2 их выборочными значениями B ; s1 ; s2 ; получим приближенные значения коэОценкой для
ициента корреляции и коэициентов регрессий
r sBs ;
(Y=X ) sB ;
(X=Y ) sB
2
1
1 2
2
2
B и B ; B выборочные коэициенты соответственно корs1 s2
s21 s22
реляции *) и регрессий
:
Подставляя в уравнения (5) и (6) вместо a; b; (Y=X ) и (X=Y )
их приближенные значения, получим выборочные уравнения прямых
регрессий:
x xB = sB (y yB ):
y yB = sB (x xB );
2
1
2
2
Упражнения
1.
Построить полигон по данному распределению:
xi
ni
2.
1
20
4
10
h
Сумма частот вариант
частичного интервала ni
25
58
811
1114
9
10
25
6
енеральная совокупность задана таблицей распределения:
xi
Ni
1000
1000
Найти генеральную среднюю
*)
7
6
Построить гистограмму следующего распределения:
Частичный интервал длиной
3.
5
14
xг
1200
6000
1400
3000
и генеральную дисперсию
Выборочный коэициент корреляции
Dг :
[xг = 1240; Dг = 14400:?
B
s1 s2
обозначим через rB :
321
Упражнения
Найти выборочную среднюю по следующим данным:
а) длина крыла у 6 пчел (в мм): 9,68; 9,81; 9,77; 9,60; 9,61; 9,55;
б) длина листьев садовой замляники (в см): 5,2; 5,6; 7,1; 6,6; 8,6; 8,2;
7,7; 7,8.
[а) 9,67 мм; б) 7,1 см.?
4.
5.
Выборочная совокупность задана таблицей распределения:
xi
ni
4
10
7
15
10
20
Найти выборочные среднюю x
B и дисперсию
Определить выборочную среднюю
тическое отклонение s:
6. По выборке объема n = 51
Найти исправленную дисперсию.
xB
15
5
DB .
[xB = 8;4 ц, DB = 9;84:?
и исправленное среднее квадра[xB = 20 ц, s 1;1 ц.?
найдена выборочная дисперсия DB = 5:
[s2 = 5;1:?
В следующих трех упражнениях даны среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем выборки нормально распределенного
признака генеральной совокупности. Найти доверительные интервалы для
оценки генеральной средней x
г с заданной надежностью.
7.
8.
9.
= 3;
= 2;
= 3;
xB = 4;1; n = 36; = 0;95:
xB = 5;4; n = 10; = 0;95:
xB = 20;12; n = 25; = 0;99:
[3;12 < x г < 5;08:?
[4;16 < x г < 6;64:?
[18;57 < x г < 21;67:?
В следующих трех упражнениях даны ѕисправленныеї среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем выборки нормально
распределенного признака генеральной совокупности. Найти, пользуясь
распределением Стьюдента, доверительные интервалы для оценки генеральной средней x
г с заданной надежностью.
10.
11.
12.
s = 0;8;
s = 1;5;
s = 2;4;
xB = 20;2; n = 16; = 0;95:
xB = 16;8; n = 12; = 0;95:
xB = 14;2; n = 9; = 0;99:
[19;774 < x г < 20;626:?
[15;85 < x г < 17;75:?
[11;512 < x г < 16;888:?
13. По данным девяти независимых равноточных измерений изической величины найдены среднее ариметическое результатов отдельных
измерений x
B = 42;319 и ѕисправленноеї среднее квадратическое отклонение s = 5: Требуется оценить истинное значение a измеряемой величины
с надежностью 0,95.
[38;469 < a < 46;169:?
14. По 15 равноточным измерениям найдено ѕисправленноеї среднее
квадратическое отклонение s = 0;12: Найти точность измерений с надежностью 0,99.
[0;03 < < 0;21:?
15. По данным 16 независимых равноточных измерений изической
величины найдены среднее ариметическое результатов отдельных измерений x
B = 23;161 и ѕисправленноеї среднее квадратическое отклонение
21 И. И. Баврин
322
л. X. Элементы математической статистики
s = 0;4:
Требуется оценить истинное значение
точность измерений с надежностью 0,95.
a
измеряемой величины и
[22;948 < a < 23;374; 0;224 < < 0;576:?
В следующих двух упражнениях при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности,
если известны эмпирические и теоретические частоты.
16.
Эмпирические частоты
Теоретические частоты
6
4
12
11
16
15
40
43
13
15
8
6
5
6
[20 = 2;5; 2 (0;05; 4) = 9;5: Нет оснований отвергнуть гипотезу.?
17.
Эмпирические частоты
Теоретические частоты
5
2
13
20
12
12
44
35
8
15
12
10
6
6
[20 = 13; 2 (0;05; 4) = 9;5: ипотеза отвергается.?
18. Найти выборочное уравнение прямой регрессии
следующей таблицы:
Y
на
X
по данным
xi 23;0 24;0 24;5 24;5 25;0 25;5 26;0 26;0 26;5 26;5 27;0 27;0 28;0
yi 0;48 0;50 0;49 0;50 0;51 0;52 0;51 0;53 0;50 0;52 0;54 0;52 0;53
[y = 0;0098x + 0;2581:?
По данным таблицы, приведенной в предыдущем упражнении, найти
выборочное уравнение прямой регрессии X на Y:
[x = 64y 7;012:?
19.
р и м е р 1. Выборочным путем были получены следующие данные
о массе 20 морских свинок при рождении (в г): 30, 30, 25, 32, 30, 25, 33, 32,
29, 28, 27, 36, 31, 34, 30, 23, 28, 31, 36, 30. Найти выборочную среднюю x
B :
Согласно ормуле (4) имеем:
2+27+36 2+31 2+34+23 = 30:
xB = 30 5+25 2+32 2+33+29+28
20
Итак, x
B = 30 г.
Здесь для облегчения вычислений можно использовать калькулятор. То
же следует иметь в виду и в ряде других примеров этой главы.
Ниже, не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения x1 ; x2 ; . . .; xn признака различными.
азумеется, выборочная средняя для различных выборок того
же объема n из той же генеральной совокупности будет получаться,
вообще говоря, различной. И это не удивительно ведь извлечение
i-го по счету объекта есть наблюдение случайной величины Xi ; а их
среднее ариметическое
X = n1 (X1 + X2 + . . . + Xn )
есть тоже случайная величина.
Таким образом, всевозможные могущие получиться выборочные
средние есть возможные значения случайной величины X; которая
называется выборочной средней случайной величиной .
301
џ 53. Оценки параметров генеральной совокупности
Найдем M (X); пользуясь тем, что M (Xi ) = M (X ) (см. п. 1).
С учетом свойств МО (глава IX) получаем:
h
i
M (X) = M n1 (X1 + X2 + . . . + Xn) = n1 [M (X1)+ M (X2)+ . . . + M (Xn)? =
= 1 [M (X ) + M (X ) + . . . + M (X )? = 1 na = a:
n
n
Итак, M (X ) (МО выборочной средней) совпадает с a (генеральной средней).
Теперь найдем D(X ): Так как D(Xi ) = D(X ) (п. 1) и X1 ; X2 ; . . .
. . .; Xn независимы, то согласно свойствам дисперсии (гл. IX) получаем:
i
h
D(X) = D n1 (X1 + X2 + . . . + Xn ) = n1 [D(X1 )+ D(X2 )+ . . . + D(Xn )? =
= 1 [D(X ) + D(X ) + . . . + D(X )? = 1 nD(X ) = D(X ) ;
2
т. е.
n2
D(X) = D(nX ) :
n2
n
(5)
Наконец, отметим, что если варианта xi большие числа, то для
облегчения вычисления выборочной средней применяют следующий
прием. Пусть C константа.
Так как
n
n
X
X
i=1
xi =
i=1
(xi C ) + nC;
то ормула (3) преобразуется к виду:
n
X
(xi C ):
x B = C + n1
i=1
(6)
Константу C (так называемый ложный нуль ) берут такой, чтобы,
во-первых, разности xi C были небольшими и, во-вторых, число C
было по возможности ѕкруглымї.
П р и м е р 2. Имеется выборка:
x1 = 71;88;
x2 = 71;93;
x3 = 72;05;
x4 = 72;07;
x5 = 71;90;
x6 = 72;02;
x7 = 71;93;
x8 = 71;77;
x9 = 72;71;
x10 = 71;96:
Берем C = 72;00 и вычисляем разности: i = xi C
1 = 0;12;
2 = 0;07;
3 = 0;05;
4 = 0;07;
5 = 0;10;
6 = 0;02;
7 = 0;07;
8 = 0;23;
9 = 0;11;
10 = 0;04:
1
Их сумма: 1 + 2 + . . . + 10 = 0;38; их среднее ариметическое:
10
(1 + 2 + . . . + 10) = 0;038 0;04: Выборочная средняя:
xB 72;00 0;04 = 71;96:
302
л. X. Элементы математической статистики
3. енеральная и выборочная дисперсии. Для того чтобы
охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X
генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят
следующую характеристику генеральную дисперсию.
О п р е д е л е н и е 1. енеральной дисперсией Dг называется среднее ариметическое квадратов отклонений значений признака X
генеральной совокупности от генеральной средней x
г:
Если все значения x1 ; x2 ; . . .; xN признака генеральной совокупности объема N различны, то
N
X
Dг = N1 (xi xг )2 :
i=1
Если же значения признака x1 ; x2 ; . . .; xk имеют соответственно
частоты N1 ; N2 ; . . .; Nk ; причем N1 + N2 + . . . + Nk = N; то
k
X
Dг = N1
(xi xг )2 Ni :
(7)
i=1
П р и м е р 1. енеральная совокупность задана таблицей распределения:
xi
Ni
2
4
5
6
8
9
10
3
Найти генеральную дисперсию. Согласно ормулам (1) и (7) имеем:
9+5 10+6 3 120
xг = 2 8+4
8+9+10+3 = 30 = 4;
2
2
4)2 10+(6 4)2 3 = 54 = 1;8:
Dг = (2 4) 8+(4 4) 9+(5
30
30
енеральным средним
p квадратическим отклонением (стандартом ) называется г = Dг :
Пусть все значения x1 ; x2 ; . . .; xN различны.
Найдем дисперсию признака X; рассматриваемого как случайную
величину:
2
D(X ) = M [(X M (X )) ?:
Так как M (X ) = x
г и P fX = xig = N1 (см. п. 2), то
D(X ) = (x1 xг )2 N1 + (x2 xг )2 N1 + . . . + (xN xг )2 N1 = Dг ;
т. е.
D(X ) = Dг :
Таким образом, дисперсия D(X ) равна Dг :
Такой же итог следует, если значения x1 ; x2 ; . . .; xk
ветственно частоты N1 ; N2 ; . . .; Nk :
имеют соот-
303
џ 53. Оценки параметров генеральной совокупности
В случае непрерывного распределения признака
полагают:
Dг = D(X ):
X
по определению
(8)
С учетом ормулы (8) ормула (5) (п. 2) перепишется в виде:
откуда
q
D(X) = Dnг ;
p
D(X) = pDnг
или
(X) = pгn : Величина (X)
называется
средней квадратической ошибкой.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения x
B ; вводят нижеследующую характеристику.
О п р е д е л е н и е 2. Выборочной дисперсией DB называется среднее ариметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений
признака X от выборочной средней x
B :
Если все значения x1 ; x2 ; . . .; xn признака выборки объема n различны, то
n
X
(xi xB )2 :
DB = n1
(9)
i=1
Если же значения признака x1 ; x2 ; . . .; xk имеют соответственно
частоты n1 ; n2 ; . . .; nk ; причем n1 + n2 + . . . + nk = n; то
k
X
DB = n1 (xi xB )2 ni:
(10)
i=1
П р и м е р 2. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:
xi
ni
1
2
3
4
20
15
10
5
Найти выборочную дисперсию. Согласно ормулам (4) и (10) имеем:
15+3 10+4 5 100
xB = 1 20+2
20+15+10+5 = 50 = 2;
2
2
2)2 10+(4 2)2 5 = 50 = 1:
DB = (1 2) 20+(2 2) 15+(3
50
50
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом ) называется квадратный корень из выборочной дисперсии:
p
B = DB :
p
p
В условиях примера 2 получаем, что B = DB = 1 = 1:
Ниже, не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения x1 ; x2 ; . . .; xn признака различными.
304
л. X. Элементы математической статистики
Выборочную дисперсию, рассматриваемую нами как случайную
величину, будем обозначать Se2 :
n
X
(Xi X)2:
Se2 = n1
i=1
Т е о р е м а. МО выборочной дисперсии равно
M (Se2 ) = n n 1 Dг :
n 1 D ; т. е.
n г
Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом свойств МО (глава IX) получаем:
n
n
1 X (X X)2 = 1 X M [(Xi X)2 ?:
n i=1 i
n i=1
Вычислим одно слагаемое M [(Xi X)2 ?: Имеем:
M [(Xi X)2 ? = M (Xi2 2Xi X + X2 ) = M (Xi2 ) 2M (Xi X) + M (X2 ):
M (Se2) = M
Вычислим по отдельности эти МО.
Согласно свойству 1 дисперсии (глава IX) и ормулам (2), (8)
имеем:
2
2
2
2
M (Xi ) = M (X ) = D(X ) + M (X ) = Dг + a :
Далее, с учетом свойства 4 МО (гл. IX),
h
i
M (Xi X) = M Xi n1 (X1 + X2 + . . . + Xn ) =
= n1 [M (Xi X1 ) + M (Xi X2 ) + . . . + M (Xi Xn )?:
То слагаемое этой суммы, у которого второй индекс равен i; т. е.
M (Xi Xi ); равно M (Xi2) = Dг + a2 : У всех остальных слагаемых
M (Xi Xj ) индексы разные. Поэтому в силу независимости Xi и Xj
(см. главу IX):
M (Xi Xj ) = M (Xi ) M (Xj ) = M (X ) M (X ) = M 2 (X ) = a2 :
Так как имеется n 1 таких слагаемых, то
M (Xi X) = n1 [Dг + a2 + (n 1) a2 ? = a2 + Dnг :
В силу свойства 1 дисперсии (глава IX) получаем:
M (X2 ) = D(X) + M 2 (X):
Нами уже найдены (п. 2 и п. 3):
M (X) = M (X ) = a;
Поэтому
Таким образом,
D(X) = n1 Dг :
M (X2 ) = Dnг + a2 :
џ 53. Оценки параметров генеральной совокупности
305
M [(Xi X)2? = Dг + a2 2 a2 + Dnг + Dnг + a2 = n n 1 Dг
и не зависит от индекса суммирования i: Поэтому
M (Se2 ) = n1 n n n 1 Dг = n n 1 Dг :
Теорема доказана.
В заключение настоящего пункта отметим, что если варианты xi большие числа, то для облегчения вычисления выборочной
дисперсии DB ормулу (9) преобразуют к следующему виду:
где
n
X
DB = n1 (xi C )2 (xB C )2 ;
C ложный нуль.
i=1
4. Оценки параметров распределения. Уже говорилось
(п. 1) о том, что одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины X по данным выборки.
При этом в теоретических рассуждениях считают, что генеральная
совокупность бесконечна. Это делается для того, чтобы можно было
переходить к пределу при n ! 1; где n объем выборки. Для
оценки параметров распределения X из данных выборки составляют
выражения, которые должны служить оценками неизвестных параметров. Например, X (п. 2) является оценкой генеральной средней,
а Se2 (п. 3) оценкой генеральной дисперсии Dг : Обозначим чеe n оценку этого параметрез оцениваемый параметр, через e
ра (n является выражением, составленным из X1 ; X2 ; . . .; Xn (см.
e n давала хорошее приближение,
п. 1)). Для того чтобы оценка она должна удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти
требования.
e n ; МО которой равно оцениваеНесмещенной называют оценку e n ) = ; в противном случае оценка
мому параметру ; т. е. M (
называется смещенной .
П р и м е р 1. Оценка X является несмещенной оценкой генеральной
средней a; так как M (X) = a (см. п. 2).
e2 является смещенной оценкой генеральной
П р и м е р 2. Оценка S
дисперсии Dг ; так как согласно установленной выше теореме (п. 3)
M (Se2 ) = n n 1 Dг 6= Dг :
e2 рассматривают еще
П р и м е р 3. Наряду с выборочной дисперсией S
n
2
Se2; которая является
так называемую исправленную дисперсию S =
n 1
также оценкой генеральной дисперсии. Для S 2 с учетом установленной
выше теоремы ( п. 3) имеем:
M (S 2 ) = M n Se2 = n M (Se2 ) = n n 1 Dг = Dг :
n 1
20 И. И. Баврин
n 1
n 1
n
306
л. X. Элементы математической статистики
Таким образом, оценка S 2 в отличие от оценки Se2 является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Явное выражение для S 2
имеет вид:
т. е.
n
n
X
X
(Xi X)2 = n 1 1
(Xi X)2 ;
S 2 = n n 1 Se2 = n n 1 n1
i=1
S2 = n 1 1
n
X
i=1
i=1
(Xi X)2 :
(11)
Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра
брать несмещенные оценки, для того чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.
e n параметра ; что для
Состоятельной называют такую оценку e n j < "g
любого наперед заданного числа " > 0 вероятность P fj
при n ! 1 стремится к 1 *). Это значит, что при достаточно больших n можно с вероятностью, близкой к 1, т. е. почти наверное утверждать, что оценка n отличается от оцениваемого параметра меньше чем на ":
Очевидно, такому требованию должна удовлетворять всякая оценка, пригодная для практического использования.
Заметим, что несмещенная оценка n будет состоятельной, если
e n ) ! 0:
при n ! 1 ее дисперсия стремится к нулю: D(
П р и м е р 4. Как установлено выше (см. п. 3),
следует, что несмещенная оценка
X
D(X) = Dnг :
Отсюда
является и состоятельной, так как
lim D(X) = lim Dг = Dг lim 1 = 0:
n!1 n
n!1 n
n!1
Можно показать, что несмещенная оценка S 2 является также состоятельной. Поэтому в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправe2 отличаются множителем
ленную дисперсию. Заметим, что оценки S 2 и S
n ; который стремится к 1 при n ! 1: На практике Se2 и S 2 не различаn 1
ют при n > 30:
Для оценки генерального среднего квадратического отклонения
используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:
S
v
u
u
=t
1
n
X
n 1 i=1
(Xi X)2:
(12)
Левые части ормул (11), (12), в которых случайные величины
X1 ; X2 ; . . .; Xn заменены их реализациями x1 ; x2 ; . . .; xn и X выборочной средней x
B ; будем обозначать соответственно через s2 и s:
*)
e n сходится к
В таком случае говорят, что по вероятности.
џ 53. Оценки параметров генеральной совокупности
307
Отметим, что если варианты xi большие числа, то для облегчения
вычисления s2 ормулу для s2 аналогично ормуле (9) преобразуют к
виду:
n
X
s2 = n n 1 n1
i=1
(xi C )2 (xB C )2 ;
(13)
где C ложный нуль.
Оценки, обладающие свойствами несмещенности и состоятельности, при ограниченном числе опытов могут отличаться дисперсиями.
Ясно, что, чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность
грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной.
Оценка, обладающая таким свойством, называется эективной .
Из отмеченных требований, предъявляемых к оценке, наиболее
важными являются требования несмещенности и состоятельности.
П р и м е р 5. С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов. Их веса x1 ; x2 ; . . .; x10 (в граммах) записаны в первой колонке приведенной ниже таблицы. Обработаем статистические данные выборки. Для
вычисления x
B и s по ормулам (6) и (13) введем ложный нуль C = 250
и все необходимые при этом вычисления сведем в указанную таблицу:
i
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
225
274
305
253
220
245
211
234
230
231
Сумма
Следовательно,
1
xB = 250 + 10
v
u u
s = t 10
10
X
i=1
(xi 250) = 250 +
(xi C )2
xi C
25
24
55
3
30
5
39
16
20
19
625
576
3025
9
900
25
1521
256
400
261
72
7598
1
10 ( 72) = 250 7;2 243 (г);
10
1X
2
2
9 10 i=1 (xi 250) (250 7;2 250) =
r
Отсюда:
20*
ps
10
9 (г).
=
10 [759;8 ( 7;2)2 ? 28 (г).
9
308
л. X. Элементы математической статистики
Итак, оценка генеральной средней веса плода равна 243 г со средней
квадратической ошибкой 9 г.
Оценка генерального среднего квадратического отклонения веса плода
равна 28 г.
џ 54. Доверительные интервалы для параметров
нормального распределения
1. Надежность. Доверительные интервалы. Пусть e n его оценка, составленная из X1 ; X2 ; . . .
оцениваемый параметр, ; Xn :
...
e n является несмещенной и состояЕсли известно, что оценка e n и считают
тельной, то по данным выборки вычисляют значение его приближением истинного значения : При этом среднее квадратическое отклонение (если его вообще вычисляют) оценивает порядок
ошибки. Такие оценки называют точечными . Например, в предыдущем параграе речь шла о точечных оценках генеральной средней и
генеральной дисперсии. В общем случае, когда о распределении признака X ничего неизвестно, это уже немало.
Если же о распределении имеется какая-либо инормация, то
можно сделать больше.
В данном параграе речь будет идти об оценке параметров a и случайной величины, имеющей нормальное распределение. Это
очень важный случай. Например (см. џ 50, п. 4), результат измерения
имеет нормальное распределение. В этом случае становится возможным применять так называемое интервальное оценивание, к изложению которого мы и переходим.
Пусть Ж > 0 некоторое число. Если выполняется неравенство
j e n j < Ж; т. е. Ж < e n < Ж; что можно записать в виде: e n Ж <
< < e n + Ж; то говорят, что интервал (e n Ж; e n + Ж) покрывает
e n ; такую, чтобы
параметр : Однако невозможно указать оценку e n j < Ж g было достоверным, поэтому мы будем говособытие fj рить о вероятности этого события. Число Ж называется точностью
e n:
оценки О п р е д е л е н и е. Надежностью (доверительной вероятностью)
e n параметра для заданного Ж > 0 называется вероятность оценки e n Ж; e n + Ж ) покроет параметр ; т. е.
того, что интервал (
= P fe n Ж < < e n + Жg = P fje n j < Жg:
Заметим, что после того как по данным выборки вычислена оценe n ; событие fj
e n j < Ж g становится или достоверным, или нека e n Ж; e n + Ж ) или покрывает ; или
возможным, так как интервал (
нет. Но дело в том, что параметр нам неизвестен. Поэтому мы
309
џ 54. Доверительные интервалы
e n вероятность
называем надежностью уже вычисленной оценки e
e
того, что интервал (n Ж; n + Ж ); найденный для произвольной выборки, покроет : Если мы сделаем много выборок объема n и для
e n Ж; e n + Ж ); то доля тех выбокаждой из них построим интервал (
рок, чьи интервалы покроют ; равна :
Иными словами, есть мера нашего доверия вычисленной оценe n:
ке Ясно, что, чем меньше число Ж; тем меньше надежность :
О п р е д е л е н и е. Доверительным интервалом называется найe n Ж; e n + Ж ); который поденный по данным выборки интервал (
крывает параметр с заданной надежностью :
Надежность обычно принимают равной 0,95, или 0,99, или 0,999.
Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный доверительный интервал покрывает параметр : Но в этом можно быть
уверенным на 95 % при = 0;95; на 99 % при = 0;99 и т. д. Это
значит, что если сделать много выборок, то для 95 % из них (если,
например, = 0;95) вычисленные доверительные интервалы действительно покроют :
2. Доверительный интервал для МО при известном .
В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно.
Например, если измерения производятся одним и тем же прибором
при одних и тех же условиях, то для всех измерений одно и то же
и обычно бывает известно.
Итак, пусть случайная величина
Документ
Категория
Другое
Просмотров
218
Размер файла
1 975 Кб
Теги
589
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа