close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

127.Математика для гуманитариев

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
«Челябинская государственная академия культуры и искусств»
Кафедра информатики
Челябинск
2005
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 51
ББК 22.1я73+74.58
Б 94
Буцык С.В. Математика для гуманитариев: учеб.-метод.
пособие / С.В. Буцык; Челяб. гос. академия культуры и искусств. Челябинск, 2005. – 58 с.
Материал пособия посвящен содержанию вузовского курса
математики, проводимого в рамках дисциплины «Математика и
информатика».
Рассматриваются
теоретические
основы
и
практические задания по следующим темам: множества и операции
над ними; числовые множества, системы счисления и делимость в
числовых множествах; соответствия, отображения, функции;
высказывания и операции над ними; теория вероятностей с
элементами комбинаторики; элементы математической статистики:
Работа подготовлена в соответствии с государственными
образовательными
стандартами
высшего
профессионального
образования (2000-2002 гг.) и предназначена для студентов
гуманитарно-социальных,
педагогических,
междисциплинарных
специальностей, специальностей культуры и искусства, а также
преподавателей дисциплины «Математика и информатика».
Рецензент:
Т.Ю. Винтиш, кандидат педагогических наук, доцент

Буцык С.В., 2005
 Челябинская государственная
академия культуры и искусств, 2005
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие автора
Происходящий процесс модернизации системы высшего
образования, необходимость освоения в вузе новых технологий
обучения
способствовали
введению
Государственных
образовательных стандартов второго поколения, появлению новых и
изменению содержания многих традиционных предметов, к числу
которых относится и математика.
В стандартах 2000-2002 гг. по большинству гуманитарносоциальных, педагогических, междисциплинарных специальностей,
специальностей культуры и искусства приводятся следующие
разделы, относящиеся к математике: аксиоматический метод,
основные структуры, составные структуры, вероятности и статистика.
При этом математика рассматривается не как отдельный предмет, а в
рамках единой дисциплины «Математика и информатика».
В то же время математика как фундаментальная наука играет
важную роль, закладывая основу для многих дисциплин как
общеобразовательной, так и профессиональной направленности
(например, таких как информатика, вычислительная техника и
программирование, экономика, менеджмент, психология, педагогика,
социология и др.).
Целью данного пособия является выявление оптимального
содержания курса математики (теории, практических задач) с учетом
направленности современного высшего образования в целом,
особенностей подготовки специалистов, для которых математика не
является профильным предметом, ограниченности (в большинстве
случаев) аудиторного времени, отводимого на изучение данного
предмета и т.п.
Учебно-методическое пособие включает в себя введение и
шесть следующих тем:
1. Множества и операции над ними: основные понятия;
способы задания множеств; операции над множествами.
2. Числовые множества. Системы счисления и делимость в
числовых множествах: основные числовые множества; изображение
множеств на числовой прямой; позиционные и непозиционные
системы счисления; отношение делимости в множестве целых
неотрицательных чисел; алгоритм Евклида.
3. Соответствия, отображения, функции: бинарные
соответствия; отображения, их виды; числовые функции, их основные
виды и способы построения графиков функций.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Высказывания и операции над ними: основные понятия;
операции над высказываниями; составление таблиц истинности
составных высказываний.
5. Теория вероятностей с элементами комбинаторики:
элементы комбинаторики; случайные события; случайные величины.
6. Элементы математической статистики: основные
понятия; первичная обработка выборки; точечные оценки числовых
параметров; вторичная статистическая обработка экспериментальных
данных.
Каждая из тем, представленных в пособии, подразделяется
следующим образом:
 теория;
 примеры решения задач;
 задания для самостоятельного решения.
Важно отметить, что большинство представленных в пособии
задач может быть решена и на компьютере с использованием
прикладных программных средств или языков программирования, что
будет способствовать сближению курсов математики и информатики
в рамках единой дисциплины «Математика и информатика».
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение. Аксиоматический метод в математике
Математические понятия обычно проходят длительный путь
исторического развития, первоначально возникая в процессе решения
тех или иных практических задач. Естественно, что они носят
отпечаток своего происхождения и не имеют еще строгих
определений.
Вместо
определений
даются
расплывчатые,
приблизительные пояснения, указания на соответствующие
наглядные представления. При переходе на более высокий уровень
знакомства с понятиями место наглядных рассмотрений занимают
рассуждения, делаются ссылки на наглядность, чертеж. Однако, по
мере
развития
теории
такой
поход
перестает
быть
удовлетворительным, поскольку получаемые результаты становятся
все более сложными, все труднее становится проверить их опытом.
Возникает необходимость в уточнении понятий, установлении связей
между ними, в сведении сложных понятий к более простым.
Пример. Понятие «диаметр». Диаметр – отрезок прямой,
соединяющий две точки окружности и проходящий через центр.
Чтобы данное определение стало до конца ясным, надо объяснить
понятия: «окружность», «центр окружности», «отрезок прямой»,
затем «точка», «плоскость», «расстояние», «множество» и т.д. …
Вообще, при аксиоматическом построении какой-нибудь
теории поступают следующим образом:
1. Принимают некоторые понятия за неопределяемые, основные
(например, «точка», «прямая», «расстояние», «множество», «число»
…).
2. Указывают неопределяемые отношения, связанные с этими
понятиями (эквивалентности, порядка …).
3. Формулируют несколько высказываний, выражающих
свойства этих понятий и отношений, которые называют аксиомами
данной теории (коммутативность, ассоциативность …).
Замечание. Выбор основных понятий, отношений и аксиом не
является произвольным – они должны отражать некоторые реальные
объекты и их свойства, т.е. аксиоматическая теория должна давать
математическую модель действительности, причем получаемые в
теории выводы лишь приближенно отражают свойства реального
мира и это соответствие тем точнее, чем лучше сама система аксиом.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Множества и операции над ними
Теория
Понятие множества относится к математическим объектам, для
которых нет строгого определения. Определение обычно вводится
лишь на интуитивном уровне. Поясним его примерами. Так, можно
говорить о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве
учащихся некоторой школы, о множестве парт в данной аудитории и
т. д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют
слова «набор», «собрание», «коллекция», «стадо», «табун» и т. д.
Объекты любой природы (люди, дома, книги, геометрические
фигуры, числа и т. д.), составляющие множество, называют его
элементами. Например, студент Иванов является элементом
множества студентов I курса, март – элементом множества месяцев в
году и т.д.
Отношение между множеством и его элементами обычно
выражают при помощи слова «принадлежит». Например: цифра 5
принадлежит множеству цифр.
Множества обычно обозначают заглавными буквами
латинского алфавита (A, B, C, D, …), а их элементы – малыми (a, b, c,
d, …), слово «принадлежит» заменяют символом «» и записывают,
например: а  А (объект a принадлежит множеству A) или а  A
(объект a не принадлежит множеству A). Например, если A –
множество российских поэтов, то поэт Пушкин  A, а поэт Шекспир
 A.
Множества могут быть конечными или бесконечными.
Например, множество преподавателей вуза – конечно, а множество
точек прямой – бесконечно.
Множество может содержать один или несколько элементов.
Пустым множеством называют единственное множество, не
содержащее ни одного элемента (обозначается символом ).
Например, множество людей, побывавших в 2001 году на Луне.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
***
Множество считают заданным, если о любом объекте можно
сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
I способ задания множества – перечисление всех его
элементов. Например, множество A, состоящее из объектов, a, b, c, d
записывают: A={a; b; c; d}. Данный способ применим только для
конечных множеств, число элементов которых невелико.
II
способ
задания
множеств
–
формулировка
характеристического свойства всех элементов множества (т.е.
свойства, которым обладают все элементы этого множества и только
они). В этом случае в фигурных скобках записывают обозначение
произвольного элемента множества, ставят вертикальную черту, а
затем характеристическое свойство всех элементов, т.е. A = {х |
характеристическое свойство всех элементов х}. Способ применим
для задания как конечных, так и бесконечных множеств.
Например, множество цветов радуги K можно записать I
способом: K = {красный; оранжевый; желтый; зеленый; голубой;
синий; фиолетовый} или II способом: K = {х | х – цвет радуги}.
Множества A и B считают равными, если они состоят из одних
и тех же элементов (записывают: A = B). Например, равны следующие
множества: {4; 9; 16}, {16; 4; 9}, { 16 ; 81 ; 256 } и {22; 32; 42}.
***
Множество B называют подмножеством множества A тогда и
только тогда, когда каждый элемент B принадлежит множеству A
(записывается: ВА). Например, А – множество студентов вуза, В –
множество первокурсников этого вуза.
Различают два вида подмножеств множества A: несобственные
(само A и ) и собственные (все остальные подмножества, если они
существуют).
Свойство подмножеств:
Если ВА и АВ, то А=В.
Чтобы наглядно изображать множества и отношения между
ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между
собой в этих отношениях. Такие изображения множеств называют
диаграммами (или кругами) Эйлера-Венна.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U
А
А
C
В
А
В
В
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Рис. 1.3
На рисунке 1.1 показаны множества А и В такие, что AB, а на
рисунке 1.2 - множества A и B, не имеющие общих элементов.
Часто бывает, что рассматриваются только подмножества
одного и того же множества. Такое множество называют
универсальным множеством (обозначают U и изображают на
диаграммах в виде прямоугольника).
Например, U – множество учащихся школы, A – множество
учащихся первого класса школы, B – множество учащихся второго
класса школы, C – множество девочек школы (рис. 1.3).
***
Пусть даны два множества: A и В. Пересечением этих
множеств называют множество, состоящее из элементов,
принадлежащих одновременно множествам А и В (обозначается:
АВ), т.е. АВ = {х | хА и хВ}.
Например, А = {ручка; карандаш; циркуль; маркер}. В =
{фломастер; маркер; ручка; перо}. Тогда АВ = {ручка; маркер}.
Если множества A и B не имеют общих элементов, то они не
пересекаются (записывается АВ=). Если множества A и B имеют
хотя бы один общий элемент, то множества А и B пересекаются
(записывается АВ).
На диаграммах (кругах) Эйлера-Венна пересечение множеств А
и В изображается в виде заштрихованной области (рис. 1.4).
АВ
А
Рис. 1.4
АВ
В
А
В
Рис. 1.5
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойства операции пересечения:
1. Коммутативность: для любых множеств A и B верно
равенство АВ = ВА.
2. Ассоциативность: для любых множеств А, В, С верно
равенство (AB) С=A (ВС).
3. Если AB, то АВ=А. В частности, для любого множества A
имеем: AA=A, A=, AU=A.
Пусть даны два множества: A и В. Объединением этих
множеств называется множество, состоящее из элементов,
принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (обозначается:
АВ), т.е. АВ = {х | хА или хВ}.
Например, А = {ручка; карандаш; циркуль; маркер}. В =
{фломастер; маркер; ручка; перо}. Тогда АВ = {ручка; карандаш;
циркуль; маркер; фломастер; перо}.
На диаграммах (кругах) Эйлера-Венна объединение множеств А
и В изображается в виде заштрихованной области (рис. 1.5).
Свойства операции объединения:
1. Коммутативность: для любых множеств A и B верно
равенство АВ=ВА.
2. Ассоциативность: для любых множеств А, В, С верно
равенство (АВ) С= A(ВС).
3. Если ВA, то АВ=А. В частности, для любого множества A
имеем: AA=A; A=A; AU=U.
4. Дистрибутивность: Для любых множеств А, B и С
справедливы равенства:
а) A(BC)=(AB)(AC);
б) A(BC)=(AB)(AC).
Пусть B – подмножество множества A. Множество всех
элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B, называют
дополнением к подмножеству B в множестве А (обозначают В' A ).
Например, если A – множество учащихся некоторого класса, В –
множество девочек класса, то В' A - множество мальчиков класса.
На диаграммах (кругах) Эйлера-Венна дополнение В' A
изображается следующим образом (рис. 1.6).
Дополнение к множеству B в универсальном множестве U
обозначают B'.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А
В
В' A
Рис. 1.6
А
В
А\В
Рис. 1.7
Свойства операции дополнения:
Для любых подмножеств А и B универсального множества U
имеют место следующие равенства:
1. (АB)' = A'  B';
2. (АB)' = А'  В'.
Разностью двух множеств А и B называется множество
элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B (обозначают: А
\ В).
Например, А = {ручка; карандаш; циркуль; маркер}. В =
{фломастер; маркер; ручка; перо}. Тогда А\В = {карандаш; циркуль}.
На диаграммах (кругах) Эйлера-Венна разность А\В
изображается следующим образом (рис. 1.7).
Свойства операции разность (связь разности множеств с
другими операциями):
Для любых множеств A, B и C справедливы следующие
равенства:
1. A\(BC)=(A\B)(A\C);
2. A\(BC)=(A\B)(A\C)=(A\B)\C.
Примеры решения задач
Пример 1.А. Даны множества: A={1; 21; 121; 15; 52; 512};
В={16; 2; 5}; C={1; 21; 15}; D={21; 15; 52}; E={121; 512); F={12; 15;
25}; K={21; 121; 512; 52; 15}; Q={512}. Укажите, какие из данных
множеств являются собственными подмножествами множества А.
Решение: CА, DА, ЕА, КА, QА.
Пример 1.Б. Даны множества A={к; о; м} и В ={м; о; д; а}.
Найдите пересечение, объединение и разность этих множеств.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение: AB = {о; м}; AB = {к; м; о; д; а}; A\B = {к}.
Пример 1.В. Даны множества: U – множество учащихся школы,
А – подмножество учащихся 7 класса, B – учащихся младших классов,
С – учащихся 1 класса, D – спортсменов школы. Изобразите эти
множества с помощью диаграммы Эйлера – Венна.
Решение (см. рис. 1.8):
U
D
А
С
В
Рис. 1.8
Задания для самостоятельного решения
1.1. Задать приведенные множества первым (если это
возможно) и вторым способами: А – множество континентов Земли; B
– множество планет Солнечной системы; C – множество гласных букв
русского алфавита; D – множество точек, равноудаленных от концов
отрезка АВ; E – множество точек окружности с центром в точке О и
радиусом r.
1.2. Даны множества. Укажите, какие из данных множеств
являются подмножествами множества А, если:
а) A={a; d; f; h; q; k}; B={a; d; k}; C={s; p; q}; D={q; k; f}; E={a;
m); F={f; h; a; b}; Q={d; k}.
б) A={о; р; ы; у; ф; л; ц}; B={ц; ы; к}; C={л; о; р}; D={ф; о; р; а};
E={о; у}; F={ф; ы; р; к}; Q={о; р}.
1.3. Даны множества. Изобразите эти множества на диаграммах
Эйлера – Венна:
а) U – множество студентов университета, А – подмножество
студентов I курса, B – студентов II курса, С – девушек университета,
D – отличников университета.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б) U – множество четырехугольников плоскости, А –
подмножество трапеций, B – параллелограммов, С – ромбов,
D
– прямоугольников, E – квадратов.
в) U - множество книг в библиотеке института, М – подмножество книг по математике, А – книг по алгебре, F – книг по
физике, E – множество книг на английском языке.
1.4. Даны множества А, В и С. Задайте эти множества 1-м
способом и изобразите их на диаграмме Эйлера-Венна:
а) А – множество букв слова «колба»; В – множество букв слова
«факелоносец»; С – множество букв слова «носок».
б) А – множество букв вашего имени; В – множество букв
вашего отчества; С – множество букв вашей фамилии.
1.5. Даны множества А и В. Найдите пересечение, объединение
и разность этих множеств если:
а) A={у; т; ю; г}, B={т; ю; ф; я; к};
б) A={ф; а; р; т; у; к}, B={р; у; б; а; н; о; к};
в) A={4; 8; 2; 5}, B={5; 2; 8; 3; 4};
г) A={7; 9; 3; 1}, B={2; 4; 1; 8; 0}.
1.6. Даны множества P и Q, причем РU, QU (см. рис.1.9).
Отметьте области, изображающие множества:
а) P'; б)Q'; в) (PQ)'; г) (PQ)'; д) P'Q'; е) P'Q'.
U
P
Рис. 1.9
Q
U
C
T
Рис. 1.10
S
А
В
Рис. 1.11
1.7. Даны множества T и S (см. рис. 1.10). Отметьте штриховкой
следующие множества:
а) Т\S; б) S\T; в) (TS)\S; г) T\(TS);
д) (ТS)\Т; е) (TS)\(TS).
1.8. Описать с помощью операций каждую
неперекрывающихся областей, изображенных на рис. 1.11.
из
8
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Числовые множества.
Системы счисления и делимость в числовых множествах
Теория
На практике особую роль играют числовые множества множества, элементами которых являются числа. Рассмотрим
некоторые числовые множества, для которых существуют
специальные обозначения.
N = {1; 2; 3; 4; 5; … } - множество натуральных чисел.
Z = {…; -3; -2; -1; 0: 1; 2; 3; … } - множество целых чисел.
Также используют следующие подмножества данного множества
целых: Z 0 = {0: 1; 2; 3; … } - множество целых неотрицательных
чисел и Z – = {…; -3; -2; -1} - множество целых отрицательных чисел.
Очевидно, что Z = Z 0 Z – .
Q = {m/n | mZ, nZ, n≠0} – множество рациональных чисел.
Важно отметить, что любое рациональное число представимо в виде
периодической десятичной дроби, например: 3/2 = 1,5; 1/3 = 0,(3); 5/12
= 0,41(6) и т.п.
I – множество иррациональных чисел, т.е. чисел, которые
нельзя представить в виде периодической десятичной дроби,
например: 2 , 3 , , e, … и т.п.
R = QI – множество действительных чисел.
Приведенные выше множества удобно изобразить на одной
диаграмме Эйлера-Венна (рис. 2.1).
N
R
Q
Z
R
Рис. 2.1
Q
I
Рис. 2.2
При этом наглядно видно, что NZQR. Заметим также, что
I=Q' R (рис. 2.2).
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
***
Ранее приведенные способы задания множеств, справедливы и
для числовых множеств. Например, K –множество натуральных
чисел, меньших 7, можно записать I способом: K = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
или II способом: K = {х | хN, х < 7}.
В тоже время, для наглядного представления числовых
множеств и выполнения операций над ними часто удобней
использовать вместо диаграмм Эйлера-Венна числовую прямую. На
числовой прямой указывается положительное направление, точка
начала отсчета и задается единичный отрезок.
Также указывается базовое числовое множество (обычно, N, Z,
Q, или R), ключевые точки изображаемого множества, производится
его штриховка и обозначение. Например, A – множество целых чисел,
больших 2, но меньших либо равных 7, т.е. A = {х | хZ, 2<х7} (рис.
2.3).
A
A
0 1 2
Рис. 2.3
7
Z
0 1 2
4
7
В
Z
Рис. 2.4
Следует обратить внимание на то, как изображены ключевые
точки множества А: точка 2 – «выколота» (2 не является элементом
множества А), а точка 7 - заштрихована (7 является элементом
множества А).
При выполнении операций над числовыми множествами с
помощью числовой прямой, обычно, штриховка первого множества
располагается над прямой, а второго – под прямой. Кроме того,
используется различный наклон штриховки. С помощью рисунка 2.4,
где изображены множества A и B = {х | хZ, х>4}, значительно легче
произвести операции пересечения, объединения или разности
указанных множеств.
***
С практической точки зрения первоочередное значение для
числовых множеств имеют операции не между ними, а производимые
внутри самих множеств, т.е. действия с числами на заданном
числовом множестве. Для этого необходимо установить совокупность
правил, по которым будет осуществляться запись чисел, а затем и
действия над ними – систему счисления.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выделяют два вида систем счисления – позиционные и
непозиционные. Непозиционными считают системы счисления, в
которых обозначение числа не зависит от позиции знаков (цифр) в
записи этого числа.
Например, в римской системе счисления в качестве цифр
используются латинские буквы I, V, X, L, C, …, (обозначающие
соответственно 1, 5, 10, 50. 100 …), которые в записи числа
складываются (в некоторых случаях - вычитаются) вне зависимости
от их позиции – XVIII=10+5+1+1+1=18.
В греческой системе счисления для записи цифр
использовались буквы греческого алфавита (24 буквы + 3
специальных символа). Первые девять обозначали целые числа от 1
до 9, следующие - 10, 20 и т. д. до 90, последние 100, 200, …, 900.
Таким образом, σλζ=200+30+7=237, σζ=200+7=207, σλ=200+30=230.
Для того, чтобы отличать цифры от слов в текстах, над цифрами
ставили вертикальную черту.
Основной недостаток таких систем – трудности при
выполнении операций даже с относительно небольшими числами.
Позиционными называют системы счисления, в которых один
и тот же знак (одна и та же цифра) может обозначать различные числа
в зависимости от положения этого знака в записи числа (т.е. его
позиции). Наибольшее распространение получила десятичная система
счисления, связанная исторически со счетом на пальцах (двух рук).
Основанием данной системы является число 10, т.е. для записи
чисел используется 10 знаков (цифры от 0 до 9).
Встречаются и другие позиционные системы счисления –
двенадцатеричная (основание - 12), двадцатеричная (основание - 20),
шестидесятеричная (основание - 60) и их следы сохранились до сих
пор. Например, в измерениях времени: 1 сутки = 24 часа (2·12), 1 час
= 60 минут, 1 минута = 60 секунд; в системе мер длин: 1 фут = 12
дюймов; в английской денежной системе: 1 фунт стерлингов = 20
шиллингов; 1 шиллинг = 12 пенсов и т.д. Более того, на сегодняшний
день широкое распространение получили двоичная (основание - 2),
восьмеричная (основание - 8=23) и шестнадцатеричная (основание 16=24) системы счисления, которые используются в вычислительной
технике.
Десятичной записью натурального числа n называется
представление в виде суммы следующего вида:
n = n k ·10k + n k-1 ·10k-1 + …+ n 1 ·101 + n 0 ,
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где n k , n k-1 , …, n 1 , n 0 - целые неотрицательные числа, принимающие
значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Все натуральные числа имеют десятичную запись и только
одну.
Например, 3842 = 3·103 + 8·102 + 4·10 + 3.
3482 = 3·103 + 4·102 + 8·10 + 3.
Аналогично десятичной системе, и в других позиционных
системах счисления любое натуральное число можно представить
единственным образом в виде суммы:
n = n k ·pk + n k-1 ·pk-1 + …+ n 1 ·p1 + n 0 ,
где p – основание системы счисления.
Например, 532 6 = 5·62 + 3·6 + 2.
5174 8 = 5·83 + 1·82 + 7·8 + 4.
В виду многообразия позиционных систем счисления важную
роль играет знание правил перевода чисел из одной системы
счисления в другую.
1) x p  y 10 (перевод чисел из p-ичной системы в десятичную)
Для этого число x нужно представить в виде суммы в p-ичной
системе счисления и выполнить действия по правилам, принятым в
десятичной системе счисления:
x p = x k ·pk + x k-1 ·pk-1 + …+ x 1 ·p1 + x 0 ,= y 10
2) x 10  y p (перевод чисел из десятичной системы в p-ичную)
Для этого разделим число x на p с остатком. Затем полученное
неполное частное снова разделим на p с остатком и т.д. до тех пор,
пока в неполном частном не получится 0. Затем запишем все
полученные остатки в обратном порядке (начиная с последнего).
3) x p  y q (перевод чисел из p-ичной системы в q-ичную)
Для этого, проще всего, разбить задачу на два этапа – сначала
перевести число x из p-ичной системы в десятичную, а затем из
десятичной в q-ичную по указанным выше правилам 1 и 2, т.е. свести
задачу к следующей: x p  z 10  y q
3*) (частный случай правила 3)
Если p=qn, то перевод из одной системы в другую можно
осуществить при помощи таблицы соответствия значений, в которой
каждой цифре p-ичной системы будет соответствовать q-ичное число,
состоящее из n знаков.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
***
Рассмотрим одно из отношений между элементами числовых
множеств
- отношение делимости,
которое фактически
подразумевает деление чисел без остатка, и, поэтому,
непосредственно связано с множеством целых неотрицательных
чисел.
Говорят, что число a делится на число b, если существует
такое число c, что a=bc. В этом случае записывают a  b. Например:
8  2, так как существует такое число 4, что 8=24 и 8 не делится на 3,
так как не существует такого целого неотрицательного числа c, что
8=3c.
Приведем некоторые свойства отношения делимости:
1) Число 0 делится на любое число.
2) Ни одно отличное от нуля число не делится на 0.
3) Любое число делится на 1.
4) Любое число делится на себя.
Если число a делится на число b, то говорят, что число b –
делитель числа a или число a кратно числу b.
Если целые неотрицательные числа a и b делятся на число c, то
c называют общим делителем этих чисел. Множество общих
делителей чисел a и b является пересечением множества делителей
числа a с множеством делителей числа b. Например, A - множество
делителей числа 18. А= {1; 2; 3; 4; 6; 9; 18}. В - множество делителей
числа 30. В = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}. Множество общих делителей
чисел 18 и 30 = AB = {1; 2; 3; 6}.
Из множества общих делителей чисел a и b выделяют
наибольшее и называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Обозначается: НОД(a,b) или D(a,b). Например, НОД(18,30)=6.
Число m называется общим кратным чисел a и b, если оно
кратно и числу a, и числу b. Например: множество A кратных числа 4
= {4; 8; 12; 16; 20 …}, множество В кратных числа 6 = {6; 12; 18; 24
…}. Множество общих кратных чисел 4 и 6 = AB = {12; 24; 36 …}.
Из множества общих кратных чисел a и b выделяют
наименьшее и называют наименьшим общим кратным этих чисел.
Обозначается НОК(a,b) или K(a,b). Например, НОК (4,6)=12.
Правило нахождения НОД(a,b) основано на так называемом
«алгоритме Евклида»:
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть даны два натуральных числа a и b, причем a>b. Разделим
a на b (т.е. большее из этих чисел на меньшее) с остатком, т.е.
представим в виде a=bq 1 +r 1 . Если r≠0, то делитель делим на остаток
(b=r 1 q 2 +r 2 ), затем r 1 =r 2 q 3 +r 3 и т.д. до тех пор, пока не получим в
остатке 0. Последний, отличный от нуля остаток и будет искомым
числом.
Для нахождения НОК(a,b) можно воспользоваться следующим
свойством:
НОД(a,b) · НОК(a,b)=a·b.
Примеры решения задач
Пример 2А. Даны числовые множества A={х | хZ, -4х2} и
В={х | хZ, 0<х<4}. С помощью числовой прямой найдите
пересечение, объединение и разность этих множеств.
Решение: Изобразим данные множества на числовой прямой:
A
В 4
-4
0 1 2
На основе рисунка:
Z
AB={х | хZ, 0<х2},
AB={х | хZ, -4х<4},
A \ B={х | хZ, -4х0}.
Пример 2Б. Перевести из одной системы счисления в другую:
3243 5  y 7
Решение: По правилу 3 разобьем задачу на два этапа:
1) 3243 5  z 10
3243 5 = 3·53 + 2·52 + 4·5 + 3 = 448.
2) z 10  y 7
448 7
448=64·7+0
64 7
64=9·7+1
0
9
7
9=1·7+2
1
1
7
1=0·7+1
2
0
1
Записываем все полученные остатки, начиная с последнего, и
получаем число 1210 7 (в семеричной системе счисления). Таким
образом: 3243 5 = 1210 7 .
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 2В. Перевести из одной системы счисления в другую:
6207 8  y 2
Решение: Поскольку 8=23, то по правилу 3* можно составить
таблицу соответствия между значениями восьмеричной и двоичной
систем, при этом каждой цифре восьмеричной системы ставится в
соответствие трехзначное двоичное число (n=3):
p=8 0
1
2
3
4
5
6
7
q=2 000 001 010 011 100 101 110 111
На основе данных таблицы: 6207 8 = 110010000111 2
Пример 2Г. Найти НОД и НОК следующих чисел: 7975 и 2585.
Решение: По алгоритму Евклида:
7975 = 3·2585+220
a=bq 1 +r 1 , r 1 ≠0
b=r 1 q 2 +r 2 , r 2 ≠0
2585= 11·220+165
r 1 =r 2 q 3 +r 3 , r 3 ≠0
220 = 1·165+55
r 2 =r 3 q 4 +0
165 = 3·55
НОД(7975,2585)=55.
На основании описанного выше свойства:
НОК(7975,2585) = 7975·2585 /НОД(7975,2585)=374825.
Задания для самостоятельного решения
2.1. Задать приведенные числовые множества первым (если это
возможно) и вторым способами:
а) множество целых неотрицательных чисел, меньших 2;
б) множество натуральных чисел, не больших 8;
в) множество целых чисел, заданых на отрезке [-4; 2];
г) множество действительных чисел, заданных на интервале (1;
2).
2.2. Даны числовые множества А и В. С помощью числовой
прямой найдите пересечение, объединение и разность этих множеств
если:
а) A={х | хZ, 2<х8} и В={х | хZ 0 , х<5};
б) A={х | хR, х>1} и В={х | хR, х<5};
в) A={х | хQ, -1х7} и В={х | хQ, 1<х<3};
г) A={х | хN, 7} и В={х | хZ, х>-2}.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Перевести из одной системы счисления в другую:
а) 317 9  x 6 ; б) 115 7  x 4 ; в) 2134 5  x 8 ; г) 1022 3  x 9 .
2.4. Осуществить перевод в 8-ичную, а затем 2-ичную системы:
а) 5783; б) 12923; в) 48291; г) 509111.
2.5. Найти НОД и НОК чисел:
а) 846 и 246; б) 1960 и 588.
2.6. Сократить дробь:
а) 675/960; б) 6570/18432; в) 30720/2055; г) 39424/3157.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Соответствия, отображения, функции
Теория
Теория множеств изучает свойства множеств и операций над
ними, отвлекаясь от природы элементов этих множеств и от способа
их задания. Чтобы можно было прилагать теорию множеств к
решению практических задач, а также для построения
математических теорий, надо рассматривать множества, между
элементами которых определены те или иные отношения.
Рассмотрим пример. Пусть даны два множества X={2; 3; 6} и
Y={1; 4; 6; 8} и пусть xX, yY. Для различных элементов данных
множеств могут быть справедливы следующие утверждения: «x>y»,
«x<y», «x=y», …
Бинарным соответствием R между множествами X и Y
называют тройку множеств (X, Y, Г), где X – область отправления
соответствия; Y – область прибытия соответствия; Г – график
соответствия.
Если множества X и Y конечны, то соответствия между ними
можно задать в виде таблиц или ориентированных графов (особых
чертежей, состоящих из точек и стрелок).
Например, Х = {Андреева; Иванов; Калинина; Лазарева;
Петров; Сидоров}, Y = {первая парта; вторая парта; третья парта}.
Соответствие R: «Студент x сидит за партой y». Заштрихованные
клетки образуют график данного соответствия.
Первая
парта
Вторая
парта
Третья
парта
Андреева
Иванов
Калинина
Лазарева
Петров
Сидоров
При задании соответствия с помощью ориентированных графов,
элементы множеств X и Y обозначают точками, а стрелки проводят из
точек множества X в точки множества Y согласно графику
соответствия (рис. 3.1).
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
X
Y
Андреева
1 парта
Иванов
Калинина
2 парта
Лазарева
3 парта
Петров
Рис. 3.1
Сидоров
Рассмотрим граф некоторого соответствия между множествами
X и Y (рис.3.2.). Возьмем какую-нибудь точку множества X, например
a, и все стрелки, выходящие из этой точки. Множество концов этих
стрелок называют образом элемента a при соответствии R и
обозначают R(a), т.е. R(a) = {t; x; y}.
X
Y
a
t
b
x
c
y
d
z
Рис. 3.2
Возьмем теперь какой-нибудь элемент из множества Y,
например t, и все стрелки, которые оканчиваются в этом элементе.
Множество начал этих стрелок называют полным прообразом
элемента t при соответствии R и обозначают R-1(t), т.е.
R-1(t)={a;
c; d}.
***
Рассмотрим один важный частный случай соответствия.
Отображением множества X в множество Y называют такое
соответствие между этими множествами, что образ любого элемента
aX состоит из одного и только одного элемента множества Y.
На ориентированном графе отображение будет выглядеть
следующим образом: из каждой точки множества X будет выходить
одна и только одна стрелка. Например, соответствие, изображенное
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на рис. 2.1 является отображением, а на рис. 2.2 – нет (из точек a и d
выходит более одной стрелки, а из точки b – ни одной стрелки).
Отображения множеств обычно обозначают так:
f
f : X  Y или X 

Y.
Виды отображений:
f
1) Отображение X 

Y называется сюръективным, если
f(X)=Y. На графе сюръективного отображения в каждую точку
множества Y обязательно входит хотя бы одна стрелка (рис. 3.3).
f
2) Отображение X 

Y называется инъективным, если
каждому элементу yf(X) соответствует один и только один элемент
xX. На графе инъективного отображения в каждую точку множества
Y может входить не более одной стрелки (рис. 3.4).
f
3) Отображение X 

Y называется биективным (или
взаимно-однозначным), если оно является сюръективным и
инъективным.
X
a
t
b
c
Y
X
a
t
x
b
x
y
c
y
d
Y
z
Рис. 3.3
Рис. 3.4
***
Пусть дано числовое множество XR. Числовой функцией
f
называют отображение X 

R и обозначают y=f(x). Другими
словами, каждому числу xX ставится в соответствие некоторое
число y=f(x). Множество X называют областью определения
функции, а элемент xX – аргументом функции. Множество Y=f(X)
называют множеством значений функции.
Графиком функции y=f(x) называют множество пар (x; y)
таких, что xX , а y=f(x). Каждой такой паре соответствует точка М на
координатной плоскости, имеющая координаты (x; f(x)).
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обычно график функции изображается некоторой линией на
координатной плоскости (рис. 3.5). Однако не всякая линия может
служить графиком функции, поскольку на каждой прямой,
параллельной оси Oy, может лежать не более одной точки графика
функции. Поэтому, например, окружность не является графиком
какой-либо функции (рис. 3.6).
y
y
В
x
0
x
0
А
Рис. 3.5
График функции y=sin(x)
Рис. 3.6
Окружность
Рассмотрим некоторые основные виды числовых функций.
1. Прямая пропорциональность
Функция вида y=kx, где k0, называется прямой
пропорциональностью, k – коэффициент пропорциональности. Для
нахождения k достаточно знать одну пару значений (x 0 ;y 0 )(0;0).
Тогда
k
y0
. Графиком данной функции является прямая,
x0
проходящая через начало координат, причем коэффициент
пропорциональности k совпадает с угловым коэффициентом графика
функции y=kx (рис. 3.7).
2. Линейная функция
Функция вида y=kx+b, где k0, называется линейной функцией,
k – коэффициент пропорциональности, b – свободный коэффициент.
Для нахождения k достаточно знать две пары значений (x 1 ;y 1 ) и
(x 2 ;y 2 ). Тогда k 
y 2  y1
. Графиком данной функции является
x 2  x1
прямая линия, проходящая через точку (0; b)
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(рис. 3.8). Фактически, прямая пропорциональность является частным
случаем линейной функции (когда b=0).
4
4
4
2
2
2
0
2
4
4
2
0
2
2
4
4
Рис. 3.7
График функции y=2x
2
4
Рис. 3.8
График функции y=2x+2
3. Обратная пропорциональность
Функция
вида
y
k
,
x
где
k0,
называется
обратной
пропорциональностью, k – коэффициент пропорциональности. Для
нахождения k достаточно знать одну пару значений (x 0 ;y 0 )(0;0).
Тогда k  x0  y 0 . Графиком данной функции является гипербола,
причем если k>0, то ее ветви находятся в I и III четвертях, а если k<0,
то - во II и IV четвертях (рис. 3.9). Оси координат являются
горизонтальной и вертикальной асимптотами графика функции (т.е.
ветви гиперболы стремятся к ним, но никогда их не коснуться).
4. Квадратичная функция
Функция вида y=ax2+bx+c, где a0, называется квадратичной
функцией, a,b и c – коэффициенты. Графиком данной функции
является парабола, причем если a>0, то ее ветви направлены вверх, а
если a<0, то - вниз (рис. 3.10). Точка O 1 с координатами ( 
b
;
2a
4ac  b 2
) является вершиной параболы.
4a
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
3
2
1
4
3
2
1
1
2
3
4
1
4
3
2
1
0
1
2
1
0
1
2
3
2
4
3
4
5
Рис. 3.9
График функции y=1/x
Рис. 3.10
График функции y=x2+2x-4
5. Дробно-линейная функция
y
Функция вида
ax  b
, где с0, называется дробноcx  d
линейной функцией, a,b, c и d – коэффициенты. Графиком данной
функции является гипербола (рис. 3.11). Точка O 1 с координатами
 d a
  ;  является точкой пересечения асимптот графика.
 c c
4
3
2
1
4
3
2
1
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Рис. 3.11. График функции
y=
2x  2
4x  2
При построении графиков функций обычно пользуются одним
из двух основных способов построения графиков.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I. Построение графика «по точкам».
Поскольку график функции y=f(x) обычно состоит из
бесконечного множества точек, то нельзя изобразить его точно, а
можно лишь сделать эскиз такого графика. Часто строят график,
отыскивая несколько точек, принадлежащих этому графику, соединяя
их достаточно гладкой линией. При этом предварительно составляют
таблицу значений этой функции.
II. Построение графика путем параллельного переноса.
Часто можно построить график функции путем параллельного
переноса уже известного графика. Рассмотрим следующие примеры.
а) График любой квадратичной функции y=ax2+bx+c, можно
построить из графика функции y=ax2. Для этого необходимо:
- построить (по точкам или на основе свойств) параболу y=ax2;
- перенести полученный график так, чтобы точка O (0;0) перешла в
точку O 1 ( 
b 4ac  b 2
;
).
2a
4a
б) График любой дробно-линейной функции y 
построить из графика функции y 
ax  b
, можно
cx  d
k
. Для этого необходимо:
x
- построить (по точкам или на основе свойств) гиперболу y 
k
bc  ad
;
c2
k
, где
x
- перенести полученный график так, чтобы точка O (0;0) перешла в
 d a
; .
 c c
точку O 1  
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры решения задач
Пример 3.А. Даны два множества: А={2;4;6} и B={3;5;7;9}.
Между ними установлено соответствие R: «a>b», aA, bB. Задать
соответствие R в виде таблицы и в виде ориентированного графа.
В
Решение:
3
5
7
А
9
А
2
4
6
2
3
4
5
6
7
В
9
Пример 3.Б. Построить график функции y=x2 «по точкам».
x
y
Решение:
-4
-3
16
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
16
14
12
10
8
6
4
2
4
3
2
1
0
1
2
3
4
Пример 3.В. Построить график квадратичной функции y=x2–
4x+6 путем параллельного переноса.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение:
16
14
12
10
8
6
4
2
построим
график
функции
y=x2
(по
точкам);
- переносим полученный
график так, чтобы точка
O (0;0) перешла в точку
O 1 (2;2).
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
Пример 3.Г. Построить график дробно-линейной функции
у
x 3
путем параллельного переноса.
x 1
Решение:
-
y
построим
8
6
4
2
гиперболу
4
(по точкам);
x
- перенесем полученный
график так, чтобы точка
O (0;0) перешла в точку
O 1 (-1;1).
8
6
4
2
2
4
6
8
0
2
4
6
8
Задания для самостоятельного решения
3.1. Для множеств X и Y задать соответствие R в виде таблицы и
в виде ориентированного графа:
а) X={1; 3; 5; 7}, Y={2; 4; 6; 8}, R: «xy», xX, yY.
б) X={11; 10; 9; 8}, Y={9; 5; 11; 12; 10}, R: «x=y», xX, yY.
3.2. Построить график функции «по точкам»:
а) y = 3x - 4; б) y = -2x2 + 8; в) у  
x 1
4
; г) у 
.
x
x 1
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3. Построить график квадратичной функции путем
параллельного переноса:
а) у  2 x 2  8 x  3 ; б) у  2 x 2  4 x  8 ; в) у  x 2  8 x  12 ; г)
у  2 x 2  5 x .
3.4. Построить дробно-линейной функции путем параллельного
переноса:
а) у 
x4
3x  4
4
2x  4
; б) у 
; в) у 
; г) у 
.
2x  3
2x  2
2 x  10
x 1
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 4. Высказывания и операции над ними
Теория
Высказыванием
называется
любое
повествовательное
предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
Например, предложения «Все люди голубоглазы», «Существуют
одногорбые верблюды» – являются высказываниями, первое из
которых ложно, а второе истинно.
Высказываниями
не
считаются:
вопросительные
и
восклицательные предложения (например, «Как пройти в
библиотеку?», «С Днем рожденья!»), а также предложения,
содержащие переменные, которые могут принимать различные
значения (например, «х + 3 = 5», «Поэт х написал поэму у»).
Высказывания обычно обозначают заглавными буквами
латинского алфавита, например А, В, С, D, …
Из заданных высказываний А и В можно составить новые
высказывания, используя связки «и», «или», «если ..., то...», «тогда и
только тогда, когда», а также частицу «не». Полученные
высказывания называют составными, а входящие в них высказывания
A и B – элементарными высказываниями. Например: А: «Сегодня
полнолуние», В: «Я буду петь» - элементарные высказывания; «Если
сегодня полнолуние, то я буду петь» - составное.
Два составных высказывания A и B называются равносильными
(или эквивалентными), если они одновременно истинны или
одновременно ложны при любых предположениях об истинности
входящих в них элементарных высказываний. Записывают: A=В.
***
Пусть дано некоторое высказывание А. Отрицанием
высказывания A называют высказывание «не-A» и обозначают
символом A . Например А: «Москва – столица России», A : «Москва
не является столицей России» (или «Неверно, что Москва – столица
России»). Если некоторое высказывание истинно, то его отрицание
ложно, и наоборот. Это утверждение удобно записать при помощи
таблицы истинности.
A
И
Л
A
Л
И
(И – истинное высказывание,
Л - ложное высказывание).
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойство отрицания: любое высказывание A равносильно
высказыванию A , т.е. A = A .
Пусть A и B – два элементарных высказывания. Конъюнкцией
данных высказываний называется высказывание «A и B» и
обозначается AB. Например, А: «4 делится на 2», В: «4 больше 2»,
AB: «4 делится на 2 и 4 больше 2». Конъюнкция двух высказываний
истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны
одновременно. В остальных случаях конъюнкция ложна.
A
B
AB
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Свойства конъюнкции:
1) Коммутативность: AB = ВА, для любых двух высказываний А и
В.
2) Ассоциативность: (AB)С = A(BC), для любых А, В и С.
3) Конъюнкция A  A тождественно ложна, т.е.: A  A = Л.
Пусть A и B – два элементарных высказывания. Дизъюнкцией
данных высказываний называется высказывание «A или B» и
обозначается AB. Например, А: «4 больше 2», В: «4 равно 2», AB:
«4 больше 2 или 4 равно 2». Дизъюнкция двух высказываний ложна
тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны одновременно. В
остальных случаях дизъюнкция истинна.
A
B
AB
И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
Свойства дизъюнкции:
1) Коммутативность: AB = ВА, для любых двух высказываний А и
В.
2) Ассоциативность: (AB)С = A (BC), для любых А, В и С.
3) Конъюнкция A  A тождественно истинна, т.е.: A  A = И.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4) Дистрибутивность: а) (AB)С=(AС)(BС);
б) (AB)C=(AC)(BC).
5) Законы де Моргана: а) A  B  A  B ; б) A  B  A  B .
Пусть A и B – два элементарных высказывания. Импликацией
данных высказываний называется высказывание «Если A, то B» и
обозначается АВ. Например, А: «Сейчас 8 утра», В: «Я иду в
институт», АВ: «Если сейчас 8 утра, то я иду в институт».
Условились считать, импликация двух высказываний ложна тогда и
только тогда, когда первое высказывание (посылка) - истинно, а
второе (заключение) - ложно. В остальных случаях импликация
истинна.
A
B
АВ
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Свойства импликации:
1) (AВ)=( A  B ).
2) Закон контрапозиции: АВ= B  A .
Пусть A и B – два элементарных высказывания.
Эквиваленцией данных высказываний называется высказывание «A
тогда и только тогда, когда B» и обозначается АВ. Например, А: «Я
не хожу в школу», В: «Сегодня выходной день», АВ: «Я не хожу в
школу тогда и только тогда, когда выходной». Эквиваленция двух
высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания
одновременно истинны или одновременно ложны. В остальных
случаях эквиваленция ложна.
A
B
А В
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
Составные высказывания, истинные при любых предложениях о
входящих в них элементарных высказываниях, называют
тавтологиями. Например, ABBA и ABBA – тавтологии.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
***
Логические операции делятся по старшинству, что позволяет
избежать при записи составных высказываний большого количества
скобок. Наибольший приоритет имеет отрицание, затем конъюнкция,
затем дизъюнкция, затем импликация, и самый низкий приоритет
имеет эквиваленция.
При составлении таблиц истинности составных высказываний
применяют следующее правило: перебирают все возможные
варианты значений истинности элементарных высказываний,
входящих в составное. Число таких вариантов (т.е. число строк
таблицы) равно 2n, где n – количество элементарных высказываний.
Например, число строк таблицы истинности для формулы ABBA
равно 4 (22), а для формулы A  ( B  C ) равно 8 (23).
В заключении составим таблицу соответствия между
основными понятиями теории множеств и математической логики:
Теория множеств
Логика
Множество
Высказывание
Объединение
Дизъюнкция
Пересечение
Конъюнкция
Дополнение
Отрицание
Универсальное множество
Тавтология
Примеры решения задач
Пример
4.А.
Составьте
таблицу
истинности
формулы: A  ( B  C ) .
A
B
C
BC
A(BC)
И
И
И
И
И
И
И
Л
И
И
И
Л
И
И
И
И
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
Л
Л
для
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 4.Б. Докажите следующее равенство:
(AB)С = A(BC).
A
B
C
AB
(AB)C
ВС
И
И
И
И
И
И
И
И
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Равенство доказано.
A(BC)
И
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Пример 4.В. Докажите следующую тавтологию:
ABBA
A
B
AB
ВА ABBA
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
ABBA – тавтология.
И
Л
Л
Л
И
И
И
И
Задания для самостоятельного решения
4.1. Избавиться от лишних скобок в записи высказывания:
а) (( A  ( B  C ))  B )  A ;
б) ( B  (C  A))  ( A  ( B  C )) ;
в) (( A  B)  C )  ( A  B) .
4.2. Составьте таблицу истинности для следующей формулы:
а) A  B  A ;
б) B  C  C ;
в) A  (B  C ) ;
г) A  ( B  C ) ;
д) A  B  C ;
е) A  B  C ;
ж) A  B  C ;
з) A  B  C .
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.3. Даны следующие высказывания:
А: «Я буду решать задачи», В: «Сегодня солнечно»,
С: «Сегодня понедельник».
Определите их истинность (например, для текущего дня).
Запишите указанные формулы в словесной форме, составьте для них
таблицы, и определите их истинность (с учетом истинности
элементарных высказываний):
а) A  ( B  C ) ;
б) A  (B  C ) ;
в) A  ( B  C ) ;
г). A  ( B  C ) .
4.4. Докажите следующее равенство:
а) (AВ) = ( A  B ); б) (AB)С = (AС)(BС);
в) АВ = B  A ;
г) (AB)C = (AC)(BC).
4.5. Докажите следующую тавтологию:
а) ABBA;
б) ((AB)A)B;
в) A  B  A  B ;
г) A  B  A  B .
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Теория вероятностей с элементами комбинаторики
Теория
Наблюдаемые нами события (или явления) можно подразделить
на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Событие называется достоверным, если в результате некоторого
испытания (эксперимента) оно обязательно произойдет (обозначается:
). Событие называется невозможным, если в результате испытания
оно заведомо не произойдет (обозначается: ).
Событие называется случайным, если в результате испытания
оно может либо произойти, либо не произойти (обозначаются: А, В, С,
D, … ).
Пример. Испытание – бросание игральной кости. А – выпадение
целого числа очков от 1 до 6 (А - достоверное событие), В –
выпадение 1 и 2 очков одновременно (В – невозможное событие), С –
выпадение 1 очка (С – случайное событие).
Предметом
теории
вероятностей
является
изучение
закономерностей случайных событий. Рассмотрим их виды.
События А и В называют несовместными, если появление
одного из них в одном и том же испытании исключает появление
другого. Например, испытание – бросание монеты. А - выпадение
«орла», В - выпадение «решки». А и В – несовместные события.
Несколько событий образуют полную группу, если в
результате испытания произойдет хотя бы одно из них. Например,
испытание – выстрел стрелка по мишени. При этом обязательно
произойдет одно из двух следующих событий: А – попадание в
мишень, В - промах.
События называют равновозможными, если есть основания
считать, что ни одно из них не является более возможным, чем
другое. Например, испытание – бросание игральной кости. Выпадение
1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков можно считать равновозможными событиями,
если предположить, что игральная кость изготовлена из однородного
материала и имеет форму правильного многогранника.
Пусть проводится некоторое испытание, которое может иметь n
и только n различных исходов (событий), причем все эти
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
исходы попарно несовместны и равновозможны. Число р(А), равное
отношению числа исходов k, благоприятствующих событию А, к
числу всевозможных исходов n, называют вероятностью события А,
т.е.:
р  А 
k
.
n
Свойства вероятности:
1) 0  р(А)  1;
2) р() = 1;
3) р() = 0.
Пример. Испытание – бросание игральной кости. А - выпадение
3-х очков. Решение: k = 1, n = 6, р  А 
1
.
6
***
При непосредственном вычислении вероятностей найти k и n
вручную часто бывает затруднительно – приходится считать большое
количество комбинаций. Поэтому, используют формулы и правила
комбинаторики (подраздела теории вероятностей, изучающего
различные комбинации). Приведем наиболее употребительные из них.
Перестановками без повторений называют комбинации,
состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся
только порядком их расположения. Число всех возможных
перестановок из n элементов обозначается:
P n = n! (говорят «n–факториал»), где n! = 123…n.
Пример. Сколькими способами можно рассадить на скамейке 9
человек? Решение: P 9 = 9! =362880.
Размещениями без повторений называют комбинации,
составленные из n различных элементов по k элементов, которые
отличаются хотя бы одним элементом, либо их порядком. Число всех
возможных размещений из n по k обозначается:
Ank 
n!
( n  k )!
Пример. Сколько всего 6-значных телефонных номеров, в
каждом из которых цифры не повторяются? Решение:
A106 
10!
(106 )!
 104!! = 5678910=151200.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сочетаниями без повторений называют комбинации,
составленные из n различных элементов по k элементов, которые
отличаются хотя бы одним элементом. Число всех возможных
сочетаний из n по k обозначается:
Cnk 
n!
( n k )!k !
Пример. Сколькими способами можно выбрать делегацию – 5
человек – из группы, содержащей 12 человек? Решение:
C125  712!5!!  8192103114512  792 .
При решении комбинаторных задач можно использовать
следующую схему
Комбинации, отличаются друг от друга …
порядком элементов
Перестановки
P n = n!
составом элементов
Размещения
Ank 
n!
( n  k )!
Сочетания
Cnk 
n!
( n  k )!k !
Правило суммы. Если элемент a может быть выбран из
совокупности элементов n способами, а другой элемент b из другой
совокупности – m способами, то выбрать либо a, либо b можно (m+n)
способами.
Например, гласную букву из русского алфавита можно выбрать
10 способами, согласную – 23 способами, а гласную или согласную
10+23=33 способами.
Правило произведения. Если элемент a можно выбрать из
совокупности элементов m способами, и после каждого такого выбора
элемент b можно выбрать n способами, то пару элементов (а; b) в
указанном порядке может быть выбрана m·n способами.
Пример. Из деревни A в деревню B ведут три дороги, а из B в С
ведут две дороги. Сколькими способами можно пройти из A в C через
B? Решение: Дорогу из А в В можно выбрать 3-мя
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
способами, а дорогу из В в С - 2-мя способами. Таким образом, пару
дорог А-В и В-С можно выбрать 23=6 способами.
Рассмотрим пример нахождения вероятности события с
использованием формул и правил комбинаторики.
Пример. В коробке 4 красных и 6 зеленых карандашей. Наудачу
вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что из них 2
красных и 1 зеленый карандаш? Решение: n= С103 , k= С 42  С 61 .
р  А 
C 42 C 61
4!6!3!7!
3

 .
3
2  2  5!10! 10
C10
***
Суммой событий А и В называется событие, в результате
которого происходит или событие А, или событие В (или оба эти
события). Обозначается: А+В. Например: Испытание – стрельба из
оружия (2 раза). А – попадание при первом выстреле, В – попадание
при втором выстреле (А+В – попадание при первом выстреле, или при
втором, или в обоих выстрелах).
Свойства суммы событий:
1) если А и В – несовместны, то p(A+B)= p(A)+ p(B);
2) если события А 1 , А 2 , …, А n образуют полную группу, то
p(А 1 )+ p(А 2 )+ …+p(А n )=1;
3) если полную группу образуют только два единственно
возможных события, то их называют противоположными
и обозначают А и A . При этом очевидно, что: p(А)+ p( A )=1.
Произведением событий А и В называется событие, в
результате которого одновременно происходит и событие А, и
событие В (обозначается: АВ). Например: Испытание – проверка
деталей. А – деталь стандартной формы, В – деталь окрашенная. АВ –
деталь стандартная и окрашенная, A В – деталь нестандартная и
окрашенная и т.п.
Иногда в практических задачах, при последовательном
вычислении вероятностей двух или более событий, на последующие
события могут накладываться дополнительные условия.
Условной вероятностью р(В/А) называют вероятность события
В при условии, что событие А уже произошло. В этом случае говорят,
что события А и В зависимы друг от друга.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример. В коробке 5 белых и 5 черных шаров. Наудачу
извлекают один шар, не возвращая его обратно, затем извлекают
другой. Найти вероятность событий: А – в первом случае появится
белый шар; В – во втором случае - черный. Решение: р(А)=5/10=0,5;
р(В)=р(В/А)=5/9=0,56.
Если появление события А не изменяет вероятности события В,
то события А и В называют независимыми.
Пример. В коробке 5 белых и 5 черных шаров. Наудачу
извлекают один шар, и возвращают обратно, затем извлекают другой.
Найти вероятность событий: А – в первом случае появится белый шар;
В – во втором случае - черный. Решение: р(А)=5/10=0,5;
р(В)=5/10=0,5.
Свойства произведения событий (теорема умножения):
1) Если события А и В являются зависимыми, то
р(АВ)= р(А)  р(В/А).
2) Если события А и В являются независимыми, то
р(АВ)= р(А)  р(В).
Использование свойств суммы и произведения событий
продемонстрируем на следующем примере.
Пример. Имеется 25 экзаменационных билетов. Из них 5 –
«счастливых». Два студента сдают экзамен. У кого из них до начала
экзамена вероятность вытащить «счастливый» билет (фактически –
сдать экзамен) больше у того, кто идет первым или вторым?
Решение. Пусть А – первый студент вынул «счастливый» билет,
А – первый студент вынул «несчастливый» билет, В – второй студент
5 1
 , В=АВ+ А В,
25 5
1 4 4 5 6 1
+ 
=
= .
р(В)=р(А)р(В/А)+р( А )р(В/ А )= 
5 24 5 24 30 5
вынул
«счастливый»
билет.
р(А)=
Т.о., вероятность до экзамена одинакова.
***
Ранее уже приводились события, состоящие в появлении того
или иного числа. Например, при бросании игральной кости могут
появиться целые числа от 1 до 6. Но заранее определить число
выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
многих случайных причин. Можно сказать, что число очков – есть
величина случайная, а целые числа от 1 до 6 – возможные значения
этой величины.
Случайная величина Х – это числовая функция, определенная
на множестве элементарных событий. Множество значений этой
функции х 1 , х 2 , …, х n , … называют множеством возможных
значений случайной величины.
Случайные величины, имеющие счетные множества
возможных значений, называют дискретными. Дискретная случайная
величина определена, если известны все ее значения и
соответствующие им вероятности. Соотношение между возможными
значениями случайной величины и соответствующими им
вероятностями называют распределением вероятностей случайной
величины. Для дискретной случайной величины это соответствие
может быть задано в виде таблицы:
…
x1
xi
x2
xn
…
pi
p1
p2
pn
где р 1 + р 2 + …+ р n =1.
Например, Х - количество попаданий стрелка в мишень при трех
выстрелах задано следующим распределением:
xi
0
1
2
3
pi
0,512 0,384 0,096 0,008
0,512+0,384+0,096+0,008=1.
Иногда удобнее пользоваться числами, которые описывают
случайную величину не по отдельным значениям, а в целом. Такие
числа называют числовыми характеристиками случайной величины.
Математическим ожиданием (средним значением) дискретной
случайной величины Х называют сумму произведений всех ее
возможных значений на соответствующие им вероятности, т.е.:
M(Х) = x 1 р 1 + x 2 р 2 + …+ x n р n .
Математическое ожидание случайной величины также
называют средним значением случайной величины.
Дисперсией дискретной случайной величины Х называют
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины
от ее математического ожидания, т.е.:
D(X) = / M(Х - М(Х))2 / или D(X) = / М(Х2)– (М(Х))2 /.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дисперсия случайной величины характеризует степень
отклонения случайной величины от своего среднего значения или
степень разброса случайной величины.
Средним
квадратическим
отклонением
дискретной
случайной величины называют корень квадратный из дисперсии, т.е.:
(Х) = D Х  . Среднее квадратическое отклонение, в отличие от
дисперсии, имеет одинаковую размерность с самой случайной
величиной, что практически более удобно.
Пример. Случайная величина Х задана следующей таблицей
распределения вероятностей:
xi
pi
2
0,1
5
0,4
8
0,3
9
0,2
Найти M(Х), D(X) и (Х).
Решение: M(Х) = 20,1+50,4+80,3+90,2=6,4.
М(Х2)= 220,1+520,4+820,3+920,2=45,8.
D(X) = / М(Х2)– (М(Х))2/ = 45,8-6,42=4,84. (Х) = D Х  =2,2.
Установим соответствие между основными понятиями теории
множеств и теории вероятностей:
Теория множеств
Теория вероятностей
Множество
Случайное событие
Объединение
Сумма
Пересечение
Произведение
Непересекающиеся множества
Несовместные события
Дополнение
Противоположное событие
Универсальное множество
Достоверное событие
Пустое множество
Невозможное событие
Примеры решения задач
Пример 5.А. Имеется пять видов конвертов без марок и
четыре вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и
марку для посылки письма?
По правилу произведения (комбинаторика) 54=20.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 5.Б. Сколькими способами можно составить
трехцветный флаг с тремя горизонтальными полосами одной и той
же ширины, если есть материя пяти различных цветов?
Возможные комбинации полос могут отличаться друг от друга
как порядком,так и составом элементов, поэтому используем формулу
для размещений:
A53 
5!
( 53)!

5!
2!
= 345=60.
Пример 5.В. У одного человека есть 8 книг по математике, а у
другого – только 6 книг по данному предмету. Сколькими способами
они могут обменять три книги одного человека на три книги другого
человека?
Возможные комбинации книг каждого человека могут
отличаться друг от друга только составом элементов, поэтому
используем формулу для сочетаний. Поскольку происходит обмен
между двумя людьми (пары книг), то также применим правило
произведения:
С83  С 63 =
8! 6!
= 7  8  4  5 =1120.

3!5! 3!3!
Пример 5.Г. Испытание - из 35 пронумерованных
экзаменационных билетов и наудачу извлекается 1. А – номер
вытянутого билета делится на 3. Решение: k = 11 (3, 6, … 33), n = 35,
р  А 
11
.
35
Пример 5.Д. Для дежурства на вечере путем жеребьевки
выделяются 5 человек. Вечер проводит оргкомитет в составе 10
юношей и 2 девушек. Какова вероятность того, что в число
дежурных войдут обе девушки?
Комбинации дежурных будут отличаться только составом
(порядок среди 5 дежурных не важен), поэтому используется формула
для сочетаний. Число всевозможных исходов n = С125 . Число
благоприятных исходов k= С 22  С103 .
р  А 
C 22 C103 5!7!10!
45
5



 0,15.
5
12!3!7! 11  12 33
C12
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 5.Е. В двух коробках лежат карандаши разного цвета:
в 1-й – 4 красных, 6 черных; во 2-й – 3 красных, 5 синих, 2 черных. Из
обеих коробок наудачу выбирается по одному карандашу. Какова
вероятность того, что оба карандаша окажутся красными?
Событие А – вынутый карандаш из 1-й коробки – красный,
р(А)=0,4; В – вынутый карандаш из 2-й коробки – красный, р(В)=0,3.
АВ - оба вынутых карандаша – красные. События А и В –
независимы, поэтому р(АВ)= р(А)  р(В) = 0,40,3=0,12.
Пример 5Ж. Студент берет билет 2 раза из 34 предлагаемых на
экзамене. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он
подготовил 30 билетов и первый раз вынул неудачный билет.
Решение: Пусть А – первый раз вынут «неудачный билет», В – второй
раз вынут «удачный билет» События А и В - зависимы. р(АВ)= р(А) 
р(В/А) =
4 30

 0,107.
34 33
Пример 5.З. Случайная величина Х задана следующей таблицей
распределения вероятностей:
0
2
4
6
xi
pi
0,2
0,4
0,1
Найти p(x=4), M(Х), D(X) и (Х).
0,2+0,4+x+0,1=1  x=0,3. M(Х) = 00,2+20,4+40,3+60,1=2,6.
М(Х2)= 020,2+220,4+420,3+620,1=10.
D(X) = / М(Х2)– (М(Х))2 / =10-2,62=3,24. (Х) = D Х  =1,8.
Задания для самостоятельного решения
5.1. Сколькими способами можно из слова «здание» выбрать
две буквы, одна из которых гласная, другая согласная?
5.2. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего рода
надо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами
это можно сделать?
5.3. Сколькими способами можно из слова «космонавт» выбрать
две буквы, одна из которых гласная, а другая согласная?
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2,
3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
5.5. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было
непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков
(русского, английского, немецкого, французского и итальянского) на
любой другой из них?
5.6. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, если ни одно из этих чисел не содержит двух
повторяющихся цифр?
5.7. Сколькими способами можно выбрать четыре краски из
шести различных красок?
5.8. Рота состоит из трех офицеров, 4 сержантов и 20 рядовых.
Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из
одного офицера, двух сержантов и 10 рядовых?
5.9. На вечеринке присутствуют 12 девушек и 15 юношей.
Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?
5.10. Какова вероятность того, что наудачу выбранное
двузначное число не содержит ни одной двойки?
5.11. Из полного набора шахмат наудачу извлекают две фигуры
или пешки. Какова вероятность того, что обе из них окажутся
слонами?
5.12. Брошены две игральные кости. Какова вероятность, что
сумма выпавших очков равна 4?
5.13. Экзаменационные работы по математике для абитуриентов
зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова
вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?
5.14. Группа туристов из 7 юношей и 5 девушек выбирает по
жребию хозяйственную команду из 4-х человек. Какова вероятность,
что в составе этой команды окажутся два юноши и две девушки?
5.15. В 28 билетах по два теоретических вопроса и одной
задаче. Студент подготовил 50 теоретических вопросов и 22 задачи.
Найти вероятность того, что, вытащив наудачу один билет, студент
ответит на теоретические вопросы и решит задачу.
5.16. Вероятность решения студентом контрольной работы
равна 0,8. Если контрольная решена, то студент допускается к
экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,9. Если контрольная не
решена, то студент также допускается к экзамену, вероятность сдачи
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которого равна 0,5. Найти вероятности следующих событий: а)
студент решил контрольную и сдал экзамен; б) студент решил
контрольную, но не сдал экзамен; в) студент не решил контрольную,
но сдал экзамен; г) студент не решил контрольную и не сдал экзамен.
Образуют ли перечисленные события полную группу?
5.17. Случайная величина Х задана следующей таблицей
распределения вероятностей:
xi
2
3
6
7
8
10
pi
0,1
0,2
0,2
0,15
0,1
Найти p(x=6), M(Х), D(X) и (Х).
5.18. Среднесуточная температура воздуха для некоторой
местности удовлетворяет следующему закону распределения
вероятностей:
ti
0
1
2
3
4
5
6
7
8
pi
1
1
1
2
4
1
1
1
1
15
15
15
15
15
5
10
15
30
Найти M(t), D(t) и (t).
5.19. Случайная величина X – суммарное число очков при
бросании двух игральных костей. Составить таблицу распределения
вероятностей случайной величины X. Найти M(Х), D(X) и (Х).
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Элементы математической статистики
Теория
Установление закономерностей, которым подчинены массовые
случайные явления, основано на изучении методами теории
вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.
Одна из основных задач математической статистики – определение
способов сбора и группировки статистических сведений, полученных
в результате наблюдений или экспериментов.
Пусть в одинаковых условиях проводится n опытов и пусть в
результате этих опытов мы получили х 1 , х 2 , …, х n данных (в общем
случае – случайных величин). Так как проводится один опыт, то эти
случайные величины можно считать конкретной реализацией какойто одной случайной величины Х, которая называется генеральной
совокупностью. х 1 , х 2 , …, х n – выборка из генеральной
совокупности, число данных n – объем выборки, R = x max – x min –
размах выборки.
Пример. Путем опроса получены следующие данные о возрасте
25 студентов первого курса: 18, 17, 23, 18, 17, 19, 18, 20, 17, 22, 19, 21,
18, 18, 17, 22, 18, 21, 17, 21, 18, 19, 17, 23, 17. Объем выборки n = 25,
размах выборки R = 23 – 17 = 6.
Как видно из примера, выборочные значения, записанные в
порядке их регистрации, обычно неудобны для дальнейшего анализа,
поэтому проводят первичную обработку выборки:
1) Упорядочение. Чаще всего выборку упорядочивают по
возрастанию - х 1  х 2  … х n . Такая упорядоченная выборка
называется вариационным рядом. Например, показанная ранее
выборка студентов будет иметь следующий вариационный ряд: 17, 17,
17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 21, 21, 21, 22,
22, 23, 23.
2. Частотный анализ. Пусть выборка х 1 , х 2 , …, х n содержит k
(kn) различных чисел: y 1 , y 2 , …, y k , причем число y i встречается n i
раз. Число n i называется частотой элемента выборки y i . Ясно, что n 1 +
n 2 +…+ n k =n. Совокупность пар (y i ; n i ) называется статистическим
рядом (или рядом распределения частот) выборки. Статистический
ряд удобнее всего представлять в виде таблицы, в первой строке
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которой указываются значения, а во второй – их частоты. Например,
для показанной нами выборки из 25 студентов:
17
18
19
20
21
22
23
yi
7
7
3
1
3
2
2
ni
Величина v i = n i /n называется относительной частотой
значения y i . Ясно, что v 1 + v 2 +…+ v k =1. Совокупность пар (y i ; v i )
называется рядом распределения относительных частот. Данный
ряд также удобнее представлять в виде таблицы:
17
18
19
20
21
22
23
yi
0,28
0,28
0,12
0,04
0,12
0,08
0,08
vi
3) Группировка. При очень большом объеме выборки ее
элементы объединяют в группы (классы), представляя результаты
опытов в виде группированного статистического ряда. Для этого
интервал, содержащий все значения выборки, разбивают на k
непересекающихся интервалов (удобнее разбивать на равные
интервалы). При этом считается, что правая граница интервала
принадлежит следующему интервалу. Например:
17-19 19-21 21-23
yi
14
4
7
ni
0,56
0,16
0,28
vi
Для наглядного представления генеральной совокупности
используется специальный график – гистограмма. Строится она
следующим образом: пусть длина каждого маленького промежутка
(интервала) равна h. Построим на i-м промежутке как на основании
прямоугольник высотой
vi
. Ясно, что площадь каждого такого
h
прямоугольника будет равна v i , а суммарная площадь всех
прямоугольников равна 1. Построенная гистограмма называется
гистограммой относительных частот.
0,28
vi
h
0,14
0,08
17
19
21 23
yi
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если соединить отрезками середины верхних сторон
прямоугольников гистограммы, получится – полигон относительных
частот.
Аналогично строятся гистограмма и полигон частот – высота
прямоугольников равна
ni
, а суммарная площадь гистограммы равна
h
n. Внешне гистограмма частот отличается от гистограммы
относительных частот тем, что у нее каждый прямоугольник в n раз
выше.
***
Рассмотрим точечные оценки числовых параметров
распределения. Пусть дана некоторая выборка: х 1 , х 2 , …, х n. Тогда
выборочным средним называют величину:
Х 
1
(x 1 + x 2 + x 3  +…+ x n ).
n
Если выборка задана рядом распределения частот:
xi x1 x2 x3 … xk
ni n1 n2 n3 … nk
где n 1 + n 2 +…+ n k =n, то для подсчета выборочного среднего
приведенную выше формулу можно преобразовать в следующий вид:
Х 
1
(x 1  n 1 + x 2  n 2 + x 3  n 3 +…+ x k  n k ).
n
Выборочной дисперсией или мерой рассеяния значений
признака Х по отношению к его выборочному среднему Х называют
величину:
s2 =
1
( (x 1 - Х )2 +(x 2 - Х )2 +…+(x n - Х )2 ).
n
Если выборка задана рядом распределения частот:
xi x1 x2 x3 … xk
ni n1 n2 n3 … nk
где n 1 + n 2 +…+ n k =n, то для подсчета выборочной дисперсии
приведенную формулу также удобно преобразовать:
s2 =
1
( n 1 (x 1 - Х )2 + n 2 (x 2 - Х )2 +… +n k (x k - Х )2 ).
n
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Корень квадратный из выборочной дисперсии называют
выборочным средним квадратическим отклонением: s = s 2 .
Пример. Пусть выборка задана рядом распределения частот
признака Х:
17
18
19
20
21
22
23
xi
7
7
3
1
3
2
2
ni
1
475
(17 7 +18 7 +19 3 +20 1 +21 3 +22 2 +23 2) =
=19.
25
25
1
s2 =
((17-19)2 7 +(18-19)2 7 +(19-19)2 3 +(20-19)2 1 +(21-19)2 3
25
98
=3,92.
+(22-19)2 2 +(23-19)2 2) =
25
s = 3,92 = 1,98.
Х 
***
С помощью методов вторичной статистической обработки
экспериментальных
данных
непосредственно
проверяются,
доказываются или опровергаются гипотезы, связанные с
экспериментом.
Для сравнения выборочных средних величин, принадлежащих к
двум выборкам, и для решения вопроса о том, отличаются ли средние
значения друг от друга достоверно, часто используют t-критерий
Стъюдента. Основная формула данного критерия выглядит
следующим образом:
t эксп. 
X1  X 2
s12 s 22

n1 n2
,
где: X 1 , s12 , n1 – выборочное среднее, выборочная дисперсия и
число данных первой выборки данных; X 2 , s 22 , n 2 – выборочное
среднее, выборочная дисперсия и число данных второй выборки
данных.
После вычисления экспериментального значения критерия
t эксп. , по таблице критических значений t-критерия
Стъюдента
Стъюдента для заданного числа степеней свободы, равного n 1 +n 2 -2, и
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
избранной вероятности допустимой ошибки (обычно 0,05; 0,01 или
0,001) находят нужное табличное значение t табл. и сравнивают его с
экспериментальным.
Если t эксп.  t табл. , то делается вывод о том, что средние
значения двух выборок данных действительно статистически
различаются с вероятностью допустимой ошибки. Если t эксп.  t табл. ,
то делается вывод о том, что различия средних значений двух
выборок данных статистически не существенны.
Примеры решения задач
Пример 6.А. Имеются данные о количестве успевающих на «4»
и «5» студентов 20 групп некоторого вуза: 10, 12, 11, 15, 15, 9, 12, 14,
16, 13, 12, 13, 11, 17, 15, 16, 14, 13, 14, 14.
а) Найти объем выборки, размах выборки. Построить ряд
распределения частот, ряд распределения относительных частот,
группированный статистический ряд, гистограмму и полигон
относительных частот.
б) Найти: выборочное среднее, выборочную дисперсию и
среднее квадратическое отклонение.
а) объем выборки n = 20; размах выборки R = 17 – 9 = 8.
Построим ряд распределения частот:
9
10
11
12
13
14
15
16
17
xi
1
1
2
3
3
4
3
2
1
ni
Построим ряд распределения относительных частот
9
10
11
12
13
14
15
16
17
xi
v i 0,05 0,05 0,10 0,15 0,15 0,20 0,15 0,10 0,05
Построим группированный статистический ряд (h=3):
x i 9-12 12-15 15-17
4
10
6
ni
0,17
0,30
v i 0,20 0,50
Гистограмма
и
полигон
относительных частот будут
выглядеть следующим образом:
0,10
0,07
9
12
15 17
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б) Выборочное среднее Х 
+144+153+162+171) =
1
(91 +101 +112 +123+ +133
20
266
=13.
20
Выборочная дисперсия s2 =
1
((9-13)21 +(10-13)21 +(11-13)22
20
+(12-13)23 +(13-13)23 +(14-13)24 +(15-13)23+(16-13)22+(17-13)21) =
4,21.
Среднее квадратическое отклонение s =
4,21 = 2,05.
Пример 6.Б. Экспериментальным путем получены две выборки
данных: 3; 4; 5; 3; 2; 3; 3; 2; 5; 4 и 5; 5; 3; 4; 4; 3; 5; 3; 6; 4.
Существенно ли отличаются средние значения этих выборок, если
t табл. = 2,10 (для числа степеней свободы = 18 и вероятности
допустимой ошибки = 0,05)?
Для первой выборки: n1 =10; X 1 =3,4; s12 =1,04.
Для второй выборки: n 2 =10; X 2 =4,2; s 22 =0,96.
Найдем экспериментальное значение t-критерия Стъюдента:
t эксп. 
X1  X 2
s12 s 22

n1 n2
=1,79<2,10. Поскольку t эксп.  t табл. различия
средних значений двух выборок не существенны.
Задания для самостоятельного решения
6.1. Имеются данные об итоговой сумме баллов тридцати
абитуриентов:
12, 15, 20, 17, 16, 18,
18, 19, 19, 14, 16, 13,
12, 13, 13, 15, 16, 14,
14, 16, 17, 12, 15, 16,
15, 12, 13, 13, 15, 17.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найти объем выборки, размах выборки. Построить ряд
распределения частот, ряд распределения относительных частот,
группированный статистический ряд, гистограмму и полигон
относительных частот.
6.2. Имеются данные о количестве студентов в 24 группах:
28, 27, 26, 28, 27, 25, 22, 24,
25, 23, 24, 25, 22, 21, 23, 19,
20, 21, 22, 19, 21, 20, 22, 18.
Найти объем выборки, размах выборки. Построить ряд
распределения частот, ряд распределения относительных частот,
группированный статистический ряд, гистограмму и полигон
относительных частот.
6.3. Дан ряд распределения учащихся 11-го класса по уровням
сформированности математических знаний:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
1
3
5
7
11
13
8
1
1
ni
Найти: выборочное среднее, выборочную дисперсию и среднее
квадратическое отклонение.
6.4. Дан ряд распределения студентов 1-го курса по размерам
обуви:
35
36
37
38
39
40
41
42
xi
3
5
6
13
10
7
4
2
ni
Найти: выборочное среднее, выборочную дисперсию и среднее
квадратическое отклонение.
6.5. Среди 10 студентов было проведено два опроса, целью
которых было выявление уровня знаний по предмету (по 10-балльной
шкале) в начале и конце учебного года. В результате были получены
две выборки данных: 4; 5; 3; 5; 5; 5; 4; 5; 6; 3 (в начале года) и 6; 8; 4;
5; 6; 7; 4; 5; 7; 5 (в конце года). Существенно ли отличие в уровне
знаний студентов в начале и конце года, если t табл. = 2,10 (для числа
степеней свободы = 18 и вероятности допустимой ошибки = 0,05)?
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольные работы
Полный курс, основанный на темах 1-6
(две контрольные работы)
Контрольная работа №1
Примерное содержание заданий
1. Найти объединение, пересечение и разность двух множеств
2. Построить заданные множества на диаграммах Эйлера-Венна
3. Перевести из одной системы счисления в другую
4. Найти НОД и НОК заданных чисел
5. Задать соответствие R в виде таблицы и в виде
ориентированного графа.
6. Построить графики квадратичной и дробно-линейной функций
путем параллельного переноса:
Контрольная работа №2
Примерное содержание заданий
1. Составьте таблицу истинности для формулы
2. Доказать равенство или тавтологию
3. Решить комбинаторную задачу
4. Найти вероятности заданных событий
5. Случайная величина Х задана следующей таблицей
распределения вероятностей. Найти p(x), M(Х) и D(X)
6. Задана выборка. Найти объем и размах выборки. Построить
ряд распределения частот, ряд распределения относительных
частот, группированный статистический ряд, гистограмму и
полигон частот.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Краткий курс, основанный на темах 1, 4-6
(одна контрольная работа)
Контрольная работа
Примерное содержание заданий
1. Найти объединение, пересечение и разность двух множеств
2. Построить заданные множества на диаграммах ЭйлераВенна
3. Составьте таблицу истинности для формулы
4. Доказать равенство или тавтологию
5. Решить комбинаторную задачу
6. Найти вероятности заданных событий
7. Случайная величина Х задана следующей таблицей
распределения вероятностей. Найти p(x), M(Х) и D(X)
8. Задана выборка. Найти объем и размах выборки. Построить
ряд распределения частот, ряд распределения относительных
частот, группированный статистический ряд, гистограмму и
полигон частот.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Библиографический список
Основной
1. Грес П. В. Математика для гуманитариев: Уч. пособие / П. В. Грес.
– М.: Логос, 2002. – 120 с.: ил.
2. Жолков С. Ю. Математика и информатика для гуманитариев:
Учебник / С. Ю. Жолков. – М.: Гардарики, 2002. – 531 с.: ил.
3. Москинова Г. И. Дискретная математика. Математика для
менеджера в примерах и упражнениях: Уч. пособие / Г.И.
Москинова. – М.: Логос, 2003. – 240 с.: ил.
4. Стойлова Л. П. Математика: Учебник / Л. П. Стойлова. – М.: ИЦ
«Академия», 2002. – 424 с. ил.
5. Турецкий В. Я. Математика и информатика / Урал. гос. ун-т. – 3-е
изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 560 с.
Дополнительный
6. Баврин И. И., Матросов В. Л. Высшая математика: Учебник. – М.:
ВЛАДОС, 2002. - 400 с.: ил.
7. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике: Уч. пособие / В. Е.
Гмурман. – М.: Высш. шк., 2002. – 405 с.
8. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учеб. пособие / В. Е Гмурман. – М.: Высш. шк., 2003. – 497 с.
9. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и
математическая статистика.: Учеб. для вузов – М.: Юнити-Дана,
2003. – 352 с.
10. Кремер Н. Ш. Математика для поступающих в экономические
вузы: Учеб. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер, О. Г.
Константинова, Н. М. Фридман; под ред. Н. Ш. Кремера. – М.:
Юнити-Дана, 2003. – 589 с. ил.
11. Кремер Н. Ш. Практикум по высшей математике для экономистов:
Уч. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер. – М.: Юнити-Дана, 2002. –
423 с.: ил.
12. Кремер Н. Ш. Теория вероятности и математическая статистика.:
Учеб. для вузов/ Н. Ш. Кремер. – М.: Юнити-Дана, 2002. – 543 с.:
ил.
13. Математика в экономике / А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А.
В. Браилов, И. Г. Шандра. – М.: Финансы и статистика, 2003. Ч. 2.
– 32 с.: ил.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Предисловие автора
Введение. Аксиоматический метод в математике
Тема 1. Множества и операции над ними
Теория
Примеры решения задач
Задания для самостоятельного решения
Тема 2. Числовые множества. Системы счисления и
делимость в числовых множествах
Теория
Примеры решения задач
Задания для самостоятельного решения
Тема 3. Соответствия, отображения, функции
Теория
Примеры решения задач
Задания для самостоятельного решения
Тема 4. Высказывания и операции над ними
Теория
Примеры решения задач
Задания для самостоятельного решения
Тема 5. Теория вероятностей с элементами
комбинаторики
Теория
Примеры решения задач
Задания для самостоятельного решения
Тема 6. Элементы математической статистики
Теория
Примеры решения задач
Задания для самостоятельного решения
Контрольные работы
Библиографический список
3
5
6
6
10
11
13
13
18
19
21
21
28
29
31
31
34
35
37
37
43
45
48
48
52
53
55
57
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебно-методическое издание
БУЦЫК Сергей Владимирович
Математика для гуманитариев
В авторской редакции
Компьютерная верстка: С.В. Буцык
Сдано в РИО 01.09.05
Формат 60х84 1/16
Заказ №718
Подписано в печать
Объем 3,4 у.п.л.
Тираж 100 экз.
Челябинская государственная академия культуры и искусств
454091, г. Челябинск, ул. Орджоникидзе 36а
Лицензия ИД №06283 от 16.11.01
Отпечатано в типографии ЧГАКИ. Ризограф
59
Документ
Категория
Информатика и программирование
Просмотров
66
Размер файла
644 Кб
Теги
гуманитариев, 127, математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа