close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

72.МАТЕМАТИКА

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА»
А.И. Бобылев
МАТЕМАТИКА
ЧАСТЬ 1
Пенза 2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА»
Кафедра «Физика и математика»
А.И. Бобылев
МАТЕМАТИКА
ЧАСТЬ 1
Учебное пособие
для студентов, обучающихся по направлению
110800 – Агроинженерия
Пенза 2013
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517(075)
ББК 22.161(я7)
Б 72
Рецензент: кандидат технических наук, доцент кафедры «Основы
конструирования механизмов и машин» В.А. Чугунов.
Печатается по решению методической комиссии инженерного
факультета Пензенской ГСХА от 28 октября 2013 г., протокол № 10.
Бобылев, Анатолий Иванович
Б 72 Математика. Часть 1: учебное пособие / А.И. Бобылев. – Пенза:
РИО ПГСХА, 2013. – 114 с.
Учебное пособие предназначено для студентов инженерного факультета, обучающихся по направлению подготовки 110800 «Агроинженерия» (квалификация – бакалавр). Учебное пособие может быть
использовано также для направления подготовки 190600 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов».
Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения по
основным разделам курса дифференциального исчисления функции
одной переменной, решения типовых задач и задания для самостоятельного решения. Это позволяет использовать учебное пособие как
на аудиторных занятиях, так и для самостоятельной работы студентов.
© ФГБОУ ВПО
«Пензенская ГСХА», 2013
© А.И. Бобылев, 2013
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки баклавров.
Математический анализ является одним из основных разделов математики, овладение которым необходимо для получения инженерного
образования.
В результате изучения математического анализа бакалавр должен
владеть методами анализа и синтеза изучаемых явлений и процессов.
Учебное пособие написано в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования 3-его поколения и Примерной программой математических дисциплин в образовательных областях «Сельское и рыбное
хозяйство» (УГС 110000) и «Техника и технология» (УГС 120000190000 и 240000-280000), разработанной членами Научнометодического совета по математике Министерства образования РФ.
Данное пособие предназначено для студентов инженерного факультета, обучающихся по направлению подготовки 110800 «Агроинженерия» (квалификация – бакалавр). Оно может также быть использовано для направления подготовки 190600 «Эксплуатация
транспортно-технологических машин и комплексов».
Учебное пособие состоит из шести разделов: «Введение
в анализ», «Теория пределов», «Непрерывность функции», «Производная и дифференциал функции», «Применение производной к исследованию функций» и «Задания для самостоятельного решения».
Первые пять разделов имеют деление на пункты. В каждом пункте
приведены краткие теоретические сведения и решения типовых примеров. Шестой раздел содержит шесть заданий, каждое из которых
составлено в двадцати семи вариантах. Они могут быть использованы
в качестве заданий для расчетно-графических работ студентов.
Среди приведенных в данном пособии примеров есть как заимствованные из общеизвестных задачников, так и составленные непосредственно автором пособия.
Изучая вопросы рассматриваемого в пособии раздела математики, рекомендуется сначала ознакомиться с теоретическим материалом, а затем разобрать решения типовых примеров. После этого прорешать задания, приведенные для самостоятельного решения.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1.1 Понятие множества
Под множеством понимается любая четко определенная совокупность объектов. Объекты, образующие множество, называются
его элементами.
Примеры множеств: множество всех страниц книги, множество
студентов вуза, множество компьютеров в классе.
Множества обычно обозначают большими буквами А , В , X , …,
а их элементы малыми буквами a , b , x ,…
Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут a  A . Запись a  A означает, что a не принадлежит A .
Если любой элемент множества A принадлежит множеству B , то
множество A называется подмножеством множества B . Обозначение: A  B (  – знак включения). Читается: множество A содержится в множестве B .
Например, если A – множество студентов 1 курса инженерного
факультета, B – множество всех студентов инженерного факультета,
то A  B .
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются
равными: A  B .
Различают конечные множества, т.е. множества, состоящие из
конечного числа элементов, и бесконечные множества. Множество,
не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается символом  .
Если множество А состоит из элементов a, b, c, d , то пишут
A  a, b, c, d .
Также как и над числами, над множествами вводятся некоторые
операции.
Объединением множеств А и В называется множество С , состоящее из всех элементов множеств А и В . Обозначение: А  В .
Пересечением множеств А и В называется множество D , состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих множеству A
и множеству B . Обозначение: A  B .
Часто оказывается, что рассматриваемые множества являются
подмножествами некоторого основного, или универсального множества.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Множество элементов универсального множества, не принадлежащих множеству А , называется дополнением множества А и обозначается А .
Разностью множеств А и В называется множество Е , состоящее
из всех элементов множества А , которые не принадлежат множеству
В . Обозначение: А \ В .
Пример. Даны множества A  a, b, c, x, y, B  c, d , y, z. Найти
объединение, пересечение и разность множеств А и В .
Решение.
A  B  a, b, c, d , x, y, z, A  B  c, y, A \ B  a, b, x.
Из школьного курса алгебры известны: множество натуральных
чисел N , множество целых чисел Z , множество рациональных чисел
Q , множество действительных чисел R . Для них справедливо включение: N  Z  Q  R .
Действительные числа можно изображать точками числовой
прямой, т.е. прямой, на которой выбрана точка О, называемая началом отсчета, положительное направление и масштаб для измерения
длин.
Между действительными числами и точками числовой прямой
существует взаимно однозначное соответствие: каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой,
и наоборот, каждой точке прямой соответствует единственное действительное число. Поэтому вместо «число x » употребляют «точка
x ».
Отрезком a; b называется множество, элементы x которого
удовлетворяют неравенству a  x  b .
Интервалом (a; b) называется множество, элементы x которого
удовлетворяют неравенству a  x  b .
Полуинтервалами a; b  и a; b называются множества, элементы x которых удовлетворяют неравенствам a  x  b и a  x  b .
Отрезок, интервал или полуинтервал называется промежутком.
1.2 Понятие функции
Определение 1. Если каждому значению переменной x, принадлежащей некоторому множеству X , соответствует одно определен5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ное значение переменной y множества Y , то y называется функцией от x : y  f (x).
x называется независимой переменной, или аргументом.
y называется зависимой переменной.
Множество X называется областью определения функции, а
множество Y – множеством значений функции. Обозначаются они
соответственно D( y ) и E ( y).
Функция задана аналитически, если указана формула, связывающая между собой x и y . Например, y  x 3 , y  1  x 2 .
Графиком функции y  f (x) называется множество точек  x, y 
плоскости, координаты которых удовлетворяют данной зависимости.
1.3 Классификация функций
Основными элементарными функциями называются степенная y  x    R , показательная y  a x a  0, a  1, логарифмичеy  log a x
a  0, a  1,
ская
тригонометрические
y  sin x, y  cos x, y  tgx, y  ctgx и обратные тригонометрические
функции y  arcsin x, y  arccos x, y  arctgx, y  arcctgx.
Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного
числа четырех арифметических действий и взятий функции от функции.
Например, y  lg sin x  5 .
Простейшими из элементарных функций являются:
1) Многочлен n-ой степени, или целая рациональная функция
– это функция вида Pn ( x)  a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an , где n  0 целое число, a0 ,..., an - постоянные числа a0  0.
2) Дробно-рациональная функция – это отношение двух многочленов
Pn ( x) a0 x n  a1 x n1  ...  a n
R( x) 

.
Qm ( x) b0 x m  b1 x m1  ...  bm


6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.4 Основные свойства функций
Определение 2. Функция y  f (x) называется четной (нечетной), если для каждого значения x из области определения функции
f ( x)  f ( x)  f ( x)   f ( x).
График четной функции симметричен относительно оси ординат
Oy , а график нечетной функции симметричен относительно начала
координат O(0;0). Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной,
называется функцией общего вида.
Например, четными функциями являются y  x 2 , y  cos x , нечетными функциями являются
y  x, y  sin x, y  tgx, y  ctgx,
y  arcsin x, y  arctgx.
Определение 3. Функция y  f (x) называется периодической,
если существует такое число T  0 , что для любого значения x из области определения функции выполняется равенство f ( x  T )  f ( x).
Наименьшее из чисел T , обладающих таким свойством, называется периодом функции.
Примерами периодических функций являются y  sin x и
y  cos x с периодом 2 , y  tgx и y  ctgx с периодом  .
Определение 4. Функция f (x) называется ограниченной на
множестве X , если она определена на этом множестве и существует
такое число M  0 , что для всех x  X выполняется неравенство
f ( x)  M .
Например, функция y  sin x ограничена на R , так как существует число M  1 такое, что для любого x  R sin x  1.
Определение 5. Функция y аргумента x называется неявной,
если она задана уравнением F ( x, y)  0 , не разрешенным относительно зависимой переменной y .
Пример неявно заданной функции: x  e y  tg( xy)  5 .
Определение 6. Если y  f (u ) является функцией переменной u ,
а u в свою очередь является функцией u   (x) от переменной x , то
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y  f ( ( x)) называется сложной функцией (или функцией от
функции).
Например, y  tg( x 3  3), y  ln sin e x - сложные функции.
Пусть точка M ( x, y) плоскости движется по некоторой линии.
Система уравнений x  x(t ), y  y(t ) , задающая координаты произвольной точки линии как функции параметра t , называется параметрическими уравнениями линии.
 x  t  4,
Примеры параметрически заданных функций: 
2t
 ye ,
 x  2 sin 2 t ,

2
 y  3 cos t.
ex
Пример 1. Найти область определения функции y  2
.
x  7 x  10
Решение.
Данная функция определена при тех значениях x , при которых
знаменатель дроби не равен нулю. Решим уравнение:
73
73
, x2 
 5.
x 2  7 x  10  0, D  49  40  9, x1 
2
2
Таким образом, область определения функции – это числовая
прямая, из которой «выколоты» точки 2 и 5.
Ответ: D( y)  (;2)  (2;5)  (5;) .
Пример
2.
Найти
область
определения
функции
y  4  x  x  2.
Решение.
Функция g (x) определена только для значений x , таких что
g ( x)  0 . Следовательно, область определения данной функции зада4  x  0,
 x  4,
ется системой неравенств: 
или 
x  2  0
 x  2.
Решением является множество  2  x  4 , т.е. отрезок  2;4.
Ответ: D( y)   2;4.
cos 2 x
Пример 3. Найти область определения функции y 
.
ln x 2  1
Решение.

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция cos t определена при всех значениях аргумента, а функция log a t a  0, a  1 – только для положительных значений аргумента. Учитывая, что при знаменателе, равном нулю, функция не определена, получаем, что область определения данной функции задается
системой:
  x  1,

2
  x  1,
 x  1  0,
( x  1)( x  1)  0,
 
  x   2, 

2
2
x

1

1

ln x  1  0
 x 2


 x   ; 2   2;1  1; 2  2; .
Ответ: D( y)   ; 2   2;1  1; 2  2; .



 

 
 
 
 

 

Пример 4. Определить, является ли функция y  e x 1  ctg3x четной, нечетной или она общего вида.
Решение.
2
2
2
Найдем y( x)  e (  x ) 1  ctg(3( x))  e x 1  ctg(3x)  e x 1  ctg3x .
Получили y( x)   y( x) , значит, данная функция – нечетная.
Ответ: нечетная.
sin 4 x
Пример 5. Определить, является ли функция y  3
четной,
x x
нечетной или она общего вида.
Решение.
sin( 4 x)
 sin 4 x sin 4 x


 y ( x) , т.е. данная
Найдем y ( x) 
( x) 3  (  x)  x 3  x x 3  x
функция четная.
Ответ: четная.
x 1
Пример 6. Определить, является ли функция y  4
четx  cos x
ной, нечетной или она общего вида.
Решение.
( x)  1
 x 1
x 1



Находим y ( x) 
.
4
4
4
( x)  cos(  x) x  cos x
x  cos x
Получили, что y( x)  y( x) и y( x)   y( x) , следовательно, данная функция общего вида.
2
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответ: общего вида.
Вопросы
1. Дайте определение объединения множеств.
2. Дайте определение пересечения множеств.
3. Дайте определение разности множеств.
4. Что называется отрезком, интервалом, полуинтервалом?
5. Какое множество называется промежутком?
6. Сформулируйте определение функции.
7. Перечислите основные элементарные функции.
8. Какие функции называются элементарными?
9. Какая функция называется многочленом?
10. Что такое дробно-рациональная функция?
11. Какая функция называется четной, нечетной?
12. Дайте определение периодической функции.
13. Какая функция называется неявной?
14. Какая функция называется сложной?
Задания для самостоятельного решения
Найти область определения функций
1. y  9  4 x 2 .
2. y 
x2
.
x3  x 2  2x
sin 3x
.
4. y 
2
ln x
6. y  3 x  5 x .
3. y  3 6  x  4 x 2  2 x  15.
5. y  lg( x  1) 
5
.
2 x
ex
8. y 
.
arcsin( x  1)
tgx
7. y  x 3 .
4
Определить какие из заданных функций являются четными, нечетными или функциями общего вида:
2x  x5
10. y  cos 2 x  x 3  tg3x.
.
9. y 
2
x 3
x4  x2  2
12. y  e x  e  x .
.
11. y  3
x  x 1
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
e 2 x  e 2 x
13. y 
.
3x
15. y  sin( x   )  cos( x  e).
x
17. y 
.
sin 3 x
14. y  arctg 2 4 x.
16. y  x 2  cos 5x  ctg 2 x.
18. y   ln x 2 .
Ответы:
 3 3
1.  ;  . 2. (-∞; 0)  (0; +∞). 3. (-∞; -5]  [3; +∞).
 2 2
4. (-∞; -1)  (-1; 0)  (0; 1)  (1; +∞). 5. (-1; 2). 6. (-∞; 0].



7. D( y )   x  R / x   n, n  Z  . 8. [0; 1)  (1; 2].
2


9. Нечетная. 10. Четная. 11. Общего вида. 12. Нечетная.
13. Нечетная. 14. Четная. 15. Общего вида. 16. Четная.
17. Нечетная. 18. Четная.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
2.1 Предел последовательности
Определение 1. Если каждому натуральному числу n поставлено
в соответствие действительное число x n , то множество чисел
x1 , x2 ,..., xn ,... называется числовой последовательностью, или просто, последовательностью и обозначается xn .
Числа x1 , x2 ,..., xn ,... называются членами последовательности, а
x n называется общим членом последовательности.
Последовательность считается заданной, если указан закон, по
которому можно найти любой член последовательности. Обычно последовательность задается формулой ее общего члена. Например,
1 1
1
1
1 
формула x n  задает последовательность    1, , ,..., ,... .
n
2 3
n
n 
Часто последовательность обозначается также как и ее общий
член x n , опуская фигурные скобки.
Определение 2. Число a называется пределом последовательности x n , если для любого (сколь угодно малого) положительного
числа  существует такой номер N , что для всех n  N выполняется
неравенство xn  a   .
Обозначение: lim xn  a или xn  a при n   .
n
2.2 Предел функции
Определение 3. Число А называется пределом функции f (x)
при x стремящемся к a , если для любого (сколь угодно малого) положительного числа  существует такое положительное число  , что
для всех x  a , удовлетворяющих неравенству x  a   , выполняется неравенство f ( x)  A   .
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обозначение: lim f ( x)  A .
x a
Определение 4. Число А называется пределом функции f (x)
при x   , если для любого   0 существует такое N  0 , что для
всех x , удовлетворяющих неравенству x  N , выполняется неравенство f ( x)  A   .
Обозначение: lim f ( x)  A .
x 
Аналогично определяются lim f ( x) и lim f ( x) .
x 
x 
Замечание. Символ  является обобщением символов   и   .
Например, если предел функции f (x) равен одному и тому же числу
A как при x   , так и при x   , то пишут lim f ( x)  A .
x 
Определение 5. Если f (x) стремится к числу А при x , стремящемся к а , и при этом x  a ( x  a) , то A называется левым (правым) пределом функции f (x) при x , стремящемся к a .
Обозначение: lim f ( x)  f (a  0) ,
x a  0
lim f ( x)  f (a  0) .
x a  0
На рисунке 1
lim f ( x)  A1 ,
x a  0
lim f ( x)  A2 .
x a  0
Рисунок 1 – Односторонние пределы функции
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции.
Теорема 1. Функция f (x) имеет в точке а предел тогда и только
тогда, когда в этой точке существует как левый, так и правый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен ее односторонним пределам.
2.3 Теоремы о пределах
Теорема 2. Предел постоянной равен самой постоянной:
lim C  C , где C - const.
x a
Теорема 3. Если существуют конечные пределы lim u ( x) и
xa
lim v( x) , то
xa
1) предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций: lim (u  v)  lim u  lim v ;
x a
x a
x a
2) предел произведения функций равен произведению пределов
этих функций: lim uv  lim u  lim v ;
x a
x a
x a
3) предел отношения двух функций равен отношению пределов
этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля:
u
u lim
x a
lim 
lim v  0 .
x a v
lim v xa


x a
Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim C  u ( x)   C  lim u ( x) .
x a
x a
Замечания. 1. В теоремах 2 - 4 а может быть числом или  .
2. Теоремы 2 – 4 о пределах функций справедливы также и для
числовых последовательностей.
2x  5
Пример 1. Вычислить lim
, пользуясь теоремами о предеx 1 4  3 x
лах.
Решение.
Применяем сначала теорему о пределе отношения функций, затем
– о пределе разности функций. После этого выносим постоянный
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
множитель за знак предела и учитываем, что предел постоянной равен самой постоянной:
(2 x  5) lim 2 x  lim 5 2 lim x  5
2 x  5 lim
x 1
x 1
lim

 x1
 x1

x 1 4  3 x
lim (4  3x) lim 4  lim 3x 4  3 lim x
x 1
x 1
x 1
x 1
А теперь учтем, что если x стремится к 1, то предел x равен 1.
2 1  5

 3 .
4  3 1
Ответ: -3.
Заметим, что этот же результат можно получить и при непосред2x  5
ственной подстановке в функцию
вместо x ее предельного
4  3x
значения 1. Обычно так и поступают, кроме тех случаев, когда при
0
подстановке получают выражения , 0   и т.п. В таких случаях
0
надо понимать, что x только стремиться к а , но не равняется а , и
никакого деления на 0 или умножения на бесконечность не производится. Чтобы вычислить предел в подобном случае, нужно обратиться к вопросу «раскрытие неопределенностей».
2.4 Бесконечно малые и бесконечно большие
Определение 6. Функция  (x) называется бесконечно малой
lim  ( x)  0 .
при x  a (при x   ), если lim  ( x)  0


x a
x 
Функция (x) (читается: гамма от x ) называется бесконечно большой при x  a (при x   ), если lim ( x)   lim ( x)   .
x a

x 

Вместо lim ( x)   иногда пишут: (x)   при x  a .
x a
Если (x)   при x  a и при этом ( x)  0 ( x)  0 , то пишут lim ( x)   lim ( x)   .
x a

x a

 -окрестностью точки a называется интервал (a   ; a   ) с центром в точке a радиуса  .
Определение 7. Функция f (x) называется ограниченной при
x  a , если существует окрестность точки a , в которой f (x) ограничена.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших:
1) lim f ( x)  A тогда и только тогда, когда f (x) можно предстаx a
вить в виде f ( x)  A   ( x) , где  (x) - бесконечно малая при x  a .
2) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых есть
величина бесконечно малая.
3) Если  (x) - бесконечно малая, не обращающаяся в нуль, то
1
- бесконечно большая.
 ( x)
4) Произведение конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.
5) Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию
при x  a есть величина бесконечно малая.
В частности, произведение бесконечно малой на постоянную
есть величина бесконечно малая.
6) Сумма бесконечно больших одного знака есть величина бесконечно большая того же знака. То есть, если 1 ( x)   и
2 ( x)   , то 1 ( x)  2 ( x)   ; если 3 ( x)   и 4 ( x)   ,
то 3 ( x)  4 ( x)   .
7) Обратная величина к бесконечно большой есть величина бесконечно малая.
8) Произведение бесконечно больших есть величина бесконечно
большая.
9) Произведение бесконечно большой на постоянную есть величина бесконечно большая.
2.5 Раскрытие неопределенностей
u ( x)
xa v ( x )
Пусть lim u ( x)  lim v( x)  0 . Тогда вычисление предела lim
x a
x a
называется раскрытием неопределенности вида
0
. Встречаются так0

, 0   ,    , 1 ,  0 , 0 0 .

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.
же неопределенности:
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) Пусть требуется вычислить предел отношения двух многочлеP ( x)
нов при x   : lim n
( Pn (x) - многочлен n  ой степени, Qm (x)
x  Q ( x )
m
- многочлен m  ой степени).

Здесь встречается неопределенность вида
. Для ее раскрытия

нужно числитель и знаменатель дроби разделить на x в высшей степени, после этого неопределенность исчезает.
2x 2  x  3
Пример 2. Вычислить предел lim 2
.
x  3 x  2 x  5
Решение.
Дан предел отношения двух многочленов второй степени при

x   . Значит, имеем неопределенность . Делим числитель и зна
2
менатель на x и переходим от бесконечно больших x , x 2 к беско1 3 2 5
нечно малым , 2 , , 2 . По свойству бесконечно малых и бескоx x x x
3
5
1
2
нечно больших  0 , 2  0 ,  0 , 2  0 .
x
x
x
x
2
2x
x
3
1 3


2

 2
2
2
2
2
2x  x  3
x
x
x
x
x  2.
lim 2
 lim

lim
x  3 x  2 x  5
x  3 x 2
x 
2 5
3
2x 5
3

 2


x x
x2 x2 x2
2
Ответ: .
3
x3  x 2  6
Пример 3. Вычислить предел lim
.
x 
4x  1
Решение.
Здесь также предел отношения двух многочленов при x   . По
этому имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаме
1
 0,
натель на x в высшей степени, т.е. на x 3 , и учтем, что
x
6
4
1

0

0
 0.
,
,
x3
x2
x3
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x3 x2 6
1 6


1

 3
3
2
3
3
3
x x 6
x
x
x
x
x  ,
lim
 lim
 lim
x 
x 
x  4
4x 1
1
4x  1


x3 x3
x2 x3
так как знаменатель является величиной бесконечно малой, а обратная величина – бесконечно большой.
Ответ:  .
б) Требуется вычислить предел отношения двух многочленов при
x  a , если значения многочленов при x  a равны 0:
P ( x)
, если Pn ( x)  Qm ( x)  0 .
lim n
xa Q ( x )
m
0
Здесь неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разло0
жить на множители числитель и знаменатель и сократить их на x  a
(может быть несколько раз), после чего неопределенность исчезает.
3x 2  x  10
Пример 4. Вычислить предел lim 2
.
x 2 x  3 x  2
Решение.
Дан предел отношения двух многочленов, причем при x  2
данная
дробь
обращается
в
неопределенное
выражение
2
3   2   2  10 0
0
.
Итак,
имеем
неопределенность
вида
. Раз
0
 22  3   2  2 0
ложим многочлены второй степени в числителе и знаменателе на
множители по формуле: ax 2  bx  c  ax  x1 x  x2 , где x1 , x2 корни многочленов.
3x 2  x  10  0 , D  b 2  4ac  1  4  3  (10)  121,
 b  D  1  11 10 5
 b  D  1  11
x1 


 , x2 

 2.
2a
23
6 3
2a
6
5

3x 2  x  10  3 x   x  2 .
3

Аналогично найдем: x 2  3x  2  ( x  1)( x  2) .
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Получаем
5

3
x


 x  2
3x 2  x  10
3x  5 3  (2)  5  11
3

lim 2
 lim
 lim


 11
x 2 x  3 x  2
x 2  x  1 x  2 
x 2 x  1
 2 1
1
u ( x)
u ( x)
или lim
дробь
x  v ( x )
xa v ( x )
0
u ( x)
содержит иррациональность, дающую неопределенность
или
v( x)
0

, то нужно избавиться от этой иррациональности, умножением

числителя и знаменателя на выражение, сопряженное иррациональному, а затем разделить числитель и знаменатель или на их общий
множитель, или на x в высшей степени.
3x  1  2
Пример 5. Вычислить предел lim
.
x 1
x2 1
Решение.
При подстановке предельного значения x  1 получаем, что име0
ется неопределенность . Так как в числителе имеется иррациональ0
ность, то умножаем числитель и знаменатель на сопряженное к чис3x  1  2 , и воспользуемся формулой:
лителю выражение:
2
2
(a  b)( a  b)  a  b . Знаменатель разложим на множители по этой
же формуле. После этого сократим числитель и знаменатель на общий множитель ( x  1) .
3x  1  2
3x  1  2 3x  1  2
lim

lim

x 1
x 1
x2 1
x 2  1 3x  1  2
3x  1  4
3 x  1
 lim 2
 lim

x 1 x  1
3x  1  2 x1  x  1 x  1 3x  1  2
3
3
3
3
 lim


 .
x 1  x  1 3 x  1  2
1  1 3  1  1  2 2  4 8
3
Ответ: .
8
в) Если при вычислении предела lim













19


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 6. Вычислить предел lim
x 2
2x  3  1
.
2  2x
Решение.
При подстановке вместо x предельного значения 2 получаем не0
определенность . Так как и числитель и знаменатель содержат ир0
рациональность, то умножим их на выражения, сопряженные числителю и знаменателю. Затем сократим их на общий множитель и подставим предельное значение.
2x  3  1
2x  3  1 2x  3  1 2  2x
lim
 lim

x 2 2  2 x
x 2
2  2x 2  2x 2x  3  1
2 x  3  1 2  2 x  lim 2 x  4 2  2 x 
 lim
x 2 4  2 x  2 x  3  1
x 2  2 x  4  2 x  3  1
2  2x
2  22
4
  lim

   2 .
x 2 2 x  3  1
2
2  2  3 1
Ответ: -2.


















Пример 7. Вычислить предел lim 5 x  25 x 2  4 x .
x 
Решение.
При x   5x   и 25 x 2  4 x   , поэтому имеем неопределенность вида    . Сначала преобразуем разность в частное,
умножая и деля данное выражение на сопряженное. А затем разделим
числитель и знаменатель на x в высшей степени, т.е. на x .
5 x  25 x 2  4 x 5 x  25 x 2  4 x
2
lim 5 x  25 x  4 x  lim

2
x 
x 
5 x  25 x  4 x
25 x 2  25 x 2  4 x
4x
 lim
 lim

2
2
x 
x 
5 x  25 x  4 x
5 x  25 x  4 x
4x
4
4
x
 lim
 lim
 lim

2
2
x 
x 
x 
4
5x
25 x  4 x
25 x  4 x
5  25 

5
2
x
x
x
x
4
4
4 2


 , так как  0 .
x
5  25 10 5
Ответ: 0,4.






20

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
sin x
 1.
x 0 x
Это первый замечательный предел. Он раскрывает неопреде0
ленность . Используется, когда присутствуют тригонометрические
0
функции sin x, cos x, tgx, ctgx и обратные тригонометрические
функции arcsin x, arctgx . При вычислении таких пределов нужно
учитывать, что sin 0  0, tg0  0, cos 0  1, ctg 0 ˗˗ не существует, но
при x  0 ctgx   , arcsin 0  0, arctg 0  0 .
Справедливо также следствие первого замечательного предела:
x
lim
 1.
x 0 sin x
sin 4 x
Пример 8. Вычислить предел lim
.
x 0 3 x
Решение.
При подстановке вместо x предельного значения 0 получаем не0
определенность , так как при x  0 sin 4 x  0 . Чтобы получить
0
первый замечательный предел, умножим знаменатель и числитель на
4x .
sin 4 x
sin 4 x  4 x
4x 4
lim
 lim
 lim
 ,
x 0 3 x
x 0 4 x  3 x
x 0 3 x
3
sin 4 x
 1 при x  0 .
так как
4x
4
Ответ: .
3
tg5 x
Пример 9. Вычислить предел lim
.
x 0 sin 7 x
0
Решение. Имеем неопределенность , так как sin 0  0 и tg0  0 .
0
sin 
Воспользуемся определение тангенса: tg 
. Затем учитываем,
cos 
что при x  0 cos 5x  1. Далее, чтобы получить первый замечаsin 5 x
тельный предел и его следствие, дробь
разделим на 5 x и
sin 7 x
г) lim
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
умножим на 7 x . А чтобы равенство осталось верным, умножим по5x
лучившееся выражение на
.
7x
tg5 x
sin 5 x
5x 5
 sin 5 x  7 x 5 x 
lim
 lim
 lim 
   lim
 .
x 0 sin 7 x
x 0 cos 5 x  sin 7 x
x 0 5 x  sin 7 x 7 x 
x 0 7 x
7
5
Ответ: .
7
Пример 10. Вычислить предел lim x  ctg 2 x  .
x 0
Решение.
Здесь неопределенность 0   , так как при x  0 ctg 2 x  0 . Расcos 
пишем котангенс по определению: ctg 
. Затем учтем, что
sin 
при x  0 cos 2 x  1, и выделим первый замечательный предел.
x  cos 2 x
x
2x
1
lim  x  ctg 2 x   lim
 lim
 lim
 .
x 0
x 0 sin 2 x
x 0 sin 2 x
x 0 2  sin 2 x
2
Ответ: 0,5.
2x 2
Пример 11. Вычислить предел lim
.
x 0 1  cos 2 3 x
Решение.
Подставляя вместо x предельное значение 0, получаем неопреде0
ленность , так как cos 0  1. Воспользуемся сначала основным три0
гонометрическим тождеством sin 2   cos 2   1, а затем – первым
замечательным пределом.
2x 2
2x 2
3x  3x  2 x 2
2x 2
2
lim

lim

lim

lim

.
x 0 1  cos 2 3 x
x 0 sin 2 3 x
x 0 sin 3 x  sin 3 x  3 x  3 x
x 0 3 x  3 x
9
2
Ответ: .
9
1  cos 4 x
Пример 12. Вычислить предел lim
.
x 0 x  sin 5 x
Решение.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При подстановке вместо x предельного значения 0 получаем не0
определенность
. Воспользуемся формулой тригонометрии:
0
1  cos   2 sin 2

2
, а затем применим первый замечательный предел.
1  cos 4 x
2 sin 2 2 x
2 sin 2 x  sin 2 x  5 x  2 x  2 x
lim
 lim
 lim

x 0 x  sin 5 x
x 0 x  sin 5 x
x 0
x  2 x  2 x  sin 5 x  5 x
2  2x  2x 8
 lim
 .
x 0
x  5x
5
Ответ: 1,6.
6x
Пример 13. Вычислить предел lim
.
x 0 arcsin 3 x
Решение.
При подстановке вместо x предельного значения 0 получаем не0
определенность , так как при x  0 arcsin 3x  0 . Сделаем замену:
0
arcsin 3x  t , тогда 3x  sin t , а 6 x  2 sin t . При этом учтем, что если
x  0 , то и t  0 .
6x
2 sin t
lim
 lim
 2 1  2 .
x 0 arcsin 3 x
t 0
t
Здесь воспользовались первым замечательным пределом.
Ответ: 2.
x  arctgx
Пример 14. Вычислить предел lim
.
x 0
x
sin  tg3x
2
Решение.
Подставляя вместо x предельное значение 0, получаем неопредеx
0
ленность , так как при x  0 arctgx  0, sin  0, tg3x  0 . Сна2
0
sin 3x
чала учтем, что tg3x 
, cos 3x  1 при x  0 , и воспользуемся
cos 3x
первым замечательным пределом.
x  arctgx
x  arctgx  cos 3x
x  arctgx
lim
 lim
 lim

x 0
x 0
x 0
x
x
x
sin  tg3x
sin  sin 3x
sin  sin 3x
2
2
2
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x


3x x  arctgx 
x  arctgx
2arctgx
2

  lim
 lim


 lim

x 0 
x 0
x 0
x sin 3x
x
x
3x

 3x 
 3x
 sin


2
2
2
Теперь сделаем замену: arctgx  t , тогда x  tgt , при x  0
t  0 . И снова воспользуемся первым замечательным пределом.
2t
2t  cos t 2
t
2
 lim
 lim
  lim
 .
t 0 3tgt
t 0 3 sin t
3 t 0 sin t 3
2
Ответ: .
3
sin 6 x  sin 4 x
Пример 15. Вычислить предел lim
.
x 0 sin 5 x  sin x
Решение.
0
Здесь неопределенность вида , так как sin 0  0 . Используем
0
 
 
формулы тригонометрии: sin   sin   2 sin
и
 cos
2
2
 
 
. А затем учтем, что cos 0  1, и
sin   sin   2 sin
 cos
2
2
воспользуемся первым замечательным пределом.
sin 6 x  sin 4 x
2 sin 5 x  cos x
sin 5 x
lim
 lim
 lim

x 0 sin 5 x  sin x
x 0 2 sin 2 x  cos 3 x
x 0 sin 2 x
5x 5
 sin 5 x 2 x 5 x 
 lim 

   lim
 .
x 0  5 x
x

0
sin 2 x 2 x 
2x 2
Ответ: 2,5.
3 x
Пример 16. Вычислить предел lim
.
x 3
x
cos
6
Решение.
При подстановке вместо x предельного значения 3, получаем не0

определенность , так как cos  0 . Сделаем замену: 3  x  t , тогда
0
2
x  3  t , при x  3 t  0 . Затем воспользуемся формулой приведе

ния cos     sin  и первым замечательным пределом.
2

24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 x
t
t
t
 lim
 lim
 lim

x 3
x t 0
 (3  t ) t 0
t
 t  t 0

cos
cos
sin
cos  
6
6
6
2 6
 t


6 6
6
 lim 
  .
t 0 
t   
 sin


6

6
Ответ:
.

д) Второй замечательный предел. Это каждый из пределов
1
n
x
 1
 1
lim 1    e ,
lim 1    e ,
lim (1  x) x  e .
x 0
n  
x  
n
x
e  2,71828... – иррациональное число. Второй замечательный предел
раскрывает неопределенность вида 1 .
l n1 ( x)
Следствие 2-го замечательного предела:
lim
 1.
x 0
x
0
Здесь раскрывается неопределенность .
0
2n
 3
Пример 17. Вычислить предел lim 1   .
n  
n
Решение.
3
3
При n   2n   , а  0 , значит 1   1. Итак, имеем неn
n

определенность вида 1 . Чтобы ее раскрыть, воспользуемся вторым
n
 1
замечательным пределом lim 1    e . Также как и в данном
n  
n
примере, в замечательном пределе показатель степени n   , а вто1
рое слагаемое основания  0 . Но в отличие от примера, в замечаn
1
тельном пределе они ( и n ) являются взаимно обратными величиn
нами. Добьемся этого и в данном пределе.
lim
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 3
lim 1  
n  
n
2n
 3
 lim 1  
n  
n
n
3
 2 n
3
n

 3
 lim 1  
n  
n

n
3
Ответ: e 6 .




2 n
3
n
 lim e
6n
n
n 
 e6 .
3 x2
4

Пример 18. Вычислить предел lim 1  
.
x  
3x 
Решение.
4
Так как при x   3x  2   , а
 0 , то имеем неопреде3x

ленность 1 . Приведем данный предел ко второму замечательному
x
 1
пределу lim 1    e , учитывая, что перед вторым слагаемым в
x  
x
основании стоит знак плюс.
4

lim 1  
x  
3x 
12 
 lim e
x 
Ответ:
3
8
x
3x2

  4
 lim 1 

x  
3x 

 e 4 
3x
4




3 x  2 
4
3x
 lim e
x 
12 x 8
3x

1
8
,
т.к.
 0 при x   .
x
e4
1
.
4
е
5 x 1
 2x  1 
Пример 19. Вычислить предел lim 
 .
x   2 x  3 
Решение.
При x   5x 1   . Выясним, как ведет себя основание

функции при x   , раскрывая неопределенность :

2x 1
1

2
2x  1
x  2  1 , так как 1 , 3  0 при
lim
 lim x x  lim
x  2 x  3
x  2 x
3 x 
3 2
x x

2
x x
x
x  .
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значит, в данном примере имеем неопределенность вида 1 . Приведем данный предел ко второму замечательному пределу
x
 1
lim 1    e , выделяя в основании слагаемое равное 1.
x  
x
 2x  1 
lim 

x  2 x  3 
5 x 1
 2x  1 
 lim 1 
 1
x 
2x  3 
5 x 1
 2x  1  2x  3 
 lim 1 

x 
2x  3

2 x 3
4
5 x 1
4
2 x 3
5 x 1



20 x  4
4



 lim 1 
 lim e 2 x 3 .

x  
x 

2x  3 


Вычислим отдельно предел показателя степени:
4
20 
20 x  4
x  20  10 , т.к. 4  0 при x   .
lim
 lim
x  2 x  3
x 
3
2
x
2
x
5 x 1
 2x  1 
 e10 .
Таким образом, lim 

x   2 x  3 
Ответ: e10 .
2x
 x3 
Пример 20. Вычислить предел lim 
 .
x   3 x  1 
Решение.
При x   показатель степени 2 x   . Вычислим предел осно
вания, который содержит неопределенность .

3
1
x3
x  1  1.
lim
 lim
x  3 x  1
x 
1 3
3
x
Таким образом, здесь нет неопределенности (в частности, 1 ).
Положительная величина, меньшая 1, в бесконечно большой степени
стремится к 0.
2x
 x3 
lim 
  0.
x   3 x  1 
Ответ: 0.
4 

 lim 1 

x  
2x  3 
5 x 1
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3x
1

Пример 21. Вычислить предел lim 1  sin  .
x  
x
Решение.
1
Так как при x   sin  0 , то имеем неопределенность вида
x

1 , а значит будем использовать второй замечательный предел
x
 1
lim 1    e . Преобразуем функцию так, чтобы показатель степеx  
x
ни был величиной, обратной ко второму (бесконечно малому) слага1
емому sin .
x

lim 1  sin
x  
1

x
3x


 lim 1  sin
x  


1  sin 1 
 x
x 

1
3 sin
1
3 xsin
x
 lim e
1
x
1
x
x 
 e3 ,
sin
воспользовались первым замечательным пределом: lim
x 
1
x
1
x  1 , т.к.
1
 0 при x   .
x
Ответ: e 3 .
2
3x
Пример 22. Вычислить предел lim (1  6 x) .
x 0
Решение.
2
 .
3x
Имеем неопределенность вида 1 , поэтому пользуемся вторым замеПри x  0 основание (1  6 x)  1, а показатель степени
1
x
чательным пределом lim (1  x)  e .
x 0
lim (1  6 x)
x 0
2
3x

 lim (1  (6 x))
x 0

1
6 x



28
2
( 6 x )
3x
 lim e
x 0

26 x
3x
 e 4 
1
.
e4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответ:
1
.
e4
x
 x  1  x 4
Пример 23. Вычислить предел lim 
 .
x  4 3 
Решение.
x
x 1
При x  4
  , значит имеем неопределен 1, а
3
x4
ность вида 1 . Сделаем замену x  4  t , тогда x  t  4 и при x  4
t  0 , а затем воспользуемся вторым замечательным пределом
1
x
lim (1  x)  e .
x 0
x
 1  x 4
x
lim 

x  4 3 
t 4
4  1 t
t 
 lim 
t 0 
3


t 4
 t
3t
 lim 

t 0  3 
3 t 4 t


t t 3
 t
 lim 1  
t 0 
3

t 4
3


t 4
4
t


3
lim 1     lim e  e 3  3 e 4 .
t 0 
t 0
3 


Ответ: 3 e 4 .
3
t
ln( 1  2 x)
.
x 0
4x
Пример 24. Вычислить предел lim
Решение.
При x  0 ln(1  2 x)  0 , т.е. имеем неопределенность
0
. Вос0
предела
пользуемся
следствием
из
2-го
замечательного
ln( 1  x)
lim
 1, предварительно добившись, чтобы в знаменателе стоx 0
x
яла величина равная слагаемому, которое прибавляется к единице в
аргументе логарифма.
ln( 1  2 x)
 2x
1
 ln( 1  (2 x))  2 x 
lim
 lim 

 .
  1  lim
x 0
x 0 
x 0 4 x
4x
 2x
4x 
2
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответ: -0,5.
ln( 5 x  4)  ln 4
.
x 0
3x
Пример 25. Вычислить предел lim
Решение.
Имеем неопределенность
мов log a x  log a y  log a
0
. Воспользуемся свойством логариф0
x
, а затем – следствием из 2-го замечательy
ln( 1  x)
 1.
x 0
x
ного предела lim
  5x  5x 
5x  4
 ln 1  

ln
ln( 5 x  4)  ln 4
4
 4 
4  lim  
lim
 lim
x 0
x 0
x 0 
5x
3x
3x
3x 


4


5x
5
 1  lim
 .
x 0 3 x  4
12
5
Ответ.
.
12
2.6 Сравнение бесконечно малых
Пусть  (x) и  (x) ˗˗ бесконечно малые при x  a , где a - число
или  .
 ( x)
 0 , то  (x) называется бесконечОпределение 8. Если lim
x a  ( x )
но малой высшего порядка по сравнению с  (x) .
 ( x)
 А  0 , то  (x) и  (x) называются бесконечно
Если lim
x a  ( x )
малыми одного порядка.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ( x)
 1, то  (x) и  (x) называются эквивалентными
x a  ( x )
бесконечно малыми. Обозначение:  ~  .
Например, y  sin x и y  x при x  0 – эквивалентные бескоЕсли lim
sin x
 1. То есть, sin x ~ x при x  0 .
x 0 x
нечно малые, т.к. lim
Вопросы
1. Дайте определение числовой последовательности.
2. Что называется пределом последовательности?
3. Сформулируйте определение предела функции при x  a .
4. Что называется левым (правым) пределом функции в точке a ?
5. Сформулируйте теоремы о пределах.
6. Дайте определение бесконечно малой.
7. Дайте определение бесконечно большой.
8. Перечислите свойства бесконечно малых и бесконечно больших.
9. Какие существуют виды неопределенностей?

10. Как раскрывается неопределенность вида
в случае отноше
ния двух многочленов?
0
11. Как раскрывается неопределенность вида в случае отноше0
ния двух многочленов?
12. Запишите первый замечательный предел и его следствие.
13. Запишите две формы второго замечательного предела. Какого
вида неопределенность он раскрывает?
14. Запишите следствие второго замечательного предела.
15. Дайте определение эквивалентных бесконечно малых.
Задания для самостоятельного решения
Вычислить пределы
4n 2  n  1
1. lim
n 4n 2  3n  2
2n 2  3n  4
3. lim
n 
5n  4
3n  5
n  n 3  n 2  7
2x  5
4. lim 2
x 2 x  2 x  4
2. lim
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
31.
33.
35.
37.
9  x2
lim
x 3 3 x  1
x 2  5x  6
lim 2
x 2 2 x  x  6
2 x 2  8x  8
lim
x 2 3 x 2  5 x  2
27  x 3
lim 3
x 3 x  27 x  9 x 2  27
6 x 2  x  3
lim
x  2 x 2  4 x  5
x3  7x  4
lim
x  5 x 2  3 x
2x  5  3
lim
x 2
4  2x
1  4x  9
lim
x 2
2 x 2
lim 4 x 2  x  2 x
x 

8  x3
lim 3
x 2 x  1  1
9  x2
lim 4
x 3 5 x  1  2
sin 2 x
lim
x 0 sin 5 x
lim (sin 4 x  ctgx)
x 0
5x
lim
x 0 tg 3 x
tg 2 5 x
lim
x0 2 x 2
1  cos 2 3x
lim
x 0 x 3  x 2
arcsin 3x
lim
x 0
6x

4x  7
x 1 x 2  4 x  3
4 x 2  13x  3
lim
x 3 3 x 2  7 x  6
3x 2  75
lim 3
x 5 x  10 x 2  25 x
3
2 

lim  2
 2

x 1 x  x  2
x  1
4x  1
lim 2
x  3 x  x  2
4 x 4  x 3  5x
lim
x  2 x 4  3 x 2  1
x 2  4x  5
lim
x 1 2  3 x  7
10  2 x  2
lim
x 3
5x  6  3
lim x 5  5 x 2  2 x
6. lim
8.
10.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
32.
34.
36.
38.
32
x 

23 7 x
lim
x 1 3 x  4  1
sin 6 x
lim
x 0 3 x
sin 3x
lim
x 0 tg 4 x
lim (tg 6 x  ctg 2 x)
x 0
8x 2
lim
x 0 sin 2 4 x
sin 2 2 x
lim
x 0 x  tg 4 x
3x 2
lim
x 0 1  cos 2 x
sin 4 x
lim
x 0 arctg 5 x

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  arctg 2 x
x 0 sin 2 3 x
sin 7 x  sin 5 x
41. lim
x 0
3x  cos 4 x
5n
 2
43. lim 1  
n  
n
x4
3 

45. lim 1  
x  
2x 
tg 2 x
x 0 2  4  x
x 2  4x  3
42. lim
x 3 sin( x  3)
40. lim
39. lim
4 x 2 1
 2x 

47. lim  2
x  2 x  3 


2
49. lim (1  6 x)
2 n 3
4

44. lim 1  
n  
3n 
3 x 1
 5x  2 
46. lim 

x   5 x  8 
 x5 
48. lim 

x   4 x  1 
3
2x
50. lim (1  3x)
2x
x2
6x
x 0
x 0
ln( 1  3x)
x 0
2x
53. lim (1  sin 2 x) ctgx
52. lim (4n  (ln( 2n  1)  ln( 2n  1)))
51. lim
n
x 0
Ответы:
1. 4;
2. 0;
3.  ;
1
7.  ;
7
8. 1;
9. 0;
13. 3;
14. 0;
3
20.  ;
5
25. -19,2; 26. 2;
5
31. ;
32. 0,5;
3
19. 8;
37. 0,5;
38. 0,8;
43. e10 ;
44.
9
49. e ;
1
3
e
50. e ;
8
1
;
4
5. 0;
6.  ;
10.  ;
11.  ;
12.
15.  ;
16. 2;
1
17.  ;
6
18. 8;
1
21.  ;
4
27. 0,4;
1
; 23. -36;
5
28. 0,75; 29. 4;
1
;
18
30. 3;
33. 12,5;
34. 1;
35. 9;
36. 1,5;
40. 8;
41. 4;
42. 2;
1
;
e6
52. 4;
47. e 6 ;
48. 0;
39.
; 45.
2
;
9
4.
22. 
e 3 ; 46.
51. 1,5;
33
53. 2.
1
;
6
24.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
3.1 Определения
Окрестностью точки x 0 называется интервал x0   ; x0    с
центром в точке x 0 произвольного радиуса  .
Пусть функция y  f (x) определена в некоторой окрестности
точки x 0 , в том числе и в самой точке x 0 , т.е. существует значение
f ( x0 ) . Дадим аргументу x 0 приращение x . Тогда функция примет
значение f ( x0  x) .
Разность y  f ( x0  x)  f ( x0 ) называется приращением
функции.
Определение 1. Функция y  f (x) называется непрерывной в
точке x 0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки и
lim y  0 .
x 0
Другое, эквивалентное данному, определение непрерывности
функции:
Определение 1ʹ. Функция y  f (x) называется непрерывной в
точке x 0 , если
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
Определение 2. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
3.2 Свойства непрерывных функций
Теорема 1. Если функции f (x) и  (x) непрерывны в точке x 0 , то
непрерывны в этой точке их сумма, разность, произведение и частное
(частное при условии, что  ( x0 )  0 ).
Теорема 2. Если u   (x) непрерывна в точке x 0 и f (u ) непрерывна в точке u 0   ( x0 ) , то сложная функция f ( ( x)) непрерывна в
точке x 0 .
Теорема 3. Все основные элементарные функции непрерывны в
области своего определения.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 4. Все элементарные функции непрерывны в области
своего определения.
Следствие 1. Многочлен Pn ( x)  a0 x n  a1 x n1  ...  an - функция
непрерывная при всех x .
P ( x)
Следствие 2. Дробно-рациональная функция R( x)  n
неQm ( x )
прерывна во всех точках, в которых ее знаменатель не равен нулю.
Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на a; b, то
она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего
значения.
3.3 Точки разрыва и их классификация
Определение 3. Если в точке x 0 функция f (x) не является непрерывной, то x 0 называют точкой разрыва функции и говорят, что
в точке x 0 функция f (x) терпит разрыв.
Для классификации точек разрыва запишем более подробно условие непрерывности:

1) существует значение f ( x0 ),

lim f ( x)  f ( x0 )  2) существует конечный lim f ( x),
x  x0
x  x0

f ( x)  f ( x0 ).
3) xlim
 x0
Теперь более подробно запишем условие 2):
2а) существует конечный lim f ( x),

x  x0 0

2)  2б ) существует конечный lim f ( x),
x  x0  0

f ( x)  lim f ( x).
2в ) xlim
x0  0
x  x0  0
Определение 4. 1) Если в точке x 0 не выполняется хотя бы одно
из условий 2а) или 2б), то x 0 называется точкой разрыва 2-го рода
(рисунок 2).
2) Если в точке x 0 выполняются условия 2а), 2б), но не выполняется условие 2в), то x 0 называется точкой разрыва 1-го рода (разрыв неустранимый) (рисунок 3).
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) Если в точке x 0 выполняется условие 2), но не выполняется
условие 1) или 3), то x 0 называется точкой устранимого разрыва (1го рода) (рисунки 4 и 5).
Число   f ( x0  0)  f ( x0  0) называется скачком функции в
точке неустранимого разрыва 1-го рода.
Рисунок 2 – Точка разрыва 2-го рода
Рисунок 3 – Точка неустранимого разрыва 1-го рода
Рисунок 4 – Точка устранимого разрыва 1-го рода
Рисунок 5 – Точка устранимого разрыва 1-го рода
Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию y 
Решение.
Область определения функции D( y)  (-∞; 3)  (3; +∞).
36
2x
.
x3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как функция элементарная, то она непрерывна на области
определения, т.е. на множестве (-∞; 3)  (3; +∞). В точке x  3 функция не существует, значит, x  3 ˗˗ точка разрыва. Классифицируем
точку разрыва. Для этого вычислим односторонние пределы функции
в точке x  3 .
2x
2x
lim
  , lim
  ,
x 30 x  3
x 3 0 x  3
так как знаменатель ( x  3) есть величина бесконечно малая, а обратная величина к бесконечно малой есть величина бесконечно большая.
При этом числитель 2 x  6  0 , а знаменатель в первом случае
меньше 0, а во втором – больше нуля.
Так как односторонние пределы равны бесконечности, то x  3 –
точка разрыва 2-го рода.
Ответ: функция непрерывна при x (-∞; 3)  (3; +∞),
x  3 – точка разрыва 2-го рода.
1
x2 .
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию y  5
Решение.
Данная функция элементарная, поэтому она непрерывна в области своего определения D( y)  (-∞; -2)  (-2; +∞). В точке x  2
функция не определена, следовательно x  2 – точка разрыва.
Найдем односторонние пределы функции в этой точке.
lim 5
1
x2
x 20
 0,
так как при x , стремящемся к -2 слева, x  2 стремится к 0, оставаясь
1
меньше 0, а показатель степени
  . Учитывая, что основаx2
ние показательной функции 5>1, получаем 5
lim 5
x 2 0
1
x2
1
x2
 0.
 .
Здесь основание 5>1, а показатель степени
1
x 2
1
  при x , стреx2
  .
мящемся к -2 справа. Поэтому 5
Так как при x  2 один из односторонних пределов (правый)
равен  , то x  2 – точка разрыва 2-го рода.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответ: функция непрерывна при x (-∞; -2)  (-2; +∞), а в точке
x  2 терпит разрыв 2-го рода.
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию y 
2
1 3
4
1 x
.
Решение.
Эта функция элементарная, поэтому она непрерывна на области
определения D( y)  (-∞; 1)  (1; +∞). А в точке x  1 не определена,
значит, в этой точке функция терпит разрыв. Вычислим левый и правый пределы функции в точке x  1.
2
lim
 0,
4
x 10
1  31 x
4
4
так как при x  1 0
  и 31x   .
1 x
2
lim
 2,
4
x 1 0
1  31 x
4
4
так как при x  1 0
  и 31x  0 .
1 x
Оба односторонних предела существуют и конечны, но не равны
друг другу:
lim y  lim y .
x 10
x 1 0
Следовательно, x  1 – точка разрыва 1-го рода (разрыв неустранимый). Вычислим скачок функции в этой точке:
  y(1  0)  y(1  0)  2  0  2 .
Ответ: функция непрерывна при x (-∞; 1)  (1; +∞), x  1 –
точка неустранимого разрыва 1-го рода, скачок   2 .
x3  8
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию y 
и
x2
построить ее график.
Решение.
Так как функция элементарная, то она непрерывна в области своего определения D( y)  (-∞; 2)  (2; +∞). При x  2 функция не опре38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
делена ( y (2) – не существует), следовательно x  2 – точка разрыва.
Вычислим предел функции в этой точке:
x3  8
( x  2)( x 2  2 x  4)
lim
 lim
 lim ( x 2  2 x  4)  4  4  4  12 .
x 2 x  2
x 2
x 2
x2
Так как в точке x  2 предел функции существует, но значение
функции y (2) не определено, то x  2 – точка устранимого разрыва
1-го рода.
Для построения графика учтем, что при x  2
x3  8
y
 x 2  2 x  4  x 2  2 x  1  3  ( x  1) 2  3 ,
x2
т.е. графиком является парабола с вершиной в точке (-1; 3), ветви которой направлены вверх, а значение y (2) не определено (рисунок 6).
x3  8
Рисунок 6 – График функции y 
x2
Ответ: функция непрерывна при x ,(-∞; 2)  (2; +∞),
точка устранимого разрыва 1-го рода.
39
x2 -
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию
x  0,
 cos x, если

y   x  2, если 0  x  4, и построить ее график.
log x, если
x4
 2
Решение.
Задана неэлементарная функция. Вся числовая прямая разбита
точками x  0 и x  4 на три промежутка. На разных промежутках
функция имеет различные аналитические выражения. На каждом
промежутке (-∞; 0], (0; 4), [4; +∞) функция является элементарной,
поэтому она непрерывна на каждом интервале (-∞;0), (0; 4), (4; +∞).
В точках перехода от одного аналитического выражения к другому
исследование на непрерывность нужно провести отдельно.
1) x  0 . Вычислим в этой точке односторонние пределы функции.
lim y  lim cos x  1, lim y  lim ( x  2)  2 .
x 0
x 0
x 0
x 0
Односторонние пределы существуют, конечны, но не равны друг
другу:
lim y  lim y .
x 0
x 0
Поэтому x  0 – точка разрыва 1-го рода (разрыв неустранимый).
В этой точке функция совершает скачок:
  f (0  0)  f (0  0)  3 .
2) x  4 . Найдем односторонние пределы.
lim y  lim ( x  2)  4  2  2 , lim y  lim log 2 x  log 2 4  2 .
x 4  0
x 4  0
x 4  0
x 4  0
Односторонние пределы не только конечны, но и равны друг другу:
lim y  lim y  2 .
x 4  0
x 4  0
Значит, в точке x  4 функция имеет предел: lim y  2 .
x 4
Найдем значение функции при x  4 : y(4)  log 2 4  2 .
Получили, что в точке x  4 предел функции равен ее значению:
lim y  y(4)  2 ,
x 4
т.е. в точке x  4 выполнено условие непрерывности функции. Следовательно, x  4 – точка непрерывности данной функции.
Строим график функции (рисунок 7).
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 7 – График функции из примера 5
Ответ: функция непрерывна на множестве (-∞; 0)  (0; +∞), а в
точке x  0 терпит разрыв 1-го рода (неустранимый), скачок   3 .
Вопросы
1. Что называется приращением функции?
2. Дайте определение функции, непрерывной в точке.
3. Перечислите свойства непрерывных функций.
4. Дайте определение точки разрыва функции.
5. Какая точка называется точкой разрыва 2-го рода?
6. Какая точка называется точкой неустранимого разрыва 1-го рода?
7. Какая точка называется точкой устранимого разрыва 1-го рода?
8. Что называется скачком функции в точке неустранимого разрыва?
Задания для самостоятельного решения
Исследовать на непрерывность функции
1  4x
5x
3
1. y 
.
2. y  2
.
3. y  2
.
x 1
x  2x  5
x 9
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2x  3
4. y 
.
2
6 x x
x 2  16
5. y 
.
x4
2
6. y 
3 x 2
.
2
x 1
1

2
1
x

4
7. y  arctg
. 8. y  e .
9. y  2  x 3 .
x2
6
2
10. y 
.
11.
.
y

25 x  x 3
4 x2  1
Исследовать на непрерывность функции и построить их графики
 2x ,
если
x  0,
если
x  1,
 2,


12. y   1,
13. y  1  x 2 , если 0  x  1,
если
x  1,
 x  2, если
 x  1, если  1  x  1.
x  1.




 1

1
,
если
x


,
x  1,

 x  1 , если
4




14. y  tgx, если   x  , 15. y    3x, если  1  x  0,
4
2

 ln x,
если 0  x  1,

  , если

2
x .
x
,
если
x  1.

 x
2
Ответы:
1. Непрерывна при x (-∞; -1)  (-1; +∞), x  1 - точка разрыва 2го рода.
2. Непрерывна при x (-∞; -3)  (-3; 3)  (3; +∞), x  3 - точка
разрыва 2-го рода.
3. Непрерывна на R .
4. Непрерывна при x (-∞; -3)  (-3; 2)  (2; +∞), x  3 и x  2 точки разрыва 2-го рода.
5. Непрерывна при x (-∞; -4)  (-4; +∞), x  4 - точка устранимого разрыва 1-го рода.
6. Непрерывна при x [-3; -1)  (-1; 1)  (1; +∞), x  1 - точка
разрыва 2-го рода x  1 - точка устранимого разрыва 1-го рода.
7. Непрерывна при x (-∞; 2)  (2; +∞), x  2 - точка неустранимого разрыва 1-го рода, скачок    .
8. Непрерывна при x (-∞; 4)  (4; +∞), x  4 - точка разрыва 2-го
рода.
9. Непрерывна при x (-∞; -3)  (-3; +∞), x  3 - точка устранимого разрыва 1-го рода.
10. Непрерывна при x (-∞; -5)  (-5; 0)  (0; 5)  (5; +∞), x  0 и
x  5 - точки разрыва 2-го рода.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. Непрерывна при x (-∞; -2)  (-2; +∞), x  2 - точка разрыва
2-го рода.
12. Непрерывна при x (-∞; -1)  (-1; +∞), x  1 - точка неустранимого разрыва 1-го рода, скачок   2 .
13. Непрерывна при x (-∞; 1)  (1; +∞), x  1 - точка неустранимого разрыва 1-го рода, скачок   1.



14. Непрерывна при x  (; )  ( ;) , x  - точка разрыва
2
2
2
2-го рода.
15. Непрерывна при x (-∞; -1)  (-1; 0)  (0; 1)  (1; +∞), x  1 и
x  0 - точки разрыва 2-го рода, x  1 - точка неустранимого разрыва
1-го рода, скачок   1.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
4.1 Понятие производной
Пусть дана функция y  f (x) . Если аргументу x дать приращение x , то функция получит приращение y  f ( x  x)  f ( x) .
Определение 1. Производной функции y  f (x) называется
предел отношения приращения функции к приращению аргумента
при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот
предел существует.
y
f ( x  x)  f ( x)
.
y   lim
 lim
x 0 x
x 0
x
dy
Другие обозначения производной: f (x),
.
dx
Функция, имеющая производную в точке x , называется дифференцируемой в этой точке.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Теорема 1. Если функция имеет производную в точке x , то она
непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно: из непрерывности не следует
дифференцируемость.
В точках разрыва функция производной не имеет.
Определение 2. Функция называется дифференцируемой на
промежутке, она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.
Геометрический смысл производной. Производная от функции
y  f (x) при данном значении x равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x : y   k  tg .
Уравнение касательной к графику функции y  f (x) в точке
M 0 x0 ; y0  имеет вид:
y  y0  f ( x0 )  ( x  x0 ) .
Прямая NN  , проходящая через точку касания M 0 перпендикулярно касательной, называется нормалью к графику функции
y  f (x) в этой точке (рисунок 8).
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение нормали к графику функции y  f (x) в точке
M 0 x0 ; y0  имеет вид:
1
y  y0  
 ( x  x0 ) .
f ( x0 )
Рисунок 8 – Касательная и нормаль к графику функции
Механический смысл производной. Производная от пути по времени есть скорость. Производная от скорости по времени есть ускорение:
s (t )  v(t ) , v(t )  a(t ) .
4.2 Правила дифференцирования
Теорема 2. Производная постоянной равна нулю: С   0 , где
С  const .
Теорема 3. Если функции u  u(x) и v  v(x) имеют производную
u
в точке x , то их сумма, разность, произведение и частное (частное
v
при условии, что v( x)  0 ) также имеют производную в этой точке и
справедливы формулы:

u  u v  uv 



u  v   u   v, u  v   u v  uv ,   
.
v2
v
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак
производной:
C  u( x)  C  u ( x) .
Теорема 4 (производная сложной функции). Если функция
u   (x) имеет производную в точке x , а функция y  f (u) имеет
производную в соответствующей точке u , то сложная функция
y  f ( ( x)) имеет производную в точке x и справедлива формула:
y ( x)  f (u)   ( x) или y x  yu  u x .
4.3 Таблица производных
Она включает в себя правила дифференцирования, производную
независимого аргумента x и производные всех основных элементарных функций, аргументом является функция u , зависящая от x .
1. C   0
2. x  1

12. log a u  
3.
 1
13. ln u    u
u

14. sin u   cos u  u

15. cos u    sin u  u
1

 u
16. tgu  
cos 2 u
1

17. ctgu    2  u
sin u
1

 u
18. arcsin u  
2
1 u
1

 u
19. arccos u   
2
1 u
1

 u
20. arctgu  
1 u2
1

 u
21. arcctgu   
1 u2
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
u  v  w  u  v  w
uv   uv  uv

 u  uv  uv
  
v2
v
C  u   C  u

u n  nu n 1  u

1
1
    2  u
u
u

1
u 
 u
2 u

a u  a u ln a  u

eu  eu  u
 
 
 
 
46
1
 u
u  ln a
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание. Если функция простая, то умножать на u  не нужно.

Например, x n  nx n1 , (sin x)  cos x и т.д.
Пример 1. Найти производные следующих функций:
3
2
3


3
5
2
а) y  3x  3  4  x  7 ; б) y   4 x   5 x  ;
x
x


cos x  5
в) y  3 x  arcsin x ;
г) y 
.
sin x  3
Решение.



2
2



3
3
5
2
5 
2

а) y   3x  3  4  x  7   3x   3   4  x  (7) 
x


x 
2 
1



2
5 
3 
4

4
3
 3 x  2  x
 4   x   0  3  5 x  2  (3) x  4  x 3 
 
3
 
6
8
 15 x 4  4  3 .
3 x
x
Здесь сначала нашли производную алгебраической суммы функций, производную постоянной, вынесли постоянный множитель за
знак производной и воспользовались формулой производной степен
ной функции: x n  nx n1 .
При этом, если степенная функция стоит в знаменателе, то ее
нужно поднять в числитель, изменив знак показателя степени на про1
тивоположный: 3  x 3 , а если степенная функция находится под
x
корнем, то нужно записать ее как степенную функцию в дробной сте-
 
 
 


 
 
2
3
пени: x  x .
После нахождения производной нужно избавиться от отрицательной степени, опустив функцию в знаменатель, но уже в положительной степени, а также избавиться от дробной степени, перейдя
1

1
1
снова к радикалу: x 3  1  3 .
x
x3
3 
2



3
3
3





б) y     4 x   5 x    3   4 x   5 x    4 x   5 x  

x
x
x
 

 


3
2
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2

 
3

  
1
 3   4x   5 x   4x  3     5  x 

x

 
 x

2
3
3
5 

 
 3   4x   5 x    4  2 
.
x
2 x
x

 
Эта функция сложная. Производную произвольной функции
находят, начиная с последнего действия. В данном случае последнее
действие – возведение в третью степень, поэтому воспользовались

3
производной степенной функции u 3  3u 2  u  , где u  4 x   5 x .
x
Затем нужно было найти производную суммы и разности и т.д.
Были использованы формулы для частных случаев степенной функ
1
1
1
ции:     2 , ( x ) 
.
2 x
x
 x
в) Здесь нужно найти производную произведения, поэтому пользуемся формулой (4) из таблицы производных:


y   3 x  arcsin x  3 x  arcsin x  3 x  (arcsin x) 
1
.
 3 x  ln 3  arcsin x  3 x 
2
1 x
г) Здесь требуется найти производную частного, поэтому используем формулу (5):

cos x  5  (cos x  5)  (sin x  3)  (cos x  5)  (sin x  3)

y  

 
(sin x  3) 2
 sin x  3 
 sin x  (sin x  3)  (cos x  5)  cos x


(sin x  3) 2
 
 

  
 sin 2 x  3 sin x  cos 2 x  5 cos x  1  3 sin x  5 cos x


.
(sin x  3) 2
(sin x  3) 2
При преобразовании числителя, учли основное тригонометрическое тождество: sin 2 x  cos 2 x  1.
6
8
Ответ: а) 15 x 4  4  3 ,
3 x
x
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
3
3
5 

 
б) 3   4 x   5 x    4  2 
,
x
2 x
x

 
1
в) 3 x  ln 3  arcsin x  3 x 
,
2
1 x
3 sin x  5 cos x  1
г)
.
(sin x  3) 2
Пример 2. Найти производные следующих функций:
а) y  ctg 4 (2 x  3) ; б) y  arctg ln 5x .
Решение.
а) Дана сложная функция. Последнее действие – возведение в
четвертую степень котангенса. Значит, нужно найти производную
степенной функции y  u 4 , где u  ctg(2 x  3) . Причем последняя
функция также сложная: u  ctgt , где t  2 x  3 . Используя теорему о
производной сложной функции и таблицу производных:

1
u 4  4u 3  u  , (ctgu)   2  u  , (2 x  3)  2 , получаем
sin u


1

 
y   4ctg 3 (2 x  3)  ctg (2 x  3)   4ctg 3 (2 x  3)   
2
 sin (2 x  3) 
4ctg 3 (2 x  3)
8ctg 3 (2 x  3)
.
 (2 x  3)  
2  
2
2
sin (2 x  3)
sin (2 x  3)
б) Функция также сложная: y  arctgu , u  ln 5x . Последняя
функция также сложная: u  ln t , t  5x . Применяя теорему о производной
сложной
функции
и
табличные
производные:
1
1


(arctgu) 

u
,
(ln
u
)

 u  , (5x)  5 , получаем
u
1 u2
1
1
1
1


y 

(ln
5
x
)



(
5
x
)

5 
1  ln 2 5 x
1  ln 2 5 x 5 x
1  ln 2 5 x  5 x
1

.
x 1  ln 2 5 x
1
8ctg 3 (2 x  3)
Ответ: а) 
,
б)
.
x 1  ln 2 5 x
sin 2 (2 x  3)
 




49


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Производную показательно-степенной функции y  u ( x) v ( x )
можно найти методом логарифмического дифференцирования, который состоит в следующем.
Нужно прологарифмировать данное равенство:
ln y  ln u v  v  ln u ,
найти производную каждой части равенства:
y
u
 v   ln u  v  ,
y
u
u 

выразить y  :
y   y v  ln u  v   ,
u



u 

то есть u v  u v   v  ln u  v   или u v  u v  ln u  v  v  u v 1  u  .
u

y
Производная (ln y ) 
называется логарифмической произy
водной функции y .
 
 
 
Пример 3. Найти производные следующих функций:
3 x  3 ( x  2) 2
tgx
а) y  (cos x) ; б) y 
.
3
(2 x  3)
Решение.
а) Так как функция – показательно-степенная, то воспользуемся
методом логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем
данное
равенство
и
используем
свойство
логарифма:
log a u p  p  log a u .
ln y  ln(cos x) tgx  tgx  ln cos x .
Теперь найдем производную левой и правой частей полученного
равенства:
y
1
 (tgx)  ln cos x  tgx  (ln cos x) 
 ln cos x 
y
cos 2 x
1
ln cos x
 sin x ln cos x
 tgx 
 (cos x) 

tgx


 tg 2 x .
2
2
cos x
cos x
cos x
cos x
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь использовали производную произведения: (u  v)  u v  uv ,
1
1

а также табличные производные: (tgx) 
,
(ln
u
)

 u,
2
u
cos x
(cos x)   sin x .
Далее умножим левую и правую части полученного равенства на
y и подставим вместо y данную по условию функцию:
 ln cos x

y  y  
 tg 2 x  ,
2
 cos x


 ln cos x

(cos x) tgx  (cos x) tgx  
 tg 2 x  .
2
 cos x

б) Методом логарифмического дифференцирования находят также производные функций, являющихся произведением и частным
степенных и показательных функций. Как и в предыдущем примере,
сначала прологарифмируем данное равенство и воспользуемся свойствами логарифма: log a u p  p  log a u , log a (u  v)  log a u  log a v ,
u
log a  log a u  log a v , а затем выразим производную данной функv
ции:
3 x  3 ( x  2) 2
x 3
2
3
x
ln y  ln

ln
3

(
x

2
)

ln(
2
x

3
)

ln
3

(2 x  3) 3




2
3
2
 ln( x  2)  3  ln( 2 x  3)  x  ln 3   ln( x  2)  3 ln( 2 x  3) ,
3

2


(ln y )   x ln 3   ln( x  2)  3 ln( 2 x  3)  ,
3


y
2 1
1
 ln 3  
 ( x  2)  3 
 (2 x  3) 
y
3 x2
2x  3
2
3
 ln 3 
1 
 2,
3( x  2)
2x  3

2
6 
y   y   ln 3 

 ,
3
(
x

2
)
2
x

3



 3 x  3 ( x  2) 2  3 x  3 ( x  2) 2 
2
6 

 


ln
3


 .

3
 (2 x  3) 3 
3
(
x

2
)
2
x

3
(
2
x

3
)




51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ln cos x
2 
Ответ: а) (cos x) tgx  

tg
x,
2
 cos x

3 x  3 ( x  2) 2 
2
6 
б)


ln
3


 .

3
3( x  2) 2 x  3 
(2 x  3)

4.4 Производные неявно и параметрически
заданных функций
Чтобы найти производную функции, неявно заданной уравнением
F ( x, y)  0 , нужно продифференцировать обе части этого уравнения
по x , считая y функцией от x . А затем выразить из полученного
уравнения y  .
 x  x(t ),
Если функция y от x задана параметрически: 
 y  y (t ),
где x(t ) и y (t ) – дифференцируемые функции, причем x(t )  0 , то
y
y x  t .
xt
Пример 4. Найти производные следующих функций:
 x  ctgt,

2
1
а) sin x  xy  3 y  0 ; б) 
y
.

cos 2 t
Решение.
а) Данная функция задана неявно. Продифференцируем уравнение по x , считая y функцией от x , то есть учтем, что x  1 , а y  –
это искомая производная.
(sin x)  ( xy)  (3 y 2 )  0 ,
cos x  xy  xy   6 y  y   0 .
Выразим теперь y  :
 y  cos x
y  cos x
y ( x  6 y)   y  cos x , y  
или y  
.
x  6y
6y  x
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б) Данная функция задана параметрически. Найдем сначала xt
и y t :

1
1 

2 
xt  (ctgt )   2 ,
yt  

(cos
t
)


sin t
 cos 2 t 
2
2 sin t
.
 2  (cos t ) 3  (cos t )  

(

sin
t
)

3
3
cos t
cos t
y
Теперь воспользуемся формулой: y x  t .
xt


2 sin t 
1 
2 sin t  sin 2 t
3
y x 
:





2
tg
t.


3
2
3
cos t  sin t 
cos t
y  cos x
Ответ: а)
, б)  2tg t .
6y  x
4.5 Производные высших порядков
Производная y  называется производной первого порядка или
первой производной функции y (x) .
Определение 3. Производной второго порядка или второй
производной функции y называется производная от производной
первого порядка этой функции: y   ( y ) .
Механический смысл производной второго порядка. Производная второго порядка от пути по времени есть ускорение:
s (t )  v(t )  a(t ) .
Определение 4. Производной n-го порядка называется произ
водная от производной (n-1)-го порядка: y ( n )  y ( n1) .
Чтобы найти вторую производную неявной функции, нужно дважды продифференцировать уравнение F ( x, y)  0 и выразить затем
y  как функцию от x и y .
Если функция y от x задана параметрически системой уравнений
 x  x(t ),

 y  y (t ),
 y x t 
x   y   x   y 
то y xx 
или y xx  t tt 3 tt t .
xt
xt 

53

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 5. Найти производную второго порядка функции
y  arctg5x .
Решение.
Найдем сначала первую производную этой функции:
1
5

.
y 

(
5
x
)

1  (5 x) 2
1  25 x 2
1
 u ,
Здесь использована табличная формула: (arctgu) 
1 u2
где u  5x .
При нахождении второй производной воспользуемся формулой:

1
1
2
    2  u  , здесь u  1  25x .
u
u




5
1
1





  1  25 x 2  


y 

5


5





 1  25 x 2 2 
 1  25 x 2 
 1  25 x 2 


5
250 x
.


25

2
x


2 2
2 2
1  25 x
1  25 x
250 x
Ответ: 
.
2 2
1  25 x
Пример 6. Тело движется прямолинейно по закону s  t 2  t .
Какие скорость и ускорение будет иметь тело через 4 секунды после
начала движения, если пройденный путь измеряется в метрах?
Решение.
По механическому смыслу первой и второй производной
s (t )  v(t ) , s (t )  a(t ) .
Найдем сначала по какому закону изменяется скорость движения
тела, а затем – чему равна скорость при t  4 .

1
,
v(t )  s (t )  t 2  t  2t 
2 t
1
1
v(4)  2  4 
 8   8,25 (м/с).
4
2 4
Найдем закон изменения ускорения тела и значение ускорения
при t  4 .









54



Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1 
3




1
1
1
1
1




.
a(t )  v (t )   2t 
  2    t 2   2       t 2  2 
3
2
2
2
2
t




4 t
 
1
1
a(4)  2 
 2
 1,96875 (м/с2).
32
4  43
Ответ: 8,25 м/с и 1,96875 м/с2.
Пример 7. Найти производную второго порядка функции
 x  t 2  2t ,

 y  ln( t  1).
Решение.
Найдем вторую производную параметрически заданной функции
двумя способами.
 y x t 
а) Воспользуемся формулой y xx 
.
xt
y
Для этого найдем сначала y x по формуле y x  t .
xt
1


xt  t 2  2t t  2t  2  2(t  1) , yt  ln( t  1) t 
.
t 1
1
1
y x 
: 2(t  1)  
.
t 1
2(t  1) 2

Теперь найдем  y x t :



 1
1
1
1
2 
3

.


(
t

1
)


(

2
)

(
t

1
)


t
2 
3
2
2
2
(
t

1
)
(
t

1
)

t
Наконец,
1
1


y xx  
:
2
(
t

1
)


.
(t  1) 3
2(t  1) 4
x   y   x   y 
б) Используем формулу y xx  t tt 3 tt t .
xt 
1
Уже были найдены xt  2(t  1) и yt 
.
t 1
Найдем теперь
 y x t   


55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
  1 


.
xtt  xt t  2(t  1) t  2 и ytt   yt t  
 
2
t

1
(t  1)

t

1
1
Здесь была использована формула:     2  u  .
u
u
Теперь воспользуемся формулой для y tt :

1 
1
2
2

2(t  1)   

2



2 
t 1
 (t  1) 
t 1 t 1 
ytt 

8(t  1) 3
2(t  1) 3
4
1



.
8(t  1) 3  (t  1)
2(t  1) 4
1
Ответ: 
.
4
2(t  1)
4.6 Дифференциал функции
Если функция y  f (x) имеет производную y  в точке x , то ее
приращение y  f ( x  x)  f ( x) можно представить в виде
y  y   x    x , где   0 при x  0 . Так как слагаемое   x –
бесконечно малая высшего порядка по сравнению с y   x , то y   x
называется главной частью приращения функции.
Определение 5. Дифференциалом функции y  f (x) называется главная часть приращения функции, линейная относительно x :
dy  y   x .
Так как dx  x (дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением), то
dy  y   dx
– это формула для вычисления дифференциала функции.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 9 – Геометрический смысл дифференциала
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал dy
функции y  f (x) в точке x , соответствующий приращению x , есть
приращение NP ординаты касательной к графику функции в точке x
(рисунок 9).
Свойства дифференциала (C – const):
1. dC  0 ,
2. d (u  v)  du  dv ,
3. d (u  C )  du ,
4. d (uv)  vdu  udv ,
5. d (Cu)  Cdu ,
 u  vdu  udv
(v  0) .
6. d   
v2
v
При малых приращениях аргумента можно считать, что
y  dy
– формула для приближенного вычисления малых приращений
функции,
а также
f ( x  x)  f ( x)  f ( x)  x .
Если обозначить x  x1 , а x  x  x2 , то получим
f ( x2 )  f ( x1 )  f ( x1 )  x
– формула для приближенного вычисления значений функции.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дифференциал dy  y dx называется дифференциалом первого
порядка.
Определение 6. Дифференциалом второго порядка называется
дифференциал от дифференциала первого порядка:
d 2 y  d (dy) .
Справедлива формула:
d 2 y  y   dx 2
(читается: де два игрек равняется игрек два штриха на де икс дважды).
Определение 7. Дифференциалом n-го порядка называется
дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:
d n y  d d n1 y .
Справедлива формула: d n y  y ( n) dx n .


Пример 8. Найти дифференциалы функций:
а) y  e 2 x  arcctgx , б) y  log 2 log 2 x .
Решение.
а) Дифференциал функции определим по формуле dy  y dx .
Для этого найдем сначала производную. Данная функция является
произведением двух функций, поэтому воспользуемся формулой

(uv)  u v  uv , а также табличными производными e u  e u  u 
1
(здесь u  2 x ) и (arcctgx)  
.
2
1 x

1 

y   e 2 x  arcctgx  e 2 x  (arcctgx)  2e 2 x  arcctgx  e 2 x   

 1 x2 
Следовательно,
 2 x
e 2 x 
dx .
dy   2e  arcctgx 
2 
1

x


б) Находим сначала производную данной функции, пользуясь
1

 u .
формулой log a u  
u  ln a
1
1
1

y 
 log 2 x  

,
log 2 x  ln 2
ln x x ln 2
Здесь учли, что log a b  log b c  log a c .
 


58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теперь находим дифференциал по формуле dy  y dx :
dx
.
dy 
x  ln x  ln 2
1 
dx

Ответ: а)  e 2 x  2arcctgx 
;
б)
.
dx

2
x ln x ln 2
1 x 

Пример 9. Найти дифференциал второго порядка функции
1
y  sin 2 .
x
Решение.
Воспользуемся формулой d 2 y  y   dx 2 для нахождения дифференциала второго порядка.
Для определения производной второго порядка y  найдем сначала y  . При этом используем формулы: (sin u)  cos u  u  ,
(u n )  n  u n1  u  .
1
2 cos 2

1
1
x .
y   cos 2  x 2  cos 2   2 x 3  
3
x
x
x

u  u v  uv 

При нахождении y  пользуемся формулами:   
,
2
v
v
 

(cos u)   sin u  u  , x n  n  x n1 .

1  3
1

3 
 cos 2   x  cos 2  x
x 
x
y   2  

6
x
1
1
1
1
 sin 2   2 x 3  x 3  3x 2  cos 2
2 sin 2  3x 2  cos 2
x
x  2 
x
x .
 2 
6
6
x
x
1
1
3x 2  cos 2  2 sin 2
x
x dx 2 .
Итак, d 2 y  2 
x6
1
1 

2 3x 2 cos 2  2 sin 2 
x
x  2
dx .
Ответ: 
x6
 


 
 


59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вопросы
1. Сформулируйте определение производной функции.
2. Каков геометрический смысл производной?
3. Каков механический смысл производной?
4. Запишите уравнения касательной и нормали к графику функции.
5. Перечислите правила дифференцирования.
6. Как найти производную сложной функции?
7. Что называется логарифмической производной функции?
8. Как найти производную неявной функции?
9. Как найти производную параметрически заданной функции?
10. Что называется производной второго порядка?
11. Каков механический смысл производной второго порядка?
12. Дайте определение производной n  го порядка.
13. Что называется дифференциалом функции?
14. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?
15. Перечислите свойства дифференциала.
16. Что называется дифференциалом второго порядка?
Задания для самостоятельного решения
Найти производные следующих функций:
2
1
1. y  2 x 4  4 x 3  3  3 x 2  5.
2. y  3x   3 .
x 6x
8
10
3. y  6 x 

.
x  2  3 x  x2  3 x2
x 5 x3
4. y 
.
3
x
x x
5. y  e  sin x.
6. y  ln x  arctgx.
ln 1  x 2
cos x
8. y 
.
7. y  2 .
arcctgx
x



3
9. y  3x 2  4 .


11. y  x 3  1  ln sin 3x.
7  sin 4 x
.
13. y 
7  cos 4 x

5
1 

10. y   x 3  2  4 x 3  4  .
2x 

2 x 1
 arcsin 2 x.
12. y  3
1  3x 2
.
14. y 
arcctg ( x 3)


16. y  ln x  x 2  4 .
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. y  ln tg3x 2 .
18. y  e sin 3 xcos x .
3
17. y  arcsin 4 x 2  3.
1  x 2 arccos x
19. y  ln

.
2
1 x
1 x
1 x 2  x2
x 2
20. y  ln

2
arctg
.
2
2
1 x 2  x
1 x

 
21. y  (cos x) sin x    x  .
2
 2
2x  1
23. y 
.
4 x  tg 3 x
22. y  (ctgx) ln x .
x3
24. y 
.
( x  1)  ( x  1)
Найти производные функций, заданных неявно:
25. x 3  2 x 2 y  5xy 2  x 2  3 y  7  0. 26. y ln x  x ln y  x  y.
27. ye x  xe y  xy.
28. y x  x 2 sin y  1.
3
3
2
Найти производные функций, заданных параметрически:
 x  2ctgt,
 x  t 2  2 ln t ,

29. 
30.
y  1 .
3
y

t

3
t
.


sin 2 t
Найти производные второго порядка:
1
31. y  tg 2 x.
32. y  e arctgx .
2
 x  ln 1  4t 2 ,
 x  cos t ,
33. 
34. 
2
y

sin
t
.

 y  arcctg 2t.
Найти дифференциалы функций:


35. y  x 3  cos 2 x.
36. y  e x 2 x .
37. Найти дифференциал второго порядка функции y  ctg ln x.
Ответы:
2
1
3
4
6
2
1. 8 x 3  6 x  3 ;
2. 3  2  4 ;
3.


;
5
3
8
x
2x
x
x
x
x
2
x 2  6  4x 2  3 x
;
4. 
3x 2
3
5. e x (sin x  cos x);
61
6.
arctgx ln x

;
x
1 x2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x sin x  2 cos x
7. 
;
3
x




2
2 x  arcctgx  ln 1  x 2
2
8.
9.
;
18
x
3
x

4
;
2
2
1  x arcctg x


4
1  
3
2

10. 5 x 3  2  4 x 3  4    3x 2  4  5 ;
2 x x 
2x  



1
;
11. 3x 2 ln sin 3x  3 x 3  1 ctg3x; 12. 2  32 x 1  ln 3  arcsin 2 x 
2 
1  4x 

7(sin 4 x  cos 4 x)  1
6 x  arcctg x 3  3
;
13. 4 
14.
;
2
2
(7  cos 4 x)
arcctg x 3
12 x
1
2x
15.
16.
17.
;
;
;
2
2
2
sin 6 x 2
x 4
1  x  4x  3
3
4 2
2 x  arccos x
18. 3e sin 3 xcos x  cos 3x  cos 2 x  sin x ; 19.
;
; 20.
4
2 3
1

x
1 x











ln ctgx 2 ln x 
sin 2 x 
; 22. (ctgx) ln x  

21. (cos x)
  cos x  ln cos x 
;
sin 2 x 
cos x 
 x

2x  1  1
6 
23.


ln
2


;
x
3
2
x

1
sin
2
x
4  tg x 

 1
x3
3
2 
24.
 


;
3 3
2
2
(
x

3
)
2
(
x

1
)
3
(
x

1
)

( x  1)  ( x  1) 
sin x
3x 2  4 xy  5 y 2  2 x
e y  ye x  y
y x ln y  x  y
; 26. 
;
25.
; 27. x
y
2
x y ln x  x  y
2 x  10 xy  3
e  xe  x
y x ln y  2 x sin y
1  2 sin 2 x
3
; 29. t ; 30.  ctgt; 31.
;
28. 2
2
x cos y  xy x 1
cos 4 x
1  4t 2
e arctgx  (1  2 x)
; 35. x 2  3 cos 2 x  x sin 2 x dx;
32.
; 33.  2; 34.
3
2
32t
1 x2

36. e
x 2 2 x



x 1
x 2  2x
dx;
37.
sin ln x  2 cos ln x 2
dx .
2
3
x sin ln x
62

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
5.1 Правило Лопиталя
Теорема 1. Предел отношения двух бесконечно малых или двух
бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний предел существует (конечный или бесконечный).
То есть, если имеется неопределенность вида
0

или , то
0

f ( x)
f ( x)
( x 0 – число или  ).
 lim
x  x0 g ( x)
x  x0 g ( x)
x2 1
ln x
Пример 1. Вычислить пределы: а) lim x
; б) lim
.
x 1 e  e
x 
x
Решение.
а) При подстановке вместо x предельного значения 1 получаем
0
неопределенность . Рассмотренные ранее методы раскрытия не0
определенностей не применимы в данном примере. Воспользуемся
правилом Лопиталя.

x2 1
x2 1
2x 2
lim x
 lim
 lim x  .
 x1 e
x 1 e  e
x 1
e
ex  e

б) Здесь имеется неопределенность вида
. Для ее раскрытия

воспользуемся правилом Лопиталя.
1

ln x   lim x  lim 2 x  lim 2  0 .
ln x
lim
 lim
x 
x  x
x 
x x  x  x  1
x
2 x
2
Ответ: а) ; б) 0.
е
lim




 
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание 1. Если lim
x  x0
деленность вида
таля.
f ( x)
также представляет собой неопреg ( x)
0

или , то можно снова применять правило Лопи0



ln 1  x 2
Пример 2. Вычислить предел lim 2 x
.
x 0 e
 1  sin 2 x
Решение.
При подстановке вместо x предельного значения 0 получаем не0
определенность , поэтому можем использовать правило Лопиталя.
0
2x
2
2 
2
ln 1  x
ln 1  x
lim 2 x
 lim
 lim 2 x1  x


x 0 e
x

0
x

0
2
x
 1  sin 2 x
2e  2 cos 2 x
e  1  sin 2 x

 lim
x 0

1  x e
2
 1  lim
x 0
e2x

x
2x
 cos 2 x

 


1
x

lim
x 0 1  x 2 x 0 e 2 x  cos 2 x
 lim
x

 cos 2 x
Снова имеем неопределенность
0
, поэтому еще раз применим
0
правило Лопиталя:
x
1
1
1
 lim
 lim 2 x

 .
 x0 2e  2 sin 2 x 2  0 2
x 0
e 2 x  cos 2 x
Неопределенность раскрыта.
1
Ответ: .
2
Можно комбинировать правило Лопиталя с изученными ранее
способами раскрытия неопределенностей.
x  arcsin x
Пример 3. Вычислить предел lim
.
x 0
sin 3 x
Решение.
0
Имеем неопределенность вида . Воспользуемся правилом Ло0
питаля.


64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  arcsin x
( x  arcsin x)
lim

lim
 lim
x 0
x 0
x 0
3 
x3
x
1
 
1
2
1  x 2  lim 1  x  1 
x 0
3x 2
3x 2 1  x 2
1
1
1 x2 1 1
1 x2 1
 lim
 lim
 lim

3 x  0 1  x 2 x 0
3 x 0
x2
x2
0
Здесь также имеется неопределенность
и можно снова вос0
пользоваться правилом Лопиталя, но учитывая, что числитель содержит иррациональность, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:
1
1 x2 1 1 x2 1 1
1 x2 1
 lim
 lim

2
2
2
x 0 2
3 x 0
3
x 1 x 1
x 1 x 1







1
1
1 1
1
  lim
   .
3 x 0 1  x 2  1
3 2
6
1
Ответ:  .
6
xn
Пример 4. Вычислить предел lim x , где n  N .
x   e
Решение.
При указанных условиях ( n – натуральное число и x   ) име
ем неопределенность . Будем пользоваться правилом Лопиталя до

тех пор, пока она не исчезнет.


xn
xn
nx n1
nx n1
n(n  1) x n2
lim
 lim
 lim
 lim
 lim

x
x  e x
x 
x  e x
x 
x 
x 
x 
e
e
e
n(n  1)( n  2)  ...  2 x
x
 ...  lim

n
(
n

1
)

...

2

lim

x 
x 
x 
ex
e
1
 n(n  1)  ...  2  lim x  n(n  1)  ...  2  1.
x  e
Здесь пришлось применять правило Лопиталя n раз.
Ответ: 1  2  ...  (n  1)  n .
 
 

 

 
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание 2. Неопределенности вида 0   ,    приводятся к
0

неопределенностям вида или
с помощью алгебраических преоб0

разований.
x
Пример 5. Вычислить следующие пределы: а) lim (1  x)tg ;
x 1
2
 1

1 
 x
2  x2
б) lim x 3  1 ; в) lim 

.


x 1 x  1
x 
ln
x



Решение.
x


x
  , следовательно, имеем не2
2
2
определенность вида 0   . Чтобы воспользоваться правилом Лопита0

ля, ее нужно преобразовать к одному из двух видов: или . Здесь
0

x
проще и разумнее опустить в знаменатель tg .
2
x
1 x
1 x
(1  x)
lim (1  x)tg  lim
 lim
 lim


x 1
x 1
x x1
2 x1 1
x 

ctg
ctg


x
2
2
tg

2
1
2
x 2
2
lim
  lim sin 2
 1  .
x 1
1
  x1
2 



x 2
sin 2
2
а) При x  1
, а tg
1
б) При x   3 x  1 , значит, имеем неопределенность вида
  0 . Здесь выгоднее для дальнейшего решения опустить в знамена0
тель x 2 . При это получим неопределенность , значит, возможно
0
применение правила Лопиталя.

 12

 3 x  1
1
1
1
2


3
x
x2


3

1
3

ln
3

(

2
x
)


2  x2
lim x 3  1  lim

lim

lim

3

 x  x  2
x 
x 
x 
2 

2
x


x
2
 
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
 lim 3 x ln 3  ln 3 .
2
x 
в) Так как при x  1 ln x  0 , то имеем неопределенность вида
   . Приводя дроби к общему знаменателю, перейдем к неопреде0
ленности и воспользуемся правилом Лопиталя.
0
1 
x ln x  x  1
( x ln x  x  1)
 x
lim 


lim

lim



x 1 x  1
x 1
ln x  x1 ( x  1) ln x
( x  1) ln x 
1
ln x  x   1
ln x
(ln x)
x
 lim
 lim
 lim


x 1
x 1
x 1
1 x1
1

ln x 
ln x  1 
ln
x

1



x
x
x


1
x  1  1.
 lim
x 1 1
1 11 2
 2
x x
2
Ответ: а) ; б) ln 3 ; в) 0,5.

Замечание 3. Для раскрытия неопределенностей вида  0 , 0 0 , 1
к f ( x)  0 , стоящей в основании функции f ( x) g ( x ) , применяют основное логарифмическое тождество:
g ( x)
( f ( x)) g ( x )  e ln f ( x ) 
 e g ( x ) ln f ( x ) .
Тогда lim ( f ( x))
x  x0
и вычисление
lim g ( x) ln f ( x) .
g ( x)
 lim e
g ( x ) ln f ( x )
x  x0
данного
предела
e
lim g ( x ) ln f ( x )
x  x0
сводится
к
нахождению
x x0
x
2

Пример 6. Вычислить пределы: а) lim  arctgx  ; б) lim (tgx) sin 2 x .

x   

x
2
Решение.
а) При x  
a r c t g
x

, поэтому имеем неопределенность
2
вида 1 . Преобразуем данный предел:
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x
2

lim  arctgx   lim e
x   
x 

2

ln  arctgx 


x
 lim e
2

x ln  arctgx 


x 

2

lim x ln  arctgx 
x  


.
e
Используя правило Лопиталя, находим предел, стоящий в показателе степени:

 2

2

 ln  arctgx  
ln  arctgx 
2




  lim   
lim x ln  arctgx   lim 


x 
x 
1

 x
1
 
x
 x
2
x2

 lim
  lim

2
x 
x


1 2
1  x arctgx
 2  arctgx  1  x 2
x 
1
x2
2
1
2
2
  lim
 lim 2
   lim
  1   .
x  arctgx x  x  1
 x 1  1


x2
Таким образом, данный предел
2
x

2


lim  arctgx   e .
x   

б) Здесь имеем неопределенность вида  0 . Преобразовываем
функцию, используя основное логарифмическое тождество и свойство логарифма:




lim (sin 2 xln tgx )
lim (tgx) sin 2 x  lim e ln(tgx)
x

2
x

2
sin 2 x
 lim e sin 2 xln tgx  e
x

x

2
.
2
Теперь вычисляем получившийся предел, переходя от произведения к частному и пользуясь правилом Лопиталя:
ln tgx
(ln tgx)
lim (sin 2 x  ln tgx)  lim
 lim





1
x
x
x 
1 
2
2
2


sin 2 x
 sin 2 x 
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 lim
x

2
1
1 

tgx  cos 2 x   
  2 cos 2 x
 sin 2 2 x 
 sin 2 2 x
 lim

 sin x  cos x  2 cos 2 x
x
2

1
1
sin 2 2 x
1
sin 2 2 x
  lim
 lim
   (1)  lim

 (cos x) 
2 x sin x  cos 2 x x cos x
2
x

2

2
2
1
2 sin 2 x  2 cos 2 x
lim
 0,
2 x 
 sin x
2


sin x  1, cos 2 x  1, а cos x  0 и sin 2 x  0 .
2
Таким образом, lim (tgx) sin 2 x  e 0  1.
так как при x 
x


2
2
Ответ: а) e  ; б) 1.
Замечание 4. Хотя правило Лопиталя является эффективным
средством раскрытия неопределенностей, не нужно думать, что оно
позволяет вычислить любой предел.
3
x2
Пример 7. Вычислить предел lim 3
.
x 
x5
Решение.

Здесь имеется неопределенность . Попробуем найти этот пре
дел с помощью правила Лопиталя.
1 
2 




2
3 
 ( x  2) 3 

1
(
x

5
)
( x  5) 3




3
x2



 
3
lim 3
 lim
 lim
 lim
2
x 
x 
x 
x  5 x  
1 
2 
1



3
( x  2)
3 
 ( x  5) 3 

(
x

2
)
3








1

2
( x  5) 3
3
x2
3
 lim

lim
,
1
x 
x  3 x  5

2
( x  2) 3
3
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
То есть после того, как два раза воспользовались правилом Лопиталя, получили первоначальный предел. Вычислить предел таким
способом не удалось. Но его можно легко найти, пользуясь известным методом. Запишем дробь в виде одного корня и под знаком корня поделим числитель и знаменатель на x в высшей степени, то есть
на x .
2
1
3
x2
x2
x  1  1.
lim 3
 lim 3
 lim 3
x 
x  5 x  x  5 x  1  5 1
x
Ответ: 1.
5.2 Формула Тейлора
Определение 1. Факториалом натурального числа n называется
произведение первых n чисел натурального ряда.
Обозначение: n! (эн-факториал).
n! 1  2  3  ...  (n  1)  n .
Например, 4! 1  2  3  4  24 .
Полагают 0!=1.
Теорема 2. Если функция f (x) имеет в окрестности точки x 0
производную (n  1) -го порядка, то для любой точки x из этой
окрестности существует точка c  x0 ; x  такая, что справедлива формула Тейлора:
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
1!
2!
f ( n ) ( x0 )
f ( n1) (c)
n

( x  x0 ) 
( x  x0 ) n 1 .
n!
(n  1)!
f ( n1) (c)
Rn ( x ) 
( x  x0 ) n1 называется остаточным членом
(n  1)!
формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Формула Тейлора позволяет заменять функцию f (x) многочленом n -ой степени с точностью, равной значению Rn (x) .
При x0  0 формулу Тейлора иногда называют формулой Маклорена:
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0)
f ( x)  f (0) 
x
x  ... 
 Rn ( x) .
1!
2!
n!
Разложение некоторых функций по формуле Тейлора:
x x 2 x3
xn
x
e  1 

 ... 
 Rn ( x) ,
1! 2! 3!
n!
x3 x5 x7
x 2 n1
n 1
sin x  x 


 ...  (1) 
 R2 n1 ( x) ,
3! 5! 7!
(2n  1)!
x2 x4 x6
x 2n
n
cos x  1 


 ...  (1) 
 R2 n ( x) .
2! 4! 6!
(2n)!
5.3 Возрастание и убывание функций. Экстремумы функций
Определение 2. Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на (a; b) , если большему значению аргумента соответствует
большее (меньшее) значение функции, то есть если x1 , x2  (a; b) и
x2  x1 , то f ( x2 )  f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1 ).
Функция, возрастающая или убывающая на некотором интервале,
называется монотонной на этом интервале.
Теорема 3 (достаточный признак монотонности функции).
Если функция f (x) дифференцируема на (a; b) и f ( x)  0
 f ( x)  0, то f (x) возрастает (убывает) на (a; b) .
Пример 8. Найти интервалы возрастания и убывания следующих
1
x
функций: а) y  x  x  1 ; б) y  x  e .
Решение.
а) Область определения данной функции D( y)   1; +∞), так как
квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:
x  1  0.
Для определения интервалов монотонности функции найдем ее
производную:
x2
4 x( x  1)  x 2 5 x 2  4 x x(5 x  4)
.
y  2x x  1 



2 x 1
2 x 1
2 x 1
2 x 1
Теперь находим точки, в которых производная равна нулю или не
существует.
2
2
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
и x  0,
5
y  не существует при x  1 (значения x (-∞; -1) не входят в
область определения функции).
Отмечаем найденные точки и определяем знак производной на
каждом из полученных интервалов (рисунок 10).
y   0 при x  
Рисунок 10 – Интервалы возрастания
и убывания функции y  x 2  x  1
Функция возрастает на (-1; -0,8) и (0; +∞), убывает на (-0,8; 0).
1
x
б) Функция y  x  e определена при всех значениях x  0 , т.е.
D( y)  (-∞; 0)  (0; +∞).
Найдем производную функции и определим точки, в которых она
равна нулю или не существует.
1
1
1
1


2
y   2 x  e x  x  e x    2   e x (2 x  1) .
 x 
1
y   0 при x  ,
2
y  не существует при x  0 (хотя эта точка не входит в область
определения функции, но при переходе через нее производная может
менять знак).
Определяем знаки производной на интервалах, на которые разбивают область определения полученные точки (рисунок 11).
2
Рисунок 11 – Интервалы возрастания
и убывания функции y  x  e
2
72
1
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция убывает на интервалах (-∞; 0), (0; 0,5) и возрастает на
интервале (0,5; +∞).
Ответ: а) возрастает на (-1; -0,8) и (0; +∞), убывает на (-0,8; 0);
б) убывает на (-∞; 0) и (0; 0,5), возрастает на (0,5; +∞).
Определение 3. Значение f ( x0 ) называется максимумом (минимумом) функции f (x) , если существует такая окрестность точки
x 0 , что для всех x  x0 из этой окрестности выполняется неравенство
f ( x0 )  f ( x) ( f ( x0 )  f ( x)) .
Точка x 0 называется в этом случае точкой максимума (точкой
минимума) функции f (x) .
Максимум или минимум функции называется экстремумом
функции.
Теорема 4 (Необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция f (x) имеет в точке x 0 экстремум, то f ( x0 )  0 .
Функция f (x) может иметь экстремум не только в тех точках, в
которых f ( x)  0 , но и в тех точках непрерывности, в которых f (x)
не существует. Например, функция y  x (рисунок 12) непрерывна в
точке x  0 , но не дифференцируема. Тем не менее
x  0 – точка минимума функции y  x .
Рисунок 12 – График функции y  x
Эта функция не является элементарной.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Будем далее рассматривать только элементарные функции. Как
известно, они непрерывны в области своего определения.
Определение 4. Точки области определения функции f (x) , в которых f ( x)  0 или f (x) не существует, называются критическими точками 1-го рода.
Таким образом, все точки экстремума функции содержатся среди
ее критических точек. Однако, не всякая критическая точка является
точкой экстремума.
Теорема 5 (первое достаточное условие экстремума). Если при
переходе (слева направо) через критическую точку 1-го рода x 0 производная f (x) : 1) меняет знак с плюса на минус, то в точке x 0 функция f (x) имеет максимум; 2) меняет знак с минуса на плюс, то в точке x 0 функция f (x) имеет минимум; 3) знак не меняет, то в точке x 0
функция f (x) экстремума не имеет.
Пример 9. Найти экстремумы функций:
1
x4
а) y 
; б) y  ( x  2)e x .
3
(1  x)
Решение.
а) Так как x  1  0 , то область определения функции
D( y)  (-∞;-1)  (-1; +∞).
Найдем первую производную функции:


x 4  (1  x) 3  x 4  (1  x) 3
4 x 3 (1  x) 3  3x 4 (1  x) 2
y 


(1  x) 6
(1  x) 6
4 x 3 (1  x)  3x 4 x 3 (4  4 x  3x) x 3 ( x  4)



.
4
4
4
(1  x)
(1  x)
(1  x)
Для определения критических точек 1-го рода найдем точки, в
которых производная равна нулю или не существует.
y   0 при x  4 и x  0 ,
y  не существует при x  1.
x  4 и x  0 – критические точки 1-го рода, т.к. они принадлежат области определения, а x  1 не является критической точкой,
так как она не принадлежит D( y ) .
Отметим на числовой прямой точки, в которых y  равна нулю или
не существует, и определим знак производной на каждом из полученных интервалов (рисунок 13).
 


74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 13 – Знаки производной функции из примера 9а
Согласно первому достаточному условию экстремума x  4 –
точка максимума, а x  0 – точка минимума. Найдем сами экстремумы:
256
13
y max  y (4) 
 9 , y min  y(0)  0 .
 27
27
б) Область определения функции D( y)  (-∞;0)  (0; +∞).
Находим производную:

1
1
1
 1
 1 
y   ( x  2)  e x  ( x  2) e x   e x  ( x  2)e x    2  
 
 x 
 
1
x
1
x2  x  2
 x  2
x
.
 e  1  2   e 
2
x 
x

Чтобы разложить на множители многочлен, стоящий в числителе,
найдем его корни:
1 3
1 3
 1 , x 2 
 2.
x 2  x  2  0 , D  1  8  9 , x1 
2
2
Получаем
1
( x  1)( x  2) x
y 
e .
x2
Найдем критические точки 1-го рода, для чего выпишем значения
x , при которых y  равна нулю или не существует.
y   0 при x  1 и x  2 ;
y  не существует при x  0 .
x  1, x  2 – критические точки 1-го рода, т.к. они принадлежат D( y ) , а точка x  0 не принадлежит D( y ) , следовательно, она не
является критической.
Отметим на числовой прямой найденные 3 точки и получим 4
промежутка знакопостоянства производной. Определим ее знак на
каждом промежутке (рисунок 14).
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 14 - Знаки производной функции y  ( x  2)e
1
x
Так как при переходе через точку x  1 производная меняет знак
с плюса на минус, то x  1 – точка максимума. При переходе через
точку x  2 y  меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x  2 –
точка минимума. Точку x  0 на наличие в ней экстремума не рассматриваем, так как она не является критической. Находим сами экстремумы:
1
1
1
y max  y (1)  e  ; y min  y (2)  4e 2  4 e .
e
13
Ответ: а) y max  y (4)  9 , y min  y(0)  0 ;
27
1
б) y max  y (1)  , y min  y(2)  4 e .
e
Теорема 6. (второе достаточное условие экстремума). Если
функция f (x) дважды дифференцируема и f ( x0 )  0 , а f ( x0 )  0 ,
f (x) имеет экстремум, причем максимум, если
то в точке x 0
f ( x0 )  0 , и минимум, если f ( x0 )  0 .
Замечание. 1. Если f ( x0 )  f ( x0 )  0 , то вторым достаточным
условием экстремума пользоваться нельзя. Нужно использовать первое достаточное условие.
2. Если f ( x0 ) не существует, то также пользуются первым достаточным условием экстремума.
Пример
10.
Исследовать
на
экстремум
функцию
1
1
y  x 4  x3  2x 2  4x  2 .
4
3
Решение.
Данная функция определена при x  R .
Находим производную и критические точки 1-го рода.
y   x 3  x 2  4 x  4  ( x 3  x 2 )  (4 x  4)  x 2 ( x  1)  4( x  1) 
 ( x 2  4)( x  1) .
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y   0 при x  1;
точек, в которых y  не существует, нет.
x  1 – критическая точка 1-го рода, так как она принадлежит
D( y ) .
Выясним, имеет ли функция в этой точке экстремум, с помощью
второго достаточного условия экстремума. Для этого найдем y  и
определим ее знак в критической точке.
y ( x)  3x 2  2 x  4 , y (1)  3  2  4  5  0 .
Значит, x  1 - точка минимума,
1 1
34
1
y min  y (1)    2  4  2 
 .
4 3
12
12
1
Ответ: y min  y (1)   .
12
5.4 Выпуклость и вогнутость графика функции.
ки перегиба
Точ-
Определение 5. График дифференцируемой функции y  f (x)
называется выпуклым (вогнутым) на (a; b) , если он расположен
ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале
(рисунки 15, 16).
Рисунок 16 –
Вогнутый график
Рисунок 15 –
Выпуклый график
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 7 (достаточное условие выпуклости и вогнутости
графика). Если функция f (x) дважды дифференцируема на (a; b) и
f ( x)  0 ( f ( x)  0 ), то график данной функции выпуклый (вогнутый) на этом интервале.
Определение 6. Точка графика непрерывной функции, при переходе через которую выпуклость изменяется на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба (рисунок 17).
Рисунок 17 – x0 – точка перегиба
Теорема 8 (необходимое условие перегиба). Если x 0 –к точка
перегиба графика функции f (x) , то f ( x0 )  0 или f ( x0 ) не существует.
Определение 7. Точки области определения функции f (x) , в которых f ( x)  0 или f (x) не существует, называются критическими точками 2-го рода.
Таким образом, все точки перегиба графика функции содержатся
среди ее критических точек 2-го рода. Однако не всякая критическая
точка 2-го рода является точкой перегиба.
Теорема 9 (достаточное условие перегиба). Если при переходе
через критическую точку 2-го рода x 0 f (x)
меняет знак, то x 0 – точка перегиба.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 11. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки
перегиба графиков функций:
x
а) y  ln( x 2  1) ; б) y 
.
3
2
x 1
Решение.
а) Область определения данной функции D( y)  R , так как
x 2  1  0 при всех значениях x .
Для нахождения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба найдем вторую производную, а затем – критические точки
второго рода.
2x
,
y  2
x 1
y  
(2 x)  ( x 2  1)  2 x  ( x 2  1) 2 x 2  2  4 x 2


( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
2(1  x 2 )
( x  1)( x  1)
.
 2


2

( x  1) 2
( x 2  1) 2
y   0 при x  1 и x  1;
точек, в которых y  не существует, нет.
x  1 – критические точки 2-го рода, так как они принадлежат
области определения функции.
Отметим их на числовой прямой и определим знаки второй производной на каждом из полученных интервалов (рисунок 18).
Рисунок 18 – Интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции y  ln( x 2  1)
Так как на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) y   0 , то на этих интервалах график выпуклый. На интервале (-1; 1) y   0 , следовательно,
график на этом интервале вогнутый.
При переходе через критические точки 2-го рода y  меняет знак,
значит, x  1 и x  1 - точки перегиба.
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y пер  y(1)  ln 2 .
б) Функция y 
x
определена при условии, что x 2  1  0 ,
x2 1
т.е. при x  1. Таким образом, область определения этой функции
D( y)  (-∞; -1)  (-1; 1)  (1; +∞).
Определим критические точки 2-го рода, для этого найдем y  .
1 


2

1
x   3 x 2  1  x ( x 2  1) 3 
3
2
2
x  1  x( x  1) 3  2 x



 
3
y 

2
2
2
3
3
2
( x  1)
x 1

3
x 1 

2x 2
2

3
3  3 ( x 2  1) 2

3  ( x  1)  ( x  1)
4 


( x 2  3)  3 ( x 2  1) 4  ( x 2  3) ( x 2  1) 3 


1

 
y   
2
3
3
( x 2  1) 4
3
( x  1)
3( x 2  1)  2 x 2
2
2
2
3

2
3
2
2

x2  3
3  ( x  1)
3
2
4
.

1
4
2 x  ( x  1)  ( x  3)  ( x 2  1) 3  2 x
1
3
 

2
8
3
3
( x  1)
2
3
4
2
1 1 2 x  3 x 2  1  (3( x 2  1)  4( x 2  3)) 2 x(3x 2  3  4 x 2  12)
  


3
3 3
( x 2  1) 8
9  3 ( x 2  1) 7

2 x( x 2  9)

2 x( x  3)( x  3)
.
9  ( x  1)
9  ( x  1) ( x  1)
y   0 при x  3 , x  0 , x  3 ;
y  не существует при x  1.
x  0 , x  3 – критические точки 2-го рода, так как они принадлежат области определения функции, а точки x  1 не являются
критическими, так как они не принадлежат D( y).
Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки его перегиба. Для этого отмечаем на числовой прямой
все точки, в которых y   0 или y  не существует, и расставляем зна3
2
7
3
7
7
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ки второй производной на каждом из полученных интервалов (рисунок 19).
На интервалах (-∞; -3), (-1; 0), (1; 3) график функции вогнутый,
так как на этих интервалах y   0 . На интервалах (-3; -1), (0; 1),
(3; +∞) график выпуклый, так как y   0 .
Рисунок 19 – Интервалы выпуклости и воx
гнутости графика функции y 
3
x2 1
x  3 , x  0 , x  3 - точки перегиба, так как при переходе через
них y  меняет свой знак.
3
3
y пер  y (3)   , y пер  y(0)  0 , y пер  y (3)  .
2
2
Ответ: а) график выпуклый на (-∞; -1), (1; +∞), вогнутый на
(-1; 1), y пер  y(1)  ln 2 ;
б) график вогнутый на (-∞; -3), (-1; 0), (1; 3), выпуклый на (-3; -1),
(0; 1), (3; +∞), y пер  y(3)  1,5 , y пер  y(0)  0 .
5.5 Наибольшее и наименьшее значения функции
1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной
функции f (x) на отрезке a; b, нужно: найти производную f (x) ;
найти критические точки 1-го рода; вычислить значения функции на
концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат
этому отрезку; выбрать из найденных значений наибольшее и
наименьшее.
2) Если на интервале непрерывная функция имеет только одну
точку максимума (минимума), то в этой точке и достигается
наибольшее (наименьшее) значение.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y  x 3  6 x 2  9 x  5 на [0; 2].
Решение.
Функция непрерывна на данном отрезке.
Находим производную и критические точки 1-го рода.
y   3x 2  12 x  9  3( x 2  4 x  3)  3( x  1)( x  3) .
y   0 при x  1 и x  3 . Это критические точки 1-го рода.
1 [0; 2], а 3 [0; 2].
Находим значения функции на концах отрезка и в критической
точке, принадлежащей этому отрезку:
y(0)  5 , y(2)  8  24  18  5  3 , y(1)  1  6  9  5  1.
Выбираем из найденных значений наибольшее и наименьшее.
Ответ: y наиб  y(1)  1, y наим  y(0)  5 .
1
Пример 13. Найти наименьшее значение функции y 
x  x2
на (0; 1).
Решение.
Функция непрерывна на (0; 1).
Найдем производную и критические точки 1-го рода на указанном интервале:
1  2x
2x  1
y  

.
(x  x2 )2 (x  x2 )2
1
y   0 при x  – это критическая точка 1-го рода;
2
y  не существует при x  0 и x  1, но эти точки не принадлежат
(0; 1).
1
1
1
При x  y   0 , а при x  y   0 . Значит, x  – точка мини2
2
2
мума.
Так как на данном интервале функция имеет только одну точку
минимума, то в этой точке она имеет наименьшее значение.
1
y наим  y   4 .
2
Ответ: y наим  y(0,5)  4 .
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.6 Асимптоты графика функции
Определение 8. Прямая называется асимптотой графика функции y  f (x) , если расстояние от точки M графика до этой прямой
стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.
Различают вертикальные (а) и наклонные (b) асимптоты, а также
частный случай наклонных – горизонтальные (с) асимптоты (рисунок 20).
Определение 9. Прямая x  x0 называется вертикальной
асимптотой графика функции y  f (x) , если выполняется хотя бы
одно из условий:
lim f ( x)   или lim f ( x)   .
x  x0 0
x  x0  0
Рисунок 20 – Примеры различных асимптот графика функции
Вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва 2-го рода
или через точки границы области определения функции.
График непрерывной на R функции вертикальных асимптот не
имеет.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 10. Прямая y  kx  b называется наклонной
асимптотой графика функции y  f (x) , если существуют конечные
пределы:
f ( x)
, b  lim  f ( x)  kx.
k  lim
x 
x 
x
Если эти пределы существуют (и конечны) только при x  
(или только при x   ), то график имеет левую (или правую)
наклонную асимптоту.
Если k  0 , а b принимает конечное значение, то наклонная
асимптота является горизонтальной. Ее уравнение
yb
b  lim f ( x) .

x 

1  x 
Пример 14. Найти асимптоты графика функции y  
 .
1  x 
Решение.
а) Ищем вертикальные асимптоты.
x  1 – точка разрыва функции. Найдем односторонние пределы
функции в этой точке:
2
1  x 
lim 
   .
x 1 0 1  x 
Итак, x  1 – точка разрыва 2-го рода.
Поэтому x  1 – вертикальная асимптота.
б) Ищем наклонную асимптоту y  kx  b .
 1 2 
   1

1  x 2 1 
f ( x)
1
 x     1 0  0 .
k  lim
 lim  
    lim  

x 
x   1  x 
x
x  x   1  x 

  1


x



Значит, если b имеет конечное значение, то асимптота – горизонтальная.
2
1 
2
  1
1  x 2

0

1


x
 
b  lim  f ( x)  kx  lim  
  0   lim 
  1.

x 
x   1  x 
x   1
0

1





  1
x 
Таким образом, y  1 – горизонтальная асимптота.
Ответ: x  1 – вертикальная асимптота,
2
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y  1 – горизонтальная асимптота.
Пример 15. Найти асимптоты графика функции y 
x
 arcctgx .
2
Решение.
а) Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на
всей числовой прямой: D( y)  R .
б) Ищем наклонные асимптоты y  kx  b .
x
 arcctgx
1
 1 arcctgx  1
2
k  lim
 lim  
  0 ,
x 
x   2
x
x  2
2
т.к. lim arcctgx   , lim arcctgx  0 и, следовательно, отношение
x 
x 
arcctgx к бесконечно большой x есть величина бесконечно малая.
1 
x
b1  lim  f ( x)  kx  lim   arcctgx  x   lim arcctgx   .
x 
x   2
2  x
Значение b отдельно вычисляем при x   и при x   , так
как предел arcctgx имеет разные значения при x   и при
x   .
x
Получили, что y    – левая наклонная асимптота.
2
1 
x
b2  lim  f ( x)  kx  lim   arcctgx  x   lim arcctgx  0 .
x 
x   2
2  x
x
Следовательно, y  – правая наклонная асимптота.
2
x
Ответ: y    – левая наклонная асимптота,
2
x
y  – правая наклонная асимптота.
2
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.7 Общая схема исследования функции
и построение ее графика
1. Найти область определения функции.
2. Определить, является ли данная функция четной, нечетной или
общего вида.
3. Исследовать функцию на непрерывность, классифицировать
точки разрыва. Если необходимо, исследовать поведение функции на
границе области определения.
4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные,
б) наклонные.
5. Найти интервалы возрастания, убывания функции и ее экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции,
точки его перегиба.
7. Построить график функции. Для этого в системе координат
провести асимптоты, отметить точки экстремума, точки перегиба и,
если необходимо, дополнительно некоторые точки графика. Затем,
учитывая результаты исследования, провести плавную кривую, соединяя отмеченные точки и приближая ее к асимптотам.
Пример 16. Провести полное исследование функций и построить
x4
x
их графики: а) y  3
; б) y 
.
ln x
x 1
Решение.
а) 1. Область определения функции D( y)  (;1)  (1;) .
2. Найдем y( x) :
( x) 4
x4
x4
y ( x) 

 3
.
( x) 3  1  x 3  1
x 1
y( x)  y( x) и y( x)   y( x) , следовательно, данная функция не
является ни четной, ни нечетной, т.е. она общего вида.
3. В точке x  1 функция не определена, значит x  1 – точка разрыва. Вычислим односторонние пределы в этой точке:
x4
x4
lim
  , lim 3
  .
x 10 x 3  1
x 1 0 x  1
Итак, x  1 – точка разрыва 2-го рода.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. а) Так как x  1 – точка разрыва 2-го рода, то через нее проходит вертикальная асимптота, ее уравнение x  1 .
б) Ищем наклонную асимптоту y  kx  b .
f ( x)
x4
x3
1
1
k  lim
 lim

lim

lim

 1.
x 
x  x ( x 3  1)
x  x 3  1
x 
1 1
x
1 3
x

Здесь раскрыли неопределенность вида .

1
4
2
 x

x
0
b  lim ( f ( x)  kx)  lim  3
 x   lim 3
 lim x
  0.
x 
x  x  1

 x  x  1 x  1  1 1
x3
Таким образом, y  x – наклонная асимптота.
5. Интервалы монотонности и точки экстремума находим с помощью первой производной.
4 x 3 ( x 3  1)  3x 2  x 4 x 6  4 x 3 x 3 ( x 3  4)
.
y 


2
2
2
3
3
3
x 1
x 1
x 1
Найдем точки, в которых y  равна нулю или не существует.
y   0 при x1  0 и x2  3 4  1,6 ;
y  не существует при x3  1 .
x1 , x2 – критические точки 1-го рода, x3 не является критической
точкой, так как она не принадлежит области определения.
Определим знак производной в интервалах, на которые область
определения делится точками x1 , x3 , x2 (рисунок 21).






Рисунок 21 – Интервалы возрастания и
x4
убывания функции y  3
x 1
Учитывая знаки производной в интервалах, записываем:
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на (-∞; 0), (3 4;) функция возрастает, на (0; 1), (1; 3 4 ) функция
убывает.
x1  0 – точка максимума, x2  3 4 – точка минимума.
4
y max  y(0)  0 , y min  y 3 4   3 4  2,1.
3
6. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба находим
с помощью второй производной.
(6 x 5  12 x 2 )( x 3  1) 2  x 3 ( x 3  4)  2( x 3  1)  3x 2
y  

( x 3  1) 4
6 x 2 ( x 3  2)( x 3  1)  6 x 5 ( x 3  4) 6 x 2 ( x 6  3x 3  2  x 6  4 x 3 )



3
3
3
3
( x  1)
( x  1)
2
3
6 x ( x  2)
.

( x 3  1) 3
Найдем точки, в которых y  равна нулю или не существует.
y   0 при x1  0 и x4  3 2  1,3 ;
y  не существует при x3  1 .
x1 , x4 – критические точки 2-го рода, а x3  D( y) .
Определим знак второй производной в интервалах, на которые
область определения делится точками x4 , x1 , x3 (рисунок 22).
 
Рисунок 22 – Интервалы выпуклости и
x4
вогнутости графика функции y  3
x 1
Учитывая знаки второй производной в интервалах, записываем:
на (;3 2 ), (1;) график функции вогнутый, на (3 2;1) график
функции выпуклый.
x4  3 2 – точка перегиба,
а x3  1 – не точка перегиба, так как она не является критической
точкой 2-го рода.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


2
y пер  y  3 2  y 4    3 2  0,8 .
3
7. Строим график функции (рисунок 23).
x4
Рисунок 23 – График функции y  3
x 1
б)
1.
Область
определения
функции
y
x
ln x
D( y)  (0; 1)  (1; +∞).
2. Так как область определения несимметрична относительно
начала координат, то данная функция – общего вида.
3. В точке x  1 функция не определена, поэтому x  1 – точка
разрыва. Найдем односторонние пределы в этой точке:
x
x
lim
  , lim
  .
x 10 ln x
x 1 0 ln x
Значит, x  1 – точка разрыва 2-го рода.
Выясним поведение функции на границе области определения:
x
lim
 0.
x 0 ln x
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. а) Через точку разрыва 2-го рода проходит вертикальная
асимптота. Ее уравнение: x  1.
б) Левой наклонной асимптоты нет, так как функция не определена при x  0 . Выясним, есть ли правая наклонная асимптота
y  kx  b .
f ( x)
1
k  lim
 lim
 0,
x 
x  ln x
x
x

раскроем
b  lim  f ( x)  kx  lim
 [неопределенность
x 
x  ln x

x
1
по правилу Лопиталя] = lim
 lim
 lim x   .
x  (ln x) 
x  1 x
x 
Следовательно, и правой наклонной асимптоты нет.
5. Для определения критических точек 1-го рода, найдем первую
производную функции.
1
ln x  x 
x  ln x  1 .
y 
ln 2 x
ln 2 x
y   0 при ln x  1, т.е. x  e ;
y  не существует при ln x  0 , т.е. x  1 .
x  e – критическая точка 1-го рода, x  1 не является критической, так как она не принадлежит области определения.
Чтобы найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы
функции, определим знак производной в интервалах, на которые разбивается область определения точками x  1 и x  e (рисунок 24).
Рисунок 24 – Интервалы возрастания и
x
убывания функции y 
ln x
Таким образом, на (0;1), (1; е ) функция убывает, на (е;) функция возрастает.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  e - точка минимума, y min  y(e)  e .
6. Чтобы определить критические точки 2-го рода, найдем вторую производную функции.
1 2
1
 ln x  2 ln x   (ln x  1)
ln x  2 ln x  2 2  ln x
x
.
y   x


ln 4 x
x ln 3 x
x ln 3 x
y   0 при ln x  2 , т.е. x  e 2 ;
y  не существует при x  1 ( x  0) .
x  e 2 – критическая точка 2-го рода, а x  1 таковой не является.
Для нахождения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба определим знак второй производной на каждом из трех получающихся интервалов (рисунок 25).
Рисунок 25 – Интервалы выпуклости и воx
гнутости графика функции y 
ln x
Получили: на (0;1), (е 2 ;)
на (1; е 2 ) график функции вогнутый.
график функции выпуклый,
e2
 3,7 .
x  e - точка перегиба, y пер  y (e ) 
2
7. Для построения графика (рисунок 26) найдем дополнительно
1
1
некоторые точки: y     0,37 ; y(e)  e .
e
e
2
2
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 26 – График функции y 
x
ln x
Вопросы
1. Сформулируйте правило Лопиталя.
2. Что называется факториалом натурального числа?
3. Запишите формулы Тейлора и Маклорена.
4. Запишите разложение функции e x .
5. Какая функция называется возрастающей на интервале?
6. Какая функция называется убывающей на интервале?
7. Сформулируйте достаточный признак монотонности функции?
8. Дайте определение максимума функции.
9. Дайте определение минимума функции.
10. Сформулируйте необходимое условие экстремума.
11. Какие точки называются критическими точками 1-го рода?
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Сформулируйте первое достаточное условие экстремума.
13. Сформулируйте второе достаточное условие экстремума.
14. Какой график называется выпуклым на интервале?
15. Какой график называется вогнутым на интервале?
16. Сформулируйте достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции.
17. Дайте определение точки перегиба.
18. Каково необходимое условие перегиба?
19. Какие точки называются критическими точками 2-го рода?
20. Сформулируйте достаточное условие перегиба.
21. Как найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной
функции на отрезке?
22. Что называется асимптотой графика функции?
23. Какие различают асимптоты?
24. Дайте определение вертикальной асимптоты.
25. Дайте определение наклонной асимптоты.
26. Какова общая схема исследования функции?
Задания для самостоятельного решения
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
x  arctgx
e4x  1
x  sin x
1. lim
.
2. lim
.
3.
.
lim
x 0
x 0 sin 2 x
x 0 x  tgx
x3
  arctgx
ln x
5
4. lim
.
5. lim x  sin .
6. lim
.
x 
x 0 ln sin x
x 
x
 1
ln 1  
 x
Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функций:
3x  4
7. y  2 x 3  6 x 2  18x  7 .
8. y  2
.
x 1
9. y  x 2  e  x .
10. y  4arctgx  2 x  1.
Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графиков функций:
11. y  x 3  6 x 2  12 x  4 .
12. y  x 2 ln x .
13. y  arctgx  x .
14. y  1  x 2  e x .
Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанных отрезках:

93

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. y 
15. y  2 x 2  x  3 , [-1; 2].
4x  1
, [1; 3].
x2  3
17. y  x  e 2x , [0; 1].
2
18. Найти наибольшее значение функции y 
4  3x
на интервале
2
x x
(0; 1).
Найти асимптоты графиков функций:
1
x2
19. y 
.
20. y  2
.
2
( x  3)
x  3x  2
2
x3
21. y  2
.
22. y  e x  2 .
x 9
Провести полное исследование функций и построить их графики:
1
3 1
2
23. y   3 .
24. y  x  e x .
x x
2x
1  x3
25. y 
.
26. y 
.
2
2
1 x
x
x
27. y  xe .
28. y  x  2arctgx .
Ответы:
1
1
1. 2.
2. .
3.  .
4. 1.
5. 5.
6. 2.
3
2
7. Возрастает на (-∞; -1) и (3; +∞), убывает на (-1; 3),
y max  y(1)  17 , y min  y(3)  47 .
1
1


8. Убывает на (-∞; -3) и  ;  , возрастает на   3;  ,
3
3


1
1
y min  y (3)   , y max  y   4,5 .
2
 3
9. Убывает на (-∞; 0) и (2; +∞), возрастает на (0; 2),
4
y min  y(0)  0 , y max  y (2)  2 .
e
10. Убывает на (-∞; -1) и (1; +∞), возрастает на (-1; 1),
y min  y(1)  3   , y max  y(1)    1.
11. Выпуклый на (-∞; 2), вогнутый на (2; +∞), y пер  y(2)  12 .
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.
Выпуклый
на

1 
 0;
,
3 
e 

вогнутый
на
 1


;  ,
3
 e

 1 
3
   3 .
y пер  y
3
2e
 e 
13. Вогнутый на (-∞; 0), выпуклый на (0; +∞), y пер  y(0)  0 .
14. Вогнутый на (-∞; -3) и (-1; +∞), выпуклый на (-3; -1),
10
2
y пер  y (3)  3 , y пер  y (1)  .
e
e
7
1
15. y наим  y   2 , y наиб  y(2)  9 .
8
4
3
16. y наим  y (1)  , y наиб  y(2)  1.
4
1
1
17. y наим  y(0)  0 , y наиб  y  
.
2
2
e
 
 2
18. y наиб  y   9 .
 3
19. x  3 – вертикальная асимптота, y  0 – горизонтальная
асимптота.
20. x  1, x  2 – вертикальные асимптоты, y  1 – горизонтальная
асимптота.
21. y  x – наклонная асимптота.
22. y  2 – горизонтальная асимптота.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.
2.
3.
4.
Задача 1. Найти пределы.
x 3
3x 3  4 x 2  3
3x 2  5 x  2
а) lim
б)
в)
;
lim
;
lim
;
x 9 2 x  2  4
x  5 x 4  4 x  2
x 1 x 2  4 x  3
x 3
5x
 x 1
г) lim
д) lim 
;
 .
x   x  5 
x0 arctg 6 x
1  4n  n 4
3x 2  10 x  8
x3
а) lim
б)
в)
;
lim
;
lim
;
n n  3n 2  2n 4
x 4 4 x 2  15 x  4
x 3 4 x  3  3
5x
sin 2 3x  ctg 2 x
г) lim
; д) lim (3x  7) 2 x .
x 2
x 0
x
1  3x 2  2
5  x 2  2x3
8  x3
;
;
;
а) lim 3
б) lim
в) lim
2
x 1
x  x  x  7
x 2 10  7 x  x 2
x x
5x
sin 7 x
 2x  3 
г) lim
д) lim 
;
 .
x   2 x 
x0 tg 5 x
x 2  2x  1
x 2  x  12
4x  1
;
а) lim
б) lim
в) lim
;
;
x 1
x 3 x  2  4  x
x  5 x  3 x
x2  x
x 1
4 3
1  cos 5 x
 3x 
д) lim 
;
 .
x   3 x  2 
x 0 x  tg 3 x
1  x  2x3
x 2  6x  9
; б) lim
;
а) lim
2
x  1  x 2  2 x 3
x 3
x 9
г) lim
5.
1  cos 2 x
;
г) lim
x 0
xtg2 x
x 2
x2
1  x 2 
2
 .
г) lim x  sin 2 x  ctg 5 x ; д) lim  2
x 0
x  x  1 


x 2  3x  28
x3  x
;
;
6. а) lim 4
б) lim
x 7
x  x  3 x 2  1
( x  7) 2

в) lim
x2  4
;
1  4x  3

x
1 

д) lim 1  2  .
x  
x 
96
в) lim
x 2
x7 3
;
x2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3x 5  4 x 2  1
8x 3  1
7. а) lim
; б) lim 2
;
1 6 x  5x  1
x  2 x 5  3 x 3  x
x
в) lim
2
x 3
x  10  4  x
;
2
2 x  x  21
2 x 1
 x  1
д) lim 
 .
x   x 
x 2  3x  2
3x 2  x  1
8. а) lim
б) lim
;
;
x 1
x  2 x 2  x  7
x 1
2 x 1
 x  3
г) lim x  ctgx;
д) lim 
 .
x   x  2 
x 0
3
n2  n
2x 2  x  1
9. а) lim
б) lim 2
;
;
x

1
n 
n 1
3x  x  2
arcsin x
г) lim
;
x0
3x
1 x2 1
в) lim
;
x 0
x
в) lim
x 5
x4 3
;
x 1  2
x 1
4 3
cos x  cos x
 3x 
д)
;
lim

 .
x 0
x   3 x  2 
x2
2  4  x2
2x5  x3
x2  x  6
10. а) lim
б) lim 2
в) lim
;
;
;
x 0
x  4 x 2  3 x  6
x 3 2 x  x  21
x2
x
 1
1 

; д) lim (5  4 x) x 1 .
г) lim 
x 0 sin x
x 1
tgx 

( x  2) 2
x3  8
; б) lim 2
;
11. а) lim
в) lim x  5  x ;
x  2 x 2  3 x  2
x 2 x  x  2
x 
2 x 3
4 
arcsin 2 x

.
г) lim
д) lim 1 
;

x  
x0
4x  1
tg 4 x
x 2  3x  1
2x 2  x  1
4  3x  4  3x
;
lim
;
lim
;
12. а) lim
б)
в)
x  4 x 2  x  2
x 1 5 x 2  4 x  1
x 0
7x
1  cos 2 x
ln( 1  6 x)
;
г) lim
д)
lim
.
2
x 0
x

0
x
3x
3
4x  7 x
x3  8
2x  1  3
;
lim
;
13. а) lim
б)
в)
lim
;
x  2 x 3  4 x 2  5
x 2 x 2  x  6
x 4 x  1  3
x
3x
tg 2
2 

4
;
г) lim
д) lim 1 
 .
x  
x0 x 2
2 x
5
г) lim

97

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x 2  5x  6
x  2x
3 4 x
14. а) lim
б) lim 2
; в) lim
;
;
x 2 x  12 x  20
x  3 x  1
x 81 9  x
3x
1  cos 2 x
 4x  5 
г) lim
д) lim 
;
 .
x 0 x sin x
x   4 x  2 
7x  4
x 3  64
x 2  x  12
; б) lim 2
15. а) lim
; в) lim
;
x  5 x  3 x 3  1
x 4 7 x  27 x  4
x 3 x  2  4  x
2x
cos 4 x  cos 3 4 x
 3  9x 
г) lim
; д) lim 
 .
x 0
x   9 x  4 
3x 2
n  3n 2  4n 3
x4  a4
5x  1  4
16. а) lim
б)
в)
;
lim
;
lim
;
n n  3n 2  4n 3
x a x 3  a 3
x 3
x3
3x
arctg 3x
 x 
г) lim
д) lim 
;
 .
x0 sin 5 x
x   1  x 
3x 2  15 x
5x 2  2 x  7
21  x  5
17. а) lim
б)
в)
;
lim
;
lim
;
2
3
x  4 x 3  x 2  1
x 1
x

4
x x
x  64
1
xx
tg 2 x  sin 2 x
3
;
д)
lim

 .
3
x 0
x

0
x
3 x
2
x2
5n  1
lim
;
18. а) lim
б)
;
x 2 6  x  x 2
n  ( 2n  1) 2
 x
sin 2  
2
3;
2 ctg x
lim
1

3
tg
x
.
г) lim
д)
2
x

0
x 0
x
7x 4  2x3  5
x 2  3x  10
; б) lim
;
19. а) lim
x  6 x 4  3 x 2  7 x
x 5
x 3  125
3x
1  cos 6 x
 4x  1
г) lim
д) lim 
;
 .
x 0 x sin x
x   4 x  1 
10 x  3
2x 2  9x  4
;
;
20. а) lim
б) lim 2
x  2 x 3  4 x  3
x 4 x  x  20
x 5
cos x  cos 3 x
 x  4
; д) lim 
г) lim
 .
x


x 0
xtg2 x
 x  3
г) lim

в) lim
2 x
;
6x  1  5
в) lim
2x  7  5
;
3 x
x 4

98
x 9
в) lim
x 2
x7 3
;
x22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x3  2x  1
x2  x  6
21. а) lim
б) lim 2
;
;
x 
x 3 x  6 x  9
x2
3 x 1
2 
tg 2 x

г) lim
д) lim 1 
;
 .
x  
x0 5 x 2
3x  2 
2x3  7x 2  2
x 2  2x  3
22. а) lim
; б) lim
;
x  6 x 3  4 x  3
x 3
x2  9
3
x2  x
в) lim
;
x 1
x 1
в) lim
4 x 2
;
x2
в) lim
x 1  3
;
x  10
x 0
3
x
г) lim tg 2 x  ctg 4 x;
д) lim (1  5 x) .
x 0
x 0
4x  7 x
x 2  4x  3
23. а) lim
; б) lim 2
;
x  2 x 3  4 x 2  5
x 1 x  2 x  1
2 x 1
1  cos 8 x
 x  3
г) lim
д) lim 
;
 .
x   x  2 
x 0 xtg4 x
3
x 10
4 x 2  11x  3
x2  4  2
б) lim
; в) lim
;
2
x 3 3 x 2  10 x  3
x 0
x  16  4
5x
cos x  cos 3 x
 1  10 x 
lim
;
г) lim
д)

 .
x 0
x  2  10 x 
5x 2
x 3  81
9 x 2  17 x  2
2 x  x6
25. а) lim 2
в)
; б) lim
;
lim
;
x  3 x  4 x  2
x 2
x 2
x 2  2x
x2  x  6
4
tg 4 x  sin 4 x
; д) lim (1  2 x) x .
г) lim
3
x 0
x 0
x
n4  n2  1
x2  9
9 x 3
;
lim
;
lim
;
26. а) lim 4
б)
в)
2
n  n  n 2  1
x 3 x 3  2 x 2  15 x
x 0
x x
x 1
 2x  5 
г) lim x sin 6 x  ctg 2 x ; д) lim 
 .
x 0
x   2 x  3 
1000n 3  600
2 x 2  7 x  30
5x  4  3
;
lim
;
27. а) lim
б)
в)
lim
;
n 
x 6 3 x 2  20 x  12
x 1
2x  1  1
0,001n 4
2x  4
24. а) lim
;
x  x  3 x

г) lim sin 2 x  ctg3x;
x 0

1
2 x2
д) lim (1  3x ) .
x 0
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график.

 2 x 2 , если
x  0,
если
x  1,
 2,


1. y   1  x, если  1  x  3, 2. y   x,
если 0  x  1,
2  x, если
 4
x  1.
,
если
x

3
.

 x  3
 2
 4
,
если
x

1
,
x  5,
 x 1
 x  5 , если


3. y  ( x  1) 2 , если 1  x  4, 4. y   x 2 , если  5  x  0,
 4  x, если
 x  1, если
x  4.
x  0.





x  0,
x  1,
 2 x, если
  2 x, если


5. y   x 2  1, если  1  x  4, 6. y  sin x, если 0  x   ,
  3, если
 2
x  .
,
если
x

4
.

 x  4
если
x  0,
x  2,
 1,
2  x, если


7. y   2 x , если 0  x  2,
8. y   x 3 , если  2  x  1,
 x  3, если
 1,
x  2.
если
x  1.


x  2,
 x  1,5, если
x  0,
 x  1, если
 1

9. y  
,
если  2  x  0, 10. y  2 sin x, если 0  x   ,
x
 x   , если

x  .
2
x
,
если
x

0
.




 x 2  1, если
x  0,

3
x
,
если
x

1
,





11. y   x 2  4, если 1  x  3, 12. y   cos x, если 0  x  ,
2

 1


x  3.
 x  3 , если
 x  , если
x .

2
2
 4
x  3,
x  2,
 x  3 , если
 3  x, если


13. y   x 2  5, если  2  x  3, 14. y   x 2  4, если  3  x  1,
 2 x  5, если
 7  2 x, если
x  1.
x  3.



100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 x,
 3
16. y  
,
x

2

 3,
 2
 x3 ,
если
x  0,
  x,


17. y   ( x  1) 2 , если 0  x  2, 18. y   x  1,
5  x,
 x  3,
если
x  2.


 2
если
x  0,
 x ,

15. y  3  2 x, если 0  x  5,
 3
x  5.
 x  5 , если
если 0  x  2,
если 2  x  4,
если
x  4.
если
x  1,
если  1  x  3,
если
x  3.
 1
x  1,
x  1,
 2( x  1), если
 x  1 , если


19. y   3x, если 1  x  4, 20. y   ( x  1) 3 , если  1  x  0,
 12, если

x  4.
x,
если
x  0.



 x 2 , если  2  x  0,
6  x 2 , если
x  2,



 2
21. y   tgx, если 0  x  , 22. y  
, если  2  x  2,
2
x

2


4
x

x  2.
 4  x, если

,
если
x

.
 
2
 2 x , если 0  x  1,
x  0,
 x, если


23. y   x 2 , если 0  x  2,
24. y  4  2 x, если 1  x  3,
2 x  7, если 3  x  4.
 0, если
x  2.



 x  1,

25. y   x 2  2,
 1
 x  2 ,
 1,

27. y  cos x,
1  x,

 1
если
x  0,
если
x  1,
 x,

если 1  x  2, 26. y   x 2  4, если 0  x  3,
 2 x,
если
x  3.
если
x  2.


если
x  0,
если 0  x   ,
если
x  .
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3. Найти производные первого порядка.

y
x
1. а) y  3 sin x  cos x  sin x; б) y  (arctgx) ; в) ln x  e  C.
tgx
2. а) y   2  arctg
 x; б) y  x x ; в) x 3  2 x 2 y 2  5x  y  5  0.
2
( x  3) 2  (2 x  1)
x
y
2
2
2
3. а) y  cos sin ; б) y 
в)
;
arctg

ln
x

y
.
3
x
( x  1) 3
x
x
4. а) y  ln 3  x  6 x  x 2 ; б) y  x 2 ; в) ln y   C.
y
2
3
ln x




5. а) y  ln arctg 1  x 2 ; б) y  x x 3 ; в) 2 x  2 y  2 x y .
x( x  1)
6. а) y  1  arcsin x ; б) y 
; в) 2 y ln y  x.
x2
1
ctg
x y
7. а) y  3 x ; б) y  (sin x) ln x ; в) y 3 
.
x y
x
x 1
 1
8. а) y  ln cos
; б) y  1   ; в) e x  sin y  e y  cos x  0.
x
 x
2
x2
9. а) y  e sin x ; б) y 
; в) y  tg( x  y).
2
3
( x  1)  (2 x  1)
1
x
10. а) y  arctgx  arcsin x; б) y  (ln x) ; в) e y  x  y.
3
2
11. а) y  arcsin( 1  x)  2 x  x 2 ; б) y  (cos x) x ; в) y  1  xe y .


1
x
12. а) y  arctg x  1  x ; б) y  x ; в) sin( xy)  cos( xy)  0.
1
x 1
13. а) y  arctg ln ; б) y 
; в) x 4  y 4  x 2 y 2 .
3
x
( x  2) 2  ( x  3) 3
14. а) y 

x8
8 1 x2
2
ctgx
2
y

(
3
x

1
)
;
2
y

sin
2
x

y
 0.
б)
в)
;
4

2
2x 2  2x  1
; б) y  ( x  cos x) x ; в) y ln x  e y  1  0.
15. а) y 
x
3
x
1 x
x
16. а) y  e (3 sin 3x  cos 3x); б) y  x ; в) ln y  arctg .
10
y
17. а) y  ln 2 x  ln ln x; б) y  x cos x ; в) x  y  arctgy  0.
 
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
sin x  cos x
( x  2) 9
18. а) y 
; б) y 
; в) y 2 x  e x .
sin x  cos x
( x  1) 5  ( x  3)11
11
4
2 x

;
19. а) y  
б)
y

x

x
; в) y sin x  cos( x  y).
2
x

2
2( x  2)


ex
x 1
y
x
20. а) y 
; в)  arctg .
; б) y  x 3 
x
y
2x
( x  2) x  2
x
21. а) y  sin 3 5 x  cos 2 ; б) y  x tgx ; в) x  y  e y  arctgx  0.
3
22. а) y  ln x  1  ln x  1 ; б) y  (arctgx) x ; в) tgy  xy.
( x  2) 2
y
x
2
2
23. а) y 
в)
;
x

y

arctg
.
; б) y 
3
4
2
x
(
x

1
)

(
x

3
)
9 9  x
1
24. а) y  cos 3 x  3 cos 2 x  5 ; б) y  x ln x ; в) e x  1 e y  1  1  0.
15
x3
25. а) y 
; б) y  (cos x) sin x ; в) x  y  arcsin x  arcsin y.
3
3 1 x2
2








 



3
x
x
26. а) y  ln 1  e  1  ln 1  e  1 ; б) y  x ; в) xy  arctg .
y
x
x
sin x  cos x
( x  1) 3
; б) y  x 
27. а) y 
; в) arctg ( x  y)  x.
sin x  cos x
( x  1) 5
Задача 4. Найти y  и d 2 y .
1. y  (2 x  3) 5 .
3. y  e ctg 3x .
5. y  sin 2 x.
1 x
.
7. y 
1 x
9. y  ln x 2  1 .


2
2. y  e x .
arcsin x
4. y 
.
1 x2
6. y  cos(sin x).
8. y  x  arctgx.
10. y  ln ctg 2 x.
11. y  arctgx.
12. y  xe x .
13. y  x  1  x 2 .
14. y  e  x  2 x 2 .
2
2
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. y  e 2 x  sin 3x.
1 x
.
1 x
18. y  ln x  4  x 2 .
19. y  arcsin 2 x.
20. y  ln 3 1  x 2 .
15. y  arctg3x  5x  1.


21. y  ln x  x 2  9 .
23. y  ln 1  x 3 .
25. y  arctgx 2 .


16. y 


22. y  e x  cos x.
24. y  1  x 2  arctgx.
26. y  e x  sin x.


27. y  ln 3 1  x 2 .
Задача 5. Найти производную y x параметрически заданной
функции.
 x  ln t ,
 x  arcsin t ,
 x  t  ln cos t ,
1
1. 
2. 
3. 
2
y

.
y

1

t
.
y

t

ln
sin
t
.



1 t
2t

x

,
2

 x  3 cos 2 t ,
 x  e 2t ,
1

t
4. 
5. 
6. 
2
3
1

t
y

2
sin
t
.

 y  cos t.
y 
.

1 t2
 x  arctgt ,
 x  t 3  8t ,
 x  3 cos t ,
7. 
8. 
9.
1 2

2
5
 y  4 sin t.
 y  t  2t.
 y  2 t .
1

x

,

 x  2t  t 3 ,
 x  ln 1  t 2 ,
t 1
10. 
11. 
12. 
2
2
t


y  t 2.
 y  2t .

y  
.


 t  1
 x  e t ,
 x  arctg 3x,
 x  2t  sin 2t ,
13. 
14.
15.


2
3
3
 y  ln 1  9t .
 y  8 sin t.
 yt .


1

x
,
16. 
cos t
 y  tgt.
 x  t 2  1,

t 1
17. 
y
.

2
t 1

104


 x  arctgt ,
18. 
2
 y  ln 1  t .


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x  cos t ,
19. 
3
 y  sin t.
 x  sin t  t cos t ,
20. 
 y  cos t  t sin t.
 x  cos 2t ,
22. 
2
 y  sin t.
 x  e t  sin t ,
23. 
t
 y  e  cos t.
t

x  cos ,
26. 
2
 y  t  sin t.
3
 x  e  5t ,
25. 
5t
ye .
1.
4.
7.
10.
3t

x

,
3

1

t
21. 
2
3
t
y 
.
3

1 t
 x  arcsin t ,
24. 
2
 y  ln 1  t .


 x  3t  t 3 ,
27. 
2
 y  3t .
Задача 6. Исследовать функцию и построить ее график.
1
x 2
3x 2  1
2
x
y

 .
.
2. y 
3.
y  x e .
2 x2
x3
2
x 2  6x  1
x
5. y 
6. y  1  x 2  e x .
y  xe .
.
x6
x
2x 2
x2
.
8. y 
9. y 
y  ( x  1)  e .
.
2x  1
1 x2
4
11. y  2 x  3  3 x 2 .
12. y  x  2 
y  x2  ex .
.
x2
13. y 

e
x1
x
14. y  xe
.

x2
2

x2
.
15. y 
1 x2
.
x3
.
16. y 
2
3 x 3
 x  1
17. y  
 .
 x 
18. y  e 2 x  x .
ex
19. y 
.
x
4x3
.
22. y 
2
3 x 1
x3
.
25. y 
2( x  1) 2
3x
.
20. y 
1  x3
x3
23. y 
.
x 1
x2
.
26. y 
2( x  1)
( x  1) 2
.
21. y  2
x 1
8x
.
24. y 
2
( x  2)
2( x  1) 2
.
27. y 
x2




2
105
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛОССАРИЙ
Функция задана аналитически, если указана формула, связывающая между собой x и y .
Прямая называется асимптотой графика функции y  f (x) , если расстояние от точки M графика до этой прямой стремится к нулю
при удалении точки M в бесконечность.
 ( x)
Если lim
 0 , то  (x) называется бесконечно малой высx a  ( x )
шего порядка по сравнению с  (x) .
Функция  (x) называется бесконечно малой при x  a (при
x   ), если lim  ( x)  0 lim  ( x)  0 .


x a
x 
 ( x)
 А  0 , то  (x) и  (x) называются бесконечно
x a  ( x )
Если lim
малыми одного порядка.
Функция (x) (читается: гамма от x ) называется бесконечно
большой при x  a (при x   ), если lim ( x)   lim ( x)   .
x a

x 

Прямая x  x0 называется вертикальной асимптотой графика
функции y  f (x) , если выполняется хотя бы одно из условий:
lim f ( x)   или lim f ( x)   .
x  x0 0
x  x0  0
Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на
(a; b) , если большему значению аргумента соответствует большее
(меньшее) значение функции, то есть если x1 , x2  (a; b) и x2  x1 , то
f ( x2 )  f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1 ).
Второй замечательный предел. Это каждый из пределов
1
n
x
 1
 1
lim 1    e , lim 1    e , lim (1  x) x  e .
x 0
n  
x  
n
x
График дифференцируемой функции y  f (x) называется выпуклым (вогнутым) на (a; b) , если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.
Если k  0 , а b принимает конечное значение, то наклонная
yb
асимптота является горизонтальной. Ее уравнение
b  lim f ( x) .

x 

106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Графиком функции y  f (x) называется множество точек  x, y 
плоскости, координаты которых удовлетворяют данной зависимости.
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал
от дифференциала первого порядка: d 2 y  d (dy) .
Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от
дифференциала (n-1)-го порядка: d n y  d d n1 y .
Дифференциал dy  y dx называется дифференциалом первого
порядка.
Дифференциалом функции y  f (x) называется главная часть
приращения функции, линейная относительно x : dy  y   x .
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Функция, имеющая производную в точке x , называется дифференцируемой в этой точке.
Функция называется дифференцируемой на промежутке, она
дифференцируема в каждой точке этого промежутка.
Множество элементов универсального множества, не принадлежащих множеству А , называется дополнением множества А и обозначается А .
Дробно-рациональной функцией называется отношение двух
многочленов.
Интервалом (a; b) называется множество, элементы x которого
удовлетворяют неравенству a  x  b .
Точки области определения функции f (x) , в которых f ( x)  0
или f (x) не существует, называются критическими точками 1-го
рода.
Точки области определения функции f (x) , в которых f ( x)  0
или f (x) не существует, называются критическими точками 2-го
рода.
Если f (x) стремится к числу А при x , стремящемся к а , и при
этом x  a ( x  a) , то A называется левым (правым) пределом
функции f (x) при x , стремящемся к a . Обозначение:
lim f ( x)  f (a  0) , lim f ( x)  f (a  0) .

x a  0

x a  0
Значение f ( x0 ) называется максимумом (минимумом) функции
f (x) , если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  x0 из этой окрестности выполняется неравенство f ( x0 )  f ( x)
( f ( x0 )  f ( x)) .
Многочленом n-ой степени, или целой рациональной функцией называется функция вида Pn ( x)  a0 x n  a1 x n1  ...  an1  an , где
n  0 - целое число, a0 ,..., an - постоянные числа a0  0.
Под множеством понимается любая четко определенная совокупность объектов.
Функция, возрастающая или убывающая на некотором интервале,
называется монотонной на этом интервале.
Прямая y  kx  b называется наклонной асимптотой графика
функции y  f (x) , если существуют конечные пределы:
f ( x)
, b  lim  f ( x)  kx.
k  lim
x 
x 
x
Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если она
определена в некоторой окрестности этой точки и lim y  0 .
x 0
Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
Функция называется непрерывной на некотором промежутке,
если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Функция y аргумента x называется неявной, если она задана
уравнением F ( x, y)  0 , не разрешенным относительно зависимой
переменной y .
Прямая NN  , проходящая через точку касания M 0 перпендикулярно касательной, называется нормалью к графику функции
y  f (x) в этой точке.
Объединением множеств А и В называется множество С , состоящее из всех элементов множеств А и В . Обозначение: А  В .
Функция f (x) называется ограниченной на множестве X , если
она определена на этом множестве и существует такое число M  0 ,
что для всех x  X выполняется неравенство f ( x)  M .
Функция f (x) называется ограниченной при x  a , если существует окрестность точки a , в которой f (x) ограничена.
Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окрестностью точки x 0 называется интервал x0   ; x0    с
центром в точке x 0 произвольного радиуса  .
Основными элементарными функциями называются степенная y  x    R , показательная y  a x a  0, a  1, логарифмическая
тригонометрические
y  log a x
a  0, a  1,
y  sin x, y  cos x, y  tgx, y  ctgx и обратные тригонометрические
функции y  arcsin x, y  arccos x, y  arctgx, y  arcctgx.
Отрезком a; b называется множество, элементы x которого
удовлетворяют неравенству a  x  b .
Пусть точка M ( x, y) плоскости движется по некоторой линии.
Система уравнений x  x(t ), y  y(t ) , задающая координаты произвольной точки линии как функции параметра t , называется параметрическими уравнениями линии.
sin x
lim
 1 – это первый замечательный предел.
x 0 x
Пересечением множеств А и В называется множество D , состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих множеству A
и множеству B . Обозначение: A  B .
Функция y  f (x) называется периодической, если существует
такое число T  0 , что для любого значения x из области определения функции выполняется равенство f ( x  T )  f ( x).
Если любой элемент множества A принадлежит множеству B , то
множество A называется подмножеством множества B .
Полуинтервалами a; b  и a; b называются множества, элементы x которых удовлетворяют неравенствам a  x  b и a  x  b .
Число a называется пределом последовательности x n , если для
любого (сколь угодно малого) положительного числа  существует
такой номер N , что для всех n  N выполняется неравенство
xn  a   . Обозначение: lim xn  a или xn  a при n   .
n
Число А называется пределом функции f (x) при x стремящемся к a , если для любого (сколь угодно малого) положительного
числа  существует такое положительное число  , что для всех
x  a , удовлетворяющих неравенству x  a   , выполняется неравенство f ( x)  A   . Обозначение: lim f ( x)  A .
x a
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Число А называется пределом функции f (x) при x   , если
для любого   0 существует такое N  0 , что для всех x , удовлетворяющих
неравенству
выполняется
неравенство
xn  N ,
f ( x)  A   . Обозначение: lim f ( x)  A .
x 
Разность y  f ( x0  x)  f ( x0 ) называется приращением
функции.
Производной второго порядка или второй производной функции y называется производная от производной первого порядка этой
функции: y   ( y ) .
Производной n-го порядка называется производная от произ
водной (n-1)-го порядка: y ( n )  y ( n1) .
Производная y  называется производной первого порядка или
первой производной функции y (x) .
Производной функции y  f (x) называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента при условии, что
приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существуy
f ( x  x)  f ( x)
ет: y   lim
.
 lim
x 0 x
x 0
x
Отрезок, интервал или полуинтервал называется промежутком.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается символом  .
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются
равными: A  B .
Разностью множеств А и В называется множество Е , состоящее
из всех элементов множества А , которые не принадлежат множеству
В . Обозначение: А \ В .
Число   f ( x0  0)  f ( x0  0) называется скачком функции в
точке неустранимого разрыва 1-го рода.
Если y  f (u ) является функцией переменной u , а u в свою очередь является функцией u   (x) от переменной x , то y  f ( ( x))
называется сложной функцией (или функцией от функции).
Точка x 0 называется в этом случае точкой максимума (точкой
минимума) функции f (x) .


110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точка графика непрерывной функции, при переходе через которую выпуклость изменяется на вогнутость или наоборот, называется
точкой перегиба.
Если в точке x 0 функция f (x) не является непрерывной, то x 0
называют точкой разрыва функции и говорят, что в точке x 0 функция f (x) терпит разрыв.
Запишем более подробно условие непрерывности функции:

1) существует значение f ( x0 ),

lim f ( x)  f ( x0 )  2) существует конечный lim f ( x),
x  x0
x  x0

f ( x)  f ( x0 ).
3) xlim
 x0
Теперь более подробно запишем условие 2):
2а) существует конечный lim f ( x),

x  x0 0

2)  2б ) существует конечный lim f ( x),
x  x0  0

f ( x)  lim f ( x).
2в ) xlim
x0  0
x  x0  0
Если в точке x 0 не выполняется хотя бы одно из условий 2а) или
2б), то x 0 называется точкой разрыва 2-го рода.
2) Если в точке x 0 выполняются условия 2а), 2б), но не выполняется условие 2в), то x 0 называется точкой разрыва 1-го рода (разрыв неустранимый).
3) Если в точке x 0 выполняется условие 2), но не выполняется
условие 1) или 3), то x 0 называется точкой устранимого разрыва (1го рода).
Факториалом натурального числа n называется произведение
первых n чисел натурального ряда: n! 1  2  3  ...  (n  1)  n .
Если каждому значению переменной x, принадлежащей некоторому множеству X , соответствует одно определенное значение переменной y множества Y , то y называется функцией от x : y  f (x).
Функция y  f (x) называется четной (нечетной), если для каждого значения x из области определения функции f ( x)  f ( x)
 f ( x)   f ( x).
Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие
действительное число x n , то множество чисел x1 , x2 ,..., xn ,... называет111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ся числовой последовательностью, или просто, последовательностью и обозначается xn .
 ( x)
Если lim
 1, то  (x) и  (x) называются эквивалентными
x a  ( x )
бесконечно малыми. Обозначение:  ~  .
Объекты, образующие множество, называются его элементами.
Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного
числа четырех арифметических действий и взятий функции от функции.
Максимум или минимум функции называется экстремумом
функции.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛИТЕРАТУРА
1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1 / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл – Пресс, 2009. - 315 с.
2. Шипачёв, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачёв. – М.:
Высшая школа, 2008. – 479 с.
3. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П.
Минорский. – М.: Физматлит, 2006. – 336 с.
4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч. 1
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Оникс ХХI век,
2005. – 453 с.
5. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление /
Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2007. – 512 с.
6. Бугров, Я.С. Высшая математика: Задачник / Я.С. Бугров,
С.М. Никольский. – М.: Физматлит, 2011. – 301 с.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие…………………………………………………………...
1. Введение в анализ.………………………………………………….
1.1 Понятие множества……………………………………………..
1.2 Понятие функции……………………………………………….
1.3 Классификация функций……………………………………….
1.4 Основные свойства функций…………………………………..
2. Теория пределов…………………………………….……………...
2.1 Предел последовательности……………………………………
2.2 Предел функции………………………………………………...
2.3 Теоремы о пределах…………………………………………….
2.4 Бесконечно малые и бесконечно большие…………………….
2.5 Раскрытие неопределенностей…………………………………
2.6 Сравнение бесконечно малых………………………………….
3. Непрерывность функции…………………………………………..
3.1 Определения…………………………………………………….
3.2 Свойства непрерывных функций……………………………...
3.3 Точки разрыва и их классификация…………………………...
4. Производная и дифференциал функции.………………………….
4.1 Понятие производной…………………………………………..
4.2 Правила дифференцирования………………………………….
4.3 Таблица производных…………………………………………..
4.4 Производные неявно и параметрически заданных функций...
4.5 Производные высших порядков……………………………….
4.6 Дифференциал функции……………………………………….
5. Применение производной к исследованию функций …………...
5.1 Правило Лопиталя………………………………………………
5.2 Формула Тейлора……………………………………………….
5.3 Возрастание и убывание функций. Экстремумы функций….
5.4 Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
5.5 Наибольшее и наименьшее значения функции……………….
5.6 Асимптоты графика функции………………………………….
5.7 Общее исследование функции и построение ее графика…….
6. Задания для самостоятельной работы………………...………......
Глоссарий……………………………………………………………...
Литература…………………………………………………………….
114
3
4
4
5
6
7
12
12
12
14
15
16
30
34
34
34
35
44
44
45
46
52
53
56
63
63
70
71
77
81
82
85
96
106
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Анатолий Иванович Бобылев
МАТЕМАТИКА
ЧАСТЬ 1
Учебное пособие
для студентов, обучающихся по направлению
110800 – Агроинженерия
Компьютерная верстка
Подписано в печать
Бумага Гознак Print
Тираж
экз.
А.И. Бобылев
Формат 60  84 1/16
Усл. печ. л.
Заказ №
РИО ПГСХА
440014, г. Пенза, ул. Ботаническая, 30
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
80
Размер файла
1 845 Кб
Теги
математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа