close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

34.МАТЕМАТИКА

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство сельского хозяйства
Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА»
Н. А. Кривошеева
МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
для студентов заочного отделения, обучающихся
по направлению подготовки 36.03.02 – «Зоотехния»
Пенза 2014
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 51(075)
ББК 22.1(я7)
К 82
Рецензент – канд. техн. наук, доцент кафедры «Основы
конструирования механизмов и машин» В. А. Чугунов.
Печатается по решению методической комиссии технологического факультета ФГБОУ ВПО «Пензенская ГСХА» от
24.02.2014, протокол № 9.
К 82
Кривошеева, Наталья Александровна
Математика: методические указания и контрольные
задания / Н. А. Кривошеева. – Пенза: РИО ПГСХА,
2014. – 90 с.
Методические указания и контрольные задания предназначены для студентов заочного отделения, обучающихся по направлению подготовки 36.03.02 – «Зоотехния» (квалификация –
бакалавр).
Учебное пособие содержит методические рекомендации по
самостоятельному изучению основных тем курса математики,
краткие теоретические сведения, примеры решения задач, вопросы для самоконтроля и задачи для контрольной работы.
© ФГБОУ ВПО
«Пензенская ГСХА», 2014
© Н.А. Кривошеева, 2014
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Математика» предназначены для студентов, обучающихся
на заочном отделении технологического факультета по направлению подготовки 36.03.02 – «Зоотехния».
Методические указания и контрольные задания соответствуют ФГОС ВПО по направлению подготовки «Зоотехния», утвержденному приказом № 73 Министерства образования и науки
Российской Федерации от 25 января 2010 года. Процесс изучения
дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: владению культурой мышления, способности к обобщению,
анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей
ее достижения (ОК–1); использованию законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности (ОК-11); готовности к участию в проведении научных исследований, обработке и анализу результатов исследований (ПК-21).
Методические указания содержат рекомендации по самостоятельному изучению основных тем дисциплины «Математика» и задачи для контрольной работы. По каждой теме приведены
перечень литературы для самостоятельного изучения, краткие
сведения из теории и методические указания, примеры решения
задач и вопросы для самоконтроля.
Для изучения дисциплины «Математика» рекомендуются
пособия, приведенные в списке литературы, в том числе и другие
издания перечисленных учебных пособий; возможно использование иных информационных источников.
Изучение каждой темы рекомендуется в следующей последовательности: рассмотреть теоретический материал по учебнику
или учебному пособию; разобрать примеры решения задач, приведенные в данных методических указаниях; ответить на вопросы для самоконтроля; выполнить задачи контрольной работы.
Решения задач контрольной работы должны сопровождаться подробными пояснениями, вычисления приводиться полностью.
Контрольную работу следует выполнять в тетради, на
внешней обложке которой должны быть указаны дисциплина,
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
факультет, специальность, фамилия и инициалы студента, шифр.
После выполнения контрольной работы необходимо привести
список использованных источников, указать дату завершения и
подписать работу.
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра (если
шифр оканчивается на 0, то студент выполняет вариант № 10).
Таблица 1 – Номера задач контрольной работы
№
варианта
Номера задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71
2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72
3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73
4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75
6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78
9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79
10, 10, 30, 40, 50, 60, 70, 80
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шипачев, В. С. Высшая математика: учебник для бакалавров / В. С. Шипачев. – М.: Юрайт, 2013.
2. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая
статистика: учеб. пособие для бакалавров / В. Е. Гмурман. – М.:
Юрайт, 2013.
3. Зайцев, И. А. Высшая математика: учебник для вузов / И. А. Зайцев. – М.: Дрофа, 2004.
4. Демидович, Б. П. Краткий курс высшей математики: учеб.
пособие для вузов / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. – М.: АСТ,
2001.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕМА 1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Литература: [1], гл. IV, § 1–4, 8, 9;
[3], гл. 4, § 1–5, 8, 9;
[4], гл. VII, § 3–12, гл. VIII, § 1–6.
В этой теме основное внимание должно быть уделено усвоению понятий функции, предела и непрерывности функции.
Понятие предела функции
Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности
точки а, за исключением, быть может, самой точки а.
Число А называется пределом функции f (x) при стремлении
x к а (или в точке а), если для любого сколь угодно малого числа
  0 существует такое число   0 , что для всех x  а , удовлеx  а   выполняется неравенство
творяющих условию
f x   A   . Записывают f ( x)  А при x  a или lim f ( x)  А
xa
(от лат. limit – предел).
Смысл определения предела функции в точке состоит в том,
что для всех x, достаточно близких к числу а, соответствующие
им значения функции f (x) сколь угодно близки к числу А.
Если x  a слева, т. е. оставаясь меньше а, то записывают
x  a  0 , а предел lim f x  называется односторонним предеxа 0
лом функции слева. Если x  a справа, т. е. оставаясь больше а (
x  a  0 ), то lim f x  называется односторонним пределом
xа 0
функции справа.
Число А называется пределом функции f x  при стремлении x к бесконечности, если для любого сколь угодно малого
числа   0 существует такое число М  0 , что при всех x , удовx  M , выполняется неравенство
летворяющих условию
f x   A   . Записывают lim f x   A .
x
Смысл определения предела функции в бесконечности состоит в том, что для всех достаточно больших по модулю значениях x, соответствующие им значения функции f (x) сколь угодно близки к числу А.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Функция y   x называется бесконечно малой функцией
при x  а (или при x   ), если lim  x   0 .
xа (  )
Функция y  f x  называется бесконечно большой функцией при x  а (в точке а), если для любого числа M  0 существует   0 , что для всех x  а , удовлетворяющих условию
x  a   , выполняется неравенство f  x   M . Записывают
lim f x    (символ ∞ употребляется, чтобы указать, что функxa
ция есть бесконечно большая).
Аналогично определяется бесконечно большая функция при
x   и записывается lim f x    .
x
Бесконечно большие и бесконечно малые функции тесно
связаны между собой: если функция  x  – бесконечно малая
1
функция, то функция
– бесконечно большая функция, и, на x 
1
оборот, если функция f x бесконечно большая, то
– бесf x 
конечно малая.
Свойства пределов
1. Предел постоянной равен самой постоянной: lim C  C .
x x0
2. Если существуют конечные пределы функций f x  и g x 
в точке а, то:
1) lim  f x   g x   lim f x   lim g x ;
xа
xа
xа
2) lim  f x   g x   lim f x   lim g x  ;
xа
xа0
f x 
f  x  lim
x а

3) lim
,
x а g  x 
lim g  x 
xа
lim gx  0
xа
x а
.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim[C  f x ]  C  lim f x .
xа
xа
Свойства пределов справедливы и при x   .
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Непрерывность функции
Функция y  f x называется непрерывной в точке а, если
она определена в некоторой окрестности этой точки и предел
функции равен значению функции в точке а:
lim f x   f а  .
xа
Функция y  f x называется непрерывной на промежутке,
если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
При исследовании функции на непрерывность важную
роль играет следующая теорема: всякая элементарная функция
непрерывна на области определения.
Напомним, что элементарной называется функция, построенная из основных элементарных функций с помощью конечного
числа алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и конечного числа операций образования сложной
функции (взятия функции от функции). К основным элементарным функциям относятся следующие функции: степенная y  x  ,
показательная y  a x , логарифмическая y  log a x , тригонометрические y  sin x , y  cos x , y  tgx , y  ctgx и обратные тригонометрические y  arcsin x , y  arccos x , y  arctgx , y  arcctgx .
При вычислении пределов удобно пользоваться правилом:
если элементарная функция y  f (x) определена в точке x  a
(следовательно, непрерывна в точке x  a ), то предел функции
f (x) при x  a равен значению функции в точке x  a , т. е.
lim f ( x)  f (a) .
x a
Точкой разрыва называется точка, в окрестности которой
функция определена (за исключением, быть может, самой точки)
и в которой не выполнено условие непрерывности.
Точка разрыва а функции y = f(x) называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы: lim f x  и lim f x .
xа 0
xа 0
Если при этом односторонние пределы равны
lim f x   lim f x  , то точка разрыва а называется точкой
xа 0
xа 0
устранимого разрыва.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если
односторонние
пределы
не
равны
lim f x   lim f x  , то точка а называется точкой неустрани-
xа 0
xа 0
мого разрыва.
Точка разрыва а функции f (x) называется точкой разрыва
2-го рода, если по крайней мере один из односторонних пределов
функции в этой точке: lim f x  или
lim f x , не существует
xа 0
xа 0
или равен бесконечности.
Примеры решения задач
Задача 1.1. Найти пределы функций
x2  4x  5
x2  2x  3
а) lim
; б) lim
.
x 3
x 4
x 1
x4
x2  4x  5
Решение. а) lim
.
x 3
x 1
Под знаком предела имеем элементарную функцию
x2  4x  5
, которая определена при x  3 , и поэтому неf ( x) 
x 1
прерывна в этой точке. Следовательно, при вычислении предела
достаточно вместо x подставить его предельное значение:
x 2  4 x  5 32  4  3  5 16
lim

  4.
x 3
x 1
3 1
4
x 2  2 x  3  4 2  2  4  3 11

 .
б) lim
x4
x4
4

4
0

Предел числителя дроби при x  4 равен 11 (отличен от 0).
Предел знаменателя дроби при x  4 равен 0, т. е. функция
1
, обратная к
( x  4) является бесконечно малой. Величина
x4
( x  4) , является бесконечно большой. Произведение бесконечно
большой на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть
бесконечно большая.
x 2  2x  3
1 

lim
 lim ( x 2  2 x  3) 
 11    
x 4
x 4 
x4
x  4 
Задача 1.2. Найти предел функции
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 x 2  x  10
.
lim
2
x 2
x 4
Решение.
2 x 2  x  10  2  2 2  2  10 0 
lim

 
2
2
x2
0
x 4
2 4

Непосредственная подстановка предельного значения аргу-
мента x  2 приводит к неопределенности  0  . Чтобы раскрыть
0
неопределенность  0  , необходимо дробь преобразовать, разло0
жив числитель и знаменатель на множители, а затем одинаковые множители сократить.
Воспользуемся разложением на множители квадратного
трехчлена:
ax 2  bx  c  a x  x1  x  x 2  ,
где x1 , x2 – корни квадратного трехчлена ax 2  bx  c .
2 x 2  x  10  0
D  b 2  4ac  12  4  2  (10)  81,
 b  D  1  81
x1 

 2,
2a
22
 b  D  1  81
5
x2 

 .
2a
22
2
5

2 x 2  x  10  2x  2 x   .
2

Так как a 2  b 2  (a  b)(a  b) , то x 2  4  x  2x  2.
Таким образом,
5



2
x

2
x



2 x 2  x  10
2x  5 2  2  5 9
2

lim 2
 lim
 lim

 .
x 2 x  x  6
x  2  x  2  x  3
x2 x  3
23
5
Задача 1.3. Найти предел функции
4 x 2  3x  1
.
lim
x 2 x 2  x  5
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение.
lim
x 
4 x 2  3x  1
 
.

2



2x  x  5  
При x   получаем неопределенность    . Чтобы рас 
крыть неопределенность    , необходимо разделить числитель
 
и знаменатель на переменную в старшей степени.
4 x 2 3x 1
3 1


4

 2
2
2
2
2
4 x  3x  1
x
x  lim
x 
lim
 lim x 2 x
2
1 5
x  2 x  x  5
x  2 x
x 
x
5
2  2


x x
x2
x2 x2
4  0  0 4

  2.
 2  0  0  2
3 1 1 5
,
, ,
представx x2 x x2
ляют собой отношение постоянных к бесконечно большим функциям и поэтому являются бесконечно малыми, следовательно, их
пределы равны 0.
Задача 1.4. Исследовать функцию на непрерывность, найти
точки разрыва и указать характер разрыва:
3x
y
.
x2
Решение.
3x
Функция y 
является элементарной, следовательно,
x2
она непрерывна на области определения. Функция определена
при всех x, удовлетворяющих условию x  2  0 , отсюда x  2 .
Таким образом, область определения D( y)  (;2)  (2;) .
Точка x  2 , в которой функция не является непрерывной,
есть точка разрыва. Определим характер разрыва. Для этого найдем односторонние пределы функции в этой точке:
Заметим, что при x   функции
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3x
 6
 6


  ;
x20 x  2
  2  0  2  0 
3x
 6
 6
lim


  .
x20 x  2
  2  0  2  0 
Так как односторонние пределы бесконечны (достаточно
было бы одного бесконечного предела), то x  2 – точка разрыва
второго рода.
lim
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется функцией одной независимой переменной?
2. Что называется областью определения функции?
3. Какие функции называются основными элементарными
функциями?
4. Какая функция называется элементарной?
5. Что называется пределом функции в точке?
6. Что называется пределом функции в бесконечности?
7. Какая функция называется бесконечно малой?
8. Какая функция называется бесконечно большой?
9. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно
большой функциями?
10. Сформулируйте основные теоремы о пределах.
11. Как раскрыть неопределенность  0  ?
0
12. Как раскрыть неопределенность    ?
 
13. Какая функция называется непрерывной в точке? На
интервале? На отрезке?
14. Какая точка называется точкой разрыва функции?
15. Какая точка разрыва называется точкой разрыва 1 рода?
16. Какая точка разрыва называется точкой разрыва 2 рода?
17. Что известно о непрерывности элементарных функций?
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕМА 2 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ФУНКЦИИ
Литература: [1], гл. V, § 1–8;
[3], гл. 5, § 1–8;
[4], гл. IX, § 1–5, гл. X, § 1–15, гл. XII, § 1–3.
Понятие производной функции является одним из основных
математических понятий. В этой теме следует обратить внимание
на усвоение понятий производной и дифференциала, приобретению навыков дифференцирования (нахождения производной).
Производной функции y  f (x) называется конечный предел
отношения приращения функции  y к приращению аргумента
 x , если приращение аргумента  x стремится к 0:
у
f ( x   x)  f ( x)
.
f ( x)  lim
 lim
x0  x
x0
x
Приведем основные правила и формулы дифференцирования (основных элементарных функций (а) и сложных функций
(б), для которых внешними функциями являются основные элементарные функции, а внутренними – некоторые функции от x).
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна 0:
С  0.
2. Производная независимой переменной равна 1:
x  1.
3. Производная суммы функций:
(u  v)  u   v .
4. Производная произведения функций:
(uv)  uv  uv .
5. Производная частного функций:

u v  uv 
u
.
  
2
v
 
v
6. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
(Cu)  Cu  .
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Производная сложной функции y  f (u( x)) равна произведению производной внешней функции y  f (u) по промежуточному аргументу u на производную внутренней функции
u  u(x) по аргументу x:
y  f (u)  u( x) .
Формулы дифференцирования


1 а) x n   n  x n1 ;
б) u n   n  u n1  u .
1
1
 u .
2 а) ( x ) 
;
б) ( u ) 
2 x
2 u


1
1
1
1
3 а)     2 ;
б)     2  u  .
u
x
 x
u
4 а) (e x )  e x ;
б) (eu )  eu  u .
9 а) (a x )  a x ln a ;
б) (a u )  a u ln a  u .
1
1
10 а) (ln x)  ;
б) (ln u )   u  .
x
u
1
1
11 а) (log x) 
;
б) (log u ) 
 u .
x ln a
u ln a
12 а) (sin x)  cos x ;
б) (sin u)  cos u  u .
13 а) (cos x)   sin x ;
б) (cos u)   sin u  u .
1
1

(
tg
u
)

 u .
14 а) (tg x) 
;
б)
2
2
cos u
cos x
1
1
15 а) (ctgx)   2 ;
б) (ctgu )   2  u  .
sin u
sin x
1
1
16 а) (arcsin x) 
;
б) (arcsin u) 
 u .
2
2
1 u
1 x
1
1
17 а) (arccos x)  
;
б) (arccos u)  
 u .
2
2
1 u
1 x
1
1
 u .
18 а) (arctg x)  2 ;
б) (arctg u )  2
u 1
x 1
1
1
 u .
19 а) (arcctg x)   2
;
б) (arcctg u )   2
u 1
x 1
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы правильно продифференцировать функцию, необходимо понять ее структуру. Рекомендуется исходить из следующего правила: выбор формулы для расчета производной того или
иного выражения определяется последней операцией в структуре
выражения. Причем под операцией понимается и алгебраическая
операция, и операция взятия функции от функции (сложная
функция).
Наибольшие трудности при дифференцировании представляют сложные функции вида y  f (u( x)) . Чтобы избежать ошибок, полезно выделять внешнюю y  f (u) и внутреннюю u  u(x)
функции. Дифференцирование начинается с внешней функции,
при этом внутренняя функция, сколь громоздкой она бы ни выглядела, играет роль простого аргумента. Производная внутренней функции находится по обычным правилам.
Примеры решения задач
Задача 2.1. Найти производные функций:
1
3
а) y  x 3  4  6 x 2 ;
б) y  e x  ( x 2  1) ;
x
sin x
в) y 
; г) y  ln 2 x 3  1 ;
д) y  sin 3 4 x .
cos x  1
Решение.
1
3
а) y  x 3  4  6 x 2 .
x
Преобразуем функцию, используя свойства степеней
1
 x n и
n
x
n
m
n
x  x . Получим
m
4
2
3
y  x  x  6x .
Функция представляет собой разность и сумму функций.
u  v   u  v ,
Применяя
правила
дифференцирования
С  u   С  u и формулу дифференцирования степенной функции

x n  n  x n 1 , получим:
3
 
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 
2
 3





4
3

4
y    x  x  6 x 3   x   x    6  x 3  




2 
1




2
4
4
3
4
2

5
 x  x
 6 x 3   3x  4 x  6  x 3  3 x 2  5  3 .
 
3
x
x
 
   
б) y  e x  ( x 2  1) .
Функция представляет собой произведение функций. Сначала применим правило дифференцирования произведения
u  v   u v  uv  , затем следующие правила и формулы диффе

ренцирования: (e x )  e x ; u  v   u   v ; x n  n  x n 1 ; С   0 .
 
Получим
 
 ( x )  1  e




y  (e x  ( x 2  1))  e x  ( x 2  1)  e x  x 2  1 
2
x
 e x  ( x 2  1)  e x
 ( x 2  1)  e x  2 x  0 
 e x  ( x 2  1)  e x  2 x  e x ( x 2  1  2 x)  e x ( x  1) 2 .
sin x
в) y 
.
cos x  1
Функция является частным функций sin x и cos x  1. Воспользуемся
правилом
дифференцирования
частного

u v  uv 
u
, затем следующими правилами и формулами
  
v
v2
sin x   cos x ;
u  v   u  v ;
дифференцирования:
cos x    sin x ; С   0 .
Получим

sin x  (sin x)  (cos x  1)  sin x  (cos x  1)

y  

 
2
cos
x

1
(cos x  1)


15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
cos x(cos x  1)  sin x(cos x)  1 cos x(cos x  1)  sin x( sin x)


(cos x  1) 2
(cos x  1) 2
cos 2 x  cos x  sin 2 x (cos 2 x  sin 2 x)  cos x
1  cos x




(cos x  1) 2
(cos x  1) 2
(cos x  1) 2
cos x  1
1
1
.




2
cos x  1 1  cos x
(cos x  1)

г) y  ln 2 x 3  1 .
Функция является сложной, представим ее в виде y  ln u ,
где u  2x3  1. Применим формулу дифференцирования
ln u   1  u . Получим
u

1
y  (ln( 2 x 3  1))  3
 2 x 3  1 
2x  1
1
1
6x2
3
2
2  3x  0  3
 3
 2( x )  1  3
2x  1
2x  1
2x  1

Воспользовались формулами (u  v)  u   v , С  u   С  u  ,
( x n )  nx n 1, С   0 ,
д) y  sin 3 4 x .
Функция является сложной, представим ее следующим образом y  u 3 , где u  sin 4 x . Применим формулу дифференцирова
ния u n   n  u n1  u , получим
y  (sin 3 4 x)  3 sin 2 4 x(sin 4 x) .
Функция sin 4 x является сложной, представим ее в виде
sin u , где u  4 x . Применим формулу дифференцирования
(sin u)  cos u  u , затем правила (Cu)  Cu  , x   1 , получим
(sin 4x)  cos 4x  (4x)  cos 4x  4  x  4 cos 4x .
Таким образом, процесс дифференцирования исходной
функции можно записать в следующем виде
y  (sin 3 4 x)  3 sin 2 4 x(sin 4 x)  3 sin 2 4 x  cos 4 x  (4 x) 
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 3 sin 2 4x  cos 4x  4  x  12 sin 2 4x  cos 4x .
Задача 2.2. Найти дифференциал функции
y
ln x
.
x2
Решение.
Дифференциал dy функции y  f (x) равен произведению
производной y на дифференциал dx аргумента x, т. е.
dy  ydx .
1 2
 x  2 x  ln x
(ln x)  x  ( x )  ln x
 ln x 
x
dy   2  dx 
dx 
dx 
x4
x4
 x 

2
2
x  2 x ln x
x(1  2 ln x)
1  2 ln x
dx

dx

dx .
x4
x4
x3
Применили
правило
дифференцирования
частного


1
 u  u v  uv

(ln
x
)

и
табличные
производные
, ( x n )  nx n 1.
  
2
x
v
v
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется производной функции?
2. Каков геометрический смысл производной? Механический смысл?
3. Сформулируйте правила дифференцирования суммы,
произведения, частного двух функций, правило дифференцирования сложной функции.
4. Приведите формулы дифференцирования основных элементарных функций.
5. Что называется дифференциалом функции, и каков его
геометрический смысл?
6. Что называется производной второго порядка? Каков
механический смысл производной второго порядка?
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕМА 3 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
Литература: [1], гл. VI, § 4;
[3], гл. 6, § 4;
[4], гл. XI, § 2, 7, 8, 10.
Функция y  f (x) называется возрастающей [убывающей]
на интервале (a; b) , если для любых x1 и x2 , принадлежащих интервалу (a; b) и удовлетворяющих условию x1  x2 выполняется
неравенство f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1 )  f ( x2 ) , т. е. большему значению аргумента соответствует большее [меньшее] значение функции.
Точка x0 называется точкой максимума [минимума] функции y  f (x) , если существует такая окрестность точки x0 , что
для всех x  x0 из этой окрестности выполняется неравенство
f ( x)  f ( x0 )  f ( x )  f ( x 0 )  .
Точки максимума и минимума называют точками экстремума.
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум
называют экстремумами функции.
Схема исследования функции y  f (x) на возрастание, убывание и экстремум:
1) найти производную y  f (x) ;
2) найти критические точки первого рода, в которых производная f (x) равна нулю или не существует, и которые лежат
внутри области определения;
3) нанести область определения и критические точки первого рода на ось Ox; исследовать знак производной f (x) в каждом
интервале;
4) сделать вывод об интервалах возрастания и убывания
функции, о наличии экстремумов в критических точках;
достаточное условие возрастания (убывания) функции: если
производная функции положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция возрастает (убывает) на этом интервале;
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
достаточное условие существования точки экстремума: если
при переходе через критическую точку x0 производная функции
y меняет знак с «+» на «−», то x0 – точка максимума функции
y = f(x), если с «–» на «+», то x0 – точка минимума функции;
5) найти экстремумы функции.
График функции y  f (x) называется вогнутым на интервале (a; b) , если он расположен не ниже любой ее касательной на
этом интервале.
График функции y  f (x) называется выпуклым на интервале (a; b) , если он расположен не выше любой ее касательной на
этом интеграле.
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется
точка x0 ; f ( x0 ) , при переходе через которую изменяется направление выпуклости графика функции.
Схема исследования функции y  f (x) на выпуклость, вогнутость и точки перегиба:
1) найти производную y  f (x) ;
2) найти критические точки второго рода, в которых вторая
производная f (x) равна нулю или не существует, и которые лежат внутри области определения;
3) нанести область определения и критические точки второго рода на ось Ox; исследовать знак второй производной f (x) в
каждом интервале;
4) сделать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости функции, о наличии точек перегиба в критических точках второго рода;
достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой: если
вторая производная y отрицательна (положительна) в каждой
точке интервала, то на этом интервале график функции
y  f (x) является выпуклым (вогнутым).
достаточное условие существования точки перегиба: если
при переходе через критическую точку второго рода x0 вторая
производная y меняет знак, то точка x0 ; f ( x0 )  является точкой перегиба графика функции y  f (x) .
5) найти ординаты точек перегиба функции.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры решения задач
Задача 3.1. Исследовать функцию y  x3  6 x 2  9 x  1 и построить еѐ график:
Решение.
Областью определения данной функции является множество
всех действительных чисел: D( y)  (;  ) .
Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения: (;  ) .
Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум.
Продифференцируем данную функцию:
y  ( x3  6 x 2  9 x  1)  3x 2  12 x  9 .
Найдем критические точки первого рода, т. е. точки области
определения, в которых первая производная равна нулю или не
существует.
y  0 при 3x 2  12x  9  0 , x 2  4x  3  0 ,
D  (4) 2  4 1  3  16  12  4 ,
4 4
4 4
x1 
 3,
x2 
 1.
2 1
2 1
На числовой оси отметим в порядке возрастания критические точки x1  3 и x2  1 (рисунок 1). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: (; 1) , (1; 3) , (3;  ) . Определим
знак производной в каждом интервале, для этого вычислим значение производной в некоторой (выбранной произвольно) точке
интервала:
y(0)  3  02  12  0  9  9  0 ,
y(2)  3  22  12  2  9  12  24  9  3  0 ,
y(4)  3  42  12  4  9  48  48  9  9  0 .
y
y
1
3
x
Рисунок 1 – Исследование функции на возрастание,
убывание и точки экстремума
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция возрастает на интервалах  ; 1 и 3;  , так как
производная y положительна на этих интервалах.
Функция убывает на интервале 1; 3 , так как производная y
отрицательна на этом интервале.
При переходе через точку x  1 производная y меняет знак
с «+» на «−», поэтому x  1 – точка максимума.
Найдем максимум функции, т. е. значение функции в точке
максимума:
ymax  y (1)  13  6 12  9 1  1  1  6  9  1  5 .
Так как при переходе через точку x  3 производная y меняет знак с «−» на «+», то x  3 – точка минимума.
Минимум функции:
ymin  y(3)  33  6  32  9  3  1  27  54  27  1  1 .
Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную функции:
y  ( y)  (3x 2  12 x  9)  6 x  12 .
Найдем критические точки второго рода, т. е. точки области
определения, в которых вторая производная равна нулю или не
существует.
y  0 при 6 x  12  0 , x  2 .
На числовой оси отметим критическую точку x  2 (рисунок 2). Эта точка разбивают числовую ось на два интервала:
(; 2) , (2;  ) . Определим знак второй производной в каждом
интервале, для этого вычислим значение второй производной в
некоторой (выбранной произвольно) точке интервала:
y(0)  6  0  12  0  12  12  0,
y(3)  6  3 12  18 12  6  0 .
y
y
2
x
Рисунок 2 – Исследование функции на выпуклость, вогнутость
и точки перегиба
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
График функции выпуклый на интервале (; 2) , так как
y  0 на этом интервале, и вогнутый на интервале (2;  ) в силу
того, что y  0 на данном интервале.
При переходе через критическую точку второго рода x  2
вторая производная y меняет свой знак, поэтому абсцисса точки
перегиба xпер  2 . Ордината точки перегиба:
yпер.  y2  23  6  22  9  2  1  8  24  18  1  3 .
Таким образом, (2; 3) – точка перегиба графика функции.
5) Для нахождения точки пересечения графика функции с
осью Oy подставим в уравнение функции x  0 :
y(0)  03  6  02  9  0  1  1 .
График функции пересекает ось Oy в точке (0; 1) .
Для определения точки пересечения с осью Ox следует решить уравнение x3  6 x 2  9 x  1  0 . Однако оно не имеет целочисленных корней, поэтому его решение не приводим.
Для построения графика функции отметим точки максимума А(1; 5) , минимума В(3; 1) , перегиба С(2; 3) и точку пересечения с осью Oy (0; 1) . С учетом результатов исследования построим кривую (рисунок 3).
y
A
5
4
C
3
2
1
B
0
1
2
3
x
Рисунок 3 – График функции y  x3  6 x 2  9 x  1
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вопросы для самоконтроля
1. Какая функция называется возрастающей? Убывающей?
2. Сформулируйте достаточные условия возрастания и убывания функции.
3. Какая точка называется точкой максимума функции? Минимума функции?
4. Что называется максимумом функции? Минимумом
функции?
5. Какие точки называют критическими точками функции?
Как найти эти точки?
6. Сформулируйте достаточные условия существования точки максимума и точки минимума функции.
7. Какая кривая (график функции) называется выпуклой?
вогнутой?
8. Сформулируйте достаточные условия выпуклости и вогнутости кривой на промежутке.
9. Что называется точкой перегиба кривой (графика функции)?
10. Сформулируйте достаточное условие существования
точки перегиба.
ТЕМА 4 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Литература: [1], гл. VII, § 1–4;
[3], гл. 7, § 1–5;
[4], гл. XIII, § 1–3, 5.
В этой теме следует освоить понятия первообразной и неопределенного интеграла, способы нахождения неопределенных интегралов: непосредственное интегрирование и замена переменной.
Первообразной функции f (x) на некотором промежутке называется функция F (x) , если в каждой точке промежутка
F ( x)  f ( x) .
Неопределенным интегралом функции f (x) называется
множество всех ее первообразных:
 f ( x)dx  F ( x)  C , C – произвольная постоянная.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойства неопределенного интеграла
1.  dF ( x)  F ( x)  C .
2.
 f ( x)dx  f ( x) .
3. Неопределенный интеграл суммы функций равен сумме
неопределенных интегралов от слагаемых функций:
 f ( x)  g ( x)dx  f ( x)dx  g ( x)dx .



4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
kf ( x)dx  k f ( x)dx , k  0 .


Таблица основных интегралов
1.  dx  x  C .
2.
3.
4.
5.
x n 1
 x dx  n  1  C , n  1
dx
 x  ln x  C .
dx
 x  2 x C.
dx
1


 x2 x  C .
n
6.  e x dx  e x  C .
ax
7.  a dx 
C.
ln a
x
9.  cos x du  sin x  C .
dx
 cos 2 x  tgx  C .
dx
11.  2  ctgx  C .
sin x
dx
1
x

arctg
 C.
12.  2
a
x  a2 a
dx
x
13. 
 arcsin  C .
a
a2  x2
dx
1 xa
14.  2

ln
C.
x  a 2 2a x  a
10.
15.

dx
x a
2
 ln x  x 2  a  C .
8.  sin x dx   cos x  C .
Основное содержание различных методов нахождения интегралов состоит в сведении искомого интеграла к табличному или
сумме табличных интегралов.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приведение данного интеграла к сумме более простых интегралов (по свойству 3) называется непосредственным интегрированием или интегрированием методом разложения.
Весьма эффективным методом интегрирования является
метод замены переменной интегрирования, в результате чего заданный интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения
интеграла  f ( x)dx можно заменить переменную x новой пере-
менной t, связанной с x подходящей формулой x   (t ) . Определим из этой формулы дифференциал функции: dx   (t )dt . Подставим в интеграл и получим
 f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt .
Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования t будет найден, то затем следует преобразовать результат,
вернувшись к старой переменной x.
Заметим, что при замене переменной можно выбрать как
формулу x   (t ) , выражающую x через t, так и формулу t   (x)
, выражающую t через x.
Примеры решения задач
Задача 4.1. Найти неопределенный интеграл, используя
непосредственное интегрирование:
4
2
x
 (3x  3 x  2 )dx .
Решение.
Преобразуем подынтегральную функцию, учитывая, что
m
n
1

1
4
4
x  x , n  x n . Тогда 3  1  4 x 3 .
x
x
x3
Воспользуемся свойствами неопределенного интеграла
[3, 4] и формулами таблицы [2, 7] основных интегралов. Получим
n
m
 (3x
2
 4x

1
3
 2 x )dx   3 x 2 dx   4 x
25

1
3 dx 
2
x
dx 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 3 x dx  4
2
1

x 3 dx 
3
1
 1
x 3
x
2x
 2 dx  3  3  4  1  ln 2  C 
 1
3
x
2
x3
2
2x
3 3 2x
3
 x  4

 C  x  4  x 
C 
2 ln 2
2
ln 2
3
3
2x
 x 6 x 
C.
ln 2
x n 1
ax
n
x
Применили интегралы  x dx 
 C и  a dx 
C.
n 1
ln a
Задача 4.2. Найти неопределенные интегралы, используя
замену переменной:
1
x
cos x
dx ;
а) 
б)  2 dx ; в)  3 dx .
5x  1
x 1
sin x
Решение.
1
dx .
а) 
5x  1
Пусть t  5 x  1. Выразим x: 5 x  t  1,
t 1
x
.
5
Найдем дифференциал:

t 1
1
1
1
1

dx  xdt  
 dt  (t  1)dt  (t   1)dt  (1  0)dt  dt .
5
5
5
5
 5 
1
Подставим в исходный интеграл t вместо 5x+1 и dt вместо
5
dx , получим
1
1 dt 1 dt 1
dx

 5x  1  t  5  5  t  5  2 t  C 
2
2

t C 
2x  1  C .
5
5
dx
Воспользовались табличным интегралом 
 2 x C.
x
3
3
26
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x
1
dx

 x 2  1  x 2  1xdx .
Пусть t  x 2  1 (оставим подстановку в таком виде, не будем выражать x через t).
Найдем дифференциал: dt  t dx  ( x 2  1)dx ,
dt  2 xdx .
Выразим xdx , для этого разделим обе части равенства на 2:
dt
xdx  .
2
dt
Подставим в интеграл t вместо x 2  1 и
вместо xdx :
2
1
1 dt 1 dt 1
1
xdx




ln
t

C

ln x 2  1  C .
 x2 1
t 2 2 t 2
2
dx
Был применен табличный интеграл   ln x  C .
x
cos x
в)  3 dx .
sin x
Пусть t  sin x , тогда dt  (sin x)dx  cos xdx .
б)
cos x
dt
t 31
3
 sin 3 x dx   t 3   t dt   3  1  C 
t 2
1
1

C   2 C 
C.
2
2
2t
2 sin x
x n 1
n
 C , n  1.
Применили табличный интеграл  x dx 
n 1
Вопросы для самоконтроля
1. Какая функция называется первообразной данной функции?
2. Что называется неопределенным интегралом?
3. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
4. Запишите формулы таблицы интегралов.
5. В чем состоит метод непосредственного интегрирования?
6. В чем суть метода замены переменной при нахождении
неопределенного интеграла?
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕМА 5 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Литература: [1], гл. VIII, § 1, 4, 7, 8, 10;
[3], гл. 8, § 1, 4, 7–10;
[4], гл. XIV, § 1–4, 8.
В этой теме следует освоить понятие определенного интеграла и его свойства, вычисление определенного интеграла по
формуле Ньютона-Лейбница и с помощью замены переменной, а
также простейшие приложения определенного интеграла.
Понятие определенного интеграла
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b]. Разделим
этот отрезок произвольным образом на n частичных отрезков
длиной x1 , x2 , ..., xn (Δ – дельта). Выберем на каждом частичном отрезке по одной произвольной точке с1 , с2 , ..., сn . Вычислим значения функции f (x) в выбранных точках и составим
сумму
n
f (с1 )  x1  f с2   x2  ...  f (сn )xn   f (сi )  xi ,
i 1
которая называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [a; b].
По-разному деля отрезок [a; b] на n частичных отрезков и
по-разному выбирая в них по одной точке сi , можно для заданной функции f (x) и отрезка [a; b] составить бесчисленное множество различных интегральных сумм.
Определенным интегралом функции f (x) на отрезке [a; b]
называется предел интегральных сумм при неограниченном возрастании n и при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных отрезков, если такой предел существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения на частичные отрезки, ни от выбора точек в них:
b
 f ( x)dx 
a
n
lim
max xi 0
28
 f (с )x .
i
i 1
i
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Свойства определенного интеграла
1. Интеграл с одинаковыми пределами равен 0:
а
 f ( x)dx  0 .
a
2. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx .
3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
4. Интеграл суммы функций равен сумме интегралов слагаемых функций:
b
b
b
  f ( x)  f x dx  f ( x)dx   f x dx .
1
2
1
a
2
a
a
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
b
b
a
a
 kf ( x)dx k  f ( x)dx .
Методы вычисления определенного интеграла
Для вычисления определенного интеграла используется
формула Ньютона-Лейбница:
b

a
b
f ( x)dx   f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) ,
b
a
т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной (неопределенного интеграла) в верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Для вычисления многих определенных интегралов полезно
b
выполнить замену переменной. Определенный интеграл
 f ( x)dx
a
преобразуется при помощи подстановки x   (t ) [или t   (x) ] в
другой интеграл с новой переменной t, при этом заданные преде29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лы x  a и x  b заменятся новыми пределами t   и t   , которые определяются из исходной подстановки, т. е. из уравнений
a   ( ) , b   ( ) [или  (a)   ,  (b)   ]. Если  (t ) и f [ (t )]
непрерывны на отрезке [a; b], то

b
a f ( x)dx  f [ (t )] (t )dt .
Вычисление площади плоской фигуры
Если функция f ( x)  0 на отрезке [a; b], то площадь криволинейной трапеции (рисунок 4) вычисляется по формуле
b
S   f ( x) dx .
a
Если f ( x)  g ( x) на отрезке [a; b], то площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = f (x) и y = g (x) и прямыми
x = a и x = b (рисунок 5), равна
b
S    f ( x)  g ( x)dx .
a
y
y
y = f (x)
0
a
b
y = f (x)
x
0
a
b
y = g (x)
Рисунок 4 – Криволинейная
трапеция
Рисунок 5 – Фигура, ограниченная графиками функций
y = f (x) и y = g (x)
30
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры решения задач
Задача 5.1. Найти определенные интегралы
2
8
xdx
2
x
а)  (3x  e )dx ;
б) 
.
1 x
1
3
2
Решение. а)  (3x 2  e x )dx .
1
Разложим интеграл на сумму двух интегралов и вынесем
постоянный множитель, т. е. воспользуемся свойствами 4 и 5 определенного интеграла:
2
 (3x
2
2
2
2
2
 e )dx   3x dx   e dx  3 x dx   e x dx .
x
2
1
x
1
1
2
1
1
Для вычисления определенных интегралов применим формулу Ньютона – Лейбница:
b
 f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) ,
b
a
где F (x) – первообразная (неопределенный интеграл) функции
f (x) .
Заметим, что для функции f ( x)  x 2 первообразной является
x3
x3
2
функция F ( x )  , так как  x dx   C ; для f ( x)  e x перво3
3
образная F ( x)  e x , так как  e x dx  e x  C .
Получим
2
2
2
2
2
2
x3
2
x
3 x dx   e dx  3 
 e x  x3  e x 
1
1
1
31
1
1
 (23  13 )  (e 2  e1 )  (8  1)  (e 2  e)  7  e 2  e .
8
б)

3
xdx
.
1 x
Воспользуемся заменой переменной. Пусть t  x  1 , тогда
t 2  x  1,
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  t 2  1,
dx  (t 2  1)dx  2tdt .
Найдем пределы интегрирования по переменной t:
если x  3 , то t  3  1  4  2 ,
если x  8 , то t  8  1  9  3.
Выполним замену перепенной и вычислим интеграл:
8
3 2
3
3
3
xdx
(t  1)  2tdt
2
2
 2 (t  1)dt  2 t dt  2 dt 
 1 x  
t
3
2
2
2
2
3
 33 23 
t3
3
 27 8 
 2
 2t 2  2    2(3  2)  2      2 
32
 3 3
3 3
19
38
38  6 32
2
 2  2   2 

 10 .
3
3
3
3
3
Задача 5.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 2  2 x  1 и y   x  1.
Решение.
Уравнение y  x 2  2 x  1 ( y  ax 2  bx  c ) определяет параболу. Для построения параболы найдем координаты трех ее точек.
Вершина параболы находится в точке с координатами:
b
2
xв    
 1;
2a
2 1
yв  y( xв )  (1) 2  2  (1)  1  2 .
Найдем координаты двух точек параболы.
При x  1 y  y(1)  12  2  1  1  2 .
При x  3 y  y(3)  (3) 2  2  (3)  1  2 .
На координатной плоскости Oxy построим параболу с вершиной в точке (–1; –2), проходящую через точки с координатами
(1; 2), (–3; 2) (рисунок 6). Уравнение y   x  1 ( y  kx  b ) определяет прямую.
Найдем координаты двух точек прямой.
При x  1 y  1  1  2 .
При x  3 y  (3)  1  2 .
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим на плоскости Oxy точки (1; –2), (–3; 2) и проведем через них прямую (рисунок 6).
Заштрихуем фигуру, ограниченную параболой и прямой.
y
2
−1
-3
0
−1
1
x
-2
Рисунок 6 – Фигура, ограниченная линиями y  x 2  2 x  1
и y   x  1.
Найдем точки пересечения линий, решив систему их уравнений:
 y  x 2  2 x  1,
 y   x  1;

x 2  2x  1   x  1,
x 2  3x  0 ,
x( x  3)  0
x1  0 или x  3  0
x2  3
y1  ( x  1) x0  0  1  1,
y2  ( x  1) x3  (3)  1  2 .
Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках
(0 ;  1) и (3; 2) .
Площадь S фигуры, ограниченной сверху кривой y  f (x) ,
снизу кривой y  g (x) , слева и справа соответственно прямыми
x  a и x  b , вычисляется по формуле
b
S    f ( x)  g ( x)dx .
a
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В нашем случае f ( x)   x  1, g ( x)  x 2  2 x  1, пределы интегрирования: a  3 , b  0 .
0
S
  x  1  ( x
2
 2 x  1) dx 
3
0
0
  x
2
 3x dx 
3
3 0
x
   x dx  3  xdx  
3
3
3
2
0
x2
 3
2
3
0

3
 03 (3) 3   0 2
(3) 2 
   3   3 
 
  
3
3
2
2

 

3
2
(3)
(3)
27  18  27 9

 3
 9 

  4,5 (кв. ед.).
3
2
2
2
2
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется определенным интегралом функции
y  f (x) на отрезке [a ; b]?
2. Каков геометрический смысл определенного интеграла?
3. Каковы свойства определенного интеграла?
4. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
5. Как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат?
ТЕМА 6 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Литература: [1], гл. XI, § 1–4, гл. XII, § 1, 4–6, 8, 9;
[3], гл. 12, § 1, 6, 8;
[4], гл. XX, § 1–4, 8, 10, 12.
Функции одной независимой переменной не охватывают все
зависимости, существующие в природе. Поэтому целесообразно
ввести понятие функции нескольких переменных. Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие
факты теории функций нескольких переменных наблюдаются
уже на функциях двух переменных.
В этой теме необходимо освоить понятия и методику нахождения частных производных первого и второго порядков функции двух переменных z  f ( x, y) .
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Частной производной по x функции z  f ( x, y) называется
предел отношения частного приращения функции по x  x z к
приращению аргумента  x при условии, что приращение аргумента  x стремится к 0, т.е.
 z
f ( x   x; y )  f ( x; y )
z x  lim x  lim
.
x 0 x
x 0
x
Частной производной по y функции z  f ( x, y) называется
предел отношения частного приращения функции по y  y z к
приращению аргумента  y при условии, что приращение аргумента  y стремится к 0, т. е.
yz
f ( x; y  y )  f ( x; y )
.
z y  lim
 lim
y 0 y
y 0
y
Правила вычисления частных производных совпадают с
правилами, указанными для функций одного аргумента. При нахождении частной производной по переменной х z x переменная у
считается постоянной величиной. При нахождении частной производной по y z y переменная x считается постоянной величиной.
При изучении этой темы следует освоить нахождение экстремума функции двух переменных.
Функция z  f ( x, y) имеет в точке М 0 ( x0 , y0 ) максимум
(минимум), если существует такая окрестность точки M 0 , в которой для любой точки M ( x, y) , не совпадающей с точкой М 0 , выполняется неравенство
f ( x, y)  f ( x0 , y0 )  f ( x, y)  f ( x0 , y0 ).
При исследовании функции z  f ( x, y) на экстремум рекомендуется пользоваться следующей схемой:
1) найти частные производные z x и z y ;
2) найти стационарные точки функции, в которых частные
производные равны 0; для этого решить систему уравнений
 z x  0,
 z   0;
 y
(пусть M ( x0 ; y0 ) – одна из стационарных точек);
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) найти частные производные второго порядка:
z xx  ( z x )x , z xy  ( z x )y , z yy  ( z y )y ;
4) вычислить их значения в каждой стационарной точке:
А  z xx M , B  z xy M , C  z yy M ;
5) составить и вычислить определитель второго порядка:
  А В  А С  B2 ;
В С
6) сделать вывод о наличии экстремума в стационарной точке с помощью достаточного условия экстремума:
если   0 , то функция имеет экстремум,
причем при A  0 – максимум, при A  0 – минимум;
если   0 то функция не имеет экстремума;
если   0, то требуется дальнейшее исследование;
7) найти экстремумы функции.
Особое внимание следует уделить применению метода
наименьших квадратов к определению параметров зависимости
между переменными.
Пусть производится n наблюдений переменных x и y:
( x1 ; y1 ) , ( x2 ; y 2 ) ,..., ( xn ; y n ) . Предположим, что между x и y существует зависимость вида y  f (x) . С целью наилучшего согласования функции y  f (x) с экспериментальными данными параметры функции следует выбирать так, чтобы сумма квадратов отклонений табличных данных от вычисленных по формуле
y  f (x) была наименьшей, т. е.
n
S   ( y i  f ( xi )) 2  min .
i 1
Если f (x) – линейная функция, т. е. y  ax  b , то неизвестные параметры a и b определяются из системы нормальных
уравнений:
n
n
 n 2
a
x

b
x

 i  xi y i ,
  i
i 1
i 1
i 1

n
n
 a  xi  nb   y i .

i 1
i 1
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры решения задач
Задача 6.1. Найти экстремум функции
z  x3  6 xy  8 y 3  2 .
Решение.
При нахождении частной производной по x переменную y
считаем постоянной величиной:


z  ( x3  6 xy  8 y 3  2)  x3  6 xy   8 y 3  2 
x
 
x
 
x
x
 
x
x
 6 yx  x  0  0  3x 2  6 y .
При нахождении частной производной по y переменную x
считаем постоянной величиной:


z y  ( x 3  6 xy  8 y 3  2)x  x 3 y  6 xy  y  8 y 3 y  2 y 

 0  6 x y  y  8 y 3 y  0  6 x  24 y 2 .
Найдем стационарные точки, для этого решим систему
уравнений:
 3 x 2  6 y  0,
 z x  0,

 z   0;
2
 y
 6 x  24 y  0.
Выразим y из первого уравнения:
3x 2
x2
2
2
3x  6 y  0 , 6 y  3 x , y 
, y
.
6
2
x2
Подставим y 
во второе уравнение и решим его:
2
x4
 6 x  24 
 0,
4
 6x  6x 4  0 ,
Разделим обе части уравнения на (–6), получим
x  x4  0 ,
x(1  x 3 )  0 ,
x1  0 или 1  x3  0 ,
x3  1,
x2  1 .
 x3
x
 
 
 
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставим значения x в первое уравнение и найдем соответствующие значения переменной y:
1
1
1
1
1
y1  x 2
  0 2  0 , y2  x 2
 12  .
2 x 0 2
2 x 1 2
2
 1
Получили две стационарные точки: M10; 0 и M 2 1;  .
 2
Найдем частные производные второго порядка:
z xx  ( z x )x  (3x 2  6 y)x  6 x  0  6 x ;
z xy  ( z x )y  (3x 2  6 y )y  0  6  6 ;
z yy  ( z y )y  (6 x  24 y 2 )y  0  48 y  48 y .
Вычислим значения частных производных второго порядка
в стационарной точке M1 0; 0:
A  z xx ( 0; 0)  6 x ( 0; 0)  6  0  0 ,
B  z xy

C  zyy
( 0; 0)
( 0; 0)
  6 (0; 0)  6 ,
 48 y (0; 0)  48  0  0 .
Найдем значение определителя   А В в точке M10; 0 :
В С
  A B  AC  B 2  0  0  (6) 2  36 .
B C
Так как   0 , то в точке M10; 0 экстремума нет.
Вычислим значения частных производных второго порядка
в стационарной точке M 2 1; 0,5 ;
A  z xx (1; 0,5)  6 x (1; 0,5)  6  1  6 ,
B  zxy

C  zyy
(1; 0,5)
(1; 0,5)
  6 (1; 0,5)  6 ,
 48 y (1; 0,5)  48  0,5  24 .
А В в точке
Найдем значение определителя  
M 2 1; 0,5 :
В С
  A B  AC  B 2  6  24   62  108.
B C
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как   0 , то M 2 1; 0,5 – точка экстремума функции;
A  6  0, значит, M 2 1; 0,5 – точка минимума функции.
Минимум функции
zmin  z 1; 0,5  13  6 1  0,5  8  0,53  2  3.
Задача 6.2. Приведены эмпирические данные:
x
y
2
4,5
3
5
6
7
8,0 10,5 13,0 15,5
Найдите линейную зависимость, используя метод наименьших квадратов. Постройте график эмпирической функции и
точечный график данных.
Решение.
Составим систему нормальных уравнений для определения
параметров линейной зависимости y  ax  b :
n
n
 n 2
a  xi  b xi   xi y i ,
i 1
i 1
i 1

n
n
 a  xi  nb   y i .

i 1
i 1
Промежуточные вычисления выполним в таблице 2.
Таблица 2 – Расчетная таблица
i
1
2
3
4
5

xi
yi
2
3
5
6
7
23
4,5
8,0
10,5
13,0
15,5
51,5
xi 2
4
9
25
36
49
123
xi y i
9
24
52,5
78
108,5
272
Получим нормальную систему уравнений:
123a  23b  272,
 23a  5b  51,5.

Из второго уравнения выразим b и подставим в первое:
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
51,5  23a

123
a

23

 272,

5

51,5  23a
b 
.

5
Первое уравнение умножим на 5, раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, найдем приближенное значение a:
615a  23(51,5  23a)  1360 ,
615a  23  51,5  23  23a  1360 ,
615a  1184,5  529a  1360 ,
615a  529a  1360  1184,5 ,
86a  175,5 ,
a  175,5 : 86 ,
a  2,04 .
Подставим приближенное значение a во второе уравнение, и
найдем значение b:
51,5  23  2,04
b
 0,92 .
5
Запишем уравнение эмпирической прямой: y  2,04 x  0,92 .
Для построения прямой найдем координаты двух ее точек:
при x  2 y  2,04  2  0,92  5 ; при x  7 y  2,04  7  0,92  15,2 .
Построим точки с координатами (2; 5) и (7;15,2) , проведем
через них прямую (рисунок 7). Построим точки с координатами,
данными в условии задачи (2; 4,5), (3; 8), (5; 10,5), (6; 13), (7; 15,5).
15
y
10
5
0 2
7
x
Рисунок 7 – Эмпирическая прямая y  2,04 x  0,92
и точечный график данных
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется функцией двух независимых переменных?
2. Что такое частная производная функции двух переменных
по переменной x? Как ее найти?
3. Что называется частной производной функции двух переменных по переменной y? Как ее найти?
4. Как найти частные производные второго порядка функции двух переменных?
5. Какая точка называется точкой максимума функции двух
переменных? Точкой минимума?
6. Какие точки называются стационарными точками функции двух переменных? Как их найти?
7. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух переменных.
8. В чем суть метода наименьших квадратов для определения параметров эмпирической функции?
ТЕМА 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Литература: [1], гл. XV, § 1 (1, 2, 3, 4, 5);
[3], гл. 15, § 1, 4;
[4], гл. XXII, § 1–3.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется
уравнение вида F ( x, y, y)  0 , связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производную y .
Решением дифференциального уравнения называется функция y   (x) , при подстановке которой в уравнение получается
тождество.
Функция y   ( x, С) называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка, если она является его
решением при любом значении произвольной постоянной С.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение y   ( x, С0 ) , полученное из общего решения при
конкретном значении произвольной постоянной С  С0 .
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача нахождения частного решения дифференциального
уравнения, удовлетворяющего начальному условию y( x0 )  y0 , называется задачей Коши. Для решения этой задачи следует сначала найти общее решение дифференциального уравнения
y   ( x, С) , потом подставить начальное условие y( x0 )  y0 в
общее решение, что позволит определить значение произвольной
постоянной С  С0 , а затем записать частное решение
y   ( x, С0 ) .
Примеры решения задач
Задача 7.1. Найти частное решение дифференциального
уравнения yctgx  y  2 , удовлетворяющее начальному условию
y(0)  1.
Решение.
Преобразуем уравнение: yctgx  2  y ,
2 y
y 
.
ctgx
Уравнение является уравнение с разделяющимися переменными, так как имеет вид y  f1 ( x)  f 2 ( y) .
Производную можно представить как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной:
dy
y   . Подставим в уравнение:
dx
dy 2  y
.

dx ctgx
Разделим переменные, т. е. преобразуем уравнение таким
образом, чтобы в одной части стояло выражение, зависящее от x,
а в другой части – от y. Для этого обе части уравнения умножим
dx
на
. Получим
2 y
dy dx
2  y dx
,



dx 2  y ctgx 2  y
dy
dx
.

2  y ctgx
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проинтегрируем:
dy
dx

 2  y  ctgx .
 t  2 y 
dt  (2  y )' dy 
dy
dt



 2  y  dt  dy   t   ln t  C   ln 2  y  C .
  dt  dy 


 t  cos x 
dx
sin xdx dt  (cos x)' dx 
dt




 ctgx  cos x  dt   sin x dx   t   ln t  C   ln cos x  C.
  dt  sin x dx 


Получим общий интеграл дифференциального уравнения:
 ln 2  y   ln cos x  C .
Найдем общее решение. Для этого выразим y:
ln 2  y  ln cos x  C , положим C  ln C ,
ln 2  y  ln cos x  ln C ,
ln 2  y  ln C  cos x ,
2  y  C cos x ,
y  2  C cos x – общее решение.
Учитывая начальное условие y(0)  1, приходим к равенству
 1  2  C cos 0 ,
1  2  C ,
C  3.
Таким образом, частное решение y  2  3 cos x .
Задача 7.2. Найти значение биомассы в момент времени
T = 12, если в начальный момент времени (t = 0) значение био1
массы m0  10 и k (t ) 
.
1  2t
Решение.
Составим дифференциальное уравнение, описывающее динамику развития популяции. Скорость изменения биомассы характеризуется производной m(t ) (при m  0 – это скорость развития, при m  0 – скорость вымирания).
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
m.
1  2t
Уравнение является дифференциальным уравнением с разdm
деляющимися переменными. Так как m 
, то
dt
dm
1

m;
dt 1  2t
Разделим переменные m и t, для этого умножим обе части
dt
уравнения на , получим
m
dm dt
m dt
 
 ,
dt m 1  2t m
dm
dt

.
m 1  2t
Проинтегрируем:
dm
dt

 m  1  2t .
Найдем интегралы:
dm
 m  ln m  C ;
 z  1  2t 
dz  (1  2t )dt 
dt
dz 1 dz 1
1






ln
z

C

ln 1  2t  C
dz

2
dt
 1  2t  1


2
z
2
z
2
2

dz

dt


2
Получим
1
ln m  ln 1  2t  C , положим C  ln C ,
2
По условию задачи m  km или m 
1
2
ln m  ln 1  2t  ln C ,
1
2
ln m  ln C  (1  2t ) ,
1
2
m  C  (1  2t ) ,
m  C  1 2t – общее решение.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для определения значения произвольной постоянной С полагаем t  0 , m  m0  10 :
10  C  1  2  0 ,
С  10 .
Получим m  10 1  2t – частное решение дифференциального уравнения.
При t  T  12 получим m  10 1  2 12  50 .
Следовательно, в момент времени T  12 значение биомассы
будет составлять 50 ед.
Вопросы для самоконтроля
1. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?
2. Что называется решением дифференциального уравнения? Общим решением? Частным решением?
3. Какова роль начальных условий при решении дифференциального уравнения?
4. Какие уравнения называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными?
5. Какова методика их решения?
ТЕМА 8 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Литература: [2], гл. 1, § 1–3, 5–7, гл. 2, § 1–3, гл. 3, § 1–4;
[3], гл. 11, § 11.1–11.7;
[4], гл. XXV, § 1–9.
Основные понятия теории вероятностей: событие, вероятность события, относительная частота появления события.
При изучении этой темы следует освоить применение классического определения вероятности при решении задач.
Теоремы сложения и умножения вероятностей являются основными, так как на них базируются все дальнейшие положения
теории вероятностей. Вследствие этого они часто применяются
при решении различных задач.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
События и их классификация
Событием называется результат испытания (определенного
комплекса условий).
События можно классифицировать по мере их неопределенности как достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называется событие, которое обязательно
произойдет в результате испытания.
Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате испытания.
Случайным называется событие, которое может либо произойти, либо не произойти в результате испытания.
События классифицируют с точки зрения возможности их
совместного появления как совместные и несовместные.
События называются совместными, если в результате испытания наступление одного из них не исключает появления других.
События называются несовместными, если в результате испытания наступление одного из них исключает появления других.
События называются равновозможными, если в результате
испытания ни одно из них не является более возможным, чем
другие.
События образуют полную группу, если в результате испытания наступает хотя бы одно из них.
Событие, состоящее в том, что событие А не происходит,
называется противоположным событию А и обозначается A .
Противоположные события несовместны и образуют полную группу.
Случаями называются несовместные, равновозможные и образующие полную группу события.
Случай называется благоприятствующим событию, если
появление этого случая влечет за собой наступление события.
Под вероятностью события понимается некоторая численная мера возможности наступления события.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Классическое определение вероятности
Пусть все исходы испытания равновозможны и их число конечно. Вероятность события A равна отношению числа случаев
(исходов испытания) m, благоприятствующих событию А, к общему числу случаев (исходов испытания) n:
m
P( A)  .
n
Из классического определения вытекают следующие свойства вероятности события.
1. Вероятность любого события есть число, заключенное
между нулем и единицей:
0  P( A)  1.
2. Вероятность достоверного события равна 1.
3. Вероятность невозможного события равна 0.
Статистическое определение вероятности
Относительной частотой (частостью) события А называется отношение числа испытаний m, в которых событие А появилось к общему числу испытаний n:
m
w( A)  .
n
Статистическая вероятность события – связанное с данным событием постоянное число, около которого колеблется относительная частота наступления события в опытах с большим
числом однородных испытаний. Статистическая вероятность
события А приближенно равна относительной частоте события
при достаточно большом числе n проведенных испытаний.
Сумма и произведение событий
Суммой событий А и В называется событие А+В, состоящее
в появлении хотя бы одного из них, то есть или события А, или
события В, или А и В вместе.
Произведением событий А и В называется событие А·В, состоящее в их совместном появлении.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теоремы сложения вероятностей
Вычисление вероятности суммы событий зависит от того,
являются ли эти события совместными или несовместными.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Вероятность суммы несовместных событий А и В равна сумме
вероятностей этих событий:
P( A  B)  P( A)  P( B) .
Из теоремы следует, что сумма вероятностей противоположных событий А и A равна 1:
P( A)  P( A )  1.
Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P( A  B)  P( A)  P(B)  P( A  B) .
Теоремы умножения вероятностей
Вычисление вероятности произведения событий зависит от
того, являются ли эти события зависимыми или независимыми.
События А и В называются зависимыми, если вероятность
каждого их них изменяется в зависимости от того, произошло
другое событие или нет. В противном случае события называются независимыми.
Условной вероятностью события В называется вероятность
события В, вычисленная в предположении, что событие А наступило. Обозначается PA (B) .
Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и
В равна произведению вероятности одного из них на условную
вероятность другого:
P( A  B)  P( A)  PA ( B) .
Теорема умножения вероятностей независимых событий.
Вероятность совместного появления двух независимых событий
А и В равна произведению их вероятностей:
P( A  B)  P( A)  P( B) .
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примеры решения задач
Задача 8.1. В ящике 12 белых и 8 черных шаров. Наудачу
извлекают один шар. Найти вероятность того, что извлечен белый шар.
Решение.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что извлеченный шар белый. Число всех возможных случаев (равновозможных исходов испытания) n = 12+8 = 20, так как каждый из находящихся в ящике шаров имеет одинаковую возможность быть извлеченным. Число случаев, благоприятствующих событию А,
равно m = 12, так как среди 20 шаров 12 белых. По классическому
определению вероятностей искомая вероятность равна отношению числа случаев, благоприятствующих событию, к общему
числу случаев:
m 12
P( A)  
 0,6 .
n 20
Задача 8.2. Из 25 посаженных деревьев прижилось 20. Определить относительную частоту прижившихся деревьев.
Решение.
Обозначим через А событие, состоящее в том, посаженное
дерево прижилось. Относительная частота прижившихся деревьев равна отношению числа появлений события А к общему числу
испытаний:
m 20
w( A)  
 0,8 .
n 25
Задача 8.3. В корзине 7 белых и 3 черных шара. Последовательно извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара
белые, если
1) первый шар возвращается в корзину;
2) первый шар не возвращается в корзину.
Решение.
Событие А – оба шара белые. Оно состоит в совместном появлении событий: B1 - первый шар белый и B2 - второй шар белый, поэтому событие А является произведением событий B1 и B2 :
A  B1  B2 .
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) Схема возвращенного шара. Если первый шар возвращается в корзину, то соотношение белых и черных шаров в урне не
меняется (при извлечении как первого, так и второго шара). Значит, события B1 и B2 – независимые.
Воспользуемся теоремой умножения вероятностей независимых событий:
P( A)  P( B1 )  P( B2 ) .
Вычислим вероятности событий B1 и B2 , используя класси7
ческое определение вероятности: P( B1 )  P( B2 )   0,7 .
10
Получим P( A)  0,7  0,7  0,49 .
2) Схема невозвращенного шара. Если первый шар не возвращается в корзину, то соотношение белых и черных шаров в
урне меняется после того, как извлечен первый шар. Тогда вероятность события B2 будет различной в зависимости от того, наступило событие B1 (первый шар – белый) или не наступило
(первый шар – черный). Значит, события B1 и B2 – зависимые.
Воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий:
P( A)  P( B1 )  PB1 ( B2 ) .
Применяя классическое определение вероятности, вычис7
лим вероятность события B1 : P( B1 )  .
10
Найдем условную вероятность события B2 при условии, что
событие B1 наступило. Так как после наступления события B1 в
6 2
корзине осталось 9 шаров, из них 6 белых, то PB1 ( B2 )   .
9 3
7 2 7
Получим P( A)    .
10 3 15
Задача 8.4. На молочно-товарной ферме 60 коров чернопестрой породы, 25 коров голштино-фризской и 15 коров красной
степной пород. Найти вероятность того, что наудачу выбранная
корова черно-пестрой или голштино-фризской породы.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение.
Событие А - наудачу выбранная корова черно-пестрой или
голштино-фризской породы. Событие А состоит в наступлении
одного из двух событий: В – выбрана корова черно-пестрой породы и С – выбрана корова голштино-фризской породы, поэтому
событие А представляет собой сумму событий В и С:
А ВС.
Так как события В и С несовместные, то воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий:
P( A)  P( B)  P(C) .
Используя классическое определение вероятности, найдем
вероятности событий В и С:
60
25
P( B) 
 0,6 , P(C ) 
 0,25 .
100
100
Получим P( A)  0,6  0,25  0,85 .
Задача 8.5. Для сигнализации об аварии установлены два
независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что
при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,95, а второй –
0,9. Найти вероятность того, что при аварии
1) сработают оба сигнализатора;
2) сработает только один сигнализатор;
3) сработает хотя бы один сигнализатор.
Решение.
Введем события:
А1 – сработает первый сигнализатор,
А2 – сработает второй сигнализатор.
Противоположные события:
А1 – не сработает первый сигнализатор,
А2 – не сработает второй сигнализатор.
По условию задачи P( A1 )  0,95 , P( A2 )  0,9 , тогда
P( A1 )  1  Р( А1 )  0,05 , P( A2 )  1  P( A2 )  0,1.
1) Событие А – сработают оба сигнализатора. Оно состоит в
совместном появлении событий А1 и А2 , поэтому может быть
представлено в виде произведения событий А1 и А2 :
A  A1  A2 .
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
События А1 и А2 являются независимыми, так как по условию задачи обладают постоянными вероятностями, которые не
изменяются при наступлении другого события.
По теореме умножения вероятностей независимых событий
P( A)  P( A1 )  P( A2 ) .
Получим P( A)  0,95  0,9  0,855 .
2) Событие В – сработает один сигнализатор.
Событие В может осуществиться одним из двух способов:
или первый сигнализатор сработает, второй – не сработает,
т. е. наступит произведение событий A1  A2 ;
или первый сигнализатор не сработает, второй – сработает,
т. е. наступит произведение событий A1  A2 .
Следовательно, событие В можно представить следующим
образом:
B  А1  А2  А1  А2 .
События A1  A2 и A1  A2 несовместные. По теореме сложения вероятностей несовместных событий
Р( B)  Р( А1  А2 )  Р( А1  А2 ) .
События А1 , А2 , А1 , А2 являются попарно независимыми.
По теореме умножения вероятностей независимых событий
Р( B)  Р( А1 )  Р( А2 )  Р( А1 )  Р( А2 ) .
Получим P( B)  0,95  0,1  0,05  0,9  0,095  0,045  0,14 .
3) Событие С – сработает хотя бы один сигнализатор.
Событие С состоит в наступлении хотя бы одного из двух
событий А1 и А2 , поэтому может быть представлено в виде суммы событий А1 и А2 : С  A1  A2 .
События А1 и А2 являются совместными. По теореме сложения вероятностей совместных событий
P(С)  P( A1 )  P( A2 )  P( A1  A2 ) .
Так как события А1 и А2 – независимые, то по теореме умножения вероятностей независимых событий
P( A1  A2 )  P( A1)  P( A2 ) .
Тогда P(С)  P( A1 )  P( A2 )  P( A1 )  P( A2 ) .
Получим P(С)  0,95  0,9  0,95  0,9  0,995 .
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется событием? Приведите примеры событий.
2. Какое событие называется достоверным?
3. Какое событие называется невозможным?
4. Какое событие называется случайным?
5. Какие события называются несовместными? Совместными?
7. Какие события называются равновозможными?
8. Какие события образуют полную группу?
9. Какие события называются элементарными или случаями?
10. Какие случаи называются благоприятствующими событию?
11. Сформулируйте классическое определение вероятности
события.
12. Каковы границы значения вероятности события?
13. Чему равна вероятность достоверного события?
14. Чему равна вероятность невозможного события?
15. Что такое относительная частота события?
16. В чем состоит свойство устойчивости относительных
частот?
17. В чем состоит статистическое определение вероятности?
18. Что называется суммой событий?
19. Что называется произведением событий?
20. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.
21. Сформулируйте теорему сложения вероятностей совместных событий.
22. Чему равна сумма вероятностей несовместных событий,
образующих полную группу?
23. Какие события называются противоположными? Чему
равна сумма вероятностей противоположных событий?
24. Какие события называются независимыми?
25. Какие события называются зависимыми?
26. Что называется условной вероятностью события?
27. Сформулируйте теорему умножения вероятностей зависимых событий.
28. Сформулируйте теорему умножения вероятностей независимых событий.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕМА 9 ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Литература: [2], гл. 5, § 1–3;
[3], гл. 11, § 11.8, 11.9;
[4], гл. XXV, § 10–14.
Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из
которых вероятность появления события А одинакова и равна p.
Вероятность Pn (m) того, что событие А в n испытаниях появится m раз вычисляется по формуле Бернулли. Однако при
большом числе испытаний n вычисление вероятности по формуле
Бернулли становится громоздким. В этом случае применяют
асимптотические (приближенные) формулы. К ним относятся локальная формула Муавра-Лапласа и формула Пуассона, которые
дают тем более точный результат, чем больше n, причем формулу
Пуассона используют, если вероятность p появления события в
каждом испытании близка к 0. Выбор формулы для вычисления
вероятности Pn (m) появления события А m раз в n испытаниях
представлен в виде блок-схемы на рисунке 8.
Pn (m)
да
Формула Бернулли
n!
Pn (m) 
p m q nm
(n  m)! m!
q 1 p
нет
n  10
да
0,1  p  0,9
Локальная формула
Муавра-Лапласа
1
Pn (m) 
  ( x) ,
npq
m  np
x
, q 1 p
npq
нет ( p  0,1 )
Формула Пуассона
Pn (m) 
m
m!
  np
e ,
Рисунок 8 – Блок-схема выбора формулы для вычисления Pn(m)
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для упрощения расчетов составлена таблица значений

x2
2
1
(приложение 1). Находя значения
e
2
функции  (x) , необходимо иметь в виду ее свойства: функция
 (x) – четная функция, т. е.  ( x)   ( x) ; при x  4  ( x)  0 .
При решении практических задач иногда важно определить
вероятность того, что событие наступит не менее m1 раз и не более m2 раз. Для определения этой вероятности служит интегральная формула Лапласа:
функции  ( x) 
Pn (m1  m  m2 )  (x2 )  (x1 ) , где x1 
m1  np
m  np
, x2  2
.
npq
npq
Условия применения интегральной формулы Лапласа совпадают с условиями применения локальной формулы МуавраЛапласа ( n  10 и 0,1  p  0,9 ).
x
Для функции  ( x) 
1
e
2 0

t2
2 dt
составлена таблица значе-
ний (приложение 2). При нахождении значений функции (x)
используют следующие свойства: функция (x) – нечетная, т. е.
1
( x)  ( x) ; при x  5  ( x)  .
2
Примеры решения задач
Задача 9.1. Всхожесть семян данного растения составляет
85%. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян
взойдут не менее трех семян?
Решение.
Проводятся 5 независимых испытаний – проращивание 5
семян. Каждое испытание имеет 2 исхода: событие А – семя
взошло или событие А – семя не взошло. Вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна. Следовательно,
условие задачи удовлетворяет схеме Бернулли.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По условию задачи число испытаний n  5 , вероятность появления события А в одном испытании p  P( A)  0,85, тогда вероятность непоявления события А: q  1  p  0,15 .
Требуется найти вероятность того, что в 5 испытаниях событие А появится не менее трех раз, т. е. либо 3 раза, либо 4 раза,
либо 5 раз:
P5 (m  3)  P5 (3)  P5 (4)  P5 (5) .
Так как число испытаний невелико ( n  5  10 ), то для вычисления вероятностей P5 (3) , P5 (4) , P5 (5) воспользуемся формулой Бернулли:
Pn (m) 
n!
p m q n  m , где n! 1 2   n , причем 0! 1.
(n  m)!m!
5!
5!
 0,853  0,152 
 0,614125  0,0225 
(5  3)!  3!
2!  3!
1 2  3  4  5

 0,013817812  10  0,013817812  0,1382 ;
1  2 1  2  3
5!
5!
P5 (4) 
 0,854  0,15 
 0,52200625  0,15 
(5  4)!  4!
1!  4!
1 2  3  4  5

 0,078300937  5  0,078300937  0,3915 ;
1 1  2  3  4
5!
5!
P5 (5) 
 0,855  0,150 
 0,443705312  1  0,4437 ;
(5  5)!  5!
0!  5!
P5 (m  3)  0,1382  0,3915  0,4437  0,9734  0,973.
P5 (3) 
Задача 9.2. Вероятность получения с конвейера изделия
первого сорта равна 0,9. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий
а) 530 изделий первого сорта;
б) от 535 до 550 изделий первого сорта.
Решение.
Проводятся 600 независимых испытаний – проверка качества 600 изделий. Каждое испытание имеет 2 исхода: событие А –
изделие первого сорта или событие А – изделие не первого сор56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
та. Вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна. Следовательно, испытания удовлетворяет схеме Бернулли.
По условию задачи число испытаний n  600 , вероятность
появления события А в одном испытании p  P( A)  0,9 , тогда
q  1  p  0,1 .
а) Требуется найти вероятность того, что в 600 испытаниях
событие А появится 530 раз, т. е. P600 (530) . Воспользуемся блоксхемой (рисунок 6). Так как число испытаний достаточно велико
( n  600  10 ) и вероятность появления события в одном испытании не близка ни к 0, ни к 1, то для вычисления вероятности
P600 (530) воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа:
Pn (m) 
1
m  np
.
  ( x) , где x 
npq
npq
Сначала вычислим x:
x
530  600  0,9
 1,36 .
600  0,9  0,1
Так как  (x) – четная функция, то  (1,36)   (1,36) .
По таблице значений функции  (x) (приложение 1) найдем
 (1,36)  0,1582 .
1
Получим P600 (530) 
 0,1582  0,021.
600  0,9  0,1
б) Требуется найти вероятность того, что в 600 испытаниях
событие А появится не менее 535 и не более 550 раз, т. е.
P600 (535  m  550) .
Так как число испытаний достаточно велико ( n  600  10 ) и
вероятность появления события в одном испытании не близка ни
к 0, ни к 1, то для вычисления вероятности P600 (535  m  550)
воспользуемся интегральной формулой Лапласа:
Pn (m1  m  m2 )  (x2 )  (x1 ) , где x1 
Сначала вычислим x1 и x2 :
57
m1  np
m  np
, x2  2
.
npq
npq
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
550  600  0,9
535  600  0,9
 1,36 .
 0,68 ; x2 
600  0,9  0,1
600  0,9  0,1
По таблице значений функции Лапласа (x) (приложение 2), учитывая еѐ нечетность, найдем
x1 
( x1 )  (0,68)  (0,68)  0,2517 ;
( x2 )  (1,36)  0,4131.
Получим P600 (535  m  550)  ( x2 )  ( x1 ) 
 0,4131  (0,2517)  0,6648  0,665.
Задача 9.3. Завод отправил на базу 1000 стандартных изделий. При транспортировке повреждаются в среднем 0,2% изделий. Найти вероятность того, что будут повреждены не более
двух изделия.
Решение. Проводится 1000 независимых испытаний (транспортировка 1000 изделий) с двумя исходами в каждом: событие А
– изделие повредилось или событие А – изделие не повредилось.
Вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна. Следовательно, условие задачи удовлетворяет схеме Бернулли.
По условию задачи число испытаний n  1000 , вероятность
появления события А в одном испытании
0,2%
p  P( A) 
 0,002 .
100%
Требуется найти вероятность того, что в 1000 испытаниях
событие А появится не более двух раз, т. е. либо ни разу не появится, либо появится 1 раз, либо 2 раза:
P1000 (m  2)  P1000 (0)  P1000 (1)  P1000 (2) .
Так как число испытаний достаточно велико ( n  1000  10 ) и
вероятность появления события в одном испытании p  0,002
близка к 0, то для вычисления вероятностей P1000 (0) , P1000 (1) ,
P1000 (2) воспользуемся формулой Пуассона:
Pn (m) 
m
e  , где   np .
m!
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислим параметр λ:   1000  0,002  2 .
По формуле Пуассона найдем вероятности (приложение 3):
2
20  2
P1000 (0)  е  0,1353 ; P1000 (1)  е  2  0,2707 ;
1!
0!
22  2
P1000 (2)  е  0,2707 .
2!
Получим P1000 (m  2)  0,1353  0,2707  0,2707  0,6767  0,677 .
Вопросы для самоконтроля
1. Запишите формулу Бернулли. Что она позволяет найти? При каком числе испытаний целесообразно еѐ применять?
2. Запишите локальную формулу Лапласа. Каковы условия еѐ применения?
3. Запишите формулу Пуассона. При каких условиях еѐ
используют?
4. Запишите интегральную формулу Лапласа. Что она
позволяет найти? Каковы условия еѐ применения?
ТЕМА 10 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Литература: [2], гл. 6, § 1–3, гл. 7, § 1–4, гл. 8, § 1–5, 7,
гл. 10, § 1–3, гл. 11, § 1–5, гл. 12, § 1–7;
[3], гл. 12, § 12.1–12.9;
[4], гл. XXV, § 15–20, 22.
Понятие случайной величины – одно из основных в теории
вероятностей. Применение теории вероятностей для решения
практических задач в первую очередь связано с этим понятием.
Необходимо усвоить способы задания случайных величин и
научиться находить числовые характеристики: математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение; выяснить их вероятностный смысл.
В эту тему входит изучение одного из важнейших распределений непрерывной случайной величины – нормального распределения. Нормальное распределение играет важнейшую роль в
биологической статистике, поэтому следует хорошо усвоить ос59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
новные понятия, связанные с этим распределением: вид дифференциальной функции нормального распределения и ее график
(нормальная кривая), числовые характеристики. Необходимо
научиться находить вероятность того, что нормально распределенная величина примет значение, принадлежащее заданному
интервалу.
Случайной величиной называется величина, про которую заранее неизвестно, какое именно из своих возможных числовых
значений она примет в результате испытания. Существуют два
вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Дискретная случайная величина
Случайная величина X называется дискретной, если ее возможные значения x1, x2,…, xn представляют собой изолированные
числа. Дискретная случайная величина обычно задается рядом
распределения или полигоном распределения.
Рядом распределения дискретной случайной величины X называется таблица, в первой строке которой находятся возможные
значения случайной величины x1, x2,…, xn, а во второй строке –
соответствующие вероятности этих значений p1, p2, …, pn:
X:
xi
pi
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
Сумма вероятностей возможных значений случайной величины равна единице: p1  p2  ...  pn  1.
Полигоном (или многоугольником) распределения дискретной случайной величины X называется ломаная, последовательно
соединяющая точки с координатами (x1; p1), (x2; p2), …, (xn; pn).
Непрерывная случайная величина
Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток.
Непрерывная случайная величина X может быть задана с
помощью интегральной функции распределения F(x) или дифференциальной функции распределения f(x).
Интегральной функцией распределения (или функцией распределения) называется функция F(x), которая каждому действи60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельному числу x ставит в соответствие вероятность того, что
случайная величина X примет значение, меньшее x:
F ( x)  P( X  x) .
Дифференциальной функцией распределения f (x) (или плотностью вероятности) называется производная интегральной
функции распределения: f ( x)  F ( x) .
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X
примет значение из интервала ( ;  ) , определяется по формуле:

P(  X   )   f ( x)dx .


Заметим, что
 f ( x)dx  1. Отсюда следует, что площадь фи-

гуры, ограниченной сверху кривой распределения (графиком
дифференциальной функции распределения), снизу осью Ox,
равна 1.
Числовые характеристики
Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений возможных значений
случайной величины на соответствующие вероятности:
n
M ( X )  x1 p1  x2 p2    xn pn   xi pi .
i 1
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл

M (X ) 
 x f ( x)dx .

Математическое ожидание характеризует среднее значение возможных значений случайной величины.
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от еѐ
математического ожидания:
D( X )  M  X  M ( X )2 .
Первый способ вычисления дисперсии основан на применении определения дисперсии.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дисперсия дискретной случайной величины:
n
D( X )   ( xi  M ( X )) 2  pi 
i 1
 ( x1  M ( X ))  p1  ( x2  M ( X )) 2  p2    ( xn  M ( X )) 2  pn .
Дисперсия непрерывной случайной величины:
2

M (X ) 
 ( x  М ( X ))
2
f ( x)dx .

Второй способ вычисления дисперсии случайной величины
основан на применении свойства дисперсии:
D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X ) .
Для дискретной случайной величины
n
M ( X )   xi 2  pi  x12  p1  x2 2  p2    xn 2  pn .
2
i 1
Для непрерывной случайной величины

M (X ) 
2
x
2
f ( x)dx .

Дисперсия характеризует рассеяние возможных значений
случайной величины вокруг математического ожидания.
Средним квадратическим отклонением σ (X) называется
квадратный корень из дисперсии:  ( x)  D( X ) .
Среднее квадратическое отклонение характеризует среднюю величину отклонения возможных значений случайной величины от математического ожидания.
Нормальный закон распределения
Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону с параметрами a и σ (σ > 0), если
дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) имеет вид

1
f ( x) 
e
 2
62
( x a )2
2 2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кривая распределения нормального закона называется нормальной кривой или кривой Гаусса (рисунок 9).
f(x)
1
 2
1
 2 e
a-σ
a
a+σ
x
Рисунок 9 – Нормальная кривая
Нормальная кривая имеет максимум в точке x = a и точки
перегиба при x = a ± σ.
Числовые характеристики случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами а и σ:
математическое ожидание M(X) = a;
дисперсия D(X) = σ2;
среднее квадратическое ожидание σ(X) = σ.
Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону, принимает значение на интервале
( ;  ) , определяется по формуле:
 a
  a 
P(  X   )  
  
,






где (x) – функция Лапласа (приложение 2).
Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от ее математического ожидания а по
абсолютной величине не будет превосходить заданного положительного числа δ, равна
 
P( X  a   )  P(a    X  a   )  2  .
 
Вероятность попадания значения нормально распределенной случайной величины в интервал (a  3 ; a  3 ) :
P(a  3  X  a  3 )  23  0,9973  1,
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
поэтому практически достоверно, что все значения нормально
распределенной случайной величины принадлежат интервалу
(a  3 ; a  3 ) (правило «трех сигм»).
Примеры решения задач
Задача 10.1. Задан закон распределения дискретной случайной величины X.
X: xi
-3
0,4
pi
1
0,3
3
0,1
4
0,2
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение случайной величины X.
Решение.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
вычисляется по формуле
n
M ( X )   xi pi  x1 p1  x2 p2    xn pn .
i 1
M ( X )  3  0,4  1 0,3  3  0,1  4  0,2  0,2 .
Первый способ вычисления дисперсии дискретной случайной величины основан на применении определения дисперсии:
n
D( X )   ( xi  M ( X )) 2  pi 
i 1
 ( x1  M ( X ))  p1  ( x2  M ( X )) 2  p2    ( xn  M ( X )) 2  pn .
2
D( X )  (3  0,2) 2  0,4  (1  0,2) 2  0,3  (3  0,2) 2  0,1 
 (4  0,2) 2  0,2  7,96 .
Второй способ вычисления дисперсии случайной величины
основан на применении свойства дисперсии:
D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X ) ,
n
где M ( X )   xi 2  pi  x12  p1  x2 2  p2    xn 2  pn .
2
i 1
M ( X 2 )  (3) 2  0,4  12  0,3  32  0,1  42  0,2  8 ,
D( X )  8  0,22  7,96 .
Среднее квадратическое отклонение случайной величины:
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ( X )  D( X ) .
Получим  ( X )  7,96  2,8 .
Задача 10.2. Для коров некоторой породы удой за лактацию
– случайная величина, распределенная по нормальному закону с
математическим ожиданием а  4200 кг и средним квадратическим отклонением   300 кг. Каков процент животных, удои
которых за лактацию заключены в пределах от 4000 кг до 4500? В
каком диапазоне наблюдаются удои?
Решение.
Случайная величина X – удой за лактацию, распределена по
нормальному закону с параметрами а  M ( X )  4200 кг и
   ( X )  300 кг.
Вероятность того, что случайная величина, распределенная
по нормальному закону, принимает значение на интервале ( ;  ) ,
определяется по формуле:
 a
  a 
P(  X   )  
  
,
  
  
где (x) – функция Лапласа (приложение 2).
 4500  4200 
 4000  4200 
P(4000  X  4500)  
  

300
300




 (1)  (0,67)  (1)  (0,67)  0,3413  0,2486  0,5899  0,59.
Таким образом, 59% коров имеют удои в пределах от
4000 кг до 4500 кг.
Правило «трех сигм» утверждает следующее: практически
достоверно, что все значения любой нормально распределенной
случайной величины расположены в интервале (a  3 ; a  3 ) .
a  3  4200  3  300  3300 кг,
a  3  4200  3  300  5100 кг.
Таким образом, для коров данной породы удой за лактацию
наблюдается в диапазоне от 3300 кг до 5100 кг.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вопросы для самоконтроля
1. Какие случайные величины называются дискретными?
2. Как задается закон распределения дискретной случайной
величины?
3. Какие случайные величины называются непрерывными?
4. Что называется интегральной функцией распределения
вероятностей случайной величины? Каковы ее свойства?
5. Как определяется плотность вероятности непрерывной
случайной величины (дифференциальная функция распределения)? Каковы ее свойства?
6. Что называется математическим ожиданием дискретной
случайной величины? Непрерывной случайной величины?
7. Что характеризует математическое ожидание?
8. Каковы свойства математического ожидания?
9. Что называется дисперсией случайной величины? средним квадратическим отклонением?
10. Как найти дисперсию дискретной случайной величины?
Непрерывной случайной величины?
11. Что характеризует дисперсия? Среднее квадратическое
отклонение?
12. Каковы свойства дисперсии?
13. Какая случайная величина называется распределенной
по нормальному закону? Какими параметрами определяется нормальное распределение? Каков их вероятностный смысл?
14. Начертите кривую нормального распределения. Каков
геометрический смысл параметров нормального распределения?
Как меняется кривая при изменении математического ожидания и
среднего квадратического отклонения?
15. Как найти вероятность попадания значения нормально
распределенной случайной величины в заданный интервал?
16. Как вычисляется вероятность отклонения значения нормально распределенной случайной величины от математического
ожидания?
17. В чем заключается правило «трех сигм»? Как найти диапазон изменения значений нормально распределенной случайной
величины?
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕМА 11 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
Литература: [2], гл. 15, § 1–8, гл. 16, § 1–10, 13–16,
гл. 18, § 1–4, 7;
[3], гл. 13, § 13.1–13.7; гл.14, § 14.1, 14.2, 14.4.
В этой теме надо освоить такие понятия как генеральная и
выборочная совокупности (выборка). Первичная статистическая
информация (выборка) представляет собой ряд значений, записанных в той последовательности, в которой они были получены.
Чтобы придать этой информации удобную для изучения форму,
используют ряды распределения (дискретные и интервальные) и
их графическое изображение – полигон и гистограмму. Необходимо освоить методику группировки выборочных данных и
представления их в виде ряда распределения (вариационного ряда), а также графическое представление ряда распределения в
форме полигона или гистограммы.
Важнейшей числовой характеристикой распределения является среднее значение. Свойство животных или растений отличаться друг от друга даже в однородной совокупности (на одной
ферме или на одном поле) принято называть изменчивостью
(варьированием). Изменчивость признака характеризуют дисперсия и среднее квадратическое отклонение, а также коэффициент
вариации. Изменчивость считается значительной, если коэффициент вариации больше 20%, средней, если коэффициент вариации больше 10%, но меньше 20%, и незначительной, если он
меньше 10%. В этой теме необходимо освоить методику вычисления основных выборочных характеристик.
Выборочные характеристики позволяют делать оценки характеристик генеральной совокупности. В качестве точечной
оценки генеральной средней служит выборочная средняя, а в качестве оценки генеральной дисперсии используют исправленную
выборочную дисперсию. Если случайная величина имеет нормальное распределение, то становится возможным применять интервальные оценки параметров распределения. Доверительным
интервалом называется найденный по данным выборки интервал
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(  ;   ) , который покрывает оцениваемый параметр  с заданной надежностью γ. Надежность γ обычно принимают равной
0,95, или 0,99, или 0,999. В этой теме необходимо освоить методику оцениванию генеральной средней с помощью доверительного интервала.
На практике часто приходится иметь дело с зависимостью
между переменными более сложной, чем функциональная. Такова, например, зависимость между количеством внесенных удобрений X и собранным урожаем Y. Здесь каждому значению величин X соответствует множество возможных значений величины
Y. Вместе с тем, как показывает опыт, средний урожай является
функцией от количества удобрений. Подобного рода зависимости
относятся к корреляционным. Обычно корреляционную зависимость между случайными величинами оценивают, определяя выборочный коэффициент корреляции (он характеризует тесноту
зависимости между случайными величинами) и находя выборочное уравнение регрессии. Уравнение регрессии позволяет предсказать, какие изменения (в среднем) будет претерпевать второй
признак при изменении первого признака. При изучении этой темы необходимо освоить методику вычисления коэффициента
корреляции и нахождения уравнения прямой регрессии.
Примеры решения задач
Задача 11.1. Из крупного стада коров произведена случайная выборка 20 животных. За 300 дней лактации удой составил
(в ц): 35,9; 35,3; 42,7; 45,2; 25,9; 35,3; 33,4; 27,0; 35,9; 38,8; 33,7;
38,6; 40,9; 35,5; 44,1; 37,4; 34,2; 30,8; 38,4; 31,3.
Требуется:
1) получить вариационный ряд и построить гистограмму
плотностей относительных частот;
2) найти выборочную среднюю xв , исправленную выборочную дисперсию s 2 , исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s , среднюю квадратическую ошибку средней
s x , коэффициент вариации V.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) с надежностью 95% указать доверительный интервал для
оценки генеральной средней xг , считая распределение исследуемого признака нормальным.
Решение.
Так как исследуемый признак – удой за 300 дней лактации –
является непрерывной случайной величиной, то составим интервальный вариационный ряд.
Запишем исходные данные в виде ранжированного ряда,
т. е. располагая их в порядке возрастания:
25,9; 27,0; 30,8; 31,3; 33,4; 33,7; 34,2; 35,3; 35,3; 35,5; 35,9;
35,9; 37,4; 38,4; 38,6; 38,8; 40,9; 42,7; 44,1; 46,2.
Размах вариации определяется как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:
R  xmax  xmin .
R  46,2  25,9  20,3 ц.
Этот интервал надо разбить на определенное количество
классов (интервалов). При малом объеме выборки (20-40 элементов) разбивают на 5-6 интервалов. Так как объем выборки n = 20,
то возьмем k = 5 интервалов.
Длина интервала составит
R 20,3
h 
 4,06 .
k
5
Округлим значение длины интервала до ближайшего большего целого числа: h = 5.
Начало первого интервала может не совпадать с наименьшим значением признака. Возьмем за начало первого интервала
число 25.
Получим пять интервалов: первый 25–30,
второй 30–35,
третий 35–40,
четвертый 40–45,
пятый 45–50.
В первый интервал попадают два значения (25,4 и 27,0), поэтому n1  2 . Во второй интервал попадают пять значений, поэтому n2  5 . Аналогично n3  9 , n4  3 , n5  1.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислим сумму частот
5
n
i
 2  5  9  3  1  20 .
i 1
В сумме получили число 20, равное объему выборки n, что
подтверждает правильность вычислений.
Теперь найдем относительные частоты попадания значений
признака в каждый интервал:
n
wi  i , i  1, 2, 3, 4, 5 .
n
2
5
9
 0,1 , w2 
 0,25 ; w3 
 0,45 ;
Получим w1 
20
20
20
3
1
w4 
 0,15 ; w5 
 0,05 .
20
20
Для проверки вычисляем сумму относительных частот:
5
 wi  0,1  0,25  0,45  0,15  0,05  1.
i 1
Тот факт, что в сумме получили единицу, подтверждает
правильность вычислений.
Вычислим плотности относительных частот
w
Pi  i , i  1, 2, 3, 4, 5 .
h
0,25
0,1
0,45
 0,02 , P2 
 0,05 ; P3 
 0,09 ;
Получим P1 
5
5
5
0,15
0,05
P4 
 0,03 ; P5 
 0,01 .
5
5
Составим интервальный вариационный ряд, для этого полученные результаты представим в виде таблицы, первая строка которой содержит интервалы, вторая – частоты, третья – относительные частоты (таблица 3).
Таблица 3 – Интервальный вариационный ряд
Интервал
ni
wi
Pi
25–30
2
0,1
0,02
30–35
5
0,25
0,05
35–40
9
0,45
0,09
70
40–45
3
0,15
0,03
45–50
1
0,05
0,01
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Строим гистограмму плотностей относительных частот –
ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы, а высотами – соответствующие значения плотностей относительных частот Pi (рисунок 10).
Pi
0,09
0,05
0,04
0,02
0,01
25
30
35
40
45
50
xi
Рисунок 10 – Гистограмма плотностей относительных частот
Заметим, что аналогично могут быть построены гистограмма частот и гистограмма относительных частот, если высоты
прямоугольников будут равны соответственно частотам ni или
относительным частотам wi интервалов.
Основные выборочные характеристики вычисляются по
следующим формулам:
1 k
– выборочная средняя арифметическая xв   xi ;
n i 1
1 k
( xi  xв ) 2 ;
– исправленная выборочная дисперсия s 

n  1 i 1
2
– исправленное среднее квадратическое отклонение s  s 2 ;
– средняя квадратическая ошибка выборочной средней s x 
в
– коэффициент вариации V 
s
100% .
xв
71
s
;
n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вспомогательные расчеты выполним в таблице 4.
Таблица 4 – Расчетная таблица
№
xi
xi  xв
xi  xв 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Σ
35,9
35,3
42,7
45,2
25,9
35,3
33,4
27,0
35,9
38,8
33,7
38,6
40,9
35,5
44,1
37,4
34,2
30,8
38,4
31,3
720,3
-0,1
0,7
6,7
9,2
-10,1
-0,7
-2,6
-9,0
-0,1
2,8
-2,3
2,6
4,9
-0,5
8,1
1,4
-1,8
-5,2
2,4
-4,7
-
0,01
0,49
44,89
84,64
102,01
0,49
6,76
81,00
0,01
7,84
5,29
6,76
24,01
0,25
65,61
1,96
3,24
27,04
5,76
22,09
490,15
Выборочная средняя арифметическая:
1
xв   720,3  36,015  36 ;
20
исправленная выборочная дисперсия:
1
s 2   490,15  25,80 ;
19
исправленное среднее квадратическое отклонение:
s  25,80  5,08 ;
средняя ошибка выборочной средней арифметической:
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5,08
 1,34 ;
в
20
коэффициент вариации:
5,08
V
 100%  14% .
36
Так как 10%  V  20% , то изменчивость удоев следует считать средней.
Доверительный интервал для оценки генеральной средней
определяется следующим образом:
xв  t  s x  xг  xв  t  s x ,
sx 
где t – коэффициент доверия, зависящий от заданной доверительной вероятности γ и объема выборки n, находится по таблице
значений, приведенной в приложении 4:
t  t ( , n)  t (0,95; 20)  2,093 .
Получим
xв  t  s x  36  2,093  1,34  36  2,80  33,2 ;
xв  t  s x  36  2,093  1,34  36  2,80  38,8 ;
33,2  xг  38,8 .
С надежностью 95% можно утверждать, что во всем стаде
средний удой за 300 дней заключен в пределах от 33,2 ц до 38,8 ц.
Задача 11.2. Проведено 10 наблюдений над контрольными
участками посева:
xi 6
yi 27
11
32
11
33
7
30
8
30
10
33
12
34
6
29
10
31
9
32
где X – количество внесенных удобрений, т/га, Y – урожайность, ц/га.
1) Найти выборочный коэффициент корреляции и сделать
вывод о тесноте и направлении корреляционной связи между
признаками.
2) Составить выборочное уравнение линейной регрессии Y на X.
3) Построить поле корреляции и прямую регрессии.
Решение.
Выборочный коэффициент корреляции находим по формуле
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
r
 ( xi  x )( yi  y )
i 1
n
n
i 1
i 1
,
 ( xi  x )2  ( yi  y )2
где x – выборочная средняя арифметическая признака X,
1 n
x   xi ;
n i 1
y – выборочная средняя арифметическая признака Y,
1 n
y   yi .
n i 1
Составим вспомогательную таблицу 5.
Таблица 5 – Расчетная таблица
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

xi
yi
6 27
11 32
11 33
7 30
8 30
10 33
12 34
6 28
10 31
9 32
90 310
xi  x
yi  y
–3
2
2
–2
–1
1
3
–3
1
0
-
–4
1
2
–1
–1
2
3
–3
0
1
-
( xi  x )( yi  y ) ( xi  x ) 2 ( yi  y ) 2
12
2
4
2
1
2
9
9
0
0
41
9
4
4
4
1
1
9
9
1
0
42
Вычислим выборочные средние арифметические:
90
310
 9,
y
 31 .
10
10
Найдем выборочный коэффициент корреляции:
x
r
41
41

 0,93.
42  46 43,95
74
16
1
4
1
1
4
9
9
0
1
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как коэффициент корреляции положительный, то связь
между признаками X и Y прямая, т. е. увеличение количества внесенных удобрений ведет к увеличению урожайности.
Абсолютная величина коэффициента корреляции r  0,93
близка к единице, значит, существует тесная связь между количеством внесенных удобрений и урожайностью.
Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X имеет
вид
sy
y  y  r  x  x ,
sx
где s x , s y – выборочные средние квадратические отклонения
признаков X и Y,
1 n
sx 
( xi  x ) 2 ,

n i 1
1 n
sy 
( yi  y ) 2 .

n i 1
Используя таблицу 6, вычислим выборочные средние квадратические отклонения:
1
1
 42  4,2  2,05 ,
sy 
 46  4,6  2,14 .
10
10
Найдем выборочное уравнение линейной регрессии Y на X:
sx 
y  31  0,93 
2,14
  x  9 ,
2,05
y  31  0,97  x  9,
y  0,97 x  22,27 .
Коэффициент регрессии 0,97 показывает, что при увеличении количества вносимых удобрений на 1 т/га урожайность увеличивается в среднем на 0,97 ц/га.
Построим поле корреляции – множество точек координатной плоскости ( xi ; yi ) , где xi и yi – соответствующие значения
признаков X и Y.
Построим прямую регрессии по двум точкам. Одна из них –
точка с координатами ( x; y) , т. е. A(9; 31) . Подставим в уравне75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние регрессии x  6 , получим y  28,09 ; значит, вторая точка
B(6; 28,09) . Строим точки и проводим прямую (рисунок 11).
Заметим, что параметры a и b прямой регрессии y  ax  b
могут быть найдены методом наименьших квадратов, используя
исходные данные.
y
30
20
10
0
6
7
8
9
10
11
12
x
Рисунок 11 – Прямая регрессии y  0,97 x  22,27
и поле корреляции
Вопросы для самоконтроля
1. Что понимается под генеральной совокупностью?
2. Что такое выборка?
3. Что такое частота появления варианты в выборке? Как
определяется относительная частота варианты?
4. Как получают дискретный вариационный ряд распределения?
5. Как построить полигон частот? Относительных частот?
6. Как получают интервальный вариационный ряд распределения?
7. Как строится гистограмма частот? Относительных частот?
8. Как вычисляется выборочная средняя?
9. Как вычисляется исправленная выборочная дисперсия и
среднее квадратическое отклонение?
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Для каких целей используется коэффициент вариации?
11. Как вычисляется и что характеризует средняя квадратическая ошибка средней?
12. Какая величина является оценкой для генеральной средней?
13. Какая величина является оценкой для генеральной дисперсии?
14. Что понимают под доверительным интервалом и доверительной вероятностью (надежностью)?
15. Как найти доверительный интервал для математического
ожидания нормально распределенного признака?
16. Как изменится величина доверительного интервала, если
увеличить надежность  ?
17. Что понимают под корреляционной зависимостью? Чем
она отличается от функциональной зависимости?
18. Как вычисляется выборочный коэффициент корреляции?
Что он характеризует?
19. Каковы свойства коэффициента корреляции?
20. Как получают эмпирическую линию регрессии?
21. Какую форму имеет линия регрессии в случае линейной
корреляционной зависимости?
22. Как составляют уравнение прямой регрессии?
23. Что характеризует коэффициент регрессии?
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
В задачах 1–10 найти производные функций.
2
cos x
 sin x ; 2) y  2 x cos x ; 3) y 
1. 1) y  5 x 2 
;
1  sin x
x
4) y  ln x 3  4 .
4x
2. 1) y  x  3  arccos x ; 2) y  ( x  1)e ; 3) y 
;
x

1
x
4) y  ln(sin 3x) .
1
ln x
3. 1) y  2 x3  3  e x ; 2) y  ( x 2  1)arctgx ; 3) y  3 ;
x
x
4) y  1 sin 5x .
3
4
2
x
4. 1) y  4 x 2  3 x  cos x ; 2) y  (1  x 2 ) arcsin x ;
ex
3) y 
; 4) y  (3sin x  4)5 .
x  4x  3
4
arctgx
5. 1) y  5 x 4  2  3 x ; 2) y  ( x 3  4)e x ; 3) y 
;
x
1  x2
4) y  (ln cos x  2) 4 .
1
ln x
6. 1) y  3 x 2  arcsin x  5 ; 2) y  ( x3  3x) ln x ; 3) y  2 ;
x
x
x
6
4) y  (3  4) .
2
3x
1
3
x
7. 1) y  5 x  4  e ; 2) y  ( x  3)arctgx ; 3) y  2 ;
x
x 1
3
4) y  sin 3x  x .
arcctgx
8. 1) y  4 x5  5 x  2 sin x ; 2) y  (e x  2)( x3  6 x) ; 3) y 
;
1  x2
2
4) y  3
1 x 2
.
4
ex
x
3
9. 1) y  x  4  e ; 2) y  x (ln x  2 x) ; 3) y  2
;
x
x  4x  3
4) y  1  4 x 2 .
3
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. 1) y  x 
4
 x 2 ; 2) y  ( x 3  3x) ln x ; 3) y 
3
tgx
;
x 1
x3
x2
4) y  ln
.
x 1
В задачах 11–20 построить график заданной функции на основании ее исследования (определить интервалы возрастания и
убывания функции, исследовать ее на экстремум, определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, найти координаты
точек перегиба).
11. y  x 3  9 x 2  24 x  13.
16. y  x 3  6 x 2  9 x  1.
12. y  x 3  3x 2  9 x  10 .
17. y  x 3  12 x 2  45 x  48 .
13. y  x 3  3x  1 .
18. y  x 3  9 x 2  24 x  17 .
14. y  x 3  3x 2  6 .
19. y  x 3  6 x 2  9 x  2 .
15. y  x 3  3x 2  1.
20. y  x 3  12 x 2  45 x  47 .
В задачах 21–30 найти неопределенные интегралы.
dx
21. 1)  (3x  83 x  1)dx ; 2) 
.
4x 1
1
22. 1)  (8 x 2 
 9)dx ; 2)  7 sin 2 x cos xdx .
x
5 x 2 dx
3
3
23. 1)  (x  5  8)dx ; 2)  3
.
x

1
x
2
dx
24. 1)  (3x 5  2  3)dx ; 2)  3
.
x
5x  8
xdx
25. 1)  ( x 4  53 x 2  1)dx ; 2) 
.
2
2x  3
dx
5
26. 1)  ( x 6   7)dx ; 2)  tgx
.
2
cos x
x
2
7
3
4
27. 1)  (2 x  5 x  7)dx ; 2)  e 3 x 1 xdx .
28. 1)  (6 x 5  3
2
 3)dx ; 2)
x
dx
 4  (2x  3) 2 .
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. 1)  (8 x 3 
2
 6)dx ; 2)
dx

1  (3x  1)
1
dx
30. 1) (6 x 7  3 6 x 5  2)dx ; 2)
 2 .
ctgx sin x
5
x
2
2
.


В задачах 31–40 найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
31.
32.
33.
34.
35.
y  x 2  4 x  3 ; y  x  1.
y  x2  2x ; y  x  2 .
y  x2  4x  3 ; y  x  3 .
y  x 2  6 x  10 ; y  x .
y  x 2  2 x  1; y  x  1.
36.
37.
38.
39.
40.
y  x2  6x  8 ; y  x  4 .
y  x 2  6 x  13 ; y  x  3 .
y  x 2  8x  15 ; y  x  5 .
y   x 2  2x  3; y  x  1 .
y  x 2  1; y  x  1 .
В задачах 41–50 задан закон распределения дискретной случайной величины X.
xi
pi
x1
p1
x2
p2
x3
р3
x4
р4
Найти 1) вероятность, с которой случайная величина X принимает значение x3; 2) математическое ожидание; 3) дисперсию
(двумя способами); 4) среднее квадратическое отклонение. Построить полигон распределения.
Таблица 6 – Данные к задачам 41–50
№
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
x1
1
2
0
-1
-2
3
1
2
0
-1
x2
3
4
2
0
0
4
3
4
2
0
x3
4
5
4
1
2
5
4
5
4
1
x4
5
6
6
2
4
6
5
6
6
2
80
p1
0,2
0,3
0,4
0,1
0,2
0,1
0,3
0,4
0,1
0,2
p2
0,3
0,2
0,1
0,2
0,5
0,3
0,2
0,1
0,2
0,5
p4
0,4
0,1
0,3
0,2
0,1
0,4
0,1
0,3
0,2
0,1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В задачах 51–56 промеры телок являются нормально распределенными случайными величинами с заданными параметрами a и σ. Требуется определить а) процент животных, для которых величина промера будет принадлежать интервалу  ;   ;
б) диапазон изменений промера (по правилу «трех сигм»).
Таблица 7 – Данные к задачам 51–56
№
51
52
53
54
55
56
Промер, см
Высота в холке
Косая длина
туловища
Глубина груди
Ширина груди
Обхват груди
Обхват пясти
 ;  
а
117
σ
5,4
(110; 120)
131
10,8
(125; 135)
58,8
48,7
172
16,4
3,6
4,8
8,4
4,8
(55; 62)
(45; 52)
(170; 180)
(15; 22)
В задачах 57–60 предполагается, что живая масса телок (кг)
распределена по нормальному закону с заданными параметрами a
и σ. Требуется определить: 1) процент животных, для которых
живая масса будет заключена в указанных пределах; 2) диапазон
изменения живой массы (по правилу «трех сигм»).
Таблица 8 – Данные к задачам 57–60
№
57
58
59
60
Возраст, мес.
3
6
12
18
а
101
176
323
423
81
σ
7,4
15,6
31,4
61,2
Пределы
95–110
175–180
300–325
400–450
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В задачах 61–70 заданы результаты обследования 20 телят
холмогорских помесей. Их живая масса при рождении (кг) представлена в таблице 9. Требуется: 1) получить вариационный ряд и
построить гистограмму плотностей относительных частот;
2) вычислить выборочную среднюю xв , исправленную выборочную дисперсию s 2 , исправленное среднее квадратическое отклонение s , коэффициент вариации V, ошибку средней sxв ; 3) с надежностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней xг .
Таблица 9 – Данные к задачам 61–70
№
наблюдения
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
27
32
31
32
28
37
35
26
28
32
39
34
30
37
26
27
40
35
37
28
43
26
35
45
26
35
32
32
35
35
28
32
36
32
36
37
33
28
31
32
39
30
30
36
38
24
32
30
31
28
36
36
26
27
35
37
28
31
27
37
36
36
28
31
30
32
24
38
36
30
30
39
32
27
36
32
34
26
23
28
26
35
45
26
35
32
32
35
35
28
32
36
32
36
37
33
28
31
36
33
39
34
30
37
26
27
40
35
37
28
27
32
31
32
28
37
35
26
28
32
28
32
36
32
36
37
33
28
31
32
43
26
35
45
26
35
32
32
35
35
36
36
26
27
35
37
28
31
27
37
39
30
30
36
38
24
32
30
31
28
30
39
32
27
36
32
34
26
23
28
36
36
28
31
30
32
24
38
36
30
32
36
32
36
37
33
28
31
36
33
26
35
45
26
35
32
32
35
35
28
№ задачи
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В задачах 71–80 приведены измерения у 10 телят по глубине
груди X (см) и живой массе Y (кг). Найти 1) коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении линейной корреляционной связи между признаками; 2) составить уравнение прямой регрессии Y на X; 3) нанести на чертеж исходные данные и
построить прямую регрессии.
Таблица 10 – Данные к задачам 71–75
№
наблюдения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
71
X
91
86
94
95
104
92
98
84
96
99
72
Y
62
43
60
73
87
65
79
52
65
68
X
82
101
105
96
98
112
106
93
110
91
Y
51
59
78
63
73
68
65
62
70
62
№ задачи
73
X
Y
103 79
96
61
93
59
100 68
89
55
97
70
98
66
87
54
106 75
97
61
74
X
85
94
92
104
101
98
93
87
99
95
75
Y
56
63
60
70
64
59
61
49
58
65
X
97
89
95
106
98
92
85
94
103
97
Y
61
48
59
75
62
67
60
72
78
58
Таблица 11 – Данные к задачам 76–80
№
наблюдения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
76
X
94
89
97
98
107
95
101
87
99
102
77
Y
65
46
63
76
90
68
82
55
68
71
X
81
100
104
95
97
111
105
92
109
90
Y
50
58
77
62
72
67
64
61
69
61
№ задачи
78
X
Y
101 77
94
59
91
57
98
66
87
53
95
68
96
64
85
52
104 73
95
60
83
79
X
87
96
94
106
103
100
95
89
101
97
80
Y
58
65
62
72
66
61
63
51
60
67
X
98
90
96
107
99
93
86
95
104
98
Y
62
49
60
76
63
68
61
73
79
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 1
Таблица значений функции  ( x) 
Целые и
десятые
доли x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
1
e
2

x2
2
Сотые доли x
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
2
3989
3961
3894
3790
3652
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
84
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание приложения 1
Целые и
десятые
доли x
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
Сотые доли x
0
0079
0060
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
1
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
2
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
4
0071
0053
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
85
5
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
6
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
7
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
8
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
9
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 2
Таблица значений функции ( x) 
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
Ф(х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
x
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
Ф(х)
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
86
x
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
Ф(х)
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
1
2
x
e

z2
2
dz
0
x
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
Ф(х)
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3585
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание приложения 2
x
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
Ф(х)
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
x
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
Ф(х)
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
x
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
87
Ф(х)
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
x
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
Ф(х)
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 3
Таблица значений функции Р( , m) 

mm
0
1
2
3
4
5
6

mm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
m
m!
e 
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,9048
0905
0045
0002
8187
1637
0164
0011
0001
7408
2223
0333
0033
0003
6703
2681
0536
0072
0007
0001
6065
3033
0758
0126
0016
0002
5488
3293
0988
0198
0030
0003
4966
3476
1216
0284
0050
0007
0001
4493
3595
1438
0383
0077
0012
0002
4066
3659
1647
0494
0111
0020
0003
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0498
1494
2240
2240
1681
1008
0504
0216
0081
0027
0008
0002
0183
0733
1465
1954
1954
1563
1042
0595
0298
0132
0053
0019
0006
0002
0001
0067
0337
0842
1404
1755
1755
1462
1045
0653
0363
0181
0082
0034
0013
0005
0002
0025
0149
0446
0892
1339
1606
1606
1377
1033
0689
0413
0225
0113
0052
0022
0009
0009
0064
0223
0521
0912
1277
1490
1490
1304
1014
0710
0452
0264
0142
0071
0033
0003
0027
0107
0286
0572
0916
1221
1396
1396
1241
0993
0722
0481
0296
0169
0090
0001
0011
0050
0150
0337
0607
0911
1171
1318
1318
1186
0970
0728
0504
0324
0194
0001
0005
0023
0076
0189
0378
0631
0901
1126
1251
1251
1137
0948
0729
0521
0347
0,3679
3679
1839
0613
0153
0031
0005
0001
1353
2707
2707
1805
0902
0361
0120
0034
0009
0002
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4
Таблица значений t  t ( , n)

0,95
0,99

0,999
n
0,95
0,99
0,999
2,093
2,064
2,045
2,032
2,023
2,016
2,009
2,001
1,996
1,991
1,987
1,984
1,980
1,960
2,861
2,797
2,756
2,720
2,708
2,692
2,679
2,662
2,649
2,640
2,633
2,627
2,617
2,576
3,883
3,745
3,659
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3,439
3,418
3,403
3,392
3,374
3,291
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
8,61
6,86
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,92
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120

89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...............................................................................................3
Список литературы………………………………………………….4
Тема 1 Введение в математический анализ......................................5
Тема 2 Производная и дифференциал функции.............................12
Тема 3 Приложения производной....................................................18
Тема 4 Неопределенный интеграл...................................................23
Тема 5 Определенный интеграл.......................................................28
Тема 6 Функции нескольких переменных......................................34
Тема 7 Дифференциальные уравнения...........................................41
Тема 8 Основные понятия и теоремы теории вероятностей........45
Тема 9 Повторные независимые испытания..................................54
Тема 10 Случайные величины.........................................................59
Тема 11 Элементы математической статистики............................67
Задачи контрольной работы.............................................................78
Приложение 1....................................................................................84
Приложение 2....................................................................................86
Приложение 3....................................................................................87
Приложение 4....................................................................................89
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наталья Александровна Кривошеева
МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
для студентов заочного отделения, обучающихся
по направлению подготовки 36.03.02 – «Зоотехния»
Компьютерная верстка Н.А. Кривошеевой
Подписано в печать
Бумага Гознак Print
Тираж
Формат 60×84 1/16
Усл. печ. л. 5,6
Заказ №
РИО ПГСХА
440014, г. Пенза, ул. Ботаническая, 30
91
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
128
Размер файла
1 287 Кб
Теги
математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа