close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

интегралы методичка

код для вставкиСкачать
1
Глава 7.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Первообразная функции и неопределенный интеграл.
В прошлой главе мы ввели понятие производной и научились находить
производные элементарных функций. Теперь мы научимся решать обратную задачу, а
именно по известной производной f (x) от функции, найти саму функцию f (x ) .
Определение. Функция F (x) называется первообразной функцией для функции
f (x ) на интервале (a, b) , если F (x) дифференцируема на (a, b) и F ( x )  f ( x) .
Функция x 5 является первообразной для 5x 4 на (,) , т.к.
1
. F ( x )  x есть первообразная для функции f ( x) 
на (0, ) , т.к.
2 x
Примеры.
( x 5 )  5 x 4
( x ) 
1
. Иногда требуется найти первообразную на определенном промежутке,
2 x
поскольку функция может быть не определена на всей числовой оси.
Теорема 1. Если функция непрерывна на каком-нибудь промежутке, то она имеет
на нем первообразную. (Без доказательства)
Теорема 2. Если F (x) - первообразная для функции f (x ) на (a, b) , то F ( x)  C также первообразная, где С – любое число.
Доказательство: Имеем ( F ( x)  C )  F ( x)  f ( x) . 
Теорема 3. Если F1 ( x ) и F2 ( x) - две первообразные для функции f (x ) на (a, b) ,
то они на этом промежутке отличаются на постоянную (т.е. F1 ( x )  F2 ( x)  C ).
Доказательство:
По
условию
F1 ( x)  F2( x)  f ( x) .
Составим
функцию
 ( x)  F1 ( x )  F2 ( x) .
Очевидно,
что
( x )  F1 ( x )  F2 ( x)  f ( x)  f ( x )  0
x  (a, b)   ( x)  C (согласно следствию из теоремы Лагранжа). 
Из данных теорем вытекает что, если F (x) - первообразная для функции f (x ) на
(a, b) , то любая другая первообразная имеет вид  ( x)  F ( x)  C . Например, для
функции f ( x)  3 x 2 первообразной является не только функция x 3 , но и x 3  1 , x 3  4 ,
x 3  12 и т.д.
Определение. Совокупность всех первообразных функции f (x ) на (a, b)
называется неопределенным интегралом от функции f (x ) и обозначается
символом:  f ( x )dx .
 f ( x)dx  F ( x)  C
f (x ) - подынтегральная функция, dx - дифференциал независимой переменной,
f ( x )dx - подынтегральное выражение.
x2
Примеры:  e dx  e  C ;  cos xdx  sin x  C ;  xdx 
C;
2
dx
dx
 x  ln x  C , x  0 ;.  x  ln(  x)  C , x  0 .
x
x
2
Основные свойства неопределенного интеграла.
1º. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, т. е. d  f ( x)dx  f ( x )dx или dF ( x)  f ( x)dx , где F (x) первообразная
функции f (x ) .
2º. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой
функции равен самой этой функции с точностью до постоянной:
 dF ( x)  F ( x)  C или
 F ( x)dx  F ( x)  C .
3º. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
 af ( x)dx  a  f ( x)dx  C , где a  const .
4º. Неопределенный интеграл от суммы двух непрерывных функций равен сумме
неопределенных интегралов от этих функций:
  f1 ( x)  f 2 ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx .
5º. Если F (x) есть первообразная функции f (x ) , то
1
 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C .
Данные свойства вытекают непосредственно из определения неопределенного
интеграла.
На основании определения неопределенного интеграла, правил интегрирования и
таблицы производных основных элементарных функций можно составить таблицу
основных неопределенных интегралов:
x a 1
1.  x a dx 
 C , a  1 .
a 1
dx
2. 
 ln x  C , на интервале не содержащем x  0 .
x
ax
3.  a x dx 
 C ,  e x dx  e x  C .
ln a
4.  cos xdx  sin x  C ,  sin xdx   cos x  C .
dx
dx
2
2
 cos x  tgx  C ,  sin x  ctgx  C .
6.  shxdx  chx  C ,  chxdx  shx  C .
dx
dx
7.  2  thx  C ,  2  cthx  C .
ch x
sh x
5.
dx
8.
 x2  a2
9.


dx
a2  x2
dx
10.
 x2  a2
11.

1
x
1
x
arctg  C   arcctg  C .
a
a
a
a
x
x
 arcsin  C   arccos  C .
a
a

dx
x2  a2
1
xa
ln
C .
2a x  a
 ln x  x 2  a 2  C
3
12.
dx
x
dx

x
 sin x  ln tg 2  C ,  cos x  ln tg  2  4   C .
Методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование функций.
Непосредственным
интегрированием
называется
способ
вычисления
неопределенных
интегралов
с
помощью
тождественных
преобразований
подынтегральной функции и применения свойств 3º-5º.
1
Пример 1.  4 x 3  2 3  1 dx  4  x 3 dx  2 x 3dx   dx  x 4  2  x C
x
x


Пример 2.
x
3 e
2x
3e 
dx   3e  dx 
ln 3e
2 x
2 x
2
C
Интегрирование методом замены переменной (подстановки).
В основе метода лежит утверждение о независимости вида неопределенного
интеграла от выбора аргумента, то есть если  f ( x )dx  F ( x )  C , то для любой
непрерывно дифференцируемой функции u   (x) также существует неопределенный
 f (u )du  F (u )  C .
Доказательство: dF (u )  d  f (u )du   f (u )du
интеграл, причем
(свойство 1º), таким образом
dF (u )
 f (u ) , то есть F (u )  f (u ) и F (u ) является первообразной функции f (u ) .
du
d
Можно также записать
F ( ( x)  d F (u)  dF (u )  du  f (u)u   f ( ( x)) ( x) .
dx
dx
du dx
Таким образом получаем формулу интегрирования подстановкой:
 f (u )du   f ( ( x)) ( x)dx , где u   (x)


u  5 sin x  2 
1
3

 1
1
1 2
Пример 1.  5 sin x  2 cos xdx   du  5 cos xdx    u du   u 2 du   u 2  C
5
5
5 3

1 
cos xdx  du 
5 

Делаем обратную подстановку и таким образом
3
2
 5 sin x  2 cos xdx  15 5 sin x  2  C .
x  5  t 2 


Пример 2.  x x  5dx   x  t 2  5   (t 2  5)  t  2tdt   (2t 4  10t 2 )dt 
dx  2tdt 


5
3
t
t
2
10
 2  10  C  ( x  5 ) 5  ( x  5 ) 3  C .
5
3
5
3


4
Во многих случаях бывает удобно вместо обозначения новой переменной
интегрирования, ввести функцию под знак дифференциала: f ( x)dx  df ( x) . При этом
оказываются полезны следующие соотношения:
1. dx  d ( x  b)
1
6. e kx  de kx
k
2. adx  d (ax  b)
7. cos xdx  d sin x
8. sin xdx   cos xdx
1
3. xdx  dx 2
2
1
dx
4. x a dx 
dx a 1
9.
 dtgx
cos 2 x
a 1
dx
dx
5.  d ln x
10.
  dctgx
x
sin 2 x
xdx
1
dx 2
1 dt
1
1
Пример 3.  4
  2 2
 x2  t   2
 arctgt  C  arctgx 2  C .
x 1 2 (x ) 1
2 t 1 2
2
Заметим, что для любой дифференцируемой функции f (x ) имеем следующие
соотношения:
f ( x)dx
df ( x)
 f ( x)   f ( x)  ln f ( x)  C ;
f ( x)dx
df ( x)
 f ( x )   f ( x)  2 f ( x)  C
Применим первое из данных соотношений для вычисления интегралов от
тригонометрический функций.
sin xdx
d cos x
Пример 4.  tgxdx  
 
  ln cos x  C .
cos x
cos x
cos dx
d sin x
Пример 5.  ctgxdx  

 ln sin x  C .
sin x
sin x
Данные интегралы не являются табличными, но их рекомендуется запомнить, так
как они часто встречаются в задачах.
Интегрирование по частям.


Пусть u (x) и v(x) функции аргумента x , имеющие производные u  и v .
uv   uv  vu   uv  vu dx  uv  C   uvdx   vudx  uv  C
т.к. u dx  du , vdx  dv то
 vdu   udv  uv  C   udv  uv   vdu  C .
Получаем
формулу интегрирования по частям.
 udv  uv   vdu
Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост
для нахождения, нежели исходный. Отметим, что в некоторых случаях данную
формулу необходимо применять несколько раз. Этот метод интегрирования
рекомендуется использовать, когда имеется произведение алгебраического многочлена
Pn ( x )  a0  a1 x  a2 x 2    an x n на одну из следующих элементарных функций:
1. Тригонометрические функции ( sin x , cos x );
2. Трансцендентные функции ( e x , ln x );
3. Обратные тригонометрические функции ( arcsin x , arctgx и т.д.).
5
Возможна также комбинация произведения функций 1-й тип на 2-ой, 2ой на 3- ий ит.д.
Например:  sin x ln xdx ,  arctgx ln xdx .
Порядок применения формулы интегрирования по частям:
1. Выбор u и dv ;
2. Нахождение du и  dv  v (без учета постоянной С).
3. Применение формулы интегрирования по частям.
Поскольку под знаком интеграла стоит обычно произведение 2-х функций, то
иногда бывает трудно сделать выбор u и v . В этом случае можно воспользоваться
простым правилом.
Правило: а) В качестве функции u выбирается та из функций, которая при


дифференцировании упрощается больше. Например:  x  1  1 , sin x   cos x .
Поэтому u  x  1 . б) Если не действует п.а), то в качестве v выбирается та из функций,
которую легче внести под знак дифференциала. Например:  sin x ln xdx .
sin xdx   cos x , но ln xdx  ?. Поэтому dv  sin xdx .
ln x  u 


 du  1 dx 
1
Пример 1.  ln xdx  
x   x ln x   x dx  x ln x   dx  x ln x  x  C .
x
 dx  dv 


 x  v

Пример 2.
 xdx  dv

arctgx  u



x2
x2 1
x2


1
xarctgxdx


arctgx

dx

arctgx


du  1  x 2 dx 
2  2 1  x2
2


x2 

v   xdx  2 
1 x 2  1 1
x2 1 
dx  1 2
 
dx

arctgx
   dx  
  x arctgx  x  arctgx  C .
2
2 1 x
2 2
1 x2  2
Интеграл, приводящийся к самому себе.
Это частный случай применения формулы интегрирования по частям, когда в
результате мы получаем выражение I  uv  aI , a  1 , а I - исходный интеграл. Тогда
uv
получаем, что I 
.
1 a
u  ln x 

ln x
1 
1
Пример 3. I  
dx   ln xd ln x  du  dx   ln 2 x   ln x dx  ln 2 x  I
x
x 
x

v  ln x 



2 I  ln 2 x ; I 
ln 2 x
.
2
Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе.
К такому виду относятся интегралы:

6
dx
dx
; 
;
 bx  c
ax 2  bx  c
mx  n dx
mx  n dx
 ax 2  bx  c ;  ax 2  bx  c .
I.
 ax
II.
2
Интегрирование выражений I – го типа производится путем выделения полного
квадрата в квадратном трехчлене и последующего применения формул табличных
интегралов 8-11.
Напомним, если в интеграле квадратный трехчлен имеет вид ax 2  bx  c , то для
b
c

выделения полного квадрата a выносят за скобки ax 2  bx  c  a x 2  x   и
a
a

затем применяют формулу для приведенного квадратного трехчлена
2
p
p2

x  px  q   x   
q.
2
4

Пример 1.
2
2
2
2
2

dx
3  3
3    3   
3
3


2



x

3
x

3

x



3

x


3


x












 x 2  3x  3 
2  2
2    2   
2
4




d x  32
x  32
dx
2



arctg
C
2
2

2
3
3
3
3


x

x  32   34 
2
4
2


Пример 2.
2

d x2
 4
dx
2    1
 4

2
2
25


4
x

25
x

25
x

x

25

x






 
 4 x  25x 2 

2
2

25
625
25
5




2
2

 

 x
25
25
1
25 x  2
 arcsin
C
5
2
Выражения II-го типа разбиваются на сумму двух интегралов, путем выделения в
числителе производной от трехчлена, стоящего в знаменателе.

Так как ax 2  bx  c   2ax  b , то d 2ax  b   d ax 2  bx  c  и можно записать
2








  

(mx  n )dx
( 2ax  b)dx
dx
d (ax 2  bx  c )
dx

A


B


A

 ax 2  bx  c
 ax 2  bx  c
 ax 2  bx  c  ax 2  bx  c  B   ax 2  bx  c 
 A ln ax 2  bx  c   I тип интеграла. Аналогично можно представить

(mx  n )dx
2
 A 
ax  bx  c
интеграла.
Пример 3.
d ( ax 2  bx  c )
2
ax  bx  c
 B  
dx
2
 A  2 ax 2  bx  c  II тип
ax  bx  c
(x2 )
2x  4

 2

3 dx  3
3 dx 

x

4
x

13

2
x

4

3
 x 2  4 x  13 



2
2
2 x  4 x  13
x  4 x  13

3 2x  4  4  43
3
2x  4
dx
3
1
x2
dx   2
dx  8
 ln x 2  4 x  13  8  arctg
C
2
2

2
x  4 x  13
2 x  4 x  13
3
3
x  2  9 2
3x  2dx


7
Интегрирование рациональных функций.
Qm ( x )
(1);
Pn ( x )
где Qm (x ) и Pn (x ) - целые рациональные многочлены соответственно m-ой и n-ой
Рациональной функцией R( x ) называется дробь вида: R( x ) 
степеней. Qm ( x )  b0 x m  b1 x m 1    bm ; Pn ( x )  a0 x n  a1 x n 1    an .
Если m  n , то R( x ) называется правильной дробью, если m  n - неправильной
дробью.
Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно
представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.
x4  4
 33x  14
Пример 1. 2
 x 2  3x  10  2
x  3x  1
x  3x  1
Таким образом, интегрирование рациональных функций сводится к
интегрированию правильных дробей. Для того, чтобы рассмотреть метод
интегрирования вспомним некоторые свойства многочленов с действительными
коэффициентами.
Pn ( x )  a0 x n  a1 x n 1    an - многочлен n-ой степени. Степенью многочлена
называют максимальную степень при x . Корнем многочлена называют такое число,
подстановка которого обращает многочлен в 0. Рассмотрим виды простейших
многочленов.
I.
Линейный: x  a . Корень многочлена x  a , его нельзя разложить на
множители.
II.
Квадратный трехчлен: x 2  px  q . При наличии действительных корней x1 и x2
можно разложить на множители. x 2  px  q   x  x1 x  x2  .
III.
Многочлены степени n  3 .
Теорема. Всякий многочлен с действительными коэффициентами степени выше
второй может быть представлен в виде произведения линейных и квадратных
сомножителей в виде Pn ( x )  x  a  x  b   x 2  px  q  x 2  rx  s   (2)
где a, b – корни многочлена кратностей соответственно  и . (Если =1, то a – простой
корень, при >1 – a – кратный корень). У квадратных трехчленов действительных
корней нет.




Пример 2. Pn ( x )  x  2 x  1 x  5 x 2  8 x  25x 2  1
x  2 - простой корень; x  1 - корень кратности 2; x  5 - корень кратности 3.
x 2  8 x  25 и x 2  1 - не имеют действительных корней.
Интегрирование рациональных дробей производится путем представления
данных дробей в виде суммы простейших дробей.
Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырех типов:
A
A
1.)
;
2.)
;
xa
x  a k
Mx  N
Mx  N
3.) 2
;
4.) 2
.
x  px  q 
x  px  q k
Интегралы от этих дробей находятся легко.
A
1.) 
dx  A ln x  a  C ,
xa
2
3
4
8
A
C,
1  k x  a k 1
3.) Интеграл, содержащий квадратный трехчлен подробно рассмотрен в
соответствующем разделе.
4.) Выделением производной от трехчлена и приведением к полному квадрату
2.)
A
 x  a 
k
dx 
сводится к виду
 x
dx
2
 a2
n
. Интегралы такого вида находят с помощью
рекуррентной формулы понижения степени знаменателя:


dx
1
x

In   2

 2n  3I n 1  Данную формулу можно
n 1
2 
2 n
2
2
x  a  2n  1a  x  a 

вывести с помощью интегрирования по частям.
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь (1) со знаменателем
представленном в виде (2) , можно разложить в сумму простейших рациональных
дробей типа 1.)-4.). В данном разложении каждому корню a кратности  множителя
( x  a ) соответствует сумма дробей вида
A1
A2
A


, (3)
2
x  a x  a 
x  a 



а каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности  множителя x 2  px  q
соответствует сумма дробей вида
M 1 x  N1
M x  N2
M x  N
 2 2
 2 
. (4)
2
2
x  px  q  x  px  q 
x  px  q
Для вычисления значений A, М, N в разложении функции R(х) на сумму
простейших рациональных дробей часто используют метод неопределенных
коэффициентов, суть которого заключается в следующем. С учетом формул (3), (4)
данную дробь R(х) представим в виде суммы простейших рациональных дробей с
неопределенными коэффициентами А, М, N. Полученное равенство является
тождеством. Поэтому, если привести все дроби к общему знаменателю Pn (x ) в
числителе получим многочлен Qn1 ( x ) степени п—1, тождественно равный многочлену
Qm (x ) , стоящему в числителе выражения (1). Приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях х в этих многочленах, получим систему п уравнений для
определения п неизвестных коэффициентов А, М, N (с индексами).
В некоторых случаях с целью упрощения вычислений можно воспользоваться
следующим соображением. Так как многочлены Qm (x ) и Qn1 ( x ) тождественно равны,
то их значения равны при любых числовых значениях х. Придавая х конкретные
числовые значения получаем систему уравнений для определения коэффициентов.
Такой метод нахождения неизвестных коэффициентов называется методом частных
значений. Если значения х совпадают с действительными корнями знаменателя,
получаем уравнение с одним неизвестным коэффициентом.
Данные методы рассмотрим на примерах.
2x  3
dx
Пример 3. Найти 
x ( x  1)( x  2)
В соответствии с формулой (3) разложение на элементарные дроби имеет вид
9
2x  3
A
B
C
A( x  1)( x  2)  Bx ( x  2)  C ( x  1) x
 


(5)
x ( x  1)( x  2) x x  1 x  2
x ( x  1)( x  2)
Числители подынтегральных функций в левой и правой частях формулы (5) будут
тождественно равными, таким образом приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х в обеих частях тождества, получаем систему уравнений
x2 0  A  B  C


x 2  3 A  2 B  C 

x0  3  2 A

1
решение которой: А =-3/2, В =1, С =1/2.
Теперь найдем коэффициенты разложения методом частных значений. Подставим
в числитель (5) вместо х частные значения, равные корням знаменателя x=0, x=1,
x=2.Получим равенства –3=2A,  1   B , 1  2C . Получим те же значения
коэффициентов. Теперь можно использовать это разложения для нахождения
интеграла.
2x  3
1
12 
3
1
3 2
 x( x  1)( x  2) dx    x  x  1  x  2 dx   2 ln x  ln x  1  2 ln x  2  C
xdx
Пример 4. Найти 
.
( x  1)( x  1) 2
На основании теоремы о разложении правильной дроби в сумму простейших
дробей имеем
 A
xdx
B
C 




 ( x  1)( x  1) 2   x  1 ( x  1) 2 x  1 dx


Приведя дроби в обеих частях последнего равенства к общему знаменателю,
имеем x  A( x  1)2  B( x  1)  C ( x 2  1) . При x  1 и x  1 находим, что 4 A  1 ,
 1  2 B , то есть A  1 4 и B  1 2 . Для нахождения С приравняем коэффициенты при
x2. Получим 0  A  C , то есть C  1 4 . Окончательно имеем
14
12
1 4
xdx
1
1 1
1
 ( x  1)( x  1) 2   x  1 dx   ( x  1) 2 dx   x  1 dx  4 ln x  1  2 x  1  4 ln x  1  C
Пример 5. Найти
xdx
 ( x  1)( x
2
 1)
.
xdx
Mx  N 
A( x 2  1)  ( Mx  N )( x  1)
 A
dx следовательно
 ( x  1)( x 2  1)    x  1  x 2  1 dx  
( x  1)( x 2  1)
x  A( x 2  1)  ( Mx  N )( x  1) . При x  1 получим 1  2 A , то есть. Далее
x2 0  A  M 
 Откуда M   1 2 , N  1 2 .
x0 0  A  N 
xdx
 ( x  1)( x
2
1
1
1
 1 2 1 2 x 1 2 
2
 

dx  ln x  ln x  1  arctgx  C .
2
 1)
x 1 
2
4
2
 x 1
Интегрирование тригонометрических выражений.
I. При нахождении интегралов вида
следующие случаи:
 cos
m
x sin n xdx
m, n   Z
возможны
10
1.) Одно из чисел m или n – нечетное. Тогда производится «отщепление» одной из
нечетных степеней с последующим внесением под знак дифференциала.
2.) Оба числа m и n – четные. Тогда рекомендуется использовать
тригонометрические формулы понижения степени.
1  cos 2 x
1  cos 2 x
sin 2 x 
, cos2 x 
.
2
2
Пример 1.  sin 7 x cos3 xdx   sin 7 x cos2 x cos xdx   sin 7 x (1  sin 2 x )d (sin x ) 
sin 8 x sin 10 x

C.
8
10
«Отщепление» степени лучше производить там, где показатель меньше.
1  cos 6 x
1
1
1
1
Пример 2.  cos2 3 xdx  
dx   dx   cos 6 xdx  x  sin 6 x  C
2
2
2
2
12
В ряде случаев полезны следующие рекуррентные соотношения, позволяющие
понизить показатель степени.
dx
cos x
n2
In   n  

In2
n 1
sin x
(n  1) sin x n  1
dx
sin x
n2
In  


In2
n
n 1
cos x (n  1) cos x n  1
7
9
 (sin x  sin x )d (sin x) 
cos x sin n 1 x n  1

In2
n
n
sin x cosn 1 x n  1
n
I n   cos xdx 

In2
n
n
I n   sin n xdx  
II.
Интегралы
вида
 sin mx sin nxdx ,
 cos mx cos nxdx ,
 sin mx cos nxdx
вычисляются на основании формул тригонометрии:
1
sin  sin   cos(   )  cos(   )
2
1
cos cos   cos(   )  cos(   )
2
1
sin  cos   sin(   )  sin(   )
2
1
1
1
Пример 3.  sin 5 x cos 3xdx   sin 2 x  sin 8 x dx   cos 2 x  cos 8 x  C
2
4
16
n
n
III. Интегралы вида  tg xdx и  ctg xdx вычисляются путем «отщепления»
четной степени и использования тригонометрических формул tg 2 x 
1
1 и
cos2 x
1
 1 . После упрощения подынтегрального выражения пользуются методом
sin 2 x
внесения функции под знак дифференциала или вышеприведенными рекуррентными
соотношениями.
2
2
 1

Пример 4.  tg 5 xdx   tg 4 xtgxdx   tg 2 x  tgxdx   

1
 tgxdx 
2
 cos x 
ctg 2 x 
11

1
 sin x
2

1
2
1 
1
1
  cos 4 x  cos 2 x  1 cos x dx     cos 5 x  cos3 x  cos x d (cos x )  4 cos 4 x  cos 2 x 
x  
 ln tg     C
2 4
IV. Интегралы вида
 R(sin x, cos x)dx ,
где R – рациональная функция, приводятся
к интегралам от рациональных функций новой переменной u с помощью
x
универсальной тригонометрической подстановки tg  u . В этом случае
2
2
1u
2u
2du
cos x 
, sin x 
, dx 
.
2
2
1 u
1 u
1  u2
1
2du (1  u 2 )
du
Пример 5. 
dx  

 ln 1  u  C 
2
2u
1u
1  sin x  cos x
1 u
1

1  u2 1  u2
x
 ln 1  tg  C
2
В случае, когда имеет место тождество R(  cos x, sin x )  R(cos x, sin x ) , для
приведения поынтегральной функции к рациональному виду можно применять
упрощенную подстановку tgx  u . При этом
u
1
du
sin x 
, cos x 
, dx 
.
1  u2
1  u2
1  u2
Пример 6.
dx
du (1  u 2 )
du
1
2u

 3  sin 2 x  3  u 2 (1  u 2 )   3  4u 2  2 3 arctg 3  C
Интегрирование иррациональных функций.
Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с
помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных
функций новой переменной.
I. Интегралы вида
 R ( x,
m
x , n x  )dx
сводятся к рациональной функции
подстановкой x  t N , где N – наименьшее общее кратное (НОК) m и n.
x dx
Пример 1. Найти  4
.
x3  4
Так как НОК(2, 4)=4, то соответствующая подстановка x  t 4 .
2 
x  t 4

 2
x dx
t 2  4t 3dt
 t  4t dt  4 t 3  16 ln t 3  4  C 



4


 4 x3  4 dx  4t 3dt   t 3  4   t 3  4  3 4




44 3
4

x  4 ln x3  4  C
3


 ax  b  n  ax  b 
II. Интегралы вида  R( x, 
 , 
 )dx , где R - рациональная
 cx  d 
 cx  d 
функция, a, b, c, d – постоянные, приводится к интегралу от рациональной функции
m
12
нового аргумента с помощью подстановки
ax  b
 t N , где N – наименьшее общее
cx  d
кратное m и n.
6
x  1dx
. НОК(2, 3, 6)=6.
x 1  3 x 1
6
x  1  t6 
x  1dx
t
t4
1 

5


6
t
dt

6
dt  6  t 3  t 2  t  1 
dt 

3
2


3
5 
t t
t 1
t  1
x  1  x  1 dx  6t dt 

Пример 2. Найти


3
3
 t 4  2t 3  3t 2  6t  6 ln t  1  C  3  x  12  2 x  1  33 x  1  6 6 x  1  6 ln 6 x  1  1  C
2
2
III. Иррациональные функции вида R( x , ax 2  bx  c ) выделением полного
квадрата сводятся к 3-м видам функций, для каждой из которой применяется свой вид
подстановки:
1). R(u, a 2  u 2 ) , подстановка u  a sin t ;
2). R(u, a 2  u 2 ) , подстановка u  atgt ;
a
3). R(u, u 2  a 2 ) , подстановка u 
.
cos t
Пример 3.

u  x  1
2
3  2 x  x 2 dx   4  x  1 dx  
  4  u 2 du

du  dx 
u  2 sin t

1  cos 2t

  4  4 sin 2 t  2 cos tdt  2  cos2 t  2 cos tdt  4  cos2 tdt  4 
dt 

2
du  2 cos tdt 
u
x  1
x 1
x  1


 2t  sin 2t  C  t  arcsin  arcsin
 2  arcsin
 sin  2  arcsin
C

2
2 
2
2 


 x  tgt

dx
dt cos 2 t

Пример 4. 


dt   

2
 tgt  tg 2t  1 
( x 2  1 )( x  x 2  1 ) dx 
2 
tg
t

1
cos t 





dt cos2 t


dt
cos tdt

 ln sin t  1  C
(sin t  1) cos t
sin t  1
(1 cos2 t )(sin t cos t  1 cos 2 t )
Для того чтобы перейти от новой переменной t к переменной x , воспользуемся
1
формулами тригонометрии. Так как x  tgt , то 1  x 2  1  tg 2t 
. Поэтому
cos2 t
1
1
tg 2t
x2
x
2
2
.
cos2 t 

;
sin
t

1

cos
t


; sin t 
2
2
2
2
1  tg t 1  x
1  tg t 1  x
1  x2
Окончательный ответ:
 (x
dx
2
 1)( x  x 2  1 )
 ln
x
1  x2
1  C .
Примечание. В интегралах, содержащих выражение
подстановку Эйлера:
x2  a  t  x .
x 2  a можно применять
13
Теорема Коши. Понятие о «неберущихся» интегралах.
При вычислении неопределенных интегралов возникает вопрос 1) всякая ли
непрерывная функция f ( x ) имеет первообразную, 2) каким образом найти
неопределенный интеграл, если он существует. На первый вопрос отвечает теорема
Коши.
Теорема Коши. Всякая непрерывная функция имеет первообразную.
Или другая формулировка.
Для каждой непрерывной в интервале (a, b) функции f ( x ) существует функция
F (x ) , производная от которой в интервале (a, b) в точности равна данной функции
f ( x ) . F ( x )  f ( x ) .
Однако теорема Коши не утверждает, то первообразную данной функции можно
отыскать с помощью конечного числа известных операций и выразить ответ в
элементарных функциях. Основные способы вычисления интегралов в элементарных
функциях мы рассмотрели ранее. Под «неберущимися» интегралами подразумевают
интегралы, которые не могут быть выражены через конечное число арифметических
операций и суперпозиций элементарных функций.
Например, доказано, что следующие интегралы не интегрируются в
элементарных функциях:
 x2
 e dx - интеграл Пуассона,
2
2
 cos x dx ,  sin x dx - интегралы Френеля,
dx
 ln x - интегральный логарифм,
cos x
dx - интегральный косинус,
x
sin x
 x dx - интегральный синус.
Указанные интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными
функциями. Имеются другие способы для их вычисления. Например, с помощью
разложения в бесконечный степенной ряд. Эти способы будут рассмотрены в одной из
следующих глав.

14
Глава 8.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определенный интеграл.
Определение 1. Пусть на отрезке a, b определена функция y  f ( x ) . Отрезок
a, b разобьем на n частей точками a  x0  x1  x2    xn 1  xn  b (разбиение R).
На любом отрезке xi , xi 1  ( xi , xi 1  - частичный отрезок) выберем по произвольной
точке  i  xi , xi 1  . (Рис 1.) xi  xi 1  xi - длина отрезка. Составим сумму
n
S n   f (i )xi - n -ная интегральная сумма (Римана) функции f на отрезке a, b .
i 1
с1
Геометрический смысл суммы Sn - это есть алгебраическая сумма площадей
прямоугольников, в основании
которых лежат отрезки xi , а
высоты равны f ( i ) . (В том
случае
если
функция
неотрицательна.)
Обозначим через
R  max xi - максимальную
0  i  n 1
длину отрезков xi , xi 1 
разбиения R. Предел (если он
существует), к которому
стремится интегральная сумма
Sn , когда R  0 , называется
определенным интегралом от
Рис. 1.
функции f на отрезке a, b и обозначается как
b
n
lim Sn 
R  0
lim
max x i  0
 f (i )xi   f ( x)dx (1)
i 1
a
a , b - нижний и верхний пределы интегрирования, a, b - отрезок
интегрирования.
Предел (1) называют интегралом Римана и функцию, для которой этот предел
существует называют интегрируемой в смысле Римана.
Данное определение эквивалентно следующему.
Определение 1’. Определенным интегралом от функции f на отрезке a, b
называется число I, удовлетворяющее следующему свойству: для всякого   0 можно
найти число   0 такое, что для любого разбиения R отрезка a, b , у которого
R  max xi   , выполняется неравенство
i
n
Sn  I 
 f ( ) x
i
i
 I 
i 1
при произвольном выборе точек  i  xi , xi 1  .
В случае непрерывных функций понятие определенного интеграла введено Коши.
Говорят, что непрерывная на a, b функция интегрируема в смысле Коши.
15
Непосредственное вычисление определенного интеграла по формуле (1) связано с
рядом трудностей, так как интегральные суммы имеют сложный вид, и найти их предел
нелегко. До XVII века вычисление интегралов являлось трудной математической
задачей. Ньютон и Лейбниц указали общий метод решения таких задач путем сведения
к отысканию первообразной функции.
Вычисление определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
b
 f ( x )dx  F (b)  F ( a) , где F (x ) - есть первообразная от функции
f ( x)
a
Доказательство:
 Пусть R произвольное разбиение a  x0  x1  x2    xn 1  xn  b отрезка a, b .
Запишем F (b)  F ( a )  F ( xn )  F ( xn 1 )  F ( xn 1 )  F ( xn  2 )    F ( x2 )  F ( x1 ) 
n
 F ( x1 )  F ( x0 )   F ( xi )  F ( xi 1 )  (*) . Согласно теореме Лагранжа о среднем
i 1
F ( xi )  F ( xi 1 )  F (i )( xi  xi 1 ) , где  i  xi , xi 1  . Тогда продолжим запись
n
b
n
(*)   F (i )( xi  xi 1 )   f (i ) xi 
  f ( x )dx . 
R 0
i 1
i 1
a
Ограниченность интегрируемых функций.
Теорема. Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена
на нем. (без доказательства).
Основные свойства определенного интеграла.
a
1).
b
 f ( x )dx  0 ;  dx  b  a .
a
a
b
b
2).  Cf ( x )dx  C  f ( x )dx .
a
a
b
3).
b
  f ( x )   ( x )dx   f ( x)dx    ( x )dx .
a
b
4).
b
a
a
a
 f ( x )dx    f ( x )dx .
a
b
5). Если функция f интегрируема на каждом из отрезков a, c  и c, b( a  c  b ),
b
то она интегрируема на a, b и
c
b
 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx .
a
a
c
Интеграл как функция верхнего предела.
Замечание. Обозначение переменной интегрирования в определенном интеграле
никакой роли не играет, то есть
16
b

b
b
f ( x )dx   f (u )du   f (t )dt .
a
a
a
Пусть на отрезке
a, b
задана интегрируемая функция
f ( x ) . Зададим
x
произвольное число x  a, b . Теперь определенный интеграл F ( x )   f (u )du есть
a
некоторая функция от x .
Теорема 1. Если функция f интегрируема на отрезке a, b , то функция
F (x ) непрерывна в любой точке x  a, b .
Теорема 2. Если интегрируемая на a, b функция f непрерывна в точке
x  a, b , то в этой точке существует производная от F .

x

F ( x )  f ( x ) или   f ( x )dx   f ( x ) .
a

На основе вышеприведенного определения приведем еще одно доказательство
формулы Ньютона-Лейбница.
x
a
b
 Так как F ( x )   f (u )du , то F (a )   f (u )du  0 и F (b)   f (u )du .
a
a
a
Согласно теореме 2 F (x ) есть первообразная функции f ( x ) на a, b . Если
 (x ) любая другая первообразная
f ( x ) , то  ( x )  F ( x )  C . То есть
b
 (b)   (a )  F (b)  F (a )   f (u )du . 
a
Приведем примеры простейших случаев применения формулы НьютонаЛейбница.
1
1
x3
1
 1
Пример 1.  x dx 
   0 
3 0 3
 3
0
2


Пример 2.  sin xdx   cos x 0   cos   (  cos 0)   1  ( 1)   2
0
Теорема. (о замене переменной). Имеет место равенство
b

d
f ( x )dx   f ( (t )) (t )dt , где  (t ) - непрерывно дифференцируема на c, d  ,
a
c
a   (c ) , b   (d ) и f ( x ) непрерывна на a, b .
4
Пример 3.
 sin
0
4
3
1
tdt    (1  cos t )d (cos t )  x  cos t     (1  x 2 )dx  0
2
0
1
Верхний и нижний пределы в интеграле с новой переменной получены из условия
cos 0  1 и cos 4  1 .
Теорема. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного
b
интеграла
b
b
 u( x )v( x )dx  u( x )v( x )   u( x )v( x )dx ,
a
a
дифференцируемые на a, b функции.
a
где
u, v -
непрерывно
17

Пример 4.

u  x , du  dx


x
cos
xdx


x
sin
x

dv  cos xdx , v  sin x 
0
0 sin xdx 
0



 0  cos 0   cos   cos 0  1  1  2
Теорема о среднем.
Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению
длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при
b
некотором промежуточном значении аргумента, то есть
 f ( x )dx 
f ( c )  (b  a ) ,
a
c  a , b.
Доказательство:  На основании формулы Ньютона-Лейбница
b
 f ( x )dx  F (b)  F ( a) , где F ( x )  f ( x) .
a
По теореме Лагранжа о конечных приращениях функции
F (b)  F ( a )  F (c )  (b  a )  f ( c )  (b  a ) , так как F ( c)  f (c ) 
Геометрический смысл формулы. При f ( x )  0 формула показывает, что
криволинейная трапеция oABb (рис.2) имеет площадь равную некоторому
прямоугольнику oPQb . Высота f (c ) этого прямоугольника
носит название среднего значения функции f ( x ) на
b
1
промежутке a, b . То есть   f ( c ) 
f ( x )dx .
b  a a
Следствие.
Если
m  min f ( x ) ,
a xb
M  max f ( x ) ,
a xb
то
m  f ( x )  M и при a  b из теоремы о среднем следует
b
Рис. 2.
m  (b  a )   f ( x )dx  M  (b  a ) . (Данное свойство позволяет
a
оценить величину определенного интеграла.)
Теорема. При b  a , интеграл от неотрицательной функции, есть число
неотрицательное.
 Так как f ( x )  0 и a  b  b  a  0  (по теореме о среднем) интеграл от
неотрицательной функции есть число неотрицательное. 
Теорема. Неравенство между непрерывными функциями модно интегрировать
почленно при условии, что верхний предел больше верхнего. То есть если b  a и
b
b
f ( x )  g ( x )   f ( x )dx   g ( x )dx .
a
a
b
Доказательство: 
b
b
 f ( x)dx   g ( x)dx    f ( x )  g ( x)dx
a
a
a
Так как в последнем интеграле подынтегральная функция f ( x )  g ( x )  0 то
b

a
b
f ( x )dx   g ( x )dx  0 
a
18
Приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
Задача 1. Найти площадь криволинейной трапеции
(рис. 3.), ограниченной дугой графика функции y  f ( x ) ,
отрезком a  x  b оси ОХ и двумя вертикалями x  a ;
x  b.
На основании геометрического смысла интеграла
b
S   f ( x )dx
Рис. 3.
a
Пример 1. Вычислить площадь одной волны
синусоиды y  sin x 0  x    . (Рис 4.)


S   sin xdx   cos x 0  2
0
Рис. 4.
Задача 2. Найти площадь области, ограниченной
графиками непрерывных функций y  f1 ( x ) и
y  f 2 ( x ) , f1 ( x )  f 2 ( x ) и двумя прямыми x  a ,
x  b . (рис 5)
Искомую площадь можно рассматривать как
разность двух криволинейных трапеций.
b
b
b
S   f 2 ( x )dx   f1 ( x )dx    f 2 ( x )  f1 ( x )dx
a
a
a
Пример 2. Вычислить площадь фигуры
ограниченной линиями y  3 x  x 2 и y   x .
Находим точки пересечения данных кривых и
строим искомую фигуру (рис. 6):
y  3x  x 2   y   x
 x1  0  x2  4
и 
.


2
y  x
 y1  0  y 2  4
  x  3x  x
Следовательно
4
Рис. 5.
4
4
x3
32
S   (3x  x  (  x ))dx   (4 x  x )  2 x 

.
3 0
3
0
0
Замечание. Если кривая, ограничивающая криволинейную
трапецию (рис 4), задана параметрическими уравнениями
x   (t ) , y   (t ) , то площадь криволинейной трапеции
2
2
2

S    (t ) (t )dt , где  и
Рис. 6.

определяются из уравнений

 ( )  a ,  (  )  b .
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
x2 y2

 1.
a 2 b2
19
Запишем параметрическое уравнение эллипса: x  a cos t , y  b sin t . С учетом
a
0
 2
симметрии фигуры получаем S  4  ydx  4  a sin t ( b sin t )dt 4ab  sin 2 tdt 
 2
0
 2
 4ab 
0
0
 2
1  cos 2t
 1

dt  2ab t  sin 2t   ab .
2
 2
0
Площадь в полярных координатах.
Задача. Найти площадь
S сектора ОАВ,
ограниченной данной линией   f ( ) и двумя лучами
   ,    (Рис. 7.) где  и  - полярные
координаты.
Для решения задачи разобьем сектор ОАВ на
секторы лучами
   0  1   0   n 1   n   .
Элемент n -ного сектора можно приближенно считать
круговым сектором, ограниченным окружностью
радиуса
 i  f ( i ) . Площадь такого сектора
Рис. 7.
1 2
 i  i . Чтобы получить общую площадь суммируем площади всех полученных
2

n
1 n 2
1
секторов. S   S i    i  i 
   2 d .
 i  0
2 i 1
2
i 1
Таким образом, получаем формулу для вычисления площади в полярных

1
координатах: S    2 d
2
S i 
Пример 4. Вычислить площадь фигуры ограниченной
кардиоидой   a (1  cos ) (Рис. 8)
Учитывая симметрию фигуры можно записать



1
2
2
2
S  2    d   a 1  cos   d  a  1  2 cos   cos 2  d 
20
0
0



1  cos  
1

3

a    2 sin  0  
d   a 2    2 sin   sin 2  
2
4
2
0

0

2
Рис. 8.
3 2
a
2
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной
дугами окружностей r  2a sin  и r  2a cos  .

Окружности пересекаются при   ; рассматриваемая
4

фигура (Рис. 9) симметрична относительно луча   ,
4
следовательно, ее площадь можно вычислить так:

Рис. 9.
20
1
S  2
2
 4
 4a
 4
2
2
sin d  2a
0
2
 (1  cos 2 )d 
0
 4
1




 2a 2    sin 2     1  a 2
2

0
2

Вычисление объемов тел вращения.
Пусть Г есть кривая y  f (x ) , a  x  b . Вычислим
объем тела вращения, ограниченного плоскостями x  a и
x  b и поверхностью вращения кривой Г вокруг ОХ. (Рис.
10)
Производим разбиение отрезка a, b на части
a  x0  x1  x2    xn 1  xn  b
Считаем, что элемент объема V тела ограниченного
x  xi 1 приближенно равен объему цилиндра высоты
Рис. 10.
плоскостями
x  xi
и
xi  xi 1  xi , радиуса yi  f ( xi ) . То есть Vi  y i2 xi  f 2 ( xi )xi .
n 1
Величина Vn    f 2 ( xi )xi приближенно выражает V и переходя к пределу
i 0
b
n 1
2
имеем V  lim   f ( xi )xi    f 2 ( x )dx . Мы получили формулу объема тела
max xi 0
i 0
a
вращения. Аналогично можно получить формулу объема тела вращения вокруг оси ОУ.
d
V     2 ( y )dy .
c
Пример 5. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси
Oy фигуры, лежащей в плоскости Oxy и
ограниченной линиями y 2  4  x , x  0 .
Очевидно (Рис. 11), что
d
2
2
2
2 2
V y    x dy    ( 4  y ) dy  2  (4  y 2 ) 2 dy 
c
2
0
2
2

8
y5 
 2  (16  8 y  y )dy  2 16 y  y 3 
 
3
5  0

0
64 32  512

2  32 
 
  107,23
3
5  15

2
Рис. 11.
4
Длина дуги кривой.
Определение. Под длиной дуги АВ
понимается предел, к которому стремиться
длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,
когда число звеньев ломанной возрастает
неограниченно, а длина наибольшего звена ее
стремиться к нулю.
Рис. 12.
21
Кривая называется гладкой, если она непрерывна и в каждой точке имеет касательную
непрерывно меняющую свое положение от точки к точке.
Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y  f (x ) , a  x  b . Впишем
в данную гладкую кривую ломаную линию A  M 0 M 1 M 2  M n 1 M n  B . (Рис. 12)
Проектируя точки M i на Ox получим разбиение отрезка
a, b на n частей a  x0  x1  x2    xn 1  xn  b .
Рассмотрим i -тое звено ломаной M i , M i 1  . (Рис. 13) yi приращение функции f ( x ) на xi .
li  M i M i 1  xi2  yi2
Согласно теореме Лагранжа yi  xi  f (i ) ,  i  xi , xi 1  .
Тогда li  M i M i 1  1   f ( i )  xi , а длину всей
ломаной можно получить суммируя все ее звенья.
2
Рис. 13.
n 1
l   1   f ( i ) 2 xi . Перейдем к пределу, считая, что наибольшее звено стремиться
i 0
к нулю.
n 1
l  lim
 xi  0

i 0
b
1   f ( i ) 2 xi l   1   f ( x )  dx
2
a
Пример 6. Найти длину дуги кривой y 
2 3
x между точками с абсциссами
3
x1  3 и x 2  8 .
8
Согласно формуле имеем l   1 
3
8
 x  dx  
2
3
3
1  x  2
1  x dx 
32
8

3
38
.
3
Случай параметрически заданной кривой.
 x   (t )
Если линия задана в параметрическом виде, то есть 
t1  t  t 2 , где  (t )
 y   (t )
и  (t ) непрерывно дифференцируемые на отрезке t1 , t2  функции.
При стремлении длины отрезка ломаной к нулю можно считать, что li  dl , то
есть дифференциалу дуги. Тогда также xi  dx , y i  dy соответствующие
дифференциалы. Тогда можно записать li  M i M i 1  xi2  y i2  dl  dx 2  dy 2 .
Это формула для вычисления дифференциала дуги. Тогда l   dl .
Так как dx   (t )dt и dy   (t )dt , то
dl 
 (t )dt 2   (t )dt 2

 (t ) 2   (t ) 2 dt
и
t2
l
 (t ) 2   (t ) 2 dt
t1
 x  a cos3 t
Пример 7. Найти длину дуги астроиды 
. (Рис. 14.)
3
 y  a sin t
22
x (t )  3a cos 2 t sin t , y (t )  3a sin 2 t cos t
l

4
 2
 3a

9a 2 cos 4 t sin 2 t  9a 2 sin 4 t cos 2 t dt 
0
 2
 2
 cos t sin tdt  3a  sin td sin t  
0
 3a
Рис. 14.
0
sin 2 t
2
 2

0
3a
l  6a
2
Длина дуги в полярных координатах.
Выведем сначала дифференциал dl дуги в полярных координатах. Из
2
2
2
предыдущего раздела известно, что dl   dx   dy  , где х н у— прямоугольные
декартовы координаты точки дуги.
Как известно, формулы перехода от полярных координат  и  к
прямоугольным х и у следующие: x   cos  , y   sin  . Тогда
dx  x ( )d  (   cos    sin  )d
dy  y ( )d  (  sin    cos  )d .
dl 
2
Возведя в квадрат и складывая, получим
 (   2 cos2   2   cos sin    2 sin 2    2 sin 2   2   cos  sin  
  2 cos2  )(d ) 2  (   2   2 )(d ) 2
Следовательно, dl    2   2 d . (1)
Для того чтобы найти длину дуги непрерывно
дифференцируемой кривой
   ( ) между точками А и В (Рис. 15) необходимо
проинтегрировать равенство (1) в пределах от    до
.

l    2   2 d
Рис. 15.

Пример 8.. Вычислить полную длину дуги кардиоиды (Рис. 8. )   a (1  cos ) .
   a sin 


1
l   a 2 (1  cos )2  a 2 sin 2  d  a  1  2 cos  cos2   sin 2  d 
2
0
0


 a  2(1  cos )d a 
0
0





2  2 sin d a  2 sin d  4a cos
 4a
2
2
20
0
2
l  8a
Физические и механические приложения определенного интеграла.
Одно из основных применений определенного интеграла – для вычисления
работы переменной силы.
23
Задача. Найти работу А непрерывной переменной силы F(x), приложенной к
материальной точке М, при перемещении последней вдоль оси Ох из положения x  a
в
положение x  b , предполагая, что направление силы
совпадает с направлением перемещения.
Пусть точка М переместилась
Рис. 16
из положения х в положение х +
dx (Рис. 16.). На бесконечно
малом промежутке x, x  dx  длины dx силу F(x) приближенно можно считать
постоянной. Поэтому элементарная работа силы равна
dA  F ( x )dx
Интегрируя данное выражение в пределах от х=а до х=b, получим всю работу
b
A   F ( x )dx
a
Кроме того, определенный интеграл применяется для вычисления некоторых
механических величин, таких как: статистические моменты, моменты инерции и
координаты центра масс.
Несобственный интеграл.
b
При определении интеграла
 f ( x)dx
предполагалось, что 1) промежуток
a
интегрирования a, b конечен и 2) подынтегральная функция f ( x ) - определена и
непрерывна на a, b . Иногда от одного (или обоих) этих предположений можно
отказаться в этом случае интеграл имеет название несобственный интеграл.
I. Интеграл по бесконечному промежутку.
Определение. Пусть функция f ( x ) задана и непрерывна на полуинтервале
B
a  x   . Тогда для любого x  B существует интеграл
 f ( x )dx . Если существует
a
B
предел
lim
B  
 f ( x )dx ,
то этот предел называют несобственным интегралом с
a
бесконечным верхним пределом интегрирования функции f ( x ) на интервале a ,   и
записывают в виде
B

 f ( x)dx 
a
lim
B  
 f ( x )dx .
a
При этом говорят, что интеграл сходится. В противном случае (предел не
существует или равен  ) говорят, что он расходится или не существует как
несобственный интеграл.
24
Примеры.
B

1.
 cos xdx 
0
lim
B  
 cos xdx  lim sin B
B  
0
-Предела нет. Несобственный интеграл не
существует.

2.
 2 xdx  x
2 
0
  - Несобственный интеграл расходится.
0
B
B

dx
dx
 1
 1

3.  2  lim  2  lim     lim    1  1 Интеграл сходится.
B


B


B


x
x
 x 1
 B

1
1
B
Утверждение: Если f ( x )  0 , то интеграл
 f ( x )dx возрастает вместе с В.
a
B
Доказательство: Пусть B   B , так как
 f ( x)dx  0 (интеграл от положительной
B
B
функции), то
B
B
B
 f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx 
a
a
B
a
Известно,
переменная
что
имеет
всякая
предел
возрастающая
(конечный
или
бесконечный), то есть при f ( x )  0 интеграл

 f ( x)dx
имеет (конечное или бесконечное
a
числовое
Рис. 17.
значение.
Геометрически
–
это
площадь фигуры, ограниченной слева прямой
x  a , снизу осью Ox , сверху графиком y  f ( x ) и неограниченно простирающейся
направо. (Рис. 17.)
Пусть F (x ) первообразная для f ( x ) , тогда
B

 f ( x)dx 
a
lim
B  
 f ( x)dx 
a
lim F ( B )  F (a ) . Если ввести обозначение
B  
lim F ( x )  F (  ) , то приходим к обобщенной формуле Ньютона-Лейбница
x  

 f ( x)dx F (  )  F (a )
a

Мы подробно рассмотрели вычисление интеграла
 f ( x)dx . Аналогично можно
a
определить интегралы с бесконечным нижним пределом и с обоими бесконечными
пределами:
25
b
b

f ( x )dx  lim
A  

 f ( x )dx и
A
c

 f ( x )dx 

lim
A  

 f ( x )dx 
A
lim
B  

 f ( x )dx , где    c   .
c
0

1
1
1
0
dx  lim 
dx  lim arctgx A  
2
2
  1  x 2 dx  Alim

  1  x
B   1  x
A 
A
0
Пример 4.
B
 lim arctgx 0  lim (arctg 0  arctgA)  lim ( arctgB  arctg 0) 
B  
A  
II.
B  
 
 
2 2
Интегралы от неограниченных функций.
Допустим, что отрезок a, b - конечен, но функция f ( x ) не ограничена на нем, а
стремится к бесконечности при приближении к одной из особых точек c1 , c2 ,cn .
Рассмотрим сначала одну особую точку x  b . Во всех остальных точках функция
f ( x ) непрерывна. Пусть точка  такова, что a    b , тогда на отрезке a,  

определен интеграл


f ( x )dx . Если существует предел lim  f ( x )dx , то несобственный
 b
a
a
интеграл от разрывной функции существует (сходится). В противном случае интеграл
расходится.
Аналогичным образом можно рассмотреть интеграл с особой точкой x  a .
Примеры.
1
1
1
1
1
5.  dx  lim  dx  lim ln x    . Интеграл расходится.
 0 x
 0
x
0
0
1
1
1
1
1
dx  lim 2 x  2 . Интеграл сходится.
0 x dx  lim

0
 0

x
0
Если обе точки a и b - особые, то интеграл определяется как сумма
6.
b

a
c
b
f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx , где a  c  b .
a
c
Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках.
Пусть f ( x ) непрерывна всюду на a, b кроме точек c1  c2    cn , лежащих
между a и b . (То есть f (x )   при x  ci .) Тогда под интегралом от a до b
понимается сумма
b
c1
c2
b
 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx    f ( x )dx .
a
a
c1
cn
Если не учитывать неограниченность функции на отрезке интегрирования можно
получить ошибочное значение интеграла.
Пример.
Применим
формулу
Ньютона-Лейбница
для
интеграла
1
1
1
1
1 x 2 dx   x 1  2 . Полученный результат неверен, поскольку подынтегральная
функция положительна.
26
Ошибка получена, так как не учтено, что не отрезке интегрирования  1, 1
1
существует особая точка x  0 , в которой функция f ( x )  2 неограниченна.
x
Необходимо вычислить данный интеграл как несобственный, а именно:
1
0

1

1
1
1
1
1
1
1
 1
 1
dx  lim  2 dx  lim     lim     
1 x 2 dx  1 x 2 dx  0 x 2 dx  lim
 0  x 2
 0 x
 0


0
 x  1
 x 
1

Приближенное вычисление определенных интегралов.
Часть интегралов ,как уже было сказано, не имеют первообразных в
элементарных функциях, поэтому для их нахождения применяют приближенные
вычисления.
I.
Формула трапеций.
b
Чтобы
приближенно
вычислить
интеграл
 f ( x )dx
воспользуемся
его
a
геометрическим смыслом. Как известно такой интеграл представляет собой площадь
криволинейной трапеции ограниченной линией y  f (x ) , осью Ox и двумя прямыми
x  a и x  b (рис. 18 ).
отрезок a, b на
ba
n частей длины h 
. ( h - шаг
n
разбиения.) x1 , x2 ,  x n - абсциссы
точек деления и
y1 , y 2 ,  y n соответствующие ординаты кривой.
Имеем
расчетные
формулы: yi  f ( xi ) ,
где
Рис. 18.
xi  x0  ih .
( i  0, 1, , n ).
В
результате построения наша криволинейная трапеция разбилась на ряд вертикальных
полосок одной и той же ширины h , каждую из которых приближенно можно принять
за трапецию. Суммируя площади этих трапеций, будем иметь:
b
y 
y
a f ( x )dx  h 20  y1  y2    yn 1  2n  (Формула трапеций.)
Разобьем
1
Пример 1. Вычислить приближенно

1  x 2 dx  I .
0
Разобьем промежуток интегрирования на 10 частей ( n  10 ), следовательно
h  0,1 .
Абсциссы точек деления xi и соответствующие им ординаты yi  1  xi2 ,
запишем в таблице. Причем для удобства в начальной и конечной точке умножим
1
значение на
2
.
27
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
yi
0,5000*
1,0050
1,0198
1,0440
1,0770
1,1180
1,1662
1,2207
1,2806
1,3454
0,7071*
10
Находим
y
i
 11,4838 . И по формуле трапеций имеем I  1,148 . Точное
i 0
значение этого же интеграла, полученное по формуле Ньютона-Лейбница
1
1
I
2  ln(1  2 )  1,1479 .
2
2
П Формула Симпсона
.
Более точную формулу можно получить, если профиль криволинейной полоски
считать параболой, а не прямой линией как в формуле трапеций. В этом случае можно
получить формулу Симпсона:
b
ba
a f ( x )dx  3n  f ( a )  2 f (a  2h)    f (a  (n  2)h) 
 4 f ( a  h )    f (a  ( n  1)h   f (b), h 
1
Пример 2. Вычислить приближенно
1
1 x
2
ba
.
n
dx  I .
0
Промежуток интегрирования разбиваем на 10 частей ( n  10 ), h  0,1 .
В таблицу запишем абсциссы точек деления xi и соответствующие им ординаты
1
yi 
.
1  xi2
i
xi
yi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,00000
0,99010
0,96153
0,91743
0,86206
0,80000
0,73529
0,67114
0,60975
0,55249
0,50000
28
Отдельно суммируем значения yi , стоящие на четных местах
 (четн)  0,96153  0,86206  0,73529  0,60975  3,16863 и на нечетных местах
 (нечетн)  0,9901  0,9173  0,8  0,67114  0,55249  3,93116
1
1,0  2  3,16863  4  3,93116  0,5  0,78537
30
1
1

Точное значение интеграла 
dx   0,7853 .
2
1 x
4
0
I
Автор
reshim.su
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
894
Размер файла
1 431 Кб
Теги
интеграл, методичка
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа