close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3 интеграла

код для вставки
1.  artg xdx
Решение.
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
 udv  u  v   vdu , где u  u(x) , v  v(x) - дифференцируемые функции.

u  artg x
 artg xdx  
dv  dx v  x
 x  artg x  
du 
1

dx 
1
dx 
2(1  x) x   x  artg x   x
2(1  x) x

Сделаем замену
x
t  2t
dx 
 x  artg x  
dt 
2
2(1  x)
2(1  t 2 )
x  t  x  t  dx  2tdt
t2
1  t 2 1
1
dt

x

artg
x

dt  x  artg x   dt  
dt 
2
2

1 t
1 t
1 t 2
 x  artg x  t  arctgt  C  x  artg x  x  arctg x  C
 x  artg x  
Ответ:  artg xdx  x  artg x  x  arctg x  C
2.  ex sin3xdx
Решение.
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
 udv  u  v   vdu , где u  u(x) , v  v(x) - дифференцируемые функции.
Обозначим  e sin3xdx  P
x
du  3cos3xdx x
u  sin3x
x
x
x
P   ex sin3xdx  
  e  sin3x   e  3cos3xdx  e  sin3x  3 e cos3xd
x
x
dv

e
dx
v

e


du  3sin3xdx x
u  cos3x
x
x

  e  sin3x  e  cos3x   e  (3sin3x)dx 
x
x
dv  e dx v  e


 ex  sin3x  ex  cos3x  3 ex  sin3xdx  ex  sin3x  ex  cos3x  3P  C
Получили уравнение, из которого найдем P :
P  ex  sin3x  ex  cos3x  3P  C ;
P  3P  ex  sin3x  ex  cos3x  C ;
4P  ex  sin3x  ex  cos3x  C ;
P
ex  sin3x  ex  cos3x
 C1 ;
4
Таким образом,
x
x
Ответ:  ex sin3xdx  e  sin3x  e  cos3x  C1
4

3.  ctg 4 (2x)dx
Решение.
Воспользуемся формулой ctg 2 
1
1 :
sin2 


1
4
2
2
2
ctg
(2
x
)
dx

ctg
2
x

ctg
2
x
dx


1





2


  sin  2x   ctg  2x  dx 
 ctg 2  2x 

ctg 2  2x 
2
   2
 ctg  2x   dx   2
dx   ctg 2  2x  dx 
sin  2 x 
 sin  2 x 





1
1
2
ctg
2
x
d
ctg
2
x


1







  sin2  2x  dx 
2
1
1 d  2x 
ctg 2  2x  d  ctg  2x     2
 dx 

2
2 sin  2x  
По таблице интегралов:


 1
 u du  u  C;



 1
1 1
1

   ctg3  2x      ctg  2 x   x  C 

du
2 3
2
 2   ctg u  C;

 sin u

 du  u  C



1
1
 ctg  2 x   ctg3  2 x   x  C.
2
6
Ответ:
1
1
ctg  2x   ctg3  2x  x  C.
2
6
Автор
cvetlana-v
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
32
Размер файла
59 Кб
Теги
интеграл
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа