close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Линейная Алгебра методы новое

код для вставки
Задание № 1. Решить систему алгебраических уравнений:
1) по правилу Крамера.
2) методом Гаусса.
3) Матричным способом.
 x1  x 2  x 3  5,

 x1  2 x 2  2 x 3  8,
 2 x  3 x  x  3.
2
3
 1
Решение.
1) Рассмотрим решение системы линейных уравнений первым способом: методом
Крамера.
Пусть А - матрица коэффициентов при неизвестных, Х - матрица – столбец неизвестных и
В- матрица – столбец свободных членов:
1

A 1

2

1
 x1


2 ; Х=  x 2

 x
1 
 3
1
2
3

5

 
 ; B  8 .

3
 

Найдем определитель системы  = A .

1
1
1
=A= 1
2
2 = 1  2  1 - 1  2  3 - 1  1  1 + 1  2  2 + 1  1  3 - 1  2  2 = -2
2
3
1
Так как   0, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.
Вычислим определители матриц  x ,  x ,  x , полученных из матрицы А, заменой
1
2
3
соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:
5
1
1
 x1  8
2
2 = 5  2  1 + 1  2  3 + 1  8  3 - 1  2  3 - 5  2  3 - 1  8  1 = -4
3
3
1
1
5
1
 x2  1
8
2  1  8  1 + 5  2  2 + 1 1  3 - 1  8  2 - 1  2  3 - 5 1 1 = 4
2
3
1
1
1
5
 x3  1
2
8  1  2  3 + 1  8  2 + 5  1  3 - 5  2  2 - 1  8  3 - 1  1  3 = -10
2
3
3
.
Теперь по формулам Крамера
x1 
 x1


4
2
 2 ; x2 
 x2


4
2
  2 ; x3 
 x3


 10
2
 5,
т.е. решение системы  2;  2; 5  .
2) Рассмотрим решение системы
линейных уравнений вторым способом: методом Гаусса.
Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Число неизвестных
данной системы n  3 .
1

A  1
2

1
2
3
1 5 1
 
2 8  ~ 0
1 3   0
1
1
1
5  1
 
1 3  ~ 0
 1  7   0
1
1
1
0
5  1
 
1 3  ~ 0
 2  10   0
1
1
1
0
1 5

1 3 .
1 5 
Матрица A приведена к треугольному виду, ее определитель 0, следовательно, ранг
матрицы А равен 3 (r(A)=3). Но так как матрица A входит в расширенную, то в
расширенной матрице также выделен минор 3-го порядка 0 (этот минор совпадает с
определителем матрицы А), и ранг расширенной матрицы также равен 3, т.е. r(A)=r ( A ) =3.
А так как ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы и он равен числу
неизвестных в этой системе, то система совместна и имеет единственное по теореме
Кронекера – Капелли.
 x1  x 2  x 3  5,

 x 2  x 3  3,

x 3  5.

x3  5 ,
x2  5  3 ,
x2  3  5 ,
x2   2 ,
x1  2  5  5 ,
x1  5  2  5 ,
x1  2 .
Рассмотрим решение системы линейных уравнений третьим способом: матричным.
Левую часть системы можно записать в виде произведения матриц А·Х, а правую – в виде
матрицы В. Следовательно, имеем матричное уравнение
А·Х=В.
( )
3)
1

где A   1
2

1
2
3
1
5

 
2 , B  8

 
3
1 
 
Решить матричное уравнение - это значит найти неизвестные матрицы X , т.е. найти все
элементы этой матрицы таким образом, чтобы при подстановке их в уравнение (  ) они
обратились в верное равенство.
При решении матричных уравнений поступают так же, как при решении алгебраических,
т.е. преобразуют уравнения так, чтобы получить при неизвестном коэффициент, равный 1.
Так как нет действия деления матриц, а роль единицы у матриц играет единичная
матрица, то вся задача сводится к тому, чтобы получить при неизвестных матрицах
единичные, а для этого нужно использовать обратную матрицу.
Для получения единичной матрицы при X нужно умножить обе части уравнения (  ) на
A-1, а так как произведение матриц не подчиняется коммутативному закону, то A и A -1
должны быть рядом, поэтому можно умножить обе части уравнения (  ) на A-1 слева:
1
A
A X  A
 
1
B  E X  A
1
B
, так как EX=X, то получим формулу для решения
E
матричного уравнения (  ) : X =A-1B .
Найдем матрицу, обратную матрице А, зная что, определитель матрицы A = - 2  0 .
Найдем присоединенную матрицу для A. Алгебраические дополнения находятся для
строк, а пишутся в столбцы, т.е. сразу производится транспонирование матрицы
алгебраических дополнений, используя формулу A ij  (  1) i  j  M ij .
A11 
2
2
3
1
A21  
A31 
 2  6  4 ;
1
1
3
1
1
1
2
2
A12  
  1  3   2 ; A22 
 22  0;
1
2
2
1
1
1
2
1
A32  
 1  2  1 ;
1
1
1
2
 4

Присоединенная матрица A *   3
 1

  (1  4)  3 ;
1
1
1
2
2
3
A23  
   2  1   1 ;
2
A13 
A33 
 3  4  1 ;
1
1
2
3
1
1
1
2
  3  2   1 ;
 2 1  1 .
0 

1 .

1 
Найдем обратную матрицу по формуле:
A
1
 4
1 


3

 2 
 1
A*
2
1
1

 2
0  
3

1   
  2
1  
1

 2
1
1
2
1
2

0 

1 
.
2 
1
 
2
Делаем проверку:
A
1
 4
1 
A
3
 2 
 1
 2
1 

0
 2 
 0
0
2
0
2
1
1
0  1
 
1  1
 
1   2
0  1
 
0  0
 
 2   0
0
1
0
1
2
3
1
 4  2  0
1 

2 
3 1 2
 2 


1
 1  1  2
4  4  0
323
1  2  3
4  4  0 

3  2 1 

1  2  1 
0

0 .

1 
Найдем X по формуле:
 4
1 
3
X= A B 
 2 
 1
-1
2
1
1
0  5
  20  16  0 
 4   2 
1 
1 
  

 

1  8 
15  8  3

4
 2
   2 
 2 
 

 5  8  3 
  10   5 
1   3 



 

Чтобы убедиться в правильности решения, нужно сделать проверку, подставив
найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в
верные равенства.
 x1  x 2  x 3  5,

 x1  2 x 2  2 x 3  8, 
 2 x  3 x  x  3.
2
3
 1
 2  2  5  5,

 2  2  2  2  5  8, 
 2  2  3  2  5  3.

 5  5,

 8  8,
 3  3.

 x1   2 , x 2  2 , x 3  5 .
Автор
cvetlana-v
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
14
Размер файла
116 Кб
Теги
линейная, метод, алгебра, новое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа