close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

14.Вестник Ишимского государственного педагогического института им. П.П. Ершова №4 (10) Естественные науки 2013

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
ВЕСТНИК
ИШИМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
ИМ. П. П. ЕРШОВА
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
ISSN 2305-1663
№ 4(10) / 2013 Серия «Физико-математические науки
и методика их преподавания»
Журнал издается
с 2012 года
Свидетельство о регистрации ПИ № ФС77-49979
от 06 июня 2012 г.
Научно-редакционный совет журнала
Т. С. Лукошкова, доц., канд. филол. наук,
З. Я. Селицкая, доц.,канд. филол. наук,
Л. И. Каташинская, доц., канд. биол. наук,
Е. В. Ермакова, доц., канд. пед. наук,
Е. П. Горохова, зав. издат. отд.,
Л. Б. Гудилова, начальник отд. ИБО,
В. В. Панин, канд. филол. наук,
Е. И. Попова, доц., канд. пед. наук
А. И. Куляпин, проф., д-р филол. наук,
С. Н. Синегубов, проф., д-р ист. наук,
О. А. Поворознюк, доц., канд. пед. наук,
И. К. Цаликова, доц., канд. филол. наук,
А. Ю. Левых, доц., канд. биол. наук,
С. А. Еланцева, доц., канд. псих. наук,
Редакционная коллегия серии
«Физико-математические науки и
методика их преподавания»
А. Г. Обухов, проф., д-р физ.-мат. наук,
(Тюмень),
В. А. Далингер, проф., д-р физ.-мат. наук,
(Омск),
Н. С. Гусельников, проф., канд. физ.-мат.
наук, (Ишим),
В. Н. Алексеев, доц., канд. физ.-мат. наук,
(Ишим),
О. Н. Бердюгина, доц., канд. пед. наук,
(Тюмень).
Физико-математические науки и методика их преподавания
Главный редактор (ректор «ИГПИ
им. П.П. Ершова») С.П. Шилов, проф.,
д-р. ист. наук.
Зам. главного редактора (председатель
научно-редакционного совета)
Л.В. Ведерникова, проф., д-р пед. наук.
Ответственный редактор
Е.В. Ермакова, доц., канд. пед. наук.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
2
СОДЕРЖАНИЕ
Статьи
Research Papers
Алексеев В.Н. ...................................................... 3
Разыгрывание случайных величин методом
Монте-Карло
Alekseev V.N. ....................................................... 3
Playing out random quantities by the method
of Monte Carlo
Столбов В.Н. ....................................................... 8
Оценка одного канонического произведения
Stolbov V.N. ......................................................... 8
Evaluations of a Canonic Writing
Кузьмиченко М.В., Столбов В.Н. ....................... 28
Функциональное интерполирование в классах
аналитических функций для случая узлов
алгебраического порядка с показателем четыре
Kuzmichenko M.V., Stolbov V.N. ......................... 28
Functional Interpolating in the Classes of Analytical
Functions for the Cases of Junctions of Algebraic Order
with the Datum “Four”
Карасева Р.Б. ....................................................... 34
Применение рядов в задачах о преследовании
Karasyeva R.B. .................................................... 34
Using Series in the Tasks on Pursuing
Шармин В.Г. ......................................................... 38
Огибающий конус гиперповерхности со
взаимнооднозначным сферическим
отображением
Sharmin V.G. ........................................................ 38
A Circumflex Cone of Hyper Surface with One-forone Spherical Reflection
Далингер В.А. ...................................................... 40
Инновационные педагогические технологии –
проводники идей новых образовательных
стандартов
Бабичева И.В. ...................................................... 47
К методике обучения вариационному
исчислению в техническом вузе
Dalinger V.A. ........................................................ 40
Innovative Pedagogical Technologies as Guides of New
Educational Standards
Мамонтова Т.С. .................................................. 52
О вопросе методической подготовки
будущего учителя математики
Mamontova T.S. ................................................... 52
On the Issue of Methodical Training of a Teacher
of Mathematics-to be
Фомичева И.Г., Бердюгина О.Н. ........................ 62
Развитие студентов гуманитарного вуза
средствами математики и информационных
технологий
Phomychyova I.G., Berdyugina O.N. ................... 62
Developing Students at a Classical Higher Educational
Institution by Means of Mathematics and Information
Technologies
Шилина Н.В. ......................................................... 67
Адаптивная методическая система как
возможный вариант формирования
элементарных геометрических представлений у
младших школьников
Кашлач И.Ф., Шагова К.С. ................................... 71
Возможности школьного учебника математики
для развития интеллектуальных способностей
учащихся
Кашлач И.Ф., Южакова Е.Н. ............................... 77
Роль мотивации и средства ее повышения при
обучении математике
Shilina N.V. .......................................................... 67
Adaptive Methodical System as a Possible Variant
of Forming Basic Geometrical Images of
Schoolchildren at Primary School
Полякова Т.А. ....................................................... 82
Психолого-педагогические основы формирования
и развития вероятностного мышления учащихся
Polyakova T.A. ..................................................... 82
Psychological and Pedagogical Bases of Forming
and Developing Probabilistic Thinking of Students
Журавлева Н.С. ................................................... 88
Элементы экологического образования на уроках
физики
Zhuravlyeva N.S. .................................................. 88
The Elements of Ecological Education at the Lessons
of Phisics
Ермакова Е.В. ...................................................... 93
Формирование у студентов комплексного
применения знаний при решении физических
задач
Yermakova Y.V. .................................................... 93
Forming Students“ Complex Usage of Knowledge
While Solving Problems on Physics
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ .................................... 98
OUR CONTRIBUTORS ........................................... 98
Babitcheva I.V. ..................................................... 47
On the Methods of Variation Calculation in a Technical
Higher educational Establishment
Kashlach I.F., Shagova K.S. ................................. 71
The Possibilities of a School Textbook on Mathematics
to Develop Intellectual Skills of Students
Kashlach I.F. ........................................................ 77
Ye. N. Yuzchakova The Influence of Motivation and the
Means to Raise it while Teaching Mathematics
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наталья Валентиновна Бауэр, Любовь Николаевна Шабатура
Виктор Николаевич Алексеев,
Ишимский государственный
педагогический институт им. П.П. Ершова
РАЗЫГРЫВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН МЕТОДОМ
МОНТЕ-КАРЛО
Аннотация: Рассматривается достаточно простой метод разыгрывания непрерывных
случайных величин с известной функцией плотности вероятности. Метод прост в
реализации на ЭВМ и отличается от обычно применяемых методов.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
УДК 519.21
3
Summary: Rather a simple method of playing continuous random quantities with a certain
function of probability density is considered. The method is suitable for realizing at a PC and
is different from common methods.
Ключевые слова: Монте-Карло, случайная величина, разыгрывание случайных
величин, плотность вероятности.
Key words: Monte Carlo, random quantity, playing random quantities, probability density.
Физико-математические науки и методика их преподавания
В статье «Монте-Карло метод» [1, стб. 815–820] рассматриваются некоторые
методы разыгрывания непрерывных случайных величин. В более простом варианте
они обсуждаются в учебнике по теории вероятностей и математической статистике
[3, с. 371–379] (метод обратных функций, метод суперпозиции, приближенное
разыгрывание нормальной случайной величины).
Здесь мы предложим, на наш взгляд, более простой метод разыгрывания таких
случайных величин методом Монте-Карло с использованием функции плотности
вероятности [2, стб. 323–324], [3, с. 116].
Для этого мы будем использовать системный ресурс языка Pascal – функцию Random.
Эту функцию называют также «генератор случайных чисел» (ГСЧ). Более правильно, повидимому, следует вместо слова «случайных» употреблять слово «псевдослучайных»
или «квазислучайных». Это обусловлено тем, что генерируемая этой функцией
последовательность чисел строится по алгоритму. Тем не менее, она достаточно хорошо
моделирует выбор значений равномерно распределенной случайной величины.
Можно провести аккуратное экспериментальное исследование свойств этой функции
[1, стб. 815]. Мы приведем только исходный код программы (PascalABC) генерирующей
10 наборов значений. Количество элементов в каждом наборе определяется при нажатии
на любую клавишу (счетчик n на экране показывает количество сформированных чисел).
Для каждого набора вычисляется выборочное среднее M[i] и выборочная дисперсия
D[i]. Эти значения в определенном формате последовательно (парами) выводятся на
экран. Затем для выборочных средних вычисляется: их среднее значение MM (для более
корректных вычислений можно в программе поставить не «мягкий» цикл, а цикл с
параметром, порождающий наборы с одинаковым количеством чисел); дисперсия для
них DM (аналог межгрупповой дисперсии при вычислении дисперсии по выборке
большого объема); «исправленное» среднее квадратическое отклонение SM.
Аналогичные вычисления проводятся и для групповых дисперсий. Эти «интегральные»
характеристики показывают, что в среднем генерируются наборы с точечными оценками
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
4
Виктор Николаевич Алексеев
параметров близкими к параметрам равномерного распределения (математическое
ожидание 0,5 и дисперсия 1/12). Причем на их формирование (даже при десятках тысяч)
уходит очень мало времени. Вместе с текстом программы приведем пару результатов
срабатывания этой программы. Заинтересованный читатель сам сможет провести и другие
тестовые испытания ГСЧ.
PROGRAM TestRandom;
Uses Crt;
Type
TIndex=0..99;
TVector=array [TIndex] of Real;
Var
i:TIndex;
j:LongInt;
M,D:TVector;
MM,MD,DM,DD,x:Real;
Ch:Char;
BEGIN
Randomize;
CRTWindowSize(100,11);
Window(1,1,100,11);
TextBackGround(White);
ClrScr;
MM:=0;DM:=0;MD:=0;DD:=0;
//Вывод матожидания и дисперсии
//равномерно распределенной на промежутке
//[0; 1) непрерывной случайной величины
WriteLn(’M = 0.5’,’ D = ’,1/12:15:12);
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
GoToXY(2,2); WriteLn(’n = ’);
WriteLn;
For i:=0 to 9 do begin
M[i]:=0; D[i]:=0;
While KeyPressed do
Ch:=ReadKey;
j:=0;
Repeat
x:=Random; Inc(j);
GoToXY(6,2); Write(j);
M[i]:=M[i]+x; D[i]:=D[i]+sqr(x);
until KeyPressed;
M[i]:=M[i]/j;
D[i]:=D[i]/j-sqr(M[i]);
GoToXY(6,2); Write(’
’);
GotoXY(1+20*(i mod 5), 4+i div 5);
Write(M[i]:8:5,D[i]:10:7);
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разыгрывание случайных величин методом Монте-Карло
5
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
MM:=MM+M[i]; DM:=DM+sqr(M[i]);
MD:=MD+D[i]; DD:=DD+sqr(D[i]);
end;
WriteLn;WriteLn;
MM:=MM/10; DM:=DM/10-sqr(MM);
MD:=MD/10; DD:=DD/10-sqr(MD);
WriteLn(’MM = ’,MM:12:9,’ DM = ’,DM:18:15, ’ SM = ’,sqrt(10*DM/9):18:15);
WriteLn(’MD = ’,MD:15:12,’ DD = ’,DD:18:15, ’ SD = ’,sqrt(10*DD/9):18:15);
END.
И вот два результата работы этой программы (Рис. 1 и Рис. 2):
Рис. 1.
b
P( X ∈ a, b ) = ∫ f ( x)dx .
(1)
a
Учитывая, что функция плотности вероятности неотрицательная, мы можем
приближенно соответствующий интеграл в (1) вычислять методом Монте-Карло. Погружая
криволинейную трапецию в прямоугольник и «рассыпая» по нему равномерно точки, мы
можем вычислить долю точек, попавших в трапецию, эта доля приближенно совпадает с
Физико-математические науки и методика их преподавания
Рис. 2.
Подобного рода эксперименты показывают весьма неплохую способность ГСЧ к
формированию значений приблизительно равномерно распределенной случайной
величины.
Теперь мы можем обсудить идею формирования значений непрерывных случайных
величин с известными функциями плотности вероятности, вычисление которых не требует
изощренных методов (нормальное распределение, показательное распределение,
равномерное распределение, треугольное распределение, гиперэкспоненциальное
распределение, распределение Коши, двойное экспоненциальное распределение и т.д.)
[5, с. 116–135].
По свойствам функции плотности вероятности одномерной непрерывной случайной
величины X имеем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
6
Виктор Николаевич Алексеев
отношением площади трапеции к площади прямоугольника, а по геометрическому смыслу
определенного интеграла его величина равна площади криволинейной трапеции. Эти
соображения позволяют формировать набор значений случайной величины следующим
образом:
- нужно взять подходящий сегмент числовой оси, на котором практически достоверно
лежат возможные значения случайной величины;
- построить прямоугольник, основанием которого является выбранный сегмент, а
высота не меньше максимума функции плотности вероятности;
- по этому прямоугольнику равномерно с помощью ГСЧ «разбрасывать» точки (x, y).
Те значения x, при которых
y ≤ f (x)
следует включать в формируемый набор. Этотт
процесс следует вести до построения необходимого количества значений.
Понятно, что этот алгоритм легко обобщается и на случай двумерных непрерывных
случайных величин, трехмерных и т.д.
Например, для нормальных случайных величин можно, руководствуясь «правилом
трех сигм» выбирать промежуток несколько шире и формировать значения. Такой метод
позволит преподавателям математической статистики быстро формировать данные для
любого числа вариантов и под соответствующее распределение. Приведем фрагмент
программного кода, который этим способом формирует выборку, содержащую 100
значений для нормально распределенной случайной величины и пример срабатывания
этого фрагмента. Здесь же без разбиения на интервалы (мощность машины легко
позволяет проводить соответствующие вычисления без группировки) вычислены точечные
оценки параметров распределения.
WriteLn( ’ Введите параметры для формирования выборки ’);
Write( ’ a = ’);ReadLn(a);
Write( ’ sigma = ’);ReadLn(sigma);
WriteLn;
i:=0;
While i<100 do begin
Repeat
y:=Random;Randomize;
x:=a-3.2*sigma+6.4*sigma*Random;
until y<=1/sigma/sqrt(2*pi)*exp(0-(x-a)*(x-a)/2/sigma/sigma);
Inc(i); V[i]:=x;
GoToXY(1+10*((i-1)mod 10), 12+(i-1)div 10);
Write(V[i]:8:2);
ny1:=ny1+V[i]; ny2:=ny2+V[i]*V[i];
ny3:=ny3+V[i]*V[i]*V[i]; ny4:=ny4+V[i]*V[i]*V[i]*V[i];
end;
WriteLn;WriteLn;
ny1:=ny1/100; ny2:=ny2/100; ny3:=ny3/100; ny4:=ny4/100;
my1:=0; my2:=ny2-ny1*ny1;
my3:=ny3-3*ny2*ny1+2*ny1*ny1*ny1;
my4:=ny4-4*ny3*ny1+6*ny2*ny1*ny1-3*ny1*ny1*ny1*ny1;
sigma:=sqrt(my2);
WriteLn( ’— Точечные оценки параметров построенной выборки ’);
WriteLn( ’ без разбиения на интервалы ——— ’);
WriteLn;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разыгрывание случайных величин методом Монте-Карло
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
WriteLn(’Выборочное среднее = ’,ny1:12:6);
WriteLn(’Выборочное СКО = ’,sigma:12:6);
WriteLn(’Асимметрия = ’,my3/sigma/my2:12:6);
WriteLn(’Эксцесс
= ’,my4/my2/my2-3:12:6);
7
Рис. 3.
Литература
1. Математическая энциклопедия [Текст]. В 5 т. Т. 3. Коо – Од / гл. ред.
И.М. Виноградов. – М. : Советская энцикл., 1982. – 1184 стб.
2. Математическая энциклопедия [Текст]. В 5 т. Т. 4. Ок – Сло / гл. ред.
И.М. Виноградов. – М. : Советская энцикл., 1984. – 1216 стб.
3. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб.
пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – Изд. 6-е, стер. – М. : Высш. шк., 1998. – 480 с.
4. Алексеев, В.Н. О проблемах геометрического способа вычисления вероятностей
[Текст] // Труды VI международных Колмогоровских чтений. – Ярославль : ЯГПУ
им. К.Д. Ушинского, 2008. – С. 152–157.
5. Справочник по теории вероятностей и математической статистике [Текст]
/ В.С. Королюк [и др.] – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М. : Наука, 1985. – 640 с.
Физико-математические науки и методика их преподавания
В этом фрагменте ny – начальные моменты соответствующего порядка, а my –
центральные моменты. На рис. 3 приведен пример срабатывания этого фрагмента.
К сказанному остается добавить, что примерно на аналогичных соображениях легко
построить алгоритм формирования равномерных распределений на кривых, искривленных
поверхностях и т.д. Такая идея описана в статье [4]. Рекомендуем попробовать ее на
примере сферы с построением на экране соответствующего изображения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
8
Виктор Николаевич Столбов
УДК 517.54
Виктор Николаевич Столбов,
Ишимский государственный
педагогический институт им. П.П. Ершова
ОЦЕНКИ ОДНОГО КАНОНИЧЕСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Аннотация: Получены асимптотические оценки канонического произведения,
построенного по последовательности, сходящейся к бесконечности со скоростью
алгебраического порядка по лучу.
Summary: Asymptomatic evaluations of a canonic writing based on the sequence, which
comes to the infinity with the speed of an algebraic order on a ray are obtained.
Ключевые слова: теорема, леммы, каноническое произведение, интеграл
Стильтьеса.
Key Words: theorem, lemmas, canonic writing, Stieltjes integral.
Пусть последовательность {zn} определяется формулой:
α
zn = n , n = 1, 2,…,
(1)
где α > 0 – фиксированное вещественное число. В этом случае каноническое
произведение имеет вид [1]:
β
z 
1 z 

ϕ ( z ) = ∏ 1 − α  exp ∑  α  ,
n 

τ =1 τ  n
n =1 
∞
(2)
1
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
где β =
 α  , (квадратные скобки обозначают целую часть числа).
Докажем сначала несколько вспомогательных предложений, которые нам
понадобятся для вывода оценки произведения (2).
Лемма 1. Для функции
I 1 ( z , α ) = −α z
где P ( x ) =
β +1
∞
P( x)dx
,
( xα − z )
S +2 x
∫
αβ +1
1
− {x} (фигурные скобки обозначают дробную часть числа),
2
(3)
S = [α z ] ,
имеет место неравенство:
I 1 ( z , α ) ≤ C1 ,
z →∞.
(4)
Доказательство. Интеграл (3) будем оценивать с помощью рассуждений, аналогичных
приведённым в [2] (см. с. 275).
Замечаем, что функция P ( x ) =
1
− {x} является периодической с периодом
2
единица. Как известно [2], величина интеграла от P(x) по любому промежутку единичной
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценки одного канонического произведения
a +1
1
1
a
0
0
1
a≥0

∫ P( x)dx =∫ P( x)dx =∫  2 − x dx = 0 .
(5)
Введём в рассмотрение функцию
x
Q( x) = ∫ P( x)dx .
(6)
0
В силу (5) функция
Q(x) есть непрерывная периодическая функция с периодом
единица. Поэтому она ограничена по абсолютной величине. Если 0 ≤ x < 1 , то {x} = x и
x x2
1

Q( x) = ∫  − x dx = −
, 0 ≤ х ≤ 1.
2
2 2

0
x
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
длины не зависит от положения этого промежутка. Поэтому при любом
9
Отсюда следует, что
0 ≤ Q( x) ≤
1
.
8
(7)
Используя теперь функцию Q(x), интеграл (3) представим в виде
I 1 ( z , α ) = −α z
β +1
∞
∫
S +2
x
Q ′( x )
dx .
(xα − z )
αβ +1
Произведя интегрирование по частям и, учитывая, что
x →∞
I1 ( z , α ) =
αz
β +1
x
Q( x )
= 0 , получим
( xα − z )
αβ +1
Q(S + 2)
(S + 2)αβ +1 ((S + 2) − z )
−α z
β +1
Q( x)((αβ + 1 + α ) xα − (αβ + 1) z )
∞
∫
xαβ +2 ( xα − z ) 2
S +2
dx .
Отсюда, применяя (7), находим
I1 ( z ,α ) ≤
αz
β +1
8( S + 2)αβ +1 (( S + 2) 2 − z )
β +1
+
β +1
α
∞
α β +1 (αβ + 1 + α ) x − (αβ + 1) z
z
dx =
∫
8
x αβ + 2 ( x α − z ) 2
S +2
αz
αz
=
− αβ +1 α
αβ +1
2
8( S + 2) (( S + 2) − z ) 8 x ( x − z )
α
= ⋅
4
z
.
S +2
β +1
αz
=
=
αβ +1
4( S + 2) (( S + 2) 2 − z )
β +1

z
( S + 2)α ( β +1)+1 1 −
α
 ( S + 2)
По условию
∞
S=
.



[ z ], следовательно, (S +z 2)
α
2
< 1 . Поэтому
Физико-математические науки и методика их преподавания
lim
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
10
10
Виктор Николаевич Столбов
I1 ( z , α ) ≤
α
⋅
4
1

z
( S + 2)1 −
α
 ( S + 2)
<




α
⋅
4
1
  S + 1 α 

( S + 2)1 − 
  S + 2  


Далее, в силу того, что
′
  1 α 
1 − 1 −  
  x 
  1 α 
 =
lim x1 − 1 −   = lim 

′
→
∞
x →∞ 
x
  x 
1
 
 x
 1
= lim α 1 − 
x →∞
x

α −1
=α ,
(8)
имеем
  S + 1 α 
 =α
lim ( S + 2)1 − 
,
  S + 2  
S →∞


в силу чего из последнего неравенства для I 1 ( z , α ) ≤вытекает оценка (4).
Лемма 2. Функция
I 2 ( z ,α ) = α
S −1
∫
0
где P ( x ) =
1
− {x} , S =
2
x α −1 P( x)
dx ,
z − xα
(9)
[ z ] удовлетворяет неравенствуу
α
I 2 ( z ,α ) ≤ C2 , z → ∞ ,
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Доказательство. Пусть α
в виде
(10)
> 1 , тогда, используя функцию (6), интеграл (9) представим
I 2 ( z ,α ) = α
S −1
∫
0
x α −1Q′( x)
dx .
z − xα
Интегрирование по частям даёт
α ⋅ Q( S − 1)( S − 1)α −1
I 2 ( z ,α ) =
−α
z − ( S − 1)α
S −1
∫
(
Q( x) x α −2 (α − 1) z + x α
α
(z −x )
0
) dx
Отсюда, применяя (7), получим
α ( S − 1) α −1
α
I 2 ( z ,α ) =
+
α
8( z − ( S − 1) ) 8
S −1
∫
0
x α −2 ((α − 1) z + x α )
( z − xα ) 2
dx =
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценки одного канонического произведения
Покажем теперь, что при всех
S −1
=
0
α ( S − 1)α −1
⋅
.
4 z − ( S − 1)α
α >0
z
( S − 1) α −1
<
≤ C3 ,
α
z − ( S − 1)
( S − 1)( z − ( S − 1) α )
S=
Действительно, по условию
(11)
[ z]
α
z →∞,
(12)
, тогда
S α ≤ z < ( S + 1)α и
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
α ( S − 1) α −1
α x α −1
=
+
⋅
8( z − ( S − 1)α ) 8 z − x α
11
z
( S − 1)α −1
( S + 1) α
<
<
=
z − ( S − 1) α ( S − 1)( z − ( S − 1) α ) ( S − 1)( S α − ( S − 1) α )
α
 S +1
=
 ⋅
 S 
1
  S − 1 α 
.
( S − 1)1 − 
  S  


Отсюда (так как предел знаменателя при
неравенство (12).
S →∞
в силу (8) равен
Теперь, подставляя (12) в (11), устанавливаем оценку (10) при α
> 1.
0 < α ≤ 1. В этом случае интеграл (9) представим в виде
1
I 2 ( z ,α ) = α ∫
0
x α −1 P( x)
dx + α
z − xα
S −1
∫
1
P( x) x α −1
dx .
`z − x α
Или, применяя функцию (6), будем иметь
1
I 2 ( z ,α ) = α ∫
0
x α −1 P( x)
dx + α
z − xα
S −1
∫
1
Q ′( x) x α −1
dx .
z − xα
Интегрируя по частям последний интеграл и учитывая, что Q(1)=0, получим
P( x) x α −1
α ⋅ Q( S − 1)( S − 1) α −1
I 2 ( z ,α ) = α ∫
dx +
−
z − xα
z − ( S − 1) α
0
1
−α
S −1
∫
Q( x) x α − 2 ((α − 1) z + x α )
1
Пользуясь тем, что
P ( x) =
( z − xα ) 2
dx .
1
1
− {x} ≤ , (0 ≤ x ≤ 1) и, применяя (7), имеем
2
2
Физико-математические науки и методика их преподавания
Пусть
α ) получаем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
12
12
Виктор Николаевич Столбов
α
2
I 2 ( z ,α ) ≤
α
+
8
S −1
∫
1
∫
0
x α −1
α ( S − 1)α −1
+
+
dx
z − xα
8( z − ( S − 1) α −1 )
x α − 2 ((1 − α ) z + x α )
dx, ( z > 1) .
( z − xα ) 2
1
(13)
Для первого интеграла в (13) справедлива оценка
α
2
1
∫
0
x α −1
1 z −1
dx
=
−
ln
≤ C4 , z → ∞ .
2
z
z − xα
(14)
Последний интеграл в (13) преобразуем следующим образом:
α
8
S −1
∫
1
=
x α − 2 ((1 − α ) z + x α )
α
(z −x )
2
S −1
 (2 − α ) z
α 
−
dx = 
 8 x( z − x α ) 8 x 
1

(2 − α ) z
α
8( S − 1)( z − ( S − 1) )
1−α
+
z
4
S −1
(2 − α ) z α 1 − α
α
−
+ +
z
4
8( S − 1) 8( z − 1) 8
−
∫
dx
=
x ( z − xα )
2
1
S −1
∫
1
dx
.
x ( z − xα )
2
Отсюда, применяя второе из неравенств (12), получаем
α
8
S −1
∫
x α −2 ((1 − α ) z + x α )
α
(z −x )
1
2
1−α
dx ≤ C 5 +
z
4
S −1
∫
1
dx
.
x ( z − xα )
2
(15)
Подставляя (14), (15) в (13) и, используя (12), будем иметь
1−α
z
I 2 ( z ,α ) ≤ C6 +
4
S −1
∫
dx
.
x ( z − xα )
(16)
2
1
Осталось оценить интеграл в правой части (16), обозначим его
S −1
∫
I 3 ( z ,α ) = z
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
1
Пусть α =
dx
.
x ( z − xα )
(17)
2
1
α
, λ ∈ N , тогда, применяя подстановку
у x = t , найдём, что
о
λ
λ
I 3 ( z ,α ) = λ z
S −1
∫
1
λ
λ
λz
k =1
(λ + 1 − k ) z t λ +1− k
= −∑
t
λ +1
dt
=
( z − t)
λ
S −1
−
k
1
λ
z
λ
ln
z −t
S −1
=
t
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценки одного канонического произведения
= −∑
k =1
(λ + 1 − k ) z
−
k −1
( S − 1)
λ ln z
z
λ
λ
1− k
λ
ln(S − 1)
+
λ
1+
z
λ
+∑
k =1
(λ + 1 − k ) z
k −1
+
λ ln( z − 1)
z
λ
−
 λ S −1 

− λ ⋅ ln1 −
λ
.

z
z 

λ
λ
S = [ z ] , тоо
Так как в нашем случае
1


λ
λ 
λ





+
1
{
z
}
−
λ
S
λ
1
=−
 =
− λ ⋅ ln1 −
⋅ ln1 − 1 −
λ
λ
λ



 

z
z
z
z


 
 


=
λ ln z
z
λ
λ
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
λ
λ
13
1+ { z λ }
 1 
− λ ln
+ O λ   ≤ C 7 , z → ∞

 z 
λ
z



λ
и тогда, замечая, что все остальные слагаемые тоже являются ограниченными при
z → ∞ , получим
−1

x α 
1 λ∈N

Пусть теперь α ≠ ,
. В этом случае, разлагая функцию 1 −
в
z 
λ

степенной ряд и интегрируя, будем иметь
I 3 ( z ,α ) =
S −1
∫
1
∞ 
1
= ∑ τ
 x α  τ =0  z

x 2 1 −

z


dx
1 ∞ 1  ( S − 1) α
∑
=
S − 1 τ = 0 ατ − 1 
z
Отсюда, учитывая, что

ατ − 2
=
x
dx
∫1


S −1
τ
∞

 −∑ 1 ⋅ 1 .
 τ =0 ατ − 1 z τ

1
< c9 , c9 > 0 , находим
ατ − 1
c ∞  ( s − 1)α
I 3 ( z, α ) < 9 ∑ 
s − 1 τ =0  z
τ

z
 + c10 = c9
+ c10 < c11 , z → ∞,

( s − 1)( z − ( s − 1) α )

где в последней строке использовали второе из неравенств (12).
Физико-математические науки и методика их преподавания
 1
I 3  z ,  ≤ C8 , z → ∞ .
 λ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
14
14
Виктор Николаевич Столбов
z
Таким образом, мы показали, что интеграл (17) ограничен при всех
→ ∞ . Тем самым лемма доказана.
Лемма 3. Для функции
1
α
1− x
dx
1− x
,
( s −1)α
1
I 4 ( z ,α ) = α z
0 <α ≤1 и
∫
(18)
z
где
α > 0 – фиксированное вещественное число, S = [α z ] , имеет место оценкаа
I 4 ( z , α ) ≤ c12 , z → ∞.
Доказательство. Применяя подстановку
следующим образом:
1−
I 4 ( z ,α ) =
α
( S −1)α
z
z
∫
0
( S −1)α
1−
z
∫
=α z
0
(19)
1-х=t, интеграл (18) преобразуем
1
1
(1 − (1 − t ) α )dt =
t
1 1
1
( S − 1)α
( t + O(t 2 ))dt = α z (1 −
)+α z
t α
α
z
1−
( S −1)α
z
∫ O(t )dt
0
Отсюда следует, что
I 4 ( z ,α ) ≤
= α z (1 −
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
По условию
1α
( S − 1) α
z (1 −
) + C13 α z
α
z
α
1−
( S −1)α
z
∫ tdt =
0
α
( S − 1)
1 C
( S − 1)
)( + 13 (1 −
)).
z
α
2
z
S = [α z ] , следовательно,
α
z < S + 1 и тогда
да
α
α
1 C13
 S −1
 S − 1
I 4 ( z , α ) < ( S + 1)(1 − 
(1 − 
 )( +
 )).
2
 S + 1 α
 S + 1
Далее, так как
α
2 α
 S −1 
( S + 1)(1 − 
 ) = lim x(1 − (1 − ) ) = 2α ,
lim
1
S
+
x


S →∞
X →∞
то из последнего неравенства для
(20)
I 4 ( z , α ) вытекает оценка (19). Лемма доказана.
Лемма 4. Для функции
1
I 5 ( z , α ) = −α z
∫
z
( S + 2 )α
β−
1
α
1− x
dx,
1− x
(21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценки одного канонического произведения
1
α > 0 – фиксированное вещественное число, β = α 
 
и
S = [α z ] , справедливоо
неравенство
I 5 ( z , α ) ≤ c14 , z → ∞.
Доказательство. Используя подстановку
следующим образом:
1−
I 5 ( z , α ) = −α z
( S −1)α
z
∫
0
1−
1
β−
1
(1 − (1 − t ) α )dt =
t
z
( S + 2 )α
∫
= −α z
1 – х = t, интеграл (21) преобразуем
0
1
1
(( β − )t + O(t 2 ))dt =
t
α
1−
= −( β −
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
где
15
z
1 α
) z (1 −
)+α z
α
( S + 2)α
z
( S + 2 )α
∫ Odt.
0
Отсюда следует, что
1−
= α z (1 −
z
1
− β )α z (1 −
) + C15 α z
α
( S + 2) α
z
( S + 2)
Учитывая теперь, что
α
)(
∫ tdt =
0
z
C
1
− β + 15 (1 −
)).
α
2
( S + 2) α
S < α z < S + 1 , будем иметь
α
α
 S − 1  1 C13
 S −1
I 5 ( z , α ) < ( S + 1)(1 − 
(1 − 
 )( +
 )).
2
 S + 1 α
 S +1
Так как в силу (20)
α
 S 
( S + 1)(1 − 
 ) = 2α ,
lim
 S +1
S →∞
то из последнего неравенства следует заключение леммы.
В дальнейшем мы будем писать
f (r ) ∪∩ ϕ (r ), r → ∞,
Если существуют положительные постоянные с16 и с17, не зависящие от r, такие,
что при достаточно больших r выполняются неравенства
C16 ϕ (r ) ≤ f (r ) ≤ C17 ϕ (r ) .
Введем обозначение
Физико-математические науки и методика их преподавания
I 5 ( z ,α ) ≤ (
z
( S + 2 )α
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
16
16
Виктор Николаевич Столбов
τ
 λ
C − 1 λ −1  λ
1
 τ  u
u
(ln
u
)
C
,α = , λ ∈ N ,

+
−
−




∑



λ
λ
 λ  τ
τ =1  λ − τ
D(u, α ) = 
τ
β
 π α u ctg π −  1 − C (ατ )  u , α ≠ 1 , λ ∈ N ,
∑

α τ =1  1 − ατ
λ
τ
где
α >0
1
(22)
1
– фиксированное вещественное число, β =   – целой части числа
,
α 
α
С = 0,577… – постоянная Эйлера, а постоянная C (ατ ) определяется равенством
S
 S 1
dx
C (ατ ) = lim  ∑ ατ − ∫ ατ
S →∞
1 x
 n =1 n

  0 ≤ C (ατ ) ≤ 1 .

1 − ατ 

Теорема. Для канонического произведения (2) справедлива следующая оценка
∪
ϕ ( z) ∩ z
−
1
2 α
{ z }(1 − {α z }) exp( D( z , α )), arg z = 0, z → ∞,
(23)
где фигурные скобки обозначают дробную часть числа.
Доказательство. Пусть arg z = 0 , тогда в силу (2) находим
∞
ϕ ( z) = ∏ 1 −
n =1
β
z
nα
exp ∑
τ =1
z
τ
τn ατ
.
Бесконечное произведение в правой части представим следующим образом:
τ
α
β
β
∞ 
 z

z
z 
z
ϕ ( z) = ∏  α − 1  exp ∑ ατ × ∏  1 − α  exp ∑ ατ ,
n 
τ =1 τ n
τ =1 τn
n =1  n
n = S +1 

S
где
S=
[ z]
α
– целой части
α
(24)
z . Рассмотрим отдельно каждое произведение.
Имеем
α
β
 Sα
 z

z
Φ1 ( z , α ) = ∏  α − 1 exp ∑ ατ = 1 −
z
τ =1 τn
n =1  n


Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
S
Второй сомножитель в
 S z
 ∏
 n =1 n α

 S −1  n α
 ∏ 1 −
 n =1 
z
 
β
s
 
z
  exp ∑∑
ατ
 
n =1 τ =1 τn
 
Φ1 ( z , α ) равен
S
z
∏n
n =1
α
=
z
α
( S !) α
.
Пользуясь формулой Стирлинга, будем иметь
 z
C18  α
S
 −α2 αS −12αS
 z
z
S e
<
< C19  α
α

( S !)

S
Отсюда, учитывая, что
S
S=
[ z]
α
, получим
S
 −α2 αS
 S e .


τ

.


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценки одного канонического произведения
z
∏n
n =1
α
∪
z
−
1
2
e
αα z
(25)
Φ1 ( z , α ) . Находим
Перейдем к следующему произведению в
S −1 
nα
Φ 2 ( z , α ) = ∏ 1 −
z
n =1 
, z → ∞.
∩
α
S −1


 = exp ∑ ln1 − n


z
n =1



.


(26)
Используя интеграл Стильтьеса, сумму в показателе представим в виде
 n
ln1 −
∑
z
т =1

α
S −1

=


( S −1)α
∫
0
( S −1)ε
[ ] [ ]

t 
ln1 − d α t =
z

α

t 
t ln1 − 
z

0
Обозначим интеграл, стоящий в правой части (27), через
( S −1)α
+
∫
[ t ] dt. (27)
α
z −t
0
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
S
17
Ι 6 ( z , α ) и преобразуем
его следующим образом:
Ι 6 ( z ,α ) =
( S −1)α
∫
0
1 1
α
 t − + −
2 2

z −t
{ t }
α
dt =
( S −1)α
∫
0
α
1
t
dt −
2
z −t
В первом интеграле применим подстановку
( S −1)α
∫
0
dt
+
z −t
( S −1)α
∫
0
{ }
1 α
− t
2
dt.
z −t
t = z x , а в последнем t = x α и
вычисляя средний интеграл, будем иметь
∫
0
1
α
x
1  ( S − 1)α
dx + ln1 −
z
1− x
2 
1

− {x} xα −1
S −1 


 +α  2
∫0 z − xα dx.


(28)
Первый интеграл в (28) преобразуем следующим образом:
( S −1)α
z
α
z
∫
0
−α z
1
α
x
dx = α z
1− x
1
α
1− x
∫0 1 − x dx + α z
1
( S −1)α
z
∫
0
dx α
− z
1− x
( S −1)α
z
∫
0
1
α
 ( S − 1) α
1− x
dx = −α z ln1 −
1− x
z


−


1
α
1− x
dx.
x
1
−
α
( S −1)
1
∫
z
Отсюда, используя обозначение (18) и формулу [3]
1 − t z −1
dt , Re z > 0,
1
−
t
0
1
ψ ( z ) = −C + ∫
находим
(29)
Физико-математические науки и методика их преподавания
Ι 6 ( z ,α ) = α z
( S −1)α
z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
18
18
Виктор Николаевич Столбов
( S −1)α
z
α
z
∫
0
1
 ( S − 1)α
xα
dx = −α z ln1 −
z
1− z


 + Ι 4 ( z , α ) − ψ 1 + 1  + C α z .

  α


Подставляя это равенство в (28) и учитывая обозначение (9), получим
α
1
  ( S − 1)
Ι 6 ( z , α ) =  − α z  ln1 −
z
2
 

 + Ι 4 ( z , α ) − ψ 1 + 1  + C α z + Ι 2 ( z , α .)

  α


Тогда в силу (27) и последнего равенства произведение (26) примет вид
α

1
  ( S − 1)
Φ 2 ( z , α ) = exp  S − − α z  ln1 −

2
z
 



 + Ι 4 ( z , α ) − ψ 1 + 1  + C α z + Ι 2 ( z , α ).


  α



Оценим первое слагаемое под знаком экспоненты. Так как
[ z]
α
{ }

 = − 1 +

2

{ }
{ }
{ }


=
 
 
α
{ }
Отсюда следует, что
1 α   ( S − 1) α

S
−
− z  ln 1 −

2
z

 
, то
о
{ }
  1+ α z


α z
 ln1 − 1 −
α z
  




 1 
 1 α   1+ α z
+ O
= − + z  ln α
 =
α z
2
 
 α z 2 




 1 
 1
α z 
1 α  
 .


α
ln z −  + z  ln α + α z + O
=
+

 
 2α

α
α
2
 


 z 

α
1

  ( S − 1)
 S − − α z  ln1 −
2
z

 
{ }
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
S=
{ }
α z 
  1
 ln z + O (1), z → ∞.
=
+
  2α
α 
 

Применяя теперь это соотношение и леммы 2 и 3, будем иметь
 1 α z 
 
α 
1



Φ 2 ( z , α )∩ exp
+
ln | z | −ψ 1 +  + C  z , z → ∞.
α 
  2α

  α




∪
Осталось рассмотреть последний сомножитель в
Φ1 ( z , α ). Обозначим его через
Φ 3 ( z , α ):
β
Φ 3 ( z , α ) = exp ∑∑
S
n=1 τ =1
z
(30)
τ
τnατ
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценки одного канонического произведения
1
, λ ∈ Ν. В силу задачи 18 с.61 из [4] существует
λ
 S 1 S dx
 ∑ ατ − ∫ ατ
lim

x
S →∞  n =1 n
1
где C (ατ ) – постоянная, зависящая от

1
 = C (ατ ),1 ≤ τ ≤ β =  ,
α 


(31)
ατ , и имеет место неравенствоо
S
ατ
1
S 1−ατ
1
1
− ατ +1 < ∑ ατ −
+
− ατ − C (ατ ) < 0.
1 − ατ 1 − ατ 2S
8S
n =1 n
(32)
Укажем сначала в каких пределах заключена постоянная C (ατ ) . Так как
S +1
∫
1
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Пусть α ≠
19
S
S
dx
1
dx
<
< ∫ ατ ,
∑
ατ
ατ
x
n =1 n
0 n
то
S +1
∫
S
S
1
S
dx
1
dx
dx
<
− ∫ ατ < ∫ ατ .
∑
ατ
ατ
x
n =1 n
1 x
0 x
или, вычисляя крайние интегралы, найдем, что
(
)
S
S
1
(S + 1)1-ατ − S 1−ατ < ∑ 1ατ − ∫ dxατ < 1 .
1 − ατ
x
1 − ατ
n =1 n
1
Отсюда, переходя к пределу при
0 ≤ C (ατ ) ≤
1
.
1 − ατ
(33)
Φ 3 ( z ,α ) . Для этого
Оценим теперь выражение под знаком экспоненты в
воспользуемся неравенствами (32). Тогда, учитывая, что
S=
[ z]
α
, с одной стороны
будем иметь
β
∑
τ =1
z
τ
τ
β
β
τ
1
1  α z
z S 1−ατ
<
+
∑
∑
∑
τ
(
1
−
ατ
)
ατ
 S
n =1 n
τ =1
τ =1 2τ

S
ατ




τ
β
β
1
 1
z
− ∑
− C (ατ )
<α z∑
−
 τ
τ =1  1 − ατ
τ =1 τ (1 − ατ )
τ
β
 1
z
− ∑
− C (ατ )
+ C18 , z → ∞,
 τ
τ =1  1 − ατ
(34)
а с другой
β
∑
τ =1
z
τ
τ
τ
β
z S 1−ατ 1 β 1  α z
1
>∑
+ ∑
∑
ατ
2 τ =1 τ  S
τ =1 τ (1 − ατ )
n =1 n

S
ατ




τ
α β  α z
 1
z
− ∑
− C (ατ )
−
∑
8S τ =1  S
 τ
τ =1  1 − ατ

β
ατ




Заметим, что вторая и четвертая суммы правой части последнего неравенства
ограничены снизу при z → ∞ , а для первой суммы справедлива оценка
Физико-математические науки и методика их преподавания
S → ∞ и учитывая (31), получаем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
20
20
Виктор Николаевич Столбов
τ
β
β
z S 1−ατ
1
1
α z
>
S
=
−
∑
∑
∑
(
)
(
)
(
1
−
1
−
1
−
τ
ατ
τ
ατ
τ
ατ )
τ =1
τ =1
τ =1
β
{ z }∑ τ (1 −1ατ ) >
β
α
β
α
τ =1
1
− C19.
(
1
−
τ
ατ )
τ =1
z∑
Поэтому
β
∑
τ =1
τ
τ
β
β
1
1
 1
 z
α z
+ C 20 , z → ∞
>
−
− C (ατ )

∑
∑
∑
ατ
τ n =1 n
 τ
τ =1 τ (1 − ατ )
τ =1  1 − ατ
z
S
Таким образом, мы получили, что при α ≠
(35)
1
,λ ∈ Ν
λ
τ
β
β

1
 1
 z 

α
Φ 3 ( z , α )∩ exp z ∑
− ∑
− C (ατ )
,z → ∞

τ 

τ =1 τ (1 − ατ )
τ =1  1 − ατ


∪
(36)
где постоянная
C (ατ ) определяется формулой (31) и удовлетворяет неравенствам (33)
Пусть α =
1
1
, λ ∈ Ν , тогда β =   = λ и функция Φ 3 ( z , α ) представима в виде
λ
α 
 λ −1 z τ S − τ z λ
Φ 3 ( z , α ) = exp ∑ ∑ n λ +
 τ =1 τ n =1
λ

S
1
∑ n 
n =1

Заметим, что (см. задачу 18 с. 61)
S
1
1
1
1
− 2 < ∑ − ln S − C <
,
25 8S
2S
n =1 n
где C = 0,577 ... – постоянная Эйлера. Тогда, учитывая, что , S
[ ] с одной стороны,
= z
λ
будем иметь
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
λ
z
λ
S
а с другой стороны,
λ
z
λ
λ
λ
z
1 C λ z
C λ
λ
< z +
ln S +
< z + z ln z + C21 , z → ∞ ,
∑
λ
λ
2λ S λ
n =1 n
{ } +
λ
λ

z
z
1 C λ
λ

>
z
+
z
ln
z
+
ln
1
−
∑
λ
λ
λ 
z
n =1 n
S


λ
Для первого же слагаемого под знаком экспоненты в
оценки (34) и (35) при α =
что
λ
z
1 z
C λ
λ
−
⋅ 2 > z + z ln z + C22 , z → ∞
2λS 8λ S
λ
 1
Φ3  z ,  будут справедливы
 λ
1
, а β нужно заменить на λ − 1. Таким образом, мы получим,
λ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценки одного канонического произведения
Отсюда, применяя равенство
λ −1
1
λ
=
2
∑
∑
τ =1 τ (λ − τ )
τ =1 τ
λ −1
найдем, что
τ
λ −1
 λC
1  λ −1  λ
 1 ∪
 τ   z 

,z → ∞,
Φ 3  z ,  ∩ exp z  + ln z + 2∑  − ∑ 
− C   
 λ
λ  τ 
 λ

τ =1 τ 
τ =1  λ − τ


где постоянная
при α =
(37)
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
τ
λ −1
 λC
λ  λ −1  λ
 τ   z 
 1 ∪

 − ∑ 
− C   
,z → ∞
Φ 3  z ,  ∩ exp z  + ln z + ∑
 λ
λ  t 

 λ
τ =1 τ (λ − τ ) 
τ =1  λ − τ


21
τ 
C   определяется формулой (31) и удовлетворяет неравенствам (33)
λ
1
.
λ
Теперь легко оценить функцию
Φ1 ( z , α ) . Действительно, используя (25), будем
иметь
Φ 1 ( z , α ) ∪∩ z α
1 1
−
2
где для
{ z }ln z − 21α ln z + α −ψ 1 + α1  − C 

z , z → ∞ ,


α
α

(38)
Φ 3 ( z , α ) справедливы оценки (36) и (37) при различных α .
Перейдем ко второму произведению в (24). Имеем

z
Φ 4 ( z , α ) = ∏ 1 − α
n
n = S +1 
∞
τ
β


z
z
 exp ∑ ατ = 1 −

 (S + 1)α
τ =1 τn


τ
β

z
 exp ∑
⋅ Φ 5 ( z ,α ),
ατ

(
)
τ
S
+
1
τ
=
1

где

z
Φ 5 ( z ,α ) = ∏ 1 − α
n
n=S +2 
∞
Так как
S=
[ z]
α
, то
о
β
1 < exp ∑
τ =1
и тогда
τ
β

z
 exp ∑ ατ .
τ =1 τn

z
τ
τ (S + 1)
ατ
β
1
< exp ∑ = C23
τ =1 τ
Физико-математические науки и методика их преподавания
1
* exp
α
 Sα 
1 −
Φ 3 ( z , α ) *


z


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
22
22
Виктор Николаевич Столбов

Ζ
Ф4 ( Ζ , α ) ∪∩ 1 −
α
 (s + 1)
Оценим функцию

 ⋅ Ф5 ( Ζ , α ), Ζ → ∞


.
(39)
Ф5 ( Ζ , α ) . Используя интеграл Стильтьеса, будем иметь
τ
 
Ζ  β Ζ 



Ф5 ( Ζ , α ) = exp ∑ ln1 − α  + ∑ ατ =
 
n  τ =1 τn 
n= s + 2

τ
τ
∞
 
 
Ζ
Ζ β Ζ
Ζ  β




+∑
+ ∫ ln1 −  + ∑ τ
exp ln1 −
α 
ατ


t  τ =1 τt
+
(
2
)
s
τ =1 τ (s + 2 )


( S + 2 )α  

∞
Обозначим интеграл в правой части (40) через


d [α t ] 




(40)
J 7 ( Ζ , α ) и, интегрируя по частям,
находим
J 7 ( Ζ ,α ) =
 
Ζ 
+
t  ln  1 −
 
t 

[ ]
α
β
∑ τt
τ =1
τ
Ζ
τ

∞

−
 (s + 2 )α

τ
β

Ζ
Ζ

∫ [ t ] t (t − Ζ ) − ∑
τ +1
τ =1 t
( s + 2 )α

∞
α

 dt


Вычислим
τ
lim α  
Ζ β Ζ
t ln1 −  + ∑ τ
t → ∞  
t  τ =1 τt

−
= α z lim
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
u →0
τ
β

 = α Ζ lim 1  ln (1 − u ) + ∑ u
u →0 α u 

τ =1 τ


β
1
+ ∑ uτ −1
1 − u τ =1
1
α
1
−1
uα
= −α α z lim
u →0
1
β − +1
α
u
1− u

 =

= 0.
Следовательно,

z
I 7 ( z , α ) = − ( S + 2) ln 1 −
( S + 2) α

τ
∞
β

z 
t
α

− ∫ [ t]
−
dt .
τ +1
 t (t − z ) ∑

α
t
τ
=
1
( S + 2)


τ
β

z
 − ( S + 2) ∑
−
ατ

τ
+
(
S
2
)
τ
=
1

Тогда, используя тождество
τ
β +1
β z
z
t
− ∑ τ +1 = β +1
.
t (t − z ) τ =1 t
t (t − z )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценки одного канонического произведение
I 7 ( z , α ) в равенство (40), получим
τ
β +1
∞


β
z 
z
[α t ] z

.

−
(
S
+
1
)
−
dt
Φ5 ( z ,α ) = exp − (S + 1) ln1 −
∑
∫
α 
ατ
β +1

t (t − z )  (41)
τ =1τ (S + 2)
 (S + 2) 
(S +2)α


Далее, интеграл в правой части (41) обозначим через
I 8 ( z , α ) и преобразуем его
следующим образом:
I 8 ( z ,α ) = − z
β +1
{ }
∞
∫
( S + 2 )α
1
1
( − {α t }) + (α t − )
2
2 dt =
β +1
t (t − z )
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
И подставляя значение интеграла
23
1 α
1
α
t−
− t
∞
β +1
β +1
2
2
dt
z
=−z
−
∫ α t β +1 ⋅ (t − z )
∫ α t β +1 (t − z ) dt
( S +2)
( S +2)
∞
В первом интеграле применим подстановку t = x
будем иметь
I 8 ( z ,α ) = I1 ( z , α ) − z
∫
t−
Так как
i ∞
z β z
1 β+1 ∞
dt
1
=
−
z
(ln(
1
) +∑ i )
∫ α t β+1(t − z ) 2
2
t
i=1 it
(S+2)
i
(S+2)α
z
z
1
1β
= − ln(1−
−
)
∑
2
(S + 2)α 2 i=1 i(S + 2)αi ,
то
z
1 
I 8 ( z ,α ) = I1 ( z ,α ) − ln 1 −
2  ( s + 2) α
i
z
 1 β
 − ∑
+ I 9 ( z ,α ),
αi
 2 i =1 i ( S + 2)
(42)
где
I 9 ( z ,α ) = − z
Преобразуем интеграл
β +1
∞
α
t dt
∫ t β +1 (t − z ) .
( S + 2 )α
1
 
1
λ
I 9 ( z ,α ) . Пусть α = , λ ∈ N , тогда β =  2  = λ
∞
t− z
1
t λ dt
λ +1
λ
I9 ( z , ) = − z
=
−
z
ln
∫
λ +1
λ
t
(t − z )
λ S +2 t
∞
λ S +2
λ
= z ln(1 − λ
z
S+2
и
). (43)
Физико-математические науки и методика их преподавания
( S + 2 )α
и, учитывая обозначение (3),
1
2 dt .
t β +1 (t − z )
α
∞
β +1
α
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
24
24
Виктор Николаевич Столбов
Если α ≠
1
, λ ∈ N , то, применив подстановку tx = z , получим
λ
z
I g ( z ,α ) = −
( S + 2 )α α
∫
1
β−
α
1− x
dx − α z
−
1
x
0
1
z∫
z
( S + 2 )α
dx = α z
∫
0
β−
z
1
α
1− x
dx − α z
1− x
1
χ−
α
( S + 2 )α
∫
0
.
dx
=
1− x
z
1− x
)
dx + α z ln(1 −
1− x
( S + 2)α
1
∫
z
( S + 2 )α
Теперь воспользуемся формулой (29). Полагая в ней z = 1 + β −
1
, и учитывая
α
обозначение (21), будем иметь
I 9 ( z,α ) = α z ln(1 −
z
( S + 2)
α
) + I 5 ( z ,α ) + α z (C + ψ (1 + β −
1
)). (44)
α
Таким образом, подставив (42) в (41), найдем
τ
z
z
3
3 β
I
z
α
S
Φ5 ( z ,α ) = exp(−(S + ) ln(1 −
)
+
(
,
)
−
(
+
)∑
+ I9 ( z ,α )).,
1
α
2
2 τ =1τ (S + 2)ατ
(S + 2)
где
I 9 ( z ,α ) определяется равенствами (43) и (44).
Оценим теперь
вычтем
α
z ln(1 −
Φ 5 ( z ,α ) . Для этого сначала под знаком экспоненты добавим и
z
( S + 2)α
) и, учитывая, что S =
[ z]
α
, рассмотрим величину
{ }
{ }
2 − α z −α
z
3
3
α
Z − s − ) ln(1 −
) = ( z − ) ln(1 − (1 +
) )=
α z
2
2
( S + 2) α
(α
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
1
α
1− x
0
α
zt
β−
{ }
{ }
=(
α
α (2 − α z )
3
1
z − ) ln(
+ O(
)) =
α z
2
α z2
{ }
α z 
 3

 ln z + 
=
−
 2α
α 



Отсюда следует, что
3  
z −  ln α 2 −
2 

{ }
α
 1
z + O
α z

( { })
α
{ }

 .


α z
z
3
3
(α z − S − ) ln(1 −
)
=
(
−
) ln z + O(1), z → ∞.
2
( S + 2)α
2α
α
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценки одного канонического произведения
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Далее для третьего слагаемого в
Φ 5 ( z ,α ) имеем: с одной стороны
β
z
3 β
3 β 1
1
α z + )
α z
− ( S + )∑
>
−
(
=
−
+ C24 ,
∑
∑
ατ
2 τ =1 τ ( S + 2)
2 τ =1 τ
τ =1 τ
а с другой,
z
1 β 1 S
3 β
α z + )
− ( S + )∑
<
−
(
∑ ( )
2 τ =1 τ S + 2
2 τ =1 τ ( S + 2)ατ
25
ατ
=
β
1 β 1
1
1
= −(α z + )∑ (1 + O( )) = −α z ∑ + O(1), z → ∞.
2 τ =1 τ
S
τ =1 τ
Φ 5 ( z ,α ) получаем
Тогда для
{ }
β
z
3
1
1
α z
Φ5 ( z ,α) ∪∩ exp( ln z − α z ln z −α z ln(1−
−
+ I9 ( z ,α)),z →∞.
)
∑
α
2α
(S + 2)α
τ =1τ
Пусть α =
1
, λ ∈ N , тогда β =  1  = λ и применяя (43), будем иметь
ть
 α 
λ
{ }
λ
1
3λ
1
λ
λ
Φ 5 ( z , ) ∪∩ exp( ln z − z ∑ − λ z ln z ), z → ∞ .
λ
2
τ =1 τ
ёё
(45)
Φ 5 ( z , α ) ∪∩ exp(
3
1
ln z −
2α
α
{ z }ln z + (C + ψ (1 + β − α1 ) − ∑ τ1 )
β
α
α
z ), z → ∞.
τ =1
(46)
Докажем теперь оценку (23). Для этого, используя (38) и (39), из равенства (24)
будем иметь
2 1
−
2
ϕ ( z ) ∪∩ z α
(1 −
z
Sα
)(1 −
)*
z
( S + 2)α
1

* Φ 3 ( z , α )Φ 5 ( z , α ) exp(
α

где для
{ }
α
3
1

z ln z −
ln z + (α − ψ (1 + ) − C )α z ),
2α
α

(47)
Φ 3 ( z ,α ) и Φ 5 ( z , α ) справедливы соответственно оценки (36), (37), (45) и
(46).
Выражение в квадратных скобках обозначим через
различных α .
B ( z ,α ) и оценим его при
Физико-математические науки и методика их преподавания
1
, λ ∈ N , то в этом случае, учитывая равенства (44) и лемму 4, находим
λ
Если α ≠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
26
26
Виктор Николаевич Столбов
Пусть α =
1
1
, λ ∈ N , тогда β =   = λ и учитывая (37) и (45), получим
λ
α 
τ
λ −1
π
1
C
1 λ−1 1
τ z
λ 1
B( z , ) ∪∩ exp(−∑( λλ−τ − C( )) ) + z ( −ψ (1 + λ) − C + + ln z − ∑ + 2∑ )), z → ∞.
λ
λ τ
λ
λ
τ =1
τ =1 τ
τ =1 τ
Отсюда, в силу формулы [3]
λ
Ψ (1 + λ ) = ∑
1
−С
τ =1 τ
(48)
и произведя элементарные преобразования, имеем
  1 
 1
Β z ,  ∪∩ exp D z ,  , z → ∞,
 λ
  λ 
где
 1
D z ,  , определяется формулой (22).
 λ
Если λ ≠

 1
Β z ,  ∪∩ expα

 λ

1
, λ ∈ N , то, применяя оценки (36) и (46), будем иметь
λ
τ

1
1  β 1 β  1
 1 β

z
z α − C − Ψ1+  + ∑
+ C + Ψ1+ β −  − ∑  − ∑
− C(ατ)
α  τ =1τ  τ =11−ατ
 α  τ =1τ (1−ατ)

τ


, Ζ →∞,


В силу формулы [3]
n −1
Ψ ( z + n ) − Ψ (Ζ ) = ∑
1
τ =0 τ + z
Найдем, что
β
β
β
1
1
− ∑ = −∑
τ =1 τ (1 − ατ )
τ =1 τ
τ =0
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
α +∑
1
 1

= Ψ −  − Ψ1 + β − .
1
α
 α

τ−
α
1
Тогда, используя тождество [3]
Ψ (1 − Ζ ) − Ψ (Ζ ) = π ⋅ ctg π ⋅ z ,
Получим
τ

  1
1
1 β  1


 Ζ  
Β Ζ ,  ∪∩ exp α Ζ  Ψ −  − Ψ 1 +  − ∑ 
− C (ατ )
= exp(D( Ζ , α )), Ζ → ∞,.

  α
α  τ =1  1 − ατ
τ 
 λ





Таким образом, мы показали, что при всех
α >0
Β( Ζ , α )∪∩ exp(D( Ζ , α )), Ζ → ∞,
где
D( Ζ , α ) определяется равенство (22). Подставляя теперь последнюю оценку в (47),
найдем, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценки одного канонического произведения
Далее, так как
S=
1−
2 1
−
α 2
 s α 
Ζ
1 − 1 −

Ζ  (s + 1)α


 exp(D( Ζ , α )), Ζ → ∞.


[ Ζ ], то второй множитель будет равен
α

sα
s 
(ξ α , я )α −1 = α
= α 1 −


α
Ζ
Ζ 

{ Ζ }(ξ
α
α
Ζ

 s


,
1
где ξ α , я – некоторая точка из интервала  α
 . Очевидно
 Ζ 
большом
(49)
)
α −1
α ,я
s
α
Ζ
≥
,
1
чно
2 , при достаточно
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
ϕ (Ζ ) ∩ z
∪
27
Ζ . Поэтому
1−
s
Ζ
∪
∩
{ Ζ }, Ζ → ∞
α
α
Ζ
.
(50)
А для этого третьего множителя в (49) аналогично в (50) получаем
1−
Ζ
(s + 1)α
{ } 1 − { Ζ }, Ζ → ∞
α
α
 α Ζ
(θ )α −1 ∪1 − Ζ = 1 − Ζ
= α 1 −
∩
 s + 1  α ,z
s +1
s +1


α
∪
∩
α
Ζ
. (51)
Полученная оценка канонического произведения при
результатами в статье [5].
α > 1 согласуется с
Литература
1. Евграфов, М.А. Асимптотические оценки и целые функции [Текст] / М.А. Евграфов.
– М. : Наука, 1979. – 320 с.
2. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. [Текст]. В 5 т. Т. 3. Ч. 2 / В.И. Смирнов.
– М. : Наука, 1974. – 672 с.
3. Справочник по специальным функциям [Текст] / под общ. ред. М. Абрамовица,
И. Стиган. – М. : Наука, 1979. – 830 с.
4. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа [Текст]. Ч. 1 / Г. Полиа, Г. Сёге. – М. :
Наука, 1978. – 391 с.
5. Столбов, В.Н. Функциональное интерполирование в классах аналитических функций
для случая узлов с единичным показателем сходимости // Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова.
– Ишим : Изд-во ИГПИ, 2012. – № 1(6). – С. 21–28. – (Серия «Физико-математические
науки и методика их преподавания»).
Физико-математические науки и методика их преподавания
Для получения (23) осталось подставить оценки (50) и (51) в (49). Теорема доказана
полностью.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
28 Максим Витальевич Кузьмиченко,Виктор Николаевич Столбов
28
УДК 517.54
Максим Витальевич Кузьмиченко,
Виктор Николаевич Столбов,
Ишимский государственный
педагогический институт им. П.П. Ершова
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
В КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ СЛУЧАЯ УЗЛОВ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ПОРЯДКА
С ПОКАЗАТЕЛЕМ ЧЕТЫРЕ
Аннотация: В работе доказываются оценки канонических произведений и их
производных в узлах интерполяции, удовлетворяющих условию сходимости со скоростью
алгебраического порядка с показателем четыре и критерий разрешимости
интерполяционной задачи в классе функций аналитических во всей комплексной
плоскости, за исключением конечного числа особых точек. При этом оценки канонических
произведений и классов функций получены в областях, содержащих лучи, на которых
лежат узлы.
Summary: The article proves the evaluations of canonic writings and their derivations in
the junctions of interpolation which satisfy the condition of convergence with the speed of an
algebraic order having the datum “four” and the criterion of solving an interpolative task in the
class of analytical functions in the whole of a complex plane excluding the final number of both
of the points. At that the evaluations of canonic writings are obtained in the fields containing
rays on which the junctions lie.
Ключевые слова: теорема, леммы, интерполяция, аналитическая функция,
каноническое произведение.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Key words: theorem, lemmas, interpolation, analytical functioncanonic writing.
Пусть H – некоторый класс аналитических функций в области D комплексной
плоскости. {zn} – последовательность из D, а {wn} – последовательность комплексных
чисел из некоторого пространства последовательностей S. Требуется найти условия, при
которых в классе H существует функция, удовлетворяющая равенствам
f ( z n ) = wn , n=1,2….
(1)
Эти условия налагаются на классы H и S, а также на последовательность {zn}.
Подробное изложение результатов такого рода задач функционального интерполирования
изложены в монографии [1].
В данной работе рассматривается случай, когда H – класс функций A(a1, a2, …,
aN +1 ), аналитических во всей плоскости, за исключением конечного числа особых точек
a1 , a2 , ..., a N , a N +1 = ∞ , а последовательность {zn} разбивается на N+1 различных
сходящихся последовательностей
{z } → a ;...; {z } → a ; {z
(1)
n
1
(N )
n
и соответственно даны N+1 последовательность
N
( N +1)
n
}→ ∞
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функциональное интерполирование ...
(1)
n
(2)
n
(N)
n
( N +1)
m
}
(3)
Интерполяционное условие (1), таким образом, примет вид
F (z n( m ) ) = wn( m ) , n = 1,2,...; m = 1,2,..., N + 1
(4)
При сходимости последовательностей (2) со скоростью алгебраического порядка с
показателем α = 4 получены необходимые и достаточные условия на классе S правых
частей (4), обеспечивающих разрешимость поставленной задачи в классе функций A(a1,
a2, …., a N +1 ). При этом, используя разложение специальной функции в бесконечное
произведение, оценки канонических произведений и классы функций получены в областях,
содержащих лучи, на которых лежат узлы (2).
{
}
В дальнейшем сначала рассматривается одна последовательность z n( N +1) , и для
удобства значок N+1 опускается, а N и Z+ обозначают соответственно множества
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
{w }{
; w };...; {w }{
; w
29
N={1, 2, 3, …}, Z+={0, 1, 2, 3, …}.
Пусть последовательность {zn} определяется формулой
zn=n4, n=1, 2, …
(5)
Такой последовательности соответствует каноническое произведение [3]
∞
z 

ϕ ( z ) = ∏ 1 − 4 .
n 
n =1 
(6)
На основании формул [4] стр. 41, 50 функцию (6) преобразуем к виду
ϕ ( z) =
sin π 4 z sin πi 4 z
⋅
.
π4 z
π4 z
{
}
g (∆) = z : Im 4 z < ∆, ∆ > 0 .
Имеем
ϕ (z) =
sin π 4 z
π
24
z
⋅ sin πi 4 z
Для первого сомножителя получаем оценку
sin π 4 z ≤ ch(Imπ 4 z ) < chπ∆ = c1 (∆), z ∈ g (∆)
А для второго сомножителя будем иметь, считая arg 4 z = θ ,
(
)
(
)

π

sin πi 4 z ≤ ch π 4 z sin + θ   ≤ c 2 (∆) exp π 4 z cosθ < c3 (∆) exp π 4 z , z ∈ g )(∆ )
2


Следовательно
ϕ ( z) ≤
c4 ( ∆ )
z
(
)
exp π 4 z , z ∈ g ( ∆ ), z → ∞
(8)
Вычислим производную функции (7) в точках последовательности (5). Она равна
Физико-математические науки и методика их преподавания
Оценим эту функцию на множестве
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
30 Максим Витальевич Кузьмиченко,Виктор Николаевич Столбов
30
ϕ ′( z n ) =
(−1) n sin πin
, n = 1,2,3,....
4πn 5 i
(9)
Отсюда следует, что
ϕ ′( z n ) =
Учитывая неравенство [4]
c5
sin πin
n5
sin z ≥ shy , будем иметь
sin πin ≥ shy ≥ c6 exp πn.
(10)
Таким образом, для производной (9) можем написать следующую оценку
ϕ ′( z n ) ≥
c7
exp πn, n = 1,2,....
n5
(11)
Лемма 1. Пусть узлы интерполяции определяются формулой (5) и фиксированы
числа ρ ∈ Z + и
γ , p-0,75< γ <p-0,5. Для того, чтобы существовала функция f(z),
удовлетворяющая условиям
f ( zn ) = An , n = 1, 2, ...,
(
γ
(12)
)
f ( z ) ≤ c8 z exp π 4 z , z ∈ g (∆), z → ∞
(13)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
An ≤ c9 n 4γ exp(πn), n = 1,2,....
(14)
Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности
рассмотрим функцию
 z
Anϕ ( z )
f ( z) = ∑
⋅ 
n =1 ϕ ′( z n )( z − z n )  z n
∞
p

 ,

(15)
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
где ϕ (z ) и ϕ ′(z ) находятся по формулам соответственно (7) и (9). Докажем, что ряд в
правой части сходится во всей плоскости и равномерно на всяком компакте.
Обозначим через K(δ ) множество кружков вида
{
}
K (δ ) = z : z − n 4 < δ , n = 1, 2, ... ,
где δ >0 выбрано таким, чтобы эти кружки не пересекались между собой. Предположим
теперь, что z расположено вне множества K(δ ). Тогда, используя условие (14) и оценку
у
(11), получим
∞
f ( z ) ≤ c10 z ϕ ( z ) ∑
p
n =1
где обозначим p-0,5- γ
n 3− 4 ε
z − n4 ,
= ε , причем в силу условия леммы 0 < ε <
(16)
1
.
4
Заметим, что ряд в правой части (16) сходится, следовательно, ряд (15) сходится
вне множества кругов K(δ ). Далее, возьмем произвольный компакт F. Для него
о
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функциональное интерполирование ...
z = R можно провести так, что она не пересекается с множеством K(δ ). Тогда на
z ≤ R ряд (15) сходится равномерно и абсолютно. Следовательно, по второй
теореме Вейерштрасса этот ряд сходится на компакте F. Осталось доказать неравенство
окружности
(13). Имеем.
S −1
f ( z ) ≤ c10 ϕ ( z ) ∑
n =1
где
∞
z ϕ ( z ) 3− 4ε
n 3− 4 ε
n 3− 4ε
p
+ c10
S
+ c10 z ϕ ( z ) ∑ 4
,
z − n4
z − S4
n = S +1 n − z
p
(17)
s = [4 z ] – целой части [4 z ] .
Для суммы в первом слагаемом, используя оценку в [2] (см. стр. 33) при
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
z = R , что во-первых, F ⊂ {z : z ≤ R}. А во-вторых, окружность
существует такой круг
31
α = 4,
получим
s −1
∑
n =1
n 3− 4 ε
1
1
<
(c11 + ln z ), z → ∞.
ε
4
4
z −n
4x
(18)
Применяя аналогичные рассуждения как при доказательстве леммы 2.1 в [2] получим,
что
∞
∑
n = s +1
n 3− 4 ε
1
1
<
(c12 + ln z ), z → ∞,
ε
4
4
z −n
4x
(19)
а для второго слагаемого в (17), учитывая (8), будем иметь
p
z −s
4
⋅ s 3− 4ε < c13 z
p − 0.5−8
exp(π 4 z ), z ∈ g (∆), z → ∞.
(20)
Подставляя (18), (19), (20) и (8) в (17) получим неравенство (13). Лемма доказана.
Пусть теперь мы имеем последовательность { z n(m ) } , которая сходится к конечной
точке am на плоскости и удовлетворяет условию
z n( m ) = a m +
1
, n = 1,2,...
n4
(21)
Такой последовательности соответствует каноническое произведение
∞
ϕ m ( z ) = ∏ (1 −
n =1
1
).
n ( z − am )
4
(22)
С помощью преобразования
ξ=
1
z − am
(23)
Из неравенства (8) для функции (22) можем записать
ϕ m ( z ) ≤ c14 4 z − am exp{
π
4
z − am
}, z ∈ g m (∆), z → am ,
(24)
Физико-математические науки и методика их преподавания
z ϕ ( z)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
32 Максим Витальевич Кузьмиченко,Виктор Николаевич Столбов
32
где
g m (∆ ) = {z : I m
1
4
< ∆, ∆ > 0}.
z − am
Производная функции (22) в точках последовательности (21) равна
ϕ m′ ( z n( m ) ) =
(−1) n n 3 sin πin
.
4πi
(25)
Отсюда, используя неравенство (10), для производной (25) получим следующую
оценку
ϕ m′ ( zn( m ) ) ≥ c15n 3 exp{πn}, n = 1, 2, ...
(26)
Лемма 2. Пусть узлы интерполяции определяются формулой (21) и фиксированы
числа
p ∈ Z + и γ , p − 0.75 < γ < p − 0.5 . Для того, чтобы существовала функция
f m (z ) , удовлетворяющая условиям
f m ( z n( m ) ) = An( m ) , n = 1,2,...,
c16
f m ( z) ≤
z − am
exp{
π
z − am
}, z ∈ g m (∆), z → a m ,
(27)
(28)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
An( m ) ≤ c17 n 4γ exp{πn}, n = 1,2,...
(29)
Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности
рассмотрим функцию
An( m )ϕ m ( z )
z n( m ) − a m p −1
(
) ,
′ ( z n( m ) )( z − z n( m ) ) z − a m
n =1 ϕ m
∞
f m ( z) = ∑
(30)
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
где ϕ m (z ) и ϕ m′ ( z n(m ) ) определяются формулами соответственно (22) и (25). Далее
доказательство проводится, используя неравенства (24) и (26), с помощью преобразования
(23), так же как и доказательство леммы 1.
Теорема. Пусть последовательности (2) удовлетворяют условиям (5) и (21), и
заданы числа
p ∈ Z + и γ , p − 0.75 < γ < p − 0.5 . Для того, чтобы существовала
функция F(z), удовлетворяющая условиям (4) и
γ
F ( z ) ≤ c18 z exp{π 4 z }, z ∈ g N +1 (∆), z → ∞,
c19
F ( z) ≤
4
z − am
π
exp{
4
z − am
}, z ∈ g m (∆), z → a m , m = 1,2,..., N
(31)
(32)
необходимо и достаточно, чтобы для последовательностей (3) выполнялось неравенство
Wn( m ) ≤ c20 n 4γ exp{πn}, n = 1,2,..., m = 1,2,....N
(33)
Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности
положим в равенствах (12) и (27)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функциональное интерполирование ...
Wn( m )
, m = 1, 2, ..., N + 1
ϕ1 ( zn( m ) )...ϕ m −1 ( zn( m ) )ϕ m +1 ( zn( m ) )...ϕ N +1 ( zn( m ) )
(34)
и рассмотрим функцию
N +1
F ( z ) = ∑ f m ( z )[ϕ1 ( z )...ϕ m −1 ( z )ϕ m +1 ( z )...ϕ N +1 ( z )] ,
m =1
где f m (z ) и ϕ m (z ) , m = 1,2,…, N+1 определяются равенствами соответственно (15),
(30) и (6), (22). Так как условия (14), (29) и (33) отличаются только постоянными, то по
доказанному в леммах 1 и 2 ряды в правой части сходятся всюду, кроме точек аm,
m = 1, 2, …, N+1 и, кроме того, эта функция удовлетворяет условию (4).
Осталось доказать неравенство (31) и (32). Для этого при z → ∞ применяем
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
An( m ) =
33
неравенства (13) и (8), а при z → a m , m = 1, 2, …, N используем неравенства (28) и
(24). Теорема доказана.
В статье [4] оценки канонических произведений и классы функций в
интерполяционных теоремах получены по лучам, на которых расположены узлы (2), а в
настоящей работе (в частном случае) в областях, содержащих лучи, на которых лежат
узлы.
Физико-математические науки и методика их преподавания
Литература
1. Крейн, М.Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи [Текст] /
М.Г. Крейн, А.А. Нудельман. – М. : Наука, 1973. – 551 с.
2. Столбов, В.Н. Функциональное интерполирования в классах аналитических функций
для случая узлов алгебраического порядка [Текст] / В.Н. Столбов // Деп. В ВИНИТИ –
26. 02. 1988. – № 157 В 88 – М., 1988. – 41 с.
3. Маркушевич, А.И. Теория аналитических функции [Текст]. В 2 т. Т. 2. / А.И.
Маркушевич. – СПб. : Лань, 2009.
4. Столбов, В.Н. Функциональное интерполирование в классах аналитических функций
для случая с единичным показателем сходимости // Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова.
– Ишим : Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2012. – № 1(6). – С. 21–28. – (Серия «Физикоматематические науки и методика их преподавания»).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
34 Римма Борисовна Карасева
34
УДК 378.1:51
Римма Борисовна Карасева,
Сибирская государственная
автомобильно-дорожная академия
ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ
В ЗАДАЧАХ О ПРЕСЛЕДОВАНИИ
Аннотация: В статье рассматриваются задачи о преследовании в ограниченной
области. Решение задач опирается на факты из теории рядов. Рассмотрение подобных
задач на практических занятиях математикой облегчит восприятие сложного
теоретического материала студентами.
Summary: The article considers the tasks on pursuing in limited areas. Solving tasks is
based on the facts of the theory of series. Considering such tasks at practical studies on
mathematics will facilitate the perception of a complicated theoretical material by students.
Ключевые слова: теория рядов; сходимость рядов; погоня в ограниченной области;
задачи о преследовании.
Key words: theory of series, convergence of series, pursuit in a limited area, tasks on
pursuing.
ФГОС ВПО требуют введения в программу обучения задач исследовательского
характера, что вызывает у студентов интерес к изучению предмета, помогает их самообразованию, способствует формированию у студентов познавательной деятельности. В качестве
иллюстрации приводятся нескольких задач о погоне, решение которых требует
нестандартного применения фактов из теории рядов.
Зададим две точки. Обозначим их так: Л – лиса, С – собака. Задача собаки поймать
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
лису, задача лисы убежать от собаки. Считаем, что собака поймает лису тогда, когда
точки С и Л совместятся. Введём условие: пусть скорости собаки и лисы будут
одинаковыми. Покажем, что лиса всегда сможет убежать от собаки.
Задача 1. Пусть в начальный момент собака будет находиться в центре круга О,
лиса в точке Л0 на расстоянии r0 от центра, где r0 меньше радиуса круга r. Условимся, что
собака побежит так, чтобы всегда быть на отрезке ОЛ. Покажем, что лиса может выбрать
траекторию бега так, что собака не сможет ее догнать.
Для решения задачи будем строить ломаные, состоящие из бесконечного множества
всё более коротких звеньев. Нам нужно, чтобы эти ломаные имели бесконечную длину,
но целиком помещались внутри круга. Обозначим а2=r2 – r02. Теперь построим ломаную
a
;
2
Л 0 Л 1 ⊥ ОЛ 0 ;
a
Л т−1 Л m = ; Л m−1 Л m ⊥ ОЛ m−1
m
L
(рис.1):
Л 0 Л1 =
Л1 Л 2 =
a
;
3
Л 1 Л 2 ⊥ ОЛ 1 ;
…;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применение рядов в задачах о преследовании
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Л0
r0
а/2
r1
О
Л1
r2
а/3
Л2
r3
а/4
Л3
35
Рис. 1
Построенная ломаная обладает следующим свойствами:
1. Ломаная не выходит за пределы круга. Так как
ОЛ m = ОЛ m2 −1 + Л m −1 Л m2 , тоо
2
при любом m имеем:
ОЛ m2 = r02 +
m+1
a2 a2
a2
1
2
2
+
+
...
+
=
r
+
a
⋅
< r02 + a 2 = r 2 .
∑
0
2
2
2
2
2
3
(m + 1)
k =2 k
Здесь использована оценка частичной суммы сходящегося ряда:
Это не так! Так как
2. Поскольку
k 2 < k (k + 1) ⇒
∞
∞
1
1
1
<
<
= 1.
∑
∑
∑
2
2
k =1 k
k =1 k
k =1 k ⋅ ( k + 1)
1
1
и оценка не проходит..
>
2
k
k (k + 1)
Л 0 Л 1 + Л 1 Л 2 + ... + Л m−1 Л m =
∞
гармонический ряд
m +1
1
∑k
a a
a
,
+ + ... +
2 3
m +1
является расходящимся, то (при больших
и так как
m) сумма длин
k =1
первых m звеньев ломаной может быть сколь угодно велика. Таким образом, ломаная L
имеет бесконечную длину.
3. По построению каждое звено ломаной L перпендикулярно радиусу.
Перейдём к решению поставленной задачи. Лиса сумеет спастись, если будет бежать
по ломаной L. Так как
Л 0 Л 1 ⊥ ОЛ 0 , то собака не может поймать лису на Л 0 Л 1 .
Допустив противное, мы нашли бы на
Л 0 Л 1 такую точку Л, что расстояние Л 0 Л
меньше расстояния ОЛ, но этого не может быть, так как перпендикуляр
наклонной ОЛ.
Л0Л
не
короче
Физико-математические науки и методика их преподавания
1 1
1 1 1
1 + + + ... > + + + ...
4 9
2 6 12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
36 Римма Борисовна Карасева
36
Обозначим через
в точке
С1 точку, в которой будет побежать собака, когда лиса окажется
жет
Л 1. Так как С1 ∈ ОЛ 1, а Л 1 Л 2 ⊥ ОЛ 1, Л 1 Л 2 ⊥ С1 Л 1 , то собака не может
поймать лису, пока та находится на
звене ломаной:
Л 1 Л 2 . Это продолжается на каждом последующем
Л m Л m +1 ⊥ Сm Л m ,
и собака не может поймать лису на отрезке
Л m Л m +1 (ни при каком m). Так как общая длина L бесконечна, то бесконечным будетт
и время, которое лиса будет бежать по ней. Итак, ни за какое конечное время собака не
сможет поймать лису.
Задача 2. Пусть теперь, собака и лиса находятся в двух произвольных (разумеется,
различных) точках C0 и Л0 внутри круга радиуса r. Докажем, что, как бы не вела себя
собака, лиса сможет убежать от неё.
Прежде всего, лиса «строит» описанную выше ломаную L, но бежит вдоль другой
ломаной L′ , зависящей от того, что делает собака. Опишем построение ломаной L′
(рис. 2).
Сначала выберем точку Л 0′. Проведём через точку Л0 прямую l0, перпендикулярную
C0Л0. Пусть точка M0 является снованием перпендикуляра, опущенного из О на l0.
Отложим на l0 точку Л 0′ так, чтобы выполнялось равенство М 0 Л 0′ = Л 0 Л 1, где Л0Л1
– первое звено ломаной L.
l0
Л1′
М0
Л0
О
Л1
Л2
С0
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Рис. 2
Л 0 Л 0′ ≥ Л 0 Л 1 и Л 0 Л 0′ 2 = ОМ 0 2 + М 0 Л 1′2 ≤ ОЛ 0 2 + Л 0 Л 12 = ОЛ 12 .
Теперь выберем точку Л m′ +1 . Из точки Л 0 лиса бежит в Л 1′ . Так как
ак
Л 0 Л 1′ ⊥ С0 Л 0 , то, пока лиса находится на Л 0 Л 1 , собака не сможет поймать её.
Обозначим через C1 точку, в которую прибежит собака, когда лиса достигнет точки Л 1′ .
Из Л 1′ лиса должна бежать в Л 2′ . Выбор этой точки опишем сразу в общем виде.
Пусть собака и лиса находятся в точках С m и Л m . Объясним, как теперь выбрать
Л m′ +1 (рис. 3).
Проведём через Л m′ прямую lm , перпендикулярную C m Л m′ . Пусть M m –
основание перпендикуляра, опущенного из точки О на l m . Точку
у Л m′ +1 выберем на
Поэтому
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применение рядов в задачах о преследовании
Л m′ М m
на расстоянии
Л m Л m +1 от точки M m (где
де Л m Л m +1 – (n+1)-е
Л m′ Л m′ +1 ≥ М m Л m′ +1 =Л m Л m+1 .
ОЛ m′ +1. Допустим, что точку Л m′ нам удалось выбрать так, чтоо
звено ломаной L). Таким образом,
Теперь оценим
ОЛ m′ ≤ ОЛ m и выполняется неравенство
2
2
2
2
2
2
ОЛ m′ +1 = ОМ m + М m Л m′ +1 ≤ ОЛ m + Л m Л m +1 = ОЛ m +1 .
Лn+1
О
Cn
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
продолжении
37
Лn
Лn ′
ln
Лn+1′
Мn
Рис. 3
ОЛ m′ +1 ≤ ОЛ m +1. Итак, каждое звено ломаной L′ не короче
соответствующего звена L, а каждая вершина L′ расположена не дальше от центра,
Получили оценку
Иначе говоря, ломаная
круге. По построению
Л m′ Л m′ +1 ≥ Л m Л m +1 , ОЛ m′ +1 ≤ ОЛ m +1 .
L′ имеет бесконечную длину, но целиком помещается в
Cm Л m′ ⊥ Л m Л m′ +1 при любом m. Значит, собака по-прежнемуу
не сможет поймать лису. Таким образом, как бы ни вела себя собака, лиса сможет убежать
от неё.
Отметим, что задачи такого типа вызывают интерес у студентов. Упражнения по
доказательству сходимости и расходимости рядов, используемых в решении,
выполняются с энтузиазмом, поэтому решения хорошо запоминаются [1, c. 180]. Отметим,
что можно доказать, что лиса убегает от собаки также в любом сколь угодно малом
секторе. Доказывается, что две собаки могут согласованными действиями поймать лису.
Литература
1. Селевко, Г.К. Современные образовательные технологии [Текст] : учеб. пособие /
Г.К. Селевко. – М. : Нар. образование, 1998. – 256 с.
Физико-математические науки и методика их преподавания
чем соответствующая вершина L:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
38 Валентин Геннадьевич Шармин
38
УДК 514.116.3
Валентин Геннадьевич Шармин,
Тюменский государственный университет
ОГИБАЮЩИЙ КОНУС ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
СО ВЗАИМНО-ОДНОЗНАЧНЫМ СФЕРИЧЕСКИМ
ОТОБРАЖЕНИЕМ
Аннотация: Рассматривается строение огибающего конуса гиперповерхности со
взаимно-однозначным сферическим отображением в евклидовом пространстве
произвольной размерности.
Summary: The building of a circumflex cone of hyper surface with one-for-one spherical
reflection in the Euclidian space of arbitrary size is considered.
Ключевые слова: гиперповерхность, сферическое отображение.
Key words: hyper surface, spherical reflection.
В работе [1] установлено строение огибающего конуса поверхности, полярной к
данной седловой поверхности, в трехмерном евклидовом пространстве относительно
произвольной квадрики. В работе [2] этот вопрос решен для гиперповерхностей со
взаимно-однозначным сферическим отображением в евклидовом пространстве любой
размерности, причем поляритет рассматривается относительно гиперсферы. В данном
сообщении результаты работы [2] переносятся на случай параболоидов.
n
Пусть замкнутая гиперповерхность V , лежащая в (n+1) – мерном евклидовом
пространстве, задается топологическим погружением f:
классу
Sn→En+1, где f принадлежит
С k , причем k ≥ 1 , и удовлетворяет следующим условиям:
n
1. У гиперповерхности V существует непустое множество особых точек, в которых
ранг отображения f равен (n – 1), причем это множество является образом объединения
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
n
конечного числа попарно непересекающихся (n – 1) – подмногообразий сферы S ,
n
особенность на гиперповерхности V является геометрической;
n
2. Гиперповерхность V допускает взаимно-однозначное сферическое отображение
n
в следующем смысле: в каждой точке V существует единственная гиперплоскость,
называемая в дальнейшем «касательной», содержащая контингенцию гиперповерхности
в этой точке, и можно так выбрать поле нормалей к этим гиперплоскостям, что с помощью
n
n
этих нормалей будет осуществляться гомеоморфизм V на S ;
n
3. Сферический образ каждой компоненты особого множества гиперповерхности V
n
является регулярной (n – 1) – поверхностью на гиперсфере S .
Определенная выше гиперповерхность в работе [3] названа гиперповерхностью
класса
D.
n∗
В работах [3] и [4] доказано, что полярная гиперповерхность V
для
n
n
гиперповерхности V относительно некоторой гиперсферы S является регулярной.
Данный результат справедлив не только для гиперсферы, но и для других квадрик,
например, различных параболоидов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Огибающий конус гиперповерхности...
∗
∗
k – плоскость Q k трансверсально пересекает гиперповерхность V n , тогда
да
каждая компонента множества
поверхностью. Пусть
Vi
k −1∗
∗
∗
Q k I V n является (k – 1) – мерной регулярной
– одна из таких компонент. При преобразовании Лежандра
∗
k – плоскость Q k преобразуется в (n – k) – плоскость Qn–k , а при поляритете
относительно рассматриваемой квадрики компонента Vi
мерную поверхность
Vi
k −1∗
K i c (n – k) – мерной вершиной Qn–k и направляющей
∗
V n класса D.
K i является огибающей (k – 1) – параметрического семейства
«касательных» гиперплоскостей к
n–k
(n – k) – мерную вершину Q
по некоторой (n
n∗
, принадлежащую гиперповерхности V класса D.
называется огибающим конусом гиперповерхности
ТЕОРЕМА 1. Конус
преобразуется в (k – 1) –
k −1∗
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конус
Vi
k −1∗
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Пусть
39
∗
V n в точках M, лежащих на Vi
. Конус
k −1∗
. Конус
K i имеет
K i касается каждой касательной гиперплоскости
– k + 1) – плоскости , содержащейся в – плоскости . Каждая PMn − k +1
n–k
является топологическим произведением Q
n–k
из точек вершины Q
на прямую
lM , проходящую через одну
и точку M.
Рассмотрим огибающий конус
∗
K Q гиперповерхности V n класса D с вершиной в
точке Q, где точка Q является полярным образом гиперплоскости
∗
Q n , трансверсально
через P бесконечную компоненту множества
E n +1 V n . Тогда справедливаа
∗
n
K Q гиперповерхности V класса D, имеющей
эллиптическую компоненту, состоит из одной компоненты, если точка Q принадлежит P,
ТЕОРЕМА 2. Огибающий конус
и из двух компонент, если точка Q принадлежит
(
)
E n +1 V n U P .
Литература
1. Вернер, А.Л. Зависимость свойств взаимно полярных седловых поверхностей.
[Текст] // Укр. геом. сб. – 1979. – Вып. 22. – С. 29–35.
2. Шармин, В.Г. Огибающий конус гиперповерхности, полярной к данной. [Текст] /
В.Г. Шармин // Деп. в ВИНИТИ. 22.05.95. – № 1437. – В 95. – М., 1995. – 8 с.
3. Шармин, В.Г. О строении замкнутой невыпуклой гиперповерхности с биективным
сферическим отображением [Текст] // Деп. в ВИНИТИ. 23.06.82. – № 3239-82. – Л. :
ЛГПИ, 1982. – 19 с.
4. Шармин, В.Г. Замкнутые невыпуклые гиперповерхности с биективным сферическим
отображением в Е4. [Текст] // Глобальная и риманова геометрия. – Л. : ЛГПИ, 1983.
– С. 92–97.
Физико-математические науки и методика их преподавания
n∗
n∗
пересекающей гиперповерхность V . Как известно [4], у гиперповерхности V класса
D, имеющей геометрические особенности типа ребра возврата, вдоль ребра возврата
могут касаться друг друга как эллиптическая и седловая компоненты, так и две седловых
компоненты.
Пусть гиперповерхность класса D содержит эллиптическую компоненту. Обозначим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
40
40
Виктор Алексеевич Далингер
УДК 37.021
Виктор Алексеевич Далингер,
Омский государственный педагогический университет
ИННОВАЦИОННЫЕ ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
– ПРОВОДНИКИ ИДЕЙ НОВЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
СТАНДАРТОВ
Аннотация: В статье рассматриваются основные требования новых федеральных
государственных образовательных стандартов к результатам школьного образования, и
ведется речь об инновационных педагогических технологиях, способных обеспечить
достижение этих требований.
Summary: Basic requirements of new federal state educational standards to the results
of school education are considered in the article, innovative pedagogical technologies, which
are able to provide the achievement of the requirements, are conversed about.
Ключевые слова: федеральный государственный образовательный стандарт;
инновационные педагогические технологии; классно-урочная система обучения и ее
недостатки.
Key words: federal state educational standard, innovative pedagogical technologies,
system of classes and lessons.
Обновление образовательных стандартов проходило в России дважды – в 1998 и в
2004 годах. Но особых изменений в школьную жизнь эти обновления не внесли,
практически все осталось по-прежнему.
В декабре 2004 г. было принято решение Правительства РФ о разработке стандартов
второго поколения. В чем была основная необходимость разработки новых стандартов?
Стандарты первого поколения создавались в определенных исторических условиях.
Во-первых, в условиях развала Советского Союза, исчезновения сверхдержавы, резкой
смены идеологических и политических векторов нашей жизни. Эти стандарты прошли
под лозунгом деидеологизации и гуманизации образования. Вторая отличительная
особенность тех стандартов заключалась в том, что они, с одной стороны,
сконцентрировались на отборе нового содержания образования, а с другой –
формировались в условиях невнятных идеологических и политических установок.
Сейчас образование рассматривается не только как важнейший социальный институт,
но и как важнейшая социальная деятельность общества. Школа рассматривается не как
отдельное изолированное учреждение, а в сложном взаимодействии с такими
партнерскими институтами социализации, как семья, культура, религия, СМИ, виртуальное
Интернет-пространство и др.
Отличительной особенностью новых федеральных государственных образовательных
стандартов (ФГОС), принятых в 2010 г., является их личностная ориентация – отказ от
предметного центризма и переход к личностной центрации образования.
Цель образования рассматривается как подготовка человека к будущей деятельности
в обществе, а содержание образования – как освоение общих методов и форм
человеческой деятельности.
Новые стандарты отвечают идеям компетентностного подхода, который определяет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Инновационные педагогические технологии...
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
целевую ориентацию учебного процесса на формирование определенных компетенций,
отражающих готовность человека действовать в конкретных ситуациях.
ФГОС нового поколения призваны стать «проводниками» перспективных
отечественных, международных и европейских тенденций реформирования и развития
системы образования, исходя из стратегических интересов и культурно-образовательных
тенденций России.
При формировании нового школьного образовательного стандарта учитывался
мировой опыт, а также результаты проведенных в предыдущие годы в системе
российского общего образования экспериментов, в том числе по введению профильного
обучения на старшей ступени школы (эксперимент по профильному обучению проходил
в российских школах, начиная с 2002 года).
Известно, что каждому ученику свойственны свой собственный темп, скорость и
качество переработки информации, способы ее усвоения. Нужен в процессе обучения
более полный учет возрастных особенностей, интересов, склонностей и способностей
обучающихся, создания условий для обучения старшеклассников в соответствии с их
профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования
и последующей их жизнедеятельности.
Новый ФГОС позволяет ученикам самостоятельно выбирать, какие предметы и на
каком уровне изучать в 10-11 классах (сейчас старшеклассники осваивают от 18 до 21
учебных предметов).
ФГОС вводит принцип двух ключей, по которому выбираются предметы,
обязательные для изучения в старшей школе:
а) первый ключ – это шесть общих предметов: русский язык и литература, математика,
иностранный язык, история или Россия в мире, обеспечение безопасности
жизнедеятельности, физическая культура;
б) второй ключ: обязательно должен быть выбран хотя бы один предмет из шести
образовательных областей: «Филология», «Иностранные языки», «Общественные науки»,
«Математика и информатика», «Естественные науки», «Физическая культура, экология и
ОБЖ».
Новым стандартом предусмотрена возможность освоения предметов на разных
уровнях: базовом и профильном уровнях.
Для достижения результатов обучения, которые отмечены в новых федеральных
государственных образовательных стандартах, нужны соответствующие педагогические
технологии. Оставаясь лишь в рамках классно-урочной системы вряд ли можно достичь
этих результатов.
Уместно привести слова Д.И. Менделеева, который более века назад писал: «Многие
формы жизни стали новыми, а формы обучения до того уже обветшали, что пришло
время подумать об их усовершенствовании».
Относительно негативных последствий классно-урочной системы приведем
высказывания и других ученых.
М.Н. Скаткин: «Классно-урочная система стрижет всех под одну гребенку… Она
нивелирует способности, культивирует подражательную деятельность, не обеспечивает
условий для формирования творческого мышления и развития коллективизма в процессе
учебной деятельности».
М.К. Петров, А.В. Потемкин: «Классно-урочная система – массовое уничтожение
талантов».
В.В. Розанов: «Классно-урочная система – как пожирание плодов с непосаженого
дерева», что «не только не вкусно, но даже и не питательно».
Паси Маттила отметил, что многие неудачи в системе образования происходят из-за
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
42
42
Виктор Алексеевич Далингер
следующего факта: «Сегодня ученик живет в 21 веке, учат его преподаватели из 20
века, а обучение происходит в классах 19 века».
Большие надежды сегодня возлагаются на инновационные технологии обучения.
«Технология» – слово греческого происхождения (от techno – искусство, мастерство,
умелость и logos – знание). В оригинале это понятие означает «знание о мастерстве», то
есть род знаний, преломляющихся в специфической профессиональной деятельности.
Термин «технология» широко употребляется при характеристике производственных
процессов и означает «совокупность приемов и способов обработки, изготовления,
изменения состояния, свойств и других закономерностей с целью определения и
использования на практике наиболее эффективных и экономичных производственных
процессов» [6, с. 295].
«Педагогическая технология» является неточным переводом английского
«educational technology» – образовательная технология. Последний термин соответствует
англоязычному оригиналу, и в «глоссарии современного образования» [1]
рассматриваются три подхода к его определению:
а) образовательная технология как систематический метод планирования,
применения, оценивания всего процесса обучения и усвоения знания путем учета
человеческих и технологических ресурсов и взаимодействия между ними для достижения
более эффективной формы образования;
б) образовательная технология как решение дидактических проблем в русле
управления учебным процессом с точно заданными целями, достижение которых должно
поддаться четкому описанию и определению;
в) образовательная технология как выявление принципов и разработка приемов
оптимизации образовательного процесса путем анализа факторов, повышающих
образовательную эффективность, с помощью конструирования и применения приемов и
материалов, а также посредством применяемых методов.
В литературе встречаются самые различные определения понятия педагогической
технологии. Приведем некоторые из них.
Педагогическая технология – это содержательная техника реализации учебного
процесса (В.П. Беспалько).
Педагогическая технология – совокупность психолого-педагогических установок,
определяющих специальный набор и компоновку форм, методов, способов, приемов
обучения, воспитательных средств; она есть организационно-методический
инструментарий педагогического процесса (Б.Т. Лихачев).
Педагогическая технология – это описание процесса достижения планируемых
результатов обучения (И.П. Волков).
Педагогическая технология – это продуманная во всех деталях модель совместной
педагогической деятельности по проектированию, организации и проведению учебного
процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для учащихся и учителя
(В.М. Монахов).
Педагогическая технология – это комплекс, состоящий из некоторого представления
планируемых результатов обучения, средств диагностики текущего состояния обучаемых,
набора моделей обучения, критериев отбора оптимальной модели для данных конкретных
условий (В.В. Гузеев).
Педагогическая технология – это системный метод создания, применения и
определения всего процесса преподавания и усвоения знаний с учетом технических и
человеческих ресурсов и их взаимодействия, ставящий своей задачей оптимизацию
форм образования (ЮНЕСКО).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Инновационные педагогические технологии...
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
Из приведенных определений ясно, что понятие «педагогическая технология» в
образовательной практике употребляется на трех уровнях. Назовем их.
1. Общепедагогический уровень: характеризует целостный образовательный процесс
в данном регионе, учебном заведении, на определенной ступени обучения. Здесь
педагогическая технология синонимична педагогической системе: в нее включаются
совокупность целей, содержания, средств и методов обучения, алгоритм деятельности
субъектов образовательного процесса.
2. Частнометодический (предметный) уровень: употребляется в значении «частная
методика», то есть как совокупность методов и средств для реализации определенного
содержания обучения и воспитания в рамках одного предмета, класса, учителя (методика
преподавания предметов, методика компенсирующего обучения, методика работы
учителя, воспитателя).
3. Локальный (модульный) уровень: представляет собой технологию отдельных
частей учебно-воспитательного процесса, решение частных дидактических и
воспитательных задач (технология отдельных видов деятельности, формирование
понятий, воспитание отдельных личностных качеств, технология урока, усвоения новых
знаний, технология повторения и контроля материала, технология самостоятельной работы
и др.).
В структуру педагогической технологии входят:
а) концептуальная основа;
б) содержательная часть обучения: цели обучения – общие и конкретные; содержание
учебного материала;
в) процессуальная часть – технологический процесс: организация учебного процесса;
методы и формы учебной деятельности школьников; методы и формы работы учителя;
деятельность учителя по управлению процессом усвоения материала; диагностика
учебного процесса.
Укажем, каким критериям должна удовлетворять педагогическая технология.
Концептуальность – опора на определенную научную концепцию, включающую
философское, психологическое, дидактическое и социально-педагогическое обоснование
достижения образовательных целей.
Системность – наличие признаков системы: логики процесса, взаимосвязи всех
его частей, целостности.
Управляемость – возможность планирования процесса обучения, поэтапной
диагностики, варьирования средствами и методами с целью коррекции результатов.
Эффективность – гарантия достижения определенного стандарта обучения,
эффективность по результатам и оптимальность по затратам.
Воспроизводимость – возможность применения в других однотипных
образовательных учреждениях, другими субъектами.
Каждая педагогическая эпоха породила свое поколение технологий; большинство
из них продолжает существовать и развиваться. Наиболее результативная часть
исследований в области образовательных технологий сегодня концентрируется вокруг
таких генеральных идей, как: укрупнение дидактических единиц; планирование
результатов обучения; деятельностный подход; уровневая и профильная
дифференциации; развивающее обучение; психологизация образовательного процесса;
компьютеризация и т.д.
Технологический подход к образованию включает комплекс теоретических положений,
концепций, идей, принципов, механизмов в познании и практики реализации технологий
обучения и воспитания будущего поколения.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
44
44
Виктор Алексеевич Далингер
За время развития педагогической науки и практики существовали различные
технологические парадигмы:
– эмпирическая технология обучения, воздействующая на объект изучения, то есть
содержание обучения, чтобы обеспечить максимальное понимание содержания для
среднего ученика;
– алгоритмическая педагогическая технология, воздействующая на объект научения,
то есть ученика, чтобы обеспечить максимальное (даже гарантированное) усвоение
содержания каждым учеником;
– стохастическая образовательная технология, воздействующая на обучающую
среду, в которую погружены ученики, чтобы обеспечить максимальную вероятность
развития каждого ученика в желаемом направлении за счет изменения свойств среды.
Особенностью реализации ФГОС является то, что системообразующим элементом
учебного процесса служат различные виды деятельности, субъект обучения занимает
активную позицию, а деятельность является основой, средством и условием развития
личности. Такое ключевое положение в корне меняет модель взаимодействия учителя и
ученика.
При традиционном подходе, который реализовывал предметно знаниевую парадигму
образования, целью являлось вооружение учащихся знаниями, умениями и навыками;
способы общения сводились к наставлению, разъяснению, запрету, угрозам, наказаниям,
нотациям; тактика строилась на диктате и опеке; позиция учителя сводилась к реализации
учебной программы, удовлетворению требований руководства и контролирующих
инстанций; основным положением к руководству был лозунг: «Делай, как я!» и т. д.
При реализации новых ФГОС, построенных на компетентностном подходе, целью
является формирование личности, развитие индивидуальности, содействие развитию
личности (знания, умения, навыки не цель, а средства развития); способы общения
сводятся к пониманию, признанию и принятию личности, к учету точки зрения ученика,
не игнорированию его чувств и эмоций; тактика строится на идеях сотрудничества;
позиция учителя исходит из интересов ученика и перспектив его развития; положением к
руководству становятся слова: «Не рядом и не над, а вместе!», ученик полноправный
партнер и т.д.
В настоящее время в школах России реализуются следующие инновационные
педагогические технологии, которые направлены на достижение современных результатов
образования, отраженных в федеральных государственных образовательных стандартах
(таблица).
Всего Н.Н. Суртаевой [7] описано более двадцати образовательных технологий. В
связи с введением в школьную практику вариативных педагогических инструментов
акцент был сделан на использовании инновационных технологий и свободного обращения
с образовательным пространством.
Таблица
№
п/п
1
1
Название технологии
2
Модульно-рейтинговая
технология и ее
разновидности
(рейтинговая –
интенсивно-модульная,
кредитно-модульная и
др.)
Характеристика
3
Организует самостоятельную познавательную
деятельность обучающихся на основе модулей,
шкалированных по рейтинговой системе.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Инновационные педагогические технологии...
2
Технология
естественного обучения
3
Контрольнокорректирующая
технология обучения
4
Парацентрическая
технология обучения
5
Технология
полного
усвоения знаний
6
Гибкая
технология
проблемно-модульного
обучения
7
Технология
критического
мышления.
8
Технология
персонального обучения
9
Индивидуальнобригадная технология
обучения
Обратим внимание на то, что лишь та технология способна обеспечить требования к
качеству образования, заявленные в ФГОС, которая преследует цель научить учащихся
учиться, научить самостоятельности, научить добывать знания через выявление «незнаний
о своем знании».
В заключении приведем слова Маргарет Уитли: «Я увидела, что мы только начали
изобретать новые организационные формы, которыми наполнится XXI век. Чтобы быть
Физико-математические науки и методика их преподавания
2
3
Организация самостоятельной деятельности в
продвижении по индивидуальному маршруту
осуществляется с помощью трех видов общения
(парном,
естественном,
групповом),
при
доминировании естественного вида общения.
Организация самостоятельной деятельности в
процессе продвижения по индивидуальной
траектории
осуществляется
с
помощью
корректирующего контроля, корректирующих
карточек.
Самостоятельная
деятельность
индивидуализирована,
учебный
процесс
осуществляется с помощью средств обучения,
которых для выбора обучающихся, предлагается
множество,
реализация
завершается
обязательным собеседованием с учителем.
Предполагает выделение таксономии целей
усвояемого учебного материала и обеспечение
завершенности
усвоения
при
решении
таксономических задач.
Предполагает организацию обучения на основе
проблемы,
но
с
индивидуальным
образовательным маршрутом, позволяющем
им
каждому ученику реализовать свой потенциал в
удобном для него режиме.
В большей степени представляет собой
модифицированную форму урока, которая по
содержанию направлена на формирование
собственной позиции учащихся, критического
мышления к знанию.
Предполагает организацию индивидуального
обучения с помощью совокупности учебных
программ, видеозаписей, тестового материала,
которые выбирают учащиеся персонально в
процессе продвижения по индивидуальнообразовательному маршруту.
Сущность ее сводится к тому, что первоначально
учащиеся самостоятельно осваивают учебный
материал, затем в бригадах (4–6 человек)
помогают друг другу в устранении пробелов,
обнаруженных в ходе ответов на вопросы.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
1
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
46
46
Виктор Алексеевич Далингер
ответственными изобретателями и первооткрывателями, нам требуется смелость отпустить
старый мир, отказаться от большей части того, что ценили, от наших понятий о том, что
работает, а что нет. Мы должны научиться видеть мир по-новому. По известному
выражению Эйнштейна: ”…никакую проблему нельзя решить, находясь на том же уровне
сознания, при котором она возникла”».
Литература
1. Глоссарий современного образования (терминологический словарь) // Нар.
образование. – 1997. – №3. – С. 93–95.
2. Далингер, В.А. Вопросно-ответные процедуры как средство формирования
универсальных учебных действий учащихся при обучении математике [Текст] //
Фундаментальные исследования. – М. : Изд-во РАЕ, – 2013. – № 6. – Ч. 5.
– С. 1238–1242.
3. Далингер, В.А. Информационно-коммуникационные технологии в обучении
математике, их основы и дидактические функции // Наука и эпоха: моногр. / под общ.
ред. О.И. Кирикова. – М.; Воронеж : ВГПУ, 2013. – Кн. 11. – С. 166–186.
4. Далингер, В.А. Урок, отвечающий требованиям новых образовательных стандартов
[Текст] // Приоритетные направления развития науки, технологий и техники : матер.
Междунар. науч. конф. (Италия (Рим-Флоренция), 10–17 апр., 2013) // Междунар. журн.
прикладных и фундаментальных исследований. – 2013. – № 4. – С. 129–131.
5. Далингер, В.А. Федеральный государственный образовательный стандарт нового
поколения и системно-деятельностный подход в обучении математике [Текст] //
Фундаментальные исследования. – 2012. – № 6 (1). – С. 19–22.
6. Российский энциклопедический словарь [Текст] / гл. ред. А.М. Прохоров. – М. :
Большая Рос. энцикл., 2000. – 385 с.
7. Суртаева, Н.Н. Современные педагогические технологии в науке и практике [Текст]
// Специфика педагогического образования в регионах России : сб. науч. ст. 5-ой Всерос.
науч.-практич. конф. (Тюмень – Санкт-Петербург, 28 нояб. 2012 г.). В 3 ч. Ч. 1. – Тюмень;
СПб. : Изд-во ТОГИРРО, 2012. – № 1 (5). – С. 12–18.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Инновационные педагогические технологии...
Ирина Владимировна Бабичева,
Сибирская автомобильно-дорожная академия
К МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ ВАРИАЦИОННОМУ
ИСЧИСЛЕНИЮ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ
Аннотация: В статье исследуются проблемы, возникающие у студентов при
самостоятельном изучении основ вариационного исчисления, предлагается методика
изложения учебного материала по данному разделу.
Summary: The paper investigates the problems encountered by students in self-learning
the basics of variation calculation, it provides a methodology of presentatiing educational
material for this section.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
УДК 37.016:511
47
Ключевые слова: вариационное исчисление, теория, функционал, уравнение
Эйлера, экстремаль, управление, система, минимизация, средние затраты, отказы.
Key words: variation calculation; theory; functional; Euler’s equation; extreme;
management; system; minimization; the average cost; malfunction.
Физико-математические науки и методика их преподавания
Вариационное исчисление – важнейший раздел программы математической
подготовки современного инженера-выпускника технического вуза. Его изучение
позволяет будущим специалистам не только получить глубокие знания, но и вырабатывает
у них необходимые навыки для решения сложных естественнонаучных и технических
задач, в которых требуется выбор оптимальных параметров построенных разнообразных
механических систем, развивает способности к научным обобщениям и выводам [5].
В зависимости от направления инженерной подготовки выделяется различное
количество часов на изучение методов вариационного исчисления. К примеру, при
подготовке специалистов по направлению 511300 (механика, прикладная математика)
обучение студентов проходит отдельным общеобразовательным курсом «Вариационное
исчисление и методы оптимизации» в 5 семестре [6]. Общая трудоемкость дисциплины
составляет 130 часов. Из них 64 ч. – лекции, 18 ч. – практики. При подготовке специалистов
по направлению 190600 (эксплуатация наземного транспорта и транспортного
оборудования) ознакомление студентов с методами вариационного исчисления и
оптимального управления проходит обзорно в курсе высшей математики. Общая
трудоемкость раздела составляет 15 часов. На практике этот раздел, чаще всего,
преподавателями математики выносится на самостоятельное изучение.
Следует заметить, что вариационное исчисление – один из самых сложных для
усвоения разделов математики. Несмотря на то, что на сегодняшний день существует
большое количество пособий по основам вариационного исчисления, уровень их
изложения предназначен, зачастую, для читателя с достаточно высокой математической
подготовкой [3]. Задача усвоения студентами теоретического материала значительно
упрощается, если данный раздел математики читается отдельным курсом. В помощь
студентам преподаватели математики и специальных дисциплин разрабатывают учебные
пособия, включающие лекционный материал с доступным изложением основ теории
оптимального управления. Студентам показываются возможные направления применения
изложенных теоретических сведений для решения конкретных технических задач
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
48
48
Ирина Владимировна Бабичева
оптимизации. К примеру, для студентов Самарского государственного аэрокосмического
университета разработано пособие [5], куда вошли классические задачи вариационного
исчисления, задачи оптимального управления авиационными и космическими системами.
К примеру, рассмотрена задача об оптимальном выведении на орбиту спутника Земли.
Для закрепления навыков самостоятельного решения такого плана учебно-методические
пособия содержат комплекс расчетных работ [1; 5].
Цель нашего исследования – разработать для студентов, изучающих вариационное
исчисление обзорно, учебно-методическое пособие, в котором дать, по возможности,
простое и систематическое изложение основ теории оптимального управления.
Теоретические основы изложить в сжатом виде. Дать только те сведения, которые
необходимы непосредственно для решения далее разобранных задач. Данное пособие
не должно заменить студенту учебник по вариационному исчислению. Основная его
задача – ввести студента в курс вариационного исчисления. В качестве учебника можно
порекомендовать, к примеру, учебное пособие [3].
Для студентов СибАДИ (специальность 190601 «Автомобильный транспорт и
автомобильное хозяйство») нами выпущено учебное пособие «Задачи оптимального
управления на транспорте» [2]. Пособие состоит из трех глав. В первой главе
рассматривается постановка задачи оптимального управления, дается математическое
описание объекта управления, приводится классификация задач оптимального
управления. Во второй главе рассматриваются исторические задачи вариационного
исчисления, вводятся основные понятия данного раздела, проводится аналогия с
основными понятиями дифференциального исчисления, приводятся примеры по
нахождению вариации и приращения функционала. Далее приводится простейшая задача
вариационного исчисления, ее решение с выходом на дифференциальное уравнение
Эйлера. Ознакомление студентов с возможными направлениями применения теории
вариационного исчисления показывается на примере решения конкретной технической
задачи – задачи минимизации средних затрат до обнаружения отказа. Обращение к
данной задаче обусловлено рядом причин: возможностью показать этапы формализации
реальной технической задачи, т.е. перевода ее на математический язык; получение
функционала, соответствующего простейшей вариационной задаче; возможностью
решения студентами полученного уравнения Эйлера на базе знаний по решению
обыкновенных дифференциальных уравнений; получение и построение искомой
экстремали.
В данной задаче объектом управления выступает некоторая техническая система,
отказы которой обнаруживаются в результате определенных проверок, которые
проводятся, как правило, спустя некоторое время после появления отказа. Необходимо
определить такую периодичность проверок, при которой минимизируются затраты,
связанные с отказами и самими проверками.
На первом этапе формализации задачи [4] студентам предлагается принять
следующие допущения:
= об отказах технической системы становится известно только в результате
специальных проверок;
= проверки не изменяют собственных характеристик системы;
= система не может отказать во время проведения проверок;
= каждая проверка характеризуется затратами а 1;
= время пребывания аппаратуры в состоянии необнаруженного отказа до его
обнаружения связанно со штрафом а 2 на каждую единицу времени;
= проверка прекращается сразу после обнаружения отказа.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К методике обучения вариационному исчислению в техническом вузе
технического состояния системы. Время γ оценивается через интервал ∆t между двумя
проверками. Очевидно, что
∆t ≅
1
,
N ′(t )
то есть величина интервала
∆t, обратно
пропорциональна скорости изменения (приращения) функции N(t). Предполагается, что
в среднем
γ =
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Тогда в рамках принятых обозначений требуется найти моменты времени проверок
системы t1, t2, …, ti, … при которых обеспечивается минимум расходов а 1 на проверки
о
и штрафы а 2 γ , где γ – время между моментом возникновения отказа и моментом его
обнаружения.
Для построения функционала вводится непрерывная функция N(t), характеризующая
количество проверок, проведенных к моменту времени t. Эта функция монотонно
возрастает, ее целочисленные значения соответствуют моментам t1, t2, …, ti, … проверок
49
1
1 и, следовательно, для отказа, возникающего в момент
∆t =
2
2 N ′(t )
времени t, суммарные расходы a(t) могут быть определены по формуле:
a(t ) = a1 [N (t ) + 1] +
a2
.
2 N ′(t )
Среднее значение функции суммарных расходов, согласно теореме о среднем, будет
иметь вид:
аср
a2
1T
= ∫ a1 [N (t ) + 1] +
dt.
T0
2 N ′(t )
(1)
∂F d  ∂F 
a
− 
 = 0, где F = a1 [N (t ) + 1] + 2 .
∂N dt  ∂N ′ 
2N ′
Для составления уравнения Эйлера находятся частные производные:
∂F
= a1;
∂N
d  ∂F  a2 N ′′(t )

=
.
dt  ∂N ′  [N ′(t )]3
Тогда уравнение равнение Эйлера преобразуется к виду:
N ' ' (t ) −
a1
( N ' (t )) 3 = 0
a2
.
(2)
Студенты видят, что уравнение (2) представляет собой обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка с разделяющимися переменными, которое
они могут самостоятельно решить. Поэтому для них выписывается только конечный вид
общего решения:
Физико-математические науки и методика их преподавания
Тогда поставленная задача минимизации средних затрат до обнаружения отказа
сводится к нахождению функции проверок N(t), доставляющей минимум функционалу
acp за время T при граничных условиях: N(0)=0, N(T)=N0, где N0 – общее число проверок
за время T.
Сравнивая полученный функционал (1) с видом функционала простейшей
вариационной задачи, студенты делают вывод, что решение можно получить
непосредственно на основе уравнения Эйлера, которое для функционала (1) записывается
следующим образом:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
50
50
Ирина Владимировна Бабичева
N (t ) = С2 −
1
a1  2
a2 
 2С1 − 2 t  ,
a1 
a2 
(3)
где C1 и C2 – произвольные постоянные, значения которых определяются из граничных
условий: N(0)=0, N(T)=N∑.
Студентам предлагается рассмотреть случай, когда a1=a2, N∑=14; T=350, т.е.
предполагается, что стоимость плановой проверки будет равна стоимости штрафа, за
350 часов должно быть проведено 14 плановых проверок. При данных допущениях вид
общего решения значительно упрощается. Выписывается результат подстановки в
общее решение граничных условий: C1=512, C2=32. В результате оптимальная функция
проверок N(t) принимает вид:
N (t ) = 32 − 1024 − 2t .
(4)
Далее строится график функции N(t). Моменты времени проверок системы t1, t2,
…, tn, где n=14, определяются по формуле (4) из условия целочисленности N, то есть
t=0,62,120,174,224,270,312,350 (соответствующие значения оптимальной функции
проверок равны 0,2,4,6,8,10,12,14). К примеру, n=2, то имеем 2 = 32 − 1024 − 2t .
Избавляясь от иррациональности, получаем t=62.
Вид оптимальной функции проверок показывается на рисунке 1.
14
12
10
8
6
4
2
0
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
60
120
180
240
300
350
Рис. 1. Оптимальная функция проверок N(t)
В третьей главе пособия студентам предлагается выполнить расчетно-графическую
работу. Порядок ее выполнения предусматривает изучение теоретического и
практического материала по пособиям [2; 3], его конспектирование, решение задачи
минимизации средних затрат до обнаружения отказа при заданных граничных условиях,
построение оптимальной функции проверок.
Таким образом, самостоятельное изучение основ вариационного исчисления по
предлагаемому нами пособию [2] позволяет студенту получить общее представление о
методах вариационного исчисления и применить их для решения конкретной технической
задачи.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К методике обучения вариационному исчислению в техническом вузе
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Литература
1. Абдрахманов, В.Г. Решение некоторых задач вариационного исчисления
[Электронный ресурс] / В.Г. Абдрахманов, А.В. Рабчук // Современная педагогика.
– 2013. – Февр., – Ч. 1. – URL : http://pedagogika.snauka.ru/2013/02/1407.
2. Бабичева, И.В. Задачи оптимального управления на транспорте [Текст] : учеб.
пособие к курсу лекций «Исследование операций» / И.В. Бабичева, В.Ф. Гавловская.
– Омск : Изд-во СибАДИ, 2006.
3. Ванько, В.И. Вариационное исчисление и оптимальное управление [Текст] : учеб.
для вузов / В.И. Ванько, О.В. Ермошина, Г.Н. Кувыркин. – М. : Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2001.
4. Корнеев В.В. Математические основы теории оптимального управления [Текст] /
В.В. Корнеев, К.Ф. Малявко. – М. : Изд-во Академии БТВ, 1986.
5. Старинова, О.Л. Классическое вариационное исчисление [Электронный ресурс] :
учеб. пособие / О.Л. Старинова. Самарский гос. аэрокосмический ун-т. – Самара, 2002.
– URL : www.ssau.ru.
6. Программа по вариационному исчислению [Электронный ресурс]. – URL : http://
home.imm.uran.ru/iagsoft/ElePub/pub4_.html
51
Физико-математические науки и методика их преподавания
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
52
52
Татьяна Сергеевна Мамонтова
УДК 378.14
Татьяна Сергеевна Мамонтова,
Ишимский государственный
педагогический институт им. П.П. Ершова
О ВОПРОСЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ
БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
Аннотация: В статье рассматривается вопрос об организации методической
подготовки будущего учителя математики на основе компетентностного подхода к
обучению; раскрыта сущность понятия «профессионально-методическая компетентность»
будущего учителя математики, определены профессионально-методические компетенции,
входящие в ее состав, рассмотрен один из подходов к определению уровней ее
сформированности.
Summary: The article considers the issue of organizing methodical training of teachers
of mathematics-to-be based on competencies approach to education; it reveals the essence
of the notion of «professional-methodical competence» of teachers of mathematics-to-be,
professional-methodical competencies it includes are determined, and one of the approaches
to determining the level of its formation is also considered.
Ключевые слова: Федеральный государственный образовательный стандарт
высшего профессионального образования, методическая подготовка, компетентностный
подход, уровни сформированности компетентности.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Key words: Federal state educational standard of the high vocational training, methodical
training, competencies approach, level of formation of a competence.
Среди основных направлений совершенствования методической подготовки
будущего учителя в педвузе наиболее актуальным на сегодняшний день является
формирование профессиональной компетентности студента [10].
Технология компетентностного подхода к обучению обеспечивает деятельностную
направленность образовательных стандартов и возможность операционального задания
планируемых результатов обучения через систему образцов деятельности (в том числе
учебно-методических задач, решение которых студентом свидетельствует о выполнении
им требований стандарта). При этом необходимо: уточнить список
общепрофессиональных, профессиональных и специальных методических
компетенций; дать деятельностную формулировку компетенций с ориентацией на их
реальное использование в профессиональной деятельности; разработать новое
содержание образования на основе компетентностного подхода.
Основными понятиями компетентностного подхода являются понятия «компетенция»
и «компетентность». В психолого-педагогических и методических исследованиях
«компетенция» определяется как: а) совокупность взаимосвязанных качеств личности
(знаний, умений, навыков, способов деятельности), задаваемых по отношению к
определенному кругу вопросов и необходимых, чтобы качественно продуктивно
действовать по отношению к ним (А.В. Хуторской [1] и др.); б) совокупность
профессиональных знаний, умений, способов выполнения профессиональной
деятельности (Э.Ф. Зеер, О.Н. Шахматова [2] и др.); в) совокупность знаний, умений,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О вопросе методической подготовки будущего учителя математики
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
личностных качеств, способностей, необходимых для выполнения определенного вида
деятельности или общественных функций (А.А. Янгирова [3] и др.); г) деятельностные
характеристики человека (Г.К. Селевко [4] и др.); д) сфера приложения знаний, умений и
навыков человека (В.М. Монахов [5] и др.).
Следует различать «компетенции» и «образовательные компетенции»; такие
компетенции отражают цель и предметно-деятельностную составляющую обучения
студента. Например, осваивая коммуникативную компетенцию, студент учится строить
беседу на уроке, выступать с сообщением, дискутировать с однокурсниками и пр. Но
реализовать эту компетенцию в полной мере он сможет только после окончания вуза в
ходе педагогической деятельности в школе. Поэтому, во время обучения эта компетенция
будет фигурировать в качестве образовательной.
«Компетентность» определяется как: а) владение, обладание человеком
соответствующей компетенцией, включающей его личностное отношение к ней и предмету
деятельности (А.В. Хуторской и др.); б) составляющая профессионализма, в структуре
которого выделяются профессиональная востребованность, пригодность,
удовлетворенность, профессиональный успех (Э.Ф. Зеер, О.Н. Шахматова и др.);
в) совокупность знаний, умений, личностных качеств, способностей, которыми обладает
человек, выполняющий определенный вид деятельности (А.А. Янгирова и др.);
г) психическое состояние, позволяющее действовать самостоятельно, ответственно,
обладание способностью и умением выполнять определенные трудовые функции,
заключающиеся в результатах труда человека (В.М. Монахов и др.).
В соответствии с Федеральным государственным стандартом высшего
профессионального образования, в структуре понятия «профессиональная
компетентность» следует выделить три компонента: профессиональные знания,
профессиональные умения и профессионально значимые качества личности.
Тогда «профессионально-методическую компетенцию» можно определить как
совокупность профессионально-методических знаний, профессионально-методических
умений и профессионально значимых качеств личности будущего учителя математики,
необходимую для качественного выполнения им конкретных видов учебно-методической
деятельности.
«Профессионально-методическую компетентность» (ПМК) будущего учителя
математики можно определить как владение комплексом профессионально-методических
компетенций, означающее его готовность к осознанному и качественному выполнению
профессионально-методической деятельности [10].
ПМК будущего учителя математики включает следующие профессиональнометодические компетенции, разбитые нами на три группы:
Первая группа – профессионально-методические знания:
1) предметно-математическая (знание научных основ школьного курса математики
и истории его развития);
2) когнитивная (знание психолого-педагогических и методических основ обучения
и воспитания, закономерностей проектирования и организации учебно-воспитательного
процесса).
Вторая группа – профессионально-методические умения:
3) аналитическая (умение анализировать, классифицировать, систематизировать,
обобщать, переносить имеющиеся знания и умения в новые педагогические и
методические ситуации);
4) проектировочная (умение проектировать диагностируемые цели обучения, развития
и воспитания и методический инструментарий их достижения);
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
54
54
Татьяна Сергеевна Мамонтова
5) исследовательская (умение проводить исследование, анализировать его
результаты, делать выводы, планировать индивидуально-творческий стиль деятельности);
6) конструктивная (умение проектировать учебно-воспитательный процесс,
управлять им, выбирая методы, формы и средства обучения, контроля, коррекции и
оценки);
7) диагностическая (умение проводить процедуры диагностики усвоения учебного
материала, развития и воспитания учащихся в учебной деятельности и обрабатывать ее
результаты);
8) организационная (умение организовать свою педагогическую деятельность и
учебную деятельность учащихся с учетом их интересов, склонностей, потребностей и
пр.);
9) прогностическая (способность педагога интуитивно предвидеть конечный
результат обучения).
Третья группа – профессионально значимые качества личности:
10) коммуникативная (успешность межличностного взаимодействия в
профессиональной деятельности и общении, обеспечение внутригруппового и
межгруппового общения, улаживание конфликтов в детском сообществе);
11) мотивационно-ценностная (наличие мотивов, потребностей в профессиональном
саморазвитии и самосовершенствовании, ценностных ориентаций, увлеченности
педагогическим поиском, стремления к достижениям в профессионально-методической
деятельности);
12) рефлексивная (умение оценивать результаты своей деятельности, проводить
самоанализ учебно-методических действий, способность к личностному и
профессиональному саморазвитию);
13) культурно-личностная (наличие педагогического такта, терпения и толерантности
в отношениях с учащимися, общей культуры педагога и других профессионально
значимых личностных качеств).
В педагогических и методических исследованиях уровни сформированности
профессионально-методической компетентности учителя математики определены не
однозначно.
Большинство исследователей выделяют три уровня сформированности
профессионально-методической компетентности учителя математики: низкий (начальный),
средний (обязательный) и высокий (повышенный).
В соответствии с основными требованиями, предъявляемыми к любой педагогической
технологии, выделим следующие этапы формирования профессионально-методической
компетентности будущего учителя математики: 1) диагностика сформированности
профессионально-методической компетентности; 2) проектирование целей овладения
профессионально-методической компетентностью; 3) введение, усвоение и применение
нового учебного материала для выполнения учебно-методических заданий первого уровня
по образцу, с использованием частных приемов учебно-методической деятельности;
4) первичное обобщение и применение учебного материала для выполнения учебнометодических заданий второго уровня в стандартных ситуациях; 5) обобщение и
систематизация учебного материала, самоконтроль, самокоррекция его усвоения,
применение для выполнения учебно-методических заданий третьего уровня в измененных
ситуациях.
При таком подходе уровни сформированности профессионально-методической
компетентности учителя математики будут следующими:
Нулевой уровень – разрозненные методические знания – фрагментарные,
бессистемные знания репродуктивного характера о возрастных особенностях учащихся,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О вопросе методической подготовки будущего учителя математики
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
методических особенностях преподавания отдельных тем математики; неумение решать
учебно-методические задачи даже по образцу; профессионально значимые качества
личности не сформированы или не проявляются.
Первый уровень – методическая грамотность – система естественных и
приобретенных в процессе обучения знаний, умений и профессионально значимых качеств
личности; умения решать учебно-методические задачи в стандартной ситуации с помощью
извне через выполнение заданий первого уровня, с использованием частных приемов
учебно-методической деятельности или по образцу.
Второй уровень – методическая образованность – готовность выполнять учебнометодическую деятельность через самостоятельное решение учебно-методических
задач, представленных учебно-методическими заданиями второго уровня, с
использованием специальных (обобщенных) приемов учебно-методической деятельности
в соответствии с принятыми стандартами и нормами; умения действовать адекватно и
самостоятельно в стандартной ситуации.
Третий уровень – методическое мастерство – готовность самостоятельно и
творчески решать все основные типы учебно-методических задач в измененных ситуациях
через выполнение учебно-методических заданий третьего уровня с использованием
общих или самостоятельно перестроенных приемов учебно-методической деятельности.
Четвертый уровень – методическая культура – готовность творчески решать
обобщенные типы учебно-методических задач в нестандартных учебно-методических
ситуациях.
Охарактеризуем теперь возможный методический инструментарий формирования
ПМК будущего учителя математики.
Среди традиционных методов обучения, применяемых в вузе, многие исследователи
(Е.П. Белозерцев [6] и др.) выделяют: лекцию (проблемную, бинарную, визуальную,
лекцию-консультацию, лекцию-пресс-конференцию, лекцию-беседу, лекцию-дискуссию
и др.), семинар (рефераты, доклады, сообщения, «круглый стол»), практическое и
лабораторное занятие, игровые методы обучения («деловая игра», анализ учебнопрофессиональных ситуаций, «мозговая атака» и др.) и самостоятельную работу студентов
(консультация и др.). В вузе традиционно преобладает теоретическая направленность
обучения. Деятельностный подход, лежащий в основе компетентностного подхода и
предполагающий в основе выбора методов обучения ориентацию на активную
познавательную деятельность обучаемых, в вузе используется недостаточно, что снижает
уровень методической подготовки студентов.
В середине XX в. проблема совершенствования традиционных методов обучения
стала решаться в направлении поиска места для активной познавательной деятельности
обучающихся. Появились эвристический и проблемный методы обучения, подводящие
обучающихся к самостоятельному открытию знаний, совершенствованию технических
средств обучения, организации самостоятельной работы, дидактические (деловые) игры.
Основное отличие активных методов обучения от традиционных состоит в усилении
деятельностной направленности процесса обучения. Наиболее полная, на наш взгляд,
классификация активных методов обучения приводится Е.П. Белозерцевым:
1) неимитационные: всевозможные виды лекций, «круглый стол», коллоквиум,
программированное обучение, семинар, выездные занятия с тематической дискуссией,
групповая консультация, олимпиада; 2) имитационные: а) неигровые (ситуационные
решения, решение отдельных задач, обсуждение разработанных вариантов, проведение
семинара, индивидуальный тренажер, подведение итогов и оценка преподавателем
занятий), б) игровые (многовариантный выбор оптимального решения, «мозговая атака»,
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
56
56
Татьяна Сергеевна Мамонтова
деловые игры, разыгрывание ролей, игровое проектирование индивидуального
технологического процесса).
Таким образом, в практике обучения студентов используются:
1) методы и приемы формирования: а) профессиональных знаний: наглядные и
эмпирические методы обучения; б) профессиональных умений: анализ учебной
литературы, написание рефератов, проектная деятельность, имитационное моделирование
профессиональной деятельности в процессе решения учебных задач, проектирование
учебных занятий, проблемные и игровые методы, эвристическая, творческая или
исследовательская самостоятельная работа, различные формы домашних заданий,
использование алгоритмов и приемов действий, деловые игры; в) профессионально
значимых качеств личности: диалог, дискуссия, проблемный семинар, анализ
проблемных и учебных профессионально ориентированных ситуаций, проектная
деятельность, тренинг, рефлексия и самооценка учебной деятельности, рейтинговое
оценивание;
2) формы обучения – индивидуальная, групповая (в парах и микро-группах),
коллективная (в том числе тренинги).
Большинство из перечисленных методов обучения относятся к активным методам
создания нестандартных учебных ситуаций (проектная деятельность, имитационное
моделирование профессиональной деятельности, решение учебных задач, проблемные
и игровые методы, эвристическая, творческая или исследовательская самостоятельная
работа, диалог, дискуссия, проблемный семинар, рефлексия и самооценка учебной
деятельности и др.).
Итак, выделим наиболее эффективные методы формирования:
1) профессионально-методических знаний будущего учителя математики:
неимитационные активные методы обучения (проблемная и визуальная лекция, лекциябеседа, лекция-дискуссия, доклады и сообщения студентов, анализ учебно-методических
ситуаций);
2) профессионально-методических умений будущего учителя математики:
имитационные игровые и неигровые методы обучения (решение учебно-методических
задач через выполнение разноуровневых учебно-методических заданий с
использованием приемов учебно-методической деятельности, анализ учебнометодических ситуаций при решении учебно-методических задач, разработка
методических проектов по частным вопросам методики обучения математике, обсуждение
разработанных проектов, семинар, «мозговой штурм», деловая и ролевая игра, творческая
домашняя самостоятельная работа);
3) профессионально значимых качеств личности будущего учителя математики:
проблемное изложение, эвристическая беседа, исследовательская учебно-методическая
деятельность, решение учебно-методических задач, анализ учебно-методических
ситуаций, «мозговой штурм», проектная учебно-методическая деятельность, рефлексия
и самооценка учебно-методической деятельности.
В теории и методике обучения математике среди профессионально-педагогических
задач выделяются «методические задачи» как основной компонент методической
деятельности учителя, а для студента они выступают в форме «учебно-методических
задач». Методист Е.И. Лященко [7, с. 31] определяет учебно-методическую задачу как
задачу, направленную на овладение теми методическими знаниями и умениями, которые
необходимы будущему учителю математики; прямым продуктом решения учебнометодических задач является сформированность методических знаний и умений. Как
всякая учебная задача, учебно-методическая задача решается с помощью определенных
действий и операций, согласованных с целью деятельности в целом и конкретной
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О вопросе методической подготовки будущего учителя математики
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
методической задачей в частности. Каждая из поставленных методических задач требует
адекватных ей методических и учебных действий.
Будем придерживаться традиционного подхода к определению понятия «учебная
задача» (О.Б. Епишева [8] и др.) и определим учебно-методическую задачу как
обобщенную цель учебно-методической деятельности, поставленную перед студентами
и сформулированную в виде учебно-методического задания. Таким образом, учебнометодическое задание является формой представления учебно-методической задачи.
Перечислим основные типы учебно-методических задач (УМЗ) на: 1) изучение
содержания учебного материала; 2) структурно-логический и методический анализ
учебного материала; 3) проектирование целей изучения учебного материала; 5) разработку
методики формирования математического понятия (предложения), работы с задачей;
6) разработку фрагмента урока (внеклассного занятия); 7) выбор содержания и форм
контроля знаний и умений учащихся; 8) проведение фрагмента урока (внеклассного
занятия).
Однако, как отмечает О.Б. Епишева, любая классификация учебных задач условна,
т.к. «одни и те же типы учебных задач могут служить достижению нескольких
взаимосвязанных целей, переформулироваться (конкретизироваться, специализироваться
или обобщаться) в зависимости от конкретной ситуации и математического содержания».
Кроме того, одна и та же учебно-методическая задача может решаться на разных
уровнях. Говоря об уровне учебно-методической задачи, следует иметь в виду уровень
учебно-методического задания как формы ее представления.
С учетом исследований О.Б. Епишевой и др. типы учебно-методических заданий
различных уровней можно охарактеризовать следующим образом:
Первый уровень (репродуктивный) – задания: а) на различение, узнавание,
припоминание, соотнесение, понимание учебного материала (выбор ответа на вопрос из
числа предложенных; установление правильной последовательности шагов алгоритма
или приема; исключение лишнего термина по какому-либо признаку, отыскание ошибки);
б) выполняемые по образцу или с использованием частных приемов деятельности; в) в
формулировке которых задана цель деятельности, объяснена учебно-методическая
ситуация и представлены действия по их выполнению.
Второй уровень (обязательный) – задания: а) на воспроизведение, соотнесение и
понимание более сложного учебного материала (воспроизведение определений, свойств,
классификаций и пр.; обоснование выбора ответа, действие по аналогии); б) выполняемые
в стандартной ситуации, с использованием специальных приемов деятельности; в) в
формулировке которых задана цель деятельности и объяснена учебно-методическая
ситуация, требуется самостоятельно применить ранее усвоенные действия по выполнению
задания.
Третий уровень (уровень возможностей) – задания: а) на перенос усвоенного в новые
условия, рефлексию учебно-методической деятельности по выполнению учебнометодических заданий, составление приемов учебно-методической деятельности; б) с
элементами творчества, выполняемые самостоятельно в измененной ситуации, с
использованием общих или перестроенных с учетом ситуации приемов деятельности;
в) в формулировке которых задана только цель деятельности, но не ясна ситуация, в
которой цель будет достигнута, требуется уточнить ситуацию и применить ранее усвоенные
действия для выполнения задания.
Например, задача проектирования целей изучения учебного материала может быть
представлена следующими учебно-методическими заданиями:
Задание 1. В соответствии с традиционным подходом к проектированию целей урока
в действиях учителя, обучающие цели урока изучения нового материала на тему
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
58
58
Татьяна Сергеевна Мамонтова
«Нахождение дроби от числа» (Математика, 6 класс) могут быть следующие: «Продолжить
отработку навыка использования правил умножения дроби на натуральное число и дроби
на дробь при вычислении значений выражений; познакомить учащихся с правилом
нахождения дроби от числа; начать отработку умения применять изученное правило для
решения задач». Спроектируйте по данному образцу обучающие цели урока изучения
нового материала на тему «Теорема Виета» (Алгебра, 8 класс) в действиях учителя.
Задание 2. Пользуясь программой по математике и специальным приемом учебнометодической деятельности по проектированию целей урока изучения нового материала,
спроектируйте цели урока изучения нового материала на тему «Теорема Виета» (Алгебра,
8 класс) в действиях ученика.
Задание 3. Спроектируйте цели урока изучения нового материала в курсе алгебры
8-го класса на тему «Теорема Виета» в деятельностной форме. Дифференцируйте цели
по уровням усвоения учебного материала.
Как видно из характеристики уровней учебно-методических заданий, основным
средством решения учебно-методических задач в рамках деятельностного подхода к
обучению являются приемы учебной деятельности студента.
Определим прием учебно-методической деятельности как наиболее рациональный
способ учебно-методической деятельности будущего учителя математики, систему
действий, выполняемых в определенном порядке с целью решения учебно-методической
задачи.
Классификация приемов: а) частные, направленные на обучение студентов
преподаванию отдельных разделов математики (арифметики, алгебры, геометрии) при
выполнении учебно-методических заданий первого уровня; б) специальные (обобщенные),
полученные путем обобщения частных приемов и допускающие поэтому перенос на
выполнение широкого круга учебно-методических заданий второго уровня; в) общие,
применяемые в измененных или нестандартных ситуациях и направленные на выполнение
учебно-методических заданий третьего уровня по всем разделам математики.
Приведем пример общего приема учебно-методической деятельности:
Общий прием логико-математического анализа темы школьного курса
математики:
1. Изучите содержание темы по школьному учебнику.
2. Выделите основные математические понятия темы.
3. Выделите основные предложения (свойства, правила) темы.
4. Отберите ранее изученный материал (перечень понятий и предложений),
необходимый для изучения темы.
5. С учетом места темы в системе уроков одной четверти или одного полугодия
(тематическое планирование), установите время и место дальнейшего применения
рассматриваемой темы (ближняя перспектива).
6. Опираясь на программы основных школьных предметов естественноматематического цикла (математика, физика и пр.) текущего и последующих лет обучения,
установите время и место возможного применения полученных при изучении данной
темы знаний (дальняя перспектива).
Осталось выделить этапы формирования приемов учебно-методической
деятельности (УМД) будущего учителя математики: 1) диагностика сформированности
приема; 2) проектирование целей формирования приема учебно-методической
деятельности и принятие их студентами; 3) введение приема, инструктаж; 4) отработка
приема на примерах, по образцу; 5) текущий контроль и коррекция процесса
формирования приема; 6) его применение; 7) обобщение приема и обучение его переносу;
8) закрепление общего приема; 9) обучение нахождению новых приемов (табл. 1).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О вопросе методической подготовки будущего учителя математики
№
Этап
формирования
ПМК
1.
Диагностика
сформированности
профессиональнометодической
компетентности
Проектирование
целей
формирования
профессиональнометодической
компетентности
3.
Введение нового
материала,
составляющего
теоретическую
основу решения
УМЗ, организация
его применения для
выполнения
заданий первого
уровня по образцу, с
использованием
частных приемов
УМД
Применение
учебного материала
для выполнения
заданий второго
уровня в
стандартных
учебно-методических ситуациях, с
использованием
специальных
(обобщенных)
приемов УМД
Применение
материала для
выполнения
заданий третьего
уровня и с
элементами
творчества в
измененных учебнометодических
ситуациях, с
использованием
4.
5.
Методы
формирования ПМК
Актуализация опорных
знаний и умений
студентов, обеспечение
преемственности,
контроль
сформированности
компетентности
Ориентация студентов в
учебно-методической
деятельности,
мотивация к овладению
профессиональнометодической
компетентностью
Индивидуальный или
фронтальный устный
или письменный
контроль (беседа,
тестирование,
методический диктант,
контрольная работа)
Проблемное изложение
(рассказ, лекция),
иллюстративный метод
(демонстрация
видеофрагментов),
учебно-методические
ситуации решения УМЗ,
деловые игры
Повествовательное и
объяснительноиллюстративное
изложение (рассказ,
лекция, демонстрация
плакатов, слайдов,
кодопозитивов),
репродуктивные
методы (чтение
информационных
текстов, инструктаж,
выполнение заданий
первого уровня)
Объяснительноиллюстративное
изложение (рассказ,
лекция), частичнопоисковые методы
(выполнение заданий
второго уровня,
имитационные игры,
практическая работа
тренировочного,
исследовательского
характера)
Исследовательские
методы (выполнение
заданий третьего
уровня, дискуссии,
проблемно-поисковая
работа, творческие
домашние работы),
методы контроля и
самоконтроля
(тестирование,
контрольная работа,
Формирование
профессиональнометодической
компетентности на
первом уровне
(методическая
грамотность), текущий
контроль ее
сформированности
Формирование
профессиональнометодической
компетентности на
втором уровне
(методическая
образованность),
текущий контроль ее
сформированности
Формирование
профессиональнометодической
компетентности на
третьем уровне
(методическое
мастерство), итоговый
контроль ее
сформированности,
Средства
формирования
ПМК
Учебнометодические
задачи (УМЗ),
тесты
УМЗ, учебнометодические
пособия,
мультимедийный
проектор,
материалы для
проведения
дидактических игр
УМЗ, учебнометодические
пособия,
школьные
учебники, учебные
пособия,
программы и пр.,
частные приемы
УМД,
мультимедийный
проектор, учебные
плакаты, кодоскоп
УМЗ, учебнометодические
пособия, школьные учебники,
учебные пособия,
программы и пр.,
специальные
приемы УМД,
мультимедийный
проектор,
компьютер,
Интернет
УМЗ, учебнометодические
пособия,
периодические
методические
издания,
школьные
учебники, учебные
пособия,
программы и пр.,
общие приемы
Физико-математические науки и методика их преподавания
2.
Цели этапа
формирования ПМК
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Таблица 1
Методический инструментарий формирования профессиональнометодической компетентности (ПМК) студента
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
60
60
Татьяна Сергеевна Мамонтова
В качестве примера выполнения студентами учебно-методического задания приведем
последовательность их действий с опорой на прием учебно-методической деятельности.
Задание: Пользуясь приведенным ниже приемом учебно-методической деятельности,
составьте фрагмент урока математики (5 класс) по закреплению правила деления
десятичной дроби на натуральное число.
Прием организации закрепления правила деления
десятичной дроби на натуральное число:
1. Проанализируйте содержание задач № 1314–1320 из учебника [9] и отберите из
них те, которые будут предложены учащимся на уроке для закрепления правила. Решите
их.
2. Составьте задачу практического характера, аналогичную задаче, приведенной в
учебнике перед формулировкой правила. Решите ее.
3. Продумайте формы работы, содержание и место записей в процессе закрепления
правила на доске и в тетрадях учащихся.
В табл. 2 показано, как организуется деятельность студента по выполнению учебнометодического задания с опорой на частный прием УМД.
Таблица 2
Организация деятельности студента с опорой на прием УМД
Состав приема
1. Проанализируйте
содержание задач
№№ 1314–1320 из
учебника [9] и
отберите из них те,
которые будут
предложены
учащимся для
закрепления правила.
Решите их.
Деятельность студента
На закрепление правила целесообразно выбрать задачи обязательного
уровня, при решении которых процесс деления десятичной дроби на
натуральное число встречался бы, по меньшей мере, дважды, например,
№ 1315, № 1318.
Решение задачи № 1315:
2
1) 12∙6,6=79,2 (см ) – площадь 1-го прямоугольника;
2
2) 79,2 :11=7,2 (см ) – площадь 2-го прямоугольника;
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
3) 7,2 :8=0,9 (см) – ширина 2-го прямоугольника.
2. Составьте задачу
практического
характера,
аналогичную задаче,
приведенной в
учебнике перед
формулировкой
правила. Решите ее.
3. Продумайте формы
работы, содержание и
место записей в
процессе закрепления
правила на доске и в
тетрадях учащихся.
Ответ: 0,9 см.
Задача: Мальчику необходимо разрезать кусок проволоки длиной 2,8 м на 8
равных частей. Какова будет длина каждой части?
Решение:
2,8 :8=0,35 (м) – длина каждой части.
Ответ: 0,35 м.
Решение задачи № 1315 можно организовать у доски, вызывая поочередно
трех учеников для оформления каждого действия решения. Оформление
решения задачи практического характера (п. 2) выполняет ученик на
оборотной стороне доски скрыто, класс решает ее самостоятельно; затем –
проверка и самокоррекция.
Задача № 1318 – для самостоятельного решения учащимися с устным
комментарием к действиям с места. Учитель при этом индивидуально
занимается с ребятами, не усвоившими правило.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О вопросе методической подготовки будущего учителя математики
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Литература
1. Хуторской, А.В. Ключевые компетенции как компонент личностно ориентированной
парадигмы образования [Текст] // Нар. образование. – 2003. – № 2. – С. 58–64.
2. Зеер, Э.Ф. Личностно ориентированные технологии профессионального развития
специалиста [Текст] : науч.-методич. пособие / Э.Ф. Зеер, О.Н. Шахматова. – Екатеринбург,
1999. – 245 с.
3. Янгирова, А.А. К вопросу о сущности понятий «компетенция» и «компетентность»
[Текст] // Актуальные проблемы профессионального развития педагогов в системе
современного образования : теория и практика : материалы Всерос. науч.-практ. конф. –
Тюмень, 2005. – Ч. 1. – С. 53–55.
4. Селевко, Г.К. Компетентности и их классификация [Текст] // Нар. образование. –
2004. – № 4. – С. 138–143.
5. Монахов, В.М. Технологические основы проектирования и конструирования
учебного процесса [Текст] / В.М. Монахов. – Волгоград : Перемена, 1995. – 152 с.
6. Педагогика профессионального образования [Текст] : учеб. пособие для пед. вузов
/ Е.П. Белозерцев, А.Д. Гонеев, А.Г. Пашков [и др.]; под ред. В.А. Сластенина. – М. :
Академия, 2004. – 368 с.
61
Физико-математические науки и методика их преподавания
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
62
62
Ирина Геннадьевна Фомичева, Оксана Николаевна Бердюгина
УДК 37.016:511
Ирина Геннадьевна Фомичева,
Оксана Николаевна Бердюгина,
Тюменская государственная академия культуры,
искусств и социальных технологий
РАЗВИТИЕ СТУДЕНТОВ ГУМАНИТАРНОГО ВУЗА
СРЕДСТВАМИ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
Аннотация: В статье рассматривается вопрос о развитии студентов гуманитарного
вуза, на примере специальности «Социально-культурная деятельность». Формулируются
особенности преподавания математики и информационных технологий у студентов данной
специальности.
Summary: The article deals with the issue of developing students at a classical higher
educational institution on the example of the specialty called “social and cultural activity”. It
formulates the peculiarities of teaching Mathematics and Information Technologies to students
of this specialty.
Ключевые слова: студент, социально-культурная деятельность, педагогическая
компетентность, математика, информационные технологии.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Key words: student, social and cultural activity, pedagogical competence, Mathematics,
Information Technologies.
Глобальные социально-экономические, научно-технические и политические
изменения в обществе требуют коренной перестройки российской системы образования
как одного из источников интеллектуального потенциала страны. В решении этих задач
особая роль принадлежит системе профессиональной подготовки специалистов социальнокультурной сферы.
На протяжении своей истории учебные заведения культуры и искусства активно
решали проблемы улучшения подготовки квалифицированных специалистов. Однако в
последнее десятилетие многие достижения социокультурного образования оказались
утраченными.
Анализ содержания научно-теоретической и предметно-практической деятельности
специалиста в социально-культурной сфере позволяет выделить основные направления
профессиональной деятельности. К ним относятся: творческо-производственная;
организационно-управленческая; художественное руководство деятельностью
учреждения культуры; научно-методическая; проектная; педагогическая. Кроме того, в
процессе обучения специалиста для социально-культурной сферы выявляется важность
взаимосвязи культурно-просветительной деятельности с педагогической, которая
органично интегрирует воспитательные, образовательные и развивающие функции
обучения.
Одним из показателем уровня развития педагогической деятельности является
педагогическая компетенция. Последняя, относится к ключевым компетенциям, которые
относятся к общему (метапредметному) содержанию образования (согласно
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Развитие студентов гуманитарного вуза ... 63
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
классификации А.В. Хуторского). Ключевые компетентности обнаруживаются в личностнозначимой деятельности (предметно-информационной, деятельностно-коммуникативной,
ценностно-ориентационной).
Педагогическая компетентность выпускника гуманитарного вуза ориентирована на
осуществление педагогической деятельности по формированию компетенций
обучающихся, на реализацию принципов, педагогических условий, использование
технологических подходов в обучении, внешних и внутренних факторов, которые
обеспечат реализацию намеченной цели. Необходимо разработать деятельностную
составляющую (количество часов практических занятий значительно возрастает) и
обеспечить методы и формы контроля сформированности компонентов профессиональной
компетентности студентов.
Следовательно, в идеале, еще на ранних стадиях процесса обучения в вузе должны
подготовить такого специалиста, который будет обладать свойством быстрой подготовки/
переподготовки, будет способен к восприятию информации в заданной профессиональной
сфере. Одним из эффективных средств подготовки выпускника гуманитарного вуза
является предмет «Математика и информатика».
Стремительная математизация и компьютеризация практически всех областей знания
требует перестройки системы математического и информационного образования в высшей
школе. Математическое образование следует рассматривать как важнейшую
составляющую фундаментальной подготовки специалиста. Обусловлено это тем, что
математика является не только мощным средством решения прикладных задач и
универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Процесс обучения
математики не только устанавливает связи с реальной жизнью, но и систематизирует
мыслительную деятельность, без которой не возможна творческая деятельность человека.
Многими методистами отмечается, что именно математика является основным средством
развития интуиции человека.
Изучение математики является средством и источником активного интеллектуального
развития человека, его умственных способностей, ах также средством изучения
окружающего мира, его пространственных и количественных отношений, обеспечивает
готовность человека к овладению смежными дисциплинами. Отмечается, что изучение
математики делает доступным для человека образование и самообразование, помогает
осмыслить окружающий мир, сформировать развивающиеся научные представления о
реальном физическом пространстве.
Особенно важно для выпускника в социально-культурной сфере то, что математика
играет большую роль при формировании общей культуры обучаемых. Развивая такие
качества логического мышления, как способность дедуктивным рассуждениям,
абстрагированию, обобщению, анализу и др., математика содействует приобретению
рациональных качеств мышления и его выражению (порядок, точность, ясность, сжатость),
воспитывает качества личности (настойчивость, способность сосредоточиться и т.д.).
При реализации связей математики с другими видами научной и практической
деятельностями формируется научное мировоззрение. Образное мышление, формируемое
при изучении математики, обеспечивает формирование обобщенных и динамических
представлений об окружающем мире, его социальных ценностей, их эстетической и
этической оценки.
Таким образом, развитие математической культуры студента гуманитарного вуза
должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей
в общей подготовке, выработку представления о роли и месте математики в современной
цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
64
64
Ирина Геннадьевна Фомичева, Оксана Николаевна Бердюгина
абстрактными объектами и корректно использовать математические понятия и символы
для выражения количественных и качественных отношений.
Поэтому, цель изучения курса математики студентами специальности «Социальнокультурная сфера» формулируется как расширение математического кругозора студентов,
знакомство с историей развития математики и ее ролью в современном мире. Кроме
того, возможно повышение общего уровня математической культуры, то есть развитие
абстрактного и логического мышления, развитие умений проводить простейший анализ
количественной информации, использовать при решении практических задач
математические методы.
Задачами курса являются:
- освоение общих теоретических положений современной математики, ее роли в
становлении и развитии общества в целом и современных гуманитарных исследованиях
в частности;
- формирование у студентов основ математической культуры, адекватной
современному уровню и перспективам развития современного общества;
- освоение основ математического аппарата, необходимого для решения
практических задач и формирование навыков математического исследования прикладных
вопросов, а также навыков самостоятельной работы с учебной литературой по математике.
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- знать фундаментальные понятия математики; составлять алгоритмы решения
профессиональных задач; проводить первичную обработку и анализ статистической
информации;
- иметь навыки логического мышления; работы с данными наблюдений;
- иметь представление об основных понятиях и содержании предмета, его задачах;
месте и роли математики в современном мире, мировой культуре и истории;
математическом мышлении, индукции и дедукции в математике, принципах
математических рассуждений и математических доказательств; математическом
моделировании; об особенностях и проблемах математизации в профессиональной
деятельности.
Стремительная информатизация практически всех областей знания требует
рассматривать информационные технологии, как важную составляющую
фундаментальной подготовки студента. Информатизация, широкое применение
современных информационных систем в сфере науки и образования обеспечивают
принципиально новый уровень получения и обобщения знаний, их распространения и
использования.
Информационные технологии позволяют обрабатывать огромный объем информации
и получать точное знание там, где до компьютеризации превалировали интуитивные
оценки, опирающиеся на общее знание предмета и опыт.
Внедрение информационных технологий во все сферы жизни общества изменяет
структуру социума, бытовые и экономические условия жизни людей, определяет их
поведение вообще и социальное поведение в частности, влияя, таким образом, на
разнообразие и динамику социальных процессов.
Одной из основных задач для социально-культурной сферы сегодня является
измерение и анализ социальной информации, а также повышение достоверности анализа
социальных процессов. Современные студенты специальности «Социально-культурная
деятельность» должны хорошо ориентироваться в информационном пространстве в
условиях свободного доступа к любой информации.
Информационные технологии дают возможность исследователю использовать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Развитие студентов гуманитарного вуза ...
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
моделирование для анализа и прогнозирования реальных социальных процессов в
обществе. Вместе с тем использование информационных технологий требует проведения
более строгого логического анализа и уточнения исходных понятий и принципов
предметной области, а также дает возможность гораздо точнее оценить степень
доказательности способов рассуждения и достоверности выводов.
Актуальность учебного курса «Информатика» для специальности «Социальнокультурная деятельность» определяется широким внедрением информационных и
телекоммуникационных технологий во все сферы жизнедеятельности современного
общества, в том числе в сферу социально-культурной деятельности.
Основная цель курса формулируется, как формирование представлений об
информационном обществе; развитие навыков и умений целенаправленной работы с
информацией на базе новых информационных технологий.
Задачами учебного курса являются:
- освоение общих теоретических положений современной информатики, ее роли в
становлении и развитии общества в целом и современной социально-культурной
деятельности в частности;
- формирование представления об информационном обществе;
- формирование навыков использования конкретных информационных технологий и
ресурсов в различных видах профессиональной деятельности (исследовательской,
управленческой, организационной и т.д.).
В результате изучения курса студенты должны:
- знать основные понятия, связанные с информатизацией общества и ее роли в
развитии общества; требования эргономичной работы на компьютере;
- иметь представление об информационном обществе; о роли современных
информационных и телекоммуникационных технологий в современной социальнокультурной деятельности;
- иметь навыки работы на персональном компьютере, использовать внешние носители
информации для обмена данными между компьютерами, создавать резервные копии и
архивы данных и программ;
- уметь применять программные средства общего назначения для решения
профессиональных задач;
- владеть приемами антивирусной защиты информации.
Обобщая, получаем что информатико-математическое образование студентов
специальности «Социально-культурная деятельность» способствует:
- пониманию сущности метода математического и информационного моделирования
в социально-культурной деятельности человека;
- владению методом вычислительного эксперимента как деятельностью по созданию
и исследованию моделей из различных областей знаний с помощью средств ИКТ;
- обладанию навыками применения средств и методов информатики для решения
учебных задач;
- наличию представления об идеях и методах математики; о математике как
универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
- развитию умений упорядочивать, систематизировать, структурировать информацию,
пользуясь средствами информатизации;
- формированию способов визуализации информации с помощью средств ИКТ;
- развитию умений использовать современные технологии сбора, обработки, анализа
и обобщения экспериментальных данных в соответствии с проблемой исследования в
социально-культурной сфере;
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
66
66
Ирина Геннадьевна Фомичева, Оксана Николаевна Бердюгина
- пониманию роли и перспектив процессов информатизации в обществе и системе
образования;
- пониманию места и значения информационной культуры как составной части общей
культуры современного человека;
- осмыслению новых педагогических технологий, их особенностей в условиях
применения средств ИКТ в социально-культурной сфере;
- осознанию общих способов конструирования целей, содержания, методов и форм
педагогического процесса в условиях информатизации социально-культурной сферы.
Все вышесказанное подтверждает необходимость изучения студентами дисциплины
«Математика и информатика», которые гармонируют и дополняют друг друга, а также
благотворно влияют на общее развитие студента гуманитарного вуза.
Литература
1. Фомичева, И.Г. Информационная грамотность как составляющая педагогической
компетентности студентов гуманитарного вуза [Текст] / И.Г. Фомичева, О.Н. Бердюгина
// Вестник Ишимского государственного педагогического института им. П.П. Ершова.
– 2012. – № 1(6). – (Серия «Физико-математические науки методика их преподавания»).
2. Рагулина, М.И. Компьютерные технологии в математической деятельности педагога
физико-математического направления [Текст] : дис. … д-ра пед. наук / М.И. Рагулина.
– Омск, 2008.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Развитие студентов гуманитарного вуза ...
Наталья Владимировна Шилина,
Ишимский государственный
педагогический институт им. П.П. Ершова
АДАПТИВНАЯ МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
КАК ВОЗМОЖНЫЙ ВАРИАНТ ФОРМИРОВАНИЯ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
Аннотация: В статье раскрыты особенности адаптивного формирования
геометрических представлений у младших школьников на примере произвольно
выбранной недели по календарному планированию, которое охватывает в первых-третьих
классах уроки математики, ИЗО, технологии, ознакомления с окружающим миром и
природоведения, а на четвертом году изучения элементов геометрии рационально
выделить один час в неделю (за счет факультативного времени) для проведения уроков
наглядной геометрии, на которых сформированные ранее геометрические представления
систематизируются в соответствии с основными блоками формируемых представлений.
Ключевые слова: Адаптивная методическая система формирования элементарных
геометрических представлений у младших школьников (АМСФЭГП) – система методов,
форм и средств обучения младших школьников элементам геометрии, ориентированная
на усвоение геометрического материала каждым ребенком в соответствии с его
способностями и познавательными возможностями, которые зависят от уровня
интеллектуального развития и от специализации полушарий головного мозга ребенка
Key words: adaptive methodical system of forming geometrical images of schoolchildren
at primary school as a system of methods, forms and means of training primary schoolchildren
with the elements of Geometry directed to learning geometrical material by each child in
accordance with his abilities and cognitive skills which depend on the level of intellectual
development and on specializing of the hemispheres of a child“s brain.
На современном этапе развития педагогической науки и практики одной из самых
актуальных является проблема построения таких технологий обучения, которые были бы
эффективны не только в плане формирования у школьников знаний, умений и навыков,
но и в плане их психического развития.
При этом успех решения методических проблем во многом зависит от того, насколько
плодотворно учителя могут использовать результаты исследований ученых-методистов,
насколько плодотворно они могут использовать результаты тех психологических исследований,
в которых изучались особенности мышления и психической деятельности учащихся.
Физико-математические науки и методика их преподавания
Summary: The article reveals the peculiarities of adaptive forming of geometrical images
of schoolchildren at primary school on the example of a week of studies which was randomly
chosen from a calendar curriculum that includes the lessons of Mathematics, Arts, Design,
Science in the three first years of studies and it states the necessity of giving an hour a week
to study the elements of Geometry at the fourth year of studies (as an optional subject) to
have the lessons of demonstrative Geometry where geometrical images having been formed
before are classified in accordance with basic blocks of images being formed.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
УДК 37.016:511
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
68
68
Наталья Владимировна Шилина
На наш взгляд, пересмотр содержания и методики обучения геометрии в начальных
классах средней школы должен быть проведен в соответствии с изложенной выше точкой
зрения.
Как один из возможных вариантов разрешения этой проблемы мы предлагаем
методическую систему формирования элементарных геометрических представлений у
младших школьников, ориентированную на усвоение геометрического материала каждым
ребенком в соответствии с его способностями и познавательными возможностями, которые
зависят от уровня интеллектуального развития и от специализации полушарий головного
мозга у ребенка. Детям одного типа легче усвоить геометрический материал в связи с
изучением других математических вопросов, для другого типа детей создание
геометрических образов возможно лишь в процессе деятельности с моделями плоских
и пространственных геометрических фигур и с их развертками на уроках технологии, у
некоторых детей геометрический образ создается в процессе выполнения рисунка,
поэтому при разработке методической системы формирования элементарных
геометрический представлений необходимо продумать, как можно формировать
геометрические представления не только на уроках математики, но и при изучении других
предметов школьного цикла. Систему методов, форм и средств обучения младших
школьников элементам геометрии, удовлетворяющую перечисленным выше
требованиям, предлагаем назвать адаптивной методической системой формирования
элементарных геометрических представлений у младших школьников (АМСФЭГП).
При разработке АМСФЭГП мы исходим из концепции онтогенетического развития
психики человека Л.С. Выготского, согласно которой разложение социального опыта на
элементы может служить основой для структурного анализа опыта формирования
геометрических представлений, который усваивается учащимися в процессе обучения
математике, природоведению, ИЗО, технологии. Для каждого элемента социального опыта
формирования геометрических представлений нами определены учебные задачи,
обеспечивающие реализацию этого опыта и в соответствии с ними разработано
содержание обучения элементам геометрии (по блокам формируемых представлений)
для 1–4 классов, которое учитывает специфику каждого из предметов (математики,
технологии, ИЗО, ознакомления с окружающим миром, природоведения) и построено по
мере усложнения от класса к классу теоретических знаний о пространственных свойствах
предметов реального мира и практических умений воспринимать их, передавать
различными способами (складывать из развертки, изображать графически, рисунком,
аппликацией и т.п.)
Условием успешной организации работы АМСФЭГП является начальная диагностика,
позволяющая выявить индивидуально-типологические особенности детей. Для
диагностирования учащихся предлагаем использовать модифицированный тест
интеллекта «Кубики Кооса» [1, c. 17–21] и таблицы для выявления специализации
полушарий головного мозга, разработанные Майклом Гриндером [1, c. 15].
По итогам диагностирования учащихся можно сгруппировать следующим образом
(табл. 1).
Таблица 1
Уровень
Правополушарные
Левополушарные
Гармоничные
Л-П+
Л+П-
Л+П+
1П
2П
3П
1Л
2Л
3Л
1Г
2Г
3Г
интеллектуального
развития уч-ся
Высокий 1
Средний 2
Низкий 3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Адаптивная методическая система...
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
При адаптивном формировании элементарных геометрических представлений
необходимо учесть, что успешность в учебно-познавательной деятельности школьников
в значительной степени зависит от ведущего полушария головного мозга. Это нужно
учитывать и при комплектовании пар для самостоятельной работы учащихся и при
составлении адаптивных многоуровневых заданий.
Адаптивное формирование должно иметь особое строение, направленное на контроль
за достижениями ребенка в процессе обучения. Контроль осуществляется в виде
подведения итогов выполненных контрольных работ, выполненных многоуровневых
заданий, а также как индивидуальное тестирование (тесты «несуществующие животные»
и «разнеси письма», на определение развития образного мышления логические задачи
геометрического содержания и «Продолжи ряд») [2, c. 7] . В конце обучения в начальных
классах проводится ГИТ (групповое индивидуальное тестирование), которое включает
тесты, направленные на выявление способности к целостному восприятию формы
предметов и соотнесению частей геометрических фигур и предметных изображений (автор
Т.Н. Головина [2, c. 12]) и на выявление уровня сформированности анализа
(экспериментальная методика «взаимная перестановка знаков», автор А.З. Зак [2, c. 6]).
Результаты диагностики оказывают влияние на организацию самостоятельной работы
учащихся.
Как организовать самостоятельную работу всех учащихся? Как проверить ее
результаты у каждого ученика? Эта проблема становится основной заботой учителя,
осуществляющего адаптивное формирование геометрических представлений у младших
школьников. Он должен работать индивидуально с каждым учащимся на фоне
самостоятельно работающего класса. Для этого класс разбивается на пары следующим
образом:
- в статическую пару подбираются дети одного уровня (если это возможно);
- в динамической паре «парт» состоящей из 4 человек объединены попарно дети
двух близких уровней (например, 1П, 2П или 2П, 3П);
- в вариационной паре лучше объединить детей с различной типологией.
Управление индивидуальной работой учащихся осуществляется в процессе обхода
всех учащихся, после чего осуществляется включенный контроль, т. е. контроль, при
котором, наблюдая за работающей парой или группой учащихся, учитель определяет
степень самостоятельности каждого ребенка. Лишь после этого учитель работает в режиме
отключенного контроля по специальным дифференцированным материалам для
индивидуальной работы. Это позволяет учителю выявить индивидуальные способности
каждого ученика и учесть их в дальнейшем при формировании элементарных
геометрических представлений согласно календарно-тематического планирования
изучения элементов геометрии для начальной школы, которое охватывает уроки
математики, изобразительного искусства, технологии, ознакомления с окружающим миром
и природоведения, при этом учитываются возможности межпредметных связей.
Рассмотрим (в табл. 2) особенности адаптивного формирования элементарных
геометрических представлений, выбрав для этого произвольно неделю по календарному
планированию (например, 3 класс, 10, 11 недели обучения).
Учитель в соответствии с планированием выделяет время на уроках математики,
технологии, природоведения для реализации содержания, предусмотренного
планированием.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
70
70
Наталья Владимировна Шилина
Таблица 2
Математика
Технология
Природоведение
Нахождение периметра, вывод Расчет длины ленты для Решение творческой задачи
поделки по
формул для нахождения Р украшения
определению
длины
кубической формы или формы маршрута
прямоугольника и квадрата
параллелепипеда
Понедельное календарно-тематическое планирование изучения элементов геометрии
охватывает в первых-третьих классах уроки математики, ИЗО, технологии, ознакомления
с окружающим миром природоведения, а на четвертом году изучения элементов
геометрии рационально выделить один час в неделю (за счет факультативного времени)
для проведения уроков наглядной геометрии, на которых сформированные ранее
геометрические представления систематизируются в соответствии с основными блоками
формируемых представлений.
Такой подход к изучению элементов геометрии в начальных классах школы позволит
сформировать устойчивые геометрические представления у каждого ребенка в
соответствии с его способностями.
По нашему мнению, именно учет результатов психологических исследований при
создании геометрических образов у детей младшего школьного возраста с учетом их
индивидуально- типологических особенностей развития – это тот путь, который способен
обеспечить формирование устойчивых геометрических представлений в процессе
изучения цикла школьных предметов.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Литература
1. Сиротюк, А.Л. Обучение детей с учетом психофизиологии [Текст] / А.Л. Сиротюк.
– М. : Сфера, 2000. – 58 с.
2. Немов, Р.С. Психология [Текст]. В 3 кн. Кн. 3 : Экспериментальная педагогическая
психология и психодиагностика : учеб. для пед. вузов / Р.С. Немов. – М. : Просвещение
: ВЛАДОС, 1995. – 512 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Адаптивная методическая система...
Ирина Федоровна Кашлач,
Кристина Сергеевна Шагова,
Ишимский государственный
педагогический институт им. П.П. Ершова
ВОЗМОЖНОСТИ ШКОЛЬНОГО УЧЕБНИКА
МАТЕМАТИКИ ДЛЯ РАЗВИТИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ
СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ
Аннотация: Наиболее доступный источник информации для учащихся – учебник. В
нем в полной мере раскрыто содержание знаний и умений, необходимых для усвоения.
Он является средством индивидуализации обучения. От умения пользоваться учебником
на различных этапах обучения зависит степень сформированности познавательных
умений школьников. Работа по учебнику развивает учащихся умственно, в процессе
выполнения познавательной деятельности, в ограниченном единстве с познавательными
действиями и операциями.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
УДК 371.671
71
Summary: A textbook is the most popular source of information for students. It fully
presents the contents of habits and skills necessary to learn. It is a means of self-learning.
The skill to use a textbook influences upon the formation of cognitive skills of students at
different stages of studies. Textbook activity provides cognitive development of students during
learning activities combined with cognitive actions and operations in a limited way.
Key words: textbook, intellectual development, cognitive skills, text.
В последние годы перед школьным образованием поставлена задача сокращения
учебной нагрузки. Сокращение объема учебного материала без изменения принципов
конструирования образования может снизить темп и уровень интеллектуального развития
школьников.
Необходимо создать условия для активной деятельности учащихся, повысить
эффективность учебной деятельности через развитие интеллектуальных способностей и
увеличения самостоятельности школьников.
Особенности интеллекта ребенка не являются застывшими раз и навсегда данными,
а подвержены прогрессивным положительным изменениям при определенных условиях.
Наиболее доступный источник информации для учащихся – учебник. В нем в полной
мере раскрыто содержание знаний и умений, необходимых для усвоения. Он является
средством индивидуализации обучения. Учебник постоянно находится в распоряжении
каждого ученика, поэтому может быть применен в любое время. Учебник – одно из
важнейших средств формирования учения самостоятельной работы. От умения
пользоваться учебником на различных этапах обучения зависит качество знаний
обучаемых, степень сформированности у них познавательных умений.
Школьный учебник как один из важнейших компонентов системы школьного
образования имеет высокий развивающий потенциал при условии изменения принципов
его конструирования.
Физико-математические науки и методика их преподавания
Ключевые слова: учебник, интеллектуальное развитие, познавательные умения,
текст.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
72
72
Ирина Федоровна Кашлач, Кристина Сергеевна Шагова
В литературе по проблеме учебника исследователи выделяют его основную
первичную часть – текст учебника – носителя содержания образования, предметной
информации, предназначенной для усвоения. Текст – это основная словесная система
общей модели учебника, является его «основным скелетом», раскрывает его содержание,
обеспечивая последовательное и максимально полное изложение и аргументацию
учебного материала в соответствии с программой. В школьном учебнике текст представлен
тремя видами: основным, дополнительным и пояснительным.
Основной текст – вербальная структура, содержащая дидактически и методически
обработанный, систематизированный автором в строгом соответствии с учебной
программой материал. Он является главным носителем учебной информации,
обязательной для изучения и усвоения учащимися. Ядро основного текста составляют
знания об основных понятиях, законах, теоремах, теориях и способах деятельности. Он
разделен на дозы по смысловому содержанию, которые соответствуют оптимальным
возможностям по усвоению учащимися.
Единицей содержания школьных учебников является тема. В ней находят отражение
знания различного вида и способы деятельности. В структуре самой темы в качестве
единицы выделяется параграф и задания для самостоятельной работы учащихся.
Содержание параграфа раскрывает сущность в основном одного элемента знания
(понятия, закона и т.п.) или нескольких понятий.
В литературе по педагогике способы изложения материала делятся на индуктивные и
дедуктивные в зависимости от логической структуры текста. Особенности изложения текста
в целом и его частей зависят от их функций, вида отраженных в них знаний, избранной
логики изучения вопроса, психических особенностей восприятия, понимания и запоминания
письменного текста учащимися данного возраста. При дедуктивном подходе вводится
понятие, рассматриваются его признаки. При изучении фундаментальных понятий, когда
невозможно дать точного определения понятию, ограничиваются рассмотрением примеров
и описанием признаков понятия, как это предлагают методисты Е.Е. Минченков,
В.Г. Разумовский, С.И. Саранцев, А.В. Усова и др.
Учебный материал предлагается ученикам в максимальном объеме, а школьники
должны усвоить материал по минимуму стандарта.
Важной характеристикой текста является его организация, способ его изложения и
оформления. В параграфах любой структуры главное, существенное выделено шрифтом:
курсивом, полужирным, в разрядку и т.д. Это определения понятий, формулировки теорем,
формулы. Выделенное должно быть выучено и запомнено надолго.
Система изложения материала в учебнике должна определяться не только логической
структурой математики, но и закономерностями развития познавательной и
интеллектуальной деятельности школьников, что позволит формировать у школьников
логическое и научно-доказательное мышление.
В содержании и структуре учебника необходимо учесть и тот факт, что учащиеся
различны по интересам, склонностям и темпам развития. Средствами учебника
необходимо осуществлять дифференцированный подход к школьникам исходя из их
уровня подготовки, способностей, характера учебной мотивации за счет различных типов
текстов, разной сложности заданий, разных форм контроля знаний.
Ознакомление учащихся со структурой учебника, его основными компонентами,
приемами работы с текстом, символами, наглядным материалом способствует
формированию познавательных и практических умений. Работа по учебнику развивает
учащихся умственно, но не прямо, а в процессе выполнения познавательной
деятельности, в ограниченном единстве с познавательными действиями и операциями.
Известно, что при восприятии, а особенно при запоминании материала значительная
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Возможности школьного учебника математики...
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
часть учащихся пользуется больше зрительной памятью. Многие из них хуже запоминают
необходимые выводы, правила со слов учителя, но прекрасно и надолго запоминают их
после двукратного или даже однократного чтения учебника, проявляя способность
воспроизводить не только содержание, но и порядок расположения материала в
прочитанном тексте. Следовательно, лучшему усвоению знаний будет способствовать
использование на ряду со слухом и зрения учащихся, путем привлечения на уроках
печатного текста учебника для запоминания основных выводов, правил, законов.
Главное достоинство использования учебника на уроках состоит в том, что
самостоятельная работа учащихся над печатным текстом развивает их умственные
способности (память, мышление, речь), приучает их добывать знания самостоятельно
через чтение учебной книги. В связи с этим одной из актуальных проблем школьного
образования остается развитие умений самостоятельно работать с источниками
информации, т.е. умений выделять главное в материале, анализировать прочитанное,
обобщать и делать выводы.
Учебный материал должен быть подобран так, чтобы каждый ученик мог выбрать
форму работы и тип учебного материала, в соответствии со своими индивидуальными
особенностями. Специально подобранные типы текстов позволяют устанавливать
межпонятийные связи, формировать математические понятия и развивать способы
математической деятельности.
Исследования психологов и дидактов показали, что формирование умения работать
с учебной книгой идет успешнее, если обучение будет осмысленным, с активной работой
памяти и мышления. Осмысленное запоминание основывается на логических связях,
отражающих наиболее важные, существенные стороны и отношения объектов.
Запоминание учебных текстов предполагает ориентировку во всем материале, выделение
смысловых групп, установление внутригрупповых отношений и межгрупповых связей.
Процесс смыслового запоминания включает ряд логических операций: смысловая
группировка, выделение смысловых пунктов, составление плана, которые составляют
суть действий по формированию умения работать с книгой.
Смысловая группировка в учебном процессе может быть применена двумя путями:
первый – при объяснении нового материала учитель голосом выделяет основные
положения, затем с комментариями записывает их на доске. Второй путь – учащимся
выдается план изложения материала перед объяснением. Учащиеся в этом случае видят
круг освещаемых на уроке вопросов. По мере их изложения учащиеся записывают план
в тетрадь. В обоих случаях изучаемый материал будет структурированным.
В домашнюю работу обязательно включается задание на смысловую группировку
материала параграфа учебника. При этом при обсуждении домашнего задания
организуется тренировка на выделение главной мысли отдельных абзацев, затем целого
параграфа.
Структура деятельности ученика при выполнении смысловой группировки может быть
представлена так:
1) первое чтение;
2) осмысление прочитанного (определение о чем шла речь);
3) выделение главной мысли;
4) разбивка материала на части (микротемы);
5) повторное чтение материала с определением места перехода от одной мысли к
другой;
6) фиксация мест перехода в виде пункта плана.
Центральное место в этой деятельности – разбивка материала на части (микротемы).
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
74
74
Ирина Федоровна Кашлач, Кристина Сергеевна Шагова
Выделение опорных пунктов. Этот прием близок к первому, но имеет элемент
субъективности, т.к. ученик выделяет для себя «узелки на память». Ученик не
пересказывает услышанное, прочитанное, а лишь делает заметки для себя по данной
части услышанного (прочитанного) материала. Дальнейшая его работа сводится к
наполнению пунктов содержанием, которое зависит от внимательного слушания рассказа
учителя или тщательности проработки текста учебника.
Выделение главного, существенного в материале представляет большие трудности
для учащихся. Выделение главного, его анализ и запоминание облегчает работу по
усвоению нового учебного материала учеником. Формирование умения выделять главное
в тексте параграфа, по нашему мнению, следует начинать с разъяснения учащимся
структуры учебного текста, который включает основной и дополнительный материал в
виде примеров, исторических справок, интересных фактов. А.В. Усова в своих работах
показала, что главное, основное связано с описанием общих основных структурных
элементов знаний. Для естественнонаучного цикла предметов это научные факты,
понятия, законы, теории, для математического цикла предметов это понятия, теоремы,
аксиомы, способы и приемы.
Выделенные структурные элементы взаимосвязаны: на основе анализа научных
фактов (аксиом) вводятся новые научные понятия. Законы выражают связи между
понятиями. Научные теории оперируют системами понятий, т.е. тоже выражают связи
между понятиями, но более широкие.
Для выработки общего умения работать с учебной литературой важно знать
структуру знаний в каждом предмете. Следует обратить внимание учащихся на то, что
название параграфа отражает главное в нем и соответствует конкретному структурному
элементу системы предметного знания. Для выделения главного в тексте параграфа
полезно после прочтения каждой его части ответить на два вопроса: О ком или о чем
говорится в этой части текста? Что говорится об этом в этой части текста? В качестве
структурной единицы параграфа лучше брать абзац. Он содержит одну мысль,
сформулированную в первых его предложениях, затем следует аргументация или
доказательство справедливости данной мысли, приводятся примеры. Главные мысли
параграфа могут быть размещены в разных абзацах, их выделяют в тексте шрифтом
или другим каким-либо способом.
Следующий этап выделения главного – сортировка материала. Основной материал
выделен, он должен быть внимательно прочтен, проанализирован, запомнен и
воспроизведен точно. Аргументы воспроизводятся близко к тексту. Примеры бывают двух
видов – те, которые следует пересказывать своими словами и, с которыми можно только
познакомиться. Сортируя материал, ученик постепенно приучается видеть структуру
текста, его особенности.
Для выработки умения выделять в прочитанном тексте главное надо систематически
предлагать учащимся после прочтения нового параграфа ответить на вопрос: «О каком
структурном элементе системы научных знаний шла речь?» или «Какие структурные
элементы системы научных знаний содержатся в прочитанном тексте?»
Учащиеся должны уметь различать основные группы понятий в математике:
1) число, дробь;
2) функция;
3) равенство (неравенство).
С умением выделять в тексте главное связано умение составлять план прочитанного,
услышанного.
В теории обучения планы делятся на простые и сложные. В сложном плане пункты
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Возможности школьного учебника математики... 75
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
разбиты на подпункты, т.е. осуществлена градация главных мыслей, разделение их на
мысли разной степени общности. Составление сложных планов возможно в старших
классах при изучении теоретических вопросов, при подготовке сообщений и докладов
для семинаров, конференций. Благодаря развернутому плану, включающему главные
мысли об объекте исследования ученик при выступлении сможет раскрыть основное
содержание своего сообщения логично и последовательно.
Организация работы учащихся по составлению плана рассказа на первых порах
проходит непосредственно на уроке вместе с учителем, с учащимися, с записью
составленного плана в тетрадь. При этом учащимся предлагается внимательно вчитаться
в текст, обдумать его содержание, разделить материал на самостоятельные части,
озаглавить каждую, сделать вывод из прочитанного. Целесообразно на следующем уроке
провести опрос по пунктам плана. На первых порах предлагаются задания по составлению
плана на сходные в структурном отношении учебных текстов, т.к. учащимся проще
выделить опорные пункты.
В дидактической литературе по математике описана методика обучения учащихся
составлению обобщенных планов и работа учащихся по ним. При составлении планов
авторы руководствовались теориями деятельности (А.Н. Леонтьева) и поэтапного
формирования умственных действий (А.Я. Гальперина и Н.Ф. Тазызиной). Планы
обобщенного характера служат ориентировочной основой приобретения новых знаний,
позволяют учащимся ориентироваться не только в изученном, но и в изучаемом
материале; выделять логические блоки по содержанию и самостоятельно наполнять их
новой информацией.
Раскроем методику работы с обобщенным планом на основе специальных
инструкций.
На первых парах учащимся предлагается инструкция. Каждая из них разбита на три
пункта в соответствии с тремя этапами работы.
Первый этап предусматривает прочтение всего объема изучаемого материала,
ознакомление с его структурой. Это позволит в дальнейшем свободно ориентироваться
в тексте.
На втором этапе учащимся предлагается составить конспект изучаемого материала.
Пункт плана формулируется таким образом, что ответ на него требует от учащегося
проведения определенных мыслительных операций. Этот прием развивает у учащихся
навыки классификации и знакомит их с разными формами организации материала.
Использование табличной формы записи развивает умение сворачивать информацию
(при составлении таблицы) и, наоборот, разворачивать ее (при описании сведений,
заключенных в таблице, схеме), способствует развитию таких мыслительных операций,
как сравнение и сопоставление.
Учащиеся могут выбрать посильный уровень заданий. Выделяется базовый уровень,
которого должен достичь каждый, а на его основе формируются повышенные уровни
овладения материалом. Так сильные ученики переходят к заданиям повышенной
сложности, а слабые начиная с простых заданий, постепенно переходят к более сложным.
При работе над тестовыми задачами для развития самостоятельности используются
разные формы работы. Например, обнаружение ошибок в решении задач, исключение
из текста задач лишних данных и дополнение содержания недостающими данными,
решение задач различными способами.
Самостоятельно определяется форма контроля и самоконтроля, для этого
предусмотрены разноуровневые контрольные работы.
Как таковой фундаментальной функцией нового учебника выступает стимулирование
интереса учащихся к математике. Для реализации данной функции применяются
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
76
76
Ирина Федоровна Кашлач, Кристина Сергеевна Шагова
специальные приемы, усиливающие мотивацию учения и возбуждающие интерес к
предмету. Например, знания не даются в готовом виде, учащиеся должны их «добыть»
самостоятельно.
Учебник должен быть настолько интересен, чтобы ученик им зачитывался. Для этого
помимо обязательного материала, нужно включать и дополнительную интересную
информацию.
Математика – наука, которая учит логически мыслить. Без раскрытия процессов
получения теоретических выводов процесс развития логического мышления
затруднителен. Побудить детей к высказыванию различных догадок, нахождению
способов решения поможет использование в тексте системы проблемных заданий.
Для того чтобы ученики понимали для чего они изучают ту или иную новую тему в
учебнике должны быть различные исторические сведения, интересные факты и события,
способные заинтересовать и показать практическую направленность и мотивацию изучения
материала.
Наглядно-образный подход, т.е. использование рисунков, схем, таблиц, сделает
процесс изучения понятий математики более доступным.
Использование разработанных учебников позволяет сэкономить время учителя,
которое он обычно тратит на подбор индивидуальных заданий для работы с каждым
учеником. Учащиеся на уроках не будут нуждаться в строгом внешнем управлении
учителем, смогут активно принимать участие в обсуждениях и выдвигать интересные
идеи.
Итак, учебник должен быть ориентирован не на заучивание понятий, а на
формирование мотивов учения, самостоятельности, ответственного и творческого
отношения к изучению предмета.
Учащиеся будут испытывать потребность в чтении учебника не только в классе, но
и дома, реализовывать свои возможности, участвуя в диалогах на уроке, смогут
ежедневно обогащать себя новыми знаниями и умениями.
Такое обучение предоставляет шанс каждому ребенку организовать свое обучение
таким образом, чтобы максимально использовать свои возможности.
Литература
1. Гельфман, Э.Г. Психодидактика школьного учебника. Интеллектуальное
воспитание учащихся. [Текст] / Э.Г. Гельфман, М.А. Холодная. – СПб. : Питер, 2006.
– 384 с.
2. Гусев, В.А. Теоретические основы обучения математике в средней школе :
психология математического образования [Текст] / В.А. Гусев. – М. : Дрофа, 2010.
– 473 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Возможности школьного учебника математики...
Ирина Федоровна Кашлач,
Екатерина Николаевна Южакова,
Ишимский государственный
педагогический институт им. П.П. Ершова
РОЛЬ МОТИВАЦИИ И СРЕДСТВА ЕЕ ПОВЫШЕНИЯ
ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Аннотация: Недостаток сформированности мотивации учения – распространенная
проблема, которая остро стоит не только перед педагогами, но и перед самими
школьниками и их родителями. Учебная деятельность занимает практически все годы
наиболее активного становления личности, начиная с детского сада и кончая обучением
в средних и высших профессиональных учебных заведениях. Поэтому проблема ее
мотивации является одной из центральных в педагогической психологии и методике
преподавания математики.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
УДК 37.016:51
77
Summary: The lack of motivation having been formed is w wide-spread problem important
not only for teachers but students themselves and parents. Studies occupies almost all the
years of an active personal development beginning with preschool establishments and up to
studying in secondary and higher educational institutions. That is why the problem of motivating
it is one of the central for educational psychology and methods of teaching Mathematics.
Ключевые слова: учебная деятельность, мотивация, интерес, прочность знаний.
Деятельность любого человека направлена на достижение цели и носит
целенаправленный характер. Мы не производим какие-либо действия, не преследуя за
ними определенный результат, т.е. наша деятельность подразумевает наличие мотива.
Мотивируя свои действия, мы на подсознательном уровне отвечаем на вопросы: А зачем?
Для чего нам это нужно?
Под мотивацией понимают специфическую структурно-функциональную компоненту
психической системы человека, которая отражает некоторое состояние потребности в
широком смысле, а под мотивом – конкретное состояние потребности, которая
присутствует и активизируется в те моменты, когда возникают соответствующие
потребности [2].
Под мотивом учебной деятельности понимаются все факторы, обуславливающие
проявление учебной активности: потребности, цели, установки, чувство долга, интересы
и т. п. Мотивационная динамика зависит не только от уровня компетентности и энтузиазма
учащихся, но и от пристрастий учителя.
Мотивация учения формируется на разных предметах, в том числе и на математике,
так как изучение математики является основной движущей силой при формировании
логической грамотности и логического мышления школьников. Способность строго
логически мыслить и получать на основе этого надежные выводы должно стать
инструментом каждого школьника. Поэтому на уроках математики важно не только
изложение материала и овладение им на практике, но и заинтересованность учащихся в
получении этих знаний. Исходя из этого, учителю необходимо так построить
Физико-математические науки и методика их преподавания
Key words: studies, motivation, interest, soundness of knowledge.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
78
78
Ирина Федоровна Кашлач, Екатерина Николаевна Южакова
образовательный процесс, чтобы дети захотели изучать математику. Если педагог сможет
правильно смотивировать учащихся, то получаемые ими знания будут лучше усваиваться,
что в последующем приведет к математическому подходу у детей по отношению к
явлениям окружающего мира. Одной из основных задач школы является формирование
у детей прочных знаний по математике. Обучение математике должно обеспечить
надежную основу, как в отношении знаний и умений учащихся, так и в отношении их
развития для дальнейшего изучения предмета [4].
Математика – одна из самых сложных школьных дисциплин и при изучении вызывает
трудности у многих учащихся. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися
весьма велик. Личностно ориентированное обучение ученика требует, чтобы при обучении
математике учитывались потребности всех школьников с различным уровнем подготовки.
Школьник, не осознавший и не владеющий средствами самостоятельной познавательной
деятельности, не может успешно учиться. А для этого необходимы такие формы и методы
учебной работы, которые вызывали бы у учащихся потребность в данном виде
деятельности или ее результатах. Нужно соотносить каждое педагогическое действие с
потребностями и мотивами учащихся [1].
Известный педагог А.К. Маркова подчеркивала иерархичность мотивационной сферы
школьника, которая включает в себя потребность в учении, смысл учения, мотивы и
цели учения, интересы, эмоции и отношения, связанные с ним. Она обращала особое
внимание на такую категорию, как смысл учения, то есть тот личностный смысл, который
вкладывает в учебную деятельность сам ученик и который способствует его
целенаправленной познавательной деятельности. Смысл учения, как правило, опирается
на систему идеалов и ценностей, которую школьники усваивают в своем ближайшем
окружении, прежде всего в семье. Подчас транслируемое родителями негативное
отношение к школе передается детям и начинает определять их отношение к учебе. Так
же может сказываться на детях и приятие или неприятие родителями математики как
дисциплины. Интерес к предмету зачастую передается детям [5].
Мотивация бывает внутренней и внешней. Основными формами внутренней
положительной мотивации является любознательность, любопытство, необходимость знать
и расширять горизонты знаний, определена достижением какой-то внешней цели. Главной
формой внешней положительной мотивации является стремление получить положительную
отметку; одобрение учителя; одобрение учащихся; родителей; соперничество и т.д. [8].
Обычно в учении преобладают внутренние мотивации. Поэтому необходимо добиться,
чтобы внешние мотивации превратились или приблизились к внутренним.
Процесс изучения математики может оказаться мотивированным одновременно и
внутренними, и внешними мотивациями. Поэтому, при наличии внешних мотиваций, можно
постепенно создать внутренние мотивы. На первом этапе обучение регулируется внешним
образом, определенными стимулами. На втором этапе – источник контроля является
внешним, но перемены постепенно переходят во внутренние. На третьем этапе учащийся
осознает, что выполнение заданий будет иметь важное значение для него. При этом
мотивы останутся внешними. И только потом на четвертом этапе индивидуум осознает,
что выполнение заданий соответствует личным целям и намерениям, которые важны
для дальнейшего развития личности.
Недостаток сформированности мотивации учения – распространенная проблема,
которая остро стоит не только перед педагогами, но и перед самими школьниками и их
родителями. Учебная деятельность занимает практически все годы наиболее активного
становления личности, начиная с детского сада и кончая обучением в средних и высших
профессиональных учебных заведениях. Поэтому проблема ее мотивации является одной
из центральных в педагогической психологии [7].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Роль мотивации и средства ее повышения при обучении математике
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
Преподавание предметов, имеющих лишь косвенное отношение к жизни детей,
неизбежно ведет к потере интереса к учебе и росту неуспеваемости, но даже в тех
случаях, когда для преподавателя очевидна связь материала с жизнью, эта связь может
быть совсем неочевидна для ученика. Поэтому необходима специальная работа на уроке
в данном направлении, а на уроках математики особенно. Так, при изложении
математического материала сначала целесообразно предложить решение практической
задачи или привести пример реальной ситуации, в результате которых появляется
изучаемый объект. Введение теоремы также по возможности следует проводить через
реальную ситуацию, обеспечивающую формирование соответствующего образа.
Полезным может быть самостоятельный поиск связи математических знаний с жизнью.
Мотивация может рассматриваться, с одной стороны, как процесс формирования
мотива (в связи с этим говорят о стадиях ее развития: осознание потребности и постановка
цели, выбор способа ее достижения, возникновение непосредственного побуждения к
его реализации). С другой стороны, ее можно рассматривать как систему мотивов,
побуждающих субъекта к определенной деятельности (например, как комплекс
познавательных, игровых и социальных мотивов учения). Мотив представляет собой
сложное психологическое образование, побуждающее человека к проявлению
целенаправленной сознательной активности, служащее ее основанием.
Как правило, в первый класс ребенок приходит заинтересованным, любознательным,
желающим получать новые впечатления и выполнять задания учителя. Но по мере его
дальнейшего обучения в школе, особенно в подростковом возрасте, учителя все чаще
сталкиваются с негативным отношением учащегося к математике, скукой, апатией,
нежеланием посещать урок. С каждым годом у учащихся наблюдается слабая мотивация
к изучению математики. С каждым классом мотивация падает. Особенно это действуют
на мотивацию замечания, которые указывают на неумение ученика выполнять какоелибо задание, это приводит к отказу от занятий и демонстрации негативного поведения.
Снижение мотивации определяется перегруженностью программ, оторванностью изучения
материала от жизни, от потребностей учащихся.
Для формирования мотивации достижения учитель должен опираться на четыре
основных момента. Во-первых, необходимо помогать учащимся поддерживать
реалистичный (соответствующий возможностям) уровень притязаний. На уроке это
обеспечивается через подбор посильных учебных заданий, создание условий для выбора
задач разного уровня сложности и возможности скорректировать этот выбор в случае
неудачи или успеха. Возможность выбора и обсуждение с учащимися возможных путей
достижения поставленной цели способствуют становлению реалистичного уровня
притязаний.
Во-вторых, мотивация учения определяется не только тем, какие мотивы и потребности
учащихся реально вовлечены в учебную деятельность, но и теми внутренними процессами
определения психологической причинности, которые связывают с мотивацией.
Индивидуальное оценивание способствует преодолению синдрома «выученной
беспомощности». Такое название получила причинная схема, обладатели которой
убеждены, что вероятность тех или иных последствий их действий и поведения в целом
не зависит от того, что они делают. Индивидуальное оценивание помогает таким учащимся
увидеть даже незначительный прогресс в собственной деятельности, поверить в свои
силы. Именно для этой категории особенно необходимо создание ситуации успеха на
уроке, когда они сами от начала до конца правильно выполняют какое-то задание,
правильно отвечают на вопрос и т.д. Кроме индивидуального оценивания становлению
учебной мотивации способствует и ориентация ученика на самооценивание учебной
деятельности [2].
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
80
80
Ирина Федоровна Кашлач, Екатерина Николаевна Южакова
В-третьих, для развития самооценки и самостоятельности в учебной деятельности
предлагать учащимся самим оценивать свой результат после проверочной работы или
математического диктанта по следующей схеме:
- учитель диктует правильные ответы;
- ученики отмечают знаками «+» или «-» свои результаты;
- учитель отвечает на вопросы учеников;
- обсуждается норма оценки и выставляется отметка;
В-четвертых, для формирования мотивации достижений в учебной деятельности
необходимо наличие активно-положительной установки учителя по отношению к каждому
ученику. При ее наличии учитель доброжелателен со всеми, имеет позитивные ожидания
по отношению ко всем, и особенно к трудным учащимся, показывает огорчение при
неудачах и возникновении проблем, открыто говорит об этом ученикам.
Особое место среди мотивов учебной деятельности занимает познавательный
интерес, который тесно связан с познавательной потребностью.
Ответственность учеников за учебу, достижения в ней – мечта каждого учителя.
Одну такую тактику обучения, ведущую к передаче ответственности, для детей, имеющих
трудности в обучении описал М. Раттер. Она состоит из нескольких этапов, следуя
которым, учитель может установить контакт с ребенком, преодолеть возникшее у него
отрицательное отношение к учебе и добиться того, чтобы ребенок успешнее обучался по
математике и сам следил за своими успехами.
1. Педагог должен пробудить у ребенка интерес к предмету и предоставить
возможность поверить в собственные силы и способствовать достижению успеха.
М. Раттер советует использовать не только личные качества учителя, но и всевозможные
педагогические хитрости. Для того чтобы у ребенка возникла вера в собственные силы,
учителю придется ввести для него иную систему оценивания результатов.
2. Учитель должен оценить, что известно, что неизвестно ученику по его предмету с
тем, чтобы разработать программу обучения. Оценка обычно проводится с помощью
специальных тестовых заданий.
3. Программа обучения таких учеников должна быть разбита на серию мелких шагов.
Такое поэтапное обучение и позволит ребенку самому следить за собственным прогрессом,
то есть облегчить задачу и педагогу, и ребенку.
4. Программу следует сконструировать таким образом, чтобы она обеспечивала
быстрое достижение успеха. Как правило, дети, имеющие трудности, обладают
длительным опытом неуспеха и разочарования в собственных возможностях, и поэтому
первостепенное значение приобретает момент осознания ими того, что они могут успешно
учиться.
5. Учитель и ученик должен работать в тесном взаимодействии, обеспечивающем
возможность обратной связи, благодаря которой они могут оценивать достижения и
определить зоны трудностей.
6. Должна быть установлена система поощрений за успех и выполнение заданий.
Это не обязательно должны быть стандартные оценки, которые долгое время будут
невысокими. Важно при этом перенести акцент в оценках с неуспеха на успех.
Для повышения мотивации учащихся имеет значение коммуникативное поведение
учителя, тон речи, оправданность использования оценочных суждений, манера обращения
к учащимся, умение поддержать контакт с ними, характер мимики, движений, жестов,
сопутствующих речь [6].
Роль педагога призвана обеспечить:
- положительное воздействие учителя на сознание, чувства учеников с целью
формирования, коррекции их убеждений и мотивов деятельности;
- полноценное восприятие, осознание, закрепление знаний в процессе обучения;
- рациональную организацию учебной и практической деятельности учащихся.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Роль мотивации и средства ее повышения при обучении математике
Физико-математические науки и методика их преподавания
Литература
3. Гусев, В.А. Внеклассная работа по математике в 6–8 классах [Текст] / В.А. Гусев.
– М. : Просвещение, 1984. – 286 с.
4. Кручинина, Г.А. Новые информационные технологии в учебном процессе.
Мультимедийные обучающие программы [Текст] / Г.А. Кручинина. – Н. Новгород, 2000.
– 250 с.
5. Леонтьев, А.Н. Деятельность, сознание, личность [Текст] / А.Н. Леонтьев. – М. :
Политиздат, 1975. – 304 с.
6. Ломов, Б.Ф. Методические и теоретические проблемы психологии [Текст] /
Б.Ф. Ломов. – М. : Просвещение, 1984. – 205 c.
7. Маркова, А.К. Формирование мотиваций учения [Текст] : кн. для учителя
/ А.К. Маркова. – М. : Просвещение, 1992. – 192 с.
8. Маркова, А.К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте [Текст] :
пособие для учителя / А.К. Маркова. – М. : Просвещение, 1983. – 96 с.
9. Маркова, А.К. Формирование мотивации учения [Текст] : кн. для учителя
/ А.К. Маркова. – М. : Просвещение, 1990. – 192 с.
10. Родионов, М.А. Мотивация учения математике и пути ее формирования [Текст] /
М.А. Родионов. – Саранск : Поволжск, 2001. – 252 с.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Возникает вопрос, какими способами можно создать заинтересованность учащихся
на уроках математики и поддерживать их активность на всем его протяжении? В связи с
этим педагогами и психологами ведутся поиски новых эффективных методов обучения
и таких методических приёмов, которые активизировали бы мысль школьников,
стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.
Одним из эффективных средств пробуждения интереса к предмету наряду с другими
методами является дидактическая игра.
С помощью дидактических игр ребёнок наблюдает, сравнивает, сопоставляет,
классифицирует предметы по тем или иным признакам, производит доступные ему
анализы, делает обобщение, систематизирует и строит математические модели реальных
ситуаций. В процессе игры у детей вырабатывается привычка сосредотачиваться, мыслить
самостоятельно, развивается внимание, стремление к занятиям. Увлёкшись, дети не
замечают, что учатся, познают новое, ориентируются в необычных ситуациях, пополняют
запас представлений, понятий, развивают фантазию. Даже самые пассивные из детей
включаются в игру с огромным желанием, прилагают все усилия, чтобы не подвести
товарищей по игре. Во время игры дети, как правило, очень внимательны, сосредоточены,
дисциплинированны.
Уроки по математике в форме дидактической игры лучше всего проводить с учащимися
5–7 классов. Для старших детей при проведении уроков математики следует учесть то, что
они растут и развиваются в век информационных технологий, поэтому им лучше
демонстрировать «плоды процесса информатизации». Это могут быть различные презентации,
электронные лабораторные работы, использование электронных учебников и т.д.
Электронные учебники рассматриваются как дополнения к традиционному учебнику
математики. Электронный учебник – компьютерное, педагогическое программное
средство, предназначенное, в первую очередь, для предъявления новой информации,
дополняющей печатные издания, служащее для индивидуального и индивидуализированного обучения и позволяющее в ограниченной мере тестировать полученные знания и
умения обучаемого.
Очевидно, со временем появятся новые средства мотивации учащихся при обучении
математике. Это будет зависеть от образовательных запросов общества и актуальных
интересов учеников.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
82
82
Татьяна Анатольевна Полякова
УДК 37.01
Татьяна Анатольевна Полякова,
Сибирская государственная
автомобильно-дорожная академия
ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ФОРМИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ
ВЕРОЯТНОСТНОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ
Аннотация: В статье рассмотрено понятие вероятностного мышления и выделены
его основные компоненты. На основе анализа результатов исследований отечественных
и зарубежных психологов выделены основные психолого-педагогические аспекты его
формирования и развития.
Summary: The article considers the concept of probabilistic thinking and highlights its
main components, and on the basis of the analysis of research results of domestic and foreign
psychologists identifies the main psycho-pedagogical aspects of its formation and development.
Ключевые слова: Вероятностное мышление; мышление; стохастика; вероятность;
статистика; комбинаторика.
Key words: probabilistic thinking, thinking, scholastics, probability, statistics, combinatorial
calculus.
В современном образовании важную роль играет гуманистическая направленность
обучения, когда в центр учебно-воспитательного процесса ставится личность учащегося,
а одной из основных задач становится развитие личностных качеств и, в частности,
познавательной сферы учащихся. В сферу интересов личности входит умение
адаптироваться к новым жизненным условиям: анализировать ситуацию, адекватно
изменять организацию своей деятельности, уметь владеть средствами коммуникации,
добывать информацию и пользоваться ею. Если с этой точки зрения обратиться к целям
школьного математического образования, то одной из первоочередных и важнейших
задач является развитие мышления учащихся. Развивая мышление учащихся, учительпредметник не только использует рекомендации психологов, но и учитывает специфику
их применения в зависимости от содержания учебного материала и методологических
принципов данной науки.
Что касается изучения основ теории вероятностей и математической статистики в
школе, то здесь вопрос психологической готовности учащихся к адекватному восприятию
данного материала встает особенно остро. Речь идет об осложнении мыслительной
деятельности учащихся при изучении теории вероятностей по сравнению с изучением
других дисциплин. По словам В.А. Маркова, «парадоксальные, неклассические понятия
и образы вызывают необходимость радикальной перестройки физического мышления,
требуют вживания в новые сущности» [7].
Таким образом, перед разработчиками вероятностно-статистического курса
математики на одно из первых мест выдвигается проблема возрастной и социальной
готовности учащихся к осознанию тех или иных стохастических процессов, к
теоретическим обобщениям закономерностей в массовых случайных явлениях. Для
решения сформулированной проблемы, сводящейся фактически, к оптимальной
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Психолого-педагогические основы формирования и развития вероятностного мышления
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
«привязке» конкретного стохастического учебного материала к социально-мотивационным,
нравственным и интеллектуальным особенностям школьников, необходимо обратиться
к психологам и проанализировать общие закономерности мыслительной и познавательной
деятельности детей в разных возрастных группах.
Психологами обосновано, что умственное развитие включает в себя ряд психических
процессов: наблюдательность, восприятие, память, мышление, воображение и др. При
изучении психологии развивающегося ребенка особо пристальное внимание уделяется
мышлению и речи. Это объясняется тем, что речь и мышление – «основа интеллекта, а
проблема развития интересует ученых, в частности для того, чтобы определить правильный
подход к интеллектуальному воспитанию» [8].
Развитие мышления – это изменение его понятий и форм, которые образуются в
процессе познавательной деятельности ребенка. Психологи утверждают, что мышление
в своем развитии проходит ряд этапов: наглядно-действенное (развивается у ребенка
до 3-х лет), наглядно-образное (4–7 лет), словесно-логическое (первые годы обучения).
У школьников среднего и старшего возраста последний вид мышления становится
особенно важным.
Использование элементов стохастики в процессе обучения математике оказывает
непосредственное влияние на формирование, развитие и совершенствование всех трех
форм мышления у учащихся. Например, «решение задач по комбинаторике можно
производить реально или мысленно, с реальными предметами или знаково-символьными
объектами, с опорой на запись и без нее. Даже при решении комбинаторных задач лишь
одним способом (перебором) прослеживаются все три формы мышления» [5].
Г.В. Бурменская отмечает, что «комбинаторные и вероятностные способы
рассуждения играют важную роль в общей структуре научного мышления, а потому в
современных условиях требования к уровню комбинаторно-вероятностного мышления
учащихся существенно повышаются» [3].
Е.С. Рапацевич, рассматривая различные взгляды на природу мышления и его
механизмы, замечает, что «под влиянием теории вероятностей мышление стали понимать
как вероятностный процесс. Так, Б.Г. Ананьев говорит о вероятностном характере
познавательных процессов у человека. Аналогичного взгляда придерживается А.Р. Лурия.
К.К. Платонов и Г.Г. Голубев считают «мышление вероятностями» одним из видов
мышления» [11].
Большинство исследователей в области методики преподавания основ стохастики,
оперируя понятием «вероятностное мышление», отмечают, что «если мышление опирается
на комплекс статистических представлений и идей, то его называют статистическим
стилем мышления, в противном случае – жестко-детерминистическим стилем
мышления», подразумевая под стилем мышления «систему принципов, интеллектуальных
стратегий, приемов, операций, характеризующую, регулирующую и ориентирующую
процесс познавательной деятельности, в основе которого лежит система идей и научная
картина мира» [1].
Согласно профессору Б.М. Теплову, вероятностное мышление «обозначает вид
мышления, в структуру которого входят суждения о степени вероятности ожидаемых
событий» [4]. В данном определении отражено важнейшее понятие теории вероятностей
– вероятность, являющееся, таким образом, предметом исследования и изучения не
только математики, но и психологии, философии, логики. Отметим, что в большинстве
исследований наряду с термином «вероятностное мышление», авторы используют
термины «статистическое» и «вероятностно-статистическое» мышление, употребляя их в
качестве синонимов.
Обстоятельное изучение формирования представлений детей о случайности,
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
84
84
Татьяна Анатольевна Полякова
комбинаторного и вероятностного мышления было начато еще в работах Ж. Пиаже.
Теория развития мышления ребенка, предложенная Ж. Пиаже, получила название
«операциональной». Операция по Ж. Пиаже, представляет собой «внутреннее действие,
продукт преобразования внешнего, предметного действия, скоординированного с
другими действиями в единую систему, основным свойством которой является
обратимость» [8, с. 299]. В развитии операционального интеллекта у детей Ж. Пиаже
выделил 4 стадии [6]:
1. Стадия сенсомоторного интеллекта – охватывает период жизни ребенка от
рождения до 2-х лет и характеризуется развитием способности воспринимать и познавать
окружающие ребенка предметы в их достаточно устойчивых свойствах и признаках.
2. Стадия дооперационального мышления (от 2 до 7 лет). У ребенка складывается
речь, начинается активный процесс интериоризации внешних действий с предметами,
формируются наглядные представления.
3. Стадия конкретных операций с предметами (от 7–8 до 11–12 лет). Умственная
деятельность ребенка постепенно приобретает свойство обратимости и определенную
структуру, т. е. поднимается на уровень операций. Ребенок может выполнять операции
типа группировок, арифметических групп, выполнять измерение.
4. Стадия формальных операций (от 11–12 до 14–15 лет). Ребенок уже может
выполнять прямые и обратные операции в уме, пользуясь логическими рассуждениями
и понятиями. Внутренние умственные операции превращаются на этой стадии в структурно
организованное целое. Для этой стадии характерно также формулирование и проверка
предположений гипотетического характера. Мышление имеет гипотетико-дедуктивный
и комбинаторный характер. Сталкиваясь с определенными задачами, подростки и
взрослые люди решают их посредством соответствующей комбинации факторов,
формулирования гипотез и их проверки. Эта особенность формального интеллекта
позволяет ему быть хорошим инструментом научного исследования причинноследственных зависимостей вещей.
Исследования Пиаже в рамках операциональной концепции были продолжены
отечественными психологами. Л.С. Выготский писал, что «к мышлению в настоящих
понятиях ребенок приходит только в подростковом возрасте под влиянием обучения
теоретическим основам разных наук» [8]. С подростковым возрастом у него тоже связан
переход детей к стадии формальных операций, которая предполагает умение оперировать
настоящими понятиями. П.Я. Гальперин внес в соответствующую область исследований
новые идеи. Им была разработана теория формирования мышления, получившая название
концепции планомерного (поэтапного) формирования умственных действий. Процесс
формирования умственных действий, по П.Я. Гальперину, представляется следующим
образом [8, с. 300–301]:
1. Ознакомление с составом будущего действия в практическом плане, а также с
требованиями (образцами), которым оно, в конечном счете, должно будет соответствовать.
Это ознакомление есть ориентировочная основа будущего действия.
2. Выполнение заданного действия во внешней форме в практическом плане с
реальными предметами или их заменителями. Освоение этого внешнего действия идет
по всем основным параметрам с определенным типом ориентировки в каждом.
3. Выполнение действия без непосредственной опоры на внешние предметы или их
заменители. Перенесение действий из внешнего плана в план громкой речи.
4. Перенесение громкоречевого действия во внутренний план. Свободное
проговаривание действия целиком «про себя».
5. Выполнение действия в плане внутренней речи с соответствующими его
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Психолого-педагогические основы формирования и развития вероятностного мышления
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
преобразованиями и сокращениями, с уходом действия, его процесса и деталей
выполнения из сферы сознательного контроля и переходом на уровень интеллектуальных
умений и навыков.
В рамках своей теории П.Я. Гальперин утверждал, что «полноценное действие, т.е.
действие высшего интеллектуального уровня, не может сложиться без опоры на
предшествующие способы выполнения того же самого действия, в конечном счете – на
его исходную, практическую, наглядно-действенную, наиболее полную и развернутую
форму» [8, с. 300]. Не случайно зарубежный опыт и исследования отечественных
методистов свидетельствуют о том, что знакомство учащихся с элементами
комбинаторики, вероятности, статистики целесообразно начинать в начальной школе и
продолжать в течение всего периода обучения. При этом на всех ступенях обучения
фактически формируются одни и те же виды деятельности, но на разных уровнях и
различными средствами.
Отметим, что согласно исследованиям психологов, занимавшихся вопросами
определения системы психологических условий, необходимых для формирования
вероятностного мышления, «исследования Ж. Пиаже намечают основные вехи
возрастной картины становления комбинаторных структур и дают ценные средства
оценки интеллектуального развития» [3], тогда как «в качестве основы обучения
вероятностно-статистическому содержанию наиболее подходит операциональная
концепция научения, в которой мышление рассматривается как механизм управления
поведением через ориентировку в объекте на основе его образа (Л.С. Выготский,
П.Я. Гальперин, А.Н. Леонтьев)» [1, с. 46]. Данная концепция приводит к пониманию
обучения «как управления психической деятельностью через организацию предметноречевой деятельности» [1, с. 47]. И ей в свою очередь «отвечает организация обучения
в соответствии с этапами концепции поэтапного формирования умственных действий,
выдвинутая П.Я. Гальпериным» [1, с. 47]. В рамках своей теории П.Я. Гальперин показал,
«что главную и собственно психологическую сторону деятельности субъекта составляет
ее ориентировочная сторона, что полнота и характер ориентировки субъекта решающим
образом влияют на ход обучения и его результаты» [3; 8].
Анализ результатов исследований отечественных и зарубежных методистов,
занимающихся вопросами введения элементов стохастики в школьный курс математики,
во многом опирающихся на исследования психологов в области вероятностных
представлений учащихся, позволяет сделать следующие выводы:
1. Если в течение первого периода (с 4 до 7 лет) мышление развивается в сфере
непосредственной деятельности ребенка, оставаясь таким же далеким от понятия
случайности, как и от операциональной дедукции, то в возрасте начальных классов –
второй период (с 7 до 11 лет) «у ребенка уже есть некоторое представление о событиях,
которые могут происходить, но он еще не осознает, как это связано со случайностью»
[6, с. 19]. Кроме того, учащимся не хватает математического аппарата (простых дробей)
для объяснения представлений о вероятности, тогда как основы описательной статистики,
таблицы и столбчатые диаграммы, а также основы комбинаторики, систематический
перебор возможных вариантов на небольшом множестве предметов возможно и даже
необходимо вводить в курс начальной школы.
2. «В течение третьего периода (12–15 лет), когда появляются формальные и, в
частности, комбинаторные операции, подросток приобретает способность оценивать общее
число возможностей и осознавать отношения между благоприятными случаями и всей
совокупностью, рассматриваемой как сумма сочетаний всех возможных случаев.
Оценивание вероятности, таким образом, является результатом сравнения совместных
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
86
86
Татьяна Анатольевна Полякова
обратимых событий, с одной стороны, и необратимых случайных событий, с другой, в то
время как лишь самая малая часть универсума возможных событий реализуется в
действительности» [6, с. 276]. Ж. Пиаже отмечает, что, «между 12–15 годами подросток
и юноша начинают выполнять операции, связанные с комбинаторным анализом, системой
перестановок независимо от школьного обучения» [6, с. 236]. Однако, в процессе обучения
в VI–VII классах, когда «традиционным содержанием обучения комбинаторное мышление
целенаправленно не развивается, навыки решения комбинаторных задач существенно
снижаются и начинают восстанавливаться в IX–X классах благодаря естественному
развитию логического мышления к 14–15 годам. «Формульную» комбинаторику разумно
изучать лишь в старших классах» [12]. Понятие относительной частоты конкретной
величины дети готовы воспринять сразу после изучения обыкновенных дробей в V классе.
Но «путь до осознания закона больших чисел должен быть долгим, желательно, до конца
VIII класса, либо до начала IX класса» [2].
Психологи, изучавшие возрастной период, соответствующий старшим классам
средней школы (16–17 лет) (Л.С. Выготский, В.А. Крутецкий, Н.С. Лейтес и др.),
подчеркивают рост интеллектуальных сил учащихся. Мышление становится более
глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным; в процессе знакомства с
новыми приемами умственной деятельности модернизируются старые, освоенные на
предыдущих ступенях обучения. Высшей степенью развития мышления в этом возрасте
является теоретическое мышление – «обобщенное диалектическое мышление,
направленное на объяснение явлений, познание самых общих и отвлеченных
закономерностей, открывающее возможность предвидения» [10]. Овладение высшими
формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной
деятельности, приводит, в конечном счете, к пониманию важности теории и к стремлению
применять ее на практике. В старших классах средней школы, наибольшее значение
приобретает проблемное изложение учебного материала, организация поиска и
исследования в процессе обучения.
На основании вышеприведенного анализа, мы выделяем следующие компоненты
вероятностного мышления:
1) логический (при решении вероятностных задач у учащихся формируются основные
приемы логического мышления, такие как сравнение, связанное с выделением в
предметах общего и различного; анализ, связанный с выделением и словесным
обозначением в объекте разных свойств и признаков; обобщение, связанное с
отвлечением от несущественных признаков объектов и объединением их на основе
общности существенных признаков);
2) комбинаторный (комбинаторные способы рассуждения играют важную роль в
общей структуре мышления, а наиболее характерной чертой комбинаторного мышления
является целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга
возможностей при поиске решения задачи, способность субъекта определять,
рассматривать и учитывать все возможные варианты сочетания каких-либо признаков
или событий);
3) вероятностно-статистический (умение учащихся оперировать понятием
«вероятность», ориентироваться в ситуациях неопределенности, анализировать
информацию статистического характера).
Таким образом, психолого-педагогические аспекты формирования вероятностного
мышления заключаются в следующем:
1. Представления о случайности и вероятностное мышление развиваются в рамках
операциональной теории развития интеллекта, предложенной Ж. Пиаже. В качестве же
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Психолого-педагогические основы формирования и развития вероятностного мышления 87
Физико-математические науки и методика их преподавания
Литература
1. Болотюк, В.А. Формирование вероятностно-статистических представлений
учащихся в курсе алгебры основной школы [Текст] : дис. … канд. пед. наук / В.А. Болотюк.
– Омск, 2002.
2. Бунимович, Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе
математики [Текст] // Математика в шк. – 2002. – № 2. – С. 52–58.
3. Бурменская, Г.В. Формирование комбинаторного мышления у младших
школьников и подростков [Текст] // Вопр. психологии. – 2007. – № 2. – С. 30–43.
4. Вероятностное мышление [Электронный ресурс]. – URL : http://www.medeffect.ru/
abc/v/vmyshlenie.shtml (дата обращения: 18.07.2009).
5. Воробьева, С.И. Формирование стохастической культуры младших школьников
в процессе обучения математике [Текст] : дис. … канд. пед. наук / С.И. Воробьева.
– Саранск, 1999.
6. Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии [Текст] : сб. ст. – М., 2001.
7. Марков, В.А. Феномен случайности [Текст] : методологический анализ / В.А. Марков. – Рига, 1988. – 232 с.
8. Немов, Р.С. Психология [Текст] : в 3 т. / Р.С. Немов. – М., 1997. – Т. 1. – 688 с.
9. Панина, Н.В. Прикладная направленность обучения теории вероятностей как
средство формирования экономического мышления студентов [Текст] : автореф. дис. …
канд. пед. наук / Н.В. Панина. – Орел, 2004.
10. Поспелов, Н.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников
[Текст] / Н.Н. Поспелов. – М., 1989. – 152 с.
11. Рапацевич, Е.С. Психологические механизмы процесса прогнозирования [Текст]
// Вопр. психологии. – 1988. – № 6. – С. 122–128.
12. Ткачева, М.В. О готовности учащихся к изучению стохастики [Текст] // Математика
в шк. – 2003. – № 9. – С. 56–61.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
основы обучения вероятностно-статистическому содержанию «выступает
операциональная концепция научения (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, А.Н. Леонтьев),
которой отвечает организация обучения в соответствии с этапами концепции поэтапного
формирования умственных действий, выдвинутая П.Я. Гальпериным» [1; 8].
2. Поэтапное знакомство с вероятностными идеями и методами, начиная с начальных
и заканчивая старшими классами школы, оказывает благоприятное воздействие на
процесс формирования и развития вероятностного мышления школьников.
3. Знакомство с элементами стохастики в начальных классах происходит на наглядноинтуитивном уровне, с привлечением большого количества игр, экспериментов, опытов,
что закладывает первые эмпирические представления о случайных закономерностях.
Для формирования вероятностных представлений наиболее благоприятен возраст 10–13
лет (V–VII классы российской школы). Этот не закрепленный формальными
«обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции
и статистических представлений ребят.
4. Переход на стадию «формальных операций» (11–15 лет), преобладание
абстрактного и теоретического мышления, появление способности рассуждать с помощью
вербально сформулированных гипотез (15–17 лет) является благоприятствующим и
существенным условием для формирования вероятностного мышления в основной и
старшей школе.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
88
88
Надежда Степановна Журавлева
УДК 37.016:53
Надежда Степановна Журавлева,
Ишимский государственный
педагогический институт им. П.П. Ершова
ЭЛЕМЕНТЫ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
НА УРОКАХ ФИЗИКИ
Аннотация: В рамках компетентного подхода в образовании главной целью школы
является воспитание социально компетентного выпускника, владеющего рядом ключевых
компетенций, к которым относится и эколого-валеологическая. Ядро компетенции – это
знания и умения, которые должны быть универсальными, обладать свойством широкого
переноса в различные сферы деятельности, а также ценностные ориентации и опыт
практической деятельности. Вопросы экологии естественным образом входят в
содержание школьного курса физики, поскольку физика как наука с ее закономерностями
лежит в основе теоретической базы большинства отраслей современной техники и имеет
широкое и разнообразное применение в человеческой деятельности. При проведении
занятий по физике с элементами экологических вопросов и проблем возможно
использование различных форм учебных занятий и приемов.
Summary: Considering the competence approach to education the main aim of school
is to bring up a socially competent school leave having a number of key competencies, which
includes an ecology and valeology competence. The base of the competence is habits and
skills, which must be universal and have a feature of a wide extrapolation to different fields of
activity. Ecological issues are naturally a part of the school curriculum on Physics as being a
science with rules it is a foundation of a theoretical base for most of fields of modern technique
and its usage in human activities is wide and various. Conducting the lessons of Physics with
the elements of ecological issues and problems it is possible to use different forms of studies
and methods.
Ключевые слова: Школьное образование, компетентность, ключевые компетенции,
экологические знания, вопросы экологии, уроки физики.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Key words: school education, competence, key competencies, ecological knowledge,
ecological issues, lessons of Physics.
На современном этапе развития школьного образования требования к выпускнику
перешли от предметных знаний и умений к его социальной компетентности, которая состоит
из ряда ключевых компетенций. Широкий спектр ключевых компетенций выпускника школ
необходимо формировать средствами всех учебных предметов, среди них и физика.
Анализ классификации ключевых компетенций, предложенных разными авторами
(И.А. Зимней, А.В. Хуторским и др.), содержание школьного курса физики, позволяет
выделить ключевые компетенции, которые целесообразно формировать у школьников в
процессе обучения физике, используя для этой цели ее дидактический потенциал. К ним
относятся:
- информационно-методологическая;
- деятельностно-творческая;
- эколого-валеологическая.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Элементы экологического образования на уроках физики
Сформировать
у учащихся
Знания
Ценностные
ориентации
Опыт
практической
деятельности
Таким образом, роль школьного курса физики в осуществлении решения проблемы
экологического образования велика. Вопросы экологии естественным образом могут
входить в содержание курса физики, поскольку физика как наука с ее закономерностями
лежит в основе теоретической базы большинства отраслей современной техники и имеет
широкое и разнообразное применение в человеческой деятельности. Особо следует
отметить роль физики в создании приборов и устройств, позволяющих осуществлять
экологический мониторинг.
Анализируя школьные программы и учебники по физике, можно выделить темы с
указанием возможности рассмотрения при их изучении экологических вопросов (таблица
2) [3].
Физико-математические науки и методика их преподавания
Умения
Дидактические элементы, входящие в структурный компонент
компетенции
- физические параметры окружающей среды и их нормы для комфортного
состояния человека;
- влияние изменения физических параметров окружающей среды на
здоровье человека;
- защита от вредных факторов окружающей среды;
- пути профилактики и уменьшения их негативного влияния;
- физические характеристики человеческого организма и их значимость
для здоровья.
- оценивать экологическую ситуацию;
- оценивать адиабатические факторы;
- оценивать физические параметры, влияющие на экологию;
- устанавливать закономерности между состоянием окружающей среды и
здоровьем человека;
- оценивать воздействие экологии на здоровье человека, используя методы
естественных наук
- значимость заботы о собственном здоровье и здоровье окружающих;
- осознание необходимости бережного отношения к окружающей
природе;
- убежденность в необходимости разумного использования достижений
науки и технологий для дальнейшего развития человеческого общества
Проведение исследований окружающей среды, участие в слетах
исследователей природы, ведение дневника здоровья, измерение
различных параметров окружающей среды и человеческого организма,
проведение мониторинга экологического состояния окружающей среды
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Данные ключевые компетенции, наряду с другими, входят в состав социальной
компетентности [1]. Для успешной работы в любой сфере деятельности человеку
необходимо осуществлять поиск нужной информации, используя для этого различные
методы познания, знать структуру деятельности и способы ее рациональной организации,
предвидеть влияние своей работы на окружающую среду и на самого человека.
Ядро компетенции – это знания и умения, которые должны быть универсальными,
обладать свойством широкого переноса и позволят ученику решить возникшие проблемы
в различных сферах деятельности. Кроме того структурными компонентами любой
компетенции являются ценностные ориентации и опыт практической деятельности.[2]
Выделим с данной точки зрения цели обучения физике, ориентированные на
формирование у учащихся эколого-валеологической компетенции (таблица 1) [2].
Таблица 1
Эколого-валеологическая компетенция
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
90
90
Надежда Степановна Журавлева
Таблица 2
Элементы экологии на уроках физики
Тема
1
Вопросы экологии
2
7 класс
Физические явления
Круговорот веществ в природе и промышленном производстве.
Взаимодействие тел
Явление выпадения вредных частиц пыли и дыма из атмосферы на
Землю и его возможные последствия. Деформация плодородного
слоя почвы тяжелыми сельскохозяйственными машинами. Вредные
последствия посыпания наледи песчано-солевой смесью.
Давление
твердых Давление на почву тяжелых тракторов.
. и водяной океаны. Ветры и течения.
тел, жидкостей и Единый мировой воздушный
Перенос загрязнений воздушным и водяным путями. Системы
газов
орошения и осушения, их влияние на микроклимат. Нарушение
природного равновесия при строительстве каналов. Последствия
планам
ов «поворота рек».
Атмосфера – часть жизненной среды. Изменение состава
атмосферного воздуха под действием антропогенного фактора.
Уменьшение озонного слоя и его последствия. Охрана атмосферного
воздуха от загрязнений.
Орошение земель, рациональное использование земель.
Образование нефтяной пленки на поверхности водоемов и ее
уничтожение. Экологические аспекты сплава древесины по рекам.
Пагубное последствие судоходства. Авария нефтяных танкеров как
экологическая катастрофа.
Экологический вред сельскохозяйственной авиации. Использование
аэростатов.
Работа и мощность
КПД и экологическая безопасность различных механизмов
8 класс
Тепловые явления
Образование конвекционных потоков в промышленных зонах.
Теплоизоляция в быту и технике как метод сбережения
энергоресурсов.
Экологические проблемы связанные с работой ТЭЦ.
Парниковый эффект на Земле и возможные последствия его
усиления. Перспективы использования экологически чистой энергии
Солнца.
Органическое топливо как основной источник энергии. Сравнение
эффективности и экологической безвредности различных видов
топлива.
Изменение
Круговорот воды в природе. Явление испарения с поверхности
агрегатного
морей и океанов,и его влияние на климат Земли.
состояния вещества
Экологические аспекты литейного производства.
Образование кислотных дождей.
Меры снижения вредных выбросов. Контроль за выхлопными
газами. Совершенствование тепловых двигателей с целью охраны
природы.
Электрические
Влияние статического электричества на биологические объекты.
явления
Электростимулирование жизнедеятельности семян и растений.
Борьба с электризацией жилых помещений.
Действие электрического тока и его использование в целях защиты
окружающей среды.
Электромагнитные
Влияние магнитного поля на биологические объекты. Влияние
явления
магнитных бурь на организм человека.
Экологические аспекты добычи железной руды.
Перспективы развития электротранспорта.
Световые явления
Изменение прозрачности атмосферы под действием антропогенного
фактора, его экологические последствия. Изменение климата.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Элементы экологического образования на уроках физики
Кинематика:
инертность
движение
окружности
Динамика:
тяжести
2
9 класс
Создание очистительных устройств. Инерционные пылеуловители.
тел,
по
Физико-математические науки и методика их преподавания
сила Значение механических процессов, протекающих в биосфере. Сила
тяжести и ускорение свободного падения – важнейшие физические
параметры природной среды.
Импульс,
закон Физические процессы, сопровождающие работу реактивного
сохранения импульса двигателя и загрязняющие окружающую среду. Роль космических
аппаратов в контроле за состоянием атмосферы. Охрана космоса.
Энергия.
Закон Экологические проблемы использования энергии рек.
сохранения
Экологичность аэро- и гидроэнергии. Рациональное использование
механической
гидроресурсов. Экологические требования к ГЭС. Достоинства и
энергии
недостатки ветроустановок, перспективы их использования.
Механические
Роль вибрации в технике. Вредное влияние вибрации на организм
колебания и волны
человека. Механические колебания и парниковый эффект.
Шум как экологический фактор. Отрицательное влияние звуковых
волн на организм человека и другие биологические объекты.
10 класс
Основы молекулярно- Распространение различных веществ в атмосфере путем диффузии.
кинетической теории Зависимость степени загрязнения атмосферного воздуха от высоты.
Газовые законы
Состав атмосферы. Воздействие производственной деятельности
людей. «Дыхание» почвы и его связь с загрязнением атмосферы
Температура
и Температура как главный экологический фактор. Влияние изменения
способы ее измерения температуры на сбалансированность обмена веществ в организмах.
Жидкость,
водяной Значение влажности воздуха и ее влияние на биологические
пар
системы. Совместное действие температуры и влажности на живые
организмы. Борьба с градом.
Физические основы засоления почвы и перспективные способы
борьбы с ним. Использование явления смачивания для очистки
жидкостей от примесей.
Капиллярные явления в почве и растительном мире. Охрана почвы и
воды, их рациональное использование.
Основы
Тепловые двигатели – косвенные источники загрязнения атмосферы.
термодинамики
Состав и токсичность выхлопных газов. Тепловой баланс Земли и
влияние его на климат.
Электрическое поле
Атмосферное электричество. Электрическое поле электроприборов и
его влияние на человека .
Электрический ток в Очистка воды от загрязнения при электролизе. Экологические
средах:
в аспекты электролитического производства.
электролитах, в газах, Ионизация атмосферного воздуха. Биологическое действие легких и
в полупроводниках
тяжелых ионов. Экологические преобразователи энергии.
Использование энергии Солнца.
11 класс
Электродинамика
Загрязнение атмосферы ТЭС. Меры защиты окружающей среды от
теплового и химического загрязнения.
Электромагнитные
Биологическое воздействие электромагнитных волн сверхвысокой
колебания и волны
частоты и защита от них.
Световые явления
Биологическое
действие
ультрафиолетового,
инфракрасного,
рентгеновского излучений и защита от них. Парниковый эффект
Излучения и спектры Влияние загрязнения атмосферы на изменение спектрального
состава солнечного света у поверхности Земли. Парниковый эффект.
Физика
атомного Естественные
радиоактивные
элементы.
Естественный
ядра
радиоактивный фон и его действие на живую природу. Круговорот
радиоактивных элементов в природе и влияние его на живые
системы.
Загрязнение биосферы продуктами ядерных взрывов. Производство
атомной энергии.
Проблемы захоронения радиоактивных отходов АЭС. Техника
безопасности на ядерных установках.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
1
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
92
92
Надежда Степановна Журавлева
При проведении занятий по физике с элементами экологических проблем возможно
использование различных форм учебных занятий и приемов: уроки-конференции –
«Тепловые двигатели на службе человеку», «Радиационное загрязнение окружающей
среды»; лабораторные работы – «У светофора», «Изучение шумового загрязнения»;
ролевые – игры – «Суд над автомобилем», «Суд на ядерной энергией»; решение
качественных, количественных и экспериментальных задач; демонстрация опытов;
написание и защита рефератов и т.д.
Литература
1. Журавлева, Н.С. Формирование ключевых компетенций учащихся в процессе
решения физических задач [Текст] // Вестник Ишимского государственного
педагогического института им. П.П. Ершова. – 2012. – № 1(6). – С. 81–85.
2. Зуев, П.В. Формирование ключевых компетенций учащихся в процессе обучения
физике [Текст] : учеб. пособие для учителей / П.В. Зуев, О.П. Мерзлякова. – Екатеринбург :
УрГПУ, 2009.
3. Физика и экология. 7–11 классы [Текст] : мат. для проведения учебной и внеурочной
работы по экологическому воспитанию / сост. Г.А. Фадеева, В.А. Попова. – Волгоград :
Учитель, 2003.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Элементы экологического образования на уроках физики
Елена Владимировна Ермакова,
Ишимский государственный
педагогический институт им. П.П. Ершова
ФОРМИРОВАНИЕ У СТУДЕНТОВ КОМПЛЕКСНОГО
ПРИМЕНЕНИЯ ЗНАНИЙ
ПРИ РЕШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Аннотация: В статье рассматриваются функции задачного подхода при обучении
физике и работа со студентами на практических занятиях по решению физических задач.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
УДК 37.016:53
93
Summary: The article considers the functions of problematic approach while studying
Physics and a complex work with students at practical studies on Physics.
Ключевые слова: задача, решение задач, задачный подход, функции задачного
подхода, практические занятия по физике.
Key words: problem, solving problems, problematic approach, functions of problematic
approach, practical studies on Physics.
Физико-математические науки и методика их преподавания
Решение задач – один из наиболее важных участков работы в системе изучения
физики. Задачи различных видов эффективно используются на разных этапах изучения
материала. Доказано, что решение задач составляет неотъемлемую часть полноценного
изучения предмета (в частности, физики) на любом уровне.
Решение задач позволяет лучше понять и запомнить основные законы физики,
воспитывает способность применять общие теоретические закономерности к отдельным
конкретным случаям. В этом случае решение задач – один из методов обучения физике,
на котором идет не изучение законов, формул, графических зависимостей, расчетов и
т.п., а активное их применение, обучение анализу в конкретных физических ситуациях.
В процессе решения задач проявляются основные закономерности мыслительной
деятельности. Опора делается на:
= знание теоретического материала;
= умение пользоваться определенной совокупностью умственных операций.
Решение задач представляет собой процесс преобразования предмета, описанного
в содержании задачи. Преобразование этого предмета осуществляется определенными
методами, способами, приемами и средствами. Решение задачи предполагает познание
самого процесса преобразования и осуществляется с помощью определенных
мыслительных действий и операций, которые могут быть представлены в виде
эвристических и алгоритмических предписаний.
При введении новых понятий постановка задач способствует возникновению
потребности в знаниях и в усвоении способов их добывания. О степени усвоения
физических понятий можно судить по умению сознательно их применять для анализа
конкретных физических явлений, ситуаций в процессе решения задач.
Очень редко можно ограничиться применением знаний по одному учебному
предмету. Обычно приходится опираться на знания по нескольким смежным предметам,
например, по математике и физике. Чем сложнее задача, тем больше знаний приходится
применить для ее решения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
94
94
Елена Владимировна Ермакова
Р.А. Акофф [1], исследуя противоречия между тем, чему учат студентов в системе
образования и тем, что ожидает их в процессе деятельности отмечает: в реальном мире
«…задачи редко задаются, обычно их приходится извлекать из сложных ситуаций, а
студентов этому не учат» [1]. На занятиях студенты ставятся в идеальные условия, так
как им предъявляются, как правило, задания, уже представляющие собой модели
реальных ситуаций. В этих условиях творческая активность, самостоятельность студента
сводится к минимуму.
С изменением целей обучения изменяется и роль задач. Возрос объем
теоретического материала, и его усвоение стало сопровождаться решением
разнообразных задач.
Проблемы обучения студентов решению задач являются достаточно сложными. Ряд
исследователей используют для активизации обучения студентов алгоритмы,
программированное обучение, самостоятельное решение задач студентами до показа
преподавателем образцов их решения, индивидуализацию работы студентов на
практических занятиях. Исследования направлены на улучшение методики решения
задач, методики обучения решению задач. Совершенствуются методы решения задач,
методика проведения практических занятий.
Существуют разнообразные формы проведения занятий по решению задач:
самостоятельное решение задач всеми студентами; решение задач студентами на доске;
решение задач преподавателем на доске с привлечением студентов; решение задач
всеми студентами на местах с комментированием отдельных этапов, решение задач на
лабораторных занятиях [2].
Хотелось бы выделить некоторые положения ведения практических занятий по
решению задач:
1. Каждое занятие по решению задач должно иметь определенную цель, например,
усвоение формул кинематики и др.
2. В начале занятия следует вспомнить основные законы, формулы, которые будут
использоваться.
3. В процессе обучения необходимы как задачи-упражнения на использование
готовых знаний, полученных из книг, лекций, от преподавателя, так и познавательные
задачи, которые устанавливают новые, неизвестные ранее студентам связи между
знакомыми физическими характеристиками, являются стимулятором их умственной
деятельности.
4. Несмотря на различие в видах задач, их решение можно проводить по общему
плану, предложенному рядом методистов [4; 5].
5. Необходимо требовать письменной дословной записи условия задачи в тетрадях
студента, если даже задача и прочитана (обычно уже через две недели никто не в
состоянии вспомнить, о чем была задача).
6. В условии задачи желательно задавать только один вопрос (иначе рассеивается
внимание), однако в домашних задачах в целях экономии времени на запись условия
может быть дано несколько вопросов.
7. В задачах, условия которых приближены к жизни, данные обычно сформулированы
нечетко. В этих случаях следует добиваться ясных физических абстракций.
8. По окончании решения задачи, хотя бы в некоторых случаях (а лучше во всех!)
нужно проверять достоверность результата (по размерностям, по известным частным и
предельным случаям, сопоставлением с жизненным опытом).
9. Желательно давать задачи, связанные друг с другом, когда из условия одной
задачи путем расширения или добавления новых данных следует условие другой или
для решения следующей задачи требуется знать решение предыдущей).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формирование у студентов комплексного применения знаний...
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
Все предложенные пункту только желательны. В одной задаче могут быть
применены одни из них, в другой – другие.
Психологи утверждают, что важным условием для применения знаний при решении
задач является умение использовать межпредметные связи, комплексные знания и
умения. Прежде чем формировать подобные умения у школьников, сами учителя, еще
являясь студентами вуза, должны научиться применению своих знаний и умений в
комплексе.
При этом большая эффективность достигается на занятии при повторении условия
задачи на основе вопросов, которые ставит преподаватель всей аудитории. Этими
вопросами выясняется:
1) знают ли, что необходимо определить в результате решения;
2) что дано в условии задачи для решения поставленной проблемы;
3) какие ограничения необходимо учесть при решении;
4) чем можно пренебречь;
5) ясны ли все термины, входящие в условие задачи;
6) уточняются непонятные выражения.
Такая форма повторения условия задачи имеет ряд преимуществ перед обычной,
так как она заставляет обучаемого не просто запомнить условие задачи, а разобраться в
нем, чтобы суметь выбрать из условия ту его часть, которая явилась бы ответом на
поставленный вопрос, обучаемый должен быть внимательным и сосредоточенным на
протяжении всего времени работы по повторению условия задачи;
Анализируя условие каждой решаемой задачи, преподаватель путем вопросов
выясняет откуда взяты данные, необходимые для решения задачи.
Подобная работа по уяснению условия задачи необходима при решении задач любого
типа.
После изучения условия задачи приступаем к анализу проблемы, поставленной в
задаче, и установлению ее сущности, определению закономерностей (физических и
математических).
Умения комплексного применения знаний – наиболее сложный вид умений.
Специфичным для них является познавательное действие широкого переноса знаний и
умений в новые условия, их комплексное применение.
Межпредметные знания и умения будут способствовать наилучшему пониманию и
запоминанию материала – материал для студентов будет более доступен и у студентов
формируется научное мировоззрение, основанное на единстве мира.
Представленные в учебниках и учебных пособиях задачи в большинстве своем
однотипны. Отсутствуют или редко встречаются задачи, при решении которых следует:
= вывести формулы зависимостей, встречающихся на практике;
= обосновать или применить эмпирические формулы;
= составить расчетные таблицы;
= вычислить значения величин, встречающихся на практике;
= построить графики, номограммы;
= создать объект, обладающий заранее известными свойствами;
= применить знания в практике познания человеком окружающей действительности.
Рассматривая вопрос о критерии отбора задач, следует заметить, что общих
критериев отбора задач для учебного процесса в настоящее время пока не существует.
Общая тенденция подбора физических задач сводится к соответствию задач
тематическому содержанию изучаемого материала и направлена на закрепление,
расширение и углубление физических знаний.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Физико-математические науки и методика их преподавания
96
96
Елена Владимировна Ермакова
По нашему мнению, более верно говорить не только о задаче в процессе обучения,
но и о задачном методе, как полноправном методе обучения [3].
При этом использование задачного метода имеет много разнообразных функций.
Под функцией задачного подхода будем понимать проектируемые преподавателем
изменения в деятельности, личности обучаемых, которые должны произойти в результате
решения ими некоторой задачи. Причем изменений может быть несколько: углубление
понимания тех или иных физических знаний; знакомство с новыми явлениями,
процессами, закономерностями, зависимостями, развитие мышления, воображения и
т.д. Однако среди всех изменений, которые происходят, существует главное, ради
которого и предлагается для решения задача. Остановимся на основных функциях
задачного подхода при обучении физике.
1. Побуждающая функция. Эффективность учебного процесса в конечном счете
определяется характером учебной деятельности, побуждается ли эта деятельность
внешними относительно учебного предмета мотивами или же доминирующим мотивом
является познавательный интерес к содержанию курса физики, стремление овладеть
его содержанием и методами, разобраться в законах и теориях физики. Постановка какихто проблемных задач является важнейшим средством для формирования у студентов
глубокого интереса к предстоящей учебно-познавательной деятельности. Эти задачи
как раз и выполняют побуждающую функцию.
2. Конкретизирующая функция. В процессе изучения физики студенты продолжают
знакомство с различными физическими понятиями. Эти понятия представляют собой
обобщенные и абстрактные отражения реальных явлений и процессов. Для того чтобы
студенты глубже осознали сущность этих понятий, смысл, необходимо их
конкретизировать достаточным числом примеров. В качестве конкретизации используют
разнообразные физические задачи, в которых раскрываются особенности изучаемых
понятий, явлений и связанных с ними закономерностей.
3. В курсе физики, как и в других учебных предметах, необходимо формировать,
развивать и укреплять общеучебные умения (умения читать литературу, пользоваться
справочниками, словарями, умения выделять существенное, главное и т.д.). Решение
специально подобранных задач может способствовать их формированию. Кроме того,
происходит формирование и развитие познавательных способностей. Тогда задачный
подход в процессе обучения выполняет формирующую и развивающую функции. Задачи
при этом дают не просто знания, а знания в действии.
4. Использование задач в учебном процессе делает обучение направленным на
конкретного индивида, учитывая его запросы, способности, уровень подготовки, присущий
ему темп восприятия учебного материала, запоминания, скорости мышления и т.д., то
есть в этом случае задачный подход выполняет функцию индивидуализации процесса
обучения.
5. Современный подход к постановке задач выводит студента за рамки одного
предмета и задачный подход выполняет функцию интеграции и синтеза знаний.
6. Здесь же возможен учет конкретных особенностей, целей образования,
характерных только для данной территории, следовательно, в задачу могут быть включены
элементы, учитывающие региональные отличия, и задачный подход будет выполнять
функцию регионализации.
7. Контрольно-оценочная функция обусловлена тем, что решение задач выступает
удобным и простым способом осуществления проверки знаний, умений и навыков
обучаемых. Данная функция позволяет устанавливать обратную связь между задаваемым
уровнем усвоения знаний, умений и навыков и реальным, определяющим степень
усвоения заданной системы знаний, сформированности умений и навыков.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формирование у студентов комплексного применения знаний...
Литература
1. Акофф, Р.Л. Рассогласование между системой образования и требованиями к
успешному управлению [Текст] // Вестник высшей школы. – 1990. – № 2. – С. 50–54.
2. Ермакова, Е.В. Задачи при подготовке к лабораторным занятиям по физике в
педагогическом вузе [Текст] // Концепт : науч.-метод. электрон. журн. – 2013. – Т. 3. – С.
97–104.
3. Ермакова, Е.В. Организация и проведение лабораторных занятий по курсу общей
физики в педагогическом вузе [Текст] : дис. … канд. пед. наук / Е.В. Ермакова. – Челябинск,
2004.
4. Тулькибаева, Н.Н. Методика обучения учащихся умению решать задачи [Текст] :
учеб. пособие к спецкурсу / Н.Н. Тулькибаева, А.В. Усова. – Челябинск : ЧГПУ, 1981.
– 84 с.
5. Тулькибаева, Н.Н. Решение задач по физике. Психолого-методический аспект
[Текст] / Н.Н. Тулькибаева; под ред. Н.Н. Тулькибаевой, М.А. Драпкина. – Челябинск :
Факел : ЧВВАИУ : Урал. гос. проф.-пед. ун-т, 1995. – 120 с.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
8. Кроме контроля со стороны преподавателя студент может самостоятельно
проверить свои знания, решая задачи. Тогда задачный подход выполняет самооценочную
функцию.
9. Информация, содержащаяся в условиях задач, носит не только познавательный,
но и воспитывающий характер – воспитывающая функция задачного подхода.
Обобщая вышесказанное можно заключить, что задачный подход многоплановый,
многофакторный метод обучения, он многофункционален, его возможности в подготовке
студентов неисчерпаемы.
97
Физико-математические науки и методика их преподавания
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
98
98
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Our Contributors
Столбов Виктор Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
математики, информатики и методики их преподавания Ишимского государственного
педагогического института им. П.П. Ершова.
Stolbov Victor Nickolayevitch, the Candidate of Science (Physics and Mathematics), the
associate professor of the Chair of Mathematics, Information Science and Methods of their
Training of the Ishim Ershov State Teachers Training Institute.
Кузьмиченко Максим Витальевич, студент физико-математического факультета
Ишимского государственного педагогического института им. П.П. Ершова.
Kuzmichenko Maxim Vitalyevitch, a student of the Faculty of Physics and Mathematics
of the Ishim Ershov State Teachers Training Institute.
Карасева Римма Борисовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
высшей математики Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии
(г. Омск).
Karasyeva Rimma Borisovna, the Candidate of Science (Physics and Mathematics), the
associate professor of the Chair of Higher Mathematics of The Siberian State Motor-Road
Academy (Omsk).
Шармин Валентин Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры алгебры и математической логики Тюменского государственного университета
Sharmin Valentin Gennadyevich, the Candidate of Science (Physics and Mathematics),
the associate professor of the Chair of Algebra and Mathematical Logics of Tyumen State
University.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Далингер Виктор Алексеевич, доктор педагогических наук, профессор, академик
Международной Академии информатизации образования, академик Международной
академии наук педагогического образования, академик академии наук Высшей школы,
зав. кафедрой теории и методики обучения математике Омского государственного
педагогического университета.
Dalinger Victor Alexeyevitch, – the Doctor of Science (Pedagogics), professor, the
academician of the International Academy of Information Technologies in Education, the
academician of the International Academy of Pedagogical Education, the academician of the
Academy of Higher School, the Head of the Chair of Theory and Methods of Teaching
Mathematics.
Бабичева Ирина Владимировна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры
высшей математики Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии
(г. Омск).
Babitcheva Irina Vladimirovna, the Candidate of Science (Pedagogical Sciences), the
associate professor of the Chair of Higher Mathematics of The Siberian State Motor-Road
Academy (Omsk).
Мамонтова Татьяна Сергеевна, кандидат педагогических наук, доцент, зав. кафедрой
теории и методики преподавания математики, информатики и методики их преподавания
Ишимского государственного педагогического института им. П.П. Ершова.
Mamontova Tatyana Sergeyevna, the Candidate of Science (Pedagogics), the associate
professor of the Chair of Mathematics, Information Science and Methods of their Training of
the Ishim Ershov State Teachers Training Institute.
Фомичева Ирина Георгиевна, доктор педагогических наук, профессор кафедры
педагогики, проректор по учебной работе Тюменской государственной академии культуры,
искусств и социальных технологий, зав. кафедрой педагогики.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
99
Бердюгина Оксана Николаевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры,
зав. кафедрой информатики и информационных технологий Тюменской государственной
академии культуры, искусств и социальных технологий.
Berdyugina Oksana Nickolayevna, the Candidate of Science (Pedagogics), an associate
professor, the head of the Chair of Information Science and Information Technologies of the
Tyumen State Academy of Culture, Arts and Social Technologies.
Шилина Наталья Владимировна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры
социальной педагогики и педагогики детства Ишимского государственного
педагогического института им. П.П. Ершова.
Shilina Natalia Vladimirovna, the Candidate of Science (Pedagogics), an associate
professor, the head of the Chair of Social Pedagogics and Cildren“s Pedagigics of the Ishim
Ershov State Teachers Training Institute.
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Phomychyova Irina Georgyiyevna, the Doctor of Science (Pedagogics), a professor of
the Chair of Pedagogical Science, a vice-principal on studies of the Tyumen State Academy of
Culture, Arts and Social Technologies, the head of the Chair of Pedagogical Science.
Кашлач Ирина Федоровна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и
методики преподавания математики, информатики и методики их преподавания
Ишимского государственного педагогического института им. П.П. Ершова.
Kashlach Irina Fyodorovna, the Candidate of Science (Pedagogics), the associate professor
of the Chair of Mathematics, Information Science and Methods of their Training of the Ishim
Ershov State Teachers Training Institute.
Шагова Кристина Сергеевна, студентка физико-математического факультета
Ишимского государственного педагогического института им. П.П. Ершова.
Shagova Kristina Sergeyevna, a student of the Faculty of Physics and Mathematics of
the Ishim Ershov State Teachers Training Institute.
Полякова Татьяна Анатольевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры
высшей математики Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии
(г. Омск).
Polyakova Tanyana Anatolyevna, the Candidate of Science (Pedagogical Sciences), the
associate professor of the Chair of Higher Mathematics of The Siberian State Motor-Road
Academy (Omsk).
Журавлева Надежда Степановна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры
теории и методики преподавания физики, технологии и предпринимательства Ишимского
государственного педагогического института им. П.П. Ершова.
Zhuravlyeva Nadezhda Stepanovna, the Candidate of Science (Pedagogics), the associate
professor of the Chair of Theory and Methods of Teaching Physics, Technology and Business
of the Ishim Ershov State Teachers Training Institute.
Ермакова Елена Владимировна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры
теории и методики преподавания физики, технологии и предпринимательства Ишимского
государственного педагогического института им. П.П. Ершова.
Yermakova Yelena Vladimirovna, the Candidate of Science (Pedagogics), the associate
professor of the Chair of Theory and Methods of Teaching Physics, Technology and Business
of the Ishim Ershov State Teachers Training Institute, the Dean of the Faculty of Physics and
Mathematics.
Физико-математические науки и методика их преподавания
Южакова Екатерина Николаевна, студентка физико-математического факультета
Ишимского государственного педагогического института им. П.П. Ершова.
Yuzchakova Yekaterina Nikolayevna, a student of the Faculty of Physics and Mathematics
of the Ishim Ershov State Teachers Training Institute.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математические науки и методика их преподавания
100
100
Научное издание
Вестник Ишимского
государственного педагогического
института им. П.П. Ершова
журнал
№ 4 (10) 2013
Серия «Физико-математические науки
и методика их преподавания»
Главный редактор: Сергей Павлович Шилов,
Зам. главного редактора: Людмила Васильевна Ведерникова,
Ответственный редактор: Ермакова Елена Владимировна.
Технический редактор, корректор Е.П. Горохова
Компьютерная верстка Е.П. Горохова
Печать Т.Г. Вереникина
Заказ № 57 Подписано в печать 29. 10. 2013
Объем 11,625 усл. печ. л.
Бумага офсетная Формат 60х84/8
Вестник ИГПИ им. П.П. Ершова № 4 (10) 2013
Тираж 100 экз.
Гарнитура «Arial» Ризография
Издательство Ишимского государственного педагогического института
им. П.П. Ершова
627750, Тюменская обл., г. Ишим, ул. Ленина, 1.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа