close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

388.Вестник Томского государственного университета. Математика и механика №1 2011

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2011
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ УНИВЕРСИТЕТА
И НАУКИ РФ
Математика и механика
1(13)
ВЕСТНИК
ТОМСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Научный журнал
2011
№ 1(13)
Свидетельство о регистрации: ПИ № ФС77-30658
от 20 декабря 2007 г.
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
А.И. Забарина, Г.Г. Пестов
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ЖУРНАЛА
«ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА.
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА»
Глазунов А.А., д-р физ.-мат. наук, проф. (председатель); Гулько С.П., д-р физ.-мат. наук,
проф. (зам. председателя); Лазарева Е.Г., канд. физ.-мат. наук, доц. (отв. секретарь); Александров И.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Берцун В.Н., канд. физ.-мат. наук, доц.; Биматов В.И., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бубенчиков А.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бухтяк М.С., канд. физ.-мат. наук, доц.; Васенин И.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Гришин А.М.,
д-р физ.-мат. наук, проф.; Ищенко А.Н., д-р физ.-мат. наук, проф.; Конев В.В., д-р физ.-мат.
наук, проф.; Крылов П.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Лейцин В.Н., д-р физ.-мат. наук,
проф.; Панько С.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Пергаменщиков С.М., д-р физ.-мат. наук,
проф.; Сипачёва О.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Скрипняк В.А., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Старченко А.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Шрагер Г.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Шрагер Э.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.; Cauty R., prof.
Научный журнал «Вестник Томского государственного университета. Математика и
механика» был выделен в самостоятельное периодическое издание из общенаучного журнала «Вестник Томского государственного университета» в 2007 г. Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере массовых коммуникаций, связи и охраны
культурного наследия (свидетельство о регистрации ПИ № ФС 77-30658 от 20 декабря
2007 г.), ему присвоен международный стандартный номер сериального издания (ISSN
1998-8621). Журнал выходит ежеквартально и распространяется по подписке, его подписной индекс 44064 в объединённом каталоге «Пресса России».
«Вестник ТГУ. Математика и механика» входит в систему Российского индекса научного цитирования (РИНЦ) на платформе http://elibrary.ru, а также в Перечень ВАК изданий
для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций. Кроме того, все номера журнала присутствуют и обрабатываются на общероссийском математическом портале http://Math-Net.ru.
Адрес редакции:
634050, г. Томск, пр. Ленина, д.36, корп. 2, к. 417
Электронный адрес: http://vestnik.tsu.ru/mathematics
Контактный тел./факс: (3822) 529-740
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ООО «Издательство научно-технической литературы»
634050, Томск, пл. Ново-Соборная, 1, тел. (3822) 533-335
Редактор Т.С. Портнова
Верстка Д.В. Фортеса
Изд. лиц. ИД № 04000 от 12.02.2001. Подписано к печати 03.03.2011.
Формат 70 × 100 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. п. л. 11,29. Уч.-изд. л. 12,64. Тираж 300 экз. Заказ № 4.
Отпечатано в типографии «М-Принт», г. Томск, ул. Пролетарская, 38/1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Забарина А.И., Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные группы ..............................................5
Кармазин А.П., Мухутдинова Д.Р. Устранимые множества и распределение внутренних граничных компонент при квазиизометриях областей Rn ......................................9
Несмеев Ю.А. Об одном подходе к решению алгебраических уравнений 3-й и 4-й
степеней .................................................................................................................................26
Онищук Н.М., Цоколова О.В. Неголономные торсы 2-го рода............................................31
Садыбеков М.А., Сарсенби А.М. Об одном необходимом условии базисности системы нормированных элементов в гильбертовом пространстве .......................................44
Славолюбова Я.В. K-контактные структуры на группах Ли..................................................47
Чехлов А.Р. О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп, 2 ................................................55
Чистяков Д.С. Эндоморфные неразложимые абелевы группы без кручения ранга 3..........61
МЕХАНИКА
Бубенчиков М.А., Иванова И.А. Расчет аэродинамики циклонной камеры .......................67
Евдокимов А.С., Пономарев С.В., Буянов Ю.И. Совместный расчет напряженно-деформированного состояния и диаграммы направленности космических
рефлекторов ...........................................................................................................................74
Зятиков П.Н. Экспериментальные исследования аэродинамики закрученного потока в воздушно-центробежном классификаторе ..................................................................83
Кузнецов Г.В., Аль-Ани М.А., Шеремет М.А. Математическое моделирование нестационарных режимов теплопереноса в замкнутом двухфазном цилиндрическом термосифоне в условиях конвективного теплообмена с внешней средой ..............93
Лукащик Е.П., Иванисова О.В. Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля .......................................................................................105
Цыденов Б.О., Старченко А.В. Численное моделирование эффекта термобара в
озере Байкал в период весенне-летнего прогревания.......................................................120
Шилова О.Г., Клыков И.И., Попонин В.С., Кошеутов А.В. Образование аневризмы в капиллярах.............................................................................................................130
МЕМУАРЫ, ПАМЯТНЫЕ ДАТЫ, ПЕРСОНАЛИИ
Юрий Семенович ЗАВЬЯЛОВ. К 80-летию со дня рождения...............................................136
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ......................................................................................................139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
МАТЕМАТИКА
УДК 519.46
А.И. Забарина, Г.Г. Пестов
ДВУМЕРНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ
Доказано, что в двумерно упорядоченной группе множество элементов конечного порядка образует нормальную подгруппу.
Ключевые слова: n-мерный порядок, n-мерно упорядоченная группа, реализация 2-упорядоченного множества, проекция двумерного порядка на прямую.
1. Двумерно упорядоченные множества
Определение линейно упорядоченного множества отталкивается от свойств
множества точек, расположенных на прямой. Поэтому представляется естественным при выработке понятия двумерно упорядоченного множества исходить из
свойств множества точек, расположенных на плоскости. Подобно тому, как на
прямой имеется естественный линейный порядок, на плоскости имеется ориентация, которую разумно рассматривать как естественный двумерный порядок. Определение двумерно упорядоченного множества может быть задано либо в аксиоматической форме [1, с. 12], либо через так называемую реализацию множества в
ℜ2 [1, с. 11]. В данной работе используется определение двумерно упорядоченного множества через реализацию на плоскости. Отметим, что определение двумерно упорядоченного множества в аксиоматической форме и определение через
реализацию на плоскости являются эквивалентными (готовится статья с доказательством их эквивалентности).
Для удобства читателя приведем оба определения 2-упорядоченного множества.
Определение (в аксиоматической форме). Пусть M – непустое множество и
на M 3 задана функция ζ(x,y,z), принимающая значения 0, 1, −1 и удовлетворяющая
следующим условиям:
A1. Функция ζ(x,y,z) меняет значение на противоположное при каждой перестановке двух аргументов.
A2. Если четвёрка A⊂M и существуют a,b,c ∈A, такие, что ζ(a,b,c)≠0, то a) Для
каждой пары x,y∈A найдётся z∈A, такое, что ζ(x,y,z) ≠0, b) существует такая пара
a,b ∈A, что для x,y∈A\{a,b} выполнено ζ(a,b,x)= ζ(a,b,y)≠0.
A3. Если A⊂M, |M|=5, a,b ∈A, то существуют такие с∈A и ε=±1, что для всех
x∈A\{a,b}, ζ(a,c,x)≠0, выполнены равенства ζ(a,b,x) = εζ(a,с,x).
Пара <M,ζ> называется 2-упорядоченным (или двумерно упорядоченным)
множеством. Функция ζ(x,y,z) называется функцией двумерного порядка на
множестве M.
Второе определение 2-упорядоченнного множества исходит из идеи реализации множества на плоскости. Введём сначала естественную ориентацию плос-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.И. Забарина, Г.Г. Пестов
6
кости. Пусть x,y,z есть точки плоскости ℜ2 . Если обход тройки точек (x,y,z) происходит против часовой стрелки, то полагаем η( x, y, z)=1. Если обход происходит
по часовой стрелке, полагаем η(x, y, z) = −1. Наконец, если точки x,y,z расположены на одной прямой, то принимаем η(x, y, z) = 0. Функцию η(x, y, z) назовём естественной ориентацией плоскости ℜ2. Разумеется, функцию η(x, y, z) легко задать
как знак соответствующего определителя.
Если для множества A⊂M, |A|<5 существует отображение A→ℜ2, такое, что
∀x,y,z∈A выполнено ζ(x,y,z) = η(ϕ(x),ϕ(y),ϕ(z)), то говорят, что ϕ есть реализация
множества A в плоскости ℜ2 или что множество A реализуемо в ℜ2.
Если каждое множество A⊂M, |A|≤5, реализуемо в ℜ2, то пара <M,ζ> называется двумерно упорядоченным множеством. В дальнейшем вместо «двумерно упорядоченное множество <M,ζ>» будем часто говорить «двумерно упорядоченное
множество M». Порядок ζ в двумерно упорядоченном множестве <M,ζ> называется невырожденным, если ζ(x,y,z) не обращается тождественно в нуль на M.
Пусть <M,ζ> есть 2-упорядоченное множество, a,b∈M. Множество всех таких
x∈M, что ζ(a,b,x) = 0, называется прямой, проходящей через a и b , и обозначается
lab. Если для всех x∈M\{a,b}выполнено ζ(a,b,x)>0, то {a,b} называется внешней
гранью множества <M,ζ>. Более полные сведения о двумерно упорядоченных
множествах представлены в [1]. А в данной статье мы имеем дело только с двумерно упорядоченными множествами. Для произвольного натурального n определение n-упорядоченного множества в аксиоматической форме дано в [2], некоторые теоремы об n-упорядоченных группах изложены в [3].
2. Двумерно упорядоченные группы. Постановка задачи.
Теорема об элементах конечного порядка
Пусть на группе G задан двумерный порядок ζ(x,y,z). Будем говорить, что порядок ζ(x,y,z) согласован с групповой операцией, если для всех элементов x,y,z,a
группы G выполнено ζ(ax,ay,az) = ζ(xa,ya,za) = ζ(x,y,z). Группу с заданным на ней
двумерным порядком, согласованным с групповой операцией, назовём двумерно
упорядоченной группой. Мультипликативная группа комплексных чисел C* служит примером абелевой двумерно упорядоченной группы. Тоболкин А.А. показал
как можно строить неабелевы n-мерно упорядоченные группы, отправляясь от
линейно упорядоченных групп [4].
Теорема. 1. Пусть <G,ζ(x,y,z)> есть невырожденная двумерно упорядоченная
группа и для некоторого натурального n выполнено a n∈Z(G). Тогда a∈Z(G).
Доказательство. Пусть a n∈Z(G), an+1∉Z(G), где n натуральное.
Тогда найдётся такое b∈G, что b не коммутирует с a. Существует такое k натуральное, что [ak , b] ≠ e, [ak +1, b] = e, Рассмотрим по отдельности два случая:
1) b∈lea , 2) b∉lea.
1) Пусть сначала b∈lea. Тогда, по определению прямой в двумерно упорядоченном множестве, ζ(e,a,b)=0. Отсюда, пользуясь инвариантностью ζ , получаем
k
последовательно ζ(e,a,ba)=0,…, ζ (e, a, b a ) = 0 . Итак, элементы множества {b, ba,
k
…, b a } принадлежат прямой lea. Очевидно, что они попарно различны.
Далее, существует такой элемент c, что c ∉ lea. В самом деле, если бы все элементы группы G принадлежали прямой lea, то ζ(x,y,z) равнялось бы нулю для всех
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Двумерно упорядоченные группы
7
x,y,z∈G, что противоречит условию невырожденности двумерного порядка на
группе G . Итак, ζ(e,a,c)≠0. Но ζ(e,a,c)= ζ(e,a,ca)≠0. Отсюда сa∉ lea. Теперь ζc(x,y) и
ζca(x,y) есть линейные порядки на lea. Следовательно, существует δ=± 1, такое что
для всех x,y из lea. выполнено ζc(x,y)=δζca(x,y) [1]. Из ζ(e,a,c)=ζ(e,a,ca) следует
ζc(e,a)=ζca(e,a). Поэтому, δ = 1 . Итак, для всех x,y из lea выполнено ζc(x,y)=ζca(x,y),
то есть ζ(c,x,y)=ζ(сa,x,y). Аналогично находим ζ(c,x,y)=ζ(с,xa,ya), откуда
ζc(x,y)=ζc(xa,ya).
Итак, отношение ζc(x,y)=1 есть отношение линейного порядка на lea, инвариантное относительно a-сопряжений. Обозначим отношение ζc(x,y) =1 через x < y .
2
Пусть, для определённости, ζc(b,ba)=1. Отсюда ζ(c,b,ba)=1, ζ (c a , b a , b a ) = 1 ,
2
2
ζ (c , b a , b a ) = 1 . Итак, b<ba влечёт неравенство b a < b a . Продолжая аналогичные
2
k
рассуждения, получим строгие неравенства: b < b a < b a … < b a < b – противоречие.
Итак, предположение b∈ lea ведёт к противоречию.
2) Предположим, что b∉ lea. Тогда ζ(e,a,b)≠0. Примем, для определённости,
что ζ(e,a,b)> 0. Тогда, ввиду инвариантности ζ(x,y,z) получим
k
ζ (e, a, b) = … = ζ (e, a, b a ) = 1 .
(*)
Итак, (ea) есть внешняя грань в двумерно упорядоченном множестве
k
{ e, a, b, b a ,… , b a }.
Каков знак величины ζ(a,b,ba)?
a) Случай ζ(a,b,ba)=0. Поскольку точки a ,b, ba лежат на одной прямой lab, то и
2
точки a , b a , b a также лежат на этой прямой. Продолжая эти рассуждения и далее,
k
заключаем, что точки {a, b, b a ,… , b a } лежат на прямой lab.
Так как ζ(e,a,b)≠0, то e∉lab. Поэтому ζe(x,y) есть линейный порядок на lab. Этот
порядок инвариантен относительно a-сопряжений: ζ(e,x,y)=ζ(e,xa,ya), откуда
ζe(x,y)= ζe(xa,ya).
2
Обозначим отношение ζe(x,y)=1 через x<y. Имеем b < b a < b a … < b a
откуда b<b – противоречие.
k +1
=b,
2
b) Случай ζ(a,b,ba)≠0. Пусть, например, ζ(a,b,ba)=1. Имеем ζ (a, b a , b a ) > 0 , …,
K
p
ζ (a, b a , b) > 0 . Обозначим через S множество, содержащее a и точки вида b a ,
где 0 ≤ p ≤ k. Во множестве S точка a – внутренняя. Поэтому в S найдутся точки
x,y,z , такие, что
ζ(x,y,a)>0, ζ(y,z,a,)>0, ζ(z,x,a)>0.
(**)
В то же время, из (*) следует, что
ζ(e,a,x)>0, ζ(e,a,y)>0, ζ(e,a,z)>0.
(***)
Легко видеть, что пятёрка (e,a,x,y,z), удовлетворяющая соотношениям (**) и
(***), нереализуема на плоскости. В самом деле, если бы существовала её реализация ϕ на плоскости, то из (**) следовало бы, что ϕ(a) лежит внутри треугольника с вершинами ϕ(x), ϕ(y), ϕ(z). С другой стороны, из (***) следовало бы, что точ-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8
А.И. Забарина, Г.Г. Пестов
ки ϕ(x), ϕ(y), ϕ(z) расположены по одну сторону от прямой, проходящей через
точки ϕ(e), ϕ(a). Итак, предположение о том, что a ∉ Z (G ) , ведёт к противоречию.
Замечание. Теорема 1 является обобщением теоремы 20 [5].
Следствие 1. Множество всех элементов конечного порядка двумерно упорядоченной группы G есть её нормальная подгруппа.
Следствие 2. Если элемент a не принадлежит центру двумерно упорядоченной
группы G, то и никакая степень этого элемента ему не принадлежит.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск, 2003.
2. Пестов Г.Г. n-упорядоченные множества // Тр. Иркут. гос. ун-та. 1970. Т. 74. Вып. 6.
С. 146−169.
3. Забарина А.И., Пестов Г.Г. Об n-мерно упорядоченных группах // Вестник ТГУ. 2003.
№ 280. С. 40−43.
4. Тоболкин А.А. Об n-упорядоченных группах // Материалы X Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Наука и образование». Томск: Изд-во
ТГПУ, 2006. Т. 1. Ч. 2. С. 107−113.
5. Fuchs L. Partially ordered algebraic systems. Oxford; London; New York; Paris: Pergamon
press, 1963.
Статья принята в печать 22.01.2011 г.
Zabarina A. I., Pestov G. G. TWO-DIMENSIONALLY ORDERED GROUPS. It is proved that
the set of elements of order two in a two-ordered group is a normal subgroup.
Keywords: 2-dimensional order, 2-ordered group, realization of a two-ordered set, two-order
projection to a straight line.
ZABARINA Anna Ivanovna (Tomsk State Pedagogic University)
PESTOV German Gavrilovich (Tomsk State University)
E-mail: pppestov@mail.tomsknet.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 515.125+517.5
А.П. Кармазин, Д.Р. Мухутдинова
УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ВНУТРЕННИХ ГРАНИЧНЫХ КОМПОНЕНТ
ПРИ КВАЗИИЗОМЕТРИЯХ ОБЛАСТЕЙ Rn
Рассматриваются различные случаи и условия устранимости множеств при
квазиизометрических отображениях, проводится исследование распределения внутренних граничных компонент областей Rn.
Ключевые слова: квазиизометрическое отображение, внутренние метрики, бесконечносвязные области, устранимые множества, распределение
граничных компонент.
В работах [1] и [2] А.В. Сычев и В.В. Асеев рассмотрели случаи устранимости
множеств при квазиконформных отображениях. В данной статье исследуются вопросы устранимости различных множеств при ρ-квазиизометрических и δ-квазиизометрических отображениях. Естественно, что результаты работ [1, 2] справедливы для ρ- и δ-квазиизометрий, которые являются подклассами квазиконформных отображений. Однако, так как ρ- и δ-квазиизометрические отображения являются строгими подклассами квазиконформных, то существует возможность получения более сильных результатов при их исследованиях. Например, в силу результатов работ [1, 2] следует, что спрямляемые кривые, лежащие в пространственной области, устранимы при квазиконформных отображениях, в частности и
при ρ-, δ-квазиизометриях этой области. Однако при ρ- и δ-квазиизометрических
отображениях спрямляемые кривые переходят в спрямляемые, что невозможно
при квазиконформных отображениях. Тем самым результаты работ [1, 2] для случая ρ- и δ-квазиизометрий существенно уточняются. Также в данной работе рассматривается вопрос о распределении различных множеств при ρ- и δ-квазиизометрических отображениях, что является естественным продолжением вопроса их
устранимости.
1. Основные понятия и обозначения
Пусть Rn, n ≥ 1 есть n-мерное евклидово пространство точек x = ( x1 , x2 ,..., xn ) .
Под областью D будем понимать ограниченный гомеоморф шара в Rn. Пусть
n
d ( x, y ) = (∑ ( xi2 − yi2 ))1/ 2 есть евклидово расстояние между точками x и y в Rn.
i =1
Обозначим через B n ( x, r ) ( S n −1 ( x, r ) ) открытый шар (сферу) в Rn с центром в
точке x радиуса r > 0. Пусть A есть множество из Rn. Обозначим через А евклидово замыкание, через ∂A евклидову границу, через d(A) евклидов диаметр множества A в Rn.
1.1. Определение. Область D ⊂ Rn назовем жордановой, если она гомеоморфна шару и ∂D гомеоморфна сфере из Rn.
1.2. Определение. Непрерывное отображение L:∆→D, где ∆ есть некоторый
отрезок из R1, назовем путем, или кривой, в области D.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.П. Кармазин, Д.Р. Мухутдинова
10
Пусть L:[a, b]→ Rn есть путь в Rn и a = t0 ≤ t1 ≤…≤ tk = b есть разбиение сегмента
[a, b].
1.3. Определение. Длиной l(L) пути L называется точная верхняя грань сумм
k
∑ L(ti ) − L(ti −1 )
по всем разбиениям [a, b]. Если l(L) < ∞, то говорят, что путь L
i =1
спрямляем; если l(L) = ∞, то говорят, что путь L неспрямляем. Если путь L:[0,1)→
Rn полуоткрыт, то говорят, что он спрямляем, если lim l ( L([0, t ])) < ∞.
t →1
Для пути L:[0,1)→D через C(L,1) обозначим предельное множество отображения L в точке 1: b ∈ C ( L,1) ⇔ существует последовательность чисел tk→1, {tk} ⊂
[0, 1) такая, что L (tk) → b в евклидовой норме при k → ∞.
Определим в области D ⊂ Rn следующие метрики: внутреннюю метрику Римана – Александрова ρD(x, y), равную точной нижней грани длин кривых, лежащих в
D и соединяющих точки x, y из D; относительное расстояние Мазуркевича δD(x, y),
равное точной нижней грани евклидовых диаметров связных подмножеств области D, содержащих точки x, y из D. Очевидно, что имеет место следующее соотношение:
d ( x, y ) ≤ δ D ( x , y ) ≤ ρ D ( x, y ) , ∀ x , y ∈ D .
(1)
Отсюда следует очевидное утверждение:
1.4. Утверждение. Если последовательность точек {xm} из D фундаментальна
по метрике ρD, то она одновременно фундаментальна по метрикам δD и d, причем
{xm} сходится в евклидовой метрике к некоторой точке b ∈ D .
1.5. Определение. Гомеоморфизм f : D → G называется δ-квазиизометрией,
если существует число K ∈ [1, ∞) , такое, что
K −1δ D ( x, y ) ≤ δG ( f ( x), f ( y )) ≤ K δ D ( x, y ) , ∀ x, y ∈ D .
(2)
Гомеоморфизм f : D → G называется ρ-квазиизометрией, если существует
число K ∈ [1, ∞ ) , такое, что
K −1ρ D ( x, y ) ≤ ρG ( f ( x), f ( y )) ≤ K ρ D ( x, y ) , ∀ x, y ∈ D .
(3)
В силу (1) очевидно, что любая δ-квазиизометрия одновременно является и ρквазиизометрией. Отсюда следует, что любой результат о поведении ρквазиизометрических гомеоморфизмов справедлив также и для класса δ-квазиизометрий. Обратное утверждение, в общем случае, неверно.
1.6. Определение. Величины ρ D ( A) = sup ρ D ( x, y ) и δ D ( A) = sup δ D ( x, y )
x , y∈ A
x , y∈ A
назовем соответственно ρD-диаметром и δD-диаметром множества A.
Замечание 1. Из ограниченности области D следует, что δ D ( D) ≤ d ( D) < ∞ .
Тогда, очевидно, что δD-диаметр любого подмножества A ⊂ D ограничен сверху
постоянной величиной, равной диаметру области D: δ D ( A) ≤ d ( D) . В общем случае ρD-диаметр ограниченной области D может быть бесконечным. Поэтому связное подмножество A, целиком лежащее в D, может иметь сколь угодно большой
ρD-диаметр. Следует отметить при этом, что неспрямляемая кривая γ может иметь
сколь угодно малый ρD-диаметр и, в частности, δD-диаметр.
Обозначим через [D]ρ пополнение области D ⊂ Rn по метрике ρD, а через [D]δ –
пополнение D ⊂ Rn по метрике δD.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устранимые множества и распределение внутренних граничных компонент
11
Обозначим VDδ ( x, α) = { y ∈ D, δ D ( x, y ) < α} , VDρ ( x, α) = { y ∈ D, ρ D ( x, y ) < α} .
Эти множества всегда связны в D.
1.7. Утверждение (см. [3]). Пусть f : D → G есть ρ-квазиизометрия, тогда f
продолжается до гомеоморфизма f : [ D]ρ → [G ]ρ . Аналогично, если f : D → G
есть δ-квазиизометрия, тогда f продолжается до гомеоморфизма f : [ D]δ → [G ]δ .
1. 8. Определение. Носителем элемента b* ∈ [ D]λ пополнения области D по
некоторой метрике λ называется множество I (b* ) = {b ∈ ∂D, ∃{xn } ∈ b* , такие, что
b есть предельная точка {xn }} . В нашем случае за λ принимается одна из метрик
ρD, δD.
Заметим, что носителем элемента [D]ρ\D или [D]δ\D всегда является точка ∂D,
при этом одна и та же точка ∂D может быть носителем нескольких или даже бесконечно многих элементов пополнения [D]ρ и соответственно [D]δ .
1.9. Утверждение (см. [3]). Пополнение [D]ρ области D ⊂ Rn по метрике ρD
присоединяет к D все точки ∂D, достижимые некоторым спрямляемым путем
из D.
1.10. Утверждение (см. [3]). Пополнение [D]δ области D по метрике δD присоединяет к D все точки ∂D, достижимые некоторым путем из D.
Введем на D дополнительно в рассмотрение метрику Хаусдорфа, определенную на основе внутренних метрик ρD и δD:
rHδ ( A, B ) = max{sup δ D (a, B),sup δ D (b, A)} ,
a∈ A
rHρ
b∈B
( A, B ) = max{sup ρ D (a, B),sup ρ D (b, A)} ,
a∈A
b∈B
где A, B ⊂ D – замкнутые относительно D подмножества D. Кроме того, введем
метрику Хаусдорфа в Rn, n ≥ 2:
rH ( A, B ) = max{ sup d ( a, B), sup d (b, A)} ,
a∈ A
b∈B
где A, B ⊂ R n .
Напомним некоторые понятия, связанные с топологическим пределом множеств (см.[4]).
1.11. Определение. Пусть {Am} есть последовательность некоторых множеств
Rn. Точка b принадлежит нижнему топологическому пределу последовательности
{Am}: b ∈ lt Аm , если любая окрестность точки b пересекается со всеми множеm →∞
ствами Am, начиная с некоторого номера m. Точка b принадлежит верхнему топологическому пределу последовательности {Am}: b ∈ lt Аm , если любая окрестm →∞
ность точки b пересекается с бесконечным числом множеств Am. Говорят, что
множество A является топологическим пределом последовательности {Am}:
A = lt Аm , если lt Аm = A = lt Am .
m →∞
m →∞
m →∞
1.12.Теорема. (Обобщенная теорема Больцано – Вейерштрасса, см. [4].) Любая
последовательность подмножеств сепарабельного пространства содержит сходящуюся топологически подпоследовательность (топологический предел которой
может быть пустым множеством).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.П. Кармазин, Д.Р. Мухутдинова
12
1.13. Теорема. (Теорема Зоретти, см. [4].) Во всяком компактном метрическом
пространстве топологический предел сходящейся последовательности связных
множеств есть связное множество.
Вопросы устранимости различных подмножеств областей D ⊂ Rn при отображениях некоторого класса гомеоморфизмов является важным в теории функций и
ее приложениях. Для исследования этого вопроса будем пользоваться некоторыми
понятиями и результатами работ [1, 2].
1.14. Определение (см. [1]). Пусть α > 0 и E – множество из Rn. Рассмотрим
счетное покрытие {Ei}, i = 1, 2,…, множества E открытыми множествами Ei, такими, что d(Ei) < r, r > 0. Пусть Λ αr ( E ) = inf ∑ d ( Ei )α , где точная нижняя грань беi
рется по всем таким покрытиям. Величина Λ α ( E ) = lim Λ αr ( E ) = sup Λ αr ( E ) назыr →0
r >0
вается α-мерной мерой Хаусдорфа множества E.
1.15. Теорема (см. [1]). Если Е ⊂ Rn, то мера Лебега связана с мерой Хаусдорфа следующим образом: mn ( E ) = 2− n Ω n Λ n ( E ) и m1 ( E ) = Λ1 ( E ) .
1.16. Следствие (см. [1]). Для всякого Е ⊂ Rn mn(E) и Λn(E) обращаются в нуль
и бесконечность одновременно.
1.17. Определение. Множество E ⊂ D называется устранимым, если ρ-квазиизометрическое (δ-квазиизометрическое) отображение f : D \ E → R n может быть
продолжено до ρ-квазиизометрического (δ-квазиизометрического) отображения
f : D → R n . В частности, точка b ∈ D называется устранимой, если ρ-квазиизометрическое (δ-квазиизометрическое) отображение f : D \ {b} → R n может
быть продолжено до ρ-квазиизометрического (δ-квазиизометрического) отображения f : D → R n .
2. Устранимость точки при квазиизометриях областей D ⊂ Rn , n ≥ 2
Вначале рассмотрим плоский случай.
2.1. Теорема. Пусть D ⊂ R2 – ограниченная гомеоморфная кругу область, точка
b ∈ D. Тогда любое ρ-квазиизометрическое с коэффициентом К в D \ {b} отображение f : D \ {b} → R 2 может быть единственным образом продолжено до ρ-квазиизометрического в D отображения
f
D \{b}
f : D → R 2 с тем же коэффициентом К,
= f .
Доказательство. Так как отображение f : D \ {b} → R 2 является ρ-квазиизометрическим, то f по определению является гомеоморфизмом и, следовательно,
f ( D \ {b}) = G \ E ′ есть двусвязная область, где E ′ есть внутренняя компонента
связности дополнения f (D \{b}) в R2.
Покажем, что при выполнении условий теоремы E ′ будет являться одноточечным множеством, то есть E ′ = {b′} , b′ ∈ G .
Пусть S (b, r ) = { y ∈ R 2 , y − b = r} – окружности с центром в точке b радиуса
r > 0. Так как b – внутренняя точка D, то существует такое r0 > 0, что S (b, r ) ⊂ D ,
∀ r < r0 . Отметим, что длины окружностей l(S(b, r))=2πr → 0 при r → 0. Так как
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устранимые множества и распределение внутренних граничных компонент
13
f : D \ {b} → R 2 есть ρ-квазиизометрия, то в силу леммы 1.1.5 из [3] длина любой
кривой γ:[0,1)→D из D при отображении f удовлетворяет условию
K −1l ( γ ) ≤ l ( f ( γ )) ≤ Kl ( γ ) . Таким образом, для длин окружностей выполняется соотношение
l ( f ( S (b, r ))) ≤ Kl ( S (b, r )) = K 2πr.
(4)
В силу гомеоморфности f очевидно, что множество E ′ лежит внутри
замкнутой кривой f (S(b, r)). В силу (4), тогда при r → 0 получим
l ( f ( S (b, r ))) ≤ K 2πr → 0 . Исходя из этого, евклидов диаметр d(f(S(b, r)))→0 при
r → 0, то есть кривая f ( S (b, r )) ⊂ G , охватывая E ′ , «стягивает» его в некоторую
точку b′ ∈ G . Таким образом, E ′ = {b′} есть одноточечное множество, лежащее в
области G. Тогда, если положить f (b) = b′ , то, очевидно, отображение f : D → G
является гомеоморфным продолжением отображения f области D на область G,
f
= f .
D \{b}
Осталось доказать, что f : D → G есть ρ-квазиизометрия с коэффициентом К.
Так как f есть ρ-квазиизометрическое отображение, то, по определению,
K −1ρ D ( x, y ) ≤ ρG ( f ( x), f ( y )) ≤ K ρ D ( x, y ) , ∀x, y ∈ D \ {b} .
Для доказательства ρ-квазиизометричности f : D → G достаточно показать,
что
K −1ρ D ( x, b) ≤ ρG ( f ( x), f (b)) ≤ K ρ D ( x, b) , ∀x ∈ D \ {b} ,
или, в силу того, что f (b) = b′ ,
K −1ρ D ( x, b) ≤ ρG ( f ( x), b′) ≤ K ρ D ( x, b) .
(5)
Выберем последовательность точек {xn } ⊂ D : xn → b, xn ∈ D \ {b} . Тогда
K −1ρ D ( x, xn ) ≤ ρG ( f ( x), f ( xn )) ≤ K ρ D ( x, xn ) .
Так как x ≠ b и xn ∈ D \ {b} , то ρ-квазиизометрии f и f совпадают в этих точках, то есть выполняется f ( x) = f ( x) , f ( xn ) = f ( xn ) . Таким образом,
K −1ρ D ( x, xn ) ≤ ρG ( f ( x), f ( xn )) ≤ K ρ D ( x, xn ) .
Очевидно, что если xn → b, то f ( xn ) = f ( xn ) → b′ = f (b) . Тогда при n → ∞, используя теорему о предельном переходе из анализа, получим (5). Таким образом,
теорема доказана.
Так как в окрестности точки b ∈ D метрики ρD и δD совпадают, то следующее
утверждение является следствием теоремы 2.1.
2.2. Теорема. Пусть D ⊂ R2 – ограниченная гомеоморфная кругу область, точка
b ∈ D. Тогда любое δ-квазиизометрическое с коэффициентом К в D \ {b} отображение f : D \ {b} → R 2 может быть единственным образом продолжено до δ-квазиизометрического в D отображения
f
D \{b}
= f .
f : D → R 2 с тем же коэффициентом К,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14
А.П. Кармазин, Д.Р. Мухутдинова
Обобщим теоремы 2.1 и 2.2 для случая D ⊂ Rn, n ≥ 3.
2.3. Теорема. Пусть D ⊂ Rn – ограниченная гомеоморфная шару область, точка
b ∈ D. Тогда любое ρ-квазиизометрическое (δ-квазиизометрическое) с коэффициентом К в D\{b} отображение f : D \ {b} → R n может быть единственным образом
продолжено до ρ-квазиизометрического (δ-квазиизометрического) в D отображе= f .
ния f : D → R n с тем же коэффициентом К, f
D \{b}
Доказательство. Очевидно, что доказательство теоремы достаточно провести
лишь для случая ρ-квазиизометрии.
Так как отображение f : D \ {b} → R n является ρ-квазиизометрическим, то f по
определению является гомеоморфизмом и, следовательно, f ( D \ {b}) = G \ E ′ есть
двусвязная область, где E ′ есть внутренняя компонента связности дополнения f
Покажем, что при выполнении условий теоремы E ′ будет яв(D \{b}) в Rn.
ляться одноточечным множеством, то есть E ′ = {b′} , b′ ∈ G .
Обозначим через Bn(b, r) открытый шар в Rn с центром в точке b ∈ D ⊂ R n радиуса r > 0, Sn−1(b, r) – сферу в Rn: Sn−1(b, r) = ∂Bn(b, r). Пусть f ( S n −1 (b, r )) = A(r ) .
Рассмотрим произвольные отрезки (b, y ] ⊂ B n (b, r ) , y ∈ S n −1 (b, r ) , которые представляют собой радиусы шара Bn(b, r). Эти отрезки при отображении f переходят,
в силу его ρ-квазиизометричности, в спрямляемые кривые γ(b, r)=f ((b, y]), длины
которых в силу леммы 1.1.5 из [3] не больше Kr. Отсюда sup ρ D ( f ((b, y ])) → 0
при r → 0, следовательно , евклидов диаметр d(A(r)) → 0 при r → 0. Таким образом, множество A(r ) ⊂ G «стягивается» в точку, то есть A(r ) → b′ ∈ G . Следовательно, E ′ = {b′} есть одноточечное множество, лежащее в области G. Полагая
f (b) = b′ , получим, что отображение f : D → G ⊂ R n является единственным го-
меоморфным продолжением отображения f области D на область G, f
D \{b}
= f .
Осталось доказать, что f : D → G ⊂ R n есть ρ-квазиизометрия с коэффициентом К. Так как f есть ρ-квазиизометрическое отображение, то, по определению,
∀x, y ∈ D \ {b}
K −1ρ D ( x, y ) ≤ ρG ( f ( x), f ( y )) ≤ K ρ D ( x, y ) . Для доказательства
ρ-квазиизометричности f : D → G ⊂ R n достаточно показать, что
K −1ρ D ( x, b) ≤ ρG ( f ( x), f (b)) ≤ K ρ D ( x, b) ,
какова бы ни была точка x ∈ D \ {b} , или, в силу того, что f (b) = b′ ,
K −1ρ D ( x, b) ≤ ρG ( f ( x), b′) ≤ K ρ D ( x, b) .
Выберем последовательность точек {хn } ∈ D ⊂ R n : xn → b, xn ∈ D \ {b} . Тогда
K −1ρ D ( x, xn ) ≤ ρG ( f ( x), f ( xn )) ≤ K ρ D ( x, xn ) .
Так как x ≠ b и xn ∈ D \ {b} , то ρ-квазиизометрии f и f совпадают в этих точках,
то есть выполняется f ( x) = f ( x) , f ( xn ) = f ( xn ) . Таким образом,
K −1ρ D ( x, xn ) ≤ ρG ( f ( x), f ( xn )) ≤ K ρ D ( x, xn ) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устранимые множества и распределение внутренних граничных компонент
15
Очевидно, что если xn → b, то f ( xn ) = f ( xn ) → b′ = f (b) . Тогда при n→∞, используя теорему о предельном переходе из анализа, получим
K −1ρ D ( x, b) ≤ ρG ( f ( x), b′) ≤ K ρ D ( x, b) .
Теорема доказана.
3. Квазиизометрии областей D ⊂ Rn , n ≥ 2,
с бесконечным множеством выколотых точек,
имеющих одноточечное предельное множество
В случае квазиконформных отображений вопрос о распределении бесконечного множества выколотых точек в образе является достаточно сложным. В случае
же ρ-квазиизометрий и δ-квазиизометрий вопрос об этом распределении решается
по существу, то есть имеют место следующие теоремы, описывающие всевозможные ситуации.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда последовательность выколотых точек
сходится к внутренней точке области.
3.1. Теорема. Пусть D ⊂ Rn – ограниченная гомеоморфная шару область, {bn} –
последовательность точек из D, bn → b ∈ D , E = {bn } ∪ {b} и пусть f : D \ E → R n
есть ρ-квазиизометрическое (δ-квазиизометрическое) отображение. Тогда отображение f может быть продолжено до ρ-квазиизометрического (δ-квазиизометрического) отображения f : D → R n , то есть множество E является устранимым, причем в образе G = f ( D) последовательность точек f (bn ) фундаментальна по метрике ρG (δG) и сходится к внутренней точке области G.
Доказательство. Так как {bn} сходится к внутренней точке области D, в окрестности которой метрики ρD и δD совпадают, то доказательство достаточно провести для случая ρ-квазиизометрии. Так как область D содержит множество
E = {bn } ∪ {b} , а точки {bn} являются в E изолированными, то, в силу теоремы 2.3,
отображение f : D \ E → G \ E ′ продолжается до ρ-квазиизометрии f : D → G , то
есть точки {bn} являются устранимыми. Так как bn → b ∈ D , то {bn} – фундаментальна по метрике ρD в D. Очевидно, что последовательность точек из D, фундаментальная по метрике ρD, при ρ-квазиизометрии f : D → G переходит в последовательность точек
bn′ → b′ ∈ G и
f (bn ) = bn′ , фундаментальную по метрике ρG. Поэтому
f (b) = b′ . Таким образом отображение
f : D \ E → G \ E ′ , где
E ′ = {bn′ } ∪ {b′} , продолжается до ρ-квазиизометрии f : D → R n , и теорема доказана.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда последовательность выколотых точек
сходится к точке границы области. Пусть D ⊂ Rn – ограниченная гомеоморфная
шару область, bn → b ∈ ∂D – последовательность точек из D, сходящаяся в евкли-
довой метрике к точке границы области D, E={bn} и f : D \ E → R n есть ρ-квазиизометрическое (δ -квазиизометрическое) отображение.
В нашем случае возможны следующие случаи.
(i ) Пусть{bn} – фундаментальная по метрике ρD последовательность точек из
D, bn → b ∈ ∂D .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.П. Кармазин, Д.Р. Мухутдинова
16
Тогда, в силу изолированности точек {bn} в E, по теореме 2.3 они являются
устранимыми и, так как точка b лежит на границе области ∂D, то вопрос о ее устранимости не возникает. Поэтому рассмотрим вопрос только о распределении образов bn при отображении f в области G = f ( D) . Очевидно, что если последовательность точек {bn} из D фундаментальна по метрике ρD, f : D → G по теореме
2.3 является ρ-квазиизометрией, то последовательность точек {bn′ = f (bn )} ⊂ G
также фундаментальна в G по метрике ρG и сходится к точке границы области G:
bn′ → b′ ∈ ∂G .
Из анализа известно, что ρ-квазиизометрия f : D → G продолжается до гомеоморфизма f : [ D]ρ → [G ]ρ [3, п.1.3]. При этом носитель I(x*) любого элемента
x∗ ∈ [ D]ρ является одноточечным множеством на ∂D:
I(x*) ={b}, b ∈ ∂D
и,
∗
если {bn } ∈ x , то d(bn, b)→0 при n → ∞.
Пусть наша последовательность {bn } ∈ x∗ , тогда f : x∗ → y ∗ и bn′ = f (bn ) →
y ∗ = f ( x∗ ) , bn′ → b′ = I ( y ∗ ) . Таким образом, справедливо следующее утверждение.
3.2. Теорема. Пусть D ⊂ Rn – ограниченная гомеоморфная шару область, {bn} –
фундаментальная по метрике ρD последовательность точек из D, сходящаяся в
евклидовой метрике к точке b границы области ∂D, E={bn} и f : D \ E → R n есть
ρ-квазиизометрия. Тогда отображение f может быть продолжено до ρ-квазиизометрического отображения f : D → R n , то есть множество E является устра-
нимым, причем в образе G = f ( D) последовательность точек f (bn ) является
фундаментальной по метрике ρG и сходится к точке границы ∂G. Кроме того,
{bn } → x∗ ∈ [ D ]ρ , f (bn ) → y ∗ = f ( x∗ ) , где f : D ∪ {x∗ } → G ∪ { y∗ } есть гомеоморфизм.
В случае δ-квазиизометрии, если последовательность точек {bn} фундаментальна по метрике δD и лежит на некоторой спрямляемой кривой γ:[0,1)→D, предельное множество которой есть точка b ∈ ∂D , bn → b, то, очевидно, что последовательность точек {bn} фундаментальна и по метрике ρD и данная ситуация сводится к теореме 3.2. Если же последовательность точек {bn} фундаментальна по
метрике δD, bn → b ∈ ∂D , но {bn} лежит на неспрямляемой кривой Γ:[0,1)→D,
оканчивающейся в точке b ∈ ∂D , то по лемме 1.3.9 из [3] Γ:[0,1)→D перейдет в
такой же путь Γ′ = f Γ : [0,1) → G , оканчивающийся в точке b′ ∈ ∂G , b′ = f (b) .
Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение:
3.3. Теорема. Пусть D ⊂ Rn – ограниченная гомеоморфная шару область, {bn} –
фундаментальная по метрике δD последовательность точек из D, лежащая на
спрямляемой кривой γ:[0,1)→D (лежащая на неспрямляемой кривой Γ:[0,1)→D) и
сходящаяся к точке b границы области ∂D, E={bn} и f : D \ E → R n есть
δ-квазиизометрия. Тогда отображение f может быть продолжено до δ-квазиизометрического отображения f : D → R n , то есть множество E является устранимым, причем в образе G = f ( D) последовательность точек f (bn ) является
фундаментальной по метрике δG, лежит на спрямляемой кривой
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устранимые множества и распределение внутренних граничных компонент
17
γ ′ = f γ : [0,1) → G (лежит на неспрямляемой кривой Γ′ = f Γ : [0,1) → G ) и
сходится к точке границы ∂G. Кроме того, {bn } → x∗ ∈ [ D]δ , f (bn ) → y ∗ = f ( x∗ ) ,
где f : D ∪ {x∗ } → G ∪ { y∗ } есть гомеоморфизм.
(ii) Пусть {bn} не является фундаментальной по метрике ρD последовательностью точек из D и, кроме того, никакая ее подпоследовательность также не является фундаментальной по метрике ρD, bn → b ∈ ∂D .
Очевидно, что по теореме 2.3 множество E={bn} является устранимым.
Так как {bn} не является фундаментальной по метрике ρD вместе с любой
своей подпоследовательностью, то можно считать, не ограничивая общности, что
ρ D (bn , bm ) ≥ α > 0 , ∀ n ≠ m . Тогда по формуле (3) получим K −1ρ D (bn , bm ) ≤
≤ ρG ( f (bn ), f (bm )) или, учитывая bn′ = f (bn ) , ρG (bn′ , bm′ ) ≥ K −1α > 0 , ∀ n ≠ m . Та-
ким образом, последовательность bn′ = f (bn ) в образе G = f ( D) также не является фундаментальной по ρG. Исходя из этого и учитывая, что bn → b ∈ ∂D , очевидно, что любой путь Γ:[0,1)→D, содержащий {bn} и оканчивающийся в точке
b ∈ ∂D , обязательно неспрямляем. Поэтому в образе G = f ( D) точки bn′ = f (bn )
также лежат на неспрямляемом пути Γ′ = f Γ : [0,1) → G , для которого предельное множество C (Γ′,1) либо одноточечно, либо представляет собой некоторый
невырожденный континуум на ∂G. Этот результат можно сформулировать следующим образом:
3.4. Теорема. Пусть D ⊂ Rn – ограниченная, гомеоморфная шару область, {bn}
– последовательность точек из D, не являющаяся фундаментальной по метрике ρD
вместе с любой своей подпоследовательностью и сходящаяся к точке b границы
области ∂D, E={bn} и f : D \ E → R n есть ρ-квазиизометрия. Тогда отображение f
может быть продолжено до ρ-квазиизометрического отображения f : D → R n , то
есть множество E является устранимым, причем в образе G = f ( D) последовательность точек f (bn ) не является фундаментальной по метрике ρG, лежит на неспрямляемой кривой, предельное множество которой либо одноточечно, либо
представляет собой некоторый невырожденный континуум.
(iii) Пусть последовательность точек {bn} из D не является фундаментальной
по метрике δD и, кроме того, никакая ее подпоследовательность также не является
фундаментальной по метрике δD, bn → b ∈ ∂D .
Очевидно, что по теореме 2.3 множество E={bn} является устранимым при δквазиизометрии. Так как {bn} не является фундаментальной по метрике δD вместе
с любой своей подпоследовательностью, то можно считать, не ограничивая общности, что выполняется соотношение δ D (bn , bm ) ≥ α > 0 , ∀ n ≠ m . Тогда по формуле (3) получим K −1δ D (bn , bm ) ≤ δG ( f (bn ), f (bm )) или, учитывая, что bn′ = f (bn ) ,
δG (bn′ , bm′ ) ≥ K −1α > 0 , ∀ n ≠ m . Таким образом, последовательность bn′ = f (bn ) в
образе G = f ( D) также не является фундаментальной по метрике δD. Кроме того,
так как последовательность {bn} не лежит ни на какой кривой γ:[0, 1)→D, оканчивающейся в точке границы, то предельное множество С(γ, 1) является невырож-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18
А.П. Кармазин, Д.Р. Мухутдинова
денным континуумом на ∂D. Поэтому в образе G = f ( D) точки bn′ = f (bn ) лежат
на неспрямляемом пути γ ′ = f γ : [0, 1) → G , для которого предельное множество
C ( γ ′, 1) также является невырожденным континуумом на ∂G. Отсюда следует,
что предельное множество последовательности {bn} состоит из невырожденного
замкнутого подмножества ∂G, не являющегося обязательно континуумом на ∂G.
Этот факт можно сформулировать следующим образом:
3.5.Теорема. Пусть D ⊂ Rn – ограниченная гомеоморфная шару область, {bn} –
последовательность точек из D, не являющаяся фундаментальной по метрике δD
вместе с любой своей подпоследовательностью и сходящаяся к точке b границы
области ∂D, E={bn} и f : D \ E → R n есть δ-квазиизометрия. Тогда отображение f
может быть продолжено до δ-квазиизометрического отображения f : D → R n , то
есть множество E является устранимым, причем в образе G = f ( D) последовательность точек f (bn ) не является фундаментальной по метрике δG и лежит на
неспрямляемой кривой, для которой предельное множество не является одноточечным.
4. Квазиизометрии областей D ⊂ Rn , n ≥ 2, с бесконечным множеством
выколотых точек, предельное множество которых образует континуум
Пусть {bn} – последовательность точек из D, предельным множеством которой
является связный континуум F ⊂ D. Вопрос об устранимости любой точки bn из
множества точек {bn} и их распределении в образе рассмотрен в предыдущих
пунктах. Рассмотрим этот же вопрос по отношению к их предельному множеству
F ⊂ D.
Исследуем сначала плоский случай, то есть когда D ⊂ R2 – ограниченная гомеоморфная кругу область, F ⊂ D – предельное множество последовательности
точек {bn} из D, являющееся континуумом из D , и f : D \ F → R 2 есть ρквазиизометрическое отображение.
Так как F есть континуум, то мера Лебега Λ1(F) > 0. В силу результатов из [1]
множество F тогда не является, в общем случае, устранимым для квазиконформных и, в частности, для ρ-квазиизометрических отображений, заданных на D\F.
Так как F = {bn } , то для каждой точки b ∈ F существует подпоследовательность
{bnk } ⊂ {bn } , сходящаяся к точке b при k → ∞ в евклидовом смысле. Причем, в
силу теоремы 3.1, как сама последовательность {bn}, так и любая ее подпоследовательность, в том числе и {bnk } , устранимы при ρ-квазиизометрических отображениях, заданных на D\{bn}. Однако, как следует из теоремы 13.2 из [1], в силу
неустранимости F в общем случае, точка b ∈ F не является устранимой для отображения f. Эта ситуация существенно отличается от случая, когда F состоит из
единственной точки: {bnk } → b = F , которая, как было показано выше, является
устранимой для f.
Таким образом, следующие ситуации, которые требуют рассмотрения, сводятся к изучению поведения квазиизометрических отображений на D\F, где F
есть невырожденный континуум в R2, являющийся неустранимым. То есть в
дальнейшем будут рассмотрены ρ- или δ-квазиизометрические отображения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устранимые множества и распределение внутренних граничных компонент
19
f : D \ F → G \ F ′ , которые могут быть продолжены до гомеоморфизма каких-то
пополнений областей D\F и G \ F ′ .
Пусть F есть связный континуум, лежащий внутри области D, то есть d(F, ∂D)
> 0. Возможны две ситуации: либо F имеет внутренние точки, либо F не имеет
внутренних точек. Очевидно, при отображении f получим, что d ( F ′, ∂G ) > 0 и
F ′ ⊂ G есть невырожденный связный континуум в G, который может иметь
внутренние точки или не иметь их.
Пусть D ′ = D \ F , тогда F ⊂ ∂D′ является граничной компонентой D′ и
возникает вопрос о продолжении f на границу области D′ . В общем
случае этот вопрос решается в [3]. Любое ρ- или δ-квазиизометрическое отобраf : D′ → G ′ , где G ′ = G \ F ′ , продолжается до гомеоморфизма
жение
f : D ∪ D ′ → G ∪ G ′ , где D′ , G ′ есть множества граничных элементов областей
D′ и G ′ , полученные при пополнении этих областей по какой-либо схеме из [3].
Если F не имеет внутренних точек, а F ′ имеет, то при любом квазиконформном отображении, а также и при любой квазиизометрии, очевидно, множество F
не является устранимым. Однако, если множества F и F ′ одновременно имеют
внутренние точки или одновременно не имеют их, то, возможно, что F является
устранимым множеством. Тогда возникает вопрос о нахождении необходимых
условий на отображение f и множество F, при которых в рассматриваемых ситуациях множество F является устранимым для данного f.
Рассмотрим простейшие примеры областей D ⊂ R2 и множеств F из D, имеющих или не имеющих внутренних точек и являющихся устранимыми при конкретных квазиизометриях:
Пример 1. Пусть область D = B2(0, 1), F ⊂ D, F = B 2 (0,1/ 2) путем тождественного отображения f (x) = x переводится в область G = D, F ′ ⊂ G , F ′ = F .
Очевидно, что F и F ′ содержат внутренние точки. Тогда квазиизометрия
f : D′ → D′ ,
где
D′ = D \ F ,
продолжается
до
гомеоморфизма
f : D′ ∪ [ D′]ρ → D ′ ∪ [ D ′]ρ и множество F, очевидно, является устранимым, если
f : D →G есть тождественное отображение. Приведенный пример доказывает, что
существуют квазиизометрии, при которых множество с внутренними точками
устраняется.
Пусть квазиизометрия f : D′ → D ′ не является тождественным отображением.
Тогда эта квазиизометрия f : D′ → D ′ , где D ′ = D \ B 2 (0,1/ 2) , продолжается до
гомеоморфизма f : D′ ∪ [ D′]ρ → D ′ ∪ [ D ′]ρ , при этом f является квазиизометрией ∂B 2 (0,1/ 2) = S 2 (0, 1/ 2 ) на ∂B 2 (0,1/ 2) = S 2 (0, 1/ 2 ) . Таким образом, вопрос об
устранимости F = B 2 (0,1/ 2) сводится к вопросу о продолжении квазиизометрии
f : S 2 (0,1/ 2 ) → S 2 (0,1/ 2 ) до квазиизометрии шара B2(0, 1/2) на B2(0, 1/2) .
Пример 2. Пусть область D = B2(0, 1) , F ⊂ D, F = {−1/ 2 ≤ x ≤ 1/ 2, y = 0} путем тождественного отображения f (x) = x переводится в область G = D, F ′ ⊂ G ,
F ′ = F . Очевидно, что F и F ′ не имеют внутренних точек. Тогда квазиизометрия
f : D′ → D ′ , где D ′ = D \ F , продолжается до гомеоморфного отображения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.П. Кармазин, Д.Р. Мухутдинова
20
f : D′ ∪ [ D′]ρ → D ′ ∪ [ D ′]ρ и множество F, очевидно, является устранимым, если
f : D → G есть тождественное отображение.
Пусть квазиизометрия f : D′ → D ′ не является тождественным отображением.
Выясним необходимое условие, при котором множество F является устранимым
для отображения f. В нашей ситуации квазиизометрия f : D′ → D ′ , где
D ′ = D \ F , продолжается до гомеоморфизма f :[ D′]ρ → [ D ′]ρ . Тогда в общем
случае точка b ∈ F
является носителем двух различных элементов
∗
∗
∗
′
{x1 }, {x2 } ∈ [ D ]ρ , I ( x1 ) = I ( x2∗ ) = b . Следовательно, если F является устранимым
для отображения f, то при отображении f : D′ ∪ [ D′]ρ → D ′ ∪ [ D ′]ρ для каждой
точки
I ( y1∗ )
b∈F
будет
выполняться
условие:
f ( x1∗ ) = y1∗ ,
f ( x2∗ ) = y2∗
и
I ( y2∗ )
=
= b′ , где b′ = f (b) ∈ F ′ . Таким образом, имеет место следующее утверждение:
4.1. Теорема. Пусть D ⊂ R2 – ограниченная гомеоморфная кругу область, континуум F ⊂ D является предельным множеством последовательности точек {bn}
из D и f : D \ F → G \ F ′ есть ρ-квазиизометрия. Тогда связный континуум F, лежащий внутри области D и не имеющий внутренних точек, при отображении f переходит в связный континуум F ′ ⊂ G . Если F ′ содержит внутренние точки, то
множество F не является устранимым. Если F ′ не имеет внутренних точек, точка
b ∈ F является носителем двух различных элементов b = I ( x1∗ ) = I ( x2∗ ) ,
{x1∗ }, {x2∗ } ∈ [ D′]ρ ,
где
D′ = D \ F ,
f
продолжается
до
гомеоморфизма
f : D′ ∪ [ D′]ρ → D ′ ∪ [ D ′]ρ , при котором для этой точки b ∈ F выполняется усло-
вие: f ( x1∗ ) = y1∗ , f ( x2∗ ) = y2∗ и I ( y1∗ ) = I ( y2∗ ) = b′ ( b′ = f (b) ∈ F ′ ), то возможно, что
F является устранимым множеством для квазиизометрии f. При этом, если продолжение f является ρ-квазиизометрией f на множестве F, то F является устранимым множеством; в противном случае F не является устранимым множеством.
Будем говорить, что квазиизометрия f : D \ F → G \ F ′ , для которой F является устранимым множеством, принадлежит классу RQI (( D, F ), (G, F ′)) устранимых квазиизометрий. Очевидно, что не всякая квазиизометрия обладает свойством устранимости относительно F.
Возникает вопрос о свойствах множества F ′ в образе, в зависимости от условий, накладываемых на F. Другими словами, если F задается некоторыми условиями, то будет ли F ′ удовлетворять этим условиям при квазиизометрии
f : D \ F → G \ F′ .
Начнем исследование с простейших ситуаций:
(i) Пусть F – спрямляемая жорданова кривая, лежащая в области D ⊂ R2 и
f : D \ F → G \ F ′ – произвольная ρ-квазиизометрия.
Рассмотрим случай, когда F ′ не содержит внутренних точек, и покажем, что
F ′ является спрямляемой кривой. Так как F – спрямляемая кривая, то, по определению, ее длина l(F) < ∞. Пусть Fk = VDρ ( F , ε k ) есть εk-окрестности кривой F:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устранимые множества и распределение внутренних граничных компонент
21
F = lim Fk . Границами этих εk-окрестностей являются спрямляемые кривые γk,
εk →0
длины которых l(γk) → l(F) при εk→0. При ρ-квазиизометрии f : γ k → γ ′k , в силу
(2) или (3), их длины удовлетворяют соотношению K −1l ( γ k ) ≤ l ( γ ′k ) ≤ Kl ( γ k ) , где
K – коэффициент ρ-квазиизометрии f. Так как f есть ρ-квазиизомерия, то γ ′k сходятся равномерно к некоторой кривой F ′ ∈ G , и по теореме 2 (см. [5, с. 112]) F ′
является спрямляемой кривой.
Если F ′ содержит внутренние точки, то, проводя те же рассуждения, что и в
предыдущем случае, получим, что граница ∂F ′ является спрямляемой.
(ii) Пусть F – неспрямляемая кривая, лежащая в области D ⊂ R2 и
f : D \ F → G \ F ′ – произвольная ρ-квазиизометрия. Так как F – неспрямляемая
кривая, то, по определению, ее длина l(F) = ∞. Пусть F ′ не содержит внутренних
точек. Как было показано ранее, при ρ-квазиизометрии длина F ′ не более чем в K
раз отличается от длины F. Поэтому, очевидно, l ( F ′) = ∞ и F ′ является неспрямляемой кривой. Если F ′ содержит внутренние точки, то ее граница ∂F ′ , аналогично, является неспрямляемой кривой.
Далее, пусть F, являющееся предельным множеством последовательности точек {bn} из D, есть связный континуум, лежащий на границе области D ⊂ R2:
F ⊂ ∂D, и f : D → G – произвольная ρ-квазиизометрия. Тогда вопрос об устранимости F не возникает. В силу ρ-квазиизометричности f очевидно, что F ′ ⊂ ∂G ,
так как F ′ является предельным множеством точек bn′ = f (bn ) , и в общем случае
множество F ′ состоит из конечного или бесконечного числа непересекающихся
континуумов. В этом случае вопрос о строении F ′ нужно рассматривать дополнительно, применяя результаты из [3] о продолжении ρ-квазиизометрии на границу области или специально исследуя этот вопрос. Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение:
4.2. Теорема. Пусть D ⊂ R2 – ограниченная гомеоморфная кругу область, предельное множество F ⊂ D последовательности точек {bn} из D является спрямляемой (неспрямляемой) жордановой кривой в D и f : D \ F → G \ F ′ есть
ρ-квазиизометрия. Тогда, если F ′ не содержит внутренних точек, то F ′ является
спрямляемой (неспрямляемой) кривой в G; если F ′ содержит внутренние точки,
то граница ∂F ′ является спрямляемой (неспрямляемой) кривой. Если же F является связным континуумом, лежащим на границе ∂D области D, то F ′ лежит на
границе ∂G области G и в общем случае состоит из конечного или бесконечного
числа непересекающихся континуумов.
Рассмотрим теперь случай пространственной области: D ⊂ Rn, n ≥ 3, есть ограниченная гомеоморфная шару область, F ⊂ D – предельное множество последовательности точек {bm} из D и f : D \ F → R n есть ρ-квазиизометрическое отображение.
Если Λn–1(F) = 0, то по теореме 13.2 из [1] множество F является устранимым,
кроме случая, когда F ⊂ ∂D.
Пусть либо Λn–1(F) > 0 и F имеет размерность n – 1, при этом множество F не
содержит внутренних точек, либо множество F содержит внутренние точки, при
этом Λn(F) > 0. Тогда в этих случаях множество F, вообще говоря, не является
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22
А.П. Кармазин, Д.Р. Мухутдинова
устранимым в силу теоремы 13.2 из [1]. Можно отметить, что если f : D → G –
ρ-квазиизометрия областей D, G и множество F ⊂ D является квадрируемым, то,
как известно из курса анализа, множество F ′ = f ( F ) ⊂ G также является квадрируемым. В случае же, если f : D \ F → G \ F ′ – ρ-квазиизометрия, Λn–1(F) > 0 и F
не содержит внутренние точки и является квадрируемым множеством, то f продолжается до гомеоморфизма границ f : D ∪ F → G ∪ ∂F , при котором F перейдет в квадрируемое множество ∂F ′ , при этом множество F ′ либо имеет внутренние точки, либо не имеет их и тогда ∂F ′ = F ′ . Таким образом можно сформулировать следующее утверждение:
4.3. Теорема. Пусть D ⊂ Rn, n ≥ 3. есть ограниченная гомеоморфная шару область, F ⊂ D – предельное множество последовательности точек {bm} из D и
f : D \ F → G \ F ′ есть ρ-квазиизометрическое отображение. Тогда, если Λn–1(F) = 0
и F лежит внутри области D, то множество F является устранимым. Если Λn–1(F) > 0,
то множество F не является устранимым, но при этом, если F ⊂ D является квадрируемым множеством, то F ′ = f ( F ) ⊂ G также является квадрируемым.
Замечание 2. Рассмотренные выше исследования проводились для случая, когда отображение f : D \ F → G \ F ′ является ρ-квазиизометрией. Как было отмечено ранее, любое δ-квазиизометрическое отображение является одновременно и
ρ-квазиизометрическим. Обратное утверждение является неверным, поэтому необходимо рассмотреть основные отличия между δ- и ρ-квазиизометриями. Перечислим эти отличия.
(a) В области D ρD-диаметр ρD(F) множества F ⊂ D может быть как угодно
большим и при ρ-квазиизометрии выполняется K −1ρ D ( F ) ≤ ρG ( F ′) ≤ K ρ D ( F ) . В
то же время δD-диаметр δD(F) ≤ d(D) < ∞ для любого множества F ⊂ D. При δквазиизометрии выполняется K −1δ D ( F ) ≤ δG ( F ′) ≤ K δ D ( F ) , а вот при ρквазизометрии это условие на δD(F) и δG ( F ′ ) выполняться не будет. В частности,
возможна ситуация, когда ρD (F) ≥ α > 0, но δD(F) может быть сколь угодно малым. Тогда при ρ-квазиизометрии ρG ( F ′) ≥ αK −1 , а при δ-квазиизометрии , если
δD (F) < ε, то δG ( F ′) < K ε , то есть δG ( F ′) сколь угодно мал.
(b) Если F есть неспрямляемая кривая из D, оканчивающаяся в некоторой точке b ∈ ∂D , то при δ-квазиизометрии она переходит в неспрямляемую кривую
F ′ ⊂ G , оканчивающуюся в точке b′ ∈ ∂G . При ρ-квазиизометрии кривая F ′ ⊂ G
также является неспрямляемой, но ее предельное множество на ∂G может являться невырожденным континуумом.
(c) В силу условия (1) из фундаментальности последовательности {xm } ⊂ D по
метрике ρD следует ее фундаментальность и по метрике δD. Обратное в общем
случае неверно. Если последовательность {xm} является фундаментальной по метрике ρD, f : D → G есть ρ-квазиизометрия, то последовательность {ym = f(xm)}
также фундаментальна по метрике ρG. В частности, если f : D → G есть
δ-квазиизометрия (она автоматически является ρ-квазиизометрией), то ρD-фундаментальная последовательность при δ-квазиизометрии также переходит в
ρG-фундаментальную последовательность. Если {xm} – фундаментальна по метри-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устранимые множества и распределение внутренних граничных компонент
23
ке δD, то при δ-квазиизометрии f : D → G она переходит в последовательность
{ym = f(xm)}, являющуюся фундаментальной по метрике δG. А при ρ-квазиизометрии фундаментальная по δD последовательность не обязана переходить в фундаментальную по δG, а тем более по ρG, последовательность.
5. Распределение счетного множества
выброшенных континуумов в ограниченной области D ⊂ Rn, n ≥ 2,
при квазиизометрических отображениях
Пусть {Fm}, m = 1, 2,…, – последовательность невырожденных континуумов из
D, предельным множеством которых является невырожденный связный континуум F ⊂ D . Рассуждения из предыдущего пункта показывают, что каждое множество Fm из последовательности {Fm} и сама последовательность {Fm} не являются
устранимыми при квазиизометрических отображениях в общем случае. Обозначим D′ = D \ (∪ Fm ) , G ′ = G \ (∪ Fm′ ) . Рассмотрим вопрос о поведении {Fm′ } при
ρ-квазиизометрическом отображении f : D′ → G ′ .
Исследуем сначала плоский случай.
(i) Пусть D ⊂ R2 есть ограниченная гомеоморфная кругу область, {Fm} – последовательность невырожденных континуумов из D, которая сходится к некоторому
множеству F ⊂ D по метрике Хаусдорфа: lim rHρ ( Fm , F ) = 0 , и f : D′ → G ′ есть
m →∞
ρ-квазиизометрическое отображение.
Пусть последовательность {Fm} состоит из спрямляемых кривых, длины которых равномерно ограничены, то есть l(Fm) ≤ S <∞. Тогда по теореме 2 (см. [5,
с. 112]) кривая F, к которой сходится {Fm} по метрике Хаусдорфа, является
спрямляемой (здесь под Fm и F будем понимать траектории кривых Fm и F соответственно).
Пусть множества {Fm′ } из G не содержат внутренних точек для
любого m. Тогда, как было показано ранее, спрямляемые кривые {Fm} при квазиизометрии f : D \ (∪ Fm ) → R 2 перейдут в спрямляемые кривые {Fm′ } . При этом
lim rHρ ( Fm′ , F ′ ) = 0 и F ′ является спрямляемой кривой в G. Следует отметить,
m →∞
что, так как предельное множество F лежит внутри области D, то вопрос о его
устранимости остается открытым, то есть должен решаться для каждого конкретного случая (см. п. 4).
Пусть каждая из {Fm′ } имеет внутренние точки. Тогда при квазиизометрии f их
границы ∂Fm′ будут спрямляемыми кривыми и {∂Fm′ } → ∂F ′ , длина которой
l (∂F ′) < ∞ . Очевидно, что в этом случае вопрос об устранимости предельного
множества не возникает.
Далее рассмотрим случай, когда {Fm } ⊂ D , Fk ∩ Fi = ∅ , ∀k ≠ i , и каждая из
Fm имеет внутренние точки. В силу ограниченности D необходимо рассмотреть
вопрос о дополнительных условиях на {Fm}. Обозначим h (F) = sup{2r}, где точная верхняя грань берется по всем открытым шарам B2(x, r), целиком лежащим в
F. Так как множества Fm попарно не пересекаются, то, в силу ограниченности области D, очевидно lim h( Fm ) = 0 . Тогда, если множества Fm′ имеют внутренние
m →∞
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.П. Кармазин, Д.Р. Мухутдинова
24
точки, то {Fm′ } обладает этим же свойством: lim h( Fm′ ) = 0 , в силу ограниченноm →∞
сти области G= f (D).
В случае, когда предельное множество F последовательности континуумов
{Fm} из D лежит на границе ∂D области D, то вопрос о его устранимости, естественно, не возникает. Причем, очевидно, в силу квазиизометричности f, предельным множеством последовательности {Fm′ } является множество F ′ ⊂ ∂G .
(ii) Рассмотрим далее случай, когда D ⊂ R2 – ограниченная гомеоморфная кругу область, F ⊂ D – топологический предел последовательности континуумов
{Fm} из D, и f : D \ (∪ Fm ) → R 2 есть ρ-квазиизометрия. В случае если
rHρ ( Fm , Fk ) → 0 , m, k →∞, то, очевидно, что и для образов rHρ ( Fm′ , Fk′ ) → 0 ,
m, k →∞. Этот случай был рассмотрен в (i). Поэтому далее предполагаем, что
rHρ ( Fm , Fk ) ≥ r0 > 0 , ∀ m ≠ k . Тогда в силу квазиизометричности f выполняется,
что rHρ ( Fm′ , Fk′ ) ≥ r0 / K , ∀ m ≠ k , и последовательность {Fm′ } , в общем случае, не
сходится ни к какому предельному множеству ни топологически, ни по метрике
Хаусдорфа. Но по теореме 1.13 из этой последовательности можно выделить сходящуюся топологически подпоследовательность, предельным множеством которой по теореме 1.14 является связное множество. Таким образом, последовательность {Fm′ } разбивается на сходящиеся топологически подпоследовательности.
Пусть последовательность {Fm} состоит из спрямляемых кривых, длины которых ограничены в совокупности, l(Fm) ≤ С < ∞, при этом тогда и для ρ D′ диаметров кривых {Fm} имеем
ρ D′ ( Fm ) = lim inf{ρ D′ ( A), A ⊂ D ′, rH ( A, Fm ) < ε} ≤ С < ∞ .
ε→0
В силу теоремы 1.14 предельное множество F = lt Fm есть связное множеm →∞
ство. Кроме того, если ρ D′ -диаметры кривых {Fm} ограничены снизу, то есть
rD′ ( Fm ) ≥ α > 0 , то F является или невырожденным связным континуумом , или
одноточечным множеством (см. замечание 2), лежащим либо внутри области D,
либо на границе области ∂D. Если же rD′ ( Fm ) → 0 , то F является одноточечным
множеством. В силу квазиизометричности
f : D′ → G ′ будем иметь:
K −1C ≤ l ( Fm′ ) ≤ KC , то есть последовательность {Fm′ } состоит из спрямляемых
кривых. Тогда и для ρG′ -диаметров выполняется, что ρG′ ( Fm′ ) ≤ KC , то есть
ρG′ -диаметры кривых {Fm′ } ограничены. Предельным множеством каждой топологически сходящейся подпоследовательности {Fm′ k } ⊂ {Fm } является либо невы-
рожденное связное множество, либо одноточечное множество из D (см. замечание 2).
Пусть последовательность {Fm} состоит из неспрямляемых кривых. По теореме 1.14 предельное множество F = lt Fm есть связное множество, и в силу кваm →∞
зиизометричности f : D′ → G ′ , очевидно, что последовательность {Fm′ } состоит
из неспрямляемых кривых. Если при этом ρ D′ ( Fm ) ≥ α > 0 , то и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устранимые множества и распределение внутренних граничных компонент
25
ρG′ ( Fm′ ) ≥ K −1α > 0 , и, следовательно, для любой топологически сходящейся под-
последовательности {Fm′ k } ⊂ {Fm′ } имеем ρG ( F ′) ≥ K −1α > 0 , то есть каждое
F ′ = lt Fm′ k является невырожденным континуумом или одноточечным множеm →∞
ством в области G ′ (см. замечание 2).
Далее пусть D ⊂ Rn , n ≥ 3, есть ограниченная гомеоморфная шару область,
F ⊂ D – предельное множество последовательности континуумов {Fm} из D и
f : D \ ∪ Fm → R n есть ρ-квазиизометрическое (δ-квазиизометрическое) отображение. Тогда возможны те же самые ситуации, что и в плоском случае, только
вместо спрямляемых кривых нужно рассматривать квадрируемые множества Fm и
учесть отличия между δ- и ρ-квазиизометриями, то есть необходимо использовать
результаты теоремы 4.3 и замечания 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сычев А.В. Пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Изд-во
Новосиб. ун-та, 1975.
2. Асеев В.В., Сычев А.В. О множествах, устранимых для пространственных квазиконформных отображений // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15. № 6. С. 1213−1227.
3. Кармазин А.П. Квазиизометрии, теория предконцов и метрические структуры пространственных областей: монография. Сургут: Изд-во Сургутск. ун-та, 2008.
4. Куратовский К. Топология: в 2 т. Т. 1. М.: Мир, 1966; Т. 2. М.: Мир, 1969.
5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теорий функций и функционального анализа.
М.: Наука, 1972.
Статья принята в печать 14.12.2010 г.
Karmazin A. P., Mukhutdinova D. R. REMOVABLE SETS AND THE DISTRIBUTION OF INTRINSIC BOUNDARY COMPONENTS UNDER QUASI–ISOMETRIES OF DOMAINS IN
Rn. The paper deals with various cases and conditions for removability of sets under quasiisometrical maps. The distribution of intrinsic boundary components of domains in Rn is studied.
Keywords: quasi-isometrical maps, intrinsic metrics, infinitely connected domains, removed sets,
distribution of boundary components.
KARMAZIN Aleksandr Petrovich (Surgut State University)
E-mail: kap@kpm.surgu.ru
MUKHUTDINOVA Dina Rimovna (Surgut State University)
E-mail: manilir@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 512.1; 517.53; 519.6
Ю.А. Несмеев
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 3-й И 4-й СТЕПЕНЕЙ
Предлагаются теоретически обоснованные таблицы, позволяющие пользователю находить корни алгебраических уравнения 3-й и 4-й степеней без
непосредственного использования аналитических или численных методов
решения. Доказывается, что известный способ решения уравнения 4-й степени имеет в применении ограничение, не указанное в известном справочнике .
Ключевые слова: уравнение, решение, таблица.
Развитие механики и её применение к решению инженерных задач сопровождаются поиском корней алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней. К одному
из таких уравнений, например, пришёл С.А. Чаплыгин [1, с. 111] при разработке
первой законченной теоретической схемы обтекания крыла (уравнение Чаплыгина). Такие уравнения могут использоваться в инженерных расчётах для обеспечения устойчивости и определения допустимых колебаний упругих систем, например при проектировании процесса прокатки [2, с. 77].
Для нахождения корней алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней инженер-проектировщик (инженер) может использовать аналитические и численные
методы или системы компьютерной математики (MathCAD, Maple, …). Однако
ему естественнее использовать не эти средства, а таблицы, позволяющие ему оперативно и самостоятельно находить корни с помощью простейших компьютерных
программ. Однако в настоящее время такие таблицы отсутствуют даже в популярных справочниках [3 – 7], а инженер заинтересован в их разработке. Лучшие
варианты таких таблиц, в случае их разработки, не должны заставлять инженера
выполнять следующие действия, изложенные в существующих справочниках в
связи с описанием способов нахождения корней уравнений 3-й и 4-й степеней:
извлечение кубических корней из комплексных чисел, приведение исходного
уравнения к специальному виду, проверка корней вспомогательных квадратных
уравнений на предмет их идентификации как корней исходного уравнения 4-й
степени, решение тригонометрических уравнений, использование численных методов, использование элементарных методов решения алгебраических уравнений.
Разработке таблиц, удовлетворяющих этому требованию, посвящена данная работа.
В работе предлагаются теоретически обоснованные табл. 1 и табл. 2.
В основу табл.1 положены результаты усовершенствования известной таблицы
[5, с. 22] для решения уравнений 3-й степени. Таблица из [5] рассчитана на уравнение специального вида, требует решения вспомогательных тригонометрических
уравнений, не охватывает всех случаев значений коэффициентов исходного уравнения. Табл. 2 является результатом развития известного способа [7, с. 27] сведения решения уравнения 4-й степени к решению вспомогательного уравнения
3-й степени и одной пары вспомогательных квадратных уравнений, который, как
устанавливается в данной работе, требует проверки корней вспомогательных
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одном подходе к решению алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней
27
квадратных уравнений на предмет их идентификации как корней исходного уравнения 4-й степени.
Табл. 1 рассчитана на уравнение 3-й степени
ax3 + bx2 + cx + d = 0.
(1)
В ней величины p и q выражаются через коэффициенты уравнения с помощью соотношений
p=9 – 1a – 2(3ac – b2),
q=27 – 1a – 3b3 – 6 – 1a – 2bc + 2 – 1a – 1d.
(2)
В табл. 1 приведены отсутствующие в справочниках формулы для вычисления
корней и использованы такие формулы для вычисления значения величины φ, которые выведены из соотношений, представленных в [5], и в литературе отсутствуют. Справедливость формул для корней вытекает из совпадения результатов
преобразования выражения a (x – x1) (x – x2) (x – x3) с левой частью уравнения (1)
для всех случаев значений величин p и q.
Таблица 1
Случаи
1
p=0,
q=0
2
p=0,
q>0
3
p=0,
q<0
4
p>0,
q=0
5
p<0,
q=0
r
s
φ
Корни
–1
–1
x1= – 3 ba
x2= – 3 – 1ba– 1
x3= – 3 – 1ba– 1
x1= – exp(3 – 1ln(2q)) – 3 – 1ba– 1
x2={2 – 1exp(3 – 1ln(2q)) – 3 – 1ba– 1}+
+i{31/22 – 1exp(3 – 1ln(2q))}
x3={2 – 1exp(3 – 1ln(2q)) – 3 – 1ba– 1} –
– i{31/22 – 1exp(3 – 1ln(2q))}
x1=exp(3 – 1ln(|2q|)) – 3 – 1ba– 1
x2={ – 2 – 1exp(3 – 1ln(|2q|)) – 3 – 1ba– 1}+
+i{31/22 – 1exp(3 – 1ln(|2q|))}
x3={ – 2 – 1exp(3 – 1ln(|2q|)) – 3 – 1ba– 1} –
– i{31/22 – 1exp(3 – 1ln(|2q|))}
x1= – 3 – 1ba– 1
x2= – 3 – 1ba– 1 + i (3p)1/2
x3= – 3 – 1ba– 1 – i (3p)1/2
x1= – 3 – 1ba– 1
x2=(3|p|)1/2 – 3 – 1ba– 1
x3= – (3|p|)1/2 – 3 – 1ba– 1
p≠0, q≠0,
p<0,
6
q2+p3≤0
r = |p|1/2,
если q>0;
r = – |p|1/2,
если q<0
q/r3
p≠0, q≠0,
p<0,
7
q2+p3>0
r = |p|1/2,
если q>0;
r = – |p|1/2,
если q<0
3
ln[s+(s – 1) ]
x1= – 2rch(φ/3) – 3 – 1ba– 1
x2=rch(φ/3) – 3 – 1ba– 1 + i31/2rsh(φ/3)
x3=rch(φ/3) – 3 – 1ba– 1 – i31/2rsh(φ/3)
p≠0, q≠0,
8
p>0
r = |p|1/2,
если q>0;
r = – |p|1/2,
если q<0
3
2
x1= – 2rsh(φ/3) – 3 – 1ba– 1
x2=rsh(φ/3) – 3 – 1ba– 1 + i31/2rch(φ/3)
x3=rsh(φ/3) – 3 – 1ba– 1 – i31/2rch(φ/3)
q/r
q/r
x1= – 2rcos(φ/3) – 3 – 1ba– 1
arctg[(1–s2)1/2/s] x2=2rcos(π/3 – φ/3) – 3 – 1ba– 1
x3=2rcos(π/3 + φ/3) – 3 – 1ba– 1
2
1/2
1/2
ln[s+(s +1) ]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28
Ю.А. Несмеев
В [7] речь идёт о вычислении корней уравнения 4-й степени
(3)
z4 + a3z3 + a2z2 + a1z + a0 = 0.
с помощью действительного корня u1 вспомогательного уравнения 3-й степени
(4)
u3 – a2u2 + (a1a3 – 4a0)u – (a12 + a0a32 – 4a0a2) = 0
и пары квадратных уравнений
ν2 + [a3/2 + (a32/4 + u1 – a2)1/2]ν + u1/2 + [(u1/2)2 – a0]1/2 = 0,
(5.1)
ν2 + [a3/2 – (a32/4 + u1 – a2)1/2]ν + u1/2 – [(u1/2)2 – a0]1/2 = 0.
(5.2)
В [7] сообщается, что эти уравнения дают четыре корня уравнения (3), но не
сообщается о невыполнении этого свойства для каких-либо уравнений 4-й степени с числовыми коэффициентами. Однако невыполнение этого свойства, например, имеет место для уравнения Чаплыгина
x4 – 2,377524922x3+ 6,073505741x2 – 11,179380230x + 9,052655259 = 0.
Действительно, привлечение к решению уравнения Чаплыгина уравнения (4) и
пары (5) даёт корень u1= – 8,081892 и уравнения
v2 + 33,485299v + 0,044013 = 0,
v2 + 0,181367v – 8,125907 = 0.
Однако ни одно из этих квадратных уравнений не имеет комплексных корней, в
то время как уравнение Чаплыгина имеет комплексные корни.
Существование ограничения на применимость свойства, сформулированного в
[7], следует уже из того, что в результате перемножения левых частей уравнений
пары (5) при выполнении условий a32/4+u1 – a2>0, (u1/2)2 – a0>0, a3u1 – 2a1<0 получается такой многочлен, у которого коэффициент при первой степени переменной
не равен коэффициенту a1.
Табл. 2 рассчитана на уравнение (3) и использование вспомогательного уравнения (4). В ней величины d1 и d2 вычисляются по формулам
(6.1)
d1 = a32/4 + u1 – a2;
d2 = (u1/2)2 – a0.
(6.2)
Таблица 2
1
2
3
4
Случаи и их варианты
d1>0, d2>0, a3u1 – 2a1≥0; d1=0, d2>0;
d2=0, d1>0; d1=0, d2=0
d1>0, d2>0, a3u1 – 2a1<0; d1=0, d2>0;
d2=0, d1>0; d1=0, d2=0
d1<0, d2<0, a3u1 – 2a1<0; d1=0, d2<0;
d2=0, d1<0; d1=0, d2=0
d1<0, d2<0, a3u1 – 2a1≥0; d1=0, d2<0;
d2=0, d1<0; d1=0, d2=0
Пара квадратных уравнений
ν2+(a3/2+|d1|1/2)ν +u1/2+|d2|1/2=0
ν2+ (a3/2 – |d1|1/2)ν +u1/2 – |d2|1/2=0
ν2+(a3/2+|d1|1/2)ν +u1/2 – |d2|1/2=0
ν2+(a3/2 – |d1|1/2)ν +u1/2+|d2|1/2=0
ν2+(a3/2+i |d1|1/2)ν+u1/2+i |d2|1/2=0
ν2+(a3/2 – i |d1|1/2)ν+u1/2 – i |d2|1/2=0
ν2+(a3/2+i |d1|1/2)ν+u1/2 – i |d2|1/2=0
ν2+(a3/2 – i |d1|1/2)ν+u1/2+i |d2|1/2=0
Табл. 2 предусматривает такие четыре случая значений параметров d1, d2,
a3u1 − 2a1 уравнения 4-й степени, каждый из которых имеет несколько вариантов.
Каждый случай приводит к тем двум квадратным уравнениям, корни которых дают все корни исходного уравнения 4-й степени. Конкретный случай имеет место
тогда, когда реализуется один из его вариантов. Вариантами являются представленные в табл. 2 системы соотношений, разделённые знаком «точка с запятой».
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одном подходе к решению алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней
29
Если, например, удовлетворяется система неравенств d1 > 0, d2 > 0, a3u1 – 2a1 ≥ 0
(один из вариантов случая 1), то имеет место случай 1. Если, например, одновременно удовлетворяются неравенства d2=0, d1>0 (один из вариантов как случая 1,
так и случая 2), то имеет место как случай 1, так и случай 2. Если одновременно
удовлетворяются неравенства d1=0, d2=0 (один из вариантов каждого случая), то
имеет место каждый случай. Первая пара квадратных уравнений с точностью до
обозначений совпадает с парой квадратных уравнений из [7], если подкоренные
выражения последней пары имеют неотрицательные значения. Другие пары квадратных уравнений предлагаются впервые.
Табл. 2 отражает связь между величинами d1 и d2, а также связи между величинами d1, d2, a3u1 – 2a1 и корнями уравнения (3). Связи не имеют аналогов в литературе и приводятся ниже.
1. Величины d1 и d2 не могут принимать значения разных знаков.
2. Если d1>0, d2>0, a3u1 – 2a1≥0, то корнями уравнения (3) являются корни
квадратных уравнений
ν2 + (a3/2 + |d1|1/2)ν + u1/2 + |d2|1/2 = 0,
ν2 + (a3/2 – |d1|1/2)ν + u1/2 – |d2|1/2 = 0.
3. Если d1>0, d2>0, a3u1 – 2a1<0, то корнями уравнения (3) являются корни
квадратных уравнений
ν2 + (a3/2 + |d1|1/2)ν + u1/2 – |d2|1/2 = 0,
ν2 + (a3/2 – |d1|1/2)ν + u1/2 + |d2|1/2 = 0.
4. Если d1<0, d2<0, a3u1 – 2a1<0, то корнями уравнения (3) являются корни
квадратных уравнений
ν2 + (a3/2 + i |d1|1/2)ν + u1/2 + i |d2|1/2 = 0,
ν2 + (a3/2 – i |d1|1/2)ν + u1/2 – i |d2|1/2 = 0.
5. Если d1<0, d2<0, a3u1 – 2a1≥0, то корнями уравнения (3) являются корни
квадратных уравнений
ν2 + (a3/2 + i |d1|1/2)ν + u1/2 – i |d2|1/2 = 0,
ν2 + (a3/2 – i |d1|1/2)ν + u1/2 + i |d2|1/2 = 0.
6. Если d1 = 0, d2 = 0, то левая часть уравнения (3) является второй степенью
квадратного трёхчлена
x2 + (a3/2)x + u1/2.
7. Если d1 = 0, d2>0, то корнями уравнения (3) являются корни квадратных
уравнений
ν2 + (a3/2)ν + u1/2 + |d2|1/2 = 0,
ν2 + (a3/2)ν + u1/2 – |d2|1/2 = 0.
8. Если d2 = 0, d1>0, то корнями уравнения (3) являются корни квадратных
уравнений
ν2 + (a3/2 + |d1|1/2)ν + u1/2 = 0,
ν2 + (a3/2 – |d1|1/2)ν + u1/2 = 0.
9. Если d1 = 0, d2<0, то корнями уравнения (3) являются корни квадратных
уравнений
ν2 + (a3/2)ν + u1/2 + i|d2|1/2 = 0,
ν2 + (a3/2)ν + u1/2 – i|d2|1/2 = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30
Ю.А. Несмеев
10. Если d1 < 0, d2 = 0, то корнями уравнения (3) являются корни квадратных
уравнений
ν2 + (a3/2 + i |d1|1/2)ν + u1/2 = 0,
ν2 + (a3/2 – i |d1|1/2)ν + u1/2 = 0.
Справедливость связи 1 следует из того, что при перемножении правых частей
соотношений (6) получается величина, не принимающая отрицательных значений.
Этой величиной служит квадратный трёхчлен
16–1a32 u12 – 4–1a1a3 u1 + 4–1a12 .
Доказательство остальных связей сводится к доказательству того, что перемножение левых частей соответствующих квадратных уравнений приводит к такому
многочлену, коэффициенты которого совпадают с коэффициентами уравнения
(3). Доказательство использует равенства (4) и (6).
Таблицы, предлагаемые в работе, позволили составить достаточно простые
программы на языке Турбо Паскаль [8] по нахождению корней уравнений 3-й и 4й степеней со значениями коэффициентов в границах значений величины типа
extended. Предлагаемые таблицы могут также использоваться в оперативных инженерных расчётах посредством микрокалькулятора.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чаплыгин С.А. Избранные труды по механике и математике. М.: ГИТТЛ, 1954. 568 с.
2. Выдрин В.И., Сазонов В.В. Крутильные автоколебания в главных линиях прокатных
станов при прокатке с забоем валков // Обработка металлов давлением. Свердловск:
Изд-во УПИ им. С.М. Кирова, 1986. С. 77−80.
3. Математический энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1988. 847 с.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся
втузов. М.: Наука, 1964. 608 с.
5. Янпольский А.Р. Гиперболические функции. М.: Физматгиз, 1960. 196 с.
6. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:
Наука, 1970. 720 с.
7. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. М.: Наука, 1979. 832 с.
8. Руководство по программированию под управлением MS DOS. М.: Радио и связь, 1995.
544 с.
Статья принята в печать 25.10.2010 г.
Nesmeev Yu. A. AN APPROACH TO SOLUTION OF ALGEBRAIC EQUATIONS OF THE
THIRD AND FOURTH DEGREES. Theoretically substantiated tables for the solution of algebraic equations of the third and fourth degrees are proposed. They do not require to apply an analytical or numerical method. It is shown that the known method for the solution of an algebraic
equation of the fourth degree has a limitation not described in the known handbook.
Keywords: equation, solution, table.
NESMEEV Yurii Alekseevich (Magnitogorsk State Technical University)
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 514.752
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
НЕГОЛОНОМНЫЕ ТОРСЫ 2-го РОДА
В трёхмерном евклидовом пространстве рассматриваются 2-мерные распределения, имеющие нулевую полную кривизну 2-го рода, названные неголономными торсами 2-го рода (НТ-2). Дана классификация НТ-2. Изучены
свойства инвариантных кривых НТ-2. В исследованиях используется метод
внешних форм Картана [1] с привлечением подвижного репера.
Ключевые слова: неголономная геометрия, распределение, уравнение
Пфаффа, векторное поле.
Двумерное распределение в Е3 – это гладкое отображение ∆ , сопоставляющее
∀ М ∈ Е3 (или области G ⊂ Е3) двумерную плоскость π , проходящую через М
[2, с. 683; 3, с. 13; 4, с. 19]. По распределению ∆ однозначно определяется уравнение Пфаффа. Распределение называется голономным, если соответствующее
ему уравнение Пфаффа вполне интегрируемо. В этом случае пространство Е3 расслаивается на однопараметрическое семейство поверхностей. Если же соответствующее уравнение Пфаффа не является вполне интегрируемым, то распределение
называется неголономным. Его интегральные кривые, проходящие через точку М,
касаются в этой точке плоскости π и называются кривыми распределения. Пара
(М, π ) называется плоским элементом; плоскость π – плоскостью распределения в
точке М; прямая l, проходящая через М ортогонально π , – нормалью распределения в точке М. Заметим, что множество всех плоских элементов («график» распределения) представляет собой трёхмерное многообразие, что позволяет использовать метод внешних форм Картана. Множество единичных векторов нормалей
распределения ∆ образует векторное поле. Таким образом, геометрия неголономного распределения тесно связана с геометрией интегральных кривых не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа, а также с геометрией векторного поля.
Как известно (см., напр., [5]), для неголономного распределения ∆ определены два важных инварианта: полная кривизна 1-го рода (К1) и полная кривизна
2-го рода (К2). Они совпадают тогда и только тогда, когда ∆ голономно. В голономном случае К1=К2 есть гауссова кривизна в точке М той интегральной поверхности, которая через М проходит. Поверхности нулевой гауссовой кривизны – это
развёртывающиеся поверхности (или торсы). То есть, если ∆ голономно и для него К1=К2= 0, то мы имеем слоение, слоями которого будут торсы. В неголономном
случае, конечно же, никакого слоения нет. При К1= 0 (К2 ≠ 0) и при К2= 0 (К1 ≠ 0)
получаем распределения с разной геометрией.
Определение. Неголономным торсом 2-го рода (НТ-2)называется гладкое неголономное распределение ∆ на Е3, для которого полная кривизна 2-го рода равна
нулю.
Итак, для НТ-2 полная кривизна К2 = 0. Так как К2 = k1(2) k2(2) , где k1(2) , k2(2) –
главные кривизны 2-го рода, то возможны два случая: 1) k1(2) = 0, k2(2) ≠ 0,
2) k1(2) = 0, k2(2) = 0. Неголономные торсы 2-го рода, для которых выполняется
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
32
второе условие имеют нулевую среднюю кривизну и называются минимальными
неголономными торсами 2-го рода. Их геометрия исследована в работе [6].
В данной работе рассматриваются НТ-2, для которых средняя кривизна Н ≠ 0 ,
то есть одна из главных кривизн 2-го рода отлична от нуля.
1. Основные формулы для НТ-2
К каждому элементу ( M , π) присоединим ортонормированный репер ( M , ei ) ,
где e3 – единичный вектор нормали распределения в точке М. Деривационные
формулы репера запишем в виде
dr = ωi ei ,
(1.1)
dei = ωij e j ,
при этом r – радиус-вектор точки М,
ωij = −ωij , d ωi = ω j ∧ ωij , d ωij = ωik ∧ ωkj , (i, j , k = 1, 2,3).
Формы Пфаффа ωi , ω3i − главные формы [1, с. 288]. Из них ωi − базисные формы, поэтому
ωi3 = Aij ω j .
(1.2)
По матрице
⎛ A11 A21 A31 ⎞
⎜
⎟
( Ai ) = ⎜ A12 A22 A32 ⎟
⎜ 0
0
0 ⎟⎠
⎝
определяем оператор А, называемый основным линейным оператором. Для него
A(dr ) = de3 .
j
Плоскость π относительно выбранного репера имеет уравнение x3 = 0, а
уравнение Пфаффа, соответствующее распределению ∆ : M → π, – это уравнение
ω3 = 0.
(1.3)
Уравнение (1.3) вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда скаляр
ρ = A21 − A12 , называемый скаляром неголономности, равен нулю. Для распределения, о котором идёт речь в данной работе, ρ ≠ 0.
Оператор А отображает всякий вектор плоскости π в вектор этой же плоскости. Поэтому возникает линейный оператор А*, являющийся сужением оператора
А на плоскость π . Матрица оператора А* в базисе (e1 , e2 ) имеет вид
⎛ A11 A21 ⎞
.
⎜ 2
2⎟
⎝ A1 A2 ⎠
Собственные значения оператора А*, взятые с противоположными знаками,
являются главными кривизнами 2-го рода, а его собственные векторы – главными
направлениями 2-го рода. Произведение главных кривизн 2-го рода – это полная
кривизна 2-го рода, а их полусумма – средняя кривизна. Кривая распределения, в
каждой точке которой касательный вектор имеет одно из главных направлений
2-го рода, называется линией кривизны 2-го рода. Она характеризуется тем, что
вдоль неё нормали распределения описывают торс [7].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неголономные торсы 2-го рода
33
Для НТ-2, по определению, K 2 = k1(2) k2(2) = 0. Мы исследуем случай, когда
k1(2) = 0, k2(2) ≠ 0.
При k1(2) = 0 один из корней характеристического уравнения
A11 − λ
A21
A12
A22 − λ
=0
равен нулю. Ему соответствует собственный вектор ξ(ξ1 , ξ2 , 0), определяемый
уравнением A11ξ1 + A21 ξ2 = 0. Направим вектор e1 репера параллельно ξ , то есть
направим вектор e1 по главному направлению 2-го рода, соответствующему нулевой главной кривизне 2-го рода. После этого репер ( M ; ei ) становится каноническим. И тогда A11 = A12 = 0, 2 H = − A22 , ρ = A21 . Вектор кривизны линии тока
ω1 = ω2 = 0 нормалей НТ-2 определится формулой
kn = ae1 + be2 ,
где a = A31 , b = A32 . В новых обозначениях формулы (1.2) примут вид
ω13 = ρω2 + aω3 ,
ω32 = −2 H ω2 + bω3 .
(1.4)
Функции ρ, H , a, b − основные инварианты НТ-2. Внешнее дифференцирование (1.4) и затем применение леммы Картана приводит к следующим равенствам:
ρω12 = α11ω1 + (α12 − aρ)ω2 + (α13 − a 2 )ω3 ,
2 H α11 ⎞ 1 ⎛
2 H α12
⎛
⎞
d ρ = ⎜ α12 +
− 2aH ⎟ ω2 +
⎟ ω + ⎜ α 22 +
ρ
ρ
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞ 3
2 H (α13 − a 2 )
+ ⎜⎜ 2ρH + α 23 +
− ab ⎟⎟ ω ,
ρ
⎝
⎠
(1.5)
⎛
b(a 2 − α13 ) ⎞ 3
bα ⎞
bα
⎛
⎛
⎞
da = ⎜ α13 − 11 ⎟ ω1 + ⎜ α 23 − 12 + ab ⎟ ω2 + ⎜⎜ α 33 +
⎟⎟ ω ,
ρ ⎠
ρ
ρ
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
aα
α
2
H
⎛
⎞
⎛
⎞
12
− α11 − bρ − 2aH ⎟ ω1 + β22 ω2 + ⎜ β23 + 4 H 2 + b 2 + 12 − α13 ⎟ ω3 ,
2dH = ⎜
ρ
⎝ ρ
⎠
⎝
⎠
2
⎛
aα − 2 H α13 + 2 Ha ⎞ 1
2
3
db = ⎜⎜ ab + 11
⎟⎟ ω − β23ω − β33ω .
ρ
⎝
⎠
Формулы (1.4), (1.5) являются основными формулами для НТ-2 общего вида.
2. Асимптотические линии и линии кривизны 2-го рода для НТ-2
Предложение 1. Для всякого НТ-2 через каждую точку М проходят две
асимптотические линии.
Доказательство. Асимптотическая линия распределения ∆ характеризуется
тем, что в каждой её точке соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью
распределения, либо это прямая линия. То есть для асимптотических линий имеет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
34
место равенство
(d 2 r , e1 , e2 ) = 0.
Используя формулы (1.1), (1.3), (1.4), получаем дифференциальные уравнения
асимптотических линий
(ρω1 − 2 H ω2 )ω2 = 0,
(2.1)
ω3 = 0.
Отсюда видим, что для НТ-2 через каждую точку М проходят две асимптотические линии. ■
Следствие 1. Всякая точка М для НТ-2 является точкой гиперболического
типа.
Действительно, точка гиперболического типа для неголономного распределения (как и в теории поверхностей) характеризуется тем, что через неё проходят
точно две асимптотические линии. С другой стороны, какую бы окрестность точки М гиперболического типа мы не взяли, существуют кривые распределения,
проходящие через М и расположенные по обе стороны от плоскости π . ■
Следствие 2. Асимптотические линии ортогональны лишь для минимальных
НТ-2, а совпадают только в голономном случае.
Действительно, угол α между асимптотическими линиями определяется формулой
2H
cos α =
.
4 H 2 + ρ2
Отсюда следует, что α = 90 при Н=0 и α = 0 при ρ = 0 . То есть асимптотические линии ортогональны лишь для минимальных НТ-2 и совпадают только в голономном случае. ■
Предложение 2. Для НТ-2 общего вида через каждую точку М проходят две
линии кривизны 2-го рода, одна из которых является плоской линией, совпадающей с одной из асимптотических линий, а вторая ортогональна второй асимптотической линии.
Доказательство. Находим линии кривизны 2-го рода. В выбранном нами репере матрица оператора A* имеет вид
ρ ⎞
⎛0
⎜ 0 −2H ⎟ .
⎝
⎠
Находим собственные векторы оператора А* (это главные направления 2-го
рода). Кривизне k1(2) = 0 соответствует вектор e1 , а кривизне k2(2) = 2 H − вектор
ρe1 + 2 He2 . Следовательно, линии кривизны 2-го рода определяются уравнениями
(2 H ω1 + ρω2 )ω2 = 0,
ω3 = 0.
(2.2)
Отсюда видим, что через точку М при H ≠ 0 проходят две линии кривизны
2-го рода. Одна из них (ω2 = ω3 = 0) является также и асимптотической линией
(ср.(2.1)). Покажем, что она лежит в плоскости π . Вектор e1 − её касательный
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неголономные торсы 2-го рода
35
вектор. Используя формулы (1.1), (1.4), получаем при ω2 = ω3 = 0 следующее равенство: (e1 , de1 , d 2 e1 ) = 0, которое представляет собой условие того, что линия
кривизны 2-го рода, совпадающая с асимптотической линией, есть плоская линия.
А так как её соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью π , то это значит, что она лежит в этой плоскости.
Касательные векторы ко второй асимптотической линии и второй линии кривизны 2-го рода соответственно есть взаимно ортогональные векторы 2He1 + ρe2
и ρe1 − 2 He2 . Таким образом, вторая линия кривизны 2-го рода ортогональна второй асимптотической линии. ■
3. Линии кривизны 1-го рода для НТ-2
Если распределение ∆ голономно, то оператор А* симметричен и совпадает в
точке М с оператором Вейнгартена той интегральной поверхности уравнения
ω3 = 0 , которая проходит через данную точку. Для неголономного ∆ оператор А*
не симметричен и его можно разложить на сумму двух операторов В* и В, где В* –
симметричен, а В – кососимметричен.
Собственные значения оператора В*, взятые с противоположными знаками,
называются главными кривизнами 1-го рода, а его собственные векторы – главными направлениями 1-го рода. Произведение главных кривизн 1-го рода – это
полная кривизна 1-го рода.
Обозначим k1(1) , k2(1) − главные кривизны 1-го рода, тогда K1 = k1(1) k2(1) − полная
кривизна 1-го рода. Для главных кривизн 1-го рода имеет место аналог формулы
Эйлера, то есть
kn = k1(1) cos 2 α + k2(1) sin 2 α,
(3.1)
где kn − нормальная кривизна кривой распределения ∆ , α − угол между касательной данной кривой и главным направлением 1-го рода, соответствующим
кривизне k1(1) [7, c. 22].
Между полными кривизнами 1-го и 1-го рода имеет место следующая зависимость:
ρ2
.
4
Для НТ-2 имеем K 2 = 0, K1 < 0. Последнее ещё раз свидетельствует, что все регулярные точки НТ-2 гиперболического типа.
Определение. Линией кривизны 1-го рода называется кривая распределения,
касательный вектор которой в каждой её точке имеет главное направление 1-го
рода.
Найдём уравнения линий кривизны 1-го рода в каноническом репере, выбранном в 1. Матрицу А* представим в виде суммы В*+В, то есть в виде
K 2 = K1 +
⎛0
ρ ⎞ ⎜
⎛0
⎜ 0 −2 H ⎟ = ⎜ ρ
⎝
⎠ ⎜
⎝2
ρ ⎞ ⎛
0
2 ⎟+⎜
⎟ ⎜
ρ
−2 H ⎟ ⎜ −
⎠ ⎝ 2
ρ⎞
2 ⎟.
⎟
0⎟
⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
36
Характеристическое уравнение для В* следующее:
ρ
⎛ −λ
⎞
⎜
⎟
2
(3.2)
⎜
⎟ = 0.
⎜ ρ −2 H − λ ⎟
⎝ 2
⎠
Так как главные кривизны 1-го рода – это собственные числа оператора В*, то
из (3.2) получаем
k1(1) = H − H 2 +
ρ2
,
4
(3.3)
ρ2
=H+ H + .
4
Находим главные направления 1-го рода, а по ним уравнения линий кривизны
1-го рода:
k2(1)
2
ρ(ω1 ) 2 − 4 H ω1ω2 − ρ(ω2 ) 2 = 0,
(3.4)
ω3 = 0.
Отсюда видим, что для НТ-2 через каждую точку М проходят две взаимно ортогональных линии кривизны 1-го рода, делящих пополам углы между асимптотическими линиями.
Из (3.1) следует, что линии кривизны 1-го рода являются экстремалями нормальных кривизн kn кривых распределения ∆ .
4. Множество плоскостей НТ-2
Как было отмечено выше, множество плоских элементов ( M , π) образует
трёхмерное многообразие. В общем случае множество плоскостей π также зависит от трёх параметров, но их может быть и меньше. Аналог такого положения
мы видим в теории поверхностей: для регулярной поверхности общего вида множество касательных плоскостей зависит от двух параметров, но для развёртывающейся поверхности касательные плоскости образуют однопараметрическое
семейство. В неголономной геометрии эта особенность имеет место для НТ-2.
Теорема. Множество плоскостей распределения для НТ-2 зависит от двух
параметров.
Доказательство. Используя формулы (1.4) находим характеристику плоскости π :
x3 = 0,
(4.1)
(ρω2 + aω3 ) x1 + (−2 H ω2 + bω3 ) x 2 − ω3 = 0.
Формулы (4.1) содержат лишь две базисные формы. Это значит, что множество плоскостей π НТ-2 зависит лишь от двух параметров, а не от трёх как для распределения общего вида. ■
Находим характеристическуо точку М0 плоскости π . Её координаты удовлетворяют системе уравнений
x3 = 0,
ax1 + bx 2 − 1 = 0,
1
2
ρx − 2 Hx = 0.
(4.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неголономные торсы 2-го рода
37
Обозначим
δ=
ρ −2 H
.
a
b
При δ ≠ 0 (и только в этом случае) существует характеристическая точка
2H ρ
, , 0). Легко проверить, что М0 лежит на касаM 0 ∈ π с координатами M 0 (
δ δ
тельной к той асимптотической линии, которая не совпадает с линией кривизны
2-го рода. Заметим также, что эта касательная является общей характеристикой
плоскости π , полученной при смещении по любой кривой распределения ∆ ,
проходящей через точку М0. Действительно, при ω3 = 0 из (4.1) получаем прямую
ρx1 − 2 Hx 2 = 0,
x3 = 0,
представляющую собой касательную линии кривизны 2-го рода
2 H ω1 + ρω2 = 0,
ω3 = 0.
Исключение составляет только линия кривизны 2-го рода, совпадающая с
асимптотической линией, вдоль неё плоскость π неподвижна.
При δ ≠ 0 точка М0 либо описывает поверхность, либо неподвижна. В первом
случае множество плоскостей π – это множество касательных плоскостей некоторой регулярной поверхности. Во втором случае плоскости π образуют связку с
центром в точке М0.
Если δ = 0 , то все плоскости распределения параллельны одной прямой. Действительно, в этом случае направление вектора 2He1 + ρe2 остаётся постоянным
так как d (2 He1 + ρe2 ) ║ 2 He1 + ρe2 . Это легко проверить, используя формулы (1.4),
(1.5).
Таким образом, все НТ-2 можно разбить на три класса: 1) НТ-2, плоскости
которых огибают поверхность; 2) НТ-2, плоскости которых образуют связку;
3) НТ-2, плоскости которых параллельны одной прямой.
Определение. Эквидирекционной линией (поверхностью) [8, c.32] называется
линия (поверхность), в точках которой векторы нормалей распределения параллельны.
Найдём уравнения, определяющие эквидирекционные линии (поверхности).
Для них, по определению, векторы нормалей параллельны, а следовательно, единичные векторы e3 постоянны, то есть de3 = 0. Тогда из формул (1.1), (1.4) следует
ρω2 + aω3 = 0,
2 H ω2 − bω3 = 0.
(4.3)
При δ ≠ 0 система (4.3) эквивалентна уравнениям ω2 = ω3 = 0. То есть через
каждую точку М проходит одна эквидирекционная линия, совпадающая одновременно с асимптотической линией и линией кривизны 2-го рода.
При δ = 0 уравнения (4.3) линейно зависимы и мы имеем одно вполне интегрируемое уравнение Пфаффа, а следовательно, через каждую точку М проходит
одна эквидирекционная поверхность.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
5. НТ-2 общего вида
Определение. Неголономным торсом 2-го рода общего вида (НТ-2 общего вида) называется НТ-2, плоскости которого огибают регулярную поверхность.
Отметим, что точки огибающей являются особыми точками распределения.
Основные свойства инвариантных кривых НТ-2 общего вида выявлены выше.
Подведём итог сказанному.
а) Через каждую точку М проходят две асимптотические линии. Одна из них
совпадает с линией кривизны 2-го рода и является, кроме того, эквидирекционной
линией. Эта асимптотическая линия лежит в плоскости π , её вектор кривизны раα
вен (− 11 )e2 . Вторая асимптотическая линия – пространственная кривая, касаρ
тельная к ней в точке М проходит через точку М0 огибающей плоскостей распределения ∆ .
б) Через точку М проходят две линии кривизны 2-го рода, одна из которых
совпадает с асимптотической линией, вторая – ортогональна второй асимптотической. Угол β между линиями кривизны 2-го рода вычисляется по формуле
cos β =
ρ
2
ρ + 4H 2
.
(5.1)
Из (5.1) следует, что при Н=0 (то есть только для минимальных НТ-2 [6]) через
точку проходит только одна линия кривизны 2-го рода. А при ρ = 0 (то есть только в голономном случае) линии кривизны 2-го рода ортогональны.
в) Через М проходят две взаимно ортогональные линии кривизны 1-го рода,
делящие пополам угол между асимптотическими линиями.
6. Неголономные конусы
Определение. Неголономным конусом называется НТ-2, плоскости которого
проходят через одну неподвижную точку.
Неподвижная точка М0 называется вершиной неголономного конуса. Она является его особой точкой.
Найдём условия характеризующие неголономные конусы, то есть найдём ус2H
ρ
e1 + e2 ) = 0, где
ловия, при которых точка М0 неподвижна. Имеем d (r +
δ
δ
δ = ρb + 2 Ha.
Используем формулы (1.1), (1.4) и (1.5), получим
2H
2H
β22 =
α 22 − α12 + aρ +
δ,
ρ
ρ
aα
2H
b
β23 =
α 23 − 12 + a 2 − δ,
(6.1)
ρ
ρ
ρ
aα
2H
a3
β33 =
α33 − 13 + .
ρ
ρ
ρ
Предложение 1. Для неголономного конуса асимптотическая линия, не совпадающая с линией кривизны 2-го рода, является прямой линией, проходящей через
вершину конуса.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неголономные торсы 2-го рода
39
Доказательство. Асимптотическая линия, не совпадающая с линией кривизны 2-го рода, имеет уравнения
ρω1 − 2 H ω2 = 0,
(6.2)
ω3 = 0.
Чтобы линия (6.2) была прямой, для её касательного вектора должно выполняться условие d (2 He1 + ρe2 ) ║ 2 He1 + ρe2 . Используя формулы (1.4), (1.5), заключаем,
что
это
возможно
лишь
тогда,
когда
2
ρβ22 − 2 H α 22 + ρα12 − ρ a − 2 H δ = 0. Но это равенство выполняется в силу (6.1),
то есть тогда, когда точка М0 неподвижна. ■
Асимптотическая линия, совпадающая с линией кривизны 2-го рода (как и в
общем случае), представляет собой плоскую линию, лежащую в плоскости π .
Предложение 2. Для неголономного конуса линия кривизны 2-го рода, не совпадающая с асимптотической линией, является пространственной кривой, лежащей на сфере с центром в точке М0.
Доказательство. Линия кривизны 2-го рода, не совпадающая с асимптотической линией, имеет уравнения
2 H ω1 + ρω2 = 0,
ω3 = 0.
(6.3)
2H
e2 – её касательный вектор. Для доказательства теоремы досρ
таточно показать, что вдоль кривой (6.3) не равно нулю смешанное произведение
2H
2H
2H
(e1 −
e2 , d (e1 −
e2 ), d 2 (e1 −
e2 )).
(6.4)
ρ
ρ
ρ
Вектор e1 −
Пользуясь формулами (1.4), (1.5) и (6.1), находим
2H ⎞ 2H ⎛ 2H
2H ⎞
⎛
⎞⎛
d ⎜ e1 −
e2 ⎟ = 2 ⎜
e2 ⎟ +
(α12 − aρ) − α11 ⎟ ⎜ e1 −
ρ
ρ
⎝
⎠ ρ ⎝ ρ
⎠⎝
⎠
2
⎛ 1 4H ⎞
+ ⎜ + 3 ⎟ (δe2 + 2 H ρe3 ).
⎝ρ ρ ⎠
(6.5)
Подставляем (6.5) в (6.4), получаем
2H
e1 −
e2 , δe2 + 2 H ρe3 , d δe2 + δ(ω12 e1 + ω32 e3 ) + (2ρdH + 2 Hd ρ)e3 + 2 H ρ(ω13e1 + ω32 e2 ) =
ρ
= δ(δω32 + ρ2dH + 2 Hd ρ) − 2 H ρ(d δ + 2 H ρω32 ) − 4 H 2 (δω12 + 2 H ρω13 ) =
= −δρ(α11 + δ +
4H 2
ρ2
(α 22 + δ) + 2aH ) ≠ 0.
Отсюда видим, что в общем случае (при Н ≠ 0 ) линия кривизны 2-го рода, не
совпадающая с асимптотической линией, является пространственной кривой.
ρ 2H
, 0) удовлетвоДалее заметим, что координаты неподвижной точки М0( ,
δ δ
ряют уравнениям 2 Hx1 + ρx 2 = 0, x3 = 0, определяющим нормаль кривой (6.3) в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
40
произвольной её точке М. Это возможно лишь тогда, когда сама кривая лежит на
сфере с центром в точке М0. ■
Кривизна и кручение линии кривизны 2-го рода, не совпадающей с асимптотической линией, определяются соответственно формулами
k* =
κ* =
4 H 2 (4 H 2 + ρ2 ) + δ 2
,
4 H 2 + ρ2
4H 2
−δρ(α11 + δ + 2 (α 22 + δ) + 2aH )
ρ
4 H 2 (4 H 2 + ρ2 ) + δ 2
(6.6)
.
Заметим, что κ* = 0 только при H = 0, то есть только для минимальных неголономных конусов [6].
7. Неголономные цилиндры
Определение. Неголономным цилиндром называется НТ-2, плоскости которого параллельны одной прямой.
Как было отмечено выше, для неголономного цилиндра инвариант δ = 0 , а все
плоскости π параллельны одной прямой с направляющим вектором 2He1 + ρe2 .
Условия, выделяющие неголономные цилиндры из НТ-2 общего вида, следующие:
bρ + 2aH = 0,
2H
β22 = aρ − α12 +
α 22 ,
ρ
2 H α 23 − aα12
(7.1)
,
β23 = a 2 +
ρ
a 3 − aα13 + 2 H α 33
.
β33 =
ρ
Подставив (7.1) в (1.5), получим основные формулы для неголономных цилиндров
ω13 = ρω2 + aω3 ,
2H
ω32 = −
(ρω2 + aω3 ).
ρ
ρω12 = α11ω1 + (α12 − aρ)ω2 + (α13 − a 2 )ω3 ,
2 H α11 1
2H
2H
d ρ = (α12 +
)ω + (α 22 +
(α12 − aρ))ω2 + (α 23 +
α13 + 2ρH )ω3 ,
ρ
ρ
ρ
2aH α11 1
2aH
2aH
da = (α13 +
)ω + (α 23 + 2 (α12 − aρ))ω2 + (α 33 + 2 (α13 − a 2 ))ω3 ,
2
ρ
ρ
ρ
2H
2
H
2dH = (
α12 − α11 )ω1 + (
α 22 + aρ − α12 )ω2 +
ρ
ρ
+(
4H 2a2
2H
α 23 +
+ 4 H 2 − α13 + a 2 )ω3 .
ρ
ρ2
(7.2)
(7.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неголономные торсы 2-го рода
41
Предложение 1. Только для неголономного цилиндра через каждую точку М
проходит эквидирекционная поверхность, пересекающая плоскость π по линии,
являющейся одновременно асимптотической линией и линией кривизны 2-го рода.
Доказательство. Эквидирекционные линии определяются уравнениями (4.3).
Эти уравнения линейно зависимы лишь при δ = 0 , то есть только для неголономных цилиндров. При этом уравнение
ρω2 + aω3 = 0
(7.4)
вполне интегрируемо. Это означает, что через каждую точку М проходит одна эквидирекционная поверхность. Асимптотические линии, совпадающие с линиями
кривизны 2-го рода, имеют уравнения
ω2 = ω3 = 0
(7.5)
и, как видим, принадлежат эквидирекционной поверхности (7.4). С другой стороны, линии (7.5) лежат в плоскостях π . ■
Предложение 2. Асимптотическая линия неголономного цилиндра, не совпадающая с линией кривизны 2-го рода, представляет собой прямую линию, параллельную неподвижной прямой цилиндра.
Доказательство. Асимптотическая линия, не совпадающая с линией кривизны 2-го рода, имеет уравнения
ρω1 − 2 H ω2 = 0,
ω3 = 0.
(7.6)
Её касательный вектор 2He1 + ρe2 в любой её точке параллелен вектору неподвижной прямой цилиндра. Это возможно лишь тогда, когда данная линия есть
прямая линия. ■
Предложение 3. Линия кривизны 2-го рода неголономного цилиндра, не совпадающая с асимптотической линией, является плоской линией, лежащей в плоскости, ортогональной прямолинейной асимптотической.
Доказательство. Линия кривизны 2-го рода, не совпадающая с асимптотической линией, определяется уравнениями
2 H ω1 + ρω2 = 0,
(7.7)
ω3 = 0.
Вычислим кривизну и кручение линии (7.7), получим k = 2 H , κ = 0. Таким
образом, данная линия – плоская линия. Плоскость, в которой она лежит, это
плоскость
2 Hx1 + ρx 2 = 0,
(7.8)
ортогональная направляющему вектору прямолинейной асимптотической линии. ■
Предложение 4. Линия кривизны 2-го рода неголономного цилиндра, не совпадающая с асимптотической линией, является геодезической прямейшей линией.
Доказательство. Плоскость (7.8), в которой лежит данная линия кривизны
2-го рода, является её соприкасающейся плоскостью. Из (7.8) видим, что она проходит через нормаль распределения, то есть линия (7.7) – геодезическая прямейшая. ■
Как было отмечено выше, всякая линия кривизны 2-го рода характеризуется
тем, что вдоль неё нормали распределения образуют торс. Так как для неголоном-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
42
ного цилиндра линия кривизны 2-го рода, совпадающая с асимптотической линией, является также эквидирекционной линией, то это значит, что вдоль неё нормали распределения описывают цилиндр. Для второй линии кривизны 2-го рода
нормали (при H ≠ const ) описывают торс, точка ребра возврата которого имеет
1
координаты (0,
, 0) , при этом 2 H есть кривизна в соответствующей точке
2H
данной линии кривизны 2-го рода. Заметим, что при H = const ≠ 0 линия кривизны 2-го рода, не совпадающая с асимптотической линией, становится окружностью, а нормали вдоль неё образуют пучок с центром в центре окружности. Существование таких неголономных цилиндров не очевидно. Переходим к доказательству соответствующей теоремы.
Теорема. С произволом одной функции двух аргументов существуют неголономные цилиндры постоянной не равной нулю средней кривизны.
Доказательство. При доказательстве теоремы применяется достаточный признак Кэлера [1]. Если H = const ≠ 0 , то из (7.3) следует
α11 = 2aH +
4H 2
ρ2
α 22 , α12 = aρ +
2H
4H 2
2H
α 22 , α13 = a 2 (1 + 2 ) + 4 H 2 +
α 23 .
ρ
ρ
ρ
Используя эти равенства, приведём систему (7.3) к виду
ω12 =
2 Hd ρ
,
4 H 2 + ρ2
2H
a2 3
ρ2 d ρ
1
2
3
(
)
2
(1
)ω ,
a
H
=
α
+
ρ
ω
+
α
ω
+
α
ω
+
ρ
+
22
22
23
ρ
4 H 2 + ρ2
ρ2
da = (
(7.9)
2H
4H 2a2 1
4 H 2 ad ρ
2
3
)
.
α 23 + a 2 + 4 H 2 +
ω
+
α
ω
+
α
ω
+
23
33
ρ
ρ2
ρ(4 H 2 + ρ2 )
Замыкаем систему (7.9), получаем
2H
d α 22 ^ ω1 + d α 22 ^ ω2 + d α 23 ^ ω3 + A1ω1 ^ ω2 + B1ω2 ^ ω3 + C1ω3 ^ ω1 = 0,
ρ
(7.10)
2H
d α 23 ^ ω1 + d α 23 ^ ω2 + d α33 ^ ω3 + A2 ω1 ^ ω2 + B2 ω2 ^ ω3 + C2 ω3 ^ ω1 = 0,
ρ
где Ai , Bi , Ci − функции от α 22 , α 23 , α33 , a, ρ, H . В частности,
16 H 3
4H 2
8Ha
a2
a2
a2
α 23 + 8H 2 a(1+ 2 ) − aρ 2 ,
B1 = ( 2 (1+ 2 ) + 2 H (1− 2 ))α 22 + 3 α 22 α 23 +
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
2
2
2 2
2
3
4H a
8H a 8H
8H
2 Ha 3
C1 =
−
α
−
α
α
+
a
α
+ρα
+
Ha
ρ+
−
( 2 −1−
)
2
2
22
22
23
23
33
ρ ρ
ρ
ρ4
ρ2
ρ4
a2
8H 3 a
−
(1+ 2 ),
ρ
ρ
A2 = 2aα 23 (−1−
8H 2
ρ2
) −ρα33 −
2a 3 H 4 H 2
8aH 3
( 2 +1) −
.
ρ
ρ
ρ
(7.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неголономные торсы 2-го рода
43
Положим
d α 22 = λ1ω1 + μ1ω2 + ν1ω3 ,
d α 23 = λ 2 ω1 + μ 2 ω2 + ν 2 ω3 ,
1
2
(7.12)
3
d α33 = λ 3ω + μ3ω + ν 3ω .
Строим цепь интегральных элементов E1 ⊂ E2 ⊂ E3 . Для E1 положим
1
ω = ω2 = 0. Тогда параметры νi (i = 1, 2,3) останутся свободными, следовательно,
r1 = 3 (обозначения соответствуют принятым в [1]). Для E2 положим ω1 = 0 и
подставим (7.12) в (7.10), получим μ 2 = ν1 − B1 , μ3 = ν 2 − B2 . Остаётся свободным
μ1 , то есть r2 = 1 , а характер s1 = r1 − r2 = 2 . И, наконец, подставляем (7.12) в
(7.10), получаем
2H
2H
2H
λ1 =
μ1 − A1 , λ 2 =
ν1 + C1 , λ 3 =
ν 2 + C2 ,
ρ
ρ
ρ
2H
B1 + A2 + C1 = 0.
ρ
(7.13)
Равенство (7.13) в силу (7.11) является тождеством. Поэтому r3 = 0, характер
s2 = r2 − r3 = 1, s1 + s2 = 3. Достаточный признак Кэлера выполнен. Неголономный
цилиндр с постоянной не равной нулю средней кривизной существует с произволом одной функции двух аргументов. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М. – Л.: ГИТТЛ, 1948.
2. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
3. Вершик А.М., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 16.
С. 7 – 85.
4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981.
5. Синцов Д.М. Работы по неголономной геометрии. Киев: Вища школа, 1972.
6. Онищук Н.М., Цоколова О.В. Минимальные неголономные торсы 2-го рода // Вестник
Томского госуниверситета. Математика и механика. 2009. № 3(7). С. 42−55.
7. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990.
8. Слухаев В.В. Геометрия векторных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1982.
Статья принята в печать 30.10.2010 г.
Onishuk N. M., Tsokolova O. V. NON-HOLONOMIC TORSES OF THE SECOND KIND. Twodimensional non-holonomic distributions of zero total curvature of the second kind (NT-2) are
considered using Cartan’s method and moving frames in the three-dimensional Euclidean space.
Classification of NT-2 is presented and properties of invariant NT-2 curves are studied.
Keywords: non-holonomic geometry, distribution of planes, Pfaffian equation, vector field.
ONISHUK Nadezhda Maksimovna (Tomsk State University)
E-mail: onichuk.nadezhda@yandex.ru
TSOKOLOVA Olga Vyacheslavovna (Tomsk State University)
E-mail: tov234@yandex.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 517.982
М.А. Садыбеков, А.М. Сарсенби
ОБ ОДНОМ НЕОБХОДИМОМ УСЛОВИИ
БАЗИСНОСТИ СИСТЕМЫ НОРМИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В работе рассматривается полная, минимальная, почти нормированная последовательность {ϕk }∞k =1 элементов гильбертова пространства H, такая, что
их скалярные произведения обладают свойством (ϕk , ϕ j ) ≥ α, α > 0 для
всех достаточно больших номеров k, j. Доказывается, что данная последовательность не является безусловным базисом в H.
Ключевые слова: гильбертово пространство, почти нормированная последовательность, безусловный базис, базис Рисса, биортогональная система, необходимое условие базисности.
Пусть H – гильбертово пространство со скалярным произведением ( ⋅, ⋅) и нормой ⋅ . В пространстве H рассмотрим полную и минимальную последовательность элементов ϕk. Хорошо известно, что если система {ϕk} является ортогональной, то она образует базис пространства H. В противном случае, только свойства полноты и минимальности системы не обеспечивают ее базисности. Проверка базисности, несмотря на существование различных абстрактных критериев базисности, для конкретных систем составляет существенную трудность. Поэтому
получение легко проверяемых необходимых условий базисности представляет собой весьма актуальную задачу. Одному виду таких условий и посвящена настоящая публикация. Работа примыкает к результатам исследований, опубликованным в [1, 2].
Одно из легко проверяемых условий базисности нормированных систем получено в [1].
Теорема 1. [1] Пусть {ϕk }∞k =1 – полная нормированная последовательность
векторов в гильбертовом пространстве l2, такая, что скалярные произведения
(ϕk , ϕ j ) ≥ α, α > 0 при k ≠ j , k , j ∈ N . Тогда данная последовательность векторов не является базисом в l2.
В этой же работе приведен простой и вместе с тем наглядный пример последовательности нормированных векторов гильбертова пространства l2 (скалярные
произведения между двумя элементами которой равны некоторому числу α > 0),
не являющейся базисом в l2.
В настоящей работе рассмотрим системы, у которых скалярные произведения
(ϕk, ϕj) могут принимать значения разного знака или даже комплексные значения.
Проиллюстрируем это на следующем примере.
∞
Пример 1. Пусть { g k }k =1 – базис Рисса [3] гильбертова пространства H. Рассмотрим
∞
ϕk k =1 ,
{ }
последовательность
ϕk = g1 + g k +1 , k ∈ N .
Покажем,
что
являясь полной и почти нормированной, не образует базиса в H.
система
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одном необходимом условии базисности системы нормированных элементов
45
∞
Проверим сначала, что система {ϕk }k =1 является полной. Предположим, что
она не полна. Тогда существует элемент ϕ0 ∈ H , ϕ0 ≠ 0 , ортогональный всем эле∞
ментам системы {ϕk }k =1 . Отсюда
( ϕ0 , ϕk ) ≡ ( ϕ0 , g1 ) + ( ϕ0 , g k +1 ) = 0, k ∈ N .
Поэтому ( ϕ0 , g k ) = ( ϕ0 , g j ) для всех k, j >1. Так как система {g k }∞k =1 – базис
Рисса, то существует единственная биортогональная ей система {qk }∞k =1 , также
образующая базис Рисса в H. Величины ( ϕ0 , g k ) являются коэффициентами Фу∞
рье биортогонального разложения элемента ϕ0 по базису Рисса {qk }k =1 . Поэтому
lim ( ϕ0 , g k ) = 0 . Следовательно, ( ϕ0 , g k ) = 0 для всех k∈N. Отсюда ϕ0 = 0.
k →∞
∞
Полученное противоречие доказывает полноту системы {ϕk }k =1 . Покажем, что
она не образует базиса. Предположим, что эта система – базис в H. Тогда элемент
g1 также может быть представлен в виде разложения по этому базису:
∞
g1 = ∑ Ck ϕk .
k =1
∞
⎛ ∞
⎞
0 = ⎜ ∑ Ck − 1⎟ g1 + ∑ Ck −1 g k .
⎝ k =1
⎠
k =2
Отсюда
∞
В силу базисности системы { g k }k =1 это эквивалентно
⎧ ∞
⎪ ∑ Ck = 1,
⎨ k =1
⎪C = 0, k ≥ 1.
⎩ k
Очевидно, что данная система уравнений не имеет решения. Следовательно,
∞
система {ϕk }k =1 не является базисом.
∞
Отметим, что в отличие от приведенного примера системы {ϕk }k =1 , построенные по формулам
ϕ2 k −1 = g 2 k −1 , ϕ2 k = g 2 k + αg 2 k −1 ,
∞
где { g k }k =1 – безусловный базис, могут образовывать базис. Как следует из ре∞
зультатов нашей работы [4], система {ϕk }k =1 образует безусловный базис тогда и
только тогда, когда
g 2 k −1 ≤ C g 2 k .
∞
Легко видеть, что система {ϕk }k =1 из примера 1 обладает тем свойством, что
( ϕk , ϕ j ) ≥ α ,
α > 0 для всех достаточно больших номеров k, j. Следующая тео-
рема показывает, что именно наличие данного свойства является причиной небазисности системы.
∞
Теорема 2. Пусть {ϕk }k =1 – полная, минимальная, почти нормированная последовательность элементов гильбертова пространства H, такая, что скалярные
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Садыбеков, А.М. Сарсенби
46
произведения
( ϕk , ϕ j ) ≥ α ,
α>0
(1)
для всех достаточно больших номеров k, j. Тогда данная последовательность векторов не является безусловным базисом в H.
∞
Доказательство. Предположим противное – что система {ϕk }k =1 образует
безусловный базис в H. Так как эта система – почти нормированная, то она образует базис Рисса в H [3]. Следовательно, биортогонально сопряженная система
{ψ k }∞k =1 также образует базис Рисса в H.
Пусть (1) выполнено для всех номеров k, j > N0. Элемент ϕk, k > N0, представим
∞
в виде биортогонального разложения по базису Рисса {ψ k }k =1 :
∞
ϕk = ∑ ( ϕk , ϕ j ) ψ j .
(2)
j =1
∞
Так как система {ψ k }k =1 – почти нормированная, то коэффициенты биортогонального разложения (2) принадлежат пространству l2. Однако это противоречит
∞
условию (1) теоремы. Полученное противоречие доказывает, что система {ϕk }k =1
не может образовывать безусловного базиса в H. Теорема доказана.
Отметим, что результат данной работы наглядно демонстрирует, что полнота и
минимальность системы (даже для случая почти нормированных систем) еще не
гарантирует ее базисности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хмылева Т.Е., Бухтина И.П. О некоторой последовательности элементов в гильбертовом
пространстве, не являющейся базисом // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2007. № 1. С. 58–62.
2. Хмылева Т.Е., Иванова О.Г. О некоторых системах в гильбертовом пространстве, не являющихся базисом // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2010.
№ 3(11). С. 53–60.
3. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Ученые
записки МГУ. 1951. Т. 4. Вып. 148. С. 69–107.
4. Садыбеков М.А., Сарсенби А.М. Применение оценок антиаприорного типа в теории
базисов пространства L2 // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 6. С. 665–671.
Статья принята в печать 10.01.2011 г.
Sadybekov M. A., Sarsenbi A. M. ON A NECESSARY CONDITION FOR A SYSTEM OF
NORMALIZED ELEMENTS TO BE A BASIS IN A HILBERT SPACE. In this paper we consider a complete, minimal, almost normalized sequence {ϕk }∞k =1 of elements of a Hilbert space H
such that their inner products have the property
(ϕk , ϕ j ) ≥ α, α > 0 for all sufficiently large
numbers k, j. It was proved that this sequence is not an unconditional basis in H.
Keywords: Hilbert space, almost normalized sequence, unconditional basis, Riesz basis, biorthogonal system, necessary condition for the basis
SADYBEKOV Makhmud Abdysametovich (South-Kazakhstan State University)
E-mail: makhmud-s@mail.ru
SARSENBI Abdizhahan Manapovich (South-Kazakhstan State University)
E-mail: abzhahan@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 514.76
Я.В. Славолюбова
K-КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ НА ГРУППАХ ЛИ
В данной статье рассматрены левоинвариантные K-контактные структуры на
группах Ли. Основной результат статьи – теорема 1, устанавливающая выражения тензора Риччи группы Ли G через тензор Риччи фактор-пространства M = G / F0 , где F0 – однопараметрическая подгруппа поля Риба ξ, и
теорема 2, устанавливающая связь между тензором N(1) контактной метрической структуры на G и тензором Нейенхейса N соответствующей почти
комплексной структуры на M = G / F0 .
Ключевые слова: контактные группы Ли, контактные метрические
структуры, структура Сасаки, К-контактные структуры.
1. Предварительные сведения
2n+1
Пусть G = G
– группа Ли размерности 2n+1 и L(G) – ее алгебра Ли, отождествляемая с касательным пространством TeG к G в единице e. Левоинвариантная
дифференциальная 1-форма η на G является контактной формой, если
η ∧ (d η) n ≠ 0 всюду на G. В этом случае (G, η) (соответственно (L(G), η)) называется контактной группой Ли (соответственно контактной алгеброй Ли). Векторным полем Риба называется единичное векторное поле ξ на G, удовлетворяющее
условиям: d η(ξ, X ) = 0 для всех X и η(ξ) = 1 . Если (G, η) – контактная группа Ли,
то контактной метрической структурой называется четверка (η, ξ, φ, g), где φ – левоинвариантный аффинор на G и g – левоинвариантная риманова метрика, для которой имеют место следующие свойства:
ϕ2 = − I + η ⊗ ξ , g ( X , Y ) = g (ϕX , Y ) , g (ϕX , ϕY ) = g ( X , Y ) − η( X )η(Y ) ,
где I – тождественный эндоморфизм L(G) [1]. Риманова метрика g контактной
метрической структуры называется ассоциированной. В работе [2] приведены
способы построения семейств ассоциированных метрик, определяемых аффинором φ. На контактном метрическом многообразии определены два тензора: N(1) и
N(3) следующими выражениями [1]:
N (1) ( X , Y ) = [ϕ, ϕ]( X , Y ) + d η( X , Y )ξ , N (3) ( X ) = ( Lξ ϕ) X .
Контактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) называется K-контактной, если
поле Риба ξ порождает группу изометрий метрики g, т.е. поле Риба ξ является
киллинговым относительно метрики g. Таким образом, для K-контактной структуры Lξ g = 0 . Поскольку Lξ η = 0 для любой контактной структуры и
g ( X , Y ) = d η( X , ϕY ) + η( X )η(Y ) , то контактная метрическая структура является
K-контактной тогда и только тогда, когда Lξ ϕ = 0 , т.е. когда тензор N(3)(X) обраща-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Я.В. Славолюбова
48
ется в нуль [1]. Отметим также, что контактная метрическая структура является
1
K-контактной тогда и только тогда, когда ∇ X ξ = ϕX [1].
2
В случае левоинвариантных структур на группе Ли можно получить следующее условие K-контактности:
( Lξ g )( X , Y ) = ξ g ( X , Y ) − g ( Lξ X , Y ) − g ( X , LξY ) = − g ([ξ, X ], Y ) − g ( X ,[ξ, Y ]) = 0 .
Таким образом, контактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) является Kконтактной, если оператор ad ξ на алгебре Ли L(G) является кососимметрическим,
g ([ξ, X ], Y ) = − g ( X ,[ξ, Y ]) .
Пусть at – однопараметрическая подгруппа, порожденная полем Риба ξ,
at = exp(t ξ) . Она действует на группе Ли G справа. При этом действии форма η
сохраняется, Lξ η = 0 . Поскольку форма η является еще и левоинвариантной, то из
Lξ η = 0 следует, что ad ξ*η = 0 и Ad a*t η = η .
Рассмотрим замкнутую подгруппу F, которая сохраняет контактную форму η:
F = {g ∈ G : Ad g* (η) = η} .
В работе [3] показано, что подгруппа F является одномерной, контактная форма η является формой связности главного расслоения π : G → G / F и dη – форма
кривизны. При этом форма dη опускается на однородное пространство G / F и является там симплектической формой ω, π* (ω) = d η .
Однопараметрическая подгруппа at, порожденная полем Риба ξ, является связной компонентой F0 группы изотропии F и поэтому также является замкнутой
подгруппой группы Ли G. Следовательно, фактор-пространство M = G / F0 является гладким дифференцируемым многообразием.
Поскольку Lξ g = 0 и Lξ ϕ = 0 , то при проекции π : G → M = G / F0 метрика g и
аффинор φ опускаются на M и образуют там почти кэлерову структуру (gM, ω, J).
Почти комплексная структура J определяется следующим образом:
J (d π( X )) = d π(ϕX ), X ∈ Tg G .
Другими словами,
J (V ) = d π(ϕ(d π−1 (V ))), V ∈ Tx M ,
где отображение d π−1 : Tx M → Tg G вектору V ∈ Tx M ставит в соответствие вектор
d π−1 (V ) из площадки контактного распределения D = ker(η). Проекция
π : G → M = G / F0 является тогда римановой субмерсией. Поэтому свойства контактной метрической структуры (η, ξ, φ, g) тесно связаны со свойствами почти кэлеровой структуры (gM, ω, J) на базе M = G / F0 .
2. Тензор Риччи
В данном разделе мы приведем явные формулы для вычисления элементов
римановой субмерсии π : G → M = G / F0 в случае левоинвариантной Kконтактной структуры (η, ξ, φ, g) на группе Ли G2n+1. Напомним, что на M имеется
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
K-контактные структуры на группах Ли
49
почти кэлерова структура (gM, ω, J), такая, что π* ( g M ) = g на горизонтальных
векторных полях, π* (ω) = d η и π* ( J ) = ϕ . В качестве горизонтального распределения возьмем контактное распределение, образованное векторами E1,…,E2n. Вертикальное распределение порождено полем Риба ξ. Для единообразия будем обозначать его символом E2n+1. Базис E1,…,E2n+1 предполагается ортонормированным.
В данном базисе выразим условие K-контактности Lξ g = 0 :
( Lξ g )( Ei , E j ) = ξ g ( Ei , E j ) − g ( Lξ Ei , E j ) − g ( Ei , Lξ E j ) =
= − g ([ξ, Ei ], E j ) − g ( Ei ,[ξ, E j ]) = −C2jn+1,i − C2i n+1, j = 0 .
Получаем условие K-контактности:
C2jn+1,i + C2i n+1, j = 0, i, j = 1,..., 2n + 1 .
В частности, если i = 2n + 1 , то
C22nn++1,1 j = 0,
j = 1,..., 2n .
Для вычисления тензора Риччи римановой субмерсии π : G → M = G / F0 используются следующие инварианты: A и T на G [4], значения которых на векторных полях P1 и P2 задаются формулами
TP1 P2 = Η∇ νP1 νP2 + ν∇ νP1 Η P2 , AP1 P2 = Η∇ ΗP1 νP2 + ν∇ ΗP1 Η P2 .
Найдем их выражения в нашем случае.
Инвариант T. Из формулы TP1 P2 = Η∇ νP1 νP2 + ν∇ νP1 Η P2 [4] мы видим, что
TX Y = 0, TX ξ = 0, Tξ ξ = 0 ,
где X, Y – горизонтальные поля, а ξ – вертикальное поле. Последнее вытекает из
свойства ∇ξ ξ = 0 . Поэтому единственная ненулевая компонента тензора T может
быть только в случае Tξ X .
1
Из свойства K-контактности имеем ∇ X ξ = ϕ( X ) . Далее, ∇ ξ X − ∇ X ξ = [ξ, X ] .
2
1
Поэтому ∇ ξ X = ∇ X ξ + [ξ, X ] = ϕ( X ) + [ξ, X ] . Тогда
2
Tξ X = ν[ξ, X ] .
Для выбранного базиса получаем
TE2 n +1 E j = ν[ E2 n+1 , E j ] = C22nn++1,1 j E2 n+1 = 0,
j = 1,..., 2n .
Инвариант A. Из формулы AP1 P2 = Η∇ ΗP1 νP2 + ν∇ ΗP1 Η P2 [4] видно, что
Aξ X = 0,
Aξ ξ = 0 .
1
Из свойства K-контактности имеем ∇ X ξ = ϕ( X ) . Поэтому
2
1
AX ξ = Η∇ X ξ = ϕ( X ) .
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Я.В. Славолюбова
50
В случае двух горизонтальных векторных полей получаем
AX Y = ν∇ X Y .
В базисе {Ei}, i = 1,..., 2n , имеем
AEi E j = ν∇ Ei E j = Γij2 n+1E2 n+1 , i, j = 1,..., 2n .
(1)
Окончательно получаем следующие ненулевые компоненты тензора A:
1
Aij2 n+1 = Γij2 n+1 , Ais,2 n+1 = ϕis , i, j , s = 1,..., 2n .
2
Найдем тензор Риччи для нашего случая римановой субмерсии. При вычислениях будем использовать, что слои римановой субмерсии являются геодезическими линиями. Поэтому вектор средней кривизны слоев N, определяемый как
N = Tξ ξ , равен нулю.
Теорема 1. Если левоинвариантная контактная метрическая структура (η, ξ,
φ, g) на группе Ли G2n+1 является K-контактной, то в ортонормированном базисе
E1,…,E2n+1, первые 2n векторов которого лежат в контактном распределении D,
а вектор E2n+1 есть поле Риба ξ, тензор Риччи Ric имеет следующую структуру:
n
1
Ric2 n+1,2 n+1 = , Ricij = RicM ij − δij , i, j = 1,..., 2n,
2
2
Rici ,2 n+1 = −
1
4
2n
∑ (2Csjj Csi2n+1 + (C sji + Csji + Csij )C 2jsn+1 ),
i = 1,..., 2n,
j , s =1
где RicM – тензор Риччи фактор-пространства M = G / F0 .
Доказательство. Найдем выражения всех компонент тензора Риччи Ric(ξ, ξ) ,
Ric(ξ, X ) и Ric( X , Y ) прямыми вычислениями. Как всегда, символами X, Y мы
обозначаем горизонтальные векторы.
Вычисление Ric(ξ, ξ) . Поскольку для K-контактных структур кривизна Риччи
n
n
, то Ric(ξ, ξ) = .
2
2
Вычисление Ric( X , Y ) . Поскольку N = 0 , то выражение кривизны Риччи [4]
в направлении ξ равна
1
Ric( X , Y ) = RicM ( X , Y ) − 2( AX , AY ) − (TX , TY ) + ((∇ X N , Y ) + (∇Y N , X ))
2
принимает вид
Ric( X , Y ) = RicM ( X , Y ) − 2( AX , AY ) − (TX , TY ) .
Найдем компоненты ( AX , AY ) и (TX , TY ) для базисных векторов.
( AEi , AE j ) = ( AEi ξ, AE j ξ) =
1
1
(ϕ( Ei ), ϕ( E j )) = ( Ei , E j ) .
4
4
(TEi , TE j ) = (ν[ξ, Ei ], ν[ξ, E j ]) = Ci2,2nn++11C 2j ,2n+n1+1 .
Учитывая, что Ci2,2nn++11 = 0 получаем следующую формулу:
1
Ricij = RicM ij − δij .
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
K-контактные структуры на группах Ли
51
Вычисление Ric( X , ξ) . В базисе {Ei}, i = 1,..., 2n + 1 , формула [4]
Ric( X , ξ) = ((δˆ Е )ξ, X ) + (∇ ξ N , X ) − ((δA) X , ξ) − 2( AX , Tξ ) ,
где δA = −∑ (∇ X i A) X i относительно базиса {Xi} горизонтального распределения и
i
δˆ T = −(∇ ξT ) ξ , примет вид
Ric( Ei , E2 n+1 ) = ((δˆ T ) E2 n+1 , Ei ) − ((δA) Ei , E2 n+1 ) − 2( AEi , TE2 n +1 ), i = 1,..., 2n .
Найдем выражения всех трех слагаемых в правой части.
Вычисление (δˆ T ) E2 n+1 .
(δˆ T ) E2 n+1 = −(∇ E2 n +1T ) E2 n +1 E2 n+1 = −(∇ E2 n +1 (Tξξ) − T∇ξξ E2 n+1 − TE2 n+1 (∇ ξξ)) = 0 .
Вычисление (δA) Ei . Будем использовать формулу (1):
AEi E j = ν∇ Ei E j = Γij2 n+1E2 n+1 , i, j = 1,..., 2n .
2n
2n
j =1
j =1
(δA) Ei = −∑ (∇ E j A) E j Ei = −∑ (∇ E j ( AE j Ei ) − A∇ E
2n
j
E j Ei
− AE j (∇ E j Ei )) =
2n
=−∑(∇ E j (Γ 2jin+1 E2 n+1 ) − AΓ s E Ei − AE j (Γ kji Ek )) =−∑(Γ 2jin+1∇ E j ξ−Γ sjj AEs Ei −Γ kji AE j Ek ) =
jj s
j =1
j =1
2n
2n
2n
1
= −∑ ( Γ 2jin+1ϕ( E j ) − Γ 2jjn+1 Aξ Ei − ∑ Γ sjj AEs Ei − Γ 2jin+1 AE j ξ − ∑ Γ sji AE j Es ) =
j =1 2
s =1
s =1
2n
2n
2n
1
1
= −∑ ( Γ 2jin+1ϕ( E j ) − ∑ Γ sjj Γ 2sin+1ξ − Γ 2jin+1ϕ( E j ) − ∑ Γ sji Γ 2jsn+1ξ) =
2
j =1 2
s =1
s =1
=
2n
∑ (Γ sjj Γ2sin+1 + Γ sji Γ 2jsn+1 )ξ .
j , s =1
Вычисление третьей компоненты.
2n
2n
2n
j =1
j =1
j =1
( AEi , TE2 n +1 ) = ∑ ( AEi E j , TE2 n +1 E j ) = ∑ (Γij2 n+1E2 n+1 , C22nn++1,1 j E2 n+1 ) = ∑ Γij2 n+1C22nn++1,1 j = 0 .
Таким образом,
2n
Ric( Ei , E2 n +1 ) = −((δA) Ei , E2 n +1 ) = −( ∑ (Γ sjj Γ 2sin +1 + Γ sji Γ 2jsn +1 )ξ, ξ) =
j , s =1
2n
.
= − ∑ (Γ sjj Γ 2sin +1 + Γ sji Γ 2jsn +1 ).
j , s =1
В последнем равенстве выразим символы Кристофеля через структурные константы:
1
1
Γ 2sin+1 = (Csi2 n+1 + C2i n+1,s + C2sn+1,i ) = Csi2 n+1 ;
2
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Я.В. Славолюбова
52
1
1
Γ 2jsn+1 = (C 2jsn+1 + C2sn+1, j + C2jn+1,s ) = C 2jsn+1 ;
2
2
1
1
Γ sjj = (C sjj + Csjj + Csjj ) = Csjj ; Γ sji = (C sji + Csji + Csij ) .
2
2
Таким образом,
Rici ,2 n+1 = −
1
4
2n
∑ (2Csjj Csi2n+1 + (C sji + Csji + Csij )C 2jsn+1 ) .
j ,s =1
Теорема доказана.
3. Связь между тензорами N(1) и N
При римановой субмерсии π : G → M = G / F0 контактной метрической структуре (η, ξ, φ, g) соответствует почти кэлерова структура (gM, ω, J) на базе
M = G / F0 . В этом разделе найдем связь между тензором кручения контактной
структуры N(1) на группе Ли G и тензором Нейенхейса N почти комплексной
структуры J на G / F0 . Тензор N(1) выражается формулой
N (1) ( X , Y ) = [ϕ, ϕ]( X , Y ) + d η( X , Y )ξ .
Здесь кручение Нейенхейса [ϕ, ϕ] тензорного поля φ типа (1,1) является тензорным полем типа (1,2), заданным формулой
[ϕ, ϕ]( X , Y ) = ϕ2 [ X , Y ] + [ϕX , ϕY ] − ϕ [ϕX , Y ] − ϕ [ X , ϕY ] .
Напомним также выражение тензора Нейенхейса:
N ( X , Y ) = [ JX , JY ] − [ X , Y ] − J [ JX , Y ] − J [ X , JY ] .
Хорошо известно [1], что почти комплексная структура J интегрируема, т.е.
является комплексной структурой, если ее тензор Нейенхейса равен нулю,
N(X,Y) = 0.
Как известно, левоинвариантное векторное поле X на группе G отождествляется с его значением в единице, X ≡ X (e) ∈ TeG ≡ L(G ) . При проекции
π : G → M = G / F0 левоинвариантные векторные поля на группе G не проектируются в векторные поля на M = G / F0 , поскольку группа F0 действует справа на G.
Однако с каждым левоинвариантным векторным полем X можно ассоциировать
правоинвариантное векторное поле, порожденное элементом X (e) ∈ TeG . Будем
обозначать такое поле символом Xr. Как известно [5], [ X r , Y r ] = −[ X , Y ]r . Правоинвариантное векторное поле Xr опускается до векторного поля на M = G / F0 .
Обозначим X M = d π( X r ) . Очевидно, что
[ X M , Y M ] = d π([ X r , Y r ]) = − d π([ X , Y ]r ) .
Лемма 1. Для K-контактной метрической структуры на группе Ли G для любых касательных векторов X, Y ∈ TgG,∀ g ∈ G имеет место следующая формула:
d π( N (1) ( X , Y )) = N (d π( X ), d π(Y )) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
K-контактные структуры на группах Ли
53
Доказательство. Для вычисления тензоров N(1)(X,Y) и N(X,Y) продолжим векторы X, Y ∈ TgG до правоинвариантных векторных полей X r, Y r на G. Вычислим
тензор N(1)( X r, Y r),
N (1) ( X r , Y r ) = ϕ2 [ X r , Y r ] + [ϕX r , ϕY r ] − ϕ[ϕX r , Y r ] − ϕ[ X r , ϕY r ] + d η( X r , Y r )ξ =
= ϕ2 [ X r , Y r ] − η([ X r , Y r ])ξ + [ϕX r , ϕY r ] − ϕ[ϕX r , Y r ] − ϕ[ X r , ϕY r ] =
Из свойства ϕ2 = − I + η ⊗ ξ контактной метрической структуры мы получаем
далее:
= −[ X r , Y r ] + [ϕX r , ϕY r ] − ϕ[ϕX r , Y r ] − ϕ[ X r , ϕY r ] .
Векторное поле X r правоинвариантно, а аффинор φ левоинвариантен. Поэтому
пока ничего нельзя сказать о типе поля φX r. Однако можно заметить, что оно проектируется в поле J ( X M ) :
d π(ϕX r ) = J (d π( X r )) = J ( X M ) .
Поэтому можно применить проектирование dπ к тензору N (1) ( X r , Y r ) :
d π( N (1) ( X r ,Y r )) = −d π([ X r ,Y r ]) + d π([ϕX r ,ϕY r ]) − d π(ϕ[ϕX r ,Y r ]) − d π(ϕ[ X r , ϕY r ]) =
= −[ X M , Y M ] + [d π(ϕ X r ), d π(ϕY r )] − J (d π([ϕ X r , Y r ])) − J (d π([ X r , ϕY r ])) =
= −[ X M , Y M ] + [ JX M , JY M ] − J [d π(ϕ X r ), d π(Y r )] − J [d π( X r ), d π(ϕY r )] =
= −[ X M , Y M ] + [ JX M , JY M ] − J [ JX M , Y M ] − J [ X M , JY M ] = N ( X M , Y M ) .
Мы получим следующий результат:
d π( N (1) ( X r , Y r )) = N ( X M , Y M ) ,
из которого и вытекает утверждение теоремы.
Лемма 2. Для любых касательных векторов X, Y ∈ TgG,∀ g ∈ G значения тензора кручения N(1)(X,Y) контактной метрической структуры лежит в контактном распределении, т.е. η(N(1)(X,Y)) = 0.
Доказательство. Найдем проекцию тензорного поля N(1) на направление Rξ.
Для этого достаточно вычислить η( N (1) ( X , Y )) . Поскольку
N (1) ( X , Y ) = ϕ2 [ X , Y ] + [ϕX , ϕY ] − ϕ [ϕX , Y ] − ϕ [ X , ϕY ] + d η( X , Y )ξ ,
то
η( N (1) ( X , Y )) = η([ϕX , ϕY ]) + d η( X , Y ) = − d η(ϕX , ϕY ) + d η( X , Y ) = 0 .
Для доказательства последнего равенства воспользуемся свойствами контактной
метрической структуры: d η( X , Y ) = g (ϕX , Y ) и g (ϕX , ϕY ) = g ( X , Y ) − η( X )η(Y ) .
Получаем
d η(ϕX , ϕY ) = g (ϕ(ϕX ), ϕY ) = g (ϕX , Y ) − η(ϕX )η(Y ) = g (ϕX , Y ) = d η( X , Y ) .
Таким образом, вертикальная Rξ-компонента тензора N (1) ( X , Y ) всегда равна
нулю. А поскольку горизонтальная D-компонента тензора N (1) ( X , Y ) , согласно
лемме 1, проектируется в тензор Нейенхейса, то получаем теорему:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
54
Я.В. Славолюбова
Теорема 2. Тензор кручения N (1) ( X , Y ) K-контактной метрической структуры (η, ξ, φ, g) равен нулю тогда и только тогда, когда тензор Нейенхейса
N ( X , Y ) почти комплексной структуры многообразия (G / F0 , g M ,ω, J ) равен нулю. Поэтому контактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) является сасакиевой (нормальной) тогда и только тогда, когда многообразие ( M = G / F0 , g M ,ω, J )
является кэлеровым.
ЛИТЕРАТУРА
1. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry // Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1976.
2. Смоленцев Н.К. Пространства римановых метрик // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ, 2003. Т. 31. С. 69−146.
3. Khakimdjanov, Yu., Goze M., Medina A. Symplectic or Contact Structures on Lie Groups //
arXiv.org/ math.DG/0205290, 2002, 18 p.
4. Бессе. А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. Т. II: пер. с англ. М.: Мир, 1990. 384 c.
5. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1 и Т. 2. М.: Наука,
1981. 344 с.
Статья принята в печать 30.12.2010г.
Slavolyubova Y. V. K-CONTACT STRUCTURES ON LIE GROUPS. In this paper, left invariant
K-contact structures on Lie groups are considered. The main results are Theorem 1 expressing the
Ricci tensor of a Lie group G by the Ricci tensor of a quotient space M = G / F0 , where F0 is a
one-parametrical subgroup of the Reeb field ξ, and Theorem 2 establishing the connection between the tensor N(1) of a contact metric structure on G and the Nijenhuis tensor N of the corresponding almost complex structure on M = G / F0 .
Keywords: contact Lie groups, contact metric structures, Sasakian structure, K-contact structures.
SLAVOLYUBOVA Yaroslavna Viktorovna (Kemerovo institute (branch) of Russian state university of trade and economics)
E-mail: jar1984@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 512.541
А.Р. Чехлов
О СКОБКЕ ЛИ ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП, 2*
Рассматриваются абелевы группы, в которых фиксированная степень всякого коммутатора эндоморфизмов равна нулю. Описаны группы с указанным
выше свойством в ряде классов групп.
Ключевые слова: вполне инвариантная подгруппа, кольцо эндоморфизмов,
степенной E-коммутант, степенной E-коммутатор.
Все группы в статье предполагаются абелевыми. Напомним, что если R –
кольцо и a,b ∈ R, то элемент [a,b] = ab – ba называется коммутатором (или скобкой Ли) элементов a и b. Если a1,…,an ∈ R, то [a1,…,an] = [[a1,…,an–1],an].
Продолжается исследование, начатое в [1]. Класс абелевых групп A со свойством [φ,ψ]n = 0 для любых φ, ψ из кольца эндоморфизмов E(A) обозначим через
BLn, а BL*n = BL n \ BL n−1 . В [1] изучались группы из класса BL2. Ясно, что прямое
слагаемое группы из класса BLn также принадлежит BLn. Отметим, что близкие
классы групп изучались в [2 – 6].
Пусть A – абелева группа. Тогда r(A) обозначает ее ранг, если не оговорено
противное, то Ap – ее p-компонента, а t(A) – периодическая часть. Если A – однородная группа без кручения, то t(A) – ее тип. Запись H ≤ A означает, что H – подгруппа в A; H ≤ fi A, что H – вполне инвариантная подгруппа в A, т.е. fH ⊆ H для
каждого f ∈ E(A). Если f: A → B – гомоморфизм, то f | H – ограничение f на H ⊆ A.
Если B, G – группы и ∅ ≠ X ⊆ B, то через Hom (B, G)X обозначим подгруппу в G,
порожденную всеми подмножествами fX, где f ∈ Hom (B, G); Hom (B, G)B совпадает со следом группы B в G. Через 1A обозначим тождественный автоморфизм
группы A, через o(a) – порядок элемента a ∈ A. N – множество всех натуральных
чисел, Q – аддитивная группа всех рациональных чисел. A1 = ∩ n ∈ N nA. Z p∞ –
квазициклическая p-группа, Zˆ p – группа целых p-адических чисел, Zn – циклическая группа порядка n. Если 0 ≠ A – ограниченная p-группа, то наименьшее натуральное m со свойством pmA = 0 называется экспонентой группы A и обозначается
через e(A). Подгруппа G группы A называется чистой, если nG = G∩nA для каждого n ∈ N.
Подгруппу A′ = 〈[φ,ψ]A | φ,ψ ∈ E(A)〉 назовем E-коммутантом группы A. Определим по индукции A(0) = A, A(1) = A′,…, A(n+1) = (A(n))′ = 〈[φ,ψ]A(n) | φ,ψ ∈ E(A)〉 и
A(α) = ∩ρ<αA(ρ) при предельном ординале α. Как отмечалось в [2], все A(ρ) вполне
инвариантны в A.
Подгруппу H ≤ A назовем коммутаторно инвариантной (кратко ci-подгруппой), если [ξ,η]H ⊆ H для любых ξ,η ∈ E(A) [2, 6]. Отметим, что в [7 – 10] автор
изучал проективно инвариантные подгруппы.
*
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы. Государственный контракт П 937 от 20 августа 2009 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Р. Чехлов
56
Если все эндоморфизмы подгруппы G группы A продолжаются до эндоморфизмов самой группы A, то считаем, что G(n) ⊆ A(n).
Лемма 1. Пусть A = ⊕i ∈ I Ai, где | I | > 1, и Gi = ⊕j ∈ I\{i} Aj.
1. A(n) = ⊕i ∈ I (A(n)∩Ai) для каждого n ∈ N.
2. A(n) = F, где F = 〈Hom (Ai, Gi)(A(n–1)∩Ai), Hom (Gi, Ai)(A(n–1)∩Gi), Ai(n), Gi(n)〉.
3. φ(A(n)∩Ai) ⊆ ⊕j ∈ I\{i} (A(n+1)∩Aj) для любого φ ∈ Hom (Ai, ⊕j ∈ I\{i} Aj).
4. Следующие условия эквивалентны:
а) A(n) = ⊕i ∈ I Ai(n);
б) Hom (Ai, Aj)(A(n–1)∩Ai) ⊆ Aj(n) для каждого i ∈ I и всякого j ∈ I \{i}.
Доказательство. П. 1 вытекает из вполне инвариантности A(n). 2. Пусть
π: A→Ai, θ: A→Gi – проекции, f ∈ Hom (Ai, Gi) и a ∈ A(n–1)∩Ai. Тогда если
φ ∈ E(A) – такой, что φ|Ai = f, φ|Gi = 1Gi , то [θ,φ]a = fa. Это доказывает, что
Hom (Ai, Gi)(A(n–1) ∩Ai) ⊆ A(n). Аналогично Hom (Gi, Ai)(A(n–1)∩Gi) ⊆ A(n). Поэтому
F ⊆ A(n). В частности, из проведенных рассуждений следует справедливость п. 3.
Осталось показать обратное включение. Пусть ξ, η ∈ E(A) и z ∈ A(n–1). Имеем
z = x + y, где x ∈ A(n–1)∩Ai, y ∈ A(n–1)∩Gi. Далее
[ξ,η]x = [(π + θ)ξ,(π + θ)η]x =
= [πξ,πη]x + (πξθη – πηθξ)x + (θξπη + θξθη – θηπξ – θηθξ)x.
Здесь [πξ,πη]x ∈ Ai(n), второе слагаемое принадлежит Hom (Gi, Ai)(A(n–1)∩Gi), а
третье – Hom (Ai, Gi)(A(n–1)∩Ai). Поэтому x ∈ F и, аналогично, y ∈ F, значит,
A(n) ⊆ F. П. 4 вытекает из пп. 1 – 3.
Отметим, что возможен случай, когда A′ = ⊕Ai′, но A′′ ≠ ⊕Ai′′. Действительно,
пусть o(a) = p, o(b) = p2, o(c) = o(d) = p и A = (〈a〉⊕〈b〉)⊕(〈c〉⊕〈d〉). Тогда
A′ = A[p] = (〈a〉⊕〈pb〉)⊕(〈c〉⊕〈d〉) = (〈a〉⊕〈b〉)′⊕(〈c〉⊕〈d〉)′.
Однако
A′′ = A[p] ≠ (〈a〉⊕〈b〉)′′⊕(〈c〉⊕〈d〉)′′ = 〈pb〉⊕(〈c〉⊕〈d〉).
Обозначим через A(n) следующую подгруппу 〈[φ,ψ]nA | φ,ψ ∈ E(A)〉 (n-й степенной E-коммутант). Ясно, что A(n) ⊆ A(n) (A(0) = A(0) = A). Элемент [φ,ψ]na будем
называть n-м степенным E-коммутатором (соответствующий эндоморфизмам φ
и ψ). Если H ⊆ A, то подгруппу 〈[φ,ψ]nH | φ,ψ ∈ E(A)〉 обозначим через [A,H](n).
Группа A называется E-разрешимой класса ≤ n, если A(n) = 0. Как показывает
следующий пример классы BLn и E-разрешимых групп класса ≤ n различны.
Пример. Пусть Z[i] = {m + ki | m,k ∈ Z} – кольцо целых гауссовых чисел. Рассмотрим кольцо K = (Z[i])[x1,…,xm,…; − ] комлексно-косых многочленов от переменных x1,…,xm,… с коэффициентами из Z[i], для которых выполняются равенства xia = āxi, где ā – комплексное число, сопряженное с a.
Пусть теперь Kn = K/J, где J – идеал, порожденный элементами x1n ,… , xmn ,… , а
n – фиксированное натуральное число. Тогда [f,g]n = 0 для любых f,g ∈ Kn. Аддитивная группа K n+ кольца Kn является счетной редуцированной группой без кручения, поэтому по теореме Корнера [11, теорема 110.1] существует группа A,
кольцо эндоморфизмов которой изоморфно Kn. Тогда A ∈ BLn, но A не является Eразрешимой группой, поскольку для каждого ненулевого коммутатора [f,g] ∈ Kn
найдутся коммутаторы []1,…,[]m со свойством [f,g][]1…[]m ≠ 0 (m ∈ N). В частности, 0 = A(n) ≠ A(n). Так как [ xk , i,… , i ] = (−2i ) m xk ≠ 0 , то A не является и Em
энгелевой группой.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп, 2
57
Лемма 2. Пусть B – прямое слагаемое группы A с дополнительным прямым
слагаемым G.
1. Hom ((B,G)B(m)), [G, Hom (B,G)B](m) ⊆ A(m+1) для каждого m ∈ N.
2. Если A ∈ BLn, то
n −1
n − i −1
∑ i =0 [ϕ, ψ]i ρ[ξ, η]
=0
для любых φ,ψ ∈ E(G),
ξ,η ∈ E(B) и ρ ∈ Hom (B,G).
3. Если G ≤ fi A, B,G ∈ BLn и для A выполняется свойство, указанное в п. 2, то
A ∈ BLn.
4. Если B ∈ BLs, G ∈ BLt и G ≤ fi A, то A = B⊕G ∈ BLs+t.
5. Если существуют эпиморфизмы φ: B→G, φ: G→B, то для каждого n ∈ N
любой элемент группы A является n-м степенным E-коммутатором. В частности, A(n) = A.
Доказательство. 1. Пусть ξ,η ∈ E(B), α,β ∈ E(G) и ρ ∈ Hom (B,G); продолжим
их до эндоморфизмов группы A, полагая ξ,η,ρ|G = 0 и α,β|B = 0. Тогда
если ξ = ξ + ρ , η = η + ρ , то [ξ, η]b = [ξ,η]b + ρ(η – ξ)b. Откуда [ξ, η]m +1 b =
= [ξ,η]m+1b + ρ(η – ξ)[ξ,η]mb. Значит, ρ(η – ξ)[ξ,η]mb ∈ A(m+1). Если вместо η взять
η′ = η + 1B
(η′|G = 0),
то
ввиду
равенства
[ξ,η′] = [ξ,η]
получаем
m
m
m
ρ[ξ,η] b + ρ(η – ξ)[ξ,η] b ∈ A(m+1). Откуда ρ[ξ,η] b ∈ A(m+1). Следовательно,
Hom (B,G)B](m) ⊆ A(m+1). Если α = α + ρ , β = β + ρ , то [α, β]b = (α – β)ρb. Откуда
[α, β]m +1 b = [α,β]m(α – β)ρb. Взяв α′ = α + 1G, как и выше, получим [α,β]mρb ∈ A(m+1),
что доказывает включение [G, Hom (B,G)B](m) ⊆ A(m+1).
ξ 0⎞
, где ξ ∈ E(B),
2. Возьмем эндоморфизм α группы A вида α = ⎛⎜
ρ
ϕ ⎟⎠
⎝
η 0⎞
ρ ∈ Hom (B,G), φ ∈ E(G). Тогда если β = ⎛⎜
⎟ , то
⎝σ ψ⎠
[ξ, η]
0 ⎞
.
[α, β] = ⎛⎜
[
,
ρη
+
ϕσ
−
σξ
−
ψρ
ϕ
ψ ] ⎟⎠
⎝
Откуда
⎛
[ξ, η]n
[α, β]n = ⎜ n −1
⎜ ∑ [ϕ, ψ ]i (ρη + ϕσ − σξ − ψρ)[ξ, η]n −1−i
⎝ i =0
n −1
⎞
⎟.
[ϕ, ψ ] ⎟⎠
0
n
∑ i =0 [ϕ, ψ]i (ρη − ψρ)[ξ, η]n −1−i = 0 .
n −1
η′ = η + 1B (η′|G = 0), окончательно получаем ∑ i = 0 [ϕ, ψ ]i ρ[ξ, η]n −1−i = 0 .
Так как A ∈ BLn, то при σ = 0 имеем
(1)
Взяв
3. Если G ≤ fi A, то все эндоморфизмы α группы A имеют вид, указанный в доказательстве п. 2. Тогда согласно (1) [α,β]n = 0; значит, A ∈ BLn. Если к тому же
B ∈ BLs, G ∈ BLt, то [α,β]s+t = 0 поскольку в (1) [ξ,η]s+t = 0, [φ,ψ]s+t = 0, а в
s + t −1
∑ i =0
[ϕ, ψ]i (ρη + ϕσ − σξ − ψρ)[ξ, η]s + t −1−i каждое слагаемое равно нулю из-за
обращения в ноль соответствующей степени [φ,ψ]i или [ξ,η]s+t–1–i, что доказывает 4.
5. Как и в п. 1 считаем, что φ,ψ ∈ E(A). Для любых b ∈ B, g ∈ G и каждого
фиксированного n найдутся такие xn ∈ B, yn ∈ G, что (ψφ)nxn = b, (φψ)n(–1)nyn = g.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Р. Чехлов
58
Имеем
[ψ,φ]n(xn + (–1)nyn) = ((ψφ)n + (– φψ)n)(xn + (–1)nyn) =
= (ψφ)nxn + (– 1)2n(φψ)nyn = b + g.
Пусть дано семейство {Ai}i ∈ I, | I | > 1, групп с коммутативными кольцами
E(Ai). Будем говорить, что упорядоченный набор { Ai1 ,… , Ain +1 } групп Ai j ∈ { Ai }
удовлетворяет условию (∗), если
Hom ( Ain , Ain +1 )(… (Hom ( Ai2 , Ai3 )(Hom ( Ai1 , Ai2 ) Ai1 ))…) ≠ 0 .
Число n будем называть длиной набора { Ai1 ,… , Ain +1 } . Если n – максимальная длина любого конечного набора с условием (∗), состоящего из групп семейства
{Ai}i ∈ I, то будем говорить, что данное семейство удовлетворяет условию nмаксимальности.
Предложение 3. Пусть каждый элемент группы A содержится в некотором
ее прямом слагаемом, являющемся прямой суммой таких групп {Ai}, что все
кольца E(Ai) коммутативны и если Hom (Ai,Aj) ≠ 0, то Hom (Aj,Ai) = 0 (i ≠ j). Группа A ∈ BLn+1 тогда и только тогда, когда каждое указанное выше семейство
{Ai} удовлетворяет условию n-максимальности.
Доказательство. Пусть a ∈ Ai(1) , где Ai(1) принадлежит некоторому семейству
{Ai}, A = Ai(1) ⊕ G , G – дополнительное к Ai(1) прямое слагаемое, π : A → Ai(1) и
θ: A→G – проекции. Если ξ,η ∈ E(A), то [ξ,η]a = [(π + θ)ξ,(π + θ)η]a =
= (θξπη + θξθη – θηπξ – θηθξ)a; учтено, что [πξ,πη]a = 0 и πξθη = 0, πηθξ = 0. Поэтому [ξ, η]a ∈ Hom ( Ai(1) , G ) = ∑ i(2) ≠ i(1) Hom ( Ai(1) , Ai( 2) ) Ai(1) ⊆ A(1) , где суммирование ведется по такому набору указанных в условии прямых слагаемых Ai(2) , что
Ai(2) ⊆ G и Hom ( Ai(1) , Ai(2) ) ≠ 0 . Откуда
[ξ, η]n a ∈
∑ Hom ( Ai
i ( n +1) ∉{i ( m ) |1≤ m ≤ n}
(n)
, Ai( n +1) )(… (Hom ( Ai(2) , Ai(3) )(Hom ( Ai(1) , Ai(2) ) Ai(1) ))…) = F .
По условию ρF = 0 для любого ρ ∈ Hom ( Ai( n ) , Ai( n +1) ) . Поэтому [ξ,η]n+1a = 0. Значит, [ξ,η]n+1 = 0.
Из лемм 1, 2 и предложения 3 вытекает справедливость следующих утверждений:
Ι. Если A = ⊕i ∈ I Ai, где Ai ≤ fi A, то A ∈ BLn тогда и только тогда, когда
Ai ∈ BLn для каждого i ∈ I.
ΙΙ. Для делимой группы D = t(D)⊕D0 следующие условия эквивалентны:
а) D ∈ BLn для некоторого n ≥ 2;
б) D ∈ BL2;
в) если Dp ≠ 0, то D p ≅ Z p∞ , а если D0 ≠ 0, то D0 ≅ Q, причем если t(D) = 0 или
D0 = 0, то кольцо E(D) коммутативно (т.е. D ∈ BL1).
Делимая группа D ∈ BLn принадлежит BL*2 тогда и только тогда, когда
0 ≠ t(D) ≠ D.
ΙΙΙ. Если 0 ≠ D – делимая часть группы A, A = D⊕B, то A ∈ BLn тогда и только тогда, когда D ∈ BL2, B ∈ BLn и выполнены следующие условия:
а) подгруппа B(n–1) периодична, причем (B(n–1))p = 0 при Dp ≠ 0;
б) если 0 ≠ t(D) ≠ D, то n ≥ 2 и подгруппа B(n–2) периодична.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп, 2
59
Свойство вытекает из инъективности группы D: для всякого элемента
b ∈ B \ t(B) найдется гомоморфизм α: B→D со свойством αb ≠ 0, причем если
D0 ≠ 0, то α можно выбрать так, чтобы αb ∈ D0 и γαb ≠ 0 для некоторого
γ ∈ Hom ( D0 , Z p∞ ) , где p может быть любым простым.
ΙV. Если A ∈ BLn для некоторого n, то каждая ее ненулевая p-компонента Ap
является коциклической группой либо (при n ≥ 2) изоморфна группе вида
B1⊕…⊕Bm⊕B0, где Bi = Z p ki , k1 <…< km (при m ≥ 2), а B0 = 0 или B0 = Z p∞ . Таким
образом, A = Ap⊕E(p) для некоторой подгруппы E(p) ⊆ A, причем (E(p))(n–1) ⊆ pmE(p),
где m = e(B1⊕…⊕Bm). Нередуцированность Ap влечет периодичность (E(p))(n–1).
V. Периодическая группа A ∈ BLn тогда и только тогда, когда каждая ее
p-компонента Ap ∈ BLn.
Пусть 0 ≠ D – делимая часть p-группы G, G = C⊕D. Группа G ∈ BLn тогда и
только тогда, когда D ≅ Z p∞ , а C ∈ BLn–1.
VI. Пусть A = B⊕C, где B ≅ Z p k , C ≅ Z p s (s > k). Тогда A ∈ BL2n+1, где n –
наименьшее натуральное со свойством ns ≥ (n+1)k, т.е. n = k/(s – k), если это число целое и n совпадает с целой частью [s/(s – k)] в противном случае.
Действительно, пусть B = 〈b〉, C = 〈c〉, π: A→B, θ: A→C – проекции, φ: C→B,
ρ: B→C – такие гомоморфизмы, что φc = b, ρb = ps – kc. Тогда Kerφ = 〈pkb〉. Пусть
α = 1B + ρ, β = 1C + φ (1B,ρ|C = 0 и 1C,φ|B = 0). Тогда αβ = φ + ρφ, βα = ρ + φρ,
[α,β] = φ – ρ + ρφ – φρ. Поэтому [α,β]c = φc + ρφc, [α,β]2c = – ρφc + (ρφ)2c,
[α,β]3c = –φρφc + φ(ρφ)2c – (ρφ)2c + (ρφ)3c,…. Имеем θ[α,β]2nc = (– 1)n(ρφ)nc + u,
где u ∈ p(n+1)(s–k)C, поэтому если (ρφ)nc ≠ 0, то [α,β]2n ≠ 0. Далее, π[α,β]2n+1c =
= (– 1)n(φρ)nφc + v, где v ∈ p(n+1)(s–k)B, поэтому [α,β]2n+1 ≠ 0 при (φρ)nφc ≠ 0 и
[α,β]2n+1c = 0, если ns ≥ (n+1)k. Так как всякая композиция гомоморфизмов
B→C→B есть кратное φρ, а C→B→C – кратное ρφ и [α,β]mc = 0 влечет
[α,β]mb = 0, то указанное число n есть наибольшее среди индексов нильпотентности коммутаторов эндоморфизмов группы A.
В ряде работ изучались такие редуцированные смешанные группы A, что естественное вложение ⊕p Ap→A продолжается до чистого вложения ⊕p Ap→∏p Ap. Такие группы называются sp-группами. Таким образом, для sp-группы A можно считать, что ⊕p Ap ⊂ A ⊆ ∏p Ap, причем A чиста в ∏p Ap (это равносильно делимости
фактор-группы A/(⊕p Ap)). sp-группы являются частным случаем групп, рассматриваемых в следующем свойстве.
VII. Пусть A – такая группа, что A1 = 0 и A содержит плотную подгруппу
⊕i ∈ I Ai, где Ai ≤ fi A для каждого i ∈ I. Группа A ∈ BLn тогда и только тогда, когда каждая Ai ∈ BLn.
Действительно, если ξ,η ∈ E(A), то [ξ,η]nAi ⊆ Ai для каждой группы Ai, поэтому
[ξ,η]n(⊕Ai) = 0. Но тогда [ξ,η]nA ⊆ A1 = 0.
VIII. Пусть A – сепарабельная (векторная) группа без кручения, Ω(A) – множество типов всех ее прямых слагаемых ранга 1. Группа A ∈ BLn тогда и только
тогда, когда в A нет однородных прямых слагаемых ранга 2 и в Ω(A) все цепи линейно упорядоченных элементов имеют длину ≤ n–1.
Для сепарабельной группы это утверждение вытекает из предложения 3, а для
векторной группы нужно воспользоваться следующими утверждениями: если
V = ∏ i∈I Ri и W = ∏ j∈J Sj – векторные группы (Ri и Sj – группы ранга 1) и η: V→W –
нетривиальный гомоморфизм, то t(Ri) ≤ t(Sj) для некоторых i∈I, j∈J [11, лемма
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60
А.Р. Чехлов
96.1]; произвольное прямое слагаемое ранга 1 векторной группы V = ∏ i∈I Ri изоморфно одной из групп Ri [11, предложение 96.2].
IX. Для алгебраически компактной группы без кручения A следующие условия
эквивалентны:
а) A ∈ BLn для некоторого n ≥ 2;
б) A ∈ BL2;
в) A = D⊕B, где D = 0 или D ≅ Q, а B ≅ ∏ p∈Π Zˆ p для некоторого множества
Π простых чисел, причем если D = 0, то A ∈ BL1.
X. Если A ∈ BLn – редуцированная копериодическая группа, то A алгебраически компактна, A = ∏p∈ΠAp, где Π – некоторое множество простых чисел, Ap –
p-адическая компонента группы A, Ap = Bp⊕Cp, Ap ∈ BLn, причем Cp = 0 или
C p ≅ Zˆ p , Bp – конечная p-группа из BLn–1 при Cp ≠ 0.
XI. Если A – редуцированная неограниченная p-группа, то A(n) = A для каждого
n ∈ N. Если A – ограниченная p-группа экспоненты m, то A(n) = A для каждого
n ∈ N тогда и только тогда, когда подгруппа pm–1A разложима.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чехлов А.Р. О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп // Вестник ТГУ. Математика и
механика. 2009. № 2(6). С. 78–84.
2. Чехлов А.Р. О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых
групп // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2009. № 2(6).
С. 85–99.
3. Чехлов А.Р. Об абелевых группах с нормальным кольцом эндоморфизмов // Алгебра и
логика. 2009. Т. 48. № 4. С. 520–539.
4. Чехлов А.Р. E-нильпотентные и E-разрешимые абелевы группы класса 2 // Вестник
Томского госуниверситета. Математика и механика. 2010. № 1(9). С. 59–71.
5. Чехлов А.Р. Некоторые примеры E-разрешимых групп // Вестник ТГУ. Математика и
механика. 2010. № 3(11). С. 69–76.
6. Чехлов А.Р. О коммутаторно инвариантных подгруппах абелевых групп // Сиб. матем.
журн. 2010. Т.51. № 5. С. 1163–1174.
7. Чехлов А.Р. Свойства подгрупп абелевых групп, инвариантных относительно проекций
// Вестник ТГУ. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 76–82.
8. Чехлов А.Р. О подгруппах абелевых групп, инвариантных относительно проекций //
Фундамент. и прикл. матем. 2008. Т. 14. № 6. С. 211–218.
9. Чехлов А.Р. О проективно инвариантных подгруппах абелевых групп // Вестник ТГУ.
Математика и механика. 2009. № 1(5). С. 31–36.
10. Чехлов А.Р. Сепарабельные и векторные группы, проективно инвариантные подгруппы
которых вполне инвариантны // Сиб. матем. журн. 2009. Т.50. № 4. С. 942–953.
11. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.
Статья принята в печать 17.12.2010г.
Chekhlov A.R. ON THE LIE BRACKET OF ENDOMORPHISMS OF ABELIAN GROUPS, 2.
We consider Abelian groups in which a fixed degree of any commutator of endomorphisms is
zero. Groups with this property are described in some classes of groups.
Keywords: fully invariant subgroup, endomorphism ring, power E-commutant, power E-commutator.
CHEKHLOV Andrei Rostislavovich (Tomsk State University)
E-mail: cheklov@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 512.541
Д.С. Чистяков
ЭНДОМОРФНЫЕ НЕРАЗЛОЖИМЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
БЕЗ КРУЧЕНИЯ РАНГА 3
В работе изучается строение кольца квазиэндоморфизмов эндоморфных
абелевых групп без кручения ранга 3.
Ключевые слова: кольцо квазиэндоморфизмов, однородное отображение
модуля, сильно неразложимая абелева группа без кручения.
Пусть R – ассоциативное кольцо с единицей и V – унитарный левый R-модуль.
Множество MR(V) = { f : V → V | f(rx) = rf(x), r∈R, x∈V} является почтикольцом относительно операций сложения и композиции отображений. Элементы
множества MR(V) называются R-однородными отображениями. Очевидно, что
множество MR(V) содержит кольцо ER(V) всех эндоморфизмов R-модуля V.
R-модуль V называется эндоморфным, если MR(V) = ER(V) ([1]).
Абелеву группу G будем называть эндоморфной, если она является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов E(G). В этом случае
ME(G)(G) = Z(E(G)), где Z(E(G)) – центр кольца E(G).
Множество A называется сильно R-замкнутым, если для любых r∈R, a∈A
справедливо ra∈A. Непустое подмножество A левого R-модуля V называется
сильно R-сервантным, если 0 ≠ rv∈A влечет v∈A для всех r∈R, v∈V ([1]).
Приведем определения, связанные с квазиразложением абелевой группы и
кольцом квазиэндоморфизмов.
Пусть A и B – абелевы группы без кручения. Говорят, что A квазисодержится в
B, если nA⊆B для некоторого натурального числа n. Говорят, что A квазиравна B
(A≈B), если A квазисодержится в B и B квазисодержится в A. Квазиравенство
A≈⊕i∈IAi, где I – конечное множество, называется квазиразложением или квазипрямым разложением группы A. Подгруппы Ai называются квазислагаемыми
группы A. Группа A называется сильно неразложимой, если она не обладает нетривиальными квазиразложениями.
Абелеву группу без кручения A можно естественным образом вложить в
Q-пространство Q⊗A, которое является делимой оболочкой группы A. Естественный образ вложения подразумевает отождествление элемента a∈A с элементом
1⊗a∈Q⊗A. Каждый эндоморфизм α∈E(A) единственным образом продолжается
до линейного преобразования 1⊗α Q-пространства Q⊗A. Кольцо E(A) содержится
в EndQ(Q⊗A).
Таким образом, E(A)={α∈EndQ(Q⊗A)| αA⊆A}. Q-алгебра Q⊗E(A) называется
кольцом квазиэндоморфизмов группы A.
Псевдоцоколем абелевой группы без кручения A называется сервантная подгруппа, порожденная всеми ее минимальными сервантными вполне характеристическими подгруппами (pfi-подгруппами) (обозначим ее Soc A).
Неопределяемые нами понятия можно найти в книгах [2 – 4].
Лемма 1. Пусть G – абелева группа без кручения конечного ранга n и {g1,g2,
…, gn} – максимальная линейно независимая система элементов группы G. Если
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
62
Д.С. Чистяков
существуют такие ϕj ∈E(G), что ϕj(α1g1 + α2g2 + … +αngn) = ϕαjgj для всех αi∈Z,
i, j = 1,2,…,n, и ϕ1+ϕ2+…+ϕn=ϕ – мономорфизм, то группа G эндоморфна.
Доказательство. Пусть f∈ME(G)(G). Тогда
ϕj f(α1g1 + α2g2 + … +αngn) = f(ϕj(α1g1 + α2g2 + … +αngn)) =
= f(ϕαjgj)= ϕf(αjgj), j=1,2,…,n.
Сложим полученные равенства:
(ϕ1+ϕ2+…+ϕn) f(α1g1 + α2g2 + … +αngn) = ϕ( f(α1g1)+ f(α2g2)+…+ f(αngn)).
Используя инъективность ϕ, получаем
f (α1g1+α2g2+…+αngn) = f (α1g1)+f(α2g2)+…+f(αngn).
Поскольку каждый элемент G может быть записан в виде линейной комбинации элементов g1,g2,…gn, то мы делаем вывод, что для любых х, у∈ G выполняется
равенство
f (x+y) = f (x)+ f (y).
Таким образом, f ∈ Z (E(G)). Лемма доказана.
В некоторых случаях удается непосредственно указать существование эндоморфизмов φj из леммы 1 (см. доказательства теорем 2, 4); это можно сделать и
для ряда классов групп, «насыщенных» эндоморфизмами (класс вполне транзитивных групп и др.), см. статью [5].
Для кольца квазиэндоморфизмов абелевой группы G фиксируем обозначение S.
Теорема 2. Пусть G – сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга
3, такая, что G≠Soc G. Группа G не является эндоморфной тогда и только тогда,
когда dimQ S=2.
Доказательство. Достаточность. Пусть {g1,g2,g3} – максимальная линейно независимая система элементов группы G и кольцо S имеет вид ([6])
⎧⎛ r 0 s ⎞
⎫
⎪
⎪
S = ⎨⎜ 0 r 0 ⎟ r , s ∈ Q ⎬ .
⎜
⎟
⎪⎩⎝ 0 0 r ⎠
⎭⎪
Тогда Soc G=<g1,g2>* . При этом <g1>* = 〈αg⎜α∈N0, g∈ G〉* – сервантная оболочка следа N0G в группе G, где N0 = J(E(G)) ∩ E(G). Таким образом, группа
А=<g2>* является сильно E(G)-сервантной и сильно E(G)-замкнутой подгруппой в
G. Построим E(G)-однородное отображение f : G → G по следующему правилу:
f (g) =
{
g , g ∈ A;
0, g ∈ G \ A.
Пусть 0 ≠ х∈А, у∈G\А. Тогда f (x+y) = 0 ≠ x = f (x)+ f (y).
Аналогично проводится доказательство для случаев, когда
⎧⎛ r s 0 ⎞
⎫
⎧⎛ r 0 0 ⎞
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
S = ⎨⎜ 0 r 0 ⎟ | r , s ∈ Q ⎬ , S = ⎨⎜ 0 r s ⎟ | r , s ∈ Q ⎬ .
⎪⎩⎝⎜ 0 0 r ⎠⎟
⎪⎩⎝⎜ 0 0 r ⎠⎟
⎭⎪
⎭⎪
Необходимость. Предположим dimQ
из следующих колец ([6]):
⎧⎛ x y
⎪
K1 = ⎨⎜ 0 x
⎪⎩⎝⎜ 0 0
S ≠ 2. Тогда кольцо S изоморфно одному
z⎞
⎫
⎪
0 ⎟ | x, y , z ∈ Q ⎬ ,
⎟
x⎠
⎭⎪
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эндоморфные неразложимые абелевы группы без кручения ранга 3
63
⎧⎛ x y z ⎞
⎫
⎪
⎪
K 2 = ⎨⎜ 0 x ky ⎟ | x, y, z ∈ Q, 0 ≠ k ∈ Q, k = const ⎬ ,
⎜
⎟
⎪⎩⎝ 0 0 x ⎠
⎭⎪
⎧⎛ x y z ⎞
⎫
⎪
⎪
K3 = ⎨⎜ 0 x t ⎟ | x, y, z , t ∈ Q ⎬ .
⎜
⎟
⎪⎩⎝ 0 0 x ⎠
⎭⎪
В каждом случае найдутся эндоморфизмы ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ∈E(G), удовлетворяющие условию леммы 1.
1) Если S ≅ K1, то
⎛ r −r −r ⎞
⎛0 r 0⎞
⎛0 0 r ⎞
⎛ r 0 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
ϕ1 = 0 r
0 , ϕ2 = 0 0 0 , ϕ3 = 0 0 0 , ϕ = ⎜ 0 r 0 ⎟ ∈ E (G ) ,
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝0 0 r ⎠
⎝0 0 0⎠
⎝0 0 0⎠
⎝0 0 r ⎠
для некоторого r∈Q.
2) Если S ≅ K2, то
⎛ r −r kr − r ⎞
⎛ 0 r − kr ⎞
⎛0 0 r ⎞
⎛ r 0 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
ϕ1 = 0 r
− kr , ϕ2 = 0 0 kr , ϕ3 = 0 0 0 , ϕ = ⎜ 0 r 0 ⎟ ∈ E (G ) ,
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
r ⎠
⎝0 0
⎝0 0 0 ⎠
⎝ 0 0 0⎠
⎝0 0 r ⎠
для некоторого r∈Q.
3) Если S ≅ K3, то
⎛ r −r −r ⎞
⎛0 r 0⎞
⎛0 0 r ⎞
⎛ r 0 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
ϕ1 = 0 r
0 , ϕ2 = 0 0 0 , ϕ3 = 0 0 0 , ϕ = ⎜ 0 r 0 ⎟ ∈ E (G ) ,
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝0 0 r ⎠
⎝0 0 0⎠
⎝0 0 0⎠
⎝0 0 r ⎠
для некоторого r∈Q.
Для кольца K1 покажем, что отображения ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ являются эндоморфизмами группы G. В других случаях рассуждения те же.
Пусть S ≅ K1. Рассмотрим идеалы
⎧⎛ 0 q 0 ⎞
⎫
⎧⎛ 0 0 q ⎞
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
S1 = ⎨⎜ 0 0 0 ⎟ q ∈ Q ⎬ , S2 = ⎨⎜ 0 0 0 ⎟ q ∈ Q ⎬ .
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪⎩⎝ 0 0 0 ⎠
⎪ 0 0 0⎠
⎭⎪
⎩⎝
⎭⎪
Аддитивная группа кольца S есть делимая оболочка аддитивной группы кольца
E(G) и E(G) ∩ Si ≠0, i = 1,2. Следовательно, найдется такое рациональное число r,
что ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ ∈ E(G). Таким образом, dimQ S≠2. Теорема доказана.
Интересно проследить взаимосвязь между свойствами эндоморфности и чистоты модуля.
Пусть R – ассоциативное кольцо с единицей, М – левый R-модуль. Подмодуль
А модуля M называется чистым, если всякая конечная система уравнений вида
n
rij xi = a j
Σ
i =1
(j=1,…,m)
с коэффициентами rij∈R и правыми частями aj∈A, имеющая решение в M, имеет
решение и в A.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
64
Д.С. Чистяков
Модуль называется чисто простым, если он не содержит в себе собственных
чистых подмодулей, и чисто полупростым, если он изоморфен прямой сумме чисто простых модулей.
Вполне характеристическая подгруппа А абелевой группы G такая, что модуль
А является чистым подмодулем левого E(G)-модуля G, называется эндочистым
подмодулем группы G.
Подгруппа А группы G называется сервантным подмодулем в левом E(G)модуле G, если всякое уравнение вида ϕx=a, где ϕ∈E(G), a∈A, имеющее решение
в G, имеет решение и в A.
Понятно, что любой эндочистый подмодуль абелевой группы G является сервантным.
Чистота в абелевых группах изучалась в работах [7, 8]. Следствием результатов этих публикаций и доказанной теоремы является следующее утверждение.
Следствие 3. Сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 3, не
совпадающая со своим псевдоцоколем, эндоморфна тогда и только тогда, когда
она не содержит сервантных подмодулей.
Абелева группа называется жесткой, если ее кольцо эндоморфизмов является
подкольцом поля Q.
Теорема 4. Пусть G =А⊕В, где А – абелева группа без кручения ранга 1, В –
жесткая сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 2. Группа G не
является эндоморфной тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
1. r(Hom (A, B))=1, Hom (B, A) = 0,
2. Hom (B, A) = Hom (A, B) =0.
Доказательство. Необходимость. Рассмотрим следующие четыре случая:
1) r(Hom (A, B)) = 2 и Hom (B, A) = 0;
2) r(Hom (B, A)) = 2 и Hom (A, B) = 0;
3) r(Hom (B, A)) = 1 и Hom (A, B) = 0;
4) r(Hom (B, A)) = r(Hom (A, B)) = 1.
Они в совокупности с равенствами из заключения теоремы полностью исчерпывают возможные значения рангов групп Hom (A, B) и Hom (B, A).
1) r(Hom (A, B)) = 2 и Hom (B, A) = 0.
Подгруппа А является порождающим множеством E(G)-модуля G. Тогда для
любых b1,b2∈ B существуют ϕ, φ ∈ E(G), а1, а2∈А, такие, что b1=ϕa1, b2=φa2. Учитывая, что ma1=na2, для некоторых m, n∈Z, f∈ME(G)(G) имеем
mf(b1+b2) = f(mb1+mb2) = f(mϕa1+mφa2) = f(ϕma1+mφa2) = f(ϕna2+mφa2)=
= f((ϕn+mφ)a2) = (ϕn+mφ)f(a2) = ϕnf(a2)+mφf(a2) = f(ϕna2)+mf(φa2) = mf(b1)+mf(b2).
Откуда
f (b1+b2) = f(b1)+ f(b2).
Пусть a ∈ A, b∈ B и eA: G → A, eB: G→ B – проекции, соответствующие прямому разложению группы G. Тогда для любого f∈ME(G)(G) имеем
f(a+b) = (eA+eB) f(a+b) = eA f(a+b)+ eBf(a+b) = f(eA(a+b)) + f(eB(a+b)) = f(a)+f(b).
Если a1, а2 ∈ А, то найдутся и,v∈Z, такие, что иа1=vа2. Тогда для любого
f∈ME(G)(G) получаем
иf (a1+a2) = f(иa1+иa2) = f(vа2+иа2)=(v+и) f(а2) = vf(a2)+иf(a2) =
= f(va2)+иf(a2) = иf(a1)+ иf(a2).
Следовательно, f (a1+a2) = f (a1)+ f (a2).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эндоморфные неразложимые абелевы группы без кручения ранга 3
65
В ситуациях 2) – 4) группа G эндоморфна. Мы укажем лишь эндоморфизмы
ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ, удовлетворяющие условию леммы 1.
2) r(Hom (B, A))=2 и Hom (A, B) = 0.
Кольцо квазиэндоморфизмов S группы G изоморфно кольцу ([9, теорема
2.2.3])
⎧⎛ x y w ⎞
⎫
⎪
⎪
S ≅ ⎨⎜ 0 y 0 ⎟ x, y, u, w ∈ Q ⎬ .
⎪⎩⎝⎜ 0 0 y ⎠⎟
⎭⎪
Тогда эндоморфизмы ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ имеют вид
⎛ r 0 0⎞
⎛ 0 0 −r ⎞
⎛0 0 r ⎞
⎛ r 0 0⎞
ϕ1 = ⎜ 0 0 0 ⎟ , ϕ2 = ⎜ 0 0 0 ⎟ , ϕ3 = ⎜ 0 0 0 ⎟ , ϕ = ⎜ 0 r 0 ⎟ ∈ E (G ) ,
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0⎠
⎝0 0 0 ⎠
⎝ 0 0 0⎠
⎝0 0 r ⎠
для некоторого r∈Q.
3) r(Hom (B, A))=1 и Hom (A, B) = 0.
Из работы [9, доказательство теоремы 2.2.3] следует, что
⎧⎛ x u 0 ⎞
⎫
⎪
⎪
S ≅ ⎨⎜ 0 y 0 ⎟ x, y, u ,∈ Q ⎬ .
⎪⎩⎝⎜ 0 0 y ⎠⎟
⎭⎪
В качестве ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ возьмем эндоморфизмы
⎛ r 0 0⎞
⎛0 r 0⎞
⎛ 0 −r 0 ⎞
⎛ r 0 0⎞
ϕ1 = ⎜ 0 0 0 ⎟ , ϕ2 = ⎜ 0 0 0 ⎟ , ϕ3 = ⎜ 0 r 0 ⎟ , ϕ = ⎜ 0 r 0 ⎟ ∈ E (G ) ,
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0⎠
⎝0 0 0⎠
⎝0 0 r ⎠
⎝0 0 r ⎠
для некоторого r∈Q.
4) r(Hom (B, A)) = r(Hom (A,B)) = 1.
Кольцо S имеет вид ([9, теорема 2.2.3]):
⎧⎛ x u 0 ⎞
⎫
⎪
⎪
S ≅ ⎨⎜ w y 0 ⎟ x, y, u , w ∈ Q ⎬ .
⎪⎩⎝⎜ 0 0 z ⎟⎠
⎭⎪
Тогда в качестве искомых эндоморфизмов достаточно взять следующие:
⎛ r 0 0⎞
⎛0 0 0⎞
⎛ 0 0 0⎞
⎛ r 0 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
ϕ1 = 0 0 0 , ϕ2 = 0 r 0 , ϕ3 = 0 0 0 , ϕ = ⎜ 0 r 0 ⎟ ∈ E (G ) , для не⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0⎠
⎝0 0 0⎠
⎝0 0 r ⎠
⎝0 0 r ⎠
которого r∈Q.
Достаточность. 1) Пусть r(Hom (A, B))=1, Hom (B, A) = 0.
Рассмотрим B ′ =
∑ αA – след А в В. Тогда В′ – сервантная подгруппа в
α∈Hom ( A, B )
группе В ранга 1. Пусть В′ = 〈b′〉∗ и элементы b′ , b′′ образуют максимальную линейно независимую систему элементов в В. Тогда подгруппа В′′= 〈b′′〉∗ является
сильно E(G)-замкнутым и сильно E(G)-сервантным подмножеством.
Построим E(G)-однородное отображение f:G→G по следующему правилу:
g , g ∈ B ′′;
f (g) =
0, g ∈ G \ B ′′.
{
Пусть 0≠х∈В′′, у∈G\ В′′. Тогда f(x+y)=0≠ x=f(x)+f(y). Группа G не эндоморфна.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
66
Д.С. Чистяков
2) Пусть Hom (B, A)=Hom (A, B) = 0.
В этом случае Q⊗E(A⊕B)≅ Q⊗E(A)⊕Q⊗E(B). Принимая во внимание изоморфизмы Q⊗E(A)≅Q и Q⊗E(B)≅Q, заключаем, что S≅Q⊕Q. Так как Hom(B, A) =
= Hom (A,B) = 0, то G разлагается в прямую сумму модулей А и В. Пусть Н – сервантная подгруппа ранга 1 группы В, ϕ ∈ E(G), h∈Н. Предположим, что
k
ϕ(h) = h для некоторых k, l∈Z. Отсюда lϕ(h)=kh, ϕ (h)∈H. Предположим, что
l
k
ϕ(х) = у для некоторых у∈Н, х∈G. Можем записать x = y . Тогда kх =ly, х∈ Н.
l
Следовательно, подгруппа Н является сильно E(G)-замкнутым и сильно E(G)-сервантным подмножеством в G. Построим E(G)-однородное отображение f : G→G
по следующему правилу:
f (g) =
{
g, g ∈ H ;
0, g ∈ G \ H .
Пусть 0 ≠ х∈Н, у∈G\H. Тогда f(x+y) = 0 ≠ x = f(x)+f(y).Таким образом, группа G не
является эндоморфной. Теорема доказана.
Автор благодарен доценту Любимцеву О.В. за постановку задачи и профессору Чехлову А.Р. за ценные замечания по доказательству теорем, а также кафедре
алгебры Томского государственного университета за внимание к работе автора.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hausen J. and Johnson J.A. Centralizer near-rings that are rings // J. Austr. Math. Soc. 1995.
V. 59. P. 173−183.
2. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Томск: ТГУ, 2002.
3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974.
4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977.
5. Крылов П.А., Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения с большим числом эндоморфизмов // Труды Института математики и механики. 2001. Т. 7. № 2. С. 194–207.
6. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп
без кручения ранга 3 // Матем. заметки. 1998. Т. 63. № 5. С. 763−773.
7. Турманов М.А. Эндочистые подмодули абелевых групп без кручения ранга 2 // Абелевы
группы и модули. Томск: ТГУ, 1990. С. 119−124.
8. Турманов М.А. О чистоте в абелевых группах // Фундамент. и прикл. математика. 2004.
Т. 10. № 2. С. 225−238.
9. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3:
дис. … к.ф.-м.н. М.: МПГУ, 1999.
Статья принята в печать 24.12.2010г.
Chistyakov D.S. ENDOMORPHIC INDECOMPOSABLE TORSION-FREE ABELIAN GROUPS
OF RANK 3. In this paper, the structure of the quasi-endomorphism ring of endomorphic torsionfree Abelian groups of rank three is studied.
Keywords: quasi-endomorphism ring, homogeneous map of a module, strongly indecomposable
torsion-free Abelian group
CHISTYAKOV Denis Sergeevich (Nizhny Novgorod Commercial Institute)
E-mail: chistyakovds@yandex.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
МЕХАНИКА
УДК 531.351
М.А. Бубенчиков, И.А. Иванова
РАСЧЕТ АЭРОДИНАМИКИ ЦИКЛОННОЙ КАМЕРЫ
В настоящей работе метод последовательной перерелаксации, применяемый
обычно для решения диффузионных задач, обобщен на случай решения
уравнений переноса с конвекцией. Разработанная вычислительная технология использована для анализа влияния интенсивности вращения камеры на
характер перемещения газообразной среды относительно стенок вращающейся секции аппарата.
Ключевые слова: газовое центрифугирование, циклонная камера, математическое моделирование, вязкость, функция тока, завихренность, метод
последовательной перерелаксации.
Целесообразно сделать замечание о том, что к настоящему времени разработано великое множество алгоритмов, используемых для расчетов закрученных течений газов и жидкостей, которые обладают теми или иными уникальными свойствами и качествами, однако среди них нет более простого в реализации, чем
предложенный алгоритм.
Уместным будет сделать еще одно вводное замечание. В настоящей работе
рассмотрены изотермические течения газа, реализующиеся при дозвуковых скоростях и перепадах давления порядка 10−2 атм. В этих условиях газ ведет себя как
несжимаемая жидкость. Поэтому в дальнейшем будет использоваться термин
«несжимаемая среда» вместо «газ» или «воздух».
Система определяющих уравнений
Для случая ламинарного течения ( Re = U ср ⋅ ∆r ν < 2000 ) несжимаемой ньютоновской жидкости с постоянной вязкостью в отсутствие массовых сил уравнения Навье – Стокса и уравнение неразрывности в цилиндрических координатах (r,
∂
∂
φ, z) для двумерного стационарного осесимметричного случая ( = 0 ,
= 0,
∂ϕ
∂t
W ≠ 0 ) течения могут быть представлены в форме [1]:
U
U
∂U
∂U
1 ∂p
+V
=−
+ ν∇ 2U ;
∂z
∂r
ρ ∂z
∂V
∂V W 2
1 ∂p
V
+V
−
=−
+ ν ⎛⎜ ∇ 2V − 2
r
∂z
∂r
ρ ∂r
⎝
r
(1)
⎞;
⎟
⎠
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Бубенчиков, И.А. Иванова
68
U
∂W
∂W VW
W
+V
+
= ν ⎛⎜ ∇ 2W − 2 ⎞⎟ ;
r
∂z
∂r
⎝
r ⎠
∂U 1 ∂ (Vr )
+
=0.
∂z r ∂r
∂2
(3)
(4)
∂2
1 ∂
.
+
∂z
∂r 2 r ∂r
Уравнения (1) – (4) являются эллиптическими, поэтому для их однозначного
разрешения по краю ограниченного куска плоскости, на котором они определены,
необходимо выставить граничные условия для U, V и W. В общем случае поставленная таким образом задача может быть решена только численно. В динамике
вязкой жидкости известна проблема расчета распределения давления, согласованного с полем скорости. Чтобы избежать этой проблемы, в исходной системе от естественных переменных (U, V, W, p) перейдем к переменным «функция тока – завихренность» (ψ, ξ, W):
1 ∂ψ
1 ∂ψ
∂V ∂U
=U,
= −V , ξ =
−
(5)
.
r ∂r
r ∂z
∂z ∂r
Исключая из уравнений (1), (2) давление перекрестным дифференцированием,
можем получить уравнение для переноса завихренности ξ, а из уравнений (5) легко получить уравнение Пуассона для функции тока ψ. При этом уравнение для
окружной компоненты скорости остается тем же. Тогда искомая форма уравнений
движения будет иметь вид
2 ∂ψ ⎞
−ξr = ⎛⎜ ∇ 2 ψ −
(6)
⎟;
r ∂r ⎠
⎝
Здесь ∇ 2 =
2
+
U
∂ξ
∂ξ V ξ 2W ∂W
ξ
+V
−
−
= ν ⎛⎜ ∇ 2 ξ − 2 ⎞⎟ ;
∂z
∂r r
r ∂z
⎝
r ⎠
∂W
∂W VW
W
+V
+
= ν ⎛⎜ ∇ 2W − 2 ⎞⎟ .
r
∂z
∂r
⎝
r ⎠
К этим уравнениям следует добавить соотношения (5).
U
(7)
(8)
Физическая область течения
Так как течение является осесимметричным и независимых переменных только две – z и r, то можно рассматривать любое осевое сечение цилиндрической камеры, а область интегрирования в этом случае будет плоской фигурой, в нашем
примере прямоугольником.
Граничные условия
Все представленные ниже граничные условия для искомых величин получены
из физических условий для компонент скорости:
U
U
Γ вх
=U
Γ вых
Γi
= 0, V
= 0,
V
Γi
Γвх
= 0, W
Γi
= rω
( i = 1, 4 ) ;
= Vвх = const , V
Γвых
= Vвых = const .
(9)
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расчет аэродинамики циклонной камеры
69
r
Г2
r2
Г3
Г1
Гвх
Г4
Гвых
r1
z
zвых
ψ=Q
Lвх
ψ=0
Lвых ψ=0
ψ=0
Рис. 1. Продольное сечение циклонной камеры. Сплошные линии
представляют непроницаемые границы, пунктирные – проницаемые
Граничные условия для функции тока ψ следующие:
z − zвых
z
ψ Γ = 0 i = 1,3 , ψ Γ = Qвх , ψ Γ =
⋅ Qвх , ψ Γ = Qвх −
⋅ Qвых . (11)
i
4
вх
вых
Lвх
Lвых
(
)
Здесь Qвх = − Lвх rV
1 вх , Lвх – протяженность входной зоны, Vвх – величина скорости
жидкости на входе (постоянная величина), Qвых = − Lвых rV
1 вых , Vвых – величина
скорости жидкости на выходе (постоянная положительная величина), Lвых – протяженность выходной зоны.
Так как имеется лишь один вход и один выход, то условие интегрального баланса массы будет заключаться в выполнении условия Qвых = Qвх .
Граничные условия для завихренности ξ:
∂V
∂U
∂V
∂U
ξΓ =
, ξΓ =−
, ξΓ =
, ξ Γ ,Γ , Γ = −
. (12)
1
2
3
4 вх вых
∂z z = 0
∂r r = r2
∂z z = L
∂r r = r1
Граничные условия для окружной скорости:
W
Γi
= ωr
( i = 1, 4 ) ,
W
Γвх
= 0,
∂W
∂r
= 0.
(13)
Γ вых
Задание численных граничных условий оказывает существенное влияние не
только на устойчивость, но и на точность решения конечного разностного уравнения для завихренности и задачи в целом. Поскольку U и V не определяются непосредственно из системы (6) – (8), а находятся после ее решения как разностные
производные от распределений ψ, то и в разностном аналоге граничных условий
для ξ на стенке следует перейти от численных производных от компонент скорости (см. (12)) к соответствующим производным от функции тока. Имеется множество вариантов записи таких выражений, однако простейший выглядит следующим образом:
2 ( ψW +1 − ψW )
ξW =
+ o ( ∆n ) .
∆n 2
Здесь, независимо от ориентации стенки, ψW – значение функции тока на самой
стенке, ψW+1 – в первой узловой точке, расположенной в жидкости, ∆n – расстояние по нормали от стенки до ближайшей узловой точки.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Бубенчиков, И.А. Иванова
70
Такое условие первого порядка было впервые предложено в 1928 г. в работе
Тома [2] и широко используется до настоящего времени. Это условие очень надежно и часто приводит к результатам, достаточно хорошо согласующимся с результатами, полученными при помощи форм высших порядков граничного условия для вихря [3].
Разностный вид граничных условий для завихренности ξ будет следующим:
∂V
2 ψ ( 2, j ) − ψ (1, j )
ξΓ =
=−
+ o ( ∆z ) ,
1
∂z z = 0
r ( j)
∆z 2
ξΓ = −
2
∂U
∂r
∂V
∂z
ξΓ =
3
ξΓ
4 , Γвх , Γвых
=−
ψ ( i, N ) − ψ ( i, N + 1)
2
+ o ( ∆r ) ,
r ( N + 1)
∆r 2
=−
2 ψ ( K , j ) − ψ ( K + 1, j )
+ o ( ∆z ) ,
r ( j)
∆r 2
r = r2
z=L
=−
∂U
∂r
=−
r = r1
2 ψ ( i, 2 ) − ψ ( i,1)
+ o ( ∆r ) .
r (1)
∆r 2
Здесь K – количество интервалов разбиения области интегрирования в zнаправлении, N – в r-направлении.
Метод решения
Решение уравнений (6) – (8) с граничными условиями (11) – (13) будем строить с использованием конечных разностей и итерационного метода последовательной перерелаксации (ППР) [4]. При аппроксимации диффузионных членов
будут применены симметричные разности. Аппроксимация конвективных членов
будет проведена с использованием разностей против потока. Дифференциальные
члены уравнения Пуассона для ψ заменяются симметричными разностями,
имеющими второй порядок аппроксимации:
ψ i −1, j − 2ψ i , j + ψ i +1, j
⎛ ∂2ψ
∂ ⎛ 1 ∂ψ ⎞ ⎞
+
⎜ 2 +r ⎜
⎟⎟ =
∂r ⎝ r ∂r ⎠ ⎠ij
∆z 2
⎝ ∂z
+ rj
Здесь a j −1/ 2 =
a j +1/ 2 ( ψ i , j +1 − ψ i , j ) − a j −1/ 2 ( ψ i , j − ψ i , j −1 )
r j −1 + r j
2r j r j −1
, a j +1/ 2 =
∆r 2
r j + r j +1
2r j r j +1
(
2
+ o ∆z , ∆r
(14)
2
).
.
Аппроксимация конвективных членов проведена следующим образом:
⎛ U ∂U ⎞ = U + U i , j − U i −1, j + U − U i +1, j − U i , j + o ∆z ,
( )
⎜
⎟
i, j
i, j
∆z
∆z
⎝ ∂z ⎠i , j
где U i+, j =
U i, j + U i, j
, U i−, j =
(15)
U i, j − U i, j
.
2
2
Аналогично для конвективного переноса в r-направлении:
⎛ V ∂U ⎞ = V + U i , j − U i , j −1 + V − U i , j +1 − U i , j + o ∆r .
( )
⎜
⎟
i, j
i, j
∆r
∆r
⎝ ∂r ⎠i , j
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расчет аэродинамики циклонной камеры
Здесь Vi ,+j =
Vi , j + Vi , j
, Vi ,−j =
71
Vi , j − Vi , j
.
2
2
Приравнивая разностное выражение (14) значению –ξi,jrj и выражая из полученного равенства ψi,j, найдем рекуррентную формулу для пересчета сеточных
значений функции тока:
ψi, j =
( mξi, j rj + ψi −1, j + ψi +1, j ) + mrj ( a j −1/ 2ψi, j −1 + a j +1/ 2ψi, j +1 ) ,
2 ( m + 1)
где введено обозначение m =
(17)
∆z 2
.
∆r 2
Рекуррентные формулы для пересчета значений ξi,j и Wi,j будут выглядеть следующим образом:
ν
ν
Q
ξi , j =
r
ξ
+ r j +1/ 2 ξi , j +1 ) +
ξ
+ ξi +1, j ) + .
2 ( j −1/ 2 i , j −1
2 ( i −1, j
P
r j ∆r P
P ∆z
⎛ 2
1 ⎞ U i , j Vi , j
2
+
Здесь P = ν ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ +
,
⎜ ∆z
∆r
∆r
r j ⎟⎠ ∆z
⎝
Q=
Vi , j ξi , j
rj
Wi , j =
где
+
U i+, j ξi −1, j
−
∆z
ν
2
r j ∆r P
Q1 = −
U i−, j ξi +1, j
∆z
+
Vi +, j ξi , j −1
∆r
−
( rj −1/ 2Wi, j −1 + rj +1/ 2Wi, j +1 ) +
Vi , jWi , j
rj
+
U i+, jWi −1, j
∆z
r j −1/ 2 =
−
U i−, jWi +1, j
r j −1 + r j
∆z
Vi−, j ξi , j +1
∆r
ν
P ∆z
+
, r j +1/ 2 =
2
+
Wi , j ⎛ Wi +1, j − Wi −1, j
⎜
∆z
rj ⎝
(Wi −1, j + Wi +1, j ) +
Vi +, jWi , j −1
∆r
−
Vi −, jWi , j +1
∆r
⎞
⎟.
⎠
Q1
,
P
,
r j + r j +1
.
2
2
Последовательное применение формулы (15) в движении по внутренним сеточным узлам предполагает использование новых значений ψ там, где процесс
перебора узлов уже завершен, и значений ψ на прошлом итерационном слое для
узлов, еще неподверженных пересчету. Вслед за тем как искомая величина последовательно перевычислена во всех внутренних узлах, она перевычисляется в граничных узлах. После того, как все искомые величины таким образом найдены,
одна глобальная итерация считается законченной. Выполнив порядка 103÷105 глобальных итераций, мы завершаем расчет.
Результаты расчетов
По описанной выше технологии был рассчитан ряд тестовых примеров, на которых наблюдалась быстрая сходимость итерационного процесса (несколько десятков или сотен глобальных итераций). Все представленные ниже вычисления
проведены на сетке размером 75 × 75 .
Во-первых, это тривиальный тест: Qвых = Qвх = 0 , n = 0 , где n – частота вращения барабанов. В результате рассчитываются нулевые распределения всех величин.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Бубенчиков, И.А. Иванова
72
Во-вторых, тест твердотельного вращения газа в камере: U ≡ V ≡ 0 , n ≠ 0 ,
имеем линейное распределение окружной скорости по толщине вращающегося
слоя.
Третий тест – прямоточное течение среды в кольцевом канале. Получаем автомодельный профиль продольной компоненты скорости [5].
Четвертый тест: Qвых = Qвх = 0 , U ≠ 0 , V ≠ 0 , W ≠ 0 ( n ≠ 0 ). Генерируются
вихри Тейлора.
На рис. 2. приведены примеры расчетов течения газа, когда входное и выходное кольцо равны по размерам, и соответственно скорости радиальной подачи и
выхода газа тоже равны: Vвх = Vвых = 1, 0 м/с . Примеры отличаются интенсивностью крутки камеры. Как видим из рисунка, с ростом n характер течения становится более сложным, появляется больше тороидальных вихрей с более высокой
интенсивностью движения частиц газа в этих образованиях. Однако с ростом n
r, м
r, м
0,068
0,068
0,066
0,066
0,064
0,064
0,062
0,062
0,060
0
0,1
0,2
a
0,3
z, м
0,060
r, м
r, м
0,068
0,068
0,066
0,066
0,064
0,064
0,062
0,062
0,060
0
0,1
0,2
c
0,3
z, м
0
0,1
0,2
b
0,3
z, м
0
0,1
0,2
0,3
z, м
0,060
d
Рис. 2. Линии тока, полученные при различных величинах крутки камеры:
a – n = 10об/с; b – n = 50об/с; c – n = 100об/с; d – n = 200об/с
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расчет аэродинамики циклонной камеры
73
увеличивается также количество глобальных итераций K*, обеспечивающих сходимость вычислительного процесса. Так, при n = 10 K * = 103 ; n = 50 K * = 104 ;
n = 200 K * = 105 .
Заключение
Как показали вычисления, предложенный алгоритм сходится даже при числах
Рейнольдса, формально превышающих критическое число перехода к турбулентному режиму, и позволяет проводить расчеты при частотах вращения барабанов,
отвечающих режиму выделения наночастиц из воздуха, т.е. при n ~ 100 об/с и
более. Однако количество глобальных итераций, обеспечивающих сходимость,
существенно зависят от частоты вращения барабанов. Таким образом, в настоящей работе предлагается простой способ вычислений, позволяющий эффективно
решать задачи о закрученных течениях вязкой жидкости без привлечения сверхсложных вычислительных технологий, использования дорогостоящих программных пакетов и больших вычислительных мощностей ЭВМ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие: в 10 т. М.: Наука,
1986. Т. VI: Гидродинамика. 736 с.
2. Thom A. An investigation of fluid flow in two dimensions // Aerospace Research Center,
К and M. 1928. No. 1194.
3. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1983. 648 с.
4. Численные методы в динамике жидкостей / Э. Джеймсон [и др.]. М.: Мир, 1981. 408 с.
5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 607 с.
Статья принята в печать 04.02.2011г.
Bubenchikov M.A., Ivanova I.A. CALCULATION OF AERODYNAMICS VORTEX CHAMBER. In this paper, the simple iteration method usually used to solve diffusion problems is generalized to the solutions of transport equations with convection. The developed computational technology is used to analyze the effect of camera rotation intensity on the nature of the movement of
the gaseous medium against the walls of the rotating section of the apparatus.
Keywords: gas centrifuging, vortex chamber, mathematical modeling, viscosity, stream function,
vorticity, method of simple iteration.
BUBENCHIKOV Mikhail Alekseevich (Tomsk State University)
E-mail: michael121@mail.ru
IVANOVA Irina Aleksandrovna (Tomsk Polytechnic University)
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 539.3:621.396.67
А.С. Евдокимов, С.В. Пономарев, Ю.И. Буянов
СОВМЕСТНЫЙ РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ И ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ
КОСМИЧЕСКИХ РЕФЛЕКТОРОВ
Рассматривается методика компьютерного моделирования трансформируемых параболических рефлекторов антенн космических аппаратов, позволяющая с необходимой точностью произвести расчет равновесной формы
отражающей поверхности, учесть влияние напряженного состояния на электродинамические характеристики сетеполотна и диаграмму направленности.
Ключевые слова: компьютерное моделирование, рефлектор, метод конечных элементов, напряженно-деформированное состояние, диаграмма направленности.
В настоящее время антенные системы широко используются в различных областях науки и техники. Для современной спутниковой связи требуются антенны
с высокой точностью формы зеркала. Экспериментальная отработка таких изделий в наземных условиях требует больших материальных и временных затрат.
Поэтому разработка компьютерного моделирования антенных конструкций является актуальным направлением.
В работе М.В. Гряника и В.И. Ломана [1] были рассмотрены классификация
развертываемых антенн и вопросы расчета характеристик излучения зеркальных
антенн зонтичного типа. Г. Тибертом [2] разработаны варианты конструкции
крупногабаритных космических рефлекторов. Методы моделирования напряженно-деформированного состояния мембранных конструкций, в том числе и рефлекторов ободного и зонтичного типов, рассмотрены в [3, 4], а также в ряде других зарубежных публикаций. Однако в доступных публикациях не рассматривалось влияние напряженного состояния отражающей поверхности из металлического сетеполотна на электродинамические характеристики зеркальных антенн.
Рассматривается параболический рефлектор зонтичного типа (рис. 1) диаметром 4 метра. Силовая схема представляет собой конструкцию, состоящую из силовых и точностных спиц.
Моделирование конструкции производилось с позиций механики деформируемого твердого тела. При этом отражающая поверхность моделировалась безмоментными оболочечными элементами. В общем случае математическая модель
может быть описана следующим образом:
Связь деформаций с перемещениями в элементах конструкции рефлектора
рассматривается в виде
1
eαβ = (uα ,β + uβ,α + uθ,α uθ,β ) .
2
Для моделирования механического поведения в напряженном состоянии, которое возникает в раскрытом рефлекторе, можно использовать упрощенные зависимости между напряжениями и деформациями.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Совместный расчет напряженно-деформированного состояния и диаграммы направленности 75
Рис. 1. Рефлектор для спутника «Луч»
Компоненты тензора напряжений Кирхгофа и компоненты тензора деформаций связаны зависимостью
T
σij = aijαβ (eαβ − eαβ
),
где aijkl = aijkl ( X , σ(0)ij ) – элементы матрицы упругости, зависящие от принадлежности к разнородным элементам конструкции и уровня предварительных наT
пряжений; eαβ
= ϑ∆T δαβ – компоненты тензора температурных деформаций; ϑ –
коэффициент линейного расширения; ∆T = T − T0 .
Уравнения равновесия для зонтичной конструкции рассматриваются в виде
(
)
⎡( δij + ui , j ) σθj + σ(0)θj ⎤ + Pi = ρui ,
⎣
⎦ ,θ
где Pi – компоненты вектора массовых сил; ρ – удельная масса материала; ui –
компонента ускорения; σ(0)ij – компоненты тензора начальных напряжений в элементах конструкции. Задание требуемых напряжений в элементах вантовой конструкции необходимо для создания жесткости, обеспечивающей с достаточной
точностью форму отражающей поверхности рефлектора. При этом важно, чтобы
форма ответственных элементов напряженной вантовой конструкции мало отличалась от проектной для реализации требуемых радиотехнических характеристик
антенны.
Добавление начальных и граничных условий делает постановку задачи с позиций механики деформируемого твердого тела полной. В результате такой постановки получается нелинейная задача. Граничные условия в перемещениях задаются на части поверхности Su конструкции рефлектора, где имеет место крепление к космическому аппарату
ui = u i ,
на большей части поверхности конструкции Sσ , свободной от нагрузок:
σθj n j + σ(0) kj nk u θj = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.С. Евдокимов, С.В. Пономарев, Ю.И. Буянов
76
Начальные условия
ui ( X , 0) = ui (0); ui ( X , 0) = ui (0).
Таким образом, задача считается поставленной в замкнутой форме, так как количество определяемых функций перемещений соответствует количеству разрешающих уравнений.
В приведенной постановке исходным состоянием является конфигурация рефлектора, вытекающая из технического задания с нулевыми напряжениями в элементах конструкции. После задания требуемых напряжений в элементах конструкции получается напряженная начальная конфигурация, находящаяся в состоянии статического равновесия с требуемой жесткостью, обеспечивающей с достаточной точностью проектируемую форму отражающей поверхности рефлектора.
Приведенной дифференциальной постановке соответствует эквивалентная вариационная постановка в виде принципа виртуальной работы [5]
⎧ (0)ij
⎛ ∂2r ⎞ ⎫
ijαβ
T
(
)
σ
+
−
δ
−
⋅
δ
+
ρ
a
e
e
e
P
r
⎨
⎜ 2 ⎟ ⋅ δr ⎬dV = 0,
ij
αβ
αβ
∫
⎝ ∂t ⎠ ⎭
V⎩
(
)
где δr – вариация вектора перемещений; P – вектор массовых сил, t – время. На
части поверхности Su заданы нулевые перемещения, что соответствует закреплению конструкции. Аналитическое решение подобных задач не представляется
возможным.
Определение основных радиотехнических характеристик антенн связано с получением выражения для электромагнитного поля в дальней зоне, когда источниками поля являются заданные сторонние токи j на отражающей поверхности
рефлектора. Система уравнений Максвелла имеет вид
rot Η = −iωεE + j ,
rot E = iωμH .
Токовый метод определения направленных свойств антенны базируется на известном распределении поверхностных токов на внутренней поверхности зеркала.
Вектор плотности тока с учетом коэффициента отражения в данной точке поверхности зеркала можно определить с учетом ориентации векторов H в падающей и
отраженной волнах по формуле
js = 2 [ n0 H ] R (σ),
где js – вектор плотности поверхностного тока в данной точке зеркала; Н – вектор напряженности магнитного поля, создаваемого падающей волной облучателя в данной точке на поверхности зеркала; n0 – орт нормали к поверхности зеркала в этой же точке; R(σ) – коэффициент отражения, зависящий в основном от
размера ячейки сетеполотна и отношения размера ячейки к диаметру нити при
одинаковой величине натяжении σ вдоль рядов и вдоль столбцов структуры
плетения сетеполотна.
Напряженность первичного магнитного поля облучателя определяется формулой
H=B
e−iβr
,
r
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Совместный расчет напряженно-деформированного состояния и диаграммы направленности 77
где B – коэффициент, не зависящий от r и характеризующий направленные
свойства облучателя; r – расстояние от фазового центра облучателя до точки, в
которой определяется поле. Для построения картины токов, возникающих на отражающей поверхности рефлектора под влиянием поля облучателя, необходимо
знать распределение вектора B в пространстве, то есть векторную диаграмму направленности (ДН) облучателя.
Зная распределение тока на поверхности зеркала, можно определить направленные свойства параболической антенны. Для этого необходимо проинтегрировать по всей поверхности зеркала выражение для напряженности поля, создаваемого элементом поверхности зеркала, рассматривая его как элементарный электрический вибратор.
Поле излучения параболоида можно представить в виде
iZ sin γ x −iβr
− iq
E=− b
e
∫ jsx e dS ,
2r λ
S
a
где S a – поверхность параболоида, используемая в качестве антенны; E – напряженность поля, созданного токами основной поляризации. Угол q – определяется относительно луча, идущего прямо от облучателя до точки приема.
Для получения численного решения задачи о напряженно-деформированном
состоянии рефлектора использовался метод конечных элементов [6]. Алгоритм
решения реализован на внутреннем языке программирования пакета ANSYS. Использование программного комплекса ANSYS является эффективным способом
оценки прочности, прогнозирования и оптимизации конструкций. Конечно-элементная модель (КЭМ) конструкции строилась исходя из следующих принципов:
- сетеполотно моделируется оболочечными мембранными элементами;
- веревочные элементы (шпангоут, оттяжки) моделируются линейными элементами, работающими только на растяжение;
- спицы (силовые, точностные) моделируются балочными элементами с заданным сечением.
Общий вид КЭМ (без сетеполотна) показан на рис. 2.
Рис. 2. Конечно-элементная модель рефлектора без сетеполотна
С использованием данной модели был проведен расчет напряженнодеформированного состояния рефлектора. Начальная форма спиц и отражающей
поверхности задавалась в соответствии с формой теоретического параболоида. В
точках, где силовые спицы крепятся к ступице, задаются следующие граничные
условия: перемещения и вращения равны нулю. Шпангоут и оттяжки нагружались растягивающим усилием, равным 2 кгс и 0,1 – 0,2 кгс соответственно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78
А.С. Евдокимов, С.В. Пономарев, Ю.И. Буянов
На рис. 3 представлены отклонения силовых спиц от параболического профиля. Эти отклонения обусловлены изгибающим моментом, который создается растянутым сетеполотном и натянутыми оттяжками. Максимальные отклонения достигают 0,7мм.
Рис. 3. Отклонения спиц по оси Z, м
На рис. 4 представлены перемещения отражающей поверхности. Максимальные перемещения, не считая периферии, достигают порядка 0,8 мм. Натяжение
сетеполотна, за исключением края, соответствует номинальному (см. рис. 5). При
этом среднеквадратичное отклонение (СКО) поверхности составило 0,56 мм.
Рис. 4. Изолинии суммарных перемещений сетеполотна, м
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Совместный расчет напряженно-деформированного состояния и диаграммы направленности 79
Рис. 5. Интенсивность напряжений, Па
Использование трикотажного металлического сетеполотна для отражающей
поверхности трансформируемых космических антенн позволяет получить улучшенные удельные массовые характеристики для рефлекторов. Однако при этом
появляется зависимость коэффициента отражения от напряженного состояния
растянутого сетеполотна. Изменяется размер ячеек сетеполотна и профиль зеркала отклоняется от параболического, что приводит к изменению электродинамических характеристик зеркала: коэффициента отражения поля от поверхности сетеполотна и формы диаграммы направленности (ДН). Таким образом, возникает необходимость совместного моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) и радиотехнических характеристик рефлектора.
Полученная в результате моделирования равновесная форма отражающей
поверхности рефлектора использована для расчетов диаграмм направленности
космического рефлектора методом физической оптики. Расчет проводился с помощью программного пакета для 3D-электромагнитного моделирования –
FEKO. Главной особенностью программы FEKO является удачное сочетание базового метода моментов с приближенным аналитическим методом физической
оптики. В рамках метода физической оптики ток приближенно вычисляется через магнитное поле падающей на объект волны. Именно его полагают равным
удвоенному касательному магнитному полю падающей волны. Далее рассеянное поле вычисляется с помощью аппарата функций Грина через заданное распределение токов.
В качестве облучателя рефлектора использовался рупор, фазовый центр которого располагался в фокусе параболоида. При вычислении ДН рефлектора в программе FEKO ДН рупора вводилась в виде массива данных, полученных экспериментально. На рис. 6 и 7 представлены экспериментальная и расчетная диаграммы
направленности рефлектора соответственно. Отклонения расчетной диаграммы
направленности от экспериментальной диаграммы направленности составляет не
более 10 %.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.С. Евдокимов, С.В. Пономарев, Ю.И. Буянов
80
0 дБ
–5
–10
–15
–20
–25
–30
–35
–4
–2
0
2
4
град.
Рис. 6. Диаграмма направленности рефлектора (эксперимент.)
0 дБ
–5
–10
–15
–20
–25
–30
–35
–4
–2
0
2
4
град.
Рис. 7. Диаграмма направленности рефлектора (расчет в FEKO)
В настоящее время на телекоммуникационных спутниках широко используются многолучевые зеркальные антенны с вынесенной облучающей системой с
развертываемым крупногабаритным рефлектором с диаметром более 10 м. Примером такого рефлектора является конструкция [7], показанная на рис. 8. Методика расчета напряженно-деформированного состояния для такого рефлектора рассмотрена в [4, 8].
Для рефлекторов большего диаметра измерение диаграммы направленности
является очень трудоемким процессом. Поэтому рассматриваемая методика позволяет облегчить задачу определения электродинамических характеристик реф-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Совместный расчет напряженно-деформированного состояния и диаграммы направленности 81
лекторов большего диаметра. В качестве иллюстрации на рис. 9 представлены ДН
рефлектора при различных значениях СКО, полученных расчетным путем для
равновесной формы рефлектора.
Рис. 8. Общий вид развертываемого рефлектора антенны
космического аппарата
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–1
–0,5
0
0,5
град.
Рис. 9. Диаграмма направленности 12-метрового рефлектора, линейный
масштаб: 1 – идеальный параболоид; 2 – СКО = 0,5 мм; 3 – СКО = 2,0 мм;
4 – СКО = 6,5мм
В результате вычислений можно сделать вывод, что при увеличении СКО равновесной формы отражающей поверхности от параболической диаграмма направленности также увеличивает отличия от идеальной диаграммы 1. При этом возрастают боковые лепестки, смещается главный лепесток и падает коэффициент
усиления антенны.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
82
А.С. Евдокимов, С.В. Пономарев, Ю.И. Буянов
Полученные результаты показывают, что использование данной методики совместного компьютерного моделирования с позиций механики деформируемого
твердого тела и электродинамики позволяет получить диаграммы направленности
крупногабаритных рефлекторов без проведения технически сложных и затратных
физических измерений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гряник М.В., Ломан В.И. Развертываемые зеркальные антенны зонтичного типа. М.: Радио и связь, 1987. 72 с.
2. Tibert G.A. Deployable Tensegrity Structures for Space Applications: PhD thesis. Stockholm,
2002. 220 p.
3. Усманов Д.Б. Моделирование напряженно-деформированного состояния крупногабаритного трансформируемого рефлектора: дис. … канд. физ.-мат. наук. Томск, 2006.
179 с.
4. Бутов В.Г., Пономарев С.В., Солоненко В.А., Ящук А.А. Моделирование температурных
деформаций рефлекторов космических аппаратов // Изв. вузов. Физика. 2004. № 10.
C. 15−18.
5. Сахаров А.С., Альтенбах И. // Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев:
Вища школа. Головное изд-во, 1982. 480 с.
6. Зенкевич О., Победря Б.Е. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.
7. Пат. 2350519 Российская Федерация, МПК B 64 G 1/22, H 01 Q 15/16. Развертываемый
крупногабаритный рефлектор космического рефлектора / Тестоедов Н.А., Халиманович
В.И. и др.; заявитель и патентообладатель ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М.Ф. Решетнева. № 2007122219/11; заявл. 13.06.2007; опубл.
27.03.2009, Бюл. № 9. 19 с.:ил.
8. Бельков А.В., Бутов В.Г., Евдокимов А.С. и др. Компьютерное моделирование трансформируемых космических рефлекторов // Вестник КазНУ им. Аль-Фараби. Серия: математика, механика, информатика. 2008. № 3(58). С. 284−293.
Статья принята в печать 01.02.2011 г.
Evdokimov A.S., Ponomarev S.V., Buyanov Yu.I. JOINT CALCULATION OF THE STRESSSTRAIN STATE AND ANTENNA PATTERNS OF SPACECRAFT REFLECTORS. The technique of computer modeling of transformable parabolic reflectors of spacecraft antennas is considered. The technique calculates the equilibrium form of the reflecting surface with necessary accuracy and takes into account the effect of the stress-strain state on electrodynamic characteristics
of the mesh grid and on the antenna pattern.
Keywords: computer modeling, reflector, finite element method, stress-strain state, antenna
pattern.
EVDOKIMOV Aleksandr Semenovich (Tomsk State University)
E-mail: eas1985@mail.ru
PONOMAREV Sergei Vasil’evich (Tomsk State University)
BUYANOV Yurii Innokent’evich (Tomsk State University)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 532.526
П.Н. Зятиков
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
АЭРОДИНАМИКИ ЗАКРУЧЕННОГО ПОТОКА
В ВОЗДУШНО-ЦЕНТРОБЕЖНОМ КЛАССИФИКАТОРЕ
Приведены результаты экспериментальных исследований распределения
компонент вектора скорости несущего потока в сепарационном элементе
воздушно-центробежного классификатора порошков производительностью
до 2000 кг/ч (ВЦК-1000). Результаты проведенных экспериментальных исследований дополняют математическую модель аэродинамики несущего
турбулентного потока в профилированном вращающемся сепарационном
элементе и позволяют анализировать течение в зоне сепарации.
Ключевые слова: турбулентный закрученный поток, зона сепарации, начальная закрутка, профиль канала, окружная и радиальная компоненты
скорости, экспериментальный стенд, шаровой зонд, пылегазовый поток.
В классификаторах воздушно-центробежного типа процесс разделения исходного порошка на крупную и мелкую фракции относительно граничного размера
происходит в потоке несущей среды, поэтому турбулентный закрученный поток в
сепарационном элементе оказывает определяющее влияние на процесс сепарации
частиц [1]. С другой стороны, на распределение составляющих компонент скорости несущего потока в зоне сепарации оказывают влияние расход несущей среды,
скорость вращения границ сепарационного элемента, входной радиус и относительная ширина канала, профиль зоны сепарационного элемента, способ подачи
несущей среды и порошка в зону разделения, начальная закрутка несущего потока, концентрация в несущей среде и гранулометрический состав исходного материала, наличие дополнительных подводов воздуха и ряд других факторов [2 − 4].
Организация оптимального движения пылегазового потока в сепарационном
элементе является определяющим фактором, обеспечивающим создание аппаратов центробежного типа с высокими рабочими характеристиками. Однако до сих
пор не установлены не только характер и степень влияния многих из перечисленных выше параметров на аэродинамику несущего потока, но и то, какое распределение составляющих скорости несущей среды отвечает максимальной эффективности разделения. Основными режимными параметрами аппаратов центробежного типа, определяющими аэродинамику сепарационного элемента, являются угловая скорость вращения ротора ω, объемный расход несущего потока через зону
сепарации q и интегральная по высоте канала окружная скорость потока на входе
vφ0. К геометрическим параметрам канала относятся радиус входа в зону сепарации R0, высота канала на входе h0 и зависимость высоты канала от радиуса
h = h(R). Все эти параметры могут быть обобщенны в безразмерном виде. Первые
два из них можно представить по аналогии с критерием Рейнольдса как
Req = q/2πR0ν – безразмерное интегральное значение радиальной скорости, выражающее соотношение сил инерции и вязкости, обусловленных течением несущей
среды, и Reω = ωR20/ν – модифицированное число Рейнольдса, выражающее от-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П.Н. Зятиков
84
ношение инерционных сил за счет вращения границ сепарационного элемента к
силам вязкости потока, где ν – кинематическая вязкость газа [5].
За масштаб скорости в окружном и радиальном направлениях примем линейную скорость обода ротора ωR0 и начальную закрутку запишем как vϕ0 = Vϕ0/ωR0.
Относительная ширина канала β = h0/R0, а уравнение профиля сепарационного
элемента имеет вид f (r) = h(R)/h0, где r = R/R0 – безразмерный текущий радиус зоны сепарации.
Основная задача разработки и изготовления экспериментального стенда,
включающего классификатор ВЦК-1000 с производительностью до 2000 кг/ч по
исходному продукту (рис. 1), состояла в изучении моделирования процессов воздушно-центробежной классификации частиц на установках промышленного назначения и большей мощности. В то же время большие габариты (по сравнению с
классификаторами типа ВЦК-9 [NbF]) ВЦК-1000 позволили применить в данном
случае шаровой зонд для изучения аэродинамики входного участка сепарационного элемента.
Экспериментальный стенд (рис. 1) включает дозатор 1, обеспечивающий при
скорости вращения шнека 20 – 130 об/мин производительность 300 – 2000 кг/ч,
блок сепарации 3, систему пылеулавливания, состоящую из улиточного пылеконцентратора 7 и выносных циклонов 4 и 5, подсоединенных к трубопроводу отсасывающего вентилятора ВВД-9. Скорость вращения ротора ВЦК и шнека дозатора регулировалась с блока управления 2 и регистрировалась тахометром. Для регистрации расхода воздуха через ВЦК и его сопротивления установлен коллектор
8 и дифференциальные манометры 9, 10. Для измерения компонент вектора скорости служит шаровой зонд 11, подсоедененный к пятиканальному микроманометру 12.
2
3
9 11
4
5
6
7
1
12
8
10
Рис. 1 Экспериментальный стенд исследования аэродинамики зоны сепарации
на базе классификатора ВЦК-1000
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальные исследования аэродинамики закрученного потока
85
Исследования на представленном стенде проводились следующим образом.
Включался вентилятор ВВД-9 и определялся расход воздуха через блок сепарации. Устанавливалась заданная скорость вращения ротора ВЦК. Порция материала взвешивалась и засыпалась в бункер дозатора. Включался дозатор, и регистрировалось время прохождения всего материала. Крупный и мелкий продукты разделения извлекались из бункеров блока сепарации и циклонов, взвешивались, и
проводился ситовой или микроскопический анализ продуктов разделения.
Шаровой зонд (рис. 2) изготовлен с диаметром шара dш = 6 мм, диаметр шейки
равен 0,5dш. Диаметр трубок составил 0,08 dш. Ствол зонда выполнен из трубки с
внутренним диметром 5 мм. Длина шейки 40 мм. Угол между осями центрального
и боковых отверстий составляет 40°. Чтобы ослабить влияние зонда на воздушный поток, зонд изготовлен с отогнутой назад по направлению потока шейкой.
Дополнительным достоинством такой конструкции является большая степень локализации точки измерения, поскольку ось ствола совмещается с устьем центрального отверстия. Тарировачные графики для изготовленного зонда приведены
на рис. 3.
1
2
4
3
5
Рис. 2. Шаровой зонд исследования аэродинамики зоны сепарации ВЦК.
1 – 5 – отверстия ввода воздушного потока
Рис. 3. Тарировочные графики шарового зонда
Относительная погрешность измерения скорости может быть рассчитана по
формуле [6]
∆U
∆ (∆P) ∆ρ
= 0,5
+
,
∆P
ρ
U
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П.Н. Зятиков
86
где ∆(∆P)/∆P – относительная погрешность измерения динамического напора; а
∆ρ/ρ относительная погрешность измерения плотности, равная относительной погрешности измерения температуры ∆T/T, так как ρ ~ T. Относительная ошибка
измерения динамического напора может быть оценена по формуле
∆ ( ∆P )
1 ⎡
⎛ dP ⎞ ⎤
=
∆P1 + ∆P2 + ⎜
∆y ⎟ ⎥ ⋅100 % ,
∆P
∆P ⎢⎣
⎝ dy
⎠⎦
где ∆P1 – абсолютная ошибка, обусловленная непостоянством режима; ∆P2 − абсолютная ошибка, связанная с неточностью отсчета по шкале прибора микроманометра;
⎛ dP ⎞
⎜ dy ⎟ ∆y
⎝
⎠
– абсолютная ошибка, связанная с неточностью установки пневмометрического
зонда в данной точке.
Для оценки относительной погрешности измерения динамического напора
используются следующие характерные значения: ∆P = 1 мм вод. ст.; ∆P = 0,5 мм
вод. ст.; ∆y = 0,1 мм. Подстановка этих значений в расчетную формулу дает относительную погрешность динамического напора:
∆ ( ∆P )
1
=
⋅ [1 + 0,5 + 0,1] ⋅100 % = 2,5 % .
∆P
100
В действительности ошибка в определении величины динамического напора несколько больше, так как на погрешность измерения влияют и другие факторы [7].
Погрешность измерения компонент вектора скорости газового потока для изучаемых сепарационных элементов ВЦК составляла не более 10 %.
На рис. 4. приведена схема исследования аэродинамики входного участка зоны
сепарации с радиусом R02 = 0,250 м.
z
h0
1,05
c
0,84
0,63
0,42
h0
b
a
0,21
d
e
R 1,12 1,08 1,04 1 0,92 0,91
R0
R0
Рис. 4. Схема исследования аэродинамики зоны сепарации
в классификаторе ВЦК-1000
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальные исследования аэродинамики закрученного потока
87
Представленный стенд позволяет исследовать влияние основных значимых
факторов на аэродинамику воздушного потока в сепарационном элементе и процессы воздушно-центробежной классификации частиц и представляет собой физическую модель центробежной сепарации в воздушном потоке, которая отвечает
следующим основным требованиям:
- изменение геометрии канала с различными входными радиусами R0 и высотой h0 сепарационного элемента;
- регулирование в широких пределах расходной концентрации порошка;
- регулирование в широком диапазоне скорости вращения ротора и расхода
несущей среды.
Экспериментальные результаты для установки ВЦК-1000 приведены на рис. 5.
При тангенциальном подводе основного потока воздуха начальная закрутка формируется в соответствии с расходом и в дальнейшем слабо реагирует на изменение скорости вращения сепарационного элемента.
v0
0,75
0,5
0
2
4
6
Reω⋅10–5
Рис. 5. Влияние условий ввода основного потока на величину
окружной составляющей скорости несущей среды на входе
в сепарационный элемент: U – тангенциальный подвод;
4
| – аксиальный подвод; Req = 1,46·10
В случае использования аксиального подвода и радиальных лопаток на обтекателе ротора в достаточно широком диапазоне расходов несущей среды выдерживается постоянное соотношение между скоростью вращения ротора и величиной начальной закрутки несущей среды на входе в сепарационный элемент. При
тангенциальном подводе начальная закрутка растет пропорционально расходу основного потока. Вдув дополнительного потока радиально через отверстия снижает уровень начальной закрутки, причем при соотношении дополнительного и основного потока, равном 0,3, величина начальной закрутки уменьшается на 15 %.
Влияние расхода на величину начальной закрутки при аксиальной подаче основного потока не так сильно выражено, как при тангенциальной подаче.
Поэтому данные измерения были дополнены экспериментальными исследованиями всех компонент скорости несущего потока с помощью пятиканального шарового зонда на крупногабаритном классификаторе ВЦК-1000. Зонд вводился во
входной участок зоны сепарации по пяти направлениям в соответствии со схемой
рис. 4. На рис. 6 – 10 приведены распределения аксиальной, окружной (тангенциальной) и радиальной составляющих скорости несущей среды по радиусу входного участка сепарационного элемента при различных режимах работы ВЦК и различных направлениях перемещения зонда.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П.Н. Зятиков
88
vϕ =
Vϕ
vϕ =
ωR0 ωR 0
Vϕ
ωR0 ωR 0
0,8
0,8
0,5
0,5
0,2
0,9
vr =
0,95
1,0
1,05
r
Vr
Vr0
0,2
0,9
vr =
0,8
0,4
0,4
vz =
0,95
1,0
1,05
r
Vz
Vr0
0
0,9
vz =
0,8
0,4
0,4
0,95
1,0
1,05
r
Рис. 6. Распределение компонент вектора
скорости несущей среды по линии а (рис. 4)
Reω: U – 2,7⋅105; ‡ – 4,5⋅105; | – 5,4⋅105
1,05
r
0,95
1,0
1,05
r
0,95
1,0
1,05
r
Vz
Vr0
0,8
0
0,9
1,0
Vr
Vr0
0,8
0
0,9
0,95
0
0,9
Рис. 7. Распределение компонент вектора
скорости несущей среды по линии b (рис. 4)
Reω: U – 2,7⋅105; ‡ – 4,5⋅105; | – 5,4⋅105
Расход воздуха оставался постоянным и равным 1270 м3/ч, что соответствовало значению параметра Req = 502. Значения измеренных компонент скорости приведены к безразмерному виду через масштаб ωR0. Как видно из рис. 6 – 10, на
входном участке зоны сепарации ВЦК происходит изменение структуры потока
несущей среды от аксиального осесимметричного течения с незначительной радиальной составляющей (рис. 6, 7) к плоскому вихревому течению типа потенциального стока, причем с ростом скорости вращения ротора интенсивность перестройки структуры потока увеличивается. В качестве входного радиуса зоны сепарации выбран радиус R0,2 = 0,255 м, на котором течение типа потенциального
стока можно считать реализованным. Дальше вниз по потоку значение аксиальной составляющей скорости составляет 0,01 – 0,1 и в 5 – 10 раз меньше значения
радиальной составляющей скорости.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальные исследования аэродинамики закрученного потока
vϕ =
Vϕ
vϕ =
ωR0 ωR 0
Vϕ
ωR0
0,8
0,8
0,5
0,5
0,2
0,9
vr =
0,95
1,0
1,05
r
Vr
Vr0
0,2
0,9
vr =
0,8
0,4
0,4
vz =
0,95
1,0
1,05
r
Vz
Vr0
0
0,9
vz =
0,8
0,4
0,4
0,95
1,0
1,05
r
Рис. 8. Распределение компонент вектора
скорости несущей среды по линии с (рис. 4)
Reω: U – 2,7⋅105; ‡ – 4,5⋅105; | – 5,4⋅105
1,0
1,05
r
0,95
1,0
1,05
r
0,95
1,0
1,05
r
Vz
Vr0
0,8
0
0,9
0,95
Vr
Vr0
0,8
0
0,9
89
0
0,9
Рис. 9. Распределение компонент вектора
скорости несущей среды по линии d (рис. 4)
Reω: U – 2,7⋅105; ‡ – 4,5⋅105; | – 5,4⋅105
Абсолютные значения окружной составляющей скорости несущей среды составляют 0,5 – 0,6 от скорости вращения границ зоны сепарации на входном радиусе (ωR0,2). Следует также отметить, что значения аксиальной составляющей
скорости несущей среды на линиях e и d (рис. 9 и 10) и радиальной составляющей
на радиусе r = 0,92 с точностью до 10 % коррелируют со среднерасходной скоростью. Такое соответствие подтверждает достаточную точность и достоверность
проведенных экспериментальных измерений.
Полученные экспериментальные результаты позволяют построить профили
компонент скорости несущего потока на входном радиусе зоны сепарации, которые приведены на рис. 11. Как видно из графиков, увеличение скорости вращения
ротора ВЦК приводят к увеличению относительной величины начальной закрутки
и уменьшению аксиальной и радиальной компонент скорости, причем некоторое
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П.Н. Зятиков
90
vϕ =
z
h0
Vϕ
ωR0
0,8
0,5
0,5
0,2
0,9
vr =
0
0,95
1,0
1,05
0,5
Vϕ
ωR0
r
z
h0
Vr
Vr0
0,8
0,5
0,4
0
0,9
vz =
0
0,95
1,0
1,05
0,5
Vϕ
ωR0
r
z
h0
Vz
Vr0
0,8
0,5
0,4
0
0,9
0
0,95
1,0
1,05
r
Рис. 10. Распределение компонент вектора
скорости несущей среды по линии e (рис. 4)
Reω: U – 2,7⋅105; ‡ – 4,5⋅105; | – 5,4⋅105
0,5
Vϕ
ωR0
Рис. 11. Профили составляющих компонент
вектора скорости несущей среды на входном радиусе зоны сепарации ВЦК-1000
Reω: U – 2,7⋅105; ‡ – 4,5⋅105; | – 5,4⋅105
уменьшение радиальной составляющей скорости вызвано падением расхода
вследствие увеличения сопротивления аппарата при ускорении вращения ротора.
Экспериментальные измерения входного участка зоны сепарации ВЦК шаровым зондом обеспечивает задание граничных условий для расчета аэродинамики
сепарационного элемента [8]. Результаты такого расчета представлены на рис. 12,
где символами обозначены опытные данные.
По результатам представленных в статье экспериментальных исследований
аэродинамики зоны сепарации ВЦК могут быть сделаны следующие выводы.
1. Проведены измерения основных характеристик потока ВЦК в реальных условиях и установлены закономерности основных параметров.
2. На аэродинамику зоны сепарации оказывают влияние как конструктивногеометрические, так и рабочие параметры ВЦК.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальные исследования аэродинамики закрученного потока
vϕ =
91
Vϕ
ωR0
ωR 0
0,9
0,6
0,3
Рис. 12. Распределение среднеинтегральной окружной скорости по радиусу сепарационного элемента
ВЦК-1000 Reω: U – 2,7⋅105; U – 4,5⋅105; | – 5,4⋅105
3. Для исключения образования циркуляционного движения несущей среды
дополнительный подвод воздуха на периферию зоны сепарации следует осуществлять через сопла, направленные по ходу вращения ротора.
4. Для обеспечения регулирования начальной закрутки несущей среды на входе в зону сепарации необходима аксиальная подача основного потока через обтекатель ротора с радиальными лопатками. Величина начальной закрутки в этом
случае составляет 0,5 – 0,7 от скорости вращения границ зоны сепарации на входном радиусе.
5. При тангенциальной подаче основного потока воздуха в зону сепарации начальная закрутка практически не зависит от скорости вращения ротора и полностью определяется расходом несущей среды.
6. С помощью шарового зонда на ВЦК с производительностью до 2000 кг/ч
получены распределения тангенциальной, аксиальной и радиальной компонент
скорости несущей среды по радиусу и высоте входного участка зоны сепарации.
7. Результаты проведенных экспериментальных исследований замыкают математическую модель аэродинамики несущего турбулентного потока в профилированном вращающемся сепарационном элементе и позволяют анализировать течение в зоне сепарации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сосновский Н.Д., Шваб А.В., Зятиков П.Н. и др. Влияние гидродинамики течения несущей среды в профилированном канале воздушно-центробежного классификатора на
эффективность разделения порошков // Вопросы аэрогидромеханики и теплообмена.
Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. С. 32−47.
2. Зятиков П.Н., Росляк А.Т. Исследование воздушно-центробежного классификатора
дисперсных материалов // Методы гидроаэромеханики в приложении к некоторым технологическим процессам. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1977. С. 134−143.
3. Лаундер В.Е., Приддин С.Н., Шарма В.И. Расчет турбулентного пограничного слоя на
вращающихся и криволинейных поверхностях // Теоретические основы инженерных
расчетов. 1977. С. 332−340.
4. Адамс Р., Райс В. Экспериментальное исследование течения между совместно вращающимися дисками // Прикладная механика. 1970. Т. 37. № 3. С. 272−277.
5. Зятиков П.Н., Росляк А.Т., Кузнецов Г.В. Исследование турбулентного закрученного потока во вращающемся сепарационном элементе переменного сечения // Теплофизика и
аэромеханика. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2009. Т. 16. № 2. С. 253−259.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
92
П.Н. Зятиков
6. Петунин А.М. Методы и техника измерений параметров газового потока. М.: Машиностроение, 1972. 212 с.
7. Кутателадзе С.С., Волчков Э.П., Терехов В.И. Аэродинамика и тепломассообмен в ограниченных вихревых потоках. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1987. 282 с.
8. Шваб А.В., Зятиков П.Н., Садретдинов Ш.Р., Чепель А.Г. Исследование закрученного
турбулентного течения в рабочей зоне воздушного-центробежного классификатора //
ПМТФ. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2010. Т. 51. № 2 С. 253−259.
Статья принята в печать 27.10.2010г.
Zyatikov P.N. EXPERIMENTAL STUDIES OF SWIRLING FLOW AERODYNAMICS IN AN
AIR-CENTRIFUGAL CLASSIFIER. Distribution of the components of the carrying flow velocity vector in the separating element of the air-centrifugal powder classifier with capacity of up to
2000 kg/h (VPO-1000) was studied experimentally. The results of the experimental studies complement the mathematical model of rotor aerodynamics of a turbulent flow in a profiled rotating
separator element and make it possible to analyze the flow in the separation zone.
Keywords: Turbulent swirling flow, separation zone, initial twist, profile of a channel, circumferential and radial velocity components, experimental bench, ball probe, dust and gas stream.
ZYATIKOV Pavel Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: zpnpavel@sibmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 536.24
Г.В. Кузнецов, М.А. Аль-Ани, М.А. Шеремет
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ТЕПЛОПЕРЕНОСА
В ЗАМКНУТОМ ДВУХФАЗНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ТЕРМОСИФОНЕ
В УСЛОВИЯХ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ
Проведено численное моделирование режимов переноса массы, импульса и
энергии в замкнутом двухфазном цилиндрическом термосифоне с учетом
конвективного теплообмена с внешней средой. Математическая модель
сформулирована в безразмерных переменных «функция тока – вектор завихренности скорости – температура» в цилиндрических координатах. Получены распределения локальных термогидродинамических параметров, отражающих влияние окружающей среды. Установлены стадии переноса энергии из области испарения в зону конденсации термосифона.
Ключевые слова: замкнутый двухфазный термосифон, естественная конвекция, твердые стенки, закон Ньютона – Рихмана, цилиндрические координаты.
Замкнутый двухфазный термосифон (ЗДТ), который является по сути гравитационной бесфитильной тепловой трубой, использует испарение и конденсацию
рабочей жидкости внутри теплообменника для переноса энергии. В отличие от
обычной тепловой трубы, использующей капиллярную силу для возвращения
жидкости в испаритель, ЗДТ использует гравитацию для возвращения конденсата.
У него более простая конструкция, меньшее тепловое сопротивление, более высокий КПД и более низкая стоимость изготовления. Благодаря этим достоинствам
ЗДТ широко используется во многих сферах, таких как промышленная регенерация
тепла, охлаждение электронных компонентов и лопаток турбин, солнечные системы
отопления [1–3].
Большинство проведенных исследований [4–8] направлено на выявление характерных свойств термосифонов и анализ области их применения. Так, например, результаты изучения влияния коэффициента наполнения рабочей жидкости
на параметры стационарных режимов переноса тепла двухфазного замкнутого
термосифона на основе многопараметрической математической модели представлены в [8]. Рассмотрены три варианта взаимодействия пленки жидкости и парового канала. Суммарная интенсивность теплопередачи жидкостного резервуара,
обусловленная естественной конвекцией и пузырьковым кипением, определяется
на основе комбинации их эффективных (рабочих) площадей и коэффициентов теплопередачи.
Предложены новые соотношения эффективной площади, основанные на экспериментальных результатах других работ [4–7]. Проведены натурные исследования двух различных геометрических конфигураций ЗДТ с азотом в качестве рабочей среды, которые показали достаточно хорошее согласование с теоретическими
расчётами. Основной вывод работы связан с определением диапазона изменения
коэффициента наполнения, в котором ЗДТ может оставаться устойчивым и эф-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
94
Г.В. Кузнецов, М.А. Аль-Ани, М.А. Шеремет
фективным. Проанализировано влияние подводимой теплоты, рабочего давления
и геометрической конфигурации термосифона на этот диапазон.
Экспериментальное и численное исследование [9] различных двухфазных
замкнутых термосифонов малых, средних и больших размеров установило масштабы влияния полного перепада температур системы, температуры насыщения
рабочей жидкости, скорости и температуры охладителя, размера секции конденсатора, объема рабочей жидкости в системе на термогидродинамические структуры, а также условия эффективного функционирования термосифонов.
Исследование характеристик умеренных режимов работы ЗДТ на основе одномерной модели течения пара с использованием корреляционных соотношений,
определяющих эффекты кольцевого режима двухфазного потока, проведено в
[10]. Коэффициент теплопередачи на поверхности пленки жидкости определяется
как в ламинарном, так и в турбулентном приближениях. Математическая модель
включает в себя дифференциальные законы сохранения массы, количества движения и энергии в паровом канале и в пленке жидкости. Одним из основных недостатков представленной модели является отсутствие влияния окружающей среды вследствие пренебрежения теплопроводностью ограждающих стенок, что может приводить к отличным от реального физического процесса результатам [11].
Необходимо отметить, что высокая интенсивность теплопереноса при наличии
механизмов фазового перехода в термосифоне приводит к существенному повышению роли теплопроводности твердой оболочки даже в случае тонких стенок,
выполненных из материалов с высокой проводимостью.
Математическое моделирование переходных режимов функционирования
термосифона на основе плоских уравнений ламинарного потока сжимаемого идеального газа проведено в [12]. В начальный момент времени пренебрегалось наличие некоторого объема жидкости в зоне испарителя, что может значительно изменить характеристики переходных процессов в термосифоне. Вместо этого в модели рассматривался критический объём наполнения, обусловленный наличием
достаточного количества рабочей жидкости для увлажнения стенок термосифона.
Необходимо отметить, что наличие критического наполнения предполагает зависимость массы рабочей жидкости от тепловой нагрузки, что несколько не согласуется с условиями работы термосифонов.
Постановка задачи
Рассматривается краевая задача естественной конвекции в замкнутой цилиндрической области с теплопроводными стенками конечной толщины (рис. 1) при
наличии локальных участков испарения и конденсации, отражающих зоны фазового перехода. В отличие от [13] в настоящей работе учитывается конвективный
теплообмен с окружающей средой на границе z = Lz , отражающий реальные условия передачи энергии от нижних слоев теплообменника к верхним. Учет конвективного теплообмена с окружающей средой на верхней границе области решения позволяет оценить эффективность и производительность термосифона в реальных условиях работы.
При математическом моделировании предполагается, что внешние поверхности вертикальных стенок являются адиабатическими, а на нижней границе z = 0
поддерживается постоянная температура [13]. Рассматриваемая геометрия задачи
и граничные условия позволяют исключить влияние азимутальной координаты и
проанализировать процесс переноса массы, импульса и энергии в осесимметрич-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование нестационарных режимов теплопереноса
95
ной постановке. При проведении вычислительных экспериментов предполагалось, что теплофизические свойства материала стенок, пара и жидкости не зависят от температуры, а режим течения является ламинарным. Пар считался вязкой,
теплопроводной, ньютоновской жидкостью, удовлетворяющей приближению
Буссинеска. Для исследования гидродинамических режимов в пленке жидкости
использовался аналитический подход, изложенный в [14].
Lr
5
r2 r3
r1
2
z3
1
3
z2
Lz
4
z
z1
0
r
Рис. 1. Область решения задачи: 1 – пар; 2 – пленка
жидкости; 3 – металлический корпус; 4 – поверхность испарения; 5 – поверхность конденсации
Математическая модель была сформулирована с учетом следующих допущений:
- конвективный теплообмен с окружающей средой на внешних границах вертикальных стенок считался пренебрежимо малым по сравнению с интенсивной
продольной теплопроводностью;
- течения в паровом канале и в пленке жидкости рассматривались в ламинарном приближении;
- предполагалось, что пар находится в насыщенном состоянии и может рассматриваться как идеальный газ благодаря его очень малому давлению.
Принимая во внимание сделанные допущения основные уравнения переноса
массы, импульса и энергии в безразмерных переменных «функция тока – завихренность – температура» в цилиндрических координатах в системе «паровой канал–пленка жидкости» примут вид [13]
Pr1 ⎛ 2
∂Ω1 ∂ (U1Ω1 ) ∂ (V1Ω1 )
Ω1 ⎞ ∂Θ1
;
(1)
+
+
=
⎜∇ Ω − 2 ⎟ +
Ra1 ⎝
∂τ
∂R
∂Z
R ⎠ ∂R
∇ 2 Ψ1 −
2 ∂Ψ1
= − RΩ1 ;
R ∂R
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г.В. Кузнецов, М.А. Аль-Ани, М.А. Шеремет
96
∂Θ1 ∂ (U1Θ1 ) ∂ (V1Θ1 )
+
+
=
∂τ
∂R
∂Z
V2 = L2z
1
Ra1 ⋅ Pr1
∇ 2 Θ1 −
ρg z − ϕ 2
R + C1 ln R + C2 , Ψ 2 =
4μ 2
∂Θ 2
=
∂τ
1
U1Θ1
;
R
(3)
( r1 + r2 ) z2
∫
V2 dR ;
(4)
r1 z2
∇2 Θ2 .
(5)
Ra 2 ⋅ Pr2
Уравнение теплопроводности в стенках термосифона:
∂Θ3
= ∇ 2 Θ3 .
∂Fo
(6)
Здесь Ra1 = g z β∆Tz23 νa1 , Ra 2 = g z β∆Tz23 νa 2 – числа Рэлея в паровом канале и в
пленке жидкости; v – кинематический коэффициент вязкости; а – коэффициент
температуропроводности; Pr1 = ν1 a1 , Pr2 = ν 2 a2 – числа Прандтля пара и жидa3t0
1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂2
⎜R
⎟ + 2 – безразмерный оператор Лапласа; Fo = 2 –
R ∂R ⎝ ∂R ⎠ ∂Z
z2
число Фурье, φ – градиент давления. Постоянные С1, С2 определяются из граничных условий.
Число Нуссельта, отражающее интенсивность теплообмена на границе раздела
кости; ∇ 2 =
r1 z2
пар – твердая стенка Z = z1 z2 , вычисляется по формуле: Nu =
∫
0
∂Θ
dR .
∂Z
Безразмерные граничные условия для уравнений (1) – (6) получим в виде
∂Θ
= 0, Ψ = 0;
R = 0, 0 ≤ Z ≤ Lz z2 ,
∂R
R=
R=
Lr
∂Θ
= 0;
, 0 ≤ Z ≤ Lz z2 ,
∂R
z2
r1
z
z +z
∂Θ1
∂Θ2
∂Ψ
∂Ψ
= λ 2,1
=
, 1 ≤Z≤ 1 2 ,
, Θ1 = Θ 2 ,
, Ω1 = μ 2,1Ω 2 ;
z2 z2
z2
∂R
∂R
∂R 1 ∂R 2
R=
∂Θ3
r1 + r2
z
z +z
∂Θ 2
∂Ψ
= λ 3,2
= Ψ = 0;
, 1 ≤Z≤ 1 2 ,
, Θ 2 = Θ3 ,
∂R
∂R
∂R
z2
z2
z2
Z = 0, 0 ≤ R ≤
Z=
Z=
Z=
Lr
, Θ = Θh ;
z2
Lz
L
∂Θ
= Bi ( Θe − Θ ) ;
, 0 ≤R≤ r ,
z2
z2 ∂Z
∂Θ3
z1
r
∂Θ
= λ1,3 1 + Qисп wисп , Θ3 = Θ1 ;
, 0 ≤R≤ 1 ,
∂R
∂R
z2
z2
∂Θ
z1 + z2
r
∂Θ1
= λ 3,1 3 − Qкон wкон , Θ1 = Θ3 ,
, 0 ≤R≤ 1 ,
∂R
∂R
z2
z2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование нестационарных режимов теплопереноса
97
где λ 2,1 = λ 2 λ1 – относительный коэффициент теплопроводности; μ 2,1 = μ 2 μ1 –
относительный коэффициент динамической вязкости; Qисп , Qкон и wисп , wкон –
безразмерные теплоты и скорости испарения и конденсации, Bi = αLz λ3 – число
Био.
Сформулированная краевая задача с соответствующими начальными и граничными условиями решена методом конечных разностей [13 – 17].
Разработанный метод решения был протестирован на модельной задаче. Рассматривалось плоское ламинарное конвективное течение вязкой теплопроводной
жидкости [18] в замкнутой цилиндрической полости. На вертикальных стенках и
на верхней горизонтальной стенке поддерживался постоянный тепловой поток.
Нижняя горизонтальная стенка являлась адиабатической.
На следующих рисунках показано сравнение линий тока и полей температуры
при различных значениях числа Рэлея с численными результатами [18].
Ψ
1
а 0,5
0
–1
0,5
–0,5
0
0,5
1
0
–1
1
1
б 0,5
0,5
0
–1
Θ
1
–0,5
0
0,5
1
0
–1
–0,5
0
0,5
1
–0,5
0
0,5
1
Рис. 2. Линии тока Ψ и поля температуры Θ при Pr = 0,7, Ra = 103:
результаты [18] – a, полученные результаты – b
Ψ
1
а 0,5
0
–1
0,5
–0,5
0
0,5
1
0
–1
1
1
б 0,5
0,5
0
–1
Θ
1
–0,5
0
0,5
1
0
–1
–0,5
0
0,5
1
–0,5
0
0,5
1
Рис. 3. Линии тока Ψ и поля температуры Θ при Pr = 0,7, Ra = 104:
результаты [18] – a, полученные результаты – b
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г.В. Кузнецов, М.А. Аль-Ани, М.А. Шеремет
98
Ψ
1
а 0,5
0
–1
0,5
–0,5
0
0,5
1
0
–1
1
1
б 0,5
0,5
0
–1
Θ
1
–0,5
0
0,5
1
0
–1
–0,5
0
0,5
1
–0,5
0
0,5
1
Рис. 4. Линии тока Ψ и поля температуры Θ при Pr = 0,7, Ra = 105:
результаты [18] – a, полученные результаты – b
Результаты, представленные на рис. 2 – 4, наглядно показывают, что созданная
математическая модель и используемый численный алгоритм решения приводят к
достаточно хорошему согласованию с результатами других авторов.
Анализ полученных результатов
Численные исследования проводились для термосифона в форме цилиндра со
стальными стенками, в качестве рабочей жидкости рассматривалась вода. Были
выбраны следующие геометрические характеристики термосифона: высота –
100 мм, радиус – 25 мм, толщина стенок – 2 мм.
На рис. 5 – 8 показаны характерные линии тока, поля скорости и температуры
при различных числах Рэлея. Увеличение Ra приводит к интенсификации конвективного теплопереноса в паровом канале. Наблюдается рост объемов испаряемой
жидкости при условии, что скорость движения в пленке жидкости является постоянной величиной. Необходимо отметить, что в зоне конденсации происходит разделение потока – некоторое количество пара конденсирует и образует течение в пленке жидкости, а оставшаяся часть отражает формирование циркуляционной зоны в
паровом канале. При Ra = 103 (рис. 5) основным механизмом переноса энергии является теплопроводность, поэтому наблюдаются незначительные скорости циркуляции. Время передачи тепла из зоны испарения в зону конденсации достаточно
большое, что несоизмеримо с реальными условиями использования термосифонов.
Увеличение температурного напора в 10 раз (рис. 6) приводит к формированию
рециркуляционной зоны в нижней части теплообменника. Последнее отражает образование застойной тепловой области, препятствующей интенсивному переносу
энергии в верхние слои термосифона. Дальнейшее увеличение числа Рэлея (рис. 7,
8) проявляется в смещении вихря в вертикальном направлении к зоне конденсации,
что также может приводить к снижению КПД анализируемого объекта.
На рис. 9 показаны профили температуры в сечении R = 0 при различных значениях числа Рэлея. Увеличение перепада температуры в паровом канале приводит к росту температуры на оси цилиндра. Наиболее существенные изменения наблюдаются при 104 < Ra < 105 , что объясняется как формированием термического
факела, так и устойчивой рециркуляционной зоны в паровом канале (рис. 7).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование нестационарных режимов теплопереноса
а
Z
1
б
в
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,1
0,2
0
0,1 0,2
0
0,1 0,2 R
Рис. 5. Линии тока (а), поля скорости (б) и температуры (в)
при Ra = 103
а
Z
1
б
в
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,1
0,2
0
0,1 0,2
0
0,1 0,2 R
Рис. 6. Линии тока (а), поля скорости (б) и температуры (в)
при Ra = 104
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г.В. Кузнецов, М.А. Аль-Ани, М.А. Шеремет
100
а
Z
1
б
в
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,1
0,2
0
0,1 0,2
0
0,1 0,2 R
Рис. 7. Линии тока (а), поля скорости (б) и температуры (в)
при Ra = 105
а
Z
1
б
в
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,1
0,2
0
0,1 0,2
0
0,1 0,2 R
Рис. 8. Линии тока (а), поля скорости (б) и температуры (в)
при Ra = 106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование нестационарных режимов теплопереноса
101
Θ
1
Ra = 103
Ra = 104
Ra = 105
Ra = 106
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Z
Рис. 9. Профили температуры в сечении R = 0
На рис. 10, а показана зависимость среднего числа Нуссельта от числа Рэлея
на границе Z = z1/z2. Следует отметить слабоинтенсивные режимы переноса энергии при Ra < 5·104, отражающие доминирование кондуктивного механизма теплообмена. Дальнейшее увеличение температурного напора приводит к существенному повышению числа Нуссельта Nu.
Nu
6.5
Nu
а
5,6
б
6
5.5
5,4
5
5,2
4.5
Ra = 5⋅103
Ra = 5⋅104
Ra = 5⋅105
4
5
3.5
4,8
103
3
104
105
Ra
0
10
20
30
40
50
τ
Рис. 10. Зависимость среднего числа Нуссельта от числа Рэлея (а)
и безразмерного времени (б)
Рис. 10, б демонстрирует нестационарность анализируемого процесса. Изменение среднего числа Нуссельта во времени наиболее существенно на начальном
этапе 0 < τ ≤ 5 . При τ > 5 наблюдается достижение термически стабилизированного режима.
Профили вертикальной компоненты скорости в различных сечениях представлены на рис. 11. Распределения на рис. 11, а еще раз подтверждают формирование
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г.В. Кузнецов, М.А. Аль-Ани, М.А. Шеремет
102
слабоинтенсивного конвективного течения при Ra = 104. По мере удаления от
границы испарения наблюдается увеличение скорости течения пара, что характеризует наличие температурного напора вниз по потоку.
Повышение числа Рэлея (рис. 11, б) приводит к существенному росту скорости
течения в центре парового канала, а также проявляется в увеличении размеров
области нисходящих потоков пара вблизи пленки жидкости. Последнее характеризует интенсификацию теплопереноса в анализируемом теплообменнике.
Сравнение полученных распределений изотерм и линий тока со случаем постоянной температуры, поддерживаемой на границе Z = Lz/z2 [13], отражает существенное влияние вида граничных условий на начальном временном этапе. С течением времени различия становятся незначительными, что объясняется влиянием оболочки термосифона, а также достижением установившегося режима переноса энергии. На рис. 12 представлено сравнение профилей температуры в характерных сечениях термосифона. Использование граничных условий, определяющих
V
V
0,3
а
0,02
0
б
0,2
–0,02
0,1
–0,04
Z = 0,066
Z = 0,466
–0,06
0
–0 ,08
–0,1
–0,1
0
0,1
0,2
R
0
0,1
0,2
R
Рис. 11. Профиль вертикальной компоненты скорости в различных сечениях Z = const
при Ra = 104 – (а), Ra = 105 – (б)
Θ
1
Θ
а
б
0,12
0,8
0,6
0,08
0,4
0,04
0,2
0
0
0,4
0,8
Z
0
0
0,1
5
0,2
Рис. 12. Профили температуры при Ra = 10 в сечении R = 0
при τ = 2 – (а), Z = 0,9 при τ = 60 – (б)
R
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование нестационарных режимов теплопереноса
103
реальные механизмы теплообмена с внешней средой, проявляется в уменьшении
температуры вследствие малого термического сопротивления ограждающих твердых стенок.
Заключение
Проведен многопараметрический численный анализ нестационарных режимов
сопряженной термогравитационной конвекции в цилиндрическом термосифоне в
условиях конвективного теплообмена с внешней средой. Получены распределения линий тока, поля скорости и температуры, характеризующие особенности
анализируемых режимов течения и теплопереноса при Ra = 103 − 106 , Pr = 0, 7,
0 ≤ τ ≤ 100. Установлены особенности формирование термогидродинамических
режимов при изменении температурного напора в анализируемом объекте. Показано, что при 0 < τ ≤ 5 наблюдаются значительные изменения среднего числа
Нуссельта на поверхности испарения. Установлены существенные отличия в локальных распределениях линий тока и изотерм со случаем постоянной температуры на внешней поверхности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Esen M., Esen H. Experimental investigation of a two-phase closed thermosyphon solar water
heater // Solar Energy. 2005. V. 79. P. 459–468.
2. Desrayaud G., Fichera A., Marcoux M. Numerical investigation of natural circulation in a
2D-annular closed-loop thermosyphon // Int. J. Heat Fluid Flow. 2006. V. 27. P. 154–166.
3. Бакиев Т.А., Юсупов С.Т. Перспективы применения термосифонов в газовой промышленности // Материалы научно-технической конференции. М.:ООО «ИРЦ Газпром»,
2005. С. 16–22.
4. Imura H., Ssasaguchi K., Kozai H. Critical heat flux in a closed two phase thermosyphon //
Int. J. Heat Mass Transfer. 1983. V. 26. P. 1181–1188.
5. Shiraishi M., Kikuchi K., Yamarcishi T. Investigation of heat transfer characteristics of a two
phase closed thermosyphon // Proc. Fourth Intern. Heat Pipe Conf. 1981. P. 95–104.
6. Ueda T., Miyashita T., Chu P.H. Heat transport characteristics of a closed two-phase
thermosyphon // Trans. JSME. 1988. Part B 54. V. 506. P. 2848–2855.
7. El-Genk M.S., Saber H.H. Heat transfer correlations for small, uniformly heated liquid pools
// Intern. J. Heat Mass Transfer. 1998. V. 41. P. 261–274.
8. Jiao B., Qiu L.M., Zhang X.B., Zhang Y. Investigation on the effect of filling ratio on the
steady-state heat transfer performance of a vertical two-phase closed thermosyphon // Appl.
Therm. Eng. 2008. V. 28. P. 1417–1426.
9. Seok-Ho Rhi An Experimental and Analytical Study on Two-Phase Loop Thermosyphons.
Very Small to Very Large Systems // The Ottawa-Carleton Institute for Mechanical and
Aeronautical Engineering. D.S.Thesis. Canada, 2000.
10. Reed J.G., Tien C.L. Modeling of the Two-Phase Closed Thermosyphon // ASME. J. Heat
Transfer. 1987. V. 109. P. 722–730.
11. Sheremet M.A. The influence of cross effects on the characteristics of heat and mass transfer
in the conditions of conjugate natural convection // J. Engineering Thermophysics. 2010.
V. 19, № 3. P. 119–127.
12. Harley C., Faghri A. A complete transient two-dimensional analysis of two-phase closed
thermosyphons including the falling condensate film // ASME. J. Heat Transfer. 1994. V. 116.
P. 418–426.
13. Кузнецов Г.В., Аль-Ани М.А., Шеремет М.А. Численный анализ влияния температурного перепада на режимы переноса энергии в замкнутом двухфазном цилиндрическом
термосифоне // Изв. Томского политехнического университета. 2010. Т. 317. № 4.
С. 13–19.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
104
Г.В. Кузнецов, М.А. Аль-Ани, М.А. Шеремет
14.
15.
16.
17.
Семенов П. Течение жидкости в тонких слоях // ЖТФ. 1944. Т. 14. № 7–8. С. 427–437.
Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.
Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов теплои массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.
18. Lemembre A., Petit J.P. Laminar natural convection in a laterally heated and upper cooled
vertical cylindrical enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. V. 41. P. 2437–2454.
Статья принята в печать 17.12.2010г.
Кuznetsov G.V., Al-Ani Maathe, Sheremet M.A. MATHEMATICAL SIMULATION OF TRANSIENT HEAT TRANSFER IN A TWO-PHASE CLOSED CYLINDRICAL THERMOSiPHON
IN CONDITIONS OF CONVECTIVE HEAT EXCHANGE WITH AN ENVIRONMENT. Numerical simulation of mass transfer, momentum, and energy transport regimes in a two-phase
closed cylindrical thermosiphon in conditions of convective heat exchange with an environment
has been carried out. The mathematical model has been formulated in dimensionless variables
such as stream function, vorticity, and temperature in cylindrical coordinates. Distributions of local thermo-hydrodynamic parameters reflecting influence of an environment have been obtained.
Stages of energy transport from the evaporation zone to the condensation zone of the thermosyphon have been determined.
Keywords: two-phase closed thermosyphon, natural convection, solid walls, Newton – Richmann
law, cylindrical coordinates.
КUZNETSOV Genii Vladimirovich (Tomsk Polytechnic University)
AL-ANI Maathe (Tomsk Polytechnic University)
E-mail: maathe_a@yahoo.com
SHEREMET Mikhail Aleksandrovich (Tomsk State University)
E-mail: sheremet@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 533.6+539.3
Е.П. Лукащик, О.В. Иванисова
ВЛИЯНИЕ ВОЛНООБРАЗОВАНИЯ
НА ГИДРОУПРУГУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДВОДНОГО ПРОФИЛЯ
Настоящая работа посвящена постановке связанной задачи гидроупругости
тонкого упруго-деформируемого профиля в ограниченном потоке тяжелой
жидкости при различных условиях закрепления кромок профиля, а также
разработке эффективного метода расчета его гидродинамических характеристик и прогибов. Проведено исследование влияния волнообразования и упругих свойств на устойчивость профиля в потоке.
Ключевые слова: задача гидроупругости, крыловой профиль, весомая жидкость, волнообразование, устойчивость профиля.
Движение тел вблизи или под свободной поверхностью жидкости, находящейся в поле действия силы тяжести, приводит к возникновению вынужденных поверхностных волн. Возмущения поверхности жидкости, инициированные движением тела, порождают колебания частиц жидкости около положения равновесия.
Процесс возникновения и передачи этих колебаний, обусловленный восстанавливающим действием силы тяжести, носит название волнообразование, а данный
вид волн определяется как гравитационные. Вызванные волнообразованием дополнительные скорости жидкости влияют на закон распределения давления по
поверхности тела, в результате чего на тело действуют гидродинамические силы
волновой природы. Определение этих сил, а также вида вынужденных волн в зависимости от формы тела, скорости и других условий его движения является важной проблемой гидродинамики, имеющей большое значение при исследовании
движения различных типов судов [1].
В последнее время в гидродинамике наряду с классическими исследованиями
сравнительно жестких, слабо деформируемых крыльев значительное внимание
уделяется мягким поверхностям. Гибкие элементы из высокопрочных мягких материалов используются в качестве несущих поверхностей судов на подводных
крыльях, лопастей гидромашин. В связи с проблемами экологии и охраны природы, гибкие несущие поверхности используются для удержания в надлежащем
месте рыбозащитных устройств на гидротехнических сооружениях.
Стремление полнее использовать известные свойства материалов требует глубоких комплексных исследований явлений и свойств, зачастую с привлечением
сведений из различных смежных областей. Расширение представлений об упругом поведении материалов в настоящее время в значительной степени базируется
на универсальных методах расчета, основу создания и разработку которых составляют математические теории. Сложность совместной задачи требует разумного компромисса между учетом особенностей гидродинамических и упругих явлений. В соответствии со вкусами авторов здесь возможны варианты с различной
степенью учета факторов той или иной части составляющих общей связанной задачи: больше гидродинамики и менее точный учет упругости или наоборот.
В работах Фёльца [2] и Нильсена [3] в качестве уравнения связи между прогибами профиля и перепадом давления было использовано уравнение статики гиб-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
106
Е.П. Лукащик, О.В. Иванисова
кой нити. Нильсен впервые указал на собственные формы равновесия гибкой нити в потоке несжимаемой жидкости. При рассмотрении обтекания упругодеформируемых профилей Б.С. Берковским [4] перемещения точек профиля определялись согласно уравнению изгиба балки-полоски. Б.С. Берковский исследовал профили достаточно большой жесткости, когда учет влияния упругих деформаций приводит к незначительным изменениям в определении аэродинамических
сил и моментов.
Замена профиля дискретными вихрями применялась С.И. Гур-Мильнером [5]
при исследовании дивергенции консольного профиля, закрепленного по выходной кромке. Наиболее общий подход к решению задач гидроупругости крыла на
основе вихревой теории изложен в работах С.М. Белоцерковского, А.С. Вольмира,
М.И. Ништа, А.Т. Пономарева [6].
Представляет интерес подход, широко используемый многими авторами, наиболее полно представленный в монографии В.В. Болотина [7] и основанный на
применении линейных уравнений изгиба пластин при наличии заданных постоянных усилий в срединной плоскости. Такое приближение позволяет несколько упростить анализ сложных механических явлений, обусловленных взаимодействием
гидродинамических и упругих сил, и в то же время сохраняет основные особенности гидроупругих явлений.
Для упруго-деформируемых профилей, обтекаемых несжимаемой жидкостью
или дозвуковым потоком, аэродинамическая гипотеза, аналогичная «теории
поршня», предложена И.И.Ефремовым [8].
Следует отметить, что, несмотря на отдельные работы, вопросы учета влияния
упругих деформаций на гидродинамические характеристики тонких крыльев изучены еще недостаточно. Особенно это касается учета влияния границ потока, в
том числе волновых, в гидродинамической части задачи и различных способов
закрепления кромок профиля в упругой части.
Постановка задачи
Рассмотрим движение тонкого упругого крыла бесконечного размаха под свободной границей идеальной несжимаемой весомой жидкости. Для тонких тел
справедливо допущение о малости относительных высот вынужденных волн, вызываемых их движением. Это позволит в дальнейшем считать малыми скорости,
вызванные волновым движением, и применить линейную теорию волн.
Чтобы свести задачу к изучению установившегося движения, применим принцип обратимости. Будем рассматривать обтекание неподвижного профиля, расположенного под свободной поверхностью жидкости, потоком со скоростью на бесконечности впереди V∞. Подвижную систему координат свяжем с профилем. Направим ось Ox вдоль скорости V∞. Ось Oy проведем через середину хорды профиля и направим вверх против силы тяжести g. Таким образом, профилю соответствует на оси Ox отрезок [−l, l], l – полухорда профиля.
Расстояние между профилем и невозмущенным уровнем свободной поверхности обозначим H. В уравнении свободной поверхности y = H + η(x) и в уравнении
y = f0(x) + f (x), определяющем форму тонкого упругого профиля, отдельно выделены деформационные составляющие (η(x) – изменения свободной поверхности
относительно невозмущенного уровня, f (x) – упругие смещения относительно заданной первоначальной формы профиля f0(x)). Принимаем, что деформации свободной поверхности, а также прогибы профиля малы по сравнению с длиной хорды.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля
107
Предположения о тонкости профиля и малости возмущений позволяют линеаризовать постановку задачи, сохранив в ней величины первого порядка малости и
снося соответствующие граничные условия на невозмущенный уровень жидкости
и на разрез вдоль оси Ox (проекцию профиля).
Для упругих несущих поверхностей геометрическая форма поверхности заранее не известна и определяется в зависимости от возникающих гидродинамических нагрузок, в то время как сами гидродинамические нагрузки существенно зависят от упругих перемещений несущей поверхности. В этом случае задача определения перепада давления (гидродинамическая) и задача определения упругих
перемещений (упругая) должны решаться совместно.
Существуют различные способы сведения двух указанных задач к одной. Первый способ, как правило, основан на обращении интеграла типа Коши, исключении неизвестной гидродинамической нагрузки и переходу к обобщенному уравнению изгиба пластины. Такой способ, например, удобно применять в случае существования точного решения гидродинамической части общей задачи гидроупругости. Однако для большинства задач с ограниченными потоками точного решения не существует.
Поэтому в таких случаях чаще всего обращаются к подходу, когда строится
точное решение упругой части задачи (например, методом функций Грина), исключаются из системы неизвестные упругие деформации и задача сводится к гидродинамическому уравнению с модифицированным углом атаки.
В данной работе будет принят второй способ как более универсальный для
гидродинамических ситуаций и приемлемый для упругой части задачи.
1. Гидродинамическая часть задачи
При изучении проблемы влияния волнообразования на гидродинамические характеристики гибкого профиля, как обычно в теории волн, движение жидкости
предполагается потенциальным.
В подвижной системе, связанной с профилем, потенциал не зависит от времени,
а вынужденные волны неподвижны относительно выбранной системы координат.
Внутри течения, кроме области профиля S = {y = 0, x ∈ [–l, l]}, потенциал возмущенного течения φ(x, y) удовлетворяет уравнению Лапласа
∆φ = 0, y < H.
(1)
Для решения этого уравнения сформулируем граничные условия на контуре
профиля, на свободной поверхности и на бесконечности.
Условия на свободной поверхности:
а) динамическое условие следует из интеграла Бернулли при предположении,
что вдоль свободной поверхности жидкости давление постоянно и равно атмосферному, т.е. p∞
V∞·φ‫׳‬x + g·η = 0,
(2)
b) кинематическое условие означает, что свободная граница является линией
тока
φ‫׳‬y = V∞·η‫׳‬x .
(3)
Объединяя эти два условия, получим условие для потенциальных течений на свободной поверхности тяжелой жидкости, известное как условие теории малых волн
∂2ϕ
∂ϕ
+ν
= 0 при y = H,
(4)
2
∂y
∂x
где ν = g / V∞2 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.П. Лукащик, О.В. Иванисова
108
Условие плавного обтекания тонкого крыла:
∂ϕ
df ⎞
⎛ df
= υ y ( x) = V ⎜ 0 +
⎟ при x ≤ l .
∞
∂y y = 0
⎝ dx d x ⎠
(5)
Условия на бесконечности обеспечивают отсутствие возмущений по мере удаления от профиля, т.е. возмущенное течение далеко впереди крыла (при x → – ∞)
и на бесконечной глубине (y → – ∞) должно отсутствовать, позади профиля (при
x → +∞) должно быть ограничено.
2. Упругая часть задачи
В качестве уравнения связи деформации формы профиля с распределением
давления вдоль его границ возьмем уравнение равновесия для случая цилиндрического изгиба пластины при наличии усилий в срединной плоскости
D
d4 f
dx
4
−T
d2 f
dx 2
= p− − p+ = ρV∞ γ ( x ) .
(6)
Здесь D – изгибная жесткость, Т – усилие в срединной плоскости (Т > 0 в случае
растягивающих усилий, T < 0 – для сжимающих усилий).
Уравнение (6) должно быть дополнено краевыми условиями закрепления кромок профиля.
Так, закрепление концов профиля в шарнире приводит к исчезновению смещений и момента сил на концах, что описывается соотношениями
f ( ±l ) = f ′′ ( ±l ) = 0 .
В случае жесткого закрепления краев профиля отсутствует смещение на концах и фиксируется направление контура, т.е.
f ( ±l ) = f ′ ( ±l ) = 0 .
Методика решения
Введем в рассмотрение функцию γ(x), которую можно интерпретировать как
интенсивность вихревого слоя, моделирующего влияние профиля на поток:
∂ϕ ⎞
⎛ ∂ϕ
γ ( x ) = ⎜⎜ + − − ⎟⎟
, x ≤ l,
∂x ⎠
⎝ ∂x
y=0
где φ+(x) и φ–(x) – потенциалы скорости выше и ниже уровня y = 0 соответственно.
На основе интеграла Бернулли имеем следующее выражение для распределения давления вдоль профиля:
p − p = ρV∞ γ ( x ) .
−
+
Под действием преобразования Фурье по переменной x задача (1), (4), (5) перейдет в уравнение
Г (α ) K (α ) = V ( α ) ,
(7)
где Г(α), V(α) – образы по Фурье функций γ(x) и υy(x) соответственно,
K (α ) =
⎛
1
2ν −2 α H
sign α ⎜ 1 + e−2 α H +
e
2i
α
−ν
⎝
⎞
⎟.
⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля
109
Применяя обратное преобразование Фурье к уравнению (7) и используя теорему о свертке функций, получим
l
⎛ df 0
df ⎞
∫ γ(ξ)k ( x − ξ)d ξ = υ y ( x) = V∞ ⎜⎝ dx + dx ⎟⎠ ,
−l
+∞
1
− iα x
k ( x) =
∫ K (α)e d α.
2π −∞
(8)
Заметим, что K(α) является сингулярным ядром типа Коши, так как
1
K ( α ) ⎯⎯⎯→
sign ( α ) . Функция K(α) имеет следующие особые точки: α = 0 –
α →∞
2i
точка ветвления, α = ±ν – два симметричных действительных полюса. Для определенности выбрана главная ветвь (√1=1). Данный выбор учитывался при построении решения, чтобы обеспечить условие на бесконечной глубине (при
y → −∞).
Для выполнения условий далеко впереди профиля либо далеко за ним при
x > 0 контур интегрирования замыкаем на нижнюю полуплоскость (α), а при x < 0
– на верхнюю полуплоскость.
Применение принципа предельного поглощения [9] показывает, что полюса
выходят на действительную ось с нижней полуплоскости при стремлении коэффициента диссипации к нулю, т.е. их вклад нужно учитывать при x > 0. Для удовлетворения условию конечности возмущений при x → +∞ разрез проведем вдоль
мнимой отрицательной оси. Вычисление ядра для положительных x, таким образом, сводится к сумме двух вычетов и интегрированию вдоль отрицательной
мнимой оси.
В случае отрицательных x необходимо обеспечить выполнение условия отсутствия возмущений при x → –∞. Это условие удается выполнить, если разрез плоскости (α) провести вдоль положительной мнимой оси. В результате при отрицательных x интеграл для k(x) (8) сводится к вычислению интегралов по берегам
разреза вдоль положительной мнимой оси.
Таким образом, гидродинамическая часть задачи сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое можно записать в безразмерном виде:
⎧ ⎛
1
x−ξ
⎪1
(
)
γ
ξ
∫ ⎨ 2π ⎜⎜ x − ξ +
2
⎪⎩ ⎝
x − ξ + 16h 2
−1
1
(
′
′
= − ( f 0 ( x) + f ( x) ) ,
где
)
⎞
⎫
⎟ − R ( x − ξ) ⎬⎪ d ξ =
⎟
⎠
⎭⎪
x ≤ 1,
при x < 0;
⎧− I ( x)
⎪
2h
R( x) = ⎨
1 − 2
x
при x > 0;
⎪ I ( x) − 2 e Fr cos
⎩
Fr
2 Fr 2
I ( x) =
1
π
+∞
∫
0
e −β x
4β2 Fr 4 + 1
( cos 4βh + 2Fr 2β sin 4βh ) d β .
V
H
Здесь x = l x , γ (ξ) = V γ (ξ) , f ( x) = l f ( x) , h =
, Fr = ∞ .
∞
2l
2l g
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.П. Лукащик, О.В. Иванисова
110
Используя параметры
ρV∞2 (2l )3
ρV 2 2l
, μ= ∞ ,
D
T
запишем уравнение цилиндрического изгиба пластины (6) в безразмерном виде:
λ=
d4 f
dx
4
−
β2 d 2 f λ
= γ x ,
4 d x2 8
( )
β2 =
λ
.
μ
В дальнейшем черточки над безразмерными величинами будем опускать.
Для выражения решения упругой части задачи через произвольное распределение давления по профилю применим метод функций Грина G(x, s). Функция
Грина зависит от краевых условий, например:
для шарнирного закрепления
f ( x) =
=
1
λ
γ ( s ) G1 ( x, s ) ds =
8 −∫1
x
λ ⎪⎧
β( x − s ) β( x − s ) ⎤
γ ( s ) ⎡⎢sh
−
ds −
⎨
3 ∫
2
2 ⎥⎦
⎣
β ⎪⎩ −1
1
β (1 − s ) β (1 + x ) β
⎡ 1
⎤ ⎫⎪
sh
sh
− ∫ γ (s) ⎢
− (1 − s )(1 + x ) ⎥ ds ⎬ ;
2
2
4
⎣ sh β
⎦ ⎪⎭
−1
для жесткого закрепления
1
λ
γ ( s ) G2 ( x, s ) ds =
8 −∫1
β (1 + x ) β (1 + x )
⎧
x
sh
−
λ ⎪
β( x − s ) β( x − s ) ⎤
⎡
2
2
ds
= 3 ⎨ ∫ γ ( s ) ⎢sh
−
+
×
2
2 ⎥⎦
( 2 ch β − β sh β − 2 )
⎣
β ⎪ −1
⎩
1
β (1 − s ) β (1 − s )
⎡ β (1 + s )
⎤
sh β ⎥ ds −
× ∫ γ ( s ) ⎢ ch
+ 1 − ch β − ch
+
2
2
2
⎣
⎦
−1
f ( x) =
β (1 + x )
−1 1
β (1 − s ) ⎤
⎡ β (1 + s ) β (1 + s )
2
ds −
−
γ ( s ) ⎢sh
+
− β ch
2
2
2 ⎥⎦
( 2 ch β − β sh β − 2 ) −∫1
⎣
β (1 + x )
⎫
ch
−1 1
⎪
s
s
β
−
β
−
1
1
(
)
(
)
⎡
⎤
2
ds ⎬ .
ch β − sh β + sh
γ (s) ⎢
−
∫
⎥
2 ⎦ ⎪
( 2 ch β − β sh β − 2 ) −1
⎣ 2
⎭
Выражение для упругих перемещений f(x), полученное через функцию Грина
G(x, s), подставим в уравнение (9) и перенесем в левую часть. В результате получим обобщенное уравнение в безразмерном виде:
ch
1
⎡
df
λ ∂G
( x, s )⎤⎥ ds = 0 .
dx
∂x
⎦
∫ γ ( s ) ⎢⎣ k ( x − s) − 8
−1
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля
111
Тип уравнения (10) определяет функция k(x) (на особенность которой было
указано в гидродинамической части), в силу чего соответствующий интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.
Решение уравнения (10) γ(x) применяется для определения прогибов упругого
профиля и реакции гидродинамических сил. Так, в данной работе использовались
следующие формулы для определения
коэффициента подъемной силы
1
∫ γ(s)ds ;
Cy =
−1
коэффициента сопротивления
1
⎡1
⎤
λ ∂G
⎛
x
γ
(
)
( x, s ) ⎟⎞ ds ⎥dx = С xw + Cxe .
⎢ ∫ γ (s)⎜ R ( x − s) −
∫
8 ∂x
⎝
⎠ ⎥⎦
⎢⎣ −1
−1
Заметим, что для данного случая плоского движения тела с постоянной скоростью парадокс Эйлера – Даламбера не наблюдается. Профиль при движении испытывает влияние горизонтальной силы, вызванной волнообразованием Cxw и упругими деформациями Cxe. Влияние сил волновой природы определяет регулярная
функция R(x). В случае невесомой жидкости (Fr → ∞) R(x) → 0. Волновое сопротивление Cxw имеет большое значение с точки зрения ходкости судов.
Для определения формы свободной поверхности η(x) весомой жидкости используем динамическое условие (2). На основе преобразования Фурье имеем интегральное представление для потенциала скорости выше уровня y = 0:
Сx =
1
ϕ+ ( x ) =
∫ γ( s)
−1
где
K1 (α) =
+∞
1
− iα ( x − s )
d αds ,
∫ K1 (α)e
2π −∞
sign α
2 Fr 2
e− α 2h .
2
2
i 2α Fr − α
В результате для η(x) получим выражение в виде
η( x) =
1
∫ γ (s) R1 ( x − s)ds ,
−1
где
при x < 0;
⎧ I1 ( x)
⎪
h
− 2
R1 ( x) = ⎨
x
при x > 0;
⎪ I1 ( x) − 2e Fr sin
⎩
2 Fr 2
+∞
1 2 Fr 2 e−β x
2 Fr 2β cos 2β h − sin 2β h d β.
I1 ( x) = ∫
2
4
π 0 4β Fr + 1
(
)
Для численного решения уравнения (10) используем метод дискретных вихрей, который успешно применяется в гидродинамике для решения сингулярных
уравнений типа Коши. Для обеспечения условия Жуковского – Чаплыгина о конечности давления в выходной кромке профиля выберем следующую схему расположения дискретных вихрей и точек коллокации:
2
3
2
1
s j = −1 + ⎛⎜ j − ⎞⎟ , xi = −1 + ⎛⎜ i − ⎞⎟ , i, j = 1, N .
4⎠
N⎝
N ⎝ 4⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.П. Лукащик, О.В. Иванисова
112
Соответствующую уравнению (10) систему линейных алгебраических уравнений можно записать в матричном виде
( A − λB ) γ = C ,
(11)
где А и В – матрицы порядка N × N, С – вектор правой части, γ – вектор неизвестных γi.
Выбранная дискретная схема приводит к преобладанию диагональных элементов матрицы системы, что повышает устойчивость численных вычислений.
Зная γi, можно определить коэффициенты подъемной силы и сопротивления,
форму профиля и свободной поверхности по следующим формулам:
Сy =
Сx =
4
N
2
N
N
i =1
j =1
2
N
N
∑ γi ,
i =1
{
}
λ ∂G
∑ γ i ∑ γ j R ( xi − s j ) − 8 ∂x ( xi , s j )
y ( xi ) = f 0 ( xi ) +
η ( xi ) =
2
N
λ 2
8N
N
,
N
∑ γ j G( xi , s j ) ,
j =1
∑ γ j R1 ( xi − s j ),
i = 1,N .
j =1
Численный эксперимент в работе проводился при N = 50.
Анализ результатов
Упругие деформации изменяют скос потока или эффективный угол атаки крыла, что приводит к перераспределению нагрузки вдоль хорды и сказывается на
суммарных гидродинамических характеристиках.
1. Вначале рассмотрим поведение в потоке достаточно упругого профиля
(D ≠ 0, T = 0) при f0' = −ε. Упругие свойства профиля в данном случае определяет
его изгибная жесткость (параметр λ). Деформации формы такого профиля при
различных условиях закрепления определяются по следующим формулам:
для шарнирного закрепления концов профиля
f ( x) =
λ ( x + 1) 1
λ x
3
2
2
∫ γ ( s )( x − s ) ds −
∫ γ ( s )(1 − s ) ⎡⎣( x + 1) + (1 − s ) − 4 ⎤⎦ ds ;
48 −1
96 −1
для жесткого закрепления концов
f ( x) =
2
λ ( x + 1) 1
λ x
3
2
⋅ ∫ γ ( s )( x − s ) ds −
∫ γ ( s )(1 − s ) [ 2 ( x − s ) + xs − 1] ds .
48 −1
192 −1
Рис. 1 демонстрирует зависимость гидродинамических характеристик от λ.
При переходе параметра гибкости λ через некоторые критические значения отмечается скачок характеристик и смена знака. Значения λ, при которых происходит
потеря статической устойчивости, соответствуют собственным значениям λk матрицы B–1A (11).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля
Cy
ε
16
12
8
4
0
–4
–8
–Cx
ε2
а
113
б
4
10
20
30
40 50
λ
8
0
10
20
30
40
λ
8
–4
–8
Рис. 1. Влияние изгибной жесткости на значения: а – подъемной силы,
б – сопротивления при Fr = 2, h = 0,5 (—— шарнирное, — — жесткое закрепление)
В табл. 1 приведены значения первых трех собственных значений для разных
чисел Фруда при движении жестко закрепленного профиля на различных глубинах.
Таблица 1
h
Fr
0,2
0,5
1
5
λ1
λ2
λ3
λ1
λ2
λ3
λ1
λ2
λ3
λ1
λ2
λ3
0,2
44,8
257,797
678,26
-617+1316i
-617-1316i
495,24
119,697
332,866
857,33
89,69
329,84
769,19
0,3
55,09
286,876
708,067
184,6+54,27i
184,6-54,27i
665,21
105,46
313
832,3
82,18
315,82
754,91
0,4
60,328
296,77
715,51
62,58
284,958
694,3
97,46
305,58
817,97
78,43
310,657
750,34
0,6
64,868
302,757
721,038
60,485
298,57
713,296
87,9
301,02
795,04
75,097
307,09
746,19
0,8
66,6
304,37
723,46
64,46
302,566
720,125
81,77
300,48
776,1
73,72
305,92
744
Точки разрывов гидроупругих характеристик профиля соответствуют действительным значениям собственных чисел (см. рис. 1), если собственные числа –
комплексные, то потери устойчивости не происходит.
Поведение упругого профиля в потоке жидкости существенно зависит от условий закрепления. Так, при шарнирном закреплении получено, что при h = 0,2 и
Fr ∈ [0,398; 0,559] величина λ1 не имеет действительных значений, а для h = 0,3
при любых числах Fr значение λ1 действительно. В случае жесткого закрепления:
при h = 0,2 и Fr ∈ [0,387; 0,577], а также при h = 0,3 и Fr ∈ [0,48; 0,534] величина
λ1 не имеет действительных значений. Из рис. 1 также видно, что при жесткой заделке по обоим краям критические значения заметно возрастают, то есть профиль
становится более устойчивым.
Кривизна профиля, также как подъемная сила, при переходе параметра λ через
критические значения скачком меняет знак. Соответствующие критическим значениям λ формы профиля являются собственными криволинейными формами
равновесия тонкой пластины в потоке жидкости. На рис. 2 представлены собственные формы равновесия гибкого, жестко закрепленного профиля при Fr = 2,
h = 0,5. Первая собственная форма достаточно хорошо аппроксимируется косину-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.П. Лукащик, О.В. Иванисова
114
соидой (рис. 2, a), вторая собственная форма имеет горб и впадину и близка к синусоиде (рис. 2, б). Приближение профиля к свободной границе не приводит к
значительным изменениям собственных форм равновесия.
y
ε
40
а
λ = 84
λ = 86
y
ε
б
30
20
10
x
–1
–0,5
0
0,5
1
λ = 303
λ = 307
–1
–0,5
–20
x
0
–10
0,5
1
–30
–4 0
Рис. 2. Собственные формы профиля: а – первая (при λ ∼ λ1), б – вторая (при λ ∼ λ2)
На рис. 3 представлена зависимость волновой составляющей сопротивления от
числа Фруда при h = 0,5 для жестко закрепленных профилей с различной изгибной жесткостью. В случае λ = 0 результаты совпадают с данными работы [10] для
волнового сопротивления подводного жесткого профиля. На рис. 3 приводятся
графики волнового сопротивления для значений λ = 50 и λ = 100, не совпадающих
с собственными значениями λ. При λ = 80 существует две критические точки для
Fr ∈ [0, 3], в которых волновое сопротивление терпит разрыв.
−C x w
2 πε2
λ=0
λ = 50
λ = 80
λ = 100
5,5
4,6
4
3,4
2,5
1,6
1
0,1
–0,2 0
Fr
0,5
1
1,5
2
Рис. 3. Влияние числа Фруда
на волновое сопротивление гибкого профиля
Рис. 4 показывает форму поверхностных волн при поступательном движении
упругого профиля, жестко закрепленного на концах. Упругие свойства профиля
изменяют форму профиля и, как следствие, сказываются на форме свободной границы весомой жидкости. Первая собственная форма такого профиля представлена
на рис. 2, а. Кривизна линии свободной границы изменяется при переходе через
критические значения параметра λ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля
η
ε
λ = 50
λ = 100
6
4
2
–5
–2
–4
–6
115
x
10
20
30
40
–8
Рис. 4. Форма свободной поверхности
при Fr = 2, h = 0,5
2. Отдельно рассмотрим движение мягкого (мембранного) профиля (D = 0,
T ≠ 0) при f0' = −ε.
Упругие деформации формы профиля в этом случае задаются выражением:
f ( x) =
1
x
μ ⎪⎧ x + 1
⎪⎫
(
)(1
)
s
s
ds
γ
−
−
γ ( s )( x − s )ds ⎬ .
⎨
∫
∫
2 ⎪⎩ 2 −1
⎪⎭
−1
В качестве параметра гибкости для мембранного профиля выступает параметр
μ, определяемый натяжением T. Исследуем корни характеристического уравнения
|A − μB| = 0. В табл/ 2 представлены значения первых трех корней для разных значений Фруда и глубин погружения мягкого профиля.
Таблица 2
h
Fr
0,2
0,5
1
5
μ1
μ2
μ3
μ1
μ2
μ3
μ1
μ2
μ3
μ1
μ2
μ3
0,2
0,73
2,89
4,01
1,85-6,56i
1,85+6,56i
4,4
2,45
3,88
4,98
1,58
3,92
4,537
0,3
0,89
3,28
4,24
2,378-0,568i
2,378+0,568i
3,855
2,1
3,62
4,83
1,45
3,73
4,42
0,4
0,98
3,43
4,287
0,9
3,52
4,06
1,9
3,528
4,755
1,38
3,655
4,39
0,6
1,067
3,53
4,305
0,967
3,508
4,26
1,649
3,476
4,65
1,31
3,599
4,383
0,8
1,1
3,56
4,306
1,056
3,537
4,297
1,48
3,478
4,56
1,28
3,58
4,38
Также как и в случае упругого профиля, если корни μi имеют действительные
значения, то при этих значениях параметра гибкости отмечается разрыв характеристик мембранного профиля, если корень комплексный, то профиль устойчив в
потоке жидкости (см. рис. 5).
Зависимость значения наименьшего критического числа μ1, при котором происходит потеря статической устойчивости, от весомости жидкости при различных
отстояниях от свободной поверхности изображена на рис. 6.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.П. Лукащик, О.В. Иванисова
116
Cy
2πε
15,5
13,8
Fr = 0,5
Fr = 0,6
Fr = 1
Fr = 2
12,1
10,4
8,7
7
5,3
3,6
1,9
0,2
–1,5 0
–3,2
1
2
3
μ
4
–4,9
–6,6
–8,3
–10
Рис. 5. Зависимость коэффициента подъемной силы
от натяжения при h = 0,3
μ1
4
3
μ1
h = 0,2
h = 0,3
h = 0,4
h = 0,6
h = 0,8
а
б
2
1,5
2
1
1
0
0,5
0,2
0,4
0,6
0,8
Fr
0
h = 0,4
h = 0,6
h = 0,8
h = 0,2
h = 0,3
1
2
3
4
Fr
Рис. 6. Зависимость наименьшего критического значения μ1 от числа Фруда
Из рис. 6 видно, что при малых h есть область устойчивости мембранного
профиля. Так, при h = 0,2 и Fr ∈ [0,388; 0,52], а также при h = 0,3 и
Fr ∈ [0,489; 0,547] величина μ1 не имеет действительных значений. При h = 0,2 и
Fr ∈ [0,387; 0,68], при h = 0,3 и Fr ∈ [0,49; 0,637] величина μ2 не имеет действительных значений. При h = 0,2 и Fr ∈ [0,524; 0,68], h = 0,3 и Fr ∈ [0,548; 0,637] величина μ3 не имеет действительных значений. Таким образом, при малых h существуют числа Fr, для которых характеристики мембранного профиля не имеют
разрывов. Полученные закономерности подтверждаются результатами для мембранного профиля работы [11], в которой расчеты велись на основе функции, полученной для подводного крыла М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля
117
На рис. 7 показаны зависимости гидродинамических характеристик мягкого
профиля от числа Фруда. Для жесткой пластины в работе [12] указано на немонотонный характер подъемной силы при малых числах Fr. Из рис. 7, а видно, что
для мягкой пластины характер изменения Сy остается аналогичным, если при данном значении Fr значения μ отличны от μкрит. Если же μ близко к критическим
значениям, то наблюдается разрыв Сy. Рис. 7, б демонстрирует влияние натяжения
мембранного профиля на характер изменения сопротивления. При переходе через
критическую точку сила сопротивления меняет знак, т.е. переходит в силу тяги.
Cy
2πε
μ=0
μ = 0,5
μ = 1,7
μ=2
а
4
2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Fr
–2
–4
–6
−C x
2 πε2
μ=0
μ = 0,5
μ = 1,7
μ=2
б
2
1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Fr
–1
–4
–3
Рис.7. Зависимость гидродинамических характеристик
мембранного профиля от числа Фруда при h = 0,4
На рис. 8 можно проследить, как изменение скорости движения мембранного
профиля сказывается на форме свободной границы весомой жидкости. Значение
параметра μ для данных условий движения попадает в область устойчивости,
близость к критическим значениям μ вызовет неограниченный рост амплитуды
поверхностных волн. На больших расстояниях позади профиля гравитационные
волны можно рассматривать как прогрессивные плоские волны с синусоидальным
профилем, что соответствует положениям теории малых волн. Изменение числа
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.П. Лукащик, О.В. Иванисова
118
Фруда сказывается на всех параметрах поверхностных волн (сдвиге фаз, периоде
и амплитуде). Изменение глубины погружения при одинаковых прочих параметрах приводит к изменению амплитуды волны, не затрагивая значения длины волны и сдвига фаз.
η
ε
2
–4
–2
2
4
6
8
10 12
x
–2
Fr = 1,5
Fr = 1
–4
Fr = 0,5
–6
Рис. 8. Форма свободной границы при h = 0,5 и μ = 0,5
3. На рис. 9 демонстрируется влияние на характер изменения подъемной силы
упругого профиля параметров течения при ненулевых значениях изгибной жесткости, а также натяжения для случая жесткого закрепления концов профиля.
Рис. 9, a показывает влияние весомости на Cy, а рис. 9, б – влияние глубины погружения профиля на Cy. При определенных сочетаниях упругих свойств отмечается потеря устойчивости профиля.
Cy
ε
Fr = 0,5
Fr = 0,6
Fr = 1
Fr = 2
Fr = ∞
12
8
4
0
–4
–8
1
2
3
4
5
μ
6
а
Cy
ε
h = 0,2
h = 0,5
h = 1,5
12
8
4
0
–4
2,5
5
7,5 10 12,5
–8
μ
б
Рис. 9. Зависимость коэффициента подъемной силы от натяжения
при λ = 314 для h = 0,2 (а) и Fr = 0,5 (б)
Заключение
Представленная в настоящей работе методика дает возможность определять
реакцию гидродинамических сил на гибкий подводный профиль, возмущения
свободной поверхности тяжелой жидкости, вызванные движущимся профилем, а
также форму профиля, обладающего различными упругими свойствами и при
разных условиях закрепления. Проведено исследование гидроупругой устойчивости тонкого профиля при различных условиях движения. Результаты выполненных вычислений в идентичных случаях были сопоставлены с данными известных
работ по аналогичной тематике. Полученные результаты имеют практический ин-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля
119
терес в рамках исследования качества несущих элементов, выполненных из упругих материалов и применяемых, например, на судах с подводными крыльями.
Предложенную методику можно применить для исследования нестационарной
гидроупругой устойчивости, а также при движении тонких упругих крыльев в
слое жидкости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И., Федяевский К.К. Гидромеханика. Л.: Судостроение,
1982. 456 с.
2. Voelz K. Profil und Auftrieb eines Segels // Z. Angew. Math. und Mech. 1950. 30. H. 10.
P. 301−317.
3. Нильсен. Теория гибких аэродинамических поверхностей: пер. с англ. // Прикладная
механика. 1963. № 3. С. 131−139.
4. Берковский Б.С. Исследования аэродинамики жестких и деформируемых крыльев в ограниченной жидкости // Прикладная математика. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1971.
Вып. 2. С. 108−134.
5. Гур-Мильнер С.И. О форме упругого равновесия и устойчивости пластины в плоскопараллельном потоке несжимаемой жидкости // Труды ЛКИ. 1969. Вып. 65.
6. Белоцерковский С.М., Вольмир А.С., Пономарев А.Т. Исследование поведения пластин и
оболочек на основе интегро-дифференциальной аэроупругости // Изв.АН СССР. Механика твердого тела. 1974. № 6. С. 85−94.
7. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз,
1961. 339 с.
8. Ефремов И.И., Марко М.Э., Семененко В.Н. Некоторые задачи теории гибких и проницаемых несущих поверхностей // Тез. докл. Всесоюзн. науч.-технич. конф. по теории
корабля. Л.: Судостроение, 1977. С. 117−120.
9. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 247 с.
10. Целищев В.А. Исследование влияния свободной поверхности тяжелой жидкости на стационарные гидродинамические характеристики тонкого профиля // Гидродинамика
больших скоростей. Чебоксары: Изд-во Чувашского гос. ун-та, 1990. С. 143−147.
11. Ефремов И.И., Макасеев М.В. Обтекание тонкого упругого профиля под свободной поверхностью весомой жидкости // Научные основы современных технологий орошения:
сб. науч. трудов. Краснодар: КГАУ, 1992. С. 67−76.
12. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Гидродинамические характеристики малопогруженного
подводного крыла // Труды XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблеы математического моделирования». Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 2005. С. 138−144.
Статья принята в печать 12.10.2010 г.
Lukashchik E.P., Ivanisova O.V. THE INFLUENCE OF WAVE GENERATION ON HYDROELASTIC STABILITY OF AN UNDERWATER WING PROFILE. This article describes the
formulation of the connected hydro-elastic problem for a thin elastic-deformed profile in a
bounded flow of heavy fluid for different fixings of edges and the development of an efficient
method for calculation of the hydrodynamic characteristics and deformations of the profile. An
investigation of how wave generation and elastic properties influence on profile stability in a flow
has been carried out.
Keywords: hydro-elastic problem, wing profile, heavy fluid, wave generation, profile stability.
LUKASHCHIK Elena Pavlovna (Kuban State University)
Е-mail: lep_9091@mail.ru
IVANISOVA Olga Vladimirovna (Kuban State University)
Е-mail: zah-ivanisov@yandex.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 519.6:532.516
Б.О. Цыденов, А.В. Старченко
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТА ТЕРМОБАРА
В ОЗЕРЕ БАЙКАЛ В ПЕРИОД ВЕСЕННЕ-ЛЕТНЕГО ПРОГРЕВАНИЯ
Разработана математическая модель и построен вычислительный алгоритм,
позволяющий воспроизвести процесс формирования и дальнейшего развития термобара в озере Байкал с учетом основных физических факторов. Полученные численные результаты демонстрируют возникновение циркуляционного течения вблизи берега и его смещение к центру озера с течением
времени.
Ключевые слова: термический бар, температура максимальной плотности, приближение Буссинеска, конвекция, численный эксперимент.
Проблема «чистой воды» – одна из важнейших проблем, которые ставит перед
человечеством научно-технический прогресс. По оценкам ученых через несколько
десятилетий чистая пресная вода станет важнейшим ресурсом, поскольку она незаменима в отличие от других природных богатств Земли. К истощению водных
ресурсов ведет не рост расходуемой воды, а её загрязнение. Озеро Байкал является самым крупным хранилищем пресной воды на планете (около 20 % мировых
запасов).
Под термобаром понимается узкая зона в глубоком озере умеренных широт, в
которой происходит погружение имеющей наибольшую плотность воды от поверхности до дна. С физической точки зрения, причиной формирования термобара является так называемый эффект уплотнения при смешении вод, т. е. аномальное изменение плотности воды. Известно, что плотность воды определенного солевого состава, находящейся при фиксированном давлении, достигает максимума
при некоторой температуре – температуре максимальной плотности (ТМП). Поэтому если смешиваются две водные массы, имеющие общую боковую границу, и
температура одной выше ТМП, а другой – ниже ТМП, то в результате получается
смесь, которая будет тяжелее как первого, так и второго объемов. Естественно,
более тяжелая вода должна опускаться, вследствие чего в месте смешения образуется как бы барьер для горизонтального перемещения воды. То есть термобар
препятствует обмену водных масс между прибрежными и центральным районами
озера, являясь в то же время зоной конвергенции этих масс (гидрологическим
фронтом).
Для сохранения уникальности Байкала и его экосистемы необходимо понимание всех физических механизмов, участвующих в процессах водообмена и формирования качества его вод. С одной стороны, важность изучения термобара как
явления, которое может оказать существенное влияние на процессы распространения загрязнения, состоит в том, что интенсивные нисходящие течения, возникающие между двумя конвективными ячейками, могут привести к быстрому распространению загрязнения из поверхностных слоев до очень больших глубин. С
другой стороны, установлено, что придонные воды Байкала «моложе» и богаче
кислородом, чем воды основного глубинного ядра. Все это вызывает интерес к
исследованию термобара.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование эффекта термобара в озере Байкал
121
Явление термического бара впервые было обнаружено на Женевском озере
швейцарским физиком и географом Ф. Форелем, который положил начало науке
об изучении озер, образовавшей отдел океанографии — лимнологии. Честь вторичного открытия термического бара и, что самое главное, широкая разработка
этой проблемы и освещение ее огромного значения при объяснении многих процессов в жизни озер принадлежит А.И. Тихомирову. Тщательные исследования,
проведенные на Ладоге в 1957 – 1962 гг., позволили всесторонне оценить значение термобара для различных сторон жизни водоема. Заинтересовавшись статьей
Тихомирова, переведенной на английский язык, американский ученый Роджерс
вскоре исследовал и описал термический бар на озере Онтарио. Первая попытка
исследования общих закономерностей водообмена в Байкале с помощью моделей
была осуществлена в Государственном гидрологическом институте в 1966 – 1967 гг.
Однако ограничение модели только южной частью озера не позволило получить
достаточно общих результатов. Ввиду сложности создания таких моделей, невозможности моделирования на них эффектов, связанных с влиянием вращения Земли и вертикальной плотностной стратификацией, в дальнейшем этот вид исследования полей течений не получил развития [1, с. 95−99]. В 1995 г. С.Дж. Уолкер и
др. [2] предложили трехмерную численную модель для проверки гипотезы о том,
что глубинный водообмен инициируется плотностной неоднородностью, вызванной штормами. Однако в своих численных экспериментах они использовали параметры, не характерные для Байкала, поэтому осталось не совсем ясным, что же
происходит в реальных условиях в озере. П.Д. Киллворт и др. [3], используя двумерную численную модель гидротермических процессов в водоеме в гидростатическом приближении, пытались проверить гипотезу о переменных ветровых воздействиях, способных вызвать глубинный водообмен. Но, как показали данные
наблюдений, ни самые сильные шторма (ноябрь 1994 г.), ни осенние ветры не
приводят к перемешиванию слоев глубже 80 – 100 м. Большинство современных
исследователей связывает вентиляцию глубинных вод с эпизодически возникающими опусканиями дискретных объемов воды верхнего слоя, происходящими изза так называемой термобарической неустойчивости столба жидкости. Механизм
такой неустойчивости предполагает наличие внешней силы, которая может преодолеть потенциальный барьер, создаваемый архимедовыми силами. В работах
Е.А. Цветовой [4 – 7] используются как двумерные, так и трехмерные модели с
учетом сжимаемости воды, сил Кориолиса, адиабатического градиента температуры и других факторов. Расчеты выполнялись на прямоугольных и трапециевидных областях. Однако в этих работах нет анализа влияния отдельных физических
факторов на процессы перемешивания вод озера. В работе [8] предложена математическая модель термобара в глубоком озере, согласно которой глубинная конвекция в окрестности фронта термобара может быть обусловлена более высокой
минерализацией прибрежных вод озера по сравнению с минерализацией вод его
основной части. С использованием двумерной гидродинамической модели в работе [9] численно исследуются плотностные течения, возникающие под влиянием
минерализованного притока в области больших уклонов дна. Для оценки влияния
отдельных факторов, таких, как температурная стратификация, различие в минерализации вод озера и притока, расход притока, выполнена серия численных экспериментов с целью выявления возможности проникновения вод притока в придонные области озера.
Целью данной работы является разработка математической модели и вычислительного алгоритма, основанного на численном методе высокого порядка точно-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Б.О. Цыденов, А.В. Старченко
122
сти, а также воспроизведение динамической картины формирования и дальнейшего развития явления термического бара с учетом физических факторов, свойственных климатическим условиям южного бассейна озера Байкал.
Натурные исследования показывают, что основные изменения происходят в
направлении, перпендикулярном фронту, то есть от берега к центру. При этом характеристики в направлении, параллельном берегу, достаточно однородны. На
этом основании полагают, что модель, в которой исключены все градиенты в направлении, параллельном берегу, должна качественно и правильно описывать физический процесс, а явление термического бара считают квазидвухмерным [7].
Модель, представленная в данной работе, также использует гипотезу о двухмерности, при этом не учитывается влияние силы Кориолиса, связанной с вращением
Земли. Рассматривается взятый из работы [10] прибрежный профиль озера, соответствующий реальным условиям южного бассейна озера Байкал (рис. 1). Протяженность расчетной области (Lx = 10 км) намного больше глубины, а глубина
(H = 900 м) примерно соответствует средним глубинам южного бассейна Байкала
[11]. В качестве уравнения состояния используется уравнение, связывающее
плотность воды с температурой. На свободной поверхности ставятся граничные
условия типа «твердой крышки» (отсутствие ветровых напряжений) и задается
поток тепла. На дне, помимо условия непроницаемости, задается связь касательных напряжений с придонной скоростью (квадратичный закон трения), а также
условие отсутствия теплообмена с дном. Начальные условия соответствуют состоянию покоя и заданным полям температуры (температура однородна по горизонтали, но переменна по вертикали), взятым на основе натурных наблюдений в
мае месяце [10] (рис. 2).
АТМОСФЕРА
Ly, м
Y, м
800
800
600
600
ОЗЕРО
400
400
ДНО
200
0
0
200
200
400
600
800 Lx⋅10–1, м
Рис. 1. Профиль южного бассейна озера Байкал
0
1
2
3
Т, °С
Рис. 2. Начальное распределение
температуры
Математическая постановка задачи основана на двумерной негидростатической модели в приближении Буссинеска для конвективного течения:
∂u ∂u 2 ∂uv
1 ∂p ∂ ⎛
∂u ⎞ ∂ ⎛
∂u ⎞
;
+
+
=−
⋅ + ⎜K
⎟+ ⎜Ky
x
∂t
∂x
∂y
ρ ∂x ∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎟⎠
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование эффекта термобара в озере Байкал
123
(ρ − ρ0 )
1 ∂p ∂
∂v ∂uv ∂v 2
∂v
∂ ⎛
∂v ⎞
;
+
+
= − ⋅ + ⎛⎜ K x ⎞⎟ + ⎜ K y ⎟ − g ⋅
∂t ∂x
∂y
ρ0 ∂y ∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎠
ρ0
∂u ∂v
+
= 0;
∂x ∂y
∂T ∂uT ∂vT
∂
∂T ⎞ ∂ ⎛
∂T ⎞
,
+
+
= ⎛⎜ Dx
⎟ + ⎜ Dy
∂t
∂x
∂y
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎟⎠
(
2
)
где p = p + gyρ0 ; ρ = ρ0 1 − γ (T − Tm ) , γ = 8.572628 ⋅10−6 град−2; u, v – составляющие скорости по осям x и y соответственно, T – температура, Tm ≈ 4 °C – температура максимальной плотности (ТМП), ρ0 = 998,2 кг/м3 – характерная плотность
воды, p – давление, g – ускорение свободного падения, коэффициенты Kx, Ky и Dx,
Dy характеризуют интенсивность диффузионного переноса импульса и тепла в соответствующем направлении и рассчитываются по формуле Обухова [12]:
2
g ∂ρ
⎛ ∂u ⎞
(формула Обухова);
K y = (0, 05 L0 ) 2 ⎜ ⎟ −
y
∂
ρ
⎝ ⎠
0 ∂y
K x = K y ; Dx = 0, 7 K x ; Dy = 0, 7 K y ; L0 – характерный размер области перемеши-
вания.
Начальные условия задаются в виде
t = 0 : u = v = 0; T = T0 ( y ) .
Профиль T0 ( y ) представлен на рис. 2.
Граничные условия имеют вид
∂T
u = 0; v = 0;
= 0 – на дне;
∂n
∂T
= 0 – на правой границе;
x = Lx : u = 0; v = 0;
∂x
∂u
∂T
y = Ly :
= 0; v = 0; cwater ρ0 Dy
= Q, – на поверхности,
∂y
∂y
где Q = 210 Вт/м2 – поток тепла через свободную поверхность, cwater – теплоемкость воды.
Решение конвективно-диффузионных уравнений основано на конечно-разностном методе конечного объёма [13]. Перед применением метода конечного
объема для получения дискретизации исходной системы строится шахматная сетка: давление и температура определяются в узловых точках построенной сетки, а
компоненты скорости рассчитываются в точках, расположенных на гранях конечного объема. Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому конечному
объему. Следующий шаг состоит в аппроксимации полученных интегральных соотношений конечно-разностными, и в результате получается совокупность разностных уравнений.
Численный алгоритм нахождения поля течения и температуры опирается на
разностную схему Кранка – Николсона. Конвективные слагаемые в уравнениях
аппроксимируются по противопотоковой схеме Леонарда Quick 2-го порядка. Для
согласования поля скорости и давления использована процедура SIMPLE Патанкара [13]. Метод SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations – по-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Б.О. Цыденов, А.В. Старченко
124
лунеявный метод для связывающих давление уравнений) основан на циклической
последовательности операций «предположение – коррекция» при решении уравнений. Используя некоторое начальное поле давления, сначала вычисляют компоненты скорости по уравнению движения. Затем давление и компоненты скорости корректируются так, чтобы удовлетворять уравнению неразрывности. Этот
процесс продолжается до тех пор, пока итерационный процесс не сойдется.
Системы разностных уравнений на каждом шаге по времени решаются методом нижней релаксации или явным методом Булеева. Для вычисления компонент
скорости u, v применяется метод релаксации. Для нахождения температуры и давления используется явный метод Булеева.
Тестовые эксперименты проводились на классической задаче о тепловой гравитационной конвекции в квадратной каверне с использованием результатов исследований В. И. Полежаева и др. [14, с. 26–31]. Расчетная область покрывалась
прямоугольной сеткой 65×65. Начальное условие расчета – покой. В двумерной
негидростатической модели в приближении Буссинеска коэффициенты интенсивности диффузионного переноса импульса и тепла положим равными
Kx = Ky =ν, Dx = Dy = а,
где ν – коэффициент кинематической вязкости, а – коэффициент температуропроводности.
Вводя масштабы для искомых величин и независимых переменных, исходную
систему уравнений в приближении Буссинеска можно привести к безразмерному
виду. Тогда в таких уравнениях возникают безразмерные параметры:
Gr = gβL3∆T/ν2 – число Грасгофа (β – коэффициент теплового изменения плотности, L = Lx = Ly), определяющее интенсивность тепловой конвекции; Pr = ν/a –
число Прандтля, представляющее отношение толщин динамического и теплового
пограничных слоев; Ra = Gr×Pr – число Рэлея. В данных расчетах Pr=0,7, Ra=104.
Эксперименты, проведенные в замкнутой квадратной области при изотермических боковых границах и с условием теплоизоляции горизонтальных границ, показывают, что полученные результаты совпадают с картиной течения, приведенной в работе [14] (рис. 3 и 4).
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис. 3. Изотермы, полученные в ходе
вычислительного эксперимента
1
Рис. 4. Изотермы, приведенные в [14, с. 27]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование эффекта термобара в озере Байкал
125
Результаты тестовых расчетов показывают, что физическая картина течения в
каверне состоит в том, что нагреваемые у стенки слои жидкости поднимаются
вверх, а охлаждаемые опускаются вниз, в связи с чем в прямоугольной области
образуется циркуляционное течение, перемешивающее жидкость и переносящее
тепло от нагретой стенки к холодной [15].
В численных расчетах термобара сделана попытка воспроизвести реальные
условия озера. Путем блокировки (делая равными нулю скорости в выключенной
зоне за счет использования очень больших значений коэффициента вязкости в
этой зоне и задавая нулевое значение скорости на фиктивной границе) некоторых
конечных объемов прямоугольной неравномерной сетки расчетная область была
приближена к прибрежному профилю озера. Используется неравномерная ортогональная сетка 126×90 с измельчением шагов у берега (х = 0). В результате hx
меняется от 25 до 200 м, hy = 10 м. Шаг по времени ∆t = 60 с. Начальные условия
соответствуют состоянию покоя и заданным полям температуры (температура однородна по горизонтали, но переменна по вертикали), соответствующим измеренному его вертикальному распределению в мае, которое изменялось от 1,7 градусов на водной поверхности до максимального значения 3,8 на глубине 900 м [10].
На поверхности задан поток тепла Q = 210 Вт/м2 [16]. Ветровое трение отсутствует.
На рис. 5 – 8 представлены результаты расчетов линий тока, проведенных в
условиях, близких к естественным. На рис. 5 показано образование циркуляционного течения вблизи берега, которое с течением времени продвигается к открытой
границе (рис. 6 и 7), и после 30 суток от начала вычислительного эксперимента
система циркуляционных течений за счет явления термобара продвигается на расстояние более 9 км от берега (рис. 8).
Ly, м
800
600
400
200
0
0
200
400
600
Рис. 5. Линии тока через 7 суток
800
Lx⋅10–1, м
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Б.О. Цыденов, А.В. Старченко
126
Ly, м
800
600
400
200
0
0
200
400
600
800
Lx⋅10–1, м
800
Lx⋅10–1, м
Рис. 6. Линии тока через 15 суток
Ly, м
800
600
400
200
0
0
200
400
600
Рис. 7. Линии тока через 20 суток
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование эффекта термобара в озере Байкал
127
Ly, м
800
600
400
200
0
0
200
400
600
800
Lx⋅10–1, м
Рис. 8. Линии тока через 30 суток
Отметим, что рисунки здесь представлены в искаженном масштабе: отношение масштаба по горизонтали к масштабу по вертикали на рисунках уменьшено в
10 раз по сравнению с реальным их отношением для рассматриваемого участка
озера, и поэтому соответственно в 10 раз уменьшена в них горизонтальная компонента скорости.
В процессе постепенного перехода воды в бассейне через ТМП возможны три
фазы развития водообмена [17]:
1) формирование вдольсклонового потока;
2) образование подповерхностной струи;
3) трансформация одного типа циркуляции в другой при переходе через ТМП.
Как видно из рисунков, за промежуток времени 30 суток за счет явления термобара поверхностные воды проникают примерно до глубин свободной конвекции 150 – 250 м и затем имеют тенденцию продвигаться в горизонтальном направлении в сторону центральной части озера.
Наблюдается хорошее качественное соответствие структуры течений, полученной в ходе численного моделирования, с результатами натурных наблюдений
[10]. В области, где температура воды ниже ТМП, наблюдаются вдольсклоновые
потоки; в области, где температура воды выше ТМП, существует активная подповерхностная струя теплых вод, в среднем слое наблюдается компенсационное течение, направленное к берегу. Опускание вод происходит между ячейками, а компенсирующий подъем – на периферии, причем подъем в прибрежной ячейке даже
нарушает общее направление движения вниз по склону. Модель наглядно демонстрирует, что глубоководные слои вовлечены в вертикальное перемешивание в
течение долгого времени после прогрева верхнего слоя – до тех пор, пока хоть какая-то часть вод с температурой, меньшей ТМП, находится над наклонным дном
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
128
Б.О. Цыденов, А.В. Старченко
и прогревается сверху, получая тепло не от воздуха, а от верхнего тёплого слоя
воды. В частности, это может быть причиной порождения холодноводных придонных интрузий, недавно обнаруженных при проведении натурных исследований на озере Байкал: авторы связывают их происхождение с наличием термобара,
однако «реальный механизм водообмена остаётся неясным» [17].
Типичные абсолютные значения скоростей, полученные в численных экспериментах, были следующими: компоненты u – 0,08–0,46 см/c, v – 0,09–0,45 см/c.
Интересно отметить, что вертикальная и горизонтальная компоненты скорости
изменяются в почти одинаковом диапазоне.
Приведенные результаты показывают, что в условиях, близких к естественным, происходит проникновение поверхностных вод в глубокие слои при весеннем прогреве. Это согласуется с описаниями натурных наблюдений [10].
Полученные результаты математического моделирования и построенный вычислительный алгоритм являются фундаментальными исследованиями и могут
найти широкое применение в изучении механизмов, управляющих процессами
перемешивания и водообмена в природных водоемах, являющегося важным направлением гидрофизических исследований. Результаты исследований, полученные для озера Байкал, могут быть также использованы рыбопромысловыми организациями для предсказания районов высокой концентрации рыбы, приуроченных к существованию подобного фронта в весенний период в озере. Выводы
представляют интерес при решении таких важных практических задач, как распространение загрязнений в водоемах и рациональное использование их природных ресурсов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Афанасьева Э.Л., Бекман М.Ю., Безрукова Е.В. Путь познания Байкала. Новосибирск:
Наука, 1987. 301 с.
2. Walker S.J., Watts R.G. A three-dimensional numerical model of deep ventilation in temperate lakes // J. Geophys. Res. 1995. V. 100. P. 22711–22731.
3. Killworth P.D., Carmack E.C., Wiess R.F., Mateas R. Modelling deep-water renewal in Lake
Baikal // Limnol. Oceanogr. 1996. V. 41. No. 7. P. 1521–1538.
4. Цветова Е.А. Математическое моделирование Байкальского термобара // Математические проблемы экологии: тр. второй Всерос. конф. Новосибирск, 1994. C. 44–49.
5. Tsvetova E.A. Convective currents assotiated with the thermal bar of Lake Baikal // Advanced
Mathematics: Coputations and Applications. NCC Publisher, 1995. P. 386–393.
6. Цветова Е.А. Специфичесие проявления конвекции в глубоких озерах // Математические проблемы экологии: тр. Третьей Междунар. конф. Новосибирск, 1996. C. 181–189.
7. Цветова Е.А. Численная модель термобара в озере Байкал // Метеорология и гидрология. 1997. № 9. C. 58–68.
8. Квон В.И., Квон Д.В. Численный анализ механизма глубокого проникновения поверхностных вод в прибрежной зоне озера в период весенне-летнего термобара // Вычисл.
технологии. 1997. Т. 2. № 5. C. 46–56.
9. Овчинникова Т.Э., Бочаров О.Б. Сезонное влияние вод притока на водообмен в глубоком озере в условиях больших уклонов дна // Вычисл. технологии. 2007. Т. 12. № 6.
C. 59–72.
10. Shimaraev M.N., Verbolov V.I., Granin N.G., Sherstyankin P.P. Physical Limnology of Lake
Baikal: a Review. Irkutsk – Okayama, 1994. 81 с.
11. Бочаров О.Б., Овчинникова Т.Э. Численное моделирование явления термобара в озере
Байкал // Вычисл. технологии. 1996. Т. 1. № 3. C. 21–28.
12. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И. Математическое моделирование в задачах охраны окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО-пресс, 1997. 240 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование эффекта термобара в озере Байкал
129
13. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. –
М.: Энергоатомиздат, 1984. С. 96−98.
14. Полежаев В.И., Бунэ А.В., Верезуб Н.А., и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье – Стокса. М.: Наука, 1987. 271 с.
15. Цыденов Б.О. Численное моделирование конвективных течений в каверне // Перспективы развития фундаментальных наук: тр. VI Междунар. конф. Томск: Изд-во ТПУ,
2009. Т. 2. С. 673−676.
16. Блохина Н.С., Соловьев Д.А. Влияние ветра на динамику развития термобара в период
весеннего прогрева водоема // Вестник Моск. ун-та. 2006. Сер. 3. № 3. C. 59−63.
17. Демченко Н.Ю. Исследование структуры и динамики термобара в пресных и солоноватых водоемах: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Калининград, 2008. 24 с.
Статья принята в печать 28.01.2011 г.
Tsydenov B.O., Starchenko A.V. NUMERICAL MODELLING OF THE THERMAL BAR EFFECT IN LAKE BAIKALIN A SPRING-SUMMER WARMING PERIOD. The developed
mathematical model and numerical algorithm make it possible to reproduce the process of the
thermal bar dynamics in Lake Baikal with allowance for main physical factors. The results presented here show the appearance of a circulation flow off shore and its movement towards the
central part of the lake with time.
Keywords: thermal bar, temperature of maximum density, Boussinesq approximation, convection,
numerical experiment.
TSYDENOV Bair Olegovich (Tomsk State University)
E-mail: ba1r@sibmail.com.
STARCHENKO Alexander Vasilievich (Tomsk State University)
E-mail: starch@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
УДК 536.25
О.Г. Шилова, И.И. Клыков, В.С. Попонин, А.В. Кошеутов
ОБРАЗОВАНИЕ АНЕВРИЗМЫ В КАПИЛЛЯРАХ1
В работе рассмотрены большие деформации цилиндра и сферы, состоящие
из однородного материала, подчиняющиеся закону Гука. Показано, что при
определенных условиях деформации принимают катастрофический характер. Произведены оценки величин давления и прочностных параметров сосуда, при которых деформации стремительно нарастают, приводя к разрыву
стенок сосуда.
Ключевые слова: стенки капилляра, упругий материал, большие деформации, критическое давление, разрыв сосуда.
Состояние микроциркуляции является наиболее наглядным показателем для
оценки существующих изменений сосудистого русла при сахарном диабете [1].
Одним из самых тяжелых офтальмологических проявлений сахарного диабета является поражение сетчатой оболочки глаза – диабетическая ретинопатия, первым
и наиболее характерным патоморфологическим признаком которой являются мешотчатые образования – микроаневризмы. При длительном течении сахарного
диабета их количество увеличивается, а величина колеблется от 20 до 200 мкм [2].
Стенки капилляров состоят из эластина, коллагеновые волокна отсутствуют. В
силу однородности эластиновых стенок капилляра возможен упрощенный подход
к прочности капилляра по отношению к избыточному давлению в нём.
Задача по расчёту напряжений в толстостенной трубе относится к разряду
классических: задача Ламе – Гадолина. В этой задаче рассматривается зависимость механических напряжений от давлений внутри и вне трубы. Нас же интересует зависимость диаметра цилиндрического сосуда от избыточного давления в
нём. В теории сопротивления материалов очень редко интересуются большими
деформациями, так как основные конструкционные материалы (металлы и сплавы) работают в области малых относительных деформаций, не превышающих 1%.
В данной работе рассмотрены большие деформации цилиндра и сферы. Оценивается тенденция развития процесса с ростом внутреннего давления в системе.
Выделена критическая величина давления. Показано, что при приближении давления к указанной величине процесс развития деформаций принимает катастрофический характер. Сделаны оценки давления и прочностных параметров сосуда,
при которых деформации стремительно нарастают, приводя к разрыву стенок
сосуда.
Допущения и предпосылки
Материал подчиняется закону Гука, коэффициент Пуассона равен 0.5 (материал несжимаем). Несмотря на кажущуюся натянутость последнего допущения, заметим, что для резины (высокоэластичный полимер) коэффициент Пуассона равен 0,48, что весьма близко к 0,5.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(грант РФФИ № 08-01-00484-а).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Образование аневризмы в капиллярах
131
Как известно (задача Ламе – Гадолина) [3], связь между параметрами толстостенного цилиндра и давлением записывается как
dp
2E
=
b2 − a 2 ,
(1)
db 3ba 2
(
)
где E – модуль Юнга, a – внутренний диаметр цилиндра (сосуда), b – внешний,
p – трансмуральное давление (превышение внутреннего давления над внешним).
В силу несжимаемости площадь поперечного сечения стенок сосуда будет постоянной
b 2 − a 2 = b02 − a02 ≡ S0 ,
(2)
где b0 и a0 – внешний и внутренний диаметры сосуда при исходном давлении p0.
Используя соотношение (2), исключим внутренний диаметр сосуда из дифференциального уравнения (1):
2 ES0
2E
dp
.
(3)
=
b2 − a 2 =
2
db 3ba
3b b 2 − S0
(
)
(
)
Решая уравнение (3) относительно p, получим
(
)
2
2
E ⎛ b − S0 b0 ⎞
⎟.
ln ⎜
2 2
⎟
3 ⎜
b
a
0
⎝
⎠
2
Разрешая (4) относительно b , имеем
p=
⎛a ⎞
1− ⎜ 0 ⎟
⎝ b0 ⎠
b 2 = b02
(4)
2
.
2
⎛ a0 ⎞
3p ⎞
⎛
1 − ⎜ ⎟ exp ⎜
⎟
⎝ E ⎠
⎝ b0 ⎠
Из этой формулы видно, что знаменатель обращается в нуль при
pcr =
2 E ⎛ b0
ln ⎜
3 ⎝ a0
⎞
⎟,
⎠
(5)
(6)
что означает неограниченный рост внешнего диаметра (следовательно, и внутреннего) при приближении давления к критическому значению pcr.
Учитывая условие несжимаемости (2), для внутреннего диаметра сосуда a,
имеем
a 2 = a 02 exp ( 3 p / E )
1 − ( a0 / b0 )
2
2
⎛b⎞
= ⎜ ⎟ a02 exp ( 3 p / E ) .
2
1 − ( a0 / b0 ) exp ( 3 p / E ) ⎝ b0 ⎠
(7)
Толщина стенок сосуда h = b – a легко получается из выражений (5) и (7):
h = b − a = b0
1 − ( a0 / b0 )
2
⎛ a0
⎞
⎜1 − exp ( 3 p / 2 E ) ⎟ =
b
1 − ( a0 / b0 ) exp ( 3 p / E ) ⎝
⎠
0
2
⎛ a
⎞
= b ⎜ 1 − 0 exp ( 3 p / 2 E ) ⎟ .
b
⎝
⎠
0
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.Г. Шилова, И.И. Клыков, В.С. Попонин, А.В. Кошеутов
132
Результаты (5), (7), (8) удобно представить в безразмерном виде. Для этого
введём пять безразмерных обозначений
a
b
a
p
β = , α = , β0 = 0 , η = h / h0 , γ = . β > 1; β0 < 1 .
(9)
b0
b0
b0
E
Эти переменные можно трактовать следующим образом: β – относительный
внешний диаметр – это внешний диаметр сосуда при давлении p по отношению к
внешнему диаметру в нормальном состоянии; α – относительный внутренний
диаметр – это внутренний диаметр сосуда при давлении p по отношению к внешнему диаметру в нормальном состоянии; β0 – отношение внутреннего диаметра к
внешнему в нормальном состоянии; η – отношение толщины стенок при давлении
p к толщине стенок в нормальном состоянии; γ – относительное давление.
Очевидны следующие неравенства: β > 1; β0 < 1 .
С учетом безразмерных обозначений, относительные диаметры и толщины
стенок запишутся как
1 − β02
β2 =
;
(10)
2
1 − ( β0 exp ( 3γ / 2 ) )
α2 =
1 − β02
1 − ( β0 exp ( 3γ / 2 ) )
2
β02 exp ( 3γ ) , α = ββ0 exp ( 3γ / 2 ) ;
(1 + β0 )(1 − β0 exp( γ / 2) )
.
(1 − β0 )(1 + β0 exp( γ / 2) )
η = h / h0 = (β − α ) /(1 − β0 ) =
(11)
(12)
В этом случае безразмерное критическое давление (для цилиндра) равно
2
γ cr = ln (1/ β0 ) .
(13)
3
Заметим, что величины α, β, η при γ = 0 обращаются в единицу, есть имеет место нормальное состояние сосуда при отсутствии избыточного давления.
Решение для сферы при тех же предположениях, что и для цилиндра.
Как известно, связь между параметрами толстостенного цилиндра и давлением
записывается как
dp
4E 3
=
(14)
b − a3 .
3
db 3ba
(
)
В силу несжимаемости площадь поперечного сечения стенок сферы будет постоянной:
b3 − a3 = b03 − a03 ≡ V0 .
(15)
Применяя аналогичный подход, что и для цилиндра, получим
(
)
3
3
4 E ⎛ b − V0 b0 ⎞
⎟.
ln ⎜
⎟
9 ⎜
b3 a03
⎝
⎠
2
Разрешая (4) относительно b , имеем
p=
⎡ ⎛ a ⎞3 ⎤
b3 = b03 ⎢1 − ⎜ 0 ⎟ ⎥
⎣⎢ ⎝ b0 ⎠ ⎦⎥
3
⎡ ⎛a
⎞ ⎤
⎢1 − ⎜ 0 exp ( 3 p / 4 E ) ⎟ ⎥ .
⎠ ⎦⎥
⎣⎢ ⎝ b0
(16)
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Образование аневризмы в капиллярах
133
Из этой формулы видно, что знаменатель обращается в нуль при
4 E ⎛ b0 ⎞
(18)
ln ⎜ ⎟ .
3 ⎝ a0 ⎠
Критическое давление для сферы в два раза больше, чем для цилиндра, что показывает, что сфера в два раза крепче цилиндра при тех же конструкционных характеристиках.
Учитывая условие несжимаемости (15), для внутреннего диаметра сосуда a
получим
pcr =
3
⎛a
⎞
a3 = ⎜ 0 exp ( 3 p / 4 E ) ⎟ b03
⎝ b0
⎠
1 − ( a0 / b0 )
3
.
(19)
3
⎛ a0
⎞
1 − ⎜ exp ( 3 p / 4 E ) ⎟
⎝ b0
⎠
Толщина стенок сосуда h = b – a легко получается из выражений (17) и (19)
⎛ a
⎞
h = b − a = b ⎜ 1 − 0 exp ( 3 p / 4 E ) ⎟ .
(20)
⎝ b0
⎠
С учетом безразмерных обозначений (9), относительные диаметры и толщины
стенок запишутся как
1 − β30
β3 =
;
(21)
3
1 − ( β0 exp ( 3γ / 4 ) )
α = ββ0 exp ( 3γ / 4 ) ;
(22)
η = h / h0 = (β − α ) /(1 − β0 ) = β(1 − β0 exp ( 3γ / 4 )) /(1 − β0 ) .
(23)
В этом случае безразмерное критическое давление (для сферы)
4
γ cr = ln (1/ β0 ) .
(24)
3
Приведём графики зависимости относительного внешнего диаметра β и относительной толщины стенок η от величины относительного давления γ для цилиндра и сферы.
Обе диаграммы приведены для значения начального относительного диаметра
β0 = 0,75. На каждой диаграмме приведено два графика: сплошной линией показаны внешние диаметры цилиндра или сферы, треугольничками – толщина стенок,
отложенная по правой вспомогательной шкале. При приближении к критическому
давлению видно, что диаметр резко возрастает, а толщина стенок стремится к нулю. Причём скорость убывания толщины стенок в зависимости от диаметра гораздо больше для сферы, чем для цилиндра, что очевидно из геометрических соображений.
Реальная картина появления аневризмы в капилляре выглядит так: на одном из
участков стенки капилляра вследствие биохимических процессов появляется пятно с ослабленными упругими характеристиками ( модуль Юнга E уменьшается, а
безразмерное давление γ = p/E возрастает). Это приводит к локальному выпячиванию стенки и, следовательно, к уменьшению её толщины. С развитием процесса
толщина стенки всё более уменьшается (см. диаграмму), и при приближении к
критическому давлению происходит катастрофическое уменьшение толщины
стенки при быстром увеличении диаметра аневризмы с неизбежным прорывом.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.Г. Шилова, И.И. Клыков, В.С. Попонин, А.В. Кошеутов
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2
0,1
4
Относительные размеры
1,0
Цилиндр
Стенка цилиндра
0,2
0,3
Относительное давление
0,4
0
0,5
1,2
Сфера
Стенка сферы
1,0
0,8
3
0,6
2
0,4
1
0
0,0
0,2
0,1
0,2
0,3
Относительное давление
Относительная толщина
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0,4
0,5
Относительная толщина
Относительные размеры
134
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0,0
1,2
Цилиндр
Стенка цилиндра
Сфера
Стенка сферы
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,1
0,2
0,3
0,4
Относительное давление
0,5
0,0
0,6
Относительная толщина
Относительные размеры
Для количественных оценок воспользуемся значениями для эндотелия, взятыми из работы [4]:
- модуль Юнга E ≈ 3*105 Па ≈ 2300 Торр;
- начальное давление p0 ≈ 103 Па ≈ 10~20 Торр.
На повреждённом участке сосуда модуль Юнга существенно меньше, чем на
здоровом и величина γ0 возрастает в 10 раз, что ведет к аневризме при меньшем
давлении.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Образование аневризмы в капиллярах
135
ЛИТЕРАТУРА
1. Бунин А.Я., Кацнельсон Л.А., Яковлев А.А. Микроциркуляция глаза. М.: Медицина, 1984.
173 с.
2. Марголис М.Г. Изменения органа зрения при эндокринных заболеваниях // Патология
органа зрения при общих заболеваниях. М.: Медицина, 1982. С. 133−180.
3. Амензаде Ю.А. Теория упругости. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1976.
4. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981. 624 с.
Статья принята в печать 05.09.2010г.
Shilova O.G., Klykov I. I., Poponin V.S., Kosheutov A.V. ANEURISM FORMATION IN CAPILLARIES. Large-scale deformations of a homogeneous sphere and a cylinder obeying Hooke’s law
were considered. It was shown that, under certain conditions, the deformations acquire catastrophic character. The magnitude of pressure and strength properties of vessels at which the deformations are boosting at high rates were estimated.
Keywords: wall of capillary, elastic material, high deformations, critical pressure, vessel rupture
SHILOVA Olga Gennad’evna (Siberian State Medical University)
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
KLYKOV Ivan Ivanovich (Tomsk State University)
E-mail: ykar@hotbox.ru
POPONIN Vladimir Sergeevich (Tomsk State University)
E-mail: posv@mail.tomsknet.ru
KOSHEUTOV Aleksei Vladimirovich (Tomsk Polytechnic University)
E-mail: alex_k@hotmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
ЮРИЙ СЕМЕНОВИЧ ЗАВЬЯЛОВ
К 80-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ (1931 – 1998)
3 января 2011 года исполнилось бы 80 лет со дня рождения доктору физикоматематических наук, профессору Юрию Семеновичу Завьялову [1−10]. Он родился 3 января 1931 года в Зейском районе Амурской области в семье служащих.
Детские и юношеские годы Юрия Семеновича прошли в городе Зея. В этом городе он окончил среднюю школу. В 1948 году Ю. Завьялов поступил в Томский государственный университет(ТГУ) им. Куйбышева на механико – математический
факультет (ММФ), который закончил с отличием по специальности «механика».
Будучи студентом, он активно занимался научно-исследовательской работой.
Тема этих исследований была продолжена им в аспирантуре, куда Юрий Семенович поступил в 1953 году сразу после окончания ММФ. Под руководством доцента Е.Д. Томилова Ю.С. Завьялов написал и в 1956 году успешно защитил кандидатскую диссертацию «Об интегрировании некоторых уравнений неизэнтропического движения газа». О высоком научном уровне труда молодого ученого говорит тот факт, что результаты, приведенные в диссертации, были опубликованы в
двух статьях в Докладах АН СССР по рекомендации академика Л.И. Седова.
После окончания аспирантуры Юрий Семенович начал работать на на кафедре
теоретической механики ММФ вначале ассистентом, а затем доцентом. Это было
время создания и внедрения первых советских ЭВМ и начало подготовки математиков-вычислителей. В сентябре 1957 года на ММФ ТГУ была открыта первая за
Уралом кафедра прикладной и вычислительной математики, заведующим которой
был назначен инициатор ее создания доцент Г.А. Бюлер. С октября 1961 по декабрь 1962 года руководителем этой кафедры был Юрий Семенович. Вычислителей тогда готовили по двум специализациям: одна группа – математики-вычис-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К 80-летию со дня рождения (1931 – 1998)
137
лители, вторая группа – математики-прикладники. За два года кафедра выпустила
71 специалиста по прикладной и вычислительной математике. В конце 1962 года,
после образования в ТГУ физико-технического факультета, Ю.С. Завьялов был
избран на должность заведующего кафедрой математической физики этого факультета.
В 1957 году по инициативе известных ученых из Москвы создается академгородок – крупный научный центр в Новосибирске. Сюда собираются лучшие научные силы СССР, в частности, и из Томского университета. Юрий Семенович был
в числе тех, кого академик Г.И. Марчук пригласил для работы в академгородок.
В 1963 году он переезжает в Новосибирск и становится сотрудником Института
математики СО АН СССР. Здесь Ю.С. Завьялов продолжил свою исследовательскую работу, связанную с решением важных прикладных задач, среди которых и
задача внедрения вычислительной техники в промышленное производство. Он
первым в СССР взялся за разработку и внедрение системы автоматизации проектирования сложных машин (авиационное производство) и технологических процессов с помощью вычислительной техники и станков с числовым программным
управлением. Ему принадлежит идея внедрения сплайновых методов в проектировании и производстве.
Ю.С. Завьялов создал широко известную научную школу по теории сплайнов.
Вместе со своими учениками внес крупный вклад в развитие теории аппроксимации сплайн-функциями. В 70 – 80 годах прошлого столетия в Новосибирском академгородке под председательством профессора Ю.С. Завьялова регулярно проводились школы-семинары по теории и приложениям сплайнов с участием ведущих
специалистов, работающих в этой области. Юрий Семенович активно поддерживал научные связи с Томским университетом, участвовал в научных конференциях по математике и механике на ММФ, поддерживал проводимые в ТГУ исследования по созданию разностных схем сплайновой интерполяции для решения краевых задач. Помогал организовать прием на практику студентов ММФ в институты
СОАН, руководил аспирантами из Томска.
Мирошниченко В.Л., Шумилов Б.М., Завьялов Ю.С.
на конференции в Томске (20.06.1997 г.)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
138
Юрий Семенович Завьялов
В 1972 г. Юрий Семенович защитил одну из первых в стране докторских диссертаций по теории сплайнов. Им опубликовано более 70 трудов, в том числе 4
монографии. Среди его учеников 16 кандидатов и 2 доктора наук. За большой
вклад в создание новых технологий в авиационном производстве Ю.С. Завьялов в
1981 г. был удостоен премии Совета Министров СССР. Он награжден орденом
«Знак почета» и медалью «Ветеран труда».
Памяти видного ученого была посвящена Российская конференция, организованная Институтом Математики им. С.Л. Соболева СО РАН и приуроченная к 80летию со дня его рождения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Завьялов Ю.С. О некоторых интегралах одномерного движения газа // ДАН СССР.
1955. Т. 103. № 5. С. 781, 782.
2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука,
1980. 352 с.
3. Гришин А.М., Берцун В.Н., Зинченко В.И. Итерационно-интерполяционный метод и его
приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1981. 160 с.
4. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скоропоспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.:
Машиностроение, 1985. 224 с.
5. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов Н.Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача
сглаживания. М.: Наука, 1988. 101 с.
6. Бойков В.Н., Шумилов Б.М. Сплайны в трассировании автомобильных дорог. Томск:
ЦНТИ, 2001. 164 с.
7. Берцун В.Н. Сплайны сеточных функций. Томск: Изд-во Том. ун-та. 2002. 124 с.
8. Берцун В.Н., Михайлов М.Д., Тынкевич М.А. Кафедре вычислительной математики и
компьютерного моделирования 45 лет // Вестник Томского университета. Бюллетень
оперативной научной информации. 2003. № 10. С. 7−16.
9. Круликовский Н.Н. Из истории развития математики в Томске. Томск: Изд-во Том.
ун-та, 2006. 174с.
10. Сплайны как инструмент геометрического моделирования // Методы сплайн-функций.
Российская конференция, посвященная 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова: тез.
докл. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2011. С. 5−10.
11. Исаев В.К. Ю.С. Завьялов и развитие аэрокосмических исследований (1970 – 1995 гг.) //
Методы сплайн-функций. Российская конференция, посвященная 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова. Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2011.
С. 51, 52.
Сотрудники кафедры вычислительной математики
и компьютерного моделирования
Томского государственного университета
В.Н. Берцун, М.Д. Михайлов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 1(13)
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
АЛЬ-АНИ Мааз Абдулвахед Зиб – аспирант Энергетического института Томского политехнического университета. E-mail: maathe_a@ yahoo.com
БУБЕНЧИКОВ Михаил Алексеевич – ассистент кафедры теоретической механики Томского государственного университета. Е-mail: michael121@mail.ru
БУЯНОВ Юрий Иннокентьевич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры радиофизики радиофизического факультета Томского государственного университета.
Е-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ЕВДОКИМОВ Александр Семенович – аспирант Томского государственного университета, младший научный сотрудник Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. Е-mail: eas1985@mail.ru
ЗАБАРИНА Анна Ивановна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент
Томского государственного педагогического университета. E-mail: pppestov@mail.
tomsknet.ru
ЗЯТИКОВ Павел Николаевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник
Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: zpnpavel@sibmail.com
ИВАНИСОВА Ольга Владимировна – преподаватель кафедры вычислительной математики и информатики Кубанского государственного университета. Е-mail: zah-ivanisov@
yandex.ru
ИВАНОВА Ирина Александровна – доцент кафедры геологии и разработки нефтяных
месторождений Института природных ресурсов Томского политехнического университета.
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
КАРМАЗИН Александр Петрович – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры прикладной математики Сургутского государственного университета. E-mail: kap@kpm.surgu.ru
КЛЫКОВ Иван Иванович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей и экспериментальной физики Томского государственного университета. E-mail:
ykar@hotbox.ru
КОШЕУТОВ Алексей Владимирович – ассистент кафедры прикладной математики Томского политехнического университета. E-mail: alex_k@hotmail.com
КУЗНЕЦОВ Гений Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор,
заместитель директора по научной работе Энергетического института Томского политехнического университета. Е-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ЛУКАЩИК Елена Павловна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент
кафедры информационных технологий Кубанского государственного университета.
Е-mail: lep_9091@mail.ru
МУХУТДИНОВА Дина Римовна – старший преподаватель кафедры высшей математики
Сургутского государственного университета. Е-mail: manilir@mail.ru
НЕСМЕЕВ Юрий Алексеевич – пенсионер, до выхода на пенсию: Магнитогорский государственный технический университет. E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ОНИЩУК Надежда Максимовна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры геометрии механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: onichuk.nadezhda@yandex.ru
ПЕСТОВ Герман Гаврилович – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа Томского государственного университета.
E-mail: pppestov@mail.tomsknet.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
140
Сведения об авторах
ПОНОМАРЕВ Сергей Васильевич – кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. Е-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ПОПОНИН Владимир Сергеевич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики Томского государственного университета. E-mail:
posv@mail.tomsknet.ru
САДЫБЕКОВ Махмуд Абдысаметович – доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник научно-исследовательского управления Южно-Казахстанского государственного университета им. М.Ауезова. E-mail: makhmud-s@mail.ru
САРСЕНБИ Абдижахан Манапович – доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой «Математические методы и моделирование» Южно-Казахстанского
государственного университета им. М.Ауезова. E-mail: abzhahan@mail.ru
СЛАВОЛЮБОВА Ярославна Викторовна – старший преподаватель кафедры высшей и
прикладной математики Кемеровского института (филиала) Российского государственного
торгово-экономического университета. E-mail: jar1984@mail.ru
СТАРЧЕНКО Александр Васильевич – доктор физико-математических наук, профессор
кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования механикоматематического факультета Томского государственного университета. E-mail: starch@
math.tsu.ru
ЦОКОЛОВА Ольга Вячеславовна ─ студентка механико-математического факультета
Томского государственного университета. E-mail: tov234@yandex.ru
ЦЫДЕНОВ Баир Олегович – аспирант кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования механико-математического факультета Томского государственного
университета. E-mail: ba1r@sibmail.com
ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович – доктор физико-математических наук, профессор,
профессор кафедры алгебры Томского государственного университета. E-mail: cheklov@
math.tsu.ru
ЧИСТЯКОВ Денис Сергеевич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
высшей математики Нижегородского коммерческого института. E-mail: chistyakovds@
yandex.ru
ШЕРЕМЕТ Михаил Александрович – кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры теоретической механики Томского государственного университета. E-mail:
sheremet@math.tsu.ru
ШИЛОВА Ольга Геннадьевна – кандидат медицинских наук, доцент кафедры офтальмологии Сибирского государственного медицинского университета. E-mail: vestnik_tgu_mm
@math.tsu.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа