close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

580.Вестник Томского государственного университета. Математика и механика №1 2012

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ УНИВЕРСИТЕТА
И НАУКИ РФ
Математика и механика
2012
1(17)
ВЕСТНИК
ТОМСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
TOMSK STATE UNIVERSITY
JOURNAL OF MATHEMATICS AND MECHANICS
Научный журнал
2012
№ 1(17)
Свидетельство о регистрации: ПИ № ФС77-30658
от 20 декабря 2007 г.
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
А.В. Буданов
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ЖУРНАЛА
«ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА.
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА»
Глазунов А.А., д-р физ.-мат. наук, проф. (председатель); Гулько С.П., д-р физ.-мат. наук,
проф. (зам. председателя); Лазарева Е.Г., канд. физ.-мат. наук, доц. (отв. секретарь); Александров И.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Берцун В.Н., канд. физ.-мат. наук, доц.; Биматов В.И., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бубенчиков А.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бухтяк М.С., канд. физ.-мат. наук, доц.; Васенин И.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Гришин А.М.,
д-р физ.-мат. наук, проф.; Ищенко А.Н., д-р физ.-мат. наук, проф.; Конев В.В., д-р физ.-мат.
наук, проф.; Крылов П.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Лейцин В.Н., д-р физ.-мат. наук,
проф.; Панько С.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Пергаменщиков С.М., д-р физ.-мат. наук,
проф.; Сипачёва О.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Скрипняк В.А., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Старченко А.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Шрагер Г.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Шрагер Э.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.; Cauty R., prof.
Научный журнал «Вестник Томского государственного университета. Математика и
механика» был выделен в самостоятельное периодическое издание из общенаучного журнала «Вестник Томского государственного университета» в 2007 г. Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере массовых коммуникаций, связи и охраны
культурного наследия (свидетельство о регистрации ПИ № ФС 77-30658 от 20 декабря
2007 г.), ему присвоен международный стандартный номер сериального издания (ISSN
1998-8621). Журнал выходит ежеквартально и распространяется по подписке, его подписной индекс 44064 в объединённом каталоге «Пресса России».
«Вестник ТГУ. Математика и механика» входит в систему Российского индекса научного цитирования (РИНЦ) на платформе http://elibrary.ru, а также в Перечень ВАК изданий
для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций. Кроме того, все номера журнала присутствуют и обрабатываются на общероссийском математическом портале http://Math-Net.ru.
Адрес редакции:
634050, г. Томск, пр. Ленина, д.36, корп. 2, к. 417
Электронный адрес: http://vestnik.tsu.ru/mathematics
Контактный тел./факс: (3822) 529-740
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ООО «Издательство научно-технической литературы»
634050, Томск, пл. Новособорная, 1, тел. (3822) 533-335
Редактор Т.С. Портнова
Верстка Д.В. Фортеса
Изд. лиц. ИД № 04000 от 12.02.2001. Подписано к печати 07.03.2012.
Формат 70 × 100 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. п. л. 10,32. Уч.-изд. л. 12,38. Тираж 300 экз. Заказ № 15.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Буданов А.В. Ниль-радикал кольца эндоморфизмов вполне разложимой абелевой
группы без кручения ...............................................................................................................5
Гриншпон С.Я., Никольская М.М. Собственные вполне характеристические подгруппы групп без кручения, изоморфные самой группе....................................................11
Гулько С.П., Лазарев В.Р., Хмылева Т.Е. О взаимной «ортогональности» классов
пространств Cp(X) и Lp(Y) .....................................................................................................16
Конев В.В., Пчелинцев Е.А. Оценивание параметрической регрессии с импульсными шумами по дискретным наблюдениям......................................................................20
Махмудов Н.М., Салманов В.И. Разрешимость задачи оптимального управления
для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с критерием
качества Лионса.....................................................................................................................36
Осипов А.В. Алгебраические структуры на пространстве непрерывных отображений ..........................................................................................................................................47
Чехлов А.Р. E-энгелевы абелевы группы ступени ≤ 2.............................................................54
МЕХАНИКА
Бубенчиков М.А. Движение частиц ксенона в циклонной камере ........................................61
Ершов И.В., Зырянов К.И. Диссипация волн Кельвина – Гельмгольца в колебательно неравновесном двухатомном газе............................................................................68
Кудряшова О.Б., Ворожцов Б.И., Антонникова А.А. Физико-математическая модель динамики функции распределения частиц по размерам с учетом процессов
коагуляции, испарения и осаждения....................................................................................81
Лобода Е.Л., Якимов А.С. Моделирование процесса зажигания торфа ...............................91
Прокофьев В.Г., Смоляков В.К. Формирование макроструктуры продукта в нестационарном СВС-процессе .............................................................................................103
Финаева Ю.Н., Самойленко Н.Г., Манелис Г.Б. Модель противоточного экстракционного реактора вытеснения ..........................................................................................115
Шеремет М.А. Пространственные режимы сопряженной естественной конвекции в
замкнутом кубе....................................................................................................................119
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ......................................................................................................127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
МАТЕМАТИКА
УДК 512.541
А.В. Буданов
НИЛЬ-РАДИКАЛ КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ
ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМОЙ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ
Рассматривается представление кольца эндоморфизмов вполне разложимой
абелевой группы без кручения кольцом матриц. На языке матриц описан
ниль-радикал данного кольца эндоморфизмов, и доказано, что он совпадает
с суммой всех его нильпотентных идеалов.
Ключевые слова: кольцо эндоморфизмов, абелева группа, ниль-радикал.
Ниль-радикал колец эндоморфизмов групп без кручения изучался Крыловым
[1, 2]. Им была получена характеризация ниль-радикала для групп без кручения,
совпадающих со своим n-м обобщенным псевдоцоколем для некоторого натурального числа n (к таким группам относятся группы без кручения конечного ранга). Крылов также указал условия нильпотентности ниль-радикала. Основные результаты в данном направлении вошли в монографию Крылова, Михалева и Туганбаева [3]. В настоящей статье рассматривается ниль-радикал кольца эндоморфизмов вполне разложимой абелевой группы без кручения. С помощью представления кольца эндоморфизмов такой группы кольцом матриц охарактеризован его
ниль-радикал и показано, что он совпадает с суммой всех его нильпотентных
идеалов.
Все рассматриваемые в работе группы абелевы и не имеют кручения. Вполне
разложимая группа без кручения G является прямой суммой групп без кручения
ранга 1, то есть подгрупп группы рациональных чисел G = ⊕Ai . В этой ситуации
i∈I
кольцо E(G) изоморфно кольцу R всех конечных по столбцам I × I матриц [αij] с
элементами α ij ∈ Hom( A j , Ai ) и обычными для матриц операциями сложения и
умножения. В дальнейшем, если разложение группы G зафиксировано, мы будем
отождествлять кольцо E(G) с кольцом матриц R. Элементы матрицы [αij], соответствующей эндоморфизму α определяются следующим образом: αij = πiαπj, где πi и
πj – естественные проекции группы G на слагаемые Ai и Aj соответственно.
Проводимые рассуждения часто требуют рассмотрения гомоморфизмов групп
ранга 1. Приведем для удобства основные факты о таких гомоморфизмах. Пусть
A, B – группы без кручения ранга 1, G – группа без кручения. Всякий ненулевой
гомоморфизм φ: A → G является мономорфизмом; ненулевой гомоморфизм
ψ: A → B существует тогда и только тогда, когда t(A) ≤ t(B) (t(H) обозначает тип
однородной группы без кручения H), кроме того, A ≅ B тогда и только тогда, когда t(A) = t(B) . В дальнейшем эти факты используются без дополнительных пояс-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.В. Буданов
6
нений. Теория групп без кручения ранга 1 и вполне разложимых групп без кручения изложена в [4].
Зафиксируем разложение вполне разложимой группы G в прямую сумму
групп ранга 1: G = ⊕Ai . Кольцо эндоморфизмов отождествляем с соответствуюi∈I
щим кольцом матриц. Для элементов i, j ∈ I будем писать i ≤ j (i < j) если
t(Ai) ≤ t(Aj) (t(Ai) < t(Aj) ).
Определим подмножество ν(E(G)) кольца E(G). Пусть α = [αij ] ∈ E (G ) . Положим α ∈ ν( E (G )) , если выполняются следующие два условия:
1) из αij ≠ 0 следует j < i;
2) существует такое натуральное число n = n(α), что среди любых таких n элементов αi1 j1 , α i2 j2 ,… , αin jn матрицы α, что i1 ≤ j2, i2 ≤ j3,…, in-1 ≤ jn, хотя бы один
равен нулю.
Определение множества ν(E(G)) может, вообще говоря, зависеть от выбора
разложения группы G. Мы не будем непосредственно доказывать независимость
конструкции от выбора разложения группы G, поскольку этот факт влечет нижеследующая теорема. Нетрудно убедиться, что вне зависимости от выбранного
разложения множество ν(E(G)) не пусто, поскольку 0 E (G ) ∈ ν ( E (G )) .
Заметим, что если эндоморфизм α ∈ N ( E (G )) , то из t(Ai) = t(Aj) следует, что
πiαπj = 0 или, в терминах кольца матриц, элемент αij матрицы [αij], соответствующей эндоморфизму α, равен нулю. Действительно, t(Ai) = t(Aj) влечет существование изоморфизма β: Ai → Aj, откуда в предположении, что πiαπj ≠ 0, получаем, что
βπiαπj – ненулевой эндоморфизм группы Aj. Поскольку Aj – группа ранга 1, каждый ее ненулевой эндоморфизм является мономорфизмом, откуда следует, что
эндоморфизм βπiαπj не может быть нильпотентным. Однако, если α ∈ N ( E (G )) ,
то как эндоморфизм группы G βπiαπj должен быть нильпотентным.
Сумму всех нильпотентных идеалов некоторого кольца K обозначим N0(K),
P(K) – его первичный радикал, L(K) – его радикал Левицкого и N(K) – его нильрадикал. Определения и основные результаты, связанные с рассматриваемыми
радикалами, можно найти, например, в [5].
Теорема. Пусть G – вполне разложимая группа без кручения, пусть выбрано
ее разложение G = ⊕Ai в прямую сумму групп ранга 1, с помощью которого опi∈I
ределено множество ν(E(G)). Тогда ν(E(G)) = N0(E(G)) = P(E(G)) = L(E(G)) =
= N(E(G)).
Доказательство. Докажем сначала, что ν( E (G )) ⊂ N 0 ( E (G )) . Пусть
α = [αij ] ∈ ν( E (G )) и n – натуральное число из определения множества ν(E(G)), то
есть среди любых таких n элементов αi1 j1 , α i2 j2 ,… , αin jn матрицы α, что i1 ≤ j2,
i2 ≤ j3,…, in-1 ≤ jn, хотя бы один равен нулю. Допустим, что идеал E(G)αE(G), порожденный матрицей α, не нильпотентен. Тогда в частности (E(G)αE(G))n ≠ 0.
Последнее означает, что найдутся матрицы ϕ(2) , ϕ(3) , …, ϕ( n ) ∈ E (G ) , такие,
что β = αφ(2)αφ(3)α…φ(n)α ≠ 0. Элемент βij есть сумма слагаемых вида
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ниль-радикал кольца эндоморфизмов вполне разложимой абелевой группы без кручения
α ijn ϕ(2)
αin −1 jn −1 ϕ(3)
j i
j
n −1in − 2
n n −1
7
...α i2 j2 ϕ(jni) αi1 j . Так как матрица β ненулевая, то хотя бы
21
один ее элемент отличен от нуля. Пусть это элемент βin j1 . Следовательно, хотя бы
αin −1 jn −1 ϕ(3)
одно слагаемое αin jn ϕ(2)
j i
j
n n −1
n −1in − 2
...α i2 j2 ϕ(jni) αi1 j1 отлично от нуля. Тогда ни
21
один из элементов αi1 j1 , α i2 j2 ,… , αin jn не равен нулю. Также и ни один из элементов ϕ(2)
, ϕ(3)
j i
j
n n −1
n −1in − 2
,..., ϕ(jni) не равен нулю. Поскольку ϕ(jni− k + 2) – гомоморфизм
21
k k −1
группы Aik −1 в A jk (k = 2, 3,…, n), это влечет t ( Ai1 ) ≤ t ( A j2 ), t ( Ai2 ) ≤ t ( A j3 ),… ,
t ( Ain −1 ) ≤ t ( A jn ) или, ввиду принятого соглашения, i1 ≤ j2, i2 ≤ j3,…, in-1 ≤ jn. Таким
образом, в матрице α найдены n отличных от нуля элементов αi1 j1 , α i2 j2 ,… , αin jn ,
для которых i1 ≤ j2, i2 ≤ j3,…, in-1 ≤ jn. Получено противоречие. Следовательно,
(E(G)αE(G))n = 0.
Включения N 0 ( E (G )) ⊂ P ( E (G )) ⊂ L( E (G )) ⊂ N ( E (G )) известны. Остается доказать, что N ( E (G )) ⊂ ν( E (G )) . Предположим противное: пусть найдется эндоморфизм α = [αij ] ∈ N ( E (G )) , не принадлежащий ν(E(G)) . Сделанное ранее замечание об эндоморфизмах из ниль-радикала позволяет утверждать, что первое условие из определения множества ν(E(G)) выполняется, то есть из αij ≠ 0 следует
j < i. Поэтому из предположения следует, то не выполняется второе условие. Это
означает, что для каждого натурального числа k найдутся отличные от нуля элементы αi1 j1 , α i2 j2 ,… , αik jk матрицы α , такие, что i1 ≤ j2 , i2 ≤ j3 ,… , ik −1 ≤ jk . Так
как первое условие из определения множества ν( E (G )) выполняется, то из того,
что элементы αi1 j1 , α i2 j2 ,… , αik jk отличны от нуля, следует, что
j1 < i1 ,
j2 < i2 ,… , jk < ik . Вместе с i1 ≤ j2, i2 ≤ j3,…, ik-1 ≤ jk это, очевидно, дает j1 < i1 ≤
j2 < i2 ≤ j3 < i3 ≤ …< ik-1 ≤ jk < ik. Последнее в частности означает, что никакие два
из элементов αi1 j1 , α i2 j2 ,… , αik jk не лежат в одном столбце или в одной строке.
Для каждого n ∈ N выберем n ненулевых элементов αin1 jn1 , αin 2 jn 2 ,… , αinn jnn .
Получим систему {αinm jnm }n∈N ,m =1,n ненулевых элементов матрицы [αij]. Отбор
элементов будем вести так, чтобы для выбранных элементов были справедливы
следующие утверждения:
1) никакие два из выбранных элементов не лежат в одном столбце или одной
строке матрицы [αij], то есть jnp ≠ jmq и inp ≠ imq, если n ≠ m или p ≠ q
( n, m ∈ N, p = 1, n, q = 1, m );
2) для элементов αin1 jn1 , αin 2 jn 2 ,… , αinn jnn , выбранных на n-м шаге, выполнено
jn1 < in1 ≤ jn2 < in2 ≤ … ≤ jnn < inn ( n ∈ N );
3) αinp jmq = 0 , если n > m ( n, m ∈ N, p = 1, n, q = 1, m ).
Отбор нужных элементов будем вести по индукции.
n = 1. Пусть αi11 j11 – любой ненулевой элемент матрицы α = [αij] (α ≠ 0, поскольку 0 ∈ ν( E (G )) . Очевидно, что утверждения 1, 2 и 3 для одного элемента
выполнены.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8
А.В. Буданов
Рассмотрим дополнительно второй шаг. Матрица [αij] конечна по столбцам.
Пусть тогда M1 – число ненулевых элементов в ее столбце с индексом j11. Положим N = M1 + 3. По предположению, найдется N ненулевых элементов
′ < i21
′ ≤ j22
′ < i22
′ ≤ … ≤ j2′ N < i2′ N . Вычеркнем
α i21
′ j21
′ , α i22
′ j22
′ ,… , α i2′ N j2′ N , таких, что j21
из этой цепи такие пары j2′ k < i2′ k , для которых αi2′ k j11 ≠ 0 . Заметим, что если в
некоторой паре j2′ k < i2′ k окажется i2′ k = i11 , то она будет вычеркнута, поскольку
элемент αi11 j11 отличен от нуля. Затем вычеркнем ту пару j2′ k < i2′ k , в которой
j2′ k = j11 (если она входит в цепь). Вычеркнуто будет не более M1 + 1 пар, а значит, хотя бы две пары останутся. Обозначим j21 < i21 ≤ j22 < i22 начало оставшейся
цепочки. Учитывая то, какие пары были вычеркнуты, понятно, что для системы из
трех выбранных элементов {αi11 j11 , αi21 j21 , αi22 j22 } утверждения 1), 2) и 3) справед-
ливы.
Предположим, что уже выбраны элементы αikl jkl ( k = 1, m − 1, l = 1, k ), для которых выполнены утверждения 1−3, m-й шаг построения осуществляется аналогично второму. Пусть во всех столбцах с индексами jkl ( k = 1, m − 1, l = 1, k ) имеется M ненулевых элементов. M – натуральное число, так как в каждом столбце
матрицы [αij] имеется лишь конечное число ненулевых элементов.
1
Пусть теперь N = M + m(m − 1) + m . В силу предположения, что α ∈
/ ν( E (G )) ,
2
найдется N ненулевых элементов αim′ 1 jm′ 1 , αim′ 2 jm′ 2 ,… , αimN
таких, что
′ jmN
′ ,
′ < imN
′ . По аналогии со вторым шагом, вычеркнем
jm′ 1 < im′ 1 ≤ jm′ 2 < im′ 2 ≤ … ≤ jmN
′ < jmk
′ , что αi′ j ≠ 0 для
из этой цепи «плохие» пары. А именно, такие пары imk
mk pq
каких-либо p = 1, m − 1 и q = 1, p . Таких пар будет не более M. Заметим также,
′ < jmk
′ , что imk
′ = i pq для какихчто вычеркнутыми окажутся все такие пары imk
′ < jmk
′ , что
либо p = 1, m − 1 и q = 1, p . Затем вычеркнем еще такие пары imk
′ = j pq для каких-либо p = 1, m − 1 и q = 1, p . Таких пар будет не больше
jmk
1
1
m(m − 1) . В общем, вычеркнуто будет не более M + m(m − 1) пар. Следова2
2
тельно, хотя бы m пар в цепочке останется. Начало получившейся цепочки обозначим jm1 < im1 ≤ jm2 < im2 ≤ … ≤ jmm < imm. Снова, c учетом того, какие пары были
вычеркнуты, становится ясно, что утверждения 1–3 справедливы для системы
элементов {αikl jkl }k =1, m,l =1,k .
Таким образом, имеем систему {αinm jnm }n∈N ,m =1,n элементов матрицы [αij], для
которой справедливы утверждения 1–3.
Определим теперь матрицу β = [βij], полагая элементы β jn 2in1 , β jn 3in 2 ,… , β jnnin , n −1
отличными от нуля (n = 2, 3,…). Это можно сделать, так как согласно утверждению 2 in1 ≤ jn2, in2 ≤ jn3,…, in,n-1 ≤ jnn, а значит, между соответствующими слагаемыми ранга 1 группы G имеются ненулевые гомоморфизмы. Все остальные элементы матрицы β положим равными нулю. Из утверждения 1 следует, что в каждой
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ниль-радикал кольца эндоморфизмов вполне разложимой абелевой группы без кручения
9
строке и каждом столбце матрицы β имеется не больше одного ненулевого элемента.
Докажем, что эндоморфизм βα не нильпотентен. Пусть n ∈ N , n ≥ 2. Докажем,
что c = (βα)n−1 ≠ 0. Для этого рассмотрим элемент c jnn jn1 . По определению произведения матриц имеем
c jnn jn1 =
∑
β jnnt1 αt1s1 β s1t2 α t2 s2 ⋅… ⋅β sn − 2tn −1 αtn −1 jn1 .
sk ,tk ∈I
В этой сумме есть ненулевое слагаемое
β jnnin , n −1 α in , n −1 jn , n −1 β jn , n −1in , n − 2 α in , n − 2 jn , n − 2 ⋅… ⋅β jn 2in1 α in1 jn1
(все сомножители в этом произведении – ненулевые гомоморфизмы групп ранга 1).
Предположим, что слагаемое β jnnt1 αt1s1 β s1t2 αt2 s2 ⋅… ⋅β sn − 2tn −1 αtn −1 jn1 также отлично от нуля. По определению, единственные ненулевые элементы матрицы β –
элементы вида β j pq i p , q −1 ( p = 2,3,… , q = 2, p ). Следовательно, поскольку
β jnnt1 ≠ 0, β sk −1tk ≠ 0 ( k = 2, n − 1 ), можно записать
t1 = in,n −1 , s1 = j p1q1 , t2 = i p1 ,q1 −1 ,… , sk −1 = j pk −1qk −1 , tk = i pk −1 , qk −1 −1 , sk = j pk qk ,
tk +1 = i pk , qk −1 ,… , sn − 2 = j pn − 2 qn − 2 , tn −1 = i pn − 2 ,qn − 2 −1
для подходящих натуральных чисел pk, qk ( k = 1, n − 2 ), причем qk ∈ {2, …, pk } .
Применим теперь утверждение 3 к элементам α tk sk ≠ 0 ( k = 1, n − 2 ) и αtn −1 jn1 ≠ 0 .
Получается n ≥ p1 ≥ p2 ≥ …≥ pk-1 ≥ pk ≥ … ≥ pn-2 ≥ n и, значит, p1 = p2 = … = pn-2 = n.
Предположение, что рассматриваемое слагаемое отлично от нуля вместе со свойствами матрицы α, дает цепочку jn1 < tn-1 ≤ sn-2 < tn-2 ≤ … ≤ s2 < t2 ≤ s1 < t1 ≤ jnn < inn,
которая с учетом уже сделанных выводов об индексах tk и sk имеет вид
jn1 < in,qn − 2 −1 ≤ jnqn − 2 < in, qn −3 −1 ≤ … ≤ jnq2 < in, q1 −1 ≤ jnq1 < in, n −1 ≤ jnn < inn .
Следовательно, qk ( k = 1, n − 2 ) – попарно различные числа из множества
{2,…, n – 1}. Сравнивая теперь полученную цепочку с цепочкой jn1 < in1 ≤ jn2 <
< in2 ≤ … ≤ jnn < inn, которая имеет место согласно 2, находим q1 = n – 1, q2 = n – 2,
…, qn-2 = 2. Таким образом,
β jnnin , n −1 α in , n −1 jn , n −1 β jn , n −1in , n − 2 α in , n − 2 jn , n − 2 ⋅… ⋅β jn 2in1 α in1 jn1
– единственное ненулевое слагаемое в сумме, составляющей элемент c jnn jn1 и,
следовательно, c jnn jn1 ≠ 0 .
Доказали, что для произвольного натурального числа n ≥ 2 матрица c = (βα)n−1
отлична от нуля. Значит, βα – не нильпотентный элемент кольца E(G). Получили
противоречие с тем, что α ∈ N ( E (G )) . Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Матем. сб.
1974. Т. 95(137). № 2(10). С. 214–228.
2. Крылов П.А. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения
// Абелевы группы и модули. 1994. № 11−12. С. 214–228.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10
А.В. Буданов
3. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов.
М.: Факториал Пресс, 2006.
4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977.
5. Gardner B.J., Wiegandt R. Radical theory of rings. Marcel Dekker, 2004.
Статья поступила 08.11.2011 г.
Budanov A.V. NIL RADICAL OF THE ENDOMORPHISM RING OF A COMPLETELY
DECOMPOSABLE TORSION-FREE ABELIAN GROUP. Matrix ring representation of the
endomorphism ring of a completely decomposable torsion-free abelian group is considered. The
nil radical of such an endomorphism ring is described in terms of matrices. It is proved that the nil
radical coincides with the sum of all its nilpotent ideals.
Keywords: endomorphism ring, abelian group, nil radical.
BUDANOV Alexander Viktorovich (Tomsk State University)
E-mail: alexandrbud@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 512.541
С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская
СОБСТВЕННЫЕ ВПОЛНЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ
ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ, ИЗОМОРФНЫЕ САМОЙ ГРУППЕ1,2
В статье исследуются группы без кручения, содержащие собственные вполне характеристические подгруппы, изоморфные самой группе.
Ключевые слова: абелева группа, IF-группа, вполне характеристическая
подгруппа, группа без кручения.
В теории абелевых групп одним из направлений исследований является изучение групп, содержащих собственные подгруппы, изоморфные самой группе. В [1]
Р. Бьюмонт и Р. Пирс рассматривали такие группы: I-группы – группы, изоморфные собственной подгруппе; IP-группы – группы, изоморфные собственной сервантной подгруппе; ID-группы – группы, изоморфные собственному прямому
слагаемому. Г. Монк в [2] исследовал абелевы p-группы, не содержащие собственные сервантные плотные подгруппы, изоморфные самой группе. В [3] рассматриваются группы, изоморфные подгруппам той же мощности, что и сама
группа. В [4–6] исследовались примарные IF-группы, т.е. группы, содержащие
собственные вполне характеристические подгруппы, изоморфные самой группе.
В настоящей статье исследуются абелевы группы без кручения, изоморфные
некоторой собственной вполне характеристической подгруппе. Нам понадобится
следующая теорема.
Теорема 1. ([7]) Пусть A – абелева группа, A = R ⊕ D0 ⊕ ⎛⎜ ⊕ D p ⎞⎟ , где R – реду⎝p
⎠
цированная группа, D0 – делимая группа без кручения, Dp – делимые p-группы.
Подгруппа S группы A вполне характеристична в A тогда и только тогда, когда
она имеет один из следующих двух видов:
k
1) S = R '⊕ ⎜⎛ ⊕ D p ⎡ p p ⎤ ⎟⎞ , где R ′ = ⊕ R p′ – периодическая вполне характери⎣
⎦⎠
p
⎝p
стическая
подгруппа
{
}
группы
R
( R p′
–
p-компонента
группы
R′ )
и
k p ≥ sup e ( r ) | r ∈ R p′ (kp – целое неотрицательное число или символ ∞);
2) S = R '⊕ D0 ⊕ ⎛⎜ ⊕ D p ⎞⎟ , где R ′ – вполне характеристическая подгруппа
⎝p
⎠
группы R.
Всюду далее в этой статье под словом «группа» будем понимать аддитивно
записанную абелеву группу.
1
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной
России на 2009-2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 года.
2
Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238 от 7 июля 2009 года.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12
С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская
Рассмотрим группы без кручения, которые содержат собственные вполне характеристические подгруппы, изоморфные самой группе.
Теорема 2. Группа без кручения A содержит собственную вполне характеристическую подгруппу, изоморфную самой группе, тогда и только тогда, когда A –
неделимая группа.
Доказательство. Необходимость. Пусть A – группа без кручения, которая содержит собственную вполне характеристическую подгруппу S, изоморфную
группе A. Предположим, что A – делимая группа. По теореме 1 получаем, что
S = A, что противоречит, тому, что S – собственная подгруппа группы A.
Достаточность. Пусть A – группа без кручения, не являющаяся делимой
группой. Существует такое натуральное число n, отличное от 1, что nA ≠ A. Рассмотрим S = nA. Тогда S – вполне характеристическая подгруппа группы A. Так
как A – группа без кручения, то S ≅ A. Значит, A содержит собственную вполне
характеристическую подгруппу, изоморфную самой группе. ■
Таким образом, группа без кручения, не являющаяся делимой, всегда содержит собственную вполне характеристическую подгруппу вида nA, изоморфную
самой группе. Будем рассматривать далее группы без кручения, которые имеют
собственную вполне характеристическую подгруппу, отличную от nA, изоморфную самой группе.
Определение. Группу без кручения A назовем IF-группой, если она содержит
собственную вполне характеристическую подгруппу, отличную от nA, которая
изоморфна самой группе.
Из теоремы 2 следует такой результат
Теорема 3. Делимая группа без кручения не является IF-группой.
Теорема 4. Нередуцированная группа без кручения A является IF-группой тогда и только тогда, когда ее редуцированная часть является IF-группой.
Доказательство. Необходимость. Пусть A – нередуцированная группа без
кручения. Тогда она имеет вид A = R ⊕ D0, где D0 – делимая группа без кручения,
R – редуцированная группа без кручения. Пусть A – IF-группа, тогда существует
такая вполне характеристическая подгруппа S группы A, что S ≅ A, S ≠ A и S ≠ nA.
По теореме 1 S имеет следующий вид: S = R '⊕ D0 , R ′ – вполне характеристическая подгруппа группы R. Так как A = R ⊕ D0 и S ≅ A, то получаем, что R ′ ≅ R и
R ′ – собственная
подгруппа
группы
R.
S ≠ nA,
следовательно,
R ′ ⊕ D0 ≠ n ( R ⊕ D0 ) = nR ⊕ D0 . Получаем, R ′ ≠ nR . Значит, R – IF-группа.
Достаточность. Пусть A – нередуцированная группа без кручения.
A = R ⊕ D0, где R – редуцированная группа без кручения, D0 – делимая группа без
кручения. Пусть R – IF-группа. Тогда существует вполне характеристическая подгруппа R′ группы R такая, что R′ ≅ R , R′ ≠ R и R′ ≠ nR для каждого n ∈ N. Рассмотрим группу S = R '⊕ D0 . S – собственная вполне характеристическая подгруппа группы A, S ≅ A и S ≠ nA. Следовательно, A – IF-группа. ■
В силу теорем 3 и 4 будем рассматривать далее только редуцированные группы.
Основными понятиями для групп без кручения являются понятия характеристики и типа.
Характеристикой называется последовательность неотрицательных целых
чисел и символов ∞. Обозначим через X множество таких последовательностей.
Если χ1 = (k1 , … , kn , …) и χ2 = (l1, … , ln , …), то полагают χ1 ≤ χ2, тогда и только
тогда, когда kn ≤ ln для всех n ∈ N.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Собственные вполне характеристические подгруппы групп без кручения
13
Пусть A – группа без кручения. Для элемента a ∈ A максимальное целое неотрицательное число k при данном простом числе p, для которого в группе A разрешимо уравнение pk x = a, называется p-высотой hp (a) элемента a; если такого
числа не существует, то полагаем hp (a) = ∞. Последовательность p-высот
χ ( a ) = ( h p1 ,… , h pn ,…) ,
где p1, … , pn, … – последовательность всех простых чисел, упорядоченных по
возрастанию, называется характеристикой или высотной последовательностью
элемента a. Так как характеристика элемента a зависит от группы A, иногда пишут χA (a), чтобы подчеркнуть роль A.
Если χ1 = (k1 , … , kn , …) и χ2 = (l1, … , ln , …) – характеристики, то их сумма
определяется как характеристика
χ1 + χ 2 = ( k1 + l1 ,… , kn + ln ,…) ,
а их разность при χ1 ≥ χ2 определяется как характеристика
χ1 − χ 2 = ( k1 − l1 ,… , kn − ln ,…) ,
где, естественно, ∞ плюс (минус) нечто есть ∞. Заметим, что для указанных операций над характеристиками в [8] используется мультипликативная запись, для
наших исследований удобнее аддитивная запись этих операций. Характеристика χ
называется идемпотентной, если χ + χ = χ.
Две характеристики (k1 , … , kn , …) и (l1, … , ln , …) называются эквивалентными, если неравенство kn ≠ ln имеет место лишь для конечного числа номеров n и
только тогда, когда kn и ln конечны. Класс эквивалентности в множестве характеристик называется типом. Если χ (a) принадлежит типу t, то говорят, что элемент
a имеет тип t, и пишут t (a) = t или tA (a) = t, если необходимо указать, что тип
элемента a рассматривается в группе A.
Группа без кручения A называется однородной (типа t), если все ее ненулевые
элементы имеют один и тот же тип t.
Тип обычно представляется характеристикой, принадлежащей этому типу.
Другими словами, пишут
t = (k1 , … , kn , …),
понимая, что характеристику (k1 , … , kn , …) можно заменить на эквивалентную.
Для двух типов t1 и t2 полагают t1 ≤ t2, если существуют две такие характеристики
χ1 и χ2, принадлежащие типам t1 и t2 соответственно, что χ1 ≤ χ2.
Так как сложение характеристик согласовано с отношением эквивалентности в
множестве характеристик, то в множестве типов можно ввести, естественным образом, сумму и разность типов, а также понятие идемпотентного типа (t = t + t).
Обозначим через Π – множество всех простых чисел, перенумерованных в порядке возрастания. Тип t называется pk-делимым (pk ∈ Π), если для всякой характеристики v ∈ t имеем v(k) = ∞. Заметим, что если A – однородная группа типа t и
тип t – pk-делим, то pk A = A.
Пусть t – некоторый тип. Рассмотрим характеристики v, удовлетворяющие
следующим условиям:
а) v = (v(1), v(2), … , v(n), … ) ≤ w для некоторой w ∈ t;
б) v(k) = ∞, если тип t pk-делим.
Обозначим множество, состоящее из всех характеристик, удовлетворяющих
свойствам а), б), и характеристики, членами которых являются только символы ∞,
через F (t).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская
14
Пусть A – группа без кручения. Если v ∈ X, то обозначим через A (v) следующую подгруппу группы A: A ( v ) = {a ∈ A | χ ( a ) ≥ v} . A (v) – вполне характеристическая подгруппа группы A. Заметим, что если A –редуцированная группа и характеристика v состоит только из символов ∞, то A (v) = 0.
Редуцированная группа A без кручения называется χ-группой, если всякая ее
вполне характеристическая подгруппа S имеет вид S = A (v), где v – некоторая характеристика [7]. Редуцированная группа A называется вполне транзитивной, если для любых двух ее элементов a и b, для которых χ (a) ≤ χ (b), существует эндоморфизм φ этой группы, такой, что φ (a) = b [10].
Пусть A – однородная χ-группа типа t. В [9] доказано, что любая вполне характеристическая подгруппа S группы A единственным образом представима в виде
S = A (v), где v – некоторая характеристика, принадлежащая F (t). Заметим, что
если v ∈ F (t), где v = (v(1), v(2), … , v(n), … ), и v ≤ w, где w = (w(1), w(2),…, w(n), …)
∈ t, то тип группы A (v) определяется характеристикой
(
)
w − v = w(1) − v(1) , w( 2 ) − v( 2 ) ,… , w( n ) − v( n ) ,… .
Теорема 5. Однородные χ-группы не являются IF-группами.
Доказательство. Пусть A – однородная χ-группа типа t. Предположим, что A
– IF-группа. Тогда существует такая вполне характеристическая подгруппа S
группы A, что S ≅ A и S ≠ nA. Имеем S = A (v), где v∈ F (t). A (v) – однородная
группа. Так как S ≅ A, то A (v) ≅ A, и, следовательно, тип группы A (v) совпадает с
типом группы A.
Учитывая, что v ∈ F (t), получаем существование такой характеристики
w = (w(1), w(2), … , w(n), … ), принадлежащей типу t, такой, что v ≤ w. Пусть
{
}
I ( w ) = i ∈ N | w( i ) ≠ 0 и w( i ) ≠ ∞ .
Рассмотрим вначале случай, когда тип t не является идемпотентным. Имеем
I (w) – бесконечное множество. Так как v ∈ F (t), то v(i) = w(i) при i ∈ N \ I ( w ) .
Пусть I ′ – подмножество множества I (w), состоящее из всех натуральных чисел
i, для которых v(i) ≠ 0. Так как A (v) – собственная подгруппа группы A, то I ′ ≠ ∅ .
Имеем w(i) – v(i) ≠ w(i) для всякого i ∈ I ′ . Учитывая, что тип группы A (v) определяется характеристикой w – v и t (A (v)) = t (A), получаем, что I ′ – конечное множество. Пусть n = ∏ piv
(i )
. Тогда S = A (v) = nA. Противоречие.
i∈I ′
Пусть теперь тип t идемпотентен. Тогда множество I (w) конечно. Так как
v ∈ F (t) и v ≤ w, то v(i) = w(i) при i ∈ N \ I ( w ) . Пусть I ′ = i ∈ N | v( i ) ≠ 0 и i ∈ I ( w ) .
{
I ′ является непустым конечным
S = A (v) = nA, где n = ∏
i∈I ′
(i )
piv .
}
подмножеством множества I (w). Тогда
Противоречие. ■
Используя то, что всякая однородная вполне транзитивная группа является χгруппой, и всякая однородная редуцированная сепарабельная группа является
вполне транзитивной группой [10], получаем такие результаты.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Собственные вполне характеристические подгруппы групп без кручения
15
Следствие 6. Собственная вполне характеристическая подгруппа S однородной вполне транзитивной группы A изоморфна группе A тогда и только тогда, когда S = nA для некоторого натурального числа n, отличного от единицы.
Следствие 7. Собственная вполне характеристическая подгруппа S однородной редуцированной сепарабельной группы A изоморфна группе A тогда и только
тогда, когда S = nA для некоторого натурального числа n, отличного от единицы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Beaumont R.A., Pierce R.S. Isomorphic direct summands of abelian groups // Math. Annalen,
1964. V. 153. P. 21−37.
2. Monk G.S. Abelian p-groups without proper isomorphic pure dense subgroups // Ill. J. Math.
1970. V. 14. No. 1. P. 164−177.
3. Goldsmith B., Óhógáin S., Wallutis S. Quasi-minimal groups // Proc. Amer. Math. Soc. 2004.
V. 132. No. 8. P. 2185−2195.
4. Савинкова М.М. U-последовательности и примарные группы, содержащие собственные
изоморфные себе вполне характеристические подгруппы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. № 2(3). С. 56−60.
5. Гриншпон С.Я., Никольская М.М. Примарные IF-группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 3(15). С. 25−31.
6. Grinshpon S.Ya., Nikolskaya (Savinkova) M.M. Fully invariant subgroups of Abelian pgroups with finite Ulm-Kaplansky invariants // Communications in Algebra. 2011. V. 39.
No. 11. P. 4273−4282.
7. Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без
кручения // Абелевы группы и модули. 1982. C. 56−92.
8. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 336 с.
9. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундамент. и прикл. матем. 2002. Т. 8. № 2. С. 407−473.
10. Grinshpon S.Ya., Krylov P.A. Fully invariant subgroups, full transitivity and homomorphism
groups of Abelian groups // J. Math. Sciences. 2005. V. 128. No. 3. P. 2894−2997.
Статья поступила 28.12.2011 г.
Grinshpon S.Y., Nikolskaya M. M. PROPER FULLY INVARIANT SUBGROUPS OF TORSION
FREE GROUPS ISOMORPHIC TO THE GROUP. In this work, we study torsion free groups
containing proper fully invariant subgroups isomorphic to the group.
Keywords: Abelian group, IF-group, fully invariant subgroup, torsion free group.
GRINSHPON Samuil Yakovlevich (Tomsk State University)
E-mail: grinshpon@math.tsu.ru
NIKOLSKAYA Maria Mikhailovna (Tomsk State University of Architecture and Building)
E-mail: mary_s83@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 515.12
С.П. Гулько, В.Р. Лазарев, Т.Е. Хмылева
О ВЗАИМНОЙ «ОРТОГОНАЛЬНОСТИ» КЛАССОВ ПРОСТРАНСТВ
Cp(X) И Lp(Y)
В статье доказывается, что для бесконечномерных пространств Сp(X), Lp(Y)
или нормированного пространства Е никакое из этих трех пространств нельзя линейно гомеоморфно вложить в другое в качестве дополняемого подпространства.
Ключевые слова: пространство непрерывных функций, линейное гомеоморфное вложение, дополняемое подпространство.
Для вполне регулярного топологического пространства X символом Cp(X) обозначаем пространство непрерывных функций из X в с топологией поточечной
сходимости. Через Lp(X) обозначается топологическое сопряжённое к Cp(X), т.е.
совокупность всех линейных непрерывных функционалов, также наделенная топологией поточечной сходимости. Известно [1], что сопряженным к Lp(X) является Cp(X). В данной статье мы даем отрицательный ответ на следующие вопросы (в
случае бесконечности пространства Х):
1. Можно ли пространство вида Cp(X) вложить в Lp(Y) для некоторого Y в качестве дополняемого подпространства?
2. Можно ли пространство вида Lp(X) вложить в Cp(Y)для некоторого Y в качестве дополняемого подпространства?
Напомним, что для топологического векторного пространства Е подпространство L называется дополняемым, если существует линейная непрерывная проекция Е на L.
Очевидна следующая лемма.
Лемма 1. Пусть X – вполне регулярно и бесконечно. Тогда существует последовательность ненулевых функций en , n ∈ , в пространстве Cp(X) с дизъюнктными носителями.
Лемма 2. Пусть { f n : n ∈ } – линейно независимая система в Lp(Y). Тогда
найдётся подсистема
{ fn
f nk ( x0 ) ≠ 0 при всех k ∈
k
:k∈
}
и функция
x0 ∈ C p (Y ) ,
для
которой
.
Доказательство. Введём вначале некоторые обозначения. Носитель функционала f n обозначим через An . Для { f nk : k ∈ } обозначим Bm = ∪ { Ank : k ≤ m} и
Dm = Bm \ Bm −1 . Наконец, для конечного множества F ⊂ Y и точки y ∈ F , пусть
x ( y, F ) ∈ C p (Y , [ 0, 1]) , x ( y, F )( y ) = 1, x ( y, F )( y ′ ) = 0 при всех y ′ ∈ F , y ′ ≠ y .
В силу линейной независимости системы { f n : n ∈ } , найдётся подсистема
{ fn
k
:k∈
} , для которой все разности
Dk не пусты. Методом математической
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О взаимной «ортогональности» классов пространств
индукции
построим
последовательности
( Sk )k∈ ⊂ C p (Y ) , Sk = x1 + ε 2
функций
17
( xk )k∈ ⊂ C p (Y ) ,
x
x2
+ … + ε k kk−1 , где все ε k ∈ {0, 1} , со следующими
2
2
свойствами:
(а) f nk ( Sk ) ≠ 0 ,
(б) f nk ( xm ) = 0 при m > k .
Выберем произвольную точку y1 ∈ B1 и положим S1 = x1 = x ( y1 , B1 ) . Далее,
выберем произвольную точку
y2 ∈ D2
и положим
x2 = x ( y2 , B2 ) ,
x2
. Здесь ε 2 = 0 , если f n2 ( x1 ) ≠ 0 , и ε 2 = 1 , если f n2 ( x1 ) = 0 . Тогда
2
f n1 ( x1 ) = f n1 ( S1 ) ≠ 0 . Так как f n2 ( x2 ) ≠ 0 , то, по построению, f n2 ( S2 ) ≠ 0 . Кроме
S2 = x1 + ε 2 ⋅
того, f n1 ( x2 ) = 0 . Таким образом, для x1, x2, S1, S2 выполнены условия (а) и (б).
Предположим, что уже выбраны x1 ,… , xk и построены S1 ,… , Sk так, что выполнены условия (а) и (б).
Выберем какую-нибудь точку yk +1 ∈ Dk +1 и положим xk +1 = x ( yk +1 , Bk +1 ) , а
xk +1
, где ε k +1 = 0 , если f nk +1 ( Sk ) ≠ 0 , и ε k +1 = 1 , ес2k
ли f nk +1 ( Sk ) = 0 . Тогда получим, что f ni ( xk +1 ) = 0 при i ≤ k , и f nk +1 ( Sk +1 ) ≠ 0 . То
также Sk +1 = Sk + ε k +1 ⋅
есть условия (а) и (б) выполнены для x1, …, xk+1, S1, …, Sk+1.
Итак, требуемые последовательности построены.
∞
x
Положим теперь x0 = x1 + ∑ ε k ⋅ kk−1 . Очевидно, данный ряд состоит из не2
k =2
прерывных функций и сходится равномерно на Y. Поэтому функция x0 непрерывна. Заметим, что x0 = lim Sk .
k →∞
Пусть теперь
силу
условия
m∈
(б).
произвольно,
Так
как
k > m . Тогда
функционал
f nm
f nm ( Sk ) = f nm ( Sm ) в
непрерывен,
то
f nm ( x0 ) = lim f nm ( Sk ) = f nm ( Sm ) ≠ 0 по пункту (а). ■
k →∞
Теорема 3. Если X вполне регулярно и бесконечно, то не существует линейной
непрерывной инъекции C p ( X ) в L p (Y ) .
Доказательство. Пусть, напротив, существует линейная непрерывная инъекция T : C p ( X ) → L p (Y ) . Обозначим f n = T ( en ) , где функции en имеют дизъюнктные носители, как в лемме 1. Тогда система { f n : n ∈ } линейно независима. По
лемме 2, выберем в ней подсистему
{ fn
для которой f nk ( x0 ) ≠ 0 при всех k ∈
k
:k∈
} , а также функцию
x0 ∈ C p (Y ) ,
. Тогда найдутся скаляры ak, такие, что
ak ⋅ f nk ( x0 ) = 1 для каждого k. Но тогда последовательность ( ak enk
)k∈
⊂ Cp ( X )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.П. Гулько, В.Р. Лазарев, Т.Е. Хмылева
18
сходится к нулю, а её образ ( ak f nk
) k∈
⊂ L p (Y ) при операторе T к нулю не схо-
дится, что противоречит непрерывности отображения T. ■
Следствие 4. Если X вполне регулярно и бесконечно, то пространство Cp(X)
нельзя линейно гомеоморфно вложить в Lp(Y) ни для какого пространства Y.
Следствие 5. Если Х вполне регулярно и бесконечно, то пространство Lp(X) не
является линейно гомеоморфным дополняемому подпространству какого-либо
пространства Cp(Y).
Доказательство. Пусть, напротив, T : L p ( X ) → C p (Y ) – линейное гомеоморфное вложение, P : C p (Y ) → T ( L p ( X ) ) ⊂ C p (Y ) – проектор. Тогда композиция T −1 P : C p (Y ) → L p ( X ) – линейная непрерывная сюръекция. Тогда, как хо-
(
рошо известно, сопряжённое отображение T −1 P
нейная непрерывная инъекция. Но
∗
( C p (Y ) )
∗
( Lp ( X ) )
∗
) : ( Lp ( X ) )∗ → ( C p (Y ) )∗
– ли-
канонически изоморфно Cp(X), а
канонически изоморфно Lp(Y). Получили противоречие с теоремой 3. ■
Хорошо известно, что пространство Lp(X) естественным образом вкладывается
линейно гомеоморфно в пространство C p C p ( X ) (см. [1]).
Следствие 6. Для бесконечного вполне регулярного пространства Х пространство Lp(X) не дополняемо в пространстве C p C p ( X ) .
Для любого Х определим следующий естественный линейный непрерывный
оператор: S : L p (C p ( X )) → C p ( X ) по формуле
S (a1 ⋅ y1 + ... + an ⋅ yn )( x) = a1 ⋅ y1 ( x) + ... + an ⋅ yn ( x) .
«Дуальной формулировкой» следствия 6 является следующее утверждение.
Следствие 7. Не существует линейного непрерывного сечения для оператора
S, то есть такого оператора T : C p ( X ) → L p (C p ( X )) , что S T является тождественным оператором на Cp(X).
Доказательство. Если S T является тождественным оператором на Cp(X), то
оператор T – линейная непрерывная инъекция Cp(X) в L p (Y ) при Y = C p ( X ) . Это
противоречит теореме 3. ■
Для случая банаховых пространств хорошо известна следующая нерешенная
проблема: верно ли, что всякое дополняемое подпространство пространства вида
C ( K ) линейно гомеоморфно некоторому пространству C ( L) ? Для случая C p теории можно сформулировать аналогичную проблему.
Проблема 1. Верно ли, что дополняемое подпространство в Cp(X) изоморфно
некоторому Cp(Y)?
Поскольку пространства Cp(X) и Lp(X) взаимно сопряжены друг с другом, то
эта проблема является эквивалентной следующей проблеме.
Проблема 2. Верно ли, что дополняемое подпространство в Lp(X) изоморфно
некоторому Lp(Y)?
Наконец, рассмотрим вопрос об «ортогональности» класса бесконечномерных
нормированных пространств и пространств вида Cp(X) или Lp(X).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О взаимной «ортогональности» классов пространств
19
Ясно, что для бесконечного вполне регулярного пространства Х, пространства
Cp(X) или Lp(X) не могут быть линейно гомеоморфно вложены ни в какое нормированное пространство. В самом деле, любая окрестность нуля в Cp(X) или
L p ( X ) содержит нетривиальное одномерное векторное подпространство. С другой стороны, в нормированном пространстве шары не содержат таких подпространств.
Теорема 8. Бесконечномерное нормированное пространство Е нельзя линейно
гомеоморфно вложить ни в какое Cp(X) или Lp(X).
Доказательство. Любая окрестность нуля в Cp(X) или Lp(X) содержит векторное подпространство конечной коразмерности. Следовательно, Е тоже должно
иметь такие окрестности, что невозможно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.
Статья поступила 25.12.2011 г.
Gul’ko S.P., Lazarev V.R., Khmyleva T.E.ON MUTUAL "ORTHOGONALITY” OF CLASSES
OF THE SPACES CP(X) AND LP(Y). In this article, it is proved that none of the infinitedimensional spaces Cp(X), Lp(Y), or a normed space E can be embedded as a complementable
subspace into another by a linear homeomorphism.
Keywords: space of continuous functions, linear homeomorphic embedding, complementable
subspace.
GULKO Sergey Porfiryevich (Tomsk State University)
E-mail: gulko@math.tsu.ru
LAZAREV Vadim Remirovich (Tomsk State University)
E-mail: lazarev@math.tsu.ru
KHMYLEVA Tatyana Evgenievna (Tomsk State University)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК: 517.16; 519.2
В.В. Конев, Е.А. Пчелинцев
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИИ
С ИМПУЛЬСНЫМИ ШУМАМИ ПО ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ1
Рассматривается задача оценивания параметров в модели периодической
регрессии с непрерывным временем с шумами, описываемыми негауссовским процессом Орнштейна – Уленбека, по наблюдениям в дискретные моменты времени. Предлагаются улучшенные оценки неизвестных параметров
регрессии, превосходящие по среднеквадратической точности оценки по методу наименьших квадратов. Получены явные формулы для минимального
выигрыша в среднеквадратическом риске. Устанавливается асимптотическая
минимаксность оценок при неограниченном росте числа периодов и частоты
наблюдений процесса.
Ключевые слова: негауссовская параметрическая регрессия, улучшенное
оценивание, метод наименьших квадратов, импульсный шум, процесс Орнштейна – Уленбека, квадратический риск, минимаксность.
1. Введение
Рассмотрим регрессионную модель с непрерывным временем, определяемую
стохастическим дифференциальным уравнением
d
dyt = ∑ θ j ϕ j (t )dt + d ξt , 0 ≤ t ≤ n,
(1)
j =1
где θ = (θ1 ,..., θd )′ – вектор неизвестных параметров из открытого ограниченного
множества Θ ⊂
d
(штрих обозначает транспонирование), n – число периодов
наблюдения; (ϕ j )1≤ j ≤ d – система 1-периодических R→R функций, ортонормированных в пространстве L2 [0,1] и удовлетворяющих условию Липшица с постоянной L:
(2)
| ϕ j (t ) − ϕ j ( s ) |≤ L | t − s | .
Предположим, что шум (ξt )t ≥ 0 является квадратично интегрируемым семимартингалом с неизвестным условно-гауссовским распределением относительно некоторой σ-алгебры G, таким, что для любой функции f ∈ L2 [0, n] определен стохастический интеграл
n
I n ( f ) = ∫ f t d ξt ,
(3)
0
обладающий свойствами
n
EQ I n ( f ) = 0 и EQ I n2 ( f ) ≤ σQ ∫ ft 2 dt ,
0
(4)
где EQ – усреднение по распределению Q помехи (ξt )t ≥ 0 ; σQ > 0 – постоянная.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 09-01-00172-а.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценивание параметрической регрессии с импульсными шумами
21
Распределение помехи Q неизвестно и принадлежит некоторому параметрическому классу распределений Qn∗ в пространстве Скорохода D[0, n] .
Предположим, что процесс (1) доступен наблюдению только в дискретные
моменты времени
t j = j /p,
j = 0, np ,
(5)
где p – целое положительное число, определяющее частоту наблюдений.
Задача состоит в том, чтобы оценить вектор неизвестных параметров θ по наблюдениям процесса ( yt j )0≤ j ≤ np при некоторых общих условиях на функцию условной ковариации cov(ξt , ξ s | G ) шума ξt .
Важным примером семимартингального шума (ξt )t ≥ 0 является негауссовский
процесс Орнштейна – Уленбека с импульсными возмущениями:
d ξt = aξt dt + dut ,
(6)
где а≤0, (ut )t ≥ 0 – однородный процесс Леви
ut = 1wt +
2 zt ,
(7)
представляющий собой смесь стандартного броуновского движения ( wt )t ≥ 0 и составного пуассоновского процесса ( zt )t ≥ 0 , определяемого равенством
Nt
zt = ∑ Y j ,
(8)
j =1
где ( Nt )t ≥ 0 – однородный пуассоновский процесс с интенсивностью λ > 0 , а
(Y j ) j ≥1 – последовательность н.о.р. гауссовских случайных величин с параметрами (0,1). Параметры шума a, 1 , 2 и λ неизвестны.
Процесс (6) является квадратично интегрируемым семимартингалом, который
имеет условно-гауссовское распределение относительно σ-алгебры G = σ{N t , t ≥ 0} ,
порожденной пуассоновским процессом, с нулевым средним и функцией условной ковариации cov(ξt , ξ s | G ) , зависящей от мешающих параметров a, 1 , 2 и λ .
Известно [3], что негауссовский процесс Орнштейна – Уленбека (4) успешно используется при моделировании помех с различными структурными зависимостями и существенными отклонениями от гауссовости. Выбор параметров шума дает
возможность описывать различные воздействия импульсного типа.
Регрессионная модель (1) применяется при обработке сигналов [2] и описании
эволюции стоимостей активов на финансовых рынках с непрерывным временем
типа Блэка – Шоулса, допускающих скачкообразные изменения [1, 3].
Задача оптимального оценивания функции регрессии в параметрической модели типа (1), а также в непараметрической постановке подробно исследована в
случае белого гауссовского шума ξt [2].
Цель работы – построить оценки неизвестных параметров функции регрессии
в (1), имеющие более высокую среднеквадратическую точность по сравнению с
обычными оценками наименьших квадратов (МНК), а также получить явные
формулы для минимального выигрыша в риске.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22
В.В. Конев, Е.А. Пчелинцев
При выборе оценок функции регрессии по дискретным наблюдениям используется подход, восходящий к работе Джеймса и Стейна [4], в которой установлено, что если в задаче оценивания векторного параметра θ = (θ1 ,..., θd )′ в регрессионной модели
Y = θ+ξ
(9)
со стандартным гауссовским шумом ξ∼N(0,Id) вместо оптимальной несмещенной
оценки МНК θˆ = Y использовать смещенную оценку вида
⎛
c ⎞
θ = ⎜1 −
⎟Y,
Y 2⎠
⎝
то можно подобрать число c>0 так, что среднеквадратический риск оценки
R (θ, θ) = Eθ θ − θ
2
,
x
2
(10)
d
= ∑ xi2
i =1
будет строго меньше, чем оценки МНК θ̂ . Оценки типа (10) стали называть
улучшенными. В дальнейшем метод построения улучшенных оценок Джеймса –
Стейна был развит для общей гауссовской модели (9) с известной [5 – 8] и неизвестной ковариационной матрицей шума [9 – 11]. В [12] были исследованы улучшенные оценки параметров регрессионных моделей с дискретным временем и с
шумами, имеющими сферически симметричные распределения.
Рассматриваемая задача построения улучшенных оценок для вектора неизвестных параметров θ = (θ1 ,..., θd )′ процесса (1) по дискретным наблюдениям
( yt j )0≤ j ≤ np связана, как показано в разделе 2, с оцениванием параметра θ в модели типа (9), в которой, однако, шумы являются только условно-гауссовскими,
причем характеристики условного распределения неизвестны. Для такой схемы
наблюдений предлагается вместо (10) использовать оценку вида
c ⎞
⎛
θ* = ⎜ 1 −
⎟Y,
Y
⎝
⎠
которая – в отличие от (10) – позволяет построить улучшенную по точности оценку для вектора θ в модели (1) по наблюдениям процесса в дискретные моменты
времени (5), а также получить явные формулы для выигрыша в среднеквадратической точности в модели (1) с общим условно-гауссовским шумом (теорема 1) и с
негауссовским шумом типа Орнштейна – Уленбека (теорема 2).
В разделе 4 устанавливается асимптотическая минимаксность в смысле робастного риска предложенных оценок при неограниченном росте числа периодов n
и частоты p наблюдений процесса (1). В приложении приводятся доказательства
некоторых вспомогательных результатов.
2. Выбор оценки. Основные результаты для модели
с семимартингальным шумом
В данном разделе задача оценки параметров (θ1 ,…, θd ) по дискретным наблюдениям процесса ( yt j )0≤ j ≤ np в модели (1) с общим семимартингальным шумом,
имеющим условно-гауссовское распределение, сводится к оцениванию тех же параметров в схеме регрессии с дискретным временем и условно-гауссовскими шу-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценивание параметрической регрессии с импульсными шумами
23
мами. Основная трудность оценивания в результирующей схеме регрессии связана с тем, что шумы в ней имеют смещение, зависящее от частоты наблюдений и
неизвестных параметров, а также неизвестную условную ковариационную функцию.
Поскольку распределение шума ξt в уравнении (1) неизвестно, для оценивания неизвестных параметров естественно использовать метод наименьших квадратов. В случае, когда процесс (1) допускает непрерывное наблюдение, оценки θ j
МНК по n периодам определяются формулами
1 n
θˆ = (θˆ 1 ,..., θˆ d )′, θˆ j = ∫ ϕ j (t )dyt .
n 0
Оценка МНК вектора θ = (θ1 ,…, θd )′ по дискретным данным ( yt j )0≤ j ≤ np зависит
от частоты дискретов p и имеет вид
θˆ p (n) = (θˆ 1, p (n),..., θˆ d , p (n))′, θˆ j , p (n) =
1 n
ψ j , p (t )dyt ,
n ∫0
(11)
np
где ψ j , p (t ) = ∑ k =1 ϕ j (tk )1(tk −1 ,tk ] (t ) , т.е.
θˆ j , p (n) =
1 np
∑ ϕ j (tk )∆ytk ,
n k =1
j = 1, d .
(12)
Используя уравнение (1), находим
∆ytk =
1 d
∑ θi ϕi (tk ) + hk (θ) + ∆ξtk ; ∆ξtk = ξtk − ξtk −1 ,
p i =1
d
hk (θ) = ∑ θi ∫
tk
tk −1
i =1
(13)
(ϕi (u ) − ϕi (tk ))du.
Подставляя (13) в (12), получаем
−1/ 2
θˆ p (n) = θ + n ζ p (n),
(14)
где ζ p (n) = (ζ1, p (n),..., ζ d , p (n))′ – вектор шумов с координатами
ζ j , p (n) = n1/ 2 H j , p (θ) + n −1/ 2 I n (ψ j , p );
d
p
i =1
k =1
H j , p (θ) = ∑ θi ∑ ∫
tk
tk −1
ϕi (u )(ϕ j (tk ) − ϕ j (u ))du,
а функционал I n ( f ) определен в (3). Вектор шумов ζ p (n) в уравнении (14), в силу условий на шумовой процесс ξt в модели (1), является условно-гауссовским
относительно
σ-алгебры
G с неизвестным вектором средних значений
H p (θ) = ( H1, p (θ),…, H d , p (θ))′ и неизвестной случайной ковариационной матрицей
V p,n (G ) := cov(ζ p (n)ζ p (n)′ | G ).
(15)
Принимая во внимание, что неизвестный параметр θ = (θ1 ,…, θd )′ в (1) удовлетворяет уравнению (14), предлагается в качестве его оценки использовать оценку
вида
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Конев, Е.А. Пчелинцев
24
⎛
⎞
c
(16)
θ∗p (n) = ⎜1 −
⎟ θˆ p (n),
⎜
θˆ p (n) ⎟⎠
⎝
где c – некоторая положительная постоянная [13].
Такой выбор оценки, как показано ниже, дает возможность контролировать
среднеквадратическую точность оценивания при определенных условиях на условную ковариационную матрицу шума ζ p (n) .
Предположим, что:
(C1) максимальное собственное значение матрицы EV p, n (G ) ограничено сверху, т.е.
λ max (EV p,n (G )) ≤ λ∗ ,
где λ∗ – положительная постоянная;
(C2) существует положительная постоянная κ , такая, что
tr V p, n (G ) − λ max (V p, n (G )) ≥ κ п.н.
При изучении свойств оценки (16) нам потребуются следующие обозначения
∆ p (θ) := R (θ∗p (n), θ) − R (θˆ p (n), θ);
γn =
1
α + d λ ∗ /n
(17)
,
(18)
где α = (1 + Ld / ( 3 p))β и β = sup{ θ : θ ∈ Θ} .
Нижнюю границу для величины уменьшения среднеквадратического риска
∆ p (θ) при переходе от оценки МНК (11) к модификации оценки Джеймса –
Стейна (16) дает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть в регрессионной модели (1) семимартингальный шум
(ξt )t≥ 0 удовлетворяет условиям (3), (4), (C1) и (C2), Θ ⊂ d , d ≥ 2 . Тогда разность рисков (17) оценки (16) с постоянной c = c∗ := κγ n /n и оценки МНК (11)
удовлетворяет неравенству
2 Lβd
sup ∆ p (θ) ≤ −c∗2 +
c∗ .
3p
θ∈Θ
Доказательство. Рассмотрим риск оценки (16):
R (θ∗p (n), θ) = Eθ θ∗p (n) − θ
2
= Eθ (θ∗p (n) − b) + H p (θ)
=Eθ θ∗p (n)−b 2 +2Eθ (θ∗p (n)−b)′H p (θ)+
H p (θ )
2
=
2,
(19)
где b = (b1 ,…, bd )′ = θ + H p (θ) . Первое слагаемое в правой части (19) запишем в
виде
Eθ θ∗p (n) − b
2
= Eθ θˆ p (n) − b
2
+ Eθ ( g (Y ) − 1) 2 Y
2
+
d
+2∑ Eθ [E(( g (Y ) − 1)Y j (Y j − b j ) | G )],
(20)
j =1
где g (Y ) = 1 − c / Y , Y = θˆ p (n) . Обозначив f j (Y ) = ( g (Y ) − 1)Y j и используя ус-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценивание параметрической регрессии с импульсными шумами
25
ловную плотность распределения вектора Y относительно σ-алгебры G
(
n d / 2 exp − n2 ( x − b)′V p−,1n (G )( x − b)
pY ( x | G ) =
(2π)
L j := E( f j (Y )(Y j − b j ) | G ) = ∫
имеем
Rd
d/2
det V p, n (G )
),
f j ( x )( x j − b j ) pY ( x | G )dx, j = 1, d .
Переходя к новой переменной интегрирования u = V p−,1n/ 2 (G )( x − b) и полагая
1/ 2
f j (u ) = f j (V p, n (G )u + b),
находим
Lj =
nd / 2
d
< V p1,/n2 (G ) > jl ∫
d/2 ∑
(2π)
=
d
l =1
d
⎛ n u
f j (u )ul exp ⎜ −
2
⎝
1
∑ < V p1,/n2 (G ) > jl E( f j ( X ) X l | G ),
n l =1
2
⎞
⎟ du =
⎠
j = 1, d ,
где < A >ij обозначает (i, j)-й элемент матрицы A, а X – d-мерный условно-гауссовский относительно σ-алгебры G вектор с нулевым средним и единичной матрицей условной ковариации. Для вычисления условных математических ожиданий E( f j ( X ) X l | G ) нам потребуется следующий результат, непосредственно вытекающий из леммы 2 работы [14].
Лемма 2.1. Пусть X – d-мерный условно-гауссовский относительно σ-алгебры
G вектор с нулевым средним и единичной матрицей условной ковариации. Пусть
h:
d
→
– непрерывно-дифференцируемая функция и E( ∇h( X ) | G ) < ∞ п.н.,
⎛
где ∇h = ⎜ ∂h ,…, ∂h
∂xd
⎝ ∂x1
⎞
⎟ . Тогда
⎠
Eh( X ) X = E∇h( X ) п.н.
Положим h(u ) = f j (u ) . Нетрудно проверить (см. приложение), что
E( ∇ f j ( X ) | G ) < ∞ п.н.
(21)
Применяя лемму 2.1, находим
⎛ ∂f j
⎞
⎛ ∂f
⎞ d
E( f ( X ) X l | G ) = E ⎜
( X )⎜G ⎟ = ∑ < V p1,/n2 (G ) >kl E ⎜
(Y )⎜G ⎟ .
⎝ ∂ul
⎠ k =1
⎝ ∂uk
⎠
Поэтому
Lj =
⎛ ∂f j
⎞
1 d d
(Y )⎜G ⎟ , j = 1, d .
< V p1,/n2 (G ) > jl < V p1,/n2 (G ) >kl E ⎜
∑
∑
n l =1 k =1
⎝ ∂uk
⎠
Отсюда и из (20) получаем
Eθ θ∗p (n) − b
2
= Eθ θˆ p (n) − b
2
+ Eθ ( g (Y ) − 1) 2 Y
2
⎞
∂
2 ⎛ d d d
+ Eθ ⎜ ∑ ∑ ∑ < V p1,/n2 (G ) > jl < V p1,/n2 (G ) >kl
[( g (Y ) − 1)Y j ] ⎟.
∂uk
n ⎝ j =1 l =1 k =1
⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Конев, Е.А. Пчелинцев
26
Перепишем это равенство в виде
Eθ θ∗p (n) − b
2
= EθW (Y ),
2c ⎛ z ′V p,n (G ) z trV p,n (G ) ⎞
−
⎜
⎟.
n ⎝
z
z 3
⎠
W ( z) = c2 +
где
2
−Eθ θˆ p (n) − b
Используя оценку z ′Az ≤ λ max ( A) z 2 для положительно определенной матрицы
A и условие (C2), приходим к неравенству
Eθ θ∗p (n) − b
2
−Eθ θˆ p (n) − b 2 ≤
trV p, n (G ) − λ max (V p,n (G ))
2c
2 κc
1
≤ c 2 − Eθ
≤ c2 −
.
Eθ
n
Y
n
Y
Далее оценим снизу величину E Y −1 .
Лемма 2.2. В условиях теоремы 1
−1
E Y
≥ γn .
(Доказательство этой леммы приводится в разделе 5.) Отсюда получаем
Eθ θ∗p (n) − b
2
−Eθ θˆ p (n) − b
2
≤ c 2 − 2κγ n c/n =: φ(c).
Минимизируя функцию φ(c) по c, находим
Eθ θ∗p (n) − b
2
≤ Eθ θˆ p (n) − b 2 −c∗2 =
= R (θˆ p (n), θ) − c∗2 − 2Eθ (θˆ p (n) − θ)′ H p (θ)+ H p (θ)
2
.
Подставляя эту оценку в (19), имеем
∆ p (θ) ≤ −c∗2 + 2Eθ (θ∗p (n) − θˆ p (n))′ H p (θ).
(22)
С помощью элементарного неравенства
2 | ab |≤ εa 2 + b 2 /ε, ε > 0,
(23)
получаем
2Eθ (θ∗p (n) − θˆ p (n))′ H p (θ) ≤ εEθ θ∗p (n) − θˆ p (n)
2
+
H p (θ)
2
= εc∗2 +
H p (θ)
ε
Далее, применяя неравенство Коши – Буняковского, имеем оценку
ε
2
H p (θ)
2
≤ θ
2
d
p
d ⎛ d
tk
⎞
= ∑ ⎜ ∑ θi ∑ ∫ ϕi (u )(ϕ j (tk ) − ϕ j (u ))du ⎟ ≤
t
⎠
j =1 ⎝ i =1
k =1 k −1
2
⎛ p tk
⎞
∑ ∑ ⎜ ∑ ∫tk −1 ϕi (u )(ϕ j (tk ) − ϕ j (u ))du ⎟ ≤
⎠
j =1 i =1 ⎝ k =1
d
d
d
p
≤ β2 p ∑ ∑ ∑ ∫
j =1 i =1 k =1
tk
tk −1
ϕi2 (u )du ∫
tk
tk −1
(ϕ j (tk ) − ϕ j (u )) 2 du.
Отсюда, в силу условия (2),
H p (θ)
2
d
p
≤ L2β2 pd ∑ ∑ ∫
i =1 k =1
tk
tk −1
ϕi2 (u )du ∫
tk
tk −1
(tk − u ) 2 du =
( Lβd ) 2
3 p2
.
2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценивание параметрической регрессии с импульсными шумами
27
2Eθ (θ∗p (n) − θˆ p (n))′H p (θ) ≤ εc∗2 + ( Lβ d ) 2 / (3 p 2 ε).
Поэтому
Выбрав значение ε , минимизирующее правую часть этого неравенства, и используя полученную оценку в (22), приходим к требуемому результату. Теорема доказана. ■
Следствие. В условиях теоремы 1 разность рисков (17) обладает свойствами:
1) если частота наблюдений p > 2 Lβd / ( 3c∗ ) , то
sup ∆ p (θ) < 0;
θ∈Θ
2) если условие (C2) выполнено для достаточно больших p, то
limsup sup ∆ p (θ) ≤ −c∗2 .
p →∞ θ∈Θ
3. Случай негауссовского шума Орнштейна – Уленбека
Изучим свойства построенной в разделе 2 процедуры оценивания параметров
θ1 ,…, θd в случае, когда шум ξt в уравнении (1) описывается негауссовским процессом Орнштейна – Уленбека (6), а функции (ϕ1 ,…, ϕd ) являются тригонометрическими, т.е.
ϕ1 = 1, ϕ2 j (t ) = 2 cos(2πjt ), ϕ2 j +1 (t ) = 2 sin(2πjt ), j = 1, 2,..., [d / 2],
где [b] – целая часть числа b.
Предположим, что параметры процесса (6) – (8) удовлетворяют условиям
+λ
2
2
≤
Пусть γ n – значение величины γ n в (18) при λ∗ = 3
∗
,а
−amax ≤ a ≤ 0,
причем amax , ρ и
∗
1
≥ρ>0 и
2
1
∗
,
(24)
– известны.
c := κ γ n/n.
Теорема 2. Пусть шум (ξt )t ≥ 0 в уравнении (1) описывается негауссовским процессом Орнштейна – Уленбека (6) – (8), причем выполнены условия (24). Тогда найдутся числа d0 и p0 , такие, что для всех d ≥ d 0 и p ≥ p0 оценка (16) при c = c
является улучшенной, т.е. разность рисков (17) удовлетворяет неравенству
sup ∆ p (θ) < 0.
θ∈Θ
Доказательство. Чтобы воспользоваться теоремой 1, требуется проверить
выполнение условий (C1) и (C2) для негауссовского процесса Орнштейна – Уленбека.
Лемма 3.1. В условиях теоремы 2 выполняется условие (C1) с λ∗ = 3 ∗ .
Доказательство. Из (14) и (15) имеем
< V p, n (G ) >ij = n −1E( I n (ψ i, p ) I n (ψ j , p ) | G ).
Отсюда находим
λ max (EV p,n (G )) = sup z ′EV p,n (G ) z = sup n −1EI n2 ( g ),
z =1
z =1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Конев, Е.А. Пчелинцев
28
d
где g (t ) = ∑ j =1 z j ψ j , p (t ) , а I n ( f ) и ψ j , p (t ) определены в (3) и (11) соответственно. Учитывая, что для процесса (6) – (8) выполнено условие (4) с σQ = 3
∗
и
ортогональность функций ψ j , p (t ) на решетке (5), получаем
n
n −1EI n2 ( g ) ≤ 3 ∗ n −1 ∫ g 2 (t )dt = 3
∗
z
0
2
,
т.е. выполнено условие (C1):
λ max (EV p,n (G )) ≤ 3 ∗ .
Лемма 3.1 доказана. ■
Лемма 3.2. В условиях теоремы 2 найдутся d0 и p0 , такие, что для всех
d ≥ d 0 и p ≥ p0 выполнено условие (C2) при κ = ρ2 (d / 4 − 2) .
Доказательство. Учитывая независимость процессов ( wt )t ≥ 0 и ( zt )t ≥ 0 , имеем
V p,n (G ) =
2
1 Ap , n
+
2
2 B p , n (G ),
где Ap,n – матрица с элементами
< Ap,n >ij = n −1E( I n(1) (ψi, p ) I n(1) (ψ j , p ));
n
I n(1) ( f ) = ∫ f (t )d ξt(1) ,
(25)
d ξt(1) = aξt(1) dt + dwt ,
0
а B p, n (G ) – матрица с элементами
< Bn (G ) >ij = E( I n(2) (ϕi ) I n(2) (ϕ j ) | G );
n
I n(2) ( f ) = ∫ f (t )d ξt(2) ,
d ξt(2) = aξt(2) dt + dzt .
0
Отсюда получаем оценку
tr V p, n (G ) − λ max (V p, n (G )) ≥
2
1 (trAp , n
− λ max ( Ap, n )) п.н.,
(26)
где
λ max ( Ap, n ) = sup n −1E( I n(1) ( g )) 2 .
z =1
Применяя формулу Ито, находим
n
n
0
0
E( I n(1) ( g )) 2 = 2a ∫ g (t )EI t(1) ( g )ξt(1) dt + ∫ g 2 (t )dt
n
n
n
0
v
0
= a ∫ e av ∫ g (t ) g (t − v)dtdv + ∫ g 2 (t )dt .
Поскольку для всех a ≤ 0
n
(
∞
)
n
E( I n(1) ( g )) 2 ≤ ∫ g 2 (t )dt 1+ | a | ∫ eav dv = 2 ∫ g 2 (t )dt = 2n z
0
то
0
λ max ( Ap,n ) ≤ 2.
0
(27)
2
,
(28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценивание параметрической регрессии с импульсными шумами
29
Далее оценим снизу tr Ap,n , предполагая, без ограничения общности, что d является нечетным, d=2N+1. Используя (25) и (27), получаем
d
tr Ap ,n = ∑ < Ap , n > jj =
j =1
τ j ( p, n) =
где
k ,l (
j) = ∫
tl
n a (t − s )
a n
a np k
s
e
t
dtds
ψ
(
)
ψ
(
)
=
∑∑
j, p
j, p
∫s
n ∫0
n k =1 l =1
ϕ j (tl ) ∫
tl −1
tl
tl −1
rk(3)
,l = ∫
tl
tl −1
| rk(1)
,l |≤
ϕ j (s) ∫
tk
(ϕ j (tl ) − ϕ j ( s )) ∫
tk
tk −1
j ),
(2)
(3)
j ) + rk(1)
,l + rk ,l + rk ,l ;
ϕ j (t )e a (t − s ) χ( s ≤t ) dtds,
(ϕ j (tk ) − ϕ j (t ))ea (t − s ) χ( s ≤t ) dtds
tk
tk −1
(ϕ j (tk ) − ϕ j (t ))e a (t − s ) χ( s ≤t ) dtds.
2πj
2πj
μl ,k , | rk(2)
μl , k
,l |≤
p
p
μl , k = ∫
tl
∫
tk
tl −1 tk −1
τ j ( p, n) ≥
tk
tk −1
ϕ j ( s) ∫
∗
k ,l (
k ,l (
(29)
ϕ j (t )ea (t − s ) χ( s ≤t ) dtds,
tk −1
(ϕ j (tl ) − ϕ j ( s )) ∫
где
то
tl
tl −1
tl −1
rk(2)
,l = ∫
ϕ j (tk )ea (t − s ) χ( s ≤t ) dtds =
j) = ∫
tl
rk(1)
,l = ∫
Поскольку
tk
tk −1
∗
k ,l (
и
d
1 d
E ( I n(1) (ψ j , p )) 2 = d + ∑ τ j ( p, n),
∑
n j =1
j =1
и | rk(3)
,l |≤
2(πj ) 2
p2
μl , k ,
ea (t − s ) χ( s ≤t ) dtds,
n a (t − s )
a n
a ⎛ 4πj 2(πj ) 2 ⎞ n n a (t − s )
+
+
s
e
t
dtds
dtds.
ϕ
(
)
ϕ
(
)
⎜
⎟∫ ∫ e
j
j
∫s
n ∫0
n⎝ p
p2 ⎠ 0 s
Отсюда и из (29) следует, что
trAp,n ≥ d +
a n as n
e ∫ Φ (t , s )dtds
s
n ∫0
⎛ 1 − ean
⎞⎛ 2πd (d + 1) π2 d (d + 1)(2d + 1) ⎞
−⎜
+ 1⎟⎜
+
⎟,
p
3 p2
⎝ an
⎠⎝
⎠
где
d
N
j =1
j =1
(30)
Φ (t , s ) = ∑ ϕ j (t )ϕ j (t − s ) = 1 + 2∑ cos(2πjs ).
Интегрируя, получаем
a n as n
a n
e ∫ Φ (t , s )dtds = ∫ eas Φ( s )(n − s )ds
∫
s
0
n
n 0
n
n
≥ a ∫ eas | Φ ( s ) | ds = a ∑ ∫
0
j =1
l
l −1
eas | Φ ( s ) | ds.
(31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Конев, Е.А. Пчелинцев
30
Заметим, что для l − 1 < s < l
Φ(s) =
sin(πds)
.
sin(πs )
Пусть 0 < δ < 1/ 4 . Тогда для всех интервалов l − 1 + δ ≤ s ≤ l − δ , l = 1, n , справедлива оценка
| sin(πs) |= sin(π( s − l + 1)) ≥ sin(δπ) ≥ 2 2δ.
Поэтому
| Φ ( s ) |≤
sup
l −1+δ≤ s ≤ l −δ
l
∫l −1 e
и
+∫
as
| Φ ( s ) | ds = ∫
l −δ
l −1+δ
l −1+δ as
2 2δ
eas | Φ ( s ) | ds + ∫
l
l −δ
1
l
∫ e
2δ l −1
as
eas | Φ ( s ) | ds
≥−
1
2 2δ
Используя эту оценку в (30) при
ds + 2d δa
1
, l = 1, n.
2
1 − ea
Подставляя эту оценку в (31), имеем
n as
a n as n
a
a
e ∫ Φ (t , s )dtds ≥
e ds + 2d δ
≥
∫
s
0
n ∫0
2 2δ
1 − ea
l −1
e | Φ( s ) | ds ≤
1
+ 2d δ c′, c′ =
δ=
amax
1 − e− amax
1
,
4(1 + c′)
получаем
trAp,n ≥
d
d (d + 1)(6 p + (2d + 1)π)
− 2(1 + c′) − (1 − cn′′ )π
,
2
3 p2
cn′′ =
1 − e− amax n
.
amax n
Далее, выбирая сначала d ′ , а затем p ′ , приходим к оценке
d
для всех d ≥ d ′ и p ≥ p ′.
4
Отсюда и из неравенств (26) и (28) следует, что при d0 = max(d ′, 9) для процесса
(6) – (8) выполнено условие (C2), т.е.
tr Ap,n ≥
tr V p, n (G ) − λ max (V p,n (G )) ≥ ρ2 (d / 4 − 2) п.н.
Лемма 3.2 доказана. ■
В силу теоремы 1, для всех d ≥ d 0 и p ≥ p ′ разность рисков (17) удовлетворяет неравенству
2 Lβ d
sup ∆ p (θ) ≤ −c 2 +
c.
3p
θ∈Θ
Отсюда, полагая
p0 = max( p ′, [2 Lβd / ( 3c )] + 1),
приходим к утверждению теоремы 2. ■
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценивание параметрической регрессии с импульсными шумами
31
4. Минимаксная граница для рисков оценок
В данном разделе для модели (1) с негауссовским шумом Орнштейна – Уленбека (6) устанавливается асимптотическая минимаксность оценки (16) в смысле
робастного риска при неограниченном росте числа периодов наблюдений n и
предположении, что частота p зависит от n, причем функция p = p(n) возрастает
достаточно быстро с ростом n.
В качестве оценки вектора θ в модели (1) может использоваться произвольная
борелевская функция T p ,n от наблюдений ( yt j )0≤ j ≤ np . Робастный риск оценки
T p ,n для модели (1) с негауссовским шумом Орнштейна – Уленбека (6) определим
по формуле
R∗ (Tp ,n , θ) := sup δQ nEθ,Qn T p ,n − θ
2
Qn ∈Qn∗
,
(32)
где Qn∗ = Qn∗ (amax ,ρ, * ) – семейство всех распределений Qn в пространстве Скорохода D[0, n] процесса (6) с параметрами a, 1 , 2 и λ , удовлетворяющими неравенствам (24). Нормирующий множитель δQ n выберем из условия, чтобы
асимптотический робастный риск оценки МНК (11) по дискретным наблюдениям
при заданной функции p(n) равнялся единице, т.е.
lim sup R∗ (θˆ p (n), θ) = 1.
n →∞ θ∈Θ
Как будет показано ниже, это требование выполняется, если
δQ−1 = lim trEθ,Qn V p,n (G ) .
n →∞
Применяя формулу Ито и равенство (25), получаем
tr Eθ,Qn V p, n (G ) = (
n
2
1
+λ
2
2 )d
C j , p (n) = ∫ eat ψ j , p (t )
где
0
+
(
2
1
+λ
n
( ∫ ch(av)ψ
t
0
2
d
2 )a
∑ C j , p (n),
(33)
j =1
j , p (v ) dv
) dt.
Оценку (Tˆp , n ) n≥1 назовем асимптотически минимаксной в смысле робастного
риска (32), если
lim inf sup R∗ (T p ,n , θ) = lim sup R∗ (Tˆp , n , θ).
n →∞ T p , n θ∈Θ
n →∞ θ∈Θ
(34)
Согласно теореме 2, риск улучшенной оценки (16) при выполнении условий
(24) не превосходит риска оценки МНК (11). Поэтому достаточно доказать асимптотическую минимаксность соответствующей оценки МНК θˆ p ( n )(n) .
Qn∗
Теорема 3. Пусть распределение помех в модели (1) принадлежит классу
= Qn∗ (amax ,ρ, * ) , определенному в (32), и частота наблюдений p=p(n) такова,
что lim p (n) / n = +∞. Тогда оценка МНК параметра θ по дискретным наблюn →∞
дениям (11) является асимптотически минимаксной в смысле робастного риска.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Конев, Е.А. Пчелинцев
32
Доказательство. Чтобы доказать асимптотическую минимаксность оценки
МНК θˆ n = θˆ p ( n ) (n) в смысле робастного риска, требуется проверить равенство
(34). При нахождении нижней границы для асимптотического риска воспользуемся теоремой Гаека для параметрического семейства, обладающего свойством ЛАН
(см., например, [2, с. 223]). Рассмотрим частный случай модели (1) – (6) с a=0,
1 = 1 и 2 = 0 , т.е.
d
dyt = ∑ θ j ϕ j (t )dt + dwt , 0 ≤ t ≤ n.
(35)
j =1
Этой модели отвечает семейство распределений (Pθ( n ) : θ ∈ Θ) процесса ( yt )0≤t ≤ n .
Это семейство обладает свойством ЛАН. Действительно, согласно теореме 1,
Прил. 2 в [2], плотность меры Pθ( n ) относительно Pθ( n ) имеет вид
0
dPθ( n )
dPθ( n )
0
⎧⎪
n
θ − θ0
( y ) = exp ⎨∑ (θ j − θ0, j ) ∫ ϕ j (t )dwt −
0
2
⎩⎪ j =1
d
2
⎫⎪
n⎬.
⎭⎪
Отсюда, полагая θ = θ0 + u / n для любого u ∈ Θ , получаем требуемое представление
dPθ( n )
dPθ( n )
0
2
⎧⎪
u ⎫⎪
( y ) = exp ⎨u ′∆ n −
⎬.
2 ⎪⎭
⎩⎪
1
n
∫ ϕ j (t )dwt имеют стандартное гауссовское расn 0
где ∆ n = (∆1,n ,..., ∆ d ,n )′, ∆ j ,n =
пределение. Из теоремы Гаека вытекает следующее утверждение.
Лемма 4.1. Пусть (Pθ( n ) : θ ∈ Θ) – семейство вероятностных мер процесса
(35). Тогда для любой последовательности оценок (Tp , n ) n≥1 минимаксный робастный риск удовлетворяет неравенству
liminf inf sup R∗ (Tp , n , θ) ≥ 1.
n →∞ Tp , n θ∈Θ
Доказательство. Так как распределение
Qn0 = Qn∗ (0, 1 , 0, λ) принадлежит классу Qn∗ , то
inf sup R∗ (Tp , n , θ) = inf sup sup δQ nEθ,Qn T p ,n − θ
Tp , n θ∈Θ
T p , n θ∈Θ Q ∈Q∗
n
n
2
броуновского
движения
≥ inf sup nd −1Eθ,Q0 Tp , n − θ
T p , n θ∈Θ
n
2
.
В правой части неравенства учтено, что согласно (33) δQ = d −1 . Применяя
теорему Гаека с квадратичной функцией потерь w( x) = x 2 (см., например, [2,
с. 223]), получаем требуемое неравенство. ■
Следующее утверждение дает верхнюю границу для риска оценки МНК.
Лемма 4.2. В условиях теоремы 3 риск (32) оценки МНК (11) удовлетворяет
неравенству
lim sup R∗ (θˆ p (n), θ) ≤ 1.
n →∞ θ∈Θ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценивание параметрической регрессии с импульсными шумами
33
Доказательство. Из (14) с помощью элементарного неравенства (23) получаем
E θˆ p ( n )(n) − θ
2
≤ (1 + ε)E θˆ p ( n )(n) − θ − H p (θ)
2
+ (1 + ε −1 ) H p (θ)
2
.
Отсюда и из (32) следует, что
R∗ (θˆ p (n), θ) ≤ (1 + ε) sup δQ nEθ,Q θˆ p (n) − θ − H p (θ)
∗
2
+ ( Lβ d ) 2 (1 + ε −1 )
Q∈Qn
n
3 p2
sup δQ .
Q∈Qn∗
Устремляя n → ∞ и учитывая, что n/p 2 → 0 , приходим к неравенству
lim sup R∗ (θˆ p (n), θ) ≤ 1 + ε,
n →∞ θ∈Θ
из которого, в силу произвольности ε , следует утверждение леммы 4.2. ■
Из Лемм 4.1 – 4.2 приходим к утверждению теоремы 3. ■
Следствие. При выполнении условий теорем 2 и 3 предлагаемая оценка (16)
параметра θ в модели (1) с негауссовским шумом Орнштейна – Уленбека, построенная по дискретным наблюдениям процесса ( yt j )0≤ j ≤ np является асимптотически минимаксной в смысле робастного риска.
5. Приложение
5.1. Проверка условия (21)
Из (20) имеем
d
d
∂f j
∂f j
Y j Yk ⎞
⎛ δ jk
( X ) = ∑ < V p1,/n2 (G ) >kl
(Y ) = −c ∑ < V p1,/n2 (G ) >kl ⎜
−
⎟,
∂ul
∂uk
Y 3⎠
⎝ Y
k =1
k =1
где δ jk – символ Кронекера. Отсюда
∂f
j
∂ul
(X ) ≤
d
| T (G ) |
; T (G ) = 2c ∑ < V p1,/n2 (G ) >kl .
Y
k =1
Заметим, что
⎛ d
⎞
⎜
⎝ k =1
⎟
⎠
2
T 2 (G ) = 4c 2 ⎜⎜ ∑ < V p1,/n2 (G ) >kl ⎟⎟ ≤ 4c 2 d trV p,n (G ) ≤ 4c 2 d 2 λ max (V p,n (G )),
т.е. | T (G ) |≤ 2cd λ max (V p,n (G )) < ∞ . Далее оценим
E( Y
−1
∞
| G ) = ∫ P( Y
0
−1
∞
> u | G )du = ∫ P( b + V p1,/n2 (G ) X < u −1 | G )du.
0
Применяя лемму Андерсона (см. [2, гл. II, § 10]), получаем оценку
E( Y
−1
| G ) ≤ E( V p1,/n2 (G ) X
−1
⎛
⎞
1
| G) ≤ E⎜
⎜G ⎟ .
⎜ λ (V (G )) X
⎟
⎝ min p,n
⎠
Поскольку матрица V p,n (G ) является положительно определенной, существует
λ∗ > 0 , такое, что λ min (V p,n (G )) ≥ λ∗ п.н. Поэтому
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Конев, Е.А. Пчелинцев
34
1
1
⎛ 1
⎞
⎛ 1
⎞
⎜G ⎟ ≤
⎜G ⎟ =
E⎜
E⎜
⎝ Y
⎠
⎠
λ∗ ⎝ X
λ∗ (2π) d / 2
−1
Таким образом, E( Y
а именно
∫
d
e− u
u
2
/2
du =
Γ((d − 1) / 2)
2λ∗ Γ(d / 2)
.
| G ) < ∞ п.н. и, следовательно, выполняется условие (21),
d
⎛ ∂f j
⎞
E( ∇ f j ( X ) | G ) ≤ ∑ E ⎜
( X ) ⎜G ⎟ ≤
⎜
⎟
l =1 ⎝ ∂ul
⎠
≤ 2cd 2 λ max (V p,n (G ))
Γ((d − 1) / 2)
2λ∗ Γ(d / 2)
< ∞ п.н.
■
5.2. Доказательство леммы 2.2
Рассмотрим
Eθ Y
−1
= Eθ θ + n −1/ 2 ζ p (n)
−1
= Eθ ( θ + H p (θ) + n −1/ 2 η p (n) )−1 ,
где Y := θˆ p (n) , η p (n) := n −1/ 2 ( I n (ψ1, p ),…, I n (ψ d , p ))′ . Применяя неравенство треугольника и оценку
H p (θ) < Lβd / ( 3 p ) , имеем
Eθ Y
−1
≥ Eθ (α + n −1/ 2 I n (ψ p ) ) −1 ,
где α = (1 + Ld / ( 3 p))β . Отсюда, используя неравенства Йенсена, Коши – Буняковского и условие (C1), следует, что
Eθ Y
−1
≥ γn .
Лемма 2.2 доказана. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Barndorff-Nielsen O.E., Shephard N. Non-Gaussian Ornstein – Uhlenbeck – based models
and some of their uses in financial mathematics // J. Royal Stat. Soc. 2001. No. 63.
P. 167−241.
2. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука,
1979. 528 c.
3. Delong L., Klüppelberg C. Optimal investment and consumption in a Black – Scholes market
with Lévy driven stochastic coefficients // Annals of Applied Probability. 2008. No. 18(3).
P. 879−908.
4. James W., Stein Ch. Estimation with quadratic loss // Proc. of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematics Statistics and Probability. V. 1. Berkeley: University of California
Press, 1961. P. 361−380.
5. Baranchik A. A family of minimax estimators of the mean of a multivariate normal distribution // Ann. Math. Statist. 1970. No. 41. P. 642−645.
6. Efron B., Morris C. Families of minimax estimators of the mean of a multivariate normal
distribution // Ann. Statist. 1976. No. 4. P. 11−21.
7. Lehmann E.L., Casella G. Theory of Point Estimation. 2nd edition. New York: SpringerVerlag Inc., 1998. 617 p.
8. Закс Ш. (Zacks S.) Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975. 776 c.
9. Berger J.O., Bock M.E., Brown L.D., et al. Minimax estimation of a normal mean vector for
arbitrary quadratic loss and unknown covariance matrix // Ann. Statist. 1977. No. 5. P.
763−771.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценивание параметрической регрессии с импульсными шумами
35
10. Berger J.O., Haff L.R. A class of minimax estimators of a normal mean vector for arbitrary
quadratic loss and unknown covariance matrix // Statist. Decisions. 1983. № 1. P. 105−129.
11. Gleser L.J. Minimax estimators of a normal mean vector for arbitrary quadratic loss and unknown covariance matrix // Ann. Statist. 1986. No. 14. P. 1625−1633.
12. Fourdrinier D. Statistique Inférentielle. Dunod, 2002. 336 p.
13. Пчелинцев Е.А. Процедура Джеймса – Стейна для условно-гауссовской регрессии //
Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011.
№ 4(16). С. 6−17.
14. Stein Ch. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution // Ann. Statist. 1981.
No. 9(6). P. 1135−1151.
Статья поступила 31.01.2012 г.
Konev V.V., Pchelintsev E.A. ESTIMATION OF THE PARAMETRIC REGRESSION WITH A
PULSE NOISE BY DISCRETE TIME OBSERVATIONS. The paper considers the problem of
parametric estimation in a continuous time linear parametric regression model with a nonGaussian Ornstein – Uhlenbeck process by discrete time observations. Improved estimates with
smaller mean square risk as compared with the ordinary least square estimates are proposed for
the unknown regression parameters. The asymptotic minimaxity of these estimates in the sense of
the robust risk has been proved.
Keywords: non-Gaussian parametric regression, improved estimation, least square estimates,
pulse noise, Ornstein – Uhlenbeck process, quadratic risk, minimaxity.
KONEV Victor Vasil’evich (Tomsk State University)
E-mail: vvkonev@mail.tsu.ru
PCHELINTSEV Evgeny Anatol’evich (Tomsk State University, Université de Rouen (France))
E-mail: evgen-pch@yandex.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 517.97
Н.М. Махмудов, В.И. Салманов
РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА ЛИОНСА
Работа посвящена изучению задачи оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в которой критерием качества является функционал Лионса. При этом исследована корректность задачи оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи оптимального управления.
Ключевые слова: дифференциальные уравнение второго порядка, оптимальное управление, критерий Лионса.
В этой работе изучена задача оптимального управления для обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка с критерием качества типа функционала Лионса. Отметим, что задачи оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений, и в том числе случай одномерного эллиптического уравнения, ранее изучены в работах различных авторов [1,2] и др. Однако
здесь исследуемая задача с точки зрения целевого функционала и рассматриваемых функциональных пространств отличается от ранее изученных.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу оптимального управления о минимизации функционала
T
2
J α ( u ) = ∫ x1 ( t ; u ) − x2 ( t ; u ) dt + α u − u0
0
2
L2 ( 0, T )
(1)
на множестве
⎧
U ≡ ⎨u = u ( t ) , u ∈ L2 ( 0, T ) , u ( t ) ≥ b0 > 0, ∀ t ∈ [ 0, T ] , u
⎩
L2 ( 0, T )
⎫
≤ b1 ⎬
⎭
при условиях
−
d 2 x p (t )
dt 2
+ u ( t ) x p ( t ) = f p ( t ) , t ∈ [ 0, T ] , p = 1, 2 ;
(2)
x1 ( 0 ) = x2 ( 0 ) = 0 ;
(3)
dx1 ( 0 ) dx2 (T )
=
= 0,
dt
dt
(4)
где T > 0, b0 > 0, b1 > 0 , α ≥ 0 – заданные числа, u0 ∈ L2 ( 0, T ) – заданный элемент, f p = f p ( t ) , p = 1, 2 – заданные функции из L2 ( 0, T ) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разрешимость задачи оптимального управления
37
При каждом заданном u ∈ U
задача об определении функции
x1 = x1 ( t ) ≡ x1 ( t ; u ) из условий (2), (3) является первой краевой задачей, а функции x2 = x2 ( t ) ≡ x2 ( t ; u ) из условий (2), (4) – второй краевой задачей для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, которую в дальнейщем будем называть редуцированной задачей (2) – (4). Здесь обозначения
x p ( t ; u ) , p = 1, 2 показывают явную зависимость по независимой переменной t и
неявную зависимость от этой переменной по управлению u = u ( t ) , и поэтому эти
переменные отделены друг от друга точкой с запятой.
Под решением редуцированной задачи (2) – (4) будем понимать функции
x1 ∈ W21( 0, T ) , x2 ∈ W21 ( 0, T ) , удовлетворяющие следующим интегральным тождествам:
T
T
⎡ dx p ( t ) d η p ( t )
⎤
(5)
+
u
t
x
t
η
t
dt
=
(
)
(
)
(
)
⎥
p
p
∫ ⎢⎣ dt
∫ f p ( t ) η p ( t ) dt , p = 1, 2 ,
dt
⎦
0
0
1
для любых функций η1 ∈ W 2 ( 0, T ) , η2 ∈ W21 ( 0, T ) .
Редуцированная задача, состоящая из двух краевых задач для одномерного эллиптического уравнения, подробно изучена, например, в работах [3,4] и др. Из результатов этих работ следует, что при каждом u ∈ U редуцированная задача (2) –
(4) имеет единственное решение и для этих решений справедливы оценки
1
x1
W 2 ( 0, T )
≤ c1 f1
L2 ( 0, T )
x2
W21 ( 0, T )
≤ c2 f 2
L2 ( 0, T )
;
(6)
,
(7)
где c1 > 0, c2 > 0 – некоторые постоянные.
2. Корректность задачи оптимального управления
Рассмотрим вопрос корректности постановки задачи оптимального управления
(1) – (4). Для этого сначала приведем вспомогательную теорему из работы [5]:
Теорема 1 ( Goebel M. [5]). Пусть X – равномерно выпуклое пространство,
U – замкнутое ограниченное множество из пространства X , функционал I ( u )
на U полунепрерывен снизу и снизу ограничен, α > 0, β ≥ 1 – заданные числа.
Тогда существует плотное подмножество G пространства X , такое, что для любого ω∈ G функционал
Jα (u ) = I (u ) + α u − ω
β
X
достигает своего наименьщего значения на U . Если β > 1 , то наименьщее значение функционала J α ( u ) на U достигается на единственном элементе.
С помощью этой теоремы докажем следующее утверждение:
Теорема 2. Существует всюду плотное подмножество G пространства
L2 ( 0, T ) , такое, что для любого u0 ∈ G и α > 0 задача оптимального управления
(1) – (4) имеет единственное решение.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Махмудов, В.И. Салманов
38
Доказательство. Сначала докажем непрерывность функционала J 0 ( u ) на
множестве U. Для этого ∀u0 ∈ G придадим приращение ∆u ∈ L2 ( 0, T ) , такое,
что u + ∆u ∈ U . Пусть x p ( t ) = x p ( t ; u ) , p = 1, 2 – решение редуцированной зада-
чи (2) – (4) при u ∈ U , x p∆ ( t ) ≡ x p ( t ; u + ∆u ) , p = 1, 2 , – решение редуцированной
задачи (2) – (4) при
u + ∆u ∈ U . Тогда ясно, что функции
∆x p ( t ) ≡ x p ( t ; u + ∆u ) − x p ( t ; u ) , p = 1, 2 , будут решениями следующей краевой
задачи:
−
d 2 ∆x p ( t )
dt 2
+ ( u ( t ) + ∆u ( t ) ) ∆x p ( t ) = −∆u ( t ) x p ( t ) , p = 1, 2, 0 < t < T ;
(8)
∆x1 ( 0 ) = ∆x1 (T ) = 0 ;
(9)
d ∆x2 ( 0 ) d ∆x2 (T )
=
=0,
dt
dt
(10)
где x p (t ) ≡ x p (t ; u), p =1, 2, – решение редуцированной задачи (2) – (4) при u ∈ U .
В силу теоремы вложения Соболева [6, с. 74] имеем
1
x1 C [0, T ] ≤ c3 x1
W 2 ( 0, T )
x2 C [0, T ] ≤ c4 x2
W21 ( 0, T )
;
(11)
,
(12)
где c3 > 0, c4 > 0 – некоторые постоянные, не зависящие от x1 и x2 . Из этих неравенств и (6), (7) получим справедливость следующих оценок:
x1 C [0, T ] ≤ c5 f1 L ( 0, T ) ;
(13)
2
x2 C [0, T ] ≤ c6 f 2
L2 ( 0, T )
,
(14)
где c5 > 0, c6 > 0 – некоторые постоянные. В силу этих оценок из условия
∆u ∈ L2 ( 0, T ) получаем, что функции ∆u ( t ) x p ( t ) , p = 1, 2 , являются элементами
пространства L2 ( 0, T ) . Кроме того, из (8) – (10) ясно, что краевая задача (8) –
(10) является краевой задачей вида редуцированной задачи (2) – (4). С учетом
вышесделанных замечаний и условия ∆u x p ∈ L2 ( 0, T ) , p = 1, 2 , можем утверждать справедливость оценок
1
∆x1
W 2 ( 0, T )
≤ c7 ∆u x1
L2 ( 0, T )
∆x2
W21 ( 0, T )
≤ c8 ∆u x2
L2 ( 0, T )
;
(15)
,
(16)
где c7 > 0, c8 > 0 – постоянные, не зависящие от ∆u . С учетом оценок (11), (12),
из последних неравенств получаем
1
∆x1
W 2 ( 0, T )
≤ c9 ∆u
L2 ( 0, T )
∆x2
W21 ( 0, T )
≤ c10 ∆u
L2 ( 0, T )
;
(17)
,
(18)
где c9 > 0, c10 > 0 – постоянные, не зависящие от ∆u . Опять в силу теоремы вло-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разрешимость задачи оптимального управления
39
жения Соболева из оценок (17), (18) можем утверждать справедливость оценок
∆x p
C [ 0, T ]
≤ c11 ∆u
L2 ( 0, T )
, p = 1, 2 ,
(19)
где c11 > 0 – постоянная, не зависящая от ∆u .
Рассмотрим далее приращение функционала J 0 ( u ) на элементе U . По формуле (1) при α = 0 имеем
T
∆J 0 ( u ) = J 0 ( u + ∆u ) − J 0 ( u ) = 2 ∫ ( x1 ( t ; u ) − x2 ( t ; u ) ) ( ∆x1 ( t ) − ∆x2 ( t ) ) dt +
0
+ ∆x1
2
L2 ( 0, T )
+ ∆x2
2
L2 ( 0, T )
T
− 2 ∫ ∆x1 ( t ) ∆x2 ( t ) dt .
(20)
0
Отсюда в силу оценок (6), (7), (17), (18) и неравенства Коши – Буняковского имеем
(
∆J 0 ( u ) ≤ c12 ∆u
L2 ( 0, T )
+ ∆u
2
L2 ( 0, T )
) , ∀u ∈ U ,
(21)
где c12 > 0 – постоянная, не зависящая от ∆u . Из этой оценки следует непрерывность функционала J 0 ( u ) на любом элементе u ∈ U , то есть непрерывность на
множестве U . Таким образом,
∆J 0 ( u ) → 0 при ∆u L ( 0, T ) → 0 .
2
Кроме того, J 0 ( u ) ≥ 0 , ∀u ∈ U . Наряду с этими множество U – замкнутое ограниченное множество в L2 ( 0, T ) . Тогда в силу равномерной выпуклости пространства L2 ( 0, T ) [7] получаем, что удовлетворяются все условия теоремы 1,
известной из работы [5]. По утверждению этой теоремы существует всюду плотное подмножество G ⊂ L2 ( 0, T ) , такое, что для ∀u0 ∈ G и ∀α > 0 задача оптимального управления (1) – (4) имеет единственное решение. Теорема 2 доказана.
Легко видеть, что эта теорема гарантирует существование и единственность
решения задачи (1) – (4) при α > 0 не для всякого u0 ∈ L2 ( 0, T ) . Ниже мы д
окажем теорему существовании решения для всякого u0 ∈ L2 ( 0, T ) при α ≥ 0 ,
однако единственности решения задачи оптимального управления (1) – (4) отсутствует.
Теорема 3. Задача оптимального управления (1) – (4) при α ≥ 0 имеет хотя бы
одно решение для любого u0 ∈ L2 ( 0, T ) .
Доказательство. Пусть {uk } ⊂ U – минимизирующая последовательность в
задаче (1) – (4), то есть
lim J α ( uk ) = J α* = inf J ( u ) .
k →∞
u∈U
По структуре множества U ясно, что оно является слабо компактным и слабо
замкнутым множеством из L2 ( 0, T ) . Тогда из этой последовательности можно
выделить подпоследовательность, которую ради удобства снова обозначим через
{uk } и которая слабо сходится к элементу u ∈ U . Поэтому при k → ∞ имеем
T
T
0
0
∫ uk ( t ) q ( t ) dt → ∫ u ( t ) q ( t ) dt
(22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Махмудов, В.И. Салманов
40
для ∀q = q ( t ) из L2 ( 0, T ) .
Пусть функции x pk ( t ) ≡ x p ( t ; uk ) , p = 1, 2, k = 1, 2, ... , являются решениями
редуцированной задачи (2) – (4) при каждом uk ∈ U , k = 1, 2, ... . В силу сделанных выше замечаний относительно решения редуцированной задачи и оценок (6),
(7) имеем для k = 1, 2, ...
1
x1k
W 2 ( 0, T )
≤ c12 f1
L2 ( 0, T )
= c13 ,
(23)
x2 k
W21 ( 0, T )
≤ c14 f 2
L2 ( 0, T )
= c15 ,
(24)
где, c12 > 0 , c13 > 0, c14 > 0, c15 > 0 – постоянные, не зависящие от k .
Из этих оценок следует равномерная ограниченность последовательностей
{ x pk ( t )} , p = 1, 2 , в пространстве W21 ( 0, T ) . Поэтому из них можем выделить
подпоследовательности, которые ради удобства снова обозначим через
{ x pk ( t )} , p = 1, 2 , и которые слабо сходятся к функциям x p ( t ) , p = 1, 2 ,
соответственно из W21 ( 0, T ) . Тогда можем написать следующие предельные соотношения:
(25)
x pk ( t ) → x p ( t ) , p = 1, 2 , в L2 ( 0, T ) слабо;
dx pk ( t )
dt
→
dx p ( t )
dx
, p = 1, 2 , в L2 ( 0, T ) слабо,
(26)
при k → ∞ . Ввиду того, что пространство W21 ( 0, T ) компактно вложено в
C [ 0, T ] , получаем, что при k → ∞
x pk ( t ) → x p ( t ) , p = 1, 2 , сильно в C [ 0, T ] ,
(27)
то есть последовательность сходиться равномерно на отрезке [ 0, T ] .
В силу слабой сходимости (26) имеем
T
∫
dx pk ( t ) d η p ( t )
T
dt → ∫
dx p ( t ) d η p ( t )
dt ,
(28)
∫ uk ( t ) x pk ( t ) η p ( t )dt → ∫ u ( t ) x p ( t ) η p ( t )dt
(29)
dt
0
dx
0
dt
dx
при k → ∞ , p = 1, 2 .
Теперь докажем, что при k → ∞
T
T
0
0
для η p ∈ L2 ( 0, T ) , p = 1, 2 . Действительно, имеем
T
T
T
0
0
∫ uk (t ) x pk (t ) η p (t )dt = ∫ uk (t ) ( x pk (t ) − x p (t )) η p (t )dt + ∫ (uk (t ) − u (t )) x p (t ) η p (t )dt +
0
T
+ ∫ u ( t ) x p ( t ) η p ( t )dt , p = 1, 2, k = 1, 2, ... .
0
(30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разрешимость задачи оптимального управления
41
Сначала оценим первое слагаемое правой части этого равенства. Используя
неравенство Коши – Буняковского, получаем неравенства
T
∫ uk ( t ) ( x pk ( t ) − x p ( t ) ) η p ( t )dt
≤ b1 η p
0
x pk − x p
L2 ( 0, T )
k = 1, 2, ..., p = 1, 2.
C [ 0, T ]
,
(31)
В силу предельного соотношения (27) правая часть (31) стремится к нулю при
k → ∞ , тогда и левая часть будет стремиться к нулю при k → ∞ .
В силу оценок (13), (14) и условия η p ∈ L2 ( 0, T ) , p = 1, 2 , имеем
x p η p ∈ L2 ( 0, T ) , p = 1, 2 . Поэтому, учитывая это и предельное соотношение вида
(22), получаем, что
T
∫ ( uk ( t ) − u ( t ) ) x p ( t ) η p ( t )dt → 0 ,
p = 1, 2 ,
(32)
0
при k → ∞ . Таким образом, учитывая (32), предельные соотношения (27) и неравенства (31), переходим к пределу в обеих частях равенства (30) при k → ∞ . Тогда получаем справедливость предельных соотношений (29).
Ясно, что последовательности { x pk ( t )} удовлетворяют следующим интегральным тождествам:
T
⎡ dx pk ( t ) d η p ( t )
⎤
−
u
t
x
t
η
t
dt
=
(
)
(
)
(
)
⎥
k
pk
p
∫ ⎢⎣ dt
∫ f p ( t ) η p ( t )dt , p = 1, 2, k = 1, 2,... , (33)
dt
⎦
0
0
T
1
для ∀η1 ∈ W 2 ( 0, l ) , ∀η2 ∈ W21 ( 0, T ) . Учитывая предельные соотношения (28),
(29), переходим к пределу в интегральных тождествах (33) при k → ∞ . Отсюда
получаем справедливость интегральных тождеств (5) для предельных функций
x p ( t ) , p = 1, 2 . Кроме того, учитывая слабую сходимость последовательностей
{ x pk ( t )} ,
p = 1, 2 , в пространстве W21 ( 0, T ) , если переходить к нижнему пределу
в (23), (24), то при k → ∞ получим справедливость оценок (6), (7) для предельных функций x p ( t ) , p = 1, 2 , так как в силу единственности решения редуцированной задачи все последовательности
{ x pk ( t )} ,
p = 1, 2 , будут сходиться к
функциям x p ( t ) , p = 1, 2 , слабо в W21 ( 0, T ) . Легко показать, что x1 = x1 ( t ) при1
надлежит пространству W 2 ( 0, T ) . Действительно, в силу теоремы вложения Со1
болева элементы последовательности { x1k ( t )} из W 2 ( 0, T ) принадлежат пространству C [ 0, T ] и справедливо предельное соотношение (27) при p = 1 . Кро1
ме того, из условия x1k ∈ W 2 ( 0, T ) , k = 1, 2,... , следует, что x1k ∈ W21 ( 0, T ) и
x1k ( 0 ) = x1k (T ) = 0, k = 1, 2,... . Тогда с учетом предельного соотношения (27) при
p = 1 и при t = 0 , t = T получим x1 ( 0 ) = x1 (T ) = 0 . Из этих равенств и усло-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Махмудов, В.И. Салманов
42
вия x1 ∈ W21 ( 0, T ) следует справедливость того, что x1 = x1 ( t ) принадлежит про1
странству W 2 ( 0, T ) . Поэтому можем утверждать, что x p ( t ) ≡ x p ( t ; u ) , p = 1, 2, –
есть решение редуцированной задачи (2) – (4) при u ∈ U .
Используя слабую полунепрерывность снизу норм в пространстве L2 ( 0, T ) и
α ≥ 0 для ∀u0 ∈ L2 ( 0, T ) , получим слабую полунепрерывность J α ( u ) на множестве U , то есть
J α* ≤ J α ( u ) ≤ lim J α ( uk ) = J α* .
_______
k →∞
Отсюда имеем J α ( u ) = J α* . Здесь J α* − точная нижняя грань функционала J α ( u )
на множестве U . Это означает, что u ∈ U есть решение задачи оптимального
управления (1) – (4). Теорема 3 доказана.
Ниже докажем теорему о существовании и единственности решения задачи (1)
– (4) для ∀u0 ∈ L2 ( 0, T ) и ∀α ≥ α 0 , где α 0 > 0 – некоторое число, зависящее
только от данных задачи.
Теорема 4. Пусть u0 ∈ L2 ( 0, T ) – заданная функция. Существует некоторое
число α 0 > 0 , зависящее только от данных задачи (1) – (4), такое, что для
∀α > α 0 задача оптимального управления (1) – (4) имеет единственное решение.
Доказательство. Для доказательства теоремы сначала покажем сильную выпуклость функционала J α ( u ) на множестве U ⊂ L2 ( 0, T ) :
(
)
( )
( )
J α β u1 + (1 − β ) u 0 ≤ β J α u1 + (1 − β ) J α u 0 − χβ (1 − β ) u1 − u 0
2
L2 ( 0, T )
(34)
для ∀β ∈ [ 0, 1] с константой сильной выпуклости χ > 0 (см. [8, с. 24]) .
Пусть u 0 , u1 ∈ U – любые допустимые управления и β ∈ [ 0, 1] – любое число.
Обозначим uβ = β u1 + (1 − β ) u 0 . В силу выпуклости множества U получаем, что
(
)
uβ ∈ U , ∀β ∈ [ 0, 1] . Пусть x p 0 ( t ) = x p t ; u 0 , p = 1, 2 , являются решением реду-
(
)
цированной задачи при u = u 0 ∈ U , а x p1 ( t ) = x p t ; u1 , p = 1, 2 , – есть решение
редуцированной задачи при u = u1 ∈ U . Тогда в силу оценок (6), (7) имеем
x1m
x2 m
1
W 2 ( 0, T )
W21 ( 0, T )
≤ c16 f1
L2 ( 0, T )
≤ c17 f 2
L2 ( 0, T )
, m = 0, 1 ;
(35)
, m = 0, 1 .
(36)
При uβ ∈ U решение редуцированной задачи (2) – (4) обозначим через
x pβ ( t ) ≡ x p ( t ; uβ ) , p = 1, 2 . Тогда аналогично оценкам (35), (36) имеем
x1β
x2β
для ∀β ∈ [ 0, 1] .
1
W 2 ( 0, T )
W21 ( 0, T )
≤ c18 f1
L2 ( 0, T )
≤ c19 f 2
L2 ( 0, T )
;
(37)
,
(38)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разрешимость задачи оптимального управления
43
(
)
Рассмотрим разности z pβ ( t ) = x pβ ( t ) − β x p1 + (1 − β ) x p 0 , p = 1, 2 . Ясно, что
эти функции будут решением следующей краевой задачи:
−
d 2 z pβ
dt
2
+ u β ( t ) z pβ = Fpβ , p = 1, 2, t ∈ [ 0, T ] ;
(39)
z1β ( 0 ) = z1β (T ) = 0 ;
(40)
dz2β ( 0 ) dz2β (T )
=
=0,
dt
dt
(41)
где Fpβ ( t ) , p = 1, 2 , определяются формулами
(
)(
)
Fpβ ( t ) = β (1 − β ) u1 ( t ) − u 0 ( t ) x p1 ( t ) − x p 0 ( t ) , p = 1, 2 , β ∈ [ 0, 1] , t ∈ ( 0, T ) . (42)
В силу оценок (35) и (36) для функций x p m ( t ) , p = 1, 2, m = 0, 1 , получим
справедливость оценок
x1m
x2 m
C [ 0, T ]
C [ 0, T ]
≤ c20 f1
L2 ( 0, T )
≤ c21 f 2
L2 ( 0, T )
, m = 0, 1 ;
(43)
, m = 0, 1 .
(44)
В силу этих оценок и формулы (42) получаем, что функции Fpβ ( t ) , p = 1, 2 , принадлежат пространству L2 ( 0, T ) , то есть справедливо неравенство
Fp β
2
(
≤ 4β2 (1 − β ) ⋅ x p1
2
2
L2 ( 0, T )
2
C [ 0, T ]
≤ β2 (1 − β ) x p1 − x p 0
+ x p0
2
C [ 0, T ]
2
C [ 0, T ]
)⋅( u
1 2
L2 ( 0, T )
2
⋅ u1 − u 0
+ u0
L2 ( 0, T )
2
L2 ( 0, T )
)≤c
28 ,
≤
p = 1, 2 . (45)
Тогда аналогично оценкам (6), (7) имеем
z1β
z 2β
1
W 2 ( 0, T )
W21 ( 0, T )
≤ c22 F1β
≤ c23 F2β
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
, β ∈ [ 0, 1] ;
(46)
, β ∈ [ 0, 1] .
(47)
Обозначим w p ( t ) = x p1 ( t ) − x p 0 ( t ) , p = 1, 2 . Тогда используя редуцированную
задачу (2) – (4), нетрудно получить задачу об определении функций w p ( t ) ,
p = 1, 2 , из условий
−
d 2 wp
dt 2
(
)
+ u1 ( t ) w p = u 0 ( t ) − u1 ( t ) x p 0 ( t ) , p = 1, 2, t ∈ ( 0, T ) ;
(48)
w1 ( 0 ) = w1 (T ) = 0 ;
(49)
dw2 ( 0 ) dw2 (T )
=
= 0.
dt
dt
(50)
Ввиду оценок (43), (44) функции
( u 0 ( t ) − u1 ( t ) ) x p0 ( t ) ,
p = 1, 2 , принадлежат
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Махмудов, В.И. Салманов
44
пространству L2 ( 0, T ) . Поэтому для решения задачи (48) – (50) получим оценки
(
)
(
)
w1
W 2 ( 0, T )
≤ c24 u 0 − u1 x10
w2
W21 ( 0, T )
≤ c25 u 0 − u1 x20
1
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
;
(51)
.
(52)
Используя в этих оценках формулы (43) и (44), получим
w1
W 2 ( 0, T )
≤ c26 x10
w2
W21 ( 0, T )
≤ c28 x20
1
u 0 − u1
C [ 0, T ]
u 0 − u1
C [ 0, T ]
Если обозначим c30 = c27 f1
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
≤ c27 f1
L2 ( 0, T )
≤ c29 f 2
L2 ( 0, T )
, c31 = c29 f 2
L2 ( 0, T )
u 0 − u1
u 0 − u1
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
;
(53)
. (54)
, то с учетом формулы для
функций w p ( t ) , p = 1, 2 , имеем
x11 − x10
1
W 2 ( 0, T )
x21 − x20
W21 ( 0, T )
≤ c30 u1 − u 0
≤ c31 u1 − u 0
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
;
(55)
.
(56)
В силу формулы (42) получим
Fp β ( t )
L2 ( 0, T )
≤ β (1 − β ) x p1 − x p 0
⋅ u1 − u 0
C [ 0, T ]
L2 ( 0, T )
, p = 1, 2 .
(57)
С помошью аналога неравенств (11), (12) из (55), (56) получим оценки
x11 − x10
x21 − x20
C 0 [ 0, T ]
C 0 [ 0, T ]
≤ c32 u1 − u 0
≤ c33 u1 − u 0
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
;
(58)
.
(59)
Из этих неравенств и неравенств (57) , а также из (46) , (47) имеем
z1β
z 2β
1
W 2 ( 0, T )
W21 ( 0, T )
≤ c34β (1 − β ) ⋅ u1 − u 0
2
≤ c35β (T − β ) ⋅ u1 − u 0
2
В силу сильной выпуклости функционала u − u0
u β − u0
2
L2 ( 0, T )
=β u1 − u0
2
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
2
L2 ( 0, T )
2
+ (1 −β) ⋅ u 0 − u0
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
;
(60)
.
(61)
получим
−β(1 −β ) ⋅ u1 − u0
2
L2 ( 0, T )
(62)
для ∀u1 , u 0 ∈ U , β ∈ [ 0, 1] .
Аналогично для нормы x1 − x2
(
)
(
β x11 − x21 + (1 −β) x10 − x20
2
L2 ( 0, T )
имеем
) L (0, T ) ≤ β( x11 − x21 ) L (0, T ) + (1−β)( x10 − x20 ) L (0, T )
2
2
2
2
2
2
для ∀β ∈ [ 0, 1] .
Теперь оценим x1β − x2β
2
L2 ( 0, T )
. Ясно, что можно написать равенство
(63)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разрешимость задачи оптимального управления
x1β − x2β
(
×( x
(
) L ( 0, T ) =
2
2
(
)
(
) L (0, T ) ) ×
(
)
(
) L ( 0, T ) ) .
− β x11 − x21 + (1 − β ) x10 − x20
L2 ( 0, T )
− x2β
)
− β x11 − x21 + (1 − β ) x10 − x20
L2 ( 0, T )
= x1β − x2β
β
1
(
2
45
+ β x11 − x21 + (1 − β ) x10 − x20
L2 ( 0, T )
2
2
Используя это равенство, можем получить неравенства
x1β − x2β
+ ⎡ x1β
⎢⎣
+ x10
(
2
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
)
(
) L (0, T ) +
2
≤ β x11 − x21 + (1 − β ) x10 − x20
L2 ( 0, T )
+ x2β
+ x20
+ x11
L2 ( 0, T )
(
⎤⋅ z β
1
L2 ( 0, T ) ⎥
⎦
L2 ( 0, T )
L2 ( 0, T )
+ x21
2
L2 ( 0, T )
+ z2β
L2 ( 0, T )
+
)
(64)
для ∀β ∈ [ 0, 1] , ∀u 0 , u1 ∈ U . Отсюда в силу оценок (35) – (38) получим неравенство
x1β − x2β
(
+ 3c1 f1
(
2
L2 ( 0, T )
)
(
≤ β x11 − x21 + (1 − β ) x10 − x20
L2 ( 0, T )
+ 3c2 f 2
L2 ( 0, T )
)⋅( z
β
1 L ( 0, T )
2
) L (0, T ) +
2
2
+ z2β
L2 ( 0, T )
).
Используя в этом неравенстве неравенство (60), (61), получаем
x1β − x2β
(
2
)
(
≤ β x11 − x21 + (1 − β ) x10 − x20
L2 ( 0, T )
2
L2 ( 0, T )
+cβ (1 − β ) u1 − u0
) L (0, T ) +
2
2
, ∀β ∈ [ 0, 1] ,
(65)
) ⋅ (c
(66)
∀u1 , u 0 ∈ U , где
(
c = 3c1 f1
L2 ( 0, T )
+ 3c2 f 2
L2 ( 0, T )
33
+ c34 ) .
С помощью (63) из (66) получим
x1β − x2β
2
L2 ( 0, T )
(
)
(
≤ β x11 − x21 + (1 − β ) x10 − x20
+cβ (1 − β ) u1 − u0
2
L2 ( 0, T )
) L (0, T ) +
2
2
, ∀β ∈ [ 0, 1] , ∀u1 , u 0 ∈ U .
(67)
Теперь умножим обе части (62) на α > 0 и полученное равенство суммируем с
неравенством (67). Тогда имеем
( )
J α u β = x1β − x2β
(
2
L2 ( 0, T )
+ (1 −β) x10 − x20
( )
+ α u β − u0
2
L2 ( 0, T )
2
L2 ( 0, T )
+ α u 0 − u0
( )
+α u −u
(
) −β(1−β)(α − c ) u − u
≤β x11 − x21
2
L2 ( 0, T )
=βJ α u1 + (1 −β) J α u 0 − χβ(1 −β) u1 − u0
2
1
L2 ( 0, T )
1
2
L2 ( 0, T )
2
0 L ( 0, T )
2
2
0 L ( 0, T )
2
)+
=
, ∀u1 , u 0 ∈U , ∀β∈[0,1] .
(68)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Махмудов, В.И. Салманов
46
Если χ = α − c = α − α 0 > 0 , то функционал J α ( u ) будет сильно выпуклым функционалом с константой сильной выпуклости χ = α − α 0 , где α 0 = c . По доказанной теореме 3 задача оптимального управления (1) – (4) имеет хотя бы одно решение при α > 0 для ∀u0 ∈ L2 ( 0, T ) . По нашему условию α > α 0 > 0 . Поэтому и
в данном случае задача оптимального управления (1) – (4) имеет хотя бы одно
решение, то есть множество
{
( )
}
U * = u* ∈ U : J α u* = J α* = inf J ( u )
u∈U
непусто.
Кроме того, по доказанному функционал J α ( u ) является сильно выпуклым
функционалом на множестве U при условии α > α 0 > 0 , более того, строго выпуклым функционалом. А для строго выпуклых функционалов множество U* состоит из единственной точки. Таким образом, нами доказано, что существует такое число α 0 > 0 , что при α > α 0 = c > 0 задача оптимального управления (1) –
(4) для ∀u0 ∈ L2 ( 0, T ) имеет единственное решение. Теорема 4 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.
2. Литвинов В.Г. Оптимальное управление коэффициентами в эллиптических системах //
Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 6. С. 1036−1047.
3. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
4. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
5. Goebel M. On existence of optimal control // Math. Nachr. 1979. V. 93. P. 67−73.
6. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
7. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
Статья поступила 20.03.2010 г.
Mahmudov N.M., Salmanov V.I. RESOLVABILITY OF THE OPTIMUM CONTROL PROBLEM FOR THE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION OF THE SECOND ORDER WITH
THE LIONS CRITERION OF QUALITY. The work is devoted to the study of a problem of optimum control for ordinary differential equations of the second order with the Lions functional as
a criterion of quality. The correctness of the problem of optimum control for ordinary differential
equations of the second order is investigated and the theorems of existence and uniqueness for the
solution of the problem of optimum control are proved.
Keywords: differential equation of the second order, optimum control, Lions criterion.
MAHMUDOV Nurali Merhali ogly (The Nakhichevan State University)
E-mail: nuralimaxmudov@rambler.ru
SALMANOV Vugar Ibragim ogly (The Nakhichevan State University)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 517.982.272+515.122.55
А.В. Осипов
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
НА ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Изучаются свойства семейства λ, при которых множество С(X,Y) всех непрерывных отображений из тихоновского пространства X в метризуемое ТВП Y,
наделенное множественно-открытой (слабо множественно-открытой) топологией, будет топологической группой (ТВП).
Ключевые слова: множественно-открытая топология; слабо множественно-открытая топология; топологическая группа; С-компактное подмножество; паратопологическая группа
Пусть X и Y – тихоновские топологические пространства. На множестве C(X,Y)
всех непрерывных функций рассмотрим множественно-открытую и слабо множественно-открытую топологию. Если на топологическом пространстве Y задана некоторая алгебраическая структура, например Y – топологическая группа или топологическое векторное пространство (ТВП), то на множестве С(X,Y) можно определить (поточечные) операции, которые определены на Y.
Основной вопрос исследования: при каких условиях на семейство λ пространство Сλ(X,Y) будет паратопологической группой (топологической группой, ТВП),
если пространство Y метризуемое ТВП?
Напомним определение множественно-открытой и слабо множественнооткрытой топологии на множестве C(X,Y). Пусть λ – семейство непустых подмножеств пространства X. Множественно-открытая (слабо множественнооткрытая) топология на множестве C(X,Y) определяется предбазой, состоящей из
всех множеств вида
[ F ,U ] = { f ∈ C ( X , Y ) : f ( F ) ⊆ U }
( [ F , U ]* = { f ∈ C ( X , Y ) : f ( F ) ⊆ U } ),
где F∈λ и U – открытое множество пространства Y. Множество C(X,Y), наделенное множественно-открытой топологией и слабо множественно-открытой топологией, будем обозначать через Сλ(X,Y) и Сλ*(X,Y) соответственно.
На семейство λ будем накладывать ограничение быть π-сетью для пространства X. Заметим, что это ограничение естественное, так как пространство Сλ(X,Y)
хаусдорфово тогда и только тогда, когда λ – π-сеть.
Подмножество A пространства X будем называть Y-компактным, если f(A)
компакт для всех f ∈ C(X,Y). Отметим, что если Y – числовая прямая R , то Yкомпактное подмножество называют C-компактным (иногда R -компактным)
подмножеством пространства X.
Будем называть семейство λ – Y-компактным (ограниченным), если всякое
F∈λ является Y-компактным (ограниченным). Через Sε(a) будем обозначать открытый шар с центром в точке а и радиусом ε.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.В. Осипов
48
1. Множественно-открытая топология.
В [1] М.О. Асановым были доказаны два утверждения при условии, что λ –
сеть пространства X.
Утверждение 1. Пусть Y – топологическая группа (ТВП) и λ – Y-компактно.
Тогда Сλ(X,Y) – топологическая группа (ТВП).
Утверждение 2. Пусть Y – ТВП над полем D и Сλ(X,Y) – ТВП над тем же полем D относительно естественных операций. Тогда для любых F∈ λ и f∈Сλ(X,Y)
множество f(F) замкнуто и ограничено в пространстве Y.
Далее в работе пространство Y полагаем метризуемым ТВП и семейство λ – πсеть пространства X.
Пусть дано семейство λ непустых подмножеств пространства X, тогда
λ(С) = {A∈λ : для любого C-компактного подмножества B пространства X, такого,
что B⊆A, множество [B, U] открыто в Сλ(X,Y) для любого открытого множества U
пространства Y }.
Теорема 1. Пусть семейство λ – C-компактно и λ=λ(С). Тогда пространство
Сλ(X,Y) – ТВП.
Доказательство. Отметим, что по теореме 4.4 из [3] следует, что множественно-открытая топология на C(X,Y) будет совпадать с топологией равномерной сходимости на семействе λ.
Покажем непрерывность сдвигов. Пусть f∈Сλ(X,Y) и [F, U] – произвольная
предбазисная окрестность функции f. Отметим, что f(F) – C-компактное подмножество метризуемого пространства Y, значит, является компактом. Компакт f(F)
содержится в открытом множестве U, следовательно, найдется конечный набор
V1, … , Vn – окрестностей нуля пространства Y и точки y1, …, yn∈ f(F), такие, что
n
f ( F ) ⊆ ∪ in= 1 ( y i + V i ) ⊆ ∪in= 1( y i +V i + V i ) ⊆ U . Пусть V = ∩ i =1V i , тогда множество [F, V] – окрестность нуля пространства Сλ(X,Y). Эта окрестность искомая, то
есть f + [F, V] ⊆ [F, U]. Действительно, пусть g ∈ [F, V] и x ∈ F. Так как
f ( x) ∈ ∪ in= 1 y + V , то найдется i≤ n, такое, что f(x) ∈ yi +Vi. Так как g(x) ∈ V⊆Vi,
i i
то получаем f(x) + g(x) ∈ yi + Vi + Vi ⊆ U. Следовательно, f + g ∈ [F,U].
Докажем непрерывность умножения на скаляр. Пусть f, g ∈ Сλ(X,Y), α – скаляр
и αf = g. Пусть [F, U] – произвольная предбазисная окрестность точки g в пространстве Сλ(X,Y). Для каждой точки x∈F зафиксируем окрестность Ox(α) точки α
и Vx – окрестность нуля в пространстве Y c условием: для всякого β∈ Ox(α) и любого z∈ Vx выполняется β(f(x)+z)∈ U. Так подобрать окрестности Ox(α) и Vx можно, так как Y является ТВП и g(x)∈ U. Семейство μ = {f(x) + Vx : x ∈ F } покрывает
f(F); найдем конечное подсемейство {f(xi) + Vxi : i = 1, …, n } семейства μ, покрыn
вающее f(F). Множества O α = ∩ i =1 O x i (α ) и O( f ) = [ F , ∪in= 1( f ( x i ) + V x )] будут
i
искомыми окрестностями точек α и f соответственно. Действительно, пусть
β ∈ Oα , h ∈ O( f ) и x∈F. Найдем i, такое, что h(x)∈ f(xi)+Vxi . Пусть p=h(x) – f(xi).
Так как p∈ Vxi и β ∈ O α ⊆ O x (α ) , то по построению β(p + f(xi))∈ U, то есть,
i
βh(x)∈ U для всех x∈F. Отсюда следует, что βh∈ [F, U] и, таким образом, Сλ(X,Y)
является ТВП. Теорема доказана.
(
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Алгебраические структуры на пространстве непрерывных отображений
49
Теорема 2. Пусть λ – ограниченно. Тогда Сλ*(X,Y) является ТВП.
Доказательство. Достаточно заметить, что множество f ( A) является компактным для любого A∈ λ и f∈C(X, Y). Действительно, образ любого ограниченного множества A будет являться ограниченным множеством f(A). Замыкание любого ограниченного множества в метризуемом (субметризуемом) пространстве
является метризуемым компактом (теорема 1 в [4]). Далее применяем схему доказательства теоремы 1.
Напомним, что топологическое пространство с непрерывной операцией сложения называется паратопологической группой. Ясно, что любая топологическая
группа является паратопологической группой. Прямая Зоргенфрея – пример паратопологической группы, которая не является топологической.
Теорема 3. Пусть Сλ(X,Y) – паратопологическая группа. Тогда семейство λ состоит из C-компактных подмножеств.
Доказательство. Предположим противное. Пусть существует A∈ λ, которое
не является C-компактным.
Тогда существует f∈C(X), такое, что f(A) – не компакт. Мы можем полагать,
что f(A) не замкнуто. Действительно, если f(A) замкнутое и неограниченное в R ,
то множество h(f(A)) не является замкнутым при h(t) = arctg(t).
Пусть φ – изоморфное вложение R в Y, определяемое как φ(t) = t∗y0, где y0 –
фиксированная точка из пространства Y. Заметим, что ϕ( f ( A)) не замкнуто в Y.
Пусть точка a ∈ ϕ( f ( A)) \ ϕ( f ( A)) и [A, Y \{a}] – открытое множество пространства Сλ(X,Y), содержащее точку ϕ◦f∈ Сλ(X,Y). Пусть 0Y – функция, тождественно на
X равная нулю пространства Y. Так как Сλ(X,Y) топологическая группа, существует окрестность [B, Sε(0)] точки 0Y, такая, что ϕ◦f+[B, Sε(0)] ⊆ [ A, Y \{a}] . Выберем
точку x0 ∈A, так чтобы ϕ◦f(x0) ∈Sε(a). Пусть g = a – ϕ◦f(x0) – функция, тождественная на X. Очевидно, что g∈ C(X,Y) и g ∈ [B, Sε(0)]. Однако ϕ f + g ∉ [ A, Y \{a}].
Действительно, (ϕ◦f+g)(x0) = ϕ◦f(x0) + g(x0) = a∉Y \ {a}. Это противоречит нашему
предположению, что ϕ◦f+[B, Sε(0)] ⊆ [ A, Y \ {a}] . Теорема доказана.
Пусть дано семейство λ непустых подмножеств пространства X, тогда
λ(С) = {A ∈ λ : для любого C-компактного подмножества B пространства X, такого, что B⊆A, множество [B, U] открыто в Сλ(X,Y) для любого открытого множества
U пространства Y }.
Теорема 4. Пусть Сλ(X,Y) паратопологическая группа. Тогда λ=λ(С).
Доказательство. Предположим, что A∈λ и B – C-компактное подмножество
пространства X, такое, что B⊆A. Докажем, что [B, U] – открытое множество в
Сλ(X,Y) для любого открытого множества U пространства Y. Пусть h∈[B, U].
Множество h(B) – компактное множество. Это следует из того, что непрерывный
образ C-компактного множества является C-компактным множеством, и в метризуемом пространстве С-компактные множества являются компактными (теорема 1
в [4]). Так как h(B)⊂ U, то существует Sε(h(B)) = {y∈Y: ρ(y, h(B)) < ε}, такое, что
Sε(h(B))⊂ U. Множество W = h + [A, Sε(0)] – открытое множество в Сλ(X,Y). Осталось доказать, что W ⊆ [ B, U ] . Действительно, пусть g ∈ W и пусть x ∈ B, тогда
ρ(g(x),h(x)) = ρ(h(x) + f(x),h(x)) < ε, где f ∈ [A, Sε(0)]. Отсюда следует, что g(x)∈ U и
W ⊆ [ B, U ] . Теорема доказана.
Так как пространство Y метризуемое, то на множестве C(X,Y) можно рассмотреть топологию равномерной сходимости на семействе подмножеств λ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
50
А.В. Осипов
Топология равномерной сходимости на пространстве X определяется базой в
точке f∈ C(X,Y). Эта база состоит из множеств {g ∈ C(X,Y): ρ(g(x), f(x)) < ε, x∈X },
где ρ – метрика на пространстве Y. Топология равномерной сходимости на семействе λ является естественным обобщением топологии равномерной сходимости на
пространстве X. Все множества вида <f, F, ε> = {g∈C(X,Y): ρ(g(x),f(x)) < ε, x∈F},
где F∈ λ и ε>0, образуют базу в точке f∈ C(X,Y). Множество C(X,Y) наделенное
топологией равномерной сходимости на семействе λ, будем обозначать как
Cλ,u(X,Y).
Равенство Сλ(X,Y) = Cλ,u(X,Y) подразумевает совпадение множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости на семействе λ.
Теорема 5. Для тихоновского пространства X и метризуемого ТВП Y следующие утверждения эквивалентны:
1) Сλ(X,Y) = Cλ,u(X,Y);
2) Сλ(X,Y) – паратопологическая группа;
3) Сλ(X,Y) – топологическая группа;
4) Сλ(X,Y) – ТВП;
5) семейство λ состоит из C-компактных подмножеств пространства X и
λ = λ(С).
Доказательство. (1)⇔ (4) следует из теорем 4.1 – 4.4 в [3]. Из (4)⇒ (3) по
теореме 1.
Из (4) ⇒ (3)⇒ (2) по определению. (2)⇒ (5) следует из Теорем 3 и 4. Теорема
доказана.
Если Y= R , то справедливо
Следствие 6. Для тихоновского пространства X следующие утверждения эквивалентны :
1) Сλ(X)= Cλ,u(X);
2) Сλ(X) – паратопологическая группа;
3) Сλ(X) – топологическая группа;
4) Сλ(X) – ТВП;
5) Сλ(X) – локально выпуклое ТВП;
6) семейство λ состоит из C-компактных подмножеств пространства X и
λ = λ(С).
Доказательство. Достаточно проверить (6) ⇒ (5) . Для каждого A∈ λ определим полунорму pA на пространстве C(X): pA(f) = sup{|f(x)| : x∈ A}. Тогда для любого A∈λ и ε > 0 пусть VA, ε = { f∈ C(X) : pA(f)<ε}.
Пусть ξ = { VA,ε : A ∈ λ, ε > 0 }. Тогда для каждой точки f ∈ C(X) семейство
f + ξ={f + V: V∈ ξ } является базой в точке f. Так как топология порождается семейством полунорм, то она является локально выпуклой. Следовательно, пространство Сλ(X) – локально выпуклое ТВП.
2. Слабо множественно-открытая топология.
Подмножество A пространства X называют ограниченным, если f(A) – ограниченное множество для всех f∈ C(X). Заметим, что любое C-компактное подмножество является ограниченным, но не наоборот. Простой пример ограниченного, но
не C-компактного подмножества можно привести на числовой прямой R, положив
в качестве подмножества A произвольный ограниченный интервал (α, β).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Алгебраические структуры на пространстве непрерывных отображений
51
Заметим, что слабо множественно-открытая топология на семействе λ совпадает со слабо множественно-открытой топологией на семействе λ = A : A ∈ λ .
{
}
Действительно, для любых f ∈ C(X,Y) и A ∈ λ, f ( A) ⊆ f ( A) и, следовательно,
f ( A) ⊆ f ( A) . Таким образом, далее семейство λ полагаем состоящим из замкнутых подмножеств пространства X.
Пусть дано семейство λ непустых подмножеств пространства X, тогда
λ(B) = {A∈λ : для любого ограниченного подмножества B пространства X, такого,
что B⊆A, множество [B, U]* открыто в Сλ*(X,Y) для любого открытого множества
U пространства Y }.
Теорема 7. Пусть Сλ*(X,Y) – паратопологическая группа. Тогда семейство λ состоит из ограниченных подмножеств пространства X.
Доказательство. Предположим противное. Пусть существует неограниченное множество A ∈ λ. Тогда существует f ∈ C(X), такое, что f(A) – неограниченное
множество.
Пусть ϕ – изометрическое вложение R в пространство Y, определенное прави-
лом ϕ = t*y0 , где точка y0∈Y так, что 0 < ρ(0, y0) < 1 (где ρ – инвариантная метрика
на Y).
Предположим, что для каждого a∈R луч [a,+∞) f ( А) (доказательство для
луча (−∞, a] аналогично). Тогда существует система дизъюнктных открытых интервалов {(ci, bi)}, такая, что (ci , bi ) ∩ f ( A) = ∅ для каждого i∈ N, и последовательности {ci} и {bi} стремятся к +∞.
Получаем,
что
f ( А) ⊆ R\ ∪ in=1 (c i, b i ) .
Пусть
h ∈ C(R)
такая,
что
n
h(R\ ∪ i =1 (c i, b i ) ) = N. Рассмотрим композицию g = ϕ h f и окрестность [A,W]*
функции g в
W = ∪ i S 1/i (ai ) .
слабо
множественно-открытой
топологии
Сλ*(X, Y),
где
Так как Сλ*(X,Y) – паратопологическая группа, то существует окрестность
[B, Sε(0)]* нуля пространства Сλ*(X,Y), такая, что g + [B, Sε(0)]* ⊆ [A,W ]* .
Заметим, что A ⊆ B. Действительно, если существует точка z ∈ A\B, тогда существует функция p∈C(X, Y), такая, что p|B = g|B и p(z) ∉ W. Получаем, что
p ∈ g + [B, S]* , но p ∉ [A, W ]* .
Рассмотри функцию q(x) = ϕ (h(f(x)) + d), где d такое, что ρ(d*y0, 0) < ε и
0 < d < 1.
Так как ρ(q(x), g(x)) = ρ(h(f(x)) + d)*y0, h(f(x))*y0) = ρ(d*y0, 0) < ε, функция
q ∈ g + [B, S]* . Заметим, что g ( A) ⊆ ∪ i {ai } и q( A) ⊆ ∪ i (ai + d ∗ y0 ) , тогда существует j, такое, что 1/j< min{ρ(aj, aj + d*y0), ρ(aj+1 , aj+1 + d*y0)}. Следовательно,
существует x0 ∈ A, такое, что q(x0) = ak + d*y0 для некоторого k > j. Таким образом,
q(x0) ∉ W и q ∉ [A, W]*. Получили противоречие с предположением, что
[a, +∞) ⊄ f ( A) для любого a∈R. Таким образом, существует b∈R, такое, что
[b, +∞) ⊆ f ( A) .
Предположим, что ϕ f∈ [A, U]* , где U – открытое множество, содержащее
ϕ( f ( A)) . Тогда [b, + ∞)*y0 ⊆ U. Так как Сλ*(X,Y) – топологическая группа, то су-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.В. Осипов
52
ществует окрестность [D, Sε(0)]* нуля пространства Сλ*(X,Y), такая, что
ϕ f + [D, Sε(0)]* ⊆ [ A, U ]* . Функция ϕ f имеет базисную окрестность в слабо
множественно-открытой топологии
n
*
∩ in=1[ Ai , Wi ]
∩ i =1[Ai , Wi ]* ⊆ ϕ
, такую, что
f + [ D, Sε (0)]* .
n
Заметим, что A ⊆ ∪ i =1 Ai и A⊆D (доказывается аналогично доказанному отношению A⊆B).
По доказанному выше, множество f ( Ai ) либо ограниченно сверху числом li,
либо содержит луч [bi, +∞).
Пусть m = maxi{li, bi} и пусть точка y ∈ [m, +∞)*y0 такая, что ρ(ϕ(m), y) > ε.
Множество f −1◦ϕ−1(Sε(y)) является функционально открытым, следовательно,
существует неотрицательная функция v∈C(X), такая, что v(x) = 0 для всех
точек x ∉ f −1 ϕ −1( S ε( y )) и v(a)>sup{ϕ−1 (S ε(y))} для некоторой точки
a ∈ f −1 ϕ −1( Sε ( y ))∩ A . Функция ϕ (f+v)∈ C(X, Y) не принадлежит ϕ f +[D, S]* .
Действительно, для точки a∈ A⊆D выполняется:
ρ(ϕ(f(a)), ϕ (f+v)(a)) = ρ(ϕ (f(a)), ϕ (f(a))+ ϕ (v(a))) = ρ(0, ϕ (v(a)))> ε.
*
Заметим, что ϕ (f+v) ∈ ∩ in=1[ Ai , Wi ] . Пусть x∈ Ai, тогда если x∉ f−1◦ ϕ−1 (S ε(y)), то
ϕ (f+v)(x) = ϕ (f(x))∈ Wi ,
−1
и, если x∈ f
−1
ϕ (S ε(y)), тогда
f(x)∈ ϕ−1(S ε(y)) ⊆ [m, +∞) ⊆ f(Ai), (f+v)(x) = f(x)+v(x)∈[m, + ∞)
ϕ (f+v)(x) ⊆ ϕ (f(Ai)) ⊆ Wi .
и
Так как
n
∩ i =1[ Ai ,Wi ] ⊆ ϕ
f + [ D, S ]* , то получаем противоречие. Таким обра-
зом, множество f(A) является ограниченным для любого A∈λ и f∈C(X). Теорема
доказана.
Теорема 8. Пусть Сλ*(X,Y) – паратопологическая группа. Тогда λ= λ(B) .
Доказательство. По теореме 7 семейство λ состоит из ограниченных подмножеств.
Пусть A ∈ λ и B⊆A. Докажем, что [B, U]* – открытое множество в пространстве
Сλ*(X,Y) для каждого открытого множества U числовой прямой R. Пусть f∈[B, U]*.
Так как A – ограниченное множество, то множество f ( B) – компакт. Существует
Sε ( f ( B) )={ y∈R: ρ(y, f ( B) )< ε } такое, что Sε ( f ( B) )⊆U. Множество W = f+[A,
Sε(0)] является открытым множеством в пространстве Сλ*(X,Y). Осталось показать,
что W⊆ [B, U]*. Пусть g∈ W и x∈ B, тогда ρ(g(x), f(x)) = ρ(f(x)+h(x), f(x)) < ε, где
h∈ [A, Sε(0) ]. Следовательно, g(x)∈ U и W⊆ [B, U]*. Теорема доказана.
Теорема 9. Для тихоновского пространства X и метризуемого ТВП Y следующие утверждения эквивалентны:
1) Сλ*(X,Y) = Cλ,u(X,Y);
2) Сλ*(X,Y) – паратопологическая группа;
3) Сλ*(X,Y) – топологическая группа;
4) Сλ*(X,Y) – ТВП;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Алгебраические структуры на пространстве непрерывных отображений
53
5) семейство λ состоит из ограниченных подмножеств пространства X и
λ = λ(B).
Доказательство. (1) ⇔ (5) следует из теорем 4.5 − 4.7 в [3]. Из (5) ⇒ (4) по
теореме 2.
Из (4) ⇒ (3) ⇒ (2) по определению. (2) ⇒ (5) следует из теорем 7 и 8. Теорема
доказана.
Если Y=R, то справедливо
Следствие 10. Для тихоновского пространства X следующие утверждения эквивалентны:
1) Сλ*(X)= Cλ,u(X);
2) Сλ*(X) – паратопологическая группа;
3) Сλ*(X) – топологическая группа;
4) Сλ*(X) – ТВП;
5) Сλ*(X) – локально выпуклое ТВП;
6) семейство λ состоит из ограниченных подмножеств пространства X и
λ = λ(B).
Доказательство. (6) ⇒ (5). По теореме 1.1 из [2] следует, что Cλ,u(X) –
локально выпуклое ТВП. Следовательно, по эквивалентности (1) ⇔ (6), Сλ*(X) –
локально выпуклое ТВП.
ЛИТЕРАТУРА
1. Асанов М.О. Пространства непрерывных отображений: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1981.
2. Kundu S., McCoy R.A. Topologies between compact and uniform convergence on function
spaces // Internat. J. Math. & Math. Sci. 1993. V. 16. No. 1. Р. 101−110.
3. Osipov A.V. The set-open topology // Topology Proc. 2011. No. 37. Р. 205−217.
4. Осипов А.В., Косолобов Д.А. О секвенциально-компактно-открытой топологии // Вестн.
Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2011. Вып. 3. Р. 75–84.
Статья поступила 15.09.2011 г.
Osipov A.V. ALGEBRAIC STRUCTURES ON THE SPACE OF CONTINUOUS MAPS. We
study properties of the family λ at which the set C(X,Y) of all continuous mappings from a Tychonoff space X into a metrizable topological vector space Y equipped with the (weak) set-open
topology is a topological group.
Keywords: set-open topology; weak set-open topology; topological group; C-compact subset;
paratopological group.
OSIPOV Alexander Vladimipovich (Ural Federal University, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences) E-mail: OAB@list.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 512.541+512.552
А.Р. Чехлов
E-ЭНГЕЛЕВЫ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ СТУПЕНИ ≤ 2
Доказано, что периодичность группы автоморфизмов или слабая транзитивность E-энгелевой группы без кручения ступени ≤ 2 влечет коммутативность
ее кольца эндоморфизмов. Установлены некоторые свойства энгелева кольца ступени 2. Показано также, что кольцо эндоморфизмов слабо транзитивной группы без кручения является полупервичным.
Ключевые слова: коммутатор эндоморфизмов, первичный радикал, нильрадикал, E-разрешимая группа, слабо транзитивная группа без кручения.
Все группы в статье – абелевы. Через E(A) обозначается кольцо эндоморфизмов группы A, а через 1A – ее тождественный автоморфизм, Ap – p-компонента,
T(A) – периодическая часть. Если A – группа без кручения, то χA(a) – характеристика ее элемента a, индекс A иногда убирается. Z p∞ – квазициклическая pгруппа, Q – аддитивная группа рациональных чисел. Напомним, что если R –
кольцо и a,b ∈ R, то элемент [a,b] = ab – ba называется коммутатором элементов
a и b.
Если a1,…,an ∈ R, то положим по индукции [a1,…,an] = [[a1,…,an – 1],an]. Кольцо
называется нормальным, если все его идемпотенты центральны. Через Z(R) обозначается центр кольца R.
Подгруппу H группы A назовем коммутаторно инвариантной (обозначение
H ≤ ci A), если [φ,ψ]H ⊆ H для всех φ,ψ ∈ E(A). Через H ≤ fi A будем обозначать
вполне инвариантную подгруппу H группы A, т.е. φH ⊆ H для всех φ ∈ E(A).
Группу A назовем E-нильпотентной ступени ≤ n, если [α1,…,αn + 1] = 0 для любых αi ∈ E(A), i = 1,…,n + 1; а если [α2n – 1,α2n]…[α1,α2] = 0 для любых αi ∈ E(A),
i =1,…,2n, то – E- разрешимой ступени ≤ n.
Группу A будем называть E-нильпотентной, если для любой последовательности αi ∈ E(A), i = 1,2,…, найдется такое n, что [α1,…,αn] = 0.
Кольцо R называется энгелевым ступени ≤ n, если [b, a … , a] = 0 для любых
n
b,a ∈ R. Группу A с энгелевым кольцом E(A) ступени ≤ n, назовем E-энгелевой
ступени ≤ n. Если равенство [b, a,… , a ] = 0 выполняется для любых b,a ∈ R, где n
n
зависит от a и b, то кольцо R будем называть энгелевым, а группу с таким кольцом
эндоморфизмов E-энгелевой.
E-нильпотентные и близкие к ним группы изучались в [1 – 4]. Так, в [2, предложение 1.2] показано, что E-энгелевы группы имеют нормальное кольцо эндоморфизмов. В таких группах все прямые слагаемые вполне инвариантны. Поэтому несложно показать, что делимая группа D = T(D)⊕D0 имеет нормальное кольцо
эндоморфизмов тогда и только тогда, когда либо T(D) = 0, а D0 ≅ Q, либо D0 = 0, а
D p ≅ Z p∞ для каждого p с условием Dp ≠ 0. Нередуцированная группа A = D⊕B с
делимой частью D имеет нормальное кольцо эндоморфизмов тогда и только то-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E-энгелевы абелевы группы
55
гда, когда B – периодическая группа, каждая p-компонента которой является циклической группой, а D ≅ Q, либо D – периодическая группа, каждая ненулевая pкомпонента которой изоморфна квазициклической p-группе, причем Bp = 0 при
Dp ≠ 0 ([1, абзац после предложения 2]). Кольца эндоморфизмов таких групп D и
A будут коммутативными. Поэтому в дальнейшем можно считать, что все группы
редуцированные. В [4, 1-й и 2-й абзацы после примера 4] показано также, что всякая E-энгелева группа ступени ≤ 2 является E-нильпотентной класса ≤ 2. Однако
существуют E-энгелевы группы, не являющиеся E-нильпотентными. Приведем
соответствующий пример.
Пример. Пусть S – счетное коммутативное кольцо с 1, аддитивная группа которого является редуцированной группой без кручения, содержащее ниль-идеал I, не
являющийся нильпотентным. В качестве S можно взять, например, фактор-кольцо
Z[x1,…,xm,…]/J кольца многочленов над Z от переменных x1,…,xm,… по идеалу J,
порожденному элементами x1n , x22 n ,… , xmmn ,… , где n – фиксированное натуральное
число. Поскольку xx1 – zz1 ∈ I при x – z, x1 – z1 ∈ I, то множество матриц
x y⎞
K = ⎛⎜
⎟ | x, y , z ∈ S , x − z ∈ I
⎝0 z ⎠
образует счетное кольцо с 1. Коммутатор любых двух элементов из K имеет вид
0 u⎞
x y⎞
a = ⎛⎜
для некоторого u ∈ S. Если теперь b = ⎛⎜
⎟
⎟ ∈ K , то
⎝0 0⎠
⎝0 z ⎠
0 u ( z − x) ⎞
[a, b] = ⎛⎜
. Поэтому [a, b,… , b] ≠ 0 , где m – индекс нильпотентности
0 ⎟⎠
⎝0
m
{
}
элемента z – x. Поскольку идеал I не является нильпотентным, то при u ≠ 0 для
каждого t ∈ N найдутся такие b1,…,bt ∈ K, что [a,b1,…,bt] ≠ 0. Согласно теореме
Корнера [5, теорема 110.1], существует группа A с кольцом эндоморфизмов, изоморфным K; A является E-разрешимой (класса 2) и E-энгелевой группой, но не является E-нильпотентной.
Определим по индукции A(0) = A и A(n + 1) = 〈[φ,ψ]A(n) | φ,ψ ∈ E(A)〉. Как отмечалось в [2], все A(n) вполне инвариантны в A. Ясно, что группа A E-разрешима ступени ≤ n тогда и только тогда, когда A(n) = 0. Если A(n) = 0, но A(n – 1) ≠ 0, то группу
A будем называть E-разрешимой ступени n.
Пусть A – E-разрешимая группа без кручения ступени n ≥ 2 и ∆ – стабилизатор
цепочки
A ⊃ A(1) ⊃ … ⊃ A(n – 1) ⊃ 0,
т.е. ∆ = {α ∈ Aut A | αa – a ∈ A(i) для всех a ∈ A(i – 1) и i = 1,…,n}. Поскольку
A(i) ≤ fi A, то ∆ – нормальная подгруппа в Aut A [5, § 114]. Об автоморфизмах абелевых групп см. [5, глава XVI; 6 – 8] и др.
1. ∆ является нильпотентной группой без кручения ступени ≤ n. Причем если
α ∈ ∆, то α = 1 – η, где ηn = 0.
Допустим, что β ∈ ∆ – элемент конечного порядка k > 1 и пусть r ≤ n – 1 – такое максимальное натуральное число, что α индуцирует на A(n – i) тождественный
автоморфизм при i = 1,…,r. Тогда βa = a + b для некоторых a ∈ A(n – r – 1) \ A(n – r) и
0 ≠ b ∈ A(n – r). Откуда a = βka = a + kb и, значит, kb = 0, что противоречит бесконечному порядку элемента b.
Для каждого m = 0,1,…,n пусть ∆m = {α ∈ ∆ | α индуцирует тождественное отображение на A/A(m)}. Тогда ∆0 = ∆, ∆n =1 и ∆m является собственной нормальной
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56
А.Р. Чехлов
подгруппой в Aut A для остальных m. Пусть α,β ∈ ∆m. Тогда для a ∈ A имеем
αa = a + u и βa = a + v для некоторых u,v ∈ A(m). Если теперь βu = u + u' и
αv = v + v', где u',v' ∈ A(m + 1), то αβa = a + u + v + v', βαa = a + v + u + u'. Следовательно, (αβ – βα)a ∈ A(m + 1), т.е. ∆m / ∆m + 1 – коммутативная группа.
Пусть η = 1 – α. Тогда η(A(n – 1)) = … = η(A(n – r)) = 0 для некоторого максимального r, где 1 ≤ r ≤ n – 1. Имеем η(A(n – r – 1)) ⊆ A(n – r). Откуда η2(A(n – r – 1)) = 0. По индукции ηn – r + 1 = 0.
2. Если A – E-нильпотентная группа ступени ≤ 2, то ker α и im α ≤ ci A для любого α ∈ E(A).
Действительно, из [δ,γ,α] = [δ,γ]α – α[δ,γ] = 0 следует, что α[δ,γ]ker α = 0 и
[δ,γ]im α ⊆ im α.
Следующее свойство проверяется непосредственно.
⎧2n [β, α] при n = 2m,
3. Если α2 = ± 1A, то [[β, α], α,… , α ] = ⎨ n
.
⎩2 [β, α]α при n = 2m + 1.
n
Следовательно, если A – такая E-энгелева группа, что A2 = 0, то α ∈ Z(E(A)) для
каждого α со свойством α2 = ± 1A.
4. Пусть A – такая E-энгелева группа ступени ≤ 2, что A2 = 0 и α2 = 0 для некоторого α ∈ E(A). Тогда αβα = 0 для любого β ∈ E(A), в частности, ker α ≤ fi A.
Вытекает из равенства [β,α,α] = βα2 + α2β – 2αβα = 0.
n
n ⎞ n −1
5. [β, α,… , α] = βα n − ⎛⎜ ⎞⎟ αβα n −1 + … + (1) n −1 ⎛⎜
α βα + (−1) n α nβ для люn − 1⎟⎠
1⎠
⎝
⎝
n
n!
n
.
бых α,β∈ E(A), где ⎛⎜ ⎞⎟ = Cnm =
m
m !(n − m)!
⎝ ⎠
Доказывается индукцией по n.
6. Для элементов a,b кольца R равносильны условия:
а) [b,a,a] = 0;
б) [b,am,an] = 0 для любых m,n ∈ N;
в) 2anban = a2nb + ba2n для любого n ∈ N.
а) ⇒ б). Если [b,a,a] = 0, то [b,a,am] = 0 для любого m ∈ N. Поэтому из
0 = [b,a,am] = [b,am,a] следует, что [b,am,an] = 0. в) получается из б) при m = n, а б)
вытекает из в) при n = 1.
Отметим также следующие простые свойства. Если [b,a,a] = 0 для элементов
a,b кольца R с 1, то равенство ab = 1 влечет ba = 1. Действительно, [b,a,a] =
= ba2 – 2aba + a2b = 0 влечет a = ba2, откуда (1 – ba)a = 0 и, значит, ba = 1. Аналогично показывается, что равенства [b,a,a] = 0 и ba = 1 влекут ab = 1. Пусть a и b –
такие элементы кольца, что ab = 0. Тогда равенство [b,a,a] = 0 эквивалентно равенству ba2 = 0, а равенство [a,b,b] = 0 эквивалентно равенству b2a = 0.
7. Пусть R – такое энгелево кольцо с 1 ступени ≤ 2, что его аддитивная группа не имеет элементов порядка 2. Тогда [a,b]2 = 0 для любых a,b ∈ R.
Имеем [a,ab,ab] = a((ab)2 – 2ba2b + (ba)2) = 0. Далее
((a – 1)b)2 – 2b(a – 1)2b + (b(a – 1))2 = ((ab)2 – 2ba2b + (ba)2) – (ab2 – 2bab + b2a).
Здесь ab2 – 2bab + b2a = [a,b,b] = 0. Поэтому из
[a – 1,(a – 1)b,(a – 1)b] = (a – 1)(((a – 1)b)2 – 2b(a – 1)2b + (b(a – 1))2) =
= a((ab)2 – 2ba2b + (ba)2) – ((ab)2 – 2ba2b + (ba)2) =
= [a,ab,ab] – ((ab)2 – 2ba2b + (ba)2) = 0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E-энгелевы абелевы группы
57
следует, что (ab)2 – 2ba2b + (ba)2 = 0. Аналогично (ba)2 – 2ab2a + (ab)2 = 0. Из последних двух равенств получаем ba2b = ab2a и, значит,
[a,b]2 = (ab)2 – 2ba2b + (ba)2 = 0.
8. Если A – E-энгелева группа без кручения ступени ≤ 2, то βα2m + 1 – α2m + 1β =
= (2m + 1)αm(βα – αβ)αm для каждого m ∈ N и любых α,β ∈ E(A).
Индукцией по m. Если m = 1, то из свойства 5 при n = 3 получаем βα3 – α3β =
= 3α(βα – βα)α. Далее, учитывая равенство 2αβα = βα2 + α2β и перестановочность
[β,α] с α, имеем
βα2m + 3 – α2m + 3β = (2m + 1)αm(βα – αβ)αm + 2 + α2m + 1βα2 – α2m + 3β =
= (2m + 1)αm + 1(βα – αβ)αm + 1 + α2m + 1(βα2 – α2β) =
= (2m + 1)αm + 1(βα – αβ)αm + 1 + α2m + 1(2αβα – 2α2β) =
= (2m + 3)αm + 1(βα – αβ)αm + 1.
9. Пусть A – E-энгелева группа без кручения ступени ≤ 2 и α ∈ Aut A. Тогда если αn ∈ Z(E(A)) для некоторого n ∈ N, то α ∈ Z(E(A)). В частности, периодическая часть группы Aut A не только является подгруппой в Aut A, но и содержится в Z(E(A)).
Пусть n = 2m. Имеем [β,αm,αm] = βα2m + α2mβ – 2αmβαm = 0. Следовательно,
m m
2α (α β – βαm) = 0. Откуда αmβ – βαm = 0 и, значит, αm ∈ Z(E(A)). Для завершения
доказательства можно воспользоваться свойством 8. Приведем также следующее
доказательство. С учетом вышеприведенного замечания с четным показателем,
доказываемое свойство достаточно проверить для всех простых чисел p, где p > 2.
Из
[β,α,αp – 1] = βαp – αβαp – 1 – αp – 1βα + αpβ = 0 и αp ∈ Z(E(A))
получаем
2βαp = αβαp – 1 + αp – 1βα или 2βαp – 1 = αβαp – 2 + αp – 1β.
Покажем, что для каждого k = 2,…,p справедлива формула
(2)
kβαp – 1 = αk – 1βαp – k + (k – 1)αp – 1β
индукцией по k. Пусть 2 < k < p. Имеем
2kβαp – 1 = αk – 2(2αβα)αp – (k + 1) + 2(k – 1)αp – 1β =
= αk – 2(α2β + βα2)αp – (k+1) + 2(k – 1)αp – 1β = αkβαp – (k+1) + αk – 2βαp – (k–1) + 2(k – 1)αp – 1β =
= αkβαp – (k + 1) + ((k – 1)βαp – 1 – (k – 2)αp – 1β) + 2(k – 1)αp – 1β.
Сравнивая левую и правую части, получаем требуемое равенство (k + 1)βαp – 1 =
= αkβαp – (k + 1) + kαp – 1β. При k = p из (2) имеем βαp – 1 = αp – 1β. Таким образом,
αp ∈ Z(E(A)) и αp – 1 ∈ Z(E(A)). Из взаимной простоты чисел p и p – 1 следует, что
α ∈ Z(E(A)).
10. Пусть R – энгелево кольцо ступени ≤ 2, его аддитивная группа R+ является
группой без кручения и an = 0 для некоторых a ∈ R и n ≥ 2. Тогда asban – s = 0 для
любого b ∈ R и каждого s = 1,…,n – 1.
При n = 2 справедливость утверждения следует из равенства 2aba = ba2 + a2b.
Если n = 3, то из того же равенства получаем 2a2ba = aba2 и 2aba2 = a2ba. Значит,
aba2 = a2ba = 0. Пусть n > 3. Имеем
[ba,a,an – s] = ban – 1 – aban – 2 – an – 3ba2 + an – 2ba =
=ban – 1 – aban – 2 – an – 3(2aba – a2b) + an – 2ba = 0.
Следовательно,
ban – 1 – aban – 2 – an – 2ba + an – 1b = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Р. Чехлов
58
Умножая справа обе части на a, получаем – aban – 1 – an – 2ba2 + an – 1ba = 0. Отсюда
aban – 1 – an – 2(2aba – a2b) + an – 1ba = – aban – 1 – an – 1ba = 0
или
aban – 1 = – an – 1ba.
(3)
2
2
Из 2aba = ba + a b получаем 2an – 1ba = an – 2ba2. Покажем, что для любого
k = 1,…,n – 1 справедлива формула
kan – 1ba = an – kbak.
(4)
При k = 2 справедливость ее уже установлена. А далее имеем
2kan – 1ba = an – k – 1(2aba)bak – 1 = an – k – 1(ba2 + a2b)bak – 1 =
= an – k – 1bak + 1 + an – (k – 1)bak – 1 = an – k – 1bak + 1 + (k – 1)an – 1ba.
Откуда следует справедливость искомой формулы (k + 1)an – 1ba = an – (k + 1)bak + 1.
В частности, при k = n – 1 имеем (n – 1)an – 1ba = aban –1 . Теперь из (3) следует
(n – 1)an – 1ba = – an – 1ba, т.е. nan – 1ba = 0. Истинность доказываемого утверждения
вытекает из (4).
Напомним, что группа без кручения A называется слабо транзитивной, если
для любых ее элементов a,b со свойством χ(a) = χ(b) существует такой α ∈ E(A),
что αa = b. Слабо транзитивные группы изучались в [9, 10].
11. а) [10, лемма 1]. Пусть A – редуцированная группа без кручения, α ∈ E(A) и
0 ≠ b ∈ ker α. Тогда, если hp(b) ≥ hp(αa), то hp(b + a) = hp(a).
б) Если A – редуцированная слабо транзитивная группа без кручения, то для
каждого 0 ≠ α ∈ E(A) найдется β ∈ E(A) со свойством αβα ≠ 0. В частности,
кольцо E(A) полупервично.
в) Пусть R – энгелево кольцо. Тогда периодическая часть T(M) всякого левого
модуля M над R является подмодулем в M, причем M / T(M) – модуль без кручения,
т.е. T(M / T(M)) = 0. Кроме того, T(M) – сингулярный подмодуль в M.
Доказательство. б) Допустим, что αE(A)α = 0. В частности, α2 = 0. Если αa ≠ 0
для некоторого a ∈ A, то в силу редуцированности группы A найдется такое простое число p, что αa имеет конечную p-высоту n = hp(αa); причем можно считать,
что hp(a) = 0. Так как αa ∈ ker α, то по свойству а) χ(p2n + 1a + αa) = χ(pna). Если теперь β(p2n + 1a + αa) = pna для β ∈ E(A), то p2n + 1αβa = pnαa, что противоречит равенству hp(pnαa) = 2n.
в) Из [r , t ,… , t ] = 0 имеем
n
n −1
tnr = (–1)n – 1(rtn – Cn1 trtn – 1 + … + (–1)n – 1 Cn
tn – 1rt),
(5)
n!
.
m !(n − m)!
Пусть t ∈ R – неделитель нуля, ty = 0 для y ∈ M и 0 ≠ ry для некоторого r ∈ R.
Тогда из (5) имеем tnry = 0, т.е. ry ∈ T(M). Если же r ∈ R – неделитель нуля и
rx = 0, то tnrx = 0, а из (5) tnry = 0, т.е. x – y ∈ T(M). Если же r – произвольный ненулевой элемент из R, то (5) влечет, что 0 ≠ tnr ∈ Rr∩Ann y, этого достаточно для
сингулярности T(M).
12. Пусть R – энгелево кольцо ступени ≤ 2 и группа R+ не имеет элементов порядка 2. Тогда каждый нильпотентный элемент кольца R является строго нильпотентным. В частности, первичный радикал кольца R совпадает с нильрадикалом.
где, как и ранее, Cnm =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E-энгелевы абелевы группы
59
Пусть an = 0 и {ak | k = 0,1,…} – такая последовательность элементов кольца R,
что a0 = a и ak + 1 ∈ akRak . Ввиду равенства 2xyx = yx2 + x2y элемент 2kak предстаk
вим в виде конечной суммы, каждое слагаемое которой содержит множитель a 2 .
Поэтому as = 0 для всех s, где 2s ≥ n. Это и означает строгую нильпотентность
элемента a. Первичный радикал содержится в ниль-радикале, а поскольку каждый
нильпотентный элемент является строго нильпотентным, то отсюда следует обратное включение (так как первичный радикал совпадает с множеством всех строго нильпотентных элементов).
Отметим также следующие простые свойства.
13. Энгелево кольцо удовлетворяет как правому, так и левому условию Оре.
Действительно, если a – регулярный его элемент (т.е. неделитель нуля), b ∈ R
и [b, a,… , a ] = 0 , то b(a n ) = a(Cn1 ba n −1 − … − (−1) n a n −1b) . Аналогично
n
((−1) n −1 a n )b = (ba n −1 − Cn1 aba n − 2 + … + (−1) n −1 a n −1b)a .
14. В энгелевом кольце R каждый регулярный справа его элемент a является
регулярным. В частности, если 1 ∈ R, то R – конечное по Дедекинду кольцо, т.е.
равенство xy = 1 влечет yx = 1 (см. замечание после свойства 6). Аналогично, каждый регулярный слева элемент кольца R является регулярным.
Доказательство. Допустим, что ca = 0 для c ∈ R. Тогда для некоторого n имеем [c, a,… , a ] = (−1) n a n c = 0 . Откуда c = 0. Если xy = 1, то по доказанному правая
n
регулярность элемента y влечет его регулярность. А так как (1 – yx)y = 0, то
1 – yx = 0, т.е. yx = 1.
15. Если a – нильпотентный элемент энгелева кольца R с 1 ступени ≤ 2, аддитивная группа R+ не имеет элементов порядка 2, то Ra, aR и RaR – нильпотентные идеалы, причем при n = 2m или n = 2m + 1 эти идеалы имеют индекс нильпотентности n.
Теорема. Пусть A – редуцированная E-энгелева группа без кручения ступени
≤ 2. Тогда слабая транзитивность группы A или периодичность группы Aut A
влечет коммутативность кольца E(A).
Доказательство. Группа без кручения с периодической группой автоморфизмов Aut A не имеет ненулевых нильпотентных эндоморфизмов [5, § 116, свойство а)], поэтому в этом случае теорема вытекает из свойства 7. Оставшееся утверждение следует из свойств 4, 7 и 11.
Некоторые полученные результаты можно перенести на модули, так в [11]
изучались E-разрешимые модули, а в [12] исследовались нильгруппы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чехлов А.Р. Об абелевых группах с нормальным кольцом эндоморфизмов // Алгебра и
логика. 2009. Т. 48. № 4. С. 520–539.
2. Чехлов А.Р. E-нильпотентные и E-разрешимые абелевы группы класса 2 // Вестник
Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 1(9).
С. 59–71.
3. Чехлов А.Р. О коммутаторно инвариантных подгруппах абелевых групп // Сиб. матем.
журн. 2010. Т. 51. № 5. С. 1163–1174.
4. Чехлов А.Р. Некоторые примеры E-разрешимых групп // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 69–76.
5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974; Т. 2. М.: Мир, 1977.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60
А.Р. Чехлов
6. Беккер И.Х., Кожухов С.Ф. Автоморфизмы абелевых групп без кручения. Томск, 1988.
7. Хухро Е.И. О p-группах автоморфизмов абелевых p-групп // Алгебра и логика. 2000.
Т. 39. № 3. С. 359–371.
8. Журтов А.Х. О квадратичных автоморфизмах абелевых групп // Алгебра и логика.
2000. Т. 39. № 3. С. 320–328.
9. Добрусин Ю.Б. О продолжениях частичных эндоморфизмов абелевых групп без кручения. 2 // Абелевы группы и модули. 1985. № 5. С. 31–41.
10. Чехлов А.Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. 2001. Т. 69.
№ 6. С. 944–949.
11. Чехлов А.Р. E-разрешимые модули // Фундамент. и прикл. матем. 2010. Т. 16. № 7.
С. 221–236.
12. Чехлов А.Р. О некоторых классах нильгрупп // Матем. заметки. 2012. Т. 91. № 2.
С. 297–304.
Статья принята в печать 03.11.2011 г.
Chekhlov A.R. E-ENGELIAN ABELIAN GROUPS OF STEP ≤ 2. It is proved that periodicity of
the automorphism group or weak transitivity of an E-engelian torsion free group of step ≤ 2 implies commutativity of its endomorphism ring. Some properties of the engelian ring of step 2 are
established. It is also shown that the endomorphism ring of a weakly transitive torsion free group
is semiprime.
Keywords: commutator of endomorphisms, prime radical, nil radical, E-solvable group, weakly
transitive torsion free group.
CHEKHLOV Andrey Rostislavovich (Tomsk State University)
E-mail: cheklov@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
МЕХАНИКА
УДК 531.351
М.А. Бубенчиков
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ КСЕНОНА В ЦИКЛОННОЙ КАМЕРЕ
В работе описана вычислительная технология расчета среднего (без учета
броуновских флуктуаций) перемещения атомов тяжелого инертного газа
ксенона в воздушной среде. Проведены исследования движения таких частиц в циклонной камере. Найдены режимы, позволяющие улавливать указанные частицы при достаточно больших расходных характеристиках аэродинамической центрифуги.
Ключевые слова: ксенон, наночастица, циклонная камера, аэродинамика,
движение частиц, режимы улавливания.
Ксенон – простое вещество – инертный одноатомный газ без цвета, вкуса и запаха. Ксенон – весьма редий элемент. При нормальных условиях 1000 м3 воздуха
содержат около 87 см3 ксенона. Диаметр атома ксенона d = 0,44 нм, а атомный вес
М = 131 у.е. Ксенон используют для наполнения ламп накаливания, а также мощных газоразрядных и импульсных источников света (высокая атомная масса газа в
колбах ламп препятствует испарению вольфрама с поверхности нити накаливания). Ксенон, как в чистом виде, так и с небольшой добавкой паров цезия, является высокоэффективным рабочим телом для электрореактивных (главным образом,
ионных и плазменных) двигателей космических аппаратов. В 1999 году ксенон
был разрешен к медицинскому применению в качестве средства для общего ингаляционного наркоза. В наши дни ксенон проходит апробацию в лечении зависимых состояний. Ксенон получают как побочный продукт производства жидкого
кислорода на металлургических предприятиях.
Цель настоящей работы – оценить возможность получения ксенона в лабораторных условиях методом центрифугирования.. Для того чтобы решить задачу,
необходимо знать сопротивление таких частиц в рассматриваемой среде и уметь
рассчитывать аэродинамику циклонной камеры при высокой скорости вращения
камеры: n ~ 6000−12000 об/мин. Вопросы сопротивления компактных наночастиц
решены в работах [1, 2], а вычислительная технология, используемая для расчета
аэродинамики при высоких частотных характеристиках циклонной камеры, представлена в [3]. Поэтому перейдем непосредственно к движению наночастиц (атомов ксенона) в циклонном аппарате.
Физическая область течения
Так как течение является осесимметричным и независимых переменных для
расчета аэродинамики только две – z и r, то можно рассматривать любое осевое
сечение цилиндрической камеры, а область интегрирования в этом случае будет
плоской фигурой, в нашем примере прямоугольником.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Бубенчиков
62
На рис. 1 показана область изменения независимых параметров, являющаяся
продольным сечением камеры. Здесь сплошные линии представляют непроницаемые границы, пунктирные – проницаемые и условную ось симметрии.
r
Г2
r2
Г1
Г3
Гвх
Г4
Гвых
r1
z
zвых
L вх
Lвых
Рис. 1. Продольное сечение циклонной камеры
Численное решение задачи динамики частиц
Наночастица участвует в сложном движении. Во-первых, она переносится потоком газа и, во-вторых, перемещается относительно потока несущей среды под
действием сил инерции. Поэтому по теореме сложения скоростей для проекций
абсолютной скорости частицы можем записать
dz
= U ( z (t ) , r (t )) + u (t ) ;
(1)
dt
dr
= V ( z (t ) , r (t )) + v (t ) ;
dt
(2)
dϕ
= W ( z (t ) , r (t )) + w (t ) .
(3)
dt
Здесь U, V, W – проекции скорости газа на оси цилиндрических координат; u, v, w
– проекции скоростей относительного движения частиц на те же оси.
При этом относительное движение частицы определяется следующими уравнениями:
du
= az ( z ( t ) , r ( t ) ) − 2β u ( t ) ;
(4)
dt
r
где
W 2 ( z (t ) , r (t ))
dv
= ar ( z ( t ) , r ( t ) ) +
− 2β v ( t ) ;
dt
r
(5)
dw
= aw ( z ( t ) , r ( t ) ) − 2βw ( t ) ,
dt
(6)
az = −V ⋅∇U , ar = −V ⋅∇V , aw = −V ⋅∇W ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Движение частиц ксенона в циклонной камере
V = (U , V , W ) , ∇ = i
63
∂
∂ k ∂
+j +
.
∂z
∂r r ∂ϕ
Здесь az, ar, aw – проекции переносного ускорения; W2/r – центробежное ускорение; 2βu, 2βv, 2βw – проекции ускорения (замедления), обусловленного действием
силы сопротивления среды на частицу.
Начальные условия
При t = 0 частицы стартуют с позиции во входном сечении ( z ∈ [ 0, Lвх ] , r = r1)
с нулевой относительной скоростью по отношению к несущей среде:
z ( 0 ) = z0 , r ( 0 ) = r1 , ϕ ( 0 ) = ϕ0 ;
(7)
u ( 0 ) = 0, v ( 0 ) = 0, w ( 0 ) = 0.
(8)
Схема вычислений
Численное интегрирование системы уравнений (1) – (6) с начальными условиями (7), (8) будем проводить с использованием схемы Рунге-Кутта четвертого
порядка точности и неявного этапа для промежуточных значений u, v, w, найденных по уравнениям (4) – (6). Из-за осесимметричного характера течения несущей
среды в приводимой ниже численной модели движения частиц будут отсутствовать окружные перемещения, поскольку они не будут использованы в дальнейшем физическом анализе. Согласно подходу Рунге-Кутта, опирающемуся на идею
пересчета, для того чтобы вычислить значения искомых величин на новом слое по
времени (в момент t k +1 ), необходимо предварительно найти правые части выписанных уравнений в четырех точках интервала t ∈ ⎡⎣t k , t k +1 ⎤⎦ или, что то же самое,
в четырех позициях на фрагменте траектории, отвечающем указанному интервалу
времени:
z1 = z k , r1 = r k , u1 = u k , v1 = v k , U1 = U ( z1 , r1 ) , V1 = V ( z1 , r1 ) ;
(9)
h
h
z2 = z k + (U1 + u1 ) , r2 = r k + (V1 + v1 ) , U 2 = U ( z2 , r2 ) , V2 = V ( z2 , r2 ) ;
2
2
(10)
u2 =
( u k + az ( z1 , r1 ) h 2 ) ,
(1 + βh )
v2 =
( vk + h 2 ( r1ω2 ( z1 , r1 ) + ar ( z1 , r1 ) ) ) ;
(1 + βh )
h
h
z3 = z k + (U 2 + u2 ) , r3 = r k + (V2 + v2 ) , U 3 = U ( z3 , r3 ) , V3 = V ( z3 , r3 ) ;
2
2
u3 =
( u k + az ( z2 , r2 ) h 2 ) ,
(1 + βh )
v3 =
( vk + h 2 ( r2ω2 ( z2 , r2 ) + ar ( z2 , r2 ) ) ) ;
(1 + β h )
z4 = z k + h (U 3 + u3 ) , r4 = r k + h (V3 + v3 ) , U 4 = U ( z4 , r4 ) , V4 = V ( z4 , r4 ) ;
u4 =
( u k + az ( z3 , r3 ) h ) ,
(1 + 2βh )
v4 =
( vk + h ( r3ω2 ( z3 , r3 ) + ar ( z3 , r3 ) ) ) .
(1 + 2βh )
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Бубенчиков
64
W ( z, r )
– угловая скорость квазитвердого вращения сплошной
r
среды, h – шаг по времени.
Тогда значения искомых величин на новом слое по времени найдутся по формулам
h
z k +1 = z k + ( (U1 + u1 ) + 2 (U 2 + u2 ) + 2 (U 3 + u3 ) + (U 4 + u4 ) ) ;
(16)
6
Здесь ω ( z , r ) =
h
r k +1 = r k + ( (V1 + v1 ) + 2 (V2 + v2 ) + 2 (V3 + v3 ) + (V4 + v4 ) ) ;
6
(17)
1
u k +1 = ( u1 + 2u2 + 2u3 + u4 ) ;
6
(18)
1
v k +1 = ( v1 + 2v2 + 2v3 + v4 ) .
(19)
6
Соотношения (16) – (19) представляют собой формулы явного определения
цилиндрических координат и скорости частицы по технологии Рунге-Кутта. При
этом промежуточные значения относительных скоростей частицы найдены с использованием неявного представления силы сопротивления в разностных уравнениях (4) – (6). Полунеявный этап расчетов выражен соотношениями (11), (13),
(15).
Проводя последовательно расчеты по формулам (9) – (19), находим численное
решение задачи о движении частицы в закрученном потоке, полученное с использованием построенной явно-неявной схемы. Нетрудно видеть, что для систем без
трения (β = 0) технология (9) – (19) превращается в классический вариант системы Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
Интерполяция
Частицы, двигаясь по своим траекториям, разве только случайно могут пройти
через узел разностной сетки, используемой для решения уравнений аэродинамики. Поэтому необходима интерполяция значений скорости и переносного ускорения в каждую из промежуточных позиций на траектории, необходимых для расчета искомой величины на новом слое по времени по технологии Рунге-Кутта.
(zi, rj + 1)
(zi+1, rj + 1)
(z1, r1)
(zi, rj)
(zi+1, rj)
Рис. 2. Интерполяция во внутреннюю точку по четырем значениям
прямоугольной разностной ячейки
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Движение частиц ксенона в циклонной камере
65
Если точка с координатами (z1, r1) попадает в указанную на рисунке ячейку, то
интерполяция проводится по следующим линейным зависимостям:
U ( z1 , r ( j ) ) = U ( z ( i ) , r ( j ) ) +
U ( z1 , r ( j + 1)) = U ( z ( i ) , r ( j + 1) ) +
U ( z1 , r1 ) = U ( z1 , r ( j ) ) +
z1 − z ( i )
(U ( z ( i + 1) , r ( j ) ) − U ( z ( i ) , r ( j ) ) ) ,
z ( i + 1) − z ( i )
z1 − z ( i )
(U ( z (i + 1) , r ( j + 1)) − U ( z (i ) , r ( j + 1))) ,
z ( i + 1) − z ( i )
r1 − r ( j )
(U ( z1 , r ( j + 1) ) − U ( z1 , r ( j ) ) ) .
r ( j + 1) − r ( j )
Аналогичным образом проводится интерполяция для V, W (либо ω), ar, az в точки
(z2, r2), (z3, r3), (z4, r4).
Результаты расчетов
Во всех представленных ниже вариантах движутся с одной угловой скоростью
либо две границы Γ2 и Γ4, либо они же совместно с границами Γ1 и Γ3 (торцевыми
стенками камеры). Во всех вариантах скорость радиальной подачи воздуха
Vвх = 1 м/с. Предварительно был рассчитан вариант прямоточного течения (п = 0),
для которого траектории частиц ксенона в точности повторили линии тока несущей среды. Ниже представлены различные варианты закрученных течений, отличающиеся степенью и характером закрутки. Как видим из рис. 3 – 5, существуют
принципиально различные режимы движения наночастиц в циклонной камере.
Первый режим (рис. 3) без вращения торцевых стенок камеры, имеющий умеренные частотные характеристики (п = 6000 об/мин) и следующие размеры:
r1 = 0,4 м, r2 = 0,405 м, Lвх = Lвых = 0,1L, L = 0,1 м (длина камеры), характеризуется
выносом всех поступающих в камеру частиц. Второй режим (рис. 4) характеризуется следующими геометрическими параметрами: r1 = 0,3 м, r2 = 0,35 м,
Lвх = Lвых = 0,1L, L = 0,4 м и в большей степени определяется вращением торцевых
стенок камеры. В этом случае радиально входящие в камеру частицы сразу же
устремляются в область пониженного давления, находящуюся у левой торцевой
стенки. Попадая в конечном счете на эту стенку, они продолжают испытывать
влияние действующей на них центробежной силы и медленно перемещаются в
угловую зону камеры, ограниченную левой стенкой и внешней цилиндрической
поверхностью аппарата. Третий режим (рис. 5, 6) определяется следующими параметрами камеры: r1 = 0,4 м, r2 = 0,5 м, Lвх = Lвых = 0,1L, L = 0,4 м. Существование этого режима в большей степени обязано появлению в потоке внутренних
сингулярных зон высокой радиальной скорости несущей среды (на рис. 6 это зоны
сгущения линий тока), которые ограничивают движение частиц в аксиальном направлении. Из-за специфического влияния этих зон на характер движения наночастиц их целесообразно назвать «шторками». Правая шторка является более протяженной и полностью перекрывает частицам путь к выходному сечению. Поэтому относительно более тяжелые атомы ксенона (в сравнении с молекулами N2 и
O2) вынуждены циркулировать в ограниченном объеме камеры, выполняющем
роль пылесборника. Аналогичный эффект наблюдается в циклонных пылесосах,
не имеющих мешков для сбора мусора.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
66
М.А. Бубенчиков
R
R
z
Рис. 3. Траектории частиц ксенона
в режиме без вращения торцевых стенок
камеры: п = 6000 об/мин
R
z
Рис. 4. Траектории частиц ксенона
в режиме с вращением торцевых стенок
камеры: п = 6000 об/мин
R
z
Рис. 5. Траектории частиц ксенона
в режиме без вращения торцевых стенок
камеры: п = 12000 об/мин
z
Рис. 6. Линии тока несущей среды.
Тот же режим, что и на рис. 5
Заключение
В работе описана вычислительная технология расчета динамики наночастиц,
испытывающих значительное удельное сопротивление (приходящееся на единицу
массы частицы). Найдены режим быстрого выхода частиц на вращающуюся торцевую стенку аппарата и режим внутренней циркуляции наночастиц в рабочей
зоне устройства (с последующим выходом на внешнюю стенку вращающейся камеры). Оба режима могут быть использованы для улавливания наночастиц в центробежном аппарате. Эффект улавливания в двух найденных режимах локализации ксенона достигается за счет совместного действия механизма конвективного
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Движение частиц ксенона в циклонной камере
67
переноса инерционных частиц и их диффузионного перемещения под действием
центробежной силы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бубенчиков М.А. Механическое сопротивление компактных наночастиц в воздушной
среде // Изв. вузов. Физика. 2011. № 1. С. 92−96.
2. Потекаев А.И., Бубенчиков М.А. Седиментация наночастиц в поле центробежных сил //
Изв. вузов. Физика. 2011. № 2. С. 37−42.
3. Бубенчиков М.А., Иванова И.А. Расчет аэродинамики циклонной камеры // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 1(13). С. 46−51.
Статья поступила 01.03.2011г.
Bubenchikov M.A. MOTION OF XENON PARTICLES IN A CYCLONE CHAMBER. In
this work, the computing calculation technology of an average (without regard to Brown fluctuations) motion of heavy inert xenon atoms in an air environment is described. Researches of the
motion of such particles in a cyclonic chamber are carried out. Modes that make it possible to
catch the particles at enough big account characteristics of an aerodynamic centrifuge are found.
Keywords: xenon, nanoparticle, cyclonic chamber, aerodynamics, motion of particles, catching
modes.
BUBENCHIKOV Mikhail Alekseevich (Tomsk State University)
E-mail: michael121@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 532.5:532.517.4
И.В. Ершов, К.И. Зырянов
ДИССИПАЦИЯ ВОЛН КЕЛЬВИНА – ГЕЛЬМГОЛЬЦА
В КОЛЕБАТЕЛЬНО НЕРАВНОВЕСНОМ ДВУХАТОМНОМ ГАЗЕ1
На основе уравнений двухтемпературной аэродинамики численно исследовано влияние колебательной релаксации на подавление неустойчивости
Кельвина – Гельмгольца в развивающемся во времени сдвиговом слое колебательно неравновесного двухатомного газа.
Ключевые слова: неустойчивость Кельвина – Гельмгольца, колебательная
релаксация, кинетическая энергия возмущений, диссипация.
В работе [1] рассматривалось влияние умеренного возбуждения внутренних
степеней свободы молекул газа на развитие инерционной неустойчивости Кельвина – Гельмгольца в свободном слое сдвига. Расчеты были выполнены на основе
полных уравнений Навье – Стокса сжимаемого теплопроводного газа, в которых с
помощью коэффициента объемной вязкости учитывается только возбуждение
вращательных степеней свободы молекул газа, а колебательные моды молекул
предполагались невозбужденными.
Несмотря на инерционный характер возбуждения волн Кельвина – Гельмгольца результаты отчетливо показали, что с возрастанием объемной вязкости усиливается диссипация кинетической энергии пульсаций, а скорость ее производства
уменьшается. Вместе с тем было высказано предположение, что при дополнительном возбуждении колебательных уровней энергии эти эффекты должны усилиться. В этом случае релаксационный процесс может быть использован для
управления течением, например для затягивания ламинарно-турбулентного перехода, так как колебательная неравновесность легко создается искусственным путем.
В данной работе нелинейное развитие неустойчивости Кельвина – Гельмгольца рассматривается в рамках уравнений двухтемпературной аэрогидродинамики.
В них предполагается, что поступательные и вращательные степени свободы молекул образуют квазиравновесный термостат, характеризуемый статической температурой потока, а релаксация колебательных степеней свободы молекул к равновесию описывается уравнением Ландау – Теллера для колебательной температуры газа [2−4]. В качестве начальных возмущений использовались невязкие моды с максимальным инкрементом нарастания, рассчитанные в рамках линеаризованной системы уравнений двухтемпературной газовой динамики.
Постановка задачи
В координатной плоскости ( x1 , x2 ) рассматривается плоскопараллельное сдвиговое течение колебательно неравновесного двухатомного газа, в котором стационарный (несущий) поток равномерной плотности ρ0 направлен вдоль оси
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(коды проектов 08-01-00116; 11-01-00064).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Диссипация волн Кельвина – Гельмгольца
69
абсцисс x1 и имеет профиль скорости c точкой перегиба при x2 = 0 :
U S ( x2 ) = U 0 th( x2 / δ0 ) , где параметр δ0 , имеющий размерность длины, определяется соотношением
δ0 = U 0 ⎡⎣ dU S dx2
⎤
−1
x2 =0 ⎦
и характеризует максимальный наклон профиля скорости.
Считается, что в невозмущенном течении все внутренние степени свободы
молекул находятся в равновесии и описываются единой статической температурой потока T0 = const . Отметим, что в отсутствии внешней накачки энергии в колебательную моду молекул это единственно возможное стационарное решение
энергетических уравнений используемой системы уравнений двухтемпературной
аэрогидродинамики.
В качестве характерных величин для обезразмеривания были выбраны длина
δ0 , асимптотическое значение скорости U 0 , постоянные плотность ρ0 , температура T0 и образованные из них характерные время τ0 = δ0 / U 0 и давление
p0 = ρ0 U 02 . В обезразмеренных переменных система уравнений двухтемпературной аэрогидродинамики примет вид
∂ ρ ∂ ρ ui
= 0,
+
∂t
∂ xi
⎛ ∂u
∂ ui
ρ⎜ i + u j
⎜ ∂t
∂ xj
⎝
∂uj ⎤
⎞
∂ ui ⎤ 1 ⎛
1⎞ ∂ ⎡
∂p 1 ∂ ⎡
+
⎟⎟ = −
⎢η(T )
⎥+
⎢η(T )
⎥,
⎜ α1 + ⎟
3 ⎠ ∂ xi ⎣⎢
∂ xi Re ∂ x j ⎣⎢
∂ x j ⎦⎥ Re ⎝
∂ x j ⎦⎥
⎠
⎛ ∂T
∂ ui
∂T ⎞
γ
∂ ⎡
∂T ⎤ γ v ρ ( Tv − T )
=
ρ⎜
+uj
+
⎟⎟ + ( γ − 1)ρ T
⎢η(T ) ∂ x ⎥ +
⎜ ∂t
∂
x
∂
x
∂
x
τ
Re
Pr
j ⎠
i
i ⎣
i⎦
⎝
γ ( γ − 1)η(T )M 2
+
2Re
⎛ ∂T
∂ Tv
γvρ ⎜ v + u
⎜ ∂t
j ∂x
j
⎝
⎡ ⎛ ∂u ∂u
j
⎢⎜ i +
⎜
⎢ ⎝ ∂ x j ∂ xi
⎣
2
2
⎞
2 ⎞ ⎛ ∂ ui ⎞ ⎤
⎛
+ 2 ⎜ α1 − ⎟ ⎜
⎟ ⎥,
⎟⎟
3 ⎠ ⎝ ∂ xi ⎠ ⎥
⎝
⎠
⎦
(1)
⎞ γ α2 ∂ ⎡
∂ T ⎤ γ ρ ( Tv − T )
,
η(T ) v ⎥ − v
⎟⎟ =
⎢
∂ xi ⎦
τ
⎠ Re Pr ∂ xi ⎣
γ M 2 p = ρT , η(T ) = T 4 / 5 , γ v = γ vib (1 − γ vib ), i, j = 1, 2,
где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
В уравнения системы (1) включена зависимость коэффициентов переноса от
температуры, что позволило более полно учесть диссипативный эффект «сброса»
энергии колебательной моды на поступательные степени свободы молекул, сопровождающийся возрастанием вязкости газа. Выбранная зависимость соответствует условиям относительно холодного несущего потока (мягким потенциалам
межмолекулярного взаимодействия). Также принято, что удельные теплоемкости
не зависят от статической и колебательной температур потока и постоянны.
Для обезразмеривания коэффициентов переноса использованы их значения
при температуре T0 , отмеченные соответствующим индексом. В коэффициенте
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
70
И.В. Ершов, К.И. Зырянов
теплоемкости при постоянном объеме выделены парциальные теплоемкости ctr ,
crot и cvib , связанные соответственно с поступательными, вращательными и колебательными степенями свободы молекул. Коэффициент теплопроводности также разбит на сумму составляющих λ 0 = λt ,0 + λ r ,0 и λ v ,0 , характеризующих молекулярный перенос тепла поступательными, вращательными и колебательными
степенями свободы молекул.
Параметры, входящие в уравнения системы (1), определяются следующим образом. Коэффициенты α1 = ηb,0 / η0 – отношение объемной и сдвиговой вязкостей
и α 2 = λ v,0 / λ 0 ; γ = (ctr + crot + R) /(ctr + crot ) = c p /(ctr + crot ) – показатель адиабаты,
R – газовая постоянная; параметр γ vib = cvib /(ctr + crot + cvib ) равен отношению
парциальных теплоемкостей отдельных степеней свободы молекул и косвенно характеризует степень неравновесности колебательной моды молекул, τ – время
релаксации колебательной моды молекул. Параметры Re = U 0 δ0 ρ0 / η0 ,
M = U 0 / γ RT0 и Pr = η0 c p / λ 0 – соответственно числа Рейнольдса, Маха и
Прандтля несущего потока.
Система (1) описывает распространенную в аэродинамике ситуацию, когда характерные времена микроскопических процессов энергообмена между различными степенями свободы молекул газа оцениваются системой неравенств [2−4]
τtt ~ τtr << τvv << τvt ~ τ0 .
Причем в этом случае поступательные и вращательные степени свободы молекул с малыми соизмеримыми временами релаксации τtt ~ τrt на временах порядка
характерного времени течения τ0 образуют квазиравновесный термостат с температурой потока T . В подсистеме же колебательных уровней энергии по истечению времени τvv устанавливается квазиравновесное распределение с колебательной температурой Tv . Обмен энергией между колебательной модой и квазиравновесными степенями свободы молекул газа описывается релаксационным
уравнением Ландау – Теллера с характерным временем τvt ≡ τ .
Поскольку поступательные и вращательные степени свободы молекул находятся в состоянии равновесия, то в качестве значений теплоемкостей ctr и crot ,
связанных с поступательным и вращательным движением молекул, могут быть
выбраны их равновесные значения: ctr = 3R / 2 , crot = R . В результате, используя
соотношения Эйкена [2, 3]: λt ,0 = 5η0 crt / 2 , λ r ,0 = 6η0 crot / 5 , λ v ,0 = 6η0 cvib / 5 , получаем, что параметр α 2 может быть записан в удобном для дальнейших вычислений виде
λ v,0
12 γ vib (ctr + crot )
20 γ vib
.
α2 =
=
=
λ0
(1 − γ vib ) (25ctr + 12 crot ) 33(1 − γ vib )
Нижний предел γ vib = 0 соответствует случаю невозбуждения колебательной
моды молекул. С другой стороны, равнораспределение энергии по степеням свободы молекул не является здесь верхним пределом для параметра γ vib , поскольку
закон равнораспределения энергии неприменим в неравновесной ситуации, опи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Диссипация волн Кельвина – Гельмгольца
71
сываемой системой уравнений (1), когда разрыв между статической температурой
потока Т и колебательной температурой Tv может быть достаточно велик. В монографии [3] показано, что при T = 300 K неравновесная теплоемкость
cvib ≈ 1,8 R . Используя равнораспределение энергии в состоянии термодинамического квазиравновесия по поступательным и вращательным модам молекул, получаем, что параметр γ vib ≈ 0, 42 . С ростом разрыва между температурами Tv и Т
значение γ vib увеличивается, приближаясь в пределе к единице, когда энергия
колебательной моды молекул существенно превышает температуру квазиравновесного термостата, определяемого поступательными и вращательными степенями свободы молекул. В расчетах максимальное значение параметра γ vib было выбрано равным: γ vib = 0, 4 с тем, чтобы остаться в рамках используемой модели,
избежав возбуждения высоких колебательных уровней энергии.
В принятых безразмерных переменных стационарный несущий поток задается
соотношениями
U S ( x2 ) = th x2 , TS = Tv , S = ρ S = 1,
(
)
pS = 1 γ M 2 .
(2)
В момент времени t = 0 на основной поток накладывалось двумерное возмущение с длиной волны λ и волновым вектором k = (β, 0) , где β = 2π / λ . Исходная краевая задача ставится в бесконечной полосе, центр которой совпадает с началом координат: x1 ∈ [− x1,0 ; x1,0 ] , x2 ∈ (−∞; ∞) . Ширина полосы по координате
x1,0 выбиралась равной длине волны возмущения β = 2π / λ , при этом x1,0 = π / β .
В расчетах асимптотические условия при x2 → ±∞ переносились на x2 = ± x2,0 ,
где ордината x2,0 определялась из условия достижимой компьютерной точности
| x2,0 − 1| ≤ 10−12 . В итоге было принято значение x2,0 = 20 . На границах расчетной
области во все моменты времени при x1 = ± x1,0 ставились периодические условия,
а при x2 = ± x2,0 – условия невозмущенного потока (2). Начальные условия для
поля скорости и термодинамических величин, включающие возмущения, определялись в виде
u1 (0, x1 , x2 ) = th x2 + u'1 (0, x1 , x2 ), u2 (0, x1 , x2 ) = u'2 (0, x1 , x2 ),
ρ(0, x1 , x2 ) = 1 + ρ' (0, x1 , x2 ), T (0, x1 , x2 ) = 1, Tv (0, x1 , x2 ) = ξ T (0, x1 , x2 ) ,
где параметр ξ задает амплитуду возмущения колебательной температуры. В работах [5] показано, что при течениях в соплах, недорасширенных струях или для
умеренной лазерной накачки колебательных мод, когда диссоциацией можно
пренебречь, значения параметра ξ для двухатомных газов лежат в интервале
ξ = 1 − 5 . В расчетах максимальное значение параметра ξ принималось равным
ξ = 3.
В качестве вводимых в основной поток начальных возмущений компонент
вектора скорости u1′ , u2′ и плотности ρ′ использовались собственные линейные
невязкие колебания с наибольшими инкрементами нарастания, которые рассчи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.В. Ершов, К.И. Зырянов
72
тывались в [6, 7] на основе линеаризованной системы уравнений двухтемпературной газовой динамики.
В табл. 1 приведены использованные в настоящей работе собственные значения фазовых скоростей ci, соответствующих волновых чисел β и инкрементов
роста βci наиболее неустойчивых невязких мод для чисел Маха несущего потока
M = 0 − 1 , времени колебательной релаксации τ = 1 и значений параметра
γ vib = 0, 0, 4 . На рис. 1 представлены примеры изолиний поля завихренности в начальный момент времени t = 0 :
du ⎞
du ⎞
⎡⎛
⎛
⎤
ω (0) = −sech 2 x2 − ⎢⎜ β vi + r ⎟ cos β x1 + ⎜ β vr − i ⎟ sin β x1 ⎥ ,
dx2 ⎠
dx2 ⎠
⎣⎝
⎝
⎦
где u1′ = ur + i ui , u2′ = vr + i vi – комплексные компоненты возмущений поля скорости.
Таблица 1
Спектральные характеристики и инкременты роста
наиболее неустойчивых невязких мод при τ = 1 и γvib = 0,0,4
M
0
0,2
0,5
0,8
1
β
0
0,4446
0,4260
0,3970
0,2790
0
βci
ci
0,4
0,4446
0,4377
0,3890
0,2895
0
0
0,4266
0,4255
0,3556
0,2790
0
x2
0,4
0,4266
0,4115
0,3449
0,2142
0
0
0,1897
0,1813
0,1413
0,0778
0
0,4
0,1897
0,1801
0,1341
0,0620
0
x2
x1
а
x1
б
Рис. 1. Картина изолиний поля завихренности ω в момент времени t = 0
для M = 0,5 и τ = 1 (а – γ vib = 0 ; б – γ vib = 0, 4 )
Для расчета эволюции возмущений уравнения (1) аппроксимировались весовой конечно-разностной схемой Ковени – Яненко [8] с расщеплением по физическим процессам и пространственным переменным. Ее исследование применительно к системе (1) было проведено в [5]. Вычисления велись на равномерной
сетке с шагом h по обеим пространственным переменным. По периодической координате x1 выполнялась циклическая прогонка. Шаги по времени и пространству выбирались равными h = 0, 025 и ∆ t = 0, 01 . Режимы течения определялись
следующими значениями параметров: Re = 100 ; M = 0, 2, 0,5 ; Pr = 0, 75 ; γ = 1, 4 ;
α1 = 0 − 2 ; ξ = 1 − 3 , γ vib = 0, 0, 4 ; τ = 1 − 3 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Диссипация волн Кельвина – Гельмгольца
73
Эволюция возмущений в колебательно неравновесном двухатомном газе
Эволюция вихревого возмущения прослеживалась по поведению поля изолиний полной завихренности потока ω . Сеточная функция ω рассчитывалась с помощью аппроксимации со вторым порядком трансверсальной компоненты вектора вихря центральными разностями от компонент поля скорости. Расчеты позволили детально воспроизвести известную картину нелинейной динамики крупной
вихревой структуры «cat’s-eye» в процессе возникновения и развития неустойчивости Кельвина – Гельмгольца [9]. Структура достаточно быстро при t = 3 достигает своего максимального размера, после чего возмущение начинает затухать.
К моменту времени t = 6 , который можно условно принять за время «жизни»,
структура минимизируется. При этом ее размер несколько превышает начальный.
Примеры изолиний завихренности в вихре в момент достижения максимального
размера, для различных значений степени колебательной неравновесности ξ приведены на рис. 2.
x2
x2
x1
а
б
Рис. 2. Изолинии поля завихренности ω при M = 0,5 , α1 = 0 , γ vib = 0, 4 и τ = 1
в момент времени t = 3 (а – ξ = 1 ; б – ξ = 3 )
x1
Сравнение картины изолиний на рис. 2 показывает, что при одинаковой начальной амплитуде возмущения поля скорости (завихренности) большее начальное возмущение колебательной моды (рис. 2, б) уменьшает градиент ω в ядре
сформировавшейся вихревой структуры. В данном случае это объясняется более
высокой температурой газа в ядре и соответственно большим значением сдвиговой вязкости η(T ) , что приводит к большей диффузии завихренности.
В процессе приближения к термическому равновесию перетекание энергии из
возбужденной колебательной моды в поступательные степени свободы молекул
газа приводит к повышению статической температуры потока. Этот результат релаксационного процесса отражен на графиках рис. 3, где приведены профили колебательной и статической температур в поперечном сечении вихря. Сравниваются распределения температур для трех амплитуд возмущений ξ колебательной
моды молекул в начальный момент времени t = 0 (кривые 1) и при t = 3 (кривые
2), когда структура достигает максимального размера. Видно, что при большей
амплитуде возмущения ξ колебательной моды процесс релаксации идет более
интенсивно. Статическая температура в ядре вихря, условно выделяемом замкну-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.В. Ершов, К.И. Зырянов
74
тыми изолиниями завихренности (см. рис. 2), оказывается выше, чем на периферии области течения. Это связано с тем, что газ, попавший в ядро вихря, остается
в нем в течение всей «жизни» вихря, в то время как вне ядра газ выносится конвекцией из расчетной области и релаксация продолжается за ее пределами.
T
а
ξ=1,5
ξ=2
ξ=3
x2
Tv
б
ξ=1,5
ξ=2
ξ=3
x2
Рис. 3. Профили статической T ( x2 ) (а) и колебательной Tv ( x2 ) (б) температуры в сечении
x1 = 0 для Re = 100 , M = 0,5 , α1 = 0 , γ vib = 0, 4 и τ = 1 при t = 0 (кр. 1) и t = 3 (кр. 2)
В свою очередь, нагрев приводит к возрастанию вязкости газа и уменьшению
плотности в ядре вихря. Следствием этого должно быть дополнительное затухание пульсаций скорости потока. Этот эффект был зафиксирован в работе [10], где
моделировалась дорожка Кармана за цилиндром в колебательно возбужденном
газе. В наших расчетах выделить в чистом виде этот канал подавления возмущений не удалось. Возможное объяснение этому заключается в том, что в [10] характерное время релаксации, амплитуда возмущений и время похождения вихрем
расчетной области существенно превышали соответствующие величины, использованные в данной работе.
Процесс релаксации, свободный от влияния конвекции, можно наблюдать в
центре вихря. Соответствующая эволюция во времени статической и колебательной температур к термодинамическому равновесию показана на рис. 4.
На рис. 4, а приведены релаксационные кривые для трех значений начального
возбуждения. Рис. 4, б представляет процесс релаксации для трех значений характерного времени релаксации τ . Как следует из уравнения Ландау – Теллера, понижение колебательной температуры в центре вихря определяется не только релаксацией, но и молекулярной теплопроводностью. Вместе с тем кривые изменения Tv, особенно на рис. 4, б, демонстрируют преимущественно экспоненциальное
убывание. Это обстоятельство вполне согласуется с оценками динамики обоих
процессов, которые можно получить из уравнения для Tv. Собственно релаксация
приводит к оценке Tv (t ) ~ Tv (0) exp(−t / τ) . В то же время процесс теплопроводности оценивается как Tv (t ) ~ (Re Pr/ t ) exp(−const ⋅ Re Pr/ t ) . Отсюда видно, что при
рассматриваемых параметрах режима диффузионный процесс существенно медленнее релаксационного.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Диссипация волн Кельвина – Гельмгольца
T,Tv
75
T,Tv
Tv
T
Tv
T
а
б
t
t
Рис. 4. Временные зависимости статической T (t ) и колебательной Tv (t ) температур в центре вихревой структуры для Re = 100 , M = 0,5 , α1 = 0 , γ vib = 0, 4 : а – τ = 1 (1 – ξ = 1,5 ;
2 – ξ = 2 ; 3 – ξ = 3 ); б – ξ = 3 (1 – τ = 1 ; 2 – τ = 2 ; 3 – τ = 3 )
С точки зрения возможных приложений интерес представляет влияние колебательной релаксации на диссипацию кинетической энергии возмущений. Рассматривалась эволюция во времени кинетической энергии возмущения и абсолютной
величины рейнольдсовых напряжений:
x2, 0
x1, 0
x1,0
x2, 0
1
E (t ) =
d x1 ∫ d x2 ρ u'12 + u'22 , σ12 (t ) = ∫ d x1 ∫ dx2
2 − x∫
−x
−x
−x
1,0
(
)
2,0
1,0
ρ u'1u'2 .
2,0
Уравнение производства энергии возмущений D(t ) имеет вид [11]
D(t ) =
x2, 0
x1,0
J1 = −
∫
d x1
− x1,0
∫
x2,0
∫
− x1,0
dx1
(3)
x2,0
x1,0
d x2 ρ u'1u'2
− x2,0
x1, 0
J3 =
dE
1
= J1 + J 2 −
( J 3 + α1 J 4 ) ,
dt
Re
d US
⎛ ∂ u' ∂ u'2
, J 2 = ∫ d x1 ∫ d x2 ρ ⎜ 1 +
d x2
⎝ ∂ x1 ∂ x2
− x1,0
− x2, 0
2
2
2
⎞
⎟.
⎠
2
⎡⎛ ∂ u' ⎞ ⎛ ∂ u' ⎞ ⎛ ∂ u' ⎞ ⎛ ∂ u' ⎞
1
1
2
2
∫ dx2 η(T ) ⎢⎢⎜⎝ ∂ x1 ⎟⎠ + ⎜⎝ ∂ x2 ⎟⎠ + ⎜⎝ ∂ x1 ⎟⎠ + ⎜⎝ ∂ x2 ⎟⎠ +
− x2,0
⎣
x2,0
x1,0
2
2
1 ⎛ ∂ u' ∂ u'2 ⎞ ⎤
⎛ ∂ u'1 ∂ u'2 ⎞
J
dx
dx
T
,
=
(
)
+ ⎜ 1+
η
+
⎥
⎟
⎜
⎟ .
4
∫ 1 ∫ 2
3 ⎝ ∂ x1 ∂ x2 ⎠ ⎥⎦
⎝ ∂ x1 ∂ x2 ⎠
− x1, 0
− x2,0
Здесь величины u1′ , u2′ , p ′ – пульсации компонент скорости и давления,
x1,0 = π / β , x2,0 = 20 . Волновые числа β для различных значений режимных параметров γ v , M и τ брались из табл. 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
76
И.В. Ершов, К.И. Зырянов
Интегралы J1 и J 2 описывают соответственно обмен энергией между возмущением и основным потоком и работу при пульсационном расширении (сжатии)
газа. Интегралы J 3 и J 4 , определяющие диссипацию кинетической энергии возмущений, в данном случае включают зависящий от температуры коэффициент
сдвиговой вязкости. Последнее естественно сохраняет их положительную определенность. Таким образом, в уравнении (3) вклад релаксации колебательной моды
в диссипацию кинетической энергии возмущений осуществляется не только через
плотность и давление газа, связанные уравнением состояния с температурой, но и
непосредственно через температурную зависимость η(T ) = T 4/5 .
Пульсационные характеристики течения определялись следующим образом:
Ψ' (t , x1 , x2 ) = Ψ (t , x1 , x2 ) − Ψ S (t , x1 , x2 ),
где компоненты вектор-функция Ψ представляют собой мгновенные значения
характеристик возмущенного течения, а Ψ S – соответствующие характеристики
несущего потока. Поскольку в данном случае невозмущенное течение (2) не является точным стационарным решением системы (1), то его мгновенные характеристики рассчитывались параллельно с расчетом возмущенного потока. Интегралы
в (3) вычислялись по квадратурным формулам трапеций с шагом h = 0, 025 на сетке, использованной в расчетах.
Примеры временных зависимостей кинетической энергии возмущений E (t , ξ)
и производства пульсационной энергии D(t , ξ) для некоторых режимов представлены соответственно на рис. 5, 6. Видно, что расслоение кривых E (t ) по параметру неравновесности колебательной энергии ξ достаточно заметное, а эволюция
структуры для всех значений ξ носит универсальный характер − рост и достижение максимального значения энергии структуры при t ≈ 3 , затем ее спад и стабилизация при t > 5 к некоторому значению, несколько превышающему начальное.
Из графиков рис. 5 следует, что чем больше значение параметра ξ , тем меньше
кинетическая энергия структуры на всем временном интервале. Возрастание глубины возбуждения колебательной моды ξ , как и увеличение объемной вязкости ηb
∂u j ⎤
⎛ ∂u
∂ ui ⎞
∂u ⎤ 1
∂p 1 ∂ ⎡
1 ∂ ⎡
+
η(T ) i ⎥ + ⎛⎜ α1 + ⎞⎟
(параметра ρ⎜ i + u
=−
⎢η(T )
⎥ , ),
j ∂ x ⎟⎟ ∂ x Re ∂ x ⎢⎢
⎜ ∂t
3 ⎠ ∂ xi ⎣⎢
∂ x j ⎦⎥ Re ⎝
∂ x j ⎦⎥
j ⎠
i
j ⎣
⎝
приводит к возрастанию диссипации кинетической энергии возмущений. Временные зависимости модуля рейнольдсовых напряжений | σ12 | (t , ξ, α1 ) практически
повторяют приведенные графики E (t , ξ, α1 ) . Вместе с тем расчеты показали, что
варьирование времени колебательной релаксации τ в диапазоне, принятом в вычислениях, слабо влияет на поведение временных зависимостей E (t ) и | σ12 | (t ) .
Сопоставление графиков на рис. 5, 6 показывает, что на временном интервале,
где происходит рост кинетической энергии возмущений, ее производство сначала
положительно и возрастает, достигая некоторого максимума, а затем начинает
убывать и далее становится отрицательным, что соответствует убыванию энергии
структуры. Точки перехода кривых D(t ) через нуль соответствуют максимумам
на кривых E (t ) , а точки максимума и минимума графиков D(t ) отвечают точкам
перегиба на графиках E (t ) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Диссипация волн Кельвина – Гельмгольца
E(t)
77
E(t)
а
б
t
t
Рис. 5. Временные зависимости энергии возмущений E (t ) для Re = 100 , M = 0,5 ,
γ vib = 0, 4 и τ = 2 ( а – α1 = 0 ; б – α1 = 2 ; 1 – ξ = 1 ; 2 – ξ = 2 ; 3 – ξ = 3 )
D(t)
D(t)
а
б
t
t
Рис. 6. Временные зависимости производства пульсационной энергии D (t ) для Re = 100 ,
M = 0,5 , γ vib = 0, 4 и τ = 2 ( а – α1 = 0 ; б – α1 = 2 ; 1 – ξ = 1 ; 2 – ξ = 2 ; 3 – ξ = 3 )
Для количественного сравнения вклада колебательной релаксации в диссипацию кинетической энергии возмущений находились относительные отклонения
ε E (ξ ) =
< E (t , ξ) > − < E (t , 1) >
⋅100 %, ξ = 1,5 ÷ 3,
< E (t , 1) >
где угловые скобки < … > обозначают осреднение по условному времени «жизни» структуры Θ = 6 . Результаты расчетов относительных отклонений ε E (ξ) для
некоторых наборов параметров представлены в табл. 2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.В. Ершов, К.И. Зырянов
78
Из табл. 2 следует, что рост параметра ξ при фиксированных значениях числа
Маха M и параметрах α1 , τ приводит к большей диссипации кинетической энергии возмущения. В частности, в отсутствие объемной вязкости, когда α1 = 0 , относительное уменьшение средней по времени энергии < E (t , ξ) > для ξ = 3 ,
M = 0,5 достигает ε E = 9,19 % при τ = 1 и ε E = 12,56 % при τ = 3 . Полученное
значение хорошо согласуется с результатами работы [5] для диссипации энергии
возмущений < E (t , ξ) > за счет только релаксационного процесса колебательной
моды молекул при отсутствии в течение других диссипативных процессов, хотя в
[5] рассматривалась модельная задача, в которой воспроизводилось только затухание структуры, что в данном случае соответствует убывающим ветвям кривых
на рис. 5. В расчетах для максимальных значений объемной вязкости при α1 = 2 ,
числе Маха M = 0,5, параметре ξ = 3 среднее относительное подавление кинетической энергии возмущений составило ε E = 10, 07 % для времени колебательной
релаксации τ = 1 и ε E = 14, 62 % для τ = 3 .
Таблица 2
Относительные отклонения εE(ξ), %, для Re = 100, γvib = 0,4
ξ = 1,5
2,17
3,02
α1=0
ξ =2
3,62
6,04
ξ=3
5,15
9,19
ξ =1,5
2,32
3,29
ξ = 1,5
3,07
4,24
α1=0
ξ =2
5,12
8,52
ξ=3
7,28
11,99
ξ =1,5
3,27
4,45
ξ = 1,5
5,32
7,35
α1=0
ξ =2
7,87
9,75
ξ=3
9,61
12.56
ξ =1,5
5,66
7,71
M
0,2
0,5
M
0,2
0,5
M
0,2
0,5
τ =1
α1=1
ξ=2
4,03
6,31
τ =2
α1=1
ξ=2
5,69
8,89
τ =3
α1=1
ξ=2
8,86
10,73
ξ =3
6,06
9,69
ξ = 1,5
2,54
4,10
α1=2
ξ=2
4,46
7,18
ξ=3
6,68
10,07
ξ =3
7,96
12,58
ξ = 1,5
3,59
3,10
α1=2
ξ=2
6,31
7,18
ξ=3
10,67
12,07
ξ =3
11,26
12,31
ξ = 1,5
6,23
8,12
α1=2
ξ=2
9,92
11,18
ξ=3
12,62
14,62
Можно отметить отраженную в табл. 2 однонаправленность воздействия сжимаемости, объемной вязкости и возбуждения колебательной степени свободы молекул, возрастание которых вызывает увеличение диссипации энергии возмущений. Вместе с тем видно, что допустимые возбуждения колебательной мод молекул приводит к существенно большему диссипативному эффекту по сравнению с
возможным вкладом объемной вязкости. Относительная доля последнего не превышает 15 %. Это позволяет рассматривать принудительную накачку колебательных степеней свободы молекул в качестве реального способа управления течениями молекулярных газов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Диссипация волн Кельвина – Гельмгольца
79
Заключение
Выполнено численное моделирование нелинейного развития дозвуковых вихревых возмущений в эволюционирующем во времени сдвиговом слое колебательно возбужденного газа. Диапазон параметров течения, в частности отношения коэффициентов объемной и сдвиговой вязкостей α1 и параметра неравновесности
колебательной моды ξ, соответствовал реально достижимым значениям для двухатомных газов. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.
Релаксация неравновесной колебательной моды при уровнях возбуждения, которые можно получить в двухатомных газах при течениях в соплах, недорасширенных струях или умеренной лазерной накачке, сопровождается заметным подавлением вихревых возмущений. Вызванное ей относительное увеличение диссипации кинетической энергии крупной вихревой структуры, осредненное по
времени ее «жизни», в отсутствие объемной вязкости достигает примерно 13 %.
Этот фактор может существенно повлиять на тягу сопел реактивных двигателей,
сопротивление тракта газодинамических лазеров и т.п.
Допустимые возбуждения колебательной моды в пределах 1 ≤ ξ ≤ 3 приводят к
существенно большему диссипативному эффекту по сравнению с возможным
вкладом объемной вязкости при α1 ≤ 2 .
В заключение авторы выражают благодарность профессору Ю.Н. Григорьеву
за постоянное внимание к работе и обсуждение ее результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Зырянов К.В. Численное моделирование волн КельвинаГельмгольца в слабо неравновесном молекулярном газе // Вычисл. технологии. 2008.
Т. 13. № 5. С. 25−40.
2. Жданов В.М. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах / В.М. Жданов,
М.Е. Алиевский. М.: Наука, 1989. 335с.
3. Нагнибеда Е.А. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов / Е.А. Нагнибеда, Е.В. Кустова. СПб.: Изд-во С.-Петербурского ун-та, 2003. 272 с.
4. Осипов А.И., Уваров А.В. Кинетические и газокинетические процессы в неравновесной
молекулярной физике // УФН. 1992. Т. 162. № 11. С. 1−42.
5. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Влияние колебательной релаксации на пульсационную активность в течениях возбужденного двухатомного газа // ПМТФ. 2004.
Т. 45. № 3. С. 15−23.
6. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений колебательно возбужденных газов.
Энергетический подход // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4 (3). С. 735–737.
7. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость невязкого сдвигового течения колебательно возбужденного двухатомного газа // ПММ. 2011. Т. 45. Вып. 4. С. 581−593.
8. Ковеня В.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики / В.М. Ковеня, Н.Н.
Яненко. Новосибирск: Наука, 1981. 320 с.
9. Patnaik P.C., Sherman F.S., Corcos G.M. A numerical simulation of Kelvin-Helmholtz
waves of finite amplitude // J. Fluid Mech. 1976. V. 73. Part 2. P. 215−239.
10. Винниченко Н.А., Никитин Н.В., Уваров А.В. Вихревая дорожка Кармана в колебательно-неравновесном газе // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 107−114.
11. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Подавление вихревых возмущений релаксационным процессом в течениях возбужденного молекулярного газа // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 4.
С. 22−34.
Статья поступила 06.10.2011 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80
И.В. Ершов, К.И. Зырянов
Ershov I.V., Zyryanov K.I. DISSIPATION OF KELVIN-HELMHOLTZ WAVES IN VIBRATIONAL NON-EQUILIBRIUM DIATOMIC GAS. On the basis of the equations of twotemperature aerodynamics, the influence of vibrational relaxation on suppression of the KelvinHelmholtz instability in a developing in time shift layer of vibrational non-equilibrium diatomic
gas is numerically investigated.
Keywords: Kelvin-Helmholtz instability, vibrational relaxation, kinetic energy of the disturbances, dissipation.
ERSHOV Igor Valer’evich (Novosibirsk State University of Civil Engineering)
E-mail: i_ershov@ngs.ru
ZYRYANOV Kirill Igorevich (Novosibirsk State University of Civil Engineering)
E-mail: k-zyryanov@ngs.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 544.733.422:519.87
О.Б. Кудряшова, Б.И. Ворожцов, А.А. Антонникова
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ
ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ ПО РАЗМЕРАМ С УЧЕТОМ
ПРОЦЕССОВ КОАГУЛЯЦИИ, ИСПАРЕНИЯ И ОСАЖДЕНИЯ
Математическая модель основана на уравнении Смолуховского, описывающем динамику изменения функции распределения частиц жидкокапельных
аэрозолей по размерам с учетом испарения и осаждения. Применяя теорию
размерностей, удалось получить критерии, характеризующие относительную эффективность процессов коагуляции и испарения. Проведен параметрический анализ уравнений в безразмерном виде. Представлены результаты
экспериментального исследования дисперсных параметров аэрозоля.
Ключевые слова: коагуляция аэрозоля, испарение капель, функция распределения частиц по размерам.
Несмотря на то, что эволюция аэрозольных облаков исследовалась уже много
десятилетий, полного понимания процессов, происходящих в жидкокапельном
аэрозоле, до сих пор нет. Особенно сложными нам представляются вопросы, связанные с описанием кинетики субмикронных облаков: необходимо взаимосвязано
учитывать быстрое испарение капель, связанное с кривизной их поверхности,
процессы осаждения и коагуляции. Предложенная в работе физико-математическая модель позволяет учесть эти процессы и получить представление об изменении дисперсных параметров аэрозоля в зависимости от времени. Это представляет не только теоретический интерес, но является важным при разработке практических приложений, например в области экологии (нейтрализация вредных выбросов, адсорбция токсичных веществ, дезинфекция помещений).
В атмосфере присутствует аэрозоль многомодальной структуры с характерными размерами от долей до десятков и сотен микрон [1]. В модельном аэрозоле,
полученном в лабораторных условиях, распределение частиц по размерам можно
считать одномодальным и соответствующим гамма-распределению
f ( D ) = aD α exp ( −bD ) ,
(1)
где D – диаметр частицы, b, α – параметры распределения, a – нормировочный
коэффициент.
Рассмотрим трансформацию распределения частиц по размерам с течением
времени. Следуя [1, 2], запишем балансовое уравнение (интегральный вариант
уравнения Смолуховского), описывающее изменение со временем функции распределения частиц по размерам в предположении пространственной однородности облака частиц:
∂f ( D, t )
= I1 + I 2 + I 3 ,
(2)
∂t
где I1 описывает убыль капель с диаметром D за единицу времени в единице объема за счет столкновения капли диаметра D с любой каплей диаметра D':
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.Б. Кудряшова, Б.И. Ворожцов, А.А. Антонникова
82
∞
I1 = − f ( D, t ) ∫ K ( D, D ′) f ( D′, t )dD′ ,
(3)
0
где K(D,D′) – вероятность столкновения капель с диаметрами D и D' в единицу
времени. Примем вероятность столкновения частиц пропорциональной их массам: K ( D, D ′) = bk ( D3 + D ′3 ) .
Член I2 описывает возникновение частиц диаметра D за счет столкновения капель с диаметрами D' и D − D ′ :
D
I2 =
1
K ( D − D ′, D ′) f ( D′, t ) f ( D − D′, t )dD ′ .
2 ∫0
При этом сделаны следующие предположения:
- облако частиц пространственно однородно;
- существенными являются эффекты столкновения частиц; при этом учитываются только парные столкновения (параметр «упаковки», то есть отношение объема всех частиц к занимаемому им объему воздуха много меньше единицы), каждое столкновение приводит к слиянию частиц;
- явлениями ультразвуковой, турбулентной, электростатической коагуляции
пренебрегаем.
Уравнение (2) описывает коагуляцию в аэрозольном облаке как твердофазных,
так и жидкокапельных частиц в классической постановке с членом I3, отвечающим за сток (источник) частиц. Для жидкокапельных субмикронных аэрозолей
существенным стоком в данном уравнении будет являться уменьшение массы капель за счет их испарения.
Учет испарения и осаждения частиц
Уравнение Максвелла описывает скорость испарения капли за счет кривизны
ее поверхности и имеет вид
dm 2πD f M ( pdrop − p pl )
,
(4)
=
dt
RT
где m – масса капли; Df – коэффициент диффузии; М – молекулярный вес жидкой
капли; R – универсальная газовая постоянная; T – абсолютная температура; pdrop и
ppl – парциальное давление над каплей и плоской поверхностью.
Член I3 описывает уменьшение массы частиц за счет их испарения и определяется уравнением Максвелла, продифференцированном по массе частицы:
∂ ⎛ dm
∂ ⎡ 2πD f M ( pdrop − ppl ) f ( D) ⎤
I3 =
f ( D) ⎞⎟ =
⎜
⎢
⎥.
∂m ⎝ dt
RT
⎠ ∂m ⎣
⎦
4σM
, где σ – поρ w RTD
верхностное натяжение; ρw – плотность жидкости, выражая массу частицы через
ее диаметр, получим
Учитывая формулу Томсона (Кельвина) ln ( pdrop / ppl ) =
I3 =
⎛
⎛ 4σM ⎞ ⎞ f ( D) ⎤
∂ ⎡
4πD f Mppl ⎜ exp ⎜
⎟ − 1⎟
⎢
⎥.
∂D ⎣
⎝
⎝ ρ w RTD ⎠ ⎠ RTDρ w ⎦
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математическая модель динамики функции распределения частиц
83
Начальные условия для уравнения (2): при t = t0 f (D,t0) = f0(D) – начальное
распределение частиц по размерам, имеющее вид (1).
При моделировании процессов седиментации в эволюции аэрозолей [2] обычно принято считать, что все частицы, масса которых превышает критическое значение, сразу выпадают в осадок и не принимают участие в коагуляции. На наш
взгляд, это неточно отражает физическую картину процесса, так как никакие частицы не выпадают в осадок мгновенно, а нас интересует именно динамика процесса, в том числе время осаждения. Поэтому необходимо учитывать зависимость
критического размера от времени. Эта зависимость будет определяться с помощью выражения для скорости осаждения
dh 2Gρ w D 2
,
=
dt
9η0
(5)
где h – высота расположения частицы над землей; G – ускорение свободного падения; η0 – кинематическая вязкость. Тогда в момент времени t все капли диаметром больше Dкр выпадут в осадок. Величина Dкр, как следует из уравнения (5), оп9η0 H
ределяется выражением Dкр =
, где H – высота облака. Уравнение (3) пе2Gρwt
репишется в виде
Dкр (t )
I1 = − f ( D, t )
∫
K ( D, D′) f ( D′, t )dD ′ .
0
Таким образом, спектр частиц на каждый момент времени t будет обрезан
справа за счет седиментации крупных частиц, причем постепенно эта граница будет смещаться в сторону все более малых частиц.
Преобразования уравнений к безразмерным переменным
Для приведения уравнения (2) к безразмерному виду необходимо выбрать характерные масштабы: диаметр и время. В качестве характерного диаметра выберем медианный: D0 = α/b. В качестве характерного времени, если рассматривать
только жидкокапельные аэрозоли, можно взять время испарения капли диаметра
D0, но для построения более общей модели, которая учитывает неиспаряемые
жидкости или твердофазные аэрозоли, предпочтительнее выбрать другое характерное время, а именно: время осаждения частицы диаметром D0. Итак, в качестве
масштаба по времени введем время жизни частицы диаметром D0 (за счет седи9η H
ментации) tl = 0 2 (дольше всего не выпадет в осадок частица диаметра D0,
2GD0
находящаяся в верхней точке облака на высоте H).
Обозначим безразмерный диаметр как x, а безразмерное время как θ . Тогда
t
D = D0x, f 0 ( x) = a1 x α e−αx , a1 = aD0α , θ = . Уравнение (2) в безразмерном виде
tl
запишется следующим образом:
df ( x,θ)
= I1 + I 2 + I 3 , при θ = 0 f ( x, 0) = f 0 ( x) ;
(6)
dθ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.Б. Кудряшова, Б.И. Ворожцов, А.А. Антонникова
84
xкр (θ)
I1 = − f ( x,θ)
∫
0
x
K ( x, x′) f ( x′,θ)dx′ , I 2 =
1
K ( x − x′, x′) f ( x′,θ) f ( x − x′,θ)dx′ ,
2 ∫0
9η0 H
1
, xкр (θ) =
.
2G
θ
Все частицы, для которых x > xкр в момент θ, выпадут в осадок.
K ( x, x′) = bk ( x3 + x '3 ) , bk = bk D04 tl = bk D02
⎛
⎛ 4σM ⎞ ⎞ f ( x,θ) ⎤ 1
∂ ⎡
⎢ 2πD f Mppl ⎜ exp ⎜
⎥ =
⎟ − 1⎟
2
∂x ⎣
⎝
⎝ ρ w RTD0 x ⎠ ⎠ RTD0 xρ w ⎦ tl
∂
⎛ Tо ⎞ − 1⎞ f ( x,θ) ⎤ ,
= −Ku ⎡⎛
⎜ exp ⎜
⎟ ⎟
⎢
∂x ⎣⎝
⎝ x ⎠ ⎠ x ⎦⎥
где безразмерный комплекс Ku, характеризующий отношение скорости испарения
к скорости седиментации, определяется как
9η0 HD f Mppl tl
Ku =
= ;
te
RT ρwGD04
I3 = −
te =
RTρ w D02
– время испарения плоской поверхности.
2 D f Mppl
Параметр, характеризующий испарение за счет кривизны поверхности,
4σM
To =
– логарифм отношения парциального давления над каплей диаметρw RTD0
ром D0 к парциальному давлению над плоской поверхностью.
Дифференцируя выражение для I3, получим
Ku ⎡ To
To ⎞ ⎛ f ( x,θ) ∂f ( x,θ) ⎞ ⎛
⎛ To ⎞ − 1⎞⎤ .
I3 =
exp ⎛⎜
−
⎟+⎜
⎟ ⎜ exp ⎜
⎟ ⎟
2
⎢
∂x ⎠ ⎝
x ⎣x
⎝ x ⎠ ⎝ x
⎝ x ⎠ ⎠⎦⎥
Введем диаметр xmin, такой, меньше которого на момент времени θ все капли
испарятся. Он определится из уравнения θ =
2
xmin
, которое получается
Ku(eTo / xmin − 1)
путем интегрирования уравнения Максвелла (4), с учетом уравнения Томсона, в
безразмерном виде. В спектре частиц в следующий момент времени опять появятся капли диаметра, меньше xmin за счет испарения более крупных капель, поэтому
обрезания спектра, как справа за счет седиментации, не будет. Знание этого диаметра поможет вычислить убыль массы капель за счет испарения. Суммарно
убыль массы частиц за счет испарения и седиментации на момент времени θ составит
θ ⎛ xmin (θ)
∞
⎞
(7)
∆m = ∫ ⎜ ∫ f ( x,θ)dx + ∫ f ( x,θ)dx ⎟ dθ .
⎜ 0
⎟
0⎝
xкр (θ)
⎠
Математическая модель в безразмерном виде (6), описывающая эволюцию аэрозоля, имеет следующие параметры: α , То, Ku, bk . Основной параметр для
жидкокапельных аэрозолей, определяющий соотношение процессов испарения и
седиментации, – Ku.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математическая модель динамики функции распределения частиц
85
Критерии подобия и их влияние на динамику аэрозольного облака.
Модельные расчеты и сравнение с экспериментом
Проведем оценку времени осаждения водяных капель разных размеров под
действием гравитации в воздухе (при нормальных условиях). Расчеты показывают, что быстро осаждаются лишь капли с радиусом более 1 мкм: для D=20 мкм
время осаждения составит 0,69 мин, а для D = 0,2 мкм – 116 ч. Таким образом, для
среднедисперсных аэрозолей осаждение следует учитывать, только если нас интересует время, измеряемое часами, а не минутами. Испарение же субмикронной
водяной капли происходит за доли секунды. При таких условиях критерий
Ku >> 1, Ku ~ 109…1011 . Но для других условий, например повышенной влажности капель трудноиспаряемых жидкостей, а также для грубодисперсных жидкокапельных аэрозолей, критерий Ku становится ~1. В этом случае процессы испарения и седиментации будут идти с одинаковой по порядку величины скоростью.
Дальнейшее уменьшение Ku говорит о преобладании скорости седиментации перед испарением; в пределе, например для твердофазных аэрозолей, Ku = 0 и испарения не происходит.
Параметр To показывает, насколько для данного физико-химического состава
капли скорость испарения зависит от кривизны поверхности. Для водяной капли
при нормальных условиях To~10–3. Другие параметры модели: α – параметр, характеризующий начальное распределение частиц по размерам; bk – скорость коагуляции. Скорость коагуляции может существенно меняться при специальных
воздействиях. Так, например, ультразвуковое воздействие на резонансных частотах увеличивает скорость коагуляции в десятки раз [3]. В этом случае вид функции вероятности столкновений K ( x, x′) будет другой и будет включать в себя параметры излучения.
Результаты проведенных расчетов с помощью модели (6) для случая отсутствия испарения (Ku=0) приведены на рис. 1 и 2. Параметры расчета: α = 1,
D0 = 1 мкм, tl = 1010 c, bk = 1 (рис. 1) и bk = 1000 (рис. 2). Как видно из расчетов,
ускорение процессов коагуляции приводит к существенному различию вида
функции распределения и количества осевшего аэрозоля: 5,5 % ⎯bk = 1 для и
0,13 % для ⎯bk = 1000.
f (x)
3
0,16
2
0,12
1
0,08
0,04
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4 х
Рис. 1. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),
при θ = 0,25 (2) и при θ = 0,5 (3) – расчет для⎯bk = 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.Б. Кудряшова, Б.И. Ворожцов, А.А. Антонникова
86
f (x)
3
0,3
0,2
2
0,1
1
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
2,8 х
Рис. 2. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),
при θ = 0,25 (2) и при θ = 0,5 (3) – расчет для⎯bk =1000
Результаты проведенных расчетов для случая преобладания испарения над
процессами коагуляции и осаждения (Ku>>1) приведены на рис. 3 и 4. Параметры
расчета: α = 1, D0 = 1 мкм, tl = 1010 c, bk =1000, To = 0,001, Ku = 1010 (рис. 3) и
Ku = 107 (рис. 4). Последняя кривая 3 на рис. 3 и 4 отражает функцию распределения при почти полном испарении аэрозоля: ∆m = 0,99. Как видно из рисунков,
функция распределения частиц по размерам в случае преобладания испарения не
претерпевает значительных изменений, за исключением области малых частиц
(x < 0,4). Доля малых частиц со временем быстро возрастает, а распределение
больших капель остается практически неизменным.
f (x)
3
0,08
2
0,04 1
0
0,2
1
1,8
2,6
3,4
4,2
х
Рис. 3. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),
при θ = 10−9 (2) и при θ = 1,5·10−9 (3) – расчет для Ku = 1010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математическая модель динамики функции распределения частиц
87
f (x)
3
0,2
0,1
2
1
0
0,2
0,6
1
1,4
1,8
х
Рис. 4. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),
при θ = 10−5 (2) и при θ = 2,5·10−5 (3) – расчет для Ku = 107
Расчеты для случая равноценности процессов испарения, коагуляции и осаждения (Ku = 1) отображены на рис. 5. Параметры расчета: α = 1, D0 = 1 мкм,
tl = 1E+6 c, bk = 1000, To = 0,001. Доля убыли массы аэрозоля за счет испарения и
осаждения, соответствующая кривой 3 (θ = 0,05), составляет ∆m = 0,0275. Сравнивая рис. 1, 2 и 5, можно заметить, что максимум функции распределения смещается со временем в сторону более малых частиц при ненулевом значении параметра Ku за счет испарения. Сравнивая рис. 3, 4 и 5, можно отметить, что процессы коагуляции и осаждения существенно изменяют со временем вид функции
распределения частиц по размерам в аэрозоле. Эту функцию уже нельзя описать с
помощью гамма-распределения. Кроме того, спектр обрезан в области крупных
частиц за счет осаждения, и точка обрезания спектра смещается со временем в область все более малых размеров.
f (x)
1
0,6
3
2
0,4
0,2
0
1,2
2,4
3,6
4,8
6
7,2
х
Рис. 5. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),
при θ = 0,025 (2) и при θ = 0,05 (3) – расчет для Ku = 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.Б. Кудряшова, Б.И. Ворожцов, А.А. Антонникова
88
Для проверки адекватности предложенной модели проведено сравнение с экспериментом. Измерения спектра размеров частиц проводилось с помощью модифицированного метода малоуглового рассеяния, основанного на поиске параметров функции распределения частиц по размерам путем решения серии прямых задач оптики аэрозолей [4]. Сущность метода заключается в определении спектра
размеров аэрозольных частиц по измеренной малоугловой индикатрисе рассеяния
путем сравнения ее с расчетными значениями. Установка позволяет определять
параметры гамма-распределения (в диапазоне 1–100 мкм), а также концентрацию
аэрозоля в заданном объеме.
Лазерный измерительный комплекс ЛИД-2М [4] состоит из излучателя, фотоприемного блока и блока регистрирующей аппаратуры. В качестве излучателя использовался гелий-неоновый лазер с длиной волны излучения 0,632 мкм. Установка
позволяет регистрировать излучения рассеяния в диапазоне углов Θ = 0−15°.
Для генерации аэрозоля использовался метод импульсного распыления [5]. Регистрация дисперсных характеристик аэрозоля производилась методом, описанным выше, в измерительном объеме 1 м3. В эксперименте распылялась вода.
Результаты экспериментальных измерений более наглядно можно представить
не счетной, а массовой функцией распределения частиц по размерам, которая связана со счетной соотношением g(D) = m/m10 f(D), где m10 – среднеарифметическая
∞
масса частиц: m10 = ∫ mf ( D) dD , m – масса частицы диаметром D. В безразмерном
0
виде g(x), где x = D/D0. Экспериментально измеренные в начальный момент
времени параметры распределения модельного аэрозоля: α = 0,38, b = 0,184.
Параметры расчета α = 0,38, D0 = 2,1 мкм, tl = 3,5·1010 c, bk = 1000, To = 0,0022,
Ku = 2,9·1010.
Результаты экспериментальных измерений и расчета массовой функции распределения частиц аэрозоля по размерам приведены на рис. 6. Как видно из сравнения кривых 2 и 3 (эксперимент) и 4 и 5 (расчет), пик распределения в экспериf (x)
3
2
0,2
5
0,1
0
1
4
2,8
9,7
14,5
19,4
х
Рис. 6. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени (1),
при t = 6 с (2 – эксперимент, 4 – расчет) и при t = 12 с (3 – эксперимент, 5 – расчет)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математическая модель динамики функции распределения частиц
89
менте и в расчете хорошо совпадает, но расчетные кривые более «размазаны» при
больших диаметрах. В целом, можно говорить о хорошем совпадении модельных
расчетов с экспериментальными данными. Отличия в форме кривых можно объяснить ограничениями математического аппарата метода измерений: решение
подбирается в виде гамма-распределения, в то время как такой вид функции распределения характерен для состояния равновесия; в процессе эволюции аэрозоля
вид функции распределения может искажаться.
Учитывая выражение для убыли массы частиц (7) в условиях преобладания
испарения над седиментацией (субмикронный модельный аэрозоль с приведенными выше параметрами функции гамма-распределения), выясним, какая массовая доля диспергированного аэрозоля испарится в первые секунды. Результаты
полученного расчета (кривая) и эксперимента (точки) динамики отношения изменение массы капель ∆m к начальной массе m0 приведены на рис. 7. Уже через 12 с
останется только 10 % от исходной массы аэрозоля, остальные 90 % массы жидкости испарятся. Это хорошо согласуется с данными эксперимента.
∆m/m0, %
80
60
40
20
0
1
3
5
7
9
11
13
t, c
Рис. 7. Относительня масса испарившегося аэрозоля в зависимости от времени
(точками показаны экспериментальные данные)
Выводы
Предложена модель эволюции жидкокапельного аэрозоля с учетом процессов
испарения и коагуляции в виде варианта интегрального уравнения Смолуховского
в безразмерном виде, со стоком (испарение) и обрезанием спектра (осаждение).
Получены безразмерные критерии, характеризующие особенности протекания
процессов. С помощью численных расчетов получено распределение частиц аэрозоля по размерам в зависимости от времени, проведены параметрические исследования.
Рассмотрены механизмы (испарение и коагуляция), влияющие на функцию распределения частиц аэрозоля по размерам. Установлено, что существует критическое
значение параметра Ku, при котором происходит переход от доминирующего влияния механизма испарения (Ku < 1) к коагуляции (Ku > 1). Представленные результаты сравнения экспериментальных и теоретических исследований свидетельствуют о физической адекватности предлагаемой математической модели.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90
О.Б. Кудряшова, Б.И. Ворожцов, А.А. Антонникова
ЛИТЕРАТУРА
1. Ивлев Л.С., Довгалюк Ю.А. Физика атмосферных аэрозольных систем. СПб.: НИИХ
СПбГУ, 1999. 194 с.
2. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. 284 с.
3. Khmelev V.N., Shalunov A.V., and Shalunova K.V. The acoustical coagulation of aerosols //
Intrnational Workshops and Tutorials on Electron Devices and Materials EDM'2008.
Novosibirsk, NSTU, 2008.
4. Kudryashova O.B., Akhmadeev I.R., Pavlenko A.A. et al. A method for measurement of disperse composition and concentration of aerosol particles // Proc. of ISMTII-2009 29 June – 2
July, 2009. In 4 V.; V. 2. Saint-Peterburg, 2009. P. 178−183.
5. Vorozhtsov B.I., Kudryashova O.B., Ishmatov A.N., et al. Explosion generation of microatomized liquid-drop aerosols and their evolution // J. Engineering Physics and Thermophysics.
V. 83. Nо. 6, Р. 1149−1169, DOI: 10.1007/s10891-010-0439-7. – http://www.springerlink.
com/content/l0403v156217098m/
Статья поступила 18.08.2011 г.
Kudryashova O.B., Vorozhtsov B.I.., Antonnikova A.A. A PHYSICO-MATHEMATICAL
MODEL OF DYNAMICS OF A PARTICLE SIZE DISTRIBUTION FUNCTION TAKING
INTO ACCOUNT PROCESSES OF COAGULATION, EVAPORATION, AND SEDIMENTATION. The mathematical model is based on the Smoluchowski equation describing the dynamics
of the change of the size distribution function for liquid-drop aerosol particles with allowance for
evaporation and sedimentation. Applying the theory of dimensions, it is possible to receive the
criteria characterizing the relative efficiency of coagulation and evaporation processes. The parametrical analysis of the equations in a dimensionless form is carried out. Results of the experimental research of disperse parameters of aerosol are presented.
Keywords: coagulation of aerosol, droplets evaporation, particle size distribution function.
KUDRYSHOVA Olga Borisovna (Institute for Problems of Chemical and Energetic Technologies,
Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences)
E-mail: olgakudr@inbox.ru
VOROZHTSOV Boris Ivanovich (Institute for Problems of Chemical and Energetic Technologies,
Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences)
E-mail: ipcet@mail.ru
ANTONNIKOVA Alexandra Alexandrovna (Institute for Problems of Chemical and Energetic
Technologies, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences)
E-mail: Antonnikova.A@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 531.534:536.245.022
Е.Л. Лобода, А.С. Якимов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ЗАЖИГАНИЯ ТОРФА1
Предложена новая постановка и численное решение задачи о зажигании
слоя торфа в результате действия очага низового пожара на базе математической модели пористой реагирующей среды. Получено, что зажигание исходного реагента определяется процессами сушки, пиролиза торфа, реакцией окисления оксида углерода и влагосодержанием.
Ключевые слова: торф, сушка, пиролиз, зажигание, вода.
Пожары на торфяниках наносят огромный ущерб окружающей среде и могут
приводить к техногенным катастрофам. Однако торфяные пожары изучены мало
по сравнению с обычными лесными пожарами ввиду отсутствия сведений о механизме зажигания и распространения горения в глубь слоя торфа, а также из-за недостатка надежных данных о теплофизических и термокинетических коэффициентах торфа.
В настоящее время нет эффективных способов борьбы с торфяными пожарами. Наиболее распространен способ снятия горящего слоя с использованием
бульдозеров и пожарных. Этот способ не является безопасным для противопожарной техники и обслуживающего персонала и одновременно ресурсоемкий. На
сегодняшний день одним из способов предотвращения торфяных пожаров в средней полосе России используется обводнение ранее осушенных болот. Это безусловно снижает пожарную опасность, но не исключает ее полностью для засушливой погоды. Поэтому основной научно-технической проблемой в теории торфяных пожаров является исследование предельных условий зажигания слоя торфа и
его потухания.
В работе [1] на основе наблюдения за реальными торфяными пожарами в Томской области предложена общая математическая модель лесных пожаров. Результаты экспериментальных исследований торфяных пожаров были опубликованы в
работах [2 – 4]. В дальнейшем на базе [1] был выполнен цикл работ по математическому моделированию торфяных пожаров [5, 6], которые подтвердили физические основы математической модели [1]. В статье [7] предложена уточненная математическая модель торфяных пожаров второго поколения, в рамках которой
учитываются двухтемпературность пористой среды, частицы пепла, сажи, дыма,
свободной воды и влияние многокомпонентности газовой фазы. В работе [8] дан
обзор исследований по торфяным пожарам. В [9] рассмотрен процесс зажигания
торфа в одномерной, однотемпературной постановке, а в [10] – проведено моделирование тления торфа над слоем воды в двухтемпературной и осесимметричной
постановках.
В данной работе на основе моделей [1, 7] с учетом экспериментальных данных
[11, 12] исследуется возникновение подземного пожара, когда трехмерный слой
торфа (рис. 1) зажигается сверху при помощи локализованного источника зажига1
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 11-01-00673-а, РФФИ № 10-0191054-НЦНИ-а, НОЦ- г/к № 02.740.11.0674.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.Л. Лобода, А.С. Якимов
92
ния, а фронт горения распространяется внутри пласта при различных внешних условиях и начальном влагосодержании торфа.
1. Постановка задачи
Будем считать, что пожар на торфянике возникает в результате зажигания от
наземного очага горения, действие которого на слой торфа моделируется температурой очага Te и коэффициентами тепло- и массообмена α e и βe . Рассматривается пространственная задача в параллелепипеде (рис. 1), где ось x3 направлена
вертикально вниз, а начало координат по оси x3 выбирается на границе раздела
слоя торфа и атмосферы. Предполагается, что торф − двухтемпературная среда,
т.е. газовая фаза и конденсированная фаза (каркас) имеют разные температуры.
b1
0
L1
a1
b2
x1
a2
Te
c
Г1
L2
Г4
x2
Г2
Г3
Г5
L3
x3
Г
Рис. 1. Схема теплообмена торфа с внешней средой
На основе анализа экспериментальных данных, представленных в [2, 11, 12], и
теоретических исследований [1, 7] считаем, что в результате зажигания торфа образуется фронт горения, который состоит из зон прогрева, сушки и пиролиза торфа, а также зон горения газообразных и конденсированных продуктов пиролиза с
последующим образованием слоя пепла.
В соответствии с результатами [1, 7] предполагается, что в самом слое торфа
осуществляются испарение связанной воды, экзотермическая реакция горения
коксика, а также гомогенные реакции пиролиза торфа, горение оксида углерода и
метана. Торф в процессе зажигания считается многофазной средой, состоящей из
сухого органического вещества с объемной долей ϕ1 , гигроскопической воды с
объемной долей ϕ2 , связанной с этим органическим веществом [7], продукта пиролиза органического вещества − коксика с объемной долей ϕ3 , а также конденсированных и газообразных продуктов горения (объемные доли ϕ4 и ϕ5 ). Считается, что газовая фаза в слое торфа состоит из шести компонентов: CO, H 2 O , O 2 ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моделирование процесса зажигания торфа
93
CO 2 , CH 4 и N 2 , массовые концентрации которых cα , где α = 1 − 6 соответственно. Рассматривается такой слой торфа, у которого начальная объемная доля
газовой фазы ϕ5н (0,05 ≤ ϕ5н < 0,3) невелика по сравнению с объемными долями
конденсированной фазы. Эта математическая модель представляет частный случай модели, предложенной в [7].
Математически сформулированная выше задача с учетом сделанных допущений сводится к решению следующей системы уравнений [1, 7]:
∂ρ5 ϕ5
+ div(ρ5 ϕ5W ) = Q ;
(1)
∂t
μ
grad P = − W ;
(2)
ξ
4
∑ cis ρis ϕi
i =1i
ρ5 ϕ5 c p 5
4
∂T1
= div(λs grad T1 ) + Av (T2 − T1 ) + ∑ qis Ris ;
∂t
i =1
N
dT2
= div(λ 5 ϕ5 grad T2 ) + ρ5 ϕ5 grad T2 ∑ cpα Dα grad cα +
dt
α=1
+ Av (T1 − T2 ) + c1s (T1 − T2 )(1 − α c ) R1s + c2s (T1 − T2 ) R2s + q1r1 + q2 r2 ;
ρ5 ϕ5
dcα
= div(ρ5 ϕ5 Dα grad cα ) − cα Q + Rα , α = 1,..., N − 1 ;
dt
∂ϕ1
∂ϕ 2
ρ 1s
= − R 1s , ρ 2s
= − R 2s ,
∂t
∂t
ρ 3s
N
∂ ϕ3
∂ ϕ4
= α c R1s − R3s − α 4 R3s , ρ4s
= R4s ;
∂t
∂t
∑ cα = 1,
α=1
(3)
4
ϕ5 = 1 − ∑ ϕi , M −1 =
i =1
N
c
∑ Mα
α =1
, P=
α
ρ5 RT2
.
M
(4)
(5)
(6)
(7)
Для решения системы уравнений (1) − (6) были использованы следующие начальные и граничные условия:
Ti t = 0 = Tн , i = 1, 2, cα t =0 = cα н , α = 1, 2, …, N −1,
ρ5
t =0 =
ρ5н , ϕi
t =0 =
ϕi н , i = 1,..., 4 ;
(8)
балансовые граничные условия [13]:
(1 − ϕ5 )α e (Te − T1,Г1 ) = λ s
(1 − ϕ5 )α ai (Te − T1,Г1 ) = λ s
∂T1
∂x3
Г1
ϕ5 α e (Te − T2,Г1 ) = λ 5 ϕ5
ϕ5 α ai (Te − T2,Г1 ) = λ 5 ϕ5
∂T2
∂x3
∂T1
∂x3
, ai ≤ xi ≤ bi , i = 1, 2, x3 = 0 ,
, 0 ≤ xi < ai , bi < xi ≤ Li , i = 1, 2, x3 = 0 ,
∂T2
∂x3
Г1
Г1
Г1
, ai ≤ xi ≤ bi , i = 1, 2, x3 = 0 ,
, 0 ≤ xi < ai , bi < xi ≤ Li , i = 1, 2, x3 = 0 .
(9)
Так как тепловая волна за время зажигания не доходит до границы Г, то имеем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.Л. Лобода, А.С. Якимов
94
при x3 = L3 начальные условия
Ti
Г
= Tн , i = 1, 2 ;
(10)
на гранях Г m ( m = 2 − 5 ) задается теплообмен по закону Ньютона при 0 < x3 < L3 :
λs
∂T1
∂x1
Гm
= α Гm (T1,Гm − Tн ) , λ 5 ϕ5
∂T2
∂x1
Гm
= α Гm (T2,Гm − Tн ) , m = 2,3 ,
0 ≤ xi ≤ Li , i = 2,3 , α Гm = α н (1 − 0,9 x3 ) , m = 2 − 5 ,
λ 5 ϕ5
∂T2
∂x2
Гm
= α Гm (T2,Гm − Tн ) , m = 4,5 , 0 ≤ xi ≤ Li , i = 1,3 .
(11)
Используя аналогию процессов тепло- и массообмена [14] ( βe = α e / c p 5 ), имеем граничные условия
βe (cα ,e − cα ,w ) = ρ5 ρ5 Dα
β Li (cα ,ai − cα ,w ) = ϕ5 ρ5 Dα
∂cα
∂x3
Г1
∂cα
∂x3
Г1
, ϕ5 , i = 1, 2, x3 = 0 ,
, 0 ≤ xi < ai , bi < xi ≤ Li , i = 1, 2, x3 = 0 ,
βГm (cα,н − cα ,Гm ) = ϕ5 ρ5 Dα
∂cα
∂x1
Гm
, m = 2,3 , 0 ≤ x2 ≤ L2 , 0 < x3 < L3 ,
βГm (cα,н − cα ,Гm ) = ϕ5 ρ5 Dα
∂cα
∂x2
Гm
, m = 4,5 , 0 ≤ x1 ≤ L1 , 0 < x3 < L3 ; (12)
P
Г1
= Pe ,
∂cα
∂x3
Г
=0,
∂P
∂x3
Г
= 0,
∂P
∂xi
Гm
= 0 , i = 1, 2 , m = 2 − 5 .
(13)
Здесь и ниже a1 – расстояние от оси x1 = 0 до начала очага наземного горения;
a2 – расстояние от оси x2 = 0 до начала очага наземного горения; As – коэффициент аккомодации; Av – объемный коэффициент теплообмена между газовой и
конденсированной фазой; b1 – расстояние от оси x1 = 0 до конца очага наземного
горения; b2 – расстояние от оси x2 = 0 до конца очага наземного горения; c∗ –
расстояние от x1 = 0 , x2 = 0 до центра очага наземного горения; c p – коэффициент удельной теплоемкости при постоянном давлении; cα , α = 1, 2, …, N , – массовая концентрация компонентов; Г m , m = 1 − 5 , – грани параллелепипеда на
рис. 1; d p – диаметр цилиндрических пор; D – коэффициент диффузии;
Ei , i = 1, 2 , Eis , i = 1, 2,3 , – энергии активации гомогенных реакций окисления (14)
и реакций в конденсированной фазе R 1s , R 2s , R3s , R 4s из (6), (15), (16);
hxi , i = 1, 2,3 , – опорные шаги разностной схемы по пространственным координа-
там; k – постоянная Больцмана; ki , i = 1, 2, kis , i = 1 − 4 , – предэкспоненты реакций окисления и реакций в конденсированной фазе R 1s , R 2s , R3s , R 4s ; М –
молекулярный вес; Li , i = 1, 2,3 , – длины сторон параллелепипеда на рис. 1; P –
давление газа в порах; qi , i = 1, 2, – тепловые эффекты реакций окисления (14);
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моделирование процесса зажигания торфа
95
qis , i = 1 − 4 , – тепловые эффекты реакций R 1s , R 2s , R3s , R 4s ; r1 и r2 − мо-
лярно-объемные скорости окисления оксида углерода и метана; R – универсальная газовая постоянная; R 1s – массовая скорость разложения сухого реагента
(торфа); R 2s – массовая скорость испарения связанной воды в торфе; R3s – массовая скорость горения коксика; R 4s – массовая скорость образования золы;
Ri , i = 1, 5 , – массовая скорость образования и исчезновения компонент газовой
фазы в уравнении диффузии (5); s2 – удельная поверхность испарения воды; s3 –
удельная поверхность реагирования углерода; t – время; T1 – температура каркаса
торфа; T2 – температура газовой фазы в порах торфа; T* – температура тления
торфа; T1w – температура поверхности каркаса торфа; W − вектор скорости
фильтрации; x j = c j M / M j , j = 1, …, 5, – молярная концентрация; правая часть
третьего уравнения (6) характеризует массовую скорость образования и исчезновения коксика; α e – коэффициент теплообмена; yi = ρci / M , i = 1, 2, – молярнообъемная концентрация; α c – доля кокса в ходе реакции пиролиза торфа;
βe – коэффициент массообмена; ε j ,α – потенциальная энергия взаимодействия
молекул; ηi , i = 1 − 4 , – безразмерные параметры; λ – коэффициент теплопроводности;
ξ=
μн (T2 / Tн )0,5
ξ*ϕ35
– коэффициент динамической вязкости смеси газов;
2
/(1 − ϕ5 ) – функция, описывающая влияние объемной доли газа на со-
противление; ξ* = d p2 /120 – характерная проницаемость; α 4 = ν4 М4s /ν3 М3s –
приведенный стехеометрический коэффициент [10]; ρ – плотность; ρ5 – плотность газовой фазы; σi , j – сечения взаимодействия молекул; ϕi , i = 1 − 4 , – безразмерные объемные доли; ϕ5 – объемная доля газовой фазы, определяемая второй формулой из (7); ω1 – линейная скорость тления на поверхности торфа при
x3 = 0 , x2 = c∗ ; ω3 – линейная скорость тления в глубь торфа при x1 = x2 = c∗ .
Индексы: ai , i = 1, 2 , – длины, указанные на рис. 1; w – нагреваемая сторона поверхности торфа при x3 = 0 ; 1 – каркас торфа, 2 – газовая фаза в пористом реагенте, s – конденсированная фаза; e – внешняя среда; * – характерная величина; с
– кокс; н – начальное значение; 1,…, 6 – в газовой фазе соответствуют оксиду углерода, парам воды, кислороду, диоксиду углерода, метану, азоту; 1s,…, 4s – в
конденсированной фазе – торф, связанная вода, кокс, зола; р – пора, v − объем.
2. Коэффициенты переноса, теплофизические
и термокинетические постоянные
Итоговые гомогенные химические реакции в проницаемом слое торфа [1, 15]
представлены в следующем виде:
1
CO + O 2 = CO 2 , CH 4 + 2 O 2 = CO 2 + 2 H 2 O
(14)
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.Л. Лобода, А.С. Якимов
96
Уравнения химической кинетики для реакций окисления оксида углерода и
метана имеют вид [16]
dy1
dy
E
E
P
= − k1 x1 x30,25T2−2,25 exp (− 1 ) = r1 , 2 = − k2 x5−0.5 x31.5
exp (− 2 ) = r2 .
dt
dt
T2
RT2
RT2
Для описания испарения связанной воды в многофазной среде − торфе – используется аналог закона Герца − Кнудсена [1, 15]
s M A ϕ [k exp(− E2s / RT1 ) − P2 ]
.
(15)
R2s = 2 2 s 2 2s
(2πRT1M 2 )0,5
Для нахождения парциального давления паров воды в слое торфа P2 используется закон Дальтона [1, 15], согласно которому P2/P = x2 . Тогда для P2 имеем выражение
M
.
P2 = P c2
M2
Эффективный коэффициент диффузии берется по формуле Фристрома − Вестенберга [14, 17]
⎛ N
xj
⎜
Dα = (1 − cα) ⎜ ∑
⎜ j =1 dα, j
⎝ j ≠α
−1
⎞
[( M α + M j ) /( M α M j )]0,5 T21,67
⎟
−7
,
=
1,66⋅
10
.
d
α, j
⎟
Pσ2j ,α (ε j ,α / kT2 )0,17
⎟
⎠
Формула для коэффициентов теплопроводности компонента газовой фазы λ j ,
j = 1, 2, …, N, взята из [18]:
N
λ 5 = ∑ λ i ci , λ j = λ 0j (0,115 + 0,354
i =1
cp5 =
cp, j
R
), λ i0 = 8,32 ⋅10−2
N
4
j =1
i=1
M i−0,5T20,647
2
σi (εi / kT2 )0,147
,
∑ cp, j c j , λs = ∑ λi s ϕi .
Коэффициенты удельной теплоемкости компонента газовой фазы
cp, j = a j + b j T2 + c j / T22 брались из [19], а значения величин λis в конденсированной фазе приведены в [1, 14].
Выражения для R1 − R5 , Q, R1s − R4s , α c , η1 − η4 в уравнениях (1), (3), (4),
(6), (7) имеют вид [9, 10]
R1 = η1 R1s − M1r1 , R2 = η2 R1s − R2 s + 2 M 2 r2 , R3 = η3 R3s − M 3 r1 / 2 −
⎛ E ⎞
− 2M3 r2 , R4 = M4( r1 + r2 ), R5 = η4 R1s − M5 r2 , R1s = k1s ρ1s ϕ1 exp ⎜ − 1s ⎟ ,
⎝ RT1 ⎠
R3s =
Mc
⎛ E ⎞
s3 k3s ϕ5ρ5 ϕ3c3 exp ⎜ − 3s ⎟ , Q = (1 − α c ) R1s + R2s + R3s ,
M3
⎝ RT1 ⎠
R4s = α 4 R3s , α c =
М
М
Mc
М
М
, η1 = 1 , η2 = 2 , η3 = 3 , η4 = 5 .
Мн
Mн − Mc
Мн
Мc
Мн
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моделирование процесса зажигания торфа
97
3. Методика расчета и исходные данные
Система уравнений (1) − (6) с краевыми условиями (8) − (13) решалась итерационно-интерполяционным методом [20]. Для варианта ϕ1н = 0,7, ϕ2н = 0,2,
c3н = 0,23, Te = 1200 К, α e = 2 Вт/( К ⋅ м 2 ) ,
4
∑ ρi s ϕi н
= 925 кг/ м3 , ρ1s = 750 кг/ м3
i=1
и входных данных из этого раздела была проделана процедура тестирования численного метода. При численной реализации математической модели использовалась последовательность сгущающихся сеток по пространству: hx3 = 2,5⋅ 10−3 м,
hx2 = 10−2 м, hx1 = 10−2 м и бралось hi = 2hxi , ρ1s , hi = hxi / 4 , hi = hxi / 8 , i = 1, 2, 3.
Фиксировали следующие параметры: время зажигания L2 = 0,5 торфа, когда
температура поверхности реагента T2 w (газа) достигает 1050 К, значение температуры торфа (каркаса, газа) на поверхности и глубине в различные моменты времени, а также среднее значение скорости тления торфа от времени. При этом шаг
по времени был переменным и вырабатывался автоматически по заданной точности, одинаковой для всех сеток по пространству.
Погрешность времени зажигания t* падала: L1 = 15 %, ε 2 = 8,4 %, ε3 = 3,7 %.
Тенденция уменьшения погрешности по температуре торфа (каркаса, газа) сохраняется: ε1 = 7,2 %, ε 2 = 2,4 %, ε3 = 1,1 %. Расхождение результатов по средней
скорости тления также снижалось: ε1 = 18,5 %, ε 2 = 10,4 %, ε3 = 5,6 %.
Линейная скорость поверхности тления торфа определялась по формуле
(∆x3 )* x3( k ) − x3( k −1)
(∆x1 )* x1( j ) − x1( j −1)
ω3 =
=
=
, ω1 =
.
(∆t )*
(∆t )*
t*( k ) − t*( k −1)
t*( j ) − t*( j −1)
(17)
В равенствах (17) t*( k ) и t*( k −1) − время достижения температуры тления T*
при x3 = x3( k ) и x3 = x3( k −1) , где k − текущий, а (k−1) − предыдущий слой по x3 ,
при этом ω3 = ω3 ( x1 = x2 = c∗ ) , ω1 = ω1 ( x2 = c∗ , x3 = 0) . Аналогично определяются t*( j ) и t*( j −1) по оси x1 . Для теплофизических и термокинетических параметров
торфа использовались данные работ [1 − 3, 9, 14, 15, 21]. Теплофизические характеристики воды и водяного пара брались из [22]. Приведенные ниже результаты
получены при Tн = 293 К, T* = 650 К, ω* = 5 ⋅10−6 м/с, Pe = Рн = 1,013⋅ 105 Н/ м 2 ,
μн = 1,81⋅10−5 кг/(м⋅с), α ai = 1,0 Вт/((К·м2), Av = 104 Вт/((м3·К), α н = 1,0 Вт/(К·м2),
М1 = 28 кг/кмоль, М2 = 18 кг/ кмоль, М3 = 32 кг/кмоль, М4 = 44 кг/кмоль,
М5 = 16 кг/кмоль, М6 = 28 кг/кмоль, Мс = 12 кг/кмоль, L3 = 0,5 м, L1 = L2 = 0,5 м,
ρ1s = 750 − 1200 кг/ м3 , ρ2s = 2⋅ 103 кг/ м3 , ρ3s = 130 кг/ м3 , ρ4s = 130 кг/ м3 ,
c1s = 1,29⋅ 103 Дж/(кг⋅К), c2s = 2,09⋅ 103 Дж/(кг⋅К), c3s = 1,02⋅ 103 Дж/(кг⋅К),
c4s = 1,02⋅ 103 Дж/(кг⋅К), dp = 10−6 м, R = 8,314 Дж/ (моль⋅К), λ1s = 1,67⋅Вт/(м·К),
λ 2s = 0,6 Вт/(м·К),
λ 3s = 0,041 Вт/(м·К),
λ 4s = 0,041 Вт/(м·К),
As = 0,08,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.Л. Лобода, А.С. Якимов
98
k1s = 2⋅104 с−1, Е1s = 54,47 кДж/ моль, q1s = − 103 Дж/кг, k2s = 106 c −1 , Е2s =
= 16,76 кДж/моль, q2s = 1,06⋅106 Дж/кг, k3s = 105 м/c, Е3s = 50,28 кДж/ моль,
q3s = 2,81⋅ 105 Дж/кг, ρ1s = 2,85⋅ 105 Дж/кг, a1 = a2 = 0,2 м, b1 = b2 = 0,312 м,
с = 0,25 м, c1н = 0,1, c2н = 5⋅ 10−5 , c3н = 0,05 − 0,23, c4н = 10−5 , c5н = 0,2,
cα ,е = cα,н , α = 1, 2, 4, 5, c3e = 10−3 , ϕ1н = 0,65 − 0,7, ϕ2н = 0,05 − 0,2, ϕ3н = 10−3 ,
ϕ4н = 10−5 , s2 = 0,08, s3 = 0,05, α 4 = 0,7, η1 = 0,2, η2 = 0,02, η4 = 0,3.
4. Результаты численного решения и их анализ
Сначала исследовался режим зажигания слоя торфа при его различном влагосодержании. Время зажигания торфяного пожара − величина t = t* , при которой
для T2 w ≥ T* скорость тления ω3 равна или превышает характерную величину
ω* , а температура поверхности реагента резко возрастает до T2 w = 1050 К. Для
определенности полагалось, что величина температуры T* = 650 К и скорости
тления ω* = 5 ⋅10−6 м/с известны из экспериментальных данных [2]. Промежуточный режим, когда скорость тления на порядок больше скорости пиролиза, наблюдался при ω3 < ω* по глубине торфа. Режим отсутствия зажигания реагента, при
котором его скорость сравнима со скоростью пиролиза торфа, возникал при
T2 w < T* .
В экспериментальных исследованиях по горению торфа [11, 12] часто используют определение зольности [21, 23]: z = mc / mн , mc − масса сгоревшего остатка
образца торфа, mн − начальная масса образца торфа. Для нахождения влагосодержания w в [23] приведена связь между плотностями сухого торфа, воды и
зольности:
ϕ ρ
w = 2н 2 s .
ρ1s (1 − z )
В таблице приведено время зажигания (при котором температура поверхности
газовой фазы достигает T2 w = 1050 К) реагента при различных ρ1s , ϕ1н , ϕ2н , w, z
для Te = 1200 К, α e = 2 Вт/( К ⋅ м 2 ), c3н = 0,23, значения плотности конденсированной фазы
4
∑ ρi s ϕi н
= 925 кг/м3 и входных данных из разд. 3. Как видно из таб-
i=1
лицы, с увеличением количества влаги и уменьшением плотности торфа ρ1s (ростом рыхлости образца) время зажигания увеличивается. Это связано как с превышением теплоотвода за счет испарения влаги над теплоприходом от экзотермической реакции окисления оксида углерода, так и с возрастанием в порах воздуха (за
счет уменьшения зольности торфа), который снижает эффективный коэффициент
теплопроводности и увеличивает время прогрева образцов. Этот результат качественно согласуется с экспериментальными данными [11].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моделирование процесса зажигания торфа
99
Время зажигания образцов торфа
ρ1s , кг/м
3
1180
1040
893
750
653
ϕ1н
ϕ2н
0,7
0,7
0,7
0,7
0,65
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
z
0,64
0,57
0,48
0,4
0,33
( t* , ч)
w
0,24
0,45
0,64
0,88
1,18
6,42
7,9
9,2
10,44
13,68
На рис. 2 дано распределение температур поверхности каркаса T1w и газа T2 w
(сплошные и штриховые кривые соответственно) от продольной переменной x1
при x2 = c* в различные моменты времени: 1 − 6 ч, 2 − 9,78 ч, 3 − 10,22 ч, 4 −
10,44 ч, при ϕ1н = 0,7, ϕ2н = 0,2, c3н = 0,23, ρ1s = 750 кг/м3,
4
∑ ρi s ϕi н
= 925 кг/м3,
i=1
Te = 1200 К, α e = 2,0 Вт/( К ⋅ м 2 ) и входных данных из разд. 3, а на рис. 3 изобра-
жено распределение температуры конденсированной фазы по глубине слоя x3
при x1 = x2 = c* (см. рис. 1) для входных данных из рис. 2. Видно, что до момента
t < 10,22 ч времени зажигания (режиму зажигания t = t∗ отвечает кривая 3,
имеющая выпуклость вверх на рис. 3) температуры газа и каркаса торфа практически совпадают. Затем при t ≥ t∗ в результате тепловыделения от экзотермической реакции окисления оксида углерода (14) температура газовой фазы T2 w превышает температуру каркаса T1w . Добавим, что в силу пространственного теплообмена (краевых эффектов) очага горения и столба торфа под ним с окружающей
относительно «холодной» средой 0 ≤ xi < ai , bi < xi ≤ Li , i = 1, 2 (см. рис. 1) температура торфа резко падает на границах xi = ai , xi = bi , i = 1, 2.
Tiw, К
T1, К
4
900
900
4
700
600
2
500
1
300
0,2
3
3
2
0,225
0,25
0,275 x1, м
300
Рис. 2. Зависимость температуры поверхности торфа: каркаса T1w , К и газа T2w , К по
координате x1, м при x2 = c* в различные
моменты времени t, ч: 1 − 6, 2 − 9,78, 3 −
10,22, 4 − 10,44
1
0
1
2
3
4 x3⋅102, м
Рис. 3. Распределение температуры каркаса
T1, К от глубины слоя x3, м в различные моменты времени t, ч: 1 − 6, 2 − 9,78, 3 − 10,22,
4 − 10,44. Прямая линия – изотерма
T1 = 650 К
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.Л. Лобода, А.С. Якимов
100
На рис. 4 представлены объемные доли компонентов пористой среды на поверхности x3 = 0 (кривые 1) и в глубине слоя x3 = 0.02 м (кривые 2) для исходного реагента ϕ1 (сплошные кривые), связанной воды в жидко-капельном состоянии ϕ2 , (штриховые кривые), кокса ϕ3 (штрихпунктирные кривые), золы ϕ4
(штриховые кривые с двумя точками) от температуры каркаса при t = 10,22 ч, а на
рис. 5 при t = 10,44 ч. Обозначения на рис. 4 и 5 совпадают.
ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4
ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4
0,6
0,6
0,4
0,4
1
2
0,2
1
0,2
2
1
0
300
2
1
1–2
400
1–2
1
500
600
T, К
Рис. 4. Зависимость объемных долей торфа,
воды, кокса, золы от температуры каркаса
T1 , К при t = 10,22 ч.
0
300
2
1
400
2
500
600
T, К
Рис. 5. Зависимость объемных долей торфа,
воды, кокса, золы от температуры каркаса
T1 , К при t = 10,44 ч.
Из результатов статьи [10] и анализа численного решения задачи следует, что
с ростом температуры проницаемого фрагмента среды сначала наблюдается прогрев и испарение связанной воды, при этом объемная доля связанной воды при
T1 ≥ 373 К исчезает, превращаясь в концентрацию паров H 2 O [10]. Из рис. 4
видно, что с ростом температуры начинается процесс пиролиза, исчезновение исходного вещества и образование коксика, а в области высокой температуры
T1 > 380 К пиролиз исходного реагента сопровождается появлением основной
массы паров воды и кокса [10]. Далее продукт пиролиза − кокс при T1 > 550 К начинает выгорать (тлеть) в глубь фрагмента пористой среды с образованием золы в
результате экзотермической реакции окисления. Из-за контакта с холодными нижележащими слоями проницаемой среды процесс тепломасссообмена на глубине
x3 = 0, 02 м происходит медленнее (см. на рис. 4 и 5 кривые 2).
Для входных данных рис. 2 средняя величина скорости тления в глубь реагента составляет ω3 = 2, 2 ⋅10−5 м/с, что по порядку величины согласуется с экспериментальными данными [4, 11]. При этом скорость тления торфа в приповерхностных слоях вдоль образца для x3 = 0, 02 м ω1 ~ 2 ⋅10−4 м/с влево и вправо от центра очага горения x1 = x2 = c∗ может значительно превышать ω3 . Это связано с
тем, что распространение тления по приповерхностным слоям идет по предварительно нагретому пористому образцу торфа со стороны наземного очага горения.
В то же время процесс тления в глубь тела со скоростью ω3 происходит в контак-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моделирование процесса зажигания торфа
101
те с холодными, лежащими ниже, слоями проницаемой среды. Поэтому одним из
способов борьбы с торфяными пожарами может быть своевременное удаление
поверхностного слоя тлеющего торфа. Следует также отметить, что глубина
фронта горения, ограниченного изотермами 650 К (см. прямую линию на рис. 3),
согласуется с экспериментальными данными [24].
В результате уменьшения концентрации кислорода c3н с 0,23 до 0,11 и 0,05
время зажигания реагента увеличивается: t*1 = 10,44 ч, t*2 = 12,18 ч, t*3 = 17,74 ч,
что обусловлено замедлением скорости тления реагента в результате уменьшения
содержания окислителя в порах торфа. Этот результат качественно согласуется с
экспериментальными данными [4], где одним из способов борьбы с почвенными
пожарами предложен метод, основанный на изоляции очагов горения от окружающего воздуха.
Выводы
1. Дана трехмерная постановка задачи о зажигании слоя торфа с учетом процессов сушки, пиролиза и окисления газообразных и конденсированных продуктов горения и конкретной базы данных.
2. Установлено, что время зажигания и тления торфа определяется начальным
содержанием окислителя в порах реагента, процессами сушки, пиролиза, экзотермической реакцией окисления оксида углерода, а также влагосодержанием торфа.
3. Показано, что результаты расчетов по величине скорости тления торфа согласуются с экспериментальными данными [4, 11], а глубина фронта горения согласуется с данными [24].
ЛИТЕРАТУРА
1. Гришин А. М. Математические модели лесных пожаров. Томск: Изд-во Том. ун-та,
1981. 277 с.
2. Борисов А. А., Борисов Ал. А., Горелик Р. С. и др. Экспериментальное исследование и
математическое моделирование торфяных пожаров // Теплофизика лесных пожаров.
Новосибирск: Изд-во Ин-та теплофизики СО АН СССР, 1984. С. 5−22.
3. Борисов А. А., Киселёв Я. С., Удилов В. П. Кинетические характеристики низкотемпературного горения торфа // Теплофизика лесных пожаров. Новосибирск: Изд-во Ин-та теплофизики СО АН СССР, 1984. С. 23−30.
4. Гундар С. В. Определение минимальной концентрации кислорода при беспламенном
горении почв // Лесное хозяйство. 1976. № 5. С. 53−54.
5. Субботин А. Н. Математическое моделирование распространения фронта пожара на
торфяниках // Механика реагирующих сред и ее приложения. Новосибирск: Наука,
1989. С. 57−63.
6. Субботин А.Н. О некоторых особенностях распространения подземного пожара //
ИФЖ. 2003. Т. 76. № 5. С. 159−165.
7. Гришин А. М. Общие математические модели лесных и торфяных пожаров и их приложения // Успехи механики. 2002. Т. 1. № 4. С. 41−89.
8. Гришин А. М., Якимов А. С., Рейн Г., Симеони А. О физическом и математическом моделировании возникновения и распространения торфяных пожаров // ИФЖ. 2009.
Т. 82. № 6. С 1210−1217.
9. Гришин А. М., Якимов А. С. Математическое моделирование процесса зажигания торфа
// ИФЖ. 2008. Т. 81, № 1. С. 191−199.
10. Гришин А. М., Якимов А. С. Математическое моделирование теплофизических процессов при зажигании и тлении торфа // Теплофизика и аэромеханика. 2010. Т. 17. № 1.
С. 151−167.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
102
Е.Л. Лобода, А.С. Якимов
11. Гришин А. М., Голованов А. Н., Суков Я. В., Прейс Ю. И. Экспериментальное определение характеристик зажигания и горения торфа // ИФЖ. 2006. Т. 78. № 1. С. 137−142.
12. Гришин А.М., Голованов А.Н., Суков Я.В. Экспериментальное определение теплофизических, термокинетических и фильтрационных характеристик торфа // ИФЖ. 2006.
Т. 79. № 3. С. 131−135.
13. Гришин А. М., Голованов А. Н., Якимов А. С. Сопряженный теплообмен в композиционном материале // ПМТФ. 1991. № 4. С. 141−148.
14. Гришин А. М., Фомин В. М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред. Новосибирск: Наука, 1984. 319 с.
15. Алексеев Б. В., Гришин А. М. Физическая газодинамика реагирующих сред. М.: Высшая
школа, 1985. 464 с.
16. Щетинков Е. С. Физика горения газов. М.: Наука, 1965. 739.
17. Campbell E. C. and Fristrom R. M. Reaction kinetics thermodynamics and transportin the
hydrogen bromine system // Chem. Rev. 1958. V. 38. No. 2. P. 173 – 234.
18. Основы практической теории горения / под ред. В.В. Померанцева. Л.: Энергия, 1973.
264 с.
19. Мищенко К.П., Равдель А.А. Краткий справочник физико-химических величин. Л.: Химия, 1972. 200 с.
20. Гришин А.М., Зинченко В.И., Ефимов К.Н. и др. Итерационно-интерполяционный метод
и его приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 320 с.
21. Справочник по торфу / под ред. А.В. Лазарева, С.С. Корчунова. М.: Недра, 1982. 440 с.
22. Вукалович М.П., Ривкин С.А., Александров А.А. Таблицы теплофизических свойств воды и водяного пара. М.: Изд-во Стандартов, 1969. 430 с.
23. Гришин А.М. Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы с ними. Новосибирск: Наука, 1992. 407 с.
24. Лобода Е.Л. Экспериментальное исследование глубины фронта горения торфа ИКметода // Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления:
Всероссийская научная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова. 11−17 сент. 2011 г., Владивосток: сб. докл. [Электронный ресурс]. Владивосток: ИАПУ ДВО Ран, 2011. С. 358−361.
Статья поступила 21.09.2011 г.
Loboda E.L., Yakimov A.S. MODELING THE PROCESS OF PEAT IGNITION. A new formulation and numerical solution of a problem on ignition of a layer of peat as a result of action of the
center of a local creeping fire is proposed on the basis of mathematical model of a porous reacting
environment. It is obtained that ignition of an initial reagent is determined by processes of drying,
peat pyrolysis, oxidation reaction of carbon oxide, and moisture content.
Keywords: peat, drying, pyrolysis, ignition, water.
Loboda Egor Leonidovich (Tomsk State University)
E-mail: loboda@mail.tsu.ru
Yakimov Anatolii Stepanivich (Tomsk State University)
E-mail: yakimovas@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 536.46
В.Г. Прокофьев, В.К. Смоляков
ФОРМИРОВАНИЕ МАКРОСТРУКТУРЫ ПРОДУКТА
В НЕСТАЦИОНАРНОМ СВС-ПРОЦЕССЕ1
На основе механики гетерогенных реагирующих сред построена и исследована двухтемпературная двухскоростная математическая модель безгазового
горения цилиндрических пористых образцов, учитывающая структурные и
фазовые превращений. Обсуждены основные проблемы моделирования.
Рассмотрена динамика формирования пористой структуры продуктов от
стадии зажигания до выхода на устойчивый режим распространения фронта.
Проанализировано изменение характеристик волны горения в нестационарном режиме в зависимости от диаметра образца. Обнаружены структурные
колебания, приводящие к расслоению образца в автоколебательном режиме
горения.
Ключевые слова: самораспространяющийся высокотемпературный синтез, формирование макроструктуры, моделирование.
Формирование структуры продукта и управление структурообразованием является одной из основных проблем самораспространяющего высокотемпературного синтеза (СВС), сдерживающих широкое внедрение в практику технологий на
его основе. В настоящей работе изложены развиваемые авторами представления
об эволюции макроскопической структуры вещества в СВС-процессах – структуры, определяемой общей пористостью, распределением ее по объему, величиной
пор или элементов, образующих пористую структуру, их удельной поверхностью,
изменением размеров и формы сгоревших заготовок, наличием трещин и др. Моделирование макроструктурных превращений дает возможность оценить некоторые свойства синтезированного продукта: тепло- и электропроводность, прочность, проницаемость и др. и целенаправленно организовывать условия синтеза
для получения требуемой структуры продукта.
Общие положения
В рамках механики многофазных сред [1] система уравнений для описания
динамики структурных и химических превращений гетерогенной среды в неизотермических условиях может быть записана в виде уравнений неразрывности, характеризующих баланс масс компонентов и продуктов, уравнений движения каждой из фаз и уравнений теплопроводности в фазах. При изучении СВС-процессов
исходные уравнения можно упростить [2]. В частности, в уравнениях сохранения
импульса можно опустить инерционные члены и пренебречь действием вязкости
газа через напряжение. В уравнениях сохранения энергии можно не учитывать
энергию движения фаз и диссипативное тепловыделение. Наиболее сложными в
постановке задачи являются следующие два момента.
Первый является специфическим для СВС-систем и связан с правильным выбором исходной структуры и тех величин, динамику которых необходимо отсле1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-03-00136-а).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
104
В.Г. Прокофьев, В.К. Смоляков
живать для решения сформулированной задачи. Понятие СВС-систем включает
огромное разнообразие различных гетерогенных сред. Построить универсальную
модель структуры неоднородной среды невозможно. Наибольшее практическое
распространение в практике СВС получили порошковые композиции. В теоретическом анализе развивается ячеистая модель исходной структуры, согласно которой смесь моделируется совокупностью ячеек (как правило, сферических), образованных одной частицей компонента, имеющего наименьшее количество частиц
в единице объема, и приходящихся на нее в соответствии с заданной концентрацией частиц других компонентов. Для простоты полагается, что частицы каждого
i-го компонента представляют собой одинаковые сферы радиусом Ri. Однако даже
упрощенная модель исходной структуры не решает до конца задачу выбора исходной структуры в силу следующих обстоятельств. Интенсивность химического
превращения в гетерогенной системе зависит от величины удельной межфазной
поверхности реагирования. В так называемых безгазовых системах – смесях порошковых реагентов, реагирующих без участия газа, – начальная поверхность реакции незначительная. При заметно различающихся размерах частиц некоторые
частицы реагентов вообще не имеют непосредственного контакта. В подавляющем большинстве безгазовых систем в ходе разогрева происходит плавление одного из компонентов. Появление жидкой фазы и ее растекание по поверхности и в
объеме более тугоплавких частиц приводят к резкому увеличению межфазной поверхности и скорости реагирования. Известные оценки [3] свидетельствуют, что
за исключением большого различия размеров частиц плавящегося RB и тугоплавкого RA компонентов (RB/RA > 104) растекание расплава – быстрый процесс, не
лимитирующий скорость химического превращения. Несмотря на то, что растекание происходит быстро при незначительном химическом превращении, структурные изменения во время растекания могут быть существенны, поскольку в результате растекания исходная структура зернистого типа трансформируется в совокупность твердожидких капель. Этот этап изменения структуры наименее изучен. Поэтому структурные характеристики среды после растекания жидкости
оцениваются из геометрических представлений с использованием некоторых дополнительных предположений о режимах растекания [4, 5]. Основной характеристикой смеси, определяемой на этом этапе, является размер твердожидких капель
суспензии R0, представляющих собой характерный структурный элемент. Отсутствие заметного химического реагирования и структурных изменений до появления расплава в безгазовых системах позволяет считать «началом» химических и
структурных превращений температуру плавления легкоплавкого реагента. В
гибридных системах, один из реагентов в которых газ, поверхность реакции велика и в исходной смеси, а появление расплава может, наоборот, уменьшить ее в результате жидкофазного спекания. Следует подчеркнуть, что чем более полным
будет описание исходной структуры, тем точней будут результаты моделирования
структурных превращений. Поэтому в некоторых случаях для получения структуры с заданными по результатам моделирования характеристиками, а также для
корректного анализа закономерностей горения с учетом структурных превращений возможна специальная предварительная подготовка смеси: сфероизация порошков, плакирование, рассев на узкие фракции, гранулирование и т. п.
Вторая трудность в постановке задачи, традиционная для механики многофазных сред, и состоит в задании замыкающих соотношений, связывающих теплофизические, фильтрационные, реологические величины с макроструктурными характеристиками гетерогенной среды. Структурные, химические и фазовые пре-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формирование макроструктуры продукта в нестационарном СВС-процессе
105
вращения еще больше затрудняют определение таких соотношений. Кроме того, в
волновом режиме СВС узость фронта горения, где проходят превращения, обуславливает грубость представления гетерогенной смеси в ней как статистического
ансамбля. В силу отмеченных обстоятельств на современном этапе развития рассматриваемого направления построенные модели не могут дать точных числовых
значений. Для качественного описания и оценок следует использовать простые
замыкающие соотношения, правильно отражающие наиболее характерное влияние осредненных структурных факторов. Например, пропорциональность эффективных величин теплопроводности и теплообмена между конденсированной и газовой фазами объемной доли конденсированного вещества. Отметим также трудности выбора реологического закона, связывающего напряжения и скорости деформации и силы фильтрационного сопротивления в среде, меняющей структуру.
В общем случае структурные изменения в реагирующей среде неодномерны,
что осложняет решение. Вместе с тем экспериментальные данные по горению
систем, образующих тугоплавкие продукты (например, [6, 7]), свидетельствуют,
что основное изменение размеров образцов при горении происходит в направлении распространения фронта и практически не заметно в перпендикулярном. Этот
факт, как предполагается в [8], связан с узостью волны горения x* в сравнении с
диаметром образца d. В этом случае релаксация напряжений, связанных с возмущающим действием волны горения, проходит в направлении ее распространения,
и движение конденсированной фазы можно описывать в одномерном приближении. Когда текучесть вещества сохраняется (например, при образовании жидкого
продукта [8]), могут изменяться не только длина образца, но его диаметр и форма.
В таком случае следует рассматривать неодномерную модель структурных превращений. Одномерное уравнение для движения газа относится только к случаю
бронированной боковой поверхности, например при СВС в трубчатом реакторе.
В экспериментальной практике часто используют небронированные образцы,
длина которых превышает диаметр. В этом случае газообмен с внешней средой
осуществляется через боковую поверхность. Уравнение движения газа для такого
процесса также должно быть неодномерным. Однако для получения оценок и качественного описания можно использовать одномерное уравнение движения газа,
полагая, что длина зоны фильтрации (масштаб газообмена с внешней средой)
равна радиусу образца.
Развиваемый подход к описанию макроструктурных превращений позволяет
моделировать взаимосвязанное влияние силового действия фильтрующегося в порах газа (инертного или активного), жидкофазного спекания (коагуляции) капель
суспензии, меняющей в ходе реакции реологические свойства, объемных изменений конденсированной фазы в результате химического превращения и внешней
нагрузки. Прогностические свойства моделей зависят от многих условий, в том
числе от точности замыкающих соотношений, связывающих физико-химические
параметры со структурой среды, правильного задания исходной структуры, организации синтеза и выбора тех величин, динамику которых необходимо отслеживать для решения конкретной задачи. Отсутствие надежных данных по связи тепловых, гидродинамических и реологических величин с изменяющимися структурными характеристиками гетерогенной реагирующей среды не позволяет проводить точные количественные расчеты. В то же время исследование моделей позволяет делать оценки, проводить качественное описание, открывают возможность управления структурообразованием.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.Г. Прокофьев, В.К. Смоляков
106
Основной величиной, определяющей изменение макроструктуры среды, являются пористость m и распределение ее в сгоревшем образце. Зная пористость и
характерный размер структурного элемента R0, можно найти другие осредненные
параметры структуры и оценить некоторые эксплуатационные характеристики
синтезированных материалов.
Математическая модель
Рассмотрим горение пористого полубесконечного цилиндрического образца,
сформованного из бинарной безгазовой смеси реагентов А+В. В одностадийной
необратимой реакции образуется продукт F. Компонент B полагаем легкоплавким, вещества A, F – тугоплавкими; в порах и вне образца находится инертный
газ.
Уравнения модели для двухфазной (конденсированное вещество и инертный
газ) среды можно представить в виде [9−11]
∂ ( mρ1 ) ∂ ( mρ1v1 )
+
=0;
(1)
∂t
∂x
∂ [(1 − m ) ρ2 ] ∂ [(1 − m ) ρ2 v2 ]
+
=0;
∂t
∂x
(2)
∂ [(1 − m ) ρ2 α ] ∂ [(1 − m ) ρ2 v2 α ]
+
=J;
∂t
∂x
(3)
m
2 (1 − m ) ηk
∂p
= − f2 ;
∂x
(4)
∂v2
= p − p0 − mpL ;
∂x
(5)
∂T ⎞
⎛ ∂T
c1ρ1m ⎜ 1 + v1 1 ⎟ = χ* (T2 − T1 ) ;
t
∂
∂x ⎠
⎝
∂T2
∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞
χ
+ v2 2 ⎟ = ⎜ λ 2 2 ⎟ + Q* J − χ* (T2 − T1 ) − (T2 − T0 ) ;
d
∂x ⎠ ∂x ⎝
∂x ⎠
⎝ ∂t
(1 − m ) c2ρ2 ⎛⎜
(6)
(7)
∂α
∂α
+ v2
= f (α )k (T2 ) .
(8)
∂t
∂x
Уравнения неразрывности (1) – (3) описывают массовый баланс газа, всего
конденсированного вещества, состоящего из реагентов и продукта, и продукта.
Уравнения движения и теплового баланса газовой (4), (6) и конденсированной (5),
(7) фаз записаны с учетом приведенного выше обсуждения. Скорость химического превращения определяется уравнением (8). В (1) – (8) приняты следующие обозначения: х, t – координата и время; m – пористость; v1, v2 – скорости газовой и
конденсированной фаз; ρ1, ρ2 –плотности фаз; α – полнота химического превращения по продукту реакции; f (α ) – кинетический закон; f2 – сила вязкого взаимодействия фаз; р, р0, рL – давление газа в порах, начальное (внешнее) давление,
лапласово давление; ηk – вязкость конденсированной фазы; T1, T2, T0 – температуры
фаз и начальная температура; λ2 – коэффициент теплопроводности конденсирован-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формирование макроструктуры продукта в нестационарном СВС-процессе
107
ной фазы; χ*, χ – коэффициенты межфазного и внешнего теплообмена. Вязкость
твердожидкой суспензии ηk = η* (T2 ) f k (ϕ) , где η* (T2 ) = η0 exp( E* / RT2 ), η0 , E* –
вязкость, предэкспонент и энергия активации вязкого течения расплава; fk(φ) –
функция стесненности, отражающая влияние на текучесть объемной концентрации тугоплавкой составляющей φ, которая, в свою очередь, зависит от глубины
превращения. Величины ρ1, ρ2, λ2, рL, fk(φ), f 2 , φ, χ*, χ и их зависимости от параметров обсуждены и выписаны в [9]
В предположении равенства теплоемкостей всех компонентов реакционной
смеси теплоемкость конденсированной фазы определяется соотношением
c2 = c20 + (1 − α)(1 − с0 ) LB δ(TL − T2 ), где LB – теплота плавления компонента В, c20 –
теплоемкость конденсированной фазы без учета плавления, (1 − c0) – массовая
концентрация В в исходной смеси, δ(TL − T2 ) – дельта-функция Дирака. Тепловой
эффект реакции Q* = Q + (1 − c* ) LB e(T2 − TL ) , где Q – тепловой эффект реакции
образования твердого продукта из твердых реагентов, (1 – c*) – массовая концентрация В в продукте, e(T2 – TL) – единичная функция Хевисайда.
Так как массовая скорость образования продукта реакции в единице объема
∂α
∂α ⎞
J = (1 − m)ρ2 ⎛⎜
+ v2
⎟ , то это позволяет исключить из рассмотрения уравне∂x ⎠
⎝ ∂t
ние (3). В случае ламинарного течения газа уравнение (4) принимает вид закона
Дарси
v1 = v2 −
4 R02 m 2 ∂p
,
150 η1 (1 − m) 2 ∂x
(9)
где η1 – вязкость газа.
Общий вид граничных и начальных условий определяется условиями
организации синтеза. В случае небронированного образца граничные и начальные
условия имеют вид
∂T2
x = 0 : T2 = Tw (t < tw ),
= 0 (t ≥ tw ), T1 = Tw , p = p0 , v2 = 0;
∂x
x ≤ ( xL − d / 2) : p = p0 ;
(10)
x ≥ ( xL + d / 2) : p = p0 ;
x =∞:
∂T2
= 0; :
∂x
t = 0 : α = 0, m = m0 , ρ1 = ρ0 , T1 = T2 = T0 .
(11)
В условиях (10) Tw , tw – температура накаленной стенки и время ее действия
(зажигания); xL – координата фронта горения, в качестве которой выбиралась
координата плавления реагента B.
С условиями (10), (11) система уравнений, (1), (2), (5) − (9) представляет собой
двухтемпературную и двухскоростную математическую модель, описывающую
неадиабатическое горение полуограниченного небронированного с боковой поверхности пористого цилиндрического образца, сформованного из бинарной безгазовой смеси. Образец зажигается проницаемой накаленной стенкой, а газообмен
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
108
В.Г. Прокофьев, В.К. Смоляков
с внешней средой моделируется газообменом через зоны продуктов и исходной
смеси с длиной фильтрации, равной половине диаметра образца d.
Для сокращения числа параметров, выделения основных из них и удобства
анализа результатов математическая модель приводилась к безразмерному виду,
аналогичному [9−11]. В качестве масштабов выбраны адиабатическая температура горения TF, плотность исходной смеси ρc, нормальное давление газа p*, характерные длина и время x* = λ 0t* / c20 ρc , t * = c20 RTF2 k −1 (TF ) / Q* E . Кроме традиционных для макрокинетики безразмерных величин задача содержит новые, определяющие динамику структурных превращений. К ним относятся
Pe f =
4 R02 p*c20ρc
ρ
, m0, ρk2 = F ,
150η1λ 0
ρc
F1 = p*η0−1 exp(− E* / RTF )t * , F2 =
3ε −1
η0 exp(− E* / RTF )t * .
R0
Величина Pef определяет фильтрационные свойства пористой среды, а отношение
плотностей продукта и смеси ρk2 – объемные изменения при химической реакции.
Параметр F1 характеризует разрыхляющее действие фильтрующегося в порах
газа. Влияние поверхностных сил, уменьшающих пористость, отражает параметр
F2 (ε – коэффициент поверхностного натяжения расплава).
Основные результаты
Численное моделирование позволяет выявить и изучить различные этапы синтеза, в том числе зажигание, выход на установившийся режим, характер этого режима и его устойчивость. Метод решения и зональная структура стационарной
волны горения, определяемая параметрами конденсированной и газовой фаз, детально описаны в [10]. Нестационарные режимы горения бронированного с боковой поверхности образца рассмотрены в [11], в том числе для случая механического поджатия образца. Рассматривается горение стехиометрической смеси
(c0 = c*).
Зажигание
Большинство СВС-систем трудно воспламенить. Энергия, необходимая для
зажигания систем с тугоплавкими продуктами реакции, на 1−2 порядка выше, чем
энергия зажигания пироксилина, баллиститных порохов и смесевых ракетных топлив [12]. Исследование зажигания безгазовых систем (Ti–C, Ti–B и т.д.) представляет интерес как для СВС-технологий, так и для развития теории зажигания
гетерогенных систем.
На этапе зажигания в зависимости от соотношения параметров F1, F2, Pef и m0
обнаружено два сценария развития процесса. В первом случае вблизи стенки происходит компактирование (уменьшение пористости) образца за счет поверхностных сил с последующим затем ростом скорости горения. Во втором – тепловой
удар вблизи проницаемой накаленной поверхности приводит к скачкообразному
увеличению пористости до значений 0,7−0,8. Это ухудшает теплопередачу от накаленной стенки в образец через уже образовавшийся высокопористый слой продукта. Температура конденсированной фазы на этом этапе не превышает температуру внешнего источника – температуру стенки. Формирование прогретого слоя
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формирование макроструктуры продукта в нестационарном СВС-процессе
109
1
проходит с большим периодом индук- τign
ции, завершающимся вспышкой на некотором расстоянии от стенки. Зажигание
составов с малой пористостью, при усло2
вии, что F1 > F2, происходит по второму 800
варианту. В экспериментах второй вариант может наблюдаться как отслоение
образца от поверхности зажигания. При
ограниченном времени нагрева выход на 400
3
устойчивый режим горения в этом случае может не произойти.
В качестве критерия зажигания рассматривалось условие достижения мак0
симума скорости горения – момент
0,2
0,4
0,6 m0
вспышки. Обнаружена сильная зависимость времени зажигания от начальной Рис. 1. Зависимости времени зажигания от
пористости при слабой газопроницае- пористости образца при различных газомости и высоком начальном давлении проницаемостях образца и начальных давинертного газа. Причем, если для малых лениях газа: 1 – Pef = 4, p0/p* = 3; 2 – Pef = 4,
m0 реализуется зажигание по первому p0/p* = 0,25; 3 – Pef = 60, p0/p* = 0,25
сценарию, то при m0 > 0,4 – по второму.
Для образцов с высокой газопроницаемостью и при малой концентрации газа в
порах время зажигания слабо зависит от начальной пористости рис. 1.
Выход на режим горения
В стационарном режиме с течением времени распределение всех искомых величин в волне горения устанавливается и перемещается с постоянной скоростью, равной скорости горения. При этом скорость движения несгоревшей части образца v2k
всегда меньше стационарной скорости горения и средних значений скоростей
фильтрации газа. Основное изменение макроструктуры образца приходится на начальный этап, отвечающий наибольшему дисбалансу сил разрыхления и спекания
при минимальной вязкости конденсированной фазы. Распределения температур
фаз, глубины превращения и пористости в стационарной волне горения монотонны.
Обнаружена этапность формирования макроструктуры в системах с легкоплавким
компонентом: изменение структуры в результате движения твердожидкой массы
проходит быстрей, чем из-за разницы удельных объемов реагентов и продуктов.
В экспериментальной практике СВС варьируемыми параметрами являются
размеры частиц компонентов, исходная относительная плотность (начальная пористость), диаметр образца, давление инертного газа в реакторе. Для этих параметров и для стационарного режима горения были получены расчетные зависимости скорости горения и относительного удлинения и сопоставлены с известными
экспериментальными данными по горению систем переходный металл IV группы
– углерод (бор), реагирование в которых проходит в целом по моделируемой схеме: легкоплавкий реагент + тугоплавкий реагент = тугоплавкий продукт [9−10].
При этом скорость горения u рассчитывали как скорость перемещения координаты появления расплава (T2 = TL), а относительное удлинение по формуле
⎛τ
⎞
∆ = ⎜ ∫ v2 k d τ ⎟ / ξ L , т.е. как отношение удлинения ∆H к текущей H длине образца.
⎝0
⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.Г. Прокофьев, В.К. Смоляков
110
Наряду со стационарными режимами, научный и практический интерес представляют нестационарные режимы, которые характеризуются неравномерным
пространственным и временным распространением фронта химического и структурного превращений. Одно из наиболее интересных проявлений нестационарного одномерного распространения фронта химической реакции в безгазовых системах – автоколебательное горение, представляющее собой чередование вспышек
и депрессий. Главная причина этого – тепловая неустойчивость, вызванная избытком энтальпии в волне горения [13]. Такой режим горения характеризуется
возникновением неоднородной структуры продукта: расслоением сгоревшего образца на отдельные слабо связанные между собой части («лепешки»), внутренняя
структура и размер которых транслируются по всему сгоревшему образцу. При
этом для характерных масштабов структурных элементов смеси (размеров частиц)
10−6−10−4 м толщина слоев составляет 10−3–10−2 м. То есть в автоколебательных
режимах, в отличие от стационарных, наблюдается определенное упорядочение
исходной хаотичной среды (смеси частиц) в макроскопическом масштабе, превышающем начальный на один-два порядка.
Распространение фронта горения с выходом на автоколебательный режим
(распределения скорости горения u и пористости m) представлено на рис. 2. Минимальное значение пористости соответствует минимуму скорости горения. Соответствующие распределения давления имеют более сложный вид. В момент
вспышки имеются два локальных максимума давления: первый приходится на зону прогрева, как и в стационарной волне горения, второй находится в зоне химических реакций. Минимум давления, разделяющий эти два максимума, приходится на границу зоны структурных превращений. Положение максимума давления в
зоне химической реакции с развитием пульсации меняется незначительно; максимум давления в зоне прогрева перемещается со скоростью движения точки плавления (скоростью горения). Распределение давления в момент вспышки аналогично структуре ударной волны в газе, где за волной сжатия следует волна разрежения. На стадии депрессии профиль давления аналогичен распределению давления в стационарной волне горения.
u
0,6
0,2
0
100
200
1
300
x/x*
0,6 0
100
200
300
x/x*
m
0,4
0,2
Рис. 2. Распределения скорости горения и пористости продукта
в автоколебательном режиме
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формирование макроструктуры продукта в нестационарном СВС-процессе
111
Изменение пористости в период депрессии, так же как и в стационарной волне,
осуществляется в два этапа. На первом, после появления жидкой фазы происходит быстрое установление равновесия между силами жидкофазного спекания и
разрыхления (на рис. 2 этому этапу отвечают участки, отмеченные цифрой 1). Затем вследствие химического превращения происходит относительно медленное
изменение объема конденсированной фазы, связанное с образованием более
плотного (менее плотного) продукта реакции по сравнению с плотностью исходной шихты. Двухзонную структуру деформационной волны в стационарном режиме горения фиксировали в экспериментах [14]. Максимальное значение пористости приходится на момент «вспышки» (максимум скорости горения) или на
близкий к нему участок спада скорости горения после «вспышки». Скачок скорости горения приводит к росту давления газа в порах и соответственно к росту напряжений в конденсированной фазе, вызывающих деформацию пористой структуры. Изменение пористости в этот период времени при относительно малых F1,
F2 и высокой температуре конденсированной фазы проходит в один этап. Увеличение пористости ведет к снижению теплопередачи из зоны продукта в холодную
смесь и, как следствие, скорости горения. Это приводит к депрессии, уменьшению
пористости , увеличению теплопроводности, вспышке и т.д.
Изменение диаметра образца влияет на устойчивость распространения фронта
горения (рис. 3) посредством изменения давления во фронте горения. Стабилизировать процесс горения посредством уменьшения диаметра образца можно только
m
0,6
а
0,4
1
u
0,3
0
m
0,6
100
200
x/x*
б
0,4
1
u
0,3
0
100
200
Рис. 3 Влияние масштаба фильтрации (диаметра образца)
на структурные колебания; a – d/x* = 60; б – d/x* = 120
x/x*
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
112
В.Г. Прокофьев, В.К. Смоляков
вблизи границы тепловой устойчивости фронта. В случае сильных релаксационных колебаний изменение диаметра не приводит к заметной стабилизации. С ростом диаметра образца возрастает давление в волне горения, что приводит к более
значительному разрыхлению конденсированной фазы. При этом уменьшается тепловой поток из зоны реакции в прогретый слой и уменьшается скорость горения.
Как и в стационарном режиме [9, 10], изменением диаметра можно эффективно
влиять на конечную пористость и удлинение сгоревшей части образца.
Основными структурными параметрами, эффективно влияющими на устойчивость волны горения, являются начальная пористость, размер частиц и давление
инертного газа в реакторе. Трещинообразование обусловлено невозможностью
релаксации возникающих напряжений при заданных параметрах реологического
закона, когда скорость деформации вещества не может обеспечить прекращение
роста напряжений.
Перспективы развития моделирования
Следует отметить уникальность явления СВС, отличающего его от других
технологических процессов в гетерогенных средах, например от порошковой металлургии. Прежде всего, это высокие температуры, существенно превышающие
температуры спекания порошковых композиций, быстрый нагрев (скорость нагрева составляет 105−107 град/с) и малые времена пребывания вещества в волне
горения. Если в большинстве процессов спекания термодинамическим стимулом
структурных превращений является уменьшение поверхностной энергии, то в
процессе СВС этот фактор действует на фоне более мощного: изменения химического потенциала системы. Ряд эффектов, сопровождающих СВС и заметно проявляющихся при структурировании, в порошковой металлургии практически не
рассматриваются. К ним, например, относятся фильтрация инертного газа, летучих примесей и газообразных продуктов в порах, приводящая к значительным изменением макроструктуры гетерогенной среды в волне синтеза. И, наконец, главная особенность СВС – существование обратной связи между структурными характеристиками смеси и их изменением и скоростью синтеза. Последнее обстоятельство принципиально отличает СВС от других известных способов интенсивного энергетического воздействия на структуру гетерогенных сред.
Исследование макроструктурных превращений в процессах СВС – одно из новых направлений структурной макрокинетики. Существует большое число опытных фактов, объяснение которым найти не удается. К наиболее интересным из
них относится эффект разделения компонентов при автоколебательном и спиновом горении систем Si−N, Ni−Al, Ti−B−Cu (Al, Sn) [15, 16]. По-видимому, для
описания сепарации компонентов необходимо рассматривать отдельно динамику
твердой, жидкой и газовой фаз. Построение и исследование трехскоростных моделей с разными температурами фаз важно также для изучения «мерцающих» [17]
режимов, наблюдаемых при горении высокопористых образцов с крупными легкоплавкими частицами [18] и обусловленных неравномерным проникновением
расплава в зону прогрева [19]. Интересным является дальнейшее изучение автоколебательного и спинового горения с учетом изменений структуры. Требует изучения структурные превращения в практически важных многокомпонентных системах со стадийным химическим взаимодействием и в условиях дополнительного
действия различных физических факторов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формирование макроструктуры продукта в нестационарном СВС-процессе
113
ЛИТЕРАТУРА
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Мир, 1987. Т. 1. 464 с.
2. Смоляков В.К. Макроструктурные превращения в процессах безгазового горения //
ФГВ. 1990. Т. 26. № 3. С. 55−61.
3. Некрасов Е.А., Максимов Ю.М. и др. Влияние капиллярного растекания на распространение волны горения в безгазовых системах // ФГВ. 1978. Т. 14. № 5. С. 26−33.
4. Смоляков В.К. Модели горения СВС-систем, учитывающие макроструктурные превращения // ИФЖ. 1993. Т. 65. № 4. С. 485–489.
5. Smolyakov V.K., Maksimov Ya.M. Structural transformation of powder media in the wave of
self-propagating high-temperature synthesis // Int. J. Sef-Propagating High-Temperature
Synthesis. 1999. V. 8. Nо. 2. P. 221−250.
6. Меrzhanov A.G. Regularities and mechanism of combustion of pyrotechnic titanium-boron
mixtures // Fourth Symp. on Chem. Problems Connected with the Stability of Explos., Molle,
Sweden, May 31 – June 2. 1976. P. 381−401
7. Найбороденко Ю.С., Касацкий Н.Г. и др. Влияние термической обработки в вакууме на
горение безгазовых систем // Химическая физика процессов горения и взрыва. Горение
конденсированных и гетерогенных систем. Черноголовка, 1980. С. 74−77.
8. Щербаков В.А., Мержанов А.Г. Самораспространяющийся высокотемпературный синтез металлокерамического пеноматериала // ДАН. 1997. Т. 354. № 3. С. 346−349.
9. Смоляков В.К., Максимов Ю.М., Прокофьев В.Г. Динамика формирования структуры
продукта при горении безгазовых систем // Математическое моделирование горения и
взрыва высокоэнергетических систем / под ред. И.М. Васенина. Томск: Изд-во Том. унта, 2006. С. 221−315.
10. Prokofiev V.G., Smolyakov V.K. Combustion of gasless systems with a variable porosity and
an external gas exchange // Int. J. Self-Propagating High-Temperature Synthesis. 2006. V. 15.
Nо. 2. P. 133−157.
11. Прокофьев В.Г., Смоляков В.К. Влияние структурных факторов на нестационарные режимы горения безгазовых систем // ФГВ. 2003. Т. 39. № 2. С. 56−66.
12. Стовбун В.П., Кедрова Т.И., Барзыкин В.В. Зажигание систем с тугоплавкими продуктами реакции // Физика горения и взрыва. 1972. Т. 8. № 3. С. 349−354.
13. Шкадинский К.Г., Хайкин Б.И., Мержанов А.Г. Распространение пульсирующего фронта экзотермической реакции в конденсированной фазе // ФГВ. 1971. Т. 7. № 1.
С. 19−28.
14. Камынина О.К., Рогачев А.С., Умаров Л.М. Динамика деформации реагирующей среды
при безгазовом горении // ФГВ. 2003. Т. 39. № 5. С. 69−73.
15. Мукасьян А.С., Мержанов А.Г., Мартыненко В.М. и др. О механизме и закономерностях горения кремния в азоте // ФГВ. 1986. Т. 22. № 5. С. 43−49.
16. Kirdyashkin A.I., Maximov Ya.M., Gorenko L.K., et al. Peculiarities of the convective motion
of the melt in the burning ware of the power mixture // Flame Structure. Novosibirsk: Nauka,
1991. V. 2. P. 538−541.
17. Рогачев А.С., Мукасьян А.С., Варма А. Микроструктура самораспространяющегося
волн экзотермических реакции в гетерогенных средах // ДАН. 1999. Т. 366. № 6.
С. 777−780.
18. Мержанов А.Г., Мукасьян А.С., Рогачев А.С. и др. Микроструктура фронта горения в
гетерогенных безгазовых средах (на примере горения системы 5Ti+3Si) // ФГВ. 1996.
Т. 32. № 6. С. 68−81.
19. Смоляков В.К. О «шероховатости» фронта безгазового горения // ФГВ. 2001. Т. 37.
№ 3. С. 33−44.
Статья поступила 23.03.2011 г.
Prokof’ev V.G., Smolyakov V.K. FORMATION OF PRODUCT MACROSTRUCTURE IN UNSTEADY SHS-PROCESS. The two-temperature and two-velocity mathematical model of gasless
combustion of cylindrical porous samples based on heterogeneous mechanics with allowance for
structural and phase transformations is proposed and studied. The basic problems of modeling are
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
114
В.Г. Прокофьев, В.К. Смоляков
discussed. The dynamics of formation of a porous product structure from the ignition stage to the
steady regime of combustion is considered. The change of combustion parameters for the unsteady mode is analyzed depending on the diameter of the sample. Structural oscillations resulting
in exfoliation of the sample in the unstable combustion mode were revealed.
Keywords: self-propagating high-temperature synthesis, macrostructural formation, modeling.
PROKOFYEV Vadim Gennadyevich (Tomsk State University)
E-mail: pvg@ftf.tsu.ru
SMOLYAKOV Victor Kuzmich (Department for Structural Macrokinetics, Tomsk Scientific Center of SB RAS)
Email: vsmol52@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 66.061.352
Ю.Н. Финаева, Н.Г. Самойленко, Г.Б. Манелис
МОДЕЛЬ ПРОТИВОТОЧНОГО ЭКСТРАКЦИОННОГО
РЕАКТОРА ВЫТЕСНЕНИЯ
Сформулирована простая модель противоточного реактора идеального вытеснения для экстракционных процессов. Дисперсная фаза в виде сферических капель всплывает в движущейся навстречу сплошной фазе. Получено
аналитическое решение математической модели в стационарном приближении. Показано, что распределения концентрации зависят от скорости течения сплошной фазы. При малых скоростях движения сплошной фазы работает верхняя часть реактора, при больших скоростях – нижняя часть. Обнаружено, что при заданной степени экстракции не при всех скоростях движения сплошной фазы реализуются стационарные режимы.
Ключевые слова: противоточный реактор, экстракция, массообмен, стационарные режимы.
Развитая к настоящему времени стационарная теория массообмена экстракционных процессов, основанная на законе химического равновесия и на простейшей
записи закона сохранения массы, послужила основой для разработки эмпирических
методов расчета основных параметров реактора при заданной степени экстракции.
В основу этих методов положено понятие теоретической ступени контакта и флегмового отношения. Математические модели стационарной теории экстракции от
гидродинамической картины процесса отвлекаются [1 – 4]. Но вопрос: влияет ли и
как течение фаз на эффективность экстракционного процесса? – остается.
В работе предложена простая математическая модель противоточного экстракционного реактора идеального вытеснения, которая учитывает гидродинамику течения фаз в ламинарном приближении.
Физическая модель проста. В реактор высотой H сверху подается раствор вещества A (фаза 1). Линейная скорость движения фазы 1 равна V. Экстрагент B (фаза 2)
всплывает в фазе 1 в виде капель одного размера R. Размер капель постоянен. Скорость движения этой фазы U–V, где U – скорость подъема капли в неподвижной фазе 1. Эту скорость в первом приближении можно рассчитать по формуле Стокса [5].
Система обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями,
описывающая стационарный режим работы реактора, имеет вид
dA
V
= β ⋅ Sud ⋅ ( εA − AB ) ;
(1)
dx
(U − V )
dAB
∗ ⋅ ( εA − A ) .
= β ⋅ Sud
B
dx
(2)
(3)
Граничные условия:
при x = H, A = A0, при x = 0 AB.= 0
Здесь A и AB – концентрация вещества A соответственно в фазе 1 и фазе 2; β – коэффициент массообмена между фазами; Sud и S*ud – удельная поверхность соответственно для фазы 1 и фазы 2; ε – коэффициент распределения вещества A между
фазами; H – высота реактора; x – пространственная координата.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
116
Ю.Н. Финаева, Н.Г. Самойленко, Г.Б. Манелис
Решение системы уравнений (1) – (3) имеет вид:
exp ( r2 x ) −
A = A0
∗
V Sud
1
U − V Sud ε
S∗ 1
V
exp ( r2 H ) −
⋅ ud
U − V Sud ε
[exp ( r2 x ) − 1]
AB = A0
∗
V Sud
U − V Sud
S* 1
V
exp ( r2 H ) −
⋅ ud
U − V Sud ε
;
.
S*
S
S
m
*
и Sud
, тогда ud =
. Здесь ω – объем реак=
mω
(1 − m)ω
Sud (1 − m)
тора, S – межфазная поверхность, m – объемная доля фазы 1.
Подставляя полученное выражение для отношения удельных поверхностей в
решение системы, получаем
V
m
1
exp ( r2 x ) −
⋅
⋅
U − V (1 − m) ε
;
(4)
A = A0
1
V
m
exp ( r2 H ) −
⋅
⋅
U − V (1 − m) ε
Поскольку Sud =
V
m
⋅
U − V (1 − m)
,
AB = A0
1
V
m
exp ( r2 H ) −
⋅
⋅
U − V (1 − m) ε
[exp ( r2 x ) − 1] ⋅
(5)
β Σ
V
m 1
3(1 − m)
– поверхность контакта фаз в
⋅ ⋅ [1 −
⋅
⋅ ], Σ =
V m
U −V 1− m ε
R
единице объема реактора, R – радиус сферической капли.
Из формул (4) и (5) следует, что стационарные режимы в противоточном реакторе высотой H возможны только при V≤U. При V=U сферические капли неподвижны относительно стенок реактора. Реализуется «стационарный» режим, в котором в фазе 1 по высоте реактора концентрация вещества A равна A0, а фаза 2
полностью насыщена.
На рис. 1 в качестве иллюстрации для экстракции уксусной кислоты A из водного раствора (фаза 1) метилизобутилкетоном (фаза 2) в реакторе высотой около
15 метров [2] приведены рассчитанные по формулам (4) и (5) распределения кислоты в обеих фазах для трех значений скорости течения V фазы 1 (рис. 1, а и б).
Числовые значения характеристик, по которым рассчитывались параметры для
расчета по формулам (4), (5), ε = 0,75, m = 0,75, Σ = 15 1/см, β = 0,001 см/с,
U = 11,17 см/с. Полученные результаты свидетельствуют о том, что пространственные распределения концентрации кислоты существенным образом зависят от
скорости течения исходного раствора. При малых скоростях движения фазы 1 работает верхняя часть реактора (рис. 1, а и б, кривые 1), при больших скоростях
нижняя часть (рис. 1, а и б, кривые 3). Существует интервал скоростей, когда работает вся длина реактора полностью (рис. 1, а и б, кривые 2).
где r2 = ε ⋅
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель противоточного экстракционного реактора вытеснения
X, м
12
X, м
1
3
10
8
a
6
4
4
2
2
0,02
0,04
3
10
6
0
0,00
2
12
2
8
1
117
0,06
0,08
А
0
0,00
б
0,02
0,04
0,06
0,08
АB
Рис. 1. Распределение уксусной кислоты по высоте реактора: а – в исходном растворе;
б – в экстрагенте. 1 – V = 0,5 см/с, 2 – V = 1,34 см/с, 3 – V = 5 см/с
Стационарный режим для конкретной степени экстракции, естественно, определяется конкретным набором характеристик процесса. В этом случае возникает
вопрос: при всех ли скоростях течения фазы 1 возможны стационарные режимы?
Определим степень экстракции кислоты из фазы 1 как a = Aвых / A0 ; Авых – концентрация кислоты при x = 0. После простых преобразований из формулы (4) получаем
1
V
1 m
ln [1 − (1 − a )
⋅ ⋅
]
a
U
−
V
ε 1− m .
H=
ε Σ
V
1 m
β ⋅ ⋅ (1 −
⋅ ⋅
)
V m
U −V ε 1− m
Из этого выражения следует, что стационарные режимы для заданной степени
очистки возможны только при V < V∗ , где
U
.
(6)
1− a m
1+
⋅
ε 1− m
На рис. 2 в координатах высота H – отношение массовых скоростей потоков
V
m ρA
представлены результаты расчетов для трех значений степеδ=
⋅
⋅
U − V 1 − m ρB
ни экстракции фазы 1. Для степени экстракции равной 0,1 (рис. 2, а) вертикальная
V∗
m ρA
линия соответствует δ∗ =
. Аналогичные значения δ∗ существу⋅
⋅
U − V∗ 1 − m ρ B
ют и для других степеней экстракции (рис. 2, б).
Дальнейший анализ формулы (6) показал, что при V>V* существуют стационарные режимы, но уже для больших степеней экстракции.
Предлагаемая модель противоточного реактора вытеснения позволяет провести качественный анализ стационарных режимов реактора в зависимости от всех
управляющих параметров (например, скорости движения фаз, радиуса капель и
т.п.) и выбрать наиболее оптимальный режим процесса.
V∗ =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ю.Н. Финаева, Н.Г. Самойленко, Г.Б. Манелис
118
H, м
H, м
a
20
15
15
10
10
5
5
0
δ∗
0,0
0,2
б
20
0,4
0,6
0,8
1,0
0
δ
δ∗
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
δ
Рис. 2. Зависимость высоты реактора от параметра δ: а – а = 0,1; б – а = 0,05
ЛИТЕРАТУРА
1. Броунштейн Б.И., Железняк А.С. Физико-химические основы жидкостной экстракции.
М.; Л.: Химия, 1966. 314 с.
2. Трейбал Р. // Жидкостная экстракция. М.: Химия, 1966. 724 с. ; Treybal R. Liquid Extraction. 2nd ed. N.Y.: McGraw-Hill Book Company Inc., 1963.
3. Кафаров В.В. Основы массопередачи. М.: Высшая школа, 1979. 439 с.
4. Альдерс Л. Жидкостная экстракция. М.: ИЛ, 1962. 258 с.; Alders L. Liquid– Liquid Extraction. Elsevier Publ. Company, 1959.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 730 с.
Статья поступила 18.11.2011 г.
Finaeva Yu. N., Samoilenko N.G., Manelis G.B. A MODEL OF A COUNTER-CURRENT
PLUG-FLOW EXTRACTION REACTOR. A simple model of the counter flow reactor of ideal
extrusion for extraction processes is formulated. The disperse phase in the form of spherical drops
floats up towards to the moving continuous phase. An analytical solution of the mathematic
model was found in the steady approximation was obtained. It was found that concentration distributions depended on the velocity of the continuous phase movement. At small velocities of the
continuous phase movement, the upper part of the reactor works; at large velocities, the lower
part. It was found that, at a given extraction degree, the steady regimes were implemented not at
all velocities of the continuous phase movement.
Keywords: counter flow reactor, extraction, mass transfer, steady regimes.
FINAEVA Yuliya Nikolaevna (Institute of Problem of Chemical Physics)
E-mail: sam@icp.ac.ru
SAMOILENKO Nikolay Georgievich (Institute of Problem of Chemical Physics)
E-mail: sam@icp.ac.ru
MANELIS Georgii Borisovich (Institute of Problem of Chemical Physics)
E-mail: manelis@icp.ac.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
УДК 536.24
М.А. Шеремет
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РЕЖИМЫ СОПРЯЖЕННОЙ ЕСТЕСТВЕННОЙ
КОНВЕКЦИИ В ЗАМКНУТОМ КУБЕ1
Проведен численный анализ пространственных режимов свободно-конвективного теплопереноса в замкнутом кубе со стенками конечной толщины.
На внешних поверхностях двух противоположных граней задавалась постоянная температура, остальные границы были теплоизолированными. Математическая модель, сформулированная в безразмерных естественных переменных «скорость – давление – температура», реализована численно методом контрольного объема. В результате проведенных исследований установлены масштабы влияния температурного напора и толщины ограждающих твердых стенок на термогидродинамические характеристики.
Ключевые слова: сопряженный теплоперенос, естественная конвекция,
куб, математическое моделирование, метод контрольного объема.
В последнее время наметился возросший интерес к анализу режимов конвективного теплопереноса в замкнутых объемах с учетом кондуктивной теплопередачи в твердых ограждающих стенках [1–5]. Такие исследования имеют широкие
приложения связанные, например, с оптимизацией тепловых режимов в энергетических системах [6], с проектированием эффективных компоновочных элементов
для электронной техники [4, 7], с созданием новых теплообменных аппаратов [6].
Применение аппарата математической физики и вычислительной математики
представляется наиболее оптимальным методом исследования таких взаимосвязанных физических процессов (конвективный теплоперенос в полости и кондуктивный теплообмен в твердых элементах).
Целью настоящей работы является математическое моделирование естественной конвекции в замкнутом кубе с теплопроводными стенками конечной толщины при наличии двух изотермических и четырех адиабатических граней.
Постановка задачи
Рассматривается краевая нестационарная задача конвективного теплопереноса
в замкнутом кубе, представленном на рис 1. На внешней поверхности одной из
вертикальных стенок х = 0 поддерживается постоянная температура Th , а на
внешней поверхности противоположной вертикальной стенки – Tc < Th . Остальные внешние грани теплоизолированы. Предполагалось, что теплофизические
свойства материала стенок и газа не зависят от температуры. Газ считался теплопроводной ньютоновской жидкостью, удовлетворяющей приближению Буссинеска. Предполагается, что в начальный момент времени несжимаемая жидкость,
находящаяся внутри полости, и ограждающие стенки имеют постоянную и одинаковую во всех точках температуру, причем жидкость неподвижна. В такой поста1
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (ГК № П357), а также при финансовой поддержке Совета по грантам
Президента РФ для молодых российских ученых (грант МК-396.2010.8).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Шеремет
120
новке процесс переноса тепла описывается системой нестационарных пространственных уравнений Обербека – Буссинеска [8] в газовой полости и уравнением
теплопроводности [9] в твердых стенках.
z
1
g
2
1
1
h
y
L
x
1
Рис. 1. Область решения: 1 – теплопроводные
ограждающие стенки, 2 – газовая полость
Математическая модель формулируется в безразмерных естественных переменных «скорость – давление – температура». В качестве масштабов расстояния,
L gβ∆T ,
времени, скорости, температуры и давления были выбраны L,
gβ∆TL , ∆T , ρgβ∆TL . Безразмерные переменные имеют вид
X = x L , Y = y L , Z = z L , τ = t gβ∆T L , U = u
V =v
gβ∆TL , W = w
gβ∆TL ,
gβ∆TL , Θ = (T − T0 ) ∆T , P = p ρgβ∆TL
при ∆T = Th − Tс , T0 = 0,5 (Th + Tс ) ;
где х, у, z – координаты декартовой системы координат; X, Y, Z – безразмерные координаты, соответствующие координатам x, y, z; L – длина газовой полости; ρ –
плотность; g – ускорение силы тяжести; β – температурный коэффициент объемного расширения; t – время; τ – безразмерное время; u, v, w – составляющие скорости в
проекции на оси х, у, z соответственно; U, V, W – безразмерные скорости, соответствующие скоростям u, v, w; V0 = gβ∆TL – масштаб скорости (скорость естественной конвекции); р – давление; Р – безразмерное давление; T – температура; Θ – безразмерная температура; T0 – начальная температура области решения.
Если пренебрегать вязкой диссипацией энергии, то уравнения неразрывности,
движения и энергии в газовой полости для рассматриваемой задачи будут иметь вид
∂U ∂V ∂W
+
+
=0;
(1)
∂X ∂Y ∂Z
Pr ⎛ ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ⎞
∂U ∂U 2 ∂ (UV ) ∂ (UW )
∂P
+
+
+
=−
+
+
+
⎜
⎟;
Ra ⎝ ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ⎠
∂τ
∂X
∂Y
∂Z
∂X
(2)
Pr ⎛ ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V ⎞
∂V ∂ (UV ) ∂V 2 ∂ (VW )
∂P
+
+
+
=−
+
+
+
⎜
⎟;
Ra ⎝ ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ⎠
∂τ
∂X
∂Y
∂Z
∂Y
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пространственные режимы сопряженной естественной конвекции в замкнутом кубе
Pr ⎛ ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W
∂W ∂ (UW ) ∂ (VW ) ∂W 2
∂P
+
+
+
=−
+
+
+
⎜
Ra ⎝ ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2
∂τ
∂X
∂Y
∂Z
∂Z
∂Θ ∂ (U Θ ) ∂ (V Θ ) ∂ (W Θ )
+
+
+
=
∂τ
∂X
∂Y
∂Z
⎞
⎟+Θ ;
⎠
⎛ ∂ 2Θ ∂ 2Θ ∂ 2Θ ⎞
+
+
⎜
⎟.
Ra ⋅ Pr ⎝ ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ⎠
1
121
(4)
(5)
Для элементов твердой стенки уравнение теплопроводности
∂Θ
=
∂τ
⎛ ∂2Θ ∂ 2Θ ∂ 2Θ ⎞
+
+
⎜
⎟.
Ra ⋅ Pr ⎝ ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ⎠
a1,2
(6)
Здесь Ra = gβ(Th − Tc ) L3 νa2 – число Рэлея; Pr = ν/a2 – число Прандтля; a1,2 = a1/a2
– относительный коэффициент температуропроводности; a1 – коэффициент температуропроводности материала твердых стенок; a2 – коэффициент температуропроводности газа; ν – кинематический коэффициент вязкости.
Начальные и граничные условия для сформулированной задачи (1) – (6) имеют
вид:
Начальное условие:
U ( X ,Y , Z , 0) = V ( X , Y , Z , 0) = W ( X ,Y , Z , 0) = Θ ( X ,Y , Z , 0) = 0 ,
за исключением изотермических граней.
Граничные условия:
- на границе Х = 0 Θh = 0,5;
- на границе Х = 1+2h/L Θc = –0,5;
- остальные внешние грани являются адиабатическими ∂Θ / ∂n = 0 ;
- на внутренних границах раздела сред
∂Θ2
∂Θ
U = V = W = 0, Θ1 = Θ 2 ,
= λ1,2 1 .
∂n
∂n
Здесь λ2,1 = λ2/λ1 – относительный коэффициент теплопроводности; λ1 – коэффициент теплопроводности материала твердых стенок; λ2 – коэффициент теплопроводности газа.
Сформулированная краевая задача (1)–(6) с соответствующими начальными и
граничными условиями решалась методом контрольного объема [10, 11] на неравномерной структурированной сетке. Для аппроксимации конвективных слагаемых применялся степенной закон [10, 11], для диффузионных слагаемых –
центральные разности. Для совместного определения полей скорости и давления
применялась процедура SIMPLE [10, 11]. Разностные уравнения движения разрешались на основе итерационного метода переменных направлений. Разностные
уравнения энергии как в газовой полости, так и в твердой стенке решались одновременно методом неполной факторизации Булеева [12]. Построение неравномерной структурированной сетки осуществлялось следующим образом:
Si +1 = Si + αis ∆ [13], где Si определяет положение грани контрольного объема, ∆ –
шаг сетки, αs – параметр сгущения. Сгущение разностной сетки проводилось к
стенкам в газовой полости для корректной аппроксимации градиентов искомых
характеристик.
Разработанный метод решения был протестирован на модельной задаче естественной конвекции в кубической полости с двумя вертикальными изотермическими и остальными адиабатическими гранями. В качестве определяемой величи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Шеремет
122
ны выступало среднее число Нуссельта на вертикальной изотермической грани в
широком диапазоне изменения Ra (таблица). В расчетах использовалась неравномерная структурированная разностная сетка размерностью 54 × 54 × 54 .
Зависимость среднего числа Нуссельта от числа Рэлея
Ra
104
105
106
Полученные результаты
2,0563
4,3267
8,3912
[14]
2,055
4,339
8,656
[15]
2,100
4,361
8,770
[16]
2,0556
4,3428
8,6487
[17]
2,055
4,337
8,796
[18]
2,071
4,446
9,432
Результаты, представленные в таблице, наглядно показывают, что используемый численный алгоритм решения приводит к достаточно хорошему согласованию с результатами других авторов.
Результаты численного моделирования
Численные исследования краевой задачи (1) – (6) проведены при следующих
значениях безразмерных комплексов: 103 ≤ Ra ≤106, Pr = 0,7, λ2,1 = 5,7⋅10−4,
h/L = 0,05, 0,1, 0,2. Особое внимание было уделено анализу влияния числа Рэлея,
относительной толщины твердых стенок и размерности задачи как на локальные
термогидродинамические характеристики (поля скорости и температуры), так и
на интегральный параметр (среднее число Нуссельта на внутренних границах раздела сред) в стационарном режиме.
На рис. 2 представлены траектории движения газовых частиц, поля скорости и
температуры, соответствующие различным режимам термогравитационной конвекции Ra = 104, 105, 106, при h/L = 0,2.
а
б
в
Рис. 2. Стационарные поля скорости, траектории движения и поля температуры
при Ra = 104 (а); Ra = 105 (б;) Ra = 106 (в)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пространственные режимы сопряженной естественной конвекции в замкнутом кубе
123
Анализируя распределения гидродинамических параметров, можно утверждать, что увеличение температурного напора приводит к повышению интенсивности движения в полости, а также отражается на модификации структуры траекторий движения газовых объемов. При Ra = 104 (рис. 2,а) в газовой полости формируется один глобальный вихрь, характеризующий появление восходящих потоков вблизи нагреваемой стенки и нисходящих потоков около противоположной
поверхности охлаждаемой твердой стенки. Траектории движения при этом представляют собой сложные трехмерные спиральные структуры, которые в центральной части вырождаются в концентрические окружности. Поле температуры
отражает взаимодействие пограничных слоев со стороны вертикальных поверхностей твердых стенок. В центральной части наблюдается незначительная температурная стратификация среды. Увеличение числа Рэлея в 10 раз (рис. 2,б) приводит
к сохранению единого глобального вихря, структура которого несколько изменяется. Наблюдается вертикальная деформация траекторий движения, и в центральной части ядро потока растягивается по координате х. Также заметно наличие
сложных спиралевидных траекторий объемов среды, удаляемых со стороны вертикальных поверхностей адиабатических стенок. Такие поперечные течения, достигая центральной зоны полости, вовлекаются в основное циркуляционное движение, обусловленное направленным воздействием температурного градиента.
Необходимо отметить более устойчивую температурную стратификацию в средней части полости, отражающую прогрев анализируемого объекта по направлению сверху вниз, вследствие взаимодействия теплых восходящих и холодных
нисходящих потоков. При Ra = 106 (рис. 2,в) траектории поперечного движения
газовых объемов существенно видоизменяются – шаг спиралевидной траектории
значительно увеличивается по сравнению с режимами Ra = 104, 105. Поле температуры отражает уменьшение толщин тепловых пограничных слоев, что сказывается на глубине проникновения температурных волн в центре газового объема.
Проведен анализ влияния числа Рэлея, размерности задачи и Nuavg
относительной толщины твердых
стенок на среднее число Нуссель8
та на границе раздела сред (рис. 3)
1+ h L 1+ h L
∂Θ
Nu avg = ∫
dYdZ .
∫ ∂X
6
X =h L
h L h L
С ростом числа Рэлея наблюдается монотонное увеличение
обобщенного коэффициента теплообмена независимо от размерности задачи и толщины стенок.
В случае бесконечно тонких стенок h/L = 0,0 трехмерная постановка задачи дает несколько
меньшие значения среднего числа
Нуссельта, при этом наибольшее
относительное расхождение
2D
Nu avg
− Nu 3D
avg
⋅100 % = 5,4 %
Nu 3D
avg
4
2
0
103
104
105
Ra
Рис. 3. Зависимость среднего числа Нуссельта на
границе раздела сред X = h/L в случае плоской и
пространственной постановок задачи при различных значениях числа Рэлея и относительной толщины стенки
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Шеремет
124
наблюдается при Ra = 106. Введение твердых стенок при h/L = 0,2 приводит к существенному понижению среднего числа Нуссельта в случае как плоской, так и
пространственной постановки задачи. Следует отметить, что наиболее значительное уменьшение Nu avg происходит в случае трехмерной задачи, что обусловлено
наличием дополнительной ограничивающей поверхности и соответственно дополнительным направлением переноса энергии.
На рис. 4 и 5 представлены поля скорости и температуры в случае пространственной (среднее сечение по координате Y, рис. 4) и плоской [19] (рис. 5) постановки задачи при Ra = 105.
а
б
в
г
Рис. 4. Стационарные поля скорости и температуры в среднем сечении по координате Y
в случае трехмерной задачи при Ra = 105
а
б
в
Рис. 5. Стационарные поля скорости и температуры
в случае двумерной задачи при Ra = 105
г
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пространственные режимы сопряженной естественной конвекции в замкнутом кубе
125
Для пространственной задачи введение твердых стенок приводит к изменению
конфигурации течения. При h/L = 0,0 (рис. 4, а) в газовой полости формируется
гидродинамическая структура, состоящая из двух центральных конвективных
ячеек, определяющих течение в направлении по часовой стрелке. Появление
твердых стенок минимальной толщины h/L = 0,05 проявляется в сужении зоны
двухячеистой конвективной структуры, а дальнейшее увеличение толщины ограждающих стенок приводит к вырождению двухячеистой структуры в одноячеистую при h/L = 0,2 (рис. 4, г). Изотермы также претерпевают изменения. Например, при h/L = 0,05 изотермы, соответствующие безразмерным температурам
Θ = ±0,45, полностью лежат в газовой полости, за исключением верхней и нижней
стенок. При h/L = 0,2 в стационарном режиме эти изотермы проходят по внутренним границам раздела сред. Такая динамика распределения линий постоянной
температуры отражается и на зависимостях для среднего числа Нуссельта (рис. 3).
В случае двумерной постановки задачи (рис. 5) введение твердых стенок в
большей степени отражается на модификации изотерм, при этом конфигурация
линий тока сохраняется. Сравнивая результаты плоской и пространственной постановок, можно утверждать, что наличие третьей координаты вносит существенные коррективы в конфигурацию течения, при этом поля температуры изменяются незначительно.
Заключение
Проведен численный анализ пространственных стационарных режимов естественной конвекции в замкнутом кубе с теплопроводными стенками конечной
толщины. В результате получены поля скорости и температуры, а также распределения среднего числа Нуссельта на внутренней границе раздела сред в широком
диапазоне изменения определяющих параметров: 103 ≤ Ra ≤ 106, Pr = 0,7,
λ2,1 = 5,7⋅10−4, h/L = 0,05, 0,1, 0,2. Детально проанализировано влияние числа Рэлея, относительной толщины ограждающих твердых стенок и размерности задачи
(двумерная и трехмерная постановки) на распределения локальных и интегральных термогидродинамических характеристик. Установлено, что рассматриваемая
задача (геометрический параметр, характеризующий отношение длин сторон, равен 1) является пространственной, как вследствие формирования поперечных течений, которые в центральной части полости вовлекаются направленным градиентом температуры в основную циркуляцию, так и в результате огранивающего
термического воздействия третьей координаты из-за наличия твердой стенки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Valencia L., Pallares J., Cuesta I., Grau F.X. Turbulent Rayleigh–Benard convection of water in cubical cavities: A numerical and experimental study // Int. J. Heat Mass Transfer.
2007. V. 50. P. 3203–3215.
2. Kuznetsov G.V., Sheremet M.A. Conjugate natural convection with radiation in an enclosure //
Int. J. Heat Mass Transfer. 2009. V. 52. P. 2215–2223.
3. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Конвекция Рэлея – Бенара в замкнутом объеме со стенками конечной толщины // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 10. С. 111–
122.
4. Liu Y., Phan-Thien N., Kemp R., Luo X.-L. Three-dimensional coupled conductionconvection problem for three chips mounted on a substrate in an enclosure // Numerical Heat
Transfer, Part A: Applications. 1997. V. 32. P. 149–167.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
126
М.А. Шеремет
5. Шеремет М.А. Математическое моделирование нестационарной сопряженной термогравитационной конвекции в замкнутом наклонном цилиндре // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4(3). С. 1272–11274.
6. Jaluria Y. Design and Optimization of Thermal Systems. New York: McGraw-Hill, 1998.
626 p.
7. Sheremet M.A. Numerical Simulation of Turbulent Natural Convection in an Electronic Enclosure // Proc. of the 11th International Conference and Seminar on Micro/Nanotechnologies
and Electron Devices EDM’2010, June 30 − July 4 2010, Erlagol, Russia. P. 177–180.
8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.
9. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
10. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости.
М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.
11. Versteeg H.K., Malalasekera W. An Introduction to Computational Fluid Dynamics. The Finite Volume Method. N.Y.: Wiley, 1995. 257 p.
12. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.:
Физматлит, 1995. 288 с.
13. Liaqat A., Baytas A.C. Conjugate natural convection in a square enclosure containing volumetric sources // Int. J. Heat Mass Transfer. 2001. V. 44. P. 3273–3280.
14. Bessonov O.A., Brailovskay V.A., Nikitin S.A., Polezhaev V.I. Three- dimensional natural
convection in a cubical enclosure: a benchmark numerical solution // Proc. of Int. Symposium
on Advances in Computational Heat Transfer. – Turkey, 1997. P. 157–165.
15. Fusegi T., Hyin J.M., Kuwahara K. A numerical study of 3D natural convection in a differently heated cubical enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. V. 34. P. 1543–1557.
16. Артемьев В.К., Рожков М.М. Численное моделирование трехмерной естественной
конвекции в кубической полости // Труды XIII Школы-семинара молодых ученых и
специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева «Физические основы
экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках». Санкт-Петербург, 2001. Т. 1. С. 153–
157.
17. Гинкин В.П., Ганина С.М. Метод и программа расчета трехмерной конвекции на сетках
большой размерности // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002. Т. 3. С. 49–52.
18. Kuznetsov G.V., Sheremet M.A. A numerical simulation of double-diffusive conjugate natural
convection in an enclosure // Int. J. Thermal Sciences. 2011. V. 50. P. 1878–1886.
19. Шеремет М.А. Математическое моделирование естественной конвекции в замкнутой
квадратной полости с теплопроводными стенками конечной толщины // Физ-Мат. 2011.
№ 1−2. C. 7–12.
Статья поступила 20.09.2011 г.
Sheremet M.A. 3D REGIMES OF CONJUGATE NATURAL CONVECTION IN A CLOSED
CUBE. Numerical analysis of 3D regimes of natural convection in a closed cube with finite
thickness walls has been carried out. The external surfaces of two opposite sides were kept at constant temperatures, while the rest were adiabatic. A mathematical model formulated in dimensionless primitive variables “velocity – pressure – temperature” has been solved by means of the
finite volume method. The influence scales of a temperature difference and a thickness of solid
walls on thermohydrodynamic parameters have been determined.
Keywords: conjugate heat transfer, natural convection, cube, mathematical simulation, finite volume method.
SHEREMET Mikhail Aleksandrovich (Tomsk State University)
E-mail:sheremet@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 1(17)
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
АНТОННИКОВА Александра Александровна – аспирант, младший научный сотрудник
Института проблем химико-энергетических технологий СО РАН (ИПХЭТ СО РАН).
E-mail: Antonnikova.A@mail.ru
БУБЕНЧИКОВ Михаил Алексеевич – ассистент кафедры теоретической механики Томского государственного университета. Е-mail: michael121@mail.ru
БУДАНОВ Александр Викторович – аспирант кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: alexandrbud@mail.ru
ВОРОЖЦОВ Борис Иванович – доктор технических наук, профессор, главный научный
сотрудник Института проблем химико-энергетических технологий Сибирского отделения
РАН (ИПХЭТ СО РАН). E-mail: ipcet@mail.ru
ГРИНШПОН Самуил Яковлевич – доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: grinshpon@math.tsu.ru
ГУЛЬКО Сергей Порфирьевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: gulko@math.tsu.ru, spg@mail.tsu.ru
ЕРШОВ Игорь Валерьевич – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информационных систем и технологий Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета. E-mail: i_ershov@ngs.ru
ЗЫРЯНОВ Кирилл Игоревич – старший преподаватель кафедры информационных систем и технологий Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета. E-mail: k-zyryanov@ngs.ru
КОНЕВ Виктор Васильевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и математического моделирования Томского государственного университета. Е-mail: vvkonev@mail.tsu.ru
КУДРЯШОВА Ольга Борисовна – кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник Института проблем химико-энергетических технологий СО РАН
(ИПХЭТ СО РАН). E-mail: olgakudr@inbox.ru
ЛАЗАРЕВ Вадим Ремирович – старший преподаватель кафедры теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: lazarev@
math.tsu.ru
ЛОБОДА Егор Леонидович − кадидат физико-матаматических наук, доцент кафедры физической и вычислительной механики Томского государственного университета. E-mail:
loboda@mail.tsu.ru
МАНЕЛИС Георгий Борисович – доктор химических наук, член-корр. РАН, советник
Института проблем химической физики РАН. E-mail: manelis@icp.ac.ru
МАХМУДОВ Нурали Мехрали оглы – доцент кафедры информатики Нахичеванского
государственного университета (Азербайджан). Е-mail: nuralimaxmudov@rambler.ru
НИКОЛЬСКАЯ Мария Михайловна – ассистент кафедры высшей математики Томского
государственного архитектурно-строительного университета. E-mail: mary_s83@mail.ru
ОСИПОВ Александр Владимирович – кандидат физико-математических наук, старший
научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН, доцент Уральского федерального университета. Е-mail: OAB@list.ru
ПРОКОФЬЕВ Вадим Геннадьевич – доктор физико-математических наук, профессор
кафедры математической физики Томского государственного университета. E-mail:
pvg@ftf.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
128
Сведения об авторах
ПЧЕЛИНЦЕВ Евгений Анатольевич – аспирант совместной русско-французской аспирантуры между Томским государственным университетом (механико-математический факультет) и Руанским университетом (лаборатория математики Рафаэля Салема, Франция).
E-mail: evgen-pch@yandex.ru
САЛМАНОВ Вугар Ибрагим оглы – старший преподаватель кафедры информатики Нахичеванского государственного университета (Азербайджан). Е-mail: nuralimaxmudov@
rambler.ru
САМОЙЛЕНКО Николай Григорьевич – ведущий научный сотрудник Института проблем химической физики РАН. E-mail: sam@icp.ac.ru
СМОЛЯКОВ Виктор Кузьмич – доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией отдела структурной макрокинетики ТНЦ СО РАН. E-mail: vsmol52@mail.ru
ФИНАЕВА Юлия Николаевна – инженер Института проблем химической физики РАН
E-mail: sam@icp.ac.ru
ХМЫЛЁВА Татьяна Евгеньевна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета. Е-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович – доктор физико-математических наук, профессор,
профессор кафедры алгебры Томского государственного университета. E-mail: cheklov@
math.tsu.ru
ШЕРЕМЕТ Михаил Александрович – кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры теоретической механики Томского государственного университета. E-mail:
sheremet@math.tsu.ru
ЯКИМОВ Анатолий Степанович − доктор технических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры физической и вычислительной механики Томского государственного университета. E-mail: yakimovas@mail.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа