close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

747.Вестник Томского государственного университета. Математика и механика №2 2011

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ УНИВЕРСИТЕТА
И НАУКИ РФ
Математика и механика
2011
2(14)
ВЕСТНИК
ТОМСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
TOMSK STATE UNIVERSITY
JOURNAL OF MATHEMATICS AND MECHANICS
Научный журнал
2011
№ 2(14)
Свидетельство о регистрации: ПИ № ФС77-30658
от 20 декабря 2007 г.
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
И.В. Корытов
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ЖУРНАЛА
«ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА.
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА»
Глазунов А.А., д-р физ.-мат. наук, проф. (председатель); Гулько С.П., д-р физ.-мат. наук,
проф. (зам. председателя); Лазарева Е.Г., канд. физ.-мат. наук, доц. (отв. секретарь); Александров И.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Берцун В.Н., канд. физ.-мат. наук, доц.; Биматов В.И., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бубенчиков А.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бухтяк М.С., канд. физ.-мат. наук, доц.; Васенин И.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Гришин А.М.,
д-р физ.-мат. наук, проф.; Ищенко А.Н., д-р физ.-мат. наук, проф.; Конев В.В., д-р физ.-мат.
наук, проф.; Крылов П.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Лейцин В.Н., д-р физ.-мат. наук,
проф.; Панько С.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Пергаменщиков С.М., д-р физ.-мат. наук,
проф.; Сипачёва О.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Скрипняк В.А., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Старченко А.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Шрагер Г.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Шрагер Э.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.; Cauty R., prof.
Научный журнал «Вестник Томского государственного университета. Математика и
механика» был выделен в самостоятельное периодическое издание из общенаучного журнала «Вестник Томского государственного университета» в 2007 г. Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере массовых коммуникаций, связи и охраны
культурного наследия (свидетельство о регистрации ПИ № ФС 77-30658 от 20 декабря
2007 г.), ему присвоен международный стандартный номер сериального издания (ISSN
1998-8621). Журнал выходит ежеквартально и распространяется по подписке, его подписной индекс 44064 в объединённом каталоге «Пресса России».
«Вестник ТГУ. Математика и механика» входит в систему Российского индекса научного цитирования (РИНЦ) на платформе http://elibrary.ru, а также в Перечень ВАК изданий
для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций. Кроме того, все номера журнала присутствуют и обрабатываются на общероссийском математическом портале http://Math-Net.ru.
Адрес редакции:
634050, г. Томск, пр. Ленина, д.36, корп. 2, к. 417
Электронный адрес: http://vestnik.tsu.ru/mathematics
Контактный тел./факс: (3822) 529-740
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ООО «Издательство научно-технической литературы»
634050, Томск, пл. Ново-Соборная, 1, тел. (3822) 533-335
Редактор Т.С. Портнова
Верстка Д.В. Фортеса
Изд. лиц. ИД № 04000 от 12.02.2001. Подписано к печати 06.06.2011.
Формат 70 × 100 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. п. л. 10,80. Уч.-изд. л. 12,10. Тираж 300 экз. Заказ № 19.
Отпечатано в типографии «М-Принт», г. Томск, ул. Пролетарская, 38/1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Корытов И.В. Экстремальная функция линейного функционала в весовом пространстве Соболева .................................................................................................................5
Пестов Г.Г., Фомина Е.А. К теории двумерно упорядоченных полей .................................16
Садритдинова Г.Д. Решения уравнения Лёвнера с начальным условием на границе
круга .......................................................................................................................................20
Соболев В.В., Молчанов А.А. Численный метод решения задачи Сен-Венана о
кручении стержня двусвязного сечения методом конформного отображения ................25
Трясучёв П.В. Стохастическая модель динамики относительных приращений цены
акции.......................................................................................................................................38
Фомин А.А., Фомина Л.Н. Ускорение полинейного рекуррентного метода в подпространствах Крылова ........................................................................................................45
Чистяков Д.С., Любимцев О.В. Об абелевых группах без кручения с UA-кольцом
эндоморфизмов......................................................................................................................55
Юлдашев Т.К. О смешанной задаче для нелинейного дифференциального уравнения, содержащего квадрат гиперболического оператора и нелинейное отражающее отклонение......................................................................................................................59
МЕХАНИКА
Ануфриев И.С., Аникин Ю.А., Саломатов В.В., Шарыпов О.В., Энхжаргал Х.
Экспериментальное исследование структуры закрученных потоков в модели
вихревой топки методом лазерной доплеровской анемометрии.......................................70
Бубенчиков М.А. Способ минимизации схемной диффузии в численной модели
аэродинамики.........................................................................................................................79
Голованов А.Н., Рулёва Е.В. О влиянии периодических пульсаций газа-охладителя
на характеристики теплообмена в системе пористого охлаждения ..................................85
Гришин А.М., Фильков А.И., Лобода Е.Л., Рейно В.В., Руди Ю.А., Кузнецов В.Т., Караваев В.В. Экспериментальные исследования возникновения и
распространения степного пожара в натурных условиях ..................................................91
Орлов С.А., Шрагер Л.А. Исследование коэффициента сопротивления элементов
кроны кедровой сосны ........................................................................................................103
Суглобова И.К., Ильина Е.В., Шипачев А.Н., Зелепугин С.А. Выбор параметров
нагружения титановых образцов при динамическом канально-угловом прессовании.....................................................................................................................................111
Шваб А.В., Зятиков П.Н., Брендаков В.Н., Никульчиков В.К. Метод расчета
эффективности классификации порошков на основе измерений их удельных поверхностей............................................................................................................................117
Шеремет М.А., Шишкин Н.И. Математическое моделирование нестационарных
режимов тепломассопереноса в элементе электронной техники ....................................124
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ......................................................................................................132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.988.8
И.В. Корытов
ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА
В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
В работе построен элемент равномерно выпуклого пространства, на котором
функционал достигает своей нормы. Результат имеет приложение в теории
кубатурных формул, где погрешность численного интегрирования представлена линейным функционалом и может быть оценена через его норму. Норма функционала погрешности выражается через такой элемент, называемый
экстремальной функцией.
Ключевые слова: экстремальная функция, весовое пространство Соболева, линейный финитный функционал, интегральное представление функционала, норма функционала, норма экстремальной функции.
Вопросы, рассматриваемые в данной работе, возникают из задач теории кубатур о построении априорных оценок на классах функций погрешностей формул
численного интегрирования функций нескольких переменных. Использование аппарата функционального анализа для построения таких оценок начато С.Л. Соболевым [1]. Согласно этому подходу, кубатурная сумма, приближающая данный
интеграл, рассматривается как линейная комбинация дельта-функций. В приближаемом интеграле обобщенной функцией выступает индикатор области интегрирования. Погрешность кубатурной формулы представляет собой разность этих
двух линейных функционалов. Константой, оценивающей погрешность, выступает произведение норм функционала в сопряженном и функции в основном
пространствах. Поскольку норма функции предполагается заданной, основное
внимание уделяется выражению нормы функционала.
Первым функциональным пространством, для которого была решена такая задача, было L2(m) с ограничением 2m > n. Ограничение обеспечивает непрерывность основных функций, что необходимо для существования дельта-функций
над ними. Благодаря показателю суммируемости p = 2 это пространство является
гильбертовым, и задача нахождения нормы функционала здесь сводится к решению линейного дифференциального уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами. На этом этапе возникает объект, называемый экстремальной функцией данного функционала и являющийся, по сути, точкой единичной сферы равномерно выпуклого пространства, на котором функционал достигает своей нормы. С точки зрения приближения это самая «плохая» функция класса,
поскольку кубатурная формула дает на ней наибольшую погрешность. Эта функция является решением указанного уравнения, и через нее можно выразить норму
функционала.
В данной работе рассматривается весовое пространство Соболева с произвольным показателем суммируемости 1 < p < ∞, и уравнение, решением которого
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.В. Корытов
6
является экстремальная функция, становится в общем случае нелинейным. Поэтому построение экстремальной функции производится без решения этого уравнения, на основе интегрального представления функционала и условии достижимости функционалом своей нормы.
1. Исходные положения
Пространством основных функций в работе выступает весовое пространство
Соболева Wp(m) (Rn, ω). Весом является положительная на Rn функция
ω(x) = ω(x1, …, xn), имеющая обобщенные частные производные Dαω(x) до порядка m включительно, такая, что произведения ω1/p(x) |Dαϕ(x)| суммируемы в p-й
степени, 1 < p < ∞. Здесь ϕ(x) – функция из основного пространства Wp(m) (Rn, ω),
α = (α1, …, αn) – мультииндекс, |α| = α1 + … + αn. Условие pm > n обеспечивает
непрерывность основных функций. Норма в пространстве Wp(m) (Rn, ω) определяется выражением
1/ p
p
⎛
⎞
| α |!
ω ( x ) D α ϕ ( x ) dx ⎟ .
(1)
( R n , ω) = ⎜ ∫ ∑
⎜ | α| ≤ m α !
⎟
⎝ Rn
⎠
Функционал l над пространством основных функций является линейным финитным с ограниченным носителем supp(l) ⊆ Ω, где Ω – ограниченная в Rn область.
Определение (С.Л. Соболев). Экстремальной функцией данного функционала
называется функция, для которой выполнено равенство
ϕ W p( m)
l , ψ l = l B* ψ l B ,
где B – банахово пространство основных функций и B* – сопряженное ему пространство обобщенных функций [1].
В качестве основного принято рассматривать пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций D(Rn) и пространство обобщенных функций
над ним D*(Rn). Пространство Wp(m) (Rn, ω) – замыкание D (Rn) по норме (1), и для
этих пространств выполнено включение D ⊂ Wp(m). Для пространств обобщенных
функций над ними справедливо обратное включение Wp(m)* ⊂ D*, поэтому утверждения, доказанные для элементов из D*, будут верными и для элементов из
Wp(m)*. Множество функционалов погрешности кубатурных формул является подмножеством всех линейных функционалов над весовым пространством Соболева,
следовательно, доказанные здесь утверждения будут верны и для них.
2. Фундаментальные решения эллиптических операторов
Приведенные в этом пункте утверждения предваряют доказательство теоремы
о представлении функционала в весовом пространстве Соболева.
Рассмотрим два эллиптических оператора
m
(1 − ∆ )m = ∑ k !( mm−! k )! ( −1)k ∆ k ;
(2)
k =0
∑
α ≤m
α!
α!
m
( −1) α D 2α = ∑ ( −1)k ∆ k ,
(3)
k =0
которые совпадают при m = 1. При m > 1 фундаментальное решение E(|x|) опера-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экстремальная функция линейного функционала в весовом пространстве Соболева
7
тора (3) в явном виде не построено. Тем не менее, можно получить оценки его
производных в окрестности начала координат и на бесконечности, используя
оценки производных фундаментального решения G2m(|x|) оператора (2), сведения
о котором приведены в [2]:
D α G2 m
⎧ ne−−2xm +1 ,
⎪x 2
⎪1 − ln x ,
⎪
≤C⎨ 1
,
⎪ x n−2m+ α
⎪
⎪
⎩ 1,
x > 1,
∀n, m, α;
x < 1, n − 2m + α = 0,
x < 1, n − 2m + α = 0,
α = 2k , k ∈ Z;
α = 2k + 1, k ∈ Z
или n − 2m + α > 0;
x < 1, n − 2m + α < 0.
Лемма 1. Фундаментальное решение G2m(|x|) оператора (2) принадлежит пространству Wq(m) (Rn, ω–1/(p–1)) при pm > n, 1/p +1/q = 1, 1 < p < ∞.
Доказательство. Для доказательства требуется установить суммируемость в
степени q частных производных всех порядков |α| ≤ m функции G2m(|x|). На основании приведенных оценок все частные производные убывают на бесконечности
по экспоненциальному типу, и несобственные интегралы вне единичного шара от
каждой из производных сходятся. Несобственный интеграл от первой из функций,
оценивающих производные внутри единичного шара, сходится, а интеграл от
единицы является собственным. Интеграл от второй функции, оценивающей производные DαG2m(|x|), возведенной в степень q, сходится при условии
p(2m − |α|) > n. Таким образом, производные наивысшего порядка оцениваются
сходящимся несобственным интегралом при pm > n.
(1 + x )
λ( x ) =
2 m
Лемма 2. Функция
m
∑
x
, x ∈ Rn , является мультипликатором
2α
α =0
в Lp при 1 < p < ∞.
Доказательство. Функция n действительных переменных λ(|x|) является отношением полиномов равных степеней. Знаменатель ее не имеет действительных корней, и потому λ(|x|) непрерывна на Rn. Так как lim λ ( x ) = 1 , то λ(|x|) ограничена.
x →∞
Производные Dkλ(|x|), где k = (k1, …, kn), (kj = 0, 1; j = 1, …, n) также непрерывны и lim x k D k λ ( x ) = ak , где ak – отношение коэффициентов при старших степеx →∞
нях числителя и знаменателя, откуда следует ограниченность произведения,
стоящего под знаком предела.
Таким образом, функция λ(|x|) удовлетворяет требованиям критерия, сформулированного в [2], и является мультипликатором, что доказывает утверждение
леммы.
Лемма 3. Фундаментальное решение E(|x|) оператора (3) принадлежит пространству Wq(m) (Rn, ω–1/(p–1)) при pm > n, 1/p +1/q = 1, 1 < p < ∞.
Доказательство. Функции E(|x|) и G2m(|x|) связаны выражением
1
1
⎤ = F −1 ⎡
⎤=
E ( x ) = F −1 ⎡⎢
m
m
⎥
⎢
⎥
⎡
⎤
⎢ F ⎢ ∑ (−1) k ∆ k ⎥ ⎥
⎢ ∑ 2πz 2 k ⎥
⎢⎣ k =0
⎥⎦
⎢⎣ ⎣ k =0
⎦ ⎦⎥
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.В. Корытов
8
=F
−1
(
)
⎡ 1 + 2πz 2 m
1
⎢
⋅
⎢ m
2
1 + 2πz
⎢ ∑ 2πz 2 k
⎣⎢ k =0
(
)
⎤
⎥ = F −1 [ λ ( 2πz ) F [G ( x )]] .
2m
m⎥
⎥
⎦⎥
(4)
Здесь и далее F и F–1 – прямое и обратное преобразования Фурье. Согласно свойствам мультипликатора λ(|x|) [2],
E ( x ) = F −1 [ λ ] ∗ G2m ( x ) ,
и по правилу дифференцирования свертки при всех |α| ≤ m
D α E ( x ) = F −1 [ λ ] ∗ D α G2m ( x ) .
(5)
По определению [2] для мультипликатора λ(|x|) и любой функции f ∈ Lq(Rn),
1/p +1/q = 1, 1 < p < ∞, выполняется неравенство
F −1 [ λF [ f ]] Lq ( R n ) ≤ C f Lq ( R n ) .
(6)
Это неравенство будет справедливым и для весовых норм. Следовательно, на основании (4) – (6) при всех |α| ≤ m справедлива оценка производных функции E(|x|)
− 1 ⎞
− 1 ⎞
⎛
⎛
D α E Lq ⎜ R n , ω p −1 ⎟ ≤ C D α G2 m Lq ⎜ R n , ω p −1 ⎟ ,
⎝
⎠
⎝
⎠
что доказывает утверждение леммы.
3. Представление функционала
Теорема 1. Для любого линейного финитного функционала l ∈ Wp(m)* (Rn, ω),
supp(l) ⊆ Ω, при условии pm > n, 1/p +1/q = 1, 1 < p < ∞, существует единственная
функция u ∈ Wq(m) (Rn, ω–1/(p–1)), реализующая его представление в виде
l, ϕ =
α!
α
α
∫ α∑≤m α! D u D ϕ dx .
(7)
Rn
Доказательство. Интегрирование по частям в (7) приводит к тому, что функция u должна удовлетворять уравнению
∑
α ≤m
α!
α!
( −1) α D 2α u, ϕ = l , ϕ .
Известно [3], что функция, удовлетворяющая уравнению с постоянными коэффициентами, равна свертке u = E∗l правой части с фундаментальным решением
уравнения. Эта функция единственна, так как свертка D* существует. Покажем
далее, что u принадлежит также и пространству Wq(m) (Rn, ω–1/(p–1)), иными словами, является регулярной обобщенной функцией.
Применение неравенства Гельдера к (7) приводит к необходимости существования нормы функции u в пространстве Wq(m) (Rn, ω–1/(p–1))
1
1
1
⎛
⎞q ⎛
⎞p
q
p
α! −
α!
l , ϕ = ⎜ ∫ ∑ α! ω p −1 D α u dx ⎟ ⎜ ∫ ∑ α! ω D α ϕ dx ⎟ .
(8)
⎜ α ≤m
⎟ ⎜ α ≤m
⎟
⎝ Rn
⎠ ⎝ Rn
⎠
Рассмотрим пространство Wq(m) (Rn, ω–1/(p–1)) как основное и норму функции u в
виде
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экстремальная функция линейного функционала в весовом пространстве Соболева
9
1
q q
⎛
− 1 ⎞
− 1 ⎞ ⎞
α!
⎛
⎛
u Wq ( m ) ⎜ R n , ω p −1 ⎟ = ⎜ ∑ α! D α u Lq ⎜ R n , ω p −1 ⎟ ⎟ .
⎝
⎠ ⎜⎝ α ≤ m
⎝
⎠ ⎟⎠
Тогда на основании ограниченности всякого линейного функционала в Lq [4] имеем для всех |α| ≤ m
− 1 ⎞
⎛
D α u Lq ⎜ R n , ω p −1 ⎟
⎝
⎠
q
− p1−1
=
∫ω
Dα E ∗ l
q
− p1−1
dx ≤ M αq
Rn
∫ω
q
D α E dx .
Rn
На основании леммы 3 интеграл, стоящий в правой части неравенства, сходится,
если pm > n. Отсюда следует принадлежность функции u пространству
Wq(m) (Rn, ω–1/(p–1)).
Теорема доказана.
4. Неравенства Гельдера в различных пространствах
В дальнейшем нам потребуется неравенство Гельдера для интегралов в следующей форме. Если f(x) ∈ Lp (Rn), g(x) ∈ Lq (Rn), 1/p + 1/q = 1, 1 < p < ∞,
| f ( x) |
| g ( x) |
ξ( x ) =
, η( x) =
,
1/ p
1/ q
(
p
∫ | f ( x)| dx
Rn
)
(
q
∫ | g ( x)| dx
Rn
)
где знаменателями дробей выступают нормы заданных
||ξ(x) |Lp (Rn)|| = 1, ||η(x) |Lq (Rn)|| = 1, то выполняется неравенство
функций
∫ ξ( x)η( x)dx ≤ 1,
и
(9)
Rn
которое превращается в равенство, если ξp(x) = ηq(x).
Лемма 4. Если f ∈ Lp (Rn,ω), g ∈ Lq (Rn, ω–1/(p–1)), 1/p + 1/q = 1, 1 < p < ∞, то существуют такие функции ξω и ηω, что ||ξω |Lp (Rn)|| = 1, ||ηω |Lq (Rn)|| = 1 и выполняется неравенство
∫ ξωηωdx ≤ 1 ,
(10)
Rn
которое становится равенством при ξωp = ηωq.
Доказательство. Из условия следует, что ω1/pf ∈ Lp (Rn), ω–1/pg ∈ Lq (Rn). Тогда согласно вышесказанному существуют функции
ξ=
η=
| ω1/ p f |
1/ p
ω
|ω
ω
−1/ p
f L p (R n )
−1/ p
g|
g L p (R n )
= ω1/ p
=ω
|f |
= ω1/ p ξω ;
f L p (R n , ω)
−1/ p
(
|g|
g Lq R n , ω
−1/( p −1)
)
=ω
−1/ p
ηω ,
принадлежащие как невесовым ξ ∈ Lp (Rn), η ∈ Lq (Rn), так и весовым
ξω ∈ Lp (Rn, ω), ηω ∈ Lq (Rn, ω–1/(p–1)) пространствам. Отсюда следует, что если верно (9), то верно и (10). Достижение равенства проверяется непосредственной подстановкой.
Лемма доказана.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.В. Корытов
10
Лемма 5. Если f ∈ Wp(m) (Rn, ω), g ∈ Wq(m) (Rn, ω–1/(p–1)), 1/p + 1/q = 1, 1 < p < ∞,
то существуют такие функции ξω,m и ηω,m, что ||ξω,m |Lp (Rn)|| = 1, ||ηω,m |Lq (Rn)|| = 1
и выполняется неравенство
(11)
∫ ξω,m ηω,m dx ≤ 1 ,
Rn
которое становится равенством при ξω,mp = ηω,mq.
Доказательство. Норма функции (1) в весовом пространстве Соболева может
быть представлена в виде
1/ p
⎛
p⎞
| α |! α
f
D f L p ( R n , ω) ⎟ .
( R n , ω) = ⎜⎜ ∑
⎟
α
!
⎝ |α|≤ m
⎠
α
α
–1/(p–1)
Из условия следует, что D f ∈ Lp (Rn, ω), D g ∈ Lq (Rn, ω
) при всех |α| ≤ m.
Тогда по лемме 4 существуют функции
| Dα f |
| Dα g |
.
ξω,α = α
; ηω,α = α
D f L p (R n , ω)
D g L p (R n , ω−1/( p −1) )
W p( m)
Для этих функций при любом |α| ≤ m выполняется неравенство (10), из которого
следует
α
α
α
α
−1/( p −1)
) .
∫ D fD g dx ≤ D f Lp (R n , ω) D g Lp (R n , ω
Rn
Суммирование по всем |α| ≤ m дает
∫ |α∑
|≤ m
Rn
| α |! α α
D fD g dx ≤
α!
| α |! α
D f L p (R n , ω) D α g L p (R n , ω−1/( p −1) ) .
≤ ∑
α
!
|α|≤ m
(12)
После применения неравенства Гельдера для сумм к левой части (12) имеем
⎛
⎜∫
⎜
⎝ Rn
| α |!
∑ α ! Dα f
|α|≤ m
1/ p
p
⎞
dx ⎟
⎟
⎠
⎛
⎜∫
⎜
⎝ Rn
1/ q
⎞
q
| α |!
∑ α ! Dα g dx ⎟⎟
|α|≤ m
⎠
(
≤
)
≤ f W p ( m ) ( R n , ω) g Wq ( m ) R n , ω−1/( p −1) .
Применение неравенства Гельдера для сумм к правой части (12) дает такую же
оценку. Поэтому искомые функции имеют вид
1/ p
ξω,m
⎛
α! α p⎞
D f ⎟
⎜ ∑
⎜
⎟
α ≤m α !
⎝
⎠
=
(m)
f W p ( R n , ω)
1/ q
ηω,m
⎛
⎜
=⎜
⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⎛
α! α q⎞
D g ⎟
⎜ ∑
⎜
⎜
⎟
⎜
α ≤m α !
⎠
= ⎝
=⎜
1
−
⎛
⎞
g Wq ( m) ⎜ R n , ω p −1 ⎟ ⎜
⎝
⎠ ⎜
⎝
1/ p
α!
∑ α ! ξω,α Dα f Lp (R n , ω) ⎞⎟
α ≤m
⎟
p ⎟
α! α
D f L p (R n , ω)
⎟⎟
∑
α ≤m α!
⎠
;
1/ q
⎞
− 1
α!
∑ α ! ηω,α Dα g Lq (R n , ω p −1 ) ⎟
⎟
α ≤m
q ⎟
1
−
α!
∑ α ! Dα f Lq (R n , ω p −1 ) ⎟⎟
α ≤m
⎠
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экстремальная функция линейного функционала в весовом пространстве Соболева
11
Проверка справедливости равенства и неравенства выполняется непосредственной подстановкой найденных функций в (11).
Лемма доказана.
5. Экстремальная функция линейного функционала
Теорема 2. Для всякого линейного финитного функционала l ∈ Wp(m)* (Rn, ω),
supp(l) ⊆ Ω, при условии pm > n, 1/p + 1/q = 1, 1 < p < ∞, существует экстремальная функция ψl ∈ Wp(m) (Rn, ω), которая имеет вид
ψl =
⎛ D α ( E ∗ l ) 1/( p −1)
⎛ Dα ( E ∗ l ) ⎞ ⎞
α! α
D E ∗⎜
sgn ⎜
⎟ ⎟.
⎝
⎝
⎠⎠
α!
ω
ω
∑
α ≤m
Доказательство. Интегральное представление функционала (7) в весовом
пространстве оценивалось неравенством Гельдера (8).
Согласно лемме 5, можно ввести функции
1/ p
1/ q
q⎞
α! α p⎞
α! α
⎛
⎛
D
D
E
l
ϕ
∗
(
)
⎜ ∑ α!
⎟
⎜ ∑ α!
⎟
α ≤m
⎠ ; η
⎝ α ≤m
⎠
ξω,m = ⎝
=
,
ω, m
(m)
−1/( p −1)
ϕ W p ( m ) ( R n , ω)
Rn , ω
E ∗ l Wq
(
)
тогда неравенство Гельдера становится равенством при выполнении условий
p
q
α!
α!
∑ α ! Dα ϕ
∑ α ! Dα ( E ∗ l )
α ≤m
α ≤m
=
.
p
q
ϕ W p ( m) ( R n , ω)
E ∗ l Wq ( m ) R n , ω−1/( p −1)
(
)
Для установления условий равенства знаменателей
q
α!
α ! −1/( p −1) α
α p
D ( E ∗ l ) dx
∫ α∑≤m α ! ω D ϕ dx = ∫ α∑≤m α ! ω
R
R
n
n
будем рассматривать нормы функций в основных пространствах как нелинейные
функционалы, заданные на этих пространствах:
(
)
F ( f ) = f W p( m ) ( R n , ω) , G ( g ) = g Wq( m ) R n , ω−1/( p −1) .
Тогда после цепочки преобразований получим следующее:
p
( F (ϕ) ) p = ϕ W p( m) ( R n , ω) =
(
q
= ( G ( E ∗ l ) ) = E ∗ l Wq( m ) R n , ω−1/( p −1)
α!
−1/( p −1)
∫ α∑≤m α ! ω
=
)
q
q
D α ( E ∗ l ) dx =
Rn
1
=
∫ α∑≤m
α ! − p −1 +1−1 α
D (E ∗l)
ω
α!
∫ ∑
α ! − p −1 α
D (E ∗l)
ωω
α!
Rn
p
=
Rn α ≤m
p
p −1
p
p −1
dx =
dx =
=
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.В. Корытов
12
=
p
α!
−1 α
∫ α∑≤m α ! ω ω D ( E ∗ l ) p −1 dx =
Rn
=
∫ ∑
Rn α ≤m
⎛
α ! ⎜ Dα ( E ∗ l )
ω
α ! ⎜⎜
ω
⎝
1
p −1
p
⎞
⎟
⎟ dx =
⎟
⎠
p
=
∫ ∑
Rn α ≤m
1/( p −1)
⎛ Dα ( E ∗ l ) ⎞ ⎞
α ! ⎛ Dα ( E ∗ l )
ω⎜
sgn ⎜⎜
⎟⎟ ⎟ dx =
α! ⎜
ω
ω
⎝
⎠ ⎟⎠
⎝
p
=
∑
α ≤m
=
∑
α ≤m
⎛ D α ( E ∗ l ) 1/( p −1)
⎛ Dα ( E ∗ l ) ⎞ ⎞
α!
⎜
ω
sgn
⎜
⎟⎟ ⎟ dx =
⎜
α ! R∫ ⎜
ω
ω
⎝
⎠ ⎟⎠
⎝
n
α ! 1/ p D α ( E ∗ l )
ω
α!
ω
1/( p −1)
p
⎛ Dα ( E ∗ l ) ⎞
sgn ⎜⎜
⎟⎟ L p ( R n ) .
ω
⎝
⎠
Предположим существование такой функции, что
Dα ( E ∗ l )
D ϕ=
ω
1/( p −1)
⎛ Dα ( E ∗ l ) ⎞
sgn ⎜⎜
⎟⎟ , α ≤ m.
ω
⎝
⎠
Тогда последней записью в предыдущей выкладке будет норма такой функции в
пространстве Wp(m) (Rn, ω).
Покажем, что для непрерывного ограниченного функционала существует
функция, для которой выполняются последние соотношения при всех значениях
мультииндекса.
Пусть ϕk – последовательность функций из пространства Wp(m) (Rn, ω), сходящаяся по норме к функции ϕ, т.е. || ϕk – ϕ || → 0, k → ∞. Тогда из неравенства
Минковского в аксиомах нормы следует
| f(ϕk) – f(ϕ) | = | || ϕk || – || ϕ || | ≤ || ϕk – ϕ || → 0, k → ∞,
что означает непрерывность функционала. Его ограниченность следует из конечности нормы. Из сказанного видно, что равенство функционалов равносильно равенству функций, на которых они определены.
Далее установим вид функции, поскольку на текущий момент имеем лишь
систему дифференциальных уравнений с частными производными, но не саму
функцию ϕ. Это можно выполнить при помощи известной схемы построения интегрального представления функции через свертку с дельта-функцией:
α ! 2α
D E ∗ ϕ.
ϕ = δ ∗ ϕ = LE ∗ ϕ = ∑ (−1) α
α!
α ≤m
α
Здесь L – оператор (3), а E – его фундаментальное решение. После интегрирования по частям получаем
ϕ=
∑
α ≤m
α! α
D E ∗ Dα ϕ =
α!
∑
α ≤m
1/( p −1)
⎛ Dα ( E ∗ l ) ⎞ ⎞
α ! α ⎛ Dα ( E ∗ l )
D E ∗⎜
sgn ⎜⎜
⎟⎟ ⎟ .
⎜
α!
ω
ω
⎝
⎠ ⎟⎠
⎝
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экстремальная функция линейного функционала в весовом пространстве Соболева
13
Таким образом, на функции ϕ достигается равенство в оценочном неравенстве, и
полученная функция является для данного функционала экстремальной, т.е.
ψl = ϕ.
Теорема доказана.
Теорема 3. Экстремальная функция ψl ∈ Wp(m) (Rn, ω) линейного финитного
функционала l ∈ Wp(m)* (Rn, ω), supp(l) ⊆ Ω, при условии pm > n, 1/p + 1/q = 1,
1 < p < ∞, единственна.
Доказательство. Пусть l – данный фиксированный функционал, ψl – его экстремальная функция, s – произвольный функционал из того же пространства, что
и l. Произвольный функционал s на произвольной функции f из основного пространства удовлетворяет неравенству
s, f ≤ s W p( m)* ( R n , ω)
f W p( m) ( R n , ω) .
Неравенство справедливо, если в качестве основной выступает экстремальная
функция другого функционала, в том числе и l:
s, ψl ≤ s W p( m)* ( R n , ω) ψ l W p( m ) ( R n , ω) .
Если функционал нормировать, то правая часть не будет зависеть от s:
s
s
W p( m )*
( R n , ω)
, ψl
≤ ψ l W p( m ) ( R n , ω) .
Заметим, что при s = l неравенство становится равенством
l
l
W p( m )*
( R n , ω)
, ψl
= ψ l W p( m) ( R n , ω) .
Далее, верным будет неравенство
s
s
W p( m )*
, ψl
( R n , ω)
≤ sup
s
s, ψ l
s
W p( m)*
( R n , ω)
≤ ψ l W p( m) ( R n , ω) .
Но также и
l
l
W p( m )*
( R n , ω)
, ψl
l
l
W p( m )*
( R n , ω)
≥
, ψl
s
s
W p( m )*
≥ sup
s
( R n , ω)
, ψl
s, ψ l
s
W p( m )*
( R n , ω)
По определению норма экстремальной функции равна
s, ψ l
ψ l W p( m) ( R n , ω) = sup
.
( m )*
s ≠0 s Wp
( R n , ω)
Отсюда
l
l W p( m )* ( R n , ω)
, ψl
≥ ψ l W p( m) ( R n , ω) .
,
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.В. Корытов
14
Следовательно,
l
l
W p( m )*
= ψ l W p( m) ( R n , ω) ,
, ψl
( R n , ω)
и экстремальная функция ψl является единственной.
Теорема доказана.
Далее покажем, как экстремальная функция используется для построения нормы функционала и чему равна норма самой экстремальной функции.
Произвольный функционал s на экстремальной функции функционала l равен
∫ s α∑≤m
s, ψ l =
Rn
1/( p −1)
⎛ Dα ( E ∗ l ) ⎞ ⎞
α ! α ⎛ Dα ( E ∗ l )
⎜
D E∗
sgn ⎜⎜
⎟⎟ ⎟ dx =
⎜
α!
ω
ω
⎝
⎠ ⎟⎠
⎝
⎛ D α ( E ∗ l ) 1/( p −1)
⎛ Dα ( E ∗ l ) ⎞ ⎞
α! α
= ∫ ∑
D ( E ∗ s)⎜
sgn ⎜⎜
⎟⎟ ⎟ dx.
⎜
α!
ω
ω
⎝
⎠ ⎟⎠
Rn α ≤m
⎝
После применения неравенства Гельдера
⎛
≤⎜ ∫
⎜
⎝ Rn
s, ψ l
1/ q
∑
α ≤m
⎞
q
α ! −1/( p −1) α
D ( E ∗ s ) dx ⎟
ω
⎟
α!
⎠
×
1/ p
p
1/( p −1)
⎛
⎞
⎛ Dα ( E ∗ l ) ⎞
α ! Dα ( E ∗ l )
⎜
⎟ .
× ∫ ∑
ω
dx
sgn ⎜⎜
⎟
⎟
⎜⎜
⎟⎟
α
ω
ω
!
α ≤m
⎝
⎠
⎝ Rn
⎠
Равенство достигается, когда функционал l воздействует на свою экстремальную
функцию:
l , ψl
⎛
=⎜ ∫
⎜
⎝ Rn
⎛
⋅⎜ ∫
⎜R
⎝ n
∑
1/ q
∑
α ≤m
α ≤m
⎞
q
α ! −1/( p −1) α
ω
D ( E ∗ l ) dx ⎟
⎟
α!
⎠
α ! Dα ( E ∗ l )
ω
α!
ω
p /( p −1)
⋅
1/ p
⎞
dx ⎟
⎟
⎠
,
отсюда
l
W p( m)*
⎛
( R n , ω) = ⎜ ∫
⎜
⎝ Rn
ψ l W p( m)
1/ q
∑
α ≤m
⎛
( R n , ω) = ⎜ ∫
⎜
⎝ Rn
⎞
q
α ! −1/( p −1) α
ω
D ( E ∗ l ) dx ⎟
⎟
α!
⎠
1/ p
∑
α ≤m
⎞
q
α ! −1/( p −1) α
ω
D ( E ∗ l ) dx ⎟
⎟
α!
⎠
или
l
W p( m)*
,
⎛
( R n , ω) = ⎜ ∫
⎜R
⎝ n
1/ q
∑
α ≤m
q
⎞
α ! Dα ( E ∗ l )
ω
dx ⎟
⎟
α!
ω
⎠
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экстремальная функция линейного функционала в весовом пространстве Соболева
15
1/ p
q
⎛
⎞
α ! Dα ( E ∗ l )
dx ⎟ .
( R n , ω) = ⎜ ∫ ∑ ω
⎜ R α ≤m α !
⎟
ω
⎝ n
⎠
В заключение отметим, что нормы функционала и его экстремальной функции,
находясь в произведении, оценивают функционал на любой функции из основного пространства, иными словами, обеспечивают оценку функционала на рассматриваемом классе функций. Произведение этих норм равно функционалу на своей
экстремальной функции и представляет, таким образом, константу, оценивающую
данный функционал на классе функций:
ψ l W p( m)
q
l , f ≤ l , ψl =
∫ ∑
Rn α ≤m
α ! Dα ( E ∗ l )
ω
dx, f ∈ W p( m ) ( R n , ω) .
α!
ω
В литературных источниках подобные выражения носят название «явного вида». Под этим подразумевается, что если известно выражение функционала и выражение фундаментального решения, то имеется возможность либо аналитически, либо численно получить данную оценку в виде числа. Для функционала, представляющего погрешность некоторого численного метода, такая константа указывает
как на конечность погрешности в теоретических выводах, так и на границы абсолютной погрешности этого метода в случае возможности численной реализации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.
2. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.:
Наука, 1977.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
4. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
Статья поступила 28.10.2010 г.
Korytov I.V. THE EXTREME FUNCTION OF A LINEAR FUNCTIONAL IN THE
WEIGHTED SOBOLEV SPACE. The element of the uniformly convex space on which a functional reaches its norm is constructed. The result finds an application in the theory of cubature
formulas where the error of numerical integration is represented by a linear functional and may be
estimated via its norm. The norm of the error functional is expressed through such element which
is called an extreme function.
Keywords: extreme function, weighted Sobolev space, linear compactly supported functional, integral representation of a functional, norm of a functional, norm of an extreme function
KORYTOV Igor Vitalievich (Irkutsk State University)
E-mail: kor2003@inbox.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 512.623.5
Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина
К ТЕОРИИ ДВУМЕРНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛЕЙ
На основе заданного линейно упорядоченного поля построено семейство
двумерно упорядоченных бесконечно узких полей.
Ключевые слова: двумерно упорядоченное поле, верхний конус, базис
трансцендентности.
1. Двумерно упорядоченные поля
Эта работа является продолжением исследований, начатых в [1–3]. Другой (не
эквивалентный) подход к теории двумерно упорядоченных полей представлен в
работах Novoa L.G. [4]. Определение линейно упорядоченного множества в данной статье сформулировано, исходя из свойств расположения трёх точек на ориентированной прямой. Подобно этому, определение двумерно упорядоченного
множества, используемое в данной статье, построено, исходя из свойств расположения пяти точек на ориентированной плоскости. Более подробное изложение
приведено в [1]. Что касается подхода Novoa L.G. [4], то определение двумерно
упорядоченного множества даётся через свойства множеств из 7 точек, что существенно затрудняет работу с этим определением. Далее мы всюду пользуемся определением двумерно упорядоченного множества, изложенным в [1].
Для удобства читателя приведём краткую сводку сведений о двумерно упорядоченных полях. Пусть в поле P задан двумерный порядок ζ(x,y,z). Говорят, что
двумерный порядок ζ(x,y,z) согласован с алгебраическими операциями в поле P,
если для всех a,x,y,z ∈P, a≠0, выполнено ζ(a+x,a+y,a+z) = ζ(ax,ay,az) = ζ(x,y,z).
Обозначим через P u множество всех таких x∈P, что ζ(0,1,x) ≥ 0. Множество P u
назовём верхним конусом двумерного порядка ζ(x,y,z). Аналогично тому, как положительный конус в поле определяет линейный порядок в поле, верхний конус
P u определяет двумерный порядок в поле P . Обозначим через P0 множество всех
таких x∈P, что ζ(0,1,x) = 0. Можно сказать, что P0 есть прямая, проходящая через
точки 0 и 1. Множество P0 назовём базой двумерного порядка ζ(x,y,z). Двумерный
порядок ζ(x,y,z) индуцирует линейный порядок ≥ на базе P0 следующим образом.
Фиксируем b ∉ P0. Примем, для определённости, что ζ(b,0,1)>0. Пусть x,y ∈ P0.
Если ζ(b,x,y) ≥ 0, то полагаем y ≥ x. Бинарное отношение y ≥ x является линейным
порядком на P0. Относительно линейного порядка база P0 является линейно упорядоченным полем (Подробности и доказательства см. в [1].) Введём ещё множеo
ство (открытый верхний конус) P u = P u \ P0 .
Пусть a∈P – трансцендентный элемент над P0 . Так как P0(a) ⊂ P, то P0(a) как
подполе двумерно упорядоченного поля также двумерно упорядочено. Сужение
двумерного порядка ζ(x,y,z) на поле P0(a) будем по-прежнему обозначать через
ζ(x,y,z), если это не вызовет недоразумения. Таким образом, в поле P0(a) задан
двумерный порядок ζ(x,y,z), согласованный с алгебраическими операциями поля и
o
такой, что a ∈ P u .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К теории двумерно упорядоченных полей
17
Введём функции ϕ,ψa в поле P0(a):
Функция ψa .
Пусть x∈P0 [a]. Положим
ψa (x) = { r∈P0| ra <u x}, ψa+ (x)={ r∈P0 | ra >u x}.
Если (ψa− (x), ψa+ (x) ) есть фундаментальное сечение в P0, то элемент из P0 ,
который производит это сечение, обозначим через ψa(x).
Заметим, что если x∈P0, то ψa(x) = 0.
Кроме того, ψa есть линейная функция, т.е.
ψa(∑nk−0λkCk) = ∑nk−0λkψa(Ck) , где λ∈P0, CK∈P0 [a]
Функция φ .
Пусть x∈P0[a] . Положим
φ− (x) = {r∈P0| r < x } , φ+(x) = {r∈P0 | r > x }.
Если (φ−(x) , φ+(x)) есть фундаментальное сечение в P0, то элемент из P0 , который производит это сечение, обозначим через φ(x).
Имеет место следующая
Теорема [1]. Пусть Р есть 2-упорядоченное поле без бесконечно малых относительно базы P0. Если a∈P есть предел последовательности элементов базы, a
трансцендентно над P0, f(x)∈ P0[x] , то имеет место равенство
ψa(f(a)) = F'(φ(a))= φ(F'(a)).
(1)
Равенство (1) позволяет задать верхний конус в кольце P0[a]. В самом деле, если x ∈ P0[a], то x = f(a) для некоторого f(x)∈P0[x]. Поэтому ψa(x) = ψa(f(a)) =
o
= F ′(φ(a)) = φ(F ′(a)). Отсюда заключаем: x ∈ P u , если и только если, F ′(a) > 0.
o
Так же: x ∈ (− P u ) , если и только если F'(a) < 0. Случай F'(a) = 0 невозможен, так
как a трансцендентно над P0 по условию.
Описанный метод позволяет построить верхний конус двумерного порядка в
кольце P0[a].
2. Конструкция двумерного порядка в поле P0(a)
1) Зададим теперь двумерный порядок на поле P0(a). Обозначим K = P0(a).
Пусть x∈ K. Тогда x =f(a), где f(x)∈ P0(x) .
Обозначим через K u множество тех и только тех x∈ K, для которых имеет место неравенство F ′(a)>0.
o
Обозначим, как ранее, K u = K u \ (− K u ) .
2) В [1] доказан следующий критерий верхнего конуса двумерного порядка в
поле.
Теорема. Пусть P есть поле характеристики нуль, P u – его подмножество.
Обозначим
o
P0 = Pu∩(–Pu) , P u = P u \ (− P u ) . Для того чтобы Pu было верхним конусом
2-порядка на поле P, необходимо и достаточно выполнение следующих четырёх
условий:
(a) Pu +Pu = Pu,
(b) Pu ∪(–Pu) = P,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина
18
(c) (Pu\{0})–1 = –Pu\{0},
o
(d) если a ,с∈Pu, b ∈ P u , ba–1 ,cb–1∈ Pu, то ca–1∈Pu .
Задание верхнего конуса единственным образом определяет 2-порядок в поле
Р [1].
Убедимся, что Ku есть верхний конус 2-порядка в поле K.
Проверим замкнутость множества Ku относительно сложения. Пусть x,y∈ Ku.
Тогда x = f(a),
F'(a) > 0, y = G(a), G'(a) > 0, где f(x), G(x) ∈ P0(x). Но тогда имеем
(f(x) + G(x))′ ≥ 0 при x = a. Значит, (x+y)∈ Ku.
Условия (b) и (с) выполняются очевидным образом.
Проверим выполнение условия (d) для Ku. Пусть x = f(a), y = G(a), z =H(a). Так
o
как x,z∈ Ku, y ∈ K u , то выполнены неравенства 0 ≤ F ′(a), 0 < G′(a), 0 ≤ H′(a). Поскольку элемент a трансцендентен над K, то имеют место строгие неравенства
0 < F′(a), 0<G′(a), 0< H′(a). Точно так же, из yx −1 , zy −1 ∈ K u заключаем
H′(a)G(a) > H (a)G ′(a), G′(a)f(a) > G (a)F ′(a),
откуда ((H(X)f(x)) )′ при x = a.
Это означает, что zx–1∈ Ku, что и требовалось.
Итак, свойство (в) выполнено. Таким образом, в поле K=P0(a) эффективно задан нетривиальный двумерный порядок.
Определение. Двумерно упорядоченное поле < K,Ku >называется бесконечно
узким, если все элементы поля бесконечно близки к его базе.
Иными словами, двумерно упорядоченное поле < K,Ku > с базой K0 называется
бесконечно узким, если для всех x,b, где x∈Ku,b∈K0, из b < x следует, что для всех
натуральных n выполнено (x–b)n∈Ku.
Легко, видеть, что поле < K,Ku > есть бесконечно узкое поле.
−1
3. Построение семейства бесконечно узких полей
на линейно упорядоченном поле
Пусть P0 есть линейно упорядоченное поле. Обозначим через P0 топологическое замыкание поля P0. Как известно, линейный порядок с поля P0 единственным
образом переносится на поле P0 . Пусть B есть базис трансцендентности поля P0
над полем P0. Поле K= P0(B) как подполе поля P0 линейно упорядочено. Пусть,
наконец, задано произвольное отображение d: B→K. Таким образом, для каждого
x∈B задано значение dx из K.
Каждому x∈K сопоставим значение dx∈K следующим образом. Если x ∈ K, то
x = f (a1,…, an), где f (x1,…, xn)∈K(x1,…, xn). Теперь полагаем dx = df (a1,…, an), где
∂
df (a1 ,… an ) = ∑
f (a1 ,… an )dai .
∂xi
i
Наконец, задаём верхний конус: Ku = { f(a1,...,an) | d f(a1,...,an) > 0}.
Проверка условий (a) – (d) для этого множества выполняется аналогично проверке в предыдущем параграфе.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К теории двумерно упорядоченных полей
19
ЛИТЕРАТУРА
1. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск: ТГУ, 2003.
2. Фомина Е.А. Об одном классе двумерно упорядоченных полей // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. № 3(4). С. 32−34.
3. Пестов Г.Г, Фомина Е.А. Подполе B бесконечно близких к базе элементов // Вестник
Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. № 2(6).
4. Novoa L.G. Order characterization of the complex field // Can. Math. Bull. 1978. V. 21. No. 3.
P. 313−318.
Статья поступила 24.06.2010 г.
Pestov G.G., Fomina E.A. TO THE THEORY OF TWO-DIMENSIONALLY ORDERED
FIELDS. A family of two-dimensionally ordered infinitely narrow fields is constructed starting
from a given linearly ordered field.
Keywords: 2-dimensionally ordered field, upper cone, transcendence basis
PESTOV German Gavrilovich (Tomsk State University)
E-mail: pppestov@mail.tomsknet.ru
FOMINA Elena Anatolyevna (Tomsk State Pedagogic University)
Е-mail: ef@sibmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 517.54
Г.Д. Садритдинова
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛЁВНЕРА
С НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ НА ГРАНИЦЕ КРУГА
В работе исследуется поведение решений уравнения Лёвнера с начальным
условием на границе круга. Найдены условия, при которых решения имеют
модуль больший или меньший единицы.
Ключевые слова: решение уравнения Лёвнера, начальное условие, вектор
главной нормали, знак смешанного произведения.
Рассмотрим уравнение Лёвнера
μ ( τ) + ς
dς
,
= −ς
dτ
μ ( τ) − ς
(1)
с начальным условием ζ(z, 0) = z, |z| = 1, где μ(τ) = eiα(τ), α(τ) – непрерывная на
[0,∞) функция.
Приведем некоторые известные факты. Изучение решений уравнения (1), по
модулю равных единице, сводится к исследованию решений ψ(τ) уравнения
α ( τ) − ψ
dψ
.
(2)
= ctg
2
dτ
Через ψ(τ, t, ψ0) обозначим решение уравнения (2) с начальным условием
ψ(t,t,ψ0) = ψ0. Будем рассматривать решения ψ(τ,t) = ψ(τ,t,α(t)). Пусть A−(t) (A+(t))
− совокупность решений ψ(τ,t), каждое из которых определено на некотором интервале (t−h,t)⊂(0,t) (соответственно на (t,t+h)⊂(t,∞)).
Теорема 1. В A−(t) существуют лишь два гладких на (0,t) решения ψ1(τ,t) и
ψ2(τ,t); для них выполняются неравенства
0 ≤ ψ1(τ,t) – α(τ) ≤ 2π, −2π ≤ ψ2(τ,t) – α(τ) ≤ 0.
Теорема 2. A+(t) либо пусто, либо содержит бесконечно много решений ψ(τ,t).
Последнее возможно только для значений t, принадлежащих замыканию множества точек τ, в которых правое производное число функции α(τ) равно +∞ или
−∞.
Обозначим через W+(t,b), 0 ≤ t < b ≤ ∞, совокупность всех решений ζ(τ) уравнения (1) на (t,b), для которых lim ς ( τ ) = μ ( t ) и |ζ(τ)|≤1 на (t,b). Пусть
τ→t +0
W+ ( t ) =
∪
W+ ( t , b ) .
t <b≤∞
Теорема 3. Если α(τ) − непрерывная функция с ограниченной вариацией на
сегменте [t,b], 0 ≤ t < b ≤ ∞, то множество W+(t,b) не пусто.
Обозначим через V+(t) подкласс решений из W+(t), по модулю меньших единицы на всем интервале существования.
Лемма. Пусть на сегменте [a,b]⊂[0,∞) функция α(τ) имеет ограниченную производную. Тогда при любом t ∈ [a,b) V+(t) содержит лишь одно решение уравнения (1) [1, с. 50−59].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решения уравнения Лёвнера с начальным условием на границе круга
21
Рассмотрим отрезок [a,b] ⊂ [0,∞), на котором α′ ( τ ) < ∞ . Пусть точка t, принадлежащая внутренности отрезка [a,b], такая, что α(τ) имеет ограниченную вариацию на [t,b] и α′ ( t ) ≠ 0 . Для такого t рассмотрим гладкие решения ζ1(τ) и ζ2(τ)
уравнения (1), принадлежащие множеству A-(t). Будем исследовать поведение
этих решений при τ > t.
Отображение
ς1 = ih
eiβ + ς
,
eiβ − ς
где β = const ∈ R, h = const ∈ (0,∞), переводит замыкание единичного круга E в
замыкание верхней полуплоскости плоскости ouv для каждого τ. Пусть
β ≠ α(t)+2πn, n ∈ Z. Подействуем на кривые μ(τ), ζ1(τ), ζ2(τ) этим отображением.
β − α ( τ)
, ς11 ( τ ) = u1 ( τ ) + iv1 ( τ ) ,
Получим соответственно кривые μ1 ( τ ) = h ctg
2
ς12 ( τ ) = u2 ( τ ) + iv2 ( τ ) , которые будем рассматривать как кривые в трехмерном
пространстве oτuv.
Кривая μ1(τ) лежит в плоскости oτu. Касательный вектор s к этой кривой в
hα′ ( t )
⎧
⎫
;0 ⎪ .
точке τ = t имеет координаты ⎪1;
⎨
⎬
2 β − α (t )
⎪⎩ 2sin
⎪⎭
2
Кривые ς11 ( τ ) и ς12 ( τ ) при τ ≤ t также лежат в плоскости oτu. Найдем для них
векторы главных нормалей в точке τ = t.
⎧ τ=τ
⎧ τ=τ
⎪
⎪
1
1
Параметрическому заданию кривых ς1 ( τ ) : ⎨u = u1 ( τ ) и ς 2 ( τ ) : ⎨u = u2 ( τ ) соот⎪⎩ v = v1 ( τ )
⎪⎩ v = v2 ( τ )
ветствует задание вектор-функций r1 ( τ ) = {τ, u1 ( τ ) , v1 ( τ )} и r2 ( τ ) = {τ, u2 ( τ ) , v2 ( τ )}
соответственно. Тогда
r1′ ( τ ) = {1, u1′ ( τ ) , v1′ ( τ )} ,
r1′′( τ ) = {0, u1′′( τ ) , v1′′( τ )}
и
r2′ ( τ ) = {1, u2′ ( τ ) , v2′ ( τ )} , r2′′ ( τ ) = {0, u2′′ ( τ ) , v2′′ ( τ )} .
Вектор главной нормали ν1 = {ν11 ; ν12 ; ν13 } кривой ς11 задаётся формулой
1 d 2 r1
, где k1 − кривизна кривой ς11 , s1= s1(τ) − переменная длина дуги этой
k1 ds12
кривой, отсчитываемая от точки τ = 0. Так как
′
dr1
d τ r1′ d 2 r1 ⎛ r1′ ⎞ d τ s1′r1′′ − s1′′r1′
=
⋅
=
,
= r1′
= ,
⎜
⎟
ds1
ds1 s1′ ds12 ⎝ s1′ ⎠ ds1
s1′3
ν1 =
s1′ = 1 + u1′2 + v1′2 , s1′′ =
k1 =
[r1′ , r1′′]
r1′
3
=
u1′u1′′ + v1′v1′′
1 + u1′2 + v1′2
,
( u1′v1′′ − u1′′v1′ )2 + v1′′2 + u1′′2
(
1 + u1′2 + v1′2
)
3
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г.Д. Садритдинова
22
то
ν11 = −
ν12
u1′u1′′ + v1′v1′′
1 s1′′
=−
=,
3
k1 s ′
( u1′v1′′ − u1′′v1′ )2 + v1′′2 + u1′′2 1 + u1′2 + v1′2
1
( r1′ , r1′′)
=−
[r1′ , r1′′] ⋅ r1′
(
)
u1′′ 1 + u1′2 + v1′2 − u1′ ( u1′u1′′ + v1′v1′′)
1 s1′u1′′ − s1′′u1′
=
=
=
2
k1
s1′3
1 + u1′2 + v1′2 ( u1′v1′′ − u1′′v1′ ) + v1′′2 + u1′′2
=
ν13 =
2
u1′′ r1′ − u1′ ( r1′ , r1′′)
,
[r1′, r1′′] ⋅ r1′
(
)
v1′′ 1 + u1′2 + v1′2 − v1′ ( u1′u1′′ + v1′v1′′)
1 s1′v1′′ − s1′′v1′
=
=
2
k1
s1′3
1 + u1′2 + v1′2 ( u1′v1′′ − u1′′v1′ ) + v1′′2 + u1′′2
2
=
v1′′ r1′ − v1′ ( r1′ , r1′′)
.
[r1′ , r1′′] ⋅ r1′
Для вектора главной нормали ν 2 = {ν 21 ; ν 22 ; ν 23 } кривой ς12 аналогично находим
2
2
u ′′ r ′ − u2′ ( r2′ , r2′′ )
v ′′ r ′ − v2′ ( r2′ , r2′′ )
( r2′ , r2′′ )
ν 21 = −
, ν 23 = 2 2
.
, ν 22 = 2 2
[r2′ , r2′′] ⋅ r2′
[r2′ , r2′′] ⋅ r2′
[r2′ , r2′′] ⋅ r2′
Заметим, что для того чтобы векторы ν1 и ν 2 существовали, необходимо чтобы кривизна k1 и кривизна k2 были отличны от нуля, то есть, чтобы в точке τ = t
выполнялись условия
⎧u1′v1′′ ≠ u1′′v1′ ⎧u2′ v2′′ ≠ u2′′v2′
⎪
⎪
⎨ u1′′ ≠ 0 , ⎨ u2′′ ≠ 0 .
⎪⎩ v2′′ ≠ 0
⎩⎪ v1′′ ≠ 0
Введем параллельный оси τ вектор a = {τ0 − t , 0, 0} , τ0 > t , и найдем смешанные произведения ( s, ν1 , a ) и ( s, ν 2 , a ) . Имеем
1
( s, ν 1 , a ) = −
( r1′, r1′′)
[r1′ , r1′′] ⋅ r1′
τ0 − t
= ( τ0 − t )
Введем обозначение C1 =
hα′
β−α
2sin 2
2
2
u1′′ r1′ − u1′ ( r1′ , r1′′)
[r1′ , r1′′] ⋅ r1′
0
0
2
v1′′ r1′ − v1′ ( r1′ , r1′′)
=
[r1′ , r1′′] ⋅ r1′
0
2
v1′′ r1′ − v1′ ( r1′ , r1′′)
hα ′
.
β−α
[r1′, r1′′] ⋅ r1′
2sin 2
2
( τ0 − t ) h
1
, C > 0. Тогда
β
−
α
t
′
′′
(
)
[r1 ( t ) , r1 ( t )] ⋅ r1′ ( t ) 1
2sin 2
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решения уравнения Лёвнера с начальным условием на границе круга
23
( s, ν1 , a ) = C1α′ ( t ) ⎡⎣v1′′(1 + u1′2 + v1′2 ) − v1′ ( u1′u1′′ + v1′v1′′) ⎤⎦ =
= C1α ′ ( t ) [ v1′′( t ) + u1′ ( t ) ( u1′ ( t ) v1′′( t ) − u1′′( t ) v1′ ( t ) )] =
u ′ ( t ) u1′′( t ) ⎤
⎡
= C1α ′ ( t ) ⎢ v1′′( t ) + u1′ ( t ) 1
.
v1′ ( t ) v1′′( t ) ⎥⎦
⎣
Аналогично,
u ′ ( t ) u2′′ ( t ) ⎤
,
( s, ν 2 ,a ) = C2 α′ ( t ) ⎡⎢v2′′ ( t ) + u2′ ( t ) 2′
v2 ( t ) v2′′ ( t ) ⎥⎦
⎣
( τ0 − t ) h
1
где C2 =
>0.
t
β
−
α
(
)
′
′′
r
,r
t
t )] ⋅ r2′ ( t )
(
)
(
[
2
2
2
2sin
2
Векторы a и s лежат в плоскости oτu. Векторы главных нормалей ν1 и ν 2
перпендикулярны касательным к кривым ς11 ( τ ) и ς12 ( τ ) соответственно и с точностью до бесконечно малых указывают направление, в котором кривая в окрестности рассматриваемой точки τ = t отклоняется от своей касательной. Знак смешанных произведений ( s, ν1 , a ) и ( s, ν 2 , a ) покажет, как направлены векторы
главных нормалей ν1 и ν 2 − в пространство над верхней или над нижней полуплоскостью плоскости ouv, а значит, покажет, в пространство над верхней или над
нижней полуплоскостью плоскости ouv выйдут кривые ς11 ( τ ) и ς12 ( τ ) из плоскости oτu при τ > t. Таким образом, знак смешанных произведений покажет, каким
будет модуль решений ζ1(τ) и ζ2(τ) уравнения (1) − больше либо меньше единицы.
Возможны два случая. Пусть ( a ^ s ) < 0 . Тогда для кривой ς1i , идущей в пространство над нижней полуплоскостью, тройка векторов s, ν i , a будет левая, следовательно, |ζi(τ)| > 1. Для кривой ς1i , идущей в пространство над верхней полуплоскостью, тройка s, ν i , a будет правая, следовательно, |ζi(τ)| < 1. Пусть теперь
( a ^ s ) > 0 . Тогда, если тройка s, ν i , a − правая, то |ζi(τ)| > 1, а если тройка левая,
то |ζ (τ)| < 1. Случай ( a ^ s ) = 0 возможен тогда, когда μ1′ ( t ) = 0 или μ1′ ( t ) = ∞.
i
Но этот случай исключён нами из рассмотрения условиями α′ ( t ) ≠ 0 и
α(t) ≠ β – 2πn, n∈Z.
Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть непрерывная функция α(τ) имеет ограниченную вариацию на
[t,b]. Пусть точка τ = t принадлежит внутренности отрезка [a,b] ⊂ [0,∞), на котором
α′ ( τ ) < ∞ , и такая что α′ ( t ) ≠ 0 . Пусть ζ1(τ) и ζ2(τ) − решения уравнения (1), принадлежащие множеству A-(t). Пусть ς11 ( τ ) = u1 ( τ ) + iv1 ( τ ) и ς12 ( τ ) = u2 ( τ ) + iv2 ( τ ) −
образы кривых ζ1(τ) и ζ2(τ) соответственно при отображении
eiβ + ς
,
ς1 = ih iβ
e −ς
где β = const ∈ R, β ≠ α(t)+2πn, n ∈ Z, h = const ∈ (0,∞). Пусть выполняются условия
⎧u1′ ( t ) v1′′( t ) ≠ u1′′( t ) v1′ ( t ) ⎧u2′ ( t ) v2′′ ( t ) ≠ u2′′ ( t ) v2′ ( t )
⎪
⎪
, ⎨
.
u1′′( t ) ≠ 0
u2′′ ( t ) ≠ 0
⎨
⎪⎩
⎪⎩
v1′′( t ) ≠ 0
v2′′ ( t ) ≠ 0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24
Г.Д. Садритдинова
Тогда если ζ1(τ) и ζ2(τ) удовлетворяют условию, что величины
u′ ( t ) u1′′( t )
A1 ( t ) = v1′′( t ) + u1′ ( t ) 1
v1′ ( t ) v1′′( t )
и
A2 ( t ) = v2′′ ( t ) + u2′ ( t )
u2′ ( t ) u2′′ ( t )
v2′ ( t ) v2′′ ( t )
имеют противоположные знаки, то при τ > t модуль одного из решений
ζi(τ), (i = 1,2) будет меньше единицы, а модуль второго больше единицы. При
этом в случае, если α′ ( t ) и ( a ^ s ) имеют разные знаки, то при Ai < 0 |ζi| > 1, а при
Ai > 0 |ζi| < 1. В случае, если α′ ( t ) и ( a ^ s ) имеют одинаковые знаки, то при
Ai < 0 |ζi| < 1, а при Ai > 0 |ζi| > 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.:
Наука, 1976.
2. Труды П.П. Куфарева. К 100-летию со дня рождения / под общ. ред. И.А. Александрова.
– Томск: Изд-во НТЛ, 2009. – С. 64–74.
Статья поступила 04.02.2011 г.
Sadritdinova G.D. SOLUTIONS OF THE LOEWNER EQUATION WITH AN INITIAL CONDITION AT THE BOUNDARY OF A CIRCLE. In this paper, the behavior of solutions of the
Loewner equation with an initial condition at the boundary of a circle is investigated. Conditions
at which the solutions have the modulus greater or smaller than the unity are found.
Keywords: solution of the Loewner equation, initial condition, vector of the principal normal,
sign of the mixed product.
SADRITDINOVA Gulnora Dolimdganovna (Tomsk State University оf Architecture аnd Building)
E-mail: dolina1@sibmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 519.632:531.262
В.В. Соболев, А.А. Молчанов
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СЕН-ВЕНАНА
О КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ ДВУСВЯЗНОГО СЕЧЕНИЯ
МЕТОДОМ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Разработан численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении
стержня с произвольной двусвязной областью сечения. Метод основан на
предварительном конформном отображении данной области на круговое
кольцо и последующем решении редуцированной краевой задачи Дирихле.
Опробование метода с использованием компьютерных программ показало
достаточно высокую его эффективность и точность.
Ключевые слова: задача Сен-Венана, кручение стержня, краевая задача
Дирихле, гармоническая функция, двусвязная область, конформное отображение, численный метод, компьютерная программа.
В математической теории упругости важное место занимает классическая задача Сен-Венана о кручении стержня. При существовании большого числа методов её решения [1 – 7 и др.], учитывающих те или иные особенности геометрии
области сечения стержня, проблема решения этой задачи с высокой точностью
для сечений произвольной формы остаётся актуальной, особенно для неодносвязных областей сечений. Имеются точные и приближённые решения лишь небольшого количества частных задач: рассматривались двусвязные сечения в форме кругового кольца, эксцентричного кругового кольца [2], области, ограниченной двумя конфокальными эллипсами [1], с небольшой постоянной толщиной
стенок [3], в форме «ящиков» [6] и др.
В последние десятилетия в разных странах предпринимались исследования задач кручения численными и численно-аналитическими методами для случаев неодносвязных сечений специального вида: полого толстостенного цилиндра с
кольцевой поперечной выточкой полукруглого профиля на внешней поверхности
[8]; труб произвольного профиля поперечного сечения с постоянной толщиной
стенки [9]; цилиндра с толстыми стенками [10] (МКЭ); с многосвязным поперечным сечением, когда толщина стенки стремится к нулю [11].
Случай многосвязного сечения стержня осложняется тем, что в соответствующей краевой задаче Дирихле имеются неизвестные заранее параметры, число которых определяется порядком связности области n и равно n − 1 . Выбор параметров должен быть подчинён известному условию Прандтля [4]. В монографии [6] описан численный метод определения неизвестных параметров, основанный на сведении задачи к решению системы из n − 1 линейных алгебраических
уравнений. При этом элементы матрицы соответствующей СЛАУ предлагается
вычислять как контурные интегралы по связным граничным компонентам области от частных производных функций, являющихся решениями n − 1 краевых задач Дирихле для уравнений Лапласа или Пуассона с краевыми условиями специального вида. Реализация такого метода для случая произвольной области представляется трудно осуществимой на практике. Неслучайно в литературе не встре-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26
В.В. Соболев, А.А. Молчанов
чается численных примеров такого решения для стержня произвольного сечения
– без каких-либо упрощающих допущений – даже в простейшем случае n = 2.
В данной работе предложен новый метод нахождения неопределённого параметра краевой задачи и её решения для двусвязной области произвольной формы.
Метод основан на редукции краевой задачи Дирихле к задаче в круговом кольце с
помощью конформного отображения. Неопределённый параметр при этом легко
определяется согласно условию Прандтля по краевым данным редуцированной
задачи.
Метод конформного отображения (МКО), в своё время привлёкший к себе
внимание исследователей, хотя и привёл к целому ряду решений краевых задач
для областей специального вида, однако не получил широкого применения к решению задачи Сен-Венана о кручении стержня по причине сложности построения
необходимых отображений на канонические области в явной форме для областей
сколько-нибудь сложной формы. Например, для односвязной области полигональной формы аналитическая функция, отображающая область на круг или полуплоскость, выражается в виде интеграла Шварца – Кристоффеля [12], зависящего от ряда неизвестных параметров, вычисление которых представляет значительные трудности. Для случая многосвязной области сечения эти трудности многократно усиливаются [13]. В недавней работе [14] для функции, отображающей
круг на круговой многоугольник, обладающий n-кратной симметрией вращения, с
использованием производной Шварца дано явное представление через гипергеометрическую функцию и на этой основе получено решение задачи о кручении
стержня с указанным поперечным сечением. Другие методы построения конформных отображений без привлечения теории Шварца – Кристоффеля, в частности, итеративные методы отображения, основанные на идее минимизации длины
границы образа отображаемой области [15, 16], также не нашли ранее широкого
применения из-за отсутствия универсальных программ для численного отображения области произвольной формы на канонические области (круг для случая односвязной области сечения стержня или круговое кольцо для случая двусвязной
области). Однако появление новых и развитие ранее известных численных методов конформных отображений в сочетании с использованием быстродействующих современных компьютеров делают это направление, ныне незаслуженно
забытое, достаточно привлекательным при создании алгоритмов и программ как
для решения общих краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона, так и для
специализированных алгоритмов, рассчитанных на решение задач кручения
стержней.
Достоинства МКО перед другими, например сеточными и вариационными методами, методами интегральных уравнений и восходящими к ним МКЭ, МГЭ,
МКГЭ и др., заключаются, в частности, в возможности строить высокоточные
решения краевых задач без потери точности по мере удаления от границы внутрь
области. Дополнительным резервом повышения точности служит использование
итеративных процедур в МКО, что позволяет привлекать для описания геометрии
границы области и граничных условий задачи больший объём информации, чем,
например, в МГЭ [17]. Причинами тому два обстоятельства: 1) свойство симметрии матриц СЛАУ, возникающих в используемом нами варианте построения конформного отображения [18], и, благодаря этому, экономия значительных объёмов
машинной «памяти»; 2) количество неизвестных в МКО определяется не числом
m граничных узлов интерполяции, как в МГЭ, а гораздо более низким по сравнению с m порядком многочленов, аппроксимирующих отображающие аналитиче-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня двусвязного сечения
27
ские функции. Что касается количества m граничных узлов, то в нашем методе
оно практически не лимитируется.
Результаты численных экспериментов с применением разработанных компьютерных программ, реализующих описанный ниже метод, подтверждают ожидаемые предположения о его достаточной эффективности и точности.
1. Постановка задачи
Рассматривается классическая задача Сен-Венана о кручении (однородного,
изотропного, упругого) полого прямого призматического или цилиндрического
стержня, скручиваемого моментами силы Мt, приложенными к концам стержня [6,
9, 16]. Пусть поперечное сечение однородного по всей длине стержня представляет собой ограниченную двусвязную область B в плоскости комплексного переменного ζ = x + iy , Г+ и Γ − – соответственно внешняя и внутренняя граничные
компоненты области В, являющиеся замкнутыми кусочно-гладкими жордановыми
кривыми без точек возврата. Положительным направлением обхода каждого из
контуров Г+ и Γ − считается такое, при котором внутренние точки области В,
примыкающие к её границе, остаются слева (т.е. против часовой стрелки на Г+ и
по часовой – на Γ − ). Влиянием собственного веса стержня пренебрегаем. Поперечные размеры стержня считаются малыми в сравнении с его протяжением l в
осевом направлении. За ось стержня принимается линия, соединяющая центры
тяжести всех поперечных сечений. На торце z = 0 стержень закреплён от поворота. Иллюстрация к постановке задачи приведена на рис. 1.
y
O
Mt
Mt
x
Γ
l
−
i
z
Γ+
B
Рис. 1. Иллюстрация к постановке задачи
Решение задачи Сен-Венана сводится к определению гармонической в области
В функции ψ (ζ ) , принимающей на границе Γ = Γ + ∪ Γ − значения
ψ
ψ
Γ−
= h (ζ ) ;
(1)
= h (ζ ) + C ,
(2)
Γ+
2
где h ( ζ ) = ζ / 2 . Постоянная С должна быть выбрана так, чтобы выполнялось
условие Прандтля [4]
∫ τdl = 2μθS (Γ
Γ
−
−
).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Соболев, А.А. Молчанов
28
Здесь τ – касательное напряжение, μ – модуль упругости при сдвиге, θ – угол
закручивания на единицу длины стержня, S (Γ − ) – площадь фигуры, ограниченной контуром Γ − , dl – элемент длины дуги. Отсюда, учитывая, что
∂
1
τ = −μθ ⎛⎜ ψ − x 2 + y 2 ⎞⎟ ,
∂n ⎝
2
⎠
(
)
где ∂ / ∂n означает производную в направлении внешней нормали к границе области сечения, и
∂ 2
2
−
∫− ∂n x + y dl = 2 ∫− ydx − xdy = −4S (Γ ) ,
(
)
Γ
Γ
получаем
∂
∫ ∂n ψdl = 0 .
(3)
Γ−
Соотношение (3) можно рассматривать как уравнение для определения неизвестной постоянной C.
2. Редукция краевой задачи к задаче в круговом кольце
Сведём поставленную краевую задачу Дирихле к соответствующей задаче в
круговом кольце с помощью конформного отображения. Пусть w = g (ζ ) – аналитическая функция, осуществляющая однолистное конформное отображение области B на круговое кольцо K q = {w : q < w < 1} с некоторым значением радиуса
q, 0< q <1, внутренней окружности γ − кольца, и пусть ζ = f ( w) – обратная
функция. Будем считать, что функция w = g (ζ ) нормирована следующим условием (обеспечивающим единственность такой функции): для произвольно фиксированного ζ 0 ∈ B значение g (ζ 0 ) принадлежит интервалу (q; 1) действительной
прямой, т. е.
Re g (ζ 0 ) > 0, Im g (ζ 0 ) = 0 .
(4)
Число 1/q называется модулем кольца Kq или модулем двусвязной области B.
Отметим, что модуль двусвязной области является конформным инвариантом.
В основу практического построения функции w = g (ζ ) положим известный
итерационный процесс альтернации [16].
Суть метода альтернации состоит в следующем. На первом шаге строим ото-
( )
бражение ω1 = P1 (ζ ) области aus Γ − на внешность круга ∆1 = {ω1 : ω1 > 1} и на-
( )
ходим образ γ1+ = P1 Γ +
внешней граничной компоненты области В. Затем стро-
( )
им отображение w1 = Q1 ( ω1 ) области int γ1+
на внутренность единичного круга
E1 = {w1 : w1 < 1} и находим образ Γ1− единичной окружности при этом отображе-
нии. К полученной двусвязной области B(1) с граничными компонентами Γ1−
(внутренняя) и Γ1+ = {w1 : w1 = 1} (внешняя) применяем второй шаг итерации, в
результате которого получаем новую двусвязную область B(2), принадлежащую
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня двусвязного сечения
29
кругу E2 = {w2 : w2 < 1} , и т.д. Известно [16], что описанный итеративный
процесс сходится: последовательность областей B(k) сходится при k → ∞ как к
ядру к круговому кольцу Kq с некоторым значением q, 0< q <1. При этом, согласно теории К. Каратеодори [19], последовательность аналитических функций
g k : B → B ( k ) сходится к функции g : B → K q равномерно на замыкании
B = B ∪ Γ области B.
На практике, задаваясь требуемым уровнем точности δ > 0 , совершаем итера-
ции до тех пор, пока получившиеся на k-м шаге граничные компоненты Γ +k , Γ −k
области B(k) не станут приближённо, «с точностью до δ », совпадать соответственно с единичной окружностью и окружностью
w −1 < δ ,
{w : w = q∗} : max
w∈Γ
+
k
max− w − q* < δ .
w∈Γ k
1⎛
⎞
Здесь q* = ⎜ max w + min− w ⎟ .
2 ⎝ w∈Γ−k
w∈Γ k
⎠
По достижении требуемой точности за приближение к искомому отображению
g : B → K q берём композицию отображений g k = Qk Pk ... Q2 P2 Q1 P1 , а
приближённым значением для q считаем q∗ .
Конформные отображения внешних областей на внешность и внутренних – на
внутренность единичного круга можно получить одним из известных методов [15,
16, 20 и др.]. Мы предлагаем использовать хорошо оправдавшие себя методы, основанные на минимизации длины образа границы отображаемой области с аппроксимацией минимизирующих функций многочленами по положительным
(случай внутренних областей) или по отрицательным (случай внешних областей)
степеням комплексного переменного [15, 18].
На завершающем этапе построения отображения, когда в качестве образа В
получена звездообразная (относительно начала координат) область, близкая к круговому кольцу, бывает полезно использовать приём улучшения отображений, основанный на методе граничных вариаций М.А.Лаврентьева [12, с. 377 – 379]. Используя формулы Лаврентьева, можно совершать «улучшающие» отображения
∞
⎛ a ⎞
ϕ( w) = w ⎜ 1 + 0 ⎟ + ∑ (ak − ibk ) wk +1
2 ⎠ k =1
⎝
( )
областей int Γ +k на внутренность круга и отображения
∞
⎛ a ⎞
χ( w) = w ⎜ 1 − 0 ⎟ − a1 − ∑ (ak +1 + ibk +1 ) w− k
2⎠
⎝
k =1
( )
областей aus Γ −k на внешность круга, добиваясь, чтобы граница получаемой при
этом двусвязной области становилась всё ближе к границе кругового кольца. При
этом в обеих приведённых формулах
π
ak =
π
1
1
(1 − ω(ϑ) )cos k ϑd ϑ , bk = ∫ (1 − ω(ϑ) )sin k ϑd ϑ ,
∫
π −π
π −π
где ω(ϑ) – аффикс точки на контуре, имеющей аргумент, равный ϑ .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Соболев, А.А. Молчанов
30
В завершение построения нормированного условиями (4) приближённого отображения В на круговое кольцо остаётся найти значение α = arg g k ( ζ 0 ) и умножить g k ( ζ ) на e−iα : g ( ζ ) = e−iα g k ( ζ ) .
Введём в рассмотрение гармоническую в кольце Kq функцию ψ* ( w ) , принимающую в точке w ∈ K q значение ψ ( z ) , z = f(w): ψ* ( w ) = ψ ( f ( w ) ) . Пусть
h + (τ), h − (τ) (−π ≤ τ ≤ π) ) – приведённые к границе кольца Kq граничные значения
функции ψ* ( w) на внешней и внутренней граничных компонентах γ + , γ − коль-
( ( )) ,
ца: h + (τ) = h1 ( τ ) , h − (τ) = hq ( τ ) + C , где h1 (τ) = h f eiτ
( (
hq (τ) = h f qeiτ
) ) . Ре-
шая задачу Дирихле для кольца Kq
∆ψ* = 0, ψ*
γ+
= h + , ψ*
γ−
= h− ,
получим этим решение задачи в соответствующих точках области В.
Отметим, что 2π -периодические функции h + (τ), h − (τ) непрерывны всюду на
[ −π; π] . Кроме того, они непрерывно дифференцируемы на ( −π; π ) всюду, кроме
( )
( )
конечного числа точек τ±j , соответствующих точкам ω±j = g ζ ±j , ω+j = exp iτ+j ,
( )
ω−j = q exp iτ−j , – образов угловых граничных точек ζ ±j области B (т.е. точек с
внутренними для В углами при них, не равными π ).
3. Решение редуцированной задачи в круговом кольце
Решение задачи Дирихле для кольца Kq в точке w ∈ K q получаем по формуле
Вилля [5]:
( )
ψ* reit = A ln r + a0+ +
π
1
∫ ( K ( r , t , τ ) h1 ( τ ) − K ( qr , t , τ ) hq ( τ ) ) d τ, q ≤ r ≤ 1 .
π −π
(5)
Здесь
π
A=
π
C + a0− − a0+
1
1
, a0+ =
h1 ( τ ) d τ, a0− =
∫
∫ hq ( τ ) d τ ,
ln q
2π −π
2π −π
K ( ρ, t , τ ) =
(6)
ρn
cos n ( t − τ ) .
∑
2n
n =±1, ± 2,... 1 − q
Для определения неизвестной постоянной С преобразуем условие Прандтля
(3). Учитывая, что
∂ψ
∂ψ*
=−
⋅ g ′ (ζ ) ζ= f ( qeit )
∂n Γ−
∂r w=qeit
−1
и dl = d ζ = f ′( w) dw = g ′(ζ ) ds , где ds – элемент длины дуги окружности
γ − = {w : w = q} , запишем условие (3) в виде
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня двусвязного сечения
31
π
∂ψ* (reit )
dt = 0 .
∂r
r =q
−π
q∫
Подставляя сюда ψ* из (5), приходим к равенству
A=−
π
⎛ ∞
1
n
∑
2 ∫ ⎜
⎜
2π −π ⎝ n=1 1 − q 2 n
π
∫h
−π
−
⎞
(τ)cos n(t − τ)d τ ⎟ dt .
⎟
⎠
Интегрируя ряд почленно, получаем A = 0, и, следовательно,
C = a0+ − a0− .
(7)
Таким образом, условие Прандтля (3) сводится к отсутствию у функции ψ∗
логарифмической составляющей.
Формула (5), а также вид ядровой функции K ( ρ, t , τ ) известны из литературы
[15, 20, 21]. Однако мы приводим их в ином виде, более удобном для наших целей.
4. Определение крутильной жёсткости стержня
Крутильная (геометрическая) жёсткость стержня D определяется равенством
[6, 7]
∂ψ
∂ψ ⎞
⎛
D( В ) = ∫∫ ⎜ x 2 + y 2 − x
dxdy .
−y
∂x
∂y ⎟⎠
B ⎝
Отсюда, применяя формулу Остроградского – Грина, с учётом граничных условий
(1), (2), получаем
D( В ) = 2 ∫∫ ψdxdy +
B
1
3
1
3
3
3
3
−
∫ ( y dx − x dy ) + 3 ∫ ( y dx − x dy ) + 2CS ( Γ ) .
Γ+
(8)
Γ−
Для численного определения интеграла I ( B) = ∫∫ ψ dxdy в (8) целесообразно
B
использовать метод статистических испытаний Монте-Карло (М-К) [22].
5. Программная реализация метода
По описанному алгоритму разработаны в пакете MATLAB программы
AltRingDir, RingDir, HardTorsShaft. Первая программа предназначена для сведения задачи Дирихле к соответствующей задаче в круговом кольце путём построения необходимого конформного отображения с использованием метода альтернации и граничных вариаций по Лаврентьеву. Программа RingDir предназначена
для решения задачи Дирихле в круговом кольце и определения постоянной С по
формулам (6), (7). Программой HardTorsShaft вычисляется крутильная жёсткость
по методу, описанному выше. Меню этой программы снабжено также опцией вычисления касательных напряжений τ zx = μθ ( ∂ψ / ∂y − y ) , τ zy = μθ ( −∂ψ / ∂x + x ) с
использованием специальной процедуры частного дифференцирования функции
ψ , заданной численно по множеству случайных точек, образующих в области В
плотную сеть, и графического отображения линий равных напряжений.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Соболев, А.А. Молчанов
32
Охарактеризуем кратко некоторые особенности программ.
Во всех трёх программах область В задаётся как двусвязный полигон Вm с
вершинами ζ1+ , ζ +2 ,..., ζ +m+ на Г+ и ζ1− , ζ −2 ,..., ζ −m− на Γ − (m = m+ + m–). В случае, если область В полигонального вида и число вершин полигона невелико, для повышения точности квадратур совершается (в автоматическом режиме) их пополнение дополнительными точками, равномерно распределёнными внутри каждого
звена граничной ломаной, до образования на Γ ± достаточно плотных сетей узлов
ζ1± , ζ ±2 ,..., ζ ±m± .
Программа AltRingDir перед построением конформного отображения B → K q
выполняет следующее:
1) приводит (если это необходимо), начало системы координат к центру тяжести области B и координатные оси – к главным осям инерции;
2) задаёт случайным образом большое число M(B) (задаваемое пользователем)
равномерно распределённых внутри B точек ζ k и определяет по методу М-К приближённое значение S1(B) площади S(B);
3) приближённым контурным интегрированием вычисляет значение S2(B)
площади S(B) по формуле S2 ( B ) = S (Γ + ) − S (Γ − ) , где
S (Γ + ) =
1
2
∫ xdy − ydx, S (Γ
Γ+
−
)=−
1
2
∫ xdy − ydx ,
(9)
Γ−
обеспечивающей высокую точность при выборе подходящей сети граничных узлов.
Дублирование вычисления величины S(B) (контурным интегрированием и методом М-К) объясняется необходимостью достижения максимально высокой возможной точности вычисления интеграла I(B) с использованием случайно сгенерированных точек ζ k ∈ B , k = 1,…, M(B). Высокоточное интегрирование по методу
М-К возможно лишь при высокой степени равномерности распределения таких
точек по области В. Своеобразным, косвенным, способом контроля равномерности распределения может служить сравнение величины S1(B) с точным значением S(B) (если его определение возможно) или с величиной S2(B), определяемой
контурным интегрированием весьма точно при достаточно большом числе граничных узлов. Поэтому из различных вариантов распределения точек ζ k ∈ B при
вычислении интеграла I(B) по методу М-К предпочтительнее тот, для которого
величина S1 ( B) − S2 ( B ) (или S1 ( B ) − S ( B) ) меньше.
На каждом шаге альтернации отслеживаются образы точек ζ k ∈ B и в результате построения окончательного отображения g : B → K q устанавливаются
их образы wk = g (ζ k ) , в которых вычисляются по формуле (5) значения
ψ* ( wk ) = ψ(ζ k ) , используемые далее в методе М-К при вычислении интеграла
I(B). Имея в виду случайный характер результатов, получаемых по методу М-К,
вычисление I ( В ) , с целью повышения точности, повторяется несколько раз для
разных массивов случайно взятых M(B) точек и полученные значения усредняются.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня двусвязного сечения
33
6. Опробование метода
Выполнено опробование метода расчётами для различных видов и размеров
областей сечений стержней. Ниже приведено описание модельных областей и некоторые результаты расчётов для них.
1) Модель «Кольцо»: область B ограничена концентрическими окружностями
радиусов 3 и 1.
2) Модель «Эллипсы»:
{
}
{
}
}
{
}
Γ + = ( x, y ) : x 2 /16 + y 2 / 4 = 1 , Γ − = ( x, y ) : x 2 / 4 + y 2 = 1 .
3) Модель «Квадраты» (рис. 2).
4) Модель «6-угольники» (рис. 3).
5) Модель «Гайка» (рис. 4).
6) Модель «Шайба»:
{
Γ + = ( x, y ) : x 2 /16 + y 2 / 9 = 1 , Γ − = ( x, y ) : x 2 + y 2 / 4 = 1 .
y
1
y
y
0,5
0,5
0
0
–0,5
–0,5
0
–1
–1
0
1
–1
–1
x
Рис. 2. Модель «Квадраты»
–0,5
0
0,5
x
Рис. 3. Модель «6-угольники»
–1
–1
–0,5
0
0,5
x
Рис. 4. Модель «Гайка»
Рис. 5 иллюстрирует применение метода альтернации для отображения двусвязной области на кольцо. На рис. 5, а показана область B, модель «6-угольники», с заданными внутри области 2000 равномерно распределёнными точками для
реализации метода М-К. Граница области задана 800 точками, по 400 на каждой
из граничных компонент Г+ и Г–. После 5 шагов альтернации и трёхкратного применения вариаций границ по Лаврентьеву в качестве конформного образа В
y
v
0,5
0,5
а
0
–0,5
–1
–1
б
0
–0,5
–0,5
0
0,5
x
–1
–1
–0,5
0
0,5
Рис. 5. Иллюстрация применения метода альтернации
для отображения двусвязной области на кольцо, модель «6-угольники»
u
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Соболев, А.А. Молчанов
34
получено кольцо K = {w : 0,5152 < w < 1} (рис. 5, б); максимальное отклонение
образа Г+ от единичной окружности составило 7, 7 ⋅10−4 , образа Γ − от окружности
радиуса q = 0,5152 – 4,5 ⋅10−3 .
Охарактеризуем точность решения задачи Дирихле для двусвязной области
описанным методом конформного отображения результатами следующего численного эксперимента. По заданным в 400 граничных точках (по 200 на каждой из
граничных компонент Γ + , Γ − ) области В, модель «Эллипсы», значениям гармонической функции
h( x, y ) = 0, 25(( x − 3) 2 − ( y + 1) 2 ) + 2,13
были рассчитаны по формуле (5) приближённые значения этой функции в 400
случайно расположенных в В точках и проведено сравнение с соответствующими
точными значениями. При этом при построении конформного отображения области В на кольцо K q , q = 0,5646, были использованы четыре итерации в методе
альтернации с многочленами (псевдомногочленами) порядков до 60 и два шага
вариации границы по Лаврентьеву с использованием тригонометрических многочленов порядка 80. Максимальная погрешность, зафиксированная в точке (–3,54;
0,82) (на расстоянии 0,013 от границы), равна 0,024, что составляет 0,18 % от полной вариации h( x, y ) в области В (равной 13,65). По мере удаления точек от границы внутрь области погрешность уменьшается и на расстоянии от границы,
большем, чем 0,020, становится меньше 0,01. Среднеквадратическая погрешность
по всем 400 точкам составила 0,003 (0,02 %). В табл. 1 приведены рассчитанные
для этой же модели производные ∂h / ∂x, ∂h / ∂y указанной функции h в 15 наудачу взятых точках области В сравнительно с точными значениями.
Таблица 1
Результаты вычислений функции h и её частных производных
(модель «Эллипсы», М(В) = 4000)
№
п/п
x
y
hприбл
hточн
⎛ ∂h ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠прибл
⎛ ∂h ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠ точн
⎛ ∂h ⎞
⎜ ∂y ⎟
⎝ ⎠прибл
⎛ ∂h ⎞
⎜ ∂y ⎟
⎝ ⎠ точн
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2,183
−0,662
0,656
2,549
0,478
−1,803
−2,419
1,301
−2,256
−1,005
−0,356
−3,256
2,710
−0,374
−1,804
−1,313
1,471
1,899
0,647
1,173
1,312
−0,623
1,318
1,227
1,149
−1,424
0,039
0,030
−1,261
−1,398
2,272
3,956
1,403
1,503
2,540
6,561
9,436
1,508
7,797
4,985
4,901
11,643
1,886
4,959
7,860
2,272
3,955
1,402
1,502
2,540
6,560
9,435
1,508
7,797
4,986
4,901
11,646
1,886
4,960
7,861
−0,399
−1,850
−1,182
−0,224
−1,250
−2,399
−2,699
−0,849
−2,624
−2,000
−1,675
−3,138
−0,149
−1,699
−2,399
−0,408
−1,831
−1,172
−0,225
−1,261
−2,401
−2,709
−0,849
−2,628
−2,002
−1,678
−3,128
−0,145
−1,687
−2,402
0,149
−1,250
−1,403
−0,800
−1,100
−1,150
−0,200
−1,150
−1,098
−1,074
0,200
−0,499
−0,524
0,125
0,199
0,156
−1,235
−1,449
−0,823
−1,086
−1,156
−0,189
−1,159
−1,113
−1,074
0,212
−0,519
−0,515
0,130
0,199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня двусвязного сечения
35
Как видно из табл.1, точность вычисления функции h довольно высокая, для
частных производных функции h – несколько хуже. Подобные результаты наблюдались и в экспериментах на других моделях.
Результаты расчётов геометрической жёсткости стержней для моделей 1) – 6)
приведены в табл. 2, в которой используются следующие обозначения: m+, m– – общее число точек на граничных компонентах Г+ и Г–, с учётом пополнения, используемых при решении задачи Дирихле; C – значение постоянной, полученное в соответствие с условием Прандтля; M(B) – количество равномерно распределённых
внутри области B точек в методе М-К; S K , S МK – приближённые значения площади S(B), полученные контурным интегрированием и по методу М-К; q – полученное
значение радиуса внутренней окружности кольца, конформно изоморфного области В; D( В) и D – точное и приближённое значения геометрической жёсткости;
∆ = D( В ) − D – абсолютная погрешность; δD = 100 D( В ) − D / D( В ) – относитель-
ная погрешность (%).
Таблица 2
Результаты вычислений геометрической жёсткости стержней
Наименование
модели
Кольцо
Эллипсы
Квадраты
6-угольники
Гайка
Шайба
m+
m–
С
M(B)
SK
SMK
200
400
400
200
200
400
300
400
400
200
400
400
200
400
400
200
400
400
200
400
400
200
200
400
300
400
400
200
400
400
200
400
400
200
400
400
4,0000
4,0000
4,0000
2,4002
2,4002
2,4001
1,1528
1,1531
1,1526
0,2980
0,2981
0,2981
0,2797
0,2797
0,2797
4,2006
4,2006
4,2006
2500
3500
4500
2000
3500
4000
3500
2500
3500
2500
3500
4500
2500
3500
4500
2500
3500
4500
25,128
25,132
25,132
18,846
18,846
18,849
8,000
8,000
8,000
1,948
1,948
1,948
1,813
1,813
1,813
31,411
31,415
31,415
25,126
25,135
25,132
18,851
18,849
18,851
8,001
7,998
8,001
1,943
1,942
1,944
1,806
1,811
1,811
31,414
31,414
31,423
S(В)
q
0,3333
25,133 0,3333
0,3333
0,5646
18,850 0,5646
0,5646
0,3717
8,000 0,3725
0,3729
0,5152
1,948 0,5152
0,5154
0,5563
1,813 0,5563
0,5563
0,4696
31,416 0,4696
0,4696
∆
δD
(%)
0,010
0,003
0,004
0,367
0,004
0,271
0,025
0,013
0,017
7,9⋅10−3
2,4⋅10−3
3,2⋅10−2
4,9⋅10−1
6,2⋅10−3
3,6⋅10−1
0,223
0,116
0,151
–
–
–
–
–
–
D
D ( В)
125,674
125,664
125,661
[9]
125,660
75,031
75,398
75,394
[9]
75,127
11,205
11,230
11,243
[9, 13]
11,213
0,969
0,953
–
0,961
0,935
0,935
–
0,939
197,86
199,33
–
198,74
При вычислении геометрической жёсткости D(В) на погрешность метода конформного отображения накладывается погрешность вычисления двойного интеграла в формуле (8) по методу М-К, для которой – в зависимости от числа М(В)
используемых случайных реализаций – характерна величина O(( M ( B )) −0,5 ) [22].
В нашем методе эта погрешность частично компенсируется за счёт использования
описанного приёма отбора случайных реализаций, соответствующих наиболее
точному значению величины площади области В, а также за счёт усреднения величины I(B) по выборке объёмом от 3 до 5 значений.
Отметим, что прямой зависимости повышения точности вычисления крутильной жёсткости D(В) (так же, как и площади области В, рассчитанной по методу МК) от увеличения количества М(В) не наблюдается, как это видно из результатов,
приведённых в табл. 2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.В. Соболев, А.А. Молчанов
36
На рис. 6 и 7 (сгенерированных программой RingDir) показаны поля изолиний
функции ψ ( x, y ) (а) и касательных напряжений τ zx = μθ ( ∂ψ / ∂y − y ) (б),
τ zy = μθ ( −∂ψ / ∂x + x ) (в) для двух описанных выше моделей ( μ = θ = 1 ).
y
y
y
1
1
1
а
0
б
0
–1
–1
–1
0
1
в
0
–1
x
–1
0
1
x
–1
0
1
x
Рис. 6. Модель «Квадраты»
y
y
0,5
y
0,5
а
0
0,5
б
0
–0,5
–0,5
–0,5
–0,5
0
0,5
x
в
0
–0,5
0
0,5
x
–0,5
0
0,5 x
Рис. 7. Модель «Гайка»
7. Выводы
Из результатов численных экспериментов можно сделать вывод, что стабильность результатов приближённых вычислений функции ψ и её производных
∂ψ / ∂x, ∂ψ / ∂y (а, значит, и касательных напряжений τzx, τzy), а также геометрической жёсткости стержня D( B) наступает при количестве узлов около 200 на каждой из внешней и внутренней граничных компонент области и числе случайных
реализаций в методе М-К около 3 – 4 тысяч.
Высокая точность результатов, в части вычисления гармонической функции и
её производных, полученных для моделей с известными точными решениями, даёт основание считать метод надёжным. Погрешность вычисления крутильной жёсткости D( B) , определяемая особенностями метода М-К, заметно больше и может составлять 1–2 % .
Предложенный метод прост, не требует больших затрат времени на подготовку модели к обсчёту, достаточно эффективен и обеспечивает приемлемую точность решение задачи Сен-Венана о кручении стержня для широкого круга двусвязных областей сечения.
Метод может найти применение в инженерной практике для исследования зависимости крутильной жёсткости полого стержня от геометрических параметров
и конфигурации области сечения. Внося соответствующие изменения, его можно
применить также к решению общих краевых задач Дирихле, Неймана и смешанной краевой задачи для гармонических функций в плоских двусвязных областях.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня двусвязного сечения
37
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Greenhill A.G. // Quart. J. Math. 1879. V. 16. P. 227.
Mac Donald H.M. // Proc. Cambrige Phil. Soc. 1893. V. 8. Р. 62.
Bredt R. // Zeitschr. d. Ver. d. Ing. 1903. V. 40. P. 785.
Prandtl L. // Jahresb. d. Deutschen Math. und Mech. Vereinig. 1904. V. 13. P. 31.
Геккелер И.В. Статика упругого тела. Л.; М., 1934. 287 c.
Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М., 1963. 688 c.
Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., 1975. 576 c.
Hasegawa H., Akiyama H., Takahashi S. Torsion of an elastic thick walled cylinder with a
semicircular notch // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A N Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A.
1998. V. 64. No. 619. P. 656–660.
Wang C.Y. Torsion of tubes of arbitrary shape // Int. J. Solids and Struct. 1998. V. 35.
No. 7−8. P. 719–731.
Jabmo1nski T.F., Andreaus U. Torsion of a saint-venant cylinder with a non-simply connected cross-section // Eng. Trans. 1999. V. 47. No. 1. P. 77–91.
Morassi A. Torsion of thin tubes with multicell cross-section // Meccanica. 1999. V. 34.
No. 2. P. 115–132.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.
М., 1965. 716 с.
Голузин Г.М. О конформном отображении двусвязных областей, ограниченных прямолинейными и круговыми многоугольниками // Конформные отображения односвязных
и многосвязных областей. М.; Л., 1937. С. 90–97.
Александров И.А. Кручение упругого стержня с кратно-круговой областью поперечного сечения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 4(12). С. 56–63.
Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. М.; Л. 1962. 708 c.
Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы математики. Киев, 1970. 800 с.
Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М., 1987. 524 с.
Соболев В.В., Ищенко Н.В. Программа численного построения конформного отображения ограниченной двусвязной области на круговое кольцо и обратного отображения.
Ростов н/Д: РГАСХМ. Зарегистрир. ГОФ АП РФ (ВНТИЦ). № 50200100349, 2001. 26 с.
Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966. 628 с.
Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М., 1963. 406 с.
Villat H. Lecons sur l’ hydrodynamique. Paris, 1929. 291 p.
Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М., 1973. 64 с.
Прочность. Устойчивость. Колебания: справочник в 3 т. / под общей редакцией
И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М., 1968. Т. 1. 831 с.
Статья поступила 29.10.2010 г.
Sobolev V.V., Molchanov A.A. NUMERICAL SOLUTION OF SAINT-VENANT’S PROBLEM
ABOUT TORSION OF A SHAFT WITH TWO-CONNECTED DOMAIN SECTION BY THE
METHOD OF CONFORMAL MAPPING. A numerical method for solving the Saint-Venant
problem about torsion of a shaft with an arbitrary two-connected section domain was developed.
This method is based on preliminary building of a conformal mapping of this domain onto a circle
ring followed by the solution of the reduced boundary Dirichlet problem. The testing of this
method with employment of computer programs demonstrates its sufficiently high efficiency and
precision.
Keywords: Saint-Venant problem, shaft torsion, Dirichlet boundary problem, harmonic function,
two-connect domain, conformal mapping, numerical method, computer program.
SOBOLEV Vadim Vladimirovich (Don State Technical University)
Е-mail: sobolev@aaanet.ru
MOLCHANOV Alexander Alexeevish (Don State Technical University)
Е-mail: aa_molchanov@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 519.23
П.В. Трясучёв
СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ
ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ЦЕНЫ АКЦИИ
В работе будет рассматриваться процесс, описывающий относительные
приращения цены акции с помощью обобщённого уравнения Ито. Для описания стохастической динамики были взяты цены акции компании Лукойл
за период с 18.04.2008 по 17.04.2009, с интервалами ∆τ = 1 мин, 5 мин, 10
мин, 15 мин, 30 мин и 1 час.
Ключевые слова: стохастический процесс, коэффициент сноса, волатильность, относительные приращения, виннеровский процесс, марковский процесс.
При описании стоимости ценных бумаг на финансовых рынках широко используется модель геометрического броуновского движения [1, 2]. Согласно этой
модели, стоимость актива St как функция времени t подчиняется стохастическому
дифференциальному уравнению Ито вида
dSt = μSt dt + σSt dWt
где постоянные μ и σ соответственно дрейф и волатильность; Wt – стандартный
винеровский процесс.
В настоящее время становится ясно, что такая модель не является состоятельной [3] и не учитывает многие важные особенности рынка [4, 5]. Чтобы учесть
различного рода наблюдаемые закономерности, были введены модели со стохастической волатильностью [1, 2, 6 – 9], согласно которым волатильность рассматривается как случайная переменная и в общем случае как функция σ = σ (Y(t)) некоторого стохастического процесса Y(t).
В настоящей работе будет рассмотрен стохастический процесс
R (t ) = ( St +1 − St ) / St , описывающий относительные приращения цен акций. Существует множество моделей определения его коэффициентов, например метод моментов, метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, которые путем некоторой процедуры варьирования параметров достаточно хорошо
воспроизводят вероятностные плотности ценовых приращений, или описывать
отдельные наблюдаемые закономерности, однако сделать однозначный вывод о
том, какая из моделей наиболее адекватна предложенным эмпирическим данным,
не представляется возможным. Кроме того, не ясно, способна ли какая-либо модель детерминировать весь спектр наблюдаемых эффектов одновременно.
Рассмотрим обобщённую модель Ито [1, 2, 8, 9]
dRt = μ( R, t )dt + σ(t )dWt ,
(1)
где на функции коэффициента дрейфа и диффузии выдвигаются стандартные условия
D(μ( R, t )) < ∞, t → ∞,
σ(t ) < ∞, t → ∞.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Стохастическая модель динамики относительных приращений цены акции
39
В этой связи представляет интерес получение оценок коэффициентов модели
стохастической волатильности непосредственно из эмпирических данных, без
привлечения метода наименьших квадратов или максимального правдоподобия.
Анализ динамики относительных приращений для акции
Для описания стохастической динамики были взяты цены акции компании Лукоил за период с 18.04.2008 по 17.04.2009, с интервалами τ = 1 мин, 5 мин, 10 мин,
15 мин, 30 мин и 1 ч, и посчитаны относительные приращения для всех наборов
данных. Как видно из рис. 1, плотность распределения для Ri близка к нормальной.
Количество наблюдений
8000
6000
4000
2000
0
–0,02
–0,01
0
0,01
R
Рис. 1. Плотность распределения относительных
приращений для τ = 5 мин. Сплошной линией показана теоретическая плотность распределения,
столбцы показывают реальное распределение
Величины Rt будут зависимыми случайными величинами. Данное обстоятельство существенно усложняет процесс эконометрического анализа, так как делает
необходимым рассмотрение совместной многомерной плотности распределения
pN ( R1 , τ1; R2 , τ2 ;…; RN , τ N ) . Тем не менее, при дополнительных предположениях
относительно Rt, выдвинутых в [10], можно рассматривать данные величины как
независимые.
Тем не менее, при дополнительных предположениях относительно Rt удается
перейти к последовательности независимых случайных величин (СВ).
Выберем последовательность независимых одинаково распределенных СВ
( ξt )t≥0 , E ξt < ∞ , таких, что
Rt = ξ0 + ξ1 + ... + ξt , R0 = ξ0 , t > 0 .
Известно [11], что она будет мартингал–разностью на семействе
Ft = σ {ω; ξ1 ,..., ξt } , т.е. почти наверное (п.н.) выполнено следующее равенство:
E ( ξt +1 Ft ) = 0 .
Как следствие, Rt будет мартингалом относительно этого семейства σ-алгебр
Ft . Поэтому для перехода к исследованию только независимых приращений дос-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П.В. Трясучёв
40
таточно найти такую ( ξt )t≥0 . Например, в [12] показано, что в случае существования условного среднего a = E ( Ri Fi ) для процесса ( Rt )t ≥0 последний представим в виде процесса
∞
Rt = a + ∑ ζ i ξt −i ,
i =0
∞
(
где ζ i ∈ℜ ; ∑ ζ i < ∞ ; a = E ( Ri Fi ) – условное среднее; ( ξt )t ≥0 ~ N 0, σt2
i =0
)
– по-
следовательность независимых, нормально распределенных СВ тогда и только тогда, когда α + β < 1 . Поэтому всюду далее будем предполагать, что Rt независимы, переходя, при необходимости, к рассмотрению последовательности ( ξt )t≥0 .
Стохастический процесс R(τ) полностью определяется бесконечным набором
совместных плотностей pN ( R1 , τ1; R2 , τ2 ;…; RN , τ N ) , зависящих от N переменных.
Существенное упрощение возникает, если R(τ) есть марковский процесс. В этом
случае N-точечная плотность распадается на произведение условных плотностей:
p (R , τ ; R , τ )
p( Ri , τi | Ri +1 , τi +1 ) = 2 i i i +1 i +1 ,
p1 ( Ri +1 , τi +1 )
где i = 1, 2, … , N-1 и p( Ri , τi | Ri +1 , τi +1 ) обозначает плотность условной вероятности реализации значения Ri, за время τi при заданном значении Ri+1 за время τi+1.
Будем считать, что τi+1 > τi.
Как известно, в случае марковского процесса условные плотности должны
удовлетворять уравнению Чэпмена – Колмогорова
p( R1 , τ1 | R2 , τ2 ) = ∫ p ( R1 , τ1 | R, τ) p ( R, τ | R2 , τ2 )dR ,
где
p( R1 , τ1 | R2 , τ2 ) =
p ( R1 , τ1; R2 , τ2 )
p ( R2 , τ2 )
(2)
(3)
Анализируя исходные данные, легко найти условные плотности распределения; проводя численное интегрирование, можно получить следующие результаты,
которые представлены на рис. 2 и 3. Из рис. 3 видно, что процесс R – марковский
случайный процесс.
R2
0,01
p(R1,τ1|R2,τ2)
–0,01
–0,02
–0,01
0,02
R1
Рис. 2. Двумерная плотность распределения p(R1,τ1|R2,τ2),
где τ1 = 10 мин, τ2 = 15 мин
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Стохастическая модель динамики относительных приращений цены акции
41
0,6
p(R1,τ1|R2,τ2)
0,4
0,2
–0,2
–0,1
0
0,1
R
Рис. 3. Условная плотность распределения p(R1,τ1|R2,τ2), R1 = –0,022.
Сплошной линией показана условная плотность, вычисленная по
формуле (3), точками – по формуле (2)
Таким образом, с учётом вышесказанного, будем считать, что процесс R подчиняется уравнению (1), где µ(R,t) – коэффициент сноса, σ(t) – волатильность, а
dW – приращения для стандартного винеровского процесса.
Коэффициент µ(R,t) найдём как коэффициент D1(R,t) уравнения Фоккера–
Планка, которое соответствует дифференциальному уравнению (1):
dp ( R, t ) 1 ∂ 2
∂
=
D ( R, t ) p ( R, t ) −
D1 ( R, t ) p( R, t ) ,
2 2
dt
∂R
2 ∂R
1
( R1 − R2 ) p ( R1, t + ∆τ | R2 , t )dR1 .
τ→0 τ ∫R
Численные значения коэффициента D1(R,t) представлены на рис. 4, из которого видно, что коэффициент сноса линеен.
где
D1 ( R, t ) = lim
D1(R,t)
1
0
–1
–2
–3
0
10
20
30
40
R
Рис. 4. Численные значения коэффициента сноса
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П.В. Трясучёв
42
Как не раз оказывалось на практике, волатильность является стохастическим
процессом, который описывается следующим уравнением [13]:
d σ = α(σ)dt + β(σ)dZ ,
(4)
где α(σ) – коэффициент сноса для волатильности; β(σ) – волатильность волатильности, а dZ – приращения винеровского случайного процесса. Будем полагать процесс
σ(t) стационарным, поэтому параметры уравнения (4) не зависят от времени.
Будем искать волатитльность волатильности в виде νσγ [13], для этого возведём левую и правую часть (4) в квадрат и получим
(d σ) 2 = β2 (σ)dt ,
так как (dZ)2 = dt, (dt)2 = 0, dt·dZ = 0. Из имеющихся значений волатильности для
всех шести временных серий найдём (Δσ)2, а также среднее значение M[(Δσ)2]. Таким образом, можно получить следующую зависимость:
M [(∆σ) 2 ] = β2 (σ)∆t .
Положим β(σ) = νσγ, а также напомним, что ∆t = τ. Затем, логарифмируя, получим
ln( M [(∆σ) 2 ]) = ln(ν 2 τ) + 2 γ ln(σ) .
На основе линейной регрессионной модели находим
ν = 6,178; γ = 0,509,
результаты представлены на рис. 5.
ln(M[(∆σ) 2])
0
–12
–11
–10
–9
–8
ln(σ)
–4
–8
–12
реальные данные
сглаженные значения
–16
Рис. 5. Зависимость ln(M[(Δσ)2]) от ln(σ)
Таким образом, β(σ) = νσγ.
Чтобы определить α(σ), рассмотрим плотность вероятности p(σ, t). Плотность
этой вероятности определяет уравнение Фоккера–Планка
∂p 1 ∂ 2 2
∂
=
β p − ( αp ) .
2
∂t 2 ∂σ
∂σ
Теперь предположим, что нам известна плотность вероятности p(σ, t) в
ционарном состоянии, обозначим её p∞(σ), тогда уравнение (5) перепишется
дующим образом:
1 ∂2 2
∂
β p∞ − ( αp∞ ) .
0=
2
∂σ
2 ∂σ
(
(
)
)
(5)
стасле(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Стохастическая модель динамики относительных приращений цены акции
43
Проинтегрировав один раз уравнение (6), получаем выражение для коэффициента сноса волатильности
1 ∂ 2
α ( σ) =
β p∞ .
2 p∞ ∂σ
Распределение p∞(σ), как видно из рис. 6, логнормальное. Тогда аналитическое
выражение для данной плотности примет вид
(
p∞ =
1
−
)
σ
ln 2 ⎛⎜ ⎞⎟
⎝σ⎠
2a2
.
e
2 π aσ
где ln σ характеризует математическое ожидание ln σ , а a – дисперсию. Графики,
полученные для α(σ), можно увидеть на рис. 7.
Количество наблюдений
80
60
40
20
0
1,7199⋅10–6 0,0002
0,0004
0,0005
0,0007
0,0009
σ
Рис. 6. Плотность распределения волатильности (τ=15мин)
α(σ)
100
0
0,02
0,04
0,06
–100
–200
Рис. 7. Коэффициент сноса для волатильности. На графике снизу-вверх
представлены коэффициенты сноса для τ = 1, 5, 10, 15, 30, 60 мин
σ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44
П.В. Трясучёв
В настоящее время знания о случайном и детерминированном характере процессов, лежащих в основе эволюции финансовых рынков, в значительной мере
ограничены. При условии, что относительные ценовые приращения R представляют собой марковский процесс на временной шкале t, было показано, что непосредственно из эмпирических данных могут быть получены коэффициенты обобщённого уравнения Ито (1). В частности, были посчитаны коэффициенты α и β
для процесса стохастической волатильности, что позволяет строить краткосрочные прогнозы и доверительные интервалы для волатильности, которые широко
используются для оценивания опционов и прогнозирования цены активов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hull J., White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // J. Finance.
1987. V. XLII. P. 281−300.
2. Dragulescu A., Yakovenko V.M. Probability distribution of returns in the Heston model with
stochastic volatility // Quant. Finance. 2002. V. 2. P. 443−453.
3. Cont R. Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues // Quant. Finance. 2001. V. 1. P.223−236.
4. Friedrich R., Peinke J.,Renner Ch. How to quantify deterministic and random influences on
the statistics of the foreign exchange market // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 5224−5227.
5. Ivanova K.,Ausloos M., and Takayasu H. Deterministic and stochastic influences on Japan
and US stock and foreign exchange markets. A Fokker-Planck approach //arXiv:condmat/0301268.
6. Stein E.M. and Stein J.C. Stock Price Distributions with Stochastic Volatility: An Analytic
Approach // Rev. Financial Studies. 1991. V. 4. P. 727−752.
7. Heston S.L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to
bond and currency options // Rev. Financial Studies. 1993. V. 6. P. 327−343.
8. Бухбиндер Г.Л., Чистилин К.М. Описание российского фондового рынка в рамках модели Гестона // Математическое моделирование. 2005. Т. 17. № 10. С. 31−38.
9. Remer R., Mahnke R. Application of Heston model and its solution to German DAX data //
Physica A. 2004. V. 344. P. 236−239.
10. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 574 с.
11. McNeil A.J., Frey R., Embrechts P. Quantitative Risk Management. Concepts, Techniques
and Tools. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2005.
12. Бухбиндер Г.Л., Чистилин К.М. Стохастическая динамика котировок акций РАО ЕЭС //
Математическое моделирование. 2005. Т. 17. № 2. С. 119−125.
13. Wilmott P., Oztukel A. Uncertain parameters, an empirical stochastic colatility model and
confidance limits // Int. J. Theor. Appl. Fin. 1998. V. 1. P. 175−198.
Статья поступила 01.12.2010 г.
Tryasuchev P.V. STOCHASTIC MODEL OF DYNAMIC RELATIVE INCREMENTS STOCK
PRICE. In this paper, the process of relative increment of stock price is considered. The process is
described using the generalized Ito equation. Stochastic dynamics was described with Lukoil
stock prices during the period of 18.04.2008 up to 17.04.2009, with intervals ∆τ = 1 min, 5 min,
10 min, 15 min, 30 min, and 60 min.
Keywords: Stochastic process, drift, volatility, relative increments, Wiener process, Markov process.
TRYASUCHEV Petr Vladimirovich (Tomsk Polytechnic University)
Е-mail: pet3001@yandex.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 519.632.4
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
УСКОРЕНИЕ ПОЛИНЕЙНОГО РЕКУРРЕНТНОГО МЕТОДА
В ПОДПРОСТРАНСТВАХ КРЫЛОВА
На примере алгоритма LR1 полинейного рекуррентного метода [1, 2] рассматриваются два механизма его ускорения в подпространствах Крылова.
В качестве ускоряющего метода используется алгоритм Bi-CGStab P ван дер
Ворста. Показано, что традиционный подход: построение предобуславливателя на базе алгоритма LR1, не приводит к требуемому результату. В то
время как прямое сочетание алгоритмов LR1 и Bi-CGStab P позволяет значительно повысить скорость сходимости решения.
Ключевые слова: разностные эллиптические уравнения, итерационный метод решения, подпространства Крылова, полинейный рекуррентный метод.
Несмотря на бурный рост вычислительной техники и теоретические достижения в области решения систем линейных алгебраических уравнений [3], возникающих при моделировании многомерных явлений математической физики, проблема создания и развития быстродействующих алгоритмов не теряет своей актуальности. Происходит это потому, что с усложнением поставленных задач возрастают и требования к точности и надежности методов решения.
Современные методы решения задач математической физики зачастую сводятся к разностной аппроксимации многомерных дифференциальных уравнений [4],
что, в свою очередь, приводит к построению системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ), матрица которой имеет большую размерность и разреженноупорядоченную структуру. Для многомерных эллиптических по пространству задач до сих пор не удалось разработать прямой, экономичный, устойчивый к
ошибкам округления метод, способный решать СЛАУ с линейной трудоемкостью
относительно числа неизвестных, наподобие того, как это было сделано для одномерного случая. В настоящее время наиболее перспективными можно считать
те направления разработки новых методов решения СЛАУ, в которых на уровне
алгоритма учитывается фундаментальное свойство краевых эллиптических задач
обязательной чувствительности решения в каждой точке области определения задачи возмущения в любой иной, включая граничную, точке. Такая чувствительность обеспечивается современными градиентными методами [3, 5], но не напрямую от точки к точке, а опосредованно, через коэффициенты, полученные при
минимизации норм соответствующих функционалов. Однако непосредственно
градиентные методы не характеризуются высокими скоростями сходимости, и для
их ускорения используются предобуславливатели, которые строятся, как правило,
на основе известных релаксационных методов [3]. При этом, чем более эффективен исходный релаксационный метод, тем более эффективным получается сочетание соответствующего предобуславливателя с градиентным методом. Например, использование в методе бисопряженных градиентов со стабилизацией предобуславливателя на базе явного метода Булеева позволяет реализовать более высокие скорости сходимости решения по сравнению с предобуславливателем на базе
метода Гаусса – Зейделя [2, 6].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
46
Постановка задачи
Пусть имеет место двумерная по пространству краевая задача в единичной области Ω = {(x, y ): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} . Внутри области Ω поведение искомой функции Ф(x,y) описывается дифференциальным уравнением
∂Φ
∂Φ ∂ ⎛ x ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ y ∂Φ ⎞
U
(1)
+V
= ⎜ν
ν
+ S,
⎟+
∂x
∂y ∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎜⎝
∂y ⎟⎠
где U, V – компоненты скорости, ν x , ν y – коэффициенты переноса, S – источник.
На границе области Г имеют место условия первого рода
Φ |Γ = ϕ .
(2)
Здесь U, V, ν x , ν y – непрерывные дифференцируемые функции внутри и на границе Ω, причем ν x > 0, ν y > 0 ; ϕ – непрерывная функция, определенная на границе Ω. Выбирая произвольные выражения для функций Ф, U, V, ν x , ν y , можно
всегда, путем вычисления источника S из (1) и определения ϕ из (2) по значениям
Ф на границе Ω, сформулировать необходимую для тестирования численного метода задачу. В настоящей работе рассматриваются две такие тестовые задачи.
Задача 1. Решение и коэффициенты задаются в виде следующих зависимостей:
Φ ( x, y ) = 256 [ xy (1 − x )(1 − y )] 2; U = V = 0;
2
2
ν x ( x, y ) = 1 + 2 ⎡⎣( x − 0,5 ) + ( y − 0,5 ) ⎤⎦ ,
2
y
(3)
2
ν ( x, y ) = 1 + 2 ⎡⎣ 0,5 − ( x − 0,5 ) − ( y − 0,5 ) ⎤⎦ ,
а на границе Φ |Γ = 0 .
Задача 2. Решение и коэффициенты задаются в виде следующих зависимостей:
Φ ( x, y ) = exp(−10 l 2 )cos(8 π l 2 );
ν x ( x, y ) = ν y ( x, y ) = exp(−5 l 2 );
2
2
2
3
(4)
2
l = x + y ; V ( x, y ) = y /(1 + x );
на левой границе U (0, y ) = 0, а внутри области Ω и на оставшихся границах U(x,y)
∂U ∂V
+
= 0. На границе Ω решение Ф опреде∂x ∂y
ляется из соотношения (4) при соответствующем выборе l: l(0,y) = y2, l(1,y) = 1+y2,
l(x,0) = x2, l(x, 1) = 1+x2.
Системы линейных алгебраических уравнений вида AФ = b получаются путем
разностной аппроксимации задач (3) и (4) методом контрольного объема (вариант
экспоненциальной схемы) [7] на равномерной сетке, покрывающей расчетную область Ω. В качестве зависимости коэффициентов схемы от сеточного числа Пекле
Ph используется рекомендованная С. Патанкаром функция f (Ph) = max (0,(1−
−0,1Ph)5). Как отмечается в [7], получаемая при этом разностная схема
(5)
aP Φij = aE Φ i +1 j + aW Φ i −1 j + aN Φ ij +1 + aS Φ ij −1 + bij ,
рассчитывается из соотношения
ij
ij
ij
ij
ij
консервативна и имеет второй порядок аппроксимации. Причем в данном случае
aP = aE + aW + aS + aN , поскольку уравнение (1) стационарно и источник S не за-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ускорение полинейного рекуррентного метода в подпространствах Крылова
47
висит явным образом от Ф. Здесь 1 < i < n, 1 < j < m , где n, m – количество узлов
сеточного разбиения расчетной области по координатам x, y соответственно. Из
вида уравнения (5) следует, что матрица A системы имеет пятидиагональную
структуру (см. рис. 1), причем для задачи (3) матричный оператор A будет самосопряжен, а для задачи (4) – нет. Следует отметить, что в общем случае способ
разностной аппроксимации исходной дифференциальной задачи не имеет принципиального значения при условии, что получаемая при этом матрица СЛАУ
имеет пятидиагональную структуру и положительный тип [1].
Все расчеты проводились на вычислительной системе Intel Core i5 750 2.66GHz,
RAM 4Gb, Win32, IVF v.11. Итерационный
процесс прекращался при выполнении условия R k / R 0 < ε , где R0 и Rk соответст2
2
венно начальная и текущая невязки, а ε – заданная точность решения. Во всех расчетах
область Ω покрывалась равномерной сеткой
1001×1001, точность ε принималась равной
10−8, а начальное приближение решения
бралось в виде единичного вектора Ф0 = 1.
Оценка числа обусловленности матрицы
Рис. 1
системы для первой задачи составила
MA ≈ 5,90×105, а для второй – MA ≈ 9,40×106.
Кроме нормы невязки в итерационном процессе также контролировались отношение норм текущей погрешности к начальной Z k / Z 0 и средняя скорость сходимости Qk [4].
2
2
Градиентный метод решения СЛАУ
Среди многочисленных итерационных градиентных методов решения разностных СЛАУ наиболее эффективным по праву считается метод бисопряженных
градиентов со стабилизацией ван дер Ворста Bi-CGStab, основанный на процедуре биортогонализации Ланцоша в подпространствах Крылова [3]. Алгоритм этого
метода для случая использования предобуславливателя имеет следующий вид
(модификация Bi-CGStab P) [5].
1. Ф0 –вектор начального приближения решения;
2. r0 = b – A Ф0;
3. r0 – произвольный вектор, такой, что (r0 , r0 ) ≠ 0 , например r0 = r0 ;
4. ρ0 = α = ω0 = 1 ;
5. υ0 = p0 = 0 ;
6. для k = 1,2,3, …
7. ρk = (r0 , rk −1 ); β = (ρk / ρk −1 )(α / ωk −1 ) ;
8. pk = rk −1 + β( pk −1 − ωk −1υk −1 ) ;
9. Определение вектора y из решения системы Ky = pk ;
10. υk = Ay ;
11. α = ρk /(r0 , υk ) ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
12. s = rk −1 − αυk ;
13. Определение вектора z из решения системы Kz = s ;
14. t = Az ;
15. ωk = (t , s ) /(t , t ) ;
16. Φ k = Φ k −1 + αy + ωk z ;
17. Если Фk достигло требуемой точности – выход из цикла;
18. rk = s − ωk t ;
19. Конец цикла по k.
Здесь K – предобуславливатель, причем предполагается разложение K = K1K2,
где K1 – нижняя, а K2 – верхняя треугольные матрицы. При наличии такого разложения строки 9 и 13 алгоритма Bi-CGStab P выполняются с линейной трудоемкостью относительно числа неизвестных.
Предобуславливатель на базе алгоритма LR1
Следуя общей идеологии ускорения градиентного метода с помощью соответствующего предобуславливателя, необходимо произвести неполную факторизацию матрицы A системы уравнений на сомножители K1 и K2 таким образом, чтобы
в основе этого разложения лежал алгоритм LR1. Из описания полинейного рекуррентного метода следует, что сомножитель K2 в виде четырехдиагональной почти
верхнетреугольной матрицы присутствует в самом алгоритме [8]. Таким образом
остается только определиться с сомножителем K1. Структура этого сомножителя
легко выводится из расчетных формул преобразования правых частей уравнения
системы [1], аналогично тому, как это делается в прямом методе Гаусса решения
СЛАУ, который, как известно, эквивалентен LU-разложению матрицы системы с
последующим последовательным решением двух систем с нижней и верхней треугольной матрицами. На рис. 2 представлены структуры матрицы K1 (слева) и
матрицы K2 (справа).
Рис. 2
Нетрудно видеть, что матрица K1 имеет две особенности: единичную главную
диагональ и полностью заполненные клетки, прилегающие к главной диагонали
снизу. Вторая особенность является критичной, поскольку в этом случае трудоемкость метода будет не линейной, а пропорциональной N 3/2, где N = n×m – количество неизвестных в системе. Для преодоления этого осложнения можно восполь-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ускорение полинейного рекуррентного метода в подпространствах Крылова
49
зоваться оценкой порядка величин, заполняющих клетки под главной диагональю.
Анализ расчетных формул [1] показывает, что на главной диагонали «поддиагональных» клеток стоят величины порядка 1/3, на прилегающих к ней сверху и
снизу диагоналях – (1/3)2, на следующих диагоналях – (1/3)3 и так далее.
Аналогично тому, как это делается, например в [4, 9], в данном случае удобно в
«поддиагональных» клетках выделить диагональную ленту шириной 2l0+1, элементы которой заметно отличны от нуля, а всеми остальными малыми элементами этих
клеток пренебречь. Легко проверить, что уже при l0 = 10 порядок величин на краю
ленты будет 10 −5, а с другой стороны, даже при обычном сеточном разбиении для
двумерных задач порядка 100×100 лента шириной в 21 элемент не будет серьезным
обременением для вычислительного процесса.
В дальнейшем для удобства алгоритм метода бисопряженных градиентов с
предобуславливателем на базе LR1 называется LR1bCGs. Для более детального
анализа влияния полуширины ленты l0 на скорость сходимости LR1bCGs решались задачи 1 и 2. Результаты решения первой задачи показали, что минимум количества итераций (33 – 35), необходимых для достижения заданной точности,
приходится на диапазон 10 ≤ l0 ≤ 18 ; а для второй задачи минимум количества
итераций составил 100 – 110 при 5 ≤ l0 ≤ 17 . С дальнейшим ростом l0 количество
итераций вновь начинало возрастать. Объясняется это очевидно тем, что вновь
привлекаемые к расчету диагонали уже не влияют на сходимость в силу малости
расположенных на них величин, а с другой стороны, дополнительные ошибки округления все более эффективно тормозят процесс сходимости. Примечательно,
что увеличение числа диагоналей в области минимально постоянного числа итераций практически не увеличивает время расчета задачи (15 – 16 с для первой задачи и 40 – 47 с для второй), что говорит в пользу приема усечения полностью заполненных «поддиагональных» клеток до относительно не широкой ленты.
Прямое сочетание алгоритмов LR1 и Bi-CGStab P
Решение задач 1 и 2 при тех же условиях напрямую алгоритмом LR1 продемонстрировало сходимость решения в первой задаче за 26 итерация (9 с), а во
второй – за 101 итерацию (33 с). С одной стороны, такой результат говорит о высокой эффективности собственно алгоритма LR1, а с другой стороны, что не удалось достичь поставленной цели: ускорить алгоритм LR1 в подпространствах
Крылова. И дело не только в том, что алгоритм LR1bCGs работает медленнее (в
секундах) – в конце концов, его реализация предполагает двойное решение системы с помощью предобуславливателя на базе LR1 – но и, что важно, количество
итераций требуется, вообще говоря, больше.
Выход из создавшегося положения заключается в особенностях алгоритма
Bi-CGStab P, в котором используется только правое предобуславливание. При
этом в нем не применяется в явном виде разложение K на сомножители K1 и K2,
но в неявном виде это разложение, естественно, предполагается для того, чтобы
иметь возможность решить системы Ky = pk (строка 9 алгоритма Bi-CGStab P) и
Kz = s (строка 13 алгоритма Bi-CGStab P) с линейной трудоемкостью относительно числа неизвестных. Действительно, путем последовательного решения
двух соответствующих пар систем K1χ = pk , K 2 y = χ и K1ξ = s, K 2 z = ξ это легко
сделать в силу треугольных структур матриц K1 и K2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
50
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
По определению предобуславливатель – это легко обратимая матрица K, в некотором смысле близкая к исходной, то есть K ≈ A . При этом считается, что качество предобуславливателя тем выше, чем ближе он к исходной матрице системы. Вполне естественно эту близость рассматривать как близость решений x и xA
двух систем Kx = b и Ax A = b . С этой точки зрения вектор y, который является
точным решением системы Ky = pk (строка 9 алгоритма Bi-CGStab P), можно
трактовать как приближенное решение системы Ay A = pk . Соответственно вектор
z (строка 13 алгоритма Bi-CGStab P) – как приближенное решение системы
Az A = s . Получается, что вместо того, чтобы точно решать вспомогательную систему с матрицей предобуславливателя K, можно просто найти приближенное решение той же вспомогательной системы, но уже с основной матрицей A, применяя какой-либо дополнительный метод, который для удобства можно условно
обозначить как метод «YZ». В этом случае строки 9 и 13 алгоритма Bi-CGStab P
должны быть заменены на следующие:
…
9'. Определение с помощью метода «YZ» вектора приближенного решения y
системы Ay A = pk ;
…
13'. Определение с помощью метода «YZ» вектора приближенного решения z
системы Az A = s ;
…
Иными словами идеологически (но не математически!) нет особой разницы
между тем, чтобы точно решить приближенную систему или тем, чтобы приближенно решить точную. На этом основана технология «внедрения» метода «YZ» в
алгоритм Bi-CGStab P, которая и составляет суть прямого сочетания «YZ» с
Bi-CGStab P, поскольку ни предобуславливатель, ни, тем более, его факторизация
не используются. Понятно, что метод «YZ» должен быть итерационным (в противном случае им сразу можно было бы решить исходную систему AФ = b). При
этом вопрос об оптимальном количестве итераций при использовании метода
«YZ» остается открытым. Также остается открытым вопрос о начальных приближениях векторов y и z. В настоящей работе в целях максимального сближения результатов предлагаемого подхода и технологии предобуславливания с неполной
факторизацией исходной матрицы в качестве начальных приближений y и z использовались нулевые вектора.
Поскольку эффективность прямого сочетания двух методов зависит от точности приближения векторов y и z при минимальных затратах машинного времени
для их нахождения, то отсюда следует, что в качестве «YZ» лучше всего использовать такой метод, который за первую итерацию способен резко понизить начальную погрешность решения (соответственно и невязку). В этом смысле применение какого-либо из алгоритмов полинейного рекуррентного метода представляется наиболее оправданным. Дело в том, что данный метод характеризуется
«фирменной» особенностью: он резко (на 2 – 4 порядка) понижает первоначальную невязку за первый итерационный проход [1, 2, 8].
В итоге на основании изложенных рассуждений можно определить новый метод, представляющий собой прямое сочетание алгоритмов LR1 и Bi-CGStab P, в
дальнейшем для удобства называемый LR1sK. По отношению к предыдущему варианту LR1bCGs метод LR1sK обладает двумя очевидными преимуществами: во-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ускорение полинейного рекуррентного метода в подпространствах Крылова
51
первых, он опосредованно учитывает все элементы предполагаемой нижней треугольной матрицы K1, сохраняя при этом линейную трудоемкость относительно
числа неизвестных; во-вторых, в силу точности реализации алгоритма LR1 он наследует его свойство быть прямым методом относительно линейного по координатам решения. При этом понятно, что если вместо LR1 использовать алгоритм
LR2 [1,2], то вновь образованный метод будет прямым для квадратичного по координатам решения.
Вычислительный эксперимент
Для оценки рассмотренных методов LR1bCGs и LR1sK был проведен их сравнительный анализ путем решения тестовых задач 1 и 2. Их эффективность сравнивалась с эффективностью метода LR1 и трех алгоритмов метода бисопряженных градиентов со стабилизацией: Bi-CGStab (без предобуславливания),
Bi-CGStab P LU (с предобуславливанием на базе LU разложения матрицы A),
Bi-CGStab P B (с предобуславливанием на базе явного метода Булеева). Итерационные параметры (в тех алгоритмах, в которых они присутствуют) подбирались
таким образом, чтобы реализовать максимальную скорость сходимости решения.
Тем самым производилась своеобразная оценка сверху эффективности каждого из
рассматриваемых алгоритмов.
Кривые сходимости в виде зависимостей R k 2 / R 0 2 от номера итерации
представлены на рис. 3, а (первая задача) и рис. 3, б (вторая задача). Видно, что
отличительной особенностью графиков, так или иначе связанных с методом бисопряженных градиентов (кривые 1, 3 – 6), является их резко немонотонное поведение, что качественно хорошо согласуется с результатами [5, 6]. Еще одной особенностью является отсутствие сходимости решения при использовании алгоритма Bi-CGStab для задачи 2 (несамосопряженный оператор; рис. 3, б, кривая 6).
lg
Rk
R
0
lg
а
Rk
R0
0
0
–2
–2
–3
–3
3
–4
1
–8
0
4
5
6
3
–4
6
2
1
б
4
1
–8
2
3 lg k
0
1
5
2
2
3 lg k
Рис. 3. Кривые сходимости: а – первая задача; б – вторая задача; кр. 1 – LR1sK; кр. 2 –
LR1; кр. 3 – LR1bCGs; кр. 4 – Bi-CGStab P B; кр. 5 – Bi-CGStab P LU; кр. 6 – Bi-CGStab
Итоговые результаты решения обеих задач всеми рассматриваемыми методами представлены в таблице. Кроме количества итераций и времени, необходимых
для завершения итерационного процесса, здесь также представлены значения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
52
Z k 2 / Z 0 2 и Qk на момент его завершения. Поскольку алгоритмом Bi-CGStab за
2500 итераций не было достигнуто требуемой точности, то вместо количества
итераций указано минимальное значение R k 2 / R 0 2 , полученное в процессе
итераций. Обращает на себя внимание, что отношение норм погрешностей всего
на 1 – 3 порядка отличается от заявленной точности решения, что говорит об эффективных разрешающих возможностях всех методов, несмотря на достаточно
высокие значения чисел обусловленности задач.
Задача
1
Итерации
Время, с
Zk / Z0
2
2
2
Qk
Итерации
Время, с
Zk / Z0
2
2
k
Q
LR1sK
9
5,5
LR1
26
8,9
Метод
LR1bCGs Bi-CGStab P B Bi-CGStab P LU Bi-CGStab
33
62
430
1847
14,9
4,8
30,3
70,5
4,8·10−7 2,6·10−7 1,0·10−5
1,620
24
13,9
0,580
101
33,0
0,350
101
42,7
1,4·10−6 1,6·10−5 5,6·10−6
0,560
0,110
0,120
9,8·10−6
3,2·10−5
1,2·10−5
0,190
235
16,7
0,024
2431
170,0
0,006
1,86·10 −3
–
2,2·10−6
4,3·10−6
–
0,055
0,005
–
Из поведения графиков и данных таблицы хорошо видно, что по общему количеству итераций, необходимых для достижения заданной точности решения и
итоговым значениям средней скорости сходимости, алгоритмы, в которых присутствует LR1 (кривые 1 – 3), имеют явное преимущество над остальными алгоритмами, представленными на рис. 3 (кривые 4 – 6). Однако по количеству времени, необходимому для завершения итерационного процесса не все так очевидно.
Для задачи 1 (самосопряженный оператор) минимальное время реализуется в случае использования алгоритма Bi-CGStab P B, хотя по количеству необходимых
итераций он в семь раз превосходит алгоритм LR1sK. В случае более сложной задачи 2 (несамосопряженный оператор) ситуация меняется в пользу алгоритма
LR1sK – теперь он явный лидер как по числу итераций, так и по затрачиваемому
на сходимость решения времени. Отсюда можно сделать предположение, что для
более сложных задач алгоритм LR1sK должен уверенно демонстрировать свои
преимущества по отношению к алгоритму Bi-CGStab P B (по отношению к остальным рассмотренным алгоритмам его превосходство сомнений не вызывает).
Для проверки этого предположения были решены алгоритмами LR1sK и
Bi-CGStab P B модифицированные задачи 1 и 2 – вместо условий Дирихле на всех
границах области были выставлены условия Неймана. Кривые сходимости всех
четырех расчетов представлены на рис. 4. Нетрудно видеть, что для достижения
заданной точности при использовании алгоритма LR1sK потребовалось 17 итераций (задача 1) и 40 итераций (задача 2), а при использовании алгоритма
Bi-CGStab P B – 212 и 998 итераций соответственно. При этом затраты по времени для первой и второй задачи соответственно составили 10,1 с и 22,7 с для алгоритма LR1sK и 15,2 с и 69,8 с для алгоритма Bi-CGStab P B. Иными словами
предположение о преимуществе LR1sK перед Bi-CGStab P B при решении более
сложных задач в данном случае подтвердилось.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ускорение полинейного рекуррентного метода в подпространствах Крылова
lg
53
Rk
R0
0
–2
–3
–4
2
1
3
4
–8
0
1
2
3
lg k
Рис. 4. Задача 1: кр. 1 – LR1sK, кр. 3 – Bi-CGStab P B;
задача 2: кр. 2 – LR1sK, кр. 4 – Bi-CGStab P B
Выводы
На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы.
1. Выявлена структура сомножителей неполной факторизации исходной матрицы системы на базе алгоритма LR1 полинейного рекуррентного метода решения эллиптических СЛАУ.
2. Показано, что использование предобуславливателя на базе LR1 в методе бисопряженных градиентов со стабилизацией не приводит к ускорению вычислений
по отношению к использованию самого алгоритма LR1.
3. Установлено, что в силу особенностей алгоритма Bi-CGStab P с ним напрямую можно сочетать любой итерационный метод решения СЛАУ.
4. Показано, что прямое сочетание алгоритмов LR1 и Bi-CGStab P позволяет
значительно повысить скорость сходимости решения по отношению к использованию исходного алгоритма LR1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фомина Л.Н. Использование полинейного рекуррентного метода с переменным параметром компенсации для решения разностных эллиптических уравнений // Вычислительные технологии. ИВТ СО РАН. 2009. Т. 14. № 4. C. 108–120.
2. Фомин А.А., Фомина Л.Н. Сравнение эффективности высокоскоростных методов решения разностных эллиптических СЛАУ // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. № 2(6). C. 71–77.
3. Yousef Saad. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. – N.Y.: PWS Publ., 1996. 460 p.
4. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 345 c.
5. Van der Vorst H.A. BI-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of BI-CG for the
solution of nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1992. V. 13. No. 2.
P. 631–644.
6. Старченко А.В. Сравнительный анализ некоторых итерационных методов для численного решения пространственной краевой задачи для уравнений эллиптического типа //
Вестник ТГУ. Бюллетень оперативной научной информации. Томск: ТГУ, 2003. № 10.
C. 70–80.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
54
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
7. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.:
Энергоатомиздат, 1984. 152 c.
8. Фомин А.А., Фомина Л.Н. Об одном варианте полинейного рекуррентного метода решения разностных эллиптических уравнений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 2(10). С. 20–27.
9. Вшивков В.А., Засыпкина О.А. Итерационный метод решения СЛАУ первого порядка
сходимости с регулируемой матрицей перехода // Сибирский журнал индустриальной
математики. 2008. Т. 11. № 2. C. 40−49.
Статья поступила 11.09.2010 г.
Fomin A.А., Fomina L.N. ACCELERATION OF THE LINE-BY-LINE RECURRETNT
METHOD IN KRYLOV SUBSPACES. Two techniques of acceleration of line-by-line recurrent
method in Krylov subspaces are considered by the example of the LR1 algorithm. The van der
Vorst Bi-CGStab P algorithm is used as an accelerating method. It is shown that the traditional
approach (generation of a preconditioner on the base of LR1 algorithm) doesn’t yield the required
result. At the same time, the direct combination of LR1 and Bi-CGStab P algorithms allows to
raise the convergence speed considerably.
Keywords: difference elliptic equations, iterative method, Krylov subspaces, line-by-line recurrent method.
FOMIN Alexander Arkadyevich
E-mail: fomin_aa@mail.ru
FOMINA Lubov Nikolaevna (Kemerovo State University)
E-mail: lubafomina@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 512.541
Д.С. Чистяков, О.В. Любимцев
ОБ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ
С UA-КОЛЬЦОМ ЭНДОМОРФИЗМОВ
В статье изучаются почти вполне разложимые и сильно неразложимые абелевы группы без кручения ранга 2, кольцо эндоморфзмов которых является
кольцом с однозначным сложением.
Ключевые слова: кольцо с однозначным сложением, почти вполне разложимая абелева группа, сильно неразложимая абелева группа без кручения.
Пусть R – ассоциативное кольцо с единицей. Кольцо R называется кольцом с
однозначным сложением (UA-кольцом), если на его мультипликативной полугруппе (R, ∗) можно задать единственную бинарную операцию +, превращающую
ее в кольцо (R, ∗, +) [1 – 3].
Абелеву группу, имеющую UA-кольцо эндоморфизмов, мы будем называть
End-UA-группой.
В настоящей статье получено описание почти вполне разложимых и сильно
неразложимых End-UA-групп без кручения. Далее всюду под словом «группа»
понимается абелева группа.
Будем говорить, что группа А квазиравна группе В (А≈В), если А квазисодержится в В и В квазисодержится в А (если nA ⊆ B, mB ⊆ A для некоторых n, m∈N).
Квазиравенство А≈⊕i∈I Аi, где I – конечное множество, называется квазиразложением, или квазипрямым разложением, группы А. При этом подгруппы Аi называются квазислагаемыми группы А. Группа называется почти вполне разложимой,
если она квазиравна вполне разложимой группе.
Абелеву группу без кручения A можно естественным образом вложить в Qпространство Q⊗A, которое является делимой оболочкой группы A. Естественный
образ вложения подразумевает отождествление элемента a∈A с элементом
1⊗a∈Q⊗A. Каждый эндоморфизм α∈E(A) единственным образом продолжается
до линейного преобразования 1⊗α Q-пространства Q⊗A. Кольцо E(A) содержится
в EndQ(Q⊗A).
Таким образом, E(A)={α∈EndQ(Q⊗A)| αA⊆A}. Q-алгебра Q⊗E(A) называется
кольцом квазиэндоморфизмов группы A. Далее для кольца Q⊗Е(А) примем обозначение S.
Заметим, если S – UA-кольцо, то E(A) тоже будет UA-кольцом. Действительно,
новое сложение в кольце E(А) индуцирует новое сложение в кольце S.
Псевдоцоколем абелевой группы без кручения A называется сервантная подгруппа, порожденная всеми ее минимальными сервантными вполне характеристическими подгруппами (pfi-подгруппами) – обозначим ее Soc A.
Прямое слагаемое А ранга 1 называется полусвязанным, если в его дополнительном прямом слагаемом найдется прямое слагаемое ранга 1, тип которого
сравним с типом А. При этом группу, каждое прямое слагаемое ранга 1 которой
полусвязано, назовем полусвязанной. Пусть Ω(A) множество всех типов прямых
слагаемых ранга 1 вполне разложимой группы A. Тип τ∈Ω (A) назовем изолиро-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56
Д.С. Чистяков, О.В. Любимцев
ванным, если никакой другой тип из Ω(A) не сравним с τ. Неопределяемые нами
понятия можно найти в [4].
Вспомним полезный для дальнейшего изложения результат: кольцо R будет
UA-кольцом тогда и только тогда, когда любой изоморфизм мультипликативных
полугрупп колец α: R→S является изоморфизмом колец [1 – 3].
Теорема 1. Пусть G – почти вполне разложимая группа без кручения конечного ранга и А = ⊕ni=1Ai – ее полное квазиразложение. Тогда G является End-UAгруппой в том и только том случае, если множество Ω(А) не содержит изолированных типов.
Доказательство. Достаточность. Имеем S=⊕ ki,j=1 eiSej, где ei, ej, – идемпотентны кольца S, соответствующие прямым квазислагаемым данного квазиразложения группы G.
Покажем, что кольцо S является UA-кольцом. Согласно [3, теорема 2.12.], достаточно проверить, что
L (eiSej) ∩ eiSei = 0
(∗)
или
R (ejSei) ∩ eiSei = 0,
(∗∗)
для любого индекса i, j∈{1,…,k} (здесь L (eiSej) и R (ejSei) – левый и правый аннуляторы подколец eiSej и ejSei соответственно).
Известно, что eiSei ≅ Q⊗E(eiG). Так как Аi является группой ранга 1 без кручения, то имеем изоморфизм eiG≅Аi. По условию теоремы, для любого индекса
i∈{1,…,k} найдется индекс j∈{1,…,k}, такой, что t(ejG)≥ t(eiG) (или наоборот). Покажем, что для любого 0≠ϕ∈eiSei найдется η∈ejSei, такой, что ηϕ≠0.
Пусть ϕ(х)=у≠0 для некоторого х∈Q⊗eiG. Найдется n∈N, такой, что nx∈eiG.
Далее, mϕ(nx)∈eiG для некоторого натурального m, то есть справедливо mϕ(nx)∈
eiG, mϕ(nx)= mnϕ(x)=y′≠0, где y′∈eiG.
Пусть W=eiV, U=ejV, где V – делимая оболочка группы G. Если 0≠δ∈ejSei, то
δ∈Hom(W,V), причем найдется такое k∈N, что kδ(eiG)⊆ejG≅Aj. Следовательно, ограничение kδ на eiG есть мономорфизм из eiG в ejG. Поэтому kδ(y′)= y′′≠ 0.
Заметим теперь, что если η(mϕ)≠0 для некоторого η∈ejSei, то ηϕ≠0. Положим
η=kδ. Тогда η(mϕ)(nx)=η( y′)= kδ(y′)=y′′≠0 и равенство (∗∗) выполнено. Следовательно, кольцо S является UA-кольцом. На основании сделанного во введении замечания заключаем, что E(G) – UA-кольцо.
Необходимость. Докажем утверждение для случая А=А1⊕А2 (доказательство
распространяется на случай большего ранга группы А). Предположим противное:
тип t(А1) не сравним с типом t(А2). Тогда eiSej=0 при i≠ j. Далее, так как Аi – группа
ранга 1, то eiSei ≅ Q. Следовательно, S≅ Q×Q.
В работе [2] (после следствия 2 к теореме 3) имеется такое замечание: если R
не UA-кольцо, то для любого кольца T, в свою очередь, R×T не является UAкольцом. Применяя это утверждение к кольцу S≅ Q×Q, заключаем, что S не
UA-кольцо (см. также [1, лемма 2.5]).
Покажем, что E(G), будучи подкольцом в S, также не является UA-кольцом.
Построим мультипликативный автоморфизм ϕ кольца E(G), полагая ϕ(a,b)=
=(−1)k(a,b), где k находится из равенства a=pka′, (p,a′)=1 (наименьший общий делитель p и a’ равен 1).
Очевидно, что ϕ – биекция. Кроме того, если a1=pua′1, a2= pva′2, то
ϕ[(a1,b1)( a2,b2)] = ϕ[a1a2, b1b2] = ϕ[ pu+va′1 a′2,b1 b2] =
= (–1)u+v(a1 a2,b1 b2) = ϕ[(a1,b1)]ϕ[( a2,b2)].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об абелевых группах без кручения с UA-кольцом эндоморфизмов
57
Следовательно, ϕ сохраняет умножение. Так как ϕ (p(1,1)) = ϕ(p,p) = –(p,p) ≠
≠ (p,p) = pϕ(1,1), то ϕ не является кольцевым автоморфизмом кольца E(G). Противоречие. Теорема доказана.
Доказанная теорема находит свое применение в проблеме определяемости
абелевых групп.
Говорят, что абелева группа A∈X определяется своим кольцом эндоморфизмов
E(A) в классе абелевых групп X, если всякий раз из изоморфизма E(A)≅E(B), где
B∈X, следует изоморфизм A≅B. По аналогии вводится понятие определяемости
абелевой группы полугруппой эндоморфизмов.
Следствие 2. Пусть G – почти вполне разложимая группа без кручения и
А=⊕ ni=1 Ai – ее полное квазиразложение. Если множество Ω(А) не содержит изолированных типов и группа G определяется своим кольцом эндоморфизмов в некотором классе абелевых групп, то она определяется своей полугруппой эндоморфизмов в этом классе.
Чтобы привести пример группы, не являющейся эндоморфной, обратимся к
сильно неразложимым группам без кручения ранга 2, для которых кольцо E(G) не
является подкольцом кольца рациональных чисел. Такие группы хорошо изучены
(см., напр. [5]). В этой ситуации возможны следующие случаи [5, § 3]:
1. Группа G – сильно неразложима, при этом dimQS=2.
q r⎞
2. Группа G – сильно неразложима, при этом S ≅ ⎛⎜
⎟ | q, r ∈ Q .
⎝0 q⎠
Заметим, что, если S≅Q, то S и, следовательно, E(G) не являются UA-кольцами.
Для доказательства следующего утверждения нам будут полезны некоторые
понятия и результаты, касающиеся однородных отображений модулей.
Пусть R – ассоциативное кольцо с единицей, V – унитарный левый R-модуль.
Множество MR(V) = {f : V → V | f(rx) = rf(x), r∈R, x∈V} является почтикольцом
относительно операций сложения и композиции отображений. Элементы множества MR(V) называются R-однородными отображениями. Очевидно, что множество MR(V) содержит кольцо ER(V) всех эндоморфизмов R-модуля V.
В работе [6, Предл. 2.4] доказано, что, если MR(V)= ER(V) для всех R-модулей
V, то R – UA-кольцо.
Теорема 3. Сильно неразложимая группа G без кручения ранга 2 является
End-UA-группой в том и только том случае, когда G не совпадает со своим псевдоцоколем Soc G.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что G = Soc G. Тогда S≅Q
или S – квадратичное поле, причем dimQS=2. В обоих случаях кольцо S не является UA-кольцом, так как, например, мультипликативный изоморфизм
⎧0, x = 0;
α : S → S , α( x) = ⎨ −1
⎩x , x ≠ 0
{
}
не является изоморфизмом колец. Поэтому G – не End-UA-группа.
Достаточность. Пусть G не совпадает со своим псевдоцоколем Soc G.
q r⎞
Тогда S ≅ ⎛⎜
⎟ | q, r ∈ Q . Пусть V – унитарный левый S-модуль, f∈MS(V) и
⎝0 q⎠
x,y∈V. Имеем
⎛ 1 −1⎞ f ( x + y ) = f ⎛ ⎛ 1 −1⎞ ( x + y ) ⎞ = f ( x),
⎜0 1 ⎟
⎜⎜0 1 ⎟
⎟
⎝
⎠
⎝⎝
⎠
⎠
{
}
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
58
Д.С. Чистяков, О.В. Любимцев
⎛ 0 1 ⎞ f ( x + y ) = f ⎛ ⎛ 0 1 ⎞ ( x + y ) ⎞ = f ( y ).
⎜0 0⎟
⎜⎜ 0 0⎟
⎟
⎝
⎠
⎝⎝
⎠
⎠
Сложив данные равенства, получим f(x+y) = f(x) + f(y). Поэтому f∈ES(V) и
MS(V)=ES(V). Из работы [6, Предл. 2.4] следует, что кольцо S является UA-кольцом. Следовательно, кольцо E(G) так же является UA-кольцом. Теорема доказана.
Авторы признательны профессору Чехлову А.Р. за полезные замечания, коллективу кафедры алгебры Томского государственного университета за внимание к
работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nelius Chr.-F. Ring emit eindentiger Addition. Padeborn, 1974.
2. Stephenson W. Unique addition rings // Can. J. Math. 1969. V. 21. No. 6. P. 1455−1461.
3. Михалев А.В. Мультипликативная классификация ассоциативных колец // Мат. сб. 1988.
Т. 135 (177). № 2. С. 210–224.
4. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Томск: ТГУ, 2002.
5. Arnold D.M. Finite rank torsion – free abelian groups and rings // Lecture Notes in Math.
1982. V. 931. P. 1–191.
6. B. van der Merwe. Unique addition modules // Communications in algebra. 1999. V. 27(9).
P. 4103–4115.
Статья поступила 26.10.2010 г.
Chistyakov D.S., Lyubimcev O.V. ON TORSION – FREE ABELIAN GROUPS WITH UARINGS OF ENDOMORPHISMS. In this paper, we study almost completely decomposable and
strongly indecomposable torsion – free rank 2 Abelian groups the endomorphism ring of which is
a unique addition ring.
Keywords: unique addition ring, almost completely decomposable Abelian group, strongly indecomposable torsion – free Abelian group.
CHISTYAKOV Denis Sergeevich (Nizhny Novgorod Commercial Institute)
E-mail: chistyakovds@yandex.ru
LYUBIMCEV Oleg Vladimirovich (Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil
Engineering)
E-mail: oleg_lyubimcev@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 517. 95
Т.К. Юлдашев
О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ,
СОДЕРЖАЩЕГО КВАДРАТ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА И
НЕЛИНЕЙНОЕ ОТРАЖАЮЩЕЕ ОТКЛОНЕНИЕ
Рассматриваются вопросы однозначной разрешимости смешанной задачи
для нелинейного дифференциального уравнения, содержащего квадрат гиперболического оператора и нелинейное отражающее отклонение. С помощью нелинейного метода ряда Фурье задача сводится к изучению счетной
системы нелинейных интегральных уравнений. Доказывается сходимость
полученного ряда.
Ключевые слова: квадрат гиперболического оператора, нелинейное отражающее отклонение, счетная система нелинейных интегральных уравнений, обобщенные производные, сходимость ряда.
1. Постановка задачи
В области D рассматривается уравнение
2
⎛ ∂2 ∂2 ⎞
⎜ 2 − 2 ⎟ u (t , x) = f ( t , x , u (t , x ), u ( δ ( t , x , u (−t , x ) ) , x) )
∂x ⎠
⎝ ∂t
с начальными и граничными условиями
⎡u (t , x) t∈( −∞ ; −T ] = 0, u (t , x) t =0 = ϕ 1 ( x ), u (t , x) t∈[ T , ∞ ) = 0,
⎢u (t , x)
t = 0 = ϕ 2 ( x ) , u t t (t , x ) t = 0 = ϕ 3 ( x ) , u t t t (t , x ) t = 0 = ϕ 4 ( x );
⎣ t
u (t , x )
x =0
= u (t , x )
x =l
= u x x (t , x )
x =0
= u x x (t , x )
x =l
= 0,
(1)
(2)
(3)
f (t , x , u ϑ) ∈ С ( D × R 2 ), ϕ i ( x )∈ C 5 ( Dl ) ,
где
ϕ i ( x)
x =0 =
ϕ i ( x)
x =l =
ϕ i ''( x)
x =0 =
ϕ i ''( x)
x =l =
0, i = 1, 4 ,
D ≡ DТ × Dl , D T ≡ [ −T , T ] , D l ≡ [ 0, l ] , 0 < l < ∞ , 0 < T < ∞ , δ (t , x) ≠ t .
Отметим, что в работах [1,2] изучены краевые задачи для однородных и линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего и четвертого порядков. В работе [3] обосновано применение метода разделения переменных к смешанным задачам для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
В данной работе используется другая методика применения метода разделения
переменных: ищем решение смешанной задачи (1) – (3) в виде ряда Фурье. Обычная методика разделения переменных в случае уравнения (1) не применима, т.е.
переменные в этом уравнении не разделяются. А применение ряда Фурье позволяет нам в отличие от других работ (напр.см. [3,4]) отказываться от непрерывной
дифференцируемости правой части уравнения (1). Кроме того, такой подход по-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.К. Юлдашев
60
зволяет нам с помощью интегрального тождества свести смешанную задачу к
счетной системе нелинейных интегральных уравнений, однозначная разрешимость которой легко доказывается методом последовательных приближений.
2. Сведение решение смешанной задачи
к счетной системе нелинейных интегральных уравнений
Решение данной задачи (1) – (3) ищем в виде ряда Фурье [5]:
∞
u (t , x ) = ∑ a n ( t ) ⋅ b n ( x ) , (t , x) ∈ D ,
(4)
n =1
2
nπ
sin λ n x , λ n =
, n = 1, 2,... .
l
l
В множестве {a (t ) = (a n (t )) a n (t ) ∈ C [ −T ; T ] , n = 1, 2,... } определим операции
где b n ( x ) =
сложения двух элементов и умножение элемента на скаляр покоординатно. Тогда
данное множество становится линейным векторным пространством. Берем те
элементы этого векторного пространства, которые удовлетворяют условию
∞
∑
n =1
a n (t )
p
< ∞ . Это множество обозначим через B p (T ) и снабдим его нормой
1
⎡∞
⎤
a (t ) B (T ) = ⎢ ∑ a n (t ) p ⎥ p .
p
⎣ n=1
⎦
Для каждого элемента
a (t ) ∈ B p (T ) определим оператор Q следующим
образом:
∞
Q a (t ) = u (t , x ) = ∑ a n ( t ) ⋅ b n ( x ).
n =1
Обозначим через E p ( D) множество значений оператора Q . Очевидно, что
Q : B p (T ) → E p ( D) . Обозначим через W k , p ( D) множество функций Φ (t , x ) та-
∂2
Φ (t , x) имеют k-е обобщенные производные по t , при∂ x2
надлежащие L p ( D l ) , и обращаются в нуль при t ≥ T − δ ( 0 < δ − зависит от
ких, что Φ (t , x ) и
Φ (t , x ) ). Для функций из W k , p ( D ) справедливы следующие соотношения:
l
t →±T
l
l
l
∂ Φ (t , x)
∂ 2 Φ (t , x)
∂ 3 Φ (t , x)
=
lim
=
lim
d
x
d
x
d x =0 .
t →±T ∫
t →±T ∫
t →±T ∫
∂t
∂t 2
∂t 3
0
0
0
lim ∫ Φ (t , x) d x = lim
0
при k = 4 .
Определение. Если функция u (t , x) ∈ E p ( D) удовлетворяет следующему интегральному тождеству:
t l
⎧
⎡ ∂4
∂2 ⎛ ∂2
⎞
∂4
⎤
⎫
∫ ∫ ⎨⎩ u (s , x) ⎣⎢ ∂ s 4 Φ − 2 ∂ s 2 ⎝⎜ ∂ x 2 Φ ⎠⎟ + ∂ x 4 Φ ⎦⎥ − f Φ ⎭⎬ d x d s =
00
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О смешанной задаче для нелинейного дифференциального уравнения
61
l
l
⎡ ∂3
⎡ ∂2
∂ ⎛ ∂ 2 ⎞⎤
∂2 ⎤
= ∫ ϕ1 ⎢ 3 Φ − 2 ⎜ 2 Φ ⎟⎥ d x − ∫ ϕ 2 ⎢ 2 Φ − 2 2 Φ ⎥ d x +
∂t ⎝ ∂ x
∂x
⎣∂t
⎠⎦ t =0
⎣∂t
⎦ t =0
0
0
l
l
⎡ ∂ ⎤
+∫ ϕ 3 ⎢ Φ⎥ d x − ∫ ϕ 4 [ Φ] d x
⎣ ∂ t ⎦ t =0
0
0
t =0
для любого Φ (t , x) ∈ Wk , p ( D ) , то функция u (t , x ) называется решением смешанной задачи (1) – (3).
Согласно определению, решение задачи (1) – (3) разлагается в ряд Фурье по
∂2
собственным функциям дифференциального оператора − 2 почти для всех
∂x
t ∈ D T , причем единственным образом. Если u (t , x ) является решением смешанной задачи (1) – (3), то имеет место разложение (4) почти при всех t ∈ D T в
смысле L q ( D) и
l
a n ( t ) = ∫ u (t , x )bn ( x ) d x ,
0
G n (t , s ) =
1
nπ
λ n (t − s ) cos λ n (t − s ) + sin λ n (t − s ) . λ n =
, n = 1, 2,... .
2
l
2λ n
(
)
Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:
1. Функция f ( t , x , u , ϑ) непрерывна.
2. ω (t )
B p (T )
< ∞.
Тогда коэффициенты Фурье a n ( t ) решения смешанной задачи (1) – (3) по
собственным функциям b n ( x ) удовлетворяют следующей счетной системе нелинейных интегральных уравнений:
a n ( t ) = ωn (t ) +
1
λn
t l
∫ ∫ f ( s , x , Q a (s), Q a (δ ( s , x , Q a (− s))) ) ×
0 0
×bn ( x) G n (t , s ) d x d s , t ∈ D T ,
где
ω n (t ) =
2 λ 2n ϕ 1n − t (λ 2n ϕ 2 n + ϕ 4 n ) ϕ 2 n + ϕ 3 n
2 λ 2n
+
cos λ nt +
λ 4n t ϕ 1n + 3 λ 2n ϕ 2 n + λ 2n t ϕ 3 n + ϕ 4 n
G n (t , s ) =
2 λ 3n
(5)
sin λ n t ,
1
λ n (t − s ) cos λ n (t − s ) + sin λ n (t − s ) .
2 λ 2n
(
)
(51)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.К. Юлдашев
62
Доказательство. Согласно определению решения смешанной задачи (1) – (3),
имеем
t l
⎧⎪ ∞
⎫⎪
⎡ ∂4
∂2 ⎛ ∂2 ⎞ ∂4 ⎤
a
(
s
)
b
(
x
)
2
⋅
Φ
−
Φ⎟+
Φ⎥ − f Φ ⎬ d x d s =
⎨
⎢ 4
n
∫ ∫ ⎪n∑=1 n
2⎜
2
4
∂s ⎝∂x
⎪⎭
⎣∂ s
⎠ ∂x
⎦
00⎩
l
⎡ ∂3
∂
= ∫ ϕ1 ⎢ 3 Φ − 2
t
∂
t
∂
⎣
0
l
⎛ ∂ 2 ⎞⎤
⎡ ∂2
∂2 ⎤
d
x
Φ
−
ϕ2 ⎢ 2 Φ − 2
Φ⎥ d x +
⎜ 2 ⎟⎥
∫
∂ x 2 ⎦ t =0
⎝∂x
⎠⎦ t =0
⎣∂t
0
l
l
⎡∂ ⎤
+∫ ϕ 3 ⎢ Φ⎥ d x − ∫ ϕ 4 [ Φ] d x .
⎣ ∂ t ⎦ t =0
0
0
t =0
(6)
Пусть в (6) Φ = Φ m (t , x) = g (t ) b m ( x) ∈ Wk , p ( D ) , где 0 ≠ g (t ) ∈ С 3 ( D T ) . Тогда
имеем
t l
⎧⎪
∞
∫ ∫ ⎨⎪n∑=1 a n ( s ) ⋅b n ( x ) ×
00⎩
2
4
g ''( s ) b m ( x) + λ m
g ( s ) b m ( x) ⎤⎦ −
× ⎡⎣ g I V ( s ) b m ( x) + 2 λ m
− f ( s , x , Q a ( s ), Q a (δ ( s , x , Q a (− s ))) ) g ( s ) bm ( x) } d x d s = 0.
Учитывая, что система функций
∞
{ b n ( x) } n=1 ортонормирована, из последнего
равенства имеем
t
∫ ⎡⎣a n (s) ⋅ ( g
IV
)
4
( s ) b m ( x) + 2 λ 2m g ''( s ) b m ( x) + λ m
g ( s) b m ( x) −
0
l
⎤
− ∫ f ( s , x , Q a ( s ), Q a (δ ( s , x , Q a (− s ))) ) g ( s ) bn ( x) d x ⎥ d s = 0.
⎥⎦
0
Отсюда, интегрируя по частям и учитывая свойство обобщенного решения,
имеем
t
∫ g (s) ⎡⎣a n
IV
4
( s ) + 2 λ 2m a n ''( s ) + λ m
a n ( s) −
0
l
⎤
− ∫ f ( s , x , Q a ( s ), Q a (δ ( s , x , Q a (− s ))) ) bn ( x ) d x ⎥ d s = 0.
⎥⎦
0
(7)
Так как g (t ) любая функция, удовлетворяющая вышеуказанным условиям, то
a n ( t ) имеет обобщенные производные третьего порядка по t в смысле Соболева
на интервале D T . Поскольку g (t ) ≠ 0 для всех t ∈ D T , то из (7) получим
4
a n I V (t ) + 2 λ 2m a n ''(t ) + λ m
a n (t ) =
l
= ∫ f ( t , x , Q a (t ), Q a (δ (t , x , Q a (−t ))) ) bn ( x) d x .
0
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О смешанной задаче для нелинейного дифференциального уравнения
63
Решая систему (8) методом вариации произвольных постоянных, получим
a n ( t ) = ( C1n + C2 n t ) cos λ nt + ( C3 n + C4 n t ) sin λ nt +
+
1
λn
t l
∫ ∫ f ( s , x , Q a (s), Q a (δ (s , x , Q a (−s))) ) bn ( x) G n (t , s) d x d s ,
t∈DT ,
(9)
0 0
где G n (t , s ) определяется из (51).
Для того чтобы определить коэффициенты C i n (i = 1, 4), используем условия:
a n (0) = ϕ 1n , a n '( 0) = ϕ 2 n , a n ''(0) = ϕ 3 n , a n '''(0) = ϕ 4 n ,
l
где ϕ i n = ∫ ϕ i ( x ) b n ( x ) dx , i = 1, 4 , x ∈ Dl .
0
Тогда из (9) получим счетную систему нелинейных интегральных уравнений (5).
3. Однозначная разрешимость счетной системы
нелинейных интегральных уравнений
Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:
t
1.
∫
(
f s , x , Q a 0 ( s ), Q a 0 (δ ( s , x , Q a 0 (− s )))
)
0
d s ≤ ∆ < ∞;
L p ( Dl )
2. f (t , x , u , ϑ) ∈ Lip { h1 (t , x )
t
u ,ϑ
} , где ∫
h1 ( s , x )
0
3. δ (t , x , u ) ∈ Lip { h 2 (t , x)
u } , где
ω (t )
B p (T )
d s < ∞;
t
∫
h 2 (s , x)
0
4.
L p ( Dl )
L p ( Dl )
d s < ∞;
< ∞.
Тогда счетная система нелинейных интегральных уравнений (5) имеет единственное решение в пространстве B p (T ) .
Доказательство. Используем метод последовательных приближений. При
этом итерационный процесс Пикара определим следующим образом:
⎧a 0n (t ) = ω n (t ), t ∈ D T ,
⎪ k +1
⎪a n (t ) = ωn (t ) +
⎪
t l
(10)
⎨ 1
k
k
k
+
⎪ λ ∫ ∫ f s , x , Q a ( s ), Q a (δ ( s , x , Q a (− s ))) ×
⎪ n 00
⎪ × b ( x) ⋅ G (t , s ) d x d s , k = 0,1, 2,3,... , t ∈ D .
n
n
T
⎩
(
)
В силу условий теоремы для первой разности a 1n ( t ) − a n0 (t ) из (10) получим
a 1 ( t ) − a 0 (t )
∞
1
≤∑
n =1 λ n
t l
∫∫
00
B p (T )
≤
1
q
f 0 ⋅ b n ( x ) ⋅ G n (t , s ) d x d s ≤ M 1M 2 M 3 l ∆ ,
(11¹)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.К. Юлдашев
64
где
(
)
f k ≡ f s , x , Q a k ( s ), Q a k (δ ( s , x , Q a k (− s ))) , k = 0,1, 2,...,
M 1 = max G (t , s ) , M 2 =
(t , s )
1
λ
, M 3 = max b ( x)
Bq (l )
x
p
,
1 1
+ = 1.
p q
Аналогично получим, что
1
a 1 (−t ) − a 0 (−t )
B p (T )
≤ M 1M 2 M 3 l q ∆ ,
(11²)
В силу второго условия теоремы для второй разности a n2 ( t ) − a 1n (t ) имеем
a 2 ( t ) − a 1 (t )
t l
B p (T )
≤ M 1M 2 M 3 ∫ ∫ f1 − f 0 d x d s .
00
Так как
(
)
(
)
f s , x , Q a1 ( s ), Q a1 (δ ( s , x , Q a1 (− s ))) − f s , x , Q a 0 ( s ), Q a 0 (δ ( s , x , Q a 0 (− s ))) ≤
⎡ ∞
≤ h1 ( s , x) ⋅ ⎢ ∑ a1ν ( s ) − a 0ν ( s ) ⋅ bν ( x) +
⎣ ν=1
∞
⎛ ⎛
∞
⎞⎞
ν=1
⎝ ⎝
i =1
⎠⎠
∑ a1ν ⎜ δ ⎜ s , x , ∑ a1i (− s) ⋅ bi ( x) ⎟ ⎟ −
∞
⎛ ⎛
⎞⎞
⎤
−a 0ν ⎜ δ ⎜ s , x , ∑ a 0i (− s ) ⋅ bi ( x) ⎟ ⎟ ⋅ bν ( x) ⎥
⎝ ⎝
⎠⎠
⎦
i =1
и в силу третьего условия теоремы
∞
∞
⎛ ⎛
⎞⎞
⎛ ⎛
⎞⎞
a1ν ⎜ δ ⎜ s , x , ∑ a1i (− s ) ⋅ bi ( x) ⎟ ⎟ − a 0ν ⎜ δ ⎜ s , x , ∑ a 0i (− s ) ⋅ bi ( x) ⎟ ⎟ ≤
⎝ ⎝
⎠⎠
⎝ ⎝
⎠⎠
i =1
i =1
∞
∞
⎛ ⎛
⎞⎞
⎛ ⎛
⎞⎞
≤ a1ν ⎜ δ ⎜ s , x , ∑ a1i (− s ) ⋅ bi ( x) ⎟ ⎟ − a 0ν ⎜ δ ⎜ s , x , ∑ a1i (− s ) ⋅ bi ( x ) ⎟ ⎟ +
⎝ ⎝
⎠⎠
⎝ ⎝
⎠⎠
i =1
i =1
∞
∞
⎛ ⎛
⎞⎞
⎛ ⎛
⎞⎞
+ a 0ν ⎜ δ ⎜ s , x , ∑ a1i (− s ) ⋅ bi ( x) ⎟ ⎟ − a 0ν ⎜ δ ⎜ s , x , ∑ a 0i (− s ) ⋅ bi ( x) ⎟ ⎟ ≤
⎝ ⎝
⎠⎠
⎝ ⎝
⎠⎠
i =1
i =1
∞
∞
⎛
⎞ ⎛
⎞
≤ a1ν ( s ) − a 0ν ( s ) +∆ ⋅ δ ⎜ s , x , ∑ a1i (− s ) ⋅ bi ( x) ⎟ − δ ⎜ s , x , ∑ a 0i (− s ) ⋅ bi ( x) ⎟ ≤
⎝
⎠ ⎝
⎠
i =1
i =1
≤ a1ν ( s ) − a 0ν ( s ) + ∆ ⋅ h 2 ( s , x) ⋅
∞
∞
i =1
i =1
∑ a1i (− s) ⋅ bi ( x) − ∑ a0i (− s) ⋅ bi ( x) ,
то из последнего неравенства с учетом (11¹) и (11²) получим следующую оценку
a 2 ( t ) − a 1 (t )
+ ∆ ⋅ h 2 ( s , x) ⋅
B p (T )
≤ M 1M 2 M 3
t l
∞
00
ν=1
1
0
∫ ∫ h1 (s , x) ⋅ ∑ ⎡⎣2 a ν (s) − a ν (s) +
∞
∞
i =1
i =1
∑ a1i (− s) ⋅ bi ( x) − ∑ a0i (− s) ⋅ bi ( x)
⎤
⎥ ⋅ b ν ( x) d x d s ≤
⎦
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О смешанной задаче для нелинейного дифференциального уравнения
≤ M 1M 2 M 32
t l
⎛
a1 ( s ) − a 0 ( s )
∫ ∫ h1 (s , x) ⎜⎝ 2
00
+∆ ⋅ h 2 ( s , x) ⋅ a1 (− s ) − a 0 (− s )
2
1
⎛
⎞
≤ ⎜ M 1M 2 l q ⎟ M 33∆
⎜
⎟
⎝
⎠
B p (t )
B p (t )
65
+
⎞d xd s ≤
⎟
⎠
t
∫
h (s , x )
L p ( Dl )
0
d s , (t , x ) ∈ D ,
(12¹)
где h ( s , x ) ≡ h1 ( s , x ) ( 2 + ∆ ⋅ h 2 ( s , x ) ) .
Меняя в (12¹) t на − t , s на − s , получим
a 2 (−t ) − a 1 (−t )
B p (T )
≤ M 1M 2 M 32
t l
⎛
∫ ∫ h1 (− s , x) ⎜⎝ 2
a1 ( − s ) − a 0 ( − s )
00
+∆ ⋅ h 2 (− s , x) ⋅ a1 ( s ) − a 0 ( s )
2
1
⎛
⎞
q ⎟
⎜
≤ M 1M 2 l
M 33∆
⎜
⎟
⎝
⎠
B p (t )
B p (t )
+
⎞d xd s ≤
⎟
⎠
t
∫
h (s , x )
d s , (t , x ) ∈ D ,
L p ( Dl )
0
(12²)
где h ( s , x ) ≡ h1 (− s , x ) ( 2 + ∆ ⋅ h 2 (− s , x ) ) .
Пусть h ( s , x ) ≡
1
⎡ h ( s , x ) + h ( s , x ) ⎦⎤ . Тогда из (12¹) и (12²) получим
2⎣
2
2
1
U (t ) − U (t )
B p (T )
1
⎛
⎞
⎜
≤ M 1M 2 l q ⎟ M 33∆
⎜
⎟
⎝
⎠
где U k (t ) − U k −1 (t ) ≡ max
{
t
∫
h (s , x )
0
L p ( Dl )
d s , (t , x ) ∈ D , (12³)
a k ( t ) − a k −1 (t ) ; a k (−t ) − a k −1 (−t )
}.
Для последующей разности a n3 ( t ) − a n2 (t ) из (10) получим следующую оценку:
a 3 ( t ) − a 2 (t )
B p (T )
≤ M 1M 2 M 32
t l
⎛
∫ ∫ h1 (s , x) ⎜⎝ 2
a 2 ( s ) − a1 ( s )
00
+∆ ⋅ h 2 ( s , x) ⋅ a 2 (− s ) − a1 (− s )
B p (t )
B p (t )
+
⎞d xd s .
⎟
⎠
(13¹)
В неравенстве (13¹) t меняем на –t и s на –s. Тогда имеем
a 3 (−t ) − a 2 (−t )
B p (T )
≤ M 1M 2 M 32
t l
⎛
∫ ∫ h1 (− s , x) ⎜⎝ 2
a 2 (− s ) − a1 (− s )
00
+∆ ⋅ h 2 (− s , x) ⋅ a 2 ( s ) − a1 ( s )
B p (t )
⎞d xd s .
⎟
⎠
B p (t )
+
(13²)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.К. Юлдашев
66
С учетом (12³) из (13¹) и (13²) получим следующую оценку:
U 3 (t ) − U 2 (t )
≤
B p (T )
t l
≤ M 1M 2 M 32
U 2 ( s) − U 1 (s)
∫ ∫ h ( s , x)
00
1
2 q
M 1M 2 M 3 l
B p (t )
d xd s ≤
1
t
l
⎪⎧ p
⎪⎫ p
2
1
h
(
s
,
x
)
d
x
⎨
⎬ U (s) − U ( s)
∫ ⎪∫
⎭⎪
0 ⎩0
B p (t )
ds ≤
2
⎡t
⎤
⎢ ∫ h (s , x ) L ( D ) d s ⎥
⎛
p
l
⎢
⎦⎥ .
≤ ⎜ M 1M 2 l
M 5∆ ⎣ 0
⎜
⎟ 3
2!
⎝
⎠
1 3
⎞
q ⎟
Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа k , аналогичным образом получим
U k +1 ( t ) − U k (t )
B p (T )
1
⎛
⎞
≤ ⎜ M 1M 2l q ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
k +1
M 32 k +1∆
⎡
⎢
⎣⎢
k
t
⎤
ds ⎥
L p ( Dl )
⎦⎥ .
k!
∫
h (s , x )
0
(14)
Далее, в силу (14) имеем
U ( t ) − U k +1 (t )
B p (T )
t l
≤ M 1M 2 M 32
∫ ∫ h (s , x )
U ( s ) − U k +1 ( s )
00
t l
+ M 1M 2 M 32
∫ ∫ h (s , x )
U k +1 ( s ) − U k ( s )
B p (t )
00
1
⎛
⎞
q ⎟
⎜
≤ M 1M 2 l
⎜
⎟
⎝
⎠
1
+ M 1M 2 M 32 l q
⎡
⎢
⎣⎢
k +1
M 32 k +1∆
t
∫
0
t
∫
0
h (s , x )
L p ( Dl )
B p (t )
d xd s +
d xd s ≤
k
⎤
h (s , x )
ds ⎥
L p ( Dl )
⎦⎥ +
k!
U ( s ) − U k +1 ( s )
B p (t )
(15)
ds .
Применяя к (15) неравенство типа Гронуолла – Беллмана, получим
U ( t ) − U k +1 (t )
B p (T )
1
⎛
⎞
≤ ⎜ M 1M 2 l q ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
⎧⎪
× exp ⎨ M 1M 2 M 32 l q
⎪⎩
k +1
M 32 k +1∆
t
∫
0
h (s , x )
⎡
⎢
⎣⎢
k
t
∫
⎤
ds ⎥
L p ( Dl )
⎦⎥ ×
k!
h (s , x )
0
⎫⎪
d s ⎬.
L p ( Dl )
⎪⎭
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О смешанной задаче для нелинейного дифференциального уравнения
67
Так как
a k +1 ( t ) − a k (t )
B p (T )
≤ U k +1 ( t ) − U k (t )
B p (T )
,
то из оценки (14) следует, что при k → ∞ последовательность функций
∞
{ a k (t ) }k =1 сходится равномерно по
t к функции a (t ) ∈ B p (T ) . Отсюда следует
существование решения системы (5). Покажем единственность этого решения в
пространстве B p (T ) . Пусть счетная система нелинейных интегральных уравнений (5) имеет два решения: a (t ) ∈ B p (T ) и ϑ (t ) ∈ B p (T ) . Тогда для их разности
получим
1
U (t ) − V (t )
B p (T )
≤ M 1M 2 M 32 l q
t
∫
h (s , x )
0
L p ( Dl )
где U (t ) − V (t ) ≡ max { a ( t ) − ϑ (t ) ; a (−t ) − ϑ (−t )
U ( s) − V (s)
B p (t )
ds ,
(16)
}.
Применяя к (16) неравенство типа Гронуолла – Беллмана, имеем, что
a ( t ) − ϑ (t )
= 0 для всех t ∈ [ 0; T ]. Отсюда следует единственность решеB p (T )
ния счетной системы (5) в пространстве B p (T ) .
4. Однозначная разрешимость смешанной задачи (1) – (3)
Подставляя счетную систему нелинейных интегральных уравнений (5) в ряд
(4), получим формальное решение смешанной задачи (1) – (3):
∞
⎡
u (t , x ) = ∑ ⎢ ωn (t )+
n =1 ⎣
+
1
λn
t l
⎤
00
⎦
∫ ∫ f ( s , x , Q a (s), Q a (δ (s , x , Q a (− s))) ) ⋅ bn ( x) G n (t , s) d x d s ⎥⎥ ⋅ bn ( x).
(17)
Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2. Если a (t ) ∈ B p (T ) является решением счетной системы (5), то ряд (17) будет решением смешанной задачи
(1) – (3).
Доказательство. Так как a (t ) ∈ B p (T ) , то из равенства
lim u k (t , x) = lim
k →∞
k →∞
k
∑ a n (t ) ⋅ b n ( x) = u (t , x)
n =1
следует, что
(
)
lim f t , x , u k (t , x), u k (δ (t , x , u k (−t , x)), x) =
k →∞
= f ( t , x , u (t , x), u (δ (t , x , u (−t , x)), x) )
в смысле метрики L p ( D) .
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.К. Юлдашев
68
Строим последовательность функций:
t l
{
Pk = ∫ ∫ u k ( s , x) ⎡⎣ Φ s s s s − 2 Φ s s x x + Φ x x x x ⎤⎦ −
00
(
}
)
− f s , x , u k ( s , x), u k (δ ( s , x , u k (− s , x)), x) ⋅ Φ ( s , x) d x d s −
l
− ∫ ϕ 1k ⎡⎣ Φ t t t − 2 Φ t x x ⎤⎦
0
l
+ ∫ ϕ 2k ⎡⎣ Φ t t − 2 Φ x x ⎤⎦
0
d x+
t =0
l
t =0
d x − ∫ ϕ 3k ⎡⎣ Φ t ⎤⎦
0
l
t =0
d x − ∫ ϕ 4k [ Φ ]
0
dx.
(19)
t =0
Покажем, что при k → ∞ (19) есть интегральное тождество (6), т.е.
lim Pk = 0 . Интегрируя по частям отдельные слагаемые в (19) и учитывая усло-
k →∞
вия теоремы и начальные условия
a n (0) = ϕ 1n , a n '( 0) = ϕ 2 n , a n ''(0) = ϕ 3 n , a n '''(0) = ϕ 4 n ,
имеем
l
k
⎛
⎞
Pk = ∫ ⎜ ϕ 1 ( x) − ∑ ϕ 1n b n ( x) ⎟ ⎣⎡ Φ t t t − 2 Φ t x x ⎤⎦ d x −
⎠
n =1
0⎝
t =0
l
k
⎛
⎞
− ∫ ⎜ ϕ 2 ( x) − ∑ ϕ 2 n b n ( x) ⎟ ⎡⎣ Φ t t − 2 Φ x x ⎤⎦ d x +
⎠
n =1
0⎝
t =0
l
l
k
k
⎛
⎞
⎛
⎞
+ ∫ ⎜ ϕ 3 ( x) − ∑ ϕ 3 n b n ( x) ⎟ ⎡⎣ Φ t ⎤⎦ d x − ∫ ⎜ ϕ 4 ( x) − ∑ ϕ 4 n b n ( x) ⎟ [ Φ ] d x +
⎠
⎠
n =1
n =1
0⎝
0⎝
t =0
t =0
t l
k ⎧l
⎪
+ ∫ ∫ Φ ( s , x)∑ ⎨ ∫ f ( s , y , Q a ( s ), Q a (δ ( s , y , Q a (− s ))) ) ⋅bn ( y ) d y −
n =1 ⎪
⎩0
00
− f ( s , x , Q a ( s ), Q a (δ ( s , x , Q a (− s ))) )} ⋅ bn ( x ) d x d s .
(20)
Очевидно, что первые три интеграла в (20) стремятся к нулю при k → ∞ , так как
ϕ i ( x )∈ L p ( D l ) . Сходимость разности двух последних интегралов в (20) при
k → ∞ следует из (18). Отсюда следует, что lim Pk = 0 . Это и доказывает теорему.
k →∞
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев Т.Д., Логинов Б.В., Малюгина И.А. Вычисления собственных значений и собственных функций некоторых дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков // Дифференц. уравнения мат. физики и их приложения. Ташкент: Фан, 1989.
С. 24−36.
2. Бекиев А.Б. Краевая задача для уравнения четвертого порядка // Современные проблемы
вычислительной математики и математической физики: тез. докл. М.: ФВМиК МГУ
им. Ломоносова, 2009. С. 140−141.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О смешанной задаче для нелинейного дифференциального уравнения
69
3. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных
производных. М.: МГУ, 1991. 112 с.
4. Вагабов А.И., Абдурахманов З.А. Аналитический метод решения смешанной задачи для
квазилинейной параболической системы // Изв. вузов. Математика. 2006. № 7. С. 3−12.
5. Юлдашев Т.К. Уравнения в частных производных четвертого порядка. Ош: ОшГЮИ,
2010. 136 с.
Статья поступила 19.01.2011 г.
Yuldashev Т. К. ON A MIXED VALUE PROBLEM FOR A NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION CONTAINING A SQUARED HYPERBOLIC OPERATOR AND NONLINEAR REFLECTING DEVIATION. In this paper we consider the questions of one-valued
solvability of the mixed problem for a nonlinear partial differential equation containing a squared
hyperbolic operator and nonlinear reflecting deviation. Using the Fourier nonlinear method, we
obtain a countable system of nonlinear integral equations. It is proved that the obtained series
converges.
Keywords: quadrate of hyperbolic operator, reflecting deviation, countable system of nonlinear
integral equations, general derivatives, convergence of series.
YULDASHEV Tursun Kamaldinovich (Siberian State Aerospace University)
E-mail: tursunbay@rambler.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
МЕХАНИКА
УДК 621.18, 533.6.08
И.С. Ануфриев, Ю.А. Аникин, В.В. Саломатов,
О.В. Шарыпов, Х. Энхжаргал
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ
ЗАКРУЧЕННЫХ ПОТОКОВ В МОДЕЛИ ВИХРЕВОЙ ТОПКИ
МЕТОДОМ ЛАЗЕРНОЙ ДОПЛЕРОВСКОЙ АНЕМОМЕТРИИ1
Проведено физическое моделирование внутренней аэродинамики изотермической модели вихревой топки энергетического парогенератора. Диагностика потоков выполнена с применением современной бесконтактной лазернодоплеровской измерительной системы. Получены новые данные о структуре
вихревого течения в исследуемой модели. Результаты экспериментальных
исследований сопоставлены с данными численных расчетов.
Ключевые слова: структура закрученных потоков, управление горением,
бесконтактные методы диагностики.
В настоящее время одной из наиболее перспективных и экологически безопасных технологий теплоэнергетики при сжигании низкосортных углей является технология факельного сжигания пылеугольного топлива в вихревом потоке [1]. Известно, что оптимальной организацией аэродинамики вихревых топочных устройств можно повлиять на устойчивость горения, добиться требуемых скоростей и
температур в топочном объеме, увеличить коэффициент шлакоулавливания, снизить уровень выбросов токсичных веществ в окружающую среду. Этим определяется высокий интерес к исследованию вихревых процессов горения и их применению
в практике. Разработка (с целью внедрения в теплоэнергетике) перспективных вихревых аппаратов и новых технологий сжигания осложняется многообразием и
сложностью процессов, протекающих в вихревых газодисперсных потоках с горением, что принципиально затрудняет поиск эффективных инженерных решений
при конструировании топливосжигающих устройств нового типа. Недостаточная
изученность сложной структуры закрученного газодисперсного потока, межфазного
теплового и силового взаимодействия, физико-химических превращений в органической и минеральной частях топлива и других процессов в вихревых устройствах
на данном этапе свидетельствует о необходимости научного обоснования применяемых инженерных методов их расчетов, а также способов оценки энергетической
эффективности и экологической безопасности нового оборудования.
С развитием вычислительной техники численное моделирование стало основным подходом при выполнении НИР и НИОКР, направленных на оптимизацию
существующих и разработку новых конструктивных решений энергетических ап1
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 10-08-01093-а, 10-08-90032-Бел_а) и Минобрнауки РФ (АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» и ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России»).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальное исследование структуры закрученных потоков в модели вихревой топки
71
паратов. Однако сами математические модели и численные алгоритмы нуждаются
во всесторонней проверке и тщательном тестировании. Наиболее эффективной и
надежной верификацией является сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными. Тем самым физическое моделирование является необходимым этапом разработки новых типов крупных энергетических установок. Вместе с ростом требований к достоверности результатов численного моделирования,
возрастают требования к точности и объему информации, получаемой в экспериментах. Современный уровень физического моделирования процессов в теплоэнергетическом оборудовании в первую очередь предполагает получение данных
о трехмерной структуре потока, включая как осредненные, так и пульсационные
характеристики данных о распределении скорости, температуры, концентрации и
других параметров. В условиях лабораторного моделирования этим задачам отвечают бесконтактные оптические методы измерений, такие, как лазерная доплеровская анемометрия, тепловизионные методы, полевые методы измерения скорости, концентрации, температуры (particle image velocimetry, planar laser-induced
fluorescence). Указанные методы, обеспечивая исчерпывающую информацию о
течении и процессах переноса в модели изучаемого аппарата, позволяют глубже
понять закономерности топочных процессов и проанализировать возможности
оптимизации конструктивных и режимных параметров разрабатываемых котлов с
вихревой технологией сжигания топлива.
Данная работа посвящена экспериментальному изучению структуры изотермического закрученного потока в модели вихревой топки с применением метода
лазерной доплеровской анемометрии (ЛДА). Модель топки воспроизводит в масштабе 1:15 одну из секций опытно-промышленного котла ТПЕ-427 Новосибирской ТЭЦ-3. Принципиальная особенность конструкции данного котла, разработанного в НПО ЦКТИ, заключается в топочном устройстве с горизонтальным
вихрем, обеспечивающим: распределенный тангенциальный ввод газодисперсной
среды с высокой циркуляцией потока, высокое объемное теплонапряжение, непрерывное жидкое шлакоудаление с высоким коэффициентом шлакоулавливания,
режимы высокотемпературного сжигания низкосортных углей, уменьшенные
массогабаритные размеры.
Экспериментальные установки
и методика измерений
Физическое моделирование внутренней
аэродинамики исследуемой вихревой топки
проводилось на изотермической модели,
изготовленной из оргстекла (рис. 1). Характерные размеры: xмакс= 300 мм, yмакс =
= 1300 мм, zмакс= 330 мм, отношение ширины горловины диффузора к диаметру вихревой
камеры
сгорания
составляет
Hx = 0,24. На фронтальной стенке под углом
15º к горизонту симметрично расположены
два прямоугольных сопла (соответствующие амбразурам горелок), через которые
поступает сжатый воздух. При физическом
моделировании использован геометриче-
Камера
охлаждения
Горелки
Диффузор
Z
Камера
сгорания
Y
X
Рис. 1. Схема вихревой топки
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
72
И.С. Ануфриев, Ю.А. Аникин, В.В. Саломатов, О.В. Шарыпов, Х. Энхжаргал
ский параметр подобия Σf /Fт, характерный для данного типа парогенераторов с
вихревой топкой, где Σf – сумма площадей сечения горелок, Fт – площадь диаметрального сечения камеры сгорания. Число Рейнольдса (Re~105) в лабораторных
условиях ниже, чем в натурных. Моделирование структуры потока при этом оправдано благодаря автомодельности течения в диапазоне Re = 104÷106 [2].
Методика проведения экспериментов заключалась в следующем. Поток сжатого воздуха из магистрали подавался в модель вихревой топки (1) через регулятор
давления (3) и ресивер (5) с целью стабилизации потока. Давление после регулятора контролировалось при помощи образцового манометра (4) (рис. 2). Для бесконтактного измерения стационарного распределения скорости потока в интересующих сечениях модели применялась лазерно-доплеровская прецизионная измерительная система (автоматизированный измерительный комплекс ЛАД-05), разработанная в ИТ СО РАН [3]. Система включает: оптоэлектронный модуль,
Сжатый
воздух
1
6
2
3
4
5
7
Рис. 2. Экспериментальный стенд по исследованию аэродинамики и процессов смешения в вихревой топке: 1 – модель
вихревой топки; 2 – вентиль; 3 – регулятор давления (редуктор); 4 – манометр; 5 – ресивер (для сглаживания пульсаций
давления); 6 – дымогенератор XLINE FOG 800; 7 – автоматизированный измерительный комплекс ЛАД-05
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальное исследование структуры закрученных потоков в модели вихревой топки
73
координатно-перемещающее устройство (КПУ), компьютер со специализированным программным обеспечением. В оптоэлектронном модуле реализована оптическая схема с рассеянием назад, которая отличается использованием полупроводникового лазера. Лазерный пучок расщепляется акустооптическим модулятором на два пучка, которые, пересекаясь в потоке, формируют интерференционное
поле с известной периодической структурой. Его изображение в рассеянном назад
свете формируется оптическими элементами на светочувствительной поверхности
фотоприемника. В основе метода лежит измерение перемещений взвешенных в
потоке частиц (трассеров). Пересекая интерференционное поле, частицы генерируют оптический сигнал, частота изменения интенсивности которого прямо пропорциональна скорости трассеров. В качестве трассеров в данном эксперименте
использовались микрокапли специальной жидкости на основе глицерина, создаваемые дымогенератором. Трассеры примешивались к основному потоку воздуха через отверстия в соплах, до входа в модель, и таким образом засеивали весь
исследуемый объем. Их концентрация позволяла измерительной системе регистрировать 300 – 500 частиц в секунду. Характерный размер микрокапель
(1 − 5 мкм) обеспечивал высокое соответствие их траекторий линиям тока.
Автоматизированный измерительный комплекс ЛАД-05 измеряет две компоненты скорости потока, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оптической
оси оптоэлектронного блока. Система была установлена так, что оптическая ось
совпадала с осью цилиндрической части модели топки. Таким образом, измеряемые компоненты скорости лежали в плоскости XY (плоскость, перпендикулярная
оси z), далее они обозначаются U и V (проекции на оси x и y соответственно).
КПУ перемещает оптоэлектронный блок по трем осям, что позволяет позиционировать измерительный объем системы в любой точке внутри модели топки. Минимальный шаг перемещений – 0,01 мм, точность позиционирования ограничивалась точностью привязки к началу координат и была не хуже 1 мм. Диапазон перемещений КПУ по каждой оси ограничен 250 мм. Размеры интересующей области модели топки составляли 300×500×165 мм. Чтобы охватить измерениями всю
интересующую область, потребовалось провести несколько отдельных измерений
и объединить результаты с учетом приведения координат в единую систему отсчета.
Основной вклад в ошибку измерения среднего значения дают пульсации скорости. Поскольку средние скорости в разных точках эксперимента значительно
различаются, имеет смысл привести размер доверительного интервала в относительных величинах, приведенных к средней скорости в данной точке:
t (α , N ) S ⎞
U = U ± ∆U = U ⎛⎜ 1 ±
⎟,
⎝
U N ⎠
где S – вычисленное стандартное отклонение, N – количество измерений в точке,
α – вероятность попадания в доверительный интервал, t (α, N) – квантиль Стьюдента. Автоматизированный эксперимент был спланирован так, чтобы в каждой
точке эксперимента для получения среднего значения скорости было произведено
не менее 1000 измерений (по N = 500 для каждой компоненты скорости). Для
α = 0,95 % и N > 25 t (α, N) ≈ 2. Выявлено, что для каждой точки эксперимента
отношение стандартного отклонения к среднему значению не превышало
t (α , N ) S
S / U < 0,35 . Тогда
< 0,035 . То есть для каждой точки измерения 95 %-й
U N
доверительный интервал не превышал 3,5 % от вычисленной локальной средней
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.С. Ануфриев, Ю.А. Аникин, В.В. Саломатов, О.В. Шарыпов, Х. Энхжаргал
74
скорости. Пульсации скорости, определяемые как среднеквадратичное отклонение по всем измерениям в точке, не превышали 1,2 м/с в каждой точке эксперимента.
Результаты исследований и их анализ
Измерения двух компонент скорости потока проводились в плоскостях XY
(при различных значениях координаты z) в узлах сетки 28×47 с пространственным
шагом 1 см (для сопоставления с численными расчетами). Число Рейнольдса, рассчитанное по диаметру модели вихревой топки (d = 0,29 м), составляло Re = 3·105.
Структура течения в исследуемой модели вихревой топки, в сечении по центру
сопла (z = 0,23 zмакс), полученная в экспериментах, показана на рис. 3. На рис. 4
приведены поля скорости в сечении посередине между соплами (при z = 0,5 zмакс),
полученные при ЛДА-измерениях (а) и в результате численных расчетов при
Re = 5·105 [4] (б). Численное моделирование аэродинамики вихревой топки [4]
проводилось в постановке изотермического несжимаемого течения с использованием осредненных по Рейнольдсу трехмерных уравнений неразрывности и количества движения, замыкаемых «стандартной» k−ε-моделью турбулентности.
Из анализа результатов, представленных на рис. 3 и 4, следует, что закрученный поток в камере сгорания имеет пространственную структуру, для которой
положение центра вихря практически не зависит от координаты z. Как расчетные,
так и экспериментальные данные (см. рис. 4), демонстрируют существенную пространственную неоднородность структуры восходящего потока в камере охлаждения. Поток выходит через диффузор камеры сгорания в виде струи, расположенной между соплами, которая «прилипает» к стенкам камеры охлаждения (эффект Коанда). Данное явление на практике может приводить к негативным последствиям. Оно обусловлено конструкцией вихревой топки, в частности низким
относительным значением ширины горловины диффузора камеры сгорания
(Hx = 0,24) и её близким расположением к фронтальной стенке камеры охлаждения, что способствует проявлению эффекта Коанда.
y
15
1,5
а
б
12
9
1
6
3
0,5
0
0
0
0,5
1 x
Рис. 3. Результаты ЛДА-измерений в модели вихревой топки в сечении z = 0,23 zмакс
(по центру сопла): скорость (а); модуль скорости, м/с (б)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальное исследование структуры закрученных потоков в модели вихревой топки
y
y
1,5
1,5
а
б
1
1
0,5
0,5
0
0
0,5
75
0
1 x
0
0,5
1 x
Рис. 4. Поле скорости в модели вихревой топки при z = 0,5 zмакс:
данные ЛДА-измерений (а); результаты численного моделирования [4] (б)
Сопоставление полученных экспериментальных данных с результатами численного моделирования позволяет заметить, что рассчитанная структура потока
«в первом приближении» соответствует измеренной, однако на более детальном
уровне имеются расхождения, они наиболее заметны для распределения скорости
потока в камере охлаждения.
На рис. 5 приведены распределения горизонтальной U и вертикальной V компонент скорости вдоль горизонтальной линии, проходящей через центр камеры
сгорания (y = 150 мм), в сечении z = 0,5 zмакс (посередине между соплами). Из
рис. 5, а видно, что горизонтальная компонента скорости трижды меняет знак.
Отрицательные значения в правой части графика можно объяснить тем, что входная струя в этом сечении продолжает равномерно распределяться в горизонтальном направлении. Профиль вертикальной компоненты скорости (см. рис. 5, б) соответствует распределению скорости в течении с потенциальным вихрем. Небольшое отклонение наблюдается в центре вихря, так как вследствие интенсивного турбулентного перемешивания имеется область перегиба с практически нулевой вертикальной компонентой. На рис. 6 представлены аналогичные распределения компонент скорости, вдоль вертикальной линии, проходящей через центр
горловины диффузора (x = 93,5 мм).
Обработка результатов ЛДА-измерений позволяет получить распределение
кинетической энергии турбулентности потока, которая определялась по следующей формуле:
(
)
kt = 0,5 (U ') 2 + (V ') 2 ,
где U', V' – отклонения от среднего значения горизонтальной и вертикальной
компонент скорости соответственно, черта сверху – знак осреднения. На рис. 7
показаны распределения кинетической энергии турбулентности вдоль горизонтальной линии, проходящей через центр камеры сгорания, в сечении по центру
сопла и в сечении посередине между соплами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.С. Ануфриев, Ю.А. Аникин, В.В. Саломатов, О.В. Шарыпов, Х. Энхжаргал
76
U, м/с
V, м/с
а
4
16
2
8
х
0
б
х
0
–2
–8
–4
–16
Рис. 5. Распределение горизонтальной (а) и вертикальной (б) компонент
скорости вдоль горизонтальной линии, проходящей через центр камеры сгорания (y = 150 мм), в сечении z = 0,5 zмакс
U, м/с
–10
а
V, м/с
–10
б
0
y
0
y
10
10
20
20
Рис. 6. Распределение горизонтальной (а) и вертикальной (б) компонент
скорости вдоль вертикальной линии, проходящей через центр горловины
диффузора (x = 93,5 мм), в сечении z = 0,5 zмакс
kt,
м2/с2
а
kt,
м2/с2
4
4
2
2
0
х
0
–2
–2
–4
–4
б
х
Рис. 7. Распределение кинетической энергии турбулентности вдоль горизонтальной линии, проходящей через центр камеры сгорания (y = 150 мм): сечение z = 0,23 zмакс (по центру сопла) (а); сечение z = 0,5 zмакс (посередине
между соплами) (б)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальное исследование структуры закрученных потоков в модели вихревой топки
77
Из рис. 7 видно, что профили кинетической энергии турбулентности имеют
максимальное значение у правой стенки модели, что, по-видимому, вызвано
«размыванием» входной струи, создающей закрутку потока. По направлению к
левой стенке интенсивность кинетической энергии турбулентности уменьшается.
Такая быстрая ламинаризация течения вызвана действием центробежной силы,
возникающей при течении вдоль вогнутой стенки.
Заключение
С помощью бесконтактного ЛДА-метода экспериментально исследована внутренняя аэродинамика лабораторной модели вихревой топки опытно-промышленного котла ТПЕ-427, проанализировано поле скорости в различных сечениях,
получены распределения кинетической энергии турбулентности потока.
Обнаружено проявление эффекта Коанда – «прилипание» к стенке камеры охлаждения горячей струи на выходе из диффузора. Данная особенность течения
может на практике приводить к негативным последствиям. Для ее устранения
следует изменить положение и размер горловины камеры сгорания при разработке новых конструкций вихревых топок.
Сопоставление полученных экспериментальных данных с результатами численного моделирования показало, что использование «стандартной» k−ε-модели
«в первом приближении» применимо для описания структуры потока в вихревой
топке, однако может не обеспечивать достаточного соответствия при более детальном анализе распределения скорости в объеме камеры сгорания и особенно –
на выходе через диффузор в камеру охлаждения.
Полученная в результате физического моделирования количественная информация о структуре изотермического стационарного вихревого потока может быть
использована при верификации математических моделей и численных алгоритмов, используемых для моделирования топочных процессов в реальных условиях,
в том числе – при разработке новых типов парогенераторов с вихревыми топками.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саломатов В.В. Природоохранные технологии на тепловых и атомных электростанциях. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. 853 с.
2. Кутателадзе С.С. Анализ подобия в теплофизике. Новосибирск: Наука, 1982. 280 с.
3. Меледин В.Г., Аникин Ю.А., Бакакин Г.В. и др. Лазерная доплеровская измерительная
система для 2D-диагностики газожидкостных потоков ЛАД-05 // Высокие технологии,
фундаментальные и прикладные исследования, образование. Т. 5. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. С. 343−344.
4. Keyno A.W., Krasinsky D.V., Rychkov A.D., Salomatov V.V. Experimental and numerical modelling of the vortex furnace aerodynamics // Russ. J. Eng. Thermophys. 1996. V. 6. P. 47−62.
Статья поступила 12.02.2011 г.
Anufriev I.S., Anikin Yu.A., Sharypov O.V., Enkhzhargal Kh. EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF VORTEX FLOW STRUCTURE IN THE MODEL OF A VORTEX FURNACE BY
THE DOPPLER LASER ANEMOMETRY METHOD. Physical modeling of interior aerodynamics of the isothermal model of the vortex furnace of the energy steam generator was carried
out. The modern non-contact laser Doppler measuring system was used for flow diagnostics. New
information about vortex flow structure in the studied model was obtained. Experimental results
were compared with the numerical data.
Keywords: vortex flow structure, coal combustion control, non-contact diagnostic methods
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78
И.С. Ануфриев, Ю.А. Аникин, В.В. Саломатов, О.В. Шарыпов, Х. Энхжаргал
ANUFRIEV Igor Sergeevich (Kutateladze Institute of Thermophysics)
E-mail: anufriev@itp.nsc.ru
ANIKIN Yurii Alexandrovich
(Kutateladze Institute of Thermophysics, Novosibirsk State University)
E-mail: yury.anikin@raisegroup.com
SALOMATOV Vladimir Vasilyevich
(Kutateladze Institute of Thermophysics, Novosibirsk State University)
E-mail: vvs@itp.nsc.ru
SHARYPOV Oleg Vladimirovich
(Kutateladze Institute of Thermophysics, Novosibirsk State University)
E-mail: sharypov@itp.nsc.ru
ENKHJARGAL Khaltapyn (Mongol University of Science and Technology)
E-mail: ch_enhjargal@yahoo.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 519.63
М.А. Бубенчиков
СПОСОБ МИНИМИЗАЦИИ СХЕМНОЙ ДИФФУЗИИ
В ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ АЭРОДИНАМИКИ
Посредством линеаризации участка траектории жидкой частицы на фрагменте, отвечающем разностной ячейке, и в результате применения естественных переменных, связанных с траекторией частиц, а также использованием разностей против потока, в работе проведена аппроксимация конвективных членов, минимизирующая схемную или искусственную диффузию.
Проведены тестовые расчеты, подтверждающие этот результат. Показано,
что предлагаемая вычислительная технология удобна для применения в сочетании с методом последовательной перерелаксации (ППР), получившего
современное название метода простой итерации.
Ключевые слова: конвективно-диффузионная задача, естественные переменные, разности против потока, метод простой итерации, минимизация
схемной или искусственной диффузии.
В работе [1] сформулированы семь положений, характеризующих схемную
диффузию, появляющуюся при решении конвективно-диффузионных задач.
1. Схемная или искусственная диффузия имеет место, когда поток наклонен по
отношению к линиям сетки и существует ненулевой градиент зависимой переменной в направлении по нормали к потоку.
2. Приближенное выражение для коэффициента искусственной диффузии в
двухмерном случае дано в [2]:
ρV ∆r ∆z sin 2θ
,
Dсхем =
4 ∆r sin 3 θ + ∆z cos3 θ
(
)
где V – модуль вектора скорости; θ – угол наклона (от 0 до 90°) вектора скорости
к направлению оси 0z. Из этого соотношения видно, что искусственная диффузия
не появляется, если результирующий поток направлен вдоль одной из сеточных
линий; кроме того, искусственная диффузия является максимальной, когда направление потока составляет угол 45° с линиями сетки.
3. Вклад искусственной диффузии можно уменьшить, используя меньшие шаги ∆z и ∆r и располагая сетку (если это возможно) так, чтобы сеточные линии более или менее совпадали с направлением потока.
4. Поскольку реальная диффузия имеет место во многих задачах, то достаточно сделать искусственную диффузию малой по сравнению с реальной.
5. Использование центрально-разностной схемы не является средством избавления от искусственной диффузии. Как упоминалось ранее, центрально-разностная схема дает совершенно нереальные решения, если рассматриваются большие
числа Пекле.
6. Основной причиной возникновения искусственной диффузии является
практика обращения с потоком через каждую грань контрольного объема как с
локально-одномерным.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80
М.А. Бубенчиков
7. Схемы, которые обеспечили бы меньший вклад искусственной диффузии,
должны учитывать многомерную природу потока. Для этого также необходимо
включать большее число соседних точек в дискретный аналог.
Технология минимизации
Для минимизации схемной диффузии нами будет использован подход, аналогичный Рейсби [3]. Вспомним, что конвективная часть в стационарных уравнениях переноса (V ⋅ ∇Φ ) есть субстанциональная производная, которая является скоростью изменения переносимой субстанции во времени при перемещении жидкой
или газообразной частицы вдоль ее траектории. Продолжая работу по изучению
аэродинамики циклонной камеры [4] в рамках (ψ, ξ, W, T)-описания, в дальнейшем будем полагать, что Φ = W, ξ, T. Здесь W – окружная компонента скорости;
ξ – завихренность; T – температура. Таким образом
(V ⋅ ∇Φ ) = DDtΦ .
∂Φ ∂Φ ⎞
В плоском случае V = (Vs ,Vn ) , ∇Φ = ⎛⎜
,
⎟ . Если в качестве координат (s, n)
⎝ ∂s ∂n ⎠
взять ортогональные координаты (z, r), то
∂Φ
+V
.
(V ⋅∇Φ ) = U ∂Φ
∂z
∂r
Если же s – координата, отсчитываемая вдоль траектории, а n – по ее нормали, то
∂Φ ∂Φ ⎞
DΦ
∂Φ
V = (V ,0 ) , ∇Φ = ⎛⎜
,
.
= (V ⋅∇Φ ) = V
⎟ и
Dt
∂s
⎝ ∂s ∂n ⎠
Таким образом, в естественных координатах (s, n), связанных с траекторией
жидкой частицы, запись конвективной части упрощается как в плоском, так и в
пространственном случаях. Локальные значения естественных координат определяют ориентацию в пространстве конвективной ячейки, которая в общем случае
не совпадает с разностной ячейкой диффузии.
Стало быть, подход Рейсби предполагает следующее представление конвективных членов в разностных уравнениях конвективного переноса
⎛ U ∂Φ + V ∂Φ ⎞ = V Φi , j − Φ* + o ∆s .
(1)
( )
⎜
⎟
i, j
∂r ⎠i , j
∆s
⎝ ∂z
Здесь V = U 2 + V 2 ; Φ* – значение переносимой субстанции, найденное на границе разностной ячейки с наветренной стороны; ∆s – расстояние от центрального
узла ячейки (zi, ri) до найденной точки на границе ( z* , r* ).
Как следует из представленного рисунка, ∆s = z*2 + r*2 . При этом начало отсчета системы координат ( z* , r* ) берется в узле (zi, rj). Угол наклона вектора скоV
рости к оси z определяется соотношением θ = arctg ⎛⎜ ⎞⎟ , а угол наклона диагона⎝U ⎠
∆
r
ли разностной ячейки к оси 0z есть γ = arctg ⎛⎜ ⎞⎟ .
⎝ ∆z ⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Способ минимизации схемной диффузии в численной модели аэродинамики
(zi–1, rj+1)
(zi–1, rj) ∆s
(zi, rj+1)
(zi, rj)
V
θ
U
81
(zi+1, rj+1)
V
(zi+1, rj)
(z* , r* )
(zi, rj–1)
(zi–1, rj–1)
(zi+1, rj–1)
Рис. 1. Диффузионная разностная ячейка (одинарная линия)
и конвективная разностная ячейка (двойная линия)
Значение искомой величины Φ* в точке ( z* , r* ) можно определить с использованием приведенной ниже таблицы.
Таблица 1
Значение искомой величины с наветренной стороны
θ
z*
r*
[ −π ,–π+γ]
∆z
∆z tg θ
∆r ctg θ
∆r
∆r ctg θ
∆r
[–γ,0]
−∆z
−∆z tgθ
[0, γ]
−∆z
−∆z tg θ
−∆r ctg θ
−∆r
−∆r ctg θ
−∆r
∆z
∆z tg θ
[–π+γ, −
[−
π
,–γ]
2
[γ,
[
π
]
2
π
]
2
π
, π–γ]
2
[π–γ, π ]
Φ*
r*
( Φi+1, j +1 − Φi+1, j )
∆r
z
Φ* = Φ i , j +1 + * ( Φ i +1, j +1 − Φ i , j +1 )
∆z
z
Φ* = Φ i , j +1 + * ( Φ i −1, j +1 − Φ i , j +1 )
∆z
r
Φ* = Φ i −1, j + * ( Φ i −1, j +1 − Φ i −1, j )
∆r
r
Φ* = Φ i −1, j + * ( Φ i −1, j −1 − Φ i −1, j )
∆r
z
Φ* = Φ i , j −1 + * ( Φ i −1, j −1 − Φ i , j −1 )
∆z
z
Φ* = Φ i , j −1 + * ( Φ i +1, j −1 − Φ i , j −1 )
∆z
r
Φ* = Φ i +1, j + * ( Φ i +1, j −1 − Φ i +1, j )
∆r
Φ* = Φ i +1, j +
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Бубенчиков
82
Тестовый пример
Рассмотрим следующую конвективно-диффузионную задачу:
U
⎛ ∂ 2Φ ∂ 2Φ 1 ∂Φ ⎞
∂Φ
∂Φ
+V
= D⎜ 2 + 2 +
⎟,
r ∂r ⎠
∂z
∂r
∂r
⎝ ∂z
Φ Γ = Φ i , где i = 1, 4; {Γi } − прямоугольник.
i
(2)
(3)
Аппроксимируя конвективные члены в (2) по способу (1), а диффузионные члены
с использованием центральных разностей, получим следующий разностный аналог рассматриваемого уравнения переноса:
Φ i , j − Φ*
⎛ Φ i +1, j − 2Φ i , j + Φ i −1, j
Vi , j
= D⎜
+
∆s
∆z 2
⎝
(4)
Φ i , j +1 − 2Φ i , j + Φ i , j −1 1 Φ i , j +1 − 2Φ i , j −1 ⎞
+
+
⎟⎟ .
rj
2 ∆r
∆r 2
⎠
Выражая из последнего соотношения Φ i , j , найдем рекуррентную формулу для
перерасчета значений искомой сеточной функции во всех внутренних углах прямоугольной сетки:
⎡ Vi , j Φ*
⎛ Φ i +1, j + Φ i −1, j Φ i , j +1 + Φ i , j −1
Φi, j = ⎢
+ D⎜
+
+
∆z 2
∆r 2
⎣ ∆s
⎝
(5)
1 Φ i , j +1 − 2Φ i , j −1 ⎞⎤ ⎛ Vi , j 2 D 2 D ⎞
.
+
+
+
⎟⎟ ⎥ ⎜
⎟
2
2∆r
rj
∆r 2 ⎠
⎠⎦ ⎝ ∆s ∆z
(i+1, j+1)
(i, j)
(i–1, j–1)
Рис. 2. Фрагмент разностной сетки с направлением потока
под углом 45° и ступенчатым изменением Φ
Как следует из второго пункта сформированных выше положений, схемная
диффузия будет максимальной при θ = 45о. Пусть D = 0, ∆z = ∆r и поток будет направлен по диагонали к разностной ячейке. Покажем, что в этом случае ступенчатый характер распределения Φ не изменится при итерационном применении схе-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Способ минимизации схемной диффузии в численной модели аэродинамики
83
мы (5). Полагая в (5) D = 0, получим
Φ i , j = Φ* ,
но при γ = θ = 45о и ∆z = ∆r из таблицы 1 имеем
Φ* = Φ i −1, j −1 .
Тогда окончательно результатом применения (5) будет
Φ i , j = Φ i −1, j −1 .
(6)
Таким образом, вместо рекуррентной формулы для перерасчета значений искомой функции в центральной точке шаблона получим формулу явного определения Φ i , j через значение этой же функции в ближайшем узле с наветренной стороны. Как видно из (6), в этом случае ступенчатый профиль Φ, который мы имели
на входе в расчетную область, останется неизменным, что говорит об отсутствии
схемной или искусственной диффузии.
T=T(z,r)
340
0
320
0,2
0,4
300
0,4
0,2
0
Рис. 3. Ступенчатый профиль температуры в однородном потоке,
полученный с использованием рекуррентной формулы (5)
На рис. 3 показаны расчетные распределения температуры Φ = T, полученные
по формуле (5) при D = a = 0 (a – коэффициент температуропроводности среды) в
однородном поле скорости, для которого U ≡ 1, V ≡ 1 ( м/с ) . При этом на левой и
верхней границах прямоугольника области определения температура была 350 К,
а на правой и нижней – 350 К. Как видно из рисунка, профиль температуры остается ступенчатым, причем этот результат получается уже после первой глобальной итерации. Кроме того, если пролонгировать результат применения (5) к узлам
верхней и правой границ прямоугольника, то получим полное распределение температуры без задания граничных условий на этих участках.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
84
М.А. Бубенчиков
Заключение
В рамках (ψ, ξ, W, T)-описания динамики вязкой среды предложена простейшая технология минимизации численной диффузии, которая хорошо сочетается с
методом простой итерации, применяемым для решения систем эллиптических
уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.:
Энергоатомиздат, 1984. 152 с.
2. De Vahl Davis G. and Mallinson G.D. False Diffusion in Numerical Fluid Mechanics / Univ.
of New South Wales, School of Mech. and Ind. Eng. Sydney, 1972.
3. Raithby G.D. Skew upstream differencing schemes for problems involving fluid flow // Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1976. V. 9. No. 2. P. 153−164.
4. Бубенчиков М.А., Иванова И.А. Расчет аэродинамики циклонной камеры // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 1 (13). С. 67−73.
Статья поступила 29.03.2011г.
Bubenchikov M. A. METHOD FOR MINIMIZING THE CIRCUIT DIFFUSION IN THE NUMERICAL MODEL OF AERODYNAMICS. Through linearization of the trajectory of a fluid
particle on a fragment corresponding to a difference cell, and as a result of natural variables associated with the trajectory of particles, as well as the use of the differences against the flow, the
convective terms were approximated with minimization of the circuit or artificial diffusion. The
test calculations confirm this result. It is shown that the proposed computational technique is suitable for use in conjunction with the method of simple iteration.
Keywords: convection-diffusion problem, natural variables, differences against the flow, method
of simple iteration, minimization of the circuit or artificial diffusion.
BUBENCHIKOV Mikhail Alekseevich (Tomsk State University)
E-mail: michael121@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 533.6.011.6
А.Н. Голованов, Е.В. Рулёва
О ВЛИЯНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПУЛЬСАЦИЙ
ГАЗА-ОХЛАДИТЕЛЯ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕПЛООБМЕНА
В СИСТЕМЕ ПОРИСТОГО ОХЛАЖДЕНИЯ
Исследованы условия воздействия периодических пульсаций газа-охладителя в системе активной тепловой защиты. Показана восприимчивость системы пористого охлаждения к воздействию малых энергетических возмущений. Проведено сравнение экспериментальных результатов с результатами
аналитического решения математической модели Ю.В. Полежаева.
Ключевые слова: тепломассообмен, эксперимент, математическая модель, пульсации газа-охладителя.
Системы пористого охлаждения находят широкое применение в технике: пористые топливные элементы ядерных реакторов, различные компактные парогенераторы, испарительные системы, фильтры, элементы тепловой защиты летательных аппаратов [1 – 3]. Эксплуатация таких систем, как правило, сопровождается малыми возмущениями – вибрациями стенок, пульсациями давления, акустическими колебаниями, турбулентными шумами. В зависимости от типа возмущений, частоты и амплитуды колебаний фильтрационные и тепловые характеристики пористых материалов могут искажаться.
Вибрации машин могут оказаться причиной ненормального их функционирования и приводить к авариям, кроме того, вибрации при достаточной интенсивности оказывают вредное влияние на человека. Однако существует целый
класс машин, в которых вибрации служат основой рабочего процесса.
Колебательное движение газа и жидкости служит причиной интенсификации обширного круга процессов тепло- и массопереноса и приводит к усилению теплообмена тел, сушки, диффузии, растворения, электроосаждения и т.д.
[4 – 8].
Проблема малых возмущений особенно актуальна при изучении перехода
ламинарных течений в турбулентные, генерации турбулентных акустических
шумов, при исследовании восприимчивости турбулентных течений к периодическим возмущениям [3, 4, 9 – 14].
Колебательные и вибрационные процессы сопутствуют почти всем явлениям природы и могут быть как полезны, так и вредны. Вопросы интенсификации
процессов тепломассообмена, управление пограничными слоями, оптимизация
производства в теплоэнергетике и химической технологии представляют интерес как с научной точки зрения, так и с практической. Следовательно, актуальность рассматриваемых задач вытекает из потребностей развития энергетики,
машиностроения, ракетно-космической техники, химических технологий на современном этапе.
Целью данной работы является исследование системы пористого охлаждения
в присутствии малых энергетических возмущений, а также сравнение полученных
результатов с известными.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Н. Голованов, Е.В. Рулёва
86
На рис. 1. показана принципиальная схема проведения экспериментов. Пластины 1 из пористых материалов (нержавеющая сталь) герметично поджимались в малое основание усеченного конуса 2. Стрелками 3, 4 обозначены вдуваемый газ (воздух, азот) и внешний поток воздушной плазмы. Пульсации давления газаохладителя и линейные относительно оси симметрии модели вибрации генерировались с помощью вала электродвигателя 5 и червяка 6. Частота возмущений f и амплитуда А регулировались скоростью вращения вала электродвигателя ω и геометрическими размерами червяка. Частота и амплитуда варьировались в пределах
f = ( 0 − 25 ) Гц, A = ( 0,5 − 7,0 ) ⋅10−3 м.
4
f
3
4
y
0
6
Pk
3
4
1
2
ω
5
Рис. 1. Модель для сравнительных испытаний: 1 – пористая пластина;
2 – модель в виде усеченного конуса; 3 – вдуваемый газ (воздух, азот);
4 – внешний поток воздуха; 5 – электродвигатель; 6 – червяк
Параметры воздушной плазменной струи составляли: T∞ = (3300 − 4900) K –
среднемассовая температура (определялась из условия энергетического баланса
работы плазмотрона по известной методике, изложенной в работах [15, 16], погрешность определения не превышала 10 %); G∞ = 1,0 ⋅10−3 кг/с – расход плазмообразующего газа (определяется ротаметром типа РС (РМ, РМЖ), класса точности 2,5, погрешность определения не превышала 5 %; Te = (3100 − 3600) K – температура плазмы в рабочем сечении струи (определялась с помощью калориметрического зонда по известной методике, изложенной в работе [17], погрешность
определения не превышала 9 %); υe = (32 − 57) м/с – скорость плазмы в рабочем
сечении струи определялась водоохлаждаемым насадком Пито с погрешностью не
более 8 %.
Процесс тепломассообмена в пористой стенке при наличии вдува газаохладителя описывается с помощью двухтемпературной нестационарой модели,
предложенной в работе [18] Ю.В. Полежаевым. Она представлена в виде законов
сохранения тепла в твердой стенке (1) и в газе (2).
∂T
∂T ⎤
∂ ⎡
(1)
ρ1c p1 (1 − П) 1 = ⎢λ1 (1 − П) 1 ⎥ + αV (T1 − T2 ) ;
∂t ∂x ⎣
∂x ⎦
∂T ⎞ ∂ ⎛
∂T ⎞
⎛ ∂T
Пc p 2ρ2 ⎜ 2 + v 2 ⎟ = ⎜ λ 2 П 2 ⎟ − αV (T1 − T2 )
∂x ⎠ ∂x ⎝
∂x ⎠
⎝ ∂t
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О влиянии периодических пульсаций газа-охладителя на характеристики теплообмена
87
с граничными условиями
T1 t =0 = T2 t =0 = T
t =0
= Tн ;
(3)
( qw − εσT 41w ) (1 − П) = −λ1 (1 − П) ⎛⎜⎝ ∂∂Tx1 ⎞⎟⎠
( qw − εσT 42w ) П = −λ 2П ⎛⎜⎝ ∂∂Tx2 ⎞⎟⎠
;
(4)
x =0
;
(5)
x =0
∂T
−λ1 (1 − П) ⎛⎜ 1 ⎞⎟
= α(T1 − Tн ) ;
⎝ ∂x ⎠ x =l
(6)
∂T
αcг
(T2 − Tн ) .
−λ 2 П ⎛⎜ 2 ⎞⎟
=
⎝ ∂x ⎠ x =l (ρν) w
(7)
Здесь t – время; Т1 – температура стенки; Т2 – температура газа-охладителя; Тн –
начальная температура; ρ – плотность; υ – скорость фильтрации газа 2; (ρυ)w –
расход газа-охладителя в порах; cp, λ – коэффициенты теплоемкости, теплопроводности; П – пористость; α v – объемный коэффициент теплообмена между газом и каркасом; σ – постоянная Стефана – Больцмана; h – энтальпия; qw – плотность теплового потока, (α c p0 ) – отношение коэффициента теплоотдачи к коэффициенту теплоемкости, α – коэффициент удельной теплоемкости.
В условиях проведения экспериментов использовались сильные вдувы B > 2,
поэтому рассматриваемую задачу можно свести к одномерной однотемпературной постановке:
d 2T
dT
= −a
;
dx
dx 2
⎛α⎞
∂T
⎜⎜ ⎟⎟ (he − hw ) = −λ
∂x
c
⎝ p⎠
T l =0 = Tн ,
a=
B ⋅ (α / с p ) 0 ⋅ c p 2
λ
(8)
;
x =l
,
B – безразмерный параметр вдува, B =
(ρυ) w
.
(α / с p ) 0
Интегрируя (8), получим аналитическое решение
T=
⎡ αhe (1 − e − al )
λa
1 − e − ax
+ Tн +
⎢
− al
c p λa
a
α(1 − e ) + λa ⎣⎢
⎛ αT αh ⎞⎤
⋅ ⎜⎜ н − e ⎟⎟ ⎥
c p λ ⎠⎦⎥
⎝ λ
(9)
Теперь добавим в решение (9) малые энергетические возмущения, представленные в следующем виде [19]:
δxω cos(ωt )
υ′ =
2π
– значения пульсаций скорости газа-охладителя;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Н. Голованов, Е.В. Рулёва
88
λ′ =
πc p ρυ′2
ω
– пульсационная составляющая эффективного коэффициента теплопроводности,
где ω = 2πν . Здесь δx – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота.
Получаем следующее решение:
⎡ αhe (1 − e − al )
(λ + λ′)a
1 − e − ax
+
+
T
⎢
н
a
α(1 − e − al ) + (λ + λ′)a ⎣⎢ c p (λ + λ′)a
⎛ αT
⎞⎤
αhe
⋅ ⎜⎜ н −
(10)
⎟⎟ ⎥
′
c p (λ + λ ) ⎠⎦
⎥
⎝ λ
На рис. 2 показаны результаты измерений температуры пористой стенки в окрестности лобовой критический точки в зависимости от параметра вдува без
пульсаций газа-охладителя – кривая 1, с пульсациями частоты 5,2 Гц – кривая 2,
и 7,2 Гц – кривая 3.
T=
Tw/T∞
0,2
0,1
0
2
4
6
8
B
Рис. 2. Экспериментальные зависимости безразмерной температуры
(T∞ = 3600 К) стенки от параметра вдува (B). Кривая 1 – без пульсаций газа-охладителя, кривая 2 – пульсации с частотой 5,2 Гц, кривая
3 – пульсации с частотой 7,2 Гц
Видно, что пульсации газа снижают тепловые нагрузки, температура стенки
при этом уменьшается. Такая тенденция наблюдается во всем диапазоне исследуемых параметров вдува 2,0 ≤ B ≤ 7,8.
На рис. 3. представлено сравнение экспериментальных результатов для безразмерной температуры стенки с пульсациями газа частоты 5,2 Гц, кривая 2 и результатов, полученных при помощи найденного аналитического решения (10),
кривая 1. Из рис. 2 видно, что для слабых вдувов B < 2,5 аналитическое решение
(10), основанное на математической модели [18] удовлетворительно согласуются
с результатами эксперимента. Для сильных вдувов B > 2,5 наряду с регенеративным снижением тепловых нагрузок к защищаемой стенке (механизм охлаждения
за счет процессов конвекции и теплопроводности) присутствует механизм оттеснения пограничного слоя и высокотемпературного набегающего потока, что не
учитывается в модели [18] и поэтому наблюдается существенное расхождение
экспериментальных и расчетных результатов, кривая 2 на рис. 3. находится ниже
кривой 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О влиянии периодических пульсаций газа-охладителя на характеристики теплообмена
89
Tw/T ∞
0,2
0,1
0
2
4
6
B
Рис. 3. Зависимость безразмерной температуры стенки от параметра
вдува. Кривая 1 – кривая, полученная при помощи найденного аналитического решения (10), кривая 2 – экспериментальная кривая с
пульсациями частотой 5,2 Гц
Таким образом, пульсации газа-охладителя в исследуемом диапазоне амплитудно-частотных характеристик колебаний ослабляют процесс теплообмена между потоком плазмы и стенкой. Механизм воздействия малых периодических возмущений на системы пористого охлаждения, следующий [17].
Периодические возмущения приводят к появлению дополнительного «транспорта» тепла вглубь защищаемой стенки q = −(λ + πc p ρu ′2 / ω) ∂T / ∂x за счет эффективного коэффициента теплопроводности λ эфф = λ′ = −πс p ρu′2 / ω . Расчеты
[19] показывают о возможном пятикратном увеличении λэфф. Поэтому температура поверхности пористого материала и плотность теплового потока при пульсациях газа уменьшаются.
ЛИТЕРАТУРА
1. Василевский Э.Б. Физические процессы активной тепловой защите гиперзвуковых летательных аппаратов: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора
технических наук. Жуковский, 2006.
2. Никитин П.В. Тепловая защита. М.: Изд-во МАИ, 2006. 512 с.
3. Зубарев В.М. Эффективность охлаждения и теплопередача в тепловой завесе, создаваемой пористым вдувом: автореф. дис. ... канд. технич. наук. Казань, 2008.
4. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. Новосибирск: Наука, 1982. 152 с.
5. Бергман Л. Ультразвук и его применения в науке и технике. М.: Мир, 1957. 216 с.
6. Константинов Б.П. Гидродинамическое звуковое распространение звука в ограниченной среде. Л.: Энергия, 1974. 233 с.
7. Борисов Ю.Я., Гынкина Н.М. Физические основы ультразвуковой технологии // Акустическая сушка. М.: Наука, 1970. С. 16−27.
8. Абрамов О.В. Кристаллизация металлов в ультразвуковом поле. М.: Наука, 1972. 194 с.
9. Власов Е.В., Гиневский А.С. Генерация и подавление турбулентности в осесимметричной турбулентной струе при акустическом воздействии // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973.
№ 6. С. 37−42.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90
А.Н. Голованов, Е.В. Рулёва
10. Власов Е.В., Гиневский А.С.Когерентные структуры в турбулентных струях и следах //
Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа. 1986. № 20. С. 3−84.
11. Федоров А.В. Возбуждение волн Толлмина – Шлихтинга в пограничном слое периодическим внешним воздействием, локализованным на обтекаемой поверхности // МЖГ.
1984. № 6. С. 36−41.
12. Козлов В.В., Левченко В.Я., Сарик В.С. Образование трехмерных структур при переходе к турбулентности в пограничном слое / // МЖГ. 1984. № 6. С. 42−50.
13. Грешилов Е.М. Псевдозвук и вихри Клайна // Акуст. журнал. 1985. Т. 21. Вып. 3.
С. 320−322.
14. Козлов В.В. Отрыв потока от передней кромки профиля и влияние на него акустических возмущений // ЖПМТФ. 1985. № 2. С. 112−115.
15. Жуков М.Ф. Прикладная динамика термической плазмы.
16. Юревич Ф.Б. Электродуговой нагрев газа.
17. Голованов А.Н. Гидродинамические и тепловые характеристики систем пористого охлаждения при наличии малых периодических возмущений // ИФЖ. 1994. Т. 66. № 6.
С. 695−701.
18. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 392 с.
19. Ажищев Н.А., Быков В.И. Об интенсивности переноса тепла в пористых средах при
пульсациях давления // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1987. Вып. 6. № 21.
С. 27−30.
Статья поступила 26.06.2010 г.
Golovanov A.N., Rulyova E.V. ON THE INFLUENCE OF PERIODIC PULSATIONS OF A
GAS-COOLER ON HEAT EXCHANGE CHARACTERISTICS IN A SYSTEM OF POROUS
COOLING. Conditions of influence of periodic pulsations of gas-cooler in system of active thermal protection are investigated. The susceptibility of the system of porous cooling to the influence
of small power indignations is shown. The experimental results are compared with the results of
the analytical solution of the mathematical model by Yu.V. Polezhaev.
Keywords: heat exchange, experiment, mathematical model, pulsations of a gas-cooler.
GOLOVANOV Aleksandr Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: fire@mail.tsu.ru
RULYOVA Evgeniya Valeryevna (Tomsk State University)
E-mail: mikoto_88@sibmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 536.468
А.М. Гришин, А.И. Фильков, Е.Л. Лобода, В.В. Рейно,
Ю.А. Руди, В.Т. Кузнецов, В.В. Караваев
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ СТЕПНОГО ПОЖАРА
В НАТУРНЫХ УСЛОВИЯХ
В работе представлены результаты натурных экспериментов по изучению
возникновения и распространения степных пожаров. Приведены значения
характерных температур во фронте горения, скорость распространения
фронта пожара в зависимости от скорости ветра. Исследовано возникновение степного пожара от точечного источника зажигания и вероятность его
возникновения в зависимости от размеров и типа источника зажигания.
Ключевые слова: степной пожар, скорость распространения, температура пламени, вероятность возникновения пожара, точечный источник
зажигания.
Одним из распространенных видов природных пожаров являются степные пожары, которые играют важную роль в формировании и поддержке степных биогеоценозов. Известно как положительное, так и отрицательное их влияние [1]. Для
успешной борьбы со степными пожарами важно уметь предвидеть их возникновение и оценивать возможности их распространения. Это позволит минимизировать затраты на борьбу со стихией и избежать серьезных последствий, таких, как
переход степного пожара в поселковый или городской.
В настоящее время вопросы возникновения и распространения степных пожаров остаются малоизученными. Известны отдельные теоретические [2 – 5] и экспериментальные [6, 7] работы по исследованию степных пожаров. Однако отсутствуют полноценные комплексные натурные экспериментальные исследования
характеристик фронта степного пожара, условий его возникновения от различных
типов источников зажигания и распространения. В настоящей работе приводятся
результаты натурных исследований возникновения и распространения степных
пожаров.
1. Описание экспериментальной площадки,
измерительного оборудования и методики проведения экспериментов
С 5 по 7 мая 2010 г в районе г. Карасук Новосибирской области были проведены натурные эксперименты по исследованию степных пожаров. Растительность в
этом районе является характерной для степей и южных лесостепей. Исследования
проводились на горизонтальной поверхности с нулевым углом наклона (высота
115 м над уровнем моря) и координатами: N 53°42'48" E 78°04'25". Растительность
на площадке представляла собой злаково-полынную залежь, на которой четко выделяются 3 яруса (рис. 1): 1 – ярус злаков (прошлогодние побеги злаков, значительно реже прошлогодние цветоносы полыней); 2 – ярус полыни (прошлогодние
вегетативные части полыни австрийской); 3 – ярус типчака (куртины типчака,
проростки злаков и др. трав).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.М. Гришин, А.И. Фильков, Е.Л. Лобода и др.
92
Рис. 1. Ярусы типичной растительности в месте проведения эксперимента:
1 – ярус типчака, 2 – ярус полыни, 3 – ярус злаков
Флористический состав на выбранных экспериментальных площадках
(рис. 2, а) – значительно обедненный в связи с временем года (начало мая, сорняки еще не приступили или только в самом начале вегетативного периода). Общее
проективное покрытие1 составило 15 – 20 %. Биомассу на площадке определяли
следующим образом. Срезали всю растительность с трех участков 1×1 м, далее
разбирали по видам и определяли процентное соотношение от общей биомассы.
Виды произрастающих растений, их биомасса и покрытие приведены в табл. 1.
Таблица 1
Покрытие и биомасса доминантов и со-доминантов
Вид растения
Elytrigia repens
(Пырей ползучий)
Artemisia austriaca
(Полынь австрийская)
Festuca ovina (Типчак,
или Овсяница овечья)
Остальные
Высота, см
Покрытие к общему
проективному покрытию, %
Биомасса, %
60–80
40–50
75–95
40–65
30–50
4–25
5–20
5–10
2–5
до 20
1–5
1–2
Почва на площадках (рис. 2, б) представляла собой чернозем южный, глубоковскипающий маломощный малогумусный тяжелосуглинистый пылеватый постагрогенный. Температура почвы на поверхности составляла 290 К, а на глубине
0,5 метра – 276 К.
1
Проективное покрытие – показатель, определяющий относительную площадь проекции отдельных
видов или их групп, ярусов и т.д. фитоценоза на поверхность почвы. Различают общее проективное
покрытие (покрытие всего яруса) и частное проективное покрытие (покрытие отдельных видов) [8].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальные исследования возникновения и распространения степного пожара
а
93
б
Рис. 2. Вид растительности (а) и срез почвы (б) в месте проведения эксперимента
Масса степного горючего материала (СГМ) определялась при помощи электронных весов A&D EK-1200G с точностью 10–2 кг, влагосодержание СГМ и почвы – при помощи анализатора влажности A&D MX-50 с точностью 0,01 %. Температура воздуха, относительная влажность и атмосферное давление контролировались при помощи метеостанции Meteoscan RST01923 и измерителя температуры и скорости движения воздуха ТКА-ПКМ (модель 52). Температура воздуха T
варьировалась в пределах 289÷293 К, относительная влажность воздуха ϕ –
32÷45 %, атмосферное давление Ре – 738÷741 мм рт.ст., запас СГМ – 126,8÷
153,7 г/м2. Скорость ветра (направление) составляла 1÷8 м/с, температура и влагосодержание почвы 287,8 К и 14,7 % соответственно, влагосодержание доминирующих растений w (пырей, полынь, типчак) – 11, 44 и 26,8 % соответственно.
Время t при проведении экспериментов контролировалось при помощи секундомера Агат 010 с точностью 0,2 с. Суммарные относительные погрешности определения параметров не превышали δw/w⋅100 % ≤ 3,3 %, δm/m⋅100% ≤ 1,2 %,
δPe/Pe⋅100 % ≤ 6,0 %, δT/T⋅100 % ≤ 5,3 %, δϕ/ϕ⋅100 % ≤ 2,5 %, δt/t⋅100 % ≤ 4,3 %.
Размеры экспериментальных площадок выбирались с учетом следующих условий:
δx << Y << X, δx = x2 – x1,
где Y – ширина полосы площадки исследований; X – длина полосы исследований;
δx – ширина фронта пожара; x1, x2 – границы фронта пожара.
Непосредственно перед проведением экспериментов определялось преимущественное направление ветра и выбирались участки согласно цели эксперимента.
Границы участков окашивались для предотвращения неконтролируемого распространения фронта пожара. Ширина окошенной полосы была не менее 3 м.
Распространение фронта горения и его структура в видимой области контролировались с помощью видеокамеры Sony DCR-DVD505E, а температурное поле
фронта – с помощью гребенок термопар ХА (хромель-алюмель), расположенных в
продольном и вертикальном направлениях относительно выбранной полосы исследований. Термопары 5 (рис. 3) располагались на горизонтальных кронштейнах
длиной 0,2 м, ориентированных параллельно фронту пожара. Кронштейны крепились на вертикальных стойках 2 с шагом 0,3 м по вертикали. Стойки с термопарами находились на расстоянии 1 м друг от друга. Показания термопар регистриро-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.М. Гришин, А.И. Фильков, Е.Л. Лобода и др.
94
вались при помощи измерительного комплекса, описанного в [9] с последующей
доработкой под полевые измерения.
В инфракрасной области характеристики фронта горения регистрировались с
помощью тепловизоров JADE J530SB и Inframetrics-760. Технические данные тепловизора JADE J530SB позволяли регистрировать пламя с частотой 50 кадров в
секунду. Тепловизор JADE J530SB использовался с дисперсионным оптическим
фильтром, спектральный интервал которого составлял 2,5 – 2,7 мкм. Тепловизор
Inframetrics-760 имел рабочий диапазон длин волн от 3 до 5 мкм.
а
z
5
2
1
3
4
Скорость
ветра
Слой СГМ
x
Почва
б
y
2
3
Скорость
4 ветра
1
Слой СГМ
x
1м
Рис. 3. Вид площадки сбоку (а) и сверху (б) первой серии экспериментов: 1 – источник зажигания, 2 – стойки термопар, 3 – тепловизор Inframetrics-760, 4 – тепловизор JADE J530SB, 5 – термопары
В настоящей работе представлены результаты трех серий экспериментов, целью которых было определение в динамике распределения температур во фронте
горения, исследование возникновения и распространения степного пожара от точечного источника зажигания, определение вероятности возникновения пожара в
зависимости от размера и типа точечного источника зажигания.
2. Результаты экспериментальных исследований
Исследование полей температур во фронте степного пожара. В первой серии
из трех экспериментов проводились исследования характеристик фронта степного
пожара, направленного вдоль и перпендикулярно направлению скорости ветра, в
результате линейного поджига.
Количественный состав доминирующих растений и запас СГМ на 1 м2 составил: для 1-го и 2-го экспериментов m = 0,254 кг (в том числе: пырей ползучий –
0,178 кг, полынь австрийская – 0,065 кг); для 3-го эксперимента – 0,185 кг (в том
числе: пырей ползучий – 0,172 кг, полынь австрийская – 0,01 кг). Горючий материал представлял собой высохшую траву высотой до 0,8 м, с отдельными включениями живых растений.
Эксперимент проходил на площадке размером 8 × 3 м, ориентированной по
направлению скорости ветра. Тепловизор JADE J530SB располагался сбоку под
углом к площадке и обеспечивал максимальный обзор в рабочей области, а тепловизор Inframetrics-760 – с тыла горения (см. рис. 3).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальные исследования возникновения и распространения степного пожара
95
Для первого эксперимента зажигание производилось на расстоянии 3 м от начала площадки в направлении скорости ветра. Стойки с термопарами размещались с шагом 1,5 м. Для второго и третьего эксперимента зажигание производилось на расстоянии 1 м и стойки размещались с шагом 1 м. Для всех экспериментов использовали 4 стойки с термопарами, по 5 термопар на каждой.
Зажигание производилось равномерно по всей ширине площадки исследований путем создания зоны зажигания, которая состояла из полосы льна, пропитанной легкими фракциями нефтепродуктов для быстрого и равномерного формирования фронта горения по всей ширине экспериментальной площадки. После зажигания была образована огненная полоса с высокой интенсивностью и достаточно
продолжительным временем горения, что обеспечило гарантированное равномерное формирование фронта горения.
Для калибровки показаний тепловизоров использовали данные, полученные с
термопар. На рис. 4, а и б приведена термограмма и распределение температур в
точках 1, 2, 3, которые находятся в непосредственной близости от термопар, а на
рис. 4, в приведены результаты измерений при помощи термопар для второго эксперимента. Кривые 1 – 3 на рис. 4, в соответствуют показаниям термопар, расположенных рядом с точками 1 – 3 на рис. 4, а, кривые 4 и 5 соответствуют показаниям термопар, расположенных выше точки 3 на 30 и 60 см соответственно. Очевидно совпадение максимальных температур во фронте горения, полученных тепловизором и термопарами. Однако необходимо отметить, что полученная при помощи тепловизора нестационарность температуры во фронте горения обусловлена скоростью съемки (50 Гц) и отсутствием инерционности, свойственной термопарам.
В результате измерений было получено удовлетворительное согласование
показаний термопар и тепловизора JADE J530SB при коэффициенте излучения
ε[2,5 мкм; 2,7 мкм] = 0,79. Для тепловизора Inframetrics-760 удовлетворительное
согласование температур достигалось при ε[3 мкм; 5 мкм] = 0,65. Различие коэффициентов излучения обусловлено разным спектральным диапазоном работы тепловизоров, в первую очередь его шириной. При анализе профиля температур во
фронте горения наблюдалась хорошая повторяемость результатов и можно сделать вывод, что температуры на передней и задней кромках фронта горения колеблются в диапазоне 730÷950 К и достигают максимума около 1100 К в глубине
фронта горения, что согласуется с [10]. Полученные в результате измерений значения температур в целом ниже на 100 – 150 К величин, опубликованных в [10],
что можно объяснить меньшим запасом СГМ. Однако в проведенной серии экспериментов различия в запасе СГМ в указанном выше диапазоне не влияют на
температуры во фронте горения.
Для изучения влияния тепловых потоков и очага горения на деревянные постройки в конце экспериментальной полосы был вертикально установлен деревянный щит размером 2 × 2 м, изготовленный из плахи хвойных пород дерева
(толщина 50 мм) с влажностью 17 – 23 %. В результате проведенных экспериментов возгорания щита не возникало. На деревянных плахах образовывался небольшой ожог, который не проникал вглубь волокон древесины. Можно сделать вывод, что деревянные конструкции, толщиной более 50 мм не воспламеняются под
воздействием фронта степного пожара при запасе СГМ 0,254 кг/м2 вследствие недостатка энергии.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.М. Гришин, А.И. Фильков, Е.Л. Лобода и др.
96
а
б
T, K
1
в
900
2
800
700
4
600
3
500
400
5
300
10
20
30
40
50
60
70
t, c
Рис. 4. Термограмма (а), изменение температур во фронте пожара в
точках 1, 2, 3 (б) по данным, полученным с тепловизора JADE
J530SB и изменение температур во фронте пожара по зарегистрированным показаниям термопар (в) для второго эксперимента
Дополнительно были определены скорости распространения фронта пожара vf
в зависимости от скорости ветра ve, которые приведены на рис. 5. Для определения скорости распространения фронта горения использовалась видеозапись.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальные исследования возникновения и распространения степного пожара
97
vf,
В качестве текущего положе- ve,
м/с
м/с
ния фронта горения считалось
4
расположение передней кромки
0,4
фронта в нижней части факела
0,3
3
пламени. Верхняя часть факела
1
пламени при измерениях не учи0,2
тывалась, так как она не соприка2
0,1
салась с СГМ. Необходимо отме2
тить, что на временном интервале
1
0
0 – 7 с большая скорость распроt, c
40
60
80
0
20
странения фронта горения обусловлена воздействием полосы Рис. 5. Экспериментальные значения скорости
зажигания, высота пламени у ко- распространения степного пожара в зависимости
торой была значительно выше вы- от скорости ветра: 1 – скорость ветра, 2 – скорость
соты пламени при горении СГМ. фронта пожара
Последующее после зажигания
значительное увеличение скорости ветра вначале не приводило к соответствующему увеличению скорости распространения фронта горения, так как значительная часть биомассы верхнего яруса выгорела под воздействием интенсивного горения полосы зажигания. Поэтому целесообразно рассматривать значения vf в последующие моменты времени.
Из анализа кривых на рис. 5 отчетливо видна прямая зависимость между скоростью ветра и скоростью распространения фронта пожара на отрезке времени
после 50 с.
Исследование возникновения степного пожара от точечных источников зажигания. Для второй серии экспериментов запас СГМ на 1 м2 составил 0,185 кг (в
том числе: пырей ползучий – 0,172 кг, полынь австрийская – 0,01 кг). Горючий
материал представлял собой высохшую траву высотой до 0,8 м, с отдельными
включениями живых растений.
Размер площадок для 1-го эксперимента составлял 6×3 м, второго и третьего
4×4 м. На рис. 6 представлена схема проведения экспериментов 1 – 3.
Целью данных экспериментов было оценить развитие контура фронта горения
(эксперимент 1), скорости распространения и температуры фронта горения вдоль
и перпендикулярно направлению скорости ветра от точечного (эксперимент 2) и
линейного источников зажигания (эксперимент 3).
В качестве эталонного точечного источника зажигания использовалась охотничья спичка1, линейный источник был аналогичен источнику, использованному
в первой серии экспериментов.
Перед началом первого эксперимента была подготовлена площадка размером
6 × 3 м, ориентированная в направлении скорости ветра. Спичка забрасывалась на
расстояние 1,5 ± 0,2 м (рис. 6, а).
Тепловизионная картина динамики развития процесса воспламенения и распространения фронта горения от точечного источника, полученная при помощи
тепловизора JADE J530SB, расположенного на расстоянии 10 м от передней границы площадки и высоте 5 м над поверхностью земли, приведена на рис. 7.
1
ТУ 5551-004-00401294-2003 производства ЗАО «Плитспичпром» (Россия, г. Балабаново).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.М. Гришин, А.И. Фильков, Е.Л. Лобода и др.
98
4
1
Направление
ветра
3м
а
6м
3
1,5 м
б
1,5 м
в
45
45
4м
2
1,5 м
1
Направление
ветра
1,5 м
4м
2м
2
1м
4
Направление
ветра
4
1
Рис. 6. Схема проведения 2-й серии экспериментов: а – площадка 1, б – 2
и в – 3; 1 – источник зажигания, 2 – стойки термопар, 3 – тепловизор
Inframetrics-760, 4 – тепловизор JADE J530SB
Рис. 7. Термограммы динамики зажигания и развития процесса горения
На рис. 7 видно, что на 40-й с формируется устойчивый очаг горения, который постепенно увеличивается и к 70-й с достигает размеров, при которых появляется четко выраженный фронт пожара. Далее он под действием ветра начи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальные исследования возникновения и распространения степного пожара
99
нает увеличиваться и распространяться, пока не достигает границы экспериментальной площадки. По мере выгорания горючего материала огонь начинает постепенно затухать.
Площадки для второго и третьего экспериментов имели размеры 4×4 м. Во
втором эксперименте зажигание производилось точечным источником в левом
нижнем углу в направлении скорости ветра (см. рис. 6, б). Три стойки с термопарами располагались на расстоянии 1,5 м от каждого угла. Тепловизор JADE
J530SB располагался на расстоянии 5 м от граница площадки с тыльной стороны фронта пожара.
На рис. 8 приведена термограмма и вертикальные профили температуры во
фронте пожара, полученные при помощи тепловизора JADE J530SB.
T, K
3
1100
а
б
2
1000
900
1
800
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2 h, м
Рис. 8. Термограмма (а) и профили температуры (б) во фронте степного пожара, образованного от точечного источника зажигания: 1, 2 и 3 – соответствуют сечению 1, 2 и 3 на
рис. 8, б соответственно
Из анализа рис. 8 видно, что максимальные температуры внутри фронта степного пожара наблюдаются на высоте 0,2÷0,7 м, что связано со структурой растительного покрова и согласуется с высотой доминирующих растений.
В третьем эксперименте зажигание производилось от линейного источника,
расположенного вдоль направления скорости ветра (см. рис. 6, в). Тепловизоры
располагались на расстоянии 5 м от границ площадки с передней и тыльной сторон фронта горения. Ввиду того, что направление скорости ветра было параллельно линейному источнику зажигания, фронт горения под воздействием ветра
уменьшал свою протяженность, и, как следствие, произошло неполное сгорание
слоя СГМ (рис. 9). При этом температуры внутри фронта горения были такие же,
как и в предыдущих экспериментах. Следует отметить, что после проведения экспериментов температура почвы на поверхности в среднем возрастала на 12°.
Исследование вероятности возникновения степного пожара от точечных
источников зажигания. Для определения вероятности зажигания площадок от антропогенных источников (в данном случае горящая спичка и древесные угли) была проведена третья серия экспериментов.
На площадку с запасом СГМ 0,185 кг/м2 случайным образом бросали тлеющие
угли. Масса углей варьировалась от 0,4·10−3 до 3,5·10−3 кг, при этом геометрические размеры составили (10–20)·10−3 м в диаметре. Поверхностная температура,
измеренная пирометром, изменялась в диапазоне 663÷1243 К. Согласно [11],
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.М. Гришин, А.И. Фильков, Е.Л. Лобода и др.
100
удельная теплота сгорания древесного угля равна 33890 кДж/кг, т.е. энергия, которую способны были выделить образцы угля, варьировалась в диапазоне 13,5 –
118,6 кДж. Во всех случаях воспламенения не наблюдалось. Для повышения вероятности воспламенения запас СГМ был искусственно завышен до 0,680 кг/м2.
В результате в отдельных случаях наблюдалось тление, которое не приводило к
воспламенению. Можно предположить, что вероятность возникновения степного
пожара от тлеющих частиц указанного размера мала, так как мала плотность растительного покрова и тлеющая частица не соприкасается с достаточным количеством элементов СГМ. Согласно [12], энергии углей должно быть достаточно для
зажигания слоя СГМ. Но следует отметить, что влагосодержание типчака, который образовывал нижний ярус растительности и находился в непосредственной
близости от брошенного угля, близко к критическим значениям влагосодержания
для растений, указанных в [12]. Однако непосредственный контакт угля с элементами растительности отсутствовал, следствием чего значительная часть энергии,
выделяемой углем при горении, уходила в почву и окружающий воздух.
Рис. 9 – Результаты эксперимента по распространению фронта
горения от линейного источника зажигания, расположенного
вдоль направления скорости ветра. 1 – зона несгоревшего СГМ,
2 – зона, где распространялся фронт горения под действием ветра
Во втором случае на площадки с запасом 0,185 и 0,254 г/м2 30 раз случайным
образом бросалась горящая спичка1. Учитывая данные [11, 13], максимальная
энергия, которую могла выделить при горении спичка, не превышала 1,5 кДж.
В результате получили следующий процент воспламенения и устойчивого горения: для площадки с запасом 0,185 кг/м2 – 57 %, для площадки с запасом
0,254 кг/м2 – 77 %. Можно предположить, что величина запаса влияет на вероятность воспламенения, и увеличение ее на 37 % (до 0,254 г/м2) в данных условиях
приводит к увеличению вероятности появления пожара на 20 %. Следует отметить, что наличие открытого источника огня даже малого размера приводит к резкому увеличению вероятности возникновения пожара в отличие от опытов с
тлеющими частицами, что согласуется с работой [14].
Дополнительно были проведены эксперименты с использованием имитатора
«огненного дождя» (совокупности точечных источников зажигания), представлявшего собой пиропатрон в виде цилиндрической трубки диаметром 15 мм, дли1
ГОСТ 1820-2001.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальные исследования возникновения и распространения степного пожара
101
ной 150 мм с толщиной стенки 1,5 – 2 мм, заполненной твердой газогенерирующей смесью с частицами активированного угля. Фрагменты активированного угля
имели размеры от 2 до 5 мм, что позволяло регулировать время сгорания частиц и
интенсивность тепловыделения в очаге пожара. В результате исследований обнаружено, что возгорание возникает только в одном из 9 случаев. Это обусловлено
тем, что, с одной стороны, частицы имеют небольшой размер и в процессе полета
выгорают, с другой – они имеют небольшую энергию и под воздействием ветра
долетают до слоя СГМ уже с энергией, недостаточной для воспламенения.
3. Выводы
Из проведенных экспериментальных исследований можно сделать следующие
выводы:
Через 1,5 минуты после попадания источника открытого огня в слой СГМ
формируется устойчивый фронт степного пожара, который распространяется в
направлении скорости ветра.
Температура в фронте степного пожара не превышает 1100 К и с течением
времени изменяется преимущественно в пределах 730÷950 К, а максимальное
значения температуры находится на высоте 0,2÷0,7 м от поверхности земли.
Коэффициент излучения пламени и продуктов горения в диапазоне 2,5 –
2,7 мкм в среднем равен 0,79, а в диапазоне 3 – 5 мкм его средняя величина равна
значению 0,65.
Наиболее вероятной причиной возникновения степного пожара в пожароопасный сезон является источник открытого огня, которым может являться даже брошенная спичка.
Вероятность возникновения степного пожара от горящей спички зависит от
запаса СГМ и для запаса 0,254 кг/м2 достигает 77 %.
Возникновение степного пожара от тлеющих частиц массой до 3,5 г и максимальной энергией 118,6 кДж маловероятно.
Степной пожар при запасе СГМ 0,254 кг/м2 не приводит к воспламенению деревянных конструкций толщиной 50 мм и влажностью 17 – 23 %.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические
кадры инновационной России на 2009–2013 годы» г/к № П 1109 и НОЦ- г/к
№ 02.740.11.0674, гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых № МК-4331.2011.1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Софронов М.А., Вакуров А.Д. Огонь в лесу. Новосибирск: Наука, 1981. 128 с.
2. Бурасов Д.М., Гришин А.М. Математическое моделирование низовых лесных и степных
пожаров. Кемерово: Практика, 2006. 133 с.
3. Cruz M. Fire behaviour in some common Central Portugal fuel complexes: evaluation of fire
behaviour models performance [Text] / M. Cruz, D.X. Viegas // Proc. 3rd Int. Conf. on Forest
Fire Research/14th Fire and Forest Meteorology Conf., Luso, 16-20 November 1998. ADAI,
University of Coimbra, Coimbra, 1998. P. 859−875.
4. Morvan D. Physical modelling of fire spread in Grasslands [Text] / D. Morvan, S. Meradji,
G. Accary // Fire Safety Journal. 2009. No. 44. P. 50–61.
5. Cheney N.P. Prediction of fire spread in grasslands [Text] / N.P. Cheney, J.S. Gould, W.R.
Catchpole // Int. J. Wildland Fire. 1998. No. 8. P. 1−13.
6. Santoni P.A. Instrumentation of wildland fire: Characterisation of a fire spreading through a
Mediterranean shrub [Text] / P.A. Santoni, A. Simeoni, J.L. Rossi et al. // Fire Safety Journal.
2006. No. 41. P. 171–184.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
102
А.М. Гришин, А.И. Фильков, Е.Л. Лобода и др.
7. Гришин А.М., Лобода Е.Л. Экспериментальные исследования критического влагосодержания и критической энергии зажигания для отдельных видов полевой растительности // Изв. вузов. Физика. 2008. № 12/2. С. 96–100.
8. Воронов А.Г. Геоботаника. М.: Высшая школа, 1973. 384 с.
9. Комплекс установок для исследования природных пожаров / А.М. Гришин [и др.] //
Изв. вузов. Физика. 2009. № 2/2. С. 84–90.
10. Гришин А.М., Фильков А.И., Лобода Е.Л. и др. Физическое моделирование степных
пожаров в натурных условиях // Пожарная безопасность. 2010. № 2. С. 100−105.
11. Пожаро-взрывоопасность веществ и материалов и средств их тушения: справочник /
под ред. А.Н. Баратова и А.Я. Корольченко. Кн. вторая. М.: Химия, 1990, 384 с.
12. Гришин А.М., Лобода Е.Л. Экспериментальные исследования критического влагосодержания и критической энергии зажигания для отдельных видов полевой растительности // Известия вузов. Физика. 2009. Т. 52. №2/2. С. 96−100.
13. Гришин А.М. Физика лесных пожаров. Томск: Изд-во ТГУ, 1994. 218 с.
14. Kim D.H., Lee M.B., Viegas D.X. Ignition of Surface fuels by Cigarette in Forest Fire: Fire
Prevention and Management // VI International Conference on Forest Fire Research: Prоc.
conference, 15 – 18 November 2010 / ADAI/CEIF. Coimbra, Portugal, 2010. CD ROM.
Статья поступила 26.01.2011 г.
Grishin A.M., Fil’kov A.I., Loboda E.L., Reino V.V., Rudi Yu.A., Kuznetsov V.T., Karavaev V.V.
EXPERIMENTAL STUDIES OF OCCURERENCE AND SPREAD OF A STEPPE FOREST IN
FIELD CONDITIONS. Results of field experiments on researching occurrence and spreading of
steppe fires are presented. Values of temperature characteristics in the front of burning and speed
of fire front spread depending on wind velocity are presented. Occurrence of a steppe fire from a
pointlike source of ignition and probability of its occurrence depending on the size and type of the
ignition source are investigated.
Keywords: steppe fire, speed of spread, flame temperature, probability of fire initiation, point
source of ignition
GRISHIN Anatolii Mikhalovich (Tomsk State University)
E-mail: fire@mail.tsu.ru
FIL’KOV Aleksandr Ivanovich (Tomsk State University)
LOBODA Egor Leonidovich (Tomsk State University)
E-mail: Loboda@mail.tsu.ru
REINO Vladimir Vladimirovich (Tomsk State University)
RUDI Yurii Anatolyevich (Tomsk State University)
KUZNETSOV Valerii Tihonovich (Tomsk State University)
KARAVAEV Vasilii Vasilyevich (Tomsk State University)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 532.3:533.6
С.А. Орлов, Л.А. Шрагер
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТОВ КРОНЫ КЕДРОВОЙ СОСНЫ
В работе излагаются результаты экспериментальных исследований коэффициента сопротивления элементов крон кедровой сосны при движении воздушных масс. Полученные зависимости приведены с учетом влияния формы
и массы исследуемых образцов и описывают коэффициент сопротивления
кроны данного вида деревьев. Результаты исследования могут быть использованы при численном моделировании движения воздушных масс в лесных
массивах, насаждениях, лесозащитных полосах.
Ключевые слова: газовая динамика, гидродинамика, лесозащитные полосы, численное моделирование.
Задача о моделировании движения воздушных масс в лесных массивах актуальна в связи с применением лесозащитных полос в землепользовании, а также с
целью защиты населенных пунктов от влияния вредных промышленных выбросов, защиты автомобильных и железных дорог от снежных и песчаных заносов,
защиты жилых массивов от песчаных бурь, сильных ветров. Применение систем
лесозащитных полос известно достаточно давно, однако к настоящему времени
данных, позволяющих моделировать их влияние на движение воздушных масс,
недостаточно. Разработанные численные методики расчета распространения порывов ветра в лесных массивах требуют задания коэффициентов сопротивления
элементов лесных массивов. В связи с отсутствием конкретных данных об этих
коэффициентах возникла необходимость в проведении экспериментальных работ
по их определению для последующего использования при численном моделировании.
Целью настоящей работы является нахождение коэффициента сопротивления
элементов кроны кедровой сосны в зависимости от скорости движения воздушных масс.
Постановка задачи
Движение воздушных масс в лесном массиве описывается нестационарными
трехмерными интегральными уравнениями, которые в объеме Ω с поверхностью
S с учетом пористости записывающейся в виде [1]
⎧
⎪∂
⎪ ∫ ρd Ω + ∫ ρ (U ⋅ n ) ds = 0,
S
⎪ ∂t Ω
⎪∂
⎨ ∫ ρUd Ω + ∫ ⎡⎣ pn + (U ⋅ n ) ρU ⎤⎦ ds = ∫ ( − F + p ⋅ grad ϕ ) d Ω,
⎪ ∂t Ω
S
Ω
2
2
⎪
⎛
⎞
⎛
U
U
p ⎞⎟
⎪ ∂ ρ⎜ e +
⎟ d Ω + ρ (U ⋅ n ) ⎜ e +
+
ds = 0,
∫
∫
⎪ ∂t ⎜
⎜
ρ⎟
2 ⎟
2
Ω
S
⎩
⎝
⎠
⎝
⎠
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
104
С.А. Орлов, Л.А. Шрагер
где t – время; p – давление; ρ – плотность; e – внутренняя энергия; U – вектор
скорости воздуха; n – единичная нормаль к границе S; оператор (U ⋅ n ) – проекция U на нормаль n , F – сила сопротивления элементов лесного массива.
На распространение воздушных масс в лесных массивах влияет интенсивность
взаимодействия между элементами крон деревьев и воздухом. В связи с тем, что в
лесном массиве имеется спектр характерных размеров твердой фазы – от стволов
с характерным размером порядка метра до хвои с характерным размером порядка
миллиметра, то зависимость эффективной силы межфазного трения может иметь
сложную структуру.
Для сравнительной оценки и определения режима обтекания кроны и ствола
деревьев возьмем среднюю скорость потока воздушной массы U ~ 10 м/с, плотность воздуха ρв ~ 1 кг/м3, вязкость воздуха η ~ 1,8·10−5 Па·с. При таких параметрах число Рейнольдса обтекания отдельных иголок хвойных пород имеет величину порядка ~5·102. При обтекании стволов, крупных ветвей и листьев число Рейнольдса превышает критическое и обтекание этих элементов происходит в турбулентном режиме. Сила сопротивления, действующая на отдельные стволы деревьев, может быть оценена с помощью известных зависимостей для коэффициентов
сопротивления круглого цилиндра [2].
Сила сопротивления отдельных иголок кедровой сосны также можно оценить
как силы сопротивления цилиндров. Однако в густых кронах процессы обтекания
отдельных иголок влияют друг на друга. Поэтому сила сопротивления иголок
ветки кедровой сосны не равняется сумме сил сопротивления одиночных иголок и
её нужно изучать как силу, действующую на ветку в целом.
При исследованиях сопротивления ветки в качестве безразмерных параметров
можно выделить два числа Рейнольдса, одно из которых рассчитывается по диаметру иголок, другое – по диаметру ветки-основания, к которой крепятся иглы.
Однако предварительные экспериментальные исследования показали, что при
скоростях ветра до 20 м/с силы сопротивления иголок во много раз превышают
силы сопротивления ветки, на которой крепятся иголки. Поэтому в дальнейшем
силы сопротивления изучались в зависимости только от числа Рейнольдса, рассчитанного по диаметру иголок.
Можно предположить, что сила сопротивления единицы объема кроны F, входящая в уравнение движения (1), пропорциональна массе веток в этом объеме.
Для наиболее распространенных видов деревьев массы и размеры крон подробно
изучены биологами [3, 4]. Поэтому, имея ввиду применение результатов исследований для вычисления силы F, будем представлять силу сопротивления ветки в
виде
ρ U2
,
(2)
f = ϕ ( Re ) md в
2
где md – масса исследуемой ветки, φ(Re) – коэффициент сопротивления. Тогда,
зная функцию φ(Re) силу сопротивления F можно вычислять по формуле
ρ U2
F = ϕ ( Re ) M в
,
(3)
2
где M – масса веток в единице объема.
В качестве методики определения функции φ(Re) в настоящей работе используется гидродинамический подход, при котором предлагается изучать коэффициент сопротивления ветки кедровой сосны при движении в воде.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование коэффициента сопротивления элементов кроны кедровой сосны
105
При течениях со скоростями до 20 м/с основным параметром, определяющим
обтекание тел заданной геометрии, является число Рейнольдса. Полагая число
Рейнольдса в воде и воздухе равными, получим
Uв
ρ ηв
,
(4)
=
U ρв η
где ρ, U, η – плотность, скорость и динамическая вязкость воздуха, ρв, Uв, ηв –
плотность, скорость и динамическая вязкость воды. Подставляя в (4) величины
ρ = 1 кг/м3, ρв = 1000 кг/м3, η = 0,000018 Па·с, ηв = 0,001 Па·с, получим соотношения скоростей Uв/U = 0,056. Таким образом, для получения в воде тех же самых
чисел Рейнольдса, которые достигаются в воздушном потоке, нужно обеспечить
скорости течения почти в 20 раз меньше, чем в воздухе. При рассмотрении скоростей воздушного потока до 20 м/с, в воде такие же числа Рейнольдса можно достичь при скоростях не превышающих 1,1 м/с.
На этом основании для исследования коэффициентов сопротивления элементов лесных массивов была собрана установка, основанная на изучении падения
этих элементов в прозрачном бассейне с водой под действием сил тяжести, создаваемых специальными грузами. Схема собранной экспериментальной установки
показана на рис. 1.
2
4
5
7
1
3
6
Рис. 1. Схема экспериментальной установки
На схеме введены обозначения: 1 – прозрачный бассейн с водой, 2 – металлический стержень, по которому движется закрепленный в скользящей державке
элемент лесного массива, 3 – скользящая державка, 4 – груз, под действием которого происходит движение ветки, 5 – мерная линейка для фиксации процесса падения, 6 – исследуемый элемент лесного массива, 7 – высокоскоростная цифровая
видеокамера Citius Imagine для регистрации процесса падения.
На рис. 2 показан вырезанный из видеозаписи кадр процесса падения державки с закрепленным элементом лесного массива под действием груза.
На все элементы, находящиеся в воде, действуют сила тяжести, силы сопротивления и силы Архимеда. Введем обозначения: md – масса исследуемого элемента, m – суммарная масса груза и державки, U – скорость падения, ρm – плотность материала, из которого состоит груз, ρd – плотность исследуемого элемента,
x – глубина погружения системы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.А. Орлов, Л.А. Шрагер
106
Рис. 2. Падение державки с грузом и закрепленным элементом лесного массива
Тогда движение системы при погружении описывается следующими уравнениями:
( m + md )
ρ U2
⎡ ⎛ ρ ⎞
⎛ ρ ⎞⎤
dU
;
= g ⎢ m ⎜ 1 − в ⎟ + m ⎜ 1 − в ⎟ ⎥ − ( ϕR md + ϕRm ) в
d ⎝ ρ ⎠⎦
2
dt
⎣ ⎝ ρm ⎠
d
(5)
dx
(6)
=U ,
dt
где φR – коэффициент сопротивления веток массой md, φRm – коэффициент сопротивления груза и державки.
В связи с тем, что ветки имеют сложную структуру, в состав которой входят
так же иголки, то представляется трудной задача определения плотности веток. В
уравнении (5) в этом случае возможно провести замену слагаемых, в которые
входит плотность веток, значением выталкивающей силы, определяемой экспериментально. Также в связи с тем, что в движении участвует и некоторая сопутствующая масса воды, необходим её учет в левой части уравнения движения. Тогда
уравнение движения примет вид
ρв ⎞ dU
ρ U2
⎛
,
(7)
= ( m + md ) g − FA − FAm − ( ϕR md + ϕRm ) в
⎜ m + md + V ⎟
2 ⎠ dt
2
⎝
где FA – выталкивающая сила для веток, FAm – выталкивающая сила для державки, V – объем державки и груза. Выталкивающие силы для державки и для веток
определялись экспериментально путём подбора такой массы грузов, при которых
сила Архимеда компенсировалась бы силой тяжести. Это условие вытекает из (7)
если положить скорость U = 0 в любой момент времени. При нахождении такой
массы грузов величины выталкивающих сил фиксировались и использовались
при дальнейших расчетах.
Экспериментальные исследования
Условия эксперимента позволили проводить исследования в бассейне, заполненном водой, при нормальных условиях. Глубина бассейна 85 см, через каждые
5 см были отмечены деления, которые использовались для замеров времени прохождения их державкой. Видеосъемка проводилась со скоростью 800 кадров в секунду.
На первом этапе проводились исследования по определению коэффициента
сопротивления φRm для державки и грузов с целью включения его в уравнение (7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование коэффициента сопротивления элементов кроны кедровой сосны
107
и дальнейшего более точного нахождения коэффициента сопротивления веток φR.
В этом случае державка опускалась в воду без веток со всеми возможными вариантами грузов.
Уравнение движения при этом принимает вид
ρв ⎞ dU
ρ U2
⎛
= mg − FAm − ϕRm в
.
(8)
⎜ m +V ⎟
2 ⎠ dt
2
⎝
Поскольку исследования проводились с достаточно широким диапазоном грузов от 0,011 до 0,684 кг, то неизбежно влияние на коэффициент сопротивления
формы используемых грузов. Данный факт не позволяет выявить явную зависимость коэффициента сопротивления φRm(Re), однако возможно построение таблицы значений для каждого груза при условии, что в последующих экспериментах с
ветками необходимо использовать те же самые сочетания грузов.
Для каждого груза проводилось по три эксперимента, в результате которых
были получены зависимости скорости движения державки от пространственной
координаты. В дальнейшем производился подбор коэффициента φRm в уравнении
(8) для наилучшего совпадения расчетной скорости движения с экспериментальными точками. На рис. 3 приведен пример одной из этих зависимостей. Сплошной линией отмечена расчетная кривая скорости движения державки с грузом,
маркерами отмечены экспериментальные точки.
U, м/с
1,6
1,2
0,8
0,4
0
0
0,2
0,4
0,6
x, м
Рис. 3. Скорость движения державки с грузом 0,212 кг
в зависимости от пространственной координаты
В ходе серии экспериментов для каждого груза были получены наборы скоростей в разные моменты времени, которые позволили, используя уравнение (8),
подобрать коэффициенты сопротивления для всех используемых в экспериментальных исследованиях грузов, а также коэффициента сопротивления державки
при различных скоростях.
После определения коэффициентов сопротивления державки и грузов была
проведена серия экспериментов с теми же грузами, но при наличии двух кедровых веток. Также для каждого типа грузов было проведено по три эксперимента и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.А. Орлов, Л.А. Шрагер
108
построены экспериментальные зависимости. Расчеты показали, что погрешность
составила не более 15 %. Было выявлено, что скорость движения державки с грузом и ветками выходит на стационарный режим движения уже при прохождении
отметки 20 см, в дальнейшем падение происходит с постоянной скоростью. Данный факт позволяет не подбирать коэффициент сопротивления для веток, а, зная
коэффициенты сопротивления державки и грузов, вычислять их из уравнения (7),
полагая скорость постоянной и равной стационарной в конце движения. Выражение для коэффициента сопротивления тогда будет выглядеть так:
[( m + md ) g − FA − FAm ] ϕRm
.
(9)
ϕR = 2
−
md
ρвU 2 md
Подставляя в выражение (9) в качестве U – скорость стационарного движения
державки с ветками из экспериментов найдем значения для коэффициента сопротивления исследуемых кедровых веток. В качестве стационарной скорости движения использовалась средняя стационарная скорость по трем экспериментам для
каждого груза.
В табл. 1 представлены полученные в результате проведенных экспериментов
значения коэффициентов сопротивления исследуемых веток кедровой сосны и
державки в зависимости от числа Рейнольдса, стационарной скорости падения и
массы грузов.
Таблица 1
m, кг
0,042
0,062
0,083
0,104
0,151
0,172
0,192
0,213
0,234
0,254
0,299
0,341
0,382
0,452
0,493
0,534
0,601
0,642
0,683
Uст, м/с
0.064
0.094
0.121
0.151
0.249
0.290
0.335
0.384
0.443
0.451
0.591
0.688
0.760
0.96
1.064
1.20
1.25
1.346
1.412
Re
62
91
118
148
244
284
328
376
433
441
578
673
743
939
1041
1174
1224
1317
1381
φRm, м2
0.0015
0.0015
0.0014
0.0014
0.0014
0.0014
0.00145
0.00145
0.00145
0.0015
0.00165
0.00165
0.00165
0.00165
0.00165
0.00165
0.00165
0.00165
0.00165
φR, м2/кг
2,76
2,51
2,25
1,91
1,08
0,92
0,77
0,66
0,54
0,57
0,38
0,32
0,29
0,21
0,18
0,15
0,15
0,14
0,13
Также были проведены исследования коэффициента сопротивления веток кедровой сосны без иголок. Выявлено, что влияние непосредственно веток на общий
коэффициент сопротивления незначителен и сохраняется на постоянном уровне
при разных числах Рейнольдса.
На рис. 4 представлена зависимость коэффициента сопротивления единицы
массы кроны кедровой сосны в зависимости от числа Рейнольдса. Треугольника-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование коэффициента сопротивления элементов кроны кедровой сосны
109
ми помечены коэффициенты φR для всей кроны, а ромбами – для кроны без хвои.
Как видно из графика, при числах Рейнольдса больше 800, коэффициент сопротивления кроны стремится к значению коэффициента сопротивления кроны без
хвои, из чего можно предположить, что при данных значениях числа Рейнольдса,
влияние хвои на общий коэффициент сопротивления снижается вследствие изгиба
иголок под действием набегающего потока жидкости и выстраивания их параллельно его движению (рис. 2).
ϕR, м2/кг
3
2
1
0
0
400
800
1200
Re
Рис. 4. Коэффициент сопротивления единицы массы кроны кедровой сосны
в зависимости от числа Рейнольдса
По данным точкам, полученным из экспериментальных данных, при помощи
метода наименьших квадратов была построена кривая, характеризующаяся следующим уравнением:
ϕ ( Re ) = 3,8674 − 0,0184 Re + 3,9482 ⋅10−5 Re2 − 4, 2382 ⋅10−8 Re3 +
+ 2, 2263 ⋅10−11 Re 4 − 4,5482 ⋅10−15 Re5 .
(10)
Данная зависимость может быть использована при моделировании движения
воздушных масс в лесных массивах, состоящих преимущественно из кедровой сосны, при значениях числа Рейнольдса в диапазоне от 62 до 1381.
Заключение
В результате данной работы были определены значения коэффициента сопротивления кроны кедровой сосны в диапазоне чисел Рейнольдса от 62 до 1381.
В работе использован гидродинамический подход, при котором исследования
проводились в воде, что позволило получать необходимые числа Рейнольдса при
значительно меньших скоростях.
Построена зависимость коэффициента сопротивления кроны кедровой сосны
от числа Рейнольдса. Данная зависимость может быть использована при численном моделировании движения воздушных масс в лесном массиве, состоящем преимущественно из кедровой сосны.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
110
С.А. Орлов, Л.А. Шрагер
Выявлено, что наибольший вклад в коэффициент сопротивления вносит непосредственно крона, однако при числах Рейнольдса, превышающих 800, коэффициент сопротивления стремится к постоянному значению, приблизительно равному коэффициенту сопротивления веток кроны без хвои, что связано с изгибом
хвойных иголок и выстраиванием их по набегающему потоку.
ЛИТЕРАТУРА
1. Годунов С.К., Забродин А.В., Крайко А.Н. и др. Численное решение многомерных задач
газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.
2. Справочник по теплообменникам. В двух томах. Т.1. М.: Энергоатомиздат, 1987. 561 с.
3. Ковалев Ю.В. Архитектура деревьев // Наука и жизнь. 1988. № 12.
4. Третьякова В.А. Дифференциация деревьев и рост культур основных лесообразующих
пород Сибири: автореф. дис. ... канд. биол. наук. Красноярск, 2006.
Статья поступила 20.03.2011г.
Orlov S.Ya., Shrager L.A. RESEARCH OF THE RESISTANCE COEFFICIENT OF CEDAR
PINE CROWN ELEMENTS. In this work, the results of the experimental researches of the resistance coefficient of crown elements of a cedar pine upon movement of air masses are stated.
The received dependences are presented taking into account the influence of the form and weight
of the investigated samples and describe the resistance coefficient of the crone of a given kind of
trees. The results of the research can be used in numerical modeling of movement of air masses in
large forests, plantings, and forest shelter belts.
Keywords: gas dynamics, hydrodynamics, forest shelter belts, numerical modeling.
ORLOV Sergey Alexandrovich (Tomsk State University)
E-mail: orlov@ftf.tsu.ru
SHRAGER Larisa Anatolyevna (Tomsk State University)
E-mail: sher@ftf.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 539.388.2
И.К. Суглобова, Е.В. Ильина, А.Н. Шипачев, С.А. Зелепугин
ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ НАГРУЖЕНИЯ ТИТАНОВЫХ ОБРАЗЦОВ
ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ КАНАЛЬНО-УГЛОВОМ ПРЕССОВАНИИ1
Численно исследованы процессы деформирования титановых образцов при
движении по пересекающимся под прямым углом каналам для двух схем нагружения: инерционной и динамической. Расчеты выполнены методом конечных элементов в рамках модели упругопластической среды. Показано
преимущество динамической схемы, определены оптимальные значения начальной скорости образца и действующего на него давления.
Ключевые слова: динамическое канально-угловое прессование, интенсивная пластическая деформация, разрушение, численное моделирование, метод конечных элементов.
Объемные наноструктурные материалы в настоящее время рассматриваются
как перспективные конструкционные и функциональные материалы нового поколения. Выделяются два основных метода их получения – компактирование исходных нанопорошков и формирование наноструктур при интенсивной пластической
деформации (ИПД). Исследование ультрамелкозернистых (УМЗ) металлов, полученных ИПД, показало, что они характеризуются рядом уникальных свойств –
повышенной в несколько раз, по сравнению с крупнозернистыми аналогами,
прочностью, сочетающейся с хорошей пластичностью, низко- и высокотемпературной сверхпластичностью, циклической и радиационной стойкостью.
Для получения УМЗ-структуры методом ИПД используют процесс равноканального углового прессования (РКУП), разработанный творческим коллективом
В.М. Сегала [1] и развитый Р.З. Валиевым с сотрудниками [2]. В РФЯЦ–ВНИИТФ
предложен динамический вариант этого метода, в котором продавливание материала через каналы осуществляется путем импульсной нагрузки за счет энергии
продуктов горения пороха, сжатых газов и др. [3]. Основное преимущество этого
метода по сравнению с РКУП состоит в том, что увеличивается скорость пластического деформирования, а также добавляется ударно-волновая деформация, которая увеличивает общий результат воздействия [4].
Несмотря на активное развитие нескольких новых методов интенсивной деформации (всесторонней ковки, прокатки с наложением и соединением листов,
специального циклического деформирования и ряда других), ДКУП остается наиболее широко исследуемым методом ИПД. При использовании ДКУП существует
возможность принципиального изменения свойств металлов и сплавов при формировании в них ультрамелкозернистых структур, что позволяет реализовать сочетание высоких прочности и пластичности [5]. Исследования такого необычного
сочетания прочности и пластичности наноструктурных материалов имеют весьма
важное как фундаментальное, так и практическое значение. С фундаментальной
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проект 10-08-00516), Минобрнауки РФ в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/5993).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
112
И.К. Суглобова, Е.В. Ильина, А.Н. Шипачев, С.А. Зелепугин
точки зрения эти исследования интересны для выяснения новых механизмов деформирования. С практической стороны, создание наноматериалов с высокой
прочностью и пластичностью может резко повысить их усталостную прочность,
ударную вязкость, снизить температуру хрупко-вязкого перехода.
Постановка задачи
В данной работе процессы деформирования образцов при их движении по пересекающимся каналам исследуются численно в плоскодеформационной постановке в рамках упругопластической модели среды. В численных расчетах используется модель повреждаемой среды, характеризующаяся возможностью зарождения и развития в ней микроповреждений. Элементарный объем среды W составляют ее неповрежденная (сплошная) часть, занимающая объем Wc и характеризующаяся плотностью ρc, а также занимающие объем Wf микроповреждения,
плотность которых полагается равной нулю. Средняя плотность среды связана с
введенными параметрами соотношением ρ = ρc(Wc /W). Степень поврежденности
среды характеризуется удельным объемом микроповреждений Vf = Wf /(Wρ).
Система уравнений, описывающая нестационарное адиабатическое движение
сжимаемой среды, состоит из уравнений неразрывности, движения, энергии [6, 7].
Моделирование «отрывных» разрушений проводится с помощью кинетической
модели разрушения активного типа [8]. Давление в неповрежденном веществе
считается функцией удельного объема и удельной внутренней энергии и во всем
диапазоне условий нагружения определяется с помощью уравнения состояния типа Ми-Грюнайзена, в котором коэффициенты подбираются на основе констант
ударной адиабаты Гюгонио. Определяющие соотношения связывают компоненты
девиатора напряжений и тензора скоростей деформаций и используют производную Яуманна. Для описания пластического течения используется условие Мизеса.
Учтены зависимости модуля сдвига и динамического предела текучести от температуры и уровня поврежденности материала [8 – 11]. Для решения задачи используется метод конечных элементов.
Инерционная схема нагружения
Рассматривается задача взаимодействия образца с матрицей, в которой имеются пересекающиеся под прямым углом каналы (рис. 1, а). В начальный момент
времени образцу задается скорость υ0 и в дальнейшем образец движется по каналам по инерции. При этом на контактных поверхностях между образцом и внутренними поверхностями каналов матрицы реализованы условия идеального
скольжения.
Процесс деформирования моделируется на примере титановых образцов шириной 16 и длиной 65 мм. Начальная скорость образцов варьируется в диапазоне
100 – 500 м/с. Угол пересечения каналов 90°, длина внешних сторон вертикального и горизонтального каналов матрицы 100 мм каждая. При пересечении каналов
внутренний и внешний радиусы скругления равны 5,1 и 9,3 мм, соответственно.
В начальный момент времени образец располагается в верхней части вертикального канала матрицы. Материал матрицы – высокопрочная сталь [6]. Были использованы следующие значения констант материала титанового образца:
ρ0 = 4426 кг/м3, a = 4990 м/с, b = 1,05, G0 = 41 ГПа, σ0 = 0,5 ГПа, V1 = 4,52⋅10−6
м3/кг, V2 = 1,58⋅10−6 м3/кг, Kf = 0,005 м⋅с/кг, Pk = – 0,75 ГПа.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выбор параметров нагружения титановых образцов
υ,
м/с
а
113
υ,
м/с
Fram
e001Ѕ1
3
300
200
б
2
250
150
υ0
200
1
100
1
150
2
4
50
4
100
3
1
2
υ0
3
50
0
0
300
600
900
1200 t, мкс
0
200
400
600
800
t, мкс
Рис. 1. Средние скорости титанового образца и его областей: (a) – начальная скорость образца 250 м/с, (б) – 350 м/с; кр. 1 – 3 соответствуют областям образца, кр. 4 – всему образцу
Для анализа динамики прохождения образцом пересечения каналов определялись скорости областей 1, 2 и 3, делящих образец на три равные части, причем
область 1 – передняя часть образца (рис. 1).
Из результатов расчетов следует, что титановый образец останавливается во
внутреннем канале матрицы, если его начальная скорость меньше 300 м/с, что иллюстрирует рис. 1, а для начальной скорости движения 250 м/с. При начальной
скорости 350 м/с (рис. 1, б) примерно к 1000-й мкс процесса скорости частей образца уравниваются, и образец в дальнейшем продолжает двигаться со средней
скоростью 52 м/с. Титановый образец в этом случае полностью проходит пересекающиеся каналы, что позволяет считать диапазон скоростей 300 – 350 м/с нижним порогом скорости, при которой обеспечивается прохождение титановых образцов по каналам при ДКУП. Однако при увеличении начальной скорости в образце возникают области роста удельного объема микроповреждений, которые
могут привести к образованию макротрещин и разрушению образца. Для предотвращения таких последствий рассмотрена динамическая схема нагружения, в которой образец продавливается через каналы под постоянно действующим давлением, обусловленным действием пороховых газов.
Динамическая схема нагружения
На рис. 2 представлена общая схема нагружения, реализованная в экспериментах [5]. Для численного моделирования такого процесса рассматривается задача
взаимодействия образца с пересекающимися каналами, которые описываются
двумя ломаными линиями А1A2A3A4 и В1В2B3 (рис. 3). Для системы основных
уравнений в декартовой системе координат ставится задача с начальными при
t = 0 и граничными условиями. Начальные условия характеризуются отсутствием
внутренних напряжений, а причиной взаимодействия является движение образца
с начальной скоростью υ0, полученной при разгоне образца пороховыми газами в
стволе пушки. Также на тыльной поверхности образца задается постоянная нагрузка P0, которая равномерно распределена по тыльной поверхности. Противоположная (лицевая) поверхность образца свободна от внешних нагрузок в течение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.К. Суглобова, Е.В. Ильина, А.Н. Шипачев, С.А. Зелепугин
114
всего процесса деформирования. На границах А1A2A3A4 и В1В2B3 ставится условие
жесткой стенки. Для обеспечения равномерного движения тыльной поверхности
образца узловые силы на этой поверхности находились из уравнения
Fi = –P0Smi /M,
где Fi – компонента узловой силы i-го узла на тыльной поверхности образца, направленная вертикально вниз, S – площадь поверхности тыльного торца образца,
mi – масса i-го узла на тыльной поверхности образца, M – суммарная масса узлов
тыльной поверхности образца.
7
A1 •
• В1
P0
↓↓↓↓
1
6
5
2
3
4
•
В2
В3
•
A2 •
•
A3
Рис. 2. Общая схема установки для динамического канально-углового прессования:
1 – ствол, 2 – поршень, 3 – образец, 4 –
матрица, 5 – направляющая втулка, 6 –
кольцо, 7 – пороховой заряд [5]
•
A4
Рис. 3. Динамическая схема
нагружения
Процесс динамического канально-углового прессования моделировали на примере титановых образцов шириной 16 и длиной 65 мм. Начальная скорость образцов варьировалась в диапазоне 0 – 500 м/с. Задаваемое давление составило 0,1 – 0,4
ГПа. Угол пересечения каналов 90°. В области внешнего угла пересечения каналов
задана площадка А2А3, составляющая с направляющими каналов угол 45°.
Расчеты показывают, что поле удельной энергии сдвиговых деформаций после
прохождения образцом пересечения каналов распределено по образцу неравномерно, что в экспериментах приводит к неравномерному измельчению структуры образца [5]. Поле температур практически идентично полю удельной энергии сдвиговых деформаций, что свидетельствует о том, что температурный режим при ДКУП
определяется в основном пластическим деформированием материала образца.
Формирующиеся в титановом образце области микроповреждений, в которых
может наступить макроразрушение образца, представлены на рис. 4 и 5 при вариации начальных скоростей образца и действующего на него давления. На рис. 4, а
также приведена легенда, идентичная для всех четырех рассматриваемых случаев.
Наибольшие градиенты удельного объема микроповреждений возникают в образце при пересечении каналов, причем формирование областей микроповреждений в основном обусловлено воздействием внутреннего угла матрицы. К харак-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выбор параметров нагружения титановых образцов
115
терным особенностям начальной стадии процесса можно отнести формирование
области повреждений в передней части образцов, охватывающей всю толщину
образцов. Также имеют место деформации тыльной части образцов, форма которых качественно близка к экспериментальным [4]. Во всем исследованном диапазоне в образцах формируются качественно подобные области микроповреждений,
в которых уровни поврежденности количественно также близки.
у, мм
у, мм
а
40
б
40
20
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
20
0
0
0
20
40
60
80
х, мм
0
20
40
60
80
х, мм
Рис. 4. Поля удельного объема микроповреждений (см3/кг) в образце в момент времени
700 мкс: а – при начальной скорости 100 м/с, давлении 0,36 ГПа; б – при скорости 250 м/с,
давлении 0,28 ГПа
у, мм
у, мм
40
40
а
б
20
20
0
0
0
20
40
60
80
х, мм
0
20
40
60
80
100
х, мм
3
Рис. 5. Поля удельного объема микроповреждений (в см /кг) в образце: а – в момент времени 600 мкс при начальной скорости 400 м/с, давлении 0,12 ГПа; б – в момент времени
400 мкс при начальной скорости 500 м/с, давлении 0,1 ГПа
Конечная форма образцов существенно зависит от начальных условий нагружения. Определяющим параметром является начальная скорость образца. Оптимальной формой, с точки зрения возможной повторной обработки образца, будет
форма, близкая к первоначальной. Учитывая это, оптимальными параметрами при
динамической схеме нагружения титанового образца будут: начальная скорость
200 – 250 м/с, давление 0,28 – 0,32 ГПа.
Заключение
Проведено численное исследование процессов деформирования титановых образцов при ДКУП – движении по пересекающимся под прямым углом каналам
для двух схем нагружения: инерционной и динамической. Использование динамической схемы нагружения, по сравнению с инерционной, уменьшает время одного цикла ДКУП и приводит к снижению уровня удельного объема микроповреждений в образце. Распределение пластических деформаций (и, как следствие,
измельчение структуры) титанового образца после одного цикла ДКУП при использовании как инерционной схемы нагружения, так и динамической неравномерно по образцу, что свидетельствует о необходимости дополнительных циклов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
116
И.К. Суглобова, Е.В. Ильина, А.Н. Шипачев, С.А. Зелепугин
ЛИТЕРАТУРА
1. Сегал В.М., Резников В.И., Дробышевский А.Е., Копылов В.И. Пластическая обработка
металлов простым сдвигом // Изв. АН СССР. Металлы. 1981. №1. С. 115–123.
2. Валиев Р.З., Александров И.В. Объемные наноструктурные металлические материалы.
М.: Академкнига. 2007. 397 с.
3. Минаев И.В., Жгилев И.Н., Шорохов Е.В. и др. Моделирование процесса интенсивной
пластической деформации при высокоскоростном нагружении металлов // Деформация
и разрушение материалов. 2009. № 3. С. 17–20.
4. Хомская И.В., Зельдович В.И., Шорохов Е.В. и др. Структура титана, подвергнутого высокоскоростному прессованию при различных температурах // Деформация и разрушение материалов. 2010. № 4. С. 15–19.
5. Хомская И.В., Зельдович В.И., Шорохов Е.В. и др. Высокоскоростное деформирование
металлических материалов методом канально-углового прессования для получения
ультрамелкозернистой структуры // Деформация и разрушение материалов. 2009. № 2.
С. 36–40.
6. Шипачев А.Н., Ильина Е.В., Зелепугин С.А. Деформирование титановых образцов при
динамическом канально-угловом прессовании // Деформация и разрушение материалов. 2010. № 4. С. 20–24.
7. Шипачев А.Н., Зелепугин С.А. Численное моделирование процессов высокоскоростного
ортогонального резания металлов // Вестник Томского государственного университета.
Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 109–115.
8. Канель Г.И., Разоренов С.В., Уткин А.В., Фортов В.Е. Ударно-волновые явления в
конденсированных средах // М.: Янус-К. 1996. 407 с.
9. Зелепугин С.А., Шпаков С.С. Разрушение металло-интерметаллидного многослойного
композита при высокоскоростном ударе // Механика композиционных материалов и
конструкций. 2009. Т. 15. № 3. С. 369 – 382.
10. Ivanova O.V., Zelepugin S.A., Yunoshev A.S., Silvestrov V.V. A multicomponent medium
model for reacting porous mixtures under shock wave loading // J. Energ. Materials. 2010.
V. 28. Is. 1. P. 303–317.
11. Зелепугин С.А., Иванова О.В., Юношев А.С., Сильвестров В.В. Развитие реакции синтеза сульфида алюминия при взрывном нагружении цилиндрической ампулы // ДАН.
2010. Т. 434. № 5. С. 643–647.
Статья поступила 27.04.2011 г.
Suglobova I.K., Il’ina E.V., Shipachev A.N., Zelepugin S.A. SELECTION OF PARAMETERS
FOR LOADING OF TITANIUM SAMPLES UNDER DYNAMIC CHANNEL-ANGULAR
PRESSING. Deformation of titanium samples moving through orthogonally crossed channels under inertial and dynamic loading has been numerically investigated. Computations have been carried out by the finite element method in the context of the elastic-plastic medium model. The advantage of dynamic loading is shown and the optimum initial velocity of the sample and loading
pressure are determined.
Keywords: dynamic channel-angular pressing, intensive plastic deformation, failure, numerical
simulation, finite element method.
SUGLOBOVA Irina Konstantinovna (Tomsk State University)
E-mail: irina-ks@sibmail.com
IL’INA Elena Vladimirovna (Tomsk State University)
E-mail: ileo@sibmail.com
SHIPACHEV Aleksandr Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: alex18023@mail.ru
ZELEPUGIN Sergey Alekseevich (Tomsk State University)
E-mail: szel@dsm.tsc.ru, szel@yandex.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 532.517.4
А.В. Шваб, П.Н. Зятиков, В.Н. Брендаков, В.К. Никульчиков
МЕТОД РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНОСТИ КЛАССИФИКАЦИИ ПОРОШКОВ
НА ОСНОВЕ ИЗМЕРЕНИЙ ИХ УДЕЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Для расчёта эффективности процессов классификации порошкообразных
материалов обычно используют результаты анализа гранулометрического
состава исходного, крупного и мелкого продуктов разделения. В случае переработки мелкодисперсных и ультрадисперсных порошкообразных материалов проведение такого анализа весьма трудоёмко. Поэтому перспективными являются простые экспресс-методы, позволяющие достаточно быстро
осуществлять контроль качества разделения мелкодисперсных порошков.
Ключевые слова: удельная поверхность, граничный размер, эффективность процесса классификации, кривая разделения, пылегазовый поток,
продукты разделения.
В настоящей работе представлен метод расчёта граничного размера и эффективности процесса классификации на основе известного закона распределения веса частиц по размерам исходного состава порошка, массовых выходов и удельных
поверхностей мелкого и исходного продуктов разделения. Возможность и обоснованность такого похода рассмотрена в работах [1 – 3].
Без нарушения общности процесс классификации может быть рассмотрен на
классе непрерывных функций. Положим, что fисх(δ), f1(δ), f2(δ) – непрерывные
функции плотности распределения счётного числа частиц по размерам исходного,
мелкого и крупного продуктов, Тогда для шарообразной формы частиц непрерывные фракции плотности распределения массы по размерам частиц исходного,
мелкого и крупного продуктов можно представить в следующем виде:
Pисх ( δ ) = 1 πρδ3 f исх ( δ ) ; P1 ( δ ) = 1 πρδ3 f1 ( δ ) ; P2 ( δ ) = 1 πρδ3 f 2 ( δ ) ,
6
6
6
(1)
где ρ – плотность, δ – диаметр частиц порошкообразного материала.
Аналогичным образом представляется плотность распределения поверхности
частиц по размерам исходного, мелкого и крупного продуктов разделения
Sисх ( δ ) = πδ2 f исх ( δ ) ; S1 ( δ ) = πδ 2 f1 ( δ ) ; S2 ( δ ) = πδ 2 f 2 ( δ ) .
(2)
Введем безразмерный параметр размера частиц в виде
x = (δ – δmin)/ (δmax – δmin),
где δmin и δmax – минимальный и максимальный размеры частиц в исходном порошке.
Проводя нормировку функции р(х), получим
1
∫ pисх ( x) dx = 1.
0
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.В. Шваб, П.Н. Зятиков, В.Н. Брендаков, В.К. Никульчиков
118
Если процесс классификации проходит без измельчения и агрегации частиц, то
для произвольного размера частиц может быть записано очевидное равенство
pисх(x) = p1(x) + p2(x).
(4)
Тогда массовая доля выхода мелкого продукта α и крупного β может быть
представлена в виде
1
α=
1
∫ p1 ( x) dx
1
∫ p2 ( x) dx
1
0
∫ pисх ( x) dx
= ∫ p1 ( x) dx ;
0
1
β=
∫ pисх ( x) dx
0
0
1
= ∫ p2 ( x) dx.
(5)
0
0
Из соотношений (3) – (5) можно получить связь для относительных выходов
продуктов разделения α + β =1.
На основании [4, 5] значение показателя эффективности классификации Е может быть представлено в виде
xгр
∫
E = 1−
1
(1 − ϕ ( x)) p исх ( x) dx +
0
∫ ϕ ( x) pисх ( x) dx
xгр
.
2αβ
(6)
Здесь φ(x) – кривая разделения вида φ(x) = p1(x) / pисх(x), а xгр – значение граничного размера частиц, для которого выполняется соотношения φ(xгр) = 0,5.
Необходимо отметить, что в практической работе с полидисперсными порошками более удобной и легко определяемой является величина, очень близкая к
граничному размеру x*, которая определяется из соотношения
x*
α=
∫ pисх ( x) dx ,
(7)
0
где x* = (δ* – δmin) / (δmax – δmin).
Причем, как показывают опытные данные, с достаточной точностью можно
положить δ* = δгр. Более того, в тех случаях, когда кривая разделения φ(x) = p1(x) /
pисх(x) является немонотонной функцией (рис. 1), появляется неоднозначность в
определении граничного размера φ(xгр) = 0,5, и за его значение целесообразно
принимать x*.
ϕ
0,5
0
0,2
0,4
Рис. 1
0,6
0,8
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Метод расчета эффективности классификации порошков
119
Согласно определению, значение удельной поверхности исходного состава
порошка можно представить в виде
δmax
∫
J исх =
π ⋅ δ2 ⋅ f исх (δ) d δ
δmin
δmax
∫
δmin
1
⋅ π ⋅ρ ⋅ δ3 ⋅ f исх (δ) d δ
6
или в безразмерном виде с учетом соотношений (1) – (3) и нормировки функции
pисх(x) получим
1
J исх =
6 pисх ( x)
dx .
ρ ∫0
x
Аналогично, для значений удельных поверхностей мелкого и крупного продуктов разделений получим
1
J1 =
1
p1 ( x)
6
6 p2 ( x)
dx ; J 2 =
dx .
∫
ρ⋅α 0 x
ρ ⋅β ∫0 x
(8)
Для того чтобы определить эффективность процесса классификации по известным значениям α, J1, J2 и функции pисх(x), необходимо, как видно из зависимости (6), смоделировать поведение кривой разделения φ(x). При реальном процессе классификации характер поведения кривой φ(x) может быть существенно
немонотонной функцией. Однако для получения кривой разделения можно использовать монотонную функцию, которая усредняет поведение действительной
функции φ(x) таким образом, что величина удельной поверхности мелкого продукта совпадает с её опытным значением. И теперь по зависимости (6) можно определить величину показателя эффективности разделения Е. Опишем подробнее
процесс моделирования функции φ(x). По известному закону плотности распределения веса частиц исходного состава, по размеру pисх(x) и доли массового выхода мелкого продукта α может быть численным способом, на основании соотношения (7), найден граничный размер x* = xгр . Так как x* – граничный размер, то,
очевидно, можно записать p1(x*) / pисх(x*) = φ(x*) = 0,5.
Учитывая формулы (4) – (6), можно получить зависимости
x*
∫ (1 − ϕ( x)) ⋅ pисх ( x) dx = (1 − E ) ⋅ α ⋅β ;
0
1
(9)
∫ ϕ( x) ⋅ pисх ( x) dx = (1 − E ) ⋅ α ⋅β.
x*
Выберем в качестве кривой разделения функциональную зависимость вида гиперболического тангенса, для случая 0≤ x ≤ x* положим φ(x) = (1 + th(c1⋅(½ – x)))/2,
а для x* ≤ x ≤ 1 запишем φ(x) = (1 – th(c2⋅(x – ½)))/2.
После подстановки значений φ(x) в соотношения (9) получим трансцендентные уравнения, из которых при заданном наперёд значении эффективности классификации могут быть найдены модельные константы c1 и c2.
Таким образом, при заданном значении показателя эффективности получаем
совершенно определённую единственную функцию – кривую разделения φ(x),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.В. Шваб, П.Н. Зятиков, В.Н. Брендаков, В.К. Никульчиков
120
или функцию распределения массы частиц по размерам мелкого продукта, равную p1(x) = φ(x) ⋅ pисх(x).
В дальнейшем на основании смоделированной функции p1(x) может быть определено значение удельной поверхности мелкого продукта разделения по зависимости (8). Таким образом, получается взаимнооднозначное соответствие
между показателем эффективности классификации и значением удельной поверхности мелкого продукта. Рассчитывая для ряда значений показателя эффективности Е соответствующие значения удельных поверхностей мелкого продукта J1, получим функциональную связь J1 = J1(E), из которой для заданного значения J1 (определённого из опыта) находится соответствующая величина показателя эффективности. Для примера на рис. 2 приводится расчётная зависимость
эффективности классификации от безразмерного значения удельной поверхности (J – Jисх) / (Jt – Jисх), где Jt – значение удельной поверхности мелкого продукта, рассчитанного по кривой гранулометрического состава. Там же показаны
точками экспериментальные значения эффективностей, полученных в результате анализа гранулометрического состава мелкого и исходного продуктов на основании зависимости (6).
E
0,8
α = β = 0,5
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
(J – Jисх)
(Jt – Jисх)
Рис. 2
Для проверки работоспособности построенного метода расчета был создан
численный алгоритм расчёта на ЭВМ показателя эффективности Е и граничного
размера. Численная проверка разработанного метода проводилась следующим образом. По известному определению гранулометрического состава исходного и
мелкого продуктов разделения определялось значение эффективности Ег непосредственно по зависимости (6). Кроме того, по распределению гранулометрического состава мелкого и крупного продуктов могут быть найдены значения
удельных поверхностей J1, Jисх по зависимостям (8). Таким образом, на основании
предложенного метода, но с использованием известных значений удельных поверхностей J1, Jисх также определялось значение эффективности Е.
В качестве иллюстрации на рис. 3 и 4 приведено сопоставление опытных кривых распределений массы частиц по размерам продуктов разделения (•) с результатами смоделированных кривых, полученных на основе предложенного метода.
Необходимость получения опытного значения удельной поверхности J1 в рассматриваемом методе связана с тем, что в реальном процессе форма частиц порошкообразных материалов часто отличается от шарообразной, поэтому, чтобы
скорректировать расчёты, необходимо найти коэффициент, учитывающий отклонение значений удельных поверхностей реальных и шарообразных частиц.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Метод расчета эффективности классификации порошков
p1, p2,
pисх
121
Е = 0,67
0,02
0,01
0
0,2
0,4
0,6
0,8
х
ϕ
α = 0,5
0,8
0,4
0
0,2
0,4
0,6
0,8
х
Рис. 3
p1, p2,
pисх
Е = 0,25
0,02
0,01
0
0,2
0,4
0,6
0,8
х
ϕ
α = 0,5
0,8
0,4
0
0,2
0,4
Рис. 4
0,6
0,8
х
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
122
А.В. Шваб, П.Н. Зятиков, В.Н. Брендаков, В.К. Никульчиков
Для этого, проводя расчёты удельной поверхности исходного порошка по известному распределению pисх(x) и получая значения удельной поверхности с помощью прибора, найдём корректирующий коэффициент K, равный K = Jтеор / Jопыт .
Значение удельной поверхности мелкого продукта, используемого в разработанном методе, должно быть поправлено на величину J1,теор = K ⋅ J1,опыт . Величина
K в общем случае может быть функцией размера частиц K = K(x). Для таких порошкообразных материалов целесообразно учитывать переменность K в расчётах,
проводя дополнительные исследования по определению K(x).
Разработанный метод использовался для оценки эффективности классификации порошкообразного алюминия АСД-1 при разделении его с помощью блока
разделения на фракции анализатора дисперсного состава [2]. Для оценки работоспособности метода в ходе опытов изменением режимно-геометрических параметров классификатора (ВЦК) достигалось различное качество разделения.
Анализ гранулометрического состава исходного порошка, крупных и мелких
фракций осуществлялся прибором ТА-2. Удельная поверхность рассчитывалась
по результатам анализа на ЭВМ по формуле (8). Для измерения удельной поверхности исходного порошка и продуктов разделения применялся прибор ПСХ-4,
усовершенствованный с целью повышения точности измерения. Время падения
столба жидкости при фильтрации воздуха через слой исследуемого порошка регистрировалось следящей системой с оптоэлектронными датчиками, что дало возможность значительно снизить погрешность и увеличить рабочий диапазон прибора.
Значение корректирующего множителя, учитывающего несферичность частиц,
и приборный коэффициент ПСХ-4 оказалось равным K = 1,62.
Как показали результаты экспериментальных исследований, для исследуемого
порошка АСД-I величина K может быть принята постоянной. Применение метода
газопроницаемости для замера удельной поверхности является физически обоснованным, так как с его помощью регистрируется внешняя поверхность частиц
без учёта микротрещин и т.д., что может служить характеристикой их крупности.
Как показано в работе, предложенный метод оценки качества процессов классификации ультрадисперсных порошков имеет достаточно высокую точность.
Использование предлагаемого метода позволяет значительно упростить лабораторный анализ проб и, в конечном счёте, повысить эффективность исследований,
особенно в области размеров частиц, выходящих за пределы рабочего диапазона
большинства распространённых приборов для анализа дисперсного состава порошков.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шваб А.В., Никульчиков В.К., Шилько А.К. Метод расчёта эффективности процесса
классификации на основе измерения удельных поверхностей порошкообразных материалов // Материалы Всес. конф. «Технология сыпучих материалов». Белгород, 1986.
С. 127−128.
2. Никульчиков В.К., Шваб А.В., Шилько А.К. Метод расчёта эффективности классификации и качества смешения порошкообразных материалов. Томск, 1987 / Деп. ВИНИТИ
№ 4861-87. 24 с.
3. Шваб А.В., Никульчиков В.К., Харламова И.Н., Шилько А.К. К оценке принципиальных
возможностей определения эффективности классификации на основе измерений удельных поверхностей порошкообразных материалов // Вопросы прикладной аэрогидромеханики и тепломассообмена: сб. ст. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. С. 132−146.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Метод расчета эффективности классификации порошков
123
4. Шваб А.В., Зятиков П.Н., Росляк А.Т.,Сосновский Н.Д. К вопросу определения эффективности процесса классификации дисперсных материалов. Томск, 1985 / Деп. ВИНИТИ
№ 44-85. 26 с.
5. Зятиков П.Н., Шваб А.В., Росляк А.Т. Сосновский Н.Д. Метод расчёта эффективности
классификации порошков на отдельные по крупности частиц фракции // Изв. вузов. Физика. 2008. № 8/2. С. 172–177.
Статья поступила 07.10.2010 г.
Schwab A.V., Zyatikov P.N., Brendakov V.N., Nikul’chikov V.K. A METHOD FOR CALCULATION OF POWDER CLASSIFICATION EFFICIENCY BASED ON MEASUREMENTS OF
THEIR SPECIFIC SURFACES. Efficiency of the classification processes for powdered materials
is usually calculated by the results of the analysis of the granulometric composition of the initial,
large, and small separation products. In the case of processing of fine and ultra fine powder materials, such analysis is very time-consuming. Therefore, simple rapid methods are promising for
quick monitoring of the quality of fine powder separation.
Keywords: specific surface, boundary size, effectiveness of the classification process, separatrix,
dust and gas stream, separation products.
SCHWAB Aleksandr Veniaminivich (Tomsk State University)
ZYATIKOV Pavel Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: zpnpavel@sibmail.com
BRENDAKOV Vladimir Nikolaevich (Tomsk State University)
NIKUL’CHIKOV Viktor Kensarinovich (JSC „Zentrsibnefteprovod“)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
УДК 536.24
М.А. Шеремет, Н.И. Шишкин
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА
В ЭЛЕМЕНТЕ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ1
Проведено комплексное исследование нестационарных режимов смешанной
конвекции в типичном элементе электронной техники при наличии локального источника тепла в условиях внутреннего массообмена. Математическая
модель сформулирована в рамках механики сплошной среды в безразмерных переменных «функция тока – вектор завихренности – температура –
концентрация». Получены распределения линий тока, поля температуры и
концентрации, отражающие особенности анализируемого процесса.
Ключевые слова: электронная техника, смешанная конвекция, теплопроводность, массоперенос, источник тепловыделения.
Изучение процессов сопряженной естественной конвекции имеет большое
значение при проектировании миниатюризированных технических устройств
(микросхем, процессоров, приборов радиоэлектроники), что в первую очередь
обусловлено проблемой сброса или отвода тепла. Современные тенденции развития радиоэлектронной техники связаны с ростом мощности источников передачи
сигнала, уменьшением массовых и габаритных показателей, что приводит к увеличению рабочих температур. При этом в замкнутых малых объемах, при наличии поверхностей отвода теплоты во внешнюю среду, доминирующим механизмом теплообмена является естественная конвекция [1–4]. Значительная часть
энергии, выделяемой при работе радиоэлектронной аппаратуры, превращается в
тепловую путем теплопроводности и естественной конвекции, что приводит к повышению температуры приборов [1, 4]. Это ухудшает изоляционные свойства,
изменяет плотность и подвижность носителей тока в полупроводниках, вызывает
снижение индуктивности насыщения в сердечниках [5].
Целью настоящей работы является численный анализ сопряженной смешанной
конвекции в прямоугольной области с источником тепла в условиях внутреннего
массопереноса и внешнего вынужденного течения.
Постановка задачи
Исследуемый объект (рис. 1) представляет собой систему из шести составных
частей, пять из которых – элементы твердого материала (стенки и источник тепловыделения), а шестой – газовая полость. Температура источника тепловыделения, расположенного на внутренней стороне левой стенки, является постоянной в
течение всего процесса. Горизонтальные стенки y = 0, y = Ly и вертикальная стенка x = Lx предполагаются теплоизолированными с наружной стороны. На границе
x = 0 осуществляется теплообмен с окружающей средой за счет механизмов кон1
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы (ГК № П357), а также при финансовой поддержке Президента Российской Федерации (МК-396.2010.8).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование нестационарных режимов тепломассопереноса
125
векции и излучения. В полость 4 подается газ (рис. 1), содержащий некоторую
примесь заданной начальной концентрации. Через отверстие 5 происходит выход
газа.
Рис. 1. Область решения: 1 – стенки; 2 – газ; 3 – источник тепловыделения;
4 – входное отверстие; 5 – выходное отверстие
Предполагается, что теплофизические характеристики элементов твердого
материала и газа не зависят от температуры, а режим течения является ламинарным. Газ, занимающий внутреннюю полость, считается вязкой, теплопроводной,
ньютоновской жидкостью, удовлетворяющей приближению Буссинеска. Теплообмен излучением от источника тепловыделения и между стенками предполагается пренебрежимо малым по сравнению с конвективным теплообменом. Также
считается, что члены в уравнении энергии, характеризующие вязкую диссипацию и работу сил давления, пренебрежимо малы.
В такой постановке процесс переноса тепла и массы описывается системой нестационарных двумерных уравнений конвекции в приближении Буссинеска [6, 7]
и уравнением диффузии в газовой полости, а также нестационарным уравнением
теплопроводности для элементов твердого материала [8] с нелинейными граничными условиями.
Математическая модель сформулирована в безразмерных переменных «функция тока – вектор завихренности скорости – температура – концентрация». В качестве масштабов расстояния, времени, скорости, температуры, функции тока и
завихренности были выбраны Lx, Lx Vin , Vin , (Ths − T0 ) , Vin Lx , Vin Lx . Безразмерные переменные примут следующий вид:
X = x Lx , Y = y Lx , τ = tVin Lx , Θ = (T − T0 ) (Ths − T0 ) ,
ξ = ( C − C0 ) ( Cin − C0 ) , U = u Vin , V = v Vin , Ψ = ψ (Vin Lx ) , Ω = ωLx Vin ,
где х, у – координаты декартовой системы координат; X, Y – безразмерные координаты, соответствующие координатам x, y; Lх – длина области решения по оси х;
t – время; τ – безразмерное время; Vin – скорость потока на входе в полость; u, v –
составляющие скорости в проекции на оси х, у соответственно; U, V – безразмерные скорости, соответствующие скоростям u, v; Θ – безразмерная температура; Ths
– температура источника тепловыделения; T0 – начальная температура области
решения; ξ – безразмерная концентрация примеси; Сin – концентрация примеси на
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.А. Шеремет, Н.И. Шишкин
126
входе в полость; C0 – начальная концентрация примеси в области решения; ψ –
функция тока; Ψ – безразмерный аналог функции тока; ω – завихренность скорости; Ω – безразмерный аналог вектора вихря.
Безразмерные уравнения сопряженного тепломассопереноса:
• в газовой полости (2 на рис. 1)
Ra ⎛ ∂Θ
∂Ω ∂ (U Ω ) ∂ (V Ω ) 1 ⎛ ∂ 2Ω ∂ 2Ω ⎞
∂ξ
+
+
=
+
+ Br
⎜
⎟+
⎜
Re ⎝ ∂X 2 ∂Y 2 ⎠ Pr ⋅ Re2 ⎝ ∂X
∂τ
∂X
∂Y
∂X
⎞
⎟;
⎠
(1)
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ
+
= −Ω ;
∂X 2 ∂Y 2
(2)
1 ⎛ ∂ 2Θ ∂ 2Θ ⎞
∂Θ ∂ (U Θ ) ∂ (V Θ )
+
+
=
+
⎜
⎟;
Pr⋅ Re ⎝ ∂X 2 ∂Y 2 ⎠
∂τ
∂X
∂Y
(3)
1 ⎛ ∂ 2ξ ∂ 2ξ ⎞
∂ξ ∂ (U ξ ) ∂ (V ξ )
+
+
=
+
⎜
⎟;
Sc ⋅ Re ⎝ ∂X 2 ∂Y 2 ⎠
∂τ
∂X
∂Y
(4)
• для элементов твердой стенки (1 на рис. 1)
1 ∂Θ ∂ 2Θ ∂ 2Θ
.
=
+
Fo1 ∂τ ∂X 2 ∂Y 2
(5)
Начальные и граничные условия для сформулированной задачи (1)–(5) рассматривались в следующем виде.
Начальные условия:
Ψ ( X , Y ,0 ) = Ω ( X , Y ,0 ) = Θ ( X , Y ,0 ) = ξ ( X , Y ,0 ) = 0,
за исключением источника тепловыделения, на котором в течение всего процесса
Θ = 1.
Граничные условия:
• на границе X = 0 моделировался конвективно-радиационный теплообмен с
внешней средой:
4
4
⎡⎛
T0 ⎞ ⎛ Te ⎞ ⎤
∂Θ
= Bi ⋅ Θ − Bi ⋅ Θe + Sk ⋅ ⎢⎜ Θ +
−
⎟ ⎜
⎟ ⎥;
∂X
Ths − T0 ⎠ ⎝ Ths − T0 ⎠ ⎦⎥
⎣⎢⎝
• на остальных внешних границах – условия теплоизоляции:
(
∂Θ X * , Y , τ
) = 0 или ∂Θ ( X ,Y * , τ ) = 0
∂X
∂Y
в зависимости от положения границы;
• на входе в полость (4 на рис. 1):
- для уравнения энергии рассматривались граничные условия 3-го рода (6),
- для функции тока, завихренности и концентрации:
d
Ψ = Y − , Ω = 0, ξ = 1;
Lx
• на выходе из полости (5 на рис. 1):
∂Ψ ∂ξ ∂Ω ∂Θ
=
=
=
= 0;
∂X ∂X ∂X ∂X
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование нестационарных режимов тепломассопереноса
127
• на границах твердого материала и газа, параллельных координатным осям
0X(0Y), кроме границ смежных сечению Y = H Lx :
Ψ = 0,
∂Θ1
∂Θ 2
∂Ψ
∂ξ
= 0,
= 0, Θ1 = Θ 2 ,
= λ 2,1
;
∂Y ( ∂X )
∂Y ( ∂X )
∂Y ( ∂X )
∂Y ( ∂X )
• на границах, смежных сечению Y = H Lx , параллельных координатным
осям 0X(0Y):
∂Θ1
∂Θ 2
H −d
∂Ψ
∂ξ
,
.
Ψ=
= 0,
= 0, Θ1 = Θ 2 ,
= λ 2,1
Lx
∂Y ( ∂X )
∂Y ( ∂X )
∂Y ( ∂X )
∂Y ( ∂X )
Здесь Re = Vin Lx ν – число Рейнольдса; ν – коэффициент кинематической
вязкости газа; Pr = ν a2 – число Прандтля; a2 – коэффициент температуропроводности газа; Ra = gβ (Ths − T0 ) L3x νa2 – число Рэлея; g – ускорение свободного падения; β – термический коэффициент объемного расширения;
Br = [βc ( Сin − C0 )] [β (Ths − T0 )] – параметрический критерий (параметр плавучести); βс – диффузионный коэффициент объемного расширения; Sc = ν D – число
Шмидта; D – коэффициент диффузии; Fo1 = a1 LxVin – число Фурье материала
твердой стенки; a1 – коэффициент температуропроводности материала твердой
стенки; Bi = αLx λ – число Био; λ – коэффициент теплопроводности; α – коэффициент теплообмена между внешней средой и рассматриваемой областью решения; Te – температура окружающей среды; Θe – безразмерная температура окру3
жающей среды; Sk = εσLx (Ths − T0 ) λ – число Старка; ε – приведенная степень
черноты; λ 2,1 = λ 2 λ1 – относительный коэффициент теплопроводности.
Задача (1)–(5) с соответствующими начальными и граничными условиями решена методом конечных разностей [9–11] на равномерной сетке. Разработанная
методика решения была протестирована на модельной задаче термогравитационной конвекции в замкнутой квадратной полости [12]. Сопоставление результатов
с работами других авторов [12, 13] показало, что используемый метод приводит к
достаточно хорошему согласованию.
Анализ полученных результатов
Численный анализ краевой задачи (1) – (5) проведен при следующих значениRa = 104 , 105 ,
Re = 200, 800 ,
Pr = 0,7 ,
ях безразмерных комплексов:
λ 2,1 = 3,7 ⋅10−2 , 5,7 ⋅10−4 , 6,8 ⋅10−5 , Br = 2 . Безразмерные определяющие темпера-
туры принимали значения: Θе = −1, Θhs = 1, Θ0 = 0. Особое внимание было уделено анализу влияния числа Рейнольдса, фактора нестационарности и теплофизических характеристик материала твердой стенки на формирование термогидродинамических режимов.
На рис. 2 представлены линии тока, поля температуры и концентрации, соответствующие режиму сопряженного теплопереноса при Ra = 105 . Наличие внешнего вынужденного течения отражается на формировании мелкомасштабных гидродинамических структур (рис. 2, а), а также приводит к смещению термического
факела над источником тепла. При увеличении числа Рейнольдса наблюдается
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
128
М.А. Шеремет, Н.И. Шишкин
рост интенсивности вынужденного потока – увеличение скорости потока и понижение температуры внутри полости. Уровень примеси в полости повышается за
счет интенсификации внешнего течения.
При исследовании проблемы охлаждения элементов радиоэлектронной аппаратуры в условиях жесткого воздействия газообразной примеси внешней среды
фактор нестационарности характеризует этапы формирования и развития рециркуляционных зон в газовой полости, определяющих участки негативного воздействия среды, а также отражает интенсивность теплопереноса в ограждающей
твердой оболочке. На рис. 3 представлены термогидродиффузионные поля.
Сравнивая рис. 2, б и 3, видим, что с течением времени наблюдается прогрев
нижней стенки, а также происходит охлаждение верхней части полости и верхней
стенки вследствие влияния холодного внешнего потока газа. Система приближается к квазистационарному гидродинамическому состоянию.
Рис. 2. Линии тока Ψ, поля температуры Θ и концентрации ξ
при Ra = 105 , λ 2,1 = 5,7 ⋅ 10−4 , Br = 2 , τ = 100 : а – Re = 200 , б – Re = 800
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование нестационарных режимов тепломассопереноса
Рис. 3. Линии тока Ψ, поля температуры Θ и концентрации ξ
при Re = 800 , Ra = 105 , λ 2,1 = 5,7 ⋅ 10−4 , Br = 2 , τ = 300
Рис. 4. Линии тока Ψ, поля температуры Θ и концентрации ξ
при Re = 200 , Ra = 104 , Br = 2 , τ = 100 : а – λ 2,1 = 3,7 ⋅10−2 , б – λ 2,1 = 6,8 ⋅10−5
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
130
М.А. Шеремет, Н.И. Шишкин
Изменение теплофизических характеристик материала ограждающих стенок
может отражаться на картине течения и поле температуры в рабочей части анализируемого объекта. На рис. 4 представлены линии тока, поля температуры и концентрации, соответствующие различным значениям относительно коэффициента
теплопроводности. С ростом коэффициента теплопроводности материала твердой
стенки динамическая и диффузионная картины практически не изменяются, наблюдается значительный прогрев левой и нижней стенок, а также интенсивное
охлаждение верхней стенки. Интенсификация кондукции в твердых стенках проявляется в увеличении температуры газовой полости.
Заключение
Численно решена задача сопряженной смешанной конвекции в прямоугольной
области при наличии локального источника тепловыделения и внешнего вынужденного течения с газообразной примесью в широком диапазоне изменения определяющих параметров: 104 ≤ Ra ≤ 106 , 102 ≤ Re < 103 , Pr = 0,7 , λ 2,1 = 3,7 ⋅10−2 ,
5,7 ⋅10−4 , 6,8 ⋅10−5 , Br = 2 . В результате получены типичные распределения линий тока, поля температуры и концентрации. Проанализировано влияние чисел
Рэлея и Рейнольдса, фактора нестационарности и относительного коэффициента
теплопроводности на формирование термодинамических режимов. Определены
масштабы нелинейного влияния внешней среды, вследствие кондуктивного теплопереноса в твердых стенках, ограничивающих газовую полость. Установлено,
что увеличение коэффициента теплопроводности материала твердой стенки приводит к интенсификации конвективного теплопереноса в полости. Рост времени
отражает приближение гидродинамической системы к квазистационарному состоянию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дульнев Г.Н., Семяшкин Э.М. Теплообмен в радиоэлектронных аппаратах. Л.: Энергия,
1968. 360 с.
2. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Двумерная задача естественной конвекции в прямоугольной области при локальном нагреве и теплопроводных границах конечной толщины // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2006. № 6. С. 29–39.
3. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Математическое моделирование тепломассопереноса в
условиях смешанной конвекции в прямоугольной области с источником тепла и теплопроводными стенками // Теплофизика и аэромеханика. 2008. Т. 15, № 1. С. 107–120.
4. Краус А.Д. Охлаждение электронного оборудования. Л.: Энергия, 1971. 248 с.
5. Бирюлин Г.В., Егоров В.И., Попов Ю.Ю., Савинцева Л.А. Тепловой режим микросборок
// Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО «Исследования и разработки в области
физики и приборостроения». 2006. Вып. 31. С. 115 – 117.
6. Джалурия Й. Естественная конвекция. М.: Мир, 1983. 400 с.
7. Соковишин Ю.А.. Мартыненко О.Г. Введение в теорию свободно-конвективного теплообмена. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 224 с.
8. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
9. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов теплои массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.
10. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
11. Вержбицкий Г.В. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. 840 с.
12. De Vahl Davis G. Natural convection of air in a square cavity: a bench numerical solution //
Int. J. Numerical Methods of Fluids. 1983. V. 3. P. 249–264.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование нестационарных режимов тепломассопереноса
131
13. Dixit H.N., Babu V. Simulation of High Rayleigh Number Natural Convection in a Square
Cavity using the Lattice Boltzmann Method // Int. J. Heat Mass Transfer. 2006. V. 49.
P. 727–739.
Статья поступила 23.06.2010 г.
Sheremet M.A., Shishkin N.I. MATHEMATICAL SIMULATION OF UNSTEADY HEAT AND
MASS TRANSFER IN AN ELEMENT OF ELECTRONIC EQUIPMENT. A complex investigation of transient mixed convection in a typical element of electronics in the presence of a local
heat source under the assumption of internal mass transfer has been carried out. The mathematical
model has been formulated in the context of mechanics of continua in dimensionless variables
such as stream function – vorticity vector – temperature – concentration. Distributions of streamlines, temperature fields, and concentration fields reflecting the features of the analyzed process
have been obtained.
Keywords: electronics, mixed convection, thermal conductivity, mass transfer, heat source.
SHEREMET Mikhail Aleksandrovich (Tomsk State University)
E-mail: sheremet@math.tsu.ru
SHISHKIN Nikita Igorevich (Tomsk State University)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 2(14)
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
АНИКИН Юрий Александрович – младший научный сотрудник Института теплофизики
им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения РАН. E-mail: yury.anikin@raisegroup.com
АНУФРИЕВ Игорь Сергеевич – кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник Института теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения РАН.
E-mail: anufriev@itp.nsc.ru
БРЕНДАКОВ Владимир Николаевич – кандидат физико-математических наук, доцент,
докторант Томского госуниверситета. E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
БУБЕНЧИКОВ Михаил Алексеевич – ассистент кафедры теоретической механики Томского государственного университета. Е-mail: michael121@mail.ru
ГОЛОВАНОВ Александр Николаевич – доктор технических наук, профессор, профессор
кафедры физической и вычислительной механики Томского государственного университета. E-mail: fire@mail.tsu.ru
ГРИШИН Анатолий Михайлович – доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, заведующий кафедрой физической и вычислительной механики механико-математического факультета Томского государственного университета.
E-mail: fire@mail.tsu.ru
ЗЕЛЕПУГИН Сергей Алексеевич – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры механики деформируемого твердого тела ФТФ ТГУ,
ведущий научный сотрудник отдела структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН. Е-mail: szel@dsm.tsc.ru, szel@yandex.ru
ЗЯТИКОВ Павел Николаевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник
Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: zpnpavel@sibmail.com
ИЛЬИНА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА – аспирантка физико-технического факультета
Томского государственного университета. Е-mail: ileo@sibmail.com
КАРАВАЕВ Василий Васильевич – студент механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: fire@mail.tsu.ru
КОРЫТОВ Игорь Витальевич – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент
кафедры прикладной информатики Иркутского государственного университета. E-mail:
kor2003@inbox.ru
КУЗНЕЦОВ Валерий Тихонович – ведущий научный сотрудник лаборатории «Моделирование и прогноз катастроф» кафедры физической и вычислительной механики механикоматематического факультета Томского государственного университета. E-mail: fire@mail.
tsu.ru
ЛОБОДА Егор Леонидович – кандидат физико-математических наук, доцент, докторант
кафедры физической и вычислительной механики механико-математического факультета
Томского государственного университета. E-mail: fire@mail.tsu.ru
ЛЮБИМЦЕВ Олег Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Прикладная математическая статистика» Нижегородского архитектурностроительного университета. E-mail: oleg_lyubimcev@mail.ru
МОЛЧАНОВ Александр Алексеевич – аспирант кафедры «Прикладная математика»
Донского государственного технического университета. Е-mail: aa_molchanov@mail.ru
НИКУЛЬЧИКОВ Виктор Кенсаринович – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, начальник отдела ОАО «Центрсибнефтепровод». E-mail: vestnik_tgu_mm
@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сведения об авторах
133
ОРЛОВ Сергей Александрович – аспирант кафедры прикладной аэромеханики Томского
государственного университета. E-mail: orlov@ftf.tsu.ru
ПЕСТОВ Герман Гаврилович – доктор физико-математических наук, профессор , профессор кафедры математического анализа Томского государственного университета. Email: pppestov@mail.tomsknet.ru
РЕЙНО Владимир Владимирович – инженер кафедры физической и вычислительной
механики механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: fire@mail.tsu.ru
РУДИ Юрий Анатольевич – инженер кафедры физической и вычислительной механики
механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail:
fire@mail.tsu.ru
РУЛЁВА Евгения Валерьевна – аспирантка механико - математического факультета
Томского государственного университета. E-mail: mikoto_88@sibmail.com
САДРИТДИНОВА Гулнора Долимджановна – кандидат физико-математических наук,
доцент, доцент кафедры высшей математики Томского государственного архитектурностроительного университета. E-mail: dolina1@sibmail.com
САЛОМАТОВ Владимир Васильевич – доктор технических наук, профессор, главный
научный сотрудник Института теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения
РАН. E-mail: vvs@itp.nsc.ru
СОБОЛЕВ Вадим Владимирович – кандидат физико-математических наук, профессор
кафедры прикладной математики Донского государственного технического университета.
Е-mail: sobolev@aaanet.ru
СУГЛОБОВА Ирина Константиновна – магистрантка физико-технического факультета
Томского государственного университета. Е-mail: irina-ks@sibmail.com
ТРЯСУЧЁВ Пётр Владимирович – ассистент кафедры высшей математики и математической физики, физико-технического института ТПУ. Е-mail: pet3001@yandex.ru
ФИЛЬКОВ Александр Иванович – кандидат физико-математических наук, доцент, докторант кафедры физической и вычислительной механики механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: fire@mail.tsu.ru
ФОМИН Александр Аркадьевич – кандидат физико-математических наук, руководитель
отдела информационных технологий, ОАО «Издательско-полиграфическое предприятие
«Кузбасс». Е-mail: fomin_aa@mail.ru
ФОМИНА Елена Анатольевна – кандидат физико-математических наук, старший преподаватель физико-математического факультета Томского государственного педагогического
университета. E-mail: ef@sibmail.com
ФОМИНА Любовь Николаевна – старший преподаватель кафедры вычислительной математики Кемеровского государственного университета. Е-mail: lubafomina@mail.ru
ЧИСТЯКОВ Денис Сергеевич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
высшей математики Нижегородского коммерческого института. E-mail: chistyakovds@
yandex.ru
ШАРЫПОВ Олег Владимирович – доктор физико-математических наук, доцент, заместитель директора Института теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения
РАН. E-mail: sharypov@itp.nsc.ru
ШВАБ Александр Вениаминович – доктор физико-математических наук, профессор,
профессор физико-технического факультета Томского государственного университета.
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ШЕРЕМЕТ Михаил Александрович – кандидат физико-математических наук, доцент,
доцент кафедры теоретической механики Томского государственного университета. E-mail:
sheremet@math.tsu.ru
ШИПАЧЕВ Александр Николаевич – аспирант физико-технического факультета Томского государственного университета. Е-mail: alex18023@mail.ru
ШИШКИН Никита Игоревич – аспирант кафедры теоретической механики Томского государственного университета. E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
134
Сведения об авторах
ШРАГЕР Лариса Анатольевна – ассистент кафедры прикладной аэромеханики Томского
государственного университета. E-mail: sher@ftf.tsu.ru
ЭНХЖАРГАЛ Халтарын – кандидат технических наук, доцент, докторант Университета
науки и технологии Монголии. E-mail: ch_enhjargal@yahoo.com
ЮЛДАШЕВ Турсун Камалдинович – кандидат физико-математических наук, доцент,
доцент кафедры высшей математики, докторант Сибирского государственного аэрокосмического университета. E-mail: tursunbay@rambler.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа