close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

786.Вестник Томского государственного университета. Математика и механика №3 2014

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика.
2014. № 3(29).
МАТЕМАТИКА
5–19
Крутиков В. Н. , Вершинин Я. Н. Многошаговый субградиентный метод для решения негладких
задач минимизации высокой размерности // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2014. №
3(29). C. 5–19.
20–24
Пастухова Г. В. Описание одного класса конечных групп // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и
механика. 2014. № 3(29). C. 20–24.
25–38
Шерина Е. С. , Старченко А. В. Разностные схемы на основе метода конечных объёмов для задачи
электроимпедансной томографии // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2014. № 3(29). C.
25–38.
МЕХАНИКА
39–44
Арбит О. А. О решении уравнений лагранжевой гидродинамики // Вестн Том. гос. ун-та. Математика
и механика. 2014. № 3(29). C. 39–44.
45–56
Гаврилов К. А. , Демин В. А. , Попов Е. А. Движение и взаимодействие трехмерных плюмов в
тонком вертикальном слое // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2014. № 3(29). C. 45–56.
57–64
Герасимов А. В. , Пашков С. В. Численное моделирование группового удара высокоскоростных
элементов по космическому аппарату // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2014. № 3(29).
C. 57–64.
65–74
Горобчук А. Г. Об одной численной схеме экспоненциальной подгонки для решения уравнений
высокочастотного разряда в гидродинамическом приближении // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и
механика. 2014. № 3(29). C. 65–74.
75–81
Камбарова Ж. Т. , Алибекова А. Р. , Тургунов М. М. , Кусаиынов Е. К. , Ранова Г. А. Исследование
лобового сопротивления треугольной лопасти ветротурбины для малых скоростей ветра // Вестн Том.
гос. ун-та. Математика и механика. 2014. № 3(29). C. 75–81.
82–93
Кинеловский С. А. , Маевский К. К. Модель поведения пористых смесей, включающих в свой состав
железо, при ударно-волновом нагружении // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2014. №
3(29). C. 82–93.
94–108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фомин А. А. , Фомина Л. Н. Численное решение уравнений Навье - Стокса при моделировании
двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика.
2014. № 3(29). C. 94–108.
МЕМУАРЫ, ПАМЯТНЫЕ ДАТЫ, ПЕРСОНАЛИИ
109–124
Александров И. А. , Копанева Л. С. , Пестов Г. Г. История кафедры математического анализа
Томского университета // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2014. № 3(29). C. 109–124.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
МАТЕМАТИКА
УДК 519.6
В.Н. Крутиков, Я.Н. Вершинин
МНОГОШАГОВЫЙ СУБГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ
НЕГЛАДКИХ ЗАДАЧ МИНИМИЗАЦИИ ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Предложен многошаговый субградиентный метод для решения негладких
задач минимизации высокой размерности и доказана его сходимость. По затратам памяти на хранение информации алгоритм сходен с методами сопряженных градиентов. В алгоритме используется новый метод решения неравенств, основанный на последовательной ортогонализация векторов обучения. Результаты численного исследования свидетельствуют о высокой
скорости сходимости разработанного метода минимизации на негладких задачах высокой размерности.
Ключевые слова: алгоритм Качмажа, многошаговый алгоритм, метод
минимизации, скорость сходимости.
1. Введение
Излагаемый в работе многошаговый релаксационный субградиентный метод
минимизации (РСМ), основанный на принципах организации методов «сопряженных субградиентов» [1, 2], принадлежит классу релаксационных методов εсубградиентного типа (РСМ) [1, 2] и предназначен для решения задач высокой
размерности. Имеющиеся на настоящий момент РСМ с растяжением пространства [4−8] соизмеримы по скорости сходимости на гладких функциях с квазиньютоновскими методами [6, 8] и эффективны при решении негладких задач овражного
типа [6, 8]. В силу необходимости хранения и преобразования матрицы их эффективность по затратам времени резко снижается на задачах высокой размерности.
Существующие многошаговые РСМ [1, 3] существенно уступают в скорости сходимости субградиентным методам с растяжением пространства, подвержены зацикливанию на овражных задачах негладкой оптимизации, что определяет актуальность их совершенствования.
Пусть решается задача минимизации выпуклой на Rn функции f ( x) . В РСМ
последовательные приближения строятся по формулам
xk +1 = xk − γ k sk , γ k = arg min f ( xk − γ sk ) ,
γ∈R
где направление спуска sk выбирается как решение неравенств [2]:
( s,g ) > 0, ∀g ∈ G .
(1)
Здесь множество G = ∂ ε f ( xk ) – ε-субградиентное множество в точке xk. Обозначим S (G ) – множество решений (1), ∂f ( x) ≡ ∂f 0 ( x) – субградиентное множе-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6
В.Н. Крутиков, Я.Н. Вершинин
ство в точке x. В РСМ для решения систем неравенств (1) применяют итерационные методы (алгоритмы обучения), где в качестве элементов ε-субградиентных
множеств, поскольку их явное задание отсутствует, используют субградиенты,
вычисляемые на траектории спуска алгоритма минимизации.
В работах [3, 5−8] предложен и используется следующий подход сведения системы (1) к системе равенств. Пусть G ⊂ R n принадлежит некоторой гиперплоскости, а его ближайший к началу координат вектор η(G ) является также
и ближайшим к началу координат вектором гиперплоскости. Тогда решение системы ( s, g ) = 1, ∀g ∈ G , является также решением и для (1). Его можно найти как
решение системы [5–8]
( s, gi ) = yi , i = 0,1,..., k , yi ≡ 1.
(2)
В [3] (см. также [7, 8]) предложен метод минимизации, в котором для решения
системы (2) используется алгоритм Качмажа [9] (см. также [10])
1 − ( sk , g k )
sk +1 = sk +
gk .
(3)
( gk , gk )
Такой алгоритм минимизации при точном одномерном спуске на дифференцируемых функциях обладает свойствами метода сопряженных градиентов и эффективен при решении задач негладкой оптимизации [3, 7, 8].
В случае ортогональности векторов gk метод (3) конечен [7, 8]. Алгоритм решения системы равенств с последовательной ортогонализацией векторов gk предложен в [11]. В настоящей работе этот алгоритм распространен на решение неравенств и используется для поиска направления спуска в методе минимизации.
Основной целью построения направления sk в субградиентных методах является поиск такого направления, которое обеспечивало бы возможность уменьшения функции из любой точки некоторой окрестности текущего приближения, т.е.
решение системы неравенств (1), где множество G составлено из субградиентов
окрестности текущего приближения xk. Это означает возможность выхода из этой
окрестности посредством минимизации функции вдоль этого направления. Чем
шире окрестность, тем выше устойчивость метода к ошибкам округления, помехам, наличию малых локальных экстремумов и большее продвижение в направлении к экстремуму. В этой связи особую важность приобретают изучаемые в работе методы минимизации, в которых, в отличие от метода из [1] и его модификации из [2], встроенные алгоритмы решения систем неравенств используют субградиенты достаточно широкой окрестности текущего приближения минимума и
не требуют точного одномерного спуска.
2. Многошаговый метод решения неравенств
В предлагаемом алгоритме строятся последовательные приближения решения
системы (1).
Алгоритм А1.
1. Положить k = 0, pk −1 = 0 ( pk −1 ∈ R n ). Задать начальное приближение
s0 ∈ R n .
2. Выбрать произвольно g k ∈ G , удовлетворяющий условию ( sk ,g k ) ≤ 0 , если
такого вектора не существует, то sk ∈ S (G ) , закончить работу алгоритма.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Многошаговый субградиентный метод для решения негладких задач
7
3. Получить новое приближение sk+1:
1 − ( sk , g k )
sk +1 = sk +
p ,
( pk , g k ) k
где
(4)
если ( g k , pk −1 ) ≥ 0, (a)
⎧ gk ,
⎪
( g k , pk −1 )
pk = ⎨
g −
pk −1 , если ( g k , pk −1 ) < 0. (b)
2
⎪ k
pk −1
⎩
4. Положить k = k+1. Перейти на пункт 2.
(5)
Алгоритм А1 отличается от алгоритма решения неравенств на основе алгоритма Качмажа [3, 7−8] (обозначим его А0) реализацией пункта 3. В А0 вместо (4),
(5) используется формула (3).
На итерациях алгоритма А1 выполняются следующие соотношения:
a) ( pk , pk −1 ) = 0, если ( g k , pk −1 ) < 0 ;
b) ( pk , g k ) ≤ ( g k , g k ) ; c) ( pk , pk ) = ( pk , g k ) .
(6)
При k = 0, поскольку в пункте 1 полагается pk −1 = 0 , проводится преобразование (5а). В результате получим p0 = g 0 . В (5b) производится ортогонализация
векторов pk, pk−1, что отражено в равенстве (6a). Непосредственно из (5) следует
(6b). Из (5), с учетом (6a), получим (6c).
Обозначим ηG ≡ η(G ) – ближайший к началу координат вектор множества G,
ρG ≡ ρ(G ) =|| η(G ) || ,
μG = η(G ) / || η(G ) || ,
s∗ = μG / ρG ,
RG ≡ R (G ) = max || g || ,
g∈G
v(G ) = ρG / RG . Сделаем предположение относительно множества G.
Предположение 1. Множество G не пустое, выпуклое, замкнутое, ограниченное, RG < ∞, и удовлетворяет условию отделимости, то есть ρG > 0.
При этих условиях векторы μG и s* являются решениями (1), а для векторов
g ∈ G выполняются ограничения [5−8]
1 ≤ (s* ,g) ≤ RG /ρG , ∀g ∈ G .
(7)
*
Мы изучим сходимость алгоритма А1 к решению s . Обозначим ∆ k = sk − s* –
вектор невязки. Следующие результаты относительно алгоритма А1 получены в
условиях справедливости предположения 1.
Лемма 1. Пусть последовательность {sk } получена в результате работы алгоритмом A1. Тогда для k = 0,1,2,… имеют место оценки:
(∆ k +1 , pk ) ≤ 0 ;
(∆ k , pk ) ≤ (∆ k , g k ) .
(8)
(9)
Доказательство проведем по индукции. В силу равенства pk = g k при k = 0
выполнено (9). Учитывая левое из неравенств (7) и условие пункта 2, ( sk , g k ) ≤ 0 ,
получим
−(∆ k , g k ) = ( s* , g k ) − ( sk , g k ) ≥ 1 − ( sk , g k ) ≥ 1 .
*
(10)
Вычтем из обеих частей (4) s , умножим обе части равенства скалярно на pk и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8
В.Н. Крутиков, Я.Н. Вершинин
преобразуем правую часть с учетом (6с), (9) и (10):
1 − ( sk , g k )
(∆ , g )
(∆ k +1 , pk ) = (∆ k , pk ) +
( pk , pk ) ≤ (∆ k , pk ) − k k ( pk , g k ) ≤ 0 .
( pk , g k )
( pk , g k )
(11)
Здесь мы предположили, что последний переход в цепочке неравенств произведен
при условии (9) для текущего k. Поскольку неравенство (9) выполняется при
k = 0 , то справедливо (11), откуда следует (8) при k = 0 .
Предположим, что неравенства (8), (9) выполнены при k = 0,1,..., l − 1 , где
l ≥ 1 . Покажем, что они выполняются при k = l . В случае (5a) выполнено (9). Для
доказательства (9) в случае (5b) умножим скалярно на ∆ k обе части равенства
(5b). Отсюда, в силу справедливости (8) при k = l − 1 и условия ( g k , pk −1 ) < 0 из
(5b), получим обоснование (9) при k = l
(∆ k , pk ) = (∆ k , g k ) −
( g k , pk −1 )
(∆ k , pk −1 ) ≤ (∆ k , g k ) .
( pk −1 , pk −1 )
Из (9) и (11) следует (8) при k = l . Лемма доказана.
В следующей теореме утверждается, что преобразование (5b) дает направление pk на точку решения s* с более острым углом по сравнению с gk.
Теорема 1. Пусть последовательность {sk } получена в результате работы
алгоритмом A1. Тогда для k = 0,1,2,… имеет место оценка
(−∆ k , pk )
(−∆ k , g k )
1
.
≥
≥
0.5
0.5
RG
( pk , pk )
( gk , gk )
Доказательство. Из (9) и (10) следует
(−∆ k , pk ) ≥ (−∆ k , g k ) ≥ 1 .
(12)
(13)
Отсюда, с учетом (6b), (6c), (9), (10) и определения величины RG, имеем
(−∆ k , pk )
(−∆ k , pk )
(−∆ k , g k )
1
.
≥
≥
≥
0.5
0.5
0.5
RG
( pk , pk )
( gk , gk )
( gk , gk )
Теорема доказана.
Для обоснования сходимости алгоритма А1 нам потребуется следующий результат.
Лемма 2 [5, 7, 8]. Пусть множество G удовлетворяет предположению 1. Тогда sk ∈ S (G ) , если
|| ∆ k ||< 1/ RG .
(14)
В следующей теореме обосновывается конечная сходимость алгоритма А1.
Отметим, что полученные оценки полностью эквивалентны оценкам для алгоритма А0.
Теорема 2. Пусть множество G удовлетворяет предположению 1. Тогда для
оценки скорости сходимости последовательности {sk } к точке s* , генерируемой алгоритмом А1 до момента останова, справедливо соотношение
|| sk − s∗ ||2 ≤ (|| s0 || +ρG −1 ) 2 − k / RG2 ,
для величины ρG −1 имеет место оценка
(15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Многошаговый субградиентный метод для решения негладких задач
⎛ k
⎞
ρG −1 ≥ ⎜ ∑ ( g j , g j ) −1 ⎟
⎜
⎟
⎝ j =0
⎠
0,5
− || s0 || ≥
k 0,5
− || s0 || ,
RG
9
(16)
а при некотором значении k, удовлетворяющем неравенству
k ≤ k ∗ ≡ RG2 (|| s0 || +ρG −1 ) 2 + 1 ,
(17)
будет получен вектор sk ∈ S (G ) .
Доказательство. Найдем невязку ∆ k +1 вычитанием s* из обеих частей (4) и
получим выражение квадрата ее нормы. Правую часть полученного выражения
преобразуем с учетом неравенств (6b), (6c), (9), (10) и определения величины RG:
(∆ k +1 , ∆ k +1 ) = (∆ k , ∆ k ) + 2(∆ k , pk )
≤ (∆ k , ∆ k ) − 2
1 − ( sk , g k )
(1 − ( sk , g k )) 2
+ ( pk , pk )
≤
( pk , g k )
( pk , g k ) 2
(1 − ( sk , g k )) 2 (1 − ( sk , g k )) 2
1
1
+
≤ (∆ k , ∆ k ) −
≤ (∆ k , ∆ k ) − 2 .
( pk , g k )
( pk , g k )
( gk , gk )
RG
Отсюда, используя неравенство || s0 − s∗ ||2 ≤ (|| s0 || + || s∗ ||) 2 = (|| s0 || +ρG−1 ) 2 , которое следует из свойств нормы, получим оценки (15) и (16).
Согласно оценке (15), величина || ∆ k ||→ 0 . Поэтому на некотором шаге k для
вектора sk будет выполнено неравенство (14), т.е. будет получен вектор sk ∈ S (G ) ,
являющийся решением системы (1). В качестве верхней оценки необходимого
числа шагов можно взять k ∗ , равное значению k, при котором правая часть (15)
обращается в нуль, увеличенному на 1. Это дает оценку (17). Теорема доказана.
3. Многошаговый субградиентный метод
Техника обоснования алгоритма соответствует [3, 5−8]. Пусть функция
f ( x), x ∈ R n , выпукла. Обозначим d ( x) = ρ(∂f ( x)), D( z ) = {x ∈ R n f ( x) ≤ f ( z )} .
Примечание 1. Для выпуклой на Rn функции, при ограниченности множества
D( x0 ) для точек x* ∈ D( x0 ) , удовлетворяющих условию d ( x* ) < d 0 , справедлива
оценка [2, с. 291]
f ( x∗ ) − f ∗ ≤ Dd 0 ,
(18)
где D – диаметр множества D( x0 ), f ∗ = inf f ( x) .
x∈R n
Дадим описание метода минимизации на основе алгоритма А1 для нахождения
точек x∗ ∈ R n , таких, что d ( x∗ ) ≤ E0 , где E0 > 0 .
Алгоритм М1.
1. Задать начальное приближение x0 ∈ R n , целые k = i = 0.
2. Положить k = k+1, qk = i, si = 0, pi−1 = 0, Σi = 0 .
3. Задать εk, mk.
4. Вычислить субградиент gi ∈ ∂f ( xi ) , удовлетворяющий условию ( si , gi ) ≤ 0 ,
и если gi = 0, то решение найдено, закончить работу алгоритма.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.Н. Крутиков, Я.Н. Вершинин
10
5. Получить новое приближение si +1 = si +
⎧ gi ,
⎪
(g , p )
pi = ⎨
g − i i −21 pi −1 ,
⎪ i
pi −1
⎩
1 − ( si , gi )
p , где
( pi , gi ) i
если ( gi , pi −1 ) ≥ 0,
если ( gi , pi −1 ) < 0.
6. Вычислить новое приближение критерия Σi +1 = Σi + ( gi , gi ) −1 .
7. Вычислить новое приближение точки минимума:
xi +1 = xi − γ i si +1 , γ i = arg min f ( xi − γ i si +1 ).
γ∈R
8. Положить i = i + 1 .
9. Если 1 Σi < ε k , то перейти на пункт 2.
10. Если i − qk > mk , то перейти на пункт 2.
11. Перейти на пункт 4.
Алгоритм М1 отличается от известного метода минимизации [3, 7, 8], основанного на алгоритме решения неравенств А0 с формулой Качмажа (3) (назовем
его М0), реализацией пункта 5, где вместо формул (4), (5) используется преобразование (3). В алгоритм М1 в пунктах 2,4,5 встроен алгоритм решения неравенств.
Индекс qk, k = 0,1, 2,..., введен с целью обозначения номеров итераций i, при которых в пункте 2 при выполнении критериев пунктов 9, 10 происходит обновление для алгоритма решения неравенств (pi−1 = 0). Согласно (15), (17), алгоритм
решения неравенств при s0 = 0 имеет наилучшие оценки скорости сходимости.
Поэтому при обновлении в пункте 2 алгоритма М1 задаем si = 0. Потребность в
обновлении возникает вследствие того, что в результате смещения в пункте 7
происходит смена субградиентных множеств окрестности текущей точки достигнутого минимума, что приводит к необходимости решения системы неравенств на
основе новой информации.
Отметим, что в силу условия точного одномерного спуска вдоль направления
(-si+1) в пункте 7, в новой точке xi+1 вектор gi+1 ∈ ∂f(xi+1), такой, что (gi+1,si+1)≤0,
всегда существует согласно необходимому условию минимума одномерной
функции (см., например, [2, с. 287]). Следовательно, с учетом роста индекса i в
пункте 8, условие (gi,si)≤0 пункта 4 всегда удовлетворяется.
Доказательство сходимости метода М1 опирается на следующую лемму.
Лемма 3 [2]. Пусть функция f ( x) строго выпукла на R n , множество D( x0 )
ограничено, а последовательность {xk }∞k =0 такова, что
f ( xk +1 ) = min f ( xk + α( xk +1 − xk )) .
α∈[0,1]
Тогда lim || xk +1 − xk ||= 0 .
k →∞
Обозначим Sε (G ) = {z ∈ R n
z − x ≤ ε, ∀x ∈ G} – ε -окрестность множества G,
U δ ( x) = {z ∈ R n | || z − x ||≤ δ} – δ -окрестность точки x. В пункте 2 метода М1, после выполнения хотя бы одного из критериев пунктов 8 или 9 при некотором i,
происходит обновление характеристик встроенного алгоритма решения неравенств. Подпоследовательности, выделяемые из последовательностей xi, Σi ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Многошаговый субградиентный метод для решения негладких задач
11
i =1,2,..., в пункте 2 алгоритма М1, обозначим соответственно zk = xqk , Qk =Σ qk ,
k =1,2,..., где значения qk = i задаются в моменты выполнения пункта 2.
Теорема 3. Пусть функция f ( x) строго выпукла на Rn, множество D( x0 ) ограничено и параметры εk, mk, задаваемые в пункте 2 алгоритма М1, фиксированы:
ε k = E0 > 0, mk = M 0 ,
(19)
Тогда, если x∗ – предельная точка последовательности {xqk }∞k =1 , генерируемой
алгоритмом М1, то
d ( x∗ ) ≤ max{E0 , R ( x0 ) / M 0 } ≡ d 0 ,
(20)
где R( x0 ) = max max || v || . В частности, если M 0 ≥ R 2 ( x0 ) E0−2 , то d ( x∗ ) ≤ E0 .
x∈D ( x0 ) v∈∂f ( x )
Доказательство. Существование предельных точек последовательности {zk }
следует из ограниченности множества D( x0 ) и zk ∈ D( x0 ) . Допустим, что утверждение теоремы неверно: предположим, что подпоследовательность zks → x∗ , но
Положим
Обозначим
Sε∗
d ( x∗ ) = d ∗ > d 0 > 0 .
(21)
ε = (d ∗ − d0 ) / 2 .
(22)
∗
= Sε (∂f ( x )) . Выберем δ > 0 , такое, что
∂f ( x) ⊂ Sε∗
∀x ∈ Sδ ( x∗ ) .
(23)
Такой выбор возможен в силу полунепрерывности сверху точечно-множественного отображения ∂f ( x) (см. [2], с. 289).
Выберем номер K , такой, что при k s > K будет справедливо
zks ∈ Sδ 2 ( x∗ ) , xi ∈ Sδ ( x∗ ), qks ≤ i ≤ qks + M 0 ,
(24)
т.е. такой номер K , что точки xi остаются в окрестности Sδ ( x∗ ) в течение, по
крайней мере, M 0 шагов алгоритма. Такой выбор возможен в силу сходимости
zks → x∗ и результата леммы 3, условия которой выполняются при условиях теоремы 3 и наличии точного одномерного спуска в пункте 7 алгоритма М1.
Согласно предположению (21), условиям выбора ε (22), δ (23) и k (24) при
k s > K будет выполняться неравенство
ρ( Sε∗ ) ≥ ρ(∂f ( x∗ )) − ε = d ∗ − (d ∗ − d 0 ) / 2 > d 0 .
(25)
При k s > K , в силу справедливости соотношений (24), из (23) следует
gi ∈ Sε∗ , qks ≤ i ≤ qks + M 0 . Алгоритм М1 содержит в своем составе алгоритм А1.
Поэтому, с учетом оценок из (16), в зависимости от того, в каком из пунктов алгоритма М1 (9 или 10) произойдет обновление при некотором i = j, будет выполнено
одно из неравенств:
ρ( Sε∗ ) ≤ ∑ −j 0.5 ≤ ε k ≤ E0 ≤ d 0 ;
ρ( Sε∗ ) ≤ R( x0 )
mk ≤ R( x0 )
M 0 ≤ d0 ,
(26)
(27)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.Н. Крутиков, Я.Н. Вершинин
12
где последний переход в неравенствах вытекает из определения величины d 0 в
(20). Но (25) противоречит как (26), так и (27). Полученное противоречие доказывает теорему.
Согласно оценке (20), для любой предельной точки последовательности {zk } ,
генерируемой алгоритмом М1, будет выполнено d ( x∗ ) < d 0 , а следовательно, будет справедлива оценка (18).
В следующей теореме определяются условия, при которых алгоритм М1 генерирует последовательность {xi } , сходящуюся к точке минимума.
Теорема 4. Пусть функция f ( x) строго выпукла, множество D( x0 ) ограничено и
ε k → 0, mk → ∞ .
(28)
Тогда любая предельная точка последовательности {xqk } , генерируемая алгоритмом М1, является точкой минимума функции f ( x) на Rn.
Доказательство. Допустим, что утверждение теоремы неверно: предположим, что подпоследовательность zks → x∗ , но при этом найдется такое d 0 > 0 ,
что будет выполняться неравенство (21). Как и ранее зададим ε согласно (22).
Выберем δ > 0 , такое, что будет выполнено (23).
В силу условий (28) найдется такое K 0 , что при k > K 0 будет выполняться
соотношение
max{ε k , R ( x0 ) mk } ≤ d 0 .
(29)
Обозначим E0 = d 0 и M 0 – наименьшее значение mk при k > K 0 . Дальнейшие рассуждения аналогичны доказательствам теоремы 3.
Выберем номер K > K 0 , такой, что при k s > K будет справедливо (24), т.е. такой номер K , что точки xi остаются в окрестности Sδ ( x∗ ) в течение, по крайней
мере, M0 шагов алгоритма. Согласно предположению (21), условиям выбора
ε (22), δ (23) и k (24) при k s > K будет выполняться неравенство (25). При
k s > K , в силу справедливости соотношений (24), из (23) следует gi ∈ Sε∗ ,
qks ≤ i ≤ qks + M 0 . Алгоритм М1 содержит в своем составе алгоритм А1. Поэтому
с учетом оценок из (16), в зависимости от того, в каком из пунктов алгоритма М1
(9 или 10) произойдет обновление при некотором i = j, будет выполнено одно из
неравенств (26), (27), где последний переход в неравенствах следует из определения величин E0 и M0. Но (25) противоречит как (26), так и (27). Полученное противоречие доказывает теорему.
Обозначим ∇f ( x) – градиент функции, который в случае дифференцируемой
выпуклой функции совпадает с субградиентном и является единственным элементом субградиентного множества [2]. Установим связь алгоритма М1 с методом
сопряженных градиентов (МСГ) [13]:
xi +1 = xi − γi si +1 ,
γi = arg min f ( xi − γsi +1 ), i = 0,1,..., n − 1,
γ
s1 = g 0 ,
si +1
( gi , gi )
si , i = 1, 2,..., n − 1,
= gi +
( gi −1 , gi −1 )
gi = ∇f ( xi ).
(30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Многошаговый субградиентный метод для решения негладких задач
13
Теорема 5. Пусть функция f ( x) , x ∈ R n , квадратичная, ее матрица вторых
производных строго положительно определена, тогда алгоритм М1 при
ε k = 0, mk = n находит минимум за конечное число итераций, не превосходящее
n, при этом для последовательностей, генерируемых алгоритмами МСГ и М1 при
условии равенства начальных точек x0 = x0 справедливы соотношения
а) pi = gi , б) si +1 = si +1 /( gi , gi ) , в) xi +1 = xi +1 ,
i = 0,1,..., n − 1 .
(31)
Доказательство проведем по индукции. В силу условий теоремы в пункте 4
алгоритма М1 gi = ∇f ( xi ) . В результате итерации алгоритма М1 при i = 0 после
выполнения действий пунктов 1−5 имеем: p−1 = 0, s0 = 0, p0 = g0, s1 = g 0 /( g 0 , g 0 ) .
Отсюда следует равенство (31а) при i = 0. Поскольку для МСГ на итерации при
i = 0 s1 = g 0 , то направления спуска в обоих алгоритмах удовлетворяют равенству
(31б) при i = 0. В силу точного одномерного спуска и колинеарности направлений
спуска будет выполнено равенство (31в) при i = 0.
Ограничения в М1 ε k = 0, mk = n необходимы для исключения преждевременных обновлений.
Предположим, что равенства (31) выполнены при i = 0,1, ..., l, где l > 0. Покажем, что они выполняются при i = l+1. В пункте 5 алгоритма М1 при i = l+1 в результате ортогонализации векторов gl +1 , pl будет получен pl +1 = gl +1 , поскольку,
согласно (31а), pl = gl , градиенты алгоритмов МСГ и М1 совпадают в силу идентичности точек (31в), в которых они вычисляются, а градиенты, используемые в
МСГ, а следовательно и в М1, взаимно ортогональны [7]. Это доказывает (31а)
при i = l+1.
В силу условия точного одномерного спуска выполняется равенство (sl+1,
gl+1) = 0. Поэтому преобразование пункта 5 алгоритма М1 для вектора s с учетом
(31а) ) при i = l+1, (31б) при i = l и (30) примет вид
gl +1
s
gl +1
sl + 2
sl + 2 = sl +1 +
= l +1 +
=
.
( gl +1 , gl +1 ) ( gl , gl ) ( gl +1 , gl +1 ) ( gl +1 , gl +1 )
Отсюда следует (31б). В силу точного одномерного спуска и колинеарности направлений спуска будет выполнено равенство (31в) при i = l+1.
Из приведенного доказательства эквивалентности последовательностей, генерируемых алгоритмами МСГ и М1 и свойства окончания процесса минимизации
методом МСГ не более чем через n шагов [13] следует доказательство теоремы.
4. Реализация алгоритма минимизации
Алгоритм М1 реализован согласно технике реализации РСМ [3, 5−8]. Рассмотрим версию алгоритма М1, включающую в себя процедуру одномерной минимизации вдоль направления s, функции которой заключаются в построении: а) текущего приближения минимума xm; б) точки y из окрестности xm, такой, что для
g1 ∈ ∂f ( y ) выполняется неравенство ( s, g1 ) ≤ 0 . Субградиент g1 используется для
решения системы неравенств.
Обращение к процедуре обозначим:
OM ({x, s, g x , f x ,, h0 };{γ m , f m , g m , γ1 , g1 , h1}) .
Блок входных параметров состоит из точки текущего приближения минимума x,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.Н. Крутиков, Я.Н. Вершинин
14
направления спуска s, g x ∈ ∂ f ( x) , f x = f ( x) , начального шага h0 . Предполагается, что выполняется необходимое условие возможности спуска ( g x , s ) > 0 в направлении s . Блок выходных параметров включает в себя γ m – шаг в точку полученного приближения минимума x + = x − γ m s , f m = f ( x + ) , g m ∈ ∂f ( x + ) , γ1 –
шаг вдоль s , такой, что в точке y + = x − γ1s для g1 ∈ ∂f ( y + ) выполняется неравенство ( g1 , s ) ≤ 0 , и h1 – начальный шаг спуска для следующей итерации. В излагаемом ниже алгоритме векторы g1 ∈ ∂f ( y + ) используются для решения множества неравенств, а точки x + = x − γ m s как точки приближений минимума.
Алгоритм одномерного спуска (ОМ). Пусть требуется найти приближение
минимума одномерной функции ϕ(β) = f ( x − β s ) , где x – некоторая точка, s – направление спуска. Возьмем возрастающую последовательность
βi =
i −1
h0 qM
β0 = 0
и
при i ≥ 1 . Обозначим zi = x − βi s , ri ∈ ∂f ( zi ) , i = 0,1, 2,… , l – номер i ,
при котором впервые выполнится соотношение (ri , s ) ≤ 0 . Зададим параметры отрезка локализации [ γ 0 , γ1 ] одномерного минимума: γ 0 = βl −1 ,
f 0 = f ( zl −1 ) ,
∗
g 0 = rl −1 , γ1 = βl , f1 = f ( zl ) , g1 = rl и найдем точку минимума γ одномерной
кубической аппроксимации функции на отрезке локализации. Вычислим
⎧qγ γ1 ,
⎪
⎪γ ,
γm = ⎨ 1
⎪ γ 0,
⎪ ∗
⎩γ ,
если l = 1 и γ ∗ ≤ qγ1γ1 ,
если γ1 − γ ∗ ≤ qγ ( γ1 − γ 0 ),
если l > 1 и γ ∗ − γ 0 ≤ qγ ( γ1 − γ 0 ),
(32)
в остальных случаях.
Вычислим начальный шаг спуска для следующей итерации:
h1 = qm (h0 γ m )1/ 2 .
(33)
Алгоритм минимизации. В предлагаемом ниже варианте реализации алгоритма М1 обновление для метода решения неравенств не производится, а точный
одномерный спуск заменен на приближенный.
Алгоритм.
1. Задать начальное приближение x0 ∈ R n , начальный шаг одномерного
спуска h0 . Положить: i = 0 , g 0 = g 0 ∈ ∂f ( x0 ) , gi −1 = 0 , pi −1 = 0 , f 0 = f ( x0 ) ,
s0 = s0 = 0 . Задать параметры останова: N – максимально допустимое число
итераций, ε x – точность минимизации по аргументу, ε g – точность минимизации по градиенту.
2. Получить приближение si +1 = si +
1 − ( si , gi )
p,
( pi , gi ) i
если ( gi , pi −1 ) ≥ 0,
⎧ gi ,
⎪
(g , p )
где pi = ⎨
g − i i −21 pi −1 ,
если ( gi , pi −1 ) < 0.
⎪ i
pi −1
⎩
Здесь осуществляется шаг метода решения неравенств.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Многошаговый субградиентный метод для решения негладких задач
3. Получить направление спуска
если ( si +1 , gi ) ≥ 1,
⎧s ,
si +1 = ⎨ i +1
+
−
(1
(
,
))
/(
,
),
s
g
s
g
g
g
если ( si +1 , gi ) < 1.
⎩ i +1
i
i +1 i
i
i
15
(34)
4. Произвести одномерный спуск вдоль wi +1 = si +1 ( si +1 , si +1 ) −1/ 2 :
OM ({xi , wi +1 , gi , fi , hi };{γ i +1 , fi +1 , gi +1 , γ i +1 , gi +1 , hi +1}) .
Вычислить приближение точки минимума xi +1 = xi − γ i +1wi +1 .
5. Если i > N или xi +1 − xi ≤ ε x , или gi +1 ≤ ε g , то закончить вычисления,
иначе положить i = i + 1 и перейти на пункт 2.
Поясним действия алгоритма. Из OM поступают два субградиента gi +1 и gi +1 .
Первый из них используется для решения неравенств в пункте 2, а второй – в
пункте 3, для коррекции направления спуска с помощью формулы (3) с целью
обеспечения необходимого условия ( si +1 , gi ) > 0 возможности спуска в направлении ( − si +1 ). Как показано в [5, 7, 8] итерация (3) в (34) при ( si +1 , gi ) < 1 не ухудшает текущее приближения si решения системы неравенств, поэтому это преобразование проводится. В пункте 3, когда ( si +1 , gi ) > 1 , условие ( si +1 , gi ) > 0 выполнено и, согласно результатам работ [5, 7, 8], нет теоретических рекомендаций
по улучшению решения системы неравенств. Поэтому преобразование коррекции
не производится.
Хотя обоснование сходимости идеализированных версий РСМ [2−8] производится при условии точного одномерного спуска, реализации этих алгоритмов
осуществляется c процедурами одномерной минимизации, в которых начальный
шаг, в зависимости от прогресса, может увеличиваться или уменьшаться, что определяется заданными коэффициентами qM > 1 и qm < 1 . При этом минимальный
шаг на итерации не может быть меньше некоторой доли начального шага, величина которой задана в (32) параметрами qγ1 = 0,1 и qγ = 0,2, приведенные значения которых использовались нами при расчетах.
5. Численный эксперимент
Алгоритм М1 реализован согласно технике реализации алгоритма М0 [5−8], в
которой ключевое значение играют коэффициенты уменьшения qm < 1 и увеличения qM > 1 начального шага одномерного спуска на итерации. Значения qm близкие к 1 обеспечивают малую скорость убывания шага и соответственно малую
скорость сходимости метода. При этом малая скорость убывания шага устраняет
зацикливание метода в силу того, что субградиенты функции, участвующие в решении неравенств берутся из более широкой окрестности. Выбор параметра qm
должен соизмерятся с возможной скоростью сходимости метода минимизации.
Чем выше скоростные возможности алгоритма, тем меньшим может быть выбран
этот параметр. Например, в РСМ с растяжением пространства [4−8] выбирается
qm = 0,8. Для гладких функций выбор этого параметра некритичен и его можно
брать из интервала [0,8−0,98]. От параметра возрастания шага скорость сходимости практически не зависит, поэтому его можно взять постоянным qM = 1,5 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.Н. Крутиков, Я.Н. Вершинин
16
Исследование проводилось на следующих функциях.
n
10 10
10
1. f1 ( x) = ∑ | xk | ⋅k , x* = (0, 0,..., 0), x0 = (10, , ,..., ) ;
n
2
3
k =1
n
2. f 2 ( x) = ∑ xk2 ⋅ k 2 , x* = (0, 0,..., 0), x0 = (10,
k =1
n −1
10 10
10
, ,..., ) ;
n
2 3
3. f3 ( x) = ∑ [1000( xk − xk +1 ) 2 + (1 − xk +1 ) 2 ], x* = (1,..,1), x0 = (0,.., 0) .
k =1
Функция f3(x) взята из [12]. В таблице приведено количество затраченных методом вычислений функции и субградиента, которое соответствует моменту выполнения условия f k − f * ≤ ε . Знаком N помечены задачи, которые не удалось
решить за количество итераций, не превышающее заданное максимальное, т.е.
найти точку приближения xk , в которой бы выполнялось условие останова алгоритма по значению функции, т.е. f k − f * ≤ ε . При тестировании другие критерии
останова не использовались.
Результаты численного эксперимента
n
f2
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
МСГ
938
2359
3891
5929
7632
9264
10914
12563
14272
16008
f1 , ε = 10−5
f 2 , ε = 10−10
f3 , ε = 10−10
qm = 0,999 , qM = 1,5
qm = 0,98 , qM = 1,5
qm = 0,85 , qM = 1,5
М0
27573
84837 (N)
84773 (N)
84705 (N)
84731 (N)
84767 (N)
84677 (N)
84957 (N)
84649 (N)
87499 (N)
М1
26646
51203
54203
54070
53654
54290
68003
51794
66241
56017
М0
2064
4008
5781
7804
10086
12457
14837
17345
19839
22478
М1
1649
3096
4364
5884
7245
8598
10564
11822
14073
16042
М0
760
869
903
885
947
935
975
960
948
967
М1
604
612
627
605
665
621
631
658
653
703
Функция 2 квадратичная с отношением собственных значений 1/n2. Во втором
столбце приведены результаты счета для метода сопряженных градиентов [13] с
кубической интерполяцией при поиске одномерного минимума с заданной точностью, которая выбрана экспериментально из условия минимизации количества
вычислений функции и градиента на решение комплекса задач. Отметим, что использование в МСГ грубого одномерного спуска из М1 приводит к многократному увеличению числа итераций. Здесь алгоритм М1 эффективнее метода М0 и
сравним с МСГ при размерностях выше 400. Поэтому при решении гладких задач
минимизации высокой размерности с высокой степенью вытянутости поверхностей уровня наряду с МСГ возможно применение многошаговых РСМ.
Кусочно-линейная функция 1 имеет одинаковую вытянутость линий уровня с
функцией 2, но неизмеримо сложнее для метода минимизации. Здесь, в методе М0
происходит зацикливание, а увеличение числа итераций не приводит к решению
задачи. На этом примере заметно существенное повышение эффективности за
счет ортогонализации векторов обучения в алгоритме М1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Многошаговый субградиентный метод для решения негладких задач
17
На квадратичной функции 3 с небольшим разбросом собственных значений
методы М0 и М1 практически эквивалентны.
Заключение
В работе на задачу решения множества неравенств распространен итерационный метод решения системы равенств [11]. Разработанный алгоритм обоснован
теоретически. На его основе сформулирован и обоснован релаксационный субградиентный метод минимизации, который, в силу незначительных затрат памяти
(пропорционально размерности задачи) и отсутствия матричных вычислений,
пригоден для решения задач высокой размерности.
По свойствам сходимости на квадратичных функциях высокой размерности,
при больших разбросах собственных значений, разработанный алгоритм превосходит имеющиеся многошаговые релаксационные субградиентные методы и соизмерим по эффективности с методом сопряженных градиентов.
Новый метод позволяет расширить круг решаемых негладких задач. Численные результаты свидетельствуют о повышении эффективности метода минимизации при введении ортогонализации векторов обучения в алгоритм решения неравенств, что особенно проявляется при решении негладких задач высокой размерности с высокой степенью вытянутости поверхностей уровня.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wolfe P. Note on a method of conjugate subgradients for minimizing nondifferentiable functions // Math. Programming. 1974. V. 7. No. 3. P. 380–383.
2. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1972.
368 с.
3. Крутиков В.Н., Петрова Т.В. Новый метод решения задач минимизации большой размерности // Вестник КемГУ. Кемерово, 2001. Вып. 4. С. 65−71.
4. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наукова думка, 1979. 199 с.
5. Крутиков В.Н., Петрова Т.В. Релаксационный метод минимизации с растяжением пространства в направлении субградиента // Экономика и мат. методы. 2003. Т. 39. Вып. 1.
С. 33−49.
6. Крутиков В.Н., Горская Т.А. Семейство релаксационных субградиентных методов с
двухранговой коррекцией матриц метрики // Экономика и мат. методы. 2009. Т. 45.
№ 4. С. 37−80.
7. Крутиков В.Н. Релаксационные методы безусловной оптимизации, основанные на
принципах обучения: учеб. пособие / ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет». Кемерово: Кузбассвузиздат, 2004. 171 с.
8. Крутиков В.Н. Обучающиеся методы безусловной оптимизации и их применение.
Томск: Изд-во Том. гос. педагогического ун-та, 2008. 264 с.
9. Kaczmarz S. Approximate solution of systems of linear equations // Int. J. Control. 1993.
V. 54. No. 3. P. 1239–1241.
10. Цыпкин Я.З. Основы теории обучающихся систем. М.: Наука, 1981. 251 с.
11. Крутиков В.Н., Вершинин Я.Н. Алгоритмы обучения на основе ортогонализации последовательных векторов // Вестник КемГУ. 2012. Вып. 2 (50). С. 37−42.
12. Скоков В.А. Варианты метода уровней для минимизации негладких выпуклых функций
и их численное исследование // Экономика и математические методы. 1997. Т. 33. № 1.
13. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.
Статья поступила 13.04.2013 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18
В.Н. Крутиков, Я.Н. Вершинин
Krutikov V.N., Vershinin Ya.N. THE SUBGRADIENT MULTISTEP MINIMIZATION
METHOD FOR NONSMOOTH HIGH-DIMENSIONAL PROBLEMS
In this paper, a new multistep relaxation subgradient minimization method is proposed. It is
based on principles of organization of "conjugate subgradients" methods. The presented method
belongs to the class of relaxation methods of the ε-subgradient type (RSM) and is intended for
solving nonsmooth high-dimensional problems.
The space tension RSMs available at present are comparable in the rate of convergence for
smooth functions with quasi-Newton methods and are efficient in solving nonsmooth problems of
the ravine type. At high dimensional problems, it effectiveness is reduced due to the necessity of
storage and transformation of the metric matrix. In the smooth case, the conjugate gradient
method substitutes quasi-Newton methods at high-dimensional problems. Existing multistep
RSMs are significantly inferior to the subgradient space tension methods in the rate of convergence and loop at ravine type nonsmooth optimization problems. That is why they are practically
not applied for even for small dimension problems. These circumstances determine the importance of establishing effective multistage RSMs. In the considered relaxation subgradient method,
additional learning relations are used at iterations with the aim to improve the efficiency of the
learning algorithm for a known method based on extending the Kaczmarz algorithm to inequality
systems. This innovation expands the range of solved nonsmooth optimization problems and increases the rate of convergence in solving smooth and non-smooth minimization problems.
Numerical results indicate an increase in the minimization method efficiency due to orthogonalization of learning vectors in the algorithm that solves the inequalities, which is particularly evident when solving nonsmooth problems of high dimensionality with a high degree of
elongation of the level surfaces. According to the convergence properties at high dimension quadratic functions, at a large scatter of eigenvalues, the developed algorithm is superior to existing
multi-step relaxation subgradient methods and is comparable in the effectiveness to the conjugate
gradients method.
Keywords: Kaczmarz algortihm, multistep algorithm, minimization method, convergence rate
Krutikov Vladimir Nikolaevich (Doctor of technical Sciences, Prof.,
Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation)
E-mail: krutikovvn@gmail.com
Vershinin Yaroslav Nikilaevich (M. Sc, Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation)
E-mail: Azimus88@gmail.com
REFERENCES
1. Wolfe P. Note on a method of conjugate subgradients for minimizing nondifferentiable functions (1974) Math. Programming. V. 7. No. 3, pp. 380–383.
2. Dem'yanov V.F., Vasil'ev L.V. Nedifferentsiruemaya optimizatsiya. Moscow, Nauka Publ.,
1972. 368 p. (in Russian)
3. Krutikov V.N., Petrova V.V. Novyy metod resheniya zadach minimizatsii bol'shoy razmernosti (2001) Vestnik KemGU. No. 4, pp. 65–71. (in Russian)
4. Shor N.Z. Metody minimizatsii nedifferentsiruemykh funktsiy i ikh prilozheniya. Kiev:
Naukova dumka Publ., 1979.199 p. (in Russian)
5. Krutikov V.N., Petrova V.V. Relaksatsionnyy metod minimizatsii s rastyazheniem prostranstva v napravlenii subgradienta (2003) Ekonomika i mat. metody. V. 39. No. 1, pp. 33−49. (in
Russian)
6. Krutikov V.N., Gorskaya V.A. Semeystvo relaksatsionnykh subgradientnykh metodov s
dvukhrangovoy korrektsiey matrits metriki (2009) Ekonomika i mat. metody. V. 45. No. 4,
pp. 37–80. (in Russian)
7. Krutikov V.N. Relaksatsionnye metody bezuslovnoy optimizatsii, osnovannye na printsipakh
obucheniya. Kemerovo, Kuzbassvuzizdat Publ., 2004. 171 p. (in Russian)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Многошаговый субградиентный метод для решения негладких задач
19
8. Krutikov V.N. Obuchayushchiesya metody bezuslovnoy optimizatsii i ikh primenenie.
Tomsk, Izd-vo Tom. gosudarstvennogo pedagogicheskogo un-ta, 2008. 264 p. (in Russian)
9. Kaczmarz S. Approximate solution of systems of linear equations (1993) Int. J. Control.
V. 54. No. 3, pp. 1239–1241.
10. Tsypkin Ya.Z. Osnovy teorii obuchayushchikhsya sistem. Moscow, Nauka Publ., 1981.
251 p. (in Russian)
11. Krutikov V.N., Vershinin Ya.N. Algoritmy obucheniya na osnove ortogonalizatsii posledovatel'nykh vektorov (2012) Vestnik KemGU. No. 2 (50), pp. 37–42. (in Russian)
12. Skokov V.A. Varianty metoda urovney dlya minimizatsii negladkikh vypuklykh funktsiy i ikh
chislennoe issledovanie (1997) Ekonomika i matematicheskie metody. V. 33. No 1. (in Russian)
13. Polyak B.V. Vvedenie v optimizatsiyu. Moscow, Nauka Publ., 1983. 384 p. (in Russian)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
УДК 512.542
Г.В. Пастухова
ОПИСАНИЕ ОДНОГО КЛАССА КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Доказаны две леммы о свойствах централизатора элемента в конечной группе, с помощью которых в дальнейшем описаны неабелевы группы порядка
23p с условием нормальности своей силовской р-подгруппы.
Ключевые слова: конечная группа, силовская подгруппа, централизатор
элемента.
Классификационная задача Кэли, которая заключается в том, чтобы дать полную классификацию всех групп, порядки которых равны заданному натуральному
числу n, решаема по двум направлениям. Первое – это фиксирование порядка и
изучение неабелевой группы, исходя или из размеров центра, или нормальности
силовской подгруппы, или иных характеристик группы, абелевы же конечные
группы имеют полное описание. Для решения этой задачи привлекается различные математические пакеты, которые имеют богатую библиотеку конечных
групп. Например, система GAP 4.5.4 включает в себя группы порядка не более
2000, за исключением групп порядка 1024, и всего рассмотрены 423 164 062 группы. Второе направление – это рассмотрение целого класса групп порядка n с определенным каноническим разложением ее порядка. Так, например, известно, что
если n – простое число, то существует единственная группа такого порядка. Классический пример описания групп порядка п = рq, где р и q – различные простые
числа, реализован с помощью теорем Силова [1, с. 101]. Проблема в общем случае
не имеет рационального решения, в связи с чем она на сегодняшний день претерпела некоторые изменения, например, описание группы порядка ар, где а – некоторый множитель (в общем случае не являющийся простым числом) и такой, что
(а,р) = 1.
Опишем группы порядка 23p с условием нормальности своей силовской рподгруппы. Заметим, что порядок 23 первый представил всю линейку групп. С таким порядком имеют место помимо существующей для любого порядка циклическая и две абелевых нециклических групп, и две неабелевых. В связи в этим описание этих групп является традиционной задачей при изучении групп и встречается в классических сборниках задач [3, c. 239].
Рассмотрим леммы о свойстве 2-элемента конечной группы и о делимости порядка группы, с помощью которых в дальнейшем опишем вышеупомянутые
группы.
Лемма 1. Если х – такой 2-элемент конечной группы, что β – наименьшее с усβ
β−1
β−1
ловием x 2 ∈ CH (a ) , то x −2 ax 2
Доказательство. Так как a
= a −1 .
H , то x −1ax ∈ a , то есть существует такое r
целое положительное, что x −1ax = a r . Тогда
2
x −2 ax 2 = x −1 ( x −1ax) x = x −1a r x = ( x −1ax)...( x −1ax) = a r ...a r = (a r ) r = a r .
r раз
r раз
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Описание одного класса конечных групп
21
β
k
β
Индукцией по k показывается, что x − k ax k = a r . Так как x −2 ax 2 = a r
то r
2β
≡ 1(mod p ) . Это сравнение равносильно (r
β−1
ние сравнения t. Поэтому r 2
Тогда
β−1
β−1
β−1
x −2 ax 2
= ar
2β−1
2β−1 2
) ≡ 1(mod p ) и r
β−1
≡ ±1(mod p ) . Предположим, что r 2
2β−1
2β
= a,
– реше-
≡ 1(mod p ) .
= a , что противоречит выбору х. Следовательно,
β−1
x −2 ax 2 = a −1 . Лемма доказана.
Лемма 2. Если Р – циклическая группа порядка р, то NG ( P ) / CG ( P ) – цикли-
ческая и порядок r группы NG ( P ) / CG ( P ) делит p – 1.
Доказательство. Сначала докажем следующий факт: Для любой подгруппы Н
группы G NG ( N ) / CG ( N ) → Aut H . Заметим, что NG ( H ) можно гомоморфно
вложить в AutН. Действительно, произвольный элемент а из NG ( H ) индуцирует
некоторый автоморфизм с(а) из AutH, то есть для любых x, y ∈ H имеем
( xy )c ( a ) = x c ( a ) y c ( a ) .
Найдем ядро этого гомоморфизма: ker с = { a ∈ N G ( H )| c(a ) – тождественный
автоморфизм}. Покажем, что ker c = CG ( H ) . Действительно, для любого а ∈ ker с и
любого х ∈ Н имеем, что x c ( a ) = x a = x , то есть a ∈CG ( H ) . Значит, ker с = CG ( H ) .
Следовательно, по теореме о гомоморфизмах, NG ( P )/ CG ( P) → Aut H .
Пусть теперь Р – циклическая группа порядка р. Тогда по только что доказанному NG ( P ) / CG ( P ) – циклическая и изоморфно вкладывается в Aut Р, где
Aut P → Z p −1 . Это значит, что NG ( P ) / CG ( P ) можно считать подгруппой группы
Z p −1 порядка р–1. Значит, порядок NG ( P ) / CG ( P ) делит р–1. Лемма доказана.
Теорема. Пусть Н – неабелева группа порядка 23 p , силовская р-подгруппа Р
группы Н – нормальна в Н. Тогда Н изоморфна одной из следующих групп:
1. H = a ~ b , o(a ) = p, o(b) = 8, b −1ab = a r , r i ≡ 1(mod p ) ,
где
1 ≤ i < 8,
p ≡ 1(mod 8) .
2. H = a ~ b , o(a ) = p, o(b) = 8, b −1ab = a r , r i ≡ 1(mod p ) ,
4
где
1 ≤ i < 4,
4
ab = b a, p ≡ 1(mod 4) .
i
3. H = ( a × c ) ~ b , o(a ) = p, o(b) = 4, o(c) = 2, bc = cb, b −i abi = a r ,
r i ≡ 1(mod p ), где 1 ≤ i < 4, p ≡ 1(mod 4) .
4. H = ( a × c ) ~ b , o(a ) = p, o(b) = 4, o(c) = 2, b −1ab = a −1 , ab 2 = b 2 a, bc = cb .
5. H = ( a × c ) ~ b , o(a ) = p, o(b) = 4, o(c) = 2, c −1ac = a −1 , bc = cb .
6. H = ( a × b × c ) ~ d , o(a ) = p, o(b) = o(c) = o(d ) = 2, d −1ad = a −1 ,
bd = db, cd = dc.
7. H = ( a × c ) ~ b , o(a ) = p, o(b) = 4, b −1ab = a −1 , ab 2 = b 2 a, c −1bc = b.
Доказательство. Конструирование группы основывается на лемме Фраттини: пусть К – нормальная подгруппа группы Н и P ∈ Syl p ( H ) , тогда H = N H ( P) K
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г.В. Пастухова
22
[1, с. 115].Обозначим через а образующий элемент подгруппы P : P = a . Рассмотрим всевозможные случаи:
Случай 1. S = b – циклическая группа. Тогда H = a ~ b .
Случай 1.1. CH (a ) = p . Покажем, что в этом случае p ≡ 1(mod 8) и если
b −1ab = a r , то r i ≠ 1(mod p) , при никаких i, что 1 ≤ i < 8 , а r 8 = 1(mod p) .
Допустим, для некоторого i, такого, что 1 ≤ i < 8 , имеем r i ≡ 1(mod p) . Это озi
начает, что b −i abi = a r = a и bi ∈ CH (a ) , причём bi ≠ e . Это противоречит тому,
2
7
что CH (a ) = p . Далее, a H = 8 , причём a H = {a, a r , a r ,..., a r } . Действительно,
i
j
если предположить, что для некоторых i ≠ j , a r = a r , то это будет означать, что
r i ≡ r j (mod p ) , что равносильно (r j (r i − j − 1)) ≡ 0(mod p ) , причём можно считать,
что i > j . Это невозможно, так как r ≠ 0 и r i − j ≡ 1(mod p ) . Аналогично показы2
7
вается, что для любой степени a k , (a k ) H = {a k , a kr , a kr ,..., a kr } .
2
7
2
7
a = {e} ∪ {a, a r , a r ,..., a r } ∪ {a k , a kr , a kr ,..., a kr } ∪ ... .
Следовательно,
Это
означает, что a = p = 1 + 8l , где l – число неединичных сопряжённых классов.
Таким образом,
H = a, b | a p = b8 = e, b −1ab = a r , r i ≡ 1(mod p ),1 ≤ i < 8, p = 1(mod 8) .
Случай 1.2. CH (a ) = 2 p .
Покажем, что в этом случае p ≡ 1(mod 4) и из b −1ab = a r вытекает, что 4 –
наименьшее i, такое, что r i ≡ 1(mod 4) . Действительно, аналогично предыдущему
случаю, если i < 4 и r i ≡ 1(mod 4) , то b −i abi = a и bi ∈ CH (a ) . Это означает,
что или b, или b 2 ∈ CH (a ) . Тогда 4 делит CH (a ) , что противоречит условию.
Как и в предыдущем случае, доказывается, что
2
2
3
a = {e} ∪ {a, a r , a r , a r } ∪ ...
3
... ∪ {a k , a kr , a kr , a kr } ∪ ... и a = p = 1 + 4t , где t – число классов сопряжённых
неединичных элементов группы.
Таким образом,
H = a, b | a p = b8 = e, b −1ab = a r , b −4 ab 4 = a, r i ≡ 1(mod p ),1 ≤ i < 4, p ≡ 1(mod 4) .
Случай 1.3. CH (a ) = 4 p .
Аналогично доказывается, что H = a, b | a p = b8 = e, b −1ab = a r , b −2 ab 2 = a .
Так как Н – неабелева, то случай CH (a ) = 8 p невозможен.
Случай 2. S = b × c , где o(b) = 4, o(c) = 2 . Тогда H = a ~ ( b × c ) .
Для любого
s ∈ S , такого, что o( s ) = 2 , имеем
s −1as = a −1 . Поэтому
(b 2 c) −1 a (b 2 c) = c −1 (b −2 ab 2 )c = c −1a −1c = a и b 2 c ∈ CH (a ) , причём o(b 2 c) = 2 . Поэтому либо CH (a ) = 2 p , либо CH (a ) = 4 p .
Случай 2.1. CH (a ) = 2 p . Тогда b ∉ CH (a ) . Допустим, b 2 ∈ CH (a ) . Так как
b −2 ab 2 = a −1 и c −1ac = a −1 , то (b 2 c) −1 a (b 2 c) = a и e, b 2 , b 2 c – элементы из S ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Описание одного класса конечных групп
23
входят в CH (a ) . Но e, b 2 , b 2 c – элементы подгруппы четвёртого порядка группы
S: b 2 × c . Поэтому b 2 × c ≤ CH (a ) , что невозможно по условию. Это означает, что
b ∩ CH (a ) = e ,
и поэтому CH (a ) = a × c . Таким образом,
i
H = ( a × c ) ~ b , где bc = cb, b −i abi = a r , при всех i = 1, 2, 3 и p ≡ 1(mod 4) .
Это вытекает аналогично случаю 1.2.
Случай 2.2. CH (a ) = 4 p .
Случай 2.2.1. Допустим b ∉ CH (a ) , но b 2 ∈ CH (a ) .
Тогда
b 2 × c ≤ CH (a )
H = ( a × c ) ~ b , b −1ab = a −1 , ab 2 = b 2 a
и
и
bc = cb .
Случай 2.2.2. Пусть b ∈ CH (a ) .
Тогда
b ≤ CH (a ) и H = ( a × b ) ~ c , c −1ac = a −1 , bc = cb . Как и в преды-
дущем случае, CH (a ) = 8 p невозможно.
Случай 3. S = b × c × d , где o(b) = o(c) = o(d ) = 2 .
Случай 3.1. CH (a ) = p .
Так как b −1ab = a −1 , c −1ac = a −1 , то (bc) −1 a (bc) = c −1 (b −1ab)c = c −1a −1c = a и
bc ∈ CH (a ) – невозможно.
Случай 3.2. CH (a ) = 2 p . Можем считать, что b ≤ CH (a ) . Тогда c, d ∉ CH (a )
и, как и в случае 3.1, (cd ) −1 a(cd ) = d −1 (c −1ac)d = d −1a −1d = a , то есть cd ∈ CH (a )
и b × cd ≤ CH (a ) , то есть 4 делит CH (a ) – противоречие.
Случай 3.3. CH (a ) = 4 p . Можем считать, что b × c ≤ CH (a ) . Тогда, очевидно, H = ( a × b × c ) ~ d , d −1ad = a −1 , bd = db, cd = dc .
Случай 4. S = b ~ c
–
неабелева
группа.
Тогда
H = a ×S
или
H = a ~S .
Первая возможность однозначна. Рассмотрим вторую возможность:
H = a ~ S . Как мы выше заметили (в случае 2), (b 2 c) −1 a (b 2 c) = a , поэтому либо
CH (a ) = 2 p , либо CH (a ) = 4 p .
Случай 4.1. CH (a ) = 2 p . В этом случае, дословными рассуждениями, как и в
случае 2.1, приходим к тому, что
−1
b ∩ CH (a ) = e
−1
i
i
и CH (a ) = a × c . Тогда
ri
H = ( a × c ) ~ b , причем c bc = b , b ab = a , на i и р налагаются такие же
условия, как и в случае 2.1.
Случай 4.2. CH (a ) = 4 p . Здесь возможны два случая:
Случай 4.2.1. Допустим, b ∉ CH (a ) , но b 2 ∈ CH (a ) . Тогда b 2 × c ≤ CH (a ) и
H = ( a × c ) ~ b , b −1ab = a −1 , ab 2 = b 2 a и b −1cb = c .
Случай 4.2.2. Пусть b ∈ CH (a ) .
Тогда b ≤ CH (a ) и H = ( a × b ) ~ c , c −1ac = a −1 , c −1bc = b −1 . Случай, когда
CH (a ) = 8 p , уже отмечен.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г.В. Пастухова
24
Случай 5. S ≅ Q8 – группа кватернионов.
Q8 = b, c | b 4 = c 4 = e, b 2 = c 2 , c −1bc = b −1 .
Пусть b −1ab = a r и c −1ac = a t для некоторых целых положительных r и t .
Они являются решениями сравнений r 2 ≡ 1(mod p ) и t 2 ≡ 1(mod p ) , так как
2
2
b −2 ab = a r и c −2 ac = a t . Значит r ≡ t (mod p ). Тогда a t = a r , что равносильно, в
этом случае либо CH (a ) = 2 p , либо CH (a ) = 4 p .
Покажем, что в CH (a ) существует подгруппа порядка H. Если это не так, то
−1
b ab = c −1ac = a −1
и снова получаем, что
bc −1 ∈CH (a ) . Но
(bc −1 )(bc −1 ) =
= b(c −1bc)c −2 = bb −1b 2 = b 2 и o(bc −1 ) = 4 . Это означает, что в CH (a ) существует
подгруппа порядка 4. Можно считать, что b ∈CH (a ) и тогда H = ( a × b ) ~ c ,
где c −1bc = b −1 , c −1ac = a r , r i ≡ 1(mod p ) при i = 1,2,3 p ≡ 1(mod4) . Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
2. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1962.
3. Сборник задач по алгебре / под. ред. А.И. Кострикина: учебник для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
Статья поступила 28.11.2011 г.
Pastuhova G.V. DESCRIPTION OF A CLASS OF FINITE GROUPS.
The Cayley classification problem, which is to give a complete classification of all groups
whose orders are equal to a given natural number n, is solved in two ways. First, it is order fixing
and studying non-Abelian groups proceeding from the size of the center or from a normality of a
Sylow subgroup or other characteristics of the group.
The second direction is to consider the whole class of groups of order n with a certain canonical decomposition of its order. For example, we know that if n is a prime number, there exists a
unique group of this order. A classical example of the description of groups of order n = pq,
where p and q are different prime numbers, is implemented using Sylow theorems. The problem
in the general case has no rational solutions; at present, in connection with this, it has undergone
some changes. One of new formulations is as follows: to describe groups of order ap, where a is a
factor (in the general case, not prime) such that (a, p) = 1.
The author describes a group of order with the condition of normality of its Sylow psubgroup. Note that the order 23 is the first one that presents the full range of groups. In addition
to a cyclic group, which exists for any order, this order is inherent to two Abelian noncyclic
groups and two non-Abelian groups.
Keywords: finite group, Sylow subgroup, centralizer of the elements.
Pastuhova Galina Vitalyevna (M. Sc, Perm State Humanitarian Pedagogical University, Perm,
Moscow State Pedagogical University, Moscow, Russian Federation)
E-mail: pastuhova13@yandex.ru
REFERENCES
1. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Osnovy teorii grupp. Moscow, Nauka Publ., 1982. (in
Russian)
2. Kurosh A.G. Teoriya grupp. Moskow, Nauka Publ., 1962. (in Russian)
3. Sbornik zadach po algebre / pod. red. A.I. Kostrikina. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001. (in Russian)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
УДК 519.6
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ОБЪЁМОВ
ДЛЯ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОИМПЕДАНСНОЙ ТОМОГРАФИИ1
Получены разностные схемы для решения задачи электроимпедансной томографии. Вывод схем осуществляется с помощью метода конечных объёмов на неструктурированных сетках. Численное сравнение для конечных
объёмов разной формы выполнено на двух тестовых задачах с аналитическим решением. Полученные результаты также сравниваются с решением по
методу конечных элементов.
Ключевые слова: электроимпедансная томография, метод конечных объёмов, метод конечных элементов, разностные схемы, неструктурированные сетки.
1. Введение
Электроимпедансная томография (ЭИТ) – это быстро развивающийся неинвазивный метод визуализации со спектром применения, включающим медицинскую
томографию, неразрушающий контроль материалов и контроль промышленных
процессов [1−5]. Метод ЭИТ восстанавливает неизвестное распределение или
оценивает несколько параметров электрической проводимости (или полного импеданса) внутри объекта, если измерено электрическое напряжение или сила тока
на его границе. По реконструкции даётся оценка внутренней структуры объекта.
ЭИТ позволяет наблюдать динамические процессы и работать со статическими
изображениями.
Отмечают несколько преимуществ ЭИТ перед другими видами томографии:
компактный размер оборудования, простота устройства, невысокая стоимость и
быстрый сбор данных. Кроме того, в медицинских приложениях ценится безопасность для биологических тканей. Направление ЭИТ представляется перспективным в разных приложениях, но его широкое внедрение ограничено невысоким
качеством получаемых изображений. Наравне с необходимостью усовершенствования аппаратных средств томографии следует уделять внимание разработке математической теории ЭИТ и новых численных методов решения такой задачи.
Восстановление проводимости с помощью ЭИТ является нелинейной и некорректной обратной коэффициентной задачей. Сложность задачи вызвана нарушением условия устойчивости в классическом определении корректности по Адамару [2]. Как следствие, реконструкция статических изображений ЭИТ очень чувствительна к ошибкам измерений прибора и погрешности аппроксимации дифференциальной задачи разностной, а также качеству физического моделирования
рассматриваемого объекта. Данное исследование направлено на изучение особенностей численного моделирования прямой задачи ЭИТ, являющейся важной компонентой обратной задачи. Отдельное внимание уделено вопросу уменьшения погрешности аппроксимации, которая появляется в ходе дискретизации задачи. Все
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания
№ 2014/223 (код проекта 2382).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
26
результаты получены для двумерной статической задачи и при необходимости
могут быть перенесены на трёхмерный случай или использоваться в динамической реконструкции.
2. Постановка задачи ЭИТ
В ЭИТ на поверхность объекта прикрепляется набор электродов (рис. 1, а), затем выполняется серия измерений, в которых через объект пропускается электрический ток небольшой силы и высокой частоты. Обычно, сила тока выбирается в
интервале от 1 до 5 мА с частотой от 10 до 150 кГц. Схема проведения эксперимента – схема подведения тока и сбора данных – определяется исследователем.
Между электродами граница объекта контактирует с воздухом. Результирующее
напряжение измеряется на электродах. Вся серия данных «электрический ток –
напряжение» используется для реконструкции неизвестного распределения электрической проводимости внутри объекта.
2.1. Физическая постановка задачи
В данной статье использована модель ЭИТ с идеально проводящими электродами, которая называется в научной литературе gap model [6].
Предполагается, что учитываемые моделью физические процессы описываются электрическим и магнитным полями, которые удовлетворяют стационарным
уравнениям Максвелла. В данной работе рассматривается случай применения
ЭИТ к объектам биологической природы. Ткани проводят электричество, потому
что они содержат ионы, которые переносят электрический заряд. Проводимость
биологических тканей обладает определенной спецификой и зависит от частоты
тока. Когда электромагнитные волны проходят через биологический объект, интенсивность магнитного поля становится пренебрежимо малой [1, 2], поэтому
магнитная компонента в уравнениях Максвелла не рассматривается. В этом случае система уравнений Максвелла может быть с использованием закона Ома сведена к уравнению эллиптического типа в частных производных. В силу отсутствия внутри объекта источников электрического поля, а также с учётом 1-го правила Кирхгофа для электрической цепи, сумма втекающих и вытекающих токов
равняется нулю – выполняется закон сохранения заряда. Также предполагается,
что на электроде, где инжектируется ток, известно значение потенциала электрического тока.
2.2. Математическая постановка задачи
С учётом принятых условий математическая модель ЭИТ для двумерного случая (рис. 1, а) может быть представлена краевой задачей [2, 7]:
∇ ⋅ ( σ∇ϕ ) = 0, ( x, y ) ∈ Ω ;
(1)
σ
∂ϕ
= J k , ( x, y ) ∈ ek , k = 1,..., L ;
∂n
(2)
L
∂ϕ
= 0, ( x, y ) ∈ ∂Ω / ∪ ek ;
(3)
k =1
∂n
где σ(x,y) – электрическая проводимость, φ(x,y) – потенциал электрического поля,
n – единичный вектор внешней нормали, Jk – плотность электрического тока на
σ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разностные схемы на основе метода конечных объёмов
27
k-м электроде, ek – k-й электрод, L – число электродов. Функция электрического
потенциала ϕ ∈ H 1 (Ω) , плотность тока j = σ ⋅∇ϕ ∈ L2 (Ω) .
По принятой в литературе терминологии задача (1) – (3) с функцией электрического потенциала φ(x,y) в качестве неизвестного будет в дальнейшем называться прямой задачей ЭИТ. Обратной задачей ЭИТ именуется задача (1) – (3) по поиску неизвестной функции проводимости σ(x,y) в области Ω, дополненная данными измерений электрического напряжения на электродах.
3. Построение численных схем для задачи ЭИТ
Чувствительность реконструкции ЭИТ к ошибкам измерений и погрешности
аппроксимации дифференциальных операторов ограничивает круг подходящих
численных методов, которыми можно с хорошим качеством решать обратную задачу. Как правило, дифференциальные задачи приводят к дискретному аналогу
каким-либо сеточным методом. Среди них можно выделить следующие группы:
конечно-разностные (МКР), конечно-элементные (МКЭ), гранично-элементные
(МГЭ), конечно-объёмные (МКО) и другие. Задачу ЭИТ изначально ассоциировали с электродинамикой и моделированием цепей, поэтому был опробован, а впоследствии и наиболее распространился подход по МКЭ. МКЭ обладает гибкостью, когда необходимо быстро улучшить качество аппроксимации без сложных
изменений алгоритма. Но в [8] отмечается, что МКЭ не удовлетворяет условию
непрерывности электрического тока, тем самым не соблюдается закон сохранения
на элементе сетки и области в целом. С МКЭ ищется решение не конкретной
дифференциальной задачи, а обобщённое решение вариационной задачи, выведенной из исходной и записанной в интегральной форме. В данной работе приводятся некоторые результаты построения конечно-объёмных схем для прямой задачи ЭИТ, которые сравниваются с решением МКЭ по нескольким показателям.
3.1. Дискретизация расчётной области
На начальном этапе решения задачи выполняется дискретизация расчётной
области ωh, и определяется набор сеточных функций электрического потенциала
uh и проводимости σh. Создание расчётных сеток – отдельная область исследования. В настоящее время доступны свободно распространяемые и коммерческие
программные продукты для генерации сеток (GMSH, GAMBIT, QMG, Netgen,
Tgrid, FEMLAB и др.).
В данном исследовании численные эксперименты проводились на треугольных неструктурированных сетках (M ячеек, N узлов), построенных в программах
GAMBIT и GMSH. Пример расчётной сетки приведён на рис. 1, б. Заметим, что
сетка детализована вдоль границы области, потому что градиент потенциала быстро изменяется вблизи контактов электродов. Для оценки качества построенных
сеток с треугольными ячейками обычно вводится какой-нибудь числовой показатель. Чтобы осуществлять контроль качества построенных сеток была выбрана
группа параметров: коэффициент деформации элемента сетки, угловой коэффициент, соотношение сторон треугольного элемента, соотношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности для элемента сетки. Как правило, точность
расчётов снижается, если элементы треугольной сетки сильно отличаются от правильных треугольников. Следует заметить, что решающим фактором при выборе
сетки будет не только набор показателей качества и размер сетки, но и её способ-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
28
ность обеспечивать работоспособность конкретного применяемого численного
метода в целом. Должна быть обеспечена вычислительная экономичность расчётов и достаточная точность приближенного решения полученных сеточных уравнений, поэтому, по-видимому, следует говорить о том, насколько хорошо сетка
подходит для применяемого численного метода.
e5
e6
10
e4
e7
10
e2
5
e8
e1
0
e9
e10
-10
e16
Ω
-5
e15
e11
-5 e12
-10
0
а
e13
5
e14
10
e5
e6
e3
e4
7
e3
e7
10
e2
5
e8
e1
0
e9
e16
-5
e10
-10
e15
e11
-10
-5
e12
0
б
e13
e14
5
5
0
13
1
-5
-10
10
-10
-5
19
0
5
10
в
Рис. 1. Двумерная модель области реконструкции Ω (а), на границе ∂Ω обозначены электроды ek, k = 1,…,16; расчётная сетка со сгущением к электродам (б), размер сетки –
M = 4168 элементов, N = 2181 узел; расчётная сетка для тестовой задачи с точечными электродами 1 и 13 (в), размер сетки – M = 136 элементов, N = 81 узел [8]
3.2. Варианты конечных объёмов
Когда дифференциальная задача с помощью сеточного метода преобразуется в
разностную, то выбирается способ соответствия, по которому неизвестные значения сеточной функции связываются с расчётной сеткой. Функции электрического
потенциала φ(x,y) и проводимости σ(x,y) заменяются дискретными аналогами, т.е.
сеточными функциями uh и σh соответственно, u h ∈ U h , σh ∈ Σ h , Uh и Σh – гильбертовы пространства. На триангуляции области обычно рассматриваются два варианта – значение сеточных функций определяется в некоторой точке внутри ячейки
сетки (рис. 2, а) или в узле сетки (рис. 2, б, в). Конечный объём в обоих случаях
строится вокруг точки, с которой связываются значения сеточной функции. В настоящей работе обсуждается реализация МКО на трёх конечных объёмах: треугольный конечный объём (рис. 2, а), барицентрический конечный объём (рис. 2,
б) и конечный объём – ячейка Дирихле – Вороного (рис. 2, в).
P3
P2
R2
j
k
R1
P3
i
P2
P3
R2
C1
R1
P1
а
P2
б
P1
P0`
C1
P1
R1
в
Рис. 2. Фрагменты расчётной сетки: а – треугольный конечный объём с центром в точке
P0; б – барицентрический конечный объём, построенный вокруг вершины P0; в – конечный
объём – ячейка Дирихле – Вороного, – построенный вокруг вершины P0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разностные схемы на основе метода конечных объёмов
29
Барицентрическая ячейка строится вокруг вершины P0 по точкам пересечения
медиан и точкам середин сторон треугольников. В ячейке Дирихле – Вороного
вместо барицентров выбираются точки пересечения срединных перпендикуляров.
Треугольные конечные объёмы соответствуют ячейкам сетки, в них положение
точки P0 задается в центре масс, точке пересечения срединных перпендикуляров
или биссектрис.
3.3.Вывод численных схем
Согласно принципу МКО для каждого конечного объёма записывается интегро-интерполяционный баланс. Уравнение (1) интегрируется по конечному
объёму Ωm,
∫ ∇ ⋅ ( σ∇ϕ) d Ω = 0.
(4)
Ωm
По формуле Грина уравнение (4) преобразуется к равенству нулю криволинейного интеграла по границе от плотности тока
∂ϕ
(5)
∫ σ ∂n dl = 0.
∂Ω
m
Дальнейшая оценка интеграла в левой части (5) зависит от формы конечного
объёма и способа аппроксимации градиента потенциала в подынтегральном выражении. Функция проводимости задается кусочно-постоянной по треугольным
элементам сетки, 0 < c ≤ σ(x,y) ≤ C, c и C – константы.
На треугольных конечных объёмах (рис. 2, а) интеграл в правой части (5) вычисляется по сторонам текущего треугольника Ωm по интерполяционной формуле,
в данном случае – средних прямоугольников. Опробовано несколько вариантов
расположения точки P0 внутри конечного объёма, с которой ассоциировались сеточные функции проводимости σh и электрического потенциала uh. Дискретные
значения определялись в точке пересечения медиан, срединных перпендикуляров
или биссектрис треугольника. Производные аппроксимировались в серединах
сторон конечного объёма, причём оценка выполнялась с учётом условий сопряжения на границе двух смежных ячеек, например для грани ij (рис. 2, а):
P
P
⎛ σ ∂ϕ ⎞ 0 = ⎛ σ ∂ϕ ⎞ 1 ,
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ ∂n ⎠ R1 ⎝ ∂n ⎠ R1
( ϕ ) PR0 = ( ϕ ) PR1 ,
1
1
чтобы схема стала чувствительной к изменению свойств токопроводящей среды.
Потоки через границу конечного объёма могут быть аппроксимированы разными
соотношениями. Один из предложенных подходов рассматривает аппроксимацию
P
P
∂ϕ 0 u R − u P0
∂ϕ 1 u P − u R1
вида ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 1
и ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 1
, где ∆nP0 – длина отрезка перпенди∆nP1
∆nP0
⎝ ∂n ⎠ R
⎝ ∂n ⎠ R
1
1
куляра из точки P0 до стороны ij, ∆nP1 – от точки P1 до стороны ij, а uP0 ≈ φ(xP0,yP0).
Преобразования с использованием условий сопряжения приводят к системе сеточных уравнений:
(
AP u P
1
1
− uP
0
) ∆l
ij
(
+ AP u P
2
2
− uP
0
) ∆l
jk
(
+ AP u P
3
3
− uP
0
) ∆l
ki
= 0,
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
30
AM =
где
q
σP σP
0
q
σ P ∆nP + σ P ∆nP
0
q
q
, q = 1, 2,3,
0
для текущего конечного объёма; ∆lij обозначена длина стороны ij. Заметим, что
при таком выборе конечного объёма граничные условия Неймана (2) – (3) записываются без погрешности аппроксимации.
На барицентрических конечных объёмах [9] (рис. 2, б) функция потенциала
N
приближается на множестве базисных функций {Ψ n ( x, y )}n =1 , где N – количество
узлов сетки, полиномом
N
u h ( x, y ) = ∑ u n Ψ n ( x, y ) ,
(7)
n =1
в котором un – значение сеточной функции uh в n-й вершине сетки.
Каждая базисная функция, как и в МКЭ, задается локально на треугольной
ячейке сетки по узловым значениям, причем её значение не равно нулю только в
одной вершине треугольника. Рассмотрим треугольник ∆P0PmPm+1, m = 1, для каждой вершины запишется своя базисная функция:
Ψ (Pm )
0
1
x
1
( x, y ) =
1 xPm
2Sm
1 xPm +1
Ψ (Pm ) ( x, y ) =
m +1
y
yPm ,
yPm +1
1 xP0
1
1 xPm
2Sm
1 x
Ψ (Pm )
m
1 xP 0
1
( x, y ) =
x
1
2Sm
1 xPm +1
yP0
1
yPm , S m =
y
xP0
1
1 xPm
2
1 xPm +1
yP0
y ,
yPm +1
yP0
(8)
yPm ,
yPm +1
где Sm – площадь треугольника ∆P0PmPm+1, m = 1, 2,…,MP, MP – число треугольников вокруг точки P0. Для одного треугольника базисные функции в сумме дают
1. Тогда распределение потенциала на каждом треугольнике интерполируется линейной функцией, принимающей значения потенциала в его вершинах. Для
∆P0PmPm+1 в выражении (7) останутся только 3 ненулевые базисные функции,
u h ( x, y ) = u P0 Ψ (Pm ) ( x, y ) + u Pm Ψ (Pm ) ( x, y ) + u Pm +1 Ψ (Pm ) ( x, y ) . Кроме того, градиент по0
m
m +1
тенциала принимает постоянное значение на ∆P0PmPm+1. Если подставить градиент в интеграл по контуру (5) и проинтегрировать по участкам границы многоугольного объёма, которые проходят в ∆P0PmPm+1, то будет получен вклад в разностную формулу от этого треугольного элемента с постоянной проводимостью
σm. Схема для конечного объёма вокруг узла P0 (рис. 2, б) запишется в виде
MP
σ
∑ 4Sm
m =1
m
(
)
⎡ u P ( y P − y P ) 2 + ( xP − xP ) 2 +
⎣ 0
m
m +1
m +1
m
+u Pm ( ( yPm +1 − yP0 )( yPm − yPm +1 ) + ( xP0 − xPm +1 )( xPm +1 − xPm ) ) + (9)
+u Pm +1 ( ( yP0 − yPm )( yPm − yPm +1 ) + ( xPm − xP0 )( xPm +1 − xPm ) ) ⎤⎦ = 0,
где суммирование выполняется по всем треугольным элементам сетки с общей
вершиной P0, причем, когда значение индекса m в (9) больше Mp, то m = 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разностные схемы на основе метода конечных объёмов
31
На объёмах Дирихле – Вороного (рис. 2, в) используется другой способ аппроксимации производной в (5). Функция потенциала задается линейной функцией uh(x, y) = am(x−xP0) + bm(y−yP0)+uP0 по m-му треугольному элементу сетки:
am = ((uPm−uP0)(yPm+1−yP0) − (uPm+1−uP0)(yPm−yP0))/(2Sm),
bm = ((uPm+1−uP0)(xPm−xP0) − (uPm−uP0)(xPm+1−xP0))/(2Sm),
Sm = ((xPm−xP0)(yPm+1−yP0) − (xPm+1−xP0)(yPm−yP0))/2.
Градиент линейного потенциала принимает постоянное значение на ∆P0PmPm+1.
Тогда подстановка градиента и значения вектора внешней нормали к текущему
отрезку границы конечного объёма Дирихле в (5) даёт вклад в коэффициенты для
вершины P0 от ∆P0PmPm+1. Схема для конечного объёма (рис. 2, в) вокруг узла Р0
имеет вид
MP
⎡
m =1
2
2
⎣ ( xPm − xP0 ) + ( yPm − yP0 )
∑ σm ⎢⎢
u Pm − u P0
Rm Cm +
(10)
⎤
Cm Rm +1 ⎥ = 0,
+
⎥
( xPm +1 − xP0 ) 2 + ( yPm +1 − yP0 ) 2
⎦
где через Cm обозначена точка пересечения срединных перпендикуляров в
∆P0PmPm+1; Rm, Rm+1 – середины сторон P0Pm и P0Pm+1 соответственно. Под |·| подразумевается длина отрезка.
Интегральные соотношения (5) для граничных узлов на барицентрических
объёмах и объёмах Дирихле – Вороного аппроксимируются с использованием
значений производных от функции uh(x,y), взятых из краевых условий (2), (3). Каждое соотношение вносит вклад только в соответствующую компоненту правой
части СЛАУ. В схеме для треугольных конечных объёмов краевые условия (2), (3)
подставляются в криволинейный интеграл для граничных ячеек.
Поскольку в сеточных построителях нельзя гарантировать «правильность»
треугольных ячеек, МКО на ячейках Дирихле – Вороного может давать неоднозначные результаты. Если точка пересечения срединных перпендикуляров одного
из треугольников не лежит внутри, то в коэффициентах для вершин накапливается погрешность.
Решение задачи Неймана для эллиптического уравнения (1) – (3) определяется
с точностью до некоторой аддитивной постоянной [10], при практической реализации у решаемых СЛАУ отсутствует диагональное преобладание. Однако в измерительной системе ЭИТ всегда есть электрод заземления, который также считается точкой отсчёта распределения электрического потенциала в объекте. Этот
факт можно использовать для вычислительных целей и задавать на одном электроде условие Дирихле.
u Pm +1 − u P0
3.4. Исследование свойств численных схем
Запись соотношения (6), (9) или (10) на всей расчётной сетке приводит к разреженной симметричной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с
диагональным преобладанием относительно неизвестных сеточных значений потенциала при использовании условия Дирихле на одном из электродов. Числа
обусловленности систем зависят от размера сетки, порядка нумерации узлов,
свойств треугольных элементов сетки, распределения проводимости и т.п. На тес-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
32
товой сетке (рис. 1, в) число обусловленности равно 133 для конечно-объёмных
схем (9) и (10) и конечно-элементной системы, 1596 – для конечно-объёмной схемы (6) на однородной задаче (σ(x,y) = 1 См/м в Ω); 1428 и 7647 – на неоднородной
задаче (σ(x,y) = 5 См/м в круге радиуса r0 = 5 см и σ(x,y) = 1 См/м вне круга) соответственно. На тестовой сетке (рис. 1, б) получено число обусловленности 2,4·104
и 6,1·104 на однородной задаче, 3,9·104 и 2,6·105 – на неоднородной задаче соответственно.
Построенные конечно-объёмные схемы локально консервативны, так как на
любой грани, разделяющей соседние конечные объёмы, выходящий поток равен
входящему потоку. Локальная консервативность построенных разностных схем
позволяет говорить и об их интегральной консервативности: выполнении интегрального закона сохранения тока для всей области Ω. Именно выполнение этого
условия в разностном виде обеспечивает разрешимость полученных систем сеточных уравнений [11]. Устойчивость разностных схем (6), (9) и (10) доказывается с использованием мажоранты Гершгорина и принципа максимума [12].
3.5. Выбор численного метода решения СЛАУ
Для решения полученной СЛАУ были опробованы различные итерационные
методы: Якоби, Гаусса – Зейделя, верхней релаксации (SOR), методы подпространств Крылова BiCG и BiCGSTAB. В качестве критерия завершения итерационного процесса использовались условия малости невязки и ошибки (≤ε = 10−10).
Вычислительную устойчивость и высокую скорость сходимости на МКО- и МКЭсистемах сеточных уравнений продемонстрировал SOR со значением параметра
релаксации ω = 1,9. Этот метод выбран для дальнейших вычислений. Заметим,
что для МКО- и МКЭ-схем нет необходимости хранить матрицы коэффициентов
целиком. Методы решения СЛАУ были модифицированы для работы со сжатыми
данными, в которых записаны только ненулевые компоненты матриц.
4. Тестирование на задаче с аналитическим решением
Проведена серия экспериментов на задаче с аналитическим решением, в которых оценивалась точность полученных разностных методов. Рассматривалась
двумерная область Ω радиуса R с круговым включением радиуса r0 в центре
(рис. 1, а). Аналитическое решение для модели ЭИТ (1) – (3) с неоднородностью в
центре круга записывается в полярных координатах через ряд Фурье [13]:
⎧ ∞ 1 ⎛ r ⎞n
⎪ R ∑ Cn ⎜ ⎟ ( an cos ( nθ ) + bn sin ( nθ ) ) , 0 ≤ r ≤ r0 ,
⎪ n =1 n ⎝ R ⎠
u ( r ,θ ) = ⎨
(11)
−n
n
∞ 1⎛
⎛ r ⎞ + B ⎛ r ⎞ ⎞ a cos nθ + b sin nθ , r ≤ r ≤ R;
⎪R ∑
A
(
(
)
(
)
)
⎟ ⎟ n
0
n⎜
n
⎪⎩ n =1 n ⎝⎜⎜ n ⎜⎝ R ⎟⎠
⎝ R ⎠ ⎠⎟
Cn =
2
2n
, An =
1
(1 + s ) Cn , Bn = An − 1;
2
⎛r ⎞
1 + s − (1 − s ) ⎜ 0 ⎟
⎝R⎠
1 2π
1 2π
an = ∫ j ( θ ) cos ( nθ ) d θ, bn = ∫ j ( θ ) sin ( nθ ) d θ,
π 0
π 0
где j(θ) – распределение плотности тока по поверхности круга, s = σ1/σ2, σ1 – элек-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разностные схемы на основе метода конечных объёмов
33
трическая проводимость включения, σ2 – фоновая электрическая проводимость
круга.
Относительная погрешность вычислений определена через аналитическое решение по формуле
err =
h
h
unum
− uan
uan_max − uan_min
× 100 %,
где uhnum – электрический потенциал, найденный численным методом, uhan – аналитическое решение (11), uan_max, uan_min – максимальное и минимальное значение
аналитического потенциала в области Ω соответственно.
Тест 1. Первая группа тестов выполнена на сетке (рис. 1, в), представленной в
статье G. Dong и др. [8], где авторы провели сравнение МКЭ- с МКО-подходом,
разработанным на барицентрических конечных объёмах. Авторы не упоминают
использование базисных функций (8), но говорят о линейной интерполяции потенциалов по треугольным элементам сетки. Вывод формул конечно-объёмной
схемы и детали аналитического решения для тестов в [8], в основном, упущены.
Отдельным пунктом выделено различие обработки граничных условий в МКО- и
МКЭ-подходах, когда сила тока задается на точечных электродах. Численные
эксперименты выполнены на однородном круге с постоянной проводимостью.
Относительная погрешность находится в пределах 0,3 % для МКО и 0,5 % для
МКЭ в большинстве граничных и внутренних узлов. Точки 1 и 13, где задавались
граничные условия, были исключены из сравнения со ссылкой на сингулярность
аналитического решения в этих точках и бесконечное значение потенциала в них.
Максимальная относительная ошибка вблизи этих точек возрастает до 2,56 % для
МКО и 7,4 % для МКЭ [8].
В настоящей работе приведены результаты сравнения МКО с тремя вариантами выбора конечного объёма (рис. 2) и МКЭ на однородном объекте. Тесты выполнены для круга радиуса R = 13 см. Для однородного случая электрическая
проводимость задавалась σ = 1 См/м. Электрический ток инжектируется на паре
узлов 1−13 (рис. 1, в), плотность тока J1 = 1 А/м2, J13 = −1 А/м2. Вычисленная
функция электрического потенциала сравнивается с аналитическим решением
(11) в граничных узлах 1−24 и промежуточных узлах вдоль оси Оx между точками
1 и 13.
Конечно-объёмные схемы (9) и (10) дают схожее приближенное решение, которое проиллюстрировано графиками (рис. 3). На графиках приводится аналитическое и численное решение в граничных узлах (рис. 3, а), а также вдоль сечения
области осью Ох (рис. 3, б). Относительная погрешность методов находится в
пределах 0,25 % в граничных точках и 1 % – во внутренних точках вдали от электродов. Аппроксимация граничных условий приводит к погрешности до 2,75 % в
узлах, относящихся к электродам. Подобные результаты объясняются тем, что
распределение потенциала на каждом элементе сетки использует линейную интерполяцию потенциала в узлах. Матрицы коэффициентов схожи на одинаковой
сетке, СЛАУ отличаются правой частью, поскольку граничные условия обрабатываются по-разному.
Также были проведены расчёты МКЭ для однородного круга. Относительная
погрешность метода сохраняется на том же уровне. Вариационная формулировка
МКЭ для задачи Неймана (1) – (3) получена по [14, 15] на конечномерном подпространстве U h ∈ H 1 (Ω) , где приближенное решение uh может быть представ-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
34
лено в виде линейной комбинации кусочно-линейных базисных функций (7). Решая составленные сеточные уравнение для метода Галеркина относительно uh,
находим приближение электрического потенциала в узлах расчётной сетки.
Приближённое решение по МКО на треугольных конечных объёмах получено
в центрах масс треугольных ячеек. Для сравнения с аналитическим решением на
границе области ∂Ω численное решение интерполировалось из центров треугольников в граничные точки по направлению перпендикуляра с использованием
разложения в ряд Тейлора. На графиках (рис. 3) метод по схеме (6) демонстрирует
относительную погрешность до 0,75 % в граничных точках, где нет контакта с
электродами, и 5,06 % – на электродах. Электрический потенциал вдоль сечения
1−13 интерполируется по значениям, которые вычислены в паре смежных объёмов, имеющих общую сторону на оси Ох. Относительная погрешность вдоль сечения составляет 0,17 % во внутренних узлах, а максимальное значение ошибки
1,49 % находится вблизи электродов 1 и 13.
6
6
а
2
0
-2
-4
-6
0
1
2
3
4
Угол, рад
5
6
7
0
-2
-4
-6
-15 -10
6
в
2
1
2
3
4
Угол, рад
-5
Аналитическое решение
МКО, барицентрические ячейки
МКО, треугольные ячейки
4
0
2
Относительная ошибка, %
Относительная ошибка, %
6
б
4
Потенциал ⋅ 100, В
Потенциал ⋅ 100, В
4
5
6
7
0
5
х, см
10
15
5
0
х, см
10
15
г
4
2
0
-15 -10
-5
Рис. 3. Сравнение приближенного МКО-решения с аналитическим на круге для случая
однородного объекта с точечными электродами: а, б – распределение приближенного и
аналитического решения по внешней границе круга и по сечению y = 0; в, г – относительная погрешность вычислений
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разностные схемы на основе метода конечных объёмов
35
Тест 2. В другой серии экспериментов конечно-объёмные разностные схемы
(6), (9) и (10) протестированы на модели с электродами размером 2 см (рис. 1, а)
для случая однородного и неоднородного объекта. Тесты выполнены для круга
радиуса R = 13 см с внутренним включением размером r0 = 5 см. Когда рассматривался однородный случай, электрическая проводимость задавалась как в тесте
1. В экспериментах с неоднородным объектом проводимость включения и фона
задавалась σ1 = 5 См/м и σ2 = 1 См/м соответственно. Расчёты выполнены на сетке
4186 элемент (рис. 1, б). Плотность тока задана на паре диаметрально размещённых электродов e1 и e9, J1 = 1 А/м2, J13 = −1 А/м2.
На графиках (рис. 4) аналитическое решение задачи сравнивается с численным
МКО-решением для схемы на барицентрических объёмах. Приближенное решение по схемам (9) и (10) незначительно отличается друг от друга и от МКЭ решения в граничных узлах, расположенных вдали от активной пары электродов, что
может быть проиллюстрировано графиком (рис. 4, а). Относительная погрешность в граничных узлах находится на уровне 0,01 % с отклонением до 0,34 % в
узлах, относящихся к электродам. Вдоль сечения объекта осью Ох аналитическое
решение сравнивается с вычисленной функцией потенциала, которая интерполируется в 100 промежуточных точках (рис. 4, б). Относительная ошибка достигает
0,8 % внутри объекта и увеличивается до 4,5 % на границе, что можно объяснить
неточностью интерполяции.
Результаты для конечно-объёмной разностной схемы (6) показали, что в граничных точках относительная погрешность возрастает до 0,9 % в местах контакта
активных электродов и держится на уровне 0,2−0,4 % на участках, граничащих с
воздухом. На поперечном сечении круга относительная ошибка – до 1,5 % во
внутренних точках и 5 % вблизи электродов.
3
МКО, однородный диск
Аналитическое решение, однородный
МКО, неоднородный диск
Аналитическое решение, неоднородный
а
б
2
Потенциал ⋅ 100, В
2
Потенциал ⋅ 100, В
3
1
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
Угол, рад
5
6
7
1
0
-1
-2
-3
-15 -10
-5
5
0
х, см
10
15
Рис. 4. Сравнение приближенного МКО-решения с аналитическим решением на круге для
случая однородного и неоднородного объекта при пропускании тока через электроды
e1 − e9: а – распределение потенциала по внешней границе круга; б – распределение потенциала вдоль сечения y = 0
При проведении расчётов для прямой задачи ЭИТ с неоднородным кругом
видно, что профиль функции потенциала изменяется, когда электрический ток
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
36
проходит через неоднородность. Математическая модель (1) – (3) пригодна для
изучения изотропных объектов и ограничивается случаем идеального контакта
электродов.
Тест 3. Выполнены расчёты на группе измельчающихся сеток одинакового качества на задаче с неоднородной проводимостью. Более детальные сетки получены разделением треугольных элементов на четыре части. Чтобы сохранить качество сетки, в исходном треугольнике соединялись середины сторон, и образовывалось 4 новых треугольных элемента. Результаты для конечно-объёмных схем и
метода конечных элементов приведены в таблице и говорят о численной сходимости методов на последовательности сеток с уменьшающимся шагом.
Относительная ошибка конечно-объемных разностных схем
и метода конечных элементов
Номер
схемы*
1
2
3
4
Размер сетки,
ячеек
790
3160
12640
790
3160
12640
790
3160
12640
790
3160
12640
Относительная ошибка, %
По всей области
По граничным узлам
Максимум
Среднее
Максимум
Среднее
3,202
0,256
3,202
0,300
2,382
0,211
2,382
0,292
1,795
0,159
1,795
0,230
1,156
0,060
1,156
0,101
0,347
0,059
0,347
0,067
0,292
0,064
0,292
0,064
1,157
0,059
1,157
0,101
0,345
0,058
0,345
0,066
0,290
0,063
0,290
0,063
1,156
0,060
1,156
0,101
0,347
0,059
0,347
0,067
0,292
0,064
0,292
0,064
* Обозначения: конечно-объёмная схема для треугольных конечных объёмов – 1, для барицентрических конечных объёмов – 2, для конечных объёмов Дирихле – Вороного – 3, метод конечных элементов – 4.
6. Заключение
Для численного решения прямой задачи электроимпедансной томографии на
неструктурированных сетках построены конечно-объёмные аппроксимации. В качестве конечных объёмов выбирались барицентрические ячейки, ячейки Дирихле
– Вороного, треугольные конечные объёмы. Исследование аппроксимационных
свойств полученных разностных схем затруднено вследствие нерегулярной структуры вычислительной сетки. Устойчивость разностных схем доказывалась с использованием принципа максимума и мажоранты Гершгорина. Сходимость проверялась численно на последовательности сеток с кратно уменьшающимися размерами ячеек. На основе сравнительного анализа получаемых численных решений по построенным разностным схемам с точным решением модельной задачи
для однородного и неоднородного дисков и с численным решением на основе метода конечных элементов установлено, что высокую точность расчётов (сравнимую с МКЭ) обеспечивают разностные схемы на барицентрических ячейках,
ячейках Дирихле – Вороного. Несколько худшие результаты, тем не менее с высокой точностью, показывает разностная схема на треугольных конечных объё-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разностные схемы на основе метода конечных объёмов
37
мах, которая позволяет без погрешности аппроксимации учесть граничные условия Неймана.
Для решения прямой задачи ЭИТ разработан комплекс программ на языке
C/C++.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пеккер Я.С., Бразовский К.С., Усов В.Ю. и др. Электроимпедансная томография. Томск:
Изд-во НТЛ, 2004. 192 с.
2. Lionheart W., Polydorides N., Borsic A. Electrical Impedance Tomography: Methods, History
and Applications. Manchester, 2004. 62 p.
3. Brown B.H. Electrical impedance tomography (EIT): a review // J. Med. Eng. Technol. 2003.
V. 27. No. 3. P. 97–108. doi: 10.1080/0309190021000059687.
4. Holder D.S. Medical impedance tomography and process impedance tomography: a brief review // Meas. Sci. Technol. 2001. V. 12. P. 991–996.
5. Barber D.C., Brown B.H. Applied Potential Tomography // J. Phys. E: Sci. Instrum. 1984.
V. 17. No. 9. P. 723–733. doi:10.1088/0022-3735/17/9/002.
6. Somersalo E., Cheney M., Isaacson D. Existence and uniqueness for electrode models for
electric current computed tomography // SIAM J. Appl. Math. 1992. V. 52. No. 4. P. 1023–
1040.
7. Шерина Е.С., Старченко А.В. Численный метод реконструкции распределения электрического импеданса внутри биологических объектов по измерениям тока на границе
// Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012.
№ 4(20). С. 36–49.
8. Dong G., Zou J., Bayford R.H., et al. The comparison between FVM and FEM for EIT forward problem // IEEE Trans. Magnetics. 2005. V. 41. No. 5. P. 1468–1471. doi: 10.1109/
TMAG.2005.844558.
9. Li J., Yuan Y. Numerical simulation and analysis of generalized difference method on triangular networks for electrical impedance tomography // App. Math. Modelling. 2009. V. 33.
No. 5. P. 2175–2186.
10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.
11. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 608 с.
12. Крылов В.И., Бобков В.В., П Монастырный.И. Вычислительные методы. М.: Наука,
1977. 399 с.
13. Isaacson D. Distinguishability of conductivities by electric current computed tomography //
IEEE Trans. Medical Imaging. 1986. V. 5. No. 2. P. 91–95.
14. Vauhkonen M. Electrical impedance tomography and prior information. PhD. Kuopio, 1997.
110 p.
15. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач
математической физики. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. 120 с.
Статья поступила 14.04.2014 г.
Sherina E.S., Starchenko A.V. FINITE VOLUME SCHEMES FOR THE ELECTRICAL IMPEDANCE TOMOGRAPHY PROBLEM. In electrical impedance tomography, the currents are
applied on electrodes placed on the surface of an object. The electrical conductivity is reconstructed in the interior of the object using voltage measurements on its surface. Knowing the conductivity distribution provides information about the internal object's structure which can be useful for medical and industry applications. Instability of the EIT problem causes difficulties challenging a successful reconstruction. Since a static EIT imaging is sensitive to the measurement
noise and approximation errors, this paper addresses the problem of reducing the latter. The finite
volume method is presented for solving the EIT forward problem, which is a significant part of
the inverse problem. Finite volume schemes were obtained for unstructured grids. The schemes
were derived for three kinds of finite volumes, which can be considered relative to triangulation
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
of the domain. The approaches are based on vertex-centered and cell-centered discretization,
where the numerical solution is associated with mesh vertices or mesh elements, respectively. In
the first case, a finite volume approximation was introduced on barycentric volumes and Dirichlet
– Voronoi volumes on the assumption of a linear distribution of electric potential. Triangular finite volumes were utilized for approximation based on cell-centered discretization. Both cases
suggested a piecewise constant conductivity distribution over grid cells. Numerical comparison
for the obtained finite volume schemes was carried out on a test problem that can be solved analytically. The results were compared to a solution by the finite element method.
Keywords: electrical impedance tomography, finite volume method, finite element method, difference schemes, unstructured meshes
Sherina Ekaterina Sergeevna (M. Sc., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: sherina@math.tsu.ru
Starchenko Aleksandr Vasilyevish (Doctor of Physics and Mathematics, Prof., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: starch@math.tsu.ru
REFERENCES
1. Pekker Ya.S., Brazovskiy K.S.,. Usov V.Yu, Plotnikov M.P., Umanskiy O.S. Elektroimpedansnaya tomografiya. Tomsk, NTL Publ., 2004. 192 p. (in Russian)
2. Lionheart W., Polydorides N., Borsic A. Electrical Impedance Tomography: Methods, History and Applications. Manchester, 2004. 62 p.
3. Brown B.H. Electrical impedance tomography (EIT): a review (2003) J. Med. Eng. Technol.
V. 27. No 3, pp. 97–108. doi: 10.1080/0309190021000059687.
4. Holder D.S. Medical impedance tomography and process impedance tomography: a brief review (2001) Meas. Sci. Technol. V. 12, pp. 991–996.
5. Barber D.C., Brown B.H. Applied Potential Tomography (1984) J. Phys. E: Sci. Instrum.
V. 17. No. 9, pp. 723–733. doi:10.1088/0022-3735/17/9/002.
6. Somersalo E., Cheney M., Isaacson D. Existence and uniqueness for electrode models for
electric current computed tomography (1992) SIAM J. Appl. Math. V. 52. No. 4, pp. 1023–
1040.
7. Sherina E.S., Starchenko A.V. Chislennyy metod rekonstruktsii raspredeleniya elektricheskogo impedansa vnutri biologicheskikh ob"ektov po izmereniyam toka na granitse
(2012) Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika.
No. 4(20), pp. 36–49. (in Russian)
8. Dong G., Zou J., Bayford R.H., Xinshan M., Shangkai G., Weili Y., Manling G. The comparison between FVM and FEM for EIT forward problem (2005) IEEE Trans. Magnetics.
V. 41. No. 5, pp. 1468–1471. doi: 10.1109/TMAG.2005.844558.
9. Li J., Yuan Y. Numerical simulation and analysis of generalized difference method on triangular networks for electrical impedance tomography (2009) App. Math. Modelling. V. 33.
No. 5, pp. 2175–2186.
10. Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki. Moscow, Nauka Publ.,
1977. 735 p.
11. Marchuk G.I. Metody vychislitel'noy matematiki. Moscow, Nauka Publ., 1989. 608 p. (in
Russian)
12. Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrnyy P.I. Vychislitel'nye metody. Moscow, Nauka Publ.,
1977. 399 p.
13. Isaacson D. Distinguishability of Conductivities by Electric Current Computed Tomography
(1986) IEEE Trans. Medical Imaging. V. 5. No. 2, pp. 91–95.
14. Vauhkonen M. Electrical impedance tomography and prior information. PhD. Kuopio, 1997.
110 p.
15. Royak M.E., Soloveychik Yu.G., Shurina E.P. Setochnye metody resheniya kraevykh zadach
matematicheskoy fiziki. Novosibirsk: NGTU Publ., 1998. 120 p. (in Russian)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
МЕХАНИКА
УДК 532.5.031
О.А. Арбит
О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖЕВОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Показывается, что координаты частиц жидкости и давление можно выразить
через одну произвольную функцию ψ так, что условие несжимаемости будет выполнено при любом ее выборе. Введение такой функции в качестве
искомой величины существенно облегчает получение аналитических и численных решений уравнений гидродинамики, записанных в переменных Лагранжа.
Ключевые слова: уравнение движения в форме Лагранжа, функциональные
определители, волны Герстнера.
1. Уравнения Лагранжа
Течение несжимаемой жидкости можно записывать в переменных Эйлера или
в переменных Лагранжа. Обе формы этих уравнений были известны давно, но
гидродинамики обычно предпочитают пользоваться переменными Эйлера. Это
объясняется необычностью уравнений Лагранжа. В них нелинейные члены входят
в форме, которая неудобна для расчетов и аналитических выкладок. Так, для двумерной задачи уравнения Лагранжа записываются в виде
∂x
∂y
∂ ⎛p
∂y
∂ ⎛p
⎞ ∂x
⎞
x+
y = − ⎜ + gy ⎟ ,
x+
y = − ⎜ + gy ⎟ .
(1)
∂a
∂a
∂a ⎝ ρ
∂
b
∂
b
∂
b
ρ
⎠
⎝
⎠
Предполагается, что сила тяжести является единственной внешней силой.
К уравнениям (1) добавляется условие несжимаемости в виде детерминанта, который должен быть равен единице:
∂x ∂y ∂x ∂y
−
= 1.
(2)
∂a ∂b ∂b ∂a
Искомыми величинами являются функции x ( a, b, t ) , y (a, b, t ) и p ( a, b, t ) , которые должны определяться из системы трех дифференциальных уравнений (1),
(2). Дополнительными условиями являются граничные условия, условия на свободной поверхности и начальные данные. Независимыми переменными являются
параметры a и b , которые позволяют различать частицы.
Система уравнений Лагранжа все еще недостаточно исследована с математической точки зрения. В классических работах [1, 2] этим уравнениям посвящены
не более трех небольших параграфов. Из точных решений известна только волна
Герстнера, распространяющаяся над бесконечно глубокой жидкостью. В задачах о
разрушении плотины или о всплывании пузыря [3] предполагается существование
решения в виде степенных рядов по времени с коэфициентами, зависящими от a и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40
О.А. Арбит
b. Сходимость для этих рядов не была изучена, но кажется правдоподобным, что
они сходятся, по крайней мере, для достаточно малых промежутков времени.
В последней из известных нам работ [4] переменные Эйлера и переменные
Лагранжа используются одновременно в глубокой связи друг с другом. Но и в ней
не делается попыток исключения условия несжимаемости (2) из уравнений Лагранжа с целью уменьшения числа искомых переменных величин. Поэтому в настоящей статье показывается, что условие несжимаемости (2) можно выполнить
автоматически, если координаты частицы x ( a, b, t ) и y (a, b, t ) выразить через одну и ту же произвольную функцию, зависящую от координат и времени. В переменых Лагранжа такая функция играет ту же роль что и функция тока в переменных Эйлера.
2. Условие несжимаемости
Переменные a и b не обязательно должны обозначать начальные положения
частиц жидкости. Вместо них можно применять и другие величины α и β , которые также являются координатами Лагранжа и изменяются непрерывно при переходе от одной частицы к другой. Уравнения движения (1) при этом не изменятся,
а условие несжимаемости (2) в переменных α и β примет следующий вид:
∂ ( x, y ) ∂ ( a , b )
=
.
∂ ( α , β) ∂ ( α , β )
(3)
Для уравнения (3) можно дать решение, содержащее произвольную функцию.
Для этого целесообразно рассматривать величины x , y и a , b одновременно
как функции двух параметров α и β . Тогда решение уравнения (3) с помощью
функции ψ (α, β, t ) может быть представлено в следующем виде:
x = α + ψβ ,
y = β − ψα ;
(4)
a = α − ψβ ,
b = β + ψα .
(5)
Действительно, вычисляя функциональные определители (3) отдельно для левой и правой частей с помощью выражений (4) и (5), имеем
1 + ψ αβ −ψ αα 1 − ψ αβ
ψ αα
2
=
= 1 − ψ αβ
+ ψ αα ψββ .
(6)
ψββ
1 − ψ αβ
−ψββ 1 + ψ αβ
Таким образом, преобразования (4) и (5) автоматически выполняют условие
несжимаемости при любом выборе функции ψ (α, β, t ) . Допустим, например, что
область переменных α и β является прямоугольной: 0 < α < π , − h < β < 0 и
функция ψ (α, β) имеет вид
ψ ( α, β ) = τ sin 2α
sh 2(β + h)
.
ch 2h
(7)
На рис. 1 показано как выглядят линии постоянных значений α, β и a, b в
плоскости x, y , вычисленные по формулам (4), (5) и (7) для параметров τ = 0,1 ,
h = 1. Видно, что сетка координат частиц жидкости имеет разный вид в переменных α, β и a, b .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разностные схемы на основе метода конечных объёмов
у
у
α = const
β = const
a = const
b = const
0,5
0,5
0
0
-0,5
-0,5
-1
0
1
41
2
х
-1
0
1
2
х
Рис. 1. Пример расчета координат частиц жидкости в плоскостях α, β и a, b
3. Уравнения движения
После введения функции ψ (α, β, t ) отпадает необходимость в выполнении условия несжимаемости (2). Поэтому два уравнения движения (1) служат теперь для
определения функции ψ и давления. В переменных α и β уравнения движения
(1) записываются в виде
∂x
∂y
∂ ⎛p
∂y
∂ ⎛p
⎞ ∂x
⎞
x+
y=−
x+
y = − ⎜ + gy ⎟ .
(8)
⎜ + gy ⎟ ,
∂α
∂α
∂α ⎝ ρ
∂β
∂β ⎝ ρ
⎠ ∂β
⎠
Если в них подставить величины x и y , выраженные через функцию ψ по
формулам (4), то система уравнений (8) преобразуется к виду
ψ αβ −ψ α
ψ αβ −ψβ
(9)
ψβ − g ψ αα +
= −Φα , −ψ α − g ψ αβ +
= − Φβ .
ψ αα ψβ
ψββ ψ α
Здесь Φ = p / ρ + gβ и нелинейные члены записаны в виде детерминантов. Посредством дифференцирования можно исключить правую часть Φ из системы
уравнений (9). Тогда получаем, что функция ψ должна удовлетворять дифференциальному уравнению
∂ (ψ α , ψ α ) ∂ (ψ β , ψ β )
(10)
ψ αα + ψββ +
+
= 0.
∂ ( α , β)
∂ ( α , β)
Из него видно, что имеется первый интеграл
∂ (ψ α , ψ α ) ∂ (ψ β , ψ β )
ψ αα + ψββ +
+
= S ( α , β) ,
∂ ( α , β)
∂ ( α , β)
(11)
где S (α, β) не зависит от времени.
Если известна какая-либо функция ψ (α, β, t ) , удовлетворяющая уравнению
(10) с подходящими граничными условиями на твердых стенках, то поиск давления из системы уравнений (9) сводится к решению уравнения Пуассона. В таких
случаях обычно получается точное решение. Но возможны и приближенные математические модели, основанные на линеаризации уравнений (9), (10) или на
теории «мелкой воды», как это обычно делается в уравнениях, записанных в переменных Эйлера. В любом случае применение функции ψ существенно упрощает решение прикладных задач, описываемых системой уравнений вида (1) и (2).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.А. Арбит
42
4. Пример точного решения
Решая задачу о стоячих волнах в слое жидкости, возьмем область переменных
Лагранжа в виде бесконечной полосы: −∞ < α < ∞ , − h < β < 0 , у которой нижнему краю (β = − h) соответствует твердая стенка. Верхнюю сторону полосы (β = 0)
будем считать свободной поверхностью, давление на которой равно нулю в любой момент времени. Пусть функция ψ содержит зависящий от времени множитель f (t ) . Тогда нелинейные члены в уравнении (10) обращаются в нуль и, следовательно, функция ψ удовлетворяет уравнению Лапласа. Запишем ее в виде
ψ ( α, β, t ) = f (t ) cos k α
sh k (β + h)
k 2 ch kh
,
(12)
где k = 2π / λ , λ – длина волны. На твердой стенке величина y = − h − ψ α имеет
постоянное значение, вследствие чего функция ψ α обращается в нуль. Подстановка (12) в систему уравнений (9) приводит ее к виду
cos k α ⎡ ch k (β + h)
sh k (β + h)
f
+ gk
⎢
ch kh
ch kh
k ⎣
f ⋅ f sin 2k α
f ⎤⎥ −
= −Φ α ,
⎦ 2k ch 2 kh
sin k α ⎡ sh k (β + h)
ch k (β + h) ⎤ f ⋅ f sh 2k (β + h)
f
+ gk
f ⎥−
= − Φβ .
(13)
ch kh
ch kh
k ⎣⎢
⎦ 2k
ch 2 kh
Из этих уравнений требуется найти поле давления Φ и конкретизировать вид
функции f (t ) , исходя из условия постоянства давления на свободной поверхности. В левой части уравнений (13) содержатся в виде множителей как сама функция f (t ) , так и произведение функций f ⋅ f . Искомая функция Φ = Φ1 + Φ 2 также должна представляться в виде суммы двух слагаемых с такими же множителями. Дифференцируя первое из уравнений (13) по α , второе по переменной β и
складывая их, получим краевые задачи для получения величин Φ1 и Φ 2 :
Φ1αα + Φ 2ββ = 0, Φ1 ( α, 0, t ) = 0, Φ1β ( α, − h, t ) = − gf ( t )
Φ 2αα + Φ 2ββ = − f ⋅ f
ch 2k ( β + h ) − cos 2k α
ch 2 kh
sin k α
;
ch kh
(14)
, Φ 2 ( α, 0, t ) = 0, Φ 2β ( α, − h, t ) = 0. (15)
Граничное условие постоянства давления Φ1 ( α, 0, t ) = 0 для функции Φ1 означает, что функция f (t ) является решением дифференциального уравнения
f + gktg kh ⋅ f = 0 ,
(16)
то есть слой жидкости колеблется с частотой ω2 = gktg kh и с безразмерной амплитудой ε , отнесенной к длине волны. Граничные задачи (14) и (15) легко решаются и, учитывая равенство Φ = p / ρ + gβ , получаем, что поле давлений имеет
следующий вид:
p
sin k α sh k β f ⋅ f ch 2k ( β + h ) − ch 2kh ⎛ cos 2k α ⎞
= − gβ − gf ( t )
−
⎜1 −
⎟.
ρ
k ch 2 kh 4k 2
ch 2kh ⎠
⎝
ch 2 kh
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разностные схемы на основе метода конечных объёмов
43
Аналогичным способом решается задача для бегущей волны. В этом случае
функция ψ , скорость волны c и поле давления определяются выражениями
ψ ( α, β, t ) = ε
cos k (α − ct ) sh k (β + h)
tg kh
, c2 = g
,
2
ch kh
k
k
sin k ( α − ct ) sh k β
ch 2k ( β + h ) − ch 2kh ⎛ cos 2k (α − ct ) ⎞
p
= − gβ − g ε
+ ε2c2
⎜1 −
⎟ . (18)
2
ρ
k
ch 2kh
⎝
⎠
ch kh
4ch 2 kh
На рис. 2 показаны вычисленные по формулам (4) и (18) профиль бегущей
волны и линии постоянного давления в слое жидкости конечной глубины.
β
у
p/(gρ) = const
-0,2
-0,2
-0,6
-0,6
-1
β = const
0
5
10
15
x
-1
0
5
10
15
α
Рис. 2. Профиль бегущей волны и линии равного давления
в слое жидкости конечной глубины
Формулы (17) и (18) являются обобщением волн Герстнера на случай слоя
жидкости конечной глубины h . Траектории жидких частиц являются вытянутыми по горизонтали эллипсами. Для слоя жидкости бесконечной глубины, когда
h → ∞ , частицы жидкости движутся по окружностям и давление постоянно на
каждой линии β = const .
ЛИТЕРАТУРА
1. Ламб Г. Гидродинамика: пер. с англ. М.: Гостехиздат, 1947. 929 с.
2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. I. М.: Физматгиз,
1963. 584 с.
3. Дж. Стокер. Волны на воде: пер. с англ. М.: ИЛ, 1959. 618 с.
4. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. Вихревая динамика в лагранжевом описании. М.: Физматлит, 2006. 176 с.
Статья поступила 17.04.2014 г.
Arbit O.A. ON SOLVING EQUATIONS OF LAGRANGIAN HYDRODYNAMICS. The paper
shows that coordinates of liquid particles and pressure can be expressed in terms of one arbitrary
function ψ so that the incompressibility condition is satisfied for any choice of this function. Introducing this function features as the unknown one significantly simplifies obtaining analytical
and numerical solutions of the hydrodynamic equations written in Lagrangian variables. An incompressible flow can be written in Eulerian or Lagrangian variables. Both forms of these equations have been known for a long time but scientists usually prefer to use the Euler variables. This
is explained by the unusualness of Lagrange equations. They include nonlinear terms in a form
that is inconvenient for numerical and analytical calculations. Until now, hydrodynamicists did
not try to exclude the incompressibility condition from the Lagrange equations with the aim of reducing the number of unknown variables. Therefore, in this paper we show that the incompressi-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44
О.А. Арбит
bility condition can be satisfied automatically if the particle coordinates x(a, b, t) and y(a, b, t) are
expressed in terms of the same arbitrary function of coordinates and time. In Lagrangian variables, such a function plays the same role as the function of the current in Euler variables. In this
paper, as an example of the exact solution, a solution of the problem of standing waves in a liquid
layer is presented. The problem is solved using Lagrange variables. To do this, it is necessary to
select an area of the Lagrangian variables in the form of an infinite strip the lower edge of which
corresponds to a solid wall. Similarly, the problem is solved for a traveling wave.
Keywords: equation of motion in Lagrangian variables, functional determinants, Gerstner waves.
Arbit Olga Anatol’evna (M.Sc., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: shamak.olya@yandex.ru
REFERENCES
1. Lamb G. Gidrodinamika. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1947. 929 p (in Russian)
2. Kochin N.E., Kibel' I.A., Roze N.V. Teoreticheskaya gidromekhanika, P. I. Moscow,
Fizmatgiz Publ., 1963. 584 p. (in Russian)
3. Stoker J.J. Water waves. The mathematical theory with applications. Interscience Publ., 1957
4. Abrashkin A.A., Yakubovich E.I. Vikhrevaya dinamika v lagranzhevom opisanii. Moscow,
Fizmatlit Publ., 2006. 176 p. (in Russian)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
УДК 532.5
К.А. Гаврилов, В.А. Демин, Е.А. Попов
ДВИЖЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ПЛЮМОВ
В ТОНКОМ ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ
Проведено трехмерное численное моделирование всплытия и взаимодействия
плюмов вязко-нетеплопроводного типа в тонком вертикальном слое, подогреваемом снизу несколькими локализованными источниками тепла. Показано, что температурное поле подобных плюмов медленно рассасывается в
поперечном сечении ножки по сравнению с конвективным переносом тепла
в направлении струйного движения. Дано объяснение взаимодействию плюмов друг с другом и с близлежащей узкой вертикальной гранью полости.
Ключевые слова: взаимодействие тепловых плюмов, тонкий вертикальный слой, 3D-численное моделирование.
Струйное конвективное движение в массиве жидкости, порождающее тепловой плюм, как правило, представляет собой эволюционирующий конвективный
факел от сосредоточенного источника тепла [1]. Его внутренняя область всегда
имеет отличную от остальной жидкости температуру, что позволяет устанавливать качественно границы плюма и классифицировать их по форме. В зависимости от соотношения вязкости и теплопроводности среды окружающая жидкость в
определенной степени также оказывается вовлеченной в конвективное движение,
что собственно и создает характерное грибообразное тепловое поле, называемое в
зарубежной литературе тепловым плюмом. В естественных условиях с тепловыми плюмами часто приходится сталкиваться в геологических приложениях. Конвективные грибообразные структуры, возникающие в магматических расплавах,
характеризуются гигантскими числами Прандтля, однако вследствие универсальности природы плюмов всегда можно подобрать эквивалентные в определенном
смысле жидкости для экспериментального исследования в лабораторных условиях каких-то явлений, которые наблюдаются в естественных условиях в средах с
экстремальными значениями параметров.
В работе [2] для вязкой жидкости с большим числом Прандтля порядка 103
представлены результаты экспериментального исследования развитого конвективного плюма в кубической полости от точечного источника тепла, эволюционирующего на фоне ячеистого конвективного течения. Показано, что при собственной скорости роста плюма, близкой к характерной скорости конвективного
движения, он может приобретать форму плоской спирали с закруткой в вертикальной плоскости. Формирование спиральной структуры происходит в результате взаимодействия плюма, вытягивающегося в момент зарождения от локализованного источника тепла вертикально вверх, с циркуляционным одновихревым
конвективным течением.
Из теневых фотографий, представленных в [2], видно, что температура в ближайшей окрестности струи плюма ведет себя как пассивная примесь, подчиняясь
уравнению неразрывности. Несмотря на это при обсуждении результатов приводится довольно спорная аналогия, согласно которой между горячей и холодной
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46
К.А. Гаврилов, В.А. Демин, Е.А. Попов
областями жидкости внутри и вне ножки формируется поверхность раздела с определенной площадью, величина которой практически не меняется по мере удлинения плюма. Далее утверждается, что хотя видимых причин для возникновения
на ней поверхностного натяжения нет, наблюдения показывают, что площадь границы раздела стремится к минимальной. В результате граница раздела головки
плюма имеет в момент возникновения полусферическую форму, а ножка стремится быть цилиндрической. Различные участки развитого спирального плюма при
приближении друг к другу не сливаются, а как бы отталкиваются, демонстрируя
поведение, которое было бы объяснимо, если бы на границе раздела было поверхностное натяжение. С точки зрения авторов работы [2], поверхностным натяжением можно было бы объяснить и плоскую спиральную форму растущего плюма,
поскольку при переходе от плоской спирали к пространственной увеличивается ее
площадь.
Судя по приведенным в [2] значениям рабочих чисел Рэлея, плюм, изучавшийся экспериментально теневым методом, по-видимому, должен относиться к классу вязко-нетеплопроводных режимов всплытия. Принадлежность к данной категории определяется из диаграммы, которая впервые была получена в [3] для двумерных плюмов в ходе прямого численного моделирования конвекции от идеализированного линейного источника тепла. Первоначально эта карта режимов была
получена в плоскости параметров Пекле и Рейнольдса, однако позднее она была
пересчитана в более удобных терминах чисел Рэлея и Прандтля и разносторонне
проанализирована в монографии [1]. Применительно к тонкому вертикальному
слою с сильным гидродинамическим трением на широких боковых гранях подобная классификация плюмов в 3D-постановке была развита в [4].
Будучи вязко-нетеплопроводным, спиральный плюм, наблюдавшийся в [2],
должен характеризоваться тонкой температурной и широкой «гидродинамической» ножкой. Выяснить характерную «вязкую» толщину ножки плюма из работы
невозможно, так как поле скоростей в объеме жидкости отдельно не измерялось.
Визуализировалось только поле температуры. На основе представленных ниже
данных численных расчетов хотелось бы дать иную интерпретацию изложенных в
[2] экспериментальных результатов, согласно которым отдельные участки спирального плюма при определенных условиях имеют тенденцию к отталкиванию и
не желают сливаться.
Для выяснения причин подобного поведения изучим методом прямого численного моделирования движение и взаимодействие плюмов, порождаемых несколькими локализованными источниками тепла в тонком вертикальном слое при
подогреве снизу. Покажем, что в рамках другой более простой геометрии (на
примере нескольких ножек разных плюмов вязко-нетеплопроводного типа) наблюдаются точно такие же эффекты вмороженности теплового поля в струйное
течение и отмеченное поведение имеет иное объяснение. А именно, отсутствует
необходимость привлечения понятия поверхностного натяжения на тепловых
фронтах.
Характеристика платформы OpenFOAM
Платформа OpenFOAM представляет собой программное обеспечение для
численного решения задач механики сплошных сред и содержит более 80 приложений для моделирования различных процессов в механике, а также более 170
утилит для подготовки и обработки данных, визуализации результатов расчетов и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Движение и взаимодействие трехмерных плюмов в тонком вертикальном слое
47
генерации расчетных сеток. Программное обеспечение распространяется бесплатно c открытым исходным кодом и устанавливается только на Linux-подобные
системы. Основным языком пакета является C++. Применительно к задачам тепловой конвекции наибольший интерес представляют приложения для решения
различных систем дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных объемов на произвольных расчетных сетках с многогранными
ячейками. Решение стандартной задачи по моделированию тепловой конвекции
состоит из трех этапов, включающих создание расчетной сетки, самой вычислительной процедуры и визуализации полученных данных. Дифференциальные
уравнения в частных производных записываются в терминах математических
операторов в консервативной форме. Работать в OpenFOAM можно как со структурированными, так и неструктурированными сетками. Значительное расширение
области применения пакета OpenFOAM обеспечивается за счет возможности внесения изменений в стандартные решатели, например добавления в уравнения дополнительных слагаемых.
Процедура дискретизации градиентов и производных по времени осуществляется с помощью известных схем и методов, которые заранее указываются в интерфейсном файле. В нашем случае для производных по времени использовалась
неявная схема Эйлера первого порядка точности, а для пространственных производных применялись схемы второго порядка точности. При нахождении значений
искомых полей в точках, отличных от центров контрольных объемов, применяется линейная интерполяция. Для каждой ячейки расчетной сетки получается одно
алгебраическое уравнение, связывающее значение переменной в центре ячейки с
переменными в соседних ячейках. Для всей вычислительной области получается
система линейных алгебраических уравнений. В настоящее время активно используются связанный и последовательный методы решения систем линейных алгебраических уравнений [5]. При реализации первого метода все переменные образуют один вектор неизвестных. Во втором случае уравнения для каждой переменной решаются по очереди и для согласования скорости и давления применяются неявные алгоритмы PISO или SIMPLE. В нашем случае использовался алгоритм PISO. Условно его можно разделить на три этапа. На первом этапе, исходя
из значений давления на предыдущем шаге, вычисляется так называемое прогнозируемое значение скорости, поток массы также раскладывается на прогнозируемую и корректируемую части, в результате чего получается уравнение для давления. На втором этапе корректируются значения давления при помощи полученного уравнения, пока не будет достигнута нужная точность. И на третьем этапе корректируются поток массы и поле скорости в соответствии с окончательными значениями поля давления. Подобная методика может быть использована как для
сжимаемых, так и для несжимаемых жидкостей. Для решения систем линейных
уравнений использовались методы сопряженных градиентов с предобуславливанием для давления (PCG) и бисопряженных градиентов для температуры и скорости (PBiCG).
Условием устойчивости вычислительной схемы является малость числа Куранта Co = τ U h , здесь τ и h – соответственно шаги по времени и координате,
U – значение скорости. Физически условие Куранта означает, что частица жидкости за один шаг по времени не должна продвинуться больше, чем на один пространственный шаг. Число Куранта вычисляется для всех ячеек расчетной области на каждом шаге по времени. Если оно больше единицы, то метод расходится.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48
К.А. Гаврилов, В.А. Демин, Е.А. Попов
Платформа OpenFOAM работает с интерфейсом передачи сообщений MPI.
Для реализации параллельных вычислений требуется разбить расчетную область
на несколько частей, а именно, по одной на каждое вычислительное ядро. Все детали разбиения записываются в отдельный файл, находящийся в каталоге с исходными данными. Весь процесс декомпозиции расчетной области с записью граничных условий происходит автоматически. Затем с помощью интерфейса MPI
можно запускать параллельный расчет. После этого нужно собрать данные со
всех расчетных узлов в один каталог для визуализации с помощью программы
ParaView.
Постановка задачи и основные уравнения
Рассмотрим полость с твердыми гранями в форме прямоугольного параллелепипеда, вытянутую вдоль горизонтальной оси (рис. 1). Введем обозначения: высота ячейки – H, длина – L, толщина – d, размер нагревателей – l. Полость неоднородно нагревается локально снизу, несколькими линейными источниками тепла и
находится в статическом поле тяжести. Данную полость принято называть ячейкой Хеле – Шоу, если выполняются условия H, L >> d и движение двумерно. Однако в работе [4] было показано, что в отличие от случая конвективных течений
при равномерном нагреве снизу [6] плюмы, генерируемые локализованными источниками тепла, определенно трехмерны, что отражается на существенном снижении скорости их всплытия и наличии пограничных слоев у распределения температуры в поперечном сечении полости.
Рис. 1. Геометрия задачи. Система координат
В ходе расчетов все вертикальные грани предполагались идеально теплоизолированными. Сосредоточенные источники тепла в качестве нагревателей и теплоизолированность вертикальных граней приводят к тому, что даже в достаточно
узких полостях третьей компонентой скорости при моделировании тепловых
плюмов пренебрегать нельзя. По этой причине для описания их поведения полное
3D-численное моделирование представляется наиболее приемлемым. Для расчета
течения жидкости в вертикальном слое будем использовать стандартную систему
уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска [7]:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Движение и взаимодействие трехмерных плюмов в тонком вертикальном слое
1
∂V
+ (V ∇)V = − ∇p + ν∆V + gβ T γ ;
∂t
ρ
49
(1)
∂T
+ (V ∇)T = χ∆T , divV = 0 .
(2)
∂t
Здесь V, p и T – размерные поля скорости, давления и температуры; ν, β и χ – коэффициенты кинематической вязкости, теплового расширения и температуропроводности соответственно; g – ускорение силы тяжести; γ – единичный вектор, направленный вертикально вверх; ρ – средняя плотность жидкости. Система (1), (2)
получается путем редукции заложенных в пакете ОpenFOAM более общих уравнений. В частности, пакетом предусматривается возможность расчета движения
сжимаемых сред и турбулентных течений.
Неоднородность нагрева полости обеспечивается путем задания разности температур ∆ϑ = ϑ – ϑо между нижними локализованными источниками тепла (ϑ) и
верхней охлаждающей стенкой (ϑо). Для компонент вектора скорости на твердых
гранях справедливо условие прилипания V |Γ = 0 .
Система уравнений (1), (2) решалась посредством прямого численного моделирования в размерном виде с использованием программного пакета OpenFOAM
на суперкомпьютере «ПГУ-Тесла» Научно-образовательного центра Пермского
государственного национального исследовательского университета «Параллельные и распределенные вычисления». Расчеты проводились для полости с геометрическими размерами L = 38 мм, H = 32 мм, d = 4 мм, при этом ширина каждого
отдельно взятого линейного нагревателя полагалась равной l = 2 мм. Выбранное
соотношение сторон позволило качественно сравнить результаты численного моделирования с экспериментальными данными по одиночным плюмам [8]. В расчетной сетке использовалось количество ячеек 160:110:25. Параллельные вычисления проводились на 12 ядрах, что технически обеспечивалось делением расчетной области на 12 частей. Обработка массивов данных, необходимых для определения принадлежности реализующихся в ходе вычислений плюмов, проводилась
по ширине пограничных слоев с помощью программы аналитических вычислений
Maple-11. Физические параметры конвективных сред во всех сериях расчетов выбирались так, чтобы соответствовать реальным жидкостям, в роли которых выступали гептан (ν = 0,61⋅10−6 м2/с, χ = 0,88⋅10−7 м2/с, β = 1,24⋅10−3 1/K) и ртуть
(ν = 1,14⋅10−7 м2/с, χ = 4,47⋅10−6 м2/с, β = 0,18⋅10−3 1/K [9,10]). Числа Прандтля,
равные соответственно Pr = 6,8 и 0,026, давали возможность реализовать любой
из четырех возможных режимов всплытия.
Взаимодействие плюмов друг с другом
Экспериментально синхронное всплытие трехмерных плюмов от нескольких
сосредоточенных источников тепла рассматривалось в [11, 12]. Если одинаковые
нагреватели находятся недалеко друг от друга, наблюдается взаимодействие
плюмов в процессе движения. Показано, что взаимодействие наиболее ярко выражено для развитых плюмов с достаточно длинной ножкой и тонкими температурным и вязким погранслоями. В некоторый момент времени происходит излом
ножек и проявляется их взаимное притяжение друг к другу. При этом изогнувшиеся струи ножек могут практически соприкасаться на определенной высоте, но
все же не сливаются. В свою очередь шляпки плюмов продолжают двигаться
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
50
К.А. Гаврилов, В.А. Демин, Е.А. Попов
вверх, образуя сложный по форме и меняющийся с течением времени тепловой
фронт.
Теоретически описанный эффект взаимного притяжения ножек плюмов друг к
другу изучался в работах разных авторов. Некоторую библиографию по данному
вопросу можно найти в монографии [1]. Основной чертой этих теоретических исследований, накладывающей в действительности определенные ограничения на
интерпретацию обсуждаемых результатов, является двумерность расчетов. Двумерность постановки задачи объективно приводила авторов предшествующих работ к применению двухполевой методики [13] для решения уравнений тепловой
конвекции. Как известно, этот метод подразумевает исключение давления из расчетной процедуры. Конечно, поле давления можно восстанавливать по результатам расчетов полей функции тока и температуры, но после получения распределений скорости и температуры про поле давления обычно не вспоминают, так как
в большинстве конвективных экспериментов эта величина напрямую не измеряется. В результате взаимодействие ножек плюмов объясняется в [1] как результат
возникновения возвратных вихрей по бокам, которые прижимают ножки плюмов
друг к другу. Эта интерпретация представляется несколько поверхностной, так
как причины и процесс формирования возвратных вихрей сами по себе являются
предметом обсуждения. Определению подлежат области, где должны формироваться возвратные вихри, их размеры, интенсивность, направление вращения и
т.д. В этом смысле прямой 3D-расчет в терминах скорости и давления, реализуемый нами для расчета плюмов, дает более глубокое представление о причинно
следственных связях, определяющих картину конвективного процесса.
Тем не менее из всех двумерных расчетов необходимо выделить работу [3], в
которой численно проанализирована динамика одиночных двумерных плюмов,
создаваемых идеализированным линейным горизонтальным нагревателем. В ней
показано, что поля температуры и скорости в поперечном сечении ножки описываются гауссовым распределением и при определенных условиях демонстрируют
ярко выраженный погранслойный характер. На основе результатов численного
2D-моделирования в этой работе была проведена градация возможных режимов
всплытия тепловых плюмов. Согласно введенной классификации, все плюмы условно делятся на четыре типа: вязко-теплопроводный, вязко-нетеплопроводный,
невязко-теплопроводный и невязко-нетеплопроводный. Критерием служит взаимное соответствие между скоростями роста температурного и гидродинамического
пограничных слоев ножки, которые, в конечном счете, определяют форму шляпки
и скорость всплытия плюма. Расчеты были проведены в широком диапазоне чисел Прандтля и Рэлея и обобщены на карте режимов. Последовавший за этим расчет трехмерных плюмов [4] в тонком вертикальном слое подтвердил применимость этой простой классификации к физически более реалистичной ситуации,
когда нагреватель хоть и локализован в определенной области, однако имеет конечные размеры.
Описание взаимодействия нескольких трехмерных плюмов в тонком вертикальном слое будем проводить, опираясь на эту градацию. Для этого осуществлялась дополнительная обработка массивов данных и определялась принадлежность
плюмов к определенному типу по толщине гидродинамического и температурного погранслоев. Технические детали расчетной процедуры приведены в [4]. На
рис. 2 изображены поля температуры четырех взаимодействующих плюмов разных типов в некоторый момент времени.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Движение и взаимодействие трехмерных плюмов в тонком вертикальном слое
а
б
в
г
51
Рис. 2. Картина взаимодействия плюмов разных типов: а – вязко-теплопроводный, б – вязконетеплопроводный, в – невязко-теплопроводный, г – невязко-нетеплопроводный режимы;
а, б, г – гептан при разностях температур ∆ϑ = 5 °C, 30 °C, 80 °C; в – ртуть при ∆ϑ = 180 °C
Результаты численного моделирования показывают, что если нагреватели находятся относительно недалеко друг от друга, то к какому бы типу не принадлежали плюмы, их ножки на определенной высоте претерпевают изгиб и притягиваются, но не сливаются. Этот эффект объясняется, если проанализировать во
времени поле конвективной добавки к давлению на высоте излома ножек (рис. 3)
для плюмов вязко-нетеплопроводного типа. Сначала шляпки плюма, поднимаясь
и увеличиваясь в размерах, образуют над собой области повышенного давления
(максимумы на кривой 2, рис. 3).
За шляпками тянутся ножки, внутри которых за счет высокой скорости давление заметно ниже, чем в застойных областях вокруг струй. В нашем случае расстояние между нагревателями невелико, поэтому, когда струи синхронно движутся вверх, жидкость, находящаяся между ними, за счет вязкого сдвигового трения
также увлекается вверх, и давление в области между струями становится несколько ниже, чем по разные стороны от рассматриваемой группы плюмов (кривые 3 и
4, рис. 3). По бокам у твердых узких граней жидкость еще практически не движется, поэтому давление за счет эффекта Бернулли там выше. В результате ножки
плюмов притягиваются друг к другу, но не к удаленным узким граням. Шляпки
плюмов не имеют тенденции к слиянию, так как перед их полусферическими
фронтами формируется область повышенного давления. Эти шляпки продолжают
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К.А. Гаврилов, В.А. Демин, Е.А. Попов
52
52,31
2
p, Па
1
3
52,27
5
4
52,23
0
19
х, мм
38
Рис. 3. Конвективная добавка к давлению в зависимости от продольной горизонтальной координаты на высоте излома ножек h = 8 мм для плюмов
вязко-нетеплопроводного типа; номера кривых 1−5 соответствуют моментам
времени t = 0,5; 2; 3,5; 15; 20 с
тянуть за собой ножки плюмов. Именно по этой причине струи хоть и притягиваются ножками на определенной высоте, но не сливаются, а отворачивают в разные стороны и продолжают тянуться за шляпками. Как видно, нежелание отдельных участков ножек плюмов объединяться в одну конвективную струю объясняется без привлечения понятия поверхностного натяжения на тепловых фронтах.
Точно так же можно объяснить эффект притяжения ножки плюма к неподвижной
стенке (рис. 4). Конвективная добавка к давлению в пространстве справа между
Рис. 4. Взаимодействие плюма вязко-нетеплопроводного типа
с близлежащей узкой боковой гранью
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Движение и взаимодействие трехмерных плюмов в тонком вертикальном слое
53
ножкой плюма и близлежащей узкой твердой гранью меньше, чем давление в основном массиве жидкости слева, в результате ножка притягивается к ближней твердой стенке, а шляпка наоборот старается отклониться от нее в своем движении.
Еще одним подтверждением справедливости развиваемых представлений о
взаимодействии конвективных струй является численный эксперимент по асинхронному движению плюмов (рис. 5). Расчеты проводились для четырех линейных нагревателей, один из которых имел более низкую температуру. Естественно,
что шляпка плюма от нагревателя с более низкой температурой поднимается медленнее, тем самым симметрия картины всплытия нарушается. Эта шляпка, начиная свое движение с некоторым запаздыванием, сначала слегка расталкивает ножки трех других более развитых плюмов, так как создает перед собой область повышенного давления. И только когда ножка «медленного» плюма становится достаточно длинной, все сформировавшиеся струи начинают активно притягиваться
на определенной высоте по описанному выше сценарию.
Рис. 5. Взаимодействие асинхронных плюмов, порождаемых нагревателями
с разными температурами; первый (слева), второй и четвертый нагреватели
– ϑ = 50 °C, третий нагреватель – ϑ = 40 °C
Результаты численного моделирования позволяют сделать еще одно важное
заключение. Наиболее часто для экспериментального исследования плюмов используются теневые методы [1, 11, 12]. Этот метод вполне естественен для регистрации неоднородностей температурных полей трехмерных плюмов в больших
конвектирующих массивах жидкости. В свою очередь для изучения динамики
всплытия плюмов в тонком вертикальном слое в работе [8] была предложена другая техника. В тонких щелевых зазорах тепловые поля внутри полости и на широких гранях определенно должны коррелировать в каждый момент времени.
Ожидается, что чем тоньше слой жидкости и тоньше ограничивающие полость
твердые широкие грани, тем меньше будет отличие между профилями теплового
поля в вертикальных сечениях. На основе этого обстоятельства визуализация
формы плюма в каждый момент времени в работе [8] проводилась с помощью
чувствительного тепловизора посредством анализа температурного поля на ши-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К.А. Гаврилов, В.А. Демин, Е.А. Попов
54
роких гранях полости. Однако как показывают 3D-расчеты, картина температурного поля на широких стенках сильно зависит от граничных условий и толщины
полости. В случае теплоизолированных стенок и размерах полости 38:32:4 мм, что
близко к условиям эксперимента [8], поле температуры в центральном вертикальном сечении полости (рис. 6, а) заметно отличается от распределения температуры на широких гранях в тот же самый момент времени (рис. 6, б). Это позволяет
утверждать, что картина плюмов, наблюдаемая экспериментально с помощью тепловизора в работе [8], вполне может и не отражать реальную форму теплового
поля плюма внутри полости. Этот факт следует учитывать, анализируя температурные поля конвективных струй в тонких полостях по методике [8].
а
б
Рис. 6. Картина полей температуры и скорости в центральном сечении (а)
и поле температуры на широкой вертикальной грани полости (б)
Заключение
Проведен трехмерный расчет движения и взаимодействия нескольких плюмов
в тонком вертикальном слое при подогреве снизу с помощью нескольких локализованных источников тепла. Показано, что струйное течение плюма создает в своей окрестности область пониженного давления, за счет чего ножки недалеко отстоящих друг от друга плюмов притягиваются, но не сливаются. Наиболее ярко
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Движение и взаимодействие трехмерных плюмов в тонком вертикальном слое
55
этот эффект проявляется на плюмах нетеплопроводного типа. Расчеты поля давления позволили выяснить, что притяжение ножки плюма к близлежащей боковой
стенке полости обусловлено тем же эффектом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lappa M. Thermal Convection: Patterns, Evolution and Stability. UK: Wiley, 2010. 670 p.
2. Полудницин А.Н., Шарифулин А.Н. Динамика спирального конвективного плюма в
жидкости с большим числом Прандтля // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2013.
№ 6. С. 29−32.
3. Hier Majumder C.A., Yuen D.A. and Vincent A. Four Dynamical Regimes for a Starting
Plume Model // Phys. Fluids. 2004. V. 16. No. 5. P. 1516–1531.
4. Гаврилов К.А., Демин В.А., Попов Е.А. Режимы всплытия тепловых плюмов в вертикальном слое // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. Т. 6. № 3. С. 261−268.
5. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. New York: Springer,
2002. 423 p.
6. Гаврилов К.А., Демин В.А., Попов Е.А. Моделирование трехмерных конвективных течений с помощью пакета OpenFOAM // Вестник Пермского университета. Сер. Математика, механика, информатика. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2012. Вып. 3(11). С. 23−28.
7. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.
М.: Наука, 1972. 392 с.
8. Бабушкин И.А., Кондрашов А.Н., Сбоев И.О. Развитие конвективного факела в вертикальном слое // Вестник Пермского университета. Сер. Физика. Пермь: Изд-во Пермск.
ун-та, 2012. Вып. 4 (22). С. 101−105.
9. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.:
Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963. 708 с.
10. Кикоин И.К. Таблицы физических величин. Справочник. М.: Атомиздат. 1976. 1008 с.
11. Moses E., Zocchi G. and Libchaber A. An Experimental Study of Laminar Plumes // J. Fluid
Mech. 1993. V. 251. P. 581−601.
12. Moses E., Zocchi G., Procaccia I., and Libchaber A. The Dynamics and Interaction of Laminar Thermal Plumes // Europhys. Lett. 1991. V. 14 (1). P. 55−60.
13. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск:
Изд-во Иркутского ун-та, 1990. 228 с.
Статья поступила 18.11.2013 г.
Gavrilov K. A., Demin V. A., Popov E. A. THE MOTION AND INTERACTION OF THREEDIMENSIONAL PLUMES IN A THIN VERTICAL LAYER. Direct three-dimensional numerical modeling of the plumes interaction and its lifting dynamics in a thin vertical layer heated from
below by several local sources is carried out with the help of the OpenFOAM computational
package. This integrable platform is meant for calculations in the area of continuous media mechanics. Animated images for different numbers of heaters are obtained to demonstrate the behavior of thermal plums at an arbitrary instant of time. The plumes of the viscous-nondiffusive
type are considered predominantly. It has been shown that the temperature field inhomogeneity of
the same plumes disperses slowly in the plane perpendicular to the stream velocity in comparison
with the convective heat transfer in the direction of fluid movement. The calculations based on the
equations of thermal convection in addition to the analysis of velocity and pressure fields permit
one to explain the effects of plumes mutual interaction and attraction to the nearest narrow vertical boundary.
Keywords: interaction of thermal plumes, thin vertical layer, 3D numerical modeling
DEMIN Vitaly Anatol'evich (Doctor of Physics and Mathematics, Prof.,
Perm State University, Perm, Russian Federation)
E-mail: demin@psu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56
К.А. Гаврилов, В.А. Демин, Е.А. Попов
GAVRILOV Konstantin Alekseevich (Candidate of Physics and Mathematics,
Perm State University, Perm, Russian Federation)
E-mail: gavrilov_k@inbox.ru
POPOV Eugene Andreevich (M.Sc., Perm State University, Perm, Russian Federation)
E-mail: evjeniy.p@gmail.com
REFERENCES
1. Lappa M. Thermal Convection: Patterns, Evolution and Stability. UK: Wiley, 2010. 670 p.
2. Poludnitsin A.N., Sharifulin A.N. Dinamika spiral'nogo konvektivnogo plyuma v zhidkosti s
bol'shim chislom Prandtlya (2013) Izv. RAN, Mekhanika zhidkosti i gaza. No. 6, pp. 29−32.
(in Russian)
3. Hier Majumder C.A., Yuen D.A. and Vincent A. Four Dynamical Regimes for a Starting
Plume Model (2004) Phys. Fluids. V. 16. No. 5, pp. 1516–1531.
4. Gavrilov K.A., Demin V.A., Popov E.A. Rezhimy vsplytiya teplovykh plyumov v vertikal'nom sloe (2013) Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred. V. 6. No. 3, pp. 261−268.
(in Russian)
5. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. New York: Springer,
2002. 423 p.
6. Gavrilov K.A., Demin V.A., Popov E.A. Modelirovanie trekhmernykh konvektivnykh
techeniy s pomoshch'yu paketa OpenFOAM (2012) Vestnik Permskogo universiteta. Ser.
Matematika, mekhanika, informatika. No. 3(11), pp. 23−28. (in Russian)
7. Gershuni G.Z., Zhukhovitskiy E.M. Konvektivnaya ustoychivost' neszhimaemoy zhidkosti.
Moscow, Nauka Publ., 1972. 392 p. (in Russian)
8. Babushkin I.A., Kondrashov A.N., Sboev I.O. Razvitie konvektivnogo fakela v vertikal'nom
sloe (2012) Vestnik Permskogo universiteta, Ser. Fizika. V. 4 (22), pp. 101−105. (in Russian)
9. Vargaftik N.B. Spravochnik po teplofizicheskim svoystvam gazov i zhidkostey. Moscow, Izdvo fiz.-mat. lit-ry, 1963. 708 p. (in Russian)
10. Kikoin I.K. Tablitsy fizicheskikh velichin. Spravochnik. Moscow, Atomizdat. Publ., 1976.
1008 p. (in Russian)
11. Moses E., Zocchi G. and Libchaber A. An experimental study of laminar plumes (1993)
J. Fluid Mech. V. 251, pp. 581−601.
12. Moses E., Zocchi G., Procaccia I., and Libchaber A. The Dynamics and Interaction of Laminar Thermal Plumes (1991) Europhys. Lett. V. 14 (1), pp. 55−60.
13. Tarunin E.L. Vychislitel'nyy eksperiment v zadachakh svobodnoy konvektsii. Irkutsk, Izd-vo
Irkutskogo un-ta, 1990. 228 p. (in Russian)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
УДК 539.3
А.В. Герасимов, С.В. Пашков
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРУППОВОГО УДАРА
ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО КОСМИЧЕСКОМУ АППАРАТУ1
Создание надежной системы защиты космических аппаратов от удлиненных
осколков космического мусора диктует необходимость исследования характера взаимодействия высокоскоростных удлиненных ударников с защищаемыми объектами. В работе рассматривается взаимодействие группы ударников с плоской формой носовой части с системой разнесенных пластин.
Ключевые слова: численное моделирование, высокоскоростное соударение,
космический аппарат, разрушение, слоистые преграды.
Присутствие в сформировавшемся приземном слое (протяженностью от 300 до
2 000 км) огромного количества техногенных осколков различных размеров и
формы, образовавшихся в процессе разрушения спутников, последних ступеней
ракет-носителей, разгонных блоков и других аппаратов и устройств, представляет
серьезную угрозу безопасности автоматических и пилотируемых космических
объектов. Численное моделирование высокоскоростного взаимодействия твердых
тел с защитными системами позволяет воспроизвести характерные особенности
физических процессов, протекающих при столкновении, рассмотреть и выбрать
оптимальные схемы экранов. В работе [1] численно моделировался процесс взаимодействия группы ударников с преградой и использовался эрозионный критерий
для описания разрушения материала преграды. Применение к исследованию данной проблемы современных компьютеров и численных методов, позволяющих
решать задачи высокоскоростного соударения в трехмерной постановке с учетом
фрагментации ударников и защитных элементов конструкции космического аппарата (КА), представляется теоретически и практически важной задачей. Учет
фрагментации и взаимодействия осколков между собой и с корпусом космического аппарата позволяет дать более полное представление о процессах, протекающих при высокоскоростном взаимодействии частиц космического мусора с оболочкой космического объекта.
Учет фрагментации материала твердых тел при интенсивных динамических
нагружениях позволяет использовать лагранжев подход к задачам высокоскоростного удара для достаточно широкого диапазона скоростей взаимодействия. Этот
подход особенно удобен при рассмотрении многоконтактных взаимодействий
сталкивающихся тел, особенно при решении трехмерных задач удара. Начальная
гетерогенность структуры реальных материалов, влияющая на характер распределения физико-механических характеристик материала по объему рассматриваемого тела, является важным фактором, определяющим характер разрушения. Одним
из способов учета этого факта является введение в уравнения механики деформируемого твердого тела случайного распределения начальных отклонений прочностных свойств от номинального значения, то есть моделирование, таким образом,
1
Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ №13-08-00296-а и №12-08-00641-а.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
58
А.В. Герасимов, С.В. Пашков
начальных структурных особенностей материала, а именно: наличие пор, включений, дислокаций и т.д.
Основные соотношения
В данной работе в лагранжевой 3D-постановке рассматривается процесс высокоскоростного взаимодействия разнесенных пластин с высокоскоростными удлиненными осколками.
Для описания процессов деформирования и дробления твердых тел используется модель прочного сжимаемого идеально упругопластического тела. Основные
соотношения, описывающие движение этой среды, базируются на законах сохранения массы, импульса и энергии и замыкаются соотношениями Прандтля – Рейсса при условии текучести Мизеса [2−4]. Уравнение состояния берется в форме Тета и Ми – Грюнайзена [2]. Известно, что пластические деформации, давление и
температура оказывают влияние на предел текучести и модуль сдвига, поэтому
модель дополнялась соотношениями, апробированными в работе [5].
Для расчета упругопластических течений используется методика, реализованная на тетраэдрических ячейках и базирующаяся на совместном использовании
метода Уилкинса [3, 4] для расчета внутренних точек тела и метода Джонсона
[6, 7] для расчета контактных взаимодействий. Разбиение трехмерной области на
тетраэдры происходит последовательно с помощью подпрограмм автоматического построения сетки.
В качестве критерия разрушения при интенсивных сдвиговых деформациях
используется достижение эквивалентной пластической деформацией своего предельного значения [2, 8].
Начальные неоднородности структуры моделировались распределением предельной эквивалентной пластической деформации по ячейкам расчетной области
с помощью модифицированного генератора случайных чисел, выдающего случайную величину, подчиняющуюся выбранному закону распределения. Плотности вероятности случайных величин брались в виде нормального гауссовского
распределения со средним арифметическим равным табличному значению и
варьируемой дисперсией.
Используемые в современных работах по динамическому разрушению конструкций и материалов соотношения механики деформируемого твердого тела не
учитывают вероятностного фактора в задаче дробления твердых тел, что может
существенно исказить реальную картину ударного и взрывного разрушения рассматриваемых объектов. Последнее особенно проявляется при решении осесимметричных задач, где все точки по окружной координате рассчитываемого элемента исходно равноправны в силу используемых при численном моделировании
стандартных уравнений механики сплошных сред. На практике, однако, имеется
широкий ряд задач, где фрагментация является преимущественно вероятностным
процессом, например, взрывное разрушение осесимметричных оболочек, где характер дробления заранее неизвестен, пробитие и разрушение тонких преград
ударником по нормали к поверхности, так называемое «лепесткование», и т.д.
Внесение случайного распределения начальных отклонений прочностных свойств
от номинального значения в физико-механические характеристики тела приводит
к тому, что в этих случаях процесс разрушения приобретает вероятностный характер, что более соответствует экспериментальным данным, используемым в
данной работе. Наиболее полно идеология и методология вероятностного подхода
к проблеме разрушения твердых тел приведена в [11].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование группового удара высокоскоростных элементов
59
Граничные и начальные условия
Система основных уравнений дополняется необходимыми начальными и граничными условиями. В начальный момент времени все точки ударников имеют
осевую скорость V0 с учетом ее знака, а состояние преград предполагается невозмущенным. Граничные условия ставятся следующим образом: на границах, свободных от напряжений, выполняются условия: σn = τn = 0 . На участке контакта
между телами ставится условие идеального скольжения одного материала относительно другого вдоль касательной и условие непротекания по нормали: σn1 = σ n 2 ,
vn1 = vn 2 , τn1 = τn 2 = 0, где σn , τn – нормальная и касательная компоненты вектора напряжений; vn – нормальная компонента вектора скорости в точке контакта;
индексы 1 и 2 относятся к контактирующим телам.
Метод решения
Для расчета упругопластических течений используется методика, реализованная
на тетраэдрических ячейках и базирующаяся на совместном использовании метода
Уилкинса для расчета внутренних точек тела и метода Джонсона для расчета контактных взаимодействий [2, 5, 6]. Разбиение трехмерной области на тетраэдры происходит последовательно с помощью подпрограмм автоматического построения
сетки. Наиболее полно идеология и методология применения вероятностного подхода к проблеме разрушения твердых тел приведена в монографии [11].
Тестовые расчеты
Рассматривалась задача о расширении медной оболочки с надетым на нее
стальным кольцом под действием продуктов детонации [11].
Расчетная сетка, используемая в данном расчете, составляла около 500 тысяч
тетраэдрических ячеек. Для описания разрушения использовался метод раздвоения по узлам – при выполнении в окрестности узла критерия разрушения происходит расщепление узлов и образование поверхности разрушения. Для моделирования начальных неоднородностей использовалось распределение предельного
значения эквивалентной пластической деформации по ячейкам расчетной области
по нормальному закону с дисперсией 10-процентного отклонения.
По мере расширения кольца наблюдалась локализация деформаций в вершинах радиальных трещин, образовавшихся на начальных неоднородностях и формирование достаточно крупных осколков. Расчетный осколочный спектр вполне
удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными [12].
В трехмерной постановке рассматривалась задача о пробитии двухслойной
преграды (стеклотекстолит СТ-НТ + сплав Д16) шариком из стали ШХ-15 [13].
Были проведены расчеты соударения шарика и преграды по нормали к поверхности последней. Скорость ударника равнялась 700 и 900 м/сек. Сравнение численных результатов с экспериментальными данными показало вполне удовлетворительное совпадение.
В трехмерной постановке рассматривалась задача о пробитии дву- и трехслойной преграды (сталь – керамика, сталь – керамика – сталь) цилиндрическим ударником из вольфрамового сплава [13]. Сравнение численных результатов (ч) с экспериментальными (э) данными [10] показало хорошее совпадение остаточных
длин (lч и lэ) и скоростей (Vч и Vэ) ударника для случаев двухслойной и трехслой-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.В. Герасимов, С.В. Пашков
60
ной преград. Двухслойная преграда: lэ = 37 мм, Vэ = 1120 м/с; lч = 35 мм, Vч = 1200 м/с.
Трехслойная преграда: lэ = 11,5 мм, Vэ = 890 м/с; lч = 10,0 мм, Vч = 855 м/с.
Результаты расчетов
Ранее в работах [9, 10] рассматривалось взаимодействие сферических элементов с тонкими преградами при различных углах соударения.
В настоящей работе рассматривается взаимодействие группы из семи стержней из вольфрамового сплава с системой стальных пластин. Радиус стержня –
1,5 см, длина – 15 см. Толщина первой пластины – 7 см, второй – 3 см, расстояние
между ними – 6 см, диаметр – 35 см. Скорость соударения – 1000 м/с. стержни
располагаются по окружности с переменным радиусом R. Один ударник размещался в центре, остальные шесть равномерно по окружности. Расстояние между
центром первого ударника и центрами остальных R в ходе расчетов варьировалось. Результаты расчетов, приведенные на рис. 1−5, позволили определить наилучшую конфигурацию системы ударников для пробития первой преграды и разрушения второй. На рис. 1 показано расположение ударников с плоской головной
частью на лицевой стороне системы преград в начальный момент времени.
а
б
Рис. 1. Начальная конфигурация системы «преграды – ударники»:
а – трехмерная картина; б – 2D-сечение трехмерной расчетной области
а
б
Рис. 2. Взаимодействие ударников с преградой при R = 5 см:
а – трехмерная картина; б – 2D-сечение трехмерной расчетной области
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование группового удара высокоскоростных элементов
а
б
Рис. 3. Взаимодействие ударников с преградой при R = 8 см:
а – трехмерная картина; б – 2D-сечение трехмерной расчетной области
а
б
Рис. 4. Взаимодействие ударников с преградой при R = 9 см:
а – трехмерная картина; б – 2D-сечение трехмерной расчетной области
а
б
Рис. 5. Взаимодействие ударников с преградой при R = 10 см:
а – трехмерная картина; б – 2D-сечение трехмерной расчетной области
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.В. Герасимов, С.В. Пашков
62
На рис.6 приведены результаты расчета соударения одиночного ударника с
массой, равной массе семи ударников, рассмотренных выше. Видно, что размер
выбиваемой пробки (более светлая область рис. 6, б) заметно меньше выбиваемых
областей для семи ударников (рис. 2−5).
а
б
Рис. 6. Взаимодействие одиночного ударника с преградами: а – начальная конфигурация
системы «преграды – ударник»; б – 2D-сечение трехмерной расчетной области
В работе приведено сравнение эффективности воздействия группы ударников
и дана оценка их влияния на степень поражения преград. Увеличение радиуса R
от 5 до 9 см приводит к увеличению выбиваемого объема материала первой преграды, но к заметному падению его скорости. Если при R = 5 см происходит пробитие и второй преграды и формирование значительного потока осколков с тыльной и лицевой сторон преграды, то для R = 8 и 9 см этого не наблюдается. При
R = 10 см происходит только частичное проникание ударников в первую преграду
и не наблюдается в полной мере эффекта коллективного воздействия группы элементов на данную преграду. Первая преграда выпучивается в направлении второй, но не пробита и полностью не разрушена, однако в ней наблюдается формирование трещины в окружном направлении. Как видно из расчетов, существует
определенная конфигурация группы ударников, наиболее опасная с точки зрения
пробития преграды и массы выбитого материала.
Заключение
Результаты расчетов, приведенные на рис. 1−6, показали большую опасность
воздействия группы стержней по защищаемому корпусу космического аппарата
по сравнению с воздействием одиночного ударника с массой, равной массе семи
ударников, и такой же скоростью. Разработанная численная методика позволяет
моделировать процессы взаимодействия оболочек космических аппаратов с высокоскоростными длинными стержнями в широком диапазоне скоростей и углов соударения, а также исследовать процессы фрагментации стержней и преград и характер формирующихся осколочных полей
ЛИТЕРАТУРА
1. Зелепугин С.А., Коняев А.А., Сидоров В.Н. и др. Экспериментально-теоретическое исследование соударения группы частиц с элементами защиты космических аппаратов //
Космические исследования. 2008. Т. 46. № 6. С. 559−570.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование группового удара высокоскоростных элементов
63
2. Физика взрыва / под ред. К.П. Станюковича. М.: Наука, 1975. 704 с.
3. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 212−263.
4. Wilkins M.L. Computer simulation of dynamic phenomena. Berlin – Heidelberg – New-York:
Springer, 1999. 246 p.
5. Steinberg D.J., Cochran S.G., Guinan M.W. A constitutive model for metals applicable at
high – strain rate // J. Appl. Phys. 1980. V. 51. No. 3. P. 1496−1504.
6. Johnson G.R., Colby D.D., Vavrick D.J. Tree-dimensional computer code for dynamic response of solids to intense impulsive loads // Int. J. Numer. Methods Engng. 1979. V. 14.
No. 12. P. 1865−1871.
7. Johnson G.R. Dynamic analysis of explosive-metal interaction in three dimensions // Trans.
ASME. J. of Appl. Mech. 1981. V. 48. No. 1. P. 30−34.
8. Крейнхаген К.Н., Вагнер М.Х., Пьечоцки Дж. Дж., Бьорк Р.Л. Нахождение баллистического предела при соударении с многослойными мишенями // Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8. № 12. С. 42−47.
9. Герасимов А.В., Барашков В.Н., Пашков С.В. Удар группы компактных элементов по
тонкой преграде // Изв. вузов. Физика. 2009. Т. 52. № 7/2. С. 59−63.
10. Герасимов А.В., Пашков С.В. Трехмерное моделирование разрушения преград группой
ударников // Сб. докл. VI Научн. конф. Волжского регион. Центра РАРАН «Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения». Саров, 2−4 июня 2009 г. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2010. Т. 1. С. 392−399.
11. Теоретические и экспериментальные исследования высокоскоростного взаимодействия
тел / под ред. А.В. Герасимова. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. 572 с.
12. Quoc Bao Diep, John F. Moxnes, Gunnar Nevstad. Fragmentation of projectiles and steel
rings using 3D numerical simulations // 21th International Symposium of Ballistics 19−23
April 2004, Adelaide, Australia.
13. Герасимов А.В., Пашков С.В. Численное моделирование пробития слоистых преград //
Механика композиционных материалов и конструкций. 2013. Т. 19. № 1. С. 49−61.
Статья поступила 23.03.2014 г.
Gerasimov A. V., Pashkov S. V. NUMERICAL SIMULATION OF THE GROUP HYPERVELOCITY ELEMENTS IMPACT ON A SPACECRAFT. The presence of a large number of manmade fragments of various sizes and shapes in the near-Earth space due to destruction of satellites
and launch vehicles is a serious threat to the safe functioning of automatic and manned space vehicles. At present, protection of spacecrafts from man-made fragments is a highly relevant task for
the successful development of modern astronautics. To solve it, it is necessary to research the
process of interaction between hypervelocity projectiles and protected objects. Numerical simulation of the hypervelocity interaction between solids and protective systems allows one to reproduce the characteristic features of physical processes occurring in the collision, to consider and
select the optimum scheme of protective shields. Involving present-day computers and numerical
methods made it possible to solve problems of hypervelocity collision in a three-dimensional
formulation with allowance for fragmentation of projectiles and shock protection elements of the
spacecraft. Taking into account fragmentation and interaction of fragments between each other
and the space vehicle body allows us to give a more complete picture of processes occurring upon
the hypervelocity interaction between elements of space debris and the shell of a space object. In
this paper, we consider the interaction of a group of elongated projectiles with the flat shape nose
with a system of spaced plates.
Keywords: numerical simulation, hypervelocity impact, spacecraft, destruction, layered barriers
GERASIMOV Alexander Vladimirovich (Doctor of Physics and Mathematics, Prof.,
Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: ger@niipmm.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
64
А.В. Герасимов, С.В. Пашков
PASHKOV Sergey Vladimirovich (Candidate of technical Sciences,
Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: ps@contek.ru
REFERENCES
1. Zelepugin S.A., Konyaev A.A., Sidorov V.N., Khorev I.E., Yakushev V.K. Eksperimental'noteoreticheskoe issledovanie soudareniya gruppy chastits s elementami zashchity kosmicheskikh apparatov (2008) Kosmicheskie issledovaniya. V. 46. No 6, pp. 559−570. (in
Russian)
2. Fizika vzryva. Pod red. K.P. Stanyukovicha. Moscow, Nauka Publ., 1975. 704 p. (in Russian)
3. Uilkins M.L. Raschet uprugoplasticheskikh techeniy. Vychislitel'nye metody v gidrodinamike. Moscow, Mir Publ., 1967, pp. 212−263 (in Russian)
4. Wilkins M.L. Computer simulation of dynamic phenomena. Berlin, Heidelberg, New York,
Springer, 1999. 246 p.
5. Steinberg D.J., Cochran S.G., Guinan M.W. A constitutive model for metals applicable at
high – strain Rate (1980) J. Appl. Phys. V.51. No. 3, pp. 1496−1504.
6. Johnson G.R., Colby D.D., Vavrick D.J. Tree-dimensional computer code for dynamic response of solids to intense impulsive loads (1979) Int. J. Numer. Methods Engng. V. 14.
No. 12, pp. 1865−1871.
7. Johnson G.R. Dynamic analysis of explosive-metal interaction in three dimensions (1981)
Trans. ASME. J. of Appl. Mech. V. 48. No. 1, pp. 30−34.
8. Kreynkhagen K.N., Vagner M.Kh., P'echotski Dzh. Dzh., B'ork R.L. Nakhozhdenie ballisticheskogo predela pri soudarenii s mnogosloynymi mishenyami (1970) Raketnaya tekhnika i
kosmonavtika. V. 8. No. 12, pp. 42−47. (in Russian)
9. Gerasimov A.V., Barashkov V.N., Pashkov S.V. Udar gruppy kompaktnykh elementov po
tonkoy pregrade (2009) Izv. vuzov. Fizika. V. 52. No. 7/2, pp. 59−63. (in Russian)
10. Gerasimov A.V., Pashkov S.V. Trekhmernoe modelirovanie razrusheniya pregrad gruppoy
udarnikov. Sb. dokl. VI Nauchn. konf. Volzhskogo region. Tsentra RARAN “Sovremennye
metody proektirovaniya i otrabotki raketno-artilleriyskogo vooruzheniya”. Sarov, 2−4 iyunya
2009. Sarov, RFYaTs-VNIIEF, 2010. V. 1, pp. 392−399. (in Russian)
11. Teoreticheskie i eksperimental'nye issledovaniya vysokoskorostnogo vzaimodeystviya tel.
Pod red. A.V. Gerasimova. Tomsk, Izdatel'stvo Tomskogo universiteta, 2007. 572 p. (in Russian)
12. Quoc Bao Diep, John F. Moxnes, Gunnar Nevstad. Fragmentation of projectiles and steel
rings using 3D numerical simulations. 21th International Symposium of Ballistics 19−23
April 2004, Adelaide, Australia
13. Gerasimov A.V., Pashkov S.V. Chislennoe modelirovanie probitiya sloistykh pregrad (2013)
Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy. V. 19. No 1, pp. 49−61. (in Russian)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
УДК 533:519.6
А.Г. Горобчук
ОБ ОДНОЙ ЧИСЛЕННОЙ СХЕМЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ПОДГОНКИ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО РАЗРЯДА
В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ1
На основе метода экспоненциальной подгонки рассматривается безусловно
монотонная разностная схема, предложенная для интегрирования уравнений
высокочастотного разряда в гидродинамическом приближении.
Ключевые слова: высокочастотный разряд, метод экспоненциальной подгонки.
Исследование физики ВЧ-разряда является сложной многопараметрической
задачей, которая носит преимущественно исследовательский характер. В диапазоне рабочего давления 0,1−3,0 торр относительно полное представление о распределении концентраций электронов и ионов, а также температуры электронов
дает моделирование ВЧ-разряда в гидродинамическом приближении [1, 2]. Умеренная вычислительная трудоемкость гидродинамического подхода позволяет
применить его для адекватного исследования процессов, реализуемых при плазмохимическом травлении полупроводниковых материалов.
На стадии горения ВЧ-разряда, характеризующейся образованием тонких приэлектродных слоев и квазинейтрального столба, из-за сильных градиентов параметров плазмы и большой проводимости проведение расчетов с применением явных численных схем для решения уравнений непрерывности электронов и ионов
становится крайне неэкономичным [3]. Из-за ограничений, накладываемых условием Куранта для электронов K e = ve τ / h < 1 (где ve – дрейфовая скорость электронов, τ, h – шаги по времени и по пространству), шаг по времени оказывается
много меньше, чем характерное время развития разряда, что может потребовать
более 104 – 105 шагов по времени. Здесь эффективно применение неявных конечно-разностных схем, позволяющих использовать шаг по времени в 10 – 102 раз
больший, чем дает условие Куранта. Однако в численных схемах, в которых распределение потенциала находится непосредственно из уравнения Пуассона, возникает дополнительное ограничение вида τ < 1/ 4πσ , где σ – проводимость
плазмы [3]. Данное ограничение дает значение на порядок больше, чем условие
Куранта. Кроме того, основные уравнения обычно решаются c использованием
дополнительных итераций самосогласования. Само решение системы нелинейных
разностных уравнений также представляет большую трудность. В настоящее время при моделировании газовой плазмы напряженность электрического поля находится из уравнения сохранения электрического тока. Для решения данного уравнения применяются консервативные по заряду разностные схемы, в которых шаг
по времени ограничивается периодом лэнгмюровских колебаний ионов. При использовании чисто неявных схем в уравнении тока решение разностных уравне1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проект №11-01-00064), президентской программы для государственной поддержки ведущей научной
школы РФ (проект НШ-6293.2012.9).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Г. Горобчук
66
ний требует дополнительных итераций по самосогласованию, что снижает эффективность вычислительного алгоритма. Применение в нем явных численных схем
приводит к известному ограничению на шаг по времени. Поэтому для построения
эффективных численных алгоритмов используют преимущества каждой из схем,
которые, в конечном итоге, также обладают определенными недостатками.
Интегрирование уравнений высокочастотного разряда в гидродинамическом
приближении с малым параметром при старшей производной является трудной
вычислительной задачей, связанной с образованием пограничных слоев с большими градиентами искомых величин, ведущих к неравномерной сходимости решения. В работе для построения безусловно монотонной разностной схемы использовался метод экспоненциальной подгонки для численного решения уравнений непрерывности электронов и ионов, а также уравнения электронной энергии,
обобщенный на двумерный случай.
Физико-математическая модель
Рассматривается аксиально-симметричный высокочастотный разряд в гидродинамическом приближении в реакторе плазмохимического травления. Начальнокраевая задача ставится в цилиндрической области, где электродами являются
торцевые поверхности реакционной камеры. В расчетах используется гидродинамическая модель аксиально-симметричного ВЧ-разряда, включающая решение
уравнений непрерывности для электронов и положительных ионов, уравнение баланса энергии электронов и уравнение Пуассона для электрического потенциала.
Введем переменные:
n
μ
D
ρl = l , μl = l , Dl = l , l = e, p;
ne 0
μl 0
Dl 0
ϕ=
T
Φ
r
z
L
, ϑe = e , τ = ft , ξ = , ζ = , A = .
Φ0
Te0
rt
L
rt
Здесь индексы e, p обозначают электроны и ионы соответственно; nl – плотность
частиц; μl , Dl – подвижность и коэффициент диффузии; Te – электронная температура; ϕ – потенциал; f – частота активации; t – время. Плотность, подвижность,
коэффициент диффузии, потенциал и температура обезразмеривались на среднюю
плотность электронов ne0 , характерные значения μl 0 , Dl 0 , потенциал ВЧ-электрода Φ 0 и температуру Te 0 , соответствующую тепловой энергии электронов.
Координаты нормированы на радиус цилиндра rt и межэлектродное расстояние L
соответственно.
Концентрации плазменных компонент находятся из уравнений непрерывности
для электронов и ионов:
⎛ ∂jlξ jlξ ⎞ ∂jlζ
l = e,
∂ρ
fL2
⎧ 1,
, βl = ⎨
(1)
βl Τ l + A2 ⎜
+
+
= βl S l , Τ =
⎟
⎜
⎟
/
,
D
D
l
= p.
De 0
∂τ
ξ ⎠ ∂ζ
p
⎩ e
⎝ ∂ξ
Потоки частиц определяются формулами
jlξ = − sl Pel μl ρl
∂ϕ ∂D l ρl
−
,
∂ξ
∂ξ
jlζ = − sl Pel μl ρl
∂ϕ ∂D l ρl
−
,
∂ζ
∂ζ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одной численной схеме экспоненциальной подгонки для решения уравнений
Pel =
67
{
μl 0 Φ 0
−1, l = e,
, sl =
1, l = p.
Dl 0
Нижние индексы ξ и ζ относятся к направлениям радиальной и аксиальной
координат. Число Пекле характеризует соотношение процессов переноса и диффузии. Источниковый член включает ионизацию исходных молекул и процесс
прилипания электронов к ионам:
Sl =
{
ρe (Da ri − ra ), l = e,
⎡⎛
1 ⎞ E ⎤
ri = exp ⎢⎜1 − ⎟ i ⎥ ,
ρe Da ri ,
l = p,
⎣⎝ ϑe ⎠ kTe 0 ⎦
ra =
L2 nki 0
ν a L2
⎛ E ⎞
; Da =
exp ⎜ − i ⎟ ,
De 0
De0
⎝ kTe0 ⎠
где ri – скорость ионизации, ra – скорость прилипания, Ei – энергия ионизации,
k – постоянная Больцмана, ν a – частота прилипания, n – объемная плотность газа,
ki 0 – коэффициент скорости ионизации. Число Дамкелера пропорционально отношению интенсивности ионизации к диффузии.
Распределение электрического потенциала определяется из уравнения Пуассона:
A2
L2 ene 0
1 ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ 2 ϕ
,
⎜ ξ ⎟ + 2 = Γ(ρe − ρ p ), Γ =
ξ ∂ξ ⎝ ∂ξ ⎠ ∂ζ
εΦ 0
где e – элементарный заряд, ε – диэлектрическая постоянная в вакууме. Введенный параметр Γ характеризует напряженность электрического поля.
Электронная температура находится из уравнения баланса электронной энергии:
⎛ ∂jϑξ jϑξ ⎞ ∂jϑζ
∂ϕ
∂ϕ ⎞
3 ∂
⎛
Τ ( ρe ϑe ) + A2 ⎜
+
− χ ⎜ A2 jeξ
+ jeζ
(3)
⎟⎟ +
⎟ + ΘSe = 0,
⎜
ξ ⎠ ∂ζ
∂ξ
∂ζ ⎠
5 ∂τ
⎝
⎝ ∂ξ
где компоненты потока электронной энергии имеют вид jϑξ = jeξ ϑe , jϑζ = jeζ ϑe .
Параметр χ характеризует отношение энергии электрического поля и тепловой
энергии электронов. Другой параметр Θ отвечает за потери энергии в реакциях
ударной ионизации. Их выражения имеют вид
eΦ 0
h
5
, Θ = i , he 0 = kTe0 ,
χ=
2
he0
he 0
где he 0 – тепловая энергия электронов, hi – потери энергии при ионизации.
На границах расчетной области для уравнений (1) – (3) ставятся следующие
краевые условия:
- на нижнем электроде ( 0 ≤ ξ ≤ ξo , ζ = 0 ) :
ρe = 0,
∂D p ρ p
∂ζ
= 0, ϕ = 0, ϑe = ϑes ;
- на верхнем электроде ( 0 ≤ ξ ≤ ξo , ζ = 1) :
ρe = −γj pζ ,
∂D p ρ p
∂ζ
= 0, ϕ = sin(2πτ), ϑe = ϑes ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Г. Горобчук
68
- на оси симметрии ( ξ = 0, 0 < ζ < 1) :
∂ρe
= 0,
∂ξ
∂ρ p
∂ξ
= 0,
∂ϕ
= 0,
∂ξ
∂ϑe
= 0;
∂ξ
- на боковой поверхности ( ξ = 1, 0 < ζ < 1) :
ρe = 0,
∂D p ρ p
∂ξ
= 0,
∂ϕ
= 0, ϑe = ϑes ;
∂ξ
- на перфорированной границе откачки ( ξo ≤ ξ ≤ 1, ζ = 0 ) :
ρe = 0,
∂D p ρ p
∂ζ
= 0,
∂ϕ
= 0, ϑe = ϑes ;
∂ζ
- на верхнем электроде ( ξo ≤ ξ ≤ 1, ζ = 1) :
ρe = 0,
∂D p ρ p
∂ζ
= 0,
∂ϕ
= 0, ϑe = ϑes ;
∂ζ
где ξo = ro / rt – радиус электродов, γ – коэффициент вторичной электронной
эмиссии, ϑes – электронная температура на электродах.
ВЧ-разряд инициируется в цилиндрическом объеме, в котором низкотемпературная плазма ограничивается непроницаемой боковой стенкой в радиальном направлении. Из-за быстрой рекомбинации электронов на проводящей поверхности
верхнего электрода электронная плотность полагалась равной нулю. На нижнем
электроде учитывался слабый поток вторичной электронной эмиссии. Краевые
условия для ионов записывались в виде диффузионных потоков к границам плазменной области. На оси симметрии задавались условия симметрии. Потенциалы и
электронная температура на электродах предполагались заданными. На боковой
стенке реактора, в верхней части реакционной камеры и на перфорированной границе откачки плотность электронов полагалась равной нулю, электронная температура бралась равной температуре на электродах, а для потенциала использовались мягкие краевые условия.
Конечно-разностная схема
Решение уравнений (1) – (3) является трудной вычислительной задачей из-за
высокой нелинейности и сильной взаимосвязи уравнений. Уравнения непрерывности (1) содержат большие числа Пекле (до 104), что требует применения специальных численных методов. При интегрировании уравнений с малым параметром
при старшей производной возникают сложные вычислительные задачи, связанные
с образованием пограничных слоев с большими градиентами искомых величин,
ведущих к неравномерной сходимости решения. В качестве одного из решений
возникающей проблемы является повышение порядка точности разностной схемы
и использование подробных сеток в области сильного изменения решения. Однако эффективность подобных решений существенно снижается с увеличением жесткости уравнения. Кроме того, раздельная аппроксимация конвективных и диффузионных членов (центральными или направленными разностями против потока
для приближения первой производной и центральной разностью для второй производной) практически не пригодна при построении монотонных схем.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одной численной схеме экспоненциальной подгонки для решения уравнений
69
Основным методологическим подходом при построении безусловно монотонных разностных схем является их регуляризация, частным случаем которой является метод экспоненциальной подгонки или интегральных тождеств, использованный в данной работе [4]. Рассмотрим суть этого метода на примере уравнений
непрерывности (1), записанных для полных потоков частиц, включающих одновременно конвективную и диффузионную части. В рассматриваемой стандартной
области введем прямоугольную сетку с узлами ( ξi , ζ j ) , i = 1,..., N ; j = 1,..., M . Вся
область разбита на некоторое количество непересекающихся контрольных объемов. Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1) по выделенному контрольному объему. Первоначально преобразуем выражение для компоненты потока jlξ к следующему виду:
jlξ
+ D l ρl = −
ul
1 ∂D l ρl
,
ul ∂ξ
μl ∂ϕ
, и проинтегрируем его в пределах от ξi до ξi +1 :
D l ∂ξ
где ul = sl Pel
ξi +1
∫
jlξ
ξi
ul
ξ
ξi +1
dD l ρl
=−
∫
⎛ jlξ
⎞ i +1
ξ
+ D l ρl ⎟
= − ( ul ξ ) ξi +1 .
ln ⎜
⎜u
⎟
i
l
⎝
⎠ ξi
ul d ξ ,
ξi
+ D l ρl
Предполагается, что потоки частиц, скорости дрейфа и коэффициенты переноса
постоянны между узлами разностной сетки: D l ρl ξ = Dli ρli , D l ρl ξ = Dli +1 ρli +1 ,
i +1
i
jlξ
ξi +1
ξi
= jlξ
,
i +1/ 2
ξ
ul ξi +1
i
= uli +1/ 2 . Таким образом, приходим к равенству
⎛ jlξ
⎞
⎛ jlξ
ln ⎜ i +1/ 2 + D li +1 ρli +1 ⎟ − ln ⎜ i +1/ 2 + D li ρli
⎜ ul
⎟
⎜ ul
⎝ i +1/ 2
⎠
⎝ i +1/ 2
⎞
⎟ = −uli +1/ 2 ∆ ξi +1/ 2 ,
⎟
⎠
где ∆ ξi +1/ 2 = ξi +1 − ξi . После преобразования получаем выражение для потока
частиц
jlξ
i +1/ 2
= −ul
ρl
i +1
Dl
i +1
exp(ul
exp(ul
i +1/ 2
i +1/ 2
i +1/ 2
∆ ξi +1/ 2 ) − ρl Dl
i
i
∆ ξi +1/ 2 ) − 1
.
Данное равенство справедливо для любого j = 1,..., M , поэтому окончательное
выражение имеет вид
jlξ
i +1/ 2, j
= −ul
ρl
i +1/ 2, j
i +1, j
Dl
i +1, j
exp(ul
exp(ul
i +1/ 2, j
i +1/ 2, j
∆ ξi +1/ 2 ) − ρl Dl
i, j
i, j
∆ ξi +1/ 2 ) − 1
Аналогичным образом вычисляются остальные потоки jlξ
i −1/ 2, j
, jlζ
.
i , j +1/ 2
, jlζ
i , j −1/ 2
.
Интегрирование по выделенному контрольному объему дифференциальных выражений для потоков частиц дает их конечно-разностные аппроксимации конвективной и диффузионной составляющих одновременно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Г. Горобчук
70
Первые производные в уравнениях непрерывности для электронов и ионов аппроксимируются центральными разностями:
βl Τ
ρlki ,+j1 − ρlki , j
∆ τk
+A
2
jlkξ +1
i +1/ 2, j
− jlkξ +1
i −1/ 2, j
∆ ξi
+
jlkξ +1
i +1/ 2, j
+ jlkξ +1
i −1/ 2, j
2ξi
+
jlkς +1
i , j +1/ 2
− jlkς +1
i , j −1/ 2
∆ζ j
= βl Slk ,
где потоки частиц в радиальном и аксиальном направлениях вычислялись по
формулам
jlkξ +1
i +1/ 2, j
jlkζ +1
i , j +1/ 2
=−
=−
zlk +1
i +1/ 2, j
∆ ξi +1/ 2
zlk +1
i , j +1/ 2
∆ ζ j +1/ 2
⋅
⋅
ρlk +1 Dlk
i +1, j
(
exp zlk +1
i +1, j
i +1/ 2, j
)−ρ
k +1 k
l i , j Dl i , j
) −1
exp ( z
)−ρ
exp ( z
) −1
(
exp zlk +1
ρlk +1 Dlk
i , j +1
,
i +1/ 2, j
k +1
l i , j +1/ 2
i , j +1
k +1 k
l i , j Dli , j
k +1
l i , j +1/ 2
.
Здесь индекс k относится к моменту времени τk , при этом временной шаг составляет величину ∆ τk = τk +1 − τk . Символы zlk +1
i +1/ 2, j
zlk
i +1/ 2, j
= − sPel
μlki +1/ 2, j
Dlki +1/ 2, j
(
)
ϕik+1, j − ϕik, j , zlk
и zlk +1
i , j +1/ 2
i , j +1/ 2
= − sPel
даются формулами
μlki , j +1/ 2
Dlki , j +1/ 2
( ϕik, j +1 − ϕik, j ) .
В направлении ξ узел i+1/2 располагается посередине между узлами i и i+1 разносной сетки, которые разделены отрезком ∆ ξi +1/ 2 = ξi +1 − ξi . Аналогичное расположение узлов используется в направлении ζ , где узел j+1/2 располагается посередине между узлами j и j+1, разделенных отрезком ∆ ζ j +1/ 2 = ζ j +1 − ζ j . Другие
обозначения имеют вид ∆ ξi = ( ξi +1 − ξi −1 ) / 2, ∆ ζ j = ( ζ j +1 − ζ j −1 ) / 2 . Выражения
для потоков jlkξ +1
i −1/ 2, j
, jlkζ +1
i , j −1/ 2
в узлах сетки (i−1/2, j) и (i, j−1/2) имеют аналогич-
ное представление. Значения потенциала ϕik+1, j , ϕik, j , ϕik, j+1 , коэффициентов переноса μlki +1/ 2, j , μlki , j +1/ 2 , Dlki +1/ 2, j , Dlki , j +1/ 2 и источниковый член Slk в численной
схеме брались с предыдущего временного слоя τk .
Для нахождения электрического потенциала решается уравнение Пуассона с
помощью неявной конечно-разностной схемы типа «крест»:
⎛ ϕik+1, j − ϕik, j ϕik, j − ϕik, j −1 ⎞ 1 ⎛ ϕik, j +1 − ϕik, j ϕik, j − ϕik, j −1 ⎞
⎜
⎟ = Γ ρek − ρkp .
⎜
−
⎟+
−
i, j
i, j
⎜ ∆ξ
⎟ ∆ζ ⎜ ∆ζ
⎟
∆
∆
ξ
ζ
⎝
⎠
i +1/ 2
i −1/ 2
j ⎝
j +1/ 2
j −1/ 2
⎠
Аналогичным образом интегрируются выражения для компонент потока электронной энергии. Значения электронной температуры в узлах сетки находятся из
уравнения
A2
∆ ξi
(
k +1 k +1
k
k
jϑkξ+1
− jϑk ξ+1
jϑk ξ+1
+ jϑkξ+1
3 ϑei , j ρei , j − ϑei , j ρei , j
i +1/ 2, j
i −1/ 2, j
i +1/ 2, j
i −1/ 2, j
2
2
Τ
+A
+A
+
5
2ξi
∆ τk
∆ ξi
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одной численной схеме экспоненциальной подгонки для решения уравнений
+
jϑk ς+1
− jϑk ς+1
i , j +1/ 2
i , j −1/ 2
∆ζ j
+
71
)
(
χ 2 k +1
A jeξ
Eξki++1/1 2, j + jekξ+1 Eξki+−1/1 2, j +
i +1/ 2, j
i −1/ 2, j
2
)
(
χ k +1
je
Eζk +1 + jekζ+1 Eζki+, j1−1/ 2 + ΘSeki , j = 0,
i , j −1/ 2
2 ζi , j +1/ 2 i , j +1/ 2
где компоненты потока электронной энергии в радиальном и аксиальном направлениях вычисляются по формулам
+
jϑkξ+1
i +1/ 2, j
=−
jϑkζ+1
i , j +1/ 2
=−
zlk +1
i +1/ 2, j
∆ ξi +1/ 2
zek +1
i , j +1/ 2
∆ ζ j +1/ 2
⋅
⋅
ϑek +1 ρek +1 Dek
i +1, j
i +1, j
i +1, j
(
exp zek +1
(
i +1/ 2, j
exp zek +1
ϑek +1 ρek +1 Dek
i , j +1
i , j +1
i , j +1
i +1/ 2, j
(
)
exp zek +1
(
i , j +1/ 2
k +1 k +1 k
ei , j ρei , j Dei , j
−1
i , j +1/ 2
exp zek +1
)−ϑ
)−ϑ
k +1 k +1 k
ei , j ρei , j Dei , j
) −1
,
.
Компоненты электрического поля определяются как
Eξk +1
i +1/ 2, j
(
)
= − ϕik++1,1 j − ϕik,+j1 / ∆ ξi +1/ 2 , Eζk +1
i , j +1/ 2
(
)
= − ϕik,+j1+1 − ϕik,+j1 / ∆ ζ j +1/ 2 .
Выражения для компонент потока электронной энергии jϑkξ+1
i −1/ 2, j
трического поля Eξk +1
i −1/ 2, j
, Eζk +1
i , j −1/ 2
, jϑkζ+1
i , j −1/ 2
и элек-
имеют аналогичное представление. Вследствие
локального выполнения законов сохранения для конечных контрольных объемов
решение даже на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным соотношениям. Предложенная численная схема сохраняет положительные значения концентраций плазменных компонент и электронной энергии.
Учитывая наличие больших градиентов электрического поля, для устойчивого
расчета потоков электронов и ионов на границах области (на электродах и боковой стенке камеры) использовалась формула линейной интерполяции, позволяющая выразить поток на границе через значения потока внутри области, рассчитанного по экспоненциальной схеме, например, на верхнем электроде:
k +1
k +1
∆ ζ j +1/ 2 jϑζi , j +1/ 2 − jϑζi , j −1/ 2
k +1
k +1
jϑζ
= jϑζ
+
⋅
.
i , j +1
i , j +1/ 2
2
∆ζ j
Каждое из уравнений в сеточной области записывается в виде системы линейных алгебраических уравнений, имеющей матрицу большой размерность с разреженно-упорядоченной структурой. Учитывая небольшое количество переменных
в строке или столбце, для решения таких СЛАУ эффективно использовать классические итерационные или проекционные методы (с предобуславливанием) на
подпространствах Крылова. В работе СЛАУ решались итерационным методом
Гаусса – Зейделя, показавшим хорошую эффективность.
Результаты и обсуждение
В расчетах моделировался ВЧ-разряд в плазмохимическом реакторе травления
радиальной схемы при рабочем давлении p = 0,5 торр [5]. Радиус реакционной
камеры выбирался равным rt = 30 см, а межэлектродное расстояние L = 3,5 см.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Г. Горобчук
72
ВЧ-разряд инициировался на рабочей частоте f = 13,56 MГц при напряжении на
электродах Φ 0 = 110 В. Другие параметры выбирались следующими: плотность
газа n = 3⋅1016 см−3, средняя плотность электронов ne0 = 6⋅109 см−3, электронная
температура на электродах и боковой стенке Tes = 0,5 эВ. Другие размерные величины, входящие в уравнения, брались из работ [1, 2, 5, 6]. Начальные распределения концентраций электронов и ионов выбирались в виде аналитического решения, полученного в диффузионно-дрейфовом приближении для ВЧ-разряда в
цилиндрической области [7]: ρe 0 = ρ p 0 = 3, 63796 J 0 ( 2, 405ξ ) sin ( πζ ) . Начальное
распределение электронной температуры полагалось постоянным (рис. 1).
z, см
4
2
0
5
10
15
20
25
r, см
Рис. 1. Изолинии электронной плотности ne ⋅ 10−10 см−3
в плазмохимическом реакторе
Моделирование ВЧ-разряда с гармоническим током разряда требует решения
нестационарных уравнений переноса зарядов и баланса энергии электронов.
В расчетах рассматривалось до 104 периодов ВЧ-разряда, когда колебания электронной плотности и температуры выходили на периодический режим. Из-за высокой нелинейности исходных уравнений, включающих решение уравнения Пуассона, полученные неявные численные схемы являются условно устойчивыми.
В этой связи шаг по времени выбирался в диапазоне ∆ τk ≈ 5 ⋅10−6 − 10−4 , при этом
размер сетки составлял 40×20 узлов по пространственным переменным.
Тестирование алгоритма проводилось на основе сравнения численного решения с аналитическим, полученным в диффузионно-дрейфовом приближении для
ВЧ-разряда между двух поверхностей [7]: ρe0 = 1,57079sin ( πζ ) . При этом на
верхнем электроде ( 0 ≤ ξ ≤ ξo , ζ = 1) вместо краевого условия ρe = −γj pζ бралось
условие ρe = 0 , а на выходе из плазменной области ( ξ = ξo , 0 < ζ < 1) ставились
мягкие условия. Найдено, что расчетная электронная плотность однородна вдоль
радиальной координаты, а ее профиль на оси симметрии практически совпадает с
синусоидальной зависимостью от высоты реактора. Максимальное локальное отклонение не превосходит величины 0,05, что находится в пределах ошибки аппроксимации.
На рисунке представлено распределение электронной плотности в плазмохимическом реакторе травления радиальной схемы. Электронная плотность максимальна в центре реактора и монотонно спадает до нуля с приближением к электродам, а также и в радиальном направлении к боковой стенке реактора. Максимальная плотность электронов (в сечении z = 3,25 см) монотонно уменьшается
вдоль радиуса на 0,3, 2,3, 17,1 и 72 % при r = 8,14, 14,57, 21,00 и 27,43 см соответственно. Если не рассматривать крайнее значение r = 27,43 см, то снижение расчетного распределения электронной плотности по радиусу реактора составляет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одной численной схеме экспоненциальной подгонки для решения уравнений
73
∼17 %, что должно существенно повлиять на однородность обработки кремниевых подложек. Отношение безразмерных времен для электронов и ионов составляет величину 104, что соответствует более быстрому процессу диффузии электронов по сравнению с ионами. В расчетах это приводит к тому, что ионы остаются неподвижными, а электроны откликаются на высокочастотное электрическое поле. Сравнение расчетной электронной плотности в различные моменты периода колебаний напряжения показали, что концентрация электронов изменяется
только в близи электродов. Распределение ионной плотности повторяет структуру
распределения электронной плотности и не реагируют на высокочастотное поле.
Среднее по периоду значение электронной температуры приблизительно равно
5,9 эВ. Исключение составляют узкие приэлектродные слои, где электронная температура резко меняется.
Заключение
Предложена 2D-неявная экспоненциальная разностная схема для решения
уравнений непрерывности электронов и ионов, а также уравнения электронной
энергии в задаче об аксиально-симметричном высокочастотном разряде в гидродинамическом приближении. На основе моделирования ВЧ-разряда в плазмохимическом реакторе травления радиальной схемы показано, что численная схема
обеспечивает положительные значения электронной температуры и концентраций
плазменных компонент.
ЛИТЕРАТУРА
1. Graves D.B., Jensen K.F. A continuum model of DC and RF discharges // IEEE Transactions
on Plasma Science. 1986. V. PS-14. P. 78−91.
2. Lymberopoulos D.P., Economou D.J. Fluid simulation of glow discharges: effect of metastable atoms in argon // J. Appl. Phys. 1993. V. 73. P. 3668−3679.
3. Гадияк Г.В., Швейгерт В.А., Ууэмаа О.У. Математическое моделирование тлеющего газового разряда // Изв. СО АН СССР. Сер. технических наук. 1988. № 21. Вып. 6.
С. 41−47.
4. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.
5. Григорьев Ю.Н., Горобчук А.Г. Особенности интенсификации травления кремния в
CF4/O2 // Микроэлектроника. 2007. Т. 36. № 4. С. 283−294.
6. Физические величины: справочник / под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.:
Энергоатомиздат, 1991.
7. Cherrington B.E. Gaseous electronics and gas lasers. Oxford: Pergamon Press, 1980.
Статья поступила 17.06.2013 г.
Gorobchuk A. G. ON A NUMERICAL SCHEME OF EXPONENTIAL FITTING FOR SOLVING RADIO-FREQUENCY DISCHARGE EQUATIONS IN THE HYDRODYNAMIC APPROXIMATION. The numerical modeling of the RF discharge in the hydrodynamic approximation is widely used in studying processes of plasma-chemical etching of semiconductor materials.
The integration of RF discharge equations with a small parameter at the high-order derivative is a
difficult problem connected with the formation of boundary layers with big gradients of required
values. In addition, the equations are described by a high nonlinearity and strong interrelation,
which needs using special highly stable numerical methods. The basic methodological approach
in developing absolutely monotonous finite-difference schemes is their regularization a special
case of which is the method of exponential fitting used in this work. The proposed finitedifference scheme is considered by an example of continuity equations. The integration by the
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
74
А.Г. Горобчук
control volume of differential expressions for particle flows yields their finite-difference approximations of convective and diffusion components simultaneously, which provides their stable
calculation at big gradients of the potential. The expressions for the flows received for the continuity equations are generalized for the electron energy equation. The introduced implicit exponential finite-difference scheme guarantees to get the solution for big Peclet numbers with keeping positive values of electron temperature and concentrations of plasma components.Key words:
radio-frequency discharge, method of exponential fitting.
Keywords: radio-frequency discharge, method of exponential fitting
GOROBCHUK Aleksey Gennad’evich (Candidate of Physics and Mathematics, Novosibirsk State
University, Institute of Computational Technologies of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, Russian Federation)
E-mail: alg@eml.ru
REFERENCES
1. Graves D.B., Jensen K.F. A continuum model of DC and RF discharges (1986) IEEE Transactions on plasma science. V. PS-14, pp. 78−91.
2. Lymberopoulos D.P., Economou D.J. Fluid simulation of glow discharges: effect of metastable atoms in argon (1993) Journal of Applied Physics. V. 73, pp. 3668−3679.
3. Gadiyak G.V., Shveygert V.A., Uuemaa O.U. Matematicheskoe modelirovanie tleyushchego
gazovogo razryada (1988) Izvestiya SO AN SSSR: seriya tekhnicheskikh nauk. No. 21.
Vyp. 6, pp. 41−47. (in Russian)
4. Dulan E., Miller Dzh., Shilders U. Ravnomernye chislennye metody resheniya zadach s
pogranichnym sloem. Moscow, Mir Publ., 1983. (in Russian)
5. Grigor'ev Yu.N., Gorobchuk A.G. Osobennosti intensifikatsii travleniya kremniya v CF4/O2
(2007) Mikroelektronika. V. 36. No. 4, pp. 283−294. (in Russian)
6. Fizicheskie velichiny. Spravochnik. Pod red. I.S. Grigor'eva, E.Z. Meylikhova. Moscov, Energoatomizdat Publ., 1991. (in Russian)
7. Cherrington B.E. Gaseous Electronics and Gas Lasers. Oxford, Pergamon Press, 1980.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
УДК 620.9
Ж.Т. Камбарова, А.Р. Алибекова, М.М. Тургунов,
Е.К. Кусаиынов, Г.А. Ранова
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНОЙ
ЛОПАСТИ ВЕТРОТУРБИНЫ ДЛЯ МАЛЫХ СКОРОСТЕЙ ВЕТРА
Разработан экспериментальный макет ветротурбины с динамически изменяемой формой поверхности лопастей, а также определены и рассчитаны
значения силы лобового сопротивления.
Ключевые слова: ветротурбина, лопасть, аэродинамическая характеристика, число Рейнольдса, угол атаки, сила лобового сопротивления.
Преимущество парусных ветродвигателей в том, что они обладают способностью вырабатывать электрическую энергию при слабом ветре. Достаточно потока
ветра со скоростью 3−5 м/с, чтобы ветротурбина парусного типа вырабатывала
электроэнергию, в то время как ветродвигатели лопастного винтового типа в таких условиях стоят неподвижно. Сравнивая лопасти классических мельниц с парусными, можно сказать, что парусные лопасти проще в изготовлении. Парус
имеет качество – мгновенно подстраивается под направление и силу потока ветра. Также ветродвигатели парусного типа имеют ряд достоинств: экологичность,
низкая стоимость, способность использовать энергию слабых ветров, отсутствие
вибраций и шума. Первыми ветродвигателями, эффективно преобразующими
энергию приповерхностных ветров малой скорости в энергию механического
движения судов по водной поверхности, были паруса различной формы, в том
числе треугольной. Парусные ветродвигатели обладают уникальной особенностью – они одинаково эффективно работают как при малых значениях скорости
ветра, так и при больших за счет динамически изменяемой формы рабочей поверхности под воздействием потока ветра.
Физические основы работы ветротурбины с динамически изменяемой
формой поверхности лопастей
Авторами настоящей работы была разработана ветротурбина парусного типа
треугольной формы лопастей. Новизной работы является использование в качестве силовых элементов лопастей ветротурбины с динамически изменяемой формой
поверхностей, выполненных в виде треугольного гибкого паруса с подвижным
концом. На рис. 1 представлена схема работы ветротурбины с динамически изменяемой формой поверхности лопастей.
Ветротурбина работает следующим образом: под воздействием потока ветра
треугольная лопасть ветротурбины, расположенная под углом к направлению
движения потока ветра, испытывает боковую силу давления и согласно законам
аэродинамики толкает каркас, приводя его во вращательное движение. Появляющаяся сила является силой тяги лопасти, преобразующей энергию ветра во вращательное движение ветротурбины. При изменении направления ветра на противоположное направление вращения оси предлагаемой авторами ветротурбины не
изменяется (рис. 2).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ж.Т. Камбарова, А.Р. Алибекова, М.М. Тургунов, Е.К. Кусаиынов, Г.А. Ранова
76
6
4
1
5
2
7
3
Рис. 1. Схема работы ветротурбины с динамически изменяемой
формой поверхности лопастей: 1 – лопасть ветротурбины с динамически изменяемой формой; 2, 3, 4 – каркас; 5 – регулируемое гибкое крепление подвижного конца лопасти, изготовленное из крепкой нити; 6 – направление ветра; 7 – направление
вращения ветротурбины
6
а
б
1
1
4
2
3
5
5
3
6
Рис. 2. Схема работы лопасти ветротурбины
при прямом (а) и обратном (б) направлениях ветра
Как показано на рис. 2, лопасть 1 с динамически изменяемой формой поверхности за счет воздействия ветра, выполненная в виде треугольного «паруса» с
подвижным концом, при изменении направления ветра перекидывается в другую
сторону вращающегося каркаса ветротурбины, тем самым обеспечивается сохранение первоначального направления вращения оси ветротурбины. На рис. 2 приведены следующие обозначения: 1 – лопасть ветротурбины, 2 – гибкое крепление
подвижного конца лопасти, изготовленное из капроновой (парашютной) нити,
3, 4 – стержни каркаса ветротурбины, 5 – ось вращения и изогнутая стрелка – направление вращения оси ветротурбины, 6 – стрелками показано направление ветра. Работа лопасти при прямом и обратном направлениях ветра обозначены буквами а и б соответственно.
Предлагаемая ветротурбина, за счет саморегулируемой формы поверхности
лопастей, под действием прямого потока ветра и радиального потока при враща-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование лобового сопротивления треугольной лопасти ветротурбины
77
тельном движении обладает оптимальными аэродинамическими характеристиками. Ветротурбина в потоке ветра является самоорганизованным устройством, эффективно преобразующим энергию ветра в энергию вращательного движения.
Гибкость конструкции обеспечивает минимальность аэродинамических сопротивлений, а также приводит к росту коэффициента использования ветра.
В широком диапазоне изменения направления ветра ветротурбина сохраняет
работоспособность. При этом изменение направления ветра на противоположное
не изменяет направления вращения оси ветротурбины. Это также является положительным эффектом, обладающим удобством при эксплуатации.
Имеется возможность поддержания постоянства оборотов ветротурбины при
изменении скорости ветра путем изменения длины крепежных нитей подвижного
конца лопастей в зависимости от скорости ветра.
Определение значения силы лобового сопротивления
в зависимости от различных параметров
Для оценки эффективности преобразования энергии ветра в энергию вращательного движения проведены ряд исследований по определению аэродинамических характеристик одной лопасти уменьшенного экспериментального макета,
выполненной в виде треугольного «паруса» с подвижным концом.
При экспериментах макет ветротурбины обтекался воздушным потоком при
различных скоростях. Для этого уменьшенный макет ветродвигателя парусного
типа был установлен в рабочей части аэродинамической трубы Т-1-М. На рис. 3
показано расположение экспериментального макета ветротурбины в рабочей части аэродинамической трубы Т-1-М.
Рис. 3. Расположение экспериментального макета ветротурбины
в рабочей части аэродинамической трубы Т-1-М
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78
Ж.Т. Камбарова, А.Р. Алибекова, М.М. Тургунов, Е.К. Кусаиынов, Г.А. Ранова
Треугольная парусная лопасть уменьшенного экспериментального макета с
подвижным концом была установлена в рабочей части аэродинамической трубы
Т-1-М и закреплена к раме аэродинамических весов с помощью тонких металлических растяжек для уменьшения сопротивления вспомогательных элементов.
Аэродинамические весы позволяют измерять силу лобового сопротивления, подъёмную силу и крутящий момент оси ветротурбины. У треугольного паруса основная площадь и, следовательно, нагрузка сосредоточены в нижней трети.
На рис. 4, а представлена зависимость силы лобового сопротивления от скорости воздушного потока одной парусной лопасти с подвижным концом макета ветротурбины. Из графика видно, что при увеличении скорости потока ветра возрастает сила лобового сопротивления. Таким образом, сила лобового сопротивления
прямо пропорциональна скорости потока ветра. Это объясняется тем, что при
увеличении скорости воздушного потока увеличивается давление, действующее
на поверхность парусной лопасти треугольной формы. На рис. 4, б представлены
зависимости силы лобового сопротивления одной парусной лопасти макета ветротурбины от угла атаки воздушного потока при различных скоростях потока
ветра: 3 и 5 м/с. Из данного графика видно, что при увеличении угла атаки воздушного потока сила лобового сопротивления лопасти уменьшается. Это связано
Fл.с, Н
а
1,2
0,8
0,4
0
2
4
6
8
10
Fл.с, Н
u, м/с
3 м/с
5 м/с
б
0,28
0,18
0,08
0
20
40
60
80
α, град
Рис. 4. Зависимость силы лобового сопротивления одной парусной
лопасти макета ветротурбины от скорости воздушного потока (а)
и угла атаки потока ветра (б)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование лобового сопротивления треугольной лопасти ветротурбины
79
с тем, что при увеличении угла атаки воздушного потока уменьшается площадь
миделевого сечения парусной лопасти ветротурбины. Здесь угол атаки α = 0° соответствует прямому направлению потока ветра.
Рис. 5 представляет зависимости коэффициента лобового сопротивления одной парусной лопасти макета ветротурбины от числа Рейнольдса (а) и от безразмерного угла атаки воздушного потока (б).
Сх
а
3
2
1
1
3
5
7
9
11
Сх
Re⋅10–4
3 м/с
5 м/с
4
б
3
2
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
β
Рис. 5. Зависимости коэффициента лобового сопротивления одной парусной
лопасти макета ветротурбины от числа Рейнольдса (а) и безразмерного угла
атаки (б)
Из рис. 5, а видно, что при увеличении числа Рейнольдса коэффициент лобового сопротивления вначале убывает. При дальнейшем возрастании числа Рейнольдса уменьшение коэффициента лобового сопротивления замедляется. В области чисел Рейнольдса 4·104−11·104 коэффициент лобового сопротивления остается примерно постоянным. Из графика зависимостей рис. 5, б видно, что в диапазоне безразмерных углов атаки от 0 до 0,3 коэффициент лобового сопротивления
для обеих скоростей одинаков, а начиная со значения β = 0,3, наблюдается небольшое различие в значениях коэффициента лобового сопротивления.
Заключение
В данной работе рассмотрен процесс работы ветротурбины с динамически изменяемой формой поверхности лопастей. Изучена схема работы лопасти ветротурбины при прямом и обратном направлениях ветра. Определены значения силы
лобового сопротивления элемента в виде зависимости от различных параметров.
В статье приведены графики зависимости силы лобового сопротивления одной
парусной лопасти макета ветротурбины от скорости воздушного потока и угла
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80
Ж.Т. Камбарова, А.Р. Алибекова, М.М. Тургунов, Е.К. Кусаиынов, Г.А. Ранова
атаки потока ветра, а также зависимость коэффициента лобового сопротивления
одной парусной лопасти макета ветротурбины от числа Рейнольдса и безразмерного угла атаки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кашин Ю.А., Кашина Р.Е. Автономная ветроэнергетическая установка (АВЭУ) с максимальным уровнем конверсии энергии ветра. Математическая модель ветротурбины //
Вестник Гомельского государственного технического университета им. П.О. Сухого.
2004. № 3. С. 59−64.
2. Хозяинов Б.П. Определение мощности модели ветродвигателя с вертикальной осью
вращения ветротурбины, оборудованной тремя лопастями типа «Колокол» // Альтернативная энергетика и экология. 2010. № 6. С. 52−55.
3. Кусаиынов К., Камбарова Ж.Т., Тургунов М.М. и др. Исследование аэродинамических
характеристик модели ветротурбины с динамически изменяемой формой поверхности
лопастей // Вестник Карагандинского университета. Сер. Физика. 2013. № 4 (72).
С. 55−61.
4. Sakipova S.E., Kambarova Zh.T., Turgunov M.M., et al. Development of sail type wind turbine
for small wind speeds // Eurasian Physical Technical Journal. Karaganda: KarSU, 2013.
V. 10. No. 2 (20). P. 20−25.
5. Кусаиынов К., Жакатаев Т.А., Ботпаев Н.К. О возможности повышения КПД ветрогенератора на основе распределения наведенного магнитного поля по кольцевому контуру
статора // Вестник Карагандинского университета. Сер. Физика. 2013. № 4 (72). С. 80− 87.
6. Кусаиынов К., Тургунов М.М., Ахмадиев Б.А., Тансикбаева Н.К., Дюсембаева А.Н.
Влияние пористости на аэродинамические характеристики вращающегося цилиндра //
Современная наука: исследования, идеи, результаты, технологии. 2013. № 1 (12).
С. 425−429.
Статья поступила 15.04.2014 г.
Kambarova Zh.T., Alibekova A.R., Turgunov M.M., Kusaiynov E.K., Ranova G.A. STUDYING
THE DRAG OF A TRIANGULAR WIND TURBINE BLADE FOR LOW WIND VELOCITIES. This paper is devoted to the development of an experimental model of a wind turbine with
a dynamically changing shape of the blade surface, as well as to the determination and calculation
of the drag force value. The article considers characteristics of the wind turbine experimental
model. The scheme of the wind turbine blade operation was considered. The drag force was determined. The article presents plots of the drag force for a sail blade of the wind turbine model as
a function of the air flow velocity and wind flow angle of attack, as well as the drag coefficient of
a sail blade of the wind turbine model as a function of the Reynolds number and dimensionless
angle of attack. The advantage of sailing wind engines is that they can generate electrical energy
in a light wind. A wind flow with a speed of 3–5 m/s is sufficient for the sail type wind turbine
produces electricity while blade screw type wind engines stand immovably in such conditions.
The authors of this work have been developed a sailing type wind turbine with triangular blades.
The novelty of the work is the use of wind turbine blades with dynamically changeable shapes of
surfaces as power elements of wind turbine blades. They are made in the form of a triangular
flexible sail with a free end.
Keywords: wind turbine, blade, aerodynamic characteristic, Reynolds number, angle of attack,
drag force.
KAMBAROVA Zhanar Tursunovna (PhD, Karaganda state University
named by E.A.Buketov, Karaganda., Resp. Kazakhstan)
E-mail: kambarova@bk.ru
ALIBEKOVA Asem Ravshanbekovna (M. Sc., Karaganda state University
named by E.A.Buketov, Karaganda., Resp. Kazakhstan)
E-mail: asem.alibekova@bk.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование лобового сопротивления треугольной лопасти ветротурбины
81
TURGUNOV Muratzhan Mirzoevich (M. Sc., Karaganda state University
named by E.A.Buketov, Karaganda., Resp. Kazakhstan)
E-mail:turgun@mail.ru
KUSAIYNOV Erlan Kusainovich (M. Sc., Karaganda state University
named by E.A.Buketov, Karaganda., Resp. Kazakhstan)
RANOVA Gulden Amanbaeva (Karaganda state University
named by E.A.Buketov, Karaganda., Resp. Kazakhstan)
E-mail:gguullddeenn@mail.ru
REFERENCES
1. Kashin Yu.A., Kashina R.E. Avtonomnaya vetroenergeticheskaya ustanovka (AVEU) s maksimal'nym urovnem konversii energii vetra. Matematicheskaya model' vetroturbiny (2004)
Vestnik gomel'skogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. P.O. Sukhogo. No. 3,
pp. 59−64. (in Russian)
2. Khozyainov B.P. Opredelenie moshchnosti modeli vetrodvigatelya s vertikal'noy os'yu vrashcheniya vetroturbiny, oborudovannoy tremya lopastyami tipa «Kolokol» (2010) Al'ternativnaya energetika i ekologiya. No. 6, pp. 52−55. (in Russian)
3. Kusaiynov K., Kambarova Zh.T., Turgunov M.M., Omarov N.N., Ranova G.A. Issledovanie
aerodinamicheskikh kharakteristik modeli vetroturbiny s dinamicheski izmenyaemoy formoy
poverkhnosti lopastey (2013) Vestnik Karagandinskogo universiteta. Ser. Fizika. No. 4(72),
pp. 55−61. (in Russian)
4. Sakipova S.E., Kambarova Zh.T., Turgunov M.M., Kussaiynov E.K., Kussaiynova A.K. Development of sail type wind turbine for small wind speeds (2013) Eurasian Physical Technical
Journal. V.10. No. 2 (20), pp. 20−25.
5. Kusaiynov K., Zhakataev T.A., Botpaev N.K. O vozmozhnosti povysheniya KPD vetrogeneratora na osnove raspredeleniya navedennogo magnitnogo polya po kol'tsevomu konturu statora (2013) Vestnik Karagandinskogo universiteta. Ser. Fizika. No. 4(72), pp. 80−87. (in Russian)
6. Kusaiynov K., Turgunov M.M., Akhmadiev B.A., Tansikbaeva N.K., Dyusembaeva A.N. Vliyanie poristosti na aerodinamicheskie kharakteristiki vrashchayushchegosya tsilindra (2013)
Sovremennaya nauka: issledovaniya, idei, rezul'taty, tekhnologii. No. 1(12), pp. 425−429. (in
Russian)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
УДК 539.63
С.А. Кинеловский, К.К. Маевский
МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ ПОРИСТЫХ СМЕСЕЙ, ВКЛЮЧАЮЩИХ В СВОЙ
СОСТАВ ЖЕЛЕЗО, ПРИ УДАРНО-ВОЛНОВОМ НАГРУЖЕНИИ1
Для описания поведения содержащих железо смесей используется термодинамически равновесная модель, обеспечивающая хорошее соответствие эксперименту. Модель позволяет достоверно описывать ударно-волновое нагружение сплошного и пористого железа, а также смесей, включающих железо в своем составе для давлений выше 5 ГПа, используя только параметры
компонентов. Проведено сравнение результатов расчетов с известными экспериментальными результатами.
Ключевые слова: ударная адиабата, пористая гетерогенная среда, термодинамическое равновесие, однотемпературное приближение, односкоростное приближение, коэффициент Грюнайзена.
Для многих задач современной науки и практики представляет большой интерес поведение пористых смесей порошковых материалов при ударно-волновом
нагружении. Эти исследования важны для решения задач динамического компактирования, ударно-волнового синтеза и других взрывных технологий. Учитывая
распространенность железа в природе, построение модели, достоверно описывающей ударно-волновое нагружение смесей, включающих в свой состав железо,
позволяет решать указанные задачи для этого компонента.
В связи с большим разнообразием по составам и пористостям порошковых
смесей, для расчета ударно-волнового воздействия на них предпочтительно использовать уравнения состояния только компонентов смеси. Для описания поведения смесей, содержащих в своем составе в качестве компонента железо, используется модель, основанная на предположении, что все компоненты смеси,
включая газ в порах, при ударно-волновом нагружении находятся в термодинамическом равновесии (равенство скоростей, давлений и температур) [1, 2]. Данная
модель TEC (thermodynamic equilibrium components) достаточно перспективна
для определения параметров высокого динамического нагружения как сплошных,
так и пористых материалов, а также порошков и смесей на их основе при описании поведения ударно-сжатых материалов в диапазоне давления выше 5 ГПа. Поведение конденсированных фаз моделируется, используя уравнения состояния
типа Ми – Грюнайзена. Данное уравнение состояния широко применяется в решениях практических задач, при этом вид и параметры уравнения могут определяться несколькими путями [3−6].
Для решения поставленной задачи уравнения, определяющие состояние конденсированных фаз пористой смеси, записываются в предположении, что давление и внутреннюю энергию можно определить в виде
P(ρ,T) = Px + Pт и E(ρ,T) = Ex + Eт.
Холодная составляющая давления Pх описывается уравнением типа уравнения Тэ1
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 13-03-00663).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель поведения пористых смесей, включающих в свой состав железо
83
та. Тогда уравнение состояния для каждого i-го компонента с текущей и начальной плотностью ρi, ρi0 и теплоемкостью cvi имеет вид
P = Ai((ρi/ρi0)n – 1) + Гicvi(T – T0) ,
где i = 1, 2,… . Для газа используется уравнение состояния идеального газа.
В рамках данной модели (в предположении, что ударная адиабата смеси существует) записываются условия динамической совместности на фронте волны: условия сохранения потока массы для каждого компонента смеси и условия сохранения потоков импульса и энергии для смеси в целом. В [1] показано, что полученных уравнений в совокупности с уравнением состояния каждого компонента достаточно для нахождения зависимостей типа P(U) или D(U) (P,U,D – давление,
массовая и волновая скорости соответственно), которые можно трактовать как
ударные адиабаты многокомпонентной смеси. Для смеси с двумя твердыми компонентами, имеющими начальные объемные доли µ10 и µ20, можно получить следующие выражения [2]:
μ σ
Z1 + Z 2 20 1
μ10 σ2
P=
,
(1)
(1 − μ10 − μ 20 )σ1
μ 20 σ1
σ
h1 +
h2 +
h3 − 1
μ10 σ 2
μ10 σ g
μ10
где
n + 1⎤
2n σ
⎡⎡
⎤
Z i =Ai ⎢⎢ hi − i ⎥ σi ni + i i − hi − 1⎥ ,
−
−
n
1
n
1
⎣⎣
⎦
⎦
i
i
hi =
2
2
+ 1 , i = 1,2; h3 =
+1.
Гi
γ −1
Здесь σ1 = ρ1/ρ10, σ2 = ρ2/ρ20, σg = ρg/ρg0 – степени сжатия соответствующего компонента, а ρg, ρg0 текущая и начальная плотности газа. Учитывая равенство температур компонентов, получаем в итоге 3 уравнения для 4 переменных P, σ1 ,σ2 , σg ,
позволяющие построить ударную адиабату смеси. Для получения уравнений,
соответствующих чистому веществу, достаточно положить µ20 = 0, тогда пористое
вещество будет описываться как смесь с одним конденсированным компонентом.
Так как пористые материалы характеризуются существенным ростом температуры при динамическом воздействии, была сделана попытка рассматривать коэффициент Грюнайзена, зависящим в явном виде только от температуры [1, 2]:
1
(2)
Г (T ) =
+ Г (Т ∞ ) ,
1
+ С ∗ (T − T0 )
Г (Т 0 ) − Г (Т ∞ )
Г(Т0) берется на основании известных данных при нормальных условиях. Значение коэффициента С, позволяющее описывать экспериментальные точки при
средних сжатиях, определяется по промежуточному значению Г(Т*) при температуре Т = Т*, асимптотическое значение Г(Т∞) – соответствует максимальным сжатиям:
Г(Т) → Г(Т0) при T → Т0, Г(Т) → Г(Т∞) при T → T∞.
Значения параметров A, n, Т*, Г(Т*) и Г(Т∞) модели TEC для материалов, использовавшихся в качестве компонентов исследуемых смесей, определялись по
соответствию результатов расчета экспериментальным данным по ударноволновому воздействию на сплошные образцы этих материалов. Эксперименталь-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.А. Кинеловский, К.К. Маевский
84
ные данные, приведенные в данной работе, брались на сайте [7], а также из сборника экспериментальных данных [8]. Использовались данные о свойствах материалов при динамических нагрузках по давлению в диапазоне от 5 до 20000 ГПа.
В таблице приведены значения параметров для компонентов, входящих с состав
рассмотренных далее смесей (железо, углерод (алмаз), сера, медь, вольфрам,
кремний).
Компонент
Fe
C
S
Cu
W
Si
A,
ГПа
59,07
200
15,47
34,83
101,8
0,90
Ρ,
г/см3
7,879
3,515
1,740
8,930
19,235
2,360
n
3,2
2,6
2,7
4,0
3,1
7,5
cv,
Дж/кгК
574
500
1000
380
140
714
Г(T0)
Г(T*)
1,68
1,1
1,46
1,91
1,61
0,74
1,48
0,65
0,85
1,25
1,35
0,35
T*,
К·10−3
23
20
23
23
23
10
Г(T∞)
0,51
0,60
0,50
0,51
0,40
0,10
На рис. 1 показаны результаты расчетов ударной адиабаты железа (зависимость давления от степени сжатия σ = ρ/ρ0).
Р, ГПа
400
300
1
2
3
4
200
100
0
1
1,2
1,4
1,6
1,8
σ
Рис. 1. Ударная адиабата сплошного железа. Расчет по модели TEC – 1;
экспериментальные данные: 2 – [9], 3 – [10], 4 – [11]
Определенные для железа по модели TEC параметры позволили описать экспериментальные результаты и для сверхвысоких сжатий. Наличие расчетов состояния железа вдоль ударных адиабат по другим моделям позволяет производить
сравнение с использующейся моделью. Диаграмма состояний железа, на которой
нанесены расчетная ударная адиабата и экспериментальные точки по динамическому сжатию сплошного железа m = 1 (пористость m далее определяется как отношение плотностей сплошного и пористого материалов) в области высоких давлений, приведена на рис. 2 и 3. Для сравнения приведены расчеты ударной адиабаты сплошного железа, полученные по химической модели [12] и по модели
TEC. Сравнение проводится наложением расчетов по модели TEC на графики,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель поведения пористых смесей, включающих в свой состав железо
85
приведенные в [13]. Результаты расчетов, представленные на рис. 2 в координатах
давление – сжатие и рис. 3 в координатах волновая – массовая скорости, демонстрируют более чем удовлетворительное (не только по качественному поведению,
но и по величине динамических характеристик на ударной адиабате) совпадение
расчетных результатов модели ТЕС с экспериментальными данными различных
авторов в пределах точности эксперимента.
Р, ГПа
ρ0
104
1
2
3
4
103
10
20
ρ, г/см3
30
Рис. 2. Ударная адиабата сплошного железа (m = 1).
Расчет: сплошная линия – результаты расчета [12],
пунктирная линия – расчет по TEC, стрелка – нормальная плотность железа. Экспериментальные данные: 1 – [14], 2 – [15], 3 – [16]
D, км/с
80
60
40
1
2
3
4
20
0
20
40
60
U, км/с
Рис. 3. Ударная адиабата сплошного железа (m = 1).
Обозначения те же, что и на рис. 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.А. Кинеловский, К.К. Маевский
86
Достоверное описание ударных адиабат для сплошного железа при помощи
рассматриваемой модели TEC достигается и для пористых образцов железа. Расчеты ударных адиабат пористого железа показали удовлетворительное согласие с
результатами многочисленных измерений. Следует учесть, что расчеты для пористого железа проводились без использования подгонки, то есть параметры модели, определенные для сплошного материала, далее использовались для описания поведения пористых веществ без дополнительных уточнений, позволяя при
этом описывать экспериментальные данные в широком диапазоне пористостей и
давлений.
На рис. 4 представлена P – σ-диаграмма пористого железа. Эти результаты
показывают хорошее совпадение расчетов с экспериментальными данными для
железа с пористостью m = 1,42, 1,83, 3,28, 10. Учет зависимости (2) коэффициента
Грюнайзена от температуры при высоких динамических нагрузках пористых материалов позволил расширить диапазон достоверного описания экспериментальных данных, как по пористости, так и по давлению.
Р, ГПа
1000
100
10
1
1
2
3
4
2
4
6
8
10
ρ, г/см3
Рис. 4. Ударные адиабаты пористого железа. Расчеты
по модели TEC с соответствующими экспериментам
пористостями – сплошные линии. Экспериментальные
данные: 1 – (m = 1,42) [9], 2 – (m = 1,83), 3 – (m = 3,28)
[17], 4 – (m = 10) [18]
Техника мощных ударных волн позволяет получить высокие давления и температуры в сжатом веществе, в то время как область понижения плотностей со
стороны конденсированных состояний оказывается недоступной для этих методов
исследования [19]. Для продвижения в эту область используется метод адиабатического расширения [20]. Рассматриваемая модель позволяет описывать изэнтропы разгрузки. Система уравнений, описывающая изменение термодинамических
величин вдоль изэнтропы, включает уравнение изэнтропы dE = –PdV и уравнение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель поведения пористых смесей, включающих в свой состав железо
87
состояния. Уравнение изэнтропы, проходящей через точку P1т, σ1 на ударной
адиабате, где σ – отношение плотностей, имеет вид [21].
P = Px(σ) + P1т(σ/σ1)Г+1.
(3)
Приращение массовой скорости ∆u при изэнтропическом расширении из начального состояния P1, σ1, u1 до давления P равно
∆u = ∫
P
P1
− dPdV ,
(4)
где давление берется вдоль изэнтропы (3) Полная скорость частиц предварительно сжатого ударной волной вещества u = u1 + ∆u [21].
Сравнения расчетов для сплошной меди (m = 1) и никеля (m = 1) по модели
ТЕС с экспериментальными данными были показаны в [1]. На рис. 5 аналогичные
результаты представлены для железа (m = 1). Сплошной линией показана ударная
адиабата, пунктиром – изэнтропы из начальных точек 98, 154 и 193 ГПа. Из результатов, показанных на рис. 5, видно, что описание экспериментальных данных
по адиабатической разгрузке сплошного железа вполне достоверно.
Р, ГПа
1
2
3
4
200
150
100
50
0
2
4
6
U, км/с
Рис. 5. Расчет по модели ТЕС: ударная адиабата, адиабатическая разгрузка сплошного железа (m = 1). Экспериментальные данные: 1 – [8],
2, 3 – [22], 4 – [8]
Полученные результаты показывают возможность описания в широком диапазоне сжатий как монолитного, так и пористого железа с использованием предложенной зависимости функции Грюнайзена в явном виде только от температуры.
При расчетах ударно-волнового воздействия на смеси рассматривались как
пористые смеси, так и сплавы. Расчеты по сплавам можно рассматривать как тестовые, ввиду того, что для них имеется большое количество экспериментальных
данных. Положив объемную долю воздуха равной 0, получаем возможность проводить расчеты для сплавов, рассматривая сплав как смесь с пористостью m = 1.
Расчеты, выполненные для сплавов никеля с медью и железа с медью по модели
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.А. Кинеловский, К.К. Маевский
88
ТЕС [2], подтвердили это предположение для давлений выше 5 ГПа, при которых
данная модель достоверно описывает поведение чистых веществ. На рис. 6 для
сплавов железа с кремнем (массовые долями 75/25) и железа с медью (52/48)
представлены расчетные и экспериментальные зависимости давления от плотности. Видно, что результаты расчета по модели ТЕС хорошо согласуются с данными, полученными на основании эксперимента.
Р, ГПа
3
4
400
300
2
1
200
100
0
6
8
10
12
ρ, г/см3
Рис. 6. Ударные адиабаты сплавов железа. Расчет по модели
ТЕС: 1 – железо и кремний, 2 – железо и медь. Эксперимент:
3 – железо и кремний ρS0 = 6,648 г/см3 [23], 4 – железо и медь
ρS0 = 8,30 г/см3 [8]
Дополняя соответствующие уравнения, несложно получить выражение, аналогичное (1) для большего количества компонентов смеси и построить ударную
адиабату по модели TEC. Расчеты для тройных сплавов вольфрама–никеля–железа WNZh-90 и WNZh-95 приведены в [1]. Сравнение расчетных параметров по
модели ТЕС для тройных сплавов, содержащих железо и кремний, с данными, полученными на основании экспериментов, показано на рис. 7. Расчет проведен для
сплава железа, кремния и вольфрама с содержанием железа 79,8 %, кремния
17,8 % и вольфрама 0,4 % (средняя плотность образцов ρ0 = 7,016 г/см3), соответственно экспериментальным данным [24]. На этом же рисунке показаны результаты расчета для ферросилиция с содержанием железа 81,3 %, кремния 17,4% и углерода (алмаз) 1,1 % (ρ0 = 6,91 г/см3); результаты по экспериментальным данным
для которого были опубликованы в [25]. Показано, что для данных сплавов полученные результаты расчетов по модели ТЕС не противоречат данным экспериментов. Для наглядности расчет и данные, полученные на основании эксперимента, для второго сплава приведены со сдвигом по плотности
Можно отметить, что ранее в [2] смесь алмаза с ВК6 (сплав карбида вольфрама
с кобальтом) рассчитывалась как трёхкомпонентная смесь и было показано удовлетворительное согласие расчетов и данных, полученных на основании экспериментов. Для этих расчетов на основании данных по массовым долям компонентов
сплава и состава смеси были определены объемные доли отдельно для всех компонентов смеси (для карбида вольфрама, кобальта и конденсированной фазы алмаза).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель поведения пористых смесей, включающих в свой состав железо
Р, ГПа
89
2
300
1
ρ+1
200
3
4
100
0
8
10
ρ, г/см3
12
Рис. 7. Ударные адиабаты тройных сплавов железа. Расчет по модели
ТЕС: 1 – железо, кремний, вольфрам; 2 – железо, кремний, углерод
(алмаз). Экспериментальные данные: 3 – [24], 4 – [25]
Параметры модели, с которыми выше удалось достоверно описать поведение
сплошного и пористого железа в широком диапазоне давлений, позволили определить и динамические параметры порошковых смесей на основе железа. В [5]
приведены экспериментальные результаты для смеси железа и алмаза с массовыми долями 90/10, начальной плотностью смеси ρS0 = 7,00 г/см3 (для данной смеси
m = 1,083), а также для смеси железа и серы с ρS0 = 6,16 г/см3 , массовыми долями
90/10 и m = 1,045. Результаты расчета с теми же пористостями для сравнения с
данными, полученными на основании эксперимента, приведены на рис. 8. Расчет
и данные для второй смеси приведены со сдвигом по плотности.
Р, ГПа
1
3
4
150
2
100
ρ+1
50
0
7
8
9
10
ρ, г/см3
Рис. 8. Ударные адиабаты смесей железа. Расчет: 1 – железо и алмаз
(90/10) с m = 1,083, 2 – железо и сера (90/10) с m = 1,045. Эксперимент [5]: 3 – железо и алмаз (90/10), 4 – железо и сера (90/10)
Таким образом, в данной работе рассмотрена достаточно простая модель расчета ударных адиабат пористых материалов, позволяющая производить достоверные расчеты для пористых смесей, одним из компонентов которых является железо. Показано, что модель адекватно описывает известные экспериментальные ре-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90
С.А. Кинеловский, К.К. Маевский
зультаты для сплошного и пористого железа, а также смесей и сплавов на его основе, для которых имеются экспериментальные данные. Данная модель может
быть использована для подбора соотношений компонентов смеси с целью получения заданных параметров сплошных и пористых материалов при воздействии
ударными волнами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кинеловский С.А., Маевский К.К. Простая модель расчета ударных адиабат порошковых
смесей // ФГВ. 2011. № 6. С. 101–109.
2. Кинеловский С.А., Маевский К.К. Модель поведения смеси с различными свойствами
компонентов при высокой концентрации энергии // ПМТФ. 2013. Т. 54. № 4. С. 13–21.
3. Медведев А.Б., Трунин Р.Ф. Ударное сжатие пористых металлов и силикатов // УФН.
2012. Т. 182. № 8. С. 829–846.
4. Дреннов О.Б. Динамическое нагружение твердых тел, характеризующихся отрицательным наклоном кривой плавления // ЖТФ. 2013. Т. 83. № 9. С. 43–46.
5. Титов В.М., Анисичкин В.Ф., Бордзиловский С.А., Караханов С.М., Туркин А.И. Измерение скорости звука за фронтом ударной волны в смесях железа с алмазом // ФГВ. 2004.
Т. 40. № 4. С. 117–130.
6. Герасимов А.В., Пашков С.В. Численное моделирование пробития слоистых преград //
Механика композиционных материалов и конструкций. 2013. Т. 19. № 1. С. 49–62.
7. База данных ударно-волновых экспериментов / ОИВТ РАН. URL: http://www.ihed.
ras.ru/rusbank/.
8. Трунин Р.Ф., Гударенко Л.Ф., Жерноклетов М.В., Симаков Г.В. Экспериментальные
данные по ударно-волновому сжатию и адиабатическому расширению конденсированных веществ / под ред. Р.Ф. Трунина. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2006.
9. Альтшулер Л.В., Крупников К.К., Леденев Б.Н., Жучигин В.И., Бражник М.И. Динамическая сжимаемость и уравнения состояния железа при высоких давлениях // ЖЭТФ.
1958. Т. 34. С. 874–885.
10. Альтшулер Л.В., Кормер С.Б., Баканова А.А., Трунин Р.Ф. Уравнение состояния алюминия, меди и свинца для области высоких давлений // ЖЭТФ. 1960. Т. 38. № 3. С. 790–
798.
11. Альтшулер Л.В., Кормер С.Б., Бражник М.И., Владимиров Л.А., Сперанская М.П.,
Фунтиков А.И. Изэнтропическая сжимаемость алюминия, меди, свинца и железа при
высоких давлениях // ЖЭТФ. 1960. Т. 38. № 4. С. 1061–1073.
12. Иосилевский И.Л. Об уравнении состояния неидеальной плазмы // Теплофизика высоких температур. 1980. Т. 18. № 3. С. 447–452.
13. Грязнов В.К., Иосилевский И.Л., Фортов В.Е. Термодинамика ударно-сжатой плазмы в
квазихимическом представлении // Энциклопедия низкотемпературной плазмы (под
ред. В.Е. Фортова). Том приложений III-1 / Ред. А.Н. Старостин и И.Л. Иосилевский,
M.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
14. Альтшулер Л.В., Моисеев Б.Н., Попов Л.В.,Симаков Г.В., Трунин Р.Ф. Сравнительная
сжимаемость железа и свинца при давлениях 31–34 Мбар // ЖЭТФ. 1968. Т. 54 № 3.
С. 785–789.
15. Трунин Р.Ф., Подурец М.А., Попов Л.В., Моисеев Б.Н., Симаков Г.В., Севастьянов А.Г.
Определение ударной сжимаемости железа до давлений в 10 ТПа (100 Мбар) // ЖЭТФ.
1993. Т. 103. № 6. С. 2189–2199.
16. Аврорин Е.Н., Водолага Б.К., Волошин Н.П., Куропатенко В.Ф., Коваленко Г.В., Симоненко В., Черноволюк Б.Т. Экспериментальное подтверждение оболочечных эффектов
на ударных адиабатах алюминия и свинца // Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 43. № 5. С. 241–
244.
17. Трунин Р.Ф., Медведев А.Б., Фунтиков А.И., Подурец М.А., Симаков Г.В., Севастьянов
А.Г. Ударное сжатие пористого железа, меди и вольфрама и их уравнения состояния в
области терапаскальных давлений // ЖЭTФ. 1989. Т. 95. С. 631–641.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель поведения пористых смесей, включающих в свой состав железо
91
18. Trunin R.F., Zhernokletov M.V., Simakov G.V., Gudarenko L.F., Gushchina O.N. Shock compression of highly porous samples of copper, iron, nickel and their equation of state / Shock
Compression of Condensed Matter – 1997. Prog. Am. Phys. Society Topical Group. Amherst.
Massachussets. 1998. P. 83–86.
19. Аврорин Е.Н., Водолага Б.К., Симоненко В.А., Фортов В.Е. Мощные ударные волны и
экстремальные состояния вещества // УФН. 1993. Т. 163. № 5. С.1–34.
20. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966.
21. Методы исследования свойств материалов при интенсивных динамических нагрузках /
под ред. М.И. Жерноклетова. Саров: ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2003.
22. Жерноклетов М.В., Симаков Г.В., Сутулов Ю.Н., Трунин Р.Ф. Изэнтропы расширения
алюминия, железа, молибдена, свинца и тантала // Теплофизика высоких температур.
1995. Т. 33. № 1. С. 40–43.
23. LASL Shock Hugoniot Data / Marsh P., ed. Berkeley. Univ. California Press, 1980. P. 205.
24. Compendium of shock wave data / M. van Thiel (Ed.) Livermore. Lawrence Livermore
Laboratory Report UCRL-50108. 1977. P. 658.
25. Кормер С.И., Фунтиков А.Н. Исследование ударного сжатия ферросилиция и возможный состав Земли // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1965. № 5. С. 1–3.
Статья поступила 27.02.2014 г.
Kinelovskii S. A., Maevskii K. K. A BEHAVIOR MODEL FOR POROUS IRON CONTAINING
MIXTURES UPON SHOCK WAVE LOADING.
Results of numerical experiments on modeling shock wave loading of solid and porous mixes
and alloys containing iron in their composition as a component are presented. The model is based
on the assumption that all the mixture components, including gas, are in the thermal equilibrium
upon the shock wave loading. The Mie–Grüneisen type equations of state are used to describe the
behavior of the condensed phases. The Grüneisen coefficient is assumed to be explicitly dependent only on temperature. This TEC model describes the behavior of solid and porous iron in a
wide range of porosity and pressures. The model allows one to describe the behavior of mixtures
containing iron and alloys; the alloy is considered as a nonporous mixture with the same ratio of
components as in the alloy. Only the equations of state of the mixture components are used for the
calculation of the shock wave effect on them.
The interest in the research of materials containing iron is associated with the widespread occurrence of iron in the nature, which makes the TEC model promising for simulating the Earth's
crust, as well as for solving problems of explosive power compaction to produce materials with
given properties. The calculations were conducted for mixtures and alloys of different compositions containing iron. The calculation well corresponds to the data that were received based on
experiments performed by many authors. It is shown that the proposed model allows one to describe the behavior of materials containing iron in the shock wave loading using only the component parameters.
Keywords: shock adiabat, porous heterogeneous medium, thermodynamic equilibrium, onetemperature approximation, one-speed approximation, Grüneisen coefficient.
KINELOVSKII Sergey Anatolevich (Doctor of Physics and Mathematics, Prof., Lavrentyev Institute of hydrodynamics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Science, Novosibirsk,
Russian Federation)
E-mail: skin@hydro.nsc.ru
MAEVSKII Konstantin Konstantinovich (Candidate of Physics and Mathematics, Lavrentyev Institute of hydrodynamics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Science, Novosibirsk,
Russian Federation)
E-mail: konstantinm@hydro.nsc.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
92
С.А. Кинеловский, К.К. Маевский
REFERENCES
1. Kinelovskii S.A., Maevskii K.K. Simple model for calculating shock adiabats of powder
mixtures (2011) Combustion, Explosion and Shock Waves. V. 47, pp. 706–714.
2. Kinelovskii S.A., Maevskii K.K. Model of the behavior of the mixture with different properties of the species under high dynamic loads (2013) Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. V. 54, pp. 524–530.
3. Medvedev A.B., Trunin R.F. Shock compression of porous metals and silicates (2012) Phys.
Usp. V. 55, pp. 773–789.
4. Drennov O.B. Dynamic Loading of Solids with a Negative Slope of the Melting Curve (2013)
Technical Physics. V. 83(9), pp. 1284–1287.
5. Titov V.M., Anisichkin V.F., Bordzilovskii S.A., Karakhanov S.M., Turkin A.I. Measurement
of the Sound velocity behind a Shock-Wave Front in Mixtures of Iron with Diamond (2004)
Combustion, Explosion and Shock Waves. V. 40(4), pp. 477–488.
6. Gerasimov A.V., Pashkov S.V. Numerical Simulation of yhe Perforation of Layered Barriers
(2013) Composites: Mechanics, Computations, Applications. An International Journal.
V. 4(2), pp. 97–111.
7. Levashov P.R., Khishchenko K.V., Lomonosov I.V., Fortov V.E. Database on Shock-Wave
Experiments and Equations of State Available via Internet. Shock Compression of Condensed
Matter ‒ 2003. Eds. M.D. Furnish, Y.M. Gupta, J.W. Forbes. Melville ‒ New York, AIP,
2004. P. 87. (http://www.ihed.ras.ru/rusbank/, http://www.ficp.ac.ru/rusbank/).
8. Trunin R.F., Gudarenko L.F., Zhernokletov M.V., Simakov G.V. Experimental data on shockwave compression and adiabatic expansion of condensed matter. Sarov, RFNC – VNIIEF
Publ., 2006. [in Russian].
9. Al'tshuler L.V., Krupnikov K.K., Ledenev B.N., Zhuchikhin V.I., Brazhnik M.I. Dynamical
compressibility and equation of state for iron under high pressure (1958) Sov. Phys. – JETP.
V. 7, pp. 606–613.
10. Al'tshuler L.V., Kormer S.B., Bakanova A.A., Trunin R.F. Equations of state for aluminum,
copper and lead in the high pressure region (1960) Sov. Phys. – JETP. V. 11, pp. 573–579.
11. Al'tshuler L.V., Kormer S.B., Brazhnik M.I., Vladimirov L.A., Speranskaya M.P., Funtikov
A.I. The isentropic compressibility of aluminum, copper, lead at high pressures (1960) Sov.
Phys. – JETP. V. 11(4) , pp. 766–775.
12. Iosilevskiy I.L. Equation of State of the non-ideal plasma (1980) High. Temp. V. 18(3),
pp. 447–452.
13. Gryaznov V.K, Iosilevskiy I.L., Fortov V.E. Termodinamika udarno-szhatoy plazmy v
kvazikhimicheskom predstavlenii. Entsiklopediya nizkotemperaturnoy plazmy (pod red. V.E.
Fortova). Tom prilozheniy III-1. Red. A.N. Starostin i I.L. Iosilevskiy. Moskow, Fizmatlit
Publ., 2004. (in Russian)
14. Al'tshuler L.V., Moiseev B.N., Popov L.V., Simakov G.V., Trunin R.F. Relative compressibility of iron and lead at pressures of 31 to 34 Mbar (1968) Sov. Phys. – JETP. V. 27(3),
pp. 420–422.
15. Trunin R.F., Podurets M.A., Moiseev B.N., Simakov G.V., Sevast'yanov A.G. Determination
of the shock compressibility of iron at pressures up to 10 TPa (100 Mbar) (1993) Sov. Phys. –
JETP. V. 76(6), pp. 1095–1098.
16. Avrorin E.N., Vodolaga B.K., Voloshin N.P., Kuropatenko V.F., Kovalenko G.V., Simonenko V.A., Chernovolyuk B.T. Experimental confirmation of shell effects on the shock
adiabats of aluminum and lead (1986) JETP Lett. V. 43(5), pp. 308–311.
17. Trunin R.F., Medvedev A.B., Funtikov A.I., Podurets M.A., Simakov G.V., Sevast'yanov
A.G. Shock compression of porous iron, copper, and tungsten and their equation of state in
terapascal pressure range (1989) Sov. Phys. – JETP. V. 68(2), pp. 356–361.
18. Trunin R.F., Zhernokletov M.V., Simakov G.V., Gudarenko L.F., Gushchina O.N. Shock
compression of highly porous samples of copper, iron, nickel and their equation of state.
Shock Compression of Condensed Matter – 1997. Prog. Am. Phys. Society Topical Group.
Amherst, Massachussets, 1998, pp. 83–86.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель поведения пористых смесей, включающих в свой состав железо
93
19. Avrorin E.N., Vodolaga B.K., Simonenko V.A., Fortov V.E. Intense shock waves and extreme states of matter (1993) Phys. Usp. V. 36(5), pp. 337–364.
20. Zel’dovich Ya.B., Raizer Yu.P. Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena. New York, Academic, 1966.
21. Metody issledovaniya svoystv materialov pri intensivnykh dinamicheskikh nagruzkakh / pod
red. M.I. Zhernokletova. Sarov, FGUP RFYaTs-VNIIEF, 2003. (in Russian)
22. Zhernokletov M.V., Simakov G.V., Sutulov Yu.N., Trunin R.F. Izentropy rasshireniya alyuminiya, zheleza, molibdena, svintsa i tantala (1995) Teplofizika vysokikh temperatur. V. 33.
No. 1, pp. 40–43. (in Russian)
23. LASL Shock Hugoniot Data / Marsh P. (Ed.) Berkeley, Univ. California Press, 1980. P. 205.
24. Compendium of shock wave data / M. van Thiel (Ed.) Livermore. Lawrence Livermore
Laboratory Report UCRL-50108, 1977. P. 658.
25. Kormer S.I., Funtikov A.N. Issledovanie udarnogo szhatiya ferrosilitsiya i vozmozhnyy
sostav Zemli (1965) Izv. AN SSSR, Fizika Zemli. No. 5, pp. 1–3. (in Russian)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
УДК 519.632.4:532.516.4
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ – СТОКСА
ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Анализируется эффективность применения неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных эллиптических уравнений, возникающих при численном моделировании двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости. Исследование проводится на примере задачи о
стационарном двумерном течении в квадратной каверне с подвижной крышкой, сформулированной в естественных переменных (u, v, p). Показано, что
применение полинейного рекуррентного метода позволяет заметно сократить
общее время решения задачи. В качестве иллюстрации к достигнутым результатам приведена структура течения при Re = 15 000.
Ключевые слова: течение в каверне, уравнения Навье – Стокса, неявный
полинейный рекуррентный метод.
Задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в квадратной каверне с подвижной крышкой является своеобразным «полигоном», на котором вот уже несколько десятков лет многочисленные исследователи демонстрируют свои достижения в области численного решения уравнений Навье – Стокса. Привлекательность этой задачи объясняется, с одной стороны, простотой её формулировки:
решение зависит фактически от одного параметра – числа Рейнольдса. А с другой
– наличием разрывов и сингулярностей полей решения в верхних углах каверны и
фактически бесконечные цепочки вихрей в каждом из нижних углов гарантируют
возможность постоянного улучшения решения и, как следствие, постоянный интерес исследователей к этой задаче. Накопленные за последнее время обширные
материалы позволяют адекватно оценивать степень правильности новых результатов, обеспечивая тем самым их высокую достоверность.
Среди работ на эту тему до сих пор большой популярностью заслуженно пользуется работа [1], сформировавшая современный подход к изложению материалов
исследования. Несмотря на использование умеренных по современным меркам
равномерных сеток типа 129×129 и 257×257, авторам удалось построить решение
задачи по числам Рейнольдса вплоть до Re = 10 000 и оценить параметры вихрей
вплоть до правого нижнего вихря третьего уровня.
В абсолютном большинстве работ исследуются характеристики течения при
Re ≤ 10 000. Более того, ряд авторов высказали предположение, что не существует
стационарного решения задачи при больших значениях числа Рейнольдса. Однако
некоторые публикации последнего времени опровергают это предположение.
В частности, в работе [2] приведены параметры вихрей при Re = 12 500 вплоть до
четвёртого уровня (так называемые BL4 и BR4) в нижних углах каверны, но при
дальнейшем увеличении числа Re отмечается неустойчивость решения. А в работе [3] (и ряде других публикаций тех же авторов) удалось поднять число Рейнольдса до 21 000, но при этом, в силу равномерности разностных сеток, не удалось выявить вихри четвёртого уровня. При этом там же утверждается, что эф-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное решение уравнений Навье – Стокса при моделировании двумерных течений
95
фективным средством борьбы против неустойчивости являются более подробные
сетки. В частности авторами были использованы сетки 257×257 вплоть до
Re = 10 000, при 10 000 ≤ Re ≤ 15 000 – сетки 513×513, при Re > 15 000 – сетки
601×601 и подробнее вплоть до 1025×1025.
Следует отметить, что приблизительно половина исследователей предпочитают постановку задачи в переменных ψ–ω. Возможно, это связано с тем, что основное сравнение результатов осуществляется по значениям экстремумов полей
ψ–ω (центров вихрей), в то время как использования естественных переменных
(u, v, p), несмотря на удобство и абсолютную точность формулировки граничных
условий, требует численного восстановления полей ω и ψ, что не может не сказаться на точности представления сравниваемых параметров течения. Среди последних работ в переменных (u, v, p) следует отметить [4] и другие публикации
тех же авторов. Использование высокого порядка аппроксимации и кусочноравномерной сетки – свыше 65 тысяч расчетных узлов (так называемой сетки М3)
– позволило получить высокоточные результаты при Re = 1000 по параметрам
вихрей вплоть до третьего уровня.
На базе литературных данных можно составить обобщенную схему стационарного течения (см. рис. 1). В ее основу положено решение конкретного варианта задачи при Re > 10 000. При этом необходимо заметить, что вихри третьего и
четвертого уровней в нижних углах изображены вне масштаба – в расчетах они
получаются значительно меньших размеров.
Рис. 1. Система координат и обобщенная схема течения
В настоящем исследовании математическая постановка задачи в безразмерном
виде представляет собой систему нестационарных двумерных уравнений Навье –
Стокса:
ut + (V ⋅∇) u = −∇ x p + Re −1 ∇ 2 u ;
(1)
vt + (V ⋅∇) v = −∇ y p + Re −1 ∇ 2 v ;
(2)
∇V = 0 ,
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
96
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
а также начальных u = v = 0 и краевых условий: на верхней границе области
0 ≤ x ≤ 1, y = 1: u = 1, v = 0,
(4)
и на остальных границах
u = v = 0.
(5)
Здесь t – время, х, у – пространственные координаты, u, v – x, y компоненты вектора скорости потока V, p – давление, Re = UL/υ – число Рейнольдса, υ – кинематический коэффициент вязкости жидкости. В начальные моменты времени
0 ≤ t ≤ 1 скорость движения крышки плавно увеличивается до 1 и далее не меняется.
Для построения линий тока ищется решение вспомогательной задачи относительно функции тока ψ. Внутри области решения
∆ψ = −ω,
(6)
на границах области решения
ψ = 0.
(7)
Здесь ω = ∂v/∂x – ∂u/∂y – завихренность потока.
Задача (1)–(5) решается численно. Область решения покрывается так называемой МАС-сеткой [5], в которой узлы определения давления располагаются внутри прямоугольной сеточной ячейки, а узлы определения компонент скорости – на
её гранях. В общем случае сетка слабонеравномерная, то есть |hi − hi−1| ∼ O(h2), где
h – сеточный шаг. Степень неравномерности определяется параметром сжатия kG,
равным отношению среднего шага сетки к минимальному.
На каждом шаге по времени реализуется классическая трёхшаговая схема
расщепления [6], на первом шаге которой определяются предварительные значения компонент скорости:
u * = u n −1 − τ ⎡⎣ (V n −1 ⋅∇) u * − Re−1 ∇ 2 u * +∇ x p n −1 ⎤⎦ ;
(8)
v * = v n −1 − τ ⎡⎣(V n −1 ⋅∇) v * − Re−1 ∇ 2 v * +∇ y p n −1 ⎤⎦ .
(9)
На втором шаге определяется поле поправки давления p' путём решения уравнения Пуассона
∆p ′ = τ−1∇ V * .
(10)
И наконец, на третьем шаге поля скорости и давления корректируются по
формулам
V n = V * − τ∇p ′,
p n = p n −1 + σp ′ .
(11)
Здесь τ – шаг по времени, n – номер слоя по времени, σ – итерационный параметр.
Граничные условия для (8), (9) берутся по аналогии с (4), (5) с учетом естественной замены u → u*, v → v*; а для (10) – условия Неймана, которые следуют из
(11) в силу стремления V* → Vn при n → ∞. Во всех расчётных вариантах методом установления ищется стационарное решение задачи (1)–(5). Путём первоначального численного эксперимента было определено оптимальное значение
σ = 1,8, которое в дальнейшем не менялось.
Проверка полной аппроксимации уравнения движения
V n = V n −1 − τ ⎡⎣(V n −1 ⋅∇) (V n + τ∇p ′) − Re −1 ∇ 2 (V n + τ∇p ′) − σ∇p ′ + ∇p n ⎤⎦ =
= V n−1 − τ ⎣⎡(V n−1 ⋅∇)V n − Re −1∇ 2 V n + ∇p n − σ∇p ′⎤⎦ − τ 2 ⎡⎣(V n−1 ⋅∇ )∇p ′ − Re−1∇ 2 (∇p ′)⎤⎦ =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное решение уравнений Навье – Стокса при моделировании двумерных течений
= V n −1 − τ ⎡⎣(V n −1 ⋅∇)V n − Re−1∇ 2 V n + ∇p n ⎤⎦ + O(∇p ′)
97
(12)
говорит о том, что при стремлении ∇p' → 0 используемая трёхшаговая схема аппроксимирует уравнение движения неявным образом, что отличает данную схему
от явной схемы в [6]. Подобный подход позволяет выбирать числа Куранта значительно больше 1, ускоряя тем самым процесс установления решения.
Разностная аппроксимация (8) – (10) производится методом контрольного объёма [7] со вторым порядком по пространству и первым по времени. Здесь необходимо обратить внимание на особенности получаемых систем разностных эллиптических уравнений. Для уравнений движения (8), (9) эти системы легко разрешимы: оценка чисел обусловленности по первой норме матриц данных систем в
диапазоне сеточного разрешения от 65×65 до 1025×1025 (сетки как равномерные,
так и неравномерные) и в диапазоне чисел Рейнольдса от 100 до 15 000 не превысила величины 103. Следовательно, для нахождения решения таких СЛАУ не обязательно использовать мощные современные методы, вполне подойдёт, например,
метод последовательной верхней релаксации [5].
Иная ситуация складывается со СЛАУ, которые возникают при разностной
дискретизации задачи Неймана для поправки давления на базе уравнения Пуассона (10). В силу того, что, строго говоря, такая задача не имеет единственного решения, числа обусловленности матриц соответствующих СЛАУ равны бесконечности. В литературе описаны приёмы выделения единственного решения, например путем фиксации давления в какой-либо точке [7,8] или использования интегрального балансового соотношения с последующей корректировкой искомой величины на границах области и/или источникового члена в самом уравнении [8, 9].
Однако они слабо меняют ситуацию с точки зрения практических расчётов – даже
после их применения процедура оценки чисел обусловленности всё равно заканчивается переполнением порядка. В настоящей работе в силу замкнутости области течения использован прием фиксации давления (обнуления поправки давления) в точке на границе области.
С другой стороны естественной характерной чертой трёхшаговой схемы расщепления является её поточечная сходимость, что не внушает оптимизма по части
затрат машинного времени на достижение заданной точности решения. Результаты работ [10–12], а также настоящего исследования говорят о том, что при удвоении сеточного разрешения вдоль каждого координатного направления (учетверения общего количества сеточных узлов) или увеличении числа Re на порядок затраты машинного времени возрастают приблизительно на порядок.
Подытоживая вышесказанное, можно сделать вывод о том, что подобным
трёхшаговым схемам численного решения задач о динамике несжимаемого течения вязкой жидкости присущи две проблемы: 1) поточечная сходимость общего
алгоритма и 2) трудности решения СЛАУ, порожденных задачей Неймана, для
поправки давления. И если первая проблема снимается переходом на другие методы (например, метод искусственной сжимаемости), что впрочем, тут же порождает проблемы, свойственные этим методам, то вторая проблема может быть преодолена путём использования мощного итерационного метода, слабо зависящего
от разрешения и градиентности разностных сеток. Как следствие, целью настоящей работы является демонстрация возможностей неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных эллиптических уравнений, способного с успехом преодолеть вторую проблему трёхшаговой схемы
расщепления.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
98
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
Нетрудно заметить, что рассматриваемый алгоритм решения задачи является
«многоитерационным». Действительно, во-первых, имеют место итерации по слоям времени, поскольку методом установления ищется стационарное решение. При
этом применяется следующее условие сходимости:
div V *
I
<ε.
(13)
Во-вторых, на каждом слое по времени решаются три системы линейных
уравнений, получаемые путём разностной дискретизации уравнений движения
(8), (9) и уравнения Пуассона (10). Системы эти решаются, как правило, неявным
итерационным полинейным рекуррентным методом со вторым порядком экстраполяции, ускоренным в подпространствах Крылова, так называемым LR2sK [13].
Понятно, что также может использоваться какой-либо иной метод решения
СЛАУ, что при необходимости и делается в настоящем исследовании. В качестве
критерия сходимости решения системы линейных уравнений используется соотношение
ϕ k − ϕ k −1 < ξ ϕ k ,
I
I
(14)
где ϕ k – приближение вектора решения (u*, v* или p'), ξ – наперед заданная точность. В силу выполнения соотношения ||V||I = 1 и требования не менее 6-и верных знаков для элементов векторов компонент скорости (в этом случае при сеточном шаге h ∼ 10−3 завихренность ω определяется как минимум до трех верных
знаков, а функция тока ψ – до шести) точность с запасом полагается
ξ = 10−7 − 10−8 при решении СЛАУ для u* и v*. Соответственно при решении системы уравнений для p' принимается ξ = 10−8 − 10−9 в силу того, что δp ∼ (h/τ)δV.
Здесь δp – характерная поэлементная ошибка вектора поправки давления, δV – характерная поэлементная ошибка вектора компоненты скорости, при этом, как
правило, число Куранта выбирается порядка ∼ 10. При этом, как показали последующие расчеты, величину ξ для p' можно повысить до 10−5 − 10−6 без ущерба к
точности конечного результата.
Значение ε в (13) следует из цепочки оценок:
δψ
δ
ε ∼ ∇V ∼ V ∼ 2 ∼ 10−5 − 10−6
(15)
h
h
при ожидаемых значениях ψ ∼ 10−11 − 10−13 (литературные данные) и h ∼ 10−3.
Следует подчеркнуть, что по причине использования метода установления
промежуточные поля решения не удовлетворяют исходным уравнениям задачи.
И только на момент установления полей решения u, v, p с заданной точностью величина p' и, как следствие, ∇p' (в силу естественного допущения о гладкости поля
p') становятся малыми, откуда следует соленоидальность поля V*. Условие (13)
использовано по причине простоты оценки величины ε, хотя в качестве критерия
установления решения можно также воспользоваться и условием для ||p'||I с требованием по точности в виде комплекса (εh/τ). Дополнительно в расчетах необходимо еще следить за величинами ||un − un−1||I/τ и ||vn − vn−1||I/τ, которые на момент
установления в рамках условия (15) не должны превышать значений ~ 5×10−5.
Данное значение получено в ходе вычислительных экспериментов, которые показали, что во всем рассматриваемом диапазоне чисел Рейнольдса и сеточного разбиения расчётной области выполнение вышеперечисленных условий является на-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное решение уравнений Навье – Стокса при моделировании двумерных течений
99
дежным критерием установления решения. При их выполнении дальнейшее итерирование не приводит к сколько-нибудь заметному изменению решения.
Все расчеты выполнены на компьютере PC Intel Core i5-750 (четыре ядра),
2,66 GHz, RAM 12Gb.
Проверка правильности алгоритма решения задачи, как обычно, проводилась
путём сравнения с результатами других исследователей. На рис. 2 представлены
профили горизонтальной и вертикальной компонент скорости вдоль линий, параллельных стенкам каверны и проходящих через её центр, в широком диапазоне
чисел Re. А в табл. 1 приведены параметры вихрей для Re = 1000. В обоих случаях видно хорошее согласование результатов, что говорит о достоверности получаемых в настоящем исследовании решений.
1
2
3
3
2
1
Рис. 2. Профили горизонтальной (а) и вертикальной (b) компонент
скорости вдоль линий, проходящих через центр каверны:
1 − Re = 100, 2 – Re = 1000, 3 – Re = 10 000; сетки равномерные
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
100
Таблица 1
CT
BL1
BL2
BL3
BR1
BR2
BR3
Параметры
Вихрь
Параметры вихрей при Re = 1000
Ghia U.,
Ghia K.N.,
Shin C.T.
257×257 U
Botella O.,
Peyret R.
160×160 G
Исаев В.И.,
Шапеев В.П.
M3
Erturk E.,
Gökçöl C.
256×256 U
Настоящая работа
1025×1025
x
y
ψ
ω
x
y
ψ
ω
x
y
ψ
ω
x
y
ψ
ω
x
y
ψ
ω
x
y
ψ
ω
x
y
ψ
ω
0,5313
0,5625
−0,1179
−2,0497
0,0859
0,0781
2,31·10−4
0,3618
–
–
–
–
–
–
–
–
0,8594
0,1094
1,75·10−3
1,1547
0,9922
0,0078
−9,32·10−8
−8,53·10−3
–
–
–
–
0,5308
0,5652
−0,1189
−2,0678
0,0833
0,0781
2,33·10−4
0,3523
0,0048
0,0048
−6,40·10−9
–
–
–
–
–
0,8640
0,1118
1,73·10−3
1,1098
0,9923
0,0077
−5,04·10−8
–
–
–
–
–
0,5308
0,5652
−0,1189
–
0,0833
0,0781
2,33·10−4
–
0,0048
0,0048
−6,40·10−9
–
2,71·10−4
3,18·10−4
2,19·10−13
–
0,8640
0,1118
1,73·10−3
–
0,9923
0,0077
−5,04·10−8
–
0,99950
4,56·10−4
1,44·10−12
–
0,5300
0,5650
−0,1189
−2,0678
0,0833
0,0783
2,33·10−4
0,3543
0,0050
0,0050
−6,52·10−9
−2,96·10−3
–
–
–
–
0,8633
0,1117
1,73·10−3
1,1182
0,9917
0,0067
−4,92·10−8
−7,69·10−3
–
–
–
–
0,5315
0,5645
−0,1186
−2,0590
0,0827
0,0782
2,33·10−4
0,3494
0,0049
0,0049
−7,29·10−9
−2,79·10−3
2,55·10−4
2,52·10−4
6,55·10−14
1,22·10−5
0,8644
0,1118
1,73·10−3
1,1057
0,9923
0,0076
−5,39·10−8
−8,41·10−3
0,99965
3,54·10−4
1,21·10−13
3,75·10−5
При повышении числа Re до 10 000 c использованием неравномерной сетки
1025×1025 с параметром сжатия kG = 10 в нижних углах каверны удается выявить
вихри третьего и даже четвертого уровней. С другой стороны, существует аналитическое решение задачи о медленном (ползущем) движении вязкой жидкости в
углу, описываемом уравнением Стокса [14]. Схема такого течения, представляющая собой бесконечную цепочку так называемых вихрей Моффатта, приведена на
рис. 3. В этой ситуации интересно сравнить результаты численного и аналитического решений. Аналитическое решение Моффатта позволяет рассчитать относительные величины размеров вихрей r(s) = ρ(s)/ρ(0) и так называемых «интенсивностей» вихрей w(s) = V(s)/V(0). Здесь ρ – характерный размер вихря, V – величина линейной скорости циркуляции в точке стыка вихрей, s – номер вихря, нарастающий
по мере «заглубления» в угол (s = 0 – базовый вихрь).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное решение уравнений Навье – Стокса при моделировании двумерных течений
101
Рис. 3. Схема цепочки взаимодействующих вихрей
В качестве базовых были выбраны вихри второго уровня, поскольку их центры,
по сравнению с вихрями первого уровня, оказались слабо сдвинутыми относительно биссектрис углов из-за незначительного влияния конвективного переноса, что
соответствует выраженному ползущему характеру течения. Параметры нижних
вихрей второго – четвертого уровней, измеренные непосредственно по рассчитанным полям компонент скорости потока, имеют следующие значения (табл. 2).
Таблица 2
Параметры
s
x
y
dx
dy
ρ(s)
V(s)
BL2
0
0,0212
0,0260
0,0679
0,0493
0,0586
6,26·10−4
BL3
1
0,0014
0,0014
0,0032
0,0032
0,0032
2,74·10−7
BL4
2
1,5·10−4
1,5·10−4
1,0·10−4
1,0·10−4
1,0·10−4
9,20·10−10
BR2
0
0,9353
0,0757
0,1600
0,1525
0,1575
1,83·10−2
BR3
1
0,9957
0,0044
0,0104
0,0105
0,0105
8,99·10−6
BR4
2
0,9997
3,0·10−4
6,0·10−4
6,0·10−4
6,0·10−4
6,20·10−9
Здесь x, y координаты центров вихрей, dx и dy соответственно горизонтальный
и вертикальный размеры вихрей, V(0) определяется в точке A (рис. 3), V(1) – в точке
B, V(2) – в точке C.
На основании данных параметров вихрей нетрудно вычислить значения r(s) и
(s)
w и сравнить их с решением из [14] (см. табл. 3).
Таблица 3
s
1
2
[14]
0,06140
0,00377
r(s)
BL
0,05460
0,00170
BR
0,06600
0,00380
[14]
4,86·10−4
2,36·10−7
w(s)
BL
4,38·10−4
1,47·10−6
BR
4,93·10−4
3,40·10−7
Учитывая приближенность сеточного решения и особенно оценочный характер значений параметров вихрей четвертого уровня, полученное соответствие
численного и аналитического решений (особенно для правых вихрей) можно считать очень хорошим.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
102
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
Эффективность применения полинейного рекуррентного метода при численном моделировании динамики несжимаемой вязкой жидкости демонстрируется на
рис. 4, а, где изображены зависимости ||divV*||I и kp от номера слоя по времени n.
2
1
2
1
Рис. 4. Сравнение использования методов LR2sK (a) и Bi-CGStab PB (b)
для решения СЛАУ на базе задачи Неймана для поправки давления p'.
Здесь –— ||div V*||I, – – – kp; 1 – Re = 1000, сетка 257×257 равномерная,
2 – Re = 10 000, сетка 1025×1025 неравномерная (а) или равномерная (b)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное решение уравнений Навье – Стокса при моделировании двумерных течений
103
Здесь kp – количество итераций, необходимых для сходимости метода решения
СЛАУ для p'. Решены простая задача: Re = 1000, сетка 257×257 равномерная, и
сложная: Re = 10 000, сетка 1025×1025 неравномерная, kG = 10. Во всех расчетах
ε = 10−5. Для сравнения на рис. 4, b приведены аналогичные зависимости при использовании метода бисопряженных градиентов со стабилизацией [15] с предобуславливателем на базе явного метода Булеева. В этом случае пришлось упростить
сложную задачу применением равномерной сетки, в противном случае поиск решения грозил затянуться в лучшем случае на многие сотни часов. Затраты машинного времени составили на решение простой задачи с применением LR2sK –
149 с, с применением Bi-CGStab PB – 421 с; на решение сложной задачи с применением LR2sK – 47 162 с, с применением Bi-CGStab PB – 680 687 с.
Хорошо видно, что независимо от используемого метода и сложности задачи
имеет место слабая корреляция кривых ||div V*||I и kp между собой. Также следует
отметить, что значение kp не сильно откликается на сложность задачи, особенно
на начальном этапе процесса установления.
Основной результат сравнения заключается в том, что LR2sK тратит на решение СЛАУ 10–20 итераций на каждом слое по времени, в то время как
Bi-CGStab PB – 100–400 итераций. И хотя одна итерация LR2sK по длительности
исполнения соответствует 2–6 итерациям Bi-CGStab PB (в зависимости от конфигурации вычислительной системы), преимущество применения LR2sK бесспорно.
Этот же вывод подтверждается и данными табл. 4, где приведены времена (сек.),
затраченные на решение задачи при Re = 1000 для различных сеточных разрешений с постоянным шагом.
Таблица 4
Время (с), затраченное на решение задачи при Re = 1000
(ε = 10−5, шаг постоянный)
65×65
129×129
257×257
513×513
1025×1025
Bi-CGStab
PLU
6,0
42,0
507,0
9 766,0
153 144,0
Bi-CGStab
PB
5,0
32,0
421,0
8 898,0
143 076,0
LR1
LR2
LR1sK
LR2sK
3,0
18,0
157,0
1 952,0
19 021,0
4,0
21,0
218,0
3 087,0
35 678,0
3,0
21,0
157,0
1 705,0
15 732,0
3,0
16,0
149,0
1 903,8
23 396,0
Здесь Bi-CGStab PLU – метод бисопряженных градиентов со стабилизацией с
предобуславливателем на базе неполной LU-факторизации исходной матрицы
системы линейных уравнений, соответственно Bi-CGStab PB – с предобуславливателем на базе явного метода Булеева, LR1 – полинейный рекуррентный метод с
первым порядком экстраполяции приращения решения, LR2 – со вторым порядком экстраполяции приращения решения, соответственно LR1sK и LR2sK – это
LR1 и LR2, ускоренные в подпространствах Крылова [13]. Как уже отмечалось
ранее, имеет место катастрофическое нарастание затрат машинного времени при
каждом учетверении количества расчётных узлов.
Кроме сеточного разрешения дополнительными усложняющими процесс вычислений факторами являются степень неравномерности сетки и величина числа
Рейнольдса. Их действие выражено не так явственно, как в случае увеличения сеточного разрешения, в силу того, что невозможно для каждого расчетного вари-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
104
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
анта подобрать оптимальные значения числа Куранта и параметра компенсации
для LR2sK, тем самым поставив все расчеты в одинаковые сравнимые условия.
Однако однозначно можно говорить о тенденции замедления установления решения при переходе на неравномерную сетку и увеличении числа Re. Например, при
увеличении Re с 1000 до 10 000 (сетка 257×257 равномерная, ε = 10−5, LR2sK) количество шагов по времени увеличилось с 505 до 2 077, а общие затраты машинного времени – со 153 до 502 сек. Аналогично, при переходе с равномерной сетки
на неравномерную с параметром сжатия kG = 10 (Re = 10 000, сетка 513×513,
ε = 10−5, LR2sK) количество шагов по времени увеличилось с 8 521 до 9 442, а
общие затраты машинного времени – с 13 497 до 16 764 сек.
В качестве иллюстрации возможностей применения метода была решена задача при Re = 15 000 на сетке 513×513 в двух вариантах: равномерной и неравномерной с параметром сжатия kG = 10. На первом этапе алгоритма расщепления для
решения СЛАУ относительно u* и v* использован метод LR2. При точности
ξ = 10−8 метод сходится за 2–3 итерации. Для решения СЛАУ относительно p' использован LR2sK. При точности ξ = 10−9 метод сходится за 15–25 итераций в
среднем.
Рис. 5. Общая картина течения при Re = 15 000,
сетка 513×513, неравномерная (kG = 10)
На рис. 5 представлена общая картина течения при Re = 15 000. Кроме центрального вихря хорошо видны верхние левые вихри первого (TL1) и второго
(TL2) уровней, а также нижние левые и правые вихри первых двух уровней BL1,
BL2 и BR1, BR2 соответственно. Увеличение масштаба представления приблизи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное решение уравнений Навье – Стокса при моделировании двумерных течений
105
тельно в 100 раз позволяет выявить в нижних левом и правом углах вихри третьего и четвёртого уровней BL3, BL4 и BR3, BR4 соответственно (рис. 6).
Рис. 6. Вихри третьего и четвертого уровней в нижних углах каверны
при Re = 15 000, сетка 513×513, неравномерная (kG = 10)
В табл. 5 приведены характеристики вихрей.
Таблица 5
−6
Параметры вихрей при Re = 15 000 (ε = 5·10 , 513×513 G)
Вихри
xс
CT
0,5177
TL1
0,0677
BL1
0,0512
BR1
0,8098
TL2
0,0055
BL2
0,0736
BR2
0,9424
BL3
0,0042
BR3
0,9925
BL4 2,27·10−4
BR4
0,9996
yс
0,5247
0,9145
0,1902
0,0540
0,8391
0,0600
0,1134
0,0042
0,0078
2,25·10−4
0,0004
dx
1,0
0,1497
0,3727
0,2946
0,0081
0,1468
0,1534
0,0108
0,0188
0,0006
0,0006
ω
dy
1,0
−0,9420
0,3247
2,2018
0,3051
4,0107
0,3983
7,6080
0,0311 −0,1696
0,1400 −0,3886
0,1966 −1,0988
0,0107 3,19·10−3
0,0206 9,08·10−3
0,0005 −1,89·10−5
0,0006 −4,33·10−5
ψ
−0,0791
2,35·10−3
2,52·10−3
4,93·10−3
−7,40·10−7
−1,78·10−4
−6,68·10−4
5,42·10−9
5,44·10−8
−3,22·10−14
−2,50·10−13
Qx
−0,0791
2,36·10−3
2,52·10−3
4,90·10−3
−6,90·10−7
−1,78·10−4
−6,68·10−4
5,18·10−9
5,37·10−8
−3,0·10−13
−1,80·10−12
Qy
−0,0791
2,36·10−3
2,52·10−3
4,90·10−3
−6,80·10−7
−1,78·10−4
−6,68·10−4
5,18·10−9
9,95·10−8
−3,0·10−13
3,60·10−10
Как и ранее, когда сравнивалось решение при Re = 10 000 c аналитическим
решением [14], здесь следует обратить внимание на положение центров нижних
вихрей. Для первого уровня они значительно удалены от биссектрис углов – сказывается сильное влияние конвективного переноса. По мере увеличения номера
уровня вихря это влияние резко сходит на нет, движение жидкости становится
фактически Стоксовым, то есть определяется только силами вязкости и интенсивностью внешнего течения. Соответственно частично со второго и уже полностью
с третьего уровней центры вихрей располагаются на биссектрисах углов. Об этом
же говорят и оценки локальных чисел Рейнольдса ReΛ = 15 000·V·d (табл. 6), построенных по характерным безразмерным параметрам вихрей: размеру d и скорости циркуляции V.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
106
Таблица 6
Оценка локальных чисел Рейнольдса, построенных по характерным параметрам
вихрей (Re = 15 000, ε = 5·10−6, 513×513 G)
Вихрь
ReΛ ≈
BL1
250
BR1
520
BL2
5
BR2
20
BL3
10−4
BR3
10−3
BL4
10−8
BR4
10−7
Хорошей внутренней проверкой полученных результатов служит определение
экстремумов функции тока в центрах вихрей через расходные характеристики
потока. Действительно, пусть xc, yc – координаты центра вихря, тогда из определения функции тока ψ и граничного условия на стенке каверны ψ = 0 следует, что
ψ ( xc , yc ) = Qx =
yc
xc
0
0
∫ u (xc , y)dy = −Qy = − ∫ v(x, yc )dx.
Хорошее совпадение ψ (xc, yc) с Qx и Qy в табл. 5 говорит о точности решения
задачи (6), (7), включая определения поля завихренности ω. При этом полный
расход через произвольное сечение каверны составляет величину порядка 10–8 –
10–6 в зависимости от местоположения сечения, что объясняет несовпадение
ψ (xc, yc) с Qx и Qy для вихрей четвертого уровня, характерные размеры которых
сопоставимы с шагом сетки.
На основании изложенного материала можно сделать вывод о высокой эффективности неявного итерационного полинейного рекуррентного метода при численном моделировании динамики несжимаемой вязкой жидкости. Его использование позволило уменьшить остроту одной из двух проблем трёхшаговой схемы
расщепления – решение задачи Неймана на базе уравнения Пуассона для поправки давления p'.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T. High-Re solution for incompressible flow using the NavierStokes equations and a multigrid method // J. Computational Physics. 1982. V. 48. P. 387–
411.
2. Barragy E., Carey G.F. Stream function-vorticity driven cavity solution using p finite
elements // Computers & Fluids. 1997. V. 26. No. 5. P. 453–468.
3. Erturk E., Corke T. C., Gökçöl C. Numerical solutions of 2-D steady incompressible driven
cavity flow at high Reynolds numbers // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2005. V. 48. P. 747–774.
4. Исаев В.И., Шапеев В.П. Варианты метода коллакации и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнения Навье – Стокса // ЖВМ и МФ.
2010. Т. 50. № 10. C. 1758–1770.
5. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980. 616 c.
6. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к
решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ. 1975. Т. 15.
№ 1. C. 197–207.
7. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости:
пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 c.
8. Кузнецов А.Е., Стрелец М.Х. Численное моделирование существенно дозвуковых стационарных неизотермических течений однородного вязкого газа в каналах // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. Т. 14.
№ 6. C. 97–114.
9. Фомин А.А. Численное исследование влияния граничных условий на решение задач
термогравитационной конвекции в открытых областях. Томск: ТГУ, 1985. 51 с. Деп. в
ВИНИТИ 22.11.85 № 8069-В.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное решение уравнений Навье – Стокса при моделировании двумерных течений
107
10. Деги Д.В., Старченко А.В. Численное решение уравнений Навье – Стокса на компьютерах с параллельной архитектурой // Вестник Томского государственного университета.
Математика и механика. 2012. № 2. C. 88–98.
11. Wright N.G. Multigrid solutions of elliptic fluid flow problems. Ph. D. thesis. University of
Leeds, 1988. 185 p.
12. Каштанова С.В., Окулова Н.Н. Математическое моделирование течения вязкой теплопроводной жидкости с использованием метода Ls-Stag // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. Спец. вып. 2: Математическое моделирование в
технике. С. 86–97.
13. Фомин А.А., Фомина Л.Н. Неявный итерационный полинейный рекуррентный метод
решения разностных эллиптических уравнений. Кемерово: КемГУ, 2012. 314 c.
14. Moffatt H.K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid Mechanics. 1964.
V. 18, part 1. P. 1–18.
15. Van der Vorst H.A. Bi-CGStab: a fast and smoothly converging variant of BI-CG for solution
of nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1992. V. 13. No. 2. P. 631–644.
Статья поступила 23.12.2013 г.
Fomin A.A., Fomina L.N. NUMERICAL SOLUTION OF THE NAVIER – STOKES EQUATIONS IN THE MODELING OF TWO-DIMENSIONAL VISCOUS INCOMPRESSIBLE
FLUID FLOWS. In this paper, the effectiveness of the implicit iterative line-by-line recurrence
method for solving difference elliptical equations arising in numerical simulations of twodimensional viscous incompressible fluid flows is analyzed. The research is carried out by an example of the problem about a steady two-dimensional lid-driven cavity flow formulated in primitive variables (u, v, p). It is shown that applying the line-by-line recurrence method allows one to
reduce the total time for solving the problem in comparison with the use of the present-day effective bi-conjugate gradients method with stabilization. As an illustration of the achieved results,
the structure of the flow at Re = 15000 is shown. Here, in terms of the use of a non-uniform grid,
it became possible to obtain a sequence of bottom-corner vortices up to the fourth level. As a
validation of the received solution, the comparison of basic parameters of all vortices with results
of other authors was carried out at Re = 1000. In addition, the mass imbalance was estimated; it
did not exceed 10–8÷10–6 depending on the location of the cross section in the cavity, and a comparison of the relative size and ‘intensity’ of bottom-corner vortices of the third and fourth levels
with the Moffatt analytical solution of the problem of a viscous fluid flow near a sharp corner was
carried out.
Keywords: lid-driven cavity flow, Navier–Stokes equations, implicit iterative line-by-line recurrence method.
FOMIN Alexander Arkad’evich (Candidate of Physics and Mathematics, T. F. Gorbachev Kuzbass State Technical University, Kemerovo, Russian Federation)
E-mail: fomin_aa@mail.ru
FOMINA Lubov Nikolaevna (Candidate of Physics and Mathematics, Assoc. Prof., Kemerovo
State University, Kemerovo, Russian Federation)
E-mail: lubafomina@mail.ru
REFERENCES
1. Ghia U., Ghia K. N., Shin C. V. High-Re solution for incompressible flow using the NavierStokes equations and a multigrid method (1982) Journal of Computational Physics. V. 48,
pp. 387–411.
2. Barragy E., Carey G.F. Stream function-vorticity driven cavity solution using p finite
elements (1997) Computers & Fluids. V. 26. No. 5, pp. 453–468.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
108
А.А. Фомин, Л.Н. Фомина
3. Erturk E., Corke V.C., Gökçöl C. Numerical solutions of 2-D steady incompressible driven
cavity flow at high Reynolds numbers (2005) Int. J. Numer. Meth. Fluids. V. 48, pp. 747–774.
4. Isaev V.I., Shapeev V.P. Varianty metoda kollakatsii i naimen'shikh kvadratov povyshennoy
tochnosti dlya chislennogo resheniya uravneniya Nav'e – Stoksa (2010.) ZhVM i MF. V. 50.
No. 10, pp. 1758–1770. (in Russian)
5. Rouch P. Vychislitel'naya gidrodinamika. Moskow, Mir Publ., 1980. 616 p.
6. Belotserkovskiy O.M., Gushchin V.A., Shchennikov V.V. Metod rasshchepleniya v
primenenii k resheniyu zadach dinamiki vyazkoy neszhimaemoy zhidkosti (1975) ZhVM i
MF. V. 15. No 1, pp. 197–207. (in Russian)
7. Patankar S. Chislennye metody resheniya zadach teploobmena i dinamiki zhidkosti. Per. s
angl. Moskow, Energoatomizdat Publ., 1984. 152 p. (in Russian)
8. Kuznetsov A.E., Strelets M.Kh. Chislennoe modelirovanie sushchestvenno dozvukovykh
statsionarnykh neizotermicheskikh techeniy odnorodnogo vyazkogo gaza v kanalakh (1983)
Chislennye metody mekhaniki sploshnoy sredy. Novosibirsk, VTs SO AN SSSR Publ. V. 14.
No. 6, pp. 97–114. (in Russian)
9. Fomin A.A. Chislennoe issledovanie vliyaniya granichnykh usloviy na reshenie zadach
termogravitatsionnoy konvektsii v otkrytykh oblastyakh. Tomsk, TGU, 1985. 51 s. Dep. v
VINITI 22.11.85 No 8069-B. (in Russian)
10. Degi D.V., Starchenko A.V. Chislennoe reshenie uravneniy Nav'e-Stoksa na komp'yuterakh s
parallel'noy arkhitekturoy (2012) Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta.
Matematika i mekhanika. No. 2, pp. 88–98. (in Russian)
11. Wright N.G. Multigrid solutions of elliptic fluid flow problems. Ph. D. thesis. University of
Leeds, 1988. 185 p.
12. Kashtanova S.V., Okulova N.N. Matematicheskoe modelirovanie techeniya vyazkoy
teploprovodnoy zhidkosti s ispol'zovaniem metoda Ls-Stag (2012) Vestnik MGTU im. N.E.
Baumana. Ser. Estestvennye nauki. Spets. vyp. 2: Matematicheskoe modelirovanie v
tekhnike, pp. 86–97. (in Russian)
13. Fomin A.A., Fomina L.N. Neyavnyy iteratsionnyy polineynyy rekurrentnyy metod resheniya
raznost-nykh ellipticheskikh uravneniy. Kemerovo: KemGU Publ., 2012. 314 p. (in Russian)
14. Moffatt H.K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner (1964) Journal of Fluid
Mechanics. V. 18, part 1, pp. 1–18.
15. Van der Vorst H.A. Bi-CGStab: a fast and smoothly converging variant of BI-CG for solution
of nonsymmetric linear systems (1992) SIAM J. Sci. Stat. Comput. V. 13. No. 2, pp. 631–
644.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014
Математика и механика
№ 3(29)
МЕМУАРЫ, ПАМЯТНЫЕ ДАТЫ, ПЕРСОНАЛИИ
И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.Г. Пестов
ИСТОРИЯ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ТОМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Эта статья посвящена деятельности кафедры математического анализа с момента её создания по 2008 год.
Кафедра математического анализа была с создана в 1938 году на физико-математическом факультете Томского государственного университета (ТГУ). Согласно архивным документам, на должность заведующего кафедрой была назначена
доцент Евстолия Николаевна Аравийская. В 1940 году заведующим кафедрой
избирается П.П. Куфарев.
В состав механико-математического факультета (ММФ) кафедра вошла с уже
почти десятилетним опытом работы. При распределении учебных поручений курсы алгебры, геометрии, теоретической механики, астрономии, предусмотренные
программой подготовки математиков, механиков, астрономов на ММФ, были закреплены за профильными кафедрами. За кафедрой математического анализа закрепились, в дополнение к курсу математического анализа, основному по значимости и объёму в подготовке специалистов на ММФ, другие курсы: теория функций комплексного переменного, теория функций действительного переменного,
обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики,
топология, теория вероятностей и соответствующие спецкурсы, отражающие научные интересы сотрудников кафедры.
Учебные поручения сотрудников кафедры были трудоёмкими. Осваивались
новые курсы, новые учебники, изучалась переводная иностранная литература.
Курсы лекций наполнялись новыми научными результатами и отражали творческую напряжённость каждодневной работы преподавателей. По нашим студенческим впечатлениям (два старших автора этой статьи поступили на ММФ в
1949,1950 годах), получившим впоследствии силу достоверности, ведущими сотрудниками кафедры были Павел Парфеньевич Куфарев и Захар Иванович Клементьев.
Павел Парфеньевич родился в г. Томске 18 (31) марта 1909 года. Его отец,
Парфений Фёдорович (1860−1914), родом из крестьян Вологодской губернии,
служил кондуктором на железной дороге, а затем делопроизводителем квартирного отдела Томской городской управы. В тяжёлые годы Первой мировой, а затем и
гражданской войны Павел остался без родителей. Обязанности по воспитанию
Павла взяли на себя старший брат Леонид, инженер-химик, выпускник Томского
технологического института, и сестра Ольга, выпускница медицинского факультета ТГУ.
Окончив в 1926 году девятилетнюю школу №5 г. Томска, Павел Парфеньевич
в 1927 году поступил на химическое отделение физико-математического факуль-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
110
И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.Г. Пестов
тета ТГУ, но затем перевёлся на математическое отделение. В 1930 году специальность «чистая математика» была закрыта на факультете и продолжить математическое образование П.П. Куфарев решает в МГУ или ЛГУ. Из обоих университетов пришло положительное решение о переводе, но по просьбе профессора
Л.А. Вишневского, заведовавшего в то время математическим отделением, ректор
ТГУ профессор Д.В. Горфин отказывает талантливому студенту в переводе. После окончания в 1931 году университета по специальности «прикладная математика» Павла Парфеньевича по распределению направляют в специальное конструкторское бюро ленинградского завода «Красный путиловец». Он возвращается в
ТГУ и занимает с 10 января 1932 года должность ассистента. До конца жизни не
прерывалась его связь с ТГУ.
В середине 30-х годов прошлого столетия большая группа математиков ТГУ организовала научный семинар по теории аналитических функций под руководством
работавшего в Томске с 1935 по 1937 год крупного математика и механика
С.Б. Бергмана, эмигрировавшего из фашистской Германии. Совместная работа
Е.Н. Аравийской, С.Б. Бергмана, Г.А. Бюлера, П.П. Куфарева, А.К. Минятова,
И.М. Митрохина, Н.П. Романова, А.А. Темлякова, Б.А. Фукса и других оказалась
весьма плодотворной. В 1935−1936 гг. она положила в Советском Союзе начало исследованиям по теории функций двух и многих комплексных переменных. Участники семинара стали позднее руководителями научных школ по теории функций
одного и многих комплексных переменных в ряде университетов. Творческая обстановка, сложившаяся в коллективе, образовавшем семинар, способствовала быстрому росту качества научных исследований и расширению тематики.
В 1936 году Павел Парфеньевич защитил кандидатскую диссертацию «К вопросу о кручении и изгибе стержней полигонального сечения», а 16 июня 1943
года на заседании учёного совета ТГУ – докторскую диссертацию «Об однопараметрических семействах однолистных функций» (официальные оппоненты профессора Н.П. Романов, П.К. Рашевский, С.А. Чунихин). В 1944 году получил звание профессора. С 1938 по 1940 год он заведовал кафедрой теоретической механики, затем с 1940 по 1964 год – кафедрой математического анализа, а с 1965 по
1968 год – кафедрой теории функций на механико-математическом факультете,
открытом в 1948 году. Павел Парфеньевич был одним из инициаторов открытия в
ТГУ этого факультета и с 1952 по 1955 год был его деканом. С большой энергией
и вниманием к интересам студентов вёл как преподавательскую, так и научную
работу, вовлекая в неё молодёжь и закладывая основы Томской математической
школы. Так, в годы Великой Отечественной войны и позже ему приходилось в
учебном году читать лекции по 6−7 различным математическим дисциплинам не
только на ММФ ТГУ, но и по совместительству в Томском государственном педагогическом институте (ныне ТГПУ) и Томском политехническом институте
(ныне ТПУ).
До создания Сибирского отделения Академии наук СССР в Новосибирске
П.П. Куфарев был единственным в Сибири математиком с учёной степенью доктора наук.
Павел Парфеньевич был педагогом по призванию, любимым студентами лектором и экзаменатором. Значительным был его вклад в математическое образование в Сибири. Все, кому довелось слушать лекции Павла Парфеньевича по теории
функций комплексного переменного, обыкновенных дифференциальных уравнений, теории упругости и другим общим и специальным курсам по актуальным вопросам математики и механики, отмечают исключительную познавательную цен-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
История кафедры математического анализа Томского университета
111
ность, доступность и композиционное совершенство, помнят его маленькую записную книжечку, которую он доставал из кармана в начале лекций и потом, забыв о ней, выводил доказательство той или иной теоремы, увлекая за собой всю
аудиторию. Одна из его первых учениц отмечала, что «именно в этих лекциях
многие из нас впервые обнаруживали, что доказательство может быть красивым, а
иногда даже распутывание лабиринта чужой мысли, изложенной в начале, может
быть источником настоящей радости. Нам казалось, что мы впервые оказались
поблизости от чего-то величественного и прекрасного». Авторизованных записей
лекционного материала, к сожалению, не существует. Но о стиле изложения лекционного материала, аналитическом совершенстве выкладок, сопровождающих
доказательства теорем и выводы формул, можно составить представление по текстам его статей и докладов, обращая, в частности, внимание на строгость рассуждений, лаконичность формулировок, способы разъяснения трудных мест.
Плодотворным был его стиль работы с аспирантами: требовательность к точности математических выкладок, своевременная направляющая исследования помощь и предоставление значительной самостоятельности. Консультации с аспирантами могли происходить на кафедре, на его квартире, на скамье в университетской роще, когда Павел Парфеньевич на каком-либо листочке набрасывал заметки к размышлениям и некоторые формулы, разбор которых мог дать аспиранту месяц напряжённой работы. Для начинающих исследователей очень поучительным было чтение его черновых тетрадей большого размера, в которых он
подробнейшим образом описывал ход рассуждений при получении того или иного результата. Большинство его аспирантов посвятили себя научной работе, превратились в крупных исследователей, стали высококвалифицированными специалистами в учреждениях высшего профессионального образования. Фундаментальные результаты его работ являлись основой научных исследований его учеников, из которых 23 защитили кандидатские диссертации, а трое из его школы
защитили докторские диссертации и стали известными учёными.
В ТГУ организовался научный семинар по геометрической теории функций
комплексного переменного и началось издание сборников научных трудов «Вопросы геометрической теории функций».
П.П. Куфарев внёс большой вклад в развитие Томского государственного университета в годы Великой Отечественной войны и последующие годы, сосредотачиваясь не только на получении математических результатов, но в большой мере
также на вопросах качества математического образования, взаимодействия математиков с ведущими учёными широко известной своими достижениями томской
физической школы. В 1943−1944 годах по совместительству он является научным
сотрудником СФТИ, где вместе с П.К. Рашевским, доцентами Е.Н. Аравийской и
Е.Д. Томиловым занимается вопросами теории винтовых пружин. Он умел ставить задачи, стимулирующие творческие усилия молодых учёных, их интерес к
научным событиям в мировом математическом сообществе. Этому способствовала его активная авторская деятельность в информационно-реферативных журналах «Математика», «Механика», «Mathematical Reviews», работа в составе редколлегии журнала «Прикладная математика и механика» и, конечно же, высокая
образованность, бывшая одним из его достоинств.
Он был инициатором проведения в Томском государственном университете
Сибирских конференций по математике и механике, выступал с докладами на международных и всесоюзных съездах и конференциях. При жизни Павла Парфень-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
112
И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.Г. Пестов
евича развитие математики в томских вузах в значительной мере определялось
его научной деятельностью, его общественной работой как математика.
Говорил Павел Парфеньевич без артистических приёмов, ровным приятным
голосом. Свои соображения излагал в лаконичной форме, не позволяя себе, собеседникам и слушателям упускать из внимания предмет обсуждения. Одевался
просто. На лекциях всегда был в неброском классическом костюме и запомнился
многим повернувшимся лицом к доске с мелом в одной руке и тряпкой в другой.
Его чуть сутуловатая фигура узнавалась издали по неспешной походке и спокойным движениям рук. Он любил Томск, его ближние и дальние пригороды. Летние
отпуска обычно проводил на берегу Оби. На прекрасных полянах около села Киреевское Кожевниковского района Томской области останавливался для отдыха с
обязательным купанием и плаванием через Обь. В этих местах располагается теперь база отдыха студентов и преподавателей ТГУ. Участвовал в студенческих
вечерах и торжествах в Доме учёных и иногда соглашался спеть или станцевать
лезгинку, неизменно в таких случаях представляясь как Куфаридзе. Но больших и
шумных компаний не любил.
За заслуги в развитии математической науки и многолетнюю плодотворную
педагогическую деятельность П.П. Куфарев был награждён двумя орденами Трудового Красного Знамени (1953, 1961) и медалью «За доблестный труд в Великой
Отечественной войне» (1945). Заслуженный деятель науки РСФСР (1968).
Интенсивная научная работа П.П. Куфарева продолжалась более 25 лет и прервалась из-за тяжёлой болезни, приведшей к кончине Павла Парфеньевича 17 июля 1968 года.
Широта научных интересов П.П. Куфарева велика. Она выделяет его среди
математиков, работавших одновременно с ним в области теории функций комплексного переменного, в применениях методов этой теории к задачам гидромеханики, теории упругости, теории анизотропных тел, и делает его дарование явлением ярким и запоминающимся. Все научные результаты, полученные
П.П. Куфаревым, были в своё время, а некоторые остаются и сейчас, новыми и,
обычно для него, полученными оригинальными способами. Он умел с большой
изобретательностью преодолевать технические трудности в сложных аналитических построениях, преобразованиях и выкладках и неоднократно вызывал восхищение специалистов своими находками.
К систематическим исследованиям в направлении теории аналитических
функций П.П. Куфарев приступил уже после защиты кандидатской диссертации, в
которой он использовал аппарат комплексного анализа применительно к теории
упругости. Вероятно, усиление интереса П.П. Куфарева к задачам теории аналитических функций произошло под влиянием творческой обстановки семинара
под руководством С.Б. Бергмана. Используя свойства ядровой функции области,
П.П. Куфарев в своих ранних работах, близких к тематике семинара, решает задачу о нахождении отображения кругового кольца на область минимальной площади, а также выделяет особенность ядровой функции при стремлении её аргумента
к граничной точке области по прямолинейному пути.
Важным результатом дальнейших исследований П.П. Куфарева стала статья «Об
однопараметрических семействах аналитических функций», опубликованная в 1943
году. В этой статье, ставшей основой докторской диссертации П.П. Куфарева, рассматривается вопрос об условиях существования производной функции F ( z , t ) по
переменной t, отображающей область G плоскости комплексного переменного z на
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
История кафедры математического анализа Томского университета
113
семейство областей B ( t ) , сходящейся по Каратеодори как к ядру к области B ( t0 ) .
В более простых условиях такие вопросы исследовались К. Лёвнером в 1923 году. Им
были получены два уравнения, составившие основу метода параметрических представлений. П.П. Куфаревым получено и подробно изучено уравнение Лёвнера –
Куфарева, являющееся обобщением уравнения Левнера:
∂F ( z , t )
∂F ( z , t )
+ zP ( z , t )
= 0,
∂t
∂z
где P ( z , t ) – голоморфная относительно z функция с положительной вещественной частью в единичном круге. Выяснены геометрические свойства отображения
F ( z , t ) в зависимости от свойств функции P ( z , t ) . Проведено дальнейшее детальное изучение полученных обобщений. В статье «К теории однолистных
функций» указывается способ нахождения управляющей функции μ ( t ) для отображений единичного круга на плоскость, разрезанную по лучу, а затем по простой дуге. На основе уравнения предложен новый метод численного определения
параметров в интеграле Шварца – Кристоффеля, приобретший большое практическое применение при компьютерной реализации отображений единичного круга
на многоугольник.
П.П. Куфарев первым увидел возможность использования метода параметрических представлений для полного решения задач о дополнительных областях,
поставленных М.А. Лаврентьевым. По-видимому, одновременно возрос интерес
П.П. Куфарева к исследованию и других экстремальных задач теории конформных отображений.
Несомненно, П.П. Куфарева глубоко интересовала задача о точной оценке коэффициентов на классе голоморфных однолистных в круге функций, известная
как проблема Бибербаха о коэффициентах. В 1954 году он указывает эффективный новый подход к исследованию знаменитой задачи. Предварительно выводя из
основной своей формулы вариационную формулу Г.М. Голузина, он предлагает
метод, объединяющий метод внутренних вариаций Г.М. Голузина и параметрический метод, и демонстрирует его возможность в статье «Об одном свойстве экстремальных областей задачи коэффициентов». Почти одновременно П.П. Куфарев
публикует доказательство теоремы о том, что если функция класса S экстремальна в задаче коэффициентов и отображает единичный круг на область, ограниченную отрезками прямых, то справедлива гипотеза Бибербаха.
В статье «Об одном методе исследования экстремальных задач теории однолистных функций» П.П. Куфарев развивает свой вариационно-параметрический
метод на примерах решения трёх экстремальных задач. Многие другие экстремальные задачи на различных классах функций решены этим методом учениками
П.П. Куфарева.
В 1956 году П.П. Куфарев возвращается к статье, опубликованной в «Математическом сборнике» и дополняет её новыми результатами, относящимися к однопараметрическим семействам отображений кругового кольца, и примерами исследования экстремальных задач для кольца. Распространяет уравнение Лёвнера
на многосвязные области и на функции, однолистные в полуплоскости.
Несколько особняком стоят работы «К одной задаче Н.Н. Лузина», «О двух метрических способах определения простого конца последовательности плоских областей» и «Вложение пространства простых концов последовательности областей
в метрическое пространство».
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
114
И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.Г. Пестов
Первые научные исследования П.П. Куфарева в области механики были посвящены математической теории упругости.
В работе «Расчёт точечного электросварочного шва в изогнутой балке» получены расчётные формулы для распределения срезающих сил, действующих на
шов при изгибе. В основу был положен новый подход, состоящий в составлении
дифференциальных уравнений для нагрузки на срез, а не для срезающих напряжений в шве. К этому же разделу теории упругости относится и работа «Определение давления между частями многопластинчатой балки», в которой общий интеграл дифференциальных уравнений для изгибающих моментов каждой балки
выражается через некоторую функцию, для определения которой выводится интегральное уравнение, сводящееся затем к дифференциальному уравнению.
В фундаментальной работе «К вопросу о кручении и изгибе стержней полигонального сечения» рассматривается сначала общая математическая задача: найти
в заданной области, ограниченной n-сторонним полигоном, непрерывную вплоть
до границы гармоническую функцию, которая на сторонах полигона принимает
заданные значения. С учётом граничного условия, П.П. Куфарев, используя интеграл Кристоффеля – Шварца, находит голоморфную функцию в виде гиперэллиптического интеграла, мнимая часть которой равняется искомой гармонической
функции. В работе «Изгиб стержня равностороннего треугольного сечения» этот
метод решения применён для частного случая, когда полигон представляет собой
равносторонний треугольник. Решение задачи выражено через эллиптические
функции и в виде быстро сходящихся тригонометрических рядов.
Работы «Определение напряжений в эллиптической анизотропной пластинке»,
«Определение напряжений в анизотропном клине» и «Определение напряжений в
анизотропной полосе» посвящены задачам теории упругости анизотропных тел.
Задачи сводятся к определению функций комплексного переменного в заданных
областях и удовлетворяющих на границах областей граничным условиям. После
отображения каждой области физической плоскости на каноническую область
искомые функции преобразуются к новой переменной и представляются в виде
рядов.
Методы теории функций комплексного переменного были применены
П.П. Куфаревым в дальнейших исследованиях, относящихся к плоским нестационарным задачам теории фильтрации.
В первой работе этого направления рассмотрена задача о фильтрации нефти
в частных случаях, когда область в физической плоскости в начальный момент
времени представляет собой полуплоскость и полосу. В работе «Об одной задаче фильтрации» ставится более общая задача теории плоских неустановившихся
течений несжимаемой жидкости. В заполненной жидкостью области, меняющейся со временем, в заданных точках имеются источники или стоки. Требуется
определить поле скоростей и вид области, если в начальный момент времени
она задана. Задача сводится к нахождению в этой области голоморфной функции, удовлетворяющей граничному и начальному условиям. С течением времени область, заполненная жидкостью, изменяется и поэтому граничное условие
должно выполняться на неизвестной переменной границе. Для сведения этой
задачи к граничной задаче для некоторой неизменной области применяется
предложенный П.Я. Полубариновой-Кочиной способ, состоящий в конформном
отображении области в физической плоскости на круг единичного радиуса. Для
функции, отображающей единичный круг на область в физической плоскости,
выводится основное граничное условие, из которого с помощью интеграла
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
История кафедры математического анализа Томского университета
115
Шварца для определения этой функции получается интегро-дифференциальное
уравнение. Затем доказывается, что решение этого уравнения выражается в виде
некоторого интеграла через решение системы интегро-дифференциальных
уравнений. Показано существование и единственность (названного «правильным») решения этой системы. Проведённые доказательства являются обоснованием возможности использования двух методов решения задачи, а именно метода последовательных приближений и метода, состоящего в представлении
решения в виде ряда.
Полученное в рассмотренной статье граничное условие применяется для нахождения точных решений задач о контуре нефтеносности для круга, для полосы
с цепочкой скважин, для круга при любом числе скважин.
Подход, состоящий в определении голоморфной функции в единичном круге,
на который отображается область с переменной границей физической плоскости,
применён в работе «Задача о вихре и источнике под поверхностью жидкости».
Здесь рассматривается неустановившееся течение тяжёлой жидкости и приходится учитывать весомость жидкости, что приводит к более сложному граничному
условию и усложнению решения задачи.
Ещё один способ решения задачи теории фильтрации дан в работе «Некоторые
задачи о перемещении контура нефтеносности». Решение этих задач основывается на существовании и свойствах мероморфных решений задач фильтрации нефти. Для комплексного потенциала течения с использованием закона Дарси выводится граничное условие, которое должно выполняться на переменной границе.
И здесь вновь применён способ конформного отображения области физической
плоскости на какую-либо простейшую область. В работе приведён вывод граничного условия для случая отображения на полуплоскость. Решение задачи аппроксимируется мероморфными функциями для случая конечного и бесконечного
числа скважин.
И наконец, в последней работе по теории фильтрации методом последовательных приближений проводится доказательство существования и единственность
решения системы интегральных уравнений, полученной в работе «Об одной задаче фильтрации».
В работе «О струйном обтекании дуги окружности» П.П. Куфарев предложил оригинальный метод решения задач теории струй идеальной жидкости при
обтекании криволинейных препятствий. Вместо обычно используемой функции
Жуковского вводится новая функция, равная производной по комплексному потенциалу от функции Жуковского. Устанавливается связь этой функции с производной Шварца и показывается, что множителем при мнимой части этой производной является производная от кривизны обтекаемого контура по комплексному потенциалу. Для контура в форме дуги окружности этот множитель равен
нулю и поэтому мнимая часть производной Шварца равна нулю на контуре. Исходя из этого, выводится граничное условие для вновь введённой функции. С
помощью формул Сохоцкого для предельных значений этой функции получается нелинейное интегродифференциальное сингулярное уравнение. Решение этого уравнения находится методом последовательных приближений, доказывается
существование и единственность решения и находится первое приближение к
решению задачи.
Несколько особняком стоит статья «Об одном частном случае колебаний винтовой пружины со сталкиванием витков». Задача сводится к определению двух
функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений в частных про-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
116
И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.Г. Пестов
изводных в подлежащей определению области и удовлетворяющих заданному соотношению.
По приглашению Оргкомитета III Всесоюзного математического съезда
(г.Москва, 1956 г.) П.П. Куфарев подготовил обзорный доклад «Некоторые методы и результаты теории однолистных функций» и прочёл его на пленарном заседании секции «Теория функций». К началу работы съезда были опубликованы тезисы этого доклада «Методы и результаты теории однолистных функций», а также тезисы секционного доклада П.П. Куфарева «О методе параметрических представлений и вариационном методе Г.М. Голузина». На съезде были сделаны доклады и сообщения учениками П.П. Куфарева и, таким образом, были широко
представлены специалистам и признаны ими достижения сложившейся в Томском
университете школы по теории функций. На протяжении всего периода творческой работы П.П. Куфарев многократно выступал с докладами на научных семинарах, итоговых научных конференциях. Записей текстов докладов не сохранилось, как и самих тезисов, за исключением: «О работах отдела математики и механики СФТИ по некоторым проблемам гидромеханики», «О некоторых вопросах
теории однолистных функций», «Некоторые задачи теории однолистных функций», «Работа Томского университета по теории однолистных функций», «Об одном методе исследования экстремальных задач для функций, однолистных в полуплоскости».
Изучению вопросов граничного поведения отображений, существенных в приложениях теории функций комплексного переменного как к плоским задачам механики сплошной среды, так и к экстремальным задачам теории конформных
отображений, П.П. Куфарев и его ученики уделяли много сил. В частности, выяснялось насколько широко можно распространить полученные для плоских конформных отображений результаты на более общие классы отображений плоских и
пространственных областей.
Исследования в области теории функций комплексного переменного принесли
Павлу Парфеньевичу всеобщее признание среди специалистов в нашей стране и
за её пределами как выдающегося учёного теоретика и прикладника. Его научная,
педагогическая, организационная и редакторская работа оказала значительное
влияние на математические исследования и математическое образование в Сибири и, несомненно, заслуживает всестороннего изучения специалистами по истории математики и психологии научного творчества. Им была создана научная
школа в ТГУ, которую он возглавлял до конца своих дней.
Соавторами и учениками Павла Парфениевича были: И.А. Александров,
П.П. Астафьев, К.А. Болецкий, Ю.П. Виноградов, Н.В. Генина, М.Р. Куваев,
Б.П. Куфарев, В.Г. Пряжинская, В.А. Свекло, В.В. Соболев, Л.В. Спорышева,
А.Э. Фалес, В.В. Черников.
Они, а также В.А. Штанько, В.Н. Шепеленко, В.С. Фёдорова, Б.Г. Байбарин,
И.И. Козырев, М.И. Редьков, Н.В. Попова были успешными аспирантами
П.П.Куфарева.
В НИИ прикладной математики и механики ТГУ установлена ежегодная премия имени П.П. Куфарева за лучшую научную работу в области математики и механики.
Павел Парфеньевич Куфарев оставил о себе память как о крупном математике
и любимом педагоге. Он успешно объединял педагогическую деятельность с научной, был исключительно скромным, мягким в общении, деликатным и верным
слову человеком, классическим профессором классического университета.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
История кафедры математического анализа Томского университета
117
Заметный вклад в формирование ММФ, являвшегося на протяжении многих
лет центром математического образования в Сибири, внёс Захар Иванович
Клементьев. Среди многих замечательных лекторов-преподавателей студенты
всегда выделяли Захара Ивановича.
Захар Иванович Клементьев родился в глухой мордовской деревне Крапивенке
Нижегородской губернии в бедной крестьянской семье. В 1911 году в деревне была
открыта трёхлетняя земская школа. Занятия проводились в крестьянских избах.
Захар Иванович сохранил тёплые воспоминания о своей первой учительнице.
По счастью, в деревне было две библиотеки. В одной библиотеке была представлена научно-популярная литература по различным областям знания. В другой –
классическая русская литература. Захар за несколько лет прочёл всё, что там было. Продолжить образование Захару удалось после революции. Усиленно занимаясь самообразованием, сочетая учёбу в школе с крестьянским трудом, Захар Иванович окончил среднюю школу в 1923 году. После окончания средней школы
Захар Иванович был назначен учителем начальной школы в родную деревню.
В 1927 году Захар Иванович бы переведён преподавателем школы крестьянской
молодёжи в селе Арать. Под школу была отведена бывшая помещичья усадьба.
Перед директором школы и Захаром Ивановичем встала задача наладить ведение
хозяйства, провести набор учащихся и организовать учебный процесс. Первый
год особенно был полон лишений и напряжённого труда.
В 1931 году Захар Иванович был направлен в Ленинградский университет, где
поступил на математико-механический факультет. Преподавание математических
курсов в университете в те годы вели виднейшие деятели советской математики.
Лекции по теории чисел читал академик И.М. Виноградов, по теории вероятностей и конструктивной теории функций – академик С.Н. Бернштейн, по теории
Галуа – профессор Б.Н. Делоне, по высшей алгебре – профессор В.А. Тартаковский, по уравнениям математической физики – профессор Н.С. Кошляков,
по уравнениям в частных производных – профессор Гюнтер, по интегральным
уравнениям – профессор Г.М. Мюнтц, по новому тогда курсу теории функций
действительного переменного – профессор Л.В. Канторович, по теории функций
комплексного переменного – профессор В.И. Смирнов, по функциональному анализу – профессор Г.М. Фихтенгольц.
Захар Иванович с отличием окончил университет в 1936 году и был принят
в аспирантуру профессора Л.В. Канторовича (ставшего в 1975 году лауреатом
Нобелевской премии). При этом руководитель аспиранта был на восемь лет моложе своего ученика! В июне 1940 года Захар Иванович защитил диссертацию
«Исследование некоторых полуупорядоченных пространств» в совете Томского
государственного университета (оппоненты профессор Н.П. Романов, доцент
А.С. Джанумянц).С ноября 1939 года вся деятельность З.И. Клементьева связана с
ТГУ. С 1 декабря 1941 года – Захар Иванович доцент кафедры математического
анализа. Прежде всего отметим чтение курсов математического анализа и теории
функций действительного переменного. Он читал также курсы теории вероятностей, уравнений математической физики, функционального анализа, специальные
курсы по теории функций, теории меры, теории интеграла. Доцент Н.В. Кудрявцева пишет в стихотворении о Захаре Ивановиче:
Доска – ворота в новый мир.
Привратник, чем-то нереальный,
Высок, как символ интегральный,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
118
И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.Г. Пестов
Волшебник – лектор, наш кумир.
Высоких слов не говорил,
Но он – мы это твёрдо знали,
Математический анализ
Нам, как причастие, дарил.
За годы работы в Томском университете Захар Иванович прочёл многие курсы
лекций по различным разделам современного анализа. Это, прежде всего, фундаментальные курсы математического анализа и теории функций и теории функций
действительного переменного. Читая эти курсы в течение 30 лет, Захар Иванович
постоянно совершенствовал их изложение и обогащал содержание. С особым
присущим ему умением он формировал у слушателей понимание основ современной математики и воспитывал культуру математического мышления. Речь Захара
Ивановича отличалась прекрасной дикцией и необычайным богатством интонаций. В течение ряда лет он читал курсы теории вероятностей, уравнений математической физики, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и специальные курсы по различным разделам функционального анализа, теории функций, теории меры и интеграла.
По теории меры и интеграла Захар Иванович опубликовал около 50 работ.
Часть из них посвящена теории полуупорядоченных пространств. В них рассматриваются свойства полуупорядоченных пространств и линейных непрерывных
функционалов на них. В частности, указываются условия существования и единственности продолжения линейного непрерывного функционала, заданного на
правильной части полуупорядоченного пространства. Находится условие самосопряжённости пространства линейных функционалов на полуупорядоченном пространстве. Даётся критерий компактности подмножества в полуупорядоченном
пространстве. В ряде работ З.И. Клементьев применяет абстрактную теорию полуупорядоченных пространств к вопросам общей теории меры. Он показывает,
что совокупность Z всех аддитивных функций ограниченной вариации, определённых на правильном семействе множеств, кольце или сигма-кольце, является
полуупорядоченным пространством. Рассматриваются свойства пространства Z.
В частности, оно изоморфно пространству (о) непрерывных функционалов на полуупорядоченном пространстве всех (b)-измеримых функций, причём каждый такой функционал представим в виде интеграла Радона. Множество, лежащее в
пространстве Z, компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и равномерно аддитивно. Некоторые аспекты этого подхода к теории полуупорядоченных пространств и теории меры получили развитие в работах, написанных совместно с Н.Ф. Ждановой. Развивая результаты В.И. Соболева и Б.З. Вулиха,
З.И. Клементьев построил общую теорию меры со значениями в булевой алгебре,
заданной на классах множеств произвольной природы, рассмотрел возможность
построения абстрактной теории меры по схеме Ф. Рисса, применил полученные
результаты к определению длины кривой в метрическом пространстве и к определению понятия интеграла в полуупорядоченном нормированном пространстве.
В работе, написанной совместно с А.А. Бокком, доказана теорема: всякая счётноаддитивная, почти всюду слабо-дифференцируемая слабо абсолютно непрерывная
функция ограниченной сильной вариации, заданная на сигма-кольце борелевских
подмножеств евклидова пространства и принимающая значения в банаховом пространстве, представима в виде интеграла Бохнера от своей слабой производной по
мере Лебега. Остальные совместные статьи З.И. Клементьева и А.А. Бокка по-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
История кафедры математического анализа Томского университета
119
священы теории векторнозначных мер и её приложениям. В частности, доказывается вариант теоремы Радона – Никодима для положительной абсолютно непрерывной векторнозначной функции множества.
В работах, выполненных совместно с И.П. Ефремовой, рассматриваются операторы, заданные на структурах и принимающие значения в полуупорядоченных
пространствах. В статьях, написанных совместно с Рудиным, рассматриваются
различные аспекты построения меры и интеграла как с вещественными, так и с
абстрактными значениями. Основываясь на теореме Л.В. Канторовича о распространении оператора с линейной мажорирующей структуры на более широкую
структуру, авторы излагают теорию меры и интеграла в локально компактных
пространствах. Рассматриваются также вопросы построения меры и интеграла
Даниэля. Проводится сравнительный анализ различных подходов к построению
теории меры и интеграла. Даётся построение пространства суммируемых функций со значениями в регулярном полуупорядоченном пространстве. В работе
«О некоторых функциональных пространствах, аналогичных пространствам Кёте
– Теплица», З.И. Клементьев переносит некоторые теоремы Кёте и Теплица о совершенных пространствах скалярных последовательностей на совершенные полуупорядоченные пространства. В статье определяются дуальные и совершенные
полуупорядоченные пространства. Дальнейшее развитие и конкретизация этих
идей содержатся в работах, выполненных совместно с Шахновичем. Здесь исследуются линейные пространства S всех локально суммируемых функций, заданных
на положительной полуоси. Рассматривается естественная билинейная форма и
относительно неё определяются дуальные пространства, совершенные пространства и т.д. в духе упомянутой теоремы Кёте – Теплица. В совместной с Р.М. Малаховской работе «О сингулярных интегралах» впервые изучены сингулярные интегралы от функций многих переменных, когда сингулярность сосредоточена на поверхности. Доказана теорема, обобщающая результаты А. Лебега, В.И. Романовского и Д.К. Фаддеева, полученные для случая одной переменной.
Многие научные результаты З.И. Клементьева докладывались на различных
съездах и конференциях. На IV Всесоюзном математическом съезде Захар Иванович выступил с докладом «Об аналитическом представлении линейных операторов в некоторых функциональных пространствах».
По инициативе кафедры математического анализа ТГУ и при поддержке академика Канторовича и членов президиума СО АН СССР своим решением от
31.05.1968 г. ВАК СССР утвердил З.И. Клементьева в учёном звании профессора
по кафедре математического анализа без защиты докторской диссертации.
В октябре 1968 года Захар Иванович переходит на кафедру теории функций
ТГУ в качестве профессора-заведующего кафедрой, а с февраля 1979 года – профессора-консультанта. Итогом научно-педагогической деятельности Захара Ивановича стало опубликование книги «Курс лекций по теории функций действительного переменного» – два издания, 1968 и 1970, а также «Лекций по математическому анализу», пять выпусков, 1975–1985 годы.
В 1995 году получено официальное свидетельство о присвоении малой планете имени Клементьев.
Игорь Александрович Александров поступил в аспирантуру ТГУ по специальности механика (после окончания с отличием ММФ ТГУ и работы инженером
на машиностроительном заводе в городе Алма-Ата). П.П. Куфарев предложил ему
заняться математикой в области теории функций комплексного переменного.
Начало было удачным: первая научная работа И.А. Александрова была опублико-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
120
И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.Г. Пестов
вана в ДАН СССР по представлению академика М.А. Лаврентьева. Интерес
И.А. Александрова к исследованиям по комплексному анализу расширялся с годами, о чём свидетельствует отражённый в названиях его статей круг затрагиваемых вопросов, также он дополнялся тематически исследованиями по механике,
истории развития математики, в частности в Томске, и вопросами школьного образования.
В издательстве «Наука» выходит монография И.А. Александрова «Метод параметрических продолжений в теории однолистных функций», в издательстве
«Высшая школа» – учебное пособие для вузов «Аналитические функции комплексного переменного».
Полученные И.А. Александровым результаты были в своё время новыми, заслуживавшими развития, а некоторые из них остаются лучшими и по сей день.
И.А. Александров сотрудничал и сотрудничает с «Сибирским математическим
журналом», «Успехами математических наук», «Докладами АН СССР», «Докладами АН УССР», «Украинским математическим журналом», «Вестником Томского университета».
Он является членом Американского математического общества, участвует в
работе математических съездов, является автором статей в «Математической энциклопедии», в энциклопедии «Математическая физика». И.А. Александров принимал активное участие в подготовке открытия в ТГУ « Института прикладной
математики и механики» и организации в нём научной работы, в частности по соударению твёрдых тел при больших скоростях.
Начиная с 1958 года И. А Александров ежегодно читает лекции для студентов
университетов. Это – высшая математика, математический анализ, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных,
функциональный анализ, спецкурсы по различным вопросам теории функций. Его
лекции слушают студенты-математики в Томском университете, слушали в Донецком, Ставропольском, Тюменском университетах. Но своими учениками
И.А. Александров называет только аспирантов. Их более пятидесяти. Не все в установленный срок защитили свои кандидатские диссертации. Но и они, а тем более, защитившие в срок, с благодарностью и большим уважением оценивают труд
И.А. Александрова как научного руководителя.
И.А. Александров продолжает исследовательскую работу, читает лекции по
комплексному анализу, руководит советом по защитам докторских диссертаций
по вещественному, комплексному и функциональному анализу, и по алгебре, математической логике и теории чисел, консультирует научных работников по различным вопросам математики. Весной 2013 года учёный совет ТГУ вновь избрал
И.А. Александрова на должность заведующего кафедрой математического анализа.
В год начала Великой отечественной войны закончил учёбу в ТГУ Георгий
Дмитриевич Суворов. Его выпускная работа выполнялась по теории чисел под
руководством Ф.Э. Молина. После демобилизации в октябре 1946 года Георгий
Дмитриевич поступает в аспирантуру ТГУ. Целеустремлённость, трудолюбие, военная закалка и дисциплинированность, основательное университетское образование способствовали результативной научной работе. Он выбирает для исследования теорию простых концов (по Каратеодори) и 27 июня 1951 года защищает в
Томском университете свою кандидатскую диссертацию и включается в научнопедагогическую работу кафедры математического анализа. Лекции, практические
занятия, руководство научным семинаром с участием студентов, редактирование
стенной факультетской газеты «Советский математик», широкие литературные
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
История кафедры математического анализа Томского университета
121
интересы создали Г. Д. Суворову высокий авторитет на факультете. В марте 1961
года доцент кафедры математического анализа Г.Д. Суворов защищает в Институте математики СО АН СССР докторскую диссертацию «Основные свойства
некоторых классов топологических отображений плоских областей с переменными границами». В сентябре 1961 года была образована кафедра теории функций
путем выделения из кафедры математического анализа. В её составе кроме заведующего, доцента Г.Д. Суворова, было два сотрудника: доцент И.А. Александров
и ассистент З.О. Шварцман, а также два аспиранта (Б.П. Куфарев и В.К. Ионин).
На протяжении нескольких лет эти две кафедры были фактически единым целым.
С 1966 года Г.Д. Суворов возглавил отдел теории функций Донецкого вычислительного центра АН УССР, одновременно руководил научной работой в Донецке.
Борис Павлович Куфарев, сын П.П. Куфарева, выпускник механикоматематического факультета ТГУ (1960 г.) В 1963 году окончил аспирантуру,
кандидат физико-математических наук (1966), доцент (1968), старший научный
сотрудник (1974), доктор физико-математических наук (1991), профессор кафедры математического анализа (1992).
Работал на ММФ ТГУ (1963−1974) и в НИИ прикладной математики и механики при ТГУ (1971−1996). В 1971–1972 годах усилиями Бориса Павловича при
поддержке директора НИИ ПММ А.Д. Колмакова и зам. директора И.Б. Богоряда
в институте был создан сектор теории функций. Заведовал лабораторией математики НИИ ПММ (1971−1977 и 1980−1987). С 1987 по 1996 год – ведущий научный сотрудник НИИ ПММ. В 1996 году переведён в штат ММФ ТГУ. Читал лекционные курсы на мехмате, химфаке, факультете информатики, лекции по дифференциальным уравнениям, уравнениям математической физики, вёл спецкурсы
на мехмате ТГУ, много времени и сил уделял занятиям со студентами и аспирантами. В 1998 году учёный совет НИИ ПММ присудил Б.П. Куфареву премию за
лучшую научно-исследовательскую работу в области математики. В 1994 году он
был удостоен «Государственной научной стипендии». В 1998 году – награждён
медалью «За заслуги перед Томским государственным университетом». В 1999 году
избран членом-корреспондентом Петровской академии наук и искусств по разделу естественных наук (Санкт-Петербург), являлся почётным работником высшего
образования Российской Федерации.
Б.П. Куфарев на основе теорем об абсолютной непрерывности L12 отображений на эквидистантах замкнутого множества установил достаточные условия сохранения (при L12 -гомеоморфизме) нулевой линейной меры подмножеств границы Каратеодори плоской области; ввёл понятие концентрации этой границы при
отображении области; доказал теоремы о существовании L12 -концентрирующего
отображения бикомпактов Каратеодори. В декабре 1966 года на объединённом
совете по присуждению учёных степеней по физико-математическим наукам в
ТГУ он защитил диссертацию «К теории плоских отображений некоторых классов» на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук. Ряд его работ 60-х
годов посвящён вопросам метризации. В 1963 году он нашёл изящную метризацию пространства областей, в котором предел понимается в смысле сходимости к
ядру. В 1969 году – решил проблему метризации пространства всех элементов
метрических границ всех этих областей и попутно нашёл новую метризацию пространства замкнутых множеств компакта с положительной мерой, отличающуюся
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
122
И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.Г. Пестов
от метризации Ф. Хаусдорфа (1914) или Буземана (1955). Ввёл понятие устойчивой метризации области относительно сходимости к ядру. В 1991 году в Институте математики СО АН СССР Б.П. Куфарев защитил докторскую диссертацию
«Аналоги “принципа длины и площади” и некоторые граничные свойства отображений». Объектом исследования здесь были потенциалы безвихревых векторных полей (интегрируемых со степенью P), дифференцируемые функции N переменных, отображения с конечными потенциалами «энергии» или интегралами типа Дирихле. Был предложен единый подход к изучению метрических свойств и
асимптотического поведения отображений, связанный с теорией границы области
и теорией потенциала, и метод, основанный на новых (плоских и пространственных) осцилляционных неравенствах с потенциалами. Даны широкие обобщения и
многомерные аналоги «принципа длины и площади». Введено понятие потенциально окаймлённых отображений, для которых установлены оценки искажения
расстояний и доказаны теоремы о граничном соответствии, в частности для жордановых областей. Определено понятие предела функций вдоль шаровых и параболических трактов. Эти результаты стали основой нового научного направления,
сформировавшегося в ТГУ в 70−90-е годы (Н.Г. Никулина, Ю.А. Пешкичев,
В.М. Зюзьков, Б.В. Соколов, А.П. Кармазин. Борис Павлович подготовил четырёх
кандидатов наук.
В близких направлениях ведут работу ученики Б.П. Куфарева: Б.В. Соколов,
А.Н. Малютина.
Б.П. Куфарев неожиданно скончался в июне 2004 года.
Тематика научных исследований кафедры математического анализа отличается большим разнообразием. В шестидесятых – восьмидесятых годах прошлого века на кафедре начались исследования по теории вероятностей. Начало им было
положено пионерскими работами Вильгельма Генриховича Фаста по проблеме
тунгусского метеорита. Позднее образовалась группа, занятая проблемами динамического резервирования (Г.Г. Пестов, Л.В. Ушакова, В.А. Томиленко, Чу Су
Тен). С 1976 года начались исследования по теоретическим проблемам теории вероятностей и математической статистики. Группа сотрудников занимается исследованиями в области теории вероятностей и ее приложений. Э.Н. Кривякова построила статистику омега-квадрат для некоторых параметрических семейств распределений в одномерном и многомерном случаях (кандидатская диссертация
1967 года).
Ю.К. Устинов вёл исследования по теории марковских процессов в пространствах входов Дынкина. Основываясь на понятии K-регулярности, он получил
обобщение теоремы Колмогорова о представлении случайных полей их безусловными распределениями, а позднее изучал понятие условной инвариантности распределений относительно сигма-алгебры событий и его применения в теории случайных процессов и полей. Много лет Ю.К. Устинов читал лекции по теории вероятностей для студентов мехмата.
Упомянем ещё об исследованиях потока вторичных частиц в окололунном
пространстве, проводившихся группой сотрудников кафедры в 70−80 годах прошлого века.
Ещё одним направлением многолетних исследований на кафедре является нестандартный анализ и упорядоченные алгебраические системы. На факультете в течение многих лет работает семинар по упорядоченным алгебраическим
системам, руководимый Германом Гавриловичем Пестовым. Остановимся на
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
История кафедры математического анализа Томского университета
123
некоторых результатах участников семинара. А.И. Терра получил классификацию
полей характеристики нуль по признаку возможности их линейного или двумерного упорядочивания, описал способы задания на поле и теле двумерного порядка
(кандидатская диссертация «Двумерно упорядоченные тела и поля», 1984).
А.И. Забарина получила характеристику циклического порядка на группе как
двумерного порядка (кандидатская диссертация «О циклически упорядоченных
группах», 1985). Н.Ю. Галанова, используя аппарат формальных степенных рядов, получила глубокие результаты о строении нестандартной вещественной прямой (кандидатская диссертация «К теории сечений в упорядоченных полях»,
1999). А.А. Тоболкин нашёл конструкцию n-мерного порядка на линейно упорядоченной группе (кандидатская диссертация «К теории n-упорядоченных групп»,
сентябрь 2009). Е.А. Фомина описала строение бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля (кандидатская диссертация» О двумерно упорядоченных полях», декабрь 2009).
Г.Г. Пестов защитил докторскую диссертацию «К теории упорядоченных полей и групп» в ноябре 2004 года в совете при Институте математики и механики
УрО РАН. В 2005 году утверждён в звании профессора по кафедре математического анализа. Член Американского математического общества. Сентябрь1969 –
февраль 1970 – и.о. зав. кафедрой, февраль 1970 – октябрь 1974, июнь 1976 – август 1981 – зав. кафедрой математического анализа, затем – профессор кафедры.
В силу своей специфики, кафедра математического анализа всегда вела исследовательскую работу широкого профиля, занималась подготовкой высококвалифицированных специалистов в области математики, и в то же время выполняла
значительный объём педагогической и воспитательной работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров И.А. Профессор Павел Парфеньевич Куфарев. К 100-летию со дня рождения // Образование в Сибири. 2009. Вып. 16. С. 132−139.
2. Александров И.А. Профессор Захар Иванович Клементьев. К 100-летию со дня рождения // Образование в Сибири . 2004. Вып. 12. С . 183−186.
3. Александров И.А., Пестов Г.Г. Сергей Анатольевич Копанев. К 70-летию со дня рождения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика.
Математика и механика. 2011. № 4 (16). С. 132−136.
4. Александров И.А. О начале высшего математического образования в Сибири // Физики
о физике и физиках. Томск: Изд-во НТЛ, 1998. С. 29−34.
5. Круликовский Н.Н. Из истории развития математики в Сибири. 2006.
6. Труды П.П. Куфарева / под ред. И.А. Александрова. Томск: Изд-во НТЛ, 2009.
7. Пестов Г.Г. Дифференцируемые отображения в конечномерных пространствах. Томск:
Изд-во Том. ун-та, 1983.
8. Копанев С.А., Кривякова Э.Н. Интеграл Лебега. Ч. 1. Томск: Изд-во ТГУ, 2011.
9. Сибиряков Г.В. Введение в теорию пространств Банаха. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1982.
10. Сибиряков Г.В., Мартынов Ю.А. Метрические пространства: учеб. пособие. Томск:
Изд-во Том. ун-та, 2012.
11. Пестов Г.Г. Исследования по упорядоченным группам и полям в томском государственном университете // Вестник Томского государственного университета. Математика
и механика. Математика и механика. 2011. № 3(15). С. 41−58.
12. Поток вторичных частиц на поверхности луны и в окололунном пространстве, отчёт по
НИР, ТГУ, 1979, № г.р. 78025024, гл. 2, с. 16−30 / Н.А. Исаева, Э.Н. Кривякова, Г.Г. Пестов, Г.В. Сибиряков, В.Г. Фаст.
Статья поступила 31.10.2013 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
124
И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.Г. Пестов
Aleksandrov I.A., Kopaneva L.S., Pestov G.G. HISTORY OF THE DEPARTMENT OF
MATHEMATICAL ANALYSIS IN TOMSK STATE UNIVERSITY. This paper is devoted to
the activity of the Department of Mathematical Analysis from the date of its foundation to 2008.
ALEKSANDROV Igor’ Aleksandrovich (Doctor of Physics and Mathematics, Prof., Tomsk State
University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: ma@math.tsu.ru
KOPANEVA Lidiya Sergeevna (Candidate of Physics and Mathematics, Assoc. Prof., Tomsk
State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: ma@math.tsu.ru
PESTOV German Gavrilovich (Doctor of Physics and Mathematics, Prof., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
Е-mail: gpestov@mail.ru
Документ
Категория
Другое
Просмотров
181
Размер файла
4 740 Кб
Теги
механика, университета, государственного, математика, вестник, 2014, 786, томского
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа