close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

835.Вестник Томского государственного университета. Математика и механика №3 2011

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ УНИВЕРСИТЕТА
И НАУКИ РФ
Математика и механика
2011
3(15)
ВЕСТНИК
ТОМСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
TOMSK STATE UNIVERSITY
JOURNAL OF MATHEMATICS AND MECHANICS
Научный журнал
2011
№ 3(15)
Свидетельство о регистрации: ПИ № ФС77-30658
от 20 декабря 2007 г.
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
И.А. Александров, П.А. Крылов
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ЖУРНАЛА
«ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА.
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА»
Глазунов А.А., д-р физ.-мат. наук, проф. (председатель); Гулько С.П., д-р физ.-мат. наук,
проф. (зам. председателя); Лазарева Е.Г., канд. физ.-мат. наук, доц. (отв. секретарь); Александров И.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Берцун В.Н., канд. физ.-мат. наук, доц.; Биматов В.И., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бубенчиков А.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бухтяк М.С., канд. физ.-мат. наук, доц.; Васенин И.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Гришин А.М.,
д-р физ.-мат. наук, проф.; Ищенко А.Н., д-р физ.-мат. наук, проф.; Конев В.В., д-р физ.-мат.
наук, проф.; Крылов П.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Лейцин В.Н., д-р физ.-мат. наук,
проф.; Панько С.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Пергаменщиков С.М., д-р физ.-мат. наук,
проф.; Сипачёва О.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Скрипняк В.А., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Старченко А.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Шрагер Г.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Шрагер Э.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.; Cauty R., prof.
Научный журнал «Вестник Томского государственного университета. Математика и
механика» был выделен в самостоятельное периодическое издание из общенаучного журнала «Вестник Томского государственного университета» в 2007 г. Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере массовых коммуникаций, связи и охраны
культурного наследия (свидетельство о регистрации ПИ № ФС 77-30658 от 20 декабря
2007 г.), ему присвоен международный стандартный номер сериального издания (ISSN
1998-8621). Журнал выходит ежеквартально и распространяется по подписке, его подписной индекс 44064 в объединённом каталоге «Пресса России».
«Вестник ТГУ. Математика и механика» входит в систему Российского индекса научного цитирования (РИНЦ) на платформе http://elibrary.ru, а также в Перечень ВАК изданий
для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций. Кроме того, все номера журнала присутствуют и обрабатываются на общероссийском математическом портале http://Math-Net.ru.
Адрес редакции:
634050, г. Томск, пр. Ленина, д.36, корп. 2, к. 417
Электронный адрес: http://vestnik.tsu.ru/mathematics
Контактный тел./факс: (3822) 529-740
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ООО «Издательство научно-технической литературы»
634050, Томск, пл. Ново-Соборная, 1, тел. (3822) 533-335
Редактор Т.С. Портнова
Верстка Д.В. Фортеса
Изд. лиц. ИД № 04000 от 12.02.2001. Подписано к печати 09.09.2011.
Формат 70 × 100 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. п. л. 11,29. Уч.-изд. л. 12,64. Тираж 300 экз. Заказ № 41.
Отпечатано в типографии «М-Принт», г. Томск, ул. Пролетарская, 38/1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Александров И.А., Крылов П.А. Ф.Э. Молин – ученый и педагог ........................................6
Молин Ф.Э. Об одном преобразовании гипергеометрической строки (авторский вариант, 1939 г.) ........................................................................................................................12
Барт А.А., Беликов Д.А., Старченко А.В. Математическая модель для прогноза
качества воздуха в городе с использованием суперкомпьютеров.....................................15
Гриншпон С.Я., Никольская М.М. Примарные IF-группы .................................................25
Онищук Н.М., Цоколова О.В. Неголономные торсы 1-го рода в четырёхмерном
евклидовом пространстве .....................................................................................................32
Пестов Г.Г. Исследования по упорядоченным группам и полям в Томском государственном университете .........................................................................................................41
Тимошенко Е.А. О радикалах в категории модулей над csp-кольцом ..................................59
МЕХАНИКА
Голованов А.Н., Рулева Е.В., Якимов А.С. Численное моделирование процесса
тепломассообмена в углепластике при пульсациях газового потока................................66
Гришин А.М., Голованов А.Н., Белоусова А.О., Матвеев И.В. О физическом моделировании одного и двух тепловых смерчей ..................................................................76
Жуков А.С., Борисов Б.В., Бондарчук С.С. Оценка эффективности газодинамической защиты корпуса РДТТ с вкладным комбинированным зарядом ..............................83
Ищенко А.Н., Белов Н.Н., Югов Н.Т., Афанасьева С.А., Буркин В.В., Югов А.А.
Исследование проникающей способности составных ударников из стали и текстолита в бронеплиты расчетно-экспериментальным методом ........................................87
Ротанова Т.А. Контакт пластин, жесткие включения в которых выходят на границу.........99
Шваб А.В., Марценко М.С. Модель движения высококонцентрированной гранулированной среды ...............................................................................................................108
МЕМУАРЫ, ПАМЯТНЫЕ ДАТЫ, ПЕРСОНАЛИИ
Копанева Л.С., Чехлов А.Р. Об архиве Ф.Э. Молина ..........................................................117
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета .............127
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ......................................................................................................139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ф.Э. Молин – ученый и педагог
5
Фёдор Эдуардович Молин
(1861−1941)
Этот номер журнала посвящен памяти Фёдора Эдуардовича Молина,
профессора Томского государственного университета, заслуженного деятеля науки РСФСР.
Прошло более 100 лет с момента публикации основных работ по алгебре Фёдора Эдуардовича. За это время результаты этих работ усиливались
и обобщались многими известными алгебраистами. Но по-прежнему существует теорема Молина о полупростых конечномерных комплексных
алгебрах.
Педагогическая деятельность Фёдора Эдуардовича в высших учебных
заведениях Томска − пример творческой и высокопрофессиональной работы со студентами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
МАТЕМАТИКА
УДК 51(091)
И.А. Александров, П.А. Крылов
Ф.Э. МОЛИН – УЧЕНЫЙ И ПЕДАГОГ
Статья посвящена 150-летию со дня рождения Федора Эдуардовича Молина.
Излагаются основные результаты Ф.Э. Молина о системах высших комплексных чисел (или гиперкомплексных числах) в свете нынешнего состояния этой области алгебры.
Ключевые слова: Ф.А. Молин, система высших комплексных чисел.
В этом году исполняется 150 лет со дня
рождения Федора Эдуардовича Молина –
выдающегося русского математика и преподавателя. Его жизнь, научная и педагогическая деятельность описаны достаточно подробно [1 – 5]. Главные алгебраические работы Молина переведены с немецкого языка на
русский и доступны [6]. Мы не будем здесь
заниматься жизнеописанием Федора Эдуардовича, детальным рассмотрением его научной и преподавательской работы, отсылая
читателя к указанным источникам. Перечислим лишь некоторые вехи его жизни и профессиональной деятельности. Основное внимание сосредоточим на главных результатах
Ф.Э. Молина о системах высших комплексных чисел и их развитии другими известными математиками.
Федор Эдуардович Молин родился 10 сентября 1861 г. в г. Риге; умер 25 декабря 1941 г. в г. Томске. Его жизнь делится на два периода: дерптский до 1901 г. и
томский с 1901 г. до кончины. Окончив Рижскую гимназию, Ф.Э. Молин в 1880 г.
поступает на физико-математический факультет Дерптского университета (ныне
Тартуский университет), как сейчас бы сказали, по направлению «астрономия».
Будучи студентом, Молин выполнил научную работу об определении орбиты кометы 1883 III. В 1883 г. он окончил университет и был оставлен для подготовки к
преподавательской и научной работе. Затем был направлен в г. Лейпциг, где слушал лекции и работал в семинаре Ф. Клейна.
После возвращения из командировки в течение 15 лет Ф.Э. Молин был доцентом кафедры чистой математики Дерптского (с 1893 г. Юрьевского) университета.
В научном плане он занимался такими актуальными на тот момент вопросами алгебры, как теория систем высших комплексных чисел и теория представлений
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ф.Э. Молин – ученый и педагог
7
групп. Результаты своих исследований по
теории систем высших комплексных чисел
Молин опубликовал в большой работе [7].
На основе этой публикации он защитил
докторскую диссертацию 30 сентября 1892 г.
и получил степень доктора чистой математики. В период работы в Юрьевском университете Молин открыл также ряд важных
фактов по теории представлений групп матрицами.
Математическая общественность сразу
признала заслуги Ф.Э. Молина. В 1892 г. он
избирается членом Московского математического общества, а в 1894 г. ему вручается
во Франции памятная бронзовая медаль в
честь Ш. Эрмита.
В 1900 г. Ф.Э. Молин получил приглашение руководить кафедрой математики в
открывшемся в Томске Технологическом
институте – втором высшем учебном заведении в Сибири после Томского университета. Последний, как известно, по-прежнему
функционировал в составе медицинского и
юридического факультетов. В начале 1901 г.
Федор Эдуардович с семьей приехал в
Томск.
Мемориальная доска.
Работая в технологическом институте,
Скульптор В.Г. Муштакова
Ф.Э. Молин выполнил колоссальный объем
работы по организации и осуществлению
преподавания высшей математики [5]. Большую роль в этом также сыграл
В.Л. Некрасов. Кстати, первой лекцией в Институте была лекция профессора Некрасова по аналитической геометрии, прочитанная 22 октября 1900 г. в день начала занятий в институте. Ф.Э. Молин подготовил и издал свои лекции по дифференциальному и интегральному исчислению, многочисленные сборники задач. Он
был сторонником фундаментальной математической подготовки инженеров.
В 1917 г. в Томском университете открывается физико-математический факультет и в следующем году Ф.Э. Молин становится профессором университета,
оставаясь им до конца своей жизни. В 1938 г. Молин и молодой талантливый специалист по теории чисел профессор Н.П. Романов стали первыми сотрудниками
созданной в университете кафедры алгебры и теории чисел (с 1974 г. – кафедра алгебры). Молин был также назначен первым заведующим кафедры алгебры и теории чисел.
Работая 23 года в государственном университете, Федор Эдуардович вел
обычную жизнь активного профессора: лекции, научные семинары, руководство
дипломными проектами, аспирантами [1]. Как и в период работы в Технологическом институте, поражает его громадная педагогическая и организаторская работа. Он продолжает и научные исследования по алгебре, алгебраической геометрии, теории функций. Некоторые полученные результаты были опубликованы,
большая их часть осталась в незавершенных рукописях.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8
И.А. Александров, П.А. Крылов
Физико-математический факультет (1923 г.) Математическое отделение. Сидят: М.А. Большанина, Ф.Э. Молин, В.А. Соколова, Л.С. Богословская; стоят: Н.А. Никольская, Е.Н. Аравийская, М.А. Дунина
Ф.Э. Молин активно включился в работу открытого 13 мая 1932 г. при Томском государственном университете Научно-исследовательского института математики и механики. В 1935 г. вышли «Известия НИИММ», ставшие первым специализированным журналом по математике и механике, издававшимся в Сибири.
Ответственным редактором «Известий НИИММ» был профессор Ф.Э. Молин.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ф.Э. Молин – ученый и педагог
9
Последняя научная статья Ф.Э. Молина относится к теории гипергеометрических рядов, широко используемых в вещественном и комплексном анализе. Эта
статья воспроизводится в данном номере «Вестника ТГУ» вместе с копией оригинала первой страницы, написанной рукою Ф.Э. Молина. Рукопись статьи хранится в фонде Научной библиотеки ТГУ.
Теперь кратко изложим основные теоремы Ф.Э. Молина о системах высших
комплексных чисел (или гиперкомплексных системах) в свете нынешнего состояния этой области алгебры.
Нужно, прежде всего, отметить, что произвольные ассоциативные алгебры и
кольца стали предметом постоянного интереса в 20 – 30-е гг. XX в. А до этого
теория колец развивалась как теория конечномерных алгебр. Теория конечномерных алгебр – один из самых старых разделов современной алгебры. Его появление
связано с работами У. Гамильтона, открывшего знаменитое тело кватернионов
(1843), А. Кэли, разработавшего теорию матриц, и Г. Грассмана. В это время постепенно начинает формироваться понятие гиперкомплексной системы. Гиперкомплексная система, говоря сегодняшним языком, – это конечномерная ассоциативная алгебра над полем вещественных чисел R или полем комплексных чисел
C. Гиперкомплексными системами занимались многие замечательные математики
(К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд, К. Жордан, Б. Пирс, К.С. Пирс, Г. Фробениус и
др.). Фробениусу принадлежит исторически первая теорема структурной теории
алгебр (1886). Всякая конечномерная алгебра с делением над полем R изоморфна
либо R, либо C, либо телу кватернионов. Теория гиперкомплексных систем достигла своего апогея в самом конце XIX в. Ф.Э. Молин (1893) и Э. Картан (1898)
описали полупростые комплексные и вещественные алгебры.
В работе [7] (её перевод содержится в [6]) Ф.Э. Молин фактически изложил
структурную теорию конечномерных алгебр над полем комплексных чисел (комплексных алгебр). Работа содержала все центральные результаты этой теории –
описание простых алгебр как алгебр матриц, описание полупростых алгебр, доказательство расщепления произвольной алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры.
Алгебра (здесь и далее подразумевается конечномерная ассоциативная алгебра
над некоторым полем) называется простой, если она не имеет нетривиальных
идеалов. Радикалом N(A) алгебры A называют её наибольший нильпотентный
идеал. Полупростая алгебра – это такая алгебра A, радикал N(A) которой равен
нулю. Пусть M(n,R) обозначает кольцо матриц порядка n над некоторым кольцом
R. В принятой сейчас терминологии наиболее важные результаты статьи
Ф.Э. Молина [7] можно сформулировать следующим образом:
Теорема 1. 1) Всякая полупростая комплексная алгебра изоморфна прямой
сумме простых алгебр.
2) Всякая простая комплексная алгебра изоморфна алгебре матриц M(n, C)
для некоторого n.
Теорема 2. Пусть A – комплексная алгебра. Тогда в A существует такая полупростая подалгебра B, что A = B ⊕ N ( A) (прямая сумма линейных пространств) и имеет место изоморфизм алгебр B ≅ A / N ( A) .
Позднее Э.Картан (1898) независимо сформулировал и доказал теоремы 1 и 2
для алгебры над полем комплексных чисел или полем вещественных чисел.
Новый этап в развитии теории конечномерных алгебр связан с рассмотрением
в начале XX в. алгебр над произвольным полем. Дж. Веддерберн [8] перенес тео-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10
И.А. Александров, П.А. Крылов
ремы Молина и Картана на случай алгебр над произвольным полем. Под названием теорем Веддерберна они и вошли в математику. Отметим одно обстоятельство,
касающееся п. 2 теоремы 1. Простая алгебра над полем F изоморфна алгебре
матриц M(n, D), где D – некоторая F-алгебра с делением. Если поле F алгебраически замкнуто (например, F= C), то D= F. В дальнейшем к теоремам Веддерберна было сделано только одно важное добавление. Именно, А.И. Мальцев
(1942) доказал единственность (с точностью до внутреннего автоморфизма) полупростой подалгебры в теореме 2.
В 20 – 30-е гг. XX в. алгебраисты немецкой школы, группировавшиеся вокруг
Э. Нетер, Э. Артина и Р. Брауэра, распространили теорию Молина – Картана –
Веддерберна на ассоциативные кольца с условием минимальности для односторонних идеалов (артиновы кольца), после чего она приобрела хорошо знакомую
нам форму. Кроме того, в их работах была выявлена ведущая роль понятия модуля (или представления).
Теорема 3. 1) Полупростое артиново справа кольцо изоморфно прямой сумме
простых артиновых справа колец.
2) Простое артиново справа кольцо изоморфно кольцу матриц M(n, D) для некоторого натурального числа n и тела D.
Теорему 3 обычно называют теоремой Веддерберна – Артина. Сложившееся
название далеко не полно отражает вклад других математиков в создание этой
теоремы. Безусловно, огромная заслуга здесь принадлежит Ф.Э. Молину. В алгебре теорема Веддерберна – Артина помимо многочисленных применений служит
эталоном структурной теоремы.
Физико-математический факультет, выпускники-математики 1941 г. с преподавателями
(19.05.1940). 1-й (нижний) ряд: В.С. Федорова, Г.С. Аникина, Н.К. Лесина, М.Я. Алимова;
2-й ряд: доц. П.П. Куфарев, доц. Е.Н. Аравийская, проф. Н.П. Романов, проф. Н.Н. Горячев,
проф. Ф.Э. Молин, проф. В.М. Кудрявцева, проф. В.Д. Кузнецов; 3-й ряд: Е.Н. Дехтярева,
Р.Н. Щербаков, Б.В. Казачков, доц. А.С. Джанумянц, доц. Е.Д. Томилов, асс. Ю.В. Чистяков, В.Д. Чумак
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ф.Э. Молин – ученый и педагог
11
Общая структурная теория колец была основана в 40-х гг. XX в. Центральной
идеей этой теории является концепция радикала. Начало общей теории радикалов
колец и алгебр было положено А.Г. Курошем и Ш. Амицуром.
Работа Веддерберна [8] о строении простых алгебр послужила исходным
пунктом для глубоких исследований в теории алгебр. В 20 – 30-х гг. XX в изучение простых алгебр достигло своей высшей точки в структурной теории конечномерных алгебр с делением.
В настоящее время теория ассоциативных алгебр является важнейшей частью
математики (см., например, книги [9, 10]). Предмет этот уникален по обилию связей с другими направлениями в математике.
Даже из этих беглых заметок видно, что Федор Эдуардович несомненно был
талантливым незаурядным человеком. Ко многим сторонам его долгой жизни
применимо слово «первый» и употребимы превосходные эпитеты. Ф.Э. Молин
был одним из первых специалистов по алгебре в России конца XIX и начала XX в.
В его главной работе [7] заложены основы ряда аспектов современной алгебры.
Его основные результаты не утратили своего значения и в наши дни. Научные
достижения Ф.Э. Молина признаны в математике.
Федор Эдуардович был первым профессором математики в Сибири. Он стоял
у истоков стройной системы математической подготовки первых сибирских инженеров и математических исследований в Сибири. Федор Эдуардович Молин
внес достойный вклад в человеческую культуру.
ЛИТЕРАТУРА
1. Круликовский Н.Н. История развития математики в Томске. Томск: Изд-во ТГУ, 1967.
2. Блаус И., Гродзенский С.Ф. Молин – математик и шахматист // Шахматы. Рига. 1981.
№ 17. С. 14−15.
3. Канунов Н.Ф. Федор Эдуардович Молин. М.: Наука, 1983.
4. Федор Эдуардович Молин: Биография, указатель трудов / отв. за выпуск И.А. Александров, Н.Н. Круликовский. Томск: ТГУ, 1999.
5. Беломестных В.Н., Беломестных Л.А. Физико-математическое образование в высшей
технической школе Сибири. Томск: ТГУ, 2000.
6. Молин Ф.Э. Числовые системы / сост. А.И. Кострикин, В.А. Андрунакиевич, Л.А. Бокуть и др.: пер. с нем. Л.А. Бокутя, Н.Н. Круликовского, И.В. Львова / под ред.
А.И. Кострикина. Новосибирск: Наука, 1985.
7. Молин Ф.Э. Ueber Systeme höherer complexer Zahlen // Math. Ann. 1892. Bd. 41. S. 83−156.
8. Wedderburn J.H.M. On hypercomplex numbers // Proc. London Math. Soc. 1907. V. 6.
No. 2. P. 77−118.
9. Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. Конечномерные алгебры. Киев: Вища школа, 1980.
10. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.
Статья поступила 31.05.2011 г.
Aleksandrov I.A., Krylov P.A. F. E. MOLIN, SCIENTIST AND EDUCATIONALIST. The paper
is devoted to the 150th anniversary of the birth of Fedor Eduardovich Molin (Theodor Molien).
Main results of F.E. Molin about the systems of higher complex numbers (or hypercomplex numbers) are presented in view of the present-day state of this branch of algebra.
Keywords: F.E. Molin, system of higher complex numbers.
ALEXANDROV Igor’ Alexandrovich (Tomsk State University)
E-mail: ma@math.tsu.ru
KRYLOV Petr Andreevich (Tomsk State University)
E-mail: krylov@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
Ф.Э. Молин
ОБ ОДНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СТРОКИ1
Переменность радиуса сходимости степенного ряда при переменном начальном аргументе представляется в особо наглядном виде в случае гипергеометрической функции. Результат интересен как единственный нетривиальный случай, в
котором теоретический результат проверен.
Гипергеометрическая строка
α ⋅β
α ⋅β ( α + 1)( β + 1) 2
F ( α, β, γ, x ) = 1 +
x+
x + ... ,
(1)
1⋅ γ
1⋅ γ
2 ( γ + 1)
сходящаяся при x < 1 , ради краткости нами будет написана в виде
y = F ( α, β, γ, x ) =
∞
∑ Cn xn ,
(2)
n =0
где C0 = 1, Cn +1 =
( α + n )( β + n )
C .
( n + 1)( γ + n ) n
Она выполняет дифференциальное уравнение
x (1 − x ) y ′′ + [ γ − ( α + β + 1) x ] y ′ − αβ y = 0.
(3)
То же самое дифференциальное уравнение выполняется функцией
y = (1 − x )
γ−α−β
F ( γ − α, γ − β, γ , x ) .
(4)
Если её разложить по степеням x, то начальное значение и первый коэффициент строки равны начальному значению и первому коэффициенту строки (1). Отсюда по теоремам о правильных интегралах дифференциальных уравнений вытекает известное тождество
F ( α, β, γ, x ) = (1 − x )
γ−α−β
F ( γ − α, γ − β, γ , x ) .
(5)
Производные гипергеометрической строки имеют вид
F ( n ) ( α, β, γ, x ) = n !Cn F ( α + n, β + n, γ + n, x )
(6)
и, при помощи формулы (5), могут быть приведены к виду
F ( n ) ( α, β, γ, x ) = n !Cn (1 − x) γ−α−β− n F ( γ − α, γ − β, γ + n, x ) .
(7)
Тогда разложение функции в строку Тейлора с начальным значением x0 примет вид
F ( α, β, γ, x ) = (1 − x0 )
Нетрудно доказать, что
γ−α−β
∞
n
⎛ x−x ⎞
∑ Cn F ( γ − α, γ − β, γ + n, x0 ) ⎜ 1 − x 0 ⎟ .
⎝
0 ⎠
n =0
(8)
lim F ( γ − α, γ − β, γ + n, x0 ) = 1.
n →∞
1
Ученые записки Томск. пед. ин-та. 1939. № 1. С. 119 – 121; Molin F.E. On a transformation of the
hypergeometric row // Proceedings of Tomsk Pedagogical Institute. 1939. No. 1. P. 119–121.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об одном преобразовании гипергеометрической строки
13
Поэтому ряд в правой части уравнения (8) сходится при
x − x0
< 1.
1 − x0
(9)
Эта формула делает очевидным, что окружность сходимости ряда (8) проходит, как это должно быть, через особую точку x=1. Начальное значение x0 заключается в окружности x = 1 . Если оно не вещественно, то окружности сходимости
пересекаются еще в одной точке и часть круга сходимости ряда (8) лежит вне круга сходимости ряда (1). В таком случае формула (8) дает действительно аналитическое продолжение функции, заданной уравнением (1). В частности, можно от-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ф.Э. Молин
14
1 + −3
2
лежала внутри круга сходимости. Это интересно потому, что во всех разложениях с началом в одной из трех особых точек эта точка находится на границе
сходимости.
Разложение в строку Тейлора может быть использовано для вывода Гауссовой
формулы, дающей значение F ( α, β, γ,1) в случае его существования.
При замене левой части уравнения (8) равной ей правой частью формулы (5)
получается
метить, что начальное значение x0 можно выбрать так, чтобы точка x =
∞
(1 − x )γ−α−β F ( γ − α, γ − β, γ, x ) = (1 − x0 )γ−α−β ∑ Cn F ( γ − α, γ − β, γ + n, x0 ) x1n ,
0
где x1 задается уравнением
1 − x = (1 − x0 )(1 − x1 ) .
(10)
Тогда получится
∞
(1 − x1 )γ−α−β F ( γ − α, γ − β, γ, x ) = ∑ Cn F ( γ − α, γ − β, γ + n, x0 ) x1n .
(11)
1
Если теперь
F ( γ − α, γ − β, γ ,1)
имеет конечное значение, то и
F ( γ − α, γ − β, γ + n,1) имеет конечное значение. В таком случае можно положить
x0=1, а из формулы (10) следует еще x=1. Тогда из формулы (11) получается
∞
(1 − x1 )γ−α−β F ( α, β, γ,1) = ∑ Cn F ( γ − α, γ − β, γ + n,1) x1n .
(12)
n =0
Если левую часть разложить по степеням x1:
∞
(1 − x1 )γ−α−β = ∑ Dn x1n ,
n =0
то сравнение коэффициентов обеих частей дает тождество
C
F ( γ − α, γ − β, γ ,1) = n F ( γ − α, γ − β, γ + n,1) .
Dn
(13)
Так как и здесь
lim F ( γ − α, γ − β, γ + n,1) = 1,
n →∞
то получается Гауссова формула
F ( γ − α, γ − β, γ,1) = lim
n →∞
Cn
.
Dn
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 519.6; 001.891.573
А.А. Барт, Д.А. Беликов, А.В. Старченко
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ПРОГНОЗА КАЧЕСТВА ВОЗДУХА
В ГОРОДЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СУПЕРКОМПЬЮТЕРОВ
Описывается подход, позволяющий при помощи одномерной метеорологической модели и модели переноса примеси прогнозировать качество атмосферного воздуха над урбанизированной территорией. Особенностью метода
является использование данных среднесрочного метеорологического прогноза
по глобальной модели Гидрометцентра РФ. Модель переноса примеси реализована на суперЭВМ, что позволяет получать прогноз в короткие сроки.
Ключевые слова: перенос и образование вторичных загрязнителей воздуха,
математическое моделирование, параллельные вычисления.
Атмосфера Земли – сложная система, в которой ряд физических и химических
процессов протекает одновременно. Измерения состояния окружающей среды –
это только срез атмосферных условий в конкретное время и для конкретной местности. Часто такие измерения очень сложно интерпретировать без четкой концептуальной модели атмосферных процессов. Одни лишь измерения не могут быть
использованы для установления эффективной административной политики решения проблемы загрязнения воздуха, так как информация об отдельных, протекающих в атмосфере процессах (химических, транспортных и др.) не даёт полного представления о системе в целом. Математические модели, в свою очередь,
предоставляют необходимый «каркас» для объединения представлений об отдельных атмосферных процессах и их взаимодействия между собой [1].
Успешное решение задач прогноза уровня загрязнения воздуха основано на
использовании математических моделей, учитывающих физические особенности
распространения примесей в атмосфере, связи между концентрациями примесей и
метеорологическими параметрами: скоростью и направлением ветра, инверсией
(повышение температуры воздуха с высотой), осадками, туманами.
Целью работы является разработка и апробация математической модели для
прогноза качества атмосферного воздуха над городской территорией, способной
оперативно и c достаточной точностью предсказывать перенос и образование вторичных загрязнителей.
Математическая модель переноса примеси
Для расчета концентрации компонентов примеси с учетом химических реакций применяется эйлерова модель турбулентной диффузии, включающая транспортные уравнения с описанием адвекции, турбулентной диффузии и химических
реакций [2]:
∂Ci ∂UCi ∂VCi ∂WCi
+
+
+
=
∂t
∂x
∂y
∂z
∂ ci u ∂ ci v ∂ ci w
(1)
=−
−
−
− σi Ci + Si + Ri ; i = 1, 2,..., ns .
∂x
∂y
∂z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.А. Барт, Д.А. Беликов, А.В. Старченко
16
Здесь Ci, ci – осредненная и пульсационная составляющие концентрации i-й компоненты примеси; ось Ox направлена на восток, Oy – на север, t – время, z – вертикальная координата; W, w– осредненная и пульсационная составляющие вертикальной компоненты скорости примеси; U, V, u, v – осредненные и пульсационные составляющие вектора горизонтальной скорости; 〈〉 – осреднение по Рейнольдсу, Si – источниковый член, представляющий выбросы компонентов примеси в атмосферу; Ri описывает образование и трансформацию вещества за счет химических и фотохимических реакций с участием компонентов примеси; σi – скорость влажного осаждения примеси за счет осадков; ns – количество химических
компонентов примеси, концентрации которых необходимо определить, 0 ≤ t ≤ T, –
Lx /2 ≤ x ≤ Lx /2, –Ly/2 ≤ y ≤ Ly /2, 0 ≤ z ≤ h.
Корреляции 〈ciu〉, 〈civ〉, 〈ciw〉, представляющие турбулентную диффузию, так
же как концентрации Ci, являются неизвестными, что делает уравнения (1) незамкнутыми. Для определения неизвестных корреляций необходимо привлекать
дополнительные замыкающие соотношения. В данной модели переноса примеси
они выводятся в предположении равновесного приближения для дифференциальных уравнений переноса турбулентных потоков массы в условиях локальной однородности атмосферного пограничного слоя и имеют вид [3]
− ci u =
∂Ci
∂Ci
∂Ci ⎞
τ ⎛
∂U
;
+ u2
+ vu
+ wu
(1 − C2θ ) ci w
C1θ ⎜⎝
∂z
∂x
∂y
∂z ⎟⎠
− ci v =
∂Ci
∂Ci
∂Ci ⎞
τ ⎛
∂V
;
+ uv
+ v2
+ wv
(1 − C2θ ) ci w
C1θ ⎜⎝
∂z
∂x
∂y
∂z ⎟⎠
∂Ci
∂Ci
∂Ci
τ
g
⎛
− (1 − C3θ ) ci θ + uw
+ vw
+ w2
⎜
C1θ + D1C F ⎝
Θ
∂x
∂y
∂z
⎞
⎟.
⎠
Здесь τ – временной масштаб турбулентных пульсаций, g – ускорение свободного
падения, C1θ, C2θ, C3θ, D1C – эмпирические константы, F – функция, определяющая
влияние поверхности на турбулентную структуру течения, Θ,θ – осреднённая и
− ci w =
R
⎛ P ⎞c
пульсационная составляющие потенциальной температуры: Θ = T ⎜ 0 ⎟ p ,
⎝P⎠
5
2
P0 = 1,013*10 Н/м , cp – удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении, T – абсолютная температура, R – газовая постоянная.
Для нахождения напряжений Рейнольдса 〈uiuj〉, турбулентных тепловых потоков 〈uiθ〉 и корреляции 〈ci θ 〉 используются алгебраические выражения и дифференциальное уравнение [3].
В качестве граничных условий на боковых границах для уравнений (1) использовались простые градиентные условия для отклонения концентраций от фоновых
значений (фоновые значения рассчитывались на основе боксовой фотохимической модели без учета источников примеси). На верхней границе также применялись простые градиентные условия, а на нижней учитывалось сухое осаждение
компонент примеси за счет их взаимодействия с подстилающей поверхностью [2].
Начальные условия для уравнений (1) соответствовали фоновым значениям концентрации либо использовались результаты прогноза за предшествующий период
времени.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель для прогноза качества воздуха в городе
17
Задание параметров атмосферного пограничного слоя
Для реализации модели переноса примеси необходимо определить для каждого момента времени профили компонент вектора скорости, температуры и турбулентных характеристик. Такого рода данные можно получить усвоением результатов 48-часового метеорологического прогноза, выполняемого с использованием
глобальной модели ПЛАВ. ПЛАВ – это полулагранжева модель атмосферы с высоким разрешением (горизонтальная сетка 0,72° – по широте, 0,9° – по долготе, 28
вертикальных слоев), принятая Гидрометцентром в качестве оперативной модели
для среднесрочного прогноза с выдачей результатов через 6 часов. В модель
ПЛАВ включены параметризации процессов подсеточного масштаба (коротко- и
длинноволновая радиация, глубокая и мелкая конвекция, планетарный пограничный слой, торможение гравитационных волн, тепло- и влагообмен с подстилающей поверхностью с учетом растительности), разработанные Метео-Франс и европейским консорциумом LACE (www.rclace.eu) для оперативной региональной
модели ALADIN. Прогноз полей метеорологических элементов осуществляется с
помощью численного решения уравнений гидротермодинамики в вертикальной
сигма-системе координат на сфере. В блоке решения уравнений динамики атмосферы, как и в подавляющем большинстве глобальных моделей численного прогноза погоды, применяется полулагранжево представление адвекции и двухслойная полунеявная схема интегрирования по времени. Оригинальными особенностями блока решения уравнений динамики атмосферы модели ПЛАВ являются
применение конечных разностей четвертого порядка на несмещенной сетке для
аппроксимации неадвективных слагаемых уравнений и использование вертикальной компоненты абсолютного вихря и дивергенции в качестве прогностических
переменных конечно-разностной модели.
В качестве начальных данных модель ПЛАВ-2008 использует поля оперативного объективного анализа на стандартных изобарических поверхностях с горизонтальным разрешением 1,25 градуса по долготе и широте, а также объективные
анализы температуры и относительной влажности на уровне 2 м, температуры
и влагосодержания поверхностного и глубинного слоев почвы на модельной сетке, полученные на основе усвоения данных только на наземных станциях наблюдений.
Программный комплекс модели распараллелен на основе сочетания технологий MPI и OpenMP, достигнута масштабируемость кода на 512 процессорах [4].
Для усвоения данных прогноза по модели ПЛАВ в разрабатываемой системе
прогноза химической погоды в городе в настоящее время используется одномерная нестационарная математическая модель атмосферного пограничного слоя
(АПС), которая позволяет подробно рассчитывать вертикальную структуру нижней тропосферы и ее турбулентные характеристики. Математическая модель АПС
представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений:
∂U
∂
=−
uw + f ⋅ (V − Vg ) ;
(2)
∂t
∂z
∂V
∂
=−
vw − f ⋅ (U − U g ) ;
∂t
∂z
(3)
∂Θ
∂
=−
θw ;
∂t
∂z
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18
А.А. Барт, Д.А. Беликов, А.В. Старченко
∂Q
∂
=−
qw ,
(5)
∂t
∂z
где U,V – компоненты горизонтальной скорости ветра в атмосферном пограничном слое (W ≅ 0 ) , Q – влажность, 〈uw〉, 〈vw〉, 〈θw〉, 〈qw〉 – осредненные по Рейнольдсу корреляции турбулентных пульсаций вертикальной скорости и компонент горизонтальной скорости, температуры и влажности соответственно.
(U g , Vg ) = ρ1f ⎛⎜ − ∂∂py , ∂∂px ⎞⎟ – компоненты скорости геострофического ветра,
⎝
⎠
f = 2Ωsinψ – параметр Кориолиса, ψ – географическая широта рассматриваемой
точки, Ω – угловая скорость вращения Земли, p – давление.
Для замыкания системы уравнений (2) – (5) применяется трехпараметрическая
модель турбулентности, включающая уравнения переноса для энергии, масштаба
турбулентных пульсаций и уравнение для дисперсии турбулентных пульсаций
потенциальной температуры 〈θ2〉 [3]:
3
C k2
∂k
∂U
∂V g
∂
∂k
= − uw
− vw
+
wθ + ⎛⎜ σe kl ⎞⎟ − D ;
∂t
∂z
∂z Θ
∂z ⎝
∂z ⎠
l
2
⎡
∂l
∂U
∂V g
∂l
l ∂
l ⎤
wθ ⎟⎞ + ⎜⎛ σe kl ⎟⎞ + Cl 2 k ⎢1 − ⎜⎛ ⎟⎞ ⎥ ;
= Cl1 ⎜⎛ − uw
− vw
+
∂t
∂z
∂z Θ
∂z ⎠
⎝
⎠ k ∂z ⎝
⎣ ⎝ κz ⎠ ⎦
θ2
∂〈θ2 〉
∂ ⎛
∂〈θ2 〉 ⎞
∂Θ
= + ⎜ Cθ kl 〈 w〉 2
−
〈
θ〉
−
2
w
2
.
⎟
∂t
∂z ⎝
∂z ⎠
∂z
τθ
(6)
(7)
(8)
Здесь k = 0,5(〈u2〉+〈v2〉+〈w2〉) – кинетическая энергия турбулентности; l – интегральный масштаб турбулентности, σe = 0,54; Cl1 = −0,12; Cl2 = 0,2; CD = 0,19;
Cθ = 3,0 – числовые коэффициенты, τθ – временной масштаб температурных турбулентных пульсаций.
На верхней границе для определяемых из уравнений (2) – (8) зависимых переменных использовались простые градиентные условия (равенство нулю производной по z, для всех переменных, для потенциальной температуры – равенство
нулю второй производной), на нижней границе применялись соотношения теории
подобия Монина – Обухова и эмпирические функции параметров подобия [5].
Начальные условия для уравнений (2) – (8) получались в результате обработки
данных прогноза, получаемых по модели ПЛАВ.
Расчет химических реакций
Моделирование химических и фотохимических реакций в (1) проводилось на
основе полуэмпирической кинетической схемы Харли Generic Reaction Set (GRS)
[6]. Фотохимическая модель GRS содержит ns = 8 химических компонент (реагирующая часть смога Rsmog, образующиеся в атмосфере аэрозольные частицы APM,
органические радикалы RP, перекись водорода H2O2, оксид азота NO, диоксид
азота NO2, озон O3, диоксид серы SO2), которые участвуют в 8 химических реакциях. Апробация этой кинетической схемы проводилась для условий образования
вторичных загрязнителей в городе Мельбурне и области Пилбара, расположенной
на севере Австралии, а также для условий города Томска [2]. Полученные резуль-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель для прогноза качества воздуха в городе
19
таты свидетельствуют о достижении высококачественного уровня воспроизведения полей концентрации озона, оксидов азота и аэрозолей.
Члены, входящие в уравнения (1) и отвечающие за химические и фотохимические реакции для схемы GRS, имеют вид [6]
R⎡ R ⎤ = 0;
⎣
smog ⎦
R[ APM ] = FCH 2 ηk1CRsmog + FHNO3 k7 CRP CNO2 + FH 2SO4 k8CRP CSO2 ;
R[ RP ] = k1CRsmog − k2CRP CNO − k5CRP CRP − k6CRP CNO2 − k7 CRP CNO2 − k8CRP CSO2 ;
R[ H 2O2 ] = αk5CRP CRP ;
R[ NO+NO2 ] = −k6 CRP CNO2 − k7 CRP CNO2 ;
R[ NO2 ] = k2 CRP CNO + k4CNO CO3 − k3CNO2 − k6CRP CNO2 − k7 CRP CNO2 ;
R[O3 +NO2 ] = k2CRP CNO − k6CRP CNO2 − k7 CRP CNO2 ;
R[SO2 ] = − k8CRP CSO2 ;
FCH2 = 0,57 , FH2SO4 = 4, 0 , FHNO3 = 2, 6 – приближенные коэффициенты, оп-
ределяющие переход устойчивых негазообразных устойчивых соединений в аэро⎛
⎛
⎡ Rsmog ⎤⎦ ⎞ ⎞
золи, η= 0,1, α = max ⎜ 0, 03, exp ⎜ −0, 0261 ⎣
⎟ ⎟ – численные коэффициен⎜
⎜
[ NO+NO2 ] ⎟⎠ ⎟⎠
⎝
⎝
ты [2, 6]. Для расчета компонента примеси CO, который принимался в данной
работе химически инертным ( R[CO] = 0; ), также используется уравнение переноса (1).
Численный метод и его параллельная реализация
Уравнение (1) с учетом представленной выше схемы замыкания можно записать в следующем виде (Φ = Ci, S = Si, R=Ri, σ = σi, i – фиксированное значение от
1 до ns):
∂Φ ∂U Φ ∂V Φ ∂W Φ ∂ ⎛
∂Φ
∂Φ
∂Φ ⎞
+
+
+
= ⎜ Γ xx
+ Γ xy
+ Γ xz
+
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x ⎝
∂x
∂y
∂z ⎟⎠
∂ ⎛
∂Φ
∂Φ
∂Φ ⎞ ∂ ⎛
∂Φ
∂Φ
∂Φ ⎞
+ ⎜ Γ yx
+ Γ yy
+ Γ yz
+
Γ zx
+ Γ zy
+ Γ zz
− σΦ + S + R.
∂y ⎝
∂x
∂y
∂z ⎟⎠ ∂z ⎜⎝
∂x
∂y
∂z ⎟⎠
(9)
При построении разностной схемы для уравнения (9) использовалась сетка с
переменным по z шагом, сгущающаяся к поверхности Земли. При замене дифференциального уравнения (9) его разностным аналогом применялись явно-неявные
разностные схемы с первым порядком аппроксимации по времени и вторым по
координатам. Все члены уравнения (9) аппроксимируются на k-м слое по времени,
за исключением вертикальной диффузии и членов, отвечающих за влажное осаждение примеси, поступление примеси от источников и химические реакции, которые берутся на k+1-м слое по времени.
Для получения конечно-разностного аналога уравнения (9) используется метод
конечных объемов. Схема расчетной ячейки представлена на рис. 1. Для аппроксимации диффузионных потоков используется центрально-разностный оператор.
Для аппроксимации адвективных членов применяется направленная противопотоковая схема MLU [7].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.А. Барт, Д.А. Беликов, А.В. Старченко
20
Рис. 1. Вычислительная ячейка с обозначением центров
используемых по шаблону ячеек и граней выбранного
конечного объема
Дискретный аналог уравнения переноса (9) с учетом принятых аппроксимаций
можно записать в виде
(
)
⎡ aP0 + σ∆x∆y∆z P − S 1Pk + R1Pk ∆x∆y∆z P + Dt + Db ⎤ Φ kP+1 = Dt ΦTk +1 + Db Φ kB+1 +
⎣
⎦
k
+ ⎡⎣ aE Φ kE + aW ΦW
+ aN Φ kN + aS Φ kS + aT ΦTk + aB Φ kB − aP Φ kP ⎤⎦ + b,
где
(10)
aE = max ( − Fe ;0 ) + De ; aW = max ( Fw ; 0 ) + Dw ;
aN = max ( − Fn ; 0 ) + Dn ; aS = max ( Fs ; 0 ) + Ds ;
aT = max ( − Ft ; 0 ) ; aB = max ( Fb ;0 ) ; aP = aE + aW + aN + aS + aT + aB − aPo ;
(
)
b = S P0 k + RP0 k ∆x∆y ∆z P + Dm*P ; aP0 =
∆x∆y ∆z P
.
∆t
Здесь Φ kP+1 ≈ Φ (tk + ∆t , xl , y j , z P ) , k – номер слоя по времени, ∆x, ∆y, ∆zp – размеры
конечного объема с центром в точке P; центры соседних по горизонтали конечных объемов обозначаются по направлениям сторон света – N, S, E, W, а по вертикали – T и B для нижнего и верхнего соответственно; грани конечного объема – n,
s, e, w, t, b; F, D представляют адвективные и диффузионные потоки через соответствующие грани конечного объема; при аппроксимации источниковых членов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель для прогноза качества воздуха в городе
использовалась
«линеаризованная»
форма
записи:
21
S Pk +1 ≅ S P0 k + S 1Pk Φ kP+1 ,
RPk +1 ≅ RP0 k + R1Pk Φ kP+1 ; R1Pk , S 1Pk ≤ 0 ; Dmp* содержит смешанные производные на
временном слое k и наклоны в MLU-представлении потоков.
Используемая явно-неявная разностная схема (10) позволяет неявным образом
провести расчет диффузионных турбулентных потоков вдоль оси Oz и тем самым
избежать существенных ограничений на шаг по времени вследствие малых вертикальных размеров вычислительных ячеек, высота которых из-за сгущения вычислительной сетки к поверхности в первом узле составляет всего 2 м. В то же время
горизонтальные размеры вычислительной сетки (500 м) позволяют эффективно
использовать явную вычислительную схему. Такой подход обеспечивает высокую
скорость вычислений вследствие применения экономичного метода прогонки для
решения на каждом шаге по времени (∆t = 6 с) систем линейных уравнений с
трехдиагональной матрицей (9).
Расчетная область – равномерная в горизонтальных направлениях (Ox и Oy) и
неравномерная, сгущающаяся к поверхности конечно-разностная сетка размером
Nx ×Ny ×Nz =100×100×100 узлов.
При моделировании переноса примеси используются среднегодовые данные
антропогенной эмиссии загрязнителей городского воздуха. Источники делятся на
3 категории: точечные, линейные (дороги) и площадные (крупные предприятия).
Для каждой из ячеек поверхности задается расход выбросов 17-ти различных по
составу химических веществ.
Параллельная версия алгоритма была построена с использованием двумерной
декомпозиции сеточной области с перекрытием (рис. 2). Декомпозиция осуществлялась по направлениям Ох и Оу.
y
z
x
Рис. 2. Схема двумерной декомпозиции параллельной реализации
явно-неявного метода на примере четырех процессоров (p=4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.А. Барт, Д.А. Беликов, А.В. Старченко
22
На рисунке присутствуют светлые блоки по краям расчетной области, являющиеся фиктивными границами, темные блоки, расположенные со стороны разделения области, являются блоками обмена данными между процессорами. При такой декомпозиции можно использовать большее количество процессоров суперкомпьютера, а доля временных затрат, связанных с необходимостью на каждом
шаге по времени передавать данные между процессорными элементами, меньше,
чем при одномерной декомпозиции. Расчеты, выполненные на кластере ТГУ
СКИФ Cyberia[8], показали, что при использовании 64 процессоров ускорение
вычислений составляет 54, а эффективность соответственно 0,84. При этом один
час моделирования на 64 процессорах выполняется в среднем за 20 секунд, в то
время как время расчета этой же задачи на одном процессоре – 18 минут.
Сравнение результатов моделирования с данными измерений
Скорость
ветра, м/с
Проверка полученных результатов моделирования осуществлялась путем сравнения расчетов с данными измерений, проведенными на ТОР-станции Института
оптики атмосферы СО РАН в Томске. Расчетная область представляет собой часть
атмосферы размером 50×50×2 км, выбранная таким образом, что ее квадратное основание содержит участок подстилающей поверхности с крупным населенным
8
8 Декабря 2009 г.
6
16 Апреля 2010 г.
4
2
Направление
ветра, град.
Концентрация
CO, мг/м 3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Концентрация
NO2, мкг/м3
100
80
60
40
20
0
Концентрация
O3, мкг/м3
0
360
100
80
60
40
20
0
0
4
8
12
16
20
24 0
4
8
12
16
20
24
0
4
8
12
16
20
24 0
4
8
12
16
20
24
0
4
8
12
16
20
24 0
4
8
12
16
20
24
0
4
8
12
16
20
24 0
4
8
12
16
20
24
0
4
8
12
16
20
24 0
4
8
12
16
20
24
240
120
0
Время, ч
Время, ч
Рис. 3. Сравнение результатов моделирования с данными TOР-станции
8 декабря 2009 г. и 16 апреля 2010 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель для прогноза качества воздуха в городе
23
пунктом в центре. В расчете учитывается эмиссия примеси от линейных, площадных и точечных источников, находящихся на поверхности или приподнятых над
землей. Область покрывается вычислительной сеткой с размерами 100×100×100 узлов. Период прогностического моделирования обычно составляет 24 часа.
На рис. 3 сплошной линией представлены результаты численного моделирования, символами отмечены результаты измерений, проводимых на ТОР-станции
ИОА, для каждого измерения вдоль оси значений приведена погрешность.
На графиках дается сравнение измерений и расчетов силы и направления ветра,
а также концентрации таких загрязнителей, как монооксид углерода (CO), диоксид азота (NO2) и озон (O3). Из графиков сравнения видно, что математическая
модель хорошо предсказывает изменение ветра и значений рассматриваемых концентраций в течение суток.
Заключение
Представленная в работе модель имеет ряд преимуществ, позволяющих использовать ее в реальных условиях в оперативном режиме. Такая возможность
появилась благодаря усвоению данных глобального прогноза метеорологических
характеристик, а также за счёт параллельной реализации модели переноса примеси при помощи двумерной декомпозиции расчетной области. В настоящее время
модель реализована и является ядром программного комплекса, расположенного
на выделенном сервере. Ежесуточно программными компонентами комплекса в
автоматическом режиме производится получение начальных данных, их обработка, запуск процесса моделирования на кластере ТГУ СКИФ Cyberia [8] и обработка полученных результатов с последующим их представлением в сети Internet в
виде полей прогноза распространения в течение суток примеси, наложенных на
карту местности[9].
ЛИТЕРАТУРА
1. Seinfeld J.H., Pandis S.N. Atmospheric chemistry and physics. From air pollution to climate
change. N.Y.: John Wiley, Sons, Inc., 1998. 1326 p.
2. Беликов Д.А., Старченко А.В. Исследование образования вторичных загрязнителей
(озона) в атмосфере г. Томска // Оптика атмосферы и океана. 2005. Т. 18. № 05-06.
С. 435−443.
3. Беликов Д.А., Старченко А.В. Численная модель турбулентного переноса примеси в пограничном слое атмосферы // Оптика атмосферы и океана. 2007. Т. 20. № 8, С. 667−673.
4. Толстых М.А. Полулагранжева модель атмосферы с высоким разрешением для численного прогноза погоды // Метеорология и гидрология. 2001. № 4. С. 5−16.
5. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей / под ред.
Ф.Т.М. Ньистадта и X. Ван Допа. Л.: Гидрометеоиздат, 1985. 350 с.
6. Hurley P.J. The Air Pollution Model (TAPM) Version 2 / CSIRO Atmospheric Research
Technical Paper № 55. 2002.
7. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme. Part IV: A new approach to
numerical convection // J. Comput. Phys. 1977. V. 23. P. 276−299.
8. Межрегиональный супервычислительный центр ТГУ. URL: http://skif.tsu.ru
9. Барт А.А., Старченко А.В., Фазлиев А.З. Информационно-вычислительная система
краткосрочного прогноза качества воздуха над урбанизированной территорией // Материалы Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики». Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010. С. 21−24.
Статья поступила 18.08.2011 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24
А.А. Барт, Д.А. Беликов, А.В. Старченко
Bart A.A., Belikov D.A., Starchenko A.V. SUPERCOMPUTER-BASED MATHEMATICAL
MODEL FOR AIR QUALITY PREDICTION IN THE URBAN AREA. A new approach permitting one to predict atmospheric air quality over urban areas using a one-dimensional meteorological model and a 3D pollutant transport model is described. The feature of the method is assimilation of the data of a medium-term meteorological forecast according to the global model of the
Hydrometeorological Center of Russia. The pollutant transport model is implemented on a
supercomputer, which permits one to obtain the forecast in a short time.
Keywords: transport and formation of secondary air pollutants, mathematical modeling, parallel
computing
BART Andrey Andreevich (Tomsk State University)
E-Mail: bart@math.tsu.ru
BELIKOV Dmitry Anatol’evich (Tomsk State University)
E-Mail: dmitry.belikov@nies.go.jp
STARCHENKO Alexandr Vasil’evich (Tomsk State University)
E-Mail: starch@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 512.541
С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская
ПРИМАРНЫЕ IF-ГРУППЫ1,2
В статье исследуются примарные группы, содержащие собственные вполне
характеристические подгруппы, изоморфные самой группе, так называемые
IF-группы. Вводится понятие допустимой последовательности инвариантов
Ульма – Капланского для примарных групп, с помощью которого получено
описание IF-групп в некоторых важных классах p-групп.
Ключевые слова: IF-группа, вполне характеристическая подгруппа, инварианты Ульма – Капланского, периодически полная группа, допустимая последовательность.
Одним из направлений исследований в теории абелевых групп является изучение групп, содержащих собственные подгруппы, изоморфные самой группе.
Р. Бьюмонт и Р. Пирс в [1] рассматривали такие группы: I-группы – группы, изоморфные собственной подгруппе; IP-группы – группы, изоморфные собственной
сервантной подгруппе; ID-группы – группы, изоморфные собственному прямому
слагаемому. Г. Монк в [2] исследовал абелевы p-группы, не содержащие собственные сервантные плотные подгруппы, изоморфные самой группе. В [3] рассматриваются группы, изоморфные подгруппам той же мощности, что и сама
группа.
В настоящей статье исследуются IF-группы, т.е. абелевы группы, изоморфные
некоторой собственной вполне характеристической подгруппе.
Всюду далее в этой статье под словом «группа» будем понимать аддитивно
записанную абелеву группу.
В [4] исследовались примарные группы с конечными инвариантами Ульма –
Капланского. В настоящей статье рассматриваются примарные группы с произвольными инвариантами Ульма – Капланского.
Отметим некоторые результаты, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Теорема 1 [4]. Всякая ограниченная группа не является IF-группой.
Теорема 2 [4]. Периодическая группа является IF-группой тогда и только тогда, когда некоторая ее p-компонента является IF-группой.
Теорема 3 [4]. Делимая периодическая группа не является IF-группой.
Теорема 4 [4]. Для нередуцированной периодической группы A следующие
условия эквивалентны:
1) A является IF-группой;
2) некоторая p-компонента группы A не является делимой группой и имеет редуцированную часть, которая является IF-группой;
3) редуцированная часть группы A является IF-группой.
1
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной
России на 2009 – 2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 года.
2
Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238 от 7 июля 2009 года.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская
26
Теорема 5 [5, теорема 2.8]. Пусть B = ⊕ Bk , где Bk = ⊕ Z(pk). L – вполне
k∈N
характеристическая
подгруппа
группы
B
тогда
и
только
тогда,
когда
nk
L = ⊕ p Bk , где
k∈N
1) nk ≤ k для всех k ∈ N;
2) nk ≤ nk+r ≤ nk+r для всех k ∈ N, r ∈ N.
Заметим, что теоремы 1 – 4 сводят исследование периодических IF-групп к исследованию редуцированных примарных IF-групп.
Начнем исследование с прямых сумм циклических p-групп. Обозначим через
N0 множество всех целых неотрицательных чисел, а через fA (k) – k-й инвариант
Ульма – Капланского p-группы A, то есть ранг факторгруппы pkA[p] / pk+1A[p].
Рассмотрим сепарабельные p-группы.
Пусть B – p-группа, являющаяся прямой суммой циклических групп, т.е.
B = ⊕ Bk , где Bk = ⊕ Z(pk). Тогда для инвариантов Ульма – Капланского группы
k∈N
B справедливы равенства fB (m) = r(Bm+1) для всякого m ∈ N0, где r(Bm+1) – ранг
группы Bm+1.
Нам понадобится следующее определение.
Определение 1. Пусть A – сепарабельная p-группа. Строго возрастающую последовательность неотрицательных целых чисел i0, i1,…, in,… назовем допустимой
для группы A, если для инвариантов Ульма – Капланского этой группы выполняется система равенств
fA (k ) =
ik +1 −1
∑
i =ik
f A ( i ), k ∈ N 0 .
(1)
Теорема 6. Пусть B – неограниченная p-группа, являющаяся прямой суммой
циклических групп. Группа B является IF-группой тогда и только тогда, когда для
нее существует допустимая последовательность, отличная от последовательности
всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию.
Доказательство. Необходимость. Пусть группа B является IF-группой. Заметим, что последовательность всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных
по возрастанию, является допустимой для любой сепарабельной p-группы, так как
система равенств (1), определяющих допустимую последовательность, имеет в
этом случае тривиальный вид fA (k) = fA (k), k ∈ N0. Предположим, что последовательность всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию,
является единственной допустимой последовательностью для группы B. Если L –
вполне характеристическая подгруппа группы B, то согласно теореме 5 она имеет
вид
L = ⊕ p nk Bk ,
k∈N
где nk удовлетворяет неравенствам 1) и 2) теоремы 5. Имеем
(
(
f L ( n ) = r ⊕ p nk Bk | p nk Bk = ⊕ Z p n +1
=
n∈N
∑ ( r ( pn
k
k ∈N
) ) = r ( n⊕∈N p n Bk | k − nk = n + 1) =
) ∑ ( r ( Bk ) | k − nk − 1 = n ) =
k ∈N
)
Bk | k − nk = n + 1 =
=
k
∑ ( f B ( k − 1) | k − nk − 1 = n ).
k∈N
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примарные IF-группы
27
Таким образом,
fL ( n) =
∑ ( f B ( k − 1) | k − nk − 1 = n ) .
(2)
k∈N
Из теоремы 5 следуют такие соотношения:
(k+1) – nk+1 – 1 ≥ (k+1) – (nk+1) – 1 = k – nk – 1;
(k+1) – nk+1 – 1 ≤ (k+1) – nk – 1 = (k – nk – 1) + 1.
Пусть in = min {k − 1 | k − nk − 1 = n} . Тогда из (2) – (4) получаем
(3)
(4)
k∈N
fL ( n) =
in +1 −1
∑
i =in
fB (i ) .
(5)
Среди сумм правой части равенств (5) могут быть и вырожденные, т.е. состоящие из одного слагаемого (это получается в случае, когда in+1 = in+1). Пусть
L ≅ B. Тогда с учетом равенства (5) для всякого целого неотрицательного числа n
fB (n) = fL ( n) =
in +1 −1
∑
i =in
fB (i ) .
Последовательность i0, i1,…, in,… является допустимой для группы B, и поэтому в силу условия теоремы следует, что in = n для всякого n. Учитывая, что
in = min {k − 1 | k − nk − 1 = n} , получаем nk = 0 для всякого k, т.е. L = B. Это протиk∈N
воречит тому, что B является IF-группой.
Достаточность. Запишем группу B в виде B = ⊕ Bk , где Bk = ⊕ Z(pk). Пусть
k∈N
для группы B существует допустимая последовательность r0, r1, r2,…, отличная от
допустимой последовательности 0, 1, 2,… Тогда для всякого m ∈ N0 имеем
fB ( m) =
rm +1 −1
∑
r = rm
fB ( r ) .
(*)
Возможны два случая: 1) r0 ≠ 0, 2) r0 = 0. Рассмотрим каждый из них.
1) Пусть r0 ≠ 0.Построим подгруппу L группы B следующим образом:
L = pB1 ⊕ p 2 B2 ⊕ ... ⊕ p r0 Br0 ⊕ p r0 Br0 +1 ⊕ p r0 +1 Br0 + 2 ⊕ ...
... ⊕ p r1 −1 Br1 ⊕ p r1 −1 Br1 +1 ⊕ p r1 Br1 + 2 ⊕ p r1 +1 Br1 + 3 ⊕ ...
... ⊕ p r2 − 2 Br2 ⊕ p r2 − 2 Br2 +1 ⊕ p r2 −1 Br2 + 2 ⊕ p r2 Br2 + 3 ⊕ ... ⊕ p r3 −3 Br3 ⊕ ...,
то есть
L = ⊕ p nk Bk ,
где nr j = nr j +1 = r j − j (j ∈ N0); nr j + k = r j − j + k − 1 (1 < k < rj+1 – rj + 1). L – собственная подгруппа группы B. Используя теорему 5, получаем, что L – вполне характеристическая подгруппа группы B. Более того, L ≅ B в силу равенства соответствующих инвариантов Ульма – Капланского. Действительно, из построения
группы L и с учетом равенств (1) получаем для всякого m ∈ N0
fL (m) = fB (rm) + fB (rm+1) + … + fB (rm+1 – 1) = fB (m).
Значит, L ≅ B, но L ≠ B. Следовательно, B является IF-группой.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28
С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская
2) Пусть r0 = 0. Обозначим через k + 1 (k ∈ N0) наименьшее натуральное число,
для которого rk + 1 > k + 1. Тогда r0 = 0, r1 = 1, … , rk = k, и допустимая последовательность имеет вид 0, 1, …, k, rk + 1, rk + 2, … Равенства (*) для такой последовательности запишутся так:
fB(0) = fB(0),
fB(1) = fB(1),
……………………
(**)
fB(k – 1) = fB(k – 1),
fB(k) = fB(k) + fB(k + 1) + … + fB(rk + 1 – 1),
fB(q) = fB(rq) + … + fB (rq + 1 – 1), для всякого q > k (q ∈ N0).
Сумма, стоящая в правой части (k + 1)-го равенства в (**), является первой невырожденной суммой в (**), т.е. суммой, состоящей из более чем одного слагаемого.
Рассмотрим следующую подгруппу L группы B:
L = B1 ⊕ B2 ⊕ ... ⊕ Bk ⊕ Bk +1 ⊕ pBk + 2 ⊕ ...
... ⊕ p rk +1 − k −1 Brk +1 ⊕ p rk +1 − k −1 Brk +1 +1 ⊕ p rk +1 − k Brk +1 + 2 ⊕ ...
... ⊕ p rk + 2 − k − 2 Brk + 2 ⊕ p rk + 2 − k − 2 Brk + 2 +1 ⊕ p rk + 2 − k −1 Brk + 2 + 2 ⊕ ...
... ⊕ p rk + 3 − k −3 Brk + 3 ⊕ ...
Используя теорему 5, получаем, что L – вполне характеристическая подгруппа
группы B. Учитывая строение группы B, имеем
fL(0) = fB(0),
fL(1) = fB(1),
……………………
(***)
fL(k – 1) = fB(k – 1),
fL(k) = fB(k) + fB(k + 1) + … + fB(rk + 1 – 1),
fL(q) = fB(rq) + … + fB (rq + 1 – 1), для всякого q > k (q ∈ N0).
Сравнивая (**) и (***), получаем, что L ≅ B. Так как L ≠ B, то B является
IF-группой. ■
Перейдем теперь к рассмотрению произвольных сепарабельных p-групп.
Теорема 7. Сепарабельная p-группа не является IF-группой, если ее базисная
подгруппа не является IF-группой.
Доказательство. Пусть A – сепарабельная p-группа, у которой базисная подгруппа B не является IF-группой. Не умаляя общности, можно считать, что A –
редуцированная p-группа. Если A – ограниченная группа, то в силу теоремы 1
A не является IF-группой (заметим, что в этом случае базисная подгруппа группы
A совпадает с A). Пусть A – неограниченная группа. Предположим, что A –
IF-группа. Тогда существует собственная вполне характеристическая подгруппа S
группы A, такая, что S ≅ A. Так как A – редуцированная сепарабельная p-группа,
то A не содержит элементов бесконечной высоты [6, с. 7]. S – неограниченная
вполне характеристическая подгруппа группы A и поэтому S – широкая подгруппа
группы A [5, с. 423]. Следовательно, S ∩ B – базисная подгруппа группы S
[5, с. 422].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примарные IF-группы
29
Если S ∩ B = 0, то, учитывая, что факторгруппа любой p-группы по ее базисной подгруппе является делимой группой, получаем, что S – делимая группа, чего
быть не может, так как A – редуцированная группа.
Если S ∩ B = B, то S содержит базисную подгруппу B группы A. Имеем
S + B = A, так как S – широкая подгруппа группы A; а из того, что B ⊂ S, следует
S + B = S, чего быть не может, так как S – собственная подгруппа группы A.
Итак, S ∩ B – собственная ненулевая подгруппа группы B. Так как S ≅ A, то базисные подгруппы групп S и A также изоморфны, т.е. S ∩ B ≅ B. Так как S – широкая подгруппа группы A, то S ∩ B является широкой подгруппой группы B
[7, следствие 2.8]. Итак, мы получили, что базисная подгруппа B группы A имеет
собственную вполне характеристическую подгруппу S ∩ B, изоморфную B. Противоречие. ■
Теорема 8. Если неограниченная сепарабельная p-группа является IF-группой,
то для нее существует допустимая последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию.
Доказательство. Пусть A – неограниченная сепарабельная p-группа, являющаяся
IF-группой и пусть B – ее базисная подгруппа. Тогда по теореме 7 B – IF-группа.
Применяя теорему 6, получаем, что для группы B существует допустимая последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию. Так как fA (k) = fB (k) для всякого k ∈ N0
[8, с. 186], то эта же последовательность будет допустимой и для группы A.■
Важную роль в теории абелевых p-групп играют периодически полные группы. Периодически полной p-группой называется периодическая часть T ( B ) pадического пополнения B прямой суммы B циклических p-групп ([6], с. 22).
Впервые эти группы стал изучать Л.Я. Куликов, он называл их замкнутыми группами [9].
Теорема 9. Для периодически полной p-группы A следующие условия эквивалентны:
1) A является IF-группой;
2) базисная подгруппа группы A является IF-группой;
3) A – неограниченная группа, для которой существует допустимая последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел,
упорядоченных по возрастанию.
Доказательство. 1) ∼ 2) Учитывая теорему 7, нужно доказать, только 2) ⇒ 1).
Пусть A – периодически полная p-группа и B – ее базисная подгруппа, являющаяся IF-группой. В силу теоремы 1 B – неограниченная группа, и поэтому A – также
неограниченная группа. Так как B – IF-группа, то существует собственная вполне
характеристическая подгруппа S группы B, такая, что B ≅ S. Понятно, что S является собственной широкой подгруппой группы B. Существует собственная широкая подгруппа S* группы A, такая, что S* ∩ B = S [5, теорема 2.9], причем S – базисная подгруппа группы S* [5, c. 422]. S* как широкая подгруппа периодически
полной группы является периодически полной группой [10]. Итак, получили, что
в группе A есть собственная вполне характеристическая подгруппа S*, такая,
что базисная подгруппа B группы A изоморфна базисной подгруппе S группы S*.
Так как A и S* – периодически полные группы, то A ≅ S*, то есть A является
IF-группой.
2) ⇒ 3) Пусть B – базисная подгруппа группы A, причем B является IF-группой. Если A – ограниченная группа, то A = B. Следовательно, B – ограниченная
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30
С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская
IF-группа, что противоречит теореме 1. Если же A – неограниченная группа, то
B – неограниченная группа. Учитывая теорему 6 и то, что для каждого k ∈ N0
fA (k) = fB (k), получаем, что для группы A существует допустимая последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию.
3) ⇒ 1) Пусть A – неограниченная группа, для которой существует допустимая
последовательность, отличная от последовательности всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по возрастанию, то ее базисная подгруппа B обладает
тем же свойством. Тогда по теореме 6 B является IF-группой, и с учетом эквивалентности 2) ∼ 1) группа A также является IF-группой. ■
Будем говорить, что последовательность инвариантов Ульма – Капланского
неограниченной сепарабельной p-группы A является периодической, если существует такое k ∈ N, что для всех n ∈ N0 выполняется равенство fA (n) = fA (n + k).
Следствие 10. Пусть A – периодически полная p-группа. Если последовательность инвариантов Ульма – Капланского группы A является периодической, то A
– IF-группа.
Доказательство. Пусть A – периодически полная p-группа и существует такое k ∈ N, что для всех n ∈ N0 выполняется равенство fA (n) = fA (n + k). Тогда для
такой группы последовательность k, k + 1, k + 2, … является допустимой, и поэтому по теореме 9 A является IF-группой. ■
Следствие 11. Если для периодически полной p-группы A существует такое
кардинальное число γ, что fA (n) = γ для каждого n ∈ N0, то A является IF-группой.
Доказательство. Пусть A – периодически полная p-группа и пусть для каждого n ∈ N0 fA (n) = γ, где γ – некоторое кардинальное число. Тогда такая последовательность инвариантов Ульма – Капланского является периодической, так как
fA (n) = fA (n +1) для каждого n ∈ N0. Применяя следствие 10, получаем, что A является IF-группой. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Beaumont R.A., Pierce R.S. Isomorphic direct summands of abelian groups // Math. Annalen.
1964. V. 153. P. 21−37.
2. Monk G.S. Abelian p-groups without proper isomorphic pure dense subgroups // Ill. J. Math.
1970. V. 14. No. 1. P. 164−177.
3. Goldsmith B., Óhógáin S., Wallutis S. Quasi-minimal groups // Proc. Amer. Math. Soc. 2004.
V. 132. No. 8. P. 2185−2195.
4. Гриншпон С.Я., Никольская (Савинкова) М.М. IF-группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 1(9). С. 5−14.
5. Benabdallah K.M., Eisenstadt B.J., Irwin J.M. and Poluianov E.W. The structure of large
subgroups of primary Abelian groups // Acta Math. Acad. Scient. Hung. 1970. V. 21.
No. 3−4. P. 421−435.
6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2. 416 с.
7. Pierce R.S. Homomorphisms of primary Abelian groups // Topics in Abelian Groups. Chicago, 1963. P. 215−310.
8. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 336 с.
9. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности. // Мат. сб. 1945. № 16.
С. 129−162.
10. Гриншпон С.Я. О некоторых классах примарных абелевых групп почти изоморфных
по вполне характеристическим подгруппам // Изв. вузов. Математика. 1976. № 2.
С. 23−30.
Статья поступила 10.03.2011 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Примарные IF-группы
31
Grinshpon S.Ya., Nikolskaya M.M. PRIMARY IF-GROUPS. In this work, we study primary
groups containing proper fully invariant subgroups isomorphic to the group, the so-called IFgroups. We define the admissible sequence of Ulm-Kaplansky invariants for primary groups.
Using these sequences, IF-groups are described in some important classes of p-groups.
Keywords: IF-group, fully invariant subgroup, Ulm-Kaplansky invariants, torsion complete
group, admissible sequence.
GRINSHPON Samuil Yakovlevich (Tomsk State University)
E-mail: grinshpon@math.tsu.ru
NIKOLSKAYA Maria Mikhailovna (Tomsk State University of Architecture and Building)
E-mail: mary_s83@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 514.752
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
НЕГОЛОНОМНЫЕ ТОРСЫ 1-ГО РОДА
В ЧЕТЫРЁХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В Е4 рассматриваются неголономные трёхмерные распределения, имеющие
нулевую полную кривизну 1-го рода. Существует три вида таких распределений в зависимости от значений главных кривизн 1-го рода. Исследована
геометрия каждого из них.
Ключевые слова: неголономная геометрия, распределение, уравнение
Пфаффа, векторное поле.
Пусть ∆ 3 : M → π3 – гладкое распределение на E4 (или в области G ⊂ E4 )
[1, c. 683]. По нему однозначно определяется уравнение Пфаффа. Распределение
∆3 называется голономным, если определяемое им уравнение Пфаффа вполне
интегрируемо и – неголономным в противном случае. Мы будем рассматривать
неголономные распределения. При этом интегральные кривые и двумерные интегральные поверхности уравнения Пфаффа называются кривыми и двумерными
поверхностями распределения ∆3 . Все кривые и двумерные поверхности распределения ∆3 , проходящие через М, касаются в этой точке плоскости π3 . Пара
( M , π3 ) называется плоским элементом. Множество всех плоских элементов
( M , π3 ) («график» распределения ∆3 ) представляет собой четырёхмерное многообразие, что позволяет использовать в исследованиях метод внешних форм Картана [2].
1. Предварительные сведения
Прямая, проходящая через М ортогонально π3 , называется нормалью распределения ∆3 .
К каждому элементу ( M , π3 ) присоединим ортонормированный репер ( M , eα )
(α = 1, 4), где e4 – единичный вектор нормали распределения в точке М. Деривационные формулы репера запишем в виде
dr = ωα eα ,
deα = ωβα eβ ,
(1.1)
r – радиус-вектор точки М, ωβα = −ωβα . Формы Пфаффа ωα , ωβα подчиняются
уравнениям структуры евклидова пространства
d ωα = ωβ ^ ωβα ,
d ωβα = ωαγ ^ ωβγ ,
(α, β, γ = 0, 4).
(1.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неголономные торсы 1-го рода в четырёхмерном евклидовом пространстве
33
Так как множество плоских элементов ( M , π3 ) образует четырёхмерное многообразие, то можно считать формы { ωα } базисными. И тогда главные формы { ωα4 }
[2, с. 288] будут их линейными комбинациями, то есть
ωα4 = Аβα ωβ .
(1.3)
Матрица ( Аβα ) совпадает с матрицей линейного оператора, определяемого формулой A(dr ) = de4 , где dr − касательный вектор любой регулярной кривой, проходящей через М. Все инварианты оператора А являются инвариантами распределения ∆3 и ортогонального ему векторного поля.
Уравнение Пфаффа, соответствующее распределению ∆3 , имеет вид
ω4 = 0.
(1.4)
Из того, что
d ω4 ^ ω4 = ( A12 − A21 )ω1 ^ ω2 ^ ω4 + ( A23 − A32 )ω2 ^ ω3 ^ ω4 + ( A31 − A13 )ω3 ^ ω1 ^ ω4 ,
следует, что распределение ∆3 голономно лишь тогда, когда
A12 = A21 , A23 = A32 , A31 = A13 .
Легко проверить, что вектор ρ = ρi ei (i = 1, 2, 3), где
ρ1 = 12 ( A32 − A23 ), ρ2 = 12 ( A13 − A31 ), ρ3 = 12 ( A21 − A12 ) ,
(1.5)
является инвариантным вектором. Назовём его вектором неголономности.
Таким образом, распределение ∆3 голономно тогда и только тогда, когда обращается в нуль вектор неголономности
ρ = ρi ei .
(1.6)
В дальнейшем рассматриваются только неголономные распределения, для них
ρ ≠ 0.
Оператор А допускает сужение А* на плоскость π3 . Матрица оператора А* в
базисе { ei } имеет вид
A(*e )
⎛ A11
⎜
= ⎜ A12
⎜ A3
⎝ 1
A21
A22
A23
A31 ⎞
⎟
A32 ⎟ .
A33 ⎟⎠
(1.7)
Для неголономного распределения матрица (1.7) не симметрична. Собственные
векторы оператора А* – это главные направления 2-го рода в точке М, а собственные значения, взятые с противоположными знаками, – главные кривизны 2-го рода (ki(2) ). Полная кривизна 2-го рода K 2 = −k1(2) k2(2) k3(2) = det( Aij ).
Определение 1. Линия распределения ∆3 , в каждой точке которой направление касательной совпадает с главным направлением 2-го рода, называется линией кривизны 2-го рода.
Вдоль линии кривизны 2-го рода нормали распределения образуют торс. Координата точки ребра возврата этого торса равна величине, обратной главной
кривизне 2-го рода.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
34
Оператор А* разлагается на сумму двух операторов: симметричного оператора
В* и кососимметричного оператора В. Собственные векторы оператора В* – это
главные направления 1-го рода в точке М, а собственные значения, взятые с противоположными знаками, – главные кривизны 1-го рода ( ki(1) ). Полная кривизна
1-го рода K1 = −k1(1) k2(1) k3(1) . Между полными кривизнами 1-го и 2-го рода имеет
место следующая зависимость
K 2 = K1 − (ρ1 ) 2 k1(1) − (ρ2 ) 2 k2(1) − (ρ3 ) 2 k3(1) .
[3, с. 64] (1.8)
Таким образом, из (1.8) следует: если распределение ∆3 голономно, то для него
полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают. Однако из того, что полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают, ещё не следует голономность распределения
∆3 .
Определение 2. Линия распределения ∆3 называется линией кривизны 1-го рода, если в каждой её точке направление касательной совпадает с главным направлением 1-го рода.
Определение 3. Нормальной кривизной кривой распределения ∆3 в точке М
называется проекция вектора кривизны этой кривой на нормаль распределения в
данной точке.
Для нормальной кривизны kn справедлива формула (аналог формулы Эйлера
для поверхности)
kn = k1(1) cos α + k2(1) cos β + k3(1) cos γ ,
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1.
(1.9)
Углы α, β, γ − это углы между касательной данной кривой и главными направлениями 1-го рода [3,c.64].
2. Репер, отнесённый к линиям кривизны 1-го рода.
Основные формулы
Так как оператор В* симметричен, то он имеет, по крайней мере, три взаимно
ортогональных собственных вектора, которые определяют главные направления
1-го рода. Направим по ним векторы e1 , e2 , e3 , тогда получим
A11 = −k1(1) , A22 = − k2(1) , A33 = − k3(1) , A21 + A12 = 0, A31 + A13 = 0, A32 + A23 = 0.
Отсюда в силу (1.5) имеем A32 = ρ1 , A13 = ρ2 , A21 = ρ3 . Находим вектор кривизны
kn линии тока нормалей распределения ∆3 : kn = A41 e1 + A42 e2 + A43e3 . Обозначим
A41 = a, A42 = b, A43 = c. После этого формулы (1.3) примут вид
ω14 = − k1(1) ω1 + ρ3ω2 − ρ2 ω3 + aω4 ,
ω24 = −ρ3ω1 − k2(1) ω2 + ρ1ω3 + bω4 ,
ω34
2 1
1 2
= ρ ω −ρ ω
− k3(1) ω3
(2.1)
4
+ cω .
Заметим, что если в точке М существует только три главных направления 1-го рода, то репер { M ; eα } является каноническим. Коэффициенты в (2.1) будут основными инвариантами распределения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неголономные торсы 1-го рода в четырёхмерном евклидовом пространстве
35
Определение 4. Линия распределения ∆3 , для которой в каждой точке нормальная кривизна kn равна нулю, называется асимптотической линией.
Из определения 4 следует: линия распределения ∆3 представляет собой асимптотическую линию лишь тогда, когда её соприкасающаяся плоскость 2-го порядка
в каждой точке принадлежит плоскости π3 либо эта линия – прямая.
В выбранном нами репере асимптотические линии определяются уравнениями
k1(1) (ω1 ) 2 + k2(1) (ω2 ) 2 + k3(1) (ω3 ) 2 = 0,
(2.2)
ω4 = 0.
Касательные к асимптотическим линиям, проходящим через точку М, образуют
конус 2-го порядка
k1(1) ( x1 ) 2 + k2(1) ( x 2 ) 2 + k3(1) ( x3 ) 2 = 0,
(2.3)
x 4 = 0.
3. Неголономные торсы 1-го рода.
Определение 5. Неголономным торсом 1-го рода (НТ-1) в Е4 называется трёхмерное распределение ∆3 , имеющее нулевую полную кривизну 1-го рода ( K1 = 0) .
Теорема 1. Для всякого неголономного торса 1-го рода в Е4 конус касательных к асимптотическим линиям, проходящим через точку М, распадается на пару двумерных плоскостей: либо различных ( действительных или мнимых), пересекающихся по прямой, совпадающей с касательной к линии кривизны 1-го рода,
либо совпадающих. Либо асимптотические касательные в точке М заполняют
плоскость π3 .
Доказательство. Справедливость утверждений теоремы с очевидностью следует из формул (2.3), так как для НТ-1 хотя бы одна из главных кривизн 1-го рода
(ki(1) ) равна нулю. ■
Все НТ-1 можно разбить на три вида:
1) k3(1) = 0, k2(1) ≠ 0, k1(1) ≠ 0,
2) k3(1) = k2(1) = 0, k1(1) ≠ 0,
3) k3(1) = k2(1) = k1(1) = 0.
Переходим к рассмотрению каждого из этих видов.
4. Неголономные торсы 1-го рода, для которых
только одна из главных кривизн 1-го рода равна нулю
Асимптотические линии для данного вида НТ-1 определяются уравнениями
k1(1) (ω1 ) 2 + k2(1) (ω2 ) 2 = 0,
ω4 = 0.
Возможны, следовательно, три случая:
a) k3(1) = 0, k2(1) ≠ 0, k1(1) ≠ 0, k2(!) ≠ k1(1) , sign k2(1) ≠ sign k1(1) ;
в) k3(1) = 0, k2(1) ≠ 0, k1(1) ≠ 0, k2(1) ≠ k1(1) , sign k2(1) = sign k1(1) ;
с) k3(1) = 0, k2(1) = k1(1) ≠ 0.
(4.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
36
Рассмотрим каждый из них.
В случае а) множество (4.1) всех асимптотических линий НТ-1 распадается на
два множества
ω2 = ± −
k1(1)
k2(1)
ω1 ,
(4.2)
ω4 = 0,
имеющих общие асимптотические линии
ω1 = ω2 = ω4 = 0,
(4.3)
которые, с другой стороны, являются линиями кривизны 1-го рода.
Соответственно в каждой точке М конус касательных к асимптотическим линиям, проходящим через М, распадается на две двумерные плоскости Р1 и Р2, пересекающиеся по прямой L, представляющей собой одновременно касательную к
асимптотической линии и к линии кривизны 1-го рода. Плоскости Р1, Р2 пересекают двумерную плоскость π2 , проходящую через М ортогонально L по двум
прямым L1 и L2. Для них имеет место следующая теорема.
Теорема 2. В плоскости π2 касательные к линиям кривизны 1-го рода делят
пополам углы между касательными к асимптотическим линиям.
Доказательство. Из (4.1) следует, что конус касательных к асимптотическим
линиям в точке М определяется уравнениями
k1(1) ( x1 ) 2 + k2(1) ( x 2 ) 2 = 0,
(4.4)
x 4 = 0,
то есть распадается на пару плоскостей Р1 и Р2 :
x2 = ± −
k1(1)
k2(1)
x1 ,
(4.5)
4
x = 0.
Плоскости (4.5) пересекают плоскость π2 по двум прямым L1, L2:
x2 = ± −
Рис. 1
k1(1)
k2(1)
x1 ,
x3 = x 4 = 0.
Эти прямые, очевидно, имеют равные углы с касательными x 2 = x3 = x 4 = 0 и x1 = x 2 = x 4 = 0 к линиям кривизны 1-го рода (рис. 1). ■
Теорема 3. Нормали НТ-1 меняют своё направление
при движении точки по асимптотической линии, совпадающей с линией кривизны 1-го рода.
Доказательство. Направление нормали НТ-1 в точке асимптотической линии, совпадающей с линией кривизны 1-го рода, – это направление вектора e4 . При перемещении точки вдоль данной асимптотической
ω1 = ω2 = ω4 = 0 , используя формулы (2.1), получаем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неголономные торсы 1-го рода в четырёхмерном евклидовом пространстве
37
de4 = (−ρ2 e1 + ρ1e2 )ω3 . Так как в неголономном случае вектор неголономности не
обращается в нуль, то вектор e4 меняет направление вдоль асимптотической линии, совпадающей с линией кривизны 1-го рода. ■
В случае b) через каждую точку М проходит три взаимно ортогональных линии кривизны 1-го рода, из которых одна совпадает с единственной асимптотической линией. Нормали НТ-1 вдоль этой линии меняют своё направление. Данное
предложение доказывается так же, как и теорема 3.
В случае с), как и в случае b), через каждую точку
М проходит одна асимптотическая линия, совпадающая с одной из линий кривизны 1-го рода, нормали НТ-1
вдоль этой линии меняют своё направление. Однако
случай с) отличается от случая b) прежде всего тем, что
через точку М проходят не три линии кривизны 1-го
рода, а бесконечно много. А именно, в точке М двумерная плоскость x3 = x 4 = 0 , ортогональная касательной к
асимптотической линии, состоит из касательных к линиям кривизны 1-го рода, проходящим через М (рис. 2).
Теорема 4. Если трёхмерное распределение ∆3 на
Е4 , имеющее единственную нулевую главную кривизну
1-го рода, голономно, то Е4 расслаивается на однопараметрическое семейство трёхмерных торсов с пряРис. 2
молинейными образующими.
Доказательство. Пусть для ∆3 имеем k3(1) = 0,
k2(1) ≠ 0, k1(1) ≠ 0 . Тогда во всех трёх возможных случаях имеются асимптотиче-
ские линии, определяемые уравнениями ω1 = ω2 = ω4 = 0 . Если при этом ∆3 голономно, то ρ1 = ρ2 = ρ3 = 0 и формулы (2.1) принимают вид
ω14 = − k1(1) ω1 + aω4 ,
ω24 = − k2(1) ω2 + bω4 ,
ω34
(4.6)
4
= cω .
Продолжая систему (4.6), получим
dk1(1) = α11ω1 + α12 ω2 + α13ω3 + (α14 + a 2 + (k1(1) ) 2 )ω4 ,
dk2(1) = α 22 ω1 + β22 ω2 + β23ω3 + (β24 + b 2 + (k2(1) ) 2 )ω4 ,
(k2(1) − k1(1) )ω12 = α12 ω1 + α 22 ω2 + α 23ω3 + (α 24 + ab)ω4 ,
k1(1) ω13 = −α13ω1 − α 23ω2 − (α 34 + ac)ω4 ,
k2(1) ω32 = −α 23ω1 − β23ω2 + (−β34 + bc)ω4 ,
da = −bω12 − cω13 − α14 ω1 − α 24 ω2 − α 34 ω3 − α 44 ω4 ,
db = aω12 − cω32 − α 24 ω1 − β42 ω2 − β43ω3 − β44 ω4 ,
dc = −aω13 − bω32 − (α34 + ac − ab)ω1 − β34 ω2 + cω3 − γ 44 ω4 ,
α ij = α ji , βij = β ji , γ ij = γ ji .
(4.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
38
Покажем, что асимптотические линии ω1 = ω2 = ω4 = 0 – прямые линии. Действительно, для их касательных векторов e3 имеем de3 = ω13e1 + ω32 e2 + ω34 e4 . Используя формулы (4.6) и (4.7), получаем de3 = 0 . То есть касательный вектор e3
асимптотической линии остаётся постоянным, что может быть лишь тогда, когда
всякая асимптотическая линия семейства ω1 = ω2 = ω4 = 0 – прямая линия. Следовательно, трёхмерные торсы, на которые расслаивается Е4 , имеют прямолинейные образующие. Более того, вдоль асимптотической линии каждого торса его
касательная трёхмерная плоскость не меняется, так как её нормальный вектор e4
остаётся постоянным. Это следует из того, что de4 = ω14 e1 + ω24 e2 + ω34 e3 = 0 при
ω1 = ω2 = ω4 = 0 (см. (4.6)). ■
5. Неголономные торсы 1-го рода,
для которых k3(1) = k2(1) = 0, k1(1) ≠ 0
Асимптотические линии для таких НТ-1 имеют уравнения
ω1 = 0,
ω4 = 0,
(5.1)
А касательные к ним заполняют 2-мерную плоскость Р2 :
x1 = 0,
x 4 = 0,
(5.2)
совпадающую с плоскостью касательных к линиям кривизны 1-го рода. Нормали
НТ-1 при перемещении вдоль плоскости Р2 меняют своё направление. Действительно, для вектора e4 , ортогонального НТ-1, имеем
de4 = (ρ3ω2 − ρ2 ω3 )e1 + ρ1ω3e2 − ρ1ω2 e3 ≠ 0.
То есть в неголономном случае нормали НТ-1 вдоль асимптотических линий (5.1)
меняют своё направление. Это означает также, что асимптотические линии в этом
случае не могут лежать в плоскости Р2 .
Теорема 5. Если трёхмерное распределение ∆3 на Е4, для которого
k3(1) = k2(1) = 0, k1(1) ≠ 0 , голономно, то его асимптотические линии, проходящие че-
рез М, лежат в двумерной плоскости Р2 , а нормали распределения ∆3 вдоль них
не меняют своего направления.
Доказательство. Покажем, что в голономном случае плоскость Р2 , определяемая уравнениями (5.2), остаётся неизменной в точках асимптотических линий
(5.1). При k2(1) = 0 системы (4.6) и (4.7) принимают вид
ω14 = −k1(1) ω1 + aω4 ,
ω24 = bω4 ,
ω34
4
= cω
(5.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неголономные торсы 1-го рода в четырёхмерном евклидовом пространстве
39
и
dk1(1) = α11ω1 + α12 ω2 + α13ω3 + (α14 + a 2 + (k1(1) ) 2 )ω4 ,
k1(1) ω!2 = −α12 ω1 − (α 24 + ab)ω4 ,
k1(1) ω13 = −α13ω1 − (α34 + ac)ω4 ,
da + bω12 + cω13 = −α14 ω1 − α 24 ω2 − α 34 ω3 − α 44 ω4 ,
(5.4)
db − aω12 + cω32 = −α 24 ω1 − b 2 ω2 − bcω3 − β44 ω4 ,
dc + aω13 + bω32 = (−α 34 − ac + ab)ω1 − bcω2 + c 2 ω3 − γ 44 ω4 .
Находим характеристику плоскости Р2 при смещении её по асимптотическим
линиям ω1 = ω4 = 0 :
x1 = 0, x 4 = 0,
ω12 x 2 + ω13 x3 = 0,
ω42 x 2 + ω34 x3 = 0.
Учитывая (5.3) и (5.4), получаем, что плоскость Р2 остаётся постоянной. Это значит, что все асимптотические линии лежат в данной плоскости. Таким образом,
пространство Е4 расслаивается на однопараметрическое семейство трёхмерных торсов с двумерными плоскостными образующими.
Покажем теперь, что нормали e4 распределения ∆3 не меняют направления
при движении точки по плоскости Р2 , состоящей из асимптотических линий
ω1 = ω4 = 0. Действительно, в силу (5.3) при ω1 = ω4 = 0 имеем
de4 = ω14 e1 + ω24 e2 + ω34 e3 = 0.
Следовательно, e4 – постоянный вектор в точках плоскости Р2 . ■
6. Неголономные торсы 1-го рода,
для которых k1(1) = k2(1) = k3(1) = 0
Такие неголономные торсы называют неголономными гиперплоскостями, так
как в голономном случае получаем расслоение пространства Е4 на семейство параллельных гиперплоскостей.
Неголономные гиперплоскости подробно исследованы в работе [4]. В ней получен следующий основной результат (в целом): в четырёхмерном евклидовом
пространстве существует единственная (с точностью до постоянной) неголономная гиперплоскость. Уравнение Пфаффа, определяющее кривые неголономной
гиперплоскости в некоторой неподвижной системе координат, имеет вид
dx4 = c( x3 dx2 − x2 dx3 ),
c = const ≠ 0.
Там же подробно исследовано векторное поле нормалей неголономной гиперплоскости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
2. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40
Н.М. Онищук, О.В. Цоколова
3. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырёхмерном евклидовом пространстве //
Международная конференция по математике и механике. Избранные доклады. Томск,
2003. С. 60–68.
4. Онищук Н.М. Неголономная гиперплоскость в четырёхмерном евклидовом пространстве
// Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008.
№ 3(4).
Статья поступила 09.04.2011 г.
Onishchuk N.M., Tsokolova O.V. NONHOLONOMIC TORSES OF THE FIRST KIND IN THE
FOUR-DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE. Nonholonomic three-dimensional distributions
with zero total curvature of the first kind are considered in E4. There exist three types of such distributions depending on the values of the principal curvatures of the first kind. Geometry of each
of them is studied.
Keywords: nonholonomic geometry, distribution, Pfaffian equation, vector field.
ONISHUK Nadezhda Maksimovna (Tomsk State University)
E-mail: onichuk.nadezhda@yandex.ru
TSOKOLOVA Olga Vyacheslavovna (Tomsk State University)
E-mail: tov234@yandex.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 512.623.5, 512.52
Г.Г. Пестов
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО УПОРЯДОЧЕННЫМ ГРУППАМ И ПОЛЯМ
В ТОМСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
Работа участников семинара по упорядоченным группам и полям на мехмате
Томского университета начиная с восьмидесятых годов прошлого века и до
наших дней развивалась по следующим направлениям: теория сечений в линейно упорядоченном поле, n-мерно упорядоченные группы, в частности
двумерно упорядоченные группы, циклически упорядоченные группы, двумерно упорядоченные и бесконечно узкие поля.
Ключевые слова: линейно-упорядоченные группы, двумерно-упорядоченные
поля, циклически-упорядоченные группы, верхний конус, правый конус.
1. Линейно упорядоченные поля, теория сечений
Существует тесная связь между свойствами линейно упорядоченного поля и
строением сечений в этом поле. Для описания этой связи необходима развитая
классификация сечений. Классификация сечений в упорядоченном поле является
частью так называемой теории сечений [1]. Классификация сечений осуществляется: 1) по ширине пробела между берегами (сечения нулевой ширины [2] или сечения Гёльдера [3]); 2) по поведению многочленов на сечении (алгебраические и
трансцендентные сечения [1, 2, 4]); 3) по наличию или отсутствию симметрии [5],
наконец; 4) по конфинальности берегов [7, 19]. Под теорией сечений мы подразумеваем кроме классификации сечений теоремы о поведении многочленов на сечениях различных типов, характеризацию различных видов замыканий упорядоченного поля в терминах сечений, теоремы о построении различных видов замыканий с помощью так называемого заполнения сечений упорядоченного поля, теоремы об изоморфизме упорядоченных полей с заданными ограничениями на сечения. Теории линейно упорядоченных полей (без теории сечений) посвящена
монография [6].
1.1. Kлассификация сечений в упорядоченном поле
Элементы a, b упорядоченного поля K называются архимедовски эквивалентными, если существует такое натуральное число n, что n|a|>|b| и n|b|>|a|. Если a и b
архимедовски эквивалентны, то пишем a∼ b [8].
Лемма 1.1.1. Пусть K есть упорядоченно поле, K – его вещественное замыкание, ξ∈ K , степень ξ над K равна m. Тогда найдётся такое натуральное n≤ m и такой элемент b∈K, что ξn ∼ b [4].
Следствие 1.1.2. Если мультипликативная группа упорядоченного поля K делима, то каждый элемент из вещественного замыкания этого поля архимедовски
эквивалентен некоторому элементу поля K [1, 4].
Будем говорить, что многочлен f(x) меняет знак на сечении (A, B), если существуют такие a, b, что a∈A, b∈B и на множестве A∩[a, b] многочлен строго поло-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42
Г.Г. Пестов
жителен (строго отрицателен), а на множестве B∩[a, b] строго отрицателен (строго положителен). Если существуют такие a∈A, b∈B, что f(x) > 0 (f(x)<0) на [a, b],
то говорят, что f(x) > 0 (f(x)<0) на сечении (A, B). В том и другом случае будем говорить, что многочлен f(x) сохраняет знак на сечении (A, B).
Сечение (A, B) в упорядоченном поле K назовём алгебраическим, если существует многочлен из K[x], меняющий знак на этом сечении [2, 4]. Наименьшая из
степеней многочленов, меняющих знак на сечении , называется степенью этого
сечения. Обозначение: deg (A,B). Если все многочлены из K[x] сохраняют знак на
сечении (A, B), то это сечение называется трансцендентным [1, 4].
Линейно упорядоченное поле вещественно замкнуто тогда и только тогда, когда в нём нет алгебраических сечений. Берег A сечения (A, B) называется длинным, если для каждого a∈A существует такое a1, что (a1+( a1 – a)) ∈ B. Берег сечения, не являющийся длинным, называется коротким. Иначе: берег A сечения
(A, B) называется коротким, если существует a∈A, такое, что для каждого a1∈A
имеем (a1+( a1–a)) ∈ A. Такой элемент a короткого берега A называется близким
к B [1, 4].
Лемма 1.1.3. В каждом сечении линейно упорядоченного поля хотя бы один из
берегов является длинным.
Если оба берега сечения – длинные, то сечение называется симметричным
[5]. Если один берег сечения – длинный, а другой – короткий, то сечение называется несимметричным. Каждое расширение упорядоченного поля можно получить
как результат трансфинитной последовательности простых расширений. Пусть
(A, B) есть сечение в упорядоченном поле K. Если K(t) есть простое расширение
поля K, в котором A< t < B, то будем говорить, что это расширение получено заполнением сечения (A, B) [9].
Следствие 1.1.4. Если сечение (A, B) несимметрично, то в поле K(t), полученном заполнением этого сечения, существуют элементы, архимедовски не эквивалентные никаким элементам из K [1, 4].
Сечение (A, B) в упорядоченном поле называется фундаментальным ( или сечением нулевой ширины [2],или сечением Гёльдера [3]), если для каждого ε>0
существуют такие a∈A, b∈B, что b−a <ε.
Теорема 1.1.5. Если P ⊃ K(t), t∈P\K, A< t < B, и каждый элемент поля K(t) архимедовски эквивалентен некоторому элементу поля K, то сечение (A, B) симметрично [1, 5].
Лемма 1.1.6. Если в K при любых a ∈A, n∈N, n≤ n0 разрешимо уравнение
xn = a, то в этом поле все алгебраические сечения степени не выше n0 симметричны [1, 4].
Теорема 1.1.7. Если мультипликативная группа упорядоченного поля K делима, то это поле вещественно замкнуто тогда и только тогда, когда каждое симметричное сечение в K трансцендентно [9].
Следующие теоремы характеризуют поведение многочленов на сечениях в
упорядоченном поле.
Теорема 1.1.8. Пусть (A, B) есть сечение в упорядоченном поле K, f(x) ∈ K[x].
Если deg f(x) < deg (A, B), то найдутся такие a∈A, b∈B, что для каждого упорядоченного расширения P поля K выполнено
(1) f (x)>0 всюду на [a,b]P или
f (x)<0 всюду на [a,b]P;
(2) f (x) строго монотонно на [a,b]P [1].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследования по упорядоченным группам и полям
43
Теорема 1.1.9. Пусть (A, B) есть симметричное сечение в упорядоченном поле
K, f(x) ∈ K[x]. Если сам многочлен f(x) и все его производные не меняют знака на
сечении (A, B), то найдутся такие a∈A, b∈B, что для каждого упорядоченного
расширения P поля K выполнено
(1) f(x)>0 всюду на [a,b]P или
f(x)<0 всюду на [a,b]P;
(2) f(x) строго монотонно на[a,b]P ;
(3) все значения f(x) при x∈[a,b]P архимедовски эквивалентны [1].
Теорема 1.1.10. Пусть (A, B) есть симметричное сечение в упорядоченном поле K, f(x) ∈ K[x]. Если deg f(x)<deg (A, B) то найдутся такие a∈A, b∈B, что для
каждого упорядоченного расширения P поля K выполнено
(1) f(x)>0 всюду на [a, b]P или
f(x)<0 всюду на [a, b]P ;
(2) f(x) строго монотонно на [a, b]P ;
(3) все значения f(x) при x∈[a, b]P архимедовски эквивалентны [1].
Пусть (A, B) есть сечение в K, K(t) – простое упорядоченное расширение поля
K. Порядок в K(t) в общем случае не определён однозначно, даже если потребовать, чтобы t было трансцендентно над K.
Теорема 1.1.11. Если сечение (A, B) в упорядоченном поле K трансцендентно,
то порядок из K единственным образом продолжается на поле K(t), полученное
заполнением этого сечения [9].
1.2. Замыкания упорядоченного поля
Исследованию замыканий линейно упорядоченных полей посвящена обширная литература. Известны вещественное, топологическое и архимедово замыкания
упорядоченного поля [3,10,11,36,42]. Использование теории сечений позволяет
охарактеризовать многие виды замыканий с единой точки зрения.
Теорема 1.2.1. Линейно упорядоченное поле вещественно замкнуто, если и
только если в этом поле нет алгебраических сечений.
Иначе: Линейно упорядоченное поле K вещественно замкнуто, если и только
если никакой многочлен из K[x] не меняет знака ни на каком сечении в K [9].
Теорема 1.2.2. Линейно упорядоченное поле непрерывно (топологически)
замкнуто, если и только если в этом поле нет собственных фундаментальных сечений [9].
Теорема 1.2.3. Линейно упорядоченное поле архимедовски замкнуто, если и
только если в этом поле нет симметричных сечений [9]
Пусть (A, B) – сечение в линейно упорядоченном поле K. Будем говорить, что
простое упорядоченное расширение K(ξ) получено заполнением сечения (A, B),
если A<ξ<B в K(ξ).
Пусть K⊂P, где K, P упорядоченные поля. Если ( Kβ )β<α , где α, β ординалы,
есть последовательность упорядоченных полей, такая, что: 1) K0 = K; 2) для каждого ординала β<α поле Kβ+1 получено из поля Kβ заполнением некоторого
симметричного (алгебраического, фундаментального) сечения в Kβ ; 3) для каждого предельного ординала β<α выполнено Kβ = ∪ γ<β K γ ; 4) P = ∪ β<α Kβ , то
будем говорить, что поле P получено из K заполнением симметричных (алгебраических, фундаментальных) сечений [9].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44
Г.Г. Пестов
Теорема 1.2.4 [9]. Пусть K – линейно упорядоченное поле. Тогда:
a) Архимедово замыкание K̂ поля K может быть получено из K трансфинитной последовательностью заполнений симметричных сечений.
b) Топологическое замыкание K может быть получено из K трансфинитной
последовательностью заполнений фундаментальных сечений.
c) Вещественное замыкание K может быть получено из K трансфинитной последовательностью заполнений алгебраических сечений.
Архимедовски замкнутое поле может не быть вещественно замкнутым. Однако следующая теорема указывает на некоторое сходство свойств архимедовски и
вещественно замкнутых полей.
Теорема 1.2.5. Пусть P – архимедовски замкнутое поле, K – подполе P, P –
вещественное замыкание поля P. Если (A, B) – симметричное алгебраическое сечение в K, f(x)∈K[x], где deg f(x)=deg(A, B), f(x) меняет знак на (A, B), ξ∈ P ,
f(ξ) = 0, A<ξ<B в P , то ξ∈P [9].
Определение. Пусть (A, B) – сечение в линейно упорядоченном поле K. Будем
говорить, что простое упорядоченное расширение K(ξ) получено регулярным заполнением сечения (A, B), если A< ξ<B в K(ξ) и выполнено одно из двух условий:
a) сечение (A, B) – алгебраическое, ξ есть корень многочлена f(x) ∈K[x], такого, что deg f(x)=deg(A, B) и f(x) меняет знак на сечении (A, B);
b) сечение (A, B) – трансцендентное [9].
Определение. Будем говорить, что упорядоченное поле P получено из упорядоченного поля K регулярным заполнением симметричных сечений, если существует такая трансфинитная последовательность упорядоченных полей ( Kβ )β<α ,
что: 1) для каждого ординала β<α поле Kβ+1 получено из поля Kβ регулярным заполнением некоторого симметричного сечения в Kβ ; 2) для каждого предельного
ординала β<α выполнено Kβ = ∪ γ<β K γ ; 3) K 0 =K, P = ∪ β<α Kβ [9].
Теорема. 1.2.6 [9]. Пусть K – линейно упорядоченное поле. Тогда:
a) Архимедово замыкание поля K может быть получено из K с помощью
трансфинитной последовательности регулярных заполнений симметричных сечений.
b) Топологическое замыкание поля K может быть получено из K с помощью
трансфинитной последовательности регулярных заполнений фундаментальных
сечений.
c) Вещественное замыкание поля K может быть получено из K с помощью
трансфинитной последовательности регулярных заполнений алгебраичесих сечений [9].
С помощью методов теории моделей и теории сечений удалось получить характеристики нестандартной вещественной прямой [18].
Теорема. 1.2.7. Упорядоченное поле K является архимедовски полным тогда и
только тогда, когда каждое сечение в K несимметрично [12].
Теорема 1.2.8 Поле формальных степенных рядов R[[G]] архимедовски полно
[12, 13].
Конфинальностью симметричного сечения (A, B) называется cof A.
Теорема 1.2.9. Пусть вещественно замкнутые упорядоченные поля K и P таковы, что card K = card P= α >ℵ0 и конфинальность каждого симметричного сечения в обоих полях равна α. Тогда для того, чтобы K и P были упорядоченно изо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследования по упорядоченным группам и полям
45
морфны, необходимо и достаточно, чтобы группы архимедовских классов этих
полей были изоморфны [1,13].
1.3. Поля формальных степенных рядов
Формальные степенные ряды служат удобным орудием представления упорядоченных полей. В частности, они позволяют получить информацию о строении
сечений в нестандартной вещественной прямой.
Пусть G есть линейно упорядоченная абелева группа. Тогда множество R[[G]]
формальных степенных рядов вида Σg∈Γrgg , где Γ есть вполне упорядоченное
подмножество G, есть упорядоченное поле с группой архимедовских классов,
изоморфной G [7]. Обозначим R =[[G,β]] = {Σg∈Γrgg| card Γ<β}. Имеем: R [[G,β]]
есть подполе поля R[[G]].
Теорема 1.3.1. Пусть G – мультипликативная линейно упорядоченная абелева
группа. Тогда все сечения в поле формальных степенных рядов R[[G]] несимметричны [13].
Следствие 1.3.2. Пусть G – мультипликативная линейно упорядоченная абелева группа. Тогда поле формальных степенных рядов R[[G]] архимедовски замкнуто [13].
Лемма 1.3.3. Если (A, B) – симметричное сечение в R [[G,β]], то β≤ cf (A, B) ≤
card (G) [15].
Теорема 1.3.4. Пусть β – кардинал, G – коммутативная группа, ℵ0 < β ≤ card G.
тогда конфинальность каждого симметричного сечения в поле K= R [[G,β]] равна
cf(β). В частности, если β – регулярный кардинал, то конфинальность каждого
симметричного сечения в K равна β [15].
Теорема 1.3.5. Если (A, B) собственное фундаментальное сечение в поле F , то
cf (A, B)= cf (F) [12].
Следствие 1.3.6. Если cf(β)≠cf(R [[G,β]]), то в поле R [[G,β]] нет собственных
фундаментальных сечений, т.е. это поле полно по Дедекинду [12].
Теорема 1.3.7. Пусть *R есть ультрастепень R по α+-хорошему ультрафильтру
в α. Тогда поле нестандартных вещественных чисел *R упорядоченно изоморфно
полю ограниченных формальных степенных рядов R [[G, α+]] [15].
Подробнее о формальных степенных рядах см [19].
Теорема 1.3.8. (a) Пусть G есть упорядоченная абелева группа R[[G]] – поле
формальных степенных рядов. Тогда 2cf (G)≤ card R[[G]]≤2card G. (b) Пусть β – кардинал, ℵ0 < β ≤ card G. Тогда card R [[G,β]]= card G [15].
Теорема 1.3.9. Каждое симметричное сечение в R [[G,β]] производится некоторым элементом из R[[G]]\ R [[G,β]]. Наоборот, каждый элемент из R[[G]]\
R[[G,β]] производит некоторое симметричное сечение в R [[G,β]] [14].
Теорема 1.3.10. Симметричное сечение (A, B) в R [[G,β]] фундаментально, если и только если существует x0 ∈ R[[G]]\ R [[G,β]], такое, что A< x0< B, supp (x0)
инверсно подобен β и коинициален G [ 14].
Упорядоченное поле называется полным по Дедекинду, если каждое фундаментальное сечение в этом поле производится некоторым элементом поля.
Следствие 1.3.11. Если β < cof G, то R [[G,β]] полно по Дедекинду [ 14]].
Теорема 1.3.12. Если (A, B) – симметричное сечение в R [[G,β]], то β < cof(A) =
= coi B ≤ card G [14].
Далее через *R обозначена ультрастепень R по α+-хорошему ультрафильтру
над α, через G – группа архимедовых классов поля *R.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46
Г.Г. Пестов
Теорема 1.3.13. Если (A, B) есть симметричное сечение в *R, то cof (A) = coi B
[13].
Теорема 1.3.14. (ОКГ) Пусть *R есть ультрастепень R по α+-хорошему ультрафильтру в α. Тогда поле нестандартных вещественных чисел *R упорядоченно
изоморфно полю ограниченных формальных степенных рядов R [[G, α+]] [14, 18].
Следствие 1.3.15. Поле R [[G, α+]] является *R-насыщенным [14].
Следствие 1.3.16. В условиях теоремы 1.3.14 из того, что β ≤ α, следует, что
поле R [[G,β]] полно по Дедекинду [14].
Теорема 1.3.17. В условиях теоремы 1.3.14 в поле R [[G, α+]] (и в*R ) существует 2γ симметричных фундаментальных сечений, где γ= α+, и 2γ симметричных
нефундаментальных сечений [14].
1.4. О подклассе K класса вещественно замкнутых полей
Определим подкласс K класса вещественно замкнутых полей. Вещественно
замкнутое поле F принадлежит подклассу K, если и только если: 1) мощность F
равна мощности архимедова замыкания F и равна ℵ1; 2) конфинальность каждого
симметричного сечения в F равна ℵ1 (мы принимаем ОКГ).
Теорема 1.4.1 Если выполнено ОКГ, то класс K совпадает с классом ограниченных формальных степенных полей R [[G, ℵ1]], где G – линейно упорядоченная
абелева группа, и card (G)= ℵ1 [16].
Обозначим через K i подкласс класса K, состоящий из таких F, что cf(F)= ℵi .
Теорема. Если F∈ K1, то в F существует симметричное сечение [16].
Теорема 1.4.2. Пусть F – вещественно замкнутое поле, и (A, B) есть (α,β) – сечение в архимедовом замыкании поля F, где α,β – бесконечные регулярные кардиналы. Тогда существует несимметричное сечение в F типа (α,β) [16].
Пусть L есть линейно упорядоченное множество, cf(L)≥ ℵ0, пусть P есть бесконечное линейно упорядоченное поле и max{|L|,|P|}=ℵ1. В [17] изложена конструкция группы (G(L, P),⋅,<), такой, что R [[G(L, P), ℵ1]]∈K. При этом группа
G(L, P) изоморфна подгруппе конечных сумм (P [[L, ℵ0]],+,<) группы формальных степенных рядов P [[L, ℵ1]].
Теорема 1.4.3. Группа G(L, P) ≅ P [[L, ℵ0]] имеет сечение типа (ℵ0, ℵ0) [16].
Следствие 1.4.4. Поле R [[G(L, P), ℵ1]] имеет несимметричное сечение типа
(ℵ0, ℵ0) [16].
Следствие 1.4.5. *R имеет симметричное сечение типа (ℵ1, ℵ1) и несимметричное сечение типа (ℵ1, ℵ1) [16].
Линейно упорядоченное поле F называется полу-η1-полем, если для каждой
строго возрастающей последовательности (sn)n∈N и строго убывающей последовательности (tn)n∈N, таких, что sn< tn для всех m, n∈N, существует x∈F, такой, что
sn<x<tm для всех n, m∈N [19].
Теорема 1.4.6. F есть полу-η1-поле, если и только если каждое сечение (A, B) в
F имеет только один из следующих типов: (ℵ1, ℵ1), (ℵ0, ℵ1), (ℵ1, ℵ0), (1, ℵ1),
(ℵ1,1), (1, ℵ0), (ℵ0, 1) [16].
Теорема 1.4.7. R [[G(L, P), ℵ1]] не является полу-η1-полем [16].
Теорема 1.4.8. Пусть F есть η1-поле мощности ℵ1 Тогда: 1) в F существует 2ℵ1
симметричных дедекиндовых сечений и 2ℵ1 симметричных недедекиндовых сечений; 2) если (A, B) – симметричное сечение в F, то cf(A, B)= ℵ1[16].
Теорема. 1.4.9. Пусть F принадлежит K 0 и R[[ F̂ ]]\R[[ F̂ ,ℵ1]]≠∅.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследования по упорядоченным группам и полям
47
Тогда: (a) в F нет симметричных дедекиндовых сечений; (b) F имеет 2ℵ1 симметричных недедекиндовых сечений [16].
Теорема 1.4.10. Пусть F ∈K. Тогда следующие условия равносильны: a) F есть
η1-множество; b) группа архимедовых классов поля F есть η1-множество; с) F
изоморфно полю R [[ G0 , ℵ1]], где G0 – линейно упорядоченная делимая абелева
группа [59].
2. n-мерно упорядоченные группы
2.1. Понятие линейно упорядоченно множества естественно возникает при исследовании расположения точек на прямой. Так же естественно понятие двумерно
упорядоченного множества возникает при изучении расположения точек на плоскости.
Различные подходы к обобщению понятия линейного порядка по размерности
предпринимались многими математиками, начиная с Г. Кантора.
Первоначальный подход к обобщению понятия порядка по размерности был
предпринят в работах Э. Шпернера [21] и Э. Глока [22].
Эта идея получила последовательное развитие в независимых работах Л. Новака [23], Г.Г. Пестова [25] и его аспиранта А.И. Терре [24]. Изложим подход автора.
Определение 2.1.1. Пусть ξ1,ξ2,…,ξn+1 – элементы Rn, где ξk = (x1k,x 2k,…,xnk)T.
Обозначим ξ*k = (x1k,x 2k,…,xnk, , 1)T. Теперь полагаем ηn (ξ1,ξ2,…, ξn+1) =
= det (ξ*1,ξ*2,…, ξ*n+1). Функцию ηn (ξ1,ξ2,…,ξn+1) назовём стандартной функцией порядка в Rn.
На основании стандартной функции порядка в Rn построим определение nмерной функции порядка.
Определение 2.1.2. Пусть задано отображение ζ:Sn+1→{–1,0,1}, где |S|>(n+1).
Если для каждого A⊆S, |A|≤2n+1 существует инъекция φ: A→Rn такая, что для каждого x=(x1,…, xn+1) , где xi∈A, выполнено ζ(x) = ηn(φ(x)), то ζ назовём функцией
n-мерного порядка на множестве S.
Пару <S, ζ> назовём n-мерно упорядоченным множеством. Функцию φ в определении 2.1.2 в дальнейшем будем называть реализацией множества A в Rn.
Понятия n-упорядоченных групп (колец, тел, полей) естественным образом
строятся на базе понятия n-упорядоченных множеств.
Ключевым понятием здесь является понятие симплекса.
Определение 2.1.3. Пусть <S, ζ> есть n-упорядоченное множество. Если для
кортежа A∈Sk+1 существует кортеж B∈Sn−k, такой, что выполняется ζ(A;B)≠0, то
A назовём k-симплеском или k-мерной гранью n-упорядоченного множества
<S, ζ> [24,31, 32].
Согласно определению 2.1.3, B есть симплекс, который будем называть дополняющим симплексом к A. Заметим, что при k= –1 кортеж A вырождается в
пустое множество, а B есть n-симплекс, который в дальнейшем будем называть
максимальным.
Определение 2.1.4. Пусть A – k-симплекс n-упорядоченного множества
< S, ζ > (0 ≤ k ≤ n–1). Множество PA={x∈S: ζ(A; Sn – k – 1; x)=0} назовём k-мерной
плоскостью, порождённой симплексом A [25,31,32].
Если A, B – две матрицы с одинаковым количеством строк, то через (A, B) обозначаем матрицу, полученную приписыванием справа матрицы B к матрице A.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48
Г.Г. Пестов
Если A, B – две матрицы с одинаковым количеством столбцов, то через (A;B) обозначаем матрицу, полученную приписыванием снизу матрицы B к матрице A.
Лемма 2.1.1. (о непересекающихся плоскостях) Пусть <S, ζ> есть n-упорядоченное множество. Если ζ(A;B)≠0, то PA∩PB =∅ [32].
Теорема 2.1.2 (о порождающих симплексах). Пусть A=(a1;...;ak), B=(b1;...;bm)
– симплексы n-упорядоченного множества <S, ζ >, причём set(B)⊆ PA, тогда
а) m ≤ k;
б) PB ⊆ PA;
в) если |set(B)|=|set(A)|, то PB = PA [32].
Теорема 2.1.3 (о движении плоскости). Пусть A есть k-симплекс n-упорядоченной группы <G, ζ >; α,β∈G, тогда αPAβ=PαAβ .
Теорема 2.1.4. Пусть A есть k-симплекс n-упорядоченной группы <G,ζ>. Для
того чтобы плоскость PA являлась подгруппой группы G, необходимо и достаточно, чтобы AA ⊆ PA.
Теорема 2.1.5 (о пересекающихся плоскостях). Пусть A, B – симплексы
n-упорядоченной группы <G, ζ>. Тогда если PA∩PB ≠∅, то существует симплекс C
такой, что PA∩PB=PC [32].
Иначе: если две плоскости в n-упорядоченной группе имеют общую точку, то
их пересечение также есть плоскость в этой n-упорядоченной группе.
Таким образом, структура множества плоскостей в n-упорядоченной группе
подобна структуре множества плоскостей n-мерного линейного пространства.
Теорема 2.1.6. Пусть A и B – две грани множества M, |A|= |B|. Если B⊂ PA , то
PA = PB [32].
Следствие 2.1.7. Пусть A – k-грань множества 〈M, ζ〉, B⊂A, B≠∅, тогда
PB ⊂ PA [32].
Теорема 2.1.8. Пусть А – k-грань n-упорядоченной группы 〈G, ζ〉, u, v – произвольные элементы из G. Тогда u PA v есть k-плоскость в 〈G, ζ〉 и справедлива формула u PA v = PuAv .
Определение 2.1.5. Пусть G – группа, <G, ζ> есть n-упорядоченное множество. Если для всех x∈Gn+1 и для всех α, β∈G выполнено условие ζ(αxβ)=ζ(x), то
<G, ζ> назовём n-упорядоченной группой.
Аналогичным образом определяются n-упорядоченное кольцо и n-упорядоченное поле.
Приведём примеры n-упорядоченных групп.
1. Свободная абелева группа с n образующими допускает n-упорядочивание.
2. Мультипликативная группа C4=<i> допускает только 2-упорядочивание.
3. Четвертная группа Клейна V4 допускает только 3-упорядочивание.
Теорема 2.1.9. Для каждого натурального n на линейно упорядоченной группе
можно задать n-мерный порядок [29].
Заметим, что в теореме 2.1.9 для доказательства реализации множества из
(2n +1) точки в Rn используется определитель Ван дер Монда, который получает
интересную геометрическую интерпретацию: знак определителя Ван дер Монда
равен значению естественной n-мерной функции порядка на данной линейно упорядоченной группе.
Обычно свободная группа понимается как группа, свободная от определяющих отношений. Согласно теореме 2.1.9 и теореме Мацусита [20], свободная
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследования по упорядоченным группам и полям
49
группа получает такую геометрическую интерпретацию: это группа, свободная от
ограничений на размерность порядка, т.е. для каждого натурального n на ней
можно задать n-мерный порядок.
С использованием идей нестандартного анализа, а также методов теории
функций комплексного и вещественного переменных строится двумерный порядок на прямом произведении тороидальной группы и произвольной линейно упорядоченной группы [56].
Теорема 2.1.10. Пусть T0 – тороидальная группа, L – произвольная линейно
упорядоченная группа, тогда T0×L допускает 2-упорядочивание.
Следствие 2.1.11. Мультипликативная группа комплексных чисел допускает
нестандартный 2-порядок.
Используя идею Римана о стереографическом образе комплексной плоскости
[59], можно задать 3-порядок на поле комплексных чисел.
Теорема 2.1.12. Поле комплексных чисел C допускает 3-упорядочивание [32].
Теорема 2.1.13. Тело кватернионов H допускает 4-упорядочивание [30].
Теорема 2.1.14. Группа Гамильтона Q8 ={±1, ±i, ±j, ±k} допускает 4-упорядочивание [30].
Теорема 2.1.15. Существует бесконечно много неизоморфных конечных
групп, допускающих 4-упорядочивание [32].
Теорема 2.1.16. Пусть A, B – два базиса n-мерного линейного пространства L,
над R. Тогда можно так упорядочить базис B = ( (an +1 ,… , a2 n ) ), что для каждого k,
1≤ k ≤ n+1, множество (ak ,… , ak + n −1 ) ) есть базис L [32].
Теорема 2.1.17. Пусть A, B – два базиса n-мерного линейного пространства L
без общих элементов. Тогда существует не менее 2n различных базисов пространства L, составленных из элементов множества A∪B [32].
Тоболкиным А.А. доказано, что мультипликативная группа кватернионов H
допускает 4-упорядочивание и не допускает n-упорядочивания при n < 4 [32].
Теорема 2.1.18. Существует бесконечно много попарно неизоморфных конечных групп, допускающих 4-упорядочивание [32].
2.2. Двумерно упорядоченные группы
Определения двумерно упорядоченного множества и двумерно упорядоченной
группы являются частными случаями определений n-мерно упорядоченного множества и n-мерно упорядоченной группы. Тем не менее представляется полезным
рассмотреть их здесь. Определение линейно упорядоченного множества отталкивается от свойств множества точек, расположенных на прямой. Поэтому при выработке понятия двумерно упорядоченного множества естественно исходить из
свойств множества точек, расположенных на плоскости. Подобно тому, как на
прямой имеется естественный линейный порядок, на плоскости имеется ориентация, которую разумно рассматривать как естественный двумерный порядок. Определение двумерно упорядоченного множества может быть задано либо в аксиоматической форме [28, с. 12], либо через так называемую реализацию множества в R2 [28, с. 11].
Отметим, что определение двумерно упорядоченного множества в аксиоматической форме и определение через реализацию на плоскости являются эквивалентными (готовится статья с доказательством их эквивалентности).
Приведем оба определения 2-упорядоченного множества.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
50
Г.Г. Пестов
Определение 2.2.1 (в аксиоматической форме). Пусть M – непустое множество и на M3 задана функция ζ(x, y, z), принимающая значения 0,1,–1 и удовлетворяющая условиям:
A1. Функция ζ(x, y, z) меняет значение на противоположное при каждой перестановке двух аргументов.
A2. Если A⊂M, |A| = 4, и существуют a, b, c ∈A, такие, что ζ(a, b, c) ≠ 0, то:
a) Для каждой пары x, y∈A найдётся z∈A, такое, что ζ(x, y, z) ≠0; b) существует такая пара a, b ∈A, что для x, y∈A\{a, b} выполнено ζ(a, b, x) = ζ(a, b, y)≠0.
A3. Если A⊂M, |A|=5, a, b ∈A, то существуют такие с∈A и ε=±1, что для всех
x∈A\{a, b}, таких, что ζ(a, c, x)≠0, выполнены равенства ζ(a, b, x) = εζ(a, с, x).
Пара <M,ζ> называется 2-упорядоченным (или двумерно упорядоченным)
множеством. Функция ζ(x, y, z) называется функцией двумерного порядка на
множестве M.
Определение 2.2.2. Второе определение 2-упорядоченнного множества исходит из идеи реализации множества на плоскости. Введём сначала естественную
ориентацию плоскости. Пусть x, y, z есть точки плоскости R2 . Если обход тройки
точек (x, y, z) происходит против часовой стрелки, то полагаем η(x, y, z) = 1. Если
обход происходит по часовой стрелке, полагаем η(x, y, z) = −1. Наконец, если точки x, y, z расположены на одной прямой, то принимаем η( x, y, z) = 0. Функцию
η(x, y, z) назовём естественной ориентацией плоскости R2. Разумеется, функцию η(x, y, z) легко задать как знак соответствующего определителя.
Пусть M – непустое множество и на M 3 задана функция ζ(x, y, z), принимающая значения 0, 1, –1.
Если для множества A⊂M, |A|≤5 существует отображение ϕ:A→ R2, такое, что
∀x,y,z∈A выполнено ζ(x, y, z)=η(ϕ(x),ϕ(y),ϕ(z)), то говорят, что ϕ есть реализация
множества A в плоскости R 2 или, что множество A реализуемо в R2.
Если каждое множество A⊂M, |A|≤5, реализуемо в R2, то пара <M,ζ> называется двумерно упорядоченным множеством. В дальнейшем вместо «двумерно
упорядоченное множество <M,ζ>» будем часто говорить «двумерно упорядоченное множество M» . Порядок ζ в двумерно упорядоченном множестве <M,ζ> называется невырожденным, если ζ(x,y,z) не обращается тождественно в нуль на
M. Пусть <M,ζ> есть 2-упорядоченное множество, a,b ∈ M. Множество всех таких x∈M , что ζ(a, b, x)=0, называется прямой, проходящей через a и b , и обозначается lab. Если для всех x∈ M\{a,b}выполнено ζ(a, b, x)>0, то {a,b} называется
внешней гранью множества <M,ζ>. Более полные сведения о двумерно упорядоченных множествах представлены в [28].
Пусть на группе G задан двумерный порядок ζ(x, y, z). Будем говорить, что
порядок ζ(x, y, z) согласован с групповой операцией, если для всех элементов
x, y, z, a группы G выполнено: ζ(ax, ay, az) = ζ(xa, ya, za) = ζ(x, y, z). Группу с заданным на ней двумерным порядком, согласованным с групповой операцией, назовём двумерно упорядоченной группой. Мультипликативная группа комплексных чисел C* служит примером абелевой двумерно упорядоченной группы.
Тоболкин А.А. показал, как можно для любого натурального n строить неабелевы n-мерно упорядоченные группы, отправляясь от линейно упорядоченных
групп [29].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследования по упорядоченным группам и полям
51
Теорема 2.2.1. Пусть <G,ζ(x, y, z)> есть невырожденная двумерно упорядоченная группа и для некоторого натурального n выполнено an∈Z(G). Тогда
a∈Z(G).
Замечание. Теорема 2.2.1 является обобщением теоремы 20 [8].
Следствие 2.2.2. Множество всех элементов конечного порядка двумерно
упорядоченной группы G есть её нормальная подгруппа [60].
Следствие 2.2.3. Если элемент a не принадлежит центру двумерно упорядоченной группы G, то и никакая степень этого элемента ему не принадлежит [60].
2.3. Циклически упорядоченные множества.
Циклически упорядоченные группы
После линейно упорядоченных групп циклически упорядоченные группы
представляются наиболее доступными для интуиции. Исследования таких групп
производились параллельно с исследованием линейно упорядоченных групп [34,
40].
Определения циклически упорядоченного множества и соответственно циклически упорядоченной группы сначала были представлены через тернарное отношение (x, y, z) [8]. Пусть в группе G задан циклический порядок с помощью тернарного отношения (x, y, z). Перейдём от тернарного отношения (x, y, z) к функции циклического порядка ω(x, y, z) следующим образом. Если выполнено (x, y, z),
то полагаем ω(x, y, z)=1. Если среди элементов (x, y, z) имеется совпадающие, то
полагаем ω(x, y, z)=0. При перестановке любой пары аргументов значение ω(
x, y, z) меняется на противоположное:
ω( x, y, z)= –ω(y, x, z) = –ω( z, y, x) = –ω( x, z, y).
Теперь ω(x, y, z) определено для всех x, y, z из G [45].
Циклически упорядоченная группа <G,ω(x, y, z)> является частным случаем
двумерно упорядоченной группы.<G,ζ(x, y, z)>. Легко показать, что двумерно
упорядоченная группа является циклически упорядоченной, если и только если
все элементы группы – внешние.
Лемма 2.3.1. В циклически упорядоченной группе существует не более одного
элемента x, такого, что x ≠ e и x2 = e [45].
Лемма 2.3.2 Для всех a, b, c из G выполнено:
2.5. ω(a, b, c)= ω(c−1, b−1, a−1) [45].
Множество Pu ={x∈G|ω(x−1,e, x)≥0} называется верхним конусом циклического
порядка группы G.
Теорема 2.3.3. По известному верхнему конусу циклического порядка в группе этот порядок восстанавливается единственным образом [45].
Теорема 2.3.4. Пусть G – группа, на которой заданы два циклических порядка
с функциями порядка ω1 и ω2. Если значения ω1 и ω2 совпадают на множестве всех
троек вида (x-1,e,x), где x пробегает G, то ω1 = ω2 [45].
Первая формулировка необходимых и достаточных условий циклической
упорядочиваемости группы была приведена в [39]. Однако эти условия оказались
недостаточными, хотя они и послужили отправной точкой для успешно завершившихся исследований.
Теорема 2.3.5. Для того чтобы группа G допускала циклическое упорядочивание, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
a) периодическая часть T(G) вкладывается в тороидальную группу, то есть
T(G) ⊂ T0 ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
52
Г.Г. Пестов
b) G/ T(G) линейно упорядочиваема;
c) коммутант G′ не содержит периодических элементов [35].
Следствие 2.3.6. Абелева группа G циклически упорядочиваема тогда и только тогда, когда циклически упорядочиваема её периодическая часть [35].
Следствие 2.3.7. Пусть G – группа, L – её циклически упорядоченный нормальный делитель, G/L линейно упорядочена и G′∩L ={e}. Тогда группу G можно
циклически упорядочить [35].
Теорема 2.3.8. Если выполнены условия:
a) периодическая часть T(G) группы G есть группа C корней из единицы;
b) фактор-группа G/ T(G) линейно упорядочиваема;
с) коммутант G' не содержит периодических элементов,
то
1) группа G изоморфна прямому произведению группы С и группы G/ T(G);
2) группа G допускает циклическое упорядочивание [44].
Теорема 2.3.9. Существует такая подгруппа B тороидальной группы T0 , что:
1) мощность B есть мощность континуума, T0 ≅C×B, где C есть группа корней
из единицы;
2) множество B неизмеримо относительно меры Лебега в T0 ;
3) группа B делима и линейно упорядочиваема;
4) множество B всюду плотно в T0 [44].
Замечание. Построение неизмеримого по Лебегу множества хорошо известно
и для интервала [37], и для окружности [38]. Отличительная черта построения
множества B состоит в том, что B – не просто неизмеримое множество, но подгруппа группы T0 , естественным образом возникающая по теореме о представляющей подгруппе.
Лемма 2.3.10. Пусть группа G удовлетворяет условиям:
a) периодическая часть T(G) группы G вкладывается в тороидальную группу T0 ;
b) фактор-группа G/ T(G) линейно упорядочиваема;
с) коммутант G′ не содержит элементов конечного порядка.
Тогда:
a) группа G вкладывается в прямое произведение C×(G/ T(G));
b) группа G допускает циклическое упорядочивание [44].
Теорема 2.3.11. Группа G допускает циклическое упорядочивание тогда и
только тогда, когда существует такая линейно упорядочиваемая группа L, что G
вкладывается в прямое произведение C×L [44].
Лемма 2.3.12. Если группа G циклически упорядочиваема, то:
a) периодическая часть T(G) группы G вкладывается в тороидальную группу T0 ;
b) фактор-группа G/ T(G) линейно упорядочиваема;
с) коммутант G' не содержит элементов конечного порядка [44].
Теорема 2.3.13. Если G есть циклически упорядочиваемая группа и группа
корней из единицы C – ее подгруппа, то группа G/C линейно упорядочиваема и
G ≅ C×(G/ C) [44].
Теорема 2.3.14. Для того чтобы группа G была циклически упорядочиваема,
необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
a) периодическая часть T(G) группы G вкладывается в тороидальную группу T0 ;
b) фактор-группа G/T(G) линейно упорядочиваема;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследования по упорядоченным группам и полям
53
c) коммутант G' не содержит элементов конечного порядка [44].
Теорема 2.3.15. Следующие условия эквивалентны:
a) группа G допускает циклическое упорядочивание;
b) существует такая линейно упорядочиваемая группа L, что G вкладывается в
прямое произведение тороидальной группы T0 и группы L;
c) существует такая линейно упорядочиваемая группа L, что G вкладывается в
прямое произведение группы C корней из единицы и группы L [44].
3. Двумерно упорядоченные поля
В работах Г.Г. Пестова [28, 49] и А.И. Терре [26] введено определение двумерного порядка, двумерно упорядоченного поля, определение верхнего конуса и
найдена характеризация верхнего конуса поля.
Получены, в частности, следующие результаты.
Поле имеет характеристику нуль тогда и только тогда, когда оно допускает
линейное или двумерное упорядочивание.
Теорема 3.1. Поле характеристики нуль допускает единственное, с точностью
до изоморфизма, двумерное упорядочивание тогда и только тогда, когда оно изоморфно полю алгебраических чисел над Q.
Теорема 3.2. Все поля характеристики нуль можно разделить на три класса:
1) поля характеристики нуль, не являющиеся формально вещественными.
Данные поля можно упорядочить двумерно, но не линейно;
2) формально вещественные поля, не допускающее изоморфного вложения ни
в какое нормальное расширение поля Q. Поля этого класса как линейно, так и
двумерно упорядочиваемы;
3) поля, изоморфно вкладываемые в некоторое нормальное расширение поля
Q. Такие поля допускают только линейное упорядочивание.
Автором введено понятие бесконечно близкого элемента к базе двумерно упорядоченного поля [28], изучены некоторые свойства этих элементов, сформулированы теоремы.
Сформулируем с основные определения теории двумерно упорядоченных полей.
Определение 3.3. Поле P называется двумерно упорядоченным полем, если
функция двумерного порядка ζ, заданная на P, согласована с алгебраической
структурой поля.
Пусть 〈P, ζ〉 есть двумерно упорядоченное поле; a, b ∈ P, a ≠ b. Множество
{x ∈ P| ζ(a, b, x) = 0} назовём прямой, проходящей через точки a, b.
Определение 3.4. Базой P0 двумерно упорядоченного поля 〈P, ζ〉 называется
множество
P0 = {x ∈ P| ζ(0, 1, x) = 0}.
Иначе: базой двумерно упорядоченного поля называется прямая, проходящая
через точки 0 и 1.
Определение 3.5. Верхним конусом Pu поля 〈P, ζ〉 называется множество:
Pu = {x ∈ P| ζ(0, 1, x) ≥ 0}.
o
u
Открытый верхний конус P поля 〈P, ζ〉, определим следующим образом:
o
P u = {x ∈ P| ζ(0, 1, x) > 0} = Pu\ P0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Г.Г. Пестов
54
Известно [28], что верхний конус однозначно определяет двумерный порядок
в поле.
Пример 3.1. Пусть F – произвольное линейно упорядоченное поле. В поле F(i)
введём двумерный порядок η(z1, z2, z3) следующим образом. Пусть zj = xj + iyj, где
xj, yj ∈ F (1 ≤ j ≤ 3). Тогда полагаем
x1 y1 1
η( z1 , z2 , z3 ) = x2 y2 1 .
x3 y3 1
Поле 〈F(i), η〉 является двумерно упорядоченным.
В поле 〈P, Pu〉 зададим предпорядок <u следующим образом:
∀x, y ∈ P, x <u y ⇔ (y – x) ∈ Pu.
u
Введём в P бинарное отношение следующим образом. Будем считать, что
y x, если:
1. y ∈ P0– , x ∈ Pu\P0– или
o
o
2. yx–1 ∈ Pu , если y ∈ Pu , x ∈ Pu\P0–.
есть строгое отношение предпорядка.
Лемма 3.3. Бинарное отношение
Определение 3.6. Правым конусом Pr двумерно упорядоченного поля 〈P, Pu〉
называется множество
Pr = {x ∈ P| (x ∈ Pu, x2 ∈ Pu\ P0) ∨ (x ∈ –Pu, x2 ∈ –Pu\ P0) ∨ x ∈ P0+}.
Пример 3.5. В поле C с верхним конусом
Cu = {z ∈ C| Im z ≥ 0};
правый конус есть множество
Cr = {z ∈ C| Re z > 0 ∧ z = 0}.
Расположение элементов Cr в поле C поясняет это название.
В поле 〈P, Pu〉 зададим предпорядок < следующим образом:
∀x, y ∈ P, x < y, тогда и только тогда, когда (y – x) ∈ Pr.
Определение 3.7. Пусть 〈P, Pu〉 – двумерно упорядоченное поле с базой P0.
Элемент a ∈ P называется бесконечно близким к базе P0, если:
∀n ∀r ∈ P0 (r < a) ⇒ (a – r)n ∈ Pu
или
∀n ∀r ∈ P0 (r < a) ⇒ (a – r)n ∈ – Pu.
Множество бесконечно близких к базе элементов обозначим через B.
Бесконечно близкий к базе элемент наглядно можно представить как элемент с
бесконечно малым аргументом.
В частности, элементы базы P0 по определению являются бесконечно близкими к базе.
Пример 3.6. Рассмотрим расширение R(α) поля вещественных чисел R с помощью бесконечно малой α и расширение R(α, i) поля R(α). Элемент (π + αi) поля P = Q(π + αi) ⊂ R(α, i), является бесконечно близким к базе Q.
o
Теорема 3.3. Пусть a ∈ B. Если a ∈ Pu , то
o
∀n ∀r ∈ Р0 (r < a) ⇒ (a – r)n ∈ Pu ∩ P r .
Теорема 3.4. B + Р0 ⊂ B.
Теорема 3.5. Р0+B ⊂ B.
Пусть a – бесконечно близкий к базе P0 элемент. Для каждого x ∈ P0[a] определим в Р0 следующие два сечения:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследования по упорядоченным группам и полям
55
ψa–(x) = {r ∈ Р0 | ra <u x}; ψa+(x) = {r ∈ Р0 | x <u ra};
ϕ–(x) = {r ∈ Р0 | r < x}; ϕ+(x) = {r ∈ Р0 | x < r}.
Известно [28], что указанные сечения фундаментальны. Элементы из непрерывного замыкания P0 поля Р0, которые производят эти сечения, обозначим соответственно через ψa(x) и ϕ(x).
Теорема 3.6. Пусть Р есть двумерно упорядоченное поле. Если a есть бесконечно близкий к базе P0 элемент, F(x) ∈ P0[x], то имеет место тождество [49]
ψa(F(a)) = F′(ϕ(a)) = ϕ(F′(a)).
Заметим, что с помощью этого тождества вопрос о принадлежности элемента а
к верхнему конусу сводится к более лёгкому вопросу о знаке многочлена F′ в точке ϕ(a).
o
Теорема 3.7 [55]. Элемент a ∈ Pu является бесконечно близким к базе P0 элементом тогда и только тогда, когда
o
∀n ∀ρ ∈ P0 (ρ > a) ⇒ (ρ – a)n ∈ – Pu .
Теорема 3.8. Множество B бесконечно близких к базе элементов является
подполем 2-упорядоченного поля 〈P, +, ⋅〉 [54].
Определение 3.7. Двумерно упорядоченное поле 〈K, Ku〉 называется бесконечно узким, если каждый его элемент бесконечно близок к базе K0.
На основе линейно упорядоченного поля K0 построим бесконечно узкое
поле K1.
Теорема 3.9. Пусть K0 – линейно упорядоченное поле, элемент а – трансцендентен над K0. Рассмотрим поле K1 = K0(a). Тогда множество
K1u = {f (a) | f (х) ∈ K0(х), f ′(a) ≥ 0}
есть верхний конус двумерного порядка, при котором K1 является бесконечно узким полем [50 – 52].
Таким образом, эта теорема доказывает существование бесконечно узких полей и указывает алгоритм их построения.
Так, например, линейно упорядоченное поле Q(π) допускает структуру бесконечно узкого поля, где база есть поле Q, а элемент π – бесконечно близок к базе и
принадлежит открытому верхнему конусу построенного 2-порядка.
Конструкцию бесконечно узкого поля, определяемую теоремой 3.9, можно
обобщить. Пусть K0 есть линейно упорядоченное поле, K 0 есть топологическое
замыкание поля K0..
Пусть β – базис трансцендентности K 0 над полем K0. Известно, что на поле
K 0 единственным образом продолжается линейный порядок с поля K0. Рассмот-
рим расширение K = K0(β) поля K0 . Поле K0(β) как подполе поля K 0 линейно упорядочено. Пусть, наконец, задано произвольное отображение d:B→K.
Теорема 3.10. Множество
Ku = {f (a1, …, an) | f (х1, …, хn) ∈ K0(х1, …, хn), df (a1, …, an) ≥ 0},
∂f
∂f
df (a1 ,..., a n ) =
da1 + ... +
da
где
∂x1
∂x n n
при xi = ai, ai ∈ β есть верхний конус некоторого двумерного порядка в поле K,
при котором K является бесконечно узким полем [53].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56
Г.Г. Пестов
Пусть теперь поле F допускает и линейное, и двумерное упорядочивание. Всегда ли в этом случае оно будет бесконечно узким? Можно показать, что поле
F = Q( 3 2) допускает и линейное, и двумерное упорядочивание, но не является
бесконечно узким полем.
Уточнить структуру бесконечно узких полей помогает
Теорема 3.11 (критерий бесконечно узкого поля). Пусть K двумерно упорядоченное поле. Поле K является бесконечно узким полем тогда и только тогда, когда правый конус Kr поля 〈K, Ku〉 является положительным конусом K+
поля K [53].
ЛИТЕРАТУРА
1. Пестов Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42.
№ 6. С. 1350−1360.
2. Delon FranÇoise. Plongement dense d’un corp ordonné dans sa cloture réelle // J. Symb.
Logic. 1991. V. 56. No. 3 (Sept.). P. 974−980.
3. Hauschield K. Über die Konstruktion von ErweiterungskörPern zu nichtarchimedisch
angeordneten KörPern‚ mit Hilfe von Hölderschen Schnitten, Wiss. Z. Humboldt-Univ.,
Berlin Math.-Natur. Reihe 15(1966). Р. 685−686.
4. Пестов Г.Г. Строение упорядоченных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1980.
5. Пестов Г.Г. Симметрия сечений в упорядоченном поле // Избр. докл. Междунар. конф.
«Всесибирские чтения по математике и механике». Т. 1. Томск: Изд-во Том. ун-та,
1997. С. 198−202.
6. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.
7. Галанова Н.Ю. Конфинальность и симметричность сечений в упорядоченных полях.
Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998.
8. Fuchs L. Partially ordered algebraic systems. Pergamon Press, 1963.
9. Пестов Г.Г. Теоремы о замыканиях линейно упорядоченных полей // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации.
Упорядоченные поля и группы. 2004. № 21, февраль.
10. Baer R. Dichte, Archimedizität und Starrheit geordneter Korper // Math. Ann. 1970. V. 168.
No. 3. P. 165−205.
11. Macai E. Notes on real closed fields // Ann. Univ. Sci. Budapest., Sectio Mat., XIII. 1970.
P. 35−55.
12. Галанова Н.Ю., Пестов Г.Г. Симметрия сечений в полях формальных степенных рядов
// Алгебра и логика. 2008. Т. 47. № 2. С. 174−185.
13. Пестов Г.Г. Об архимедовской полноте и об изоморфизме упорядоченных полей //
Избр. докл. Междунар. конф. «Всесибирские чтения по математике и механике». Т. 1.
Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. С. 203−208.
14. Галанова Н.Ю. Симметрия сечений в полях формальных степенных рядов // Алгебра и
логика. 2003. Т. 42. № 1. С. 26−36.
15. Галанова Н.Ю. О строении нестандартной вещественной прямой // Избр. докл. Междунар. конф. «Всесибирские чтения по математике и механике». Т. 1. Томск: Изд-во Том.
ун-та, 1997. С. 65−70.
16. Galanova N.Yu. Symmetric and asymmetric gaps in fields of power series // Serdica Math. J.
2004. V. 30. No. 4. P. 495−504.
17. Galanova N.Yu. An investigation of the fields of bounded formal power series by means of
theory of cuts // Acta APPl. Math. 2005. V. 85. No. 1–3. P. 121−126.
18. Галанова Н.Ю. К теории сечений в упорядоченных полях: дис. … канд. физ.-мат. наук.
Томск, 1999.
19. Dales H.J., Woodin H. Super real fields. Oxford: Clarenden Press, 1996.
20. Matsuisita S. Sur la Puissance des orders dans un groupe libre // Proc. Koninkl. Nederl. Akad.
Wet. – A, 56. 1953. P. 15−16.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследования по упорядоченным группам и полям
57
21. Sperner E. Beziehungen zwischen geometrischer und agebraischer Anordnung // Arch. Math.
1948. V. 1. No. 2. S. 148−153.
22. Glock E. Die Orientierungsfunctionen eines affinen raumes // Math. Z. 1962. Bd. 78. No. 4.
S. 319−360.
23. Novoa L.G. On n-ordered sets and order completeness // Pacific J. Math. 1965. V. 15. No. 4.
P. 1337−1345.
24. Терре А.И. Элементы геометрии n-мерного порядка. Томск, 1982. 35 с. Деп. в ВИНИТИ
2.12.1982, № 5941-82.
25. Пестов Г.Г. n-упорядоченные множества // Труды Иркутского госуниверситета. 1970.
Т. 74. Вып. 6.
26. Терре А.И. Двумерно упорядоченные тела и поля: дис. … канд. физ.-мат. наук. Кишинёв, 1984.
27. Забарина А.И. Пестов Г.Г. Об n-мерно упорядоченных группах // Вестник ТГУ. 2003.
№ 280. C. 40–43.
28. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. ТГУ, 2003.
29. Тоболкин А.А. Об n-упорядоченных группах // X Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Наука и образование» (15 – 19 мая 2006 г.). Т. 1.
Естественные и точные науки. Ч. 2. С. 107−113.
30. Тоболкин А.А. Теорема о мультипликативной группе кватернионов // Актуальные проблемы математики и методики её преподавания: материалы заочной Всероссийской
научно-практической конференции. Томск: Изд-во ТГПУ, 2007.
31. Пестов Г.Г., Тоболкин А.А. k-плоскости в n-мерно упорядоченных группах // Вестник
ТГУ. 2007. № 301. С. 92−93.
32. Тоболкин А.А. К теории n-упорядоченных групп: дис. … канд. физ.-мат. наук. Томск,
2009.
33. n-dimensionally ordered groups // Избранные вопросы алгебры: сб. статей, посвящённый
памяти Н.Я. Медведева. Барнаул: Изд-во Алт. гос. ун-та, 2007. С. 165−172.
34. Rieger L.S. On the ordered and cyclically ordered groups I-III // Věstnik Kral. Českй Spol.
Nauk. 1946. No. 61. P. 31; 1947. No. 1. P. 1−33; 1948. No. 1. P. 11−26.
35. Забарина А.И., Пестов Г.Г. О критерии циклической упорядочиваемости группы //
Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Вып. 9. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1986. С. 19−24.
36. Scott D. On comPleting ordered fields // Applications of Model theory to Algebra, Analisys
and Probability (Internat. Sympos., Passadena, Calif., 1967). N.Y.: Renehart and Winston,
1969. P. 274−278.
37. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: ГИТТЛ, 1959.
38. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
М.: Наука, 1976.
39. Желева С.Д. О циклически упорядоченных группах // Сиб. матем. журн. 1976. Т. 17.
№ 5. С. 1046−1051.
40. Swierczkowski S. On cyclically ordered groups // Fund. Math. 1953. V. 47. P. 161−167.
41. Пестов Г.Г., Тоболкин А.А. К геометрии n-упорядоченных групп // Вестник ТГУ. 2007.
№ 1. С. 46−49.
42. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
43. Забарина А.И. О циклически упорядоченных группах: дис. … канд. физ.-мат. наук.
Томск, 1985.
44. Пестов Г.Г. О классе циклически упорядочиваемых групп // Вестник Томского государственного университета: Бюллетень оперативной научной информации. Упорядоченные поля и группы. 2004. № 21, февраль.
45. Забарина А.И. К теории циклически упорядоченных групп // Мат. заметки. 1982. Т. 31.
№ 1. С. 3−12.
46. Забарина А.И., Пестов Г.Г. К теореме Сверчковского // Сиб. матем. журн. 1984.
Т. XXV. № 4. С. 46−53.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
58
Г.Г. Пестов
47. Забарина А.И. О линейном и циклическом порядках в группе // Сиб. матем. журн. 1985.
Т. XXVI. № 2. С. 204−207.
48. Пестов Г.Г. К теории упорядоченных групп и полей: дис. … докт. физ-мат. наук. Екатеринбург, 2004.
49. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. О сечениях в базе 2-упорядоченного поля // Вестник ТГУ.
2007. № 301. С. 94−96.
50. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного
поля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика.
2007. № 1. С. 50−53.
51. Фомина Е.А. О двумерно упорядоченных полях: дис. … канд. физ.-мат. наук. Томск,
2009.
52. Фомина Е.А. Об одном классе двумерно упорядоченных полей // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. № 3(4). С. 32−34.
53. Фомина Е.А. Критерий бесконечно узкого поля // Вестник Томского государственного
университета. Математика и механика. 2009. № 1(5). С. 27−30.
54. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. Подполе В бесконечно близких к базе элементов // Вестник
Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. № 2(6).
С. 41−47.
55. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. К теории двумерно упорядоченных полей // Вестник
Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 2(14).
С. 16−19.
56. Тоболкин А.А. Двумерный порядок на прямом произведении групп // Вестник ТГУ.
2007. № 297. С. 159−160.
57. Галанова Н.Ю. Классификация вещественно замкнутых полей мощности ℵ1 с (ℵ1,ℵ1)
симметричными сечениями // Международная конференция по математике и механике
16 – 18 сентября 2003 года. Избранные доклады. Томск, 2003. С. 9−12.
58. Галанова Н.Ю. Об одном классе вещественно замкнутых упорядоченных полей // Исследования по математическому анализу и алгебре. 2001. Вып. 3. С. 53−56.
59. Пестов Г.Г., Тоболкин А.А. К геометрии n-упорядоченных групп // Вестник ТГУ. 2007.
№ 1. С. 46−49
60. Забарина А.И., Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 1 (13). С. 5−8.
Статья поступила 17.08.2011 г.
Pestov G. G. INVESTIGATIONS ON ORDERED GROUPS AND FIELDS IN TOMSK STATE
UNIVERSITY. Investigations of the participants of the seminar on ordered groups and fields
since 1980 developed along the following lines: theory of cuts in the linearly ordered fields, ndimensionally ordered groups, in particularly, two-ordered groups, cyclic-ordered groups, twodimensionally ordered fields and infinitely narrow fields. The Paper contains a review of results,
obtained by the seminar’s participants.
Keywords: Linearly ordered groups, two-dimensionally ordered fields, cyclic ordered groups, the
upper cone, the right cone.
PESTOV German Gavrilovich (Tomsk State University)
E-mail: PPPestov@mail.tomsknet.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 512.553+512.541
Е.А. Тимошенко
О РАДИКАЛАХ В КАТЕГОРИИ МОДУЛЕЙ НАД CSP-КОЛЬЦОМ1,2
Получено полное описание кручений и кокручений в категории модулей над
произвольным csp-кольцом. Установлено также, что все радикальные классы этой категории замкнуты относительно чистых подмодулей.
Ключевые слова: модуль, радикал, кручение, кокручение, чистый подмодуль, csp-кольцо.
Исторически понятие радикала восходит к работам Ф.Э. Молина, Э.Ж. Картана, Ф.Г. Фробениуса и Дж.Г.М. Веддербёрна, выполненным на рубеже XIX и XX
веков (подробнее о вкладе каждого из этих математиков см. [1, 2]). В 1960-е годы
понятие радикала было распространено на категории модулей (см. [3]).
Данная статья является продолжением работы [4], в которой было получено
полное описание радикалов в категории модулей над csp-кольцом и образуемой
этими радикалами решётки. Напомним основные определения и результаты (все
остальные договорённости и свойства можно найти в [3, 4]).
Пусть S – кольцо и пусть каждому модулю AS из категории S-модулей mod-S
сопоставлен однозначно определённый подмодуль ρ(A). Будем говорить, что ρ –
идемпотентный радикал в mod-S, если для всякого S-модульного гомоморфизма
ϕ: A → B выполнено ϕ(ρ(A)) ⊂ ρ(B) и справедливы следующие свойства:
1) ρ(ρ(A)) = ρ(A) для любого S-модуля A;
2) ρ(A/ρ(A)) = 0 для любого S-модуля A.
Для идемпотентного радикала (в дальнейшем слово «идемпотентный» часто
будет опускаться) ρ, заданного в mod-S, назовём ρ-радикальным класс R(ρ) всех
модулей A, для которых выполнено ρ(A) = A. Всякий радикальный класс замкнут
относительно гомоморфных образов, расширений и прямых сумм. Заметим, что
идемпотентный радикал ρ однозначно определяется своим радикальным классом.
Радикалы можно естественным образом частично упорядочить, условившись, что
ρ ≤ σ тогда и только тогда, когда R(ρ) ⊂ R(σ). Относительно указанного порядка
совокупность всех идемпотентных радикалов категории mod-S образует полную
большую решётку.
Через Z и Zˆ p обозначим соответственно кольцо целых чисел и кольцо целых
p-адических чисел. Далее, введём обозначения Qˆ p , Z( p) и Z( p∞ ) соответственно
для поля p-адических чисел, циклической группы порядка p и квазициклической
p-группы (все они естественным образом могут рассматриваться как p-адические
модули). Символом ■ будет обозначаться конец доказательства (либо отсутствие
доказательства).
1
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной
России на 2009 – 2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г.
2
Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60
Е.А. Тимошенко
Для левого модуля SF класс, определяемый условием T(F ) = {AS | A ⊗S F = 0},
обладает всеми свойствами замкнутости, которые необходимы для радикального
класса. Соответствующий такому классу идемпотентный радикал будем называть
T-радикалом, порождённым модулем F.
Через t(A) обозначим периодическую часть p-адического модуля A.
Теорема 1 [4]. Если S = Zˆ p , то в mod-S существует ровно шесть радикальных
классов:
Rn = {0},
Rm – класс всех периодических делимых S-модулей,
Rl – класс всех периодических S-модулей,
Rλ – класс всех делимых S-модулей,
Rμ = {AS | A/t(A) – делимый S-модуль},
Rν – класс всех S-модулей.
Каждый из этих шести радикальных классов имеет вид T(F ), где F совпадает с
одним из модулей Fn = S, Fm = Qˆ p ⊕ Z ( p) , Fl = Qˆ p , Fλ = Z( p), Fμ = Z( p∞ ), Fν = 0
соответственно. ■
Из теоремы 1 получаем, что решётка всех радикалов категории p-адических
модулей изоморфна решётке M = {l, m, n, λ, μ, ν}, где n < m < l < μ < ν и m < λ < μ,
а элементы l и λ считаются несравнимыми.
Предложение 2 [4]. Если S является полем либо совпадает с кольцом вычетов
по модулю pk (где k > 0), то в mod-S есть ровно два радикальных класса: нулевой
класс {0} и класс всех S-модулей. ■
Таким образом, решётку всех радикалов категории модулей над полем либо
кольцом вычетов по модулю pk можно отождествить с двухэлементной цепью
{n, ν}. Ясно также, что оба указанных радикальных класса можно представить в
виде T(F ); достаточно положить F равным модулю Fn = S или Fν = 0.
Пусть P – некоторое бесконечное множество простых чисел. Допустим также,
что для каждого p ∈ P выбрано кольцо Kp , которое может совпадать либо с Zˆ p ,
либо с некоторым кольцом вычетов по модулю pk (для разных простых p число k
может быть разным). Через K обозначим прямое произведение колец Kp по всем
простым p ∈ P. Далее, пусть I есть идеал кольца K, состоящий из всех элементов
кольца, для которых почти все p-координаты равны нулю. Подкольцо S кольца K
назовём csp-кольцом, если I ⊂ S, а факторкольцо K0 = S/I является полем.
Пусть ep – это элемент идеала I, у которого на p-м месте находится единичный
элемент кольца Kp , а на всех остальных местах – нули. Для модуля AS обозначим
Ap = Aep и A0 = A/AI. Если X – это конечное подмножество множества P, то сумму
всех идемпотентов ep , таких, что p ∈ X, назовём идемпотентом конечного типа
с носителем X (для таких идемпотентов будем использовать обозначение ε). При
этом считаем, что ε = 0 – идемпотент с пустым носителем.
Для удобства введём в рассмотрение множество P*, которое получается из P
путём присоединения элемента 0. Далее всюду считаем, что S есть csp-кольцо.
Теорема 3 [4]. Пусть R есть некоторый радикальный класс в mod-S. Модуль AS
содержится в R тогда и только тогда, когда Ap ∈ R при всех p ∈ P*. ■
Ясно, что идеал Sp кольца S можно отождествить с кольцом Kp . Поэтому при
любом p ∈ P* можно рассматривать Ap как модуль не только над S, но и над Kp .
Обратно, всякий Kp-модуль можно естественным образом превратить в S-модуль.
Это даёт возможность для всякого радикала ρ категории mod-S рассмотреть класс
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О радикалах в категории модулей над csp-кольцом
61
Kp-модулей, задаваемый условием Rp = R(ρ) ∩ mod-Kp . Каждый такой класс будет
радикальным в категории mod-Kp ; соответствующий ему радикал этой категории
обозначим через ρp (здесь p ∈ P*).
Из теоремы 3 следует, что радикал ρ категории mod-S однозначно определён
радикалами ρp , где p ∈ P*. С другой стороны, как показано в работе [4], если для
каждого p ∈ P* задан некоторый радикал категории mod-Kp , то существует такой
радикал ρ категории mod-S, что набор {ρp}p∈P* в точности совпадает с исходным
набором радикалов. Из теоремы 1 и предложения 2 получаем, что решётка всех
радикалов категории mod-Kp имеет вид
⎧⎪ M ,
если K p = Zˆ p ;
Mp = ⎨
⎪⎩{n, ν}, если p = 0 или K p ≠ Zˆ p .
Отсюда получается следующее утверждение.
Теорема 4 [4]. Решётка идемпотентных радикалов категории модулей mod-S
изоморфна прямому произведению решёток Mp , где p пробегает множество P*. ■
Указанное прямое произведение решёток далее будем обозначать через L.
Кроме того, произвольный радикал ρ категории mod-S является T-радикалом.
Так, для любого p ∈ P* можно представить ρp как T-радикал категории mod-Kp ,
порождённый некоторым модулем Fp (последний можно выбрать в виде Fn , Fm ,
Fl , Fλ , Fμ или Fν). Тогда ρ – это T-радикал, порождённый S-модулем
F=
⊕ Fp .
(1)
p∈P*
Перейдём теперь к основному содержанию работы. Рассмотрим следующие
возможные свойства идемпотентного радикала ρ категории mod-S:
1') ρ(B) = B ∩ ρ(A) для любого S-модуля A и B ⊂ A;
2') ρ(A/B) = (ρ(A) + B)/B для любого S-модуля A и B ⊂ A.
Идемпотентный радикал ρ называется кручением, если для него выполнено
свойство 1'). Известно [3], что радикал является кручением тогда и только тогда,
когда его радикальный класс замкнут относительно подмодулей.
Рассмотрим радикальные классы Rp ⊂ mod-Kp .
Теорема 5. Пусть ρ – произвольный радикал категории S-модулей. Класс R(ρ)
замкнут относительно подмодулей в том и только в том случае, когда при любом
p ∈ P класс Rp = R(ρp) замкнут относительно Kp-подмодулей.
Доказательство. Если R(ρ) является замкнутым относительно подмодулей, то
замкнутость класса Rp относительно Kp-подмодулей непосредственно следует из
равенства Rp = R(ρ) ∩ mod-Kp .
Обратно, пусть при всех p ∈ P класс Rp замкнут относительно Kp-подмодулей.
Предположим, что A ∈ R(ρ), а B – некоторый подмодуль модуля A. В этом случае
по теореме 3 имеем Ap ∈ R(ρ) ∩ mod-Kp = Rp . Тогда из Bp ⊂ Ap (где p ∈ P) следует
Bp ∈ Rp ⊂ R(ρ). Таким образом, модуль BI, который совпадает с прямой суммой
модулей Bp по всем p ∈ P, также входит в класс R(ρ). Рассмотрим два случая.
а) Пусть R0 = mod-K0 . В этом случае из включений B/BI ∈ R0 ⊂ R(ρ), а также
замкнутости R(ρ) относительно расширений следует B ∈ R(ρ), что и требовалось.
б) Пусть R0 = {0}. Вновь применяя теорему 3, получаем, что A/AI = A0 ∈ R(ρ);
поэтому имеем включение A/AI ∈ R(ρ) ∩ mod-K0 = R0 . Следовательно, модуль A
совпадает с AI, т.е. с прямой суммой модулей Ap по всем p ∈ P. Это означает, что
для любого a ∈ A найдётся идемпотент конечного типа ε, такой, что выполнено
a = aε ∈ aI. В частности, имеем B = BI и, значит, B ∈ R(ρ). Теорема доказана. ■
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
62
Е.А. Тимошенко
Замечание. В [4] было показано, что для модуля F вида (1) условие A ⊗S F = 0
эквивалентно тому, что при любом p ∈ P* справедливо Ap ⊗S Fp = 0 (в последнем
равенстве не имеет значения, рассматривается ли тензорное произведение над S
или над кольцом Kp). Тогда при любом p ∈ P* имеем для класса T(Fp) ⊂ mod-Kp
равенство T(F ) ∩ mod-Kp = T(Fp).
Теорема 6. Радикал ρ категории модулей mod-S является кручением тогда и
только тогда, когда в решётке L ему соответствует последовательность α = (αp),
содержащая лишь элементы n, l и ν.
Доказательство. Для всякого p ∈ P, как нетрудно видеть, Kp-модули 0 и Kp
являются плоскими. Далее, если K p = Zˆ p , то Qˆ p является плоским Kp-модулем.
Как отмечалось в [5], для плоского Kp-модуля Fp класс T(Fp) ⊂ mod-Kp является
замкнутым относительно подмодулей. Пусть α не содержит элементов, отличных
от n, l и ν, тогда модуль F, заданный равенством (1), обладает тем свойством, что
для любого p ∈ P модуль Fp ∈ mod-Kp является плоским. С учётом теоремы 5 и
сделанного после неё замечания получаем, что ρ – кручение.
Обратно, пусть ρ – кручение; допустим, что для некоторого p ∈ P элемент αp
последовательности α равен m, λ или μ. Тогда ρ – это T-радикал, порождённый
модулем F вида (1), причём Fp совпадает с Qˆ p ⊕ Z ( p) , Z( p) или Z( p∞ ). В первых
двух случаях имеем Z( p∞ ) ∈ T(Fp), Z( p) ∉ T(Fp), в третьем случае – Qˆ p ∈ T ( Fp ) ,
Zˆ p ∉ T ( Fp ) . Поэтому класс T(Fp) ⊂ mod-Kp не является замкнутым относительно
подмодулей, т.е. ρ не является кручением. Полученное противоречие доказывает
теорему. ■
Идемпотентный радикал ρ называется кокручением, если для него выполнено
свойство 2'). Последнее условие справедливо в том и только в том случае, когда
существует идемпотентный идеал J кольца S, для которого при любом A ∈ mod-S
выполнено ρ(A) = AJ [3].
Для любого p ∈ P идеал Jp выделяется прямым слагаемым в J. Следовательно,
если J – идемпотентный идеал, то каждый идеал Jp тоже идемпотентен, т.е. равен
Kp или 0. В [6, 7] показано, что идеалы кольца S бывают двух типов.
а) Если J ⊂ I, то J совпадает с прямой суммой идеалов Jp по всем p ∈ P. Ясно,
что такой идеал идемпотентен тогда и только тогда, когда он имеет вид
J=
⊕Kp ,
(2)
p∈ X
где X – некоторое подмножество множества P.
б) Если J ⊄ I, то для некоторого идемпотента конечного типа ε выполнено
J = (1 − ε) S ⊕
(⊕Jp)
p∈ X
(где X – это носитель идемпотента ε), причём можно считать, что при всех p ∈ X
имеем Jp ≠ Kp . Такой идеал идемпотентен в том и только в том случае, когда
J = (1 – ε)S.
(3)
Теорема 7. Идемпотентный радикал ρ категории mod-S является кокручением
тогда и только тогда, когда в решётке L ему соответствует последовательность α,
содержащая лишь элементы n и ν, причём если выполнено α0 = ν, то α содержит
лишь конечное число элементов, равных n.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О радикалах в категории модулей над csp-кольцом
63
Доказательство. Можем считать, что ρ(A) = AJ.
а) Если идемпотентный идеал J задан условием (2), то для любого модуля A
подмодуль ρ(A) = AJ совпадает с прямой суммой модулей Ap по всем p ∈ X. Легко
проверить, что в этом случае равенство ρ(A) = A выполнено тогда и только тогда,
когда Ap = 0 при всех p ∈ P* \ X. Вспоминая описание идемпотентных радикалов
категории mod-S, получаем, что радикалу ρ соответствует последовательность α,
для которой αp = ν при p ∈ X и αp = n, если p ∈ P* \ X.
б) Пусть идеал J задан условием (3), тогда для любого S-модуля A выполнено
ρ(A) = AJ = A(1 – ε). Покажем, что ρ(A) = A тогда и только тогда, когда Ap = 0 при
всех p ∈ X (здесь X – носитель идемпотента ε).
В самом деле, условие « Ap = 0 при всех p ∈ X» эквивалентно равенству Aε = 0,
из которого сразу следует A(1 – ε) = A. И обратно, из A(1 – ε) = A непосредственно
вытекает Aε = 0, что и требовалось. Рассматриваемому радикалу ρ соответствует
последовательность α, у которой αp = n для тех простых p, которые принадлежат
конечному множеству X, и αp = ν, если p ∈ P* \ X. Доказательство завершено. ■
Напомним, что для p-адического модуля A чистым называют всякий его подмодуль B, такой, что B ∩ At = Bt для любого целого p-адического числа t. Заметим
также, что в этом определении достаточно ограничиться рассмотрением случая
t = pk, где k > 0.
Кольцом псевдоалгебраических чисел называют всякое csp-кольцо, такое, что
соответствующее поле K0 является конечным расширением поля рациональных
чисел. В [8] для модуля A над некоторым кольцом псевдоалгебраических чисел S
чистым был назван всякий подмодуль B, удовлетворяющий условию B ∩ As = Bs
для любого элемента s ∈ S, который не является делителем нуля. Примем данное
определение для случая модулей над произвольным csp-кольцом S.
Теорема 8. Подмодуль B ⊂ AS чист тогда и только тогда, когда для всякого p,
такого, что K p = Zˆ p , модуль Bp является чистым подмодулем Zˆ p -модуля Ap .
Доказательство. Пусть B есть чистый подмодуль модуля A; зафиксируем p,
такое, что K p = Zˆ p . Пусть для b ∈ Bp выполнено b = apk, где a ∈ Ap . Аддитивная
группа кольца S не может содержать элементов порядка p, т.е. pk ∈ S не является
делителем нуля. Следовательно, существует элемент c ∈ B, для которого b = cpk.
Имеем b = bep = (cep)pk, где cep ∈ Bep = Bp , что и требовалось.
Допустим теперь, что для всякого p, такого, что K p = Zˆ p , подмодуль Bp чист в
p-адическом модуле Ap . Пусть b = as ∈ B, где a ∈ A, а элемент s ∈ S не является
делителем нуля. Обозначим через X множество всех простых чисел p, таких, что
элемент sep не является обратимым в кольце Kp . Ясно, что s ∉ I, поэтому элемент
s + I обратим в факторкольце S/I. Отсюда следует конечность множества X. Кроме
того, для всех p ∈ X выполнено равенство K p = Zˆ p (иначе элемент s оказался бы
делителем нуля). Через ε обозначим идемпотент конечного типа с носителем X.
Можно найти элемент t ∈ S, такой, что st = 1 – ε. Имеем a(1 – ε) = ast = bt ∈ B.
Рассмотрим произвольное простое p ∈ X. Для элемента (aep)(sep) = aep s = bep ∈ Bp
выполнено aep s ∈ Bp ∩ Ap(sep) = Bp(sep). Следовательно, найдётся элемент cp ∈ Bp ,
для которого aep s = cp(sep) = cp s. Через c обозначим сумму всех элементов cp , где
p ∈ X. Тогда для элемента c + a(1 – ε) ∈ B имеем
(c + a(1 – ε))s = cs + a(1 – ε)s = aεs + a(1 – ε)s = as = b,
т.е. подмодуль B ⊂ AS действительно является чистым. ■
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.А. Тимошенко
64
Замечание. Легко показать, что в категории модулей над csp-кольцом всякий
подмодуль, чистый в смысле Кона, будет чистым (обратное утверждение, вообще
говоря, неверно).
В статье [9] доказано, что радикальный класс всякого T-радикала категории
абелевых групп является замкнутым относительно взятия сервантных подгрупп.
Поскольку в категории модулей над csp-кольцом всякий радикал представим как
T-радикал, то аналог указанного результата для csp-кольца S выглядит так:
Предложение 9. Радикальные классы категории mod-S являются замкнутыми
относительно чистых подмодулей.
Доказательство. Как уже известно, всякий радикальный класс в mod-S имеет
вид T(F ), где F задаётся равенством (1). Пусть B – некоторый чистый подмодуль
модуля AS ∈ T(F ). Последнее включение, как отмечалось перед теоремой 6, эквивалентно тому, что при всех p ∈ P* выполнено Ap ⊗S Fp = 0.
а) Предположим сначала, что p = 0 или K p ≠ Zˆ p . Легко видеть, что модуль Bp
вкладывается в Ap ; можно считать, что справедливо равенство Fp = 0 или Fp = Kp .
В первом случае условие Bp ⊗S Fp = 0 очевидно, во втором – следует из равенства
Ap ⊗S Fp = 0, а также того факта, что Kp-модуль Fp является плоским.
б) Допустим теперь, что выполнено равенство K p = Zˆ p ; тогда Bp есть чистый
подмодуль p-адического модуля Ap и, значит, чистый подмодуль в смысле Кона.
Поэтому из условия Ap ⊗S Fp = 0 следует Bp ⊗S Fp = 0.
Итак, при любом p ∈ P* выполнено Bp ⊗S Fp = 0, т.е. B ∈ T(F ). ■
Через ∧ обозначим решёточную операцию пересечения радикалов. В [9] было
показано, что «решёточное» пересечение T-радикалов категории абелевых групп
совпадает с «поточечным». Точнее, справедлив следующий факт:
Теорема 10 [9]. Пусть {ρi}i∈Y – некоторое семейство T-радикалов категории
абелевых групп. Тогда равенство
( Λρi )( A) = ∩ ρi ( A)
i∈Y
(4)
i∈Y
выполнено для любой абелевой группы A. ■
Аналогичный факт верен и в категории модулей над csp-кольцом S.
Теорема 11. Пусть {ρi}i∈Y – некоторое семейство радикалов категории mod-S.
Тогда равенство (4) справедливо для любого S-модуля A.
Доказательство. Обозначим через B подмодуль модуля A, стоящий в правой
части (4). Пусть простое число p таково, что выполнено K p = Zˆ p . Справедливо
равенство ρi(A) = ρi(Ap) ⊕ ρi(A)(1 – ep), поэтому модуль Bp = Bep есть пересечение
модулей ρi(Ap) по всем i ∈ Y. Зная все радикалы категории p-адических модулей,
отсюда уже нетрудно получить, что имеет место равенство Bp = σ(Ap), где σ – это
некоторый радикал указанной категории. Из последнего факта, в свою очередь,
легко вывести, что Bp есть чистый подмодуль p-адического модуля Ap .
Получили, что подмодуль B чист в A и, значит, в каждом из модулей ρi(A). Все
классы R(ρi) замкнуты относительно чистых подмодулей, поэтому модуль B принадлежит каждому из этих классов. Отсюда следует равенство ρ(B) = B (где ρ –
«решёточное» пересечение радикалов ρi по всем i) и, далее, включение B ⊂ ρ(A).
Кроме того, ρ(A) содержится в каждом из подмодулей ρi(A), так что выполнено
ρ(A) ⊂ B. Отсюда следует равенство (4). ■
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О радикалах в категории модулей над csp-кольцом
65
Замечание. Аналог теоремы 11 для решёточной операции объединения ∨ уже,
вообще говоря, неверен. Так, если ρ и σ – T-радикалы, порождённые S-модулями I
и S/I соответственно, то имеем (ρ ∨ σ)(S ) = S ≠ I = 0 + I = ρ(S ) + σ(S ).
ЛИТЕРАТУРА
1. Parshall K.V.H. Joseph H. M. Wedderburn and the structure theory of algebras // Arch. Hist.
Exact Sci. 1985. V. 32. No. 3-4. P. 223–349.
2. Бурбаки Н. Алгебра (Модули, кольца, формы). М.: Наука, 1966.
3. Кашу А.И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинёв: Штиинца, 1983.
4. Тимошенко Е.А. Радикалы в категории модулей над csp-кольцом // Проблемы теоретической и прикладной математики: тезисы 41-й Всероссийской молодёжной конференции.
Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010. С. 85–91.
5. Тимошенко Е.А. T-радикалы и E-радикалы в категории модулей // Сиб. матем. журн.
2004. Т. 45. № 1. С. 201–210.
6. Крылов П.А., Пахомова Е.Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых
групп // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 47–51.
7. Царёв А.В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел
// Мат. заметки. 2006. Т. 80. № 3. С. 437–448.
8. Зиновьев Е.Г. Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними: дис. ... канд.
физ.-мат. наук. Томск, 2009.
9. Тимошенко Е.А. T-радикалы в категории абелевых групп // Фундам. и прикл. матем.
2007. Т. 13. № 3. С. 193–208.
Статья поступила 13.06.2011 г.
Timoshenko E. A. ON RADICALS IN THE CATEGORY OF MODULES OVER A CSP-RING.
We obtain a complete description of torsions and cotorsions of the category of modules over an
arbitrary csp-ring. It is also proved that all radical classes of this category are closed under pure
submodules.
Keywords: module, radical, torsion, cotorsion, pure submodule, csp-ring.
TIMOSHENKO Egor Aleksandrovich (Tomsk State University)
E-mail: tea471@mail.tsu.ru.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
МЕХАНИКА
УДК 536.245.022
А.Н. Голованов, Е.В. Рулева, А.С. Якимов
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОМАССООБМЕНА
В УГЛЕПЛАСТИКЕ ПРИ ПУЛЬСАЦИЯХ ГАЗОВОГО ПОТОКА1
Математически моделируется термохимическое разрушение теплозащитного материала при действии высокоэнтальпийного пульсирующего газового
потока. Исследована возможность управления процессом тепломассообмена
в углефенольном композите.
Ключевые слова: интенсификация процесса тепломассообмена, теплозащитный материал, пульсирующий газовый поток
В реальных условиях теплозащитные материалы эксплуатируются при воздействии на них малых энергетических возмущений: акустических колебаний, вибраций стенки, пульсаций газовых потоков [1, 2]. При этом характеристики термохимического разрушения в этих системах могут существенно изменяться. Проблема интенсификации процессов тепломассообмена в сплошных и проницаемых
средах рассматривалась в [2 – 5]. В [2] найдены предельные условия для концентрации связующего и интенсивности колебаний, когда появляется возможность
снижать тепловые нагрузки к стенке и управлять процессом тепломассообмена.
В [3] изучается эффективность ведения каталитического процесса в режиме вынужденных внешних воздействий и используются нестационарные методы осуществления каталитических процессов с целью интенсификации тепломассообмена. В [4] был вскрыт один из механизмов интенсификации процессов переноса
в жидкости для случая пульсационного течения (перераспределения градиентов в
потоке). В [5] получено увеличение коэффициента теплопроводности пористого
тела при наличии пульсаций давления на его границе. Отметим также работу [6],
где изучается влияние звукового поля на интенсификацию процессов тепломассообмена в пограничном слое.
В данной статье исследуется влияние периодических возмущений, вибраций
стенки на интенсивность процесса термохимического разрушения углепластика.
Постановка задачи
Считается, что задан переменный (пульсирующий) конвективный тепловой
поток qw (ν, t ) , действующий на теплозащитный материал определенное время
qw =
α
cp
⎡ k (ρv) w ⎤
α ⎛ α ⎞ ⎡ A cos(2πνt ) ⎤
= ⎜ ⎟ ⎢1 +
⎢1 −
⎥ (he − hw ) ,
⎥,
⎜c ⎟ ⎢
α
c
/
(α / c p )н ⎦⎥
c
⎥
p ⎦
p
⎣⎢
⎝ p ⎠н ⎣
(1)
1
Работа выполнена при финансовой поддержке программы ФАО «Развитие научного потенциала
высшей школы (2009 − 2011 годы)». РН 2.1.1/2269.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование процесса тепломассообмена в углепластике
67
где (α / c p )н – коэффициент теплообмена в отсутствии пульсаций; A, ν – амплитуда и частота пульсаций; t – время; h – энтальпия; (ρv) w – суммарный массовый
унос теплозащитного материал; k – коэффициент ослабления для турбулентного
режима течения в пограничном слое.
Сравнение результатов по исследованию фильтрационных и тепловых характеристик пористых материалов в присутствии пульсационных и вибрационных
возмущений свидетельствует [7] о подобии зависимостей вязкостного члена в законе фильтрации и относительной функции теплообмена от интенсивностей колебаний и о гидродинамической природе процесса возрастания теплообмена. В [7]
было получено выражение для дополнительного переноса тепла q' в пористом теле при периодических пульсациях газа-охладителя
q′ = −
πc p 5 ϕ5ρ5 B 2 ν ∂T
2
∂y
,
(2)
где T – температура (однотемпературной) пористой среды, c p 5 , ρ5 ϕ5 – удельная
теплоемкость при постоянном давлении, истинная плотность газовой фазы и пористость теплозащитного материала, B – амплитуда периодических возмущений,
y – пространственная координата.
Выражение для эффективной вязкости μeff в законе Дарси возьмем в виде модификации Эйнштейна [8]
μeff = μ[1 + C cos(2πνt )] ,
(3)
где C – безразмерный коэффициент, μ – вязкость газообразных продуктов фильтрации в отсутствии периодических возмущений (0 < C ≤ 0,25).
Повышение или понижение вязкости связано с дополнительной диссипацией
энергии вследствие перераспределения градиентов температур, давлений и т.д. в
потоке для случая пульсационного течения.
Как показывает анализ термогравиметрических измерений [9], процесс пиролиза углепластика на основе термореактивного полимерного связующего носит
многостадийный характер. Он включает в себя стадию разложения полимерного
связующего, которая протекает с поглощением тепла, стадию образования промежуточного конденсированного (пирозоля) и конечного конденсированного
(кокса) продукта. Стадия образования кокса может быть интерпретирована как
реакция синтеза, которая имеет экзотермический характер [9].
Физика процесса в конденсированной фазе такова [11, 12]. Под воздействием
высокотемпературного потока температура углепластика увеличивается до температуры разложения связующего (смолы). Затем начинается пиролиз термореактивного связующего с образованием пирозоля и углеродистого остатка (кокса),
который удерживается внутри матрицы армирующих волокон из углерода:
ν1 A1 + ν 4 A4 → ν ′2 A2 + ν ′4 A4 + ν 5′ A5 → ν 3′′ A3 + ν ′′4 A4 + ν 5′′ A5 ,
(4)
где ν1 , ν 4 , ν′2 , ν′4 , ν3′′ , ν5′′ , ν5′ , ν5′′ – стехиометрические коэффициенты, Ai , i = 1,...,5 –
символы связующего исходного конденсированного вещества, промежуточного
конденсированного продукта реакции (пирозоля), конечного конденсированного
продукта (кокса), армировки из углеродного волокна и газообразного продукта
реакции пиролиза соответственно. При Tw > 800 К углеродистая поверхность
разрушается в результате взаимодействия с компонентами диссоциированного
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Н. Голованов, Е.В. Рулева, А.С. Якимов
68
воздуха. Газообразные продукты реакции пиролиза могут фильтроваться к границе раздела сред y = 0, вдуваться в пограничном слое и вместе с продуктами окисления углерода снижать поступающий к телу конвективный тепловой поток.
При постановке задачи сделаем следующие допущения [11, 12]:
1) число Рейнольдса в набегающем гиперзвуковом потоке воздуха достаточно
велико ( Re∞ >> 1 ) и в окрестности поверхности тела сформировался пограничный слой;
2) воздух на внешней границе пограничного слоя находится в состоянии термохимического равновесия и представляет собой пятикомпонентную смесь:
O, O 2 , N, N 2 , NO ;
3) перенос в пограничном слое рассматривается при упрощающих предположениях о равенстве коэффициентов диффузии, число Льюиса Le = 1 ;
4) для расчета состава на границе раздела газообразной и конденсированной
фаз будем использовать аналогию процесса тепломассообмена [10] в предположении о замороженности химических реакций внутри пограничного слоя [12];
5) на внешней поверхности теплозащитного материала протекают при
Tw < 2600 К следующие гетерогенные реакции:
C+ O 2 → CO2 , 2 C+ O 2 → 2 CO , C + O → CO , C+ C O 2 → 2 CO ,
O + O + C → O2 + C , N + N + C → N 2 + C .
(5)
Отметим, что согласно экспериментальным данным [2] в пограничном слое наблюдался турбулентный режим течения при обтекании теплозащитного материала,
для которого коэффициент ослабления (k) в тепловом потоке (1) известен [10].
Пусть в (5), (6) порядковый номер компонентов соответствует следующему
порядку их перечисления: O, O 2 , N, N 2 , CO, CO 2 . Молярные и массовые скорости протекания химических реакций (5) на внешней поверхности тела подробно
описаны в [11, 12], а выражение для массовой скорости уноса имеет вид
⎡⎛ m
⎞
⎛ m
⎞
(ρv) 2 w = (ϕ4 ρ) w ⎢⎜ 6 − 1⎟ c2 w B1 + ⎜ 2 5 − 1⎟ c2 w B2 +
⎣⎝ m2
⎠
⎝ m2
⎠
⎛ m
⎞
⎤
⎛m
⎞
+ ⎜ 5 − 1⎟ c1w B3 + ⎜ 2 5 − 1⎟ c6 w B4 ⎥ ,
⎝ m1 ⎠
⎝ m6
⎠
⎦
(6)
6
___
c
⎛ E ⎞
⎛Pm ⎞
Bi = kiw exp ⎜ − iw ⎟ , i = 1, 4, ρw = ⎜ e w ⎟ , mw−1 = ∑ αw .
⎝ RTw ⎠
⎝ RTw ⎠
α =1 mα
(7)
Балансовые соотношения для массовых концентраций компонент ( ciw ) запишем, используя закон Фика для диффузионных потоков и аналогию процессов тепломассообмена [10, 11]:
____
J iw + ( ρv ) w ciw = Riw , i = 1, 6 , J iw = βi ( ciw − cie ) , βi = α c p ,
где формулы для Riw приведены в [12], полный унос (ρv) w = (ρv)1w + (ρv) 2 w ;
(ρv)1w – массовая скорость уноса за счет пиролиза; (ρv) 2 w – массовая скорость
уноса за счет гетерогенных химических реакций (5); k = 0,19 (me / mw )0,35 [10];
5
me−1 = ∑ cie / mie .
i =1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование процесса тепломассообмена в углепластике
69
Считается, что продукты разрушения слабо разбавляют воздушную смесь в
пограничном слое. Это позволяет использовать принятые выше допущения 1) – 4)
в пограничном слое.
При математической постановке задачи в конденсированной фазе используются следующие допущения:
1) процесс термохимического разрушения углепластика одномерный;
2) фильтрующийся газ предполагается однородным со значением молекулярной массы, близкой к воздушной смеси;
3) пористая среда в процессе теплообмена считается однотемпературной;
4) течение газа внутри разгорающихся пор предполагается ламинарным и описывается линейным законом Дарси [10, 11].
Первое допущение достаточное точное, так как размер реакционной зоны порядка 2,5 ⋅10−3 м при T ≥ 600 К и толщина прогретого слоя меньше 4 ⋅10−3 м (см.
ниже рис. 2), что значительно меньше начальной длины теплозащитного материала: Lн = 10−2 м.
Второе допущение берется для простоты модели, так как в используемом материале [2] не известен химический состав продуктов фильтрирующего газа при
термохимическом разрушении.
Как правило, для двухтемпературной разрушающейся среды [13] (в отличие от
инертной [10]) коэффициент объемного теплообмена Av определяется со значительной погрешностью. Разность температур твердой и газовой фаз при наиболее
реальных значениях Av = 106 – 108 Вт/(К⋅м3) согласно [13] не превышает 323 –
373 К, если температура коксового остатка 1273 – 2273 К.
Наконец, в реальности [2] при термохимическом разрушении углепластика
имеет место переходный и турбулентный режим фильтрации газа в порах, который описывается нелинейным законом Дарси [10, 11]. Однако вязкостный и
инерционный коэффициенты для рассмотренного ниже материала [2] в случае
химически реагирующей среды в доступной литературе не обнаружены.
Математически задача сводится к решению системы уравнений, записанной в
подвижной системе координат [11, 12], связанной с фронтом термохимического
разрушения:
∂T ⎞
∂T
∂ ⎛ ∂T ⎞
⎛ ∂T
cp ⎜
−ω
+ c p 5ρ5 ϕ5 v
λ
=
– q1 R1 + q2 R2 ;
(8)
⎟
∂y⎠
∂y
∂ y ⎜⎝ ∂ y ⎟⎠
⎝ ∂t
∂ρ5 ϕ5
∂ρ ϕ ∂ρ ϕ v
− ω 5 5 + 5 5 = (1 − α1 ) R1 + (1 − α 2 ) R2 ;
∂t
∂y
∂y
∂ϕ1 ⎞
⎛ ∂ϕ1
⎛ E
ρ 1⎜
−ω
= − k1ρ1ϕ1 exp ⎜ − 1
⎟
∂ y ⎠
⎝ RT
⎝ ∂t
∂ϕ 2
⎛ ∂ϕ 2
ρ 2⎜
−ω
∂
∂ y
t
⎝
⎞
⎛ E1
⎟ = α1k1ρ1ϕ1 exp ⎜ − RT
⎝
⎠
⎞
⎟;
⎠
⎞
⎛ E2
⎟ − k2ρ2 ϕ2 exp ⎜ −
⎠
⎝ RT
∂ϕ3 ⎞
⎛ ∂ϕ3
⎛ E ⎞
ρ 3⎜
−ω
= α 2 k2ρ2 ϕ2 exp ⎜ − 2 ⎟ ;
⎟
∂ y ⎠
⎝ RT ⎠
⎝ ∂t
∂ϕ 4
⎛ ∂ϕ 4
ρ 4⎜
−ω
∂ y
⎝ ∂t
⎞
⎟=0;
⎠
(9)
(10)
⎞
⎟;
⎠
(11)
(12)
(13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Н. Голованов, Е.В. Рулева, А.С. Якимов
70
v=−
4
z*ϕ35
ρ RT
z ∂P
, z=
,
ϕ
=
1
−
ϕi , P = 5
;
∑
5
2
μ ef ∂y
M5
(1 − ϕ5 )
i =1
5
4
i =1
i =1
λ = ∑ λ i ϕi , c p = ∑ c pi ρi ϕi , λ5 = λ 5*
⎛ E
R1 = k1ρ1ϕ1 exp ⎜ − 1
⎝ RT
α2 =
ν"3 M 3s
ν '2 M 2 s
,ω=
(14)
ν' M
T
T
, μ = μ*
, α1 = 2 2 s ,
ν1M1s
T*
T*
⎞
⎛ E2
⎟ , R2 = k2 ρ2 ϕ2 exp ⎜ −
⎠
⎝ RT
⎞
⎟,
⎠
(ρv) 2 w
, (ρv)1w = (ρ5 vϕ5 ) w ,
(ρ1ϕ1 + ρ2 ϕ2 + ρ3ϕ3 + ρ4 ϕ4 ) w
c p 5 = b1 + 2b2T , λ 4 = λ 4 y + λ '4 , λ '4 =
πc p 5 ϕ5ρ5 B 2 ν
.
(15)
2
Систему уравнений (8) – (13) необходимо решать с учетом следующих начальных и граничных условий:
T t =0 = Tн , ρ5 t =0 = ρ5н , ϕi t =0 = ϕiн , i = 1,…,4;
(16)
qw − (ρv)1w (hw − hg ) − (ρv) 2 w (hw − hc ) − ϕ4 εσTw4 = −λ
t
6
0
α=1
∂T
∂y
y =0 − s (t )
;
(17)
l = Lн – s(t), s (t ) = ∫ ω(τ)d τ , hw = ∑ hα cαw , hg = cαw ;
5
Pe = Pw
T
y =l = Tн
, v
cie
;
i =1 mie
y =0 − s (t )
, Pe = ρeTe R ∑
y =l =
y =l =
0 , ϕi
ϕiн , i = 1,…,4.
(18)
(19)
Здесь и ниже bi , i = 1, 2, – постоянные; c p – коэффициент удельной теплоемкости
при постоянном давлении; cαw – массовые концентрации компонент на границе
раздела газовой и конденсированной фазы [11]; Ei – энергия активации;
ki , i = 1, 2, – предэкспоненциальный множитель; l – переменная толщина углепластика; Lн – начальная толщина углепластика; m – молекулярный вес; M 5 – молекулярный вес газообразных продуктов реакции пиролиза; Р – давление газа в порах; qi , i = 1, 2, – тепловые эффекты реакции разложения связующего и пирозоля;
R – универсальная газовая постоянная; s(t) – глубина выгорания; v – скорость газообразных продуктов реакции разложения связующего; z – коэффициент проницаемости углепластика; α1 , α 2 – приведенные стехиометрические коэффициенты
[11] из кинетической схемы пиролиза (4); β – коэффициент массообмена; ε – интегральный коэффициент черноты; (ρv) w – суммарный массовый унос; ϕi , i = 1, 4,
– объемные доли; λ i , i = 1,5, – коэффициенты теплопроводности; μ – коэффициент динамической вязкости; ρ – плотность; σ – постоянная Стефана – Больцмана;
ω – линейная скорость термохимического разрушения углепластика; индексы: e –
внешняя граница пограничного слоя; w – поверхность обтекаемого тела; ∗ – характерная величина; н – начальные условия; s – конденсированная фаза; g – газо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование процесса тепломассообмена в углепластике
71
вая фаза; ∞ – параметры на бесконечности; с – углеродная поверхность; 1 – 5 –
в конденсированной фазе соответствуют связующему, пирозолю, коксу, наполнителю, газу; y – углеродным волокнам; штрих вверху – пульсациям; eff – эффективная величина.
Методика расчета, тестовые проверки и исходные данные
Система уравнений (8) – (13) с начальными и граничными условиями (16) –
(19) решалась численно при помощи неявной, абсолютно устойчивой монотонной
разностной схемы [14]. Для проверки программы расчета были повторены результаты [12]. Кроме того, для опорного варианта (комбинированный режим тепломассообмена) была проделана процедура тестирования численного метода. При
прочих равных входных данных проведен расчет для разных шагов по пространству h1 = 10−4 , h2 = h1 / 2 , h3 = h1 / 4 , h4 = h1 / 8 . Фиксировалась температура ТЗМ
и плотность газа ρ5 по глубине тела в различные моменты времени. Во всех вариантах задача решалась с переменным шагом по времени, который выбирался из
условия заданной точности, одинаковой для всех шагов по пространству. Различие погрешности по температуре тела и плотности газа в теплозащитном материале (ε = мах [ εT , ερ5 ]) падало: ε1 = 10,8 %, ε 2 = 5,1 %, ε3 = 1,9 %.
Термокинетические постоянные kiw , Eiw в (7) для реакций (5) приведены в [11],
а для (4) – в [2, 9]. Энтальпия углеродного материала в конденсированном состоянии hC рассчитывалась по формулам [15]. Для углефенольного композита теплофизические коэффициенты: c p 4 , λ 4 y и плотность ρ4 брались из [16]. Коэффициент
удельной теплоемкости воздуха при постоянном давлении c p 5 из (15) находился по
интерполяционной формуле работы [17]. Проницаемость (z) идеальной пористой
среды в законе Дарси из (14) определяется известной формулой Козени [11].
Приводимые ниже результаты получены при Tн = 293 К, (α / c p )н =0,2 кг/(с·м2),
A = 0,01 кг/( с ⋅ м 2 ) , ν = 10 – 30 c −1 , μ* = 4,2⋅ 10−5 кг/( м ⋅ с) , B = 2 ⋅10−3 м, T* =
= 1500 К, λ 5* = 0,067 Вт/(м·К), Te = 3600 К, he = 1,449⋅ 107 Дж/кг, ρe = 0,088 кг/м3,
c p1 = c p 2 = 1700 Дж/(кг⋅К), c p 3 = 1020 Дж/(кг⋅К), ρ1 = 1200 кг/м3, ρ2 = 1100 кг/м3,
ρ3 = 1300 кг/м3, λ1 = λ 2 = 0,21 Вт/(м·К), λ 3 = 0,041 Вт/(м·К), R = 8,314 Дж/(моль⋅К),
Lн = 10−2 м, Е1/R = 3462 К, Е2/R = 11305 К, k1 = 9,6⋅ 104 c −1 , k2 = 1,2⋅ 105 c −1 ,
q1 = 2⋅ 105 Дж/кг, q2 = 105 Дж/кг, z* = 5 ⋅10−11 м2, М5 = 29 кг/кмоль, σ = 5,67⋅ 10−8
Вт/( м 2 ⋅ К 4 ), α1 = 0,5, α 2 = 0,5, ε = 0,9 , ϕ1н = 0,3, ϕ2н = 0,01, ϕ3н = 0,01, ϕ4н = 0,6,
b1 = 965,5, b2 = 0,0735.
Результаты численного решения и их анализ
На рис. 1 представлены зависимости температуры поверхности Tw (а) и суммарного массового уноса (ρv) w (b) с поверхности теплозащитного материала в зависимости от времени. Кривые 1–3 на рис. 1 отвечают величине частоты: ν = 10,
20 и 30 с–1 соответственно. При этом массовый унос (ρv) w имеет максимум в мо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Н. Голованов, Е.В. Рулева, А.С. Якимов
72
мент времени, близкий к начальному (t < 0,5 c) из-за резкого подъема Tw . Затем в
силу образования прококсованного слоя и увеличения его сопротивления движению фильтрующего газа величина (ρv) w может уменьшиться. Однако по мере
роста нагрева теплозащитного материала со стороны конвективного теплового
потока qw и продвижения тепловой волны в глубь тела продолжается пиролиз углепластика с образованием газообразных и конденсированных продуктов реакции
разложения связующего (смолы). Поскольку максимум давления газообразных
продуктов фильтрации находится внутри теплозащитного материала [12], то газообразные продукты фильтрации могут продвигаться в глубь тела. Вследствие экзотермической реакции образования кокса из пирозоля (4) они могут нагревать
прококсованные и последующие холодные слои теплозащитного материала. Это
приводит к дальнейшему росту величины (ρv) w . Кроме того, при Tw > 800 К
унос массы с поверхности ТЗМ непрерывен в силу разрушения углеродной поверхности при кинетическом Tw < 1500 К и диффузионном Tw > 1500 К [10] режимах протекания гетерогенных химических реакций (5).
Tw, К
2
1
1500
3
900
а
300
(ρv) w ,
кг/(м2с)
3
0,4
2
1
0,2
0
b
2
4
6
8
t, c
Рис. 1. Зависимость температуры поверхности (а) и
суммарной массовой скорости уноса (b) от времени.
Кр. 1–3 отвечают величине частоты ν = 10, 20, 30 с–1
Надо сказать, что с ростом частоты ν = 10, 20 и 30 с–1 интенсивность теплообмена потока с углепластиком падает (см. рис. 1, а), а массообмена растет (см.
рис. 1, b). Последний результат качественно согласуется с экспериментальными
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование процесса тепломассообмена в углепластике
73
данными [2]. Это связано с тем, что пульсации теплового потока приводят к более
интенсивному термическому разрушению связующего и увеличению вдува
(ρv)1w . При этом температура поверхности снижается из-за падения конвективного теплового потока qw в формуле (1) и уменьшения суммарного теплового потока в конденсированную фазу
Qw = qw − (ρv )1w (hw − hg ) − (ρv) 2 w (hw − hc ) − ϕ4 εσTw4 .
На стационарном участке термохимического разрушения углепластика
8 ≤ t ≤ 10 с отличие расчетной температуры поверхности от экспериментальной
[2] при ν = 10 с–1 и ν = 30 с–1 составляет не более 22 и 30 % соответственно. В нестационарном режиме прогрева углепластика t < 8 в физическом эксперименте с
ростом температуры наблюдались [2] переходный и турбулентный режимы
фильтрации. Кроме того, имел место немонотонный характер изменения (ρv) w с
течением времени [2], поведение и величина которого связана с различной скоростью разложения связующего и наполнителя углепластика. Отметим, что на первом этапе исследования эти физические процессы (турбулентный режим течения
в порах, сдиры и отслоения наполнителя) при прогреве теплозащитного материала в математической модели не учитываются. Это связано с отсутствием надежных данных по фильтрационным, структурным и кинетическим характеристикам
используемых материалов [2, 16].
На рис. 2 при ν = 10 с–1 приве- Т, К
дено распределение температуры
углепластика по глубине слоя в
различные моменты времени. 1500
Сплошные кривые на рис. 2 отвечают режиму разрушения теплозащитного материала при отсутст3
вии пульсационных составляющих
1200
теплообмена λ ′4 = 0 в (2), (15) и
вязкости C = 0 в (3), штриховые –
2
варианту λ ′4 ≠ 0 , C = 0, штрихпунктирные – комбинированному
900
1
режиму ТМО λ ′4 ≠ 0 , C = 0,2. Линии, помеченные цифрами 1–3,
приведены в моменты времени t:
1, 5, 10 с.
600
Из анализа кривых рис. 2 следует, что волновой коэффициент
теплопроводности λ ′4 , возникаю300
щий при действии пульсаций в
0
1
2
3
у⋅103, м
проницаемом материале, снижает
температуру теплозащитного ма- Рис. 2. Распределение температуры по глубине
териала за счет возрастания ин- слоя в различные моменты времени для ν = 10 с–1.
тенсивности фильтрационных по- Сплошные линии отвечают λ′4 = 0, C = 0, штрихотоков. Этот эффект продолжает вые – λ′4 ≠ 0, C = 0 и штрихпунктирные – λ′4 ≠ 0,
усиливаться в комбинированном C ≠ 0 соответственно. Линии, помеченные цифрами
режиме тепломассообмена: λ′4 ≠ 0, 1–3, приведены в моменты времени t = 1, 5, 10 с
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Н. Голованов, Е.В. Рулева, А.С. Якимов
74
C ≠ 0 (см. рис. 2). По-видимому, этот способ отвода тепла целесообразно использовать при протекании реакций с экзотермическим эффектом в разрушающихся
теплозащитных материалах.
В таблице приведены значения температуры углепластика на поверхности
и в глубине тела при t = 10 с в зависимости от пульсационных составляющих λ′4
и C в формулах (15) и (3). Из анализа таблицы видно, вдали от поверхности:
y = 3 ⋅10−3 м температура углепластика ведет себя монотонным образом с увеличением C, а тепловая волна практически слабо прогревает образец. Однако температура поверхности и вблизи нее y = 2 ⋅10−3 м может вести себя немонотонно:
сначала увеличивается, а затем уменьшается с ростом C. Последний результат,
по-видимому, связан с дополнительной диссипацией энергии, обусловленной
пульсационным течением.
Температура углепластика в зависимости от параметров
пульсационного течения при t = 10 с
у, м
λ′4 = 0, C = 0
λ′4≠ 0, C = 0
λ′4≠ 0, C = 0,15
λ′4≠ 0, C = 0,2
λ′4≠ 0, C = 0,25
T, К
2·10–3
773
758,3
760
758,6
757,4
0
1647
1615
1627
1614
1591
3·10–3
433
406
408
413
420
Заключение
1. Дана постановка задачи о термохимическом разрушении теплозащитного
материала с учетом воздействия пульсаций в пористом теле.
2. При действии периодических возмущений интенсификация процесса тепломассообмена снижает температуру углепластика.
3. С ростом частоты пульсаций поведение расчетной температуры поверхности разрушения теплозащитного материала качественно согласуются с экспериментальными данными [2].
4. При пульсационном течении в теплозащитном материале с ростом C из (3) в
законе Дарси (14) температура поверхности ведет себя немонотонно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Раушенбах Б.В. Вибрационное горение. М.: ГИФМЛ, 1961. 500 с.
2. Голованов А.Н. Влияние периодических возмущений на процесс термохимического
разрушения некоторых композиционных материалов // Физика горения и взрыва. 1999.
Т. 35. № 3. С. 67–73.
3. Боресков Г.К., Матрос Ю.Ш., Киселев О.В., Бунимович Г.А. Осуществление гетерогенного каталитического процесса в нестационарном режиме // ДАН СССР. 1977. Т. 237.
№ 1. С. 160–163.
4. Капица П.Л. Теплопроводность и диффузия в жидкой среде при периодическом течении // ЖЭТФ. 1951. Т. 21. № 9. С. 964–978.
5. Ажищев Н.Л., Быков В.И. Об интенсификации переноса тепла в пористых средах при
пульсации давления // Изв. СО АН СССР. Сер. тех. наук. 1987. Вып. 6. № 21. С. 27–30.
6. Накоряков В.Е., Бурдуков А.П., Болдарев А.М., Терлеев П.Н. Тепло- и массообмен в
звуковом поле. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР, 1970. 253 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование процесса тепломассообмена в углепластике
75
7. Голованов А.Н. Гидродинамические и тепловые характеристики систем пористого охлаждения при наличии малых периодических возмущений // Инженерно-физический
журнал. 1994. Т. 66. № 6. С. 695–701.
8. Эйнштейн А., Смолуховский М. Броуновское движение. М.-Л.: Глав. ред. общетехнич.
литературы, 1936. 607 с.
9. Калинкевич Г.А., Миков В.Л., Морозова Т.П. Исследование полиаминоамидного связующего методом комплексного термического анализа // Изв. Тимирязевской сельскохозяйственной академии. 1981. № 2. С. 164–167.
10. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 326 с.
11. Гришин А.М., Фомин В.М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред. Новосибирск: Наука, 1984. 319 с.
12. Зинченко В.И., Якимов А.С. Режимы термохимического разрушения углефенольного
композиционного материала под действием теплового потока // ФГВ. 1988. Т. 24. № 2.
С. 141–149.
13. Василевский К.К., Фёдоров О.Г. Исследование внутреннего теплообмена между газом и
каркасом в разрушающемся материале // Тепломассоперенос. Минск: Наука и техника,
1968. Т. 2. С. 67–74.
14. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 552 с.
15. Бучнев Л.М., Смыслов А.И., Дмитриев И.А. и др. Экспериментальное исследование энтальпии квазимонокристалла графита и стеклоуглерода в интервале температур 300 –
3800 К // Теплофизика высоких температур. 1987. Т. 25. № 6. С. 1120–1125.
16. Гришин А.М., Парашин А.Д., Якимов А.С. Термохимическое разрушение углепластика
при многократном импульсном нагружении // Физика горения и взрыва. 1993. Т. 29.
№ 1. С. 87–95.
17. Карапетьянц М.Х., Карапетьянц М.М. Основные термодинамические константы неорганических и органических веществ. М.: Химия, 1968. 471 c.
Статья поступила 16.04.2011 г.
Golovanov A.N., Rulyova E.V., Yakimov A.S. NUMERICAL MODELING OF THE HEAT AND
MASS EXCHANGE PROCESS IN CARBON-PLASTIC UPON PULSATIONS OF GAS
FLOW. Thermochemical destruction of a thermal protection material is simulated upon action of
high-enthalpy pulsating gas flow. A possibility of control for the process of heat and mass exchange in a carbophenol composite is studied.
Keywords: intensification of the heat and mass exchange process, thermal protection material,
pulsating gas flow.
Golovanov Aleksandr Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: fire@mail.tsu.ru
Rulyova Evgeniya Valer’evna (Tomsk State University)
Yakimov Anatolii Stepanovich (Tomsk State University)
E-mail: yakimovas@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 536.24, 534-13
А.М. Гришин, А.Н. Голованов,
А.О. Белоусова, И.В. Матвеев
О ФИЗИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
ОДНОГО И ДВУХ ТЕПЛОВЫХ СМЕРЧЕЙ
Экспериментально исследуются условия формирования и эволюции одного
и двух смерчей, полученных в лабораторных условиях. Показано, что такой
смерч можно отнести к вихрю Бюргерса. Выяснено, что два смерча, расположенные рядом, могут как притягиваться, так и отталкиваться.
Ключевые слова: физическое моделирование, тепловые смерчи.
В огромном многообразии вихревых движений отчетливо выделяются концентрированные вихри, которые привлекают повышенный интерес с точки зрения,
как фундаментальных исследований, так и практики [1, 2]. Достаточно четкое определение концентрированного вихря можно дать для случая идеальной жидкости: это локализованная в пространстве область с ненулевой завихренностью, окруженная потенциальным течением.
Среди природных явлений, имеющих отношение к концентрированным вихрям, несомненно, следует назвать смерчи. Однако именно смерчи и торнадо являются самыми неизученными по причине невозможности исследования их в
природных условиях [3]. Поэтому моделирование тепловых смерчей в лабораторных условиях является актуальной задачей [4 – 8].
Целью данной работы является физическое моделирование теплового смерча
типа торнадо в лабораторных условиях, исследование формирования и взаимодействия друг с другом двух смерчей [9]. В [10] показано, что если два вихря
имеют одинаковую интенсивность, но вращаются в разные стороны, то они будут
двигаться поступательно по горизонтальной подстилающей поверхности с сохранением расстояния между ними.
Объектом исследования был созданный в лабораторных условиях тепловой
смерч. Моделирование осуществлялось с помощью экспериментальных установок, основанных на закрутке восходящего конвективного потока снизу (вращением нижнего основания) и сверху (вращением лопастей вентилятора). Для визуализации картины течения в смерче использовались частички канифоли, находящейся на нагревательном элементе.
На рис. 1 показано устройство экспериментальной установки, основанной на
закрутке восходящего конвективного потока вращением нижнего основания [8].
Она состоит из электродвигателя 1, основания 2, регулятора напряжения 3, круглого диска 4 с закрепленным на нем источником тепла, выполненным в форме
цилиндрического диска (плитки) 5. Внутри диска размещались электрические нагревательные элементы 6. Частота вращения вала электродвигателя с диском и
нагревателем задавалась с помощью регулятора напряжения и варьировалась в
пределах ω = (0÷1,8) Гц.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О физическом моделировании одного и двух тепловых смерчей
77
ω
6
5
4
1
2
3
Рис. 1. Схема экспериментальной установки
для моделирования теплового смерча закруткой снизу [8]
На рис. 2 показано устройство экспериментальной установки, созданной для
моделирования взаимодействия двух тепловых смерчей, основанной на закрутке
восходящего конвективного потока вращением лопастей вентилятора (сверху),
вентиляторы находились на расстояние 200 мм от плиток. Расстояние между центрами плиток изменялось в пределах 200 – 300 мм. Установка состоит из двух
вентиляторов 1, двух электрических плиток 2, нагревательных элементов 3, термоанемометра 4, регулятора напряжения 5.
1
ω
ω
4
y
5
x
z
3
2
3
Рис. 2. Схема экспериментальной установки
для моделирования тепловых смерчей закруткой сверху
Экспериментальные методы измерений кинематических параметров нестационарных вихревых потоков достаточно сложны и требуют использования развитых
и самых современных методов диагностики. В процессе проведения экспериментов измерялись: профили скорости w вдоль координаты y с помощью крыльчатого
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.М. Гришин, А.Н. Голованов, А.О. Белоусова, И.В. Матвеев
78
анемометра и температуры T – термоэлектрическим методом с помощью хромельалюмелевой термопары с диаметром спая 2·10-4 м; плотность теплового потока q –
экспоненциальным методом с помощью датчика теплового потока с теплоизолированным чувствительным элементом из материала с высоким значением коэффициента удельной теплопроводности (из меди); контролировалась угловая скорость вращения основания с источником тепла.
Датчики для измерений T, q, w жестко крепились к штативу и помещались в
рабочую часть теплового смерча. Время регистрации параметров струи в контрольной точке составляло (10÷15) с. Суммарные погрешности определения параметров не превышали: δT ≤ 5 %; δw ≤ 9 %; δq ≤ 10 %. Также были проведены
измерения скоростей с помощью термоанемометра ТПС-3 с погрешностью
δV ≤ 1,0 %.
При проведении экспериментов рассматривался вопрос о возникновении и
дальнейшем поведении теплового смерча, а также об изменении его геометрических размеров. Устойчивый тепловой смерч формировался в достаточно узком
диапазоне частот вращения основания (0,7÷1,8 Гц). Смерч становился неустойчивым при значениях ниже 0,7 Гц и выше 1,8 Гц, дальнейшие измерения проводились при частоте вращения 1,3 Гц.
В табл. 1 приведены геометрические размеры теплового смерча в зависимости
от частоты вращения нижнего основания. Из таблицы видно, что с увеличением
частоты растет высота и диаметр смерча, что совпадает с данными работы [8].
Таблица 1
Геометрические размеры теплового смерча
Частота вращения f, Гц
0,7
1,3
1,8
Высота h, м
35 · 10-2
50 · 10-2
65 · 10-2
Диаметр d, м
1 · 10-2
1,5 · 10-2
1,75 · 10-2
Полученные в лабораторных условиях вихревые структуры можно соотнести с
вихрем Бюргерса, у которого для эффективного радиуса rm и вертикальной компоненты скорости w справедливы соотношения [1]
w = αy, rm = 2,242(ν/α)1/2,
(1)
где α = const, ν – коэффициент кинематической вязкости.
Найдём эффективный радиус rm теплового смерча, полученного в лабораторных условиях. Чтобы найти коэффициент α и рассчитать rm, воспользуемся уравнением для вертикальной скорости w и измеренными значениями скорости. Результаты расчётов приведены в табл. 2. Из анализа полученных данных видно, что
тепловой смерч, полученный в лабораторных условия, хорошо соотносится с моделью вихря Бюргерса (d = 2rm).
Таблица 2
Расчет эффективного радиуса в модели вихря Бюргерса
h, м
0,2
0,3
0,4
0,5
Т, К
324,4158
322,2892
319,8082
313,4285
w, м/с
0,505
0,605
0,65
0,585
ν, 10–5 м2/с
1,77
1,77
1,77
1,77
α, 1/с
2,525
2,016667
1,625
1,17
rm, 10–3 м
5,94
6,64
6,93
8,72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О физическом моделировании одного и двух тепловых смерчей
Рис. 3. Фотография теплового смерча
при закрутке нижнего основания
а
79
На рис. 3 представлена фотография теплового смерча при закрутке нижнего основания.
Для исследования взаимодействия двух
тепловых смерчей была использована экспериментальная установка, основанная на закрутке восходящей конвективной струи сверху, созданная авторами работы. На рис. 4
приведены фотографии одного и двух тепловых смерчей с закруткой сверху. Результаты
исследования показали, что без воздействия
второго теплового смерча первый представляет собой довольно устойчивую структуру.
При исследовании двух тепловых смерчей
наблюдалось взаимодействие их друг с другом, а точнее сближение и отталкивание
(смещение осей смерчей относительно оси
вентилятора).
На рис. 5 показаны профили измерения
скоростей при помощи термоанемометра
ТПС-3. Измерения проводились в нескольких
точках на разных высотах с шагом 50 мм, начиная с 5 см над нагревательным элементом,
как снизу вверх по оси Оy, так и слева на право по оси Ох.
б
Рис. 4. Фотография одного (а) и двух (б) тепловых смерчей с закруткой сверху
Полученные результаты возможно интерпретировать следующим образом. На
рис. 6 показана принципиальная схема течения газа при формировании двух
смерчей, вращающихся по часовой стрелке.
Между двумя смерчами образуются тороидальные вихри, направление течения
которых указано стрелками на рис. 6. Два тороидальных вихря, находящиеся между двумя смерчами, взаимодействуют между собой.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.М. Гришин, А.Н. Голованов, А.О. Белоусова, И.В. Матвеев
80
2
u
v
w
Скорость, м/с
1,5
1
0,5
0
0
10
20
30
l,
40
10–2,
50
60
70
м
Рис. 5. Распределение скорости в двух тепловых смерчах,
где u, v, w – скорости вдоль осей x, z, y соответственно
ω
ω
Рис. 6. Схема физической модели взаимодействия двух тепловых смерчей
На рис. 7 в области течения газа А скорости направлены в одну и ту же сторону, происходит суммирование векторов скоростей, что по интегралу Бернулли
приводит к понижению давления, в результате чего смерчи сближаются. При
сближении смерчей происходит вытеснение двух тороидальных вихрей, и смерчи
начинают непосредственно взаимодействовать друг с другом.
A
Рис. 7. Центральные тороидальные вихри
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О физическом моделировании одного и двух тепловых смерчей
81
На рис. 8 показаны направления скорости двух смерчей, расположенных на
малом расстоянии. В области течений газа В скорости направлены противоположно друг другу и давление в этой области повышается, и смерчи отталкиваются.
B
Рис. 8. Верхние тороидальные вихри
Данное предложение при взаимодействии двух смерчей, одновременно
вращающихся по часовой стрелке, объясняет визуально наблюдаемые процессы
сближения и отталкивания вихревых структур. Результаты исследования
согласуются с теоретическими данными, приведенными в [9], на качественном
уровне.
Таким образом, в результате проведенных исследований показано, что в открытом пространстве тепловые смерчи существуют при угловой частоте вращения f = (0.7÷1.8) Гц, что свидетельствует о неустойчивости процессов течения газа
в них. Наблюдалось взаимодействие двух тепловых смерчей, их сближение и отталкивание. Предложено обоснование наблюдаемого взаимодействия двух смерчей друг с другом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. Новосибирск: ИТФ СО РАН, 2003.
2. Наливкин Д.В. Ураганы, бури, смерчи. М.: Наука, 1969.
3. Интенсивные атмосферные вихри / под ред. Л. Бенгтессона, Дж. Лайтхилла. М.: Мир,
1985.
4. Самсонов В.П. Самопроизвольные вихревые структуры в пламени. Томск: Изд-во Том.
ун-та, 2003.
5. Snegirev A.Yu., Mardsen J.A., Fransis J., and Makhviladze G.M. Numerical studies experimental observation of whirling flames // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 2005. V. 57.
P. 2523−2539.
6. Бубнов Б.М. Термическая структура и турбулизация торнадоподобных вихрей от локализованных источников тепла над вращающимся диском // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т. 33. № 5. С. 535−552.
7. Гришин А.М., Катаева Л.Ю. Математическая модель выброса жидкостей из прудовотстойников под действием интенсивного атмосферного смерча и ее приложения.
Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999.
8. Голованов А.Н., Гришин А.М., Колесников А.А. и др. Экспериментальное исследование
тепловых и огненных смерчей // ДАН. 2005. Т. 400. № 5.
9. Никулин В.В. Распад вертикального торнадоподобного вихря // ПМТФ. 1992. № 5.
С. 52−57.
10. Гришин А.М. Физическое и математическое моделирование огненных смерчей // Изв.
вузов. Физика. 2009. №2/2. С. 90−95.
Статья поступила 29.04.2010 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
82
А.М. Гришин, А.Н. Голованов, А.О. Белоусова, И.В. Матвеев
Grishin A.M., Golovanov A.N., Belousova A.O., and Matveev I.V. ON PHYSICAL MODELING
OF ONE AND TWO THERMAL TORNADOS.Conditions of formation and evolution of one
and two tornados obtained in laboratory conditions are investigated experimentally. It is shown
that such tornado can be considered as a Burgers vortex. It is found that two tornados located by a
number, can as to be drawn and make a start.
Keywords: physical modeling, thermal tornadoes
GRISHIN Anatolii Mikhalovich (Tomsk State University)
E-mail: fire@mail.tsu.ru
GOLOVANOV Aleksandr Nikolaevich (Tomsk State University)
BELOUSOVA Anna Olegovna (Tomsk State University)
MATVEEV Ivan Vasilyevich (Tomsk State University)
E-mail: mivvas@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 519.95: 629.7
А.С. Жуков, Б.В. Борисов, С.С. Бондарчук
ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЫ
КОРПУСА РДТТ С ВКЛАДНЫМ КОМБИНИРОВАННЫМ ЗАРЯДОМ
Рассматривается задача о газодинамической защите корпуса РДТТ с вкладным многошашечным зарядом последовательного снаряжения. Для этого
головную шашку выполняют в виде составного коаксиального цилиндра, по
внешнему радиусу которого размещается топливная композиция с существенно более низкой температурой горения. Продукты сгорания низкотемпературного топлива создают газовую завесу вдоль внутренней поверхности
камеры сгорания, тем самым обеспечивая ее тепловую защиту. Устойчивому
движению газовой завесы в области сопловой шашки способствует конструкция межшашечной диафрагмы. Приводятся результаты численного анализа эффективности выбранного способа тепловой защиты корпуса модельного двигателя в рамках двухмерной газодинамической постановки.
Ключевые слова: ракетный двигатель на твердом топливе (РДТТ), тепловая защита, газодинамика течения.
Вкладные многошашечные заряды нашли широкое применение в твердотопливных ракетных двигателях (РДТТ) различного класса благодаря своей простоте,
технологическим и эксплуатационным параметрам [1, 2]. Одним из недостатков
вкладных зарядов является оголенность внутренней поверхности корпуса двигателя для теплового воздействия продуктов сгорания твердого ракетного топлива.
Это существенно ограничивает прямое использование перспективных топливных
составов с высокими температурами горения. Одним из способов снижения тепловых нагрузок на корпус является конструкция с комбинированной головной
шашкой, наружная часть которой состоит из слоя твердого ракетного топлива с
низкой температурой горения (рис. 1).
Низкотемпературное ТРТ
Высокотемпературное ТРТ
Диафрагмы
Рис. 1. Схема РДТТ с вкладным комбинированным зарядом
Подобная конструкция заряда обеспечивает структуру течения, при которой
низкотемпературные продукты сгорания формируют газовую завесу, ограждающую стенку камеры сгорания от теплового воздействия продуктов сгорания топливного состава с существенно более высокой температурой горения и, соответ-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.С. Жуков, Б.В. Борисов, С.С. Бондарчук
84
ственно, высокой температурой потока. Для более эффективной организации газовой завесы предполагается профилирование раскрепляющих межшашечных
диафрагм с целью направления потока низкотемпературных продуктов сгорания
под некоторым углом к корпусу двигателя.
Для оценки эффективности данного способа тепловой защиты корпуса проведено математическое моделирование внутрикамерных процессов в модельным
РДТТ с вкладным комбинированным зарядом. При моделировании учитывались
основные процессы, сопровождающие течение многокомпонентной смеси продуктов сгорания по тракту двигателя: нестационарное и эрозионное горение топлива, трение и тепломассообмен с элементами конструкции [3].
В процессе численного моделирования анализировались стационарные распределения газодинамических величин для различных геометрических параметров сопловой топливной шашки, соответствующих различной степени выгорания
заряда. Использовались модельные топливные композиции со следующими значениями основных параметров продуктов сгорания: состав для «горячего газа»
имел температуру горения Tp = 3900 К, газовую постоянную R = 220 Дж/(кг·К),
показатель адиабаты k = 1,122. Топливо «холодного газа» характеризовалось параметрами Tp = К 2700 К, R = 330 Дж/(кг·К), k = 1,226.
Рис. 2 иллюстрирует процесс формирования низкотемпературной зоны на входе в сопловую шашку для двух моментов выгорания заряда – в начале работы и
при уменьшении в результате выгорания толщины стенки заряда на 80 %. Справа
указаны цветовые соответствия областей значениям температуры потока T. Массовая доля продуктов сгорания высокотемпературного топлива в общей массе
продуктов сгорания полностью соответствует температуре потока, приведенной
на рис. 2.
100 м/с
T ≤ 2700 К
T ≈ 2900 К
а
T ≈ 3300 К
T ≈ 3700 К
T ≈ 3900 К
0
0,05
0,10
б
x/L
25 м/с
0
0,05
0,10
x/L
Рис. 2. Формирования низкотемпературной зоны
на входе в сопловую шашку
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценка эффективности газодинамической защиты корпуса РДТТ
85
Увеличение проходных сечений центрального канала и кольцевой области в
результате выгорания заряда снижает уровень скоростей потока, и, соответственно уменьшает эрозионную составляющую скорости горения топлива и перепад
давления (на 13 %) вдоль оси двигателя.
Уменьшение скорости оттока продуктов сгорания от поверхности топлива за
счет снижения скорости горения для геометрии частично прогоревшего заряда
(рис. 2, b) приводит к тому, что высокотемпературная зона расширяется, а ее граница становится практически параллельной поверхности топлива на расстояниях
x/L > 0,1 (L – длина сопловой шашки). Характер поведения линии границы низкотемпературной газовой смеси (T ≈ 3300 K) практически не изменился – течение
определяется профилем межшашечных раскрепляющих диафрагм.
Полученные в расчетах значения радиальной составляющей скорости потока в
слое, непосредственно примыкающем к поверхности горящего топлива в области
кольцевого зазора и для обоих вариантов составили в (0,9÷1,3) м/с; средняя величина радиальной скорости по сечению находится в пределах (2,5÷3,6) м/с и определяет конвективное перемешивание разнотемпературных потоков. Начальный участок
кольцевого зазора с существенно неравномерными по радиусу профилями газодинамических параметров составляет ≈5 % от длины сопловой шашки (x/L ≈ 0,05).
Результаты расчета течения в области соплового объема представлены на
рис. 3. Для начальной геометрии заряда (нулевое выгорание) отмечается обширная зона рециркуляционного течения (рис. 3, a), обусловленная наличием относительно широкого торца топливной шашки.
а
50 м/с
200 м/с
х
б
200 м/с
50 м/с
х
Рис. 3. Поле течения в области заднего торца соплового полузаряда
(цветовая шкала соответствует рис. 2)
Наличие конфузора предсоплового объема оказывает существенное влияние
на структуру потока и параметры истечения продуктов сгорания из области заря-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
86
А.С. Жуков, Б.В. Борисов, С.С. Бондарчук
да. Непосредственно в начале конического сужения торможение потока образует
зону повышенного давления, которая разворачивает вектор скорости в сторону
критического сечения сопла (рис. 3, а).
В области повышенного давления конического участка по контуру камеры и
далее к соплу «холодный» газовый поток образует защитный слой из низкотемпературных продуктов сгорания. Существенное влияние на структуру течения также
оказывает зона рециркуляционного движения в окрестности торца топливной
шашки, образующаяся вследствие обтекания его двумя высокоскоростными потоками продуктов сгорания из канала и кольцевого зазора. Скачок площади проходного сечения на торце обуславливает формирование зоны разрежения, которая
оказывает собственное влияние на вектор скорости газа.
Анализ результатов численного моделирования показывает эффективность использования комбинированных вкладных зарядов, когда тепловая защита корпуса
от теплового воздействия перспективных топливных составов с высокими температурами горения частично обеспечивается газовой завесой продуктов сгорания низкотемпературного состава. Оценка тепловых нагрузок показывают возможность реального снижения теплового потока в стенку камеры сгорания для комбинированного вкладного заряда на 65 % в начальные моменты времени работы двигателя и
до 35 % ко времени завершения горения низкотемпературного состава.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ерохин Б.Т. Теория внутрикамерных процессов и проектирование РДТТ. М.: Машиностроение, 1991. 560 с.
2. Алиев А.М., Липанов А.М. Проектирование ракетных двигателей твердого топлива. М.:
Машиностроение, 1995. 400 с.
3. Бондарчук С.С., Борисов Б.В., Сабырбаев А.Д. Эффективный метод расчета газодинамически напряженных течений РДТТ с вкладными зарядами // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: доклады конференции. Томск: Изд-во Том.
ун-та, 2000. С. 31–32.
Статья поступила 30.06.2011 г.
Zhukov A.S., Borisov B.V., Bondarchuk S.S. ESTIMATION OF THE EFFICIENCY OF GAS
DYNAMIC PROTECTION OF THE SPRM CASING BODY WITH AN INTERNALEXTERNAL BURNING COMBINED CHARGE. The problem of gas dynamic protection of the
body of a solid propellant rocket engine with a set-in sequential multigrain charge is considered.
For this purpose, the main grain is made as a coaxial cylinder with an outer cylinder made of fuel
composition with significantly lower burning temperature. Low-temperature fuel combustion
products form a gas-screen along the inner surface of combustion chamber serving as a thermal
protection. The inter-grain retainer pad structure provides steady motion of the gas-screen. Results
of numerical analysis of efficiency of the selected method of thermal protection of the model engine body for the 2D gas dynamic scenario are given.
Keywords: solid propellant rocket motor, thermal protection, gas dynamics of flow
ZHUKOV Aleksandr Stepanovich (Institute of Strength Physics and Materials Science of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences)
E-mail: asz57@mail.ru
BORISOV Boris Vladimirovich (Tomsk Polytechnic University)
E-mail: tskbbv@yandex.ru , bvborisov@tpu.ru
BONDARCHUK Sergey Sergeevich (Institute for Problems of Chemical and Energetic Technologies, Siberian Branch of Russian Academy of Science)
E-mail: isbi@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 539.3
А.Н. Ищенко, Н.Н. Белов, Н.Т. Югов,
С.А. Афанасьева, В.В. Буркин, А.А. Югов
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОНИКАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
СОСТАВНЫХ УДАРНИКОВ ИЗ СТАЛИ И ТЕКСТОЛИТА
В БРОНЕПЛИТЫ РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ МЕТОДОМ1
Методом компьютерного моделирования исследованы процессы ударного
взаимодействия двух типов составных ударников массой 300 г со стальными
бронеплитами толщиной 50 мм. Скорость удара 1600 м/с. В первом варианте
ударник представляет собой стальной стержень в поддоне из текстолита. Во
втором – стальной стержень заменен набором из 10 стальных пластин разделенных прокладками из текстолита. Получено удовлетворительное согласование с результатами специально поставленного эксперимента.
Ключевые слова: экспериментальное, математическое моделирование,
высокоскоростное соударение, ударник, бронеплита, ударные волны, разрушение, кратер.
Исследование явлений, возникающих при высокоскоростном ударе, взрыве и
воздействии мощных потоков излучения на вещество, экспериментальными методами без глубокого теоретического анализа часто не дают необходимого результата,
несмотря на большие материальные и технические затраты. В связи с развитием
вычислительной техники резко возросла роль математического моделирования как
средства изучения различных явлений и процессов в твердых телах при динамических нагрузках [1 – 14]. Метод исследования свойств материалов, когда физический
эксперимент и математическое моделирование применяются совместно, дополняя
друг друга, называется расчетно-экспериментальным [9, 10]. Создание надежных
методов прочностных расчетов конструкций, работающих в условиях кратковременных импульсных воздействий, больших скоростей деформаций, интенсивного
радиационного облучения и других сложных физико-химических условий является
в настоящее время актуальной научно-технической задачей.
В [7 – 9, 15, 16] предложена математическая модель, позволяющая рассчитывать в рамках механики сплошной среды напряженно-деформированное состояние и разрушение в твердых телах в условиях взрывного и ударного нагружений.
Динамическое разрушение в рамках данной модели рассматривается как процесс
роста и слияния микродефектов под действием образующихся в процессе нагружения напряжений. Локальным критерием как сдвигового, так и отрывного разрушений в хрупких материалах является предельная величина характерного размера трещин. В пластических материалах локальным критерием отрывного разрушения служит предельная величина относительного объема пустот, а сдвигового – предельная величина пластических деформаций. Модель реализована в пакете вычислительных программ «РАНЕТ-3» [17], предназначенном для решения задач удара и взрыва в полной трехмерной постановке модифицированным на ре1
Работа выполнена при поддержке программы АВЦП Минобрнауки РНПВШ № 2.1.1/
12470 гранта РФФИ № 10-01-00573а.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
88
А.Н. Ищенко, Н.Н. Белов, Н.Т. Югов, С.А. Афанасьева, В.В. Буркин, А.А. Югов
шение динамических задач методом конечных элементов [8, 9, 18]. В частности,
данный комплекс программ использовался в [8] для анализа процессов, протекающих в стальных мишенях конечной толщины при групповом ударе сферическими частицами, а также для исследования прочности моделей бетонных, железобетонных и стальных трубобетонных колонн на неоднократный торцевой удар
падающего груза на копровой установке [9, 19]. Расчетно-экспериментальным методом в [20] проведено исследование проникающей способности группы компактных цилиндрических элементов при последовательном ударе как по полубесконечным стальным мишеням, так и по мишеням конечной толщины при различных углах встречи.
В данной работе проведен анализ проникающей способности в диапазоне скоростей удара до 2-х км/с в стальные бронеплиты составных ударников, представляющих собой помещенный в поддон из текстолита набор стальных пластин, разделенных текстолитовыми прокладками. Экспериментальная часть исследований
выполнена на высокоскоростной метательной установке, использующей электротермохимическую технологию ускорения макротел [21, 22 ].
1. Математическая модель
Удельный объем пористой среды υ представляется в виде суммы удельного
объема матрицы υm и удельного объема пор υ p . Пористость материала характеризуется относительным объемом пустот ξ = υ υ p либо параметром α = υ υm ,
которые связаны зависимостью α = 1 (1 − ξ ) .
Система уравнений, описывающих движение пористой упругопластической
среды, имеет вид
d
d
d
d
d
ρdV = 0, ∫ ρudV = ∫ n ⋅σdS , ∫ ρEdV = ∫ n ⋅σ ⋅ udS ,
∫
dt V
dt V
dt S
dt V
dt S
(1)
J
s
2 2
+ λs, s : s = σT ,
e=
2μ
3
где t – время; V – объем интегрирования; S – его поверхность; n – единичный вектор внешней нормали; ρ – плотность; σ = − pg + s – тензор напряжений; s – его
девиатор; p – давление; g – метрический тензор; u – вектор скорости;
E = ε + u ⋅ u 2 – полная удельная энергия; ε – удельная внутренняя энергия;
e = d − ( d : g ) g 3 – девиатор тензора скоростей деформаций; d = (∇u + ∇uT ) 2 –
тензор скоростей деформаций; s J = s + s ⋅ ω − ω ⋅ s – производная девиатора тензо-
(
)
ра напряжений в смысле Яуманна – Нолла; ω = ∇uT + ∇u 2 – тензор вихря;
(
) (
)
μ = μ m0 (1 − ξ ) ⎡⎣1 − 6ρm 0 cm2 0 + 12μ m 0 ξ 9ρm 0 cm2 0 + 8μ m0 ⎤⎦ , σT = σ S α – эффективные модуль сдвига и предел текучести соответственно; ρm 0, cm 0, μ m 0 – начальные
плотность, объемная скорость звука и модуль сдвига материала матрицы соответственно. Параметр λ исключается с помощью условия пластичности Мизеса. Динамический предел текучести материала матрицы σS в общем случае является
функцией скорости деформации, давления, температуры, а также некоторых других параметров.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование проникающей способности составных ударников из стали и текстолита
89
Система уравнений (1) замыкается уравнением состояния и соотношениями,
описывающими кинетику роста и затекания пор.
Если известна линейная зависимость скорости ударной волны D от массовой
скорости u для матричного материала D = cm0 + Sm 0u , то уравнение состояния пористого материала имеет вид
⎡
⎛ γ η⎞ ⎤
cm2 0 ⎜1 − m 0 ⎟ η ⎥
⎢
ρ
2 ⎠
⎝
p = m0 ⎢ γ m0 ε +
(2)
⎥,
α ⎣⎢
(1 − Sm0 η)2 ⎦⎥
υ
; γ m0 – коэффициент Грюнайзена матричного материала.
α
Рост пор в пластически деформированном материале при растяжении описывается уравнением
⎛ γ
⎞
ρm 0 cm2 0 ⎜ 1 − m0 η ⎟
α ⎞
2 ⎠
⎝
+ ρm0 γ m 0 ε + as ln ⎛⎜
⎟=0.
2
⎝ α −1 ⎠
(1 − Sm0 η)
где η = 1 − ρm 0
Уравнение кинетики роста пор описывает эволюцию параметра α в диапазоне
⎛ α ⎞ < 0 . В противном слу1 < α 00 < α ≤ α кр . Оно используется при αp + aS ln ⎜
⎟
⎝ α −1 ⎠
dα
= 0 . В уравнение входят три легко определяемых параметра aS , α 00 , α кр .
чае
dt
2
Вообще говоря, величина aS = σ S , однако при проведении расчетов она часто
3
рассматривается как параметр, не зависящий от σ S , и подбирается по лучшему
согласованию расчетных и экспериментальных данных.
Параметр α 00 – остаточная пористость в материале, которая не может быть
устранена предварительным сжатием. Этот параметр служит для определения наa
⎛ α
⎞
чального порогового давления, определяющего рост пор pкр = S ln ⎜ 00 ⎟ ;
α 00 ⎝ α 00 − 1 ⎠
α кр – величина пористости, при которой происходит разрушение материала. Локальным критерием отрывного разрушения служит предельная величина относиα кр − 1
.
тельного объема пустот ξ* =
α кр
Все эти параметры могут быть уточнены или определены при сравнении данных расчета с результатами эксперимента по откольному разрушению пластин в
случае одноосного деформированного состояния.
В качестве сдвигового критерия разрушения рассматривается величина предельной интенсивности пластической деформации
eu =
2
3T2 − T12 ,
3
где T1 , T2 – первый и второй инварианты тензора пластических деформаций.
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90
А.Н. Ищенко, Н.Н. Белов, Н.Т. Югов, С.А. Афанасьева, В.В. Буркин, А.А. Югов
2. Результаты математического моделирования
и лабораторного эксперимента
Исследуется проникающая способность составных ударников в бронеплиту
толщиной 50 мм при скорости удара 1600 м/с. Рассматриваются два типа составных ударников калибром 34 мм, состоящих из текстолитового стакана с различными сердечниками: 1-й тип ударника (рис. 1, а) содержит стальной цилиндрический сердечник массой 246,6 г, масса ударника в сборке 305,9 г; 2-й тип ударника
(рис. 1, б) содержит набор из 10 стальных цилиндрических стержней из стали,
разделенных текстолитовыми прокладками, суммарная масса стальных элементов
200 г, масса ударника в сборке 312 г. Проведены баллистические испытания ударников 1-го и 2-го типов. Ударники ускорялись в баллистической электротермохимической установке калибром 34 мм.
а
б
Рис. 1. Чертеж ударника с монолитным (а) и составным сердечником (б)
На рис. 2 представлены экспериментальные результаты взаимодействия ударника типа 1 с заданной бронеплитой при соударении со скоростью 1600 м/с.
В бронеплите образуется сквозное отверстие и с тыльной стороны отделяется откольная тарелка. Диаметр входного отверстия с лицевой стороны 44 мм. Диаметр
выходного отверстия с тыльной стороны 30 мм. Диаметр откольной тарелки
47 мм.
Параметры математической модели рассматриваемых материалов приведены
в [14].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование проникающей способности составных ударников из стали и текстолита
а
91
б
Рис. 2. Вид лицевой (а), тыльной (б) сторон бронеплиты и фрагмента
откольной тарелки после соударения с поражающим элементом 1 типа
На рис. 3 и 4 представлены результаты математического моделирования ударного взаимодействия ударника 1-го типа с бронеплитой при скорости удара 1600 м/с.
60 мкс
120 мкс
150 мкс
Рис. 3. Хронограмма пробития бронеплиты ударником 1-го типа
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
92
А.Н. Ищенко, Н.Н. Белов, Н.Т. Югов, С.А. Афанасьева, В.В. Буркин, А.А. Югов
Хронограмма пробития бронеплиты ударником 1-го типа приведена на рис. 3.
Пробитие мишени происходит при 120 мкс. На этот момент времени ударник сработался не полностью. В запреградное пространство попадают материал, выбитый
из бронеплиты ударником, остатки стального стержня и дна текстолитового стакана. Сопоставление результатов математического моделирования и эксперимента показывает удовлетворительное согласование: по диаметру входного отверстия
с лицевой стороны 1 % (45,5 мм – расчет), по диаметру выходного отверстия с
тыльной стороны 10 % (33 мм – расчет).
4 мкс
8 мкс
8 мкс
10 мкс
10 мкс
20 мкс
а
б
Рис. 4. Изолинии давления P (ГПа) (а) и интенсивности пластических деформаций S (б)
в ударнике 1-го типа и бронеплите
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование проникающей способности составных ударников из стали и текстолита
93
Распределение изолиний давления (рис. 4, а) в начальные моменты времени характеризуют формирование ударно-волновых процессов при соударении. В результате удара по составному ударнику и мишени в противоположных направлениях от
контактной поверхности распространяются ударные волны, давление за фронтом
которых достигает величины 36,2 ГПа. Одновременно по контуру от свободных поверхностей взаимодействующих тел в глубь ударно сжатых материалов распространяются волны упругопластической разгрузки, понижающие уровень сжимающих напряжений. В момент времени 4 мкс ударный фронт в плите достиг её центральной части. В результате действия волн разгрузки величина давления за
ударным фронтом понизилась до 17,8 ГПа. Область максимальных сжимающих
напряжений в составном ударнике находиться в стальном стержне на расстоянии
от поверхности контакта взаимодействующих тел равном, примерно, первоначальному его диаметру. Максимальное давление в ней 8,12 ГПа. Ударный фронт в
мишени выходит на тыльную свободную поверхность в момент времени 8 мкс. За
его фронтом давление достигает величины лишь 7,3 ГПа. Область максимальных
сжимающих напряжений в составном ударнике расположена в данный момент
времени в стальном стержне у поверхности раздела материалов (Р = 4,71 ГПа).
Ударный фронт отражается от свободной тыльной поверхности в ударно сжатый
материал в виде волн упруго-пластической разгрузки. Последующее моменты
времени процесса характеризуются взаимодействием встречных волн разгрузок,
распространяющихся от лицевой и тыльной поверхностей бронеплиты. Уровень
растягивающих напряжений, образующихся в бронеплите в процессе их взаимодействия, не достаточен для роста и слияния микродефектов, поэтому отрывного
разрушения в бронеплите не наблюдается. В момент времени 10 мкс весь материал бронеплиты под ударником подвергнут воздействию сжимающих напряжений.
Разрушение материалов ударника и мишени происходит по сдвиговому механизму. Это хорошо видно из рис. 4 б, на котором в те же моменты времени представлены изолинии интенсивности пластических деформаций.
На рис. 5 представлены экспериментальные результаты взаимодействия ударника 2-го типа с бронеплитой. При соударении со скоростью 1600 м/с в бронеплите образовался кратер со следующими характеристиками: глубина 22 мм, внешний диаметр 43 мм, внутренний диаметр 22 мм. Ударник при внедрении сработался полностью. На тыльной стороне образовалась небольшая выпучина.
Рис. 5. Вид лицевой стороны бронеплиты
после соударения с ударником 2-го типа
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
94
А.Н. Ищенко, Н.Н. Белов, Н.Т. Югов, С.А. Афанасьева, В.В. Буркин, А.А. Югов
На рис. 6 и 7 представлены результаты математического моделирования ударного взаимодействия ударника 2-го типа с бронеплитой при скорости удара 1600 м/с.
В момент времени 80 мкс ударник состоит из остатков деформированного десятого стального элемента и дна текстолитового стакана. К моменту времени 100 мкс
происходит полное срабатывание последнего стального элемента, дальнейшее
формирование кратера в мишени происходит в результате внедрения дна стакана.
Расчет проведен до момента времени 150 мкс. Ударник полностью сработался.
Как и в эксперименте (рис. 5), пробитие бронеплиты ударником 2-го типа не произошло. Сопоставление результатов математического моделирования и эксперимента показывает удовлетворительное согласование: по глубине кратера 11 %
(24 мм – расчет), по внешнему диаметру кратера 8 % (39 мм – расчет), по внутреннему диаметру кратера 3 % (34 мм – расчет). Хронограмма проникания ударника второго типа в бронеплиту при скорости удара 1600 м/с приведена на рис. 6.
О волновой картине протекающих процессов и характере разрушения можно судить по приведенным на рис. 7 изолиниям давления P (ГПа) (а) и изолиниям интенсивности пластических деформаций S (б).
20 мкс
80 мкс
150 мкс
Рис. 6. Хронограмма процесса внедрения
ударника 2-го типа в бронеплиту
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование проникающей способности составных ударников из стали и текстолита
4 мкс
8 мкс
8 мкс
10 мкс
10 мкс
20 мкс
а
95
б
Рис. 7. Изолинии давления P (ГПа) (а) и интенсивности пластических деформаций S (б)
в ударнике 2-го типа и бронеплите
Как и в предыдущем варианте взаимодействия в момент удара в ударнике и
в мишени образуются ударные волны, давление за фронтом которых достигает
величины 36,2 ГПа. Однако картина взаимодействия волн сжатия и разгрузки
сильно отличается от рассмотренной выше. В момент времени 4 мкс за ударным
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
96
А.Н. Ищенко, Н.Н. Белов, Н.Т. Югов, С.А. Афанасьева, В.В. Буркин, А.А. Югов
фронтом в бронеплите давление достигает величины лишь 10,6 ГПа. В то же время в области сжимающих напряжений в составном ударнике второго типа, расположенной у контактной поверхности взаимодействующих тел и охватывающей
материалы двух стальных элементов и текстолитовую прокладку между ними, его
величина равна 18,37 ГПа. Ударный фронт достигает тыльной свободной поверхности мишени, как и в предыдущем варианте в момент времени 8 мкс. Однако
давление за фронтом равно лишь 4,02 ГПа. В отличие от предыдущего варианта
вслед за первым ударным фронтом в сторону тыльной поверхности в центре мишени распространяется второй ударный фронт, в котором давление достигает величины 5,56 ГПа.
Область сжимающих напряжений в ударнике охватывает второй и часть
третьего стальных элементов и текстолитовую прокладку между ними. В этой области давление достигает величины 3,24 ГПа. Происходит разрушение материалов ударника и мишени по сдвиговому механизму, как видно из рис. 7, б. Взаимодействие встречных волн разгрузки, распространяющихся от лицевой и тыльной
свободных поверхностей, привело к образованию в момент времени 10 мкс области растягивающих напряжений вблизи тыльной свободной поверхности
(Р = −1,49 ГПа), однако разрушение материала по отрывному механизму не произошло. Максимальные сжимающие напряжения (Р = 3,53) достигаются в центре
мишени за вторым ударным фронтом. Последующие моменты времени характеризуются взаимодействием этого фронта с волнами разгрузки, распространяющимися от лицевой и тыльной поверхностей мишени. Под ударником в бронеплите формируется область максимальных сжимающих напряжений. В этой же области при 20 мкс достигаются предельные значения величины интенсивности
пластических деформаций. Разрушение материалов ударника и мишени в данной
области протекает по сдвиговому механизму.
Рассмотренные варианты высокоскоростного взаимодействия ударников, содержащих монолитный и составной сердечник, с бронеплитой при одинаковых
условиях удара показали различную картину как по интегральным результатам –
пробитие плиты ударником 1-го типа и образование кратера в плите ударником
2-го типа, так и по течению ударно-волновых процессов во взаимодействующих
телах. Это объясняется различной конструкцией ударников. Ударник 1-го типа
отличается большей проникающей способностью, чем ударник 2-го типа.
Таким образом, совместное проведение лабораторного эксперимента и математического моделирования позволяет глубже понять процессы высокоскоростного соударения и дать им верную физическую интерпретацию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Афанасьева С.А., Белов Н.Н., Хабибуллин М.В. и др. Прогнозирование последствий высокоскоростного соударения метеоритных частиц с элементами защитных конструкций
космических аппаратов // Космические исследования. 1997. Т. 35. № 5. С. 480−486.
2. Соломонов Ю.С., Белов Н.Н., Югов Н.Т. и др. Разрушение пластин и цилиндрических
оболочек импульсом рентгеновского излучения // Вестник ТГАСУ. 2003. № 2. С.118–119.
3. Волокитин Г.Г., Белов Н.Н., Хабибуллин М.В. и др. Электрогидравлическая очистка
внедренных плоскостей тепловых агрегатов от отложений // Теплофизика аэромеханика. 2000. Т. 7. № 3. С. 451−457.
4. Белов Н.Н., Коняев А.А., Хабибуллин М.В. Моделирование ударно-волнового прессования порошковой керамики на баллистическом стенде // ПМТФ. 1997. Т. 38. № 1.
С. 43−50.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование проникающей способности составных ударников из стали и текстолита
97
5. Белов Н.Н., Бирюков Ю.А., Югов Н.Т. и др. Процессы ударного взаимодействия частиц
керамических материалов при измельчении в пневмоциркуляционном аппарате // Теоретические основы химической технологии. 2005. Т. 39. № 3. С. 327−333.
6. Афанасьева С.А., Белов Н.Н., Копаница Д.Г. и др. Разрушение бетонных и железобетонных плит при высокоскоростном ударе и взрыве // ДАН. 2005. Т. 401. № 2.
С. 185−188.
7. Белов Н.Н., Демидов В.Н., Ефремова Л.В. и др. Компьютерное моделирование динамики высокоскоростного удара и сопутствующих физических явлений // Изв. вузов. Физика. 1992. № 8. С. 5−48.
8. Белов Н.Н., Югов Н.Т., Копаница Д.Г., Югов А.А. Динамика высокоскоростного удара и
сопутствующие физические явления. Томск: STT, 2005. 360 с.
9. Белов Н.Н., Кабанцев О.В., Копаница Д.Г., Югов Н.Т. Расчетно-экспериментальный метод анализа динамической прочности элементов железобетонных конструкций. –
Томск: STT, 2008. 292 с.
10. Глушак Б.Л., Куропатенко В.Ф., Новиков С.А. Исследование прочности материалов при
динамических нагрузках. Новосибирск: Наука, 1992. 295 с.
11. Белов Н.Н., Коняев А.А., Хабибуллин М.В. и др. Влияние полиморфных фазовых превращений на процесс взрывного обжатия стальных шаров // ФГВ. 1997. Т. 33. № 5.
С. 128−136.
12. Афанасьева С.А., Белов Н.Н., Хабибуллин М.В. и др. Анализ высокоскоростного проникания сильнопористого ударника в мишень конечной толщины // Изв. РАН. МТТ. 1995.
№ 2. С. 91−100.
13. Афанасьева С.А., Белов Н.Н., Югов Н.Т. Проникание цилиндрических ударников в преграды из бетона и песчаного грунта // ДАН. 2002. Т. 387. № 5. С. 1−4.
14. Ищенко А.Н., Белов Н.Н., Югов Н.Т. и др. Анализ динамической прочности бронеплит
при ударном нагружении расчетно-экспериментальным методом // Вестник Томского
государственного университета. Математика и механика. 2010. № 2(10). С. 71−78.
15. Белов Н.Н., Корнеев А.И., Николаев А.П. Численный анализ разрушения в плитах при
действии импульсных нагрузок // ПМТФ. 1985. № 3. С. 132−136.
16. Белов Н.Н., Корнеев А.И., Симоненко В.Г. Модель окольного разрушения пористой упругопластической среды, испытывающей полиморфный фазовый преход // ДАН. 1990.
Т. 310. № 5. С. 1116−1120.
17. Югов Н.Т., Белов Н.Н., Югов А.А. Расчет адиабатических нестационарных течений в
трехмерной постановке (РАНЕТ-3) / Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. Свидетельство о государственной регистрации
программ для ЭВМ № 2010611042. Москва. 2010.
18. Югов Н.Т. Численный анализ трехмерного процесса деформирования и разрушения
цилиндра и пластины при наклонном соударении // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 1.
С. 112−117.
19. Белов Н.Н., Югов Н.Т., Копаница Д.Г. и др. Исследование прочности моделей стальных
трубобетонных и железобетонных колонн на неоднократный торцевой удар падающего
груза расчетно-экспериментальным методом // Механика композиционных материалов
и конструкций. 2010. Т. 16. № 2. С. 181−190.
20. Белов Н.Н., Югов Н.Т., Югов А.А. и др. Исследование методом компьютерного моделирования проникающей способности группы компактных цилиндрических элементов
при последовательном ударе по различным мишеням // Вестник ТГАСУ. 2007. № 4.
С. 80−92.
21. Baryshev M.S., Burakov V.A., et al. Using plasma to intensify the ignition and combustion of
high-energy materials // Изв. вузов. Физика. 2006. № 11. Приложение. С. 487−450.
22. Барышев М.С., Бураков В.А., Буркин В.В. и др. Разработка импульсных плазматронов и
опыт их применения для насыпных зарядов в баллистических экспериментах // Химическая физика и мезоскопия. 2009. Т. 11. № 2. С. 147−152.
Статья поступила 17.02.2011 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
98
А.Н. Ищенко, Н.Н. Белов, Н.Т. Югов, С.А. Афанасьева, В.В. Буркин, А.А. Югов
Ishchenko A.N., Belov N.N., Yugov N.T., Afanas’eva S.A., Burkin V.V., Yugov A.A. RESEARCH
OF THE PENETRATING ABILITY OF STEEL AND TEXTOLITE COMPOUND STRIKERS
INTO ARMOR PLATES USING THE EXPERIMENT-CALCULATED METHOD. Processes of
shock interaction of two types of compound strikers with a weight of 300 g and steel armor plates
with a thickness of 50 mm were investigated by the computer modeling method. The impact
speed is 1600 m/s. In the first version, the striker was represented as a steel core in a textolite
pallet. In the second version, the steel core was replaced by a set of ten steel plates divided with
textolite spacers. A satisfactory coordination with the results of a specially performed experiment
was obtained.
Keywords: experimental, mathematical modeling, high-speed impact, striker, armor plate, shock
waves, destruction, crater.
Ishchenko Aleksandr Nikolaevich (Tomsk State University)
Belov Nikolay Nikolaevich (Tomsk State University)
Е-mail: n.n.belov@mail.ru
Yugov Nikolay Tichonovish (Tomsk State University)
Е-mail: n.t.yugov@mail.ru
Afanas’eva Svetlana Ahmed-Ryzovna (Tomsk State University)
Е-mail: s.a.afanasyeva@mail.ru
Burkin Viktor Vladimirovich (Tomsk State University)
Yugov Aleksey Aleksandrovich (Tomsk State University of Architecture and Building)
Е-mail: yugalex@sibmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 517.95
Т.А. Ротанова
КОНТАКТ ПЛАСТИН, ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ В КОТОРЫХ
ВЫХОДЯТ НА ГРАНИЦУ1
В представленной работе рассматривается контакт двух упругих пластин,
расположенных под углом друг к другу. Каждая из пластин содержит жесткое включение, выходящее на область контакта. В верхней пластине жесткое
включение выходит также на границу пластины. Нижняя пластина деформируется в своей плоскости, а верхняя – в вертикальном направлении. Вариационными методами установлена разрешимость задачи. В предположении достаточной гладкости решения получена дифференциальная постановка задачи, эквивалентная вариационной. Рассмотрен предельный случай, соответствующий возрастанию параметра жесткости верхней пластины к бесконечности.
Ключевые слова: вариационное неравенство, жесткое включение, пластина Кирхгофа – Лява, контактная задача, выход на границу.
Данная работа относится к изучению класса задач об одностороннем контакте
упругих тел, в частности к контактным задачам для упругих пластин с жестким
включением. Исследование задач о контакте упругих тел, содержащих жесткие
включения, в настоящее время представляет огромный интерес в связи с активным изучением в последние годы композитных материалов.
Оказалось, что математическая постановка данного класса задач требует
принципиально нового подхода. В ряде недавних работ [1 – 4], посвященных описанию и анализу контактных задач об упругих телах, содержащих жесткие включения, был предложен метод, позволяющий выписать полную систему краевых
условий на границе жесткого включения, а также в случае контакта жестких зон.
Влияние внешних сил на жесткую часть пластины описывается с помощью уравнения и неравенства в соответствии с принципом виртуальных перемещений.
Оказывается, что работа на истинных перемещениях точек тела обращается в
ноль, а для всех возможных перемещений имеем соответствующее неравенство.
Рассмотрим односторонний контакт двух упругих пластин под действием
внешних сил (модель Кирхгофа – Лява [5]). Пластины расположены под углом α
друг к другу, где α ∈ (0, π ] . В естественном состоянии пластины контактируют
2
по прямолинейной незамкнутой кривой ненулевой меры γ. Такая задача исследовалась в работах [6 – 8]. Особенностью данной работы является то, что каждая из
пластин содержит жесткое включение, выходящее на область возможного контакта, и, таким образом, выполняется принцип виртуальных перемещений. Кроме того, предполагаем, что жесткое включение в верхней пластине выходит на её границу.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы (П597), гранта РФФИ № 10-01-00054 и гранта Президента РФ
(МК-222.2010.1).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.А. Ротанова
100
ω1
γ2
γ3
Ω
ν
γ1
ω2
Г
n
γ0
G
Рис. 1. Контакт пластин,
жесткие включения выходят на границу
1. Постановка задачи
Пусть заданы ограниченные области Ω, G ⊂ R 2 с гладкими границами Γ и ∂G,
соответствующие срединным плоскостям контактирующих пластин. Пусть
γ ⊂ ∂G, γ ∩ Γ = ∅ и γ 0 = (∂G ) \ Ω , тогда ∂G = γ ∪ γ 0 . При этом нижняя пластина G
деформируется в своей плоскости, а точки верхней (горизонтальной) пластины Ω
допускают перемещение только в вертикальном направлении. Обозначим
q = (q1,q2) – вектор внешней нормали к границе Γ, ν = (ν1,ν2) – вектор нормали к γ,
расположенный в плоскости верхней пластины Ω, n = (n1,n2) – единичный вектор
внутренней нормали к ∂G, расположенный в плоскости нижней пластины G. Кроме того, wν = ∂w , wq = ∂w . Пусть также g=(g1,g2), gi ∈ L2 (G ) , i=1,2; f ∈ L2 (Ω) –
∂ν
∂q
заданные функции, описывающие действие внешних сил.
Разобьем область возможного контакта пластин на три части: γ = γ1 ∪ γ 2 ∪ γ 3 .
Каждая из пластин содержит жесткое включение (рис. 1). Для верхней пластины
жесткое включение – это подобласть ω1 с гладкой границей ∂ω1 = γ 2 ∪ γ 3 ∪ Σ1 ,
выходящая на внешнюю границу Ω. При этом Ω \ ω1 соответствует упругой части
пластины. Для описания перемещения точек области ω1 введем пространство жестких перемещений:
L(ω1 ) = {l | l ( x) = a0 + a1 x1 + a2 x2 , ai = const, i = 0,1, 2; x = ( x1 , x2 ) ∈ ω1}.
(1)
Таким образом, перемещения точек жесткого включения представляют собой
элементы пространства аффинных непрерывных функций. Будем предполагать,
что на Γ выполнено условие жесткого защемления пластин, тогда перемещения
подобласти ω1 жесткого включения l0 ≡ 0.
Жесткое включение в нижней пластине – подобласть ω2 ⊂ G с границей
∂ω2 = γ 2 ∪ Σ0 , где Σ0 является кривой класса С0,1. Таким образом, G \ ω2 соответствует упругой части пластины. С целью описать перемещение точек области ω2
введем пространство инфинитезимальных жестких перемещений:
R (ω2 ) = {ρ = (ρ1 ,ρ2 ) | ρ( x) = Cx + D, x ∈ ω2 },
где
0 c⎞
1 2
1 2
C = ⎛⎜
⎟ , D = (d , d ), где c, d , d = const.
0
−
c
⎝
⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контакт пластин, жесткие включения в которых выходят на границу
101
Будем рассматривать пространство H 1γ 0 (G ) × H 02 (Ω) , где
H 1γ 0 (G ) = {u ∈ [ H 1 (G )]2 |u = 0 на γ 0 },
H 02 (Ω) = {w ∈ H 2 (Ω) | w =
∂w
= 0 на Γ}.
∂q
Введем K ω1 ,ω2 – множество допустимых перемещений:
K ω1 ,ω2 = {(u, w) ∈ H 1γ 0 (G ) × H 02 (Ω) | un sin α + w ≥ 0 на γ1 ,
un ≥ 0 на γ 2 ∪ γ 3 ; w |ω1 = 0, u |ω2 ∈ R (ω2 )}.
Введем обозначения для изгибающего момента и перерезывающей силы верхней пластины:
m( w) = ς w + (1 − ς)
∂2w
, t ν ( w) =
∂
∂2w
( w + (1 − ς) 2 ), s = ( s1 , s2 ) = (−ν 2 , ν1 ),
∂ν
∂s
∂ν 2
где ς – коэффициент Пуассона верхней пластины Ω. Для описания нижней пластины введем тензор модулей упругости B={bijkl}, i, j, k, l = 1, 2. Пусть имеет место положительная определенность коэффициентов bijkl ∈ L∞ (G ) :
bijkl ξ kl ξij c0 | ξ |2 ∀ξij = ξ ji , c0 > 0,
(2)
а также их симметричность: bijkl = bklij = bjikl , i, j, k, l = 1, 2. Также введем соответственно тензоры деформаций и напряжений ε(u)={εij(u)}, σ(u)={σij(u)}, i, j = 1, 2,
1
σn = (σ1 j n j , σ2 j n j ), εij (u) = (ui, j + u j ,i ), i, j = 1, 2.
2
Полагаем, что σ = σijnjni, στ = σn – σnn, στ = (στ1,στ2). Все величины с двумя нижними индексами предполагаются симметричными по этим индексам; по повторяющимся индексам проводится суммирование. Пусть функции w(y) и
u(х) = (u1(х), u2(х)), y = ( y1 , y2 ) ∈ Ω , x = ( x1 , x2 ) ∈ G описывают перемещения точек верхней и нижней пластин соответственно.
Приведем полную дифференциальную постановку задачи, которая может быть
получена в предположении достаточной гладкости решения. Требуется найти
функции u в G, w в Ω такие, что выполняется
− div( Bε(u)) = g в G 5 ω2,
2
w = f в Ω 5 ω1 ;
(3)
u = 0 на γ 0 , w = wq = 0 на Γ ;
(4)
u |ω2 = ρ0 , где ρ0 ∈ R (ω2 ), w |ω1 = 0 ;
(5)
[ w] = [ wν ] = 0 на γ ;
(6)
un sin α + w ≥ 0 на γ1 , un ≥ 0 на γ 2 ∪ γ 3 ;
(7)
[m( w)] = 0, [t ν ( w)] ≥ 0, [t ν ( w)]n sin α = −σn, [t ν ( w)](un sin α + w) = 0 на γ1 ;
σn ≤ 0, στ = 0 un ⋅ σn = 0 на γ 3 ;
(8)
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.А. Ротанова
102
−
∫
σn ⋅ ψ −
Σ0 ∪γ 3
∫
ω2
gψ ≥ − ∫ [t ν ( w)](ψn sin α + φ) ∀(ψ, φ) ∈ K ω1 ,ω2 ;
(10)
γ1
− ∫ σn ⋅ρ0 −
Σ0
∫
gρ0 = 0.
(11)
ω2
Уравнения (3) суть уравнения равновесия, справедливые в области упругости
нижней и верхней пластины соответственно. В области G 5 ω2 выполняется закон Гука σ= Bε(u). Условия (4) обеспечивают жесткое защемление пластин. Соотношения (5) указывают на характер перемещений в жестких подобластях ω2 и ω1.
Условие (4) – условие склейки на области возможного контакта. Неравенства в (7)
есть условие непроникания пластин. Краевые условия (8) на упругой части контакта имеют вид системы равенств и неравенств. Соотношения (9) – условия
Синьорини контакта упругой части пластины с жестким включением. Условия
разрешимости (10) и (11) представляют собой реализацию принципа виртуальных
перемещений.
Отметим, что в областях жестких включений уравнения равновесия не выполняются, несмотря на то, что внешние силы приложены ко всем точкам пластин.
2. Вариационная формулировка
Вариационный подход позволяет исследовать вопросы существования и единственности решения. Для того чтобы его использовать, сформулируем задачу (3)–
(11) как задачу минимизации функционала энергии пластин
1
1
E (u, w) = ∫ σ(u)ε(u) − ∫ gu + aΩ ( w, w) − ∫ fw
2G
2
G
Ω
на множестве допустимых перемещений K ω1 ,ω2 . Здесь aΩ ( w, v) – билинейная
форма следующего вида:
aΩ ( w, v) = ∫ ( w,11v,11 + w, 22 v,22 + ς( w,11v, 22 + w, 22 v,11 ) + 2(1 − ς) w,12 v,12 ).
Ω
Задача минимизации функционала
inf
( u, w)∈K ω1 ,ω2
E (u, w) эквивалентна следующему
вариационному неравенству:
(u, w) ∈ K ω1 ,ω2 ;
∫
G 5ω 2
σ(u)ε(u − u) − ∫ g (u − u) + aΩ5ω1 ( w, w − w) − ∫ f ( w − w) ≥ 0 ∀(u, w)∈ K ω1 ,ω2 .
G
(12)
(13)
Ω
Покажем, что выполнены все условия теоремы Вейерштрасса, тогда задача минимизации, или, что то же, вариационное неравенство (12), (13), имеет решение.
Исходное пространство рефлексивно.
Множество K ω1 ,ω2 выпукло и по теореме вложения замкнуто, следовательно,
является слабо замкнутым.
Из выпуклости и непрерывности функционала E(u,w) вытекает его слабая полунепрерывность снизу. Последовательно применяя неравенство (2), первое неравенство Корна [9] и оценку функций в пространстве H 02 (Ω) [10], получаем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контакт пластин, жесткие включения в которых выходят на границу
103
(σ(u), ε(u))G + aΩ ( w, w) ≥ c1 (ε(u), ε(u))G + c2 ( w,ij , w,ij ) ≥
2
H 1γ0 (G )
≥ c3 u
+c4 w
2
H 02 ( Ω )
.
Здесь и далее используемые константы положительны. В силу неравенства Коши
имеем оценку
( g, u)G + ( f , w)Ω ≤ c5 u H 1 (G ) + c6 w H 2 ( Ω ) .
γ0
0
Полученные оценки обеспечивают коэрцитивность функционала E(u,w). Таким образом, условия теоремы Вейерштрасса выполнены.
Решение задачи (12), (13) единственно. Чтобы убедиться в этом, предположим,
что (u1,w1), (u2,w2) – решения задачи (12), (13), и подставим в (13) (u1,w1) в качестве решения (u,w), а в качестве пробной функции берем (u2,w2) и наоборот. Путем
сложения полученных неравенств извлекаем (u1,w1)= (u2,w2).
Ниже покажем эквивалентность вариационной и дифференциальной постановок задачи, предполагая, что функции (u,w) являются достаточно гладкими.
Пусть (u,w) – решение вариационного неравенства (12), (13). Чтобы получить
уравнения равновесия пластин (3), необходимо подставить в (13) в качестве пробных функций (u+φ,w+ψ) и (u−φ,w−ψ), где (φ, ψ ) ∈ [C0∞ (G 5 ω2)]2 × C0∞ (Ω 5 ω1) и
φ, ψ продолжаются нулем в ω2 и ω1 соответственно. Уравнения равновесия будут
выполнены в смысле распределений. Краевые условия (4) – (7) вытекают из определения множества допустимых перемещений K ω1 ,ω2 .
ω1
Σ1
Ω1
γ2
γ3
γ1
Ω2
ν
ω2
Г
n
γ0
G
Рис. 2. Применение формулы Грина
Для того чтобы вывести краевые условия (8) – (11), нам потребуется формула
Грина [10], справедливая для произвольной области Ω с границей Γ класса С1,1, к
которой ν – внешняя нормаль:
∫φ
Ω
2
w = aΩ ( w, φ) + ∫ t ν ( w) − φ − ∫ m( w) − φν ∀φ ∈ H 2 (Ω).
Γ
(14)
Γ
Предполагаем, что кривую γ можно продолжить до кривой γ ∪ Σ 2 так, что область Ω разбивается на две упругие подобласти Ω1 и Ω2 и жесткое включение ω1,
как указано на рис. 2. Применяя формулу Грина к Ω1 ∪ Ω 2 и учитывая склеивание
функций и их производных на Σ2, получим следующее выражение:
∫
Ω 5 ω1
φ
2
w = aΩ 5 ω1 ( w, φ) − ∫ [t ν ( w)]φ + ∫ [m( w)]φν ,
γ1
γ1
(15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.А. Ротанова
104
где [tν(w)] = tν(w)+ – tν(w)−, [m(w)] = m(w)+ – m(w)−, а значения tν(w)±, m(w)±
соответствуют положительному и отрицательному (по отношению к нормали ν)
берегам.
Также нам потребуется формула Грина, которая справедлива для области
G 5 ω2 с внутренней нормалью n к границе:
∫
σ( u ) ε ( ψ ) = −
G 5 ω2
∫
∫
divσ(u)ψ −
σn ⋅ ψ.
(16)
∂ ( G 5 ω2 )
G 5 ω2
В (15), (16) пробные функции выбираются из множества допустимых перемещений.
Вывод условий (8). Чтобы получить условия [m( w)] = 0, [t ν ( w)] ≥ 0 на γ1, подставим в вариационное неравенство (12), (13) тестовую функцию в виде (u,w+φ),
где ϕ ∈ H 02 (Ω) , ϕ ≥ 0 на γ1, φ = 0 на ω1:
aΩ 5 ω1 ( w, ϕ) ≥
∫
f ϕ.
Ω 5 ω1
Далее применим к левой части неравенства формулу (15) и, с учетом уравнения
равновесия, имеем
∫ [t
ν
γ1
( w)]ϕ − ∫ [m( w)]ϕν ≥ 0.
γ1
В силу отсутствия ограничений на φν, получаем требуемое.
Для вывода следующего условия на γ1 подставим в (12), (13) пробные функции
(u±ψ,w±φ), такие, что (ψ, φ) ∈ K ω1 ∪ω2 и ‌ ψ |ω2 = 0 , кроме того, предполагаем, что
φ + ψn sin α = 0 на γ. Имеем
∫
σ(u)ε(ψ ) + aΩ 5 ω1 ( w, φ) =
G 5 ω2
∫
gψ +
G 5 ω2
∫
f φ.
Ω 5 ω1
Воспользовавшись формулами Грина (15) и (16), а также уравнениями равновесия
(3), получим следующее соотношение:
− ∫ σn ⋅ ψ + ∫ [t ν ( w)]φ = 0,
γ1
γ1
откуда, с учетом выбора пробных функций, извлекаем
− ∫ (σn + [t ν ( w)]n sin α )ψ = 0.
γ1
Таким образом, на γ1 выполнено условие [tν(w)] n sin α = –σn.
Теперь покажем выполнение условия [tν(w)] (un sin α+w) = 0 на γ1. Выведем
это равенство локально. Рассмотрим произвольную точку x0 ∈ γ1 и предположим,
что в некоторой окрестности Bx0 выполняется un sin α+w > 0, тогда можно взять
тестовые функции (u ± v, w±ξ), где (v , ξ) ∈ [C0∞ (G )]2 × C0∞ (Ω) – произвольная
функция, такая, что supp(v, ξ) ⊆ Bx0 , и в Bx0
выполнено условие
(u±v)n sin α + (w±ξ) > 0. Подставляя тестовые функции в (13) и применяя формулы (15) и (16), получаем
− ∫ σn ⋅ v + ∫ [t ν ( w)]ξ = 0.
γ1
γ1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контакт пластин, жесткие включения в которых выходят на границу
105
Воспользовавшись условием [tν(w)] n sin α = −σn, находим
∫ [t
ν
( w)](vn sin α + ξ) = 0,
γ1
откуда [tν(w)] = 0 на γ1. Предполагая [tν(w)] > 0 на γ1, имеем выполнение условия
un sin α + w = 0, так как иначе, следуя предыдущим рассуждениям, придем к противоречию. Таким образом, условие (8) получено.
Вывод условия (9) на γ3. Подставим в вариационное неравенство (13) тестовые
функции (u, w) = (u + ψ, w) ∈ K ω1 ,ω2 , ψ=0 на γ1 ∪ γ 2 . Применяя к полученному неравенству формулу Грина (16), находим, что −(σn, ψ ) γ3 ≥ 0 . Последнее означает, что
στ = 0, σn ≤ 0 на γ 3 .
Теперь покажем выполнение условия un·σn = 0 на γ3. Предположим, что в окрестности Bx0 некоторой точки x0 ∈ γ 3 выполняется un>0, тогда можно взять
тестовую функцию (u±v,w), где v ∈ [C0∞ (G )]2 – произвольная функция, такая, что
supp v ⊆ Bx0 и (u±v)n > 0 в Bx0 . Получим, что (σn, v ) γ3 = 0, откуда σn = 0 на γ3.
В случае, когда σn > 0, имеем un = 0, так как иначе придем к противоречию.
Вывод условий (10) – (11). Подставим в вариационное неравенство пробные
функции (u+ψ,w+φ), (ψ, φ) ∈ K ω1 ,ω2 и применим формулы (15) и (16). С учетом
выполнения уравнений равновесия, получим
∫
−
γ1 ∪γ 3 ∪Σ0
σn ⋅ ψ + ∫ [t ν ( w)]φ − ∫ [m( w)]φν −
γ1
γ1
∫
gψ ≥ 0.
ω2
Воспользовавшись условиями (8) на γ1 и (9) на γ3, получим (10). Подставляя в (10)
пробные функции (ψ,φ) = (0,0) и (ψ,φ) = 2(u,w), имеем (11).
Обратно, из (3) – (11) можно получить вариационное неравенство (12), (13).
3. Предельный случай
Выполним предельный переход, устремив жесткость пластины Ω к бесконечности. Для этого вместо уравнения
2
w = f в Ω 5 ω1
рассмотрим семейство уравнений, характеризующихся параметром α:
1 2
w = f в Ω 5 ω1, α > 0 ,
α
и выполним предельный переход при α → 0 , который соответствует случаю, когда верхняя пластина переходит от упругого состояния к жесткому.
Для каждого α > 0 вариационная задача выглядит следующим образом:
(uα , wα ) ∈ K ω1 ,ω2 ;
∫ σ( u
G
α
(17)
)ε(u − uα ) − ∫ g (u − uα ) + aΩα ( wα , w − wα ) − ∫ f ( w − wα ) ≥ 0 ∀(u, w)∈ K ω1 ,ω2 . (18)
G
Ω
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.А. Ротанова
106
Подставляя в качестве пробных функций (0,0), 2(uα,wα), извлекаем из (18):
∫ σ( u
G
α
)ε(uα ) + aΩα ( wα , wα ) = ∫ guα + ∫ fwα .
G
(19)
Ω
Из (19) при 0<α<α0 следует
uα
2
H 1γ0 (G )
+ wα
2
≤ c7 ,
H 02 ( Ω )
Выбирая для сходящейся подпоследовательности прежнее обозначение (uα,wα),
имеем при α → 0 следующие сходимости:
wα → w слабо в H 02 (Ω),
uα → u слабо в H γ10 (G ).
Из (19) также следует оценка:
1
wα H2 2 (Ω 5 ) ≤ c8 ,
ω1
0
α
что означает сильную сходимость
wα → 0 сильно в H 02 (Ω 5 ω1).
Предельная функция w ≡ 0 во всей области Ω. В силу выполнения для любого
α > 0 условия непроникания, для предельной функции u имеем неравенство
un ≥ 0 на γ.
Введем обозначение
K = {u ∈ H 1γ 0 (G ) | un ≥ 0 на γ; u |ω2 ∈ R(ω2 )}.
Подставив в (18) тестовую функцию (u, 0) , где u ∈ K , найдем
∫
G 5 ω2
σ(uα )ε(u ) − ∫ g (u − uα ) + ∫ fwα ≥
Ω
G
∫
σ( u α )ε ( uα ) +
G 5 ω2
1 α
aΩ 5 ω1 ( wα , wα ).
α
Осуществляя предельный переход к нижнему пределу в последнем неравенстве,
получим следующее вариационное неравенство:
u∈ K :
∫
G 5 ω2
σ(u)ε(u − u) − ∫ g (u − u) ≥ 0 ∀u ∈ K .
(20)
G
Задача (20) соответствует контакту нижней пластины G, содержащей жесткое
включение ω2, с неподвижным препятствием.
Мы получили, что решение задачи (17), (18) при α → 0 сходится к решению
задачи (20).
ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеев Г.В., Хлуднев А.М. Трещина в упругом теле, выходящая на границу под нулевым углом // Вестник НГУ. 2009. Т. 9. № 2. С. 15−29.
2. Лойгеринг Г., Хлуднев А.М. О равновесии упругих тел, содержащих жесткие включения
// ДАН. 2010. Т. 430. № 1. С. 1−4.
3. Хлуднев А.М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине //
Изв. РАН. 2009. № 5. С. 98−110.
4. Khludnev A.M., Novotny A.A., Sokolowski J., Zochowski A. Shape and topology sensitivity
analysis for cracks in elastic bodies on boundaries of rigid inclusions // J. Mechan. Phys. Sol.
2009. V. 57. No. 10. P. 1718−1732.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контакт пластин, жесткие включения в которых выходят на границу
107
5. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972.
6. Неустроева Н.В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин //
СибЖИМ. 2009. Т.12. № 4. С. 92−105.
7. Неустроева Н.В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением //
Вестник НГУ. 2009. Т. 9. № 4. C. 51−64.
8. Хлуднев А.М. Об одностороннем контакте двух пластин, расположенных под углом
друг к другу // Журнал ПМТФ. 2009. Т. 49. № 4. С. 553−567.
9. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991.
10. Хлуднев А.М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.
Статья поступила 18.01.2011 г.
Rotanova T.A. CONTACT PROBLEM FOR PLATES WITH RIGID INCLUSIONS INTERSECTING THE BOUNDARY. This paper deals with the unilateral contact problem for two elastic plates located at an angle to each other. Both plates contain rigid inclusions intersecting the
contact area. The rigid inclusion in the top plate intersects also its external boundary. The lower
plate is deformed in its plane with the top plate being vertically deformed. Using a variational
method the solvability of the problem is established. Assuming that the solution is sufficiently
smooth, the differential statement being equivalent to the variational formulation is justified. We
analyze the limit case corresponding to the unbounded increase of the bending rigidity of the top
plate.
Keywords: variational inequality, rigid inclusion, Kirchhoff–Love plate, contact problem, boundary intersection.
ROTANOVA Tatiana Alexandrovna
(Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences)
E-mail: t.stekina@gmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
УДК 532. 135
А.В. Шваб, М.С. Марценко
МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ВЫСОКОКОНЦЕНТРИРОВАННОЙ
ГРАНУЛИРОВАННОЙ СРЕДЫ
На основе физических представлений разработана теоретическая модель динамики высококонцентрированной гранулированной среды при гравитационном и напорном течении. В предложенной модели учитываются реологические свойства гранулированной среды, а также эффекты скольжения частиц на твёрдых поверхностях. Адекватность предложенной модели проверяется сопоставлением расчетных и опытных данных при обтекании квадратного препятствия гранулированной средой в вертикальном канале.
Ключевые слова: реология, тензор напряжений, вязкость, скорость, гранулированная среда, условия скольжения, тензор скоростей деформаций,
функция тока, вихрь.
Движение гранулированной среды плотным слоем встречается в природных
явлениях (песчаные бури, селевые потоки, лавины и др.) и в практической деятельности человека (различные устройства для переработки дисперсных материалов в порошковой металлургии, в химической технологии, в пищевой промышленности, при производстве лекарств, при пневмотранспорте и т.д.). Поэтому в
научной литературе уделяется большое внимание изучению физических аспектов
движения высококонцентрированных гранулированных сред как теоретически,
так и экспериментально. Анализ научной литературы по динамике течений гранулированной среды плотным слоем показывает, что не существует рациональной
общепринятой теории, а имеется многообразие теоретических и численных подходов, которые отражают отдельные свойства движения дисперсной среды. Обилие различных подходов объясняется разнообразием свойств порошкообразных
материалов и большими трудностями в создании общей теории динамики гетерогенных сред. Настоящая работа посвящена изучению движения высококонцентрированной гранулированной хорошо сыпучей среды при гравитационном или
напорном течении.
Модель течения гранулированной среды
Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что динамику
плотного слоя гранулированного материала можно достаточно хорошо моделировать с помощью понятий и методов механики сплошных сред. Движение плотного
слоя гранулированной среды обычно условно разделяют на два предельных режима: квазистатический, соответствующий малым скоростям сдвига, который
описывается в рамках теории предельного равновесия [1] и инерционный, отвечающий большим скоростям сдвига [2]. При квазистатическом режиме течения
внутренние напряжения возникают вследствие сухого кулоновского трения между частицами, что приводит к независящему от скорости деформации пластическому поведению порошкообразного материала. При инерционном режиме внутренние напряжения в среде возникают вследствие переноса импульса частицами
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель движения высококонцентрированной гранулированной среды
109
аналогично тому, как это происходит при хаотическом движении молекул в жидкости или газе. Такое течение гранулированного материала отличает его от квазистатического режима и приводит к существенной зависимости внутренних напряжений от скорости сдвига. Описание этого режима течения основывается, как
правило, на законах сохранения массы и импульса.
На основании этих представлений для описания динамики высококонцентрированной гранулированной среды в инерционном режиме течения воспользуемся
системой уравнений, состоящей из уравнений переноса импульса в напряжениях
и уравнения непрерывности:
∂τ xy ∂τ xz
∂U x
∂U x
∂U x ⎞
∂p ∂τ
⎛ ∂U x
;
(1)
ρ⎜
+Ux
+U y
+Uz
= − + xx +
+
⎟
∂x
∂y
∂z ⎠
∂x ∂x
∂y
∂z
⎝ ∂t
∂U y
∂U y
∂U y ⎞
⎛ ∂U y
∂p ∂τ yx ∂τ yy ∂τ yz
ρ⎜
+Ux
+U y
+Uz
+
+
;
⎟=− +
∂x
∂y
∂z ⎠
∂y
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂t
(2)
∂p ∂τ zx ∂τ zy ∂τ zz
⎞
⎟ = − ∂z + ∂x + ∂y + ∂z ;
⎠
(3)
∂U z
∂U z
∂U z
⎛ ∂U z
ρ⎜
+Ux
+U y
+Uz
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂t
∂U x ∂U y ∂U z
+
+
=0.
∂x
∂y
∂z
(4)
Здесь τi j – тензор напряжений, который, как показывают экспериментальные исследования, например [2], в инерционном режиме течения гранулированной среды связан нелинейно с тензором скоростей деформаций, причём эта связь соответствует поведению дилатантной жидкости. Если использовать степенную модель для описания связи тензора напряжений с тензором скоростей деформаций,
то на основе опытных данных [2, 3] показатель степени n в этой модели изменяется в пределах 1 < n ≤ 2. Такое значительное изменение показателя степени n повидимому связано с физико-механическими свойствами порошковых материалов,
а также с фракционным составом гетерогенной среды. Следует отметить работу
[4], в которой использовалось условие скольжения среды на стенке на основе теории [5], причём, для скорости частиц на твёрдой поверхности задавалось условие
скольжения, которое зависело от величины тензора напряжений. Результаты расчётов показали лишь качественное согласование с опытными данными и сильную
зависимость от граничных условий. В работе [6] при моделировании движения
плотного слоя гранулированного материала на основе модели «степенной жидкости» и при введении независимого (от тензора вязких напряжений в среде) условия частичного скольжения гранулированной среды на твёрдых поверхностях показано удовлетворительное согласование опытных и теоретических данных. При
этом выяснилось, что показатель нелинейности n близок к единице (n = 1, 2). Это
значит, что в инерционном режиме течения гранулированной среды при условиях
скольжения на твёрдых поверхностях тензор напряжений практически пропорционален тензору скоростей деформаций и, следовательно, реологические свойства хорошо сыпучей гранулированной среды близки к обычной вязкой, ньютоновской жидкости.
Таким образом, для построения модели течения гранулированной среды можно использовать модель вязкой несжимаемой среды, в которой необходимо учесть
отклонения, связанные с особенностью течения плотного слоя в сдвиговом пото-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.В. Шваб, М.С. Марценко
110
ке. Так как эти отклонения в тензоре напряжений невелики, будем использовать
принцип суперпозиции, т.е. примем
(5)
τij = ρ ( ν 0 + ν ) eij .
Здесь ėi j – тензор скоростей деформаций, ν0 – постоянное и ν – переменное значение кинематических коэффициентов вязкости. Первое слагаемое в зависимости
(5) учитывает вязкую, ньютоновскую часть тензора напряжения, а второе – отклонение от него, связанное с особенностями течения гранулированной среды.
Таким образом, необходимо найти модельное значение величины ν. Известно, что
в инерционном режиме движения гранулированной среды между гранулами в
среднем есть зазоры, и взаимодействие между гранулами обусловлено неупругими соударениями. Следовательно, это взаимодействие, с точки зрения аналогии
кинетической теории газов, на основании теории размерностей можно записать в
виде осреднённой корреляции
ν = u ′l ′ .
(6)
Здесь u' – некоторая скорость пульсаций гранулы относительно средней скорости
течения в локальной области потока и l' – отклонение гранулы от среднего положения в этой же части потока. Очевидно, что для течения высококонцентрированного гранулированного потока величина l' является небольшой и её можно
считать величиной постоянной и пропорциональной размеру гранулы δ с точностью до постоянной величины С1, т.е. примем l' = С1 δ. Из экспериментальных
данных по движению гранулированной среды известно, что переход от квазистатического режима течения к инерционному осуществляется за счет увеличения
скорости потока. Следовательно, за счет увеличения кинетической энергии потока
возникает дополнительный перенос импульса, определяемый соотношениями (5)
и (6). В качестве гипотезы примем, что это положение справедливо и для рассматриваемой локальной области течения гранулированной среды. Тогда на основании этого можно положить, что скорость пульсаций в локальной области пропорциональна модулю вектора скорости с точностью до эмпирической постоянной C2, т.е.
u ′ = C2 U x2 + U y2 + U z2 .
(7)
Подставляя l' = С1δ и u' в соотношение (6) найдём с точностью до эмпирической постоянной C = C1C2 осреднённое значение кинематического коэффициента
вязкости
ν = u ′l ′ = C δ U x2 + U y2 + U z2 .
После подстановки коэффициента вязкости ν в формулу (5), найдём связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций для инерционного
режима течения хорошо сыпучей гранулированной высококонцентрированной
среды
(
)
τij = ρ ν 0 + C δ U x2 + U y2 + U z2 eij .
(8)
Таким образом, полученная зависимость (8) для тензора напряжений замыкает
систему уравнений (1) – (4), решение которой при соответствующих начальных и
граничных условиях позволяет определить распределения полей скорости и давления.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель движения высококонцентрированной гранулированной среды
111
Из экспериментальных данных известно, что скорость гранулированной среды
на твердой поверхности отлична от нуля, поэтому в качестве граничного условия
на стенке используется условие скольжения в соответствии с работой [6]:
∂U
(9)
(1 − β ) s = βU s w .
∂n w
Здесь Us – касательная к стенке скорость, n – нормаль, индекс w указывает принадлежность к стенке и β – независимый эмпирический параметр, который находится из сопоставления расчетных и опытных данных, величина которого находится в диапазоне 0 ≤ β ≤ 1, причём значение β = 0 соответствует условиям полного скольжения среды на стенке, а β = 1 – отвечает условию прилипания.
Апробация модели и численный метод решения
Достоверность и работоспособность предложенной модели проверялась сравнением численного решения с экспериментальными данными [7], полученными
для случая установившегося гравитационного обтекания квадрата со стороной
H/2 высококонцентрированной гранулированной средой в плоском вертикальном
канале шириной H. Рассматриваемая область течения высококонцентрированной
гранулированной среды схематически изображена на рис. 1.
Рис. 1. Схема канала с препятствием
Численное решение этой задачи проводилось на основе системы уравнений (1)
– (4), замыкание которой проводилось с помощью разработанной модели (8). Так
как рассматриваемое течение является плоским, удобнее решение задачи проводить в переменных завихрённость – функция тока (Ω – ψ). Введём функцию тока
ψ таким образом, чтобы уравнение неразрывности выполнялось тождественно.
Для этого достаточно положить
∂ψ
∂ψ
ux =
; uy = −
.
(10)
∂x
∂y
Здесь и далее используются безразмерные переменные, которые были получены с
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.В. Шваб, М.С. Марценко
112
помощью масштаба длины H и средней по поперечному сечению плоского канала
скоростью Uср. Далее, воспользуемся определением завихрённости Ω
∂u y
∂u
.
(11)
Ω= x −
∂y
∂x
Подставляя в определение вихря (11) значение скоростей ux и uy из уравнения
(10), получим уравнение Пуассона для определения функции тока
∂2ψ
∂x 2
+
∂ 2ψ
∂y 2
=Ω.
(12)
Учитывая стационарный характер задачи, эллиптическое уравнение (12) удобнее представить в виде параболического по времени нестационарного уравнения
∂ψ ⎛ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ⎞
−⎜
+
⎟ = −Ω .
∂t ⎝ ∂x 2 ∂y 2 ⎠
(13)
Безразмерное уравнение переноса вихря можно получить перекрестным дифференцированием уравнений переноса (1), (2), предварительно подставив замыкающее модельное соотношение (8) в правую часть уравнений (1), (2). В результате получим
∂Ω ∂ ⎡
B ∂Ω ⎞⎤ ∂ ⎡
⎛ B ∂Ω ⎞⎤
+ ⎢u x Ω − ⎛⎜
⎟ ⎥ + ⎢u y Ω − ⎜
⎟⎥ =
∂t ∂x ⎣
⎝ Re ∂x ⎠⎦ ∂y ⎣
⎝ Re ∂y ⎠⎦
=
где
1 ⎡ ∂B ∂Ω ∂B ∂Ω ⎛ ∂ 2 B ∂ 2 B ⎞ ⎛ ∂u x ∂u y ⎞
∂ 2 B ∂u x ⎤
4
+
+
−
+
+
⎜
⎟⎜
⎟
⎢
⎥,
Re ⎣ ∂x ∂x ∂y ∂y ⎝ ∂y 2 ∂x 2 ⎠ ⎝ ∂y
∂x ⎠
∂x∂y ∂x ⎦
B = 1+ C
HU 0
δ
Re u x2 + u 2y , Re =
.
H
ν0
(14)
(15)
В силу осевой симметрии численное решение задачи проводилось для половины задачи. Для получения единственного решения необходимо поставить граничные условия, которые для рассматриваемой задачи имеют следующий вид. На
входной границе функция тока определялась интегрированием первого уравнения
(10) при постоянном значении ux = Ux /Uср = 1, а для поперечной составляющей
скорости использовалось мягкое условие ∂uy /∂x = 0 и, следовательно, для завихрённости на входе имеем условие Ω = 0. На оси симметрии и на твёрдых стенках
функция тока принимает постоянное значение. Из определения вихря для оси
симметрии имеем условие Ω = 0. На выходной границе для всех переменных использовались мягкие условия установления (∂/∂x = 0). Для определения вихря Ω
на стенке разложим функцию тока ψ в ряд Тейлора в окрестности граничной точки w
∂ψ
1 ∂ 2ψ
ψ w+1 = ψ w +
∆y +
∆y 2 + … .
(16)
∂y w
2 ∂y 2 w
Далее, подставляя значение скорости ux=(∂ψ/∂y)w c учетом условия скольжения
гранулированной среды на стенке (9) в соотношении (16) и учитывая определение
вихря на стенке, получим
2β ( ψ w+1 − ψ w )
,
(17)
Ωw =
2 (1 − β ) ∆y + β∆y 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель движения высококонцентрированной гранулированной среды
113
причём, в случае условий прилипания (β = 1), формула (17) переходит в известное
условие Тома, а при полном скольжении среды (β = 0) имеем условие Ω = 0, что
соответствует условию отсутствия трения на стенке.
Численное решение системы уравнений (13) – (15) проводится эволюционным
методом до установления по времени при помощи обобщенной неявной схемы
переменных направлений. Обобщенный неявный метод переменных направлений
для линейного уравнения безусловно устойчив и имеет второй порядок точности
по времени. Этот метод записывается в ∆-форме и для рассматриваемой двумерной задачи состоит из двух этапов. Запишем уравнение переноса вихря в операторной форме
∂Ω
+ Lx Ω + Ly Ω = F .
∂t
Здесь операторы Lx и Ly имеют вид
∂
B ∂Ω ⎞⎤
∂ ⎡
⎛ B ∂Ω ⎞⎤
Lx Ω = ⎡⎢u x Ω − ⎛⎜
⎟ ⎥ ; Ly Ω = ⎢u y Ω − ⎜
⎟⎥ .
∂x ⎣
∂y ⎣
⎝ Re ∂x ⎠⎦
⎝ Re ∂y ⎠⎦
Обобщённый метод переменных направлений можно представить следующим
образом:
∆Φ*i , j 1
− Lx ∆Φ*i , j = F − Lx Φ in, j − Ly Φ in, j ;
2
∆t
∆Φ**
i, j
∆Φ*i , j
1
;
− Ly ∆Φ**
=
i, j
2
∆t
∆t
Φ in,+j1 = Φ in, j + ∆Φ**
i, j .
При записи конечно-разностного аналога конвективных и диффузионных членов в уравнении переноса вихря используется экспоненциальная схема, которая
имеет второй порядок точности по координатам и снимает ограничение по сеточному числу Рейнольдса [8]. Таким образом, имеем систему алгебраических уравнений с диагональным преобладанием, которая решается с помощью метода прогонки.
Сопоставление опытных и численных данных
Результаты численного моделирования течения высококонцентрированной
гранулированной среды при обтекании препятствия в виде квадрата в плоском
канале представлены сплошными линиями на рис. 2. Там же на графиках пунктирными линиями показано численное решение для случая движения ньютоновской несжимаемой жидкости с аналогичными параметрами и теми же условиями
скольжения на твёрдых поверхностях. Для получения этого решения достаточно
положить С = 0 в формуле (15). На этих же графиках точками показаны экспериментальные данные [7]. Результаты численных расчётов и опытных данных для
распределения вертикальной составляющей скорости ux в зависимости от поперечной координаты y показаны в сечениях X2 = X1 + 0,05 H, X3 = X1 + 0,25 H,
X4 = X1 + 0,4 H, X5 = X1 + 0,45 H, X6 = X1 + 0,5 H. Здесь сечение X1 соответствует
рис. 2, а, сечение X2 – рис. 2, б и т.д. Следует отметить, что для лучшего согласования численного решения и опытных данных были выбраны число Рейнольдса,
равное Re=10, и постоянный комплекс Сδ/H в формуле (15), равный Сδ/H = 0,035.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.В. Шваб, М.С. Марценко
114
Коэффициент скольжения на всех стенках выбирался равным нулю (β = 0), что
соответствует условию полного скольжения гранулированной среды на стенке,
исключая переднюю стенку обтекаемого препятствия (сечение X1), на которой
ставилось условие прилипания (β = 1). Это связано с тем, что на передней стенке
препятствия образуется застойная зона из гранулированного материала. Для моделирования этого условия для составляющей скорости uy на передней стенке ставилось условие прилипания (β = 1) вместо условия скольжения.
ux
ux
а
б
2,4
2,2
2,2
2
1,8
0,75
2
0,8
0,85
0,9
y
0,95
в
ux
1,8
0,75
2,4
1,9
2
0,8
0,85
0,9
0,95
y
ux
0,9
1,6
0,75
0,95
y
г
0,8
0,85
0,9
0,95
y
ux
5
д
3
2,5
4
2
3
1,5
2
1
0,75
0,85
ux
2
1,8
0,75
0,8
0,8
0,85
0,9
0,95
y
1
0,75
е
0,8
0,85
0,9
0,95
y
Рис. 2. Распределение вертикальной скорости ux в зависимости от поперечной координаты y в сечениях, показанных на рис. 1. Сплошная кривая – предлагаемая модель, пунктир – ньютоновская жидкость с предложенными граничными условиями,
точки – эксперимент [7]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель движения высококонцентрированной гранулированной среды
115
Сравнение предложенной модели с численным решением ньютоновской жидкости при тех же параметрах течения показывает справедливость предложенной
модели (8), что отчётливо демонстрируют графики рис. 2, в, из которого хорошо
видны противоположные тенденции в поведении вертикальной составляющей
скорости.
Хорошее соответствие, полученное при сравнении опытных данных с разработанной теорией течения высококонцентрированного потока хорошо сыпучей среды, открывает возможность детального анализа влияния основных факторов,
влияющих на исследуемое явление. В частности, проведенный параметрический
анализ разработанной модели показал, что на динамику хорошо сыпучей среды
оказывает существенное влияние постановка граничных условий на твёрдых поверхностях. Так, удачный выбор независимого эмпирического коэффициента
скольжения β при постановке граничного условия (9) позволяет получать решения, адекватные опытным данным. Здесь следует заметить, что, по-видимому, независимость коэффициента скольжения β связано с тем фактом, что для хорошо
сыпучей среды силы трения гранулированной среды на стенках существенно
меньше сил трения в самом движущемся потоке. Численные исследования также
показали, что влияние параметров Re и Сδ/H на динамику течения существенно
меньше по сравнению с влиянием коэффициента скольжения β. Из анализа результатов численных исследований следует, что если имеют место в потоке области с застойными зонами сыпучей среды, то для лучшего согласования расчётных и опытных данных необходимо в этих областях на твёрдых поверхностях использовать условия прилипания (β = 1).
Заключение
Авторы надеются, что предложенная модель движения высококонцентрированной хорошо сыпучей среды, которая показала свою работоспособность и адекватность опытным данным, может быть использована при моделировании гидродинамики, тепло- и массообмена гранулированных потоков и других процессов,
протекающих в аппаратах химической и порошковой технологии, а также при
описании сложных природных явлений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гениев Г.А. Вопросы динамики сыпучей среды. М.: Госстройиздат, 1958.
2. Механика гранулированных сред. Теория быстрых движений: сб. ст.: пер. с англ. М.:
Мир, 1985.
3. Savage S., Jeffrey D. The stress tensor in a granular flow at high shear rates // J. Fluid Mech.
1981. V. 110. P. 255–272.
4. Hutter K., Sheiwiller T. Rapid Plane Flow of Granular Materials down a Chute // Mechanics of
granular Materials. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 1983. P. 283–293.
5. Jenkins J., Savage S. A theory for the rapid flow of identical, smooth, nearly elastic, spherical
particles // J. Fluid Mech. 1983. V. 130. P. 187–202.
6. Зайцева Е.В., Рыжих Ю.Н., Шваб А.В. Моделирование гидродинамики высококонцентрированной гранулированной среды в порошковой технологии // Теплофизика и аэромеханика. 2001. Т. 8. № 4. С. 551−561.
7. Неддерман Р., Дэвис С., Хортон Д. Течение гранулированных материалов вокруг препятствий // Механика гранулированных сред. Теория быстрых движений: сб. ст.: пер. с
англ. М.: Мир, 1985. С. 228–241.
8. Патанкар C. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.:
Энергоатомиздат, 1984.
Статья поступила 22.02.2011 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
116
А.В. Шваб, М.С. Марценко
Shvab A.V., M.S. Martsenko M.S. A MODEL OF MOTION OF A HIGHLY CONCENTRATED
GRANULAR MEDIUM. Based on the physical knowledge, a theoretical model of highconcentrated granulated medium dynamics is developed for the case of a gravitational and confined flow. In the suggested model, rheological properties of the granular medium and slipping effects of particles on solid surfaces are taken into account. The resulting velocity profile based on
the model is compared with experimental data for the case of flow of granular material around a
quadratic obstacle in a vertical channel.
Keywords: rheology, stress tensor, viscosity, velocity, granular medium, slipping condition,strain
velocity deformation, flow function, vortex.
SCHWAB Aleksandr Veniaminivich (Tomsk State University)
MARTSENKO Maksim Sergeevich (Tomsk State University)
E-mail: martsenko@sibmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
МЕМУАРЫ, ПАМЯТНЫЕ ДАТЫ, ПЕРСОНАЛИИ
УДК 51(091)
Л.С. Копанева, А.Р. Чехлов
ОБ АРХИВЕ Ф.Э. МОЛИНА
Обзор архива профессора Ф.Э Молина, хранящегося в Научной библиотеке
Томского государственного университета.
Ключевые слова: Ф.Э. Молин, архив.
Федор Эдуардович Молин (10.09.1861 – 25.12.1941, н.с.) – заслуженный деятель науки РСФСР (1934), профессор Томского технологического института
(с 1900 г.) и Томского университета (с 1917 г.), первый профессор математики
в Сибири, один из основоположников современной алгебры.
Ф.Э. Молин родился в Риге и в 1883 г. окончил Дерптский университет с ученой степенью кандидата астрономии. С 1883 по 1885 г. Ф.Э. Молин работал в
Лейпциге, где по совету Ф. Клейна начал заниматься линейными преобразованиями эллиптических функций. После возвращения в Дерптский университет
Ф.Э. Молин был назначен доцентом и в последующие 6 лет выполнил исследования, увековечившие его имя в истории алгебры. В 1892 г. им публикуется статья
«О системах высших комплексных чисел»1. В этой статье по аналогии с понятием
простой группы Ф.Э. Молин определил простые алгебры над полем комплексных
чисел, показал, что они суть алгебры матриц, и, наконец, обнаружил, что изучение произвольной алгебры над полем комплексных чисел приводится к случаю,
когда фактор-алгебра по радикалу есть прямая сумма тел. В последовавших за
этим мемуаром небольших заметках Ф.Э. Молин применяет указанные результаты к теории представлений конечных групп. Перекликавшиеся с исследованиями
Фробениуса, Киллинга и Ли, результаты Молина сразу получили международное
признание. В одном из писем Молину Г. Фробениус, в частности, говорит, что
Молин «одним ударом дал почти полное решение наиболее важных вопросов в
этой области». К сожалению, ни в Московском, ни в Петербургском университетах не нашлось в то время влиятельных лиц, которые смогли бы оценить эти работы Ф.Э. Молина, и, получив за них степень доктора, он вынужден был поехать
ординарным профессором в качестве руководителя кафедрой математики в только что тогда открытый Томский технологический институт (второе высшее учебное заведение в Сибири; в Томском университете к тому времени были открыты
только медицинский и юридический факультеты). Ф.Э. Молин прибыл с семьей в
Томск в начале 1901 г. Здесь текущие заботы об организации преподавания, устройстве библиотеки и другие виды деятельности, жизненно необходимые для нового, отдаленного от столицы вуза, надолго отрывают его от потока живой международной математической жизни.
1
См. нижеприведенный хронологический указатель работ Ф.Э. Молина.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
118
Л.С. Копанева, А.Р. Чехлов
Ф.Э. Молин был сторонником фундаментальной математической подготовки
инженеров, и высокая квалификация выпускников института в значительной степени определялась их серьезной математической подготовкой. Ф.Э. Молин был
одним из инициаторов введения практических занятий; к каждому такому занятию он вместе с ассистентом на особом листе готовил 5 – 8 предварительно решенных задач, расположенных по степеням трудности. Листы с заданиями размножались на литографе и вручались студентам на практических занятиях. Со
временем эти листы были изданы в виде книг. В [11]1 отмечается, что несколько
подобных задачников сохранились в Научно-технической библиотеке ТПУ. Всего
же по 1909 г. Ф.Э. Молиным были разработаны и изданы 12 курсов лекций и
сборников задач.
В 1917 г. Ф.Э. Молин назначается профессором математики физико-математического факультета, открытого к этому времени в Томском университете, целиком погружается в организацию этого факультета и публикует время от времени
заметки научно-методического характера.
Скончался Ф.Э. Молин 25 декабря 1941 г. Гражданская панихида состоялась в
помещении Научной библиотеки Томского университета.
Издание основных алгебраических работ Ф.Э. Молина было осуществлено в
1985 г. Институтом математики СО АН СССР в виде сборника «Числовые системы».
С 1941 г. оставшиеся после кончины Ф.Э. Молина бумаги хранились у его дочери – Элизы Федоровны2. В 1994 г. они поступили в Научную библиотеку
Томского университета (НБ ТГУ). После первичной обработки и систематизации
архив общим объемом около 5000 л., по словам хранителя отдела рукописей
и книжных памятников гл. библиотекаря НБ ТГУ Н.В. Васенькина, не обрабатывался3.
Отметим, что некоторые исследователи отмечают, что основная часть личной
математической библиотеки Ф.Э. Молина была передана профессору Н.П. Романову, уехавшему в Узбекистан.
В связи со 150-летним юбилеем со дня рождения Ф.Э. Молина авторы данной
заметки по поручению Совета механико-математического факультета работали в
архиве; его условно можно разделить на две части – математическую, в которую
вошли некоторые рукописи, черновики, наброски и т.п.; и общую, где представлены другие документы, среди них следует отметить письма и исследования по
теории шахмат. Математические материалы изложены на русском и немецком
языках, сохранились листки с вычислениями, относящиеся к теории чисел, достаточно большое число черновиков, фрагменты рукописей статей и лекций.
С математической частью работала Л.С Копанева, владеющая немецким языком.
Математическая часть архива – это огромное количество листов, аккуратно
исписанных убористым почерком. Бесконечные строгие колонки чисел говорят о
постоянном кропотливом труде человека, вся жизнь которого была посвящена
науке.
1
См. нижеприведенную литературу о Ф.Э. Молине.
Э.Ф. Молина (1897 – 1988) – кандидат филологических наук, доцент кафедры классической филологии Томского университета.
3
До поступления в НБ ТГУ изучением архива Ф.Э. Молина занимался Н.Н. Круликовский (Круликовский Н.Н. Об изучении научного наследства и архива Ф.Э. Молина // Труды Том. ун-та. 1963. Т. 163.
С. 3 – 5).
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об архиве Ф.Э. Молина
119
Страница рукописи
Большинство научных результатов, полученных Ф.Э. Молиным, были опубликованы. Но некоторые его мысли, идеи остались на черновиках. Среди них –
практически завершенная работа, посвященная шахматам, написанная на немецком языке.
Математическое наследие Ф.Э. Молина ждет своих исследователей.
Служебная часть архива говорит о большой педагогической, организационноучебной, редакторской сторонах жизнедеятельности Ф.Э. Молина. Под его руко-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
120
Л.С. Копанева, А.Р. Чехлов
водством входили в мир науки студенты и аспиранты ТГУ, достигшие в дальнейшем значимых высот в различных направлениях математики и физики.
Федор Эдуардович был автором программ кандидатских испытаний для многих аспирантов, в том числе и для Копанева Анатолия Ивановича, который впоследствии защитил кандидатскую диссертацию, выполненную под научным руководством С.А. Чунихина.
Предстоит кропотливая работа по изучению уникального наследия видного
ученого.
Шахматные этюды
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об архиве Ф.Э. Молина
121
Документы
Список научных трудов; личный листок по учету кадров; паспортная книжка;
статья [9]; свидетельство об окончании Рижской гимназии. «Свидетельство о необходимых для приема в университет познаниях…при испытании общий средний
вывод: очень удовлетворительно»; диплом магистра чистой математики, выданный Дерптским университетом от 1879 г.
Автобиография. «Родился в 1861 г. Сын преподавателя древних языков…»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
122
Л.С. Копанева, А.Р. Чехлов
Диплом степени кандидата астрономии, выданный Дерптским университетом
от 1883 г. (два документа, на русском и немецком языках); аттестат профессора
Томского технологического института, выданный по просьбе Ф.Э. Молина в
1913 г., из него, в частности, следует, что Ф.Э. Молин был награжден орденами
Св. Анны 2 степени, Св. Станислава 2 и 3 степеней и медалью в память царствования Императора Александра III; некролог (черновик).
Грамота о награждении орденом Св. Станислава
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об архиве Ф.Э. Молина
123
Математическая часть архива
Журнал наблюдений Cometes 1880 (III), относящийся к статьям 1, 2.
Рукопись (20 с.) статьи 4; рукопись (4 с.) статьи 6; рукопись (4 с.) статьи 6; рукопись (A5, 13 с.) статьи 8; рукопись (6 с.) статьи 9; рукопись (A5, 3 с.) статьи 21;
черновик (A5, 22 с.) статьи 23; рукопись (машинопись, 3 с.) статьи 24.
Das Verhaltnis zwischen 24 ∆ (ω1,ω2) und q(ω) (рукопись, 21 с.).
Способ последовательного деления и непрерывная дробь (черновик 4 с.).
Zahlen system mit einer Haupteinheit (рукопись, машинопись 7 с.).
Reihen fur die hypergeometrische Function (рукопись, 2 с.).
Симметрические функции (рукопись, A5, 15 с.).
Die Resultanten (рукопись, A5, 11 с.).
Kubische und biquadratische Gleichungen, 1888, Semester 2 (рукопись, A5, 35 с.).
Гипергеометрическая функция (рукопись, тетрадь общая).
Кривые линии рода p = 1 (рукопись, A5, 16 с.).
Обзор лекций по вариационному исчислению.
Конспект по теории функций комплексного переменного.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
124
Л.С. Копанева, А.Р. Чехлов
Конспект по дифференциальным уравнениям.
Уравнения Лапласа 1,2.
Рукописи на немецком и русском.
Приведем хронологический указатель работ и литературу о Ф.Э. Молине, эти
данные и факты биографии взяты из изданий [10 – 13].
Хронологический указатель работ Ф.Э. Молина
1883
1. Bahn des Kometen 1880 III. Astron. Nachr. 1883, № 2519. S. 353–362.
2. Zusatz zur Bahnbestimmung des Kometen 1880 III in A.N 2519. – Там же. –
№ 2528, S. 112–113.
1885
3. Ueber gewisse in der Theorie der elliptischen Functionen auftretende
Einheitswurzeln. Vorgelegt von Prof. Klein. – Ber.d.K.Sächs.Ges.Wiss. 1885,
Sitzung am 12 Jan. S. 23–38.
4. Ueber die lineare Transformation der elliptischen Functionen. Dorpat, 23 zs.
1892
5. Ueber System höherer complexer Zahlen. – Math. Ann. 1892, Bd. 41, S. 83–156.
6. Berichtung zum dem Afsatze «Ueber Systeme höherer complexer Zahlen», Math.
Ann. 1892, Bd. 42, S. 308–312.
1897
7. Eine Bemerkung zur Theorie der homogenen Substitutionsgruppen. – Sitzungsber. d.
Naturforsch. Ges. Dorpat. 1897, № 11, S. 259–274.
8. Ueber die Anzahl der Variabeln einer irreductibelen Substitutionsgruppe. Там же.
S. 277–288.
9. Über die Invarianten der linearen Substitationsgruppen. Sitzungsber Acad. Wiss.
Berlin. 1897, № 52, S. 1152–1156.
1902
10. Интегральное исчисление. Ч. 1. Неопределенный интеграл. – Томск, 1902.
191 с. Литогр.
1903
11. Интегральное исчисление. Ч. 2. Определенный и кратные интегралы. – Томск,
1902 – 1903. 248 с. Литогр.
12. Исчисление бесконечно малых величин. – Томск, 1903. 335 с. Литогр.
1904
13. Дифференциальное исчисление. – Томск, 1904. 298 с. Литогр.
14. Интегральное исчисление. – Томск, 1904. 256 с. Литогр.
15. Исчисление бесконечно малых величин. Ч. 1. – Томск, 1904. 231 с. Литогр.
16. Интегрирование дифференциальных уравнений. – Томск, 1904. 400 с. Литогр.
1907
17. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – Ч. 1. – Томск, 1907.
172 с. На правах рукописи.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об архиве Ф.Э. Молина
125
1908
18. Дифференциальные уравнения. Лекции IV семестра. – Томск, 1908. 190 с. Литогр.
1909
19. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Ч. 2. Лекции II семестра
1907 – 1909. – Томск, 1909. 203 с. Литогр.
20. Исчисление бесконечно малых величин. – Томск, 1909. 201 с. Литогр.
1930
21. Über gewisse transzendente Gleichungen. – Math. Ann. 1930, Bd. 103. S. 35–37.
1934
22. Lösungen der Aufgabe 148. – Jahzesbericht der Dentschen Math. Vereinigung.
1934, № 44. S. 55–56.
1935
23. Системы высших комплексных чисел с одной главной единицей. – Изв. НИИММ Томск. ун-та. 1935, № 1. С. 217–224.
1939
24. Об одном преобразовании гипергеометрической строки. – Учен. записки.
Томск. пед. ин-та. 1939, № 1. С. 119–121.
1985
25. Числовые системы. – Новосибирск: Наука СО. 1985. 126 с. (Русский перевод
статей 5 – 9).
Литература о Ф.Э. Молине
[1] Левицкий Г.В. Биографический словарь профессоров и преподавателей императорского Юрьевского, бывшего Дерптского, университета за сто лет его существования (1802 – 1902). Юрьев, 1902. Т. 1. 328 с.
[2] Ф.Э. Молин. [Некролог]. Известия Научно-исследовательского ин-та математики и механики при Томском гос. ун-те. 1946. Т. 3. Вып. 1.
[3] Ряго Г. Из жизни и деятельности четырех замечательных математиков Тартуского университета (М. Бартельс, В. Миндинг, Ф. Молин, Г. Колосов) // Ученые
записки Тартуского ун-та. Таллин, 1955. Вып. 37. С. 74–105.
[4] Биографический словарь деятелей естествознания и техники. Т. 2. 1959.
С. 48.
[5] Круликовский Н.Н. История развития математики в Томске. Томск: Изд-во
Том. ун-та, 1967. 144 с.
[6] История отечественной математики. Т. 2, 3. Киев, 1968.
[7] Канунов Н.Ф. Федор Эдуардович Молин. М.: Наука, 1983. 110 с.
[8] Профессора Томского университета. Томск: Изд-во Том. ун-та, Т. 2. 1998.
[9] Блаус И., Гродзенский С.Ф. Молин – математик и шахматист // Шахматы.
Рига, 1981. С. 14–15.
[10] Круликовский Н.Н. Федор Эдуардович Молин. Биография, указатель трудов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. 23 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
126
Л.С. Копанева, А.Р. Чехлов
[11] Беломестных В.Н., Беломестных Л.А. Физико-математическое образование в высшей технической школе Сибири (на примере Томского политехнического университета). Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. Ч. 1. 175 с.
[12] Александров И.А, Гриншпон С.Я., Круликовский Н.Н., Крылов П.А. Молин
и современная алгебра // Образование в Сибири. Томск, 2002. № 1.С. 48–53.
[13] Круликовский Н.Н. Из истории развития математики в Томске. Томск:
Изд-во Том. ун-та, 2006. 173 с.
Kopaneva L.S., Chekhlov A.R. ON F.E. MOLIN’S ARCHIVE. A review of Professor F.E. Molin’s archive stored in the Scientific Library of Tomsk State University.
Keywords: F.E. Molin, archive.
KOPANEVA Lidiya Sergeevna (Tomsk State University)
CHEKHLOV Andrei Rostislavovich (Tomsk State University)
E-mail: cheklov@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
ЗАМЕТКИ ОБ ИСТОРИИ КАФЕДРЫ АЛГЕБРЫ
ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Первым алгебраистом в Томске был выдающийся русский математик и педагог Федор Эдуардович Молин (1861−1941). Его научная и преподавательская деятельность началась в городе Тарту, а затем продолжилась в Томске, куда он переехал в 1901 году. В тартуский период Ф.Э. Молин опубликовал свои основные работы по теории высших комплексных числовых систем и теории представлений
групп. В докторской диссертации он заложил основы многих аспектов современной алгебры. Его замечательные результаты не утратили своего значения и в наши дни. Томский период жизни Ф.Э. Молина характеризуется его беспримерной
математической деятельностью в томских высших учебных заведениях, послужившей началом высшего математического образования и математических исследований в Сибири.
Известен своими алгебраическими исследованиями в Томске Всеволод Александрович Малеев (1889−1938). Он проработал в Томске 18 лет и был профессором университета, педагогического института и индустриального института. Научные интересы В.А. Малеева были связаны с теорией алгебраических уравнений
и теорией сравнений. Он также изучал некоторые вопросы, относящиеся к делимости многочленов.
В 1938 году в ТГУ была основана кафедра алгебры и теории чисел (с 1974 года
– кафедра алгебры) в составе профессоров Ф.Э.Молина и занимавшегося теорией
чисел молодого талантливого математика Николая Павловича Романова. Н.П. Романов получил замечательные результаты в аддитивной теории чисел. Он доказал,
в частности, важные теоремы о числах, представимых в виде суммы простого
числа и степени целого числа. При защите кандидатской диссертации в Москве в
1935 году ему сразу была присуждена степень доктора физико-математических
наук. Теоремы Романова используются в современных исследованиях по теории
чисел.
В 1941−1953 годах на кафедре алгебры и теории чисел ТГУ работал Сергей
Антонович Чунихин – в будущем академик АН БССР, крупный специалист в теории конечных групп. В работах С.А. Чунихина, относящихся ко времени его пребывания в Томске, развивается теория так называемых специальных групп. Исследования С.А. Чунихина о силовских свойствах конечных групп внесли существенный вклад в развитие этого раздела теории групп. После отъезда из Томска
С.А. Чунихин создал в Гомеле успешно работающую и в настоящее время школу
по теории конечных групп.
Ученик С.А. Чунихина – Анатолий Иванович Копанев (1911–1951) в своей
кандидатской диссертации «Группы с π-разрешимыми подгруппами» (1948 г., оппоненты П.П. Куфарев, Я.Л. Трайнин) нашел строение и установил свойства таких групп. Доказано, что существует три вида таких групп.
Другой ученик С.А. Чунихина – Борис Владимирович Казачков (1915 – 1982)
был доцентом Томского государственного педагогического института. Несколько
лет он читал спецкурс «Теория групп» для студентов-алгебраистов ММФ ТГУ.
В своих исследованиях по теории групп Б.В. Казачков рассматривал теоремы типа
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
128
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
Силова для бесконечных групп. Им доказано, что в разрешимой группе Черникова сопряжены все силовские Р-подгруппы по любому фиксированному множеству Р простых чисел. Эти исследования составили его кандидатскую диссертацию
«О теоремах типа Силова» (1952г.). Борис Владимирович рассматривал также
бесконечные группы, все подгруппы которых специальные. Для таких групп он
получил аналоги теоремы О.Ю. Шмидта для конечных групп и некоторые другие
результаты.
В 1943−1961 годах сотрудником кафедры алгебры и теории чисел был Петр
Иванович Трофимов, занимавшийся теорией групп, – впоследствии профессор
Пермского госуниверситета. Он рассмотрел группы, у которых всякие два элемента, перестановочные с третьим, перестановочны между собой. Исследовал зависимость между числом всех классов неинвариантных подгрупп конечной группы и числом всех различных простых делителей порядка группы.
Выпускником ММФ ТГУ является известный специалист по теории групп, ведущий научный сотрудник УрО РАН ( Екатеринбург) Вячеслав Александрович
Белоногов. Его задачник по теории групп активно используется на занятиях со
студентами-алгебраистами ММФ. В.А. Белоногов изучал условия, при которых
группа определенного вида имеет максимальные подгруппы того или иного порядка. В частности, рассматривался вопрос о необходимых и достаточных условиях максимальности силовской подгруппы. Им же было продолжено изучение
π-свойств групп и получены некоторые признаки непростоты группы. Глубокие
результаты получены Вячеславом Александровичем уже в Екатеринбурге по теории представлений групп. В издательстве УрО АН СССР в 1990 г. вышла его монография «Представления и характеры в теории конечных групп».
В этом месте отметим, что 60-е годы были каким-то неопределенным периодом для кафедры. Когда авторы этой статьи учились на младших курсах, кафедрой алгебры и теории чисел заведовал профессор геометрии Владислав Степанович Малаховский – с 1968 г. сотрудник Калининградского университета. Только в
1970 году состоялся первый выпуск студентов, специализировавшихся по кафедре
алгебры и теории чисел. До этого по индивидуальным планам кафедру окончили
Владимир Степанович Пятков в 1967 г. (в 1974 г. уехал работать в Кемеровский
пединститут) и Семён Константинович Росошек в 1969 г. Затем после окончания
аспирантуры сотрудниками кафедры стали А.М. Себельдин и П.А. Крылов. Со
временем на кафедру пришли С.Я. Гриншпон (перед этим преподавал на кафедре
общей математики), А.Р. Чехлов, В.М. Мисяков. В 2011 году начали работать доцентами кафедры Е.Г. Зиновьев и Е.А. Тимошенко.
В 1966 году под руководством П.И. Трофимова защитил кандидатскую диссертацию «Голоморфы абелевых групп» Исаак Хаимович Беккер (1928 – 1997).
И.Х. Беккер заведовал кафедрой алгебры с небольшими перерывами с 1968 по
1997 год.
И.Х. Беккер окончил механико-математический факультет Томского госуниверситета в 1952 году и стал работать учителем математики средней школы № 43
Томска. В 1956 году Исаак Хаимович переходит на работу в Томский госуниверситет на кафедру алгебры и теории чисел. Он с большим мастерством читал лекции по алгебре, теории чисел, специальным курсам.
После защиты диссертации И.Х. Беккер организовал алгебраический кружок
для студентов, создал специализацию по алгебре на механико-математическом
факультете. На заседаниях кружка царила удивительно дружелюбная атмосфера.
На этих заседаниях рассматривались и первые небольшие исследования студентов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
129
по теории абелевых групп и модулей, и реферативные доклады по оригинальным
статьям и монографиям. Реферировались отдельные главы книг «Теория групп»
А.Г. Куроша, «Abelian groups» Л. Фукса. Интересно проходил выбор докладчика
на реферативных заседаниях кружка: готовились к заседанию все члены кружка
(в том числе и его руководитель), а затем жеребьевкой определялся докладчик.
С 1970 года на кафедре алгебры стал работать научный семинар и открылась аспирантура.
Время начиная с 1970 года можно считать «новой» историей кафедры алгебры,
а 1970-й год можно назвать годом рождения томской алгебраической школы
по теории абелевых групп и модулей. И.Х. Беккер и его первые аспиранты
С.Я. Гриншпон, П.А. Крылов, С.Ф. Кожухов, С.К. Росошек и А.М. Себельдин стали интенсивно изучать абелевы группы и модули. Темы исследований, предложенные И.Х. Беккером, были разнообразны и интересны. В дальнейшем некоторые из
них были признаны новыми направлениями в теории абелевых групп и модулей.
Сферой научных интересов И.Х. Беккера были голоморфы абелевых групп и
группы когомологий малых размерностей. Голоморф группы представляет собой
полупрямое произведение этой группы и ее группы автоморфизмов. Голоморф
абелевой группы является некоммутативной группой, поэтому исследование голоморфов абелевых групп соединяет в себе методы коммутативной и некоммутативной алгебры. До работ Исаака Хаимовича были известны лишь отдельные результаты о голоморфах конечных и конечнопорожденных групп. Методы исследования голоморфов абелевых групп, предложенные И.Х. Беккером, позволили
ему получить значительное продвижение в решении ряда проблем теории голоморфов групп. Им полностью был решен вопрос о совершенности голоморфов
абелевых групп с автоморфизмом 2, описаны автоморфизмы голоморфов различных межпрямых сумм, получены результаты о скрещенных гомоморфизмах групп
автоморфизмов абелевых групп.
И.Х. Беккер ввел понятие относительного голоморфа и исследовал различные
его свойства. Многие его работы посвящены задаче об определяемости абелевой
группы своим голоморфом. Он настойчиво находил различные классы абелевых
групп, определяющихся своими голоморфами, существенно расширив известные
классы, найденные американскими алгебраистами Миллером и Миллсом. Исааку
Хаимовичу принадлежит ряд интересных результатов о группах когомологий малых размерностей. Группы когомологий интересовали его не только как важный
алгебраический объект, а также в связи с их приложениями в топологии и теоретической физике. В 1988 году вместе с С.Ф. Кожуховым опубликовал книгу об
автоморфизмах и первых группах когомологий.
И.Х. Беккер опубликовал более 60 научных работ, написал 10 учебно-методических работ, среди которых учебник и сборник задач по теории линейных операторов векторных пространств.
Интенсивную научную работу И.Х. Беккер сочетал с подготовкой специалистов высокой квалификации через аспирантуру при кафедре алгебры. Начиная с
1975 года под руководством И.Х. Беккера защитили кандидатские диссертации
С.Я. Гриншпон, Ю.Б. Добрусин, С.Ф. Кожухов, П.А. Крылов, В.М. Мисяков, С.К.
Росошек, А.М. Себельдин, М.А. Турманов, Т.М. Флешер, М.Д. Фригер, А.Р. Чехлов, А.З. Шляфер, А.И. Шапошников, Е.В. Шапошникова. Стали докторами наук
С.Я. Гриншпон, С.Ф. Кожухов, П.А. Крылов, А.М. Себельдин, А.Р. Чехлов.
70-е – 80-е годы были периодом становления томской алгебраической школы.
Это было время напряженного научного поиска. Приходилось преодолевать мно-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
130
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
го трудностей (не всегда приглашали на конференции, были проблемы с публикациями в центральных журналах, в ТГУ не было диссертационного совета,…), о
которых нынешние «молодые», возможно, и не подозревают. А в 90-е годы томский коллектив алгебраистов получил определенное признание в кругах специалистов. И.Х. Беккера можно считать основателем томской школы по теории абелевых групп. В американском журнале «Rocky Mountain Journal of Mathematics»
(2002 г., № 4, с. 1161−1180) опубликована статья «Abelian groups in Russia», в которой коллектив кафедры алгебры ТГУ назван одним из трех центров по теории
абелевых групп в России (два других сосредоточены в Москве и СанктПетербурге).
Исаака Хаимовича отличали скромность, доброта, ответственность за порученное дело, высокая культура и образованность. Он любил литературу, был знатоком театра, слыл примерным семьянином, ценил домашний покой и уют. Имели
с супругой мичуринский участок, на котором проводили часть летнего времени.
С 1979 по 2000 год было издано 15 выпусков межвузовского научного сборника «Абелевы группы и модули». По 1990 год ответственным редактором сборника был известный математик профессор МГУ Л.А. Скорняков, с 1991 года –
профессор МГУ А.В. Михалев. В нем публиковались работы аспирантов, преподавателей и научных работников из разных городов, относящиеся к актуальным
проблемам теорий абелевых групп, колец и модулей. Сборник получил известность и признание в алгебраических кругах. Он сыграл значительную роль в становлении и развитии томской алгебраической школы.
Интересный спецкурс по теории упорядоченных алгебраических систем читал
для студентов, специализирующихся на кафедре алгебры, профессор кафедры математического анализа Герман Гаврилович Пестов. Исследования по теории упорядоченных систем были начаты Г.Г. Пестовым в 1964 году. Он ввел понятие nупорядоченного множества на основе обобщения понятия ориентации n-мерного
евклидова пространства. Г.Г. Пестов и его ученики получили ряд интересных результатов об упорядоченных группах и полях. Новые понятия и методы теории
двумерно упорядоченных полей были изложены в монографии Г.Г. Пестова
«Двумерно упорядоченные поля». Итоги многолетней работы Германа Гавриловича подведены в его докторской диссертации.
После окончания аспирантуры в 1973 году на кафедре алгебры продолжительное время работал профессор Анатолий Михайлович Себельдин. В настоящее
время он – сотрудник Нижегородского педуниверситета и университета г. Конакри (Гвинея). Научная работа А.М. Себельдина концентрируется вокруг решения для ряда классов абелевых групп известной проблемы изоморфизма: когда
две группы изоморфны, если их кольца эндоморфизмов изоморфны.
Профессор Сергей Федорович Кожухов окончил ММФ ТГУ в 1972 году, работал сотрудником, затем заведующим отделом математики НИИ ПММ при ТГУ.
Параллельно вел практические занятия по алгебре, читал спецкурс «Теория
групп», руководил курсовиками и дипломниками кафедры алгебры. Переехав в
Сургут, стал заведующим кафедры информационных технологий местного госуниверситета. Занимал пост проректора по учебной работе. Опубликовал ряд статей, посвященных группам автоморфизмов абелевых групп без кручения.
Более 30 лет до ухода на пенсию работал на кафедре алгебры доцент Владимир Александрович Романович. Он читал такие важные математические курсы
как «Основания математики», «Математическая логика и дискретная математика», «Линейная алгебра и геометрия».
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
131
В.А. Романович в период с 1975 по 2005 год предпринял ряд исследований в
некоторых разделах абстрактной теории решеток, а именно, в разделах, связанных
с теорией размерности упорядоченных множеств и решеток. Им получены новые
результаты, касающиеся локальной и порядковой размерностей решеток, а также
различных конструкций из решеток.
В частности, найдены выражения локальной размерности упорядоченного
произведения решеток через локальные размерности сомножителей в случае, когда упорядочивающее у-множество удовлетворяет условию минимальности. Установлено, что локальная размерность прямого произведения решеток равна сумме локальных размерностей сомножителей и найдены оценки для локальной размерности кардинальной степени модулярной решетки, когда основание степени –
модулярная решетка конечной длины, а показатель степени – конечное упорядоченное множество.
В.А. Романовичем исследованы также вопросы о размерностях (локальной и
порядковой) алгебраических вполне дистрибутивных решеток и полных колец
множеств, рассматриваемых как решетки относительно теоретико-множественного включения.
Им выделены некоторые классы решеток, для которых порядковая и локальная
размерности совпадают. Такими оказались класс решеток, представимых в виде
прямого произведения цепей, класс атомных булевых алгебр, класс сепарабельных булевых алгебр, а также класс полных колец множеств, в каждом из которых
множество всех вполне ∨-неразложимых элементов счетно и не содержит бесконечных цепей.
По указанной тематике под руководством В.А. Романовича выполнен ряд дипломных работ. Недавно в издательстве ТГУ вышел его учебник «Лекции по математической логике», получивший гриф УМО.
Владимир Александрович увлекается лыжным спортом, зимой его можно часто увидеть на лыжне в живописных окрестностях Томска.
С 1997 года кафедрой алгебры заведует профессор Петр Андреевич Крылов.
В настоящее время сотрудниками кафедры алгебры являются: профессора
П.А. Крылов, С.Я. Гриншпон, А.Р. Чехлов, доценты С.К. Росошек, В.М. Мисяков,
Е.А. Тимошенко, Е.Г. Зиновьев.
Области научных интересов П.А. Крылова – теории абелевых групп, модулей
и колец. Основные результаты получены им в следующих направлениях этих теорий: кольца эндоморфизмов абелевых групп (радикалы колец эндоморфизмов,
группы как модули над кольцами эндоморфизмов, кольца эндоморфизмов со специальными свойствами, в частности наследственные кольца эндоморфизмов),
транзитивные и вполне транзитивные абелевы группы (т.е. группы с достаточно
большим числом автоморфизмов или эндоморфизмов), sp-группы и модули над
sp-кольцами, группы расширений абелевых групп. Изучение групп расширений
привело к решению для групп без кручения конечного ранга проблемы 11.51 из
Коуровской тетради (известный сборник нерешенных задач теории групп) и проблемы 43 из книги Л. Фукса «Бесконечные абелевы группы».
В последнее время вместе с А.А. Туганбаевым исследует кольца обобщенных
матриц и модули над ними, идемпотентные функторы и локализации в категориях
модулей и абелевых групп. В частности, их внимание привлекли определители и
эндоморфизмы Фробениуса обобщенных матриц.
Совместно с профессорами из Москвы А.В. Михалевым и А.А. Туганбаевым
П.А. Крылов опубликовал книги о кольцах эндоморфизмов абелевых групп и мо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
132
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
дулях над областями дискретного нормирования в ТГУ, издательствах: Факториал
Пресс (Москва), Kluwer Akademic Publishers (Нидерланды), Walter de Gruyter
(Берлин). Вместе с А.А. Туганбаевым и А.Р. Чехловым является автором двух
сборников задач по общей алгебре (изданы ТГУ и Факториал Пресс).
Пётр Андреевич читает лекции по курсу «Алгебра», несколько лет читал спецкурс «Кольца и модули» для студентов Горно-Алтайского госуниверситета. Организовывал студенческие научные кружки по алгебре.
В 1975 г. П.А. Крылов защитил кандидатскую диссертацию «Радикалы колец
эндоморфизмов абелевых групп без кручения» (оппоненты Е.Н. Кузьмин,
А.В. Михалев), в 1991 г. – докторскую диссертацию «Кольца эндоморфизмов и
структурная теория абелевых групп» (оппоненты А.В. Михалев, Ю.М. Рябухин,
В.К. Харченко) в Институте математики СО РАН.
П.А. Крылов – заместитель председателя диссертационного совета Д.212.267.21
при ТГУ, эксперт РФФИ по алгебре. В 1996 и 2005 годах получил премию ТГУ за
высокие достижения в науке. Лауреат премии Томской области в сфере образования, науки, здравоохранения и культуры за 2010 год, награжден медалью «За заслуги перед городом», имеет благодарность администрации Томской области за
большой вклад в развитие науки и высшего образования.
Петр Андреевич любит бывать на природе: в лесу, у озера или реки, на своем
мичуринском участке – мастерить что-нибудь своими руками, а дома – спокойно
посидеть с книгой в руках.
Профессор Самуил Яковлевич Гриншпон разработал новое направление исследования вполне характеристических подгрупп абелевых групп, тесно связанное с понятием «вполне транзитивность». Он открыл новые классы вполне транзитивных групп, для которых получил описание вполне характеристических подгрупп и их решеток. С.Я. Гриншпон дал полное описание вполне характеристических подгрупп и их решеток для сепарабельных р-групп, сепарабельных групп
без кручения, векторных групп и смешанных вполне разложимых групп. Им описаны абелевы группы из различных классов, в которых решетка вполне характеристических подгрупп дистрибутивна, обобщенно дистрибутивна, является цепью. Он осуществил также исследование f.i.-корректных групп, то есть групп, для
которых верен аналог известной теоремы Кантора – Шредера – Бернштейна.
С.Я. Гриншпон нашел необходимые и достаточные условия для р-групп А и
В, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов этих групп влечет изоморфизм
самих групп А и В. Это дает решение проблемы 41 Л.Фукса из его монографии
«Abelian groups».
С.Я. Гриншпон дал полный ответ на вопрос, когда группа Hom(A, C) = 0 в
случае, когда хотя бы одна из групп А,С – периодическая. Он исследовал вопрос
о равенстве нулю группы гомоморфизмов Hom(A, C) в случае, когда С – однородная сепарабельная группа, в частности С – группа без кручения ранга 1 (см. в
связи с этим проблему 7 из «Problems in Abelian groups», Proc. of the Symposium of
Abelian groups, New Mexico, 1963).
С.Я. Гриншпон исследовал р-группы с элементами бесконечной высоты и выделил широкий класс групп, дающий отрицательное решение проблемы 25 И. Капланского из «Problems in Abelian groups».
Большое внимание С.Я. Гриншпон уделяет исследованиям в области методики
преподавания математики в школе и вузе. Он является автором ряда методических статей и учебных пособий для школьников и студентов. Шесть учебных пособий, одним из авторов которых является С.Я. Гриншпон, получили гриф Мини-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
133
стерства образования РФ, три из них вышли в издательстве «Просвещение». Ведет курсы «Дискретная математика» и «Математическая логика».
С.Я. Гриншпон является членом Американского математического общества,
членом Международной научной группы по алгебраическим процессам и структурам в рамках Международной комиссии по математическому образованию, референтом журнала «American Mathematical Reviews».
Самуил Яковлевич – дважды лауреат премии Томской области в сфере образования и науки (1997, 2008 гг.). Он любит театр, кино, концерты классической
музыки. Располагает видеозаписями многих оперных и балетных спектаклей,
фильмов известных режиссеров мирового кинематографа.
Профессор Андрей Ростиславович Чехлов получил значительные результаты в
важном разделе теории абелевых групп, который условно можно назвать как
«группы, богатые эндоморфизмами» или «группы, близкие к алгебраически компактным».
Им введен и изучен новый класс групп – cs-группы, это группы, в которых все
замкнутые чистые подгруппы являются прямыми слагаемыми, а также близкий к
нему класс qcpi-групп. А.Р. Чехлов охарактеризовал вполне транзитивные группы
без кручения, все ненулевые эндоморфизмы которых есть мономорфизмы. Он построил пример счетной транзитивной, не вполне транзитивной группы без кручения без ненулевых элементов максимального типа; существование групп с такими
свойствами ранее не было известно. Описал слабо транзитивные группы в одном
широком классе групп; нашел новые критерии вполне транзитивности разложимых групп без кручения и описал строение qcpi-групп в ряде классов групп. Он
получил структурное описание квазичисто инъективных групп без кручения, что
вносит существенный вклад в решение проблемы 17 а) Л. Фукса.
А.Р. Чехлов получил интересные и глубокие результаты о квазичисто инъективных группах и cs-группах. Он доказал, что алгебраически компактные группы
– это в точности группы, выделяющиеся прямыми слагаемыми в каждой группе,
содержащей их в качестве замкнутых сервантных подгрупп. Это новая характеризация алгебраически компактных групп, получена также характеризация p-адических алгебраически компактных групп. Новое направление, развитое в этих исследованиях: теория абелевых cs-групп, qcpi-групп и слабо квазичисто инъективных групп. Достигнуто существенное продвижение в направлении структурной теории квазичисто инъективных групп без кручения и близких к ним классов
групп: вполне транзитивных и слабо транзитивных групп без кручения.
А.Р. Чехлов нашел необходимые и достаточные условия, при которых сепарабельные и векторные группы без кручения являются нильгруппами. Подобные
результаты получены для групп, являющихся прямыми произведениями групп
p-ранга 1.
Им изучались проективно инвариантные подгруппы. Указано строение таких
подгрупп в нередуцированных и расщепляющихся группах и описаны сепарабельные и векторные группы без кручения, все проективно инвариантные подгруппы которых являются инвариантными.
В последнее время Андрей Ростиславович изучал абелевы группы и модули с
различными ограничениями на коммутаторы их эндоморфизмов – это новое направление в теории абелевых групп и модулей. Им введены понятия эндоморфно
разрешимых, нильпотентных и энгелевых модулей и групп; приведены различные
примеры таких модулей и групп и построена теория таких групп.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
134
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
В 2004 году им опубликован сборник задач по теории групп, получивший гриф
УМО. Он читает лекции по алгебре для студентов математиков и механиков
ММФ.
Андрей Ростиславович увлекается историей математики, является заядлым
огородником и рыболовом. На его мичуринском участке всегда вырастает отличный урожай ягод, фруктов и овощей.
Исследования доцента Виктора Михайловича Мисякова относятся к теории
абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Он получил описание сепарабельности прямых произведений произвольных абелевых групп; нашел необходимые и
достаточные условия, при которых произвольное кольцо является кольцом эндоморфизмов некоторой абелевой группы (см. в связи с этим проблему 84 из монографии Л. Фукса «Бесконечные абелевы группы»); описал на матричном языке
строение радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов смешанной вполне разложимой абелевой группы (см. в связи с этим проблему 19 из книги П.А. Крылова,
А.В. Михалёва, А.А. Туганбаева «Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов»).
В.М. Мисяков совместно с А.В. Карпенко получил описание нередуцированных групп, имеющих регулярный центр кольца эндоморфизмов и нашел некоторые необходимые условия регулярности кольца эндоморфизмов для редуцированных абелевых групп.
Он получил также описание нередуцированных абелевых групп, имеющих
коммутативное кольцо эндоморфизмов и выделил некоторый класс редуцированных смешанных абелевых групп, в котором исследование смешанных групп с
коммутативным кольцом эндоморфизмов сводится к исследованию групп без
кручения с коммутативным кольцом эндоморфизмов, что для данного класса
групп является решением проблемы 15 из книги «Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов».
Виктор Михайлович ведет общий курс «Теория чисел». Он всегда уделяет
много времени работе со студентами – курсовиками и дипломниками, а теперь
бакалаврами и магистрантами.
Научные интересы доцента Семена Константиновича Росошека относятся к
теоретической, прикладной и компьютерной алгебре, а также криптографии и математическому образованию.
Основные научные результаты в теории абелевых групп, колец и модулей получены им по теме «Чистая теория колец, модулей и абелевых групп» (чистота
понимается в смысле П. Кона). Эти результаты концентрируются вокруг проблемы изоморфизма над различными кольцами модулей, каждый из которых изоморфен чистому подмодулю другого модуля.
В области прикладной алгебры С.К. Росошек получил ряд результатов в алгебраической теории динамических систем, в частности, по проблемам управляемости, достижимости и назначаемости полюсов, а также конструированию контуров обратной связи для динамических систем над различными классами колец,
которые обобщают классическую теорию Калмана для динамических систем над
полем. В области компьютерной алгебры он разработал быстрые алгоритмы
вычислений в некоторых алгебраических структурах; разработал и применил в
учебном процессе компьютерную программу «Визуальная алгебра», в которой
реализованы различные алгоритмы компьютерной визуализации алгебраических
структур.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
135
В области криптографии основные научные результаты С.К. Росошека относятся к криптосистемам, построенным в группах автоморфизмов групповых колец
для различных групп и колец.
С.К. Росошек в качестве руководителя группы разработчиков был в числе победителей конкурса Центра тестирования Министерства образования РФ и участвовал в исследовании динамики успешности учащихся в процессе обучения математике в средней школе.
Семен Константинович является активным футбольным болельщиком. Он в
курсе всех футбольных событий в нашей стране и за рубежом, смотрит трансляции матчей своих любимых команд: томской «Томи» и московского «Динамо» и,
конечно, сборной России по футболу.
Доцент Егор Александрович Тимошенко получил полное описание идемпотентных радикалов в категории модулей над csp-кольцами, а также образуемой
такими радикалами решётки. Доказал структурные теоремы, устанавливающие
строение проективных модулей над csp-кольцами. Кроме того, получен ряд содержательных результатов, связанных с базовыми полями csp-колец.
Егор увлекается интеллектуальными играми. Является трёхкратным чемпионом Новосибирска по «Своей игре», а возглавляемая им команда «Т-400» два года
подряд становится чемпионом Томска по игре «Что? Где? Когда?». Работает над
докторской диссертацией.
Научная работа доцента Егора Геннадьевича Зиновьева связана с изучением
sр-колец и модулей над ними. Он интересуется также некоторыми разделами
криптографии. Читает спецкурс по криптографии. Егор увлекается игрой на классической гитаре.
Сотрудники кафедры алгебры читают следующие общие курсы для студентов
ММФ: «Алгебра», «Дискретная математика», «Математическая логика», «Теория
чисел», а также «Алгебра и геометрия» для студентов факультета информатики.
Для бакалавров читаются спецкурсы по теории групп, теории колец и модулей, по
абелевым группам, гомологической алгебре, теории решеток, основам криптографии и для магистрантов: «Теория категорий», «Симметрия в алгебре», «Кольца
эндоморфизмов», «Избранные вопросы теории групп», «Дополнительные главы
теории колец и модулей», «Криптография».
Перечислим аспирантов, защитивших свои кандидатские диссертации по алгебре.
Аспиранты профессора П.А. Крылова.
• В 1998 году в МПГУ защитила диссертацию «Группа Hom(A,B) как инъективный модуль над кольцами эндоморфизмов» Елена Григорьевна Пахомова. В
работе находятся условия инъективности указанного модуля над кольцами Е(А) и
Е(В). В настоящее время Е.Г. Пахомова – доцент ТПУ.
• Вместе с Е.Г. Пахомовой в МПГУ защитила диссертацию «Абелевы группы
как артиновы или нетеровы модули над кольцами эндоморфизмов» Елена Ивановна Подберезина. В работе группа Hom(A,B) изучается как артинов или нетеров
модуль над кольцом Е(А) или Е(В). Сейчас Е.И. Подберезина – доцент ТПУ.
• В 2002 году защитил диссертацию «Изоморфизмы тензорных произведений
модулей и Т-модули» Михаил Анатольевич Приходовский, работающий доцентом ТУСУРа. В работе рассматриваются различные свойства Т-модулей, Е-модулей, Т-колец и Е-колец.
• В 2005 году защитил диссертацию «Т-радикалы в категории модулей» Егор
Александрович Тимошенко. В работе, в частности, описаны все T(F)-радикалы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
136
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
категории Z-mod и выяснено строение образуемой ими решетки. Е.А. Тимошенко
– доцент ТГУ.
• В 2008 году в СФУ защитила диссертацию «Большие абелевы группы» Олеся Мирославовна Бабанская. Работа посвящена выявлению связей между группами гомоморфизмов, прямыми суммами и прямыми произведениями. В настоящее
время О.М. Бабанская − проректор по учебной и научной работе Томского экономико-юридического института.
• В 2009 году в МПГУ защитил диссертацию «Кольца псевдоалгебраических
чисел и модули над ними» Егор Геннадьевич Зиновьев. В работе рассмотрены
свойства колец псевдоалгебраических чисел. Описаны инъективные и делимые
модули, конечно порожденные проективные модули над такими кольцами. Установлены связи конечной порожденности модуля с другими условиями типа конечности (малость, самомалость модуля, дискретность кольца эндоморфизмов в
конечной топологии). Получены некоторые результаты категорного характера.
Сейчас Е.Г. Зиновьев – доцент ТУСУРа и ТГУ.
• В тот же день в МПГУ защитил диссертацию «Модули над кольцами обобщенных матриц» Егор Юрьевич Ярдыков. В работе описаны минимальные и максимальные подмодули модулей над кольцами обобщенных матриц, цоколь и радикал таких модулей. Содержатся и другие результаты. Е.Ю. Ярдыков преподавал
математику в ТУСУРе, в настоящее время он – учитель математики Тогурской
школы.
Аспиранты профессора С.Я. Гриншпона.
• В 2002 году защитила диссертацию «Почти изоморфизм абелевых групп и
аналог теоремы Кантора – Шредера – Бернштейна» Анна Игоревна Шерстнева.
В работе выделяются широкие классы абелевых групп, в которых из почти изоморфизма групп по произвольным и сервантным подгруппам следует изоморфизм
групп. В настоящее время А.И. Шерстнева работает доцентом ТПУ.
• В 2002 году защитил диссертацию «Автоморфизмы группы гомоморфизмов
абелевых групп» Владислав Борисович Коновалов. В работе исследованы автоморфизмы группы Hom(A, B), индуцированные автоморфизмами групп А и В.
В исследовании таких автоморфизмов использован не только аппарат теории абелевых групп, но и разработан алгоритм на языке Delphi, позволяющий решать
поставленные задачи в некоторых классах групп. В.Б. Коновалов преподавал
алгебру в ТГПУ, в настоящее время он – сотрудник одной страховой компании
Сургута.
• В 2003 году защитил диссертацию «Определяемость абелевых групп своими
подгруппами и почти изоморфизм» Андрей Константинович Мордовской. В работе установлены взаимосвязи между различными обобщениями понятия изоморфизма для абелевых групп; найдены критерии определяемости группы своими
подгруппами в различных классах абелевых групп; получено полное описание
корректных периодически полных групп. В настоящее время А.К. Мордовской
работает проректором по учебной работе Бурятского госуниверситета.
• В 2009 году защитила диссертацию «Малые абелевы группы» Ирина Владимировна Гердт. В работе исследованы свойства малых групп относительно
произвольного класса групп; описаны группы, малые относительно различных
классов абелевых групп. И.В. Гердт преподавала математику в ТУСУРе, в настоящее время она − сотрудник одной страховой компании Сургута.
• В 2009 году защитила диссертацию «Гомоморфная устойчивость абелевых
групп» Тамара Александровна Ельцова. В работе исследована гомоморфная ус-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
137
тойчивость прямых сумм, прямых слагаемых и гомоморфная устойчивость относительно прямых произведений; получены критерии гомоморфной устойчивости
абелевых групп относительно различных классов групп. В настоящее время
Т.А. Ельцова работает доцентом ТУСУРа.
Аспирантка профессора С.Ф. Кожухова.
• В 1998 году защитила диссертацию «Группы автоморфизмов абелевых групп
без кручения конечного ранга» Инна Леонтьевна Фаустова. Один из основных результатов – описание групп ранга 2, обладающих автоморфизмом порядка 4 (или
6), и их групп автоморфизмов. И.Л. Фаустова – доцент Северского технологического института.
Аспирантка профессора А.Р. Чехлова.
• В 2010 году защитила диссертацию «Определяемость абелевых групп своими голоморфами и подобие абелевых групп» Ирина Эдуардовна Гриншпон.
В работе исследованы голоморфный изоморфизм и почти голоморфный изоморфизм групп в связи с задачей определяемости абелевых групп своим голоморфом
и изучено подобие почти изоморфных абелевых групп в некоторых классах
р-групп и групп без кручения. В работе, в частности, доказано, что всякая абелева
группа без кручения с периодической группой автоморфизмов определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп, найдены необходимые и достаточные условия определяемости векторных групп своими голоморфами. В настоящее
время И.Э. Гриншпон работает доцентом ТУСУРа.
Многие люди поддерживали и поддерживают томских алгебраистов. Мы всегда будем помнить Анну Петровну Мишину, Леонида Яковлевича Куликова, Льва
Анатольевича Скорнякова. Анна Петровна в 70-е годы приезжала в Томск на
конференции по математике и механике. Томичи с искренним уважением и теплотой относились к ней. Лев Анатольевич − основатель мощной московской школы по теории колец и модулей – читал в ТГУ спецкурс. Известная книга
А.П. Мишиной и Л.А. Скорнякова «Абелевы группы и модули» регулярно бывает
на наших рабочих столах. Всегда было много волнений перед выступлением на
семинаре в МГПИ. Ещё бы – руководитель семинара сам Куликов – классик и
патриарх теории абелевых групп!
Кафедра сотрудничает с профессорами А.В. Михалевым, А.А. Фоминым,
А.А. Туганбаевым, И.Б. Кожуховым, Е.И. Компанцевой, А.В. Царевым из Москвы,
Ю.М. Рябухиным и А.И. Кашу из Кишинева, Е.А. Благовещенской и А.В. Яковлевым из Санкт-Петербурга, Л.А. Бокутем из Новосибирска, В.М. Левчуком из
Красноярска, Кристианом Карпфингером из Мюнхена и многими другими. Всем
им мы благодарны. Отдельное спасибо Александру Васильевичу Михалеву, Леониду Аркадьевичу Бокутю, Александру Александровичу Фомину. Их помощь неоценима.
В настоящее время в ТГУ активно функционирует современная научная школа
по алгебре. Основные направления работы школы – теории абелевых групп, модулей и колец, некоторые разделы прикладной и компьютерной алгебры, криптографии. Ядро школы составляют преподаватели кафедры алгебры. В 1996 – 1999
годах кафедры алгебры и математического анализа выполняли проект по гранту
Ведущей научной школы (проектом руководил профессор член-корреспондент
РАО Игорь Александрович Александров). В 1998 году на основе кафедр алгебры
и теории функций (этой кафедрой заведует профессор Сергей Порфирьевич Гулько) открыта лаборатория алгебры и топологии.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
138
Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета
Сотрудники кафедры алгебры стараются сохранить дух и традиции школы,
творческую и доброжелательную атмосферу научного поиска. Как и 40 лет назад,
по четвергам заседает научный семинар – атрибут любой серьезной школы. Участники семинара либо рассказывают о своих результатах, либо реферируют статьи и книги. Например, в прошедшем учебном году знакомились с новой книгой
по теории колец автора с мировым именем в этой области Аскара Акановича Туганбаева.
Работает аспирантура. Подготовила диссертацию Мария Михайловна Никольская (училась у нас в аспирантуре, теперь преподаватель ТГАСУ). Темы работ аспирантов разнообразны. Александр Буданов исследует радикалы колец эндоморфизмов, Евгений Кайгородов (выпускник Горно-Алтайского госуниверситета)
изучает хопфовы группы, Дмитрий Проскуряков занимается криптосистемами
нового типа, основанными на групповых кольцах, Михаил Рогозинский рассматривает вполне транзитивные абелевы группы, Константин Сорокин исследует
группы и модули с чистыми кольцами эндоморфизмов.
Кафедра алгебры ТГУ развивается…
С.Я. Гриншпон, П.А. Крылов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 3(15)
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
АЛЕКСАНДРОВ Игорь Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАО, заведующий кафедрой математического анализа Томского
государственного университета. E-mail: ma@math.tsu.ru
АФАНАСЬЕВА Светлана Ахмед-Рызовна – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. Е-mail:
s.a.afanasyeva@mail.ru
БАРТ Андрей Андреевич – аспирант кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования механико-математического факультета. E-mail: bart@math.tsu.ru
БЕЛИКОВ Дмитрий Анатольевич – кандидат физико-математических наук, младший
научный сотрудник лаборатории высокопроизводительных вычислений механико-математического факультета. E-mail: dmitry.belikov@nies.go.jp
БЕЛОВ Николай Николаевич – доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Научно-исследовательского института прикладной математики и
механики Томского государственного университета. Е-mail: n.n.belov@mail.ru
БЕЛОУСОВА Анна Олеговна – студентка механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: fire@mail.tsu.ru
БОНДАРЧУК Сергей Сергеевич – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, старший научный сотрудник лаборатории номер 5 Института проблем химико-энергетических технологий Сибирского отделения Российской академии наук.
E-mail: isbi@mail.ru
БОРИСОВ Борис Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и промышленной теплотехники Энергетического института Томского политехнического университета. E-mail: tskbbv@yandex.ru, bvborisov@tpu.ru
БУРКИН Виктор Владимирович – кандидат физико-математических наук, заведующий
сектором Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: ichan@niipmm.tsu.ru
ГОЛОВАНОВ Александр Николаевич − доктор технических наук, профессор, профессор кафедры физической и вычислительной механики Томского государственного университета. E-mail: fire@mail. tsu.ru
ГРИНШПОН Самуил Яковлевич – доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: grinshpon@math.tsu.ru
ГРИШИН Анатолий Михайлович – доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, заведующий кафедрой физической и вычислительной механики механико-математического факультета Томского государственного университета.
E-mail: fire@mail.tsu.ru
ЖУКОВ Александр Степанович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института физики прочности и материаловедения Сибирского отделения
Российской академии наук, докторант физико-технического факультета Томского государственного университета. E-mail: asz57@mail.ru
ИЩЕНКО Александр Николаевич – доктор физико-математических наук, профессор,
заместитель директора Научно-исследовательского института прикладной математики и
механики Томского государственного университета. E-mail: ichan@niipmm.tsu.ru
КОПАНЕВА Лидия Сергеевна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
математического анализа Томского государственного университета. E-mail: vestnik_tgu_
mm@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
140
Сведения об авторах
КРЫЛОВ Петр Андреевич − доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры Томского государственного университета. E-mail: krylov@
math.tsu.ru
МАРЦЕНКО Максим Сергеевич – аспирант физико-технического факультета Томского
государственного университета. E-mail: martsenko@sibmail.com
МАТВЕЕВ Иван Васильевич – аспирант механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: mivvas@mail.ru
НИКОЛЬСКАЯ Мария Михайловна – ассистент кафедры высшей математики Томского
государственного архитектурно-строительного университета. E-mail: mary_s83@mail.ru
ОНИЩУК Надежда Максимовна ─ кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: onishuk.nadezhda@yandex.ru
ПЕСТОВ Герман Гаврилович – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа Томского государственного университета.
E-mail: pppestov@mail.tomsknet.ru
РОТАНОВА Татьяна Александровна – аспирантка Института гидродинамики
им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук. Е-mail: t.stekina@
gmail.com
РУЛЕВА Евгения Валерьевна − аспирантка кафедры физической и вычислительной механики механико-математического факультета Томского государственного университета.
E-mail: fire@mail.tsu.ru
СТАРЧЕНКО Александр Васильевич – доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой вычислительной математики и компьютерного моделирования механико-математического факультета. E-mail: starch@math.tsu.ru
ТИМОШЕНКО Егор Александрович – кандидат физико-математических наук, доцент,
доцент кафедры общей математики механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: tea471@mail.tsu.ru
ЦОКОЛОВА Ольга Вячеславовна – аспирантка кафедры геометрии механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: tov234@mail.ru
ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович – доктор физико-математических наук, профессор,
профессор кафедры алгебры Томского государственного университета. E-mail: cheklov@
math.tsu.ru
ШВАБ Александр Вениаминович – доктор физико-математических наук, профессор,
профессор физико-технического факультета Томского государственного университета. Email: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ЮГОВ Алексей Александрович – кандидат технических наук, докторант кафедры металлических и деревянных конструкций Томского государственного архитектурно-строительного университета. Е-mail: yugalex@sibmail.com
ЮГОВ Николай Тихонович – доктор физико-математических наук, профессор, ведущий
научный сотрудник Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. Е-mail: n.t.yugov@mail.ru
ЯКИМОВ Анатолий Степанович − доктор технических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры физической и вычислительной механики Томского государственного университета. E-mail: yakimovas@mail.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа