close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1086.Вестник Томского государственного университета. Математика и механика №4 2011

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ УНИВЕРСИТЕТА
И НАУКИ РФ
Математика и механика
2011
4(16)
ВЕСТНИК
ТОМСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
TOMSK STATE UNIVERSITY
JOURNAL OF MATHEMATICS AND MECHANICS
Научный журнал
2011
№ 4(16)
Свидетельство о регистрации: ПИ № ФС77-30658
от 20 декабря 2007 г.
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
Е.А. Пчелинцев
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ЖУРНАЛА
«ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА.
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА»
Глазунов А.А., д-р физ.-мат. наук, проф. (председатель); Гулько С.П., д-р физ.-мат. наук,
проф. (зам. председателя); Лазарева Е.Г., канд. физ.-мат. наук, доц. (отв. секретарь); Александров И.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Берцун В.Н., канд. физ.-мат. наук, доц.; Биматов В.И., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бубенчиков А.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бухтяк М.С., канд. физ.-мат. наук, доц.; Васенин И.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Гришин А.М.,
д-р физ.-мат. наук, проф.; Ищенко А.Н., д-р физ.-мат. наук, проф.; Конев В.В., д-р физ.-мат.
наук, проф.; Крылов П.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Лейцин В.Н., д-р физ.-мат. наук,
проф.; Панько С.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Пергаменщиков С.М., д-р физ.-мат. наук,
проф.; Сипачёва О.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Скрипняк В.А., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Старченко А.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Шрагер Г.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Шрагер Э.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.; Cauty R., prof.
Научный журнал «Вестник Томского государственного университета. Математика и
механика» был выделен в самостоятельное периодическое издание из общенаучного журнала «Вестник Томского государственного университета» в 2007 г. Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере массовых коммуникаций, связи и охраны
культурного наследия (свидетельство о регистрации ПИ № ФС 77-30658 от 20 декабря
2007 г.), ему присвоен международный стандартный номер сериального издания (ISSN
1998-8621). Журнал выходит ежеквартально и распространяется по подписке, его подписной индекс 44064 в объединённом каталоге «Пресса России».
«Вестник ТГУ. Математика и механика» входит в систему Российского индекса научного цитирования (РИНЦ) на платформе http://elibrary.ru, а также в Перечень ВАК изданий
для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций. Кроме того, все номера журнала присутствуют и обрабатываются на общероссийском математическом портале http://Math-Net.ru.
Адрес редакции:
634050, г. Томск, пр. Ленина, д.36, корп. 2, к. 417
Электронный адрес: http://vestnik.tsu.ru/mathematics
Контактный тел./факс: (3822) 529-740
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ООО «Издательство научно-технической литературы»
634050, Томск, пл. Ново-Соборная, 1, тел. (3822) 533-335
Редактор Т.С. Портнова
Верстка Д.В. Фортеса
Изд. лиц. ИД № 04000 от 12.02.2001. Подписано к печати 05.12.2011.
Формат 70 × 100 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. п. л. 11,29. Уч.-изд. л. 12,64. Тираж 300 экз. Заказ № 41.
Отпечатано в типографии «М-Принт», г. Томск, ул. Пролетарская, 38/1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Пчелинцев Е.А. Процедура Джеймса – Стейна для условно-гауссовской регрессии............6
Фам Тхи Тху Тхюи. Периодические абелевы afi-группы.......................................................18
МЕХАНИКА
Бовсуновский А.Б., Бутов В.Г., Хвалько А.А. Архитектура интегрированной системы для проведения механического анализа бортовой радиоаппаратуры космических аппаратов ...................................................................................................................23
Бовсуновский А.Б., Ящук А.А., Хвалько А.А. База данных интегрированной системы для проведения механического анализа бортовой радиоаппаратуры космических аппаратов ...................................................................................................................29
Бордовицына Т.В., Александрова А.Г., Чувашов И.Н. Численное моделирование
динамики околоземных космических объектов искусственного происхождения с
использованием параллельных вычислений .......................................................................34
Бутов В.Г., Васенина Т.В., Кувшинов Н.Е., Овечкин Г.И., Ящук А.А. Организация базы данных для численного моделирования температурных полей элементов конструкции космических аппаратов............................................................................49
Васенин И.М., Глазунов А.А., Еремин И.В., Устинов С.Н., Финченко В.С. Численное моделирование процесса взрыва компонентов жидких топлив............................55
Галушина Т.Ю. Перечень астероидов, сближающихся с Землей и движущихся в
окрестности орбитальных резонансов низких порядков с внутренними планетами ..........61
Герасимов А.В., Пашков С.В., Христенко Ю.Ф. Защита космических аппаратов
от техногенных и естественных осколков. Эксперимент и численное моделирование .......................................................................................................................................70
Глазунов А.А., Гольдин В.Д., Зверев В.Г., Устинов С.Н. Аэродинамический нагрев топливных баков космического разгонного блока при спуске в атмосфере............79
Голованов А.Н., Фатеев В.Н. Экспериментальное исследование процессов усиления ударных волн ..................................................................................................................96
Жуков А.П. Реакция отражающей поверхности крупногабаритного рефлектора на
действие возмущающего импульса ...................................................................................101
Пономарев С.В. Трансформируемые рефлекторы антенн космических аппаратов ...........110
МЕМУАРЫ, ПАМЯТНЫЕ ДАТЫ, ПЕРСОНАЛИИ
Гришин А.М. Академик Н.Н. Яненко и его влияние на создание ведущей научнопедагогической школы «Сопряженные задачи механики реагирующих многофазных сред, информатики и экологии» Томского государственного университета........................................................................................................................................120
Кривякова Э.Н. Поток вторичных частиц в окололунном пространстве ...........................131
Сергей Анатольевич КОПАНЕВ (к 70-летию со дня рождения).......................................134
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ......................................................................................................137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Процедура Джеймса – Стейна для условно-гауссовской регрессии
5
К 50-летию первого полёта
человека в космос
12 апреля 2011 года Россия и весь мир отметили знаменательное событие –
50-летие первого полета человека в космос. Согласно решению Организации Объединенных Наций (ООН) День российской космонавтики официально избран международным днем космонавтики.
Первый полет в космос был выдающимся, грандиозным событием как для нашей страны, так и для всего человечества.
Подготовка полета Ю. Гагарина была всенародным делом. Множество научнотехнических коллективов вложили свой труд и талант в преодоление барьеров на
пути человека в космос и возвращение его на родную Землю.
Нужно отметить вклад сотрудников Томского государственного университета
в работы по ракетно-космической тематике.
В 1962 года на базе специального отделения был организован физико-технический факультет, а в 1968 году был возрождён Научно-исследовательский институт
прикладной математики и механики как базовые подразделения для подготовки
специалистов и проведения научных исследований для ракетно-космической отрасли. Также велась подготовка специалистов и проводились научные исследования по ряду космических направлений в Сибирском физико-техническом университете, Научно-исследовательском институте биологии и биофизики и на радиофизическом, механико-математическом, физическом и химическом факультетах ТГУ.
Закладывались основы подготовки в классическом университете инженеров,
имеющих фундаментальные знания по физике, химии и математике, способных
применять методы физического и математического моделирования для проектирования новых технологий и устройств.
Среди выпускников ТГУ есть выдающиеся ученые, внесшие большой вклад в
ракетостроение и космонавтику. Это академики РАН Г.В. Сакович, А.М. Липанов,
член-корр. РАН Ю.М. Милехин, руководители научных школ ТГУ профессора
В.А. Шваб, В.Н. Вилюнов, И.М. Васенин, Т.М. Платова, А.М. Гришин и многие
другие.
В настоящее время в ТГУ расширился диапазон подготовки специалистов и
направлений исследований по ракетно-космической тематике. Некоторые результаты таких исследований представлены в этом номере журнала. По решению
редколлегии номер посвящается 50-летию первого полёта человека в космос.
Председатель редакционной коллегии журнала
«Вестник Томского государственного университета.
Математика и механика»
Проф. А.А. Глазунов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.16; 519.2
Е.А. Пчелинцев
ПРОЦЕДУРА ДЖЕЙМСА – СТЕЙНА
ДЛЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКОЙ РЕГРЕССИИ
В статье рассматривается задача оценивания р-мерного (p≥2) вектора среднего многомерного условно-гауссовского распределения при квадратической функции потерь. Задача такого типа возникает, например, при оценивании параметров непрерывной регрессионной модели с негауссовским
процессом Орнштейна – Уленбека. Предлагается модификация процедуры
Джеймса – Стейна вида θ*(Y) = (1–c/||Y||)Y, где Y – наблюдение и с > 0 – специальная константа. Для этой оценки найдена явная верхняя граница для
квадратического риска и показано, что ее риск строго меньше риска обычной оценки максимального правдоподобия для размерности p≥2. Эта процедура применяется к проблеме параметрического оценивания непрерывной
условно-гауссовской регрессии и к оцениванию вектора среднего многомерного нормального распределения, когда ковариационная матрица неизвестна
и зависит от некоторых мешающих параметров.
Ключевые слова: условно-гауссовская регрессия, улучшенное оценивание,
процедура Джеймса – Стейна, негауссовский процесс Орнштейна – Уленбека.
Введение
В 1961 г. Джеймс и Стейн, рассматривая задачу оценивания вектора среднего θ
p-мерного нормального распределения случайного вектора Y c единичной ковариационной матрицей Ip, ввели оценку
p−2⎞
(1)
Y,
θˆ JS = ⎜⎛1 −
2 ⎟
Y ⎠
⎝
которая для p≥3 превосходит оценку максимального правдоподобия
θˆ = Y
(2)
ML
при квадратическом риске
2
R (θ, θˆ ) = Eθ θ − θˆ ,
(3)
т.е. для всех значений параметра θ
R (θ, θˆ JS ) < R (θ, θˆ ML ) .
Этот неожиданный результат вызвал большой интерес математиков статистиков и стимулировал многих авторов к развитию теории улучшенного оценивания.
Задача Джеймса – Стейна была изучена для более общих моделей, в том числе с
неизвестной ковариационной матрицей [1, 2, 6, 9]. Значительные усилия были направлены на решение задачи улучшенного оценивания в негауссовских моделях.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Процедура Джеймса – Стейна для условно-гауссовской регрессии
7
В [3, 5] были предложены процедуры улучшенного оценивания для регрессии со
сферически симметричными распределениями шумов. В [4] изучалась непараметрическая модель регрессии с зависимыми шумами.
Оценки Джеймса – Стейна и другие улучшенные оценки нашли применение в
эконометрике и в задачах, связанных с обработкой сигналов.
В статье рассматривается задача оценивания среднего в модели регрессии, в
которой шум является только условно-гауссовским. Предположим, что наблюдаемый p-мерный случайный вектор Y удовлетворяет уравнению
Y = θ + ξ,
(4)
где θ – вектор постоянных параметров из некоторого компакта Θ ⊂ p , ξ – условно-гауссовский случайный вектор с нулевым средним и условной ковариационной матрицей D(G), т.е. Law(ξ|G)=Np(0, D(G)), где G – некоторая фиксированная
σ-алгебра.
Для данной модели исследование оценки Джеймса – Стейна провести не удается и вопрос о нахождении её риска остается открытым. Предлагается рассмотреть следующую модификацию оценки Джеймса – Стейна:
⎛
c ⎞
θ* = ⎜ 1 −
(5)
⎟Y ,
Y ⎠
⎝
где с – положительная константа, определяемая ниже. Основное отличие оценки
(5) от (1) в том, что вместо квадрата нормы ||Y||2 используется норма в первой степени ||Y||. Как показано ниже, оценка θ* позволяет решать задачу улучшенного
оценивания регрессии с условно-гауссовскими шумами при некоторых дополнительных предположениях. В теореме 2.1 раздела 2 устанавливается, что оценка (5)
превосходит по точности оценку максимального правдоподобия (2) равномерно
по θ для любого компакта Θ ⊂ p и всех размерностей p≥2. Для сравнения заметим, что преимущество оценки Джеймса – Стейна для гауссовской регрессии проявляется только для p≥3. В разделе 3 оценка (5) применяется для решения задачи
улучшенного параметрического оценивания в непрерывной регрессионной модели с негауссовским шумом, являющимся смесью белого шума и импульсных возмущений, описываемых составным процессом Пуассона. В разделе 4 оценка (5)
применяется для оценивания параметра в дискретной регрессионной модели с гауссовским шумом, зависящим от неизвестных мешающих параметров. В приложении приводятся некоторые технические результаты.
2. Верхняя граница для риска оценки
В данном разделе получена верхняя граница для риска оценки (5) при некоторых условиях на случайную ковариационную матрицу D(G).
Предположим, что
(С1) – минимальное собственное значение матрицы D(G) отделено снизу от
нуля, т.е. существует положительная постоянная λ* , такая, что
λ min ( D(G )) ≥ λ* п.н.;
(С2) – математическое ожидание максимального собственного значения матрицы D(G) ограничено сверху на некотором компакте Θ ⊂ p , т.е.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.А. Пчелинцев
8
sup Eθ λ max ( D(G )) ≤ a* ,
θ∈Θ
*
где a – некоторая положительная постоянная.
Обозначим разность рисков оценок (5) и (2) как
∆ (θ) := R (θ, θ* ) − R (θ, θˆ ML ) .
Нам потребуется также следующая константа
d −2
j −1
∑2 2
γp =
j =0
j +1⎞
p
(−1) p − j ( κ) p −1− j Γ ⎛⎜
⎟ − (−κ) I ( κ)
⎝ 2 ⎠
2 p / 2−1 Γ ( p / 2 ) d
,
∞ −r 2 / 2
e
dr и d = sup{ θ : θ ∈ Θ} .
α+r
0
*
где κ = d / a , I (α) = ∫
Основной результат для условно-гауссовской регрессии содержит следующая
теорема.
Теорема 2.1. Пусть шум ξ в (4) имеет р-мерное условно-гауссовское распределение Np(0, D(G)) и его ковариационная матрица D(G) удовлетворяет условиям
(С1), (С2) для некоторого компакта Θ ⊂
p
. Тогда оценка (5) с c = ( p − 1)λ* γ p
доминирует оценку максимального правдоподобия (2) для всех p≥2, т.е.
sup ∆ (θ) ≤ −[( p − 1)λ* γ p ]2 .
θ∈Θ
Доказательство. Сначала установим нижнюю границу для математического
ожидания случайной величины ||Y||–1.
Лемма 2.2. В условиях теоремы 2.1
1
inf Eθ
≥ γp .
θ∈Θ
Y
Доказательство леммы приводится в приложении.
Чтобы получить верхнюю границу для ∆(θ), нам потребуется модифицировать
доказательство леммы Стейна [9] применительно к модели (4) со случайной ковариационной матрицей.
Рассмотрим риски оценок (2) и (5)
R (θˆ ML , θ) = Eθ θˆ ML − θ
(
) (
)
2
((
2
= Eθ E θˆ ML − θ | G
(
)
)) = E trD(G ) ;
θ
d
2
2
R θ* , θ = R θˆ ML ,θ + Eθ ⎣⎡E ( g (Y ) −1) Y | G ⎦⎤ + 2∑ Eθ ⎡⎣E(( g (Y ) −1)Y j (Y j −θ j )| G )⎤⎦,
j =1
где g (Y ) = 1 − c / Y .
Обозначив f (Y ) = ( g (Y ) − 1) Y j и используя условную плотность распределения вектора Y относительно σ-алгебры G
pY ( x | G ) =
⎛ ( x − θ)′ D −1 (G )( x − θ) ⎞
exp ⎜ −
⎟,
2
det D(G )
⎝
⎠
1
(2π) p / 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Процедура Джеймса – Стейна для условно-гауссовской регрессии
9
имеем
I j := E ( f (Y )(Y j − θ j ) | G ) =
∫
f ( x)( x j − θ j ) pY ( x | G )dx , j = 1, p .
p
Делая замену переменной u = D −1/ 2 (G )( x − θ) и полагая f (u ) = f ( D1/ 2 (G )u + θ) ,
находим
Ij =
p
1
(2π) p / 2
∑ < D1/ 2 (G ) > jl
∫
l =1
p
⎛ u2
f (u )ul exp ⎜ −
⎜ 2
⎝
⎞
⎟⎟ du, j = 1, p ,
⎠
где <A>ij обозначает (i, j)-й элемент матрицы А. Эти величины можно переписать
как
p p
⎛
⎞
∂f
I j = ∑∑ E ⎜ < D1/ 2 (G ) > jl < D1/ 2 (G ) > kl
(u ) u =Y | G ⎟, j = 1, p .
∂uk
⎠
l =1 k =1 ⎝
Таким образом, квадратический риск для оценки (5) представляется в виде
2
2
R θ* , θ = R θˆ , θ + E ( g (Y ) − 1) Y +
(
)
(
)
ML
θ
⎛ p p p
∂
+2Eθ ⎜ ∑∑∑ < D1/ 2 (G ) > jl < D1/ 2 (G ) > kl
⎡⎣( g (u ) − 1) u j ⎤⎦
⎜
u
∂
k
⎝ j =1 l =1 k =1
После простых преобразований получаем
R θ* , θ = R θˆ , θ + E W (Y ) ,
(
)
W ( x) = c 2 + 2c
где
(
ML
x ′D(G ) x
x
3
)
u =Y
⎞
⎟⎟ .
⎠
θ
− 2trD(G ) ⋅ c
1
.
x
Отсюда разность рисков ∆ (θ) принимает вид
∆(θ) = EθW (Y ).
2
Поскольку x′Ax ≤ λ max ( A) x , приходим к неравенству
∆ (θ) ≤ c 2 − 2cEθ
trD(G ) − λ max ( D(G ))
.
Y
Следовательно,
d
∆ (θ) ≤ c 2 − 2c ∑ Eθ
i =2
λi ( D(G ))
.
Y
Принимая во внимание условие (С1) и лемму 2.2, имеем
∆ (θ) ≤ c 2 − 2( p − 1)λ* γ p c =: φ(cn ).
Минимизируя функцию φ(c) по с, приходим к желаемому результату
2
∆ (θ) ≤ − ⎡⎣( p − 1)λ* γ p ⎤⎦ .
Теорема 2.1 доказана.
В отличие от (1), оценку (5) можно использовать для регрессионной модели с
зависимыми гауссовскими шумами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.А. Пчелинцев
10
Следствие 2.3. Пусть в (4) шум ξ∼Np(0, D) с положительно определенной неслучайной матрицей D>0 и λmin(D)≥λ*>0. Тогда оценка (5) с с=(p−1)λ*γp доминирует оценку максимального правдоподобия для всех p≥2 и любого компакта
Θ ⊂ p , т.е.
sup ∆ (θ) ≤ −[( p − 1)λ* γ p ]2 .
θ∈Θ
Замечание. Заметим, что если D=σ2Ip, то
sup ∆ (θ) ≤ −[( p − 1)σ 2 γ p ]2 .
θ∈Θ
Следствие 2.4. Если ξ∼Np(0, Ip) и θ=0 в модели (4), то риск оценки (5) дается
формулой
2
⎡ ( p − 1)Γ(( p − 1) / 2) ⎤
R (0, θ ) = p − ⎢
⎥ =: rp .
2Γ( p / 2)
⎣
⎦
*
Применяя формулу Стирлинга для гамма-функции Γ( x) = 2π x x−1/2 e− x (1+ o(1)) ,
можно проверить, что rp→0,5 при p→∞. Поведение риска rp при малых значениях
р представлено на рис. 1. Заметим, что в этом случае риск оценки Джеймса –
Стейна является постоянным для всех p≥3, т.е. R (θ, θˆ JS ) = 2 , а риск оценки максимального правдоподобия θˆ
равен р и стремится к бесконечности при p→∞.
ML
Таким образом, оценка (5) для регрессии с единичной матрицей шумов превосходит по точности как оценку максимального правдоподобия, так и оценку Джеймса
– Стейна.
rp
0,48
0,46
0,44
0,42
2
6
10
14
Рис. 1. Риск оценки (5) при θ =0
18
p
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Процедура Джеймса – Стейна для условно-гауссовской регрессии
11
3. Улучшенное оценивание в негауссовской регрессионной модели
В данном разделе применим предложенную оценку (5) к негауссовской непрерывной регрессионной модели. Пусть наблюдаемый процесс (yt) описывается
уравнением
p
dyt = ∑ θ j φ j (t )dt + d ξt , 0 ≤ t ≤ n ,
(6)
j =1
где θ=(θ1,…, θp)' – вектор неизвестных параметров из некоторого компакта
Θ ⊂ p , n – натуральное число. Предположим, что (φj)1≤j≤p − система линейно
независимых 1-периодических ортонормальных функций из пространства L2[0,1];
шум (ξt)t≥0 − скалярный негауссовский процесс Орнштейна – Уленбека, т.е.
d ξt = aξt dt + dut ,
(7)
где а≤0 – мешающий параметр, а (ut) – процесс Леви вида
ut = 1wt + 2 zt ,
(8)
( wt )t ≥ 0 – стандартное броуновское движение, ( zt )t ≥ 0 – составной пуассоновский
процесс, т.е.
Nt
zt = ∑ Y j ,
(9)
j =1
( Nt )t ≥ 0 – однородный пуассоновский процесс с интенсивностью λ > 0 , а (Y j ) j ≥1
– последовательность н.о.р. гауссовских случайных величин с параметрами (0, 1).
Параметры а, 1 , 2 и λ – неизвестные постоянные.
Заметим, что регрессионная модель (6) – (9) позволяет рассматривать также
модели с зависимыми шумами, включающими импульсные возмущения.
Задача – оценить неизвестный вектор параметров θ=(θ1,…, θp)' в модели (6) по
наблюдениям ( yt )0≤t ≤ n .
Качество оценки θ будем измерять квадратическим риском
2
R (θ, θ) = Eθ θ − θ .
Пусть G = σ{Nt , t ≥ 0} обозначает σ-алгебру, порожденную пуассоновским
процессом. Заметим, что модель (6) является условно-гауссовской относительно
определенной σ-алгебры G. Поэтому можно использовать оценку (5), чтобы получить улучшенную оценку параметра θ. С этой целью представим исходную регрессионную модель с непрерывным временем (6) в виде модели типа (4).
Классической оценкой для неизвестного вектора θ в модели (6) по наблюдениям ( yt )0≤t ≤ n является оценка по методу наименьших квадратов (МНК)
θˆ =(θˆ ,...,θˆ )' с
1
p
1 n
φ j (t ) dyt , j = 1, p.
n ∫0
Отсюда, принимая во внимание (6), имеем
θˆ = θ + ε ζ (n) ,
θj =
n
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.А. Пчелинцев
12
где ε n = n −1/ 2 и ζ(n) – случайный вектор с координатами
ζ j ( n) =
1
n
n
∫ φ j (t )d ξt .
0
Заметим, что вектор ζ(n) имеет условно-гауссовское распределение с нулевым
средним и случайной ковариационной матрицей Vn (G ) = cov(ζ (n), ζ (n) ' | G ) с элементами vij (n) = E(ζ i (n)ζ j (n) | G ) .
Таким образом, исходная задача оценивания параметра θ в (6) сводится к задаче оценивания неизвестного параметра θ в условно-гауссовской регрессии (10).
Теорема 3.1. Пусть регрессионная модель определяется уравнениями (6) – (9),
1 > 0 . Тогда для всех n≥1 и р≥2 оценка для θ
⎛ ( p − 1) 12 γ p
θ = ⎜1 −
⎜
n θˆ
⎝
*
доминирует для любого компакта Θ ⊂
p
⎞
⎟ θˆ
⎟
⎠
оценку МНК θ̂ :
2
⎡ ( p − 1) 12 γ p ⎤
sup ∆ (θ) ≤ − ⎢
⎥ .
n
θ∈Θ
⎥⎦
⎣⎢
Для доказательства теоремы достаточно проверить условия (С1), (С2) для случайной матрицы Vn (G ) и применить теорему 2.1. Доказательство теоремы 3.1
приводится в приложении.
4. Улучшенное оценивание в авторегрессии
В данном разделе оценка (5) применяется для решения задачи улучшенного
оценивания неизвестного среднего многомерного нормального распределения,
когда ковариационная матрица неизвестна и зависит от некоторых мешающих параметров.
I. Пусть в модели (4) шум ξ=(ξ1 ,...,ξp )' описывается гауссовским процессом
авторегрессии
ξk = aξk −1 + ε k , k = 1, p ,
(11)
где a < 1 , Eξ0 = 0 и ε1 ,..., ε p – независимые стандартные гауссовские случайные
величины. Предположим, что параметр а в уравнении (11) неизвестен и принадлежит сегменту [−a0 , a0 ] , где a0 – известное число из интервала (0,1).
Нетрудно проверить, что ковариационная матрица шума ξ имеет вид
⎛ 1
⎜
1 ⎜ a
D(a) =
1 − a2 ⎜
⎜ p −1
⎝a
a
1
a p −2
... a p −1 ⎞
⎟
... a p − 2 ⎟
.
⎟
⎟
...
1 ⎠
(12)
Далее рассмотрим задачу оценивания вектора параметров θ в модели (4) с шумами (11).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Процедура Джеймса – Стейна для условно-гауссовской регрессии
13
Предложение 4.1. Пусть шум ξ в модели (4) определяется уравнением (11) с
a ∈ [−a0 , a0 ] . Тогда для всех р>1/(1–a0)2 оценка для θ, определяемая равенством
⎛ ⎛
⎞ γp ⎞
1
θ* = ⎜⎜ 1 − ⎜⎜ p −
⎟
⎟Y ,
2 ⎟
(1 − a0 ) ⎠ Y ⎟⎠
⎝ ⎝
доминирует для любого компакта Θ ⊂
p
оценку максимального правдоподобия, т.е.
2
1
⎞ γ2 .
sup ∆ (θ) ≤ − ⎛⎜ p −
p
2 ⎟
(1 − a0 ) ⎠
θ∈Θ
⎝
Доказательство. Воспользуемся схемой доказательства теоремы 2.1. Имеем,
что tr D(a) = p /(1 − a 2 ) . Оценим сверху максимальное собственное значение мат-
рицы D(a) , учитывая, что
λ max ( D(a )) = sup z ′D(a ) z .
z =1
Из (12) следует, что
p
p
z ′D(a ) z = ∑∑ < D(a ) >ij zi z j =
i =1 j =1
p −1 p − i
⎛
⎞
+
1
2
a l zi zl + i ⎟ =
⎜
∑
∑
2
1− a ⎝
⎠
i =1 l =1
1
p −1
p −l
⎛
⎞
l
⎜ 1 + 2 ∑ a ∑ zi zi + l ⎟ .
1− a ⎝
⎠
l =1
i =1
Применяя неравенство Коши – Буняковского, получаем
=
1
λ max ( D(a )) ≤
2
∞
⎛
⎞
1
+
1
2
a0l ⎟ =
.
⎜
∑
2
2
1 − a0 ⎝
⎠ (1 − a0 )
l =1
1
Таким образом,
tr D(a) − λ max ( D(a )) ≥ p −
1
(1 − a0 ) 2
.
Отсюда, в силу теоремы 2.1 приходим к утверждению предложения 4.1.
II. Рассмотрим модель (4) с шумом, зависящим от нескольких неизвестных мешающих параметров. Пусть в модели (4) шум ξ=(ξ1 ,...,ξp )' описывается стационарным многомерным гауссовским процессом авторегрессии q-го порядка AR(q)
ξk = a1ξ k −1 + a2 ξ k − 2 + ... + aq ξ k − q + ε k , k = 1, p ,
(13)
где ε1 ,..., ε p – независимые стандартные гауссовские случайные величины. Неизвестный вектор a =(a1 ,...,aq )' принадлежит области устойчивости процесса
A = {a ∈
q
: max Re λ i (a ) < 0},
1≤i ≤ q
где (λ i (a ))1≤i ≤ q – собственные значения матрицы
⎛ a1
A = A(a ) = ⎜
⎝
I q – единичная матрица порядка q.
…
I q −1
aq ⎞
;
0 ⎟⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.А. Пчелинцев
14
Как можно проверить, ковариационная матрица вектора ξ в данном случае
имеет вид
⎛ < F >11
... < A p −1 F >11 ⎞
< AF >11
⎜
⎟
... < A p − 2 F >11 ⎟
< AF >11
< F >11
;
D=⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
p −1
p −2
< F >11 ⎠
⎝ < A F >11 < A F >11 ...
F – матрица, удовлетворяющая уравнению
F − AFA′ = B ,
(14)
B = δ1i δ1 j – матрица размера q × q , δij – символ Кронекера.
Обозначим p0 = 1 + sup(2c* F ) /((1 − ρ) < F >11 ) , где K – некоторый компакт
a∈K
из области устойчивости А, c* > 0 и 0 < ρ < 1 – постоянные.
Предложение 4.2. Пусть вектор шумов ξ в (4) определяется (13). Тогда для
всех р>р0 оценка для θ, определяемая формулой
⎛ ⎛
2c ρ F ⎞ γ p ⎞
θ* = ⎜ 1 − ⎜ ( p − 1) < F >11 − *
⎟Y ,
⎟
1− ρ ⎠ Y ⎠
⎝ ⎝
p
доминирует для любого компакта Θ ⊂
т.е.
оценку максимального правдоподобия,
2
2c ρ F ⎞ 2
⎛
γp .
sup ∆(θ) ≤ − ⎜ ( p − 1) < F >11 − *
1 − ρ ⎟⎠
⎝
θ∈Θ
Доказательство. Используем схему доказательства теоремы 2.1. Имеем, что
tr D = p < F >11 . Оценим сверху максимальное собственное значение матрицы D,
воспользовавшись тем, что λ max ( D) = sup z ′Dz . Учитывая (14), находим
z =1
z ′Dz =
p
p
∑∑ < D >ij zi z j
i =1 j =1
p −1 p −i
= < F >11 +2 ∑ ∑ < Al F >11 zi zl + i ≤
≤ < F >11 +2
i =1 l =1
p −1
p −l
l =1
i =1
∑ < Al F >11 ∑ zi zl +i
.
Применяя неравенство Коши – Буняковского и матричные неравенства
AB ≤ A B и Al ≤ c*ρl , получаем
sup z ′Rz ≤< F >11 +
z =1
2c*ρ F
.
1− ρ
Таким образом,
tr D − λ max ( D) ≥ ( p − 1) < F >11 −
2c*ρ F
.
1− ρ
Принимая во внимание теорему 2.1, приходим к утверждению предложения 4.2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Процедура Джеймса – Стейна для условно-гауссовской регрессии
15
5. Приложение
5.1. Доказательство леммы 2.2
Доказательство. Исходя из (4), имеем
1
1
1
J = Eθ
= Eθ
≥ Eθ
.
Y
d+ ξ
θ+ξ
Перейдем к повторному условному математическому ожиданию. Так как при
фиксированной σ-алгебре G случайный вектор ξ распределен нормально с нулевым средним, то
1
exp{− x ′D(G ) −1 x / 2}
J ≥ Eθ
dx.
∫
d+ x
(2π) p / 2 det D(G ) p
2
Обозначая u = D(G ) −1/ 2 x и применяя оценку u ′D(G )u ≤ λ max ( D(G )) u , находим
2
1
J≥
(2π) p / 2
∫
Eθ
p
exp{− u / 2}
2
d + λ1/max
( D(G )) u
du.
Далее, переходя к сферическим координатам, имеем
J≥
∞
2
2 p / 2 Γ( p / 2)
Eθ ∫
0
r p −1e − r
2
/2
2
d + λ1/max
( D(G ))r
dr.
Отсюда, при использовании неравенства Йенсена, Коши – Буняковского и условия (С2) следует, что
2
∞
r p −1e − r
J ≥ p / 2 −1
∫
2
Γ( p / 2)d 0 κ + r
κ
/2
dr.
Вычислим интеграл, стоящий в правой части неравенства. Разделив rр–1 на κ + r ,
получим
2
∞
r p −1e − r
∫ κ+r
0
p−2
/2
dr =
∑2
j −1
2 ( −κ) p − 2 − j Γ ⎛
j =0
j +1⎞
p −1
⎜
⎟ + (−κ) I ( κ) ,
⎝ 2 ⎠
∞ −r 2 / 2
e
dr . Лемма 2.2 доказана.
α+r
0
где функция I (α) = ∫
5 . 2 . П р о в е р к а у с л о в и й (С1) и (С2) д л я м а т р и ц ы Vn (G )
Элементы матрицы Vn (G ) могут быть переписаны как [8]
vij (n) =
2 n
1
n
∫ φi (t )φ j (t )dt +
0
+
где
2
2
n
2 n
1
( φ (t )ε
2n ∫
i
0
)
φ j (t ) + φ j (t )ε φi (t ) dt +
n
∑ ∫ ( φi (t ) Lφ
l ≥1 0
j
2
2
n
)
∑ φi (Tl )φ j (Tl )χ(T ≤n)
l ≥1
(t − Tl , Tl ) + φ j (t ) Lφi (t − Tl , Tl ) χ(Tl ≤t ) dt ,
t
ε f (t ) = a ∫ e a (t − v ) f (v) (1 + e 2 av ) dv ,
0
l
(15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.А. Пчелинцев
16
(
x
L f ( x, z ) = ae ax f ( z ) + a ∫ e av f (v + z ) dv
0
)
и (Tl )l ≥1 – моменты скачков пуассоновского процесса ( N t )t ≥ 0 , т.е.
Tl = inf{t ≥ 0 : N t = l}.
Лемма 5.1. Пусть (ξt )t ≥ 0 определяется уравнением (7) с а≤0. Тогда минимальное собственное значение матрицы Vn (G ) с элементами, определенными
(15), удовлетворяет следующему неравенству:
inf λ min (Vn (G )) ≥
n ≥1
2
1
.
Доказательство. Согласно (15), матрицу Vn (G ) можем представить в виде
2
1 Ip
Vn (G ) =
+ Fn + Bn (G ) ,
где Fn – неслучайная матрица с элементами
fij (n) =
2 n
1
2n ∫0
( φ (t )ε
i
φj
)
(t ) + φ j (t )ε φi (t ) dt ,
а Bn (G ) – случайная матрица с элементами
bij (n) =
n
⎡
⎤
φ
φ
χ
+
(
T
)
(
T
)
⎢ i l j l (Tl ≤n ) ∫ φi (t ) Lφ j (t − Tl ,Tl ) + φ j (t ) Lφi (t − Tl ,Tl ) χ (Tl ≤t ) dt ⎥ .
∑
n l≥1 ⎣⎢
⎦⎥
0
2
2
(
)
Отсюда находим
2
1 z'z
z 'Vn (G ) z =
+ z ' Fn z + z ' Bn (G ) z ≥
2
1
z
2
для всех n≥1. Поэтому
λ min (Vn (G )) ≥
Лемма 5.1 доказана.
Обозначим ∗ = 12 + λ
2
2
2
1 .
и М=1+2 K 2 , где max φ j (t ) ≤ K , j = 1, p .
0≤t ≤ n
Лемма 5.2. Пусть (ξt )t ≥ 0 определяется уравнением (7) с а≤0. Тогда максимальное собственное значение матрицы Vn (G ) с элементами, определенными
(15), удовлетворяет для любого компакта Θ ⊂
p
следующему неравенству:
sup sup Eθ λ max (Vn (G )) ≤ Mp
*
.
n ≥1 θ∈Θ
Доказательство. Имеем
p
Eθ λ max (Vn (G )) ≤ Eθ tr (Vn (G )) = ∑ Eθ ζ 2j (n) =
j =1
n
n
t
0
0
0
(
* p
n
∑ τ j ( n) ,
j =1
)
где τ j (n) = ∫ φ2j (t )dt + a ∫ φ j (t ) ∫ e a (t −u ) φ j (u ) 1 + e2 au dudt . Поскольку (φj)1≤j≤p −
n
1-периодические ортонормальные функции, то
2
∫ φ j (t )dt = n
0
и, ввиду ограничен-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Процедура Джеймса – Стейна для условно-гауссовской регрессии
17
ности этих функций, для любого а≤0 находим
n
t
(
)
a ∫ φ j (t ) ∫ e a (t −u ) φ j (u ) 1 + e 2 au dudt ≤ 2 K 2 a
0
0
n t
∫∫e
a (t −u )
dudt ≤ 2 K 2 n .
0 0
Таким образом, для всех n≥1 и θ ∈ Θ
Eθ λ max (Vn (G )) ≤ Mp
*
.
Лемма 5.2 доказана.
В леммах 5.1 и 5.2 показано, что матрица Vn (G ) является положительно определенной и для любого компакта Θ ⊂ p удовлетворяет условиям (С1), (С2) с
λ* = 12 и a* = Mp * . В силу теоремы 2.1 получаем утверждение теоремы 3.1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Berger J.O., Haff L.R. A class of minimax estimators of a normal mean vector for arbitrary
quadratic loss and unknown covariance matrix // Statist. Decisions. 1983. No. 1. P. 105−129.
2. Efron B., Morris C. Families of minimax estimators of the mean of a multivariate normal distribution // Ann. Statist. 1976. No. 4. P. 11−21.
3. Fourdrinier D. Statistique inférentielle // D. Fourdrinier. Dunod. 2002. P. 336.
4. Fourdrinier D., Pergamenshchikov S. Improved selection model method for the regression
with dependent noise // Ann. Inst. Statist. Math. 2007. V. 59 (3). P. 435−464.
5. Fourdrinier D., Strawderman W.E., William E. A unified and generalized set of shrinkage
bounds on minimax Stein estimates // J. Multivariate Anal. 2008. V. 99. P. 2221−2233.
6. Gleser L.J. Minimax estimators of a normal mean vector for arbitrary quadratic loss and unknown covariance matrix // Ann. Statist. 1986. V. 14. No. 1625−1633.
7. James W., Stein C. Estimation with quadratic loss // Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematics Statistics and Probability. V. 1. Berkeley: University of California
Press, 1961. P. 361−380.
8. Konev V., Pergamenchtchikov S. Efficient robust nonparametric estimation in a semimartingale regression model. URL: http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00526915/fr/ (2010).
9. Stein C. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution // Ann. Statist. 1981.
V. 9(6). P. 1135−1151.
Статья поступила 19.07.2011 г.
Pchelintsev E.A. THE JAMES–STEIN PROCEDURE FOR A CONDITIONALLY GAUSSIAN
REGRESSION. The paper considers the problem of estimating a p-dimensional (p ≥ 2) mean
vector of a multivariate conditionally normal distribution under quadratic loss. The problem of
this type arises when estimating the parameters in a continuous time regression model with a nonGaussian Ornstein–Uhlenbeck process. We propose a modification of the James–Stein procedure
of the form θ*(Y) = (1 – c/||Y||) Y, where Y is an observation and c > 0 is a special constant. This
estimate allows one to derive an explicit upper bound for the quadratic risk and has a significantly
smaller risk than the usual maximum likelihood estimator for the dimensions p≥2. This procedure
is applied to the problem of parametric estimation in a continuous time conditionally Gaussian regression model and to that of estimating the mean vector of a multivariate normal distribution
when the covariance matrix is unknown and depends on some nuisance parameters.
Keywords: conditionally Gaussian regression model; improved estimation; James – Stein procedure; non-Gaussian Ornstein – Uhlenbeck process.
PCHELINZEV Evgenii Anatol’evich (Tomsk State University,
Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem, Université de Rouen (France))
E-mail: evgen-pch@yandex.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 512.541
Фам Тхи Тху Тхюи
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АБЕЛЕВЫ afi-ГРУППЫ
Подгруппа A абелевой группы G называется ее абсолютным идеалом, если A
является идеалом в любом кольце на группе G. Назовем абелевую группу
afi-группой, если любой ее абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой. В настоящей работе описаны afi-группы в классе
вполне транзитивных периодических групп (в частности, сепарабельных периодических групп) и делимых периодических групп.
Ключевые слова: абелева группа, кольцо на группе, абсолютный идеал,
вполне характеристическая подгруппа, afi-группа.
Настоящая работа посвящена изучению абелевых afi-групп. Все рассматриваемые группы абелевы, и слово «группа» всюду в дальнейшем означает «абелева
группа». Под умножением на абелевой группе G понимается любой гомоморфизм
μ: G ⊗ G → G. Это умножение будем часто обозначать знаком ×, то есть g1 × g2 =
µ(g1; g2), где g1, g2 ∈ G. Абелева группа G с заданным на ней умножением × называется кольцом на группе G, которое обозначается (G, ×). Подгруппа A абелевой
группы G называется ее абсолютным идеалом, если A является идеалом в любом
кольце на G. Абсолютные идеалы изучались, например, в работах [1 − 3]. Так как
любое умножение на группе G индуцирует некоторый эндоморфизм на ней, то
всякая вполне характеристическая подгруппа группы G является ее абсолютным
идеалом. Но обратное неверно, в качестве примера рассматривается любая циклическая подгруппа 〈a〉 группы G без кручения ранга 1 неидемпотентного типа
t(G) = (∞, 1, 1, 1, … ). Так как на G может быть определено только нулевое умножение, то любая ее подгруппа является абсолютным идеалом, в частности, подгруппа 〈a〉 − абсолютный идеал группы G. Но 〈a〉 не является вполне характеристической подгруппой группы G, так как φ(a) ∉ 〈a〉, если φ(g) = (1/p1) g, g ∈ G.
В связи с этим возникает вопрос, в каких группах любой абсолютный идеал
является вполне характеристической подгруппой. Такие группы называются afiгруппами.
В настоящей работе описаны afi-группы в классе вполне транзитивных периодических групп (в частности, сепарабельных периодических групп) и делимых
периодических групп. Терминология и обозначения соответствуют [1].
В [2] рассматривается подгруппа I(G) = 〈φ(G) ∣ φ ∈ Hom(G, E(G))〉, которая является идеалом кольца E(G) и доказывается следующая теорема:
Теорема 1 [2]. Подгруппа A группы G является ее абсолютным идеалом тогда
и только тогда, когда μ(A) ⊆ A для всех гомоморфизм μ ∈ I(G).
Нетрудно видеть, что сумма и пересечение абсолютных идеалов группы G
также являются ее абсолютными идеалами. Наименьший абсолютный идеал
группы G, содержащий элемент g называется абсолютным идеалом, порожденным элементом g в группе G и обозначается через 〈g〉AI. Этот идеал существует, а
именно, он равен пересечению всех абсолютных идеалов группы G, содержащих
элемент g.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Периодические абелевы afi-группы
19
Нетрудно доказать следующее предложение
Предложение 2. Группа G является afi-группой тогда и только тогда, когда
φ(g) ∈ 〈g〉AI для любого g ∈ G и любого φ ∈ E(G).
В классе периодических групп проблема описания afi-групп легко сводится к
случаю p-примарных групп.
Предложение 3. Периодическая группа G является afi-группой тогда и только
тогда, когда каждая ее p-компонента Gp является afi-группой.
Доказательство.
Пусть G − afi-группа, p − простое число и Ap − произвольный абсолютный идеал группы Gp. Легко проверить, что Ap − абсолютный идеал группы G и поэтому
является вполне характеристической подгруппой группы G. Следовательно, Ap
является вполне характеристической подгруппой группы Gp и, значит, группа Gp
является afi-группой.
Пусть, наоборот, Gp является afi-группой для каждого простого числа p. Пусть
A = ⨁p Ap − произвольный абсолютный идеал группы G и φ ∈ E(G). Нетрудно доказать, что Ap − абсолютный идеал группы Gp и поэтому является ее вполне характеристической подгруппой для каждого p. Тогда φ(A) = ⨁p φ(Ap) = ⨁p φp(Ap)
∈ ⨁p Ap = A, где φp − суждение φ на Gp. Следовательно, группа G является afiгруппой. ■
В дальнейшем, будем рассматривать только p-группы.
Теорема 4. Делимая p-группа G является afi-группой тогда и только тогда, когда G = 0 или G ≅ ℤ(p∞).
Доказательство. Очевидно, 0 является afi-группой. Так как любой эндоморфизм группы ℤ(p∞) является умножением на некоторое p-адическое число [1], то
φ(g) ∈ 〈g〉 ⊆ 〈g〉AI для любого элемента g ∈ ℤ(p∞) и эндоморфизма φ ∈ E(ℤ(p∞)).
Следовательно, ℤ(p∞) является afi-группой по предложению 2.
Пусть G − делимая p-группа, G ≠ 0 и G ≠ ℤ(p∞). Тогда G = ⨁i ∈ I Gi, Gi ≅ ℤ(p∞),
|I| > 1. Тогда Gi не является вполне характеристической подгруппой группы G, так
как Φ(Gi) = Gj { Gi (i ≠ j) при эндоморфизме Φ = φ⋅πi, φ – изоморфизм Gi на Gj, πi –
проекция группы G на Gi. Но Gi является абсолютным идеалом группы G, так как
на делимой p-группе можно задать только нулевое умножение. Следовательно, G
не является afi-группой ■
Пусть g − произвольный элемент p-группы G. Индикатором, или ульмовской
последовательностью элемента g в группе G, называется последовательность
H(g) = (σ0 σ1 … σn … ), где σn = h*(png) − обобщенная p-высота элемента png в
группе G. Напомним, что редуцированная p-группа G называется вполне транзитивной, если для любых двух элементов a, b ∈ G из H(a) ≤ H(b) следует, что существует эндоморфизм φ группы G, такой, что φ(a) = b.
Лемма 5. Пусть G − редуцированная вполне транзитивная p-группа, B − pбазисная подгруппа группы G. Пусть a, g ∈ G, b ∈ B такие, что H(g) ≤ H(b) ≤ H(a).
Тогда a ∈ 〈g〉AI.
Доказательство. Так как G − вполне транзитивная группа, то существуют
гомоморфизмы φ, ψ группы G, такие, что φ(g) = b и ψ(b) = a. Пусть B = ⨁i ∈ I 〈ei〉.
Известно [1, теорема 120.1], что умножение на p-группе полностью определяется
произведениями базисных элементов. Определим умножение × на G, положив
⎧ 0,
ei × e j = ⎨
⎩e j ,
если i ≠ j;
если i = j.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20
Фам Тхи Тху Тхюи
Пусть b = k1e1 + ⋯ + knen (ki ∈ ℤ), тогда легко проверить, что b × (e1 + ⋯ + en) = b.
Определим гомоморфизм μ, положив μ(g) = g × (e1 + ⋯ + en). Так как
o(μ) ≤ o(e1 + ⋯ + en), то μ имеет конечный порядок, поэтому μ ∈ I(G) [1, предложение 117.3]. Так как I(G) − идеал кольца E(G) [2], то η = ψ⋅μ⋅φ ∈ I(G). Легко проверить, что η(g) = a. Так как 〈g〉AI − абсолютный идеал группы G, то η(g) ∈ 〈g〉AI
по теореме 1. Следовательно, a ∈ 〈g〉AI. ■
В частности, если a = b, то из леммы 5 получается следующее следствие:
Следствие 6. Пусть G − редуцированная вполне транзитивная p-группа, B −
p-базисная подгруппа группы G. Пусть g ∈ G, b ∈ B такие, что H(g) ≤ H(b). Тогда
b ∈ 〈g〉AI. ■
Теорема 7. Редуцированная вполне транзитивная p-группа G является afiгруппой тогда и только тогда, когда ее первая ульмовская подгруппа G1 является
циклической группой.
Доказательство. Пусть редуцированная вполне транзитивная p-группа G является afi-группой. Допустим, что группа G1 не является циклической, тогда G1
≠ 0. Докажем, что группа G не является afi-группой. Так как группа G редуцированна, то подгруппа G1 не является делимой. Поэтому существует элемент a ∈ G1,
имеющий нулевую высоту в G1. Так как G1 не является циклической группой, то
существует элемент b ∈ G1 такой, что b ∉ 〈a〉. Пусть C = 〈a〉 ⋂ 〈b〉. Так как подгруппа циклической группы также является циклической, то C = 〈pka〉 = 〈plb〉 для
некоторых k, l ∈ ℤ. При этом l ≥ 1, так как иначе b ∈ 〈a〉, что противоречит выбору
элемента b. Также k ≥ 1, так как иначе a ∈ 〈plb〉, что противоречит тому, что
hG1 (a) = 0 . Рассмотрим элементы x = pk−1a и y = pl−1b. Нетрудно видеть, что
x ∉ 〈y〉 и y ∉ 〈x〉,
(1)
так как в противном случае, pk−1a = x ∈ 〈a〉 ∩ 〈b〉 = C = 〈pka〉 или pl−1b = y ∈ 〈a〉
∩ 〈b〉 = C = 〈plb〉. С другой стороны, px = pka, py = plb − порождающие циклической группы C. Следовательно, px = r(py) для некоторого целого числа r, где
(r, p) = 1. Откуда h*(pnx) = h*(pny) для любого натурального числа n ≥ 1. Докажем,
что либо 〈x〉, либо 〈y〉 не являются вполне характеристической подгруппой группы
G. Не теряя общности, можно считать, что h*(x) ≤ h*(y). Тогда H(x) ≤ H(y), и поэтому из вполне транзитивности группы G следует, что y = φ(x) для некоторого
гомоморфизма φ ∈ EndG. Следовательно, из (1) следует, что 〈x〉 не является вполне характеристической подгруппой группы G. С другой стороны, так как x ∈ G1,
то 〈x〉 × G = G × 〈x〉 при любом умножении × на G. Следовательно, 〈x〉 − абсолютный идеал группы G. Следовательно, группа G не является afi-группой.
Пусть теперь подгруппа G1 является циклической группой. Пусть g ∈ G и
φ ∈ EndG. Докажем, что φ(g) ∈ 〈g〉AI. Рассмотрим 2 случая:
1) g ∈ G1. Поскольку G1 является вполне характеристической подгруппой
группы G, то φ индуцирует некоторый эндоморфизм на G1. Так как G1 − циклическая группа, то φ(g) = kg для некоторого целого числа k. Следовательно,
φ(g) ∈ 〈g〉AI.
2) g ∉ G1. Пусть H(g) = (σi)i ∈ ℕ, при этом σ0, ..., σn−1 ∈ ℤ и σn ≥ ω. Так как группа
G/B делима, то существует элемент b ∈ B такой, что
p σn −1 +1 | g − b .
(2)
При этом, если b = ∑i ∈ J ki ei, где J − некоторое конечное подмножество множества
I, то элемент b можно выбрать таким образом, чтобы p σn −1 +1 † k для всех i ∈ J.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Периодические абелевы afi-группы
21
Докажем, что H(b) = (σ0 … σn−1 ∞ ... ). Пусть s < n. Тогда σn−1 + s ≥ σn−1 ≥ σs.
Из (2) следует, что p σn −1 + s +1 | p s g − p s b , то есть h*(psg − psb) > σn−1 + s. Следовательно, h*(psg − psb) > σs = h*(psg). Так как psb = psg − (psg − psb), то
h*(psb) = σs для каждого s < n.
(3)
Из (2) следует, что p σn −1 + n +1 | p n g − p n ki ei . Следовательно, p σn −1 + n +1 | p n ki ei , так
как h*(png) = σn ≥ ω. Так как система {ei ∣ i ∈ J} является p-независимой, то либо
pnki ei = 0, либо p σn −1 + n +1 | p n ki для каждого i ∈ J. Если p σn −1 + n +1 | p n ki для некоторого i ∈ J, то p σn −1 +1 | ki , что противоречит выбору элемента b. Следовательно,
pnkiei = 0 для всех i ∈ J. Поэтому,
(4)
pnb = ∑i ∈ J pnkiei = 0,
* s
откуда h (p b) = ∞ для всех s ≥ n. Из этого и из (3) следует, что
H(b) = (σ0 … σn−1 ∞ ... ). Следовательно, H(g) ≤ H(b) ≤ H(φ(b)). Так как G − вполне
транзитивная группа и b ∈ B, то в силу леммы 5 имеем
(5)
φ(b) ∈ 〈g〉AI,
и в силу следствия 6
(6)
b ∈ 〈g〉AI,
n
n
Обозначим a = g − b. Тогда из (4) следует, что p a = p g. Поэтому
h*(pna) = h*(png) = σn ≥ ω, то есть pna ∈ G1. Так как G1 является циклической группой, то φ(pna) = kpna для некоторого целого числа k. Следовательно,
pn (φ(a) − ka) = 0. Положим
c = φ(a) − ka.
(7)
* n
*
*
Тогда h (p c) = h(0) = ∞. Кроме того, из (7) следует, что h (c) ≥ h (a) =
= h*(g − b) > σn−1 в силу (2). Отсюда h*(pic) > σn − 1 ≥ σi для каждого i < n. Таким образом,
H(c) ≥ (σ0 ... σn−1 ∞ ... ) = H(b) ≥ H(g).
(8)
Следовательно, c ∈ 〈g〉AI по лемме 5. Кроме того, из (6) следует, что
ka = k(g − b) ∈ 〈g〉AI. Из этого и из (7) получаем, что
(9)
φ(a) = c + ka ∈ 〈g〉AI.
Так как φ(g) = φ(a) + φ(b), то из (5) и (9) следует, что φ(g) ∈ 〈g〉AI.
В силу произвольности элемента g и эндоморфизма φ группа G является afiгруппой по предложению 2 ■
Следствие 8. Любая сепарабельная p-группа является afi-группой.
Доказательство. Это выполняется, так как любая сепарабельная p-группа
вполне транзитивна и ее первая ульмовская подгруппа нулевая. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. М.: Мир, 1977.
2. Fried E. On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring // Proc. Colloq. Abelian Groups. Budapest, 1964. Р. 51−55.
3. Чехлов А.Р. Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами // Вестник
Томского государственного университетата. Математика и механика. 2009. № 3.
С. 64−67.
Статья поступила 13.05.2011 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22
Фам Тхи Тху Тхюи
Pham Thi Thu Thuy. TORSION ABELIAN afi-GROUPS. A subgroup A of an abelian group G is
called its absolute ideal if A is an ideal of any ring on G. An abelian group is called an afi-group if
every its absolute ideal is a fully invariant subgroup. In this paper descriptions of afi-groups in the
class of fully-transitive torsion groups (particularly, separable torsion groups) and divisible torsion groups are given.
Keywords: abelian group, ring on a group, absolute ideal, fully invariant subgroup, afi-group.
PHAM Thi Thu Thuy (Moscow State Pedagogical University)
E-mail: ptthuthuy@yahoo.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
МЕХАНИКА
УДК 629.7.054.847
А.Б. Бовсуновский, В.Г. Бутов, А.А. Хвалько
АРХИТЕКТУРА ИНТЕГРИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА БОРТОВОЙ
РАДИОАППАРАТУРЫ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ1
Рассмотрена архитектура расширяемой интегрированной системы для проведения инженерного анализа. Выделены основные принципы разработки
архитектуры подобного программного комплекса. Функционал интегрированной системы разделен на три класса: подготовка исходных данных, проведение расчетов по заданным методикам, анализ результатов. Предложена
модульная архитектура комплекса, позволяющая совместить преимущества
использования расчетных модулей сторонних CAD/САЕ-систем наряду с
реализацией собственных методических и теоретических наработок. Описана модель взаимодействия модулей комплекса на основе унифицированных
программных интерфейсов. Описан минимальный набор программных интерфейсов и модулей, необходимых для построения комплекса по проведению механического анализа бортовой радиоаппаратуры космических аппаратов.
Ключевые слова: CAD/САЕ-система; программный комплекс; модульная
архитектура; механический анализ.
На сегодняшний день существует множество систем проектирования и инженерного анализа (так называемых CAD/CAE-систем) в той или иной области разработки изделий и симуляции проходящих физических процессов. Бортовая радиоэлектронная аппаратура (РЭА) космических аппаратов (КА) в этом смысле является неким эталоном, демонстрирующим самые передовые возможности широкого применения данных систем. Ее конструктивная сложность, многоплановость
схемотехнических решений, обилие применяемой специальной элементной базы,
необходимость противостоять большому спектру внешних воздействующих факторов в земных условиях и условиях космического пространства делают необходимым применение разноплановых систем автоматизированного проектирования
(САПР) [1]. Эти системы отличаются спектром решаемых задач и дополнительным функционалом подготовки исходных данных и обработки результатов. Кроме того, требуется дополнительная адаптация функционала этих систем к специфике того или иного производства, организация взаимодействия, автоматизация
1
Работа выполняется в порядке реализации Постановления № 218 Правительства РФ от 09.04.2010 г.
«О мерах государственной поддержки развития кооперации российских высших учебных заведений и
организаций, реализующих комплексные проекты по созданию высокотехнологичного производства»,
и договора № 13.G25.31.0017 от 07.09.2010 между ОАО «ИСС» им. акад. М. Ф. Решетнева» и Минобрнауки РФ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24
А.Б. Бовсуновский, В.Г. Бутов, А.А. Хвалько
решения типичных задач и выполнения типовых процедур. Возникающие при
этом трудности удается частично решить за счет встроенных в системы средств
автоматизации и обмена данными, но возникает и целый ряд важных проблем:
а) высокая стоимость итогового программного комплекса;
б) сложность или невозможность использования собственных методических и
теоретических наработок;
в) ограниченная или отсутствующая возможность гибкой настройки комплекса
для решения новых специфичных задач.
В данной статье рассматривается архитектура интегрированной системы (ИС)
для проведения специализированных инженерных расчетов, в которой могут быть
решены обозначенные проблемы.
Гибкая настройка, расширение и изменение функционала ИС под различные
задачи естественным образом может быть обеспечена применением модульной
архитектуры. Её использование подразумевает выделение определенного функционала (комплекса смежных функций) в отдельные программные модули, для
которых возможна независимая разработка, интеграция и поддержка. Модули могут быть выполнены как в виде программных библиотек, динамически загружаемых в процессе работы (DLL-модулей), так и в виде независимых исполняемых
программ (EXE-модулей).
Явные признаки применения модульной архитектуры можно встретить и у
CAD/CAE-систем от ведущих мировых производителей в этой области. В таких
программных комплексах, как ANSYS и NASTRAN инструментарий разработки и
анализа изделий разделен на три функциональных класса: так называемые «препроцессор», «решатель» и «постпроцессор». К первому классу можно отнести
подготовку и обработку геометрических данных, построение расчетной модели,
задание начальных и граничных условий. Ко второму классу относятся реализации различных методик (разностных, конечно-элементных и т.д.) по решению задач моделирования определенных физических процессов. К третьему классу относятся построители графиков и отчетов, анализаторы критических значений рассчитанных параметров.
Опыт использования различных CAD/CAE-систем показывает, что хранение
исходных данных и результатов анализа в «нейтральных» форматах обеспечивает
значительно большую свободу в выборе сторонних программных комплексов для
работы в единой ИС. Например, для хранения и обмена геометрических данных
удобно использование форматов IGES и STEP, а для сеточного разбиения конечно-элементной модели удобно использовать формат SAT. Наконец, в качестве
важного связующего звена ИС удобно использовать единую базу данных, которая
хранит исходные сведения для проведения расчетов (в том числе геометрические
модели), данные самих расчетов и результаты их обработки. Оптимальной формой организации такой базы является сочетание реляционной базы данных табличного типа и файловой библиотеки дополнительных материалов.
Для осуществления поставленных задач предлагается построить ИС по следующим принципам:
а) использовать модульную архитектуру, где комплексы функций схожего назначения выделены в отдельные программные модули;
б) обозначить три класса модулей: «препроцессоры», «решатели», «постпроцессоры»;
в) взаимную связь между модулями ИС организовать на основе унифицированных программных интерфейсов (API).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Архитектура интегрированной системы для проведения механического анализа
25
Для обеспечения работы составных частей препроцессора и постпроцессора в
едином информационном (адресном) пространстве ИС данные классы модулей
предлагается выполнять в виде DLL-модулей, поддерживающих унифицированные API. Такой подход позволяет избежать процедур дополнительного копирования и преобразования данных, используемых различными программными компонентами, а также открывает широкие перспективы гибкой настройки ИС к новым
специфичным задачам путем выпуска и интеграции дополнительных модулей автоматизации подготовки и анализа данных.
Модули из класса решателей предлагается разрабатывать в виде таких же
DLL-модулей, но имеющих определенную специфику. В случае реализации собственных методик моделирования физических процессов такой модуль может
включать в себя полный функционал решателя, а в случае использования расчетного EXE-модуля стороннего производителя – быть, фактически, лишь надстройкой над ним и автоматизировать его запуск/остановку с заданными параметрами командной строки. В частности, задействование ядра CAE-системы
ANSYS может быть организовано запуском соответствующего EXE-модуля с
указанием входного и выходного файла, а в качестве входного файла средствами препроцессора ИС может быть подготовлен (сверстан) набор команд построения или загрузки модели, запуска расчета, динамической корректировки
параметров [2]. Использование потенциала расчетных модулей сторонних
CAD/CAE-систем во многих случаях имеет преимущество перед разработкой
собственных аналогичных средств как по времени разработки, так и по скорости
и качеству самих расчетов.
Изложенные принципы построения ИС нашли применение при проектировании аппаратно-программного комплекса для проведения механического анализа
унифицированных электронных модулей бортовой радиоаппаратуры космических
аппаратов. В качестве основного решателя используется ядро CAE-системы
ANSYS, графическая оболочка комплекса разработана с использованием кроссплатформных библиотек QT и OpenCascade, а связь с реляционной базой данных
в операционной системе Windows организована через драйвер ODBC.
Загрузка и работа с DLL-модулями комплекса производится по единой схеме и
отчасти напоминает технологию Microsoft Component Object Model (COM):
1) загружается DLL-файл, в котором определяется адрес функции «фабрики»
объектов;
2) запуск указанной функции создает экземпляр функционального объекта модуля и возвращает ссылку на его основной программный интерфейс;
3) через основной программный интерфейс приложение получает доступ ко
всем дополнительным интерфейсам, поддерживаемым модулем.
4) удаление объекта производится вызовом соответствующей функции основного программного интерфейса.
Для связывания составных частей комплекса разработаны два программных
интерфейса: IAppHook и его наследник ISubModule. При проектировании DLLмодулей комплекса в каждый из них закладывается поддержка ISubModule в качестве основного интерфейса, тогда как основное приложение (оболочка комплекса) поддерживает только IAppHook. Функциональный состав данных интерфейсов приведен в табл. 1 и 2 соответственно.
Интерфейс IAppHook имеет две пары симметричных функций и обслуживает
межмодульный обмен ссылками на объекты графической оболочки на базе QT
и на программные интерфейсы. Таким образом, разработчик модуля может
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26
А.Б. Бовсуновский, В.Г. Бутов, А.А. Хвалько
Таблица 1
Функциональный состав интерфейса IAppHook
Функции API
Описание
Посредством данной функции основное приложение запрашиlong GetObject (
вает у модуля ссылки на объекты платформы QT, которые можlong objID,
QObject **ppObj) но встроить в общий графический интерфейс комплекса (главное меню, панели инструментов, окна). За каждым из объектов
закреплен уникальный числовой идентификатор
Посредством данной функции основное приложение передает
long SetObject (
модулю ссылку на основное графическое окно. Эта ссылка исlong objID,
пользуется при создании дочерних окон модуля, которые впоQObject *pObj)
следствии запрашиваются командой GetObject()
Посредством данной функции основное приложение запрашиlong GetInterface (
вает у модуля ссылку на программный интерфейс. Также и моlong IID,
дуль может воспользоваться этой функцией основного прилоvoid **ppObj)
жения для получения ссылки на интерфейс смежного модуля.
За каждым из интерфейсов закреплен уникальный числовой
идентификатор
Посредством данной функции основное приложение передает
long SetInterface (
модулю ссылку на собственный интерфейс IAppHook. Впоследlong IID,
ствии эта ссылка используется модулем для ретрансляции запроvoid *pObj)
са дополнительных интерфейсов у смежных модулей комплекса
Таблица 2
Функциональный состав интерфейса ISubModule
Функции API
Описание
char * GetModuleName () Посредством данной функции основное приложение получает
имя модуля, которое впоследствии используется для показа
пользователю (заголовок окна описания и надпись команды активации модуля)
Посредством данной функции основное приложение получает
char * GetModuleDeрасширенное описание модуля, которое впоследствии используscription ()
ется для показа пользователю (содержательная часть окна описания модуля)
Посредством данной функции основное приложение получает
long GetModuleId ()
числовой идентификатор модуля, который впоследствии используется для пересылки уведомлений. За каждым из модулей
закреплен уникальный числовой идентификатор
long GetModuleVersion ( Посредством данной функции основное приложение получает
сведения о версии модуля, которые впоследствии используются
long *pMajor,
для отслеживания совместимости компонент программного
long *pMinor,
комплекса
long *pBuild)
Посредством данной функции основное приложение проверяет
bool isActive ()
статус активности модуля
Посредством данной функции основное приложение инициалиlong Initialize ()
зирует загруженный модуль. При инициализации модулей допускается их связывание между собой, поэтому основное приложение сначала загружает все доступные модули, а потом
инициализирует их
Посредством данной функции основное приложение управляет
long Activate (
bool bNewStatus) активностью модуля. Соответствующая команда встраивается в
графическую оболочку комплекса
Посредством данной функции основное приложение выгружает
void dispose ()
модуль из памяти компьютера по окончании работы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Архитектура интегрированной системы для проведения механического анализа
27
интегрировать в оболочку основного приложения полный спектр необходимых
элементов управления (пункты главного меню, панели инструментов, окна и др.).
Кроме того, любой из модулей через основное приложение может запрашивать
непосредственные ссылки на интерфейсы смежных модулей для доступа к необходимому функционалу. При этом основное приложение играет роль ретранслятора запроса и опрашивает модули по очереди, пока какой-либо из них не предоставит требуемый интерфейс.
Интерфейс ISubModule расширяет IAppHook функциями, специфичными
только для DLL-модулей комплекса. Среди них можно выделить два набора: первые 4 функции позволяют получить описание модуля, а вторые 4 – управлять его
жизнедеятельностью. Важной особенностью является управление состоянием активности модуля. В активном состоянии DLL-модуль может получать уведомления о действиях пользователя или о готовности результатов работы других модулей (при условии, что он поддерживает интерфейсы работы с уведомлениями).
Таким образом, активные модули могут динамически отслеживать и реагировать
на изменения в рабочей области (вставка дополнительных команд при вызове
контекстных меню, автоматический пересчет параметров при изменении свойств
моделируемого объекта и др.). В неактивном состоянии модуль не реагирует на
уведомления и делает свои элементы управления недоступными пользователю.
Для обеспечения непосредственного взаимодействия между модулями потребовалась разработка дополнительных программных интерфейсов (приводятся без
детализации функционального состава):
• IDbUser – функции доступа к таблицам, записям и полям базы данных;
• IChangesTrack – функции отслеживания изменений в параметрах расчетной
модели;
• IContextTrack – функции отслеживания вызова контекстного меню для элементов расчетной модели;
• ISettingsManager – функции работы с настройками модулей, хранимыми в базе данных;
• IProgressHook – функции отслеживания и управления процессом расчета.
Базовый функционал комплекса для проведения механического анализа может
быть обеспечен следующим набором модулей:
• База Данных – модуль связи с реляционной базой данных и файловой библиотекой;
• Импорт-Экспорт – модуль автоматизации импорта и экспорта геометрии и
прочей информации из сторонних CAD/CAE-систем и баз данных;
• 3D-модель – модуль визуализации пространственной геометрии расчетной
модели;
• Механализ – модуль автоматизации работы с ядром CAE-системы ANSYS;
• Отчет – модуль автоматизации обработки данных расчета.
Дополнительной спецификой аппаратно-программного комплекса для проведения механического анализа унифицированных электронных модулей бортовой
радиоаппаратуры космических аппаратов являются организация связи с
CAD/CAM/CAE-системами и базой данных, используемой на предприятии, а также методика построения конечно-элементных моделей для проведения различных
видов анализа. Все это реализуется средствами вспомогательных модулей препроцессора и постпроцессора ИС.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28
А.Б. Бовсуновский, В.Г. Бутов, А.А. Хвалько
ЛИТЕРАТУРА
1. Руководство по системному инжинирингу NASA. NASA SYSTEMS ENGINEERING
HANDBOOK (REV. 1). NASA/SP-2007-6105. URL: http://education.ksc.nasa.gov/esmdspa
cegrant/Documents/NASA%20SP-2007-6105%20Rev%201%20Final%2031Dec2007.pdf
2. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера. Практическое
руководство. М.: Едиториал УРСС, 2003. С. 194–269.
Статья поступила 20.09.2011 г.
Bovsunovskii A.B., Butov V.G., Khval’ko A.A. ARCHITECTURE OF THE INTEGRATED SYSTEM FOR MECHANICAL ANALYSIS OF SPACECRAFT ON-BOARD ELECTRONIC
EQUIPMENT. The architecture of the expandable integrated system for engineering analysis is
discussed. The main principles of design for such system are emphasized. The functionality of the
integrated system is divided onto three classes: preparing the initial data, performing calculations
based on certain methods, and analyzing the results. The module architecture which comprises the
advantages of both the facilities of external CAD/САЕ-systems and own methodical and theoretical implementations, is presented. The model of cross-module interoperability based on unified
program interfaces is described. The minimal required set of program interfaces and modules for
building the integrated system for mechanical analysis of the spacecraft on-board electronic
equipment is mentioned.
Keywords: CAD/САЕ-system; program complex; module architecture; mechanical analysis.
BOVSUNOVSKIY Aleksandr Borisovich (Tomsk State University)
E-mail: Alexander.Bovsunovsky@niipmm.tsu.ru
BUTOV Vladimir Grigor’evich (Tomsk State University)
E-mail: bvg@niipmm.tsu.ru
HVALKO Aleksandr Aleksandrovich
(The JSC “Academician M.F. Reshetnev “Information Satellite Systems“)
E-mail: hvalko@iss-reshetnev.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 629.7.054.847
А.Б. Бовсуновский, А.А. Ящук, А.А. Хвалько
БАЗА ДАННЫХ ИНТЕГРИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА БОРТОВОЙ
РАДИОАППАРАТУРЫ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ1
Рассмотрена архитектура базы данных расширяемого автоматизированного
программного комплекса для проведения механического анализа бортовой
радиоаппаратуры космических аппаратов. Описаны нестандартные приемы
организации и расширения спектра хранимых данных. Описан состав и назначение служебных и рабочих таблиц реляционной базы данных, а также
структура файлового архива дополнительных материалов. Выделены особенности структурирования базы данных, обусловленные технологией проектирования и производства бортовой радиоаппаратуры космических аппаратов. Созданная база данных опробована в составе прототипа интегрированной системы, получены удовлетворительные результаты.
Ключевые слова: база данных; механический анализ; интегрированная
система; аэрокосмическая отрасль.
Для автоматизации проведения механического анализа бортовой радиоаппаратуры космических аппаратов создается аппаратно-программный комплекс, интегрирующий различные системы проектирования и инженерного анализа. Комплекс
имеет модульную архитектуру, где функционал подготовки расчетной модели,
непосредственного расчета и обработки результатов разнесен по отдельным программным библиотекам (DLL-модулям). Неотъемлемой частью данного комплекса является база данных (БД), обеспечивающая хранение исходных сведений для
проведения расчетов (в том числе геометрические модели), данные самих расчетов и результаты их обработки. БД программного комплекса сочетает в себе реляционную базу данных табличного типа и файловую библиотеку дополнительных материалов. Доступ к БД организован через набор программных интерфейсов, реализованных в виде специального субмодуля.
Содержимое файловой библиотеки можно разделить на три категории: архив
моделей (геометрические модели и шаблоны конечно-элементных моделей), архив вариантов расчета (подготовленные «программы» для исполнения встроенным или внешним CAE-решателем и полученные результаты расчетов), временные файлы (файлы, не имеющие практической ценности за рамками текущей сессии работы с программным комплексом).
При проектировании реляционной БД было применено несколько нестандартных решений. Одно из них – создание ряда служебных таблиц. Эти таблицы используются для унификации встраивания элементов редактирования БД в графическую оболочку комплекса, а также для описания нестандартных межтабличных
связей и типов данных.
1
Работа выполняется в порядке реализации Постановления № 218 Правительства РФ от 09.04.2010 г.
«О мерах государственной поддержки развития кооперации российских высших учебных заведений и
организаций, реализующих комплексные проекты по созданию высокотехнологичного производства»,
и договора № 13.G25.31.0017 от 07.09.2010 между ОАО «ИСС» им. акад. М. Ф. Решетнева» и Минобрнауки РФ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30
А.Б. Бовсуновский, А.А. Ящук, А.А. Хвалько
Служебные таблицы БД представлены в следующем составе:
• TABLES – описание (список) таблиц БД;
• FIELDS – описание полей каждой таблицы;
• ENUMS – описание предустановленных наборов значений (сопоставленные
пары имени и значения);
• TYPES – описание типов элементов, на которые организованы перекрестные
ссылки в рабочих и служебных таблицах;
• SETTINGS – описание настроек суб-модулей программного комплекса.
Несмотря на то, что большинство современных систем управления базами
данных (СУБД) предоставляют возможности получения списка таблиц и их
структуры, наличие (создание) в произвольной базе таблиц TABLES и FIELDS
позволяет получить ряд дополнительных возможностей представления и обработки данных. Кроме того, унификация алгоритмов работы с БД обеспечивает перспективу дальнейшего развития комплекса в части интеграции с базами различной структуры и назначения, а также базовую совместимость последующих версий комплекса.
Некоторые рабочие параметры комплекса удобно представлять в виде варианта из предустановленного набора значений или так называемого перечисления (
например, «Да» – «Нет» или «Линейная нагрузка» – «Вибрационная нагрузка» –
«Ударная нагрузка»). Для хранения подобных наборов значений предназначена
таблица ENUMS. При дальнейшем развитии функционала становится возможным
добавлять новые варианты значений в уже имеющиеся наборы, сохраняя совместимость расчетных данных и настроек от предыдущих версий комплекса.
Большинство рабочих (неслужебных) таблиц БД организовано так, что для записей предусмотрено внутреннее структурирование (группировка). То есть некоторые из табличных записей являются служебными и не содержат иной полезной
информации, кроме индекса и имени подгруппы(заголовки подгрупп). Все записи
в такой таблице содержат ссылку на определенную «родительскую» подгруппу в
той же таблице. Подобная организация структурирования данных лишь в незначительной степени увеличивает пространство, требуемое для хранения таблицы
(за счет отказа от полезного использования большинства полей в записи подгруппы). Однако, при этом отпадает необходимость в ведении дополнительной таблицы описания подгрупп и реализации соответствующих процедур поддержки целостности данных. Кроме того, значительно облегчается и сам процесс структурирования записей, поскольку он ограничивается работой только с одной (текущей)
таблицей. Структурирование данных необходимо исключительно для удобства
работы пользователя. Оно находит применение, в частности, при выборе нужного
материала или электрорадиоизделия из соответствующей таблицы. Названия подгрупп в этом случае могут быть заданы самим пользователем, исходя из удобной
ему классификации материалов и радиоэлементов.
Еще одним нестандартным решением для реляционной БД является введение
таблицы компоновочного типа. Таблица компоновочного типа служит, в частности, для описания компоновки конструктивных элементов изделия, где для элементов различных типов (электрорадиоизделия, платы, несущие рамки, крепления
и пр.) необходимо задать иерархическую структуру взаимного расположения и
подчиненности. Необходимость введения таблицы подобного рода обусловлена
технологией проектирования радиоэлектронной аппаратуры, в которой документация на разработку печатной платы, её монтирование в блоке и монтирование
блока в приборе, как правило, ведется в различных системах координат. То есть
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
База данных интегрированной системы для проведения механического анализа
31
электрорадиоизделия располагаются относительно платы, плата – относительно
блока, блок – относительно «нулевой» точки прибора.
Иерархия элементов в таблице компоновочного типа обеспечивается поддержкой группировки элементов, как в структурированных таблицах. То есть таблица
компоновочного типа является развитием структурированной таблицы. Здесь роль
подгрупп могут играть как служебные, так и рабочие записи, а ссылка на типовой
элемент конструкции организуется не одним полем (индекс элемента в сторонней
таблице), а двумя (индекс элемента и индекс типа элемента). Естественно, при такой организации ссылок решение задачи поддержки целостности данных целиком
перекладывается с СУБД на суб-модуль комплекса по работе с БД.
Состав и наполнение рабочих таблиц БД во многом определяется технологией
производства бортовой радиоаппаратуры космических аппаратов, а также методами моделирования механических нагрузок [1,2]. В проектируемом комплексе
используются следующие таблицы:
• CCS – описание компоновочной схемы;
• CHASSIS – описание вспомогательных элементов конструкции;
• FRAMES – описание несущих рамок;
• PCBS – описание монтажных плат;
• PIES – описание слоистых структур;
• ERIS – описание электрорадиоизделий;
• FORMS – описание вспомогательных стандартных форм (плоских и пространственных);
Для обеспечения проведения механического анализа состав БД дополнен следующими таблицами:
• FEMMODELS – описание шаблонов конечно-элементных моделей;
• MATERIALS – описание материалов и критериев их разрушения;
• CONFIGURATIONS – описание расчетных конфигураций;
• VARIANTS – варианты значений табличных полей для каждой конфигурации.
Таблица CHASSIS предназначена для описания элементов конструкции, которые выполнены из однородного материала. Это могут быть, например, крепежные
элементы, рамы, кронштейны, панели корпуса прибора. Кроме того, в данную
таблицу можно заносить макро-сборки и блоки, данные о детализации которых
отсутствуют. Таким образом, можно проводить оценочные расчеты изделия даже
не имея детальной информации обо всех его блоках.
Технология изготовления унифицированных электронных модулей бортовой
радиоаппаратуры космических аппаратов предполагает создание печатных плат
заданной формы в виде многослойной структуры из металлизированного стеклотекстолита, клея и диэлектрических пленок с последующим закреплением на теплоотводящей металлической пластине несущей рамки. И плата, и рамка имеют
стандартный прототип формы, в которой могут быть сделаны индивидуальные
вырезы. Для хранения всего комплекса информации о платах и несущих рамках
предназначены таблицы PCBS, FRAMES, PIES и FORMS.
Описание радиоэлементов в таблице ERIS имеет ряд существенных особенностей. При проектировании бортовой радиоаппаратуры космических аппаратов соблюдаются определенные правила, по которым, например, радиодетали определенного типа помещаются только на плату, а другие – только на корпус блока. То
есть для удобства ручной компоновки изделия полезно предусмотреть иерархию
совместимых типов элементов. Наконец, для облегчения пользовательской классификации удобно иметь возможность не только структурировать, но и типизиро-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32
А.Б. Бовсуновский, А.А. Ящук, А.А. Хвалько
вать записи таблицы ERIS (например, различать резисторы, конденсаторы и т.д.).
Для реализации этой возможности в таблице TYPES кроме индекса и описания
типа элемента (включая иерархию совместимости) также хранится индекс таблицы, в которой расположены элементы данного типа. Таким образом, ссылка на
тип конструктивного элемента присутствует как в компоновочной таблице CCS,
так и в простой структурированной таблице ERIS. Кроме того, на этапе задания
конечно-элементной модели для электрорадиоизделия важно указать материалы
корпуса и выводов, способ крепления и критерии разрушения.
Центральное место в БД комплекса занимает таблица CCS. Она является отправной точкой для формирования расчетного задания для выделенного прибора,
блока или группы элементов. Несмотря на то, что информация о компоновке изделия уже имеется в БД ОАО «ИСС» в стандартном табличном виде, эти сведения
импортируются в БД комплекса и преобразуются в необходимую иерархическую
структуру «дерева» компоновки.
При проектировании прототипа автоматизированного комплекса возникла необходимость расширения типового набора форматов данных, хранимых в БД. Так,
возникла необходимость на базе целочисленного формата различать обычное
число, набор битовых флагов или код цветности, а на базе строкового формата –
обычный текст, IP-адрес, пароль доступа, путь к файлу или структуру данных в
кодировке Base-64. При этом ставилась цель максимально снизить зависимость
оболочки комплекса от структуры подключаемой БД и унифицировать соответствующие алгоритмы обработки данных. В результате необходимые характеристики (типы и признаки) табличных полей были описаны в таблице FIELDS и
SETTINGS, а в оболочку программного комплекса встроены необходимые элементы отображения и редактирования данных.
Рис. 1. Прототип графической оболочки расчетного комплекса со встроенными
суб-модулями доступа к БД, импорта, отображения пространственных моделей
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
База данных интегрированной системы для проведения механического анализа
33
Созданная база данных была опробована в составе прототипа расчетного комплекса (рис. 1). Предварительное тестирование показало удовлетворительную работоспособность полного спектра средств доступа и редактирования БД, а также
успешное взаимодействие с субмодулями импорта данных из БД ОАО «ИСС» и
отображения пространственных моделей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Stephen A. McKeown. Mechanical analyses of electronic packaging systems. N.Y.: Marcel
Dekker Inc, 1999. P. 13−21.
2. Автоматизированное моделирование конструкций радиоэлектронных средств (РЭС)
при комплексных воздействиях // Информационные технологии в проектировании, производстве и образовании: сб. трудов Российской научно-технической конференции, посвящ. 50-летию КГТУ и 10-летию кафедры «Прикладная математика и САПР», Ковров,
июнь, 2002. Ковров: Изд-во Ковров. гос. технол. акад., 2002. С. 124−126.
Статья поступила 19.09.2011 г.
Bovsunovskii A.B., Yashchuk A.A., Khval’ko A.A. DATABASE OF THE INTEGRATED SYSTEM FOR THE MECHANICAL ANALYSES OF THE SPACECRAFT ON-BOARD ELECTRONIC EQUIPMENT. Database architecture of the expandable automated program complex
for mechanical analysis of the spacecraft on-board electronic equipment is discussed. Nonstandard methods of data organization and expanding the stored data spectrum are described. The list
and purpose of working and auxiliary tables, the structure of file library of additional data are
mentioned. The peculiarities of the database structure which are related to the technology of design and manufacturing of spacecraft on-board electronic equipment are emphasized. Satisfactory
results are obtained while testing the database as a part of a prototype of the integrated system.
Keywords: database; mechanical analysis; integrated system; aerospace industry.
BOVSUNOVSKIY Aleksandr Borisovich (Tomsk State University)
E-mail: Alexander.Bovsunovsky@niipmm.tsu.ru
YASHCHUK Aleksey Aleksandrovich (Tomsk State University)
E-mail: rainbow@niipmm.tsu.ru
HVALKO Aleksandr Aleksandrovich
(The JSC “Academician M.F. Reshetnev “Information Satellite Systems“)
E-mail: hvalko@iss-reshetnev.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 523.24
Т.В. Бордовицына, А.Г. Александрова, И.Н. Чувашов
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ОКОЛОЗЕМНЫХ
КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ИСКУССТВЕННОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ1
Дается краткий обзор разработанного авторами обширного математического
и программного обеспечения для исследования динамики больших совокупностей околоземных космических объектов искусственного происхождения. Представляемое программно-математическое обеспечение позволяет
решать следующие задачи: исследовать одновременно орбитальную эволюцию большого числа искусственных спутников Земли (ИСЗ) и объектов
космического мусора, включая анализ хаотичности движения; улучшать орбиты объектов по данным наблюдений; моделировать процесс образования
и распределения космического мусора путем взрывов и столкновений; выявлять тесные сближения космических объектов и прогнозировать вероятность
их столкновения
Ключевые слова: численные методы, искусственные спутники Земли, космический мусор, долговременная орбитальная эволюция, улучшение орбит,
динамическая хаотичность, вероятность столкновения
Предполагается [1,2], что в результате деятельности человека в космосе на сегодня в околоземном пространстве находится около 14 000 объектов размером от
5 − 10 см и более, и только 4 % из них – работающие космические аппараты (КА).
В совокупность неуправляемых объектов входят геодезические ИСЗ и космический мусор, состоящий из отработавших КА и верхних ступеней ракет-носителей,
а также различных элементов конструкций КА, которые образуются вследствие
разрушения КА под действием столкновений и взрывов.
По типу орбит все каталогизированные объекты делятся на следующие классы
или области:
LEO – low-Earth orbits, то есть низкоорбитальные объекты;
MEO – medium Earth orbits, объекты на орбитах между LEO и GEO;
GEO – geostationary orbits, объекты на геостационарных орбитах;
GTO – GEO transfer orbits, объекты на орбитах перехода в область GEO;
HEO – highly eccentric orbits, объекты с большими эксцентриситетами орбит.
Последние два класса в значительной степени совпадают.
Прогнозирование движения и исследование орбитальной эволюции совокупности околоземных объектов требует создания разнообразного программноматематического обеспечения, ориентированного на решение следующих задач:
- высокоточное численное моделирование движения ИСЗ и представление лазерных, оптических и радиотехнических наблюдений;
- решение обратных задач динамики ИСЗ, то есть определение параметров
движения и модели сил по данным измерений;
1
В статье обобщены результаты, полученные в рамках проектов № 2.1.1/2629, № 2.1.1/12782 по АВЦП
«Развитие потенциала высшей школы» и госконтрактов № П1247 от 27 августа 2009 г., № П882 от
26 мая 2010 г. по ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование динамики околоземных космических объектов
35
- моделирование процессов образования и распределения космического мусора;
- исследование динамики и долговременной орбитальной эволюции больших
совокупностей околоземных объектов.
Для решения этих задач авторами настоящей работы создано с использованием параллельных вычислений обширное программно-математическое обеспечение, описанию которого посвящена данная статья.
Описание «Численная модель движения систем ИСЗ»
«Численная модель движения систем ИСЗ» представляет собой методику и
программу для высокоточного численного моделирования движения больших
систем околоземных объектов с использованием параллельных вычислений. Данный программный комплекс имеет следующую структуру.
Уравнения движения объекта, рассматриваемого как материальная частица
бесконечно малой массы, в поле тяготения центрального тела с массой M под действием сил, определенных потенциальными функциями V и R, а также совокупности сил P, не имеющих потенциала, представляются в виде
∂V ∂R
dx
dx
(1)
= x,
=Q
+
+P
∂x ∂x
dt
dt
с начальными условиями
x0 = x(t0 ), x0 = x(t0 )
(2)
и интегрируются численно с помощью интегратор Гаусса – Эверхарта, модифицированного В.А. Авдюшевым [3]. Здесь V(Cn,m , Sn,m) – потенциал притяжения
Земли, R = RM + RS, где RM и RS – возмущающие функции, обусловленные соответственно притяжением Луны и Солнца; P – возмущающее ускорение, создаваемое силами, не имеющими потенциала, такими, как световое давление и сопротивление атмосферы. Q = Q(t,h) – матрица перехода из вращающейся системы координат в инерциальную систему, где h – звездное время. Начальные параметры
движения x0, x0 , параметры модели сил Cn,m , Sn,m и h, а в случае необходимости и
сами силы P, определяются из наблюдений в результате решения обратной задачи динамики ИСЗ.
Потенциал гравитационного поля Земли представлен в виде разложения по
шаровым функциям в системе координат, жестко связанной с Землей. Шаровые
функции и их частные производные вычисляются по рекуррентному алгоритму
Каннингема [4]. В соответствии с рекомендациями Международной службы вращения Земли (IERS) все параметры разложения потенциала Земли берутся из модели геопотенциала EGM2008, в которой определены коэффициенты гармоник до
2190 порядка и 2159 степени. Влияние приливных деформаций, происходящих в
теле Земли под действием притяжения от Луны и Солнца, вводится в виде добавок [4] в мгновенные значения коэффициентов разложения гравитационного поля
Земли. Учитываются: твердый прилив, модель Лява и отклонение модели Лява от
модели Вара, полюсные и океанические приливы. При вычислении возмущений
от Луны, Солнца и больших планет используются фонды координат больших
планет: DE405 – для высокоточных вычислений; и DE406 – для исследования
долговременной орбитальной эволюции околоземных космических объектов. При
учете возмущений от светового давления вводится функция тени. Аналитические
условия вхождения в тень, имеющую коническую форму, вычисляются через
прямоугольные координаты спутника и Солнца [14].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36
Т.В. Бордовицына, А.Г. Александрова, И.Н. Чувашов
Кластер «Скиф Cyberia» по структуре доступа к оперативной памяти относится к виду кластеров с распределенной оперативной памятью и позволяет задействовать в процессе обработки данных значительные ресурсы как оперативной памяти узла (до 8 Гб), так и процессорной памяти. Основной применяемый нами
принцип распределения вычислений по ядрам кластера – это распределение по
объектам. Разработанный нами программный комплекс позволяет отслеживать
одновременно эволюцию орбит более 1000 объектов. Применение методов распараллеливания позволяет при запуске программного комплекса одновременно задействовать до 300 процессоров кластера и оптимально распределить между ними
объекты. При таком распараллеливании быстродействие программного комплекса
увеличивается в десятки раз по сравнению с одновременным интегрированием
орбит 1000 объектов на одном процессоре. Второй важной особенностью кластера
является возможность варьировать разрядную сетку от 32 до 128 бит. Это позволяет управлять точностью численной модели и ее быстродействием. При обращении к программе все параметры модели задаются во входном файле.
Использование 128-битной разрядной сетки позволяет существенно повысить
точность при решении задач динамики ИСЗ по данным высокоточных, например
лазерных, наблюдений, за счет учета слабых возмущений, использования метода
численного интегрирования более высокого порядка и перевода ошибки округления в незначащие разряды. Распараллеливание вычислительного процесса оказывается эффективным при одновременном моделировании движения больших совокупностей околоземных объектов. Приведем примеры.
Нами были проведены численные эксперименты [4,5] по оценке порядка гармоник геопотенциала, которые можно учесть при работе на 64- и 128-битной сетках. Основные параметры орбит околоземных объектов, использованных в эксперименте, приведены в табл. 1.
Таблица 1
Параметры движения
H, км
300
500
800
1200
1600
2200
3000
4100
5900(Лагеос)
20200(Эталон)
a, км
6678.13629
6878.13629
7178.13629
7578.13629
7978.13629
8578.13629
9378.13629
10738.13629
12300.0
26600.0
e
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.004
0.01
i, град
62.8
62.8
62.8
62.8
62.8
62.8
62.8
62.8
109.8
63.4
T, с
5431
5676
6052
6565
7091
7906
9038
10674
13680
43200
В качестве показателя влияния гармоник высокого порядка был принят вклад
каждой следующей группы гармоник одного порядка относительно предыдущих.
Были получены оценки влияний гармоник от 20 до 360 порядков. Оценки влияния
гармоник сопоставлялись с величиной ошибки интегрирования. В качестве порядка гармоник, которые следует учитывать, выбирался порядок тех, влияние которых оказывалось больше ошибок интегрирования. В суммарном виде эти результаты приведены на рис. 1. На рис. 1, а даны оценки, полученные на 64-битной разрядной сетке, а на рис. 1, б – оценки, сделанные на 128-битной сетке. Эти
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование динамики околоземных космических объектов
37
оценки показывают, во-первых, что использование большой разрядной сетки позволяет учитывать в процессе интегрирования значительно большее число гармоник геопотенциала и, во-вторых, что «Численная модель движения систем ИСЗ»
позволяет подбирать оптимальный набор гармоник геопотенциала, обеспечивающий необходимую точность в процессе моделирования.
300
Порядок гармоники N
а
200
100
0
0
2000
4000
6000
Высота перигея H, км
б
Порядок гармоники N
300
200
100
0
0
2000
4000
6000
Высота перигея H, км
Рис. 1. Зависимость числа значимых гармоник от высоты перигея спутника
на различных разрядных сетках
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.В. Бордовицына, А.Г. Александрова, И.Н. Чувашов
38
Анализ влияния изменения коэффициентов Cn,m , Sn,m разложения геопотенциала под действием приливных деформаций на точность прогнозирования движения также показывает [5], что в ряде случаев только использование 128-битной
разрядной сетки позволяет отслеживать все особенности этого влияния.
Оценки накапливания методических ошибок численного моделирования на
интервале 100 лет, полученные по данным прямого и обратного интегрирования
уравнений движения спутников Эталон 1 и 2 с использованием 64-битной и 128битной разрядных сеток приведены на рис. 2.
lg(∆r)
10–3
10–4
10–5
10–6
10–7
10–8
10–9
10–10
10–11
64-битная разрадная сетка
128-битная разрадная сетк а
10–12
10–13
0
20
40
60
80
t, годы
lg(∆r)
10–3
10–4
10–5
10–6
10–7
10–8
10–9
10–10
64-битная разрадная сетка
128-битная разрадная сетка
10–11
10–12
0
20
40
60
80
t, годы
Рис. 2. Оценки точности прогнозирования векторов положения объектов.
На верхнем графике – для Эталона 1, на нижнем графике – для Эталона 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование динамики околоземных космических объектов
39
Численное моделирование процесса
образования орбитальной эволюции и распределения фрагментов
космического мусора в околоземном пространстве
Математическая модель распада строится в предположении, что координаты
каждого фрагмента совпадают с координатами родительского тела, а компоненты
скорости фрагмента определяются по формулам
x10 = v1 + ∆v cos τ,
x20 = v2 + ∆v sin τ cos φ,
x30 = v3 + ∆v sin τ sin φ,
где v1, v2, v3 – компоненты скорости родительского тела в геоцентрической системе координат. Параметры ∆v, τ, ϕ задают величину и направление вектора скорости фрагмента относительно родительского тела и рассматриваются как случайные величины, которые определяются с помощью метода обратных функций по
заданным функциям плотности распределения. Дальнейшее движение фрагментов
моделируется с помощью программы «Численная модель движения ИСЗ». Приведем сравнение с наблюдениями двух моделей распада: изотропного взрыва
(рис. 3) и столкновения (рис. 4). Данные взяты из работы авторов [6].
1400
1400
Высота апогея/перигея, км
Высота апогея/перигея, км
Апогей
Перигей
1200
1000
800
600
100
102
104
106
Период, мин
108
110
Cosmos1275
1200
1000
800
600
100
102
104
106
108
110
Период, мин
Рис. 3. Распределение фрагментов распада КА Космос 1275 через неделю после взрыва
по данным каталога НАСА (слева) и по данным моделирования (справа)
Следует отметить, что высокая точность представления наблюдаемой картины
разброса фрагментов достигается не в момент распада, а в момент наблюдения,
который отстоит от момента распада на значительный интервал времени, что говорит о высоком качестве и математической модели распада и численной модели
движения систем ИСЗ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.В. Бордовицына, А.Г. Александрова, И.Н. Чувашов
40
4000
Апогей
Перигей
Высота апогея/перигея, км
Высота апогея/перигея, км
4000
3000
2000
1000
0
-1000
75
95
115
Период, мин
135
USA19
3000
2000
1000
0
-1000
75
95
115
135
Период, мин
Рис. 4. Распределение фрагментов распада USA 19 через день после столкновения
по данным каталога NASA (слева) и по данным моделирования (справа)
MEGNO-анализ динамики околоземных объектов
Алгоритм выявления хаотичности в орбитальной эволюции объектов основан
на MEGNO-анализе [7]. Параметр MEGNO (Mean Exponential Growth of Nearby
Orbit) представляет собой оценку среднего экспоненциального расхождения двух
близких орбит, которая характеризует уровень хаотичности движения. Причем
известно, что для квазипериодических (регулярных) орбит осредненный параметр
MEGNO Yφ ( t ) осциллирует около 2, для круговых орбит Yφ ( t ) всегда равно 2, а
для устойчивых орбит типа гармонического осциллятора Yφ ( t ) = 0 . MEGNO–анализ долговременной орбитальной динамики объекта реализован нами с использованием программного комплекса «Численная модель движения систем ИСЗ».
Комплекс дополнен интегрированием восьми уравнений для вычисления касательного вектора δ = δ ( x, x ) и величин y(t) и w(t) [8], связанных с неосредненным
Y(t) и осредненным Y (t ) параметрами MEGNO соотношениями
Y (t ) = 2 y (t ) / t , Y (t ) = w(t ) / t .
(3)
Подробное описание алгоритма и результатов его тестирования дано в [9].
Алгоритм определения минимальных расстояний между объектами
Минимальное расстояние между искусственными спутниками Земли вычисляются путем нахождения локального минимума квадрата функции расстояния
[10], аппроксимируемого интерполяционным многочленом Лагранжа третьей степени относительно времени. Многочлен Лагранжа строится по узлам таблицы интегрирования уравнений движения
3
t −tj
, j = 0,3,
(4)
L3 (t ) = ∑ ri2 ∏
i =0
j ≠ i ti − i j
где ri – расстояние между двумя спутниками в момент времени t.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование динамики околоземных космических объектов
41
Для нахождения минимума функции расстояния определим производную многочлена Лагранжа (4) и приравняем ее к нулю.
dL3 (t ) 3 2
= ∑ ri
dt
i =0
∑ ∏ (t − tk )
j ≠i k ≠i, j
∏ (ti − t j )
= 0, j = 0,3, k = 0,3.
(5)
j ≠i
Решив квадратное уравнение (5), получим момент сближения tmin, и подставляя
его в (4), определим минимальное расстояние до спутника rmin = L3 (tmin ) . Вычисление минимального расстояния осуществляется на каждом шаге интегрирования.
Комплекс программ для решения обратных задач динамики ИСЗ
Обратная задача динамики ИСЗ и алгоритм ее решения могут быть сформулированы следующим образом. Пусть ρ = {ρ j ( q )} есть вектор измеренных величин,
j=1,2,…N, а q={qi}– вектор определяемых параметров (i=1,2,…m), связь между
которыми через решение уравнений (1) задается нелинейным соотношением
ρ = F (q ) ,
причем j i , то есть мы имеем избыточную нелинейную систему уравнений для
определения неизвестных параметров. Решение этой системы осуществляется при
условии существования минимума функции
N
2
Φ (q) = ∑ [ ∆ρi (q) ] = min ,
(6)
i=1
где ∆ρI = ρO – ρC – невязки, представляющие собой разность наблюденных и вычисленных значений измеряемых величин. Задачу минимизации (6) принято называть задачей наименьших квадратов (НК). Решение нелинейной задачи НК
производится методом Гаусса – Ньютона путем нахождения дифференциальных
поправок ∆q в оценки q определяемых элементов q. Алгоритм вычисления дифференциальных поправок ∆q можно записать в следующем виде:
∆q n +1 = ∆q n + ( R (q n )T R (q n ) ) R (q n )T ∆ρ(q n ),
−1
q n +1 = q n + ∆q n +1 ,
(7)
где ∆ρ(q) – вектор невязок; R(q) – матрица частных производных от измеряемых
параметров по оцениваемым. Причем, как было сказано выше, N – число измерений, а m – число определяемых параметров.
Итерационный процесс считается завершенным при выполнении следующих
условий:
qin +1 − qin ≺ ε,
(8)
где ε – заданная точность вычислений.
Среднеквадратическая ошибка единицы веса определяется формулой
1/ 2
σ0 = [ Φ(q ) /( N − m) ]
,
а среднеквадратические ошибки определяемых параметров задаются как
σi = σ0 w ii , i = 1,2,…m, где wii – диагональный элемент обратной матрицы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.В. Бордовицына, А.Г. Александрова, И.Н. Чувашов
42
( R (q
) R (q n ) ) . Обратная матрица вычисляется методами сингулярного анализа
−1
n T
[11].
Программный комплекс для решения обратных задач динамики ИСЗ тестировался на лазерных наблюдениях геодинамических ИСЗ Лагеос и Эталон. Обработка наблюдений для ИСЗ Лагеос проводилась на 7-суточной орбитальной дуге,
а для ИСЗ Эталон – на 30-суточной орбитальной дуге, что в том и другом случаях
соответствует 60 оборотам спутника. Данные, приведенные в работе [12] одного
из авторов настоящей статьи, показывают, что при тщательной отбраковке наблюдений система параметров движения для спутника Лагеос имеет среднеквадратичную ошибку единицы веса равную нескольким сантиметрам, а для спутника
Эталон 2 равную двум метрам, что хорошо согласуется с результатами других авторов.
Алгоритм исследования долговременной эволюции
доверительных областей движения. Способ вероятностной оценки
возможных столкновений объектов
Алгоритм исследования долговременной эволюции доверительных областей
движения в виде граничной поверхности. Следуя [13], будем определять доверительную область движения объекта его граничной поверхностью по следующему
алгоритму.
Как известно, начальная вероятностная область решения q для каждого объекта может быть определена относительно МНК-оценки q с использованием ковариационной матрицы D по формуле
qi = Aη i + q ( i = 1,..., N ) ,
(9)
i
где η – 6-мерный вектор случайных чисел, распределенных по нормальному закону, A – треугольная матрица, такая, что ATA = D, а N – число рассматриваемых
решений. Точки qi дают вероятностное распределение возможных значений q в
фазовом пространстве определяемых параметров.
По количеству наблюдений, числу определяемых параметров m и заданной вероятности P (в нашем случае мы полагали P = 0,999) определяется верхняя квантиль функции Фишера F*. По известным значениям среднеквадратической ошибки единицы веса σ02 и F* легко найти правую часть уравнения:
(q i − q )T Q (qi − q ) = mσ02 F * = γ* ,
(10)
T
где Q = R R – так называемая нормальная матрица, а R – матрица изохронных
производных.
Значение γ* определяет граничную поверхность доверительной области. Для
всех точек q i эллипсоидальной поверхности γi = γ* .
По формуле (9) задается множество случайных точек qi, для каждой из которых вычисляется соответствующее значение γi:
γ i = (qi − q)T Q (qi − q).
С помощью коэффициентов li = γ* / γi, растягивающих вектор (q j − q) до граничной поверхности γ*, определяется искомый вектор q i :
(q i − q) = li (qi − q) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование динамики околоземных космических объектов
43
C помощью данного алгоритма методом Монте-Карло формируется доверительная область в виде множества случайных многомерных точек, заполняющих
граничную поверхность доверительного эллипсоида. В отличие от классического
алгоритма, основанного на генерировании случайных точек, заполняющих всю
область, используемый нами алгоритм, как показано в работе [14], является более
экономичным по числу моделируемых точек, и при одинаковом числе точек точнее определяет доверительные области.
Способ вероятностной оценки возможных столкновений объектов. Метод исследования долговременной эволюции доверительных областей движения в виде
граничной поверхности, как уже отмечалось выше, является более экономичным
по числу моделируемых точек, чем классический, однако он не применим для вероятностной оценки возможности столкновения исследуемых объектов. В случае
пересечения доверительных областей движения КА, построенных в виде граничных поверхностей, предлагается строить для этих объектов повторно доверительные области классическим способом, с заполнением начальной вероятностной области методом Монте-Карло по формуле (9) и отслеживать их эволюцию до момента пересечения. А оценку вероятности столкновения объектов космического
мусора определять как отношение числа траекторий, попавших в область пересечения, к их общему числу.
Исследование долговременной орбитальной эволюции всей совокупности
объектов каталога ESA «Classification of geosynchronous objects»
MEGNO-анализ особенностей динамики объектов каталога. Как известно, все
функционирующие КА зоны GEO располагаются над экватором Земли в различных его точках в зависимости от зоны обслуживания. После утраты управления
отработавшие объекты переходят в состояние свободного полета, который определяется законами небесной механики. Особенности воздействия тессерального
резонанса таковы, что дальнейшая динамика объекта будет определяться долготой λ подспутноковой точки, с которой объект начал свое свободное движение.
На рис. 5 показана эволюция всей совокупности объектов каталога ESA на десятилетнем интервале времени. На графике хорошо видно, что достаточно большое число объектов находятся вблизи сепаратрис.
a, км
42400
42300
42200
42100
42000
41900
0
90
180
270
λ, град
Рис. 5. Распределение КА каталога ESA в результате десятилетней эволюции
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.В. Бордовицына, А.Г. Александрова, И.Н. Чувашов
44
Таким образом, во всех случаях фракция неустойчивых объектов присутствует
и может быть даже достаточно большой.
На рис. 6 показано значение усредненного параметра MEGNO для всех неуправляемых на 1 января 2009 г. КА геостационарной зоны, приведенных в каталоге ESA «Classification of geosynchronous objects», на интервалах времени 30, 100
и 200 лет. На графиках хорошо видно, что со временем все большее количество
КА оказывается на неустойчивых орбитах. И если на интервале времени 30 лет
неустойчивых объектов относительно немного, то через 100 и 200 лет их число
возрастает в несколько раз.
40
a, км
10
42200
4
3
42150
2
1
0
42100
а
42050
–15
45
105
165
225
285
λ, град
a, км
40
10
42200
4
3
42150
2
1
0
42100
б
42050
–15
45
105
165
225
285
λ, град
40
a, км
10
42200
4
3
42150
2
1
0
42100
в
42050
–15
45
105
165
225
285
λ, град
Рис. 6. Усредненный параметр MEGNO для объектов каталога
ESA «Classification of geosynchronous objects» на интервале времени:
а –30 лет; б – 100 лет; в – 200 лет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование динамики околоземных космических объектов
45
Исследование возможных сближений объектов каталога
ESA «Classification of geosynchronous objects»
В данном разделе статьи приведены результаты исследования долговременной
орбитальной эволюции всей совокупности объектов геостационарной зоны, приведенных в 11-м издании каталога ESA «Classification of geosynchronous objects».
В этом каталоге орбитальные данные объектов на конкретный момент времени
представлены без указания их точности и интервала времени, охваченного наблюдениями, по которым эти параметры были получены. Поэтому для построения
доверительных областей нам пришлось моделировать наблюдения выбранных
объектов и процесс улучшения их орбит.
Начальные значения параметров движения КА, которые имеются в каталоге,
мы рассматривали как «точные». Затем вычислялись угловые положения КА на
заданном интервале времени с определенным шагом. Мы выбрали интервал равный одному обороту КА с шагом 0,01 оборота. Далее путем внесения в угловые
положения КА случайной ошибки из заданного интервала точностей мы формировали наблюдения. Решая задачу наименьших квадратов (НК) методом дифференциальных поправок, используя для этого сформированную выборку измерений, находили НК-оценки начальных параметров и их матрицу ковариации. В качестве начального приближения в итерационном методе использовали значения
параметров движения КА, взятые из каталога. Затем по НК-оценке начальных параметров и матрице ковариации строили доверительную область движения КА,
накрывающую с заданной вероятностью (P = 0,999) положение КА на начальный
момент времени. Доверительная область (6-мерный эллипсоид) определялась методом Монте-Карло в виде множества 6-мерных точек. Эти точки, включая НКоценку и значения параметров из каталога, рассматривались в дальнейшем в качестве начальных точек ансамбля траекторий, динамическая эволюция которых позволяет построить картину вероятностной эволюции движения КА.
Как уже отмечалось выше, области являются носителями информации о реальности наших знаний об орбитальном движении. Мы провели оценку влияния
точности наблюдений на размеры доверительной области движения. Полученные
оценки показывают зависимость размеров доверительной области от величины
ошибки [14].
Для оценки сближения объектов геостационарной зоны между собой был выполнен прогноз движения на интервале времени 10 лет с шагом 1 с. Минимальные
расстояния между объектами вычислялись по вышеизложенному алгоритму. Все
выявленные сближения на расстояние менее 100 км, их оказалось 514556, приведены на рис. 7. Необходимо отметить, что произошло 30125 сближений на расстояние менее 20 км и 12274 – на расстояние менее 10 км, что считается крайне
опасным. Данные о наиболее тесных сближениях (менее 100 м) приведены в
табл. 2. Причем следует заметить, что данные объекты неоднократно имели тесные сближения.
В случае сближений менее 100 м нами были построены доверительные области
для сближающихся объектов и прослежена их динамическая эволюция до момента
наиболее тесного сближения. Для примера рассмотрим вариант сближения КА
Cosmos 2133 и Raduga 10. На рис. 8 показаны начальные доверительные области
для КА Cosmos 2133 и Raduga 10 (σ = 0,5") и на рис. 9 – в момент наиболее тесного
сближения. Для КА Cosmos 2133 и Raduga 10 на момент сближения идет пересечение доверительных областей, что говорит о возможности столкновения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.В. Бордовицына, А.Г. Александрова, И.Н. Чувашов
46
∆R, км
JD, сут
Рис. 7. Оценки сближения объектов геостационарной зоны
между собой
Таблица 2
Объекты, испытавшие тесные сближение
Gstar 3
ACTS
LES 9 (RTGPP)
Raduga 1-3
Cosmos 2133
Cosmos 2133
N-Star 2
Raduga 32
ACTS
ATS 1
Comstar 4
Zhongxing 6 (B)
Raduga 12
Raduga 12
Cosmos 1961
Proton-K (85070F)
IUS stage 2
Gorizont 27
КА
OPS 9431 (DSCS II F-1)
ASC 1
69101A Skynet 1A
Raduga 9
Raduga 30
Raduga 10
Eutelsat II F-3
Raduga 14
Gstar 3
Cosmos 1897
Cosmos 1546
Ekran 2 fragm. debris
Raduga 14
Raduga 14
Elektro 1
Proton-K (80049F)
Raduga 24
Gorizont 6
∆R, км
0,15
0,61
0,16
0,83
0,83
0,13
0,64
0,62
0,57
0,48
0,98
0,26
0,28
0,76
0,75
0,73
0,71
0,07
Дата сближения
13.05.2009
13.06.2009
14.05.2010
28.08.2010
20.01.2012
09.02.2012
21.11.2013
25.12.2013
03.04.2014
31.01.2015
04.05.2015
24.09.2015
10.11.2015
22.11.2016
14.02.2017
20.04.2018
27.10.2018
13.12.2018
На рис. 9 сплошными линиями показаны траектории номинальных орбит КА
Cosmos 2133 (кривая 1) и Raduga 10 (кривая 2), точками – соответствующие им
доверительные области движения на момент пересечения областей.
Вероятность риска столкновения рассчитывалась в виде отношения числа
столкновительных траекторий к общему числу траекторий. В данном случае она
оказалась низкой P = 8⋅10−6.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
47
x2, км
x2, км
Численное моделирование динамики околоземных космических объектов
x 3,
x1 , км
км
x 3,
x1 , км
км
Рис. 8. Начальные области возможных движений
для КА Cosmos 2133 (слева) и Raduga 10 (справа)
1
x1 , км
1
x2, км
x2, км
2
x 3,
км
2
x1 , км
км
x 3,
Рис. 9. Вероятностные области для КА Cosmos 2133 (кр. 1) и Raduga 10 (кр. 2)
на момент сближения в разных масштабах
Заключение
Таким образом, в настоящей работе дано описание разработанного авторами
алгоритмического и программного обеспечения, которое позволяет решать широкий круг задач динамики околоземных объектов. Все программные комплексы
реализованы в среде параллельных вычислений и являются высокоэффективными
как по точности, так и по быстродействию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рыхлова Л.В. Засоренность околоземного пространства объектами техногенного происхождения // Околоземная астрономия – 2003: тр. конф. Т.2. Терскол, сентябрь 2003 г.
Институт астрономии РАН. СПб.: ВВМ, 2003. С. 11–19.
2. Klinkrad H. Space debris. Springer, 2006. 430 p.
3. Авдюшев В.А. Интегратор Гаусса – Эверхарта // Вычисл. технологии. 2010. Т. 15. № 4.
С. 31–47.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48
Т.В. Бордовицына, А.Г. Александрова, И.Н. Чувашов
4. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения ИСЗ. Аналитические и численные
методы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. 105 с.
5. Чувашов И.Н. Прогнозирование движения ИСЗ с использованием параллельных вычислений. Учет слабых возмущений // Изв. вузов. Физика. 2010. T. 53. № 8/2. С. 22–29.
6. Бордовицына Т.В., Александрова А.Г. Численное моделирование процесса образования
орбитальной эволюции и распределения фрагментов космического мусора в околоземном пространстве // Астрон. вестн. 2010. Т. 44. С. 259−272.
7. Cincotta P.M.. Giordano C.M, Simob C. Phase space structure of multi-dimensional systems
by meansof the mean exponential growth factor of nearby orbits // Physica D. 2003. V. 182.
P. 151–178.
8. Valk S., Delsate N., Lemaître A., Carletti T. Global dynamics of high area-to-mass ratios
GEO space debris by means of the MEGNO indicator // Adv. Space Res. 2009. V. 43.
P. 1509–1526.
9. Бордовицына Т.В., Александрова А.Г., Чувашов И.Н. Комплекс алгоритмов и программ
для исследования хаотичности в динамике искусственных спутников Земли // Изв. вузов. Физика. 2010. T. 53. № 8/2. С. 14−21.
10. Шефер В.А. Регуляризирующие и стабилизирующие преобразования в задаче исследования движения особых малых планет и комет: автореф. дис. ... к.ф.-м.н. Казань, 1986.
13 с.
11. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.
12. Чувашов И.Н. Программно-математическое обеспечение для решения обратных задач
динамики ИСЗ с использованием параллельных вычислений // Изв. вузов. Физика.
2011. № 6/2. С. 5–12.
13. Сюсина О.М., Тамаров В.А., Черницов А.М. Новые алгоритмы построения методом
Монте-Карло начальных доверительных областей движения малых тел // Изв. вузов.
Физика. 2009. T. 52. № 10/2. С. 48−55.
14. Александрова А.Г., Бордовицына Т.В., Чувашов И.Н. Об исследовании долговременной
эволюции доверительных областей движения объектов геостационарной зоны // Изв.
вузов. Физика. 2009. T. 52. № 10/2. С. 20–25.
Статья поступила 21.11.2011 г.
Bordovitsyna T.V., Aleksandrova A.G., Chuvashov I.N. NUMERICAL SIMULATION OF NEAR
EARTH ARTIFICIAL SPACE OBJECT DYNAMICS USING PARALLEL COMPUTATION.
A short survey of algorithms and software developed by the authors for studying dynamics of
large groups of near Earth artificial space object is given. The software permits one to solve the
following problems: simultaneous investigation of orbital evolution of a large number of artificial
satellites and objects of space debris, including the analysis of the chaotic state, improving orbits,
simulating the process of space debris formation and distribution by means of explosions and collisions, discovering approaches of space objects, and forecasting the probability of their collisions.
Keywords: numerical methods, Earth artificial satellites, space debris, long-term orbital evolution,
improvement of orbits, dynamical randomness, probability of collision.
BORDOVITSYNA Тatiana Valentinovna (Tomsk State University)
E-mail: tvbord@sibmail.com
ALEXANDROVA Anna Gennad’evna (Tomsk State University)
E-mail: chuvashov@sibmail.com
CHUVASHOV Ivan Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: aleksann@sibmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 629.7.054.847
В.Г. Бутов, Т.В. Васенина, Н.Е. Кувшинов,
Г.И. Овечкин, А.А. Ящук
ОРГАНИЗАЦИЯ БАЗЫ ДАННЫХ
ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Разработана специализированная многофункциональная CAD-CAE-система
«Градиент», которая предназначена, в том числе, и для численного моделирования температурных полей элементов конструкции перспективных спутников связи. При создании конструктивно-компоновочной схемы космического аппарата используется база данных элементов конструкции и их физических характеристик. Для геометрической модели космического аппарата
(КА) с заданными физическими параметрами проводится расчет многомерных нестационарных тепловых полей и стационарных температур элементов
конструкции и КА в целом с учетом внешних тепловых потоков в заданные
промежутки времени и на заданной орбите.
Ключевые слова: база данных; численное моделирование; температурные
поля; интегрированная система; космический аппарат.
В настоящее время для решения задач, возникающих при проектировании КА,
широко используются универсальные пакеты механического и теплового анализа
конструкций, такие, как ANSYS, NASTRAN, ABAQUS и другие. При проведении
анализа в универсальных пакетах основную сложность представляет создание
расчетной модели. Данная операция очень трудоемка, так как универсальные пакеты не позволяют в автоматическом режиме строить конечно-элементные модели для конкретных классов задач. В связи с этим представляется актуальным разработка специализированной САПР, предназначенной для анализа конкретных
классов КА.
Интегрированная многоуровневая система (ИМС) «Градиент» разработана для
обеспечения выбора по заданным критериям основных проектных параметров
различных вариантов конструктивно-компоновочных схем (ККС) КА [1]. Выбор
осуществляется на основе разработанной геометрической модели КА и расчетов
для этой ККС многомерных нестационарных температурных полей и стационарных температур элементов конструкции и КА в целом.
Система «Градиент» позволяет проектанту на этапе эскизного проектирования
создать упрощенную геометрическую модель элементов конструкции и выбрать
ККС конструкции на основе результатов проведенных оценочных тепловых расчетов.
В данной статье приводится описание структуры базы данных (БД), используемой для проведения расчетов нестационарных температурных полей в панелях солнечных батарей, в приборном отсеке с учетом радиационного теплообмена
внутри приборного отсека, внешних тепловых полей, анизотропного механизма
теплопроводности по сотовым панелям, в которые могут быть встроены жидкостной контур и/или тепловые трубы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
50
В.Г. Бутов, Т.В. Васенина, Н.Е. Кувшинов, Г.И. Овечкин, А.А. Ящук
1. Структура базы данных
База данных системы «Градиент» предназначена для хранения различных типов данных. В системе используется реляционная БД, работа с которой осуществляется через протокол ODBC, поэтому сама БД может быть в любом формате, например MS Access либо MySQL. Целостность данных в БД обеспечивает сама
система «Градиент». Структура БД приведена на рис. 1. В БД содержится:
- конструктивно-компоновочная схема КА;
- наборы типовых узлов. Типовой узел представляет собой объект предметной
области, обладающий некоторыми отличительными свойствами и выполняющий
определенные функции в конструкции КА. В системе «Градиент» типовые узлы
выделяются исходя из той роли, которую они играют в математических моделях
решаемых задач. В настоящее время выделены следующие типовые узлы: сотопанель, прибор, тепловая труба, труба жидкостного контура, трубы каркаса солнечных батарей (БС) и др.;
- дополнительная информация о типовых узлах: свойства материалов, геометрические параметры, чертежи, циклограммы работы приборов, сечения труб;
- дополнительные данные для расчетов: параметры орбит, альбедо Земли, параметры расчетов, сетки конечных элементов и др.
Схема компоновки КА
Дополнительная
информация о типовых узлах
Наборы типовых узлов
Панели
Свойства материалов
Приборы
Геометрические параметры
Трубы БС
Чертежи
Трубы гидротракта
Циклограммы
Тепловые трубы
Типы труб
Дополнительные данные
Орбиты
Альбедо Земли
Источники данных
Параметры расчетов
Сетки конечных элементов
Рис. 1. Структура базы данных ИС «Градиент»
Конструктивно-компоновочная схема КА представляет собой иерархическую
структуру – дерево и хранится в отдельной таблице, при этом иерархическая
структура воспроизводится введением специального поля, ссылающегося на первичный ключ данной таблицы, соответствующий записи родительского узла.
Корнем дерева является собственно КА, элементами дерева являются так называемые компоновочные узлы, т.е. функционально выделенные элементы конструкции КА (например, модуль, приборный отсек, сотопанель, прибор, тепловая
труба и т.п.). Для каждого компоновочного узла в БД хранятся точка вставки и
углы поворотов локальной системы координат (СК) относительно СК родительского узла, которые задают его геометрическое положение. Также для каждого
компоновочного узла указан его тип и может быть указана ссылка на соответствующий типовой узел.
Наборы типовых узлов и дополнительные данные хранятся в отдельных таблицах.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Организация базы данных для численного моделирования температурных полей
51
В БД упрощенное описание геометрии типовых узлов, используемое в математических моделях (например, длина и ширина посадочных мест приборов, размеры сотопанелей), хранится в параметрическом виде как свойства соответствующих типовых узлов. В то же время каждому типовому узлу можно назначить более подробный чертеж, который будет отображаться в графическом окне и может
использоваться конструктором, например, при компоновке КА.
2. Пользовательский интерфейс для заполнения базы данных
Пользовательский интерфейс системы предназначен для задания исходных
данных, создания компоновочной схемы КА, геометрической модели и параметров функционирования КА и его узлов.
В качестве графического ядра используется библиотека OpenCASCADE.
Пользовательский интерфейс (рис. 2) представлен набором окон. В окне «Менеджер БД» в виде дерева узлов представлена компоновочная схема спутника.
Через контекстное меню узлов можно добавлять или удалять типовые узлы или
редактировать имеющиеся. При выборе компоновочного узла появляется окно,
показывающее его координаты относительно родительского узла и окно, показывающее параметры типового узла. Таким образом, каждое окно предназначено
для отображения информации о текущем компоновочном узле конструкции КА
(сотопанель модуля полезной нагрузки (МПН) на рис. 2), которая содержатся в
БД ИС «Градиент». В графическом окне отображается трехмерный вид редактируемого компоновочного узла и всех его дочерних узлов.
Рис. 2. Типовой узел «Панель» с прибором и тепловой трубой
Интерфейс на основе единого графического ядра позволяет:
- создавать, модифицировать и удалять типовые элементы конструкции КА;
- включать новые узлы в компоновку спутника и изменять их расположение;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
52
В.Г. Бутов, Т.В. Васенина, Н.Е. Кувшинов, Г.И. Овечкин, А.А. Ящук
- работать с архивом модулей;
- задавать граничные, начальные условия и параметры расчетов;
- вызывать расчетные подсистемы и отображать результаты проведенных расчетов.
На рис. 2 показан типовой узел «Панель», на которую поставлен типовой узел
«Прибор» и в которую проложен типовой узел «Тепловая труба» в рамках оболочки «Градиент», а в правом нижнем углу показаны свойства типового узла
«Прибор». В математической модели ИМС используются следующие параметры
приборов:
- длина и ширина (м) – задают геометрические размеры посадочного места
прибора;
- тепловыделение (Вт) – суммарное тепловыделение прибора, равномерно распределяется по посадочному месту [2];
- циклограмма – если указана, то используется для задания переменного во
времени тепловыделения вместо предыдущего параметра.
Для задания или редактирования циклограммы прибора вызывается диалог
«Выбор и редактирование: Циклограммы» (рис. 3).
Рис. 3. Выбор (вверху) и редактирование (внизу) циклограмм
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Организация базы данных для численного моделирования температурных полей
53
Циклограммы хранятся в отдельной таблице БД и могут быть следующих типов:
- константа, при этом тепловыделение остается постоянным между точками
циклограммы (рис. 4);
- линейная, при этом тепловыделение изменяется линейно между точками
циклограммы;
- сплайн, при этом строится кубический сплайн по точкам циклограммы и наклонам слева и справа;
- функция, при этом тепловыделение между точками циклограммы меняется
по аналитической заданной функциональной зависимости. Функциональная зависимость должна быть записана относительно переменной t, с использованием
стандартных математических операций (+, −, /, ×, …) и функций (sin, cos, log, exp,
sqrt, …).
3. Результаты тестового расчета
Численно тепловая модель элементов конструкции реализуется методом конечных элементов. Один из результатов расчета нестационарного теплового поля
для задачи, описанной в [3], приведен на рис. 4.
Рис. 4. Температурное поле отсека КА с системой терморегулирования
на основе нерегулируемых тепловых труб в момент t = 6 ч
Разбиение на конечные элементы обшивок сотопанелей производится таким
образом, чтобы точно учесть границы приборов, радиационных поверхностей и
полок тепловых труб. Для моделирования кондуктивного теплообмена в обшивках панелей используются двумерные элементы первого порядка. Радиационное
остывание реализуется набором нелинейных двумерных элементов радиационного теплообмена. Теплообмен в сотозаполнителе моделируется одномерными элементами, соединяющими соответствующие узлы верхней и нижней обшивок. Конечно-элементная модель тепловой трубы строится из массового элемента, представляющего собой область пара, набора двумерных элементов контактного теплообмена, обеспечивающих теплообмен с обшивкой, и одномерных элементов
для теплообмена в связке труб.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
54
В.Г. Бутов, Т.В. Васенина, Н.Е. Кувшинов, Г.И. Овечкин, А.А. Ящук
Более подробное описание математической модели теплообмена сотопанели с
приборами и нерегулируемыми тепловыми трубами, конечно-элементной модели
и результаты расчетов приведены в [4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Бутов В.Г., Васенина Т.В., Кожухов В.П. и др. Интегрированная система «Градиент»
проектирования элементов конструкций космических аппаратов // Изв. вузов. Физика.
2007. Т. 50. № 9/2. С. 218−222.
2. Бутов В.Г., Васенина Т.В., Кожухов В.П. и др.Тепловая математическая модель модуля
негерметичного приборного отсека геостационарных космических аппаратов // Совместный выпуск по материалам Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» Вычислительные технологии. Т. 13. Вестник КАЗНУ им. Аль-Фараби. Серия математика, механика, информатика. Алматы – Новосибирск, 2008. № 3. С. 332−337.
3. Бураков В.А., Корчагин Е.Н., Кожухов В.П. и др. Тепловая математическая модель
U-образного блока негерметичного приборного отсека геостационарных космических
аппаратов // ИФЖ. 2007. Т. 80. № 6. С. 9−17.
4. Бутов В.Г., Васенина Т.В., Кожухов В.П. и др. Тепловой анализ негерметичного приборного отсека космических аппаратов // Изв. вузов. Физика. 2010. № 12/2. С. 49−54.
Статья поступила 10.10.2011 г.
Butov V.G., Vasenina T.V., Kuvshinov N.E., Ovechkin G.I., Yashchuk A.A. DATABASE ORGANIZATION FOR NUMERICAL SIMULATION OF TEMPERATURE FIELDS OF THE
ELEMENTS OF SPACECRAFT DESIGN. A specialized multifunctional Gradient CAD-CAEsystem which is intended, in particular, for numerical simulation of temperature fields of promising design elements of communication satellites is developed. In the process of creation of a design-assembly scheme of the spacecraft, the database of design elements and their physical properties is used. For a given geometric model of the spacecraft and its physical parameters, the calculation is carried out for multi-dimensional unsteady temperature fields and steady-state temperature of structural elements and the spacecraft as a whole with allowance for external heat
flows at specified intervals and on a given orbit.
Keywords: database; numerical simulation; temperature fields; integrated system; space satellite.
BUTOV Vladimir Georgievich (Tomsk State University)
E-mail: bvg@niipmm.tsu.ru
VASENINA Tatyana Veniaminovna (Tomsk State University)
E-mail: tvv@niipmm.tsu.ru
KUVSHINOV Nikolay Evgen’evich (Tomsk State University)
E-mail: kvshn@niipmm.tsu.ru
OVECHKIN Gennadiy Ivanivich
(The JSC “Academician M.F. Reshetnev “Information Satellite Systems“)
E-mail: loganov@iss-reshetnev.ru
YASHCHUK Aleksey Aleksandrovich (Tomsk State University)
E-mail: rainbow@niipmm.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 532.5
И.М. Васенин, А.А. Глазунов, И.В. Еремин,
С.Н. Устинов, В.С. Финченко
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЗРЫВА
КОМПОНЕНТОВ ЖИДКИХ ТОПЛИВ
Описывается подход, позволяющий в рамках равновесного двухфазного
приближения, с учетом объема занимаемого частицами жидкости, анализировать процесс взрыва компонентов жидких топлив. Численная реализация
осуществлялась в двухмерном приближении на основе схемы С. К. Годунова. Выполненные расчеты позволяют оценить распределение газодинамических параметров в разные моменты времени.
Ключевые слова: разгонный блок, компоненты жидкого топлива, взрыв,
газожидкостная смесь, модель смеси
Для вывода космических аппаратов (КА) на заданную орбиту используется ракета-носитель (РН) с разгонным блоком (РБ), в частности РБ «Фрегат» (РБФ) разработки ФГУП «НПО им С. А. Лавочкина» [1]. Конструкция РБФ представляет
собой блок сферических баков с маршевой двигательной установкой. Топливные
баки с окислителем и горючим расположены попарно и разделены между собой
перегородкой. Двигательная установка позволяет РБФ реализовать различные
схемы выведения КА путем многократного запуска. В зависимости от комплексной реализации работы РН и РБ по выводу КА на орбиту, в баках РБ остается определенное количество компонентов топлива. После выполнения задач на орбите
РБФ уводится из околоземного пространства по траектории спуска к Земле. При
движении РБФ в плотных слоях атмосферы происходит его аэродинамический
нагрев, что приводит к разрушению баков с горючим и окислителем. Если разрыв
баков происходит в близкие моменты времени, то возможно смешение самовоспламеняющихся компонентов топлива и возникновение химической реакции с
выделением тепла. Фактически такие реакции всегда приводят к взрывам.
Настоящая работа посвящена расчетам процесса взрыва путем смешения компонентов топлива на траектории спуска РБФ.
Физико-математическая постановка задачи
Поскольку данная работа проводилась для оценки зон безопасности при взрывах РБ «Фрегат» на траекториях спуска, при построении математической модели
применялся принцип: ни на каком этапе расчетов модель не должна приводить к
уменьшению мощности взрывов и, следовательно, к уменьшению эллипсов рассеивания выпадающих на Землю элементов.
Наиболее сложным при проведении расчетов в решаемой задаче является процесс смешения компонентов. При относительных объемных концентрациях жидкой фазы 0,1 – 0,5, среднее расстояние между жидкими частицами внутри каждого
из компонентов составляет лишь 1 – 2 их диаметра. Поэтому процессы смешения
таких газожидкостных потоков наряду с взаимной диффузией паровой фазы
должно сопровождаться столкновениями жидких частиц, препятствующими про-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56
И.М. Васенин, А.А. Глазунов, И.В. Еремин, С.Н. Устинов, В.С. Финченко
никновению одного компонента в другой. В настоящее время эти процессы для
больших объемных концентраций жидкой фазы изучены недостаточно и не могут
быть рассчитаны на основании строгой теории.
Для выхода из затруднения в работе использовалось допущение о том, что в
течение времени задержки самовоспламенения после соприкосновения компонентов они беспрепятственно проходят друг через друга со скоростями, рассчитанными для каждого компонента без учета присутствия другого компонента. В отсутствии столкновения компонентов друг с другом они займут наибольший объем, в котором будут присутствовать вместе. Такой подход к расчету смешения
компонентов с физической точки зрения завышает величину объема смешения.
Величина этого объема пропорциональна времени задержки воспламенения и
скоростям, с которыми компоненты проникают друг через друга.
Знаний объема смешения компонентов и находящихся в этом объеме масс
окислителя и горючего не достаточно для определения энергии взрыва при их
взаимодействии. Из-за наличия градиентов параметров, в некоторых точках объема смешения оказывается много горючего и мало окислителя для его сгорания, в
то время как в других точках при достаточном количестве окислителя слишком
мало горючего. Поэтому для расчетов энерговыделения при их совместном сгорании необходим расчет энергии взрыва с учетом концентрации компонентов.
Очевидным подходом к решению данной задачи является термодинамический
расчет. Однако проведение термодинамических расчетов в сотнях тысяч ячеек,
используемых в компьютерной модели, – слишком накладная задача с точки зрения времени вычислений. Поэтому для расчетов энергии взрыва в зависимости от
соотношения компонентов был использован другой подход. Известно, что максимальное энерговыделение при горении диметилгидразина в четырехокиси азота
имеет место, когда в смеси на одну весовую часть горючего приходится три части
окислителя. С учетом этого факта в расчетах использовалась следующая логика.
Если в смеси недостаточно горючего и много окислителя, то сгорает все горючее,
потребляя при сгорании 3 части окислителя. Если в смеси недостаточно окислителя, то в реакции горения участвует весь окислитель, который при сгорании
окисляет массу диметилгидразина, равную 1/3 своей собственной массы. Считается, что при таком сгорании каждый раз выделяется максимальная энергия.
Для проверки достоверности подхода с помощью изложенной выше логики
была построена зависимость энерговыделения Q от кислородного коэффициента α k
Q = Qmax
3, 06α k + 1 3
.
3, 06α k + 1
(1)
Здесь Qmax – максимальное энерговыделение, α k – коэффициент, равный отношению числа атомов кислорода к тому его количеству, которое необходимо для
полного окисления находящихся в смеси углерода и водорода. Формула (1) справедлива для величин α k < 1 .
С целью поиска схемы и последовательности разрушения баков, приводящих к
максимальному энерговыделению при взрыве, проводились параметрические исследования. Было найдено, что максимальное энерговыделение имеет место, когда отверстия в баках открываются навстречу друг другу. При этом оказалось, что
наибольшее количество взрывчатой смеси образуется, когда бак с окислителем
взрывается раньше, чем бак с горючим. Величина этого опережения зависит от
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование процесса взрыва компонентов жидких топлив
57
заполнения баков перед взрывом. В случае заполнения баков на 50 % величина
опережения составила 0,024 с. При заполнении баков на 25 % величина опережения равна 0,017 с. При заполнении на 10 % опережение было равно 0,012 с.
Предполагалось, что взрыв может произойти при разгерметизации 4 баков
(2 бака с горючим, и 2 бака с окислителем) с учетом задержки взрыва баков с горючим. Соотношение массы окислителя к массе горючего принято равным 3. При
этом определено, что в случае взрыва баков, в зависимости от количества топлива
(окислителя и горючего), оставшегося в баках, энерговыделение эквивалентно
взрыву:
- 526 кг топлива (окислитель + горючее), в случае заполнения баков на 50 %;
- 280 кг топлива (окислитель + горючее), в случае заполнения баков на 25 %;
- 108 кг топлива (окислитель + горючее), в случае заполнения баков на 10 %.
Следует заметить, что построенная математическая модель расчета энергии
взрыва безусловно завышает эту энергию.
Рассмотрим состояние газожидкостной среды, находящейся в баках и вырывающейся под давлением наружу. По существу, внутри баков нам известны только термодинамические параметры среды: соотношение масс жидкой и паровой
фаз, а также температура и давление. Совершенно неизвестно дисперсное состояние жидкой фазы. После разгерметизации баков начинается истечение этой среды
во внешнее пространство. В образовавшихся двухфазных потоках менее плотный
газ будет обгонять жидкие частицы, которые под действием сил сопротивления,
возникающих из-за разностей скоростей, начинают двигаться вслед за газом. В
процессе своего движения они могут разрушаться газовым потоком, другими частицами, а также коагулировать друг с другом. Наряду с разностью скоростей между фазами возникает также температурная неравновесность, выражающаяся в
разности температур фаз. Неравновесные модели двухфазных сред детально разработаны для течений в соплах ракетных двигателей, использующих в качестве
топлива алюминиевое горючее. К сожалению, в рассматриваемом случае взрыва
их невозможно использовать из-за неизвестных размеров жидких частиц. Поэтому единственной реальной возможностью математического моделирования истечения газожидкостной смеси после разгерметизации баков остаётся использование равновесной модели этой смеси [2 – 4].
При расчетах распространения газожидкостных смесей окислителя или горючего из отверстий, образовавшихся при нарушении целостности баков, использовалась классическая разностная схема 1-го порядка аппроксимации С.К. Годунова
[5]. При этом при записи соотношений для распада произвольного разрыва используются соотношения для равновесной модели с учетом объема, занимаемого
конденсированной фазой. Нестационарные задачи истечения решались в осесимметричной постановке, с осью симметрии, проходящей через центры примыкающих друг к другу сферических баков окислителя и горючего.
∂σr ∂ar ∂br
+
+
= f ,
∂t
∂x
∂r
⎡ ρu ⎤
⎡ ρv ⎤
⎡ρ⎤
⎡0⎤
⎢ p + ρu 2 ⎥
⎢ ρuv ⎥
⎢ρu ⎥
⎢ p⎥
⎥, b=⎢
σ=⎢ ⎥, a=⎢
2 ⎥, f =⎢ ⎥.
⎢ ρuv ⎥
⎢ p + ρv ⎥
⎢ ρv ⎥
⎢0⎥
⎢⎣( e + p ) u ⎥⎦
⎢⎣( e + p ) v ⎥⎦
⎢⎣ e ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И.М. Васенин, А.А. Глазунов, И.В. Еремин, С.Н. Устинов, В.С. Финченко
58
Здесь ρ – плотность смеси; u, v – продольная и радиальная компоненты вектора
скорости смеси; p – давление; e – внутренняя энергия. Система (2) замыкается
уравнением состояния идеального газа с учетом объема занимаемого жидкими
частицами
⎛1 z ⎞
R
p ⎜ − ⎟ = RT , R = (1 − z ) ,
μ
⎝ ρ ρl ⎠
где T – температура смеси; ρl – плотность частиц жидкости; z = ρl / ρ ; μ – молекулярный вес смеси, R – универсальная газовая постоянная.
В качестве начальных условий в момент времени t = t1 в баке с окислителем
задаются параметры окислителя: ρ10 – плотность смеси; T10 – температура смеси;
u10 = 0 ; v10 = 0 . Давление насыщенных паров окислителя pv1 для заданной температуры рассчитывалось с помощью аппроксимации закона Клайперона – Клаузиуса. Затем из уравнения состояния вычислялась массовая доля жидкой фазы
окислителя z1 . Аналогично в момент времени t = t2 задавались начальные параметры в баке с горючим: ρ20 , T20 , u20 = 0 , v20 = 0 . Значение pv 2 и z2 находились
так же, как и в случае окислителя. Вне баков задавались параметры атмосферы на
заданной высоте. Величины начальных моментов времени t1 и t2 подбирались таким образом, чтобы получить наибольший объем смешанных компонентов. Рассматривались также различные расположения и величины отверстий истечения.
Результаты расчетов смешения компонентов топлива
Иллюстрация процесса развития взрыва баков и смешения компонентов топлива приведена на рис. 1 – 4. На рис. 1 показано распределение плотности газожидкостной смеси окислителя после разгерметизации бака на момент времени
0,024 с, в который происходит разгерметизация бака с горючим. Видно, что расширение окислителя в данный момент приводит к немонотонному уменьшению
его плотности.
1.5
1
0.5
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Рис. 1. Распределение плотности газожидкостной смеси окислителя
после разгерметизации бака
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование процесса взрыва компонентов жидких топлив
1.5
1
0.5
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
59
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Рис. 2. Распределение плотности компонентов после разгерметизации бака с горючим
к моменту начала воспламенения смеси
700000
1.5
600000
500000
1
400000
300000
0.5
200000
100000
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0
Рис. 3. Распределение давления после разгерметизации бака с горючим
к моменту начала воспламенения смеси
2
1.5
1
0.5
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
Рис. 4. Распределение давления при разлете баков после начала взрыва
смеси горючего с окислителем
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60
И.М. Васенин, А.А. Глазунов, И.В. Еремин, С.Н. Устинов, В.С. Финченко
На рис. 2 показано распределение плотности компонентов после разгерметизации бака с горючим к моменту начала воспламенения смеси. Можно отметить,
что по сравнению с рис. 1 появилась область смешения компонентов (выделенная
область на рис. 2). В этой области уровень давления в момент начала воспламенения смеси, как иллюстрирует рис. 3, составляет около 150 000 Па. На рис. 4 показан
разлет баков после начала взрыва смеси. Можно отметить, что взрыв разделяет
окислитель и горючее, разбрасывая их в разные стороны. Рис. 4 также иллюстрирует положение ударных волн после начала взрыва смеси горючего и окислителя.
Заключение
Предложена инженерная методика и выполнен численный анализ процесса
взрыва компонентов жидких топлив, истекающих из шаровых баков, на траектории спуска РБ «Фрегат». Результаты анализа могут служить в качестве исходных
данных для расчета силового воздействия взрыва на отдельные элементы РБ, что
позволяет уточнить эллипсы рассеивания при выпадении несгораемых элементов
на поверхность Земли.
ЛИТЕРАТУРА
1. Конструкция разгонного блока «Фрегат». URL: http://www.laspace.ru/rus/fregat_constr
uction.php
2. Физика взрыва / под ред. Л.П. Орленко. 3-е изд., испр.: в 2 т. Т. 1. М.: ФИЗМАТЛИТ,
2004. 832 с.
3. Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах. М.: Машиностроение, 1974. 212 с.
4. Васенин И.М., Архипов В.А., Бутов В.Г. и др. Газовая динамика двухфазных течений в
соплах. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986. 262 с.
5. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач
газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.
Статья поступила 01.11.2011г.
Vasenin I. M., Glazunov A.A., Eremin I. V., Ustinov S.N, Finchenko V.S. NUMERICAL SIMULATION OF THE EXPLOSION OF LIQUID FUEL COMPONENTS. An approach that permits
one to analyze the process of explosion of liquid fuel components is described in the context of
the two-phase equilibrium approximation, with allowance for the volume occupied by the fluid
particles. The numerical implementation was carried out in the two-dimensional approximation
based on the scheme of S.K. Godunov. The calculations make it possible to estimate the distribution of the gas dynamic parameters at different times.
Keywords: upper stage, components of liquid fuel, explosion, gas-liquid mixture, mixture model.
Vasenin Igor Mikhailovich (Tomsk State University)
E-mail: gla@niipmm.tsu.ru
Glazunov Anatoly Anatoliievich(Tomsk State University)
E-mail: gla@niipmm.tsu.ru
Eremin Ivan Vladimirovich (Tomsk State University)
E-mail: iveremin@niipmm.tsu.ru
Ustinov Svyatoslav Nikolaevich (Lavochkin Research and Production Association)
E-mail: ust@laspace.ru
Finchenko Valerii Semeonovich (Lavochkin Research and Production Association)
E-mail: finval@migmail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 523.44
Т.Ю. Галушина
ПЕРЕЧЕНЬ АСТЕРОИДОВ, СБЛИЖАЮЩИХСЯ С ЗЕМЛЕЙ
И ДВИЖУЩИХСЯ В ОКРЕСТНОСТИ ОРБИТАЛЬНЫХ РЕЗОНАНСОВ
НИЗКИХ ПОРЯДКОВ С ВНУТРЕННИМИ ПЛАНЕТАМИ1
В работе представлен перечень 170 астероидов, сближающихся с Землей и
движущихся в окрестности орбитальных резонансов низких порядков с
внутренними планетами на интервале времени 1000 – 3000 г. Среди них 11
АСЗ движутся в окрестности резонансов с Меркурием, 82 – с Венерой, 77 –
с Землей. В качестве резонансных характеристик использовались критический аргумент и резонансная щель.
Ключевые слова: астероид, орбитальный резонанс, тесное сближение.
Исследование орбитальной эволюции астероидов, сближающихся с Землей
(АСЗ) и движущихся в окрестности резонансов низких порядков с Меркурием,
Венерой или Землей, является важной задачей по ряду причин, одной из которых
является проблема астероидной опасности. Устойчивые резонансы при определенных условиях могут служить защитным механизмом от тесных сближений, в
то время как неустойчивые – могут приводить к сближениям.
Целью данной работы является выявление АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с внутренними планетами. Работа является продолжением наших предыдущих исследований [1]. Актуальность настоящего исследования
обусловлена тем, что число открываемых АСЗ год от года стремительно растет. Например, с 2005 г. их количество увеличилось более чем в 2 раза. Кроме того, ранее
открытые объекты активно наблюдаются, их орбиты уточняются.
В настоящее время в литературных источниках очень мало работ, посвященных исследованию орбитальной эволюции всей совокупности АСЗ, движущихся в
окрестности резонансов низких порядков с планетами. Среди редких статей, содержащих полный перечень таких объектов, следует отметить работу [2]. Заслуживает внимания также работа [3], в которой приводится список АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 1/1 и 1/2 с Венерой и Землей. Значительное число
статей посвящено исследованию конкретных АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами (например, [4–10]) и отдельных
резонансных соотношений (например, [11, 12]).
Методика исследования
В настоящем исследовании движение астероидов аппроксимировалось возмущенной задачей двух тел. Уравнения движения записаны в гелиоцентрической
системе координат, отнесенной к эклиптике и равноденствию 2000.0. В модель
сил включено влияние больших планет, Плутона, Луны, трех крупнейших астероидов (Цереры, Паллады и Весты), сжатия Земли и релятивистских эффектов от
Солнца. Координаты больших планет определяются на основе эфемерид DE406.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Агентства по образованию РФ в рамках АВЦП «Развитие потенциала высшей школы (2009-2011 гг.)», проект 2.1.1/12782.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
62
Т.Ю. Галушина
Начальные элементы орбит астероидов взяты из каталога Э. Боуэлла на 19 мая
2011 г. (ftp://ftp.lowell.edu/pub/elgb/astorb.dat).
Дифференциальные уравнения движения интегрировались численно методом
Эверхарта с помощью специально разработанного программного обеспечения
[13]. Как известно, точность численного интегрирования уравнений движения
ухудшается при прохождении астероидами сближений с возмущающими телами.
Для преодоления данной трудности была использована расширенная разрядная
сетка (128 бит). Однако даже с использование расширенной разрядной сетки не
удалось проинтегрировать уравнения движения всех АСЗ больше чем на 2000 лет.
Расчеты проводились на кластере СКИФ Cyberia (http://skif.tsu.ru/), что позволило
существенно сократить время работы программы. Благодаря использованию кластера интервал времени удалось увеличить в 2 раза по сравнению с нашими предыдущими исследованиями [1].
В качестве резонансных характеристик использовались критический аргумент
β, определяющий долготу соединения астероида и планеты,
(1)
β = k1λ1 – k2λ2 – (k1 – k2)ω1 – (k1 – k2)Ω1,
и его производная по времени α (называемая резонансной «щелью» [14])
(2)
α ≈ k1n1 – k2n2.
Здесь n1, n2 – средние движения, λ1, λ2 – средние долготы астероида и планеты соответственно, ω1 – аргумент перицентра астероида, Ω1 – долгота восходящего узла астероида, k1, k2 – целые положительные числа. Мы рассматривали резонансы
до 10 порядка включительно, т.е. k1 + k2 ≤ 10. При α = 0 астероид находится в точном резонансе с планетой, обусловленном соизмеримостью k2/k1 их средних движений. Астероид движется в окрестности резонанса, если α, β колеблются около
значения точной соизмеримости, так что |β – βср| ≤ 180° и |α| ≤ αmax (βср – центр
либраций критического аргумента). Величина αmax характеризует границы резонансного движения и определяется по максимальной амплитуде колебаний критического аргумента β.
На первом этапе исследования были численно проинтегрированы уравнения
движения 8253 АСЗ. Целью данного этапа являлся выбор астероидов, которые неоднократно проходят через точную соизмеримость на всем интервале исследования (α = 0). Выбор осуществлялся путем оценки резонансной щели (2). В результате был составлен предварительный перечень АСЗ, движущихся в окрестности
орбитальных резонансов низких порядков с планетами земной группы.
Далее на втором этапе для выбранных АСЗ построены графики эволюции резонансной щели и критического аргумента с помощью разработанного нами программного обеспечения [15], которое позволяет автоматизировать обработку результатов численного моделирования. На основе анализа построенных графиков
для каждого объекта индивидуально делался вывод о принадлежности его к классу резонансных АСЗ.
Перечни АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков
с Меркурием, Венерой и Землей
На основе анализа движения всей совокупности АСЗ с помощью описанной
выше методики были составлены перечни АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с Меркурием, Венерой и Землей. Данные перечни представлены в табл. 1 – 3. Для каждого астероида показаны значение k2/k1, определяющее соизмеримость, и область изменения резонансной щели α. В табл. 4 представлено число объектов для каждого выявленного резонанса.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перечень астероидов, сближающихся с Землей
63
Таблица 1
АСЗ, движущиеся в окрестности резонансов низких порядков с Меркурием
Объект
52381 1993 HA
172034 2001 WR1
2008 VB1
2009 KT4
2002 CV46
159608 2002 AC2
k2/k1
1/6
1/6
1/6
1/6
1/7
1/9
α, ′′/сут
(–13, 22)
(–7,9, 20)
(–7,0, 18)
(–23, 33)
(–3,3, 2,7)
(–4,8, 16)
Объект
241370 2008 LW8
2006 UR216
2009 XB2
2010 TE4
2006 VY2
k2/k1
1/9
1/9
1/9
1/9
2/7
α, ′′/сут
(–15, 27)
(–16, 32)
(–27, 41)
(–13, 27)
(–16, 14)
Таблица 2
АСЗ, движущиеся в окрестности резонансов низких порядков с Венерой
Объект
2002 VE68
136793 1997 AQ18
267136 2000 EF104
1994 CB
2002 AA
2005 ML13
2010 EJ43
2010 QN1
3838 Epona
237442 1999 TA10
2005 RV24
2007 OX
2008 WP2
2009 CA2
2009 LV2
2010 SJ15
140039 2001 SO73
2005 HC4
2007 DF8
2008 TD4
2008 TN26
2009 BK71
2009 YA
2011 GC55
162161 1999 DK3
164215 Doloreshill
190166 2005 UP156
191094 2002 EA3
1999 KK1
2001 SA170
2002 XX38
2003 JP14
2004 GB2
2004 TE18
2005 TR15
2006 QB58
k2/k1
1/1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
α, ′′/сут
(–15, 15)
(–10, 10)
(–5,8, 6,3)
(–11, 9,2)
(–19, 17)
(–13, 9,5)
(–19, 19)
(–13, 13)
(–9,9, 9,7)
(–7,5, 6,6)
(–8,8, 9,6)
(–8,9, 8,4)
(–11, 11)
(–13, 13)
(–11, 10)
(–11, 11)
(–23, 26)
(–30, 27)
(–14, 14)
(–24, 22)
(–17, 17)
(–4,0, 3,5)
(–12, 8,9)
(–14, 16)
(–5,5, 3,6)
(–11, 12)
(–14, 13)
(–18, 14)
(–15, 13)
(–17, 41)
(–11, 0,1)
(–23, 22)
(–31, 28)
(–8,2, 9,3)
(–16, 6,1)
(–15, 14)
Объект
2006 BP6
2006 DT63
207970 1996 BZ3
1999 JO8
2001 BY15
2002 RT112
2005 LH8
2006 MA
2006 YU1
2007 GG
2008 AZ110
2009 QM
5381 Sekhmet
2005 BO1
2010 MB
36236 1999 VV
66253 1999 GT3
229672 2006 WR1
2004 FK2
2008 AZ30
2009 QT
2010 MY
2010 VO
2011 GZ54
142040 2002 QE15
162581 2000 SA10
2000 YK4
2007 RT9
2007 WV3
2009 VQ25
2010 LK61
137924 2000 BD19
2004 SD20
2002 AK14
2003 UO25
2009 DA43
k2/k1
1/6
1/6
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
2/3
2/3
2/3
2/5
2/5
2/5
2/5
2/5
2/5
2/5
2/5
2/5
2/7
2/7
2/7
2/7
2/7
2/7
2/7
3/4
3/4
3/5
3/5
3/5
α, ′′/сут
(–34, 24)
(–37, 17)
(–63, 69)
(–40, 36)
(–37, 27)
(–64, 61)
(–64, 74)
(–4,8, 24)
(–81, 82)
(–47, 47)
(–53, 61)
(–18, 21)
(–12, 10)
(–34, 34)
(–32, 30)
(–5,7, 5,8)
(–24, 25)
(–19, 18)
(–22, 30)
(–23, 29)
(–21, 19)
(–14, 15)
(–14, 17)
(–16, 8,1)
(–1,1, 16)
(–11, 7,9)
(–16, 14)
(–27, 27)
(–27, 20)
(–16, 15)
(–20, 18)
(–9,9, 9,9)
(–38, 39)
(–20, 29)
(–29, 30)
(–33, 49)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.Ю. Галушина
64
Окончание табл. 2
Объект
2007 HD70
2010 DE
2002 JR9
2005 QR173
2005 SV4
k2/k1
1/5
1/5
1/6
1/6
1/6
α, ′′/сут
(–12, 20)
(–2,8, 8,1)
(–43, 33)
(–29, 25)
(–47, 41)
Объект
10302 1989 ML
2002 UZ30
2008 GH110
2011 BP24
2011 DO
k2/k1
3/7
3/7
3/7
3/7
3/7
α, ′′/сут
(–17, 27)
(–30, 30)
(–17, 20)
(–22, 22)
(–46, 62)
Таблица 3
АСЗ, движущиеся в окрестности резонансов низких порядков с Землей
Объект
3753 Cruithne
164207 2004 GU9
255071 2005 UH6
277810 2006 FV35
2001 GO2
2002 AA29
2010 SO16
2010 TK7
87311 2000 QJ1
138843 2000 VF39
162038 1996 DH
2004 DD
2005 US6
2006 TD
2008 BS2
2008 FH
2009 WN6
2010 RV11
2010 RQ30
2004 RM111
2011 JZ10
153957 2002 AB29
2000 RK12
163070 2002 AO7
2010 QA5
2000 HD74
67367 2000 LY27
162783 2000 YJ11
2001 QE96
2002 AV31
2005 GP21
2007 JZ20
2008 KD6
103067 1999 XA143
183548 2003 HU42
189173 2002 XY4
189973 2003 XE11
197588 2004 HE12
2002 GK8
k2/k1
1/1
1/1
1/1
1/1
1/1
1/1
1/1
1/1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/3
1/3
1/4
1/4
1/5
1/5
1/5
2/3
2/3
2/3
2/3
2/3
2/3
2/3
2/5
2/5
2/5
2/5
2/5
2/5
α, ′′/сут
(–21, 21)
(–28, 28)
(–39, 24)
(–22, 17)
(–41, 42)
(–45, 46)
(–28, 28)
(–19, 19)
(–20, 21)
(–8,9, 8,6)
(–11, 11)
(–13, 13)
(–35, 39)
(–27, 27)
(–17, 17)
(–24, 27)
(–56, 27)
(–33, 33)
(–21, 21)
(–21, 25)
(–16, 24)
(–37, 16)
(–36, 41)
(–39, 49)
(–61, 45)
(–26, 23)
(–29, 29)
(–49, 50)
(–21, 18)
(–40, 41)
(–38, 38)
(–31, 31)
(–30, 30)
(–29, 30)
(–27, 28)
(–29, 28)
(–29, 29)
(–33, 33)
(–24, 25)
Объект
2007 BG49
2007 VO243
2008 CR118
2008 KZ5
2010 TK54
137911 2000 AB246
210012 2006 KT1
265032 2003 OU
2003 MJ4
2003 WX87
2004 PY27
2011 EF15
2009 XP2
3103 Eger
85774 1998 UT18
237551 2000 WQ19
2003 XB22
2008 CJ70
2010 FF7
244977 2004 BE68
2001 UZ16
2005 UX5
2002 AC5
2004 SV55
2005 GX119
2009 WX6
2000 RH60
177016 2003 BM47
1998 KG3
2000 TJ1
2002 EM6
2005 UO5
2008 UV99
2010 LK68
2010 TM167
2010 VC72
2004 KH17
2005 YS
k2/k1
2/5
2/5
2/5
2/5
2/5
2/7
2/7
2/7
2/7
2/7
2/7
2/7
3/4
3/5
3/5
3/5
3/5
3/5
3/5
3/7
3/7
3/7
3/7
3/7
3/7
3/7
4/3
4/5
4/5
4/5
4/5
4/5
4/5
4/5
4/5
4/5
5/3
5/3
α, ′′/сут
(–25, 23)
(–33, 32)
(–44, 43)
(–44, 44)
(–24, 23)
(–30, 26)
(–30, 27)
(–34, 28)
(–48,5, 51)
(–42, 41)
(–38, 40)
(–42, 35)
(–73, 72)
(–44, 44)
(–56, 56)
(–33, 324)
(–45, 44)
(–29, 30)
(–29, 32)
(–47, 46)
(–50, 52)
(–53, 52)
(–53, 48)
(–28, 28)
(–74, 75)
(–73, 52)
(–32, 32)
(–44, 44)
(–68, 68)
(–40, 41)
(–54, 54)
(–52, 53)
(–63, 63)
(–42, 44)
(–37, 42)
(–34, 33)
(–73, 73)
(–54, 53)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перечень астероидов, сближающихся с Землей
65
Таблица 4
Данные о числе АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков
с большими планетами
Резонанс
1/1
1/2
1/3
1/4
1/5
1/6
1/7
1/9
2/3
2/5
2/7
3/4
3/5
3/7
4/3
4/5
5/3
Всего
Меркурий
4
1
5
1
11
Венера
1
7
8
8
14
5
10
Земля
8
11
2
2
3
3
9
7
2
3
5
7
11
7
1
6
7
1
9
2
77
82
Исследование орбитальной эволюции избранных АСЗ
В качестве примера рассмотрим орбитальную эволюцию некоторых АСЗ более
подробно. Нами были выбраны 3 АСЗ: астероид 2002 CV46, движущийся в окрестности резонанса 1/7 с Меркурием, астероид 136793 1997 AQ18, движущийся в
окрестности резонанса 1/2 с Венерой, и 2010 TK7 – в окрестности резонанса 1/1 с
Землей. В табл. 5 для выбранных объектов даны элементы орбиты, взятые из каталога Э. Боуэлла на эпоху 19.05.2011. На рис. 1 показаны проекции орбит астероидов на плоскость эклиптики в системе координат, вращающейся с угловой
скоростью Меркурия (а), Венеры (б) или Земли (в), на интервале времени около
1000 лет. Штриховой линией дано среднее расстояние до планет, положение планеты, с которой астероид находится в резонансе, представлено соответствующим астрономическим значком. Результаты, представленные на рис. 1, показывают, что
для всех рассматриваемых объектов сохраняется устойчивая геометрическая конфигурация «астероид–планета». Благодаря резонансу астероиды 136793 1997 AQ18
и 1997 AQ18 избегают тесных сближений с Венерой и Землей соответственно.
Таблица 5
Оскулирующие элементы орбит астероидов на эпоху 19.05.2011
Астероид
а, а.е.
e
i, °
Ω, °
ω, °
M, °
2002 CV46
1,41655123 0,19783460 36,652778 146,068523 29,224615 158,196187
136793 1997 AQ18 1,14698826 0,46526819 17,377643 296,310739 36,981623 341,133385
2010 TK7
1,00020228 0,19056426 20,858164 96,546501 45,866501 118,812870
Исследование движения астероидов 2002 CV46, 136793 1997 AQ18 и 1997 AQ18
проводилось на большем интервале времени, который составил (–3000 г., 3000 г.).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.Ю. Галушина
66
На рис. 2 представлены эволюция критического аргумента (а), резонансной щели
α = 7n1 – nМ (nМ – среднее движение Меркурия) (б), большой полуоси (в), эксцентриситета (г) и наклонения плоскости орбиты к эклиптике (д) для астероида
2002 CV46. Критический аргумент колеблется около смещающегося центра либрации с амплитудой порядка 23°. Амплитуда либраций резонансной щели на интервале времени 6000 лет не превышает 3,3"/сут.
а
в
б
Рис. 1. Проекция орбит астероидов 2002 CV46 (а), 136793 1997 AQ18 (б) и 2010 TK7 (в) на
плоскость эклиптики в гелиоцентрической эклиптической системе координат вращающейся с угловой скоростью Меркурия (а), Венеры (б) или Земли (в, г)
б
α, "/сут
β, град
а
T, годы
T, годы
г
e
а, а.е.
в
T, годы
T, годы
i, град
д
T, годы
Рис. 2. Астероид 2002 CV46: эволюция критического аргумента (а), резонансной щели (б),
большой полуоси (в), эксцентриситета (г) и наклонения плоскости орбиты к эклиптике (д)
Рассмотрим результаты исследования орбитальной эволюции астероидов
136793 1997 AQ18 и 2010 TK7. Для этих объектов на рис. 3 представлены сближения с Марсом (а1) и Венерой (а2), эволюция критического аргумента (б1, б2),
резонансной щели α = 2n1 – nв (в1) и α = n1 – nз (в2) (nв, nз – средние движения Ве-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перечень астероидов, сближающихся с Землей
67
неры и Земли соответственно), большой полуоси (г1, г2), эксцентриситета (д1, д2)
и наклонения плоскости орбиты к эклиптике. Резонансная щель колеблется около
нуля с небольшой амплитудой (около 10 ′′/сут для 136793 1997 AQ18 и около
20 "/сут для 2010 TK7). Критический аргумент также либрирует. Для астероида
136793 1997 AQ18 центр либрации примерно соответствует величине 285°, амплитуда – порядка 40°, для 2010 TK7 центр либрации – 90°, амплитуда – 65°. Следует отметить, что приведенные результаты исследования орбитальной эволюции
астероида 2010 TK7 хорошо согласуются с анализом его движения, представленным в работе [10].
d, а.е.
а2
б1
β, град
б2
в1
α, "/сут
в2
е1
e
д1
i, град
а, а.е.
e
i, град
г1
а, а.е.
а1
α, "/сут
d, а.е.
2010 TK7
β, град
136793 1997 AQ18
г2
д2
е2
Рис. 3. Астероиды 136793 1997 AQ18 и 2010 TK7: сближения с Марсом (а1) и Венерой
(а2), эволюция критического аргумента (б1, б2), резонансной щели (в1, в2), большой полуоси (г1, г2), эксцентриситета (д1, д2) и наклонения плоскости орбиты к эклиптике (e1, e2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
68
Т.Ю. Галушина
Заключение
Таким образом, в результате исследования движения 8253 АСЗ нами были выявлены 170 объектов, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с
внутренними планетами на интервале времени 1000 – 3000 гг. Среди них 11 АСЗ
движутся в окрестности резонансов с Меркурием, 82 – с Венерой, 77 – с Землей.
В качестве резонансных характеристик использовались критический аргумент и
резонансная щель. Для примера приведены результаты исследования орбитальной
эволюции на интервале (–3000 г., 3000 г.) трех АСЗ: 2002 CV46, 136793 1997 AQ18
и 1997 AQ18, движущихся соответственно в окрестности резонансов 1/7 с Меркурием, 1/2 с Венерой, и 1/1 с Землей.
Однако для того чтобы сделать окончательный вывод о захвате астероидов в
резонанс, необходимо исследовать вероятностную орбитальную эволюцию этих
объектов. Нами проводились такие исследования для АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/1 с планетами [16]. В дальнейшем планируется продолжить исследования орбитальной эволюции АСЗ в окрестности этого и других резонансов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Астероиды, сближающиеся с Землей и движущиеся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами // Изв. вузов. Физика.
2006. Т. 49. № 2. Приложение. С. 5–16.
2. Алтынбаев Ф.Х. Исследование устойчивости резонансного характера движения астероидов групп Аполлона, Амура, Атона // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физикоматематические науки. 2004. № 26. С. 71–78
3. Gallardo T. Atlas of the mean motion resonances in the Solar System // Icarus. 2006. V. 184.
Is. 1. P. 29–38.
4. Bykova L.E., Galushina T.Yu. Evolution of near-Earth asteroids close to mean motion resonances // Planetary and Space Science. 2001. V. 49. P. 811–815.
5. Bykova L.E., Galushina T.Yu. Orbital evolution of near-Earth asteroids close to mean motion
resonances // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2002. V. 82(3). P. 265–284.
6. Tancredi G. An asteroid in a Earth-like orbit // Celes. Mech. Dyn. Astron. 1998. V. 69.
P. 119−132.
7. Wiegert P., Innanen K.A., Mikkola S. The orbital evolution of Near-Earth asteroid 3753 //
Astron. J. 1998. V. 115. P. 2604–2613.
8. Mikkola S., Brasser R., Wiegert P., Innanen K. Asteroid 2002 VE68, a quasi-satellite of Venus // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2004. V. 351. No. 3. P. L63–L65.
9. Christou A.A., Asher D.J. A long-lived horseshoe companion to the Earth // Monthly Notices
of the Royal Astronomical Society. 2011. V. 414. Is. 4. P. 2965–2969.
10. Martin Connors M., Wiegert P., Veillet C. Earth’s Trojan asteroid // Nature. 2011. V. 475.
P. 481–483.
11. Morais M.H.M., Morbidelli A. The Population of Near-Earth Asteroids in Coorbital Motion
with the Earth // Icarus. 2002. V. 160. Is. 1. P. 1–9.
12. Morais M.H.M., Morbidelli A. Population of NEAs in Coorbital Motion with Venus // Icarus.
2006. V. 185. Is. 1. P. 29–38.
13. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Алгоритмическое и программное обеспечение решения
задач динамики астероидов, сближающихся с Землей, в среде параллельного программирования // Изв. вузов. Физика. 2009. № 10/2. С. 12–19.
14. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М.:
Наука, 1978. 128 с.
15. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю., Ниганова Е.Н. Построение резонансных областей АСЗ с
автоматизацией обработки результатов численного моделирования // Современная
баллистика и смежные вопросы механики (Материалы Всерос. науч. конф.). Томск, 17
– 19 ноября 2009 г. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2009. С. 306–307.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перечень астероидов, сближающихся с Землей
69
16. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Исследование либрационных движений АСЗ в окрестности резонанса 1/1 с большими планетами // Материалы Всероссийской конференции
«Астероидно-кометная опасность – 2005». Санкт-Петербург, 3 – 7 октября 2005 г.
СПб., 2005. С. 79 – 82.
Статья поступила 18.10.2011 г.
Galushina T.Yu. THE LIST OF NEAR-EARTH ASTEROIDS MOVING IN THE VICINITY OF
THE LOWER ORDER ORBITAL RESONANCES WITH THE INNER PLANETS. This paper
presents the list of 295 near-Earth asteroids moving in the vicinity of the lower order orbital resonances with the inner planets over the time interval (2011, 3000 years): 21 NEAs are in the vicinity of resonances with Mercury, 160 are with Venus, 114 are with the Earth. The critical argument
and the resonant band have been used as resonance characteristics.
Keywords: asteroid, orbital resonance, close approach.
GALUSHINA Tatyana Yur’evna (Tomsk State University)
E-mal: tanastra@nxt.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 539.3
А.В. Герасимов, С.В. Пашков, Ю.Ф. Христенко
ЗАЩИТА КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
ОТ ТЕХНОГЕННЫХ И ЕСТЕСТВЕННЫХ ОСКОЛКОВ.
ЭКСПЕРИМЕНТ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ1
Проблема защиты космических аппаратов приобретает большое значение в
связи с увеличивающейся продолжительностью полетов и возрастанием вероятности столкновения их с естественными и техногенными осколками.
Проведенное численное моделирование и экспериментальное определение
предельной стойкости элементов конструкции КА «Спектр-УФ» использовалось при отработке противометеоритной защиты космических аппаратов,
а также защиты от космического мусора.
Ключевые слова: численное моделирование, высокоскоростное соударение,
космический аппарат, разрушение, легкогазовые установки.
Интенсивное освоение человечеством околоземного космического пространства имеет кроме несомненных достоинств и свои теневые стороны. Присутствие
в сформировавшемся приземном слое (протяженностью от 300 до 2000 километров) огромного количества техногенных осколков различных размеров, образовавшихся в процессе разрушения спутников, последних ступеней ракет-носителей, разгонных блоков и других аппаратов и устройств, представляет серьезную
угрозу безопасности автоматических и пилотируемых космических объектов. Угрозу представляют также и метеорные частицы естественного происхождения,
приходящие из дальнего космоса. Значительное время полета космических аппаратов повышает для них вероятность столкновения с осколками. В работе [1] еще
в 1947 г. был предложен способ защиты космических аппаратов от удара высокоскоростных космических частиц, заключающийся в том, что перед защищаемой
стенкой устанавливается тонкостенный экран для распределения импульса фрагментов ударника по большей площади стенки за счет разрушения ударника и последующего бокового разлета его фрагментов. Таким образом удается достичь
необходимой степени защиты в заданном диапазоне скоростей соударения без неприемлемого увеличения массы космического аппарата. Следует отметить, что
проблема снижения массы защитных элементов КА при сохранении их эффективности по-прежнему остается актуальной. Для моделирования соударения высокоскоростных частиц с образцами защиты использовались в основном легкогазовые
пушки, позволяющие разгонять ударники необходимых размеров до скоростей
порядка 8 км/с. Не принижая значения экспериментальных исследований для отработки защитных устройств, отметим, что проведение массовых испытаний в
широком диапазоне размеров и скоростей ударников, материалов, толщин и конструкций защитных экранов требует больших затрат материальных ресурсов. Поэтому применение к исследованию данной проблемы современных компьютеров
и численных методов, позволяющих решать задачи высокоскоростного соударе1
Работа выполнена при частичном финансировании по программе Минобрнауки РФ (проект РНП
2.1.2. 2509) и частичной поддержке грантов РФФИ №10-08-00633а и №09-08-00662а.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Защита космических аппаратов от техногенных и естественных осколков
71
ния в трехмерной постановке с учетом фрагментации ударников и защитных элементов конструкции КА, представляется теоретически и практически важной задачей. Численное моделирование высокоскоростного взаимодействия твердых тел
с рассмотренными защитными системами позволяет воспроизвести, с приемлемыми затратами, характерные особенности физических процессов, протекающих
при столкновении, рассмотреть и выбрать оптимальные схемы экранов.
Учет фрагментации материала твердых тел при интенсивных динамических
нагружениях позволяет использовать лагранжев подход к задачам высокоскоростного удара для достаточно широкого диапазона скоростей взаимодействия.
Этот подход особенно удобен при рассмотрении многоконтактных взаимодействий сталкивающихся тел, особенно при решении трехмерных задач удара. Начальная гетерогенность структуры реальных материалов, влияющая на характер
распределения физико-механических характеристик материала по объему рассматриваемого тела, является важным фактором, определяющим характер разрушения. Одним из способов учета этого факта является введение в уравнения механики деформируемого твердого тела случайного распределения начальных отклонений прочностных свойств от номинального значения, то есть моделирование, таким образом, начальных структурных особенностей материала, а именно:
наличие пор, включений, дислокаций и т.д.
В данной работе в лагранжевой 3D-постановке рассматривается процесс высокоскоростного взаимодействия слоистых и разнесенных пластин с высокоскоростными осколками.
Для описания процессов деформирования и дробления твердых тел используется модель прочного сжимаемого идеально упругопластического тела. Основные
соотношения, описывающие движение этой среды, базируются на законах сохранения массы, импульса и энергии и замыкаются соотношениями Прандтля –
Рейсса при условии текучести Мизеса [2 − 4]. Уравнение состояния берется в
форме Тета и Ми – Грюнайзена [2]. Известно, что пластические деформации, давление и температура оказывают влияние на предел текучести и модуль сдвига,
поэтому модель дополнялась соотношениями, апробированными в работе [5].
Для расчета упругопластических течений используется методика, реализованная на тетраэдрических ячейках и базирующаяся на совместном использовании
метода Уилкинса [3, 4] для расчета внутренних точек тела и метода Джонсона
[6,7] для расчета контактных взаимодействий. Разбиение трехмерной области на
тетраэдры происходит последовательно с помощью подпрограмм автоматического построения сетки.
В качестве критерия разрушения при интенсивных сдвиговых деформациях
используется достижение эквивалентной пластической деформацией своего предельного значения [2, 8].
Начальные неоднородности структуры моделировались распределением предельной эквивалентной пластической деформации по ячейкам расчетной области
с помощью модифицированного генератора случайных чисел, выдающего случайную величину, подчиняющуюся выбранному закону распределения. Плотности вероятности случайных величин брались в виде нормального гауссовского
распределения со средним арифметическим, равным табличному значению и
варьируемой дисперсией.
Используемые в современных работах по динамическому разрушению конструкций и материалов соотношения механики деформируемого твердого тела не
учитывают вероятностного фактора в задаче дробления твердых тел, что может
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
72
А.В. Герасимов, С.В. Пашков, Ю.Ф. Христенко
существенно исказить реальную картину ударного и взрывного разрушения рассматриваемых объектов. Последнее особенно проявляется при решении осесимметричных задач, где все точки по окружной координате рассчитываемого элемента исходно равноправны в силу используемых при численном моделировании
стандартных уравнений механики сплошных сред. На практике, однако, имеется
широкий ряд задач, где фрагментация является преимущественно вероятностным
процессом, например взрывное разрушение осесимметричных оболочек, где характер дробления заранее неизвестен, пробитие и разрушение тонких преград
ударником по нормали к поверхности, так называемое «лепесткование», и т.д.
Внесение случайного распределения начальных отклонений прочностных свойств
от номинального значения в физико-механические характеристики тела приводит
к тому, что в этих случаях процесс разрушения приобретает вероятностный характер, что более соответствует экспериментальным данным, используемым в
данной работе. Наиболее полно идеология и методология вероятностного подхода к проблеме разрушения твердых тел приведена в [10].
Для исследования процессов высокоскоростного взаимодействия разработан,
изготовлен, смонтирован и запущен в эксплуатацию экспериментальный стенд
(рис. 1), включающий универсальную станину, на которой может быть установлена любая из имеющихся в НИИ ПММ метательных установок (Т-29, ППХ 23/8,
ППХ 34/8, ППХ 34/23/8, ГДИ 50/23, ППН 23 и т.д.), и вакуумируемую камеру.
Рис 1. Общий вид стенда с ЛГП ППХ34/8
Стенд завязан на измерительный комплекс (ИК), имеющий 6 измерительных
каналов с разрешающей способностью от 20 нс до 1 с и объемом памяти от 1 до
32 К на каждый канал (двухканальные цифровые запоминающие осциллографы
С9-8, GWINSTEK GDS-806C и PCSU1000). Все осциллографы связаны с ПЭВМ,
что позволяет проводить первичную обработку экспериментальной информации и
ее архивирование. Стенд позволяет вести разнообразные исследования процессов
высокоскоростного соударения при скоростях до 8 км/с и выше. Уникальность
стенда состоит в том, что станина для метательной установки и вакуумируемая
камера смонтированы на единой подвесной платформе. Это позволяет исключить
негативное влияние выстрела на фундамент здания. При проведении экспериментов использовались пороховые пушки калибром 5,6 и 8 мм, легкогазовая пушка с
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Защита космических аппаратов от техногенных и естественных осколков
73
«тяжелым поршнем» МПХ23/8 калибром 8 мм (возможно использование ствола
калибром 5,6 мм). Основу стенда составляет «классическая» легкогазовая пушка с
«легким поршнем» ППХ34/8, которая включает следующие основные узлы и детали: пороховую камеру, камеру сжатия (поршневой ствол), конический переходник и баллистический ствол. В наших экспериментах необходимо было отделять
поддон от метаемого элемента, что являлось достаточно сложной проблемой. Была разработана и реализована схема «силового» разделения поддона и ударника
(рис. 2). Для этого на оси выстрела за
датчиком дульной скорости устанавливается многослойная преграда с отверстием, в 1,5 – 2 раза превышающим диаметр ударника. Исследовалось несколько вариантов многослойной преграды:
1) основание – пластина из дюралюмиРис. 2. Элементы системы отсечки поддона ния Д16 толщиной 30 мм, стальная пластина толщиной 8 мм, резина толщиной
после выстрела
6 мм, свинец толщиной 6 мм; 2) сверху
добавлена стальная пластина толщиной 6 мм. Эксперименты показали, что второй
вариант является более приемлемым. Причем при скоростях свыше 2 км/с толщину стальной верхней пластины необходимо увеличить до 10 мм. Пластинаоснование жестко скреплена со стволом с помощью четырёх кронштейнов из
стального уголка, которые, в свою очередь, крепятся к двум стальным кольцам,
одетым на ствол и закреплённым на нём четырьмя винтами М20×1,5. Слоёная
преграда сталь – резина – свинец – сталь имеет возможность перемещаться по
пластине-основанию с помощью двух микрометрических винтов для точного совмещения центра отверстия с осью выстрела.
Для точного обозначения оси выстрела разработана система лазерного прицеливания, включающая входной калибр с системой крепления и юстировки лазера и
выходной калибр, который крепится на титановой трубке для установки его в дульный срез ствола через датчик дульной скорости (рис. 3 и 4). Во входном и выходном калибрах выполнено центральное отверстие диаметром 1 мм. Лазер юстируется
таким образом, чтобы луч проходил через отверстия во входном и выходном калибрах, что позволяет точно совмещать отверстия в преграде с осью выстрела.
Рис. 3. Датчик скорости и система отсечки
поддона
Рис. 4. Лазерная система прецизионного
наведения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
74
А.В. Герасимов, С.В. Пашков, Ю.Ф. Христенко
Для обеспечения измерения дульной скорости метаемой сборки электромагнитными датчиками использовались различные конструкции поддонов и крепления на них ферромагнитных маркеров. При использовании поддонов из поликарбоната калибром 5,6 мм к ним приклеивались шайбы из трансформаторного железа толщиной 0,2 мм, что обеспечивало уверенное измерение дульной скорости
свыше 2 км/с. Однако при «силовом» разделении поддона и ударника осколки
шайбы проникают в отверстие преграды и их воздействие на исследуемый образец может превышать воздействие ударника. Кроме этого, поликарбонат затекает
в отверстие большим фрагментом и также повреждает исследуемый образец. Поэтому в дальнейших экспериментах использовались поддоны из текстолита средней прочности. Такой выбор обусловлен тем, что при ударе текстолит рассыпается на мелкие фрагменты, и их воздействие на образец существенно меньше воздействия ударника. В качестве маркера вначале использовался слой ферритового
порошка, наклеенного на тыльный торец поддона. Однако при увеличении скорости метания (повышении давления на поддон) ферритовый маркер стал разрушаться. После этого ферритовый порошок вклеивался в проточку на боковой поверхности поддона. При увеличении дульной скорости свыше 3 км/с сигнал от
этого маркера не обеспечивал уверенного измерения дульной скорости, что потребовало изменения конструкции поддона и маркера. Для экспериментов со скоростями 3 – 4 км/с на переднем торце поддона делалась проточка и в нее вклеивалась шайба из трансформаторного железа толщиной 0,2 мм с внутренним диаметром 6,5 мм и наружным – 7,5 мм. Такой маркер позволяет уверенно фиксировать
дульную скорость в этом диапазоне.
В экспериментах и при численном
38*
моделировании рассматривался образец,
представляющий собой реальный фрагЭВТИ**
мент бака астрофизического спутника
«Спектр-УФ» с установленной противометеорной защитой. Эксперименты проводились с алюминиевыми шариками
диаметром 1,5 – 2,5 мм при скоростях соударения 2,03 – 3,95 км/с. Защитная плаБак
Защита
стина имела толщину 1,7 мм, стенка бака
– 1,9 мм, расстояние между ними – 38 мм.
Оба элемента образца – алюминиевые.
При взаимодействии алюминиевых шариков с образцом защита во всех случаях
была пробита, но стенка бака оказывалась
не пробитой, хотя оставались вмятины
размером от 0,3 до 0,6 мм. Это показывает эффективность защиты при заданных
размерах частиц и в данном диапазоне
скоростей. Данные параметры выбирались из имеющихся оценок вероятности
соударения с космическим мусором.
1,9
1,7
На рис. 6 и 7 показаны лицевая и
тыльная стороны образца бака с защитРис. 5. Фрагмент бака с установленной
противометеорной защитой
ной пластиной.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Защита космических аппаратов от техногенных и естественных осколков
Рис. 6. Лицевая сторона образца бака
с защитной пластиной
75
Рис. 7. Тыльная сторона образца бака
с защитной пластиной
Отверстие на рис. 7 в верхнем правом углу получилось при соударении со
стальным шариком диаметром 1,5 мм и скорости 2,11 км/с.
На рис. 8 приведены результаты сравнения экспериментальных данных и результатов численного расчета с учетом дробления материала ударника и преграды.
Корпус – защита: Al – Al. Параметры системы: толщина пластин – 0,17 и 0,19 см;
размер пластин 1,25 × 1,25 см; расстояние между пластинами – 3,8 см. Стальной
ударник-шарик: радиус – 0,1 см, скорость – 2100 м/с.
а
б
Рис. 8 Соударение высокоскоростной частицы с элементами защиты и корпуса КА:
а – эксперимент; б – пространственная картина соударения
Сравнение результатов теоретического расчета и эксперимента показали, что
в обоих случаях пробита защитная пластина и сформировался осколочный поток.
Взаимодействие этого потока с элементом корпуса КА привело к образованию
вмятины: 0,4 мм – эксперимент, 0,37 мм – расчет. После тестирования предложенной численной методики при низких скоростях соударения были проведены
расчеты при более значительных скоростях взаимодействия ударников и преград.
На рис. 9 приведены результаты расчетов удара стального шарика диаметром
1,0 см со скоростью V = 7000 м/с по нормали к преграде, представляющей собой
систему трех разнесенных алюминиевых пластин толщиной 0,3 см и размером
5 × 5 см. Расстояние между пластинами равняется 2 см. Показаны конфигурации
системы преграда + ударник для двух моментов времени – 5,2 и 11,6 мкс.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
76
А.В. Герасимов, С.В. Пашков, Ю.Ф. Христенко
К моменту времени 11,6 мкс полностью пробитыми оказались все три преграды. Скорость остатков стального шарика и первых трех преград еще достаточно
велика ~ 4350 м/с. Картина разрушения преград и ударника характеризуется наличием осколков различных размеров с преобладанием самой мелкой фракции,
что характерно для высокоскоростных соударений [9].
На рис. 9 отчетливо видно, что процесс деформирования и разрушения при
нормальном ударе существенно трехмерный, несмотря на начальный осесимметричный характер нагружения преграды и ударника.
а
б
Рис. 9. Нормальное соударение стального шарика с разнесенной преградой,
состоящей из трех алюминиевых пластин: а – 5,2 мкс; б – 11,6 мкс
На рис. 10 приведены результаты расчетов удара стального шарика диаметром
1,0 см со скоростью V=7000 м/с по нормали к преграде, представляющей собой
систему пяти разнесенных стальных пластин толщиной 0,3 см и размером 5 × 5 см.
Расстояние между пластинами равняется 2 см. Показаны конфигурации системы
преграда + ударник для двух моментов времени – 30 и 74 мкс.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Защита космических аппаратов от техногенных и естественных осколков
а
77
б
Рис. 10. Нормальное соударение стального шарика с разнесенной преградой,
состоящей из пяти стальных пластин: а – 30 мкс; б – 74 мкс
К моменту времени 74 мкс полностью пробитыми оказались три первых преграды. Скорость остатков стального шарика и первых трех преград в ходе соударения их потока с четвертой преградой упала до нуля, преграда была деформирована, но не пробита. Картина разрушения преград и ударника характеризуется наличием осколков различных размеров с преобладанием самой мелкой фракции,
что характерно для высокоскоростных соударений [9]. Расчет осколкообразования, в полном значении этого слова, стал возможен только при использовании
подхода, предложенного в [10]. Подходы к разрушению, используемые в двумерных расчетах, дают систему колец, а не отдельные осколки, а неучет вероятностного характера распределения прочностных свойств материала конструкции приводит к полному разделению этих колец на отдельные ячейки в трехмерном случае. На рис. 10 отчетливо видно, что процесс деформирования и разрушения при
нормальном ударе существенно трехмерный, несмотря на начальный осесимметричный характер нагружения преграды и ударника.
Следует отметить, что полученные результаты показывают возможность предложенного вероятностного подхода и лагранжевой численной методики в наиболее полной, с физической точки зрения, трехмерной постановке воспроизводить
процессы пробития многослойных и разнесенных преград высокоскоростными
элементами разрушенных конструкций и осколками космических тел и обосновать выбор наиболее эффективных защит космических аппаратов. Экспериментальные результаты подтвердили адекватность предложенной в данной работе
численной методики. Проведенное численное исследование взаимодействия высокоскоростных частиц со слоисто-разнесенными преградами, используемыми
для защиты КА, подтвердили эффективность рассмотренных конструкций защитных экранов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Whipple F.L. Meteorites and space travel //Astronomical Journal. 1947. No. 1161. P. 131.
2. Физика взрыва / под ред. К.П. Станюковича. М.: Наука, 1975. 704 с.
3. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 212−263.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78
А.В. Герасимов, С.В. Пашков, Ю.Ф. Христенко
4. Wilkins M.L. Computer simulation of dynamic phenomena. Berlin – Heidelberg – New-York:
Springer, 1999. 246 p.
5. Steinberg D.J., Cochran S.G., Guinan M.W. A constitutive model for metals applicable at
high – strain rate // J. Appl. Phys. 1980. V. 51. No. 3. P. 1496−1504.
6. Johnson G.R., Colby D.D., Vavrick D.J. Tree-dimensional computer code for dynamic response of solids to intense impulsive loads // Int. J. Numer. Methods Engng. 1979. V. 14.
No. 12. P. 1865−1871.
7. Johnson G.R. Dynamic analysis of explosive-metal interaction in three dimensions // Trans.
ASME. J. of Appl. Mech. 1981. V. 48. No. 1. P. 30−34.
8. Крейнхаген К.Н., Вагнер М.Х., Пьечоцки Дж. Дж., Бьорк Р.Л. Нахождение баллистического предела при соударении с многослойными мишенями // Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т. 8. № 12. С. 42−47.
9. Высокоскоростные ударные явления / под ред. Р. Кинслоу. М.: Мир, 1973. 536 с.
10. Теоретические и экспериментальные исследования высокоскоростного взаимодействия тел / под ред. А.В. Герасимова. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. 572 с.
Статья поступила 13.05.2011 г.
Gerasimov A.V., Pashkov S.V., Khristenko Yu.F.SPACE VEHICLE PROTECTION FROM
MAN-CAUSED AND NATURAL DEBRIS: EXPERIMENT AND NUMERICAL SIMULATION. The problem of protection of space vehicles acquires large importance in connection with
increased duration of flights and increase of probability of their collision with natural and mancaused debris. The conducted numerical modeling and experimental determination of the limiting
resistance of constructional elements of the Spectr-UF space vehicle was used for improvement of
antimeteorite protection of space vehicles, as well as protection against space debris.
Keywords: numerical modeling, high-speed impact, space vehicle, destruction, light-gas gun.
GERASIMOV Alexander Vladimirovich (Tomsk State University)
E-mail: ger@niipmm.tsu.ru
PASHKOV Sergey Vladimirovich (Tomsk State University)
E-mail: ps@contek.ru
KHRISTENKO Jury Fedorovich (Tomsk State University)
E-mail: hrs@niipmm.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 533.6.011.6 : 536.24
А.А. Глазунов, В.Д. Гольдин, В.Г. Зверев, С.Н. Устинов
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ НАГРЕВ ТОПЛИВНЫХ БАКОВ
КОСМИЧЕСКОГО РАЗГОННОГО БЛОКА ПРИ СПУСКЕ В АТМОСФЕРЕ
Приводится методика расчета траектории и характеристик аэродинамического нагрева космического разгонного блока «Фрегат» при сходе с рабочей
орбиты и спуске в атмосфере Земли. В рамках термодинамического подхода
решена задача о повышении давления паров в баках за счет нагрева и испарения жидкой фазы топлива. На примере схода разгонного блока с солнечно-синхронной орбиты рассчитаны термодинамические параметры, напряжения в оболочках, высота и энергетический эквивалент взрывного разрушения баков в зависимости от степени заполнения остатками компонентов
жидкого топлива.
Ключевые слова: космический разгонный блок, атмосфера Земли, траектория спуска, аэродинамический нагрев, топливные баки, давление паров,
разрушение оболочек.
Для решения задач обеспечения вывода в космическое пространство полезных
нагрузок наряду с ракетами-носителями (РН) используются разгонные блоки (РБ).
Они выполняют функции межорбитальных буксировщиков, обеспечивая перемещение космических аппаратов (КА) c опорных на целевые орбиты, их ориентацию
и направление на отлетные и межпланетные траектории.
РБ «Фрегат» (РБФ) разработан в НПО им. С.А. Лавочкина в качестве унифицированной верхней ступени РН среднего и тяжелого класса [1, 2]. Он позволяет
выполнять ориентацию и стабилизацию головного блока на активных и пассивных участках траектории и выводить КА на высокоэнергетические, геостационарные (ГСО), геопереходные (ГПО), а также приполярные солнечно-синхронные
(ССО) орбиты. Особенность ССО заключается в том, что КА проходит над каждым заданным районом в одно и то же местное время, что позволяет проводить
съемки и наблюдения в одинаковых условиях освещенности. Такую орбиту имеют современные ресурсные спутники Земли, осуществляющие мониторинг ее поверхности.
Первый запуск РБФ по программе летных испытаний был успешно осуществлен в феврале 2000 г. в составе РН «Союз». Применение РБФ и его последующих
модификаций позволяет решать ранее недоступные задачи по массам и орбитам
выводимых нагрузок и повышает конкурентоспособность России на международном рынке космических услуг. В частности, планируется использование РБФ на
западноевропейской РН «Ариан-5» с космодрома Куру во Французской Гвиане
для развертывания системы спутниковой навигации «Галилео».
После окончания миссии РБФ в околоземном пространстве и отделения от орбитального блока происходит его увод с рабочей орбиты, постепенное снижение и
торможение в плотных слоях атмосферы. В процессе спуска аппарат подвергается
интенсивному аэродинамическому нагреву, в результате чего значительная часть
РБФ сгорает в атмосфере, а часть фрагментов достигает поверхности Земли, образуя эллипс рассеяния.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80
А.А. Глазунов, В.Д. Гольдин, В.Г. Зверев, С.Н. Устинов
Процесс разрушения РБФ зависит от многих факторов и может протекать по
различным сценариям. Наиболее неблагоприятный их них – взрывной характер
разрушения, приводящий к нежелательному увеличению площади рассеяния обломков. Этому обстоятельству способствует наличие остатков компонентов жидких топлив в баках РБФ. При их испарении резко повышается давление, напряжения в баках могут превысить предел прочности материала оболочек, в результате
чего становится возможным разрушение конструкции, смешение и взрывообразное реагирование высокоэнергетических компонентов горючего и окислителя.
В настоящее время в соответствии с природоохранными законодательствами
большинства стран актуальными являются вопросы оценки воздействия ракетнокосмической техники (РКТ) на окружающую среду и околоземное пространство
на всех этапах ее создания и эксплуатации. Среди негативных последствий ракетно-космической деятельности (РКД) следует отметить техногенное и химическое
загрязнение территорий в районах падения отделяющихся частей средств выведения и сброса токсичных остатков компонентов жидких ракетных топлив. Задачи
обеспечения экологической безопасности требуют анализа последствий возникновения аварийных и нештатных ситуаций при эксплуатации РКТ и, в частности,
разгонных блоков.
Цель работы – разработка инженерной методики расчета траектории, характеристик аэродинамического нагрева топливных баков РБФ при сходе с рабочей орбиты и спуске в атмосфере Земли для анализа высоты и критических условий его
разрушения.
Общая характеристика РБФ
Конструктивную основу РБФ составляет блок баков маршевой двигательной
установки, выполненный в виде шести сваренных между собой металлических
сфер равного диаметра (рис. 1) [1, 2]. Четыре из них используются в качестве топливных баков (по два горючего и окислителя), две – в качестве приборных
Рис. 1. Внешний вид РБ «Фрегат»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аэродинамический нагрев топливных баков космического разгонного блока при спуске
81
отсеков герметичного и негерметичного исполнения. РБФ имеет габаритные размеры: высота ~1,5 м, диаметр (описанный) ~3,35 м. Диаметр топливных баков
d = 1,36 м, объем 1,306 м3, толщина оболочки ∆ = 1,85·10−3 м. Начальная масса
при максимальной заправке топливом ~ 6385 кг, конечная масса ~950 кг.
МДУ предназначена для создания импульсов скорости, работает на токсичной
самовоспламеняющейся топливной паре «горючее НДМГ – окислитель AT».
НДМГ (обиходное название гептил) – несимметричный диметилгидразин, химическая формула (СН3)2N-NН2, по структуре близок к аммиаку. В обычных условиях – бесцветная жидкость, дымящаяся на воздухе, обладает высокой летучестью, стабильна в области эксплуатационных температур (от −50 до +50 °С) при
полной герметичности объема. Основные физико-химические характеристики:
плотность в жидкой фазе ρг = 790 кг/м3. удельная теплоемкость жидкой фазы
cliq(НДМГ) = 2,717·103 Дж/(кг·K); молярная масса m(НДМГ) = 60 кг/кмоль; теплота испарения Q(НДМГ) = 5,831·105 Дж/кг [3 – 5]. Удельная теплоемкость газовой
фазы при постоянном объеме в диапазоне температур T = 200 – 600 K и парциальное давление насыщенных паров аппроксимируются формулами
cv (НДМГ) = −154, 682 + 6,379T − 0, 0033T 2 [Дж/(кг⋅K)],
ln ( pgas ) = 12, 761 − 4284,9 / T [атм].
АТ – азотный тетраоксид, химическая формула N2O4, тяжелая летучая жидкость. Основные физико-химические характеристики: плотность ρок = 1446 кг/м3,
удельная теплоемкость жидкой фазы cliq(AT) = 1,78·103 Дж/(кг·K); молярная масса
m(АТ) = 92 кг/кмоль; теплота испарения Q(АТ) = 4,191·105 Дж/кг [3 – 5]. Удельная
теплоемкость газовой фазы при постоянном объеме в диапазоне температур
T = 200 – 600 K и парциальное давление насыщенных паров аппроксимируются
формулами вида
cv (АТ) = 233,34 + 2, 2153T − 0, 0014T 2 [Дж/(кг⋅K)],
ln ( pgas ) = 13, 741 − 4032, 4 / T [атм].
Для наддува баков в процессе работы дополнительно используется инертный
газ – гелий (He) с молярной массой m(He) = 4 кг/кмоль; удельной теплоемкостью
при постоянном объеме cv = 3,119·103 Дж/(кг·K).
Математическая модель расчета траектории при спуске в атмосфере
Рассмотрим движение аппарата в целом по траектории до момента разгерметизации баков. Будем предполагать, что Земля имеет форму шара, из аэродинамических сил будем учитывать только силу лобового сопротивления. В этом случае
траектория спуска описывается системой уравнений движения, которые в полускоростной системе координат имеют вид [6]
dV
F
= − + g sin θ ;
(1)
dt
M
dθ
g
V
= − cos θ + cos θ + 2ω cos ϕ sin Ψ ;
dt
V
R
(2)
dΨ V
= tg ϕ sin Ψ cos θ + 2ω ( cos ϕ cos Ψ tg θ + sin ϕ ) ;
dt
R
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
82
А.А. Глазунов, В.Д. Гольдин, В.Г. Зверев, С.Н. Устинов
dϕ V
= cos ϕ cos θ ;
dt R
(4)
d λ V sin Ψ cos θ
=
;
dt R cos ϕ
(5)
dH
= −V sin θ.
(6)
dt
Здесь t – время; V – скорость объекта; θ – угол между вектором скорости и касательной плоскостью к поверхности Земли, при спуске θ > 0; Ψ – азимут движения
объекта (угол между проекцией скорости на касательную к поверхности Земли
плоскость и направлением на север, отсчитываемый по часовой стрелке); ϕ – широта (в северном полушарии φ > 0, в южном ϕ < 0); λ – долгота (к востоку от
Гринвича λ > 0, к западу λ < 0); H – высота полета; R = R0 + H – расстояние до
центра Земли, R0 = 6,371·106 м; g = g0[R0/( R0 + H)]2 – ускорение свободного падения, g0 = 9,81 м/с2; ω =7,292·10−5 с−1 – угловая скорость вращения Земли; M – масса аппарата; F = 0,5CxρV 2Smid – сила лобового сопротивления; Cx – коэффициент
сопротивления; Smid – площадь миделева сечения аппарата;
В отличие от распространенного приближения в физической теории метеоров
и метеоритов [7] в рассматриваемых случаях угол наклона траектории к горизонту
θ не является постоянным. Ускорение Кориолиса также оказывает влияние на траекторию и описывается членами с угловой скоростью вращения Земли ω в уравнениях (2), (3).
Для задания плотности ρ атмосферы в зависимости от высоты H полета использовались данные таблицы стандартной атмосферы [8]. При H <80 км она вычислялась путем линейной интерполяции данных по формуле
ln ρ = ln ρk −1 +
H − H k −1 ⎛ ρk ⎞
ln ⎜
⎟,
H k − H k −1 ⎝ ρk −1 ⎠
где Hk−1 ≤ H ≤ Hk,индекс k соответствует табличным значениям.
При H > 80 км, температура считалась постоянной, равной 199 К, а плотность
определялась по формуле
ρ = ρ s exp ( −( H − H s ) / H* ) ,
где H* =5,95 км, индекс s соответствует H = 80 км.
Для определения силы аэродинамического сопротивления принималось, что
РБФ представляет собой цилиндр диаметром D = 3,36 м с коэффициентом Cx = 2 и
Smid = 8,87 м2.
Масса РБФ определялась по формуле
M = M b + 2k ( M 1 + M 2 ) ,
где M1 = 1032 кг, M2 = 1889 кг – масса НДМГ и АТ в полных баках, k – доля первоначального объема баков, занятого топливом, Mb = 941,5 кг – масса объекта без
топлива.
На рис. 2 приведены результаты расчета спуска РБФ с солнечно-синхронной
орбиты (ССО) до высоты разгерметизации баков. Использовались следующие
начальные данные задачи: высота H0 = 120 км, скорость относительно Земли
V0 = 8061 м/с, угол входа θ0 = 1,12°, азимут Ψ0 = −22,83°, широта ϕ0 = −68,03°,
долгота λ0 = −103,38°.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аэродинамический нагрев топливных баков космического разгонного блока при спуске
V, км/с
θ⋅102 (град), H (км)
V
8
120
2
7
1
H
6
100
80
θ
5
60
4
40
3
20
2
83
0
100
200
300
400
0
500 t, с
Рис. 2. Скорость, высота полета и угол наклона траектории в зависимости от времени при спуске РБФ с ССО.
V: 1, 2 – k = 0,5; 0,1; H, θ – k = 0,5
Так как угол входа θ0 в атмосферу с этой орбиты очень мал, то для пологой
траектории спуска характерны большие высоты. До 300 с полета скорость РБФ
практически не меняется. Влияние аэродинамического торможения на больших
высотах проявляется слабо и доля остатка компонентов топлива k в баках незначительно влияет на параметры траектории спуска (кривые 1, 2 рис.2). Несмотря на
то, что абсолютное изменение величины угла наклона θ невелико, в силу его малости относительное изменение является значительным ~ 3 раза. В результате зависимость высоты H от времени на рис. 2 отличается от линейной.
На рис. 3 показано изменение скорости РБФ в зависимости от высоты полета.
Кривая 1 соответствует заполнению баков наполовину (k = 0,5) и может рассматриваться в качестве нештатной ситуации при спуске, кривая 2 – 10 %-му наличию
остатков топлива. Видно, что расслоение скорости начинается с высот ~ 100 км и
на момент разгерметизации баков составляет ~ 7,75 и 7,95 км/c для кривых 1 и 2
соответственно.
V, км/с
2
8.0
7.9
1
7.8
7.7
80
90
100
110
H, км
Рис. 3. Зависимость скорости полета от высоты
при спуске РБФ с ССО. 1, 2 – k = 0,5; 0,1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.А. Глазунов, В.Д. Гольдин, В.Г. Зверев, С.Н. Устинов
84
Изложенная методика расчета траектории использовалась при определении
тепловой нагрузки к РБФ в процессе его спуска с солнечно-синхронной орбиты.
Аэродинамическая тепловая нагрузка
Определение тепловой нагрузки к спускаемому аппарату требует применения
различных математических моделей для решения задачи обтекания в каждой точке траектории. Выбор моделей определяется характерными числами Маха (M),
Рейнольдса (Re) и Кнудсена (Kn):
ρVL*
M
V
l
=
M = , Re =
, Kn =
,
a
L* Re
μ*
где a – скорость звука, L* – характерный размер аппарата, μ* – коэффициент вязкости, l – длина свободного пробега на высоте полета.
В задачах входа в атмосферу на основной части траектории число M >> 1. На
больших высотах число Kn >> 1 и обтекание происходит в свободномолекулярном (СМ) режиме; ниже Kn ~ 1 и реализуется кинетический режим,
описание которого требует решения уравнения Больцмана, при Kn << 1 обтекание
происходит в режиме сплошной среды. При этом, для невысоких чисел Re обтекание рассматривается в режиме вязкого ударного слоя (ВУС), при больших Re
течение разбивается на область невязкого ударного слоя и тонкого пограничного
слоя (ПС) у поверхности тела. Последний определяет аэродинамический нагрев,
так как в атмосфере Земли при скоростях ниже второй космической излучение
ударного слоя незначительно. Для высот полета H > 60 км режим течения в пограничном слое является ламинарным.
На рис. 4 приведены значения чисел Kn и Re при спуске РБФ с ССО, в качестве характерного размера выбран диаметр бака горючего, L* = 1,36 м. Видно, что в
начальной точке траектории Kn > 1, при высотах H < 100 км, где происходит наибольший нагрев, Re >> 1 и Kn << 1.
6
lg(Re), lg(Kn)
4
Re
2
0
Kn
-2
-4
-6
80
100
120
H , км
Рис. 4. Числа Кнудсена Kn и Рейнольдса Re
в зависимости от высоты полета при спуске РБФ с ССО
В настоящее время имеется достаточно большое количество работ в области
гиперзвуковой аэродинамики затупленных тел при различных режимах обтекания: СМ, ВУС, ПС [9 – 12]. Расчет обтекания сложно-составной формы аппарата в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аэродинамический нагрев топливных баков космического разгонного блока при спуске
85
каждой точке траектории по различным моделям представляет собой сложную задачу, поэтому целесообразно применение приближенного подхода с использованием на начальном участке траектории модели СМ-обтекания, на основном – модели ПС.
Для любой ориентации РБФ при спуске один из топливных баков находится на
наветренной стороне и, следовательно, подвергается наибольшему нагреву. Поэтому можно использовать приближенную оценку теплового потока при обтекании его сферической лобовой части без учета взаимодействия с другими элементами конструкции. При этом траектория спуска рассчитывается для всего объекта
в целом.
Тепловой поток q к лобовой части сферической поверхности бака может быть
представлен в виде
q = q0 f (α ),
(7)
где q0 – тепловой поток в передней критической точке (ПКТ), α – центральный
угол сферы, отсчитываемый от ПКТ.
Определим сомножители q0 и f(α). Для расчета теплового потока в СМ-режиме
предполагалось, что молекулы воздуха при столкновении с поверхностью тела
полностью теряют нормальную составляющую скорости
1
q0 = ρV 3 , f (α) = cos3 α .
(8)
2
Для режима ламинарного ПС используется формула J.A. Fay, F.R. Riddel [13],
в [14] дается ее аппроксимации в зависимости от параметров полета. Для распределения теплового потока по поверхности сферы используется формула
И.Н. Мурзинова [15, 16]
1/ 2
q0 = 0,578 ⋅10−3 r −1/ 2 ( ρ / ρ0 )
V 3,15 ,
f (α ) = 0,55 + 0, 45cos 2α,
(9)
2
где r – радиус сферы в см, V – скорость полета в м/с, q0 выражено в Вт/м .
После интегрирования (7) по углу α можно получить формулу для потока
энергии на лобовую поверхность
qΣ = 2πr 2 Aq0 ,
(10)
где A = 0,25 и 0,4 для СМ-обтекания и режима ПС. Переход от одной формулы к
другой происходит в точке траектории, в которой значения q0, вычисленные по (8)
и (9), совпадают.
Расчет давления в топливных баках
При спуске в атмосфере под действием аэродинамического нагрева повышается температура баков, происходит испарение жидкой фазы, растут внутреннее
давление и напряжение в оболочках, что может привести к их разрыву. Определение давления в баках требует решения задачи теплообмена при заданной тепловой нагрузке.
Для этого необходимо учитывать передачу тепла в оболочке, обмен энергией
между оболочкой, жидкой и газовой фазами внутри баков, процессы перемешивания содержимого. Данная задача имеет большую степень неопределенности, связанную с ориентацией, вращением, колебаниями баков в процессе спуска, что сказывается на движении жидкости и газа в баках и, следовательно, на интенсивности
теплообмена. Поэтому целесообразно применение термодинамического подхода,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.А. Глазунов, В.Д. Гольдин, В.Г. Зверев, С.Н. Устинов
86
основанного на предположении, что все компоненты внутри бака имеют одинаковую температуру и находятся в состоянии термодинамического равновесия.
В каждом из баков присутствуют 3 компоненты: инертный газ (He), топливо в
жидкой фазе (Xliq), пары топлива в газовой (Xgas) фазе. До момента полного испарения жидкой фазы давление может быть определено следующим образом.
Полное давление газа в баке складывается из парциальных давлений газовых
компонент, которые удовлетворяют уравнению состояния:
RA
p = p(He) + p ( X gas ),
p (He) = ρ(He)
T,
(11)
m(He)
где RA – универсальная газовая постоянная, ρ(He), m(He) – плотность и молярная
масса гелия.
Парциальное давление паров топлива определяется кривой упругости паров,
из уравнения состояния можно определить плотность ρ(Xgas):
A ⎞
R
⎛
p( X gas ) = f X (T ) ≈ exp ⎜ BX − X ⎟ ,
p( X gas ) = ρ( X gas ) A T ,
(12)
T ⎠
m( X )
⎝
где Ax, Bx – константы в аппроксимации кривой упругости паров. Плотности газовых компонент могут быть выражены через их массы и объем газовой фазы:
M ( X gas )
M (He)
ρ(He) =
.
(13)
, ρ( X gas ) =
Vgas
Vgas
Кроме того, должен выполняться закон сохранения массы
ρ ( X liq ) (V − Vgas ) + ρ( X gas )Vgas = M ( X ) = kM 0 ,
(14)
где V – полный объем бака, M0 – масса топлива при полном заполнении бака, k –
доля заполнения бака остатками топлива в начале спуска.
При заданных значениях M(He), M(X), V, T давление определяется из системы
уравнений (11) – (14). Процесс вычислений строится следующим образом. При
начальной температуре T = T0 давление p = p0 известно. Это позволяет определить
начальное значение объема газовой фазы Vgas,0 и массы гелия M(He):
p0 ( X gas ) = f X (T0 ),
p0 (He) = p0 − p0 ( X gas ), ρ0 (He) =
Vgas,0 =
ρ ( X liq ) V − kM 0
ρ ( X liq ) − ρ( X gas )
=
p0 ( X gas )m( X )
p0 (He)m(He)
, ρ( X gas ) =
,
RAT0
RAT0
(1 − k ) M 0
, M (He) = ρ( X gas )Vgas,0 .
ρ ( X liq ) − ρ( X gas )
(15)
При произвольной температуре порядок вычислений следующий:
p( X gas ) = f X (T ),
ρ( X gas ) =
p( X gas )m( X )
RAT
p(He) = p0 (He)
, Vgas =
(1 − k ) M 0
ρ ( X liq ) − ρ( X gas )
T Vgas,0
, p = p (He) + p( X gas ) .
T0 Vgas
,
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аэродинамический нагрев топливных баков космического разгонного блока при спуске
87
В (16) формула для определения парциального давления гелия получена из
(11) с учетом (13) и постоянства массы гелия. В результате вычислений полное
давление в баке является функцией начальных условий и текущей температуры.
Описанный расчет давления пригоден до тех пор, пока полностью не испарится жидкая фаза. Температуру T∗, при которой это произойдет, можно определить
из условия
(17)
M ( X gas ) = ρ( X gas )Vgas = M ( X ) = kM 0 .
При T > T∗ давление в баке будет расти линейным образом с ростом температуры:
p = p*T / T* ,
(18)
где p∗ – давление в момент достижения полного испарения жидкой фазы.
Об изменении давления в баках окислителя (а) и горючего (б) с ростом температуры и при различной доле k их заполнения можно судить по кривым 1 – 3 на
рис. 5 (согласно (20) – см. далее, – давление с точностью до множителя совпадает с
напряжением). Начальное давление в баках p0 = 6,5·105 Па, температура T0 = 293 K.
Излом на кривых 1 – 3 соответствует моменту полного испарения жидкости: при
малых k жидкая фаза полностью испаряется до достижения температуры разрушения, и в дальнейшем осуществляется нагрев только газовой фазы. В этом случае давление в баках растет линейно с ростом температуры. Видно, что по сравнению с окислителем для горючего (рис. 5, б) излом на кривых 1, 2 сдвигается в
область более высоких температур. Наличие давления внутри топливных баков
обуславливает напряженное состояние оболочек.
σ, МПа
500
σ, МПа
а
400
4
3
400
2
300
4
2
300
200
200
1
100
0
б
500
3
1
100
300
350
400
450
T, K
0
300
350
400
450
T, K
Рис. 5. Максимальные напряжения в оболочках баков окислителя (а) и горючего (б)
в зависимости от температуры. 1 – 3 – k = 0,01; 0,02; 0,1, 4 – предел прочности материала
Напряжения в оболочках топливных баков
Для оценки условий разрушения баков рассмотрим задачу об определении напряженного состояния оболочки полой сферы под действием внутреннего давления p. На больших высотах ~ 60 − 100 км в атмосфере Земли внешнее давление
практически отсутствует и можно считать равным нулю.
Пусть rin и rout – внутренний и наружный радиусы оболочки бака толщиной
∆ = rout – rin. В сферических координатах (см. рис. 6) с началом в центре сферы
тензор напряжений имеет диагональный вид с ненулевыми компонентами главных напряжений σr, σϕ, σθ, причем растягивающие компоненты напряжений
σϕ = σθ равны между собой в силу осевой симметрии. Дифференциальные уравне-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
88
А.А. Глазунов, В.Д. Гольдин, В.Г. Зверев, С.Н. Устинов
ния теории упругости допускают точное решение, и выражения для напряжений
имеют следующий вид [17]:
σr =
p rin3
( rin3 − rout3 )
3
⎛ rout
⎞
⎜⎜ 3 − 1⎟⎟ ,
⎝ r
⎠
σϕ = σθ = −
p rin3
rin ≤ r ≤ rout ,
( rin3 − rout3 )
(19)
3
⎛ rout
⎞
⎜⎜ 1 + 3 ⎟⎟ .
⎝ 2r ⎠
Рис. 6. Сферическая система координат для расчета напряжений
в оболочках топливных баков
Анализ формул (19) показывает, что растягивающее напряжение σϕ по своей
величине намного превышает сжимающее напряжение σr и мало меняется по
толщине оболочки. Максимум (σϕ)max находится при r = rin, т.е. на внутренней поверхности топливных баков, и имеет следующее значение:
r = rin : (σϕ ) max = −
p
( rin3 − rout3 )
3
(2rin3 + rout
) p rout
≈
.
2
2 ∆
(20)
При приближенной оценке (σϕ)max через толщину оболочки ∆ учитывалось, что
∆ << rin, а rin ≈ rout имеют близкие значения (тонкая оболочка). Таким образом,
(σϕ)max повышается с ростом внутреннего давления газов и уменьшается с увеличением толщины оболочки. Как следует из (20), при прочих равных условиях бак
большего размера испытывает бóльшие напряжения. В качестве критерия разрушения оболочки примем условие достижения максимальных напряжений (σϕ)max в
оболочке бака предела прочности σ конструкционного материала, зависящего от
температуры:
(21)
(σϕ ) max ≥ σ(T ) ,
График зависимости σ от температуры показан кривой 4 на рис. 5. Из него
видно, что предел прочности σ падает почти в три раза с 350 до 130 МПа при увеличении температуры с 300 до 600 K, что повышает вероятность разгерметизации
баков РБФ при аэродинамическом нагреве и росте внутреннего давления газов.
Используя (21) и рассчитанные значения давления паров, можно получить напряжения в оболочках топливных баках в зависимости от температуры и, сопоставляя их с пределом прочности σ материала оболочки, – критическую температуру разгерметизации баков. Определяя ее затем при движении РБФ в атмосфере,
можно найти высоту разрушения баков.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аэродинамический нагрев топливных баков космического разгонного блока при спуске
89
На рис. 5 показаны максимальные напряжения в оболочках бака окислителя
(а) и горючего (б) в зависимости от температуры при различном значении коэффициента k заполнения бака в момент начала спуска. Видно, что при малых
k = 1 – 2 % жидкая фаза полностью испаряется до момента достижения предела
разрушения. При больших k к моменту разрушения часть окислителя остается в
жидкой фазе, и в этом случае предельные значения напряжения и критической
температуры перестают зависеть от k.
В табл. 1, 2 приведены значения массы жидкого топлива в момент начала
спуска, а также значения массы жидкой фазы, температуры и давления на момент
разрушения баков окислителя и горючего. Результаты, приведенные в строке таблиц при k = 0*, соответствуют разрушению баков при начальном давлении в силу
снижения предела прочности материала с ростом температуры.
Таблица 1
Термодинамические параметры в момент разрыва
и тротиловый эквивалент процесса разрушения бака окислителя РБФ
k
0*
0,01
0,02
0,1
0,25
0,5
Mliq_0, кг
–
18,9
37,8
189
472
945
Mliq_k, кг
–
0
0
147
437
922
T, K
590
430
383
356
356
356
p, МПа
0,65
1,36
1,69
1,77
1,77
1,77
GТНТ, кг
–
4,0
4,7
4,2
3,5
2,3
Таблица 2
Термодинамические параметры в момент разрыва
и тротиловый эквивалент процесса разрушения бака горючего РБФ
k
0*
0,01
0,02
0,1
0,25
0,5
Mliq_0, кг
–
10
21
103
258
516
Mliq_k, кг
–
0
2
86
244
506
T, K
608
437
401
401
401
401
p, МПа
0,58
1,30
1,56
1,56
1,56
1,56
GТНТ, кг
–
5,7
6,1
5,5
4,6
3,0
Тротиловый эквивалент взрывного разрушения оболочек
Мощность взрывного разрушения баков может быть оценена независимо от
высоты, на которой это происходит, по методикам, принятым в промышленности.
Сосуды под давлением с высокоэнергетическими газами и жидкостями представляют собой источники потенциальной опасности [18], поэтому их эксплуатация
регламентируется нормативными документами [19]. Оценка механического действия взрывного разрушения топливных баков требует знания энергии взрыва,
или тротилового эквивалента (ТЭ). ТЭ – мера энерговыделения, выраженная в количестве ВВ тринитротолуола (ТНТ), выделяющем при взрыве равное количество
энергии. Удельная энергия взрывчатого разложения ТНТ по данным [19, 20] полагалась равной QТНТ = 4,52 МДж/кг.
При разгерметизации сосуда с высокоэнергетическими газами и жидкостями в
энергию взрыва Еexpl, МДж, переходит не только химическая энергия, но и потен-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90
А.А. Глазунов, В.Д. Гольдин, В.Г. Зверев, С.Н. Устинов
циальная энергия сжатого газа [19]:
Eexpl = ⎡⎣Qgas M gas + Qliq M liq ⎤⎦ +
( p − pout )V p (1 − k )
( γ − 1)
,
(22)
где Qgas, Qliq – удельные теплоты химических превращений вещества в газовой и
жидкой фазах, МДж/кг; Mgas, Mliq – масса газа и жидкости в сосуде на момент
взрыва, кг; p, pout – давление газа в сосуде и окружающей атмосфере, МПа;. Vp –
объем сосуда, м3; k – коэффициент заполнения сосуда жидкой фазой; γ – показатель адиабаты.
Приравнивая энергию Eexpl. разрушения сосуда к энергии EТНТ = QТНТ GТНТ
взрыва ТНТ массой GТНТ, находим ТЭ:
(23)
GТНТ = Eexpl / QТНТ [кг].
Горючее НДМГ и окислитель АТ по отдельности являются химически устойчивыми соединениями, поэтому для них Qgas = Qliq = 0. Этого можно ожидать и на
момент разрушения сосуда под действием внутреннего давления паров. Значения
показателя адиабаты γ для паров горючего НДМГ, окислителя АТ при различной
температуре брались по данным [3 – 5].
В табл. 1 и 2 в последнем столбце приведены рассчитанные значения тротилового эквивалента GТНТ взрывного разрушения баков окислителя и горючего в зависимости от коэффициента k заполнения остатками топлива. Из таблиц видно
(третий столбец), что при 2 %-м заполнении (k = 0,02) баков всё жидкое топливо
испаряется и переходит в газовую фазу. Этой ситуации отвечают наибольшие
значения ТЭ для НДМГ и АТ.
Нагрев топливных баков при спуске РБФ с орбиты
Для определения зависимости температуры от времени и, следовательно, высоты разрушения, необходимо рассмотреть задачу о тепловом состоянии РБФ при
воздействии аэродинамической тепловой нагрузки.
Материал оболочки представляет собой металл с большим коэффициентом теплопроводности. Это позволяет пренебречь распределением температуры по глубине и вдоль поверхности и считать ее зависящей только от времени.
При спуске РБФ с орбиты возможны два предельных сценария развития тепловых процессов в баках:
1) теплообмен между оболочкой и внутренним содержимым затруднен; нагревается главным образом оболочка, и разрыв происходит в точках неоднородности
материала (при начальном давлении в окрестности сварных швов ввиду снижения
предела прочности материала);
2) теплообмен достаточно интенсивен; бак разрывается под действием давления паров компонентов топлива.
При реализации первого сценария тепловое состояние оболочки баков не зависит от их внутреннего содержимого, и вся тепловая нагрузка идет на нагрев оболочки. В этом случае при указанных выше предположениях температура оболочки может быть определена из уравнения
dT
cM M ( M )
= qΣ ,
(24)
dt
где cM – теплоемкость, M(M) = 4πr2∆ρM – масса, ρM – плотность материала, ∆ –
толщина оболочки; r – радиус бака; qΣ – поток энергии, определенный по формуле
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аэродинамический нагрев топливных баков космического разгонного блока при спуске
91
(10). Так как температура разгерметизации баков не превышает 700 K, то тепловой поток, излучаемый в атмосферу поверхностью оболочек баков, пренебрежимо
мал по сравнению с конвективным потоком qΣ.
Уравнение (24) решается одновременно с системой уравнений (1) – (6), определяющей движение по траектории, тепловая нагрузка вычисляется по формулам
(8) – (10). Расчет прекращается, когда начальное напряжение в оболочке сравнивается при текущей температуре с пределом прочности материала.
На рис. 7 показаны высота полета, тепловой поток в точке торможения и температура бака окислителя в зависимости от времени при спуске РБФ с ССО для
первого сценария теплообмена. Так как в данном случае передача тепла внутрь
бака не учитывается, то температуры оболочек баков окислителя и горючего совпадают. Видно, что к моменту разгерметизации бака на 170-й секунде полета тепловой поток достигает значений ~ 120 кВт/м2 на высоте ~ 100 км. Результаты определения высоты разгерметизации баков по первому сценарию приведены в
табл. 3 в первой строке при k = 0*.
2
T, K
q 0(кВт/м ), H(км)
600
120
H
500
100
400
80
T
300
60
q0
200
40
100
0
20
0
50
100
150
t, с
0
Рис. 7. Высота полета, тепловой поток в точке торможения, температура* оболочки бака окислителя (горючего) в
зависимости от времени при спуске РБФ с ССО. * – без
учета внутреннего теплообмена
При реализации второго сценария считается, что теплообмен между оболочкой бака и его содержимым интенсивен, поэтому оболочка бака, жидкая и газовая
фазы имеют одинаковые температуры. В этом случае применение первого начала
термодинамики к баку в целом с учетом испарения жидкости приводит к следующему уравнению:
dT
⎣⎡ cM M ( M ) + c( X liq ) M ( X liq ) + cv (He) M (He) + cv ( X gas ) M ( X gas ) ⎦⎤ dt =
dM ( X gas )
dVgas
.
= qΣ − Q( X )
−p
(25)
dt
dt
Здесь cM, c(Xliq), cv(He), cv(Xgas) и M(M), M(He), M(Xliq), M(Xgas) – значения удельной
теплоемкости (для газа – при постоянном объеме) и массы для оболочки, жидкой
фазы; гелия, газовой фазы топлива; Vgas, p – объем газовой фазы и давление газа в
баке.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.А. Глазунов, В.Д. Гольдин, В.Г. Зверев, С.Н. Устинов
92
Для замыкания уравнения (25) необходимо подставить значения M(Xgas) и Vgas
из (16):
(1 − k ) M 0ρ( X gas )
(1 − k ) M 0
.
(26)
Vgas =
, M ( X gas ) =
ρ ( X liq ) − ρ( X gas )
ρ ( X liq ) − ρ( X gas )
Так как они зависят только от температуры, то после применения преобразований
d ρ( X gas )
dT
=
ρ( X gas ) ⎡ AX
⎤
− 1⎥ ,
⎢
T
⎣ T
⎦
dM ( X gas )
dT
dVgas
dT
=
1
ρ ( X liq )
(1 − k ) M 0 ρ ( X liq )
=
⎣⎡ρ ( X liq ) − ρ( X gas ) ⎦⎤
dM ( X gas )
d ρ( X gas )
2
dT
,
dT
уравнение (25) приводится к виду
( cM )eff
dT
= qΣ ,
dt
(27)
( cM )eff = cM M ( M ) + c( X liq ) M ( X liq ) + cv (He) M (He) + cv M ( X gas ) +
⎡
p ⎤ dM ( X gas )
+ ⎢Q ( X ) +
.
⎥
dT
ρ ( X liq ) ⎦⎥
⎣⎢
(28)
Формула (28) используется до момента полного испарения жидкой фазы в баках, после этого надо принять
dM ( X gas )
=0.
dT
Уравнение (27) решается по времени вместе с системой уравнений траектории
полета (1) – (6) до достижения значений температуры разгерметизации.
На рис. 8 показана динамика изменения температуры баков окислителя (а) и
горючего (б) вдоль траектории спуска с ССО при различных значениях коэффициента k заполнения. Излом на кривых соответствует моменту полного испарения
жидкой фазы. Сравнение значений температуры показывает, что при расчете теплового состояния баков по второму сценарию теплообмена ее уровень по сравнению
с кривой 6 (первый сценарий) оказывается более низким. Это связано, с одной
T, K
T, K
б
6
а
6
500
500
1
1
400
2
3
4
5
300
400
2
4
3
5
300
0
100
200
300
400
t, с
0
100
200
300
400
t, с
Рис. 8. Температура баков окислителя (а) и горючего (б) в зависимости от времени при
спуске РБФ с ССО с учетом нагрева топлива. 1 – 5 – k = 0,01; 0,02; 0,1; 0,25; 0,5, 6 – оболочка, без учета внутреннего теплообмена
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аэродинамический нагрев топливных баков космического разгонного блока при спуске
93
стороны, с затратами тепловой нагрузки на нагрев содержимого бака, с другой –
нагрев топлива в баке приводит к значительному повышению давления, в результате чего разгерметизация наступает раньше.
На рис. 9 показана температура баков окислителя (а) и горючего (б) в зависимости от высоты полета для различной степени их заполнения при спуске РБФ с
ССО. Увеличение доли жидкой фазы (коэффициент k) приводит к замедлению
роста температуры при той же тепловой нагрузке, в результате чего разрыв бака
происходит на более низкой высоте. Согласно кривым 5 рисунка, при k = 0,5 значения критической высоты составляют 79 км и 76 км для бака окислителя и горючего соответственно.
T, K
T, K
а
500
500
6
1
400
4
5
3
б
2
400
6
5
3
4
2
1
300
300
70
80
90
100
110
H, км
70
80
90
100
110
H, км
Рис. 9. Температура баков окислителя (а) и горючего (б) в зависимости от высоты при
спуске РБФ с ССО с учетом нагрева топлива. 1 – 5 – k = 0,01; 0,02; 0,1; 0,25; 0,5, 6 – оболочка, без учета внутреннего теплообмена
В табл. 3 приведены значения высоты разрушения баков для различных значений коэффициента заполнения k при спуске с ССО. Расчетные значения высоты
разрушения при k > 0 дают нижнюю оценку их реальной величины, так как получены в предположении однородности температуры баков. При более низкой интенсивности теплообмена между оболочкой и внутренней областью баков температура жидкой фазы будет ниже температуры оболочки, что понизит затраты
энергии на нагрев жидкости. Это приведет к более интенсивному нагреву оболочки и, следовательно, к большей высоте разрушения. Анализ таблицы показывает,
что высоты разрушения баков окислителя и горючего при одинаковой степени заполнения близки друг к другу. Это означает, что условия их разрушения достигаются почти одновременно.
Таблица 3
Высота разгерметизации баков РБФ при спуске с ССО
в зависимости от степени заполнения остатками топлива
k
0*
0,01
0,02
0,1
0,25
0,5
Бак окислителя
Mliq_0, кг
H, км
98,1
18,9
95,0
37,8
91,5
189
87,2
472
82,9
945
78,8
Бак горючего
Mliq_0, кг
H, км
96,4
10,3
95,1
20,6
93,8
103
88,6
258
82,6
516
76,1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
94
А.А. Глазунов, В.Д. Гольдин, В.Г. Зверев, С.Н. Устинов
Заключение
1. Разработана инженерная методика расчета траектории и характеристик аэродинамического нагрева топливных баков РБФ при сходе с рабочей орбиты и
спуске в атмосфере Земли для оценки высоты и термодинамических условий его
разрушения.
2. Показано, что при сходе РБФ с солнечно-синхронной орбиты уровень тепловых потоков на момент разрушения баков достигает величины 120 кВт/м2.
3. На основе термодинамического подхода решена задача о тепловом состоянии топливных баков РБФ по траектории спуска с учетом и без учета теплообмена оболочек с внутренним содержимым. Исследована динамика роста давления
внутри баков под действием аэродинамического нагрева и испарения жидкой фазы топлива.
4. Определены термодинамические параметры, высота полета, напряжения в
оболочках и тротиловый эквивалент взрывного разрушения баков под действием
внутреннего давления в зависимости от степени их заполнения остатками топлива
при сходе РБФ с солнечно-синхронной орбиты и спуске в атмосфере Земли. Показано, что при заполнении менее чем на 10 % их разрушение происходит на высотах выше 87 км.
ЛИТЕРАТУРА
1. Асюшкин В.А., Ишин С.В., Куликов С.Д. и др. Разгонный блок «Фрегат» // Сборник научных трудов НПО им. С.А.Лавочкина. М.: Блок-Информ-Экспресс, 2000. Вып. 2.
С. 219–226.
2. Асюшкин В.А., Ишин С.В., Пичхадзе К.М. и др. Разгонный блок «Фрегат» – максимальная эффективность при минимальных затратах // Полет. 2006. № 10. C. 3–8.
3. Греков А.П., Веселов В.Я. Физическая химия гидразина. Киев: Наукова думка, 1979.
254 с.
4. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание: в 4 т. /
Л.В. Гурвич, И.В. Вейц, В.А. Медведев и др. 3-е изд., перераб. и расширен. Т. I. Кн. 2.
М.: Наука, 1978. 328 с.
5. Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский
и др.; под. ред. И.С. Григорьева, Е.3. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.
6. Лебедев А.А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1974. 241 с.
7. Стулов В.П., Мирский В.Н., Вислый А.И. Аэродинамика болидов. М.: Наука. Физматлит, 1995. 240 с.
8. Стандартная атмосфера. Параметры ГОСТ 4401-73. М., 1977.
9. Hayes W.D., Probstein R.F. Hypersonic Flow Theory. New York and London: Academic
Press, 1959 (русский перевод: Хейз, Пробстин. Теория гиперзвуковых течений. М.: ИЛ,
1962).
10. Пилюгин Н.Н., Тирский Г.А. Динамика ионизованного излучающего газа. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1989. 305 с.
11. Лунев В.В. Течения реальных газов с большими скоростями. М.: Физматлит, 2007. 760 с.
12. Зинченко В.И. Математическое моделирование сопряженных задач тепломассообмена.
Томск: Изд-во Том. ун-та, 1985. 221 с.
13. Fay J.A., Riddel F.R. Theory of stagnation point heat transfer in dissociated air // J. Aeronaut.
Sci. 1958. V. 25. P. 73−85, 121. Русский перевод: Фэй Дж., Риддел Ф. Теоретический
анализ теплообмена в лобовой точке, омываемой диссоциированным воздухом // Проблемы движения головной части ракет дальнего действия. – М.: ИЛ, 1959. С. 217−256.
14. Martin J.J. Atmospheric Entry – An Introduction to Its Science and Engineering. 1966. Old
Tappan. NJ: Prentice-Hall, P. 351 (русский перевод: Мартин Дж. Вход в атмосферу. М.:
Мир, 1969. 320 с.).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аэродинамический нагрев топливных баков космического разгонного блока при спуске
95
15. Мурзинов И.Н. Ламинарный пограничный слой на сфере в гиперзвуковом потоке равновесно диссоциирующего воздуха // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966.
№ 2. С. 184–188.
16. Землянский Б.А., Степанов Г.В. О расчете теплообмена при пространственном обтекании тонких затупленных конусов гиперзвуковым потоком воздуха // Изв. АН СССР.
Механика жидкости и газа. 1981. № 5. С. 173–177.
17. Прочность, устойчивость, колебания: справочник. Т. 1 / под ред. И.А. Биргера,
Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. 831 с.
18. Marshall V. Major Chemical Hazards. Ellis-Horwood, Chichesters, UK, 1987. Русский перевод: Маршалл В. Основные опасности химических производств. М.: Мир, 1989.
19. Руководство по анализу опасности аварийных взрывов и определению параметров механического действия. РБГ-05-039-96. Нормативный документ. (www.complexdoc.ru).
М.: НТЦ ЯРБ Госатомнадзор России, 2000. 80 с.
20. Baker W., Cox P., et al. Explosion Hazards and Evaluation. Amsterdam – Oxford – New
York: Elsevier Scientific Publishing Company, 1983 (русский перевод: Бейкер У., Кокс П.
и др. Взрывные явления. Оценка последствий. М.: Мир. 1986).
Статья поступила 01.07.2011 г.
Glazunov A.A., Gol'din V.D., Zverev V.G., Ustinov S.N. AERODYNAMIC HEATING OF FUEL
TANKS OF A SPACE UPPER STAGE AT DESCENT IN THE ATMOSPHERE. A technique
for calculating the trajectory and aerodynamic heating characteristics of the Fregat upper stage at
leading away from the working orbit and descent in the atmosphere of the Earth is presented. The
problem about increasing pressure in fuel tanks caused by heat loading and by liquid fuel evaporation is solved using the thermodynamic approach. Thermodynamic parameters, tanks shells
stress, height, and the trinitrotoluene equivalent of explosive destruction of tanks depending on
liquid fuel filling are calculated by an example of leading away an upper stage from the sunsynchronous orbit.
Key words: space upper stage, Earth's atmosphere, descending trajectory, aerodynamic heating,
fuel tanks, vapor pressure, destruction of tank shells.
GLAZUNOV Anatoliy Alekseevich (Tomsk State University)
E-mail: gla@niipmm.tsu.ru
GOL'DIN Victor Danilovich(Tomsk State University)
E-mail: vdg@math.tsu.ru
ZVEREV Valentin Georgievich (Tomsk State University)
E-mail: zverev@niipmm.tsu.ru
USTINOV Svyatoslav Nikolaevich (Lavochkin Research and Production Association)
E-mail: ust@laspace.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 510.6: 683.3: 532.5.13
А.Н. Голованов, В.Н. Фатеев
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
УСИЛЕНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
Экспериментально исследовано взаимодействие ударных волн с твердыми
частицами. Проведен полный двухфакторный эксперимент по влиянию массы твердых частиц и их месторасположения перед фронтом ударной волны.
Решена оптимизационная задача по интенсификации ударной волны.
Ключевые слова: ударная волна, твердые частицы, эксперимент, интенсификация.
В настоящее время существует множество способов борьбы с лесными пожарами [1]. Все эти способы с точки зрения механизма воздействия на лесной пожар
можно разделить на три группы:
1) физико-механические способы локализации и тушения;
2) химические способы;
3) локализация и тушение с использованием ударных волн (УВ).
Как показали экспериментальные и теоретические исследования, фронт низового пожара имеет сложную структуру, включающую в себя зоны прогрева, сушки и пиролиза лесных горючих материалов (ЛГМ), горения горючих газообразных
продуктов пиролиза и догорания конденсированных продуктов [1]. Процессы горения лимитируются притоком кислорода и горючих газообразных продуктов пиролиза, то есть носят диффузионный характер. Распространение фронта лесного
пожара – многостадийный процесс, но ограничивает его в основном образование
горючих газообразных продуктов пиролиза, их смешение с кислородом воздуха и
последующее сгорание. Если разрушить структуру фронта пожара, то, как показали эксперименты, распространение его прекратится. Действительно, в этой части
фронта находится взрывоопасная смесь, поэтому достаточно небольшого импульса давления, чтобы эта смесь сдетонировала и пламенное горение прекратилось.
Кроме этого, механическое воздействие ударной волны от взрыва приводит к
срыву основных элементов ЛГМ, что также приводит к прекращению распространения низового лесного пожара.
Применение на практике пожаротушения методов ударно-волнового воздействия требует создания безопасных, надежных и компактных устройств, позволяющих эффективно бороться с фронтом пожара [1].
Одним из путей решения этой проблемы служит повышение интенсивности
генерируемых ударных волн. В данной работе предложен способ, основанный на
повышении полноты сгорания порохового заряда.
Поставленная задача решена с помощью создания местного сопротивления на
некотором расстоянии от отверстия газоотводной трубы путем использования заслона из твердых частиц. Упомянутый заслон представляет собой, например,
легкоразрываемый пакет с твердыми частицами, закрепленный во внутреннем
объеме цилиндрической газоотводной трубы на некотором расстоянии от выходного отверстия.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальное исследование процессов усиления ударных волн
97
При создании в стволе ударной трубы заслона из твердых частиц между местом закладки пакета с твердыми частицами и местом разрыва монтажного патрона образуется область повышенного давления, вследствие чего увеличивается
скорость горения частиц пороха, полнота их сгорания и как результат увеличивается интенсивность ударной волны.
Предложенный метод повышения интенсивности ударных волн требует соответствующего научного обоснования, поэтому в лабораторных условиях было
проведено экспериментальное исследование по влиянию заслона из твердых частиц на повышение интенсивности ударных волн.
Экспериментальная установка и методика проведения эксперимента
Для проведения исследований влияния твердых частиц на интенсивность
ударных волн была разработана и создана экспериментальная установка, схема
которой представлена на рис. 1. Установка выполнена в виде металлической цилиндрической трубы с насадком-концентратором в виде конического конфузора с
углом сужения φ = 55° и диаметром выходного отверстия d1 = 20 мм.
В качестве твердых частиц использовался песок, вид частиц которого показан
на рис. 2.
2
4
1
ϕ
7 мм
3
d1
d0
400 мм
5
Рис. 1. Схема экспериментальной установки: 1 – цилиндрическая труба;
2 – крышка; 3 – механизм для инициирования ударных волн; 4 – конфузорный насадок; 5 – заслон из твердых частиц
Рис. 2. Фотография частиц песка (SiO2).
Предельное увеличение микроскопа OLYMPUS GX-71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Н. Голованов, В.Н. Фатеев
98
На рис. 3 показана функция распределения твердых частиц, из которого видно,
что размер частиц лежит в диапазоне 150 – 700 мкм, причем основную массу составляют частицы размером около 400 мкм.
16
14
12
10
8
6
4
2
0
100
200
300 400 500 600
Размер частиц, мкм
700
800
Рис. 3. Функция распределения для твердых частиц (SiO2)
Ударные волны инициировались с помощью монтажных патронов шифра Д3
[2], характеристики которых приведены в таблице.
Характеристики беспульных монтажных патронов.
Номер
патрона
Мощность
заряда
Цвет
заряда
1
2
3
4
Слабая
Средняя
Сильная
Оч. сильная
Белый
Желтый
Синий
Красный
Патрон шифра Д
Патрон шифра К
Обо- Масса Энергия Обо- Масса Энергия
зна- заряда, заряда, зна- заряда, заряда,
чение
г
Дж
чение
г
Дж
Д1
0,32
374
К1
0,20
548
Д2
0,34
928
К2
0,22
603
ДЗ
0,38
1037
К3
0,25
683
Д4
0,43
1174
К4
0,29
795
Для получения количественной информации об интенсивности ударных волн,
распространяющихся в ударной трубе и на выходе из нее, использовались пьезоэлектрические датчики давления типа ЛХ-610 [3]. Для датчиков данного типа статическая погрешность не превышает 2 %, а динамическая – 3 %. Суммарная погрешность определения давления не превышала δР ≤ 5 %. Для регистрации сигналов использовался цифровой запоминающий осциллограф Tektronix TDS-1002.
В процессе проведения экспериментов рассматривался вопрос о роли твердых
частиц в усилении ударных волн. В лабораторных условиях были проведены комплексные исследования количественных характеристик ударных волн.
Основные результаты и их анализ
Проводился полный двухфакторный эксперимент, при котором варьировались
масса твердых частиц и расстояние их расположения, которое отсчитывалось от
выходного сечения ударной трубы. Диапазон изменения суммарной массы частиц
был выбран от 3 до 10 г, меньшее количество не давало требуемого эффекта, а
большее, из-за большого объема частиц, который гасил ударную волну, также не
давало положительного результата.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экспериментальное исследование процессов усиления ударных волн
99
На рис. 4. представлен график экспериментальных значений относительного
давления на выходе из ударной трубы, полученных в результате варьирования
расстояния расположения пакета с твердыми частицами от выходного сечения
трубы (Р1 – давление во фронте ударной волны на выходе из трубы без использования заслона из твердых частиц, Р2 – давление во фронте ударной волны на выходе из трубы с использованием заслона из твердых частиц).
Р2 /Р1
1,5
1,3
1,1
0,9
0,7
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
R, м
Рис. 4. Относительное давление газа на выходе из трубы, полученное в результате варьирования месторасположения твердых частиц в полости трубы.
R – расстояние от выходного отверстия
На рис. 5. представлен график экспериментальных значений относительного
давления на выходе из ударной трубы, полученных в результате варьирования рабочей массы твердых частиц (Р1 – давление во фронте ударной волны на выходе
из трубы без использования заслона из твердых частиц, Р2 – давление во фронте
ударной волны на выходе из трубы с использованием заслона из твердых частиц,
заключенных в легкоразрываемый пакет).
Р2 /Р1
1,5
1,3
1,1
0,9
0,7
3
4
5
6
7
8
Рис. 5. Относительное давление газа на выходе из трубы,
полученное при варьировании рабочей массы твердых частиц
m, г
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
100
А.Н. Голованов, В.Н. Фатеев
Кривые на рис. 4, 5 – В-сплайн, аппроксимация. Доверительные интервалы
рассчитывались по трём-пяти опытам, с доверительной вероятностью 0,95.
Из анализа графиков (рис. 4, 5) видно, что при варьировании расстояния закладки твердых частиц, при постоянной массе пакета, оптимальный результат
увеличения интенсивности ударной волны составил порядка 35 % при расстоянии
закладки около 0,2 м. При варьировании массы твердых частиц на оптимальном
расстоянии их расположения наибольшая интенсификация ударной волны составляет порядка 60 % при массе твердых частиц около 7 г. Таким образом, оптимальные значения параметров, при которых наблюдается наибольшая интенсификация
ударной волны (62,5 %), составляют для месторасположения пакета твердых частиц 0,2 м, т.е. не более 0,5 длины от выхода газоотводной трубы, и 7 г для суммарной массы твердых частиц.
Заключение
Таким образом, согласно предлагаемому техническому решению, при создании в стволе ударной трубы местного сопротивления, функцию которого выполняет заслон из твердых частиц, увеличивается интенсивность ударной волны, так
как образованная в результате взрыва монтажного патрона область повышенного
давления между местом взрыва патрона и местом закладки частиц увеличивает
скорость горения пороха и полноту его сгорания. По результатам проведенных
исследований получен патент на полезную модель [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Гришин А.М. Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы
с ними. Новосибирск: Наука, 1992. 408 с.
2. Кобылкин И.Ф. Ударные и детонационные волны. Методы исследования. М.: Изд-во
физ.-мат. лит., 2004. 375 с.
3. Черный Г.Г. Газовая динамика. М: Наука, 1988. 424 с.
4. Киселев В.П. и др. Ударно-волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах. Новосибирск: Наука, 1992. 261 с.
5. Голованов А.Н., Фатеев В.Н., Ивандаев И.Е. Устройство для локализации и тушения низовых лесных пожаров. Патент на полезную модель № 100910 от 10.01.2011 г.
Статья принята 17.02.2011 г.
Golovanov A.N., Fateev V.N. EXPERIMENTAL RESEARCH OF SHOCK WAVE INTENSIFICATION PROCESS. Interaction of shock waves with solid particles is experimentally investigated. A full two-factorial experiment on the influence of the weight of solid particles and their
positions before the shock wave front is performed. The optimizing problem of shock wave intensification is solved.
Keywords: shock wave, solid particles, experiment, intensification.
GOLOVANOV Aleksandr Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: fire@mail.tsu.ru
FATEYEV Vladimir Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: vladimir_fateyev@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
УДК 539.3
№ 4(16)
А.П. Жуков
РЕАКЦИЯ ОТРАЖАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ КРУПНОГАБАРИТНОГО
РЕФЛЕКТОРА НА ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ИМПУЛЬСА
Рассматривается свободно движущийся космический аппарат с крупногабаритным зонтичным рефлектором. Численно исследуется реакция отражающей поверхности рефлектора на действие возмущающего импульса. Учитываются различные особенности конструкции.
Ключевые слова: динамика, крупногабаритный рефлектор, космический
аппарат, собственная частота.
К настоящему времени в системах космической связи и мониторинга земной
поверхности широкое применение нашли крупногабаритные зонтичные рефлекторы с отражающей поверхностью из сетеполотна. С 2008 по 2011 г. в космос будут выведены 16 рефлекторов такого типа с диаметром апертуры до 22 м [1].
Крупногабаритный космический рефлектор относится к механическим системам с малым уровнем жесткости. Функционирование космического аппарата (КА)
вызывает изменяющееся во времени возмущение отражающей поверхности, к качеству которой предъявляются жесткие требования. Ее среднеквадратическое отклонение (СКО) не должно превышать 1/50 рабочей длины волны [2]. Вследствие
этого становится актуальной задача определения реакции крупногабаритного
рефлектора на различные динамические возмущения.
Динамике больших космических конструкций посвящено достаточно много
работ, например [3], [4], в которых содержится обширная библиография по этой
теме. Однако вопросы динамики свободно движущегося КА, имеющего в своем
составе деформируемый рефлектор и панели солнечных батарей, освещены в открытой литературе очень скудно. В этой связи следует упомянуть работу [5], в которой методом суперпозиции мод ставится задача о движении КА.
В настоящей работе численными методами исследовалась реакция зонтичного
рефлектора на возмущающие импульсы, приложенные к корпусу КА.
На рис. 1 показан общий вид и основные элементы конструкции рефлектора
зонтичного типа.
Рис. 1. Общий вид и основные элементы конструкции зонтичного рефлектора
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.П. Жуков
102
Общий вид рассматриваемого КА с рефлектором и панелями солнечных батарей показан на рис. 2. Видно, что конструкция симметрична.
Рефлектор имел следующие геометрические параметры. Диаметр апертуры
12 м. Силовой каркас состоял из 12 спиц.
Рис. 2. Общий вид рассматриваемой модели КА
Рассматривалось два варианта вантовой сети: арочный (рис. 3, а) и подкосный
(рис. 3, б).
а
б
Рис. 3. Вантовая сеть: а – арочный вариант; б – подкосный вариант
Рефлектор крепился к корпусу КА с помощью трубчатой штанги за ступицу
(рис. 4, а) либо за спицу (рис. 4, б).
а
б
Рис. 4. Схема крепления рефлектора: а – за ступицу; б – за спицу
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Реакция отражающей поверхности крупногабаритного рефлектора
103
Движение свободного КА описывается нестационарной системой уравнений
механики сплошных сред, которая учитывает геометрически нелинейный характер деформирования конструкции [6].
КА вместе с рефлектором и панелями солнечных батарей рассматривается как
область Ω, представляющая совокупность конечного числа подобластей
ωm, Ω = ∑ ωm [6]. Каждая подобласть ωm заполнена материалом с заданными фиm
зико-механическими свойствами. Тогда для элементарного объема с центром в
точке ⎯x∈Ω,⎯x=(x1,x2,x3), система уравнений движения записывается в виде [7]
ρm ui =
⎛
⎛
∂ui
⎜⎜ σkj ⎜⎜ δij +
∂
xj
⎝
⎝
⎞⎞
⎟⎟ ⎟⎟ ;
⎠⎠
(1)
1 ⎛ ∂ui ∂u j ∂uk ∂uk ⎞
+
+
⎜
⎟;
2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi ⎟⎠
(2)
Em
νm
(εij +
δij ε kk ) + σij0 ,
2(1 + ν m )
1 − 2ν m
(3)
εij =
σij =
∂
∂xk
где δij – символ Кронекера; ui, σij, σ0ij, εij – компоненты вектора перемещения, второго тензора напряжений Пиолы – Кирхгофа, тензора предварительных напряжений, тензора деформаций; ρm, Em, νm – плотность, модуль упругости и коэффициент Пуассона m-го материала.
Следует заметить, что закон Гука (3) записан для изотропного линейноупругого материала. В то же время сетеполотно обладает существенной ортотропией и нелинейной зависимостью σ(ε). Однако численными исследованиями показано [8], что в зонтичном рефлекторе условия нагружения сетеполотна таковы,
что без существенной погрешности можно использовать линейно-упругую модель
материала.
Система уравнений (1) – (3) дополняется начальными и граничными условиями. Граничные условия имеют вид
⎛
∂u
nk σkj ⎜ δij + i
⎜
∂x j
⎝
⎞
n
⎟⎟ = pi , x ∈ S ,
⎠
(4)
где S − граница Ω; pin − напряжение на границе, характеризуемой вектором нормали n .
Так как начальное напряженно-деформированное состояние рефлектора нельзя
найти из каких-либо очевидных соображений, то для его определения требуется
решение отдельной задачи. Решение этой задачи [6] эквивалентно выполнению
процедуры настройки рефлектора, когда ищется такое напряженно-деформированное состояние, при котором отражающая поверхность имеет минимальное
среднеквадратичное отклонение (СКО) от формы идеального параболоида.
Для определения спектра собственных частот и форм колебаний система уравнений (1) – (3) линеаризовалась в окрестности напряженно-деформированного состояния рефлектора, полученного после процедуры настройки [6].
Задачи настройки и динамики решаются методом конечных элементов [9], [10]
с использованием пакета программ ANSYS.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.П. Жуков
104
При проведении расчетов рассматривался КА со следующими распределением
массы и характеристиками жесткости: полная масса КА – 2900 кг; масса панелей
солнечных батарей – 130 кг; масса рефлектора – 70 кг; жесткость штанги на изгиб
(EJизг) – 2,56·104 Н/м2; жесткость штанги на кручение (ЕJкр) – 5,11·104 Н/м2; жесткость спиц и жесткость штанги одинаковы.
На рис. 5 показаны спектры собственных частот КА для различных вариантов
вантовой сети и способов крепления рефлектора.
f, Гц
спица , арки
10
спица , подкосы
ступица , арки
8
ступица , подкосы
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Nf
Рис. 5. Спектр собственных частот (Nf − номер частоты)
Вид спектральной зависимости в значительной степени зависит от конечноэлементного представления вантовой системы. Аппроксимация вант двумя или
более конечными элементами порождает большое количество близко расположенных частот, которые маскируют существенно важные формы колебаний. На
графиках колебания вантовой сети обычно начинаются с точки излома, как это
можно видеть на рис. 5 (арочная вантовая система).
В рассматриваемой конечно-элементной модели КА ванты аппроксимируются
одним элементом. Поэтому в рассчитанных спектрах рефлектора с подкосной
системой вант отсутствуют колебания, относящиеся собственно к вантам. Арки
аппроксимируются несколькими элементами (на единицу меньше, чем число
вант, относящихся к данной арке). В результате в соответствующих спектрах
имеются точки излома и частоты, относящиеся к колебаниям арочной вантовой
системы. Во всех случаях наименьшая собственная частота составила 0,08 Гц, что
соответствовало колебаниям панелей солнечных батарей. На рис. 5 видно, что начальные участки спектров, включающие около тридцати первых собственных
частот, практически совпадают. Собственные формы колебаний, относящиеся к
этим частотам, включают изгибные и крутильные колебания панелей солнечных
батарей, колебания (поступательные и вращательные) рефлектора на штанге.
Более высокие частоты в основном соответствуют колебаниям рефлектора как
конструкции, т.е. колеблются части и отдельные элементы рефлектора. Спектры,
соответствующие подкосной системе, близки к линейными, а влияние на них способа крепления рефлектора к КА (за ступицу или за спицу) оказалось несущественным.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Реакция отражающей поверхности крупногабаритного рефлектора
105
Для арочной вантовой системы заметно влияние способа крепления рефлектора. В окрестности точки излома собственные частоты, соответствующие креплению рефлектора за спицу, оказались приблизительно на 0,5 Гц ниже, чем при закреплении за ступицу. С увеличением номера частоты это различие уменьшается.
Для исследования реакции рефлектора на действие управляющего импульса
корпусу КА сообщался момент импульса Мp. Для этого прикладывался момент
сил Мf, действовавший в течение заданного промежутка времени ∆t:
⎧ M ( a ) , 0 ≤ t ≤ ∆t ,
(5)
M f (t ) = ⎨ f
0, t > ∆t.
⎩
Из (5) видно, что зависимость Мf(t) представляет прямоугольный импульс с
амплитудой M (fa ) и длительностью ∆t. Направление вектора Мf было перпендикулярно плоскости симметрии КА (рис. 2).
Связь между моментом импульса и моментом сил, с учетом (5), имеет вид
∆t
Mp =
(a)
∫ M f ⋅ dt =M f
⋅ ∆t .
(6)
0
Из выражения (6) по заданным значениям Мp и ∆t находится величина M (fa ) .
Реакция рефлектора на действие возмущения определяется по величине относительного СКО (СКОотн), которое равно отношению возмущенного СКО к величине СКО в равновесном состоянии.
Рассмотрим КА с рефлектором, закрепленным за ступицу, и арочной вантовой
системой. На рис. 6 показано изменение во времени СКОотн рефлектора при сообщении корпусу КА момента импульса Мp=1 кг⋅м2/с. Время действия импульса
∆t = 0,25 с, 2 с, 3 с.
СКОотн
∆t = 0,25 c
2c
3c
1,3
1,2
1,1
1
0
2
4
6
8
t, c
2
Рис. 6. Изменение СКОотн при действии Мp = 1 кг⋅м /с
После окончания действия возмущения сетеполотно свободно колеблется с
периодом 3,79 с (0,264 Гц). С увеличением продолжительности действия импульса амплитуда свободных колебаний падает. Одной из причин этого является
уменьшение величины действующего вращающего момента (6).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.П. Жуков
106
На рис. 7 показана соответствующая форма
колебаний. Она состоит из поворотов рефлектора относительно ступицы, поворотов корпуса КА, а также изгибных движений штанги.
Одной из особенностей свободных колебаний сетеполотна является различие в амплитудах двух соседних полупериодов (рис. 6). Если
считать, что первый полупериод имеет максимальную амплитуду, то амплитуда второго
оказывается несколько меньше.
На рис. 8 показано распределение отклонении сетеполотна от поверхности идеального
параболоида, соответствующее различным фазам колебания, при ∆t = 0,25 с. На этих рисунках верх рефлектора находится справа, а низ
слева.
Рис. 7. Форма колебаний КА
В первом полупериоде (рис. 8, а) нижняя
с частотой 0,264 Гц
часть сетеполотна смещается вниз на ≈
−0,74 мм, а верхняя вверх на ≈ 5,5 мм. Во втором полупериоде (рис. 8, в) все происходит наоборот: нижняя часть ≈ 4,3 мм; верхняя ≈ −1,9 мм.
а
б
в
Рис. 8. Колебание сетеполотна: а – первый полупериод, СКОотн − максимально;
б – СКОотн =1; в – максимум второго полупериода
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Реакция отражающей поверхности крупногабаритного рефлектора
107
Такой результат объясняется тем, что рефлектор является офсетным и зеркало
антенны является поверхностью переменной кривизны. В нижней части кривизна
больше, а в верхней меньше. Кроме этого, существует натяжение самого сетеполотна, фронтальной сети и вантовой системы. В результате там, где кривизна
больше, перемещение вниз затруднено, так как при этом увеличивается кривизна,
чему препятствует напряженные фронтальная сеть и сетеполотно. Перемещение
вверх ограничивает натянутая вантовая сеть. Там, где кривизна меньше, ограничивающие факторы действуют слабее. В пределе плоской поверхности сетеполотно должно колебаться симметрично.
Ранее уже упоминалось, что с увеличением ∆t амплитуда свободных колебаний сетеполотна уменьшается, отчасти объясняя это уменьшением величины Mf(a).
Еще один эффект, приводящий к уменьшению амплитуды колебаний, состоит в
следующем. В начальный момент в конструкции КА под действием возмущающего импульса возбуждаются колебания. Окончание действия импульса приводит к
возбуждению таких же колебаний, но обратного знака. Если разность фаз кратна
2π, то происходит гашение колебаний.
На рис. 9 показано изменение СКОотн во времени при Мp=1 кг⋅м2/с и ∆t=3,79 с,
равному периоду возбуждаемых колебаний. В этом случае колебания с частотой
0,264 Гц отсутствуют. Остаточные колебания относятся к другой моде, имеют
частоту 0,7 Гц и безразмерную амплитуду 5,4⋅10−4.
СКОотн
1,03
1,02
1,01
1
0,99
0
2
4
6
8
10
t, c
t, c
Рис. 9. Изменение СКОотн при действии Мp=1 кг⋅м2/с и ∆t=3,79 с
Расчеты показали, что динамика отражающей поверхности рефлектора с арочной вантовой системой и закреплением за ступицу качественно полностью переносится на конструкции с другими вариантами вантовой системы и способом
крепления к КА. В таблице приведены соответствующие частоты колебаний сетеполотна.
Частоты колебаний сетеполотна
Крепление за ступицу
арки
подкосы
0,264 Гц
0,264 Гц
Крепление за спицу
арки
подкосы
0,174 Гц
0,176 Гц
На рис. 10 представлен обобщенный график изменения величины амплитуды
колебаний СКОотн при свободных колебаниях в зависимости от длительности
возмущающего импульса, Мp=1 кг⋅м2/с. Увеличение ∆t приводит к уменьшению
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.П. Жуков
108
амплитуды СКОотн. Амплитуда равна 1, когда длительность импульса и период
колебаний становятся одинаковыми. Дальнейшее увеличение ∆t приводит к увеличению амплитуды. Но это повышение примерно в 15 раз меньше, чем при
∆t=0,25 с. Когда ∆t становится равным двум периодам колебаний амплитуда
СКОотн снова достигает минимума.
СКОотн
1,6
спица , арки
1,5
спица , подкосы
ступица , арки
1,4
ступица , подкосы
1,3
1,2
1,1
1
0
2
4
6
8
10
t, c
12
Рис. 10. Зависимость амплитуды колебаний СКОотн от длительности импульса ∆t,
Мp = 1 кг⋅м2/с
На рис. 11 представлены результаты расчетов максимальной амплитуды свободных колебаний СКОотн при различных величинах возмущающего импульса Мp.
Длительность импульса равнялась 0,25 с (рис. 11, а) и 3 с (рис. 11, б).
СКОотн
6
СКОотн
6
а
спица, арки
спица, подкосы
ступица, арки
ступица, подкосы
5
5
4
спица, арки
спица, подкосы
ступица, арки
ступица, подкосы
б
4
3
3
∆t = 0,25 c
2
1
∆t = 3 c
2
0
2
4
Мр, кг⋅м2/с
1
0
2
4
Мр, кг⋅м2/с
Рис. 11. Зависимость амплитуды колебаний СКОотн от величины импульса Мp
Полученные зависимости имеют нелинейный характер, особенно в интервале
0 < Мp < 1. При Мp > 1 нелинейность выражена слабо. Наибольшая величина
СКОотн достигается при закреплении рефлектора за спицу. Однако в этом случае
влияние типа вантовой системы незначительно. Крепление за ступицу наоборот
обеспечивает относительно меньший уровень СКОотн, но увеличивает различия,
обусловленные типом вантовой сети (рис. 11, а).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Реакция отражающей поверхности крупногабаритного рефлектора
109
Увеличение продолжительности импульса (∆t = 3 c, рис. 11, б) приводит к
уменьшению величины СКОотн и зависимости от типа вантовой сети.
Таким образом, проведен численный анализ динамики свободного КА с крупногабаритным зонтичным рефлектором при сообщении корпусу КА заданной величины момента импульса. Рассмотрены различные типы вантовой системы и
способы крепления рефлектора к КА. Полученные результаты позволяют сделать
следующие выводы:
- возмущающий импульс вызывает в сетеполотне свободные колебания одной
частоты (влияние других форм колебаний незначительно);
- изменение в широких пределах величины ∆t не меняет частоту колебаний сетеполотна;
- при заданном значении Мp увеличение ∆t приводит к уменьшению амплитуды колебаний сетеполотна;
- при ∆t, кратном периоду колебаний, происходит гашение свободных колебаний (СКОотн = 1);
- лучшие динамические характеристики обеспечивает рефлектор с арочной
вантовой сетью, закрепленный за ступицу.
ЛИТЕРАТУРА
1. Thomson M.W. Mechanical vs. inflatable deployable structures for large apertures or still no
simple answers // Large Space Apertures Workshop − California Institute of Technology,
Pasadena, California, November 10 – 11, 2008.
2. Meguro A., Harada S., Watanabe M. Key technologies for high-accuracy large mesh antenna
reflector // Acta Astronautica. 2003. V. 53. P. 899−908.
3. Баничук Н.В. и др. Механика больших космических конструкций. М.: Факториал, 1997.
4. Nurre G.S., Ryan R.S., Scofield H.N., Sims J.L. Dynamics and control of large space structures // J. Guidance, Control, and Dynamics. 1984. V. 7. No. 5. P. 514−526.
5. Клишев О.П., Халиманович В.И. Анализ упругих деформаций космического аппарата на
искажение формы отражающих поверхностей крупногабаритных элементов конструкции. // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им.
акад. М.Ф. Решетнева. 2008. Вып. 1 (18). C. 115−118.
6. Жуков А.П., Пономарев С.В. Оценка динамических характеристик космического аппарата. // Изв. вузов. Физика. 2010. № 12/2. C. 125−131.
7. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
8. Жуков А.П., Пономарев С.В. Оценка влияния физико-механических свойств сетеполотна на форму отражающей поверхности рефлектора зонтичного типа // Изв. вузов. Физика. 2010. № 12/2. С. 118−124.
9. Зенкевич О. Методы конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.
10. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М: Мир, 1976.
464с.
Статья поступила 20.10.2011 г.
Zhukov A.P. RESPONSE OF THE REFLECTIVE SURFACE OF A LARGE SPACE REFLECTOR TO ACTION OF A DISTURBING PULSE. A freely moving spacecraft with a large umbrella reflector is considered. Reaction of the reflecting surface of the reflector to action of an impulsive disturbance is numerically investigated. Various features of the design are considered.
Keywords: dynamics, large space reflector, spacecraft, eigenfrequency.
ZHUKOV Andrey Petrovich (Tomsk State University)
E-mail: psvh@psy.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 539.3:621.396.67
С.В. Пономарев
ТРАНСФОРМИРУЕМЫЕ РЕФЛЕКТОРЫ АНТЕНН
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
В статье приводится обзор результатов численного моделирования рефлекторов параболических антенн зонтичного, ободного и надувного типов.
Ключевые слова: компьютерное моделирование, напряженно-деформированное состояние, зонтичный, ободный, надувной рефлектор, диаграмма
направленности.
Для современной спутниковой связи требуются крупногабаритные антенны с
высокой точностью формы отражающей поверхности рефлектора. Компьютерное
моделирование является важным инструментом при создании и проектировании
спутниковых систем, так как экспериментальная отработка таких конструкций
требует больших временных и материальных затрат. Актуальность работы вызвана необходимостью прогнозирования механического поведения рефлектора и соответственно радиотехнических параметров антенн. На рис. 1 приведены изображения этих рефлекторов как антенн космических аппаратов (КА).
Рис. 1
Классификация развертываемых антенн и вопросы расчета характеристик излучения зеркальных антенн зонтичного типа приведены в работе М.В. Гряника и
В.И. Ломана [1]. В диссертации Г. Тиберта [2] рассмотрены варианты конструкции крупногабаритных космических рефлекторов. Методы численного моделирования напряженно-деформированного состояния мембранных конструкций, в том
числе и рефлекторов зонтичного типа, рассмотрены в [3] и некоторых других
публикациях.
Параболический рефлектор зонтичного типа показан на рис. 2. Силовая схема
представляет собой конструкцию, состоящую из параболических спиц, которые определяют форму отражающей поверхности (ОП) из металлического сетеполотна.
В [4] для получения численного решения задачи о напряженно-деформированном состоянии (НДС) рефлектора использовался метод конечных элементов, реализованный в программном комплексе ANSYS.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Трансформируемые рефлекторы антенн космических аппаратов
111
Рис. 2. Рефлектор для спутника «Луч» ОАО «ИСС» им. академика М.Ф. Решетнева
Начальная форма спиц и сетеполотна соответствовали теоретическому параболоиду. Закрепление рефлектора осуществлялось в точках крепления силовых спиц к
ступице. Максимальные расчетные отклонения точек ОП от их проектного положения на идеальном параболоиде составили около 0,7 мм. Натяжение сетеполотна по
результатам расчетов, за исключение края, соответствовало номинальному. При
этом среднеквадратичное отклонение (СКО) поверхности составило 0,56 мм.
Использование трикотажного металлического сетеполотна для ОП трансформируемых космических антенн позволяет получить улучшенные удельные массовые
характеристики для рефлекторов. Однако при этом появляется зависимость коэффициента отражения от напряженного состояния сетеполотна. Таким образом, возникает необходимость совместного моделировании НДС и радиотехнических характеристик рефлектора. Варианты методик расчета радиотехнических характеристик крупногабаритных рефлекторов рассматривались в работах М.В. Гряника [1]
J. Ruze [5], M.W. Thomson [6]. Однако учет искажений отражающей поверхности
производился на основе экспериментальных измерений. Кроме этого, не учитывалось влияние величины натяжения сетеполотна на коэффициент отражения.
Определение основных радиотехнических характеристик антенн связано с получением выражения для электромагнитного поля в дальней зоне, когда источниками поля являются заданные сторонние токи j на ОП рефлектора. Токовый метод определения направленных свойств параболической антенны базируется на
распределении поверхностных токов на внутренней поверхности зеркала. Вектор
плотности тока с учетом коэффициента отражения в данной точке поверхности
зеркала можно определить с учетом ориентации векторов H в падающей и отраженной волнах по формуле
js = 2[n0H]R(σ),
где js – вектор плотности поверхностного тока в данной точке ОП; Н – вектор напряженности магнитного поля, создаваемого падающей волной облучателя в данной точке ОП; n0 – орт нормали к поверхности в этой же точке; R(σ) – коэффициент отражения, зависящий от механического напряжения σ, реализующегося в ОП
из сетеполотна.
Полученная в результате моделирования равновесная форма ОП рефлектора
использована для расчетов методом моментов диаграмм направленности косми-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
112
С.В. Пономарев
ческого рефлектора. Расчет проводился с помощью программного пакета для
3D-электромагнитного моделирования – FEKO [7]. В качестве облучателя рефлектора использовался рупор, который располагался в фокусе рефлектора, работавший на частоте 2 ГГц. При вычислении ДН, в качестве облучателя задавалась
эквивалентная ДН рупора, полученная при эксперименте. Отклонения расчетной
ДН от экспериментальной ДН составляет не более 10 %.
В настоящее время на телекоммуникационных спутниках широко используются многолучевые зеркальные антенны с вынесенной облучающей системой с развертываемым крупногабаритным рефлектором. Примером такого рефлектора является конструкция, показанная на рис. 3 [8]. Результаты расчета НДС такого
рефлектора рассмотрены в [4]. При вычислении ДН рефлектора, в качестве облучателя задавалась эквивалентная ДН облучающей системы. Рабочая частота облучателя равнялась 8 ГГц. На рис. 4 представлены ДН для расчетной равновесной
формы рефлектора с учетом СКО.
4
3
2
Рис. 3. Общий вид развертываемого рефлектора антенны космического аппарата
1
Рис. 4. Диаграмма направленности рефлектора, нормированный масштаб (1 – идеальный
параболоид; 2 – СКО = 0,5 мм; 3 – СКО = 2 мм;
4 – СКО = 6,5 мм)
В результате вычислений можно сделать вывод, что при увеличении СКО ДН
отличается от идеальной диаграммы. При этом возрастают боковые лепестки,
смещается главный лепесток и падает коэффициент усиления антенны.
На рис. 5 показана модель рефлектора с уменьшенным количеством спиц силового скелета. Треугольный фасет фронтальной сети имел размер 1,6 метра.
Рис. 5. Элементы конструкции зонтичного рефлектора
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Трансформируемые рефлекторы антенн космических аппаратов
113
При получении численного решения все элементы вантово-стержневой конструкции, кроме ОП, сначала считались закрепленными. В конечном счете, закрепление оставалось лишь в точках крепления силовых спиц к ступице. Напряженным элементам конструкции задавались соответствующие начальные напряжения. С учетом закреплений находилось равновесное НДС конструкции. На рис. 6
и 7 представлены результаты численного решения. При этом СКО составило
6,07 мм. На рис. 7 представлены напряжения, реализующиеся в сетеполотне. Видно, что за исключением краевых зон напряжения отклоняются от заданных не более чем на 10 %.
Рис. 6. Отклонения ОП по оси Z от параболоида, м
Рис. 7. Интенсивность напряжений ОП, Па
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.В. Пономарев
114
При вычислении ДН рефлектора в качестве облучателя задавалась эквивалентная ДН облучающей системы. Рабочая частота облучателя равнялась 3,1 ГГц.
На рис. 8 показана расчетная ДН рефлектора. Коэффициент усиления составил
57 дБ.
дБ
50
40
30
20
10
–0,4
–0,2
0
0,2
град
Рис. 8. ДН рефлектора
Результаты численного моделирования показывают, что зонтичная схема
трансформации позволяет с достаточной точностью создать ОП до размеров в несколько десятков метров. Высокая надежность раскрытия делает зонтичные рефлекторы часто используемыми для параболических антенн КА. Однако увеличение габаритов приводит к возрастанию массы рефлектора приблизительно по линейному закону.
Ободные рефлекторы
Основным конструктивными элементами ободных космических рефлекторов
является ферменный обод, обеспечивающий заданный профиль ДН и ориентацию
рефлектора, фронтальная и тыльная сети, ОП, а также вантовая система. Ферменный обод представляет собой стержневую конструкцию, собранную из жестких углепластиковых элементов. Основные требования к конструкциям рефлекторов заключаются в высокой точности формы ОП и наведения, высокой температурной стабильности и радиоотражающей способности антенных систем.
При численном моделирования НДС рефлектора [9], кроме состояния в невесомости, рассмотрены положения у поверхности Земли «чашей вниз» и «чашей
вверх». Граничные условия соответствовали полному закреплению ободной конструкции в узлах связи со штангой от КА. Объемная нагрузка соответствовала ускорению свободного падения у поверхности Земли. В плоскости раскрыва рефлектора
задавались начальные напряжения ОП, соответствующие рабочим натяжениям сетеполотна. В качестве обобщенной меры отклонения ОП рефлектора в равновесном
состоянии использовалось СКО полученной расчетной поверхности в узлах конечно элементной сетки от поверхности соответствующего параболоида.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Трансформируемые рефлекторы антенн космических аппаратов
Рис. 9. КЭМ ободного рефлектора
115
Рис. 10 . Диаграммы направленности для идеальной параболической поверхности (–––) и
расчетной равновесной формы отражающей
рефлектора (----)
Распределения перемещений в направлении, перпендикулярном плоскости
раскрыва, показали, что ОП рефлектора в положении «чашей вверх» имеет СКО
меньше, чем в положении «чаша вниз». Полученные результаты хорошо согласуются с результатами [10].
Рис. 11. Отклонения ОП в мм от идеального параболоида
после определения ее начальной геометрии
На рис. 10 приведены ДН для идеального параболоида и отражающей поверхности с расчетной равновесной формой для ободного рефлектора. Граничные условия соответствовали закреплению рефлектора в точках соединения со штангой
от КА. Нагружение конструкции производилось неравномерным температурным
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
116
С.В. Пономарев
полем, которое имеет место при функционировании на орбите Земли из-за неодинаковой освещенности элементов конструкции Солнцем, что привело к соответствующему деформированию ОП рефлектора и изменению положения оси рефлектора. Вследствие этого, во-первых, уменьшился главный лепесток, во-вторых,
смещена вся диаграмма и, в-третьих, имеются изменения боковых лепестков. Эти
результаты качественно соответствуют результатам [1]. В полученных результатах ширина ДН антенны равна 1,8°, коэффициент усиления равен 30 дБ при частоте 1 ГГц. При этом наибольшие отклонения отражающей поверхности от идеального параболоида достигали 2,0 мм.
а
б
Рис. 12. Разница положений точек ОП в мм между положениями в невесомости
и «чаша вниз» – шкала a, и невесомости и «чаша вверх» – шкала б
Ободная концепция трансформируемых рефлекторов позволяет обеспечить
малую удельную массу конструкции, стабильность при повторных раскрытиях и
возможность эффективного использования натяжителей вантовых элементов для
регулировки формы ОП.
Надувные рефлекторы
Надувная антенна производится из тонкого прочного материала, который перед запуском сворачивается, а после запуска раскрывается за счет надувания.
Рефлектор такой антенны напоминает круглую параболоидальную подушку с
прозрачной передней поверхностью и отражающей тыльной [2, 11]. По краю она
подкрепляется надувным торусом, как показано на крайней правой конструкции
рис. 1.
Основным из преимуществ надувных конструкций является малый объем в
транспортировочном положении. Надувная антенна в сложенном состоянии имеет
самый небольшой размер и потенциально самую небольшую массу, что очень актуально при переходе к большим диаметрам космических конструкций. Конст-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Трансформируемые рефлекторы антенн космических аппаратов
117
рукция может быть ужесточена за счет пропитывания мембранного материала канифолью, которая при высоких температурах или под влиянием солнечных ультрафиолетовых лучей медленно затвердевает. Надувные антенны способны работать на частотах до 10 ГГц и выше при больших габаритах. Достижимая точность
ОП также превышает значения, которые способны обеспечить другие типы рефлекторов, особенно при больших размерах конструкций. Также несомненным
достоинством является то, что в поле сил тяжести у поверхности Земли доступен
процесс обезвешивания надувной конструкции с помощью использования более
легкого, чем воздух, газа. Об этом пишет Тиберт в своей диссертации [2] и к такому же результату приводит моделирование надувной конструкции в поле сил
тяжести.
Однако имеются технологические проблемы изготовления надувного рефлектора. Трудность заключается в том, что требуется создать такую поверхность, которая при наполнении газом приняла бы форму, обеспечивающую требуемое значение СКО. Численное моделирование позволяет подобрать начальную форму и
соответствующие выкройки ОП, которые при надувании рефлектора позволяют
получить ОП с требуемыми радиотехническими характеристиками. На рис. 11
отображены отклонения точек отражающей поверхности от идеального параболоида с СКО 3,5 мм после численного моделирования для крупногабаритного
рефлектора [12]. Центральная область ОП имеет отклонения порядка 1 мм, но
ближе к краю купола картина несколько ухудшается, что возможно связано с кривизной поверхности офсетного параболоида.
Численный анализ формы ОП в поле силы тяжести у поверхности Земли для
двух положений «чаша вверх» и «чаша вниз», что показано на рис. 12, позволил
выяснить, что разница положений ее точек между состоянием в невесомости и
положениями «чаша вверх» и «чаша вниз» совпадает с точностью до третьего
знака после запятой. Расхождение составляет менее двух процентов, что может
быть объяснено кривизной поверхности. Это позволяет упростить технологию отработки надувных рефлекторов на Земле.
Перепад температур в космосе оказывает большое влияние на точность ОП изза того, что газ, которым наполнена конструкция, может сжиматься или расширяться, что в свою очередь приводит к изменению величины перепада давления.
Оценка температурного влияния показала, что из трех факторов температурного
воздействия, таких, как зависимость модуля упругости от температуры, коэффициент температурного расширения материала и изменение перепада давления в
куполе и вне него в результате нагрева или охлаждения газа, наиболее значимыми
являются последние два. Они больше всего влияют на НДС рефлектора и сильнее
всего искажают ОП, а искажение ОП в результате зависимости модуля упругости
материала от температуры очень мало. Сравнительные данные для положения
купола надувного рефлектора относительно Солнца по влиянию тепловых факторов на СКО ОП приводятся в таблице.
Фактор
Зависимость модуля упругости материала ОП
от температуры
Коэффициент температурного расширения ОП
Изменение давления в куполе рефлектора
СКО без
учета влияния
температуры, мм
СКО после
учета влияния
температуры, мм
3,609
3,781
3,609
3,609
11,124
14,425
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
118
С.В. Пономарев
Анализ полученных результатов приводит к выводу о том, что необходимо
учитывать факторы температурного воздействия на надувные рефлекторы теплового излучения Солнца на орбитах Земли при подборе материалов для его изготовления, а также его теплоизоляции.
Следует отметить, что надувные рефлекторы могут иметь наименьшая удельную массу из всех рассмотренных при больших габаритах с высокоточной формой ОП. У надувных конструкций высокая степень надежности раскрытия из-за
простоты принципа и небольшого количества режимов отказа. Однако отсутствие
долговечных твердеющих в условиях околоземного космоса материалов для надувных элементов сдерживает использование надувных рефлекторов для антенн
КА.
Заключение
На основе подходов механики деформируемого твердого тела и радиофизики
реализована комплексная методика компьютерного моделирования перспективных трансформируемых космических рефлекторов, позволяющая более точно
учитывать форму и напряженность ОП, сократить объем экспериментальных работ при создании оптимальных конструкций рефлекторов по заданным ДН и прогнозировать эффективность функционирования рефлекторов с КА на околоземных орбитах.
Результаты численного моделирования показывают, что рассмотренные типы
конструкций рефлекторов не потеряли своей перспективности вследствие возможностей хорошей трансформации, надежности в раскрытии, малого веса и достаточной точности по созданию параболической формы ОП. Учитывая особенности каждой из рассмотренных конструкций, при возникновении конкретной задачи, можно указать наиболее подходящую конструкцию из рассмотренных для
практической реализации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гряник М.В., Ломан В.И. Развертываемые зеркальные антенны зонтичного типа. М.:
Радио и связь, 1987. 72 с.
2. Tibert G.A. Deployable Tensegrity Structures for Space Applications: PhD thesis. Stockholm,
2002. 220 p.
3. Бельков А.В., Бутов В.Г., Евдокимов А.С. и др. Компьютерное моделирование трансформируемых космических рефлекторов // Вестник КазНУ им. Аль-Фараби. Сер. Математика, механика, информатика. 2008. № 3(58). С. 284−293.
4. Евдокимов А.С., Буянов Ю.И., Пономарев С.В. и др. Совместный расчет механических
и электродинамических характеристик зонтичных рефлекторов // Вестник Сибирского
государственного аэрокосмического университета им. ак. М.Ф. Решетнева. 2010.
№ 2(28). С. 11−14.
5. Ruze J. Antenna Tolerance Theory – A Review // Proc. IEEE. 1966. April. V. 54.
P. 633−640.
6. Thomson M.W. Astromesh deployable reflectors for Ku- and Ka-band commercial satellites //
AIAA-2002-2032.
7. FEKO User’s Manual Suite 4.2., 2004.
8. Пат. 2350519 Российская Федерация, МПК B 64 G 1/22, H 01 Q 15/16. Развертываемый
крупногабаритный рефлектор космического рефлектора / Н.А. Тестоедов, В.И. Халиманович и др.; заявитель и патентообладатель ОАО «Информационные спутниковые
системы» имени академика М.Ф. Решетнева. № 2007122219/11; заявл. 13.06.2007;
опубл. 27.03.2009, Бюл. № 9. 19 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Трансформируемые рефлекторы антенн космических аппаратов
119
9. Евдокимов А.С., Пономарев С.В. Компьютерное моделирование механических и радиотехнических характеристик крупногабаритных космических рефлекторов // Вестник
НГУ. Сер. Физика. 2007. Т. 2. Вып. 3. С. 81−86.
10. Усманов Д.Б. Моделирование напряженно-деформированного состояния крупногабаритного трансформируемого рефлектора: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Томск, 2006.
179 с.
11. Freeland R.E., Veal G.R. Significance of the inflatable antenna experiment technology //
AIAA 98–2104. P. 8.
12. Бельков А.В., Величко А.И., Пономарев С.В., Солоненко В.А. Моделирование надувного
космического рефлектора // Вестник СибГАУ им. акад. М.Ф. Решетнева. Вып. 3(29).
С. 115−118.
Статья поступила 19.10.2011 г.
Ponomarev S. V. TRANSFORMABLE REFLECTORS OF SPACECRAFT ANTENNAS. A review of the results on numerical simulation of umbrella-type, perimeter truss, and inflatable reflectors of parabolic antennas is presented.
Keywords: numerical simulation, stress-strain state, umbrella-type reflector, ring-type reflector,
inflatable reflector, directional diagram.
PONOMAREV Sergei Vasil’evich (Tomsk State University)
E-mail: psv@niipmm.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
МЕМУАРЫ, ПАМЯТНЫЕ ДАТЫ, ПЕРСОНАЛИИ
УДК 521.534
А.М. Гришин
АКАДЕМИК Н.Н. ЯНЕНКО И ЕГО ВЛИЯНИЕ
НА СОЗДАНИЕ ВЕДУЩЕЙ НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ
«СОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РЕАГИРУЮЩИХ
МНОГОФАЗНЫХ СРЕД, ИНФОРМАТИКИ И ЭКОЛОГИИ»
ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
В работах [1, 2] дается информация о жизни и научно-образовательной деятельности академика АН СССР, профессора, доктора физико-математических наук директора Института теоретической и прикладной механики АН
СО РАН Николая Николаевича Яненко. В данной статье дается краткий обзор жизни и деятельности выпускника механико-математического факультета (ММФ) Томского государственного университета (ТГУ) академика АН
СССР Яненко Николая Николаевича. Особое внимание уделено его влиянию
на создание и развитие кафедры физической и вычислительной механики
ММФ ТГУ и упомянутой выше научно-педагогической школы.
Ключевые слова: механика, вычислительная математика, математическое моделирование.
Основные факты из биографии Н.Н. Яненко
Николай Николаевич Яненко родился 22 мая 1921 года в городе Каинске (ныне
город Куйбышев) Новосибирской области. После окончания школы в 1939 году
поступил на физико-математический факультет ТГУ, который закончил в 1942 году, в разгар Великой Отечественной войны. Вот что говорил профессор ММФ
Захар Иванович Клементьев, преподававший в то время математический анализ:
«Николай Яненко был идеальным студентом – это я могу сказать как преподаватель весьма ответственно. О таких студентах учителя могут только мечтать. Всегда все знал. Всегда отвечал очень толково, глубоко излагал материал, на любой
дополнительный вопрос мог ответить. Но блестящим студентом я бы его не назвал. Это слово к нему совершенно не подходит, он был очень скромен». Рабочий
день студента Коли Яненко начинался в 07.00 утра и заканчивался в 01.00 ночи.
Студенты, с которыми он учился в то время – Л.И. Васильев и В.Н. Суслова, – отмечали его особую отрешенность. Сокурсница В.Н. Суслова утверждает: «В учебе
он был одним из самых сильных, но в остальном он перед нами никак не раскрывался. Он на “отлично” осваивал все физико-математические дисциплины, что,
прежде всего, объясняется его большими способностями к точным наукам. В то
же время, он в совершенстве овладел немецким языком, освоил французский и
английский языки, что, прежде всего, объясняется его огромным трудолюбием.
Возможно, именно отсутствие материальной поддержки от семьи, бедность и постоянное чувство голода были причиной некоторой замкнутости и обособленно-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Академик Н.Н. Яненко и его влияние на создание ведущей научно-педагогической школы 121
сти Николая Николаевича от других студентов. Ему необходимо было концентрировать все физические и духовные силы для приобретения знаний. В военную зиму 1941 – 1942 года у Н.Н. Яненко от недоедания и переутомления отказало зрение – началась куриная слепота, в результате действия которой он мог видеть
только при полном свете. В это время ему помог брат Шура, приехавший в отпуск
на неделю из армии, который кормил его в офицерской столовой.
Летом 1942 года Н.Н. Яненко с отличием заканчивает обучение в ТГУ и получает специальность «учитель математики». Однако работать по специальности не
пришлось. Уже в октябре 1942 года он в составе одной из частей Второй ударной
армии едет на фронт. Знание немецкого языка позволило ему служить в качестве
переводчика на различных фронтах, а затем – в качестве специалиста по контрпропаганде. Основным оружием Н.Н. Яненко были конкретные слова немецким
солдатам в жестяной рупор, с помощью которого он из нейтральной полосы доводил правдивую информацию до их сознания.
В московский и уральский периоды жизни Н.Н. Яненко сразу после защиты
кандидатской, а затем и докторской диссертации все свое время он отдает решению задач по созданию ядерного щита нашей Родины. Поэтому в этот период связи с ТГУ были ограничены отсутствием времени и режимом работы, но известно,
что он был в Томске в январе 1956 года, когда приезжал принимать на работу в
свою организацию выпускников ТГУ. После его переезда в г. Новосибирск эти
связи были восстановлены в полном объеме. Уже в 1964 году он участвовал с
докладом «О слабой аппроксимации систем дифференцированных уравнений» в
работе 3-й Сибирской конференции по математике и механике. Им в 60-е годы
была создана система подготовки кадров для ВЦ СО АН СССР на ММФ ТГУ, в
соответствии с которой первые три курса студенты ММФ учились в ТГУ, а затем
проходили специализацию и заканчивали образование в Новосибирском государственном университете. Значительная помощь академику АН СССР Н.Н. Яненко
в этой работе была оказана доцентом механико-математического факультета ТГУ
Б.Г. Кузнецовым, который переехал в новосибирский Академгородок и стал работать под научным руководством Н.Н. Яненко.
Н.Н. Яненко и его влияние на создание кафедры физической
и вычислительной механики
Я лично познакомился с Николаем Николаевичем в 1971 году, когда мы оба
были назначены оппонентами кандидатской диссертации Александра Дмитриевича Рычкова, который в то время работал в НИИ ПММ старшим научным сотрудником, а Н.Н. Яненко возглавлял один из отделов Вычислительного центра Сибирского отделения АН СССР. Я рассказал ему о тематике научных исследований
сектора аэротермохимии НИИ ПММ при ТГУ и о трудностях с машинным временем при математическом моделировании задач аэротермохимии. После этого
группе сотрудников сектора аэротермохимии НИИ ПММ при ТГУ, а также некоторым моим дипломникам была предоставлена возможность проводить расчеты
на современных ЭВМ, которыми располагал ВЦ СО АН СССР в то время. В дальнейшем, уже после подготовки мною докторской диссертации на тему «Математическое моделирование некоторых нестационарных аэротермохимических явлений» в 1973 году возникла проблема апробации представленных в ней результатов. Такая возможность немедленно была предоставлена мне Н.Н. Яненко, который предложил мне выступить на его научном семинаре. Как уже было отмечено
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
122
А.М. Гришин
ранее, я докладывал свою работу по частям на трех заседаниях семинара, подробно обосновывая все основные результаты. Предварительно текст моей работы был
отдан на рецензию известным ученым – Б.Г. Кузнецову и В.М. Фомину. Несмотря
на шумное обсуждение (вопросы задавались по ходу изложения) и ряд критических замечаний, мою диссертацию было рекомендовано представить в ученый совет для ее защиты, а сам Николай Николаевич согласился выступить в качестве
официального оппонента. Основные результаты: новый итерационно-интерполяционный метод решения задач математической физики, теоретические и численные результаты исследования термокинетических колебаний полей температуры
и концентраций при решении ряда задач теории горения было предложено оформить в виде статей для представления академиком Н.Н. Яненко в журнал «Доклады АН СССР». Эти работы были подготовлены мною и опубликованы в ДАН
СССР. Было одобрено и основное направление диссертационного исследования –
разработка математических моделей и методов решения так называемых сопряженных задач механики реагирующих сред, когда для решения задач одновременно используются несколько моделей механики реагирующей сплошной среды.
Надо сказать, что в 1973 году проводилась реформа Высшей аттестационной
комиссии при Совете Министров СССР, в результате которой докторская степень
могла быть присвоена только за результаты, представляющие в своей совокупности новое научное направление. Понятно, что та оценка, которую получила моя
работа в стенах ВЦ СО АН СССР, в буквальном смысле окрылила меня и я, несмотря на нервную обстановку вокруг вопроса о защитах вообще и моей работы в
частности, успешно защитил эту работу в соответствующем специализированном
совете ТГУ в 1974 году. Одним из оппонентов был Н.Н. Яненко.
Начиная с 1973 года все наиболее принципиальные научные результаты, полученные сначала в секторе аэротермохимии, затем в лаборатории аэротермохимии
Научно-исследовательского института прикладной математики и механики при
Томском государственном университете и на кафедре физической механики, докладывались на семинарах Н.Н. Яненко. Был организован сначала Всероссийский,
а затем Всесоюзный семинар по сопряженным задачам механики реагирующих
сред. Конечно же, как уже отмечалось, участие академика АН СССР Н.Н. Яненко
сказывалось на научном уровне семинара. Его доброжелательная критика, свободный обмен мнениями способствовали профессиональному росту научной молодежи, а отношение академика АН СССР Н.Н. Яненко к научной работе, его общая культура и в то же время доступность и отсутствие академического барьера в
общении с молодыми коллегами имели огромное образовательное и воспитательное значение. Большое внимание академик Н.Н. Яненко уделял повышению вычислительной культуры в Томском государственном университете, куда он часто
приезжал после того, как стал работать в Сибирском отделении Российской академии наук (в то время АН СССР). Без всякого преувеличения можно сказать, что
без знания и активного использования метода дробных шагов Н.Н. Яненко не
удалось бы получить ряд новых численных результатов по различным разделам
механики сплошных сред, которые составляли предмет гордости преподавателей
ММФ ТГУ и сотрудников НИИ ПММ при ТГУ. Это была реальная помощь в развитии одного из направлений по математике и механике в ТГУ. Насколько мне
известно, академик АН СССР Н.Н. Яненко сотрудничал со всеми в ТГУ, кто действительно занимался наукой и стремился к сотрудничеству независимо от возраста и положения. Например, благодаря его научной поддержке как редактора в
Новосибирске в издательстве «Наука» СО РАН, была выпущена в 1980 году книга
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Академик Н.Н. Яненко и его влияние на создание ведущей научно-педагогической школы 123
доцента Е.Д. Томилова «Струйные дозвуковые плоские движения газа», который
был одним из учителей Н.Н. Яненко, а четыре года спустя под его редакцией вышла книга A.M. Гришина и В.М. Фомина «Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред» (Новосибирск: Наука, 1984, 318 с.).
Академик Н.Н. Яненко был научным руководителем кандидатской диссертации ст.н.с. НИИ ПММ В.А. Коробицына, по результатам которой в 1981 году была опубликована статья в ДАН СССР [1]. Н.Н. Яненко в качестве председателя
ученого совета по присуждению ученых степеней кандидатов наук по механике
жидкости, газа и плазмы без всякой очереди проводил апробации и защиты диссертаций, выполненных сотрудниками ТГУ. Именно на этом совете в 1978 году
была защищена кандидатская диссертация старшим преподавателем ММФ ТГУ
моим учеником Агранатом Владимиром Михайловичем. Большое влияние на развитие математики и механики в ТГУ академик Н.Н. Яненко оказал в качестве
главного редактора сборника «Численные методы механики сплошных сред», который издавался сначала в ВЦ СО АН СССР, а затем в ИТПМ СО АН СССР. Как
правило, работы томичей после внимательного прослушивания на научном семинаре, организованном Н.Н. Яненко, после исправлений и уточнений текста статьи,
если это было необходимо, всегда оперативно публиковались в этом сборнике.
Академиком Н.Н. Яненко была оказана огромная научно-организационная помощь в решении проблем механико-математического факультета в целом в период с 1977 по 1984 год. Надо сказать, что в 1977 году, когда я был избран по предложению ректора ТГУ А.П. Бычкова деканом ММФ, на этом факультете работали, включая меня, всего два доктора физико-математических наук. В условиях,
когда прикладные исследования в НИИ ПММ при ТГУ бурно развивались, фундаментальные исследования по математике и механике почти не финансировались. Это неблагоприятно сказывалось на развитии фундаментальных исследований и на подготовке студентов и аспирантов на ММФ.
Николай Николаевич понимал недостаточность такого одностороннего развития механико-математического факультета и предпринял серьезные усилия по исправлению этого положения. Благодаря его влиянию, при поддержке ректората,
на механико-математическом факультете ТГУ в 1977 году была создана кафедра
физической механики, основное научное направление которой – теоретическое и
экспериментальное исследование сложных сопряженных задач механики реагирующих сред и подготовка кадров, способных развивать это научное направление. В 1981 году был создан отдел механики реагирующих сред в Научноисследовательском институте прикладной математики и механики при ТГУ.
Руководителем этих структурных подразделений был назначен автор этой статьи.
В этих структурных подразделениях с момента их рождения работали как выпускники механико-математического факультета ТГУ (в основном теоретики), так и
выпускники физико-технического факультета ТГУ (в основном экспериментаторы). В дальнейшем академиком Н.Н. Яненко была оказана поддержка в создании
кафедры физической математики в 1977 году. Позднее им была рассмотрена
структура отдела механики реагирующих сред, после чего Николаем Николаевичем было предложено создать лабораторию вычислительной математики в составе этого отдела. Кроме того, в НИИ ПММ был создан отдел математики, который,
несмотря на свою малочисленность, сыграл значительную роль в сохранении и
развитии математической культуры в ТГУ. Долгое время научным руководителем
этого отдела был заслуженный деятель науки РСФСР, профессор, доктор физикоматематических наук Р.Н. Щербаков.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
124
А.М. Гришин
Николай Николаевич Яненко прежде всего был выдающимся математиком.
Сущность любой задачи механики сплошных сред или физики он понимал посредством анализа математической модели рассматриваемого явления. В то же
время он твердо знал, что первоисточником знаний в механике является эксперимент, и поэтому он как директор Института теоретической и прикладной механики (ИТПМ) СО АН СССР в 1977 году разрешил бесплатно использовать самые
современные дозвуковые и сверхзвуковые аэродинамические трубы ИТПМ для
проведения лабораторного практикума по курсу «Аэродинамика больших скоростей» для студентов ММФ. В дальнейшем по его распоряжению этим институтом
бесплатно был передан кафедре физической механики комплект конструкторской
документации для изготовления дозвуковой малотурбулентной аэродинамической
трубы Т-124, которая затем была изготовлена в Новосибирске в 1979 году и до
сих пор используется в учебном процессе на ММФ ТГУ.
Николай Николаевич Яненко высоко ценил кадры преподавателей Томского
государственного университета. По моей просьбе (я в это время был деканом
ММФ) и при его поддержке ВАК СССР в порядке исключения присвоил ученое
звание профессоров доценту, кандидату физико-математических наук З.И. Клементьеву и доценту, кандидату физико-математических наук М.Р. Куваеву.
Активное участие академик АН СССР Н.Н. Яненко принял в отмечавшемся в
1980 году столетии со дня основания Томского государственного университета,
празднование которого проходило с 10 по 14 декабря 1980 года.
В настоящее время тематика по математическому и физическому моделированию сопряженных задач механики реагирующих сред продолжает развиваться на
кафедре физической и вычислительной механики механико-математического факультета и в Научно-образовательном инновационном центре Томского государственного университета «Моделирование и прогноз катастроф».
Некоторые грани личности академика Н.Н. Яненко
Известно, что для того, чтобы понять сущность личности любого человека, надо, как говорится, с ним вместе пуд соли съесть. Мое общение с Николаем Николаевичем не было столь продолжительным, у нас не было общего «пуда соли», но
многое удалось понять и увидеть и за тот период времени, в течение которого мы
с ним активно общались (1975 – 1984 годы).
Главной особенностью Николая Николаевича было его огромное трудолюбие.
По своей способности плодотворно трудиться он, бесспорно, превосходил всех,
кто его окружал в упомянутое выше время. Ранее уже говорилось о длительности
рабочего дня студента Н.Н. Яненко. Этот режим работы он сохранил на всю
жизнь. Мне приходилось видеть это как на всесоюзных семинарах, которыми он
руководил в различных городах Союза ССР, так и в обычной рабочей обстановке
во время моих командировок в г. Новосибирск.
По образу жизни, Н.Н. Яненко был «трудоголиком». В то же время он не был
угрюмым отшельником. В часы досуга он увлеченно играл в шахматы и даже, как
мне говорили, в футбол (сам я только видел, как он в Томске открывал матч между участниками семинара по численным методам механики вязкой жидкости –
томичами и гостями из других городов). Николай Николаевич был азартным человеком, но он не распылялся, и целью его жизни была активная научная деятельность. Надо сказать, что он предпочитал заниматься решением трудных научных проблем, требующих предельного напряжения физических и интеллектуаль-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Академик Н.Н. Яненко и его влияние на создание ведущей научно-педагогической школы 125
ных возможностей. По-моему, Николай Николаевич получал огромное удовлетворение от творческой научно-исследовательской работы, и это было главным
стимулом его жизни.
Другой причиной его творческой активности была любовь Николая Николаевича к Родине. Родина не была для него абстрактным понятием и прежде всего, на
мой взгляд, ассоциировалась с Сибирью, где он родился и вырос, с Томским государственным университетом, где он учился, с Москвой, где он закончил аспирантуру и некоторое время работал, с Уралом, где он долгое время руководил важными научно-исследовательскими работами в интересах обороны страны. Поэтому не случайно, в конечном счете, он вернулся в Сибирь и много сил затратил на
развитие в ней математики и механики. Особое внимание, уже в то время, когда
экология как наука только формировалась, он уделял математическому моделированию природных и техногенных катастроф. В частности, в 1976 году академик
Н.Н. Яненко ходатайствовал перед Государственным комитетом СССР по науке и
технике о выделении средств на выполнение задания «Разработать математическую модель интенсивных лесных пожаров и программу численного решения
системы уравнений для оперативных расчетов скорости распространения фронта
этих пожаров в конкретных метеорологических условиях». Просмотрев представленные мною обоснование и календарный план научно-исследовательской работы
на три года, Николай Николаевич после некоторых уточнений подписал положительный отзыв на предложенный мною проект научно-исследовательских работ
по созданию математической теории лесных пожаров и выразил свое удовлетворение тем, что сибирские ученые будут исследовать проблемы охраны и защиты
леса («Кому же, как не сибирякам, заниматься лесными пожарами»). Благодаря
этой поддержке, 28 апреля 1977 года вышло постановление № 192 ГКНТ СССР, в
рамках которого ТГУ получил упомянутое выше задание и материальные ресурсы
для его выполнения.
Меня поражала его способность быстро схватывать суть научного доклада, его
способность сразу видеть новое в обсуждаемом материале. Например, при обсуждении моего доклада по созданному мною итерационно-интерполяционному методу академик Н.Н. Яненко сразу же увидел тесную связь этого метода с теорией
сплайнов. После этого я вместе с моим аспирантом В.Н. Берцуном существенно
улучшили содержание статьи, и она была представлена академиком Н.Н. Яненко в
ДАН СССР.
Важными чертами характера Николая Николаевича были скромность, доброжелательность, простота и доступность. Между ним – академиком и научными
работниками более низкого ранга никогда не было «академического» барьера.
Доступности академика Н.Н. Яненко способствовала его секретарь-референт Зоя
Павловна Ковеня, которая умело организовывала контакты академика Н.Н. Яненко с другими учеными. Каждый из ученых, кто этого хотел, мог заявить доклад и
выступить на его семинаре, а затем мог рассчитывать на плодотворное научное
обсуждение с ним лично и с его коллегами. От З.И. Клементьева мне было
известно, что он был скромным, но отлично успевающим студентом физикоматематического факультета ТГУ. Став академиком, он остался скромным и доступным для коллег человеком, простым в обращении с другими людьми. Несмотря на большое различие наших положений в обществе, Николай Николаевич часто бывал у меня в гостях в Томске. Он любил праздничные обеды, которые готовила моя жена Людмила Гавриловна, но никогда не употреблял ни капли алкоголя. Мы много говорили на научные и общие темы (он был очень интересным
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
126
А.М. Гришин
собеседником), играли в шахматы. Надо сказать, что Николай Николаевич любил
играть в шахматы и был очень сильным игроком, и я почти всегда проигрывал эти
домашние матчи. Следует отметить, что его требования к бытовым условиям (а он
в то время был уже академиком) никогда не были чрезмерными. В качестве примера приведу один эпизод. Механико-математический факультет, который я возглавлял с 1977 по 1980 год, не всегда мог найти достойный вид автотранспорта
(академикам в то время была положена «Волга»), но это не вызывало у Н.Н.
Яненко отрицательных эмоций. Я помню, как мы в сильный мороз вместе с моим
учеником В.Н. Берцуном на автомашине марки «Москвич», которую вел доц. В.А.
Штанько, искали деревянный дом на улице Красноармейской, где раньше располагалось общежитие, в котором жил студент Н.Н. Яненко. Общежитие мы не нашли, в машине было холодно, и мы рысью бежали за бегущим равномерной трусцой вслед за машиной академиком Н.Н. Яненко для того, чтобы согреться. Несмотря ни на что, Николай Николаевич был весел и с удовольствием узнавал некоторые дома на ул. Красноармейской и вспоминал различные эпизоды из своей
студенческой жизни.
Другим важным качеством Н.Н. Яненко была его обязательность. Если с ним
была достигнута хотя бы устная договоренность по какому-либо вопросу, то он
обязательно старался ее выполнить. В частности, не помню ни одного случая, когда он, пообещав лично возглавить работу сессии семинара по механике реагирующих сред, а их было много, нарушил бы данное им слово. Он обладал высоким чувством ответственности и надежностью, что привлекало к нему как коллег,
так и научную молодежь.
Николай Николаевич обладал высоким чувством справедливости. Я помню
случай с защитой докторской диссертации ст. научным сотрудником ИТПМ СО
АН СССР Димитровым Василием Ивановичем. Имея базовое высшее образование
химика, он написал работу, посвященную свойствам решений некоторых нелинейных систем дифференциальных уравнений, встречающихся в химической кинетике. Эта работа была доложена в Междуреченске (Кемеровская область) на
Всероссийской школе-семинаре по механике реагирующих сред, и я подписал положительный отзыв на эту работу после ее обсуждения на этом семинаре. К сожалению, на этой сессии семинара не было Н.Н. Яненко. В то же время на работу
В.И. Димитрова была дана отрицательная рецензия в Иркутском Вычислительном
Центре СО АН СССР, причем отзыв подписал директор этого Центра членкорреспондент (ныне академик) В.М. Матросов. Николай Николаевич был очень
принципиален в вопросах качества экспертизы. Я был вызван в Новосибирск для
объяснений. В конечном счете, мне удалось убедить академика Н.Н. Яненко в
том, что указанные В.М. Матросовым ошибки в тексте работы В.И. Димитрова не
носят принципиального характера и что основные результаты диссертации сохраняют свою силу. В итоге к общему удовлетворению конфликт был исчерпан, неточности устранены, и эта докторская диссертация была успешно защищена в
докторском ученом совете Института химической физики АН СССР (г. Москва).
Вместе с тем академик Н.Н. Яненко был принципиальным человеком. Не следует думать, что Николай Николаевич всегда и во всем соглашался со своими
оппонентами. В принципиальных вопросах он не делал ни шагу назад. Известна,
например, его научная «дуэль» с крупным специалистом по вычислительной математике с Е.Г. Дьяконовым и их научный спор о сходимости метода дробных
шагов, который проводился в присутствии научных секундантов – будущих академиков А.А. Самарского и А.Н. Тихонова. Итог этой дискуссии отражен в [2].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Академик Н.Н. Яненко и его влияние на создание ведущей научно-педагогической школы 127
Н.Н. Яненко был принципиален и при решении научно-организационных вопросов и не боялся четко и недвусмысленно формулировать свое мнение даже перед
всесильными в то время секретарями обкомов. В частности, он занял принципиальную позицию по вопросам развития фундаментальных направлений по математике и механике в Томском государственном университете и в Кемеровском государственном университете.
Поражало его огромное трудолюбие. На семинарах по механике реагирующих
сред, которые многие годы мы проводили совместно в Томском государственном
университете, можно было видеть, как много он работал. Вставал рано утром,
участвовал в заседаниях и, кроме того, находил время для бесед с молодыми, подающими надежды учеными. Он работал не менее 12 часов в сутки.
Все эти качества позволили академику Н.Н. Яненко быть неформальным руководителем сначала отдела в закрытом институте на Урале, затем руководить отделом в Вычислительном центре СО АН СССР и, наконец, стать директором Института теоретической и прикладной механики (ИТПМ) СО АН СССР.
Представитель ТГУ профессор, доктор физ.-мат. наук А.М. Гришин вручает
приветственный адрес Н.Н. Яненко от Томского государственного университета по случаю его юбилея
Его многогранная деятельность на пользу нашей страны уже при жизни
Н.Н. Яненко получила признание. Мне запомнилось чествование академика
Н.Н. Яненко в день его 60-летия. Ректором ТГУ профессором А.П. Бычковым мне
было поручено передать памятный подарок (редкую книгу под названием «Деревянная архитектура г. Томска»), адрес от ТГУ и произнести приветствие на торжественном заседании ученого совета ИТПМ. Это поручение я выполнил с огромным удовольствием и радостью. По-моему, радостью светились и лица всех
других людей, собравшихся в зале заседаний Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР, директором которого был Н.Н. Яненко. Было
много приветствий, в том числе, от Председателя Президиума СО РАН академика
Валентина Афанасьевича Коптюга, от директоров всех академических институтов
Сибирского отделения наук и ряда отраслевых министерств. Было известно, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
128
А.М. Гришин
Николай Николаевич представлен к высокому званию Героя Социалистического
труда, но документы из Президиума Верховного Совета не поспели к юбилею, что
впрочем, не омрачило торжества, которое продолжилось вечером во время торжественного ужина в Доме ученых новосибирского Академгородка. Мне запомнилось выступление его жены Ирины Константиновны, которая сказала, что она нарушила известную заповедь и сотворила себе кумира. Таким образом, мне открылась еще одна грань его личности – он был любимым человеком, и у него была
прекрасная семья [4].
Моя последняя личная встреча с Николаем Николаевичем состоялась в его
коттедже в новосибирском Академгородке 27.11.1983 года, куда он пригласил
меня. Ирина Константиновна (супруга академика) приготовила вкусный ужин и
после непродолжительного общения с нами оставила нас одних. В беседе обсуждался первый вариант книги А.М. Гришина, В.М. Фомина «Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред», научным редактором которой был академик Н.Н. Яненко.
Директор Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР,
академик АН СССР, Герой социалистического труда Н.Н. Яненко
Сделав ряд отдельных замечаний по тексту работы, Николай Николаевич
предложил сыграть в шахматы. Выиграв первую партию, он расслабился и проиграл подряд несколько партий. К этому времени мне надо уже было уходить в гостиницу «Золотая долина», но в Николае Николаевиче проснулся спортивный
азарт, и он не отпустил меня до тех пор, пока не разгромил меня в последних,
предложенных им партиях в пух и прах. Потом он подарил мне на память свой
снимок с Золотой звездой Героя Социалистического Труда, с дарственной надписью. Прощаясь с ним в этот вечер, я не отдавал себе отчета в том, что вижу живым
его в последний раз. Разговоры о его серьезной болезни велись с 1982 года, но его
активный образ жизни не давал повода думать о близкой кончине. Последний раз
я простился с дорогим Николаем Николаевичем, приехав 17 января 1984 года в
составе делегации Томского государственного университета, направленной на похороны Н.Н. Яненко ректором ТГУ профессором Ю.С. Макушкиным.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Академик Н.Н. Яненко и его влияние на создание ведущей научно-педагогической школы 129
Надо сказать, что ректорат, партком и местком ТГУ, выражая от имени сотрудников ТГУ скорбь по поводу безвременной кончины академика Н.Н. Яненко,
отметили, что «Н.Н. Яненко был патриотом Томского университета, много внимания уделял развитию математики и механики в ТГУ. Благодаря его помощи
была создана кафедра физической и вычислительной механики на ММФ и отдел
механики реагирующих сред в НИИ ПММ, где он был одним из научных руководителей». Среди шести докторов наук и сорока шести кандидатов наук, подготовленных им, есть и томичи. Н.Н. Яненко неоднократно читал лекции в ТГУ, проводил консультации, устраивал Всесоюзные школы-семинары по численным методам механики вязкой жидкости и механике реагирующих сред. Он был настоящим ученым.
Заключение
Память о выпускнике Томского государственного университета академике
Н.Н. Яненко сохранилась не только на кафедре физической и вычислительной механики ММФ ТГУ, но и на кафедре вычислительной математики и других кафедрах механико-математического факультета ТГУ, а также в НИИ ПММ при ТГУ.
Более подробная информация о научных публикациях академика Н.Н. Яненко
дана в книгах [1, 2]. Всего им лично и в соавторстве было опубликовано более
трехсот научных работ.
Научное наследие и школа академика Н.Н. Яненко таковы, что словами
А.С. Пушкина можно сказать: «Он памятник себе воздвиг нерукотворный, к нему
не зарастет народная тропа».
Автор благодарит декана механико-математического факультета ТГУ В.Н. Берцуна и ученого секретаря НИИ ПММ ТГУ В.В. Жаровцева за полезное обсуждение работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Николай Николаевич Яненко. Очерки, статьи, воспоминания / Н.Н. Бородина (составитель). Новосибирск: Наука, 1988. 304 с.
2. Берцун В.Н. Из истории развития вычислительной математики в Томском университете
// Четвертая Сибирская школа-семинар по параллельным и высокоскоростным вычислениям. Томск, 2008. С. 3–19.
3. Шокин Ю.И., Фомин В.М. Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» посвящ. 90-летию со
дня рождения академика Н.Н. Яненко. Новосибирск: Российская академия наук. Сибирское отделение. Институт вычислительных технологий, Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича, Институт вычислительного моделирования,
Новосибирский государственный университет, Новосибирский государственный технический университет, Специальное конструкторско-технологическое бюро «Наука», Российский фонд фундаментальных исследований (тезисы докладов). Академгородок, 2011,
С. 3−9.
4. Гришин А.М. Н.Н. Яненко и создание в Томском государственном университете ведущей научной школы «Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики
и экологии» и кафедры физической и вычислительной механики // Материалы международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики:
теория, эксперимент и практика», посвященная 90-лению со дня рождения акад.
Н.Н. Яненко. Новосибирск, Академгородок, 2011. С. 20−21.
5. Гришин А.М. Академик Николай Николаевич Яненко. Томск: Центр образования и исследований по механике реагирующих сред и экологии Томского государственного
университета, 1997. 61 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
130
А.М. Гришин
6. Гришин А.М. О ведущей научно-педагогической школе «Сопряженные задачи механики
многофазных реагирующих сред, информатики и экологии». Кемерово: ИНТ, 2011.
205 с.
Статья поступила 16.08.2011 г.
Grishin A.M. ACADEMICIAN N.N. YANENKO AND HIS INFLUENCE ON THE CREATION
OF THE LEADING SCIENTIFIC AND EDUCATIONAL SCHOOL ON CONJUGATE PROBLEMS OF MECHANICS OF REACTING MULTIPHASE MEDIA, COMPUTER SCIENCE,
AND ECOLOGY OF TOMSK STATE UNIVERSITY. The information about the life and scientific and educational activities of Nicholas Yanenko, academician of the USSR Academy of Sciences, Professor, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Director of Institute of Theoretical and Applied Mechanics of Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences is provided in
[1, 2]. This article gives a brief overview of the life and work of the graduate of the Faculty of
Mathematics and Mechanics, Tomsk State University, Academician N. Yanenko. Particular attention is paid to his influence on the creation and development of the Department of Physical and
Computer Mechanics at MMF TSU and the above-mentioned scientific and educational school.
Keywords: mechanics, computational mathematics, mathematical modeling.
GRISHIN Anatolii Mikhai’lovich (Tomsk State University)
Е-mail: fire@mail.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
УДК 523.53
Э.Н. Кривякова
ПОТОК ВТОРИЧНЫХ ЧАСТИЦ В ОКОЛОЛУННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрена математическая модель, позволяющая по известному потоку
метеороидов на поверхности Луны рассчитать окололунное облако вторичных частиц. Приведены характеристики этого облака в сфере гравитационного действия Луны. Статья предоставляет собой обзор работ, выполненных
на кафедре математического анализа Томского государственного университета в 1977 – 1980 годах.
Ключевые слова: первичный поток метеороидов, кратерообразование,
поток вторичных частиц, размеры, масса, скорость, энергия частиц.
В начале 80-х годов прошлого века возрос интерес исследователей к изучению
потоков космических частиц в межпланетном пространстве, в частности вблизи
Луны и Марса. Этот интерес был вызван необходимостью обеспечения безопасности полетов космических аппаратов.
Поверхность Луны беспрепятственно подвергается межпланетному потоку метеороидов. Удар каждого метеороида о поверхность Луны вызывает разлет осколков в различных направлениях с различными скоростями и массами. Так формируется поток вторичных частиц на поверхности Луны. И хотя его энергия намного
меньше энергии первичного потока метеороидов, но по числу частиц и их суммарной массе вторичный поток значительно превосходит первичный.
Инициатором работ в Томском государственном университете по изучению
потоков космических частиц стал доцент кафедры математического анализа
Вильгельм Генрихович Фаст. Под его руководством в течение нескольких лет начиная с 1977 года работала группа сотрудников кафедры с привлечением других
сотрудников университета, изучая поток вторичных частиц в окололунном пространстве. В.Г. Фаст, Г.Г. Пестов, Э.Н. Кривякова, Н.А. Исаева представляли основной состав группы. На различных этапах в работе группы принимали участие
А.П. Бояркина (НИИПММ), Л.Г. Плеханова и Г.В. Сибиряков – сотрудники
ММФ. Работа по изучению этого явления проводилась по договору с Институтом
геохимии и аналитической химии им. В.И. Вернадского (г. Москва).
Важность изучения потока вторичных частиц обусловлена его значительной
ролью в формировании поверхностного слоя Луны и создании опасной ситуации
для находящихся на Луне или в окололунном пространстве космических аппаратов.
Работа, как всякое исследование, началась с изучения результатов, опубликованных к этому времени. Были рассмотрены почти сто статей и книг, из них примерно две трети на английском и немецком языках.
К моменту начала работы нашей группы имелось три основных модели для
расчета распределения осколков по массе и объему. А.Н. Колмогоров обосновал
использование логнормального распределения для описания размеров фрагментов, А.Н. Мухамеджанов показал, что функция распределения размеров частиц в
продуктах ударного разрушения описывается степенной зависимостью, а
Л.А. Мержиевский позднее провел эксперименты и предложил свою модель рас-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
132
Э.Н. Кривякова
пределения размеров осколков, образовавшихся при пробивании тонкой преграды
высокоскоростной частицей. Анализ указанных моделей нашей группой показал,
что применение этих моделей для получения распределения осколков по массе и
объему не полностью отражает действительную картину дробления.
Заметим, что при ударе высокоскоростной частицы о преграду в результате
выделения кинетической энергии образуется кратер (воронка). Эти кратеры могут
быть взрывными или просто ударными. Однако доля метеороидов, не образующих ударные кратеры, составляет менее 1% в потоке метеороидов, падающих на
Луну, поэтому в расчетах ею можно пренебречь, ввиду малости вклада таких метеороидов во вторичный поток. Это тем более правомерно, так как поток осколков при возникновении взрывного кратера существенно больше потока при образовании кратера без взрыва.
Нами была построена математическая модель кратерообразования и формирования выброса. Эта модель позволяет по известной модели обстановки кратерообразования на поверхности Луны, содержащей интенсивность и плотность метеорного потока, плотность распределения скоростей метеороидов, в зависимости
от их массы и модель плотности лунного грунта (реголита), рассчитать интенсивность потока выбиваемых вторичных частиц на поверхности Луны. Математическая модель образования осколков была предложена для двух вариантов взрыва
метеороида: для случая взрыва в центре шара и случая взрыва под поверхностью.
Идея такого подхода принадлежит Г.Г. Пестову, в получении необходимых формул участвовала также и вся группа. Опишем кратко оба варианта.
1. Образование осколков при взрыве в центре шара. На первом этапе рассматривается шаровой слой с внутренним радиусом r и толщиной слоя ∆r и определяется расход энергии ударной волны в этом слое в предположении, что энергия ударной волны на поверхности сферы равна произведению радиального напряжения и площади поверхности сферы. Расход энергии ударной волны в слое
есть разность между энергией на внутренней сфере слоя и энергией на внешней
сфере слоя. Далее, предполагается, что энергия, идущая на образование трещин,
составляет постоянную часть расхода энергии в слое, а полная площадь трещин
пропорциональна этой энергии. Исходя из этого, подсчитывается площадь получившихся трещин на единицу объема. Затем рассматривается шаровой слой, толщина которого равна среднему линейному размеру осколка на расстоянии r от
центра взрыва, и находится число осколков в этом слое. Используя этот результат,
интегрируя, находится число осколков в слое, толщина которого много больше
внутреннего радиуса. И, наконец, задавая конкретный вид радиального напряжения σ2(r), получаем функцию распределения осколков по размерам.
2. Распределение осколков при взрыве под поверхностью. Пусть взрыв
происходит под поверхностью грунта на глубине dc, и при этом зона образования
трещин за счет действия ударной волны имеет диаметр, намного превышающий
dc. В этом случае отраженная волна движется по конусу, уже разрушенному ударной волной на достаточно мелкие фрагменты. Следовательно, можно считать, что
основной вклад в образование осколков вносит ударная волна, а отраженная волна окончательно разделяет уже образовавшиеся фрагменты и придает ускорение
небольшому поверхностному слою лунного грунта. Основное ускорение масса
осколков получает за счет расширения газов, образовавшихся при взрыве. Для
этой модели взрыва также получены формулы для подсчета числа осколков, образовавшихся внутри тела, ограниченного двумя коническими поверхностями с общей вершиной и с образующими, составляющими с горизонтальной плоскостью
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поток вторичных частиц в окололунном пространстве
133
соответственно угол θ1 и θ2. Получены формулы для числа осколков, вылетающих
в единичном телесном угле под заданным углом к горизонту при заданных пределах масс; формулы для величины энергии, затраченной на ускорение осколков в
этом телесном угле, формулы для вычисления скорости осколков в нем, а также
распределения числа осколков по массе, по скорости и по энергии.
Осколки, получающиеся в результате взрыва метеороидов, формируют поток
вторичных частиц на поверхности Луны. Часть этих осколков падает на Луну.
Другая часть осколков, скорость которых выше второй космической скорости,
улетает в космос. Для количества вторичных частиц, падающих обратно на Луну,
получены распределения по массе и энергии, а также функция совместного распределения по массе и скорости.
К сожалению, по условиям работы группы многие получаемые результаты не
могли быть опубликованы в открытой печати. Некоторые результаты были опубликованы в [1]. В этой работе отмечается также, что у поверхности Луны вычисленный суммарный вторичный поток превосходит первичный на 5 порядков для
осколков, масса которых больше чем 10−14 г, на 3 порядка для осколков, масса которых больше чем 10−6 г, на 4,3 порядка для осколков, масса которых больше чем
10 г. На высоте 10 000 км вторичный поток близок к первичному.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фаст В.Г., Пестов Г.Г., Сибиряков Г.В. и др. Структура окололунного облака частиц,
выбиваемых с поверхности Луны метеороидами // Метеорное вещество в межпланетном
пространстве. М.; Казань, 1982. С. 41–44.
Статья поступила 16.05.2011 г.
Krivyakova E.N. THE STREAM OF SECONDARY PARTICLES IN THE CIRCUMLUNAR SPACE. A mathematical model which permits one to calculate a circumlunar cloud of
secondary particles by a known meteorite stream on the Moon surface is considered. The cloud
characteristics in the sphere of the Moon gravitation are presented. The article gives a review of
works executed on the Calculus Department of Tomsk State University in 1977–80.
Keywords: primary meteoroid stream, cratering, secondary particles stream, size, mass, velocity,
energy of particles.
KRIVYAKOVA Eleonora Nonovna (Tomsk State University)
E-mail: eleon@sibmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
СЕРГЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ КОПАНЕВ
(К 70-летию со дня рождения)
Сергей Анатольевич Копанев родился 18 октября 1941 г. в г. Томске в семье
выпускников Томского университета. Его мать, Нина Алексеевна Верховинская,
окончила ТГУ по специальности биология, отец, Анатолий Иванович Копанев, –
по специальности математика.
В 1959 году Сергей Анатольевич по окончании средней школы № 43 г. Томска
поступил на механико-математический факультет Томского государственного
университета. Окончив в 1964 году университет, поступил в аспирантуру при кафедре математического анализа к профессору И.А. Александрову, закончил её и в
1969 году защитил кандидатскую диссертацию на тему «К методу внутренних вариаций в теории аналитических функций».
С 1967 года С.А. Копанев преподавал в Томском государственном университете, затем некоторое время занимался научной работой в политехническом университете (в то время – институте). После присвоения ему ученой степени кандидата
физико-математических наук Сергей Анатольевич Копанев в 1970 году был зачислен на должность старшего преподавателя Томского государственного университета. С 1971 года и до настоящего времени он работает в должности доцента
кафедры математического анализа. В 1975 – 76 и в 1981 – 82 учебных годах заведовал этой кафедрой.
Свою педагогическую работу Сергей Анатольевич начал с чтения курса лекций по теории функций комплексного переменного, который читает до настоящего времени, и спецкурсов для студентов механико-математического факультета.
Курс теории функций комплексного переменного в разные годы он читал также и
для студентов ФПМК, и для студентов факультета информатики, и для слушателей ФПК. За время работы на кафедре С. А. Копанев читал более 10 различных
специальных курсов для студентов, специализирующихся на кафедре. Все годы
работы он принимает непосредственное участие в подготовке студентов, специализирующихся в области теории функций комплексного переменного.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СЕРГЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ КОПАНЕВ (к 70-летию со дня рождения)
135
Особое положение в его педагогической работе занимает курс математического анализа, самый большой курс в программе подготовки специалистов на факультете, который С.А. Копанев читает и постоянно совершенствует с 1978 года.
Накопленный опыт преподавания Сергей Анатольевич обобщил в вышедшем в
2011 году в издательстве ТГУ и получившем гриф УМО, фундаментальном учебнике (совместно с Э.Н. Кривяковой) по одному из серьёзнейших разделов курса
математического анализа, интегралу Лебега.
Лекции С.А. Копанева служат для слушателей образцом математических рассуждений и доказательств, скрупулезного отношения к излагаемому материалу,
стремления к строгости и точности изложения. Являясь в то же время яркими и
эмоциональными, лекции развивают у студентов интерес к математической науке
и её истории.
С.А. Копанев – автор около сорока научных и научно-методических работ. Его
основные научные интересы сосредотачиваются на проблемах комплексного анализа. Однако в списке его научных трудов немалое место занимают также работы
прикладного характера. Большое внимание С.А. Копанев уделяет методике преподавания, им в соавторстве с коллегами опубликовано больше десяти работ, посвященных этим вопросам.
Кафедра математического анализа механико-математического факультета ТГУ (18.10.2011).
Сидят (слева направо): Э.Н. Кривякова, Л.С. Копанева, С.А. Копанев, Т.В. Касаткина,
Т.В. Емельянова, Е.П. Кузнецова. Стоят (слева направо) Н.А. Исаева, Г.Г. Пестов,
Ю.А. Мартынов, И.А. Александров, Г.В. Сибиряков, Б.В. Соколов
Не будет преувеличением сказать, что С.А. Копанев – самый внимательный и
скрупулезный редактор на кафедре и факультете. Под его редакцией вышли многие сборники научных трудов по теории функций комплексного переменного.
Он также занимался редакторской подготовкой всех книг, соавтором которых является. Особо отметим редактирование и оформление выпущенного в 2009 году
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
136
СЕРГЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ КОПАНЕВ (к 70-летию со дня рождения)
Издательством НТЛ сборника «Труды П.П. Куфарева», приуроченного к столетию со дня рождения Павла Парфеньевича Куфарева, заслуженного деятеля науки
РСФСР, выдающегося ученого в области теории функций комплексного переменного и её приложений, создателя научной школы, которая и сегодня является одной из ведущих научных школ России.
В период действия на факультете совета по защитам диссертаций на соискание
учёной степени кандидата физ.-мат. наук С.А. Копанев, будучи его членом, быстро и глубоко вникал в суть каждой диссертационной работы и занимал при обсуждении принципиальную и обоснованную позицию.
С.А. Копанев всегда в курсе проблем родного факультета и своей кафедры, он
принимает деятельное участие в их решении, выдвигая свои продуманные предложения.
Сергей Анатольевич много внимания уделяет индивидуальной работе со студентами, руководит курсовыми и дипломными работами на ММФ, консультирует
аспирантов. Студенты ценят его как внимательного, тактичного, высоко квалифицированного и эрудированного педагога.
Эти же качества С.А. Копанева, а также его организованность, скромность,
справедливость суждений, деликатность ценятся коллегами. Среди них он пользуется большим авторитетом и уважением.
Мы желаем Сергею Анатольевичу здоровья, успехов в преподавательской деятельности и в осуществлении самых смелых творческих замыслов
И.А. Александров, Г.Г. Пестов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011
Математика и механика
№ 4(16)
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
АЛЕКСАНДРОВ Игорь Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАО, заведующий кафедрой математического анализа Томского
государственного университета. E-mail: ma@math.tsu.ru
АЛЕКСАНДРОВА Анна Геннадьевна – младший научный сотрудник НИИ прикладной
математики и механики Томского государственного университета. E-mail: aleksann@
sibmail.com
БОВСУНОВСКИЙ Александр Борисович – научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: Alexander.Bovsu
novsky@niipmm.tsu.ru
БОРДОВИЦЫНА Татьяна Валентиновна – доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой астрономии и космической геодезии Томского государственного университета. E-mail: tvbord@sibmail.com
БУТОВ Владимир Григорьевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом НИИ прикладной математики и механики Томского государственного
университета. E-mail: bvg@niipmm.tsu.ru
ВАСЕНИН Игорь Михайлович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной аэромеханики физико-технического факультета Томского
государственного университета. E-mail: gla@niipmm.tsu.ru
ВАСЕНИНА Татьяна Вениаминовна – кандидат физико-математических наук, старший
научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского государственного
университета. E-mail: tvv@niipmm.tsu.ru
ГАЛУШИНА Татьяна Юрьевна – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского государственного
университета. E-mail: tanastra@nxt.ru
ГЕРАСИМОВ Александр Владимирович – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, заведующий отделом НИИ прикладной математики и механики
Томского государственного университета. E-mail: ger@niipmm.tsu.ru
ГЛАЗУНОВ Анатолий Алексеевич – доктор физико-математических наук, профессор,
директор НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: gla@niipmm.tsu.ru
ГОЛОВАНОВ Александр Николаевич – профессор, доктор технических наук, профессор
кафедры физической и вычислительной механики Томского государственного университета. E-mail: fire@mail.tsu.ru
ГОЛЬДИН Виктор Данилович – старший научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: vdg@math.tsu.ru
ГРИШИН Анатолий Михайлович – заслуженный деятель науки РФ, доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедрой физической и вычислительной
механики механико-математического факультета Томского государственного университета
и директор Научно-образовательного инновационного центра ТГУ «Моделирование и прогноз катастроф». Е-mail: fire@mail.tsu.ru
ЕРЕМИН Иван Владимирович – заведующий лабораторией математической физики
НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета.
E-mail: iveremin@niipmm.tsu.ru
ЖУКОВ Андрей Петрович – научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: psvh@psy.tsu.ru
ЗВЕРЕВ Валентин Георгиевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Научного управления Томского государственного университета. E-mail: zverev@niipmm.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
138
Сведения об авторах
КРИВЯКОВА Элеонора Ноновна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: eleon@sibmail.com
КУВШИНОВ Николай Евгеньевич – кандидат физико-математических наук, старший
научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского государственного
университета, (г. Томск). E-mail: kvshn@niipmm.tsu.ru
ОВЕЧКИН Геннадий Иванович – ведущий инженер отдела 320, ОАО «Информационные
спутниковые системы» им. академика М.Ф. Решетнева». E-mail: loganov@iss-reshetnev.ru
ПАШКОВ Сергей Владимирович – кандидат технических наук, старший научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: ps@contek.ru
ПЕСТОВ Герман Гаврилович – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа Томского государственного университета.
E-mail: pppestov@mail.tomsknet.ru
ПОНОМАРЕВ Сергей Васильевич – кандидат физико-математических наук, старший
научный сотрудник, заведующий лабораторией НИИ прикладной математики и механики
Томского государственного университета. E-mail: psv@niipmm.tsu.ru
ПЧЕЛИНЦЕВ Евгений Анатольевич – аспирант совместной русско-французской аспирантуры между Томским государственным университетом (механико-математический факультет) и Руанским университетом (лаборатория математики Рафаэля Салема). E-mail:
evgen-pch@yandex.ru
УСТИНОВ Святослав Николаевич – заместитель директора центра «Аэродинамика и
тепловое проектирование КА» Федерального государственного унитарного предприятия
«Научно-производственное объединение им. С.А. Лавочкина». E-mail: ust@laspace.ru
ФАМ Тхи Тху Тхюи – аспирантка кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета. E-mail: ptthuthuy@yahoo.com
ФАТЕЕВ Владимир Николаевич – аспирант кафедры физической и вычислительной механики Томского государственного университета. E-mail: vladimir_fateyev@mail.ru
ФИНЧЕНКО Валерий Семенович – доктор технических наук, ведущий научный сотрудник Федерального государственного унитарного предприятия «Научно-производственное
объединение им. С. А. Лавочкина». E-mail: finval@migmail.ru
ХВАЛЬКО Александр Александрович, инженер-конструктор ОАО «Информационные
спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева. E-mail: hvalko@iss-reshetnev.ru
ХРИСТЕНКО Юрий Федорович – доктор технических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: hrs@niipmm.tsu.ru
ЧУВАШОВ Иван Николаевич – младший научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: chuvashov@sibmail.com
ЯЩУК Алексей Александрович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: rainbow@niipmm.tsu.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа