close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1094.Вестник Томского государственного университета. Математика и механика №4 2012

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ УНИВЕРСИТЕТА
И НАУКИ РФ
Математика и механика
2012
4(20)
ВЕСТНИК
ТОМСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
TOMSK STATE UNIVERSITY
JOURNAL OF MATHEMATICS AND MECHANICS
Научный журнал
2012
№ 4(20)
Свидетельство о регистрации: ПИ № ФС77-30658
от 20 декабря 2007 г.
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
М.С. Бухтяк, А.В. Никульчиков
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ЖУРНАЛА
«ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА.
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА»
Глазунов А.А., д-р физ.-мат. наук, проф. (председатель); Гулько С.П., д-р физ.-мат. наук,
проф. (зам. председателя); Лазарева Е.Г., канд. физ.-мат. наук, доц. (отв. секретарь); Александров И.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Берцун В.Н., канд. физ.-мат. наук, доц.; Биматов В.И., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бубенчиков А.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Бухтяк М.С., канд. физ.-мат. наук, доц.; Васенин И.М., д-р физ.-мат. наук, проф.; Гришин А.М.,
д-р физ.-мат. наук, проф.; Ищенко А.Н., д-р физ.-мат. наук, проф.; Конев В.В., д-р физ.-мат.
наук, проф.; Крайнов А.Ю., д-р физ.-мат. наук; Крылов П.А., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Панько С.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Пергаменщиков С.М., д-р физ.-мат. наук, проф.;
Сипачёва О.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Скрипняк В.А., д-р физ.-мат. наук, проф.; Старченко А.В., д-р физ.-мат. наук, проф.; Шрагер Г.Р., д-р физ.-мат. наук, проф.; Шрагер Э.Р.,
д-р физ.-мат. наук, проф.; Cauty R., prof.
Научный журнал «Вестник Томского государственного университета. Математика и
механика» был выделен в самостоятельное периодическое издание из общенаучного журнала «Вестник Томского государственного университета» в 2007 г. Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере массовых коммуникаций, связи и охраны
культурного наследия (свидетельство о регистрации ПИ № ФС 77-30658 от 20 декабря
2007 г.), ему присвоен международный стандартный номер сериального издания (ISSN
1998-8621). Журнал выходит ежеквартально и распространяется по подписке, его подписной индекс 44064 в объединённом каталоге «Пресса России».
«Вестник ТГУ. Математика и механика» входит в систему Российского индекса научного цитирования (РИНЦ) на платформе http://elibrary.ru, а также в Перечень ВАК изданий
для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций. Кроме того, все номера журнала присутствуют и обрабатываются на общероссийском математическом портале http://Math-Net.ru.
Адрес редакции:
634050, г. Томск, пр. Ленина, д.36, корп. 2, к. 417
Электронный адрес: http://vestnik.tsu.ru/mathematics
Контактный тел./факс: (3822) 529-740
E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru
ООО «Издательство научно-технической литературы»
634050, Томск, пл. Новособорная, 1, тел. (3822) 533-335
Редактор Т.С. Портнова
Верстка Д.В. Фортеса
Изд. лиц. ИД № 04000 от 12.02.2001. Подписано к печати 12.12.2012.
Формат 70 × 100 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. п. л. 10,97. Уч.-изд. л. 12,28. Тираж 300 экз. Заказ № 63.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Бухтяк М.С., Никульчиков А.В. Оценка среднеквадратичного отклонения поверхности параболичесчкого рефлектора от шестиугольной фронтальной сети ..............5
Камчатный С.А., Сковородин А.В., Становской А.В., Щербаков Н.Р. Математическое моделирование процесса сближения поверхностей при формообразовании деталей передаточного механизма с ЭЦ-зацеплением ...............................................15
Рогозинский М.И. О k-вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп
без кручения...........................................................................................................................25
Шерина Е.С., Старченко А.В. Численный метод реконструкции распределения
электрического импеданса внутри биологических объектов по измерениям тока
на границе ..............................................................................................................................36
Щербаков Н.Р., Захаркин Н.В. Геометрическое моделирование поверхности детали передаточного механизма как огибающей.....................................................................50
МЕХАНИКА
Губанов С.М., Крайнов А.Ю. Математическая модель и результаты численных
расчетов охлаждения осадительных емкостей при десублимации потока UF6 и
легких примесей ....................................................................................................................56
Данилкин Е.А., Нутерман Р.Б., Барт А.А., Деги Д.В., Старченко А.В. Исследование движения воздуха и переноса примеси в уличном каньоне с использованием вихреразрешающей модели турбулентного течения ................................................66
Джакупов К.Б. Численное моделирование влияния пульсаций на вихревые следы
за пластинами ........................................................................................................................80
Ищенко А.Н., Буркин В.В., Васенин И.М., Шахтин А.А. О потере устойчивости
стержня в кавитационном пузыре при входе в воду через преграду ................................87
Кудряшова О.Б., Антонникова А.А. Физико-математическая модель эволюции
двухфазных аэрозолей при ультразвуковом воздействии..................................................94
Матвиенко О.В., Агафонцева М.В. Численное исследование процесса дегазации в
гидроциклонах .....................................................................................................................107
Шагапов В.Ш., Нурисламов О.Р., Хабибуллина А.Р. Отбор газа из гидратосодержащего пласта депрессионным воздействием ............................................................119
МЕМУАРЫ, ПАМЯТНЫЕ ДАТЫ, ПЕРСОНАЛИИ
ГРИНШПОН САМУИЛ ЯКОВЛЕВИЧ (к 65-летию со дня рождения) ...............................131
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ......................................................................................................135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
МАТЕМАТИКА
УДК 519.711.3
М.С. Бухтяк, А.В. Никульчиков
ОЦЕНКА СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСЧКОГО РЕФЛЕКТОРА
ОТ ШЕСТИУГОЛЬНОЙ ФРОНТАЛЬНОЙ СЕТИ
Для параболической антенны рефлекторного типа строится шестиугольная
фронтальная сеть, проекция которой на директориальную плоскость родительского параболоида есть правильная шестиугольная сеть. Построены
оценки среднего квадратичного отклонения поверхности параболоида в
«локальном» и в «глобальном» смысле. Определены результаты смещения
сети целиком параллельно оси параболоида.
Ключевые слова: параболический рефлектор, фронтальная сеть, среднее
квадратичное отклонение.
В идеологии теоретической разработки и технологического проектирования
орбитальных рефлекторов (особенно крупногабаритных) можно наметить некоторые тенденции.
1. Параболоид вращения не вполне удобен, чтобы на нем размещать детали
отражающей поверхности. Приблизим его (локально) куском сферы, а неизбежные погрешности нетрудно учесть.
Рис. 1. Участок сферы идеально покрытый шестиугольными фасетами
2. Для элементарных деталей отражающей поверхности (фасет) (рис. 1) при
уже сделанных допущениях о замене осесимметричного параболоида на кусок
сферы удаётся найти удобные аппроксимирующие формулы, характеризующие
параметр, заслуженно называемый «точностью по Хеджпету».
Примеры весьма успешного применения упомянутых подходов хорошо известны, например, из [1−6].
Мы же ставим несколько иные задачи.
1. Как раз форму основной поверхности – родительского параболоида – оставить неизменной.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6
М.С. Бухтяк, А.В. Никульчиков
2. Фронтальная сеть теперь предполагается состоящей не из идеальных шестиугольных ячеек, а несколько искажённых.
3. Фронтальная сеть мыслится как объект, который можно перемещать как
твердое тело относительно родительского параболоида. Как будет показано ниже,
на этом пути есть возможность своеобразного влияния на СКО.
Исследование основано на значительной идеализации реальных конструкций.
Имеются, однако, основания полагать, что указанные идеализации, во-первых,
неизбежны, а, во-вторых, не вносят фатальных искажений. Если иное не оговорено, размеры предполагаются в метрах. При графическом изображении отклонений
и средних квадратичных отклонений третья координатная сеть градуируется в
миллиметрах.
1. Локальное среднее квадратичное отклонение
Рассматривается рефлектор, математической моделью которого является офсетный параболоид. Родительский параболоид есть параболоид вращения1
x2 + y 2
(1)
4F
с фокальным параметром F. В плоскости XOY строится правильная шестиугольная сеть, сторона шестиугольника равна а. Пусть одна из ячеек плоской сети имеет центр (r,0,0) и вершины
Ci ( xi , yi , 0 ) .
z=
«Поднимаем» каждую вершину на поверхность параболоида – и получаем точки
⎛
x 2 + yi2 ⎞
Ai ⎜⎜ xi , yi , i
(2)
⎟.
4 F ⎟⎠
⎝
Эти шесть точек компланарны. Они ограничивают плоский шестиугольник, который в общем случае правильным не является. Тем не менее константа а продолжает быть связанной с новой фигурой очевидным образом.
Принцип «поднятия» очень прост. Достаточно проследить судьбу каждого
правильного шестиугольника, расположенного в координатной плоскости XOY,
(фиолетового цвета) и результат его «поднятия» на поверхность родительского
параболоида (рис. 2).
Рис. 2. Правильный шестиугольник в горизонтальной плоскости после «поднятия»
перестает быть правильным, располагаясь на параболоиде вращения
1
С этого момента деление координатных осей на оси абсцисс, ординат и аппликат сложностей не
представляет.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценка среднеквадратичного отклонения поверхности параболичесчкого рефлектора
7
Наш шестиугольник на родительском параболоиде – плоская фигура. Полагаем, что сетеполотно заполняет этот плоский шестиугольник и само составляет
плоский шестиугольник. Таким образом мы, в частности, пренебрегаем и «подушечным эффектом». Какими средствами это достигнуто – нас не интересует. Тогда отклонение текущей точки параболоида с первыми двумя координатами x , y
от плоскости шестиугольника равно
f ( x, y ) =
r 2 + x 2 + y 2 − a 2 − 2rx
.
(3)
2 r 2 + 4F 2
Обычным путем находим максимальное расстояние (рис. 3) точки параболоида от
плоскости (в пределах ячейки) равное
a2
2 r 2 + 4F 2
.
(4)
r
a
Рис. 3. График наибольшего отклонения в пределах ячейки
до оптимизации (в миллиметрах)
Среднее квадратичное отклонение параболоида от плоскости ячейки (в пределах
ячейки)
∫∫ f ( x, y )
СКО_ЛОКАЛЬНОЕ =
D
3a 2
3 r 2 + 4F 2
4F
элемент площади этой же ячейки.
Здесь D – ячейка, S D =
(
SD
)
2
ds
a 2 5F
=
(
5 r
2
3
+ 4F 2 4
.
(5)
)
– площадь (наклонной) ячейки, ds –
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.С. Бухтяк, А.В. Никульчиков
8
Представление о зависимости указанной величины от параметров дает график
функции при F = 9,0 (рис. 4):
r
a
Рис. 4. График неоптимизированного локального
СКО (в миллиметрах)
2. Оптимизация локального среднего квадратичного отклонения
Сместим плоскость ячейки в направлении оси аппликат на величину H . Тогда
отклонение (3) заменится на величину
r 2 + x 2 + y 2 − a 2 − 2rx − 4 FH
.
(6)
2 r 2 + 4F 2
При этом для точек параболоида должен поменяться знак отклонения этих точек
от плоскости наклонённой шестиугольной грани.
Решим этот вопрос попутно с другим. Именно шестиугольник в плоскости, который мы собрались «поднимать», сначала повернем в горизонтальной плоскости
на некий угол t. Таким образом, речь пойдёт о влиянии двух факторов: параллельного смещения плоскости шестиугольника и вращении щестиугльника в его плоскости вокруг его центра симметрии.
Заменяя шестиугольник плоской сети окружностью радиуса а и переходя к полярным координатам x = r + u cos v, y = u sin v , приводим отклонение (6) к виду
2
fH =
2r ( r + u cos v ) − r 2 − ( r + u cos v ) − u 2 sin 2 v + 4 FH + a 2
2 r 2 + 4F 2
u = 0... a, v = 0...2π.
,
(6*)
Отмечаем важный факт: Экстремальное значение отклонения во внутренней точки не зависит от угла поворота области и равно
−
a 2 + 4 FH
2 r 2 + 4F 2
.
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценка среднеквадратичного отклонения поверхности параболичесчкого рефлектора
9
В каждой граничной точке отклонение равно
2 FH
.
(8)
r 2 + 4F 2
Максимум расстояния точек параболоида в пределах ячейки от плоскости ячейки
достигает минимума, если сумма отклонений (7) и (8) равна нулю (тогда соответствующие расстояния равны), то есть при условии
a2
.
(9)
8F
При этом максимальное расстояние от точки параболоида до плоскости ячейки
уменьшается вдвое по сравнению с (4) и составляет
H = H опт = −
a2
.
(10)
4 r 2 + 4F 2
Заметим, что выражение (9) свободно от вхождения переменной r , что приводит
к важному выводу.
Cмещение Н зависит только от размера стороны ячейки и фокусного расстояния и не зависит от r (то есть от положения центра ячейки). Следовательно, сместив всю фронтальную сеть как твердое тело на величину (9) в
направлении оси аппликат, мы уменьшаем вдвое максимальное отклонение
сетеполотна от идеального параболоида. Того же эффекта мы достигнем, переместив центр принимающего устройства (ему соответствует фокус парабоa2
.
лоида) на величину
8F
После указанной процедуры график максимального отклонения изменится и
примет следующий вид (рис. 5):
a
r
Рис. 5. График наибольшего отклонения в пределах ячейки
после оптимизации сдвигом (в миллиметрах)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.С. Бухтяк, А.В. Никульчиков
10
2
∫∫ f H ds
СКО_ЛОКАЛЬНОЕ_ОПТИМ =
D
SD
=
6 H a 4 + 12 FHa 2 + 48F 2 H 2
(
6 r
2
3
+ 4F 2 4
.
(11)
)
3. Интерпретирующая функция. Среднее значение локального СКО
Совокупность ячеек шестиугольной фронтальной сети, покрывающей параболоид (вообще говоря, офсетный), представляет собой некоторое семейство (упорядоченное заранее неизвестным способом), однако оценка СКО фиксированной
(неважно каким способом) приводит к случайной картине распределение СКО,
типичный пример которого видим на рис. 6.
L
v
Рис. 6. Интерпретирующая функция
Оценка СКО получена интегрированием квадрата отклонения точек параболоида от плоскости ячейки, причем областью интегрирования служит (ради упрощения) круг, в который вписан шестиугольник, расположенный в координатной
плоскости. Погрешность, вносимая нами, приводит лишь к несколько завышенной
оценке вычисляемых величин. Данное обстоятельство более приемлемо, нежели
заниженные оценки. Таким образом, введя полярные координаты (u,v) в плоскости XOY, приходим к формуле
SKO = 1000 ⋅
1
πa 2
2π a
∫ ∫T
2
dudv ,
(12)
0 0
где T – указанное отклонение. Проведя интегрирование, приходим к следующей
формуле:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценка среднеквадратичного отклонения поверхности параболичесчкого рефлектора
SKO _ =
200 ⋅ 30 ⋅ a 2
.
3 r 2 + 4F 2
График соответствующей функции (при F = 9,0) приведен на рис. 7:
11
(13)
r
a
Рис. 7
СКО, найденное нами, характеризует поведение сетеполотна по отношению к
идеальному параболоиду лишь в пределах одной ячейки. Его естественно назвать
локальным СКО. Введем в рассмотрение другую величину – глобальное СКО, полученное интегральным усреднением локального СКО:
1 R
SKO 2 dr .
(14)
R ∫0
Вводим в плоскости ХОY полярные координаты с полюсом в точке ( x0 , 0, 0, 0) , где
x0 есть сумма клиренса К и радиуса вырезающего цилиндра R. Подставив (6) в (7),
приходим к соотношению для глобального СКО (в мм):
SKO _ GLOB =
SKO _ GLOB =
200 30a 2
3R π
R + x0 cos v
x cos v ⎞
⎛
− arctg 0
⎜ arctg
W
W ⎟dv .
⎟
∫ ⎜⎝
⎠
W
0
2π
(15)
Здесь W = x0 2 + 4 F − x0 2 cos 2 v
График зависимости глобального СКО (в миллиметрах) от величины а при
F = 9,0, R = 6,1, x0 = 8,7 приведен на рис. 8.
Локальное СКО (как и максимальное отклонение) также может быть уменьшено благодаря параллельному переносу плоскости ячейки в направлении оси
аппликат. Оптимум достигается при смещении на величину
H = −a 2 / 8F .
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.С. Бухтяк, А.В. Никульчиков
SKO_GLOB
12
a
Рис. 8
Как и в случае с формулой (4), приходим к выводу: сместив всю фронтальную сеть в направлении оси аппликат на величину (7), мы добьемся минимального значения локального СКО. При этом формула для СКО такова:
200 5 ⋅ a 2
SKO _ OPTIMUM =
,
(17)
3 r 2 + 4F 2
График функции (рис. 9) имеет вид
r
a
Рис. 9
Представляет интерес график функции при более широком диапазоне изменения параметра а (сторона шестиугольника). Именно, пусть а изменяется от 0
до 0,4 м. Тогда график принимает вид (рис. 10):
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценка среднеквадратичного отклонения поверхности параболичесчкого рефлектора
13
r
a
Рис. 10
SKO_GLOB, мм
Таким образом, на всей протяженности рефлектора при длине стороны ячейки в
0,4 м (соответственно при диаметре ячейки 0,8 м) получаем локальное СКО для
каждой ячейки в отдельности равным приблизительно от нуля на периферии до
1,4 мм в центре.
Можно оценить СКО по всей поверхности так, как это было сделано выше для
неоптимизированного локального СКО. Приводим график зависимости глобального
оптимизированного СКО от величины а при F = 9,0, R = 6,1, x0 = 8,7 (рис. 11).
a
Рис. 10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.С. Бухтяк, А.В. Никульчиков
14
Соответствующая функция при этом имеет вид
SKO _ GLOB =
100 20a
2
3R π
⎛ R + x0 cos(v) ⎞
⎛ x0 cos(v) ⎞
⎟ − arctg ⎜
⎟
W
⎝
⎠
⎝ W
⎠ dv
W
2 π arctg ⎜
∫
0
(18)
Здесь W = x0 2 + 4 F − x0 2 cos 2 v .
ЛИТЕРАТУРА
1. Agrawal P.K., Anderson M.S., Card M.F. Preliminary design of large reflectors with flat facets
// IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1981. V. AP-29. P. 688−694.
2. Agrawal P.K., Anderson M.S., Card M.F. Preliminary design of large reflectors with flat facets
[Electronic resource]. NASA Technical Memorandum 80164. Hampton, VA, 1980. URL:
http://ntrs. nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/ 19800010031_1980010031.pdf
3. Hedgepeth J.M. Accuracy potentials for large space antenna reflectors with passive structure //
AIAA J. Spacecraft and Rockets. 1982. V. 19. No. 3. P. 211−217.
4. Hedgepeth J.M. Accuracy potentials for large space antenna structures // Conference paper
1375 of 39th Annual Conference SAWE. St. Louis, MO, 1980.
5. Lai C.Y., Pellegrino S. Feasibility study of a deployable mesh reflector. Technical Report
CUED/D-STRUCT/TR186 [Electronic resource] / Department of Engineering, University of
Cambridge. Cambridge, 1999. URL: http://www-civ.eng.cam.ac.uk/dsl/publications.html
6. Meguro A., Harada S., Ueba M. Structural characteristics of an ultra-light large antenna reflector onboard communication satellites // Meeting paper IAC-04-I1.09 of 55th International
Astronautical Congress. Vancouver, Canada, 2004.
Статья поступила 05.09.2012 г.
Bukhtyak M.S., Nikul’chikov A.V. AN ESTIMATE FOR THE MEAN-SQUARE DEVIATION
OF THE PARABOLOID REFLECTOR SURFACE FROM THE HEXAGONAL FRONTAL
NETWORK.
A hexagonal frontal network is designed for a parabolic dish of the reflector type. Its projection to
the directorial plane of the parent paraboloid is a regular hexagon network. The mean-square deviation is estimated from the “local” point as well as from the “global” point. Results of the deviation of the whole network in parallel with the paraboloid axis are specified.
Keywords: parabolic reflector, frontal network, mean-square deviation.
BUKHTYAK Mikhail Stepanovych (Tomsk State University)
E-mail: bukhtyakm@mail.ru
NIKULCHIKOV Andrey Viktorovych (Tomsk State University)
E-mail: tracesofdeath@mail2000.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 514.8, 62.342
С.А. Камчатный, А.В. Сковородин, А.В. Становской, Н.Р. Щербаков
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СБЛИЖЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ФОРМООБРАЗОВАНИИ ДЕТАЛЕЙ
ПЕРЕДАТОЧНОГО МЕХАНИЗМА С ЭЦ-ЗАЦЕПЛЕНИЕМ
Формообразующая обработка деталей является важнейшим аспектом машиностроительного производства. Проблема обработки (формообразования)
поверхности детали передаточного механизма в самой общей постановке
является задачей сближения двух поверхностей в пространстве до состояния
касания, в котором поверхности имеют общую касательную плоскость. Получены системы уравнений для определения местоположения фрезы в момент касания. Найдены аналитические или численные решения этих систем.
Разработан комплекс специальных компьютерных программ управления
движением фрезы, обрабатывающей деталь.
Ключевые слова: формообразование, эксцентриково-циклоидальное зацепление, касание поверхностей.
1. Обработка деталей сферической фрезой
Обработка детали происходит последовательным вытачиванием координатных
линий на поверхности детали, т.е. считается, что один из параметров на этой поверхности задан. При этом условии для управления процессом формообразования
с применением сферической фрезы достаточно знать координаты (x, y) центра
сферы заданного диаметра df в плоскости, перпендикулярной оси вращения детали (ось OZ), при условии касания сферы с заданной координатной линией на поверхности детали.
1.1 Входная деталь
Входная деталь в ЭЦ-зацеплении [1, 2] образована окружностями, расположенными в параллельных плоскостях, центры которых лежат на винтовой линии
(червячный элемент). Обозначая радиус окружности через ρ, а радиус цилиндра,
на котором лежит винтовая линия, – через ε, запишем параметрические уравнения
обрабатываемой поверхности в виде вектор-функции двух аргументов:
⎛ ε cos υ + ρ cos(α + υ) ⎞
JJG
Sv (υ, α) = ⎜ ε sin υ + ρ sin(α + υ) ⎟ ,
⎜
⎟
c2 ⋅ υ
⎝
⎠
где с2 = lr/2π, а lr – размер детали по оси OZ.
Для нахождения центров фрезы воспользуемся двумя условиями касания двух
поверхностей: это существование общей точки на детали и сферы, а также параллельность нормалей детали и сферы в общей точке. Условие наличия общей точки
запишем в следующем виде:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16
С.А. Камчатный, А.В. Сковородин, А.В. Становской, Н.Р. Щербаков
JJG
JJJG
S ( x, y )− Sv (υ,α) =
df
,
2
⎛ x⎞
JG
где S ( x, y ) = ⎜ y ⎟ – радиус-вектор центра сферы, или в виде
⎜ ⎟
⎝0⎠
lr ⋅ υ ⎞ df 2
.
⎟=
4
⎝ 2π ⎠
[ x − ( ε cos υ + ρ cos(α + υ) )]2 + [ y − ( ε sin υ + ρ sin(α + υ) )]2 + ⎛⎜
(1.1)
Найдем единичную нормаль в точке детали:
JJJG
Ns (υ, α) =
⎛ cos(α + υ) ⋅ lr ⎞
⎜ sin(α + υ) ⋅ lr ⎟ .
lr 2 + 4ε 2 π2 sin 2 α ⎜⎝ − sin(α) ⋅ 2ε ⋅ π ⎟⎠
1
Условие параллельности нормалей детали и сферы запишем в виде обращения
в нуль векторного произведения:
⎛ cos(α + υ) ⋅ lr ⎞
JG
JJG
⎡⎣ S ( x, y ) − Sv (υ, α)⎤⎦ × ⎜ sin(α + υ) ⋅ lr ⎟ = 0 .
⎜
⎟
⎝ − sin(α) ⋅ 2ε ⋅ π ⎠
Это условие даёт два уравнения:
1
υ
−2sin α ⋅ ε ⋅ π ⋅ y + (2ε ⋅ sin υ + 2ρ ⋅ sin(α + υ)) ⋅ sin α ⋅ ε ⋅ π + lr 2 ⋅ sin(α + π) = 0 ,
2
π
1
υ
2sin α ⋅ ε ⋅ π ⋅ x + (−2ε ⋅ cos υ − 2ρ ⋅ cos(α + υ)) ⋅ sin α ⋅ ε ⋅ π − lr 2 ⋅ cos(α + π) = 0 .
2
π
Отсюда получим координаты центра сферы, касающейся червяка в точке (υ, α):
1
υ
1
x = (ε cos υ + ρ cos(α + υ)) + lr 2 ⋅ cos(α + υ) ⋅
,
2
π
2sin α ⋅ ε ⋅ π
1
υ
1
y = (ε sin υ + ρ sin(α + υ)) + lr 2 ⋅ sin(α + υ) ⋅
.
2
π
2sin α ⋅ ε ⋅ π
Подставляя эти выражения в уравнение (1.1), получим связь между параметрами υ и α, откуда получаем два варианта выражения параметра υ через α. Таким
образом, при заданной координатной линии (спирали) на червяке α = α0 получается два значения для криволинейной координаты υ точки касания сферы и поверхности червячного элемента. Наличие двух решений, соответствует тому, что сфера может касаться поверхности детали как снаружи, так и изнутри. Из геометрических соображений оставляется значение υ0, дающее наружное касание. Подставляя α0 и υ0 в предыдущие уравнения, получаем координаты (x, y) центра сферы, касающейся входной детали в точке линии α0. Для обработки входной детали
необходимо расположить фрезу так, чтобы центр сферической насадки находился
в точке с координатами (x, y, 0).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование процесса сближения поверхностей
17
На рис. 1 изображено касание сферической фрезы с входной деталью в точке
координатной линии α = α0 (вытачиваемая линия).
0,05
0,037
0,01
0,024
0,011
0
–0,002
0,01
0
–0,01
Рис. 1. Контактное взаимодействие поверхности
червячного элемента и сферы (фрезы)
1.2. Выходная деталь
Поверхность выходной детали образована движением плоской кривой – эквидистанты эпитрохоиды [3]. Зададим эпитрохоиду в виде вектор-функции аргумента τ:
⎛ −ε cos τ + D cos τ ⎞
JJG
⎜
2
n⎟ ,
Te (τ) = ⎜
⎟
⎜ −ε sin τ + D sin τ ⎟
⎝
2
n⎠
где ε – эксцентриситет, D – делительный диаметр, n + 1 – количество циклов
кривой. Эквидистанта эпитрохоиды может быть записана в виде
JJJG
JJG
JJG
Ne (τ)
E (τ) = Te (τ) + ρ JJJG
,
Ne (τ)
где
⎛ ε cos τ − D cos τ ⎞
JJJG
⎜
2n
n⎟
Ne (τ) = ⎜
⎟
⎜ ε sin τ − D sin τ ⎟
⎝
2n
n⎠
– вектор нормали в точке кривой. Вид кривой изображен на рис. 2, там же изображена окружность О1, касающаяся эквидистанты эпитрохоиды изнутри.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18
С.А. Камчатный, А.В. Сковородин, А.В. Становской, Н.Р. Щербаков
0,02
–0,06
–0,02
0
0,02
0,06
–0,02
–0,06
Рис. 2. Эквидистанта эпитрохоиды
Поверхность выходной детали запишем в виде вектор-функции двух аргументов:
G
υ JJG
⎛ cos υ JJ
E
E (τ)1 ⎞⎟
(τ)
+
sin
0
⎜
n −1
n −1
⎜
⎟
JJJG
υ JJG
υ JJG
Ev (υ, τ) = ⎜ − sin
E (τ)0 + cos
E (τ)1 ⎟ ,
(1.2)
n −1
n −1
⎜
⎟
⎜
⎟
lr
υ
⎜
⎟
2π
⎝
⎠
где υ – угол поворота входной детали, υ/(n–1) – угол поворота эквидистанты.
Здесь и далее обозначения вектор-функций с нижними индексами означают соответствующие координаты этих функций, которые являются скалярными функциями. График поверхности выходной детали представлен на рис. 3:
05
,0
–0
–0,04
0
0,02
0
5
00
0,
–0,04
–0,02
–0,02
0
0,02
0,04
Рис. 3. Поверхность выходной детали
0,04
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование процесса сближения поверхностей
19
Требование касания сферы с выходной деталью приводит к системе трех уравнений на четыре неизвестных. Условие того, что точка детали лежит на сфере с
центром (х, у, 0) диаметром df имеет вид
JG
JJJG
df
S ( x, y ) − Ev (υ, τ) =
.
2
Отсюда получаем первое уравнение:
2
2
G
G
υ JJG
υ JJG
⎡ x − cos υ JJ
⎤ + ⎡ y + sin υ JJ
⎤ +
E
(τ)
−
sin
E
(τ)
E
(τ)
−
cos
E
(τ)
0
1
0
1
⎢⎣
⎥⎦ ⎢⎣
⎥⎦
n −1
n −1
n −1
n −1
+
(lr ⋅ υ) 2
4π2
=
df 2
.
4
(1.3)
Еще два уравнения получаются из условия параллельности нормали в точке детали и вектора, идущего из этой точки в центр сферы. Для нахождения нормали к
поверхности продифференцируем (1.2) по τ и υ, векторное произведение этих векторов и дает вектор нормали к поверхности:
υ d JJG
υ d JJG
⎛
⎞
⎜ lr sin n − 1 ⋅ d τ E (τ)0 − cos n − 1 ⋅ d τ E (τ)1 ⎟
⎜ ⋅
⎟
π
⎜2
⎟
⎜
⎟
JJG
JJG
d
d
υ
υ
⎜
⎟
cos
(τ)
sin
(τ)
⋅
E
+
⋅
E
0
1
JJJJJG
lr
1
1
n
−
d
τ
n
−
d
τ
⎜
⎟.
NEv (υ, τ) =
⋅
⎜2
⎟
π
⎜
⎟
JJG
JJG
⎜
⎟
d JJG
d JJG
E (τ)0 ⋅ E (τ)0 + E (τ)1 ⋅ E (τ)1
⎜
⎟
dτ
dτ
⎜
⎟
⎝
⎠
n −1
(1.4)
Третья координата этого вектора зависит только от τ. Поэтому дальше будем пиJJJJJG
сать NEv (τ)2 . Из условия параллельности нормали в точке детали и вектора,
идущего из этой точки в центр сферы, получаем
JG
JJJG
JJJJJG
⎡⎣ S ( x, y ) − Ev (υ, τ)⎤⎦ × NEv (υ, τ) = 0 .
Это приводит к трем соотношениям, из которых одно является следствие двух
других. Выпишем два существенных соотношения:
G
JJJJJG
υ JJG
⎛ x − cos υ JJ
E (τ)0 − sin
E (τ)1 ⎞⎟ ⋅ NEν (τ) 2 −
⎜
n −1
n −1
⎝
⎠
2
JJ
G
lr υ
υ d
υ d JJG
− 2 ⋅ ⎛⎜ − sin
⋅
E (τ)0 + cos
⋅
E (τ)1 ⎞⎟ = 0 ,
1
1
n
d
n
d
−
τ
−
τ
⎠
4π ⎝
G
JJJJJG
υ JJG
⎛ y + sin υ JJ
E (τ)0 − cos
E (τ)1 ⎞⎟ ⋅ NEν (τ) 2 +
⎜
n −1
n −1
⎝
⎠
2
JJ
G
lr υ
υ d
υ d JJG
+ 2 ⋅ ⎛⎜ cos
⋅
E (τ)0 + sin
⋅
E (τ)1 ⎞⎟ = 0 .
1
1
n
d
n
d
−
τ
−
τ
⎠
4π ⎝
(1.5)
(1.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.А. Камчатный, А.В. Сковородин, А.В. Становской, Н.Р. Щербаков
20
Из (1.5) выражаем x, а из (1.6) – y:
x=
lr 2 υ
υ d JJG
υ d JJG
⎛
JJJJJ
G
⋅
⋅
E (τ)0 + cos
E (τ)1 ⎟⎞ +
⎜ − sin
2
n −1 d τ
n −1 d τ
⎠
4π NEv (τ) 2 ⎝
υ JJG
υ JJG
+ cos
⋅ E (τ)0 + sin
⋅ E (τ)1 ,
n −1
n −1
y=
G
−lr 2 υ
υ d JJG
⎛ cos υ ⋅ d JJ
JJJJJG
E (τ)0 + sin
E (τ)1 ⎞⎟ −
⋅
⎜
2
n −1 d τ
n −1 d τ
⎠
4π NEv (τ) 2 ⎝
JJ
G
JJ
G
υ
υ
− ⎛⎜ sin
⋅ E (τ)0 − cos
⋅ E (τ)1 ⎞⎟ .
n −1
n −1
⎝
⎠
(1.7)
(1.8)
Подставляя эти выражения в (1.3), после упрощений получаем зависимость между
параметрами υ и τ, из которой получается два варианта выражения параметра υ
через τ. Подставляя эти выражения в (1.7) и (1.8), получим координаты центра
сферы как функции параметра τ. Задание τ определяет на поверхности координатную линию, показанную на рис. 4. Именно эту линию и будет вытачивать фреза.
Рис. 4. Касание сферической фрезы с заданной координатной линией
на поверхности выходной детали
Наличие двух решений, соответствует тому, что сфера может касаться детали
как снаружи, так и изнутри. Чтобы оставить только наружное касание, составлена
специальная подпрограмма, которая производит отбор корня. Критерием отбора
корня является требование, чтобы расстояние от центра детали до центра фрезы
больше радиуса окружности О1 (см. рис. 2).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование процесса сближения поверхностей
21
2. Обработка деталей торической фрезой
При формообразовании поверхностей выходной детали малого размера целесообразно использование не сферической фрезы, а фрезы, боковая поверхность
которой, – тор, поскольку при этом достигается меньший радиус кривизны вытачивающей поверхности фрезы.
Параметрические уравнения поверхности торической фрезы имеют вид
⎛ 0 ⎞ ⎛ rf ⋅ sin u ⎞
JJJG
tor (u , v) = ⎜ c1 ⋅ sin v ⎟ + ⎜ rf ⋅ cos u ⋅ sin v ⎟ ,
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ c1 ⋅ cos v ⎠ ⎝ rf ⋅ cos u ⋅ cos v ⎠
где df – диаметр фрезы, с1 = df/2 – rf, rf – радиус кривизны боковой поверхности
тора. При обработке детали ось фрезы (ось симметрии тора) поворачивается в
плоскости, перпендикулярной оси червячного элемента, на угол φ, а поверхность
тора смещается вдоль этой оси на величину Ht. Эти две величины определяют положение фрезы в каждый момент времени обработки детали и должны быть найдены из условия касания взаимодействующих поверхностей. Запишем уравнения
поверхности фрезы с учетом этих смещений в виде
⎛ cos φ sin φ 0 ⎞ ⎛ JJJG
⎛ Ht ⎞⎞
JJJG
Tor (u , v) = ⎜ sin φ cos φ 0 ⎟ ⋅ ⎜ tor (u , v) + ⎜ 0 ⎟⎟ .
⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟⎟
0
1⎠ ⎝
⎝ 0
⎝ 0 ⎠⎠
Тогда единичный вектор нормали поверхности тора в точке с криволинейным
координатами (u, v) имеет вид
⎛ cos φ sin u − sin φ cos u sin v ⎞
JJG
N (u , v) = ⎜ sin φ sin u + cos φ cos u sin v ⎟ .
⎜
⎟
cos u cos v
⎝
⎠
2.1. Входная деталь
Зададим обрабатываемую поверхность и единичный вектор нормали (как и в
п. 1.1) в виде
⎛ ε cos υ + ρ cos(α + υ) ⎞ JJJG
⎛ cos(α + υ) ⋅ c2 ⎞
JJG
1
Sv (υ, α) = ⎜ ε sin υ + ρ sin(α + υ) ⎟ , Ns (υ, α) =
⋅ ⎜ sin(α + υ) ⋅ c2 ⎟ .
⎜
⎟
c2 2 + ε 2 sin 2 α ⎜⎝ − sin(α) ⋅ ε ⎟⎠
c2 ⋅ υ
⎝
⎠
Параметр α на поверхности червячного элемента считается заданным (α = α0)–
тем самым на этой поверхности выделяется винтовая линия, вдоль которой движется фреза при обработке детали.
Чтобы найти точки касания поверхности червячного элемента и тора (фрезы),
используем два условия: параллельность нормалей этих поверхностей в точке касания и принадлежность этой точки обеим поверхностям.
Из условия параллельности нормалей с учетом поворота оси фрезы на угол φ
JJJG
JJG
Ns (υ, α) × N (u , v) = 0
получаем 2 уравнения на 4 неизвестных – υ, u, v, φ:
sin(α) ⋅ ε ⋅ sin u sin φ + sin(α + υ) ⋅ c2 ⋅ cos u cos v + sin(α ) ⋅ ε ⋅ cos φ cos u sin v = 0 ,
sin(α) ⋅ ε ⋅ cos u sin v sin φ − sin(α) ⋅ ε ⋅ cos φ sin u − cos(α + υ) ⋅ c2 ⋅ cos u cos v = 0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.А. Камчатный, А.В. Сковородин, А.В. Становской, Н.Р. Щербаков
22
Условие наличия общей точки у поверхностей
JJJG
JJG
Tor (u , v) = Sv (υ, α)
приводит ещё к трём уравнениям на 5 неизвестных υ, u, v, φ и ht. Из полученной
системы уравнений удаётся выразить υ, φ и ht через u, v в виде
(c + rf ⋅ cos u ) cos v
υυ(u , v) = 1
,
c2
Ht (u , v) =
sin φ(u , v) =
⎡ sin(α 0 + υυ(u, v)) sin α 0 cos u sin v ⎤
c2 ⋅ ε ⋅ cos u cos v ⎢
− sin α 0 sin u ⎥⎦
⎣− cos(α 0 + υυ(u , v))
cos φ(u , v) =
sin(α 0 + υυ(u, v)) ⎤
⎡ sin α 0 sin u
c2 ⋅ ε ⋅ cos u cos v ⎢
⎣sin α 0 cos u sin v − cos(α 0 + υυ(u , v))⎥⎦
(sin 2 u + cos 2 u sin 2 v) sin 2 α 0 ⋅ ε 2
(sin 2 u + cos 2 u sin 2 v) sin 2 α 0 ⋅ ε 2
,
,
(2.1)
(ε⋅cos u sin α 0 ⋅(rf ⋅cos u + c1 ))sin 2 v + (sin u ⋅c1 (ρ+ε⋅cos α 0))sin v + sin α 0 sin 2 u ⋅rf ⋅ε
.
(− sin α 0 sin u ⋅ε+ (ρ+ cos α 0 ⋅ε)sin v cos u )
Задача сводится к решению системы двух уравнений на два неизвестных u,v :
(−c1 ⋅ sin v − rf ⋅ cos u ⋅ sin v) sin φ(u, v) + (rf ⋅ sin u + Ht (u , v)) cos φ(u , v) −
− (ε cos(υυ(u , v)) + ρ cos(α 0 + υυ(u , v))) = 0,
(rf ⋅ sin u + Ht (u , v)) sin φ(u , v) + (c1 ⋅ sin v + rf ⋅ cos u ⋅ sin v) cos φ(u, v) −
− ε sin(υυ(u, v)) + ρ sin(α 0 + υυ(u, v)) = 0.
Численное решение этой системы найдено с помощью средств математического пакета MathCad. Подставляя теперь найденные значения u,v в (2.1), находим
величины φ и Ht, определяющие положение фрезы в каждый момент времени обработки детали.
Контактное взаимодействие поверхностей тора и червяного элемента в точке
заданной винтовой линии α = α0 изображено на рис. 5.
0,05
0,01
–0,05
0
–0,01
–0,05
0
Рис.5. Контактное взаимодействие поверхности
червячного элемента и торической фрезы
0,05
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование процесса сближения поверхностей
23
2.2 Выходная деталь
Зададим уравнения обрабатываемой поверхности как и в п. 1.2 в виде (1.2), а
вектор нормали – в виде (1.4). Тогда условие параллельности нормалей к поверхностям детали и тора в точке касания запишется в виде
υ
υ
⎛
⎛
⎞⎞
⎜ −c2 ⋅ ⎜⎝ − sin n − 1 ⋅ e0′ (τ) + cos n − 1 ⋅ e1′ (τ) ⎟⎠ ⎟
⎜
⎟
JJG
υ
υ
⋅ e0′ (τ) + sin
⋅ e1′ (τ) ⎞⎟ ⎟ = 0 ,
N (u , v) × ⎜ c2 ⋅ ⎛⎜ cos
⎜
n −1
n −1
⎝
⎠ ⎟
⎜
⎟
ee′(τ)
⎝
⎠
где обозначено:
JJG
JJG
e0′ (τ) E (τ)0 + e1′ (τ) E (τ)1
d JJG
d JJG
e0′ (τ) =
E (τ)0 , e1′ =
E (τ)1 , ee′(τ) =
.
dτ
dτ
n −1
Отсюда находим выражения параметров u, v точек касания фрезы с заданной линией на поверхности детали (τ = α0):
c2 ⋅ r2 (ψ )
⎛
⎞
u = arctg ⎜
,
(2.2)
1 ⎟
2
2 2 ⎟
⎜
⎛ ee′(α 0 ) + r1 (ψ ) ⋅ c2 ⎞
⎜⎜ ee′(α 0 ) ⎜
⎟ ⎟⎟
ee′(α 0 ) 2
⎝
⎝
⎠ ⎠
tg ψ ⋅ e1′ (α 0 ) + e0′ (α 0 ) ⎞
⎛
v = arcsin ⎜ tg u
.
(2.3)
tg ψ ⋅ e0′ (α 0 ) − e1′ (α 0 ) ⎟⎠
⎝
Здесь обозначено: ψ = φ+υ/(n – 1).
Условие наличия общей точки у поверхностей тора и выходной детали приводит ещё к трём уравнениям:
(−c1 ⋅ sin v − rf ⋅ cos u ⋅ sin v) sin φ + (rf ⋅ sin u + Нt ) cos φ =
υ JJG
υ JJG
E 0 (τ) + sin
E1 (τ),
= cos
n −1
n −1
(rf ⋅ sin u + Ht ) sin φ + (c1 ⋅ sin v − rf ⋅ cos u ⋅ sin v) cos φ =
υ JJG
υ JJG
E 0 (τ) + cos
E1 (τ),
= − sin
n −1
n −1
(2.4)
c1 ⋅ cos v + rf ⋅ cos u cos v = c2 ⋅ υ
Исключая из первых двух уравнений системы (2.4) Ht и подставляя в результат
полученные выше выражения для u и v, получаем уравнение для определения ψ:
⎛
c1
rf
⎜
+
2
⎜ ee′(α ) 2 + r (ψ ) 2 c 2
ee′(α 0 ) + (e0′ (α 0 ) 2 + e1′ (α 0 ) 2 ) ⋅ c2 2
⎝
0
1
2
c ⋅ ee′(α 0 )
×r1 (ψ ) 2
+ r2 (ψ ) = 0,
ee′(α 0 )
где обозначено:
r1 (ψ ) = cos ψ ⋅ e0′ (α 0 ) + sin ψ ⋅ e1′ (α 0 ) ,
JJG
JJG
r2 (ψ ) = sin ψ ⋅ E 0 (α 0 ) − cos ψ ⋅ E1 (α 0 ) .
⎞
⎟×
⎟
⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24
С.А. Камчатный, А.В. Сковородин, А.В. Становской, Н.Р. Щербаков
Рис. 6. Фрагмент выходной детали
в касании с торической фрезой
Теперь из (2.2), (2.3) можно найти координаты точки контакта u, v, а с их помощью
из третьего уравнения системы (2.4) легко
находится параметр υ, по которому, в свою
очередь, определяется угол поворота оси
фрезы:
−υ
φ=
+ψ .
n −1
Высота подъёма Ht находится из линейной
комбинации первых двух уравнений системы
(2.4).
Построенная геометрическая модель определяет параметры положения фрезы в контакте с заданной линией обрабатываемой детали (рис. 6), что позволяет создавать программу для станка с ЧПУ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Патент РФ 2439401. Эксцентриково-циклоидальное зацепление зубчатых профилей (варианты) / В.В. Становской, С.М. Казакявичюс, Т.А. Ремнева, В.М. Кузнецов, А.В. Становской. Заявлено 29.01.2010; опубл. 10.01.2012, Бюлл. № 1.
2. Kazakyavichyus S.M., Shcherbakov N.R., Remneva T.A., et al. Perfomance of eccentric-cycloid
engagement with change in the interaxial distance: modification of tooth configuration // Rus.
Engineer. Research. 2011. V. 31. No. 3. P. 197−199.
3. Савелов А.А. Плоские кривые. М.: ГИФМЛ, 1960. С. 118.
Статья поступила 25.10.2012г.
Kamchatnyi S.A., Skovorodin A.V., Stanovskoi A.V., Shcherbakov N.R. MATHEMATICAL
SIMULATION OF THE PROCESS OF SURFACE APPROACHING WHEN GENERATING
THE GEOMETRY OF DETAILS OF THE DRIVING GEAR WITH EC-GEARING. Generation
of the geometry in detail processing is the most important aspect of the machine-building industry. The problem of processing of the surface of the driving gear detail, in the most general formulation, is the task of two surfaces approaching up to the point of contact where the surfaces
have the common tangent plane. Systems of equations for the determination of the milling cutter
location, at the contact point, have been derived. Analytical and numeral solutions of these systems have been found. A complex of special computer programs to control the milling cutter motion while processing the detail was developed.
Keywords: generation of geometry, ec-gearing, contact of surfaces.
KAMCHATNIY Sergey Alexandrovich (Tomsk State University)
E-mail: kam-serega2030@sibmail.com.vcf
SKOVORODIN Alexandr Vladimirovich (CJSC «Technology Market» Tomsk)
E-mail: ssurik@mail.ru
STANOVSKOY Alexandr Viktorovich (CJSC «Technology Market» Tomsk)
E-mail: sav.tomsk@sibmail.com
SHCHERBAKOV Nikolay Romanovich (Tomsk State University)
E-mail: nrs@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 512.541
М.И. Рогозинский
О k-ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНОСТИ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ
АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ
Вводится понятие k-вполне транзитивности для групп без кручения, исследуется вопрос о k-вполне транзитивности вполне разложимых групп из некоторых классов.
Ключевые слова: абелева группа, k-вполне транзитивность.
Одним из ключевых понятий теории абелевых групп является понятие вполне
транзитивности. Впервые это понятие было рассмотрено Капланским в [1] для pгрупп: p-группа G называется вполне транзитивной, если для любых элементов
a, b ∈ G группы G из выполнения неравенства H (a ) ≤ H (b) следует существование эндоморфизма θ ∈ E (G ) , такого, что θ(a ) = b (здесь H (a ), H (b) – индикаторы элементов a и b соответственно).
Понятие вполне транзитивной группы без кручения впервые появилось в работе П.А. Крылова [2]: группа без кручения G называется вполне транзитивной, если для любых элементов a, b ∈ G из χ(a ) ≤ χ(b) , где χ(a), χ(b) – характеристики
элементов a и b, следует существование θ ∈ E (G ) со свойством θ(a ) = b . Заметим, что в [2] группа с указанным выше свойством называлась транзитивной.
В [3] рассматривается понятие «вполне транзитивность» для произвольной
абелевой группы. Затем это понятие уточняется в [4]. При этом введенное понятие
вполне транзитивной абелевой группы согласуется с рассматриваемыми ранее определениями вполне транзитивной p-группы и вполне транзитивной группы без
кручения.
Интерес к изучению вполне транзитивных абелевых групп продиктован следующими соображениями. Вполне транзитивными группами являются группы,
обладающие различной структурой, однако имеющие фундаментальное значение
в теории p-групп и групп без кручения. К вполне транзитивным группам относятся, например, p-группы без элементов бесконечной высоты, p-адические алгебраически компактные группы и однородно сепарабельные группы, которым посвящены работы Р. Бэра, Ю.Л. Ершова, Л.Я. Куликова, А.П. Мишиной, Л. Фукса и
других алгебраистов, квазисервантно инъективные группы без кручения, сильно
однородные группы, интенсивно изучаемые в последнее время. Также понятие
вполне транзитивной группы тесно связано с изучением вполне характеристических подгрупп абелевых групп [4]. Вполне транзитивные группы без кручения
интенсивно изучались в работах [5−9] и др.
В [10] Кэрролл вводит понятие k-вполне транзитивной p-группы, тем самым
обобщая понятие вполне транзитивности для p-групп.
Пусть G – p-группа и k ∈ N . Группа G называется k-вполне транзитивной, если из выполнения условий для кортежей X = ( x1 , x2 ,..., xk ), Y = ( y1 , y2 ,..., yk ) элементов группы G:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.И. Рогозинский
26
(1) H ( xi ) ≤ H ( yi ), i = 1, k ;
(2) кортеж X высотно независим, в том смысле, что при i ≠ j h(rxi ) ≠ h( sx j )
для любых r , s ∈ Z , кроме случая rxi = sx j = 0 ,
следует существование эндоморфизма
θ ∈ E (G )
группы G со свойством
θ( xi ) = yi , i = 1, k .
Для рассмотрения групп без кручения нам понадобятся следующие понятия
[11].
Характеристикой называется последовательность неотрицательных целых
чисел и символов ∞ . Обозначим через X множество всех таких последовательно-
стей. Если χ1 = (k1 ,..., kn ,...) и χ 2 = (l1 ,..., ln ,...) , то полагают χ1 ≤ χ 2 тогда и только
тогда, когда ki ≤ li для всех i ∈ N .
Пусть G – группа без кручения. Для элемента g ∈ G максимальное целое неотрицательное число k при данном простом числе p, для которого в группе G разрешимо уравнение p k x = g , называется p-высотой элемента g и обозначается
h p ( g ) . Если уравнение разрешимо для любого k ∈ N , то полагаем h p ( g ) = ∞ .
Последовательность p-высот
χ( g ) = (h p1 ( g ), h p2 ( g ),...) ,
где p1 , p2 ,... – последовательность всех простых чисел, упорядоченных по возрастанию, называется характеристикой или высотной последовательностью
элемента g. Так как характеристика элемента g зависит от группы G, то иногда
пишут χG ( g ) .
Если χ1 = (k1 ,..., kn ,...) и χ 2 = (l1 ,..., ln ,...) – характеристики, то их сумма определяется как характеристика
χ1 + χ 2 = (k1 + l1 ,..., kn + ln ,...) ,
а их разность при χ 2 ≤ χ1 определяется как характеристика
χ1 − χ 2 = (k1 − l1 ,..., kn − ln ,...) ,
где ∞ плюс (минус) нечто есть ∞. Заметим, что в [11] для указанных операций с
характеристиками используется мультипликативная запись, здесь же будет удобна аддитивная форма записи. Характеристика называется идемпотентной, если
χ+χ = χ .
Две характеристики χ1 = (k1 ,..., kn ,...) и χ 2 = (l1 ,..., ln ,...) называются эквивалентными, если неравенство kn ≠ ln имеет место лишь для конечного числа номеров n и только тогда, когда kn и ln конечны. Класс эквивалентности во множестве
характеристик называется типом. Если χ( g ) принадлежит типу t, то говорят, что
элемент g имеет тип t, и пишут t ( g ) = t или tG ( g ) = t , если необходимо указать,
что тип элемента g рассматривается в группе G.
Группа без кручения G называется однородной (типа t), если все ее ненулевые
элементы имеют один и тот же тип t.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О k-вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения
27
Тип обычно представляется характеристикой, принадлежащей этому типу.
Другими словами, пишут
t = (k1 ,..., kn ,...) ,
понимая, что характеристику (k1 ,..., kn ,...) можно заменить эквивалентной. Для
двух типов t1 и t2 полагают t1 ≤ t2 , если существуют две такие характеристики
χ1 и χ 2 , принадлежащие типам t1 и t2 соответственно, что χ1 ≤ χ 2 .
Обозначим через Π – множество всех простых чисел, упорядоченных по возрастанию. Тип t называется pk -делимым, если для всех характеристик
χ ∈ t , где χ = (χ1 , χ 2 ,..., χ k ,...), имеем χ( k ) = ∞ . Заметим, что если G – однородная
группа типа t и тип t pk -делим, то pk G = G .
Семейство групп без кручения {Gi }i∈I называется жесткой системой, если
Hom(Gi , G j ) ≅
{
R ⊆ Q, i = j,
0, i ≠ j.
Далее в работе под словом группа будем понимать абелеву группу без кручения.
В настоящей работе рассматривается обобщение понятия вполне транзитивности для групп без кручения.
Определение 1 [12]. Пусть G – группа без кручения и k ∈ N . Группу G назовем k-вполне транзитивной, если для любых двух кортежей длины k
X = ( x1 , x2 ,..., xk ), Y = ( y1 , y2 ,..., yk ) элементов группы G из выполнения условий
(1) χ( xi ) ≤ χ( yi ), i = 1, k ;
(2) типы t ( xi ) и t ( x j ) несравнимы при i ≠ j
следует существование эндоморфизма
θ ∈ E (G )
группы G со свойством
θ( xi ) = yi , i = 1, k .
При k = 1 получаем понятие вполне транзитивной группы.
Кортеж X, удовлетворяющий условию (2) определения 1, назовем tнезависимым. Наибольшую длину t-независимого кортежа группы G будем называть t-длиной и обозначать kt (G ) . К примеру, t-длина всякой однородной группы
равна 1. В случае, если в группе G для любого k ∈ N существует t-независимый
кортеж длины k, будем считать, что kt (G ) = ∞ . Ясно, что при k > kt (G ) группа G
является k-вполне транзитивной по определению. Тогда очевидно, что всякая однородная группа (в том числе делимая и ранга 1) является k-вполне транзитивной
для любого k > 1 .
Покажем, что условие (2) определения 1 нельзя заменить условием независимости элементов кортежа X.
Пусть G – группа ранга, не меньшего двух, k > 1; a, b ∈ G , причем χ(a) < χ(b)
и элементы a, b независимы.
Полагаем x1 = a + b, x2 = a, y1 = b, y2 = a . Если r (G ) = 2 , то в группе G нет
элементов, независимых с ( x1 , x2 ) . Если же r (G ) > 2 , то в качестве элементов
x3 , x4 ,..., xk выберем элементы, независимые с a, b. Тогда полагаем yi = xi ,
i = 3, k . Ясно, что для кортежей X = ( x1 , x2 ,..., xk ); Y = ( y1 , y2 ,..., yk ) условие (1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.И. Рогозинский
28
определения 1 выполнено. Также, по построению, элементы кортежа X независимы. Предположим, существует эндоморфизм θ ∈ E (G ) группы G, переводящий
элементы кортежа X в элементы кортежа Y. Тогда получаем
θ( x1 ) = θ(a + b) = θ(a ) + θ(b) = y1 = b и θ( x2 ) = θ(a ) = y2 = a .
Учитывая оба равенства, приходим к соотношению θ(b) = b − a .
Рассмотрим характеристики элементов из этого равенства:
χ(θ(b)) = χ(b − a ) = inf(χ(a); χ(b)) ≤ χ(a ) < χ(b) .
Приходим к противоречию, так как эндоморфизм не может понижать характеристики. ■
Укажем некоторые свойства t-длин прямых сумм групп без кручения.
Пусть G = A ⊕ B . Тогда
1. kt (G ) ≥ kt ( A) .
Действительно, если X = ( x1 , x2 ,..., xk ) – t-независимый кортеж элементов
группы A, то X также t-независимый кортеж группы G, значит kt (G ) ≥ k .
2. Если для любых элементов a ∈ A, b ∈ B типы t (a) и t (b) несравнимы, то
kt (G ) ≥ kt ( A) + kt ( B) .
Пусть X = ( x1 , x2 ,..., xk ) – t-независимый кортеж группы A, Y = ( y1 , y2 ,..., yl ) –
t-независимый кортеж группы B. Поскольку типы элементов групп A и B несравнимы, кортеж Z = ( x1 , x2 ,..., xk , y1 , y2 ,..., yl ) также t-независим, т.е. kt (G ) ≥ k + l .
3. Если для любых элементов a ∈ A, b ∈ B типы t (a) и t (b) сравнимы, то
kt (G ) = max(kt ( A); kt ( B )) .
Для определенности будем считать, что kt ( B) ≥ kt ( A) . Пусть Y = ( y1 , y2 ,..., yl )
– t-независимый кортеж группы B наибольшей длины. Рассмотрим кортеж
Y = ( y1 , y2 ,..., yl , a), где a ∈ A . Поскольку типы любых элементов групп A и B
сравнимы, кортеж Y не является t-независимым, т.е. в группе G нет t-независимого кортежа длины, большей чем l.
Приведем оценку верхней границы t-длины вполне разложимой группы конечного ранга. Для этого потребуется следующее понятие.
Семейством Шпернера множества E называется семейство подмножеств F
множества E, в котором ни один элемент не является подмножеством другого.
Другими словами, если X , Y ∈ F , то X ⊂/ Y и Y ⊂/ X .
Теорема Шпернера [13]. Для любого семейства Шпернера F подмножеств
множества мощности n справедливо
n
F ≤ Cnm , где m = ⎡⎢ ⎤⎥ .
⎣2⎦
Рассмотрим теперь данный результат в контексте вопроса о t-длине вполне
разложимой группы конечного ранга.
n
Лемма 1. Пусть G = ⊕ Ai – вполне разложимая группа ранга n, r ( Ai ) = 1 . Тоi =1
гда kt (G ) ≤
⎡n⎤
⎢ ⎥
Cn⎣ 2 ⎦
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О k-вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения
29
Доказательство. Действительно, пусть для некоторого k ∈ N имеется кортеж
элементов группы G X = ( x1 , x2 ,....xk ) . Для t-независимости кортежа X необходимо, чтобы индексное множество I ( xi ) не являлось подмножеством множества
I ( x j ) для всех j ≠ i . Другими словами, необходимо, чтобы индексные множества
I ( xi ), i = 1, k , образовывали семейство Шпернера для множества {1, 2,..., n} . По
теореме Шпернера, наибольшее число таких множеств для вполне разложимой
⎡n⎤
⎢ ⎥
⎡n⎤
⎢ ⎥
группы G ранга n равно Cn⎣ 2 ⎦ . Таким образом, kt (G ) ≤ Cn⎣ 2 ⎦ . ■
n
Замечание. Верхняя оценка достигается, например, для групп вида G = ⊕ Ai ,
i =1
где Ai ≅ Q pi .
Поскольку вполне разложимая группа k-вполне транзитивна при k > kt (G ) ,
далее в тексте для вполне разложимых групп ранга n, в силу теоремы Шпернера,
⎡n⎤
⎢ ⎥
Cn⎣ 2 ⎦
полагаем k ≤
.
Рассмотрим вопрос о k-вполне транзитивности вполне разложимых групп из
некоторых классов.
Теорема 2. Пусть G = A1 ⊕ A2 , где r ( A1 ) = r ( A2 ) = 1 . Тогда G является k-вполне
транзитивной для всех k > 1 .
Доказательство. Ясно, что при k > 2 в группе G нет t-независимого кортежа
длины k. Поэтому при k > 2 группа G является k-вполне транзитивной по определению.
Пусть k = 2 . В случае если типы t ( A1 ) и t ( A2 ) сравнимы, в группе G нет tнезависимых кортежей длины 2, тогда G по определению 2-вполне транзитивна.
Пусть t ( A1 ) и t ( A2 ) несравнимы. Рассмотрим кортежи X = ( x1 , x2 ),
Y = ( y1 , y2 ) элементов группы G, удовлетворяющие условиям (1), (2) определения 1. В силу того, что кортеж X t-независим, заключаем, что x1 и x2 принадлежат
различным прямым слагаемым Ai , i = 1, 2 , ранга 1. Не умаляя общности, можно
считать, что x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 . Тогда для любых a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 справедливо
χ(a1 + a2 ) ≤ χ( x1 ) и χ(a1 + a2 ) ≤ χ( x2 ) . Поэтому из выполнения условия (1) определения 1 для кортежей X, Y и из несравнимости типов t ( A1 ) и t ( A2 ) заключаем, что
y1 ∈ A1 , y2 ∈ A2 .
Поскольку всякая группа ранга 1 является вполне транзитивной, существуют
эндоморфизмы θ1 ∈ E ( A1 ) , θ2 ∈ E ( A2 ) со свойствами θi ( xi ) = yi (i = 1, 2) . Рассмотрим эндоморфизм θ группы G, действующий по правилу: для любого
g ∈ G, g = a1 + a2 , a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 полагаем θ( g ) = θ1 (a1 ) + θ2 (a2 ) . Тогда получаем:
θ( xi ) = θi ( xi ) = yi , i = 1, 2 . Таким образом, искомый эндоморфизм найден. ■
Для произвольной вполне разложимой группы ранга 3 уже нет однозначного
ответа о k-вполне транзитивности. Приведем примеры.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30
М.И. Рогозинский
1. Рассмотрим группу G = A1 ⊕ A2 ⊕ A3 , где r ( A1 ) = r ( A2 ) = r ( A3 ) = 1 и
t ( A1 ) = (0, ∞, ∞,..., ∞,...); t ( A2 ) = (∞, 0, ∞,..., ∞,...); t ( A3 ) = (∞, ∞, 0,..., ∞,...) . Покажем, что G не является 3-вполне транзитивной. Пусть элементы
a ∈ A1 , b ∈ A2 , c ∈ A3 имеют наименьшие характеристики в соответствующих
группах. Рассмотрим кортежи X = ( x1 , x2 , x3 ), Y = ( y1 , y2 , y3 ) , элементов группы
G, где x1 = a + b, x2 = b + c, x3 = a + c , y1 = x1 , y2 = b + x2 , y3 = x3 . Запишем характеристики элементов кортежа X:
χ( x1 ) = χ(a + b) = (0, 0, ∞, ∞, ∞,...) ;
χ( x2 ) = χ(b + c) = (∞, 0, 0, ∞, ∞,...) ;
χ( x3 ) = χ(a + c) = (0, ∞, 0, ∞, ∞,...) .
Видим, что кортеж X удовлетворяет условию (2) определения 1. Кортежи X, Y
по построению удовлетворяют условию (1).
Предположим, группа G 3-вполне транзитивна. Тогда существует
θ ∈ E (G ), что θ( xi ) = yi , i = 1,3 . Поскольку прямые слагаемые { A1 ; A2 ; A3 } образуют жесткую систему, получаем, что θ(a ) ∈ A1 , θ(b) ∈ A2 , θ(c) ∈ A3 . Но тогда
θ( x1 ) = θ(a + b) = θ(a ) + θ(b) = y1 = a + b , откуда θ(b) = b и θ( x2 ) = θ(b + c) =
= θ(b) + θ(c) = y2 = 2b + c , откуда θ(b) = 2b . Приходим к противоречию. ■
2. Рассмотрим теперь группу G = B1 ⊕ B2 ⊕ B3 , где r ( B1 ) = r ( B2 ) = r ( B3 ) = 1 и
t ( B1 ) = (∞, 0, 0,..., 0,...); t ( B2 ) = (0, ∞, 0,..., 0,...); t ( B3 ) = (0, 0, ∞, 0,..., 0,...) . Заметим,
что для любых ненулевых элементов a ∈ B1 , b ∈ B2 , c ∈ B3 имеет место равенство t (a + b) = t (a + c) = t (b + c) = (0, 0,..., 0,...) . Таким образом, если кортеж
X = ( x1 , x2 , x3 ) является t-независимым, то, не умаляя общности, можем считать,
что x1 ∈ B1 , x2 ∈ B2 , x3 ∈ B3 .
Пусть кортежи X = ( x1 , x2 , x3 ), Y = ( y1 , y2 , y3 ) элементов группы G удовлетворяют условиям определения 1. В силу приведенных рассуждений, заключаем, что
x1 ∈ B1 , x2 ∈ B2 , x3 ∈ B3 . Тогда из выполнения условия (1) определения 1 следует,
что y1 ∈ B1 , y2 ∈ B2 , y3 ∈ B3 .
Таким образом, получаем, что χ( xi ) ≤ χ( yi ), i = 1,3; x1 , y1 ∈ B1 , x2 , y2 ∈ B2 ,
x3 , y3 ∈ B3 . Из вполне транзитивности групп B1 ; B2 ; B3 следует существование
эндоморфизмов θ1 ∈ E ( B1 ); θ2 ∈ E ( B2 ); θ3 ∈ E ( B3 ) , со свойствами: θi ( xi ) = yi ,
i = 1,3 .
Рассмотрим эндоморфизм θ ∈ E (G ) группы G, действующий по правилу: для
любого элемента g = a1 + a2 + a3 , a1 ∈ B1 , a2 ∈ B2 , a3 ∈ B3 , имеем θ( g ) = θ1 (a1 ) +
+ θ2 (a2 ) + θ3 (a3 ) .
Тогда для элементов кортежей X, Y получаем θ( xi ) = θi ( xi ) = yi , i = 1,3 . Искомый эндоморфизм найден, следовательно, группа G – 3-вполне транзитивна. ■
Приведем критерий вполне транзитивности для однородно разложимых (в частности, вполне разложимых) групп. Для этого понадобится следующее определение:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О k-вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения
31
Определение 2 [4]. Будем говорить, что однородно разложимая группа
G = ⊕ Gt удовлетворяет условию контрастности для типов, если для всяких двух
t∈T
типов t1 , t2 ∈ T , t1 ≠ t2 и любого простого числа p, такого, что
pGt ≠ Gt ,
1
1
имеет место pGt = Gt .
2
2
Предложение 3 [15]. Однородно разложимая редуцированная абелева группа
G = ⊕ Gt вполне транзитивна тогда и только тогда, когда каждая однородная
t∈T
компонента ее канонического разложения вполне транзитивна и G удовлетворяет
условию контрастности для типов.
Следствие 4 [15]. Вполне разложимая группа G = ⊕ Ai вполне транзитивна
i∈I
тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию контрастности для типов.
Далее, нам понадобятся следующие обозначения. Для произвольной группы
без кручения G обозначим π(G ) = { p ∈ Π; pG ≠ G} .
Пусть G = ⊕ Ai – прямая сумма групп без кручения Ai , πi ∈ E (G ) – проекция
i∈I
группы G на прямое слагаемое Ai , i ∈ I . Для любого элемента g ∈ G введем следующее множество индексов: I ( g ) = {i ∈ I : πi ( g ) ≠ 0} .
Пусть G = ⊕ Ai – однородно разложимая группа. Для всякого J ⊂ I обознаi∈I
чим t J = inf t ( Ai ) . В частности, если J = {i}, i ∈ I , то t J = ti = t ( Ai ) .
i∈J
Рассмотрим вопрос о k-вполне транзитивности вполне разложимых групп,
имеющих следующую структуру. Пусть G = ⊕ Ai – вполне разложимая группа,
i∈I
r ( Ai ) = 1 , причем типы t ( Ai ) и t ( A j ) несравнимы при i ≠ j . Другими словами,
множество прямых слагаемых ранга 1 { Ai }i∈I образует жесткую систему групп.
Для вполне разложимых групп с указанной структурой справедливы следующие результаты.
Теорема 5. Пусть G = ⊕ Ai – вполне разложимая группа, r ( Ai ) = 1 , множество
i∈I
{ Ai }i∈I образует жесткую систему. Если группа G является k-вполне транзитивной для некоторого k ∈ N , то для любых конечных подмножеств J1 , J 2 ,...J k ⊂ I ,
таких, что тип t J n несравним с типом t J m , выполнено J n ∩ J m = ∅ при m ≠ n .
Доказательство. Пусть подмножества J1 , J 2 ,...J k ⊂ I конечны и таковы, что
тип t J n
несравним с типом t J m при m ≠ n . Для всех i = 1, k
Gi = ⊕ A j и xi ∈ Gi , такой, что
j∈J i
обозначим
I ( xi ) = J i . Предположим, для некоторых
m, n = 1, k J m ∩ J n ≠ ∅ . Тогда найдется r ∈ J m ∩ J n . В силу выбора элементов xi
получаем, что xm = ar + a; xn = br + b , где ar , br ∈ Ar и r ∉ I (a ); r ∉ I (b) . Тогда существуют u, v ∈ Z , такие, что
uar = vbr .
(*)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.И. Рогозинский
32
Рассмотрим кортеж X = ( x1 , x2 ,..., xk ) элементов группы G. Из условий теоремы следует, что X t-независим. Выберем элементы кортежа Y = ( y1 , y2 ,..., yk ) следующим образом: при i ≠ m, i ≠ n полагаем yi = xi , ym = ar , yn = 2br . Ясно, что
кортежи X и Y удовлетворяют условиям определения 1. Тогда, в силу k-вполне
транзитивности группы G, существует эндоморфизм θ ∈ E (G ) , такой, что
θ( xi ) = yi , i = 1, k . Рассмотрим данные равенства подробнее при i = m, i = n :
θ( xm ) = θ(ar + a) = θ(ar ) + θ(a) = ym = ar ,
θ( xn ) = θ(br + b) = θ(br ) + θ(b) = yn = 2br .
Поскольку семейство прямых слагаемых { Ai }i∈I образует жесткую систему,
заключаем, что
θ(ar ) = ar и θ(br ) = 2br .
(**)
Из равенств (*) и (**) получаем
uar = uθ(ar ) = θ(uar ) = θ(vbr ) = vθ(br ) = 2vbr .
Приходим к противоречию, то есть J n ∩ J m = ∅ при m ≠ n . ■
Следствие 6. Пусть G = ⊕ Ai – вполне разложимая группа, r ( Ai ) = 1, множеi∈I
ство { Ai }i∈I образует жесткую систему. Если группа G 2-вполне транзитивна, то
для любых различных индексов m, n, k ∈ I тип t ( Am ) ∩ t ( An ) сравним с типом
t ( Am ) ∩ t ( Ak ) .
Доказательство. Предположим противное, то есть для некоторых
m, n, k ∈ I типы t ( Am ) ∩ t ( An ) и t ( Am ) ∩ t ( Ak ) несравнимы. Тогда типы элементов
am + an и am + ak , где ai ∈ Ai , a j ∈ A j , al ∈ Al , также несравнимы. Причем
I (am + an ) ∩ I (am + ak ) = m , что противоречит утверждению теоремы 5. ■
Предложение 7. Если вполне разложимая группа G = ⊕ Ai , где r ( Ai ) = 1,
i∈I
множество { Ai }i∈I образует жесткую систему, вполне транзитивна, то для любых
элементов a, b ∈ G, из χ(a) ≤ χ(b) следует I (b) ⊂ I (a) .
Доказательство. Пусть a, b ∈ G и χ(a ) ≤ χ(b) . Из вполне транзитивности
группы G следует существование θ ∈ E (G ) , такого, что θ(a ) = b .
Получаем b = θ(a) = θ(
∑
i∈I ( a )
ai ) =
∑
i∈I ( a )
θi (ai ) ∈ ⊕ Ai , то есть I (b) ⊂ I (a) . ■
i∈I ( a )
Учитывая приведенные выше результаты, получаем следующие факты.
Теорема 8. Пусть G = ⊕ Ai – вполне разложимая группа, r ( Ai ) = 1, множество
i∈I
{ Ai }i∈I образует жесткую систему. Группа G k-вполне транзитивна для всех
k ∈ N тогда и только тогда, когда выполнены условия
(А) группа G удовлетворяет условию контрастности для типов;
(Б) для любых двух элементов a, b ∈ G с несравнимыми типами выполнено
I (a ) ∩ I (b) = ∅ .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О k-вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения
33
Доказательство. Необходимость. Пусть G является k-вполне транзитивной
для всех k ∈ N . Тогда, так как G является вполне транзитивной, в силу утверждения предложения 3 G удовлетворяет условию контрастности для типов, и, так как
G является 2-вполне транзитивной, из теоремы 5 при k=2 следует выполнение условия (Б).
Достаточность. Пусть для группы G выполнено (А) и (Б). Из предложения 3
следует, что G является вполне транзитивной. Докажем, что G k-вполне транзитивна для всех k ≥ 2 .
Пусть X = ( x1 , x2 ,..., xk ), Y = ( y1 , y2 ,..., yk ) – кортежи элементов группы G,
удовлетворяющие условиям определения 1. Из условия (1) определения 1 и
условия (Б) теоремы следует, что при i ≠ j I ( xi ) ∩ I ( x j ) = ∅ . Обозначим через
k
k
I i = I ( xi ), Gi = ⊕ A j , I = I \ (∪ I i ), G = ⊕ Ai . Тогда G = ⊕ Gi ⊕ G .
j∈I ( xi )
i =1
i =1
i∈I
Из вполне транзитивности группы G следует, что всякая Gi также вполне транзитивна и, из условия (2) определения 1 и по предложению 7, что
I ( yi ) ⊂ I ( xi ), то есть yi ∈ Gi . Тогда существуют θi ∈ E (Gi ) со свойством
k
θi ( xi ) = yi , i = 1, k . Рассмотрим эндоморфизм θ = ∑ θi πi ∈ E (G ), где πi ∈ E (G ) –
i =1
проекция группы G на прямое слагаемое Gi , i = 1, k . Тогда по построению имеем
θ( xi ) = θi ( xi ) = yi . ■
Теорема 9. Пусть G = ⊕ Ai – вполне разложимая группа, r ( Ai ) = 1, множество
i∈I
{ Ai }i∈I образует жесткую систему и k ∈ N . Группа G k-вполне транзитивна тогда
и только тогда, когда для любых конечных множеств J1 , J 2 ,..., J k ⊂ I , таких, что
типы t J m и t J n несравнимы при m ≠ n , выполнены условия
(I) J n ∩ J m = ∅ при m ≠ n ;
(II) Группы Gm = ⊕ Ai удовлетворяют условию контрастности для типов
i∈J m
(m = 1, k ) ;
(III) Если для конечного множества индексов J ⊂ I и натурального m = 1, k
справедливо t J ≥ t J m то J ⊂ J m .
Доказательство. Необходимость. Выполнение условия (I) следует из теоремы 5.
Докажем, что группы Gm = ⊕ Ai вполне транзитивны. Пусть a, b ∈ Gm и
i∈J m
χ(a) ≤ χ(b) . Построим кортежи X = ( x1 , x2 ,..., xk ), Y = ( y1 , y2 ,..., yk ) следующим
образом. При i ≠ m выберем xi ∈ Gi так, чтобы I ( xi ) = J i ; yi = xi , xm = a, ym = b .
Поскольку группа G является k-вполне транзитивной, существует θ ∈ E (G ) , что
θ( xi ) = yi . Рассмотрим сужение θm = θ
Gm
. Так как { Ai }i∈I образует жесткую
систему, θm ∈ E (Gm ) . Получаем, что θm (a ) = b , то есть Gm вполне транзитивна.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М.И. Рогозинский
34
Покажем, что условие (III) также выполнено. Пусть для некоторых
J ⊂ I и m = 1, k
справедливо
Тогда
существуют
элементы
tJ ≥ tJm .
x ∈ Gm , y ∈ ⊕ Ai , I ( x) = J m ; I ( y ) = J , для которых выполнено χ( x) ≤ χ( y ) . Поi∈J
строим кортежи X = ( x1 , x2 ,..., xk ), Y = ( y1 , y2 ,..., yk ) . При i ≠ m выберем xi ∈ Gi
так, чтобы I ( xi ) = J i , yi = xi , xm = x, ym = y . Ясно, что X и Y удовлетворяют условиям определения 1. Тогда, из k-вполне транзитивности группы G следует существование эндоморфизма θ ∈ E (G ) со свойством θ( xi ) = yi . Но тогда
y = θ( x) ∈ Gm , то есть J = I ( y ) ⊂ I ( x) = J m .
Достаточность. Пусть условия (I), (II) и (III) выполнены. Покажем, что G
является k-вполне транзитивной. Рассмотрим кортежи X = ( x1 , x2 ,..., xk ),
Y = ( y1 , y2 ,..., yk ) элементов группы G, удовлетворяющие условиям определения 1. Для всякого m = 1, k
обозначим J m = I ( xm ), J m = I ( ym ), Gm = ⊕ Ai ,
i∈J m
Gm = ⊕ Ai . Из условия (II) следует, что группы Gm вполне транзитивны. Значит,
i∈J m
существуют θm ∈ E (Gm ) , такие, что θm ( xm ) = ym , m = 1, k . Рассмотрим эндоморфизм θ =
k
∑ θm πm
m =1
группы G, где πm ∈ E (G ) – проекция группы G на прямое сла-
гаемое Gm. Тогда получаем
θ( xi ) =
k
∑ θm πm ( xi ) = θi ( xi ) = yi ,
m =1
значит искомый эндоморфизм найден. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Kaplansky I. Infinite Abelian Groups. Ann Arbor: Univ. of Michigan Press, 1954.
2. Крылов П.А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения //
Сборник асп. работ по матем. Томск, 1973. С. 15–20.
3. Гриншпон С.Я., Мисяков В.М. О вполне транзитивных абелевых группах // Абелевы
группы и модули. – Томск, 1986. – С. 12–27.
4. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундамент. и прикл. матем. 2002. Т. 8. №2. С. 407–473.
5. Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без
кручения // Абелевы группы и модули. Томск. 1982. С. 56–92.
6. Крылов П.А. Вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Алгебра и логика.
1990. Т. 29. № 5. С. 549–560.
7. Чехлов А.Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем.
журн. 2001. Т. 42. № 3. С. 714–719.
8. Чехлов А.Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. 2001. Т. 69.
№ 6. С. 944–949.
9. Grinshpon S.Ya., Krylov P.A. Fully invariant subgroups, full transitivity, and homomorphism
groups of Abelian groups // J. Math. Sci. 2005. V. 128. No. 3. P. 2894–2997.
10. Carroll D. Multiple transitivity in abelian groups // Arch. Math. 1994. V. 63. P. 9–16.
11. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О k-вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения
35
12. Рогозинский М.И. k-вполне транзитивность абелевых групп без кручения // Наука и образование: 13 Всерос. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 2009.
С. 14–17.
13. Engel K. Sperner theory. Camb. Univ. Press, 1997.
14. Рогозинский М.И. k-вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Современные проблемы математики и механики: Материалы II Всерос. мол. науч. конф. Томск,
2011. С. 41–44.
15. Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без
кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1982. С. 56–92.
Статья поступила 02.07.2012г.
Rogozinsky M. I. ON k-FULL TRANSITIVITY OF COMPLETELY DECOMPOSABLE TORSION FREE ABELIAN GROUPS. In this work, we define the notion of k-fully transitive torsion
free abelian groups. The problem of multiple transitivity of completely decomposable torsion free
abelian groups from some classes is studied.
Keywords: abelian group, k-full transitivity
ROGOZINSKY Mikhail Ivanovich (Tomsk State University)
Е-mail: Rogozinsky_mikhail@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 519.6
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИМПЕДАНСА ВНУТРИ БИОЛОГИЧЕСКИХ
ОБЪЕКТОВ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ ТОКА НА ГРАНИЦЕ1
Электроимпедансная томография (ЭИТ) применяется для восстановления
неизвестного распределения электрической проводимости внутри объектов
живой природы, обладающих неоднородной структурой, по измерениям силы и напряжения электрического тока на границе. В данной работе предложен численный метод решения обратных задач ЭИТ, опирающийся на использование дифференциальной эволюции.
Ключевые слова: электроимпедансная томография (ЭИТ), неструктурированная треугольная сетка, разностная схема, коэффициентная обратная
задача, генетические алгоритмы оптимизации, метод дифференциальной
эволюции.
В настоящее время в медицине и промышленности для компьютерной диагностики применяется способ получения томографического изображения, называемый электроимпедансной томографией (ЭИТ) или томографией приложенных потенциалов [1–5]. Он основан на использовании электрического тока в качестве
средства, зондирующего исследуемый объект. Цель ЭИТ состоит в том, чтобы
восстанавливать неизвестное распределение электрической проводимости внутри
объекта с неоднородной структурой, используя электрические измерения только
на границе объекта. Слабый электрический ток высокой частоты подводится к
объекту исследования посредством системы токопроводящих электродов, прикрепляемых к его поверхности. На них выполняются измерения электрического
напряжения или тока с целью получения исходной совокупности данных для реконструкции. С физической точки зрения, ЭИТ как диагностический метод с некоторой погрешностью воспроизводит распределение электрической проводимости или электрического сопротивления (импеданса) внутри объекта. Поскольку
различные вещества характеризуются своими значениями электрической проводимости (сопротивления), знание характера распределения электрической проводимости позволяет установить внутреннюю структуру объекта, что может быть
использовано в медицине и промышленности [3]. Однако восстановление распределения скалярной функции проводимости внутри области по измерениям электрического тока на границе является некорректной задачей и требует применения
специальных методов реконструкции, включающих решение обратной задачи
[3, 4].
В данной работе предложен метод решения задач ЭИТ для исследования внутренней структуры биологических объектов, основанный на алгоритме дифференциальной эволюции [6, 7]. Использованный стохастический метод – дифференци1
Работа выполнена по заданию Министерства образования и науки РФ № 8.4859.2011 при финансовой
поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009−2013»
(госконтракт № 14.B37.21.0667), РФФИ (грант №12-01-31050 мол_а).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод реконструкции распределения электрического импеданса
37
альная эволюция – относится к классу эвристических эволюционных алгоритмов,
применяемых для решения задач оптимизации. Подобные алгоритмы итеративно
моделируют эволюционный процесс, в котором в качестве популяции рассматривается множество допустимых решений задачи. В процессе моделирования учитываются основные механизмы теории биологической эволюции, такие, как мутация, скрещивание и селекция. Применение генетических алгоритмов представляет
интерес для решения обратных задач, поскольку они позволяют обойти главную
трудность задач этого класса, а именно, характерную некорректность их постановки. В случае задач ЭИТ их некорректный характер вызван нарушением устойчивости процесса получения решения, которое возникает из-за недостаточной
точности и количества входных данных.
В предложенном методе алгоритм оперирует популяцией векторов электрической проводимости, среди которых может оказаться возможное решение задачи.
Поиск «оптимального» решения осуществляется путём циклического изменения
текущей популяции по законам эволюции и оценки значения целевой функции
для каждого вектора популяции. По завершению работы алгоритма выбирается
представитель популяции, для которого целевая функция принимает наименьшее
значение, и данный вектор считается приближенным решением задачи. Метод
дифференциальной эволюции был выбран в качестве способа минимизации в силу
его простоты, высокой скорости работы и прямолинейной стратегии поиска. Принимая во внимание результаты, полученные в работе [6], можно сделать вывод,
что метод дифференциальной эволюции в большинстве случаев превосходит все
другие методы оптимизации по требуемому количеству оценок функции, необходимых для определения минимума целевой функции с заданной точностью. Алгоритм легко использовать, поскольку он прост и имеет небольшое число управляющих параметров, которые можно выбрать из заранее определенных числовых
интервалов.
Постановка задачи
Разработанный метод решения обратных задач ЭИТ реализован на примере
двумерной области D = D ∪ Γ (рис. 1), которая представляет собой схематическое изображение некоторого биологического объекта, имеющего неоднородную
структуру. Границы неоднородностей внутри области заранее известны. В каждой
подобласти коэффициент электрической проводимости σ имеет некоторое постоянное значение, поэтому σ( x, y ) можно рассматривать как кусочно-постоянную
функцию от координат ( x, y ) ∈ D . Необходимо определить значения коэффициента σ внутри области, если априори известны измерения электрического напряжения и силы тока на границе Γ.
Чтобы получить исходные данные для поставленной задачи, через электропроводящий объект, который находится в воздушной среде, пропускается электрический ток небольшой силы 1−5 мА высокой частоты 100−150 кГц. Ток инжектируется через расположенные локально на его поверхности электроды, на которых выполняются измерения разности электрических потенциалов [3, 4]. Между электродами граница Γ контактирует с воздухом. Использована модель ЭИТ с
идеально проводящими электродами, называемая в научной литературе shunt
model [3, 4, 8], и реализована одна из схем организации измерений, в которой
электроды включаются попарно и электрическое напряжение определяется на ак-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
38
тивной паре. Обращаясь к физической постановке задачи, предполагаем, что учитываемые моделью процессы описываются электрическим и магнитным полями,
которые удовлетворяют стационарным уравнениям Максвелла. В случае применения ЭИТ к объектам биологической природы интенсивность магнитного поля
становится пренебрежимо малой из-за особенности в проводимости биологических тканей [3, 4], и поэтому магнитная компонента не будет рассматриваться.
При таких условиях вектор напряженности электрического поля равен градиенту
электрического потенциала φ, распределение которого внутри объекта исследования будет удовлетворять уравнению эллиптического типа [9]. В силу отсутствия
внутри объекта источников электрического поля сумма втекающих Iin и вытекающих Iout токов равняется нулю согласно закону сохранения заряда, Iin + Iout = 0.
Также предполагаем, что на границе, где инжектируется ток, известно значение
потенциала электрического тока φin.
Iout
Sout
σ1
σ2
D
Iin
Sin
Г
Рис. 1. Пример модели биологического объекта D с
границей Γ, на которую прикреплены два электрода
с площадью поверхности Sin = Sout. В объект инжектируется электрический ток величиной Iin
С учётом описанной выше физической постановки математическая модель
ЭИТ представляет собой краевую задачу для уравнения эллиптического типа в
частных производных [3, 4]:
∂ϕ ( x, y ) ⎞ ∂ ⎛
∂ϕ ( x, y ) ⎞
∂ ⎛
= 0, ( x, y ) ∈ D ;
⎜ σ ( x, y )
⎟ + ⎜ σ ( x, y )
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎠⎟
σ ( x, y ) Sout
(1)
∂ϕ ( x, y )
= 0,
∂n
( x, y ) ∈ Γair ;
(2)
ϕ ( x, y ) = ϕin ,
( x, y ) ∈ Γin ;
(3)
∂φ ( x, y )
= J n Sout = I out ,
∂n
( x, y ) ∈ Γout ;
(4)
Γ air ∪ Γin ∪ Γ out = Γ, Γ air ∩ Γin = ∅, Γ air ∩ Γ out = ∅, Γ in ∩ Γ out = ∅ .
где σ – коэффициент электрической проводимости, φ – потенциал электрического
поля, n – единичный вектор внешней нормали, Jn – плотность тока на границе, Sin,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод реконструкции распределения электрического импеданса
39
Sout – площадь контактной поверхности in- и out-электродов соответственно.
Уравнение (1) показывает зависимость скалярных функций электрического потенциала φ(x,y) и проводимости σ(x,y) внутри объекта. Краевое условие (2) выражает контакт тела с воздухом, (3) и (4) – контакт тела с электродами.
При некотором априори заданном распределении значений функции проводимости σ и значениям электрического потенциала φin и электрического тока Iin на
границе из краевой задачи (1) – (4) можно найти неизвестное распределение потенциалов φ электрического поля внутри области D . В общем случае эта задача
не может быть решена аналитически [3, 4].
На основе постановки (1) – (4) можно сформулировать задачу по восстановлению неизвестного распределения электрической проводимости σ(x,y) в области D,
если заданы значения силы инжектируемого тока Iin,p (p = 1,…,L) и измерены значения разности электрического потенциала ∆φpmeasured на границах контактов тела
с электродами, т.е.:
(5)
ϕ ( x, y ) = ϕin, p , ( x, y ) ∈ Γin, p ;
ϕ ( x, y ) = ϕin, p + ∆ϕmeasured
,
p
( x, y ) ∈ Γout, p , p = 1,..., L,
(6)
где L – количество использованных конфигураций электрического тока и активных пар электродов.
Переходя к принятой терминологии [1–5], задача (1) – (4) с функцией электрического потенциала φ(x,y) в качестве неизвестного будет в дальнейшем называться прямой задачей ЭИТ. Задача поиска неизвестной функции проводимости σ(x,y)
в области D , которая удовлетворяет уравнению (1) в D и граничным условиям
(2) – (6) на Γ, – это обратная задача ЭИТ.
В данной работе для решения обратной задачи ЭИТ предложено использовать
метод, осуществляющий перебор допустимых распределений функции проводимости σ(x,y), для каждого из которых по решению прямой задачи вычисляется
значения электрического потенциала внутри и на границе области. Основываясь
на результатах решения совокупности L прямых задач с заданным распределением проводимости σ(x,y), выполняется поиск «оптимального» σopt(x,y), удовлетворяющего условию минимума функционала
L
(
p =1
f ( σ ) = ∑ ∆ϕ p ( σ ) − ∆ϕmeasured
p
),
2
(7)
где ∆φp(σ) = φout,p(σ) – φin,p(σ) – разность электрических потенциалов, вычисленных при p-ой конфигурации электродов, заданном значении силы электрического
тока Iin,p и при заданном распределении σ(x,y) в D , ∆φpmeasured – измеренная разность потенциалов при тех же параметрах тока и конфигурации активной пары
электродов. Следует отметить, что в процесс минимизации вовлечены все возможные пары электродов, поскольку при подобном подходе немаловажной деталью является общее количество выполненных измерений. На каждой паре электродов через объект инжектируется M образцов тока, следовательно, максимально
возможное число измерений равно L = M×Q(Q – 1)/2, где Q – общее количество
электродов. Большой набор входных данных обеспечивает разрешимость обратной задачи ЭИТ и допускает восстановление соответствующего числа параметров
электрической проводимости σ(x,y) [3, 4].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
40
Численный метод решения дифференциальной задачи
Для практической реализации математической модели и разработки численного метода решения прямой задачи ЭИТ была построена неструктурированная треугольная сетка Ωh (например, расчётная сетка на рис. 2) с помощью сеточного генератора GMSH [10] или GAMBIT [11]. Контур области D и неоднородности
внутри неё задавались набором из 40 точек. Полученная сетка строилась как сетка
Делоне, для этого использовались соответствующие встроенные возможности
рассмотренных построителей сеток.
I out
σ2
σ1
I in
Рис. 2. Расчётная сетка
Следует сделать несколько замечаний, касающихся расчётных сеток для ЭИТ.
Оптимальные сетки для решения задач ЭИТ должны обладать хорошим качеством (с геометрической и вычислительной точек зрения), чтобы представлять потенциал электрического поля с достаточной точностью для последующего определения электрической проводимости. Это означает, что при моделировании
нужно адекватно представлять форму поверхности визуализируемой области и
геометрию электродов. Кроме того, сетка должна обеспечивать большую плотность узлов в областях с большими градиентами электрического поля, чтобы
уменьшить влияние численных ошибок, в частности, вблизи поверхностей электродов [4]. Для этого необходимо сгущать сетку (измельчать её ячейки) вблизи
электродов. Однако часто подобное построение сетки вблизи электродов не увеличивает точность решения и иногда может привести к большим вычислительным
затратам. При решении обратной задачи интерес представляют изменения проводимости внутри области, которые в любом случае будут найдены в масштабе не
меньшем чем размеры электродов, поэтому параметризация проводимости будет
неизбежно грубее, чем аппроксимация производных для потенциала [4]. Кроме
того, сетка должна учитывать подобласти, в которых проводимость известна или
является константой. Ещё один аспект заключается в том, что напряженность
электрического поля изменяется в зависимости от используемых образцов силы
тока, потому на практике следует выбирать сетки, подходящие для всех конфигураций тока, следовательно, в некоторых случаях сетки могут отличаться излишне
хорошим качеством вдали от активных электродов.
Использованные программы-генераторы сеток GAMBIT и GMSH позволяют
осуществлять проверку качества построения по различным параметрам («скошен-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод реконструкции распределения электрического импеданса
41
ность» ячеек сетки и соотношение сторон треугольных ячеек). Улучшение сетки
можно проводить вручную или используя операцию сглаживания. Сглаживание
сетки подразумевает корректировку расположения узлов построенной сетки с целью улучшения единообразия расстояния между узлами по всей поверхности.
Обобщая вышесказанное, можно отметить, что неструктурированные расчётные сетки являются оптимальным классом сеток для двумерной задачи ЭИТ, так
как они гибко отображают геометрию объекта и позволяют сгущать узлы сетки в
областях больших градиентов. При генерации расчётных сеток для ЭИТ предпочтение отдается сеткам с «правильными» ячейками, т.е. ячейками, элементы которых близки к правильным треугольникам.
Разностный аналог дифференциальной задачи (1) – (4) построен на основе конечно-разностного метода конечных объёмов (МКО) [12–14], который обеспечивает выполнение интегрального закона сохранения для каждого конечного объёма
и для всей области в целом. В качестве конечных объёмов выбраны треугольные
элементы сетки, что позволяют разделить границы областей с разными физическими свойствами, а именно, характеризующиеся различными значениями электрической проводимости σ(x,y). Приближенные значения функции потенциала
электрического поля φ(x,y) и функции электрической проводимости σ(x,y) ищутся
в центрах масс треугольных ячеек (рис. 3).
N2
A3
N3
M3
G
S23* ϕ M2
M2
n 23
m23
∆l12
P
ϕP
S 23
y
A2
A1
O
x
M1
N1
Рис. 3. Фрагмент сетки
Распределение электрической проводимости, появляющееся в различных приложениях метода ЭИТ, обычно является кусочно-постоянным. Такой случай подходит, например, для медицинской ЭИТ, так как различные ткани в организме
описываются разными значениями функции проводимости с разрывами на границах внутренних органов. В данной работе рассмотрен случай кусочно-постоянной
функции электрической проводимости σ внутри области D . При дискретизации
краевой задачи использованы условия сопряжения (граничные условия 4-го рода)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
42
для обеспечения идеального контакта двух сред, имеющих разные проводимости.
При использовании формулы Грина при интегрировании (1) по конечному объему
∆A1A2A3 (рис. 3), формулы средних прямоугольников для приближенного вычисления криволинейного интеграла и условий сопряжения на границах ячеек с различной электрической проводимостью, получена следующая разностная схема [14]:
σ*M1
σ*P + σ*M1
ϕ M1 − ϕ P
2
+
(
*
S12 + S12
)
( ∆l12 )2 +
σ*M 3
ϕM 3 − ϕ P
σ*P + σ*M 3
*
2 S31 + S31
(
σ*M 2
ϕM 2 − ϕ P
σ*P + σ*M 2
*
2 S23 + S23
)
(
( ∆l31 )2 = 0, ( P ) ∈ Ω h ;
ϕM i − ϕ P = 0, ( M i ) ∈ ( γ h )air ,
ϕM i = ϕin +
I in ∆nij
(9)
, ( M i ) ∈ ( γ h )in ,
(10)
2
, ( M i ) ∈ ( γ h )out ,
(11)
I out ∆nij
σ M i ( ∆lij )
(8)
2
2σ M i ( ∆lij )
ϕM i − ϕin = −
)
( ∆l23 )2 +
где φP ≈ φ(P), φM1 ≈ φ(M1), φM2 ≈ φ(M2), φM3 ≈ φ(M3) – значения сеточной функции
электрической проводимости, ∆lij – длина ребра AiAj, ∆nij – расстояние от точки P
до ребра AiAj, ∆nij* – расстояние от точки Mi до ребра AiAj, Sij = S∆AiAjP, Sij* = S∆AiAjMi
(рис. 3). Кроме того, введены следующие обозначения:
σ( Mi )
σ( P)
, σ*M i =
, i = 1, 2, 3.
σ*P =
∆nij
∆nij*
При аппроксимации граничных условий (2) – (4) (формулы (9) – (11)) использовались фиктивные конечные объемы γh, которые симметрично достраивались к треугольным ячейкам сетки, две вершины которых лежат на границе Γ.
В ходе решения задачи теоретически были исследованы характеристики полученной разностной схемы. Погрешность аппроксимации разностной задачи (8) –
(11) с учётом граничных условий имеет первый порядок точности O(∆n),
∆n = max{∆nij, ∆nij* }. С помощью принципа максимума и мажоранты Гершгорина
была доказана устойчивость разностной схемы (8) – (11), что в совокупности
обеспечивает сходимость решения разностной задачи (8) – (11) к точному решению дифференциальной задачи (1) – (4) с первым порядком точности.
Записывая полученную разностную схему для каждой ячейки сетки на некоторой триангуляции области D , рассмотренный подход к решению прямой задачи
ЭИТ приводит к большой системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Поскольку использована треугольная неструктурированная сетка, то матрица системы является разреженной: в каждой её строке содержится по четыре ненулевых
элемента. В расположении элементов в строке и матрице в целом не наблюдается
чёткой структуры, кроме того, что один элемент строки всегда находится на главной диагонали матрицы. Причём для внутренних узлов сетки этот коэффициент
равен сумме остальных ненулевых положительных элементов, стоящих в данной
строке, взятых с обратным знаком. Для решения составленной несимметричной
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод реконструкции распределения электрического импеданса
43
СЛАУ использован стабилизированный метод бисопряжённых градиентов
Bi-CGSTAB [15]. Тестовые расчёты задачи (1) – (4) выполнены для области D
(рис. 1), на которой вводились различные расчётные сетки.
Алгоритм реконструкции
Обратная задача ЭИТ является некорректно поставленной задачей, поэтому
для восстановления требуемого количества неизвестных коэффициентов электрической проводимости σ нужно использовать информацию большого набора независимых измерений. Согласно методике ЭИТ совокупность измерений электрических напряжений на границе объекта накапливается путём многократного пропускания электрического тока через него. Схема измерений учитывает все возможные пары электродов, при этом на каждой паре перебирается несколько образцов инжектируемых токов, т.е. используются токи различной силы. Собранные
данные о разности потенциалов на электродах обеспечивают обратную задачу
ЭИТ необходимыми дополнительными условиями. Как правило, достаточное количество априорной информации сужает класс допустимых решений задачи, в результате чего она становится условно корректной [3]. Учитывая вышесказанное,
обратная задача ЭИТ сводится к краевой задаче (1) – (4) с дополнительными данными в качестве совокупности измерений электрических напряжений на границе
объекта (5) – (6) для подбора σopt(x,y), обеспечивающего минимум функционала
(7) с заданной точностью.
В работе предложена итерационная процедура для решения рассматриваемой
коэффициентной обратной задачи, в основу которой положен алгоритм дифференциальной эволюции [6, 7]. Эвристический алгоритм глобальной оптимизации
на непрерывных пространствах, известный как метод дифференциальной эволюции, был предложен Р. Сторном и К. Прайсом [6] в качестве нового эволюционного подхода к минимизации различных нелинейных и недифференцируемых функций из непрерывного пространства. Согласно данному алгоритму, оценка параметра электрической проводимости σ осуществляется путём перебора различных
вариантов решений прямой задачи (1) – (4). Подробнее, дифференциальная эволюция оперирует популяцией постоянного размера NP, состоящей из вещественнозначных векторов, которые являются возможными вариантами решения задачи.
Они выбираются из множества допустимых решений E ⊆ R n . Для анализа вариантов алгоритм использует различия между индивидами популяции. Поиск «оптимального» решения осуществляется посредством циклического изменения текущей популяции по эволюционным правилам, таким как мутация, скрещивание
и селекция. Внутренним циклом алгоритма анализируются все векторы текущей
популяции, принадлежащие поколению G, они по очереди выбираются вектороммишенью. На каждой итерации формируется новый вектор по вектору-мишени и
произвольно выбранным векторам рассматриваемого поколения, который впоследствии служит образцом для оценки вектора-мишени. Сравнивая вектормишень с вектором-образцом по значению целевой функции, определяется, какой
из них перейдёт в новую популяцию (поколение G + 1). Итерационный процесс
алгоритма завершается по одному из двух возможных исходов: будет найден индивид популяции, для которого целевая функция принимает значение меньшее
некоторого фиксированного уровня, или число поколений достигнет заданного
максимального количества Gmax. В последнем случае из полученной популяции
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
44
выбирается вектор, которому соответствует наименьшее значение целевой функции, и он считается приближенным решением задачи.
В задаче ЭИТ целевая функция для каждого вектора популяции представляется в следующем виде:
⎡ L
f ( σ ) = min f σi ,G = min ⎢ ∑ ∆ϕ p σi ,G − ∆ϕmeasured
p
σi ,G ∈E
σi ,G ∈E ⎣ p =1
(
)
(
(
)
)
2⎤
⎥,
⎦
где σi,G – вектор распределения электрической проводимости внутри объекта,
i = 1,…,NP, NP – размер популяции, G – индекс поколения, которому принадлежит популяция. ∆φp(σi,G) – значения разности электрических потенциалов, вычисленные на границе области при решении прямых задач ЭИТ с пробными значениями σ. Требуется найти глобальный условный минимум целевой функции f (σ)
на множестве E.
Основные этапы алгоритма дифференциальной эволюции для решения обратной задачи ЭИТ [6, 7]:
1) Инициализация. Поколение G = 0. На данном этапе с помощью датчика
случайных чисел генерируется начальная популяция, состоящая из NP n-мерных
векторов вида
{
}
P0 = σi ,0 | σik,0 ∈ [ ak , bk ] , k = 1,..., n, i = 1,..., NP ⊂ E ⊆ R n ,
σik,0 = ak + rand k [ 0,1] ⋅ ( bk − ak ) , k = 1,..., n,
где n – количество неизвестных параметров электрической проводимости внутри
области (например, для рис. 1 n = 2); randk[0,1] обозначает равномерно распределенное случайное число из диапазона [0,1].
Для вычисления целевой функции векторов популяции решаются прямые задачи со сформированными значениями σi,0, i = 1,…,NP, для всех конфигураций
инжектируемых токов на различных парах электродов.
2) Мутация. Цикл j = 1,…,NP. В текущей популяции последовательно перебираются все её представители с целью проверки их конкурентоспособности по
сравнению с другими векторами, т.е. все элементы один раз выполняют функцию
вектора-мишени σt = σj,G. Для каждого проверяемого вектора σt формируется локальный вектор σe согласно правилу
(12)
σe = σa,G + FG(σb,G – σc,G),
где FG – вещественный коэффициент, который контролирует вклад (σb,G – σc,G).
Векторы σa,G, σb,G, σc,G случайным образом выбираются из оставшихся представителей популяции, причём ни один из них не равен вектору-мишени σt, и все они
попарно различны, a, b, c ∈ {1, 2,..., NP} .
3) Скрещивание. Компоненты мутировавшего вектора σe смешиваются с
компонентами вектора-мишени σt, чтобы получить вектор-образец σs. Он формируется по правилу
⎧⎪σe , если uk ≤ CR или k = rnbr ( j ) ,
σks = ⎨ tk
⎪⎩σk , если uk > CR и k ≠ rnbr ( j ) ,
k = 1,…,n,
где CR – константа скрещивания, uk ∈ [0,1] – равномерно распределенное случайное число, rnbr ( j ) ∈ {1, 2,..., n} – произвольно выбранный индекс, который гаран-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод реконструкции распределения электрического импеданса
45
тирует, что вектор σs всегда будет получать, по крайней мере, один компонент
вектора σe.
4) Селекция. На данном этапе решается совокупность прямых задач с параметрами вектора σs и находятся значения ∆φp(σs) = φout,p(σs) – φin,p(σs), p = 1,…,L.
Если вектор-образец σs приводит к меньшему значению целевой функции f(σ),
чем вектор-мишень σt, то вектор-образец заменяет проверяемый вектор σt в следующем поколении; иначе, сохраняется вектор σt.
5) G = G + 1 и выполняется проверка условий. Итерационный процесс завершается, если значение целевой функции f (σbest,G) от лучшего вектора популяции σbest,G, принадлежащего поколению G, меньше фиксированного ограничения
ε, ε > 0, или число поколений достигло заданного максимального количества Gmax,
иначе алгоритм переходит к пункту 2.
Обобщая вышесказанное, работа описанного алгоритма в применении к задаче
ЭИТ опирается на два действия: решение большого количества прямых задач
ЭИТ на каждой итерации и минимизации квадратичного функционала f от разности между вычисленным и измеренным электрическим напряжением на границе
объекта.
Отметим, что минимизация методом дифференциальной эволюции регулируется несколькими параметрами, а именно, NP, CR и FG. Они влияют на скорость
сходимости и работоспособность процесса поиска. Параметр NP выбирается от 5n
до 10n [6]. Чтобы выполнялось условие пункта 2, NP должен быть равен, по крайней мере, 4. Константа скрещивания CR ∈ [0, 1] определяется пользователем.
Большие значения CR (CR = 0,9 или CR = 1,0) обычно ускоряют сходимость алгоритма. Параметр FG ∈ (0, 2] , F = 0,5 является хорошим начальным выбором. Если
популяция сходится преждевременно, то FG и/или NP следует увеличивать. Значения F меньшие 0,4, а также большие 1 лишь изредка оказываются эффективными [6, 7].
Результаты расчётов
Для проверки работоспособности описанного алгоритма проведены численные
эксперименты на модели, включающей объект с одной областью неоднородности
и четырьмя электродами (Q = 4), прикреплёнными на его поверхность (рис. 2).
Всего рассмотрено 4 токовые конфигурации (M = 4) и сформировано семейство
измерений
measured
, ϕout,
{Iin, p , ϕin,measured
} , p = 1,..., L
p
p
(L = 24), для каждой пары элек-
тродов, для чего были решены прямые задачи со следующими значениями электрической проводимости: σ1 = 202,4, σ2 = 0,5 (внутреннее включение). Расчёты
проводились с двойной точностью. Результаты решения прямых задач с разным
расположением электродов на границе для случая кусочно-однородной среды
приведены на рис. 4.
Из рисунка видно, что разность потенциалов электрического поля напрямую
зависит от пути прохождения электрического тока, его силы и значения электрической проводимости внутренних составляющих объекта. В силу того, что разнообразные вещества характеризуются различными значениями электрической проводимости, анализируя её распределение внутри объекта, можно судить о его
структурных особенностях и составе. Благодаря существенному различию электрической проводимости биологических тканей, ЭИТ позволяет реконструировать
контрастные изображения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
46
Iout
Iout
Iin
Iin
ϕout − ϕin = 0,0135
ϕout − ϕin = 0,0155
Iout
Iout
Iin
Iin
ϕout − ϕin = 0,022
ϕout − ϕin = 0,01
Рис. 4. Примеры распределения значений электрического потенциала в области D (рис. 2)
при инжектировании тока через различные пары электродов, Iin = 1,5 мА
При решении обратной задачи в соответствии с рекомендациями статьи [6, 7]
размер популяций NP выбран равным от 5n до 10n, где n = 2 – количество неизвестных параметров электрической проводимости, константа скрещивания
CR ∈ [0, 1], константа мутации FG ∈ (0, 2] . Начальное распределение электрической проводимости задавалось по формуле
σki,0 = 0,001 + randk[0, 1]·1000, k = 1,2, i = 1,…,NP.
При таких условиях после инициализации дифференциальной эволюции целевая функция имеет значение порядка 1.
При решении рассматриваемой в данной работе обратной задачи методом
дифференциальной эволюции применялся также другой вариант операции мутации в п.2:
σe = σbest,G + FG(σb,G – σc,G),
(13)
в котором использовался лучший на каждой итерации вектор значений электрической проводимости σbest,G. Расчеты, проведенные для двух вариантов операции
мутации (формулы (12) и (13)), продемонстрировали существенное преимущество
(13), поскольку этот вариант значительно ускоряет итерационный процесс поиска
с заданной точностью.
Для представленных на рис. 2 области и покрывающей ее сетки в 130 треугольных ячеек были проведены расчеты с различными значениями параметров
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод реконструкции распределения электрического импеданса
47
метода дифференциальной эволюции (NP, CR, FG, Gmax = 500 или 1000, ε > 0 – допустимый минимум целевой функции, при достижении которого поиск прекращался). Цель вычислительного эксперимента заключалась в определении оптимальных значений параметров метода, обеспечивающих быструю сходимость
процесса поиска к глобальному минимуму целевой функции и хорошую точность
определения истинных значений электрической проводимости. Результаты выполненных расчетов приведены в таблице. Оценка быстроты и качества поиска
была получена на основе осреднения результатов 10-ти запусков программы решения обратной задачи при одних и тех же значениях параметров метода.
Расчёты параметра электрической проводимости
№
ε
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10−6
10−7
10−8
10−9
10−10
10−11
10−12
10−11
10−10
10−11
10−12
10−10
10−11
10−12
10−10
10−11
10−12
10−10
10−10
10−10
Кол-во
итераций NP
(медиана)
10
18
34
39
48
66
500
187
36
56
500
33
47
229
22
32
500
500
98
36
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
4
10
30
FG
CR
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,7
0,7
0,7
randG(0,2]
randG(0,2]
randG(0,2]
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,1
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,9
0,9
0,9
0,4
0,4
0,4
Вычисленная Вычисленная Значение
электрическая электрическая целевой
проводимость проводимость функции
σ1
σ2
f
182,728
13,774
5,8·10−7
198,927
2,687
4,75·10−8
200,959
1,112
3,89·10−9
201,965
0,646
3,88·10−10
202,364
0,538
5,71·10−11
202,188
0,554
7,17·10−12
202,312
0,497
3,57·10−12
202,338
0,505
4,25·10−12
202,203
0,567
4,57·10−11
202,338
0,51
6,58·10−12
202,37
0,506
1,95·10−12
202,13
0,569
5,35·10−11
202,163
0,574
5,49·10−12
202,305
0,544
9,17·10−13
202,241
0,543
6,33·10−11
202,292
0,561
8,58·10−12
202,141
0,587
5·10−12
206,853
114,9
1,37·10−5
197,149
13,694
2,52·10−7
202,134
0,592
4,56·10−11
В таблице варианты № 1−7 представляют результаты исследования влияния
точности определения минимума целевой функции ε. Видно, что при недостаточно малом ε метод не успевает сойтись (по точности воспроизведения истинных
значений электрической проводимости), так как значения целевой функции достигают заданного уровня раньше, чем найдено приемлемое решение. Кроме того,
следует отметить, что при ε = 10−12 увеличение максимального числа итераций
метода дифференциальной эволюции с 500 до 1000 не вносит существенного
улучшения в качество решения обратной задачи.
Варианты расчетов № 5−7, 9−14 характеризуют влияние выбора параметра FG,
который определяет темп изменения пробных значений электрической проводимости на этапе мутации (п.2 метода дифференциальной эволюции). Из таблицы
видно, что при NP = 20, Gmax = 500, CR = 0,4 наименьшие затраты на получение
решения обратной задачи достигаются в том случае, когда параметр FG есть случайная величина, равномерно распределенная в диапазоне (0,2] и заново генери-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48
Е.С. Шерина, А.В. Старченко
руемая с помощью датчика псевдослучайных чисел на каждой итерации метода
G ≤ Gmax.
Варианты расчетов № 6, 8, 9−11 и 15−17 (см. таблицу) направлены на исследование влияния значения константы скрещивания 0 < CR ≤ 1 на количество итераций метода и точность решения обратной задачи. Анализирую представленные в
таблице числовые значения, можно отметить, что большие значения параметра
CR, например CR = 0,9, ускоряют сходимость метода. Наоборот, значения CR,
близкие к 0, замедляют процесс поиска, но в итоге приводят к более точным результатам определения истинных значений σ1, σ2. Наиболее оптимальной по скорости сходимости метода и точности решения обратной задачи является комбинация FG = 0,7 и CR = 0,4 (вариант № 10).
Варианты расчетов № 9, 18−20 показывают влияние размера выбранной популяции NP при FG = 0,7, CR = 0,4, ε = 10−10 на поведение метода дифференциальной
эволюции в процессе поиска минимума целевой функции. Значение NP менялось
в диапазоне 2n ÷ 15n. Представленные в таблице результаты указывают на то, что
при небольшом размере популяции (NP ≤ 5n) метод не позволяет с требуемым качеством найти значения электрической проводимости. При NP > 10n метод сходится практически за одно и то же количество итераций с близкой точностью.
Заключение
В данной работе предложен численный метод решения задач ЭИТ на основе
алгоритма дифференциальной эволюции, который был реализован для оценки
значений электрической проводимости на двумерной модели области, включающей одну неоднородность. В результате исследования прямой задачи ЭИТ установлено, что электрические свойства сред различной природы (например, биологических тканей), путь прохождения электрического тока и его сила напрямую
влияют на значение и распределение разности электрических потенциалов внутри
изучаемого объекта. Проведенные по предложенному методу решения обратной
задачи ЭИТ численные эксперименты продемонстрировали работоспособность
метода на крупной расчётной сетке. Два параметра электрической проводимости
восстанавливались с использованием стохастического алгоритма дифференциальной эволюции, были опробованы различные вариации управляющих параметров
метода. После серии тестовых запусков наилучшие результаты показала комбинация: CR = 0,4, NP = 10n и FG = 0,7.
Подход к реконструкции ЭИТ, включающий, в частности, многократное решение прямых задач с различными параметрами, и структура алгоритма дифференциальной эволюции позволяют говорить о возможности эффективного распараллеливания на многопроцессорных системах. Параллельная реализация позволит
применять метод на более детальных сетках с меньшими временными затратами
на вычисления и решать задачу с большим числом неизвестных параметров электрической проводимости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Electrical impedance tomography [Электронный ресурс]. Электрон. дан. URL: http://
www.eit.org.uk/ (дата обращения: 15.02.2011).
2. Электроимпедансная томография (ЭИТ) [Электронный ресурс]. Электрон. дан. URL:
http://www.cplire.ru/mac/etomo/index.html (дата обращения: 15.02.2011).
3. Borcea L. Electrical impedance tomography // Inverse Problems. 2002. № 18. P. 99–136.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный метод реконструкции распределения электрического импеданса
49
4. Lionheart W., Polydorides N., Borsic A. Electrical Impedance Tomography: Methods, History and Applications. Manchester, 2004. P. 62.
5. Пеккер Я.С., Бразовский К.С. Электроимпедансная томография. Томск: Изд-во НТЛ,
2004. 192 с.
6. Storn R. Differential evolution – a simple and efficient heuristic for global optimization over
continuous spaces // J. Global Optimization. 1997. No. 11. P. 341–356.
7. Li Y., Xu G., Guo L., Wang L. Resistivity parameters estimation based on 2D real head model
using improved differential evolution algorithm // Engineering in Medicine and Biology Society, 28th Annual International Conference of the IEEE. New York, 2006. P. 6720−6723.
8. Isaacson D. Problems in impedance imaging // Lecture Notes in Physics. 1993. V. 422/1993.
P. 62–70.
9. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983. Т. 1. 528 с.
10. Gmsh: a three-dimensional finite element mesh generator with built-in pre- and postprocessing facilities [Электронный ресурс]. Электрон. дан. URL: http://geuz.org/gmsh/
(дата обращения: 15.02.2011).
11. ANSYS – Simulation Driven Product Development [Электронный ресурс]. Электрон. дан.
URL: http://www.ansys.com/ (дата обращения: 15.02.2011).
12. Патанкар С. Решение задач теплообмена и динамики жидкости: пер. с англ. В.Д. Виленский. М.: Энергоатомиздат, 1984. 124 с.
13. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений.
М.: Научный Мир, 2007. 350 с.
14. Шерина Е.С. Численный метод решения прямой задачи электроимпедансной томографии // Перспективы развития фундаментальных наук: труды VI Международной конференции студентов и молодых ученых. Томск, 2009.
15. Van der Vorst H. Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1992. V. 13. P. 631–
644.
Статья поступила 14.04.2012 г.
Sherina E.S., Starchenko A.V. NUMERICAL METHOD FOR RECONSTRUCTING THE
ELECTRICAL IMPEDANCE DISTRIBUTION IN BIOLOGICAL OBJECTS USING CURRENT MEASUREMENTS AT THE BOUNDARY. Using boundary measurements of electric
current and voltage, electrical impedance tomography (EIT) is applied for reconstructing the unknown electrical conductivity distribution within living objects with a heterogeneous structure.
This paper describes the numerical approach to solve EIT inverse problems in terms of the Differential Evolution algorithm.
Keywords: electrical impedance tomography (EIT), unstructured triangular mesh, difference
scheme, coefficient inverse problem, genetic optimization algorithms, Differential Evolution.
SHERINA Ekaterina Sergeevna (Tomsk State University)
E-mail: eka.sherina@gmail.com
STARCHENKO Alexander Vasil’evich (Tomsk State University)
E-mail: starch@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 514.8, 62.342
Н.Р. Щербаков, Н.В. Захаркин
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ДЕТАЛИ
ПЕРЕДАТОЧНОГО МЕХАНИЗМА КАК ОГИБАЮЩЕЙ
Рассматривается математическая модель гипоидного передаточного механизма на основе эксцентриково-циклоидального зацепления. Получены
уравнения движения поверхности входной детали, порождающего семейство поверхностей, для которого удаётся найти точное уравнение огибающей –
поверхности выходной детали. Доказано, что такой способ получения уравнения поверхности выходной детали применим для любой поверхности
входной детали при условии, что семейство этих поверхностей имеет гладкость C2.
Ключевые слова: гипоидная передача, эксцентриково-циклоидальное зацепление, огибающая семейства поверхностей.
В современном машиностроении определяющую роль играют передаточные
механизмы, преобразующие вращение ведущего вала во вращательное движение
другого вала с изменением угловых скоростей и крутящих моментов. В 2007 г.
томскими конструкторами был разработан и запатентован новый вид зацепления
в передаточных механизмах – «эксцентрико-циклоидальное (ЭЦ) зацепление»
[1−2], которое обладает повышенными силовыми характеристиками и позволяет
получать высокие передаточные отношения в одной ступени. В отличие от классического эвольвентного зацепления, в котором профили зубьев изготавливаются
на основе эвольвенты окружности, в ЭЦ-зацеплении профили колес – циклоидальная кривая и эксцентрически повёрнутая окружность. На основе ЭЦ-зацепления сконструировано большое количество редукторов с различными типами
передач, изготовлены опытные образцы, прошедшие испытания в России и
Германии (http://www.ec-gearing.ru/).
Боковые поверхности зубьев, участвующих в зацеплении, должны при передаче движения находиться в непрерывном взаимном касании, т.е., с позиций дифференциальной геометрии, поверхность зуба одного колеса является огибающей семейства поверхностей зубьев другого колеса; это семейство образовано движением детали при работе механизма. Таким образом, возможность построения математической модели формы зуба как огибающей зависит от того, удастся ли разрешить уравнение, возникающее при записи необходимого условия существования огибающей [3] относительно одного из параметров. Это уравнение для достаточно сложных форм боковых поверхностей зубьев имеет весьма громоздкий вид
и, на первый взгляд, допускает разрешение только численными методами. Следует заметить, что геометрия ЭЦ-зацепления в большинстве случаев (для параллельных и пересекающихся осей вращения валов) позволяет получать уравнения
поверхностей зубьев, не прибегая к теории огибающих. Но при моделировании
гипоидной передачи (оси валов скрещиваются под прямым углом) такое решение
задачи найти не удалось, зато оказалось, что можно аналитически разрешить
уравнение, вытекающее из условия огибания, и найти точное уравнение боковой
поверхности зуба выходной детали.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Геометрическое моделирование поверхности детали передаточного механизма
51
На рис. 1 изображен внешний вид гипоидной передачи с коническими зубчатыми колесами.
Рис.1. Детали конической гипоидной передачи:
шестерня (4 зуба) и колесо (20 зубьев)
Поверхность зуба шестерни получается следующим образом. Дана сфера радиуса R и круговой конус с вершиной в центре этой сферы, пересекающий её по
окружности радиуса ε. Поверхность зуба образована окружностями, лежащими на
концентрических сферах уменьшающихся радиусов, с центрами на конической
винтовой линии, причем по мере приближения к центру сферы уменьшаются и
радиусы окружностей. Наибольшая образующая окружность зуба лежит на сфере
радиуса R и имеет радиус ρ. Эту окружность можно задать в виде вектор-функции
⎛ R 2 − ε 2 R 2 − ρ2 + ε ρ sin α ⎞
⎜
⎟
R
⎜
⎟
⎟.
okr (α) = ⎜
ρ cos α
⎜
⎟
2
2
2
2
⎜ −ε R − ρ + R − ε ρ sin α ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
R
Далее координаты вектор-функций будем обозначать следующим образом:
⎛ okr (α)0 ⎞
okr (α) = ⎜ okr (α)1 ⎟ .
⎜⎜
⎟⎟
⎝ okr (α) 2 ⎠
Радиусы сфер и окружностей уменьшаются пропорционально расстоянию до
2π
– параметр семейстцентра сфер с помощью множителя (1 − υ С ) , где υ = 0,..,
z
lr z
ва окружностей, образующих зуб, C =
, lr – длина отрезка на оси конуса,
2π R
равная ширине шестерни, z – количество зубьев шестерни. Помещая начало системы координат в центр сферы и направляя ось OZ по оси вращения колеса, а ось
OX параллельно оси вращения шестерни, поверхность зуба шестерни можно за-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
52
Н.Р. Щербаков, Н.В. Захаркин
дать в виде вектор-функции двух аргументов:
Sv (υ, α) = (1 − υC ) Qx(υ) okr (α) ,
(1)
где через Qx(υ) обозначена матрица поворота вокруг оси OX:
0
0 ⎞
⎛1
Qx(υ) = ⎜ 0 cos υ − sin υ ⎟ .
⎜
⎟
⎝ 0 sin υ cos υ ⎠
Заметим, что если оси вращения деталей пересекаются, то профиль колеса
можно построить исходя из основной идеи ЭЦ-зацепления – как циклоидальную
кривую на сфере, а поверхность колеса – как семейство таких кривых на концентрических сферах. В случае гипоидной передачи (оси скрещиваются) боковую поверхность зуба колеса будем искать как огибающую семейства поверхностей зуба
шестерни. Пусть оси вращения валов скрещиваются под прямым углом и смещены на величину h. Нужное для решения задачи семейство поверхностей образовано вращением поверхности (1) вокруг своей оси с одновременным поворотом вокруг оси колеса, причем, если первый поворот происходит на угол τ, то второй –
τ
на угол , где n – отношение числа зубьев колеса к числу зубьев шестерни. Исn
ходя из этого, искомое уравнение семейства поверхностей запишется в виде
⎛ cos τ − sin τ 0 ⎞
n
n
⎛ 0 ⎞⎤
⎜
⎟⎡
⎢
⎜ ⎟⎥
τ
τ
(2)
Sem (υ, α, τ) = ⎜ sin
cos
0 ⎟ ⎢Qx(τ) Sv (υ,α ) − ⎜ h ⎟ ⎥ .
n
n
⎜
⎟⎢
⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎝ 0 ⎠⎦⎥
⎜ 0
0
1 ⎟ ⎣⎢
⎝
⎠
Необходимым условием существования огибающей является [3] обращение в
нуль смешанного произведения трех векторов – производных вектор-функции (2)
по параметрам υ, α, τ:
∂Sem (υ,α,τ) ∂Sem (υ,α,τ) ∂Sem (υ,α,τ)
×
(3)
⋅
= 0.
∂υ
∂α
∂τ
При переходе к координатам левая часть уравнения (3) принимает очень громоздкий вид, но после упрощений (разумеется, не вручную, а с помощью символьного
процессора математического пакета) исчезают слагаемые, содержащие функции
τ
от аргумента , и уравнение (3) приводится к виду
n
F (υ,α) cos τ + G (υ,α) sinτ + H (υ,α)=0 ,
(4)
где обозначено:
F (υ,α) = − ( N (υ,α) × S ν(υ,α) )2 ,
G (υ,α) = ( N (υ,α) × S ν (υ,α) )1 ,
H (υ,α) = ( N (υ,α) × S ν(υ,α) )0 n + N (υ,α)0 h,
∂Sν (υ,α) ∂Sν (υ,α)
N (υ,α) =
×
.
∂α
∂υ
Поскольку координаты вектор-фукции, задающей боковую поверхность Sv (υ, α )
зуба шестерни, входят только в коэффициенты уравнения (4), рассматриваемого как
уравнение на τ, то это уравнение разрешимо относительно параметра τ независимо
от того, какова боковая поверхность зуба шестерни. Таким образом, доказана
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Геометрическое моделирование поверхности детали передаточного механизма
53
Теорема. Пусть семейство поверхностей зуба входной детали, получающееся
при работе гипоидной передачи удовлетворяет условиям теоремы о достаточном
признаке существования огибающей [3, с. 30]. Тогда поверхность выходной детали может быть построена как огибающая семейства поверхностей зуба входной
детали.
Из (4) находим два варианта выражения параметра семейства τ через параметры поверхности υ, α:
1
τ1 (υ,α)=arctg
− F (υ,α) ⎡⎣ F (υ,α) 2 + G (υ,α) 2 − H (υ,α) 2 ⎤⎦ 2 − G (υ,α) H (υ,α)
2
2
2
2
1
)⎤ 2
,
− F (υ,α) H (υ,α)+ ⎡⎣G (υ,α) (F (υ,α) + G (υ,α) − H (υ,α) ⎦
1
τ2 (υ,α)=arctg
F (υ,α) ⎡⎣ F (υ,α) 2 + G (υ,α) 2 − H (υ,α) 2 ⎤⎦ 2 − G (υ,α) H (υ,α)
2
2
2
2
1
)⎤ 2
.
− F (υ,α) H (υ,α) − ⎡⎣G (υ,α) (F (υ,α) + G (υ,α) − H (υ,α) ⎦
Подставляя в уравнение семейства (2) τ1 (υ,α) , если G (υ,α) ≥ 0 и τ2 (υ,α) – в противном случае, получаем уравнение части огибающей, которая моделирует боковую поверхность зуба колеса (на рис. 2 она изображена точками).
Рис. 2. Компьютерная иллюстрация математической модели
поверхностей деталей гипоидной передачи в зацеплении
Еще один пример моделирования поверхности детали как огибающей получен
для реечного передаточного механизма. Такой механизм на основе ЭЦзацепления рассмотрен в [4]. Если ось вращения входной детали (червячного элемента) расположена перпендикулярно направлению поступательного движения
рейки (рис. 3), поверхность рейки легко получается как семейство циклоидальных
кривых, обкатываемых окружностями сечений червяка.
В варианте механизма, когда ось червяка параллельна направлению поступательного движения рейки (ось OY), уравнение поверхности червяка приходится
получать как огибающую семейства поверхностей, получающегося при движении
рейки. Итак, уравнение профиля рейки – эквидистанты трохоиды [5] – запишем в
виде
− ε cosα
⎞ + ρ N (α) ,
(5)
E (α)= ⎛⎜
⎟
N (α)
⎝ −ε sinα + (ρ+ε)α ⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
54
Н.Р. Щербаков, Н.В. Захаркин
Рис.3. Внешний вид реечного передаточного механизма
где ρ – радиус окружности сечения червяка, ε – эксцентриситет (смещение центра
этой окружности относительно оси), N (α) – вектор нормали трохоиды. Поверхность рейки образована смещениями этой кривой по осям OY и OZ:
E (α)0
⎛
⎞
Es (υ, α) = ⎜ E (α)1 − (ρ+ε) υ ⎟ .
(6)
⎜
⎟
lr υ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
2π
Здесь lr – ширина рейки. Нужное для решения задачи семейство поверхностей
образовано вращением поверхности (6) вокруг оси OY с одновременным смещением вдоль этой оси. Исходя из этого, искомое уравнение семейства поверхностей
запишется в виде
⎛ 0
⎞⎤
⎛ cos τ 0 − sin τ ⎞ ⎡⎢
⎜
⎟⎥
⎜
⎟
⎢ Es ( υ, α ) + ⎜ (ρ+ε)τ ⎟ ⎥ .
Sem (υ, α, τ) = 0
1
0
⎥
⎜
⎟⎢
⎜⎜
⎟⎟
⎝ sin τ 0 cos τ ⎠ ⎢⎣
⎝ 0
⎠⎦⎥
Рис.4. Поверхность входной детали механизма, найденной как огибающая,
в контакте с поверхностью рейки
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Геометрическое моделирование поверхности детали передаточного механизма
55
Необходимое условие вида (3) существования огибающей этого семейства
оказывается легко разрешимо относительно параметра υ:
υ=
2πε sinα (ρ+ε) ⎡⎣ −2πρ 2 +2περ(cosα − 1)+( lr − 2πε cos(α)N (α) ⎤⎦
(ε cos(α) − ρ − ε) lr 2 N (α)
,
(8)
причем в это выражение не входит параметр τ. Это означает, что при подстановке
(8) в (7) мы получаем уравнение огибающей поверхности (червячного элемента), а
при подстановке (8) в (6) – линию на поверхности рейки, по которой она касается
огибающей, т.е. – характеристику. На рис. 4 изображена компьютерная иллюстрация огибающей (червячного элемента), касающейся поверхности рейки по характеристике.
ЛИТЕРАТУРА
1. Патент РФ 2439401. Эксцентриково-циклоидальное зацепление зубчатых профилей (варианты) / В.В. Становской, С.М. Казакявичюс, Т.А. Ремнева, В.М. Кузнецов, А.В. Становской. Заявлено 29.01.2010; опубл. 10.01.2012, Бюлл. № 1.
2. Kazakyavichyus S.M., Stanovskoy V.V., Shcherbakov N.R., et al. Perfomance of eccentriccycloid engagement with change in the interaxial distance: modification of tooth configuration
// Rus. Engineering Research. 2011. V. 31. No. 3. P.197−199.
3. Залгаллер В.А. Теория огибающих. М.: Наука, 1975. 104 с.
4. Бубенчиков А.М., Щербаков Н.Р., Становской В.В. и др. Математическое моделирование
работы зубчатой реечной передачи с эксцентриково-циклоидальным зацеплением // Вычислительные технологии. 2010. Т. 15. № 1. С. 53–59.
5. Савелов А.А. Плоские кривые. М.: ГИФМЛ, 1960. С. 245.
Статья поступила 25.10.2012 г.
Shcherbakov N.R., Zakharkin N.V. GEOMETRICAL SIMULATION OF THE DRIVING GEAR
DETAIL SURFACE AS AN ENVELOPE. The mathematical model of the hipoid driving gear on
the basis of ec-gearing is under consideration. Equations are obtained for the in-coming detail surface motion that generates a family of surfaces for which one can find an exact equation of the
envelope, i.e., of the out-coming detail surface. It is proved that this way of obtaining an exact
equation of the out-coming detail surface can be applied for any in-coming detail surface under
the condition that the family belongs to the C2 class.
Keywords: hypoid gearing, ec-gearing, envelope of surfaces.
SHCHERBAKOV Nikolay Romanovich (Tomsk State University)
E-mail: nrs@math.tsu.ru
ZAKHARKIN Nikolay Vladimirovich (CJSC «Technology Market». Tomsk)
E-mail: znv@vtomske.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
МЕХАНИКА
УДК 533.6.011.72
С.М. Губанов, А.Ю. Крайнов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ
РАСЧЕТОВ ОХЛАЖДЕНИЯ ОСАДИТЕЛЬНЫХ ЕМКОСТЕЙ
ПРИ ДЕСУБЛИМАЦИИ ПОТОКА UF6 И ЛЕГКИХ ПРИМЕСЕЙ1
Представлена физико-математическая модель охлаждения холодным воздухом блока осадительных емкостей (ОС) для десублимации потока гексафторида урана с примесями фтороводорода. Модель основана на уравнениях газовой динамики, записанных для разветвленной сети трубопроводов. Представлены результаты расчетов различных вариантов работы блока осадительных ёмкостей. Показано, что технические характеристики серийно изготавливаемой воздушно-холодильной машины ВХМ 0.54/0.6 достаточны для
обеспечения технологического процесса десублимации гексафторида урана
и фтороводорода в осадительных емкостях.
Ключевые слова: гексафторид урана, примеси, охлаждение, десублимация, математическое моделирование.
В технологии обогащения ядерных материалов большое внимание уделяется
содержанию примесей не только в конечных продуктах, но и на промежуточных
стадиях производства. При обогащении урана по легкому изотопу уран-235 в качестве рабочего вещества используется UF6 (гексафторид урана) в газообразном
состоянии. Гексафторид урана (ГФУ) на различных этапах переработки содержит разнообразные примеси, молекулярная масса которых меньше массы UF6
(так называемые легкие примеси): фториды, оксифториды и оксиды различных
металлов и неметаллов, а также компоненты воздуха. При этом содержание фтористого водорода HF в гексафториде урана составляет более 0,032% вес. [1], что
значительно превышает суммарное содержание других примесей. При отделении
легких примесей из технологических потоков разделительного производства потери основного продукта (уран-235) недопустимы. Отличие парциальных давлений UF6 и HF при различных температурах является основой процесса очистки
основного продукта от легких примесей — гексафторида урана [1].
Путем десублимации ГФУ в цепочке специальных приемных емкостей при
ступенчатом понижении температуры в них [2] достигается требуемая степень
очистки. На последней ступени очистки, для достижения безопасности производства для окружающей среды, проводится конденсация газовой смеси при температуре 130−80 K (охлаждённый воздух, пары жидкого азота).
В настоящей работе рассматриваются, процессы теплопередачи в осадительных емкостях (ОС), охлаждаемых воздухом, поступающим от воздушно-холо1
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Кадры» на 2009−2013 годы при финансовой поддержке государства в лице Минобрнауки России, Государственное соглашение № 14.B37.21.0378.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель и результаты численных расчетов охлаждения
57
дильной машины с целью моделирования процессов теплообмена в блоке ОС для
подтверждения достаточности технических параметров воздушно-холодильной
машины типа ВХМ 0.54/0.6.
При разработке математической модели были приняты следующие предположения [3]: сеть трубопроводов представляет систему прямолинейных участков с
разветвлениями, поворотами, сопряжениями труб различного диаметра; трубопроводная сеть объединена с атмосферой. В начале трубопроводной системы установлена воздушно-холодильная машина, обеспечивающая необходимый массовый секундный расход охлаждённого до заданной температуры воздуха. Движение газа в прямолинейных участках трубопровода определяют нестационарными
одномерными уравнениями газовой динамики [4]. Параметры газа в объёмах сопряжений трубопроводов вычисляют из законов сохранения массы и энергии. Теплообмен между газом и стенками труб описывается законом Ньютона. Изменение температуры внутренней поверхности стенок труб определяют из решения
уравнения переноса тепла в стенках. Среднюю величину теплового потока при
теплообмене трубопроводов с окружающей средой учитывают через величину теплового потока с внешней границы металлической трубы, находящейся под слоем
изоляции.
Записанная с учётом сделанных предположений система уравнений течения
газа в прямолинейных участках трубопроводов имеет вид
∂ρ ∂ρu
(1)
+
= 0;
∂t ∂x
∂ρu ∂ρu 2 + p
+
= −Π τ w / s ;
∂t
∂x
∂ρE ∂uρE + pu
+
= −Π α (T − Tw ) / s ;
∂t
∂x
p = ρRT ;
E = e + u2 2 , e =
(2)
(3)
(4)
p
,
ρ ( k − 1)
где x – координата; t – время; ρ – плотность газа; u – скорость; p – давление; T –
температура; E – полная энергия газа; e – внутренняя энергия газа; Tw – температура стенок; s(x) – сечение, П – периметр трубопроводов; k – показатель адиабаты
газовой смеси, R – газовая постоянная; τw – напряжение трения на стенках трубопроводов; α – коэффициент теплоотдачи.
Уравнения неразрывности (1), движения (2), энергии (3) и состояния идеального
газа (4) записываются для всех прямолинейных участков трубопроводной сети.
Коэффициент теплоотдачи и напряжение трения вычисляются по эмпирическим формулам [5]
cf
Nu λ
, Nu = 3, 66 + 0, 022 Re0,8 Pr 0,47 , τ w =
ρu u ,
α=
8
D
c f = 0, 0032 +
0, 221
Re
0,237
, Re =
ρuD
,
μ
где Nu – число Нуссельта; Re – число Рейнольдса; Pr – число Прандтля; D – диа-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.М. Губанов, А.Ю. Крайнов
58
метр трубопровода; λ, μ – коэффициенты теплопроводности и вязкости газа; cf –
коэффициент сопротивления.
Повороты, разветвления и сопряжения трубопроводов будем представлять
объемом заданной величины, к которому пристыкованы трубопроводы, возможно
различного диаметра (будем эти места называть зонами сопряжения). Схема объема сопряжения представлена на рис. 1.
1
3
2
2
Рис. 1. Схема сопряжения трубопроводов: 1 – объем сопряжения,
2 – распределительный трубопровод, 3 – трубопровод к ОС
Предполагая давление одинаковым по объему, смешение потоков из примыкающих трубопроводов с разными температурами происходит мгновенно, отсутствие трения, запишем законы сохранения массы и энергии для объема сопряжения в виде
dρ
(5)
V V = ∑ Gk ;
dt
k
V
dEV
= ∑ Gk H k ;
dt
k
p = ρRT ,
(6)
(7)
где ρV – плотность газа в объеме V; EV = cvρT – его внутренняя энергия; cv – удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме; T – температура; Gk – потоки
массы между объемом V и примыкающим k-м трубопроводом; Hk = cpTk – энтальпия газа в потоке Gk; суммы по k берутся по всем трубопроводам, примыкающим
к объему V; cp – удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении.
Уравнения неразрывности (5) – (7) записываются для всех прямолинейных
участков трубопроводной сети.
В нестационарных условиях газодинамики и теплообмена температура стенок
трубопроводов и ОС меняется во времени и влияет на динамику движения холодного воздуха в трубопроводной сети. Так как наибольший градиент температуры
формируется в направлении, перпендикулярном стенкам трубопровода, будем
моделировать распространение тепла в стенках трубопровода на основе одномерного уравнения теплопроводности в направлении, перпендикулярном стенке во
всех точках вдоль трубопроводов:
∂Tm
1 ∂ ⎛ ∂Tm ⎞
(8)
= χm
⎜r
⎟,
∂t
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель и результаты численных расчетов охлаждения
59
с начальными и граничными условиями:
∂T ( x, Rin , t )
∂T ( x, Rout , t )
= −α (T ( x, t ) − Tm ( x, Rin , t ) ) , m
= qm , (9)
Tm ( x, r , 0) = Tm,0 , m
∂r
∂r
где r – координата в глубь стенок трубопровода; χm – коэффициент температуропроводности материала трубопровода, χm=λm/(cmρm); λm – коэффициент теплопроводности; cm – удельная теплоемкость; ρm – плотность материала трубы; Rin, Rout –
внутренний и внешний радиусы трубопровода, Tm – температура в стенке трубопровода; T(x,t) – температура газа, определяется из решения системы уравнений
(1) – (7); Tm(x,Rin,t) – температура поверхности внутренних стенок трубопровода;
qm – величина теплового потока, приходящаяся на внешнюю поверхность трубопровода.
Уравнения (8) с условиями (9) записываются для
4
всех точек трубопроводов.
φ
3
Стенки ОС находятся в теплообмене с протекающим по теплообменным каналам воздухом
2
1
(рис. 2). Воздух по мере продвижения по теплообменному каналу нагревается. В стенках ОС формируются градиенты температуры и в направлении,
перпендикулярном стенке (координата y), и в вертиz
кальном направлении (координата z).
x
i
Предполагая однородность температуры стенок
по угловой координате, для описания переноса теп- Рис. 2. Схема устройства ОС:
ла в боковых стенках ОС запишем уравнение пере- 1 – объём для продукта, 2 –
носа тепла в стенках ОС в двумерном приближении. теплообменный канал для
Пренебрегая кривизной стенок ОС, уравнение теп- воздуха, 3 – стенка ёмкости,
4 – угол наклона канала
лопроводности запишется в виде
⎛ ∂ 2T ∂ 2T
∂Tn
= χ n ⎜⎜ 2n + 2 n
∂t
∂z
⎝ ∂y
⎞
⎟⎟ ,
⎠
(10)
с начальными и граничными условиями:
Tn ( y, z , 0) = Tn,0 ,
∂Tn ( 0, z , t )
∂Tn ( ∆D, z , t )
= −α (Tg − Tn ( 0, z , t ) ) ,
= qn ,
∂y
∂y
(11)
∂Tn ( y, 0, t )
∂Tn ( y , H , t )
=0,
=0,
∂z
∂z
где y – координата в глубь стенок ОС; χn – коэффициент температуропроводности
материала стенок ОС, χn = λn/(cnρn); λn – коэффициент теплопроводности; cn –
удельная теплоемкость; ρn – плотность материала стенок ОС; ∆D – толщина стенок ОС; H – высота боковых стенок ОС; Tn – температура в боковой стенке ОС; Tg
– температура газа вблизи поверхности стенок ОС, определяется из решения системы уравнений (1) – (7); qn – величина теплового потока, приходящаяся на внутреннюю поверхность боковых стенок ОС в процессе конденсации ГФУ.
Температуру поверхности внутренних стенок трубопроводной сети Tm(x,Rin,t)
определяют из уравнения (8) с краевыми условиями (9). Полученные значения
Tm(x,Rin,t) используют в уравнении (3) системы (1) – (4): Tw(x,t) = Tm(x,Rin,t). По-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60
С.М. Губанов, А.Ю. Крайнов
этому уравнения (1) – (7) и (8), (9) в зонах трубопроводной сети решают совместно. Температуру поверхности внутренних стенок участков трубопровода, находящегося в контакте со стенками ОС, Tn(0,z,t) определяют из уравнения (10) с условиями (11). Полученные значения Tn(0,z,t) – температура стенок охлаждённого
трубопровода в ОС. Величину Tw(x,t), используемую в уравнении (3), определяют
с учетом угла между осью z и направлением теплообменного канала ОС в виде
Tw(x,t) = Tn(0,z(x – xi),t), z(x – xi) = (x−xi)cos(φ), где φ – угол между направлением
трубопровода, находящегося в контакте со стенками ОС и осью z (рис. 2), xi –
координата начала трубопровода, находящегося в контакте со стенками i-й ОС
(i = 1−8). Поэтому и уравнения (1) – (7) и (10), (11) в зонах трубопроводной сети,
относящихся к ОС, решают совместно.
В качестве начальных условий для системы уравнений (1) – (7) задаются начальные распределения давления, температуры и скорости:
p( x, 0) = pн , T ( x, 0) = Tн , u ( x, 0) = 0
(12)
и параметры состояния газа в объемах сопряжений:
p j (0) = pн , T j (0) = Tн ,
(13)
индекс «н» – начальные условия.
В качестве граничных условий на входе в трубопроводную систему в месте
подачи холодного воздуха задаются значения массового секундного расхода воздуха и его энтальпия, на выходе трубопровода в атмосферу задается значение
давления:
G (0, t ) = ρin uin sin = Gin , H (0, t ) = c pTin , p( L, t ) = p0 ,
(14)
где Gin – заданная величина секундного массового потока холодного воздуха на
входе в трубопроводную сеть; Tin – величина температуры потока холодного воздуха на входе в трубопроводную сеть; p0 – величина атмосферного давления, принята p0 = 101320 Па; L – обобщенная координата выхода из трубопроводной сети.
Модель расчета аэродинамических параметров в местах разветвлений, поворотов, сопряжений труб различного диаметра (уравнения (5) – (7)) основана на законах сохранения массы и энергии. Изменение импульса в зонах сопряжения не рассчитывается. Перенос импульса через сопряжения определяется заданием граничных условий на границах ветвей, примыкающих к узлу в соответствии с направлением характеристик уравнений (1) – (3).
Система охлаждения блока ОС в составе воздушно-холодильной машины и 8
шт. ОС работает по заданной циклограмме процесса: присоединенную к системе
охлаждения ОС охлаждают до рабочей температуры (–140 оС) и начинается подача потока ГФУ с легкими примесями в ее объем. Одновременно в блоке в работе
находится 8 ОС. Из них в режиме приема 4 ОС, и 4 охлажденные ОС – в резерве.
Схема трубопроводной сети для транспортировки холодного воздуха, вырабатываемого воздушно-холодильной машиной, и расположение ОС представлена на
рис. 3. Трубопроводная сеть состоит из прямолинейных участков 9 – 14, изготовленных из теплоизолированных латунных труб с толщиной стенок 2 мм и внутренним диаметром d = 0,1 м, кроме участка 9 (d = 0,051 м). Трубы покрыты специальной многослойной теплоизоляцией. Длина участков: 9 – 1 м; 10, 11, 12 и 13
по 4 м; 14 – 10 м. Трубопроводы от ОС примыкают к участкам 10, 11, 12 и 13 через 1 м. Приёмные ёмкости изготовлены из нержавеющей стали. Диаметр канала
для прохода газа вдоль стенок ОС 0,051 м, длина канала 7 м, масса пустой ёмкости 30 кг. Примем, что резервные ОС № 5 – 8 охлаждены. Для того чтобы они не
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель и результаты численных расчетов охлаждения
61
отеплялись за счет тепловых потоков из окружающей среды, предполагается, что
в трубопроводах, присоединяющих ОС к распределительным трубопроводам 10 –
13 установлены регуляторы расхода 15.
14
13
8
7
11
6
5
4
3
2
1
10
12
9
15
ВХМ 16
Рис. 3. Схема трубопроводной сети и расположение ОС в блоке: 1–8 –
осадительные ёмкости; 9–14 – трубопроводы; 15 – регуляторы расхода
хладагента; 16 – воздушно-холодильная машина
Исходные данные для расчетов: теплофизические характеристики латуни:
λm = 125,7 Дж/(м·с·К), cm = 293,3 Дж/(кг·К), ρm = 8659,0 кг/м3; стали: λn = 16,178
Дж/(м·с·К), cn = 502,8 Дж/(кг·К), ρn = 7900,0 кг/м3; воздуха (при температуре 133 К):
λв = 0,0138 Дж/(м·с·К), µ = 1,076·10−5 Па·с, R = 290 Дж/(кг·К), k = 1,36, температура
воздуха на выходе из ВХМ T = 133 K, его расход 0,1667 кг/с (600 кг/ч), начальная
температура ОС перед установкой в систему улавливания паров T=298 K, давление в атмосфере p0 = 101320 Па, средний тепловой поток из окружающей среды
при охлаждении ОС qn = 10,0 Дж/(м2·с), из окружающей среды на теплоизолированные трубопроводы qm=30,0 Дж/(м2·с). Средний тепловой поток при конденсации (десублимации) продукта в ОС определялся из того расчета, что газовая смесь
в соотношении 50 % массы HF и 50 % ГФУ поступает в ОС с начальной температурой 25 °С в количестве 1 кг в час. Из термодинамического расчета следует, что
для охлаждения заданного потока газовой смеси, конденсации HF, охлаждения и
кристаллизации жидкого HF, десублимации ГФУ необходимо отводить от стенок
ОС количество тепла Qn = 122,67 Дж/с. В пересчете на единицу площади стенок
теплообменника ОС это составит qn = 109,38 Дж/(м2·с).
Система уравнений (1) – (14) решалась численно. Для решения нестационарных уравнений газовой динамики был выбран метод С.К. Годунова [6]. Обыкновенные дифференциальные уравнения (5), (6) решались методом Эйлера. Для решения уравнения теплопроводности (8) с краевыми условиями (9) использовалась
неявная аппроксимация второй производной. Получающаяся система линейных
уравнений решалась методом прогонки [7, 8]. Уравнения теплопроводности (10) с
краевыми условиями (11) решались методом покоординатного расщепления также методом прогонки [7, 8]. Расчёты проводились до установления стационарного
теплового состояния каждой из приёмных ёмкостей и трубопроводной сети в соответствии с выбранным вариантом режима работы блока ОС.
Для проведения численного моделирования процессов теплообмена в блоках
ОС были выбраны различные комбинации работы блока ОС в составе 8 шт. ОС —
попарно в фазах либо охлаждения, либо десублимации продукта.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.М. Губанов, А.Ю. Крайнов
62
Графические результаты расчётов варианта работы блока ОС, когда ОС № 1−4
находятся в режиме десублимации потока газа, представлены на рис. 4. На рис. 4,
а – в приведено изменение температуры, скорости потока воздуха и давления
вдоль трубопроводов по участку 9, затем по участку 10 распределительного трубопровода до примыкания ОС № 1 к нему, далее по каналу теплообменника ОС
№ 1 до его сопряжения с трубопроводом 11, по трубопроводу 11 и по трубопроводу 14 на выход в атмосферу (см. рис. 3). Кривые построены в последовательные
моменты времени с периодом 10 мин с момента начала охлаждения ОС или начала конденсации продукта в ОС. В расчетах было принято, что средний тепловой
поток при конденсации продукта qn = 109,38 Дж/(м2·с); теплообмен с окружающей
средой трубопроводов и ОС, находящихся в режиме охлаждения, qm = 30,0
Дж/(м2·с), qn = 10,0 Дж/(м2·с).
T, K
3'
138
2'
1' 3
136
2
1
а
134
132
0
10
20
x, м
P, атм
u, м/с
1,12
20
б
в
1,08
10
1,04
0
0
10
20
x, м
1
0
10
20
x, м
Рис. 4. Распределения температуры (а) газа (штриховая линия) и стенок трубопровода
(сплошная линия), скорости воздуха (б) и давления (в) для ОС № 1. Линии 1−3, 1'–3' построены с интервалом 10 мин с начала процесса
Начальная температура стенок ОС в расчетах была принята 133 К. При десублимации газа в емкости выделяется тепло, тепловой поток в стенки ОС начинает
их нагревать, холодный воздух снимает тепло с внутренних стенок теплообмен-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель и результаты численных расчетов охлаждения
63
ника ОС. Через время порядка 30 мин устанавливается тепловое равновесие, когда все тепло десублимации передается через стенки воздуху. Температура стенок
ОС превышает температуру газа на величину 2,5 градуса. Температура стенок ОС
по ее высоте увеличивается со значения 136 К до 138,3 К (на участке 5−12 м по
длине теплообменной трубы ОС №1 на рис. 4, а). Скорость холодного воздуха на
маршруте его движения через ОС № 1 меняется обратно пропорционально площадям проходного сечения участков трубопровода и распределения потока воздуха по теплообменникам ОС № 4, 3, 2. В результате скорость потока холодного
воздуха в теплообменнике ОС №1 имеет величину 7,4 м/с.
Аналогичные распределения температуры стенок ОС и скорости холодного
воздуха имеют место на маршрутах движения воздуха через ОС № 2, 3, 4. Имеется небольшое отличие в величине температуры стенок ОС. Так, ОС № 4 имеет
температуру стенок внизу (в начале теплообменника ОС) 135,5 К и вверху 137,6 К.
ОС № 2 и 3 имеют промежуточные температуры в сравнении с ОС № 1 и 4. Это
обусловлено тем, что холодный воздух, протекающий в распределительном трубопроводе (участок 10 на рис. 3), незначительно нагревается.
T, K
136
1
2 3 1'
135
3' 2'
134
а
133
132
0
5
10
u, м/с
15
x, м
20
P, атм
1,12
20
б
в
1,08
10
1,04
1
0
0
5
10
15
20
x, м
0
5
10
15
20
x, м
Рис. 5. Распределения температуры (а) газа (штриховая линия) и стенок трубопровода
(сплошная линия), скорости воздуха (б) и давления (в) для ОС № 3. Линии 1−3, 1'–3' построены с интервалом 10 мин с начала процесса
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.М. Губанов, А.Ю. Крайнов
64
Был проведен расчет варианта работы блока ОС, когда в режиме десублимации потока газа работают ОС № 3, 4, остальные шесть ОС охлаждены и находятся
в резерве. Результаты расчетов приведены на рис. 5, где представлены графики
распределения температуры, скорости течения и давления охлажденного воздуха
и температуры стенок трубопроводов по траекториям течения воздуха от входа в
трубопроводную сеть до выхода в атмосферу при течении воздуха через теплообменник ОС № 3, в последовательные моменты времени через 10 мин.
В этом варианте работы блока ОС выход на стационарный температурный режим происходит быстрее, чем когда в работе находится 4 ОС. За время 20 мин
распределения температуры стенок ОС № 3 и 4 выходят на стационарные значения. Это обусловлено большей скоростью течения холодного воздуха в теплообменниках ОС – она составляет величину 14 м/с. Температура стенок ОС № 3 и 4
изменяется по высоте от 134,5 до 136 К. Температура стенок ОС № 1 и 2, находящихся в резерве, постепенно увеличивается из-за тепловых потоков из окружающей среды и малости расхода холодного воздуха через их теплообменники и достигает установившихся значений температуры на уровне 160 К.
T, K
1
170
1'
160
а
150
2
140
130
2'
0
3 3'
10
20
x, м
P, атм
u, м/с
1,12
20
б
в
1,08
10
1,04
0
0
10
20
x, м
1
0
10
20
x, м
Рис. 6. Распределения температуры (а) газа (штриховая линия) и стенок трубопровода
(сплошная линия), скорости воздуха (б) и давления (в) для ОС № 1. Линии 1−3, 1'–3' построены с интервалом 10 мин с начала процесса
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая модель и результаты численных расчетов охлаждения
65
Для вновь подключенных ОС к системе охлаждения после освобождения их от
десублимата и имеющих начальную температуру +25 °С необходимо знать время
их охлаждения до температуры 134−135 К, когда можно включить подачу в них
газа для десублимации. Для определения этого времени был проведен расчет варианта, когда ОС № 1−4 охлаждаются от начальной температуры 298 К. Результаты расчета представлены на рис. 6 для ОС № 1 (для ОС № 2−4 распределения параметров близки по величине представленным для ОС № 1).
Из результатов расчетов следует, что четыре пустые ОС, одновременно охлаждаемые потоком холодного воздуха от ВХМ, достигают рабочей температуры за
время 30 мин. Если в блоке охлаждается только две ОС, то их температура достигает рабочих значений за время 15−20 минут.
Таким образом, разработана физико-математическая модель, описывающая
процессы охлаждения блока осадительных емкостей для десублимации легких
примесей и гексафторида урана холодным воздухом, подаваемым в теплообменники приемных ёмкостей по трубопроводной сети от воздушной холодильной
машины ВХМ 0.54/0.6. Показано, что технические параметры воздушно-холодильной машины типа ВХМ 0.54/0.6 достаточны для обеспечения технологического процесса десублимации потока газовой смеси.
ЛИТЕРАТУРА
1. Васенин И.М., Крайнов А.Ю., Мазур Р.Л. и др. Определение степени ассоциации малых
количеств фтористого водорода в системе HF – UF6 // Известия вузов. Физика. 2009.
Т. 52. № 7/2. С. 44−48.
2. Горелик А.Г., Амитин А.В. Десублимация в химической промышленности. М.: Химия,
1986.
3. Крайнов А.Ю., Губанов С.М. Численное моделирование охлаждения емкостей для десублимации паров // Компьютерные исследования и моделирование. 2011. Т. 3. № 4.
С. 383−388.
4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.
5. Справочник по теплообменникам: в 2 т. Т. 1. М.: Энергоатомиздат, 1987. 561 с.
6. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач
газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.
7. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 388 с.
8. Пасконов В.М. Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов теплои массообмена. М.: Наука, 1984. 241 с.
Статья поступила 26.07.2012 г.
Gubanov S. M. , Krainov A. Yu. THE MATHEMATICAL MODEL AND RESULTS OF NUMERICAL CALCULATIONS OF SEDIMENTATION TANK COOLING UPON DESUBLIMATION OF THE FLOW OF UF6 AND LIGHT IMPURITIES. A physico-mathematical model
of sedimentation tank cooling (ST) with cold air for desublimation of a flow of uranium
hexafluoride with admixtures of hydrogen fluoride is presented. The model is based on gas dynamics equations written for a ramified network of pipelines. The simulation results for different
operating modes of the sedimentation tanks are presented. It is shown that technical characteristics of the VKhM 0.54/0.6 air-cooling machine are sufficient to provide for the technological process of uranium hexafluoride and hydrogen fluoride desublimation in sedimentation tanks.
Keywords: uranium hexafluoride, impurities, cooling, desublimation, mathematical modeling
GUBANOV Sergey Mikhailovich (Tomsk State University)
KRAINOV Alexey Yur’evich (Tomsk State University)
Е-mail: akrainov@ftf.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 519.6
Е.А. Данилкин, Р.Б. Нутерман, А.А. Барт, Д.В. Деги, А.В. Старченко
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОЗДУХА
И ПЕРЕНОСА ПРИМЕСИ В УЛИЧНОМ КАНЬОНЕ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВИХРЕРАЗРЕШАЮЩЕЙ МОДЕЛИ
ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ1
Представлена вихреразрешающая математическая модель и ориентированная на суперкомпьютерную технику модификация алгоритма численного
решения системы уравнений Навье – Стокса, описывающих движение несжимаемой жидкости при моделировании турбулентности методом крупных
вихрей. После апробации построенной модели на тестовых задачах предложенная математическая модель применена для исследования аэродинамики
потока и переноса примеси в уличном каньоне.
Ключевые слова: вихреразрешающее моделирование, турбулентность,
уличные каньоны, параллельные вычисления.
В связи с постоянным ростом количества автотранспорта увеличивается и
уровень загрязнения приземного слоя атмосферы выхлопными газами, в то время
как развитие городской инфраструктуры идет сравнительно медленными темпами. Для обеспечения высокого уровня экологического комфорта населения при
рациональном использовании городских земель наряду с приборным контролем
состава атмосферного воздуха необходимы системы для мониторинга состояния
окружающей среды, которые позволяли бы предсказывать концентрации газовых
составляющих примеси для различных метеоусловий и конфигураций городской
застройки. Для этого активно применяются методы математического моделирования, позволяющие рассчитывать детальную структуру турбулентного течения
воздушных масс и картину распределения примеси, а также предсказывать зоны
превышения предельно допустимых концентраций для конкретных участков городской застройки [8, 14, 22].
На современном этапе развития теории турбулентности моделирование турбулентных течений в окружающей среде осуществляется, в основном, с использованием осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса и переноса (Reynolds
Averaged Navier – Stokes – RANS-подход), для которых требуется решить проблему замыкания путем привлечения полуэмпирических моделей различного уровня
сложности. Однако, несмотря на значительные успехи в развитии этих моделей,
имеются определенные трудности при описании нестационарных турбулентных
течений вблизи плохообтекаемых тел. В первую очередь это обусловлено определенными особенностями отрывных течений, а именно, наличием организованных
когерентных структур, определяемых параметрами течения и геометрией области
исследования [2, 11]. Метод крупных вихрей (Large Eddy Simulation – LESподход) оказывается более предпочтительным при моделировании турбулентных
1
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 (госконтракт № 14.B37.21.0667) и РФФИ в рамках научных проектов
№ 12-05-31341, № 12-01-00433а.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование движения воздуха и переноса примеси в уличном каньоне
67
отрывных течений, так как позволяет описывать нестационарную структуру турбулентного течения, напрямую предсказывая поведение крупных вихрей и каскадный процесс передачи энергии к более мелким вихрям с масштабами вплоть
до размера ячейки расчетной сетки. При этом вихри меньшего масштаба, которые
можно считать изотропными [10], моделируются с помощью той или иной подсеточной модели.
Необходимо отметить, что высокая вычислительная стоимость проведения
расчетов на ЭВМ при реализации вихреразрешающего моделирования для описания турбулентности существенно ограничивает широкое применение LESподхода для исследования течений в окружающей среде и является следствием,
во-первых, сложной природы турбулентности, поскольку для явного разрешения
энергосодержащих вихрей, характеризующих поведение потока, требуется использование очень подробной разностной сетки (порядка 106 – 108 ячеек в объеме,
не превышающем размер наибольшего вихря в исследуемой системе). А вовторых, в отличие от RANS-подхода, где решение исходной системы есть средние
характеристики исследуемого течения, при использовании вихреразрешающего
моделирования результатом решения является состояние течения в некоторый
конкретный момент времени, и для получения средних характеристик потока необходимо провести осреднение по достаточно большому количеству временных
шагов (величина порядка 104 – 106).
Тем не менее развитие современной высокопроизводительной вычислительной
техники и наличие эффективных алгоритмов позволяют получать новые интересные результаты с использованием данного подхода. В предлагаемой работе большое внимание было уделено построению нового эффективного метода решения
описанной математической модели на многопроцессорной технике с распределенной памятью. После верификации на модельных задачах (обтекание цилиндра
и течение над шероховатой пластиной) модель была применена для исследования
распространения примеси, поступающей от точечного источника в трехмерном
уличном каньоне.
Физико-математическая постановка задачи
Рассматривается трехмерное нестационарное турбулентное движение несжимаемой среды с распределенными источниками примеси постоянной интенсивности.
Моделирование турбулентного течения и переноса примеси осуществляется с
использованием метода крупных вихрей, основная идея которого заключается в
формальном математическом разделении крупных и мелких вихрей средствами
высокочастотных фильтров. При этом крупные вихри разрешаются явно, а мелкомасштабная турбулентность параметризуется, то есть определяется характеристиками крупномасштабных вихрей. Возможности к этому открывает теория
универсального равновесия Колмогорова [6], в соответствии с которой, если нет
возможности для разрешения всех масштабов турбулентного движения при численном моделировании, то следует моделировать мелкомасштабные вихри как
приближенно изотропные структуры по сравнению с рассчитываемыми явно анизотропными крупномасштабными вихрями.
Для разделения крупных и мелких структур используется операция фильтрации [10, 11, 20]. Возможно использование явной фильтрации, согласно которой
переменные ячеечного масштаба определяются уравнением
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
68
Е.А. Данилкин, Р.Б. Нутерман, А.А. Барт, Д.В. Деги, А.В. Старченко
f ( x , t ) = ∫ G ( x , x′) f ( x′, t )dx′, ∫ G ( x )dx = 1 ,
(1)
R3
R3
где f – подлежащая фильтрации величина, G – функция фильтра с характерным
масштабом длины ∆, или неявной фильтрации уравнений Навье – Стокса, когда в
качестве фильтра выступает используемая разностная сетка [3], которая и применяется в данной работе.
Полученная математическая модель трехмерного нестационарного турбулентного движения несжимаемой среды включает в себя отфильтрованные уравнения
неразрывности и Навье – Стокса:
∂ui
(2)
=0;
∂xi
∂ui ∂ui u j
∂
1 ∂p
+
=−
+
∂t
∂x j
ρ ∂xi ∂x j
⎛ ∂ui
⎜⎜ ν
⎝ ∂x j
⎞ ∂τij
;
⎟⎟ −
⎠ ∂x j
τi j = ui u j − ui u j , i, j = 1, 2,3 ,
(3)
(4)
а также отфильтрованное дифференциальное уравнение, описывающее перенос
пассивной газообразной примеси:
∂C ∂u j C
∂
+
=
∂t
∂x j
∂x j
⎛ ν ∂C
⎜⎜
⎝ Sc ∂x j
q j = Cu j − Cu j ,
⎞ ∂q j
+F ;
⎟⎟ −
⎠ ∂x j
j = 1, 2,3 .
(5)
(6)
Здесь ui – фильтрованные компоненты мгновенного поля скорости; p – мгновенное значение давления; ν – коэффициент кинематической вязкости; ρ –
плотность; C – концентрация примеси; F – функция, описывающая распределение источников; τij – тензор подсеточных напряжений, q j – подсеточный поток
массы; Sc – число Шмидта. По повторяющемуся индексу j проводится суммирование.
Система уравнений (2) – (6) остается незамкнутой, так как выражения (4) и (6)
содержат исходные нефильтрованные компоненты скорости и концентрации. τi j
и q j характеризуют влияние мелкомасштабных вихрей на эволюцию крупномасштабных вихрей, и их необходимо моделировать, как в подходе Буссинеска через
установление их связи со скоростями ui и концентрацией C . Последнее и составляет суть методики подсеточного моделирования [1, 6, 7, 11, 20].
В настоящее время существует большое количество подходов к моделированию подсеточных масштабов [1, 20], но наиболее широкое распространение получили модели, основанные на использовании турбулентной вязкости (Eddy Viscosity Models, EVM) для не разрешенных явно турбулентных пульсаций. В таких
моделях тензор напряжений и турбулентный поток массы вычисляются по формулам
1
1 ⎛ ∂u ∂u j
τij − δij τii = −2 KT Sij , Sij = ⎜ i +
2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi
3
⎞
KT ∂C
, i, j = 1, 2,3 . (7)
⎟⎟ , q j = −
Scτ ∂x j
⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование движения воздуха и переноса примеси в уличном каньоне
69
Здесь Sij – тензор скорости деформации, построенный по фильтрованному полю
скорости ui , KT = KT (u , x , t ) ≥ 0 – коэффициент турбулентной вязкости, зависящий от решения, Scτ – турбулентное число Шмидта.
Выбор зависимости KT = KT (u , x , t ) чрезвычайно разнообразен. Например,
для модели Смагоринского и ее модификаций турбулентная вязкость определяется на основе локальных параметров потока, а для динамических и дифференциальных моделей (и их комбинаций) – из предыстории развития течения. Более
подробную информацию по моделям турбулентной вязкости можно найти в работах [1, 3, 12, 20].
В данной работе использовалась модель Смагоринского [21], в которой влияние мелкомасштабных вихрей на эволюцию крупномасштабных аппроксимирует= −2CS2 ∆ 2g S Sij , где ∆ g – шаг сетки модели, S = 2 Sij Sij –
ся выражением τSmog
ij
норма тензора скорости деформации, CS – постоянная Смагоринского.
В качестве граничных условий для скорости использовались условия прилипания и непротекания на твердых границах, на входе задавался профиль скорости,
на выходе – равенство нулю производных по нормали. Для концентрации примеси на стенках и выходе задавалось равенство нулю производных по нормали, на
входе – нулевые значения.
В связи с тем, что пространственное разрешение для рассматриваемого случая
турбулентного течения не позволяет описывать процессы в вязком пограничном
слое, суммарное воздействие стенки должно быть учтено при помощи пристеночной модели. Известно, что в зоне развитой турбулентности изменение продольной
компоненты скорости в зависимости от расстояния от поверхности можно с хорошей точностью аппроксимировать логарифмической зависимостью. Поэтому в данной работе для правильного описания поведения средних величин использовалась
простейшая пристеночная модель, не выходящая за пределы первого расчетного
слоя, которая успешно применялась в других работах и описана в [3].
Пренебрегая отклонением профиля скорости от логарифмического закона,
скорость в первом расчетном узле над шероховатой поверхностью можно определить, используя следующую зависимость:
u=
uτ ⎛ z ⎞
ln ⎜ ⎟ ,
k ⎝ z0 ⎠
(8)
где uτ = τ w / ρ – динамическая скорость, τ w – напряжения трения на стенке, z0
– параметр шероховатости, k ≈ 0, 4 – постоянная Кармана, z - расстояние до поверхности. Предположение о логарифмическом распределении профиля скорости
использовалось при оценке влияния напряжений трения у стенки.
Аппроксимация дифференциальной задачи и численный метод решения
Численное решение представленной выше системы дифференциальных уравнений в частных производных осуществляется на основе метода конечного объема с использованием разнесенной разностной сетки, когда значения компонент
скорости определяются на гранях конечных объёмов, а скалярные характеристики
– в центре. После разбиения расчетной области описанным способом каждое
дифференциальное уравнение интегрируется по каждому конечному объему.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.А. Данилкин, Р.Б. Нутерман, А.А. Барт, Д.В. Деги, А.В. Старченко
70
При вычислении интегралов применяется кусочно-полиномиальная интерполяция для зависимых от x1 , x2 , x3 величин. Аппроксимация конвективных членов
уравнения переноса выполняется с использованием направленной схемы QUICK
[16]. Аппроксимация диффузионных членов осуществляется с использованием
центрально-разностной схемы второго порядка. Для решения уравнений переноса
применяется явная схема по времени (Адамса – Бэшфорда). Результатом дискретизации является явная разностная схема второго порядка аппроксимации по времени и пространству, являющаяся условно устойчивой.
В гидродинамической части модели для согласования полей скорости и давления использовалась схема предиктор-корректор, в соответствии с которой явная
схема Адамса – Бэшфорда для уравнений движения выполняла функцию предиктора, а коррекция поля скорости, удовлетворяющего уравнению неразрывности на
новом временном слое, выполнялась на основе решения разностного уравнения
для давления. Для решения системы линейных алгебраических уравнений для
отыскания давления использовался метод сопряженных градиентов (CG) с использованием предобуславливания методом верхней релаксации с красно-черным
упорядочиванием [5].
При расчёте течений в областях сложной геометрии в данной работе использовался метод фиктивных областей, суть которого заключается в том, что значения
векторных и скалярных величин в области преграды равны нулю и на границах
фиктивных конечных объемов отсутствуют диффузионные потоки.
Параллельная реализация
В качестве основного подхода распараллеливания выбрана двумерная геометрическая декомпозиция сеточной области, которая подразумевает выделение каждому процессорному элементу некоторой сеточной подобласти со всеми принадлежащими этой подобласти значениями неизвестных сеточных функции (рис. 1).
ПЭ 0
(0,0)
ПЭ 1
(0,1)
ПЭ 2
(0,2)
ПЭ 3
(1,0)
ПЭ 4
(1,1)
ПЭ 5
(1,2)
x3
x2
x1
Рис. 1. Иллюстрация организации пересылок граничных сеточных значений при 2Dдекомпозиции сеточной области для обеспечения однородности вычислительного процесса
(ПЭ – процессорный элемент)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование движения воздуха и переноса примеси в уличном каньоне
71
После распределения данных по процессорным элементам устанавливаются
связи между блоками сеточной области, расчеты в которых будут выполняться
параллельно. Связи возникают в силу используемого шаблона явной разностной
схемы, поскольку для вычисления очередного приближения в приграничных узлах каждой подобласти требуются значения сеточной функции с соседнего процессорного элемента. Поэтому на каждом процессорном элементе создаются фиктивные ячейки для хранения данных с соседнего процессорного элемента и организуется пересылка этих граничных значений, необходимых для обеспечения однородности вычислительного процесса (рис. 1) [4].
Для уменьшения времени, затрачиваемого на пересылку данных при организации межпроцессорных обменов, использовалась технология опережающей рассылки, когда вычисления во внутренней области проходят на фоне осуществляющейся пересылки уже вычисленных граничных значений сеточной функции, окрашенных в более темный цвет (рис. 2) [9].
Ny+1
Ny
– внутренние узлы;
– граничные узлы, необходимые
для расчетов соседнему процессорному элементу;
1,
2
1,2
Nx Nx+1
Рис. 2. Иллюстрация принадлежности узлов вычислительной сетки
для одной подобласти
Использование многопроцессорной вычислительной техники (кластер ТГУ
СКИФ Cyberia, 358 узлов/696 шестиядерных процессоров IntelXeon 5670,
2,93ГГц) позволило существенно сократить время вычислений при решении описанного класса задач. В таблице представлено время работы (в часах) параллельной программы для различного количества процессорных элементов, используемых при решении уравнений Навье – Стокса для течения над шероховатой пластиной (5 000 шагов по времени). Заметим, что при проведении вычислений для
турбулентных течений требуется около 25 000–250 000 шагов по времени.
Время счета для случая моделирования течения над шероховатой пластиной
на сетке 120×120×30
Число процессов
Время счета, ч
1
38,68
4
23,34
16
2,86
25
1,12
64
0,83
100
0,81
Результаты математического моделирования
Адекватность построенной математической модели реальным турбулентным
течениям была проверена на следующих модельных задачах: течение над шероховатой пластиной и обтекание цилиндра квадратного сечения. Течение над шероховатой пластиной является хорошим тестовым примером для апробации моде-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.А. Данилкин, Р.Б. Нутерман, А.А. Барт, Д.В. Деги, А.В. Старченко
72
лей турбулентного течения, показывающим насколько хорошо построенная математическая модель воспроизводит процессы, происходящие в пограничном слое.
Задача интересна тем, что генерация энергии турбулентности осуществляется за
счет взаимодействия потока с ограничивающей поверхностью (шероховатой пластиной).
При организации расчетов граничные условия задавались следующим образом: по направлению потока – условия периодичности с сохранением расхода, на
верхней и боковых открытых поверхностях – условия скольжения, и на пластине
– условия прилипания. Для задания начальных условий выбраны аналитические
выражения, предложенные в работе [18] для трех компонент скорости
( Re τ = uτ h / ν = 180 , h – полуширина канала):
(
8
)
u1 ( x1 , x2 , x3 ) / U in = C 1 − ( x3 / h ) + ε 2π sin ( πx3 / h ) cos ( x1 / h ) sin ( x2 / h ) ;
u2 ( x1 , x2 , x3 ) / U in = −επ sin ( x1 / h ) sin ( πx3 / h ) cos ( x2 / h ) ;
u1 ( x1 , x2 , x3 ) / U in = −ε (1 + cos ( πx3 / h ) ) sin ( x1 / h ) sin ( x2 / h ) ;
(9)
где C = 7, 764 Re1/τ 7 ⋅ uτ / U in и ε = 0,1C . Эти начальные условия удовлетворяют
граничным условиям и по своей сути являются возмущением, наложенным на
среднее течение для задания начального уровня турбулентности в потоке.
Условия проведения расчетов, геометрия области исследования и параметры
течения выбраны в соответствии с работой [13]. Размеры области исследования
составляли 4πh, 2πh, 2h , расчеты проводились на равномерной сетке 96 × 80 × 64 .
Результаты моделирования течения жидкости показали хорошее согласование с
экспериментальными данными [19] и данными прямого численного моделирования [15] (рис. 3, 4).
На основе полученных результатов можно сделать вывод, что предложенная и
реализованная математическая модель способна корректно описывать характеристики турбулентного течения над шероховатой поверхностью.
u1+
20
Expr. [20]
DNS [15]
QUICK
15
10
5
0
1
10
Рис. 3. Профиль осредненной по времени
продольной компоненты скорости
100
x3+
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование движения воздуха и переноса примеси в уличном каньоне
73
Среднеквадратичные пульсации скорости
3
u' - DNS
u' - Expt.
QUICK
2
1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
x3
Рис. 4. Флуктуации продольной компоненты скорости
Эксперимент с обтеканием цилиндра [17] также использовался для апробации
построенной математической модели турбулентного течения. Моделируется турбулентный поток вокруг цилиндра квадратного сечения, расположенного в канале
(рис. 5). Рассматриваемый случай имеет довольно простую геометрию, но представляет большой интерес с точки зрения моделирования процесса образования
Рис. 5. Расчетная область
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.А. Данилкин, Р.Б. Нутерман, А.А. Барт, Д.В. Деги, А.В. Старченко
74
крупных вихрей с их последующим распадом и диссипаций в возникающем неустойчивом следе за цилиндром. Размеры геометрии области исследования представлены на рис. 5, в расчетах использовалась область Nx1 × Nx2 × Nx3 = 132 × 122 × 22 .
Выбор области течения и значения числа Рейнольдса Re = U in D / ν соответствуют
эксперименту Lyn et al. [17].
Движение жидкости поддерживалось за счет задания постоянной скорости на
входной границе, направленной вдоль оси Ox1 . В качестве начальных данных использовались постоянные значения скорости u1 = U in = 0,55м с , u2 = u3 = 0 . Расчеты (и осреднение величин) проводились в течение двенадцати периодов отрыва
вихря после времени инициализации, равного 50 D / U in .
Эксперимент с обтеканием цилиндра квадратного сечения хорошо описан,
имеются данные измерений, представленные в виде таблиц. Этот эксперимент
часто используется для апробации различных подходов моделирования турбулентности. Набегающий ламинарный поток рассеивается на наветренной стороне
цилиндра, а с боковых поверхностей отрываются вихри. Экспериментально установленная частота отрыва вихрей f соответствует значению безразмерного числа Струхаля Sh = fD / U in = 0,13 . Такое же значение частоты отрыва вихрей получено численно в результате расчетов.
Вычислительный эксперимент показал наличие хорошего уровня согласования
расчетов с экспериментальными данными [17]. Профиль компоненты скорости
u1 , осредненной по времени, хорошо накладывается на данные измерений. На
рис. 6 представлены результаты расчетов изменения осредненной по времени
продольной скорости потока вдоль оси, ориентированной по потоку и проходящей через середину поперечной плоскости расчетной области.
u1
u ′22
U in2
2
U in
Expr.[17]
QUICK
0,6
0,4
0,4
0
–0,4
Expr.[17]
QUICK
–4
0
4
x1/D
0,2
0
0
2
4
x1/D
Рис. 6. Сравнение профиля средней скорости u1, полученного на экспериментальном стенде, с результатами моделирования, полученными в данной работе (слева); сравнение турбулентных напряжений для пульсаций скорости u2 (справа)
Анализ результатов показывает, что использование направленной схемы QUIK
позволяет достичь довольно точного согласования результатов численного эксперимента с измерениями [17] для средних характеристик потока при использовании замыкания Смагоринского с постоянным коэффициентом. На рис. 6 также
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование движения воздуха и переноса примеси в уличном каньоне
75
представлен профиль осредненных по времени нормальных турбулентных напряжений вниз по потоку за цилиндром. Из рисунков видно, что получено достаточно хорошее соответствие с данными эксперимента [17] для относительных пульсаций компоненты скорости u2′ .
На рис. 7 представлено векторное поле скорости на фоне поля давления для
трех различных моментов времени. Иллюстрации демонстрируют способность
вихреразрешающего моделирования описывать нестационарную структуру турбулентного течения. Показано, что на наветренной стороне цилиндра образуется
область повышенного давления, а в области завихрения давление наоборот ниже,
чем в окрестности образовавшегося или формирующегося вихря, что полностью
согласуется с механизмом протекания реальных физических процессов.
0,06
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
-350
-400
-450
-500
-550
-600
0,04
x2
0,02
x1
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,06
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
-350
-400
-450
-500
-550
-600
0,04
x2
0,02
1
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,06
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
-350
-400
-450
-500
-550
-600
0,04
2
0,02
1
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
Рис. 7. Векторное поле скорости и карта давления в моменты времени t1 < t2 < t3,
где t2 = t1 +0,2T, t3 = t1 +0,4T, T – период отрыва вихря
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е.А. Данилкин, Р.Б. Нутерман, А.А. Барт, Д.В. Деги, А.В. Старченко
76
На основе построенной математической модели турбулентного течения несжимаемой среды проведен ряд расчетов для трехмерной модели уличного каньона. Геометрия исследуемой области представлена на рис. 8. В данной работе исследуется характер распространения примеси в зависимости от соотношения ширины и высоты уличного каньона, расположения источника примеси и скорости
потока.
Простые
градиентные условия
Условия скольжения или
периодичности
50 м
Входное течение
U in = 5 м/с
24 м
x3
x2
x1
20 м
30 м
20 м
20 м
Рис. 8. Расчетная область
Задача решалась в следующей постановке. В поперечном основному потоку
направлении использовались условия периодичности. В этом случае необходимо
располагать боковые границы расчетной области так, чтобы длина области в поперечном направлении была больше, чем размер самого большого вихря в каньоне. Для рассматриваемого случая крупнейший вихрь ограничен шириной каньона
W = 20 м, тогда поперечную длину каньона можно взять равной 30 м ( L / W = 1,5 )
[14]. Периодические граничные условия задавались в продольном направлении с
целью имитировать бесконечную серию каньонов. Расчеты проводились на сетке
182 × 54 × 180 . Источник поступления примеси постоянной интенсивности располагался вблизи поверхности на высоте hz = 0,125 м над центром основания рассматриваемой расчетной области.
Результаты расчетов показывают, что максимальные концентрации примеси
наблюдаются у подветренной стороны каньона и вблизи источников примеси
(рис. 9), при этом максимальные концентрации возрастают при перемещении источника примеси к любой из образующих уличного каньона.
На основе численных экспериментов показано, что увеличение скорости основного потока способствует более интенсивному выносу примеси из уличного
каньона. Также показано, как геометрические параметры уличного каньона влияют на вид течения и уровень загрязнения. Так, в случае уменьшения высоты H
уличного каньона или увеличения ширины W до соотношения H / W = 0,5 центр
основного вихря смещается к наветренному заданию и вихрь растягивается во
всю длину канала (рис. 9). Это приводит к уменьшению скорости вращательного
движения воздушных масс у подветренной стороны каньона и, как следствие,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование движения воздуха и переноса примеси в уличном каньоне
77
x3
x1
x3
x1
x3
x1
Рис. 9. Изолинии концентрации примеси, осредненной вдоль оси Ox2 , векторное поле
скорости, U in = 5 м/с ; источник примеси ( x1 = 30м, x2 = 15м, x3 = 0,125м)
z/H
0,8
0,4
0
0,4
C
C
max
Рис. 10. Нормированная и осредненная концентрация примеси на наветренной стороне уличного каньона.
Точками обозначены экспериментальные данные [14]
примесь менее интенсивно выносится из каньона и возрастают локальные значения концентрации примеси. Дальнейшее увеличение расстояния между зданиями H / W = 0,125 приводит к образованию двух рециркуляционных
зон: большой вихрь у подветренной стороны и
малый – у наветренной. В этом случае примесь, поступающая от источника, расположенного в центре уличного каньона, уносится
в сторону подветренного здания, где она циркулирует в турбулентном вихре.
Помимо проведения параметрических расчетов для случая W = 20 м, H = 24 м, U in =
= 5 м/с (источник примеси располагается в
центре каньона в точке x = 30 м, y = 15 м,
z = 0,125 м) выполнено сравнение с экспериментальными данными из работы [14]. Резуль-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78
Е.А. Данилкин, Р.Б. Нутерман, А.А. Барт, Д.В. Деги, А.В. Старченко
таты расчетов показали хороший уровень согласования с измеренными значениями концентрации примеси на наветренной стороне, что свидетельствует об адекватности построенной математической модели турбулентного течения и переноса
примеси реальным физическим процессам (рис. 10).
Заключение
Построена и применена для исследования турбулентных отрывных течений и
переноса пассивной газообразной примеси в уличном каньоне нестационарная
трехмерная вихреразрешающая модель, учитывающая влияние плохообтекаемых
препятствий на поведение потока и распределение концентрации примеси.
С использованием построенной модели турбулентности проведено исследование влияние соотношения ширины и высоты уличного каньона, расположения источника примеси и скорости потока воздуха на структуру течения и распространение концентрации примеси.
ЛИТЕРАТУРА
1. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных
течений. М.: Физматлит, 2008. 368 с.
2. Гарбарук А.В., Стрелец М.Х., Шур М.Л. Моделирование турбулентности в расчетах
сложных течений: учебное пособие. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. 88 с.
3. Глазунов А.В. Вихревое моделирование турбулентности с использованием смешенного
динамического локального замыкания // Известия РАН. Физика атмосферы и океана.
2009. Т. 45. № 1. С. 7–28.
4. Данилкин Е.А., Старченко А.В. К выбору способа декомпозиции при численном решении систем связанных дифференциальных уравнений на многопроцессорной технике с
распределенной памятью // Третья Сибирская школа-семинар по параллельным вычислениям. Томск : Изд-во Том. ун-та, 2006. С. 95–101.
5. Данилкин Е.А., Старченко А.В. Параллельная реализация численного метода решения
системы уравнений Навье – Стокса при моделировании крупных вихрей турбулентных
течений // Вестник Новосибирского государственного университета. Сер. Информационные технологии. 2009. Т. 7. № 2. С. 49–61.
6. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. 1941. Т. 30. С. 299–303.
7. Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности: в 2 ч. Введение в турбулентность. Новосибирск, 2000. 118 с.; Моделирование турбулентных течений. Новосибирск, 2001. 136 с.
8. Нутерман Р.Б., Бакланов А.А., Старченко А.В. Моделирование аэродинамики и распространения выбросов от автотранспорта в городском подслое // Математическое моделирование. 2010. Т. 22. № 4. С. 3–22.
9. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем.
М.: Мир, 1991. 364 с.
10. Турбулентные сдвиговые течения: пер. с англ. / ред. А.С. Гиневский. М.: Машиностроение, 1982. 432 c.
11. Хлопков Ю.И. Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности. М.:
МФТИ, 2005. 178 с.
12. Germano M., Piomelli U., Moin P., Cabot W.H. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity
model // Phys. Fluids. A. 1991. V. 3. P. 1760–1765.
13. Gokarn A., Battaglia1F., Fox R.O. Large eddy simulations of incompressible turbulent flows
using parallel computing techniques // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2008. V. 56. No. 10.
P. 1819–1843.
14. Hoydysh W.G., Dabberdt W.F. Kenematics and dispersion characteristics of flows in
asymmetric street canyons // Atmospheric Environment. 1988. V. 22. P. 2677– 2689.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование движения воздуха и переноса примеси в уличном каньоне
79
15. Kim J., Moin P., Moser R. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number // J. Fluid Mechanics. 1987. V. 177. P. 133–166.
16. Leonard B. A Stable and Accurate Convective Modeling Procedure Based on Quadratic Upstream Interpolation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1979. V.
19. P. 59–98.
17. Lyn D., Einav S., Rodi W., et al. A laser-Doppler velocimetry study of ensemble averaged
characteristics of the turbulent near wake of a square cylinder // J. Fluid Mech. 1995. V. 304.
P. 285–319.
18. Moin P., Kim J. On the numerical solution of time dependent viscous incompressible fluid
flows involving solid boundaries // J. Computational Physics. 1980. V. 35. P. 381–392.
19. Niederschulte M.A., Adrian R.J., Hanratty T.J. Measurements of turbulent flow in a channel
at low Reynolds numbers // Experiments in Fluids. 1990. V. 9. P. 222–230.
20. Sagaut P. Large eddy simulation for Incompressible Flow. 3rd ed. An Series: Scientific
Computation, 2006. 556 p.
21. Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equations. I: The basic
experiment // Monthly Weather Review. 1963. V. 91. No. 3. P. 99–165.
22. Walton A., Cheng A.Y.S. Large-eddy simulation of pollution dispersion in an urban street
canyon. Part 2: idealised canyon imulation // Atmospheric Environment. 2002. V. 36.
P. 3615–3627.
Статья поступила 22.10.2012 г.
Danilkin E.A., Nuterman R.B., Bart A.A., Degi D.V., Starchenko A.V. STUDY OF AIRFLOW
AND POLLUTANT TRANSPORT IN AN URBAN STREET CANYON USING LARGE
EDDY SIMULATION OF THE TURBULENT FLOW. In this paper, the large eddy simulation
model is presented, as well as a modification of the algortihm for numerical solving the system of
Navier–Stokes equations. The modification is oriented to the supercomputer technique. After
approbation of the constructed model on test problems, the proposed mathematical model was
applied to studying the airflow and pollutant transport in an urban street canyon.
Keywords: large eddy simulation, turbulence, urban street canyons, parallel computing
DANILKIN Evgeniy Alexandrovich (Tomsk State University)
E-mail: ugin@math.tsu.ru
NUTERNAN Roman Borisovich (Tomsk State University)
E-mail: nutrik@math.tsu.ru
BART Anrdey Andreevich (Tomsk State University)
E-mail: baza@math.tsu.ru
DEGI Dmitrii Vladimirovich (Tomsk State University)
E-mail: dimadegi@sibmail.com
STARCHENKO Alexander Vasil’evich (Tomsk State University)
E-mail: starch@math.tsu.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 532.516
К.Б. Джакупов
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПУЛЬСАЦИЙ
НА ВИХРЕВЫЕ СЛЕДЫ ЗА ПЛАСТИНАМИ
Исследовано влияние пульсаций на течение в следе. Представлены поля актуальных и пульсационных скоростей при обтекании вязкой несжимаемой
жидкостью ортогонально и c наклоном к направлению потока поставленных
пластин. Численное моделирование осуществлено уравнениями Навье –
Стокса, и уравнениями Рейнольдса совместно с уравнениями для пульсаций.
Устaновлена связь между безразмерным периодом осреднения и масштабами случайных возмущений скоростей во внешнем потоке.
Ключевые слова: гидродинамика, турбулентность, ламинарное, пульсации,
скорость, давление.
Расчет турбулентных течений полуэмпирическими моделями, содержащими
множество констант, универсальность и физическая содержательность которых
подвергается сомнению в [1, 2] и др., дает информацию только относительно осредненных величин. Наряду с этим несомненный интерес представляют поля
пульсаций гидродинамических величин и их распределение в потоке. Кроме того,
для дальнейшего развития методов математического моделирования турбулентных течений необходимым является исследование возможностей тех теоретических моделей, которые заведомо не содержат эмпирических или полуэмпирических констант. В качестве таких в настоящей работе приняты уравнения Навье –
Стокса и уравнения Рейнольдса в системе с уравнениями для пульсаций [3]. Объектами для численного экспериментирования выбраны течения в следе за пластинами. Представлены поля актуальных и пульсационных скоростей плоского обтекания несжимаемой вязкой жидкостью пластин, имеющих толщину геометрической точки (нанопластины) и различным образом ориентированных к направлению потока. Выбор такого рода течений связан с тем, что в вихревом следе за такими телами пульсации имеют резко выраженный характер.
Для проведения намеченных расчетов целесообразным оказалось применение
уравнений в физических переменных «скорость – давление» [4] .
1. Постановка задачи
Для моделирования численно решаются соответствующие начально-краевые
задачи для уравнений Навье – Стокса
vt + (v ⋅∇)v + ρ−1∇p = F + ν∆v , ∇ ⋅ v = 0, v
t =0 =
d,v
S=
ϕ
(1.1)
и для осредненных по времени уравнений Рейнольдса
< vt > + (< v > ⋅∇) < v > + < v ' j v ' > x j +ρ −1∇ < p >=< F > +ν∆ < v >,
∇⋅ < v >= 0, < v >
t = 0 =<
d >, < v >
S =<
ϕ>.
(1.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование влияния пульсаций на вихревые следы за пластинами
81
По О. Рейнольдсу актуальная физическая субстанция f =< f > + f ' представt
ляется как сумма осредненной < f >=
1
f (r , t )dt и пульсационной f ' составT t −∫T
ляющих. Тем самым О. Рейнольдс ввел понятие времени осреднения T как существенную характеристику турбулентных течений.
Из систем (1.1) и (1.2) естественным образом получаются уравнения для пульсаций [3]:
v 't + (< v > ⋅∇)v '+ (v '⋅ ∇) < v > + (v '⋅∇)v ' − < v ' j v ' > x j +ρ−1∇p ' = ρF '+ ν∆v ',
∇ ⋅ v ' = 0, v '
t =0 =
d ', v ' S = ϕ ' .
(1.3)
Соответствующее суммирование систем (1.2) и (1.3) приводит к исходным уравнениям Навье – Стокса. Постулируется существование такого периода времени T ,
в течение которого осредненные пульсации компонент скоростей, давления и др.
t
обращаются в нули < f ' > =
1
f '(r , t )dt = 0 во всех точках потока. Как в систеT t −∫T
му уравнений Рейнольдса (1.2), так и в систему (1.3) входят пульсационные напряжения < v ' j v ' > , в силу чего обе системы являются незамкнутыми. Для преодоления данного очевидного парадокса в работе [3] предложено приближенное вычисление интеграла по простой формуле прямоугольника с уточнением:
t
1
T ∂v ' j (r , t )v '(r , t )
v ' j (r , t )v '(r , t )dt = v ' j (r , t )v '(r , t ) −
,
< v ' j v ' >=
∫
T t −T
2
∂t
обладающей погрешностью порядка квадрата периода осреднения O(0,5T 2 ) , т.е.
приемлемая точность данной формулы зависит от величины периода осреднения T.
В результате такой замены выводится замкнутая система, которая в безразмерных переменных имеет вид
<F> 1
Dg ∂ ∂v ' j v '
< v >t + (< v > ⋅∇) < v > + (v ' j v ') x j −
+
∆ < v >,
(
) + ∇ < p >=
Fr
2 ∂t ∂x j
Re
v 't + (< v > ⋅∇)v '+ (v '⋅∇) < v > +
∇⋅ < v >= 0, ∇ ⋅ v ' = 0, < v >
< F'> 1
Dg ∂ ∂v ' j v '
+
∆ < v ' >,
(
) + ∇ < p ' >=
Fr
2 ∂t ∂x j
Re
t = 0 =<
d >, < v >
S =<
ϕ >v '
t =0 =
d ', v ' S = ϕ ' .
В эти уравнения кроме известных критериев подобия – чисел Рейнольдса и
Фруда Re = U ∞ L / ν, Fr = U ∞2 /( gL) – входит безразмерный период осреднения
Dg = TU ∞ / L , что было неизбежно. Следовательно, при моделировании турбулентных течений должно иметь место подобие и по периоду осреднения.
Численные эксперименты с двумерным обтеканием пластин производились
следующим образом. Предполагается (для оформления рисунков применены безындексные обозначения u ≡ v1 , v ≡ v2 ), что в начальный момент времени t = 0
жидкость находится в состоянии покоя:
u ( x, y, 0) = 0, v( x, y, 0) = 0 ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
82
К.Б. Джакупов
набегающий поток имеет скорости
x = 0, u (0, y, t ) = U ∞ exp(−b '/ t ), v(0, y, t ) = 0, b ' = const > 0 ;
на пластинах – условия прилипания и непроницаемости
u = 0, u ' = 0, < u > = 0, v = 0, v ' = 0, < v > = 0 ;
на выходе потока ставятся «мягкие граничные условия»
f xx = 0, < f > xx = 0, f ' xx = 0, f = u; v; p ;
на горизонтальных участках границы – условия равномерности потока
f y = 0, < f > y = 0, f ' y = 0, f = u; v ;
Считается, что начиная с некоторого момента времени t * на входе x = 0 появляются пульсационные скорости
u '(0, y, t ) = ζ ( y, t ), v '(0, y, t ) = ξ( y, t ), |ζ ( y, t ) |<< U ∞ , t ≥ t * ,
где ζ = ζ ( y, t ), ξ = ξ( y, t ) – заданные функции, имитирующие входящие в поток
начальные возмущения (задаются с помощью датчика случайных чисел «random»
[3]), осредненные скорости равны скоростям набегающего потока
< u (0, y, t ) > = U ∞ exp(−b '/ t ), < v(0, y, t ) > = 0 .
Применяются неравномерные сетки Ω h = {xi , i = 0,..., N x ; y j , j = 0,1,..., N y } с
шагами hxi = xi − xi −1 > 0, i = 1, N x , hyj = y j − y j −1 > 0, j = 1, N y , сочетающиеся с
сеткой по времени Ω τ = {tn , n = 0,1,..., N τ } с шагом τ, tn = nτ .
В уравнениях динамики конвективные члены аппроксимируются со 2-м порядком точности с учетом направления потока, в полуявных монотонных разностных схемах для производных уравнения неразрывности и градиентов давления
применяется принцип взаимосогласованной аппроксимации. Разностные уравнения для давления решаются итерационным методом [3, 4].
2. Некоторые результаты расчетов
Продольное обтекание пластины
На эпюре рис. 1, а представлен укрупненный фрагмент поля актуальной скорости v = ui + vj в носовой части пластины на момент безразмерного времени
tn = nτ, полученный совместным решением уравнений Рейнольдса и уравнений
для пульсаций на сетке 140×40 с шагом τ = 0, 001, n = 11170, при значениях безразмерного периода времени Dg = 3τ и числа Рейнольдса Re = 3000 000 . На эпюре
рис. 1, б отображено поле пульсационной скорости v ' = u ' i + v ' j на тот же момент
времени и безразмерных критериев подобия. Течение является сугубо не стационарным и пульсационные поля v ' = u ' i + v ' j стохастично меняют свои направления и величины. При моделировании течений совместным решением уравнений
Рейнольдса и уравнений для пульсаций безразмерные пульсационные скорости
u '(0, y, t ) = ζ ( y, t ), v '(0, y, t ) = ξ( y, t ), t ≥ t * , ζ ( y, t ) ≈ 10−3 , ξ( y, t ) ≈ 10−5
вводились с момента времени, как только безразмерная скорость однородного потока достигала значения равного 0,3: < u (0, y, t * ) > = 0,3 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование влияния пульсаций на вихревые следы за пластинами
83
у
0,05
а
0
у
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
x
0,04
б
0,02
0
0,2
0,4
x
Рис. 1
Поперечное обтекание двух параллельных пластин
На рис. 2 эпюра а отображает поле скоростей, полученное решением уравнений Навье – Стокса, эпюра б представляет актуальное поле скоростей v = ui + vj ,
полученное совместным решением уравнений Рейнольдса и уравнений для пульсаций двух вертикально поставленных параллельных пластин при одних и тех же
данных Fx = 0, Fy = 0, Re = 3000 000, N x = 250, N y = 150, τ = 0, 001, n = 166500
с безразмерным периодом осреднения Dg = 10τ . Очевидно явное различие линий
тока (эпюры а и б) между этими течениями, что объясняется влиянием пульсационных членов
n
n
⎧ ∂u '2 ∂u ' v ' Dg ∂ ∂u '2 ∂u ' v ' ⎫ ⎧ ∂u ' v ' ∂v '2 Dg ∂ ∂u ' v ' ∂v '2 ⎫
+
−
(
+
)⎬ , ⎨
+
−
(
+
)⎬ .
⎨
∂y
2 ∂t ∂x
∂y ⎭ij ⎩ ∂x
∂y
2 ∂t ∂x
∂y ⎭ij
⎩ ∂x
На эпюре рис. 2, в нанесены значения пульсационных скоростей.
В начальные моменты времени между пластинами образуются два вихря
(рис. 3), которые затем разрушаются и переходят в течения типа рис. 2, а и б, затем снова появляются и т.д.
На рис. 4 представлены статистические характеристики турбулентного обтекания двух параллельных пластин: на эпюре а поле осредненных пульсаций
< u ' u ' > , на эпюре б – поле осредненных пульсаций < v ' v ' > , причем осреднение проведено с начала запуска возмущений в поток до момента времени
t = nτ, n = 216388, τ = 0, 001 .
На эпюрах рис. 5 представлены картины обтекания одиночной наклоненной
под углом 45° тонкой пластины, полученные совместным решением уравнений
Рейнольдса и уравнений для пульсаций при параметрах Fx = 0, Fy = 0,
Re = 3000 000, N x = 250, N y = 150, τ = 0.001, n = 145600 для безразмерного пе-
риода осреднения Dg = 100τ . На рис. 5, а представлены векторы осредненных
скоростей < v >=< u > i + < v > j , на рис. 5, б – векторы пульсационных скоростей
v ' = u ' i + v ' j . Максимальные значения пульсаций в следе пластины достигают
порядка 10−2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К.Б. Джакупов
84
у
4
а
2
0
2
4
6
8
10
12
х
у
4
б
2
0
2
4
6
8
10
12
х
у
4
в
2
0
2
4
6
8
10
12
х
8
10
12
х
Рис. 2
у
4
2
0
2
4
6
Рис. 3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное моделирование влияния пульсаций на вихревые следы за пластинами
1-я пластина
85
2-я пластина
у
4
а
2
0
2
4
6
8
10
12
х1
у
4
б
2
0
2
4
6
8
10
12
х
Фиг. 4
у
6
u=1
v=0
4
а
2
0
2
4
6
8
10
12
х
у
6
4
б
2
0
2
4
6
8
Рис. 5
10
12
х
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
86
К.Б. Джакупов
Выводы
При совместном решении уравнений Рейнольдса и уравнений для пульсаций
влияние пульсаций на увеличение коэффициента сопротивления пластины было
установлено в [3]. Точность вычисления O(0,5T 2 ) рейнольдсовых напряжений
определяется безразмерным периодом осреднения Dg . Численные эксперименты
показывают, что величины возникающих в потоке пульсаций пропорциональны
Dg , крупномасштабным пульсациям соответствует больший период времени T ,
мелкомасштабным – меньший. Очевидное преимущество применения для моделирования турбулентных течений уравнений Рейнольдса совместно с уравнениями для пульсаций заключается в отсутствии полуэмпирических констант [1] и в
возможности исследования влияния пульсаций на осредненные характеристики
течения. Численное экспериментирование с вариацией критерия Dg и масштабов
имеющихся во внешнем потоке возмущений ζ и ξ обеспечивают возможность
моделирования конкретных физических процессов, обосновываясь на выводах [2],
[6]: «…Турбулентность обнаруживается новыми физическими силами – напряжениями пульсаций. … Правомерно любое физически оправданное осреднение
пульсаций. … Возникновение турбулентности происходит за короткое время….»
ЛИТЕРАТУРА
1. Турбулентность (принципы и применения). М.: Мир, 1980. C. 535.
2. Белоцерковский О.М., Конюхов А.В., Опарин А.М. и др. О структурировании хаоса //
ЖВММФ. 2011. Т. 51. № 2. С. 237−250.
3. Джакупов К.Б. Численный расчет турбулентного обтекания пластины с применением
уравнений для пульсаций // Известия СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1985. Вып. 1. № 4.
С. 61−67.
4. Джакупов К.Б. Численный расчет течений газа при малых числах Маха во входной секции и камере охлаждения топочного модуля // Известия СО АН СССР. Сер. техн. наук.
1985. Вып. 2. № 10. С. 27−33.
5. Джакупов К.Б. Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды. Алматы: Типография «К-2», 2011. С. 300.
6. Академик С.С. Кутателадзе. Избранные труды. Новосибирск: Наука, 1989. С. 423.
Статья поступила 03.09.2012 г.
Jakupov K.B.NUMERICAL SIMULATION OF THE IMFLUENCE OF PULSATIONS ON
VORTEX TRACES AFTER PLATES. Influence of pulsations on the flow in a trace is investigated. Fields of actual and pulsation velocities are presented for the case of a flow of a viscous incompressible liquid along plates mounted orthogonally to the direction of the flow and with an inclination to it. Numerical modeling is carried out by the Navier-Stokes and Reynolds equations
together with the equations for pulsations. The connection between the dimensionless period of
averaging and scales of random perturbations of velocities in an external stream is established.
Keywords: hydrodynamics, turbulence, laminar, pulsations, speed, pressure
JAKUPOV Kenes Bajkenovich
(Institut of Matematik, Informatik, Mechanik, Almaty, Kazakstan)
E-mail: jakupovKB@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 532.5.013
А.Н. Ищенко, В.В. Буркин, И.М. Васенин, А.А. Шахтин
О ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЯ В КАВИТАЦИОННОМ ПУЗЫРЕ
ПРИ ВХОДЕ В ВОДУ ЧЕРЕЗ ПРЕГРАДУ
Представлены математическая модель и пример решения задачи о потере
устойчивости стержня, движущегося в жидкости в режиме кавитации. Задача исследовалась на основе подхода, предложенного впервые Эйлером при
рассмотрении устойчивости нагруженного стержня.
Ключевые слова: кавитация, упругий стержень, устойчивость.
При движении в жидкости удлиненного затупленного осесимметричного тела
с большой скоростью вокруг тела образуется кавитационный пузырь [1]. Поэтому,
фактически, вся сила сопротивления жидкости оказывается приложенной к поверхности затупления. Величину силы сопротивления можно вычислить по экспериментальной формуле [1]
δV 2
,
(1)
2
– площадь затупления Миделя; δ – плотность жидкости; V – скорость
F = 0,82SM (1 + σ)
где S M
стержня; σ =
2( P∞ − P0 )
– число кавитации; P∞ – давление на бесконечности; P0
δV 2
– давление в каверне.
Из-за силы сопротивления движение тела замедляется с ускорением:
F
a=− ,
(2)
m
где m – масса тела.
Если замедление всех частей тела происходит с одним и тем же ускорением a ,
то в произвольном сечении тела с координатой x возникает продольная сила Fx ,
обеспечивающая замедление части стержня, находящейся правее указанной координаты (рис. 1).
F
Fx
0
x
l
Рис. 1.
По закону Ньютона
Fx = − amx ,
где mx – масса тела, находящегося правее координаты x . Эта сила аналогична
силам гравитации, действующим на тело, опертое на твердую поверхность.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
88
А.Н. Ищенко, В.В. Буркин, И.М. Васенин, А.А. Шахтин
Задача о потере устойчивости осесимметричного стержня в поле сил тяжести
рассмотрена в [2] на основе подхода, предложенном впервые Эйлером.
При её решении рассматривается стационарное уравнение слабого изгиба
стержня в отсутствии изгибающих сил
E
d2
dx
2
I
d 2Y
dx
2
=
d ⎛ dY ⎞
⎜ Fx
⎟,
dx ⎝
dx ⎠
(3)
πR 4 ( x)
– момент инерции стержня в сечении x ; R ( x) – радиус
4
стержня переменного сечения; E – модуль упругости; Fx – введенная выше сила
в котором I =
напряжения, действующая в сечении x ; Y ( x) – малое отклонение стержня от положения равновесия.
В [2] уравнение (3) решалось с условием закрепления опертого конца
(Y = 0, Y ' = 0) . На свободном конце предполагалось отсутствие моментов и срезывающих сил, которые приводят к равенствам Y ′′ = 0, Y ′′′ = 0 .
При отсутствии поперечных внешних изгибающих усилий решение уравнения
(3) с названными граничными условиями всегда имеет тривиальное решение
Y ( x) = 0 , соответствующее стержню, остающемуся прямолинейным под воздействием продольной силы. Это решение является устойчивым до тех пор, пока
сжимающая сила F меньше некоторого критического значения Fкр . При достижении величины усилия F = Fкр решение задачи (3) становится не единственным.
На практике такая неединственность приводит к потере устойчивости.
В данном разделе методом Эйлера исследуется задача об устойчивости стержня при его входе в воду с большой скоростью через тонкую преграду. Эта задача
является актуальной для изучения высокоскоростного движения тел в воде. При
входе в воду метаемых тел с большой скоростью исследователи наблюдали деформацию их головной части [3] (рис. 2). Деформация может стать ограничением
для высокоскоростного подводного метания и её причины заслуживают отдельного изучения.
Рис. 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О потере устойчивости стержня в кавитационном пузыре при входе в воду через преграду
89
На первом этапе задача решалась для цилиндрического стержня в постановке,
показанной на рис. 3.
2
v
1
x=0
Г
x=l
3
Рис. 3
В момент рассмотрения стержень 1 проникает через преграду 2 в водную среду 3. Задний конец стержня находится в отверстии преграды, которая препятствует его перемещению в направлении, перпендикулярном вектору скорости
V : Yx′=0 = 0 . Кроме того, предположим, что стержень при малых отклонениях его
формы может свободно поворачиваться в отверстии как на шарнире. Данное
предположение позволяет поставить еще одно граничное условие Yx′′=0 = 0 (см.
[2]). На свободном конце стержня в отсутствие моментов и срезывающих сил
примем, что Yx′′=l = 0, Yx′′′
=l = 0 .
Для цилиндрического стержня уравнение (3) принимает вид
d 4Y
dx 4
где ρ – плотность вещества.
Оно имеет интеграл
d 3Y
dx3
+
+
ρaπR02 d
dY
(l − x ) = 0 ,
EI dx
dx
(4)
ρQπR02 d
dY
(l − x ) = C .
EI dx
dx
Полагая x = l , с учетом условия Yx′′′
=l = 0 находим, что C = 0 . Введем новую
независимую переменную
x=
x
, новую функцию
l
u=
dY
dx
и обозначим
ρaπR02
= Q . Для функции u получим
EI
d 2u
+ Q (1 − x ) u = 0 .
dx 2
Общее решение (5) имеет вид [4]
1
⎡
⎤
u = ζ 3 ⎢ α J 1 ( ζ ) + β J 1 (ζ ) ⎥ ,
⎣⎢ − 3
⎦⎥
3
1
где ζ =
2
⎡Q(1 − x )3 ⎤⎦ 2 ; J 1 (ζ ), J 1 (ζ ) – функции Бесселя.
−
3⎣
3
3
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Н. Ищенко, В.В. Буркин, И.М. Васенин, А.А. Шахтин
90
Граничные условия Yx′′=l = 0, Yx′′′
= l = 0 для функции u (ζ ) переходят в условия
du
dx
1
x =0
= uζ′ ζ 3 = 0
при
ζ0 =
2
Q
3
du
dx
и
1
x =1
= uζ′ ζ 3 = 0 при
ζ = 0 . Условие
Yx′′′
=l = u x′′=1 = 0 для функции u выполняется автоматически в силу (5). При ζ → 0
1
2 −3
2
uζ′
. Поэтому, для того чтобы удовлетворить граничному условию в
=β 3
1
Г (1 + )
3
точке ζ = 0 , нужно положить β = 0 . Следовательно, функция u (ζ ) имеет вид
1
ζ3
1
u (ζ ) = αζ 3 J
Подставляя сюда разложение J
−
1 (ζ )
3
−
1 (ζ )
3
.
в ряд по ζ , найдем
1
(−1k )2 3
∞
2k
⎛ζ⎞ .
⎜ ⎟
1
k =0 k ! Г (k + 1 − ) ⎝ 2 ⎠
3
Вычисляя производную u ′(ζ ) и подставляя ее в граничное условие при x = 1 ,
u (ζ ) = α ∑
получим равенство для нахождения величины ζ 0 :
ζ
(−1k )2 3
∞
2 k −1
⎛ ζ0 ⎞
=0.
(6)
⎜ ⎟
1
k =1 ( k − 1)! Г ( k + 1 − ) ⎝ 2 ⎠
3
Ряд, стоящий в левой части (6), очень быстро сходится. При его вычислении на
ПК было найдено
ζ 0 = 3,3806 .
u ′(ζ 0 ) = ∑
Выражая величину Q через ζ 0 и подставляя в Q значение ускорения a из
формул (1) и (2), найдем критическую величину скорости Vкр , при которой можно ожидать потерю устойчивости стержня:
Vкр =
9
E R
.
ζ0
8
CR δ l
(7)
В качестве примера рассчитаем критическую скорость медного стержня радиуса R = 1,7 мм и длиной 55 мм в воде. Полагая CR = 0,83 , ρ = 1000 кг/м3,
E = 0,9 ⋅1011 Па , найдем Vкр = 1119 м/с.
Рассмотрим далее при тех же граничных условиях устойчивость стержня,
имеющего форму усеченного конуса высоты l с радиусами оснований R0 и r0 .
Для такого конуса момент инерции
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О потере устойчивости стержня в кавитационном пузыре при входе в воду через преграду
91
4
I=
r
⎤
π 4⎡
R0 ⎢1 − (1 − 0 )(1 − x ) ⎥ ,
4
R0
⎣
⎦
а сила
Fx =
aπR02l 3ρ ⎡
r0
r0 2 (1 − x )3 ⎤
2
⎢ (1 − x ) − (1 − )(1 − x ) + (1 − )
⎥.
E
R0
R0
3 ⎦
⎣
(8)
Для таких функций искать аналитическое точное решение уравнения (3) весьма затруднительно. Поэтому, авторами для нахождения критических параметров в
случае усеченного конуса применялся приближенный метод Бубнова – Галеркина.
С целью обоснования применимости метода Бубнова – Галеркина к решению поставленной задачи первоначально он был опробован на решении задачи для цилиндрического стержня, решение которой приведено выше.
В качестве линейно-независимых базовых функций были выбраны функции
uk ( x ) = cos k π(1 − x ) , автоматически удовлетворяющие граничным условиям
u ′(0) = 0, u ′(1) = 0 . Приближенное решение задачи для уравнения L[u ] = 0 , где
L[u ] = u ′′ + Q(1 − x )u , разыскивалось в виде отрезка ряда Фурье
1
a0 + a1 cos π(1 − x ) + a2 cos 2π(1 − x ) .
2
После подстановки этого отрезка в (5) для нахождения коэффициентов ai использовалась система функционалов
u=
1
⎡ 2
⎤
L
ai ui ⎥uk dx = 0, k = 0,1, 2 .
∫ ⎢⎣∑
⎦
i =0
0
(9)
После вычисления интегралов (9) и приведения подобных была получена система однородных линейных уравнений
8
a0 + 2 a1 = 0 ,
π
10 Q
Q
a1 + ⎛⎜ − 2π2 ⎞⎟ a2 = 0 ,
9 π2
⎝4
⎠
⎡⎛ 1 8 ⎞
π2 ⎤
10 Q
a2 = 0 .
⎢⎜ − 4 ⎟ Q − ⎥ a1 +
2⎦
9 π2
⎣⎝ 4 π ⎠
Из условия разрешимости этой системы для значения Qкр получилось квадратное уравнение:
⎛ 1 − 262 1 ⎞ Q 2 − ⎛ 5 π2 − 16 ⎞ Q + π4 = 0 .
⎜
⎟ кр ⎜
⎟ кр
⎝ 16 81 π4 ⎠
⎝8
π2 ⎠
2
Qкр , то получим
3
ζ 0 = 3,3801 . Это число только в пятом знаке отличается от ранее найденного точ-
Был взят его меньший корень Qкр = 25, 664 . Так как ζ 0 =
ного значения ζ 0 = 3,3806 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Н. Ищенко, В.В. Буркин, И.М. Васенин, А.А. Шахтин
92
Полученный результат послужит основанием для применения метода БубноваГалеркина к решению уравнения (3) с коэффициентами (8) для конического
dY
стержня. В результате однократного интегрирования и замены
= u уравнение
dx
(3) было приведено к виду
4
r
⎤ du
d ⎡
1 − (1 − 0 )(1 − x ) ⎥
+
⎢
dx ⎣
R0
⎦ dx
⎡
r
r
(1 − x )3 ⎤
+Q ⎢ (1 − x ) − (1 − 0 )(1 − x ) 2 + (1 − 0 ) 2
⎥u = 0 ,
R0
R0
3 ⎦
⎣
где Q =
(10)
ρaπR02l 3
.
⎛ πR04 ⎞
E⎜
⎟
⎝ 4 ⎠
Задача для уравнения (10) с граничными условиями u ′(0) = 0, u ′(1) = 0 решалась методом Бубнова – Галеркина с теми же базисными функциями, которые
применялись при решении задачи для цилиндрического стержня. При этом интегралы, входящие в систему (9), вычислялись численно. Критическая величина
Qкр , как и в первом случае цилиндрического стержня, находилась из условия разрешимости линейных уравнений для коэффициентов ai . Для случая
r0
= 0,3 быR0
ла найдена величина Qкр = 2, 760 .
Ускорение a находилось из (2) для силы F из (1) и массы усеченного конуса
r
r ⎤
⎡
1
m = ρπR02l ⎢1 − (1 − 0 ) + (1 − 0 ) 2 ⎥ .
3
R
R
⎣
⎦
0
0
После подстановки a в выражение для Q было получено
2
Qкр
2 2 ⎛ r0 ⎞
l ⎜ ⎟
2СR δuкр
⎝ R0 ⎠
=
.
r0
r0 2 ⎤
1
2⎡
ER0 ⎢1 − (1 − ) + (1 − ) ⎥
R0 3
R0 ⎦
⎣
Из этого соотношения находилась критическая скорость
uкр =
Qкр
2
r
r ⎤
⎡
1
E ⎢1 − (1 − 0 ) + (1 − 0 ) 2 ⎥ 2
R0 3
R0 ⎦ R0
⎣
.
CR δ
r0 l
(11)
Для медного стержня с r0 = 0, 00075 м , R0 = 0, 0026 м , E = 9 ⋅1011 Па ,
δ = 1000 кг/м3, СR = 0,83 по формуле (11) получим uкр = 1290 м/с.
Проведенное исследование объясняет экспериментальные результаты по деформации стержней при их входе в воду через преграду со скоростями, превышающими 1000 м/с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О потере устойчивости стержня в кавитационном пузыре при входе в воду через преграду
93
ЛИТЕРАТУРА
1. Савченко Ю.Н. Моделирование суперкавитационных процессов. // Прикладна гiдромеханiка. 2000. № 2(74). С. 75−86.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 246 с.
3. Kirschner Ivan. Results of selected experiments involving supercavitating flows // High Speed
Body Motion in Water. RTO EN, Belgium, 2001. P. 15-1 – 15-14.
4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 1961. 703 с.
Статья поступила 26.10.2012 г.
Ishchenko A. N., Burkin V. V., Vasenin I. M., Shakhtin A. A. ON THE LOSS OF STABILITY OF
A ROD IN A CAVITATION BUBBLE WHEN ENTERING INTO WATER THROUGH A
BARRIER. A mathematical model and an example of a solution for the problem about the loss of
stability of a rod moving in a liquid in the cavitation mode are presented. The problem was considered based on the approach proposed for the first time by Euler when considering the stability
of a loaded rod.
Keywords: Cavitation, elastic rod, stability
ISHCHENKO Alexander Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: ichan@niipmm.tsu.ru
BURKIN Victor Vladimirovich (Tomsk State University)
E-mail: ichan@niipmm.tsu.ru
VASENIN Igor’ Mihailovich (Tomsk State University).
Е-mail: akrainov@ftf.tsu.ru
SHAKHTIN Andrey Anatolyevich (Tomsk State University).
Е-mail: shahtin@sibmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 544.733.422:519.87
О.Б. Кудряшова, А.А. Антонникова
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭВОЛЮЦИИ
ДВУХФАЗНЫХ АЭРОЗОЛЕЙ ПРИ УЛЬТРАЗВУКОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Математическая модель основана на уравнении Смолуховского, описывающем динамику изменения функции распределения частиц аэрозолей по размерам с учетом ультразвукового воздействия, испарения (для жидкокапельных аэрозолей) и осаждения. Проведено исследование асимптотического
поведения функции вероятности столкновений частиц аэрозоля от частоты
ультразвука. Исследовано влияние введения дополнительной фазы – жидкокапельного аэрозоля в уже существующий твердофазный – на скорость коагуляции и осаждения. Представлены результаты экспериментального исследования дисперсных параметров аэрозоля.
Ключевые слова: коагуляция аэрозоля, ультразвуковое воздействие, двухфазный аэрозоль, испарение капель, функция распределения частиц по размерам.
Процессу ультразвуковой (УЗ) коагуляции аэрозолей посвящено много работ.
Многие авторы рассматривают процессы взаимодействия частиц теоретически, но
результаты эксперимента, тем не менее, описываются эмпирическими формулами.
В работах [1, 2] приводятся математические модели, использующие балансовый подход Смолуховского в сочетании с выкладками ортокинетической и гидродинамической гипотез взаимодействия частиц. При этом проведено сравнение с
экспериментом по оптимальным частотам и амплитудам звукового воздействия.
Однако полученные выражения не наглядны: не позволяют просмотреть асимптотические закономерности, и для прогнозирования процессов коагуляции аэрозолей приходится либо проводить численный эксперимент, либо пользоваться более
наглядными, но не обоснованными физически интерполяционными формулами,
описывающими физический эксперимент.
В работе предложены выражения для кинетики коагуляции в зависимости от
основных параметров УЗ-воздействия, свойств аэрозоля и среды: частоты и амплитуды звуковых колебаний, концентрации и дисперсного состава исходного аэрозоля, вязкости и температуры среды, физико-химических параметров материала
частиц. Как вариант рассмотрена задача осаждения двухфазного аэрозоля с применением и без применения ультразвукового воздействия. Такая задача на практике имеет место, к примеру, в шахтах (угольная пыль и водяной туман), при тушении пожаров (дым и вода), при осаждении промышленных пылей с помощью
водных аэрозолей и т.п.
Рассмотрим трансформацию распределения частиц в произвольном облаке по
размерам с течением времени t. Следуя [3−5], запишем балансовое уравнение (интегральный вариант уравнения Смолуховского), описывающее изменение со временем функции распределения частиц по размерам:
∂f ( D, t )
= I1 + I 2 + I 3 ,
(1)
∂t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математическая модель эволюции двухфазных аэрозолей
95
где I1 описывает убыль частиц с диаметром D за единицу времени в единице объема за счет столкновения капли диаметра D с любой каплей диаметра D1 :
Dкр (t )
I1 = − f ( D, t )
∫
K ( D, D1 ) f ( D1 , t )dD1 ,
0
9ηH
, H – верхняя гра2 g ρч t
ница облака; g – ускорение свободного падения, η – динамическая вязкость среды,
ρч – плотность частицы. Все частицы, масса которых превышает критическое значение Dкр(t), выпадают из облака и не принимают дальнейшего участия в коагуляции; спектр частиц на каждый момент времени t будет обрезан справа за счет седиментации крупных частиц, причем постепенно эта граница будет смещаться в
сторону все более малых частиц.
Член I2 описывает возникновение частиц диаметра D за счет столкновения капель с диаметрами D1 и D–D1:
где K(D,D1) – вероятность столкновений частиц, Dкр =
D
I2 =
1
K ( D − D1 , D1 ) f ( D1 , t ) f ( D − D1 , t )dD1 .
2 ∫0
Учет испарения частиц за счет кривизны поверхности
Жидкие капли испаряются тем быстрее, чем меньше их размер, за счет кривизны поверхности. Член I3 описывает уменьшение массы частиц за счет их испарения с учетом уравнения Кельвина для капиллярного эффекта:
∂ ⎛ dm
∂ ⎡ 2πD f M ( pdrop − ppl ) f ( D) ⎤
I3 =
f ( D) ⎞⎟ =
⎜
⎢
⎥,
∂m ⎝ dt
RT
⎠ ∂m ⎣
⎦
где m – масса капли; Df – коэффициент диффузии; М – молекулярная масса жидкой капли; R – универсальная газовая постоянная; T – абсолютная температура;
pdrop и ppl – парциальное давление над каплей и плоской поверхностью.
Член уравнения I3 имеет смысл для жидкокапельных аэрозолей, состоящих из
микронных и субмикронных капель, испарение для которых существенно из-за
кривизны их поверхности, причем, при невысокой влажности окружающей среды
( pdrop >> ppl ).
Начальные условия для уравнения (1): при t = t0 f (D,t0) = f0(D) – начальное
распределение частиц по размерам. Для описания функции распределения частиц
по размерам обычно применяют гамма-распределение: f 0 ( D ) = aD α exp ( −bD ) ,
где b, α – параметры распределения; a – нормировочный коэффициент. В качестве
характерного размера данного распределения можно выбрать модальный диаметр
D0 = α / b .
Относительная концентрация аэрозоля уменьшается по сравнению с начальной n0 за счет испарения и седиментации, и на момент времени t это уменьшение
составит
t ⎛ Dкр ( t ) / D0
∞
⎞
∆n
⎟ dt .
I 3 dx +
f
(
D
,
t
)
dx
(2)
= ∫⎜ ∫
∫
⎟
n0 0 ⎜
D
t
D
0
(
)
/
кр
0
⎝
⎠
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
96
О.Б. Кудряшова, А.А. Антонникова
Вероятность столкновения частиц аэрозоля
при ультразвуковом воздействии
Важным вопросом является определение вероятности столкновений частиц:
чем она выше, тем быстрее произойдет коагуляция и осаждение аэрозоля. В отсутствие какого-либо воздействия эта величина обуславливается броуновским
движением [3]. В работах [4, 5] вероятность столкновений частиц аэрозоля без
дополнительного воздействия считалась пропорциональной сумме масс частиц:
kb n0 3
( D + D13 ),
(3)
ν
где kb – коэффициент пропорциональности; ν – кинематический коэффициент вязкости среды.
В условиях ультразвукового воздействия повышается вероятность столкновений частиц. В выражение (3) должны войти параметры, характеризующие ультразвуковое воздействие, прежде всего, амплитуда и частота излучения.
Согласно [6], коагуляцию можно рассматривать как образование агрегатов в
звуковом поле в результате взаимодействия частиц, вызванного акустическими
течениями вокруг них в звуковом поле. Следуя этой работе, рассчитаем число
встреч частиц в звуковом поле, полагая, что частицы встретятся в том случае, если линия тока потока, возникающего около одной из частиц и увлекающего вторую, пройдет в «трубке» диаметром, равным двум диаметрам частицы 2D. Число
встреч на единицу длины выделенной частицы за единицу времени равно
N = dSn0U0, где dS – площадка, ограниченная линиями тока; U0 – скорость движения частиц. При невысоких уровнях звукового давления в [6] получено, что число
встреч пропорционально диаметру частиц, квадрату скорости их движения (которая, в свою очередь, определяется амплитудой звуковых колебаний), концентрации частиц, коэффициенту обтекания kобт и обратно пропорционально вязкости
среды:
K ( D, D1 ) =
2
U 02 n0 kобт
( D3 + D13 )
.
(4)
ν
Взвешенная в газе частица под действием сил звукового поля вовлекается в
колебательное движение («ортокинетическая» гипотеза). В зависимости от
свойств среды, размеров и плотности частицы она может увлекаться средой лучше или хуже, что определяется коэффициентом увлечения kувл – отношение амплитуды скорости взвешенной частицы к амплитуде скорости частицы газа. Считая, что между частицей и средой действует сила Стокса, получим формулу для
коэффициента увлечения в виде [7]
1
k увл =
,
(5)
1 + ω2 τ2
где ω – частота акустического воздействия; τ = ρчD2/18η – время релаксации частицы, η – динамический коэффициент вязкости среды. Анализ этого выражения
показывает, что амплитуда колебания частицы тем больше отличается от амплитуды колебания окружающей среды, чем больше размер и плотность частицы, чем
выше частота звука и меньше вязкость.
Учитывая выражение для коэффициента увлечения частицы в звуковом поле
(4), можно считать, что частица увлекается звуковым полем, повышая вероят-
N≈
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математическая модель эволюции двухфазных аэрозолей
97
2
ность столкновений с фиксированной частицей в kобт
= ka (1 − k увл ) 2 раз, где ka –
коэффициент пропорциональности. Тогда вероятность столкновений частиц с
диаметрами D и D1 пропорциональна N(1 – kувл)2 или с учетом (3) – (5):
2
⎛
⎛
⎞ ⎞
kb n0 3
1
( D + D13 ) ⎜⎜ 1 + kaU 02 ⎜1 −
(6)
⎟ ⎟⎟ .
ν
⎝
⎝
1 + ω2 τ2 ⎠ ⎠
Анализируя выражение (6), заметим, что:
- при отсутствии акустического поля ( kaU 02 = 0 ) вероятность столкновений
сводится к броуновской (3);
- с повышением амплитуды воздействия (а значит, скорости U0) вероятность
повышается;
- акустическое воздействие с относительно низкими частотами (ω2τ2 << 1) неэффективно ( k увл → 1 , (1 − k увл ) → 0 );
K ( D, D1 ) =
- существует оптимальная частота воздействия (ω2τ2 >> 1), наиболее эффективная с точки зрения коагуляции аэрозолей ( k увл → 0 , (1 − k увл ) → 1 ).
Такое поведение функции (6) соответствует экспериментальным и теоретическим данным [1, 2, 8]. Пользуясь выражением (6), найдем предельно низкие (неэффективные) и оптимальные частоты ультразвукового воздействия:
ωmin
(
⎡ ⎛
3
1 ⎢ ⎜ o kb n0 D0
= ⎢1/ ⎜1 −
τ⎣ ⎝
U 0 ka
) ⎞⎟
2
⎤
⎥
⎟ − 1⎥ ,
⎠
⎦
1⎡ 1
⎤
ωmax = ⎢
−1 .
τ ⎣ o(1) ⎥⎦
(7)
(8)
Обозначим повышение вероятности столкновений частиц при ультразвуковом
воздействии через K1:
2
⎛
⎞ ⎞
1
2⎛
K1 = ⎜ 1 + kaU 0 ⎜ 1 −
⎟ ⎟.
⎜
⎝
1 + ω2 τ2 ⎠ ⎟⎠
⎝
Поведение повышающего коагуляцию коэффициента в зависимости от частоты
иллюстрирует рис. 1 (водный аэрозоль, kaU 02 =1). Расчет для водяного аэрозоля
минимальной и оптимальной частот воздействия по формулам (7) и (8) приведен
на рис. 2.
Коагуляция двухфазного аэрозоля
Рассмотрим физико-математическую модель (1) в случае двухфазного аэрозоля. Введение в существующий аэрозоль дополнительной фазы повышает концентрацию частиц n0, что способствует ускорению коагуляции и осаждения, как видно из выражения (3). В этом случае следует ожидать, что при использовании одной и той же массы вводимого аэрозоля бóльший эффект будет получен при
большей дисперсности последнего: больше количество частиц n0, выше удельная
поверхность, выше число столкновений в единицу времени и выше скорость коагуляции, осаждения. Интересен вопрос воздействия ультразвука на такие двухфазные аэрозоли.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.Б. Кудряшова, А.А. Антонникова
98
K1
1
1,8
2
1,6
1,5
1,2
1
0
8
16
20
ω, кГц
4
12
Рис. 1. Зависимость коэффициента K1 от частоты УЗ-воздействия
для водного аэрозоля: кр. 1 – D = 5 мкм; кр. 2 – D = 1 мкм
ω, кГц
60
40
1
20
2
0
D, мкм
5
7
3
4
6
8
9
Рис. 2. Оптимальная (кр. 1) и минимальная частота (кр. 2)
для водного аэрозоля
Описанную выше модель коагуляции аэрозоля дополним начальным условием
вида
(
)
f ( D ) = a (1 − δ) D α exp ( −bD ) + δD α1 exp ( −b1 D ) ,
(9)
где параметры распределения с индексом 1 относятся к дополнительной фазе аэрозоля; δ – счетная доля частиц дополнительной фазы. При этом необходимо учитывать возможность испарения частиц одной или обеих фаз.
Счетная доля δ связана с массовой долей w второй фазы аэрозоля следующим
соотношением:
3
⎛
⎡ D32 ⎤ ρ1 ⎞
⎜
⎟.
δ = w ⎜ w + (1 − w) ⎢
⎥
⎟
⎝
⎣ ( D32 )1 ⎦ ρ ⎠
Вероятность столкновений повышается при введении дополнительной фазы
на (1 + δ/(1 − δ)):
k n
δ ⎞ 3
3
K ( D, D1 ) = b 0 ⎛⎜ 1 +
⎟ ( D + D1 ).
ν ⎝ 1− δ ⎠
Проведем расчеты, чтобы определить как меняется спектр распределения частиц по размерам от времени в двухфазном аэрозоле и как происходит осаждение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математическая модель эволюции двухфазных аэрозолей
99
частиц в случае введения дополнительной фазы, сопоставимой по размерам с основной («мелкий» аэрозоль) и более крупных размеров («крупный» аэрозоль).
Возьмем следующие параметры начального распределения (9): основная фаза
α = 0,1, b = 1 (D32 = 3,1 мкм), дополнительная фаза α1 = 0,1, b1 = 0,5 ((D32)1 = 6,2 мкм,
мелкий аэрозоль) и α1 = 0,3, b1 = 0,1 ((D32)1 = 33 мкм, крупный аэрозоль). Характерные размеры порядка 3 мкм соответствуют дымам; в качестве дополнительной
фазы возьмем воду.
На рис. 3, а показано изменение массовой функции распределения частиц со
временем при введении массовой доли w=5 % «крупного» водного аэрозоля в
дым; на рис. 3, б – для «мелкого» водного аэрозоля.
g(D)
0,06
0,04
а
2
0,02
1
0
1
9
17
25
33
41
D, мкм
g(D)
0,2
1
б
0,1
2
0
1
5
9
13
17
21
D, мкм
Рис. 3. Массовое распределение частиц по размерам при
введении в основной аэрозоль с параметрами α = 0,1, b = 1,
w = 5 % дополнительной фазы с параметрами: а – α1 = 0,3,
b1 = 0,1 («крупный»); б – α1 = 0,1, b1 = 0,5 («мелкий»); кр. 1 –
начальный момент времени, кр. 2 – через 100 секунд
Массовая функция распределения по размерам g(D) связана со счетной соотношением: g(D)=m/m10 f(D), где m10 – среднеарифметическая масса частиц:
∞
m10 = ∫ m f ( D)dD , m – масса частицы диаметра D. Из-за испарения капель воды
0
пик распределения смещается в сторону более мелких частиц. Суммарное осаж-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
100
О.Б. Кудряшова, А.А. Антонникова
дение аэрозоля к моменту времени 100 с составит около 4,5 % для «крупного» аэрозоля и 23 % для «мелкого»; осаждение «чистого» дыма к этому моменту
времени в соответствии с расчетом составит около 0,8 %.
Экспериментальная установка
Для проведения исследований была использована специальная экспериментальная установка, основу которой составляет аэрозольная камера объемом 1 м3,
представляющая собой деревянный каркас. В верхней части камеры имеется отверстие для присоединения ультразвукового излучателя.
Для создания акустического поля, воздействующего на аэрозоль, использовался ультразвуковой дисковый излучатель УЗКС 320. Особенностью его конструкции является использование двухстороннего излучения диска: тыльной и фронтальной сторон. Технические характеристики ультразвукового аппарата: диаметр
излучателя – 320 мм, уровень звукового давления – не менее 144 дБ, частота колебаний – 32 кГц. Для создания аэрозоля с жидкой дисперсной фазой использовались два ультразвуковых ингалятора серии «Муссон-2» (производительность ингалятора 1,2 мл/мин, средний размер частиц не более 3−5 мкм); для создания аэрозоля с твердой дисперсной фазой (уголь) использовался эжекционный метод;
в качестве мелкодисперсного твердофазного аэрозоля также использовался дым
от ароматических палочек. Распыляемое вещество для создания жидкокапельного
аэрозоля – дистиллированная вода.
Измерения дисперсных характеристик и концентрации частиц аэрозолей в динамике проводилось с помощью специального измерительного комплекса, основанного на применении оптических методов измерений (метода спектральной
прозрачности и малоуглового рассеяния) [9, 10].
Осаждение водного аэрозоля и дыма при ультразвуковом воздействии
На рис. 4 приведена зависимость среднего объемно-поверхностного диаметра частиц D32 (а) и относительной концентрации частиц (б) водяного аэрозоля от
времени без ультразвукового воздействия (кр. 1) и с УЗ-воздействием (кр. 2).
В результате УЗ-воздействия в течение 1−2 мин происходит увеличение диаметра частиц, как следствие, происходит почти двукратное увеличение скорости осаждения. Полное осаждение аэрозоля при наличии УЗ-воздействия (рис. 4, б) происходит за 160 с (кр. 2), в контрольном опыте без воздействия – за 320 с (кр. 1).
На рис. 5 приведены зависимости D32 (а) и относительной концентрации частиц
(б) для дыма от времени без ультразвукового воздействия (кр. 1) и с УЗ-воздействием (кр. 2). Колебания на графиках указанных величин обусловлены большой
неоднородностью дыма, который распространяется по экспериментальному объему
в виде слоистых структур. Ультразвуковое воздействие повышает эффективность
осаждения субмикронного аэрозоля, но очень незначительно (рис. 5, б), что согласуется с теоретическими и экспериментальными результатами [1, 2, 4, 5, 8].
Для дымов со средним диаметром частиц около 2−4 мкм влияние ультразвука
гораздо менее заметно, чем для более крупнодисперсных аэрозолей. Это соответствует теоретическим выкладкам, приведенным выше: оптимальная частота воздействия для таких дымов, рассчитанная по формуле (8), составляет свыше
70 кГц. Следовательно, для осаждения дымов необходимо применять другие способы (возможно, в сочетании с ультразвуковым воздействием).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математическая модель эволюции двухфазных аэрозолей
101
D32, мкм
2
8
6
1
а
4
2
0
100
200
t, c
300
С /С 0
1,0
0,8
0,6
1
0,4
б
2
0,2
0
100
200
t, c
300
Рис. 4. Графики зависимости среднего объемно-поверхностного диаметра частиц D32 (а) и относительной концентрации
частиц (б) водяного аэрозоля от времени без УЗ-воздействия
(кр. 1) и с УЗ-воздействием (кр. 2)
D32, мкм
6
С/С 0
3
а
2
б
4
2
0
1
2
200
2
1
1
400
t, c
0
200
400
t, c
Рис. 5. График зависимости среднего объемно-поверхностного диаметра частиц D32 (а) и
относительной концентрации частиц (б) дыма от времени без ультразвукового воздействия
(кр. 1) и с УЗ-воздействием (кр. 2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.Б. Кудряшова, А.А. Антонникова
102
Таким способом может быть введение дополнительной фазы аэрозоля: мелкодисперсного жидкокапельного аэрозоля в твердофазный (дым). Как было теоретически показано выше, это должно привести к повышению скорости коагуляции
и осаждения дыма. Для подтверждения этого факта, а также выбора оптимальной
дисперсности дополнительной фазы были проведены эксперименты, описанные
ниже.
Осаждение дыма и угольной пыли при введении дополнительной фазы
В первой серии экспериментов создавался дым, масса дыма составляла около
20 г; в экспериментальной камере дополнительно распылялся 1 г воды, в одном
случае – с помощью ультразвуковых ингаляторов «Муссон-2» с характерным
размером капель 3−5 мкм, с другом случае – с помощью пульверизатора (характерный размер капель – 30−40 мкм).
На рис. 6 показана зависимость от времени относительной концентрации
дыма в чистом виде и с добавлением дополнительной фазы (водного аэрозоля)
разной дисперсности. Видно, что крупнодисперсные водяные капли не оказывают практически никакого влияния на скорость осаждения дыма; мелкодисперсные капли, напротив, сильно ускоряют осаждение. Эффект еще усиливается
при УЗ-воздействии.
С/С0
1
2
2
1,5
1
3
0,5
4
0
240
480
720
t, c
Рис. 6. Зависимость относительной концентрации дыма от
времени при добавлении водного аэрозоля различной дисперсности и УЗ-воздействии: кр. 1 – дым; кр. 2 – дым и крупнодисперсный (30−40 мкм) водный аэрозоль; кр. 3 – дым и мелкодисперсный (2−4 мкм) водный аэрозоль; кр. 4 – дым, мелкодисперсный водный аэрозоль и ультразвуковое воздействие
Это объясняется тем, что при введении дополнительной фазы с мелким размером капель существенно увеличивается счетная концентрация частиц, чего не
происходит при введении дополнительной фазы с крупным размером капель той
же массы. В соответствии с (3) вероятность столкновения частиц K ( D, D1 ) про-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математическая модель эволюции двухфазных аэрозолей
103
порциональна их счетной концентрации, а значит, скорость коагуляции и осаждения аэрозоля повышается при увеличении числа частиц в единице объема. Увеличить число частиц просто, распылив мелкодисперсный водный аэрозоль.
С/С0
1
0,8
1
0,6
2
0,4
3
0,2
4
0
240
480
720
t, c
Рис. 7. Расчетная и экспериментальная зависимости относительной концентрации дыма от времени при добавлении мелкодисперсного (2−4 мкм) водного аэрозоля и УЗ-воздействии:
кр. 1, 3 – эксперимент; кр. 2, 4 – расчет; кр. 3, 4 – УЗ-воздействие
Приведем экспериментальные результаты вместе с рассчитанными по модели,
приведенной выше, на рис. 7. Рис. 7 показывает, как увеличивается скорость осаждения дыма при введении даже 5 % массы мелкодисперсного водного аэрозоля.
Крупнодисперсный водный аэрозоль как в теории, так и в экспериментах, практически не оказывает влияния на скорость осаждения дыма, а УЗ-воздействие оказывается эффективным лишь при введении дополнительной мелкодисперсной фазы.
Как показывают проведенные эксперименты, ультразвуковое воздействие оказывает незначительное влияние на осаждение дыма, но при введении дополнительно мелкодисперсного водного аэрозоля скорость осаждения существенно растет; в этом случае УЗ-воздействие еще ускоряет коагуляцию и осаждение. Данный
результат важен в практическом смысле для использования в дымоочистных сооружениях на производстве и при пожарах.
Иная картина взаимодействия жидкой дисперсной фазы с твердой наблюдается в опытах с угольной пылью. На рис. 8 показана динамика характерного диаметра D32 монофазного и двухфазного аэрозоля. Как видно из рисунка, этот диаметр за время наблюдения практически не меняется. На рис. 9 приведена зависимость относительной концентрации угольной пыли от времени при добавлении
мелкодисперсного и крупнодисперсного водного аэрозоля. Введение дополнительной фазы практически не изменяет картину осаждения угля, хотя в первый
момент в случае крупнодисперсной воды наблюдается всплеск концентрации
(рис. 9, кр. 2). Исходный объемно-поверхностный диаметр угольной пыли составлял около 6−7 мкм и не менялся за время наблюдения, что говорит об отсутствии
коагуляции; но частицы такого диаметра и плотности оседают в поле силы тяже-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.Б. Кудряшова, А.А. Антонникова
104
сти за 20−30 мин, что мы и наблюдаем. Для угольной пыли скорость осаждения
можно повысить с помощью УЗ-воздействия с оптимальной частотой 20−30 кГц
примерно в два раза, так же, как было показано в опытах с водой.
D32, мкм
7,5
7
2
4
6,5
1
6
3
5,5
5
50
250
450
650
850
1050
t, c
Рис. 8. Зависимость объемно-поверхностного диаметра угольной
пыли от времени при добавлении водного аэрозоля различной
дисперсности: кр. 1 – угольная пыль; кр. 2 – угольная пыль и УЗ;
кр. 3 – угольная пыль и крупнодисперсный (30−40 мкм) водный
аэрозоль; кр. 4 – угольная пыль и мелкодисперсный (2−4 мкм)
водный аэрозоль
С/С0
1
1
0,8
3
0,6
2
0,4
4
0,2
0
240
480
720
960
t, c
Рис. 9. Зависимость относительной концентрации дыма от времени при добавлении водного аэрозоля различной дисперсности:
кр. 1 – угольная пыль; кр. 2 – угольная пыль и УЗ; кр. 3 – угольная пыль и крупнодисперсный (30−40 мкм) водный аэрозоль;
кр. 4 – угольная пыль и мелкодисперсный (2−4 мкм) водный
аэрозоль
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Физико-математическая модель эволюции двухфазных аэрозолей
105
Заключение
На основе модели коагуляции аэрозоля под действием ультразвука в виде варианта интегрального уравнения Смолуховского, со стоком (испарение) и обрезанием спектра (осаждение), получены зависимости эффективности осаждения от
частоты ультразвука. Показано, что для каждого характерного размера частиц аэрозоля существует оптимальная и минимальная частоты акустического воздействия. Ультразвук с частотой ниже минимальной для аэрозоля с данным характерным размером частиц никак не влияет на скорость коагуляции и осаждения; повышение частоты ультразвука выше оптимальной не приводит к изменению эффективности осаждения. Предложен вариант модели коагуляции двухфазного аэрозоля с бимодальным распределением.
С применением оптических методов измерений экспериментально исследована динамика аэрозолей при ультразвуковом воздействии и введении дополнительной фазы различной дисперсности. Установлено, что введение мелкодисперсного водного аэрозоля позволяет существенно повысить эффективность осаждения дыма, в том числе с помощью ультразвука, но не оказывает влияния на
осаждение более крупных и тяжелых частиц угольной пыли. Такое поведение
данных аэрозолей предсказывают теоретические расчёты. Скорость осаждения
водного аэрозоля увеличивается в два раза при УЗ-воздействии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хмелев В.Н., Шалунова К.В., Цыганок С.Н. и др. Ультразвуковая коагуляция аэрозолей.
Бийск: АлтГТУ, 2010. 228 с.
2. Хмелев В.Н., Шалунов А.В., Голых Р.Н., Шалунова К.В. Теоретическое исследование
процесса акустической коагуляции газодисперсных систем // Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях (ИАМП-2010): Материалы VII Всерос. научно-техн. конф. 6–7 октября 2010 года / Алт. гос. техн. ун-т,
БТИ. Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2010. С. 222–227.
3. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. 284 с.
4. Кудряшова О.Б., Ворожцов Б.И., Антонникова А.А. Физико-математическая модель
динамики функции распределения частиц по размерам с учетом процессов коагуляции,
испарения и осаждения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. №1 (17). С. 81−90.
5. Кудряшова О.Б. Математическая модель эволюции жидкокапельных аэрозолей // Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 320. № 2. С. 129–133.
6. Розенберг Л.Д. Физические основы ультразвуковой технологии. М.: Наука, 1970. 689 с.
7. Денисов А.С., Подольский А.А., Турубаров В.И. Об увлечении аэрозольных частиц в
звуковом поле при числах Рейнольдса ≤ 1 // Акустический журнал. 1965. Т. 11. Вып. 1.
С. 146–155.
8. Антонникова А.А., Коровина Н.В., Кудряшова О.Б. и др. Экспериментальное исследование динамики дисперсных характеристик аэрозоля при ультразвуковом воздействии
// Ползуновский вестник. 2011. № 4-1. С. 176−180.
9. Pavlenko A., Kudryashova O., Vorozhtsov B., et al. Modified method of optical diagnostics of
aerosol media // Precision Instrument and Mechanology. 2012. V. 1. No. 1. ID12. URL:
http://www.pim-journal.org/ paperInfo.aspx?ID=12
10. Пат. 2441218 RU, МКИ G01N 15/02. Способ определения дисперсности и концентрации частиц в аэрозольном облаке / В.А. Архипов, А.А. Павленко, С.С. Титов, О.Б.
Кудряшова, С.С. Бондарчук. № 2010143653; заявлено 25.10.2010; опубл. 27.01.2012,
Бюл. № 3. 10 с.
Статья поступила 29.06.2012 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
106
О.Б. Кудряшова, А.А. Антонникова
Kudryashova O.B.., Antonnikova A.A. PHYSICOMATHEMATICAL MODEL OF THE EVOLUTION OF TWO-PHASIC AEROSOLS UPON AN ULTRASONIC ACTION.The proposed
mathematical model is based on the Smoluchowski equation describing the dynamics of changes
in the aerosol particle size distribution function with allowance for the ultrasonic influence,
evaporation (for liquid-drop aerosols), and sedimentation. The asymptotic behavior of the probability function for collisions of aerosol particles on the ultrasound frequency is studied. The influence of introducing an additional phase—liquid-drop aerosol to the already existing solidphase one—on the coagulation and sedimentation rates is investigated. The results of the experimental study of aerosol disperse parameters are presented.
Keywords: aerosol coagulation, ultrasonic influence, two-phasic aerosol, evaporation of droplets,
particle size distribution function.
KUDRYSHOVA Olga Borisovna (Institute for Problems of Chemical and Energetic Technologies,
Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences)
E-mail: olgakudr@inbox.ru
ANTONNIKOVA Alexandra Alexandrovna (Institute for Problems of Chemical and Energetic
Technologies, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences)
E-mail: Antonnikova.A@mail.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 621.928.37
О.В. Матвиенко, М.В. Агафонцева
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДЕГАЗАЦИИ
В ГИДРОЦИКЛОНАХ
В работе численно исследован процесс дегазации в гидроциклоне. Показана
возможность применения метода гидроциклонирования для удаления воздушной фазы из жидкости.
Ключевые слова: гидроциклон, дегазация, турбулентность, математическое моделирование.
Практика массового обновления и реконструкции систем теплоснабжения в
России в последнее время показывает, что большой объем вложенных средств и
применение дорогого оборудования зачастую не гарантируют надежной работы
системы.
Одной из главных причин многочисленных сбоев и проблем в работе систем
теплоснабжения является проблема качества воды, с которой в систему поступают газы. Присутствие их в теплоносителе может вызывать большое количество
проблем в системах отопления – коррозию, грязь, шум, проблемы циркуляции,
ухудшение теплопередачи и т.д. Примерно 22,1 мл/л воздуха входит в систему в
растворенном состоянии [1]. Присутствие азота вызывает образование пузырей и
пробок, в то время как присутствие кислорода и углекислого газа – коррозию.
Свободный газ в виде пузырьков может существенно нарушить циркуляцию. В
результате этого происходит снижение производительности насосов или их поломка.
Пузырьки переносятся в потоке теплоносителя. В большинстве случаев турбулентный поток достаточно силен и практически не дает возможности пузырькам
всплывать. Следовательно, необходимы специальные устройства для захвата и
удаления микропузырьков, которые практически не заметны для глаза по отдельности и кажутся молочной смесью в массе. Они переносятся вместе с потоком и
могут быть удалены только специальными аппаратами. Микропузырьковые сепараторы (гидроциклонные устройства) предназначены для удаления воздуха в процессе работы системы. При этом достигается высокая эффективность и используются различные механизмы работы:
- снижение скорости потока,
- увеличение скорости подъема пузырьков,
- центробежный эффект,
Теоретические основы гидромеханики гидроциклонов и связанных с ней процессов разделения развиваются уже несколько десятилетий. С основными этапами
этого развития можно ознакомиться в [2, 3]. На начальном этапе становления теории ограничивались подбором на основе экспериментов эмпирических формул
для расчета сепарационных характеристик гидроциклона [3] или при более или
менее достоверных данных о характере течений в аппарате стремились к выводу
достаточно простых по форме аналитических выражений. Как правило, при этом
рассматривалось движение одиночных частиц в детерминированной постановке
[4, 5]. Работы в этом направлении выявили ряд особенностей движения частиц в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
108
О.В. Матвиенко, М.В. Агафонцева
гидроциклоне и позволили оценить в целом влияние некоторых параметров аппарата и смеси на сепарационные характеристики. В исследованиях [6–9] предложен механизм сепарации твердой фазы в аппарате, в основе которого лежит представление о турбулентной диффузии частиц, вызывающей поток твердых частиц,
противоположный седиментационному, обусловленному действием центробежных сил. Математические модели, ориентированные на широкое применение современной компьютерной техники, даны в [10, 11]. Здесь обсуждаются многие
важные детали гидромеханики жидкости и движения одиночных частиц в аппарате. Отметим, что подавляющее большинство публикаций относится к изучению
процессов разделения твердых частиц. Исследованию движения воздушной фазы
в гидроциклонах посвящено заметно меньшее количество работ [11, 12]. В основном они относятся исследованию движения жидкости в гидроциклонах с низким
содержанием воздушной фазы.
Целью настоящей работы является численное исследование процесса дегазации в гидроциклонах и оценка эффективности применения метода центробежной
сепарации для удаления микропузырьков из потока жидкости.
Математическая модель процесса гидроциклонирования
В настоящей работе проведено исследование процесса дегазации в гидроциклоне, который представляет собой аппарат, состоящий из двух основных частей:
цилиндрической с крышкой и конической (рис. 1.). В цилиндрической части установлен входной патрубок, по которому разделяемая смесь тангенциально подается в гидроциклон. Для вывода легкой фазы служит
сливной патрубок. В вершине конуса гидроциклона расположена насадка для вывода тяжелой фазы.
При тангенциальной подаче исходной смеси образуются два основных вращающихся потока жидкости. В периферийной зоне жидкость движется
вниз к вершине конуса. При этом часть ее выходит
через насадку, основное же количество изменяет
направление своего движения и, образуя внутренний восходящий поток, поднимается вверх, удаляясь из аппарата через сливной патрубок. При движении внешнего потока к вершине конуса из него
выделяется часть жидкости, которая, перемещаясь
в радиальном направлении, вливается во внутренний восходящий поток.
Расчетные параметры аппарата имели значения,
соответствующие экспериментам (рис. 2.) [10]:
dc = 75 мм, din = 25 мм, dof = 25 мм, d uf = 12,5 мм,
Рис. 1. Схема течения
L1 = 75 мм, L2 = 200 мм, L3 = 25 мм, l 1 = 100 мм,
в гидроциклоне
l2 = 50 мм.
При формулировке физико-математической модели вводится ряд допущений,
которые связаны со стремлением избежать расчетов в трехмерной постановке.
Вместо реальной струи, подаваемой из подводящей трубки тангенциально вдоль
стенки аппарата, принимаем, что ввод суспензии осуществляется по всему периметру верхней части гидроциклона.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное исследование процесса дегазации в гидроциклонах
109
dC
Таким образом, вход в гидроциклон моделируется цилиндрической поверхностью,
dof
высота которой выбирается равной диаметру подводящего патрубка. При этом значение радиальной скорости выбираем так,
чтобы полный поток через стенку соответl
ствовал задаваемому расходу через вход- 1 l
2
din L1
ной патрубок.
Для описания гидродинамики и процессов переноса в гидроциклоне использовалась физико-математическая модель, которая включает:
- двумерные уравнения Навье – Стокса,
осредненные по Рейнольдсу для описания
L2
гидродинамики суспензии (уравнения Навье – Стокса записаны с использованием
цилиндрических координат, которые наилучшим образом подходят для описания
осесимметричного режима течения);
- модификацию k − ε-модели турбулентL3
ности, учитывающую неизотропность турбулентности и влияние центробежных сил
duf
на процессы генерации/диссипации турбулентности;
Рис. 2. Внешний вид
и схема гидроциклона
- модель дрейфа пузырьков с учетом их
турбулентной диффузии.
Таким образом, математическая модель может быть записана в следующем виде:
∂ρu 1 ∂ρvr
+
= 0;
(1)
∂x r ∂r
∂ρu 2 1 ∂ρuvr
∂p ∂
∂u 2 ∂u 1 ∂vr ⎞ ⎞⎤
+
= − + ⎡⎢μeff ⎛⎜ 2 − ⎛⎜ +
⎟⎟ +
∂x
∂x ∂x ⎣
r ∂r
⎝ ∂x 3 ⎝ ∂x r ∂r ⎠ ⎠⎦⎥
1 ∂ ⎡
∂u ∂v
+
μeff r ⎛⎜ + ⎞⎤
⎟ ;
r ∂r ⎢⎣
⎝ ∂r ∂x ⎠⎦⎥
∂ρuv 1 ∂ρv 2 r
∂p ∂
∂v ∂u
+
= − + ⎡⎢μ eff ⎛⎜ + ⎞⎤
⎟ +
∂x
r ∂r
∂r ∂x ⎣
⎝ ∂x ∂r ⎠⎦⎥
μ eff v ρw2
1 ∂ ⎡
∂v 2 ∂u 1 ∂vr ⎞ ⎞⎤
+
μeff r ⎛⎜ 2 − ⎛⎜ +
;
⎟ ⎟⎥ − 2 2 +
⎢
r ∂r ⎣
r
⎝ ∂r 3 ⎝ ∂x r ∂r ⎠ ⎠⎦
r
(2)
(3)
∂ρuw 1 ∂ρvwr ∂ ⎡
∂w ⎤ 1 ∂ ⎡ μef 3 ∂ ⎛ w ⎞ ⎤ ρvw
r
;
+
= ⎢μ ef
+
⎢
⎜ ⎟⎥ −
r ∂r
r
∂x
∂x ⎣
∂x ⎥⎦ r 2 ∂r ⎣ σrϕ ∂r ⎝ r ⎠ ⎦
(4)
∂ρuk 1 ∂ρvkr ∂ ⎡ μ eff ∂k ⎤ 1 ∂ ⎡ μeff ∂k ⎤
+
= ⎢
+
r
+ G − ρε ;
∂x
r ∂r
∂x ⎣ σk ∂x ⎥⎦ r ∂r ⎢⎣ σ k ∂r ⎥⎦
(5)
∂ρuε 1 ∂ρvεr ∂ ⎡ μ eff ∂ε ⎤ 1 ∂ ⎡ μ eff ∂ε ⎤
ε
+
= ⎢
+
+ ( C1G − C2ρε ) ;
∂x
∂x ⎣ σε ∂x ⎥⎦ r ∂r ⎢⎣ σε ∂r ⎥⎦
r ∂r
k
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.В. Матвиенко, М.В. Агафонцева
110
2
2
2
2
2
2
∂v
v ⎤ ∂u ∂v
∂w ⎞ ⎛ ∂w / r ⎞ ⎫⎪
⎪⎧ ⎡ ∂u
Gk = μt ⎨2 ⎢⎜⎛ ⎟⎞ + ⎜⎛ ⎟⎞ + ⎜⎛ ⎟⎞ ⎥ + ⎜⎛ + ⎟⎞ + ⎜⎛
⎟ +⎜r
⎟ ⎬.
⎩⎪ ⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎦ ⎝ ∂r ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎭⎪
В k − ε -модели турбулентности коэффициент турбулентной вязкости μt определяется как μt = Cμ ρk 2 ε −1 .
Значения констант выбираются в соответствии с рекомендациями [13]:
C1 = 1, 44 , C2 = 1,92 (1 − C3 Ri ) , C3 = 0, 001 , σk = 1 , σε = 1,3 , σrϕ = 2,5 ,
k 2 w ∂ ( wr )
, Cμ = 0, 09 .
ε 2 r 2 ∂r
Для определения скорости дрейфа пузырьков относительно несущей фазы
предполагалось равновесие между действующими на пузырек массовыми силами
и силой сопротивления [14]. В соответствии с принципом динамического баланса
сил скорость движения дисперсной фазы относительно несущей жидкости может
быть определена как
Ri =
2
v w ⎪⎫
4 2 ( ρb − ρliq )
⎪⎧ ( w )
db
⋅ ab , ab = ⎨ g , b , − b b ⎬ .
(7)
r
r ⎪⎭
3 μliq Cd Re rel
⎪⎩
В работе [15] исследовано несколько подходов определения коэффициента сопротивления CD . Сравнение существующих зависимостей с результатами экспериментов позволило авторам работы [15] рекомендовать следующую зависимость, которая позволяет рассчитать движение пузырька при больших и малых
относительных числах Рейнольдса:
Vrel =
−1
⎡ ⎡ 16
⎤ ⎤
1
+ 1 + 3,315 Re rel −1 2 ⎥ ⎥ , Re rel = ρliq Vrel db / μ liq .
⎢1 + ⎢
⎢⎣ ⎣ Re rel 2
⎦ ⎥⎦
Баланс массы дисперсной фазы определялся с помощью уравнения турбулентной дисперсии, которое описывает конвективный перенос пузырьков осредненным потоком и стохастическое движение пузырьков вследствие турбулентных
пульсаций (турбулентную диффузию).
∂ρ ( u + urel ) M j 1 ∂ρ ( v + vrel ) rM j
∂M j ⎤ 1 ∂ ⎡
∂M j ⎤
∂ ⎡
+
= ⎢ρD pt
⎥+
⎢ rρD pt
⎥ . (8)
∂x
∂r
∂x ⎣
∂x ⎦ r ∂r ⎣
∂r ⎦
r
CD =
16
Re rel
(
)
Коэффициент турбулентной диффузии дисперсной фазы определяется следующим образом:
μ
D pt = t ψ .
ρb
где μ t – коэффициент турбулентной вязкости несущей фазы, ψ – параметр, характеризующий инерционность дисперсной фазы. Для низких значений турбу-
(
)
лентного числа Рейнольдса Re t = ρ k db / μ < 1 параметр инерционности рассчитывается следующим образом:
ψ = 1−
⎛
⎛
L ⎞⎤ ⎡
L ⎞⎤
1 db ⎡
3 − exp ⎜ −α ⎟ ⎥ ⎢1 − exp ⎜ −α ⎟ ⎥ ,
d
d
2α L ⎢⎣
⎝
⎝
b ⎠⎦ ⎣
b ⎠⎦
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное исследование процесса дегазации в гидроциклонах
где α = 18
111
ρ
Re t −1 – безразмерный параметр, обратный времени релаксации пуρb
зырьков, L =
k 3/ 2
– масштаб турбулентности.
ε
В переходной области ( 1 < Re t ≤ 103 ) можно использовать зависимость
ψ =1+
ρb db ⎡
1
1
1
1 ⎤
−
+
−
6 ⎢arctg z1 − arctg z2 + arctg z3 − arctg z4 +
⎥
ρ L
z1 z2
z3 z4 ⎦
⎣
где
⎛ 12 ρ L ⎞
−2 3
z1 = (6Ret− 2 3 + 1) exp ⎜
⎟ − 1 , z2 = 6Re t ,
ρ
Re
d
⎝ t b b⎠
−1,5
⎡1 ⎛
⎛ 12 ρ L ⎞ 1 ⎞ ⎤
1
−
z3 = 6 ⎢ + ⎜ 2Re t − ⎛⎜ Re−t 2 3 + ⎞⎟ exp ⎜
⎟
⎟ ⎥
6⎠
⎝
⎢⎣ 6 ⎝
⎝ Re t ρb db ⎠ 6 ⎠ ⎥⎦
−2 3
⎛ 12 ρ L ⎞
exp ⎜
⎟ −1 ,
⎝ Re t ρb db ⎠
−1.5
⎡1 ⎛
⎛ 12 ρ L ⎞ 1 ⎞ ⎤
1⎞
3
z4 = 6 ⎢ + ⎜ 2Re t − ⎛⎜ Re-2
exp
+
−
⎟
⎜
⎟
⎟ ⎥
t
6⎠
⎝
⎢⎣ 6 ⎝
⎝ Re t ρb db ⎠ 6 ⎠ ⎥⎦
−2 3
−1 .
В случае высоких значений турбулентного числа Рейнольдса ( Re t > 1000 ) параметр инерционности вычисляется как
2
⎞
⎛ ρ L⎞ ⎤
18
+
⎟
⎜
⎟ ⎥.
⎠
⎝ ρb db ⎠ ⎥⎦
При расчете движения совокупности пузырьков предполагалось, что их начальное распределение по размеру подчиняется функции плотности распределения Розина – Раммлера – Шперлинга – Боннета (RRSB) [16]. Перейдем от непрерывного распределения пузырьков по размерам к дискретному. Для этого выберем число рассматриваемых фракций N, характерный диаметр пузырька, характеризующий эту фракцию δi 0 и ширину каждой фракции: δiI0 < δi 0 < δiII0 .
Массовую концентрацию пузырьков каждой фракции можно определить следующим образом:
ψ = 1−
ρb ⎛ db
⎜
6ρ ⎝ L
ρ
⎞ ⎡
⎟ ln ⎢1 + 6
ρb
⎠ ⎣⎢
δiII0
∫
M i ( δi 0 ) =
δiI0
∞
∫
0
⎛ L
⎜
⎝ db
⎡ ⎛ δ ⎞ m ⎤ ⎛ δ ⎞ m −1
δ30 exp ⎢ − ⎜ 0 ⎟ ⎥ ⎜ 0 ⎟ d δ0
⎣⎢ ⎝ δ* ⎠ ⎦⎥ ⎝ δ* ⎠
δ30
(9)
⎡ ⎛ δ ⎞ m ⎤ ⎛ δ ⎞ m −1
exp ⎢ − ⎜ 0 ⎟ ⎥ ⎜ 0 ⎟ d δ0
⎣⎢ ⎝ δ* ⎠ ⎦⎥ ⎝ δ* ⎠
где m – параметр распределения, δ* − характерный размер пузырька, связанный
−1/ n
с медианным диаметром δм следующим соотношением: δ* = ( ln 2 )
δм .
Предполагалось, что в процессе движения пузырьки испытывают адиабатической расширение и сжатие, так что их текущий диаметр может быть определен
следующим образом:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.В. Матвиенко, М.В. Агафонцева
112
1 3γ
⎛p ⎞
d b = δ0 ⎜ d ⎟
⎝ p ⎠
,
(10)
где pd – давление на входе в гидроциклон, γ – постоянная адиабаты.
Плотность среды выразим через массовые концентрации компонентов:
⎡1
ρ=⎢
⎣⎢ ρl
−1
N
⎛
⎞ N Mj⎤
⎜⎜ 1 − ∑ M j ⎟⎟ + ∑
⎥ .
⎝ j =1
⎠ j =1 ρb ⎦⎥
Зависимость вязкости среды от концентрации воздушной фазы может быть учтена, например, с помощью формулы Томаса [17].
μm
ρ
= 1 + 2,5 l
μl
ρb
N
⎛ρ ⎞
∑ M j + 0, 0275 ⎜ ρ l ⎟
⎝ b⎠
j =1
2 N
⎛
ρ
⎞
N
∑ M 2j ⋅ exp ⎜⎜16, 6 ρ l ∑ M j ⎟⎟ .
j =1
⎝
b j =1
⎠
Эффективная вязкость ( μeff ) определяется как сумма молекулярной вязкости
среды ( μ m ) и турбулентной вязкости ( μ t ).
Эллиптичный вид используемых уравнений требует задания условий в выходных отверстиях, что в рамках решаемой задачи не является тривиальным. Строго
говоря, условия истечения из гидроциклона должны сопрягаться с условиями течения за пределами аппарата, например в отводящих трубках. В частности, если в
выходном отверстии истекающая среда сохраняет вращательное движение, то
возникающая приосевая область пониженного давления приводит к тому, что в
аппарат может подсасываться воздух и внутри гидроциклона может образовываться воздушный столб. Граничные условия в настоящей работе исключают контакт истекающей жидкости с воздухом в непосредственной близости у выходного
отверстия.
Таким образом, граничные условия на входе формулируются в виде
v=
Qin
γQin
Q
k 3/ 2
, u=
, w = in , k = Tu ⋅ win2 , ε = in , M j = M j ,in .
4πRC Rin ρ
4πRC Rin ρ
ηRC
Sin ρ
Здесь γ = 0,15 , η = 0, 005 , Tu = 0, 03 – константы модели, Qin – массовый расход, RC = DC / 2 – радиус гидроциклона, Rin – радиус подводящего патрубка, Sin
– площадь сечения подводящего патрубка.
На оси симметрии предполагаются равными нулю радиальные составляющие
градиентов всех функций, за исключением радиальной и тангенциальной скоростей, которые здесь равны нулю:
∂M j
∂u
∂k
∂ε
r = 0, v = 0 ,
=0, w=0,
=0,
=0,
=0.
∂r
∂r
∂r
∂r
На стенках гидроциклона выполняется условие прилипания, и все касательные
к стенкам гидроциклона компоненты скорости равны нулю. Также нулю равняется нормальная к стенке компонента скорости. Для определения турбулентных характеристик предполагается локальное равновесие в пристеночной области:
v = 0 , u = 0 , w = 0 , knw =
τW
ρ Cμ
, ε nw =
3/ 2 3/ 4
knw
Cμ
κrnw
,
∂M j
∂n
=0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное исследование процесса дегазации в гидроциклонах
113
Здесь κ = 0, 4 – константа фон Кармана, τW – напряжения на стенке, rnw – расстояние от стенки гидроциклона до ближайшего пристеночного узла, отмеченного
индексом – nw.
На выходе из гидроциклона (как в верхнем, так и в нижнем сливе) осевые составляющие градиента тангенциальной скорости, а также турбулентных характеристик k и ε предполагаются равными нулю. Значения радиальной скорости v в
выходных сечениях берутся равными нулю. Давление p в верхнем сливе определяется из предположения o радиальном равновесии потока, в то время как давление в нижнем сливе предполагается равным атмосферному. Для осевой составляющей скорости в выходных сечениях граничные условия не формулируются, а
задается распределение давления, которое и определяет неявным образом распределения осевой скорости. Таким образом, в выходных сечениях граничные условия можно записать в виде
v=0,
∂p ρw2
(верхний слив), p = penv (нижний слив),
=
∂r
r
∂M j
∂w
∂k
∂ε
=0,
=0,
=0,
=0.
∂x
∂x
∂x
∂x
Анализ результатов
Ниже рассматривается задача сепарации пузырьков воздуха в гидроциклоне.
Моделирование процесса сепарации выполняется с учетом предположения, что
трехмерные эффекты проявляют себя лишь в относительно небольшой области
вблизи подающего патрубка, а в основном теле гидроциклона течение почти осесимметричное [3], поэтому изменениями параметров в тангенциальном направлении можно пренебречь для упрощения математической модели и снижения объема вычислений.
На основе этой математической модели было проведено численное исследование структуры течения в гидроциклоне. Расчеты проводились для пузырьков,
распределенных в соответствии с функцией распределения Розина-Рамлера. Значения параметров распределения полагались следующими: d m = 0,3 мм и m = 2 .
Процедура решения описанной выше математической модели основывается на
решении системы уравнений Рейнольдса в динамических переменных. Конечноразностный аналог системы дифференциальных уравнений получен интегрированием их внутри контрольного объема конечно-разностной сетки. В расчетах использовались смещенные сетки со 100 узлами в радиальном и 300 узлами в осевом направлении. При аппроксимации конвективных членов использовались разности против потока. При моделировании диффузионных членов использовалась
степенная аппроксимация. Система конечноразностных уравнений является нелинейной, и для ее решения применялся итерационный метод. На каждой итерации
применялась продольно-поперечная прогонка. Давление рассчитывалось с помощью итерационной процедуры SIMPLE.
Картина линий тока (рис. 3, а) упрощает анализ течения жидкости в азимутальной плоскости. Здесь можно обнаружить тороидальный вихрь. Этот вихрь находится в центре цилиндрической части гидроциклона и обеспечивает возврат по-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.В. Матвиенко, М.В. Агафонцева
114
тока по стенке к зоне ввода, а также отвечает за транспорт жидкости в нижней
части аппарата вниз по конической стенке в направлении нижнего слива и подъем
жидкости в приосевой зоне по направлению к верхнему патрубку.
Расчеты показали, что в приосевой области в верхней части аппарата давление
становится ниже давления окружающей среды, что находится в хорошем соответствии с экспериментальными данными [10]. Когда одно (или оба) сливных отверстия открыты, в эту зону происходит всасывание воздуха и формирование воздушного столба. В периферийной области давление резко увеличивается и достигает максимального значения в окрестности стенки. Изменение давления в осевом
направлении мало по сравнению с изменением в радиальном направлении, поэтому изобары практически параллельны оси гидроциклона.
На рис. 3, б приведены изолинии турбулентной кинетической энергии в гидроциклоне. Из рисунка видно, что наибольшие значения турбулентной кинетической энергии локализуются на нижней кромке вихревой трубы, где происходит
разворот потока и градиенты скоростей очень велики. Затем турбулентность
вследствие конвекции переносится в нижнюю часть гидроциклона, постепенно
угасая. Интересно отметить, что увеличение значений турбулентной кинетической энергии в окрестности нижнего слива связано с втеканием в центральную
часть нижнего слива атмосферного воздуха, формирующего воздушный столб.
x, м
x, м
0,00
0,00
7,5
6,5
8,5
9,5
10,5
5,5
0,05
2,5
1,5
3,5
4,5
0,05
4,5
-0,5
0,10
3,5
-0,4
0,10
-0,3
-0,2
0,15
2,5
1,5
0,15
-0,1
0,20
0,20
а
б
0,25
0,25
1,5
0,00
0,02
r, м
0,04
0,00
0,02
r, м
0,04
Рис. 3. Распределение основных параметров в гидроциклоне:
а – линии тока, б – изолинии турбулентной кинетической энергии
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное исследование процесса дегазации в гидроциклонах
115
На рис. 4 приведены экспериментальные и теоретические распределения осевой скорости в двух сечениях гидроциклона.
Осевая скорость u, м/с
3
1
2
3
4
2
1
0
-1
-2
0,00
0,01
0,02
0,03
Радиальная координата r, м
Рис. 4. Радиальное распределение осевой скорости в гидроциклоне: 1, 3 – эксперимент; 2, 4 – расчет; 1, 2 – 60 мм от
верхней крышки; 3, 4 – 175 мм
Тангенциальная скорость w, м/с
Из рисунка видно, что в цилиндрической и в верхней части конической секции
гидроциклона жидкость в приосевой зоне движется по направлению к верхнему
сливу, а в периферийной области – к нижнему. Таким образом, существует коническая поверхность, на которой осевая скорость потока становится равной нулю. Абсолютная величина скорости во внешнем потоке ниже, чем во внутреннем. Примерно в середине конической части гидроциклона наблюдается переход жидкости
из внешнего во внутренний поток, что приводит к росту скорости последнего. В области, примыкающей к нижнему сливу, вcя масса жидкости движется вниз.
10
1
2
3
4
8
6
4
2
0
0,00
0,01
0,02
0,03
Радиальная координата r, м
Рис. 5. Радиальное распределение тангенциальной скорости
в гидроциклоне: 1, 3 – эксперимент; 2, 4 – расчет; 1, 2 –
40 мм от верхней крышки; 3, 4 – 60 мм
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.В. Матвиенко, М.В. Агафонцева
116
Анализ радиального распределения тангенциальной скорости (рис. 5) показал,что в ядре потока она плавно возрастает от нуля на оси течения до некоторого
максимального значения в периферийной части потока, далее, вследствие прилипания к стенке, происходит падение w . Отметим, что в ядре потока радиальное
распределение тангенциальной скорости можно моделировать зависимостью вида
w = ar n , где a и n – некоторые константы.
На рис. 6 представлено распределение концентраций фракций пузырьков в
гидроциклоне. Из рисунков видно, что пузырьки в основном концентрируются в
окрестности оси гидроциклона. Небольшая их часть задерживается в верхней области цилиндрической секции гидроциклона вблизи внешней стенки вихревой
трубы. Отметим, что движение пузырьков мелких фракций относительно несущей
жидкости достаточно мало, а процессы турбулентной диффузии достаточно интенсивны. Поэтому значительной неоднородности концентрации пузырьков мелких фракций не наблюдается. Большая часть пузырьков, попадая в приосевой восходящий поток, выносится через верхний слив. Интересно отметить, что в нижней
части конической секции гидроциклона наблюдается увеличение концентрации
пузырьков мелких фракций (рис. 6, а). Пузырьки воздуха, попадающие в эту часть
гидроциклона, захватываются нисходящим потоком и выносятся из гидроциклона
через нижний слив. Увеличение диаметра пузырька усиливает эффект центробежного разделения. Крупные пузырьки движутся из подводящего патрубка к центру
гидроциклона и затем покидают его преимущественно через верхний слив.
x, м
x, м
x, м
0,00
0,00
0,00
0,05
0,05
0,05
0,10
0,10
0,10
0,15
0,15
0,15
0,20
0,20
0,20
а
0,25
0,00
0,02
б
0,25
r, м
0,04
0,00
0,02
в
0,25
r, м
0,04
0,00
0,02
r, м
0,04
Рис. 6. Изолинии концентрации пузырьков воздуха в гидроциклоне: а – db = 0,1 мм,
шаг изолиний – 0,01 мг/кг; б – db = 0,5 мм, шаг изолиний – 0,1 мг/кг; в – db = 1 мм,
шаг изолиний – 1 мг/кг
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численное исследование процесса дегазации в гидроциклонах
117
В результате концентрация воздушной фазы с ростом диаметра пузырьков в верхнем сливе увеличивается (рис. 6, б, в). В то же время доля пузырьков, покидающих гидроциклон через нижний слив, резко падает и для пузырьков с диаметром
более db = 0,1 мм становится практически равной нулю.
Рассчитывая потоки каждой фракции пузырьков воздуха через верхнее и нижнее сливные отверстия, можно получить кривую разделения (зависимость доли
определённой фракции, попадающей в верхний слив от размера пузырьков этой
фракции: q(db 0 ) = Qof (db 0 ) / Qin (db 0 ) , где q(db 0 ) − доля пузырьков заданного
размера, покидающих гидроциклон через верхний слив, Qof (db 0 ) , Qin (db 0 ) − массовые потоки пузырьков воздуха в верхнем сливе и подводящем патрубке. Результаты таких расчётов приведены на рис. 7.
q
0,98
0,96
0,94
0,92
0,90
0,88
10–5
Pd = 5 атм
Pd = 2 атм
Pd = 1 атм
db0
10–4
Рис. 7. Кривые разделения (выход в верхний слив)
пузырьков воздуха различного начального диаметра
На рисунке представлены кривые разделения в гидроциклоне для различных
значений давления в питающем патрубке pd . С увеличением pd происходит увеличение тангенциальной скорости и центробежного фактора разделения. Движение пузырьков относительно несущей среды к оси гидроциклона интенсифицируется. При этом пузырьки не только крупного и среднего размера, но и пузырьки
мелких фракций начинают устремляться в окрестность верхнего слива.
Таким образом, при больших значениях pd доля воздуха, покидающего гидроциклон через верхний слив, увеличивается, а через нижний слив соответственно
уменьшается, что свидетельствует об улучшении процесса сепарации.
Подводя итог анализу процесса дегазации в гидроциклоне, можно сделать вывод, что около 90 % воздуха, содержащегося в подаваемой смеси, выносится через
верхний слив и только 10 % – через нижний. Это свидетельствует о высокой эффективности метода гидроциклонирования.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
118
О.В. Матвиенко, М.В. Агафонцева
ЛИТЕРАТУРА
1. Gase in kleinen und mittleren WasserheiznetzenTechnische Universitat Dresden, Institut für
Energietechnik, koordinierter Schlussbericht, AiF Forschungsthema Nr. 11103 B, November
1998.
2. Svarovsky L. Hydrocyclones. London: Technomic Publishing Co., 1984.
3. Поваров А.И. Гидроциклоны на обогатительных фабриках. М.: Недра, 1978.
4. Баранов Д.А., Кутепов А.М., Лагуткин М.Г. Расчет сепарационных процессов в гидроциклонах // ТОХТ. 1996. Т. 30. № 2. C. 117–122.
5. Кутепов А.М., Лагуткин М.Г., Баранов Д.А. Метод расчета показателей разделения
суспензий в гидроциклонах // ТОХТ. 1994. Т. 28. № 3. С. 207–211.
6. Neeße Th. and Schubert H. Modellierung und verfahrenstechnische Dimensionierung der
turbulenten Querstromklassierung. Th. 3. 1976. Chem. Techn. V. 28. No. 5. P. 273–277.
7. Schubert H. and Neesse Th. A hydrocyclone separation model in consideration of the turbulent multiphase flow // Proc. Int. Conf. on Hydrocyclones. Cambridge. 1980. P. 23–27.
8. Matvienko O., Dück J., and Neeße Th. Numerishe Simulation der Strömungen in einem
Hydrozyklon // Gessellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik, Annual Meeting,
Bremen, April 6–9, 1998, Book of Abstracts. S. 85.
9. Matvienko O., Dück J., and Neeße Th. Hydrodynamics and particle separation in the hydrocyclone // Proc. 2nd Int. Symp. on Two-Phase Flow Predictions and Experimentation. May
23–26, 1999. Pisa, Italy. V. 2. P. 923–929.
10. Monredon T.C., Hsien K.T., and Rajamani R.K. Fluid flow model of the hydrocyclone: an investigation of device dimensions // Int. J. Mineral Process. 1992. V. 35. No. 1. P. 65–83.
11. Pericleous K.A. and Rhodes N. The hydrocyclone classifier — a numerical approach // Int. J.
Mineral Process. 1986. V. 17. No. 1. P. 23–43.
12. Pericleous K.A.Mathematical simulation of hydrocyclones // Applied Mathematical Modelling. 1987. V. 11. Issue 4, P. 242–255.
13. Гупта А., Лилли Д., Сайред Н. Закрученные потоки. М.: Мир, 1987.
14. Boysan, F., Ayers W.H., Swithrnbank J. A fundamental mathematical modelling approach to
cyclone design // Trans. Inst. of Chemical Engineers. 1982. V. 60. P. 222–230.
15. Tryggvason G., Bunner B., Esmaelli, et. al. A front-tracking method for the computations of
multiphase flow // J. Comput. Phys. 2001. P. 169, 708–759.
16. Островский Г.М. Прикладная механика неоднородных сред. СПб.: Наука, 2000. 359 с.
17. Dueck J., Matvienko O., and Neesse Th. Numerical modelling of hydrocyclone dynamics for
process control // Advances in Filtration and Separation Technology, Science & Technology
of Filtration and Separations for the 21st Century / Eds. Shiao-Hung Chiang and Samuel E.
Lee, American Filtration&Separation Society. V.15. Pittsburgh, 2001.
Статья поступила 19.12.2011 г.
Matvienko O. V., AGAFONTSEVA M. V. NUMERICAL SIMULATION OF THE DEGASSING
PROCESS IN HYDROCYCLONES. In this paper, the degassing process in a hydrocyclone was
investigated. The possibility to apply the hydrocycloning method for air phase removing from a
liquid is shown.
Keywords: hydrocyclone, degassing, turbulence, mathematical modeling,
MATVIENKO Oleg Viktorovich (Tomsk State University)
E-mail: matvolegv@mail.ru
AGAFONTSEVA Margarita Vladimirovna (Tomsk State University)
E-mail:m.agafontseva@gmail.com
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 622.279
В.Ш. Шагапов, О.Р. Нурисламов, А.Р. Хабибуллина
ОТБОР ГАЗА ИЗ ГИДРАТОСОДЕРЖАЩЕГО ПЛАСТА
ДЕПРЕССИОННЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
В плоскоодномерной и радиальной автомодельной постановках изучен процесс разложения газогидратов, частично насыщающих пористую среду, при
депрессионном воздействии. Показано, что в зависимости от состояния пористой среды и граничного давления отбор газа из гидратосодержащего пласта может происходить в трех режимах, с качественно различающимися
структурами образующихся зон. Выявлены критерии, разделяющие эти режимы.
Ключевые слова: гидраты, отбор газа, пористая среда, депрессионный
метод.
Проблема энергетических ресурсов существовала во все времена. Человечество за время своего существования освоило большое количество разновидностей
природных ресурсов, большинство которых невозобновляемы или возобновляются медленно. Поэтому приходится осваивать все новые виды энергетических ресурсов. В настоящее время одним из таких новых перспективных энергетических
ресурсов являются газовые гидраты. Мировые запасы углеводородов в гидратах
по сегодняшним оценкам в несколько раз превышают запасы обычного природного газа, основная часть которых (около 98 %) сосредоточена в акватории Мирового океана и только около 2 % – на суше в зонах вечной мерзлоты [1,2].
Целью настоящей работы является изучение, в рамках автомодельной плоскоодномерной и радиальной постановок, количественных и качественных особенностей разложения гидрата, частично насыщающего пористую среду, при депрессионном воздействии.
Постановка задачи и основные уравнения
Пусть в исходном состоянии пористая среда насыщена газом в свободном состоянии и гидратом при температуре T0 и давлении p0 и пусть равновесное давление, соответствующее температуре T0 , – ps (T0 ) :
t = 0:
Sh = Sh (0) , S g = 1 − Sh (0) , p = p0 , T = T0
(r ≥ 0) ,
(1)
где Sh (0) , p0 , T0 – исходные гидратонасыщенность, давление и температура пористой среды.
Для плоскоодномерного случая пусть в момент времени t = 0 по границе
r = 0 происходит вскрытие пласта и установление на границе давления p( e ) :
r = 0:
p = p(e ) (t > 0) .
(2)
Для радиального случая пусть в момент времени t = 0 на границе скважины
r = r( w) устанавливается постоянный массовый расход газа q ( m) , отнесенный к
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
120
В.Ш. Шагапов, О.Р. Нурисламов, А.Р. Хабибуллина
единице длины скважины:
r = r( w) : − 2πr( w) (mS g ρ g υ g )( w) = q ( m) (t > 0) .
(3)
В общем случае возможны следующие режимы: 1) если p( e ) ≥ ps (T0 ) , то будет происходить фильтрация газа, а гидрат, содержащийся в пористой среде, будет сохранять стабильное состояние; 2) если p( e ) < ps (T0 ) , то будет происходить
фильтрация газа, сопровождаемая разложением гидрата.
Примем следующие допущения. Гидрат является двухкомпонентной системой
с массовой концентрацией газа G. Материал скелета пористой среды, гидрат и воду, образующуюся при разложении гидрата, будем считать несжимаемыми. Кроме
того, будем полагать, что в фильтрации участвует только газ и температуры скелета, гидрата и воды в любой точке пористой среды совпадают. Допущение неподвижности воды при фильтрации газа обосновывается тем, что, во-первых, вязкость воды значительно больше вязкости газа и, во-вторых, на воду в пористой
среде действуют капиллярные силы.
Математическая модель основывается на уравнениях неразрывности газа и воды и уравнении баланса тепла [3]:
∂S
1 ∂
∂
( mρ g S g ) + n ∂r r n mρ g S g υg = −mGρh ∂th ,
∂t
r
∂S
∂
( mρl Sl ) = −m (1 − G ) ρh h ,
∂t
∂t
∂Sh
1 ∂ ⎛ n ∂T ⎞
∂T
∂T
(4)
ρc
+ ρ g cg mS g υ g
= n
⎜r λ
⎟ + mρh Lh
∂t
∂r r ∂r ⎝
∂r ⎠
∂t
( ρc = (1 − m ) ρsk csk + mSl ρl cl + mShρh ch + mS g ρ g cg ,
(
)
λ = (1 − m ) λ sk + mSl λ l + mSh λ h + mS g λ g , Sl + Sh + S g = 1) ,
где m, Si ( i = l , h, g ) – пористость и насыщенность пор i-й фазой; ρi , ci , λ i
( i = sk , l , h, g ) – плотность, теплоемкость и теплопроводность; индексы
sk , l , h, g соответствуют скелету, воде, гидрату и газу; υ g – скорость газа; Lh –
удельная теплота фазового перехода гидрата; значения n = 0 и n = 1 соответствуют плоскоодномерной и радиальной постановкам. Теплоемкость и теплопроводность ps 0 рассматриваемой системы в основном определяется скелетом пористой среды, поэтому будем полагать, что ρc = const и λ = const .
Для описания процесса фильтрации газа примем закон Дарси:
k g ∂p
,
(5)
mS g υ g = −
μ g ∂r
где μ g , k g – динамическая вязкость и фазовая проницаемость газа.
Зависимость коэффициента проницаемости для газа k g будем задавать на основе формулы Козени [4]:
k g = k∗
(mS g )3
(1 − mS g )
2
≈ k0 S g3 (k0 = k∗ m3 ) ,
где k0 – коэффициент проницаемости скелета пористой среды.
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отбор газа из гидратосодержащего пласта депрессионным воздействием
Для газа примем модель калорически совершенного газа:
p = ρ g Rg T .
121
(7)
Для области, где одновременно присутствуют газ, вода и гидрат, температура
и давление связаны условием фазового равновесия [5]:
⎛ p ⎞
(8)
T = Ts 0 + T* ln ⎜
⎟,
⎝ ps 0 ⎠
где Ts 0 – равновесные температура и давление, T* – эмпирический параметр, зависящий от вида газогидрата.
При поставленных начальных и граничных условиях, в общем случае, возможно формирование трех, качественно различающихся, областей. В ближней и
дальней областях, насыщенных газом и водой, газом и гидратом соответственно,
будет иметь место только фильтрация газа. Промежуточная область, насыщенная
газом, гидратом и водой, будет представлять зону разложения гидрата.
На границах этих областей должно выполняться условие баланса массы газа и
воды:
⎡⎣ m ( Sh ρh (1 − G ) + Sl ρl ) r(i ) ⎤⎦ = 0,
(9)
⎡⎣ m ( ρ g S g (υ g − r(i ) ) − ρh Sh Gr(i ) ) ⎤⎦ = 0.
Граничные условия (9) с учетом закона Дарси (5) и непрерывности фазовой
проницаемости газа на этих границах примет вид
−
+
∂p
∂p
− ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ = 0
⎝ ∂r ⎠(i ) ⎝ ∂r ⎠(i )
(i = n, d ) ,
(10)
где i = n – относится к границе между ближней и промежуточной областями,
i = d – относится к границе между промежуточной и дальней областями.
Упрощение уравнений для ближней и дальней областей
Примем допущение об изотермичности процесса фильтрации газа в дальней и
ближней областях. Такое допущение оправдано тем, что теплоемкость газа мала
по сравнению с общей теплоемкостью пористой среды и изменение температуры
газа даже на несколько градусов за счет расширения при фильтрации приводит к
незначительным изменениям температуры пористой среды. Таким образом,
при 0 ≤ r ≤ r( n ) : T = T( n ) , Sh = 0, S g = 1 − Sl ( n )
ρh (1 − G )
⎛
⎞
Sh (0) ⎟ ; (11)
⎜ Sl ( n ) =
ρ
⎝
⎠
l
при r ≥ r( d ) : T = T0 , Sh = Sh (0) , S g = 1 − Sh (0) .
(12)
Здесь значение водонасыщенности Sl ( n ) на ближней границе получено интегрированием второго уравнения из (4) с учетом начального условия из (1) и граничного условия (2) для S h . Выражение для T( n ) будет приведено ниже.
Принимая вышесказанное допущение, первое уравнение из (4) с учетом закона
Дарси (5) и уравнения состояния газа (7) после преобразований примет вид
∂p 2
p 1 ∂ ⎛ n ∂p 2 ⎞
(13)
= ℵ( p ) S g2(i )
⎜r
⎟ (i = n, 0) ,
∂t
p0 r n ∂r ⎝
∂r ⎠
где ℵ( p ) = k0 p0
( mμ g ) – коэффициент пьезопроводности.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.Ш. Шагапов, О.Р. Нурисламов, А.Р. Хабибуллина
122
Упрощение уравнений для промежуточной области
В работе [6] показано, что при проницаемостях k g
10−18 м2 теплопроводно-
стью и конвективным переносом тепла можно пренебречь по сравнению с теплотой фазового перехода. Тогда третье уравнение из (1) для промежуточной области
примет вид
∂S
∂T
(14)
ρc
= mρh Lh h .
∂t
∂t
Интегрируя уравнение (14) в промежуточной области, получим выражение для
температуры:
mρh Lh
(15)
T = T0 +
( Sh − Sh(0) ) .
ρc
На ближней и дальней границах температура и давление, согласно (15) и условию фазового равновесия (8), определяются по формулам
mρh Lh
⎛ mρh Lh Sh (0) ⎞
T( n ) = T0 −
Sh (0) , p( n ) = p( d ) exp ⎜ −
⎟,
ρc
ρcT*
⎝
⎠
(16)
⎛ T0 − Ts 0 ⎞
T( d ) = T0 , p( d ) = ps 0 exp ⎜
⎟.
⎝ T∗ ⎠
Первое уравнение из (4) в пренебрежении первым слагаемым в левой части по
сравнению со слагаемым в правой части, как это показано в работе [6], примет вид
∂S
1 ∂ n
(17)
mGρh h + n
r mS g ρ g υ g = 0.
∂t r ∂r
После преобразований уравнения (17) с учетом уравнений (5) – (8), (14) примет вид
(
)
3
mLh
∂p
p 1 ∂ ⎛ n pS g ∂p ⎞
=
ℵ( p )
⎜
r
⎟.
∂t ρcT*GRg
p0 r n ∂r ⎜⎝
T ∂r ⎟⎠
(18)
Уравнения в автомодельной переменной
Поставленная задача имеет автомодельное решение. Введем автомодельную
переменную ξ = r ℵ( p ) t и безразмерные переменные для давления P = p p0 и
температуры θ = T T0 .
Уравнение (13) для ближней и дальней областей и (18) для промежуточной области в автомодельных координатах и безразмерных переменных будут соответственно иметь вид
−
ξ dP 2
1 d ⎛ n dP 2 ⎞
= S g2(i ) P n
⎜ξ
⎟
2 dξ
dξ ⎠
ξ dξ ⎝
( i = n, 0 ) ;
(19)
3
ℵ( m )
k0 ρ g 0 p0 Lh ⎞
⎛
ξ dP
1 d ⎛ n PS g dP ⎞
= η( m) P n
⎜ξ
⎟
⎜⎜ η( m ) = ( p ) , ℵ( m ) =
⎟ . (20)
θ d ξ ⎟⎠
ρcT*Gμ g ⎟⎠
2 dξ
ξ d ξ ⎜⎝
ℵ
⎝
Начальные и граничные условия (1) – (3) в автомодельных и безразмерных переменных запишутся в виде
−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отбор газа из гидратосодержащего пласта депрессионным воздействием
P = 1 при ξ = ∞ (n = 0,1) ,
P = P(e ) при ξ = 0 (n = 0) ,
123
(21)
⎛ dP 2 ⎞
= Q ( m ) при ξ( w) → 0 (n = 1) ,
⎜ξ
⎟
⎝ d ξ ⎠ξ=ξ( w)
где P( e ) =
p( e )
p0
q ( m ) μ g Rg T( n )
, Q(m) =
πk0 S g3 ( n ) p02
, S g ( n ) = 1 − Sl ( n ) .
На ближней и дальней границах граничные условия (10) примут вид
( −)
(+)
⎛ dP ⎞
⎛ dP ⎞
P = P(i ) , ⎜
⎟ = ⎜ d ξ ⎟ при ξ = ξ(i ) , ( i = n, 0 )
d
ξ
⎝
⎠( i ) ⎝
⎠(i )
(22)
⎛
⎛ mρh Lh Sh (0) ⎞
⎛ 1 − θs 0 ⎞ ⎞
⎜ P( n ) = P( d ) exp ⎜ −
⎟ , P( d ) = Ps 0 exp ⎜
⎟⎟ .
ρcT*
⎝ θ∗ ⎠ ⎠
⎝
⎝
⎠
Аналитические решения
Применяя метод линеаризации Лейбензона [7] к уравнению (19), его можно
свести к виду
−
1 d ⎛ n dP 2 ⎞
ξ dP 2
= S g2(i ) P n
⎜ξ
⎟
2 dξ
dξ ⎠
ξ dξ ⎝
( i = n, 0 ) ,
(23)
где P – значение безразмерного давления, возле которого производится линеаризация.
Из уравнения (23), с учетом условий (21) и (22), можно получить следующие
аналитические решения:
0 ≤ ξ ≤ ξ( n ) :
ξ( n )
(
P 2 = P(2n ) + P(2e ) − P(2n )
)
⎛
ξ2 ⎞
−
exp
⎜
∫ ⎜ 4S 2 P ⎟⎟ d ξ
g (n) ⎠
ξ
⎝
ξ( n )
⎛
ξ2 ⎞
−
exp
⎜
∫ ⎜ 4S 2 P ⎟⎟ d ξ
g (n) ⎠
0
⎝
( P(e) < P < P(n) )
при n = 0 ; (24)
ξ ( w ) ≤ ξ ≤ ξ( n ) :
ξ( n )
P 2 = P(2n ) − Q ( m)
∫
ξ
⎛
ξ2 ⎞
1
⎟ dξ
exp ⎜ − 2
⎜ 4S P ⎟
ξ
g (n) ⎠
⎝
( P( w) < P < P(n) )
при n = 1 ;
(25)
при n = 0, 1 .
(26)
ξ ≥ ξ( d ) :
∞
(
)
P 2 = 1 + P(2d ) − 1
⎛
ξ2 ⎞
1
−
exp
⎜
∫ ξ ⎜ 4S 2 P ⎟⎟ d ξ
g (0) ⎠
ξ
⎝
∞
∫
ξ( d )
⎛
ξ2 ⎞
1
exp ⎜ − 2
⎟ dξ
⎜ 4S P ⎟
ξ
g (0) ⎠
⎝
( P(d ) < P < 1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.Ш. Шагапов, О.Р. Нурисламов, А.Р. Хабибуллина
124
Численный анализ
Численные расчеты были проведены при следующих значениях параметров,
определяющих свойства, а также исходное состояние пористой среды и насыщающих ее компонентов:
m = 0,1 , k0 = 10−13 м2, T∗ = 10 К, Ts 0 = 280 К, ps 0 = 5,5 МПа,
ρc = 2, 6 ⋅106 Дж/(м3 К), Rg = 519,4 Дж/(кг К), μ g = 10−5 Па·с,
ρl = 103 кг/м3, ρh = 900 кг/м3, G = 0,12 , Lh = 5 ⋅105 Дж/кг.
На рис. 1 приведена фазовая диаграмма с иллюстрацией режимов отбора газа.
В плоскоодномерной постановке в зависимости от значений граничного давления
p( e ) возможны три режима отбора газа из гидратосодержащего пласта.
T
l, g
l, h, g
(d)
T0
1
(0)
2
3
pe3
(n)
p(n) pe2
h, g
p(d)
pe1
p0
p
Рис. 1. Иллюстрация режимов отбора газа в зависимости от граничного давления
(1 – первый режим; 2 – второй режим; 3 – третий режим)
Первый режим, когда p( d ) ≤ pe < p0 , сопровождается только фильтрацией газа
без разложения гидрата, так как при этом сохраняются термодинамические условия существования гидрата.
Второй и третий режимы сопровождаются разложением гидрата в объемной
области. Для второго режима ( p( n ) ≤ pe < p( d ) ) образуются две области: ближняя
область, насыщенная газом, гидратом и водой, и дальняя область, насыщенная газом и гидратом.
Третий режим ( pe < p( n ) ) характеризуется образованием трех областей:
ближняя область, насыщенная газом и водой, образована в результате разложения
гидрата, дальняя область – газом и гидратом, промежуточная – газом, гидратом и
водой.
Влияние граничного давления на гидродинамическую картину в пористой среде представлено на рис. 2. Графикам на рисунке соответствуют три режима отбора газа из пласта. При реализации первого режима (кривая 1) гидрат не разлагается, а следовательно, температура выхода газа будет равна исходной температуре
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отбор газа из гидратосодержащего пласта депрессионным воздействием
125
пористой среды. При реализации второго режима (кривая 2) гидрат, частично насыщающий пористую среду, частично разлагается, что сопровождается понижением температуры пористой среды и отбираемого газа. При реализации третьего
режима (кривая 3) гидрат в пористой среде полностью разлагается, что сопровождается соответствующим максимальным понижением температуры пористой среды и отбираемого газа. Понижение температуры пористой среды связано с затратами тепла на разложение гидрата. Кроме того, можно заметить, что чем ниже
граничное давление, тем интенсивней происходит разложение гидрата в пористой
среде.
р, МПа
8
1
4
2
3
р, МПа
8
1
0
T, К
T, К
3
1
274
2
2
278
3
274
Sh
1
Sh
1
1
0,2
3
4
0
278
2
2
0,2
3
2
3
0
1
2
3
ξ
Рис. 2. Влияние граничного давления pe на
режимы отбора газа (1 – 6 МПа, 2 – 4 МПа,
3 – 1 МПа)
0
1
2
3
ξ
Рис. 3. Влияние исходной гидратонасыщенности Sh(0) на гидродинамическую картину
(1 – 0,3, 2 – 0,1, 3 – 0)
Влияние исходной гидратонасыщенности на процесс отбора газа из гидратосодержащего пласта проиллюстрировано на рис. 3. Как следует из графиков, чем
выше исходная гидратонасыщенность, тем, во-первых, ниже минимальная температура пористой среды, реализуемая при полном разложении гидрата в пористой
среде, которая определяется по формуле (16) для T( n ) ; во-вторых, ниже фазовая
проницаемость газа и, следовательно, меньше скорости фильтрации газа и движения границ r( n ) и r( d ) , что и наблюдается на рисунке.
На рис. 4 показано влияние исходного давления пористой среды на гидродинамическую картину. С одной стороны, согласно графикам, с увеличением исходного давления протяженность областей и скорость движения границ уменьшаются, что говорит об уменьшении интенсивности разложения гидратов. С другой
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.Ш. Шагапов, О.Р. Нурисламов, А.Р. Хабибуллина
126
стороны, с увеличением исходного давления увеличивается величина депрессии,
что сопровождается увеличением интенсивности отбора газа. Эти факты говорят о
том, что в основном отбор газа реализуется за счет фильтрации изначально свободного газа. Из рис. 5 видно, что чем больше исходная температура пористой
среды, тем больше скорость движения границ и больше протяженность областей.
р, МПа
р, МПа
1
9
6
3
1
4
0
0
T, К
T, К
278
2 3
8
2
3
1
280
12 3
2
3
276
274
272
Sh
Sh
1 2
2 1
3
0,2
0
3
0,2
1
2
3
ξ
Рис. 4. Влияние исходного давления p0 пористой среды на гидродинамическую картину (1 – 10 МПа, 2 – 8 МПа, 3 – 6 МПа)
0
1
2
3
ξ
Рис. 5. Влияние исходной температуры T0
пористой среды на распределения давления,
температуры и гидратонасыщенности (1 –
283 К, 2 – 281 К, 3 – 279 К)
Зависимости автомодельных координат границ от граничного давления представлены на рис. 6. Графики зависимости получены для пористой среды с исходной гидратонасыщенностью Sh (0) = 0,3 и исходной температурой T0 = 280 К.
Влияние граничного давления p( e ) на величину массового расхода q ( m) газа
иллюстрируется на рис. 7. Расход с уменьшением граничного давления увеличивается, что является очевидным. Кроме того, присутствие газогидрата в пористой
среде снижает массовый расход. Казалось бы, что разложение гидратов в пористой среде должно увеличивать массовый расход, однако присутствие газогидратов снижает фазовую проницаемость газа, что и является причиной снижения
расхода газа.
В радиальной постановке всегда образуются все три характерные области,
описанные выше. На рис. 8 представлены поля давления, температур и гидратонасыщенности в зависимости от темпа отбора газа. Следствием автомодельности
постановки задачи является то, что при ξ → 0 значение давления p → −∞ .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отбор газа из гидратосодержащего пласта депрессионным воздействием
127
q ( m ) t , кг/(м⋅ с) 1/2
ξi
2
1
0,4
2
1
0,2
0
2
6
4
рe, МПа
0
Рис. 6. Зависимость значений автомодельных
координат границ от граничного давления
р, МПа
2
4
6
рe, МПа
8
10
Рис. 7. Зависимость массового расхода q(m)
газа от граничного давления p(e) (1 –
Sh(0) = 0, 2 – Sh(0) = 0,3)
р, МПа
1
8
8
2
3
4
1
2
4
3 4
0
0
T, К
T, К
278
1
274
Sh0
Sh
0
1
3
1
2
3
0,2
2 3 4
1
2
278
2 3 4
274
0,2
1
ξ
2
(m)
Рис. 8. Влияние массового расхода q газа
на распределения давления, температуры и
гидратонасыщенности (1 – 1 кг/(м·с), 2 – 2
кг/(м·с), 3 – 3 кг/(м·с), 4 – 4 кг/(м·с))
0
1
2
ξ
Рис. 9. Влияние исходного давления p0 пористой среды на распределение давления,
температуры и гидратонасыщенности (1 –
10 МПа, 2 – 8 МПа, 3 – 6 МПа)
Участок с отрицательным давлением не имеет физического смысла. Решение
будет иметь физический смысл только в том случае, если участок с отрицательным давлением будет находиться в пределах радиуса скважины r( w) . С другой
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.Ш. Шагапов, О.Р. Нурисламов, А.Р. Хабибуллина
128
стороны, граница полного разложения гидрата r( n ) должна оставаться вне скважины. Следовательно, автомодельное решение может быть применимо для анализа реальных ситуаций только в случае выполнения следующего неравенства:
r(2w)
2
(ℵ( p) ξ(2n) ) < t < r(2w) (ℵ( p) ξ(0)
) , где ξ(0)
– автомодельная координата границы
с нулевым значением давления.
На рис. 9 представлено влияние исходного давления на гидродинамическую
картину. С увеличением исходного давления увеличивается и депрессия и, следовательно, увеличиваются скорость фильтрации и интенсивность отбора газа. Реализация интенсивности отбора, в данном случае равного q ( m) = 0,5 кг/(м·с), при
меньшем значении исходного давления требует менее интенсивного разложения
гидратов в пористой среде, что и наблюдается на рисунке.
Из рис. 10 видно, что с увеличением исходной гидратонасыщенности уменьшается фазовая проницаемость газа и, следовательно, уменьшаются скорость
фильтрации и интенсивность отбора газа. Поддерживание интенсивности отбора
q ( m) = 0,5 кг/(м·с) при больших значениях исходных гидратонасыщенностей требует более интенсивного разложения гидратов в пористой среде, что и наблюдается на рисунке.
Согласно рис. 11 реализация отбора газа с одинаковой интенсивностью при
более высоких исходных температурах пористой среды осуществляется с увеличением протяженности области разложения гидрата.
р, МПа
1
6
р, МПа
2
6
3
4
4
2
2
0
0
T, К
282
3
T, К
1
2
3
280
1
2
278
276
3
272
274
Sh
Sh
3
0,4
3 2
2
0,2
0
1
2
1
0,2
1
0,5
1
1,5
2
ξ
Рис. 10. Влияние исходной гидратонасыщенности Sh(0) на распределения давления,
температуры и гидратонасыщенности (1 –
0,1, 2 – 0,3, 3 – 0,5)
0
0,5
1
1,5
ξ
Рис. 11. Влияние исходной температуры T0
пористой среды на распределения давления,
температуры и гидратонасыщенности (1 –
283 К, 2 – 281 К, 3 – 279 К)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отбор газа из гидратосодержащего пласта депрессионным воздействием
129
На рис. 12 показаны зависимости автомодельных координат границ нулевого
значения давления ξ(0), полного разложения гидрата ξ(n) и дальней границы ξ(d) от
массового расхода газа.
ξi
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
q, кг/(м ⋅с)
Рис. 12. Зависимости автомодельных координат границ
от массового расхода газа
Заключение
Анализ результатов численных расчетов показывает, что в зависимости от
значения граничного давления и значения исходной гидратонасыщенности, в случае плоскоодномерной постановки, возможны три режима отбора газа. Критериями, разделяющими режимы, являются давления p(n) и p(d), определяемые характеристиками исходного состояния пористой среды.
В радиальной постановке возможна реализация только одного режима, при котором образуются все три характерные области. Причем как показывает анализ
результатов, автомодельное решение может быть применимо для анализа реальных ситуаций только в ограниченных временных интервалах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соловьев В.А. Природные газовые гидраты, как потенциальное полезное ископаемое //
Российский химический журнал. 2003. № 3. С. 59−69.
2. Макогон Ю.Ф. Природные газовые гидраты: распространение, модели образования, ресурсы // Российский химический журнал. 2003. № 3. С. 70−79.
3. Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш., Сыртланов В.Р. Автомодельная задача о разложении
газогидратов в пористой среде при депрессии и нагреве // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 3.
С. 111−118.
4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в пористых
пластах. М.: Недра, 1984.
5. Бык С.Ш., Макагон Ю.Ф., Фомина В.И. Газовые гидраты. М.: Химия, 1980.
6. Шагапов В.Ш., Нурисламов О.Р. Некоторые особенности синтеза газогидратов нагнетанием газа во влажную пористую среду // ТОХТ. 2010. Т. 44. № 3. С. 275−285.
7. Лейбензон А.С. Движения природных и газов в пористой среде. М.: ОГИЗ, 1947.
Статья поступила 03.09.2012 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
130
В.Ш. Шагапов, О.Р. Нурисламов, А.Р. Хабибуллина
Shagapov V.S., Nurislamov O.R., Khabibullina A.R. GAS EXTRACTION FROM POROUS
MEDIUM CONTAINING HYDRATES BY MEANS OF DEPRESSION INFLUENCE. The decomposition of gas hydrates partially sating a porous medium by means of depression influence is
investigated in the plane one-dimensional and radial automodel formulations. It is shown that, depending on the state of the porous medium and boundary pressure, the gas can be extracted from a
hydrate-containing stratum in three modes, with qualitatively differing structures of the formed
zones. The criteria distinguishing these modes are revealed.
Key words: hydrates, gas extraction, porous medium, depression method.
SHAGAPOV Vladislav Shaikhulagzamovich (Institute of Mechanics of Ufa Branch, RAS)
E-mail: shagapov@rambler.ru
NURISLAMOV Oleg Robertovich (South-Ural State University, Nizhnevartovsk)
E-mail: nuris_o_r@mail.ru
KHABIBULLINA Aigul Rinatovna (Surgut Oil and Gas Institute Branch of Tyumen State Oil and
Gas University)
E-mail: aigul1805@rambler.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
МЕМУАРЫ, ПАМЯТНЫЕ ДАТЫ, ПЕРСОНАЛИИ
Предмет математики столь серьезен, что
не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.
Б. Паскаль
ГРИНШПОН САМУИЛ ЯКОВЛЕВИЧ
К 65-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ
5 декабря 2012 г. исполняется 65 лет известному томскому математику профессору Самуилу Яковлевичу Гриншпону.
Детство С.Я. Гриншпона прошло в г. Коростень Житомирской области Украины. Отец Самуила Яковлевича – Гриншпон Яков Соломонович родился в бедной
крестьянской семье, окончил Запорожский пединститут. Работал учителем математики. Написал ряд методических статей, опубликованных в журнале «Математика в школе». Был удостоен звания «Заслуженный учитель УССР». Во время
войны находился на фронте в качестве сапера. Был тяжело ранен на Курской дуге.
Мама – Гриншпон Александра Захаровна работала библиотекарем. Родители привили своему сыну любовь к учебе. Помимо математики С.Я. Гриншпон увлекался
физикой, химией и литературой, был призером и победителем областных и республиканских олимпиад по математике и химии. Избирался в комитет ВЛКСМ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
132
ГРИНШПОН САМУИЛ ЯКОВЛЕВИЧ
школы, был одним из инициаторов школьного КВН, редактировал стенгазету.
В 1965 г. окончил среднюю школу № 37 г. Коростеня с золотой медалью.
В 1965 г. С.Я. Гриншпон поступил на механико-математический факультет
Томского государственного университета, который и окончил с отличием в
1970 г. Во время учебы активно участвовал в работе алгебраического кружка и
выступал с докладами на студенческих научных конференциях. Был награжден
грамотами Кировского райкома и Томского обкома ВЛКСМ. Избирался членом
бюро ВЛКСМ факультета, председателем учебной комиссии. Получал стипендию
им. В.И.Ленина.
В 1985 г. в совете при Институте математики совместно с ВЦ АН МССР
С.Я. Гриншпон защитил кандидатскую диссертацию «Вполне характеристические
подгруппы абелевых групп и f.i.-корректность». Официальные оппоненты: д.ф.-м.
наук, профессор Яковлев А.В. (г. Ленинград); к.ф.-м. наук, доцент Рудык Б.М.
(г. Москва); ведущая организация: Киевский государственный университет им.
Т.Г. Шевченко.
В 2000 г. в диссертационном совете при Красноярском университете прошла
защита докторской диссертации С.Я. Гриншпона «Вполне характеристические
подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность». Официальные оппоненты:
д.ф.-м. наук, профессор Бокуть Л.А. (г. Новосибирск); д.ф.-м. наук, профессор
Нужин Я.Н. (г. Красноярск); д.ф.-м. наук, профессор Яковлев А.В. (г. СанктПетербург); ведущая организация: Московский государственный университет им.
М.В. Ломоносова.
Самуил Яковлевич получил целый ряд замечательных научных результатов,
которые изложены в более чем 100 научных публикациях. Он разработал новое
направление исследования вполне характеристических подгрупп абелевых групп,
тесно связанное с понятием «вполне транзитивность», предложил новые эффективные подходы к изучению вполне характеристических подгрупп. Открыл новые
классы вполне транзитивных групп, для которых получил структурное описание
вполне характеристических подгрупп и их решеток, а также указал группы из различных классов, в которых решетка вполне характеристических подгрупп является цепью, дистрибутивна или обобщено дистрибутивна. Установил критерии
вполне транзитивности K-прямых сумм (в частности, прямых сумм и прямых
произведений) групп из различных классов.
В цикле работ С.Я. Гриншпон исследовал f.i.-корректные группы, т.е. группы,
для которых верен аналог известной теоретико-множественной теоремы Кантора–
Шредера–Бернштейна (абелева группа A называется f.i.-корректной, если для любой группы B из того, что каждая из групп A, B изоморфна вполне характеристической подгруппе другой группы, вытекает изоморфизм групп A и B). Получено
полное описание f.i.-корректных групп в различных классах периодических
групп, групп без кручения и смешанных групп.
С.Я. Гриншпон исследовал примарные абелевы группы с элементами бесконечной высоты и выделил широкий класс таких групп, дающих отрицательное
решение проблемы 25 американского математика И. Капланского из книги
«Problems in Abelian groups», Proceedings of the Symposium of Abelian groups, New
Mexico, 1963.
С.Я. Гриншпоном найдены необходимые и достаточные условия для примарных абелевых групп A и B, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов этих
групп влечет изоморфизм самих групп A и B. Это дает полное решение проблемы 41 Л. Фукса из его монографии «Abelian groups», Budapest, 1966.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
к 65-летию со дня рождения
133
Самуил Яковлевич исследовал вопрос, когда группа гомоморфизмов двух абелевых групп равна нулю. Им получен полный ответ в случае, когда хотя бы одна
из этих групп является периодической, а также, в случае, когда вторая группа является однородной сепарабельной группой без кручения. Для таких групп это решение проблемы 7 из вышеназванной книги «Problems in Abelian groups».
В руководстве аспирантами наиболее полно раскрылось дарование Самуила
Яковлевича как замечательного педагога и наставника молодежи. Вместе со
своими учениками С.Я. Гриншпон исследовал абелевы группы, малые относительно различных классов групп; гомоморфно устойчивые абелевы группы; абелевы группы, содержащие собственные вполне характеристические подгруппы,
изоморфные самой группе; абелевы группы, определяющиеся своими подгруппами и собственными подгруппами; k-вполне транзитивные группы. В данных исследованиях во многих случаях получены полные исчерпывающие ответы. Более
полно работы аспирантов Самуила Яковлевича отражены в [1]. В публикациях
[2−4] содержится различная информация о юбиляре и его научной работе.
С.Я. Гриншпон является членом Американского математического общества,
членом Международной научной группы по алгебраическим процессам и структурам в рамках Международной комиссии по математическому образованию, референтом журнала «American Mathematical Reviews», членом диссертационного
совета Д 212.267.21.
Большое внимание С.Я. Гриншпон уделяет исследованиям в области методики
преподавания математики в школе и вузе. Он является автором ряда методических статей и 22 учебных пособий для школьников и студентов. Шесть учебных
пособий, одним из авторов которых является С.Я. Гриншпон, получили гриф Министерства образования РФ, три из них вышли в издательстве «Просвещение».
Самуил Яковлевич – прекрасный лектор. Он читает лекционные курсы: «Дискретная математика», «Математическая логика и теория алгоритмов», «Абелевы
группы», «Теория решеток», «Симметрия в алгебре». Помимо занятий со студентами на протяжении ряда лет преподавал в вечерней физико-математической
школе. Много лет принимал активное участие в работе студенческих олимпиад.
Занимался с математически одаренными школьниками Томска и Северска.
Активно участвовал в Мегапроекте «Развитие образования в России». В рамках
этого проекта разработал модуль программы профессионального развития «Технология построения курсов по математике». Все его занятия – со студентами и
школьниками отличаются тщательной методической продуманностью и глубиной
содержания, а лекции одновременно и доступны, и увлекательны, и безукоризненны в научном отношении.
Преданность математике выразилась у Самуила Яковлевича, в частности, в
том, что его семья «математическая». Его жена – Ирина Эдуардовна работает доцентом, преподает математику в Томском университете систем управления и радиоэлектроники; там же, доцентом, преподает математику и его младший сын –
Яков; а старший сын – Марк, профессор математического факультета университета г. Атланта (США). Помимо сыновей у Самуила Яковлевича два внука и три
внучки.
Плодотворная научная деятельность, организаторский талант, обаяние и исключительно добросовестное отношение ко всем своим обязанностям всегда привлекали к Самуилу Яковлевичу многочисленных студентов и аспирантов. Под его
руководством были успешно защищены десятки дипломных проектов и 7 кандидатских диссертаций.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
134
ГРИНШПОН САМУИЛ ЯКОВЛЕВИЧ
С.Я. Гриншпон – дважды лауреат премии Томской области в сфере образования и науки (1997 и 2008 гг.), а также лауреат премии Томского университета. Он
награжден нагрудным знаком «Почетный работник высшего и профессионального образования РФ», почетной грамотой Министерства образования и науки РФ и
медалью «За заслуги перед Томским университетом».
Самуила Яковлевича можно встретить на концертах классической музыки.
Дома у него библиотека с видеозаписями оперных и балетных спектаклей, фильмов известных режиссеров мирового кинематографа.
Свое шестидесятипятилетие Самуил Яковлевич встречает в расцвете творческих сил, в атмосфере уважения и признания со стороны коллег и учеников. Вместе с многочисленными учениками, друзьями и коллегами мы желаем Самуилу
Яковлевичу дальнейших творческих успехов, крепкого здоровья и благополучия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гриншпон С.Я., Крылов П.А. Заметки об истории кафедры алгебры Томского государственного университета // Вестник Томского государственного университета. Математика
и механика. 2011. № 3(15). С. 127–138.
2. Профессора Томского университета. Биографический словарь. – Томск: Изд-во Том. унта.
3. Круликовский Н.Н. Из истории развития математики в Томске. Томск: Изд-во Том. унта. 2006. 173 с.
4. Fomin A.A. Abelian groups in Russia // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 2002. V. 32.
Nо. 4. P. 1161–1180.
П.А. Крылов, А.Р. Чехлов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
АГАФОНЦЕВА Маргарита Владимировна – аспирантка механико-математического факультета Томского государственного университета. Е-mail: m.agafontseva@gmail.com
АНТОННИКОВА Александра Александровна – аспирантка, младший научный сотрудник Института проблем химико-энергетических технологий Сибирского отделения РАН
(ИПХЭТ СО РАН). E-mail: Antonnikova.A@mail.ru
БАРТ Андрей Андреевич – программист лаборатории высокопроизводительных вычислений Томского государственного университета. Е-mail: baza@math.tsu.ru
БУРКИН Виктор Владимирович – кандидат физико-математических наук, заведующий
сектором Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. E-mail: ichan@niipmm.tsu.ru
БУХТЯК Михаил Степанович – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент
кафедры геометрии Томского государственного университета. E-mail: bukhtyakm@mail.ru
ВАСЕНИН Игорь Михайлович – профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой прикладной аэромеханики Томского государственного университета.
Е-mail: akrainov@ftf.tsu.ru
ГУБАНОВ Сергей Михайлович – аспирант кафедры математической физики Томского
государственного университета. Е-mail: akrainov@ftf.tsu.ru
ДАНИЛКИН Евгений Александрович – кандидат физико-математических наук, программист лаборатории высокопроизводительных вычислений, Томского государственного
университета. Е-mail: ugin@math.tsu.ru
ДЕГИ Дмитрий Владимирович – аспирант механико-математического факультета Томского государственного университета. Е-mail: dimadegi@sibmail.com
ДЖАКУПОВ Кенес Бажкенович – доктор физико-математических наук, профессор,
главный научный сотрудник Института математики, информатики и механики Республики
Казахстан. E-mail: jakupovKB@mail.ru
ЗАХАРКИН Николай Владимирович – инженер-конструктор ЗАО «Технология Маркет», г. Томск. E-mail: znv@vtomske.ru
ИЩЕНКО Александр Николаевич – доктор физико-математических наук, профессор,
заместитель директора Научно-исследовательского института прикладной математики и
механики Томского государственного университета. E-mail: ichan@niipmm.tsu.ru
КАМЧАТНЫЙ Сергей Александрович – студент механико-математического факультета
Томского государственного университета. E-mail: kam-serega2030@sibmail.com.vcf
КРАЙНОВ Алексей Юрьевич – профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математичекой физики Томского государственного университета. Е-mail:
akrainov@ftf.tsu.ru
КРЫЛОВ Петр Андреевич − доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры Томского государственного университета. E-mail: krylov@math.
tsu.ru
КУДРЯШОВА Ольга Борисовна – кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник Института проблем химико-энергетических технологий Сибирского отделения РАН (ИПХЭТ СО РАН). E-mail: olgakudr@inbox.ru
МАТВИЕНКО Олег Викторович – доктор физико-математических наук, профессор,
профессор кафедры физической и вычислительной механики Томского государственного
университета. E-mail: matvolegv@mail.ru
НИКУЛЬЧИКОВ Андрей Викторович – аспирант кафедры геометрии механикоматематического факультета Томского государственного университета. E-mail: tracesofdeath@mail2000.ru
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
136
Сведения об авторах
НУРИСЛАМОВ Олег Робертович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры гуманитарных и естественнонаучных дисциплин филиала Южно-Уральского государственного университета в г. Нижневартовск. E-mail: nuris_o_r@mail.ru
НУТЕРМАН Роман Борисович – кандидат физико-математических наук, программист
лаборатории высокопроизводительных вычислений, Томского государственного университета. Е-mail: nutrik@math.tsu.ru
РОГОЗИНСКИЙ Михаил Иванович – аспирант кафедры алгебры Томского государственного университета. Е-mail: Rogozinsky_mikhail@mail.ru
СКОВОРОДИН Александр Владимирович – начальник отдела САПР ЗАО «Технология
маркет», г. Томск. E-mail: ssurik@mail.ru
СТАНОВСКОЙ Александр Викторович – технический директор ЗАО «Технология Маркет», г. Томск. E-mail: sav.tomsk@sibmail.com
СТАРЧЕНКО Александр Васильевич – доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой вычислительной математики и компьютерного моделирования механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail:
starch@math.tsu.ru
ХАБИБУЛЛИНА Айгуль Ринатовна – ассистент кафедры естественнонаучных дисциплин Сургутского института нефти и газа (филиал Тюменского государственного нефтегазового университета). E-mail: aigul1805@rambler.ru
ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович – доктор физико-математических наук, профессор,
профессор кафедры алгебры Томского государственного университета. E-mail: cheklov@
math.tsu.ru
ШАГАПОВ Владислав Шайхулагзамович – доктор физико-математических наук, профессор, академик Академии наук Республики Башкортостан, главный научный сотрудник
Института Механики уфимского научного центра РАН. E-mail: shagapov@rambler.ru
ШАХТИН Андрей Анатольевич – лаборант кафедры прикладной аэромеханики Томского
государственного университета. Е-mail: shahtin@sibmail.com
ШЕРИНА Екатерина Сергеевна – аспирантка кафедры вычислительной математики и
компьютерного моделирования механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: eka.sherina@gmail.com
ЩЕРБАКОВ Николай Романович – доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой геометрии Томского государственного университета. E-mail: nrs@math.
tsu.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа