close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Гиперболическое уравнение теплопроводности и его частные применения в металлургии

код для вставкиСкачать
ЗАТВЕРДЕВАНИЕ СПЛАВОВ
УДК 6 2 1 .7 4 5 .5
В. 3. Тыднюк, О. И. Ши не кий; В. П. Кравченко
Физико-технологический институт металлов и сплавов НАН Украины, Киев
КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ И ЗАТВЕРДЕВАНИЕ ОТЛИВОК
В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Показано, что при учёте как решёточной теплопередачи, так и теплопереносз с участием
фономнога и электромагнитного теплового излучения, температурное поле в твёрдых и
жидких телах будет гиперболическим. Решения гиперболического уравнения теплопрово­
дности более точно описывают процессы теплопередачи, кристаллизации и охлаждения в
отливках Получено аналитическое решение одномерной и плоской общих краевых задач
гиперболического уравнения теплопроводности в рамках теории Максвелла-Каттанео-Лыкова при формулировке обобщённого закона Фурье с помощью системы из двух уравнений,
С точки зрения концепции темпера турных волн определяются некоторые механизмы влияния
вибрации на процесс кристаллизации металлов и сплавов.
К лю чевы е сл о в а : обобщённый закон Фурье, температурные волны, фононная компонента
теплопередачи, затухающие стоячие волны, параметрический резонанс, влияние вибрации
на кристаллизацию металлов и сплавов.
Показано, що при урахуванн! теплопередач! як за допомогою механ/чного теплового руху,
так I теплопереносу за учасл фононного та електромагнпного теплового випромшювання,
температурив поле у твердих га рщких плах визначаеться ппербол/чним р/внянням теплопровщност). Р/шення такого р!вняння бшьш достеменно описують процеси теплопередачI,
кристал/зацИ' та охоподження у виливках. Отримано аналличн! р о з в ’язки ппербол)чного
р'вняння теплопровщност) у межах теорп Максвелла-Каттанео-Ликова при формулюванш
узагальненого закону Фур ’е за допомогою системи двох р1внянь. 3 точки зору концепцч
температурниххвиль визначаютьсядеяк! мехзн!зми впливу в!брац:й на процеси кристал!зацИ
меташв та сплавав.
К л ю ч ов! с л о в а : узагальнений закон Ф ур ’е, температурив уби л : фононна ком понен­
та теплопередачзат ухаюч / стояч/ хвил!, параметричний резонанс, вплив в/брацн на
кристатзацю метать / сплав-,в.
И>8вКолп Ига! {ак'тдШоассоип!Ьо(П 1Ье (аШсеЬеа1 (гапзгег апс!Леа( иапв!ег 1то№пдар/талоп
ап(1 е/есПотадпеЬс Нчегта! гзсНаНоп, гетре га Юге Иек1 т зоЫ з апс! Ицшйз в пурегооНс. 5о1и1юп
ог М>е пурогЬоПс Ьеа!едиаИоп тоге асси^ е1у (ЗезсПЬез №ергосеззез о^ЬеаИгапз^ег, сгузШНтОоп апс! зоНеНЯсаНоп о(сазНпдз. Ию апа!уИса/ зо!иНоп ог опе-<Мтепз1ола1 апб Яа1 депегаI
Ьоипс1агу \/а!ие ргоЫетз оНчурегосИс пеаг еаизйоп т 1Ье гпеог/ о 1МахтеИ-Са (тапео - су ко V /л
1Ье {сп!ш!о*юп о { Иге депегаПхео Роипег /а» №гоидЛ а зуз!ет о! йдсо есиаНопз 1з оИа!пед. Ргот
т е ролй о1 у'1ем о(
с о п с е р ! о( 1етрега1иге ■■лауев зоте твспэтзтз о! тпиепсе о( у>ЪгзИоп
оп №е сгуз[аШ2аИоп о г т еШ з ап а зНоузшеге и/еге ШепЬШвб.
153Ы 0235-5884. Процессы
лит ья.
2015, №4 ( 1 1 2 )
9
Затвердевание сплавов
Кеуию г&з: депегаНжс1Роипег /аи/, №егта! ыауе рНопоп сот ропеп! оТ/7еаг (гада/ег, с]атрес!
-тпёт д ш г е г , рагатеЪПс гезопапсе, у/ЬгаНоп епесТоп №е сгу$1аШгаЬоп о? теТа18 апс! аНоуз.
Постановка задачи
ногими авторами показано, в том числе и в экспериментальных исследовани­
ях, что при сохранении одинакового химического состава сплавов их свойства
могут существенно меняться в зависимости от кристаллической структуры литья
[1]. При этом недостаточно используются возможности повышения механических
и специальных свойств металлических материалов за счёт управления структурой
и параметрами кристаллической решётки, размерами и формой кристаллов, по­
ликристаллов, дисперсностью и расположением упрочняющих фаз, армирующих
элементов, а также другими процессами формирования кристаллической структу­
ры в отливках.
Феноменологический (качественный) прогноз свойств, инженерные расчёты, а
также задачи математического моделирования и мониторинга процесса кристал­
лизации в отливках существенно зависят от некоторых фундаментальных теорети­
ческих предпосылок в теориях теплопроводности и тепломассопереноса. Прежде
всего это относится к закону Фурье и уравнению теплопроводности на его основе.
Область применимости классического уравнения теплопроводности ограничена,
в частности, тем, что оно не позволяет учесть конечную скорость распространения
тепловых возмущений и инерционность процессов теплопереноса. Очевидно также,
что аргументированная гиперболическая модификация классического уравнения
теплопроводности даёт другие решения соответствующих краевых задач, что от­
ражается во многих областях практического применения теории процессов тепло­
массопереноса и соответствующих инженерных расчётов.
Гиперболическое уравнение теплопроводности непосредственно следует из
обобщённого закона Фурье [2], [3]:
М
д ^ -к ^ п х 6 ы -х г— ,
^
где ц - плотность теплового потока, к - коэффициент теплопроводности, и - тем ­
пература, а интерпретация коэффициента тг обычно связывается со временем
релаксации тепловых напряжений, является основополагающим в исследованиях
различных высокоинтенсивных тепловых процессов [2-7].
Для большинства сред и температурных режимов вторым членом в правой
части (1) обычно пренебрегают из-за малых значений времени релаксации т„ то
есть классическое уравнение теплопроводности является пока определяющим
для большинства процессов с участием тепломассопереноса. Но порядок отличия
теоретической оценки постоянной релаксации теплового потока, например, в метал­
лах - составляет от экспериментальных значений до 104 [5]. Обобщение (1) закона
Фурье не является также единственным [6 |. Более того, физическая интерпретация,
экспериментальное и формульное определение коэффициента хг в {1) существенно
влияют на решения гиперболического уравнения теплопроводности.
В многочисленном ряде работ, затрагивающих вопросе конечной скорости рас­
пространения теплоты, для вывода гиперболического уравнения теплопроводности
используют теорию Максвелла-Каттанео-Лыкова [8], [9], [2], и обобщённый закон
Фурье в виде выражения (1). Такие работы относятся и к практическим приложе­
ниям гиперболического уравнения теплопроводности для исследования процессов
кристаллизации металлов и сплавов. Так, например, О. Н. Шабловским была ис­
следована неравновесность процесса теплопереноса [10] и построена тепловая
модель периодической кристаллизации расплава метапла в изложнице на основе
упрощённого (без учёта дисперсии) волнового уравнения теплопроводности.
10
135Ы 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 ( 1 1 2 )
Затвердевание сплавов
Гем не менее для эффективного практического применения гиперболического
уравнения теплопроводности теоретические и экспериментальные исследования
времени релаксации тепловых напряжений а различных средах осложнены как раз­
нообразием различных физико-математических моделей, так и не полным учётом
множественных механизмов тепломассопереноса и их взаимодействия.
О бобщ ённый закон Ф урье и гиперболическое уравнение теплопроводности
Оператор классического параболического однородного уравнения теплопрово­
дности имеет вид;
и г( М , { ') = а 2 -сН и ^г а с! и (М ,Т ,)) >
(2)
где а2 = к/ср - коэффициент температуропроводности, в системе СИ, ма/с; с удельная теплоёмкость, Дж/кг-К; р - плотность, кг/м 3; к - коэффициент теплопрово­
дности, Вт/м К; и(М, с) - температура, К; М - точка пространства. Запятую в нижних
индексах перед символом дифференцирования используем для отличия операции
дифференцирования от индексирования по координатам или другим параметрам.
Кратко рассмотрим построение гиперболического уравнения теплопроводности
и некоторые его решения для твёрдого тела и, при некоторых приближениях, так­
же для жидкости - без ограничения температурных режимов. Энергия теплового
движения атомной единицы в узле кристаллической решётки состоит из средней
энергии хаотического поступательного движения, энергии колебаний атомной еди­
ницы и энергии вращательного движения (спина). Под атомной единицей следует
понимать атомное ядро совместное электронами только внутренних орбит, атом или
ион, несколько атомных единиц, составляющих квазичастицу, часть молекулы, либо
молекулу в случае молекулярного типа кристаллической или аморфной решёток,
которые движутся как одно целое при тепловом движении.
Поскольку при тепловом процессе движение атомных единиц в кристаллах имеет
периодический или квазипериодический характер, то каждому из типов движений
такой единицы соответствует некоторый собственный спектр колебаний. Поэтому
в классических теориях квантовой статистики и физико-математических моделях
влияния температуры на теплоёмкость все типы тепловых движений отдельно не
рассматриваются, а сводятся лишь к колебаниям в кристаллической решётке [11].
Квантовые теории теплоёмкости, в частности, теория Дебая, учитывают, что
тепловое движение атомных единиц будет иметь оптическую и акустическую ветви
[12]. В последнем случае трансляционно-колебательные движения многих атомных
единиц в кристаллической решётке, аморфном теле или жидкости будут согласо­
ванными (коллективными) с образованием, излучением и поглощением квазича­
стиц - фононов. Акустической ветви соответствуют звуковые частоты (гиперзвук и
частично ультразвук) с достаточно малой длиной волны. Если исходить из наличия
как решёточной теплопередачи с помощью упругих и неупругих столкновений, так и
акустической компоненты, то коэффициент температуропроводности а в (2) можно
рассматривать как комплексный, где мнимая часть определяет теплопередачу с
участием фононной компоненты. В таком случае уравнение (2) имеет решение в
виде стоячих температурных волн [13], но некоторые параметры полученного вол­
нового решения остаются неопределёнными, и не учитывается участие теплового
электромагнитного излучения в процессе теплопереноса.
Так как тепловое движение в каждой точке сплошной среды одновременно вызы­
вает процессы фононного и электромагнитного теплового излучения (поглощения),
то реальный теплоперенос состоит из трёх разных компонент: решёточной тепло­
передачи путём механических упругих и неупругих столкновений атомных единиц,
фононной компоненты и фотонной (электромагнитной). Фононное и фотонное
излучение обеспечивает не только механизм релаксации (рассеивания) тепловой
энергии, но и непосредственно участвует в теплопередаче по направлению вектора
/88/У 0235-5884. Процессы литья, 2015. № 4 (112)
11
Затвердевание сплавов
теплового потока. Поэтому, в отличие от {1), обобщённый закон Фурье будем одно­
временно формулировать в двух разных формах как систему уравнений:
<7= —к^гад. и —т— ;
с1
= - к ^ г а Л и - 5“ - ^ - ; $ 2 =
(3 )
.
Здесь слагаем ое 52 ■ (Вы/дё) представляет собой ту часть плотности теплового
потока, где тепловая энергия непосредственно переносится с участием фономного
.Чу,,(т
/ д( ) и ф о Iо н н о !о $ / (си / )
излучения, 52 - коэф фициент пропорциональ­
ности. Физическую интерпретацию коэф ф ициентах в первом уравнении (2) со вре­
менем релаксации тепловых напряжений или другими потенциально возможными
теоретическим и моделями пока не связываем,
Рассмотрим основные ф еном енологические элементы гибридного теплопереноса на примере электромагнитной составляющей релаксации и переноса тепловых
возмущ ений. При тепловом движении атомной единицы или квазичастицы внутри
тела она периодически излучает фотон (тепловое электром агнитное излучение).
Такой фотон после пробега в вакуумной среде между атомам и поглощается другой
атомной единицей и после некоторого времени задерж ки переизлучается. Время
задерж ки на более высоких энергетических уровнях определяет скорость света в
конкретной среде. Такой механизм излучения относится как к диэлектрикам , так и
к проводящим, в частности, металлическим средам , где коэф фициент поглощения
электромагнитных волн несравнимо выше, тем не менее, первичная электром агнит­
ная волна проникает на глубину так называемого скин-слоя, затем переизлучается
вследствие теплового движения, а учёт теплового излучения особенно важен при
высоких тем пературах на границах остывающей отливки.
Д алее найдём соотнош ение между коэф ф ициентами т и $г в выражении (3) для
одном ерного случая, поскольку трёхм ерное (двухмерное) выражение будет анало­
гичным. Так как т = 82{ди/д1)/{дд/бг), но коэффициенты в (3) предполагаю тся посто­
янными (осреднённы ми) для каждого из температурных интервалов с определён­
ным ш агом дискретизации температурной шкалы, то отнош ение соответствующих
производных определим из следующих соображений.
Пусть в точке х одном ерного стержня в момент времени I, вследствие теплового
движения, атомными единицами одновременно излучается цугф ононны х (ф отон­
ных) волн. Такое спонтанное излучение происходит даж е при наличии теплового
равновесия в окрестности точки щ а его интенсивность зависит лишь от температуры
и квантовых особенностей элементарных кристаллических ячеек в сечении стержня.
Это излучение опять поглощ ается кристаллической реш ёткой (жидкостью - для
жидкой фазы} в окрестности точки х, изменяя параметры м еханического теплово­
го движения. В сечении х одном ерного стержня в м омент времени ? другая часть
атомных единиц находится в состоянии поглощения фононов (фотонов).
Поэтому рассматриваем излучение (поглощ ение) акустического (эл ектр о м аг­
нитного) цуга волн на протяжении небольшого промежутка времени ( +
после
которого амплитуда фононной и электромагнитной волны уменьш ается не более,
чем в интервале (<?/3,0)~(е/2,5) раз. В таком случае плотность реш ёточной части т е ­
плового потока и тем пературное поле, определяем ое только м еханизмом упругих
и неупругих столкновений, можно считать квазипостоянными величинами.
12
135Ы 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (1 1 2 )
Затвердевание сплавов
Из сравнения первого и второго уравнений в (3) следуегт(Л^/гг) =5 2{ди/д1). Если
же продифференцировать по времени второе уравнение при условии (ди/дх) - сопяг,
то получим: (ду/Ш) *— х~(д2и/де2); т{дфо() - (д2и/дт2) = зЧди/д!)', (д2и/д 12) =
~ ( - 1 / т )-(ди/ёт). Аналогичное уравнение можно получить относительно плотности
теплового потока ц, если продифференцировать по времени первое уравнение из
выражения (3) на промежутке с + г'.
Представленные выше уравнения определяют потерю тепловой энергии вслед­
ствие излучения фононной (фотонной) волны на одном из этапов гибридной фонон­
ной (фотонной) теплопередачи, когда кинетическая и потенциальная механическая
энергия атомных единиц в кристаллической решётке вследствие обратного процесса
поглощения энергии излучения меняется еще достаточно мало. Решения получен­
ных уравнений относительно и(х, 0 и д(х, г) при ди/дх = сопз1 и формулы затухания
тепловой энергии вследствие излучения будут иметь следующий вид:
и(,г,2)|дм
- « (х ,0 )е
+ и ( х , 0)е
;
дх
ш
7(д-:г):?« С()(к( =(1(х,1))е т/л +д (х , 0)е
4
,
ОХ
где - 1 /т , и -1 /т - коэффициенты затухания соответственно для фононной и фо­
- *
*
~
?
5
3
тонной компонент, и сумма двух частных решении при т = т,п+ у 5“ - лд. + .ч1 также
является решением, так как и в физической интерпретаций квазичастйца не может
одновременно излучать (поглощать) и фонон, и фотон с одинаковой длиной волны.
Таким образом, коэффициент т в (3) приближённо (лишь для начального периода
гибридной теплопередачи) определяет время релаксации, за которое интенсивность
колебаний затухающих фононных и фотонных волн, участвующих в теплопередаче,
уменьшается в е раз.
Если функции начальных условий »(.т.0)и^(.г. 0) кусочно-непрерывны и интегри­
руемы в соответствующих температурных интервалах, то для этих интервалов суще­
ствуют и средние величины для начальной температуры - Щх.О) , и для начальной
плотности теплового потока -?/(**,()) . Средняя плотность теплового потока опре­
деляется прежде всего скоростью теплоотвода. При кристаллизации и остывании
металлических отливок - это скорости теплоотвода как в отливке, так и в литейной
форме. Для отношения средних величин введём дополнительный коэффициент
? _ м(ж,0) уак ка кх _ я2 ($ и / д1) / (да / аГ ) на основании уравнений (3), то из
г/(.г,0)
(4) следует приближённое соотношение между коэффициентами т и
в (3):
2 и(х, 0)
22
т - 5 то = х ^с{(х,0) •
(5)
Если в (3) использовать только первое уравнение для обобщённого закона Фурье
и классическое уравнение баланса тепла в элементарном параллелепипеде, то, по­
сле несложных выкладок [2] выводится одномерное уравнение теплопроводности
гиперболического типа:
д 2и
ди
т— ^ + —
д11
дг
/55 N 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4(112}
2
— »•
дх1
(6)
13
Затвердевание сплавов
Двухмерное (трёхмерное) однородное гиперболическое уравнение для переноса
тепла в пространстве, [2 ]-[3 ], тогда имеет вид:
= к сНу (ЦгаН и ).
ср
( ')
Уравнения (6), (7) используются обычно для высокотемпературных режимов, а
такж е в среде разрежённых газов. При таких ф изических условиях в (6) и (7) часто
пренебрегаю т первой произаодной по времени [2]. Более ш ирокое определение
обобщённого закона Фурье в виде двух уравнений (3) позволяет включить параметры
фононной и фотонной компоненты теплопередачи в уравнение баланса тепловой
энергии и обобщить гиперболическое уравнение теплопроводности на все те м п е ­
ратурные режимы.
Заменив в (6) коэффициент ! по формуле (5), получим одномерное гиперболиче­
ское уравнение теплопроводности при формулировке обобщ ённого закона Фурье
в виде системы двух уравнений:
2 з 2 д 2и
1 ди 6 2и
4 ^ — + ~ г — = — 7а Ы
а 51 д х
(8)
Для плоского (двухмерного) случая гиперболическое уравнение теплопрово­
дности будет иметь вид:
2 5" д 2и
1 да
д 2и
д 2и
Следует отметить, что определение температурного поля в горизонтальных и вер­
тикальных сечениях отливки позволяет более точно корректировать реш ения трёх­
мерного гиперболического уравнения теплопроводности, так какд ает возможность
определять точки разрыва для трёхм ерного поля тем ператур и ли его производных.
В таких сечениях разрыва тем пературного поля возможно появление термоупругих
напряжений, увеличение плотности дислокаций, изм енение типа кристаллизации
и среднего разм ера зерна, увеличение количества газовых микровключений и их
кавитация (в жидкой ф азе).
П ростейш ие краевые задачи дл я гиперболического уравнения теплопроводности
и интерпретация р е ш е н и й
Сущ ествует достаточное количество экспериментальных методов определения
коэффициента решёточной температуропроводности а при установившемся тепло­
вом реж им е, где непосредственно не используется закон Фурье в классической
ф орме или уравнение теплопроводности на его основе (например, в [1 4 ]). Поэтому
для определения и анализа реш ений уравнений (8 -9 ) преж де следует определить
коэф фициент 52. Его формульное выражение можно найти, оценив среднюю э н е р ­
гию элементарной кристаллической ячейки (жидкого кристалла в жидкой ф азе) с
помощью классических методов статистической физики.
Э л ем ентар н ая кристалл ическая ячейка од но в р ем ен н о пред ставл яет собой
некоторую ф изическую «точку» М - {.г, у, г} в среде твердого тела, и значение её
локальной энергии с (Л/. () для фононных осцилляторов и объёмного фотонного
/**‘
14
!55Ы 0235-5884. Процессы литья, 2015, N9 4(112)
Затвердевание сплавов
теплового излучения ь.{М , () позволяет далее определить фононную и фотонную
компоненту коэффициента^ с учётом квантовых особенностей в обобщении закона
Фурье в виде системы уравнений (2).
Но для первого приближения при определении коэффициентов в (8) и (9) основой
могут служить также формулы (4) и соотношения:
Тд52 = Т ;
X — Х уп + Т у .
( Ю)
Здесь т, и т«> как и ранее, определяют время затухания соответственно для аку­
стической и электромагнитной тепловой волны, за которое интенсивность волны
уменьшается ве раз. Суть такого приближения состоит в том, что в (4) определяется
температурное полелишь для одной из многих ступеней процесса теплопередачи,
при этом частично не учитываются параметры кристаллического строения, энтро­
пийные и энергетические факторы, а также квантово-механические особенности.
Тем не менее экспериментальное определение коэффициента решёточной
температуропроводности а и средних коэффициентов затухания для теплового
акустического и электромагнитного излучения позволяют считать коэффициенты
уравнений (8-9) постоянными величинами в температурных диапазонах с опре­
делённым шагом дискретизации. При этом акустический коэффициент затухания
можно определять по затуханию ультразвука достаточно высокой частоты для вы­
деленного температурного диапазона и пересчитывать его для более высоких частот
теплового гиперзвука. В таком случае основные краевые задачи для уравнений
(8-9) будут иметь аналитические решения как для твёрдой, таки для жидкой фаз.
Для математического моделирования и мониторинга процессов кристаллиза­
ции и остывания отливок наиболее весомое практическое значение будет иметь
кусочно-непрерывное сопряжение решений соответствующих краевых задач для
уравнения (9). В этом случае в сечениях отливки следует рассматривать сопряжение
как минимум трёх температурных полей: в литейной форме, в твёрдой и жидкой
фазах отливки. В последнем случае сопряжение будет происходить по движуще­
муся фронту кристаллизации. А скорость теплоотвода в литейной форме будет
зависеть не только от коэффициента теплопроводности материала формы, но и от
коэффициентов отражения и поглощения как для теплового фононного излучения,
так и для теплового электромагнитного излучения.
Вначале рассмотрим одномерный случай. Сформулируем общую первую краевую
задачу для обобщённого (гиперболического) однородного уравнения теплопровод­
ности с постоянными коэффициентами (8):
2 л2 д2и
1 ди 82и ,,
,
_
тй
+
= ----,т .0 < Л '< /, г > 0;
а2 8С1
а2 ОС
и (х ,0) ='о(Д‘).
дх1
дг
= у(л"). 0 < я" < /;
^ ^
и(0, г) = 0, м (/,г)= 0 , ;> 0 .
Линейной заменой переменных относительно функции и(х, () общая краевая за­
дача (11) сводится, как известно, к краевой задаче при нулевых граничных условиях
[15]. Далее, для упрощения физической и математической интерпретации реше­
ний, рассматриваем именно основную вспомогательную задачу с однородными
граничными условиями:
/55А/ 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4(112)
15
Затвердевание сплавов
2 з 2 с 2и
1 ди
д!: 2
а 2 61
о
_ ъ '+ ~
а
~
6 2и .
,
„
= ~~Т> 0 < х < 1 , (■>{);
дх2
/
/■ \ д и (х , 0 )
„
.
м (лг,0) = < р (,г),— - — - = у ( х ) , 0 < л г < / }
(1 2 )
01
«(О , Т.) - 0, и(1. Г ) = 0, Г. > О,
Начальные условия в (12) позволяют также вычислить значение коэффициента
^2 _
<7(ж,0)
более точных реш ений, с использованием формульного выражения
. .
■
-
для я2. Реш ение задачи (1 2 ) можно получить м етодом разделения переменных,
представив функцию и(х, I) в виде произведения двух функций; и (х, г) = X (х ) -Т (г).
После подстановки в (12) и деления на X (х ) •Т (г) имеем численное отношение;
тп
У
Г (р
, 1 Г (р
а-1 Т ( { )
а1 Т ( { )
Х \ х )_
Х (х ) ~ Р ‘
1
*
гд е р - некоторая вещественная постоянная, так как левая часть в (13) - функция от
г , а правая - функция о тх .
Собственные значения и собственны е функции как для плоской двухмерной
мембраны, так и в одномерном случае (1 3 ) для реш ений А" (х, у) и X (х ) известны
[15]. В одномерном случае они имеют вид;
(14)
Ре
где С, произвольная постоянная,
Поэтому для определения функций Г ( 0 следует найти реш ения для уравнений:
*>о,
ТдЛ
(15)
"фГ
К аж д ое из диф ф еренциальны х уравнений (1 5 ) о п р ед ел я ет ур ав н ен и е з а ту ­
хаю щ их колебаний для произвопьных колебательны х с и с тем с коэф ф ициентом
затухания р = - 0 /2т%.ч2) и частотой колебаний со = Щ =
- Э2 , где Т ' - период,
(ру„ = ^ г Т р„, Б - коэф фициент затухания [16]. Характеристическое уравнение для
Ф
каждого из уравнений ( 15) и его корни будут определяться в формулах;
«
+—
Т0 5
1а + ^ г Р п = °>
0
Т п^
° ,_____________________
1
(16)
а2
ци * ’ - Т 1 Т ± 2 ,ф 2
\ 4т
Формально, если собственное число р = (тт/1)'2удовлетворяет неравенству
16
/55 N 0235-5884. Процессы питья. 2015. № 4 ( 1 1 2 )
Затвердевание сплавов
/—
ЯРп
тт
1
/
-----2т . ж
(17)
при всех п, то корни уравнения (16) всегда комплексные:
а’'2
2ф 2±1т1г^ [ I )
44чV
= В ± Сй„ I .
(18)
Р
И общие решения дифференциальных уравнений (15) будут иметь вид:
I
Т п({') = е ',Т°Л
( А п соя (аТ1( + В п 81 п & п1 ).
(19)
Таким образом, волновое решение краевой однородной задачи (12) относительно
одномерного температурного поля отличается от решения соответствующего клас­
сического гиперболического уравнения лишь наличием функции, определяющей
затухание, и будет определяться сходящимся рядом:
и (х Х ) = X ип С*»*) = ^
( А» со м о ,/ •
(2 0 )
5 т « пс) з т — х ,
;г=1
где числа Ап и В 1г можно вычислить с помощью разложения в ряд Фурье функций
начальных условий [15].
После определения коэффициентов Апи В прешение краевой однородной задачи
для гиперболического уравнения теплопроводности можно представить в виде:
X
ас
со5(юи<+ 6„ ) зш-^х;
и(х,е')= ‘>^иГ1(х,{)=
и= ]
и=|
-------- .
+ К : ®А
'
П
(21)
= -а гс 1 § -р .
Аг
Каждая гармоника в (21) представляет собой затухающую стоячую температур­
ную волну. Круговая частота волны шд, волновое число кп>длина волны %п и фазовая
скорость у будут определяться следующими формулами:
2п
21
пп
4т У а 2
Т05
\1
к
У -
1
I, 2кп
1
а
(
при п
22)
■оо.
Соотношения (22) определяют также и дисперсию температурных волн: <о ~/(к),
Эга/с&^сопз*. Рассмотрим теперь решение краевой задачи (12) при произвольной
длине стержня /, когда неравенство (17) выполняется, лишь начиная с некоторого
п > Лг, - — — ■Пусть п = М, - первое такое целое число. При и = Л\ - 1 характе2ц}%5а
эистическое уравнение (16) имеет два действительных корня:
Г55Л/ 0235-5884. Процессы литья. 20151 № 4 ( 1 1 2 )
17
Затвердевание сплавов
®1,2
1
_
„ ■) 2
2то-«
. О
I
(
1
~*Г • > 1 >
т 0л ^ 4тоЛ О
™ У* _ о
/
.
Р~
V / >/
-
'
и функция П ?) будет определяться двумя рядами разного типа (при условии
Р± о У „ < 0 ) :
ПО =X
(О =<?' ^
я=1
[с<1)е“1--г + С(п2)е -^ г1 + е *' ]Г О*со5(<о*г + 6 *) =
п=1 и
-1
(23)
*= Л *
= ергУ1(г )+ е *'У 2( 0 .
где определяющая формула для <в'п отличается от
лишь знаком подкоренного
выражения в формуле для фазовой частоты, (22). Все постоянные, включая
,
как и в решении (21), вычисляются с помощью разложения в ряд Фурье функций
начальных условий. Для удобства описания можно также ввести переменную для
частоты (о;':}, используя в соответствующей формуле (22) абсолютную величину
в подкоренном выражении:
2
1 /]
*
= а)„ при п >
4тУ а 2
(о|,П) =са), при л < Л ^ -1 .
(24)
При этом следует помнить, что температурных волн с частотами <» , п й \\ - 1
решение
Л/.-]
щ ( х ,€) = т ; ( I ) -Х (х ) = е(и У \С^}е ^ г +
г] ■$ т " - х = е^1V,(г )- Х (х )
^
(25)
'
формально не описывает, но на сечениях отражения волн (включая концы стержня),
которые определяются второй частью решения (23),
1*2( х . 1 ) = Т 2(1)
Х ( х ) = е^г ^
соз(<о„Г+б||) 51п-^дг = ^ г 1'2(Г) Х (д г).
(26)
'
п=\
вследствие сложения волн разных частот, могут су шествовать колебания с низкими
частотами. В сущности, температурное поле, определяемое уравнениями колеба­
ний (23), представляет собой сумму параболического (25) и гиперболического (26)
решений.
Используем теперь другое функциональное представление для функции Ъ'Дг).
Так как аналитическое выражение для
удовлетворяет условиям разложения в
ряд Фурье, то её можно разложить в этот ряд на произвольном отрезке времени [0;
2 Л . Гармоники ряда будут определяться частотами
**— , тп = 1,2,3,... Выбеоем
г
К-
г
_
пл
_
пк
(0)
некоторое произвольное число п < Л’, и положим
- г » ~~^о) ~ “ . гДе шп о пре П
деляется в (24). Тогда <о^ = тж /{м ж 1тт) = ( т / п ) т п .
Выберем такж е целое число / <Л^ - 1 и рассмотрим сумму трёх колебаний
< > и “ ш): т = и/ - п, т,} - п, т ъ - п! + п. Можно показать, что сумма двух боковых
часто о грЬ и со,77*1 определяет е этом случае низкочастотную амплитудную модуляцию
колебаний с частотой
18
■■■■■Ц на несущей частоте со„ ’ = о )„ .
/55Л/ 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4(112)
Затвердевание сплавов
Если модулирующая частота Ц ” кратна несущей частоте со(,1, то возникает
явление параметрического резонанса [17], которое приводит к. появлению тем­
пературной волны с частотой ш)" . Существование как высокочастотных, так и низ­
кочастотных температурных волн и низкочастотного параметрического резонанса
может иметь достаточно широкие практические приложения.
Влияние параметрического резонанса температурных волн на кристаллизацию
отливок п ри внеш ней вибра ции
В качестве примера влияния низкочастотных температурных волн на процесс
кристаллизации в металлах и сплавах рассмотрим влияние на этот процесс при­
нудительной вибрации при остывании отливки. Такое влияние обычно объясняется
увеличением числа зародышей кристаллизации, а также появлением при вибрации:
кавитации в жидкой фазе газовых микровключений, конвективных потоков и уси­
ленного теплоотвода [18-20]. Рассмотрим данные [19] одного из многих экспери­
ментов по изучению влияния вибрации на кристаллизацию металлов и сплавов.
Здесь исследования выполнялись, в частности, на серых доэвтектических чугунах.
Отливки - цилиндрической формы, диаметром 30 и 20 мм, высотой 300 мм, при
литье в песчаные и металлические формы. Импульс колебаний передавался в осе­
вом вертикальном направлении с частотами 10, 20, 25, 50 и 100 Гц, и амплитудой
от 0,1 до 1,2 мм.
Большая амплитуда колебаний вибрации может вызывать значительные раз­
рушения фронта кристаллизации и рост диаметра газовых включений, то есть
уменьшает интенсивность кавитации, поэтому влияние величины амплитуды сле­
дует рассматривать отдельно от частоты вибрации. Но экспериментально показано,
что в зависимости от материала отливки и её размеров, можно найти оптимальную
частоту вибрации, при которой наблюдаются максимальные темп кристаллизации
и скорость теплоотвода. В отливках, которые подвергались вибрации, процесс
перехода сплава из жидкого состояния в твёрдое происходил на 12-25 % быстрее,
чем при затвердевании отливок, не подвергнутых вибрации [19].
Рассмотрим этот процесс сточки зрения концепции температурных волн. Давле­
ние и вибрация одинаково передаются по разным направлениям в жидкой фазе, а в
твёрдой фазе вибрации в осевом направлении вызывают вибрации и в поперечном
направлении пропорционально значению коэффициента Пуассона. Обозначим
среднюю частоту теплового гиперзвука, связанного с размерами зародышей в кон­
кретном материале, к а к / , частоту температурных колебаний образца в поперечном
направлении, связанного с размерами поперечного сечения образца, ч е р е з /я, а
частоту внешних вибраций ~ / г,.
Предположим, что найдётся длина волны д л и н н о в о л н о в о г о параметрического
резонанса с частотой температурных волн зародышей кристаллизации/., при этом
длина волны длинноволнового резонанса будет близкая к диаметру мембраны в
поперечном сечении отливки, то есть к её собственной частоте - / . Условия пара­
метрического резонанса предполагают следующее соотношение для частот [17];
(27)
п
Если, в свою очередь, при некоторой частоте внешних вибраций наступает па­
раметрический резонанс также на частотах /_ и / т , то при этом увеличивается не
только амплитуда упругой волны, но и амплитуда соответствующей термоупругой
(температурной) волны частоты /и, что увеличивает скорость теплоотвода в литей­
ную форму. При этом выполняется соотношение:
(28)
Так как одновременно происходит процесс «двойного» параметрического резо­
нанса: и на собственной частоте температурной волны кр у т о й мембраны в сечении
153Ы 0235-5884, Процессы литья. 2015. № 4(112)
19
Затвердевание сплавов
отливки, и на частоте температурных волн зародышей кристаллизации в жидкой
фазе, то увеличивается и амплитуда температурных волн частоты /,. Это, в свою
очередь, приводит к увеличению температуры переохлаждения на минимумах,
соответствующей стоячей температурной волны, и росту количества зародышей
кристаллизации . Перемножая соответствующие части равенств (27) и (28), получим:
= (п / к)/г •/,, Если при незначительном изменении размеров сечения отливки оп­
тимальное отношение целых чисел п/к, определяющих двойной параметрический
резонанс, остается прежним, либо п\лк меняются пропорционально, то наиболее
эффективную частоту вибраций при изменении диаметра отливки 1)т можно тогда
найти по формуле:
ж
. /г,
{ - х
д „■^"1 >
^т-2
ч
А-
(29)
В рассматриваемой серии эксперим ентов [19] при заливке чугуном образца
диаметром 30 мм максимальный темп кристаллизации и теплоотвода был полу­
чен при частоте/ . - 25 Гц, а при заливке образца диаметром 20 мм максимальные
значения скорости теплоотвода и скорости кристаллизации соответствовали
частоте / - 50 Гц .Теоретический расчёт частоты вибрации парам етрического
резонанса по формуле (29) для второго образца даёт:
4
= ф щ / п>,„, )2 ■4
- (3 0 м м / 20м м )2 ■2 5 Гц = 56,25 Гц .
При этом следует учесть, что заливка первого образца производилась в песчаную
форму, второго - в металлическую, а испытания на влияние вибрации производи­
лись только при частотах 10, 20, 25, 50 и 100 Гц.
Список литературы
1. Эльдарханов А. С. Процессы формирования отливок и их моделирование/А. С. Эльдарханов, В, А, Ефимов, А. С. Нурадинов. - М.: Машиностроение, 2001. - 208 с,
2. Л ы к о в А, В, Теория теплопроводности/А. В, Л ы ко в. ! М.: Высшая школа, 1957. - 5 9 3 с.
3. Самарский А, А , Вычислительная теплопередача /А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. - М.:
Эдиториал УРСО, 2003. - 784 с.
4. Ш амровский А. Д, Термоупругие волны и скорость их распространения в динамической
задаче взаимосвязанной терм оупругости/А , Д. Ш амровский, Г. В. Меркотан / / Восточно­
Европейский журнал передовых технологий. - 2011. - Т. 5 - № 7 (53) - С. 36-41.
5. Бабенков М. Б. Распространение термоупругих волн в среде с учётом релаксации тепло­
вого потока / М. Б. Бабенков. - Санкт-Петербург: изд-во 2013. - 22 с.
6. Семёнов Д. А, Распространение связанных термоупругих волн в цилиндрических волно­
водах / Д. А, Семенов. - Самара: изд-во 2009. - 211 с.
7. СупельнякМ, И, Исследование температурных волн в цилиндре с учетом инерции теплового
п о то ка /М . И. Супельняк, А. К. Карышев. - «Вестник МГТУ им. Баумана», сер. «Естествен­
ные науки». - 2013. - № 2. - С. 106-119.
8. Елъяшевич М. А, Вклад Максвелла в развитие молекулярной ф изики и статистических
методов / М. А. Елъяшевич, Т. С. Протько //У сп ехи ф изических наук, - 1981. - Т. 135,
Вып. 3. - С. 381-423.
9. Саг1о СаПапео 5и!1а сопс1и2юпе йе са1оге. - А№ с1е1 Бегтпе, Ма*. Из. У ту. Мойепа, 1948.
10. Ш абловский О. Н. Тепловая градиентная катастрофа и рост двухмерного свободного
дендрита в переохлажденном расплаве / О. Н. Ш абловский, - М: Прикладная физика,
2007. - № 3. - С. 29-36.
20
/55Л/ 0235-5884, Процессы литья. 2015, № 4(112)
Затвердевание сплавов
11 -Л а нда уЛ . Д . Статистическая ф и з и к а /Л . Д. Ландау, Е.М. Лиф ш иц. - М.: Наука 1976
Ч. 1 .- 5 8 3 с.
'
12. Савельев И. В. Курс общей ф и з и ки /И . В. Савельев. - М.; Наука, 1971. - Т. 3 - 527 с.
13. I ы дню к В. 3. Квантовы е о с о б е н н о сти тепл оо бм е на и кр и ста л л и за ц и и в отливках.
Сообщение 1 / В. 3. Тыднкж, О. И. Ш инский, В. П. Кравченко, В. С. Дорош енко, И.О. Шинский / / Процессы литья. - 2001. - № 2. - С. 60-70.
14. Фокин В. М. Неразрушающий контроль теплофизических характеристик строительных
материалов / В. М. Фокин, В. Н. Чернышев. - М .: М аш иностроение-1, 2004. - 212 с.
15. Ти хо н о ва , Н, Уравнения математической физики /А . Н. Тихонов, А. А. Самарский, - М •
Наука, 1977. - 7 3 5 с.
16. Рахштадт Ю. А. Физика. Колебания и волны / Рахштадт Ю. А. - М : Дом МИСиС - 2009
- 180 с.
'
'
'~
17. Валишев М. Г. Ф изика. Часть4. Колебаниям в о л н ы /М Г. Валишев, А. А. Повзнер. - Ека­
теринбург, ГОУ ВПО «Уральский гос. технический университет». - 2006. - 90 с.
1 8.0 механизме воздействия вибрации на кристаллизацию и структурообразование сплавов
/ В. Л. Найдек, А. С. Зльдарханов, А. С. Нурадинов, Е. Д. Т аран о в//Л и те й но е производ­
ство. - 2003. - № 9. - С. 13-15.
19. Куценко А. И. Исследования тепловых процессов охлаждения отливки в форме при раз
личных режимах ви б р а ц и и /А . И. Куценко, И. Ф, Селянин, Р. М. Хамитов, С. В. Морин. Ползуновский альманах. - 2004. - № 4. - С. 37-39.
20. ЧерновА. А. Процессы кристаллизации и кавитации расплавов при сверхбыстрой закалке
из ж идкого состояния / А. А. Чернов, А. А. Пильник - Сб. науч. статей. Современная на­
ука. - 2011 . - № 217), - С. 10-16.
'
Поступила 06.04.2015
Нредлагяаи р м м в о ж и » в нашем журноаа пенсиям» Нашей продукции или ре­
кламный матерная о Вяшам предприятия. Рядвкцна м н е мамах подготовить
заказной нонавр журнала.
й п и ш м п ■иваниив номера - КВ60 ври.
Расценки ив раямещаиин р в н е и н
(ц и ы приведены и ершиак!
Внкламиая
■яанвди
Р азы ащ м нв
Б п и и к ш , Ерм.
■яиианыкш Вяогеи ■ т е ш и м о ! части журнала
Цветным
1|Е ииаиира
111 в ц й й ш
1р щ р я щ
Черив-Ввиыи
Щ ящжнифн
та
Ш
113 «ЩДОВЩ*
530
шэ
?РВ*§ВИМВВ|.
го е
Цас-пт1«1 вмш нма ни чбиажвв
Третья ВЩ ИИШ
облеван
Четмрщ я е та икаа
обязжки
1 страниц
1Р в*1р«9мва
Ш взаимны
2800
3400
9
Щ
а ш
шо
еярмица
е*реиицы
1150
1006
1|8 щ а м р
При новхарном риямащвнии рвкламы - шщцка 18 %
Нашвдрве; Украине, ЙШввИ, г. Н ина- Ш И , Иврышавжвш, 14/1
Я и м н я ш и о а м н н ! ини м ц к ниаплвв н вшпваи ЙЯЯ 1щаины
я ж я н ф а н ш (1 *4 ) Ш Ш -Ы -10, Я 11-31-10
Шак821@11! 424-35-16, Е-твВ] й ® в 1 в и 8 *
з5Л/ 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4(112)
'
им
21
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа