close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

10.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №1 2008

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№1
2008
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Бойков И. В., Кучумов Е. В. Метод локализации минимума функций многих
переменных сведением их к функциям одной переменной ................................. 2
Бойков И. В., Захарова Ю. Ф. Об одном приближенном методе
идентификации систем с распределенными параметрами................................... 8
Бойков И. В., Стасюк Б. М., Тарасов Д. В. Приближенные методы
вычисления гиперсингулярных интегралов
с фиксированными особенностями ...................................................................... 21
Долгарев А. И. Специальные вопросы теории кривых
4-мерного пространства-времени Галилея .......................................................... 41
ФИЗИКА
Булярский С. В., Басаев А. С., Сауров А. Н. Кинетические модели
адсорбции газов углеродными нанотрубками..................................................... 55
Булярский С. В., Басаев А. С., Сауров А. Н. Термодинамическая модель
адсорбции атомов и молекул углеродными нанотрубками................................ 62
Кревчик В. Д., Разумов А. В., Грозная Е. В. Влияние спиновых состояний
локализированного электрона на эффект увлечения одномерных электронов
при фотоионизации D(–)-центров в квантовой проволоке .................................. 71
Кревчик В. Д., Яшин С. В., Кудряшов Е. И. Дихроизм двухфотонного
поглощения при фотоионизации D(–)-центров в структурах
с несферическими квантовыми точками.............................................................. 93
Барыкина Е. И., Браже Р. А. Математическая модель отрицательной
рефракции электромагнитных волн в электропроводящей среде,
допускающей инверсию электронной подсистемы .......................................... 102
Макеева Г. С., Голованов О. А. Анализ распространения и дифракции
электромагнитных волн в микроволновых магнитных наноструктурах ........ 110
Аннотации................................................................................................................. 122
Сведения об авторах................................................................................................ 126
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
И. В. Бойков, Е. В. Кучумов
МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ МИНИМУМА ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ СВЕДЕНИЕМ
ИХ К ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Предложено несколько численных алгоритмов минимизации функций
нескольких переменных. При построении этих алгоритмов используются различные виды разверток. Даны численные примеры.
Введение
Проблеме нахождения экстремальных значений функций одной и многих переменных посвящено немало работ, в которых изложены различные
теоретические и прикладные аспекты этой проблемы. Обзор методов и достаточно подробная библиография содержатся в книгах [1, 2].
Остановимся на вопросе приближенного нахождения экстремальных
значений функций в предположении, что a-priori известно функциональное
множество, к которому принадлежит исследуемая функция.
Для функций одной переменной, принадлежащих классу Гельдера
H α ( A) с коэффициентом A и показателем α , построены алгоритмы нахождения экстремальных точек, как в случае, когда константа A известна, так и в
случае, когда она неизвестна [3].
В данной работе предложен метод нахождения экстремальных значений функций многих переменных, основанный на аппроксимации последних
с помощью гладких функций одной переменной. К полученным в результате
такой аппроксимации функциям одной переменной применяются известные
алгоритмы поиска экстремальных значений. Даны оценки погрешности предложенного метода.
Пусть функция f ( x1 , x2 ) (определена в квадрате D = [0, 2π;0, 2π] ) периодическая с периодом 2π по обеим переменным. Пусть p1 , p2 – простые
числа ( p1 ≠ p2 ). Рассмотрим функцию
ϕ(t ) = f ( p1t , p2t ) , 0 ≤ t ≤ 2π .
Покажем, что минимум функции f ( p1t , p2t ) при 0 ≤ t ≤ 2π с высокой
степенью точности аппроксимирует минимум функции f ( x1 , x2 ) в D .
Пусть функция f ( x1 , x2 ) удовлетворяет условию Липшица по обеим
переменным с коэффициентом, равным единице:
f ( x1′ , x2′ ) − f ( x1′′, x2′′ ) ≤ x1′ − x1′′ + x2′ − x2′′ .
(1)
Не ограничивая общности, можно считать, что функция f ( x1 , x2 ) в области D имеет единственный минимум в точке ( x1∗ , x2∗ ) . Пусть функция
ϕ(t ) = f ( p1t , p2t ) достигает минимум в точке t ∗ .
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Обозначим через t величину, являющуюся остатком от деления t на
2π . Множество
{
p1t , p2t
}
при 0 ≤ t ≤ 2π представляет собой совокуп-
ность параллельных прямых, которые при p2 > p1 пересекают отрезок прямой 0 ≤ x ≤ 2π , y = 2π в точках 2π( kp1 − jp2 ) p2 , где k = 1, p2 , j = 0, p1 − 1 .
Нетрудно видеть, что точки 2π( kp1 − jp2 ) p2 расположены друг от друга на
расстоянии, не превышающем 2π p1 − p2 p2 .
Обозначим через ρ величину π p1 − p2 p2 , а через Ω – множество
точек t , для которых выполняется неравенство t − t ∗ < ρ . Очевидно, что минимальное значение f ( x1∗ , x2∗ ) функции меньше или равно ϕ(t ∗ ) . Из условия
(1) следует справедливость оценки ϕ(t ∗ ) − f ( x1∗ , x2∗ ) ≤ ρ .
В самом деле, предположим, что неравенство ϕ(t ∗ ) − f ( x1∗ , x2∗ ) ≤ ρ не
выполняется. Зафиксируем значение t такое, что точка ( p1t , p2 t ) удовле-
творяет следующим условиям: p2 t = x2∗ , а значение p1t реализует минимум
p1t − x1∗ . В этом случае из условия (1) следует, что ϕ( t ) − f ( x1∗ , x2∗ ) ≤ ρ . От-
сюда следует, что должно выполняться неравенство ϕ(t ∗ ) − f ( x1∗ , x2∗ ) ≤ ρ .
Укажем способ локализации наименьшего значения функции f ( x1 , x2 ) .
Пусть функция f ( p1t , p2t ) принимает наименьшее значение в точке t ∗ и это
значение равно v 0 . Отсюда и из условия (1.1) следует, что минимальное значение функции f ( x1 , x2 ) не может быть меньшим, чем v ∗ = v 0 − π p2 − p1 p2 .
{ p1tα , p2tα } ,
на которых v 0 ≤ f ( p1t , p2t ) ≤ v 0 +
+π p2 + p1 p2 . В π p2 − p1 p2 окрестности точек { p1tα , p2tα } находится
Выделим множество точек
минимум
( x1∗ , x2∗ )
функции
f ( x1 , x2 ) . Обозначим эту окрестность точек
{ p1tα , p2tα }
через Ω1 . Возьмем другую пару простых чисел q1 и q2 ( q1 > p1 ,
q2 > p2 ). Повторяя проведенные выше выкладки, получаем Ω2 окрестность
( x1∗ , x2∗ ) . Очевидно, точка ( x1∗ , x2∗ ) лежит в пересечении окрестностей Ω1 и Ω2 ,
что позволяет с большой степенью точности локализовать ее расположение.
Продолжая этот процесс, можно локализовать месторасположение точки
( x1∗ , x2∗ ) с высокой степенью точности.
Замечание. Аналогичный алгоритм легко реализовать и для функций,
удовлетворяющих условию Гельдера H α ( A) . Отметим, что аналогичные
оценки могут быть получены и для других классов Гельдера:
1) f ( x1 , x2 ,… , xn ) − f ( x1′ , x2′ ,… , xn′ ) ≤
α
α
⎛
≤ A ⎜ x1 − x1′ + x2 − x2′ +
⎝
α⎞
+ xn − xn′ ⎟ ;
⎠
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
⎛ n
2) f ( x1 , x2 ,… , xn ) − f ( x1′ , x2′ ,… , xn′ ) ≤ A ⎜
xi − xi′
⎜
⎝ i =1
∑
α
⎞
⎟ ;
⎟
⎠
α
2
⎛ n
2⎞
3) f ( x1 , x2 ,… , xn ) − f ( x1′ , x2′ ,… , xn′ ) ≤ A ⎜
xi − xi′ ⎟ .
⎜
⎟
⎝ i =1
⎠
∑
1 Непериодические функции многих переменных
Рассмотрим несколько алгоритмов нахождения минимума непериодических функций многих переменных. Изложим эти алгоритмы на примере
функций двух переменных, определенных в области Ω = [ −1 , 1]2 . Первый
способ является модификацией метода прямых, широко используемого в вычислительной математике. Этот метод реализован несколькими способами.
Введем множество параллельных прямых, определенных уравнениями
x1 = −1 +
2k
, k = 0, 1, … , n, −1 ≤ x2 ≤ 1 .
n
Через f k ( x2 ) обозначим функции −1 ≤ x2 ≤ 1 , совпадающие с функ2k
циями f ( x1 , x2 ) при x1 = −1 + , k = 0, 1, … , n . Аналогично вводятся
n
функции f k ( x1 ), k = 0, … , n .
К каждой функции f k ( x2 ) можно применить один из классических алгоритмов оптимизации (минимизации), а затем выбрать элемент с меньшим
значением минимума.
К удобствам данного способа можно отнести параллельность алгоритма
нахождения минимумов на множестве функций f k ( x2 ) .
Вышеописанный алгоритм фактически использовал метод сведения к
одномерным функциям по одной из переменных.
Опишем четыре алгоритма, в которых используются все переменные.
В первом алгоритме рассмотрим область Ω′ = [0,1]2 и представим переменные в виде периодических функций:
xi (t ) = pi t − [ pi t ] , t ∈ [0,1] , i = 1, 2 , p1 ≠ p2 , p1 и p2 ∈ N ,
(2)
здесь [ y ] означает целую часть аргумента y .
Таким образом, мы сводим функцию f ( x1 , x2 ) к одномерной функции
f (t ) : f ( x1 (t ), x2 (t )) = f (t ) . Недостатком данного метода является появление
разрывов первого рода у функции f (t ) . По этой причине к функции f (t )
можно применять только методы нулевого порядка. При этом справедливы
оценки, полученные выше для периодических функций.
Следующий алгоритм заключается в периодизации функции по обеим
переменным. Эту периодизацию можно представить как зеркальное отображение функции f ( x1 , x2 ) , где ( x1 , x2 ) ∈ Ω = [−1,1]2 в точках, лежащих на контуре ∂Ω области Ω . Если таковой является точка (a, 1) , −1 < a < 1 , то ото4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
бражение осуществляется относительно прямой x1 = a . Фактически это означает покрытие квадрата Ω следующей ломаной:
⎡ p (t + 1) ⎤
xi (t ) = (−1) n(t ) ( p (t + 1) − (2 ⋅ n(t ) + 1) ) , n(t ) = ⎢
⎥ , x2 = t ,
⎣ 2 ⎦
(3)
где t ∈ [−1,1], p ∈ N , k ≠ i .
Очевидно, что замена переменных (3) переводит функцию f ( x1 , x2 ) из
класса C l1 l2 , где C l1 l2 = C l1 ⊗ C l2 , в класс C 0 . Как и в предыдущем случае,
из-за разрывов производных f (t ) можно использовать только метод оптимизации нулевого порядка. Однако благодаря тому, что функция является непрерывной, можно использовать конечно-разностные методы оптимизации.
Например, использовать метод Ньютона–Канторовича в конечно-разностной
форме [4].
Замечание. Наряду с выражением (3) возможно использование для переменной xi подстановки:
x1 (t ) = sin(2πpt ), x2 = t .
Для этой подстановки уже возможно применение методов оптимизации
первого и второго порядков.
Четвертый алгоритм использует подстановку в форме спирали Архимеда. Замена переменных в этом случае
x1 (t ) = t cos(ωt ), x2 = t sin(ωt ), ω = 2πp ,
(4)
где t ∈ [0,1], p ∈ N .
Такая подстановка позволяет избавиться от недостатков предыдущих
методов – разрывов функции или ее производных. В этом случае появляется
возможность использовать, кроме метода нулевого порядка, также методы
оптимизации первого и второго порядков.
Основным недостатком данного метода является то, что область определения функции f ( x1 , x2 ) должна быть отображением окружности с помощью конформных или других гладких отображений.
Поэтому при практическом использовании данного метода необходимо
покрыть область Ω кругами, в каждом из которых применить развертку по
спирали. В этом случае возможно использование параллельных алгоритмов.
2 Вычислительный эксперимент
Проиллюстрируем алгоритмы, предложенные в разделе 1, на примере
функции Розенброка и модифицированной функции Розенброка.
После аппроксимации функции Розенброка функциями одной переменной к последним применены алгоритмы нахождения экстремумов нулевого
порядка (информационно-статистический алгоритм), называемый алгоритмом глобального поиска (АГП) [1], и метод второго порядка (метод Ньютона)
глобальной оптимизации [5].
Функция Розенброка
(
f ( x1 , x2 ) = 100 x2 − x12
)
2
+ (0,5 − x1 ) 2 .
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Модифицированная функция Розенброка:
(
f ( x1 , x2 ) = 100 x22 − x1
)
2
+ (0,5 − x1 ) 2 .
Минимум функции Розенброка легко угадывается: x1 = 0,5 и x2 = 0, 25 ,
f ( x1 , x2 ) = 0 . Для модифицированной функции Розенброка отличия заключаются в том, что x2 = ±1 2 .
Очевидно, что первый метод – дискретизация одной из переменных – в
иллюстрации не нуждается.
В методе АГП используется параметр r > 1 , определяемый эмпирическим путем.
В табл. 1 представлены результаты вычислений для разных методов
сведения функции Розенброка к одномерным функциям при соответствующих параметрах.
Таблица 1
Используемая
p
Метод
формула
2
2
2
3
3
3
4
4
4
2,1
2,1
2,1
2,2
2,2
2,2
2,3
2,3
2,3
–
–
–
10
12
12
6
8
10
p1 p2
Приближенные значения
r
5 7 5
7 11 10
11 13 10
– – 5
– – 5
– – 10
– – 18
– – 10
– – 10
x1
0,404
0,561
0,569
0,77
0,557
0,433
0,584
0,461
0,538
x2
f ( x1 , x2 )
0,166
0,31
0,308
0,229
0,311
0,19
0,35
0,215
0,283
9,8·10–10
5,8·10–3
0,027
8,7·10–3
3,3·10–3
5,4·10–3
0,014
1,8·10–3
4,9·10–3
Абсолютные
погрешности
x2
x1
0,096
0,084
0,061
0,06
0,059
0,058
0,023
0,021
0,057
0,061
0,067
0,06
0,084
0,1
0,039
0,035
0,038
0,033
В табл. 2 приведены результаты нахождения минимума с использованием метода Ньютона в комбинации с методом рестарта [5] ( ε = 10−6 )
для функции Розенброка ( n – количество начальных точек, используемых в
методе рестарта).
Таблица 2
Метод
4
4
4
Используемая
формула
p
2,3
2,3
2,3
6
8
10
n
16
11
11
Приближенные значения
x1
0,587
0,555
0,46
x2
0,345
0,308
0,212
f ( x1, x2 )
7,6·10–3
3,05·10–3
1,6·10–3
Абсолютные
погрешности
x2
x1
0,087
0,095
0,055
0,058
0,04
0,038
В табл. 3, 4 приведены результаты аналогичных вычислений для модифицированной функции Розенброка.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Таблица 3
Используемая p
Метод
формула
2
2
2
3
3
3
4
4
4
2,1
2,1
2,1
2,2
2,2
2,2
2,3
2,3
2,3
p1
p2
– 5 7
– 7 11
– 11 13
10 – –
12 – –
12 – –
6 – –
8 – –
10 – –
r
5
10
10
5
5
10
18
10
18
Приближенные значения
x1
0,505
0,472
0,336
0,435
0,474
0,523
0,491
0,15
0,542
x2
0,707
–0,687
0,578
0,654
0,685
0,723
0,705
0,369
0,737
f ( x1 , x2 )
2,8·10–3
8·10–4
0.027
8,9·10–3
2,9·10–3
5,6·10–3
3,37·10–3
0.141
1,8·10–3
Абсолютные
погрешности
x2
x1
0,005
0
0,28
0,02
0,164 0,129
0,65 0,053
0,026 0,022
0,023 0,016
0,009 0,002
0,35
0,33
0,042 0,030
Таблица 4
Метод
Используемая
формула
p
n
4
4
4
2,3
2,3
2,3
6
8
10
16
11
11
Приближенные значения
x1
0,45
0,385
0,457
x2
–0,67
–0,62
0,676
f ( x1, x2 )
2,5·10–3
13·10–3
1,9·10–3
Абсолютные
погрешности
x1
x2
0,05
0,037
0,115 0,087
0,003 0,031
В данных таблицах не даны абсолютные погрешности для функций, т.к.
их глобальный минимум равен нулю и, следовательно, сами значения функций соответствуют их абсолютным погрешностям.
Список литературы
1. С т р о н г и н , Р . Г . Численные методы в многоэкстремальных задачах (информационно-статистические алгоритмы) / Р. Г. Стронгин. – М. : Наука, 1978. – 240 с.
2. S t r o n g i n , R . G . Global optimization with non-convex constants. Sequential and
parallel algorithms / R. G. Strongin, Ya. D. Sergeev. – Dordrecht : Kluwer Academic
Publishers, 2000
3. L e z a , D . Global minimization algorithms for Holder functions / D. Leza, Ya. D. Sergeev // BIT Numerical mathematics. – 2003. – V. 42(1). – P. 119–133.
4. К р а с н о с е л ь с к и й , М . А . Приближенные методы решения операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко [и др.]. – М. : Наука, 1969. – 456 с.
5. Та р х о в , Д . А . Нейронные сети. Модели и алгоритмы / Д. А. Тархов. – М. :
Радиотехника, 2005. – 18 кн. – 256 с.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.9
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова
ОБ ОДНОМ ПРИБЛИЖЕННОМ МЕТОДЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ
СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Предложен приближенный метод идентификации параметров динамических систем, описываемых линейными параболическими и гиперболическими уравнениями. Идентификация заключается в определении функции Грина
или коэффициентов уравнения. Метод основан на сведении задачи к уравнению в свертках. Показано, что этот метод применим для восстановления начальных условий при известном выходном сигнале и функции Грина. Приведены численные примеры.
Введение
Идентификация динамических систем с распределенными параметрами
является некорректной задачей и относится к классу обратных задач. Различные методы нахождения коэффициентов систем параболических и гиперболических уравнений, а также обширная библиография приведены в [1, 2].
Однако методы, предложенные во многих из этих работ, трудно применить при решении практических задач. Поэтому возникает необходимость в
разработке и программной реализации более простых, устойчивых и быстро
сходящихся алгоритмов.
В работе [3] предложен метод сведения уравнений в частных производных к интегральным уравнениям и их последующая аппроксимация системами алгебраических уравнений высокой размерности. В связи с некорректностью задачи, данные системы требуют специальных методов решения.
Ниже приводится достаточно простой и эффективный метод идентификации динамических систем, описываемых линейными параболическими
и гиперболическими уравнениями. Для определенности рассуждения проводятся на примере уравнений параболического типа. При этом данный метод является общим для всех линейных уравнений в частных производных,
которые на основе интегральных преобразований или в результате использования функции Грина можно представить в виде интегральных уравнений
в свертках.
1 Идентификация параметров динамических систем
с распределенными параметрами
Известно [4], что задача Коши для параболического уравнения
n
n
∂u
∂ 2u
∂u
L(u ) =
−
ak , j (t )
+
bk (t )
+ c(t )u = 0 ,
∂t k , j =1
∂xk ∂x j k =1
∂xk
(1)
lim u (t , x) = u0 ( x)
(2)
L(u ) = f (t , x)
(3)
∑
∑
t →0
и уравнение
при нулевых начальных и граничных условиях интегральным преобразованием Фурье сводятся к интегральным уравнениям в свертках.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
В частности задача Коши (1), (2) сводится к интегральному уравнению
1
u (t , x) =
G (t , x − ξ)u0 (ξ)d ξ,
(4)
(2π) n/ 2 Ω
∫∫
где интеграл берется по области Ω , которая является носителем функции u0 ( x) .
Полагая функцию u0 ( x) = 0 при x ∈ En \ Ω , уравнение (4) можно рассматривать в пространстве E2 :
u (t , x) =
1
∫∫ G(t, x − ξ)u0 (ξ)d ξ,
(2π) n/ 2 E
n
(5)
где t ∈ [0,∞) , x ∈ En .
В случае, если рассматривается уравнение (3) при нулевых начальных и
граничных значениях, то его решение представимо в виде
u (t , x) =
1
∞
∫
(2π)( n +1) / 2 −∞
dτ
∫
G (t − τ, x − ξ) f (τ,ξ)d ξ,
En
где
⎧G (t , x), t ≥ 0
G (t , x) = ⎨
⎩ 0, t < 0.
Ниже исследуется несколько задач идентификации параметров динамических систем, описываемых параболическими уравнениями.
Задача 1. Требуется, располагая решением задачи Коши (1), (2) или решением уравнения (3) при заданной функции f (t , x) , найти функцию G (t , x) .
При приближенном вычислении функции G (t , x) по решению задачи
Коши (1), (2) будем считать известными значения u0 ( x) на сетке, состоящей
из N n узлов, а также значения функции u (t , x) на прямоугольной сетке, состоящей из N n узлов по переменной x , − Ai ≤ x1i < …< xiN ≤ Ai i = 1, n на каждом временном слое 0 < t1 < t2 < …< tM ≤ T .
При вычислении функции G (t , x) по решению уравнения (3) будем
считать известными значения функций u (t , x) и f (t , x) в N n узлах по переменной x на M временных слоях 0 < t1 < t2 < …< tM ≤ T . Значения Ai ,
i = 1, n и T определяются физической постановкой задачи. Ниже для определенности будем считать, что Ai = A при всех значениях i и для простоты
обозначений положим n = 2 .
Построим алгоритм восстановления функции G (t , x) в задаче Коши (1), (2).
Зафиксируем t = t1 и применим к уравнению (5) преобразование Фурье
по пространственным переменным. В результате приходим к уравнению в
частотной области:
U (t1,ω1,ω2 ) = G (t1,ω1,ω2 )U 0 (ω1,ω2 ) .
(6)
Отметим, что прямое и обратное преобразование Фурье при этом будем
вычислять по формулам
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
∞
∞
−∞
−∞
∞
∞
−∞
−∞
1
F (u ( x1, x2 )) = U (ω1,ω2 ) =
2π
u ( x1, x2 ) = F
−1
1
(U (ω1,ω2 )) =
2π
∫ ∫
∫ ∫
u ( x1, x2 )ei (ω1x1 +ω2 x2 ) dx1dx2 ;
U (ω1,ω2 )e −i (ω1x1 +ω2 x2 ) d ω1d ω2 .
Для вычисления функций U (t1,ω1,ω2 ) и U 0 (ω1,ω2 ) воспользуемся кубатурными формулами преобразований Фурье.
Пусть функция u0 ( x1, x2 ) задана на сетке узлов {M k } , k = 1, N 2 , расположенных в области D = [− A, A]2 . Если задана прямоугольная сетка {vk , vl } ,
k , l = 0, N − 1 ,
vk = − A + 2 A Nk ,
k = 0, N − 1 ,
то
каждому
узлу
{vkl } ,
vkl = (vk , vl ) ставится в соответствие прямоугольник Δ kl = [vk , vk +1; vl , vl +1 ] ,
k , l = 0, N − 1 , и прямое преобразование Фурье вычисляется по формуле
U 0 (ω1,ω2 ) =
N −1 N −1
1
u (vk , vl ) ei (ω1x1 +ω2 x2 ) dx1dx2 .
2 π k =0 l = 0
Δ kl
∑ ∑
∫∫
(7)
Если сетка {M k } , k = 1, N 2 неравномерна, то область D покрывается
квадратами Δ kl , k , l = 0, N − 1 , введенными выше. Каждому такому квадрату
ставится в соответствие число u∗ (Δ kl ) , которое определяется следующим образом:
1) если в квадрате Δ kl содержится узел сетки {M v } , то полагаем
u∗ (Δ kl ) = u ( M v ) ;
2) если таких узлов несколько, то можно использовать любой из них
(формула будет более точна, если взять узел, ближайший к точке (ν′k ,ν′l ) ,
( ′ + ′ )
ν′k = v k 2v k +1 );
3) если в квадрате
Δ kl
нет узлов сетки {M v } , то полагаем
u∗ (Δ kl ) = u ( M w ) , где M w – ближайший к Δ kl узел сетки {M k } .
Тогда преобразование Фурье вычисляется по формуле
U 0 (ω1,ω2 ) =
N −1 N −1
1
u∗ (Δ kl ) ei (ω1x1 +ω2 x2 ) dx1dx2 .
2 π k =0 l =0
Δ kl
∑ ∑
∫∫
(8)
Значение функции U 0 (ω1,ω2 ) вычисляется на сетке узлов (ω1k ,ωl2 ) ,
k , l = 0, N − 1 , где ωik = − B + 2NBk , k = 0, N , i = 1, 2 . Здесь B – достаточно
большое положительное число, B ≥ A .
Аналогичным образом вычисляются и значения функции U (t1,ω1,ω2 )
на сетке узлов (t1,ω1k ,ωl2 ) , k , l = 0, N − 1 .
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Приравнивая левую и правую части уравнения (6) на указанной сетке,
приходим к системе из N 2 алгебраических уравнений вида
U (t1,ω1k ,ωl2 ) = G (t1,ω1k ,ωl2 )U 0 (ω1k ,ωl2 ), k , l = 0, N − 1 .
(9)
К каждому из уравнений системы (9) применим итерационный метод
Gn+1 (t1,ω1k ,ωl2 ) = α n Gn (t1,ω1k ,ωl2 ) + (1 − α n ) ×
× ⎡Gn (t1,ω1k ,ωl2 ) − γ k ,l {Gn (t1,ω1k ,ωl2 )U 0 (ω1k ,ωl2 ) − U (t1,ω1k ,ωl2 )}⎤ ,
⎣
⎦
(10)
где 0 < α∗ ≤ α n ≤ α∗ < 1 , а параметры γ k ,l подбираются таким образом, чтобы
выполнялись условия
γ k ,lU 0 (ω1k ,ωl2 ) =
1
.
2
(11)
Сходимость метода следует из теоремы Обломской [5]. Предельные значения последовательных приближений обозначим через G∗ (t1,ω1k ,ωl2 ) . Если в
точке (ω1k ,ωl2 ) значения U 0 (ω1k ,ωl2 ) = 0 , то уравнение (9) не рассматривается, а
значение G∗ (t1,ω1k ,ωl2 ) в квадрате Δ kl полагается равным среднему значению
G∗ (t1,ω1k ,ωl2 ) по всем квадратам, имеющим общие грани с Δ kl .
Так как все коэффициенты γ k ,l удовлетворяют условиям (11), то последовательность приближений (10) сходится со скоростью геометрической
прогрессии со знаменателем, равным 1/2:
G∗ (t1,ω1k ,ωl2 ) − Gn +1 (t1,ω1k ,ωl2 ) ≤
n
⎛1⎞
≤ ⎜ ⎟ G0 (t1,ω1k ,ωl2 )U 0 (ω1k ,ωl2 ) − U (t1,ω1k ,ωl2 ) ,
⎝2⎠
следовательно, критерием остановки итерационного процесса (10) может являться точное число итераций m, которое может быть определено из уравнения
m
⎛1⎞
k l
k l
k l
⎜ ⎟ G0 (t1,ω1 ,ω2 )U 0 (ω1 ,ω2 ) − U (t1,ω1 ,ω2 ) < ε,
⎝2⎠
где ε – заданная точность.
Определив
k
Gm (t1,ω1k ,ωl2 )
ε,
с точностью
вычислим значения
l
Gm (t1, v , v ) , k , l = 0, N − 1 , используя кубатурные формулы вычисления обратного преобразования Фурье:
Gm (t1, x1, x2 ) =
N −1
N −1
1
j
j
Gm (t1,ω11 ,ω22 )
2 π j =0 j =0
1
2
Δ*j
∑ ∑
∫∫
e−i (ω1x1 +ω2 x2 ) d ω1d ω2 .
1 j2
Выбрав подходящую сетку узлов по переменным x1 и x2 и используя
стандартные методы теории приближения: интерполяционные полиномы,
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
сплайны и т.д., – восстанавливаем функцию Грина Gm (t1, x1, x2 ) , после чего,
располагая, таким образом, всеми необходимыми значениями, можно легко
восстановить функцию U (t1, x1, x2 ) по формулам (4).
Замечание 1. Если коэффициенты akj и bk в уравнении (1) не зависят
от времени, то приведенный выше алгоритм позволяет восстановить функцию U (t , x1, x2 ) при t ∈ [t0 , T ] по значениям функций U (t0 , x1, x2 ) и
U (t1, x1, x2 ) , причем T > t1 . Аналогично, если от времени не зависят коэффициенты akj , bk и функция f (t , x) уравнения (3), то приведенный выше алгоритм позволяет восстановить функцию U (t , x1, x2 ) при t ∈ [t0 , T ] по значениям функций U (t1, x1, x2 ) и f ( x) .
Это следует из того, что, согласно уравнению (6),
U (nt1,ω1,ω2 ) = (G (t1,ω1,ω2 )) n U 0 (ω1,ω2 ),
где n – целое положительное число.
Это позволяет получить значения функции U (t ,ω1,ω2 ) на сетке
(nt1,ω1k ,ωl2 ) , а затем восстановить функцию U (t , x1, x2 ) на каждом временном слое νt1 , ν = 1, m , m = ⎡ Tt ⎤ + 1 .
⎢⎣ 1 ⎥⎦
Замечание 2. Выше отмечалось, что восстановление функции G (t , x)
является некорректной задачей. Ее регуляризация проводится за счет того,
что, во-первых, прямое и обратное преобразования Фурье вычисляются в конечных пределах; во-вторых, за счет того, что для решения систем уравнений
(9) используется итерационный процесс, обладающий свойствами стабилизации и фильтрации.
Рассмотрим алгоритм восстановления функции G (t , x) в динамической
системе, описываемой уравнением (3) при нулевых начальных и граничных
условиях.
В случае, если в уравнении (3) функция f (t , x) зависит от времени, то
для восстановления функции G (t , x) требуется информация о функциях
u (t , x) и f (t , x) на сетке, составленной из узлов по временным и пространственным переменным. Для простоты обозначений рассмотрим прямоугольную
сетку {tv , yk1 ,…, ykn } , v = 0, M , ki = 0, N , i = 1, n , tv = vτ , где τ – шаг по временной переменной; yki = − A + hki , h = 2 A/N – шаг по каждой из пространственных переменных.
Представим уравнение (6) в виде
u (t , x) =
1
∫
(2π)n/ 2+1 −∞
⎧1, t ≥ 0
где K (t ) = ⎨
⎩0, t < 0.
12
∞
dτ
∫
En
K (t − τ)G (t − τ, x − ξ) f (τ,ξ) d ξ,
(12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Применим к уравнению (12) преобразование Фурье по пространственным переменным. В результате получим
U (t ,ω) =
1
∞
∫
(2π) n/ 2 −∞
K (t − τ)G (t − τ,ω) F (τ,ω)d τ .
(13)
Введем для краткости записи обозначение
K (t − τ)G (t − τ,ω) = G1 (t − τ,ω)
и применим к уравнению (13) преобразование Фурье по переменной t . В результате получим
U (λ,ω) = G1 (λ,ω) F (λ,ω) .
(14)
Введем сетки узлов по переменным λ и ω :
λ = {λ1, …, λ M },
ωi = {ω1i , …, ωiN }, i = 1, n .
(15)
Воспользовавшись кубатурными формулами вычисления преобразований Фурье, находим значения функций U (λ,ω) и F (λ,ω) на сетке узлов (15).
Приравнивая левые и правые части уравнения (14) на сетке (15), получаем систему из MN n линейных алгебраических уравнений, каждое из котоl
рых решается в отдельности. Зафиксировав некоторый узел (λ k , ω11 , …, ωlnn ) ,
рассмотрим уравнение
l
l
l
U (λ k , ω11 , …, ωlnn ) = G1 (λ k , ω11 , …, ωlnn ) F (λ k , ω11 , …, ωlnn ) .
l
Значение G1 (λ k , ω11 , …, ωlnn ) определим итерационным методом, аналогичным процессу (10):
G1m +1 (λ k , ω11 , …, ωlnn ) = α m G1m (λ k , ω11 , …, ωlnn ) + (1 − α m ) ×
l
l
× ⎡⎢G1m (λ k , ω11 , …, ωlnn ) − γ k , l1, …, ln {G1m (λ k , ω11 , …, ωlnn ) F (λ k , ω11 , …, ωlnn ) −
⎣
l
l
l
−U (λ k , ω11 , …, ωlnn )}⎥⎤ ,
⎦
l
(16)
где 0 < α∗ ≤ α m ≤ α∗ < 1 , а параметры γ k ,l1,…l, n подбираются таким образом,
чтобы выполнялись условия
1
3
l
≤ γ k , l1, …, ln F (λ k , ω11 , …, ωlnn ) ≤ .
4
4
Сходимость итерационного метода (16) также следует из теоремы Обломской и исследуется аналогично сходимости итерационного процесса (10).
Обозначим через G1∗ (λ k , ω11 , …, ωlnn ) предельное значение итераций (16)
l
или, что больше соответствует вычислительной практике, значение, на котором останавливается данный итерационный процесс. Вычислив значения
функции G1∗ (λ k , ω1, …, ωn ) на сетке узлов (15), по кубатурным формулам вы13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
числения обратного преобразования Фурье во временной области находим
функцию G1 (t,ω) и тем самым функцию G (t,ω) . Окончательно, применяя
кубатурные формулы вычисления обратного преобразования Фурье в пространственной области, находим функцию G (t , х) .
Задача 2. Остановимся на еще одном аспекте применения предложенного выше алгоритма. Пусть динамическая система описывается задачей Коши (1), (2) с неизвестными коэффициентами ak , j (t ) , k , j = 1, n и bk (t ) ,
k = 1, n . Требуется, располагая начальными значениями u0 ( x) и решением задачи Коши u (t ) , t > 0 , найти приближенные значения функций ak , j (t ) и
bk (t ) при 0 ≤ t ≤ T , T = const .
Представим искомое решение задачи Коши (1), (2) в виде обратного
преобразования от функции U (t,ω) , ω = (ω1, …, ωn ) :
u (t , x) =
где ( x,ω) =
n
∑
i =1
1
(2π)
n/ 2
∫∫ e
−i ( x,ω)
U (t ,ω) d ω,
(17)
En
xi ωi .
Подставив (17) в уравнение (1) и предполагая, что можно провести все
необходимые действия под знаком интеграла, приходим к обыкновенному
дифференциальному уравнению
n
⎞
∂U (t ,ω) ⎛⎜ n
ak , j (t )ωk ω j + i
bk (t )ωk + c(t ) ⎟
=
⎜ k , j =1
⎟
∂t
k =1
⎝
⎠
∑
∑
(18)
−i ( x,ω)
(19)
при начальном условии
U (0,ω) =
1
(2π)
n/ 2
∫∫ e
u0 ( x)dx ,
En
здесь ω = (ω1, …, ωn ) является параметром.
Задача Коши (18), (19) имеет решение
n
⎧ n
⎫
⎪
⎪
U (t ,ω) = U (0,ω)exp ⎨
ak , j (t )ωk ω j + i
bk (t )ωk + c(t ) ⎬ .
⎪⎩k , j =1
k =1
⎭⎪
∑
∑
(20)
, k = 0, n . Из уравнения (20) найдем приВведем сетку узлов tk = kT
N
ближенные функции ak , j (t ) , k , j = 1, n , bk (t ) , k = 1, n и c (t ) , аппроксимирующие функции ak , j (t ) , bk (t ) и c(t ) соответственно. Здесь подразумевается, что ak , j (t ) – кусочно-постоянная функция, равная константе a1k , j на сегменте [t0 , t1 ] и равная константе akv, j на интервале (tv −1, tv ] , v = 2, N . Анало14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
гичным образом определяются функции bk (t ) , k = 1, n и c (t ) . Таким образом, при каждом фиксированном значении tk , k = 1, N из уравнения (20)
нужно найти (n 2 + n + 1) неизвестных чисел.
Положив в уравнении (20) t = tk и ω = (ω1, …, ωn ) = (0, …, 0) , получаем
U (tk , 0) = U (0, 0)ec (tk ) .
(21)
Тогда уравнение (20) можно записать в виде
⎧ n
⎪
U (t ,ω) = U ∗ (0,ω) exp ⎨
∑
⎪ k , j =1
⎩
ak , j (t )ωk ω j + i
n
∑
k =1
⎫
⎪
bk (t )ωk ⎬ ,
⎪
⎭
(22)
где U ∗ (0,ω) = U (0, 0) exp{c (tk )} .
Для нахождения n2 значений akv, j , k , j = 1, n при каждом фиксированном
значении v , v = 1, N , поступим следующим образом. В области Ω = [− A, A]n
выберем n 2 узлов M k = (ω1k , …, ωnk ) , k = 1, n 2 . Представим значения U (tl ,ωk )
и U ∗ (0,ωk ) в виде
U (tl ,ωk ) = exp{ln U (tl ,ωk )} = exp{ln | U (tl ,ωk ) | +i arg U (tl ,ωk )} ;
U ∗ (0,ωk ) = exp{ln U ∗ (0,ωk )} = exp{ln | U ∗ (0,ωk ) | +i arg U ∗ (0,ωk )} ,
l = 0, N , k = 1, n 2 .
Замечание 3. При этом предполагается, что функции U (tl ,ωk ) и
U ∗ (0,ωk ) не обращаются в ноль на рассматриваемой сетке узлов. Это ограничение является несущественным, т.к. функции U (tl ,ωk ) и U ∗ (0,ωk ) являются аналитическими по переменной ω вне координатных плоскостей и,
следовательно, может обращаться в ноль вне этих плоскостей только на счетном множестве точек, не включающем в себя предельную точку.
Из системы уравнений
ln | U (tl , M k ) | − ln | U ∗ (0, M k ) |=
n
∑
i, j =1
ai, j (tl )ωik ωkj , k = 1, n 2
определяем значения ai, j (tl ) , i, j = 1, n .
Для определения функций bk (t ) , k = 1, n будем учитывать, что разность
аргументов
arg U (tl ,ωk ) − arg U ∗ (0,ωk ) =
n
∑
k =1
ck (t )ωk .
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Нетрудно видеть, что функции ck (t ) являются приближениями к функциям bk (t ) , k = 1, n .
Замечание 4. В случае, если функция (arg U (tl ,ωk ) − arg U ∗ (0,ωk )) из-
вестна только на сетке ωk , k = 1, N , то аналогичным образом определяются
приближенные значения bl (tk ) , l = 0, n .
Пример. В качестве примера, иллюстрирующего изложенный выше
метод восстановления функции Грина, рассмотрим процесс, описываемый
уравнением
⎛ ∂ ∂2 ⎞
⎜ + 2 ⎟ u (t , x) = f (t , x), x ∈ [−0.5, 0.5], t ∈ [0,1]
⎜ ∂t ∂x ⎟
⎝
⎠
(23)
с нулевыми начальными и граничными условиями.
Будем считать известными значения функций u (t , x) и f (t , x) . Методами линейной алгебры данный процесс был исследован в работе [3]. Там же
было показано, что при
π⎞
⎛
f ( x, t ) = π(cos πt − 4π sin πt ) cos ⎜ 2πx − ⎟
2⎠
⎝
точным решением уравнения (23) при нулевых начальных и граничных значениях является функция
π⎞
⎛
u ( x, t ) = sin πt cos ⎜ 2πx − ⎟ .
2⎠
⎝
Полагая u (t , x) ≡ 0 при x ∉ [−0,5; 0,5] , уравнение (23) можно рассматривать при −∞ < x < ∞ , t > 0 .
⎛ ∂ ∂2 ⎞
Поскольку рассматривается дифференциальный оператор ⎜ +
⎟ с
⎜ ∂t ∂x 2 ⎟
⎝
⎠
постоянными коэффициентами, то решение уравнения (23) можно представить в виде
1
u (t , x) =
2π
∞
∫
−∞
∞
dτ
∫
G (t − τ, x − ξ) f ( τ,ξ)d ξ,
(24)
−∞
где
2
⎧ π
⎪⎧ | x | ⎪⎫
exp ⎨−
⎪
⎬ = G (t , x), при t ≥ 0,
G (t , x) = ⎨ t
⎪⎩ 4t ⎪⎭
⎪
0,
при t < 0.
⎩
Для
определения
функции
G (t , x)
выберем
сетки
узлов
xk = − A + 2 Ak /N , k = 0, N и tv = vτ , v = 0, 1, …, где A – достаточно большое
положительное число, а τ – достаточно малое положительное число, являющееся временным шагом. Будем считать, что на данной сетке известны значения u (t , x) и f (t , x) .
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Применяя к уравнению (24) преобразования Фурье по переменным t
и x , приходим к уравнению
U (λ,ω) = G (λ,ω) F (λ,ω),
(25)
где λ – переменная, соответствующая времени t ; ω – переменная, соответствующая пространственной переменной x .
Вычислив значения функций U (λ,ω) и F (λ,ω) на указанной сетке узлов, решаем итерационным методом (15) систему уравнений
U (λ k ,ωv ) = G (λ k ,ωv ) F (λ k ,ωv ),
после чего, используя кубатурные формулы вычисления обратного преобразования Фурье, находим функцию G (t , x) , а затем, используя полученные
данные, находим функцию u (t , x) .
Погрешности восстановления функций G (t , x) и u (t , x) представлены
на рис. 1, 2.
δ
ε
x
x
Рис. 1
Рис. 2
2 Приближенный метод восстановления начальных значений
Во многих областях физики и техники возникает задача определения
начальных значений в динамических процессах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Как известно, эта задача некорректна и для ее решения для каждого класса уравнений предлагались специфические методы регуляризации [6].
Приведем один из возможных методов определения начальных значений на примере уравнения теплопроводности.
Рассмотрим уравнение
∂u (t , x)
− Δu (t , x) = 0, x ∈ Ω,
∂t
t > 0,
(26)
где
Δu (t , x) =
n
∂ 2u (t , x)
j =0
∂x 2j
∑
,
с начальным условием
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
u (0, x) = u0 ( x)
(27)
u (t , x) = 0, при x ∈ Γ = ∂Ω, t > 0,
(28)
и граничным условием
где u0 ( x) – функция, определенная в области Ω ; Γ = ∂Ω – граница области Ω .
Требуется, располагая значениями функции u ( x, t ) при t = T , восстановить функцию u0 (t ) . Предположим вначале, что Ω = Rn . Хорошо известно
[4], что если u0 (t ) – непрерывная функция, то решение уравнения (26) при
t > 0 определяется интегралом Пуассона:
⎧ − ⎡ ( x − ξ ) 2 + …+ ( x − ξ ) 2 ⎤ ⎫
n
n ⎦⎥ ⎪
⎪ ⎢ 1 1
u (t , x) =
…
exp ⎨ ⎣
⎬×
4t
(2 πt )n −∞
⎪
⎪
−∞
⎩
⎭
1
∞
∞
∫
∫
×u0 (ξ1, …, ξ n )d ξ1 …d ξn .
(29)
Таким образом, при Ω = Rn определение функции u0 (t ) сводится к решению интегрального уравнения в свертках (29). Так как размерность данного уравнения не имеет принципиального значения при построении вычислительных схем, подробно приведем случай, когда n = 1 , т.е. ограничимся рассмотрением уравнения
u (t , x) =
∞
⎧⎪ ( x − ξ) 2 ⎫⎪
exp ⎨
⎬ u0 (ξ)d ξ .
2 πt
⎩⎪ 4t ⎭⎪
−∞
1
∫
(30)
Учитывая, что функция u (t , x) известна при t = T , представим это
уравнение в виде
u (T , x) =
1
2π
∞
∫
−∞
2
2
⎪⎧ ( x − ξ) ⎪⎫
exp ⎨
⎬ u0 (ξ)d ξ .
T
⎩⎪ 4T ⎭⎪
(31)
Применим к данному уравнению преобразование Фурье по пространственной переменной. В результате получаем уравнение
U (T ,ω) = H (ω)U 0 (ω) ,
(32)
где U (T,ω) , H (ω) , U 0 (ω) – преобразование Фурье функций u ( x, T ) ,
⎧ ( x −ξ)2 ⎫
f ( x) = exp ⎨ 4T ⎬ и u0 (t ) соответственно.
⎩
⎭
Уравнение (32) будем решать итерационным методом, описанным в
предыдущем разделе. В результате получим значения функции U 0 (ωk ) на
сетке ωk , k = 1, n . Используя эти значения и квадратурные формулы вычисления обратного преобразования Фурье, найдем значения u0 ( xl ) , l = 1, n на
заранее заданной сетке {xl } , l = 1, n .
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Приведем конкретный пример.
Пример. Рассмотрим уравнение (30) с начальной функцией
⎧sin(2πx),
u (t , x) = ⎨
0,
⎩
x ∈ [ −1,1]
x ∉ [−1,1].
Полагаем, что функция u (t , x) известна на равномерной сетке узлов
2k
xk = −1 +
, k = 0, N , N = 103 , при t = 0, 2 . Требуется, располагая значеN
ниями функции u (t , x) , на данной сетке восстановить функцию u0 ( x) . Результат восстановления указанной функции u0 ( x) по предложенному в данном разделе алгоритму приведен на рис. 3.
ε
δ
Рис. 3
На рис. 3 ε – абсолютная погрешность восстановления функции u0 ( x) ,
а δ – абсолютная погрешность восстановления функции u ( x) по значениям
новой функции u0 ( x) , полученной в ходе реализации алгоритма.
Выводы. В работе предложен достаточно общий алгоритм идентификации динамических систем и восстановления входных сигналов динамических систем, обладающий следующими достоинствами:
1) высокая точность;
2) возможность распараллеливания;
3) быстродействие;
4) небольшой объем памяти.
Список литературы
1. Л а в р е н ть е в , М . М . Некорректные задачи математической физики / М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатских. – М. : Наука : 1980. – 288 с.
2. Р о м а н о в , В. Г . Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. – М. :
Наука, 1984. – 263 с.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. С к о п е ц ь к и й , В. В. Про задачу iдентифiкацii та керування для дискретно спостережуваного просторово-часового процессу / В. В. Скопецький, В. Н. Стоян //
Reports of the Akedemy of Sciences of Ukraine. – 2006. – № 8. – Р. 102–108.
4. Э й д е л ь м а н, С . Д . Параболические системы / С. Д. Эйдельман. – М. : Наука,
1964. – 444 с.
5. О б л о м с к а я, Л. Я . О методах последовательных приближений для линейных
уравнений в банаховых пространствах / Л. Я. Обломская // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1968. – Т. 8. – № 2. – С. 417–426.
6. Ла тте с , Р . Метод квазиобращения и его приложения / Р. Латтес, Ж.-Л. Лионс. –
М. : Мир, 1970. – 336 с.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.392
И. В. Бойков, Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С ФИКСИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
Построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку
алгоритмы вычисления гиперсингулярных интегралов с фиксированными особенностями в предположении, что особые точки лежат на границе области интегрирования.
Введение
Несмотря на многочисленные приложения гиперсингулярных интегралов в аэродинамике [1–4], электродинамике [4], квантовой теории [5] и других областях физики и техники, их исследование и развитие приближенных
методов их вычисления началось только в последнее двадцатилетие.
Изложение приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов и достаточно подробная библиография содержатся в [6–8].
При этом гиперсингулярные интегралы с интегралами в смысле главного значения Коши–Адамара рассматривались, как правило, в предположении,
что особая точка лежит внутри области интегрирования.
Однако многочисленные приложения в механике (см., например [9] и
литературу, приведенную в ней), электродинамике, геофизике [10], требуют
разработки приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов с особенностью на границе области.
В данной работе построены оптимальные по порядку квадратурные
формулы в предположении, что особые точки лежат на границе области интегрирования.
1 Классы функции
В этом разделе описываются классы функций, которые используются в
работе.
Класс W r (1) ( r – натуральное число) состоит из функций, заданных на
отрезке [a, b] , непрерывных и имеющих непрерывные производные до
( r − 1 )-го порядка включительно и кусочно-непрерывную производную r -го
r
порядка, удовлетворяющую на этом отрезке неравенству f ( ) ( x ) ≤ 1 .
Обозначим через W r1 , ..., rl (1, Ω ) класс функций f ( x1 , ..., xl ) , опреде-
ленных в области Ω = [ a1 , b1; ...; al , bl ] , l = 2, 3, ... , имеющих частные производные
f
v , ..., vl )
f( 1
( x1, ..., xl ) =
v
( x1, ...,
xl )
v
v
∂x11 ... ∂xl l
, при 1 ≤ vi ≤ ri , i = 1, 2, ..., l ,
удовлетворяющих следующим условиям:
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
f(
1)
частные
производные
i = 1, 2, ..., l непрерывны,
2) f ( r1, ..., rl ) ( x1 , ..., xl )
f(1
r , v2 , ..., vl )
( x1, ...,
xl )
C(Ω)
C(Ω)
v1 , ..., vl )
( x1, ...,
xl ) ,
1 ≤ vi ≤ ri − 1 ,
≤1,
≤ 1 , 1 ≤ vi ≤ ri − 1 , i = 2, 3, ..., l ,
…
f(
v1 , ..., vl −1 , rl )
( x1, ...,
xl )
C(Ω)
≤ 1 , 1 ≤ vi ≤ ri − 1 , i = 1, 2, ..., l − 1 ,
здесь v = ( v1 , ..., vl ) , v = v1 + ... + vl .
Пусть Ω = [ a1 , b1; ...; al , bl ] , l = 2, 3, ... Через Clr (1, Ω ) обозначим класс
функций l независимых переменных, у которых существуют и ограничены
по модулю единицей все частные производные до r -го порядка включительно. Если известна область Ω определения функций из класса Clr (1, Ω ) , то для
простоты обозначений будем писать Clr (1) .
2 Определение гиперсингулярных интегралов
Несмотря на то, что понятие гиперсингулярных интегралов определено
для широкого класса функций (см., например, [11]), в данной работе рассматриваются гиперсингулярные интегралы, возникающие в теории и практике
граничных интегральных уравнений. Их определение является некоторым
обобщением классического определения конечной части интеграла, данного
Ж. Адамаром [12] и его обобщение на интегралы в смысле главного значения
Коши–Адамара, предложенного Л. А. Чикиным [13].
В определении Л. А. Чикина существенным является то, что особая
точка лежит внутри интервала интегрирования. Так как при решении многих
прикладных задач возникает необходимость определить гиперсингулярный
интеграл в случае, когда особая точка лежит на границе области интегрирования, в работах [14], [15] введен гиперсингулярный интеграл более общего вида.
Следуя [14], дадим следующее определение гиперсингулярных интегралов.
Определение 1. Конечной частью гиперсингулярного интеграла называется предел
⎡ b f τ dτ
( )
1
p −1
= lim ⎢
+
f ( ) ( a + η) ln η −
p η→0 ⎢
p ( p − 1)!
τ − a)
a (τ − a)
⎣ a +η (
b
∫
−
f ( τ) d τ
f(
1
( p − 1)!
p −2 )
∫
( a + η) − ... −
η
1
( p − 1)( p − 2 )
f ′ ( a + η)
η p −2
−
1 f ( a + η) ⎤
⎥=
p − 1 η p −1 ⎥
⎦
p −2 )
f(
f ′(b )
(b)
1
1
1
p −1)
(
f
=
− ... −
−
( b ) ln ( b − a ) −
( p − 1)!
( p − 1)( p − 2 ) ( b − a ) p −2
( p − 1)! b − a
b
−
f (b )
1
1
p
f ( ) ( τ ) ln ( τ − a ) d τ.
−
p
−
1
p − 1 (b − a )
( p − 1)!
∫
a
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Далее с целью упрощения последующих выкладок при выделении конечной части гиперсингулярных интегралов дадим следующее обобщение
интеграла в смысле главного значения Коши.
Рассмотрим интеграл
1
Af =
f ( τ)
∫
τ
0
d τ , f ∈W 1 ( M ) .
Определение 2. Конечной частью интеграла Af называется предел
1
Af =
∫
0
⎡1 f τ
( ) d τ + f η ln η ⎤⎥ = − 1 f ′ τ ln τ d τ .
d τ = lim ⎢
( ) ⎥
( )
τ
τ
η→0 ⎢
0
⎣η
⎦
f ( τ)
∫
∫
Введем определения полигиперсингулярных интегралов с особыми
точками, лежащими на границе области интегрирования. Для простоты обозначений в этом и следующих разделах будем рассматривать бигиперсингулярные интегралы. Из приведенных ниже определений и формул следует, что
они легко распространяются на полигиперсингулярные интегралы любой конечной размерности.
Рассмотрим интеграл
11
Bf =
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
.
p1 p2
τ
τ
00
1 2
∫∫
Пусть функция f ( t1 , t2 ) ∈W r1 , r2 (1) , где r1 ≥ p1 , r2 ≥ p2 , p1 ≥ 2 , p2 ≥ 2 .
Введем обозначения: Ω = [ 0, 1] , Ωη = [ η, 1] , где η ( η > 0 ) – достаточно малое вещественное число.
Определение 3. Конечной частью интеграла Bf называется предел
2
11
Bf =
∫∫
00
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
p
p
τ1 1 τ2 2
2
⎡
⎤
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
g ( η) ⎥
⎢
,
= lim
−
p1 p2
p1 + p2 − 2 ⎥
η→0 ⎢
η
τ
τ
1 2
⎣⎢ Ωη
⎦⎥
∫∫
(1)
где g ( η) – функция, удовлетворяющая следующим условиям:
1) предел (1) существует;
2) функция g ( η) имеет по крайней мере p1 + p2 − 1 производную в окрестности нуля.
Укажем один из способов вычисления интеграла Bf . Вычислив по частям интеграл
1
1
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
d τ1 f ( τ1 , τ2 ) d τ2
=
p p
p1
p
τ1 1 τ2 2
τ2 2
Ωη
η τ1 η
∫∫
∫
∫
и воспользовавшись определением (1), имеем
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Bf =
−
p2 − 2
(p −2−k )
∑ 2( p2 − 1) 2!
k2 =0
! p1 − 2 ( p1 − 2 − k1 ) ! ( k1 ,k2 )
f
(1, 1) −
p − 1) !
k =0 ( 1
∑
1
p2 − 2
p1 − 2
( p − 2 − k1 ) ! 1
−∑ 1
p − 1) ! ( p2 − 1)
k1 =0 ( 1
+
1
1
( p1 − 1) ! ( p2 − 1) !
p2 − 2
( p2 − 2 − k2 )
= ∑
( p2 − 1) !
k 2 =0
11
∫∫
f(
!
p1 −1, k2 )
f(
!∫
( τ1, 1) d τ1 −
τ1
0
k1 , p2 −1)
(1,
τ2 ) d τ2
τ2
0
p1 −1, p2 −1)
( τ1,
τ2 )
τ1τ2
00
+
d τ1d τ2 =
! p1 − 2 ( p1 − 2 − k1 ) ! ( k1 ,k2 )
f
(1, 1) +
p − 1) !
k =0 ( 1
∑
1
( p2 − 2 − k2 ) ! 1
+∑
( p2 − 1) ! ( p1 − 1)
k2 =0
p1 − 2
(p −2−k ) ! 1
∑ 1( p1 − 1) 1 ! ( p2 − 1)
k1 =0
1
1
+
( p1 − 1) ! ( p2 − 1) !
∫
1
p2 − 2
+
f(
1
(p −2−k ) ! 1
∑ 2( p2 − 1) 2! ( p1 − 1)
k2 =0
11
∫∫ f
( p1,
1
!
∫f
( p1, k2 ) ( τ , 1) ln τ d τ +
1
1
1
0
1
f
!∫
( k1,
p2 )
(1,
τ2 ) ln τ2 d τ2 +
0
p2 )
( τ1,
τ2 ) ln τ1 ln τ2 d τ1d τ2 .
00
Рассмотрим теперь гиперсингулярный интеграл
11
Cf =
∫∫
00
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
τ1 1 ( τ2 − t2 )
p
p2
, 0 < t2 ≤ 1 ,
в предположении, что f ( t1 , t2 ) ∈W r1 , r2 (1) , где r1 ≥ p1 , r2 ≥ p2 , p1 ≥ 2 , p2 ≥ 2 .
Пусть η ( η > 0 ) – достаточно малое вещественное число. Введем обозначение:
⎧⎪([ 0, η] × [ 0, 1]) ∪ ([ 0, 1] × [t2 − η, t2 + η]) при t2 ≠ 1,
dη = ⎨
⎪⎩([ 0, η] × [ 0, 1]) ∪ ([ 0, 1] × [t2 − η, 1]) при t2 = 1.
Обозначим через Ωη = Ω \ dη .
Определение 4. Конечной частью интеграла Cf называется предел
⎡
⎤
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
g ( η) ⎥
⎢
,
= lim
−
Cf =
p2
p2
p1 + p2 − 2 ⎥
p1
p1
η→0 ⎢
η
t
t
τ
τ
−
τ
τ
−
(
)
(
)
2
2
2
2
00 1
⎢⎣ Ωη 1
⎥⎦
11
∫∫
∫∫
где g ( η) – функция, удовлетворяющая следующим условиям:
24
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
1) предел (2) существует;
2) функция g ( η) имеет по крайней мере p1 + p2 − 1 производную в окрестности нуля.
Укажем один из способов вычисления интеграла Cf . Вычислим по час-
∫∫
тям интеграл
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
Ωη
τ1 1 ( τ2 − t2 )
p
p2
, предварительно представив его в виде
суммы
∫∫
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
p
τ1 1
Ωη
( τ2 − t2 )
p2
=
∫∫
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
p
τ1 1
Ω1η
( τ2 − t2 )
p2
+
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
∫∫
τ1 1 ( τ2 − t2 )
p
Ωη2
p2
,
где Ω1η = [ η, 1] × [ 0, t2 − η] , Ωη2 = [ η, 1] × [t2 + η, 1] .
В результате этих вычислений из определения 4 следует формула
Cf = −
+
p2 − 2
p1 − 2
(p −2−k ) !
∑ −t p22 −1−k2 p2 − 1
( 2 )
k2 =0 ( 2 )
(p
−2−k
)
1
1
∑
! k =0 ( p1 − 1) !
! ( k1,k2 )
f
(1, 0 ) +
1
1 ( p1 −1, k2 )
f
( p2 − 2 − k2 )!
( τ1, 0 ) d τ1
1
−
∑ −t p2 −1−k2 p − 1 ! ( p1 − 1)! ∫
τ
1
(
)
(
)
k2 =0
2
2
0
p2 − 2
−
t
( p1 − 2 − k1 )! 1 2 f ( k1, p2 −1) (1, τ2 ) d τ2
+
∑ ( p1 − 1)! ( p2 − 1)! ∫
τ
−
t
2
2
k1 =0
0
+
(
d τ1 2 f
1
1
( p1 − 1)! ( p2 − 1)! η τ1 0
p1 − 2
1
∫
t
∫
p1 −1, p2 −1)
( τ1,
τ2 )
τ 2 − t2
d τ2 +
+
p2 − 2
p1 − 2
( p2 − 2 − k2 )!
( p − 2 − k )!
∑ 1 − t p2 −1−k2 p − 1 ! ∑ 1( p1 − 1)!1 f ( k1,k2 ) (1, 1) −
( 2 ) k1 =0
k2 =0 (
2)
−
1 ( p1 −1, k2 )
f
( p2 − 2 − k2 )!
( τ1, 1) d τ1 −
1
∑ 1 − t p2 −1−k2 p − 1 ! ( p1 − 1)! ∫
τ1
( 2 )
k2 =0 (
2)
0
p2 − 2
−
( p1 − 2 − k1 )! 1 1 f ( k1, p2 −1) (1, τ2 ) d τ2 +
∑ p − 1)! ( p2 − 1)! ∫
τ 2 − t2
k1 =0 ( 1
t
p1 − 2
2
1
d τ1
1
1
+
( p1 − 1)! ( p2 − 1)! τ1
∫
η
1
∫
t2
f(
p1 −1, p2 −1)
( τ1,
τ2 − t2
τ2 )
d τ2 =
p2 − 2
( p2 − 2 − k2 )! p1 −2 ( p1 − 2 − k1 )! ( k1,k2 )
=− ∑
f
(1, 0 ) −
∑
p2 −1− k2
( p2 − 1)! k1 =0 ( p1 − 1)!
k 2 = 0 ( −t 2 )
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
−
p2 − 2
1
( p2 − 2 − k2 )!
1
∑ −t p2 −1−k2 p − 1 ! ( p1 − 1)! ∫ f ( p1, k2 ) ( τ1, 0 ) ln τ1 d τ1 −
( 2 )
k2 =0 ( 2 )
0
p1 − 2
(p
− 2 − k )!
1
∑ 1( p1 − 1)!1 ( p2 − 1)! ×
k =0
−
1
t2
⎛
⎞
k , p −1
k, p
× ⎜ − f ( 1 2 ) (1, 0 ) ln 0 − t2 − f ( 1 2 ) (1, τ2 ) ln τ2 − t2 d τ2 ⎟ +
⎜
⎟
0
⎝
⎠
∫
1
+
(
1
1
p , p −1
ln τ1 d τ1 + f ( 1 2 ) ( τ1 , 0 ) ln 0 − t2 +
( p1 − 1)! ( p2 − 1)!
∫
η
t2
+ f(
∫
p1 , p2 )
( τ1,
0
+
+
⎞
τ2 ) ln τ2 − t2 d τ2 ⎟ +
⎟
⎠
p2 − 2
p1 − 2
( p2 − 2 − k2 )!
( p − 2 − k )!
∑ 1 − t p2 −1−k2 p − 1 ! ∑ 1( p1 − 1)!1 f ( k1,k2 ) (1, 1) +
( 2 ) k1 =0
k2 =0 (
2)
p2 − 2
1
( p2 − 2 − k2 )!
1
∑ 1 − t p2 −1−k2 p − 1 ! ( p1 − 1)! ∫ f ( p1, k2 ) ( τ1, 1) ln τ1 d τ1 −
( 2 )
k2 =0 (
2)
0
−
p1 −2
∑ 1( p1 − 1)!1 ( p2 − 1)! ( f ( k , p −1) (1, 1) ln 1 − t2 −
k =0
(p
− 2 − k )!
1
1
2
1
1
− f(
∫
k1 , p2 )
(1,
t2
⎞
τ2 ) ln τ2 − t2 d τ2 ⎟ +
⎟⎟
⎠
1
+
(
1
1
p , p −1
ln τ1 d τ1 − f ( 1 2 ) ( τ1 , 1) ln 1 − t2 +
( p1 − 1)! ( p2 − 1)!
∫
η
⎞
( τ1, τ2 ) ln τ2 − t2 d τ2 ⎟⎟ .
⎟
t2
⎠
Введем определение многомерных гиперсингулярных интегралов в
предположении, что особая точка лежит на границе области интегрирования.
Как и выше, для простоты обозначений ограничимся двумерным случаем.
Рассмотрим интеграл
1
p,
+∫ f( 1
p2 )
11
Df =
∫∫
00
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
.
(
τ12 + τ22
)
p
2
Пусть η ( η > 0 ) – достаточно малое вещественное число. Введем обозначение Ωη = [ η, 1] × [ η, 1] .
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Определение 5. Конечной частью интеграла Df называется предел
⎡
⎤
⎢
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 g ( η) ⎥
⎥,
Df =
= lim ⎢
−
p
p
p −2 ⎥
η→0 ⎢
η
00
τ12 + τ22 2
τ12 + τ22 2
⎢ Ωη
⎥
⎣
⎦
11
∫∫
(
∫∫
)
(
)
(3)
где g ( η) – функция, удовлетворяющая следующим условиям:
1) предел (3) существует;
2) функция g ( η) имеет производные по крайней мере до ( p − 1) -го порядка в окрестности нуля.
Представим интеграл Df в виде выражения, пригодного для непосредственных вычислений, по крайней мере, для наиболее употребительных значений p (например, для p = 3 ). Для этого вычислим по частям интеграл
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
∫∫
(
Ωη
τ12 + τ22
)
3
2
1
1
∫ ∫
= d τ1
η
f ( τ1 , τ2 ) d τ2
(
η
τ12 + τ22
3
)2
и затем воспользуемся определением 5. В результате получаем формулу
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
= − 2 f (1, 1) +
∫∫
(
Ω
1
+
∫
(
τ12
1 + τ22
)
+ τ22
1
2
)
3
2
∫
(
)
1
1,0
τ12 + 1 2 f ( ) ( τ1 , 1) d τ1
τ1
0
0,1
f ( ) (1, τ2 ) d τ2
τ2
0
1
11
+
∫∫
(
τ12 + τ22
+
) 2 f (1,1) ( τ1, τ2 ) d τ1d τ2 .
1
τ1τ2
00
Аналогичные вычисления можно провести и для других значений параметра p .
В ряде случаев более удобным является следующее определение. Введем область Ω∗η = Ω \ R ( 0, η) , где R ( 0, η) – круг радиуса η с центром в начале координат.
Определение 6. Конечной частью интеграла Df называется предел
⎡
⎤
⎢
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 g ( η ) ⎥
⎥.
Df =
= lim ⎢
−
p
p
p −2 ⎥
η→0 ⎢ ∗
η
00
τ12 + τ22 2
τ12 + τ22 2
⎢ Ωη
⎥
⎣
⎦
11
∫∫
(
)
∫∫
(
)
(4)
Здесь на функцию g ( η ) налагаются следующие условия:
1) предел (4) существует;
2) функция g ( η ) имеет производные по крайней мере до ( p − 1) -го порядка в окрестности нуля.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Можно показать, что последние два определения эквивалентны.
Рассмотрим гиперсингулярный интеграл
Ef =
∫∫
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
Δ
(
τ12
+ τ22
)
p
,
2
где Δ – треугольник ABC с вершинами в точках A ( 0, 0 ) , B ( b, 0 ) , C ( c, d ) ,
0 < c ≤ b , 0 < d . Для определенности будем рассматривать прямоугольный
треугольник с прямым углом в точке B . Это обстоятельство, в связи со свойством аддитивности по области интегрирования гиперсингулярных интегралов,
не налагает никаких ограничений на рассматриваемые интегралы.
Пусть 0 < b1 < b . Обозначим через ΔA1B1C1 треугольник, подобный
треугольнику
ΔABC , с координатами в точках
C1 ( c1 , d1 ) .
A1 ( 0, 0 ) ,
B1 ( b1 , 0 ) ,
Определение 7. Пусть f ( t1 , t2 ) ∈ C2r (1) , r ≥ p . Конечной частью интеграла Ef называется предел
⎡
⎤
⎢ f (τ , τ ) dτ dτ
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
g
η
( ) ⎥⎥ ,
1 2
1 2
= lim ⎢
−
Ef =
p
p
η→0 ⎢
η p −2 ⎥
Δ
τ12 + τ22 2
τ12 + τ22 2
⎢ Δ1
⎥
⎣
⎦
∫∫
(
∫∫
)
(
)
(5)
где Δ1 = Δ \ ΔA1B1C1 .
На функцию g ( η) налагаются следующие условия:
1) в выражении (5) предел существует;
2) функция g ( η) имеет производные по крайней мере до ( p − 1) -го порядка в окрестности нуля.
Замечание. Интегралы вида Ef выделены отдельно, т.к. они находят
широкое применение в механике разрушений.
3 Определение оптимальных алгоритмов
вычисления гиперсингулярных интегралов
Рассмотрим гиперсингулярный интеграл
1
Jϕ =
∫
0
ϕ ( τ)
τv
dτ ,
(6)
где v = 2, 3, ... , ϕ ( τ ) ∈ W r (1) , r ≥ v , который будем вычислять по квадратурной формуле
Jϕ =
N
∑ pk ϕ ( sk ) + RN ( sk , pk , ϕ )
k =1
с узлами и весами sk и весами pk , k = 1, 2, ..., N .
28
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Если Ψ – некоторый класс заданных на сегменте [ 0, 1] функций, то
положим
RN ( sk , pk , Ψ ) = max RN ( sk , pk , ϕ ) .
ϕ∈Ψ
Через ζ N [ Ψ ] обозначим величину
ζ N [ Ψ ] = inf
( sk ,
pk )
RN ( sk , pk , Ψ ) ,
(8)
в которой нижняя грань берется по всевозможным N узлам sk и весами pk
( k = 1, 2, ..., N ). Квадратурную формулу (7), построенную по узлам sk* и
весам pk* ( k = 1, 2, ..., N ), будем, согласно работам [16, 17], называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если
(
RN sk* , pk* , Ψ
ζ N [Ψ]
) =1,
lim
(
RN sk* , pk* , Ψ
ζ N [Ψ]
N →∞
) =1, R
N
( sk* , pk* , Ψ ) ∪∩ ζ N [Ψ ]
∪
(слабая эквивалентность) означает, что имеются две
∩
константы A и B , не зависящие от N , и такие, что
соответственно. Знак
(
)
Aζ N [ Ψ ] ≤ RN sk* , pk* , Ψ ≤ Bζ N [ Ψ ] .
Аналогичным образом определяются оптимальные кубатурные формулы для многомерных гиперсингулярных интегралов.
4 Приближенные методы вычисления одномерных гиперсингулярных
интегралов с фиксированной особенностью
Рассмотрим гиперсингулярный интеграл
1
Jϕ =
∫
ϕ ( τ)
τv
0
dτ ,
(9)
где v = 2, 3, ... , ϕ ( τ ) ∈W r (1) , r ≥ v .
Сегмент
[0,1]
покроем более мелкими сегментами Δ k = [tk , tk +1 ] ,
q
r +1
⎛k ⎞
.
k = 0,1, ..., N − 1 , где tk = ⎜ ⎟ , k = 0, 1, ..., N , q =
r +1− v
⎝N⎠
Сегмент Δ 0 покроем еще более мелкими сегментами Δ 0, j = ⎡⎣t0, j , t0, j +1 ⎤⎦ ,
j
1 r +1−v )
j = 0,1,..., M − 1 , где M = [ ln N ] (
, t0, j =
, j = 0,1, ..., M .
1 r +1−v )
q
N [ ln N ] (
В каждом сегменте Δ k , k = 0,1, ..., N − 1 , функцию ϕ ( τ ) аппроксимируем интерполяционным полиномом Lr ( τ, Δ k ) , который строим по r + 1 узлу
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
tkj , k = 0,1, ..., N − 1 , j = 0,1, ..., r . В качестве узлов интерполяции можно взять
равноотстоящие узлы или узлы ортогональных полиномов, отображенных с
[ −1,1] на Δ k . Аналогично, в каждом сегменте Δ0, j , j = 0,1, ..., M − 1 , функ-
(
)
цию ϕ ( τ ) будем приближать интерполяционным полиномом Lr τ, Δ 0, j ,
j = 0,1, ..., M − 1 .
Интеграл J ϕ будем вычислять по квадратурной формуле
Jϕ =
(
M −1
Lr τ, Δ 0, j
∑ ∫
τv
j =0 Δ 0, j
)d τ + N −1 Lr ( τ, Δk )d τ + R ( ϕ) .
N
∑ ∫ τv
(10)
k =1 Δ k
Оценим погрешность квадратурной формулы (10).
Нетрудно видеть, что
RN ( ϕ ) ≤
ψ 0, j ( τ )
M −1
∑ ∫
τv
j =0 Δ 0, j
dτ +
N −1
∑ ∫
ψk ( τ)
k =1 Δ k
τv
dτ =
M −1
N −1
j =0
k =1
∑ r0, j + ∑ rk ,
(
(11)
)
где ψ k ( τ ) = ϕ ( τ ) − Lr ( τ, Δ k ) , при τ∈ Δ k , ψ 0, j ( τ ) = ϕ ( τ ) − Lr τ, Δ 0, j , при
τ ∈ Δ 0, j .
Отдельно оценим слагаемые при k = 0 и при 1 ≤ k ≤ N − 1 .
При k = 0 на сегменте Δ 0,0 , пользуясь определением интеграла Адамара, имеем
∫
Δ 0,0
ψ0 ( τ)
τ
v
t0,1
dτ =
∫
ψ 0,0 ( τ )
0
τv
dτ =
( v −2 )
⎡t0,1
ψ 0,0 ( τ )
1
1 ψ 0,0 ( η)
v −1)
(
⎢
dτ +
= lim
ψ
− ...
( η) ln η −
v
v − 1)! 0,0
v − 1)!
η
η→0 ⎢
(
(
τ
⎢⎣ η
∫
... −
( v − 3)! ψ′0,0 ( η) − ( v − 2 )! ψ 0,0 ( η) ⎤ =
⎥
( v − 1)! ηv −2 ( v − 1)! ηv−1 ⎥⎦
( v−2)
( )
1
1 ψ 0,0 t0,1
( v −1)
=
ψ 0,0 t0,1 ln t0,1 −
− ...
( v − 1)!
( v − 1)! t0,1
( )
( v − 3)! ψ′0,0 ( t0,1 ) − ( v − 2 )! ψ 0,0 ( t0,1 ) − 1 0,1 ψ( v ) τ ln τd τ.
... −
( )
v −2
v −1
( v − 1)! t0,1
( v − 1)! t0,1
( v − 1)! ∫0 0,0
t
Тогда
r0,0 =
∫
Δ 0,0
30
ψ 0,0 ( τ )
τ
v
( v−2)
( )
1
1 ψ 0,0 t0,1
( v −1)
dτ =
ψ 0,0 t0,1 ln t0,1 −
− ...
( v − 1)!
( v − 1)! t0,1
( )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
0,1
v − 3)! ψ′0,0 ( t0,1 ) ( v − 2 )! ψ 0,0 ( t0,1 )
(
1
(v)
... −
−
−
ψ 0,0 ( τ ) ln τd τ ≤
∫
−
−
v
v
2
1
( v − 1)! 0
( v − 1)! t0,1
( v − 1)! t0,1
t
( v−2)
⎡
ψ 0,0 t0,1
⎢ ( v −1)
≤ B ⎢ ψ 0,0 t0,1 ln t1 +
+ ... +
t0,1
⎢
⎢⎣
( )
( )
( )
ψ′0,0 t0,1
+
v−2
t0,1
+
( )
⎤
(v)
ψ 0,0 ( τ ) ln τd τ ⎥ .
⎥
0
⎦⎥
t0,1
ψ 0,0 t0,1
+
v −1
t0,1
∫
Оценим каждое слагаемое в отдельности. Используя неравенство
А. А. Маркова, обратные теоремы конструктивной теории функций [18],
можно показать, что
( )
ψ 0,0 t0,1
0
r0,0
=
( j)
j
r0,0
=
v −1
t0,1
( )
ψ 0,0 t0,1
( v −1− j )
t
r −v +1
≤ At0,1
≤A
r −v +1
≤ At0,1
≤A
0,1
1
N
r +1
1
N
r +1
1
;
ln N
1
, j = 1, 2, ..., v − 2 ;
ln N
( v −1) t ln t ≤ At r −v +1 ln t ≤ A 1 ;
( 0,1 ) 0,1 0,1
0,1
r +1
v −1
r0,0
= ψ 0,0
v
r0,0
t0,1
=
N
(v)
r −v +1
∫ ψ0,0 ( τ ) ln τd τ ≤ At0,1
ln t0,1 ≤ A
0
1
N r +1
.
Собирая полученные оценки, приходим к неравенству
∫
r0,0 =
ψ 0,0 ( τ )
Δ 0,0
τ
v
dτ ≤ A
1
N r +1
.
(12)
При k = 0 для сегментов Δ 0, j , j = 1, 2, ..., M − 1 имеем
M −1
M −1
r +1
h0,
j
j =1
j =1
0, j
∑ r0, j ≤ ∑ A t v
≤A
M −1 N vq
∑
j =1
( ln N )v ( r +1−v ) ×
jv
⎛
⎞
j +1
j
⎟
×⎜
−
⎜ N q ( ln N )1 ( r +1−v ) N q ( ln N )1 ( r +1−v ) ⎟
⎝
⎠
≤A
M −1
∑
1
v
j =1 j N
1
r +1
r +1
≤
1
1
1
1
.
≤A
≤A
r
+
1
ln N
ln N
N
N r +1
(13)
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Приступая к оценке слагаемых rk =
∫
ψk ( τ)
d τ при 1 ≤ k ≤ N − 1 , за-
τv
Δk
метим, что
∫
rk ≤
ψk ( τ)
Δk
τ
v
dτ ≤
1
∫
tkv Δ
k
A ⎡⎛ k + 1 ⎞ ⎛ k ⎞
≤ ⎢⎜
⎟ −⎜ ⎟
tkv ⎢⎣⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠
Следовательно,
q
ψk ( τ) d τ ≤
q ⎤ r +1
N −1
⎥
⎥⎦
⎛N⎞
⎜ ⎟
⎝k ⎠
qv
A
tkv
≤
⋅ hkr +1 ≤
A
N r +1
A
∑ rk ≤ N r .
.
(14)
k =1
Собирая оценки (12)–(14) и подставляя в выражение (11), окончательно
A
A
и, следовательно, RN ⎡W r (1) ⎤ ≤
. Оценка сверху
получаем RN ( ϕ ) ≤
r
⎣
⎦
N
Nr
получена.
В следующем разделе при исследовании многомерных гиперсингулярных интегралов на классе функций Clr (1) будет получена оценка снизу вели-
чины функционала ζ N ⎡Clr (1) ⎤ .
⎣
⎦
Повторяя рассуждения, проведенные в разделе 6, применительно к одномерному случаю можно показать, что ζ N ⎡W r (1) ⎤ ≥ AN − r .
⎣
⎦
Из сопоставления последних двух неравенств вытекает следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть Ψ = W r (1) . Среди всевозможных квадратурных
формул вида J ϕ =
N
∑ pk ϕ ( tk ) + RN ( tk , pk , ϕ)
оптимальной по порядку явля-
k =1
∪
ется формула (10). Ее погрешность равна RN [ Ψ ] N − r .
∩
5 Приближенное решение многомерных гиперсингулярных интегралов
с фиксированной особенностью на границе области
В этом разделе строятся оптимальные по порядку кубатурные формулы
для вычисления гиперсингулярных интегралов вида
Ff =
∫∫
Ω
f ( τ1 , τ2 , ..., τl ) d τ1d τ2 ...d τl
(
τ12
где Ω = [ 0,1] , p > l , f ∈ Clr , r ≥ p .
l
32
+ τ22
+ ... + τl2
)
p
2
,
(15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Интеграл (15) будем вычислять по кубатурным формулам
Ff =
N ρ1
ρl
∑ ∑ ∑ pk , i , ..., i f (i , ..., i ) ( M k ) + RN ( pk , i , ..., i ,
...
k =1 i1 =0 il =0
где
l
1
l
1
l
1
)
M k , f , (16)
i
∂ f ( τ1 , ..., τl )
i1 , ..., il )
(
f
, i = ( i1 , ..., il ) , i = i1 + ...+ il ,
( τ1, ..., τl ) =
i
i
∂τ11 ...∂τll
pk , i1 , ..., il
– коэффициенты кубатурной формулы (16), k = 1, 2, ..., N ,
i j = 0, 1, ..., ρ j , j = 1, 2, ..., l , ρ = ( ρ1 , ..., ρl ) , ρ = ρ1 + ...+ ρl , ρ ≤ r ,
M k ( k = 1, 2, ..., N ) – узлы кубатурной формулы (16), M k ∈ Ω .
Теорема 2. Пусть f ∈ Ψ ∈ Crl (1) . Для кубатурных формул вида (16)
справедливо неравенство ς N [ Ψ ] ≥ AN − r l .
Доказательство. Обозначим через Δ k множество точек t = ( t1 , ..., tl ) ,
расстояние от которых до точки Θ = ( 0, ..., 0 ) удовлетворяет неравенству
v
v
⎛ k ⎞
⎛ k +1⎞
⎜ ⎟ ≤ ρ (t, Θ) ≤ ⎜
⎟ , k = 0, 1, ..., M − 1 .
⎝M ⎠
⎝ M ⎠
Здесь ρ ( t , Θ ) = min min ( tk , 1 − tk ) , v = ( r + l ) ( r + l − p ) . Величина
1≤k ≤l
M будет определена ниже.
v
v
v
⎛ 1 ⎞
⎛ k +1⎞ ⎛ k ⎞
Введем обозначения: h0 = ⎜ ⎟ , hk = ⎜
⎟ − ⎜ ⎟ , k = 1, 2, ..., M − 1 .
⎝M ⎠
⎝ M ⎠ ⎝M ⎠
Каждую из областей Δ k покроем кубами с ребрами длиной hk параллельными осям координат. То обстоятельство, что в каждой из областей Δ k может
оказаться несколько параллелепипедов, у которых, наряду с ребрами длиной
hk , имеются ребра с меньшей длиной, не влияет на дальнейшие рассуждения.
Для краткости в дальнейшем кубы и параллелепипеды, покрывающие область
Δ k , будем называть кубами. Обозначим кубы, покрывающие область Δ k , че-
рез Δik , ..., i , k = 1, 2, ..., M − 1 .
1
l
Оценим число m кубов Δik , ..., i , покрывающих область Ω . Очевидно,
1
l
m
∪ l
M .
∩
В самом деле
v
⎛
⎛ k +1⎞
⎜
⎜
⎟
∪ M −1⎜
⎝ M ⎠
m
∩ k =1 ⎜ ⎛ k + 1 ⎞v ⎛ k
⎜⎜
⎜ M ⎟ −⎜ M
⎠ ⎝
⎝⎝
∑
⎞
⎟
⎠
v
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
l −1
l −1
v
∪ M −1⎛ ( k + 1) ⎞
⎜
⎟
∩ k =1 ⎜ ( k + θ )v −1 ⎟
⎝
⎠
∑
∪ M −1 l −1 ∪
k
Ml,
∩ k =1
∩
∑
где 0 < θ < 1 .
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
При этом нетрудно видеть, что число параллелепипедов Δik , ..., i , у ко1
l
торых по крайней мере одно из ребер будет меньше hk , k = 1, 2, ..., M − 1 ,
не превосходит величину порядка M l −1 .
Теперь можно определить величину M . Так как кубатурная формула
(16) использует N узлов, то для получения оценки снизу погрешности кубатурной формулы (16) нужно покрыть область Ω не менее чем 3N кубами
Δik , ..., i , k = 1, 2, ..., M − 1 .
1
l
Выберем M таким образом, чтобы число m элементов покрытия
Δik , ..., i , k = 0, 1, ..., M − 1 , удовлетворяло неравенству m ≥ 3N . Очевидно,
1
l
1
∪
для этого достаточно положить M [3N ]l + 1 .
∩
Так как в результате описанного построения область Ω оказалась покрытой более чем 3N кубами и параллелепипедами Δik , ..., i и т.к. число паl
1
раллелепипедов
Δik , ..., i
1
l
, у которых длина по крайней мере одного ребра
меньше hk , k = 1, 2, ..., M − 1 , есть величина порядка M l −1 , то имеется по
крайней мере N кубов Δik , ..., i с ребрами, равными hk , k = 0, 1, ..., M − 1 , в
1
l
которых нет узлов кубатурной формулы (16). Назовем эти кубы отмеченными. Пусть Δik , ..., i = [aik , aik +1; ...; aik , aik +1 ] – отмеченный куб. В этом кубе
1
l
1
l
1
l
построим функцию
((
)(
))
)(
)(
r
⎛
t1 − aik aik +1 − t1 ... tl − aik aik +1 − tl
⎜
1
1
l
l
⎜A
при t ∈ Δik , ..., i ,
k
2
1
r
l
−
(
)
l
1
ϕi , ..., i ( t ) = ⎜
hk
1
l
⎜
⎜⎜ 0 при t ∉ Δ k
.
i1 , ..., il
⎝
Здесь константа A подбирается из условия, чтобы функция
((
A t1 − aik
1
)( a
k
−t
i1 +1 1
)...(t − a )( a
l
k
il
k
−t
il +1 l
)) h
r − r 2l −1
( )
k
принадлежала
классу
Clr (1) . Очевидно, такая константа существует и не зависит от индексов k и
i1 , ..., il . В неотмеченных кубах положим ϕik , ..., i ( t ) ≡ 0 .
1
l
Сплайн, являющийся объединением функций ϕik , ..., i ( t ) , обозначим
1
l
через ϕr ( t ) .
Нетрудно видеть, что
ς N ⎡Clr (1) ⎤ ≥
⎣
⎦
34
∫∫
Ω
ϕr ( τ1 , ..., τl ) d τ1...d τl
(( τ − t )
1
1
2
+ ... + ( τl − tl )
2
)
p
≥
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
≥
M −1
∑ ∑
∫∫
'
k =0 i1 , ..., il Δ k
i1 , ..., il
≥
M −1
∑ ∑
k =0 i1 , ..., il
ϕir , ..., i ( τ1 , ..., τl ) d τ1...d τl
1
(( τ − t )
1
'
1
A1hkr +l
2
+ ... + ( τl − tl )
1
( (k + 1)
⎛ ⎛ k + 1 ⎞v ⎛ k
≥
−
A1 ⎜ ⎜
⎜ ⎝ M ⎠⎟ ⎝⎜ M
k =0 i1 , ..., il
⎝
M −1
∑ ∑
≥
M −1
∑ ∑
k =0 i1 , ..., il
'
A1
≥
l
'
⎞
⎟
⎠
M)
v ⎞r +l
⎟
⎟
⎠
vp
2
)
p
2
≥
⎛ M ⎞
⎜
⎟
⎝ k +1⎠
vp
≥
( k + θ )( v−1)( r +l )
A1N
AN
1
≥
≥ 1
( k + 1)vp M v( r − p +l ) M v( r − p ) M r +l
где суммирование ведется по отмеченным кубам.
=
A1
Nr l
,
( )
Напомним, что здесь v = ( r + l ) ( r + l − p ) , M = O N 1 l , 0 < θ < 1 .
Таким образом, получена оценка снизу погрешности кубатурной формулы вида (16) на классе Clr : ς N ⎡Clr (1) ⎤ ≥ AN −r l .
⎣
⎦
Построим кубатурную формулу, с таким порядком погрешности. Пусть
N – целое число. Обозначим через Δ k области, состоящие из точек
t = ( t1 , ..., tl ) , для которых расстояние до начала координат удовлетворяет неравенствам
v
v
⎛k ⎞
⎛ k +1⎞
⎜ ⎟ ≤ ρ ( x, Θ ) ≤ ⎜
⎟ , k = 0, 1, ..., N − 1 , v = ( r + l ) ( r + l − p ) .
⎝N⎠
⎝ N ⎠
ми,
Впишем в каждую из областей Δ k максимальное число кубов с ребрапараллельными осям координат, с длинами ребер, равными
v
v
⎛ k +1⎞ ⎛ k ⎞
hk = ⎜
⎟ − ⎜ ⎟ , k = 1, 2, ..., N − 1 . Незаполненную кубами часть области
⎝ N ⎠ ⎝N⎠
Δ k покрываем параллелепипедами с ребрами, параллельными координатным
осям, причем часть ребер имеет длину hk , а остальные меньше hk . Как и
раньше, такое покрытие обозначим через Δik , ..., i , k = 0, 1, ..., N − 1 .
1
l
Обозначим через Lr ( ϕ, [ a, b ]) полином порядка r , интерполирующий
функцию ϕ ( t ) , t ∈ [a, b] , по r + 1 узлу. Отметим, что в качестве узлов интерполяции можно взять отображение с сегмента [−1, 1] на сегмент [a, b] корней
ортогональных полиномов, определенных на сегменте [−1, 1] или, при небольших значениях r , равноотстоящие узлы.
Пусть ϕ ( t1 , ..., tl ) – функция l независимых переменных, определенных в параллелепипеде [a1 , b1; ...; al , bl ] .
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Введем полином ϕr , ..., r ( t1 , ..., tl ; [a1 , b1; ...; al , bl ]) , определенный
оператором интерполяции
( ((
)
)
)
Lr , ..., r ( ϕ, [a1 , b1; ...; al , bl ]) = Ltr1 Ltr2 ... Ltrl ( ϕ,[al , bl ]) , ... , [a2 , b2 ] , [a1 , b1 ] ,
т.е. функцию ϕ ( t1 , ..., tl ) в начале интерполируем по r узлам по переменной tl на сегменте [al , bl ] , затем полученное выражение интерполируем по
переменной tl −1 на сегменте [al −1 , bl −1 ] и т.д., пока не проведем интерполяцию по переменной t1 на сегменте [a1 , b1 ] . Верхний индекс в обозначении
оператора Ltri , i = 1, 2, ..., l , обозначает переменную, по которой проводится
интерполяция; сам оператор Lr описан выше. В каждом кубе Δik , ..., i ,
1
l
k = 0, 1, ..., N − 1 функцию ϕ ( t1 , ..., tl ) аппроксимируем интерполяцион-
)
(
ным полиномом ϕr , ..., r t1 , ..., tl ; Δik , ..., i .
1
l
Для вычисления интеграла (15) введем кубатурную формулу
Gf =
N −1
∑ ∑ ∫ ... ∫
k =0 i1 , ...,
(
)
ϕr , ..., r τ1 , ..., τl ; Δik , ..., i d τ1...d τl
1
l
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
il Δ k
i1 , ..., il
p
+ RN ( ϕ ) . (17)
2
Оценим погрешность кубатурной формулы (17). Нетрудно видеть, что
RN ( ϕ ) ≤
N −1
∑ ∑
∫ ∫
...
(
(
k =0 i1 , ..., il Δ k
i1 , ..., il
∫ ∫
где I1 = ...
I2 =
τ12
+ τ22
ψ r , ..., r ( τ1 , ..., τl ; Δ 0 ) d τ1...d τl
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
Δ0
N −1
∑ ∑
k =1 i1 , ...,
(
)
ψ r , ..., r τ1 , ..., τl ; Δik , ..., i d τ1...d τl
1
l
∫ ... ∫
p
+ ... + τl2
)
p
= I1 + I 2 ,
2
,
2
(
)
ψ r , ..., r τ1 , ..., τl ; Δik , ..., i d τ1...d τl
1
l
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
il Δ k
i1 , ..., il
)
p
.
2
(
)
Здесь ψ r , ..., r t1 , ..., tl ; Δ ik , ..., i = ϕ ( t1 , ..., tl ) − ϕr , ..., r t1 , ..., tl ; Δ ik , ..., i ,
1
l
1
l
( t1,
..., tl ) ∈ Δik , ..., i , k = 0, 1, ..., N − 1 .
1
l
Оценим в отдельности каждое из выражений I1 и I 2 .
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
При оценке интеграла I1 воспользуемся определением гиперсингулярного интеграла. Для удобства представим интеграл I1 в виде суммы двух интегралов:
I1 =
ψ r , ..., r ( τ1 , ..., τl ; Δ 0 ) d τ1...d τl
∫ ... ∫
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
Δ0,0
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
Δ 0,1
∫ ∫
...
∫ ∫
≤
2
ψ r , ..., r ( τ1 , ..., τl ; Δ 0 ) d τ1...d τl
(
Δ 0,0
+ ...
p
τ12 + τ22 + ... + τl2
)
(
Δ 0,1
+ τ22
+ ... + τl2
)
p
+
p 2
ψ r , ..., r ( τ1 , ..., τl ; Δ 0 ) d τ1...d τl
τ12
+
2
ψ r , ..., r ( τ1 , ..., τl ; Δ 0 ) d τ1...d τl
∫ ∫
+ ...
≤
p
= I1,0 + I1,1 ,
2
где Δ 0, 0 – пересечение куба Δ 0 с шаром радиуса h0 с центром в начале координат, Δ 0, 1 = Δ 0 \ Δ 0, 0 .
Очевидно,
...
η→0 ∫ ∫
I1,0 = lim
Δ 0,0
ψ ( τ1 , ..., τl ) d τ1...d τl
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
∫ ∫
I1,1 = ...
p
≤
Ah0r +l −1
2
ψ ( τ1 , ..., τl ) d τ1...d τl
( τ12 + τ22 + ... + τl2 )
Δ 0,1
p
h0 l −1
ρ
η→0 ∫
lim
ρ
η
≤ Ah0r +l − p ≤
2
p
dρ =
A
N r +l
A
N r +l
,
.
A
Следовательно, I1 ≤ I1, 0 + I1, 1 ≤
.
N r +l
Приступим к оценке суммы I 2 . Очевидно,
I2 ≤
N −1
∑ ∑ ∫ ∫
...
k =1 i1 , ..., il Δ k
i1 , ..., il
)
(
ψ r , ..., r τ1 , ..., τl ; Δik , ..., i d τ1...d τl
1
l
(
τ12
+ τ22
+ ... + τl2
)
p
≤
2
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
N −1
⎛N⎞
≤A
⎜ ⎟
k
k =1 i1 , ..., il ⎝ ⎠
∑ ∑
⎛N⎞
≤ An ⎜ ⎟
⎝k ⎠
vp
vp ⎛
v
⎛ k +1⎞ ⎛ k ⎞
⎜⎜
−
⎜ ⎝ n ⎟⎠ ⎜⎝ n ⎟⎠
⎝
( k + θ )( v−1)( r +l ) ≤
N
v( r + l )
v ⎞ r +l
⎟
⎟
⎠
An
N r +l
≤
,
где n – число элементов покрытия области Ω кубами и параллелепипедами
Δik , ..., i , k = 1, 2, ..., N − 1 ; 0 < θ < 1 .
1
l
Повторим рассуждения, приведенные выше при оценке снизу функционала ς N ⎡Clr (1) ⎤ для кубатурных формул вида (16), получаем соотноше⎣
⎦
∪ l
ние n N . Отсюда следует, что
∩
I1 ≤
A
N
I2 ≤
r +l
A
N
r
≤
≤
A
n
r l +1
A
nr l
;
.
(18)
(19)
A
.
Из неравенств (18) и (19) получаем оценку RN ( ϕ ) ≤
nr l
В кубатурной формуле (17) используется n r l узлов. Поэтому предыA
, где n* – число уздущую оценку можно представить в виде RN ( ϕ ) ≤
n*r l
лов кубатурной формулы (15).
Так как предыдущая оценка справедлива для произвольной функции
r
ϕ∈ Cl (1) , то
A
RN ⎡Clr (1) ⎤ ≤
.
⎣
⎦ nr l
*
(20)
Из сопоставления оценки ζ N ⎡Clr (1) ⎤ ≥ An −r l и неравенства (20) сле⎣
⎦
дует, что
∪ −r l
.
RN ⎡Clr (1) ⎤
n
⎣
⎦ ∩ *
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть Ψ = Clr (1) . Среди всевозможных кубатурных формул
вида (16) оптимальной по порядку является формула (17). Ее погрешность рав∪ −r l
на RN [ Ψ ]
, где n* – число узлов кубатурной формулы (17).
n
∩ *
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
n*
∪
∩
Физико-математические науки. Математика
Замечание. Величины N и n* связаны между собой выражением
Nl .
6 Модельные примеры
Приведем ряд примеров, иллюстрирующих эффективность предложенного метода.
Рассмотрим модельный пример [8]
1
I1 =
∫
2
0t
dt
=
( t − 2 )2 + 1
(
)
2
2
1
5 ln ⎡10 10 − 3 ⎤ −
5−
2.
⎣
⎦
25
25
5
ϕ(t ) =
Как видно, плотность интеграла
1
(t − 2)
2
+1
∈W r (1) , где
r = 1, 2, ... Вычисления проводились по квадратурной формуле (10) при раз-
личных значения N , где N – число элементов покрытия отрезка [ 0,1] . Абсолютная погрешность для N = 3...10 при r = 2 имеет порядок 10−4...10−6 и
при r = 5 , соответственно, 10−6...10−7 .
Рассмотрим следующий модельный пример:
1
I2 =
∫
(1 − t 2 )
52
t
0
dt
2
(
Плотность интеграла ϕ ( t ) = 1 − t 2
=−
)
52
15
π.
16
∈W 2 (1) . Значения абсолютной
погрешности вычисления I 2 , согласно квадратурной формуле (10), для
N = 2...12 при r = 2 имеет порядок 10−2...10−4 и при r = 3 соответственно
10−3...10−5 .
Далее рассмотрим модельный пример для двумерного случая
11
I=
∫∫
f ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
τ12 τ22
00
52
где решение f ( τ1 , τ2 ) = (1 − τ2 )
Вычислительная схема
I=
1 1 Tr
∫∫
00
(
=
15
3
π+ ,
16
2
− τ12 − τ32 .
⎡ Lτ2 Lτ1 ( f ( τ , τ ) )
1 2
⎢⎣ n n
τ12 τ22
)⎤⎥⎦ d τ1d τ2 ,
где Lτni ( f ( τ1 , τ2 ) ) – интерполяционный полином степени n по переменной
τi , i = 1, 2 ; Tr ⎡⎣ ϕ ( τ1 , τ2 ) ⎤⎦ – ряд Тейлора порядка r = n по каждой переменной
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
для функции ϕ ( τ1 , τ2 ) в окрестности точки ( 0,0 ) . Значение абсолютной погрешности при n = 6...10 имеет порядок 10−2...10−3 .
Список литературы
1. Н е к р а с о в, А . И . Теория крыла в нестационарном потоке / А. И. Некрасов. –
М. : Изд-во АН СССР, 1947. – С. 3–65.
2. Э ш л и , Х . Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов / Х. Эшли,
М. Лэндал. – М. : Машиностроение, 1969. – 130 с.
3. Б и с п л и н г х о фф, Р . Аэроупругость / Р. Бисплингхофф, Х. Эшли, Р. Халфмен. –
М. : Изд-во иностранной литературы, 1958. – 284 с.
4. Л и фа н о в , И . К . Метод сингулярных интегральных уравнений и численный
эксперимент / И. К. Лифанов. – М. : ТОО «Янус», 1995. – 520 с.
5. Бо г о л ю б о в , Н . Н . Применение методов Н. И. Мусхелишвили в теории элементарных частиц / Н. Н. Боголюбов, В. А. Мещеряков, А. Н. Тавхелидзе // Труды
симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. –
Тбилиси : Мецниереба, 1971. – 1 т. – С. 5–11.
6. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Н. Ф. Добрынина, Л. Н. Домнин. – Пенза : Изд-во Пенз. ГТУ, 1996. – 188 с.
7. Bo ik o v , I . V . Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals / I. V. Boikov // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2001. – V. 28. – № 3. – P. 127–179.
8. M o n e g a t o , G . The Numerical Evaluation of One-Dimensional Cauchy Principal
Value Integrals / G. Monegato // Computing. – 1982. – V. 20. – P. 337–354.
9. М и х а с ь к и в , В. В. О численном решении трехмерных статических задач теории упругости для тела с включением неканонической формы / В. В. Михаськив,
Б. М. Стасюк // Прикладная механика. – 2007. – Т. 43. – № 4. – С. 27–35.
10. Гравиразведка / под ред. Е. А. Мудрецовой. – М. : Наука, 1981. – 398 с.
11. Г е л ь фа н д, И . М . Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. – Вып. 1. – М. : Физматгиз, 1959. – 470 с.
12. А да м а р , Ж . Задача Коши для линейных уравнений с частными производными
гиперболического типа / Ж. Адамар. – М. : Наука, 1978. – 352 с.
13. Ч и к и н , Л. А . Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярные интегральные уравнения / Л. А. Чикин // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. – 1953. –
Т. 113. – № 10. – C. 53–105.
14. Л и н ь к о в , А . М . Гиперсингулярные интегралы в плоских задачах теории упругости / А. М. Линьков, С. Г. Могилевская // ПММ. – 1980. – Т. 54. – № 1. – С. 116–122.
15. Л и н ь к о в , А . М . Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / А. М. Линьков. – СПб. : Наука, 1999. – 382 с.
16. Ба х в а л о в , Н . С . О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / Н. С. Бахвалов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. – 1970. –
Т. 10. – № 3. – С. 555–568.
17. И в а н о в, В. В. Об оптимальных алгоритмах численного решения сингулярных
интегральных уравнений / В. В. Иванов // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. – М. : Наука, 1972. – С. 209–219.
18. Н а та н с о н, И . П . Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М. ; Л. :
ГИФМЛ, 1949. – 688 с.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
УДК 514.126
А. И. Долгарев
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ
4-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ ГАЛИЛЕЯ
Продолжается изучение кривых 4-мерного пространства-времени Галилея. Исследуется зависимость между кривыми 4-мерного пространства Галилея и кривыми 3-мерного евклидова пространства. Получены соотношения
между их кривизнами. Рассмотрены вопросы уплощения кривых. Найдены
кривые, имеющие постоянные кривизны. Оказалось, что условие постоянства
всех кривизн кривой 4-мерного пространства Галилея влечет вложимость кривой в 3-мерное подпространство.
Геометрия 3-мерного пространства-времени Галилея содержится в [1].
3-мерное пространство-время объединяет 1-мерное время и 2-мерное евклидово пространство. В [1] определено галилеево скалярное произведение векторов
и на его основе – галилеево расстояние между точками (его свойства отличны
от свойств евклидова расстояния между точками); построена теория кривых. В
[2] положения 3-мерной геометрии Галилея использованы для описания траекторий движущейся материальной точки по заданному полю ускорений точки.
Тем самым решена задача И. Ньютона описания механического движения точки с двумя степенями свободы. О задаче И. Ньютона см. [3]. Первые свойства
кривых 4-мерного пространства-времени Галилея содержатся в работе [4]. При
этом взяты за основу методы теории кривых евклидовой геометрии, это означает, что в [4] рассматривается стандартная теория кривых пространства Галилея.
Настоящая работа является непосредственным продолжением [4], в ней изучаются специальные вопросы теории галилеевых кривых, использующие специфику одулярных галилеевых пространств. Пространство Галилея является коммутативным и линейным одулярным пространством. Об одулярных галилеевых
3-мерных пространствах см. [1]. Ниже рассматриваются зависимости между
кривыми пространства Галилея и евклидовыми кривыми, получены соотношения между их кривизнами; описаны кривые, имеющие постоянные кривизны,
изучены случаи уплощения кривых. Установлено, что если все кривизны галилеевой кривой постоянны, то кривая не более чем 3-мерна.
1 Пространство Галилея размерности 4
Начало изучению кривых 4-мерного пространства-времени Галилея положено в [4]. Ниже в разделах 1 и 2 приведены основные определения и результаты из этой работы.
1.1 Галилеево векторное пространство
4-мерное пространство-время Галилея определяется на аффинном пространстве A3 посредством введения галилеевой нормы векторов в его линейном пространстве. Векторы записываем в виде x = ( x, xi ) , i = 1, 2,3 выделяя
первую компоненту. Галилеевой нормой (модулем) x вектора x называется
x = x , если x ≠ 0 ; x =
∑ ( xi )2 , если x = 0 .
i
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Галилеева норма векторов относится к квазинормам. Обозначение галилеева векторного пространства: VΓ4 . Первая компонента x вектора x является временной, смысл этой компоненты – время; компоненты x1 , x 2 , x3 –
пространственные. Векторы (0, x1 , x 2 , x3 ) имеют евклидову норму. Если
x ≠ 0 , то векторы ( x, xi ) называются галилеевыми; а векторы (0, xi ) называются евклидовыми, они еще записываются в виде r = ( x1 , x 2 , x3 ) , как
3-мерные евклидовы векторы. Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору. Векторы τ = (t ,0,0,0) составляют 1-мерное евклидово пространство VE1 , векторы (0, x1 , x 2 , x3 ) , как и векторы r = ( x1 , x 2 , x3 ) ,
составляют 3-мерное евклидово пространство VE3 . Имеем галилеево векторное пространство VΓ4 как прямую сумму евклидовых пространств
VΓ4 = VE1 + VE3 .
Базис Б = (e , i , j , k ) пространства VΓ4 состоит из базисного вектора
пространства VE1 и базиса пространства VE3 . Вектор e является единичным
вектором направления времени. Всякий вектор x = ( x, xi ) однозначно разлагается по векторам базиса:
x = xe + x1i + x 2 j + x3k = xe + r ,
xe – временная составляющая вектора x ; r – пространственная составляющая.
Векторные функции γ (v) = ( x(v), xi (v)) одного параметра, v ∈ I , где I –
интервал в R, со значениями в галилеевом пространстве VΓ4 дифференцируются покомпонентно.
1.2 Пространство-время Галилея
Аффинное пространство, в линейном пространстве которого задана галилеева норма векторов, называется пространством Галилея, 4-мерное пространство Галилея обозначается Г 4 . Оно является прямой суммой действительной оси времени R = E1 т.е. 1-мерного евклидова пространства и
3-мерного евклидова пространства E3 : Г 4 = E1 + E3 . Репер В = (O, e , i , j , k )
пространства Г 4 состоит из начала отсчета O – точки из Г 4 , и базиса векторного пространства Б = (e , i , j , k ) . Через начало O проходит 3-мерное евклидово пространство E3 = < O, i , j , k > , через всякую точку P пространства
Галилея Г 4 проходит единственное 3-мерное евклидово пространство
E3 = < P, i , j , k > . Направление времени в пространстве Галилея Г 4 в точке
P есть полупространство пространства Галилея Г 4 с границей < P, i , j , k > ,
которое содержит точку M , определяемую условием: вектор OM = e есть
вектор времени.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Точки пространства Галилея называются еще событиями, Г 4 называется пространством событий. Если заданы точки A = ( a, ai ) , B = (b, bi ) , то вектор AB равен
AB = (b − a, bi − ai ) .
Расстоянием AB между точками А и В называется норма вектора AB .
Галилеево расстояние между точками А и В, согласно п. 1.1, равно
AB = b − a , если a ≠ b ; AB =
∑ (bi − ai )2 , если a = b .
i
События A и B одновременны при a = b . Множество всех событий,
одновременных между собой, есть 3-мерное евклидово пространство. Расстояние между неодновременными событиями (точками) равно интервалу
времени между этими событиями. Расстояние между одновременными событиями – это евклидово расстояние между точками евклидова пространства.
2 Кривые пространства Галилея Г 4
2.1 Кривые в естественной параметризации
Регулярные кривые пространства-времени Галилея Г 4 изучаются в [4].
Рассматриваются кривые класса C 4 естественной параметризации, имеющие
галилеевы касательные векторы:
γ (t ) = (t , xi (t )) , t ∈ I ⊆ R,
(1)
они называются г-кривыми. Длина дуги кривой γ (t ) от точки t0 до точки t1
равна t1 − t0 . г-кривая (1) записывается в виде
γ (t ) = te + xi (t )ei .
Векторная функция xi (t )ei – евклидова, линия xi (t )ei лежит в пространстве E3 , обозначается r (t ) , т.е. r (t ) = xi (t )ei ; теперь
γ (t ) = te + r (t ) .
(2)
Кривая r (t ) называется евклидовой проекцией г-кривой γ (t ) . Первое
слагаемое te в (2) является временной составляющей г-кривой γ (t ) , параметр
t обозначает время, второе слагаемое r (t ) является пространственной составляющей г-кривой γ (t ) . Время течет вперед, т.е. t > 0 . Функция γ (t ) описывает некоторое событие во времени, это функция мировой линии события.
Имеется биекция между евклидовыми кривыми r (t ) пространства E3 и
г-кривыми γ (t ) пространства Галилея:
r (t ) ↔ te + r (t ) , t ∈ I .
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2.2 Кривизны галилеевой кривой
Кривую (1) рассматриваем в окрестности обыкновенной точки P . Вектор касательной
s = γ (t ) = (1, xi (t ))
г-кривой γ (t ) (1) является единичным, см. определение нормы вектора в
п. 1.1. Время в пространстве Галилея Г 4 течет равномерно, поэтому γ = const.
Далее получаем
s = γ (t ) = (0, xi (t )) = r (t ) .
Вектор r (t ) евклидов. По п. 1.1 r ⊥ s . Вектор r (t ) называется вектором главной нормали кривой γ (t ) в точке P . Если n1 – единичный вектор
главной нормали, то γ = k1 n1 . Величина k1 = r = γ называется первой
кривизной кривой (1).
Векторы сопровождающего репера ( P, s , n1 , n2 , n3 ) кривой таковы. Вектор n2 получим из равенства n1 = n1 n2 , n2 ⊥ n1 , величина n1 = k2 называется второй кривизной кривой (1) γ (t ) . Наконец, n3 = n1 × n2 . Имеем аналог
формул Френе для кривой пространства Галилея Г 4 :
s = k1 n1 , n1 = k2 n2 , n2 = – k2 n1 – k3 n3 , n3 = k3 n2 ,
величина k3 называется третьей кривизной кривой (1).
Приведем вычислительные формулы для векторов сопровождающего
репера и кривизн кривой (1):
n1 =
n
r
(r r )
1
, n2 = 1 ( r − r
) , n3 = n1 × n2 =
r ′′ × r ′′′ ;
2
2
k1
k2
k1
k1 k2
k1 = γ = r = x 2 + y 2 + z 2 .
Пусть a (t ) – произвольный евклидов вектор, обозначим n =
(3)
a (t )
.
a (t )
Каппа-функцией κ( a ) вектора a (t ) , согласно [1, c. 60], называется норма n′
вектора n′ . Имеем:
κ( a ) =
a × a′
a
2
=
(a 2 a′3 − a3a′2 )2 + (a1a′3 − a3a′1 )2 + ( a1a′2 − a 2 a′1 )2
(a1 ) 2 + (a 2 )2 + (a3 ) 2
. (4)
Вторая кривизна k2 кривой γ (t ) является κ -функцией вектора r (t ) :
k2 = κ(r ) , по соотношению (4) имеем векторное выражение:
k2 =
44
r ×r
r
2
.
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Согласно соотношению (4), вычислительная формула для второй кривизны:
k2 =
( y z − z y )2 + ( x z − z x )2 + ( x y − y x )2
x2 + y 2 + z 2
.
(6)
Третья кривизна кривой γ (t ) равна
k3 = −
r r r⋅ r
r ×r
2
,
(7)
выражение в координатах:
k3 = −
(( y z − z y ) x − ( x z − z x ) y + ( x y − y x ) z ) k1
( y z − z y )2 + ( x z − z x )2 + ( x y − y x )2
.
(8)
3 Связь между кривой и ее евклидовой проекцией
3.1 Кривая скорости
Пространство Галилея относится к обширному классу одулярных галилеевых пространств, в основе которых лежат одули Ли, определенные на
группах Ли посредством введения внешней операции умножения элементов
группы Ли на действительные числа. Коммутативным частным случаем одуля Ли является арифметическое линейное пространство R n . Одулярные галилеевы пространства строятся в общей схеме в векторной аксиоматике Г.
Вейля. Из всех галилеевых пространств выделяется классическое пространство Галилея коммутативностью и линейностью своей геометрии. Одулярные
галилеевы геометрии с 3-мерными разрешимыми одулями Ли изучаются в
[1]. По методам исследования и результатам одулярная геометрия существенно отличается от геометрии групп Ли. В [1] рассматриваются 3-мерные
геометрии с пятью видами одулей Ли: линейным пространством, растраном,
сибсоном, диссоном и осцилляторным одулем. Геометрические cвойства пространств с разными одулями Ли различны. Чем больше размерность одулей
Ли, тем больше их видов существует. Регулярные кривые и поверхности одулярных пространств описываются одулярными функциями, превращающимися в коммутативном случае в векторные функции. Дифференцируются
одулярные функции по своим правилам, но начиная с производных второго
порядка в некоторых случаях правила дифференцирования одулярных функций совпадают с правилами дифференцирования векторных функций. Этот
факт позволяет в разных одулярных геометриях применять для решения одних и тех же геометрических задач одинаковые приемы. В [5] решается задача получения кривых одулярных пространств по функциям кривизны и кручения. При этом производные первого порядка одулярных функций, описывающих кривые, по функциям кривизны и кручения во всех одулярных пространствах находятся одинаково. А для получения самих функций, описывающих кривые, используются специфические свойства кривых каждого из
одулярных пространств. Если задана кривая ω(t ) одулярного пространства,
то ее кривизны определяются на основе производных ω′′(t ), ω′′′(t ), ... более вы45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
сокого порядка, которые являются векторными функциями. Получение функции ω′(t ) по функциям кривизн использует свойства векторных функций, а
получение функции ω(t ) по ее первой производной ω′(t ) уже использует
специфику одулярных функций того пространства, в котором кривая лежит.
Если функция ω(t ) описывает мировую линию движущейся материальной точки, то функция ω′(t ) описывает мировую линию скорости движения точки, которая в качестве пространственной составляющей имеет евклидову кривую r ′(t ) , это кривая скорости движущейся точки. Свойства кривой
скорости для траекторий точек во всех одулярных пространствах одинаковы
и совпадают со свойствами кривой скорости пространства Галилея.
3.2 Зависимости между кривизнами
Вместе с галилеевой кривой (1) γ (t ) = te + r (t ) пространства Г 4 рассматриваем кривую γ (t ) = e + r (t ) . Евклидова кривая r (t ) называется кривой
скорости для галилеевой кривой γ (t ) . Сравним кривизны кривых γ (t ) и r (t ) .
Параметр t для галилеевой кривой (1) является естественным, а для евклидовой кривой r (t ) он естественным не является. Поэтому для записи производных функции r (t ) используем штрихи. Кривую скорости обозначаем
c (t ) = r ′(t ) .
(9)
Кривизны галилеевой кривой ранее обозначены k1 , k2 , k3 . Евклидова
кривая c (t ) обладает двумя кривизнами, которые обозначаем k1c , k2c .
Теорема 1. Кривизна k1c и кручение k2c кривой скорости c (t ) = r ′(t )
движения материальной точки с мировой линией γ (t ) = te + r (t ) , имеющей
кривизны k1 , k2 , k3 , выражаются через эти кривизны равенствами
k
k
k1c = 2 , k2c = 3 , v = k1 ,
k1
k1
(10)
причем k1 есть величина скорости движения по кривой c (t ) и величина ускорения движения точки по траектории r (t ) .
# Кривизна k1c евклидовой кривой c (t ) , как известно, вычисляется по
формуле
k1c =
c′ × c′′
c′
3
.
С использованием обозначения (9) имеем выражение кривизны k1c через производные функции r (t ) :
k1c =
46
r ′′ × r ′′′
r ′′
3
.
(11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Для галилеевой кривой (1) γ (t ) выполняются формула (3) k1 = r ′′ и
r ′′ × r ′′′
, сравнивая равенства (11) и (6), приходим к соотформула (6) k2 =
2
r ′′
ношению
k
k1c = 2 ,
k1
первому из (10). Известно, что кручение k2c евклидовой кривой c (t ) в произвольной параметризации равно
k2c =
c′c′′c′′′
c′ × c′′
2
.
С учетом выражения (9) эта формула принимает вид
k2c =
r ′′r ′′′r ′′′′
r ′′ × r ′′′
2
.
(12)
Для третьей кривизны k3 галилеевой кривой γ (t ) выполняется (7);
сравнивая (12) и (7), получаем
k
k 2c = 3 ,
k1
это второе из соотношений (10). Третье соотношение в (10) получается на основе (9). Равенства (10) выражают кривизны k1c , k2c евклидовой кривой скорости c (t ) = r ′(t ) через кривизны галилеевой кривой (1) γ (t ) = te + r (t ) . #
Из теоремы 1 получается
Теорема 2. Если задана кривая скорости движения материальной
точки
c (t ) = (c1 (t ), c 2 (t ), c3 (t )) ,
то определяются кривизны k1 , k2 , k3 мировой линии движения γ (t ) =
= te + r (t ) , где c (t ) = r ′(t ) :
k1 = c′(t ) , k2 = k1c k1 , k3 = k2c k1 ,
здесь k1c и k2c – кривизна и кручение евклидовой кривой c (t ) , и компоненты
x(t ) , y (t ) , z (t ) функции γ (t ) отыскиваются как решения дифференциальных уравнений
x′(t ) = c1 (t ), c 2 (t ) = y ′(t ), c3 (t ) = z ′(t ) ;
начальные условия t = t0 , x(t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 , z (t0 ) = z0 линию γ (t ) определяют однозначно.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
# Параметрические уравнения кривой скорости c (t ) , как евклидовой кривой, позволяют вычислить модуль вектора производной c′(t ) : || c′(t ) || = k1 в
произвольной точке и функции кривизны
формулам (10) отыскиваются кривизны
Компоненты x(t ) , y (t ) , z (t ) кривой γ (t )
дифференциальных уравнений. #
k1c и кручения k2c кривой c (t ) . По
k2 и k3 галилеевой кривой γ (t ) .
находятся как решения указанных
4 Постоянные кривизны
4.1 Уплощение кривой
Рассмотрим случаи равенства нулю кривизн галилеевой кривой.
Утверждение 3. Галилеева кривая γ (t ) = te + r (t ) вкладывается в
3-мерное пространство, если и только если k3 = 0.
# Пусть k3 = 0. С использованием второй и третьей формул Френе в [4]
найдено: r ′′′′ = k ″n + k ′k n + k ′k n + k k ′ n – k k 2 n - k k k n . При k = 0
1 1
1 2 2
1 2 2
1 2 2
1 2
1
1 2 3 3
3
вектор r ′′′′ является линейной комбинацией единичных векторов n1 , n2 сопровождающего репера кривой γ (t ) , и четвертый вектор n3 = n1 × n2 этого
репера появиться не может. Следовательно, кривая γ (t ) 3-мерна. Обратно,
если кривая γ (t ) 3-мерна, то векторы r ′, r ′′, r ′′′ компланарны и r ′r ′′r ′′′ = 0 .
Дифференцируя равенство r ′r ′′r ′′′ = 0 , находим r ′r ′′r ′′′′ = 0 , т.е. r ′′′′ ∈< r ′r ′′ > и
векторы r ′′, r ′′′, r ′′′′ компланарны, следовательно, по формуле (7), k3 = 0. #
Далее используем свойства кривых 3-мерного пространства Галилея,
полученные в [1]. При k2 = 0 кривая γ (t ) плоская и k3 = 0. При k1 = 0 также
k2 = 0 и по формуле (7) k3 = 0.
4.2 Все кривизны постоянны
Компоненты x(t ) , y (t ) , z (t ) галилеевой кривой γ (t ) и ее кривизны
k1 , k2 , k3 связаны системой дифференциальных уравнений.
Теорема 4. Пусть галилеева кривая (1) γ (t ) = (t , x(t ), y (t ), z (t )) имеет
кривизны k1 , k2 , k3 . Если заданы функции k1 = k1 (t ), k2 = k2 (t ), k3 = k3 (t ) , то
компоненты x(t ) , y (t ) , z (t ) кривой γ (t ) являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений
⎧ x′′2 + y ′′2 + z ′′2 = k12 ,
⎪
⎪
2
2
2
4 2
⎨( y ′′z ′′′ − z ′′y ′′′) + ( x′′z ′′′ − z ′′x′′′) + ( x′′y ′′′ − y ′′x′′′) = k1 k2 ,
⎪
3 3
⎪⎩( y ′′z ′′′ − z ′′y ′′′) x′′′′ + ( x′′z ′′′ − z ′′x′′′) y′′′′ + ( x′′y ′′′ − y′′x′′′) z ′′′′ = − k1 k2 k3 .
(13)
Начальные условия t = t0 , x(t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 , z (t0 ) = z0 выделяют из
множества решений системы дифференциальных уравнений функции x(t ) ,
y (t ) , z (t ) , задающие единственную кривую γ (t ) .
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
# Первое уравнение системы (13) есть результат возведения в квадрат
равенства (3) после подстановки в него компонент функции r ′′(t ) . Второе
уравнение системы (13) получаем из выражения (6) с помощью (3). Находя
числитель дроби (8) и воспользовавшись вторым уравнением системы (13),
приходим к третьему уравнению. #
Система уравнений (13) для компонент x(t ) , y (t ) , z (t ) имеет место в
случае постоянных и непостоянных кривизн k1 , k2 , k3 .
Исследуем кривые пространства-времени Галилея Г 4 , все кривизны
которых постоянны.
Теорема 5. Если кривизны k1 , k2 , k3 галилеевой кривой γ (t ) постоянны,
то кривая скорости c (t ) может быть либо винтовой линией, либо окружностью, либо прямой линией евклидова пространства.
# Если k1 = 0, то k2 = k3 = 0, см. п. 4.1. В этом случае γ (t ) есть прямая
и c (t ) – прямая. Если k1 ≠ 0 и постоянна, k2 = 0, то k3 = 0, см. п. 4.1. По
формуле (10) k1c = 0 и линия c (t ) является прямой. Если k1 ≠ 0 , k2 ≠ 0 и постоянны, то по равенствам (10) k1c ≠ 0 и постоянна; k2c = 0. В этом случае
евклидова кривая c (t ) является окружностью. Пусть k1 , k2 , k3 постоянны и
отличны от нуля. По формулам (10) кривизны k1c , k2c кривой скорости c (t )
постоянны и отличны от нуля. Известно, что если кривизны 3-мерной евклидовой кривой постоянны, то эта кривая является винтовой линией. #
Теорема 6. Если кривизны k1 = k , k2 = m , k3 = l галилеевой кривой
γ (t ) постоянны, то третья кривизна равна нулю:
l = 0,
и кривая γ (t ) является не более чем 3-мерной, т.е. лежит в 3-мерном пространстве Галилея; кривая скорости c (t ) кривой γ (t ) является либо окружностью, либо прямой, кривая γ (t ) описывается одной из следующих функций:
⎛
k
k
⎞
sin(mt + c) + C1 , −
cos(mt + c) + C2 , C3 ⎟ ;
γ (t ) = ⎜ t ,
2
2
m
m
⎝
⎠
(14)
⎛
k
k
⎞
γ (t ) = ⎜ t ,
sin(mt + c) + C1 , −
cos(mt + c) + C2 , gt + C3 ⎟ ;
2
2
m
m
⎝
⎠
(15)
a
a
a
⎛
⎞
γ (t ) = ⎜ t , 1 t 2 + b1t + C1 , 2 t 2 + b2t + C2 , 3 t 2 + b3t + C3 ⎟ ;
2
2
2
⎝
⎠
(16)
γ (t ) = ( t , b1t + C1 , b2t + C2 , b3t + C3 ) ,
(17)
здесь Ci = const , k ≠ 0, m ≠ 0 , a12 + a22 + a32 ≠ 0 .
# Кривизны k1c , k2c кривой скорости c (t ) выражаются через кривизны
k , m, l галилеевой кривой γ (t ) = (t , x(t ), y (t ), z (t )) равенствами (10):
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
k1c =
m
l
, k 2c = , c ′ = k ;
k
k
следовательно, и кривая c (t ) имеет постоянные кривизны. Евклидова кривая
c (t ) с постоянными кривизнами является либо винтовой линией, либо окружностью, либо прямой.
Предположим сначала, что c (t ) – винтовая линия; с учетом [1, c. 67]
она может быть записана в виде
c (t ) = (h cos(mt + c), h sin(mt + c), gt ) ;
согласно теореме 2 выполняются дифференциальные уравнения:
x′ = h cos(mt + c), y ′ = h sin(mt + c), z ′ = gt .
(18)
Имеем следующие значения производных компонент функции γ (t ) :
x′′ = −hm sin(mt + c), y′′ = hm cos(mt + c), z ′′ = g ;
x′′′ = −hm 2 cos(mt + c), y ′′′ = −hm 2 sin(mt + c), z ′′′ = 0 .
Значение кривизны k линии γ (t ) с заданной кривой скорости c (t ) таково:
k = h 2 m 2 + g 2 см. (3),
(19)
Получим значения кривизн m, l . Для этого вычислим согласно (6):
p1 = y ′′z ′′′ − y ′′′z ′′ = hgm 2 sin(mt + c) , p2 = x′′z ′′′ − x′′′z ′′ = hgm 2 cos(mt + c) ,
p3 = x′′y ′′′ − x′′′y ′′ = h 2 m3 .
Находим с использованием (19):
p 2 = p12 + p22 + p32 = h 2 g 2 m 4 + h 4 m6 = h 2 m4 ( g 2 + h 2 m 2 ) = h 2 m4 k 2 .
Согласно второму уравнению системы (13)
p 2 = h2 m4 k 2 = k 4 m2 ,
откуда
h2 m2 = k 2 ,
теперь по формуле (19) k 2 = k 2 + g 2 , следовательно, в задании кривой c (t )
g =0.
Это означает, что кривая скорости c (t ) не может быть винтовой линией, а является окружностью
c (t ) = (h cos(mt + c), h sin(mt + c), 0) .
50
(20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
Кривая c (t ) плоская. Следовательно, в этом случае k2c =
l
= 0, т.е.
k
l = 0.
Интегрируя уравнения (18) с учетом g = 0 , по кривой (20) кривую γ (t )
получаем в виде
⎛
γ (t ) = ⎜ t ,
⎝
h
h
⎞
sin(mt + c) + C1 , − cos( mt + c) + C2 , C3 ⎟ ,
m
m
⎠
где Ci = const .
По [1, c. 67] галилеева кривая с постоянной кривизной k и постоянным
кручением m определяется функцией
⎛
k
k
⎞
γ (t ) = ⎜ t ,
sin(mt + c) + C1 , −
cos(mt + c) + C2 , C3 ⎟ .
2
2
m
m
⎝
⎠
Значит,
h=
k
.
m
Галилеева кривая γ (t ) с постоянными кривизнами является 3-мерной
(здесь l = 0 , см. теорему 5), она описывается функцией (14):
⎛
k
k
⎞
γ (t ) = ⎜ t ,
sin(mt + c) + C1 , −
cos(mt + c) + C2 , C3 ⎟ .
2
2
m
m
⎝
⎠
Пусть, далее, кривая скорости является окружностью
c (t ) = (h cos( mt + c), h sin(mt + c), g ) .
Изменяется третье уравнение в (18):
x′ = h cos(mt + c), y ′ = h sin(mt + c), z ′ = g .
(21)
В этом случае k = h , находим l = 0 . Решая уравнения (21), получаем
кривую
⎛
γ (t ) = ⎜ t ,
⎝
h
h
⎞
sin( mt + c) + C1 , − cos(mt + c) + C2 , gt + C3 ⎟ ,
m
m
⎠
и в соответствии с [1, c. 67] h =
k
. Окончательно:
m
⎛
k
k
⎞
sin(mt + c) + C1 , −
cos(mt + c) + C2 , gt + C3 ⎟ ,
γ (t ) = ⎜ t ,
2
2
m
m
⎝
⎠
что совпадает с формулой (15).
Наконец, возможно, что кривая скорости c (t ) является прямой линией:
c (t ) = (a1t + b1 , a2t + b2 , a3t + b3 ) .
(22)
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В этом случае еще k1c =
m
=0и
k
m =l = 0.
Для функции (22) получаем:
c′(t ) = (a1 , a2 , a3 ) ,
поэтому
c′ = k = a12 + a22 + a32 .
При k ≠ 0 галилеева кривая с функцией скорости (22) есть (16):
a
a
a
⎛
⎞
γ (t ) = ⎜ t , 1 t 2 + b1t + C1 , 2 t 2 + b2t + C2 , 3 t 2 + b3t + C3 ⎟ .
2
2
2
⎝
⎠
Если k = 0 , то c = const и γ (t ) есть прямая (17):
γ (t ) = (t , b1t + C1 , b2t + C2 , b3t + C3 ) . #
Выполнимость теоремы 6 означает следующее:
1. Всякая кривая 4-мерного пространства-времени Галилея Г 4 , все три
кривизны которой постоянны, является кривой не более чем 3-мерного галилеева подпространства пространства Галилея Г 4 .
2. Галилеева кривая, пространственная составляющая которой является
винтовой линией, есть 3-мерная кривая. Пространственная составляющая
этой кривой имеет две евклидовы ненулевые кривизны.
3. В пространстве-времени Галилея Г 4 существуют винтовые линии
на круглом цилиндре, направляющая которого есть евклидова окружность, а
образующая параллельна оси времени. Это галилеева кривая с двумя ненулевыми галилеевыми кривизнами, пространственная составляющая которой
имеет одну евклидову ненулевую кривизну.
4. Всякая кривая 4-мерного пространства-времени Галилея Г 4 , имеющая постоянную ненулевую кривизну k ≠ 0 и нулевое кручение m = 0 , является плоской, это галилеев цикл.
До сих пор мы рассматривали зависимость между галилеевой кривой и
евклидовой кривой, если евклидова кривая является кривой скорости для галилеевой кривой. Пусть теперь r (t ) – произвольная евклидова кривая. Существует галилеева кривая γ (t ) = te + r (t ) , для которой r (t ) является пространственной составляющей, см. п. 2.1. Выполняется следующее
Следствие. Если евклидова кривая r (t ) является пространственной
составляющей галилеевой кривой, все кривизны которой постоянны, то r (t )
есть либо винтовая линия, либо окружность, либо парабола (галилеев цикл),
либо прямая линия. #
Заключение
Наблюдаемые нами события происходят во времени в окружающем нас
пространстве, т.е. в пространстве-времени. Время считается 1-мерным, ось
времени совпадает с R, и пространство локально (в небольшой окрестности
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Математика
наблюдателя) считается евклидовым E3 см. [3, c. 12–13]. Прямая сумма
R + E3 = Γ 4 называется 4-мерным пространством-временем Галилея. С изменением времени событие описывает мировую линию, задаваемую в виде векторной функции γ (t ) = (t , x(t ), y (t ), z (t )) , t ∈ I ⊆ R. Геометрия Галилея изучает
геометрические свойства пространства-времени. В работе [4] и настоящей работе исследуются свойства кривых, т.е. мировых линий событий, 4-мерного
пространства Галилея. Временная составляющая кривой γ (t ) есть te , где e –
единичный вектор направления изменения времени, пространственная составляющая кривой γ (t ) есть евклидова кривая r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) , которая в свою очередь является траекторией движения точки-события; таким образом, γ (t ) = te + r (t ) .
4-мерная кривая обладает тремя кривизнами: k1 = k , k2 = m , k3 = l .
Первая из них называется кривизной, вторая – кручением мировой линии события. Для 4-мерной кривой l ≠ 0 . Согласно п. 4.1, если l = 0 , то кривая 3-мерна;
если m = 0 , то кривая 2-мерна (при этом обязательно l = 0 ) и обладает только
кривизной; если k = 0 , то мировой линией события является прямая линия
( m = l = 0 ). В [4] определены кривизны мировых линий и получены их вычислительные формулы на основе производных функций, являющихся компонентами пространственной составляющей мировой линии события. Выше введена
в рассмотрение кривая скорости c (t ) = r ′(t ) мировой линии события. Как
3-мерная евклидова кривая, c (t ) обладает двумя кривизнами k1c , k2c . Оказалось, что между кривизнами мировой линии события и кривизнами кривой
m
l
скорости события имеется зависимость k1c = , k2c = , c′ = k , см. (10), и
k
k
кривая скорости определяет мировую линию события с точностью до положения в пространстве-времени. Механический смысл первой кривизны мировой
линии события – величина ускорения движущегося события.
Выделяются мировые линии, имеющие постоянные кривизны, т.е. кривизны, не зависящие от времени. Плоская кривая с постоянной ненулевой кривизной есть галилеев цикл. Если γ (t ) = (t , x(t )) , то цикл описывается функцией
x = at 2 + bt + c , a ≠ 0 , и γ (t ) = (t , at 2 + bt + c) . Это более простое задание линии (16). Кривая с постоянными ненулевыми кривизной k и кручением m есть
⎛
k
k
⎞
cos(mt + c),
cos(mt + c) ⎟ в 3-мерном провинтовая линия γ (t ) = ⎜ t ,
2
2
m
m
⎝
⎠
странстве Галилея; она лежит на круглом цилиндре с евклидовой направляющей и образующей, параллельной оси времени. Выяснилось, что в 4-мерном
пространстве Галилея кривая, все кривизны которой постоянны, обязательно
имеет третью кривизну, равную нулю l = 0 ; это только кривые 3-мерного подпространства 4-мерного пространства; 4-мерных кривых со всеми тремя постоянными ненулевыми кривизнами не существует. В этом существенное отличие
4-мерных галилеевых кривых от 3-мерных галилеевых кривых. Галилеева кри-
вая пространства Г 4 , кривизна и кручение которой постоянны и ненулевые,
является винтовой линией на круглом цилиндре, расположенном в евклидовом
подпространстве пространства Галилея – это кривая (15). Всякая евклидова
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
кривая является пространственной составляющей некоторой галилеевой кривой. Постоянные кривизны галилеевой кривой однозначно определяют евклидову кривую как пространственную составляющую. Евклидова кривая с непостоянными кривизнами не может быть пространственной составляющей галилеевой кривой с постоянными кривизнами.
Список литературы
1. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2005. – 306 с.
2. Д о л г а р е в , А . И . Методы одулярной галилеевой геометрии в описании механических движений / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 12–24.
3. А р н о л ь д, В. И . Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. – М. : Наука, 1989. – 472 с.
4. Д о л г а р е в , А . И . Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея /
А. И. Долгарев, И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 2–11.
5. Д о л г а р е в , А . И . Кривые 3-мерных вейлевских одулярных пространств и кривые евклидовой плоскости / А. И. Долгарев // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : межвуз. тем. сб. научн. тр. – Вып. 33. – Калиниград : КГУ,
2002. – С. 25–28.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
ФИЗИКА
УДК 621.315
С. В. Булярский, А. С. Басаев, А. Н. Сауров
КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АДСОРБЦИИ ГАЗОВ
УГЛЕРОДНЫМИ НАНОТРУБКАМИ
В работе построена математическая модель десорбции из нанотрубок, которая апробирована с использованием экспериментальных данных
по десорбции кислорода. Для нанотрубок удалось выделить процессы десорбции с четырех различных мест и определить вероятность десорбции.
Показано, что для физической адсорбции нанотрубками существует отталкивающий барьер, который обусловливает реакционный механизм захвата.
Разработанная математическая модель позволяет определять отдельно кинетические коэффициенты при десорбции различно расположенных молекул и уменьшает возможные систематические ошибки при анализе экспериментальных результатов.
Адсорбция и десорбция – это два важных процесса, во многом определяющих свойства углеродных нанотрубок [1]. Так, адсорбция кислорода может способствовать росту концентрации дырок в нанотрубках, хотя она и не
является хемосорбцией, а химические связи кислорода с атомами углерода не
устанавливаются [2–5]. Заметим, что по сравнению с аморфным графитом
физическая адсорбция на углеродных нанотрубках должна иметь более сложный характер. Известно, что в пористых материалах условия адсорбции изменяются. При сужении пор адсорбционные силы стенок складываются, потенциал дисперсионных сил растет. Это приводит к увеличению энергии адсорбции. Кроме того, возможны различные не эквивалентные положения
атомов адсорбанта на трубке. Например, для углеродных нанотрубок возможно несколько различных мест адсорбции: внутри нанотрубки, на ее поверхности и в порах, образуемых пучками нанотрубок [6]. Важную роль при
адсорбции играют дефекты [7].
Из сказанного вытекает задача определения кинетических параметров
адсорбции раздельно для каждого возможного места адсорбции. В настоящей
работе данная проблема решается в процессе построения и анализа математической модели десорбции газов из углеродных нанотрубок.
В основе математической модели лежат положения теории Ленгмюра,
развитые в работах Ф. Ф. Волькинштейна [8]:
– адсорбция происходит на определенных адсорбционных центрах;
– молекулы адсорбанта между собой не взаимодействуют;
– число адсорбционных центров есть постоянная величина, заданная
предысторией приготовления образца;
– один центр адсорбции связывает лишь одну молекулу адсорбанта.
Рассмотрим в рамках теории Ленгмюра кинетику адсорбции. Уравнение адсорбции имеет вид
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
dN αβi
= cαβ N α Niβ − N αβi − eαβ i N αβi ,
dt
(
)
(1)
где N αβi – концентрация атомов адсорбанта, связанных на местах i -типа; Niβ –
концентрация мест i -типа; N α – концентрация молекул адсорбанта в газовой
фазе, определяющая парциальное давление адсорбанта; cαβ i – вероятность захвата адсробанта центрами адсорбции i -типа при единичной концентрации
адсорбанта в газовой фазе; eαβ i – вероятность десорбции адсорбанта.
Для того чтобы решить уравнение (1), необходимо знать вид кинетических коэффициентов, определяющих вероятность адсорбции и десорбции газов. Для того чтобы установить, как эти коэффициенты между собой связаны,
необходимо найти равновесную концентрацию молекул, адсорбированных на
определенном месте. С этой целью запишем реакцию адсорбции:
N α + Niβ ⇔ N αβi .
(2)
В условиях равновесия изменение энергии Гиббса химической реакции
равно нулю [9]. Следовательно, сумма химических потенциалов элементов,
входящих в реакцию, также рана нулю. Химические потенциалы запишем в
приближении регулярных твердых растворов [9]:
o
μα
+ kT ln xα + μβo + kT ln xβ − μβαoi − kT ln xαβ i = 0 ,
(3)
o βo βo
где μα
, μ , μαi – химические потенциалы чистых структурных элементов.
Причем, если первый из них – это реально существующая независимо молекула адсорбанта, химический потенциал которой можно найти в справочниках, то два вторых – это места: свободное и занятое адсорбантом. Химические потенциалы последних элементов отражают взаимодействия, которые
происходят при адсорбции.
N
Запишем выражения для долей х, входящих в формулу (3): xα = α –
Nα
доля мест, занятых молекулами адсорбанта в газовой фазе, при этом подразумевается, что полное число мест соответствует состоянию насыщенного
пара; это число можно найти по справочным давлениям насыщающих паров:
pS (T ) = N α kT ;
Nβ
= 1 , xαβoi = αi .
(4)
Nβ
Nβ
Подставляя выражение (4) в (3), получаем концентрацию адсорбанта:
xβ o =
Nβ
N αβi =
Nα N β
⎛ Gβ
exp ⎜ α
⎜ kT
Nα
⎝
⎞
⎟,
⎟
⎠
(5)
o
+ μβo − μβαoi , как будет показано, играет роль энергии связи адгде Gαβi = μα
сорбанта на центре адсорбции. Также, очевидно, что химические потенциалы
мест нет необходимости определять независимо, т.к. они входят в энергию
связи, которая и будет определяться экспериментально.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
В состоянии равновесия правая часть уравнения (1) превращается в
ноль. Подставив в это уравнение концентрацию адсорбанта (5), получаем выражение для вероятности адсорбции:
(
)
eαβ i = cαβ i ⎡ N α exp −Gαβi / kT − N α ⎤ .
⎣⎢
⎦⎥
(6)
Эксперимент по десорбции газов проводится в высоком вакууме при
непрерывной откачке, поэтому давление адсорбированного газа (концентрация молекул N α = 0) вне пределов нанотрубки стремится к нулю. При этом
уравнение (1) упрощается:
β
m
⎛ Gβ
dN α m dN αi
=
= − νβαi N αβi exp ⎜ − αi
⎜ kT
dt
dt
i =1
i =1
⎝
∑
∑
⎞
⎟dt ,
⎟
⎠
(7)
где
νβαi = cαβ i N α .
(8)
В формуле (7) суммирование ведется по числу мест захвата атомов адсорбанта. Десорбцию с каждого места можно рассматривать независимо. Поэтому в
уравнении (7) достаточно исследовать процесс десорбции с одного типа мест.
Перед определением скорости десорбции нанотрубки, как правило, отжигаются в высоком вакууме и температурах в пределах 1000–1200 °С в течение нескольких часов. Это необходимо для удаления из образцов аморфного углерода, низкомолекулярных комплексов и нежелательных адсорбантов.
Затем температура понижается и происходит насыщение нанотрубок адсорбантом при определенной температуре. После этого криостат с образцом охлаждается до гелиевых температур. После достижения равновесия образцы
нагреваются с постоянной скоростью, например: β = 0,25 Кс–1[3]. В этом случае температура образцов изменяется линейно со временем: T = T0 + βt . T0 –
температура начала нагрева. Как правило, она выбирается в области температур, при которых вероятность десорбции молекулы очень мала. В процессе
нагрева тем или иным способом фиксируется количество десорбирущегося
вещества. Таким образом, наблюдается термостимулированная десорбция
вещества из нанотрубки. Для описания этого процесса в формуле (7) необходимо от аргумента t (время) перейти к аргументу Т (температура). Делая замену переменных, приходим к дифференциальному уравнению:
dN αβi
⎛ Gβ
νβ
= − αi exp ⎜ − αi
⎜ kT
β
N αβi
⎝
⎞
⎟ dT ,
⎟
⎠
(9)
где β – скорость нагрева образца.
Решение данного уравнения имеет вид
⎡ νβ T
⎛ Gβ
N αβi = N αβ 0i exp ⎢ − αi E2 ⎜ ai
⎜ kT
⎢ β
⎝
⎣
⎛ Gβ
где E2 ⎜ αi
⎜ kT
⎝
⎞⎤
⎟⎥ ,
⎟
⎠ ⎥⎦
(10)
⎞
⎟ – интегральная показательная функция второго порядка.
⎟
⎠
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
β
Уравнение (10) позволяет находить кинетические коэффициенты: Gai
–
энергию связи молекулы, и νβαi – вероятность десорбции. Это делается путем
сопоставления аналитического выражения с экспериментальными результатами. Однако на практике удобнее воспользоваться производной по температуре
от концентрации десорбированных газов, которая для одиночного процесса
имеет вид кривой с максимумом, а для суперпозиции процессов – кривой с несколькими максимумами, число которых равно числу независимых процессов
десорбции. Производная для суперпозиции нескольких процессов имеет вид
β
m νβ N β
⎛ Gβ
dN α m dN αi
α i α 0i
=
=−
exp ⎜ − αi
⎜ kT
β
dT
dT
i =1
i =1
⎝
∑
∑
⎡ νβ T
⎞
⎛ Gβ
⎟ exp ⎢ − αi E2 ⎜ αi
⎟
⎜ kT
⎢ β
⎠
⎝
⎣
⎞⎤
⎟⎥ ,
⎟
⎠ ⎥⎦
(11)
здесь учтено, что
dEn ( x)
= − En −1 ( x) ,
dx
а также асимптотическое разложение
(12)
exp ( − x ) ⎧ n n(n + 1)
⎫
− ...⎬ .
(13)
⎨1 − +
2
x
x
⎩ x
⎭
При этом учитывалось, что в области температуры максимума производной скорости десорбции, как правило, х > 30.
Легко видеть, что когда вероятность десорбции молекулы становится
сравнима с временем наблюдения, то производная достигает максимума. Вероятность десорбции при температуре максимума с систематической поEn ( x) =
( )
2
грешностью порядка k 2T 2 / Gαβ равна
νβαi =
β Gαβi
⎛ Gβ
exp ⎜ αi
2
⎜ kTmi
kTmi
⎝
⎞
⎟.
⎟
⎠
(14)
Подставляя выражение (6) в (5) и пользуясь аппроксимацией интегральной показательной функции, получаем уравнение
β
⎡ T2
⎤
2Gβ
dN α m Gαi β
(1 − αi ) Z ⎥ ,
=
N αi Z exp ⎢ −
2
dT
kT
kTmi ⎥
⎢⎣ Tmi
i =1 mi
⎦
∑
где
⎡ Gβ ⎛ 1
1 ⎞⎤
Z = exp ⎢ αi ⎜
− ⎟⎥ .
⎢⎣ k ⎝ Tmi T ⎠ ⎥⎦
(15)
Аналогичное уравнение для термостимулированной десорбции электронов с ловушек было получено одним из авторов данной работы в [10–12].
Формула (7) очень удобна для анализа кинетики десорбции и позволяет с высокой точностью разделять десорбционные процессы на составляющие, раздельно определяя параметры десорбции. В формуле (15) температура максимума и амплитуда пика оценивается непосредственно из экспериментальной
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
кривой, а подбирать необходимо только энергию связи, что можно сделать с
точностью 1–2 %.
Для десорбции кислорода параметры найдены при сравнении формулы
(15) с экспериментальными данными работы [3] (рис. 1). Результаты вычислений приведены в табл. 1
dN αβ
, отн. ед.
dT
30
3
20
10
2 4
1
Т, К
0
20
40
60
80
100
Рис.1 Температурная зависимость скорости десорбции кислорода
при нагреве с β = 0,25 Кс–1. Ромбики – экспериментальные данные по десорбции
с поверхности аморфного графита. Точки – экспериментальные данные по десорбции
из углеродных нанотрубок. Сплошная линия – суммарная расчетная кривая.
Штриховые линии – расчеты по формуле (7) при энергиях связи H αβ , эВ:
1 – 0,021; 2 – 0,050, 3 – 0,059; 4 – 0,068
Таблица 1
Параметры десорбции кислорода с различных мест локализации
Место (i)
Энергия связи Gαβi , эВ
Вероятность десорбции νβαi , с–1
Вероятность захвата адсробанта, cαβ i , см3с–1
Энергия отталкивающего барьера
для физической адсорбции кислорода Δβαi , эВ
1
2
3
4
0,021
0,050
0,059
0,068
11.8
1310
3010
2180
–
–
7,7·10–20 1,7·10–19 1,3·10–19
0,050
0,058
0,066
Для нанотрубок удалось выделить процессы десорбции с четырех различных мест, кроме того, определить вероятность десорбции, которая ранее
не определялась. Десорбция с места 1 совпадает с десорбцией аморфного углерода. В соответствии с данными [12], теплота адсорбции кислорода на поверхности углерода изменяется в пределах 1600–3800 кал/моль, что соответствует энергии связи 0,017–0,038 эВ. По-видимому, процесс 1 (рис. 1) связан
с десорбцией с внешней поверхности трубки. Энергии связи с остальных мест
выше, что можно связать с эффектом пористости. Можно предположить, что
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
в этих случаях процессы соответствуют десорбции с дефектов, внутренней
поверхности трубки и пор, образованных пучками нанотрубок. Если судить
по количеству десорбированного кислорода, то, вероятно, энергия десорбции
0,059 эВ соответствует положению молекул газа внутри трубки, т.к. этот пик
десорбционного процесса наиболее интенсивный. В целом энергии процессов
2–4, приведенные в табл. 1, совпадают с оценкой потенциала взаимодействия
для физической адсорбции молекулы кислорода углеродной нанотрубкой –
0,05 эВ [2]. Как и следовало ожидать, количество адсорбированных молекул
пропорционально вероятности десорбции.
Вероятность захвата cαβ i оценивалась по формуле (8) и приведена в
табл. 1. Число мест, на которые осуществляется адсорбция, вычислялось с учетом того, что средний радиус нанотрубки 1,5 нм [1], а расстояние между атомами углерода 2,46 Ǻ. Считая, что молекула кислорода может быть захвачена
каждой ячейкой, получаем поверхностную концентрацию мест 6,4·1014 см–2, а
объемную 1,7·1022 см–3.
Коэффициенты захвата при адсорбции (в предположении отсутствия
отталкивающего барьера) можно оценить по формуле [10, 15]
(
)
(
)
сαβ = 2πRα Dα exp −Δβα / kTm = сαβ 0 exp −Δβα / kTm ,
(16)
где Rα – радиус захвата молекулы; Dα – коэффициент диффузии. Коэффициент 2 выбран из тех соображений, что захват молекул центром адсорбции,
расположенным на поверхности, идет из полусферы. Адсорбция происходит
из разреженного газа, который можно считать идеальным, тогда сαβ 0 =4,4·10–15.
Различия с данными табл. 1, по-видимому, связаны с существованием отталкивающих барьеров для физической адсорбции. Формула (16) позволяет оценить величину этих барьеров для различных мест (табл. 1). Приведенные в
табл. 1 результаты позволяют сделать вывод, что механизм адсорбции кислорода нанотрубками связан с реакционным механизмом, т.е. при адсорбции
молекуле необходимо преодолевать отталкивающий барьер. Этот же барьер
молекула адсорбанта преодолевает при десорбции.
Таким образом, в данной работе получены формулы для описания
микроскопического процесса десорбции и разработана методика определения кинетических коэффициентов десорбции, которые позволяют разделять
эти процессы на составляющие и отдельно определять кинетические коэффициенты десорбции для различно расположенных молекул адсорбантов.
Показано, что для физической адсорбции нанотрубками существует отталкивающий барьер, который обусловливает реакционный механизм захвата.
Следует заметить, что без разделения процессов на составляющие может
возникнуть существенная ошибка в определении энергии связи и вероятности десорбции.
Список литературы
1. L o i s e a u , A . Understanding Carbon nanotubes / A. Loiseau, P. Launous, P. Petit. –
Springer, 2006. – 552 p.
2. Tc h e r n a t in s k y , A . Adsorption oxygen molecules on individual Carbon singlewalled nanotubes / A. Tchernatinsky, B. Nagabhinrava [et al.] // arXiv: condmat/0502012, 2005.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
3. U l b r i c h t , H . Physisorption of molecular oxygen on single-walled Carbon nanotubes
bundles and graphite / H. Ulbricht, G. Moos, T.Hertel // arXiv: cond-mat/0204525,
2005.
4. T a n s S . J . , V e r c h u e r e n A . R . M . , D e k k e r C . // Nature. – 1998. – V. 93. –
P. 49–54.
5. M a r t e l R . , S c m i d t T . [et al.] // Appl. Phys. Lett. – 1998. – V. 73. – Р. 2447–2454.
6. K . M u r a t a , K . K a n e k o // J. Phys. Chem. B. – 2001. – V. 105. – Р. 102–110.
7. G a y a t h r i, V . Hydrogen adsorption in defected carbon nanotubes / V. Gayathri,
R.Geetha // Adsorption. – 2007. – V. 13. – P. 53–59.
8. В о л ь к е н ш т е й н, Ф. Ф. Физико-химия поверхности полупроводников /
Ф. Ф. Волькенштейн. – М. : Наука, 1973. – 400 с.
9. Б у л я р с к и й , С . В. Термодинамика и кинетика взаимодействующих дефектов в
полупроводниках / С. В. Булярский, В. В. Фистуль. – М. : Наука. Физматлит,
1997. – 352 с.
10. Б у л я р с к и й , С . В. Физические основы управления дефектообразованием в полупроводниках / С. В. Булярский, В. В. Светухин. – Ульяновск : Изд-во Ульяновского университета, 2003. – 386 с.
11. О в ч и н н и к о в , А . А . Кинетика диффузионно-контролируемых химических
процессов / А. А. Овчинников, С. Ф. Тимашев, А. А. Белый. – М. : Химия, 1986. –
285 с.
12. Б у л я р с к и й , С . В. Определение параметров глубоких центров с помощью модифицированного метода термостимулированной емкости / С. В. Булярский,
С. И. Радауцан // ФТП. – 1981. – Т. 15. – С. 1443–1447.
13. Т е р п н е е л , Б. Хемосорбция / Б. Терпнеел. – М. : Иностранная литература, 1958. –
328 с.
14. О в ч и н н и к о в , А . А . Кинетика диффузионно-контролируемых химических
процессов / А. А. Овчинников, С. М. Тимашев, А. А. Белый. – М. : Химия, 1986. –
288 с.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 621.315
С. В. Булярский, А. С. Басаев, А. Н. Сауров
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АДСОРБЦИИ АТОМОВ
И МОЛЕКУЛ УГЛЕРОДНЫМИ НАНОТРУБКАМИ
В работе построена термодинамика адсорбции газов углеродными нанотрубками. Получены выражения, позволяющие вести расчеты с учетом действия
внешних факторов, учитывать различные типы взаимодействия при адсорбции, а
следовательно, позволяющие анализировать процессы как физической, так и химической адсорбции и определять ее термодинамические параметры.
Теоретические модели апробированы на примере физической адсорбции водорода.
Изучение процессов адсорбции углеродными нанотрубками, выявление
природы этих процессов и определение их параметров является важной и актуальной проблемой нанотехнологий [1]. Например, адсорбция кислорода
способствует росту концентрации дырок в нанотрубках, хотя она не является
хемосорбцией и химических связей кислорода с атомами углерода не устанавливается [2–5]. При адсорбции углеродная нанотрубка (УНТ) изменяет
свою электронную структуру, что решающим образом сказывается на ее
электронных свойствах [6, 7]. Понимание данных процессов, а также наличие
адекватных математических моделей может стать основой для создания новых перспективных технологий приборов на основе УНТ.
Для создания управляемых технологий необходимо определение параметров адсорбции. Для нахождения энергии и количества адсорбированных
атомов или молекул необходимо разработать термодинамическую модель
процесса адсорбции. С этой целью в данной работе за основу принят метод,
основанный на минимизации свободной энергии Гиббса [8–11].
Применение метода, основанного на минимизации свободной энергии
Гиббса, предполагает, что в системе существует равновесие: выровнялись
температура и давление, и все кинетические процессы стали стационарными.
В этом случае, при постоянной температуре и давлении, должна быть минимальна свободная энергия Гиббса:
G = H − TS .
(1)
Свободную энергию Гиббса системы представим в виде
G = G L ( N α ) + G S ( N αβ ) + G e ,
(2)
где G L – свободная энергия внешней фазы; N α – концентрация частиц сорта
α во внешней фазе; G S – свободная энергия кристалла; G e – свободная
энергия носителей заряда: электронов и дырок. Эта составляющая свободной
энергии характеризует ту часть свободной энергии, которая связана с перезарядкой частиц (атомов и молекул), которая может сопровождать процесс адсорбции. Концентрацию адсорбированных частиц обозначим через N αβ .
Здесь верхний индекс указывает место, на которое адсорбируется атом либо
молекула. Нижний индекс указывает тип адсорбанта.
При решении задачи важную роль играют законы сохранения числа
мест, числа частиц и заряда. Процессы размещения двух «независимых» час62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
тиц адсорбанта на УНТ на самом деле независимыми не являются. Взаимная
обусловленность концентраций устанавливается посредством законов сохранения, перечисленных ниже.
Законы сохранения числа мест. Таких законов можно записать столько,
сколько типов различных мест имеет УНТ и среда, с которой она контактирует. Каждый закон сохранения содержит все структурные единицы, а именно
атомы и молекулы, которые адсорбируются на местах данного типа:
ϕβ = N β −
∑ Nαβ = 0 .
(3)
α
Так как речь идет о местах, то баланс устанавливается по верхнему индексу. Индекс α пробегает все возможные в выбранной модели значения,
включая β .
Закон сохранения числа частиц. Таких законов можно записать столько, сколько сортов частиц адсорбируется. Баланс устанавливается по нижнему индексу и само уравнение имеет вид
ϕα = N α −
∑ Nαβ = 0 ,
(4)
β
индекс β пробегает все возможные значения, включая и индекс α .
Закон сохранения заряда. При протекании процессов хемосорбции возможен обмен носителями заряда между УНТ и частицей адсорбанта. Закон
сохранения заряда требует, чтобы объем УНТ был в целом нейтрален. Такое
уравнение в системе единственное, однако роль его велика. Оно устанавливает своеобразный генеральный баланс, уравнивая заряды свободных носителей
и ионизированных адсорбантов:
⎧⎪
⎫⎪
ϕe = n − p + ⎨ nαβ −
N αβ dαβ ⎬ 1 − δβα ,
⎪⎩α,β
⎪⎭
α ,β
∑
∑
(
)
(5)
где nαβ – число электронов, захваченных на дефекты, равное числу дефектов,
захвативших электроны; N αβ – число адсорбированных частиц данного сорта;
dαβ принимает значение «1» для доноров и «0» для акцепторов; δβα – дельтафункция.
Вернемся к составляющим свободной энергии Гиббса. Независимо от
того, в каком агрегатном состоянии находится среда, с которой контактирует
УНТ, в ней можно выделить число мест ( N α ) и число частиц ( N αα ) адсорбанта. В конденсированной жидкой среде все места заполнены частицами,
поэтому эти два числа равны. В среде идеального газа эти числа можно выразить через давления:
N α = psα / kT ,
N αα = p α / kT ,
(6)
где p α – парциальное давление; psα – парциальное давление насыщенного
пара адсорбанта α -типа.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Для того чтобы вычислить равновесную концентрацию адсорбированных частиц, воспользуемся следующим алгоритмом:
– составим уравнение для свободной энергии Гиббса УНТ с адсорбированными частицами, состоящее из двух частей – конфигурационной и энергетической;
– проведем минимизацию свободной энергии методом неопределенных
множителей Лагранжа с учетом законов сохранения, рассмотренных выше.
В соответствии с выбранным алгоритмом запишем энергию Гиббса в виде
G = H − TS = H − TST − kT ln W ,
(7)
где W – термодинамическая вероятность состояния [8–11]; ST – тепловая
часть энтропии.
Для того чтобы вычислить свободную энергию УНТ с адсорбантом,
введем парциальный потенциал Гиббса, приходящийся на одну адсорбированную частицу:
gαβ = H αβ − TSαβ ,
(8)
где H αβ – энтальпия; SαβT – колебательная энтропия адсорбции частицы. Из
определения парциальной величины следует, что энергия дефектообразования может быть найдена умножением этой величины на число частиц. С учетом этого запишем тепловую часть свободной энергии в виде суммы энергий
образования нейтральных дефектов и ионизации электронных состояний:
G=
∑ Nαβ gαβ +
α ,β
⎧ ⎡
⎪
+ ⎨ E g ⎢ p − nαβ 1 − dαβ
⎪⎩ ⎢⎣
α,β
∑
(
⎫
⎤
⎥ + εβα ⎡ N αβ − nαβ dαβ + nαβ 1 − d αβ ⎤ ⎪⎬ 1 − δβα , (9)
⎥⎦
⎥ α,β ⎢⎣
⎪⎭
⎦
) ∑ (
)
(
) (
)
где δβα – символ Кронекера, введением которого учитывается, что собственные
компоненты УНТ и среды, с которой она обменивается, не дают вклада в эту
часть свободной энергии. Индексы α, β пробегают все значения, поэтому в
свободную энергию входят и атомы УНТ, и частицы среды, в которой УНТ находится.
Здесь воспользуемся выражением для термодинамической вероятности
из работ [8–11]:
n
W=
( NC ) ( N v )
n!
p!
p
∏
α,β
nαβ
N αβ − nαβ
N β ! rαβ
Rαβ
( ) ( )
nαβ !( N αβ − nαβ ) !
,
(10)
где N c( v ) – эффективная плотность состояния в зоне проводимости (валент-
( )–
ной зоне); n ( p ) – концентрация свободных электронов (дырок); rαβ Rαβ
фактор вырождения заполненного (незаполненного) электронного состояния
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
дефекта. Данная вероятность учитывает перестановку электронов и дырок по
состояниям разрешенных зон УНТ, адсорбантов по местам адсорбции и их
возможную перезарядку при захвате на УНТ.
Экстремум свободной энергии будем искать методом неопределенных
множителей Лагранжа. Функционал для нахождения условного минимума
имеет вид
Ф=G+
∑ λα ϕα + ∑ λβϕβ + λeϕe ,
α
(11)
α
где λ α , λβ , λ e – неопределенные множители Лагранжа, которые возникли из
законов сохранения: λ α – числа частиц, λβ – числа мест, λ e – заряда. Число
неопределенных множителей Лагранжа равно числу законов сохранения.
Подставив выражения (3)–(10) в (11), получаем функционал, который
будем минимизировать:
Ф=
∑
α,β
+
N αβ gαβ
⎧ ⎡
⎪
+ ⎨ E g ⎢ p − nαβ 1 − dαβ
⎪⎩ ⎢⎣
α,β
∑
(
⎤
)⎥⎥ +
⎦
⎫⎪
∑ εβα ⎡⎣⎢( Nαβ − nαβ ) dαβ + nαβ (1 − dαβ )⎤⎦⎥ ⎬ (1 − δβα ) −
⎪⎭
α,β
−Θ {n ln NC − n ln n + p ln N v − p ln p + n + p +
+
∑ ⎡⎢⎣nαβ ln rαβ + ( Nαβ − nαβ ) ln Rαβ + Nαβ −
α,β
(
) (
}
)
−nαβ ln nαβ + nαβ − N αβ − nαβ ln N αβ − nαβ − nαβ + N β ln N β − N β ⎤ +
⎦
+
⎛
⎞
⎛
⎞
N αβ ⎟ + λβ ⎜ N β −
N αβ ⎟ +
λα ⎜ Nα −
⎜
⎟
⎜
⎟ β
α
β
α
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
∑
∑
∑
⎧
⎡
⎤
⎪
+λ e ⎨n − p + ⎢ nαβ −
N αβ dαβ ⎥ 1 − δβα
⎢ α,β
⎥
⎪⎩
α,β
⎣
⎦
∑
(
∑
)
⎫
⎪
⎬,
⎪⎭
(12)
здесь Θ = kT .
На первый взгляд, уравнение (12) весьма громоздко. Однако при минимизации от этого функционала берутся частные производные. При дифференцировании большинство его слагаемых обращается в ноль, и мы получаем
систему уравнений:
∂Ф
∂N αβ
(
)
= gαβ + εβα dαβ (1 − δβα ) − Θ ⎡⎢ ln Rαβ − ln N αβ − nαβ ⎤⎥ −
⎣
⎦
(
)
−λ α − λβ − λ e dαβ 1 − δβα .
(13)
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Формула (13) – это именно система уравнений. Число этих уравнений
равно числу комбинаций, которое можно составить из индексов α , β , за которыми стоят различные атомы и места. В этих формулах взаимодействие
дефектов не утрачено и заключено оно в множителях Лагранжа, физический
смысл которых предстоит выяснить.
Пусть в формуле (13) индексы только α, что соответствует частице адсорбанта в своей среде, в собственном узле решетки, либо β, что соответствует атомам углерода УНТ. Тогда Rαβ = 1 , а nαβ = 0 . В результате получаем
уравнение, связывающее два из трех множителей Лагранжа:
λ α = −λ α + gαα + Θ ln N αα .
(14)
Производная от свободной энергии по числу частиц – это их химический потенциал, поэтому λ α = μα , λβ = μβ . Химические потенциалы в регулярном приближении можно выразить в виде
μα,β = μ0α,β + kT ln aα,β ,
(15)
где первое слагаемое – химические потенциалы чистого компонента, а второе –
активность компонента, связанная с его концентрацией.
Беря производную от формулы (13) по концентрации электронов либо
дырок, устанавливаем физический смысл еще одного множителя Лагранжа:
λ e = Θ ln
n
= − EF ,
Nc
(16)
т.е. λ e равен энергии Ферми, взятой с обратным знаком.
Окончательные выражения для концентрации дефектов и электронов,
захваченных на них, имеют вид
(
)
nαβ = Nββ Aαβ Bαβ , N αβ = Nββ Aαβ 1 + Bαβ ,
(17)
где
(
) (
)
a
⎧1
⎫
Aαβ = Rαβ α exp ⎨ ⎡⎢ − gαβ + EF − εβα dαβ 1 − δβα ⎤⎥ ⎬ ;
⎣
⎦
aβ
Θ
⎩
⎭
rβ
⎧1
Bαβ = α exp ⎨ ⎡⎢ − EF + εβα + 1 − dαβ
β
⎩Θ ⎣
Rα
(
)( Eg − 2εβα )⎤⎦⎥ (1 − δβα )⎭⎫⎬ .
Из формулы (17) можно получить достаточно простые выражения для
концентрации точечных дефектов. УНТ, как правило, имеет дырочный тип
проводимости и является невырожденной, тогда
⎛ gβ
a
N αβ = α Nββ exp ⎜ − α
⎜ Θ
aβ
⎝
⎛ E g − εβα − EF ⎞ ⎤
⎞⎡
⎟ + 1⎥ .
⎟ ⎢ exp ⎜
⎟⎢
⎜
⎟ ⎥
Θ
⎠⎣
⎝
⎠ ⎦
(18)
Из формулы (18) следует, что концентрация адсорбированных частиц
одного вида связана с концентрацией всех других адсорбированных атомов.
Во-первых, от концентрации всех типов дефектов зависит Nββ – концентрация
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
пустых мест адсорбции. Если в случае дефектообразования в твердом теле это
число стремится к числу атомов основной решетки, которое, как правило, много больше числа дефектов, то в случае адсорбции частиц разного типа возникает конкуренция за места адсорбции. В этом случае необходимо воспользоваться
законом сохранения числа мест. Взаимная связь Nββ с другими дефектами отражается формулой Nββ = N β −
∑ Nαβ . Во-вторых, связь устанавливается по-
α≠β
средством энергии Ферми, которая зависит от всех адсорбантов.
Формула (18) справедлива во всех случаях. Однако при физической адсорбции перезарядка адсорбанта практически не происходит, при этом энергию активации электрона или дырки можно устремить к бесконечности, тогда
вторая скобка обращается в 1. Заметим также, что при адсорбции число атомов углерода УНТ не меняется, а число дефектов мало по сравнению с числом основных ячеек, тогда aβ → 1 . Учитывая сказанное, для адсорбции частиц нескольких типов можно записать
⎞
⎛ gβ
N α ⎛⎜ β
N −
N αβ ⎟ exp ⎜ − α
⎜ Θ
⎟
N α ⎜⎝
⎝
α≠β
⎠
При адсорбции одного типа атомов
∑
N αβ =
⎞
⎟.
⎟
⎠
⎛ gβ ⎞
N β − N αβ exp ⎜ − α ⎟ .
(20)
⎜ Θ ⎟
Nα
⎝
⎠
Из формулы (20) получаем выражение для изотермы Ленгмюра [12]:
N αβ =
Nα
(
)
⎛ gβ ⎞
N β N α exp ⎜ − α ⎟
⎜ Θ ⎟
⎝
⎠ = Kp N β ,
N αβ =
1 + Kp
⎛ gβ ⎞
N α exp ⎜ − α ⎟ + N α
⎜ Θ ⎟
⎝
⎠
(21)
⎛ gβ ⎞
1
exp ⎜ − α ⎟ – константа равновесия.
⎜ Θ ⎟
ps
⎝
⎠
Формулы (18)–(20) позволяют рассчитывать концентрации адсорбированных частиц во всех случаях мономолекулярной адсорбции.
Существование силового поля изменяет энергию кристалла, т.к. наряду
с внутренней энергией появляется потенциальная энергия взаимодействующих частиц, поэтому данный вид взаимодействия назван потенциальным.
Полная энергия кристалла в этом случае будет равна сумме свободной энергии Гиббса и потенциальной энергии силового поля:
где K =
E = G + Ep .
(22)
Найдем полный дифференциал полной энергии в физически малом
объеме, в пределах которого величина силового поля не изменяется:
⎛ ∂E ⎞
⎛ ∂E ⎞
⎛ ∂E ⎞
dE = ⎜
dT + ⎜
dN + ⎜
dNi .
⎟
⎟
⎟
∂
N
⎝ ∂T ⎠ P, N
⎝ ∂P ⎠T , N
i
⎝
⎠
i
T ,P
∑
(23)
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Можно считать, что потенциальная энергия силового поля не зависит
от температуры и давления, тогда
dE = − SdT + VdP +
⎛ ∂G
∂E p ⎞
∑ ⎜ ∂Ni + ∂Ni ⎟
i
⎝
⎠T , P
dNi .
(24)
Первое слагаемое в скобках – это химический потенциал частицы в отсутствии силового поля. Второе слагаемое назовем потенциалом взаимодействия частицы с силовым полем:
⎛ ∂E p
ϕi = ⎜
⎝ ∂Ni
⎞
,
⎟
⎠T , P
μi ( P, T , F ) = μi ( P, T ,0) + ϕi .
(25)
Таким образом, в силовом поле химический потенциал частицы возрастает на величину потенциала взаимодействия данной частицы с полем.
Рассмотрим, чему равна свободная энергия Гиббса кристалла, имеющего N узлов, в которых статистически распределены заряженные примеси с
концентрацией N αβ и N γβ . С учетом формулы (25) и условия, что устойчивых
пар не образуется, имеем
G = μββ Nββ + (μβα + ϕαγ ) N αβ + (μβγ + ϕγβ ) N γβ − kT ln W .
(26)
Электростатический потенциал взаимодействия описывается выражением
ϕαγ = ϕγα =
zα zγ e 2
4πε0 ε S rαγ
=
Q
,
rαγ
(27)
где rαγ – среднее расстояние между дефектами; Q > 0 – отталкивание; Q < 0 –
притяжение.
В силу того, что дефекты распределены статистически по узлам решетки, среднее расстояние между дефектами можно оценить по формуле
1
.
rαγ =
3 Nβ + Nβ
α
γ
Вопросы упругого взаимодействия рассмотрены наиболее подробно в
монографии Лейбфрита и Бройера [13]. При разложении этой энергии взаимодействия по степеням r −1 получаем, что главный член разложения меняется с расстоянием как r 3 . Поэтому потенциал взаимодействия выберем в виде
σ
ϕαγ = .
(27)
r3
Свободная энергия кристалла принимает вид
G = μββ Nββ + μβα N aβ + QN αβ 3 N αβ + N γβ + μβγ N γβ + QN γβ 3 N αβ + N γβ +
(
)
(
)
σ ⎡⎢ N αβ N αβ + N γβ + N γβ N αβ + N γβ ⎤⎥ − kT ln W .
⎣
⎦
68
(28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
Проводя процедуру отыскания минимума энергии, получаем
⎞
⎛ gαβ + ϕαγ ⎞
N α ⎛⎜ β
⎟.
(29)
N −
N αβ ⎟ exp ⎜ −
⎜
⎟
⎟
Θ
N α ⎜⎝
α≠β
⎝
⎠
⎠
Если учесть приведенные выше выражения для упругого и электростатического взаимодействия, получим
∑
N αβ =
⎞
⎛ g β 2σ β
⎞
N α ⎛⎜ β
5Q 3 β
N −
N αβ ⎟ exp ⎜ − α −
N α + N γβ −
N α + N γβ ⎟ . (30)
⎜ kT kT
⎟
3kT
⎟
N α ⎜⎝
⎝
⎠
α≠β
⎠
Формула (29) позволяет вычислять концентрацию адсорбированных
молекул в различных случаях, когда адсорбция протекает во внешних силовых полях: упругих, электростатических, магнитных, при возбуждении системы оптическим излучением.
Разработанные теоретические модели позволяют определять параметры
адсорбции. В качестве примера рассмотрим адсорбции водорода односменной трубкой. Для этого используем экспериментальные результаты работы
[14] (рис. 1). Для расчета экспериментальные результаты, приведенные на
рис. 1, пересчитывались из весовых процентов в относительные единицы. В
первую очередь была рассчитана доля мест, занятых атомами водорода. Для
этого использовалось очевидное выражение, учитывающее отличие молекулярных весов водорода и углерода, причем считалось, что при физической
адсорбции молекула водорода присоединяется в виде молекулы, а число мест
равно числу атомов углерода. Доля мест занятых водородом:
a = wtμc / μ H 2 ,
(31)
N αβ =
(
∑
)
затем делалось преобразование, которое должно было линеаризовать изотерму адсорбции:
⎛ gc
a
p
= pK =
exp ⎜ − H
⎜ kT
1− a
ps
⎝
⎞
⎟,
⎟
⎠
(32)
c
где g H
– свободная энергия адсорбции.
0.32
Kp,
abr.un
Kp
, abr.un
0.28
0.24
P,
P, psi
psi
0.20
0
50
100
150
200
250
Рис. 1 Изотермы физической адсорбции водорода и их аппроксимация
формулой (32). Точки – эксперимент [14], сплошные линии – аппроксимация
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
На экспериментальной зависимости (рис. 1) наблюдается два прямолинейных участка, которые соответствуют адсорбции с различных мест. Аппроксимация участков изотермы линейными зависимостями типа a1 p + a2
позволяет определить свободную энергию:
c
hH
= −kT ln( a1 ps ) .
(33)
Результаты расчета: 0,012 эВ и 0,021 эВ. Эти параметры позволяют пересчитать концентрации адсорбированных молекул.
Таким образом, в настоящей работе построены теоретические модели
адсорбции, позволяющие вести расчеты с учетом различных внешних факторов, учитывать взаимодействия при адсорбции, а следовательно, позволяющие анализировать процессы как физической, так и химической адсорбции и
определять ее термодинамические параметры.
Список литературы
1. L o i s e a u , A . Understanding Carbon nanotubes / A. Loiseau, P. Launous, P. Petit. –
Springer, 2006. – 552 p.
2. Tc h e r n a t in s k y , A . Adsorption oxygen molecules on individual Carbon singlewalled nanotubes / A. Tchernatinsky, B. Nagabhinrava [et al.] // arXiv: condmat/0502012, 2005.
3. U l b r i c h t , H . Physisorption of molecular oxygen on single-walled Carbon nanotubes
bundles and graphite / H. Ulbricht, G. Moos, and T.Hertel // arXiv: cond-mat/0204525,
2005.
4. T a n s S . J . , V e r c h u e r e n A . R . M . , D e k k e r C . // Nature. – 1998. – V. 93. –
Р. 49–54.
5. M a r t e l R . , S c m i d t T . [et al.] // Appl. Phys. Lett. – 1998. – V. 73. – P. 2447–2454.
6. E d v a r d E . A . , V o i t A . P . , G o r d e e v S . R . , G a b i s I . E . // Materials Science. – 2000. – V. 36. – № 4. – P. 499–505.
7. Т о м и л и н О . Б. , М у р ю м и н У . У . // ФТТ. – 2006. – Т. 48. – Вып. 3. – С. 563–
571.
8. Bu ly a r s k y S . V . , O le in ic o v V . P . // Phys. Stas. Sol. (b). – 1987. – V. 141. –
P. К7–К10.
9. Bu ly a r s k y S . V . , O le in ic o v V . P . // Phys. Stas. Sol. (b). – 1988. – V. 146. –
P. 439–447.
10. Б у л я р с к и й , С . В. Термодинамика и кинетика взаимодействующих дефектов в
полупроводниках / С. В. Булярский, В. В. Фистуль. – М. : Наука.Физматлит, 1997. –
352 с.
11. Б у л я р с к и й , С . В. Физические основы управления дефектообразованием в полупроводниках / С. В. Булярский, В. В. Светухин. – Ульяновск : Изд-во Ульяновского университета, 2003. – 386 с.
12. Курс физической химии. Т. 1 / под ред. Я. И. Герасимова. – М. : Химия, 1973. –
610 с.
13. Л е й б фр и т, Г . Точечные дефекты в металлах / Г. Лейбфрит, Н. Бройер. – М. :
Мир, 1981. – 440 с.
14. L o u t f y R . O . , M o r a v s k y A . , F r a n c o A . , V e k s l e r E . // Perspectives of
Fullerene Nanotechnology, Kluwer Academic Publisher. – 2002. – P. 327–339.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, Е. В. Грозная
ВЛИЯНИЕ СПИН-ОРБИТАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
НА ЭФФЕКТ УВЛЕЧЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
ПРИ ФОТОИОНИЗАЦИИ D(–)-ЦЕНТРОВ
В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
УДК 621.315.592
В. Д. Кревчик, С. В. Яшин, Е. И. Кудряшов
ДИХРОИЗМ ДВУХФОТОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
ПРИ ФОТОИОНИЗАЦИИ D − -ЦЕНТРОВ В СТРУКТУРАХ
С НЕСФЕРИЧЕСКИМИ КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ
В рамках модели потенциала нулевого радиуса проведен расчет коэффициента примесного двухфотонного поглощения при фотоионизации D − -центров
в квазинульмерной структуре с квантовыми точками, имеющими форму эллипсоида вращения. Рассмотрены случаи продольной и поперечной по отношению к вертикальной оси квантовой точки поляризации света с учетом дисперсии характерных размеров квантовых точек. Показано, что в квазинульмерной структуре с квантовыми точками в форме эллипсоида вращения имеет
место дихроизм примесного поглощения, связанный с изменением правил отбора для магнитного квантового числа.
Введение
Эксперименты показывают [1], что величина двухфотонного (ДФ) поглощения нанокристаллов, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице, более чем на порядок превышает аналогичное значение для массивного полупроводника. По-видимому [1, 2], это связано с концентрацией силы осциллятора в области энергетически наинизшего перехода, что вызывает увеличение
оптической нелинейности квазинульмерных систем. Наличие примесных центров в наноструктурах расширяет круг возможных механизмов ДФ поглощения.
В работе [3] теоретически исследовалось ДФ межзонное поглощение в бесконечно глубокой квантовой яме полупроводника с участием примесных уровней.
Влияние примесных уровней на ДФ переходы связаны с тем, что они могут, как
и в массивных полупроводниках [4], выступать в качестве промежуточных виртуальных состояний. ДФ ионизация примесных центров, описываемых в модели потенциала нулевого радиуса, рассматривалась в работе [5] в случае 2D-системы,
моделируемой потенциалом «жестких стенок». Высокая чувствительность электронного спектра к геометрической форме квантовых точек (КТ) стимулирует
исследования оптических свойств массивов нетождественных КТ. В реальных
массивах размеры и форма отдельных КТ отклоняются от равновесных, что сказывается как на оптических свойствах систем с КТ [6–10], так и на возможности
реализации на их основе оптоэлектронных приборов [6, 8, 11, 12].
Цель настоящей работы состоит в теоретическом изучении особенностей спектров поглощения при ДФ ионизации D − -центров в полупроводниковых несферических квантовых точках (НКТ), имеющих форму эллипсоида
вращения, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице с учетом
дисперсии их размеров. При этом предполагается, что дисперсия возникает в
процессе фазового распада пересыщенного твердого раствора и удовлетворительно описывается формулой Лифшица–Слезова [13]
⎧ 3eu 2 exp ⎡ −1/ (1 − 2u / 3) ⎤
⎣
⎦ , u < 3/ 2
⎪⎪
P ( u ) = ⎨ 25 / 3 ( 3 + u )7 / 3 ( 3/ 2 − u )11/ 3
⎪
u > 3/ 2,
⎪⎩ 0,
(1)
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где e – основание натурального логарифма; u = R0 / R0 = a / a ; R0 и R0 – характерный размер НКТ и его среднее значение в радиальной плоскости; a и
a – размер НКТ вдоль оси z и его среднее значение соответственно.
Коэффициент поглощения света при двухфотонной ионизации
D–-центров в квазинульмерной структуре
Рассмотрим ДФ примесное поглощение света в полупроводниковых
НКТ, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице. Для описания одноэлектронных состояний в НКТ используется параболический потенциал конфайнмента
U ( ρ, z ) =
m∗ω12 2 m∗ω22 2
ρ +
z ,
2
2
(2)
где m* – эффективная масса электрона; ω1 и ω2 – характерные частоты удерживающего потенциала в радиальном и z-направлении соответственно.
Потенциал примеси описывается в рамках модели потенциала нулевого
( )
радиуса Vδ ( ρ, ϕ, z; ρa , ϕa , za ) мощностью γ = 2π 2 / αm*
Vδ ( ρ, ϕ, z; ρa , ϕa , za ) = γ
δ ( ρ − ρa )
ρ
δ ( ϕ − ϕa ) δ ( z − za ) ×
⎡
∂
∂⎤
× ⎢1 + ( ρ − ρa ) + ( z − za ) ⎥ ,
∂ρ
∂z ⎦
⎣
( )
где α определяется энергией Ei = 2 α 2 / 2m*
(3)
связанного состояния этого
же примесного центра в объемном материале; Ra = ( ρa , ϕa , za ) – координаты
примесного центра.
Как известно [14], модель потенциала нулевого радиуса удовлетвори-
−
тельно описывает D( ) -состояния, соответствующие присоединению допол-
нительного электрона к мелкому донору. Моделирование D( ) -центра электроном в поле потенциала нулевого радиуса использовалось в ряде теоретиче−
ских работ при расчете энергии связи D( ) -состояния в квантовых ямах и проволоках [15, 16]. В приближении эффективной массы было получено уравне−
−
ние, определяющее зависимость энергии связанного состояния D( ) -центра от
параметров НКТ и координат примеси:
η + ( 2β )
2
−1
+ wβ
−1
∞
2
⎡ ⎛
1⎞ ⎤⎡ 1
= ηi −
dt exp ⎢ − ⎜ βη2 + w + ⎟ t ⎥ ⎢
−
πβ
2 ⎠ ⎦ ⎣ 2t 2t
⎣ ⎝
∫
0
−w
94
1
−2t − 2
1− e
(
) (
1 − e −2 wt
)
−1
⎤
∗2
∗2
t ⎪⎫
⎪⎧ z
⎪⎧ ρ w wt ⎪⎫
exp ⎨ − a th ⎬ exp ⎨− a th ⎬ ⎥ ,
2 ⎭⎪ ⎥
⎪⎩ 2β 2 ⎭⎪
⎩⎪ 2β
⎦
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
где η2 = Eλ / Ed ;
za∗ = za ad ; ;
ηι = Ei / Ed ;
ad
Ed – эффективная боровская энергия;
β = a∗ ⎛⎜ 2 U 2∗ ⎞⎟ ;
⎝
⎠
– эффективный боровский радиус;
R0∗ = 2 R0 ad ; R0∗ = 2 R0 ad ; a∗ = a ad ; U 2∗ = U 2 Ed ; U1∗ = U1 Ed ; U1 и U2 –
амплитуды потенциала конфайнмента.
В случае, когда D − -центр расположен в центре НКТ ( Ra = 0 ) , волновая функция электрона, локализованного на короткодействующем потенциале, имеет вид
=C
НКТ
+
( НКТ ) ρ, ϕ, z;0 =
(
)
Ψλ
∞
(
)
1
−
⎡ ⎛
1⎞ ⎤
−1
dt exp ⎢ − ⎜ βη2 + w + ⎟ t ⎥ 1 − e −2t 2 (1 − exp [ −2wt ]) ×
2⎠ ⎦
⎣ ⎝
0
∫
(
(
−2 t
⎡
z2 1 + e
⎢
× exp −
⎢ 4βa 2 1 − e −2 t
d
⎣⎢
) ⎤⎥ exp ⎡⎢− ρ2 w (1 + exp [−2wt ]) ⎤⎥ ,
) ⎥⎦⎥ ⎢⎣ 4βad2 (1 − exp [−2wt ]) ⎥⎦
⎡
⎢
⎢ −1 3 3
⎛1
⎞
НКТ ⎢
где C
= −2 2 π 2 β 2 ad3 w−1Γ ⎜ − w ⎟
⎢
2
⎝
⎠
⎢
⎢
⎢⎣
⎛ βη2 + w 5 ⎞
Γ⎜
+ ⎟
⎜
2
4⎟
⎝
⎠
2
⎛ βη2 + w 1 ⎞ ⎛ βη2 − w 3 ⎞
⎜
+ ⎟ Γ⎜
+ ⎟
⎜
2
4⎟ ⎜
2
4⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
−
(5)
×
1
2
⎡⎛ βη2 + w
⎛ βη2 − w 3 ⎞ ⎤ ⎤ ⎤ 2
1 ⎞⎟ ⎡⎢ ⎛⎜ βη + w 5 ⎞⎟
⎢
⎜
×
+
Ψ
+
− Ψ⎜
+ ⎟ ⎥ − 1⎥ ⎥ ; Ψ ( x ) – лога⎢⎜
⎜
2
4 ⎟⎢ ⎜
2
4⎟
2
4 ⎟⎥ ⎥ ⎥
⎠⎣ ⎝
⎠
⎝
⎠ ⎦ ⎦ ⎦⎥
⎣⎝
рифмическая производная гамма-функции.
Следует отметить, что процесс ДФ примесного поглощения в рассматриваемой наногетеросистеме оказывается возможным при выполнении неравенства ( Eλ + ε0 ) / 2 ≤ ω ≤ Eλ + ε0 , где ω – энергия фотона; ε0 – энергия основ-
ного состояния НКТ. Волновая функция конечного состояния берется в виде
1
m
⎛
⎞2
nρ !
⎟ ⎛ ρ2 ⎞ 2
1⎜
Ψ nρ ,m,n ( ρ, ϕ, z ) = ⎜
⎜ 2⎟ ×
⎟
⎜
⎟
a1 ⎜ n+1 3 2
2 π n ! nρ + m !a2 ⎟ ⎝ 2a1 ⎠
⎝
⎠
(
(
⎡ ⎛ ρ2
⎛ z ⎞ m
z 2 ⎞⎤
× exp ⎢ − ⎜
+
⎟ ⎥ H n ⎜ ⎟ Ln
2
2⎟
⎜
⎢⎣ ⎝ 4a1 2a2 ⎠ ⎥⎦
⎝ a1 ⎠ ρ
)
⎛ ρ2 ⎞
⎜ 2 ⎟ eimϕ ,
⎜ 2a ⎟
⎝ 1 ⎠
(6)
)
здесь Lnρ ρ2 / 2a12 – обобщенные полиномы Лагерра; H n ( z / a2 ) – полиноm
мы Эрмита; nρ – радиальное квантовое число; n – квантовое число, соответ95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ствующее уровням энергии одномерной осцилляторной ямы; m – магнитное
квантовое число; r , θ, ϕ – сферические координаты.
Во втором порядке теории возмущений матричный элемент рассматри−
ваемого процесса ДФ ионизации D( ) -центра при поглощении двух когерентных фотонов имеет вид
M НКТ =
ψ nρ ,m,n H int ψ nρ′ ,m′,n′
∑
( НКТ )
ψ nρ′ ,m′,n′ H int ψ λ
,
Eλ + Enρ′ ,m′,n′ − ω
nρ′ ,m′,n′
(
)
(
где H int = −i λ 0 2π 2 α∗ I 0 / m*2 ω exp ( iqr ) eλ , ∇ r
)
(7)
– гамильтониан взаимо-
действия с полем световой волны; λ 0 – коэффициент локального поля; α∗ –
постоянная тонкой структуры с учетом диэлектрической проницаемости ε ;
I 0 – интенсивность света; ω – частота поглощаемого излучения с волновым
вектором q и единичным вектором поляризации eλ ; Enρ′ ,m′,n′ =
(
)
= ω1 2nρ′ + m′ + 1 + ω2 ( n′ + 1/ 2 ) – энергетический спектр виртуальных состояний, характеризующихся квантовыми числами nρ′ , m′, n′ .
С учетом выражений (5)–(7) можно вычислить матричный элемент, определяющий величину силы осциллятора дипольного оптического перехода
−
( НКТ ) в размерно-квантованные соиз основного состояния D( ) -центра ψ λ
стояния ψ nρ ,m,n через промежуточные виртуальные состояния КТ ψ nρ′ ,m′,n′ .
В ходе вычислений получены следующие правила отбора для квантовых чисел. В случае продольной по отношению к вертикальной оси НКТ поляризации света оптические переходы с примесного уровня возможны только в состояния НКТ со значением магнитного квантового числа m = 0 и с четными
значениями квантового числа n. В случае поперечной поляризации ДФ оптические переходы с примесного уровня возможны только в квантованные состояния НКТ с четными значениями осцилляторного квантового числа nρ и
значениями магнитного квантового числа m = 0, ±2 .
Можно показать, что коэффициент ДФ примесного поглощения света с
учетом дисперсии размеров НКТ в случае продольной по отношению к вертикальной оси НКТ поляризации света будет иметь вид
(s)
K НКТ ( 2ω) =
(
6 n1
1
2
N( ) N( ) 2
K0
2
X 2X − η
∑∑
) n =0 n =1
ρ
1
( n1 !)2 Γ 4 ⎛⎜ n1 +
(2n1 )!⎡⎣( 2n1 − 1)!⎤⎦
⎡ ⎛
3 ⎞⎤
⎢ −Γ ⎜ d nρ ,n1 − w′ + 4 ⎟ ⎥
⎠⎦
⎣ ⎝
×
×
5⎞
⎛1
⎞ ⎛
Γ ⎜ − 2w′ ⎟ Γ ⎜ d nρ ,n1 + w′ + ⎟
4⎠
⎝2
⎠ ⎝
96
⎝
1⎞
⎟
2⎠
2
×
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
×
1⎞
⎛
⎜ d nρ ,n1 + w′ + ⎟
4⎠
⎝
2
1
⎛
⎞
*
⎜ 2d nρ ,n1 + 2n1 − + 2 2nρ + 1 w′ − β unρ ,n1 X ⎟
2
⎝
⎠
(
)
2
×
2
1
⎛
⎞
⎜ 2n1 + + 2d nρ ,n1 + 2 2nρ + 1 w′ ⎟
2
⎝
⎠ ×
×
2
⎛
3
1⎞ ⎞
⎛
⎜ d nρ ,n1 + n1 − 4 + 2 ⎜ nρ + 2 ⎟ w′ ⎟
⎝
⎠ ⎠
⎝
(
×
(
unρ ,n1 P unρ ,n1
)
)
⎡⎛
1 ⎞⎡ ⎛
5⎞
3 ⎞⎤ ⎤
⎛
⎢⎜ d nρ ,n1 + w′ + ⎟ ⎢ψ ⎜ d nρ ,n1 + w′ + ⎟ − ψ ⎜ d nρ ,n1 − w′ + ⎟ ⎥ − 1⎥
4 ⎠⎣ ⎝
4⎠
4 ⎠⎦ ⎦
⎝
⎣⎝
×
1
1
1⎞ ⎞
⎛
⎛
⎜ d nρ ,n1 + n1 + 4 + 2 ⎜ nρ + 2 ⎟ w′ ⎟
⎝
⎠ ⎠
⎝
2
×
(8)
,
1
1
где K 0 = 8πN0 λ 04 α∗2 ad4 I 0 / Ed ; N ( ) = ⎡C ( ) ⎤ – целая часть значения выра⎢⎣
⎥⎦
1
2
2
жения C ( ) = ⎡⎢3β∗ 2 X − η2 − 5⎤⎥ / [8w′] − 1/ 2 ; N ( ) = ⎡C ( ) ⎤ – целая часть
⎢
⎥⎦
⎣
⎦
⎣
(
значения
X=
)
выражения
(
)
2
C ( ) = 3/ 4β∗ 2 X − η2 − 1/ 4 − 2 nρ + 1/ 2 w′ ;
(
)
ω / Ed – энергия фотона в единицах эффективной боровской энерw∗ =
гии;
a∗ U1∗
R0∗
U 2∗
;
d nρ ,n1 = β∗η2unρ ,n1 / 2 ; unρ ,n1 =
R0∗ = 2 R0 / ad ;
a∗ = a / a d ;
(
)
2n1 + 1/ 2 + 2 2nρ + 1 w′
∗
(
2
β 2X − η
)
w′ = w* / 2 ;
.
Для случая поперечной по отношению к вертикальной оси НКТ поляризации света коэффициент ДФ примесного поглощения можно представить в виде
(
t
K НКТ
(2ω) = K 0 X −2 2 X − η2
)
−1
×
⎧ P Q 2
( 2n1 )! u
⎪
×⎨
P unρ ,n1 ,m ×
2 2 n nρ ,n1 ,m
⎪⎩nρ =1 n1 =0 m =−2 ( n1 !) 2 1
(
∑∑ ∑
)
2
×
1⎞ ⎛
3⎞
⎛
⎜ cnρ ,n1 ,m + w′ + ⎟ Γ ⎜ cnρ ,n1 ,m − w′ + ⎟
4⎠ ⎝
4⎠
⎝
⎡ ⎛1
5 ⎞⎛
1⎞
⎞⎤ ⎛
⎢ −Γ ⎜ 2 − 2 w′ ⎟ ⎥ Γ ⎜ cnρ ,n1 ,m + w′ + 4 ⎟⎜ cnρ ,n1 ,m + n + w′ ( 2n1 + 1) + 4 ⎟
⎠⎦ ⎝
⎠⎝
⎠
⎣ ⎝
2
×
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
×
1
1 ⎞⎡ ⎛
5⎞
3 ⎞⎤
⎛
⎛
⎜ cnρ ,n1 ,m + w′ + ⎟ ⎢ψ ⎜ cnρ ,n1 ,m + w′ + ⎟ − ψ ⎜ cnρ ,n1 ,m − w′ + ⎟ ⎥ − 1
4 ⎠⎣ ⎝
4⎠
4 ⎠⎦
⎝
⎝
⎧
⎪ Γ2 n + 1
ρ
⎪
×⎨
2
⎪ nρ − 1 !
⎪
⎩
(
((
))
)
δm,0
1⎞
⎛
⎜ cnρ ,n1 ,m + n1 + w′ 2nρ − 1 + ⎟
4⎠
⎝
(
)
2
×
×
2
⎞
⎛
1
⎛
⎞
2w′ ⎜ 2n1 + + 4nρ w′ + 2cnρ ,n1 ,m ⎟
⎟
⎜
2
⎝
⎠
⎟ +
×⎜
1
∗
⎟
⎜ 2c
⎜ nρ ,n1 ,m + 4nρ w′ + 2n1 + 2 − X β unρ ,n1 ,m ⎟
⎠
⎝
+
(
Γ 2 nρ + 3
)
δ m, ± 2
( nρ !) ( nρ + 1)( nρ + 2 ) ⎜⎛ cn ,n ,m + n1 + w′ ( 2nρ + 3) + 1 ⎟⎞
2
ρ 1
⎝
2
×
4⎠
1
⎛
⎞
⎛
⎞
2w′ ⎜ 2n1 + + 4(nρ + 1) w′ + 2cnρ ,n1 ,m ⎟
⎜
⎟
2
⎝
⎠
⎟
×⎜
1
∗
⎜ 2c
⎟
⎜ nρ ,n1 ,m + 4(nρ + 1) w′ + 2n1 + 2 − X β unρ ,n1 ,m ⎟
⎝
⎠
2⎫
⎪
⎪
⎬,
⎪
⎪
⎭
(9)
где
P = [C ] ;
Q = [ D] ;
(
)
( )
C = ⎡⎢3β∗ 2 X − η2 − 1⎤⎥ / 8w* − (1 + m ) / 2 ;
⎣
⎦
2
K0 = 23 π3λ04 N0α* I 0 ad4 Ed−1 ;
(
)
(
)
D = 3/ 4β∗ 2 X − η2 − 1/ 4 − 2 nρ + (1 + m ) / 2 w* ;
cnρ ,n1 ,m = −β*η2 unρ ,n1 ,m / 2 ;
(
(
)
)
unρ ,n1 ,m = ⎡ 2n1 + 1/ 2 + 2 2nρ + m + 1 w* ⎤ / β* / 2 X − η2 .
⎣
⎦
На рис. 1, 2 приведена спектральная зависимость коэффициента ДФ
примесного поглощения квазинульмерной структуры на основе полупроводниковых InSb стекол. Из рисунков видно, что с отклонением формы КТ от
сферической (увеличение радиального размера) край полосы примесного поглощения X t сдвигается в коротковолновую область спектра (ср. кривые 1 и
2 на рис. 1 и 2). Этот сдвиг происходит по законам
(
)
(
)
(s)
(t )
X th
≈ η2 / 2 + 5 + 2w* / 6β* , X th
≈ η2 / 2 + 1 + 6 w* / 3β* .
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
s
K ( ) ( 2ω) , см −1
ω, эВ
Рис. 1 Спектральная зависимость коэффициента поглощения
при ДФ ионизации D(–)-центров в НКТ на основе InSb,
синтезированных в прозрачной боросиликатной матрице,
в случае продольной по отношению к вертикальной оси НКТ поляризации света
при различных значениях среднего радиального размера НКТ ( U10 = 0,2 эВ,
U 20 = 0,2 эВ, a = 70 нм, Ei = 0,001 эВ): 1 – 2 R0 = 70 нм; 2 – 2 R0 = 126 нм
Из сравнения рис. 1 и 2 видно, что в квазинульмерной структуре с КТ,
имеющими форму эллипсоида вращения, имеет место дихроизм ДФ примесного поглощения, связанный с изменением правил отбора для магнитного
квантового числа в радиальном направлении. Таким образом, фактор геометрической формы КТ приводит к дихроизму ДФ примесного поглощения, что
важно, например, для наблюдения ДФ возбуждаемой люминесценции, которая в последнее время широко используется как метод исследования нанокристаллов.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
s
K ( ) ( 2ω) , см −1
ω, эВ
Рис. 2 Спектральная зависимость коэффициента поглощения
при ДФ ионизации D(–)-центров в НКТ на основе InSb,
синтезированных в прозрачной боросиликатной матрице,
в случае поперечной по отношению к вертикальной оси НКТ поляризации света
при различных значениях среднего радиального размера НКТ ( U10 = 0,2 эВ,
U 20 = 0,2 эВ, a = 70 нм, Ei = 0,001 эВ): 1 – 2 R0 = 70 нм; 2 – 2 R0 = 126 нм
Список литературы
1. Б у г а е в А . А . , С т а н к е в и ч А . Л. // ФТТ. – 1992. – V. 34. – Т. 5. – С. 1613.
2. S c h m i t t - R i n k S . , M i l l e r D . A . B . , C h e l m a D . S . // Phys. Rev. – 1987. –
V. 35. – Т. 7. – С. 8113.
3. K r e v c h i k V . D . , Y a f a s o v A . Y a . // Phys. St. Sol(b). – 1982. – V. 109. – № 5. –
Р. k97.
4. И м а м о в Э . З . , К р е в ч и к В. Д . // ФТП. – 1979. – Т. 13. – № 6. – 1194.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
5. К р е в ч и к В. Д . , Я фа с о в А . Я . // ФТП. – 1981. – Т. 15. – № 11. – С. 2263.
6. Л е д е н ц о в , Н . Н . Гетероструктуры с квантовыми точками: получение, свойства, лазеры / Н. Н. Леденцов, В. М. Устинов, В. А. Щукин, П. С. Копьев, Ж. И. Алферов, Д. Бимберг // ФТП. – 1998. – Т. 32. – № 4. – С. 385–410.
7. L e d e n t s o v N . N . , G r u n d m a n n M . , K i r s t a e d t e r N . [et al.] // Proc. 7th Int
Conf. Moduiated Semicond. Struct / Sol. St. Electron. – Madrid, 1996. – V. 40. –
P. 785.
8. Б е л я в с к и й , В. И . Неоднородное уширение основного электронного уровня в
массиве квантовых точек / В. И. Белявский, С. В. Шевцов // ФТП. – 2002. – Т. 38. –
№ 5. – С. 874–880.
9. Ц ы р л и н Г . Е. , П е тр о в М . В. , М а к с и м о в М . В. , Л е д е н ц о в Н . Н . //
ФТП. – 1996. – Т. 31. – № 5. – С. 874–880.
10. Т а л а л а е в В. Г . , Н о в и к о в Б. В. , В е р б и н С . Ю . [и др.] // ФТП. – 2000. –
Т. 34. – № 5. – С. 467–472.
11. S a k a k i H . , Y u s a G . , S o m e y a T . [et al.] // Appl. Phys. Lett. – 1995. – V. 67. –
P. 3444.
12. Ж у к о в А . Е. , К о в ш А . Р . , У с т и н о в В. М . // ФТП. – 1999. – Т. 33. – № 5. –
С. 1395–1400.
13. Л и фш и ц И . М . , С л е з о в В. В. // ЖЭТФ. – 1958. – Т. 35. – № 1 (8). – С. 479.
14. Пахомов А. А., Халипов К. В., Яссиевич И. Н . // ФТП. – 1996. – Т. 30. –
№ 7. – С. 1387.
15. К р е в ч и к В. Д . , З а й ц е в Р . В. , Е в с ти фе е в В. В. // ФТП. – 2000. – Т. 34. –
№ 10. – С. 1244.
16. K r e v c h i k V . D . , G r u n i n A . B . , A r i n g a zi n A . K . [et al.] // Hadronic J. –
2003. – V. 26. – № 1. – Р. 31.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 535.32
Е. И. Барыкина, Р. А. Браже
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ
РЕФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ, ДОПУСКАЮЩЕЙ
ИНВЕРСИЮ ЭЛЕКТРОННОЙ ПОДСИСТЕМЫ
Построена математическая модель рефракции электромагнитных волн, в
частности света, в электропроводящей среде. Исследованы возможности существования отрицательной рефракции. Проведена апробация построенных математических моделей путем их сопоставления с экспериментальными данными.
Введение
Интерес к материалам с отрицательным показателем преломления света
возник в связи с недавним обнаружением этого явления в области микроволн
[1] и теоретическим предсказанием возможности создания на его основе так
называемой идеальной линзы [2]. Обычно отправным пунктом исследований
в этой области считают работу Веселаго (1967) [3], показавшего, что в среде с
одновременно отрицательными значениями относительной диэлектрической
проницаемости ε и относительной магнитной проницаемости μ имеет место
отрицательная рефракция электромагнитных волн. Однако, как было недавно
показано в фундаментальном обзоре данной проблемы Аграновичем и Гартштейном [4], в действительности история обсуждаемого явления началась гораздо раньше – с лекций Л. И. Мандельштама (1944) [5], в которых был дан
детальный анализ отрицательного преломления на плоской границе раздела
двух сред, в одной из которых могут распространяться волны с отрицательной групповой скоростью.
Настоящая работа посвящена построению математической модели отрицательной рефракции электромагнитных волн в среде с одновременно отрицательными значениями ε и μ (среда Веселаго), из нашего вывода следует
[6, 7], что это, тем не менее, лишь один из двух возможных случаев наблюдения данного явления в изотропной среде. Действительно, направление преломленного луча и знак показателя преломления определяются направлением
лучевого вектора, сонаправленного с вектором Пойнтинга S = W vgr , где
(
)
W = 1/ 4 ε0 εE02 + μ0μH 02 – средняя за период колебаний плотность энергии
в электромагнитной волне; vgr – ее групповая скорость. Записанное выражение
справедливо лишь в отсутствие дисперсии, когда ε и μ действительны и не зависят от частоты. В диспергирующей среде в условиях, когда диссипацией
энергии можно пренебречь, следует пользоваться более общим выражением [8]
∂ ( ωμ )
⎤
1 ⎡ ∂ ( ωε )
W = ⎢
ε0 E02 +
μ0 h02 ⎥ . В выражении для W ε0 и μ0 – соот∂μ
4 ⎣ ∂ω
⎦
ветственно диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума; а E0 и H 0 –
амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей
волны. Ясно, что проекция лучевого вектора на направление волнового вектора
будет отрицательной в двух случаях: когда vgr < 0 (обратная волна), либо ко102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
гда W < 0 (волна отрицательной энергии). Как обратные волны, так и волны
отрицательной энергии хорошо известны в электронике, гидродинамике, физике плазмы и других областях физики и математики [9]. Первые связаны с диспергирующими средами [7], а вторые – с инверсными средами [10]. Обобщенная математическая модель инверсной среды предложена в работе [11]. Заметим, что в случае обратной волны отрицательной энергии, т.е. когда действуют
оба фактора, отрицательная рефракция не наблюдается.
1 Показатель преломления электромагнитных волн
в электропроводящей среде (математическая модель)
Диэлектрическая проницаемость электропроводящей среды определяется выражением [12]
ε =1+
ωr ω
,
−ωτ + i
(1)
где τ – время свободного пролета электрона; ωr = σ ε0 – частота релаксации
проводимости, положительная в случае нормального электронного газа и отрицательная для инверсного электронного газа, когда удельная электропроводность среды σ < 0 [11].
Комплексный характер ε связан с затуханием колебаний электронов
при столкновениях с ионами при ωr > 0 .
В случае электропроводящей среды свободные электроны в электрическом и магнитном полях внешней волны будут обладать периодически изменяющимися магнитными моментами, что приводит к намагничиванию среды.
Магнитная проницаемость определяется выражением [12]
μ =1+
ωr τ
1 − ω τ − i ( 2ωτ )
2 2
.
(2)
Как и в случае относительной диэлектрической проницаемости, комплексный характер μ связан с затуханием циклических вращений электронов
при столкновениях с ионами при ωr > 0 .
Показатель преломления n среды показывает, во сколько раз фазовая
скорость электромагнитной волны v в данной среде отличается от ее скорости в вакууме: n = c v = εμ . В нашем случае величины ε и μ определяются
выражениями (1) и (2).
1. В области низких частот ( ω 1 τ , ω ωr ) получаем следующее
выражение для показателя преломления:
⎧
⎪ ω
n = ⎨− r
⎪ ω
⎩
⎡ ⎛
⎢1 + ⎜ ωr
⎢ ⎜ ωp
⎢⎣ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1/ 2
2 ⎤⎫
⎥⎪
⎥⎬
⎥⎦ ⎪⎭
,
(3)
1/ 2
⎛ω ⎞
где ω p = ⎜ r ⎟
– плазменная частота колебаний электронов. Так как
⎝ τ ⎠
−i ( 0 − i ) 2 , выражение (3) приводится к виду
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1/ 2 ⎡
⎛
⎢1 + ⎜ ωr
⎢ ⎜ ωp
⎣⎢ ⎝
⎛ω ⎞
n=⎜ r ⎟
⎝ 2ω ⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
2 ⎤1/ 2
⎥
⎥
⎦⎥
(1 − i ) ,
(4)
или, в более компактной форме, n = nR + inI , где
⎛ω
ω
ω
nR = γ r , nI = −γ r , γ = 1 + ⎜ r
⎜ ωp
2ω
2ω
⎝
2
⎞
⎟ .
⎟
⎠
(5)
Частные случаи:
а) электронный газ в нормальном состоянии, тогда уравнения для электрической и магнитной составляющих плоской бегущей волны в среде запишутся в виде
E y = E0 exp ⎡⎣iω ( t − nx / c ) ⎤⎦ ;
H z = H 0 exp ⎡⎣iω ( t − nx / c ) ⎤⎦ ,
или, в компактной форме,
⎛ E y ⎞ ⎛ E0 ⎞ ωn x / c i( ωt − nR x / c )
,
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
⎟e I e
H
H
⎝ z⎠ ⎝ 0⎠
(6)
где nR и nI находятся из формул (5). Из уравнения (6) видно, что при распространении в электропроводящей среде амплитуда электромагнитной волны убывает по закону
⎛ E0 ⎞ − x / δ
1 2c 2 1 2ε0c 2
,
,
δ
=
=
e
⎜
⎟
γ ωr ω γ
σω
⎝ H0 ⎠
(7)
где δ – глубина скин-слоя, отличающаяся от обычно принятой величины [8]
множителем 1/ γ . Фазовая скорость волны в среде v = c / nR ;
б) электронный газ в инверсном состоянии, тогда ωr < 0 , ω2p < 0 , и выражение (3) можно представить в виде
1/ 2
1/ 2 ⎡
⎛ω ⎞
n=⎜ r ⎟
⎝ 2ω ⎠
2⎤
⎢1 + ωr ⎥
⎢
ωp ⎥
⎢⎣
⎥⎦
(1 + i ) ,
(8)
или n = nR + inI , где
ωr
ωr
ω
, nI = −γ′
, γ′ = 1 − r
nR = γ ′
2ω
2ω
ωp
2
.
(9)
Легко видеть, что в этом случае амплитуда электромагнитной волны
будет нарастать по закону
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
⎛ E0 ⎞ − x / δ′
1
, δ=
⎜
⎟e
γ′
⎝ H0 ⎠
2c 2
1 2ε 0 c 2
,
=
ωr ω γ′ σ ω
(10)
где δ′ – глубина слоя, в котором амплитуда волны увеличивается в e раз. Разумеется, это справедливо лишь при ωr / ω p < 1 . Если ωr / ω p = 1 , то γ ′ = 0 ,
nR = 0 , nI = 0 , и, как видно из уравнения (6), все электроны среды придут в
синхронные колебания на частоте ω = ω p . Если ωr / ω p > 1 , то γ ′ , nR , nI
будут минимальными, и формула (6) примет вид
⎛ E y ⎞ ⎛ E0 ⎞ ω nR x / c i( ωt − nI x / c )
e
,
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
⎟e
⎝ H z ⎠ ⎝ H0 ⎠
т.е. волна в среде станет обратной.
2. В области высоких частот ( ω
(11)
1/ τ ) получаем
2
⎛ ωp ⎞
n =1− ⎜
⎟ .
⎝ ω ⎠
(12)
Возможны частные случаи:
а) электронный газ в нормальном состоянии, тогда в зависимости от
соотношения между плазменной частотой и частотой электромагнитной волны получаем:
– если ω p / ω < 1 , 0 < n < 1 , фазовая скорость электромагнитной волны в
среде превышает скорость света в вакууме;
– если ω p / ω = 1 , n = 0 , фазовая скорость электромагнитной волны обращается в бесконечность. В среде возникают колебания на частоте ω = ω p ;
– если ω p / ω > 1 , n < 0 , фазовая скорость обратной волны превышает
по величине скорость света в вакууме;
б) электронный газ в инверсном состоянии, тогда ω2p < 0 и, как следует
из формулы (12), n > 1 .
В табл. 1 представлены численные оценки величин характерных частот
для исследуемой среды: частоты релаксации проводимости ωr , плазменной
частоты электронов ω p и частоты столкновений электронов с ионами 1/ τ . Из
табл. 1 видно, что электромагнитные волны оптических частот, включая ближнюю инфракрасную область, во всех исследуемых средах соответствуют режиму высоких частот. Радиоволны можно считать низкочастотными в металлах
вплоть до терагерцевых частот, в полупроводниках – до гигагерцевых частот, а
в ионосфере и высокотемпературной плазме – до килогерцевых частот.
В табл. 2 представлены значения n для рассмотренных примеров электропроводящей среды. Как видно из таб. 2, показатель преломления радиоволн всех рассматриваемых диапазонов в металлах и низкочастотного диапазона в плазме (как низкотемпературной, так и высокотемпературной) является комплексной величиной. Ее действительная часть nR характеризует меру
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
уменьшения фазовой скорости соответствующей волны в данной среде по
сравнению с ее значением в вакууме ( nR = c / v ) , а мнимая часть – меру убывания амплитуды волны в данной среде, определяющую глубину скин-слоя
δ = −c / ( ωnI ) . Из приведенных численных оценок следует, что в данных средах указанные радиоволны резко замедляются и сильно поглощаются.
Таблица 1
Среда
Металл (Cu) [13]
Полупроводник
(n-GaAs в области
p–n-перехода
полупроводникового
лазера∗)
Ионосфера (слой Е) [14]
Плазма
(термоядерный реактор,
Т~108 К) [15]
–1
σ , см/м
N , м–3
ωr , с–1
ωp , с
1/ τ , с–1
5,9 ⋅ 107
1,1 ⋅ 1029
6,7 ⋅ 1018
1,9 ⋅ 1016
5,3 ⋅ 1013
–3,1
2,9 ⋅ 1018
–3,5 ⋅ 1011
9,6 ⋅ 1010i
2,6 ⋅ 1010
0,21
3,0 ⋅ 1011
2,4 ⋅ 1010
3,1 ⋅ 107
4,0 ⋅ 104
1,0 ⋅ 109
1,0 ⋅ 1021
1,1 ⋅ 1020
1,8 ⋅ 1012
2,9 ⋅ 104
Таблица 2
λ = 560 нм λ = 845 нм λ = 3 ⋅ 10-4 м λ = 3 ⋅ 10–1 м
Среда
Металл (Cu)
–33
1,8 ⋅ 105(1–i) 5,7 ⋅ 106(1–i)
Полупроводник
(n-GaAs в области
p–n-перехода
1,9⋅109
полупроводникового
лазера)
Ионосфера (слой Е)
~1
~1
0,999
Плазма
~1
–2,2
(термоядерный реактор,
–3,2 ⋅ 106
8
Т~10 К)
λ = 3 ⋅ 105 м
5,7 ⋅ 109(1–i)
7,6 ⋅ 104(1–i)
4,0 ⋅ 1015(1–i)
2 Возможности существования отрицательной рефракции
в электропроводящей среде
Как следует из построенной в предыдущем разделе математической
модели показателя преломления n электромагнитных волн в электропроводящей среде и табл. 2, в исследованных средах n принимает отрицательные
значения лишь в металлах (на оптических частотах) и в высокотемпературной
плазме (на терагерцевых и гигагерцевых частотах), т.е. в бесстолкновительном режиме, когда отсутствует диссипация. При этом пространственной дисперсией в большинстве случаев можно пренебречь [8], т.к. фазовая скорость
∗
Данные для σ получены из анализа реальной ватт-амперной характеристики полупроводникового лазера типа ИЛПН-204 и геометрии его p–n-перехода. Так как электронный газ в p–n-переходе лазера находится в инверсном состоянии, то его удельная электропроводность и частота релаксации проводимости отрицательны, а плазменная частота мнимая.
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
волны v = c / n по величине значительно превышает среднюю скорость тепло1/ 2
вого движения электронов v ∼ ( k BT / m ) , где k B – постоянная Больцмана
(приближение «холодной» плазмы). Лишь в случае высокотемпературной
плазмы построенная математическая модель может применяться с ограничениями, например, для оптических частот, когда n ∼ 1 . Для корректного описания показателя преломления высокотемпературной плазмы в случае радиоволн необходимо учитывать наряду с временной дисперсией и пространственную дисперсию.
Еще одно предварительное замечание относительно формулы (12). На
первый взгляд она явно противоречит традиционному выражению для показателя преломления электромагнитных волн в разряженной плазме (напри-
(
мер, в ионосфере) [8]: n = 1 − ω2p ω2
)
1/ 2
. Однако именно это традиционное
выражение противоречит опытным данным. Действительно, при ω < ω p показатель преломления получается чисто мнимым, причем с положительной
мнимой частью. Это означает усиление волн при взаимодействии со средой.
За счет чего? Ведь режим бесстолкновительный. Выражение же (12) приводит к единственно правильному выводу: на частотах выше плазменной частоты среда прозрачна (как, например, ионосфера) для света и высокочастотных
радиоволн. Но при ω < ω p она отражает падающее излучение (как, например,
в металлах), где n принимает действительные отрицательные значения, и
волна изменяет направление своей фазовой скорости на противоположное.
Теперь, используя выражения для ε и μ , приведем W , записанное во
введении, к виду
W =
⎛ ω2p ⎞
1
⎟.
ε0 E02 + μ0 H 02 ⎜ 1 +
2 ⎟
⎜
4
ω
⎝
⎠
(
)
(13)
Используя выражение (12), найдем волновое число k = ωn / c и групповую скорость волны vgr = ( dk / d ω)
−1
vgr =
:
c
⎛ ωp ⎞
1+ ⎜
⎟
⎝ ω ⎠
2
.
(14)
Подставляя формулы (13), (14) в выражение для плотности потока
энергии из введения, получаем
S=
(
)
1
ε0 E02 + μ0 H 02 c .
4
(15)
Таким образом, в бесстолкновительном режиме плотность потока
энергии электромагнитной волны в электропроводящей среде такая же, как
и в вакууме. Совершенно естественный вывод: ведь волна не вызывает
столкновений электронов с ионами, и, стало быть, диссипативные процессы
отсутствуют.
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Что же происходит со светом, падающим на плоскую металлическую
поверхность из воздуха (вакуума)? На этот вопрос дает ответ рис. 1, на котором приведено построение Гюйгенса для поверхностей фазовой и групповой
скоростей вторичных сферических световых волн, излучаемых точками волнового фронта в изотропной диспергирующей электропроводящей среде. На
рис. 1,а показан случай отрицательной рефракции света в металле, когда
электронный газ находится в нормальном состоянии и показатель преломления n < −1 . Фазовая скорость волны в этом случае отрицательна, а групповая
скорость, как видно из формулы (14), положительна. Положительна и средняя
плотность энергии в волне, как следует из выражения (13). Так что плотность
потока энергии положительна, и лучевой вектор s , сонаправленный с вектором Умова–Пойнтинга S направлен вниз, в среду. Волновой вектор k 2 , наоборот, направлен из среды к границе раздела под углом i2 = r к нормали.
Свет, идущий из среды, испытывает отрицательную рефракцию, преломляясь
под углом r1 = −i . Поскольку коэффициент отражения света от металла близок к единице, то свет внутрь металла почти не заходит. Поэтому наблюдателю, находящемуся за такой средой, недоступен некоторый объем пространства в некотором диапазоне длин волн.
На рис. 1,б показан случай того же металла, когда электронный газ находится в инверсном состоянии. Квадрат плазменной частоты в этом случае принимает отрицательное значение, показатель преломления больше единицы, фазовая скорость световой волны положительна, групповая скорость, наоборот,
отрицательна. Но, поскольку средняя плотность энергии в волне также отрицательна, то плотность потока энергии, как и следует из выражения (15), снова
положительна. Обратная волна в среде является волной отрицательной энергии,
и, как отмечалось во введении, отрицательная рефракция не наблюдается.
k1
i
r1 = −i
k1
i
n >1
n < −1
s
k2
i2 = r
а)
(a)
i
s
s
r
(бб)
)
k2
s
Рис. 1 Построение Гюйгенса для рефракции света на границе
с изотропной диспергирующей электропроводящей средой
с нормальным электронным газом (а) и инверсным электронным газом (б)
Заключение
Предложенная математическая модель рефракции электромагнитных
волн в электропроводящей среде может служить базовой моделью для исследования различных сред и длин волн излучения на предмет возможности су108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
ществования в этих средах (как нормальных, так и инверсных) отрицательной
рефракции. Можно также решить и обратную задачу: подобрать параметры
среды (например, концентрацию свободных электронов) таким образом, чтобы для электромагнитных волн определенного частотного диапазона получить отрицательный (или любой иной) показатель преломления. Более того,
энергетической накачкой среду можно переводить в инверсное состояние и
скачкообразно изменять показатель ее преломления, превращая среду то в
«идеальное зеркало», то в прозрачную среду. Результаты работы могут быть
полезны для разработки элементной базы оптических устройств обработки
информации нового поколения, в частности так называемых сверхлинз.
Список литературы
1. S h e l b y , R . A . Experimental verification of a negative refractive index of refraction /
R. A. Shelby, D. R. Smith, S. Schultz // Science. – 2001. – V. 292. – P. 77–79.
2. P e n d r y , J . B. Negative refractive index makes perfect lens / J. B. Pendry // Phys.
Rev. Lett. – 2000. – V. 85. – P. 3966.
3. В е с е л а г о , В. Г . Электродинамика веществ с одновременно отрицательными
значениями ε и μ / В. Г. Веселаго // УФН. – 1967. – Т. 92. – № 3. – C. 517–526.
4. А г р а н о в и ч , В. М . Пространственная дисперсия и отрицательное преломление
света / В. М. Агранович, Ю.Н. Гартштейн // УФН. – 2006. – Т. 176. – № 10. –
C. 1051–1068.
5. М а н де л ь ш та м , Л. И . Полное собрание трудов Т. 5 / Л. И. Мандельштам. –
М. : Изд-во АН СССР, 1950.
6. Б р а ж е , Р . А . Отрицательная рефракция «левых сред» с позиций физики инверсных систем / Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов // Физика и технические приложения волновых процессов. – Самара, 2006. – C. 311–312.
7. Б а р ы к и н а , Е. И . Обобщение построения Гюйгенса на обратные волны и волны отрицательной энергии / Е. И. Барыкина // Актуальные проблемы физической
и функциональной электроники : тезисы школы-семинара. – Ульяновск, 2006. –
C. 5.
8. Ви н о г р а до в а , М . Б. Теория волн / М. Б. Виноградова, О. В. Руденко,
А. П. Сухоруков. – М. : Наука, – 1979. – 384 с.
9. Р а б и н о в и ч , М . И . Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович,
Д. И. Трубецков. – Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. –
560 с.
10. Б р а ж е , Р . А . Волны отрицательной энергии и инверсные среды / Р. А. Браже,
Р. М. Мефтахутдинов // Математические методы и модели в прикладных задачах
науки и техники : труды Межд. конф. «Континуальные алгебраические логики,
исчисления и нейроинформатика в науке и технике». – Ульяновск, 2006. – Т. 4. –
C. 54–58.
11. Б р а ж е , Р . А . Обобщенная математическая модель инверсной среды и ее практические приложения / Р. А. Браже // Прикладная математика и механика : сборник науч. тр. – Вып. 7. – Ульяновск, 2006. – C. 61–70.
12. Б а р ы к и н а , Е. И . Отражение и преломление электромагнитных волн в атмосфере на границе раздела с плазменными объектами / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже //
Труды Пятой Всероссийской научно-практической конф. (с участием стран СНГ) :
[посвящ. 50-летию Ульяновского гос. техн. ун-та]. – Ульяновск, 2007. –
С. 263–265.
13. К о ш к и н , Н . И . Справочник по элементарной физике / Н. И. Кошкин,
М. Г. Ширкевич. – М. : Наука, – 1988. – 256 с.
14. М и з у н , Ю . Г . Ионосфера Земли / Ю. Г. Мизун. – М. : Наука, – 1985. – 158 с.
15. А р ц и м о в и ч , Л. А . Элементарная физика плазмы / Л. А. Арицимович. – М. :
Атомиздат, 1969. – 192 с.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК. 537.874.6
Г. С. Макеева, О. А. Голованов
АНАЛИЗ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ДИФРАКЦИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МИКРОВОЛНОВЫХ
МАГНИТНЫХ НАНОСТРУКТУРАХ
Развивается электродинамический подход к математическому моделированию микроволновых магнитных наноструктур и наноустройств, базирующийся на решении уравнений Максвелла совместно с уравнениями движения в гиромагнитной среде без упрощения уравнений электродинамики и
краевых условий. Построение адекватных математических моделей электродинамического уровня строгости базируется на решении электродинамических задач дифракции на решетках магнитных наночастиц численным методом универсальных автономных блоков с виртуальными каналами Флоке.
Введение
Задача теоретического исследования (на основе математического моделирования электродинамического уровня строгости) взаимодействия электромагнитного излучения с магнитными твердотельными наноструктурами,
трехмерными магнитными (спиновыми) фотонными кристаллами и возникающих при этом явлений и эффектов является частью фундаментальной
проблемы исследования физических процессов при распространении электромагнитных волн в ультрадисперсных нелинейных гиротропных средах с
искусственной электронной зонной и фотонной структурой.
Магнитные наноматериалы – одни из самых интересных и активно изучаемых объектов, среди которых следует выделить магнитные однодоменные
наночастицы, нашедшие широкое применение в технологиях записи и хранения информации, производстве постоянных магнитов и некоторых важных
задачах биомедицины. Исследование массивов ферромагнитных наночастиц
вызывает повышенный интерес, обусловленный, прежде всего, возможностью их применения в качестве среды для записи информации с высокой
плотностью, возможностью реализации на их основе высокочувствительных
сенсоров слабых магнитных полей, а также перспективами их применения в
качестве встроенных источников неоднородного магнитного поля [2]. В материалах, содержащих магнитные наночастицы, обнаружен ряд уникальных
физических эффектов, в том числе и магнитных, таких как гигантская поверхностная анизотропия, спин-зависимый электронный транспорт, гигантская коэрцитивная сила и т.д. [2]. Теоретическое описание свойств таких частиц и содержащих их материалов только начато, это квантово-химическое
описание либо описание с помощью континуальных моделей [2].
1 Электродинамический подход к анализу микроволновых структур,
содержащих магнитные наночастицы
Малость размеров наночастицы по сравнению с длиной электромагнитной волны дает возможность использовать магнитостатическое приближение
(в рамках условия его применимости [3]) для определения спектра безобменных магнитостатических волн (МСВ) (колебаний в магнитных наночастицах)
из решения уравнений магнитостатики и уравнения движения вектора намагниченности в ферромагнетике (без учета обменного взаимодействия) [3]:
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
dM
= −γ ( M × H ) + ωr (χ0 H − M ) ,
dt
(1)
M = B − μ0 H ,
где M – вектор намагниченности; γ – гиромагнитная постоянная; H –
вектор напряженности магнитного поля; ωr – частота релаксации;
χ0 = M 0 H 0 – статическая магнитная восприимчивость.
Спектр дипольно-обменных спиновых волн (СВ) в магнитных
наночастицах определяется с учетом обменного взаимодействия из совместного
решения уравнений магнитостатики и уравнения Ландау–Лифшица [6]:
∂M
α ⎡ ∂M ⎤
= −γ ⎡⎣ M , H ef ⎤⎦ −
⎢ M , ∂t ⎥ ,
∂t
M ⎣
⎦
(2)
где H ef – эффективное поле, равное H ef = H + H q , здесь H – внешнее магнитное поле; H q – эффективное поле обменного взаимодействия; α – параметр диссипации с электродинамическими, а также дополнительными обменными граничными условиями на поверхности магнетика [4]:
– условия Киттеля для жесткого закрепления спинов:
m =0;
(3)
– или Радо-Уитмена для свободных поверхностных спинов:
( n , ∇m ) = 0 ,
(4)
где m – переменная намагниченность.
Поле H q учитывает возрастание обменной энергии при неоднородности
намагниченности M [3]:
H q = qΔM ,
где q – константа обменного взаимодействия; Δ – оператор Лапласа.
Обменное взаимодействие существенно лишь при весьма малых характерных размерах системы, и его влияние необходимо учитывать при
изучении магнитных частиц с размерами порядка или меньше 1 мкм [3].
Однако условие малости размеров наночастицы не является достаточным для применимости магнитостатического приближения к анализу системы магнитных наночастиц (решетки из магнитных наночастиц, расположенных в немагнитной матрице). Если наночастица в системе магнитных наночастиц (решетке) оказывается в узловых поверхностях переменного электромагнитного поля (что определяется характерными размерами системы – периодом решетки), то переменное магнитное поле будет в области даже малой
наночастицы существенно неоднородным. Квазистатическая аппроксимация
при этом неприменима [3].
Для анализа дифракции электромагнитных волн на решетках магнитных наночастиц и магнитных наноструктурах в микроволновом и тем более
терагерцовом диапазонах становится необходимым учет запаздывания и, следовательно, электродинамическая постановка задачи.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Правомерен следующий электродинамический подход [5] к анализу
микроволновых структур, содержащих магнитные наночастицы. Единый
волновой процесс в исследуемых структурах представим как распределенное
взаимодействие сторонних «быстрых» электромагнитных волн, направляемых микроволновой структурой, и «медленных» магнитостатических волн
(МСВ), СВ (колебаний, возбуждаемых в магнитных наночастицах, с относительной длиной волны λ M / λ 0 , на 3–5 порядков меньшей, чем длина элек-
тромагнитной волны λ 0 : λ M / λ 0 < 10−3 − 10−5 [3].
Анализ полей в микроволновых магнитных наноструктурах является
самосогласованной задачей, т.к. переменные магнитные поля, возникающие в
системе магнитных наночастиц при распространении электромагнитных
волн, изменяя структуру поля, в свою очередь, влияют как на характеристики
магнитных волн и колебаний в магнитных наночастицах, так и направляемых
электромагнитных волн.
Наличие сильной связи между магнитными наночастицами, обусловленной магнитными (диполь-дипольными) или обменными силами (что
определяется характерными размерами системы – радиусом наночастиц и
расстояниями между наночастицами) приводит к тому, что колебания
намагниченности в отдельных магнитных наночастицах нельзя рассматривать
как независимые. Следует говорить о собственных колебаниях всей системы
(решетки) магнитных наночастиц – коллективных модах. Поэтому в решетке
из магнитных наночастиц внутреннее переменное магнитное поле нельзя
считать заданным, т.к. это поле в свою очередь зависит от переменной
намагниченности, причем не только в данной точке, а во всей системе.
В диапазоне СВЧ в магнитных наноструктурах возможно особенно
сильное влияние электромагнитных волн на МСВ и СВ (и обратно) в
условиях ферромагнитного резонанса. При этом решетки из магнитных
наночастиц необходимо рассматривать как магнитные системы, включая
спиновые подсистемы с различными классами колебаний, способные, в свою
очередь, взаимодействовать с возмущенными электромагнитными полями
внешних электродинамических структур, что проявляется в сильном влиянии
их друг на друга вблизи частоты ферромагнитного резонанса.
Для уединенной магнитной наночастицы (при расстоянии между наночастицами больше ее размеров) можно записать
m = χH
M
,
где m – возбужденная намагниченность в ферритовой наночастице; χ – динамическая ВЧ-магнитная восприимчивость по отношению к внутреннему
M
переменному полю H , которое для тел конечных размеров, в свою очередь,
зависит от намагниченности m [3].
В отсутствие переменного внешнего магнитного поля H D (т.е. при
H D = 0 ) уравнение движения вектора намагниченности (1) имеет простое
решение в виде суммы [3]:
(5)
m = ∑ mν ,
ν
где mν – собственные типы прецессии магнитной наночастицы; ν – номер
собственной частоты колебаний намагниченности.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
Намагниченность m магнитной наночастицы (в отсутствие электромагнитной связи) можно представить в виде разложения по собственным
функциям колебаний намагниченности mνm (с соответствующими полями
H νm ) с бесконечным дискретным спектром собственных частот ωνm .
Cобственные колебания намагниченности mνm могут быть определены в
магнитостатическом приближении без учета обменного взаимодействия из
решения уравнения движения вектора намагниченности (1) – это спектр безообменных МСВ [3], либо с учетом обменного взаимодействия из решения
уравнения Ландау–Лифшица (2) – это спектр дипольно-обменных СВ [10].
Комплексную амплитуду вынужденных колебаний намагниченности
m , учитывая ортогональность и полноту (в рамках магнитостатического
приближения) системы собственных функций – намагниченностей mν магнитостатических колебаний, можно представить в виде ряда
m( r ) =
∑ Cν mν (r ) ,
(6)
ν
где амплитудные коэффициенты определяются как [3]
Cν =
1
ω2
H D (r )mν* (r )dV ,
2
2
2
V
N ν ω − ων − 2iαν ων
∫
(7)
H D – внешнее возбуждающее СВЧ поле: ων , α ν – собственные частоты и
параметры диссипации магнитостатических колебаний; N ν – константа, за-
висящая от нормировки собственных функций mν ;
∫
– интегрирование ве-
V
дется по объему магнетика.
При решении задачи о возбуждении волн (колебаний) в решетках магнитных наночастиц неоднородным магнитным полем H D , рассматривая его
как стороннее, амплитуды Cνm вынужденных колебаний намагниченности
можно определить следующим образом [11]:
Cνm =
iω
∫
N ν0m (ω − ωνm ) V
H D mν*m dV
(8)
при введении нормы N νm
∫
N νm = [mν0m , mν0*m ]z ds .
S
Предположим, что возмущение поля в решетке из магнитных наночастиц можно описать некоторым неоднородным полем [10], и разложим его по
пространственным Фурье-гармоникам, пространственный период которых
определяется периодом решетки h. В представлении возбуждающего СВЧ
поля H D в выражении (8) учтем структуру поля электромагнитной волны в
периодической структуре (решетке из магнитных наночастиц), представив
его в виде разложения по пространственным гармоникам:
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
HD =
∑{C+ n H +0n e−i k
zn
z
+ C− n H −0n ei k zn z } ,
(9)
n
где k zn , E±0n , H ±0n , Cn – продольные волновые числа, поля и амплитуды «быстрых» электромагнитных волн – пространственных гармоник решетки,
k zn = k0 + nπ / h ,
(10)
где h – период решетки.
При этом решетку можно рассматривать как волноведущую структуру,
на которую накладывается эффективное неоднородное поле, создаваемое соседними наночастицами.
Учитывая в выражении (9) волну основного типа, амплитудные коэффициенты разложения намагниченности Cνm в уравнении (8) можно определить следующим образом:
Cν0m =
iω
C1H10 exp( −ik z1z ) mν0*m (r )dV .
V
N νm (ω − ωνm )
∫
(11)
Тогда амплитуды Cν0m возбуждаемых СВ , как следует из выражения
(11) с учетом (10), имеют заметную величину лишь в области волновых чисел
k порядка π / h . При этом спектр возбуждаемых пространственных гармоник
СВ обусловлен размерами неоднородностей (периодом решетки).
2 Постановка и решение краевой электродинамической задачи
дифракции для магнитных наноструктур
В микроволновых магнитных наноструктурах сочетаются распространение и взаимодействие волн различной физической природы: электромагнитных волн и МСВ, СВ (колебаний), возбуждением которых в магнитных
наночастицах сопровождается распространение электромагнитных волн. Поэтому уравнения Максвелла, описывающие среду феноменологически и не
раскрывающие механизма взаимодействия среды и поля, должны рассматриваться вместе с комплексом материальных уравнений – уравнений движения
как характеристик гиромагнитной среды.
Постановка электродинамической задачи для микроволновых структур,
содержащих магнитные наночастицы, заключается в следующем. Система
уравнений Максвелла:
rot H (t ) = ε0 ε
∂E (t )
+ σ E (t ) ;
∂t
rot E (t ) = −
∂B(t )
,
∂t
(12)
(13)
где E , H – векторы напряженности электрического и магнитного полей; B –
вектор магнитной индукции; ε – относительная диэлектрическая
проницаемость; ε0 , μ0 – электрическая и магнитная постоянные; σ –
электропроводность среды; должна решаться совместно с уравнением
движения намагниченности в ферромагнетике в форме Ландау–Лифшица (2).
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
К системе уравнений Максвелла следует присоединить электродинамические граничные условия на поверхностях раздела сред:
[n , ( H (1) − H (2) )] = 0 ;
(14)
(( B(1) − B(2) ), n ) = 0 ,
(15)
где n – единичный вектор нормали к поверхности раздела сред 1 и 2.
Нахождение отклика магнитной наноструктуры на заданный сигнал в
виде приходящей электромагнитной волны – поля дифракции – требует решения краевой задачи дифракции для уравнений Максвелла (12), (13) совместно с уравнением движения вектора намагниченности в форме Ландау–
Лифшица (2) с учетом электродинамических граничных условий.
Как физическую модель магнитного нанокомпозита, состоящего из
изолированных друг от друга наноразмерных магнитных частиц в немагнитной твердой диэлектрической матрице, рассмотрим периодическую структуру – решетку из ферритовых сфер (как правило, наночастицы имеют сфероидальную форму).
Математическое моделирование базируется на решении трехмерной задачи дифракции для уравнений Максвелла (12), (13) совместно с уравнением
Ландау–Лифшица (2) с учетом обменного члена. Вычислительный алгоритм
построен методом универсальных автономных блоков с каналами Флоке
(УБФ) [7]. В спектре волн виртуальных прямоугольных волноводов с периодическими граничными условиями на стенках (каналов Флоке), в отличие от
виртуальных прямоугольных волноводов, в методах автономных многомодовых блоков [8] и минимальных блоков [9] существуют TEM-волны. Поэтому
метод УБФ позволяет преодолеть ограниченность базиса и разработать эффективный вычислительный алгоритм решения задач дифракции квази TEMволны в микро- и наноструктурах СВЧ.
Рассмотрим задачу дифракции плоской однородной электромагнитной
волны на периодической структуре, состоящей из магнитных наночастиц, –
решетке из ферритовых сфер (ферритовая сфера находится между сечениями
S1 , S2 (рис. 1)). Пусть на входное сечение S1 падает ТЕМ-волна с амплиту+
(ω) и частотой ω , распространяющаяся поперечно по отношению к
дой C1(1)
направлению постоянного поля подмагничивания H 0 .
Численное исследование дифракции электромагнитной волны на решетке из магнитных частиц (ферритовых сфер с микро- и наноразмерами)
проведено на математических моделях электродинамического уровня строгости, базирующихся на совместном решении уравнений Максвелла и уравнения Ландау–Лифшица с учетом обменного взаимодействия (без упрощения
уравнений и граничных условий).
В линейном режиме (при малых амплитудах падающей волны
+
C1(1) (ω) = 0,01 А/мм ) методом УБФ проведен электродинамический расчет
элементов многомодовой многоканальной матрицы рассеяния, связывающей
амплитуды падающих и отраженных волн на сечениях S1 , S2 , в зависимости
от нормированной частоты ω / γ с учетом реального спектра магнитостатических и спиновых колебаний в области частот, пограничной между магнитостатическим и электродинамическим приближениями (при этом на сечениях
S1 , S2 вводятся локальные системы координат).
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рассчитаны зависимости модуля коэффициента прохождения S12
(элемента многомодовой многоканальной матрицы рассеяния) через решетку
из ферритовых сфер в зависимости от частоты ω падающей электромагнитной волны (величины постоянного поля подмагничивания H 0 ) при различных размерах магнитных частиц (с микро- и наноразмерами) и расстояниях
между частицами (периодах решетки) (рис. 1, 2).
H0
E
H0
h
H
S1 S2
1
S12
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
2 800
3 200
3 600
ω 103 A
,
4π м
γ
а)
1
S12
0,8
0,6
3
2
0,4
1
0,2
0
2 800
3 200
3 600
ω 103 A
,
4π м
γ
б)
1
S12
0,8
0,6
3
2
0,4
1
0,2
0
2 800
3 200
3 600
ω 103 A
,
γ
4π м
в)
Рис. 1 Дифракция ТЕМ-волны на решетке из ферритовых микросфер:
S12 – модуль коэффициента прохождения; H 0 = ω / γ ; R = 100 мкм; M 0 = 0,026 Тл ;
+
C1(1)
(ω) = 0,01 А/мм : а – h = 550 мкм; б – h = 350 мкм; в – h = 215 мкм
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
Рис. 2 Дифракция ТЕМ-волны на решетке из ферритовых наносфер:
S12 – модуль коэффициента прохождения; H 0 = ω / γ R = 250 нм; M 0 = 0,026 Тл ;
+
C1(1)
(ω) = 0,01 А/мм ; кривая 1 – h = 3000 нм; 2 – h = 750 нм; 3 – h = 650 нм
3 Обсуждение результатов математического моделирования
3.1 Модель независимых (невзаимодействующих) частиц
К системе магнитных микрочастиц – решетке из монокристаллических
ферритовых сфер (с радиусом R = 100 мкм), расположенных в немагнитной
матрице достаточно далеко (при расстояниях между сферами h – 2R > R по
сравнению с радиусом R микрочастиц), применима модель независимых (невзаимодействующих) частиц. Возможность такого рассмотрения основывается
на предположении, что связью между колебаниями намагниченности соседних
частиц при расстояниях между частицами (периоде решетки), существенно
больших по сравнению с размерами микрочастиц, можно пренебречь [10].
На рис. 1,а приведены результаты электродинамического расчета модуля
коэффициента прохождения S12 TEM-волны через решетку из магнитных
микрочастиц (ферритовых сфер с радиусом R = 100 мкм) при расстояниях между сферами, существенно больших радиуса (периоде решетки h = 0,55 мм), в
зависимости от частоты ω падающей электромагнитной волны при постоянном поле подмагничивания H 0 = 3330 Э . Как показывают результаты математического моделирования, в этом случае для решетки из ферритовых сфер,
расположенных достаточно далеко (h – 2R > R), как и для уединенной ферритовой сферы, имеется единственный минимум в S12 (рис. 1,а). Этот мини117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
мум в S12 соответствует максимуму поглощения на собственной частоте
однородного типа прецессии: 1 – это низший однородный тип прецессии намагниченности ферритовой сферы с индексами (1,1,0) [3].
Как следует из уравнения (7), условием возбуждения типа колебаний
является необращение в нуль интеграла возбуждения. При однородном
внешнем возбуждающем поле H D интеграл возбуждения не обращается в
нуль только для однородного типа прецессии намагниченности [3 ].
3.2 Модель сильно связанных частиц.
Коллективные моды системы (решетки) магнитных микрочастиц
При уменьшении расстояния между магнитными частицами колебания
намагниченности в отдельных частицах нельзя считать независимыми. В системе магнитных микрочастиц (решетке) с характерными размерами порядка
или меньше 100 мкм имеется сильная связь, обусловленная магнитными (диполь-дипольными) силами [10]. При малых расстояниях между микрочастицами h – 2R < R (порядка или меньше радиуса сфер R) магнитные колебания частиц связаны между собой переменными размагничивающими полями, которые
зависят от переменных намагниченностей обоих взаимодействующих частиц
[10]. В системе магнитных частиц (решетке) переменное магнитное поле в области частицы становится существенно неоднородным. Если считать, что моделью магнитной частицы является магнитный диполь [12], то тогда переменное магнитное поле изменяется по закону 1/ r 3 в ближней зоне излучения магнитного диполя при k0 r < 0,1 [12], т.е. при достаточно малых по сравнению с
длиной электромагнитной волны расстояниях r до магнитного диполя. При расстояниях между микрочастицами порядка или меньше радиуса сфер h – 2R < R
(периоде решетки h = 350 мкм, 250 мкм и 215 мкм) это условие k0 r < 0,1 выполняется, и переменное магнитное поле изменяется по закону 1/ r 3 [13]. Заметим,
что при расстояниях между микрочастицами (периоде решетки h = 550 мкм),
больших по сравнению с размерами микрочастиц h – 2R > R, в промежуточной
зоне излучения магнитного диполя при 0,1 < k0 r < 1 переменное магнитное поле изменяется по закону 1/ r 2 , а в дальней зоне k0 r > 1 по закону 1/ r [13], т.е.
является существенно менее неоднородным.
Следовательно, при малых расстояниях между частицами магнитное
поле, создаваемое соседними магнитными частицами (магнитными диполями), существенно неоднородно, что приводит к связи между однородным типом колебаний ферромагнитной сферы и другими неоднородными типами
колебаний. Если условие ферромагнитного резонанса (равенство частоты ω
переменного поля H D падающей электромагнитной волны собственной частоте прецессии ωνm ) выполняется для одного из неоднородных типов прецессии, то он может интенсивно возбуждаться при неоднородности переменного СВЧ поля H D .
Условие резонансного возбуждения выполняется на частотах ω , равных собственным частотам ωνm колебаний намагниченности. Амплитуды
возбуждаемых колебаний намагниченности Cν0 , как видно из выражения (8),
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
в зависимости от частоты ω имеют резонансные знаменатели. Если частота
ω возбуждающего поля H D падающей электромагнитной волны (или величина постоянного магнитного поля H 0 ), изменяется, то будут возбуждаться
поочередно те типы колебаний намагниченности, для которых амплитуды
Cν0 ≠ 0 (8), если частота ω совпадает с собственной частотой ωνm прецессии
данного типа, ω = ωνm . Амплитуда Cν0 (8) будет изменяться резонансным образом, и если параметры диссипации достаточно малы, то происходит поочередное возбуждение различных типов колебаний намагниченности (рис. 1,б,в):
однородного и неоднородных типов прецессии.
Результаты математического моделирования дифракции TEM-волны на решетках из магнитных микрочастиц (ферритовых сфер с радиусом R = 100 мкм)
при малых расстояниях между сферами (периодах решетки h = 350 мкм и
215мкм) в зависимости от частоты ω падающей электромагнитной волны
при напряженности постоянного поля подмагничивания H 0 = 3330 Э приведены соответственно на рис. 1,б,в.
Как показывают результаты математического моделирования (рис. 1,б,в),
для решетки из ферритовых сфер, расположенных достаточно близко (h – 2R < R)
(в отличие от рассмотренного выше случая удаленных друг от друга сфер при
h – 2R > R (см. рис. 1,а), имеется несколько минимумов (1–3 на рис. 1,б,в) в
S12 , которые соответствуют собственным частотам различных типов прецессии намагниченности ферритовой сферы [3]: 1 – низший однородный тип
прецессии с индексами (1,1,0); 2, 3 – неоднородные типы прецессии с индексами (2,2,0) и (2,2,1) соответственно. Интенсивность возбуждения неоднородных типов прецессии намагниченности под действием неоднородного
внешнего СВЧ поля H D , как следует из выражения (8), тем больше, чем ближе структура возбуждающего поля H D (r ) в объеме магнитной частицы к
структуре собственных функций намагниченности mν (r ) возбуждаемого типа колебаний, когда неоднородность (вариации) возбуждающего СВЧ поля
H D существенно возрастает при уменьшении расстояния между микрочастицами.
3.3 Модель связанных мод (колебаний) решетки магнитных наночастиц.
Вырождение с безобменной и обменной частями спектра СВ
Если период решетки соизмерим с размером наночастиц (неоднородности с характерными размерами порядка или меньше 1 мкм) при наличии
сильной связи, обусловленной обменными силами, вырождение с безобменной частью спектра СВ играет существенную роль [10]. Для случая ферритовой сферы имеет место вырождение однородной прецессии с неоднородными
типами прецессии и плоскими СВ [10].
Результаты математического моделирования дифракции TEM-волны на
решетках из магнитных наночастиц (ферритовых сфер с радиусом R = 250 нм)
при различных расстояниях между сферами (периодах решетки h = 3000 нм,
750 нм и 600 нм) в зависимости от частоты ω падающей электромагнитной
волны при напряженности постоянного поля подмагничивания H 0 = 3330 Э
приведены на рис. 2 (кривые 1–3, соответственно).
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Как следует из результатов математического моделирования, в решетке
из ферритовых сфер с наноразмерами R = 250 нм, расположенных в точках
резко неоднородного переменного магнитного поля, имеет место вырождение
однородной прецессии с неоднородными типами прецессии и плоскими СВ
[10], что приводит к появлению нескольких минимумов резонансного поглощения (кривые 1–3 на рис. 2). Возникновение тех или иных минимумов зависит от расстояния между наночастицами в решетке, что определяется структурой неоднородного переменного магнитного поля.
При расстояниях между наносферами, больших чем 1 мкм (период решетки h = 3000 нм), при наличии сильной связи, обусловленной магнитными
(диполь-дипольными) силами, наблюдаются (кривая 1 на рис. 2) минимумы,
соответствующие различным магнитостатическим типам колебаний [3]: низший однородный тип прецессии намагниченности с индексами (1,1,0) и неоднородные типы прецессии намагниченности с индексами (2,2,0) и (2,2,1). Положения по частоте ω (или постоянному полю подмагничивания H 0 ) одних
и тех же минимумов при достаточно малых размерах сфер (с микроразмерами
R = 100 мкм и наноразмерами R = 500 нм) от размеров частиц не зависят (см.
минимумы на графиках рис. 1).
При весьма малых характерных размерах решетки из магнитных наночастиц (период решетки h = 750 нм, 600 нм, расстояния между наносферами
h – 2R сравнимы с радиусом наночастицы R и меньше 1 мкм) существенно
обменное взаимодействие, и для случая ферритовой наносферы имеет место
вырождение однородной прецессии с плоскими СВ [10].
На языке связанных колебаний неоднородности поля, рассматриваемые
как возмущения, приводят к связи собственных (невозмущенных) колебаний
наночастицы (собственных колебаний спиновой подсистемы), что вызывает
перекачку энергии из этих типов колебаний магнитной системы другим классам колебаний [10]. Имеет место механизм потерь, связанный с возбуждением СВ, вырожденных с однородной прецессией (кривая 2 на рис. 2).
С уменьшением периода решетки при h = 600 нм (при расстояниях между наночастицами в решетке h – 2R < R, существенно меньших 1 мкм и меньше
радиуса наночастицы) имеет место вырождение однородной прецессии со все
большей группой плоских СВ [10], и пик поглощения уширяется (кривая 3 на
рис. 2). В трактовке методом связанных мод (колебаний) внешнее воздействие
H D (9), как следует из выражения (11), непосредственно возбуждает волну с
волновым числом k порядка π / h (10), а связь между возбужденной волной и
вырожденными с ней СВ приводит к возбуждению последних. Наибольшие
значения k с уменьшением периода решетки h (расстояния h – 2R между магнитных наночастицами в решетке) становятся порядка волновых чисел k все
большей группы вырожденных СВ [10]. Переменное магнитное поле H D с
пространственными вариациями порядка π / h согласно (11) будет возбуждать
всю эту группу собственных мод (колебаний) магнитных наночастиц, и резонансная кривая становится шире (кривая 3 на рис. 2).
Заключение
Развитый подход, в отличие от методов квантовофизических компьютерных расчетов, позволяет провести электродинамические расчеты размернозависимых электромагнитных свойств магнитных композитных наномате120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Физика
риалов, магнитных твердотельных наноструктур СВЧ, магнитных (спиновых)
фотонных кристаллов.
Это позволит разработать методы математического моделирования в создании новых наноматериалов и инженерные методы проектирования наноустройств микроволнового и терагерцового диапазонов наряду с экспериментальноэмпирическим подходом в создании наноматериалов и наноустройств СВЧ и
ИК-диапазонов и разработке нанотехнологий в индустрии наносистем.
Список литературы
1. M a r t i n , I . Ordered magnetic nanostructures: fabrication and properties / I. Martin,
J. Nogues, K. Liu, J. L. Vicent, I. K. Schuller // J. Magn. Magn. – 2003. – Mat. –
№ 256. – Р. 449.
2. Г у б и н , С . П . Получение, строение и свойства магнитных материалов на основе
кобальтсодержащих наночастиц / С. П. Губин, Ю. А. Кокшаров // Неорганические
материалы. – 2002. – Т. 38. – № 11. – С. 1287–1305.
3. Г у р е в и ч , А . Г . Ферриты на сверхвысоких частотах / А. Г. Гуревич. – М. :
Физматиз, 1970.
4. К а л и н и к о с , Б. А . Дипольно-обменные спиновые волны в ферромагнитных
пленках : автореф. дис. … д-ра ф.-м. наук / Б. А. Калиникос. – Л., 1985. – 33 с.
5. М а к е е в а , Г . С . Электродинамическая теория интегральных волноведущих
структур с волновыми возбуждениями в тонкопленочных ферритовых и полупроводниковых слоях / Г. С. Макеева // Радиотехника и электроника. – 1989. – Т. 34. –
№ 6. – С. 1184–1191.
6. Ла нда у , Л. Д . Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. –
2-е изд. – М. : Гостехиздат, 1982. – 532 с.
7. Г о л о в а н о в , О . А . Электродинамический анализ устройств и систем сверхвысоких частот на основе универсальных автономных блоков с каналами Флоке /
О. А. Голованов, Г. С. Макеева // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2005. – Т. 8. – № 4. – С. 10–18.
8. Н и к о л ь с к и й В. В. , Л а в р о в а Т. И . // Радиотехника и электроника. – 1978. –
Т. 23. – № 2. – С. 241.
9. Н и к о л ь с к и й , В. В. Автономные многомодовые блоки и их применение для
исследования полосковой линии / В. В. Никольский, О. А. Голованов //
Радиотехника и электроника. – 1979. – Т. 24. – № 6. – С. 1070–1077.
10. Г у р е в и ч , А . Г . Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. –
М. : Наука, 1994.
11. М а к е е в а , Г . С . Электродинамические модели структур с распределенным
взаимодействием волн различной физической природы / Г. С. Макеева //
Радиотехника и электроника. – 2003. – Т. 48. – № 12. – С. 1505–1515.
12. J u n g , S . Micromagnetic calculations of ferromagnetic resonance in submicron
ferromagnetic particles / S. Jung, J. B. Ketterson, V. Chandrasekhar // Physical review
B. – 2002. – № 66. – Р. 132405-1-5.
13. Н и к о л ь с к и й , В. В. Электродинамика и распространение радиоволн /
В. В. Никольский, Т. И. Никольская. – М. : Наука, 1989. – 543 с.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
АННОТАЦИИ
Математика
УДК 517.9
Бойков, И. В.
Метод локализации минимума функций многих переменных сведением их к функциям одной переменной / И. В. Бойков, Е. В. Кучумов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 1. – С. 2–7.
Предложено несколько численных алгоритмов минимизации функций нескольких переменных. При построении этих алгоритмов используются различные
виды разверток. Даны численные примеры.
УДК 517.9
Бойков, И. В.
Об одном приближенном методе идентификации систем с распределенными параметрами / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 1. – С. 8–20.
Предложен приближенный метод идентификации параметров динамических
систем, описываемых линейными параболическими и гиперболическими уравнениями. Идентификация заключается в определении функции Грина или коэффициентов
уравнения. Метод основан на сведении задачи к уравнению в свертках. Показано, что
этот метод применим для восстановления начальных условий при известном выходном сигнале и функции Грина. Приведены численные примеры.
УДК 517.392
Бойков, И. В.
Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов
с фиксированными особенностями / И. В. Бойков, Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2008. – № 1. – С. 21–40.
Построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку алгоритмы вычисления гиперсингулярных интегралов с фиксированными особенностями в
предположении, что особые точки лежат на границе области интегрирования.
УДК 514.126
Долгарев, А. И.
Специальные вопросы теории кривых 4-мерного пространствавремени Галилея / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 1. – С. 41–54.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Аннотации
Продолжается изучение кривых 4-мерного пространства-времени Галилея.
Исследуется зависимость между кривыми 4-мерного пространства Галилея и кривыми 3-мерного евклидова пространства. Получены соотношения между их кривизнами. Рассмотрены вопросы уплощения кривых. Найдены кривые, имеющие постоянные кривизны. Оказалось, что условие постоянства всех кривизн кривой 4-мерного
пространства Галилея влечет вложимость кривой в 3-мерное подпространство.
Физика
УДК 621.315
Булярский, С. В.
Кинетические модели адсорбции газов углеродными нанотрубками /
С. В. Булярский, А. С. Басаев, А. Н. Сауров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 1. –
С. 55–61.
В работе построена математическая модель десорбции из нанотрубок, которая
апробирована с использованием экспериментальных данных по десорбции кислорода.
Для нанотрубок удалось выделить процессы десорбции с четырех различных мест и определить вероятность десорбции. Показано, что для физической адсорбции нанотрубками существует отталкивающий барьер, который обусловливает реакционный механизм
захвата. Разработанная математическая модель позволяет определять отдельно кинетические коэффициенты при десорбции различно расположенных молекул и уменьшает
возможные систематические ошибки при анализе экспериментальных результатов.
УДК 621.315
Булярский, С. В.
Термодинамическая модель адсорбции атомов и молекул углеродными нанотрубками / С. В. Булярский, А. С. Басаев, А. Н. Сауров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 1. – С. 62–70.
В работе построена термодинамика адсорбции газов углеродными нанотрубками. Получены выражения, позволяющие вести расчеты с учетом действия внешних
факторов, учитывать различные типы взаимодействия при адсорбции, а следовательно, позволяющие анализировать процессы как физической, так и химической адсорбции и определять ее термодинамические параметры.
Теоретические модели апробированы на примере физической адсорбции водорода.
УДК 539.23; 539.216.1
Кревчик, В. Д.
Влияние спиновых состояний локализированного электрона на эффект увеличения одномерных электронов при фотоионизации D(–)-центров в квантовой проволоке / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, Е. В. Грозная //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2008. – № 1. – С. 71–92.
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В работе проведено теоретическое исследование влияния спин-орбитального
взаимодействия на эффект фотонного увлечения (ЭФУ) электронов при фотоионизации D(–)-центров в полупроводниковой квантовой проволоке в продольном по отношению к ее оси магнитном поле. Показано, что учет спиновых состояний приводит к
модификации спектральной зависимости ЭФУ, связанной с размерно-квантованным
эффектом Зеемана, и к зависимости порога примесного поглощения от гиромагнитного отношения.
УДК 621.315.592
Кревчик, В. Д.
Дихроизм двухфотонного поглощения при фотоионизации
D(–)-центров в структурах с несферическими квантовыми точками /
В. Д. Кревчик, С. В. Яшин, Е. И. Кудряшов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 1. –
С. 93–101.
В рамках модели потенциала нулевого радиуса проведен расчет коэффициента
примесного двухфотонного поглощения при фотоионизации D(–)-центров в квазинульмерной структуре с квантовыми точками, имеющими форму эллипсоида вращения. Рассмотрены случаи продольной и поперечной по отношению к вертикальной
оси квантовой точки поляризации света с учетом дисперсии характерных размеров
квантовых точек. Показано, что в квазинульмерной структуре с квантовыми точками
в форме эллипсоида вращения имеет место дихроизм примесного поглощения, связанный с изменением правил отбора для магнитного квантового числа.
УДК 535.32
Барыкина, Е. И.
Математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в электропроводящей среде, допускающей инверсию электронной подсистемы / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. –
№ 1. – С. 102–109.
Построена математическая модель рефракции электромагнитных волн, в частности света, в электропроводящей среде. Исследованы возможности существования
отрицательной рефракции. Проведена апробация построенных математических моделей путем их сопоставления с экспериментальными данными.
УДК. 537.874.6
Макеева, Г. С.
Анализ распространения и дифракции электромагнитных волн в
микроволновых магнитных наноструктурах / Г. С. Макеева, О. А. Голованов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2008. – № 1. – С. 110–121.
Развивается электродинамический подход к математическому моделированию
микроволновых магнитных наноструктур и наноустройств, базирующийся на решении
уравнений Максвелла совместно с уравнениями движения в гиромагнитной среде без
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Аннотации
упрощения уравнений электродинамики и краевых условий. Построение адекватных математических моделей электродинамического уровня строгости базируется на решении
электродинамических задач дифракции на решетках магнитных наночастиц численным
методом универсальных автономных блоков с виртуальными каналами Флоке.
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Барыкина Елена Ивановна – аспирант кафедры физики Ульяновского государственного университета.
Басаев Александр Сергеевич – кандидат физико-математических наук, заместитель директора ГНЦ РФ «НПК Технологический центр» (г. Москва).
Бойков Илья Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики Пензенского
государственного университета.
Браже Рудольф Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики Ульяновского государственного университета.
Булярский Сергей Викторович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой оптики и спектроскопии твердого тела Ульяновского государственного университета, член-корреспондент Татарской АН.
Голованов Олег Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и начертательной геометрии Пензенского артиллерийского инженерного института им. Главного маршала артиллерии Н. Н. Воронова.
Грозная Елена Владимировна – ассистент кафедры физики Пензенского государственного университета.
Долгарев Артур Иванович – кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры математики и математического моделирования Пензенского государственного университета.
Захарова Юлия Фридриховна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей и прикладной математики Пензенского государственного университета.
Кревчик Владимир Дмитриевич – доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой физики Пензенского государственного
университета.
Кудряшов Егор Игоревич – аспирант кафедры физики Пензенского государственного университета.
Кучумов Евгений Владимирович – аспирант кафедры высшей и прикладной
математики Пензенского государственного университета.
Макеева Галина Степановна – доктор физико-математических наук, профессор кафедры радиотехники и радиоэлектронных систем Пензенского государственного университета, действительный член академии инженерных
наук им. А. М. Прохорова.
Разумов Алексей Викторович – аспирант кафедры физики Пензенского государственного университета.
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1, 2008
Физико-математические науки. Сведения об авторах
Сауров Александр Николаевич – доктор технических наук, профессор, директор ГНЦ РФ «НПК Технологический центр», первый заместитель директора Института нанотехнологий и микроэлектроники РАН (г. Москва).
Стасюк Богдан Мирославович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры сопротивления материалов Национального университета
«Львивська политехника» (г. Львов, Украина).
Тарасов Дмитрий Викторович – аспирант кафедры высшей и прикладной
математики Пензенского государственного университета.
Яшин Сергей Валерьевич – кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры физики Пензенского государственного университета.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Уважаемые читатели!
Для гарантированного и своевременного получения журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки»
рекомендуем вам оформить подписку.
Журнал выходит 4 раза в год по тематике:
• математика
• физика
• механика
Стоимость одного номера журнала – 250 руб. 00 коп.
Для оформления подписки через редакцию необходимо заполнить и отправить
заявку в редакцию журнала: факс (841-2) 56-34-96, тел.: 36-82-06, 56-47-33;
Е-mail: VolgaVuz@mail.ru
Подписку на второе полугодие 2008 г. можно также оформить по каталогу
агентства «РОСПЕЧАТЬ» «Газеты. Журналы» тематический раздел «Известия высших учебных заведений». Подписной индекс – 36949.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
ЗАЯВКА
Прошу оформить подписку на журнал «Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки» на 2008 г.
№ 1 –______ шт., № 2 – ______ шт., № 3 – ______ шт., № 4 – ______ шт.
Наименование организации (полное) __________________________________
__________________________________________________________________
ИНН ___________________________ КПП _____________________________
Почтовый индекс __________________________________________________
Республика, край, область____________________________________________
Город (населенный пункт) ___________________________________________
Улица ____________________________________ Дом ____________________
Корпус __________________________ Офис ____________________________
ФИО ответственного ________________________________________________
Должность ________________________________________________________
Тел. ________________ Факс ______________ Е-mail_____________________
Руководитель предприятия ____________________ ______________________
(подпись)
Дата «____» _________________ 2008 г.
128
(ФИО)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа