close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

41.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №2 2010

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 2 (14)
2010
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Долгарев А. И., Подвалова О. А. Кривые постоянных кривизн
некоммутативных галилеевых 4-мерных пространств с растранами.................. 3
Долгарев А. И. Галилеевы натуральные уравнения евклидовой кривой
(I. Аффинные и галилеевы понятия) .................................................................... 20
Медведик М. Ю., Миронов Д. А., Смирнов Ю. Г. Субиерархический подход
для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи
дифракции на диэлектрическом теле в волноводе методом коллокации ......... 32
Гурина Е. Е., Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г. Численное и аналитическое
решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом
параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе....................... 44
Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн
в слое с произвольной нелинейностью (II. ТМ-волны) ...................................... 54
Игнатьев Ю. Г., Абдулла Х. Х. Математическое моделирование
нелинейных обобщенно-механических систем
в системе компьютерной математики Maple ....................................................... 66
Куприянова С. Н. Численный метод решения нелинейной задачи
на собственные значения для неоднородного волновода .................................. 76
Мартынов С. И., Пронькина Т. В. Составная капля эмульсии
в однородном потоке вязкой жидкости ............................................................... 85
ФИЗИКА
Кревчик В. Д., Грунин А. Б., Губина С. А. Особенности
энергетического спектра D(–)-центра в квантовом канале
при наличии поперечного магнитного поля ........................................................ 94
Кревчик В. Д., Разумов А. В., Гришанова В. А. Модель полимерной
молекулы в квантовой проволоке при наличии
внешнего продольного магнитного поля ........................................................... 105
Макеева Г. С., Голованов О. А., Чиркина М. А. Спиновая динамика в решетках
ферромагнитных металлических нанопроволок в условиях
скин-эффекта в терагерцовом диапазоне частот............................................... 117
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Голованов О. А., Макеева Г. С., Чиркина М. А. Электродинамический
анализ распространения электромагнитных волн в 3D-магнитных
нанокомпозитах на основе опаловых матриц ....................................................126
Семенов А. Л., Моливер С. С. Сдвиг критической температуры
спин-пайерлсовского перехода в системе с примесями....................................136
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 514
А. И. Долгарев, О. А. Подвалова
КРИВЫЕ ПОСТОЯННЫХ КРИВИЗН
НЕКОММУТАТИВНЫХ ГАЛИЛЕЕВЫХ
4-МЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ С РАСТРАНАМИ
Аннотация. Установлено, что в некоммутативных 4-мерных галилеевых пространствах с растранами двух видов кривые, все кривизны которых постоянны, имеют третью кривизну, равную нулю.
Ключевые слова: кривые 4-мерного пространства Галилея, растран, постоянные кривизны.
Abstract. Found that in the noncommutative 4-dimensional Galilean space with
rastran two kinds of curwes, all which curvature are constant, have the third curvature equal to zero.
Keywords: curves of 4-demensional of Galileo, rastran, constant curvature.
Введение
Ранее [1, 2] были описаны кривые постоянных кривизн в 4-мерном
пространстве-времени Галилея с коммутативной геометрией. Исследована
зависимость между кривыми 4-мерного пространства Галилея и кривыми
3-мерного евклидова пространства. Получены соотношения между их кривизнами. Установлено, что условие постоянства всех кривизн кривой 4-мерного
пространства Галилея влечет вложимость кривой в 3-мерное пространство.
Ниже изучаются кривые постоянных кривизн в некоммутативных геометриях
галилеевых пространств размерности 4, построенных на двух различных растранах. Оказалось, что все теоремы, справедливые для коммутативной геометрии пространства-времени Галилея, выполняются и в некоммутативном
случае. Установлено, что третья кривизна линии, кривизны которой постоянны, обращается в нуль, а по заданной кривой скорости и начальным условиям
однозначно определяется кривая.
1. Некоммутативные галилеевы пространства
1.1. ВО-пространство
Заменяя линейное пространство одулем Ли в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, получаем вейлевское одулярное пространство, кратко
ВО-пространство, геометрия которого некоммутативна, если одуль Ли некоммутативен. ВО-пространство обозначаем W, его точки: A, B, ..., M , ... , одуль
Ли:  = (, , R ()) , элементы одуля – одуляры – обозначаются , , ..., , ...
Относительно внутренней операции (, ) есть группа Ли, R есть поле действительных чисел, числа обозначаем латинскими буквами. Одули над кольцом
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
определены Л. В. Сабининым в [3], одули Ли и ВО-пространства рассматриваются в [4]. К ВО-пространствам относится и аффинное пространство.
1.2. Растраны размерности 4
В работе [5] приведены два вида 4-мерных растранов, заданные операциями на R 4 .
I. Однородный растран P 4 определяется операциями:
 x, x1, x2 , x3    y, y1, y 2 , y3    x  y, x1e y  y1, x2e y  y 2 , x3e y  y3 ;

e xt  1 2 e xt  1 3 e xt  1 
t x, x1 , x 2 , x3   xt , x1
,x
,x
, x  0;

ex 1
ex 1
e x  1 




 

t 0, x1 , x 2 , x3  0, x1t , x 2t , x3t , t  R .

Нулевой раст:   (0,0,0,0) ; раст    x,  x1e y ,  x 2 e y ,  x3e y
воположен расту  .
 проти-
II. V-растран Pv31 задан операциями:
 x, x1, x2 , x3    y, y1, y 2 , y3    x  y, x1e y  y1, x2e y  y 2 , x3  y3  ;

e xt  1 2 e xt  1 3 
t x, x1 , x 2 , x3   xt , x1
,x
,x t, x  0;
x
x


e
1
e
1







 

Нулевой раст:   ( y, y1 , y 2 , y 3 ) ; раст     x,  x1e y ,  x 2 e y ,  x3 
t 0, x1 , x 2 , x3  0, x1t , x 2t , x3t , t  R.
про-
тивоположен расту  .
В каждом растране расты (0, x1 , x 2 , x3 ) называются трансляциями, расты ( x, x1 , x 2 , x3 ) , x  0 , называются расширениями. В дальнейшем, если не
будет специально оговорено, будем оба 4-мерных растрана обозначать P 4 .
1.3. Скалярное произведение растов
Галилеево
скалярное
произведение
растов
  ( x, x1 , x 2 , x3 ) ,
  ( y, y1 , y 2 , y 3 ) и галилеева норма раста   ( x, x1 , x 2 , x3 ) соответственно
равны:
 xy, если x  0 или y  0;
   1 1
2 2
3 3
 x y  x y  x y , если x  y  0;
 x , если x  0;
 
1 2
2 2
3 2
 ( x )  ( x )  ( x ) , если x  0.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Трансляции каждого из растранов составляют 3-мерное евклидово векторное пространство V 3 . Трансляции являются векторами, используется векторная символика.
1.4. Дифференцирование на растране
Производная растранной функции
(t )  ( x(t ), x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t )) , t I  R ,
согласно [5], вычисляется по формуле
 xi (t )

 

 x i (t )   .
(t )  x(t ), xi (t ) =  x(t ),(e x (t )  1) 
 x(t )







В частности, если x(t )  t , то


  t   1,(e  1)( xi (t )  xi (t )) , i  1, 2, 3 ;
Производная V-растранной функции такова:

(t )  x(t ), xi (t ) 




 x1 (t ) 1  x(t )
 x  2 (t )

  x(t ),(e x(t )  1) 
 x (t )  ,(e
 1) 
 x 2 (t )  , x3 (t )  ;
 x(t )

 x(t )











  t   1,(e  1)( xi (t )  xi (t )), x3 (t ) , i  1, 2 ; при x(t )  t .
Если x(t )  const , то растранные функции дифференцируются как векторные. Правила дифференцирования растранных функций не совпадают с
правилами дифференцирования векторных функций, т.е.


(  )    ,  c   c ,  u   u   u .
2. Кривые 4-мерных галилеевых пространств с растраном
2.1. Галилеевы 4-мерные пространства с растраном
ВО-пространство, в растране P 4 которого введена галилеева норма,
называется ЕМ-пространством, см. [4], пространство обозначается M 4 ,
ВО-пространство с V-растраном Pv3+1 называется VЕМ-пространством и обо-
значается M 31 , см. [5]. Далее рассматриваем кривые ЕМ-пространств как
M 4 , так и M 31 .
Ортонормированный
репер
ЕМ-пространства
обозначаем
  
  
B = (0, , i , j , k ) , здесь   1 , i , j , k – ортонормированный базис вектор-


ного пространства V 3 трансляций растрана ЕМ-пространства.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Обозначаем кривые:


    t   x  t  , xi  t  , t  I  R .
(1)
Дифференцируемой кривой класса Ck ЕМ-пространства M 4 ( M 31 ) называется дифференцируемое отображение класса Ck интервала I в M 4
( M 31 ). Рассматриваем регулярные кривые класса Ck, это кривые (1), для которых (t )   и расты (t ), (t ) независимы (неколлинеарны). Через каждую точку ЕМ-пространства проходит единственное евклидово 3-мерное
  
подпространство, это подпространство есть  O, i , j , k  .
2.2. Естественная параметризация кривой
Считаем, что в (1) x  t   0 . Функция x(t ) обратима, и функция (1) за-


писывается в виде   x    x, xi ( x) . Переобозначая параметр, имеем


  t   t , xi  t  , t I  R .
(2)
Согласно формулам дифференцирования растранных функций, п. 1.4,
(t )   и расты (t ), (t ) независимы. Для t1 , t2  I, t2  t1 , имеем:
(t2 )  (t1 )  t2  t1 . Таким образом, (2) – это естественная параметризация
кривой ЕМ-пространства.
2.3. Кривизны галилеевой кривой


Рассмотрим кривую (2)   t   t , xi  t  , t  I, в ЕМ-, VЕМ-пространствах в естественной параметризации. Евклидову проекцию кривой (2) обозначаем

r (t )  ( xi (t ))  ( x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t )) ,
тем самым кривая (2) представляется в виде разложения на временную и пространственную (евклидову) составляющие:

  t   t  r  t  .

Составляющая r  t  является векторной.
Раст производной функции (2) согласно п. 1.4 в пространстве M 4 равен



  t    (t )  1,(e  1) x i  t   xi  t  , i  1, 2,3 ,
и в пространстве M31 равен




 
  t    (t )  1,(e  1) x1  t   x1  t  ,(e  1) x 2  t   x 2  t  , x 3 .
По галилеевой норме раст касательной кривой (2) галилеевых пространств M 4 и M31 , рассматриваемых в окрестности обыкновенной точки P,
является единичным.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Как и в [4], убеждаемся, что положение касательной к линии ЕМ-пространства не зависит от параметризации линии. В конце п. 1.4 отмечено, что
функции вида   t    (t ) дифференцируются как векторные. Получаем:



 
  t   
(t )  0,(e  1) 
xi  t   x i  t  = (e  1)(
r  r ) ;


 


1 3


  t   
(t )  0,(e  1) 
xi  t   x i  t  , 
x3 = (e  1)  0, 
xi  t   x i  t  ,
x .
e
1 

Раст (t ) евклидов, поэтому 
   . Вектор    называется вектором
главной нормали кривой (t ) в точке P. Величина
k1 
1


e 1
называется первой кривизной кривой (t ) , единичный вектор главной нор
мали кривой обозначим n1 .
Выполняется равенство:

  
  (e  1)k1n1 .
  
Получим векторы сопровождающего репера ( P, , n1 , n2 , n3 ) кривой




 
(t ) . Вектор n получим из равенства n  n n , n  n , величина
2
1
1

n1  k2 называется второй кривизной кривой. Имеем
2
2
1


n1  k2 n2 .


 
Четвертый вектор n3 репера определим, положив n3  n1  n2 . Нахо
 
 
 
  


дим: n3  n1  n2  n1  n2 . Здесь n1  n2  k2 n2  n2  0 . Из n2  n2 следует

 



n2  n1 , n3 , обозначим n2  un1  vn2 .
Вычислим
 



 

n1  n2  n1  (un1  vn3 )  v(n1  n3 )  vn2 .



Таким образом, n3  k3n2 , k3  v  n3 . Величина k3 называется




 
третьей кривизной кривой (t ) . Теперь n2  un1  k3n3 . Так как n2  n3  n1 и

   





n2  n3  n1  n3  n1  k3n3  k2 n1 , то u  k2 . Поэтому n2  k2 n1  k3n3 .
 
Векторы n2 , n3 и величины k2 , k3 в пространствах M31 и M 4 одинаковы. Мы получили формулы Френе для кривой галилеева пространства и M 31 :
 
 

 

  k1n1 , n1  k2 n2 , n2  k2 n1  k3n3 , n3  k3n2 .
Единичные векторы сопровождающего репера кривой (t ) таковы:

n1 
1
 
 

n1  , n2  , n3  n1  n2 
   .
2
k2
k1
k1 k2
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Согласно [1] отыскивается производная единичного вектора n1 , а затем



.
n2    
k12

Пусть a  (a1 , a 2 , a3 ) – произвольный евклидов вектор, обозначим

 a (t )



n   . По [1], каппа-функцией   a  вектора a  t  называется норма n
a (t )

вектора n . По [1]:
 
a  a

a  

2
a
 a2a3  a3a2    a1a3  a3a1    a1a2  a2a1 
2
2
2
 a1    a2    a3 
2

Теперь k1 
2
2
.
(3)
1
1
 

 
  
r  r , и в координатах:
e 1
e 1
k1  ( x1  x1 ) 2  ( x2  x2 ) 2  ( x3  x3 ) 2 .
(4)
Вторая кривизна k2 кривой (t ) есть  -функция вектора  , т.е.
k2  ( ) , по (3):
 
 
(
r  r )  (
r  
r)
  
.
(5)

k2 
2
  2


r r
По аналогии с [1], третья кривизна кривой равна
k3 
  
  
2
  
.
(6)
В пространстве Μ 31 раст касательной   t  запишем в виде
1 

v  t    v (t )   1,(e  1)( x  x),(e  1)( y  y ),
z  
e 1 



   (e  1) rv  t   rv  t  .


Кривизна k1 находится по формуле
k1 
1
1
 

 v  
rv  rv 
v .
e 1
e 1
Кривизны k2 , k3 определяются формулами, аналогичными (5), (6),
с учетом новых обозначений.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
2.4. Вычисление кривизн в пространстве Галилея M31 , M 4
Найдем кривизны k1 , k2 , k3 в пространстве M 4 . Для сокращения записей в (4) и использования (3) положим
x1  x1  u1 , x2  x2  u 2 , x3  x3  u 3 .
По формулам (4)–(6) имеем
k1  (u1 )2  (u 2 ) 2  (u 3 )2 ;
2
2
2
u 2u 3  u 3u 2   u1u 3  u 3u 1   u1u 2  u 2u 1 






;
k2 
2
2
 1 2

2
3
 u 
 (u )  u


   
k3
[u 2u 3  u 3u 2 ]u 1  [u1u 3  u 3u 1 ]u 2  [u1u 2  u 2u 1 ]u 3 k1


.
2
2
u 2u 3  u 3u 2   u1u 3  u 3u 1   u1u 2  u 2u 1 






2
В пространстве M31 обозначим
x1  x1  u1 ; x2  x2  u 2 ; x3  (e  1)u  .
Запишем вычислительные формулы с учетом введенных обозначений:
k1  (u1 )2  (u 2 )2  (u ) 2 ;
2
2
2
u 2u   u u 2   u1u   u u 1   u1u 2  u 2u 1 






k2 
;
1 2
2 2
2
(u )  (u )  (u )
u 2u   u u 2  u 1  u1u   u u 1  u 2  u1u 2  u 2u 1  u 





k3   
k1 .
2 
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
[u u  u u  ]  [u u   u u  ]  [u u   u u  ]
Вычислительные формулы для кривизн k1 , k2 , k3 в обоих пространствах
совпадают. Это достигнуто за счет различия обозначений в третьих компонентах производных функции (t ) .
3. Связь между кривой и ее евклидовой проекцией
3.1. Зависимости между кривизнами
Вместе с галилеевой кривой (2), записанной с использованием ее евк
лидовой проекции   t   t   r  t  пространств M 31 , M 4 , рассматриваем


кривую  (t ) =   (e  1) r  t   r  t  , соответственно   t     (e  1) 






  rv  t   rv  t   . Евклидова кривая r  t   r  t  , соответственно rv  t   rv  t 


9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
называется кривой скорости для галилеевой кривой (t ) . Кривую скорости
в пространствах M 31 , M 4 обозначаем одинаково:





(7)
v (t ) = r   t   r  t  = rv  t   rv  t  .

Сравним кривизны кривых (t ) и v (t ) . Параметр t для галилеевой

кривой (2) является естественным, а для евклидовой кривой v (t ) он естест
венным не является. Поэтому для записи производных функции v (t ) исполь
зуем штрихи. Для (t ) найдены кривизны k1 , k2 , k3 , евклидова кривая v (t )
обладает двумя кривизнами, которые обозначаем k1 , k2 .

Теорема 1. Кривизна k1 и кручение k2 кривой скорости v (t ) движе
ния материальной точки с мировой линией   t   t   r  t  , имеющей кривиз-
ны k1 , k2 , k3 , выражаются через эти кривизны равенствами
k
k

k1  2 , k2  3 , v  k1 ,
k1
k1
(8)

причем k1 есть величина скорости движения по кривой v (t ) и величина ус
корения движения точки по траектории v (t ) .

# Кривизна k1 евклидовой кривой r (t ) , как известно, вычисляется по
формуле
 
  
k1  
.
3

С использованием (8) имеем выражение кривизны k1 через производ
ные функции v (t ) :
 
v  v

(9)
.
k1  
3
v
Для кривой (2) выполняется формула (5) k2 
k2 
 v  v
 v
2
  
2

, соответственно
; сравнивая равенства (9) и (5), приходим к соотношению
k
k1  2 ,
k1
первому из (8).

Известно, что кручение k2 евклидовой кривой r (t ) в произвольной параметризации равно
 
r r r 
k2    .
2
r   r 
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
С учетом обозначения (7) эта формула принимает вид
 
vvv
k2    .
2
v  v
(10)
Для третьей кривизны k3 галилеевой кривой (t ) выполняется (6); по
(10) и (6), получаем
k
k2  3 ,
k1
это второе из соотношений (8).
Третье соотношение в (8) получается на основе (7). Равенства (8) выра
жают кривизны k1 , k2 евклидовой кривой скорости v (t ) через кривизны га
лилеевой кривой (2)   t   t   r  t  . #
На основании теоремы 1 получается
Теорема 2. Если задана кривая скорости движения материальной
точки

v (t ) = 1  t  ,  2  t  , 3  t  ,


k1 , k2 , k3 мировой
определяются кривизны


  t   t   r  t  , где v (t ) – кривая скорости линии (t ) :
то
линии
движения

k1  v(t ) , k2  k1 k1 , k3  k2 k1 ,

здесь k1 , k2 – кривизна и кручение евклидовой кривой v (t ) ; и компоненты
x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) функции (t ) отыскиваются как решения дифференциальных уравнений
x1 (t )  x1 (t )  1  t  ,  2  t   x2 (t )  x 2 (t ), 3  t   x3 (t )  x3 (t ) –
в пространстве M 4 ,
x1 (t )  x1 (t )  1  t  ,  2  t   x2 (t )  x 2 (t ), 3  t   x3 (t ) –
в пространстве M31 ;
начальные условия t  t 0 , x1 (t 0 )  x10 , x 2 (t 0 )  x02 , x3 (t 0 )  x03 линию (t )
определяют однозначно.

# Параметрические уравнения кривой скорости   t  как евклидовой


кривой позволяют вычислить модуль вектора производной (t ): (t )  k1

в произвольной точке и функции кривизны k1 и кручения k2 кривой   t  .
По формулам (8) отыскиваются кривизны k2 и k3 галилеевой кривой (t ) .
Компоненты x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) кривой (t ) находятся как решения указанных
дифференциальных уравнений. #
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
4. Постоянные кривизны
4.1. Уплощение кривой
Рассмотрим случаи равенства нулю кривизн галилеевой кривой.

Теорема 3. Галилеева кривая   t   t   r  t  вкладывается в 3-мерное
пространство, если и только если k3 = 0.
# Пусть k3 = 0. С использованием второй и третьей формул Френe






  k1n1  k1k2 n2  k1k2 n2  k1k2 n2  k1k22 n1  k1k2 k3n3 . При k3 = 0 вектор
 
 является линейной комбинацией единичных векторов n1 , n2 сопровож
 
дающего репера кривой (t ) , и четвертый вектор n3  n1  n2 этого репера
появиться не может. Следовательно, кривая (t ) 3-мерна. Обратно, если кривая (t ) 3-мерна, то векторы , ,  компланарны   0 . Дифференцируя
равенство   0 , находим   0 , т.е.   ,   , и векторы  компланарны, следовательно, k3 = 0. #
Далее используем свойства кривых 4-мерного пространства Галилея из
[1]. При k2 = 0 кривая (t ) плоская и k3 = 0. При k1 = 0 также k2 = 0, и по
формуле (6) имеем k3 = 0.
4.2. Все кривизны постоянны
Компоненты x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) галилеевой кривой (t ) и ее кривизны
k1 , k2 , k3 связаны указанной ниже системой дифференциальных уравнений.
Теорема 4. Пусть галилеева кривая (2)   t   (t , x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t )) про-
странства
M4
имеет
кривизны
k1 , k2 , k3 .
Если
1
2
заданы
функции
3
k1  k1 (t ), k2  k2 (t ), k3  k3 (t ) , то компоненты x (t ), x (t ), x (t ) кривой (t )
являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
(u1 ) 2  (u 2 ) 2  (u 3 ) 2  k 2 ,
1

2
 2 3
3 2
1 3
3 1 2
1 2
2 1 2
4 2
(11)
 u u   u u    u u   u u    u u   u u    k1 k2 ,

u 2u 3  u 3u 2  u 1  u1u 3  u 3u 1  u 2  u1u 2  u 2u 1  u 3  k13k23k3 ,






где u i  xi  xi , i  1, 2, 3. Начальные условия t  t0 , x1 (t 0 )  x10 , x 2 (t 0 )  x02 ,
x3 (t 0 )  x03 выделяют из множества решений системы дифференциальных
уравнений функции x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) , задающие единственную кривую (t ) .
Кривая проходит через точку (t0 , x10 , x02 , x03 ) и имеет раст касательной:
1,(e  1)( x01  x10 ),(e  1)( x02 x02 ),(e  1)( x03  x03 ) =
= 1,(e  1)u10 ,(e  1)u02 ,(e  1)u03  =   (e  1) .
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
# Первое уравнение системы (11) есть результат возведения в квадрат
равенства (4) после подстановки в него компонент функции (t ) . Второе
уравнение системы (11) получаем из выражения (5) с помощью (4). Находя
числитель дроби (6) и воспользовавшись вторым уравнением системы (11),
приходим к третьему уравнению. #
Решением системы дифференциальных уравнений являются функции
i
u (t ) . Относительно этих функций настоящая теорема повторяет соответствующую теорему из [2]. По дифференциальным уравнениям u i  xi  xi
отыскиваются функции xi – компоненты функции (t ) .
Теорема 4*. Пусть галилеева кривая (2)   t   (t , x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t )) про-
 31
странства
имеет кривизны
k1 , k2 , k3 .
1
Если
2
заданы
функции
3
k1  k1 (t ), k2  k2 (t ), k3  k3 (t ) , то компоненты x (t ), x (t ), x (t ) кривой (t )
являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
(u1 ) 2  (u 2 ) 2  (u ) 2  k 2 ,
1

 2
2
2
1
1 2
1 2
2 1 2
4 2
(11*)
[u u   u u  ]  [u u   u u  ]  [u u   u u  ]  k1 k2 ,
 2
2
1
1
1
2
1 2
2 1
3 3
 u u   u u   u   u u   u u   u   u u   u u   u   k1 k2 k3 ,

где xi  xi  u i , i  1, 2 ; x3  (e  1)u  . Начальные условия t  t0 , x1 (t 0 )  x10 ,
x 2 (t 0 )  x02 , x3 (t 0 )  x03 выделяют из множества решений системы дифференциальных уравнений функции x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) , задающие единственную
кривую (t ) . Кривая проходит через точку (t0 , x10 , x02 , x03 ) и имеет раст ка-


сательной 1,(e  1)( x01  x10 ),(e  1)( x02  x 20 ), x03 .
# Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 4. #
Системы уравнений (11), (11*) для компонент x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) имеют
место в случае постоянных и непостоянных кривизн k1 , k2 , k3 .
Исследуем кривые пространства M31 , M 4 , все кривизны которых постоянны.
Теорема 5. Если кривизны k1 , k2 , k3 галилеевой кривой (t ) постоянны,

то кривая скорости   t  может быть либо винтовой линией, либо окружностью, либо прямой линией евклидова пространства.
# Если k1 = 0, то k2  k3  0 , см. п. 4.1. В этом случае (t ) есть прямая

и   t  – прямая. Если k1  0 и постоянна, k2 = 0, то k3 = 0, см. п. 4.1. По

формуле (8), k1 = 0 и линия   t  является прямой. Если k1  0 , k2  0 и поk1  0 и постоянна; k2  0 . В этом случае
окружностью. Пусть k1 , k2 , k3 постоянны и

отличны от нуля. По формулам (11), кривизны k1 , k2 кривой скорости   t 
стоянны, то, по равенствам (8),

евклидова кривая   t  является
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
постоянны и отличны от нуля. Известно, что если кривизны 3-мерной евклидовой кривой постоянны, то эта кривая является винтовой линией. #
Теорема 6. Если кривизны k1  k , k2  m, k3  l галилеевой кривой (t )
пространства M 31 постоянны, то третья кривизна равна нулю:
l = 0,
и кривая (t ) является не более чем 3-мерной, т.е. лежит в 3-мерном про
странстве; кривая скорости   t  кривой (t ) является либо окружностью,
либо прямой, кривая (t ) описывается одной из следующих функций:

k
k
  t    t , C1  C2 et 
cos(mt  c) 
sin( mt  c),
2

m(1  m 2 )
1 m

C3  C4 et 
k
m(1  m 2 )
cos(mt  c) 

sin(mt  c), C5  C6t  ;

1  m2

k
a


  t    t , C1  C2 et  a1t , C3  C4 et  a2t , C5  C6t  3 t 2  ;
2 

(12)
здесь Ci  const, k  0 , m  0 , a12  a22  a32  0 .

# Кривизны k1 , k2 кривой скорости   t  выражаются через кривизны
k, т, l галилеевой кривой   t   (t , x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t )) равенствами (8), следова

тельно, и кривая   t  имеет постоянные кривизны. Евклидова кривая   t 
с постоянными кривизнами является либо винтовой линией, либо окружностью, либо прямой.

Предположим сначала, что   t  – винтовая линия; по [4, с. 67],

(t )  (h cos(mt  c), h sin(mt  c), gt ) ;
согласно теореме 2 имеем дифференциальные уравнения:
x1  x1  h cos(mt  c), x2  x 2  h sin(mt  c), x3  gt .
Имеем следующие значения производных компонент функции (t ) :
x1  x1  hm sin( mt  c), x2  x2  hm cos( mt  c), x3  g ;
x1  x1  hm 2 cos(mt  c), x2  x2  hm 2 sin(mt  c), x3  0 .
(13)

Значение кривизны k линии (t ) с заданной кривой скорости   t 
таково:
k  h2 m2  g 2 ,
см. (4), получим значения кривизн т, l. Для этого вычислим согласно (5):
p1  x2 x3  x3 x2  hgm 2 sin(mt  c) ;
14
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
p2  x1 x3  x3 x1  hgm 2 cos(mt  c) ;
p3  x1x2  x2 x1  h 2 m3 .
Находим с использованием (14):
p 2  p12  p22  p32  h 2 g 2 m 4  h 4 m6  h 2 m 4 ( g 2  h 2 m 2 )  h 2 m 4 k 2 .
Согласно второму уравнению системы (11)
p 2  h 2 m 4 k 2  k 4 m 2 , откуда h 2 m 2  k 2 ,

теперь, по формуле (14), k 2  k 2  g 2 , следовательно, в задании кривой   t 
g = 0.

Это означает, что кривая скорости   t  не может быть винтовой, а является окружностью

(t )   h cos(mt  c), h sin( mt  c),0  .
l  0.

l
Кривая   t  плоская. Следовательно, в этом случае k2   0 , т.е.
k
Решая уравнения (13) с учетом g = 0, получаем
x1  x1 (t )  C1  C2 et 
k
1 m
2
cos(mt  c) 
k
x 2  x 2 (t)  C3  C4 et 
m(1  m 2 )
k
m(1  m 2 )
cos(mt  c) 
k
1  m2
sin( mt  c);
sin(mt  c);
x3  x3 (t )  C5  C6t.


Эти функции определяют кривую   t   t , x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) постоянных кривизн VEM-пространства M 31 . Заменяя репер пространства M 31 ,
получаем задание кривой в виде
x1  x1 (t )  
x 2  x 2 (t ) 
k
1 m
2
cos( mt  c) 
k
m(1  m 2 )
k
m(1  m 2 )
cos(mt  c) 
k
1  m2
x3  x3 (t )  C.
sin(mt  c);
sin(mt  c);
(15)
Кривая (t ) , где компоненты x1 (t ), x 2 (t ), x3 (t ) есть (15), обладает свойством
x2  y2 
k2
m 2 (1  m 2 )
,
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
т.е. (t ) пространства M31 лежит на цилиндре, в основании которого нахоk
. Кривизна окружности равна
дится окружность радиуса R 
2
m 1 m
m 1  m2
, и мы получили зависимость между кривизной k , кручением
k
m кривой (t ) и кривизной ke основания цилиндра.

Наконец, возможно, что кривая скорости   t  является прямой линией:
ke 

  t   ( a1t  b1 , a2t  b2 , a3t  b3 ) .
В этом случае еще k1 
(16)
m
 0 и m  l  0 . Для функции (16) получаем
k

  t   (a1 , a2 , a3 ) ,
кривая с функцией скорости (16) есть (12):
a


  t    t , C1  C2 et  a1t , C3  C4 et  a2t , C5  C6t  3 t 2  .#
2 

Теорема 6*. Если кривизны k1  k , k2  m, k3  l галилеевой кривой
(t ) пространства M 4 постоянны, то третья кривизна равна нулю:
l  0,
и кривая (t ) является не более чем 3-мерной, т.е. лежит в 3-мерном про
странстве; кривая скорости   t  кривой (t ) является либо окружностью,
либо прямой, кривая (t ) описывается одной из следующих функций:

k
k
  t    t , C1  C2et 
cos( mt  c) 
sin(mt  c);
2
2

m
m
m
1
(1
)



C3  C4 et 
k
m(1  m 2 )
cos(mt  c) 

sin(mt  c), C5  C6 et  ;

1  m2

k
  t   (t , C1  C2et  a1t , C3  C4 et  a2t , C5  C6et  a3t ) ,
здесь Ci  const, k  0 , m  0 , a12  a22  a32  0 .
# Доказательство теоремы проводим аналогично теореме 6. Выражения
(13) заменяются следующими:
x1  x1   hm sin(mt  c), x2  x2  hm cos(mt  c), x3  x3  0,
а в (13) последнее уравнение имеет вид x3  g . Решение уравнения
x3  x3  0 есть z  C5  C6 et , согласно которому g  0 . #
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Выполнимость теорем 6, 6* означает следующее:
1. Всякая кривая 4-мерного галилеева пространства-времени M 31 ,
M 4 , все три кривизны которой постоянны, является кривой не более чем
3-мерного галилеева подпространства.
2. Галилеева кривая, пространственная составляющая которой является
винтовой линией, есть 3-мерная кривая. Ее пространственная составляющая
имеет две евклидовы ненулевые кривизны.
3. В пространстве-времени Галилея M31 , M 4 существуют винтовые
линии на круглом цилиндре, направляющая которого есть евклидова окружность, а образующая параллельна оси времени. Это галилеева кривая с двумя
ненулевыми галилеевыми кривизнами, пространственная составляющая которой имеет одну евклидову ненулевую кривизну.
4. Всякая кривая 4-мерного пространства-времени Галилея M 31 , M 4 ,
имеющая постоянную ненулевую кривизну k  0 и нулевое кручение m  0 ,
является плоской, это галилеев цикл.
До сих пор мы рассматривали зависимость между галилеевой кривой и
евклидовой кривой, если евклидова кривая является кривой скорости для га
лилеевой кривой. Пусть теперь r (t ) – произвольная евклидова кривая. Суще

ствует галилеева кривая   t   t   r  t  , для которой r (t ) является пространственной составляющей. Выполняется следующее

Следствие. Если евклидова кривая r (t ) является пространственной

составляющей галилеевой кривой, все кривизны которой постоянны, то r (t )
есть либо винтовая линия, либо окружность, либо парабола (галилеев цикл),
либо прямая линия. #
Тем самым мы описали все кривые пространств M 31 , M 4 , кривизны
которых постоянны. Оказалось, что у таких кривых обязательно третья кривизна равна нулю.
Укажем примеры некоторых линий пространств M31 и M 4 , кривизна
и кручение которых постоянны (рис. 1–4).
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
1.8
1.6
1.4
1.2
1
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Рис. 1
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
8
6
4
2
0
-2
6
4
5
2
0
0
-2
-4
-5
Рис. 2
8
6
4
2
0
-2
6
4
2
0
-2
-2
-1
0
2
1
3
4
5
Рис. 3
4
x 10
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
5
5
0
0
-5
-5
Рис. 4
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
На рис. 1–4 сплошной линией изображены кривые из пространства, а
линией из звездочек изображены кривые из пространства M 4 . На рис. 1 показаны линии (13) и (19); на рис. 2–4 заданы кривизна k  2 и кручение
m  1, 25 . В функциях (12) и (18) на рис. 2: C2  C4  C5  0, C6  1; на рис. 3:
C2  C4  C6  1, C5  0 ; на рис. 4: C2  C4  C5  0, С6(M3+1) = 2000,
С6(M4) = 1.
Список литературы
1. Д о л г а р е в , А . И . Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея /
А. И. Долгарев, И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 2–11.
2. Д о л г а р е в , А . И . Специальные вопросы теории кривых 4-мерного пространства-времени Галилея / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 1. – С. 41–54.
3. С а б и н и н , Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью /
Л. В. Сабинин // ДАН СССР. – 1977. – № 5. – С. 800–803.
4. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационноиздательский центр ПензГУ, 2005. – 306 с.
5. П о дв а л о в а , О . А . Кривые в галилеевых пространствах с 4-мерными растранами / О. А. Подвалова, А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3. – С. 35–49.
Долгарев Артур Иванович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования
Пензенский государственный
университет
Dolgarev Artur Ivanovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
Подвалова Оксана Анатольевна
студентка, Пензенский государственный
университет
Podvalova Oksana Anatolyevna
Student, Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
УДК 514
Долгарев, А. И.
Кривые постоянных кривизн некоммутативных галилеевых
4-мерных пространств с растранами / А. И. Долгарев, О. А. Подвалова //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 2 (14). – С. 3–19.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 514
А. И. Долгарев
ГАЛИЛЕЕВЫ НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЕВКЛИДОВОЙ
КРИВОЙ (I. АФФИННЫЕ И ГАЛИЛЕЕВЫ ПОНЯТИЯ)
Аннотация. В евклидовой геометрии возможно использование галилеевых методов исследования. Галилеевы кривизны евклидовой кривой естественны для
нее так же, как и евклидовы кривизны. Подготовлены условия для использования галилеевых методов.
Ключевые слова: евклидова кривая, галилеева кривизна, галилеево кручение,
плоскость галилеевых кривизн, эклиптика, стабилизация евклидова пространства.
Abstract. In Euclidean geometry use the Galileo methods of research are possible.
Galileo curvature of Euclidean curve are natural to it also, as well as Euclidean curvature. To prepare the conditions for employment Galileo methods.
Keywords: Euclidean curve, Galilean curvature, Galileo torsion, Galileo plane curvatures, ecliptic, stabilization of the Euclidean space.
Введение
Работа разделена на две части. В первой части обосновывается общий
подход к кривым евклидова и галилеева пространств, излагается идея аффинного метода с последующим использованием как соответствующих метрических свойств, так и методов одной из геометрий в изучении свойств кривой
в другой геометрии. Приводится изложение главных результатов второй, основной части работы.
Теория евклидовых кривых изучается, согласно [1, с. 414–416], с первой половины XVIII в., в это время была построена теория плоских кривых.
Далее выяснилось, что всякая регулярная евклидова кривая в окрестности
своей обыкновенной точки является малым отрезком либо прямой линии, либо окружности, либо винтовой линии. Основная теорема теории кривых устанавливает, что функции кривизны и кручения кривой определяют кривую
однозначно, с точностью до положения в пространстве. Указанные функции
называются натуральными уравнениями кривой. Получение векторного задания евклидовой кривой по ее натуральным уравнениям довольно сложно, см.,
например, [1, с. 137–144, 196–208]. При этом используются векторы сопровождающего репера кривой, формулы Френе и естественная параметризация
кривой.
Развитие теории евклидовых кривых происходило последовательно,
альтернативных вариантов не появлялось; нужно было преодолевать возникающие на этом единственном пути трудности. Альтернатива возникла в связи с появлением различных геометрий, изучающих одни и те же объекты,
в том числе кривые. К ним относится и геометрия Галилея, возникшая позже.
Появился другой смысловой уровень: к кривым и другим геометрическим фигурам применяются методы исследования из различных геометрий,
которые имеют общую основу. В частности, методы различных геометрий
пространств со скалярным произведением векторов используются в изучении
свойств аффинных кривых – объектов аффинной геометрии, на которой бази-
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
руются различные евклидовы геометрии. Галилеевы методы применяются
для изучения евклидовых кривых. Ситуация естественная и, естественно,
приносящая новые плоды.
Евклидову геометрию можно получить из аффинной геометрии. Кривые могут быть заданы и в аффинном пространстве. После введения в линейном пространстве аффинного пространства евклидова скалярного произведения векторов заданные аффинные кривые становятся евклидовыми. А после
введения галилеева скалярного произведения векторов те же аффинные кривые становятся галилеевыми. К изучению евклидовых кривых можно пытаться применять и галилеевы методы. Линиями постоянных кривизн в пространстве-времени Галилея являются прямая, галилеев цикл (парабола), винтовая
линия. В евклидовой геометрии установлено, что во всякой обыкновенной
точке регулярная евклидова кривая обладает соприкасающейся параболой
[2, c. 160], в [3, c. 74–75] такая парабола описывается, но термин «соприкасающаяся парабола» не используется. Тем самым всякая регулярная евклидова кривая в окрестности ее обыкновенной точки является малым отрезком
или прямой, или параболы, или винтовой линии. Точно так же описывается и
всякая регулярная кривая пространства Галилея, что опять указывает на возможность использования галилеевых методов для изучения евклидовых кривых. С изучением 3-мерного пространства-времени Галилея [4, 5] появились
галилеевы методы исследования кривых и возможность их использования
в евклидовой геометрии.
Для евклидовых кривых в [6] определены галилеевы кривизна и кручение, определены и векторы галилеевых кривизн. Во второй части работы
в каждой обыкновенной точке кривой получена плоскость галилеевых кривизн евклидовой кривой. С каждой точкой евклидовой кривой связан репер,
содержащий вектор касательной и векторы галилеевых кривизн – галилеев
сопровождающий репер евклидовой кривой; репер не является ортогональным. При движении точки по кривой плоскость галилеевых кривизн перемещается параллельно сама себе, см. ниже теорему 3. То есть положение плоскости галилеевых кривизн евклидовой кривой не зависит от точки на кривой.
А если все евклидовы кривые рассматривать в одном репере, то они имеют
общую плоскость галилеевых кривизн с точностью до параллельности. Плоскость галилеевых кривизн является аналогом плоскости эклиптики Солнечной системы. Это некоторая выделенная плоскость евклидова пространства.
Если евклидовы кривые рассматриваются в различных реперах, то движениями евклидова пространства реперы можно совместить, что равносильно
изучению кривых в одном и том же репере.
Классическая евклидова геометрия изучает евклидово пространство,
используя его однородность – одинаковость во всех направлениях. Применяя
в евклидовой геометрии галилеевы методы исследования, мы изучаем неоднородность евклидова пространства. Эта неоднородность присутствует; дело
только в том – замечаем мы ее или не замечаем. Плоскость галилеевых кривизн есть элемент стабилизации евклидова пространства, выделение такой
плоскости стабилизирует евклидово пространство.
Ниже приводятся основные положения геометрии Галилея, необходимые для определения галилеевых кривизн евклидовой кривой, рассмотрения
плоскости галилеевых кривизн, ее свойсв и доказательства теоремы о галилеевых натуральных уравнениях евклидовой кривой.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1. Об аффинном действительном пространстве
1.1. Линии и поверхности аффинного пространства
Рассматривается 3-мерное действительное аффинное пространство A3 ,
его линейным пространством является пространство L3 над полем R дейст  
вительных чисел. Базис Б = (e1 , e2 , e3 ) линейного пространства позволяет вве

 
сти координаты векторов в L3 : v = xe1  ye2  ze3 = ( x, y, z ) . С использованием
  
репера B  (O, e1 , e2 , e3 ) аффинного пространства A3 вводятся координаты


точек M как координаты векторов OM . Если в базисе Б : OM = ( x, y, z ) , то
в репере B : M = ( x, y, z ) . Всяким двум точкам A  (a1 , a 2 , a3 ) и B  (b1 , b 2 , b3 )
аффинного пространства соответствует вектор

AB  (b1  a1 , b 2  a 2 , b3  a3 ) .
Прямая линия аффинного пространства определяется точкой и ненуле 
вым вектором. Точка A и вектор m  o определяют прямую, обозначаемую

 A, m  ; эта прямая есть множество точек:
 

 A, m  ={M | AM  tm, t  R} ,
M – произвольная точка прямой. Пусть A  (a1 , a 2 , a3 ) , M = ( x, y, z ) ,

m  (m1 , m 2 , m3 ) в репере B . Векторная функция, описывающая прямую

 A, m  , есть

r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) = (m1t  a1 , m 2t  a 2 , m3t  a3 ) .
Прямая является одним из отображений  : R  A3 . Произвольное
отображение R  A3 или I  A3 , где I – интервал в R или R , задает произвольную линию в A3 , которая описывается векторной функцией

r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) , t  I  R .
Примеры линий:
1 


 1
r (t ) =  t , t 2 , t 3  , t  R , r (t ) = (t , t cos ln t , t sin ln t ) , t  0 , и т.д.
6 
 2
Одна и та же линия может быть задана различными отображениями
I  A3 , т.е. различными параметризациями. Плоская линия может быть задана явной функцией
y  f ( x)
или параметрически векторной функцией

r ( x) = ( x, f ( x)) .
 
Точка A и независимые векторы m, n определяют в аффинном пространстве A3 плоскость
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика



 
 A, m, n  = {M | AM  um  vn , (u , v)  R 2 } ;
M – произвольная точка плоскости. Если A  (a1 , a 2 , a3 ) , M = ( x, y, z ) ,


 
m  (m1 , m2 , m3 ) , n  (n1 , n 2 , n3 ) , то плоскость  A, m, n  описывается векторной функцией

r (u , v) = (m1u  n1v  a1 , m 2u  n 2 v  a 2 , m3u  n3v  a3 ) .
Это отображение вида  : R 2  A3 . Поверхность аффинного пространства A3 задается отображением  : R 2  D  A3 , которое конкретизируется функцией

r (u , v) =  x(u , v), y (u , v), z (u , v)  , (u , v)  D  R 2 ;
1



например, r (u , v) =  u , v, (u 2  v 2 )  .
2


1.2. Метризация аффинного пространства
Наделяя аффинное пространство метрическими свойствами, приходим
к пространствам, в которых возможны измерения расстояний между точками
и других величин. Этого можно добиться на основе определения скалярного
произведения векторов в линейном пространстве аффинного пространства.
Скалярные произведения векторов есть отображения L3  L3  R с некоторыми свойствами, их можно задать функциями координат. Скалярные





произведения векторов a и b обозначаются: ab . Векторы a и b перпенди


кулярны, если ab  0 . В частности, получается скалярный квадрат a 2  aa

вектора a ; на его основе вводится норма вектора. Длиной, модулем, нормой




вектора a называется | a | a 2 . Вектор x называется изотропным, если
 

x  o и | x | 0 . Пусть паре точек ( A, B ) аффинного пространства A3 соот
ветствует вектор m его линейного пространства L3 , этот факт записывается



в виде m  AB . Расстоянием | AB | между точками A и B аффинного пространства A3 со скалярным произведением векторов называется величина
 2
| AB | = AB .
Свойства расстояний между точками определяются свойствами соответствующего скалярного произведения векторов.
Рассматриваем два вида скалярных произведений векторов: евклидово
и галилеево. Зададим их в координатах векторов; свойства скалярных произведений векторов обусловлены их заданием.
Рассматриваются отображения r : I  L3 , определяющие векторную

функцию: r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) , t  I  R . Числу t из интервала I соответст
вует вектор r (t ) в линейном пространстве L3 . Если в L3 задано евклидово
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
скалярное произведение векторов, то имеем евклидову векторную функцию;
если задано галилеево скалярное произведение векторов, то имеем галилееву
векторную функцию. Считаем, что действительные скалярные функции
x(t ), y (t ), z (t ) являются функциями класса C k , т.е. не менее k раз дифферен
цируемыми, k  3 . И векторная функция r (t ) имеет класс C k .
1.3. Евклидово скалярное произведение векторов

Евклидовым скалярным произведением векторов x  ( x, y, z )

u  (u , v, w) называется число

xu  xu  yv  zw .

Скалярный квадрат вектора x равен

x 2  x2  y 2  z 2 .
и
Выполняются:
– свойство неотрицательности:


 
x2  0 ; x2  0  x  o ;
– неравенство треугольника:


 
x 2  u 2  ( x  u )2 ;


норма | x | вектора x равна

| x | = x2  y 2  z 2 .
Линейное пространство с евклидовым скалярным произведением векторов называется евклидовым и обозначается V 3 . Евклидово векторное пространство не содержит изотропных векторов.
1.4. Галилеево скалярное произведение векторов

Галилеевым скалярным произведением векторов x  ( x, y , z )

u  (u , v, w) называется число
   xu , если x  0, или u  0;
xu = 
 yv  zw, если x  u  0;
галилеев скалярный квадрат вектора равен
2
  x , если x  0;
x2 = 
 y 2  z 2 , если x  0;


галилеева норма | x | вектора x равна
 | x |, если x  0;
| x|=
2
2
 y  z , если x  0.
24
и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Введено галилеево скалярное произведение векторов в [4, с. 10;
5, с. 32–36]. Линейное пространство L3 с галилеевым скалярным произведением векторов называется галилеевым и обозначается V3 . Компонента x

вектора ( x, y, z ) = x называется временной, компоненты y , z называются пространственными. Векторы из V3 с ненулевой временной составляющей называются галилеевыми, это векторы ( x, y, z ), x  0 ; векторы с нулевой временной составляющей называются евклидовыми, это векторы (0, y, z ) . Бази
  

сом пространства V3 является Б = (e , i , j ) , где e  (1,0,0) , i  (0,1,0) ,


j  (0,0,1) . Для всякого вектора x = ( x, y, z ) имеется однозначное разложение
 


по векторам базиса x = xe  yi  zj и однозначное разложение в сумму временного и пространственного слагаемых:
 
 

  
x = xe  r , r  yi  zj  i , j  .


Оболочка V1 =  e  вектора e является временной составляющей про 
странства V3 , оболочка  i , j  = V 2 – пространственной составляющей пространства V3 , галилеево векторное пространство V3 есть прямая сумма
V3 = V1 + V 2 , каждая из составляющих является евклидовым пространством,

V3 – это векторное пространство-время. Вектор e галилеев, его норма








| e | 1 , векторы i , j евклидовы, | i || j | 1 , ei  0, ej  0 . Всякий галилеев
  
вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору. Базис Б = (e , i , j ) ортонормирован. В V3 нет изотропных векторов.
Временное направление в V3 есть полупространство в V3 , состоящее из
галилеевых векторов, временные компоненты которых имеют один и тот же
знак. Одно из направлений считается положительным, противоположное направление считается отрицательным. Пространственное направление в V3
совпадает с направлением в V 2 . Угол между галилеевыми векторами никак не
определяется, так как временное пространство 1-мерно. Угол между евклидовыми векторами в V3 определяется, как в евклидовом векторном пространстве.
В V3 неравенство треугольника не выполняется. Например, для векто

 


 
ров a  (2,3,1), b  (2,1, 2) имеем: | a | 2,| b | 24, a  b  (0, 4,3) , a  b  5 ,
  


| a |  | b || a  b | . Производная функции r (t ) в векторных пространствах V 3

и V3 есть функция r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) .
2. Пространства со скалярным произведением векторов
2.1. Расстояния
Аффинное пространство A3 , в линейном пространстве L3 которого
введено евклидово скалярное произведение векторов, называется евклидовым
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
пространством и обозначается Ε3 ; если же в L3 определено галилеево скалярное произведение векторов, то аффинное пространство A3 превращается
в пространство-время Галилея Γ3 .
Свойства евклидовых векторных пространств переносятся на аффинное
пространство, в линейном пространстве которого определено соответствующее скалярное произведение векторов. Аффинное пространство становится
метризованным. Тем самым получаем пространства, в которых возможны
измерения расстояний между точками и величин углов. Эта возможность
реализуется посредством скалярного произведения векторов на основе равен 2
ства | AB | = AB из п. 1.2.
Рассмотрим два пространства со скалярным произведением векторов:
евклидово пространство и пространство Галилея.
2.2. Евклидово пространство
В пространстве Ε3 рассматриваются ортонормированные реперы. Для
точек A  (a1 , a 2 , a3 ) и B  (b1 , b 2 , b3 ) (согласно п. 1.1–1.3) имеем

| AB | (b1  a1 )2  (b 2  a 2 )2  (b3  a3 ) 2 .
Линии и поверхности аффинного пространства являются линиями и поверхностями евклидова пространства. Это относится, в частности, к прямым
и плоскостям.


Кривая r (t ) со свойствами r (t ) есть функция класса C k , k  3 ,

  
r   r  , r   o , называется регулярной класса C 3 , каждая точка такой кривой называется обыкновенной. Регулярные кривые рассматриваются в окрестности ее обыкновенной точки, которая обычно обозначается P  P(t0 ),

t0  I . Отображение r : I  E3 называется параметризацией кривой r (t ) .
2.3. Пространство-время Галилея
Аффинное пространство A3 , в линейном пространстве L3 которого
введено Галилеево скалярное произведение векторов, называется пространст  
вом Галилея и обозначается Γ3 . Репер B = (O, e , i , j ) пространства Γ3 , со  
держащий ортонормированный базис Б = (e , i , j ) векторного пространства V3 ,
см. п. 1.4, называется ортонормированным. Первые координаты x точек
( x, y, z ) пространства Γ3 называются временными, вторые и третьи y, z координаты точек называются пространственными. Наряду с обычными обозначениями координат точек M ( x, y, z ) используются специализированные обозначения M (t , x, y ) , подчеркивая тем самым указанный выше характер координат.
Точки из Γ3 называются еще событиями, в связи с чем пространство-время Γ3
называется еще пространством событий. Событие M (t , x, y ) происходит в момент времени t в точке, характеризующейся координатами x, y . Расстоянием
между событиями A(t1 , x1 , y1 ) и B (t2 , x2 , y2 ) , см. п. 1.4, называется число
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
| t2  t1 |, если t2  t1;
| AB | 
2
2
 ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) , если t2  t1.

Величина | t2  t1 | называется еще длительностью события AB , вели
чина ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 называется еще протяженностью события AB .
События A(t , x1 , y1 ) и B(t , x2 , y2 ) , происходящие в один и тот же момент
времени, называются одновременными, такие события характеризуются
только длительностью, неодновременные события характеризуются только
протяженностью. Множество всех событий M (t , x, y ) , одновременных с данным событием P(t , a, b) , согласно определению галилеева расстояния между
точками-событиями является 2-мерным евклидовым пространством – евклидовым подпространством пространства-времени Галилея Γ3 , это евклидова
плоскость Ε2 в пространстве Галилея. Таким образом, выполняется
Свойство 1. Через всякую точку пространства-времени Галилея Γ3
проходит единственная евклидова плоскость.
Время в пространстве-времени Галилея Γ3 1-мерно. Временное направление в Γ3 определяется галилеевым вектором (t , x, y ) , t  0 ; все галилеевы векторы с ненулевой временной компонентой одного и того же знака
определяют одно и то же временное направление. Временное направление
в точке P пространства-времени Галилея Γ3 есть полупространство, границей которого является евклидова плоскость, проходящая через точку P и со
держащая заданную точку Q , чтобы PQ  (t , x, y ) .

Прямая  A, v  , все ненулевые векторы которой являются галилеевыми, называется галилеевой. Остальные прямые пространства-времени Галилея являются евклидовыми. Плоскость, имеющая галилеевы векторы, называется галилеевой; остальные плоскости являются евклидовыми. Всякая галилеева плоскость может быть задана одним галилеевым и одним евклидовым
векторами.
3. Галилеевы кривые
3.1. Виды кривых пространства Галилея
Свойства кривых 3-мерного пространства-времени Галилея изучаются
в [4; 5, c. 46–69]. Отображение интервала I действительной оси R в аффинное пространство называется кривой, или линией аффинного пространства.
Если в аффинном пространстве введена галилеева норма, то имеем кривую
  
пространства-времени Галилея Γ3 . Если (O, e , i , j ) – репер пространства Γ3 ,
 

e – временной вектор, i , j – пространственные векторы, то кривая описывается галилеевой векторной функцией
 (t ) =  x(t ), y (t ), z (t )  , t  I  R ,
(1)
с временной компонентой x(t ) .
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Кривая  (t ) называется регулярной класса C 3 , если функция  (t ) , а
значит, и функции x(t ), y (t ), z (t ) не менее трех раз дифференцируемы,
 (t )  0 , векторы  (t ) ,  (t ) не коллинеарны. Точки регулярной кривой называются обыкновенными. Рассматриваем регулярные кривые в окрестности
обыкновенной точки.
Если x(t )  0 в окрестности обыкновенной точки P , то касательный
вектор  (t ) кривой (1) евклидов. В окрестности точки P кривая (1) лежит
в евклидовой плоскости. Такие кривые изучает евклидова геометрия. Мы рассматриваем случай
x(t )  0 .
Касательный вектор такой кривой галилеев. Функция x(t ) обратима,
существует функция t  t ( x) . Кривая с галилеевыми касательными векторами
записывается в естественной параметризации:
 (t ) =  t , x(t ), y (t )  , t  I  R .
(2)
Интервал I по сравнению с (1) может измениться. Касательный вектор
этой кривой в любой обыкновенной точке P является единичным:
 (t ) = (1, x (t ), y (t )) ,
вектор второй производной евклидов:
(t ) = (0, 
x(t ), 
y (t )) ,
он перпендикулярен вектору первой производной  (t ) ;  (t )   .
3.2. Кривизны галилеевой кривой
Выделим единичный вектор второй производной:
 
(t ) = k1 (t )n , n  1 , k1 (t )   .
(3)

Вектор n называется единичным вектором главной нормали галилеевой кривой, k1 (t )  0 ;  называется вектором кривизны:
 1
n  (0, 
x, 
y) .
k1

Плоскость  P,  , n  называется соприкасающейся для кривой (2). Положение касательной и соприкасающейся плоскости галилеевой кривой не
зависит от параметризации кривой.


Для евклидова вектора u (u1 , u 2 ) определена каппа-функция (u )

u
[5, c. 59–61], в результате дифференцирования единичного вектора  :
u




u

u
28

  
  (u ) g , g  1 , имеем

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
 u1u 2  u 2u 1   u 2 u1 
 (u ) 
, g    ,  .
2
 u u 
u


Каппа-функция вектора  называется кручением галилеевой кривой
  
(2), единичный вектор направления   , т.е. вектора кручения, обозначает k1 

ся b и называется единичным вектором бинормали линии (2):
k2 (t ) 

x 
y  
x 
y
k12
  
y 
x
, b   ,  .
 k1 k1 
(4)
 
Репер ( P,  , n , b ) является ортонормированным сопровождающим репе 
ром галилеевой линии (2). Нормальная плоскость  P, n , b  кривой (2) евклидова, это плоскость кривизн галилеевой кривой. Выполняется
Свойство 2. При движении точки P по галилеевой кривой ее плоскость кривизн перемещается параллельно сама себе.
Если k2  0 , то  (t ) – плоская линия. Только прямая имеет нулевую
кривизну.
Существуют следующие кривые пространства-времени Галилея, кривизны которых постоянны:
а) прямая k1  0 , k2  0 ;
б) парабола (галилеев цикл) k1  0 , k2  0 ;
в) винтовая линия k1  0 , k2  0 .
В малой окрестности обыкновенной точки галилеева кривая есть либо
отрезок прямой, либо дуга параболы, либо дуга винтовой линии.
Аналог формул Френе галилеевой линии:
 
 

  k1n , n  k2b , b   k2 n .
3.3. Натуральные уравнения галилеевой кривой
Функции кривизн k1 (t )  0 и k2 (t ) галилеевой кривой, определенные
в (3) и (4), могут быть записаны в координатах. Обозначим: k1 (t )  k ,
k2 (t )  m . На основании определений кривизны и кручения получается система обыкновенных дифференциальных уравнений:
 
x 2  
y2  k 2 ,

x 
y  
x 
y  k 2 m.
 
(5)
Теорема 1 (Основная теорема теории кривых). При заданных функциях
k1 (t )  k  0 , k2 (t )  m
решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5) являются функции x(t ), y (t ) – пространственные компоненты галилеевой кривой
(2), тем самым кривая пространства-времени Галилея определяется одно-
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
значно с точностью до положения в пространстве. Ее кривизна и кручение
равны заданным величинам k1 (t )  0 и k2 (t ) . Начальные условия
t  t0 , x(t0 )  x0 , y (t0 )  y0 , x (t0 )  x0 , y (t0 )  y0
(6)
выделяют кривую, проходящую через точку P  (t0 , x0 , y0 ) в направлении касательного вектора  0  (1, x0 , y0 ) .
Схема получения кривой по функциям k1 (t )  0 и k2 (t ) содержится
в [6]. Эта схема такова. Обозначим по виду первого уравнения системы (5):

x  k cos M (t ), 
y  k sin M (t ),

M (t )  mdt .
Указанные функции удовлетворяют и второму уравнению системы (5).
Дважды интегрируя функции k cos M (t ), k sin M (t ) , находим составляющие x(t ), y (t ) вектора  (t ) = (t , x(t ), y (t )) . По начальным условиям (6) записываем конкретную функцию (2). Ее кривизна и кручение совпадают с заданными функциями k1 (t )  0 и k2 (t ) .
Основные положения второй части работы
Как отмечено в начале предисловия, первая часть настоящей работы
излагает основную идею общего подхода к кривым различных евклидовых
пространств. Рассматриваются аффинные кривые и метрические свойства
этих кривых в метризованных пространствах. Используется другой смысловой уровень такого подхода, согласно которому кривая одного из евклидовых
пространств обладает и свойствами других евклидовых пространств. Собственно евклидово пространство и пространство Галилея относятся к евклидовым пространствам – пространствам со скалярными произведениями векторов. Определения соответствующих скалярных произведений приведены
в п. 1.3 и 1.4.
В изучении евклидовых кривых используется каппа-функция евклидова
вектора, рассматриваемая в [5, с. 59–61; 7]. На основе этой функции в [4, 5, 7]
определены кривизны галилеевых линий и далее евклидовых линий. Обсуждается вопрос об однородности аффинного и евклидова пространств, как
в [8, c. 209–210, 214]. Евклидова кривая рассматривается в выделенной пара
метризации, которая введена в [7]. Так как кривая r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) ,
t  I  R , регулярна класса C 3 , то функция x(t ) обратима, и та же самая

кривая задается в параметризации r ( x) = ( x, y ( x), z ( x)) , называемой выделенной. Так же выглядит галилеева кривая в естественной параметризации, см.
(2). В выделенной параметризации определяется галилеева кривизна и галилеево кручение евклидовой кривой. Доказана основная теорема об однозначной определяемости евклидовой кривой галилеевыми натуральными уравнениями. Найдена зависимость между евклидовыми кривизнами, каппафункцией евклидова вектора и галилеевыми кривизнами евклидовой кривой.
Определена плоскость галилеевых кривизн евклидовой линии в каждой
точке линии, она натягивается на векторы галилеевых кривизн. При движении обыкновенной точки по кривой плоскость галилеевых кривизн движется
параллельно сама себе. Таким свойством обладает нормальная плоскость галилеевой кривой. Плоскость галилеевых кривизн напоминает плоскость эк-
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
липтики Солнечной системы. Она является элементом стабилизации евклидова пространства. Таким образом, евклидово пространство обладает и свойством однородности, и свойством, выделяющим плоскость галилеевых кривизн, т.е. свойством, уплощающим пространство. Эти два свойства напоминают ситуацию в квантовой теории (например, электрон имеет массу покоя,
или, двигаясь, является волной, не имея массы). Стабилизация евклидова
пространства достигается выделением плоскости галилеевых кривизн, которая одна для всех кривых. Ее единственность есть результат однородности
пространства. Другим элементом стабилизации является наличие направления двойной галиллеевой кривизны евклидовой линии. Для 3-мерной линии в
соответствующей параметризации после четырехкратного дифференцирования функции, задающей линию, получается 1-мерный вектор.
Список литературы
1. Р а ш е в с к и й , П . К . Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. – М. :
Гостехиздат. – 1956. – 420 с.
2. В ы г о дс к и й , М . Я . Дифференциальная геометрия / М. Я. Выгодский. – М. ; Л. :
Гостехиздат. – 1949. – 512 с.
3. Ф и н и к о в , С . П . Курс дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. –
Изд. 2-е. – М. : КомКнига, 2006. – 344 с.
4. Д о л г а р е в , А . И . Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль
галилеевых преобразований / А. И. Долгарев. – Саранск : Средневолжское математическое общество, 2003. – 116 с. – (Препринт 63).
5. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационноиздательский центр ПензГУ, 2005. – 306 с.
6. Д о л г а р е в , А . И . Некоторые приложения галилеевых методов / А. И. Долгарев,
И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2 (9). – С. 39–59.
7. Д о л г а р е в , А . И . Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея / А. И. Долгарев, И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 2–11.
8. Р а ш е в с к и й , П . К . Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. –
Изд. 3-е. – М. : Наука, 1967. – 664 с.
Долгарев Артур Иванович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Dolgarev Artur Ivanovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
УДК 514
Долгарев, А. И.
Галилеевы натуральные уравнения евклидовой кривой (I. Аффинные и галилеевы понятия) / А. И. Долгарев // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 2 (14). – С. 20–31.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.642
М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов
СУБИЕРАРХИЧЕСКИЙ ПОДХОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ
ТЕЛЕ В ВОЛНОВОДЕ МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИИ1
Аннотация. Рассматривается задача дифракции стороннего электромагнитного
поля на локально неоднородном теле, помещенном в прямоугольный волновод
с идеально проводящими стенками. Поставленная задача сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению. Решение задачи производится
численным методом коллокации. В связи с большим объемом вычислений решение задачи было реализовано с использованием параллельных алгоритмов
на суперкомпьютерном комплексе.
Ключевые слова: краевая задача, электромагнитная задача дифракции, интегральное уравнение, численный метод.
Abstract. Electromagnetic diffraction problem on dielectric body located in rectangular waveguide is considered. The problem is reduced to volume singular integral
equation on the body. Numerical collocation method for solving the equation is considered. Taking info account complicated calculations supercomputer was used for
solving the problem.
Keywords: boundary value problem, electromagnetic scattering, integral equations,
numerical method.
Введение
Определение диэлектрических и магнитных параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией является
актуальной задачей нанотехнологии и наноэлектроники. Однако эти параметры, как правило, недоступны для экспериментального измерения (ввиду композитного характера материалов и малых размеров образцов), что приводит
к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачи численно с помощью компьютеров. При этом приходится решать
трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке.
Решение таких задач является в настоящее время одной из самых актуальных
проблем в электродинамике и с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами требует
очень большого объема вычислений, что зачастую невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах. Особенно остро стоит проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе поверхностей
и тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур. Многочисленные дорогостоящие пакеты прикладных программ для решения задач электродинамики (Ansis, Quikwave и т.д.), имеющиеся на рынке программных продуктов,
решают задачу традиционными конечно-разностными методами или методами
конечных элементов и не дают удовлетворительных по точности результатов.
1
Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Альтернативным подходом является применение метода объемных
сингулярных интегральных уравнений [1]. Настоящая статья посвящена
разработке численного метода для решения уравнения. Применяется метод
коллокации с аналитическим суммированием медленно сходящихся рядов
в функциях Грина.
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат P  {x : 0  x1  a, 0  x2  b,    x3  } – волновод с идеально
проводящей поверхностью P . В волноводе расположено объемное тело Q
( Q  P – область), хаpактеpизующееся постоянной магнитной проницаемостью 0 и положительной 3  3 -матрицей-функцией (тензором) диэлектриче

ской проницаемости  ( x) . Компоненты  ( x) являются ограниченными функ

циями в области Q ,   L (Q) , а также  1  L (Q) . Граница Q области Q
кусочно-гладкая.
Требуется
определить
электромагнитное
поле
E, H  L2,loc ( P ) , возбуждаемое в волноводе сторонним полем с временной
зависимостью вида e it . Источник стороннего поля – электрический ток
j0  L2,loc ( P ) [2, 3].
В работах [2, 3] задача сводится к решению интегродифференциального
уравнения для поля E :

 ( y )  
0
2 
E ( x )  E ( x )  k0 GE ( r ) 
 I E( y )dy 
0


Q



 ( y)  
 grad div GE (r ) 
 I E( y )dy, x  Q,
 0

Q

(1)
где k02  2  0  0 .
Кроме того,
E( x )  E
0
( x)  k02


 ( y )  
GE ( r ) 
 I E( y )dy 
0


Q



 ( y)  
 grad div GE (r ) 
 I E( y )dy, x  P \ Q.
0


Q

(2)
Формула (2) дает представление решения E( x) в области P \ Q , если
E( y ), y  Q – решение уравнения (1). Поле H выражается через решение (1)
в виде


 ( y )  
0
H ( x)  H ( x)  i0 rot GE (r ) 
(3)
 I E( y )dy, x  P.
 0

Q

33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Выражение для функции Грина имеет вид

GE  diag(G1E , GE2 , GE3 ) ,
где



x y



x y
G1E 
2
e nm 3 3
n
m
n
m
cos x1 sin
x2 cos
y1 sin
y2 ;
ab n 0 m 1  nm (1  0 n )
a
b
a
b
GE2 
2
e nm 3 3
n
m
n
m
sin
x1 cos
x2 sin
y1 cos
y2 ;
ab n 1 m0  nm (1  0m )
a
b
a
b
 
GE3 
 
 x  y
2   e nm 3 3
n
m
n
m
x1 sin
x2 sin
y1 sin
y2 .
sin
ab n 1 m1
 nm
a
b
a
b
 
2
2
 n   m 
2
В этих выражениях  nm     
  k0 , при этом ветвь квадa
b
  

ратного корня выбирается так, чтобы Im  nm  0 .
После выделения особенности имеем




GE (r )  G0 (r )  G00 (r )  g 2 (r ), r | x  y |;
(4)

eik0r  1  
1  
G0 ( r ) 
 I , G00 (r ) 
 I , g 0 ( r )  diag{g10 , g02 , g03} ,
4r
4r
(5)
где g10 , g02 , g03 – гладкие функции.
Проинтегрируем функции Грина по параллелепипеду

Pi1i2i3  ( x1 , x2 , x3 ) : i1 

x1
x
 i1  1, i2  2  i2  1, i3 
h1
h2

x3
 i3  1
h3

и обозначим их через G1 , G2 , G3 . Последовательно вычислим операции дивергенции и градиента:
 G

G
G
grad div (G1 J1 , G2 J 2 , G3 J 3 )  grad  1 J1  2 J 2  3 J 3  
x2
x3
 x1

2
2
  2G

1 J   G2 J   G3 J  x 

1
1
2
3
 x 2
x1x2
x1x3 
 1
2
2
  2G

1 J   G2 J   G3 J  x 

2
1
2
3
 x2 x1
x2 x3 
x22

2
2
  2G

1 J   G2 J   G3 J  x ,

1
2
3
 x3x1
 3
x3x2
x32


где J  ( J1 , J 2 , J 3 ) .
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Значения функций G1 , G2 , G3 и вторых производных
 2G1
x12
,
 2G1
,
x2 x1
 2G3
 2G3  2G3
 2G1
 2G2  2G2  2G2
,
,
,
,
,
,
представлены в [4].
x3x1 x1x2 x22 x3x2 x1x3 x2 x3 x32
Нетрудно видеть, что
Gk (i1 , i2 , j1 , j2 )  Gk ( j1 , j2 , i1 , i2 ) ;
 2Gk
xk2
(i1 , i2 , j1 , j2 ) 
 2Gk
xk2
( j1 , j2 , i1 , i2 ) ;
 2G1
 2G2
(i1 , i2 , j1 , j2 ) 
( j1 , j2 , i1 , i2 ) ,
x2 x1
x1x2
(6)
(7)
(8)
k  1,..,3 ;
 2G1
 2G1
(i1 , i2 , j1 , j2 ) 
(i1 , j2 , j1 , i2 ) ;
x3x1
x3x1
(9)
 2G3
 2G3
(i1 , i2 , j1 , j2 ) 
(i1 , j2 , j1 , i2 ) ;
x1x3
x1x3
(10)
 2G3
 2G1
(i1 , i2 , j1 , j2 )  
( j1 , i2 , i1 , j2 ) ;
x3x1
x1x3
(11)
 2G2
 2G2
(i1 , i2 , j1 , j2 ) 
( j1 , i2 , i1 , j2 ) ;
x3x2
x3x2
(12)
 2G3
 2G3
(i1 , i2 , j1 , j2 ) 
( j1 , i2 , i1 , j2 ) ;
x2 x3
x2 x3
(13)
 2G3
 2G2
(i1 , i2 , j1 , j2 )  
(i1 , j2 , j1 , i2 ) .
x3x2
x2 x3
(14)
Формулы симметрии используются далее в реализации метода коллокации.
2. Метод коллокации
Рассмотрим теперь вопрос о построении схемы для метода коллокации
рассматриваемой задачи дифракции. Будем формулировать метод для интег
 ( x)  
 I  обродифференциального уравнения. Предположим, что матрица 
 0

1


  ( x)  
ратима в Q , 
 I   L (Q), I – единичная матрица.
 0

35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Введя обозначения
1


  ( x)  
  ( x)  

 I  , J : 
 I E ,
 0

 0

перейдем к следующему уравнению:


AJ  ( x)J ( x)  k02 G ( x, y )J ( y )dy  grad div G ( x, y )J ( y ) dy  E0 ( x) , x  Q .
Q
Q
Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:
3

 li J i ( x)  k02  G( x, y) J l ( y)dy  xl div x  G( x, y)J ( y)dy  E 0l ( x), l 1, 2,3. (15)
i 1
Q
Q
Определим компоненты приближенного решения J n  ( J 1n , J n2 , J n3 ) следующим обpазом:
J 1n 
n

k 1
ak f k1 ( x), J n2 
n

k 1
bk f k2 ( x), J n3 
n
 ck fk3 ( x),
k 1
где f ki – базисные функции-«ступеньки».
Ниже проводится построение функций f k1 . Будем считать, что Q – параллелепипед: Q  {x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } . Разобьем Q на
элементарные параллелепипеды:
 klm  {x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1};
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
n
n
n
где k , l , m  0, , n  1 .
i
Получим формулы для f klm
, i  1, 2, 3 :
1, x   klm ,
i
f klm

0, x   klm .
Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в L23  L2  L2  L2 .
Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффициентов
ak , bk , ck удобно представить в блочной форме:
 A11

 A21
A
 31
36
A12
A22
A32
B1 

B2  .
A33 B3 
A13
A23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Элементы столбцов Bk и матриц Akl определяются из соотношений
Bki  E0k  xi  ;
 

ij
Akl
  kl fil x j   kl k02 G k ( x j , y ) fil ( y )dy 
Q

xk

 xl G ( x j , y) fi ( y)dy, (16)
l
l
Q
где координаты точки коллокации
xi   xi1 , xi 2 , xi 3  , xi1   i1  1/ 2  h1 , xi 2   i2  1/ 2  h2 , xi3   i3  1/ 2  h3 ,
k , l  1, 2, 3 ; i1 , i2 , i3 , j1 , j2 , j3  0, , n  1 .
Таким образом, получены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала.
3. Реализация метода. Результаты расчетов
ij
С учетом симметрии (6)–(14) общее количество коэффициентов Akl
,
которое необходимо вычислить, определяется по формуле
N  3
n 4  (n 2  1)
n5  (n  1)
 n6  2 
.
2
2
(17)
Без учета симметрии это число равно N  9n6 , где n – количество интервалов разбиения всей области по одной координате.
Для получения результатов были установлены значения n  9,10 .
ij
Зависимость количества коэффициентов Akl
и необходимого объема
оперативной памяти для их хранения прямо пропорциональная. Результаты
расчета необходимого объема оперативной памяти при установленных значениях n с учетом симметрии (6)–(14) представлены в табл. 1. Также в табл. 1
ij
при учете симпоказан коэффициент уменьшения количества значений Akl
метрии по отношению к количеству вычисляемых коэффициентов без учета
симметрии [4].
Таблица 1
Результаты расчета необходимого объема
ij
оперативной памяти для хранения коэффициентов Akl
n
Количество
вычисляемых
коэффициентов
с учетом симметрии
9
10
2735937
5130000
Количество Мбайт
необходимого объема
оперативной памяти
для хранения вычисляемых
коэффициентов
с учетом симметрии
41,747
78,278
Коэффициент
уменьшения количества
вычисляемых
коэффициентов
при учете симметрии
1,748
1,754
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ij
Для вычисления необходимых коэффициентов Akl
в суммах рядов
с количеством членов, равным 500, использованы ресурсы многопроцессорных вычислительных комплексов и составлена программа с использованием
программного интерфейса MPI. MPI [5] – удобный стандартный API для использования в прикладных задачах ресурсов многопроцессорных комплексов.
На каждом вычислительном многопроцессорном комплексе используется одна или несколько реализаций (компиляторов) MPI.
ij
и передачи их между
Для упрощения вычислений коэффициентов Akl
процессами [5] память была выделена в виде следующих шести одномерных
массивов:
1) массив коэффициентов G1 и
2) массив коэффициентов G2 и
3) массив коэффициентов G3 и
4) массив коэффициентов
 2G1
x12
;
 2G2
;
 2G3
;
x22
x32
 2G2
;
x1x2
 2G3
;
5) массив коэффициентов
x1x3
 2G3
6) массив коэффициентов
.
x2 x3
Использована схема [6] для распределения вычислений коэффициентов
каждого массива между процессами.
Количество коэффициентов C отдельного массива, которое необходимо вычислить на каждом процессе, вычисляется по формуле
  Ni 
 Ni 
    1, если номер процесса меньше   ;
 p 
 p
C
 Ni 
  Ni 
  p  , если номер процесcа больше или равен  p  ,
 
 
где
Ni
– общее количество коэффициентов в массиве с номером
i  i  1, ..., 6  ;

– остаток от целочисленного деления;

– целая часть де-
ления; p – количество выделенных процессов на задачу.
ij
, реализованная с исПрограмма для вычисления коэффициентов Akl
пользованием MPI-функций, была запущена на суперкомпьютерном комплексе СКИФ МГУ «Чебышев». Основные характеристики комплекса представлены в [6]. Количество выделенных процессоров на задачу – 100.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
На примере работы процесса с номером 0, где производится максимальное количество вычислений, оценим уменьшение времени работы программы для вычисления коэффициентов матрицы при учете симметрии и без
учета времени записи на диск. Исходные данные и оценка для n  9,10 при
количестве процессов равном 100 представлены в табл. 2.
Таблица 2
Количество коэффициентов для процесса с номером 0
и оценка коэффициента уменьшения времени вычисления
коэффициентов при учете симметрии матрицы и разбиения
на несколько массивов при количестве процессов равном 100
n
Количество коэффициентов в соответствии
с распределением, использованным в [6]
Количество коэффициентов с учетом симметрии
и с разбиением на несколько массивов
Оценка коэффициента уменьшения времени работы программы
9
10
47830
90000
19294
36156
2,48
2,49
В табл. 3 показано время выполнения программы, запущенной два раза
при значении n , равном 9 и 10 соответственно. В данной таблице также показан коэффициент уменьшения времени выполнения программы по отношению ко времени выполнения программы из [4], использующей распределение
из [6].
Таблица 3
Время выполнения программы вычисления коэффициентов с учетом времени
на коммуникационный обмен и времени записи на жесткий диск результатов
n
Время выполнения (с)
Время выполнения (мин)
Время выполнения (ч)
Коэффициент уменьшения времени выполнения программы
9
4673
77,88
1,30
2,29
10
8812
146,87
2,44
2,26
Меньший коэффициент уменьшения, представленный в табл. 3, по
сравнению с оценкой (табл. 2), свидетельствует о менее равномерном распределении данных между процессами при n  9 , а также большем времени, затраченном на операции коммуникационного обмена для пересылки данных.
На рис. 1 представлено абсолютное значение третьей компоненты, полученное решением СЛАУ методом сопряженных градиентов [7, 8] при
a  2, b  1, c  2, k0  2,5, n  10 , x3  1,5 (сечение по координате).
Получены результаты по решению объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле, размещенном в
слое при n  9,10 , где n – количество интервалов разбиения всей области по
одной координате. По результатам табл. 3 видно, что при использовании симметрии матрицы и разделении вычислений коэффициентов по типу получен
выигрыш по времени вычисления коэффициентов матрицы в 2,29 и 2,26 раза
при n , равном 9 и 10 соответственно.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 1
4. Субиерархический алгоритм
Задача определения электромагнитного поля внутри прямоугольного
волновода решается для заполненной секции волновода методом коллокации.
Рассмотрим алгоритм расчета электромагнитного поля в прямоугольном волноводе для тела произвольной формы. Будем предполагать, что решение задачи для заполненной секции получено, и в нашем распоряжении находится
матрица, составленная методом коллокации. Для решения задачи дифракции
на теле сложной формы необходимо, чтобы тело целиком вмещалось в используемую нами секцию прямоугольного волновода [9, 10]. Предлагаемый
метод позволяет получить матрицу для новой фигуры, пользуясь матрицей,
составленной для заполненной секции волновода. Скорость построения новой
матрицы будет напрямую зависеть от размера фигуры и размера сетки. На
рис. 2 это рассматривается на примере одной фигуры, описываемой двумя
разными сетками. Слева находится фигура, в центре приведен пример неоптимальной сетки, справа построена оптимальная сетка. С точки зрения скорости счета правая сетка предпочтительнее.
Рис. 2
В построенной фигуре введем новую нумерацию элементарных параллелепипедов. Произведя полный перебор элементарных параллелепипедов,
получаем новую сетку. Эту сетку будем использовать для расчета поля на теле
сложной формы. Далее, решая СЛАУ для матрицы, составленной с использованием новой сетки, находим значения поля внутри фигуры сложной формы.
Приведем результаты расчета электрического тока на фигуре сложной
формы на сетке 9×9×9. Волна падает вдоль оси Oz. Правая часть равна 1.
Конфигурацию фигуры (рис. 3) представим по слоям, перпендикулярным оси
Oz. Форма первых трех слоев представлена в левой части (рис. 3), три центральных слоя представлены в центре и форма последних трех слоев фигуры
представлена в правой части. Значения поля на втором, пятом и седьмом слое
соответственно (слева на право), представлены на рис. 4.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4
Физико-математические науки. Математика
Рис. 3
№ 2 (14), 2010
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таким образом, представлен субиерархический метод для решения задачи дифракции на диэлектрическом теле произвольной формы в волноводе,
реализованный с использованием суперкомпьютерных вычислений.
Список литературы
1. С а м о х и н , A . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин – М. : Радио и Связь, 1998.
2. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2. – С. 2–14.
3. В а с ю н и н , Д . И . Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3. –
С. 68–78.
4. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 4. – С. 55–71.
5. MPI: A Message – Passing Interface Standart. Version 1.0. – University of Tennessee. –
1994. – May, 5.
6. М и р о н о в , Д . А . Применение суперкомпьютерных вычислительных сред для
решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на
диэлектрическом теле / Д. А. Миронов // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2. – С. 14–24.
7. О р те г а , Д ж . Введение в параллельные и векторные методы решения линейных
систем / Дж. Ортега. – М. : Мир, 1991.
8. М и р о н о в , Д . А . Применение суперкомпьютерных вычислительных комплексов для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле / Д. А. Миронов // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. –
С. 55–62.
9. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2009. – № 4. – С. 49–55.
10. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2007. – Т. 6. –
№ 4. – С. 1–6.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
E-mail: _medv@mail.ru
42
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Миронов Денис Алексеевич
аспирант, Пензенский
государственный университет
Mironov Denis Alekseevich
Postgraduate student,
Penza state university
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: smirnovyug@mail.ru
УДК 519.642
Медведик, М. Ю.
Субиерархический подход для решения объемного сингулярного
интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле
в волноводе методом коллокации / М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов,
Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2010. – № 2 (14). – С. 32–43.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.9; 517.958
Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов
ЧИСЛЕННОЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ,
РАСПОЛОЖЕННОМ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ
Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом теле в форме параллелепипеда, расположенном в прямоугольном
волноводе. Получено аналитическое решение уравнений Максвелла для случая
заполненной секции волновода. Представлены результаты численных расчетов
решения интегродифференциального уравнения методом коллокации.
Ключевые слова: электромагнитная задача дифракции, аналитическое решение
задачи дифракции, метод коллокаций.
Abstract. Electromagnetic diffraction problem on a dielectric body in a rectangular
waveguide is considered. In the case of filled waveguide’s section the analytical solution of Maxwell equations is obtained. Numerical results for the solution of integro-differential equation by collocation method are presented.
Keywords: electromagnetic diffraction problem, analytical solution of diffraction
problem, collocation method.
Введение
Актуальной задачей нанотехнологий и наноэлектроники является определение диэлектрических и магнитных параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур. Данную задачу приходится решать с помощью методов математического моделирования, так как она не может быть
решена экспериментально. При этом необходимо выполнять большой объем
вычислений, что требует больших временных затрат даже на самых современных суперкомпьютерах. Известные пакеты прикладных программ (Ansis,
Quikwave и т.д.) не позволяют получить удовлетворительных по точности
результатов.
В настоящей статье предлагается аналитическое решение уравнений
Максвелла для случая заполнения секции волновода. Также приводятся результаты численных расчетов решения интегродифференциального уравнения методом коллокации.
1. Постановка задачи и численный метод
Пусть в декартовой системе координат P   x : 0  x1  a, 0  x2  b,
  x3   – волновод с идеально проводящей поверхностью P . В волноводе расположено объемное тело Q ( Q  P – область), хаpактеpизующееся
постоянной магнитной проницаемостью 0 и положительной 3  3 -матрицей
функцией (тензором) диэлектрической проницаемости ε  x  . Компоненты


ε  x  являются ограниченными функциями в области Q , ε  L  Q  , а также

ε 1  L  Q  .
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Требуется определить электромагнитное поле E, H  L2,loc  P  , возбуждаемое в волноводе сторонним полем с временной зависимостью вида eit
[1–3]. Источник стороннего поля – электрический ток j0  L2,loc  P  . В области P  R3 стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.
Решение уравнений Максвелла

rot H  iεE  j0E , rot E  i0 H
(1)
в совокупности с условиями на бесконечности и краевыми условиями, описанными в [4, 5], сводится к решению интегродифференциального уравнения

E  E0  grad div  k02
  G E  ε0  I  Edy .

(2)
Q

Компоненты диагонального тензора Грина G E имеют вид
G1E

x y
2   e nm 3 3
n
m
n
m

cos x1 sin
x2 cos
y1 sin
y2 ;
ab n0 m 1  nm 1  0 n 
a
b
a
b
GE2 


x y
2   e nm 3 3
n
m
n
m
sin
x1 cos
x2 sin
y1 cos
y2 ;
ab n 1 m 0  nm 1  0m 
a
b
a
b
GE3 

2   e
ab n 1 m 1

(3)
 nm x3  y3
 nm
sin
n
m
n
m
x1 sin
x2 sin
y1 sin
y2 .
a
b
a
b
2
(4)
(5)
2
 n   m 
2
В этих выражениях  nm     
  k0 , при этом ветвь квад a   b 
ратного корня выбирается так, чтобы Im  nm  0 , nm – символ Кронекера.

Предполагая, что тензор диэлектрической проницаемости тела ε  x 
1


 ε  x

 ε  x

 I  , обратим в Q , 
 I   L  Q  , где
удовлетворяет условиям 
 0

 0

I – единичный тензор, и, вводя обозначения
1


 ε  x 
 ε  x

ξ 
 I  , J : 
 IE ,
 0

 0

переходим к следующему уравнению:


AJ  ξJ  x   k02 G E  x, y  J  y  dy  grad div G E  x, y  J  y  dy  E0  x  . (6)

Q

Q
Применим метод коллокации для решения уравнения (6). Представим
его в виде системы трех скалярных уравнений:
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3

 li J i  x   k02  G  x, y  J l  y  dy  xl div x  G  x, y  J  y  dy  E 0l  x  , l  1, 2,3.
i 1
Q
Q
Будем искать компоненты приближенного решения J в виде
J1 
N
 1k f k1  x ,
J2 
k 1
N
 2k fk2  x ,
J3 
k 1
N
 3k fk3  x ,
k 1
где f ki – базисные функции. Построим базисные функции f ki . Будем считать,
что Q – параллелепипед: Q   x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2  . Разобьем тело Q на элементарные параллелепипеды:


 klm  x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  x2  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1 ;
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
n
n
n
где k , l , m  0,  , n  1 .
Будем также считать, что шаг по каждой координате постоянен:
i
h :| xi,k  xi,k 1 | . Наряду с обычной нумерацией нам удобно будет ввести
i
(i=1, 2, 3):
трехиндексную нумерацию базисных функций. Определим f klm
1, x   klm ,
i
f klm

0, x   klm .
Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффициентов
1k ,  2k , 3k
удобно представить в блочной форме:
 A11

 A21
A
 31
A12
A22
A32
A13
A23
A33
B1 

B2  .
B3 
Элементы данной матрицы определяются соотношением
 
Bkj  E0k x j ;
 
 

ij
  kl fil x j   kl k02 G k x j , y fil  y  dy 
Akl
Q

xk
 l
l
 xl G  x j , y  fi  y  dy,
Q
где координаты точек коллокации имеют вид


x j  x j1 , x j 2 , x j 3 ; x j1   j1  1/ 2  h1 , x j 2   j2  1/ 2  h2 , x j 3   j3  1/ 2  h3 ,
k , l  1, 2, 3; i, j  1,  , N .
Далее будет получено аналитическое решение уравнений (1), а также
представлены результаты численных расчетов для метода коллокации.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
2. Аналитическое решение в частном случае для задачи дифракции
Пусть тело Q представляет собой секцию волновода: Q   x : 0  x1  a,
0  x2  b, 0  x3  c (рис 1).
ε0
ε0
ε
x3
c
0
Рис. 1
Будем предполагать, что размеры волновода удовлетворяют условию


 k0  ,
a
b
при котором распространяется только одна волна в волноводе [1].
Рассмотрим поведение поля внутри тела. Предположим, что падающее
поле имеет вид
 x 
E  A sin  1  e i1x3 e 2 .
 a 
Тогда в области I ( x3  (,0) ) полное поле (как сумма падающей и отраженной волн) имеет представление


(7)

(8)
 x 
E  sin  1  Ae i1x3  Bei1x3 e 2 ,
 a 
где 1  k02 
2
,   k2 
2
.
a2
a2
В области II ( x3  (0, c) ) поле имеет вид

 x 
E  sin  1  Ce ix3  Deix3 e 2 .
 a 
В области III ( x3  (c, ) ) поле имеет представление
 x 
E  sin  1  Fe i1x3 e 2 .
 a 
(9)
На границе областей I и II, а также на границе областей II и III должны
выполняться условия сопряжения [7]:
 E2 x3 0   E2 x3 c  0;
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 E2 
 E 
 2
 0,

 x3  x3 0  x3  x3 c
 H1 x3 0   H1 x3 c  0  
где E  E2e2 .
Для коэффициентов A, B, C, D и F получаем уравнения при x3  0 :
 A  B  C  D,

 1  B  A     D  C  ,
откуда находим

1

1
 D   A  B   B  A  ,

2




C  1  A  B  1 B  A  .




2



При x3  c :
 Fe i1c  Ce ic  Dic ,


i  c
ic
 Dic .
 F 1e 1   Ce


Коэффициент A известен, для коэффициентов B, C, D и F получаем
следующие формулы:
B  2iA
 12 
 1  2  sin  c 
  


2
2
 1  ic  1 
 1   e
1    e
 



  
1   
; C   A 1  1   B 1  1   ;
2 
 
 

ic
  
2 A1ei1c
1   
D   A 1  1   B 1  1   ; F  
. (10)
2
 
 
2 
   2





   1  1  e ic   1  1  eic 


 
 





 x 
Покажем, что поле E  sin  1  Ce ix3  Deix3 e 2 с найденными
 a 
выше значениями коэффициентов С и D удовлетворяет уравнению (2).
Имеем

 

 

 G E  E2e2   0  1 dy   0  1  GE E2 dy e2 .
Q
Q
Обозначим

W  GE2 E2 dy .
Q
48
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Тогда
W
a
b
0
0
c


y  x  y
x
1
dy1 dy2 dy3 Ce iy3  Deiy3 sin 2 1  e 10 3 3 sin 1 
ab10
a
a
 

0
x
c
sin 1
x

1


x
y
a 

dy3 Ce iy3  Deiy3  e 10 3 3 sin 1 
210
2 10
a
0



x3
c


  e 10 x3 Ce iy3  Deiy3  e 10 y3 dy3  e 10 x3 Ceiy3  Deiy3  e10 y3 dy3  .


0
x3






Обозначим
x3
  Ce


iy3
 Deiy3  e 10 y3 dy3 ;
0
c
  Ce


iy3
 Deiy3  e 10 y3 dy3 .
x3
Имеем
x1
a e 10 x3  e 10 x3 .
W
2 10
sin
Так как grad


W
 0 , получаем
x2
 grad div k02  We2   grad Wx2  k02We2  k02We2 .
Вычислим  и  :
c



Ce iy3  Deiy3  e 10 y3 dy3 
x3
C
 Ce
c
x3
10 
10 
e
e 10 
e
D
C
i   10
i   10
i   10
i
i
c

x3
  Ce
iy3
i
c
x3
D
e 10  3
;
i   10
i
x

 Deiy3  e 10 y3 dy3 
0
C

 i10  y3  De i10  y3 dy 
3
10  3
10  3
e
e
1
1
D
C
D
.
i   10
i   10
i   10
i   10
i
x
i
x
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Зная, что 10  i 1 , находим

e 10 x3  e 10 x3  Ce ix3  Deix3
 i  221 2 
1 


C
D
 e i1x3 

 
 i    1  i    1  
i  c
i  c

e  1
e  1 
.
ei1x3  C
D

i    1 
i    1  


Так как


E  E 0  Ce ix3  Deix3 sin
x1
x
 Ae i1x3 sin 1 ,
a
a
остается проверить, что
 Ae i1x3 
i  c
  i1x3  e i 1 c
k02  
e  1  


 
e
C
D
1




 i    1 
i    1   
2i 1  0
 




C
D
e i1x3 

 .
 i    1  i    1  
Последнее тождество равносильно двум следующим:
 C
k2  
D 
A  0   1 

 ;
21  0
     1     1  
C
(11)
i  c
i  c
e  1
e  1
.
D
   1 
   1 
(12)
Покажем, что верно (11):
 C
k02  
D 

  1

2 1  0
    1 1   
1    1
k2  
1    1
 0   1  A  1  1 
 B 1  1 

21  0
     1  2 
     1 
  2 

1    1
1    1 
1
2 
 A 1  1 
 B 1  1 
 A.
  k0   1  A 2
     1  2 
     1  

2 
 0
   12

Покажем также, что выполняется (12):
Ce ic Deic

;
  1   1
50

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
  1 
 1   ic
 A 1    B 1    e
 
 

 

  1
  1 
 1   ic
 A 1    B 1    e
 
 

 
;
  1
  1
  1
A ic
A
e
 Be ic
 eic  Beic
,

    1  
    1 
откуда
B  2iA sin( c)
 12 
1  2 
  


2
  
  
e ic  1  1   eic 1  1 
 
 



2
.

 x 
Таким образом, E  sin  1  Ce ix3  Deix3 e 2 является решением
 a 
уравнений Максвелла. Отсюда следует, что формулы (7)–(9) и (10) дают аналитическое решение поставленной задачи.
3. Сравнение численного и аналитического решений
На рис. 2–4 представлено сравнение аналитического и численного решений по слоям для диэлектрического при n  7 . Слева приведено аналитическое решения, справа – численное решение. Размеры волновода и электродинамические параметры: a  2 , b  1 , c  2 ,   1,5 , k0  2,5 .
Рис. 2. Первый слой, x3  0,0 . Максимум модуля разности
поля на слое равен 0,00783
Расчеты показывают хорошее согласие численного решения с аналитическими результатами.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 3. Четвертый слой, x3  1,0 . Максимум модуля разности
поля на слое равен 0,00447
Рис. 4. Седьмой слой, x3  2,0 . Максимум модуля разности
поля на слое равен 0,00196
Список литературы
1. Ба с к а к о в, С . И . Электродинамика и распространение радиоволн / С. И. Баскаков. – М. : Высш. шк., 1992.
2. М е дв е ди к , М . Ю . Применение ГРИД-технологий для решения объемного
сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2008. – № 2. – С. 2–14.
3. С м и р н о в , Ю . Г . Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного
объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной
диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
4.
5.
6.
7.
Физико-математические науки. Математика
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 3. – С. 2–10.
С м и р н о в , Ю . Г . О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 1. – С. 11–24.
В а с ю н и н , Д . И . Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3. –
С. 68–78.
С м и р н о в , Ю . Г . О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 1. – С. 11–24.
В а й н ш т е й н , Л. А . Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. – М. : Радио
и связь, 1988.
Гурина Елена Евгеньевна
аспирант, Пензенский государственный
университет
Gurina Elena Evgenyevna
Postgraduate student,
Penza state university
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: _medv@mail.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: smirnovyug@mail.ru
УДК 517.9; 517.958
Гурина, Е. Е.
Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном
в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2010. – № 2 (14). – С. 44–53.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.958; 517.927.4
Д. В. Валовик
ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ
С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ (II. ТМ-ВОЛНЫ)1
Аннотация. Рассматривается краевая задача для системы уравнений Максвелла, описывающая распространение электромагнитных ТМ-волн в нелинейном
диэлектрическом слое с произвольной нелинейностью. Проблема приводит
к нелинейной краевой задаче на собственные значения для системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи (постоянных
распространения).
Ключевые слова: уравнения Максвелла, задача дифракции, нелинейная краевая
задача на собственные значения.
Abstract. The electromagnetic problem of TМ-waves propagation in a layer with arbitrary nonlinearity is considered. It is shown that the boundary value problem for
Maxwell equations is reduced to a nonlinear boundary eigenvalue problem for a system of ordinary nonlinear differential equation of the 2nd order. Dispersion equation
for the eigenvalues of the problem (propagation’s constants) is obtained.
Keywords: Maxwell equation, diffraction problem, nonlinear boundary eigenvalue
problem.
Введение
Задачи распространения поляризованных электромагнитных волн в нелинейных волноведущих структурах приводят к краевым задачам для системы уравнений Максвелла [1–12]. Рассматривать такие задачи естественно как
нелинейные краевые задачи на собственные значения для обыкновенных
дифференциальных уравнений. Поскольку основной интерес в таких задачах
представляет нахождение тех значений постоянных распространения (по сути
собственных чисел), при которых волна в рассматриваемой структуре распространяется. Такие задачи достаточно сложны математически, т.к. кроме
того, что уравнения являются нелинейными относительно входящих в них
функций, оказывается, что спектральный параметр входит нелинейно как
в сами уравнения, так и в граничные условия.
Относительно простой оказывается задача лишь для ТЕ-волн, распро2

страняющихся в слое с керровской    const  a E y  или обобщенной кер


ровской   const  a E x
2
 b Ez
2
 нелинейностью, ее решение было полу-
чено в работе [2]. Однако использованная там техника не может быть легко
распространена (если вообще может) на более общие нелинейности. Уже
в случае ТМ-волн и керровской нелинейности (а это простейший случай для
ТМ-волн) задача значительно усложняется. По этому поводу опубликовано
1
Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
довольно много работ (см. [1, 3–7] и библиографию там). Эта задача была
решена в работах [5–7]. Aposteriori стало ясно, почему сравнительно легко
удалось решить эту задачу для ТЕ-волн и почему такие трудности вызывала
задача для ТМ-волн. В случае ТЕ-волн решение дифференциального уравнения выражалось через эллиптические функции, а решение для ТМ-волн выражается через гиперэллиптические. В первом случае авторы [2] аналитически проинтегрировали уравнение, а уже потом искали дисперсионное уравнение. Во втором случае найти аналитическую формулу (с которой можно работать) для решений получающейся системы оказалось трудно (она так и не
была построена), поскольку периоды искомой функции были функциями параметров задачи, и вычислить их не представлялось возможным. А без значений периодов решение было бы лишь формальным выражением, которое
вряд ли возможно будет проанализировать и тем более использовать при расчетах. Кроме того, решение уравнений, это еще не решение задачи на собственные значения. Если же рассматривать эту задачу как задачу на собственные значения, то можно сосредоточиться на поиске дисперсионного уравнения для собственных значений и не пытаться решать уравнения. Тем более
что после того, как найдены собственные значения, сами уравнения легко
решаются численно [8, 9].
Задача распространения ТЕ-волн в слое с произвольной нелинейностью
решена в работе [12].
В работе [3] получено дисперсионное уравнение для случая ТМ-волн,
распространяющихся в нелинейном полупространстве, кроме того, эта работа
содержит некоторые полезные обсуждения. Работа [4] посвящена задачам
распространения ТЕ- и ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью, однако никаких конкретных результатов относительно дисперсионного уравнения в ней получено не было.
Также большое внимание привлекают задачи распространения ТЕ- и
ТМ-волн в нелинейных цилиндрических волноводах. Эти задачи гораздо более сложные по сравнению с только что рассмотренными. И, в первую очередь (с точки зрения автора), это связано с тем, что в случае волновода получающиеся обыкновенные дифференциальные уравнения не являются автономными (в отличие от случая слоя). Поэтому не удается применить метод,
рассматривающийся в этой работе. Дело в том, что указанный метод позволяет с общей точки зрения рассматривать большинство задач по распространению ТЕ- и ТМ-волн в нелинейном слое. Но, к сожалению, неавтономность
уравнений является серьезной помехой для применения метода в неизменном
виде к случаю цилиндрических волноводов. Тем не менее методами теории
интегральных уравнений получены дисперсионные уравнения (для достаточно малых значений коэффициента нелинейности) для ТЕ- и ТМ-волн в цилиндрических волноводах с керровской нелинейностью (см., работы [10, 11],
постановка задачи есть также в [1]). В настоящее время проблема нахождения
дисперсионных уравнений для собственных значений для ТЕ- и ТМ-волн
в цилиндрическом волноводе с произвольной нелинейностью является открытой. И даже в случае керровской нелинейности хотелось бы получить
дисперсионные уравнения для более широкого диапазона значений коэффициента нелинейности.
Метод, использованный в этой работе, был предложен Ю. Г. Смирновым и автором, см., например, [5–9].
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный,
анизотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа
Керра, расположенный между двумя полупространствами x  0 и x  h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной
немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую
проницаемость 1  0 и 3  0 соответственно, где 0 – диэлектрическая
проницаемость вакуума. Считаем, что всюду   0 , где 0 – магнитная проницаемость вакуума.
Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени
в виде [1]
E  x, y, z , t   E  x, y , z  cos t  E  x, y, z  sin t ;
H  x, y, z , t   H   x, y, z  cos t  H   x, y, z  sin t ,
где  – круговая частота; E, E , E , H, H  , H  – вещественные искомые
функции. Образуем комплексные амплитуды полей E  x, y , z  и H  x, y, z  :
E  E  iE , H  H   iH  .
Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором
  xx
 
 0

 0
где

2
 xx   f  0 f E x , E z
2
0
 yy
0
,
0 

0 ,

 zz 

2
 zz   g  0 g E x , E z
2
.
Здесь
 f  max  1 , 3  ,  g  max  1 , 3  – постоянные составляющие диэлектриче
ской проницаемости  .
Функции f и g таковы, что выполняется соотношение
f

g
   
 Ez
2
 Ex
2
.

Такое условие на компоненты тензора  указано в [3], где авторы утверждают, что многие типы нелинейностей удовлетворяют указанному условию. Таким образом, несмотря на введенное условие, все равно рассматриваются достаточно общие нелинейности. Приведенное условие можно обобщить, если использовать интегрирующий множитель [3]. Кроме того, функции f и g должны будут удовлетворять еще некоторым условиям, они будут указаны позднее.
Требуется отыскать собственные значения  задачи, отвечающие поверхностным волнам, распространяющимся вдоль границ слоя 0  x  h , т.е.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
собственным волнам структуры. Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла

(1)
rot H  iE, rot E  iH,
где E и H – комплексные амплитуды, удовлетворяющие условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела
сред x  0 и x  h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное
поле экспоненциально затухает при x   в областях x  0 и x  h . Будем
искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны E  E x , 0, E z  , H  0, H y , 0 .


Предполагая, что компоненты поля гармонически зависят от z,
H y  H y  x  eiz , E x  E x  x  eiz , E z  E z  x  eiz , из (1) получаем систему
уравнений [1, 5–9]:
  iE x   E  x  2 E x ,
  x  
z 
zz z  

2
2
   iE x  x    E z  x     xx  iE x  x   ,
(2)
здесь  – неизвестный спектральный параметр – постоянная распространения
электромагнитной волны. Введем обозначения k 2  20 с   0 и выполd
d

 k ,   ,
ним нормировку в соответствии с формулами x  kx ,
k
dx
dx



f
g
 i  i ( i  1, 2 ),  f 
,  g 
. Переобозначаем E z  Z  x  , iE x  X  x 
0
0
0
и, опуская значок тильды, систему (2) приведем к виду
 d 2Z
dX
  zz Z ,
 2  
 dx
dx

  dZ  X  1  X .
xx
 dx

(3)
Будем искать те значения спектрального параметра  , для которых существуют действительные решения X  x  , Z  x  системы (3),  полагаем
действительным (так что E x
2

и Ez
2
не зависят от z) и удовлетворяющим

условию max  1 , 3     min  f ,  g .
2
Также будем полагать, что функции X  x  , Z  x  дифференцируемы
так, что
X  x   C  ; 0  C  0; h   C  h;    C1  ; 0  C1  0; h   C1  h;   ;
Z  x   C  ;     C1  ; 0  C1  0; h   C1  h;   
C 2  ; 0   C 2  0; h   C 2  h;    .
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Подробный вывод уравнений (3) из уравнений (1) представлен, например, в [6, 8, 12].
2. Решение системы дифференциальных уравнений

В полупространствах x  0 и x  h диэлектрическая проницаемость 
в уравнениях (1) имеет постоянное скалярное значение 1 и 3 соответственно. Учтем это при выводе уравнений (3) для этих полупространств из системы (1). Мы получаем систему линейных уравнений в каждом случае, которые
легко решаются. Подробности можно посмотреть в [12].
Для   1 в полупространстве x  0 получаем общее решение:



2
 X  x   A exp  x   1  ,


 2  1

A exp  x  2  1  ,
Z  x  




(4)
где принято во внимание условие на бесконечности.
Для   3 в полупространстве x  h имеем



2
 X  x   B exp    x  h    3  ,


 2  3



Z
x
B exp    x  h   2  3  ,







(5)
в соответствии с условием на бесконечности.
В (4) константа A определяется условиями сопряжения, а константа B
в (5) считается заданной.
Внутри слоя 0  x  h система (3) принимает вид
 d 2Z
dX
 g  g Z ,
 2  
 dx
dx

 dZ  X  1   f X .
f
 dx




(6)

Дифференцируем второе уравнение по x , получаем
 Z   X  


1
1
 2 XX fu  2ZZ fv  X   f  f X  ,


где fu  f X 2 , fv  f Z 2 (далее эти производные понимаются в этом смысле,
пока явно не будет оговорено иное), используя последнее уравнение, систему
(6) можно переписать в виде




dX

2
2
2
2
  2 X fu   f  f dx    g  g Z  2  f    f X Zf v ,

 dZ  1  2   f  f X .
 dx 

58



(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Из (7) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

2
 2 X fu   f  f





2
2
2
dX   g  g Z  2  f    f X Zf v

.
1 2
dZ
 f  f X



(8)
Перепишем его в симметричной форме:
MdX  NdZ  0 ,
где

 2 X 2 fu   f  f  X ,
N   2   2   f  f  X 2 f v   2   g  g   Z .
M  2   f  f
M N
. Таким об
Z X
разом, уравнение (8) представимо как уравнение в полных дифференциалах.
U
Найдем его решение – U  X , Z  , поскольку
 M , то получаем
x
Легко проверить, что выполняется соотношение
 2 X 2 fu   f  f  XdX    Z  
  X 2   2   f  f  fu 2 XdX     2   f  f    f  f  XdX    Z  ,
U

2
f  f
интегрируя по частям первое слагаемое, получаем

  

2
2
1
U   X 2  2   f  f  X  2   f  f dX 
2


2
f  f

   f  f  XdX    Z  
  

2
2
1
  X 2  2   f  f  X  2   f  f dX 
2


2
f  f

  2   f  f   2  XdX    Z  

2
1
  X 2 2   f  f  2
2
Теперь, учитывая, что

2

  f  f XdX    Z  .
U
 N , получаем
Z


U
 2 X 2 Z  2   f  f f v  2  2 XZf vdX    Z  
Z





 2  2   f  f X 2 f v   2  g  g Z ,
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
отсюда


  Z   2  2 XZf vdX   2  g  g Z .

Далее, интегрируя по Z , получаем
  Z   2 2
2
 XZfvdX dZ      g  g  ZdZ .
В первом интеграле меняем порядок интегрирования (теорема Фубини):
2
   2ZfvdZ  dX      g  g  ZdZ 
  2  XfdX   2    g  g  ZdZ ,
 Z   2 X
значит,


2
1
U   X 2 2   f  f  2
2

 2 XfdX   2

2

  f  f XdX 
   g  g  ZdZ ,
приводя подобные слагаемые и интегрируя то, что можно проинтегрировать
явно, имеем
2 2
1
U   X 2 2   f  f 
2
2


 
2



  f X 2   g Z 2   2 ZgdZ .
Делая замену Z 2  s , получаем окончательно

U  X 2  f  2  f

2



 2  f  2 X 2  g Z 2  2
Z2
 gX
2

, s ds  C .
Z0
Функция U  X , Z  является первым интегралом системы (7), мы будем
использовать первый интеграл в следующей форме:

X 2  f  2  f

2
где G X , Z
2

2





  2  f   2 X 2   g Z 2   2G X 2 , Z 2  C ,
(9)
Z2
   g  X 2 , s  ds .
Z0
Введем новые переменные:
  x    f  X 2  x  ,  x  
X  x
Z  x
 x ,
тогда
X 2   f , Z2 
60
2
2

    f  , XZ       f  .
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Найдем вид системы (7) и первого интеграла (9) в новых переменных.
Последовательно получаем
   


 



2
2 
 2  2  g  g  2  f   2  f X 2 f v XZ ,
  2 X fu   f  f X


 Z 2   2  2    f XZ ;
f


 






 
 



2
2
  2    f fu   f  f   2     f   g  g  2  f    f f v ,

 2
 2 
 



   f 2   f  f ,

f  
 2










из первого уравнения получаем
 





 2  g  g  2    f  f   2  f f v
2
.
 
   f  , где  

2    f fu   f  f


Преобразуем второе уравнение:

 3  3 f    2
2

2    f
   2 

3

 2   f  f     f  .
Теперь, используя  , получаем


 1
 1
3  3 f       2   f  f .

2  
 


Окончательно:
  2
       f ,


2
  1     2  f  3  2 ,
f
f

 



здесь и далее fu 
 
f  u , v 

2
  f , 2  f


u





, fv 
(11)

f  u , v 

2
  f , 2  f


v


 
.

Первый интеграл примет вид


2
G   f , 2    f


2

2 
 f  2  f  2   f  2  g
 

2

f
 








 
  C . (12)
Уравнение (12) является в общем случае трансцендентным уравнением
относительно  и  .
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Мы будем предполагать функции f и g таковыми, что правая часть
второго уравнения системы (11) положительна. На первый взгляд это условие
может показаться достаточно жестким, однако это не так. Например, если f
и g – многочлены от двух переменных с положительными коэффициентами,
то этого достаточно для выполнения нашего требования (о положительноf
g
сти). Нужно учитывать, что условие
накладывает некото
2
2
 Ez
 Ex
   
рые ограничения на вид многочленов f и g . Как известно, вектор поляризации в материальных уравнениях Максвелла раскладывается в ряд по степеням компонент электрического поля, значит, многочлены в качестве f и g
являются достаточно общим типом нелинейности.
3. Условия сопряжения и дисперсионное уравнение
Из непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем
h
0
Z  h   E z  h  0   E z  ; Z  0   E z  0  0   E z  ;
h
0
X  h   Z   h   iH y  h  0   H y  ; X  0   Z   0   iH y  0   H y  , (13)
h
где константа E z  считается известной, и тогда
h
h
H y    E z 
3
2
  3
0
0
; H y   E z 
1
2
  1
(14)
.
В соответствии с (6) в слое
 Z   x   X  x  


1
 f  f X  x .

(15)
Тогда для x  h получаем из (15)
 
2 


h
   f  f  X 2  h  , E z    X  h  ,




 2  3 
3
h
 E z 
(16)
найденное из уравнения X  h  будем обозначать X  h   X h , причем, если
h
E z   0 (а мы можем так считать), то, как легко видеть из (16), X h  0 .
Используя первый интеграл (9), найдем значение константы C  Ch :




 
 
 
2
2



h
h
  2   f   2 X h2  E z   g   G  X h2 , E z   , (17)




2

h
где f , разумеется, обозначает f  X h2 , E z   . Заметим, кстати, что при


Ch  X h2  f   2  f
2
h
сделанных предположениях относительно функций f , g и знака E z  имеем Ch  0 .
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Для того чтобы найти значения E z  и X  0   X 0 , необходимо решить
систему двух уравнений, полученную использованием формулы (15) в точке
x  0 и значения первого интеграла в этой же точке:
0
 
2 
  0  


0
1
   f  f  X 02 , E z    X 0 ,
 Ez





 2  1 
(18)

2
2
2
 2



0   G X 2 , E 0
2
2
2
2
 0
  Ch .
 X 0  f    f     f   X 0  Ez
g
z









 
 
Из второго уравнения системы (18) видно, что X 0 и E z  могут входить в это уравнение с произвольными знаками. В то же время из первого
0
уравнения видно, что X 0 и E z  должны быть либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными (этот факт окажется очень
важным в дальнейшем).
Теперь мы можем найти знаки выражений   0  и   h  :
0
 0 
X0
0
E 
z
  f  X 02   0 и  h   EX hh   f  X 02   0 .
(19)
z
Как нетрудно видеть, правая часть второго уравнения системы (11)
строго положительна, значит, функция   x  монотонно возрастает на интер-
вале  0, h  . Учитывая знаки выражений (19), получаем, что функция   x  не
может быть дифференцируемой на всем интервале  0; h  , а необходимо име-


ет точку разрыва. Пусть это будет x   0; h  . Причем  x*  0   и


 x*  0   .
Обозначим
 1 2

w  w    
 f   2  f  3  2 f  
  


 

1
,
где      выражается из уравнения (12).
Полагаем, что функция   x  на промежутке  0, h  имеет несколько то-
чек x0 , x1 , ..., xN , в которых она обращается в бесконечность. Вывод дисперсионного уравнения здесь проходит дословно так же, как в работе [12]. Как и
в [12], число точек x0 , x1 , ..., xN конечно для любого h . Повторяя вывод из
[12], получаем
 h 


 0 
wd    N  1 T  h ,
(20)
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где N  0 является целым числом;   0  ,   h  определяются по формулам

(19) и T 
 wd  .

Формула (20) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого
h. Надо отметить, что когда N  0 , то возникает несколько уравнений при
различных значениях N . Необходимо решать относительно  каждое из получающихся уравнений. Все полученные  будут составлять множество постоянных распространения, на которых и только на которых будут распространяться волны в слое при заданном h .
Несколько замечаний относительно системы (11) и первого интеграла
(12). В случае, если f и g – многочлены, то (12) представляет собой алгебраическую функцию. В то же время правые части обоих уравнений в (11) являются функциями рациональными относительно  и  . Это значит, что
первый интеграл совместно с любым из уравнений (11) можно рассматривать
как определяющие абелеву функцию. В этой задаче абелевы функции, возникающие из такого рассмотрения, более сложные, чем в аналогичной задаче
для ТЕ-волн. Это следует из того, что первый интеграл может быть многочленом любой степени как по X , так и по Z . Иная ситуация в случае аналогичной задачи для ТЕ-волн. Если мы рассматриваем многочлен в качестве
нелинейности, то там всегда возникают гиперэллиптические функции, но род
гиперэллиптической алгебраической кривой возрастает вместе со степенью
многочлена. Здесь гиперэллиптические функции возникают только в случае
керровской нелинейности, и задача их нахождения тесно связана с проблемой
обращения Якоби. Вопросы, связанные с алгебраическими, абелевыми, тэтафункциями, проблемой обращения Якоби и явным построением абелевых
функций изложены, например, в [13–15].
Автор благодарит Ю. Г. Смирнова за полезные обсуждения.
Список литературы
1. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. – 1972. – V. 35. – № 1. – P. 44–47.
2. S c h u r m a n n , H . W . Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless
nonlinear dielectric film / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov //
Physica D. – 2001. – № 158 (2001). – P. 197–215.
3. J o s e p h , R . I . Exact field decomposition for TM waves in nonlinear media /
R. I. Joseph, D. N. Christodoulides // Optics Letters. – 1987. – V. 12. – № 10. – P. 826–
828.
4. L e u n g , K . M . Scattering of transverse-magnetic waves with a nonlinear film: Formal field solutions in quadratures / K. M. Leung, R. L. Lin // Physical Review B. –
1991. – V. 44. – № 10. – P. 5007–5012.
5. В а л о в и к , Д . В. Нелинейная задача на собственные значения для ТМполяризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик,
Ю. Г. Смирнов // Известия вузов. Математика. – 2008. – № 10. – С. 70–74.
6. В а л о в и к , Д . В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных
волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра /
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2008. – T. 48. – № 12. – С. 2186–2194.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
7. В а л о в и к , Д . В. О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн /
Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 2 – С. 86–94.
8. В а л о в и к , Д . В. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных
электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2008. – T. 53. – № 8. – С. 934–940.
9. В а л о в и к , Д . В. Расчет постоянных распространения и полей для поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2009. – T. 54. – № 4. –
С. 411–417.
10. С м и р н о в , Ю . Г . Распространение электромагнитных волн в цилиндрических
волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. –
№ 10. – С. 1850–1860.
11. М е дв е ди к , М . Ю . Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 1 – С. 2–13.
12. В а л о в и к , Д . В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с
произвольной нелинейностью – I. ТЕ-волны / Д. В. Валовик // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 1. – С. 18–27.
13. М а р к у ш е в и ч , А . И . Введение в классическую теорию абелевых функций /
А. И. Маркушевич. – М. : Наука, 1979.
14. Б е й к е р , Г . Ф. Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэтафункций / Г. Ф. Бейкер. – М. : МЦНМО, 2008.
15. Р и м а н , Б. Сочинения / Б. Риман. – М. : ГИТТЛ, 1948.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Valovik Dmitry Viktorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: dvalovik@mail.ru
УДК 517.958
Валовик, Д. В.
Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (II. ТМ-волны) / Д. В. Валовик // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 2 (14). – С. 54–65.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 531; 531.3; 531.5; 517.9; 519.6; 519.8
Ю. Г. Игнатьев, Х. Х. Абдулла
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОБЩЕННО-МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE
Аннотация. Описаны алгоритмы и комплекс программ для математического
моделирования в системах компьютерной математики нелинейных обобщенно-механических систем. Встроенные в пакет программные процедуры позволяют получать численные решения в форме сплайнов, B-сплайнов и кусочнозаданных функций. Описаны разработанные программные процедуры операций над сплайнами, позволяющие проводить аналитические вычисления с конвертированными численными решениями как с обычными функциями.
Ключевые слова: обыкновенное дифференциальное уравнение, численные методы, нелинейные обобщенно-механические системы.
Abstract. The algorithms and program system for mathematic modeling of nonlinear
generic mechanics systems in the computers mathematic are present. The builtinsystem programming procedures it makes possible to automatize the process of
input equations and arrive at the numeric solutions and output it in functional form.
It is provides switching of the numerical solving methods of the nonlinear system
differential equations in in the specified point.
Keywords: ordinary differential equation, numerical methods, nonlinear generic mechanics system.
Введение
Объектом исследования настоящей статьи является математическое
моделирование нелинейных обобщенно-механических систем (НОМС) в среде компьютерной математики (СКМ) Maple. Такие системы в наиболее общем случае описываются системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), разрешенных относительно старших производных
функций yi (t ) , вида
( ni )
yi
( ni 1)
 Fi ( y1 ,..., y N , y '1 ,..., y ' N , y ''1 ,..., y '' N ,..., y1
,t)
(i  1, N ),
(1)
где y ( n)  d n f / dt n – обозначение n-й производной функции f по независимой переменной t (времени); Fi – непрерывно-дифференцируемые функции
своих переменных.
Будем в дальнейшем полагать выполненными начальные условия для
системы (1):
yi( k ) (t )
t t0
 Cik (k  1, ni  1; i  1, N ),
(2)
соответствующие стандартной задаче Коши, где Cik – начальные значения
производных k-го порядка функций yi (t ) .
Целью исследования является разработка алгоритмов и пакетов (комплекса) программ в СКМ Maple для компьютерного исследования нелиней-
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
ных обобщенно-механических систем и построения многопараметрических
программных процедур визуализации математических моделей этих систем.
1. Блок-схема комплекса программ
Для обеспечения гибкой работы с численными решениями были созданы специальные внутренние программные процедуры, позволяющие проводить стандартные операции анализа функции одной переменной со сплайнами, а также конвертировать их в кусочно-заданные функции. В результате
был получен программный аппарат аналитического (приближенного) исследования НОМС в СКМ Maple. Важным достоинством разработанного комплекса программ является его независимость от версии Maple, начиная с версии 1997 г. Maple 5.5 и заканчивая версией 2009 г. Maple 14. Представленный
комплекс программ состоит из двух независимых пакетов программ. Пакет
программ DifEq содержит программы распознавания введенных: системы
дифференциальных уравнений и начальных условий (a), программы автоматического преобразования введенных данных в задачу Коши для нормальной
системы относительно унифицированных переменных (b), программы численного решения задачи Коши на заданном интервале с возможностью контроля и переключения метода численного интегрирования при заданном значении независимой переменной (с).
Пакет программ Splines содержит программы генерации равномерных
кубических сплайнов и B-сплайнов по заданной функции на заданном интервале (d, f), программы конвертирования сплайнов и B-сплайнов в кусочнонепрерывные функции и обратные операции (e, g), программы операций над
сплайнами (h). Операции указанных пакетов интегрируются в программе
конвертирования численных решений в кусочно-заданные функции (i). Ниже
описаны основные алгоритмы разработанного комплекса программ и продемонстрировано на примерах исполнение программных процедур.
2. Пакет программ преобразования системы уравнений
и решения задачи Коши (DifEq)
2.1. Распознавание информации об ОДУ (блок a)
Рассмотрим ОДУ n-го порядка, разрешенного относительно старшей
производной функции y(x):
y ( n)  F ( x, y , y ', ..., y ( n 1) ) .
(3)
Для задания n-й производной функции y(x) по переменной x в СКМ
Maple существуют две альтернативные процедуры: diff(y(x),x$n) и
(D@@n)(y)(x). Вторая из этих процедур предусматривает возможность вычисления производной в заданной точке, что весьма удобно для задания начальных условий. Создадим программную процедуру DifEq[DiffOp], позволяющую извлечь полную информацию о старшей производной в правой части уравнения (4)1:
[> DifEq[DiffOp]:=proc(X) local var,s,i,ss,ff,tt:
1
Идею этого алгоритма подсказал А. В. Матросов, которому Ю. Г. Игнатьев выражает признательность.
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
if op(0,X)=diff then: var:=op(X)[2];s:=op(X)[1];
for i from 1 do
if(nops(s)=1) then
ff:=(op(0,s)); tt:=(op(1,s)); break:
else s:=op(s)[1]; end if; end do:
[diff,i,ff,tt]:
elif op(1,op(0,op(0,X)))=D then
[D,op(2,op(0,op(0,X))),
op(-1,op(0,X)),op(-1,X)]:
elif op(0,op(0,X))=D then
[D,1,op(-1,op(1,op(0,X))),op(-1,X)]:
else ff:= op(0,X):tt:=op(-1,X): [0,ff,tt]:
end if:end proc:
При действии на производную данная программная процедура создает
упорядоченный список – тип оператора производной, порядок производной,
имя неизвестной функции и имя независимой переменной. Это позволяет перейти в дальнейшем от обозначений пользователя к некоторым унифицированным внутренним именам зависимых и независимых переменных, что позволяет автоматизировать процессы работы с уравнениями.
2.2. Приведение задачи Коши для системы ОДУ
произвольного порядка к задаче Коши для нормальной системы ОДУ
с унифицированными именами переменных (блок b)
Блок b включает три программные процедуры, осуществляющие
поэтапное конвертирование системы ОДУ (1) с начальными условиями (2)
к задаче Коши для нормальной системы ОДУ с унифицированными именами
переменных. Знание информации о старшей производной уравнения (4) позволяет конвертировать это уравнение к нормальной системе ОДУ с унифицированными обозначениями, что обеспечивает автоматизацию манипуляций
с этими уравнениями. Договоримся о следующем порядке присвоения унифицированных имен зависимых переменных. Для этого рассмотрим упорядоченный список DifEq[MatAlf] из восьми имен: [X,Y,Z,U,V,W,Phi,Theta], который, конечно, можно продолжить, но для этого нет никаких причин практического характера. Обозначим переменную, введенную пользователем, посредством X, ее первую производную – Y, вторую производную – Z и т.д., а
независимую переменную посредством t. Полученная система и будет являться искомой нормальной системой ОДУ с унифицированными именами
переменных:
n 1
2
dX i i
dX i1
2 dX i
3
 Xi ;
 X i ;...;
 Fi (i  1, N ),
dt
dt
dt
(4)
n
где F  F (t , X11 ,..., X NN ) (для краткости положено X k  DifEq[MatAlf]k 
 X 1  X , X 2  Y ,... ), и системой начальных условий для этих уравнений,
соответствующих начальным условиям (2):
X k (t0 )  Cik (k  1, ni  1; i  1, N ),
i
68
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
2.2.1. Приведение ОДУ произвольного порядка к нормальной
системе ОДУ с унифицированными именами переменных
Первый из указанных алгоритмов – алгоритм приведения ОДУ произвольного порядка к нормальной системе ОДУ, реализуется программной
процедурой DifEq[Oden_ConvNorm]. Процедура DifEq[Oden_ConvNorm] использует две промежуточные процедуры: DifEq[DiffOp] и DifEq[MatAlf]. Рассмотрим исполнение этой процедуры на примере уравнения в обозначениях
пользователя:

S IV ()  S III ()

2
S 3 ()  S '()  sin  .
(6)
Результат применения нашей процедуры к уравнению (7) получается
следующим:
[>DifEq[Oden_ConvNorm](Eq1,2);
[4, S , , D],[ X 2 , Y2 , Z 2 ,U 2 ],
[ S ()  X 2 (t ), D( S )()  Y2 (t ),
( D (2) )( S )()  Z 2 (t ),( D (3) )( S )()  U 2 (t ),   t ],
d
d
d
 dt X 2 (t )  Y2 (t ), dt Y2 (t )  Z 2 (t ), dt Z 2 (t )  U 2 (t ),

d

U 2 (t )  U 2 (t ) 2 X 2 (t )3  Y2 (t )  sin(t )   .
dt

Он состоит из упорядоченного списка четырех упорядоченных списков: первый содержит: [порядок уравнения, искомую функцию, независимую переменную, тип дифференциального оператора], введенные пользователем. Второй список содержит упорядоченную систему новых функций.
Третий список содержит правила замены переменных в ОДУ, четвертый список содержит упорядоченную нормальную систему ОДУ. Как видно, процедура DifEq[Oden_ConvNorm] содержит два обязательных параметра, первый –
дифференциальное уравнение, а второй k – любое имя или число, необходимое для пометки уравнения и входящих в него переменных. Соответствующая метка помещается как нижний индекс у соответствующих величин.
В рассмотренном примере k = 2. В частности, если мы хотим отказаться от индексирования функций, достаточно вместо индекса ввести `` – два апострофа.
2.2.2. Приведение системы ОДУ произвольного порядка к нормальной
системе ОДУ с унифицированными именами переменных
Аналогично вводится и однопараметрическая процедура приведения
системы ОДУ (1) к нормальной системе ОДУ DifEq[SysOden_ConvNorm].
Результат применения этой процедуры, который для краткости мы не приводим, представляется в виде трех упорядоченных списков: в первом содержится один элемент S – число уравнений нормальной системы (число степеней
свободы НОМС); во втором – преобразования пользовательских функций
к унифицированным функциям нормальной системы; третий список есть упорядоченная нормальная система обыкновенных дифференциальных уравне-
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ний, причем первые S  N уравнений представляют собой результат стандартной замены переменных вида y   z .
2.2.3. Приведение задачи Коши (1), (2) к задаче Коши для нормальной
системы ОДУ с унифицированными именами переменных
На основе программ распознавания системы ОДУ (блок a) и программ
приведения ОДУ к нормальному виду строится двухпараметрическая программная процедура DifEq[SysCauchy_ConvNorm] (System ODE, Inits Conditions) приведения системы ОДУ произвольного порядка (1) с начальными условиями (2) к задаче Коши для нормальной системы ОДУ относительно унифицированных переменных X ik (t ) (5) с начальными условиями (6), т.е. к задаче Коши для нормальной системы ОДУ. Результат применения процедуры
выводит упорядоченный список из шести упорядоченных списков. В первом
содержатся два числа: S – число уравнений нормальной системы,
M  max(n1 , ..., nN ) – максимальный порядок уравнений в исходной системе
уравнений; во втором – упорядоченные списки новых переменных (число
этих списков равно M), выбранных по следующему принципу: в первом списке содержатся новые переменные X[i], полученные из независимых функций
пользователя, во втором – первые производные от этих переменных Y[i], если
вторые производные от этих переменных содержатся в системе ОДУ, и т.д. до
( M  1) -го списка. Таким образом, количество внутренних списков независимых функций совпадает с максимальным порядком уравнений исходной системы M. Третий список содержит преобразования пользовательских функций
к унифицированным функциям нормальной системы, четвертый список есть
упорядоченная нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений, причем первые S  N уравнений представляют собой результат стандартной замены переменных вида y   z ; в пятом содержатся начальные условия для нормальной системы ОДУ в форме (6), в шестом – один элемент -–
начальное значение независимой переменной. Созданная процедура удобна
для извлечения различной информации об исходной системе дифференциальных уравнений и начальных условий.
2.3. Программные процедуры численного решения
задачи Коши для системы (1) (блок c)
Блок c содержит две программные процедуры численного решения системы ОДУ (1) с начальными условиями (2) – трехпараметрическую программную процедуру DifEq[NumDsolve] (System ODE, Inits Conditions,
Method) и пятипараметрическую процедуру DifEq[ReNumDsolve] (System
ODE, Inits Conditions, Method1,x1,Method2). Первая команда создает процедуру решения системы ОДУ с помощью метода Method, встроенного в пакет
Maple; значение этого параметра 45 соответствует методу Рунге-Кутта 4–5
порядков, 78 – методу Рунге-Кутта 7–8 порядков, rosenbrock – методу Розенброка, stiff – методу stiff интегрирования жестких уравнений, classic – классическому методу (по умолчанию методом Эйлера), taylor – методом разложения в ряды Тейлора (см., например, [1, 2]). При этом вывод решений осуществляется в виде упорядоченного списка с вложенными в него M упорядоченными списками. При этом первый упорядоченный список содержит численные значения N искомых функций: [X[1](t), ..., X[N](t)], порядок записи
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
значений функций в списке совпадает с порядком записи дифференциальных
уравнений системы. Второй упорядоченный список содержит значения первых производных тех функций, производные которых не ниже второго порядка содержатся в системе ОДУ. Порядок записи значений первых производных функций в списке совпадает с порядком записи дифференциальных
уравнений системы, при этом пропускаются значения производных тех
функций, производные выше первого порядка которых не содержатся в системе ОДУ. Третий упорядоченный список содержит значения первых производных тех функций, производные которых не ниже третьего порядка содержатся в системе ОДУ. Порядок записи значений вторых производных функций
в списке совпадает с порядком записи дифференциальных уравнений системы,
при этом пропускаются значения вторых производных тех функций, производные выше второго порядка которых не содержатся в системе ОДУ, и т.д.
Для демонстрации формата ввода системы и вывода решений рассмотрим пример интегрирования существенно нелинейной системы ОДУ с максимальным третьим порядком производных
d 2F
dx
2

d 2Z
dx
2
;
d 3Z
dx
3
 F 2 ;
d
 F 3  sin x
dx
(7)
с начальными условиями
F ()  1; F ( )  0; Z()=1; Z ()  1; Z ()  1/ 3;  ()  0.
(8)
Процедура решения системы (8) с начальными условиями (9) методом
Розенброка осуществляется одной командой:
> SS:=DifEq[NumDsolve](Eqs,Inits1,rosenbrock);
при этом решению мы произвольно присвоили имя SS. Тогда численное решение выводится функцией SS(x). В данном случае список решений состоит
из трех внутренних списков (M = 3), в первом из них содержатся три числа
(N = 3), это значения функций [F(1), Z(1), Ф(1)]; во втором списке содержится
два числа, поскольку в системе (8) содержатся лишь две произ-водные не ниже второго порядка, это значения первых производных [ F (1), Z (1)] , наконец,
третий список содержит лишь одно число – это значение второй производной
функции Z (1) . Для вывода одного из этих списков (i-го) достаточно применить процедуру SS(1)[i].
Программная процедура
DifEq[ReNumDsolve](Eqs,Inits,Method1,x1,Method2)
построена на основе рассмотреной выше процедуры DifEq[NumDsolve] и
встроенной в Maple программной процедуры piecewise(x≥x0 and x≤x1,f1,
x>x1,f2) кусочно-заданной функции, так что на интервале [x0,x1] при численном интегрировании системы ОДУ применяется метод Method1, а на интервале (x1,…) – Method2. При этом начальными условиями для численного
интегрирования методом Method2 являются результаты численного интегрирования системы ОДУ в точке x1, полученные методом Method2. Указанный метод можно назвать методом интегрирования с перезагрузкой начальных условий. Его следует применять в тех случаях, когда на некотором отрезке стандартные методы интегрирования не дают хороших результатов. Следует отме-
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
тить, что программные процедуры DifEq[NumDsolve] и DifEq[ReNumDsolve]
не требуют выполнения пользователем предварительных операций по приведению системы ОДУ к нормальному виду, так как эти операции являются
встроенными процедурами в указанные; нормирование системы ОДУ и извлечение всей необходимой информации производится автоматически.
2.4. Точность и скорость вычислений
Для тестирования пакета программ DifEq на точность вычислений,
а также выяснения немаловажного для задач компьютерного моделирования вопроса о скорости вычислений различными численными методами
можно провести численное интегрирование различных точно решаемых
нелинейных систем ОДУ различными методами с помощью программных
DifEq[NumDsolve] и DifEq[ReNumDsolve]. При этом реальное время, необходимое для интегрирования системы и представления численных результатов
в графическом виде, можно вычислить с помощью встроенной в Maple функции time(), которая определяет точное время в секундах по встроенному
в компьютер таймеру. Точность и скорость вычислений тестировались по целому ряду точно решаемых нелинейных систем ОДУ, примеры которых
можно найти во многих учебниках по дифференциальным уравнениям. Рассмотрим следующий пример задачи Коши для нелинейной системы ОДУ [3]:
dy y dz
y
 ;
 ,
dx x dx
z
(9)
3
1 1
1
.
y   ; z  
2 2
2 2
(10)
с начальными условиями
Указанная задача Коши точно решается:
y ( x)  x; z ( x)  1  x 2
( z  0),
(11)
так что x 2  y 2  1 , т.е. конфигурационной траекторией системы является
окружность единичного радиуса.
Хотя найденное точное решение задачи Коши имеет весьма простой
вид, с точки зрения применения численных методов интегрирования система
(9) является достаточно неудобной: она не является автономной и имеет особые точки при x = 0, z = 0. Поэтому система ОДУ (10) и подобные ей удобны
для тестирования численных методов решения ОДУ. Численное решение,
например методом Розенброка, сразу достигается командой
> SS1:=DifEq[NumDsolve]([diff(y(x),x)=y(x)/x,diff(z(x),x)=-y(x)/z(x)],
[y(1/2)=1/2,z(1/2)=sqrt(3)/2],rosenbrock);
и выводится в функциональном списочном виде, соответствующем векторной
функции скалярного аргумента.
Продемонстрируем построение конфигурационной траектории системы (11), (12) r  [ y ( x), z ( x)]  [ X1 (t ), X 2 (t )] при интегрировании методом
Розенброка. При этом построение траектории достигается простой стандартной командой Maple, в которой мы указали две необязательные опции:
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
scaling = CONSTRAINED – для сохранения масштаба, color = black – для определения цвета кривой:
>plot([SS4(t)[1,1],SS4(t)[1,2],t=-1..1],scaling=CONSTRAINED,color=black);
Для выяснения вопроса о точности методов интегрирования будем вычислять логарифм модуля разности численного Z(t) и точного Z0(t) решений
(11): L(t )  lg | Z (t )  Z 0(t ) | (рис. 1).
0
-2
-4
-6
-8
-10
rk45
rk78
Rosn
Stif
Tayl
Clas
Рис. 1. Зависимость среднего логарифма абсолютной погрешности,  L , методов
численного решения задачи Коши: rk45 – метод Рунге-Кутта 4–5 порядков;
rk78 – метод Рунге-Кутта 7–8 порядков; Rosn – метод Розенброка; Stif – метод stiff;
Tayl – метод разложений Тейлора; Clas – классический метод
Время T расчета и построения конфигурационных диаграмм можно вычислить с помощью встроенной в Maple команды time(). На гистограмме (рис.
2) показана зависимость времени выполнения данной операции от метода
численного интегрирования [14–16].
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
rk45
rk78
Stif
Rosn
Рис. 2. Зависимость среднего времени T (в секундах) расчета и построения
конфигурационной диаграммы для системы (11), (12) от методов численного
решения задачи Коши: rk45 – метод Рунге-Кутта 4–5 порядков; rk78 –
метод Рунге-Кутта 7–8 порядков; Rosn – метод Розенброка; Stif – метод stiff;
Clas – классический метод
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. Программные процедуры сплайновой интерполяции функций
Для создания аппарата аналитического исследования решений нелинейной системы ОДУ и проведения компьютерного моделирования нелинейных обобщенно-механических систем были созданы специализированные программные процедуры, позволяющие выполнять над сплайнами алгебраические и интегродифференциальные операции, а также операции
взаимообратного конвертирования сплайнов и B-сплайнов в кусочно- и кусочно-параметрически заданные функции. Таким образом, удалось добиться важного результата – создать комплекс программ, позволяющий проводить аналитическое компьютерное исследование нелинейных обобщенномеханических систем. Используя процедуру Spline, создадим необходимую
в дальнейшем промежуточную 6-параметрическую обратную к Spline простую процедуру генерации равномерных n-кусочных кубических сплайнов
относительно функции f(x), заданной на отрезке [a, b], Splines[Spline
F](f,x,a,b,n,z) с передачей имени z ее независимому аргументу:
>Splines[SplineF]:=proc(f,x,a,b,n,z) local F,X,Basa:
F:=(X)->subs(x=X,f): Basa:=[seq([a+i*(b-a)/n,
eval(F(a+i*(b-a)/n))],i=0..n)]:
CurveFitting[Spline](Basa,z): end proc:
Введем предварительно трехпараметрическую процедуру Splines
[Conv_List](sp,t,z) конвертирования сплайна sp функции f на заданном отрезке в упорядоченный список, состоящий из четного числа элементов, в котором каждая пара представляет собой упорядоченный набор элементов, первый из которых – неравенство, устанавливающее верхнюю границу интервала, а второй – сплайн на данном интервале:
> Splines[Conv_List]:=proc(sp,t,z) local LSS0,LSS,
T,ddd,NN0,NN1,t1,DDD:
LSS0:=convert(sp,list):LSS:=(T)->
subs(t=T,LSS0):NN0:=nops(LSS0):NN1:=(NN0+1)/2:
ddd:=rhs(op(3,LSS(t)))-rhs(op(1,LSS(t))):
t1:=rhs(op(1,LSS(t)))-ddd:DDD:=t1+NN1*ddd:
[seq(op(i,LSS(z)),i=1..NN0-1),
(z<DDD,op(-1,LSS(z)))]: end proc:
Заметим, что процедура автоматически распознает параметры сплайна.
Создадим также и обратную процедуру конвертирования списка в кусочнозаданную функцию, piecewise:
> Splines[Conv_Piece]:=proc(Ls,t,z)
local T,LS0,LSS0:
LS0:=(T)->subs(t=T,Ls):
LSS0:=(t)->subs(op(-2,LS0(t))=NULL,LS0(t)):
piecewise(op(LSS0(z))):
end proc:
Здесь применена встроенная процедура Maple NULL – команда пустого
множества  . В качестве примеров генерации сплайнов мы рассмотрим следующие три:
>PPS6:=(z)->Splines[SplineF](sin(x),x,0,2*Pi,6,z):
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
>PPS12:=(z)->Splines[SplineF](sin(x),x,0,2*Pi,12,z):
>PPS24:=(z)->Splines[SplineF](sin(x),x,0,2*Pi,24,z):
Все три сплайна созданы по отношению к функции f ( x)  sin x на отрезке [0, 2π] с именем независимой переменной z: сплайн PPS6 содержит
шесть интервалов, PPS12 – 12 интервалов и PPS24 – 24 интервала. Эффективную проверку корректности созданных программных процедур можно провести, дважды конвертируя сгенерированный сплайн с помощью процедур
Splines[Conv_List] и Splines[Conv_Piece]. Проверка показывает результаты, которые графически неотличимы от оригинала.
В заключение авторы выражают признательность профессору
В. П. Дьяконову и Д. П. Голоскокову за полезное обсуждение результатов
статьи, а профессору М. Н. Кирсанову и А. В. Матросову за ряд ценных
замечаний по алгоритмизации процедуры определения параметров дифференциальных операторов в пакете Maple.
Список литературы
1. F o x , L. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations for Scientists and Engineers / L. Fox, D. F. Mayers. – N.Y. : Springer, 1987. – 624 p.
2. Ф и л и п п о в , А . Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям /
А. Ф. Филиппов. – Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. –
176 с.
3. Р о д ж е р с , Д . Математические основы машинной графики / Д. Роджерс,
Дж. Адамс. – М. : Мир, 2001. – 452 с.
Игнатьев Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
геометрии и математического
моделирования, Татарский
государственный гуманитарнопедагогический университет
Ignatyev Yuriy Gennadyevich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of geometry and mathematical modeling,
Tatar State University of Humanities
and Pedagogy
E-mail: ignatev_yu@rambler.ru
Абдулла Халид Хусейн
аспирант, Татарский государственный
гуманитарно-педагогический
университет
Abdulla Khalid Khuseyn
Postgraduate student, Tatar State
University of Humanities and Pedagogy
E-mail: khaled_alyfee@yahoo.com
УДК 531; 531.3; 531.5; 517.9; 519.6; 519.8
Игнатьев, Ю. Г.
Математическое моделирование нелинейных обобщенно-механических систем в системе компьютерной математики Maple / Ю. Г. Игнатьев,
Х. Х. Абдулла // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2010. – № 2 (14). – С. 66–75.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.6
С. Н. Куприянова
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОДА
Аннотация. Разработаны и обоснованы два численных метода нахождения
собственных значений и соответствующих им собственных функций. Результаты обобщены на случай неоднородного диэлектрического волновода кругового сечения с заполнением нелинейной средой, выраженной законом Керра.
Ключевые слова: неоднородный волновод, закон Керра, задача на собственные
значения, дисперсионные соотношения.
Abstract. Two numerical methods for solving nonlinear eigenvalue problem are proposed and justified. The results are generalized for the case of non-homogeneous dielectric waveguide of circular cross section filled with a dielectric exhibiting a local
Kerr-type nonlinearity.
Keywords: non-homogeneous waveguide, Kerr-type nonlinearity, eigenvalue problem, dispersion relations.
Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть все трехмерное пространство R3 заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью
1  const . В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод
неоднородного заполнения с образующей параллельно оси Oz и поперечным
2

сечением W :  х : х1  х22  R 2 . Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени в виде [1]



Е ( x, y , z , t )  E  ( x, y , z ) cos t  E  ( x, y, z )sin t ;



Н ( x, y, z , t )  Н  ( x, y, z )cos t  Н  ( x, y, z )sin t ,
 
 
где  – круговая частота; Е , Е  , Н , Н  – вещественные искомые функции. Образуем комплексные амплитуды полей E ( x, y , z ) , H ( x, y , z ) :


Е  Е   iЕ  ;


Н  Н   iН  .
Везде ниже множители cos t , sin t будем опускать.
Пусть диэлектрическая проницаемость  внутри цилиндра определяется по закону Керра [2].
Среда предполагается изотропной и немагнитной,   0 .
Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль
образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла
rot H  iE ;
76
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
rot E  iH ,
(2)
условиям непрерывности касательных составляющих поля H  и E при переходе через границу волновода и условиям экспоненциального затухания
поля на бесконечности.
Перейдем к цилиндрической системе координат (, , z ) . Тогда уравнения Максвелла примут вид
E
1 ЕZ

 iH  ;
 
z
(3)
ЕР
EZ

 iH  ;
z

(4)
1 
1 E
(E ) 
 iH Z ;
 
 
(5)
H 
1 H Z

 iE ;
 
z
(6)
H 

z
H Z
 iE ;

(7)
1 
1 H 
(H  ) 
 iEZ .
 
 
В
случае
ТЕ-поляризации
предположим,
(8)
что

E  0; E ; 0 ,
H  H  ; 0; H z  . В результате уравнения (3)–(8) приведутся к виду

E
z
 iH  ;
(9)
1 
(E )  iH Z ;
 
(10)
1 H Z
0;
 
(11)
H 
z


H Z
 iE ;

1 H 
0.
 
(12)
(13)
Из (11) и (13) следует, что H z  H z (, z ) и H   H  (, z ) не зависят
от  . Из уравнений (9) и (10) находим
H  
1 E
1 1 
(E ) .
; Hz 
i z
i  
(14)
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Подстановка H  и H z в (12) дает
 2 E
 1 
(
(E )) 
 2 E  0 .
2
  
z
(15)
Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн
E (,  , z )  u (,  )eiz , где γ – вещественная постоянная распространения
волны. Будем предполагать, что u (,  ) – вещественная функция.
Таким образом, (15) можно быть переписано в виде
1

2
2
 (u ) )  (    )u  0 ,


(16)
где производная означает дифференцирование по  . Во внешней области,
учитывая, что   1 , получаем уравнение Бесселя:
1
1
u   u   u  k 2u  0 ,   R ,

2
где k 2  2 1   2 .

Внутри волновода, где    20  a  21 ()  E
2
(17)
 , получаем кубическое
нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:
1
1
u   u  
 k 2u  (u 3   21 ()u )  0 , 0    R ,
2

 u
(18)
где   2 a , k 2  2  2   2 .
Условия сопряжения на поверхности волновода преобразуются к виду
 E 
 0 и  H z  R  0 , что дает
 
 R
u  R  0 ,
u R  0 ,
(19)
где u  R  u ( R  0)  u ( R  0) – скачок предельных значений функции в точке R . Спектральным параметром задачи является  .
Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения P ,
к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных
волнах цилиндрического волновода. Требуется отыскать ненулевую, ограниченную и непрерывно-дифференцируемую на полубесконечном интервале   0 функцию u () и соответствующие собственные значения  , такие
что u () удовлетворяет уравнениям (17) и (18), условиям сопряжения (19) и
условиям экспоненциального убывания функции u () на бесконечности при
  .
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Запишем решение уравнения Бесселя (17) в виде
u  C1H1(1) (k ) ,   R ,
(20)
где C1 – произвольная действительная неисчезающая константа, а H1(1) –
функция Ханкеля.
Принимая во внимание условия излучения, выберем решение уравнения в форме
u  C1K1 ( k ) ,   R ,
(21)
где K1 – функция Макдональда.
Условия излучения выполняются, потому что K1  k    0 экспонен-
циально при    .
Перепишем нелинейное уравнение (18) в виде



1 
(u )   k 2  u    u 3  21 ()u  0
 

(22)
и рассмотрим линейное уравнение Бесселя:

1 
u   u    k 2  u   0 .
 

(23)
Перепишем последнее в операторной форме:
Lu  0 , L  
d2
d
2

d  2
1
k   .

d 
(24)
Используя стандартный метод, построим функцию Грина для краевой
задачи
LG  (  0 ) ;
G 0  G   R  0 (0  0  R )
в виде (см., например, [3])
G (, 0 ) 

  J1 (k ) J1 ( k 0 )
N1 (kR )  J1 (k  ) N1 (k  )  ,

2
J1 (kR)

0  , 0  R ,
где
  min , 0  ,
  max , 0  .
(25)
Функция Грина существует при таких значениях параметров, что
J1kR  0 .
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Запишем уравнение (18) в операторном виде:
Lu  B(u )  0 , B (u )  u 3   21 ()u .
(26)
Используя вторую формулу Грина [4]
R
 (Lu
R
 uL) d  
0
  (u)  u() d   R  u( R)( R)  ( R)u( R) 
(27)
0
и полагая   G , получаем
R
 (GLu  uLG)d  
0
 R(u ( R  0)G ( R, 0 )  G ( R, 0 )u ( R  0)  Ru ( R  0)G ( R, 0 ) .
(28)
Используя уравнение (26), имеем
R

R

(GLu  uLG )d    GB (u )d   u (0 )
0
(29)
0
и получаем интегральное представление решения u (0 ) уравнения (18):
R

u (0 )   G (, 0 )(u 3 ()   21 ()u ()) d   Ru ( R  0)G ( R, 0 ) , 0  0  R . (30)
0
Принимая во внимание условия сопряжения
u ( R  0)  u ( R  0) ,
перепишем уравнение (30) в виде
R

u (0 )   G (, 0 )(u 3 ()   21 ()u ())d   f (0 ) , 0  0  R ,
(31)
0
где
f (0 )  Ru ( R  0)G ( R, 0 )
(32)
и
G ( R , 0 ) 
1 J1 (k 0 )
.
kR J1 (kR )
(33)
При этом существенно, что f () не зависит от u . Из (31) и условий
сопряжения u ( R  0)  u ( R  0) следует дисперсионное соотношение
R

u ( R  0)   G (, R )(u 3 ()   21 ()u ()) d   Ru ( R  0)G ( R, R) .
0
80
(34)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
Положим N (, 0 )  G (, 0 ) и рассмотрим интегральное уравнение
в C  0, R  (см. также [5]):
R

u (0 )  N (, 0 )u 3 ()   21 ()u ())d   f (0 ) .
(35)
0
Предполагается, что f  C  0, R  и J1 ( kR)  0 . Нетрудно видеть, что
ядро N (, 0 ) является непрерывной функцией в квадрате 0  , 0  R .
Таким образом, справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1. Линейный интегральный оператор
R

N   N (, 0 )()d 
(36)
0
ограничен, вполне непрерывен в C  0, R  и
R
N  max
0 0, R 
 N (, 0 ) d  .
(37)
0
Утверждение 2. Нелинейный оператор
R

F (u )  N (, 0 )(u 3 ()   21 ()u ())d   f (0 )
(38)
0
является вполне непрерывным на каждом ограниченном в C  0, R  множестве.
Действительно, это следует из утверждения 1 и того, что нелинейный
оператор B0 (u )  u 3 ()   21 ()u () ограничен и непрерывен в C  0, R  .
Для расчета собственных значений и соответствующих им собственных
функций предлагается два численных алгоритма.
Реализация первого из них предполагает использование итерационного
процесса на основе интегрального представления собственной функции. При
использовании этого метода спектральный параметр  2 изначально не фиксируется, а для каждого его значения решается уравнение краевой задачи,
решение которого затем подставляется в дисперсионное соотношение.
В формуле итерационного процесса
R

un 1  (0 ,  2 )   G (, 0 )(un3   21 ()un )d   f , n  0, 1, ...
0
полагаем
k J (k  )
u0 (0 ,  2 )  f (0 )  1 1 2 0 ,
k2 J1 ( k2 R)
где  2 – решение g (  )  0 .
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Дисперсионное соотношение запишем в виде
g ( R,  2 )  F ( R,  2 ; u 3 ),
где
g ( R,  2 )  k2 RK1 ( k1R ) J 0 (k2 R)  k1RK0 ( k1R ) J1 (k2 R )
и
2
R

3
F ( R,  ; u )  d J1 (k2)(u 3 (,  2 )   21 ()un (,  2 )).
0
Рассмотрим последовательность дисперсионных соотношений:




g R,(  ( n) )2  F R,(  ( n) )2 ; un3 .
Подстановка нулевой итерации
u0 (0 ,  2 )
в приближенное дисперсионное соотношение дает уравнение
R
k3
1
G ( R,  ,  )  g ( R,  2 )   1
d J14 (k2)  0,
3 3
k2 J1 ( k2 R) 0

решениями которого является соответствующее нулевое приближение
(  (0) ) 2 . Первое приближение u1 (0 ,(  (0) ) 2 ) функции поля внутри волновода
u (0 ,  2 ) достигается путем подстановки нулевых приближений (  (0) ) 2 и
u0 (0 ,(  (0) ) 2 ) в формулу итерационного процесса:
k J (k  )
u1 (0 ,(  (0) ) 2 )  1 1 2 0 
k2 J1 (k2 R )
R




  N  (k R) 
  1 2  J1 (k20 ) d J1 (k2) u03 ,(  (0) ) 2   21 ()u0 ,(  (0) ) 2  


2  J1 (k2 R ) 

0
0









 N1 (k20 ) d J1 ( k2) u03 ,(  (0) ) 2   21 ()u0 ,(  (0) ) 2  


2

0
R

 J1 (k20 ) d N1 (k2) u03 ,(  (0) )2   21 ()u0 ,(  (0) )2  .


2
0


Итак, функции

 

K (k )
u1 0 ,(  (0) ) 2 , u ,(  (0) ) 2  1 1
K1 (k1)
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
являются первыми приближениями собственных функций соответственно
внутри и вне волновода.
Второй численный метод решения подразумевает полное решение поставленной краевой задачи на собственные значения на сетке с заданной точностью  .
Сначала выбирается интервал поиска собственных значений, потом определяется шаг деления рассматриваемого интервала и вычисляются промежуточные собственные значения в каждом узле. Для каждого такого значения
параметра решается итерационное уравнение, пока собственная функция не
будет определена с требующейся точностью. После этого каждая пара собственного значения и соответствующей собственной функции подставляется
в дисперсионное уравнение на предмет проверки знака последнего в узле.
Заключительным процессом является нахождение интервала разбиения, на
концах которого дисперсионное уравнение меняет знак. Полагаем корнем
уравнения среднюю точку этого отрезка.
Пусть собственные значения  ищутся на отрезке  А1 , А2  . Введем на
этом отрезке сетку с узлами  ( j )  A1  j ( A2  A1 ) / N , j  0, ..., N , где N удовлетворяет условию A2  A1  N  , если собственное значение  требуется найти
с точностью  . Вычисляем значения функции  (  )  g ( )  F ()(   2 )
в узлах  ( j ) , причем при каждом  ( j ) решаем интегральное уравнение (3)
с помощью итерационного алгоритма (1) с требуемой точностью. Далее определяем перемену знака в последовательности чисел
(  ( j ) ) . Если
 (  ( j ) )  (  ( j 1) )  0 , то приближенно полагаем   (  ( j )   ( j 1) ) / 2 .
Алгоритм метода состоит из следующих шагов:
1. Выбираем значения параметров: радиуса волновода, коэффициента
нелинейности, диэлектрической проницаемости среды внутри и вне волновода. В соответствии с выбранными параметрами определяются границы интервала поиска собственных значений спектрального параметра:
1m ;  2m  , таких что 1i  i2   2i , i  1, ..., m .
2. Определяем шаг поиска решений  i на каждом интервале:
  1i
h  2i
,
N
где N – число разбиений интервала.
3. Вычисляем значение параметра  ik в каждом узле:
  1i
 ik  1i  2i
k,
N
где k  1, ..., N .
4. Для каждого значения параметра  ik вычисляем соответствующее
значение функции uik с заданной точностью по формуле итерационного процесса:
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
R

un 1 (0 ,  )   G (, 0 )(un3   21 ()un ) d   f , n  0,1, ...
0
5. Для каждого вычисленного значения  ik и uik в k-м узле вычисляем
значение дисперсионного соотношения
( g  F ) (  ik )( uik ),
которое затем сравниваем с нулем. Затем фиксируем два соседних узла, где
происходит перемена знака дисперсионного отношения.
0
среднюю точку отрезка, на концах которого
6. Полагаем корнем  ik
была зафиксирована перемена знака.
7. Вычисляем соответствующее значение собственной функции
0
0 0
uik
 uik
(  ik ) итерациями с требующейся точностью.
Список литературы
1. Н и к о л ь с к и й , В. В. Электродинамика и распространение радиоволн /
В. В. Никольский. – М. : Наука, 1978.
2. С м и р н о в , Ю . Г . Распространение электромагнитных волн в цилиндрических
диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов,
С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. – Т. 44. – № 10. – С. 1850–1860.
3. S t a k g o ld , I . Green's Functions and Boundary Value Problems / I. Stakgold. – Wiley ;
N.Y., 1998.
4. К о р н , Г . Справочник по математике для научных работников и инженеров /
Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 1968.
5. Т р е н о г и н , В. А . Функциональный анализ / В. А. Треногин. – М. : Наука, 1993.
Куприянова Светлана Николаевна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Kupriyanova Svetlana Nikolaevna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza state university
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.6
Куприянова, С. Н.
Численный метод решения нелинейной задачи на собственные значения для неоднородного волновода / С. Н. Куприянова // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 2 (14). – С. 76–84.
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
УДК 532.529:541.182
С. И. Мартынов, Т. В. Пронькина
СОСТАВНАЯ КАПЛЯ ЭМУЛЬСИИ
В ОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Аннотация. Рассматривается обтекание составной капли эмульсии однородным потоком вязкой жидкости. Учитывается гидродинамическое взаимодействие составных частей капли. Получены приближенные выражения для скорости и давления в каждой из составных частей капли.
Ключевые слова: вязкая жидкость, эмульсия, капли, взаимодействие.
Abstract. Dynamics of complex droplets of emulsion in viscous flow is considered.
Hydrodynamic interactions of droplets are taken into account. The solution of problem was obtained by analytical and numerical methods.
Keywords: viscous flow, emulsion, droplets, interaction.
Введение
В последние годы все больший интерес представляет моделирование
системы «жидкость – частицы». Это связано как с многочисленными приложениями, в которых требуется применение таких моделей, так и с возросшими возможностями компьютерных технологий, позволяющими дальше развивать численные методы моделирования. Интенсивное развитие в последние
годы методов аналитического и численного моделирования поведения таких
сред при различных внешних воздействиях связано с созданием новых материалов, в которых используются эффекты многофазности, и c управлением
их свойствами. Одна из задач, возникающих при моделировании таких сред,
это учет взаимодействия частиц между собой и жидкостью. Такое взаимодействие называется гидродинамическим и определяет свойства самой системы
в целом, а также сказывается на всех процессах, происходящих в ней. Интерес к этой тематике связан и с теоретическими проблемами построения моделей на основе получения зависимости средних параметров системы от различных характеристик ее составляющих, в том числе и от объемной концентрации частиц.
Вопрос о том, можно ли получить выражения такого рода путем усреднения выражений, полученных из решения задач о двух или нескольких
взаимодействующих частицах как в стационарных, так и нестационарных полях, действующих на систему, один из актуальных в проблеме построения
моделей таких сред. Известные оценки [1] показывают, что простое суммирование возмущений от каждой частицы без учета их взаимодействия, приводит
к расходящимся рядам для большого числа частиц, и получить средние выражения не представляется возможным. В работах [2, 3] показано, что, например, решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц
в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях
этих частиц. Это связано с тем, что даже для линейных уравнений и граничных условий последние являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад от гидродинамического взаимодействия выделенной
частицы со всеми остальными. Это означает, что для получения общего решения необходимо учитывать вклад каждой частицы. С учетом того, что для
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
реальных систем «жидкость – частицы», таких как, например, суспензия, число частиц в единице объема смеси имеет порядок 1016–1018 , то возникает
принципиальный вопрос о возможности моделирования таких систем путем
учета вклада каждой частицы в поведение системы в целом. Даже с учетом
современного развития компьютерных технологий прямое численное моделирование таких систем не представляется возможным. Вместе с тем в работах [2, 3] развит метод, позволяющий учитывать гидродинамическое взаимодействие произвольного конечного числа твердых частиц в различных потоках. Метод основан на представлении решения задачи в виде мультипольного
разложения с тензорными коэффициентами, не требует больших вычислительных затрат (все числовые значения параметров могут быть найдены на
персональном компьютере с хорошей точностью) и реализуется в любой проблемно-ориентированной системе, например Mathematica. На его основе разработаны [4, 5] и программно реализованы методы по расчету взаимодействий большого числа частиц в облаке и бесконечного числа частиц в периодической решетке произвольной симметрии. Результаты работы [4] свидетельствуют, что динамика частиц в облаке имеет сложный характер: скорость
частиц внутри облака больше, чем на его краю. Это приводит к относительному движению частиц внутри облака и его деформации в результате гидродинамического взаимодействия. Однако средние кинематические характеристики частиц в облаке таковы, что они практически не зависят от их первоначальной конфигурации, а их зависимость от числа взаимодействующих частиц такова, что асимптотические значения достигаются уже при учете только,
примерно, нескольких сот взаимодействующих частиц. Это означает, что для
корректного учета вклада взаимодействия частиц в выражениях для средних
характеристик смеси оказывается достаточным учитывать вклад не всех частиц, а только их части, причем учитываемое число частиц имеет разумные
для численного счета значения. Все это позволяет предположить, что прямое
численное моделирование таких систем возможно. В работе [5] найдены усредненные по объему смеси уравнения движения смеси с бесконечным числом частиц, образующих периодическую решетку любой симметрии.
Системы с жидкими частицами (каплями) и процессы в таких системах
играют важную роль в жизнедеятельности человека. Примером таких систем
являются эмульсии [6]. При их моделировании необходимо учитывать, что
внутри частиц также происходит движение, влияющее на свойства всей системы. Учет гидродинамического взаимодействия большого числа таких частиц значительно усложняет задачу. Имеются различные подходы к решению
такого рода задач [7, 8]. Между тем подход, аналогичный тому, что использован в работах для твердых частиц [2–5], может быть применен и для случая
капель. При этом в силу линейности уравнений решение задачи о движении
большого числа капель можно представить как сумму возмущений от каждой
капли при наличии остальных, где суммирование берется по всем частицам
из заданной конфигурации.
В проблеме моделирования взаимодействия большого числа частиц
в вязкой жидкости задача о взаимодействии двух частиц является основополагающей в силу линейности уравнений и граничных условий, описывающих
движение жидкости при малых числах Рейнольдса. Из сказанного выше возникает интерес рассмотреть задачу о взаимодействии двух капель и исследо-
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
вать влияние гидродинамического взаимодействия на их динамику при внешнем воздействии какими-либо силами, например силой тяжести.
Решение этой задачи позволяет найти силы и моменты, действующие
на частицы со стороны жидкости, и провести анализ возможности получения
усредненных выражений для сил и моментов, действующих в системе, с точностью до слагаемых по объемной концентрации частиц в степени выше первой. Кроме того, решение этой задачи, так же как и в работах [2–5], дает способ моделирования для случая произвольного конечного числа частиц.
Практический интерес представляет вопрос о распределении скорости
и давлении в каждой из фаз. Распределение этих величин в капле зависит от
многих факторов: вязкостей фаз дисперсной системы, размеров и структуры
включений и т.д. В данной статье рассматриваются эмульсии, в которых капли могут содержать внутри себя жидкие, твердые или газовые частицы. Такие
составные капли могут образовываться в результате перемешивания смеси
или создаваться искусственно. В последние годы такого рода составные частицы создаются в медицине для транспорта лекарственных препаратов в организм человека.
Ниже рассматривается постановка и решение задачи об обтекании составной капли эмульсии однородным потоком жидкости. Учитывается гидродинамическое взаимодействие капель.
1. Постановка задачи
Пусть в неограниченной несжимаемой жидкости вязкости l находится жидкая капля A вязкости  A радиуса a. Сама капля представляет собой
сложную структуру: внутри нее расположена жидкая частица B вязкости B ,
радиуса b. Размеры частиц достаточно маленькие, чтобы уравнения движения
жидкости вне и внутри включений были линейными. Положение точки дисперсионной фазы относительно выбранных центров в каплях обозначим векторами X A , X B . Для введенных векторов имеем соотношение X B  X A  r ,
где r – радиус-вектор между центрами частиц А и B.
Учитывая маленький размер частиц, уравнения для скорости и давления в несущей жидкости и внутри каждой из частиц можно записать в приближении Стокса [9, 10]:
  u  0,   v A  0,   v B  0;
l  2u  pl ,  A 2 v A  p A , B  2 v B  pB ,
здесь u , pl – скорости и давления в несущей жидкости; v A , p A – скорости
и давления внутри капли A; v B , pB – скорости и давления внутри капли B.
На поверхности жидкой частицы А записываются следующие граничные условия:
1) условие равенства скоростей жидкостей на границе капли A:
ui  U i  viA  Vi A , X A  a ,
где U – скорость невозмущенного потока; V A – скорость частицы A;
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2) условие равенства касательных напряжений на поверхности жидкой
частицы А:

  u  U   u j  U j
i
i
l 


x j
xi


  n A A 
 j i


  vA V A

 (v Aj  V jA )v  A A
i
i
 A 

n  , XA  a ,

 j i
x j
xi




здесь n A и τ A – единичные векторы нормали и касательной к поверхности
капли А;
3) условие непротекания несущей жидкости внутрь частицы A:
 ui  U i 
niA  0,
XA  a .
Соответствующие граничные условия можно записать и на поверхности жидкой частицы В:
1) условие равенства скоростей жидкостей на границе капли В:
viA  Vi A  viB  ViB ,
XB  b ,
здесь V B – скорость частицы B;
2) условие равенства касательных напряжений на поверхности жидкой
частицы B:

 
  vA V A
 v Aj  V jA
i
i

A


x j
xi



 
  vB  V B
 v Bj  V jB
i
i

 B


x j
xi


  n B B 
 j i


  nB B ,
 j i


XB  b ;
3) условие непротекания жидкости из частицы А внутрь частицы В:
 viA  Vi A 
niB  0,
XB  b .
При бесконечном удалении от частицы А скорость возмущенного потока стремится к нулю:
ui  0, | x |  .
Система уравнений и граничные условия линейны по скорости.
2. Решение задачи
Решение уравнения для жидкости вне частиц, удовлетворяющее условию на бесконечности, может быть записано в виде
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
1A A
1A A
pl  H i1 A LiA  Fij1A LijA  Gijk
Lijk  Dijkl
Lijkl  ...
2
3
4 1A A 5 1A A
l ui  lU i  H i1A L0A  Fij1 A LAj  Gijk
L jk  Dijkl L jkl 
3
5
7
9
1
1
1 A A 2 1 1A A
A
 H 1j A LijA X A2  F 1jkA Lijk
X A2  G1jkl
Lijkl X A  D jkln Lijkln X A2  ... ,
6
10
14
18
где Lij...s – мультиполь, вычисляемый по правилу
Lij...s 
  

xi  x j
   1
...
  x  X
  s

    .

Внутри капли А выражения для давления и скорости не должны содержать особенностей при X A  0 , поэтому решение внутри капли A записывается в виде
2A A
2A A
p A  H i2 A LiA X 3A  Fij2 A LijA X 5A  Gijk
Lijk X A7  Dijkl
Lijkl X 9A  ... 
2B B
2B B
 H i2 B LiB  Fij2 B LijB  Gijk
Lijk  Dijkl
Lijkl  ... ,
1
5 A 7
1

2A  1 A 5
 AviA   AVi A  H 2j A  LAj X 3A x Ai  LijA X 5A   F jk
 L jk X A x Ai  Lijk X A  
5
42
2

2

1 A 9
7 A
1

A 1 A
7
G 2jklA  LAjkl X A7 x Ai  Lijkl
X A   D 2jkln
Lijkln X 9A  
 L jkln X A x Ai 
2
12
2
110




2A A 5
2A A
 Kij2 A LAj X 3A  Nijk
L jk X A  M ijkl
L jkl X A7  i   2j A LAj X 3A   2jkA LAjk X 5A 

2
3
4 2B B
A A
  2jklA LAjkl X A7   2jkln
L jkln X 9A  ...  H i2 B LB0  Fij2 B LBj  Gijk
L jk 
 3
5
7
5 2B B 1 2B B 2 1 2B B 2 1 2B B
1
B B
 Dijkl
L jkl  H j Lij X B  F jk Lijk X B  G jkl Lijkl X B2  D 2jkln
Lijkln X B2  ...
9
6
10
14
18
Внутри капли В выражения для давления и скорости не должны содержать особенностей при X B  0 , поэтому решение внутри капли B записывается в виде
2B B
2B B
pB  H i2 B LiB X B3  Fij2 B LijB X B5  Gijk
Lijk X B7  Dijkl
Lijkl X B9  ... ,
1
5 B 7
1

3B  1 B
5
B viB  H 3j B  LBj X B3 xBi  LijB X B5   F jk
Lijk X B  
 L jk X B xBi 
5
42
2

2

1 B 9
7 B
1

B 1 B
7
G 3jklB  LBjkl X B7 xBi  Lijkl
X B   D3jkln
Lijkln X B9  
 L jkln X B xBi 
12
110
2

2

3B B
3B B
 Kij3B LBj X B3  Nijk
L jk X B5  M ijkl
L jkl X B7  i   3j B LBj X B3 

89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
B B
B B
  3jkB LBjk X B5  3jkl
L jkl X B7  3jkln
L jkln X B9  ...  ...

Последние слагаемые в выражениях для скоростей внутри жидких частиц должны удовлетворять уравнениям Лапласа и неразрывности.
3. Численный расчет
Введем следующие обозначения: W A  V A  U , W B  V B  V A . Тогда
неизвестные тензорные коэффициенты, содержащиеся в выражениях для скорости и давления, должны зависеть от величин Wi A , W jB , rk , r / b и быть линейными по Wi A , W jB , так как граничные условия линейны по величинам
Vi A  U i , V jB  V jA . Векторы W A , W B могут быть представлены в виде суммы компонент вдоль и перпендикулярно вектору r : W A  W A||  W A ,
W B  W B||  W B  . Учитывая, что некоторые комбинации тензоров Wi A ,
rk , δln, и WiB  , rk , δln равны нулю, можно записать все отличные от нуля и
линейные по Wi A , W jB  комбинации Wi A , W jB  , rk , δln, дающие тензорные коэффициенты в выражениях для давления и скорости и включающие
неизвестные скалярные функции, зависящие только от параметра r / b .
Ниже приводится вид некоторых тензорных коэффициентов, записанных в выражениях для давления и скорости:
H i1A  lWi A|| HA||  lWi B|| HB||  lWi A HA  lWiB  HB  ;
H i2 A  lWi A|| KA||  lWiB|| KB||  lWi A KA  lWi B  KB  ;
H i2 B  lWi A||QA||  lWiB||QB||  lWi A QA  lWiB  QB  ;
H i3B  lWi A||TA||  lWi B||TB||  lWi ATA  lWiB TB  ;
 i2 A  lWi A||A||  lWi B||B||  lWi A A  lWiB  B  ;
 3i B  lWi A||A||  lWiB||B||  lWi A A  lWiB  B  .
Задача решена с точностью до (r / b)3 с использованием программного
пакета Mathematica.
На рис. 1 приводятся графики зависимости значений неизвестной скалярной функции A|| от параметра a / b при фиксированных значениях параметров l /  A и B /  A . Сплошной линией изображен график функции
A|| (a / b) при l /  A  1, 2 , B /  A  1,5 , пунктирной – при l /  A  0,5 ,
B /  A  0,7 .
На рис. 2 построены графики зависимости значений неизвестной скалярной функции QA|| от параметра l /  A при фиксированных значениях
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
параметров a / b и B /  A . Сплошной линией изображен график функции
QA|| (l /  A ) при a / b  5 , B /  A  1,5 , пунктирной – при a / b  10 ,
B /  A  0,7 .
A||
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
5
10
15
20
a/b
Рис. 1
||
QA
2
4
6
8
10
l /  A
- 0.05
- 0.1
- 0.15
- 0.2
Рис. 2
На рис. 3 приводятся зависимости значений неизвестной скалярной
функции TA|| от параметра B /  A при фиксированных значениях параметров
a / b и l /  A . Сплошной линией изображен график функции TA|| (B /  A )
при a / b  5 , l /  A  1, 2 , пунктирной – при a / b  10 , l /  A  0,5 .
||
- 0.2 TA
- 0.3
- 0.4
B /  A
2
4
6
8
10
Рис. 3
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Заключение
Аналитические и численные вычисления, проведенные в работе, показывают, что учет взаимодействия дает нелинейную зависимость скалярных
коэффициентов, входящих в решение, от параметров, характеризующих
свойства каждой фазы. Полученные результаты могут быть использованы
при моделировании динамики большого числа составных капель эмульсии на
основе разработанных ранее подходов и методов расчета
Список литературы
1. S e r r i n , J . Mathematical principles of classical fluid mechanics, BerlinGőttingen /
J. Serrin. – Heidelberg, 1959. (Рус. перевод: Серрин, Дж. Математические основы
классической механики жидкости / Дж. Серрин. – М. : Иностр. лит-ра, 1963).
2. М а р ты н о в, С . И . Гидродинамическое взаимодействие частиц / С. И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 1998. – № 2. – С. 112–119.
3. М а р ты н о в, С . И . Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости / С. И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. –
2000. – № 1. – С. 84–91.
4. Б а р а н о в , В. Е. Влияние гидродинамического взаимодействия на скорость осаждения большого числа частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов //
Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2004. – № 1. – С. 152–164.
5. М а р ты н о в, С . И . Симметрия периодической решетки частиц и потока вязкой
жидкости в приближении Стокса / С. И. Мартынов, А. О. Сыромясов // Известия
РАН. Механика жидкости и газа. – 2007. – № 3. – С. 7–20.
6. Н и г м а ту л и н , Р . И . Динамика многофазных систем / Р. И. Нигматулин. – М. :
Наука, 1987. – Т. 1, 2.
7. З и н ч е н к о , А . З . К расчету гидродинамического взаимодействия капель при
малых числах Рейнольдса / А. З. Зинченко // Прикладная математика и механика. –
1978. – Вып. 5. – С. 955–959.
8. З и н ч е н к о , А . З . Медленное асимметричное движение двух капель в вязкой
среде / А. З. Зинченко // Прикладная математика и механика. – 1980. – Т. 44. –
Вып. 1. – С. 49–59.
9. Б э т ч е л о р , Д ж . Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. – М. : Мир,
1973. – 758 с.
10. Ла нда у , Л. Д . Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифщиц. – М. : Наука,
1986. – 736 с.
Мартынов Сергей Иванович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра прикладной
математики и информатики в геологии
и нефтегазовом деле, Югорский
государственный университет
Martynov Sergey Ivanovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of applied mathematics and computer
science in geology and oil-and-gas industry,
Yugra State University
E-mail: martynovsi@mail.ru
Пронькина Татьяна Васильевна
аспирант, Югорский
государственный университет
E-mail: pronkinatv@mail.ru
92
Pronkina Tatyana Vasilyevna
Postgraduate student,
Yugra State university
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Математика
УДК 532.529:541.182
Мартынов, С. И.
Составная капля эмульсии в однородном потоке вязкой жидкости /
С. И. Мартынов, Т. В. Пронькина // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 2 (14). –
С. 87–93.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ФИЗИКА
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, С. А. Губина
ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА
D -ЦЕНТРА В КВАНТОВОМ КАНАЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ
ПОПЕРЕЧНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
(–)
Аннотация. Рассмотрены D(–)-состояния в квантовом канале, находящемся
в поперечном магнитном поле. В рамках модели потенциала нулевого радиуса
в приближении эффективной массы получено уравнение, определяющее зависимость энергии связи D(–)-состояния от параметров потенциала структуры,
координат D(–)-центра и величины магнитного поля. Показано, что в квантовом канале имеет место пространственная анизотропия энергии связи D(–)состояния. Выявлена ее высокая чувствительность к величине магнитного поля в у-направлении квантового канала.
Ключевые слова: квантовый канал, поперечное магнитное поле, дисперсионное
уравнение, пространственная анизотропия энергии связи, гибридизация размерного и магнитного квантования.
Abstract. D(–)-states in the quantum channel under influence of transversal magnetic
field have been considered. In the framework of the zero-range-potential model in
the effective mass approximation an equation that determines the dependence of the
D(–)-state binding energy on the structure potential parameters, the D(–)-center coordinates and on the magnetic field value, has been derived. It has been shown that
the spatial anisotropy for the D(–)-state binding energy is realized in the quantum
channel. The high sensitivity of D(–)-state binding energy to the magnetic field value
in y-direction of the quantum channel is also revealed.
Keywords: quantum channel, transversal magnetic field, dispersion equation, spatial
anisotropy of the binding energy, hybridization of dimensional and magnetic quantization.
Введение
В последние годы очевиден рост интереса к примесным состояниям
в полупроводниковых наноструктурах [1, 2]. Это связано с чрезвычайной
чувствительностью таких структур к наличию единичных дефектов, которые
могут существенно изменять их транспортные и оптические свойства и приводить к появлению новых эффектов, отсутствующих в баллистических
структурах [3]. Проблема управления энергией связи примесных состояний
является достаточно актуальной для физики полупроводников. В связи с развитием наноэлектроники эта проблема приобрела особый интерес вследствие
новой физической ситуации, связанной с эффектом размерного квантования.
Действительно, как показывают эксперименты [4, 5], энергия связи примесных состояний существенно зависит от характерного размера наноструктуры
и параметров ограничивающего потенциала. С другой стороны, наличие

внешнего магнитного поля B  0,0, B z , как известно [6–8], приводит к уси-

94

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
лению латерального геометрического конфайнмента наноструктуры. Поэто
му, варьируя B  0,0, B z , можно изменять эффективный геометрический


размер системы и, следовательно, изменять энергию связи примесных состояний. Наложение размерного и магнитного квантования приводит к эффекту гибридизации [9, 10], который несет ценную информацию о зависимости энергии связи локализованного носителя от магнитного поля и параметров наноструктуры. В этой связи экспериментальные и теоретические исследования примесных состояний в полупроводниковых наноструктурах в условиях внешнего магнитного поля представляют несомненный интерес.
Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании
влияния внешнего поперечного магнитного поля на D(–)-состояния в квантовом канале (КК). Такие состояния соответствуют присоединению дополнительного электрона к нейтральному донору и удовлетворительно описываются в рамках модели потенциала нулевого радиуса [1, 2]. Для КК использовалась модель удерживающего потенциала U  z  квазидвумерного слоя электронного газа в виде модели «жестких» стенок (прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками). В качестве дополнительного латерального потенциала выбран параболический потенциал U ( y )  m*02 y 2 / 2
(  0 – характерная частота параболического латерального потенциала, m* –
эффективная масса электрона), который формирует канал в квазидвумерном
слое [9].
КК находится в поперечном по отношению к его оси однородном маг
нитном поле с индукцией B  0,0, B z , векторный потенциал которого пред-

ставлен в виде [9]


A    y B,0,0  .
Для невозмущенных примесями одноэлектронных состояний в поперечном магнитном поле гамильтониан в выбранной модели в цилиндрической системе координат запишется как

2 2
 m  2 y 2
H 
  i  B y

U z ,
2
x
2m
(1)
где B  e B / m – циклотронная частота; е – абсолютное значение заряда
электрона;   02  2B – гибридная частота.
Спектр гамильтониана (1) и соответствующие волновые функции имеют следующий вид [11]:
2 2
1  2 2 m2 px 0

;

En, p x , m     n   
2  2 m  L z 2 2 m  2

 n, m, p x  x, y , z  
(2)
i px x
exp 
 
  
2 n 1 n!  L x L z
1
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

 
2

 y  y0 p x 
y  y0 px

  m z 
 exp  
H n 
,
 sin 


a
L z 
2a 2







 
(3)
где n  0,1, 2, ... – квантовое число, соответствующее уровням гибридного
квантования; m  1, 2, ... – квантовое число, отвечающее уровням энергии размерного квантования вдоль оси z КК; p x – проекция квазиимпульса элек-



трона в КК на ось x ; a   m   – гибридная длина; a 0   / m   0

характерная длина осциллятора в у-направлении; a B   / m   B
–
 – маг-
нитная длина; H n  x  – полиномы Эрмита [11]; y0 ( p x )   p x B /(m* 2 ) .
В использованном здесь приближении амплитуда потенциала U 0 КК
вдоль оси y является эмпирическим параметром, и, следовательно, выражения (2) и (3) справедливы, когда
U 0 /      1 ,

где U 0  m02 L y / 2

2
(4)
/2 .


Потенциал D  -центра, расположенного в точке Ra   xa , ya , za  , описывается в рамках модели потенциала нулевого радиуса мощностью
 
  2 2 / m :
 
 
V  x, y , z; xa , ya , za     r  R a 1  r  R a  r  ,






(5)

где  определяется энергией E i связанного состояния этого же D  -центра
в объемном полупроводнике.
Необходимо отметить, что важным достоинством используемой модели
(5) является то, что она позволяет получить аналитическое решение для волновой функции локализованного носителя, а также проанализировать диспер
сионное уравнение электрона, локализованного на D  -центре в КК в поперечном магнитном поле.
1. Дисперсионное уравнение электрона,

локализованного на D  -центре в квантовом канале
В
приближении
эффективной
массы
волновая
функция
   x, y, z; xa , ya , za  электрона, локализованного на короткодействующем
потенциале примесного центра, удовлетворяет уравнению Шредингера:

E  H    x, y, z; xa , ya , za   V  x, y, z; xa , ya , za     x, y, z; xa , ya , za  , (6)

96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика


– собственные значения гамильтониана
где
E     2  2 / 2 m


H   H  V  x, y, z; xa , ya , za  .
Одноэлектронная функция Грина к уравнению Шредингера (6), соот
ветствующая источнику в точке r1   x1 , y1 , z1  и энергии E  , запишется
в виде


G x, y, z , x1 , y1 , z1; E  

 p xL x

d 

 

 n, m, p x  x1 , y1 , z1   n, m, p x  x, y , z 

.

E   En , m , p x
 n, m



(7)

Уравнение Липпмана – Швингера для D  -состояния в КК имеет следующий вид:
   x, y, z; xa , ya , za  

 L x 2  Lz
  
 L x 2  0
dx1dy1dz1G  x, y , z , x1 , y1 , z1; E  
V  x1 , y1 , z1; xa , ya , za     x, y , z; xa , ya , za  .
(8)
Подставив (5) в (8), получим
   x, y , z; xa , ya , za    G  x, y, z , a , ya , za ; E  


 T 
  xa , ya , za ; xa , ya , za  ,
(9)
где
T    xa , ya , za ; xa , ya , za  

 

(10)
  lim
 1  r  R a  r     x, y , z; xa , ya , za  .

r  Ra 

Действуя оператором T на обе части соотношения (9), получим в общем виде дисперсионное уравнение, определяющее зависимость энергии связи



D  -состояния от параметров КК, координат Ra   xa , ya , za  D  -центра
и величины магнитной индукции:



2  2 
TG xa , ya , za , xa , ya , za ; E  .
m
 

(11)
Используя явный вид одночастичных волновых функций (3), а также
спектр (2), для функции Грина (7) будем иметь
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


1
t  B

G  x, y, z , xa , ya , za ; E  
dt   
2   a 2 L z  0 0  2   0


1


 
1 
 exp        t  1  e  2 t 2 exp 

2 
 



ya2  y 2
2a 2
cth  t  




2

1
 2
t
th    
 2  



a 2 sh  t  
ya y


2

 B  t  
th    
i x  x a  y a  y
  2  

 exp 

2
2

 B 

t 
2  0   t
 th    
   
 4a 
 2   
    2   0 





 
 
 2a 2 t
   z a  z  2L 2
z
 3 
,e
  2Lz
 
 

здесь   E

    2 a 2
 2ad2 
2
тэта-функция [11]; ad  40   /



 2a 2 t

  z a  z  2L 2
z
  3
,e

 2Lz








 ,




(12)
2
( E   0 ); 3  u , q    q k exp  2uni  –
k 
 m e  – эффективный боровский ра
2
диус; 0 – электрическая постоянная;  – статическая относительная диэлектрическая проницаемость полупроводникового вещества КК;  2  E  E d ,


Ed   2 / 2mad2 – эффективная боровская энергия.
Для выделения в (12) расходящейся части воспользуемся интегралом
вида


0
dt t
1

 

2
2

 
1 
 x  xa  y  ya 
exp        t  exp  

2 
2a 2 t
 




 
 2a 2 t

   za  z
2Lz 2
  3 
,e
  2Lz
 
 


  
 2a 2 t

    z a  z
2Lz 2
  3 
,e
   2Lz
  
  




 .



(13)
Далее, подставляя полученное выражение для функции Грина в (11),

получим дисперсионное уравнение локализованного на D  -центре электрона в КК в поперечном магнитном поле:
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
3
2 2 a d
a
 
 2a 2 t

 
2Lz 2
   3  0, e
 
 
 

2

a 2d
 1  i 
a d 
Lz
  
 2a 2 t

    z a
2Lz 2
,e
  3 
   Lz
  
  
1

1  e 2 t 2

a2


2  t 
 ya th  2  
 
exp  
2


a




  2 a 2 1  
dt exp   
 t 
 2a 2
2  

d



0

 
 1   t   B
 
 

  t  0  2   0
  

 




2

1
 2
t
th    
 2  



2





t
B


2
 th 2    
 ya 

 2  

 0 
exp 
  , (14)
2


 2  t  B 
 t  
 th     
 a   
 2    
 2   0 


 

где i2  Ei / Ed – параметр, характеризующий энергию связанного состояния Ei этого же D  -центра в объемном полупроводнике.
Рассмотрим случай, когда примесный уровень расположен между дном

2 m  L z 2 
( Lz – ширина прямоугольной потенциальной ямы) КК: E   2 2 /  2m   0 ,
и уровнем энергии основного состояния E0,0,1    2   2  2
где 2  2 / ad2 . Замена  2 на  2 или 2 на 2 приводит к переходу
в дисперсионном уравнении (14) от случая E   0 к случаю E   0 :
3
2 2
ad
a
 
 2a 2 t
   2L 2
z
   3  0, e
 
 
 

2
a 2d
 1  i 
a d 
Lz
  
 2a 2 t
    z a  2L 2
z
  3 
,e
   Lz
  
  
1
2 t  2
1 e

a2


2  t 
 ya th  2  
 
exp  
2


a




  2 a 2 1  
dt exp    
 t 
 2a 2
2  

d
 

0

 
 1   t   B
 
 
   t  0  2   0
 

  




2

1
 2
 t 

th  
 2  



2




t
B
  
2
 th 2    
 ya 

 2  

 0 
exp 
 . (15)
2
  
 2  t   B 
t
 th     
 a   

2

 2    


 0

 

99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Волновая функция электрона, локализованного на короткодействую-
щем потенциале D  -центра в КК в поперечном магнитном поле, как видно
из (9), только постоянным множителем отличается от одноэлектронной
функции Грина. Запишем функцию Грина (12) в виде

G  x, y, z , xa , ya , za ; E  
1
2
a Lz  
1
G    x, y , z , xa , ya , za ; E  ,
(16)
1
здесь G    x, y, z, xa , ya , za ; E  – безразмерная функция Грина.
Тогда для волновой функции    x, y , z; xa , ya , za  согласно (9) будем
иметь
1
   x, y, z; xa , ya , za    C G    x, y, z; xa , ya , za ; E  ,
где

1
C  L x a L z  G    x, y, z; xa , ya , za ;   /    

1 2
(17)
– нормировочный
множитель.
Используя известную методику вычисления нормировочного множите
ля, получим в случае, когда E  0 и Ra  xa ,0, L z 2 , следующее выраже-


ние для C :

1
 3
 2
 2 L z    1 2 
 2 2 L 2z a
 ,
C  
th 

2a
   1 2 





(18)
а волновая функция связанного состояния будет иметь вид

1
 3
 2
 2 L z    1 2 
 2 2 L 2z a


  x, y, z; xa ,0, L z 2  

th 
  0
2a
   1 2 







 t 
 dt    B
 2  0
0




1
1
 2
 y2


 
1 
 t 
2t  2







th
exp
1
exp
cth
t
e
t
 

 
   2 
 2a 2

2

 





2




2
 

 B  t 
th   
 i x  xa  y

  2 
 

 exp 

2
2



B
 2  0   t
t 
 th    
   
4a 

 2   
    2  0 





100

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
 
 2a 2 t
   Lz 2  z  2L 2
z
 3 
,e
2Lz
 
 
 




 2a 2 t

  Lz 2  z  2L 2
z
  3
,e
2Lz










 .



(19)
2. Пространственная анизотропия энергии связи D  -состояния
в квантовом канале при наличии поперечного магнитного поля

На рис. 1, 2 представлены результаты численного анализа дисперсион-
ного уравнения (14) применительно к D  -состояниям в КК на основе InSb:
эффективная масса электрона в InSb и статическая относительная диэлектрическая проницаемость соответственно равны m  0,0133m 0 ( m 0 – масса по
коя электрона) и   18 , а эффективная боровская энергия составляет
Ed  5,5  10 4 эВ .
Как видно из рис. 1, энергия связи D  -состояния в z-направлении
достаточно слабо реагирует на изменение внешнего магнитного поля (от 0 до
0,35 Тл) (сравн. кривые 1 и 2 на рис. 1). Это связано, по-видимому, с не

большим вытягиванием D  -орбитали в z-направлении за счет ее сжатия
в у-направлении КК. Уменьшение энергии связи D  -состояния при приближении примесного центра к границе связано с квантовым размерным эф
фектом. Рост энергии связи D  -состояния в поперечном магнитном поле
в у-направлении КК (см. рис. 2) обусловлен как динамикой уровня Ландау,
так и динамикой примесного уровня. Действительно, как показывают
численные оценки, в этом случае магнитная длина aB ( aB ≈ 50 нм) оказы

вается меньше эффективного радиуса связанного D  -состояния  В1
(  В1 ≈ 200 нм), т.е. заметной оказывается динамика примесного уровня. Вы-
сокая чувствительность энергии связи D  -состояния к величине поперечного магнитного поля в у-направлении КК (ср. кривые 1 и 2 на рис. 2), повидимому, обусловлена ее пространственной анизотропией, в результате чего
задача становится эффективно двухмерной и в соответствии с общей теорией
[12] в двухмерных системах в этой модели связанные состояния с достаточно
малой энергией связи имеют место даже для трехмерных потенциалов предельно малой мощности, которые не способны локализовать электрон в объемном полупроводнике.

Заключение
В работе методом потенциала нулевого радиуса исследованы D  состояния в КК во внешнем поперечном магнитном поле. Получено диспер

сионное уравнение электрона, локализованного на D  -центре, с учетом

влияния внешнего магнитного поля на D  -состояния в КК. Исследована


зависимость энергии связи D  -состояния от координат D  -центра в КК.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Выявлены пространственная анизотропия энергии связи D  -состояния
в КК и ее высокая чувствительность к внешнему поперечному магнитному полю в у-направлении КК. Последнее обстоятельство открывает перспективы для
эффективного управления концентрацией свободных носителей заряда в КК.

Рис. 1. Зависимость энергии связи D   -состояния E  QC  ( E  0 ) в КК на основе

B
4
3
InSb ( Lx  1, 432 10 нм , L y  2,506  10 нм , Lz  180 нм , U 0  0,1 эВ ) от координаты
za примеси ( Ei  7,7  10 2 эВ ) для различных значений величины магнитной
индукции В (3 – положение уровня энергии основного состояния электрона в КК
для В = 0 Тл и В = 0,35 Тл соответственно); 1 – В = 0 Тл; 2 – В = 0,35 Тл
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
Рис. 2. Зависимость энергии связи D( ) -состояния E  QC  ( E  0 ) в КК
B
на основе InSb ( Lx  1, 432 104 нм , L y  2,506  103 нм , Lz  180 нм , U 0  0,1 эВ )
от координаты ya примеси ( Ei  7,7 102 эВ ) для различных значений
величины магнитной индукции В (3 и 4 – положения уровней энергии основного
состояния электрона в КК для В = 0 Тл и В = 0,35 Тл соответственно);
1 – В = 0 Тл; 2 – В = 0,35 Тл
Список литературы
1. K r e v c h i k , V . D . Transfer processes in low-dimensional systems / V. D. Krevchik,
A. B. Grunin, A. K. Aringazin, M. B. Semenov // UT Research Institute Press. – Tokyo,
Japan. – 2005. – 690 p.
2. К р е в ч и к , В. Д . Метод потенциала нулевого радиуса в физике низкоразмерных
систем : монография / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2007. –
348 с.
3. А в о т и н а , Е. С . Нелинейный кондактанс квантового контакта, содержащего
единичные дефекты / Е. С. Авотина, Ю. А. Колесниченко // Физика низких температур. – 2004. – № 2. – Т. 30. – С. 209.
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
4. К р е в ч и к , В. Д . Эффект увлечения одномерных электронов при фотоионизации D(–)-центров в продольном магнитном поле / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин //
Физика твердого тела. – 2003. – Т. 45. – № 7. – С. 1272.
5. К р е в ч и к , В. Д . Энергетический спектр и магнитооптические свойства D(–)центра в квантовом сужении / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, А. А. Марко // Физика
и техника полупроводников. – 2006. – Т. 40. – №4. – С. 433.
6. Г е й л е р , В. А . Проводимость квантовой проволоки в продольном магнитном
поле / В. А. Гейлер, В. А. Маргулис, Л. И. Филина // ЖЭТФ. – 1998. – Т. 113. –
С. 1377.
7. К р е в ч и к , В. Д . Двумерные D(–)-состояния в продольном магнитном поле /
В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, В. В. Евстифеев // Известия высших учебных заведений. Физика. – 2005. – № 5. – С. 25.
8. H u a n t , S . Two-dimensional D–-Centers / S. Huant, S. P. Najda, B. Etienne // Phys.
Rev. Lett. – 1990. – V. 65. – № 12. – P. 1486.
9. К а р п у н и н , В. В. Гибридно-фононные резонансы в квантовом канале /
В. В. Карпунин, В. А. Маргулис // Физика и техника полупроводников. – 2008. –
Т. 42. – № 6. – С. 711.
10. К р е в ч и к , В. Д . Эффект гибридизации размерного и магнитного квантования
в спектрах оптического поглощения наногетеросистем с D(–)-состояниями /
В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, М. Б. Семенов, А. А. Марко // Известия высших
учебных заведений. Физика. – 2004. – № 10. – С. 67.
11. Б е й т м е н , Г . Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М. :
Наука, 1973. – Т. 1, 2.
12. Ла нда у , Л. Д . Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л. Д. Ландау,
Е. М. Лифшиц. – М. : Наука, 1974.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of physics
sub-department, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Грунин Александр Борисович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра физики, Пензенский
государственный университет
Grunin Alexandr Borisovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Губина Светлана Александровна
аспирант, Пензенский
государственный университет
Gubina Svetlana Alexandrovna
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 539.23; 539.216.1
Кревчик, В. Д.
Особенности энергетического спектра D(–)-центра в квантовом канале при наличии поперечного магнитного поля / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, С. А. Губина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 2 (14). – С. 94–104.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Гришанова
МОДЕЛЬ ПОЛИМЕРНОЙ МОЛЕКУЛЫ
В КВАНТОВОЙ ПРОВОЛОКЕ ПРИ НАЛИЧИИ
ВНЕШНЕГО ПРОДОЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Аннотация. Рассмотрен обобщенный вариант модели Кронига – Пенни для
полимерной молекулы в виде регулярной цепочки D 0 -центров в квантовой
проволоке, моделируемых потенциалами нулевого радиуса. Получены уравнения, определяющие границы примесной зоны. Показана возможность управления шириной примесной зоны и эффективной массой локализованного электрона путем варьирования величины внешнего магнитного поля.
Ключевые слова: квантовая проволока, регулярная цепочка D 0 -центров, примесная зона, эффективная масса электрона в примесной зоне.
Abstract. The generalized model of Kronig – Penny for polymer molecule as regular
chain of D 0 -centers in quantum wire, simulated by zero-range potentials, has been
considered. Equations, which determine limits of impure zone, have been obtained.
Possibility to control the impure zone width and the localized electron effective
mass by variation of external magnetic field value, has been also demonstrated.
Keywords: quantum wire, regular chain of D 0 -centers impure zone, effective mass
of electron in impure zone.
Введение
Развитие полупроводниковой наноэлектроники стимулировало интерес
к исследованию примесных центров молекулярного типа в структурах с пониженной размерностью в условиях внешнего магнитного поля [1–6]. Наложение размерного и магнитного квантования дает новые возможности для
управления термами примесных молекулярных состояний, при этом важную
роль начинают играть расстояние между примесными атомами и пространственная конфигурация примесной молекулы в объеме наноструктуры [7].
В случае D  -, D2 - и D3 -центров удовлетворительной моделью для описания локализованных электронных состояний является модель потенциала нулевого радиуса [7], которая позволяет получить аналитическое решение для
волновой функции связанного электрона, а также дисперсионные уравнения
для определения энергии связи ( D  -состояние), либо термов примесных молекулярных ионов ( D2 - и D3 -состояния) в наноструктурах. Во всех упомянутых выше применениях метода изучалось движение электрона в поле конечного числа потенциалов нулевого радиуса во внешнем магнитном поле:
в параболической квантовой яме [4], в квантовой проволоке (КП) [3], в квантовой точке [8].
В данной работе рассматривается случай бесконечного числа потенциальных ям в КП (модель полимерной молекулы), когда дополнительно возникает математическая задача о вычислении бесконечных сумм по всем примесным центрам. Следует отметить, что вычисление сумм облегчается в том
физически важном случае, когда одинаковые потенциальные ямы нулевого
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
радиуса расположены регулярно и образуют периодическую структуру типа
кристалла [9]. Подобные системы могут рассматриваться как обобщение известной модели Кронига – Пенни [10], в которой исследуется движение электрона в поле одномерной периодической цепочки в одномерном пространстве.
Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании
динамики эффективной массы и примесной зоны, образованной локализованными состояниями электрона в поле регулярной цепочки D 0 -центров, расположенных вдоль оси КП, с изменением величины внешнего магнитного поля
и параметров структуры.
Для описания одноэлектронных состояний в КП использовался симметричный потенциал конфайнмента вида
V () 
m02 2
 ,
2
(1)
где   L ; m – эффективная масса электрона; 0 – характерная частота
удерживающего потенциала КП; L – радиус КП.
КП находится в продольном по отношению к ее оси магнитном поле

с вектором магнитной индукции B   0, 0, B  . Векторный потенциал магнит 

 
ного поля A  r  выбран в симметричной калибровке A   B, r  / 2 так, что

A    yB / 2, xB / 2, 0  .
Для невозмущенных примесями одноэлектронных состояний в продольном магнитном поле гамильтониан в выбранной модели в цилиндрической системе координат имеет вид
H
 2  1     1  2  i  B  m  2 2B

 0 


  
2  2 
4
2m       2 2 
 2
   H z , (2)


где B  e B / m – циклотронная частота; е – абсолютное значение заряда
 

электрона; H z    2 / 2m  2 /  z 2 .
Спектр гамильтониана (2) запишется как
En, m, k 
 B m
2
2k 2
 0 1  B  2n  m  1 
;
2
402
2m
 n, m, k  , , z  
1
2
1 
n !


2a1   n  m  ! 
 2  m
 exp  
L
 4a 2  n
1 

m
2
 
 2


 2a1 
2
 2 
 2  exp  im  exp  ikz  ,
 2a 
 1 
(3)

(4)
где n  0,1, 2, ... – квантовое число, соответствующее уровням Ландау;
m  0,1, 2, ... – магнитное квантовое число; k – проекция квазиволнового
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
вектора
Физико-математические науки. Физика
электрона

в
КП

на

ось
a   / m  0 ; a B   / m  B
 


a 12  a 2 /  2 1  a 4 / 4a B4  ;


Oz;
 – магнитная длина; L cn  x  – полиномы
Лаггерра.
Регулярная цепочка D0 -центров в КП моделируется суперпозицией
потенциалов нулевого радиуса:
V  , , z;0,0, pa0   




          z  pa0  1      z  pa0  z  , (5)
p 
где  – мощность потенциала нулевого радиуса; a0 – период цепочки
D0 -центров в КП.
В разд. 1 в рамках обобщенного варианта модели Кронига – Пенни для
полимерной молекулы в КП в виде регулярной цепочки потенциальных ям
нулевого радиуса проводится расчет примесной зоны. Исследуется зависимость ширины примесной зоны от величины внешнего магнитного поля и
параметров структуры. В разд. 2 рассчитывается эффективная масса электрона в примесной зоне, а также первая зона Бриллюэна и рассматривается их
динамика с изменением величины внешнего магнитного поля.
1. Уравнения, определяющие границы примесной зоны
 QW 
Волновая функция  
 , , z  локализованного электрона удовлеB
творяет уравнению Шредингера:
 QW  , , z  E   QW  , , z ,

   

H B  
 
где E    2  2 / 2m
B
B
(6)
B
– собственные значения оператора Гамильтона
H B  H  V  , , z;0,0, pa0  .
С другой стороны, согласно теореме Блоха, волновая функция электрона, находящегося в поле регулярной цепочки D 0 -центров, будет иметь следующий вид:
 QW  , , z 



B


p 
 QW  , , z ,0,0, pa ,

0
exp  iqpa0   
B
(7)
 QW 
здесь q – квазиимпульс электрона в КП;  
 , , z,0,0, pa0  – одноценB
тровые волновые функции.
Используем уравнение Липпмана – Швингера для связанных состояний
электрона в поле регулярной цепочки D0 -центров:
 QW  , , z 



B
 2 
  
 0
0


1d 1d 1dz1G , , z , 1 , 1 , z1; E  
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 QW   ,  , z ,
 1 1 1
V  1 , 1 , z1;0,0, pa0   

где G , , z, 1 , 1 , z1; E 

(8)
B
– одноэлектронная функция Грина к уравнению
Шредингера (6),



 
1
1

G , , z;0,0, pa0 ; E  
exp   2  w t  
3
B



t
0
2 2
3

2  Ed ad 








  z  pa 2  


exp  2wt  2
1
0 

 exp  
2w 1  exp  2wt  exp  
2
2







4
2
1
exp
2
a
t
a
wt

 
d
1 





exp  

 2 w  
1

 exp  
  dt  2 ad
2


t
 4ad t  
2  w 2 w   z  pa0 2   
ad2
2 w   z  pa0 
2


 
 , (9)





где   Ed /  0   L  /  4 U 0  ; L   2 L / ad ; U 0  U 0 / Ed ; 2  E  / Ed ;


w  1  2 a4 ; a  aB / ad ; U 0 – амплитуда потенциала конфайнмента
КП; ad и Ed – эффективный боровский радиус и эффективная боровская
энергия соответственно; aB – магнитная длина.
Приходим к суммам следующего вида:
2exp   pa0* 2  w1 
2  cos qa0  1 exp   a0* 02  w1 

 cos qpa 


 0
*


pa0
p 1
a0*  1  exp  a0* 02  w1  

 





 exp   pa0*
p 1
108
2
a0*
ln 1  exp  a0* 02  w1  ;


exp  a0* 02  w1 


(10)
2  w1  cos  qpa0  
cos qa0 
2


*
2
1  

1  exp  a0 0  w  



Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика

exp  2a0* 02  w1 



 * 2
1  
1  exp  a0 0  w  



2
.
(11)
С учетом соотношений (7)–(11), а также известной процедуры метода
потенциала нулевого радиуса дисперсионное уравнение, определяющее зависимость энергии связанного состояния электрона, локализованного в поле
регулярной цепочки D0 -центров в КП, от величины внешнего магнитного
поля и параметров структуры, как нетрудно показать, будет иметь следующий вид:
1
2exp   a0* 02  w1 

w


i  02  w1 
02  w 2 


2 
*
*
2
1  

a0 1  exp a0 0  w

 





1

w
  cos qa0  1  ln 1  exp  a0* 02  w1  
02  w 2 

 2 
a0*
2
exp   a0* 02  w1  cos qa0  exp  2a0* 02  w1 



,


 * 2
1  
 1  exp   a0 0  w  



2
(12)
здесь a0*  a0 ad .
При qa0  0 и qa0   уравнение (12) распадается на два уравнения,
определяющие границы примесной зоны:
i 

02
w
2 
i 

02
 w
02
1

w
 w
1

2




w
1
2
02
w


1
2

2
a0*
ln 1  exp  a0* 02  w1  


exp   a0* 02  w1   exp  2a0* 02  w1 



 ; (13)
2

1  
 * 2
1  exp  a0 0  w  



w
2 

02
w


1
2
2exp  a0* 02  w1 






a0*  1  exp  a0* 02  w1  

 



1

w
 ln 1  exp  a0* 02  w1  
02  w 2 

 2 
a0*
2
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
exp  a0* 02  w1   exp  2a0* 02  w1 



.


 * 2
1  
 1  exp  a0 0  w  



(14)
2
На рис. 1 представлена зависимость ширины примесной зоны  в КП
на основе InSb от величины внешнего магнитного поля B для различных значений периода цепочки a0* , нормированного на эффективный боровский радиус. Видно, что с ростом величины B ширина примесной зоны уменьшается,
что связано с уменьшением степени перекрытия одноцентровых волновых
функций. Аналогичная ситуация имеет место с ростом периода регулярной
цепочки (ср. кривые 2 и 1 на рис. 1).
Δε, эВ
B, Тл
Рис. 1. Зависимость ширины примесной зоны в КП на основе InSb
от величины внешнего магнитного поля B при U 0  0,3 эВ , Ei  5  103 эВ ,
L  70 нм : 1 – a0  35 нм , 2 – a0  28 нм
2. Эффективная масса электрона в примесной зоне
Используя уравнение (12), можно получить в рамках рассматриваемой
модели выражение для эффективной массы mi электрона в поле одномерной
цепочки D 0 -центров:
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
mi*
2

Ed
  2 (2 ) 


 q 2 


1
.
(15)
q 0
Дифференцируя 2 по q как неявно заданную функцию, получим
mi*
2

Ed
3
 F 

 
2 
  ( ) 
2
2


 F   2 F 
F   2 F
F F  2 F

 
2



  (2 )  q 2
 (2 ) q  (2 )q  q   (2 ) 2 



1
,
(16)
q 0
где
F  2  w1 
2  w 


w
2

1
2
2exp  a0* 2  w1 





*
*
2
1  

a0  1  exp a0   w

 



1

w
  cos qa0  1  ln 1  exp  a0* 2  w1  
2  w 2 
*

 2 
a0
2
exp   a0* 2  w1  cos qa0  exp  2a0* 2  w1 



  .

i
2

*
2
1  

 1  exp  a0   w  



(17)
Для производных в выражении (16) будем иметь
2ad exp  a0* 2  w1 
F



q 1  exp  a* 2  w1 
 0

1




2
1


2
*
w



wa0

 sin qa*a ;
 1
0 d

4 
*
2

1   
1  exp   a0   w   


 






(18)
2ad a0* exp   a0* 2  w1 



2


*
2

1
q
1  exp  a0   w


2 F
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1


2
1  2


*



w
wa
 cos qa* a ;
 1  0
0 d

4 

1  
 * 2
 1  exp   a0   w   


 





1




1


(19)

1



w 
1
 2  w1 2 
2  w 2  2  w1 2 
2
4
 2
F
 


 exp   a0* 2  w1 
exp   a0* 2  w1  



 

cos qa0*ad  1 
2


*
2

1

1  exp  a0   w  
  1  exp   a0* 2  w1  





 
 

 
 
3
3
exp   a0* 2  w1 
2 a*

1
w 
w



0 2  w

2  w 2


2
4
4


1  
*
2
1  exp   a0   w  







1  exp  a0* 2  w1 

 exp  a* 2  w1  cos qa* a  1 ; (20)

 0

0 d
3



*
2
1  

1  exp  a0   w  



 
 
2 F
 
2
  q
 a0*ad

1
1  2
2
  w

3
exp  a0* 2  w1 



1  
 * 2
1  exp  a0   w  




2


sin qa0*ad 

1
1
 a0*2 w 2 ad 2  w exp   a0* 2  w1  
4


1  exp  a0* 2  w1 

 sin qa* a ;

0 d
3

*
2
1  

1  exp  a0   w  




2
 F
1

2
4
 2
 

3
3w 2


3
2
1  2
  w
2

w


2
3
3w 2
8

2

w

w  *
a0 2  w
8


8 1  exp  a0* 2  w1  

 

112



5
2
1

2

(21)
1

1
* 2
1 2 1

  a0   w

2
2




3  exp  a0* 2  w1  

 

 * 2
1   
1 exp  a0   w   

  

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика


3
2
1  2
  w

exp   a0* 2  w1 

 

*
2
1  

1  exp  a0   w  



 5
1 1  exp   a0* 2  w1 
 w 2 a*


 
2
0

  w 2
4

1  
 * 2

1  exp  a0   w  





3
w 2 a0*2

4

7
 * 2
1 
1  exp   a0* 2  w1 
2 a*2 2  exp   a0   w 
w


 

 
0
2
4


1  
*
2


1  
*
2
1  exp   a0   w  
 1  exp  a0   w  







1 3  exp   a0* 2  w1 
3

a0* 2
1


1 2
2
1  2

  w
    w

2


*
2
1   2 
1  exp  a0   w  








exp  a0* 2  w1 



1  
 * 2
 1  exp  a0   w  



2
 cos  qa a   1 .
*
0 d

(22)
Зависимость эффективной массы, нормированной на эффективную
массу электрона в зоне проводимости КП, от периода цепочки a0* и величины
внешнего магнитного поля приведена на рис. 2. Видно, что с ростом величины внешнего магнитного поля эффективная масса примесного электрона возрастает и, когда период регулярной цепочки становится больше эффективного боровского радиуса электрона, эффективная масса в примесной зоне становится равной эффективной массе электрона в зоне проводимости КП.
На рис. 3 представлена динамика первой зоны Бриллюэна с изменением
периода регулярной цепочки D0 -центров в КП. Можно видеть, что с ростом
периода первая зона Бриллюэна вырождается в энергетический уровень.
Таким образом, в работе в рамках обобщенного варианта модели Кронига – Пенни для регулярной цепочки D0 -центров в КП проведен расчет
примесной зоны и исследована ее зависимость от величины внешнего магнитного поля и периода цепочки. Получена аналитическая формула для эффективной массы электрона в примесной зоне и выявлена ее достаточно
сильная зависимость от периода регулярной цепочки D0 -центров и величины
внешнего магнитного поля. Возможность управления шириной примесной
зоны и эффективной массой локализованного электрона открывает определенные перспективы для развития молекулярной электроники на основе отработанной технологии получения полупроводниковых наноструктур.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
mi* mn* 1
0.7
2
1
0.4
0.1
0
0.5
1
2 a0*
1.5
Рис. 2. Зависимость эффективной массы электрона в примесной зоне
от периода цепочки D0 -центров a0* в КП при U 0  0, 2 эВ ,
Ei  7  103 эВ , L  70 нм : 1 – B  0 ; 2 – B  10 Тл
E , eV
0.09
1
2
0.08
3
0.07
0.06
0.05

2
0
2

qa0
Рис. 3. Динамика первой зоны Бриллюэна с изменением периода регулярной
цепочки D 0 -центров при U 0  0, 2 эВ , L  70 нм , Ei  7 103 эВ :
1 – a0  20 нм ; 2 – a0  30 нм ; 3 – a0  50 нм
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
Список литературы
1. К р е в ч и к , В. Д . Математическое моделирование одномерного молекулярного
иона D2 в продольном магнитном поле / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, А. А. Марко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2003. – № 6 (9) –
С. 57–65. – (Естественные науки).
2. К р е в ч и к , В. Д . Термы и магнитооптические свойства молекулярного иона
D2 в квантовой нити / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, А. А. Марко, М. Б. Семенов,
В. Ч. Жуковский // Вестник МГУ им. М. В. Ломоносова. – 2004. – Вып. 5. –
С. 7–10. – (Серия 3. Физика, астрономия).
3. К р е в ч и к , В. Д . Магнитооптические свойства молекулярного иона D2 в квантовой нити / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, А. А. Марко // Физика твердого тела. –
2004. – Т. 46. – Вып. 11. – С. 2009–2103.
4. K r e v c h i k , V . D . The magneto-optical properties of the multi-well quantum strucures
with D2 -centers / V. D. Krevchik, A. B. Grunin, Vas. V. Evstifeev, M. B. Semenov //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2004. – № 6 (15) –
С. 212–219. – (Естественные науки).
5. K r e v c h i k , V . D . Magneto-optical properties of a molecular D2 -ion in quantum
wires / V. D. Krevchik, A. B. Grunin, A. A. Marko // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2004. – № 6 (15) – С. 160–169. – (Естественные
науки).
6. K r e v c h i k , V . D . The magneto-optical of the multi-well quantum structures with
D2 -centers / V. D. Krevchik, A. B. Grunin, Vas. V. Evstifeev, M. B. Semenov,
A. K. Aringazin // Hadronic Journal. – 2005. – V. 28. – № 6. – P. 646–659.
7. Нанотехнологии и магнитооптика полупроводниковых наноструктур с примесными центрами атомного и молекулярного типа : монография / В. Д. Кревчик,
А. Б. Грунин, В. Б. Моисеев, В. А. Скрябин. – Пенза : Изд-во Пенз. технологич.
академии, 2006. – 284 с.
8. К р е в ч и к , В. Д . Оптические свойства квазинульмерных структур с D3 центрами / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. – 2005.– № 6. – С. 179–190. – (Естественные науки).
9. Д е м к о в, Ю . Н . Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике /
Ю. Н. Демков, В. Н. Островский. – Л. : Изд-во Ленинград. ун-та, 1975. – 240 с.
10. З а й м а н, Д ж . Принципы теории твердого тела / Дж. Займан. – М. : Мир, 1974. –
472 с.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of physics
sub-department, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Разумов Алексей Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра общей физики,
Пензенский государственный
педагогический университет
им. В. Г. Белинского
Razumov Aleksey Viktorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of general physics,
Penza State Pedagogical University
named after V. G. Belinsky
E-mail: physics@pnzgu.ru
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Гришанова Валерия Александровна
старший преподаватель, кафедра физики,
Пензенский государственный
университет
Grishanova Valeriya Alexandrovna
Senior lecturer, sub-department of physics,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 539.23; 539.216.1
Кревчик, В. Д.
Модель полимерной молекулы в квантовой проволоке при наличии внешнего продольного магнитного поля / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Гришанова // Известия высших учебных заведений. Поволжский
регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 2 (14). – С. 105–116.
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
УДК 535.32
Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. А. Чиркина
СПИНОВАЯ ДИНАМИКА В РЕШЕТКАХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ
МЕТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОПРОВОЛОК В УСЛОВИЯХ
СКИН-ЭФФЕКТА В ТЕРАГЕРЦОВОМ ДИАПАЗОНЕ ЧАСТОТ
Аннотация. Исследуются особенности спектра спин-волнового резонанса,
обусловленные влиянием скин-эффекта на частоте 30 ТГц в двумерных периодических решетках ферромагнитных металлических нанопроволок (диаметр 2r = 10–25 нм, длина l  300 нм , период нанорешетки a  3,5r , b  1, 25l ,
c = 2r) при различной ориентации вектора постоянного поля подмагничивания

H 0 к оси нанопроволок.
Ключевые слова: спин-волновой резонанс, скин-эффект, периодические решетки, ферромагнитные нанопроволоки, поле подмагничивания.
Abstract. The properties of localized standing spin wave resonances are investigated
for a regular 2D array of ferromagnetic metallic nanowires (10–25 nm diameter,
300 nm long, periodicity a = 3,5r, b = 1,25l), magnetized at different orientation of
the bias magnetic field H0 with respect to the wire axis at the frequency f = 30 GHz.
Keywords: standing spin wave resonances, skin-effect, regular array, ferromagnetic
nanowires, bias magnetic field.
Введение
Уникальные эффекты, которые демонстрируют магнитофотонные кристаллы, привлекают к себе внимание исследователей. Одним из наиболее интересных направлений является изучение способов управления спектральными свойствами таких структур в гигагерцовом и терагерцовом частотных
диапазонах [1, 2]. Использование магнитных материалов в составе фотонных
кристаллов позволяет управлять спектром пропускания фотонного кристалла,
прикладывая внешнее постоянное магнитное поле [2].
В данной работе исследуется спектр спин-волнового резонанса в двумерных периодических решетках ферромагнитных (железных) нанопроволок

при различной ориентации вектора постоянного поля подмагничивания H 0
к оси нанопроволок в условиях скин-эффекта на частоте 30 ТГц. При анализе
спектра в модели учитывается глубина проникновения электромагнитного
поля в ферромагнитный металл и вызванное этим нарушение однородности
распределения намагниченности.
1. Математическая модель и анализ спин-волновых резонансов
в решетке ферромагнитных металлических нанопроволок
Для учета скин-эффекта, существенного в терагерцовом диапазоне для
ферромагнитных металлических нанопроволок с высокой проводимостью,
разработана математическая модель на основе совместного решения уравнений Максвелла и уравнения движения вектора намагниченности в форме
Ландау – Лифшица с учетом обменного взаимодействия [3]. Неоднородное
распределение намагниченности, возникающее в поверхностном слое ферромагнитного металла нанопроволок в решетке с периодом порядка радиуса
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
проволоки (при уменьшении расстояния между нанопроволоками до длины
обменного взаимодействия), требует учета неоднородного обменного взаимодействия в уравнении Ландау – Лифшица.
Получено решение краевой задачи дифракции для ТЕМ-волны





( E  E x0 , H  H y0 с волновым вектором k , частотой  и амплитудой

C1(1)
() ), распространяющейся вдоль оси z (рис. 1), при различной ориента
ции вектора постоянного поля подмагничивания H 0 .
а)
б)
в)
Рис. 1. Дифракция электромагнитной волны на периодической решетке магнитных

нанопроволок: а – ориентация падающей ТЕМ-волны с волновым вектором k ;
б – двумерная решетка намагниченных ферромагнитных нанопроволок;
в – автономный блок с каналами Флоке, содержащий магнитную нанопроволоку
При помощи декомпозиционного вычислительного алгоритма, разработанного на основе автономных блоков с каналами Флоке с магнитными нановключениями (МФАБ) [4], рассчитан модуль коэффициента прохождения
T21 ТЕМ-волны через двумерную периодическую решетку ферромагнитных
нанопроволок (период нанорешетки a  3,5r , b  1, 25l ; диаметр 2 r = 10 нм,
длина нанопроволок l  300 нм ) в зависимости от величины постоянного поля намагничивания H 0 при различной ориентации вектора постоянного поля

подмагничивания H 0 (кривые a–d на рис. 2)) на частоте f  30 TГц .
Расчет выполнен при следующих параметрах ферромагнетика (железо):
намагниченность насыщения 4M 0  21580 Гс , константа обменного взаимодействия A  2, 2  109 Э  см 2 , проводимость   1,03  105 Ом 1  см 1 , параметр диссипации α = 0,0023 [3]. Ферромагнитные нанопроволоки расположены в немагнитной диэлектрической матрице – среде с относительной диэлектрической проницаемостью   5 и относительной магнитной проницаемостью   1 .
Как следует из полученных результатов математического моделирования (рис. 2), зависимости модуля коэффициента прохождения T21
ТЕМ-волны через периодическую решетку магнитных нанопроволок имеют
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
экстремумы (кривые a–d на рис. 2), положение которых не зависит от ориен
тации поля намагничивания H 0 и определяется только величиной H 0 .
|T21|
a
b
c
d
H0, Oe
Рис. 2. Парциальные резонансы и антирезонансы спин-волновых мод
в двумерной периодической решетке ферромагнитных нанопроволок
в зависимости от величины постоянного магнитного поля намагничивания H0

при изменении ориентации H0 : f  30 TГц ; 2r  10 нм ; l  300 нм ; a  3,5r ,
b  1, 25l ; кривые a:   0 ,     90 ; b:   11,5 ,     82 ; c:   70 ,

    72 ; d:   89 ,     56 (  – угол между вектором H 0 и осью ox ;

 – угол между вектором H 0 и осью oy )
Кривые a–d имеют характерные экстремумы, отвечающие спинволновым модам спектра, при этом изменение направления вектора поля на
магничивания H 0 практически не сказывается на положении этих экстремумов и приводит к значительному уменьшению их амплитуды.
Для ферромагнитных металлических нанопроволок толщина скин-слоя
1 определяется равенством [3]

1   /  эф  эф

1/ 2
,
(1)
где  – толщина скин-слоя в металле (при   0 ),  эф  эф  iэф – эффективная скалярная магнитная проницаемость [3], которая зависит от компонентов тензора динамической высокочастотной магнитной проницаемости



  1  4 , здесь  – тензор динамической высокочастотной магнитной восприимчивости [5].


В общем случае компоненты ij (k , ) тензора  являются функциями

не только частоты  , но и волнового вектора k [5]. Это означает, что кроме
частотной дисперсии существует еще и пространственная дисперсия динами
ческой высокочастотной магнитной восприимчивости  ограниченного ферромагнитного образца [5]. И если размеры L (диаметр 2r и длина l) ферромагнитных нанопроволок малы, но не удовлетворяют условию L >> 10–8 м [5], то
пространственная дисперсия существенна и необходимо учитывать зависи-
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

мость тензора динамической высокочастотной магнитной восприимчивости 
ферромагнитного образца с ограниченными размерами от волнового вектора

k . В этом случае тензор динамической высокочастотной магнитной прони
цаемости  не только является функцией частоты, учитывает его магнитные
характеристики, геометрию и ориентацию относительно СВЧ-поля [5], но и
зависит от формы нанопроволок и геометрии магнитной нанорешетки.
При уменьшении размеров нанопроволок и периодичности решетки
(переходе в масштаб длины обменного взаимодействия) тензор динамической
 
высокочастотной магнитной проницаемости (k , ) описывает спектр коллективных мод дипольно-обменных СВ магнитной нанорешетки.
Поглощаемая магнитной нанорешеткой энергия определяется антиэрмитовой частью тензора динамической высокочастотной магнитной вос 
приимчивости (k , ) [4], которая возрастает вблизи резонансных частот, т.е.
собственных частот ω0n различных спин-волновых мод соответствующего
типа и порядка n.
В условиях спин-волнового резонанса дипольно-обменных СВ мнимая
часть эф комплексной эффективной скалярной магнитной проницаемости
 эф  эф  iэф достигает максимума. На частотах спин-волнового резонанса толщина скин-слоя 1 (1) имеет малую величину. И в результате глубина
проникновения электромагнитного поля в ферромагнитный металл уменьшается, поглощаемая магнитной нанорешеткой мощность возрастает.
Минимумы модуля коэффициента прохождения T21 (рис. 2) отвечают
максимумам эф и соответствуют возбуждаемым коллективным дипольнообменным спин-волновым модам в магнитной нанорешетке на частотах ω0n
спин-волнового резонанса в магнитных нанопроволоках, определяемых внут
ренним магнитным полем H 0вн .
Напротив, в условиях антирезонанса, когда эф  0 , эф  0 , модуль
коэффициента прохождения T21 увеличивается и достигает максимума
(рис. 2) в точках, определяемых частотой ферромагнитного резонанса магнитной нанорешетки [1] и зависящих от частот ω0n спин-волнового резонанса
дипольно-обменных мод.
Кривые на рис. 2 иллюстрируют существенное влияние глубины проникновения поля 1 в решетках ферромагнитных металлических нанопроволок в терагерцовом диапазоне, включая появление «окон прозрачности»
вблизи точек антирезонанса, где глубина проникновения поля значительно
увеличивается.
2. Спектр дипольно-обменных спин-волновых мод
в условиях скин-эффекта в терагерцовом диапазоне
Методом МФАБ проведен электродинамический анализ спектра возбуждаемых дипольно-обменных спин-волновых мод в двумерных периодических решетках (рис. 1) ферромагнитных (железных) нанопроволок (диаметр
2r  10 и длина l  300 нм ) на электродинамическом уровне строгости (без
упрощения уравнений Максвелла и граничных условий). Результаты числен-
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
ного моделирования распределения переменной намагниченности спинволновых мод получены с учетом влияния скин-эффекта на частоте 30 ТГц.
Распределение компоненты переменной намагниченности Mφ дипольнообменных спин-волновых мод второго (n = 2) и низшего (n = 1) порядков
в зависимости от координаты r на поперечном сечении нанопроволоки в условиях спин-волнового резонанса и антирезонанса представлены на рис. 3
для различных значений постоянного поля намагничивания H 0 , соответствующих точкам 1–4 на рис. 2.
Mφ / Mφ max
r, нм
Рис. 3. Распределение намагниченности спин-волновой моды второго порядка

в зависимости от радиуса r нанопроволоки: H 0  500 Э ; f  30 TГц ; c  2r ;
b  1, 25l ; a  3,5r ; 2r  10 нм ; кривые 1:   0 ,     90 ; 2:   11,5 ,
    82 ; 3:   70 ,     72 ; 4:   89 ,     56 (  – угол между


вектором H0 и осью ox ;  – угол между вектором H0 и осью oy )
Как показывают результаты строгого математического моделирования,
приведенные на рис. 3, при возрастании величины постоянного поля подмаг
ничивания H 0 дипольно-обменные спин-волновые моды второго порядка
n = 2 (кривые 1, 2 на рис. 3) и низшего порядка n = 1 (кривые 3, 4 на рис. 3)
возбуждаются пространственно однородным полем ТЕМ-волны. Это обусловлено влиянием скин-эффекта на частоте 30 ТГц и нарушением однородности распределения намагниченности в магнитных нанопроволоках решетки, вызванным скин-эффектом. Это радиальные поверхностные спинволновые моды с комплексными волновыми числами [3], имеющие гиперболическое распределение переменной намагниченности (кривые 1–4 на рис. 3),
которое удовлетворяет граничным условиям на поверхности нанопроволоки.
Это распределение (кривые 1–4 на рис. 3) существенно зависит от изменяющейся в условиях спин-волнового резонанса и антирезонанса глубины проникновения электромагнитного поля в ферромагнитный металл.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
В условиях спин-волнового резонанса моды глубина проникновения
поля 1 в ферромагнитный металл резко уменьшается в пределах ширины кривой резонанса (точки 1, 3 на рис. 2), и распределение намагниченности спинволновых мод (рис. 3), возникающее в поверхностном слое ферромагнитного
металла нанопроволок, имеет гиперболическую зависимость (кривые 3, 4
на рис. 3). В условиях антирезонанса глубина проникновения поля 1 в ферромагнитный металл увеличивается в пределах ширины кривой антирезонанса и достигает локального максимума в точках антирезонанса мод (точки 2, 4
на рис. 2). Соответствующее распределение намагниченности спин-волновых
мод имеет почти гармоническую зависимость (кривые 1, 2 на рис. 3).
Результаты более детального анализа спектра спин-волновых мод в условиях антирезонанса для фиксированного значения постоянного поля намагничивания H 0  500 Э (точки 2, 5–7 на рис. 2) представлены для моды
второго порядка (n = 2) на рис. 4.
b
a
Mφ / Mφ max
c
d
r, нм
Рис. 4. Распределение намагниченности спин-волновой моды второго порядка

в зависимости от радиуса r нанопроволоки: H 0  500 Э ; f  30 TГц ; c  2r ;
b  1, 25l ; a  3,5r ; 2r  10 нм ; l  300 нм ; кривые a:   0 ,     90 ;
b:   11,5 ,     82 ; c:   70 ,     72 ; d:   89 ,     56


(  – угол между вектором H0 и осью ox ;  – угол между вектором H 0 и осью oy )
Результаты моделирования показывают, что изменение ориентации


вектора постоянного поля подмагничивания H 0 относительно H 0  H 0 e y ,
направленного вдоль оси ферромагнитных нанопроволок (рис. 1), приводит
к изменению характера мод вследствие уменьшения глубины проникновения
поля 1 в ферромагнитный металл в сравнении с «эффективным» сечением
нанопроволоки по отношению к падающей электромагнитной волне.
Радиальные спин-волновые моды имеют волновые числа k ≥ 1/2r порядка обратного размера 2r; их резонансные частоты лежат в терагерцовом
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
диапазоне, если диаметр нанопроволок 2r < 10 нм. Аксиальные (продольные)
спин-волновые моды имеют меньшие по величине волновые числа k ≥ 1/l порядка обратного размера l (длины нанопроволок), поэтому именно радиальные спин-волновые моды определяют спиновую динамику в решетках ферромагнитных металлических нанопроволок в терагерцовом диапазоне частот.
Расчетные зависимости модуля коэффициента прохождения T21 ТЕМволны через решетку ферромагнитных металлических нанопроволок (рис. 1)
от величины постоянного поля намагничивания H 0 ( H 0  H 0 y0 ) для нанопроволок различных диаметров 2r   (кривые 1–4) на частоте f  30 TГц
приведены на рис. 5. В зависимости от приложенного внешнего постоянного
магнитного поля H 0 коэффициент прохождения T21 имеет два экстремума
(кривые 1–4 на рис. 5), соответствующие возбуждению первой и второй спинволновым мод на частотах ω0n спин-волнового резонанса. При этом положение минимумов и максимумов (в частности первого) зависит также и от соотношения диаметра 2r нанопроволок и их длины l.
|T21|
1
0,8
0,6
1
0,4
2
3
0,2
4
0
10
100
1000

10000
100000
H0 , Э
Рис. 5. Парциальные резонансы и антирезонансы спин-волновых мод в двумерной
периодической решетке ферромагнитных нанопроволок в зависимости от величины
постоянного магнитного поля намагничивания H 0 при диаметре нанопроволок 2r


и периоде решетки a: H 0  H 0 y0 ; f  30 TГц ; a  3,5r , b  1, 25l , c  2r ;
l  300 нм ; кривые 1: 2r  10 нм ; 2: 2r  15 нм ; 3: 2r  20 нм ; 4: 2r  25 нм
Эти минимумы и максимумы расположены, соответственно, в точках
резонанса и антирезонанса, определяемых внутренним магнитным полем

H 0вн [3].
Отношение диаметра 2r нанопроволок к периоду решетки и диаметра
2r нанопроволок к их длине l существенно влияет на анизотропию магнитной

нанорешетки и, соответственно, на внутреннее магнитное поле H 0вн , которое определяется анизотропией формы нанопроволоки и плотностью упаковки нанорешетки [1].
Если мы рассматриваем магнитную нанорешетку с малой плотностью
упаковки (2r = 25 нм кривая 4 на рис. 5), используя модель бесконечно тонкого цилиндра с продольным направлением намагниченности, следует отме-
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
тить, что собственная частота ω0n спин-волновой моды второго порядка n = 2
значительно возрастает [6]. И, соответственно, условия резонанса и антирезонанса [3] для этой спин-волновой моды n = 2 достигаются при больших значениях внешнего магнитного поля H 0 , чем в случае магнитной нанорешетки
2r = 10 нм с высокой плотностью упаковки (кривая 1 на рис. 5).
Между тем условия резонанса и антирезонанса для спин-волновой моды низшего порядка n = 1 с нулевым волновым числом k = 0 не изменяются, и
в зависимости от приложенного внешнего постоянного магнитного поля H 0
не меняется положение соответствующих экстремумов (кривые a–d на рис. 4).
Таким образом, действием внешнего магнитного поля можно изменять
параметры магнитных нанорешеток, добиваться выполнения условий резонансов и, таким образом, управлять распространением и отражением электромагнитных волн.
В магнитных нанорешетках с металлическими наночастицами и нанопроволоками, помимо ферромагнитного резонанса, может осуществляться
еще и антирезонанс, что расширяет возможности управления спектральными
свойствами.
Исследование оптических и магнитных свойств решеток ферромагнитных нанопроволок перспективно для разработки новых электронных компонентов для современных систем связи и обработки информации.
Список литературы
1. P a r d a v i- H o r v a t h , M . Interaction Effects in Permalloy Nanowire Systems /
M. Pardavi-Horvath, P. E. Si, M. Vazquez, W. O. Rosa, G. Badini // J. Appl. Phys. –
2008. – V. 103. – 07D517,.
2. M a k e e v a , G . S . Tuning the Scattering Parameters of Magnetic Nanowire Arrays
Near the Antiresonance at Photonic Frequencies / G. S. Makeeva, M. Pardavi-Horvath,
O. A. Golovanov // IEEE Transaction on Magnetics. – 2009. – Oct. – V. 45. – № 10. –
P. 4074–4076.
3. Г у р е в и ч , А . Г . Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич. Г. А. Мелков. –
М. : Наука, 1994.
4. Г о л о в а н о в , О . А . Метод автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке для математического моделирования магнитных наноструктур с учетом обмена и граничных условий / О. А. Голованов, Г. С. Макеева // Радиотехника и электроника. – 2009. – Т. 54. – № 12. – С. 1421–1428 .
5. А х и е з е р , А . И . Спиновые волны / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский. – М. : Наука, 1967.
6. A r i a s , R . Theory of spin excitations and the microwave response of cylindrical
ferromagnetic nanowires / R. Arias, D. L. Mills // Physical Review B. – 2001. – V. 63. –
Р. 134439.
Макеева Галина Степановна
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра радиотехники
и радиоэлектронных систем, Пензенский
государственный университет,
действительный член Академии
инженерных наук им. А. М. Прохорова
E-mail: radiotech@pnzgu.ru
124
Makeeva Galina Stepanovna
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department of radio
engineering and radio-electronic systems,
Penza State University, full member
of Engineering sciences Academy
named after A. M. Prokhorov
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Голованов Олег Александрович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и начертательной геометрии,
Пензенский артиллерийский
инженерный институт
им. Н. Н. Воронова
Физико-математические науки. Физика
Golovanov Oleg Alexandrovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and descriptive geometry,
Penza Artillery and Military Engineering
Institute named after N. N. Voronov
E-mail: golovanovol@mail.ru
Чиркина Марина Александровна
ассистент, кафедра прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
архитектуры и строительства
Chirkina Marina Alexandrovna
Assistant, sub-department of applied
mathematics, Penza State University
of Architecture and Construction
E-mail: golovanovol@mail.ru
УДК 535.32
Макеева, Г. С.
Спиновая динамика в решетках ферромагнитных металлических
нанопроволок в условиях скин-эффекта в терагерцовом диапазоне частот / Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. А. Чиркина // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 2 (14). – С. 117–125.
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 535.32
О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. А. Чиркина
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В 3D-МАГНИТНЫХ
НАНОКОМПОЗИТАХ НА ОСНОВЕ ОПАЛОВЫХ МАТРИЦ
Аннотация. Предложен декомпозиционный подход к математическому моделированию волновых процессов в 3D-магнитных нанокомпозитах, который
базируется на совместном решении уравнений Максвелла и уравнения движения вектора намагниченности в форме Ландау – Лифшица с учетом обменного
взаимодействия. Получена матрица проводимости автономного блока в виде
прямоугольного параллелепипеда, содержащего диэлектрические наносферы
с внедренными в межсферное пространство магнитными наночастицами и каналами Флоке на гранях. Приводятся результаты электродинамического расчета постоянных распространения электромагнитных волн в магнитных нанокомпозитах на оcнове опаловых матриц в микроволновом диапазоне.
Ключевые слова: декомпозиционный подход, математическое моделирование,
магнитные нанокомпозиты, опаловые матрицы, магнитные наночастицы.
Abstract. The decompositional approach for mathematical modeling of wave processes in 3D-magnetic nanocomposites based on the solution of the Maxwell`s equations complemented by the Landau – Lifshitz equation is proposed. The scattering
matrix of autonomous blocks in the form of a rectangular parallelepiped, consisting
of dielectric nanosphere with magnetic nanoparticles, with Floquet channels was obtained. The results of electrodinamical calculation of the wave number of electromagnetic waves in opal-based magnetic nanocomposites at microwave frequencies.
Keywords: decompositional approach, mathematical modeling, magnetic nanocomposites, opal matrix, magnetic nanoparticles.
Введение
Опаловая матрица с внедренными магнитными наночастицами представляет собой один из наиболее интересных вариантов реализации магнитофотонных кристаллов, систематическое исследование которых начинается
в настоящее время. Перспективными структурами фотонных кристаллов являются правильные упаковки наносфер из различных материалов. В этой области лидируют опаловидные матрицы – правильные кубические упаковки
наносфер SiO2 с диаметрами 180–1200 нм.
Структура типичного образца опаловой матрицы высокого качества
(диаметр наносфер SiO 2 200 нм ) с внедренными в межсферное пространство
магнитными наночастицами показана на рис. 1,а.
Одним из наиболее простых и широко применяемых технологических
способов введения наночастиц магнитоупорядоченных веществ (химических
соединений Fe(NO3 )3  6H 2 O , Ni(NO3 ) 2 , Mn(NO3 ) 2 , Zn(NO3 ) 2 и т.д.) в
опаловые матрацы является метод пропитки [1]. В процессе пропитки водные
растворы солей самопроизвольно за счет капиллярного эффекта заполняют
поры опаловой матрицы. Затем в процессе термообработки происходит термическое разложение нитратов и удаление несвязанной воды.
Одним из возможных способов осуществления управления физическими свойствами нанокомпозитов, созданных на основе опаловых матриц, явля-
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
ется действие магнитного поля на наночастицы магнитоупорядоченных материалов, внедренные в межсферное пространство.
а)
б)
Рис. 1. Магнитный 3D-нанокомпозит на основе опаловой матрицы: а – опаловая
матрица из наносфер SiO2 ; б – разбиение магнитного 3D-нанокомпозита
на автономные блоки: 1 – область магнитных наночастиц; 2 – наносферы SiO2
Для успешного применения магнитных нанокомпонентов в управляемых магнитным полем микроволновых устройствах необходимо добиться
оптимальных условий взаимодействия электромагнитной волны с магнитным
нанокомпозитом, чтобы обеспечить эффективность этого взаимодействия.
Эту проблему можно успешно решить, используя математическое моделирование распространения и дифракции электромагнитных волн в магнитных
3D-нанокомпозитах и микроволновых устройствах на их основе.
1. Математическая модель
Математическую модель волновых процессов в магнитных 3D-нанокомпозитах будем строить при помощи декомпозиционного подхода [2]. Область 3D-нанокомпозита на основе опаловой матрицы (рис. 1,б) расчленяем
условными границами на подобласти (автономные блоки) в виде однотипных
прямоугольных параллелепипедов (рис. 2).
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 2. Волноводный трансформатор в виде прямоугольного параллелепипеда
с виртуальными каналами Флоке на гранях: V0 – основная область;
V  V1  V2  V3  V4 – области диэлектрических наносфер; V0  V – область
магнитных наночастиц; o z (  1, 2, ..., 6) – локальные системы координат
для входных сечений S (граней); a, b, c – геометрические размеры параллелепипеда
Автономный блок (рис. 2) будем рассматривать как волноводный
трансформатор [2], который состоит из основной области V0 (прямоугольный параллелепипед) с присоединенными виртуальными каналами Флоке,
граничащими с основной областью V0 входными сечениями S1 , S2 , ..., S6
(грани параллелепипеда).
Дескриптор АБ (в линейном приближении это матрица проводимости Y)
определяем в результате решения краевой задачи дифракции для уравнений
Максвелла с электродинамическими граничными совместно с уравнением Ландау – Лифшица, в котором учитывается поле обменного взаимодействия [3].
Краевая задача электродинамики для автономного блока (рис. 2), содержащего диэлектрические наносферы и магнитные наночастицы, формулируется следующим образом.
Электромагнитное поле в области V (диэлектрические наносферы) автономного блока должно удовлетворять уравнениям Максвелла:


rot H  i 0  E ,
(1)



rot E  i 0 H ,
где 0 , 0 – электрическая и магнитная постоянные; v ,  – относительная
диэлектрическая и магнитная проницаемости наносфер.
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
В области V0  V (область с магнитными наночастицами) электромагнитное поле удовлетворяет системе уравнений электромагнитного поля, выведенной из уравнений Максвелла совместно с уравнением Ландау – Лифшица, в котором учитывается поле обменного взаимодействия [3]:








rot
H
i
E
,     i
,
0

0 




rot E  i  M  i 0 H ,







 
(2)
(r  i ) M  r 0 H   M 0  H   M 0  H q   M  H 0  0,
 

rot M  F ,


1 
rot F  q H q ,

 
где E , H – векторы напряженности электрического и магнитного полей;


M – вектор намагниченности среды; H q – эффективное магнитное поле обменного взаимодействия;  – относительная диэлектрическая проницаемость;  – электропроводность среды;  – гиромагнитное отношение;
r  H 0 – частота релаксации; 0 – статическая восприимчивость; q –


константа обменного взаимодействия; H 0 , M 0 – постоянные магнитное поле
и намагниченность.
На гранях автономного блока (входные сечения S ) электромагнитное
поле удовлетворяет условиям неасимптотического излучения [5]:






ak ( )  bk ( )  ( E  hk( ) )  dS  (ek ( )  H  )  dS ,
(3)


S
S
k  1, 2, ...,   1, 2, ..., 6,


где ek ( ) , hk ( ) – электрическая и магнитная составляющие компонентов
собственных волн каналов Флоке; k – номер моды собственной волны;  –
номер грани параллелепипеда; ak ( ) , bk ( ) – коэффициенты рядов Фурье;



E 
ak ( ) ek ( ) ,

k 1



H   bk ( ) hk ( ) –

(4)
k 1
представления электрического и магнитного полей на гранях параллелепипеда.
Для решения этой краевой задачи применим проекционный метод [5].


В качестве базисных функций Еk , H k используем системы собственных
   
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
функций прямоугольного резонатора с однородно-периодическими граничными условиями на гранях резонатора. Собственные частоты k и собствен

ные функции Еk , H k резонатора определяются из решения следующей
   
краевой задачи для уравнений Максвелла:


rot H k  i k 0  Ek ,

 и в области V0 ,


rot Ek   i k 0 H k , 




Ek ( S1 )  Ek ( S4 ), H k ( S1 )  H k ( S4 ), 





Ek ( S2 )  Ek ( S5 ), H k ( S2 )  H k ( S5 ),  на гранях,





Ek ( S3 )  Ek ( S6 ), H k ( S2 )  H k ( S6 ) 
(5)
где v ,  – относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости среды диэлектрических наносфер.
Геометрические размеры прямоугольного резонатора (область V0 ) совпадают с геометрическими размерами автономного блока (рис. 2).
Запишем систему уравнений (2) в проекционной интегральной форме
  

(для этого используются уравнения Максвелла (5), тождество brot a  a rot b 
 
 rot (a  b ) и формула Остроградского – Гаусса):

 
 
 
 ( H  Ek )  dS  i 0  E  Ek dV  i k 0 H  H k dV ,

V0
V0
S

 
 
 
  
E
H
dS
i
M
H
dV
i
H
H
dV
i
E
(

)











 Ek dV ,
k
k
k
k
0
0

S
V0
V0
V0
  
 
 F  Ek dV  i k 0 M  H k dV  0,
V
V0
 0
 
 1   
H q  H k dV  i k 0 F  Ek dV  0,
(6)
q
 V0
V0


 



 
(r  i  ) M  H k dV   ( M 0  H )  H k dV   ( M 0  H q )  H k dV 

V0
V0
V0

 ( M  H )  H dV    H  H  dV  0,
0
k
r 0
k

V0
 V0

 S  S1  S2  ...  S6 ,   1, 2, ..., 6; k  1, 2, ..., N ,
















где N – количество учтенных базисных функций в (5).
Применяя метод Галеркина, из проекционной формы (6) и условий неасимптотического излучения (3) получаем
1
1
b  (S 21  S11
 S12  I) 1  (S 21  S11
 S1  I )  a ,

где S 21  M (61)
130
M (62)

0 0 0 ;
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
 M (11)

 M (21)

S11   0

 0

 0
M (12)
0
0
M (22)
M (23)
0
0
M (33)
0
0
0
M (44)
M (52)
M (53)
M (54)

 M (16) 



0 
 0 

M (35)  ; S12   0  .



(45)


0
M




 0 
0 
0
Из (7) следует матрица проводимости автономного блока Y:
1
1
Y  (S 21  S11
 S12  I ) 1  (S 21  S11
 S1  I ) ,
(8)
где I – единичная матрица.
Элементы матриц M (11) , M (12) , M (16) , M (21) , M (22) , M (23) , M (27) ,
M (33) , M (35) , M (44) , M (45) , M (52) , M (53) , M (61) , M (62) определяются
следующим образом:
(16)
(11)
(12)
M kn
 i v kn  i 0 (  v ) Ak n ; M kn
  i k kn ; M kl
()  M k l () ;
(21)
(22)
(23)
M kn
 i k kn ; M kn
 i v kn  i0 (1  v ) Bk n ; M kn
 i  Bk n ;
(27)
(33)
(35)
(44)
1
M kl
()   N kl () ; M kn  i k 0 Bkn ; M kn  Ak n ; M kn  q Bk n ;
(45)
(52)
M kn
 i k 0 Ak n ; M kn
  X k n  r 0 Bk n ;
(53)
M kn
  Yk n  (r  i  ) Bk n ;
(54)
(62)
M kn
  X k n ; M q(61)
( ) n  U q ( ) n ; M q ( ) n   Rq ( ) n ,
где
M k ( m) n( m) 




(hl () (m )  Ek( m) )  dS ;




(el () (m )  H k( m) )  dS ;
S
N k ( m) n( m) 
S
Ak ( m) n( m) 



( En( m)  Ek( m) ) dV ;



( H n( m)  H k( m) ) dV ;
V0 V
Bk ( m) n( m) 
V0 V
X k ( m) n( m) 




( M 0  H n( m) )  H k( m) ) dV ;
V0 V
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион



Yk ( m) n( m) 
( H n( m)  H 0 )  H k( m) ) dV ;

V0 V
U q ( ) n( m) 




( En( m)  hq( ) (m ))  dS ;



((eq ( ) (m )  H n( m) )  dS ;
S
Rq ( ) n( m) 
S
Wk ( m) p (i ) r ( j ) 




( H p (i )  H r ( j ) )  H k( m) ) dV .
V0 V
Компонентами векторов a, b являются коэффициенты рядов Фурье (4).
2. Результаты моделирования распространения волн
в магнитном 3D-нанокомпозите
Дескриптор – матрицу проводимости Y автономного блока – используем для математического моделирования распространения электромагнитных
волн в магнитном 3D-нанокомпозите, рассматриваемом как бесконечная
трехмерная периодическая структура, состоящая из диэлектрических наносфер и внедренных в межсферное пространство магнитных наночастиц (рис. 1).
Постоянные распространения  n электромагнитных волн в этой трехмерной периодической структуре определяем из решения характеристического уравнения [4]:
( n )  YАА  H 1  YВА  YАВ  H  H 1  YВВ  H  0 ,
(9)
где  ( n ) – определитель матрицы; Y , Y , Y , Y – клетки матрицы
YAB 
Y
проводимости автономного блока Y   AA
 ( A – индекс входных
 YBA YBB 
сечений автономного блока S1 , S2 , S3 ; B – индекс входных сечений авто hx

номного блока S4 , S5 , S6 ); H   0

 0
0

0  – диагональная матрица

0 hz 
с элементами hx (l j )  i l j  n a cos  x , hy (l j )  i l j  n b cos  y , hz (l j ) 
 i l j  n c cos  z ;  x ,  y ,  z – направление распространения волнового
0
hy
процесса.
В характеристическое уравнение (9) входят клетки YAA , YBA , YAB ,
YBB матрицы проводимости Y автономного блока, содержащего диэлектрические наносферы и магнитные наночастицы, с виртуальными каналами
Флоке. Поэтому на основе уравнения (9) можно провести электродинамический анализ волн в магнитном 3D-нанокомпозите на основе опаловых
матриц с различной геометрией областей внедренных в межсферное про-
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
странство магнитных наночастиц. Для этого необходимо использовать разработанный вычислительный алгоритм определения матрицы проводимости
Y автономного блока. Расчет матрицы проводимости Y производится в результате решения краевой задачи дифракции (2) для уравнений Максвелла
с электродинамическими граничными условиями, решаемых совместно
с уравнением Ландау – Лифшица, в котором учитывается поле обменного
взаимодействия.
На основе характеристического уравнения (9) с помощью алгоритма
расчета матрицы проводимости Y автономного блока, содержащего диэлектрические наносферы и магнитные наночастицы, с виртуальными каналами
Флоке, проведен электродинамический расчет постоянных распространения
0 электромагнитных волн, распространяющихся в трехмерной периодической структуре, состоящей из диэлектрических наносфер и внедренных в
межсферное пространство магнитных наночастиц (рис. 1,б), в зависимости от
внешнего постоянного поля подмагничивания H 0 на частоте f = 9,375 ГГц.
В модели магнитный 3D-нанокомпозит на основе опаловой матрицы из
наносфер SiO 2 (радиус наносфер r  125 нм , относительные комплексная
диэлектрическая и магнитная проницаемости   4,6  i3  104 ,   1 ) содержит октаэдрические и тетраэдрические межсферные полости (рис. 1,б)
заполненные внедренными магнитными наночастицами. Материал наночастиц Ni0,7Zn0,3 Fe2O4 (намагниченность насыщения 4M 0  21580 Гс ) и
Ni Fe2O4 ( 4M 0  21580 Гс ) с параметрами: комплексная диэлектрическая
проницаемость   9,5  i 0,3 , параметр диссипации   6  103 [6].
На рис. 3, 4 показаны результаты расчета зависимостей действительной
и мнимой частей комплексного коэффициента распространения 0 квазинеобыкновенной волны в магнитных 3D-нанокомпозитах на основе опаловой
матрицы от напряженности внешнего постоянного магнитного поля H 0 (век
тор H 0 перпендикулярен направлению распространения волны).
Как следует из результатов расчета, приведенных на рис. 3, 4, характер
распространения электромагнитных волн в гиромагнитной наноструктурированной среде – магнитном 3D-нанокомпозите – существенно отличается от
случая сплошной ферромагнитной среды.
Из графиков на рис. 3, 4 видно, что квазинеобыкновенная волна в гиромагнитной наноструктурированной среде имеет резонансное поглощение
при значении напряженности магнитного поля H 0 , которое не совпадает
с частотой ферромагнитного резонанса в сплошной ферромагнитной среде
(для частоты f = 9,375 ГГц ферромагнитный резонанс в сплошной ферромагнитной среде наблюдается при H 0  3330 Э [6]).
Разработанный автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда, содержащего диэлектрические наносферы и магнитные наночастицы, и с виртуальными каналами Флоке на гранях является универсальным
базовым элементом для построения математических моделей волновых
процессов в магнитных 3D-нанокомпозитах и микроволновых устройствах
на их основе.
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 3. Зависимость действительной и мнимой частей комплексного коэффициента
распространения  0 от внешнего магнитного поля H 0 : наносферы ( r  125 нм ,
  4,6  i3 104 ,   1 ); магнитные наночастицы Ni0,7Zn0,3 Fe2O4 (   9,5  i0,3 ,
  6  103 , 4M S  5000 Гс ); f = 9,375 ГГц; 1 – Re0 ; 2 – Im 0
Рис. 4. Зависимость действительной и мнимой частей комплексного коэффициента
распространения  0 от внешнего магнитного поля H 0 : наносферы ( r  125 нм ,
  4,6  i3  104 ,   1 ); магнитные наночастицы Ni Fe2O4 (   9,5  i0,3 ,
  6  10 3 , 4M S  3120 Гс ); f = 9,375 ГГц; 1 – Re0 ; 2 – Im 0
Список литературы
1. Р и н к е в и ч , А . Б. Нанокомпозиты на основе опаловых матриц с 3D-структурой, образованной магнитными наночастицами / А. Б. Ринкевич, В. В. Устинов,
М. И. Самойлович, А. Ф. Белянин, С. М. Клещева, Е.А. Кузнецов // Технология и
конструирование в электронной аппаратуре. – 2008. – № 4. – С. 55–63.
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
2. Н и к о л ь с к и й , В. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики /
В. В. Никольский, Т. И. Никольская. – М. : Наука. 1983. – 297 с.
3. Г о л о в а н о в , О . А . Вычислительный алгоритм определения дескрипторов автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 2. – С. 91–101.
4. Г о л о в а н о в , О . А . Математическое моделирование и электродинамический
расчет эффективных параметров магнитных наноматериалов / О. А. Голованов,
Г. С. Макеева, М. В Савченкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2008. – № 4. – C. 124–132.
5. Н и к о л ь с к и й , В. В. Проекционные методы в электродинамике / В. В. Никольский // Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике. –
М. : Высшая школа, 1977. – С. 4–23.
6. Г у р е в и ч , А . Г . Ферриты на сверхвысоких частотах / А. Г. Гуревич. – М. : Гос.
изд. физ.-мат. литер., 1960. – 407 с.
Голованов Олег Александрович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и начертательной геометрии,
Пензенский артиллерийский
инженерный институт
им. Н. Н. Воронова
Golovanov Oleg Alexandrovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and descriptive geometry,
Penza Artillery and Military Engineering
Institute named after N. N. Voronov
E-mail: golovanovol@mail.ru
Макеева Галина Степановна
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра радиотехники
и радиоэлектронных систем, Пензенский
государственный университет,
действительный член Академии
инженерных наук им. А. М. Прохорова
Makeeva Galina Stepanovna
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department of radio
engineering and radio-electronic systems,
Penza State University, full member
of Engineering sciences Academy
named after A. M. Prokhorov
E-mail: radiotech@pnzgu.ru
Чиркина Марина Александровна
ассистент, кафедра прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
архитектуры и строительства
Chirkina Marina Alexandrovna
Assistant, sub-department of applied
mathematics, Penza State University
of Architecture and Construction
E-mail: golovanovol@mail.ru
УДК 535.32
Голованов, О. А.
Электродинамический анализ распространения электромагнитных
волн в 3D-магнитных нанокомпозитах на основе опаловых матриц /
О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. А. Чиркина // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 2 (14). – С. 126–135.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 538.913
А. Л. Семенов, С. С. Моливер
СДВИГ КРИТИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
СПИН-ПАЙЕРЛСОВСКОГО ПЕРЕХОДА
В СИСТЕМЕ С ПРИМЕСЯМИ
Аннотация. Вычислен сдвиг Tc/x критической температуры спинпайерлсовского перехода в квазиодномерном соединении Cu1–xZnxGeO3 при
x << 1. Проведено сравнение с экспериментом.
Ключевые слова: спин-пайерлсовский переход, антиферромагнитная цепочка,
преобразование Иордана-Вигнера.
Abstract. The critical temperature shift Tc/x of the spin-Peierls transition in quasione-dimensional material Cu1–xZnxGeO3 were calculated for x << 1. The comparison
with experiment was done.
Keywords: spin-Peierls transition, antiferromagnetic chain, Jordan-Wigner transformation.
В последние годы значительно вырос интерес к теоретическому [1] и
экспериментальному [2, 3] исследованию свойств спин-пайерлсовских соединений [4]. Эксперименты [5, 6] показали, что в Cu1–xZnxGeO3 увеличение относительной концентрации x << 1 немагнитной примеси Zn снижает критическую температуру Tc спин-пайерлсовского фазового перехода с коэффициентом Tc/x  –200 K. Насколько нам известно, в литературе отсутствует теоретическое объяснение данного экспериментального результата.
Соединение CuGeO3 можно рассматривать как совокупность взаимно
параллельных цепочек магнитных ионов Cu2+ [2]. Каждая цепочка описывается гейзенберговским гамильтонианом
H
N

1
 2 J j, j 1  S j S j 1  4  ,
(1)
j 1
где S j – оператор j-го спина; N – число спинов в цепочке; J j , j 1 – антиферромагнитный обменный интеграл, зависящий от смещений uj магнитных
ионов:
 u j  u j 1 
J j , j 1  b exp 
,
R


(2)
здесь b – обменный интеграл для эквидистантной цепочки; R – эффективный
радиус волновой функции.
Смещение j-го иона цепочки вдоль цепочки при спин-пайерсовском переходе имеет вид
uj 
R
cos  j  ,
2
(3)
где  – параметр удвоения периода одномерного кристалла, характеризующий величину попарного сближения спинов (параметр порядка спин-пайерл-
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
совского фазового перехода). Подставляя соотношение (3) в (2), в случае
  1 получаем

j
 
j
J j , j 1  b exp  1   b 1   1 

(4)
В гамильтониане (1) перейдем от спиновых операторов S j к псевдофермионным aj с помощью преобразования Иордана-Вигнера [4]:
a j  K ( j ) S j , a j  K ( j ) S j ,
(5)
K ( j )  (2) j 1 S1z S2z ...S zj1 ,
(6)
S j  S x  iS y .
(7)
где
С учетом (5)–(7) из (1) получаем
H 
  J j, j 1  J j , j 1  a j a j   J j, j 1 (a j a j 1  a j 1a j )
j
j
2
 J j, j 1a j a j a j 1a j 1
.
(8)
j
Первое слагаемое в (8) является постоянной величиной, которую
можно не учитывать. Последнее слагаемое в (8), описывающее взаимодействие между бесспиновыми псевдофермионами, появляется благодаря члену с S zj S zj 1 в (1). В простейшем приближении, соответствующем XY модели,
этим членом можно пренебречь [10].
Используя метод канонических преобразований Боголюбова [11], гамильтониан (8) приводим к диагональному виду
H
   k  k k
,
(9)
k
где
k    2s / N , s  1, 2, ..., N ,
(10)
 k ,  k – новые фермиевские операторы,
  k   2bsign  cos(k )  cos 2 (k )  sh 2 () –
(11)
закон дисперсии магнитных возбуждений.
Спектр (k) (11) при   0 имеет две зоны, нижняя из которых в основном состоянии полностью заполнена, а верхняя – пустая (низкотемпературная
спин-пайерлсовская фаза). При   0 спектр (11) представляет собой одну наполовину заполненную зону (высокотемпературная спин-пайерлсовская фаза).
В соединении Cu1–xZnxGeO3 немагнитные ионы Zn2+ разбивают цепочку
магнитных ионов Cu2+ на несколько более коротких цепочек, магнитное
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
взаимодействие между которыми отсутствует. Пронумеруем эти цепочки индексом g. Уравнение равновесия для параметра порядка  находим из условия
минимума свободной энергии F:
F
0,

(12)
A2

Fg ;
2
g
(13)
где
F

A – коэффициент жесткости решетки при смещениях ионов (3);
Fg  N g  k BT
   k  
 ,
k BT  

 ln 1  exp 

k
(14)
Fg , , N g – соответственно свободная энергия, химический потенциал и число псевдофермионов в цепочке g; T – температура; k B – постоянная Больцмана.
Суммирование по k в (14) идет в соответствии с (10), где вместо N стоит число ионов N g в цепочке g.
Подставляя (14) в (12), с учетом (3), (14) получаем
A 

g
k
  k 

nk  0 ,
(15)
где

 k    
nk   1  exp 
 

 k BT  

1
–
(16)
распределение Ферми.
С учетом симметрии спектра (11) и отсутствия намагниченности ( = 0)
из (15) при   1 приближенно находим


 k  
1
th 
  4b 2
 A  0 .



2k T
 k
g k  / 2    B 


 
(17)
Переходя в (17) от суммы к интегралу, имеем
  1  x  I  I 0   0 ,
(18)
где
 cos 2 k  2
 
th 


0

/ 2
I
138


dk

;

2
2
cos
k





(19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
I0 
A
,
2bN
(20)
  k BT / b – безразмерная температура.
Анализ показывает, что если нетривиальное решение уравнения (18)
существует, то оно устойчиво. При этом устойчивость тривиального решения
уравнения (18) теряется. Поэтому поведение параметра порядка  в низкотемпературной спин-пайерлсовской фазе, включая точку фазового перехода,
описывается уравнением
I 0  (1  x) I .
(21)
Положив в (21) T = T0,  = 0, x = 0, где T0 – критическая температура
спин-пайерлсовского фазового перехода в отсутствие примеси, получаем
/ 2
I0 
 cos  k   dk
th 
,

0  cos  k 

0

(22)
где 0  k BT0 / b .
Проведенный нами численный анализ показал, что в интересующей нас
области   0, 2 ; 0,16 <   0,24, интеграл (19) хорошо аппроксимируется
функцией
I  a0  a1  a22 ,
(23)
где a0 = 4,2; a1 = 5; a2 = 12. Подставляя (23) в (21), находим равновесное значение параметра порядка :

a1  c   
,
(24)
a   xa0
–
c  1 0
a1 1  x 
(25)
a2
где
безразмерная критическая температура спин-пайерлсовского перехода в системе с примесями.
Из (25) для случая x << 1 с учетом (11) получаем коэффициент сдвига
критической температуры Tc при легировании:
E g a0
Tc
 T0 
,
x
4k B 0 a1
(26)
где E g , 0 – соответственно ширина запрещенной зоны спектра магнитных
возбуждений (11) и параметр порядка спин-пайерлсовского перехода при
T << Tc.
Численные оценки по формуле (26) проведем с использованием следующих характерных для CuGeO3 численных значений параметров [2, 12]:
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
критическая температура спин-пайерлсовского фазового перехода T0  14 K;
ширина запрещенной зоны спектра магнитных возбуждений Eg  2 meV; параметр порядка спин-пайерлсовского перехода 0  0,04. Из (26) имеем
Tc/x  –100 K . Данный результат по порядку величины согласуется с экспериментальным значением Tc/x  –200 K [5, 6].
Список литературы
1. D o b r y , A . Theory of spin-Peierls transition beyond the adiabatic approximation /
A. Dobry, D. C. Cabra, G. L. Rossini // Phys. Rev. B. – 2007. – V. 75 – P. 045122.
2. С м и р н о в , А . И . Магнитный резонанс собственных и примесных дефектов
спин-пайерлсовского магнетика CuGeO3 / А. И. Смирнов // УФН. – 2000. – Т. 170. –
№ 6. – С. 692.
3. П о п о в а , М . Н . Инфракрасная спектроскопия новых спин-пайерлсовских соединений / М. Н. Попова // УФН. – 1999. – Т. 169. – № 3. – С. 353.
4. Бу здин , А . И . Спин-пайерлсовский переход в квазиодномерных кристаллах /
А. И. Буздин, Л. Н. Булаевский // УФН. – 1980. – Т. 131.– № 3. – С. 495.
5. S a s a g o , Y . New phase diagram of Zn-doped CuGeO3 / Y. Sasago, N. Koide,
K. Uchinokura, M. C. Martin, M. Hase, K. Hirota, G. Shirane // Phys. Rev. B. – 1996. –
V. 54. – № 10. – P. R6835.
6. M a r t i n , M . C . Spin-Peierls and antiferromagnetic phases in Cu1-xZnxGeO3: A neutron-scattering study / M. C. Martin, M. Hase, K. Hirota, G. Shirane, Y. Sasago, N. Koide, K. Uchinokura // Phys. Rev. B. – 1997. – V. 56 – № 6. – P. 3173.
7. Е м е л ь ян о в , В. И . Сдвиг температуры фазового перехода металлполупроводник за счет примесей и дефектов / В. И. Емельянов, Н. Л. Левшин,
А. Л. Семенов // ФТТ. – 1989. – Т. 31. – № 10. – С. 261.
8. С е м е н о в , А . Л. Влияние легирования на температуру фазового перехода металл-полупроводник / А. Л. Семенов // ФТТ. – 1994. – Т. 36. – № 7. – С. 1974.
9. С е м е н о в , А . Л. Фотоиндуцированный фазовый переход в системе Пайерлса /
А. Л. Семенов // ЖЭТФ. – 2007. – Т. 131. – № 1. – С. 77.
10. Y u a n , O . Spin-Peierls transition in an anisotropic two-dimensional XY model /
O. Yuan, Y. Zhang, H. Chen // Phys. Rev. B. – 2001. – V. 64. – P. 012414.
11. Бо г о л ю б о в , Н . Н . Введение в квантовую статистическую механику / Н. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов (мл.). – М. : Наука, 1984. – С. 282.
12. R e g n a u lt , L. P . Inelastic-neutron-scattering investigation of the spin-Peierls system
CuGeO3 / L. P. Regnault, M. Ain, B. Hennion, G. Dhalenne, A. Revcolevschi // Phys.
Rev. B. – 1996. – V. 53. – № 9. – P. 5579.
Семенов Александр Леонидович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра радиофизики
и электроники, Ульяновский
государственный университет
Semenov Alexander Leonidovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of radio physics and electronics,
Ulyanovsk State University
E-mail: smnv@mail.ru
Моливер Сергей Соломонович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра теоретической
и математической физики, Ульяновский
государственный университет
E-mail: moliver@post.ru
140
Moliver Sergey Solomonovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of theoretical and mathematical physics,
Ulyanovsk State University
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 2 (14), 2010
Физико-математические науки. Физика
УДК 538.913
Семенов, А. Л.
Сдвиг критической температуры спин-пайерлсовского перехода
в системе с примесями / А. Л. Семенов, С. С. Моливер // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 2 (14). – С. 137–141.
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows версий не выше 2003.
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru, дискета 3,5'', СD-диск) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах.
Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт
статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Тип файла в электронном виде – RTF.
Статья обязательно должна сопровождаться индексом УДК, краткой аннотацией и ключевыми словами на русском и английском языках.
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи выполняются в редакторе формул Microsoft Word
Equation, версия 3.0 и ниже. Символы греческого и русского алфавита должны быть
набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и
матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием
шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. В списке указывается:

для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство,
год издания, том, количество страниц;

для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора,
название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, выпуск, страницы;

для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название
статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, издательство, год, страницы.
В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках которой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.
К материалам статьи должна прилагаться информация для заполнения учетного листа автора: фамилия, имя, отчество, место работы и должность, ученая степень,
ученое звание, адрес, контактные телефоны (желательно сотовые), e-mail.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается.
Рукопись, полученная редакцией, не возвращается.
Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований,
к рассмотрению не принимаются.
142
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа