close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

46.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №1 2010

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 1 (13)
2010
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А. Численное решение задачи
о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых
диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой........................ 2
Каледин О. Е. Программная реализация одной динамической модели,
построенной по статистическим данным............................................................. 14
Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн
в слое с произвольной нелинейностью (I. ТЕ-волны) ........................................ 18
Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Дисперсионные уравнения в задаче
о распространении электромагнитных волн
в линейном слое и метаматериалы ....................................................................... 28
Вандина Н. В., Козлов В. А., Паланджянц Л. Ж. О математической модели
нестационарного движения воды в створе реки Кубань .................................... 43
Долгарев А. И. Получение уравнений траектории движущейся точки
по функциям тангенциального и нормального ускорения ................................. 52
Васин А. В. О базисах, в которых асимптотически оптимальные
схемы функционируют с ненадежностью 5ε....................................................... 64
Бойков И. В., Захарова Ю. Ф. Приближенное решение гиперсингулярных
интегродифференциальных уравнений................................................................ 80
ФИЗИКА
Кревчик В. Д., Разумов А. В., Тюрин Е. А., Пальченков Ю. Д. Модель
кубита на основе полупроводниковой квантовой точки с управляемой
передислокацией двухцентровой волновой функции во внешнем
электрическом поле ............................................................................................... 91
Кревчик В. Д., Разумов А. В., Гришанова В. А. Эффект анизотропной
передачи импульса фотона электронной системе в двумерной ленте,
свернутой в спираль, в условиях внешнего магнитного поля ......................... 101
Кокорева М. А., Маргулис В. А., Пятаев М. А. Резонансы Фано
в электронном транспорте через квантовое кольцо с примесями ................... 109
Никитина Л. А., Иванов Д. К. Оценка стабильности экономических систем
на основе постулата линейной неравновесной термодинамики...................... 126
Овчинников М. Н., Куштанова Г. Г. Спектральные особенности
фильтрационных волн давления в нелинейных средах .................................... 130
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН
В КРУГЛЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ,
ЗАПОЛНЕННЫХ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ
Аннотация. Изучается задача о распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненном средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Задача сводится
к нелинейной задаче на собственные значения для нелинейной интегральной
оператор-функции. Для решения используется метод сжимающих отображений. Представлены численные результаты расчетов.
Ключевые слова: нелинейная среда, распространение электромагнитных волн
в волноводе, задача на собственные значения, интегральные уравнения, численный метод.
Abstract. Problem of propagation of TM-polarized electromagnetic waves in nonlinear dielectric waveguide with circular cross-section is considered. Waveguide filled
nonlinear media with Kerr law. The problem is reduced to the nonlinear eigenvalue
problem for integral operator-function. Contraction type principle is used for solving the problem. Numerical results are presented.
Keywords: nonlinear media, propagation of electromagnetic waves in waveguides,
eigenvalue problems, integral equations, numerical methods.
Введение
Распространение светового луча в однородной нелинейной среде или
в волноведущей структуре с нелинейной средой, описываемой по закону Керра, активно исследуется в течение последних двух десятилетий [1, 2]. Эффекты самофокусировки и «самоканализации» луча в лазерах и оптоэлектронных
устройствах также изучаются и применяются на практике [3]. При распространении резко неоднородной волны – «луча» лазера, в определенных условиях волновому процессу сопутствует образование канала, направляющего
его энергию. В этом случае процесс распространения волны происходит подобно распространению волны в диэлектрическом волноводе с нелинейной
средой, описываемой по закону Керра. Распространение ТЕ-поляризованных
волн в диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой, подробно исследовано в [2, 4–6]. В этих работах были получены аналитические
результаты о существовании распространяющихся волн в волноводе, о локализации постоянных распространения, о сходимости итерационного метода сжимающих отображений. Также были представлены численные результаты расчетов постоянных распространения в зависимости от различных параметров.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
В данной статье изучаются ТМ-поляризованные электромагнитные
волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненном средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Проблема сводится к нелинейной задаче на собственные значения для нелинейной интегральной оператор-функции.
Для решения используется метод сжимающих отображений. Строится
итерационный алгоритм, с помощью которого определяются значения собственных функций и спектрального параметра при соответствующих краевых
условиях. Представлены численные результаты расчетов.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть пространство R3 заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью 1  const . В эту
среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного
заполнения с образующей, параллельной оси Oz , и поперечным сечением
W  {x : x12  x22  R 2 } .
Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени
в виде [1]



E( x, y , z , t )  E ( x, y, z ) cos t  E ( x, y, z )sin t ;



H ( x, y, z , t )  H  ( x, y, z )cos t  H  ( x, y, z )sin t ,
   
где  – круговая частота; E, E , H, H  – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E( x, y , z ), H ( x, y , z ) по формулам


E  E   iE  ;


H  H   iH  .
Везде ниже множители cos t , sin t будем опускать.
Пусть диэлектрическая проницаемость  внутри волновода определяется по закону Керра:
2
  ( 2  a E ) 0 ,
где a и  2 – вещественные положительные константы. Здесь  2 – постоянная составляющая проницаемости  ; a – коэффициент нелинейности. Среда
предполагается изотропной и немагнитной,   0 .
Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль
образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла:
rot H  i E,


rot E  i H,
(1)
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
условиям непрерывности касательных составляющих поля H  и E при переходе через границу волновода и условиям экспоненциального затухания
поля на бесконечности.
Перейдем к цилиндрической системе координат (, , z ) . Тогда уравнения Максвелла примут вид
1 E z E

 iH  ;
 
z
E
z
(2)
E z
 iH  ;


(3)
1 
1 E
E 
 iH z ;
 
 
(4)
1 H z H 

 iE ;
 
z
(5)

H 
z


H z
 iE ;

(6)
1 
1 H 
H  
 iE z .
 
 

В
случае

ТМ-поляризации
предположим,
(7)
что
E  ( E  ,0, E z ),
H  (0, H  ,0) . Тогда из уравнений Максвелла в цилиндрической системе координат следует, что E z  E z (, z ) и E  E (, z ) не зависят от  .
2. Сведение к нелинейной краевой задаче на собственные значения
для системы дифференциальных уравнений
Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн с зависимостью exp  i z  от продольной координаты, где  – вещественная постоянная распространения волны.
 0 , где 0 , 0 – диэлекВнутри волновода полагаем, что   0 ,   
трическая и магнитная проницаемости свободного пространства;
k02  20 0 , k0 – волновое число свободного пространства.
Из уравнений Максвелла, учитывая ТМ-поляризацию, получим нелинейную систему дифференциальных уравнений:

E z
 i0 H  ,
i E 


 H   0  E ,

 1  (H )  i  E .

0 z
  
4
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Выражая из первого уравнения системы H  и подставляя его во второе
и третье уравнения, приходим к системе из двух уравнений:
E z
 2
2
  E  i    k0  E ,


i  1  (E )  1    E z   k 2 E .

 0 z

  
    
(9)
E (, , z )  u1 (,  )eiz , iE z (, , z )  u2 (,  )eiz
(10)
Обозначая
и k22  k0 2 2   2 , получим систему дифференциальных уравнений:
k 2u  u   f ,
2
1
 2 1

1
1

2
  (u1 )  (u2 )  k0  2u2  f 2 ,



(11)
где производная обозначает дифференцирование по  и
2
2
f1  k02 a u u1 , f 2  k02 a u u2 ;
2
2
2
u  u1  u2 , u  (u1 , u2 )T .
(12)
(13)
Будем предполагать, что u1 (,  ), u2 (,  ) – вещественные функции. Вне
волновода решение имеет следующий вид [7]:
u2  Ez  CK 0 (k1) ;
u1  E  

CK 0 (k1) ,
k1
(14)
(15)
i (1)
H (iz ) – функция Макдональда.
2 0
Условия сопряжения на границе раздела сред:
где k12   2  k02 1 , C  const , K 0 ( z ) 
[u2 ]  0 , [ u1 ]  0 .
(16)
Спектральным параметром задачи является  .
Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения, к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных волнах
цилиндрического волновода. Требуется отыскать ненулевые, ограниченные и
непрерывно-дифференцируемые на полубесконечном интервале   0 функции u1 (), u2 () и соответствующие собственные значения  такие, что
u1 (), u2 () удовлетворяют системе уравнений (11), соотношениям (14), (15),
условиям сопряжения (16) и условиям экспоненциального убывания функций
u1 (), u2 () на бесконечности при    .
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. Функция Грина и ее свойства
Рассмотрим систему нелинейных уравнений (11). Из первого уравнения
системы выражаем u1 :
u1 
1
k2
2
( u2  f1 ) ,
и подставляем во второе уравнение:
1
1
1
( u2  f1 ))  (u2 )  k02 2u2  f 2 .
  (
2
 k2

Оно приводится к дифференциальному уравнению второго порядка относительно u2 :
k 2
Lu2  (u2 )  k22u2  2
k0 2  2
 

(f1 )  f 2  ,

k 2

 2

(17)
где линейная часть Lu2  (u2 )  k22u2 включает линейное слагаемое и
производную второго порядка.
Уравнение (17) может быть переписано в виде
(u2 )  k22u2  F , 0    R ,
(18)
 

(f1 )  f 2  .


k02  2  k22

Построим функцию Грина для краевой задачи:
где F () 
k2 2
 LG  (  r ),
G
 0  ограничена, G  R  0,
где дифференциальный оператор определяется формулой
L
d2
d
2

d
 k2 2 .
d
Функция Грина имеет вид [8]
  J 0 (k2) N 0 (k2 r ) J 0 ( k2 R )  J 0 (k2) J 0 (k2 r ) N 0 (k2 R ) 
,   r  R,

J 0 ( k2 R )

(19)
G ( r , )  
2   N 0 (k2) J 0 (k2 r ) J 0 ( k2 R )  J 0 (k2) J 0 (k2 r ) N 0 (k2 R ) 
, r    R.

J 0 ( k2 R )

Функция Грина существует при таких значениях параметров, что
J 0 ( k2 R )  0 .
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
4. Сведение краевой задачи к системе
нелинейных интегральных уравнений
Рассмотрим систему нелинейных уравнений (11). Используя вторую
формулу Грина, получаем представление решения внутри волновода:
R

u2 (r )  G (r , ) F () d   Ru2 ( R  0)
0
G
(r , R) ;

(20)
R
u1 (r ) 
f (r ) R
 
 2G
G (r , ) F ()d   1 
u2 ( R  0)
(r , R) .
r
k22 r 0
k2 2
k2 2

(21)
Вне волновода решение имеет вид (14), (15).
Условия сопряжения на границе раздела сред примут вид
[u2 ]  0 ;
(22)
 2 u1 r  R 0  1 u1 r  R 0  au1 u
2
r  R 0
0.
(23)
Легко видеть, что при умножении в (1) функций E, H на произвольную
константу C0  0 и коэффициента нелинейности a на C0 2 система уравнений Максвелла не изменяется. Это обстоятельство дает возможность выбора
дополнительного условия нормировки. Выберем условие нормировки в виде
C  1 , тогда u2 ( R  0)  K 0 (k1R) и
 2 u1 r  R 0  au1 u
2
r  R 0
 1 

 K 0 (k1R ) .
k1
Отсюда получаем дисперсионное соотношение:
2
(  )   2u1 ( R  0)  au1 ( R  0) u( R  0)  1 

 K 0 (k1R )  0 .
k1
(24)
Применяя условие u2 ( R  0)  u2 ( R  0) , получим систему
R

f (r ) R
 
 2G
u1 (r ) 
(r , R),
G ( r , ) F ()d   1 
u2 ( R  0)
r

k22 r 0
k2 2
k2 2

R

G
(
)
(r , R),
u
r

G (r , ) F ()d   Ru2 ( R  0)
 2


0

(25)

R
R

k22   G

где G (r , ) F ()d  
f1d   Gf 2 d   .

k02 2  k2 2 0 
0
0

После преобразований получим окончательный вид системы интегральных уравнений:
R



7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
R 2
R

2
 G

G
1
u1 (r )  
f1d  
f 2 d  
f1 (r )  h1 ( r ),
2
2
2



r
r

k0  2 k 2 0
k0  2 0
k22

R
R

k2 2

G
f1d  
Gf 2 d   h2 ( r ),
u2 (r )   2
k0  2 0 
k02  2 0




где h1 (r ) 
(26)

R  2G (r , R )
G
K 0 (k1R); h 2 (r )  R
(r , R ) K 0 (k1R ) .

k2 2 r
Для представления системы в виде матричного оператора введем матрицу ядер:
 q11Gr
2
K (, r )  kmn (r , ) m,n 1   
 q21G
q12Gr 

q22G 
(индексы обозначают частные производные) с матрицей
q  1
q
Q   11 12  
 q21 q22   2
(  / k2 ) 2

 

,
k22 
2
а также матричный линейный интегральный оператор    mn m,n1 , связанный с системой (26):
R

g   (, r )g()d  ,
0
T
где g   g1 , g 2  .
Тогда система интегральных уравнений может быть записана в операторном виде
2
2
u  a ( u u)  a J( u u)  h ,
k 2 1
T
где h   h1 , h2  , J  0 
k22  0
нейными.
Будем рассматривать
(27)
0
. Отметим, что операторы Κ, J являются ли0 
уравнение (27) в пространстве непрерывных
функций C[0, R ]  C[0, R ]  C[0, R ] с нормой u
2
 u1
2
2
 u2 .
5. Исследование ядер интегральных операторов
Используя свойства функций Бесселя и Неймана, легко проверить, что
функции k11 (, r ) и k22 (, r ) непрерывны в прямоугольнике   [0, R ]  [0, R ] .
Функции k12 (, r ) и k21 (, r ) ограничены в  и непрерывны в T  \ {0} и
в T  \ {0} , где
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
T   (, r )  ,   r , T   (, r )  ,   r .
В проверке нуждается только поведение функций k11 (, r ) , k22 (, r ) ,
k12 (, r ) и k21 (, r ) в нуле. Вычислим пределы функции Грина и ее производных при r  0,   0 . При x  0 имеем
2 2
2
x
, J 0 ( x)  1 , J 0 ( x)   .
N 0 ( x)   ln , N 0 ( x) 
x
 x
2
Функция Грина имеет вид (19), тогда
lim G
r 0
0
 0 , lim G
r 0
0
 r
 0;
r 


G

1

 k2 J 0 ( k2) N 0 ( k2 r ) J 0 (k2 R )  J 0 (k2 r ) N 0 (k2 R ) ;
r  r 2 J 0 (k2 R )
G


  1 , при r  0,   0 ;
r
r
 r
G

1

 k2 J 0 (k2 r )  N 0 (k2) J 0 ( k2 R)  J 0 (k2) N 0 (k2 R )  ;
r r  2 J 0 (k2 R )
G

r 0 r
 0;
lim
0
r 
G

1

 k2 J 0 (k2)  N 0 (k2 r ) J 0 (k2 R )  J 0 (k2 r ) N0 (k2 R)  ;
  r 2 J 0 (k2 R )
G

r 0 
 0;
lim
0
 r


G

1

 k2 J 0 (k2 r ) N0 (k2) J 0 ( k2 R)  J 0 (k2) N 0 (k2 R) ;
 r  2 J 0 (k2 R )
G

r 0 
1.
lim
0
r 
Для вторых производных находим
 2G
r

r



1
 k2 2 J 0 ( k2) N 0 ( k2 r ) J 0 (k2 R )  J 0 ( k2 r ) N 0 (k2 R) ;
2 J 0 ( k2 R )
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 2G

r 0 r
 0;
lim
0
 2G
r

r 
 r



1
 k22 J 0 ( k2 r ) N0 (k2) J 0 ( k2 R )  J 0 (k2) N 0 (k2 R) ;
2 J 0 ( k2 R )
 2G

r 0 r
 0.
lim
0
r 
Вычисленные пределы доказывают указанные выше свойства ядер интегральных операторов.
Перечисленные свойства ядер позволяют утверждать [9] ограниченность оператора K : C[0, R ]  C[0, R ] . Очевидно, что оператор J : C[0, R] 
 C[0, R ] также ограничен.
6. Итерационный метод решения системы
интегральных уравнений и численные результаты
Приближенные решения u1n (r ), u2n (r ) системы интегральных уравнений (26) могут быть определены с помощью итерационного процесса метода
сжимающих отображений:
u1n 1 (r )  
a 2
R 2

 2 k22 0
2
 G ( r , ) n
 u () u1n ()d  
r 
R

2
2
ak 2
a  G (r , ) n
 u () u2n ()d   0 u n () u1n ()  h1 (r );
2
2
r
k2

0
u2n 1 (r )  
a
R

 2 k22 0
2
G ( r , ) n
 u () u1n () d  

R

2
ak22
G (r , ) u n () u2n ()d   h2 (r ) .
2

(28)
0
Последовательность u1n (r ), u2n (r ) равномерно сходится к решению
системы уравнений (26) вследствие того, что правая часть системы уравнений
(28) определяет сжимающий оператор. Точнее, верна
Теорема 1. Пусть Br0  u : u  r0  – шар радиуса r0 с центром в нуле
и выполнены два условия:
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
q : 3 a r02   J  1 ;
(29)
a r03   J  h  r0 .
(30)
Тогда существует и единственно решение u  Br0 уравнения (27), и последовательность приближенных решений u n системы уравнений (27), определяемых посредством итерационного алгоритма
2
2




u n 1  a  u n u n   a J  u n u n   h




(31)
(или (28)), сходится в норме пространства C[0, R ] к (единственному) точному
решению u  Br0 системы уравнений при любом начальном приближении
u0  Br0 со скоростью геометрической прогрессии с показателем q .
Доказательство. Рассмотрим операторное уравнение u  A(u) с нели-

2
 
2

нейным оператором A(u)  a u u  a J u u  h в пространстве C[0, R ] .
Пусть u, v  Br0 . Тогда

2
2
 
2
2

A(u)  A( v)  a  u u  v v  J u u  v v 
 3 a   J r02 u  v .
(32)
Из оценок (29) и (32) следует, что оператор A является сжимающим
в шаре Br0 .
Так как

2
 
2

A(u)  a u u  a J u u  h  a r03   J  h ,
то при выполнении условия (30) оператор A отображает шар Br0 в себя. Тогда все утверждения теоремы следуют из принципа сжимающих отображений
[9]. Теорема доказана.
Нетрудно видеть, что выбрав достаточно большой радиус шара r0 , чтобы выполнялась оценка h  r0 , а потом выбрав достаточно малое a , можно
удовлетворить оценкам (29) и (30).
Для получения численных результатов решалась система интегральных
уравнений при  j   0  jh0 , j  0, ..., N  1 с некоторым (достаточно мелким) шагом h0 . Затем вычислялось значение (  j ) и определялись отрезки
перемены знака (  j ) . На каждом отрезке значение локализованного корня
уравнения  (  )  0 уточнялось методом дихотомии.
На рис. 1 представлены результаты расчетов в графическом виде.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а)
б)
Рис. 2. Зависимость постоянных распространения  от радиуса волновода.
Выбор параметров: диэлектрическая проницаемость среды вне волновода 1  1 ;
радиус волновода 1,5  R  10 ; волновое число свободного пространства k0  1 ;
диэлектрическая проницаемость среды внутри волновода  2  6 (а),  2  10 (б);
коэффициент нелинейности   0,1 (а),   0,01 (б)
Список литературы
1. E l e o n s k i i , V . M . Cylindrical Nonlinear Waveguides / V. M. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet physics JETP. – 1972. – V. 35. – № 1. – P. 44–47.
2. С м и р н о в , Ю . Г . Численный метод в задаче о распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нели-
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Физико-математические науки. Математика
нейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова // Известия высших учебных
заведений Поволжский регион. – 2003. – № 6. – С. 29–42. – (Естественные науки).
Н и к о л ь с к и й , В. В. Электродинамика и распространение радиоволн /
В. В. Никольский. – М. : Наука, 1978.
S c h u r m a n n , H . - W . Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric
waveguides / H.-W. Schurmann, Y. Smirnov, Y. Shestopalov // Physical Review E. –
2005. – Т. 71. – № 1. – Р. 016614-1–016614-10.
С м и р н о в , Ю . Г . Распространение электромагнитных волн в цилиндрических
диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов,
С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики.  2004.  Т. 44.  № 10.  С. 1850–1860.
С м и р н о в , Ю . Г . Распространение электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов,
Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. –
2006. – № 5. – С. 106–114. – (Естественные науки).
К о р н , Г . Справочник по математике для научных работников и инженеров /
Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 1968.
Ze i d l e r , E . Applied Functional Analysis / E. Zeidler. – Springer, New York, Berlin,
Heidelberg, 1997.
Т р е н о г и н , В. А . Функциональный анализ / В. А. Треногин. – М. : Наука, 1993.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Medvedik Mikhail Yuryevich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: _medv@mail.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: smirnovyug@mail.ru
Хорошева Эльвира Александровна
аспирант, Пензенский
государственный университет
Chorosheva Elvira Alexandrovna
Postgraduate student,
Penza State University
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.9
Медведик, М. Ю.
Численное решение задачи о распространении электромагнитных
ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2010. – № 1 (13). – С. 2–13.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.71
О. Е. Каледин
ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОДНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ, ПОСТРОЕННОЙ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ
Аннотация. Рассматривается задача построения динамических математических моделей реальных процессов на основе статистических данных. Решение
задачи производится с помощью аппарата теории дифференциальных включений. Задача составления управляемого прогноза для реального процесса сводится к задаче оптимального управления. Для решения данной задачи реализован программный пакет «Cone», который по известным статистическим
данным позволяет строить прогноз реальных процессов при наличии управления с функционалом качества или без него.
Ключевые слова: дифференциальное включение, конус возможных решений,
программная реализация, статистическая база данных, прогноз, функционал
качества, управление.
Abstract. The problem of constructing dynamic mathematical models of real processes on the basis of statistical data. The solution is made by means of the theory of
differential inclusions. The task of compiling a controlled outlook for the real process is reduced to the problem of optimal control. To solve this problem, implemented a software package «Cone», which by the known statistical data allows us to
construct forecasts of real processes in the presence of a functional quality control
or without it.
Keywords: differential inclusion, the cone of possible solutions, software implementation, statistical data base, prediction, functional quality, management.
Введение
Построение математических моделей и составление на их основе прогнозов поведения различных процессов является одной из важнейших задач.
С появлением и развитием вычислительной техники это направление получило очень широкое распространение.
На сегодня существует большое количество инструментов для обработки статистических данных, позволяющих строить прогнозы. Так, программные продукты Microsoft Excel, OpenOffice.org, StatSoft Statistica, SPSS и некоторые другие позволяют построить прогноз поведения исследуемого объекта с помощью статистического анализа. Они используют для этого аппарат
теории вероятностей и математической статистики и требуют от пользователя
базовых знаний этих дисциплин. Пакеты MatLab, iThink позволяют строить
прогнозы по статистическим данным на основе статистических, динамических
и нейросетевых моделей, но требуют от пользователя специального математического образования, а также глубоких знаний в области программирования.
Существует также программное обеспечение для решения узкого круга задач,
например, прогнозирование бизнес-процессов: SAP APO, Logility.
В настоящей работе приводится описание программного обеспечения
для построения динамических моделей по известным многолетним статистическим данным. Исследуемые процессы предполагаются «близкими» к периодическим или «сезонными». Если удается выявить величину цикла этих
колебаний, то такую статистическую информацию можно использовать для
составления прогноза с помощью программного пакета «Cone».
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Математическая постановка задачи
Имеются статистические данные базы данных X T0 ,T1 . Предполагается,
что они описывают некоторый процесс x  x(t ), t  T0 , T1  и x  AC T0 , T1  ,
где AC T0 , T1  – класс абсолютно непрерывных функций на T0 , T1 .
Требуется найти все такие абсолютно-непрерывные функции на
T0 , T1  , которые порождают базу данных X T0 ,T1 . Известно [1], что все такие
функции удовлетворяют решению дифференциального включения:
dx
 F (t , x),
dt
где F (t , x) – многозначная функция, которую можно построить, задав ее
«границы» применения. Это дифференциальное включение можно заменить
дифференциальным неравенством [1]:
(t , x) 
dx
  (t , x).
dt
Для построения функций   (t , x) и   (t , x) можно применять различные методы, лишь бы выполнялись условия существования решения задачи Коши для дифференциального включения условия Зарембы [2]. Поэтому
функции  и  предполагаются квазимонотонно неубывающими. Сегмент
T0 , T1 
– это участок, на котором поведение вектора x  x(t ) известно; оно определено статистикой. Повлиять на вектор x  x(t ) уже нет возможности, по-
этому промежуток T0 , T1  называют неуправляемым [1].
На промежутке T1 , T2  в «новом» сезоне необходимо построить прогноз – функцию x  x(t ) , которая описывала бы все возможные поведения
процесса. Исследование поведения решений дифференциальных включений
можно проводить с использованием функционала качества I  I (t , x, u ) и без
него. Здесь предполагается, что на промежутке T1 , T2  имеется возможность
управлять процессом с помощью некоторой функции u  u (t ) из некоторого
класса допустимых управлений K  AC[T1 , T2 ]. Ясно, что x  x(t , x, u ) 
 AC[T1 , T2 ] и на промежутке T1 , T2  удовлетворяет новому дифференциальному включению:
dx
 F1 (t , x, u ).
dt
Задача состоит в том, чтобы построить правую часть этого включения,
а именно, построить квазимонотонные вектор-функции   1 (t , x, u ) и
  1 (t , x, u ) такие, что
1 (t , x, u ) 
dx
 1 (t , x, u )
dt
при всех t  T1 , T2  и допустимых управлениях u  K .
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Решать такую задачу прямыми вычислениями без привлечения численных методов и создания программного обеспечения, по крайней мере, нерационально. Поэтому мы предлагаем для решения поставленных задач (хотя
бы в некоторых частных случаях) использовать специализированное программное обеспечение «Cone». Цель пакета «Cone» – построить границы конуса возможных решений при различных управлениях с заданным функционалом качества и без него.
Структура пакета «Cone»
«Cone» разрабатывается на языке C# [3] в среде Visual Studio 2008 для
использования на платформе .net framework [4]. Использование именно этой
платформы позволяет легко подключать сторонние библиотеки, реализующие численные методы, алгоритмы, визуализацию результатов. Возможности
платформы позволяют выводить результаты работы в виде, пригодном для
использования в других программных продуктах, например, для дальнейшей
обработки в MatLab или для подготовки к публикации в LaTeX.
Пакет «Cone» состоит из нескольких модулей:
1. Модуль ввода исходных данных и настроек для построения решения.
Исходная статистическая информация должна быть представлена в виде
XML-файла или таблицы MS Excel. Использование XML удобно, потому что
практически все современные СУБД, или электронные таблицы, позволяют
сохранять информацию в этом формате. Имеется возможность вносить статистические данные «вручную» в соответствующую форму приложения. После
загрузки данных в приложение выполняются их проверка на корректность и
предварительная обработка.
2. Модуль построения решения. Здесь реализована основная задача программного пакета. Сначала производится вычисление разделенных разностей
и поиск минимальных и максимальных среди них. Затем ищутся решения для
уравнений сравнений. Поиск решений можно осуществлять двумя методами:
– метод «ломаных». Предполагается, что вектор-функции   (t , x) и
  (t , x) являются кусочно-постоянными на соответствующих разбиениях
сетки. В этом случае решения для уравнений сравнения (верхняя и нижняя
границы конуса) – ломаные, составленные из отрезков прямых y  kx  b.
А коэффициенты k и b на каждом участке разбиения определяются из начальных данных;
– нелинейная аппроксимация. Используется в том случае, если
  (t , x) и   (t , x) не являются кусочно-постоянными на соответствующих разбиениях сетки, а выбираются другим способом. В этом случае
для построения конуса возможных решений необходимо решать уравнения
dy
dz
 (t , y ) и
 (t , z ) . По теореме Важевского [5]
сравнения
dt
dt
y (t )  x(t )  z (t ).
Построение решений на управляемом участке можно производить
с функционалом качества и без него. Функционал качества накладывает серьезные ограничения на численные методы решения. В пакете «Cone» для
функционалов вида I 
T2
 f0 (s, x(s), u(s))ds, где
T1
16
f0 – непрерывная функция,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
использован стандартный подход: функционал качества заменяется на сетке
интегральной суммой. В этом случае возникает необходимость решать систему нелинейных алгебраических уравнений.
3. Модуль вывода результатов. После работы модуля построения решения полученные результаты становятся доступны пользователю. Вывод
результата осуществляется в отдельном окне: в виде графика конуса возможных траекторий на неуправляемом и управляемом участках. Также прогноз –
база данных, содержащая значения верхней и нижней границ конуса, и найденные управления отображаются в виде таблицы. Полученные результаты
можно сохранить во внешнем файле, что делает их доступными для использования другими приложениями. В случае многомерной статистической базы
данных при выводе результатов в графическом виде решения отображаются
по каждой координате в отдельном окне.
Нерешенные задачи и возможные доработки:
1) численная реализация принципа максимума Понтрягина для нахождения оптимального управления [6];
2) работа пакета с произвольным функционалом качества;
3) добавление функционалов качества без перекомпиляции приложения.
Список литературы
1. В о с к р е с е н с к и й , Е. В. Анализ баз данных и программных движений /
Е. В. Воскресенский // Труды Средневолжского математического общества. –
Саранск, 2008. – Т. 10. – № 1. – С. 8–13.
2. Ф и л и п п о в , А . Ф. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями и дифференциальные включения / А. Ф.Филиппов // Нелинейный анализ и
нелинейные дифференциальные включения / под ред. В. А. Треногина, А. Ф. Филиппова. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 464 с.
3. Т р о е л с е н , Э . C# и платформа .Net / Э. Троелсен. – СПб. : Питер, 2007. – 796 с. –
(Библиотека программиста).
4. Н э ш , Т. C . 2008: ускоренный курс для профессионалов : пер. с англ. / Т. Нэш. –
М. : Вильямс, 2008. – 576 с.
5. Р у ш , Н . Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс,
М. Лалуа. – М. : Мир, 1980. – 300 с.
6. Ба х в а л о в , Н . С . Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – 6-е изд. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 636 с.
Каледин Олег Евгеньевич
программист, кафедра прикладной
математики, Мордовский
государственный университет
им. Н. П. Огарева
Kaledin Oleg Evgenyevich
Programmer, sub-department of applied
mathematics, Mordovia State University
named after N. P. Ogarev
E-mail: appmath@svmo.ru
УДК 519.71
Каледин, О. Е.
Программная реализация одной динамической модели, построенной по статистическим данным / О. Е. Каледин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 1 (13). – С. 14–17.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.958; 517.927.4
Д. В. Валовик
ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ
С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ (I. ТЕ-ВОЛНЫ)1
Аннотация. Рассматривается краевая задача для системы уравнений Максвелла, описывающая распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном
диэлектрическом слое с произвольной нелинейностью. Проблема приводит
к нелинейной краевой задаче на собственные значения для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи (постоянных распространения).
Ключевые слова: уравнения Максвелла, задача дифракции, нелинейная краевая
задача на собственные значения.
Abstract. Electromagnetic propagation problem of TE-waves in a layer with arbitrary nonlinearity is considered. It was shown that the boundary value problem for
Maxwell equations is reduced to a nonlinear boundary eigenvalue problem for an
ordinary nonlinear differential equation of the 2nd order. Dispersion equation for the
eigenvalues of the problem (propagation’s constants) is obtained.
Keywords: Maxwell equation, diffraction problem, nonlinear boundary eigenvalue
problem.
Введение
Одна из первых известных автору публикаций по распространению
электромагнитных волн в нелинейных волноведущих структурах, в которой
задачи распространения волн рассматриваются в строгой электродинамической постановке, – это работа [1], вышедшая в 1972 г. По крайней мере, с этого времени (см., например [2, 3]) проблемы нелинейной оптики и, в частности, проблемы распространения волн в нелинейных волноведущих структурах вызывают неослабевающий интерес. Однако если задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных волноведущих структурах рассматривать в строгой электродинамической постановке, то они приводят
к нелинейным краевым задачам на собственные значения, для которых на настоящий момент не существует общих методов решения. И даже в случае
конкретных проблем решению они поддаются с большим трудом. Например,
в работе [4] получено дисперсионное уравнение для собственных значений
в случае распространения ТЕ-волн в волноводе с керровской нелинейностью
при достаточно малом коэффициенте нелинейности. Однако дисперсионного
уравнения для случая произвольного коэффициента до сих пор не получено,
несмотря на то, что в течение всего этого периода появлялись публикации по
этой проблематике (см. [4]). Эта задача была поставлена еще в работе [1],
а ведь с момента ее публикации прошло более 30-ти лет. В то же время это
одна из простейших задач для нелинейного волновода. Задача еще более усложняется, если рассматривается распространение ТМ-волн. В этом случае
1
Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
также удалось получить дисперсионное уравнение для достаточно малых
значений коэффициента нелинейности. Автору неизвестны какие-либо строгие математические результаты относительно разрешимости краевых задач
для электромагнитных волн, распространяющихся в цилиндрических волноводах с более сложными нелинейностями. К этим задачам тесно примыкают задачи распространения электромагнитных волн в нелинейном слое. Фактически
это более простые задачи. Но даже такая задача в случае керровской нелинейности и ТМ-волн долгое время не поддавалась решению и была решена лишь
недавно (см. [5, 6]). Для решения задачи использовался подход, разработанный в [5, 6]. Сейчас оказалось, что, используя этот метод, можно рассматривать большинство задач распространения электромагнитных волн в нелинейных слоях с единой точки зрения. Применению этого метода для случая распространения ТЕ-волн в слое с произвольной нелинейностью и посвящена
настоящая работа. Задача для ТЕ-волн в слое с керровской нелинейностью была решена в работе [7], однако там использовалась существенно иная техника.
Фактически там было построено в явном виде решение получающегося уравнения (в эллиптических функциях), что вообще удается сделать редко.
Исследование таких математических моделей важно, поскольку уже
довольно давно [2, 3] известны вещества, в которых наблюдаются нелинейные эффекты третьего и четвертого порядков. Ясно, что с возрастанием мощности излучения (например, лазеров) становятся доступными для экспериментального изучения эффекты все более высоких порядков. С некоторыми
новыми результатами и достижениями в различных отраслях нелинейной оптики можно ознакомиться по работам [8–10].
1. Задача дифракции и уравнения Максвелла
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный,
изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью произвольного типа, расположенный между двумя полупространствами x  0 и
x  h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены
изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1  0 и 3  0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду   0 , где 0 –
магнитная проницаемость вакуума.
Электрическое поле гармонически зависит от времени t и удовлетворяет уравнениям Максвелла
rotH  iE; rotE  iH,
(1)
где E  x, y, z  и H  x, y, z  – комплексные амплитуды [1].
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается следующим
законом:
 ,
   2  0 f E
2
где f  C  0, h  – произвольная функция (некоторые возможные ограничения
на функцию f будут указаны далее);  2  max  1 , 3  – положительные константы. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла
(1), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на
границе раздела сред x  0 , x  h и условию излучения на бесконечности:
электромагнитное поле экспоненциально затухает при x   в областях
x0 и xh.

Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны E  0, E y , 0
где
  T

T
T
, H   H x ,0, H z  ,
– операция транспонирования. Предполагая, что компоненты поля
гармонически зависят от z, H y  H y  x  eiz , E x  E x  x  eiz , E z  E z  x  eiz ,
из (1) получаем систему уравнений [1, 5, 6]
i H x  x   H z  x   iE y  x  ,

 i E y  x   iH x  x  ,

 E y  x   iH z  x  ,
(2)
где  – неизвестный спектральный параметр – постоянная распространения
электромагнитной волны.
После простейших преобразований из системы (2) получаем
 2 E y  x   E y  x   2E y  x  .
Введем обозначения k 2  20 ,   0 , и выполним нормировку в соj
d
d

(j = 1, 2, 3). Полуответствии с формулами x  kx ,
 k ,   ,  j 
k
dx
dx
0
чаем из последнего уравнения
 2 E y  x   E y  x    E y  x  .
Обозначая E y  x   Y  x  и опуская значок тильды, получаем
Y   x    2Y  x   Y  x  .
(3)
Будем искать действительные решения Y  x  для уравнения (3), полагая  действительным (так что E
2
не зависит от z) и считая
1 , x  0,

    2  f Y 2 , 0  x  h,

3 , x  h.
 
(4)
Также будем полагать, что функция Y  x  дифференцируема в слое так,
что Y  x   C  ;     C 2  ; 0   C 2  0; h   C 2  h;    .
Будем искать такие γ, что max  1 , 3    2   2 .
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
2. Решение системы дифференциальных уравнений

Для   1 в полупространстве x  0 из (3) и (4) получаем уравнение

Y    2  1 Y , его общее решение Y  x   A1e
  2 1 x
 Ae
 2 1 x
, в силу
условия на бесконечности получаем
Y  x   A exp  x  2  1  .


(5)
Для   3 в полупространстве x  h из (3) и (4) получаем уравнение


Y    2  3 Y , его общее решение Y  x   B1e
x  h   2 3
 x  h  2 3
 Be  
,
в силу условия на бесконечности получаем
Y  x   B exp    x  h   2  3  .


(6)
Постоянные A и B в (5) и (6) будут определяться граничными условиями.
Внутри слоя 0  x  h система (3) принимает вид
d 2Y
dx 2
 

  2  2  f Y 2 Y .
(7)
Будем рассматривать последнее уравнение как систему, пусть
Y   x   Z  x  , получаем
 

Z   x    2    f Y 2 Y  x  ,
2


Y   x   Z  x  .
(8)
Для системы (8) можно получить первый интеграл и, таким образом,
свести изучение уравнения второго порядка (7) к изучению уравнения первого порядка и первого интеграла, получающихся из системы (8). Найдем первый интеграл. Поделим одно уравнение на другое, получим уравнение
 
2
2
dZ    2  f Y

Y , далее, ZdZ   2   2  f Y 2 YdY  0 . Последнее
dY
Z
уравнение, очевидно, является уравнением в полных дифференциалах. Пусть
F Y , Z  – его решение, тогда
Fz Y , Z   Z , далее получаем

 
 
 
 
 
 
2
d Y 2
d Y 2
Z2  Y
1
2
 Y 
F Y , Z  

. Отсюда
 2   2 
Y и
2
2
2
2
2
d Y
d Y
 
 
 f Y 2 , тогда
Y2
     2  2  f u  du .
Y
 Y
2
0
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Первый интеграл F Y , Z  принимает вид
 
Z2   Y2  C ,
(9)
где C – постоянная интегрирования.
Введем новые переменные:
  x   2  Y 2  x  ,   x  
Y  x
Z  x
 x ,
(10)
из них имеем
2
YZ      2    и Z 2      2  2  .
(11)
Перейдем в системе (8) к новым переменным, последовательно получаем (мы ввели обозначение 0   2  2 )
  


 
 2 
 2  2   2  f Y 2 YZ ,
 Z

   Y 2   2YZ ;
 2
 2

  2  
   2  2
f    2  



   2
  2
  2  2 1  0 
     2  ,
2
2
3
2











   2     2   .

Окончательно получаем

 
  2    2   ,



 2
   2    1  f       3  2 .
2
 0

 2  


(12)
Первый интеграл (9) в новых переменных примет вид
    2  2  
2
   2   C .
(13)
Уравнение (13), вообще говоря, есть трансцендентное уравнение относительно τ. Его решение      легко может быть выписано явно лишь
в исключительных случаях.
Однако если считать (и так можно делать в силу физического характера
нелинейности), что функция f , выражающая нелинейность в слое, является
многочленом относительно напряженности электрического поля, то уравнение (13) есть алгебраическое уравнение относительно  . Вектор поляризации
в материальных уравнения в системе Максвелла имеет разложение в ряд по
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
степеням E ; считая, что нелинейность выражается в виде многочлена, мы
просто обрываем соответствующий ряд. Однако можно подбирать и другие
функции нелинейности, но так, чтобы выполнялись некоторые условия (они
будут приведены далее).
3. Граничные условия и дисперсионное уравнение
Для того чтобы выписать дисперсионное уравнение для постоянных
распространения электромагнитных волн, необходимо найти значения   0  ,
 h  .
Из непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем
h
0
E y  h  0   E y  h  0   E y   Y  h  ; E y  0  0   E y  0  0   E y   Y  0  ;
H z  h  0  H z  h  0 ; H z 0  0  H z  0  0 ;
h
0
Y   h   iH z  h  0   H z   Z  h  ; Y   0   iH z  0  0   H z   Z  0  .
h
где постоянная E z  считается известной.
h
0
Отсюда мы получаем, что B  E y  , A  E y  , Y   h     2  3 B 
h
0
h
h
 H z  , Y   0    2  1 A  H z  . И окончательно, H z     2  3 E y  и
0
0
H z    2  1 E y  .
Из всего вышесказанного получаем искомые выражения в виде
 
   ;
E    

 0 ,  h   
0.
0
  0    2  E y 
E  

 0 
0
y
2
 2
 2  1
2
h
,   h   E y 
2
h
y
2
2
2
(14)
 2  3
Из первого интеграла в форме (13) находим значение постоянной C
при x  h :
 
h
C  E y 
2

 
2

h
 2  3    E y   .


(15)
Теперь из первого интеграла (13), используя (15), мы можем найти
уравнение для   0  :
   0    2  2  0   
2  0 
   0   2    E yh  
2
  2  3      Eyh 
2
,

поскольку значение   0  мы можем выразить через   0  (см. формулы (14)),
то из последнего уравнения получаем окончательно
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
   0   2    2  1       0   2    E yh  
2
  2  3      Eyh 
2
 . (16)

 
2

h
Формально из (16) получаем   0   G  1 , 3 ,  2 ,  2 , E y   .


Ясно, что должно быть   0    2 , поскольку   0   2  Y 2  0   0 . При
некоторых условиях на функцию  корень   0    2 существует. Например,
если   x   a2 n 2 x 2n  2  a2n x 2n  ...  a2 x 2  a0 – многочлен с неотрицательными коэффициентами. Конечно, можно и по-другому выбирать функцию f
так, чтобы функция  обладала нужным свойством. Однако, по-видимому,
многочлен в качестве f с положительными коэффициентами является одной
из наиболее общих нелинейностей для обычных материалов.
Кроме того, мы считаем функцию f таковой, что величина

f   
 0  1  2   0 . Это заведомо справедливо, если в качестве f выступает
 

многочлен с положительными коэффициентами.
Рассмотрим систему (12), правая часть второго уравнения при сделанных предположениях (относительно функции f ) неотрицательна, это значит,
что функция  – неубывающая, но из формул (14) видно, что   0   0 , а
  h   0 . Из этого следует, что функция  необходимо имеет точку разрыва.
Из первого интеграла (13) имеем 2 
    2  2
. Точками разрыва,
C      2 
очевидно, являются нули знаменателя последнего выражения. Причем в этих
 
точках    x :    . Естественно среди всех корней знаменателя рассматриваемого выражения выбирать только те  , которые   2 .
Предположим, что имеется  N  1 точка разрыва x0 ,..., xN на проме-
жутке x   0, h  . Как видно, мы не связываем себя какими-то конкретными
ограничениями на количество нулей знаменателя, таким образом, высказанное предположение является достаточно общим. Позднее будет видно, что N –
конечное число.
Из свойств функции     x  следует, что
  x0  0   ...    xN  0   ,   x0  0   ...    xN  0    .
(17)
1
 

f     2
Введем обозначение          2  0  1 
 3  2 2  , здесь

 2  
 

мы подразумеваем, что      , которое можно получить из первого интегра-
ла (13). Будем искать решение на каждом отрезке  0, x0  ,  x0 , x1  , …,  xN , h  :
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
  x0 

d   x  c0 , 0  x  x0 ;

  x 
  x 

d   x  ci , xi  x  xi 1 , i  0, N  1;

 xi 

  x 

d   x  cN , xN  x  h.

 xN 


(18)

Из уравнений (18), учитывая (17), подставляя x  0 , x  xi 1 , x  xN ,
найдем необходимые константы c1 , c2 , ..., cN 1 :


c0  
d ;

 0 





d   xi 1 , i  0, N  1;
c
 i 1



 h 

cN 1 
d   h.





(19)

С учетом (19) уравнения (18) примут вид
 x0 


d    x 
d , 0  x  x0 ;

 0 
  x 
  x 


d   x  d   xi 1 , xi  x  xi 1 , i  0, N  1;

 xi 


 h 
  x 

d   x 
d   h, xN  x  h.


 xN 





(20)


Введем обозначение
 d   T .
Из формулы (20) следует, что

xi 1  xi  T  0 . Отсюда получается, что число точек, в которых функция 
обращается в бесконечность, конечно на интервале  0, h  . То что T  0 , можно усмотреть из следующего рассуждения. Поскольку интеграл берется от
ограниченной неотрицательной функции и не обращающейся тождественно
в нуль (это следует из того, что ни   0 , ни Z  0 при x   0, h  ), он не мо-
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
жет равняться нулю. Теперь, полагая в уравнениях (20) x таковым, чтобы все
интегралы слева обратились в нуль (т.е. x  x0 , x  xi , x  xN ), сложим все
уравнения (20), получим
 h 

0   x0 

 0 
d   x0  T  x1  ...  xN 1  T  xN  xN 

d   h .

И окончательно получаем
 h 


 h 

d  

d   NT  h или
 0 

 0 
d    N  1 T  h .
(21)
Формула (21) и есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h .
Список литературы
1. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. – 1972. – V. 35. – № 1. – P. 44–47.
2. Ц е р н и к е , Ф. Прикладная нелинейная оптика / Ф. Цернике, Дж. Мидвинтер. –
М. : Мир, 1976.
3. Ш у б е р т, М . Введение в нелинейную оптику : в 2-х т. / М. Шуберт, Б. Вильгельми. – М. : Мир, 1973.
4. С м и р н о в , Ю . Г . Распространение электромагнитных волн в цилиндрических
волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. –
Т. 44. – № 10. – С. 1850–1860.
5. В а л о в и к , Д . В. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных
электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов //
Радиотехника и электроника. – 2008. – T. 53. – № 8. – С. 934–940.
6. В а л о в и к , Д . В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных
волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра /
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2008. – T. 48. – № 12. – С. 2186–2194.
7. S c h u r m a n n , H . W . Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless
nonlinear dielectric film / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov //
Physica D. – 2001. – № 158 (2001). – P. 197–215.
8. Ш е н , И . Р . Принципы нелинейной оптики / И. Р. Шен. – М. : Наука, 1989.
9. А г р а в а л , Г . Нелинейная волоконная оптика / Г. Агравал. – М. : Мир, 1996.
10. Bo y d , R . W . Nonlinear optics / R. W. Boyd. – USA. : Academic Press, 2003.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
E-mail: dvalovik@mail.ru
26
Valovik Dmitry Viktorovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.958; 517.927.4
Валовик, Д. В.
Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (I. ТЕ-волны) / Д. В. Валовик // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 1 (13). – С. 18–27.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.958; 517.927.4
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов
ДИСПЕРСИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В ЛИНЕЙНОМ СЛОЕ И МЕТАМАТЕРИАЛЫ1
Аннотация. Рассмотрена задача о распространении поляризованных электромагнитных волн в линейном слое. Получены и проанализированы дисперсионные уравнения для постоянных распространения. Рассмотрен случай метаматериала как внутри слоя, так и для полупространств, его ограничивающих.
Ключевые слова: уравнения Максвелла, задача дифракции, линейная краевая
задача на собственные значения, линейный слой, метаматериал.
Abstract. Problem of propagation polarized electromagnetic waves in a linear layer
is considered. Dispersion equations for propagation constants are obtained and analyzed. Cases of metamaterial in the layer and in half-spaces are studied.
Keywords: Maxwell equation, diffraction problem, linear boundary eigenvalue problem, linear layer, metamaterial.
Введение
Работа посвящена изучению распространения поляризованных электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в линейном слое, расположенном между двумя
изотропными полупространствами. Несмотря на то, что эта задача является
классической в электродинамике, она еще не исследована в полной мере для
метаматериалов. Заметим, что многие авторы не рассматривают эту задачу (и
подобные ей) как задачу на собственные значения, хотя при такой электродинамической постановке ее необходимо рассматривать именно таким образом.
Основной результат работы – это дисперсионные уравнения для постоянных
распространения. Два из них – это давно известные уравнения, хотя и полученные здесь в большей общности (по одному для каждого типа волн), в одном частном случае они встречаются в [1]. Эти известные уравнения в настоящее время не представляют интереса с точки зрения метаматериалов (поскольку допускают метаматериал только в полупространствах, ограничивающих слой, и не допускают метаматериала в слое). В то же время получено
еще два дисперсионных уравнения (опять-таки по одному для каждого типа
волн), существенно отличающихся по форме от двух упомянутых. Именно
они представляют интерес при изучении метаматериалов. Из одного из этих
уравнений, в частности, следует, что ТЕ-волны не распространяются в слое
с отрицательной диэлектрической проницаемостью. Задача распространения
электромагнитных волн в линейном слое из метаматериала активно изучается
в настоящее время, с некоторыми аспектами исследований можно познакомиться по работам [2–5].
1. Уравнения Максвелла и задача дифракции
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный,
изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью произ1
Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
вольного типа, расположенный между двумя полупространствами x  0 и
x  h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены
изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1  0 и 3  0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума (вообще говоря, математически это
условие не обязательно, это хорошо видно при выводе дисперсионных уравнений). Считаем, что всюду   0 , где 0 – магнитная проницаемость вакуума.
Считаем поля гармонически зависящими от времени в виде [6]
  x, y, z , t   E  x, y , z  cos t  E  x, y, z  sin t ;
E


  x, y, z , t   H  x, y, z  cos t  H  x, y, z  sin t ,
H


,E ,E , H
 , H , H – вещественные искомые
где  – круговая частота; E




функции. Образуем комплексные амплитуды полей E  x, y , z  и H  x, y, z  :
E  E   iE  ; H  H   iH  .
Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.
Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла
rot H  iE; rot E  iH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x  0 , x  h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x   в областях x  0 и
x  h . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид    2 . Будем
искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим
ТЕ-поляризованные
волны

E  0, E y , 0

T
,
T
H   H x ,0, H z  . Предполагая, что компоненты поля гармонически зависят
от z, H y  H y  x  eiz , E x  E x  x  eiz , E z  E z  x  eiz , из (1) получаем систему уравнений
i H x  x   H z  x   iE y  x  ,

i E y  x   iH x  x  ,

 E y  x   iH z  x  ,
(2)
где  – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения
электромагнитной волны).
После простейших преобразований из системы (2) получаем
 2 E y  x   E y  x   2E y  x  .
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Пусть k 2  20 ,   0 , выполним нормировку в соответствии
j
d
d

с формулами x  kx ,
 k ,   ,  j 
(j = 1, 2, 3). Обозначим
dx
dx
k
0
E y  x   Y  x  . Опуская значок тильды, получаем
Y   x    2Y  x   Y  x  .
(3)
Будем рассматривать (3) как систему, положим Y   x   Z  x  :
Y   x   Z  x  ,


2
 Z   x      Y  x  .


(4)
Будем искать действительные решения Y  x  , Z  x  для системы (4).
Полагаем  действительным (так что E
2
не зависит от z).
Также будем полагать, что функция Y  x  дифференцируема в слое так,
что
Y  x   C  ;     C1  ; 0  C1  0; h  
 C1  h;    C 2  ; 0   C 2  0; h   C 2  h;    .
Решение системы дифференциальных уравнений. Для x  0 имеем


  1 , из (4) получаем уравнение Y    2  1 Y
(здесь мы считаем
 2  1  0 , ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное
через синусы и косинусы действительного аргумента и, таким образом, не
сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности). В силу условия на бесконечности получаем решения
Y  x   Ae
x  2 1
Z  x   A  2  1 e
;
x  2 1
.
(5)


Для x  h имеем   3 и из (4) получаем уравнение Y    2  3 Y
(здесь, по тем же причинам, что и при x  0 , мы считаем  2  3  0 ). В силу
условия на бесконечности получаем решения
 x  h  2 3
Y  x   Be  
;
 x  h  2 3
Z  x     2  3 Be  
.
(6)
Постоянные A и B в (5) и (6) определяются граничными условиями.
Внутри слоя   3 и 0  x  h из (4) получаем уравнение
Y   (  2   2 )Y . Здесь мы можем рассматривать два случая:
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
а)  2   2  0 ; общее решение внутри слоя есть
Y  x   C1e
 x  2 2
 C2 e
x  2  2
;

 x  2  2
x  2  2 
Z  x    2   2  C1e
 C2 e
;


(7)
б)  2   2  0 ; общее решение внутри слоя есть
Y  x   C1 sin  2   2 x  C2 cos  2   2 x ;
Z  x    2   2  C1 cos  2   2 x  C2 sin  2   2 x  .


(8)
Граничные условия. Условия сопряжения для полей E и H дают
Y x 0  0 , Y x h  0 ,  Z x0  0 ,  Z xh  0 ,
(9)
где  f  x  
 lim f  x   lim f  x  обозначает скачок функции на
x  x0 x x 0
x x0  0
0
границе раздела сред.
h
Обозначаем Y  h   E y  (известная величина – падающее поле),
0
h
0
0
Y  0   E y  , причем B  E y  и A  E y  . Тогда Z  0    2  1 E y  и
h
Z  h     2  3 E y  .
В случае (а) из условий сопряжения (9) и решений (5)–(7) получаем
систему
 E  0  C  C ,
1
2
 y
 h
h  2  2
 h  2 2
 E y  C1e
 C2 e
,

 2
 0
2
   1 E y     2  C1  C2  ,

  2   E  h    2    C e  h  2 2  C e h  2 2
3 y
2
1
2




,

решая которую, мы получаем дисперсионное уравнение
 2   2   2  1
 2   2   2  1

 2   2   2  3
 2   2   2  3
e
2 h  2  2
,
(10)
где  2  1  0 ,  2   2  0 ,  2  3  0 (анализ этого уравнения в разд. 4).
В случае (б) из условий сопряжения (9) и решений (5), (6), (8) получаем
систему
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 E  0  C ,
2
 y
 h
2
2
 E y  C1 sin  2   h  C2 cos  2   h,
 2
 0
2
   1 E y  C1  2   ,

  2   E  h    2    C cos    2 h  C sin    2 h  .
3 y
2
1
2
2
2



Из последней системы находим
 2   2   2  1  2  3
 2    2      2

1
3
2


sin  2   2 h  cos  2   2 h ,
(11)
если cos  2   2 h  0 , то получаем известное уравнение
tg   2   2 h  


 2   2   2  1   2  3 

,
 2   2   2  1  2  3
(12)
причем  2  1  0 ,  2   2  0 ,  2  3  0 .
Если же условие cos  2   2 h  0 не выполняется, то мы можем записать последнее уравнение через котангенс, однако в этом случае собственные
значения можно выписать явно.
Если cos  2   2 h  0 , то
2
2   
  2n  1
2h
2
и  
4 2 h 2  2  2n  1
4h 2
2
.
Кроме того, из (11) получаем в этом случае  2   2   2  1  2  3 .
Подставляя в последнюю формулу выражение для  2 и выполнив простейшие преобразования, получаем
h
  2n  1
2
2 2  1  3
,
 2  1   2  3 
(13)
причем в силу условий  2  1  0 ,  2   2  0 ,  2  3  0 подкоренное выражение в формуле (13) неотрицательно. Подставляя h из формулы (13)
      
в формулу для  2 , получаем, что  2  1  2 1 2 3 . Решая неравен2 2  1  3
 
 
ство  2  0 , легко получаем, что  2  1  2 3 или  2  3  2 1 .
 2  3  1
 2  1  1
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
3. ТМ-поляризованные электромагнитные волны
Рассмотрим

H  0, H y , 0
компоненты

T
ТМ-поляризованные
, где
поля
  T
T
E   E x , 0, E z  ,
волны
– операция транспонирования. Предполагая, что
гармонически
зависят
от
z,
H y  H y  x  eiz ,
E x  E x  x  eiz , E z  E z  x  eiz , из (1) получаем систему уравнений
  iE x   E  x  2E x ,
  x  
z 
z 

  2  iE x  x    E z  x   2  iE x  x   ,
(14)
здесь  – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения
электромагнитной волны). Введем обозначения k 2  20 с   0 и выd
d

 k ,   ,
полним нормировку в соответствии с формулами x  kx ,
dx
dx
k
j
 j 
(j = 1, 2, 3). Переобозначаем E z  Z  x  , iE x  X  x  и, опуская зна0
чок тильды, систему (14) приведем к виду


 X      2 X  0,


1
 Z  X .


(15)
Будем искать те значения спектрального параметра  , для которых су-
ществуют действительные решения X  x  , Z  x  системы (15),  полагаем
действительным (так что E x
2
и Ez
2
не зависят от z).
Полагаем, что функции X  x  , Z  x  дифференцируемы так, что
X  x   C  ;     C1  ; 0  C1  0; h  
 C1  h;    C 2  ; 0   C 2  0; h   C 2  h;    ;
Z  x   C  ;     C1  ; 0   C1  0; h   C1  h;    .
Решение системы дифференциальных уравнений. Для x  0 имеем


  1 и из (15) получаем уравнение X    2  1 X (здесь мы считаем
 2  1  0 , ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное
через синусы и косинусы действительного аргумента и, таким образом, не
сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности). В силу условия на бесконечности получаем решения
X  x   Ae
x  2 1
, Z  x 
 2  1

Ae
x  2 1
.
(16)
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


Для x  h имеем   3 и из (15) получаем уравнение X    2  3 X
(здесь, по тем же причинам, что и при x  0 , мы считаем  2  3  0 ). В силу
условия на бесконечности получаем решение
 x  h  2 3
X  x   Be  
;
Z  x  
 2  3

 x  h  2 3
.
Be  
(17)
Постоянные A и B в (16) и (17) определяются граничными условиями.
Внутри слоя   3 и 0  x  h из (15) получаем уравнение


X    2   2 X . Здесь мы можем рассматривать два случая:
а)  2   2  0 ; общее решение внутри слоя есть
X  x   C1e
Z  x 
 x  2 2
 C2 e
x  2  2
;
 2  2 
x  2  2
 x  2  2
 C2 e
 C1e



;

(18)
б)  2   2  0 ; общее решение внутри слоя есть
X  x   C1 sin  2   2 x  C2 cos  2   2 x ;
Z  x 
2   2 
2
2 
 C1 cos  2   x  C2 sin  2   x  .



(19)
Граничные условия. Условия сопряжения для полей E и H дают
X x0  0 , X xh  0 ;
 Z  x 0  0 ,  Z  x  h  0 ,
(20)
 lim f  x   lim f  x  обозначает скачок функции на
где  f  x  
x  x0 x x 0
x x0  0
0
границе раздела сред.
h
Обозначаем Z  h   E z  (известная величина – падающее поле),
0
Z  0   E z  ,
X  0 

2
причем
B
0
E z  и X  h   

2
  3

2
h
E z 
h
E z  .
и
A

2
  1
0
E z  .
Тогда
  1
  3
В случае (а) из условий сопряжения (20) и решений (16)–(18) получаем
систему
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
 2   A  2   C  C ,
1
2 2
1


2
 E  h      2  C e  h  2 2  C eh  2 2
 1
2
 z



1 A   2  C1  C2  ,

 
 h  2  2
h  2  2 
 C2 e
  3 B.
 2  C1e

 

,

Решая последнюю систему, мы получаем дисперсионное уравнение
1  2   2   2  2  1 3  2   2   2  2  3
2 h  2  2
,

e
1  2  2   2  2  1 3  2   2   2  2  3
(21)
где  2  1  0 ,  2   2  0 ,  2  3  0 (анализ этого уравнения в разд. 4).
В случае (б) из условий сопряжения (20) и решений (16), (17), (19) получаем систему
 2   A    2 C ,
1
2
1


2
 E  h    2    C cos    2 h  C sin    2 h  ,
 1

 z
2
2
2




 A   C ,
2 2
1
 
2
2 
 2  C1 sin  2   h  C2 cos  2   h   3 B.
Из последней системы находим
2
cos  2   h 


13  2   2   22  2  1  2  3
 2  2   2  3  2  1  1  2  3 


sin  2   2 h , (22)
если cos  2   2 h  0 , то получаем известное уравнение
 2  2   2  3  2  1  1  2  3 

,
tg  2   h 
2
2
2
2
13  2     2   1   3
2


(23)
где  2  1  0 ,  2   2  0 ,  2  3  0 .
Если же условие cos  2   2 h  0 не выполняется, то мы можем записать последнее уравнение через котангенс, однако в этом случае можно получить более простое уравнение для собственных значений.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Если cos  2   2 h  0 , то
2
2   
  2n  1
2h

2
и  
4 2 h 2  2  2n  1
4h 2
2
.

Из (22) получаем 13  2   2   22  2  1  2  3 . Подставляя в последнее уравнение выражение для  2 и выполнив простейшие преобразования, получаем уравнение
2
 
13  
2 2  1  3
1

p 
p
1 
 0
 2  1   2  3   2  1   2  3    22  


2
и
p
4h 2
2  2n  1
2
,
где  2  1  0 ,  2   2  0 ,  2  3  0 .
Теперь еще нужно учесть, что p , найденное из квадратного уравнения,
должно быть положительным.
4. Анализ дисперсионных уравнений
Во всех четырех дисперсионных уравнениях (10), (12), (21) и (23) из
условий  2  1  0 и  2  3  0 следует, что 1 и 3 могут быть произвольных знаков (именно об этом шла речь в разд. 1). В настоящее время с практической точки зрения представляет интерес лишь случай 1  0 и 3  0 , где
0 – диэлектрическая проницаемость вакуума, поэтому мы не будем слишком подробно останавливаться на рассмотрении случаев, отличных от упомянутого. Ясно, что классические уравнения (12) и (23) вообще не допускают
метаматериала в слое, поскольку при их выводе используется условие
 2   2  0 , а значит,  2  0 . В этом отношении указанные уравнения не
представляют интереса с точки зрения изучения метаматериалов.
ТЕ-волны (уравнения (10) и (12)). Уравнение (10) запишем в виде
h
 2    2  
 2   2   2  3
2
1

ln 

2  2   2   2   2   2  1
 2   2   2  3
1
Видно, что в (24)
 2   2   2  1
 2   2   2  1
1 и

.


 2   2   2  3
 2   2   2  3
(24)
 1.
Поскольку множитель перед логарифмом в (24) положителен, то в этом случае всегда h  0 . Но h обозначает толщину слоя, поэтому такой случай физически не реализуется.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Перейдем к уравнению (12), которое является классическим и при
1  3 приведено в [1]. Из условия  2   2  0 сразу получаем, что  2  0 (из
этого и рассмотрения уравнения (10) следует, что в случае ТЕ-поляризации
волн в линейном слое с отрицательной диэлектрической проницаемостью не
существует!). Если представить (12) в форме
 2   2   2  1   2  3 

,
h
arctg

2
2
2
2
2
2  
2  
 2      1   3
  n  1
1
то легко показать, что n  0 – целое число.
Из последней формулы ясно, что прямая  2   2 является асимптотой.
Из формулы (12) видно, что, вообще говоря, все допустимые значения  лежат в промежутке от   2 до 2 . Если 1  0 и 3  0 , то  принимает все
значения из этого промежутка (рис. 1). Пусть условие 1  0 и 3  0 не выполняется. Обозначим   max  1 , 3  , ясно, что в этом случае 0     2 .
Тогда  принимает все значения из множества

 
2 ,   
 , 2

(рис. 2).

2
0
5
10
15
h
20
Рис. 1. 1  3 , 2  2 , 3  4
ТМ-волны (уравнения (21) и (23)). Из уравнения (21) получаем
h
  2     2    2     2  
2
2
3
2
2
1
ln  1
 3

2
2
2
2
2
2    2  1    2   2   1 3    2   2   3
1

 , (25)


где выполняются условия  2  1  0 ,  2   2  0 ,  2  3  0 .
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

5
0
5
10
h
20
15
Рис. 2. 1  1 , 2  5 , 3  1,5
Здесь, если 1  0 ,  2  0 , 3  0 , то величина под знаком логарифма
по модулю меньше 1 и опять получаем отрицательное значение для h . То же
самое верно и при 1  0 ,  2  0 , 3  0 . В остальных случаях может получиться как отрицательное значение h , так и положительное (одна из возможностей представлена на рис. 3).

20
10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
h
0.3
Рис. 3. 1  2 ,  2  5 , 3  1
Наиболее интересным кажется случай 1  0 ,  2  0 , 3  0 ( 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума), тогда  2  max  1 , 3   1 . Здесь возможно провести более полный анализ уравнения (21). Сразу заметим, что поскольку
38
при
указанных
условиях
1  2   2   2  2  1
1
1  2   2   2  2  1
и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
3  2   2   2  2   3
 1 , то величина под знаком логарифма в (25) по
3  2   2   2  2  3
модулю всегда больше единицы. Значит, нам лишь осталось указать условия,
при которых указанная величина положительна. Формулу (21) можно привести к виду

 
12  2   2   22  2  1

  2     2   
 1
2
2
1


2


 
32  2   2   22  2  3

  2     2   
 3
2
2
3


2
e
2 h  2  2
. (26)
Из формулы (26) ясно, что числители дробей в левой части (23)
должны одновременно иметь одинаковые знаки. Преобразуем (26) следующим образом:

  1   2   3   2   2  1   2   1 2  2  3   2   3 2
1
h
ln 
2
2
2
2    2     2      2       2      2   
 1
2
2
1  3
2
2
3
 

 




  .(27)



В последнем выражении представляют интерес только множители
2
 1  2   12 


и  2  3   2   3 2 , все остальные множители положи-
тельны. Значит, указанные два множителя должны быть либо оба отрицательны, либо оба положительны. Если они оба отрицательны, то из этого сле
 
  
дуют условия  2  1 ,  2  3 и  2  max  1 , 3 , 1 2 , 3 2  (см.

1   2 3   2 

 
 
рис. 4). Но 1 2  1  2  1 и 3 2  3  2  3 , окончательно получа1   2
3   2
 1
3
,
ем, что  2   2  max 
    
 1 2 3 2
чае lim h  0 .

 . Нетрудно показать, что в этом слу
 2 
Если же оба указанных множителя положительны, то имеется четыре
случая:
а)  2  1 ,  2  3 и  2  max  1 , 3  . В этом случае есть вертикальная
асимптота h  0 (поскольку под знаком логарифма в (25) число, большее
единицы, а множитель перед логарифмом стремится к бесконечности);
 
б) 3   2  1 и max  1 , 3   1   2  3 2 . Тогда получаем, что
3   2
1 
3  2
 
. При  2  3 2 получаем мнимые значения для h ;
3   2
3   2
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
в) 1   2  3 и max  1 , 3   3   2 
3 
1  2
. Тогда получаем, что
1   2
1  2
 
. При  2  1 2 получаем мнимые значения для h ;
1   2
1   2
 1
3
,
г)  2  1 ,  2  3 и max  1 , 3    2   2  min 
    
 1 2 3 2
Каждая из указанных возможностей показана на рис. 5–8.
40

 .


35
30
25
20
15
10
0 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
h
Рис. 4. 1  3 ,  2  5 , 3  2 ( 2  1 и 2  3 )
50

40
30
20
10
h
0 0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
Рис. 5. 1  3 , 2  1 , 3  2
Перейдем к уравнению (23), это уравнение является классическим и
при 1  3 приведено в [1]. Все, что было получено в этом разделе для уравнения (12), справедливо и для уравнения (23). Качественное поведение дисперсионных кривых такое же, как на рис. 1, 2.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
35
Физико-математические науки. Математика

30
25
20
15
10
5
0
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
h
Рис. 6. 1  3 ,  2  2 , 3  1,9

6
5.5
5
4.5
0 0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
h
1.6
Рис. 7. 1  2 ,  2  3 , 3  4
80

70
60
50
40
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
h
Рис. 8. 1  3,9 ,  2  4,1 , 3  4
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Список литературы
1. S n y d e r , A . Optical Waveguide Theory / A. Snyder, J. Love. – London : Chapman
and Hall, 1983.
2. Ша тро в , А . Д . О разрешимости задач возбуждения плоскослоистых сред из
метаматериалов / А. Д. Шатров // Радиотехника и электроника. – 2007. – Т. 52. –
№ 8. – С. 909–916.
3. Ша тро в , А . Д . Электродинамический анализ линзы Пендри / А. Д. Шатров //
Радиотехника и электроника. – 2007. – Т. 52. – № 12. – С. 1430–1435.
4. Ш е в ч е н к о , В. В. К волновой теории плоской линзы из отрицательного материала / В. В. Шевченко // Радиотехника и электроника. – 2008. – Т. 53. – № 9. –
С. 1121–1127.
5. Б а н к о в , С . Е. Аналитическое исследование фокусировки электромагнитного
поля линзой Веселаго / С. Е. Банков // Радиотехника и электроника. – 2009. –
Т. 54. – № 2. – С. 133–143.
6. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii,
L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. – 1972. – V. 35. – № 1. –
P. 44–47.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Valovik Dmitry Viktorovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: dvalovik@mail.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
Smirnov Yury Gennadyevich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
E-mail: smirnovyug@mail.ru
УДК 517.958
Валовик, Д. В.
Дисперсионные уравнения в задаче о распространении электромагнитных волн в линейном слое и метаматериалы / Д. В. Валовик,
Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2010. – № 1 (13). – С. 28–42.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
УДК 532.5.013
Н. В. Вандина, В. А. Козлов, Л. Ж. Паланджянц
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНОГО
ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В СТВОРЕ РЕКИ КУБАНЬ
Аннотация. Изучается дифференциальное уравнение Риккати, возникшее из
системы уравнений Сен-Венана, описывающей движение воды в открытых
руслах. Исследуемое уравнение сводится к линейному дифференциальному
уравнению второго порядка, и затем применяются методы теории мультипликативного интеграла. Проведено качественное исследование поведения интегральных кривых. Численные методы подтверждают полученные результаты.
Ключевые слова: система уравнений Сен-Венана, уравнение Риккати, фундаментальная матрица, качественное исследование, численные методы.
Abstract. Riccati equation which has arisen from Saint-Venant equation system describing fluid motion in open channels is considered. The investigated equation is
reduced to linear differential second-order equation, and then the methods of the
theory of multiplicate integral are applied. The qualitative behavioral research of integral curves is constructed. Numerical methods confirm the received results.
Keywords: Saint-Venant equation system, Riccati equation, fundamental matrix,
qualitative investigation, numerical methods.
Построение и изучение математических моделей, позволяющих осуществить расчет и прогноз характеристик речного стока, является одной из важных задач гидравлики открытых потоков. При этом движение жидкости
в общем случае является неустановившемся и характеризуется изменением во
времени параметров потока в любом створе русла.
Неустановившееся движение воды в открытых руслах описывается системой уравнений Сен-Венана, представляющей собой объединение уравнения
динамического равновесия и уравнения неразрывности для потока движущейся жидкости [1, 2]:
 v v 1 v h
v 2 n2


 j
,

4/3
 g l g t l
h

v h
 h
v l  h l  t  0,
где t – время; l – пространственная координата, ориентированная по направлению движения; j – уклон дна русла; g – ускорение свободного падения; n – коэффициент шероховатости; v(l , t ) – средняя по сечению скорость
потока; h(l , t ) – глубина русла.
Рассмотрим данную систему применительно к створу реки, т.е. будем
h
v
считать
0 и
 0 . При заданных условиях система уравнений Сенl
l
Венана в частных производных приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению в полных производных
dv
gv 2 n 2
 gj 
,
dt
h4 / 3
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
которое представляет собой математическую модель неустановившегося движения воды в гидрометрическом створе реки и является уравнением Риккати.
При установившемся движении глубина потока неизменна (h  const)
в любой момент времени t . В этом случае общее решение данного уравнения
выражается в элементарных функциях с помощью разделения переменных и
имеет вид
1
v
n
2 
2


3
jh th ngh 3



j t  C   ,


где C – произвольная постоянная.
Частное решение v  v(t ) может быть получено при заданном начальном условии v  v0 при t  t0 .
Рассмотрим створ реки Кубань в районе города Армавира. Коэффициент шероховатости n был найден по справочным таблицам, уклон j определен
путем продольного нивелирования русла реки и представления эмпирической
зависимости высоты русла над уровнем моря от длины реки с последующим
ее дифференцированием [3], средняя глубина потока в периоды между паводками известна по данным измерений (n = 0,043, j = 0,00113, h = 2,6801 м).
При стационарном движении уравнение принимает следующий вид:
dv
0,01839v 2
 0,011082 
.
dt
(2,6801)4 3
При заданном начальном условии v(0)  1, 4969 решением уравнения
является функция
v(t )  1,5084  th(0,0073t  2,777) ,
графическая интерпретация которой представлена на рис. 1.
1,49720
1,49715
v, м/с
1,49710
1,49705
1,49700
1,49695
1,49690
1,49685
0
10000
20000
30000
40000
t, c
Рис. 1. График скорости установившегося движения жидкости
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Качественная картина поведения решений с произвольными начальными данными представлена на рис. 2.
v
t
Рис. 2. Качественная картина поведения решений уравнения
при установившемся движении жидкости
Наибольший интерес представляет случай неустановившегося движения, т.е. когда глубина h является функцией времени t .
Тогда уравнение Риккати запишется в виде
dv
gv 2 n 2
 gj 
.
dt
h(t ) 4 / 3
Мы рассматриваем створ реки Кубань в районе города Армавира.
Функция h(t ) была найдена по результатам аппроксимации экспериментальных данных, полученных при прохождении паводковой волны в Управлении
по делам ГО и ЧС, с коэффициентом детерминации R2 = 0,9013.
Математическая модель нестационарного движения жидкости в данном
створе описывается дифференциальным уравнением при начальном условии
v(0)  1, 4969 :
dv
b 2
a
v ,
dt
c (t )
(1)
где a  0,011074, b  0,01568, c(t )  (5,314  109 t 2  0,00019  t  2,6569) 4 3 .
Решение этого уравнения является главной целью нашего исследования.
Сведем уравнение (1) к линейному дифференциальному уравнению
второго порядка.
1
Замена z  приводит уравнение (1) к виду
v
z   az 2 
b
.
c(t )
(2)
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Сделаем замену: z 

 () 2
, z 

. Тогда уравнение (2) запишетa
a a 2
ся в виде
 () 2
() 2
b

 a

a a2
a 2 2 c(t )
или
 
ab
.
c (t )
(3)
a
сводится

к линейному дифференциальному уравнению второго порядка (3).
Таким образом, уравнение (1) с помощью замены v 
Введем обозначения: a2  5,314  109 , a1  0,00019, a0  2,6569 .
Тогда уравнение (3) запишется в виде
 
ab
(a2t 2  a1t  a0
4
)3
.
Найдем начальные условия. Из соотношения v 
a
следует, что

a(0)
, откуда в качестве начальных условий на решение  можно
(0)
взять следующие условия:
v(0) 
(0)  v(0), (0)  a .
Введем обозначение:
u
ab
(a2t 2  a1t  a0
4
)3
.
(4)
Запишем уравнение (3) в виде системы с учетом обозначения (4):

   0 1  
  
  .
 y  u 0  y 
(5)
Запишем решение системы (5) с помощью фундаментальной матрицы Φ:
 0 
 
     y  ,
 y
 0
(6)
где 0  (0)  v(0), y0  (0)  a .
Фундаментальная матрица линейной системы (6) (матрицант, или
мультипликативный интеграл) имеет следующее дифференциальное представление (см., например, [4, с. 40]):
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика


y
  y22kk12
1
y2 k 1  t k 1
.

y2k  (k  1)!
(7)
Отметим, что в общем случае имеет место равенство

 y2k 1   0 1   y2k 1   y2k 1 



.

 y2 k  2   u 0   y 2 k   y 2 k 
Таким образом, получаем последовательность ys , s  1, 2, ... :
0,1,1, 0, 0, u , u , u ,  u ,  2u , u   u 2 , 3u   u 2 ,  u   4uu ,  4u   6uu ...
Вычисления показывают, что имеет место равенство
u  
4 2a2t  a1
u .
3 a2t 2  a1t  a0
Это обстоятельство позволяет упростить ряд (7), поскольку производные от функции u можно заменить через функцию u.
Для удобства дифференцирования введем обозначение:
f 
4 2a2t  a1
.
3 a2t 2  a1t  a0
Тогда u   f  u , u   ( f   f 2 )  u , u   ( f   3 ff   f 3 )  u , ..., где все
производные будут рациональными функциями от t .
Подставив эти производные в равенство (7), после некоторых преобразований для фундаментальной матрицы   (ij ), i, j  1, 2 , получаем ряд по
степеням t , коэффициенты которого зависят от u (t ) .
Следовательно, частное решение уравнения (1) представляется в следующем виде:
v(t ) 
a  (11  v(0)  12  a)
.
 21  v(0)   22  a
Действительно, 11 (0)  1 , 12 (0)  0 ,  21 (0)  0 ,  22 (0)  1 ,
v(0) 
a  (1  v(0)  0  a ) a  v(0)

 v(0) .
a
0  v(0)  1  a
При построении графика решения с данными начальными условиями
необходимо учесть то обстоятельство, что в зависимости от степени приближения знаменатель дроби может обратиться в нуль. Поэтому целесообразно построить график решения на некотором интервале вблизи начальных условий.
Проведем качественное исследование решений уравнения (1) (см., например, [5, с. 65–80]). Запишем уравнение (1) в виде
b
ac  
ac 
v    v 
   v 
.
c
b  
b 
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Найдем функции, при которых производная решений обращается
в нуль:
1,2  


2/3
a
.
a2t 2  a1t  a0
b
(8)
Область определения функций (8) представляет собой интервал, заключенный между корнями уравнения:
a2t 2  a1t  a0  0 .
Нетрудно посчитать, что t  (t1 , t2 ) , где t1  1,075  104 , t2  4,660  104 .
За этим интервалом функции (8) не определены. На концах отрезка
1 (t1 )   2 (t2 )  0 , в чем можно убедиться непосредственной проверкой.
Имеют место неравенства:
0  1  m1 , m1   2  0 .
Кривые 1 и  2 достигают экстремума в точках с абсциссами
a
tmax   1  1,787  104 . При этом m1  max 1  1,6 и  m1  min  2  1,6 .
2a2
Область допустимых решений разбивается кривыми 1 и  2 на три
области, внутри которых решение является монотонной функцией.
Поведение решений определим по знаку производной:
1  v, v  0, v(t ) – убывает на (t1 , t2 ) ;
 2  v  1 , v  0, v(t ) – возрастает на (t1 , t2 ) ;
v   2 , v  0, v(t ) – убывает на (t1 , t2 ) .
Для нахождения точек перегиба вторую производную решений приравняем нулю:
v 
2b 2
c 1
c 1



v v 
c2  16ac  v 
c2  16ac   0 .


2
2
2
2
2
b
b
b
b



c
c 1
c 1

c2  16ac , 2   
c2  16ac .
2b 2b
2b 2b
Отметим, что 1 (t1 )  1 (t2 )  0 , 2 (t1 )  2 (t2 )  0 .
Кривые 1 ,  2 , 1 , 2 разбивают область допустимых значений решений на пять областей, в каждой из которых можно установить монотонность
и выпуклость решений уравнения:
1) 1  v;
2) 1  v  1;
3)  2  v  1;
4) 2  v   2 ;
5) v  2 .
Обозначим 1  
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
На рис. 3 кривые 1 ,  2 , 1 , 2 изображены пунктирными линиями.
v
t
Рис. 3. Качественная картина поведения решений
v(t )
уравнения (1) при условии
1. Рассмотрим решение
v(t0 )  m0  1 (t ) при t  t0 .
Пусть   0 − малое число. Рассмотрим интервал (t1  , t2  ) . Обозначим 1 ()  1 (t1  ), 2 ()  1 (t2  ) , ()  min(1 , 2 ) .
Тогда имеет место оценка: 1 (t )  ()  0 при t  (t1  , t2  ) .
С учетом того, что  2  m1 , получаем
0  v  1  v   и 0  v   2  v  m1 ,
откуда следует, что
(v  1 )(v   2 )  (v  )(v  m1 ) ,
и, следовательно,
b
b
 (v  1 )(v   2 )   (v  )(v  m1 ) .
c
c
Таким образом, если v  v (t ) – решение уравнения
b
v   (v  )(v  m1 ) , v (t0 )  M 0 ,
c
(9)
то будет v(t )  v(t ) , и, следовательно, при t  t0 имеем v(t )  v (t ) .
Но из уравнения (9) находим
1



dt  
dt  
v     m1 exp  (m1  )b
 1  exp  ( m1  )b
 .
c(t )  
c(t )  





49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Оценим решение v (t ) с таким расчетом, чтобы не нарушить неравенство v(t )  v (t ) .
Имеет место оценка: c(t )  max c(t )  cmax  0 при t  (t1  , t2  ) .
dt
1

 (t  t0 ) , откуда после некоторых преобраСледовательно,
c(t ) cmax
зований получаем следующую оценку для функции v (t ) :


  ( m  )b
 ( m  )b


v     m1 exp   1
(t  t0 )   1  exp    1
(t  t0 )   




cmax
cmax

  
  


1
.
Так как правая часть последнего неравенства стремится к  при
t  t0 , то и v   при t  t0 , и, следовательно, v   при t  t0 ; и так
как правая часть последнего неравенства стремится к  при t  t0 , то v  m
при t  t0 , где m   , и, следовательно, v  m  m при t  t0 .
2. Рассмотрим решение v(t ) уравнения (1) при условии 1  v(t )  1 ,
v(t0 )  m0 , где 1  m0  1 при t  t0 . В данной области решения остаются
монотонно убывающими, но меняют выпуклость на кривой 1 (t ) . В дальнейшем семейство этих решений разделяется на два подсемейства в зависимости от того, пересекают ли интегральные кривые кривую 1 (t ) один раз
или два раза. В первом случае интегральные кривые стремятся к нулю, а во
втором случае – к некоторой постоянной.
3. Внутри области  2  v  1 интегральные кривые возрастают и на
границах области достигают экстремумов. Учитывая знаки второй производной, выясняем, что на кривой 1 достигаются максимумы, а на кривой  2 −
минимумы. При входе и после выхода из области  2  v  1 интегральные
кривые монотонно убывают.
Отметим, что численные расчеты, проведенные для уравнения (1) с начальными данными из этой области, подтверждают поведение решений.
Случаи 4 и 5 аналогичны случаям 1 и 2.
Таким образом, качественная картина поведения решений уравнения
(1) приведена на рис. 3.
Список литературы
1. Ш те р е н л и х т, Д . В. Гидравлика / Д. В. Штеренлихт. – М. : Энергоатомиздат,
1984. – 640 с.
2. Г р у ш е в с к и й , М . С . Неустановившееся движение воды в реках и каналах /
М. С. Грушевский. – Л. : Гидрометеоиздат, 1982. – 288 с.
3. С е м е н ч и н , Е. А . Метод расчета параметров потока на основе решения системы дифференциальных уравнений, описывающей нестационарное движение воды
в русле реки / Е. А. Семенчин, Н. В. Вандина // Экологические системы и приборы. – 2009. – № 4. – С. 16–20.
4. П а л а н д ж я н ц , Л. Ж . Геометрия мультипликативного интеграла / Л. Ж. Паланджянц. – Майкоп : Качество, 1997. – 94 с.
5. Е р у г и н , Н . П . Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. – Минск : Наука и техника, 1972. – 664 с.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Вандина Наталья Валерьевна
аспирант, Ставропольский
государственный университет
Vandina Natalya Valeryevna
Postgraduate student,
Stavropol State University
E-mail: vandina-n-v@rambler.ru
Козлов Владимир Анатольевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, заведующий кафедрой
математического анализа, Армавирский
государственный педагогический
университет
Kozlov Vladimir Anatolyevich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor, head
of sub-department of mathematical analysis,
Armavir State Pedagogical University
E-mail: shagin196@yandex.ru
Паланджянц Левон Жирайрович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей математики
и системного анализа, Майкопский
государственный технологический
университет
Palandzhyants Levon Zhirayrovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher mathematics
and system analysis, Maykop State
Technological University
E-mail: levonmgtu@rambler.ru
УДК 532.5.013
Вандина, Н. В.
О математической модели нестационарного движения воды в створе реки Кубань / Н. В. Вандина, В. А. Козлов, Л. Ж. Паланджянц // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2010. – № 1 (13). – С. 43–51.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 514 + 531
А. И. Долгарев
ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТРАЕКТОРИИ
ДВИЖУЩЕЙСЯ ТОЧКИ ПО ФУНКЦИЯМ
ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО И НОРМАЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ
Аннотация. Описано получение уравнений траектории движения точки по касательному и нормальному ускорению. Использованы методы 3-мерной геометрии Галилея.
Ключевые слова: методы геометрии Галилея, тангенциальное и нормальное
ускорение.
Abstract. Are described obtaining a equations of trajectory motion point by tangential and normal acceleration. Are use methods of geometry 3D Galilean space-time.
Keyword: methods of Galilean geometry; tangential and normal acceleration.
Движение материальной точки считается заданным, если известен способ определения положения точки в любой момент времени по отношению
к выбранной системе отсчета, т.е. известен закон кинетического движения
[1, с. 115]. Рассматриваем движение точки с двумя степенями свободы – движение в плоскости. Считаем, что в плоскости задана система отсчета Oxy
 
 
репером B  (O, i , j ) , точка O – начало отсчета; i , j – единичные взаимно

перпендикулярные векторы, координатные оси таковы: Ox  O, i  ,

Oy  O, j  ; каждая ось задается началом отсчета и базисным вектором. Положение материальной точки M в системе отсчета Oxy определяется ее ко
ординатами x и y : M  ( x, y ) ; имеется разложение вектора OM по векторам
 
базиса Б = (i , j ) :
  
OM = xi  yj ;
Б – базис векторного пространства плоскости.
Если точка M движется, т.е. изменяется ее положение во времени, то
координаты точки являются функциями времени
x  x(t ), y  y (t ) ;
(1)
время t изменяется в некотором интервале I = [t0 , t1 ] , принадлежащем оси
времени R, которая совпадает с множеством действительных чисел.

Вектор r (t ) определяет положение точки M (t )  ( x(t ), y (t )) на плоско
сти Oxy . Координаты вектора r (t ) в базисе Б совпадают с координатами
точки M (t ) в репере В:

r (t ) = ( x(t ), y (t )) , t  I ;
(2)
в разложении по базису Б:



r (t ) = x(t )i  y (t ) j .
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Функции (1) задают кинематический закон движения точки, являются
параметрическими уравнениями движения точки M в декартовых прямоугольных координатах [1, с. 116]; величина t называется параметром точки
M (t ) ; всякое значение t из интервала I однозначно определяет положение
 
точки M (t ) . Линия (2) на плоскости  O, i , j  , заданная уравнениями (1),
называется траекторий движения точки M ; (2) есть векторное задание траектории движения и (1) называются уравнениями траектории точки M . Это
координатное задание движения точки.
Рассматривая момент времени t и положение точки M (t ) в этот момент времени, мы имеем упорядоченную тройку величин
(t , x(t ), y (t )) ;
а в каждый фиксированный момент времени t  t0 имеем тройку чисел
(t0 , x(t0 ), y (t0 )) . Всевозможные тройки чисел (t , x, y ) заполняют 3-мерное
пространство. Смысл первой компоненты t троек есть время; вторая и третья
компоненты троек имеют пространственный смысл. Имеется 3-мерное пространство-время с 1-мерным временем. Такое пространство-время с 1-мерной
осью времени R, пространственной составляющей которого является евклидова
плоскость Ε2 , называется пространством-временем Галилея и обозначается
Γ3 ; оно является прямой суммой оси времени R и евклидовой плоскости Ε2 :
Γ3 = R + Ε 2 .
В описании пространства-времени Галилея используется [2].
Точки (t , x, y ) пространства Галилея Γ3 называются еще событиями.
Двигаясь во времени, точка (t , x, y ) заполняет некоторую линию, она называется мировой линией события (t , x, y ) . Если известно положение ( x(t ), y (t ))
точки в каждый момент времени t , то тем самым определяется галилеева
векторная функция
 (t ) = (t , x(t ), y (t )) ,
(3)
это векторное задание мировой линии движущейся точки M  ( x, y ) .
Проекция мировой линии  (t ) на евклидову плоскость Ε2 , т.е. на
плоскость Oxy , является траекторией (2) движения точки M и дает закон
движения точки по траектории.

Единичный вектор направления времени обозначаем e . В пространстве  
времени Галилея Γ3 имеем репер В = (O, e , i , j ) . Пусть P  P (t ) – произвольная точка мировой линии  (t ) , ее координаты в репере В:
P (t ) = (t , x(t ), y (t )) .

Имеется однозначное разложение вектора  (t ) = OP
  
Б = (e , i , j ) :

  

 (t ) = te  x(t )i  y (t ) j = te + r (t ) .
по базису
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Слагаемое te является временной составляющей мировой линии дви


жения материальной точки M ( x, y ) , сумма r (t ) = x(t )i  y (t ) j является пространственной составляющей мировой линии движения точки; таким образом, траектория движущейся точки есть пространственная составляющая мировой линии движения точки. Вместе с тем получается закон движения точки, так как параметром траектории точки является время.
Производная  (t ) галилеевой векторной функции  (t ) по времени такова:
 

 =  (t ) = e + r (t ) = e + ( x (t ), y (t )) = (1, x (t ), y (t )) ,
это галилеев вектор единичной длины (см. ниже п. 1.1), его модуль постоянен
и не зависит от времени, т.е. время вдоль кривой течет равномерно. Евклидов
вектор

dr 




r (t ) = ( x(t ), y (t )) =
= v (t ) = v
(4)
dt
есть вектор скорости движения точки по ее траектории, величина скорости
равна

v = v = x 2  y 2 .
(5)
Имеется зависимость между вектором касательной к мировой линии
движения точки и вектором касательной к траектории движения точки:
 
 =e +v .
Вектор ускорения движения равен производной по времени вектора
скорости:


dv d 2 r 
 

=
= r (t ) = ( 
x(t ), 
y (t )) = 
r,
(6)
a = a (t ) =
dt dt 2
это евклидов вектор. Величина ускорения равна


r = 
x 2  
y2 .
a = a = 
(7)

Траектория r (t ) движущейся точки лежит в евклидовой плоскости Ε2
пространства Галилея Γ3 . В этой же плоскости лежит единичный вектор


нормали n траектории движения. Вектор ускорения a (t ) однозначно разла

гается по взаимно перпендикулярным единичным векторам t и n , где


 v
r
t =  =  – единичный вектор касательной к траектории:
v
r



a (t ) = at (t ) t + an (t ) n ,
(8)
величина at (t ) называется касательным (тангенциальным) ускорением точки,
величина an (t ) называется нормальным ускорением точки. Из механики известно:
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
at (t ) =
dv
, an (t ) = k e v 2 ,
dt
(9)

см., например, [1, с. 130–131]; k e – кривизна евклидовой кривой r (t ) ,
ke =
x 
y  y 
x
( x 2  y 2 )3 2
.
Разложение (8) существует и для координатного задания траектории, а

не только для задания в естественной форме r ( s ) , где естественный параметр
s точки есть длина пройденного точкой пути по траектории движения от некоторого начального положения.
Геометрические свойства пространства-времени Галилея Γ3 изучает
геометрия Галилея. Она рассматривает, в частности, и свойства мировых линий движений материальных точек. Основы геометрии Галилея 3-мерного
пространства содержатся в [3]. Приведем из [3] необходимые сведения.
1. Кривые 3-мерного пространства Галилея
1.1. Пространство-время Галилея
Основой пространства-времени Галилея Γ3 является аффинное пространство A3 , [2]. Векторы пространства A3 записываются с выделением

первой компоненты в виде x = ( x, x1 , x 2 ) . Скалярным произведением векторов


 
x и y = ( y , y1 , y 2 ) по [3] называется число x y , определяемое равенствами
   xy , если x  0, или y  0;
x y= 1 1
2 2
 x y  x y , если x  y  0.

Скалярный квадрат вектора x равен


x 2 = x 2 , если x  0 и x 2 = ( x1 )2  ( x 2 ) 2 , если x  0 .


Галилеева норма || x || вектора x определяется на основе скалярного
квадрата вектора:
 | x |, если x  0;
|| x || = 
1 2
2 2
 ( x )  ( x ) , если x  0.

Первая компонента x вектора x является временной, компоненты
x1 , x 2 – пространственные. Векторы (0, x1 , x 2 ) имеют евклидову норму. Если
x  0 , то векторы ( x, x1 , x 2 ) называются галилеевыми, их обозначение
 = ( x, x1 , x 2 ) ; а векторы (0, x1 , x 2 ) называются евклидовыми и записываются

в виде r  ( x1 , x 2 ) . Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору.
Аффинное пространство A3 , в линейном пространстве которого определена галилеева норма векторов, называется пространством Галилея и обо-
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
значается Γ3 . Две точки A  (a, a1 , a 2 ) и B  (b, b1 , b 2 ) пространства Галилея
определяют вектор

AB  (b  a, b1  a1 , b 2  a 2 ) ;

расстояние | AB | между точками равно норме вектора AB :
| b  a |, если b  a;
| AB | = 
1
1 2
2
2 2
 (b  a )  (b  a ) , если b  a.
Точки пространства Галилея еще называются событиями. Множество
всех событий совпадает с Γ3 и называется миром. События A и B одновременны, если a  b . Одновременные между собой события составляют в пространстве Галилея Γ3 евклидову плоскость Ε2 . Репер пространства Галилея
 
  
есть B  (O, e , i , j ) . Точка O и евклидовы векторы i , j образуют евклидову
 
плоскость Ε2 =  O, i , j  . Через всякую точку P пространства Γ3 проходит
 
единственная евклидова плоскость  P, i , j  .
1.2. Кривая пространства Галилея в естественной параметризации
Кривые пространства Γ3 изучаются в [3]. Регулярная кривая класса C 3
3-мерного пространства Галилея Γ3 в естественной параметризации задается
галилеевой векторной функцией (3):
 (t ) = (t , x(t ), y (t )) , t  I  R ,
  
или в разложении по базисным векторам репера B  (O, e , i , j ) :



 (t ) = te + x(t )i  y (t ) j .
(10)
 

Вектор (2) r (t ) является вектором евклидовой плоскости  O, i , j 

пространства Галилея. Кривая r (t ) – это проекция галилеевой кривой  (t ) (3)
 
на евклидову плоскость  O, i , j  . Разложение (10) можно записать в виде
 
 (t ) = te + r (t ) .
(11)
Вектор касательной к кривой (3) равен
 (t ) = (1, x (t ), y (t )) .
(12)
Это галилеев вектор, его длина равна 1: ||  || = ||  (t ) || = 1, см. галилееву
норму векторов в п. 1.1. Кривизна кривой (3) вычисляется по формуле
k  
x 2  
y2  0 ;
(13)
кручение кривой (3) – по формуле
m
56

x 
y  
x 
y
k2
.
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Функции кривизны и кручения кривой
k  k (t )  0 , m  m(t )
(15)
являются натуральными уравнениями кривой (3).
Функции кривизны и кручения (15) кривой связаны формулами (13),
(14) с пространственными компонентами (1) x  x(t ), y  y (t ) кривой (3);
имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
 
x 2  
y 2  k 2 (t ),

x y  
x y  m(t )k 2 (t ).
 
(16)
Если заданы функции (15), то функции (1) x  x(t ), y  y (t ) являются
решениями системы дифференциальных уравнений (16). Частный случай системы дифференциальных уравнений (16) при k  const , m  const решается в [3].
1.3. Отыскание мировой линии движения
по полю ускорения движения точки
Задано поле ускорения движущейся точки:

a (t ) = (a1 (t ), a 2 (t )) .
Требуется написать уравнения (1) траектории движения. Это задача
И. Ньютона для движения с двумя степенями свободы, решенная в [4]. Траек
тория движения есть функция (2) r (t ) . По ней однозначно получается миро 
вая линия движения (11)  (t ) = te + r (t ) . По смыслу задания поля ускорения
движения точки имеем
a1  
x, a 2  
y ; k  
x 2  
y2 ,
где k – кривизна мировой линии движения точки.
x , 
y и
По заданным функциям a1 (t ), a 2 (t ) отыскиваются производные 
кручение (14) m мировой линии движения. Функции (1) x  x(t ), y  y (t ) являются решениями системы дифференциальных уравнений (16). Приведем
схему решения системы уравнений (16) из [4].
В результате обозначений

x  u , 
yv
(17)
понижается порядок дифференциальных уравнений системы (16):
u 2  v 2  k 2 ,

  mk 2 .
uv  uv
(18)
По виду первого уравнения системы (18) вводим обозначения:
u  k cos( w  c) , v  k sin( w  c) ,
(19)
где

w  w(t )  m(t )dt  c , c  const .
(20)
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Функции (19) с функцией (20) удовлетворяют второму уравнению системы (18). Уравнения (17) принимают вид

x  k cos( w  c) , 
y  k sin( w  c) .
(21)
После двукратного интегрирования этих уравнений находим компоненты (1) x(t ), y (t ) функции (3), задающей кривую пространства Галилея Γ3 –
мировую линию движения, а также траекторию (2). Начальные условия системы уравнений (16) определяют единственную траекторию (2) по заданному

полю ускорений a (t ) = (a1 (t ), a 2 (t )) .
Вместе с тем существует схема получения параметрических уравнений
галилеевой кривой по ее натуральным уравнениям (15) [5].
2. Ускорение движения точки
2.1. Касательное и нормальное ускорение

Если векторная функция (2) r (t ) = ( x(t ), y (t )) задает закон движения материальной точки, то вектор (4)


v (t ) = r (t ) = ( x (t ), y (t ))
есть вектор скорости движения точки, и вектор (5)


r (t ) = ( 
x(t ), 
y (t ))
a (t ) = 
является вектором ускорения движения.
Для мировой линии движения (3)
 (t ) = (t , x(t ), y (t )) ,
кривизна равна величине ускорения

r = 
x 2  
y2 ,
k = a = 

см. (7). По [3, c. 59–61] каппа-функция вектора 
r (t ) согласно (14) такова:

x 
y  
x 
y

.
(
r) =m 
2
k


Определение каппа-функции (u ) евклидова вектора u и формула
для вычисления каппа-функции приведены ниже в процессе доказательства
леммы 1.
Пусть  – единичный вектор касательной к мировой линии движения
 (t ) . По (12)
 
 =  = e  r ,
 
r  v есть вектор касательной к траектории движения, его величина по (5):

v  x 2  y 2 .

Через n обозначается единичный вектор нормали траектории. Он может быть найден как единичный вектор направления нормали траектории. Из
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
евклидовой дифференциальной геометрии известно, что вектор нормали находится в результате дифференцирования единичного вектора касательной,
т.е. вектора


v
r 
(22)
    t .
v
r

Вектор ускорения a движения лежит в плоскости движения и может
 
быть разложен по векторам сопровождающего репера траектории ( P, t , n ) ,
где P – движущаяся точка траектории; запишем это разложение, введя обозначения коэффициентов разложения:



a = at t  an n ,
(23)
здесь at – тангенциальное (касательное) ускорение; an – нормальное ускорение.
При движении точки P по траектории коэффициенты разложения являются функциями времени:
at = at (t ) , an = an (t ) .
(24)
Для вычисления функций at и an вектор (23) умножим скалярно по

следовательно на векторы t и n :
   
   
r t = at ; a n = 
r n = an .
a t = 
Произведем вычисления функций (24). Для касательного ускорения
(см. (22)) находим

x 
x  y 
y
 r

at = r  =
.
(25)
r
x 2  y 2
Согласно [3, c. 59–60]
 
n =


y x 
 ,  .
r r 

Для нормального ускорения получаем
x  x 
y
   y 
an = 
r n=
.
x 2  y 2
(26)
Лемма 1. Функция касательного ускорения движущейся точки равна
производной по времени величины (модуля) скорости движения:
at (t ) =
d 
v (t ) .
dt
Функция нормального ускорения движущейся точки равна произведению скорости движения и каппа-функции вектора скорости:

an (t ) = v(t ) (v (t )) .
(27)
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
# Вычислим производную по времени величины скорости движения (5):
2 x 
x  2 y 
y
x 2  y 2 =
= at ,
2
2
2 x  y
d  d
v =
dt
dt
(28)
см. формулу (25).

С учетом [3, c. 59–60] для произвольного вектора u его каппа-функция

(u ) определяется из равенства

d u 
 
   = (u ) g ,
dt  u 


где g – единичный вектор, и если u = (u1 , u 2 ) , то
 u1u 2  u 2u 1
(u ) =
.
2
u
(29)

Действительно, единичный вектор направления u равен

u  u1 u 2 
 =  ,   .
u  u u 
Находим производную
d

dt 
Так как
тора
1 
1 
2 
2 
u1 u 2   u  u  u u u  u  u u 
.
,
 ,  =
2
2

u u  
u
u


d  u1u 1  u 2u 2
u =
(см. (28)), то для первой компоненты век
dt
u

d u 
   имеем равенства
dt  u 
1 1
2 2
1 
1 u u  u u

u
u

u




u
u 1 u  u1 u
=
2
2
u
u
=
u 1 ((u1 ) 2  (u 2 ) 2 )  u1 (u1u 1  u 2u 2 )
u1u 2  u 2u 1 u 2
=

 .
3
2
u
u
u
Точно так же для второй компоненты вектора


u 2 u  u 2 u
2
u
60
=
=

d u 
   находим
dt  u 
u1u 2  u 2u 1 u1
 .
2
u
u
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Таким образом,

d  u  u1u 2  u 2u 1  u 2 u1 
  ,  .
   
2
 u u 
dt  u 
u


 u 2 u1 
Вектор    ,   является единичным. Согласно определению каппа u u 



функции вектора u имеем выражение (29). Сравнивая формулы (26) и (29),
приходим к равенству (27). #
2.2. Получение уравнений траектории движения точки по касательному
и нормальному ускорениям методами евклидовой геометрии
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 2. Касательное at ускорение движущейся точки и нормальное

an ускорение точки определяют кривизну k e траектории r (t ) движущейся
точки:
a (t )
k e (t ) = n
, v(t )  at (t )dt .
v 2 (t )

(30)
# Равенство (28)
d 
v = at
dt
является обыкновенным дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции v(t ) и заданной функцией at = at (t ) . Общий интеграл этого
уравнения:

v(t )  at (t )dt .
Теперь из второй формулы (9) находим выражение кривизны k e траектории движения в первом равенстве в (30). #
Начальные условия t  t0 , v(t0 )  v0 определяют значение кривизны
k e = k e (t0 ) траектории в момент времени t  t0 .
Теперь на основании леммы 2 устанавливается
Теорема 1. Заданные функции at (t ) касательного ускорения движения
точки и an (t ) нормального ускорения движения точки с двумя степенями
свободы определяют с точностью до положения на плоскости уравнения

траектории r (t ) движущейся точки.
# По лемме 2 заданные функции at (t ) и an (t ) определяют функцию

кривизны k e (t ) траектории движения r (t ) . Для получения конкретной функd 
v = at нужно зации k e (t ) при решении дифференциального уравнения
dt
дать начальные условия. В евклидовой дифференциальной геометрии пара
метрические уравнения плоской кривой r (t ) функцией ее кривизны k e (t )
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
определяются однозначно при выбранных начальных условиях [6, с. 137–143,
205]. В этом случае начальные условия состоят в задании точки на кривой и
касательного вектора к кривой в заданной точке. #
Поставленная задача нахождения траектории движения точки по касательному и нормальному ускорениям точки решается выше методами евклидовой дифференциальной геометрии.
2.3. Использование методов геометрии Галилея
Рассмотренную задачу решим еще методами геометрии Галилея.
Лемма 3. Касательное и нормальное at , an ускорения точки определяют кривизну k и кручение m мировой линии  (t ) движущейся точки:
k  at2  an2 , m 2  k e k .
(31)
# Разложения (8) и (23) записаны по единичным взаимно перпендику
лярным векторам, k  
r , поэтому с учетом (13) имеем k  at2  an2 . Кривизна k , кручение m мировой линии  (t ) движущейся точки и кривизна k e
траектории движения точки связаны соотношением m 2  k e k (см. [3, c. 67]). #
Теорема 2. Заданные функции касательного и нормального ускорений
движения материальной точки с двумя степенями свободы определяют
с точностью до положения в пространстве-времени Галилея мировую линию
и траекторию точки в координатной форме.
# Для получения функций x  x(t ), y  y (t ) , являющихся компонентами

координатного задания траектории движения r (t ) , используется система
дифференциальных уравнений (16) (см. [4]), схема решения которой изложена в п. 1.3. По заданным функциям at = at (t ) , an = an (t ) согласно (31) и (30)
находим функции k  k (t ) и m 2  m 2 (t ) . Рассматриваем два случая:
m1   k e k и m2   k e k .
В каждом случае методами из [4] (см. п. 1.3) находим компоненты галилеевой кривой  (t ) x1  x1 (t ), y1  y1 (t ) , соответствующие значению m1 , и
компоненты x2  x2 (t ), y2  y2 (t ) , соответствующие значению m2 . Затем,

основываясь на формуле (14) в каждом случае, находим функцию (v (t )) .

В каком случае ( m1 или m2 ) получается совпадение an (t ) = v(t ) (v (t )) , тот
случай и определяет кривую  (t ) = (t , x(t ), y (t )) . #
Задача отыскания уравнений траектории движущейся точки по касательному и нормальному ускорениям не совпадает с задачей отыскания уравнений траектории по полю ускорения движения точки. Решение первой из

них сводится к получению векторного уравнения траектории r ( s ) по скалярному натуральному уравнению кривой k e = k e (t ) , s – естественный параметр. Во втором случае даны функции a1 (t ), a 2 (t ) – компоненты вектора ус
корения a (t ) движения точки, и компоненты x(t ), y (t ) траектории движения
точки отыскиваются как решения дифференциальных уравнений x(t )  a1 (t ),
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
y (t )  a 2 (t ) . Такой метод решения задачи обосновывается средствами геометрии Галилея.
С другой стороны, функции касательного и нормального ускорений
можно рассматривать как составляющие векторного поля ускорений движущейся точки. Это поле может быть специфическим, приводящим к естественному описанию кривой; в этом случае положение точки на траектории является функцией длины пройденного точкой пути (у Рашевского П. К. по функции кривизны k ( s ) , где s – длина дуги, кривая отыскивается в естественной

параметризации r ( s )   x( s ), y ( s )  [6, c. 139–143]). При задании поля ускорения движения точки во времени желательно описать и движение во времени,
т.е. описать движение функцией времени в так называемом координатном
задании. Если касательное и нормальное ускорения заданы как функции вре
мени, то траектория r (t ) движения получается в результате интегрирования
дифференциальных уравнений x(t )  at (t ), y (t )  an (t ) .
Список литературы
1. М о л о т н и к о в , В. Я . Основы теоретической механики / В. Я. Молотников. –
Ростов н/Д : Феникс, 2004. – 384 с.
2. А р н о л ь д, В. И . Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. – М. : Наука, 1989. – 472 с.
3. Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2005. – 306 с.
4. Д о л г а р е в , А . И . Методы одулярной галилеевой геометрии в описании механических движений / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 12–24.
5. Д о л г а р е в , А . И . Кривые 3-мерных вейлевских одулярных пространств и кривые евклидовой плоскости / А. И. Долгарев // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : межвуз. тем. сб. научн. тр. – Вып. 33. – Калиниград : Изд-во
КГУ, 2002. – С. 25–28.
6. Р а ш е в с к и й , П . К . Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. –
М. : Гостехиздат, 1956. – 420 с.
Долгарев Артур Иванович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Dolgarev Artur Ivanovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: delivar@yandex.ru
УДК 514 + 531
Долгарев, А. И.
Получение уравнений траектории движущейся точки по функциям
тангенциального и нормального ускорения / А. И. Долгарев // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2010. – № 1 (13). – С. 52–63.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.718
А. В. Васин
О БАЗИСАХ, В КОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИ
ОПТИМАЛЬНЫЕ СХЕМЫ ФУНКЦИОНИРУЮТ
С НЕНАДЕЖНОСТЬЮ 5
Аннотация. Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных элементов в полном базисе B  B3 ( B3 – множество всех булевых
функций, зависящих от переменных x1, x2 , x3 ). Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью  (   (0,1/ 2) ) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Найдены базисы, в которых
почти булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по
надежности схемами, функционирующими с ненадежностью 5 при   0 .
Других таких базисов B  B3 , в которых почти булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью 5, нет.
Ключевые слова: ненадежные функциональные элементы, асимптотически оптимальные по надежности схемы, инверсные неисправности на выходах элементов, синтез схем из ненадежных элементов.
Abstract. We consider realization of Boolean functions by circuits composed of unreliable functional elements in some complete finite basis B  B3 ( B3 is the set of
all Boolean functions of three variables x1, x2, and x3). We assume that all elements
are subjected independently of each other to inverse failures at the output with the
probability  (   (0,1/ 2) . In this article we found bases, in which almost all boolean functions is possible to realize by asymptotically optimal on reliability circuits
with unreliability equal 5 with   0 . We proved that there are not other bases
where it’s possible to realize almost all boolean functions by asymptotically optimal
on reliability circuits with unreliability 5.
Keywords: unreliable functional elements, circuits asymptotically optimal with respect to reliability, inverse failures on outputs of elements, synthesis of circuits composed of unreliable elements.
Схемой из функциональных элементов в базисе B будем называть
ациклический упорядоченный орграф, в котором:
1) каждому истоку (полюсу) приписана некоторая переменная, причем
разным истокам приписаны разные переменные (истоки при этом называются
входами схемы, а приписанные им переменные – входными переменными);
2) каждой вершине, в которую входят k  1 дуг, приписана булева
функция из базиса B, существенно зависящая от k переменных (вершина
с приписанной функцией при этом называется функциональным элементом);
3) некоторые вершины выделены как выходы (истоки одновременно
могут являться выходами).
Глубиной схемы будем называть длину максимального пути в ней.
Глубиной функционального элемента схемы будем называть длину максимального пути между ним и выходным элементом схемы.
Слоем глубины k (или k -м слоем) назовем множество всех функциональных элементов схемы глубины k .
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Заметим, что из определения схемы следует, что функциональные элементы, реализующие константы, не имеют входов.
Далее будем предполагать, что базис B есть одно из множеств {x1 & x2 ,
x1 & x2 & x3 , x1 , 0,1} , {x1 & x2 , x1 & x2 & x3 , x1 & x2 , x1 & x2 & x3 , 0,1}, {x1  x2 ,
x1  x2  x3 , x1 , 0, 1} , или {x1  x2 , x1  x2  x3 , x1  x2 , x1  x2  x3 , 0,1} . Элементы базиса подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный
элемент реализует приписанную ему булеву функцию e , а в неисправном –
функцию e .
Предполагается, что все элементы схемы переходят в неисправные состояния независимо друг от друга с вероятностью   (0, 1/ 2) .
Будем считать, что схема из ненадежных элементов реализует булеву
функцию f ( x1 , x2 , ..., xn ) , если при поступлении на входы схемы набора
a  (a1 , a2 , ..., an ) при отсутствии неисправностей в схеме на ее выходе появляется значение f (a ) .
Набор a  (a1 , a2 , ..., an ) называется нулевым (единичным) для функции f ( x1 , x2 , ..., xn ) , если значение функции f (a1 , a2 , ..., an ) равно нулю
(единице).
Обозначим Pf ( a ) ( s, a ) – вероятность ошибки на входном наборе a
схемы S, реализующей функцию f . Число P ( S )  max Pf ( a ) ( s, a ) назовем
a
ненадежностью схемы S. Надежность схемы S равна 1  P ( S )
Пусть P ( f )  inf P ( S ) , где  – вероятность инверсной неисправности
S
на выходе функционального элемента, а инфимум берется по всем схемам S
из ненадежных элементов, реализующим функцию f ( x1 , x2 , ..., xn ) . Схема A
из ненадежных элементов, реализующая функцию f, называется асимптотически оптимальной по надежности, если P ( A) ~ P ( f ) при   0 , т.е.
P (f)
 1.
lim 
0 P ( A)
С. И. Аксеновым [1] получена верхняя оценка ненадежности схем
в произвольном полном конечном базисе при инверсных неисправностях на
выходах элементов. Он доказал: существуют такие положительные константы c , 0 ( 0  (0, 1/ 2) ), что при   (0, 0 ) любую булеву функцию можно
реализовать схемой S, ненадежность которой
P ( S )  5  c 2 .
В работе [2] явно найдены константы c , 0 и доказана теорема 1.
Теорема 1 [2]. При   (0,1/ 960] в произвольном полном конечном базисе любую функцию f можно реализовать схемой A с ненадежностью
P ( A)  5  182 2  5, 2 .
Это утверждение верно и в полных базисах
B  {x1 & x2 , x1 & x2 & x3 , x1 , 0, 1} ;
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
B  {x1 & x2 , x1 & x2 & x3 , x1 & x2 , x1 & x2 & x3 , 0, 1} ;
B  {x1  x2 , x1  x2  x3 , x1 , 0, 1} ;
B  {x1  x2 , x1  x2  x3 , x1  x2 , x1  x2  x3 , 0, 1} .
В данной статье найдены все базисы B, содержащие функции трех переменных, в которых для почти всех булевых функций асимптотически оптимальные по надежности схемы имеют ненадежность 5 при   0 .
Сформулируем и докажем необходимые утверждения.
Теорема 2 [3]. Пусть f – произвольная булева функция, отличная от
константы, S – любая схема, ее реализующая. Пусть подсхема C схемы S
содержит выход схемы S и реализует булеву функцию h с ненадежностью
P (C )  1/ 2 . Обозначим через p11 , ..., p1k всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы C при нулевых входных наборах b , т.е.
h(b )  0 . Аналогично, пусть p , ..., p
– всевозможные различные веро01
0m
ятности ошибок на выходе схемы C при единичных входных наборах b , т.е.
h(b )  1 . Полагаем p1  min{ p11 , ..., p1k } , p 0  min{ p01 , ..., p0m } . Тогда вероятности ошибок на выходе схемы S удовлетворяют неравенствам
P1 ( S , a )  p1 , если f (a )  0 ; P0 ( S , a )  p 0 , если f ( a )  1 .
Следствие 1 [3]. P ( S )  pi , i  0, 1 .
Пусть в схеме, реализующей булеву функцию, отличную от константы,
выделена подсхема A, имеющая один вход, содержащая выход схемы. Обозначим через S  подсхему, получаемую из схемы S удалением подсхемы A.
Если выполнено неравенство P ( S )  P ( S ) , то будем говорить, что схема S 
надежнее схемы S и получается из S удалением подсхемы S  .
Так как схема S реализует функцию, отличную от константы, схема A
реализует либо тождественную функцию, либо инверсию.
Схема S, реализующая функцию f, отличную от константы, является
bc-схемой, если из нее нельзя получить более надежную схему, реализующую
f или f , удалением подсхемы, реализующей тождественную функцию или
инверсию.
Теорема 3 [3, 4]. Пусть схема S, ненадежность которой равна P(S),
реализует функцию f и является bc-схемой. Если в схеме S можно выделить
подсхему, имеющую один вход, содержащую выход схемы и реализующую
инверсию или тождественную функцию с вероятностями ошибок p0 и p1,
такими, что 0 < p0 + p1 < 1, то верно неравенство
 p0
p1 
min 
,
  P ( S ).
 p0  p1 p0  p1 
Обозначим K (n) – множество булевых функций f ( x1 , x2 , ..., xn ) , не
представимых в виде ( xia h( x ))b (i  1, 2, ..., n; a, b {0, 1}) .
Заметим, что: 1) константы 0, 1 K (n) ; 2) в рассматриваемых базисах B
любая схема S, реализующая функцию f, содержит не менее пяти элементов.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Лемма 1 [5]. Пусть   (0, 1/ 960] , булева функция f  K (n) , а S – такая схема, реализующая f, что P ( S )  5, 2 . Если в схеме S можно выделить
связную подсхему A, функционирующую с ненадежностью P ( A)  5(1  ) 4 ,
состоящую хотя бы из пяти элементов, имеющую один вход и содержащую
выход схемы, то схема S не является bc-схемой.
Пусть E – функциональный элемент, которому приписана булева функция e( x1 , x2 , ..., xm ) , m  N . Элемент E* c приписанной ему булевой функ-
цией e* ( x1 , x2 , ..., xm ) , двойственной функции e( x1 , x2 , ..., xm ) , называется
двойственным элементу E, если на любом входном наборе (b1 , b2 , ..., bm )
для вероятностей ошибок верно равенство


Pe (b1 , b2 ,..., bm )  E , (b1 , b2 , ..., bm )   Pe * (b , b ,..., b ) E * , (b1 , b2 , ..., bm ) .
m
1 2
Две схемы S и S* назовем двойственными, если одна получается из другой заменой всех элементов на двойственные им элементы соответственно.
Теорема 4 [6]. Для любых двойственных схем S и S* верно равенство
P( S )  P( S * ) .
Заметим, что утверждение о нижней оценке ненадежности, доказанное
в полном конечном базисе B, верно для любого полного базиса B  B .
Теорема
5.
Пусть
базис
B  {x1 & x2 , x1 & x2 & x3 , x1 , 0, 1} ,

  (0, 1/ 960] , функция f ( x)  K (n) , а S – любая схема, реализующая функцию f. Тогда P( S )  5(1  ) 4 .
Доказательство. Пусть функция f ( x )  K (n) , а S – произвольная схема, реализующая функцию f. Без ограничения общности схему S можно считать bc-схемой.
Пусть A – связная подсхема схемы S, состоящая хотя бы из одного элемента и содержащая выход схемы. Обозначим через p11 , ..., p1k всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы A при нулевых входных
наборах b . Аналогично, пусть p01 , ..., p0m – всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы A при единичных входных наборах b . По-
лагаем p1  min{ p11 , ..., p1k } , p 0  min{ p01 , ..., p0m } .
Оценим ненадежность схемы S:
1. Если подсхема A имеет один вход, то A реализует тождественную
функцию или инверсию (т.к. f ( x )  K (n) и 0, 1 K (n) ).
Возможны два варианта:
1.1. Ненадежность схемы A удовлетворяет неравенству: P ( A)  5(1  ) 4 ,
тогда этому неравенству удовлетворяет хотя бы одно из чисел p 0 или p1 , и
по следствию 1 получаем P ( S )  5(1  ) 4 .
1.2. Ненадежность схемы A удовлетворяет неравенству: P ( A)  5(1  ) 4 ,
что противоречит лемме 1.
2. Если в схеме S нельзя выделить подсхему A, имеющую ровно один
вход и содержащую выход схемы, то выделим связную подсхему C схемы S
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
из пяти элементов, содержащую выход схемы S (это возможно сделать, т.к.
f ( x )  K (n) . В этом случае выходному элементу E1 приписана либо функция x1 x2 , либо x1 x2 x3 .
2.1. Пусть в схеме C элементу E1 приписана функция x1 x2 .
2.1.1. Пусть в схеме C элемент E1 размещен на 0-м слое, E2 и E3 – на
1-м слое, E4 и E5 – на 2-м слое, и удалением истоков (входных вершин) и
некоторых ребер из схемы С можно получить граф, изображенный на рис. 1.
Рис. 1. Схема C после удаления входных вершин и части ребер
Заметим, что элементам E2 и E3 не может быть приписана константа 0
(иначе вся схема S реализует константу 0, что противоречит выбору функции
f ( x )  K (n) ) и константа 1 (этот случай рассмотрен в п. 1 доказательства).
Выходы элементов E4 и E5 могут быть соединены только со входами элементов E2 и E3 . Для каждой из возможных схем ошибка в точности одного
любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе
схемы С. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно
P ( S )  5(1  ) 4 .
2.1.2. Пусть в схеме C элемент E1 размещен на 0-м слое, E2 и E3 – на
1-м слое, E4 – на 2-м слое и E5 – на 3-м слое, и удалением истоков (входных
вершин) и некоторых ребер из схемы C можно получить граф, изображенный
на рис. 2. Заметим, что элементам E2 , E3 и E4 приписаны функции,
отличные от констант 0 и 1.
Рис. 2. Схема C после удаления входных вершин и части ребер
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
2.1.2.1. Пусть элементу E2 приписана функция x1 x2 или x1 x2 x3
(рис. 2). Тогда на единичном наборе при ошибке в точности одного любого
элемента на выходе схемы C появится нуль. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и
по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
2.1.2.2. Пусть элемент E2 – инвертор (рис. 2). Поскольку схема C реализует функцию f ( x )  K (n) , ни один из входов элемента E3 не может быть
соединен с полюсом схемы S (иначе f ( x )  K (n) ). Возможны следующие
случаи:
2.1.2.2.1. Хотя бы один из входов элемента E3 соединен с выходом
элемента E4 . Тогда элементу E3 приписана одна из функций x1 x2 или
x1 x2 x3 (иначе случай рассмотрен в п. 1). Тогда на единичном наборе при
ошибке одного любого элемента на выходе схемы C появится нуль. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
2.1.2.2.2. Один из входов элемента E3 соединен с выходом элемента
E5 . Тогда на единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы C появится нуль. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1
верно P( S )  5(1  ) 4 .
2.1.2.2.3. Ни один из входов элемента E3 не соединен с выходами других элементов схемы C. Тогда в схеме S существует элемент E6 выход которого соединен со входом элемента E3 . Следовательно, в схеме S можно выделить подсхему C  из элементов E1 , E2 , E3 , E4 и E6 . Схема C  удовлетворяет случаю 2.1.1.
2.1.3. Пусть в схеме C элемент E1 размещен на 0-м слое, E2 – на 1-м
слое, E3 и E4 – на 2-м слое и E5 – на 3-м слое и удалением истоков (входных вершин) и некоторых ребер из схемы C можно получить граф, изображенный на рис. 3. В этом случае элементу E2 приписана функция x1 x2 или
x1 x2 x3 , элементам E3 , E4 , E5 не может быть приписана константа 0, и элементу E3 не может быть приписана константа 1. Для каждой из таких схем
ошибка одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению
нуля на выходе схемы C. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1
верно P ( S )  5(1  ) 4 .
2.1.4. Пусть в схеме C элемент E1 размещен на 0-м слое, E2 – на 1-м
слое, E3 – на 2-м слое и E4 , E5 – на 3-м слое, и удалением истоков (входных
вершин) и некоторых ребер из схемы С можно получить схему, изображенную на рис. 4. В этом случае элементу E2 не может быть приписана функция,
равная константе 0 или 1.
2.1.4.1. Пусть элементу E2 приписана функция x1 x2 или x1 x2 x3
(рис. 4). В этом случае элементам E4 и E5 не может быть приписана функция, равная константе 0 (иначе f ( x )  K (n) ). Тогда на единичном наборе при
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ошибке одного любого элемента на выходе схемы С появится нуль. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
Рис. 3. Схема C после удаления входных вершин и части ребер
Рис. 4. Схема C после удаления входных вершин и части ребер
2.1.4.2. Пусть элемент E2 – инвертор (рис. 4). В этом случае элементам
E4 и E5 не может быть приписана функция, равная константе 1 (иначе
f ( x )  K (n) ). Поскольку схема С реализует функцию f ( x )  K (n) , ни один
из входов элемента E1 не может быть соединен с полюсом схемы S. И второй
вход элемента E1 не может быть соединен с выходом элемента E3 , т.к. этот
случай рассмотрен в п. 1. Возможны следующие варианты:
2.1.4.2.1. Второй вход элемента E1 соединен с выходом элемента
E4 ( E5 ). В этом случае элементу E4 ( E5 ) не может быть приписана функция,
равная константе 0 или 1. Тогда в схеме С существует элемент E6 , выход которого соединен со входом элемента E4 ( E5 ). Следовательно, в схеме С можно выделить подсхему C  из элементов E1 , E2 , E3 , E4 ( E5 ) и E6 . На еди-
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
ничном наборе при ошибке в точности одного любого элемента на выходе
схемы C  появится нуль. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1
верно P( S )  5(1  ) 4 .
2.1.4.2.2. Ни один из входов элемента E1 не соединен с выходом элемента E4 или E5 . Тогда в схеме S найдется элемент E6 , реализующий функцию, отличную от константы, выход которого соединен со входом элемента
E1 . Поскольку f ( x )  K (n) , в схеме S найдется элемент E7 (элемент E7 может совпадать с одним из элементов E4 или E5 ), выход которого соединен
со входом элемента E6 . Тогда в схеме S можно выделить подсхему C  из элементов E1 , E2 , E3 , E6 и E7 , в которой на единичном наборе при ошибке
одного любого элемента на выходе схемы C  появится нуль. Следовательно,
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P( S )  5(1  ) 4 .
2.1.5. Пусть в схеме C элемент E1 размещен на 0-м слое, E2 – на 1-м
слое, E3 – на 2-м слое и E4 – на 3-м слое, E5 – на 4-м слое, и удалением истоков (входных вершин) и некоторых ребер из схемы C можно получить
граф, изображенный на рис. 5,a. В этом случае элементам E2 , E3 и E4 приписаны функции, отличные от констант 0 и 1. Во всех возможных схемах, за
исключением случаев, изображенных на рис. 5,б,в, ошибка одного любого
элемента в схеме С приводит к появлению нуля на выходе элемента E1 . Следовательно, в этих случаях
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно
P( S )  5(1  ) 4 . Рассмотрим варианты схем, изображенных на рис. 5,б,в.
или
или
или
а)
б)
в)
Рис. 5. Схема C после удаления входных вершин и части ребер
2.1.5.1. Для схем С, соответствующих рис. 5,б, вход элемента E1 не
может быть соединен с полюсом схемы S и с выходом элемента E3 (иначе
f ( x )  K (n) или случай рассмотрен в п. 1). Возможны следующие варианты:
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2.1.5.1.1. Второй вход элемента E1 соединен с выходом элемента E4 .
Тогда на единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе
схемы С появится нуль. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1
верно P( S )  5(1  ) 4 .
2.1.5.1.2. Второй вход элемента E1 соединен с выходом элемента E5 .
Тогда в схеме С существует элемент E6 , выход которого соединен со входом
элемента E5 . Следовательно, в схеме S можно выделить подсхему C  из элементов E1 , E2 , E3 , E5 и E6 . На единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы C  появится нуль. Следовательно,
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
2.1.5.1.3. Второй вход элемента E1 не соединен с выходами других
элементов схемы C. Тогда в схеме S существует элемент E6 , реализующий
неконстантную функцию, выход которого соединен со входом элемента E1 .
Поскольку f ( x )  K (n) , в схеме S найдется элемент E7 (элемент E7 может
совпадать с одним из элементов E4 или E5 ). Тогда в схеме S можно выделить подсхему C  из элементов E1 , E2 , E3 , E6 и E7 , в которой на единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы C  поя-
вится нуль. Следовательно,
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно
P ( S )  5(1  ) 4 .
2.1.5.2. Для схем C, соответствующих рис. 5,в, входы элемента E2 не
могут быть соединены с полюсом схемы S (иначе f ( x )  K (n) ). Возможны
следующие варианты:
2.1.5.2.1. Все входы элемента E2 соединены с выходом элемента E3 .
Тогда в схеме S существует элемент E6 , выход которого соединен со входом
элемента E1 , и в схеме S можно выделить подсхему C  из элементов E1 , E2 ,
E3 , E4 и E6 . На единичном наборе при ошибке одного любого элемента на
выходе схемы C  появится нуль. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P( S )  5(1  ) 4 .
2.1.5.2.2. Хотя бы один из входов элемента E2 соединен с выходом одного из элементов E4 или E5 . Тогда на единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы С появится нуль. Следовательно,
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
2.1.5.2.3. Второй и третий (если элементу E2 приписана функция
x1 x2 x3 ) входы элемента E2 не соединены с выходами других элементов схемы C. Тогда в схеме C существует элемент E6 , выход которого соединен со
входом элемента E2 , и в схеме S можно выделить подсхему C  из элементов
E1 , E2 , E3 , E4 и E6 . На единичном наборе при ошибке одного любого эле-
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
мента на выходе схемы C  появится нуль. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и
по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
2.1.6. Пусть в схеме C элемент E1 размещен на 0-м слое, E2 – на 1-м
слое, E3 , E4 , E5 – на 2-м слое, и удалением истоков (входных вершин) и
некоторых ребер из схемы C можно получить граф, изображенный на рис. 6.
В этом случае элементу E2 приписана функция x1x2 x3 . Во всех возможных
схемах C ошибка одного любого элемента на единичном наборе приводит
к появлению нуля на выходе элемента E1 . Следовательно, в этих случаях
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P( S )  5(1  ) 4 .
Рис. 6. Схема C после удаления входных вершин и части ребер
2.2. Пусть в схеме C элементу E1 приписана функция x1x2 x3 . Заметим,
что ни один из входов элемента E1 не может быть соединен с полюсом схемы S (иначе f ( x )  K (n) ), и ни один из входов элемента E1 не может быть
соединен с выходом элемента, реализующего константу 0 (иначе f ( x )  K (n) ). Возможны следующие варианты:
2.2.1. Если одна любая пара входов элемента E1 отождествлена, то
элемент E1 функционирует аналогично элементу с приписанной функцией
x1 x2 . Этот случай рассмотрен в п. 2.1.
2.2.2. Все три входа элемента E1 соединены с выходами различных
элементов E2 , E3 , E4 . Заметим, что хотя бы двум из элементов E2 , E3 , E4
приписана функция, отличная от константы 1 (иначе f ( x )  K (n) или случай
рассмотрен в п. 1). Будем считать, что это элементы E2 , E3 . Тогда ни один из
входов элемента E2 не может быть соединен с полюсом схемы S (иначе
f ( x )  K (n) ), поэтому существует элемент E5 , выход которого соединен со
входом элемента E2 . Тогда на единичном наборе при ошибке в точности одного любого элемента на выходе схемы С появится нуль. Следовательно,
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
Теорема доказана.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
B  {x1  x2 , x1  x2  x3 , x1 , 0, 1} ,
Теорема
6.
Пусть
базис
  (0, 1/ 960] , функция f ( x )  K (n) , а S – любая схема, реализующая функцию f. Тогда P( S )  5(1  ) 4 .
Доказательство теоремы следует из теорем 4 и 5, поскольку утвержде-
ние, доказанное в базисе B для функции f, верно в двойственном базисе B*
для двойственной функции f * .
Теорема 7. Пусть базис B  {x1 & x2 , x1 & x2 & x3 , x1 & x2 , x1 & x2 &
& x3 , 0, 1} ,   (0, 1/ 960] , функция f ( x )  K (n) , а S – любая схема, реализующая функцию f. Тогда P ( S )  5(1  ) 4 .
Доказательство. Заметим, что при отождествлении входных переменных в базисном элементе получаются схема из одного элемента, функционирующая с ненадежностью  и реализующая базисную функцию или тождественную функцию. Поэтому будем считать, что схемы строятся в базисе
B  {x1 & x2 , x1 & x2 & x3 , x1 & x2 , x1 & x2 & x3 , x1 , 0, 1} , а отождествление
входов элементов в схемах не допускается. Напомним, что из определения
схемы следует, что элементы, реализующие константы 0 и 1, не имеют
входов.
Пусть функция f ( x )  K (n) , а S – произвольная схема, реализующая
функцию f ( x ) . Без ограничения общности схему S можно считать
bc-схемой.
Пусть A – связная подсхема схемы S, состоящая хотя бы из одного элемента и содержащая выход схемы. Обозначим через p11 , ..., p1k всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы A при нулевых входных
наборах b . Аналогично, пусть p01 , ..., p0m – всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы A при единичных входных наборах b . По-
лагаем p1  min{ p11 , ..., p1k } , p 0  min{ p01 , ..., p0m } .
Оценим ненадежность схем S. Возможны случаи:
1. Если подсхема A имеет один вход, то A реализует тождественную
функцию или инверсию (т.к. f ( x )  K (n) и 0, 1 K (n) ). Возможны два варианта:
1.1. Ненадежность
схемы
A
удовлетворяет
неравенству:
P ( A)  5(1  ) 4 , тогда этому неравенству удовлетворяет хотя бы одно из чи-
сел p 0 или p1 , и по следствию 1 получаем P ( S )  5(1  ) 4 .
1.2. Ненадежность
схемы
A
удовлетворяет
неравенству:
4
P( S )  5(1  ) , что противоречит лемме 1.
2. Если в схеме S нельзя выделить подсхему A, имеющую ровно один
вход и содержащую выход схемы, то выделим связную подсхему C схемы S
из пяти элементов, содержащую выход схемы S (это возможно сделать, т.к.
f ( x )  K (n) ). В этом случае выходному элементу E1 приписана либо функ

ция x1 1 x2 , либо x1 1 x2 x3 , 1 {0,1} . Рассмотрим возможные варианты:
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
2.1. Пусть элементу E1 приписана функция x1 x2 . Поскольку схема S
реализует функцию f ( x )  K (n) и отождествление входов элементов недопустимо, в схеме S найдутся два различных элемента E2 и E3 , выходы которых соединены с первым и вторым входами элемента E1 соответственно. Заметим, что элементам E2 и E3 не могут быть приписаны константа 0 (иначе
f ( x )  K (n) ) и константа 1 (иначе либо f ( x )  K (n) , либо случай рассмотрен
в п. 1), и ни один из входов элементов E2 и E3 не может быть соединен
с полюсом схемы S (иначе f ( x )  K (n) ). Если выход элемента E2 ( E3 ) соединен с одним из входов элемента E2 ( E3 ), то элементу E2 ( E3 ) приписана


одна из функций x1 1 x2 , x1 1 x2 x3 , 1 {0,1} (иначе случай рассмотрен в п. 1).
Следовательно, схема, состоящая из элементов E1 , E2 и E3 , имеет по крайней два входа. Поэтому в схеме S найдутся два различных элемента E4 и E5
(иначе в схеме S можно выделить подсхему из элементов E1 , E2 , E3 , имеющую один вход и содержащую выход схемы, а этот случай рассмотрен в п. 1),
выходы которых соединены со входами элементов E2 или E3 .
Схема С состоит из пяти различных элементов E1 , E2 , E3 , E4 и E5 . Для
каждой из возможных схем C ошибка в точности одного любого элемента на
единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P( S )  5(1  ) 4 .
2.2. Пусть элементу E1 приписана функция x1x2 x3 . Поскольку схема S
реализует функцию f ( x )  K (n) и отождествление входов элементов недопустимо, в схеме S найдутся три различных элемента E2 , E3 и E4 , выходы
которых соединены с первым, вторым и третьим входами элемента E1 соответственно. Заметим, что элементам E2 , E3 и E4 не может быть приписана
константа 0 (иначе f ( x )  K (n) ), и по крайней мере двум из элементов E2 ,
E3 , E4 приписана функция, отличная от константы 1 (иначе либо
f ( x )  K (n) , либо случай рассмотрен в п. 1). Поскольку ни один из входов
элементов E2 , E3 и E4 не может быть соединен с полюсом всей схемы S
(иначе f ( x )  K (n) ) и функция f отлична от константы, в схеме S найдется
элемент E5 , выход которого соединен с входом хотя бы одного из элементов
E2 , E3 или E4 , которому приписана неконстантная функция. Схема C состоит из пяти различных элементов E1 , E2 , E3 , E4 и E5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном
наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно,
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P( S )  5(1  ) 4 .
2.3. Пусть элементу E1 приписана функция x1 x2 . Поскольку схема S
реализует функцию f ( x )  K (n) и отождествление входов элементов недопустимо, в схеме S найдутся два различных элемента E2 и E3 , выходы которых соединены с первым и вторым входами элемента E1 соответственно.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Элементам E2 и E3 не могут быть приписаны константы 0 и 1 (иначе либо
f ( x )  K (n) , либо случай рассмотрен в п. 1). Поскольку выход элемента E2
соединен с первым входом элемента E1 , выход элемента E2 может быть соединен со входом элемента E3 только, если элементу E3 приписана одна из
функций x1 x2 или x1 x2 x3 , и в этом случае выход E2 соединен с первым входом элемента E3 (иначе f ( x )  K (n) ). Поэтому второй и третий (если есть)
входы элемента E3 не могут быть соединены с выходом элемента E2 .
Ни один из входов элемента E3 не может быть соединен с полюсом всей
схемы S ( f ( x )  K (n) ).
2.3.1. Пусть элементу E3 приписана функция x1 x2 .
2.3.1.1. Выход элемента E2 соединен с первым входом элемента E3 .
Тогда в схеме S всегда найдется элемент E4 , отличный от элемента E2 , выход которого соединен со вторым входом элемента E3 . Элементу E4 не
может быть приписана константа (иначе либо f ( x )  K (n) , либо случай
рассмотрен в п. 1). Ни один из входов элемента E4 не может быть соединен
с полюсом всей схемы S (иначе f ( x )  K (n) ). Поэтому в схеме S найдется
элемент E5 , отличный от элемента E2 , выход которого соединен с одним
из входов элемента E4 . Схема C состоит из пяти различных элементов E1 ,
E2 , E3 , E4 и E5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на
выходе схемы С. Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно
P ( S )  5(1  ) 4 .
2.3.1.2. Выход элемента E2 не соединен со входами элемента E3 . Тогда
в схеме S найдутся два различных элемента E4 и E5 , отличные от элемента
E2 , выходы которых соединены со входами элемента E3 . Схема C состоит из
пяти различных элементов E1 , E2 , E3 , E4 и E5 . Для каждой из возможных
схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе
приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно,
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
2.3.2. Пусть элементу E3 приписана функция x1x2 x3 . Поскольку выход
элемента E2 не может быть соединен со вторым или третьим входом элемента E3 , то в схеме S найдутся два различных элемента E4 и E5 , отличные от
элемента E3 , выходы которых соединены со вторым и третьим входами элемента E3 . Схема C состоит из пяти различных элементов E1 , E2 , E3 , E4 и
E5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого
элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С.
Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
2.3.3. Пусть элементу E3 приписана тождественная функция. В этом
случае выход элемента E2 не может быть соединен с входом элемента E3 .
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
Тогда в схеме S найдется элемент E4 , отличный от элемента E2 , выход которого соединен с входом элемента E3 . Элементу E4 не может быть приписана
константа (иначе либо f ( x )  K (n) , либо случай рассмотрен в п. 1). Ни один
из входов элемента E4 не может быть соединен с полюсом схемы S (иначе
f ( x )  K (n) ). Поскольку выход элемента E2 соединен с первым входом элемента E1 , выход элемента E2 может быть соединен со входом элемента E4
только, если элементу E4 приписана одна из функций x1 x2 или x1x2 x3 , и
в этом случае E2 соединен первым входом элемента E4 (иначе f ( x )  K (n) ).
Поэтому хотя бы один вход элемента E4 соединен с выходом элемента, отличного от E2 . Поэтому в схеме S найдется элемент E5 , отличный от элемента E2 , выход которого соединен с одним из входов элемента E4 . Схема C
состоит из пяти различных элементов E1 , E2 , E3 , E4 и E5 . Для каждой из
возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном
наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно,
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
2.3.4. Пусть элементу E3 приписана функция x1x2 или x1x2 x3. Тогда
в схеме S найдутся два различных элемента E4 и E5 , отличные от элемента
E2 , выходы которых соединены с входами элемента E3 . Схема C состоит из
пяти различных элементов E1 , E2 , E3 , E4 и E5 . Для каждой из возможных
схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе
приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно,
p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
2.4. Пусть элементу E1 приписана функция x1 x2 x3 . Поскольку схема S
реализует функцию f ( x )  K (n) и отождествление входов элементов недопустимо, в схеме S найдутся три различных элемента E2 , E3 и E4 , выходы
которых соединены с первым, вторым и третьим входами элемента E1 соответственно. Элементу E2 не может быть приписана константа 1, а элементам
E3 и E4 – константа 0 (иначе f ( x )  K (n) ). По крайней мере двум элементам
из E2 , E3 , E4 приписана функция, отличная от константы (иначе либо
f ( x )  K (n) , либо случай рассмотрен в п. 1). Таким образом, хотя бы один из
элементов E3 , E4 реализует неконстантную функцию. Тогда в схеме S найдется элемент E5 , отличный от элементов E1 , E2 , E3 и E4 , соединенный с одним
из входов элементов E3 или E4 (иначе либо f ( x )  K (n) , либо случай рассмотрен в п. 1). Схема C состоит из пяти различных элементов E1 , E2 , E3 , E4
и E5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого
элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С.
Следовательно, p 0  5(1  )4 , и по следствию 1 верно P ( S )  5(1  ) 4 .
Все возможные варианты для подсхемы C схемы S рассмотрены. Теорема доказана.
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема 8. Пусть базис B  {x1  x2 , x1  x2  x3 , x1  x2 , x1  x2  x3 ,
0, 1} ,   (0, 1/ 960] , функция f ( x )  K (n) , а S – любая схема, реализующая
функцию f. Тогда P ( S )  5(1  ) 4 .
Доказательство теоремы следует из теорем 4 и 7, поскольку утверждение, доказанное в базисе B для функции f , верно в двойственном базисе B*
для двойственной функции f * .
Из теорем 5–8 следует, что в полном базисе B  {x1 & x2 , x1 & x2 & x3 ,
x1 , 0, 1} или B  {x1  x2 , x1  x2  x3 , x1 , 0, 1} , или B  {x1 & x2 , x1 & x2 &
& x3 , x1 & x2 , x1 & x2 & x3 , 0, 1} , или B  {x1  x2 , x1  x2  x3 , x1  x2 , x1 
 x2  x3 , 0, 1} при   (0, 1/ 960] любая схема, реализующая функцию
f ( x )  K (n) , функционирует с ненадежностью, не меньше 5(1  )4 .
Таким образом, из теорем 1 и 5–8 следует, что в указанных базисах
почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью 5 при
  0 . Из результатов С. И. Аксенова [7] следует, что других базисов B  B3 ,
в которых асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью 5 при   0 , нет.
Список литературы
1. А к с е н о в, С . И . О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов / С. И. Аксенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2005. – № 6 (21). –
С. 42–55. – (Естественные науки).
2. А л е х и н а , М . А . О надежности схем в базисах, содержащих функции не более
чем трех переменных / М. А. Алехина, А. В. Васин // Ученые записки Казанского
государственного университета. – 2009. – Т. 151. – Кн. 2. – С. 25–35. – (Физикоматематические науки).
3. А л е х и н а , М . А . Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем из
ненадежных элементов : монография / М. А. Алехина. – Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2006.
4. Ч у г у н о в а , В. В. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем
при инверсных неисправностях на входах элементов : дис. … канд. физикоматематических наук / Чугунова В. В. – Пенза, 2007.
5. В а с и н , А . В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {x1 & x2 , x1}
при инверсных неисправностях на выходах элементов / А. В. Васин // Дискретный
анализ и исследование операций. – 2009. – Т. 16. – № 6. – C. 12–22
6. А л е х и н а , М . А . О надежности двойственных схем в полном конечном базисе /
М. А. Алехина, П. Г. Пичугина // Синтез и сложность управляющих систем : материалы XVIII Международной школы-семинара (г. Пенза, 28 сентября – 3 октября 2009 г.). – М. : Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2009. – С. 10–13.
Васин Алексей Валерьевич
ассистент, кафедра дискретной
математики, Пензенский
государственный университет
E-mail: alvarvasin@mail.ru
78
Vasin Aleksey Valeryevich
Assistant, sub-department of discrete
mathematics, Penza State University
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
УДК 519.718
Васин, А. В.
О базисах, в которых асимптотически оптимальные схемы функционируют с ненадежностью 5 / А. В. Васин // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 1 (13). – С. 64–79.
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.392
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. Предложен и обоснован метод механических квадратур для приближенного решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений с подвижными особенностями. Даны оценки
погрешности и быстроты сходимости.
Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения, метод механических квадратур, сходимость.
Abstract. Offered mechanical quadrature method for solution of linear and nonlinear
hypersingular integro-differential equations. The value of error are received. The
rapidly of the convergence are estimated.
Keywords: hypersingular integral equations, mechanical quadrature method, convergance.
1. Приближенное решение линейных гиперсингулярных
интегродифференциальных уравнений на замкнутых контурах
Рассмотрим гиперсингулярное интегродифференциальное уравнение
Kx 
m

ak (t ) x ( k ) (t ) 
k =0
l
hk (t , ) x ( k ) ()
1
d  = f (t ),
p
2i k =0
(
)


t


(1)
где  – единичная окружность с центром в начале координат; p – натуральное число, p = 2, 3, 
Частными случаями уравнения (1) при p = 1 являются сингулярные интегродифференциальные уравнения. Приближенные методы решения сингулярных интегродифференциальных уравнений предложены в работах
И. В. Бойкова [1], И. В. Бойкова и И. И. Жечева [2]. Подробное изложение
этих результатов приведено в монографии [3]. В данной работе, как и в работах [1–3], обоснование приближенных методов решения гиперсингулярных
интегральных уравнений основано на общей теории приближенных методов
Л. В. Канторовича [4]. Другой подход к построению и обоснованию приближенных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений предложен в работах [5, 6].
В качестве граничных условий в уравнении (1) возьмем следующие:
 x(t )t
 k 1
dt = 0, k = 0,1,  ,   1,
(2)

где  = max(m, l ).
Будем считать, что коэффициенты и правая часть уравнения (1) удовлетворяют одному из следующих условий:
1) ak (t ), k = 0,1,  , m, f (t )  H  , hk (t , ) – удовлетворяет условию
Гельдера H  по первой переменной и принадлежит классу функций
W p 1H  по второй переменной, 0 <   1, k = 0,1,  , l ;
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
2) ak (t ),
Физико-математические науки. Математика
f (t ) W r H  , k = 0,1,  , m, hk (t , ) – принадлежит классу
функций W r H  по первой переменной и классу функций W r  p 1H  по
второй переменной, 0 <   1, k = 0,1,  , l.
Кроме того, будем считать, что функции ak (t ), k = 0,1,  , m, hk (t , ),
k = 0,1, , l , f (t ) периодические с периодом 2 по всем переменным.
Через Y = H  (0 <  < ) обозначим банахово пространство функций
x(t ), удовлетворяющих условию Гельдера с показателем , с нормой
|| x(t ) ||Y =|| x(t ) ||H = max | x(t ) | 

t
| x(t1 )  x(t2 ) |
sup
(t1,t2 ) ,t1= t2
| t1  t2 |
.
Через X обозначим банахово пространство функций непрерывно дифференцируемых до s -го порядка, производные s -го порядка которых удовлетворяют условию Гельдера H  . Норма в пространстве X вводится формулой
s
|| x(t ) || X =
 t
(k )
max | x (t ) | 
k =0
| x ( s ) (t1 )  x ( s ) (t2 ) |
sup
| t1  t2 |
(t1,t2 ) ,t1= t2
,
0 <  < .
Пусть s = max(m, l  p  1). Тогда приближенное решение граничной
задачи (1), (2) будем искать в виде полинома
n
xn (t ) =

k t k s 
k =0
1
 k t k .
(3)
k =n
Коэффициенты { k } определяются из системы линейных алгебраических уравнений, которая в операторной форме имеет вид
 n
 hk (t , ) xn( k ) ()  
1 l
(k )

K n xn  Pn
ak (t ) xn (t ) 
Pn 
 d   = Pn [ f (t )],
p

2
i

(
)
t



 
k =0  
 k =0



(4)
где Pn ( Pn ) – оператор проектирования на множество интерполяционных
тригонометрических
полиномов
по
узлам
is
tk = e k ,
sk = 2k /(2n  1)
is
( tk = e k , sk = (2k  1)/(2n  1)), k = 0,1,  , 2n.
Теорема 1. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима и
выполнены условия 1. Тогда при n таких, что q = Aln 2n/n , система
(4)
однозначно
разрешима
и
справедлива
оценка
уравнений
|| x*  xn* ||H  Aln 2n/n , где x* и xn* – решение краевой задачи (1), (2) и

системы уравнений (4) соответственно.
Доказательство. Прежде всего проведем обоснование разрешимости
метода коллокации для краевой задачи (1), (2). Метод коллокации в операторной форме записывается в виде
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 m

l
1 hk (t , ) xn( k ) () 
(k )


K n xn  Pn
ak (t ) xn (t ) 
d  = Pn [ f (t )].
p


2i
t
(
)


=0
=0
k
k






(5)
Пользуясь определением гиперсингулярного интеграла, приведем краевую задачу (1), (2) и уравнение (5) к эквивалентному сингулярному интегродифференциальному уравнению и аппроксимирующей последнее по методу
коллокации системе уравнений. В результате имеем
Kx 
m

ak (t ) x ( k ) (t ) 
k =0
1 (1) p 1 (hk (t , ) x ( k ) ( ))( p 1)
d  = f (t );
2i ( p  1)!
t
k =0
l


(6)

 m
K n xn  Pn  ak (t ) xn( k ) (t ) 
 k =0


1 (1) p 1 (hk (t , ) x ( k ) ())( p 1) 
d  = Pn [ f (t )].


t
2i ( p  1)!
k =0


l


(7)
Здесь через (h(t , ) x())( p 1) () обозначена производная ( p  1) порядка
по переменной .
Продолжим преобразование уравнений (6), (7). Очевидно,
Kx 
m

ak (t ) x ( k ) (t ) 
k =0
1 (1) p 1 hl (t , ) x (l  p 1) ()
d 
2i ( p  1)!
t



l  p 2
1 hk* (t , ) x ( k ) ()
d  = f (t );
2

i


t
k =0



(8)
 m
1 (1) p 1 hl (t , ) xn(l  p 1) ()
(k )


K n xn  Pn
ak (t ) xn (t ) 
d 

t
2i ( p  1)!
k
=0





1 hk* (t , ) xn( k ) () 
d  = Pn [ f (t )].


t
2i
k =0


l  p 2


(9)
Здесь через hk* (t , ), k = 0,1,  , l  p  2, обозначены функции, построение которых очевидно.
Уравнения (8) и (9) удобно представить в следующем виде:
Kx 
82


(k )
 a (t ) x ( k ) (t )  b (t ) 1 x ( )d   b (t , ) x ( k ) ()d   = f (t ); (10)
k
k
 k

2i
t
k =0 



s



Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
 s 
(k )

 a (t ) x ( k ) (t )  b (t ) 1 xn ()d  
K n xn  Pn 
n
k

 k
2i
t

 k =0 






bk (t , ) xn( k ) ()d   


 
= Pn [ f (t )].
(11)
Здесь при m < s коэффициенты ak (t )  0, k = m  1, m  2,  , s; при
l  p  1 < s коэффициенты bk (t )  0, k = l  p, l  p  1,  , s. Коэффициент
h (t , t )(1) p 1
, построение коэффициентов bk (t ),
bl  p 1 (t ) = l
bk (t , ),
( p  1)!
k = 0,1,  , s, очевидно.
Преобразования, которые привели граничную задачу (1), (2) к граничной задаче (10), (2), тождественны. Граничные условия (2) выполнены для
полиномов (3).
Таким образом, задача обоснования метода коллокации для краевой задачи (1), (2) сведена к обоснованию метода коллокации (11) для сингулярного
интегродифференциального уравнения (10) с граничными условиями (2).
Метод коллокации для линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений обоснован в работе И. В. Бойкова и И. И. Жечева [2] (см.
достаточно подробное изложение в [3]). Из результатов этих работ следует,
что при n таких, что q = A ln n/n < 1 , система уравнений (11) однозначно
разрешима и справедлива оценка || x*  xn** || A ln n/n , где x* и xn** – решение краевой задачи (1), (2) и системы уравнений (11) соответственно.
Так как система уравнений (11) получена из системы уравнений (7)
тождественными преобразованиями, то при указанных выше значениях n
система уравнений (9) однозначно разрешима и функция xn** является ее
решением.
Таким образом, доказано, что оператор K  [ X , Y ] при граничных условиях (2) непрерывно обратим и при n таких, что q = A ln n/n < 1, оператор
K  [ X , Y ] непрерывно обратим.
n
n
n
Здесь через X n  X обозначено множество полиномов вида (3) с нормой пространства X , а через Yn обозначено множество полиномов вида
n
 k t k
k =n
с нормой пространства Y (напомним [4], что символом [ X , Y ] обозначается
множество линейных ограниченных операторов, отображающих нормированное пространство X в нормированное пространство Y ).
Для обоснования метода механических квадратур (4) оценим норму
разности операторов K n и K n в метрике пространства Yn .
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Очевидно,
 l
 h (t , ) x ( k ) ()  
|| K n xn  K n xn ||Y = Pn 
Rn  k
 d  ,
p
n


 (  t )
 
 k =0  
Yn

(12)
где Rn = I  Pn , I – тождественный оператор.
Вначале оценим норму

 h (t , ) xn(l ) ()  
Pn  Rn  l
 d  .
p



(
t
)

 
 
Y
n

(13)
Рассмотрим полином


hl (t , ) xn(l ) () 

Pn
d .


(  t ) p




(14)
Воспользовавшись определением гиперсингулярных интегралов, имеем




h (t , ) xn(l ) () 
(1) p 1 (hl (t , ) xn(l ) ( ))( p 1) ) 
Pn  l
d  = Pn 
d =


 ( p  1)!

t
(  t ) p









( 1) p 1 hl (t , ) xn(l  p 1) () 

= Pn
d 
 ( p  1)!

t






( 1) p 1 [hl (t , )]( p 1) xn(l ) () 
  Pn 
d .
 ( p  1)!

t




(15)
Рассмотрим первое слагаемое в правой части предыдущего выражения
(остальные слагаемые рассматриваются аналогично).
Обозначим через hl (t , ) тригонометрический полином наилучшего
равномерного приближения степени (n  s ) по каждой из переменных
к функции hl (t , ). Тогда

 hl (t , ) xn(l  p 1) ( )  
(1) p 1  hl (t , ) xn(l  p 1) () 

I =|| Pn

  Pn 
  ||Y 
 ( p  1)! 
 n




t
t











(1) p 1 hl (t , )  hl (t , ) (l  p 1) 
|| Pn 
xn
d  ||Y 
n
 ( p  1)!

t






(1) p 1 hl (t , ) xn(l  p 1) ()  Pn [ hl (t , ) xn(l  p 1) ()] 

 || Pn
]d  ||Y 
 ( p  1)!
 n
t




84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика


(1) p 1 Pn [(hl (t , )  hl (t , )) xn(l  p 1) ( )] 

 || Pn
d  ||Y 
 ( p  1)!
 n
t





 (hl (t , ) xn(l  p 1) ()  
(1) p 1  Pn [(hl (t , ) xn(l  p 1) ()] 

 Pn

  Pn 
 d =
 ( p  1)! 





t
t


 


Y

n
= I1  I 2  I3  I 4 .
(16)
Оценим каждое из выражений I1  I 4 в отдельности.
Для оценки I1 заметим, что по известной теореме С. Н. Бернштейна


|| hl (t , )  hl (t , ) ||C  A ln n max Ent  s [hl (t , )], En s [hl (t , )] .
Отсюда следует, что функция (t , ) = hl (t , )  hl (t , ) входит в класс
Гельдера по переменной  с показателем 1/ ln n и с коэффициентом


A ln nEn* (hl ), где En* (hl ) = ln n max Ent [hl (t , )], En [hl (t , )] . Поэтому
I1  A || xn(l  p 1) (t ) ||H n ln nEn* (hl ).

(17)
Заметим теперь, что функция
h (t , )  hl (t , t ) (l  p 1)
l (t , ) = l
xn
()
t
является полиномом степени 2n по переменной . Тогда, воспользовавшись
формулой Гильберта для сингулярных интегралов и свойствами квадратурных формул наивысшей тригонометрической точности, имеем (по аналогии
с [3, с. 172])
 


 hl (t , ) xn(l  p 1) ( )  
hl (t , ) xn(l  p 1) () 


Pn
d
= Pn Pn 
=
 d 



t
t



 




Y

Y
n
n




P [h (t , ) xn(l  p 1) ()] 
d
.
 Pn  n l


t

Y
n

(18)
Из этой формулы следует, что
I 2 = 0.
(19)


P [(h (t , )  hl (t , )) xn(l  p 1) ()] 
Pn  n l
d
 An ln 2nEn* (hl ).


t

Y
(20)
Оценим норму разности

85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Возвращаясь к формуле (18), имеем
 


 h (t , ) xn(l  p 1) ()  
P [ h (t , ) xn(l  p 1) ()] 
Pn  n l
d
= Pn  Pn  l
 d   . (21)



t
t



 

Y
 
Y
n
n


Для доказательства формулы (21) воспользуемся формулой Гильберта [7]:
2
2
0
0
1 () 1
s
i
=
(ei )ctg
d 
 t 
2




 (e
i
)d .
Тогда


1  Pn [hl (t , ) xn(l  p 1) ()] 
Pn
d =

 
t



=
 2
1
s
Pn  Pn  hl (eis , ei ) xn(l  p 1) (ei )  ctg
d 


2 
2
0


i
2
2

Pn  hl (eis , ei ) xn(l  p 1) (ei )  d   =

 
0


 2
1
Pn  Pn  hl (eis , ei ) xn(l  p 1) (ei )  () 
=


2 
0


s 
d  
 Pn  hl (eis , ei ) xn(l  p 1) (ei )  ( s ) ctg


2

 i 2

 Pns 
Pn  hl (eis , ei ) xn(l  p 1) (ei )  d   

 
 2
0



=
2
1 s
Pn  Pn Pn  h(eis , ei ) xn(l  p 1) (ei )  () 


2 
0



s 
d  
 Pn  h(eis , ei ) xn(l  p 1) (ei )  ( s ) ctg


2

 Pns
=
86
Pns
 i 2


Pn  hl (eis , ei ) xn(l  p 1) (ei )  d   

 
 2
0



 2
1
s
 Pn  hl (eis , ei ) xn(l  p 1) (ei )ctg


2
2


0

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика


(l  p 1)

()  

i
is i (l  p 1) i 
t 1
 hl (t , ) xn
 hl (e , e ) xn
(e )  d   = Pn
P 
 d .
 n 

t
2
 



 


Из неравенств (16)–(21) следует, что
I  An En* (hl )ln 2n || xn || .
(22)
Повторяя проведенные выше рассуждения, имеем

 ( h (t , ))( p 1) xn(l ) ()  
 An En* (hs )ln 2n || xn || X .
Pn  Rn  l
 d 
n


t


 
Y
n

(23)
Из формул (12), (22), (23) следует оценка
|| K n xn  K n xn ||Y  An () ln 2n || xn || X .
(24)
Из оценки (24) следует, что при n таких, что q = An  () ln 2n < 1, оператор K n имеет левый обратный. Так как оператор K n действует из конечномерного пространства X n в конечномерное пространство Yn , то из существования левого обратного оператора следует существование обратного
оператора K n1.
Близость решений уравнений (1) и (4) оценивается так же, как при исследовании сингулярных интегральных уравнений.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима и
выполнено условие 2). Тогда при n таких, что Aln 2n/n r  p 1 < 1, система
уравнений (4) однозначно разрешима и справедлива оценка
|| x*  xn* ||H  Aln 2n/n r  p 1 .

Доказательство теоремы 2 подобно доказательству теоремы 1 и поэтому опускается.
2. Приближенное решение нелинейных
гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений
Рассмотрим нелинейное гиперсингулярное интегродифференциальное
уравнение
Lx 
m

ak (t , x ( k ) (t )) 
k =0
m
hk (t , , x())
1
d  = f (t ),
p
2i k =0


t
(
)


(25)
где  – единичная окружность с центром в начале координат, p = 2, 3, 
На функции ak (t , u ) и hk (t , , u ) наложены следующие условия:
1) функции ak (t , ), k = 0,1,  , m , имеют частные производные по
второй переменной, и удовлетворяют условию Гельдера по обеим перемен-
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ным. Функции hk (t , , u ) , k = 0,1, , l , имеют частные производные до
( p  1) порядка по второй переменной и до p -го порядка по третьей переменной, причем функции hk (t , , u ) , k = 0,1, , l , и их частные производные
удовлетворяют условию Гельдера с показателем  по всем переменным;
2) функции ak (t , ), k = 0,1,  , m , имеют частные производные до
p -го порядка по первой и второй переменной соответственно, причем как
сами функции, так и их частные производные удовлетворяют условию Гельдера по обеим переменным. Функции hk (t , , u ) k = 0,1,  , l , имеют частные
производные r -го порядка по первой переменной, до ( p  r  1) -го порядка
по второй переменной и до (r  p ) -го порядка по третьей переменной, причем как сами функции, так и их частные производные удовлетворяют условию Гельдера с показателем  по всем переменным.
Частным случаем уравнения (25) при p = 1 являются нелинейные сингулярные интегродифференциальные уравнения. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений исследовано
в работах И. В. Бойкова [1], И. В. Бойкова и И.И. Жечева [8]. Подробное изложение этих результатов дано в монографии [3].
В качестве граничных условий для уравнения (25) возьмем равенства (2).
Приближенное решение уравнения (25) будем искать в виде полинома
(3), коэффициенты которого определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений
l
 m
 h (t , , xn( k ) ())  
1
Ln xn  Pn  ak (t , xn( k ) (t )) 
Pn  k
 d   Pn [ f (t )]. (26)
p

i

2
(  t )
 k =0
 
k =0
 



Операторы P и P были введены в п. 1.
Для решения системы уравнений (26) воспользуемся методом Ньютона –
Канторовича, который в операторной форме имеет вид
xnm1 (t ) = xnm (t )  [ Ln ( x0 )]1[ Ln xnm  f n (t )],
(27)
где f n (t ) = Pn [ f (t )], Ln ( x0 ) – производная Фреше (или Гато) на начальном
элементе x0 .
Для осуществимости метода Ньютона – Канторовича необходимо, чтобы
существовал ограниченный обратный оператор [ Ln ( x0 )]1. Нетрудно видеть,
что производные Фреше операторов L и Ln на элементе x0 имеют вид
L( x0 ) x 
m
 ak (t , uk )
 
k =0

uk
|
 k
(t ) 
(k )  x
uk = x0 (t ) 
l 
 x ( k ) ()
hk (t , , uk )
1
|
d ;


(k )
uk = x0 ( )  (   t ) p
uk
2i k =0 


 m  a (t , u )
 k
k |

Ln ( x0 ) xn  Pn   k
( k )  xn (t ) 
=
(
)
u
x
t
 k =0  uk
k 0


88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Математика
l
 hk (t , , uk )
 xn( k ) ()  
1
Pn 

|
 d

(k )
uk = x0 ( )  (   t ) p  
2i k =0
uk



 


соответственно.
В случае, если оператор L( x0 ) непрерывно обратим, обратимость оператора Ln ( x0 ) при достаточно больших n, значения которых определены в
условиях теорем 1 и 2, следует из этих теорем. Таким образом, при указанных
значениях n итерационный процесс осуществим. Для сходимости этого процесса необходимо проверить выполнение условий теоремы 6.8 из главы
«Введение» монографии [3]. Нетрудно видеть, что при достаточно хорошем
начальном приближении x0 , последовательность (27) сходится к решению
xn* уравнения Ln xn = f n . Близость решений x* и xn* уравнений (25) и (26)
оценивается по такой же схеме, как и для нелинейных сингулярных интегральных уравнений (см. [3, с. 214]).
Таким образом, доказана справедливость следующих утверждений.
Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:
1) уравнение (25) имеет единственное в некоторой сфере S ( x* , ) ,
  0 , решение x* (t );
2) оператор L( x0 )   X , Y  , x0  S ( x* , ), непрерывно обратим;
3) выполнены условия 1.
Тогда при n таких, что q  A ln 3 n / n  1 , система уравнений (26)
имеет единственное решение xn* и справедлива оценка
x*  xn*
X
 A ln 3 n / n .
Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия:
1) уравнение (25) имеет единственное в некоторой сфере S ( x* , ) ,
  0 , решение x* (t );
2) оператор L( x0 )   X , Y  , x0  S ( x* , ), непрерывно обратим;
3) выполнены условия 2.
Тогда при n таких, что q  A ln 3 n / n r  p 1  1 система уравнений
(26) имеет единственное решение xn* и справедлива оценка
x*  xn*
X
 A ln 3 n / n r  p 1 .
Список литературы
1. Б о й к о в , И . В. Принцип компактной аппроксимации в возмущенном методе
Галеркина / И. В. Бойков // ДАН СССР. – 1974. – Т. 215. – № 1. – C. 11–14.
2. Б о й к о в , И . В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений 1 (линейные уравнения) / И. В. Бойков, И. И. Жечев //
Дифференциальные уравнения. – 1973. – Т. 9. – № 8. – C. 1493–1502.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. Б о й к о в , И . В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений /
И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. – 316 с.
4. К а н то р о в и ч , Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах /
Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. – М. : Наука, 1959. – 684 с.
5. Б о й к о в , И . В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных
уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // International Conference on
Computational Mathematics. – Novosibirsk, 2004. – Part first. – P. 411–417.
6. Б о й к о в , И . В. Сплайн-коллокационный метод решения гиперсингулярных
интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Вестник Харк. нац. унта, 2007. – № 775. – Вып. 7. – С. 36–49. – (Математическое моделирование.
Информационные технологии. Автоматизированные системы управления).
7. Г а х о в , Ф. Д . Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М. : Наука, 1963. – 640 c.
8. Б о й к о в , И . В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений 2 (нелинейные уравнения) / И. В. Бойков, И. И. Жечев //
Дифференциальные уравнения. – 1975. – Т. 11. – № 3. – C. 562–571.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет
Boykov Ilya Vladimirovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
Захарова Юлия Фридриховна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
Zakharova Yuliya Fridrikhovna
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 517.392
Бойков, И. В.
Приближенное решение гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. –
№ 1 (13). – С. 80–90.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
ФИЗИКА
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, Е. А. Тюрин, Ю. Д. Пальченков
МОДЕЛЬ КУБИТА НА ОСНОВЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ
КВАНТОВОЙ ТОЧКИ С УПРАВЛЯЕМОЙ
ПЕРЕДИСЛОКАЦИЕЙ ДВУХЦЕНТРОВОЙ ВОЛНОВОЙ
ФУНКЦИИ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Аннотация. Теоретически рассмотрена модель кубита на полупроводниковой
точке (КТ) с D2 -центром с управляемой внешним электрическим полем передислокацией двухцентровой волновой функции. Ортонормированный базис
кубита 0 и 1 выбран таким образом, чтобы соответствовать локализованным состояниям электрона на центрированном доноре и на доноре, смещенном к границе КТ. Показано, что эффект передислокации двухцентровой
волновой функции связан со смещением центра тяжести электронного облака как по энергии (квантоворазмерный эффект Штарка), так и по координате. Показана возможность реализации в таком кубите квантового вентиля
НЕ (NOT).
Ключевые слова: кубит, квантовая точка, эффект передислокации двухцентровой волновой функции, термы, спектр фотовозбуждения.
Abstract. Studied theoretically for the quantum bit model of semiconductor quantum
dot with D2 -center with controlled external electric field of the relocation of twocenter wave function. Orthonormal basis quantum bit 0 and 1 are selected in
such a way as to conform to the localized electron states centered on the donor and
the donor, biased to the border of CT. It is shown that the effect of relocation of the
two-center wave function associated with the displacement of the center of gravity
of the electron cloud as the energy (quantum-Stark effect) and to coordinate. The
possibility of realization in such quantum bit quantum gate  NOT  .
Keywords: quantum bit, quantum dot, the effect of relocation of the two-center wave
function, the terms, the range of photoexcitation.
Модель кубита
Кубит, или квантовый бит, – это вектор единичной длины в двухмерном комплексном пространстве, в котором зафиксирован некоторый базис
 0 , 1  . Следует отметить, что, в отличие от классического бита, кубиты
могут находиться в суперпозиции 0 и 1 , т.е. a 0  b 1 , где a и b – ком2
2
плексные числа, такие что a  b  1 . В рассматриваемой нами модели
предполагается, что квантовая точка (КТ) имеет сферическую форму с радиусом R 0 , и начало системы координат совпадает с ее центром.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Для невозмущенных примесями одноэлектронных состояний в продольном магнитном поле гамильтониан в выбранной модели имеет вид

(1)
H   2 / 2m  2  m02 x 2  y 2  z 2 / 2  e Ex,
 


где m  – эффективная масса электрона; 0 – характерная частота удерживающего потенциала КТ; e – абсолютное значение заряда электрона; x , y ,
z – прямоугольные декартовы координаты; E – напряженность электрического поля в КТ.
Собственные значения En1 ,n2 ,n3 и соответствующие собственные функции  n1 ,n2 ,n3 гамильтониана (1) даются выражениями вида


En1 ,n2 ,n3  0  n1  n2  n3  3/ 2   e E 2 / 2m02 ;
2
 n1 ,n2 ,n3  x, y, z   2


2
 exp   x  x0   y 2  z 2 


n1  n2  n3
2
1

3

(2)
3
 n1 !n2 !n3 ! 2  4 a 2 
 2a2  H n  x ax0  H n  ay  H n  az  ,
1
2
3
(3)
где n1 , n2 , n3  0,1, 2, ... – квантовые числа, соответствующие уровням энергии осцилляторной сферически-симметричной потенциальной ямы;

 – характерная длина трехмерного осциллятора;
 m02  – x-координата смещенного в электрическом поле поло-
a  / m   0
x0  e E
жения равновесия трехмерного осциллятора; H n  x  – полиномы Эрмита.

Пусть D0 -центры расположены в точках Ra1   xa1 , ya1 , za1  и


Ra 2   xa 2 , ya 2 , za 2  , здесь Rai   xai , yai , zai  , i  1, 2, – прямоугольные декартовы координаты примесных центров. Двухцентровой потенциал моделируется суперпозицией потенциалов нулевого радиуса мощностью
 i  2 2
 i m  и в декартовой системе координат имеет вид
2
  
 
 
V r ; Ra1 , Ra 2 
 i  r  Rai  1  r  Rai  r  ,



  
i 1
где i определяется энергией Ei 2   2 i2



(4)
 2m  электронного локализо-
ванного состояния на этих же D 0 -центрах в массивном полупроводнике.
В приближении эффективной массы волновая функция электрона
  
  2 r ; Ra1 , Ra 2 , локализованного на D20 -центре в КТ, находящейся во


внешнем электрическом поле, удовлетворяет уравнению Липпмана – Швингера для связанного состояния и может быть представлена в виде линейной
комбинации:
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика


2
  
 
 0
  2 r ; Ra1 , Ra 2  i ci G r ; Ra1 , E ,


где ci  i   2

 
i 1

  Ra1, Ra2 , Ra3  ; Ti  rlimR
a1
2
(5)



1  r  Rai  r  ; G r , Rai , E  0 
2





–
одноэлектронная функция Грина, соответствующая источнику в точке Rai и
 0
энергии E   2  2
2
 2m  ( E 0 – энергия связанного состояния электро2
0
на в поле D -центров, отсчитываемая от дна КТ).
Решение задачи на связанные D2 -состояния в КТ, помещенной во
внешнее электрическое поле, сводится к построению одноэлектронной функ 
 0
ции Грина G  r , R a i ; E   для уравнения Шредингера:
2 


3 
 
0


 QD 
1 3 
2
G r , Rai , E    2  2  Ed ad  dt exp  E t

2


0

1


3


2t  2

Ed  1  e





  x  x 2  y 2  z 2   x  x 2  y 2  z 2 
ai
ai
0
0

 exp   ai
2


a
2


2
2  2t
t 

 2  xai  x0  x  x0  e   xai  x0    x  x0   e
 exp 
a 2 1  e 2t





 2 y ye t  y 2  y 2 e2t
ai
ai
 exp 

a 2 1  e 2t



t

3
2










 2 z ze t  z 2  z 2 e 2t
ai
 exp  ai


a 2 1  e 2t











  x  x 2   y  y 2   z  z 2  
ai
ai
ai  
exp  

2


a
t
2



2
2
2
 QD  E
exp   E
d  x  xai    y  yai    z  zai 
2

2  
 x  xai 2   y  yai 2   z  zai 2 ad2

ad2  
  , (6)



где   R0  4 U 0  ; R0  2 R0 ad ; U 0  U 0 Ed ; U 0 – амплитуда потенциала


конфайнмента КТ; Ed , ad – эффективная боровская энергия и боровский ра-
 QD   3 2   e 2 E 2
0
диус соответственно; E
2
 2m02   E0
2
– энергия
связи D2 -состояния в КТ во внешнем электрическом поле.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Используя известную процедуру метода потенциала нулевого радиуса
 QD 
[1], получим уравнение, определяющее зависимость энергии связи E 
2
электрона, локализованного на D20 -центре, от координат D0 -центров, параметров КТ и величины напряженности внешнего электрического поля:
1a11   2 a22  1  1 2  a11a22  a12 a21  ,
 
(7)

 

 0
где aij  TG Rai , Raj , E 2 ; i, j  1, 2.
Коэффициенты aij , входящие в (7), с учетом (6) запишутся в виде
aij    4 


 exp  


 x
aij    4 


 exp  





3 1
 QD 
1 3 
2
dt exp  E t
2  Ed ad

ai


3 1
 QD 
1 3 
2
dt exp  E t
2  Ed ad 

 x
aj

(8)
3
 3
 2
2t  2


Ed  2 1  e





 0
 2e  t

 exp 


t


2a 2
3
2

2
2
2

 x0   yai
 zai
th  t 2    3 


QD 

2
Ed  ;
 t   2 E

a2




 xai  x0 2  yai2  zai2



 0
3
 3
 2
2t  2

Ed  2 1  e




2
 

2
2 
cth  t  
 xaj  x0  yaj  zaj  cth  t  





 exp 
2


a
2




 x0

  xai  x0 


 yaj yai  zaj zai 


2
2t
a 1 e




2
2
2 

xai  xaj  yai  yaj  zai  zaj  

exp  
   2  
2
2
a
t
 



 QD  E
exp   E
d


 
 

 xai  xaj    yai  yaj    zai  zaj 
2
2
 xai  xaj    yai  yaj    zai  zaj 
2
2
2
ad2
2

ad2  
 .



(9)
В случае, когда 1   2   , уравнение (7) распадается на два уравнения, определяющих симметричное (g-терм) и антисимметричное (u-терм) состояния электрона соответственно:
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
a11  a12  1 (c1  c2 );
(10)
a11  a12  1  c1  c2  .
(11)
На основании (5) и (6) с помощью условия нормировки можно получить окончательное выражение для волновой функции g- и u-состояний
(верхние и нижние знаки соответственно) электрона в КТ во внешнем элек

трическом поле ( Ra1   0,0,0  и Ra 2   xa 2 , ya 2 , za 2  – координаты
D0 -центров) [2, 3]:
   x, y, z ,0,0,0, xa 2 , ya 2 , za 2   2


5
3 3
 
2 1 4 a 2
d


Ed


1  xa 2  x0 
 ,
2


 QD 

Г E
Ed
 1


2
QD
 1 Г E 
Ed  1
2



 QD 
Г E
1 x2  1
Ed  ,  0  
2 a 2  22 Г E  QD 

1
 QD 
F  , E
2


1
 QD 
F  , E
2



Ed

Ed  1




 ya22  za22   1  1 1

2 4 2
12
a2


2

1
2



QD  
2
2
2

x
x
x


4  E 
0  xa 2  ya 2  za 2
 a2 0



 exp 
 
 
2
2

 Ed 
a
a
2








1
 2
 xa22  ya22  za22    1
  x  x0  x0 
W  QD 

   exp 

2

E
1 1
a
a2



 , 
   1
Ed
4 4

3

 x2  y 2  z 2 
 x 2  y 2  z 2  4  E QD  





 W  QD 
 
2
2


 E
 Ed 
31

a
a

 , 





2E
4 4
d

  x  x  x  x0   ya 2 y  za 2 z 
1
exp   a 2 0

2
a2



3
  x  x 2   y  y 2   z  z 2  4
a2
a2
a2 


2


a


95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

 E  QD  
  x  x 2   y  y 2   z  z 2  
a2
a2
a2 
  W  QD 

  
 , (12)
2
 E
31
 2 Ed 

a


,



2 Ed
4 4

где параметр 2k   Ei k Ed определяется энергией связанного состояния
 Ei k  2  i 2k
 2m 

k-го D  -центра в массивном полупроводнике
(k = 1, 2); Г(x) – гамма-функция; F(a, b, z) – вырожденная гипергеометрическая функция; W,  z  – функция Уиттекера.
Уравнения (10), (11) и функциональная зависимость (12) допускают
компьютерный анализ. Это позволяет проследить за эволюцией g- и u-термов
с изменением напряженности электрического поля в КТ.
 QD  от
На рис. 1 показана зависимость энергии связи электрона E 
2

0
R12  R12  xa 2 
между
D -центрами ( Ra1   0,0,0 
расстояния

Ra 2   xa 2 ,0,0  ) в КТ на основе InSb.
и
E(QD ) , эВ

E
0,2
Рис. 1. Термы молекулярного иона
0,4
D2
0,6
R12, нм
в КТ на основе InSb для различных значений
напряженности электрического поля E при Ei  1,4 102 эВ, R0  71,6 нм,
U 0  0, 2 эВ (1, 2 – g-терм; 3, 4 – u-терм): 1 и 3 – E  0 В/м ; 2 и 4 – Е  1,5  104 В/cм
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
Из рис. 1 видно, что в электрическом поле условия существования
g-состояния становятся менее жесткими и несколько увеличивается координатная область существования этого состояния (ср. кривые 1 и 2). В то же
время условия существования u-состояния становятся более жесткими, что
видно из сравнения кривых 3 и 4. Энергия связи D2 -состояния в электрическом поле незначительно уменьшается (ср. кривые 1, 3 и 2, 4), что обусловлено квантово-размерным эффектом Штарка. На рис. 2 приведена зависи-
 QD   E  QD  между g- и u-термами от напряженности
u
мость расщепления Eg
электрического поля.
 QD   E  QD  , эВ
u
Eg
  E  QD 
Рис. 2. Зависимость величины расщепления между g- и u-термами E QD
g
u
от напряженности электрического поля E в КТ на основе InSb
при Ei  1, 4  102 эВ, R0  71,6 нм, U 0  0, 2 эВ для различных значений
расстояния между D0 -центрами R12 : 1 – R12  18 нм ; 2 – R12  35,8 нм
Незначительное увеличение величины расщепления с ростом напряженности поля, по-видимому, связано с примерно одинаковым изменением
энергии связи g- и u-состояний в электрическом поле. Расщепление становится заметным лишь при небольших расстояниях между D0 центрами. На рис. 3
представлены спектральные зависимости коэффициента примесного поглощения квазинульмерной структуры с D2 -центрами. Как видно, спектр фотовозбуждения D2 -центра, представляет собой полосу, граница которой
смещается в длинноволновую область спектра с ростом величины напряженности электрического поля. Что связанно с соответствующей динамикой g- и u-термов в электрическом поле.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Kgu(ω), см–1
500

e
400
2
1
300

E
200
100
10
12
15
17
20
22
25
ω , мэВ
Рис. 3. Спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения
квазинульмерной структуры в случае фотовозбуждения D2 -центра в КТ
при U = 0,14 эВ, R0 = 65 нм, R12 = 32 нм при изменении электрического поля:
1 – E = 0 В/см; 2 – E = 105 В/см
Квантовый вентиль
Квантовый
вентиль
HE  NOT 
X
задается
матрицей
вида
X  0 1  1 0 . В рассматриваемой модели кубита базис определен как
d


  2  0,0,0;0,0,0   0 и   2  0,0,0; ,0,0   1 , а вентиль X  W p   e Ex ,
2


где e – величина заряда электрона; E – напряженность внешнего электрического поля. Физическая картина работы однокубитового логического элемента HE  NOT  на основе системы «КТ- D2 -центр» с вентилем W p пред-
ставлена на рис. 4.
Согласно рис. 4 (кривая 1) при отсутствии электрического поля электронное облако примерно с равной вероятностью распределено между
D0 -центрами, что соответствует суперпозиции электронных состояний
a 0  b 1 . При включении электрического поля в зависимости от его направления происходит передислокация двухцентровой волновой функции либо
к центральному донору (булев 0 , кривая 3), либо к донору, смещенному
к границе КТ (булева 1 , кривая 2). Таким образом, изменение направления
электрического поля (при заданной величине напряженности) приводит
к преобразованию кубита (см. вставку на рис. 4). Считывание состояний кубита можно осуществить методами спектроскопии, разработанными применительно к одной КТ.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
w, 1022 м–3
E (|1>)
Физико-математические науки. Физика
E (|0>)
x, 10–8 м
Рис. 4. Координатная зависимость электронной плотности вероятности
2
a



W    2  x;0,0,0; d ,0,0  для g-состояния D2 -центра
2


  ad


 Ra1   0,0,0  , R   ,0,0   в КТ на основе InSb радиусом R0  72 нм ;
2



U 0  0, 2 эВ ; 1 – E  0 В/м ; 2 – E  1, 4 106 В/м ; 3 – E  1, 4  106 В/м
В рассматриваемом нами случае это может быть анализ спектра фотовозбуждения D2 -центра в КТ, связанного с оптическим переходом электрона
между g- и u-термами. Так, например, состояниям кубита 0 и 1 будут соответствовать различные пороги фотовозбуждения. Необходимо отметить,
что развитие высокочувствительных приемников оптического излучения,
например структур с переносом заряда (ПЗС-матриц) и лавинных диодов,
в сочетании с оптической микроскопией с дифракционно-ограниченным
пространственным разрешением (200–500 нм) позволяет решить проблему
оптической спектроскопии одной КТ.
Список литературы
1. К р е в ч и к , В. Д . Особенности квантово-размерного эффекта Штарка в спектрах
примесного поглощения квазинульмерных структур / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин,
С. Е. Игошина, В. В. Евстифеев, А. В. Разумов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 1. –
С. 124–132.
2. К р е в ч и к , В. Д . Эффект передислокации квазинульмерной электронной волновой функции в D2 -системе / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, Л. Н. Туманова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5. – С. 200–
208. – (Естественные науки).
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. К р е в ч и к , В. Д . Эффект передислокации электронной волновой функции
в D2 -системе в квантовой точке во внешнем электрическом поле / В. Д. Кревчик,
А. В. Разумов, Л. Н. Туманова, В. А. Прошкин, А. М. Иванов // Материалы нано-,
микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение : сборник трудов V Всероссийской молодежной научной школы, посвященной 75-летию Мордовского государственного университета Н. П. Огарева. – Саранск : Изд-во Мордов. гос. ун-та. – 2006. – С. 19.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of physics sub-department,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Разумов Алексей Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра общей физики,
Пензенский государственный
педагогический университет
им. В. Г. Белинского
Razumov Aleksey Viktorovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of general physics,
Penza State Pedagogical University
named after V. G. Belinsky
E-mail: physics@pnzgu.ru
Тюрин Евгений Александрович
ведущий электроник, кафедра физики,
Пензенский государственный
университет
Tyurin Evgeny Alexandrovich
Chief electronic engineer, sub-department
of physics, Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Пальченков Юрий Дмитриевич
кандидат технических наук,
профессор, кафедра радиотехники
и радиоэлектронных систем, Пензенский
государственный университет
Palchenkov Yuriy Dmitrievich
Candidate of engineering sciences,
professor, sub-department of radio
engineering and radio-electronic systems,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 539.23; 539.216.1
Кревчик, В. Д.
Модель кубита на основе полупроводниковой квантовой точки
с управляемой передислокацией двухцентровой волновой функции во
внешнем электрическом поле / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, Е. А.Тюрин,
Ю. Д. Пальченков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1 (13). – С. 91–100.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
УДК 621.315.592
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Гришанова
ЭФФЕКТ АНИЗОТРОПНОЙ ПЕРЕДАЧИ
ИМПУЛЬСА ФОТОНА ЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЕ
В ДВУМЕРНОЙ ЛЕНТЕ, СВЕРНУТОЙ В СПИРАЛЬ,
В УСЛОВИЯХ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Аннотация. Теоретически исследуются особенности эффекта фотонного увлечения в двумерной ленте, свернутой в спираль, связанные с асимметричным
энергетическим спектром электронов в продольном магнитном поле. Выявлен
эффект анизотропной передачи импульса фотона электронной системе в спектральной зависимости плотности тока фотонного увлечения.
Ключевые слова: двумерная лента, свернутая в спираль, продольное магнитное
поле, эффект анизотропной передачи импульса, эффект фотонного увлечения.
Abstract. Theoretically, we study the effect of particular photon drag in a twodimensional ribbon rolled into a spiral associated with asymmetrical energy spectrum of electrons in a longitudinal magnetic field. The effect of anisotropic transfer
of photon momentum to the electronic system in the spectral dependence of the current density of photon drag.
Keywords: two dimensional ribbon, rolled into a spiral, longitudinal magnetic field,
the effect of anisotropic momentum transfer, the effect of photon drag.
Введение
В последние годы интенсивно исследуются физические свойства электронного газа на искривленной поверхности в таких моделях, как квантовый
цилиндр [1–3], квантовая сфера [4, 5], нанотрубки различной геометрии
[6–9]. Особый интерес привлекают к себе низкоразмерные структуры с одновременным нарушением пространственной симметрии относительно инверсии координат и фундаментальной симметрии относительно обращения времени [9]. Этот интерес обусловлен асимметричным энергетическим спектром
электронов [9], электронные свойства таких структур оказываются различными для взаимно противоположных направлений волнового вектора электрона, что может приводить к целому ряду принципиально новых физических
явлений [10–15]. Асимметричный энергетический спектр имеет и двумерная
лента (ДЛ), свернутая в спираль в условиях внешнего магнитного поля [16].
Целью настоящей работы является теоретическое исследование особенностей
эффекта фотонного увлечения (ЭФУ) электронов в ДЛ, свернутой в спираль
при внутризонных оптических переходах в продольном магнитном поле.
Расчет матричного элемента внутризонного оптического перехода
в двумерной ленте, свернутой в спираль
Рассмотрим оптические переходы электронов из основного состояния
(m = 1, m = 1, 2, … – квантовое число), которое нумерует энергетические подзоны, в состояния размерно-квантованного спектра ДЛ.
Волновые функции начального  k1  z ,   и конечного  k m  z ,   состояний и энергетический спектр определяются соотношениями вида [16]:
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 k1  z ,   
 k m  z ,   
E  k, m 
S  1


exp  ikz  i   sin     z   ;
2  2
Tz


(1)
S    m


exp  ik z  i   sin     z   ;
2   2
Tz


(2)
1
1
2
k  
 2  2 
1
m 2 
2 2
,
1
R






0
2m* 1   2 R02    0 
4 2 R02 




где S  2 R02 k    0

(3)
 1  2 R02  , S   2  R02k    0  1  2 R02  ,  –
магнитный поток через поперечное сечение спиральной ленты;  0 – квант
магнитного потока;     z  2M ; M – целое число такое, что 0    2 .
Число  определяется периодом спирали по оси цилиндра Tz  2  ,
k – собственное значение оператора K , являющегося линейной комбинацией
оператора импульса Pz и момента импульса L z : K  Pz  L z ; R0 – радиус
спирали.
Матричный элемент внутризонного оптического перехода запишется
в виде
M  *k m  z ,   H int  k1  z ,   ,
(4)
где гамильтониан взаимодействия с полем световой волны Hint имеет следующий вид:
Hint  i 2
2*
*2
m 
I 0 eiqr  e r  .
(5)
Расчет матричного элемента в (4) необходимо выполнить в квадрупольном приближении, при этом рассматривается случай, когда вектор
импульса световой волны q направлен под углом  к оси ДЛ
e 
iq z cos  R0 sin  cos  

 1  iq  z cos   R0 sin  cos   , тогда матричный эле-
мент оптического перехода можно представить как
1
2
3
M  M   M   M  ,
(6)
где
1
M    i 2  0


 2 
R02 k     0
1

exp ik z  i

m*2 R02 Tz  0
1   2 R02


2* I 0



    z  2M   
 cos 
  1
 m


sin   sin     z   
 sin     z    sin  
2
z
R
2





0
 
102



Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика


R02 k    0

 exp ikz  i

1   2 R02


2
M    20

2* I 0

    z  2M   dzd  ;



(7)
 2 
q
 m

z cos  sin     z   
*2
2 T
 2

m R0
z  0



R02 k     0

 exp ik z  i

1   2 R02



    z  2M   






R02 k    0 


 cos 
 

  sin  
sin   exp ikz  i
   z  2M   

2
2
z
R0
 



1   R0 


1

 sin     z   dzd  ;
2


3
M    20
2* I 0 qR0
m*2 R02 Tz

 2 
 m

  sin  cos  sin  2    z   
 0

R02 k     0

 exp ik z  i

1   2 R02



(8)
    z  2M   






R02 k    0 


 cos 
 

sin   exp ikz  i
2
  sin  



z


M

  

2
2
z
 
R0



1   R0 


1

 sin     z   dzd  .
2


(9)
После вычисления производных в выражениях (7)–(9) получим
1
M    i 2  0
 2 


R02  k  k  
1


exp i  k  k  z  i
  z  2M   



1   2 R02
m*2 R02 Tz  0


2* I 0

 


k 
R02 k 
 



m


0  cos  sin 
0
 sin     z   i  sin 
2
2
2
2


 
1   R0
R0 1   R02
 
 




1
 sin     z   
 2




sin  cos  
1

  sin  
 cos     z    d dz ;
2 R0 
2
 
2
(10)
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
M     2 0
2* I 0 q cos 
m*2R02 Tz
 2 
 m

  z sin  2    z   
 0


R 2  k  k  
 exp  i  k  k   z  i 0
  z  2M   



1   2 R02


 


k 
R02 k 
 
0
0
 i  sin 
 cos  sin 
2
2
2
 
1   R0
R0 1   R02


 




1
 sin     z   
 2




sin  cos  
1

  sin  
 cos     z    d dz ;
2 R0 
2
 
2
3
M    20
2* I 0 qR0 sin 
m*2 R02 Tz
 2 
 m
(11)

  cos  sin  2    z   
 0


R 2  k  k  
 exp  i  k  k   z  i 0
  z  2M   



1   2 R02


 


k 
R02 k 
 
0
0
 i  sin 
 cos  sin 
2
2
 
1   R0
R0 1   2 R02
 
 




1
 sin     z   
 2




sin  cos  
1

  sin  
 cos     z    d dz .
2 R0 
2
 
2
(12)
Квадрат модуля матричного элемента, рассчитанного в линейном по
импульсу фотона приближении, можно представить в виде
q
M 
2
 16 
 4 02 * I 0
*2
m 

q
ad R0*Tz*2

2



 sin 3   k    
0 



Re I1 Re I5  Im I1 Im I5
2
2
2
*2
 1   ad R0




    
    
2

 
sin  cos   ad2 R0*2 k 

0 



2 *2
2 2 *2 2
ad R0 1   ad R0
2

104

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
    
   
 Re I2 Re I6  Im I2 Im I6

sin  cos 2 
4ad2 R0*2

 2 sin 3 
Re I7 Re I3  Im I7 Im I3
4
    
    

 Re  I8  Re  I4   Im  I8  Im  I4  .
(13)

Выражения для Ii (i = 1, 2, …, 8) довольно громоздкие, по этой причине
мы их не приводим.
Плотность тока фотонного увлечения электронов
Эффект фотонного увлечения обусловлен импульсом фотонов, передаваемым в процессе поглощения электронной подсистеме. Учет импульса света приводит к асимметрии в распределении носителей заряда в пространстве
квазиимпульса, т.е. к образованию тока увлечения (ТУ). Решение задачи о
ЭФУ в ДЛ, свернутой в спираль, основано на кинетическом уравнении
Больцмана, записанном в приближении времени релаксации. Генерационный
член этого уравнения определяется квантовыми фотопереходами электронов
из состояния с m = 1 в размерно-квантованные подзоны, которые рассчитываются в линейном по импульсу фотона приближении.
В рассматриваемой нами модели ДЛ импульс q фотона направлен
к оси ДЛ под углом  :
cos  
Tz*


2
2R0*
.
(14)
 Tz*2
Поскольку в магнитном поле электронные подзоны Е(k) асимметричны
для направлений k и –k , то матричный элемент (20) оказывается различным
для процессов поглощения фотонов с векторами q и –q, благодаря чему плотности ТУ также оказываются различными, т.е. j (  ) (q )  j ( ) ( q ) , где
j
()
 M
   
q 0 
2
q 0 
2
2
2 
2
       E  k , m  E  k ,1
0 0 m 1
 E  k , m 
  ql  
 k


 f 0  E  k ,1   f 0  E  k , m         E  k ,1  E  k , m   dkdk  ; (15)
j (  )    
 M
  
e
e
0 0

       E  k , m  E  k ,1
2  2  2   m 1
 E  k , m 
  ql  
 k


 f 0  E  k ,1   f0  E  k , m         E  k ,1  E  k , m   dkdk  , (16)
где   x  – единичная функция Хевисайда;  – энергия фотона; f0  E  –
квазиравновесная функция распределения электронов по энергии в ДЛ;
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
  ql  – время релаксации при рассеянии электронов на продольных акустических фононах, определяемое выражением вида [7]
  ql  
 2 l MN
 4am*l ql  


4 m 1 
 f BE  ql 

ql  0 
N 0

,
(17)
2 *
где  – константа деформационного потенциала ДЛ; f BE  ql  – функция
распределения Бозе – Эйнштейна в состоянии с волновым числом ql ; m* –
эффективная масса электрона; N 0 – число атомов в одном витке; l – скорость продольной акустической волны; М – масса атома.
Ввиду значительной громоздкости окончательных выражений для
()
j () мы ограничились приведением спектральной зависимости плотности
ТУ в ДЛ на основе InSb, свернутой в спираль (рис. 1), для двух направлений k
и – k соответственно кривые 2, 2´ и 1, 1´.
Рис. 1. Спектральная зависимость плотности ТУ в ДЛ, свернутой в спираль
при R0  20 нм, Tz  150 нм для различных значений величины В:
1 – k < 0, B  5 Тл; 1´ – k < 0, B  10 Тл; 2 – k > 0, B  5 Тл; 2´ – k > 0, B  10 Тл
Можно видеть, что в магнитном поле возникает анизотропная передача
импульса фотона электронам ДЛ. Анизотропная передача импульса проявляется в спектральной зависимости плотности ТУ в существенном сдвиге поро-
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
га ЭФУ и уменьшении величины плотности ТУ примерно на порядок (сравн.
кривые 1 и 2 на рис. 1). Осцилляции в спектральной зависимости плотности
ТУ обусловлены оптическими переходами электронов между уровнями размерного квантования ДЛ. Таким образом, в структурах с асимметричным
энергетическим спектром открываются широкие возможности для управления электронным транспортом, связанным с ЭФУ электронов, что важно для
различных приложений в функциональной наноэлектронике.
Список литературы
1. К у л и к , И . О . Квантование магнитного потока в диэлектриках / И. О. Кулик //
Письма в ЖЭТФ. – 1970. – Т. 11. – С. 407.
2. М а г а р и л л , Л. И . Баллистический транспорт двумерных электронов на цилиндрической поверхности / Л. И. Магарилл, Д. А. Романов, А. В. Чаплик //
ЖЭТФ. – 1998. – Т. 113. – С. 1411.
3. M a r g u l i s , V . A . Electron transport on a cylindrical surface with one-dimensional
leads / V. A. Margulis, M. A. Pyataev // Phys. Rev. B. – 2005. – V. 72. – P. 75312.
4. A r i s t o v , D . N . Metallic nanosphere in a magnetic field: An exact solution /
D. N. Aristov // Phys. Rev. B. – 1999. – V. 59. – P. 6368.
5. B r ü n i n q , J . Ballistic conductance of a quantum sphere / J. Brüninq, V. A. Geyler,
V. A. Margulis, M. A. Pyataev // J. Phys. A. Math. Gen. – 2002. – V. 35. – P. 4239.
6. R o c h e , S . Aharonov-Bohm spectral features and coherence lengths in carbon nanotubes / S. Roche, G. Dresselhaus, M. S. Dresselhaus, R. Saito // Phys. Rev. B. – 2000. –
V. 62. – P. 16092.
7. К и б и с , О . В. Особенности электрон-фононного взаимодействия в нанотрубках
с хиральной симметрией в магнитном поле / О. В. Кибис // ФТТ. – 2001. – Т. 43. –
С. 2237.
8. О с а д ч и й , В. М . Разделение носителей заряда в свернутых гетероструктурах /
В. М. Осадчий, В. Я. Принц // Письма в ЖЭТФ. – 2000. – Т. 72. – С. 451.
9. Г е й л е р , В. А . Плотность состояний для углеродных нанотрубок в однородном
магнитном поле / В. А. Гейлер, О. Г. Костров, В. А. Маргулис // ФТТ. – 2002. –
Т. 44. – С. 449.
10. Г о р б а ц е в и ч , А . А . Асимметричные наноструктуры в магнитном поле /
А. А. Горбацевич, В. В. Капаев, Ю. В. Копаев // Письма в ЖЭТФ. – 1993. – № 9. –
Т. 57. – С. 565.
11. А л е щ е н к о , Ю . А . Индуцированный магнитным полем фотогальванический
эффект в асимметричной системе квантовых ям / Ю. А. Алещенко [и др.] // Письма в ЖЭТФ. – 1993 – № 5. – Т. 58. – С. 377.
12. О м е л ь ян о в с к и й , О . Е. Фотогальванический эффект в асимметричной системе трех квантовых ям в сильном магнитном поле / О. Е. Омельяновский,
В. И. Цебро, В. И. Кадушкин // Письма в ЖЭТФ. – 1996. – №3. – Т. 63. – С. 197.
13. Г о р б а ц е в и ч , А . А . Асимметричное по полю поперечное магнитосопротивление в немагнитной квантоворазмерной структуре / А. А. Горбацевич [и др.] //
Письма в ЖЭТФ. – 1998. – № 5. – Т. 68. – С. 380.
14. К и б и с , О . В. Эффект анизотропной передачи импульса в низкоразмерных
электронных системах в магнитном поле / О. В. Кибис // Письма в ЖЭТФ. –
1997. – № 8. – Т. 66. – С. 551.
15. K i b i s , O . V . Possible new quantum macroscopic effect in low-dimensional structures: The appearance of an electromotive force in a standing acoustic wave /
O. V. Kibis // Phys. lett. – 1998. – V. A 237. – P. 292.
16. Г р и г о р ь к и н , А . А . Электронный спектр и баллистический транспорт спиральной нанотрубки / А. А. Григорькин, С. М. Дунаевский // ФТТ. – 2007. – № 3. –
Т. 49. – С. 557.
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики, Пензенский государственный
университет
Krevchik Vladimir Dmitrievich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of physics sub-department,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
Разумов Алексей Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра общей физики,
Пензенский государственный
педагогический университет
им. В. Г. Белинского
Razumov Aleksey Viktorovich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of general physics,
Penza State Pedagogical University
named after V. G. Belinsky
E-mail: razumov_alex@mail.ru
Гришанова Валерия Александровна
старший преподаватель, кафедра физики,
Пензенский государственный
университет
Grishanova Valeriya Alexandrovna
Senior lecturer, sub-department of physics,
Penza State University
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 621.315.592
Кревчик, В. Д.
Эффект анизотропной передачи импульса фотона электронной системе в двумерной ленте, свернутой в спираль, в условиях внешнего магнитного поля / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. А. Гришанова // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2010. – № 1 (13). – С. 101–108.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
УДК 538.935
М. А. Кокорева, В. А. Маргулис, М. А. Пятаев
РЕЗОНАНСЫ ФАНО В ЭЛЕКТРОННОМ ТРАНСПОРТЕ
ЧЕРЕЗ КВАНТОВОЕ КОЛЬЦО С ПРИМЕСЯМИ1
Аннотация. Исследован электронный транспорт в одномерном двухтерминальном кольце Ааронова – Бома при наличии нескольких короткодействующих рассеивателей на кольце. Получено выражение для кондактанса системы
в зависимости от энергии электрона, потока магнитного поля через кольцо и
положения рассеивателей. Для моделирования рассеивателей и точек контактов используется теория потенциалов нулевого радиуса. Показано, что зависимость коэффициента прохождения от энергии электрона содержит асимметричные резонансы Фано. Изучено поведение резонансов в зависимости от положения примесей и от величины магнитного поля. Показано, что при определенных параметрах системы может наблюдаться коллапс резонансов Фано.
Ключевые слова: потенциал нулевого радиуса, кондактанс, резонансы Фано.
Abstract. Electron transport in a two-terminal Aaronov – Bohm ring with a number
of short-range scatterers on it is investigated. An analytical expression for the conductance as a function of the electron Fermi energy is obtained using the zero-range
potential theory. The dependence of the conductance on magnetic flux and positions
of scatterers is studied. We have found that the conductance exhibits asymmetric
Fano resonances at certain energies. The dependence of Fano resonances on magnetic field and positions of impurities is investigated. It is found that collapse of the
Fano resonances appears at certain conditions.
Keywords: zero-range potential, кондактанс conductance, Fano resonances.
Введение
Кольцевые квантовые интерферометры различной геометрии изучаются теоретически [1–9] и экспериментально [10–15] уже на протяжении нескольких десятилетий, начиная с пионерской работы [1]. Интерес к этим системам обусловлен обнаружением в них ряда интересных физических эффектов, таких как осцилляции Ааронова – Бома [16, 17], незатухающий ток [18],
эффект захвата электронов при наличии магнитного поля [19] и т.д. В последние годы интерес к квантовым кольцам вновь усилился в связи с экспериментальным обнаружением [14, 15] в них резонансов Фано [20] в электронном транспорте. Изучению этих резонансов в электронном транспорте
через различные системы посвящено большое количество работ [21–25].
Простейшая модель кольцевого квантового интерферометра представляет собой одномерное кольцо с двумя присоединенными к нему одномерными проводниками. Эта модель исследовалась в целом ряде работ [1–5],
в которых были получены зависимости кондактанса двухтерминального
кольца от потока магнитного поля, изменения фазы в прошедшей волне, длин
плеч кольца при различных параметрах системы.
Наличие в интерферометре дополнительных рассеивателей, например
квантовой точки или примеси в одном из плеч, открывает дополнительные
1
Работа выполнена при поддержке федеральной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 годы)», грант № 2.1.1/2656.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
возможности для управления электронным транспортом [4–6]. В работе [5]
исследовался электронный транспорт и незатухающий ток в одномерном
кольце с двумя проводниками, присоединенными диаметрально противоположно, при наличии примеси в одном из плеч. Контакт между проводниками
и кольцом описывался с помощью априорно задаваемой энергонезависящей
матрицы рассеяния. Было показано, что при наличии примеси в одном плече
могут появляться резонансы Фано в добавление к резонансам Брейта – Вигнера, а при определенном положении примеси и значениях магнитного поля
может происходить коллапс части резонансов Фано.
Однако, несмотря на большое количество проведенных теоретических
исследований, в большинстве случаев рассматривается лишь симметричное
присоединение проводников к кольцу и до настоящего момента не проводился детальный анализ электронного транспорта в квантовом кольце при наличии нескольких рассеивателей. В то же время следует ожидать, что положение рассеивателей относительно контактов и их взаимное расположение будут существенным образом влиять на поведение резонансов Фано, поскольку
эти резонансы имеют интерференционную природу и чувствительны к изменению фазы волновой функции электрона.
Целью настоящей работы является исследование электронного транспорта в квантовом кольце при наличии нескольких короткодействующих рассеивающих центров, в роли которых могут выступать одиночные примеси
или квантовые точки малого размера. В работе рассматривается модель одномерного квантового кольца с присоединенными к нему одномерными проводниками. В этом случае в системе реализуется одномодовый режим электронного транспорта и все транспортные характеристики системы определяются единственным коэффициентом прохождения электрона. Нахождение
коэффициента прохождения в настоящей работе основано на подходе, использовавшемся в работах [26–29]. В этих работах контакты между различными частями наноструктуры описываются с помощью граничных условий,
общий вид которых определяется на основе теории расширения симметрических операторов [30–32].
Отметим, что численно исследовались модели колец конечной ширины
[7–9]. Сравнение результатов работ [7, 8] с результатами, полученными в рамках одномерной модели, позволяет говорить о том, что одномерная модель
качественно верно описывает основные особенности электронного транспорта в рассматриваемых системах, в частности, интерференционные эффекты.
Заметим, что одним из необходимых условий применимости одномерной модели является малость отношения ширины кольца к его радиусу [9].
1. Гамильтониан и коэффициент прохождения наноустройства
Рассмотрим систему, состоящую из кольца S радиуса  с прикрепленными к нему одномерными проводниками W1 и W2 (рис. 1). Введем полярную систему координат на кольце. Точки контактов между проводниками
и кольцом обозначим A1 и A2 . Рассмотрим случай, когда на кольце имеется
N короткодействующих рассеивающих центров. Удобным средством для
моделирования короткодействующих примесей и точек контактов является
метод потенциалов нулевого радиуса, который позволяет использовать еди-
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
ный подход для описания всех точечных возмущений с помощью граничных
условий, накладываемых на волновую функцию. В связи с этим удобно использовать сквозную нумерацию для всех точечных возмущений на кольце.
Углы, задающие положения возмущений, будем обозначать  j , при этом индексы j  1, 2 соответствуют контактам, а j  3, ..., N  2 – примесям. Проводники W j будем моделировать положительными полуосями x  0 . Кольцо
считаем помещенным в магнитное поле B , перпендикулярное плоскости системы. Поток магнитного поля через кольцо обозначим Ф  2 B .
Рис. 1. Кольцо Ааронова – Бома с двумя присоединенными проводниками
и примесями на кольце ( A j – точки соединения проводников
с кольцом, Pi – точки нахождения примесей)
Невозмущенный гамильтониан электрона в кольце имеет хорошо известный вид
H 
2
2
 d

i
  ,
 2  d
2m  

(1)
где m – эффективная масса электрона;   Ф / Ф0 – число квантов потока
магнитного поля через кольцо; Ф0  2c / e – квант магнитного потока.
Электронный энергетический спектр гамильтониана H  также хорошо

  2  m   / 2m2 , где m – магизвестен и определяется выражением Em
нитное квантовое число.
Гамильтониан электрона в каждом проводнике W j имеет вид
2
Hj 
2 d 2
2m dx 2
.
(2)
Волновая функция наноустройства может быть записана в виде одно-


t
столбцовой матрицы    , 1 ,  2 , где  – волновая функция электрона
в кольце S , а  j – волновые функции в проводниках W j .
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Точечные возмущения, создаваемые примесями, будем задавать с помощью линейных граничных условий для волновой функции в точках  j :
  ( j ) 
1
  ( j  0)   ( j  0)  , j  3, ..., N  2 ,

vj 
(3)
где  ( j ) – производная волновой функции по углу; v j  2m2V j /  2 –
безразмерная величина, определяющая силу точечного возмущения.
Точки контакта проводников с кольцом будем моделировать с помощью теории потенциалов нулевого радиуса [26–30]. Для этого рассмотрим
невозмущенный примесями и контактами гамильтониан H 0 , который является прямой суммой гамильтонианов частей H 0  H   H1  H 2 . Гамильтониан системы H получается из гамильтониана H 0 путем наложения линейных
граничных условий в точках нахождения всех возмущений.
В наиболее общем виде граничные условия в точках контактов можно
записать с помощью уравнений [30]
bj

 ( j )    ( j  0)   ( j  0)   a j j (0),



 (0)  a j  (  0)   (  0)   c  (0),
 j
 j
j j

 j
 

(4)
где j  1, 2 , j (0) – производная  по x ; a j – комплексные, а b j и c j –
действительные коэффициенты, имеющие размерность длины. Каждый контакт в рамках рассматриваемой модели характеризуется четырьмя действительными параметрами.
В настоящей работе мы ограничимся случаем, когда одномерная волновая функция непрерывна в точке контакта, что соответствует одинаковой
эффективной толщине кольца и проводников. В этом случае, как следует из
уравнения (4), параметры контакта a j b j и c j должны быть одинаковыми.
Удобно выразить их через безразмерную константу связи u j по формуле
a j  b j  c j   / u j . Тогда граничные условия в точках контактов можно записать в виде
 j (0)   ( j ) 
1
 ( j  0)   ( j  0)   j (0), j  1, 2 .

uj 
(5)
Для получения коэффициента прохождения электрона необходимо найти решение уравнения Шредингера, которое в первом проводнике является
суперпозицией падающей и отраженной волн, а во втором представляет собой прошедшую волну. Пусть по первому проводнику распространяется падающая на кольцо волна exp(ikx) , где k  2m E /  – волновое число электрона (рис. 1). Тогда волновая функция электрона в проводнике W1 имеет вид
1 ( x)  exp(ikx)  r exp(ikx) , а в проводнике W2 волновую функцию элек-
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
трона можно записать в виде  2 ( x)  t exp(ikx) , где r и t – амплитудные коэффициенты отражения и прохождения соответственно. Поскольку возмущения исходного гамильтониана являются точечными, волновая функция
 () электрона в кольце может быть выражена через функцию Грина
G (,  j ; E ) невозмущенного гамильтониана H  :
 (, E ) 
N 2
 A j ( E ) G (,  j ; E ) ,
(6)
j 1
здесь A j ( E ) – коэффициенты, определяемые из граничных условий.
Функция Грина гамильтониана H  хорошо известна [3] и может быть
записана в виде
G (,  j ; E ) 
m  exp(i ( j    )(  k )) exp(i ( j    )(  k )) 


 , (7)
sin     k  
sin     k  

2 2 k 
где знак «плюс» берется, если    j , и знак «минус» – в противоположном
случае.
m
G (i ,  j , E ) и  j 
A j . Подставив волноm
2
вые функции 1 ( x) ,  2 ( x) и  (, E ) в граничные условия (5), получим систему  N  4  уравнений. Выразим в ней r и t через  j (коэффициент проОбозначим Qij ( E ) 
2
хождения в этом случае выражается через  2 : t  2 2 /  u2  ik   ), и запишем
новую систему:
N 2
 Q jl  Pj  jl  l  D j1 ,
j  1, , N  2,
(8)
l 1
здесь


2 / u j  ik  , j  1, 2,
Pj ( E )  
2 / v j , j  3, ..., N  2;
D( E ) 
2ik 
.
ik   u1
Решение системы (8) можно представить в виде

n  n ,

где
  det Q jl  Pj  jl 
–
главный
(9)
определитель
системы;
 n  det (Q jl  Pj  jl )(1  nl )  D j1nl  – определитель матрицы, получаю-
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
щейся из основной матрицы системы заменой n -го столбца на столбец свободных членов.
С учетом (9) амплитудный коэффициент прохождения можно записать
в виде
t(E) 
2
2
.
u2  ik  
(10)
Из системы уравнений (8) следует, что для выбранной модели коэффи2
циент прохождения T ( E )  t ( E ) оказывается функцией  N  2  независимых вещественных параметров. Далее ограничимся случаем одинаковых контактов ( u1  u2  u ) и примесей ( v3  ...  vN  2  v ). Отметим, что формула
(10) применима при любых положениях и параметрах примесей и произвольных значениях магнитного поля.
2. Случай одной примеси и симметричного присоединения контактов
Рассмотрим подробно случай одной примеси. При этом система (8) будет состоять из трех уравнений. Подставив соответствующие функции Грина
в выражение (10), получим формулу для коэффициента прохождения электрона при диаметрально противоположном присоединении контактов и произвольном положении примеси
F1 (k , )  vF2 ( k , , 3 )
;
F3 (k , , u )  vF4 (k , u , 3 )
(11)
F1 (k , )  16ik 33 cos  sin k  ;
(12)
F2 (k , , 3 )  8ik 22 ei sin      k   sin  k   ;
(13)
t (k , ) 
здесь


F3 (k , , u )  4k   u 2  2iuk   5k 22 sin 2 k   4ik (iu  k )sin 2k   


16k 33 sin  ;
(14)
F4 (k , u , 3 )  2k (u  ik ) 2cos 2k   cos(2k )  cos  2(   )k  


2(u  ik ) 2 sin k  cos    2  k    5k 22  2ik u  u 2 sin 2k  , (15)
где   3  2 .
Если выразить параметр u через длину рассеяния  по формуле
u  2 /  и положить v  0 , то формула (11) переходит в выражение для
коэффициента прохождения кольца без примесей, полученное в работе [3].
Как видно из формул (11)–(15), коэффициент прохождения является периодической функцией магнитного потока с периодом, равным кванту потока.
При особых значениях магнитного поля, а именно при целом и полуцелом
потоке через кольцо, поведение коэффициента прохождения существенно
изменяется.
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
Рассмотрим сначала общий случай ненулевого магнитного поля (с нецелым потоком). Из формул (11)–(15) видно, что в отсутствие примеси
( v  0 ) в числителе формулы (11) остается одно слагаемое, обращающееся
в нуль при целых значениях k , знаменатель же при ненулевом магнитном
потоке содержит действительную и мнимую части, не обращающиеся в нуль
одновременно. Поэтому коэффициент прохождения T (k ) в отсутствие примеси имеет нули в точках k   m , где m – целое. При наличии примеси нули
сохраняются только при sin m  0 .
Зависимость коэффициента прохождения от безразмерного параметра
k показана на рис. 2. Как видно, коэффициент прохождения осциллирует
как функция энергии электрона. Осцилляции связаны с интерференцией
электронных волн, испытывающих многократные отражения в точках контактов проводников и кольца. В отсутствие примеси зависимость T  k  содержит асимметричные резонансы в окрестности точек k   m , пик которых
доходит до единицы, а провал до нуля. Наличие примеси может приводить
к нарушению полного отражения и прохождения в системе, в результате пики
коэффициента прохождения не доходят до единицы, а провалы – до нуля.
T
k
а)
k
б)
Рис. 2. Зависимость коэффициента прохождения T от безразмерной величины k
при наличии магнитного поля   0,14 в отсутствие примеси (а) и при наличии
примеси в точке 3  4 / 3 (б). При наличии примеси в кольце нули резонансов
остаются только при тех значениях km , для которых sin  km    0
(здесь и далее графики построены для u, v  10 )
Интерес представляет поведение коэффициента прохождения при энер0
, в окрестности которых возможно возникновение резогиях, близких к Em
0
нансов Фано. Для исследования коэффициента прохождения вблизи E  Em
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
0
разложим числитель и знаменатель формулы (11) в ряд Тейлора по E  Em
и ограничимся членами первого порядка малости. После несложных преобразований получим оценку для коэффициента прохождения в окрестности то0
:
чек E  Em
t ( E )  2i ( 1) m
0 i
m 2 cos   E  vEm
e
sin 2 m
0
m  2im  2u  v  E  4mEm
sin 2 
,
(16)
0
где E  E  Em
.
Из (16) видно, что в общем случае, когда sin m  0 , коэффициент
0
, т.е. примесь приводит к испрохождения не обращается в нуль при E  Em
чезновению нулей. Но при определенных положениях примеси ( sin m  0 )
нули вблизи m -го уровня сохраняются. Вблизи этих нулей амплитудный коэффициент прохождения можно записать в виде
t ( E )  m
0
E  Em
(r )
E  Em
 i m
.
(17)
Здесь введены следующие обозначения:


(1)m 2im cos 
4(2u  v)sin 2  
(r )
0
, Em  Em 1 
;
m 
2
2 
2im  2u  v
   2u  v   4m  



m 
0
8mEm
sin 2 
  2u  v   4m2 


2
.
(18)
(19)
0
Из формулы (17) видно, что T ( E ) в окрестности значений Em
имеет
форму резонанса Фано [20].
На комплексной плоскости энергии пикам резонансов Фано соответст(r )
(r )
 i m , где Em
– энергия,
вуют полюсы амплитуды рассеяния в точках Em
определяющая положение резонанса;  m – полуширина резонанса, при этом
0
.
нули находятся на действительной оси в точках Em
Как видно из формулы (19), полуширина резонанса Фано пропорциональна sin 2  , поэтому при стремлении потока магнитного поля к целому
значению происходит коллапс резонансов Фано, при этом максимум и нуль
(r )
0
 Em
, а ширина резонанса
коэффициента прохождения сближаются Em
стремится к нулю  m  0 .
Теперь рассмотрим зависимость T от k в случае нулевого магнитного
поля (или целого значения потока). В отсутствие примеси имеются осцилляции коэффициента прохождения [3], максимумы которых достигают единицы
(рис. 3,а). Наличие примеси приводит к тому, что на графике появляются до-
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
полнительные резонансы (рис. 3,б), причем при определенных положениях
примеси на кольце возможен коллапс части резонансов.
T
k
k
а)
б)
Рис. 3. Зависимость коэффициента прохождения T от безразмерной величины k
в отсутствие примеси (a) и при расположении примеси в точке 3  1,475 (б).
Магнитное поле отсутствует. Вблизи значений km , кратных двум,
при наличии примеси видны резонансы
Как видно из рис. 3,б, при наличии примеси на графике T (k) имеются
нули слева от точек k   m . Обозначим  m значения волнового вектора, при
которых коэффициент прохождения обращается в нуль. Как следует из формул (12) и (13), значения m определяются из уравнения
2 sin     v sin       sin     0 .
(20)
В случае особых положений примеси   l  / m ( m и l – целые числа), для которых величина sin() мала, из формулы (20) можно получить
приближенную оценку для корней:
m 
m v sin 2 m
,


2m
(21)
а из нее – энергию электрона, соответствующую нулю коэффициента прохождения:
2
2 2
2
2
 z     m    m  v sin m  .
Em


2m
2m  
2m


(22)
Исследуем поведение коэффициента вблизи значений  m в случае, когда sin m является малой величиной. Для этого разложим числитель и зна-
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
менатель t (k ) в формуле (11) в окрестности точек  m в ряд Тейлора и ограничимся слагаемыми первого неисчезающего порядка по sin m . В результате для амплитудного коэффициента прохождения в окрестности его нулей
получим оценку
t (k ,0) 
2i(1) m1 m 2(k  m )
m(v  2i )(k  m )  v(u  im)sin 2 m
,
(23)
где km  m /  – волновое число электрона, при котором энергия электрона
совпадает с энергетическим уровнем спектра кольца в отсутствие магнитного
поля.
Обозначив
m  
 2v(vu  2m)sin 2 m 
2i (1) m m
(r )
0
, Em
 Em
1 
;
2 2


 v  2i 

m
(
v

4)


m 
0
2 Em
v(vm  2u )sin 2 m

m 2 v 2  4

,
(24)
(25)
получим следующую формулу для коэффициента прохождения:
t ( E )  m
( z)
E  Em
(r )
E  Em
 i m
.
(26)
Из уравнения (26) видно, что коэффициент прохождения имеет форму
( z)
резонанса Фано в окрестности точки Em
. Как видно из формул (24) и (25),
положение и ширина резонансов Фано в отсутствие магнитного поля опреде(r )
 i m и нуль
ляются положением примеси. Если sin m  0 , то полюс Em
( z)
Em
амплитуды рассеяния совпадают и сокращаются. В результате происхо0
дит коллапс резонанса Фано в окрестности точки Em
(рис. 4).
Отметим, что аналогичный результат был получен в работе [5] с использованием энергонезависящей матрицы рассеяний для контактов. Таким
образом, при расположении примеси в точке 3  l  / n ( l и n – целые) в от0
сутствие поля пропадают резонансы в окрестности всех Em
, для которых m
кратно n . При включении поля резонансы в окрестности данных точек возникают снова, но при этом одновременно исчезают нули во всех остальных
0
. Отметим, что при наличии магнитного поля, когда поток
значениях Em
отличен от целого и полуцелого, резонансы появляются и в отсутствие
примеси.
Теперь подробнее остановимся на случае полуцелого потока. В этом
случае при диаметрально противоположном присоединении контактов
к кольцу в отсутствие примеси коэффициент прохождения равен нулю для
всех энергий электронов. Наличие примеси приводит к возникновению отличного от нуля коэффициента прохождения. Действительно, при   n  0,5
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
( n – целое) в числителе формулы (11) для коэффициента прохождения
F1 (k , )  0 , остается только одно слагаемое, связанное с наличием примеси:
t (k , 0,5) 
v8k 22 (1)n sin      k  sin  k  
F3 (k ,0,5, u )  vF4 ( k , u , 3 )
.
(27)
T
k
а)
k
б)
Рис. 4. Зависимость коэффициента прохождения T от безразмерной величины k
в отсутствие магнитного поля. При наличии примеси в точке 3  1,475
наблюдается резонанс слева от значения k  4 (a). При нахождении примеси
в точке 3  1,5 происходит коллапс резонанса (б)
Как видно из выражения (27), при наличии примеси коэффициент прохождения не равен нулю тождественно. Это можно объяснить следующим
образом. При наличии магнитного поля волновые функции электронов, прошедших по разным полукольцам, приобретают разные фазы (k   ) и
(k   ) , поэтому в точке A2 (рис. 1) разность этих фаз равна 2 . При полуцелом потоке разность фаз становится кратна нечетному числу  , и на выходе из кольца волновые функции электронов компенсируются при любом k .
Таким образом, без примесей данное устройство представляет собой идеальное электронное зеркало. При наличии примеси фазы электронов претерпевают изменения, и при   0,5 на выходе из кольца компенсации волновых
функций уже не происходит. Как следствие, коэффициент прохождения наноустройства оказывается отличным от нуля.
Теперь рассмотрим зависимость коэффициента прохождения от магнитного поля (рис. 5,а). Из формулы (11) видно, что T (k , ) является периодической функцией потока  с периодом, равным кванту потока. В зависимости от положения примеси и энергии электрона на периоде может наблю-
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
даться один или два максимума. Зависимость коэффициента прохождения от
энергии электрона и от магнитного поля показана на рис. 5,б.
а)
б)
Рис. 5. Зависимость коэффициента прохождения от величины потока магнитного
поля через кольцо для 1  0 , 2   при различных положениях примеси (a).
Сплошная кривая 1 соответствует 3  1,02 , штриховая 2 – 3  1,033 ,
пунктирная кривая 3 – 3  1,06 . Зависимость коэффициента прохождения
от величины потока магнитного поля через кольцо и волнового числа электрона (б)
при 1  0 , 2   и при фиксированном положении примеси в точке 3  3 / 2
Как видно из рис. 5, при изменении энергии электрона максимумы на
зависимости T () могут сближаться и сливаться в один при целых либо полуцелых значениях потока или же могут расходиться и исчезать. Аналогичная картина наблюдается на зависимости коэффициента прохождения от магнитного потока и положения примеси при фиксированной энергии.
3. Случай несимметричного присоединения контактов
Теперь рассмотрим случай несимметричного расположения контактов
2  1   . В этом случае амплитудный коэффициент прохождения может
быть записан в виде
t (k , ) 
F1 (k , , 2 )  vF2 (k , , 2 , 3 )
,
F3 ( k , , u , 2 )  vF4 (k , u , 2 , 3 )
(28)
здесь

120

F1 (k , , 2 )  8ik 33e i2 sin  2  2  k    e 2i sin  2 k   ;
(29)
F2 (k , , 2 , 3 )  8ik 22 e i2 sin  2  3  k   sin  k   ;
(30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика

2
F3 (k , , u , 2 )  2k  u 2 cos 2k    iu  k   cos  2    2  k    k  

  4k  cos 2   2iu  5k   cos 2k   4  u  ik   sin 2k  ;
(31)

F4 (k , u , 2 , 3 )  2ik (iu  k ) cos  2      k    cos  2    3  k   

2cos 2k   (iu  k )2 sin  2    3  k    sin  2    2  k  



 sin  2      k    5k 22  2ik u  u 2 sin 2k  .
(32)
Рассмотрим вначале зависимость T (k ) в отсутствие примеси и магнитного поля. Тогда амплитудный коэффициент прохождения равен
t (k ,0)  F1 (k ,0, 2 ) / F3 (k ,0, u , 2 ) ,
где F1 (k ,0, 2 )  16ik 33 sin k  cos    2  k   .
Из F1 (k ,0, 2 ) видно, что нули T (k ) имеются в точках, когда либо
sin k   0 , либо cos    2  k    0 , за исключением тех точек, в которых
функция F3 обращается в нуль.
Можно отметить сходство формы дополнительных осцилляционных
пиков, возникающих при несимметричном подключении контактов к кольцу,
с формой осцилляций, возникающих в случае симметричного расположения
контактов на кольце при наложении магнитного поля. Это связано с тем, что
магнитное поле сдвигает фазу волновой функции электрона. Таким образом,
разность фаз у волновых функций электронов, прошедших по разным полукольцам, можно создать либо магнитным полем, либо несимметричным присоединением контактов к кольцу, либо введением примесей в кольцо.
Наличие примеси на кольце приводит к сдвигу нулей коэффициента
прохождения от точек k   n (рис. 6,a). Их положения в этом случае определяются уравнением
2k  sin k  cos    2  k    v sin  2  3  k   sin  k    0,
(33)
из которого видно, что при наличии примеси при значениях k   n и
k   1  2n  /  2    2   , n  0, 1, ..., нулей уже не имеется. При фиксирован-
ном положении примеси    n / m при целых k  нули будут только
в точках k  , кратных m .
Магнитное поле при наличии примеси в кольце приводит к исчезновению нулей коэффициента прохождения, как показано на рис. 6,б. Следует
отметить, что в отсутствие примеси пропадают нули в точках k   n , но сохраняются нули при тех значениях k , при которых cos    2  k    0 .
Если в отсутствие поля примесь расположена на середине одной из дуг,
соединяющих контакты, то высота максимумов коэффициента прохождения
является наибольшей, а для электронов с малой энергией равна единице. От-
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
метим, что при таком положении примеси пропадают некоторые нули, которые были при несимметричном расположении примеси. При этом соответствующий провал коэффициента прохождения сохраняется, но его глубина
уменьшается. Если проводники присоединены таким образом, что возмущения от контактов разные, то коэффициент прохождения уменьшается по
сравнению с одинаковыми контактами.
T
k
k
а)
б)
Рис. 6. Зависимость коэффициента прохождения T от безразмерной величины k
при несимметричном подключении проводников к кольцу 1  0 , 2  14 /15 ,
3  1,1 в отсутствие магнитного поля (a) и при наличии
магнитного поля с потоком   0,05 (б)
Заключение
В работе исследован электронный транспорт в двухтерминальном квантовом кольце, помещенном в магнитное поле и содержащем несколько короткодействующих примесей. С помощью теории потенциалов нулевого радиуса в работе получены аналитические выражения для коэффициента прохождения электронов и исследована зависимость электронного транспорта от
энергии электронов, величины внешнего магнитного поля и положения примесей. Показано, что зависимость коэффициента прохождения от энергии
электронов носит осцилляционный характер. Осцилляции связаны с интерференцией электронных волн, многократно рассеянных на примесях и контактах. Наличие примесей приводит к изменению режима электронного транспорта, при этом возможно не только уменьшение кондактанса, но и его увеличение вследствие разрушения деструктивной интерференции. В частности,
при диаметрально противоположном положении контактов и полуцелом значении магнитного потока через кольцо система без примесей ведет себя как
идеальное электронное зеркало. Наличие примесей приводит к появлению
ненулевой вероятности прохождения.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
Проведенный анализ показывает, что зависимость коэффициента прохождения от энергии электронов содержит вблизи дискретных энергетических уровней квантового кольца резонансы Фано, состоящие из близко расположенных нуля и пика коэффициента прохождения. Необходимым условием существования резонансов является частичное нарушение симметрии системы либо с помощью несимметричного расположения контактов, либо с помощью примесей, либо с помощью магнитного поля. Резонансы возникают
в результате взаимодействия распространяющихся электронных волн с локализованными состояниями дискретного спектра при совпадении их энергий.
При определенных положениях примесей и значениях магнитного поля возможен коллапс резонансов Фано. При этом полюс и нуль амплитуды рассеяния совпадают и сокращаются. В частности, при диаметрально противоположном положении контактов в отсутствие магнитного поля коллапс резонанса Фано вблизи m -го уровня происходит, когда на кольце имеется единственная примесь, положение которой определяется из уравнения
sin  m   0 . При наличии магнитного поля резонанс Фано вблизи m -го
уровня возникает снова, а при приближении потока к целому числу квантов
потока происходит коллапс резонансов.
Также в системе возможен другой механизм исчезновения нулей коэффициента прохождения, при котором нуль сдвигается с действительной оси
в комплексной плоскости энергии. В этом случае уменьшается не ширина,
а глубина соответствующего провала. Отметим, что коллапс резонансов Фано
сопровождается повышением симметрии системы, в то время как при сдвиге
нулей симметрия понижается. Таким образом, при изменении магнитного
поля, взаимного расположения примесей и контактов на кольце можно получать системы с различными транспортными режимами.
Список литературы
1. B ü t t i k e r , M . Quantum oscillations in one-dimensional normal-metal rings / M. Büttiker, Y. Imry, M. Ya. Azbel // Phys. Rev. A. – 1984. – V. 30. – P. 1982.
2. L i , J . Resonant transport properties of tight-binding mesoscopic rings / J. Li,
Z.-Q. Zhang, Y. Liu // Phys. Rev. B. – 1997. – V. 55. – P. 5337.
3. Г е й л е р , В. А . Транспорт в двухтерминальном кольце Ааронова-Бома /
В. А. Гейлер, В. В. Демидов, В. А. Маргулис // ЖТФ. – 2003. – Т. 73. – № 6. – С. 1.
4. V o o , K . - K . Fano resonance in transport through a mesoscopic two-lead ring /
K.-K. Voo, C. S. Chu // Phys. Rev. B. – 2005. – V. 72. – P. 165307.
5. V a r g i a m i d i s , V . Fano resonance and persistent current in mesoscopic open rings:
Influence of coupling and Aharonov-Bohm flux / V. Vargiamidis, H. M. Polatoglou //
Phys. Rev. B. – 2006. – V. 74. – P. 235323.
6. N a k a n i s h i , T . Theory of Fano effects in an Aharonov-Bohm ring with a quantum dot /
T. Nakanishi, K. Terakura, T. Ando // Phys. Rev. B. – 2004. – V. 69. – P. 115307.
7. Т к а ч е н к о , О . А . Электростатический потенциал, энергетический спектр и
резонансы Фано в кольцевом баллистическом интерферометре на основе гетеропереходе AlGaAs/GaAs / О. А. Ткаченко [и др.] // Письма в ЖЭТФ. – 2000. – Т. 71. –
С. 366.
8. Бык о в , А . А . Транспортные свойства кольцевого GaAs/AlGaAs интерферометра в туннельном режиме / А. А. Быков [и др.] // Письма в ЖЭТФ. – 2000. – Т. 71. –
С. 631.
9. P i c h u g i n , K . N . Aharanov-Bohm oscillations of conductance in two-dimensional
rings / K. N. Pichugin, A. F. Sadreev // Phys. Rev. B. – 1997. – V. 56. – P. 9662.
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
10. Б а г р а е в , Н . Т. Интерференция носителей тока в одномерных полупроводниковых кольцах / Н. Т. Баграев [и др.] // ФТП. – 2000. – Т. 34. – № 7. – С. 846.
11. Б ы ко в , А . А . Магнетотранспортные свойства кольцевого баллистического
интерферометра на основе GaAs квантового колодца с высокой концентрацией
двумерного электронного газа / А. А. Быков [и др.] // Письма в ЖЭТФ. – 2000. –
Т. 72. – С. 300.
12. Y a c o b y , A . Coherence and phase sensitive measurements in a quantum dot /
A. Yacoby [et al.] // Phys. Rev. Lett. – 1995. – V. 74. – P. 4047.
13. R y u , C . Phase evolution of the transmission coefficient in an Aharonov-Bohm ring
with Fano resonance / C. Ryu, S. Y. Cho // Phys. Rev. B. – 1998. – V. 58. – P. 3572.
14. K o b a y a s h i, K . Tuning of the Fano effect through a duantum dot in an AharonovBohm interferometer / K. Kobayashi [et al.] // Phys. Rev. Lett. – 2002. – V. 88. –
P. 256806.
15. K o b a y a s h i, K . Fano resonance in a quantum wire with a side-coupled quantum dot /
K. Kobayashi [et al.] // Phys. Rev. B. – 2004. – V. 70. – P. 035319.
16. P e d e r s e n , S . Observation of quantum asymmetry in an Aharonov-Bohm ring /
S. Pedersen [et al.] // Phys. Rev. B. – 2000. – V. 61. – P. 5457.
17. L i u , J . Correlations between Aharonov-Bohm effects and one-dimensional subband
populations in GaAs/AlxGa1-xAs / J. Liu [et al.] // Phys. Rev. B. – 1993. – V. 48. –
P. 15148.
18. M a i l l y , D . Experimental observation of persistent currents in a GaAs–AlGaAs single
loop / D. Mailly, C. Chapelier, A. Benoit // Phys. Rev. Lett. – 1993. – V. 70. – P. 2020.
19. L i u , J . Cyclotron trapping, mode spectroscopy, and mass enhancement in small
GaAs/AlxGa1-xAs rings / J. Liu [et al.] // Phys. Rev. B. – 1993. – V. 47. – P. 13039.
20. F a n o , U . Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts / U. Fano //
Phys. Rev. B. – 1961. – V. 124. – P. 1866.
21. К и м , Ч . С . Туннелирование через дискретные уровни в континууме / Ч. С. Ким,
А. М. Сатанин // ЖЭТФ. – 1999. – Т. 115. – С. 211.
22. К и м , Ч . С . Коллапс резонансов в квазиодномерных квантовых каналах /
Ч. С. Ким [и др.] // ЖЭТФ. – 1999. – Т. 116. – С. 263.
23. К и м , Ч . С . Резонансы Фано и локализация электронов в гетеробарьерах /
Ч. С. Ким, А. М. Сатанин, В. Б. Штенберг // ЖЭТФ. – 2000. – Т. 118. – С. 413.
24. К и м , Ч . С . Интерференция квантовых состояний в электронных волноводах
с примесями / Ч. С. Ким [и др.] // ЖЭТФ. – 2002. – Т. 121. – С. 1157.
25. C l e r k , A . A . Fano resonances as a probe of phase coherence in quantum dots /
A. A. Clerk, X. Waintal, P. W. Brouwer // Phys. Rev. Lett. – 2001. – V. 86. – P. 4636.
26. Г е й л е р , В. А . Баллистический транспорт в наноструктурах: явнорешаемые
модели / В. А. Гейлер, И. Ю. Попов // ТМФ. – 1996. – Т. 107. – № 1. – С. 12.
27. G e y l e r , V . A . Localization in a periodic system of the Aharonov-Bohm rings /
V. A. Geyler, A. V. Popov // Reps. Math. Phys. – 1998. – V. 42. – P. 347.
28. Г е й л е р , В. А . Резонансное туннелирование через двумерную наноструктуру с
присоединенными проводниками / В. А. Гейлер, В. А. Маргулис, М. А. Пятаев //
ЖЭТФ. – 2003. – Т. 124. – С. 851.
29. К р е в ч и к , В. Д . Примесное поглощение света в структурах с квантовыми точками / В. Д. Кревчик, Р. В. Зайцев // ФТТ. – 2001. – Т. 43. – № 3. – С. 504.
30. B r ü n i n g , J . Scattering on compact manifolds with infinitely thin horns / J. Brüning,
V. A. Geyler // J. Math. Phys. – 2003. – V. 44. – P. 371.
31. Б а з ь , А . И . Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. – М. : Наука, 1966. – 340 с.
32. Д е м к о в, Ю . Н . Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике /
Ю. Н. Демков, В. Н. Островский. – Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. – 240 с.
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Кокорева Мария Алексеевна
аспирант, Институт физики и химии,
Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
Физико-математические науки. Физика
Kokoreva Mariya Alekseevna
Postgraduate student, Institute of physics
and chemistry, Mordovia State University
named after N. P. Ogarev
E-mail: maria-kokoreva@yandex.ru
Маргулис Виктор Александрович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
теоретической физики, Институт
физики и химии, Мордовский
государственный университет
имени Н. П. Огарева
Margulis Viktor Alexandrovich
Doctor of physico-mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of theoretical physics, Institute of physics
and chemistry, Mordovia State University
named after N. P. Ogarev
E-mail: theorphysics@mrsu.ru
Пятаев Михаил Анатольевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра теоретической физики,
Институт физики и химии, Мордовский
государственный университет
имени Н. П. Огарева
Pyataev Mikhail Anatolyevich
Candidate of physico-mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of theoretical physics,
Institute of physics and chemistry,
Mordovia State University
named after N. P. Ogarev
E-mail: pyataevma@math.mrsu.ru
УДК 538.935
Кокорева, М. А.
Резонансы Фано в электронном транспорте через квантовое кольцо
с примесями / М. А. Кокорева, В. А. Маргулис, М. А. Пятаев // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2010. – № 1 (13). – С. 109–125.
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 530.14
Л. А. Никитина, Д. К. Иванов
ОЦЕНКА СТАБИЛЬНОСТИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ
Аннотация. На основе теоремы линейной неравновесной термодинамики показано, что временные производственные показатели экономической системы,
находящейся в релевантных условиях, должны описываться экспоненциальной зависимостью. Это может быть положено в основу эволюционного менеджмента, который подразумевает осознаный учет объективных закономерностей в экономике, присущих человеческим коллективам.
Ключевые слова: неравновесная термодинамика, эволюционный менеджмент,
релевантные условия
Abstract. It has been demonstrated on the base of the theorem of linear
nonequilibrium thermodynamics that the time production indicators of economic
system in the relevant circumstances would have to be described by an exponential
dependence. This could considered as the basis of evolutionary management, which
implies recognition of objective laws in economics inherent to human collectives.
Keywords: nonequilibrium thermodynamics, evolutionary management, relevant
circumstances
Наличие аналогий в основных положениях
различных теорий означает, что должна
существовать более общая теория, которая объединяет частные и унифицирует их относительно этих общих свойств.
П. А. Самуэльсон
Нулевое начало термодинамики постулирует, что в изолированной системе самопроизвольно наступает состояние термодинамического равновесия.
В этом состоянии, как это следует из второго начала термодинамики, приращение энтропии равно 0, или
dS  0 .
(1)
Из математической записи энтропии по Больцману [1]
S  k  ln G ,
(2)
где k – постоянная Больцмана; G – статистический вес макросостояния или
число микросостояний, задающих данное макросостояние; если dS  0 , то
это означает, что S максимально и не должно зависеть от времени, поэтому
если продифференцировать (2), то получим
dS
1 dG
k 
 VS  0 ,
dt
G dt
(3)
т.е. G = const, а это означает, что число микросостояний, задающих данное
макросостояние, не изменяется со временем.
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
Энтропия в этом случае достигает максимума, т.е. воцарившийся хаос
уничтожает все упорядоченные процессы, и система себя изживает. В физике
это состояние было названо тепловой смертью Вселенной. Наступление подобного состояния можно найти и в экономике. Например, при социализме
экономика нашей страны была изолирована от экономики других стран, и
степень этой изоляции все время увеличивалась в основном по идеологическим соображениям (железный занавес). Это привело к тому, что на внутреннем рынке наблюдался дефицит буквально во всем – от самого необходимого,
например бумаги, до предметов роскоши, например легковых автомобилей.
В рамках неравновесной линейной термодинамики или открытых систем, как
было показано И. Пригожиным (Нобелевская премия 1977 г.), последние эволюционируют к состоянию с наименьшей из возможных в данных условиях
скоростью производства энтропии. Следуя этому, из формулы (3) получаем
dS
1 dG
k 
 VS  0 ,
dt
G dt
(4)
где VS – скорость производства энтропии. Система стремится к стационарному, а не равновесному состоянию [2]. То есть в этом случае энтропия системы не достигает максимума. Система становится постоянным производителем или источником энтропии, и за этот счет поддерживается ее стационарное функционирование. Система извне получает определенное количество
порядка и хаоса. Процессы, идущие в системе, создают определенное количество упорядоченных структур и генерируют избыточный, в сравнении с поступающим, хаос, который, как и порядок, покидает систему. Как следует из
формулы (4), после интегрирования
G  G0
VS
t
e k .
(5)
Это означает, что число микросостояний, задающих данное макросостояние или термодинамическая вероятность, – основной параметр, ответственный за меру хаоса, должен увеличиваться со временем по экспоненциальному закону. Но хаос и порядок в системе – это одно целое, поэтому по такому же закону должны со временем изменяться и величины, характеризующие
порядок. Система не замкнута, поэтому она генерирует хаос в окружающий
мир, так же как и порядок.
Если говорить об экономических процессах, то система создает продукцию, которая уходит к потребителю и генерирует одновременно хаос, который утилизируется. Поэтому временная зависимость количества произведенного системой продукта должна подчиняться закономерности (5).
Воспользуемся различными статистическими данными и их временной
динамикой для большого количества элементов, которые имеют отношение
к экономике1. На рис. 1 приведены значения по годам валового продукта для
Ленинградской области и Санкт-Петербурга, на рис. 2 – для Московской и
Нижегородской областей. Из этих рисунков следует, что зависимости очень
хорошо описываются экспонентой с коэффициентом аппроксимации не
1
Основные показатели системы национальных счетов Copyring © Федеральная служба государственной статистики.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
менее 0,97. Это позволяет утверждать, что закономерность, выраженная формулой (5), хорошо выполняется для приведенного экономического параметра –
валового регионального продукта. Надо отметить, что наилучшая аппроксимация достигается полиномиальной функцией различного порядка (на рис. 1, 2
не приведена), но она, давая более точное описание формы линии, не
раскрывает причины подобной закономерности.
Ряд 1
Ряд 2
Млн руб
Экспоненциальный
(Ряд 1)
Экспоненциальный
(Ряд 2)
Годы
Рис. 1. Валовой продукт Ленинградской области за период 1998–2007 гг. (ряд 1);
валовой продукт Санкт-Петербурга за период 1998–2007 гг. (ряд 2)
Ряд 1
Млн руб
Ряд 2
Экспоненциальный
(Ряд 1)
Экспоненциальный
(Ряд 2)
Годы
Рис. 2. Валовой продукт Московской области (ряд 1)
и валовой продукт Нижегородской области (ряд 2)
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
Анализируя таким образом временные характеристики различных экономических показателей, можно видеть, насколько динамика экономического
процесса открытой системы стационарна, а следовательно, устойчива.
Если человек начинает вмешиваться в процесс этой динамики, то отслеживание изменения подобной закономерности указывает, насколько это
вмешательство соответствует необходимости, диктуемой объективными законами.
Таким образом, изложенное выше может быть положено в основу так
называемого эволюционного менеджмента [3], который подразумевает
осознаный учет объективных закономерностей в экономике, присущих
человеческим коллективам.
В заключение авторы выражают глубокую благодарность доктору
физико-математических наук, профессору В. М. Грабову за ценные
замечания, сделанные по данной работе.
Список литературы
1. С и в у х и н , Д . В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. – М. : Наука, 1990. –
С. 311.
2. Г р а б о в, В. М . Элементы динамики неустойчивых состояний и неравновесной
термодинамики / В. М. Грабов, С. Ю. Трофимова. – Оренбург : Изд-во ОГПУ,
1998.
3. Г о р б а ч е в , В. В. Концепции современного естествознания / В. В. Горбачев. –
М. : Оникс. Мир и образование, 2010. – С. 612.
Никитина Людмила Николаевна
доктор экономических наук, профессор,
заведующая кафедрой экономики,
Санкт-Петербургский государственный
университет технологии и дизайна
Nikitina Lyudmila Nikolaevna
Doctor of economic sciences, professor,
head of sub-department of economics,
Saint-Petersburg State University
of Technology and Design
E-mail: kivanov@mail.ru
Иванов Дмитрий Константинович
ассистент, кафедра физики,
Санкт-Петербургский государственный
университет технологии и дизайна
Ivanov Dmitry Konstantinovich
Assistant, sub-department of physics,
Saint-Petersburg State University
of Technology and Design
E-mail: kivanov@mail.ru
УДК 530.14
Никитина, Л. А.
Оценка стабильности экономических систем на основе теоремы
термодинамики неравновесных процессов / Л. А. Никитина, Д. К. Иванов //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1 (13). – С. 126–129.
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 532.546
М. Н. Овчинников, Г. Г. Куштанова
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ
ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Аннотация. Рассматривается распространение периодического гидродинамического возмущения в пористом пласте, когда движение жидкости подчиняется неравновесному закону фильтрации. Определен вклад модельных временных параметров в релаксационные процессы. Выявлено появление экстремумов амплитуд давления при прохождении границы областей с различными
гидропроводностями через точку наблюдения.
Ключевые слова: нелинейные среды, проницаемость, гидропроводность,
фильтрационные волны давления, спектры.
Abstract. The periodic hydrodynamic perturbation evolution in porous media is considered under nonequilibrium liquid filtration. The temporal model parameters contribution in relaxation has determined. The pressure amplitude extremums existence
have established in borders of various hydroconductivity zones passing through the
observation point.
Keywords: nonlinear media, permeability, hydroconductivity, filtrational pressure
waves, spectrum.
Одним из эффективных способов исследования пористых нефтеводонасыщенных пластов является метод фильтрационных волн давления (ФВД)
[1, 2]. В последнее время интерес к использованию этого метода растет, поскольку нестационарное гидродинамическое воздействие на пласты стало
служить не только средством контроля, но и средством повышения нефтеотдачи, а использование современных информационных технологий и средств
автоматизации позволило разрешить технические проблемы в организации
натурных экспериментов. Особый интерес представляет использование метода фильтрационных волн давления в условиях трещиновато-пористых коллекторов, когда непрерывные изменения локальных градиентов давления интенсифицируют массообмен в системе блоки – трещины. В этом случае
формальное использование линейного подхода к описанию систем может
привести к некорректным интерпретациям значений фильтрационных параметров пластов. Ведь именно в трещиновато-пористых средах становится
важным учет нелинейных гидродинамических эффектов [3]. Также влияние
нелинейности может быть важным при рассмотрении фильтрации в пористых терригенных коллекторах в условиях значительных изменений давления в пластах. Целью данной работы является выявление отличий и особенностей распространения волн давления в нелинейных средах по сравнению с линейными.
Решение задачи о распространении периодических волн давления в линейных средах для случая однородного и изотропного пласта постоянной
толщины при наличии системы вертикальных скважин заключается в решении уравнения пьзопроводности [1, 4] (уравнения типа теплопроводности)
с постоянным коэффициентом пьезопроводности  в цилиндрической системе координат
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
  P P

r
r r r t
(1)
с граничным условием для расхода жидкости на возмущающей скважине вида
q (t )  q0 

 qn cos  nt  n  .
(2)
n 1
Далее из гидродинамического эксперимента методом Фурье-анализа
для каждой отдельной гармоники колебаний расхода и давления рассчитываются разности фаз колебаний между давлением на забое возмущающей скважины и расходом на ней же ( cn ), а также разности фаз между давлением на
реагирующей скважине и расходом на возмущающей скважине (  cn ), измеряются амплитуды давлений на возмущающей Pcn и реагирующей скважинах, расхода на возмущающей скважине – qn . Из фазового соотношения
cn  arctg
Ker0 X cn Kei1 X cn  Kei0 X cn Ker1 X cn 

Ker1 X cn Ker0 X cn  Kei1 X cn Kei0 X cn 4
(3)
1/ 2
и наховычисляется значение безразмерного параметра X cn  rc  n /  
дится параметр гидропроводности  в ближней для задающей колебания
скважины зоне пласта
1/ 2
 Ker02 X cn  Kei02 X cn 
qn



2Pcn X cn  Ker12 X cn  Kei12 X cn 
.
(4)
Далее по разности фаз
 n  arctg
Ker0 X n Kei1 X cn  Ker1 X cn Kei0 X n 3

Ker1 X cn Ker0 X n  Kei1 X cn Kei0 X n 4
(5)
определяется безразмерный параметр для межскважинного пространства
1/ 2
X n  r  n /  
, находится значение пьезопроводности  и рассчитывает-
ся средняя гидропроводность  в межскважинном интервале
qn
 
2Prn X cn
1/ 2
 Ker02 X n  Kei02 X n 


 Ker12 X cn  Kei12 X cn 
.
(6)
Здесь KerX cn , Ker1 X cn , KeiX cn , Kei1 X cn – функции Кельвина 0-го и 1-го
порядков, n – номер гармоники; ωn – круговая частота; rc – приведенный радиус скважины; r – расстояние между скважинами.
Так выглядит расчет фильтрационных параметров пласта в идеализированном случае постоянной проницаемости, не зависящей от давления. Однако
на практике часто приходится иметь дело с нелинейными системами, где нелинейность, прежде всего, определяется зависимостью проницаемости от
давления. Для случая системы с цилиндрической симметрией (вертикальной
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
скважины) теперь необходимо решить нелинейное уравнение пьезопроводности вида
1 
P  P
,
 (k ( p ))r

r r 
r  t
(7)
а для модели фильтрации в трещиновато-пористых пластах можно записать
уравнение пьезопроводности в модели Г. И. Баренблатта [5] в виде нелинейного соотношения
1 

P    
P 
 (k ( p))r  P  2
    P    ,
r r 
r 
t   t 
t 
(8)
здесь  , 2 – постоянные размерности времени, характеризующие насыщенную пористую среду.
При этом для задания нелинейности часто используется модель типа
экспоненциальной зависимости проницаемости от давления вида
k ( p)  k0  exp   ( p  p0   .
(9)
Изменение проницаемости при смыкании трещин можно описывать
выражением вида
1
k ( p)  k0 1  tanh  ( p  p0   .
2
(10)
Эти зависимости (9) и (10) использованы далее в данной работе при
проведении вычислительных экспериментов. Почему вычислительный эксперимент? Несмотря на значительный прогресс в области поиска точных решений уравнений математической физики, подобрать для рассматриваемой задачи соответствующее решение с учетом граничных условий оказывается
невозможным.
Для проведения численного моделирования были выписаны конечноразностные аналоги уравнений и граничных условий рассматриваемой задачи
на основе интегро-интерполяционного метода. Расчет давления производился
по неявной четырехточечной схеме для случая классического упругого режима и по пятиточечной – для трещиновато-пористого коллектора. Используемые численные схемы абсолютно устойчивы. Исследование сходимости
численных схем проводилось на сгущающихся сетках как по пространственной координате, так и по временной (учитывая логарифмический характер
распределения давления в пласте, необходимо предварительно провести замену радиальной переменной на безразмерную переменную u  ln(r / rc ) , что
позволит использовать равномерную сетку по новым переменным).
В качестве базового варианта для расчетов была использована модель
однородного и изотропного пласта толщиной h = 1 м и проницаемостью
k0 = 10–12 м2, насыщенного однородной жидкостью с вязкостью  = 1 мПа с,
радиус возмущающей скважины rc = 0,1 м. Пласт разбурен одиночной скважиной, работающей с расходом q(t) в виде периодически повторяющейся
последовательности импульсов прямоугольной формы, что в скважинных условиях соответствует режиму отбор – простой. Начальное давление в пласте
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Физико-математические науки. Физика
задавалось одинаковым для всех экспериментов и было равно 10 МПа. В результате в пласте возникали периодические изменения давления, в том числе и
на стенке возмущающей скважины. Точка наблюдения находится на расстоянии r = 100 м (примеры натурных экспериментов описаны, например, в [2]).
По результатам вычислительных экспериментов получены следующие
результаты. Наличие нелинейности как вида (9), так и (10) приводит к снижению эффективной гидропроводности в околоскважинном пространстве (рис. 1).
Здесь чем больше расход, тем больше падает давление, тем значительнее
уменьшается проницаемость и, как следствие, гидропроводность и пьезопроводность в околоскважинном пространстве, причем не зависимо от периода
колебаний расхода. Этот факт определенно может служить диагностическим
признаком для определения степени нелинейности. При этом в дальней по
отношению к возмущающей скважине зоне в условиях реализации метода
волн давления изменения гидропроводности и пьезопроводности относительно малы в силу малости отклонения абсолютного значения давления от первоначального на больших расстояниях от возмущающей скважины.
Рис. 1. Зависимость эффективной гидропроводности
от амплитуды изменений давления на возмущающей скважине
при различных частотах изменений расхода на ней
Другое проявление нелинейности, теперь уже в межскважинном пространстве, связано со значительным перераспределением энергии между гармониками сигнала и ростом вклада четных гармоник в суммарный сигнал,
несмотря на то, что на возмущающей скважине они не генерируются в силу
прямоугольной изначально формы первоначального сигнала по расходу.
Так, на рис. 2 показано изменение отношений амплитуд вторых и первых гармоник сигнала по давлению и четвертных и третьих гармоник по давлению при различных частотах волн давления. Мы видим, что с ростом час-
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
тоты наблюдается значительное увеличение вклада четных гармоник, причем
независимо от значений амплитуды расхода на возмущающей скважине.
Рис. 2. Вклад четных гармоник по сравнению
с ближайшими нечетными на принимающей скважине
Таким образом, результаты исследования пластов методом задания
фильтрационных гармонических волн давления различной частоты и амплитуды могут быть использованы для определения степени нелинейности
флюидонасыщенной пористой среды по отношению к зависимости ее проницаемости от давления жидкости.
Хотя данные задачи рассмотрены в приложении к процессу фильтрации, что связано с интересами авторов в области прикладных разработок, полученные результаты, очевидно, могут быть интересны и при исследованиях
процессов диффузии и кондуктивной теплопередачи, аналогичных фильтрации жидкости.
Список литературы
1. Б у з и н о в , С . Н . Исследование нефтяных и газовых скважин и пластов /
С. Н. Бузинов, И. Д. Умрихин.  М. : Недра, 1984.  265 c.
2. М о л о к о в и ч , Ю . М . Релаксационная фильтрация / Ю. М. Молокович,
Н. Н. Непримеров, В. И. Пикуза, А. В. Штанин.  Казань : Изд-во Казанского университета, 1980.  136 с.
3. Д и я ш е в , Р . Н . Фильтрация жидкости в деформируемых нефтяных пластах /
Р. Н. Дияшев, А. В. Костерин, Э. В. Скворцов.  Казань : Изд-во Казанского математического общества, 1999.  238 с.
4. Щ е л к а ч е в , В. Н . Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации /
В. Н. Щелкачев.  М. : Нефть и газ, 1995.  Ч. 1.  586 с. ; Ч. 2. – 493 с.
5. Б а р е н б л а т т, Г . И . Движение жидкостей и газов в природных пластах /
Г. И. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик.  М. : Недра, 1984.  211 с.
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (13), 2010
Овчинников Марат Николаевич
доктор физико-математических наук,
доцент, кафедра радиоэлектроники,
Казанский государственный университет
Физико-математические науки. Физика
Ovchinnikov Marat Nikolaevich
Doctor of physico-mathematical sciences,
associate professor, sub-department
of radio electronics, Kazan State University
E-mail: Marat.Ovchinnikov@ksu.ru
Куштанова Галия Гатинишна
доктор физико-математических наук,
доцент, кафедра радиоэлектроники,
Казанский государственный университет
Kushtanova Galiya Gatinishna
Doctor of physico-mathematical sciences,
associate professor, sub-department
of radio electronics, Kazan state University
E-mail: Galya.Kushtanova@ksu.ru
УДК 532.546
Овчинников, М. Н.
Спектральные особенности фильтрационных волн давления в нелинейных средах / М. Н. Овчинников, Г. Г. Куштанова // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2010. – № 1 (13). – С. 130–135.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows версий не выше 2003.
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru, дискета 3,5'', СD-диск) и дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах.
Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт
статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Тип файла в электронном виде – RTF.
Статья обязательно должна сопровождаться индексом УДК, краткой аннотацией и ключевыми словами на русском и английском языках.
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи выполняются в редакторе формул Microsoft Word
Equation, версия 3.0 и ниже. Символы греческого и русского алфавита должны быть
набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом, нежирно; обозначения векторов и
матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно. Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных символов (с использованием
шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. В списке указывается:

для книг – фамилия и инициалы автора, название, город, издательство,
год издания, том, количество страниц;

для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора,
название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, выпуск, страницы;

для материалов конференций – фамилия и инициалы автора, название
статьи, название конференции, время и место проведения конференции, город, издательство, год, страницы.
В конце статьи допускается указание наименования программы, в рамках которой выполнена работа, или наименование фонда поддержки.
К материалам статьи должна прилагаться информация для заполнения учетного листа автора: фамилия, имя, отчество, место работы и должность, ученая степень,
ученое звание, адрес, контактные телефоны (желательно сотовые), e-mail.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается.
Рукопись, полученная редакцией, не возвращается.
Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований,
к рассмотрению не принимаются.
136
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа