close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

62.Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №4 2013

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
№ 4 (28)
2013
СОДЕРЖАНИЕ
МАТЕМАТИКА
Бойков И. В., Кривулин Н. П., Рязанцев В. А. Оптимальные
методы аппроксимации тепловых полей ............................................................... 5
Никитина Я. В., Султанов А. Я. Расслоение Вейля
над тензорным произведением двух алгебр дуальных чисел ............................ 17
Мельников Б. Ф., Мельникова Е. А. Подход к программированию
недетерминированных игр (Часть I: Описание общих эвристик) ..................... 29
Тяпин Н. А. Автоморфизмы контактно-аффинных структур ................................. 39
Яремко О. Э., Могилева Е. С. Моделирование потенциальных полей
в средах с тонким включением методом деформирующих операторов ........... 49
Джукашев К. Р. Об эластичных три-тканях
с тензором кручения ранга 1 ................................................................................. 61
Кузаконь В. М., Шелехов А. М. Инварианты гладких слоений.............................. 71
Степанов С. Е., Микеш Й., Цыганок И. И. Оператор Тачибаны ......................... 82
Черевко Е. В. Инфинитезимальные конформные преобразования
локально конформно-келеровых многообразий ................................................. 93
Бойков И. В., Захарова Ю. Ф., Дмитриева А. А. Устойчивость
развивающихся систем ........................................................................................ 101
ФИЗИКА
Кадочкин А. С., Шалин А. С., Маслов Н. А., Низаметдинов А. М.
Непоглощающий метаматериал с дисперсией
эффективного показателя преломления ............................................................. 119
Михайлов А. И., Митин А. В., Кожевников И. О. Оптимизация
алгоритма математической модели установления распределения
заряда и электрического поля в многослойной полупроводниковой
структуре с металлическими контактами .......................................................... 133
Николенко А. С. Математическая модель распространения
электромагнитных волн в нанокомпозитах
на основе магнитных нанопроволок................................................................... 147
Physical and mathematical sciences. Mathematics
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Голованов О. А., Макеева Г. С., Ширшиков Д. Н., Горлов Г. Г.
Электродинамический расчет микроволновых
коэффициентов прохождения волны типа H10 через
пластину наноструктурного материала на основе 3D-решетки
ферромагнитных нанопроволок в волноводе..................................................... 162
Поздняков Е. И. Синтез, изучение люминесцентных и кинетических
свойств твердых растворов (Y0,89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 ............................... 174
Фомин Н. Е., Киреев А. А., Киреев А. А., Сигачев А. Ф.
Исследование внутреннего трения алюминия методом
динамического механического анализа .............................................................. 186
Горшков В. И., Мирошниченко Д. С., Святкина А. А. Математическое
моделирование показателей безотказности вентиляционных
систем с учетом деградации параметров модулей ............................................ 193
2
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
UNIVERSITY PROCEEDINGS
VOLGA REGION
PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
№ 4 (28)
2013
CONTENT
MATHEMATICS
Boykov I. V., Krivulin N. P., Ryazantsev V. A. Optimal methods
of thermal field approximation................................................................................... 5
Nikitina Ya. V., Sultanov A. Ya. Weil bundle over the tensor product
of two algebras of dual numbers .............................................................................. 17
Mel'nikov B. F., Mel'nikova E. A. Approach to programming
of nondeterministic games (Part I: Description of general heuristics) ..................... 29
Tyapin N. A. Automorphisms in contact-affine structures ............................................ 39
Yaremko O. E., Mogileva E. S. Modeling of potential fields in media
with a thin inclusion by the method of deforming operators ................................... 49
Dzhukashev K. R. On elastic 3-webs with class 1 torsion tensor.................................. 61
Kuzakon' V. M., Shelekhov A. M. Invariants of smooth layerings............................... 71
Stepanov S. E., Mikesh Y., Tsyganok I. I. Tachibana operator .................................... 82
Cherevko E. V. Infinitesimal conformal transformations
of locally conformal Kähler manifolds .................................................................... 93
Boykov I. V., Zakharova Yu. F., Dmitrieva A. A. Stability
of evolutionary systems.......................................................................................... 101
PHYSICS
Kadochkin A. S., Shalin A. S., Maslov N. A., Nizametdinov A. M. Non-absorbing
metamaterial with dispersion of effective refractive index .................................... 119
Mikhaylov A. I., Mitin A. V., Kozhevnikov I. O. Optimization
of the algorithm of the mathematical model of the charge
and electric field distribution stabilization in a multilayer
semiconductor structure with metal contacts ......................................................... 133
Nikolenko A. S. Mathematical model of electromagnetic wave propagation
in nanocomposites based on magnetic nanowires .................................................. 147
Golovanov O. A., Makeeva G. S., Shirshikov D. N., Gorlov G. G.
Electrodynamic calculation of microwave transmission coefficients
Physical and mathematical sciences. Mathematics
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
of mode H10 through slab of nanostructured material based
on the 3D-array of ferromagnetic nanowires .......................................................... 162
Pozdnyakov E. I. Synthesis and kinetic study of fluorescent
properties of solid solutions (Y0,89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 .................................. 174
Fomin N. E., Kireev A. A., Kireev A. A., Sigachev A. F. The study
of internal friction of aluminium by the method
of dynamic mechanical analysis ............................................................................. 186
Gorshkov V. I., Miroshnichenko D. S., Svyatkina A. A. Mathematical
modeling of the indicators of reliability of ventilation systems
with regard to the degradation of the module parameters ...................................... 193
4
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 518.5
И. В. Бойков, Н. П. Кривулин, В. А. Рязанцев
ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
АППРОКСИМАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ
Аннотация. Актуальность и цели. Исследование тепловых полей играет
огромную роль при решении многих физических и технических проблем. Достаточно упомянуть только такие направления, как термодинамика и теплоразведка. Тепловые поля имеют сложную структуру, не поддающуюся аналитическому представлению. Поэтому актуальными являются методы равномерной аппроксимации полей во всей области их определения. Помимо разработки методов равномерной аппроксимации тепловых полей, актуальной является
разработка оптимальных по точности, сложности и памяти методов аппроксимации и восстановления тепловых полей. При исследовании физических полей
разнообразной природы возникают следующие задачи: 1) построение алгоритмов равномерной аппроксимации полей в рассматриваемой области;
2) разработка оптимальных методов аппроксимации полей в заданной области.
Материалы и методы. Для решения указанных задач в статье предлагается
метод, общий для физических полей любой природы. Для построения
наилучшего равномерного приближения физического поля определяется
функциональный класс, к которому принадлежит данное поле, вычисляются
поперечники Колмогорова и Бабенко соответствующего класса функций и
строятся сплайны, являющиеся оптимальным методом приближения. Определяется класс функций, к которому принадлежат решения параболических
уравнений и строятся равномерные в метрике пространства С аппроксимации
этих решений в виде локальных сплайнов. Показано, что построенный алгоритм аппроксимации отличается от оптимального мультипликативным множителем. Результаты. В данной работе предложены эффективные методы
равномерного восстановления тепловых полей. Выводы. Результаты работы
могут использоваться при разработке численных методов моделирования задач теплоразведки и термодинамики.
Ключевые слова: тепловое поле, равномерная аппроксимация, локальный
сплайн, оптимальные методы, класс функций, поперечник Колмогорова, поперечник Бабенко.
I. V. Boykov, N. P. Krivulin, V. A. Ryazantsev
OPTIMAL METHODS OF THERMAL FIELD APPROXIMATION
Abstract. Background. The research of thermal fields represents significant importance in solution of multiple physical and technical problems. Suffice it to mention such fields as thermodynamics and thermal prospecting. Thermal fields have a
complex structure impossible to be presented analytically. Therefore the methods of
uniform approximation appear to be topical in the whole area of determination
thereof. Besides the development of methods of uniform approximation of thermal
fields it is topical to develop methods of approximation and restoration of thermal
Physical and mathematical sciences. Mathematics
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
fields accurate in precision, complexity and memory. In the research of physical
fields of various nature there appear the following problems: 1) building of algorithms of uniform approximation of fields in the area under consideration; 2) development of optimal methods of filed approximation in the area under consideration.
Methods and materials. To solve the said problems the authors suggest a method
common for physical fields of any nature. To build the best uniform approximation
of aphysical field it is necessary to determine the functional class, to which the said
field belongs, to calculate Kolmogorov and Babenko widths of the corresponding
class and to build splines being the optimal method of approximation. The researchers determine the class of funtions, to which belong the solutions of parabolic equations, and build approximations, uniform in C space metrics, of the said solutions in
the form of local splines. It is shown that the built algorithm of approximation differs from the optimal one by the multiplication factor. Results. The study suggests
the effective methods of unform restoration of thermal fields. Conclusions. The results of the study may be used in development of numerical methods of thermal prospecting and thermodynamics problems modeling.
Key words: thermal field, uniform approximation, local spline, optimal methods,
function class, Kolmogorov width, Babenko width.
Введение
При аппроксимации физических полей и, в частности, при аппроксимации тепловых полей возникает задача равномерной аппроксимации поля во
всей области определения. Решение этой задачи необходимо для построения
адекватной численной модели исследуемого физического процесса. Помимо
равномерной аппроксимации физических полей, необходимо располагать оптимальными методами их приближения. При конструировании вычислительных алгоритмов целесообразно искать приближенные решения в экстремальных для данного круга задач пространствах. Это позволяет уменьшить вычислительные ресурсы и увеличить достоверность полученных результатов.
Такой подход был реализован при численном решении ряда задач математической физики [1, 2], при аппроксимации сопряженных функций, выраженных сингулярными и гиперсингулярными интегралами [3, 4], и при построении оптимальных методов аппроксимации и табулирования геофизических полей [5, 6].
В работе данный подход продемонстрирован на примере уравнения
теплопроводности. Для этого уравнения определен класс функций
Pr γα (Ω, M , a) (см. разд. 1), к которому принадлежит решение и построены
сплайны, равномерно приближающие решение в рассматриваемой области.
Показано, что построенные в работе сплайны являются наилучшим по
порядку методом приближения тепловых полей, представимых в классе
функций Pr γα (Ω, M , a).
1. Классы функций
Для построения оптимальных методов аппроксимации физических полей любой природы необходимо определить классы функций, к которым
принадлежат эти поля.
Широкий класс задач теплопроводности в одномерном случае
описывается уравнением
6
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
∂u ∂ 2u
=
,
∂t ∂x 2
определенным в области
начальному значению
0 ≤ t < ∞,
(1)
−∞ < x < ∞
и удовлетворяющим
u (0, x) = ϕ( x).
(2)
Известно [7], что решение этой задачи дается формулой
u (t , x) =
1
2 π
∞

−∞
( x −ξ)2
ϕ(ξ) − 4t
e
t
d ξ, t > 0.
(3)
Определим класс функций, к которому относится функция u (t , x),
выраженная интегралом (3).
Пусть функция ϕ( x) имеет непрерывные производные до r -го порядка
при −∞ ≤ x ≤ ∞, причем
sup | ϕ( k ) |≤ M ,k = 0,1, , r.
−∞≤ x≤∞
Оценим
∂ k u (t , x)
∂x k
, k = 0,1,
В работе [7] показано, что | u (t , x) |≤ M .
Оценим
∂u (t , x)
. Очевидно,
∂x
∂u (t , x)
1
=−
∂x
2 π
 ( x −ξ)2
ϕ(ξ) ∂  − 4t
e
t ∂ξ 
−∞

∞


( x −ξ)2
∞

1
ϕ′(ξ) − 4t
e
d ξ.
 dξ =
π
2
t

−∞


Следовательно,
∂u (t , x)
≤ M.
∂x
Продолжая вычисления, имеем
∂ k u (t , x)
∂x k
Оценим производные
∂ r +1u (t , x)
∂x r +1
≤ M , k = 0,1, , r.
∂ k u (t , x)
∂x k
, k = r + 1, Очевидно,


( x −ξ)2
∞ (r )
∂  1
ϕ (ξ) − 4t

=
e
dξ =

∂x  2 π
t

−∞



Physical and mathematical sciences. Mathematics
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
∞
1
=
4 πt
≤
M
4 πt
−∞
x12
−
| x1 | 4t
e
dx1
∞


( x −ξ)2
ϕ( r ) (ξ) − 4t
( x − ξ)
e
t
t
−∞
=
M
2 πt
∞

0
dξ ≤
x12
−
x1 4t
e
dx1
t
M
.
π t
=
Продолжая последовательное вычисление производных, имеем
∂ r + k u (t , x)
∂x r + k
+
1
2 π
2 π
∞

−∞
( x −ξ)2
k
x − ξ | ϕ( r ) (ξ) | − 4t
e
2t
t
dξ +
( x −ξ)2
∞

≤
1
−∞
| x − ξ |k − 2 | ϕ( r ) (ξ) | − 4t
( k − 1)
e
t
(2t )k −1
dξ +
( x −ξ)2
∞
| x − ξ |k − 4 | ϕ( r ) (ξ) | − 4t
+
( k − 2)(k − 3)
e
k −2
2 π
t
(2
t
)
−∞
1

+ +
∞
1
2 π

−∞
dξ +
( x −ξ)
kk 
| ϕ( r ) (ξ) | − 4t
−
1
1
e
d ξ.



2 2 
(2t ) k /2 t
Здесь для определенности предполагается, что k – четное число.
Нетрудно видеть, что случай, когда k – нечетное число, отличается
множителем ( x − ξ) в подынтегральном выражении последнего интеграла.
Из последнего неравенства следует оценка
∞

k!

M
∂ r + k u (t , x)
[k / 2]! 1  0
k
≤2

∂x r + k
(2t ) k −[ k /2] π ∞


0


1
t
x2
− 1
e 4t dx1 ,k
x12
−
x1 4t
e
dx1 ,k
t
= 2m,
(4)
= 2m + 1.
Отсюда при k четном
∂ r + k u (t , x)
∂x
r +k
≤
2( k /2)−1
t
k /2
M
k!
,
[k / 2]!
M
k!
.
[k / 2]!
а при k нечетном
∂ r + k u (t , x)
∂x
8
r +k
≤
2[ k /2]−1
t
k /2
π
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Таким образом, имеем
∂ r + k u (t , x)
π 2( k /2)−1
≤
∂x r + k
t k /2
M
k!
, k = 1, 2,
[k / 2]!
∂ k u (t , x)
, k = 1, 2,
∂t k
Очевидно, при 0 < t < 1 справедливо неравенство
Оценим производную
∂ k (t , x)
∂t k
+
1 (2k + 1)!!
≤
1 (2k − 1)!!
2 π
+
2k −1
1
1
(2 k −1)/2 2t
t
2 π (2t )
 | x −ξ|e
dξ +
−
( x −ξ)2
4t d ξ +  +
−∞
∞
(2 k +1)/2

∞
M
M
2
t (2k +1)/2 −∞
2k
2 π
∞ − ( x −ξ)
e 4t
M
 | x−ξ|
k
e
−
( x −ξ)2
4t d ξ ≤ 2 k
−∞
Mk!
tk
.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 1.1. Пусть функция ϕ( x), −∞ < x < ∞, имеет непрерывные
производные до
r -го порядка включительно и
sup | ϕ( k ) ( x) |≤ M ,
−∞≤ x≤∞
k = 0,1, , r. В области Ω = {∞ ≤ x ≤ ∞, 0 < t ≤ 1} решение u (t , x) задачи Коши
(1)–(2) удовлетворяет следующим неравенствам:
∂ k u (t , x)
≤ M , k = 0,1, , r ;
∂x k
∂ k u (t , x)
∂x
k
≤
2( k − r )/2
t
( k − r )/2
∂ k u (t , x)
∂t k
M π
≤
k!
, k = r + 1, r + 2, ;
[k / 2]!
2k k!M
tk
, k = 1, 2,
Замечание. В области Ω = [−∞ ≤ x ≤ ∞, 0 < t ≤ T , T = const] справедливы
неравенства
∂ k u (t , x)
∂x
k
≤ M , k = 0,1, , r ;
∂ k u (t , x)
∂x
∂ k u (t , x)
∂t k
k
≤
≤c
2( k − r )/2
t
c 2k k!M
tk
( k − r )/2
M
k!
, k = r + 1, r + 2, ;
[k / 2]!
, k = 1, 2,
Physical and mathematical sciences. Mathematics
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Здесь и ниже через c обозначена константа, не зависящая от k .
Теорема 1.1 и замечание к ней дают основание для введения
следующего определения.
Определение 1.1. Пусть Ω = [ −∞ ≤ x ≤ ∞, 0 ≤ t ≤ T ]. Через Pr ,γ (Ω, M , a)
обозначим множество функций, определенных и непрерывных вместе
с производными до r -го порядка в области Ω, и удовлетворяющих
следующим условиям:
∂ k u (t , x)
∂x k
∂ k u (t , x)
∂x
≤
k
a ( k −r )/2 M
t
( k − r )/2
∂ k u (t , x)
∂t k
≤
≤ M , k = 0,1, , r ;
k!
, k = r + 1, r + 2,  , t ∈ [0, T ] \ {0};
[k / 2]!
a k k!
t k −γ
M , k = 1, 2, , t ∈ [0, T ] \ {0},
где a − положительная константа, 0 ≤ γ ≤ 1.
Исследуем гладкость функции u (t , x) по переменной t.
Предварительно, следуя [8, c. 455], введем замену переменных:
ξ−x
, t > 0.
2 t
z=
Тогда формула (3) принимает следующий вид:
1
π
u (t , x ) =
∞
 ϕ( x + 2
2
t z )e − z dz.
−∞
Очевидно,
1
u (t1 , x) − u (t2 , x) =
π
≤
∞
 ( ϕ( x + 2
2
t1 z ) − ϕ( x + 2 t2 z ) e− z dz ≤
)
−∞
2M | t1 − t2 |
π
∞

2
| z | e − z dz ≤
−∞
4M
π
| t1 − t2 |1/2 .
Определение 1.2. Пусть Ω = {−∞ ≤ A ≤ x ≤ B ≤ ∞, 0 ≤ t ≤ T }. Через
Pr ,γ ,α (Ω, M , a )
обозначим множество функций, определенных и
непрерывных вместе с производными до r -го порядка в области Ω, и
удовлетворяющих следующим условиям:
∂ k u (t , x)
∂x k
10
≤ M , k = 0,1, , r ;
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
∂ k u (t , x)
∂x
k
≤
a ( k − r )/2 M
t
( k − r )/2
∂ k u (t , x)
∂t k
≤
k!
, k = r + 1, r + 2, , t ∈ [0, T ] \ {0};
[k / 2]!
a k k!
t k −γ
M , k = 1, 2, , t ∈ [0, T ] \ {0};
u (t1 , x) − u (t2 , x) ≤ k | t1 − t2 |α , 0 ≤ t1 < t2 ≤ T ,
где a − положительное вещественное число, 0 < α < 1, 0 ≤ γ ≤ 1.
2. Аппроксимация класса функций Pr ,γ ,α (Ω, M , a ),
Ω = {−∞ < A ≤ x ≤ B < ∞, 0 ≤ t ≤ T }
Для простоты обозначений положим A = 0, B = 1, T = 1, a = 2.
Обозначим через Ω0 множество точек (t , x), удовлетворяющих неравенствам
{0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2− N }.
Через
удовлетворяющих неравенствам
Ωk
обозначим

2k −1
0 ≤ x ≤ 1, N ≤ t ≤
2

множество
точек,
2k 
.
2 N 
Каждую область Ωk покроем прямоугольниками Δik , у которых длина
ребер, параллельных оси OX , равна hk , k = 0,1, , N − 1. Положим
h0 =
αN
2
αN / r
,
1
k /2
 α 2 2
hk =
, k = 1, 2, , N − 1.
 
(παN )1/2αN  e  2 N /2
N 1/2
Пусть f (t ) ∈ C[a, b]. Обозначим через Ls ( f ,[a, b]) интерполяционный
полином, построенный по s узлам, расположенным в сегменте [a, b].
В качестве узлов интерполяции можно взять равноотстоящие точки, а также
узлы ортогональных многочленов, линейно отображенных с сегмента [−1,1]
на [ a, b]. В случае, когда необходимо построить непрерывное приближение,
достаточно воспользоваться приемом, описанным в [9, 10].
Пусть f (t , x) ∈ C ( D), D = [a, b; c, d ]. Через Lss ( f , D) обозначим
интерполяционный
полином,
действующий
по
формуле
t x
x
Lss ( f , D) = Ls ( Ls ( f ,[c, d ]),[a, b])), т.е. вначале оператор Ls действует на
функцию f (t , x) в сегменте [c, d ] по переменной x, а затем оператор Lts
действует на функцию Lxs ( f ,[c, d ]) по переменной t в сегменте [ a, b].
В каждой области Δik , k = 0,1, , N − 1, функцию u (t , x) будем
аппроксимировать
интерполяционным
полиномом
Lss (u , Δik ),
где
Physical and mathematical sciences. Mathematics
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
s = [αN ] + 1. Сплайн, составленный из полиномов Lss (u , Δik ), обозначим
через S (t , x).
Оценим точность аппроксимации функций из множества Pr ,γ ,α (Ω,1)
сплайном S (t , x).
Оценку начнем с областей Δi0 . Рассмотрим для определенности область
Δ00 = [0, 2− N ;0, h0 ]. Так как функция u (t , x) по переменной t удовлетворяет
условию Гельдера с показателем α, то
(
)
c M
t
−N
max u (t , x) − Ls u ,[0, 2 ] ≤ α N α .
s 2
0≤t ≤ 2− n
(5)
Оценим погрешность
  2k 2k +1  
,
u (t , x) − Lts  u , 

  2N 2N  
2k
2k +1



≤t ≤
max
2N
2N
при k = 1, 2, , N − 1.
Очевидно,
  2k 2k +1  
t 
(
,
)
u
t
x
−
L
max
s  u ,  N , N   ≤
k
k
+
1
2  
2
2
  2
≤t ≤
2N
2N
 2N
≤ 2 s!M 
 2k

s




s
 2k

 2 ⋅ 2N

s

1
1
1
.
≤ 2M
≤ 2M

αN
s
 s!2 s −1
2
2

(6)
Напомним, что s положено равным s = [αN ] + 1.
Так как функция u (t , x) по переменной x имеет ограниченные
единицей производные до r -го порядка включительно, то
c r
c
x
max | u (t , x) − Ls (u ,[0, h0 ]) |≤ r h0 ≤ N α .
0≤ x ≤ h0
2
s
(7)
Здесь h0 = αN / 2 N α / r .
Рассмотрим область Δ 0k =  2k −1− N , 2k − N ; 0, hk  .


Оценим точность интерполяции
max
0≤ x≤ hk
u (t , x) − Lxs
 2e 
≤
( s + r )/2  s 
2
M
12
( u,[0, hk ]) ≤ 2
s /2
 2N
πs 
 2k





( s − r )/2
( s − r )/2
s!  2 N
M

[ s / 2]!  2k
α 
 N
e 
s /2




( s − r )/2
s
1
 hk 
 2  s −1 ≤
  2 s!
2sk /2 1  1 


2sN /2 2s  παN 
s /2αN
≤
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
≤
=
M e
 
2r /2  s 
M  e 


2r /2  αN 
s /2
πs
s /2
2kr /2  α 
 N
2 Nr /2  e 
2kr /2  αN 


2 Nr /2  e 
s /2
s /2
1
2
s
1
2
≤
1
s
παN
=
M 2kr /2
1
r /2
αN
2
2
Nr /2
2
.
(8)
Напомним, что s = [αN ] + 1. Выше для простоты обозначений
предполагалось, что αN − целое число.
Таким образом, из полученных выше оценок (5)–(8) для
| u (t , x) − Lts (u , Δik ) | и | u (t , x) − Lxs (u , Δik ) | следует, что
u (t , x) − S (t , x) c ≤
C λ 2s
2 αN
(9)
,
где λ s − константа Лебега.
Взяв в качестве узлов интерполяции образы узлов полиномов
Чебышева первого рода, отображенных с сегмента [−1,1] на
соответствующие сегменты, окончательно имеем
u (t , x) − S (t , x) C ≤
Cλ2 N
2αN
.
Оценим число узлов, используемое при построении сплайна S (t , x).
Общее число прямоугольников Δik , k = 0,1, , N − 1, покрывающих
область Ω, оценивается неравенством
n∗ ≤
 2 N α / r N −1 2 N /2 
1 
2 N /2
≤C
+
.
   + 1 ≤ c 
1/2 k /2 
 αN
h
N
2 

k =0   k 
k =1 N

N −1


Отметим, что аналогичная оценка имеет место и снизу. В каждом
прямоугольнике Δik , k = 0,1, , N − 1, используется s 2 узлов интерполяционного полинома Lss (u , Δik ). Таким образом, число узлов сплайна S (t , s )
равно
n  cN 3/2 2 N /2.
Отсюда имеем при n ≥ 2
2
2




n
n
 ≤ N ≤ log 2 
 .
log 2 
 (log n)3 
 (log n)3/2 
2
2




Следовательно,
u (t , x) − S (t , x) C ≤
cM ln 2N
2αN
≤
Physical and mathematical sciences. Mathematics
cM log 22+3αn
n 2α
.
(10)
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Отметим, что построенный выше сплайн S (t , x) может иметь линии
разрывов на границах областей Δik , k = 0,1, , N − 1. По аналогии
с рассуждениями, приведенными в работах [5, 11, 12], можно построить
непрерывный в области Ω сплайн, имеющий погрешность (10).
Отсюда вытекает следующее утверждение.
Теорема 2.2. Пусть Ω = [0,1;0, T ].
Справедлива оценка
(
)
d n Pr , γ ,α (Ω, M , 2), C ≤
cM (log 2n) 2+3α
n 2α
.
Замечание 1. Здесь положено a = 2, так как эта константа возникает
при исследовании задачи Коши (1)–(2).
Замечание 2. Используя метод оценки снизу поперечников Бабенко
компактного множества Br ,γ (Ω, M ) (см. [10]), можно показать, что
cM
δn Pr ,γ ,α (Ω, M , 2), C ≥
.
n 2α
(
)
Отсюда, воспользовавшись неравенством [1]
δn ( X ) ≤ d n ( X , C ),
где X − компакт в банаховом пространстве B, имеем
cM
n 2α
(
)
(
)
≤ δn Pr ,γ ,α (Ω, M , 2), C ≤ 2d n Pr , γ ,α (Ω, M , 2), C ≤
cM (log 2n) 2+3α
n 2α
.
Список литературы
1. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / под ред. К. И. Бабенко. – М. : Наука, 1979. – 196 с.
2. Б о й к о в , И . В. К задаче К. И. Бабенко об асимптотике погрешности численных
решений эллиптических уравнений / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. – 2003. – № 6. – С. 3–29.
3. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. I. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во
ПензПГУ, 2005. – 360 с.
4. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. II. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза :
Изд-во ПензГУ, 2009. – 252 с.
5. Б о й к о в , И . В . Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиразведки / И. В. Бойков, А. И. Бойкова. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2013. – 494 с.
6. Б о й к о в , И . В. Оптимальные методы табулирования физических полей /
И. В. Бойков, А. И. Бойкова, Н. П. Кривулин, Г. И. Гринченков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2013. –
№ 4 (28). – С. 44–62.
7. П е т р о в с к и й , И . Г . Лекции об уравнениях с частными производными /
И. Г. Петровский. – М. : ГИФМЛ, 1961. – 400 с.
8. К о ш л я к о в, Н . С . Уравнения в частных производных математической физики /
Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. – М. : Высшая школа, 1970. – 712 с.
14
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
9. Б о й к о в , И . В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными
сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 25–33.
10. Б о й к о в , И . В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 236 с.
11. Bo y k o v , I . V . Optimal approximation and Kolmogorov widths estimates for certain
singular classes related to equations of mathematical physics / I. V. Boykov. – URL :
arXiv.org/abs/1303.0416.
12. Б о й к о в , И . В. Поперечники Соболевских классов функций с особенностями
на границе / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). –
С. 61–81.
13. Б о й к о в , И . В. Оптимальные алгоритмы восстановления функций и вычисления интегралов на одном классе бесконечно дифференцируемых функций /
И. В. Бойков // Известия вузов. Математика. – 1998. – № 9. – С. 14–20.
References
1. Teoreticheskie osnovy i konstruirovanie chislennykh algoritmov zadach matematicheskoy fiziki [Theory and building of numerical algorithms of mathematical physics
problems]. Ed. K. I. Babenko. Moscow: Nauka, 1979, 196 p.
2. Boykov I. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Ser.
Estestvennye nauki [University proceedings. Volga region. Series: Natural sciences].
2003, no. 6, pp. 3–29.
3. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh
integralov. Ch. I. Singulyarnye integraly [Approximation methods of calculation of singular and hypersingular integrals. Part 1. Singular integrals]. Penza: Izd-vo PenzPGU,
2005, 360 p.
4. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh
integralov. Ch. II. Gipersingulyarnye integraly [Approximation methods of calculation
of singular and hypersingular integrals. Part 2. Hypersingular integrals]. Penza: Izd-vo
PenzGU, 2009, 252 p.
5. Boykov I. V., Boykova A. I. Priblizhennye metody resheniya pryamykh i obratnykh
zadach gravirazvedki [Approximation methods of solution of direct and reverse problems of gravitational exploration]. Penza: Izd-vo PGU, 2013, 494 p.
6. Boykov I. V., Boykova A. I., Krivulin N. P., Grinchenkov G. I. Izvestiya vysshikh
uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2013, no. 4 (28), pp. 44–62.
7. Petrovskiy I. G. Lektsii ob uravneniyakh s chastnymi proizvodnymi [Lections on equations with partial derivatives]. Moscow: GIFML, 1961, 400 p.
8. Koshlyakov N. S., Gliner E. B., Smirnov M. M. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh
matematicheskoy fiziki [Equations in partial derivatives of mathematical physics]. Moscow: Vysshaya shkola, 1970, 712 p.
9. Boykov I. V. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of
calculus mathematics and mathematical physics]. 1998, vol. 38, no. 1, pp. 25–33.
10. Boykov I. V. Optimal'nye metody priblizheniya funktsiy i vychisleniya integralov [Optimal methods of function approximation and integral calculation]. Penza: Izd-vo
PenzGU, 2007, 236 p.
11. Boykov I. V. Optimal approximation and Kolmogorov widths estimates for certain singular classes related to equations of mathematical physics. Available at: arXiv.org/abs/
1303.0416.
12. Boykov I. V., Tynda A. N. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region.
Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and
mathematics sciences]. 2013, no. 1 (25), pp. 61–81.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
13. Boykov I. V. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics].
1998, no. 9, pp. 14–20.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Boykov Il'ya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics, Penza
State University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: boikov@pnzgu.ru
Кривулин Николай Петрович
кандидат технических наук, доцент,
кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Krivulin Nikolay Petrovich
Candidate of engineering sciences, associate
professor, sub-department of higher
and applied mathematics, Penza State
University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: krivulin@bk.ru
Рязанцев Владимир Андреевич
аспирант, Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Ryazantsev Vladimir Andreevich
Postgraduate student, Penza State
University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: ryazantsevv@mail.ru
УДК 518.5
Бойков, И. В.
Оптимальные методы аппроксимации тепловых полей / И. В. Бойков,
Н. П. Кривулин, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 4 (28). –
С. 5–16.
16
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 514.76
Я. В. Никитина, А. Я. Султанов
РАССЛОЕНИЕ ВЕЙЛЯ НАД ТЕНЗОРНЫМ
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ДВУХ АЛГЕБР ДУАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Аннотация. Актуальность и цели. Расслоения Вейля, начиная со времени их
открытия в 1953 г., активно изучаются геометрами России, Японии, Чехии и
других стран. Целью данной работы является построение естественных лифтов функций, 1-форм и векторных полей с базы в расслоения Вейля над тензорным произведением двух алгебр дуальных чисел. Материалы и методы.
Для решения поставленных задач были использованы методы тензорной алгебры, теории линейных связностей. Результаты. Построено тензорное произведение двух алгебр дуальных чисел, получены структурные соотношения
этой алгебры в специальном базисе, соотношения внешней операции умножения линейных форм на элементы тензорного произведения двух алгебр дуальных чисел, дано описание естественных лифтов функций с базы в изучаемые
расслоения Вейля. Также введены естественные лифты векторных полей,
структурные аффиноры для этих расслоений Вейля. Показано, как с помощью
структурных аффиноров можно получить вертикальные лифты векторных полей из полного лифта векторного поля. В заключение построены естественные
лифты 1-форм. Выводы. В работе приведены краткие сведения о расслоениях
Вейля, естественных продолжениях функций с базы в расслоение Вейля, описаны вещественнозначные продолжения функций, векторных полей и 1-форм
с базы в расслоение Вейля. Результаты исследования могут быть использованы при изучении лифтов линейных связностей с базы в расслоение Вейля над
тензорным произведением алгебр дуальных чисел.
Ключевые слова: расслоения Вейля, алгебра дуальных чисел, векторное поле,
ковекторное поле, лифты функций, лифты векторных полей, лифты ковекторных полей.
Ya. V. Nikitina, A. Ya. Sultanov
WEIL BUNDLE OVER THE TENSOR PRODUCT
OF TWO ALGEBRAS OF DUAL NUMBERS
Abstract. Background. Starting from the time of their discovery in 1953, Weil bundles have been actively studied by geometers of Russia, Japan, Czech Republic and
other countries. The aim of this work is to construct the natural lifts of functions, 1forms and vector fields from a base into Weil bundles over the tensor product of two
algebras of dual numbers. Materials and methods. The methods of tensor algebra,
theory of linear connections were used to achieve the objectives. Results. The authors constructed the tensor product of two algebras of dual numbers; the structural
correlations of the algebra in a special basis, correlations of outer multiplication of
linear forms on elements of the tensor product of two algebras of dual numbers were
obtained; the description of the natural lifts of functions from a base into the studied
Weil bundles was given. The natural lifts of vector fields, structural affinors for these Weil bundles were also introduced. It is shown how to obtain the vertical lifts of
vector fields from the complete lift of a vector field with the help of available structural affinors. Finally, the natural lifts of 1-forms were constructed. Conclusions.
The paper provides a summary of Weil bundles, natural extensions of functions
Physical and mathematical sciences. Mathematics
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
from a base into a Weil bundle. The real-valued extensions of functions, vector
fields and 1-forms from a base into a Weil bundle are described. The research results can be used to study the lifts of linear connections from a base into a Weil
bundle over the tensor product of the algebras of dual numbers.
Key words: weil bundles, the algebra of dual numbers, vector field, covector field,
functions lifts, vector fields lifts, covector fields lifts.
Введение
Расслоения A -близких точек, где A – локальная алгебра в смысле
А. Вейля, были введены А. Вейлем в 1953 г. [1]. Эти расслоения впоследствии были названы расслоениями Вейля. Примерами этих расслоений являются касательные расслоения, расслоения струй С. Эресмана. Изучению расслоений Вейля посвящены работы А. П. Широкова [2], В. В. Шурыгина [3] и
его учеников, И. Коларжа [4], А. Моримото [5] и многих других авторов.
Раздел 1 «Расслоения Вейля» написан А. Я. Султановым, а остальные
разделы Я. В. Никитиной.
1. Расслоения Вейля
Пусть A – алгебра А. Вейля над полем R действительных чисел ранга
m + 1 , высоты p [6]. Будем считать, что единица алгебры A отождествлена
с единицей поля R . Выберем какой-нибудь базис (ε0 , ε1 , , ε m ) , где ε0 = 1 ,
m = dim A − 1 – размерность максимального нильпотентного идеала I алгебры A такого, что факторалгебра A / I изоморфна R . Наряду с A будем использовать пространство A∗ линейных форм, заданных на A , со значениями
в R . Элементы базиса, дуального базису (ε0 , ε1 , , ε m ) , обозначим через
ε0 , ε1 , , ε m .
Пусть M – n -мерное связное гладкое многообразие класса C ∞ , а
C ∞ ( M ) – алгебра гладких класса C ∞ функций, заданных на M , принимающих значения в R . Точкой, A -близкой к точке q ∈ M , называется гомоморфизм
jq : C ∞ ( M ) → A , удовлетворяющий условию
jq ( f ) ≡ f (q)(mod I ) .
Множество точек, A -близких к q ∈ M , обозначим через M qA , а
 M qA
q∈M
обозначим через M A . Отображение π : M A → M , определенное условием
π( jq ) = q , называется канонической проекцией, а тройка ( M A , π, M ) – расслоением Вейля. На тотальном пространстве M A возникают структуры гладких многообразий над алгеброй A и над R .
Для функции f ∈ C ∞ ( M ) функция f(0) = f  π∈ C ∞ ( M A ) называется
вертикальным
лифтом,
а
функция
f A,
определенная
условием
f A ( jq ) = jq ( f ) для всех jq ∈ M A , называется естественным продолжением
функции f в расслоение Вейля M A .
18
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Предположим, что (U , xi ) – карта гладкого атласа на M . На π−1 (U )
можно определить функции ( xi ) A = x0i + xαi εα , где α ≠ 0 . На M A функции
f A порождают вещественнозначные функции f( a∗ ) = a∗  f A для каждой
линейной формы a∗ ∈ A∗ . Функции f(εσ ) , где εσ – ковекторы дуального базиса базису εσ , где σ = 0,1,, m , обозначим через f(σ) . В координатной
окрестности (π−1 (U ), xσi ) имеем
f(α ) = (∂ j1 f )(0) xαj1 +
+
1
j j
1α 2 +  +
(∂ j j f )(0) xα1 xα2 γ α
α
1
2
2! 1 2
j α α
1
j
(∂ j1 j2 j p f )(0) xα1  xαp γ α1 p ,
p
1
p!
α α p
где α, α1 , , α p ≠ 0 , а γ α1
= εα (εα1  ε
αp
).
Для векторного поля X на M определим лифты X ( a ) условиями
X ( a ) f(b∗ ) = ( Xf )(b∗ ⋅a ) ,
где произведение b∗ ⋅ a определяется однозначно соотношением
b∗ ⋅ a(b) = b∗ (a  b)
для любого b ∈ A . В силу этого определения и линейности операции умножения  в алгебре A имеет место равенство
a∗ ⋅ (λ1b1 + λ 2b2 ) = λ1a∗b1 + λ 2 a∗b2 .
Имеют место также следующие равенства:
(a1∗ + a2∗ ) ⋅ b = a1∗ ⋅ b + a2∗ ⋅ b ,
(λa1∗ )b = λ (a1∗ ⋅ b) .
Проверим, например, выполнимость одного из этих равенств. Для c ∈ A
получим
(a1∗ + a2∗ ) ⋅ b(c) = (a1∗ + a2∗ )(b  c) = a1∗ (b  c) + a2∗ (b  c) =
= a1∗ ⋅ b(c) + a2∗ ⋅ b(c) = (a1∗ ⋅ b + a2∗ ⋅ b)(c) .
Отсюда следует соотношение
(a1∗ + a2∗ ) ⋅ b = a1∗ ⋅ b + a2∗ ⋅ b .
Имеет место следующее тождество:
(a∗ ⋅ b) ⋅ c = a∗ ⋅ (b  c) .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Действительно, для любого элемента x ∈ A из определения внешней
операции умножения ковектора на элемент алгебры и ассоциативности внутреннего умножения  следует
((a∗ ⋅ b) ⋅ c)( x) = a∗ ⋅ b(c  x) =
= a∗ (b  (c  x)) = a∗ ((b  c)  x) = a∗ ⋅ (b  c)( x) .
Следовательно, тождество доказано.
В дальнейшем будем изучать расслоения Вейля порядка 2, т.е. при
условии, что алгебра А. Вейля A имеет высоту 2, а именно тензорное произведение двух алгебр дуальных чисел.
2. Тензорное произведение двух алгебр дуальных чисел
{
}
Пусть R (ε) = . a + bε a, b ∈ R, ε 2 = 0 – алгебра дуальных чисел над полем R .
Тензорное
произведение
R (ε ) ⊗ R (ε )
порождается
элементами
1 ⊗ 1, ε ⊗ 1,1 ⊗ ε, ε ⊗ ε . Обозначим их символами ε0 , ε1 , ε 2 , ε3 соответственно.
Эти элементы являются линейно независимыми, поэтому образуют базис алгебры R (ε) ⊗ R (ε) = A . Составим таблицу умножения базисных элементов алгебры A (табл. 1).
Таблица 1

ε0
ε1
ε2
ε3
ε0
ε0
ε2
ε1
ε1
ε1
0
ε3
0
ε2
ε2
ε3
ε3
ε3
0
ε3
0
0
0
0
Здесь 0 = 0 A – нулевой элемент алгебры A . ε0 = 1 ⊗ 1 является единицей
тензорного произведения. Ее в дальнейшем будем обозначать символом 1. Векторное пространство A∗ линейных форм, заданных на A со значениями в поле
R , является четырехмерным, его базис составляют линейные формы ε0 , ε1 ,
ε 2 , ε3 , определенные условиями εα ( a ) = aα для каждого элемента a = aα εα
алгебры A . Легко заметить, что имеют место равенства εα (εβ ) = δβα .
Кроме того, для любого элемента x ∈ A имеем
a∗ ⋅ ε 0 ( x ) = a ∗ ( ε 0  x ) = a ∗ ( x ) ,
поэтому a∗ ⋅ ε0 = a∗ .
Составим таблицу умножения базисных элементов εα на линейные
формы εβ дуального базиса εβ ⋅ εα . Чтобы найти результаты, подействуем
20
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
этими произведениями на базисные элементы алгебры и воспользуемся определением внешнего умножения линейных форм на элементы алгебры A . Тогда получим табл. 2.
Таблица 2
⋅
ε0
ε0
ε0
ε1
ε1
ε2
ε2
ε3
ε3
Действительно,
1
0
1
0
ε1
0
ε0
0
ε2
α
ε3
0
0
ε0
0
0
ε0
ε1
ε0 ⋅ εα (εβ ) = ε0 (εα εβ ) = 0 .
1
ε2
0
1
α≠0
При
получаем
α
ε1 ⋅ ε (ε ) = ε1 (ε  ε ) = 1; ε1 ⋅ ε (ε ) = ε1 (ε  ε ) = 0 . Отсюда
ε1 ⋅ ε1 = ε0 , ε1 ⋅ ε 2 (εα ) = ε1 (ε 2  εα ) = 0 .
Остальные произведения вычисляются аналогично.
3. Лифты функций с базы в расслоение Вейля Μ A
Пусть M A – расслоение Вейля, где A = R (ε) ⊗ R (ε) ,
f ∈ C ∞ (M ) .
Найдем локальное выражение функции f A . Для этого выберем координатную окрестность (U , xi ) так, чтобы q ∈ U . Тогда имеет место следующее
разложение Тейлора:
f = f (q ) + (∂ j f )(q )( x j − q j ) +
+
1
(∂ jk f )(q )( x j − q j )( x k − q k ) +
2!
1
(∂ jkl f )(ξ)( x j − q j )( x k − q k )( xl − ql ) ,
3!
где (q) – точка с координатами xi (ξ(q)) = qi + θ( p )( pi − qi ) , 0 < θ( p) < 1 , для
некоторой точки p ∈U . Здесь q j = x j (q) – локальные координаты точки q
[6]. Используя это разложение, найдем значение функции f A в точке jq :
(
)
1
f A ( jq ) = jq ( f ) = f (q ) + ∂ k f (q)( jq ( x k ) − q k ) + ∂ kl f (q) j q ( x k ) − q k ×
2
(
)
× jq ( xl ) − ql +
(
1
∂ kls f (ξ(q )) jq ( x k ) − q k
3!
)( jq ( xl ) − ql )( jq ( xs ) − q s ) .
(1)
Из определения следует, что jq ( x k ) ∈ A , поэтому jq ( x k ) = q0k + qαk εα
(α ≠ 0) . Так как jq ( x k ) ≡ x k (q )(mod I ) , то q0k = q k . Следовательно, формулу
(1) можно записать в следующей форме:
Physical and mathematical sciences. Mathematics
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
(
)
(
1
f Α ( jq ) = f  π( jq ) + (∂ k f )(0) ( jq ) qαk εα + (∂ kl f )(0) ( jq ) qαk εα
2
)( qβl εβ ) , (2)
где α, β ≠ 0 .
Слагаемые, содержащие частные производные третьего порядка, равны
нулю, так как высота алгебры A = R (ε) ⊗ R (ε) равна 2. Поэтому произведение
любых трех элементов идеала I равно нулю. В окрестности π−1 (U ) введем
координатные функции ( xi ) A = x0i + xαi εα , α ≠ 0 . Тогда
( xi ) Α ( jq ) = jq ( xi ) = q0k + qαk εα .
С другой стороны, ( xi ) A ( jq ) = x0i ( jq ) + xαi ( jq )εα . Отсюда x0i ( jq ) = q0k =
= q k = x k (q ) = x k  π( jq ) , поэтому x0i = ( xi )(0) , а xαi ( jq ) = qαk .
Учитывая последние равенства, формулу (2) запишем в следующем
виде:
(
)
1
f A ( jq ) = f (0) ( jq ) + (∂ k f )(0) ( jq ) xαk ( jq )εα + (∂ kl f )(0) ( jq ) xαk xβl ( jq )εα εβ , (3)
2
где α, β ≠ 0 .
Отсюда получим,
1
f A = f (0) + (∂ k f )(0) xαk εα + (∂ kl f )(0) xαk xβl εα εβ ,
2
(4)
где по α, β ведется суммирование от 1 до 3.
4. Естественные лифты функций в расслоение Вейля M A
На расслоении M A существуют A -гладкая структура и R -гладкая
структура. Координатами A -гладкой структуры являются функции вида
( xi ) A в окрестности π−1 (U ) , а координатами R -гладкой структуры являются
функции xαi (α = 0,1, 2, 3) .
Пусть f ∈ C ∞ ( M ) , f A – A -лифт этой функции, a∗ ∈ A∗ . Рассмотрим
композицию a∗  f A . Эта функция определена на M A и принимает значения
в R . В разд. 1 она была названа (a∗ ) -лифтом функции
f ∈ C ∞ (M )
в C ∞ ( M A ) и обозначена символом f( a∗ ) . Из этого определения и формулы
(4) получим
(
)

f( a∗ ) ( jq ) = a∗  f A ( jq ) = a∗ f A ( jq ) =  f (0) a∗ (ε0 ) + (∂ k f )(0) xαk a∗ (εα ) +

1

+ (∂ kl f )(0) xαk xβl a∗ (εα εβ )  ( jq ) .
2

22
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Следовательно,
1
f( a∗ ) = f (0) a∗ (ε0 ) + (∂ k f )(0) xαk a∗ (εα ) + (∂ kl f )(0) xαk xβl a∗ (εα εβ ) .
2
Если a∗ является одной из базисных форм εσ , то получим
f (ε0 ) = f (0) ,
1
f(εσ ) = (∂ k f )(0) xσk + (∂ kl f )(0) xαk xβl εσ (εα εβ ) .
2
Для краткости запишем: f (εσ ) = f (σ) (σ = 0,1, 2, 3) . Найдем f (1) , f(2) и
f (3) :
1
f(1) = (∂ k f )(0) x1k + (∂ kl f )(0) xαk xβl ε1 (εα εβ ) α, β ≠ 0 .
2
Из первой таблицы умножения заключаем, что ε1 (εα εβ ) = 0 для
α, β ≠ 0 . Следовательно,
f(1) = (∂ k f )(0) x1k .
Аналогично, из таблицы умножения базисных элементов имеем
ε 2 (ε ε ) = 0 , поэтому
α β
f(2) = (∂ k f )(0) x2k .
Поскольку ε1ε 2 = ε 2 ε1 = ε3 , ε1ε1 = ε 2 ε 2 = ε1ε3 = ε3ε1 = 0 , получим
(
)
1
f(3) = (∂ k f )(0) x3k + (∂ kl f )(0) x1k x2l + x2k x1l .
2
(
)
Сумму x1k x2l + x2k x1l кратко запишем так: xαk x3l −α , α = 1, 2 . Тогда
1
f(3) = (∂ k f )(0) x3k + (∂ kl f )(0) xαk x3l −α ,
2
где по α ведется суммирование от 1 до 2. Заметим также, что ( xi )( τ) = xτi .
5. Естественные лифты векторных полей
Пусть X – векторное поле, заданное на M ; U – область карты (U , xi ) ,
a ∈ A ; X = X i ∂i – локальное представление векторного поля X на U .
(
)
В области π−1 (U , xσi ) (σ = 0,1, 2, 3) разложим X ( a ) по векторным полям
∂
∂xτi
= ∂ iτ :
Physical and mathematical sciences. Mathematics
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
X ( a ) = X τi ∂iτ .
Так как xσi = ( xi )(σ) = ( xi )(εσ ) , то
X ( a ) xσi = ( Xxi )(εσ a) = ( X i )(εσ ⋅a ) .
чаем
С другой стороны, X ( a ) xσi = X τk (∂ kτ xσi ) = X σi . Из этих равенств полуX ( a ) = ( X i )(εσ ⋅a ) ∂iσ .
(5)
Из определения (a) -лифта векторного поля X следует, что
α
α
X ( aαε ) = aα X (ε ) (α = 0,1, 2, 3) .
Действительно,
(
)
α
X ( aαε ) f (b* ) = ( Xf )(b*⋅( a εα )) = ( Xf )a (b*εα ) = aα (b∗ ⋅ εα )  ( Xf ) A =
α
α
(
)
α
α
= aα (b∗ ⋅ εα )  ( Xf ) A = aα ( Xf )(b*⋅εα ) = aα  X (ε ) f (b* )  =  aα X (ε )  f(b* ) .

 

Отсюда следует доказываемое равенство. Таким образом, чтобы найти
α
X ( a ) , достаточно найти X (ε ) , где α = 0,1, 2, 3 . Обозначим через X (α) векα
торное поле X (ε ) . Найдем локальные выражения лифтов X (0) , X (1) , X (2) ,
X (3) .
По формуле (5) находим
X (0) = ( X i )(ε ⋅ε0 ) ∂iσ = ( X i )(σ) ∂ iσ .
σ
Более подробно:
X (0) = ( X i )(0) ∂ i0 + ( X i )(1) ∂1i + ( X i )(2) ∂i2 + ( X i )(3) ∂3i = ( X i )(0) ∂ i0 +
1


+(∂ k X i )(0) x1k ∂1i + (∂ k X i )(0) x2k ∂ i2 +  (∂ k X i )(0) x3k + (∂ kl X i )(0) xαk x3l −α  ∂3i ,
2


где α = 1, 2 . Далее, X (1) = ( X i )(ε ⋅ε1 ) ∂ iσ . По таблице умножения элементов εα
σ
на
но
εσ находим, что произведение εσ ⋅ ε1 при σ = 1 равно ε1 , а при σ = 3 равε 2 , остальные произведения равны нулю. Поэтому
X (1) = ( X i )(0) ∂1i + ( X i )(2) ∂ 3i = ( X i )(0) ∂1i + (∂ k X i )(0) x2k ∂3i .
Аналогично находим X (2) :
X (2) = ( X i )(ε ⋅ε2 ) ∂ iσ = ( X i )(0) ∂i2 + ( X i )(1) ∂3i = ( X i )(0) ∂i2 + (∂ k X i )(0) x1k ∂ 3i .
σ
24
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Для X (3) :
X (3) = ( X i )(ε ⋅ε3 ) ∂ iσ = ( X i )(0) ∂3i .
σ
Итак, имеем
1
X (0) = ( X i )(0) ∂ i0 + (∂ k X i )(0) xαk ∂ iα + (∂ kl X i )(0) xβk x3l −β ∂ 3i ,
2
где по α ведется суммирование от 1 до 3; по β – суммирование от 1 до 2:
X (α ) = ( X i )(0) ∂ iα + (∂ k X i )(0) x3k−α ∂ 3i (α = 1, 2) , X (3) = ( X i )(0) ∂ 3i .
В частности, из этих формул следуют равенства
(σ = 0,1, 2, 3) .
(∂i )(σ) = ∂iσ
6. Структурные аффиноры
Структурным аффинором, соответствующим элементу a ∈ Α на расслоении, называется тензорное поле типа (1,1) , обозначаемое символом I a и
действующее по правилу I a ( X (b) ) = X ( ab) .
Особо выделим структурные аффиноры, соответствующие базисным
0
1
2
3
элементам алгебры A : I ε = I 0 , I ε = I 1 , I ε = I 2 , I ε = I 3 . Легко заметить, что I 0 ( X (b) ) = X (b) .
Подействуем аффинорами I 1 , I 2 , I 3 на X (0) . Прежде всего заметим,
что I α (∂ 3i ) = 0 , где α = 1, 2, 3 .
1
I 1 ( X (0) ) = ( X i )(0) I 1 (∂ i0 ) + (∂ k X i )(0) xαk I 1 (∂ iα ) + (∂ kl X i )(0) xβk x3l −l I 1 (∂ 3i ) =
2
1 0
1 α
= ( X i )(0) ∂ i(ε ⋅ε ) + (∂ k X i )(0) xαk  ∂ i(ε ⋅ε )  = ( X i )(0) ∂1i + (∂ k X i )(0) x2k ∂ 3i .


Следовательно, I 1 ( X (0) ) = X (1) .
Аналогично получим, что
I 2 ( X (0) ) = X (2) , I 3 ( X (0) ) = X (3) .
Таким образом, лифты X (1) , X (2) , X (3) векторного поля X получаются
из X (0) действием на это поле структурными аффинорами.
7. Естественные лифты линейных форм
Получим лифты линейной формы ω с M на расслоение M A .
Лифт линейной формы ω определяется следующим условием:
ωa∗ ( X b ) = (ω( X ))( a∗ ⋅b) . Значит,
Physical and mathematical sciences. Mathematics
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
β
β0
β1
ω(eα ) ( X (e ) ) = (ω ( X ))(e ⋅eβ ) ⋅ eα ⋅ eβ = γβσ
α eσ = γ α e0 + γ α e1 .
α
i
 iτσ dxατ
и соУчитывая координатные представления ω = ωi dxi , ω(σ) = ω
τ
, получим
отношения dxαi (∂ τj ) = δij δα
 iασ dxαi (∂ τj ) = ω
 τjσ .
ω(σ) (∂ τj ) = ω
С другой стороны,
(
ω(σ) (∂ τj ) = ω(∂ τj )
)(e ⋅e ) = γστα (ω j )(e ) = ω τjσ .
σ
τ
α
Таким образом,
ω(σ) = γ στα (ωi )(α ) ∂xτi ,
(6)
где α, σ, τ = 0,1 .
Воспользовавшись полученной формулой, найдем естественные лифты
линейной формы ω при σ = 0,1, 2, 3 :
ω(e0 ) = ω(0) = γ 0τα (ωi )(α ) dxτi = (ωi )(0) dx0i ,
ω(e1 ) = ω(1) = γ1τ0 (ωi )(0) dxτi + γ1τ1 (ωi )(1) dxτi + γ1τ2 (ωi )(2) dxτi +
+γ1τ3 (ωi )(3) dxτi = (ωi )(0) dx1i + (ωi )(1) dx0i ,
отсюда ω(1) = (ωi )(0) dx1i + (ωi )(1) dx0i . Аналогично,
ω(e2 ) = ω(2) = γ τ20 (ωi )(0) dxτi + γ 2τ1 (ωi )(1) dxτi + γ 2τ2 (ωi )(2) dxτi +
+γ τ23 (ωi )(3) dxτi = (ωi )(0) dx2i + (ωi )(2) dx0i ,
т.е. ω(2) = (ωi )(0) dx2i + (ωi )(2) dx0i ,
ω(e3 ) = ω(3) = γ 3τ0 (ωi )(0) dxτi + γ 3τ1 (ωi )(1) dxτi + γ 3τ2 (ωi )(2) dxτi +
+γ 3τ3 (ωi )(3) dxτi = (ωi )(0) dx3i + (ωi )(1) dx2i + (ωi )(2) dx1i + (ωi )(3) dx0i ,
т.е.
ω(3) = (ωi )(0) dx3i + (ωi )(1) dx2i + (ωi )(2) dx1i + (ωi )(3) dx0i = (ωi )(α ) dx3i −α ,
где по α ведется суммирование от 0 до 3.
Заключение
Результаты данной работы в дальнейшем можно использовать при построении горизонтальных лифтов векторных полей и вычислении их комму-
26
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
таторов, которые впоследствии потребуются при изучении горизонтальных
лифтов линейной связности с базы в расслоение Вейля.
Список литературы
1. W e i l , A . Theorie des points proches sur les varieties differentiables / A. Weil // Colloque internat. Centre nat. rech. Sci. – Vol. 52. – Strasbourg, 1953. – P. 111–117.
2. Ш и р о к о в , А . П . Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами / А. П. Широков // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Т. 12. Проблемы
геометрии. – М., 1981. – С. 61–96.
3. Ш у р ы г и н , В. В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и многообразия Вейля / В. В. Шурыгин // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Т. 73:
Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. – М., 2002. –
С. 162–236.
4. K o l á ř , I . Affine structures on Weil bundles / I. Kolář // Nagoya Math. J. – 2000. –
Vol. 158. – P. 99–106.
5. M o r i m o t o , A . Prolongation of connections to tangent bundles of near points /
A. Morimoto // J. Different. Geom. – 1976. – Vol. 11, № 4. – P. 479–498.
6. С у л та н о в , А . Я . Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения
Вейля / А. Я. Султанов // Известия вузов. Сер. Математика. – 1999. – № 9. – С. 64–72.
References
1. Weil A. Colloque internat. Centre nat. rech. Sci. Vol. 52. Strasbourg, 1953, pp. 111–
117.
2. Shirokov A. P. Itogi nauki i tekhniki. VINITI. T. 12. Problemy geometrii [Science and
technology results. All-Russian Institute of Scientific and Technical Information. Volume 12. Problems of geometry]. Moscow, 1981, pp. 61–96.
3. Shurygin V. V. Itogi nauki i tekhniki. VINITI. T. 73: Sovremennaya matematika i ee
prilozheniya. Tematicheskie obzory [Science and technology results. All-Russian Institute of Scientific and Technical Information. Volume 73. Modern mathematics and application thereof]. Moscow, 2002, pp. 162–236.
4. Kolář I. Nagoya Math. J. 2000, vol. 158, pp. 99–106.
5. Morimoto A. J. Different. Geom. 1976, vol. 11, no. 4, pp. 479–498.
6. Sultanov A. Ya. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. mathematics].
1999, no. 9, pp. 64–72.
Никитина Яна Владимировна
аспирант, Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Nikitina Yana Vladimirovna
Postgraduate student, Penza State
University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: andrey_9085@mail.ru
Султанов Адгам Яхиевич
кандидат физико-математических наук,
профессор, кафедра алгебры, Пензенский
государственный университет
(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Sultanov Adgam Yakhievich
Candidate of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of algebra, Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: sultanovaya@rambler.ru
Physical and mathematical sciences. Mathematics
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 514.76
Никитина, Я. В.
Расслоение Вейля над тензорным произведением двух алгебр
дуальных чисел / Я. В. Никитина, А. Я. Султанов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. –
№ 4 (28). – С. 17–28.
28
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 004.8.023, 004.83
Б. Ф. Мельников, Е. А. Мельникова
ПОДХОД К ПРОГРАММИРОВАНИЮ
НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ИГР
(Часть I: Описание общих эвристик)
Аннотация. Актуальность и цели. Рассмотрены некоторые подходы, используемые авторами при программировании интеллектуальных недетерминированных игр – те подходы, которые не были описаны в наших предыдущих
публикациях. Методы алгоритмизации, разработанные и реализованные авторами, работают со специально модифицированным для недетерминированных
игр деревом поиска и представляют собой дополнение (а иногда – альтернативу) нейросетевым методам. Важно отметить, что разработанные нами алгоритмы находят свое применение не только непосредственно в недетерминированных играх, но и в других задачах дискретной оптимизации. Материалы и
методы. После реализации алгоритмов статической оценки позиции (выполняемых либо стандартными подходами программирования интеллектуальных
игр, либо нейросетевыми методами) окончательная (динамическая) оценка позиции вычисляется по всем детерминированным оценкам, полученным для всех
возможных реализаций случайного события. Эти оценки специальным образом
усредняются – и результат этого усреднения рассматривается как динамическая
оценка. С физической точки зрения применяемое усреднение дает положение
центра тяжести одномерной системы тел, масса которых задается специальной
функцией – так называемой функцией риска. Координаты тел соответствуют детерминированным оценкам, зависящим, как и в обычном методе минимакса,
только от детерминированных факторов игры. Для определения последовательности обработки вершин недетерминированного дерева перебора мы строим
специальные эвристические функции (функции предпочтения), на основе которых применяется сортировка в каждом из двух таких множеств вершин. Эти
функции предпочтения зависят от следующих параметров: глубины текущей
вершины в дереве игры; предшествующей оценки позиции; значения уже достигнутой глубины перебора. Одновременно с построением оценочной функции с помощью эксперта авторами были рассмотрены некоторые вопросы, касающиеся алгоритмов автоматизированного построения таких функций. В качестве аппроксимации статической оценки позиции использовалась трехслойная
нейросеть с обратным распространением ошибки. Результаты. Результатами
данной работы являются не только разработанные программы для интеллектуальных недетерминированных игр, но и описание применения рассмотренных
нами «игровых» подходов в различных задачах дискретной оптимизации.
Выводы. Практические результаты программ, созданных на основе рассмотренных нами алгоритмов, показывают преимущества нашего подхода к порядку обработки вершин недетерминированного дерева перебора – по сравнению
с подходами, близкими к полному перебору.
Ключевые слова: алгоритмизация, недетерминированные игры, модифицированное дерево поиска.
B. F. Mel'nikov, E. A. Mel'nikova
APPROACH TO PROGRAMMING
OF NONDETERMINISTIC GAMES
(Part I: Description of general heuristics)
Physical and mathematical sciences. Mathematics
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Аннотация. Background. The article considers several approaches used in programming intelligent nondeterministic games – the approaches that have not been
described in authors’ previous publications. The methods of algorithmization, developed and realized by the authors, deal with the search tree, modified specially for
the nondeterministic games, and represent an addition (sometimes an alternative) to
the neural network methods. It is important to note that the developed algorithms
may be applied not only directly in the nondeterministic games, but in other problems of discrete optimization. Materials and methods. After realization of the algorithms of statistical evaluation of the position (carried out either by standard approaches to intelligent games programming, or by neural network methods) the final
(dynamic) evaluation of the position is calculated by all deterministic values obtained for all possible realizations of a random event. These values are averaged by
a special method, and the results of the said averaging are considered as a dynamic
value. From the physical point of view the applied averaging gives the center of
gravity position of one-dimensional system of bodies, the mass of which is set by a
special function – the so-called risk function. The coordinates of bodies correspond to
the deterministic values depending, similarly to the regular method of minimax, only
on the deterministic factors of the game. To determine the sequence of nondeterministic searching tree tops’ processing the authors build special heuristic functions (preference functions), on the basis of which the researchers apply sorting in each of two sets
of tops. The said preference functions depend on the following parameters: depth of
the current top of the game tree; previous evaluation of the position; value of the
reached depth of searching. Simultaneously with the building of the evaluation function with the help of the expert the authors considered several problems relating to the
algorithms of automated building of such functions. The three-layer neural network
with reverse error distribution was used as the approximation of the static evaluation of
the position. Results. The results of the study are not just the developed programs for
intelligent nondeterministic games, but also the application description of the considered “game” approaches in various problems of discrete optimization. Conclusions.
Practical results of the programs, created on the basis of the considered algorithms,
show the advantages of the authors’ approach to the sequence of nondeterministic
searching tree tops’ processing in comparrison with the approaches similar to the exhaustive search.
Key words: algorithmics, nondeterministic games, search tree.
Введение
Рассмотрены некоторые подходы, используемые авторами при программировании интеллектуальных недетерминированных игр1 – те подходы,
которые не были описаны в предыдущих публикациях авторов [1, 2]. В недетерминированных играх присутствуют случайные факторы, существенно
ограничивающие использование методов и подходов, традиционно применяемых в программировании игр детерминированных. Методы алгоритмизации,
разработанные и реализованные авторами, работают со специально модифицированным для недетерминированных игр деревом поиска и представляют
собой дополнение (а иногда – альтернативу) нейросетевым методам.
Основным предметом изучения является описание общих подходов, используемых авторами при программировании недетерминированных игр –
прежде всего описание некоторых общих эвристик. Эти эвристики реализованы и используются авторами на практике. Как обычно бывает в по1
30
К таким играм относятся, например, большинство карточных игр, нарды и др.
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
добных случаях, большинство этих эвристик успешно применяется и при
решении других задач – например, дискретной оптимизации [3–7]. Некоторые из таких задач кратко описаны в заключении (во второй части данной статьи).
Подход авторов к программированию недетерминированных игр [1, 2]
можно считать обобщением классических подходов для различных таких игр
([8] и др.), а также так называемых алгоритмов ожидаемого максимума [9] и
* – минимакса [10]. Авторами была также представлена еще более сложная
модель [2]. При этом стóит отметить, что далее мы не рассматриваем:
– подходы, связанные с методом Монте-Карло [11], хотя в реальных
программах авторов эти методы применяются: например, в бэкгеммоне [1, 2]
подобный метод очень удачно работает при обработке ситуаций, в которых
велика вероятность двойного или тройного выигрыша одной из сторон –
“gammon” и “backgammon”;
– а также подходы, ориентированные на правила конкретных игр (“rulebased approaches” [12] и др.).
Итак, в данной статье мы рассматриваем подходы, которые могут применяться к любой из недетерминированных игр.
Приведем краткое содержание обеих частей статьи по разделам (нумерация разделов и рисунков – сквозная). В разделе 1 содержится краткое описание дерева перебора для случая недетерминированных игр, т.е. очень краткое изложение предыдущих публикаций авторов [1, 2]. Раздел 2 содержит
описание общих эвристических алгоритмов упорядочивания вершин дерева
поиска в недетерминированных играх. Такое упорядочивание позволяет осуществлять обработку узлов дерева в реальном времени, что позволяет
с большой вероятностью находить почти оптимальную оценку исследуемой
игровой позиции. Для практического применения описываемых эвристик
в игровых программах необходима оценочная функция.
Вторая часть статьи: в разделе 3 будут описаны вспомогательные эвристики для динамического построения дерева перебора. В разделе 4 будут
описаны способы построения и самообучения оценочной функции, при этом
рассматривается возможность одновременного применения недетерминированного дерева перебора и нейронной сети. В разделе 5 будут приведены
примеры работы описанных алгоритмов для конкретных оценок позиций различных уровней, соответствующих вершинам дерева поиска недетерминированной игры. При этом всюду в разделе 5 значения оценок выбираются таким
образом, чтобы примеры, несмотря на их малый объем, были бы интересными. Иногда эти значения выбираются случайно, но, конечно, в конкретных
играх при построении оценочной функции должна использоваться помощь
эксперта – сильного и опытного игрока.
Стоит также отметить, что случаи использования нами генетических
алгоритмов не вынесены в отдельный раздел, а приводятся непосредственно
в тексте статьи.
1. «Недетерминированное» дерево перебора
Как уже было сказано во введении, при программировании недетерминированных игр неприменимы стандартные методы и подходы, развитые для детерминированных игр. Наверное, именно поэтому практически все известные
Physical and mathematical sciences. Mathematics
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
авторам сильные программы для недетерминированных игр используют в качестве оценочной функции нейронные сети ([13] и др.). Напротив, наш подход
использует авторскую модификацию классического минимаксного метода.1
Итак, что является главным различием между короткими нардами (и
другими недетерминированными играми) и шахматами (и другими детерминированными)? Почему мы не можем применить классический минимаксный
метод к первым? Различие в том, что дерево игры, построенное для коротких
нард, содержит не только вершины, в которых игрок выбирает ход, но также
вершины, где оба игрока ждут реализации некоторого случайного события.
Именно поэтому минимаксный метод должен быть обобщен на недетерминированные игры [1, 2] – здесь мы кратко повторим это обобщение.
В недетерминированных играх имеется следующая последовательность
шагов: реализация некоторого случайного события, ход игрока, снова реализация случайного события, ход другого игрока и т.д. В результате в дереве
игры между уровнями, на которых ход принадлежит одному из игроков, образуется дополнительный уровень, соответствующий реализациям случайного события. Пусть нам известна статическая оценка позиции, т.е., как и в детерминированных играх, пусть известны оценки позиций следующего уровня. Тогда «врéменным удалением недетерминированности» мы получаем
предварительные оценки позиций дерева игры. Для этого мы предполагаем,
что уже совершилась некоторая реализация случайного события – и можно
вычислить динамическую оценку рассматриваемой позиции подобно тому,
как это делается в классическом методе минимакса. Затем вычисляется динамическая оценка для следующей предполагаемой реализации случайного события и т.д. для всех возможных реализаций.
Окончательная динамическая оценка позиции вычисляется по всем детерминированным оценкам, полученным для всех возможных реализаций
случайного события. Эти оценки специальным образом усредняются – и результат этого усреднения рассматривается как динамическая оценка. С физической точки зрения применяемое усреднение дает положение центра тяжести одномерной системы тел, масса которых задается специальной функцией –
так называемой функцией риска. Координаты тел соответствуют детерминированным оценкам, зависящим, как и в методе минимакса, только от детерминированных факторов игры.
В качестве иллюстрации вышесказанного на рис. 1 приведен простой
пример такого дерева недетерминированной игры. Случайные события взяты
из коротких нард (бэкгеммона); стрелки помечены возможными результатами
бросков пары игральных костей. Для прочих недетерминированных игр стрелки помечаются соответствующей реализацией используемого в игре случайного события. Все остальные комментарии относятся к оценкам вершин.
Зная окончательные оценки и используя общий метод минимакса, мы
получаем оценки малых вершин, появившихся в результате удаления недетерминизма (мы знаем все значения, выпадающие на игральных костях).
Также мы используем некоторые дополнительные условия относительно оценок вершин, пропущенных под точками: мы полагаем, что эти значения лежат между границами, задаваемыми вершинами слева и справа от этих точек.
1
Нейросетевые алгоритмы (часть II, раздел 5) нами используются только в качестве
вспомогательного аппарата.
32
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Оценки больших вершин (не листьев – отметим, что в нашем простом примере есть только одна большая вершина, корень) считаются как усредненное
значение оценок малых вершин. На рис. 1 в качестве усредненного значения
взято среднее арифметическое, но на практике эта часть вычислений часто
значительно сложнее.
Рис. 1. Дерево недетерминированной игры
Среднее значение нами вычисляется как взвешенное среднее значение
с использованием вышеупомянутой функции риска. Функции риска хорошо
моделируются с помощью квадратичных полиномов. Следует также отметить, что авторами рассматриваются динамические функции риска, т.е. выбор
конкретной функции для конечной оценки зависит от предшествующей оценки позиции [1, 2]. Избегая ряда технических деталей, кратко опишем эти
функции и отметим при этом, что на практике их реализация представляет
существенную часть работы программиста. Например, если оценка предшествующей позиции близка к +1 (ожидается «наша» победа), то, получая
усреднение, мы приписываем более низкие веса к тем ожидаемым исходам
случайного события, которые выгодны для нас, а более высокие веса приписываем к невыгодным исходам. Если же «мы» близки к поражению, то
наоборот – мы уделяем больше внимания удачным исходам и меньше внимания уделяем неудачным. А если предшествующая оценка близка к нулю, то
мы снова приписываем более низкие веса к выгодным исходам (но не в такой
степени, как в случае ожидаемой победы); сказанное, по-видимому, соответствует повседневной привычке людей быть «немного пессимистами».
В следующем разделе мы переходим к некоторым специальным эвристикам, используемым для работы с деревом недетерминированных игр.
3. Общие эвристики в недерминированных играх
В этом разделе мы рассматриваем некоторые общие эвристические алгоритмы упорядочивания вершин дерева поиска в недетерминированных играх; сортировка задает порядок обработки вершин дерева, позволяющий в реPhysical and mathematical sciences. Mathematics
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
альном времени и с высокой вероятностью находить почти оптимальную
оценку исследуемой игровой позиции.
Как это было сказано ранее, дерево недетерминированной игры содержит вершины двух различных типов. Здесь мы имеем в виду не «черные» и
«белые» вершины, а «детерминированные» и «недетерминированные» (один
из вариантов английской терминологии – “simple nodes” и “chance nodes”).
Отметим по этому поводу еще раз, что модель дерева, предложенная нами
в 1998 г. [1], является более мощной, чем модель, рассмотренная С. Расселом
и П. Норвигом позднее [8] – в 2002 г. (на языке оригинала). В недетерминированной вершине рассматриваются все возможные реализации случайного
события. А в детерминированной вершине мы предполагаем, что уже произошла и известна некоторая конкретная реализация случайного события; эти
вершины изображаются на рисунках малыми кругами. Важно отметить, что
в случае большей (чем на рис. 1) глубины дерева поиска мы, кроме белой,
должны рассматривать еще и черные недетерминированные («малые черные») вершины. Модель, описанная в наших предыдущих публикациях,
предполагает отсутствие такой вершины в дереве поиска коротких нард из-за
невозможности полного перебора для глубины, превосходящей 1. Однако
в этом разделе мы описываем поиск для большей глубины. Малые черные
вершины возможны и при программировании коротких нард, в которых относительно много вариантов перебора. Однако при этом мы не рассматриваем полный перебор, а выбор вершин для увеличения глубины перебора производится на основе не только статической ([14, 15] и др.), но и динамической
оценки позиции.
Итак, в дереве перебора имеются вершины двух различных типов, и мы
должны обрабатывать их двумя различными алгоритмами. Самый важный
вопрос, на который мы должны ответить: «В какой последовательности
должны быть обработаны вершины?». Отсутствие такой последовательности
(т.е. если применяется простая обработка вершин сверху вниз) – это важнейшая причина упомянутой невозможности (полного) перебора в реальных игровых программах – для глубины, превосходящей 1.
Для определения такой последовательности мы строим специальные
эвристические функции (функции предпочтения), на основе которых применяется сортировка в каждом из двух таких множеств вершин. При этом мы
заранее отметим некоторые обстоятельства. Во-первых, программная реализация таких множеств вершин не требует использования сортированных
списков или массивов. Во-вторых, точный вид тех функций выбирается путем самообучения с использованием генетических алгоритмов. В-третьих,
простой пример подобной обработки списков будет приведен в части II.
Обе вышеупомянутые эвристические функции предпочтения зависят от
следующих параметров:
– первый параметр – глубина текущей вершины в дереве игры (для нее
удобно вести нумерацию начиная с 0, причем отдельно для детерминированных и недетерминированных вершин);
– вторые параметры различны, но в обоих случаях связаны с предшествующей оценкой позиции;
– третий параметр требуется только для вычисления функции для недетерминированной вершины; в таком качестве используется значение уже достигнутой глубины перебора.
34
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Прежде чем описать вторые параметры функций предпочтения, важно
пояснить термин «предшествующая оценка позиции». Это понятие используется и в программировании детерминированных игр ([14, 15] и др.); оно связано с тем, что с увеличением глубины поиска в детерминированном дереве
оценка некоторой вершины изменяется. Но еще важнее это понятие в случае
недетерминированных игр. В них для детерминированных вершин оценка
может быть найдена с помощью общего (обычного) метода минимакса.
А оценка некоторой недетерминированной вершины (усредненная с помощью вышеупомянутых функций риска [2]) может измениться, если глубина
перебора для какой-нибудь дочерней вершины увеличивается; это происходит, например, в случае обработки такой дочерней вершины. В случае недетерминированных игр хорошие практические результаты получаются в следующем случае. Мы запоминаем все предшествующие оценки (назовем их E0,
E1, …, Ek, где k – глубина перебора) и считаем итоговую оценку E по формуле
E = (c0 · E0 + c1 · E1 + … + ck · Ek) / (c0 + c1+ … +ck),
где c0, c1, …, ck – некоторые подбираемые коэффициенты (еще раз мы отметим, что оценки E0, E1, …, Ek являются статическими, а динамические оценки
получаются способом, кратко описанным в разд. 1 и более подробно рассмотренным в [5, 6].) На практике хорошие результаты достигаются, когда
для коэффициентов ci используются формулы
c0 = 1, ci = p·r·ci–1 для 1 ≤ i ≤ k, r > 1,
где p – переменная, представляющая собой отношение оценки к уже полученной оценке предыдущего уровня Ei–1; r – константа, настраиваемая генетическими алгоритмами 1.
Следующая модификация этих формул дает хорошие практические результаты. Мы начинаем суммирование не с индекса 0 (E0 соответствует глубине поиска 0, т.е. статической оценке позиции), а с индекса – 1. При этом мы
полагаем c–1 = 1, после чего рекуррентно строим формулы для ci начиная
с i = 0. Важно отметить, что E–1 является так называемой «оценкой ситуации», которая означает оценку, вычисленную на основании ранее принятого
решения о принадлежности рассматриваемой позиции к одному из нескольких заранее определенных множеств ситуаций (позиций). Фактически в программах авторов количество таких рассматриваемых множеств ситуаций (для
коротких нард и других недетерминированных игр) было между 5 и 30. Отметим также, что при рассмотрении таких множеств ситуаций способ динамического вычисления оценок позиций (разд. 2) остается неизменным. Кроме
того, описанная модификация практически не нуждается в дополнительных
вычислениях: в статьях, посвященных недетерминированным играм, а также
другим задачам дискретной оптимизации [1–7], было показано, что, применяя
генетические алгоритмы для настройки коэффициентов (при вычислении
оценок позиций и в других подзадачах), нам желательно заранее связывать
ситуацию с некоторым классом (классифицировать ситуации), т.е. производить вычисления, связанные с такой классификацией.
1
Фактически все немного сложнее, но мы не будем рассматривать дополнительные
технические детали.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таким образом, окончательные оценки вершин (в данной формуле E
без нижнего индекса) зависят от нескольких динамических оценок, соответствующих различным глубинам поиска. Имеется и такой пример использования самообучения и применения для него генетических алгоритмов: нам удается устанавливать среднюю разность между любыми двумя оценками различных уровней, близкими к 0 (здесь имеются в виду оценки, начинающиеся
со статической: E0, E1, …, Ek, но не E–1). По мнению авторов, это является некоторым аналогом несмещенной оценки в теории вероятностей.
Вернемся к рассмотрению вторых параметров функций предпочтения.
В случае сортировки меньших вершин вторым параметром является абсолютное значение оценки позиции. Такой выбор (фактически – такая эвристика) отражает тот факт, что среди возможных вариантов случайных событий
мы должны в первую очередь рассмотреть те, которые имеют «менее определенную» предшествующую оценку, для того чтобы сделать эту оценку «более
уверенной» (если такое возможно). В случае сортировки недетерминированных («больших») вершин вторым параметром является оценка позиции. Ее
знак для черных вершин удобно изменить на минус, чтобы сконструировать
функцию предпочтения, монотонно возрастающую по обоим параметрам.
Рассмотрение эвристических алгоритмов для программирования интеллектуальных недетерминированных игр будет продолжено в части II настоящей статьи.
Список литературы
1. М е л ь н и к о в, Б. Ф. О выборе стратегии в недетерминированных антагонистических играх / Б. Ф. Мельников, А. Н. Радионов // Известия РАН. Программирование. – 1998. – № 5. – С. 55–62.
2. М е л ь н и к о в, Б. Ф. Эвристики в программировании недетерминированных игр /
Б. Ф. Мельников // Известия РАН. Программирование. – 2001. – № 5.– С. 63–80.
3. М е л ь н и к о в, Б. Ф. Мультиэвристический подход к задачам дискретной оптимизации / Б. Ф. Мельников // Кибернетика и системный анализ. НАН Украины. –
2006. – № 3. – С. 32–42.
4. M e l n i k o v , B . Discrete optimization problems – some new heuristic approaches /
B. Melnikov // 8 th International Conference on High Performance Computing and Grid
in Asia Pacific Region, IEEE Computer Society Press Ed. – Beijing, China (HPC-Asia),
2005. – Р. 73–80.
5. M e l n i k o v , B . Some special heuristics for discrete optimization problems / B. Melnikov, A. Radionov, V. Gumayunov // 8 th International Conference on Enterprise Information Systems, aphos. – Cyprus, ICEIS, 2006. – Р. 360–364.
6. М е л ь н и к о в, Б. Ф. Кластеризация ситуаций в алгоритмах реального времени
в некоторых задачах дискретной оптимизации / Б. Ф. Мельников, Е. А. Мельникова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. – 2007. – № 6 (33). – С. 3–11.
7. Б а у м г е р т н е р , С . В. Мультиэвристический подход к проблеме звездновысотной минимизации недетерминированных конечных автоматов / С. В. Баумгертнер, Б. Ф. Мельников // Вестник Воронежского государственного университета.
Сер. Системный анализ и информационные технологии. – 2010. – № 1. – С. 5–7.
8. Р а с с е л , С . Искусственный интеллект – современный подход / С. Рассел,
П. Норвиг. – М. ; СПб. ; Киев : Вильямс, 2006. – 1410 с.
9. M i c h i e , D . Game-playing and game-learning automata / D. Michie // Advanced in
Programming and Non-Numerical Computation, Pergamon Ed. – Oxford, 1966. –
Р. 183–200.
36
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
10. H a u k , T . Rediscovering *-minimax search / T. Hauk, M. Buro, J. Schaeffer. – Computers and Games, 2004. – С. 35–50.
11. Л ю г е р , Д . Искусственный интеллект – стратегии и методы решения сложных
проблем / Люгер Д. – М. ; СПб. ; Киев : Вильямс, 2003. – 864 с.
12. B i l l i n g s , D . Algorithms and assessment in computer poker / D. Billings // University
of Alberta (USA), Ph. D. thesis, 2006. – 211 с.
13. T e s a u r o , G . Neurogammon wins computer Olympiad / G. Tesauro // Neural Computation. – 1989. – Vol. 1, № 3. – P. 321–32.
14. А де л ь с о н- В е л ь с к и й, Г . М . Программирование игр / Г. М. АдельсонВельский, В. Л. Арлазаров, М. В. Донской. – М. : Наука, 1978. – 255 с.
15. А де л ь с о н- В е л ь с к и й, Г . М . Машина играет в шахматы / Г. М. АдельсонВельский, В. Л. Арлазаров, А. Битман, М. В. Донской. – М. : Наука, 1983. – 207 с.
References
1. Mel'nikov B. F., Radionov A. N. Izvestiya RAN. Programmirovanie [Proceedings of the
Russian Academy of Sciences. Programming]. 1998, no. 5, pp. 55–62.
2. Mel'nikov B. F. Izvestiya RAN. Programmirovanie [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Programming]. 2001, no. 5, pp. 63–80.
3. Mel'nikov B. F. Kibernetika i sistemnyy analiz. NAN Ukrainy [Cybernetics and system
analysis. NationalAcademy of Sciences of Ukraine]. 2006, no. 3, pp. 32–42.
4. Melnikov B. 8-th International Conference on High Performance Computing and Grid
in Asia Pacific Region, IEEE Computer Society Press Ed. Beijing, China (HPC-Asia),
2005, pp. 73–80.
5. Melnikov B, Radionov A., Gumayunov V. 8 th International Conference on Enterprise
Information Systems, aphos. Cyprus, ICEIS, 2006, pp. 360–364.
6. Mel'nikov B. F., Mel'nikova E. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy
region. Ser. Estestvennye nauki [University proceedings. Volga region. Series: Natural
sciences]. 2007, no. 6 (33), pp. 3–11.
7. Baumgertner S. V., Mel'nikov B. F. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. sistemnyy analiz i informatsionnye tekhnologii [Bulletin of Voronezh
State University. Ser. System analysis and information technologies]. 2010, no. 1,
pp. 5–7.
8. Rassel S., Norvig P. Iskusstvennyy intellekt – sovremennyy podkhod [Artificial intelligence – modern approach]. Moscow; Saint Petersburg; Kiev: Vil'yams, 2006, 1410 p.
9. Michie D. Advanced in Programming and Non-Numerical Computation, Pergamon Ed.
Oxford, 1966, pp. 183–200.
10. Hauk T., Buro M., Schaeffer J. Rediscovering *-minimax search. Computers and
Games, 2004, pp. 35–50.
11. Lyuger D. Iskusstvennyy intellekt – strategii i metody resheniya slozhnykh problem
[Artificial intelligence – strategies and methods of complex problem solution]. Moscow; Saint Petersburg; Kiev: Vil'yams, 2003, 864 p.
12. Billings D. University of Alberta (USA), Ph. D. thesis, 2006, 211 p.
13. Tesauro G. Neural Computation. 1989, vol. 1, no. 3, pp. 321–32.
14. Adel'son-Vel'skiy G. M., Arlazarov V. L., Donskoy M. V. Programmirovanie igr [Programming of games]. Moscow: Nauka, 1978, 255 p.
15. Adel'son-Vel'skiy G. M., Arlazarov V. L., Bitman A., Donskoy M. V. Mashina igraet v
shakhmaty [Machine plays chess]. Moscow: Nauka, 1983, 207 p.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Мельников Борис Феликсович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра прикладной
математики и информатики,
Тольяттинский государственный
университет (Россия, г. Тольятти,
ул. Белорусская, 14)
Mel'nikov Boris Feliksovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of applied mathematics and informatics,
Togliatti State University (14 Belorusskaya
street, Togliatti, Russia)
E-mail: B.Melnikov@tltsu.ru
Мельникова Елена Анатольевна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра прикладной математики
и информатики, Тольяттинский
государственный университет
(Россия, г. Тольятти, ул. Белорусская, 14)
Mel'nikova Elena Anatol'evna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of applied mathematics and informatics,
Togliatti State University (14 Belorusskaya
street, Togliatti, Russia)
E-mail: E.Melnikova@tltsu.ru
УДК 004.8.023, 004.83
Мельников, Б. Ф.
Подход к программированию недетерминированных игр (Часть I.
Описание общих эвристик) / Б. Ф. Мельников, Е. А. Мельникова // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 29–38.
38
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 514.76
Н. А. Тяпин
АВТОМОРФИЗМЫ КОНТАКТНО-АФФИННЫХ СТРУКТУР
Аннотация. Актуальность и цели. Контактно-аффинная структура является
частным случаем контактной структуры, а точнее, это контактная структура,
дополненная согласованной с ней линейной связностью. В настоящей статье
согласованность рассматривается как инвариантность контактного распределения относительно параллельных переносов в структурной связности вдоль
любых кривых. Представляет интерес изучение автоморфизмов контактноаффинных структур, так как размерности этих групп заведомо конечны.
Материалы и методы. Для исследования групп автоморфизмов контактноаффинных структур используются методы тензорного анализа, а также методы
теории групп Ли и алгебр Ли. Результаты. Найдены аналитические условия
согласованности линейной связности и контактной структуры в смысле инвариантности контактного распределения относительно параллельных переносов
в этой линейной связности вдоль любых кривых. Доказано, что в этом случае
структурная связность необходимо имеет кручение. Указана оценка сверху
размерности группы автоморфизмов контактно-аффинной структуры. Выводы.
Методы тензорного анализа, а также методы теории групп Ли и алгебр Ли
позволяют эффективно исследовать группы автоморфизмов контактно-аффинных структур.
Ключевые слова: контактная структура, контактно-аффинная структура, автоморфизмы дифференциально-геометрических структур.
N. A. Tyapin
AUTOMORPHISMS IN CONTACT-AFFINE STRUCTURES
Abstract. Background. Contact-affine structure is a special case of the contact
structure, particularly, it is a contact structure supplemeted by linear connectivity
coordinated with the structure. In the article the coordination is considered as the invariance of contact distribution relative to parallel transfers in structure connectivity
along any curves. The study of automorphisms of contact-affine structures is of interest due to the fact that the dimensionalities of these groups are trivially finite. Materials and methods. To research the groups of automorphisms of contact-affine
structures the author uses the methods of tensor analysis as well as the methods of
Lie group theory and Lie algebra. Results. The researcher discovered analytical
conditions of coordination of the linear connectivity and the contact structure in the
sense of invariance of the contact distribution relative to parallel transfers in the said
linear connectivity along any curves. It is proved that in this case the structure connectivity necessarily has twisting. The article adduces the value from the top of the
dimensionality of the group of automorphisms of the contact-affine structure. Conclusions. The methods of tensor analysis as well as the methods of Lie group theory
and Lie algeba allow effective researching of the groups of automorphisms of contact-affine structures.
Key words: contact structure, contact-affine structure, automorphisms of differential-geometric structures.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Контактной формой на гладком (2n + 1) -мерном многообразии M
называется дифференциальная 1-форма η такая, что выполняется условие
η ∧ d
η ∧
∧ d η ≠ 0.

n раз
Контактная форма определяет контактное распределение ker η = £,
которое называется контактной структурой. Многообразие с фиксированной
на нем контактной структурой называется контактным многообразием [1].
Из теоремы Дарбу вытекает, что контактное многообразие M
допускает атлас, в каждой карте (U , ϕ) которого с координатами
( x1 , , x 2 n , x m ) форма η имеет канонический вид:
η = − x n+1dx1 −  − x 2n dx n + dx m .
(1)
Пусть M – нечетномерное гладкое контактное многообразие,
dim M = m = 2n + 1 . В дальнейшем будем считать, что индексы принимают
следующие значения:
a, b, c, i, j , k , = 1 m , α, β, γ , = 1 n , α = n + α .
Если контактная структура на M определена с помощью контактной
формы η , то в некоторой карте Дарбу с координатами ( x1 , , x 2 n+1 )
ненулевые компоненты форм η и Ω = d η имеют вид
ηα = − x α , ηm = 1, Ωα,α = −Ωα,α = −1.
(2)
Характеристическое векторное поле ξ , удовлетворяющее условиям
η(ξ) = 1 ξ ∈ ker Ω , в координатах Дарбу имеет вид ξ = ∂ m .
Пусть на контактном многообразии M с контактной формой η задана
линейная связность ∇ и пусть x(t ), a ≤ t ≤ b , – некоторая кривая. Для
любого значения t задан линейный оператор Lt , сопоставляющий
касательному вектору в точке x(a) результат его параллельного переноса
в точку x(t ) вдоль данной кривой. Если для каждой кривой параллельный
перенос вектора сохраняет значение контактной формы на этом векторе, т.е.
η(ζ ) = η( Lt ζ ) , то естественно говорить, что связность согласована с формой.
Найдем аналитические условия, выделяющие такие связности. Пусть
ζ (t ) – параллельное векторное поле вдоль кривой x(t ) . Предположим, что
связность согласована с контактной формой η :
(
)
d
d
η(ζ ) =
ηi ( x(t ))ζ i (t ) = 0.
dt
dt
(3)
Распишем это соотношение в терминах ковариантных производных:
(
)
d
ηi ( x(t ))ζ i (t ) = (∇ x ηi )ζ i + ηi (∇ x ζ i ) = 0.
dt
40
(4)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Так как поле ζ параллельно, мы заключаем, что в каждой точке
выполняется равенство
(∇ x ηi )ζi = 0.
(5)
Заметим, что любой вектор является вектором скорости какой-то
кривой и любой вектор может быть продолжен до параллельного векторного
поля вдоль этой кривой. Поэтому мы получаем, что
∇η = 0.
(6)
 ,
Если на контактном многообразии M задана линейная связность ∇
согласованная с контактной структурой условием (6), то в этом случае будем
говорить, что на многообразии M задана контактно-аффинная структура
).
(η, ∇
 в некоторой локальной системе
Обозначим через Γ k компоненты ∇
ij
координат. Определим симметрическую связность ∇(Γijk ) и поле тензора
кручения T (Tijk ) ∈ 12 ( M ) естественным образом:
1
Γijk = (Γ ijk + Γ kji ) = Γ (kij ) ,
2
Tijk = Γ ijk − Γ kji = 2Γ [kij ] ,
(7)
таким образом,
1
Γ ijk = Γijk + Tijk .
2
(8)
 η = ∂ η − Γ s η = 0 , откуда
Распишем условие (6) в координатах ∇
i j
i j
ij s
s

∂ i η j = Γij ηs . Так как Ωij = (d η)ij = ∂ i η j − ∂ j ηi , получим
Ωij = Tijs ηs .
(9)
Откуда следует, что компоненты тензора кручения не могут быть все
 необходимо имеет кручение (см.
нулевыми и, следовательно, связность ∇
также [2]).
Логично также рассмотреть условие согласованности аффинной
_
связности ∇ и контактной структуры £, определяемой контактной формой
η . Геометрически это означает, что при параллельном перенесении вдоль
любой кривой будет сохраняться контактное распределение. Аналитическим
условием согласованности такого типа является условие
∇η = ωη,
(10)
где ω – некоторая дифференциальная 1-форма. Или в координатах:
(∇η)ij = ωi η j .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
(11)
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 ,
Если на контактном многообразии M задана линейная связность ∇
согласованная с контактной структурой £, определяемой контактной формой
η , условием (10), то в этом случае будем говорить, что на многообразии M
 ).
задана контактно-аффинная структура (£, ∇
Действительно, пусть мы имеем в некоторой бесконечно малой
окрестности точки x новую 1-форму η , полученную из контактной формы
λη параллельными перенесениями из этой точки на бесконечно малые
векторы δx . Нам нужно, чтобы форма η была коллинеарна форме λη . Это
значит, что в окрестности определена функция f так, что η = f η :
s
λη j + ληs Γ kj
δx k = λη j + ∂ k (λη j )δx k + λη j (∂ k f )δx k ,
откуда следует, что
s
ληs Γ kj
= ∂ k (λη j ) + λ (∂ k f )η j ,
таким образом,
s
=
ηs Γ kj
∂ k (λη j )
λ
+ (∂ k f )η j ,
и окончательно имеем
∂ λ
∇k η j = −  k + ∂k
 λ

f  η j = −∂ k (ln λ + f )η j = ωk η j .

Если мы имеем контактно-аффинную структуру (£, ∇ ), тогда из
условия (10) следует, что
∂ i η j − Γijs ηs = ωi η j .
Циклируя по индексам i и j , получим
∂ j ηi − Γ sji ηs = ω j ηi .
Вычитая из первого равенства второе, будем иметь
∂ i η j − ∂ j ηi − (Γijs ηs − Γ sji ηs ) = ωi η j − ω j ηi
или
Ωij − Tijs ηs = (ω ∧ η)ij .
Таким образом, получаем, что тензор кручения T
связности ∇ должен удовлетворять следующему условию:
Tijs ηs = Ωij − (ω ∧ η)ij .
структурной
(12)
ϑij = Tijs ηs
условие (12) можно записать в виде
или
42
University proceedings. Volga region
Определим 2-форму
ϑ( X , Y ) = η(T ( X , Y )) , тогда
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
ϑ = Ω − ω ∧ η.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если выполняется условие согласованности (10), то
структурная связность имеет ненулевое кручение.
Доказательство. Предположим, что T = 0 , следовательно, ϑ = 0 .
Пусть X ′ – некоторый вектор из контактного распределения. Тогда
ϑ( X ′, ξ) = ω ( X ′) = 0.
Получаем, что ker ω ⊃ ker η , следовательно, ω = k η , где k – некоторый
скаляр. Откуда получаем, что ϑ = Ω . Получаем противоречие, так как форма
Ω ненулевая. □
называется точным контактноДиффеоморфизм ϕ : M → M
аффинным преобразованием или точным автоморфизмом контактноаффинной структуры (£, ∇ ), если он сохраняет контактную форму η ,
определяющую контактную структуру £, и связность ∇ .
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Максимальная размерность группы Ли точных автоморфизмов контактно-аффинной структуры (£, ∇ ) не превышает 2n 2 + 3n + 1 .
Доказательство. Пусть G – группа Ли точных автоморфизмов контактно-аффинной структуры (£, ∇ ) и пусть Gx – стационарная подгруппа
группы G точки x ∈ M , а Gx – группа изотропии в Tx M , индуцированная
группой Gx . Gx является подгруппой полной линейной группы GL(m,  ) .
Каждое преобразование группы Gx оставляет тензор кручения и
контактную форму в точке x инвариантными. Рассмотрим η как линейное
отображение Tx M →  , а T , в свою очередь, как кососимметрическое
билинейное отображение Tx M × Tx M → Tx M . Пусть X : Tx M → Tx M –
линейное преобразование, а ϕt = exp tX – однопараметрическая группа
преобразований, порожденная векторным полем X , тогда
η(ϕt v) = η(v),

T (ϕt Xv, ϕt w) = ϕt (T (v, w)).
Дифференцируя эти уравнения по t , при t = 0 видим, что
принадлежит алгебре Ли Gx′ группы Ли Gx , если и только если
η( Xv) = 0,

T ( Xv, w) + T (v, Xw) = X (T (v, w) ) .
X
(13)
Координаты атласа Дарбу естественным образом определяют базис
{∂ i } в Tx M . Пусть Tijk , ηi и X ij – компоненты соответственно для T , η и
X относительно указанного базиса. Тогда система (13) эквивалентна
следующей системе линейных уравнений:
Physical and mathematical sciences. Mathematics
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
η X j = 0,
 j b
 a j
T jc X b + Tbja X cj − Tbcj X aj = 0.
Это может быть переписано как
C ( j ) X i = 0,
j
 b i
 a j i
 Abc (i ) X j = 0,
(14)
где
a j
Cb (ij ) = ηi δbj , Abc
(i ) = Tica δbj + Tbia δcj − Tbcj δia .
Система (14) – система из m3 + m линейных однородных уравнений
с
m2
неизвестными
X ij
и коэффициентами
Cb (ij ) ,
a j
Abc
(i ) . Число
 C (j) 
d i 
существенных уравнений системы (14) равно рангу матрицы F = 
,
a
 A ( j )
 bc i 
где пара индексов (i, j ) нумерует столбец, а индексы (a, b, c) , d нумеруют
строку.
Рассмотрим следствия системы (14). Для этого выполним свертку
второй группы уравнений данной системы с контактной формой η :
a j
(i )ηa X ij = Bbc (ij ) X ij = 0,
Abc
где
a j
(i )ηa X ij = Tica ηa δbj X ij + Tbia ηa δcj X ij − Tbcj δia ηa X ij =
Abc
= (Ωic δbj + (ωi ηc − ωc ηi )δbj + Ωbi δcj + (ωb ηi − ωi ηb )δcj ) X ij = Bbc (ij ) X ij ; (15)
Bbc (ij ) = (Ωic + ωi ηc − ωc ηi )δbj + (Ωbi + ωb ηi − ωi ηb )δcj ,
или с учетом первой группы уравнений
Bbc (ij ) = (Ωic + ωi ηc )δbj + (Ωbi − ωi ηb )δcj .
Мы получим новую систему
C ( j ) X i = 0,
j
 b i

 Bbc (ij ) X ij = 0,
(16)
которая является следствием системы (14).
Система (16) – система из m 2 + m линейных однородных уравнений
с
44
m2
неизвестными
X ij
и коэффициентами
Cb (ij ),
Bbc (ij ) . Число
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
 C (j) 
d i 
существенных уравнений системы (16) равно рангу матрицы F ′ = 
,
 B ( j )
 bc i 
где пара индексов (i, j ) нумерует столбец, а индексы (b, c) , d нумеруют
строку. Элементы матрицы F ′ выражаются через компоненты форм η , Ω ,
которые в атласе Дарбу имеют вид (2), а также через компоненты формы ω ,
которые в атласе Дарбу, вообще говоря, не определены.
Так как элементы матрицы F ′ не определены однозначно, т.е. зависят
от произвольных функций – компонент 1-формы ω , то мы можем лишь
оценить ее ранг. Так как строки матрицы F ′ есть линейные комбинации
строк матрицы F , мы можем утверждать, что Rank( F ) ≥ Rank( F ′) , т.е. число
существенных уравнений системы (14) не превосходит числа существенных
уравнений системы (16).
Пусть
()
Dbc ij = (Ωic + ωi ηc − ωc ηi )δbj ,
тогда
()
()
()
Bbc ij = Dbc ij − Dcb ij .
Также введем в рассмотрение новые системы коэффициентов
()
()
()
Bbc ij = Ωic δbj + Ωbi δcj = Dbc ij − D cb ( ij ,
()
Dbc ij = Ωic δbj ,
откуда
()
()
()
()
Bbc ij = Bbc ij + ωi ηc δbj − ωi ηb δcj , Dbc ij = Dbc ij + ωi ηc δbj .
Строки матрицы D , нумеруемые парами c = n , содержат все линейно
независимые строки матрицы ωi ηc δbj . Действительно, ведь соответствующие
строки матрицы D нулевые, а множитель ηc не добавляет новых линейно
независимых строк. Таким образом, ранг матрицы D не меньше ранга
матрицы D и, следовательно, RankB ≥ Rank B . Чтобы оценить ранг матрицы
F ′ , мы оценим ранг матрицы
C
 d
F′ = 
 Bbc

как
( )  .

( ) 
j
i
j
i
Найдем ранг матрицы F ′ . Для этого сначала рассмотрим матрицу B
минор матрицы F ′ . Введем в рассмотрение новую матрицу
Physical and mathematical sciences. Mathematics
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
()
Dbc ij = Ωic δbj , где пара индексов (b, c) нумерует строку матрицы, а пара
индексов (i, j ) нумерует столбец. В силу кососимметричности Ω получим,
()
что D cb ij = Ωib δcj = −Ωbi δcj . Таким образом,
()
()
()
Bbc ij = Ωic δbj + Ωbi δcj = Dbc ij − D cb ij ,
это означает, что каждая строка матрицы B есть разность двух строк
матрицы D . Остановимся подробнее на матрице D . В силу того, что
Ωim = 0 , строки D , нумеруемые парой вида (b, m), состоят целиком из нулей.
Если c ≠ m и b ≠ c , тогда все элементы строки (b, c) равны нулю, за
исключением одного, который равен 1 или –1. Действительно, чтобы элемент
()
Dbc ij = Ωic δbj не был равен нулю, требуется, чтобы Ωic ≠ 0 и δbj ≠ 0 , что
возможно лишь, если i = c и j = b . Таким образом, все элементы строки
(b, c) равны нулю, кроме того, который находится на пересечении со
столбцом (i = c , j = b) . Если же b = c , тогда строка содержит ±1 на
пересечении со столбцом (i = c , j = b) и подстроку c компонентами  ηi на
пересечении со столбцами (i, j = m) . Если переставить строки матрицы D по
следующему закону b′ = b (b ≠ m), b′ = m(b = m) и убрать из получившейся
матрицы нулевые столбцы и строки с номерами (b′, c′ = m) и (i = m, j ) , то мы
()
получим верхнетреугольную матрицу Db′c ij размера (m 2 − m) на (m 2 − m) .
Ее ранг, очевидно, равен (m 2 − m) , и, следовательно, все ненулевые столбцы
( ) линейно независимы между собой.
исходной матрицы Dbc ij
Строки матрицы B кососимметричны по индексам (b, c) , так как
()
()
()
()
()
()
Bbc ij = ( Dbc ij − D cb ij ) = (− D cb ij + Dbc ij ) = − B cb ij . Поэтому имеет
смысл рассматривать не все строки (b, c) , а лишь те, для которых b < c . Если
c < m , тогда
()
() ( ()
( )) ;
Bbc ij = Dbc ij − D cb ij
()
если c = m , тогда b < m и
Bbm ij = − D mb ij . Таким образом, мы выразили рассматриваемые строки
матрицы B через линейно независимые строки матрицы D :
 Bbc ( j ) = ( Dbc ( j ) − D cb ( j )), b < c < m,

i
i
i

j
j
 Bbm (i ) = − D mb (i ), b < m, c = m.
(17)
Так как в (17) каждая строка матрицы D участвует в выражении только
одной строки матрицы B , можно сделать вывод, что рассматриваемые
46
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
2n 2 + n
строк
Физико-математические науки. Математика
матрицы
B
линейно
независимы
и,
следовательно,
2
Rank( B ) = 2n + n .
Строки матрицы C линейно независимы. Рассмотрим минор C ′
матрицы C , состоящий из столбцов, для которых i = m, j ≠ m ;
j
C ′b = C b (mj ) = ηm δbj − ηm δmj ηb = δbj , откуда очевидно, что все строки C
линейно независимы.
Перейдем к исходной матрице F ′ . Рассмотрим столбцы, для которых
i = m , j ≠ m . Элементы столбцов, соответствующие строкам C , образуют
единичную матрицу, а элементы столбцов, соответствующие строкам B ,
( )
равны нулю в силу Bbc mj = Ω mc δbj + Ωbm δcj = 0 . Следовательно, строки
матриц C и B между собой линейно независимы. Таким образом,
количество линейно независимых строк матрицы F ′ равно сумме количества
линейно независимых строк матриц C и B , и
Rank( F ′) = Rank(C ) + Rank( B ) = m +
m(m − 1) m(m + 1)
=
.
2
2
Отсюда можно сделать вывод, что Rank( F ) ≥
m(m + 1)
и система (14)
2
m(m + 1)
, существенных уравнений, которые
2
m(m + 1)
накладывают на X ij не меньше, чем
, существенных условий.
2
Следовательно, размерность группы изотропии Gx , а значит и стационарной
подгруппы Gx , не превышает
содержит не меньше, чем
dim GL(m,  ) −
m(m + 1)
m(m + 1) m(m − 1)
+ 1 = m2 −
=
,
2
2
2
а размерность группы точных контактно-аффинных преобразований G не
m( m + 1)
= 2n 2 + 3n + 1 .
может быть больше, чем dim Gx + m =
2
Список литературы
1. К и р и ч е н к о , В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / В. Ф. Кириченко. – М. : Изд-во МПГУ, 2003. – 495 с.
2. S h ig e o , S . On differentiable manifolds with certain structures which are closely
related with almost contact structures / Sasaki Shigeo // Tohoku Math. J. – 1960. –
Vol. 12, № 3. – Р. 459–476.
References
1. Kirichenko V. F. Differentsial'no-geometricheskie struktury na mnogoobraziyakh [Differential-geometric structures on manifolds]. Moscow: Izd-vo MPGU, 2003, 495 p.
2. Shigeo S. Tohoku Math. J. 1960, vol. 12, no. 3, pp. 459–476.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Тяпин Никита Александрович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра геометрии
и математического анализа, Пензенский
государственный университет (Россия,
г. Пенза, ул. Красная, 40)
Tyapin Nikita Aleksandrovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of geometry and mathematical analysis,
Penza State University (40 Krasnaya
street, Penza, Russia)
E-mail: kaf_geom@pnzgu.ru
УДК 514.76
Тяпин, Н. А.
Автоморфизмы контактно-аффинных структур / Н. А. Тяпин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 39–48.
48
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.44; 51-72
О. Э. Яремко, Е. С. Могилева
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
В СРЕДАХ С ТОНКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
МЕТОДОМ ДЕФОРМИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ
Аннотация. Актуальность и цели. Моделирование потенциальных полей
в средах с тонким включением осуществляется с помощью метода деформирующих операторов. Актуальность метода состоит в том, что он позволяет
существенно упростить вычисления, открывает новые возможности для исследования моделей потенциальных полей. Целью данной работы является
аналитическое описание потенциальных полей в средах с тонким включением,
изучение сред с плоской и центральной симметриями. Материалы и методы.
Моделирование потенциальных полей в средах с тонким включением реализуется с использованием метода деформирующих операторов. Результаты.
Найдено аналитическое описание потенциальных полей в кусочно-однородных средах. Получены выражения деформирующего оператора, который однородную задачу Дирихле переводит в кусочно-однородную. Найдены асимптотические выражения деформирующего оператора, основанные на формуле
суммирования Эйлера – Маклорена. Исследованы потенциальные поля для
случая сред с плоской симметрией и центральной симметрией. Установлен
физический смысл деформирующего оператора преобразования, когда коэффициенты теплоемкости слоев сильно отличаются: компонента решения u2
c точностью до числового множителя приближенно равна решению третьей
однородной краевой задачи. Выводы. Выявлена возможность распространения
результатов по применению метода деформирующих операторов для создания
аналитических моделей двухслойных потенциальных полей в многослойных
пластинах.
Ключевые слова: деформирующий оператор, условие сопряжения, задача
Дирихле, формула суммирования Эйлера – Маклорена.
O. E. Yaremko, E. S. Mogileva
MODELING OF POTENTIAL FIELDS
IN MEDIA WITH A THIN INCLUSION BY THE METHOD
OF DEFORMING OPERATORS
Abstract. Background. Modeling of potential fields in media with a thin inclusion is
carried out by the method of deforming operators. The topicality of the method lies
in its capacity to significantly simplify the calculations; it opens new possibilities of
research of the models of potential fields. The study is aimed at analytical description of potential fields in media with a thin inclusion and research of media with
plane and central symmetry. Materials and methods. Modeling of potential fields in
media with a thin inclusion is carried out using the method of deforming operators.
Results. The authors revealed the analytical description of potential fields in sectionally-homogeneous media. The researchers obtained the expressions of a deforming operator that converts a homogeneous Dirichlet problem into a sectionallyhomogeneous. The article reveals the discovered asymptotic expressions of a deforming operator, based on the Euler–Maclaurin summation formula. The authors
Physical and mathematical sciences. Mathematics
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
investigated potential fields for the case of media with plane and central symmetry.
The researchers determined the physical sense of a deforming operator of transformation, when the thermal capacity coefficients of layers significantly differ: solution
component u2 with accuracy up to a numerical factor approximately equals to the
solution of the third homogeneous boundary problem. Conclusions. The study revealed the possibility of distribution of the deforming operators method application
results in order to create analytical models of two-layer potential fields in multilayer
plates.
Key words: deforming operator, conjugation condition, Dirichlet problem, Euler–
Maclaurin summation formula.
1. Плоский случай
Полуплоскость с условиями внутреннего сопряжения. Моделирование потенциальных полей для полуограниченной бесконечной пластины
с тонким включением приводит к задаче Дирихле для двухслойной полуплоскости с условиями сопряжения на прямой.
Рассмотрим краевую задачу о решении сепаратной системы уравнений
Лапласа
a12
∂ 2u1
∂x 2
a22
+
∂ 2 u2
∂x 2
∂ 2u1
∂y 2
+
= 0, ( x, y ); 0 < x < l , − ∞ < y < ∞ ,
∂ 2u1
∂y 2
= 0, ( x, y ); l < x, − ∞ < y < ∞ ,
(1)
(2)
по граничному условию на прямой x = l :
u1 ( x, y ) = uˆ ( x, y ), x = 0 ,
(3)
по внутренним условиям сопряжения [1–5] на прямой x = l :
u1 ( x, y ) = u2 ( x, y ), k
∂u1
∂u
( x, y ) = 2 ( x, y ), k > 0,
∂x
∂x
(4)
здесь функция uˆ = uˆ( x, y ) – гармоническая в правой полуплоскости,
H = {( x, y ) : 0 < x, y ∈ R} , непрерывна в {( x, y ) : 0 ≤ x, y ∈ R} и удовлетворяет
условиям
uˆ = 0  x 2 + y 2  ,


∞

uˆ (0, y )
1 + y2
−∞
dy < ∞.
Задача (1)–(4) в случае тонкого включения, т.е. малого значения l, а
также в случае сильной неоднородности, т.е. большого различия параметров
a1 , a2 , является плохо обусловленной [6]. Решение такой задачи сопровождается значительными вычислительными трудностями. Поиск новых аналитических методов ее решения представляет самостоятельный интерес.
50
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Тонкая полоса. Пусть функция uˆ = uˆ( x, y ) гармоническая в правой полуплоскости H = {( x, y ) : 0 < x, y ∈ R} , непрерывна в {( x, y ) : 0 ≤ x, y ∈ R} и
удовлетворяет условиям
uˆ = 0  x 2 + y 2  ,


∞

−∞
uˆ(0, y )
1 + y2
dy < ∞.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в полосе
H l = {( x, y ) : 0 < x < l , y ∈ R} :
∂ 2u1
∂x 2
+
∂ 2u1
∂y 2
= 0, ( x, y ); 0 < x < l , − ∞ < y < ∞ ,
(5)
с граничными условиями вида
u (0, y ) = uˆ (0, y ), u (l , y ) = 0.
(6)
Задача (5)–(6) также плохо обусловлена при малом значении l.
Осевой случай
Круг с условиями внутреннего сопряжения. Пусть функция
uˆ = uˆ( x, y ) гармоническая в единичном круге, B = {( x, y ) : x 2 + y 2 < 1} , и непрерывна в его замыкании B . В круге B рассмотрим краевую задачу о решении сепаратной системы уравнений Лапласа
Δu1 = 0,( x, y ) ∈ K R , Δu2 = 0,( x, y ) ∈ BR ,
(7)
где K R – кольцо с внутренним радиусом R и внешним радиусом 1; BR – круг
радиуса R. По граничному условию на окружности S:
u1 ( x, y ) = uˆ ( x, y ), ( x, y ) ∈ S ,
(8)
по внутренним условиям сопряжения на окружности радиуса R:
u1 ( x, y ) = u2 ( x, y ),
kL0u1 ( x, y ) = L0u2 ( x, y ), k > 0, ( x, y ) ∈ S R ,
L0 = x
(9)
∂
∂
+y .
∂x
∂y
Задача (7)–(9) плохо обусловлена [6] при значениях R ≈ 1.
Тонкое кольцо. Пусть функция uˆ = uˆ( x, y ) – гармоническая в единичном круге, B = {( x, y ) : x 2 + y 2 < 1} и непрерывна в его замыкании B . В кольце с внутренним радиусом R и внешним радиусом 1 рассмотрим задачу Дирихле о решении уравнения Лапласа
Physical and mathematical sciences. Mathematics
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Δu1 = 0, ( x, y ) ∈ K R ,
(10)
по граничным условиям на окружностях S, S R :
u = uˆ ,( x, y ) ∈ S ; u = 0, ( x, y ) ∈ S R .
(11)
Задача (10) плохо обусловлена [6] при значениях R ≈ 1.
2. Деформирующий оператор
В работах автора [1–3, 5] определяется понятие деформирующего оператора J, J : uˆ → u , позволяющего по известному решению û модельной задачи определить решение u какой-либо из четырех перечисленных выше
задач.
Полуплоскость с условиями внутреннего сопряжения. Деформирующий оператор J имеет вид J : uˆ → u , u = χ( H1 )u1 + χ( H 2 )u2 , где
u1 ( x, y ) =
∞
j
1− k
1− k  

uˆ (2l − x + 2lj , y ) , 0 < x < l ,

  uˆ ( x + 2lj , y ) −
1
k
1
k
+
+
 

j =0 

u 2 ( x, y ) =
j
∞

2k
 1 − k   a1

 uˆ  ( x − l ) + l + 2lj , y , l < x,
k + 1 j =0  1 + k   a2


(12)
λ a
k = 1 2 , χ – характеристическая функция множества [7].
λ 2 a1
Тонкая полоса. Деформирующий оператор J : uˆ → u , можно определить формулой
u ( x, y ) =
∞
 ( uˆ( x + 2lj, y) − uˆ(2l − x + 2lj, y) ); 0 < x < l.
(13)
j =0
Круг с условиями внутреннего сопряжения. Деформирующий оператор выражается формулой
J : uˆ → u , u = χ( K R )u1 + χ( BR )u2 ,
где
u1 ( x, y ) =
∞
1− k 


1+ k 
j =0 

j
1 − k  R 2 j +2 R2 j +2  
 uˆ ( xR 2lj , yR 2lj ) −
uˆ 
,
 ,

1 + k  x
y  


∞
j
2k
1− k 
2j
2j
u 2 ( x, y ) =

 uˆ ( xR , yR ),
k + 1 j =0  1 + k 

(14)
χ – характеристическая функция множества [7].
Тонкое кольцо. Деформирующий оператор J : uˆ → u можно определить формулой
52
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
u ( x, y ) =

 R2 j +2 R2 j +2  
 u xR 2 j , yR 2 j − u 
,
 .
 x

y  

j =0 

∞
(

)
(15)
Формулы (12) и (14) удобны только при значениях k ≈ 1. В случае
двухслойного тела, компоненты которого резко отличаются свойствами, т.е.
при значениях k, близких к нулю, а также при больших значениях k, деформирующими операторами пользоваться нельзя ввиду медленной сходимости
1− k
≈ 1.
рядов при
1+ k
Формулами (13) и (15) пользоваться нельзя ввиду медленной сходимости рядов при значениях l ≈ 1 и значениях R ≈ 1 соответственно.
Цель нашего исследования состоит в построении конструкции деформирующих операторов, удобной в указанных случаях.
3. Вспомогательные результаты
Лемма 1. Если функция y = f(x) определена на отрезке [0, 1] и имеет
ограниченную вариацию [8] на отрезке [0, 1], то для каждого значения R выполняется следующая оценка для разности интеграла и его интегральной
суммы
1

x
−1
f ( x)dx − ln
1 ∞

R2
f ( R 2 j ) ≤ ln
j =0
0
1 1
V( f ) .
R2 0
Доказательство. Разобьем интеграл на сумму (n + 1) слагаемых:
1

x −1 f ( x)dx =
n −1 1

1

x −1 f ( R 2 j x)dx + x −1 f ( R 2n x)dx .
j =0 R 2
0
0
Замена переменной в последнем интеграле приводит к равенству
1
x
−1
f ( x)dx =
n −1 1

f (R
2j
j =0 R 2
0
(
) ( )
dx
) +
x
R2n

x −1 f ( x)dx .
0
1
Учитывая, что f R 2 j x − f R 2 j ≤ V ( f ), получим требуемую оценку:
1
x
0
≤
∞ 1

j =0 R 2
−1
f ( x)dx −
0
∞ 1

f (R2 j )
j =0 R 2
f ( R 2 j x) − f ( R 2 j )
dx
≤
x
dx 1
1
≤ V ( f )ln
,
x 0
R2
1
где V ( f ) – вариация функции [8] на отрезке [0, 1].
0
Physical and mathematical sciences. Mathematics
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Плоский аналог леммы хорошо известен [6].
Лемма 2. Если функция y = f(x) определена на промежутке [0; ∞) и
имеет ограниченную вариацию [8] на промежутке [0; ∞), то для каждого значения l выполняется следующая оценка для разности интеграла и его интегральной суммы
∞

f ( x)dx − 2l
∞
∞
 f (2lj ) ≤ 2lV0 ( f ) .
j =0
0
Числа Бернулли [9] определяются при помощи производящей функции
z
ez −1
=
∞
Bj n
z .
j!
j =0

Формула суммирования Эйлера – Маклорена, примененная к функции
f(2lx) на промежутке [0;∞), приводит к равенству
∞

f (2lj ) ≅
j =0
∞

f (R
2j
)≅
j =0
1
2l
1
∞

f ( x)dx +
0
∞
(2l ) 2k −1 B2k 2 k −1
f (0)
−
f
(0);
2
k
!
k =1

∞

ln(1 / R 2 ) 0
∞
(2l )2 k −1 B2k 2k −1
f (1)
−
L0 f (1) .
2
k!
k =1

f ( x)dx +
Замечание 1. При k ∈ (0,1) асимптотически выполнено соотношение
∞
j
1− k 

 f ( x + 2lj ) ≅
1+ k 
j =0 

∞
≅
∞
(2l ) 2k −1 B2 k 2 k −1
1
f ( x)
e hε f ( x + ε)d ε +
Lh f ( x);
−
2l
2
k
!
k =1


0
при k ∈ (1, ∞) асимптотически выполнено
∞
∞
j
(2l ) 2k −1 B2k 2k
f ( x)
1− k 
(
2
)
(2 − 1) L2hk −1 f ( x).
f
x
+
lj
≅
−


1
2
!
k
k
+

j =0 
k =1


d
.
dx
Замечание 2. При k ∈ (0,1) асимптотически выполнено соотношение
Оператор L2h имеет вид L2h = 2h +
∞
j
1− k 
2j

 f (rR ) ≅
1+ k 
j =0 

≅
54
1
1
ln(1 / R
2

)
0
ε h −1 f ( r ε)d ε +
∞
f (r )
+
2
k =1

( ln(1 / R2 ))
k!
2 k −1
B2k
L22kh−1 f (r );
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
при k ∈ (1, ∞)
1
(ln 2 )2 k −1 B2 k
f (r )
1− k 
2j
R
+
(22 k − 1) L22kh−1 f (r ).

 f (rR ) ≅
k!
1+ k 
2
j =0 
k =1
∞
∞
j


Оператор L2h имеет вид L2h = 2h +
d
.
dx
4. Основной результат
Плоский случай
Полуплоскость с условиями внутреннего сопряжения. Изучим случай тонкой оболочки, т.е. малого значения толщины конечного слоя l. Физически последнее означает, что коэффициенты теплоемкости слоев сильно отличаются.
Теорема 1. Пусть выполнено условие
1− k
= e 2hl
1+ k
и пусть величина k мала.
Для компонент u1 и u2 решения задачи (1)–(4) справедливы приближенные формулы
u2 ≈
1 − e 2hl
1
e2h
uˆ3 , u1 ≈ uˆ3 ( x, y ) −
uˆ3 (2l − x, y ), ( x, y ) ∈ H 2 ,
2l
2l
2l
где û3 – решение задачи Робина [10] с граничным условием вида
2huˆ3 +
∂
uˆ 3 = uˆ ,( x, y ), x = 0.
∂n
При этом справедлива оценка
1 − e 2hl
2l
∞

(
∞
)0(
)
eεh uˆ ( x + ε, y )d ε − u2 ( x, y ) ≤ 1 − e2hl V eεh uˆ ( x + ε, y ) .
0
Доказательство. Применим лемму 2. В результате получим формулу
∞
2k 1
2 k ∞ εh
eεh uˆ ( x + ε, y )d ε − u2 ( x, y ) ≤
V e uˆ ( x + ε, y ) .
k + 1 2l
k +1 0
(

0
)
Выражая k через h, получим доказываемую оценку для u2 . При этом была
применена формула, связывающая решения задач Дирихле и Робена из [10]
∞

u2 = − eεh uˆ( x + ε, y )d ε.
0
Physical and mathematical sciences. Mathematics
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Приведенная теорема допускает физическую интерпретацию: компонента решения u2 c точностью до числового множителя приближенно равна
решению третьей однородной краевой задачи с краевым условием вида
2huˆ3 +
∂
uˆ 3 = uˆ ,( x, y ), x = 0.
∂n
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнено условие
1− k
= e 2hl ,
1+ k
пусть также величина k >> 1. Для решения задачи (1)–(4) справедливы приближенные формулы
u1 ≈
1 − e 2hl 1
uˆ3 ( x, y ) − e 2hl uˆ3 ( x + 2l , y ) +
2 hl 2l
1+ e
((
)
))
(
+ e 2hl uˆ3 (2l − x, y ) − e 2hl uˆ3 (4l − x, y ) ,
u2 ≈
1 − e 2hl 1
uˆ3 ( x, y ) − e 2hl uˆ3 ( x + 2l , y ) .
2l 2l
(
)
Теорема 2 доказывается также на основе леммы 2.
Тонкая полоса. Применим лемму 2. Для решения задачи Дирихле
(5)–(6) в полосе справедлива оценка
∞

0
∞
uˆ ( x + ε, y ) − uˆ (2l − x + ε, y )
d ε − u ( x, y ) ≤ V ,
2l
0
здесь
∞
∞
0
0
V = V ( uˆ ( x + ε, y ) − uˆ (2l − x + ε, y ) ) –
вариация функции [8], взятая по переменной ε на промежутке [0;∞).
Теорема 3. Решение задачи Дирихле (5)–(6) в полосе может быть
найдено по приближенной формуле
uˆ ( x, y ) − uˆ2 (2l − x, y )
u ( x, y ) ≈ 2
,
2l
где û 2 – решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге с граничным условием вида
∂uˆ2
= uˆ , x = 0.
∂x
Осевой случай
Круг с условиями внутреннего сопряжения. Изучим случай тонкой
оболочки, т.е. малого значения толщины внешнего слоя (1 – R). Будем счи-
56
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
тать также малой величину k, т.е. рассмотрим случай, когда коэффициенты
теплоемкости слоев сильно отличаются. Положим
1− k
= R 2h .
1+ k
Из леммы 1 следуют формулы
1
2k
1
2k 1 h
ε h −1uˆ ( xε, yε)d ε − u2 ( x, y ) ≤
V ε uˆ ( xε, yε) ,
k + 1 ln 1
k +1 0
0
R2
(

1
)
1
1 − R 2h h −1
ε uˆ ( xε, yε)d ε − u2 ( x, y ) ≤ V ε h uˆ ( xε, yε) 1 − R 2h .
1
0
ln 2 0
R
(

)(
)
Таким образом, приходим к следующему результату.
Теорема 4. Для компонент решения задачи (7)–(9) u1 , u2 справедливы
приближенные формулы
u1 ≈
 R2 R2 
1
R 2h
1 − R 2h
uˆ3 ( x, y ) −
uˆ3 
,
uˆ .
 , u2 ≈


1
1
1 3
ln 2
ln 2  x y 
ln 2
R
R
R
Полученная теорема допускает физическую интерпретацию: компонента решения u2 c точностью до числового множителя приближенно равна решению третьей краевой задачи с краевым условием вида
2huˆ3 +
∂
uˆ3 = uˆ ,( x, y ) ∈ S .
∂n
При этом необходимо учесть формулу из [3], связывающую решения
1

первой и третьей краевой задач: uˆ3 = ε h−1uˆ( xε, yε)d ε.
0
Исследуем теперь случай малого значения толщины внешнего слоя
1 − R ≈ 0 , считая при этом величину коэффициента k >> 1. Если выражение
компоненты u2 переписать в виде
2j
2k ∞  k − 1 
4j
4j
u 2 ( x, y ) =

 uˆ ( xR , yR ) −
k + 1 j =0  1 + k 

−
2j
2k k − 1 ∞  k − 1 
2 4j
2 4j

 uˆ( xR R , yR R ),
k + 11 + k j =0  1 + k 

определить число h формулой
Physical and mathematical sciences. Mathematics
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
k −1
= R 2h
1+ k
и воспользоваться леммой 1, то получим такие приближенные формулы для
компонент решения задачи (7)–(9):
u1 ≈
1 − R 2h
1+ R
2h
1
1
2ln 2
R
×

  R2 R2 
 R4 R4   
,
,
×  uˆ3 ( x, y ) − R 2huˆ3 R 2 x, R 2 y + R 2h  uˆ3 
 − R 2 huˆ3 
,
 x y 
  x y 




 

(
))
(
u2 ≈
1 − R 2h
uˆ ( x, y ) − R 2 huˆ3 R 2 x, R 2 y .
1 3
2ln 2
R
(
(
))
Тонкое кольцо. Пусть функция uˆ = uˆ ( x, y ) гармоническая в единичном
круге, B = {( x, y ) : x 2 + y 2 < 1} и непрерывна в его замыкании B . В кольце
K R с внутренним радиусом R и внешним радиусом 1 рассмотрим задачу Дирихле (10)–(11).
Применив лемму 1, получим следующую оценку решения задачи Дирихле в кольце (10)–(11):
 R2 R2 
ˆ
ˆ
ε
ε
−
ε,
ε
u
(
x
,
y
)
u

1
 x

∞
y

 d ε − u ( x, y ) ≤ V ,
1
0
ε ln 2
0
R

здесь
1
1
 R2 R2  
V = V  uˆ ( xε, yε) − uˆ 
ε,
ε −
 x

y
0
0



вариация функции [8], взятая по переменной на отрезке [0; 1]. Таким образом,
справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Для решения задачи Дирихле в кольце (10)–(11) справедлива приближенная формула
 R2 R2 
uˆ2 ( x, y ) − uˆ2 
,

 x y 

,
u ( x, y ) ≈
1
ln 2
R
где û2 – решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге с граничным условием вида
58
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
∂uˆ
= uˆ ,( x, y ) ∈ S .
∂n
Заключение
Как следует из приведенных в статье результатов, точность найденных
формул имеет порядок, равный толщине внешнего слоя, поэтому представляет интерес получения формул более высокого класса точности. Указанная
задача решается при помощи асимптотических формул, представленных
в следствиях 1, 2. Актуальна задача распространения результатов на многослойные пластины, а также на краевые задачи с более общими граничными
условиями.
Список литературы
1. Y a r e m k o , O . E . Transformation operator and boundary value problems Differential
Equation / O. E. Yaremko. – 2004. – Vol. 40, № 8. – Р. 1149–1160.
2. Y a r e m k o , O . E . Matrix integral Fourier transforms for problems with discontinuous
coefficients and transformation operators / O. E. Yaremko // Doklady Mathematics. –
2007. – № 76 (3). – Р. 876–878.
3. B a v r i n , I . I . Transformation Operators and Boundary Value Problems in the Theory
of Harmonic and Biharmonic Functions / I. I. Bavrin, O. E. Yaremko // Doklady Mathematics. – 2003. – № 68 (3). – Р. 371–375.
4. B a v r i n , I . I . The operator method in the theory of integral transforms for piecewise
homogeneous media / I. I. Bavrin, O. E. Yaremko // Doklady Mathematics. – 2001. –
№ 64 (1). – Р. 44–47.
5. Y a r e m k o , O . E . The method of transformation operators as applied to boundary
value problems in spherically symmetric domains / O. E. Yaremko // Doklady Mathematics. – 2006. – № 74 (1). – Р. 507–511.
6. T i k h o n o v , A . N . Solutions of Ill-Posed Problems / A. N. Tikhonov, V. Y. Arsenin. –
New York : Winston, 1977.
7. К о л м о г о р о в , А . Н . Элементы теории функций и функционального анализа /
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М. : Наука, 1976. – 724.
8. R u d i n W a l t e r . Real and complex analysis / Rudin Walter. – New York : McGrawHill, 1966. – 412 p.
9. A b r a m o w i t z, M . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and
Mathematical Tables. – 9th printing ed. / M. Abramowitz, C. A. Stegun. – New York :
Dover, 1972. – P. 804–806.
10. M e i Zh e n . Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations / Mei
Zhen. – Berlin ; New York : Springer, 2000.
References
1. Yaremko O. E. Transformation operator and boundary value problems Differential
Equation. 2004, vol. 40, no. 8, pp. 1149–1160.
2. Yaremko O. E. Doklady Mathematics [Mathematical reports]. 2007, no. 76 (3), pp.
876–878.
3. Bavrin I. I., Yaremko O. E. Doklady Mathematics [Mathematical reports] 2003, no. 68
(3), pp. 371–375.
4. Bavrin I. I., Yaremko O. E. Doklady Mathematics [Mathematical reports]. 2001, no. 64
(1), pp. 44–47.
5. Yaremko O. E. Doklady Mathematics [Mathematical reports]. 2006, no. 74 (1),
pp. 507–511.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
6. Tikhonov A. N., Arsenin V. Y. Solutions of Ill-Posed Problems. New York: Winston,
1977.
7. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementy teorii funktsiy i funktsional'nogo analiza
[Elements of the theory of functions and the functional analysis]. Moscow: Nauka,
1976, 724.
8. Rudin Walter. Real and complex analysis. New York: McGraw-Hill, 1966, 412 p.
9. Abramowitz M., Stegun C. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
Graphs, and Mathematical Tables. 9th printing ed. New York: Dover, 1972, pp. 804–
806.
10. Mei Zhen. Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations. Berlin; New
York: Springer, 2000.
Яремко Олег Эмануилович
кандидат физико-математических наук,
профессор, кафедра геометрии
и математического анализа, Пензенский
государственный университет
(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Yaremko Oleg Emanuilovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of geometry and mathematical analysis,
Penza State University (40 Krasnaya
street, Penza, Russia)
E-mail: Yaremki@mail.ru
Могилева Елена Сергеевна
аспирант, Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Mogileva Elena Sergeevna
Postgraduate student, Penza State
University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: ElenaSergIvan@yandex.ru
УДК 517.44; 51-72
Яремко, О. Э.
Моделирование потенциальных полей в средах с тонким включением методом деформирующих операторов / О. Э. Яремко, Е. С. Могилева //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 49–60.
60
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 514.763.7
К. Р. Джукашев
ОБ ЭЛАСТИЧНЫХ ТРИ-ТКАНЯХ
С ТЕНЗОРОМ КРУЧЕНИЯ РАНГА 1
Аннотация. Актуальность и цели. Многомерные три-ткани, образованные на
гладком многообразии тремя слоениями одинаковой размерности, являются
геометрической интерпретацией функций двух переменных и имеют многочисленные приложения, в частности, в теории дифференциальных уравнений,
в теоретической физике и в теории квазигрупп и луп. Одними из наименее
изученных классов три-тканей являются эластичные три-ткани (ткани E), соответствующие изотопически инвариантному классу луп с тождеством эластичности (xy)x = x(yx). Целью данной работы является исследование эластичных три-тканей, у которых производная алгебра от алгебры, определяемой
тензором кручения, является одномерной. Материалы и методы. Для исследования три-тканей E используется метод внешних форм и подвижного репера Эли Картана, модифицированный Г. Ф. Лаптевым. В статье используются
структурные уравнения, полученные с помощью этого метода. Результаты.
Найдена система структурных уравнений, определяющая этот класс тканей,
доказана ее замкнутость относительно внешнего дифференцирования. Таким
образом, доказано, что нетривиальные эластичные ткани с тензором кручения
ранга 1 существуют. Найдены соотношения на тензоры этой ткани и доказано,
что существует адаптированный репер, в котором тензор кривизны также имеет ранг 1, причем производные алгебры от алгебр, определяемых тензорами
кручения и кривизны, лежат в одном одномерном пространстве. Выводы. Метод Картана – Лаптева позволяет эффективно исследовать специальные классы
многомерных три-тканей.
Ключевые слова: многомерные три-ткани, репер Эли Картана, метод Картана –
Лаптева.
K. R. Dzhukashev
ON ELASTIC 3-WEBS WITH CLASS 1 TORSION TENSOR
Abstract. Background. Multidimensional 3-webs, produced on the smooth manifold
by three layerings ofsimilar dimensionality, are the geometric interpretation of the
function of two variables and have multiple applications, for example, in the theory
of differential equations, in theoretical physics and in the theory of quasi-groups and
loops. One of the least studied classes of 3-webs are the elastic 3-webs (E webs),
isotopically corresponding to the invariant class of loops with the elasticity identity
(xy)x = x(yx). The study is aimed at investigating elastic 3-webs, the algebra of
which, derived from the algebra determined by the torsion tensor, is a onedimensional one. Materials and methods. To research E 3-webs the author uses the
Elie Cartan method of external forms and moving frames, modified by G.F. Laptev.
The article describes the usage of structural equations obtained by the said method.
Results. The author discovered a system of structural equations, that determines the
class of webs, proved its closure in relation to external differentiation. Thus, it is
proved that nontrivial elastic webs with class 1 torsion tensor exist. The researcher
discovered correlations to tensors of the said web and proved the existence of an
adaptive frame, in which the turvature tensor also has class 1, and the algebra, de-
Physical and mathematical sciences. Mathematics
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
rived from the algebra determined by the torsion tensor, is in the same onedimesional space. Conclusion. the method of Cartan – Laptev allows effective researching of special classes of multidimensional 3-webs.
Key words: multidimensional 3-webs, Elie Cartan frame, method of Cartan - Laptev.
Введение
K-ткань, образованная k гладкими слоениями на гладком многообразии, –
традиционный объект изучения в дифференциальной геометрии. Тканям посвящено много работ, в которых рассматриваются их свойства, проводится
классификация и т.п. В. Бляшке первым выделил как объект специального
рассмотрения инцидентностные свойства тканей, т.е. начал рассматривать
ткани с точностью до локальных диффеоморфизмов. Этой проблематикой занимались его ученики и коллеги, в частности С. Черн, которому принадлежит
первое изложение дифференциально-топологической теории многомерных
три-тканей, образованных тремя слоениями λα, α = 1, 2, 3, размерности r
на 2r-мерном многообразии X. Эта теория получила развитие в трудах
М. А. Акивиса и его учеников. Детальное изложение основных результатов
по теории три-тканей впервые было дано в [1], там же имеется обширная
библиография. В книге [2] этих же авторов добавлены новые результаты, полученные в течение последних двух десятилетий.
Наиболее обширное и важное приложение теории тканей – изотопически инвариантная теория квазигрупп и луп. Связь между этими объектами
состоит в том, что каждому тождеству в квазигруппе или лупе отвечает замыкание конфигураций определенного типа на три-ткани. Основные классы
тканей связаны с простейшими тождествами – коммутативностью и различными вариантами ассоциативности. Эти классы детально описаны, и для них
найдены адекватные тензорные характеристики. Исключение составляют так
называемые эластичные ткани или ткани E, которым соответствует тождество
эластичности x(yx) = (xy)x. Этим тканям посвящены всего две работы [3, 4].
В первой доказано, что ткани E образуют собственный подкласс средних тканей Бола и проведена полная классификация шестимерных тканей E. В работе [4] доказано, что соотношения, определяемые тождеством эластичности
в пятой дифференциальной окрестности, вытекают из соотношений, связывающих тензоры четвертой дифференциальной окрестности этой ткани.
В настоящей статье методом Картана – Лаптева исследуются ткани E,
у которых производная алгебра A′ от алгебры A, определяемой тензором кручения ткани E, является одномерной. Доказывается, что у таких тканей тензор кривизны также имеет ранг 1, причем одномерная производная алгебра B′
от определяемой им тернарной алгебры B задана на том же пространстве, что
и алгебра A′. Найдены структурные уравнения исследуемого класса тканей E
в некотором специальном адаптированном репере.
1. Пусть три-ткань W образована тремя слоениями λα, α=1,2,3, размерности r на 2r-мерном многообразии X. Согласно [1] зададим слоения λα,
α = 1, 2, 3, вполне интегрируемыми системами форм Пфаффа ωi = 0 , ωi = 0 и
1
i
i
i
2
i
ω + ω = 0 , i=1,..,r , где формы ω и ω образуют кобазис на многообразии X.
1
2
1
2
Тогда cтруктурные уравнения три-ткани имеют следующий вид [1]:
62
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
d ωi = ω j ∧ ωij + aijk ω j ∧ ωk ;
(1)
d ωi = ω j ∧ ωij − aijk ω j ∧ ωk ;
(2)
d ωij = ωkj ∧ ωik + bijkl ωk ∧ ωl .
(3)
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
Внешнее дифференцирование структурных уравнений приводит
к дифференциальным уравнениям на тензоры кручения и кривизны a = (aijk )
и b = (bijkl ) :
∇aijk = b[i j|l|k ] ωl + b[i jk ]l ωl ,
1
∇bijkl = ci
2
ωm + ci
1 jklm 1
ωm ,
2 jklm 2
(4)
(5)
причем тензоры a, b, c и т.д. связаны некоторыми соотношениями, а ∇ –
1
дифференциальный оператор, определяемый формулой [1]:
def
i
∇aijk = daijk + a mjk ωim − amk
ωmj − aijm akm .
Эластичной три-тканью, или тканью, называется три-ткань, в координатных лупах которой выполняется тождество эластичности:
( xy ) x = x( yx),
(6)
где xy – операция в координатной лупе ткани [1].
В работе [2] доказано, что ткани E образуют подкласс средних тканей
Бола и их основные тензоры связаны соотношением
b( x, y,[ xy ]) = 0.
(7)
Так как ткани являются средними тканями Бола, то их тензоры связаны
следующими соотношениями [1]:
b( x, y , z ) = −b( x, z , y );
(8)
b( x, y, z ) + b( y , z , x) + b( z , x, y ) = 2 ([[ xy ] z ] + [[ yz ]x ] + [[ zx] y ]) ;
(9)
b ( x, y,[ zt ]) − b ( y, x,[ zt ]) + b ([ xy ], z , t ) = [ zb( y , z , t ) ] − [ yb( x, z , t ) ];
(10)
c( x, y, z , t ) = − c( x, y , z , t ) = −b ( x,[ zt ], y ) + b ( x,[ yz ], t ) + b ( x,[ yt ], z ) .
(11)
1
2
Для тканей Бола уравнения (4) и (5) примут следующий вид [1]:
∇aijk = −b[i jk ]l  ωl − ωl  ;
1 2 
Physical and mathematical sciences. Mathematics
(12)
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
∇bijkl = cijklm  ωm − ωm  ,
2 
1
(13)
где обозначено c = − c = c .
1
2
Будем записывать умножение в алгебре A, определяемой тензором кручения, в виде z = [xy]. Тогда равенство (7) можно переписать в виде b(x,y,z) = 0,
где z = [xy] – элемент производной алгебры A′. Ввиду этого имеет смысл
классифицировать эластичные три-ткани по размерности алгебры A′.
В данной работе мы изучим эластичные три-ткани, для которых
dim A′ = 1. Будем говорить в этом случае, что тензор кручения имеет ранг 1.
Выберем семейство адаптированных реперов ткани таким образом,
чтобы пространство A′ определялось базисным вектором e1, тогда
ˆ
aijk = 0, где iˆ ≠ 1.
(14)
1. Рассмотрим соотношение (7). Перепишем его в координатной форме:
p
p
p
i
i
bijkp alm
+ bijmp alkp + blkp
a jm
+ blmp
a jk
= 0.
(15)
Ввиду (14) данное равенство запишется в виде
i 1
i
1
bijk1a1lm + bijm1a1lk + blk
1a jm + blm1a jk = 0.
(16)
1) Полагая в (16) j = l, k = m, получим
bijk1a1jk = 0 (тензоры не суммируются).
a1jk
(17)
Так как мы рассматриваем ткань ранга 1, то найдутся такие j, k, что
≠ 0, следовательно, bijk1 = 0, ∀i.
2) Положим в (16) j = l, получим
bijk1a1jm + bijm1a1jk = 0.
(18)
Так как a1jk ≠ 0, bijk1 = 0 , то bijm1 = 0, ∀i, m.
3) Положим в (16) k = m:
i 1
bijk1a1lk + blk
1a jk = 0.
(19)
i
Так как a1jk ≠ 0, bijk1 = 0 , то blk
1 = 0, ∀i, l.
4) Рассмотрим (16):
i 1
i
1
bijk1a1lm + bijm1a1lk + blk
1a jm + blm1a jk = 0.
i
i
Так как a1jk ≠ 0, bijm1 = 0 , blk
1 = 0 , то blm1 = 0, ∀i, l , m.
Таким образом, учитывая (8), приходим к следующему утверждению.
Предложение 1. Если тензор кручения эластичной ткани имеет
структуру (14), то компоненты тензора кривизны связаны соотношениями
bijk1 = bij1k = 0.
64
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Подстановка полученного результата в (16) дает нам тождество. Таким
образом, новых соотношений из (16) мы не получим.
Рассмотрим равенства (9), записанные в координатной форме:
i
i
i
m i
i
.
bijkl + bklj
+ bljk
= 2a mjk aml
+ 2akl
amj + 2aljm amk
(20)
Положив здесь j = 1 и используя (14), получим:
i
i
1 i
1 i
1 i
b1ikl + bkl
1 + bl1k = 2a1k a1l + 2akl a11 + 2al1a1k .
(21)
Используя предложение 1 и соотношение (8), придем к равенствам
b1ikl = 0.
(22)
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Предложение 2. Если тензор кручения эластичной ткани имеет
структуру (14), то для тензора кривизны этой ткани выполняются соотношения b1ilm = 0.
Таким образом, из соотношения (9) приходим к следующим выражениям:
b1ˆ ˆˆ + b1ˆˆˆ + b1ˆˆ ˆ = 2a1ˆ ˆ a1ˆ + 2a1ˆˆ a1 ˆ + 2a1ˆˆ ai ˆ ;
jkl
klj
ljk
jk 1l
kl 1 j
lj 1k
ˆ
ˆ
ˆ
biˆ ˆˆ + biˆˆˆ + bˆiˆ ˆ = 0.
jkl
klj
ljk
(23)
(24)
Рассмотрим соотношения (10), записанные в координатной форме:
p
p
p i
p
p
i
.
bijpk alm
− bkpj
alm
= a jk
b plm − aipk b jlm
− a ijp bklm
(25)
Преобразуем их при помощи соотношений (14) с учетом предложений
1 и 2. Получим
p
i p
.
akp
b jlm = aijp bklm
(26)
Найдем значение ковариантной производной тензора кривизны. Для
этого воспользуемся формулой (11):
p
p
.
cijklm = −bijpk alm
+ bijpm aklp + bijpl akm
(27)
Учитывая (14), получаем
cijklm = −bij1k a1lm + bij1m a1kl + bij1l a1km .
(28)
В силу предложения 1 имеем cijklm = 0 . Доказано следующее утверждение.
Предложение 3. Если тензор кручения эластичной ткани имеет
структуру (14), то тензор кривизны является ковариантно постоянным.
2. Рассмотрим структурные уравнения рассматриваемой три-ткани.
С учетом найденных ограничений на компоненты тензоров эти уравнения
примут следующий вид:
Physical and mathematical sciences. Mathematics
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
d ω1 = ω j ∧ ω1j + a1jk ω j ∧ ωk ;
1
1
1
ˆ
1
ˆ
d ωi = ω j ∧ ωij ;
1
(30)
1
d ω1 = ω j ∧ ω1j − a1jk ω j ∧ ωk ;
2
2
2
ˆ
(29)
2
ˆ
(31)
d ωi = ω j ∧ ωij ;
(32)
d ω1i = ω1k ∧ ωik ;
(33)
2
2
ˆ
ˆ
d ωiˆ = ωkˆ ∧ ωik + biˆ ˆˆ ωk ∧ ωl ,
j
j
jkl 1
2
(34)
где iˆ, ˆj , kˆ ≠ 1 . Уравнение (39) означает, что система пфаффовых уравнений
ω1i = 0 является вполне интегрируемой. Следовательно, можно сузить семейство реперов, положив в структурных уравнениях ω1i = 0 . Получим
ˆ
d ω1 = ω j ∧ ω1ˆ + a1jk ω j ∧ ωk ;
j
1
1
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
j
d ωi = ω j ∧ ωiˆ ;
1
1
(36)
ˆ
d ω1 = ω j ∧ ω1ˆ − a1jk ω j ∧ ωk ;
j
2
2
2
ˆ
ˆ
2
ˆ
j
d ωi = ω j ∧ ωiˆ ;
2
2
(37)
(38)
ˆ
ˆ
(35)
ˆ
d ωiˆ = ωkˆ ∧ ωiˆ + biˆ ˆˆ ωk ∧ ωl .
j
j
k
jkl 1
2
(39)
Рассмотрим дифференциальные уравнения (12). С учетом найденных
соотношений они примут вид
∇a1 ˆ = da1ik − a11mˆ ω1mˆ = 0;
1k
(40)
ˆ
ˆ
∇a1ˆ ˆ = da1ˆ ˆ − a1 ˆ ωmˆ − a1ˆ ωmˆ = −b1ˆ ˆ ˆ  ωl − ωl  ,
jm k
jk
jk
mk j
[ jk ]l  1
2 
(41)
ˆ
ˆ
ˆ
0 = −bi ˆ ˆ ˆ  ωl − ωl  .
[ jk ]l  1
2 
(42)
ˆ
Так как формы ωl
1
ˆ
и ωl
2
являются линейно независимыми, то
ˆ
ˆ
ˆ
i
biˆ ˆˆ = biˆˆ ˆ . А поскольку bijkl = −bkjl
, то bijkl = 0 , так как
jkl
kjl
66
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i
i
i
i
bijkl = bkjl
= −bklj
= −blkj
= bljk
= bijlk = −bijkl .
Теорема 1. Если эластичная три-ткань E имеет тензор кручения ранга
1, то найдется такой адаптированный репер, в котором тензор кривизны
ткани E также имеет ранг 1, причем производные алгебры от алгебр, определяемых этими тензорами, определены на одном и том же одномерном пространстве.
С учетом полученных соотношений структурные уравнения рассматриваемой ткани E принимают следующий вид:
ˆ
d ω1 = ω j ∧ ω1ˆ + a1jk ω j ∧ ωk ;
1
j
1
ˆ
1
ˆ
(43)
1
ˆ
j
d ωi = ω j ∧ ωiˆ ;
1
1
(44)
ˆ
d ω1 = ω j ∧ ω1ˆ − a1jk ω j ∧ ωk ;
2
j
2
ˆ
2
ˆ
(45)
2
ˆ
j
d ωi = ω j ∧ ωiˆ ;
2
2
(46)
ˆ
ˆ
ˆ
d ω1ˆ = ωkˆ ∧ ω1ˆ + b1ˆ ˆˆ ωk ∧ ωl ;
j
j
k
jkl 1
2
ˆ
ˆ
(47)
ˆ
dωiˆ = ωkˆ ∧ ωiˆ .
j
j
k
(48)
ˆ
Уравнение (50) показывает, что система уравнений ωiˆ = 0 является
j
вполне интегрируемой. Значит, можно сузить семейство адаптированных реˆ
перов, положив ωiˆ = 0 . В результате структурные уравнения ткани E приниj
мают вид
ˆ
d ω1 = ω j ∧ ω1ˆ + a1jk ω j ∧ ωk ;
j
1
1
1
1
ˆ
d ωi = 0;
(50)
1
ˆ
d ω1 = ω j ∧ ω1ˆ − a1jk ω j ∧ ωk ;
j
2
2
2
2
ˆ
d ωi = 0;
(51)
(52)
2
ˆ
(49)
ˆ
d ω1ˆ = b1ˆ ˆˆ ωk ∧ ωl .
j
jkl 1
2
(53)
Дифференциальные уравнения на тензор кручения (41)–(42) примут
вид
Physical and mathematical sciences. Mathematics
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
∇a1 ˆ = da1ik = 0;
(54)
ˆ
ˆ
∇a1ˆ ˆ = da1ˆ ˆ − a1 ˆ ω1ˆ − a1ˆ ω1ˆ = −b1ˆ ˆ ˆ  ωl − ωl  .
j1 k
1k j
[ jk ]l  1
jk
jk
2 
(55)
1k
Из первого уравнения следует a1ik = const .
Из дифференциальных уравнений на тензор кривизны остаются следующие:
∇b1ˆ ˆˆ = db1ˆ ˆˆ = 0.
jkl
jkl
Из них следует, что
b1ˆ ˆˆ = 0 .
jkl
3. Проверим полученную систему структурных уравнений на замкнутость. Очевидно, что внешнее дифференцирование уравнений (50), (52), (53)
приводит к тождествам. Рассмотрим уравнение (49), переписанное в следующей форме:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
d ω1 = ω j ∧ ω1ˆ + 2a1 ˆ ω1 ∧ ωk + a1ˆ ˆ ω j ∧ ωk .
1
j
1
1k 1
jk 1
1
(56)
1
Продифференцируем его внешним образом, получим:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0 = d ω j ∧ ω1ˆ − ω j ∧ d ω1ˆ + 2a1 ˆ d ω1 ∧ ωk − 2a1 ˆ ω1 ∧ d ωk +
j
1
j
1
1k
ˆ
ˆ
1
1k 1
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
+ da1ˆ ˆ ∧ ω j ∧ ωk + a1ˆ ˆ d ω j ∧ ωk − a1ˆ ˆ ω j ∧ d ωk .
jk
1
jk
1
1
jk 1
1
1
Используя структурные уравнения, находим
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0 = − ω j ∧ b1ˆ ˆˆ ωk ∧ ωl + 2a1 ˆ (ω j ∧ ω1ˆ + 2a1 ˆ ω1 ∧ ω j +
jkl 1
1
j
1k 1
2
1j 1
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
+ a1ˆ ω j ∧ ω pˆ ) ∧ ωk + da1ˆ ˆ ∧ ω j ∧ ωk .
jpˆ 1
1
jk
1
1
1
После преобразований получаем
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0 = −ω j ∧ b1ˆ ˆˆ ωk ∧ ωl + 2a1 ˆ ω j ∧ ω1ˆ ∧ ωk +
jkl 1
1
2
ˆ
ˆ
j
1k 1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
+4a1 ˆ a1 ˆ ω1 ∧ ω j ∧ ωk + 2a1 ˆ a1ˆ ω j ∧ ω pˆ ∧ ωk + da1ˆ ˆ ∧ ω j ∧ ωk .
1k 1 j 1
1
1
1k jpˆ 1
1
1
jk
1
1
Преобразуем далее:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0 =  −b1ˆ ˆˆ ωl − 2a1 ˆ ω1ˆ + 4a1 ˆ a1 ˆ ω1 − 2a1 ˆ a1ˆ ω p + da1ˆ ˆ  ∧ ω j ∧ ωk .
ˆ
1k j
1k 1 j 1
1k jp 1
jk  1
1
 jkl 2
68
(57)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Значение найдем из уравнения (55):
ˆ
ˆ
da1ˆ ˆ = a1 ˆ ω1ˆ + a1ˆ ω1ˆ − b1ˆ ˆ ˆ  ωl − ωl  .
j1 k
jk
1k j
[ jk ]l  1
2 
(58)
Подставляя (58) в (57), получаем
ˆ
ˆ
0 =  −b1ˆ ˆˆ ωl − 2a1 ˆ ω1ˆ + 4a1 ˆ a1 ˆ ω1 − 2a1 ˆ a1ˆ ω p +
ˆ
1
j
j
jp
1
1
1
jkl
k
k
k
2
1
1

ˆ
ˆ 
ˆ
ˆ
+ a1 ˆ ω1ˆ + a1ˆ ω1ˆ − b1ˆ ˆ ˆ  ωl − ωl   ∧ ω j ∧ ωk .
j
j
1
k
1k
[ jk ]l  1
2  1
1
Далее альтернируем по j, k:
ˆ
0 =  −b1ˆ ˆ ˆ ωl − 2a1 ˆ ω1ˆ + 4a1 ˆ a1 ˆ ω1 − 2a1 ˆ a1ˆ ω pˆ +
1[ k j ]
1[ k | 1| j ] 1
1[ k j ] pˆ 1
 [ jk ]l 2
ˆ
ˆ 
ˆ
ˆ
+ a1 ˆ ω1ˆ + a1ˆ ω1ˆ − b1ˆ ˆ ˆ  ωl − ωl   ∧ ω j ∧ ωk .
[ j|1 |k ]
1[ k j ]
[ jk ]l  1
2  1
1
После упрощения получим
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0 =  −2a1 ˆ a1ˆ ω pˆ − b1ˆ ˆ ˆ ωl  ∧ ω j ∧ ωk ; 0 =  2a1 ˆ a1ˆ ˆ + b1ˆ ˆ ˆ  ωl ∧ ω j ∧ ωk .
ˆ
]
j
p
1[ k
[ jk ]l 1  1
[ jk ]l  1
 1[ k j ]l
1
1

1
1
Теперь альтернируем по l, j, k:
ˆ
ˆ
ˆ
0 =  −2a1ˆˆ a1 ˆ + b1ˆ ˆˆ  ωl ∧ ω j ∧ ωk .
[lj| 1|k ]
[ jkl ]  1

1
1
Данное уравнение тождественно удовлетворяется в силу тождеств
Якоби (23). Аналогично, уравнение (51) при дифференцирование дает тождество.
Таким образом, найденная нами система структурных уравнений (49)–
(53) является замкнутой. Следовательно, рассматриваемые ткани E существуют.
Список литературы
1. A k i v i s , M . A Geometry and Algebra of Multidimensional Тhree-webs /
M. A. Akivis, A. M. Shelekhov. – Kluwer Academic Publishers, Dordrecht ; Boston ;
London, 1992. – Р. 375.
2. А к и в и с , М . А . Многомерные три-ткани и их приложения : моногр. /
М. А. Акивис, А. М. Шелехов. – Тверь : Изд-во ТГУ, 2010. – 308 с.
3. Ше л е х о в, А . М . О тpи-тканях с эластичными кооpдинатными лупами /
А. М. Шелехов ; Калининский гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 02.12.1987. № 8465-В87. –
Калинин, 1987.
4. B a l a n d i n a , G . A . On general theory of elastic webs / G. A. Balandina, A. M. Shelekhov // Webs and Quasigroups. – Tver : Tver State University, 1995. – Р. 62–74.
References
1. Akivis M. A., Shelekhov A. M. Geometry and Algebra of Multidimensional Threewebs. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht; Boston; London, 1992, p. 375.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Akivis M. A., Shelekhov A. M. Mnogomernye tri-tkani i ikh prilozheniya: monogr.
[Multidimensional 3-webs and application thereof: monograph]. Tver: Izd-vo TGU,
2010, 308 p.
3. Shelekhov A. M. O tpi-tkanyakh s elastichnymi koopdinatnymi lupami [On 3-webs with
elastic coordinate loops]. Kalininskiy gos. un-t. Dep. v VINITI 02.12.1987. № 8465V87. Kalinin, 1987.
4. Balandina G. A., Shelekhov A. M. Webs and Quasigroups. Tver: Tver State University,
1995, pp. 62–74.
Джукашев Камиль Рамилевич
аспирант, Тверской государственный
университет (Россия, г. Тверь,
ул. Желябова, 33)
Dzhukashev Kamil' Ramilevich
Postgraduate student, Tver State University
(33 Zhelyabova street, Tver, Russia)
E-mail: dzhukashev@gmail.com
УДК 514.763.7
Джукашев, К. Р.
Об эластичных три-тканях с тензором кручения ранга 1 / К. Р. Джукашев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 61–70.
70
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 514
В. М. Кузаконь, А. М. Шелехов
ИНВАРИАНТЫ ГЛАДКИХ СЛОЕНИЙ
Аннотация. Актуальность и цели. Геометрия гладких слоений является одним из основных объектов исследования в дифференциальной геометрии,
имеющим многочисленные приложения, в частности в теоретической физике.
Дифференциальные инварианты слоений изучались одним из авторов настоящей
статьи методами, развитыми в работах А. Виноградова, Д. Алексеевского и
В. Лычагина. Однако эти методы не предоставляют инвариантной формы записи
дифференциальных уравнений изучаемых объектов, что создает определенные
трудности при исследовании сложных дифференциально-геометрических структур. Цель исследования состоит в том, чтобы разработать универсальный подход к изучению слоений различной коразмерности. Материалы и методы.
Используется метод внешних форм и подвижного репера, разработанный Эли
Картаном и развитый в работах Г. Ф. Лаптева, А. М. Васильева и других геометров. В частности, Г. Ф. Лаптевым была построена инвариантная теория
дифференцируемых отображений гладкого многообразия в многообразие
большей размерности. В этой работе мы показываем, как исследовать методом
Картана – Лаптева геометрию гладких субмерсий и определяемых ими гладких слоений. Результаты. Найден канонический вид структурных уравнений
гладкой субмерсии, выяснен геометрический смысл канонизации. Показано,
что с субмерсией каноническим образом связаны G-структуры первого и
второго порядка и некоторый трехвалентный тензор. Выводы. Метод Картана
– Лаптева позволяет эффективно изучать геометрию гладких слоений различной коразмерности как на произвольных гладких многообразиях, так и на многообразиях, снабженных дополнительной структурой.
Ключевые слова: метод внешних форм и подвижного репера, геометрия
гладких слоений, многообразие.
V. M. Kuzakon', A. M. Shelekhov
INVARIANTS OF SMOOTH LAYERINGS
Abstract. Background. Geometry of smooth layerings is one of the main objects of
research in differential geometry, having multiple applications, particularly in theoretical physics. Differential invariants of layerings have been studied by one of the
authors of the present article by the methods developed in work by A. Vinogradov,
D. Alekseevsky and V. Lychagin. However, these methods do not represent invariant
notation of differential equations of the studied objects, and that causes certain difficulties in research of complex differential-geometric structures. The work is aimed at the
development of a universal approach to studying the layerings of various codimensionality. Materials and methods. The authors use the method of external forms and
moving frames, developed by Elie Cartan and modified by G.F. Laptev and other geometers. In particular, G.F. Laptev built the invariant theory of differentiable mapping
of the smooth manifold into the manifold of greater dimensionality. In the present
work the authors show the ways to research the geometry of smooth submersions and
smooth layerings determined by them using the method of Cartan - Laptev. Results.
The authors found a canonical form of structural equations of smooth submersions,
discovered the geometrical sense of canonization. It is shown that canonical submersions are connected with G-structures of the first and second order and a certain triva-
Physical and mathematical sciences. Mathematics
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
lent tensor. Conclusions. The method of Cartan – Laptev allows effective rsearching of
the geometry of smooth layerings of various codimansionality both on random smooth
manifolds and on manifolds, supplied by an additional structure.
Key words: method of external forms and moving frames, geometry of smooth layerings, manifold.
Введение
Дифференциальные инварианты слоений изучались одним из авторов
настоящей статьи в работах [1–7] методами, описанными в работах [8, 9].
В этой работе мы показываем, как исследовать геометрию гладких слоений
классическим методом внешних форм и подвижного репера Эли Картана, который (метод) был усовершенствован в работах ряда геометров, в первую
очередь Г. Ф. Лаптевым, см., например, [10, 11]. В частности, в [12] им была
построена инвариантная теория дифференцируемых отображений гладкого
многообразия в многообразие большей размерности. Мы развиваем теорию
для гладких субмерсий, находим канонический вид структурных уравнений
гладкой субмерсии, выясняем геометрический смысл проведенной канонизации. Показано, что с субмерсией каноническим образом связаны G -структуры первого и второго порядка и некоторый трехвалентный тензор.
1. Структурные уравнения гладкой субмерсии в произвольном репере
Пусть M и X – гладкие многообразия размерностей n и r соответственно, n > r , и f : M → X – гладкое отображение (субмерсия).
Следуя [10], зададим структурные уравнения многообразия M в виде
d ωi = ω j ∧ ωij , d ωij = ωkj ∧ ωik + ωk ∧ ωijk ,
m
i
dωijk = ωmjk ∧ ωim − ωimk ∧ ωmj − ωijm ∧ ωm
k + ω ∧ ω jkm ,
(1)
Здесь ωi , i, j , k , m,... = 1, 2, , n, – базисные дифференциальные формы
многообразия M , зависящие от дифференциалов параметров xi – локальных
координат на M .
Как известно [11], формы ωi и ωij образуют базис расслоения H 1 ( M )
кореперов первого порядка многообразия M , формы ωi , ωij , ωijk – базис расслоения H 2 ( M ) кореперов второго порядка и т.д.
Аналогично запишем структурные уравнения многообразия X :
dϑa = ϑb ∧ ϑba ,
a
,
dϑba = ϑbc ∧ ϑca + ϑc ∧ ϑbc
(2)
Здесь ϑa , a, b, c,... = 1, 2, , m, – базисные дифференциальные формы
многообразия X , зависящие от дифференциалов параметров u a – локальных
координат на X .
В локальных координатах уравнения субмерсии f имеют вид
u = f ( x) . Продифференцировав это уравнение и заменив в нем дифференци-
72
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
алы переменных на инвариантные формы ωi и ϑa , получим дифференциальные уравнения субмерсии f в инвариантной форме:
ϑa = λia ωi .
(3)
Функции λia = λia ( x, u ) образуют дифференциально-геометрический
объект первого порядка отображения f [11].
Субмерсия f определяет в многообразии M слоение Φ со слоями коразмерности m , причем базой слоения является многообразие X . Слой в M
выделяется фиксацией точки многообразия X , т.е. фиксацией локальных координат u a (или, короче, параметра u ). Полагая u = const , мы получаем
ϑa = 0 , в силу чего из (3) следует
λia ωi = 0 –
(4)
дифференциальные уравнения слоения Φ .
На многообразии M действует псевдогруппа локальных диффеоморфизмов, которую обозначим P . Аналогичную группу, действующую на X ,
обозначим Q . Если на многообразиях M и X не фиксированы никакие дополнительные структуры, то субмерсия f и слоение Φ рассматриваются
с точностью до преобразований псевдогруппы P × Q .
Внешнее дифференцирование уравнений (3) с учетом структурных
уравнений приводит к квадратичным уравнениям
(dλia − λ ak ωik + λbi ϑba ) ∧ ωi = 0.
Пользуясь леммой Картана, находим
a k
dλia − λ ak ωik + λbi ϑba = λik
ω ,
(5)
a
где λik
= λ aki – некоторые новые функции, составляющие вместе с функциями λia дифференциально-геометрический объект второго порядка отображения f [10].
Продолжая уравнения (5), т.е. дифференцируя их внешним образом
и раскрывая затем по лемме Картана, мы получим новую серию уравнений,
a
вводящих новые функции λik
 и т.д. Уравнения (1), (2) вместе с уравнениями
(3), (5) и т.д. называются структурными уравнениями субмерсии f или слоения Φ .
Сузим семейство кореперов H 1 ( M ) , выбрав формы λia ωi , которые
аннулируются на слоях слоения Φ , в качестве новых базисных форм ωa
многообразия M . В новом базисе уравнения (4) слоя слоения Φ примут вид
ωa = 0.
(6)
Сравнивая с (4), находим, что в новом репере λba = δba , λua = 0 , где, как
обычно, через δba обозначен символ Кронекера и u = m + 1, m + 2, , n . ПолуPhysical and mathematical sciences. Mathematics
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ченные таким образом кореперы первого порядка назовем адаптированными
субмерсии f или слоению Φ . Как обычно, термин «адаптированный корепер» применяется также ко всему расслоению адаптированных кореперов,
которое обозначим R1 . Далее будем считать, что все рассуждения проводятся
в адаптированном корепере R1 . В нем уравнения (3) принимают простой вид:
ϑa = ωa .
(7)
Назовем их каноническими уравнениями субмерсии f или слоения Φ .
В силу специализации корепера ( λba = δba , λua = 0 ) уравнения (5) разбиваются на две серии:
a k
ϑba = ωba + λbk
ω
(8)
a v
a b
ωua = Auv
ω + Aub
ω ,
(9)
и
a
a
где обозначено Auk
= −λuk
, причем в силу симметрии величин λ ajk по нижi
i
i
= Avu
ним индексам величины Auv
также симметричны: Auv
.
2. Канонические структурные уравнения субмерсии
Продифференцировав уравнения (9) внешним образом, получим
a
a
a b v
∇Auv
∧ ωv + ∇Aub
∧ ωb + Aub
Avc ω ∧ ωc = 0,
(10)
где обозначено
a
a
b a
a w
a w
a
= dAuv
,
∇Auv
+ Auv
ωb − Awv
ωu − Auw
ωv + ωuv
a
a
c a
a v
a c
a v
a
∇Aub
= dAub
+ Aub
ωc − Avb
ωu − Auc
ωb − Auv
ωb + ωub
.
(11)
a
можно считать, что формы
При этом в силу симметрии величин Auv
a
a
a
ωuv
также симметричны: ωuv
= ωuv
.
Используя лемму Картана, из квадратичных уравнений (10) находим
a
a
a
a
a
a
= Auvb
= Aubc
∇Auv
ωb + Auvw
ωw , ∇Aub
ωc + Aubv
ωv ,
(12)
причем выполняются соотношения:
a
a
a
a c
A[auv ]b = 0, Auvw
= A(auvw) , Aua[bc ] = 0, Aubv
− Auvb
= Auc
Aub .
(13)
Положим
a k
 ba = ωba + λbk
ω
ω ,
(14)
тогда уравнения (8) примут вид
 ba ,
ϑba = ω
74
(15)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
a
a
a
= −λub
= −λbu
а в силу (7), (15) и равенств Aub
первые серии структурных
уравнений (1) и (2) примут одинаковый вид:
 ba .
dωa = ωb ∧ ω
(16)
На остальные уравнения первой серии (1) замена (14) не повлияет:
dωu = ωk ∧ ωuk .
Найдем вид псевдогруппы P × Q в корепере R1 . Произвольное преоб i = pij ω j , а произвольное преобразование из Q –
разование из P имеет вид ω
 a = q a ϑb . Будем считать, что кобазисы ω
 a также из R , т.е. для них
i и ϑ
ϑ
b
1
a
a

 . Тогда из предыдущих уравнений
также выполняются уравнения (7): ϑ = ω
получаем qba = pba , pva = 0 , и матрица ( pij ) принимает вид
( pba )
0
( pbu ) ( pvu )
.
Таким образом, в результате редукции репера псевдогруппа P сузилась
до псевдогруппы P′ , выделяемой условиями pva = 0 , а псевдогруппа Q
вкладывается в P′ , которая является ее расширением.
Замена (14) определяет переход к новому адаптированному кореперу,
который обозначим R2 . Далее будем считать, что все уравнения записаны
в корепере R2 . Сравнивая уравнения (15) и (8), находим, что в корепере R2
a
должны выполняться соотношения λbk
= 0 , откуда в силу симметрии этих
a
=0.
величин по нижним индексам и введенных обозначений получаем Aub
В результате уравнения (9) примут вид
a v
ωua = Auv
ω ,
(17)
где в силу предыдущих обозначений
a
a
= Avu
.
Auv
(18)
a
Вторые равенства (11) и (12) в силу условия Aub
= 0 дают
a
a v
a
a
ωub
= Auv
ωb + Aubc
ωc + Aubv
ωv ,
(19)
а соотношения (13) теперь перепишутся так:
a
a
a
A[auv ]b = 0, Auvw
= A(auvw) , Aua[bc ] = 0, Aubv
= Auvb
.
(13′)
Далее дифференцируем (15), пользуясь структурными уравнениями (1)
и (2), записанными в корепере R2 . Получим:
Physical and mathematical sciences. Mathematics
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
a
a
a
a u
(ωbc
− ϑbc
) ∧ ωc + (ωbv
− Auv
ωb ) ∧ ωv = 0.
Применяя лемму Картана, получаем уравнения:
a
a
a
a
a
a u
a
a
ωbc
− ϑbc
= μbcd
ωd + μbcv
ωv , ωbv
− Auv
ωb = μbvc
ωc + μbvw
ωw ,
(20)
причем выполняются соотношения
a
a
μba[cd ] = 0, μbcv
= μbvc
, μba[vw] = 0.
(21)
С помощью первого из соотношений (20) введем следующие обозначения:
a
a
a
a
a
a
 bc
ω
≡ ωbc
− μbcv
ωv = ϑbc
+ μbcd
ωd ≡ ϑ bc
.
(22)
В результате имеем
a
a
a u
d ωba = ωbc ∧ ωca + ωbu ∧ ωua + ωc ∧ ωbc
+ ωv ∧ ωbv
= ωbc ∧ ωca + Auv
ωb ∧ ωv +
a
a
a
a u
a
+ωc ∧ ωbc
+ ωv ∧ ωbv
= ωbc ∧ ωca + ωv (ωbv
− Auv
ωb ) + ωc ∧ ωbc
.
Заменяя выражение в скобках с помощью (20) и учитывая соотношение
μba[vw]
= 0 (см. (21)), после преобразований с учетом обозначений (22) окон-
чательно получим
a
 ba = ω
 bc ∧ ω
 ca + ωc ∧ ω
 bc
dω
.
(23)
a
Простым вычислением проверяется, что форма dϑ bc
имеет такой же
a
a
 bc = ϑ bc , вытекающего из (22),
вид, т.е. дифференцирование соотношения ω
дает тождество.
Замены (22) определяют переход к новым адаптированным кореперам
третьего порядка на многообразиях M и X , которые (кореперы) обозначим
a
a
 bc
≡ ϑ bc
соответственно R3 и R ' . В них (см. (22)) уже ω
, поэтому из уравнеa
a
ний вида (20), записанных для корепера R3 , следует μbcd
= μbcv
= 0 , и, следовательно, вторые уравнения (20) принимают вид
a
a v
a
ωbu
ωb + μbuv
ωv .
= Avu
(20′)
Продолжая вышеприведенные рассуждения по индукции, придем
к следующему утверждению.
Теорема 1. Пусть f : M → X – гладкая субмерсия, и структурные
уравнения многообразий M и X записаны в виде (1), (2). Тогда базисы
в расслоениях кореперов первого, второго и т.д. порядков на многообразиях
M и X можно выбрать так, чтобы выполнялись уравнения
a
a
ϑa = ωa , ϑba = ωba , ωbc
= ϑbc
,
(24)
для любого числа нижних индексов.
Если это сделано, то будем говорить, что структуры многообразий M
и X канонически согласованы относительно субмерсии f . В этом случае
76
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
структурные уравнения (2) многообразия X составляют часть структурных
уравнений (1) многообразия M , которые будем называть каноническими
структурными уравнениями субмерсии f или слоения Φ .
Если выполняется только первая серия соотношений (24), то будем говорить, что канонически согласованы структуры первого порядка; если первая и вторая серии соотношений – то канонически согласованы структуры
второго порядка относительно субмерсии f и т.д.
В случае, если канонически согласованы структуры второго порядка,
первые две серии уравнений (1) будем называть структурными уравнениями
субмерсии f .
3. G -структуры, связанные с субмерсией
Первые две серии структурных уравнений (1) многообразия M
d ωi = ω j ∧ ωij , d ωij = ωkj ∧ ωik + ωk ∧ ωijk
(25)
можно рассматривать как структурные уравнения главного расслоения реперов (реперов первого порядка) над M , базой которого является M , а слоем –
многообразие R p реперов первого порядка, отнесенных к текущей точке p ,
p ∈ M . Слой R p выделяется вполне интегрируемой системой ωi = 0 , в силу
которой уравнения (25) принимают вид
δπij = πkj ∧ πik .
(26)
Здесь, как обычно, πij = ωij (mod ωi = 0) , а δ – символ дифференцирования по вторичным параметрам, т.е. параметрам репера в R p . Уравнения
(26) представляют собой уравнения полной линейной группы GL(n) , действующей на многообразии R p свободно и просто транзитивно.
В случае, если на многообразиях M и X канонически согласованы
структуры второго порядка, то из уравнений (17) и (26) получаем πua = 0 ,
δπua = 0 . Вполне интегрируемая система πua = 0 выделяет на группе GL(n)
подгруппу G , структурные уравнения которой получаются из (26) с учетом
πua = 0 :
δπba = πbc ∧ πca , δπbu = πbc ∧ πuc + πbv ∧ πuv , δπuv = πvw ∧ πuw .
(26’)
Группа G есть группа матриц вида
A 0
,
B C
(27)
где A, B, C – матрицы r × r ,(n − r ) × r ,(n − r ) × (n − r ) соответственно.
Вполне интегрируемые системы πub = πuv = 0 , πuv = πba = 0 , πba = πub = 0
выделяют в группе G соответственно подгруппы GL(r ), A(r , n − r ), GL(n − r ) ,
Physical and mathematical sciences. Mathematics
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где через A(r , n − r ) обозначена абелева группа матриц (n − r ) × r относительно сложения. Как видно из уравнений (26′), подгруппы GL(r ) и
GL(n − r ) являются нормальными делителями в G .
Группа G действует транзитивно на многообразии адаптированных
реперов, которое выше было обозначено R1 . Поэтому она задает на многообразии M G -структуру [13], которую обозначим BG .
Согласно определению группа GL(r ) транзитивно действует на расслоении реперов многообразия X . Покажем, что группа GL(n − r ) транзитивно
действует на расслоении реперов слоя слоения Φ . Действительно, слой фиксируется уравнением (9), в силу которого из уравнений (1) (в адаптированном
репере) получаем структурные уравнения слоя:
d ωu = ωv ∧ ωuv , d ωuv = ωvw ∧ ωuw + ωbv ∧ ωub + ωw ∧ ωuvw =
b w
ω ∧ ωub + ωw ∧ ωuvw .
= ωvw ∧ ωuw + Avw
Фиксируя точку слоя ( ωu = 0 ), получаем структурные уравнения группы GL(n − r ) :
dπuv = πvw ∧ πuw .
Следовательно, эта группа действует на расслоении реперов, базой которого является слой слоения Φ .
Рассмотрим далее первые 3 серии структурных уравнений (1). Их можно
рассматривать как структурные уравнения главного расслоения реперов второго
порядка над M , базой которого является M , а слоем – многообразие R 2p реперов второго порядка, отнесенных к текущей точке p , p ∈ M . Слой R 2p выделяется вполне интегрируемой системой ωi = 0 , в силу которой из (1) следует
δπij = πkj ∧ πik , δπijk = πmjk ∧ πim − πimk ∧ πmj − πijm ∧ πm
k.
(28)
Эти уравнения определяют группу Ли, которая называется дифференциальной группой второго порядка [11], обозначим ее D 2 . Отметим, что
дифференциальные группы исследовались разными авторами, например, их
матричное представление дано в [14], см. также [15].
В случае, если структуры многообразий M и X согласованы до второго порядка, из третьей серии уравнения (28) в силу (17) находим
a
a
δπuv
∧ πvw .
= πbuv ∧ πba − πawv ∧ πuw − πuw
(28′)
a
Отсюда следует, что система пфаффовых уравнений πuv
= 0 на группе
D 2 вполне интегрируема и, следовательно, выделяет некоторую подгруппу,
обозначим ее D02 .
Пусть в расслоении реперов второго порядка над M каким-либо образом зафиксировано подрасслоение вида
78
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
a
a
ωuv
= Buvk
ωk .
(29)
Обозначим его R . В слое R 2p этого подрасслоения будут выполняться
a
уравнения πuv
= 0 , т.е. в R 2p действует группа D02 . Следовательно, на многообразии M определена G -структура второго порядка B 2 со структурной
D0
группой
D02
a
[15]. В то же время из (12) находим, что на R форма ∇Auv
ста-
a
новится главной. Это означает, см. [10], что величины Auv
образуют тензор
на G -структуре BG . Доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть f : M → X – субмерсия, и структуры M и X канонически согласованы относительно f , т.е. выполняются уравнения (1), (16),
(17), (19), (20′), (23) и т.п. Тогда на M определена G -структура BG , где G –
подгруппа вида (27) полной линейной группы GL(n) , действующая на
подрасслоении реперов, заданным уравнениями (17). Пусть на M какимлибо образом зафиксировано сечение вида (29). Тогда на M определена
G -структура второго порядка B 2 со структурной группой D02 – подгрупD
0
пой дифференциальной группой второго порядка D 2 , выделяемой уравнениa
a
ями πuv
= 0 . При этом величины Auv
, определенные равенствами (10) и (12),
образуют тензор на G -структуре BG .
Список литературы
1. К у з а к о н ь , В. М . Инварианты расслоения локально-евклидовой поверхности /
В. М. Кузаконь, М. О. Рахула // Украинский геометрический сборник. – 1978. – №
21. – С. 44–50.
2. К у з а к о н ь , В. М . Тензорные инварианты сечений субмерсий с дополнительными структурами / В. М. Кузаконь // Математичнi Cтудiї. – 2002. – Т. 17, № 2. –
С. 199–210.
3. К у з а к о н ь , В. М . Вычисление дифференциальных инвариантов второго порядка субмерсий евклидовых пространств / В. М. Кузаконь // Мат. методи та фіз.мех. поля. – 2005, Т. 48, № 4. – С. 95–99.
4. К у з а к о н ь , В. М . Метрические дифференциальные инварианты расслоения
кривых на плоскости / В. М. Кузаконь // Збірник праць Інституту математики
НАН України. – 2006, Т. 3, № 3. – С. 201–212.
5. К у з а к о н ь , В. М . Дифференциальные инварианты расслоений кривых на плоскости Минковского / В. М. Кузаконь, И. С. Стрельцова // Мат. методы та фіз.-мех.
поля. – 2007, Т. 43, № 1. – С. 49–54.
6. К у з а к о н ь , В. М . Дифференциальные инварианты слоений / В. М. Кузаконь //
Доклады Национальной Академии Наук Украины. – 2009. – № 4. – С. 25–27.
7. К у з а к о н ь , В. М . Дифференциальные инварианты расслоений кривых на плоскости Лобачевского / В. М. Кузаконь // Збірник праць Ін-ту математики НАН
України. – 2009. – Т. 6, № 2. – С. 82–90.
8. А л е к с е е в с к и й , Д . В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии / Д. В. Алексеевский, А. М. Виноградов, В. В. Лычагин // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. – 1988. – Т. 28. – 289 c.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
9. К р а с и л ь щ и к , И . С . Введение в геометрию нелинейных дифференциальных
уравнений / И. С. Красильщик, В. В. Лычагин, А. В. Виноградов. – М. : Наука,
1986. – 336 c.
10. Ла птев, Г . Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на
гладком многообразии : тр. геометрического семинара / Г. Ф. Лаптев. – М. :
ВИНИТИ АН СССР, 1966. – Т. 1. – С. 139–189.
11. Ла птев, Г . Ф. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия :
тр. геометрического семинара / Г. Ф. Лаптев. – М. : ВИНИТИ АН СССР, 1969. –
Т. 2. – С. 161–178.
12. Ла птев, Г . Ф. К инвариантной аналитической теории дифференцируемых
отображений : тр. геометрического семинара / Г. Ф. Лаптев. – М. : ВИНИТИ АН
СССР, 1974. – Т. 6. – С. 37–42.
13. С те р н б е р г , С . Лекции по дифференциальной геометрии / С. Стернберг. – М. :
Мир, 1970. – 412 с.
14. Лу мисте , Ю . Г . Матричное представление полуголономной дифференциальной группы и структурные уравнения расслоения p -кореперов : тр. геометрического семинара / Ю. Г. Лумисте. – М. : ВИНИТИ АН СССР, 1974. – Т. 5. – С. 239–
257.
15. Евту шик , Л. Е. Дифференциальные связности и инфинитезимальные преобразования продолженной псевдогруппы : тр. геометрического семинара / Л. Е. Евтушик. – М. : ВИНИТИ АН СССР, 1969. – Т. 2. – С. 119–150.
References
1. Kuzakon' V. M., Rakhula M. O. Ukrainskiy geometricheskiy sbornik [Ukranian geometrical collection]. 1978, no. 21, pp. 44–50.
2. Kuzakon' V. M. Matematichni Ctudiї [Mathematical studies]. 2002, vol. 17, no. 2,
pp. 199–210.
3. Kuzakon' V. M. Mat. metodi ta fіz.-mekh. polya [Mathematical methods and physicalmechanical fields]. 2005, vol. 48, no. 4, pp. 95–99.
4. Kuzakon' V. M. Zbіrnik prats' Іnstitutu matematiki NAN Ukraїni [Collected papers of
the Institute of mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine]. 2006,
vol. 3, no. 3, pp. 201–212.
5. Kuzakon' V. M., Strel'tsova I. S. Mat. metody ta fіz.-mekh. polya [Mathematical methods and physical-mechanical fields]. 2007, vol. 43, no. 1, pp. 49–54.
6. Kuzakon' V. M. Doklady Natsional'noy Akademii Nauk Ukrainy [Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine]. 2009, no. 4, pp. 25–27.
7. Kuzakon' V. M. Zbіrnik prats' Іn-tu matematiki NAN Ukraїni [Collected papers of the
Institute of mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine]. 2009, vol. 6,
no. 2, pp. 82–90.
8. Alekseevskiy D. V., Vinogradov A. M., Lychagin V. V. Sovremennye problemy
matematiki. Fudamental'nye napravleniya [Modern problems of mathematics. Fundamental directions]. 1988, vol. 28, 289 p.
9. Krasil'shchik I. S., Lychagin V. V., Vinogradov A. V. Vvedenie v geometriyu
nelineynykh differentsial'nykh uravneniy [Introduction into geometry of nonlinear differential equations]. Moscow: Nauka, 1986, 336 p.
10. Laptev G. F. Osnovnye infinitezimal'nye struktury vysshikh poryadkov na gladkom
mnogoobrazii: tr. geometricheskogo seminara [Basic infinitesimal structures of higher
orders on the smooth manifold: proceedings of the geometrical seminar]. Moscow:
VINITI AN SSSR, 1966, vol. 1, pp. 139–189.
11. Laptev G. F. Strukturnye uravneniya glavnogo rassloennogo mnogoobraziya: tr.
geometricheskogo seminara [Structural equations of the main foliated manifold: pro-
80
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
ceedings of the geometrical seminar]. Moscow: VINITI AN SSSR, 1969, vol. 2,
pp. 161–178.
12. Laptev G. F. K invariantnoy analiticheskoy teorii differentsiruemykh otobrazheniy:
tr. geometricheskogo seminara [Towards invariant analytical theory of differentiable
mapping: proceedings of the geometrical seminar]. Moscow: VINITI AN SSSR, 1974,
vol. 6, pp. 37–42.
13. Sternberg S. Lektsii po differentsial'noy geometrii [Lections on differential geometry].
Moscow: Mir, 1970, 412 p.
14. Lumiste Yu. G. Matrichnoe predstavlenie polugolonomnoy differentsial'noy gruppy i
strukturnye uravneniya rassloeniya p -koreperov: tr. geometricheskogo seminara [Matrix representation of the semiholonomic differential group and structural equations of
layering of p-coframes: proceedings of the geometrical seminar]. Moscow: VINITI AN
SSSR, 1974, vol. 5, pp. 239–257.
15. Evtushik L. E. Differentsial'nye svyaznosti i infinitezimal'nye preobrazovaniya
prodolzhennoy psevdogruppy: tr. geometricheskogo seminara [Differential connectivities and infinitesimal transformation of the extended pseudogroup: proceedings of the
geometrical seminar]. Moscow: VINITI AN SSSR, 1969, vol. 2, pp. 119–150.
Кузаконь Виктор Михайлович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей математики,
Одесская национальная академия
пищевых технологий (Украина,
г. Одесса, ул. Канатная, 112)
Kuzakon' Viktor Mikhaylovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of higher mathematics, Odessa National
Academy of Food Technologies
(112 Kanatnaya street, Odessa, Ukraine)
E-mail: kuzakon_v@ukr.net
Шелехов Александр Михайлович
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра функционального
анализа и геометрии, Тверской
государственный университет (Россия,
г. Тверь, Садовый переулок, 35)
Shelekhov Aleksandr Mikhaylovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of functional analysis and geometry,
Tver State University (35 Sadovy lane,
Tver, Russia)
E-mail: amshelekhov@rambler.ru
УДК 514
Кузаконь, В. М.
Инварианты гладких слоений / В. М. Кузаконь, А. М. Шелехов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 71–81.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 514.764.25 + 515.168.5
С. Е. Степанов, Й. Микеш, И. И. Цыганок
ОПЕРАТОР ТАЧИБАНЫ
Аннотация. Актуальность и цели. Рассмотрены лапласиан Ходжа – де Рама и
оператор Тачибаны, действующие на дифференциальных формах компактного
риманова многообразия. Если изучение собственных значений и, вообще,
свойств первого из операторов можно отнести к классике римановой геометрии, то второй оператор был введен в рассмотрение сравнительно недавно
первым из авторов. Этот оператор является эллиптическим, а потому на компактном многообразии его ядро, состоящее из конформно киллинговых форм,
имеет конечную размерность, названную числом Тачибаны, по аналогии
с числом Бетти, которое равно размерности пространства гармонических
форм, составляющих ядро лапласиана Ходжа – де Рама. Ранее авторами были
установлены свойства чисел Тачибаны и их связь с числами Бетти компактного
риманова многообразия. Так, в частности, были получены «нижние границы»
для первых собственных значений лапласиана Ходжа – де Рама и оператора
Тачибаны на компактном конформно плоском римановом многообразии четной
размерности со знакоопределенной скалярной кривизной. Цель исследования – с
помощью оператора Тачибаны получить необходимые и достаточные условия,
характеризующие гармонические, замкнутые и козамкнутые конформно киллинговые формы, а также найти первые собственные значения лапласиана Ходжа –
де Рама и оператора Тачибаны на римановых многообразиях постоянной кривизны и установить их кратность. Материалы и методы. Объектом исследования является малоизученный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка, действующий на дифференциальных формах компактного риманова многообразия. Используются методы классической тензорной геометрии
и теории дифференциальных операторов на многообразиях. Результаты.
В предлагаемой статье с помощью оператора Тачибаны получены необходимые и достаточные условия, характеризующие гармонические, замкнутые и
козамкнутые конформно киллинговые формы, которые обобщают уже известные их характеристики, принадлежащие К. Яно, а также найдены первые собственные значения лапласиана Ходжа – де Рама и оператора Тачибаны на римановых многообразиях постоянной кривизны и установлена их кратность.
Ключевые слова: риманово многообразие, оператор кривизны, конформно
киллинговые формы, оператор Тачибаны, собственное значение, собственная
форма.
S. E. Stepanov, Y. Mikesh, I. I. Tsyganok
TACHIBANA OPERATOR
Abstract. Background. The article considers the Hodge – De Rham laplacian and
the Tachiban operator, functioning on differential forms of the compact Riemannian
manifold. When the study of eigenvalues and properties, in general, of the first operator may be refered to as the classics of Riemannian geometry, the second operator has been introduced relatively recently by the first author. This operator is an elliptic one, and therefore on a compact manifold its kernel, consisting of conformal
Killing forms, has a finite dimensionality, namd as the Tachibana number, similar to
the Betti number, that equals ot the dimensionality of harmonic form space, forming
the kernel of the Hodge – De Rham laplacian. Previously the authors have deter-
82
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
mined the properties of Tachibana numbers and relation thereof to Betti numbers of
the compact Riemannian manifold. Particularly, the authors obtained “lower boundaries” for the first eigenvalues of the Hodge – De Rham laplacian and the Tachibana
operator on the compact conformal plane Reimannian manifold of even dimensionality with fixed-sign scalar curvature. The research is aimed at acquisition of necessary and sufficient conditions that characterize harmonic, closed and coclosed conformal Killing forms using the Tachibana operator, as well as discovering the first
eigenvalues of the Hodge – De Rham laplacian and the Tachibana operator on the
Riemannian manifolds of constant curvature and determining the order thereof. Materials and methods. The object of research is an insufficiently studied elliptic differential operator of the second order, functioning on differential forms of the compact Riemannian manifold. The authors use the methods of classical tensor geometry and theory of differential operators on manifolds. Results. In the present article,
using the Tachibana operator, the authors obtained the necessary and sufficient conditions that characterize harmonic, closed and coclosed conformal Killing forms,
which generalize the already known characteristic thereof, obtained by K. Yano, as
well as discovered the first eigenvalues of the Hodge – De Rham laplacian and the
Tachibana operator on the Riemannian manifolds of constant curvature and determined the order thereof.
Key words: Riemannian manifold, curvature operator, conformal Killing forms,
Tachibana operator, eigenvalue, eigenform.
Введение
В настоящей статье будут рассмотрены лапласиан Ходжа – де Рама и
оператор Тачибаны, действующие на дифференциальных формах компактного риманова многообразия. Если изучение собственных значений и свойств
первого из операторов можно отнести к классике римановой геометрии
[1, c. 102–131; 2, c. 334–344], то второй оператор был введен в рассмотрение
сравнительно недавно [3]. Он является эллиптическим, а потому на компактном многообразии его ядро, состоящее из конформно киллинговых форм,
имеет конечную размерность, названную числом Тачибаны, по аналогии
с числом Бетти, которое равно размерности пространства гармонических
форм, составляющих ядро лапласиана Ходжа – де Рама. Более того, числа Тачибаны обладают той же двойственностью, что и двойственность Пуанкаре
для чисел Бетти. В статьях [4, 5] установлены и другие свойства чисел Тачибаны. Так, в частности, в [5] получены «нижние границы» для первых собственных значений лапласиана Ходжа – де Рама и оператора Тачибаны на
компактном конформно плоском римановом многообразии четной размерности со знакоопределенной скалярной кривизной.
В предлагаемой статье с помощью оператора Тачибаны будут получены необходимые и достаточные условия, характеризующие гармонические,
замкнутые и козамкнутые конформно киллинговые формы и обобщающие
известные их характеристики, принадлежащие К. Яно, а также найдены первые собственные значения лапласиана Ходжа – де Рама и оператора Тачибаны на римановых многообразиях постоянной кривизны.
1. Предварительные сведения
Пусть ( M , g ) – риманово многообразие, которое далее будем рассматривать как связное класса C ∞ многообразие М размерности n ≥ 2 с метричеPhysical and mathematical sciences. Mathematics
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ским тензором g
и связностью Леви-Чивита ∇ . Пусть далее ТМ и
(
T ∗ M – его касательное и кокасательное расслоения, а Λ r M = Λ r T ∗ M
(
S r M = S r T ∗M
)
)
и
– расслоения дифференциальных r-форм и ковариантных
симметрических r-тензоров на М. Обозначим через C ∞TM ,
C ∞T ∗ M ,
C ∞ Λ r M и C ∞ S r M векторные пространства всех их C ∞ -сечений. Метрика в
этих пространствах индуцируется римановой метрикой g . В случае ком-
пактности многообразия ( М , g ) посредством формулы
ω, θ =
 g ( ω, θ) d Vol
(1)
М
для любых ω, θ∈ C ∞ Λ r M задается метрика Ходжа, или, иначе, глобальное
скалярное произведение на C ∞ Λ r M [1, с. 105; 6, с. 64; 7, с. 161].
Обозначим символом d :C ∞ Λ r M → C ∞ Λ r +1M хорошо известный оператор внешнего дифференцирования [1, с. 111; 8, с. 202; 9, с. 41]. При этом
если d ω = 0 , то r-форма ω называется замкнутой. Если же существует
θ∈ C ∞ Λ r −1M такая, что ω = d θ , то r-форма ω называется
точной [1, c. 113]. Известно также, что d d ω = 0 для любой формы
( r − 1) -форма
ω∈ C ∞ Λ r M [1, c. 112; 9, с. 41].
Формально сопряженный к d относительно метрики Ходжа оператор
кодифференцирования обозначим как d ∗:C ∞ Λ r M → C ∞ Λ r −1M [8, с. 204;
9, с. 167]. При этом если d ∗ ω = 0 , то r-форма ω называется козамкнутой.
Если же существует
( r + 1) -форма
θ∈ C ∞ Λ r +1M такая, что ω = d ∗ θ , то
r-форма ω называется коточной. Известно, что d ∗d ∗ω = 0 для любой
ω∈ C ∞ Λ r M [9, с. 167].
Для произвольных ω∈ C ∞ Λ r M и θ∈ C ∞ Λ r +1M справедливо интегральное равенство [2, с. 335; 6, с. 65; 8, с. 204]
ω, d ∗θ = d ω, θ ,
(2)
из которого следует, что [8, с. 205]
C ∞ Λ r M = Im d ⊕ Ker d ∗ .
(3)
С помощью операторов d и d* строится лапласиан Ходжа – де Рама
Δ = d ∗d + d d ∗ , который является самосопряженным неотрицательным строго
эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка, действующим на С ∞ Λ r М [1, с. 106–107; 8, c. 204; 9, с. 167; 10, c. 80].
Оператор Δ коммутирует с двумя исходными операторами d Δ = Δ d и
d ∗Δ = Δ d ∗ и оператором Ходжа ∗Δ = Δ ∗ , который является хорошо из-
84
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
вестным изоморфизмом ∗:Λ r М → Λ п − r М векторных расслоений Λ r М и
Λ п− r М [1, c. 103–105; 6, с. 6; 9, с. 162, 163, 167; 10, с. 52].
Ядро оператора Δ составляют гармонические r-формы [9, с. 167], образующие на компактном многообразии ( М , g ) конечномерное векторное про-
странство H r ( M , R ) , размерность которого, как это последует из теории
Ходжа [2, c. 334–337; 7, c. 161; 8, c. 273, 357–365, 375–392], равна числу Бетти
br ( M ) многообразия ( М , g ) . Числа Бетти обладают двойственностью Пу-
анкаре br ( M ) = bn −r ( M ) , которая является следствием равенства ∗Δ = Δ ∗
[7, с. 161].
На компактном многообразии ( М , g ) имеет место следующее равенство [7, с. 161]:
Ker Δ = Ker d ∩ Ker d ∗ ,
(4)
Ker d = Im d ⊕ Ker Δ , Ker d ∗ = Im d ∗ ⊕ Ker Δ
(5)
где
(
для Im d : = d C ∞ Λ r −1M
) и Im d ∗: = d ∗ (C ∞ Λr +1M ) . На основании (4) и (5) из
(3) следует известное разложение Ходжа [1, с. 108; 2, с. 335; 7, с. 161]
(
)
(
)
С ∞ Λ r M = d С ∞ Λ r −1М ⊕ d ∗ С ∞ Λ r +1М ⊕ Ker Δ .
(6)
Лапласиан Ходжа – де Рама Δ в свою очередь допускает разложение
Вейценбека [2, с. 336; 8, c. 211; 10, с. 77] вида
Δ = ∇∗∇ + Н r ,
(7)
где ∇∗ – оператор, формально сопряженный к связности ∇ относительно
метрики Ходжа; H r – алгебраический симметричный оператор Hr: Ωr(M) →
Ωr(M), который линейно зависит от тензоров кривизны R и Риччи Ric метрики
g. Отметим здесь важное свойство оператора H r :
∗ H r = H n−r ∗ ,
(8)
или, подробнее, ∗ H r ( ω) = ∗Δ ω − ∗∇∗∇ ω = Δ ( ∗ω) − ∇∗∇ ( ∗ω) = H n − r ( ∗ω) . Здесь
мы воспользовались свойствами ∗Δ = Δ ∗ и ∗∇ = ∇ ∗ оператора Ходжа
[1, с. 107; 6, с. 9; 9, с. 167].
В работах [11, 12] был найден вид оператора D из базиса
{ d,d ∗ , D}
пространства естественных (относительно изометрических диффеоморфизмов) дифференциальных операторов первого порядка, действующих на
С ∞ Λ r М , и доказано, что его ядро составляют конформно киллинговые
r-формы. Это было ответом на вопрос из статьи [13]. Позднее в работе [3]
был найден оператор D*, формально сопряженный к D относительно метрики
Physical and mathematical sciences. Mathematics
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Ходжа, а затем с помощью операторов D и D* построен эллиптический дифференциальный оператор второго порядка
D∗ D =
1  ∗
1 ∗
1

d d−
d d∗  .
∇ ∇−
r ( r + 1) 
r +1
n − r +1

(9)
В статьях [4, 5, 14] были изучены свойства оператора D∗ D . Так,
в частности, было доказано, что ядро оператора D∗ D на компактном многообразии ( М , g ) составляют конформно киллинговые r-формы, образующие
конечномерное векторное пространство. Если при этом оператор кривизны
R отрицательно определен, то на многообразии ( М , g ) не существует отличных от нуля конформно киллинговых форм.
Напомним здесь, что конформно киллинговые r-формы (1 ≤ r ≤ n − 1)
или, иначе, конформные тензоры Киллинга – Яно на n-мерном (n ≥ 2) римановом многообразии (M, g), были определены более сорока лет назад [15, 16]
как естественное обобщение конформно киллинговых векторных полей [17,
c. 284; 18, c. 46–48]. C тех пор эти формы находились под пристальным вниманием множества геометров [19–25], что, кроме прочего, стимулировалось
их многочисленными физическими приложениями [11, 12, 26, 29].
Размерность пространства Тr ( M , R ) конформно киллинговых r-форм,
заданных глобальным образом на компактном римановом многообразии
(M, g), была названа числом Тачибаны tr ( M ) по аналогии с числом Бетти
br ( M ) [4]. Доказано [4, 14], что числа Тачибаны обладают свойством двой-
ственности tr ( M ) = tn −r ( M ) , аналогом двойственности Пуанкаре для чисел
Бетти, и являются скалярными конформными инвариантами многообразия
( M , g ) . В статье [5] были установлены различные связи между числами Тачибаны и Бетти.
Пространство K r ( M , R ) козамкнутых конформно киллинговых r-форм,
или, иначе, киллинговых r-форм, является подпространством Тr ( M , R ) ко-
нечной размерности kr ( M ) , названной числом Киллинга многообразия
(M, g). В свою очередь пространство Р r ( M , R ) замкнутых конформно киллинговых r-форм, названых в [12, 30] планарными r-формами, является подпространством Тr ( M , R ) конечной размерности рr ( M ) , названной числом
планарности многообразия (M, g). Числа kr ( M ) и рr ( M ) являются проективными инвариантами и обладают следующим свойством двойственности:
kr ( M ) = pn −r ( M ) [4, 14, 30].
2. Инвариантные характеристики
киллинговых и гармонических форм
Оператор □:= р ( р + 1) D∗ D
назовем оператором Тачибаны (ср.
∗
с [5]). Как и D D , оператор Тачибаны □ эллиптический и его ядро на ком-
86
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
пактном многообразии
(M , g)
является конечномерным векторным про-
странством Tr ( M , R ) конформно киллинговых r-форм размерности tr ( M ) .
С помощь оператора Тачибаны можно получить условия, характеризующие гармонические, киллинговые и планарные формы. Например, известно
необходимое и достаточное условие того, чтобы форма ω∈ С ∞ Λ r М была
гармонической [6, c. 68]. Оно следует из разложения Вейценбека (7) и имеет
вид ∇∗∇ ω = − H r ( ω) . Наше условие будет аналогичным
Предложение 1. На n-мерном компактном римановом многообразии
(M, g) форма ω∈ С ∞ Λ r М для всех 1 ≤ r ≤ n – 1 будет гармонической тогда и
только тогда, когда □ ω = − H r ( ω) .
Доказательство. Действие оператора □ на произвольную форму
∞ r
ω∈ С Λ М определяется равенством
□ ω = ∇∗ ∇ω −
1 ∗
1
d d ω−
d d ∗ω .
r +1
n − r +1
(10)
С учетом разложения Вейценбека (7) равенству (10) придадим вид
□ ω = Δ ω − Н r ( ω) −
1 ∗
1
d d ω−
d d ∗ω .
r +1
n − r +1
(11)
Поскольку Δ = d ∗d + d d ∗ , то в итоге
□ ω = − H r ( ω) +
r
n−r
d ∗d ω +
d d ∗ω .
n − r +1
( r + 1)
После этого доказательство утверждения становится очевидным.
Число μ r , для которого найдется соответствующая ему r-форма
ω∈ C ∞ Λ r M , не равная тождественно нулю, такая, что □ ω = μ r ω , названо
в [5] собственным значением оператора Тачибаны □. При этом r-форма ω
названа собственной формой оператора □, отвечающей собственному значению μ r (см. [5]). В соответствии с этим сформулируем следствие.
Следствие 1. На компактном римановом многообразии (М, g) постоянной секционной кривизны C форма ω∈ С ∞ Λ r М для всех r = 1, …, n – 1 будет гармонической тогда и только тогда, когда она является собственной
формой оператора Тачибаны, отвечающей собственному значению (n – r) C и
при этом С > 0.
Доказательство. Для доказательства надо лишь напомнить, что на римановом многообразии постоянной кривизны C выполняется равенство
Hr = r(n – r) Cω. Очевидно, что кратность собственного значения
(n – r) C равна числу Бетти br(M). Поскольку оператор □ неотрицательный,
то С > 0.
Известно также необходимое и достаточное условие того, чтобы
r-форма была киллинговой [6, c. 70]. Условие имеет вид двух уравнений
Physical and mathematical sciences. Mathematics
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Δ ω = ( r + 1) r −1H r ( ω) и d ∗ω = 0 . Наше условие будет несколько отличаться
от приведенного выше.
Предложение 2. Пусть (M, g) будет n-мерным компактным римановым
многообразием. Если для всех r = 1, …, n – 1 форма ω∈ С ∞ Λ r М удовлетворяет уравнению
1) Δ ω = ( r + 1) r −1 H r ( ω) , то она киллинговая, обратное имеет место, ко-
п
гда   ≤ r ≤ п − 1 ;
2
−1
2) Δ ω = ( п − r + 1)( n − r ) H r ( ω) , то она планарная, обратное имеет меп
сто, когда 1 ≤ r ≤   .
2
Доказательство. Принимая во внимание выражение Δ = d ∗d + d d ∗
лапласиана Ходжа – де Рама Δ , формулу (11) перепишем в следующем виде:
□ω=
r
п − 2r
Δ ω − Н r ( ω) +
d d ∗ω .
r +1
( r + 1)( n − r + 1)
Теперь для киллинговой формы ω∈ С ∞ Λ r М , т.е. такой, что □ ω = 0 и
d ∗ω = 0 , уравнение Δ ω = ( r + 1) r −1 H r ( ω) выполняется автоматически. Более
п
того, при всех   ≤ r ≤ п − 1 условия Δ ω = ( r + 1) r −1 H r ( ω) и □ ω = d ∗ω = 0
2
равносильны. Далее воспользуемся без труда получаемым из (11) равенством
□ ω=
Очевидно,
п−r
п − 2r
Δ ω − Н r ( ω) −
d ∗d ω .
n − r +1
( r +1)( п − r +1)
что
когда
□ω= d ω= 0
справедливо
уравнение
−1
п
Δ ω = ( п − r + 1)( n − r ) H r ( ω) . С другой стороны, при   ≤ r ≤ п − 1 условия
2
−1
Δ ω = ( п − r + 1)( n − r ) H r ( ω) и □ ω = d ω = 0 равносильны.
Замечание. Второе утверждение можно также доказать, исходя из первого, если воспользоваться свойствами оператора Ходжа ∗Δ = Δ ∗ ,
∗H r = H n −r ∗ и ∗d ∗ d = d d ∗ ∗ .
Число λ r , для которого найдется соответствующая ему r-форма
ω∈ C ∞ Λ r M , не равная тождественно нулю, такая, что Δ ω = λ r ω , называется
в [2] собственным значением Лапласиана Ходжа – де Рама Δ. При этом
r-форма ω называется собственной формой Лапласиана Ходжа – де Рама,
отвечающей собственному значению λ r [2]. Отсюда сразу выводится следствие.
Следствие 2. Пусть (М, g) будет n-мерным компактным римановым
многообразием постоянной секционной кривизны C. Тогда:
88
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
1) каждая киллинговая форма ω∈ С ∞ Λ r М является собственной формой Лапласиана Ходжа – де Рама Δ, отвечающей собственному значению
п
(r + 1)(n – r) C, обратное утверждение верно при   ≤ r ≤ п − 1 ;
2
2) каждая планарная форма ω∈ С ∞ Λ r М является собственной формой Лапласиана Ходжа – де Рама Δ, отвечающей собственному значению
п
r(n – r + 1) C, обратное утверждение верно при   ≤ r ≤ п − 1 .
2
Доказательство. Для доказательства надо лишь напомнить, что на римановом многообразии постоянной кривизны C выполняется равенство
Hr = r(n – r) Cω. Надо отметить, что в первом случае кратность собственного
значения (r + 1)(n – r) C равна числу Киллинга kr(M), а во втором случае
кратность собственного значения r(n – r + 1) C равна числу планарности pr(M)
многообразия (М, g). Поскольку оператор Δ неотрицательный, то в обоих
случаях С < 0.
Список литературы
1. J o s t , J . Riemannian geometry and Geometric Analysis / J. Jost. – Springer-Verlag,
Berlin, 2011. – 611 p.
2. C h a v e l, I . Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press. INC / I. Chavel. –
Orlando, 1984. – 362 p.
3. С те п а н о в, С . E . Новый сильный лапласиан на дифференциальных формах /
С. E. Степанов // Математические заметки. – 2004. – Т. 76, № 3. – С. 452–458.
4. С те п а н о в, C . E . Кривизна и числа Тачибаны / C. E. Степанов // Математический сборник. – 2011. – Т. 202, № 7. – С. 135–146.
5. S t e p a n o v , S . E. Betti and Tachibana numbers of compact Riemannian manifolds /
S. E. Stepanov, J. Mikes // Differential Geometry and its Applications. – 2013. – Т. 31,
№ 4. – С. 486–495.
6. Y a n o , K . Integral formulas in Riemannian geometry, Marcel Dekker / K. Yano. –
New York, 1970. – 156 p.
7. Н о в и к о в , С . П . Топология / С. П. Новиков // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. – 1986. – Т. 12. – Р. 5–252.
8. P e t e r s e n , P . Riemannian Geometry, Springer Science / P. Petersen. – New York,
2006. – 401 p.
9. де Р а м , Ж . Дифференцируемые многообразия / Ж. де Рам. – М. : Изд-во иностранной литературы, 1956. – 248 с.
10. Б е с с е , А . Многообразия Эйнштейна / А. Бессе. – М. : Мир, 1990. – 708 с.
11. S t e p a n o v , S . E. On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field /
S. E. Stepanov // Journal Geom. and Phys. – 2000. – Vol. 33. – P. 191–209.
12. S t e p a n o v , S . E. A class of closed forms and special Maxwell’s equations /
S. E. Stepanov // Tensor N. S. – 1997. – Vol. 58. – Р. 233–242.
13. B o u r g u i g n o n , J . P . Formules de Weitzenbök en dimension 4 / J. P. Bourguignon //
Seminare A. Besse sur la géometrie Riemannienne dimension 4, Cedic. – Ferman, Paris,
1981. – Р. 308–331.
14. С те п а н о в, С . Е. О некоторых конформных и проективных скалярных инвариантах риманова многообразия / С. Е. Степанов // Математические заметки. – 2006. –
Т. 80, № 6. – С. 848–852.
15. Ta c h ib a n a , S h . On conformal Killing tensor in a Riemannian space / Sh. Tachibana //
Tohoku Math. Journal. – 1969. – Vol. 21. – Р. 56–64.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
16. K a s h iwa d a , T. On conformal Killing tensor / T. Kashiwada // Natural. Sci. Rep.
Ochanomizu Univ. – 1968. – Vol. 19, № 2. – Р. 67–74.
17. К о б о яс и , Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобояси, К. Номидзу. –
М. : Наука, 1981. – Т. I. – 344 с.
18. Я н о , К . Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бохнер. – М. : Изд-во иностранной
литературы, 1957. – 152 с.
19. D a v id , L. A characterization of quaternionic projective space by the conformalKilling equation / L. David, M. Pontecorvo // J. London Math. Soc. – 2009. – Vol. 80,
№ 2. – Р. 326–340.
20. K o r a , M . On conformal Killing forms and the proper space Δ of for p-forms /
M. Kora // Math. J. Okayama Univ. – 1980. – Vol. 22, № 2. – Р. 195–204.
21. С те п а н о в, С . Е. Векторное пространство конформно киллинговых форм на
римановом многообразии / С. Е. Степанов // Зап. научных семинаров ПОМИ. –
1999. – № 261. – С. 240–265.
22. S e m m e l m a n n , U . Conformal Killing forms on Riemannian manifolds / U. Semmelmann // Math. Z. – 2003. – Vol. 245, № 3. – Р. 503–527.
23. G o v e r , A . R . The conformal Killing equation on forms – prolongations and applications / A. R. Gover, J. Silhan // Diff. Geom. Apll. – 2008. – Vol. 26. – Р. 244–266.
24. Ts u y o s h i, H . Closed conformal Killing-Yano tensor and geodesic integrability /
H. Tsuyoshi H., O. Takeshi, Y. Yukinori // J. Phys. A, Math. Theor. – 2008. – Vol. 41,
№ 2. – Р. 12.
25. R ic h a r d s o n , K . Transverse conformal Killing forms and a Gallot-Meyer Theorem
for foliations / K. Richardson, S. D. Jung // Mathematische Zeitschrift. – 2012. –
Vol. 270, № 1–2. – Р. 337–350.
26. C a r t e r , B . Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in
curved space-time / B. Carter, R.G. Mc Lenaghan // Phys. Rev. D. – 1979. – Vol. 19. –
Р. 1093–1097.
27. G i b b o n s , G . W . The hidden symmetries of multicentre metrics / G.W. Gibbons,
P. J. Ruback // Commun. Math. Phys. – 1988. – № 115. – Р. 267–300.
28. C h a r lt o n , P . Dirac symmetry operators from conformal Killing-Yano tensor /
P. Charlton, I. M. Benn // Classical Quantum Gravity. – 1997. – Vol. 14, № 5. –
Р. 1037–1042.
29. F r o lo v , V . P . Introduction to Black Hole Physics / V.P. Frolov, A. Zelnikov. – Oxford, Oxford Univ. Press, 2011. – 488 p.
30. С те п а н о в, С . Е. О тензоре Киллинга-Яно / С. Е. Степанов // Теоретическая и
математическая физика. – 2003. – Т. 134, № 3. – С. 382–387.
References
1. Jost J. Riemannian geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin, 2011,
611 p.
2. Chavel I. Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press. INC. Orlando,
1984. – 362 p.
3. Stepanov S. E. Matematicheskie zametki [Mathematical notes]. 2004, vol. 76, no. 3,
pp. 452–458.
4. Stepanov S. E. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collection]. 2011, vol. 202,
no. 7, pp. 135–146.
5. Stepanov S. E., Mikes J. Differential Geometry and its Applications. 2013, vol. 31,
no. 4, pp. 486–495.
6. Yano K. Integral formulas in Riemannian geometry, Marcel Dekker. New York, 1970,
156 p.
7. Novikov S. P. Sovremennye problemy matematiki. Fundamental'nye napravleniya
[Modern mathematical problems. Fundamental directions]. 1986, vol. 12, pp. 5–252.
90
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
8. Petersen P. Riemannian Geometry, Springer Science. New York, 2006, 401 p.
9. de Ram, Zh. Differentsiruemye mnogoobraziya [Differential manifolds]. Moscow:
Izd-vo inostrannoy literatury, 1956, 248 p.
10. Besse A. Mnogoobraziya Eynshteyna [Einstein manifolds]. Moscow: Mir, 1990, 708 p.
11. Stepanov S. E. Journal Geom. and Phys. 2000, vol. 33, pp. 191–209.
12. Stepanov S. E. Tensor N. S. 1997, vol. 58, pp. 233–242.
13. Bourguignon J. P. Seminare A. Besse sur la géometrie Riemannienne dimension 4,
Cedic. [Seminar of A. Besse on dimension 4 of the Riemannian geometry, Cedic].
Ferman, Paris, 1981, pp. 308–331.
14. Stepanov S. E. Matematicheskie zametki [Mathematical notes]. 2006, vol. 80, no. 6,
pp. 848–852.
15. Tachibana Sh. Tohoku Math. Journal. 1969, vol. 21, pp. 56–64.
16. Kashiwada T. Natural. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1968, vol. 19, no. 2, pp. 67–74.
17. Koboyasi Sh., Nomidzu K. Osnovy differentsial'noy geometrii [Basic differential geometry]. Moscow: Nauka, 1981, vol. I, 344 p.
18. Yano K., Bokhner S. Krivizna i chisla Betti [Betti curvature and numbers]. Moscow:
Izd-vo inostrannoy literatury, 1957, 152 p.
19. David L., Pontecorvo M. J. London Math. Soc. 2009, vol. 80, no. 2, pp. 326–340.
20. Kora M. Math. J. Okayama Univ. 1980, vol. 22, no. 2, pp. 195–204.
21. Stepanov S. E. Zap. nauchnykh seminarov POMI [Scientific seminar reports of the
Saint-Peterburg branch of the Institute of Mathematics]. 1999, no. 261, pp. 240–265.
22. Semmelmann U. Math. Z. 2003, vol. 245, no. 3, pp. 503–527.
23. Gover A. R., Silhan J. Diff. Geom. Apll. 2008, vol. 26, pp. 244–266.
24. Tsuyoshi H., Takeshi O., Yukinori Y. J. Phys. A, Math. Theor. 2008, vol. 41, no. 2, pp. 12.
25. Richardson K., Jung S. D. Mathematische Zeitschrift [Mathematical journal]. 2012,
vol. 270, no. 1–2, pp. 337–350.
26. Carter B., Mc Lenaghan R.G. Phys. Rev. D. 1979, vol. 19, pp. 1093–1097.
27. Gibbons G. W., Ruback P. J. Commun. Math. Phys. 1988, no. 115, pp. 267–300.
28. Charlton P., Benn I. M. Classical Quantum Gravity. 1997, vol. 14, no. 5, pp. 1037–
1042.
29. Frolov V. P., Zelnikov A. Introduction to Black Hole Physics. Oxford, Oxford Univ.
Press, 2011, 488 p.
30. Stepanov S. E. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and mathematical physics]. 2003, vol. 134, no. 3, pp. 382–387.
Степанов Сергей Евгеньевич
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра Математика–1,
Финансовый университет
при Правительстве РФ (Россия,
г. Москва, Ленинградский проспект, 49)
Stepanov Sergey Evgen'evich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of Mathematics – 1, Financial University
under the Government of the Russian
Federation (49 Leningradsky avenue,
Moscow, Russia)
E-mail: s.e.stepanov@mail.ru
Микеш Йозеф
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра алгебры и геометрии,
Университет имени Ф. Палацкого
(Чешская Республика, г. Оломоуц,
17 Листопаду)
Mikesh Yozef
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department
of algebra and geometry, University
of Palatsky (17 Listopadu,
Olomouc, Czech Republic)
E-mail: josef.mikes@upol.cz
Physical and mathematical sciences. Mathematics
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Цыганок Ирина Ивановна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра теории вероятностей
и математической статистики,
Финансовый университет
при Правительстве РФ (Россия,
г. Москва, Ленинградский проспект, 49)
Tsyganok Irina Ivanovna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor, sub-department
of probability theory and mathematical
statistics, Financial University under
the Government of the Russian Federation
(49 Leningradsky avenue, Moscow, Russia)
E-mail: i.i.tsyganok@mail.ru
УДК 514.764.25 + 515.168.5
Степанов, С. Е.
Оператор Тачибаны / С. Е. Степанов, Й. Микеш, И. И. Цыганок //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 82–92.
92
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 514.763.4
Е. В. Черевко
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛОКАЛЬНО КОНФОРМНО-КЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Аннотация. Актуальность и цели. Мотивацией для исследования бесконечно
малых преобразований является развитие физики, в частности, от механики и
теории относительности, а также то, что уже полученные результаты находят
применение во многих отраслях технических наук, особенно в моделировании
динамических процессов. Внимание уделяется также специальному классу эрмитовых многообразий, которые отличаются некоторыми дифференциальными условиями на комплексную структуру. Эти многообразия можно конформно отобразить на келеровы многообразия, поэтому они называются конформно
келеровыми. Материалы и методы. Исследования проводились в локальных
координатах произвольно выбранной карты. Мы предполагали, что все рассматриваемые функции дифференцируемы достаточное количество раз. Также
мы пользовались методами тензорной алгебры и тензорного анализа. Результаты. Бесконечно малые преобразования относительно ковариантного почти
аналитического поля сохраняют тензор Нейенхейса, т.е. его производная Ли
равна нулю тождественно: Lξ Nijk = 0. Мы нашли выражение для производной
Ли формы Ли вдоль ковариантного почти аналитического поля для локально
конформно-келеровых многообразий: Lξ ωi = −ϕi . Рассмотрели компактные
ориентированные локально конформно-кэлеровы многообразия и нашли тож2
дество:
ω J α ξi d σ =
J α ξi d σ. Это условие на комплексную структу-

Mn
α i
n−2

i
,α
Mn
ру J iα , векторное поле ξi и ее производных ξi,α .
Ключевые слова: бесконечно малые преобразования, производная Ли, тензор
Нейенхейса, конформно-кэлеровы многообразия, форма Ли.
E. V. Cherevko
INFINITESIMAL CONFORMAL TRANSFORMATIONS
OF LOCALLY CONFORMAL KÄHLER MANIFOLDS
Abstract. Background. Motivations for investigation of infinitesimal transformations are the development of physics, particularly mechanics and the probability
theory, and the reached results have applications in many branches of technical sciences, especially in modelling of dynamical processes. Attention is paid also to special classes of Hermitian manifolds that are distinguished by some differential conditions on the complex structure. The manifolds can be mapped conformally on
Kähler manifolds, therefore they are called conformally Kähler mansfolds. Materials and methods. The author uses local coordinates, assumes that all functions under
consideration are sufficiently differentiable and applies tensor methods. Results. 1.
Infinitesimal transformations relative to a covariant almost analitic field preserve a
Nijenhuis’ tensor, i. e. its Lie derivative is identically equal to zero: Lξ Nijk = 0. 2.The
researcher has found an expression for a Lie derivative of a Lee form relative to a
covariant almost analitic field for locally conformal Kähler manifolds: Lξωi = −ϕi .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. Also article considers compact orientable locally conformal Kähler manifolds and
2
reveals the identity.
ω J α ξi d σ =
J α ξi d σ. That is condition on the

α i
Mn
n−2

,α
i
Mn
complex structure J iα , the vector field ξi , and its derivatives ξi,α .
Key words: infinitesimal transformations, Lie derivative, conformal Kähler
manifolds, Lee form.
Предметом изучения в данной статье являются локально конформнокелеровы многообразия такие, что dim( M ) = n = 2m > 2 . Конформно-келеровым многообразиям посвящены работы многих исследователей. Локально
конформно-келеровы многообразия рассматривались в работах [1–3]. Также
следует упомянуть энциклопедическую работу в данном направлении [4].
Инфинитезимальные конформные преобразования многообразий изучались в
[5, 6]. Большое внимание вопросам инфинитезимальных конформных преобразований применительно к комплексным многообразиям уделено в [7]. Целью настоящей работы является исследование проблемы инфинитезимальных
конформных преобразований локально конформно-келеровых многообразий.
Прежде всего дадим несколько необходимых определений.
Определение 1. Почти комплексной структурой J называют такой
аффинор J ij , что
J αi J αj = −δij ,
(1)
здесь δij – символ Кронекера.
Определение 2. Пространство, в котором задана почти комплексная
структура J , называют почти комплексным многообразием.
Почти комплексное многообразие обозначаем {M n , J , g} .
Определение 3. Почти комплексное многообразие {M n , J , g} является
эрмитовым, если:
1) метрика эрмитова
J iα J βj gαβ = gij ;
(2)
2) почти комплексная структура является интегрируемой, т.е. тензор
Нейенхейса тождественно равен нулю:
(
)
(
)
Nijk = J iα ∂ j J αk − ∂ α J kj − J αj ∂ i J αk − ∂ α J ik = 0,
(3)
или, что эквивалентно
J ik, j = J iα J βj J αk ,β .
(4)
Запятой мы обозначаем ковариантную производную в связности,
согласованой с римановой метрикой gij .
Если к тому же на эрмитовом многообразии {M n , J , g} имеет место
равенство
94
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
J ik, j = 0,
(5)
то оно является келеровым.
Определение 4. Эрмитово многообразие M называется локально
конформно-келеровым (ЛКК) многообразием, если существует открытое
покрытие ℑ = {U α }α∈A многообразия M и систем Σ = {σα : U α → R}α∈A
гладких функций таких, что
{J |
U α , gα
=e
−2σα
g |U
α
} – келерова структура
−2σ
для любого α ∈ A . Переход от метрики g |U
к метрике e α g |U
α
α
называется локально конформным преобразованием структуры. Функция σ
называется определяющей функцией конформного преобразования [2].
Известно, что на ЛКК-многообразии форма Ли, компоненты которой
определяются формулой
ωi =
2
J βα,α J iβ ,
n−2
(6)
должна быть замкнутой:
dω = 0.
Заметим, что в этом случае локально выполняется равенство ω = 2d σ .
Определение 5. Преобразование многообразия M n
h
x = x h + t ξ h ( x1 , x 2 , , x n ),
(7)
где t – произвольный малый параметр независимый от xi , называют
Mn .
Вектор
инфинитезимальным
преобразованием
многообразия
ξ( x1 , x 2 ,, x n ) называют генератором преобразования.
i i
Производная Ли (Lie derivative) тензора LξT j1 j p типа ( p, q) вдоль
1
q
векторного поля ξ в координатах имеет вид
i i
i i
i i
LξT j1 j p = T j1 j p,s ξ s + Tkj1  jp ξk , j + 
1
q
1
q
2
q
1
i i
li2  i p i1
i1i2  l i p
... + Tkj1  jp ξk , j − T j 
ξ
−
T
ξ ,l .
,l
j1 jq
1
1 jq
k
q
(8)
Конформные инфинитезимальные преобразования характеризуются
уравнениями из [7]:
Lξ gij = ξi, j + ξ j ,i = ϕgij .
(9)
Известно, что, если векторное поле ξ порождает инфинитезимальные
конформные преобразования, и вместе с инвариантом ϕ должен
удовлетворять системе:
Physical and mathematical sciences. Mathematics
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1) ξi, j = ξij ;
2) ϕ,i = ϕi ;
3) ξi, j + ξ j ,i = ϕgij ;
1
α
4) ξi , jk = ξα Rkji
+ (ϕk gij + ϕ j gik − ϕi g jk );
2
gij
2  α
α
α
5) ϕi, j =
ξα R,α + φR
 ξ Rij ,α + ξα,i R j + ξα, j Ri −
2(n − 1)
n−2
Особым
1
2
n
случаем
ξ ( x , x , , x )
структуру [7]:
является
ситуация,
(10)
(
) .
когда
векторное
поле
индуцирует преобразование, сохраняющее комплексную
Lξ J ij = J ij ,k ξ k − J αj ξi ,α + J αi ξα , j = 0.
(11)
Такое поле называется контравариантным почти аналитическим
векторным полем. Следует заметить, что поскольку дифференцирование Ли
является перестановочным с операцией внешнего дифференцирования:
dLξ ω = Lξ d ω ,
то любые инфинитезимальные преобразования сохраняют замкнутость формы Ли. Таким образом, необходимым и достаточным условием того, чтобы
при конформных инфинитезимальных преобразованиях многообразие оставалось ЛКК-многообразием, необходимо сохранение эрмитовости, т.е. сохранение выполнения условия (3), которое можно записать в терминах ковариантных производных:
(
)
(
)
Nijk = J iα J αk , j − J kj ,α − J αj J αk ,i − J ik,α = 0.
Для этого необходимо, чтобы
Lξ Nijk = 0.
Если мы потребуем сохранения комплексной структуры, то производная Ли тензора Нейенхейса примет вид
(
)
(
Lξ Nijk = J iα Lξ J αk , j − Lξ J kj ,α − J αj Lξ J αk ,i − Lξ J ik,α
)
(12)
в силу (11).
Известно [7] следующее тождество, справедливое для любых инфинитезимальных преобразований:
(
)
Lξ J ik, j − Lξ J ik
= J iβ Lξ Γ kjβ − J βk Lξ Γβji ,
,j
(13)
где Γ kji – объект связности, согласованный с метрикой gij . Для инфинитезимальных конформных преобразований справедливо равенство
96
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Lξ Γ kji =
(
)
1 k
δi ϕ j + δkj ϕi − ϕk gij .
2
(14)
В силу требования сохранения комплексной структуры (11), подставляя
(14) в (13), получаем
Lξ J ik, j =
(
(
)
)
1 β k
1
J i δβ ϕ j + δkj ϕβ − ϕk gβj − J βh δβi ϕ j + δβj ϕi − ϕβ gij =
2
2
=
(
)
1 k α
δ j J i ϕα − ϕk J ij − J kj ϕi + J αk ϕα gij .
2
(15)
Вычислим производную Ли тензора Нейенхейса вдоль векторного поля
ξ , учитывая (15):
(
)
(
)
(
k β
− J kj ϕα + J βk ϕβ gαj − δα
J j ϕβ + ϕk J jα + J αk ϕ j − J βk ϕβ g jα ) − J αj ( δik J αβ ϕβ −
(16)
−ϕk J αi − J ik ϕα + J βk ϕβ gαi − δαk J iβ ϕβ + ϕk J iα + J αk ϕi − J βk ϕβ giα ) .
Lξ Nijk = J iα Lξ J αk , j − Lξ J kj ,α − J αj Lξ J αk ,i − Lξ J ik,α =
1 α k β
J i δ j J α ϕβ − ϕk J αj −
2
Раскрывая скобки и приводя подобные в (16), получаем, что производная Ли тензора Нейенхейса тождественно равна нулю:
Lξ Nijk = 0.
Учитывая тот факт, что любые инфинитезимальные преобразования
сохраняют замкнутость формы Ли, получаем, что справедлива следующая
теорема.
Теорема 1. При инфинитезимальных конформных преобразованиях,
сохраняющих комплексную структуру, тензор Нейенхейса также сохраняется. В частности, при этом ЛКК-многообразие будет преобразовано
в ЛКК-многообразие.
Теперь найдем производную Ли формы Ли. Учитывая (11), получаем
из (6):
Lξ ωi =
(
)
( )
2
2
Lξ J βα,α J iβ =
Lξ J βα,α J iβ .
n−2
n−2
(17)
С другой стороны, поскольку операция дифференцирования Ли
перестановочна со свертыванием, имеем из (15), свертывая индексы k и j :
Lξ J iα,α =
(
) (
)
)
(18)
1
1
nJ iβ ϕβ − ϕα J iα − J αα ϕi + J βα ϕβ giα = nJ iβ ϕβ − ϕα J iα + J βi ϕβ =
2
2
=
(
1
n−2 β
nJ iβ ϕβ − ϕα J iα − J iβ ϕβ =
J ϕβ .
2
2 i
Подставим (18) в (17), получим
Lξ ωi =
2 n−2 β
⋅
J γ ϕβ J iγ = −ϕi .
−
n 2 2
Physical and mathematical sciences. Mathematics
(19)
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таким образом, мы получили следующее утверждение.
Теорема 2. При инфинитезимальных конформных преобразованиях
ЛКК-многообразий, сохраняющих комплексную структуру, векторное поле
ξ и инвариант ϕ для которых определяются из системы (10), компоненты
производной Ли формы Ли равны частным производным инварианта ϕ ,
взятым с обратным знаком:
Lξ ωi = −ϕi .
Рассмотрим теперь преобразования компактных ориентируемых ЛККмногообразий. Для этих многообразий имеет место теорема Грина [7]:
 v,i dσ = 0,
i
(20)
Mn
где d σ = gdx1 ∧ dx 2 ∧  ∧ dx n – элемент меры объема на многообразии M n .
Теперь возьмем вектор J ik ξi и продифференцируем его ковариантно
по x j :
( Jik ξi ), j = Jik, j ξi + Jik ξ,i j .
Свертывая индексы k и j , получаем
( J iα ξi ),α = J iα,α ξi + J iα ξ,iα .
(21)
С другой стороны, из (6) и (1) следует
J iα,α = −
n−2
ωα J iα .
2
(22)
Подставим (22) в (21), получим
( Jiαξi ),α = − n −2 2 ωα Jiαξi + Jiαξ,iα .
(23)
Согласно теореме Грина (22) получим
 n−2

ωα J iα ξi + J iα ξ,iα  d σ = 0,
−
2


Mn
α i
 ( J i ξ ) ,α d σ = 
Mn
или
2
 ωα Ji ξ d σ = n − 2  Ji ξ,α d σ.
α i
Mn
α i
Mn
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 3. При инфинитезимальных конформных преобразованиях
компактных ориентируемых ЛКК-многообразий, сохраняющих комплексную
98
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
структуру, векторное поле ξ и инвариант ϕ для которых определяются из
системы (10), векторное поле ξ форма Ли и комплексная структура должны
удовлетворять соотношению
2
α i
α i
 ωα Ji ξ d σ = n − 2  Ji ξ,α d σ.
Mn
Mn
Список литературы
1. V a i s m a n , I . A geometric condition for an l.c.K. manifold to be Kähler / I. Vaisman //
Geometriae Dedicata. – 1981. – Vol. 10. – Р. 129–134.
2. К и р и ч е н к о , В. Ф. Локально конформно-келеровы многообразия постоянной
голоморфной секционной кривизны / В. Ф. Кириченко // Математический
сборник. – 1991. – Т. 182, № 3. – С. 354–363.
3. Р а д у л о в и ч ,
Ж.
Геодезические
отображения
конформно-келеровых
пространств / Ж. Радулович, Й. Микеш // Известия вузов. Математика. – 1994. –
№ 3. – С. 50–52.
4. D r a g o m ir , S . Locally conformal Kähler geometry / S. Dragomir, L. Ornea. – Boston
Basel ; Berlin, 1998. – (Series: Progress in mathematics, vol. 155).
5. Э й з е н х а р т, Л. П . Риманова геометрия / Л. П. Эйзенхарт. – М. : Изд-во
иностранной литературы, 1948. – 316 с
6. М и к е ш , Й . , О распределении порядков групп конформных преобразований
римановых пространств / Й. Микеш, Д. Молдобаев // Известия вузов.
Математика. – 1991. – № 12. – С. 24–29
7. Y a n o , K . Differential geometry on complex and almost complex spaces / K. Yano //
Pure and Applied Math. – New York : Pergamon Press Book, 1965. – Vol. 49.
References
1. Vaisman I. Geometriae Dedicata. 1981, vol. 10, pp. 129–134.
2. Kirichenko V. F. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collection]. 1991, vol. 182,
no. 3, pp. 354–363.
3. Radulovich Zh., Mikesh Y. Izvestiya vuzov. Matematika [Universicy proceedings.
Mathematics]. 1994, no. 3, pp. 50–52.
4. Dragomir S., Ornea L. Locally conformal Kähler geometry. Boston Basel; Berlin, 1998,
(Series: Progress in mathematics, vol. 155).
5. Eyzenkhart L. P. Rimanova geometriya [Riemannian geometry]. Moscow: Izd-vo
inostrannoy literatury, 1948, 316 p.
6. Mikesh Y., Moldobaev D. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings.
Mathematics]. 1991, no. 12, pp. 24–29
7. Yano K. Pure and Applied Math. New York: Pergamon Press Book, 1965, vol. 49.
Черевко Евгений Владимирович
старший преподаватель, кафедра
экономической кибернетики, Одесский
национальный экономический
университет (Украина, г. Одесса,
ул. Преображенская, 8)
Cherevko Evgeniy Vladimirovich
Senior lecturer, sub-department
of economic cybernetics, Odessa
National University of Economics
(8 Preobrazhenskaya street,
Odessa, Ukraine)
E-mail: cherevko@usa.com
Physical and mathematical sciences. Mathematics
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 514.763.4
Черевко, Е. В.
Инфинитезимальные конформные преобразования локально конформно-келеровых многообразий / Е. В. Черевко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. –
№ 4 (28). – С. 93–100.
100
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 518.5
И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева
УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗВИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМ
Аннотация. Актуальность и цели. В последнее время развивающиеся системы приобретают все большее значение в различных областях науки и техники.
Важными примерами развивающихся систем являются различные отрасли
экономики, отдельные предприятия, вычислительные центры и их сети, организм человека, клетки, системы организма, различные популяции. В связи
с этим актуальным является исследование динамических процессов, происходящих в развивающихся системах, и в первую очередь исследование устойчивости и стабилизации самих систем. В статье на примере моделей взаимодействия загрязнения с окружающей средой и моделей иммунологии исследуется
устойчивость развивающихся систем, описываемых уравнениями типа Лотки –
Вольтерры. Описано применение терапий в базовой модели иммунологии.
Материал и методы. Используется модификация первого метода Ляпунова,
предназначенная для исследования устойчивости систем неавтономных дифференциальных уравнений. Для этого строится семейство линейных операторов и по знакам их логарифмических норм определяется устойчивость систем
дифференциальных уравнений. Результаты. Получены критерии устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову неподвижных точек в модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой. Дано качественное
исследование ряда моделей иммунологии. Исследовано применение терапий
в базовой модели иммунологии. Выводы. Предложенный в работе метод может
быть использован при исследовании широкого класса развивающихся систем.
Ключевые слова: развивающиеся системы, динамический процесс, устойчивость, уравнения типа Лотки – Вольтерры, модели иммунологии.
I. V. Boykov, Yu. F. Zakharova, A. A. Dmitrieva
STABILITY OF EVOLUTIONARY SYSTEMS
Abstract. Background. Recently the evolutionary systems have gained growing
significance in various fields of science and technology. A crucial example of the
evolutionary systems are the various sectors of economy, separate enterprises, computing centers and networks thereof, human organism, cells, organism’s systems,
various populations. Thereby it is topical to research dynamic processes progressing
in the evolutionary systems and, first of all, to research the stability of the system itself. In the article, by the example of models of interaction of the environment with
pollution and the models of immunology, the authors research the stability of the
evolutionary systems, described by Lotka Volterra equations. The article describes
the application of therapy in the base model of immunology. Materials and methods. The researchers use the modification of Lyapunov first method, intended for research of stability of non-autonomous differential equation systems. For this purpose the authors build a family of linear operators and determine the stability of differential equation system by signs of operators’ logarithmical norms. Results. The
researchers obtained the criteria of stability and asymptotic stability according to
Lyapunov of the fixed points in the model of interaction of the environment with
pollution. The article adduces a qualitative research of a number of models of immunology. The authors investigated the application of therapy in the base model of
Physical and mathematical sciences. Mathematics
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
immunology. Conclusions. The suggested method may be used in research of a wide
class of evolutionary systems.
Key words: evolutionary systems, dynamic process, stability, Lotka Volterra equations, models of immunology.
Введение
Развивающиеся системы приобретают все большее значение в различных областях науки и техники [1]. Важными примерами развивающихся систем служат различные отрасли экономики; отдельные предприятия, вычислительные центры и их сети; научно-технический прогресс, организм человека в целом, клетки, системы организма, различные популяции (человека, животных, рыб и т.д.).
Основные свойства развивающихся систем формулируются следующим образом [1]:
1) должно быть наличие первоначальных ресурсов;
2) в развивающейся системе должна быть подсистема воспроизводства
и совершенствования;
3) должен быть механизм взаимодействия с окружающей средой;
4) должны существовать механизмы, обеспечивающие условия кооперативного и конкурентного поведения;
5) должен существовать механизм, обеспечивающий гомеостаз.
Этим условиям удовлетворяют модели экономики ( n -продуктовые модели экономики), модели иммунологии, модели загрязнения окружающей
среды, модели распространения эпидемий, включая модели заражения вирусом компьютеров, модели военных действий и т.д.
Основным аппаратом, описывающим модели развивающихся систем,
являются системы дифференциальных и интегральных уравнений. Отметим,
что в последнее время появился новый класс моделей, таких как логикодифференциальные, вероятностные, детерминировано-стохастические, а также модели, основанные на теории языков.
Особую роль в описании развивающихся систем играют модели Лотки –
Вольтерры.
Первоначально эти модели были предложены А. Лоткой [2] и
В. Вольтерры [3] для описания экологических процессов.
Исторически более ранняя (1925) модель Лотки имеет вид
dx(t )
= ax(t ) − bx 2 (t ) − cx(t ) y (t ),
dt
dy (t )
y 2 (t )
= ey (t ) − f
.
dt
x(t )
(1)
Модель Вольтерры была опубликована в 1926 г. Она описывается
следующей системой дифференциальных уравнений:
dx(t )
= ax(t ) − bx 2 (t ) − cx(t ) y (t ),
dt
dy (t )
= −ey (t ) + c1 x(t ) y (t ).
dt
102
(2)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
В обеих моделях y (t ) – плотность хищных рыб (хищников); x(t ) –
плотность нехищных рыб (жертв); a, b, c, e, c1 , f – коэффициенты, не
зависящие от времени.
Начиная с публикаций Лотки и Вольтерры математическая экология
сформировалась как отдельное направление науки. Отметим, что модель
Вольтерры имеет ряд преимуществ по сравнению с моделью Лотки. Эти
преимущества описаны в книге Смита [4]. По-видимому, по этой причине
математические модели экологии называют моделями Вольтерры.
Первоначально модели Вольтерры применялись к задачам экологии.
Позднее спектр их применения значительно расширился. На основе моделей
Вольтерры были построены модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой, классовой борьбы, военных действий, иммунологии, модель распространения эпидемий, включая модель заражения вирусами компьютеров,
модель взаимодействия когнитивных и эмоциональных мод мозга.
Модель Вольтерры, по определению Арнольда [5], является «жесткой».
Добавление к правой части небольшого возмущения делает ее «мягкой»:
dx
= ax − bxy + ε f ( x, y ),
dt
dy
= −dy + cxy + εg ( x, y ).
dt
(3)
Динамика возмущенной системы зависит от конкретного вида функций
f ( x, y ), g ( x, y ) . Подробный анализ решений систем вида (3) и их экологические интерпретации даны в книге Базыкина [6].
1. Математическая модель взаимодействия
загрязнения с окружающей средой
Математическая модель взаимодействия загрязнения с окружающей
средой приводит к уравнениям, аналогичным (3).
Пусть P – концентрация загрязнения; E – плотность биомассы;
f ( E , P) – функция, описывающая абсорбирование и переработку
загрязнений окружающей средой; d = g ( E ) – слагаемое, описывающее
динамику окружающей среды в отсутствие загрязнения; h( E , P) – функция,
описывающая вредное влияние загрязнения на окружающую среду; a –
мощность источника загрязнения за единицу времени; b – коэффициент
линейного (мертвого) уничтожения загрязнения (естественная диссипация).
Тогда система уравнений, описывающих взаимодействие загрязнения
с окружающей средой, имеет вид
dP
dE
= a − bP − f ( E , P ),
= g ( E ) − h( E , P ).
dt
dt
Если положить
(4)
 E
f ( E , P ) = cEP, g ( E ) = rE 1 −  , h( E , P) = dEP,
k

то система (4) принимает вид
Physical and mathematical sciences. Mathematics
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
dP
= a − bP − cEP,
dt
dE
 E
= r ( E ) 1 −  − dEP.
dt
k

(5)
Введя безразмерные переменные
P=
bu
bv
r
r
ad
, E = , τ = bt , α =
,
, u0 = , p =
2
d
c
b
cE
b
приходим к простейшей математической модели взаимодействия загрязнения
с окружающей средой
du
= α − u − uv,
dt
dv
= v(u0 − u ) − pv 2 .
dt
(6)
Эта модель аналогична модели хищник-жертва. Здесь в качестве жертвы выступает загрязнение, а в качестве хищника – активная окружающая
среда.
В работе [7] исследованы различные модели взаимодействия загрязнения и окружающей среды.
В качестве одного из конкретных примеров применения математической модели «загрязнение – окружающая среда» можно рассмотреть математическую модель очистки сточных вод. Эта модель описывается системой
уравнений [7]:
dP
= a − bD ( P ) − cf ( P, E ),
dt
dE
= − dE + eh ( P, E ),
dt
где P (t ) – концентрация загрязнения воды; E (t ) – плотность биомассы
активного ила; D( P ) – функция диссипации, характеризующая естественный
распад загрязнения; f ( P, E ) и h( P, E ) – трофические функции, характеризующие процесс очистки загрязнителя биологически чистым илом; α > 0 –
мощность источника загрязнения; d > 0 – постоянная, характеризующая
скорость убывания активного ила в чистой воде; c и e – положительные
константы.
Система уравнений (6) имеет три неподвижные точки [7]:
 u + p + Q u0 − p − Q 
 u0 + p − Q u0 − p + Q 
A1 = (a,0), A2 =  0
,
,
 , A3 = 
,
2
2p
2
2p




где Q = (u0 + p) 2 − 4ap .
В книге [7] показано, что если u0 > a, то A1 – седло; в противном
случае A1 – устойчивый узел, а также отмечено, что более реалистическим
104
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
является определение функции f ( E , p ) формулой f ( E , p ) =
cEp
, где c и
A+ p
A – постоянные.
В этом случае безразмерная система имеет вид [7]:
du
uv
dv
= a −u −
,
= v(u0 − u ) − pv 2 .
dt
λ + u dt
(7)
Здесь λ > 0 описывает степень влияния природы на загрязнение.
Нетрудно видеть, что A1 является неподвижной точкой для системы (7).
2. Математические модели иммунологии
В настоящее время активно исследуются различные математические
модели иммунологии [8–10].
Остановимся на простейшей (базисной) модели Марчука [8],
описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений:
dV (t )
= ( β − γF (t ) ) V (t ),
dt
dC (t )
= ξ(m)αV (t − τ) F (t − τ) − μc (C (t ) − C * ),
dt
dF (t )
= ρ C (t ) − (μ f + ηγV (t )) F (t ),
dt
dm
= σV (t ) − μ m m(t ),
(8)
dt
где V (t ) – концентрация патогенных размножающихся антигенов; F (t ) –
концентрация антител; C (t ) – концентрация плазматических клеток; m(t ) –
относительная характеристика пораженного органа.
Нетрудно видеть, что если положить концентрацию плазмоклеток C
постоянной и не учитывать степень поражения органа-мишени m , то
приходим к модели типа Вольтерры.
Из рассмотрения перечисленных моделей можно сделать вывод, что
качественные и количественные результаты для моделей Лотки – Вольтерры
могут быть интерпретированы для динамики различных технических и
физических систем.
Основные недостатки рассмотренных систем:
1) их параметры не зависят от времени;
2) в моделях отсутствуют операторы внешнего управления.
В данной работе исследуется устойчивость развивающихся систем
с параметрами, зависящими от времени.
3. Устойчивость решений математических моделей
«загрязнение – окружающая среда»
В этом разделе на примере математических моделей «загрязнение –
окружающая среда» исследуется устойчивость развивающихся систем.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Исследуется устойчивость математической модели «загрязнение –
окружающая среда» с параметрами, зависящими от времени.
Для определенности ограничимся рассмотрением модели, описываемой
системой уравнений (7). При этом будем считать, что некоторые параметры
этой модели зависят от времени. В результате приходим к системе
дифференциальных уравнений:
du (t )
u (t )v(t )
= a − u (t ) −
.
dt
λ (t ) + u ( t )
dv(t )
= v(t )(u0 (t ) − u (t )) − p (t )v 2 (t ).
dt
(9)
Здесь параметр λ(t ) описывает степень влияния природы на
загрязнение: чем больше его величина, тем меньше степень поглощения
загрязнения живой природой; коэффициент p (t ) описывает взаимную
конкуренцию различных видов живой природы.
В системе уравнений (9) параметр a можно трактовать как
обобщенную мощность источника загрязнения; u0 (t ) – как предельно
допустимую концентрацию для данной системы (если начиная с некоторого
времени t ≥ t0 u0 (t ) < u (t ), то dv(t ) / dt < 0 и природа вымирает).
Будем исследовать устойчивость решения системы (9) относительно
неподвижной точки (a,0).
Исследование будем проводить в пространстве R2 векторов x = ( x1 , x2 )
с нормой x = max(| x1 |,| x2 |).
Через B (0, r ) обозначим шар радиуса r с центром в начале координат
пространства R2 ; через S (0, r ) обозначена сфера || x ||= r , x ∈ R2 .
Через Λ ( A) обозначим логарифмическую норму оператора A :
|| I + hA || −1
Λ ( A) = lim
, где I − тождественный оператор.
h
h↓ 0
Сделаем замену переменных u (t ) = a + u1 (t ), v(t ) = v1 (t ). В результате
приходим к системе уравнений
du1 (t )
(u (t ) + a )v1 (t )
= −u1 (t ) − 1
,
dt
λ(t ) + a + u1 (t )
dv1 (t )
= v1 (t )(u0 (t ) − a − u1 (t )) − p (t )v12 (t ).
dt
Зафиксируем
произвольное
значение
T > 0.
(10)
Пусть
x(t ) ≠ 0,
x(t ) = (u1 (t ), v1 (t ).
Представим систему уравнений (10) в следующем виде:
du1 (t )
(u1 (T ) + a)
v1 (t ) +
= −u1 (t ) −
λ (T ) + a + u1 (T )
dt
106
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика


u1 (T ) + a
u1 (t ) + a
+
−
 v1 (t ),
 λ (T ) + a + u1 (T ) λ1 (t ) + a + u1 (t ) 
dv1 (t )
= (u0 (T ) − a − u1 (T ))v1 (t ) − p (T )v1 (T )v1 (t ) +
dt
+(u0 (t ) − u1 (t )) − (u0 (T ) − u1 (T ))v1 (t ) − ( p (t )v1 (t ) − p (T )v1 (T ))v1 (t ).
(11)
Представим систему (11) в виде операторного уравнения
dx(t )
= A(T ) x(t ) + F (t ),
dt
(12)
где
x(t ) = (u1 (t ), v1 (t )) ; A(T ) = {aij (T )}, a11 (T ) = −1, a12 (T ) = −
u1 (T ) + a
,
λ (T ) + u1 (T ) + a
a21 (T ) = 0, A22 (T ) = u0 (T ) − a − u1 (T ) − p(T )v1 (T ); F (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t )),
причем вид функций fi (t ), i = 1, 2, очевиден.
Уравнение (12) имеет решение
t

x(t ) = e A(T )(t −T ) x(T ) + e A(T )(t − s ) F ( s ) ds.
(13)
T
Нетрудно видеть, что для любого как угодно малого ε(ε > 0)
существует промежуток времени [T , T + ΔT (ε)] , в течение которого
|| F (t ) ||≤ ε || x(t ) || .
Учитывая это замечание и переходя в (13) к нормам, получаем
неравенство
x (t ) ≤ e
Λ ( A(T ))(t −T )
t

|| x(T ) || +ε e Λ ( A(T ))(t − s ) || x( s ) || ds,
(14)
T
справедливое при T ≤ t ≤ T + Δ (T (ε)).
Введем функцию ϕ(t ) = e−Λ ( A(T ))t || x(t ) || и представим неравенство (14)
в виде
t

ϕ(t ) ≤ ϕ(T ) + ε ϕ( s )ds.
(15)
T
Применяя к (15) неравенство Гронуолла – Беллмана и возвращаясь
к нормам, имеем
|| x(t ) ||≤ e( Λ ( A(T )+ε)(t −T ) || x(T ) || .
Таким образом, если при всех t ≥ 0 справедливо Λ ( A(t )) < 0, то
решение системы (10) устойчиво. Повторяя рассуждения, приведенные в [11,
Physical and mathematical sciences. Mathematics
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
12], можно показать, что если при всех t ≥ 0 выполняется неравенство
Λ ( A(t )) < −χ, χ > 0, то решение системы (10) асимптотически устойчиво.
Определим область притяжения неподвижной точки (0,0) системы (10).
Из приведенных выше рассуждений следует, что если при t ≥ 0
δ+a
−1 +
≤ −χ, u0 (t ) − a ≤ −χ, χ > 0, то траектория решения системы (10)
λ(t ) + a
при начальных условиях из шара B (0, δ) стремится к неподвижной точке.
Отсюда следует, что область притяжение неподвижной точки (0,0)
оценивается неравенством
min t
λ(t )(1 − χ) − aχ
≥ δ.
χ
Аналогичным образом исследуется устойчивость и неустойчивость
неподвижных точек системы дифференциальных уравнений (6). Отметим,
что при исследовании неустойчивости используются двухсторонние оценки,
приведенные в [11, 12].
Рассмотрим еще одну модель развивающихся систем.
4. Математическое моделирование влияния терапии
в простейшей модели иммунологии
Исследование устойчивости решений в простейшей модели иммунологии (см. систему (8)) в случае постоянных коэффициентов и численное моделирование иммунных процессов было проведено в [8, 13]. Там же была доказана неотрицательность решений базовой модели при неотрицательных
начальных значениях.
В случае переменных коэффициентов устойчивость решений простейшей модели иммунологии и ряда ее обобщений исследована в [14–16].
При этом вопросы существования, единственности и неотрицательности решения базовой модели с переменными коэффициентами остались неисследованными.
Рассмотрим простейшую (базовую) модель иммунологии с переменными коэффициентами
dV (t )
= (β(t ) − γ (t ) F (t ))V (t ),
dt
dC (t )
= ξ( m)α(t )V (t − τ) F (t − τ) − μc (t )(C (t ) − C * ),
dt
dF (t )
= ρ(t )C (t ) − (μ f (t ) + η(t ) γ (t )V (t )) F (t ),
dt
dm(t )
= σ(t )V (t ) − μ m (t )m(t ),
dt
(16)
в которой переменные и параметры имеют тот же смысл, что и в модели (8).
Напомним, что все параметры системы неотрицательны.
Докажем неотрицательность решения модели (16).
108
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
Теорема 1. Если при всех t ≥ 0 существует решение системы (16)
с неотрицательными коэффициентами и с неотрицательными начальными
условиями V (0), C (0), F (0), m(0), то оно неотрицательно при всех t ≥ 0.
Доказательство. Из первого уравнения системы (16) следует, что
 t

V (t ) = V (0) exp  (β(τ) − γ ( τ) F (τ)) d τ  .
 0


Следовательно, V (t ) ≥ 0.
Последнее уравнение системы (16) имеет решение
τ


μm ( τ)d τ 
− μm ( s ) ds 
t


0
m(t ) = e
d τ .
 m(0) + σ(τ)V (τ)e 0


0


t
−



Отсюда следует, что m(t ) ≥ 0 при m(0) ≥ 0.
Пусть 0 ≤ t < τ. Тогда второе уравнение системы имеет вид
dC (t )
+ μc (t )C (t ) = μc (t )C *.
dt
Его решением при 0 ≤ t < τ является неотрицательная функция
τ


− μc ( s ) ds 
μc (τ)d τ 
t


*
0
C (t ) = e
d τ .
 C (0) + μc (τ)C e 0


0


t
−



Из непрерывности функции C (t ) следует, что C ( τ) ≥ 0 .
Нетрудно видеть, что функция C (t ) неотрицательна при t ≥ 0.
Если функция C (t ) неотрицательна, то из третьего уравнения системы
(16) следует, что F (t ) ≥ 0 при t ≥ 0.
Вернемся теперь ко второму уравнению при t ≥ τ. Так как при 0 ≤ t < τ
справедливо F (t ) ≥ 0, V (t ) ≥ 0, то в промежутке времени τ ≤ t ≤ 2τ имеет
место C (t ) ≥ 0.
Продолжая эти рассуждения в промежутках времени k τ ≤ t < ( k + 1)τ,
k = 2,3, , убеждаемся, что C (t ) ≥ 0 при t ≥ 0. Теорема доказана.
Докажем единственность решения системы уравнений (16) в предположении, что ее коэффициенты и начальные условия неотрицательны.
Теорема 2. При всех t ≥ 0 решение системы уравнений (16) с положительными начальными значениями и с неотрицательными коэффициентами,
удовлетворяющими условию Гельдера с показателем α, единственно.
Доказательство. В теореме 1 было доказано, что система уравнений
(16) имеет неотрицательные решения, определенные при всех t ≥ 0. Нетрудно
видеть, что правые части системы (16) непрерывны и ограничены при
конечных значениях t. Следовательно, функции V (t ), F (t ), C (t ), m(t )
Physical and mathematical sciences. Mathematics
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
непрерывно дифференцируемы и их производные непрерывны и ограничены
при конечных значениях t.
Пусть
x(t ) = {x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), x4 (t )} = {V (t ), F (t ), C (t ), m(t )},
f ( x) = { f1 ( x), f 2 ( x), f3 ( x), f 4 ( x)} –
вектор правых частей системы (16). Пусть x = max | xi | , f ( x) = max | fi | .
Вначале рассмотрим промежуток времени 0 ≤ t ≤ τ. Из непрерывной
дифференцируемости функций {V (t ), F (t ), C (t ), m(t )} и непрерывности по
Гельдеру коэффициентов системы (16) следует, что существует промежуток
времени [0, T1 ] , в течение которого
f ( x) ≤ K1 x
и
f ( x1 − f ( x2 ) ≤ K 2 x1 − x2 ,
(17)
где K1 , K 2 – постоянные, зависящие от T1 . Из теоремы Коши о существовании и единственности решения следует, что существует промежуток времени
[0, T1∗ ] , T1∗ ≤ T1 , в течение которого решение системы (16) при начальном
условии (V (0), F (0), C (0), m(0)) единственно. Взяв значения (V (T1∗ ), F (T1∗ ),
C (T1∗ ), m(T1∗ )) за начальные и повторяя приведенные выше рассуждения,
убеждаемся, что существует промежуток времени [T1∗ , T2∗ ] , в течение
которого решение системы (16) при начальных значениях (V (0), F (0),
C (0), m(0)) единственно. Продолжая этот процесс, получаем последовательность Tk∗ , k = 3, 4,..., такую, что в промежутках времени [Tk∗ , Tk∗+1 ] решение
системы (16) при начальных условиях (V (0), F (0), C (0), m(0)) единственно.
Здесь возможны два случая:
1) существует момент времени Tn∗ такой, что Tn∗ ≥ τ;
2) последовательность Tk∗ , k = 1, 2, ..., сходится к T ∗ < τ .
В первом случае очевидна единственность решения системы (16) при
начальных условиях (V (0), F (0), C (0), m(0)) в сегменте [0; τ]. Теперь, взяв за
начальные значения (V (τ), F (τ), C (τ), m(τ)) , проделываем аналогичные
выкладки в сегменте [τ, 2τ] .
Рассмотрим второй случай. Здесь очевидна единственность решения
в интервале [0, T ∗ ) . Из непрерывности решения системы уравнений (16) на
сегменте [0, τ] следует его единственность на этом сегменте. Взяв
(V (T ∗ ), F (T ∗ ), C (T ∗ ), m(T ∗ )) в качестве начального приближения и повторяя
приведенные выше рассуждения, убеждаемся в том, что существует
110
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
промежуток времени [T ∗ , T ∗∗ ] , в течение которого решение единственно.
Аналогично доказывается единственность решения на интервалах
[T1∗∗ , T2∗∗ ],...,[Tk∗∗ , Tk∗∗+1 ] . Предположим теперь, что существует значение
T* , T ∗∗ ≤ T∗ < τ , при котором решение теряет единственность. Из условий,
аналогичных неравенствам (17), следует, что решение системы (16)
с начальным значением (V (T∗ ), F (T∗ ), C (T∗ ), m(T∗ )) единственно в некотором
промежутке времени [T∗ , T∗ + ΔT∗ ] . Таким образом, получено противоречие
из которого следует, что решение системы (16) с начальными значениями
(V (0), F (0), C (0), m(0)) единственно в сегменте [0, τ] . Аналогичным образом
по индукции доказывается единственность решения системы (16) в сегментах
[k τ,(k + 1) τ], k = 1, 2...
Теорема доказана.
Остановимся теперь на следующем обобщении простейшей модели
иммунологии
dV (t )
= (β(t ) − γ (t ) F (t ))V (t ) − δ(t )V 2 (t ),
dt
dC (t )
= ξ( m)α(t )V (t − τ) F (t − τ) − μ1c (t )(C (t ) − C * ) − μ 2c (t )(C (t ) − C * )2 ,
dt
dF (t )
= ρ(t )C (t ) − (μ0f (t ) + μ f (t ) F (t ) + η(t ) γ (t )V (t )) F (t ),
dt
dm(t )
= σ(t )V (t ) − μ m (t )m(t ),
dt
(18)
устойчивость которой исследована в [16].
Введем в модель (18) следующие изменения.
Положим μ f (t ) ≡ 0. Это предложение естественно, так как логистическое слагаемое введено во второе уравнение системы (18), а концентрации
антител зависят от концентрации плазматических клеток, и конкуренции
между собой антитела не имеют. Кроме того, внесем изменение во второе
слагаемое,
положив
вместо
слагаемого
−μ 2c (t )(C (t ) − C * ) 2
слагаемое
1 + sgn(C (t ) − C * )
(C (t ) − C * ) 2 .
2
Эти слагаемые более точно отражают стабилизирующую роль
логистического слагаемого.
Таким образом, будем рассматривать систему уравнений
−μ3c (t )(C (t ) − C * )3 или слагаемое −μ 2c (t )
dV (t )
= (β(t ) − γ (t ) F (t ))V (t ) − δ(t )V 2 (t ),
dt
dC (t )
= ξ( m)α(t )V (t − τ) F (t − τ) − μ1c (t )(C (t ) − C * ) −
dt
Physical and mathematical sciences. Mathematics
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 1 + sgn(C (t ) − C * ) 
−μ 2c (t )(C (t ) − C * )2 
,


2


dF (t )
= ρ(t )C (t ) − (μ0f (t ) + η(t ) γ (t )V (t )) F (t ),
dt
dm(t )
= σ(t )V (t ) − μ m (t )m(t ).
dt
(19)
Теорема 3. Пусть начальные значения V (0), F (0), C (0), m(0) неотрицательны. Тогда решение системы уравнений (19) неотрицательно.
Доказательство. Рассмотрим первое уравнение системы (19). Это
уравнение Бернулли и его решение имеет вид
−1
τ


− (β( τ)−γ ( τ)) d τ 
− (β( s )−γ ( s ) F ( s )) ds 
t


+
δ(τ)e 0
V (t ) = e 0
V
(0)
dτ .



0


t



Отсюда следует, что V (t ) ≥ 0 при t ≥ 0.
Рассмотрим четвертое уравнение системы (19). Его решением является
функция
τ


μm ( τ)d τ 
− μm ( s ) dsd τ 
t


0
m(t ) = e
 m(0) + σ(τ)V (τ)e 0
.


0


t
−



Очевидно, m(t ) ≥ 0 при t ≥ 0.
Рассмотрим второе уравнение системы (19) при 0 ≤ t < τ :
 1 + sgn(C (t ) − C * ) 
dC (t )
= −μ1c (t )(C (t ) − C * ) − μ 2c (t )(C (t ) − C * ) 2 
.


dt
2


Сделаем замену переменных C (t ) = C (t ) − C *. В результате приходим
к уравнению
dC (t )
1 + sgnC (t )
+ μ1c (t )C (t ) = −μ 2c (t )C 2 (t )
.
dt
2
(20)
Исследуем решение уравнения (20) при начальном условии
C (0) = C0 .
(21)
Здесь нужно рассмотреть три случая: C0 = 0, C0 > 0, C0 < 0.
В первом случае, очевидно, C (t ) ≡ 0.
Рассмотрим второй случай. В этом случае уравнение (20) имеет вид
dC (t )
+ μ1c (t )C (t ) = −μ 2c (t )C 2 (t ) ,
dt
112
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
и его решением при начальном условии (21) является функция
−1
τ
 t


 μ ( τ) d τ 

μ
(
s
)
ds
1c
1c

 −1 t

C (t ) =  e 0
 C0 + μ 2c (τ)e 0
 .



0






Очевидно, эта функция неотрицательна.
Пусть C0 < 0. В этом случае уравнение (20) имеет вид
dC (t )
+ μ1c (t )C (t ) = 0 ,
dt
его решением при начальном условии (21) является функция
t
−
μ1c (τ)d τ
C (t ) = C0e 0
.
Следовательно,
t
−
*
μ1c (τ)d τ
C (t ) = C + C0e 0
,
отсюда следует, что C0 = C (0) − C * и
t
−
*
*
μ1c (τ)d τ
C (t ) = C + (C (0) − C )e 0
.
Так как в данном случае C (0) > 0, а C (0) − C * < 0, то C (t ) ≥ C (0) и,
следовательно, C (t ) ≥ 0.
Рассмотрим третье уравнение системы (19).
Его решением является функция
 t

F (t ) = − exp − μ0f ( τ) + η(τ) γ (τ)V (τ)) d τ ( F (0) +
 0

(
t
 τ

+ ρ(τ)C (τ) exp − (μ0f ( s ) + η( s ) γ ( s )V ( s ))ds  d τ ) ,
 0

0


следовательно, F (t ) ≥ 0 при t ≥ 0.
Таким образом, доказано, что при 0 ≤ t < τ решение системы (19)
неотрицательно.
Рассмотрим теперь случай, когда t ≥ τ. Здесь нужно рассмотреть только
второе уравнение. Введем новые функции
Physical and mathematical sciences. Mathematics
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
C (t ) = C (t ) − C * и g (t ) = ξ(m)α(t )V (t − τ) F (t − τ),
очевидно, g (t ) ≥ 0 при τ ≤ t ≤ 2τ. Рассмотрим уравнение
dC (t )
1 + sgnC (t )
= g (t ) − μ1c (t )C (t ) − μ 2c (t )C 2 (t )
.
dt
2
Это уравнение Риккати и его решение в общем случае неизвестно.
Поэтому проведем качественное исследование.
Рассмотрим три случая: C (τ) ≡ 0; C (τ) > 0; C (τ) < 0.
В первом случае
dC (t )
= g (t ) > 0
dt
и, следовательно, C (t ) > 0 в некотором сегменте [τ, τ + Δτ].
Во втором случае
dC (t )
= g (t ) − μ1c (t )C (t ) − μ 2c (t )C 2 (t )
dt
и имеется три возможности:
1) g ( τ) − μ1c ( τ)C (τ) − μ 2c (τ)C 2 (τ) = 0,
2) g ( τ) − μ1c ( τ)C (τ) − μ 2c (τ)C 2 (τ) > 0,
3) g ( τ) − μ1c ( τ)C (τ) − μ 2c (τ)C 2 (τ) < 0.
dC (t )
|t = τ = 0 и C (t ) ≡ 0 при t ≥ τ.
dt
dC (t )
|t = τ > 0 и, следовательно,
При второй возможности
dt
возрастает в некотором сегменте [τ, τ + Δ1τ].
При первой возможности
C (t )
dC (t )
|t = τ < 0 и, следовательно, C (t ) убывает
dt
в некотором промежутке времени t ∈ [τ, τ + Δ 2 τ], оставаясь неотрицательной.
При третьей возможности
При C (t ) = 0 переходим к первой возможности.
В третьем случае при C (τ) < 0 второе уравнение системы (20) имеет вид
dC (t )
= g (t ) − μ1c (t )C (t )
dt
и его решением является функция
t
 t
 
 u
 
C (t ) = exp − μ1c (u ) du   C (τ) + g (u ) exp  − μ1c ( s )ds  du  .
 τ
 
 τ
 
τ



Нетрудно видеть, что функция C (t ) возрастающая. Следовательно,
существует промежуток времени [τ, τ + Δ3τ] , в течение которого
114
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
C (τ) ≤ C (t ) < 0 и при увеличении t приходим к первому случаю. Таким
образом, и в этом случае C (t ) ≥ 0.
Теорема доказана.
Представляет интерес исследование влияния различных терапий на
протекание иммунных процессов.
Проведение терапий описывается системой дифференциальных уравнений
dV (t )
= (β(t ) − γF (t )V (t ))V (t ) − δV (t ) f ( h(t )),
dt
dC (t )
= ξ(m)αV (t − τ) F (t − τ) − μc (C (t ) − C * ),
dt
dF (t )
= ρC (t ) − (μ f + ηγV (t )) F (t ),
dt
dm
= σV (t ) − μ m m(t ),
dt
(22)
Здесь f ( h) − функция, описывающая терапию. В качестве функций
терапии в [7] предлагается два варианта: монотонная терапия и немонотонная
терапия.
Функция монотонной терапии удовлетворяет условиям g (h) > 0, h > 0;
f (0) = 0; f'(h) > 0 h > 0.
Функция немонотонной терапии удовлетворяет условиям f (h) > 0,
h > 0; f (0) = 0; f'(h) > 0; 0 < h < H ; f'( H ) = 0; f'(h) < 0, h > H .
В качестве примеров монотонной терапии в [7] предлагаются функции
f (h) = h, f ( h) = h / (k + h).
В качестве примеров немонотонной терапии в [7] предлагаются
функции
f ( h) = hα e −βh , α ≥ 0, β > 0;
f ( h) =
h
A + Bh + CH
2
, A, C > 0, B 2 − 4 AC < 0.
Поступление лекарства описывается следующим уравнением [7]:
dh
= −αh + u (t ), h(0) = 0, u (t ) ≥ 0, t ∈ [0, T ],
dt
где u (t ) − функция управления; α − коэффициент диссипации.
Было проведено численное моделирование системы уравнений (22) при
различных терапиях. Показано, что при удачном подборе терапии возможно
выздоравление даже в случае, когда модель без терапии предсказывает
летальный исход. Проведено сравнение различных терапий по длительности
и интенсивности лечения. При ряде начальных условий продемонстрировано
наличие иммунной памяти у базовой модели.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Заключение
В настоящее время имеются математические модели различных
заболеваний (вирусный гепатит, грипп А и т.д.) и известны границы
изменения параметров моделей [8, 16]. Моделирование различных терапий
позволяет прогнозировать эффективный метод лечения.
Список литературы
1. Г л у ш к о в , В. М . Моделирование развивающихся систем / В. М. Глушков,
В. В. Иванов, В. М. – М. : Наука, 1983. – 352 с.
2. Б а з ы к и н , А . Д . Математическая биофизика взаимодействующих популяций /
А. Д. Базыкин. – М. : Наука, 1985. – 186 с.
3. L o t k a , A . Elements of Physical Biology / A. Lotka. – Baltimore, 1925. – Reprinted
by Dover in 1956 as Elements of Mathematical Biology.
4. В о л ь те р р а , В. Математическая теория борьбы за существование / В. Вольтерра. – М. : Наука. ГИФМЛ, 1976. – 288 с.
5. С м и т, Д ж . М . Модели в экологии / Дж. М. Смит. – М. : Мир, 1976. – 182 с.
6. А р н о л ь д В. И . «Жесткие» и «мягкие» модели / В. И. Арнольд. – М. : МЦНМО,
2000. – 33 с.
7. Б р а ту с ь , А . С . Динамические системы и модели биологии / А. С. Братусь,
А. С. Новожилов, А. П. Платонов. – М. : Физматлит, 2010. – 368 с.
8. М а р ч у к , Г . И . Математические модели в иммунологии. Вычислительные
методы и эксперименты / Г. И. Марчук. – М. : Наука, 1991. – 304 с.
9. N o wa k , M . A . Virus dynamics. Mathematical principles of immunology and
virology / M. A. Nowak, R. M. May. – Oxford : Oxford University Press, 2000. – 237 p.
10. W o d a r z, D . Killer Cell Dynamics Mathematical and Computational Approaches to
Immunology / D. Wodarz // Springer Science + Business Media, LLC, 2007. – 220 p.
11. Б о й к о в , И . В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений /
И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2008. – 244 с.
12. Б о й к о в , И . В. Об одном критерии устойчивости решений систем нелинейных
дифференциальных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. –
2006. – Т. 42, № 1. – С. 3–10.
13. Б о й к о в , И . B . Устойчивость простейшей математической модели
иммунологии / И. B. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 4. – C. 32–46.
14. Б о й к о в , И . B . Устойчивость моделей противовирусного и противобактериального иммунного ответа / И. B. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2008. – № 4. – С. 47–61.
15. Б о й к о в , И . В. Устойчивость математических моделей противобактериального
иммунного ответа / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева, О. А. Будникова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2011. – № 2 (18). – С. 15–27.
16. Р о м а н ю х а , А . А . Анализ данных и моделирование инфекционных
заболеваний / А. А. Романюха, С. Г. Руднев, С. М. Зуев // Современные проблемы
вычислительной математики и математического моделирования : в 2 т. Т. 2.
Математическое моделирование / отв. ред. В. П. Дымников ; Ин-т вычисл.
математики. – М. : Наука, 2005.– С. 352–403.
References
1. Glushkov V. M., Ivanov V. V. Modelirovanie razvivayushchikhsya sistem [Modeling of
evolutionary systems]. Moscow: Nauka, 1983, 352 p.
116
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Математика
2. Bazykin A. D. Matematicheskaya biofizika vzaimodeystvuyushchikh populyatsiy
[Mathematical biophysics of interacting populations]. Moscow: Nauka, 1985,
186 p.
3. Lotka A. Elements of Physical Biology. Baltimore, 1925. Reprinted by Dover in 1956
as Elements of Mathematical Biology.
4. Vol'terra V. Matematicheskaya teoriya bor'by za sushchestvovanie [Mathematical
theory of the struggly for existence]. Moscow: Nauka. GIFML, 1976, 288 p.
5. Smit Dzh. M. Modeli v ekologii [Models in ecology]. Moscow: Mir, 1976, 182 p.
6. Arnol'd V. I. «Zhestkie» i «myagkie» modeli [“Rigid” and “soft” models]. Moscow:
MTsNMO, 2000, 33 p.
7. Bratus' A. S., Novozhilov A. S., Platonov A. P. Dinamicheskie sistemy i modeli biologii
[Dynamic systems and models of biology]. Moscow: Fizmatlit, 2010, 368 p.
8. Marchuk G. I. Matematicheskie modeli v immunologii. Vychislitel'nye metody i
eksperimenty [Mathematical models in immunology. Computing methods and
experiments]. Moscow: Nauka, 1991, 304 p.
9. Nowak M. A., May R. M. Virus dynamics. Mathematical principles of immunology and
virology. Oxford: Oxford University Press, 2000, 237 p.
10. Wodarz D. Springer Science + Business Media, LLC, 2007, 220 p.
11. Boykov I. V. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy [Stability of
differential equation solutions]. Penza: Izd-vo PGU, 2008, 244 p.
12. Boykov I. V. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2006, vol. 42, no. 1,
pp. 3–10.
13. Boykov I. B., Zakharova Yu. F., Dmitrieva A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh
zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings.
Volga region. Physics and mathematics sciences]. 2008, no. 4, pp. 32–46.
14. Boykov I. B., Zakharova Yu. F., Dmitrieva A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh
zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko- matematicheskie nauki [University proceedings.
Volga region. Physics and mathematics sciences ]. 2008, no. 4, pp. 47–61.
15. Boykov I. V., Zakharova Yu. F., Dmitrieva A. A., Budnikova O. A. Izvestiya vysshikh
uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University
proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences]. 2011, no. 2 (18),
pp. 15–27.
16. Romanyukha A. A., Rudnev S. G., Zuev S. M. Sovremennye problemy vychislitel'noy
matematiki i matematicheskogo modelirovaniya: v 2 t. T. 2. Matematicheskoe
modelirovanie [Modern problems of calculus mathematics and mathematical modeling:
in 2 volumes. Volume 2. Mathematical modeling]. In-t vychisl. matematiki. Moscow:
Nauka, 2005, pp. 352–403.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный
университет (Россия, г. Пенза,
ул. Красная, 40)
Boykov Il'ya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University (40 Krasnaya
street, Penza, Russia)
E-mail: boikov@pnzgu.ru
Physical and mathematical sciences. Mathematics
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Захарова Юлия Фридриховна
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Zakharova Yuliya Fridrikhovna
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: math@pnzgu.ru
Дмитриева Алла Аркадьевна
старший преподаватель, кафедра высшей
и прикладной математики, Пензенский
государственный университет
(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Dmitrieva Alla Arkad'evna
Senior lecturer, sub-department of higher
and applied mathematics, Penza State
University (40 Krasnaya street,
Penza, Russia)
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 518.5
Бойков, И. В.
Устойчивость развивающихся систем / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова,
А. А. Дмитриева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 101–118.
118
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
ФИЗИКА
УДК 535.32
А. С. Кадочкин, А. С. Шалин, Н. А. Маслов, А. М. Низаметдинов
НЕПОГЛОЩАЮЩИЙ МЕТАМАТЕРИАЛ С ДИСПЕРСИЕЙ
ЭФФЕКТИВНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ1
Аннотация. Актуальность и цели. Для многих приложений важным является
определение так называемых эффективных материальных параметров, позволяющих описывать их в привычных терминах показателя преломления или
диэлектрической и магнитной проницаемостей. В данной работе исследуется
применимость методов определения эффективного показателя преломления
к композитной пленке, составленной из упорядочено распределенных в пространстве нанообъектов. Нами показано ранее, что нанокомпозитный слой со
сферическими либо цилиндрическими порами может придавать отраженной
волне дополнительный фазовый сдвиг, зависящий от частоты падающего поля,
обеспечивая тем самым широкополосное просветление, что формально соответствует частотной дисперсии эффективного показателя преломления наноструктуры, что вызывает интерес, поскольку материал компонентов системы
частотной дисперсией не обладает. Материалы и методы. В данной работе
для определения эффективного показателя преломления системы упорядочено
распределенных в пространстве используется метод NRW (Nicholsson-RossWeir), позволяющий определить эффективный показатель преломления нанокомпозитной пленки по известным коэффициентам отражения и пропускания.
Результаты. Показано, что проведение процедуры гомогенизации невозможно в общем случае для описания оптических свойств композитных пленок, обладающих существенной неоднородностью даже при условии малости их оптической толщины по сравнению с длиной волны. Вместе с тем найдены конфигурации, для которых данный метод работает; для найденных конфигураций показано наличие частотной дисперсии показателя преломления при полном отсутствии поглощения в пленке. Показано, что полученная частотная зависимость эффективного показателя преломления не противоречит соотношениям Крамерса – Кронига. Выводы. Показано, что предложенное ранее наноструктурное просветляющее покрытие, представляющее собой нанопоры в поверхности среды, расположенные в виде упорядоченной решетки, обладает
дисперсией эффективного показателя преломления, что может быть использовано для «подстройки» его оптических свойств и обеспечения просветления в
более широком диапазоне длин волн, нежели это возможно при использовании
гомогенных пленок. Обнаруженный эффект может быть использован при построении тонкопленочных композитных оптических покрытий различного
назначения.
Ключевые слова: метаматериал, эффективный показатель преломления, композитная среда, частотная дисперсия.
1
Работа выполнена при поддержке Минобрнауки в рамках государственного задания
на 2012–2014 гг., госконтракт № 14.В37.21.1634, а также при финансовой поддержке РФФИ
в рамках проектов № 12-02-31423-мол_а, № 14-02-31765, № 14-08-31730, № 13-02-90765.
Physical and mathematical sciences. Physics
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
A. S. Kadochkin, A. S. Shalin, N. A. Maslov, A. M. Nizametdinov
NON-ABSORBING METAMATERIAL WITH
DISPERSION OF EFFECTIVE REFRACTIVE INDEX
Abstract. Background. For many applications it is important to define the so-called
effective material parameters that allow describing them in familiar terms of the refractive index or the dielectric permittivity and magnetic permeability. The article
investigates the applicability of the method for determining the effective refractive
index of a composite film consisting of ordered nano-objects. The authors have
shown previously that the nanocomposite layer with spherical or cylindrical pores of
the reflected wave can impart additional phase shift dependent on the frequency of
the incident field, thus providing broadband illumination, which formally corresponds to the frequency dispersion of the effective refractive index nanostructure
that is of interest, because the material components are non-dispersive. Materials
and methods. In this paper, the researchers use the NRW-method (Nicholsson-RossWeir) to determine the effective refractive index of the nanocomposite films from
reflection and transmission coefficients. Results. It is shown that homogenization
procedure is not allways appropriate for describing the optical properties of composite films, having substantial inhomogenity even in condition when its optical thickness is smaller compared with the wavelength. However, the authors discovered a
configuration for which this method works. For the found configuration the researchers showed the presence of the frequency dispersion of the refractive index in
the absence of absorption in the film. It is also shown that the frequency dependence
of the effective refractive index does not contradict to the Kramers-Kronig relation.
Conclusions. It is shown that the previously proposed nanostructured antireflective
coating, consisting of nano-pores in the surface of the medium, disposed in a lattice
arrangement, has a dispersion of the effective refractive index that can be used to
"tune" the optical properties and to provide broadband antireflection, than is not
possible for the homogeneous films. The present effect can be used to construct the
composite thin-film optical coatings for various purposes.
Key words: metamaterial, effective refractive index, effective parameters, frequency dispersion.
Введение
Метаматериалы – это искусственные структуры, которые обладают
свойствами, не присущими их составным частям, и не встречаются в природе.
Для многих приложений (например, конструирование и исследование «левых» сред, гиперболических метаматериалов, структур с близким к единице
показателем преломления) [1] важным является определение так называемых
эффективных материальных параметров таких сред, позволяющих описывать
их в привычных терминах показателя преломления или диэлектрической и
магнитной проницаемостей. Нахождение указанных характеристик, или процедура гомогенизации, заключается в замещении реальной композитной среды некоторой однородной эффективной, обладающей теми же оптическими
свойствами. Имеется ряд работ (см., например, [2]), в которых показывается,
что в общем случае для произвольной композитной среды построение полностью эквивалентной эффективной среды невозможно. В работе [2] в связи
с этим предлагается разделение определяемых в результате проводимой тем
или иным образом процедуры гомогенизации оптических параметров на собственно эффективные, т.е. присущие эффективной среде, связанные не только
120
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
с параметрами композита, но и с конкретной физической ситуацией, для которой они определены (толщина пленки, угол падения и т.п.), и характеристические, т.е. характеризующие среду в различных физических условиях.
В работе [3] также отмечено, что эффективные параметры, определенные для
тонкого слоя, не могут быть напрямую применены к массивной среде, а параметры, найденные при нормальном падении излучения, не всегда применимы при других углах падения. В частности, при отражении света от периодических решеток при наклонном падении могут наблюдаться так называемые аномалии Вуда, когда в результате взаимодействия падающей волны
с возникающей поверхностной при определенных углах падения энергия падающей волны перекачивается в первый порядок дифракции, что невозможно
в эквивалентной однородной эффективной среде.
Известно несколько основных методов определения эффективных оптических параметров. В качестве приближенных подходов следует отметить
существующие аналитические методы эффективной среды, например, теории
Максвелла – Гарнетта, Бруггемана, Клаузиуса – Мосотти, а также их модифицированные версии [4, 5]. Достоинством указанных подходов является
простота использования, однако область их применения весьма ограничена,
что обусловлено введенными в них приближениями [5–7]. В работах [8, 9]
рассматривается способ точного нахождения эффективного показателя преломления, для чего используется численное усреднение полей в объеме элементарной ячейки. При этом проблемой является выбор подходящего контура или поверхности интегрирования [10]. В работе [11] предлагается метод
определения эффективных параметров квазипериодических метаматериалов,
основанный на анализе распространения блоховских волн в квазипериодических композитных структурах.
Наиболее часто используемый метод определения эффективного показателя преломления композитной пленки развит, например, в работах [12–14]
(метод RNW). Указанный подход позволяет определить материальные параметры среды по известным амплитудным коэффициентам отражения и пропускания (или S-параметрам).
В данной статье будет исследована применимость метода [12–14] для
определения эффективного показателя преломления системы упорядочено
распределенных в пространстве нанообъектов и, в частности, предложенного
в наших работах [15–19] наноструктурного широкополосного просветляющего покрытия. В работе [15] показано, что подобный нанокомпозитный слой со
сферическими либо цилиндрическими порами может придавать отраженной
волне дополнительный фазовый сдвиг, зависящий от частоты падающего поля, обеспечивая тем самым широкополосное просветление (слой является
«четвертьволновым» в некотором спектральном диапазоне, а не на единственной длине волны, как это имеет место в гомогенной пленке). Формально
это соответствует частотной дисперсии эффективного показателя преломления наноструктуры, что вызывает интерес, поскольку материал компонентов
системы частотной дисперсией не обладает. В данной работе возможность
возникновения подобной зависимости эффективных оптических констант
наноструктурной пленки от длины волны излучения будет исследована при
помощи прямого численного расчета.
Следует отметить, что, поскольку в рамках данного исследования мы
не будем выходить за рамки определенной физической конфигурации,
Physical and mathematical sciences. Physics
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
а именно: нормального падения света на поверхность среды с тонкослойным
композитным покрытием, нет необходимости определять характеристические
параметры, и для адекватного описания взаимодействия электромагнитной
волны с веществом в данном случае вполне достаточно эффективных параметров в терминах работы [2].
1. Эффективный показатель преломления
пленки с внедренным слоем нанообъектов
Определим эффективный показатель преломления структуры, предложенной в [15], которая представляет собой диэлектрическую матрицу с показателем преломления n = 1,5 с внедренными в нее нанополостями сферической формы, расположенными в виде квадратной решетки. На рис. 1 представлена элементарная ячейка исследуемой структуры, используемая для
численного расчета S-параметров.
Рис. 1. Элементарная ячейка упорядоченного слоя нанополостей. Вектор k
направлен вдоль оси z, вектор E – вдоль оси y; размер ячейки – 100 нм
Эффективный показатель преломления связан с S-параметрами согласно [14] следующим выражением:
neff = ±

 1
1 
2
2 
+ S21
1 − S11
arccos 
 + 2πm  ,
k0 d 
 2S21


(
)
(1)
где k0 – модуль вакуумного волнового вектора; d – толщина пленки; m –
целое число, выбираемое так же, как и знак перед выражением из условия непрерывности и гладкости neff (λ) .
Если компоненты S -матрицы S11 и S21 в формуле (1) найдены какимлибо способом (экспериментально или путем численного расчета), становится возможным определение эффективного показателя преломления neff . Для
непоглощающей среды, как показано в [20], выражение (1) можно упростить,
в результате чего эффективный показатель преломления описывается выражением
122
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
neff =
  1 
1
arccos  Re 
 ,
k0 d
  S21  
(2)
т.е. определяется только параметром S21 (знаки перед выражением и 2πm
опущены).
В рамках данной работы для определения S -параметров рассматриваемой системы нами используется численный расчет на основе метода конечных элементов, реализованный в программной среде Comsol Multiphysics. На
рис. 2 приведены результаты численного расчета для структуры, отображенной на рис. 1. На рис. 2,а представлена определенная при помощи выражения
(2) дисперсионная зависимость эффективного показателя преломления композитной пленки. Видно, что эффективный показатель преломления сильно
зависит от длины волны падающего излучения, кроме того, в спектральном
интервале 250–280 нм зависимость не является гладкой, и в этом же диапазоне показатель преломления имеет мнимую часть (рис. 2,б). Поскольку материалы, составляющие композитную пленку, не являются поглощающими,
физически такая ситуация невозможна. Пропускание системы, рассчитанное
с помощью полученного эффективного показателя преломления (рис. 2,в), также не совпадает с результатами непосредственного численного расчета. На
рис. 2,г приведена зависимость аргумента арккосинуса из выражения (2) от
длины волны. Видно, что в диапазоне длин волн 250–280 нм данная величина
превышает по модулю единицу, что и приводит к появлению возникающей
в расчетах мнимой части эффективного показателя преломления. Таким образом, возникает вопрос о границах применимости выражений типа (2).
Im(n eff)
Re(neff )
λ, нм
T
а)
Re(1/S21)
б)
λ, нм
в)
г)
λ, нм
λ, нм
Рис. 2. Результаты численного расчета для конфигурации, изображенной на рис. 1:
а, б – действительная и мнимая части эффективного показателя преломления;
в – пропускание композитной пленки, рассчитанное аналитически с использованием
найденного эффективного показателя преломления (пунктирная линия)
и численно (сплошная линия); г – аргумент арккосинуса в формуле (2)
Physical and mathematical sciences. Physics
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Для выяснения природы данного явления нами были исследованы три
конфигурации, элементарные ячейки которых приведены на рис. 3. Геометрия, представленная на рис. 3,а, представляет собой хорошо известную многослойную структуру, отражение и пропускание которой легко рассчитать
аналитически. Результаты численных и аналитических расчетов дают картину, качественно аналогичную наблюдающейся для сферической полости
(рис. 4,а,в). У структур, изображенных на рис. 3,б,в, стенки полости параллельны вектору k , а поперечные границы совпадают с границами пленки. Из
рис. 4,б видно, что в случае, когда стенки полости параллельны плоскости
падения, аномалии показателя преломления отсутствуют, он является действительной величиной, причем обладает небольшой дисперсией. Следует
отметить, что качественно аналогичный результат (дисперсия) экспериментально был получен в работе [21]. Авторами измерен эффективный показатель преломления тонкого слоя, состоящего из «ворсинок» из диоксида кремния на кремниевой подложке, показано, что указанная величина убывает
с ростом длины волны.
а)
б)
в)
Рис. 3. Элементарные ячейки слоя нанополостей различной ориентации.
Вектор k направлен вдоль оси z, вектор E – вдоль оси y; размер ячейки – 100 нм.
Серая область – показатель преломления, равен 1,5, прозрачная область –
показатель преломления, равен 1
124
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
Re(neff )
T
λ, нм
λ, нм
а)
г)
Re(neff )
T
д
λ, нм
λ, нм
б)
д)
Re(neff )
T
λ, нм
λ, нм
в)
е)
Рис. 4. Результаты расчетов для конфигураций, представленных
на рис. 3,а – (а, г), рис. 3,б – (б, д) и рис. 3,в – (в, е); а, б, в – эффективный
показатель преломления; г, д, е – пропускание композитной пленки,
рассчитанное аналитически при помощи формул Эйри с использованием
найденного эффективного показателя преломления (пунктирная линия)
и рассчитанное численно (сплошная линия)
Пропускание, рассчитанное с использованием найденного эффективного показателя преломления, как видно из рис. 4,д, совпадает с определенным
численно. В случае, когда стенки полости перпендикулярны плоскости падения (рис. 3,в), аномалии показателя преломления имеют место, но в значительно меньшем диапазоне длин волн, чем в случае сферической полости.
Пропускание вне «аномального» диапазона также достаточно близко к рассчитанному численно (рис. 4,в,е).
Таким образом, обсуждения, на наш взгляд, заслуживают два момента:
применимость модели эффективной среды в случае существенно неоднородных композитов и возможное наличие дисперсии в композитной среде, составленной из недиспергирующих компонентов.
Physical and mathematical sciences. Physics
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Обсуждение результатов
Границы применимости метода эффективной среды. Из сравнения результатов, полученных для сферической полости (рис. 1), поперечного слоя
(рис. 3,а) и конфигураций (рис. 3,б,в), видно, что адекватность получаемых
результатов в наибольшей степени зависит от наличия в элементарной ячейке
внутренних границ, перпендикулярных волновому вектору, назовем это поперечной неоднородностью. Если неоднородность имеет только продольный
характер (границы неоднородности параллельны волновому вектору), аномалии эффективного показателя преломления либо полностью отсутствуют
(конфигурация на рис. 3,б), либо наблюдаются в гораздо более узком диапазоне длин волн и оказывают меньшее влияние на вычисленное с его помощью
пропускание (конфигурация на рис. 3,в). Отметим, что даже в случае, показанном на рис. 3,б, где нефизический резонанс показателя преломления практически отсутствует, наблюдается частотная дисперсия neff при отсутствующем поглощении.
На рис. 5,а приведен результат численного расчета структуры волнового фронта электромагнитной волны внутри элементарной ячейки, изображенной на рис. 3,б. Неоднородность в этом случае продольная. Видно, что при
небольшом контрасте показателей преломления полостей и матрицы фронт
волны близок к плоскому. Напряженность электрического поля при этом
имеет только тангенциальную по отношению к границам полости компоненту, являющуюся в силу максвелловских граничных условий непрерывной.
При увеличении контраста показателей преломления фронт волны внутри исследуемой структуры искривляется, и аномальная область показателя преломления растет. Для конфигурации, представленной на рис. 3,в, неоднородность также имеет продольный характер, но поле перпендикулярно границам
полости и не является непрерывным на границах (рис. 5,б). В этом случае,
однако, поперечное распределение полей внутри доменов структуры мало
влияет на отражение и пропускание в силу малости их размеров по сравнению с длиной волны. Таким образом, для подобных структур, а также всевозможных цилиндров, ворсинок, проволок подход [12–14], изначально разработанный для однородных сред, дает достаточно адекватные результаты
в широком диапазоне длин волн, по крайней мере, при указанных размерах и
показателях преломления.
Дисперсия эффективного показателя преломления и соотношения
Крамерса – Кронига. Наблюдаемая в результатах расчетов дисперсия показателя преломления, имеющая место при отсутствии нефизических резонансов
последнего (например, рис. 3,б либо в случае указанных систем, в которых
поле перпендикулярно границам нанообъекта) обусловлена спецификой рассеяния света нанообъектами, а также коллективными эффектами в квазикристалле, имеющими место при изменении соотношения между размерами
нанообъектов и длиной волны. Например, при варьировании последней изменяется роль моментов различной мультипольности в спектре рассеяния нанополостей, что приводит к зависимости амплитуды и фазы отраженного от
наноструктуры поля от длины волны. Также к подобному эффекту приводит
наличие электродинамического запаздывания во взаимодействии нанообъектов, расположенных в виде упорядоченной решетки. Более детально данная
126
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
частотная зависимость фазы отраженного от наноструктуры поля исследована в наших работах [15–19]. Таким образом, обнаруженная зависимость эффективного показателя преломления композитной пленки от длины волны
излучения согласуется с полученными ранее аналитическими результатами.
Следует отметить, что при этом система является непоглощающей. На первый взгляд, полученный результат противоречит соотношениям Крамерса –
Кронига, являющимся следствием принципа причинности и требующим
наличия мнимой части диэлектрической проницаемости в случае дисперсии
реальной. Тем не менее указанное противоречие отсутствует.
а)
б)
Рис. 5. Результаты численного расчета формы фронта волны (линии
постоянной напряженности E ). Вектор k падающей волны
направлен вдоль оси z, вектор E направлен вдоль оси y
Соотношения Крамерса – Кронига могут быть введены для диэлектрической проницаемости двумя способами [22]:
1. В соответствии с принципом причинности. Диэлектрическая проницаемость описывает реакцию (отклик) системы на внешние воздействия.
Функцией отклика называется величина, устанавливающая связь между воздействием на систему и его результатом:
(результат воздействия) = (функция отклика) × (воздействие).
(3)
В рамках уравнений Максвелла соотношение (3) выражает известную
связь вектора смещения и напряженности внешнего поля:
D ( ω, k ) = ε ( ω, k ) ⋅ E ( ω, k ) .
(4)
Эта связь носит причинный характер (причина всегда предшествует по
времени следствию), причем роль следствия играет левая часть (3), (4), а причины – второй сомножитель правой части. Отсюда вытекает [22, 23], что
функция отклика (в данном случае диэлектрическая проницаемость среды)
Physical and mathematical sciences. Physics
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
обязательно удовлетворяет соотношению типа соотношения Крамерса –
Кронига.
2. При помощи так называемого условия «спектральности», связывая
величину 1 / ε с корреляцией флуктуаций поля [24], вводя полную промежуточную систему функций и учитывая, что соответствующие им частоты
вещественны. Именно таким способом выводятся обычно соотношения Челлена – Лемана для функции Грина фотона в вакууме в квантовой теории поля,
служащие прямым аналогом соотношения Крамерса – Кронига [22, 24].
В рассматриваемом случае мы намеренно разделяем понятия диэлектрической проницаемости вещества (материальной) и эффективной диэлектрической проницаемости наноструктурной пленки. Первая, как и следует из
принципа причинности, является «функцией отклика» среды на внешнее воздействие и может быть использована для расчета вектора смещения. Вторая
(эффективная) является абстрактной величиной, рассчитанной на основе анализа спектров пропускания и отражения системы как целого, и для определения вектора смещения в каждой точке пленки неприменима. Более того, в соотношения, связывающие амплитуды падающей, отраженной и преломленной волн, эффективная диэлектрическая проницаемость входит в неявном виде, соответственно не является «функцией отклика» и с этой точки зрения.
Аналогичный результат может быть получен и более строго, на основе
второго способа, использующего принцип «спектральности», например, методом интегральных уравнений [25], связывающим диэлектрическую проницаемость вещества с концентрацией и спектральными свойствами составляющих его атомов и молекул, «реагирующих» на внешнее электромагнитное
поле.
Таким образом, обнаруженная частотная дисперсия эффективного показателя преломления наноструктурной пленки при отсутствии поглощения
не противоречит соотношениям Крамерса – Кронига.
Заключение
В данной работе исследованы оптические свойства диэлектрических
пленок с внедренным квазикристаллическим слоем нанообъектов (нанополостей различной формы). Показано, что подход NRW [12–14] непригоден
в общем случае для описания оптических свойств композитных пленок, обладающих существенной неоднородностью даже при условии малости их оптической толщины по сравнению с длиной волны. Вместе с тем найдены конфигурации, для которых данный подход работает; для данных конфигураций
показано наличие частотной дисперсии показателя преломления при полном
отсутствии поглощения в пленке. При этом компоненты композитной среды
дисперсией оптических констант не обладают. Показано, что полученная частотная зависимость эффективного показателя преломления не противоречит
соотношениям Крамерса – Кронига. Обнаруженный эффект может быть использован при построении тонкопленочных композитных оптических покрытий различного назначения. Нами показано, что предложенное ранее наноструктурное просветляющее покрытие, представляющее собой нанопоры
в поверхности среды, расположенные в виде упорядоченной решетки, обладает дисперсией эффективного показателя преломления, что может быть использовано для «подстройки» его оптических свойств и обеспечения про-
128
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
светления в более широком диапазоне длин волн, нежели это возможно при
использовании гомогенных пленок.
Список литературы
1. G a d o m s k i i , O . N . Optical near-field resonances in the system of interacting nanoparticles / O. N. Gadomskii, A.S. Shalin // The Physics of Metals and Metallography. –
2006. – Vоl. 101. – P. 425–433.
2. S i m o v s k i , C . R . On electromagnetic characterization and homogenization of nanostructured metamaterials / C. R. Simovski // Journal of Optics. – 2011. – Vоl. 13. – P. 013001.
3. Б е л о в, П . А . Исследование возможности извлечения материальных параметров из коэффициентов отражения и прохождения плоской волны для многослойных метаматериалов на основе металлических наносеток / П. А. Белов, Е. А. Янковская, И. В. Мельчакова, К. Р. Симовский // Оптика и спектроскопия. – 2010. –
Т. 109, № 1. – С. 90–101.
4. Б о р е н , К . Поглощение и рассеяние света малыми частицами / К. Борен,
Д. Хафмен. – М. : Мир, 1986. – 664 с.
5. Х л е б ц о в , Н . Г . Функционализованные наночастицы с плазмонным резонансом / Н. Г. Хлебцов // Квантовая электроника. – 2008. – Т.38. – С. 504.
6. Ш а л и н , А . С . Микроскопическая теория оптических свойств композитных
сред с хаотическим распределением наночастиц / А. С. Шалин // Квантовая электроника. – 2010. – Т. 40, № 11. – С. 1004–1011.
7. Ш а л и н , А . С . Отрицательный эффективный показатель преломления металлических наночастиц в неупорядоченных нанокомпозитах / А. С. Шалин // Физика
металлов и металловедение. – 2010. – Т. 110, № 2. – С. 125–137.
8. S m i t h , D . R . Homogenization of metamaterials by field averaging / D. R. Smith,
J. B. Pendry // Journal of the Optical Society of America B. – 2001. – Vol. 23. –
P. 391–403.
9. L e r a t , J . Determination of the effective parameters of a metamaterial by field summation method / J. Lerat, N. Mallejac, O. Acher // Journal of Applied Physics. – 2006. –
Vol. 100. – P. 084908.
10. S i l v e i r i n h a , M . G . Metamaterial homogenization approach with application to the
characterization of microstructured composites with negative parameters / M. G. Silveirinh // Physical Review B. – 2007. – Vol. 75. – P. 115104.
11. A n d r y i e u s k i , A . Bloch-mode analysis for retrieving effective parameters of metamaterials / A. Andryieuski, S. Ha, A. A. Sukhorukov, Yu. S. Kivshar, A. V. Lavrinenko. – Physical Review B. – 2012. – Vol. 86. – P. 035127.
12. S m i t h , D . R . Electromagnetic parameter retrieval from inhomogeneous metamaterials / D. R. Smith, D. C. Vier, Th. Koschny, C. M. Soukoulis // Physical Review E. –
2005. – Vol. 71. – P. 036617.
13. W e i r , W . B . Automatic measurement of complex dielectric constant and permeability at microwave frequencies / W. B. Weir // Proceedings of the IEEE. – 1974. – Vol. 62. –
P. 33.
14. N i c h o l s o n , A . M . Transactions on Instrumentation and Measurement / A. M. Nicholson, G. F. Ross // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. – 1970. –
IM-19. – P. 377.
15. Ш а л и н , А . С . Широкополосное просветление среды, модифицированной
внедренным слоем из нанополостей / А. С. Шалин // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 2010. – Т. 12. – С. 705–711.
16. S h a l i n , A . S . Optical Properties of Nanostructured Layers on the Surtace of an
Underlying Medium / A. S. Shalin, S. G. Moiseev // Optics and Spectroscopy. – 2009. –
Vol. 106. – P. 916–925.
17. S h a l i n , A . S . Optical antireflection of a medium by nanostructural layers /
A. S. Shalin // Progress in Electromagnetic Research B. – 2011. – P. 45–66.
Physical and mathematical sciences. Physics
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
18. S h a l i n , A . S . Approximate Model for Universal Broadband Antireflection NanoStructure / A. S. Shalin, S. A. Nikitov // Progress in Electromagnetic Research B. –
2013. – Vol. 47. – P. 127–144.
19. Ш а л и н , А . С . Регулирование отражательной способности границы раздела
двух сред монослоем наночастиц / А. С. Шалин, С. Г. Моисеев // Квантовая электроника. – 2009. – Т. 39, № 12. – С. 1175–1181.
20. S t a r r , A . F . Fabrication and characterization of negative-revractive-index composite
metamaterial / A. F. Starr, P. M. Rye, D. R. Smith, S. Nemat-Nasser // Physical Review B. – 2004. – Vol. 70. – P. 113102.
21. X i, J . - Q . Optical thin-film materials with low refractive index for broadband elimination of Fresnel reflection / J.-Q. Xi, M. F. Schubert, J. K. Kim, E. F. Schubert // Nature
Photonics Letters. – 2007. – Vol. 1. – P. 176–179.
22. К и р ж н и ц , Д . А . Всегда ли справедливы соотношения Крамерса – Кронига для
диэлектрической проницаемости вещества? / Д. А. Киржниц // Успехи физических наук. – 1976. – Т. 119. – № 2. – С. 357.
23. П а й н с , Д . Теория квантовых жидкостей / Д. Пайнс, Ф. Нозьер. – М. : Мир,
1967. – 230 с.
24. С и л и н , В. П . Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред /
В. П. Силин, А. А. Рухадзе. – М. : Госатомиздат, 1961. – 345 с.
25. Б о р н , М . Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. – М. : Наука, 1973. – 720 с.
References
1. Gadomskii O. N., Shalin A. S. The Physics of Metals and Metallography. 2006,
vol. 101, pp. 425–433.
2. Simovski C. R. Journal of Optics. 2011, vol. 13, p. 013001.
3. Belov P. A., Yankovskaya E. A., Mel'chakova I. V., Simovskiy K. R. Optika i spektroskopiya [Optics and spectroscopy]. 2010, vol. 109, no. 1, pp. 90–101.
4. Boren K., Khafmen D. Pogloshchenie i rasseyanie sveta malymi chastitsami
[Absorption and scattering of light by small particles]. Moscow: Mir, 1986, 664 p.
5. Khlebtsov N. G. Kvantovaya elektronika [Quantum electronics]. 2008, vol. 38, p. 504.
6. Shalin A. S. Kvantovaya elektronika [Quantum electronics]. 2010, vol. 40, no. 11,
pp. 1004–1011.
7. Shalin A. S. Fizika metallov i metallovedenie [Physics of metals and physical metallurgy]. 2010, vol. 110, no. 2, pp. 125–137.
8. Smith D. R., Pendry J. B. Journal of the Optical Society of America B. 2001, vol. 23,
pp. 391–403.
9. Lerat J., Mallejac N., Acher O. Journal of Applied Physics. 2006, vol. 100, p. 084908.
10. Silveirinha M. G. Physical Review B. 2007, vol. 75, p. 115104.
11. Andryieuski A., Ha S., Sukhorukov A. A., Kivshar Yu. S., Lavrinenko A. V. Physical
Review B. 2012, vol. 86, p. 035127.
12. Smith D. R., Vier D. C., Koschny Th., Soukoulis C. M. Physical Review E. 2005,
vol. 71, p. 036617.
13. Weir W. B. Proceedings of the IEEE. 1974, vol. 62, p. 33.
14. Nicholson A. M., Ross G. F. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement.
1970, IM-19, p. 377.
15. Shalin A. S. Pis'ma v Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Letters to the
Journal of experimental and theoretical physics]. 2010, vol. 12, pp. 705–711.
16. Shalin A. S., Moiseev S. G. Optics and Spectroscopy. 2009, vol. 106, pp. 916–925.
17. Shalin A. S. Progress in Electromagnetic Research B. 2011, pp. 45–66.
18. Shalin A. S., Nikitov S. A. Progress in Electromagnetic Research B. 2013, vol. 47,
pp. 127–144.
130
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
19. Shalin A. S., Moiseev S. G. Kvantovaya elektronika [Quantum electronics]. 2009,
vol. 39, no. 12, pp. 1175–1181.
20. Starr A. F., Rye P. M., Smith D. R., Nemat-Nasser S. Physical Review B. 2004, vol. 70,
pp. 113102.
21. Xi J.-Q., Schubert M. F., Kim J. K., Schubert E. F. Nature Photonics Letters. 2007,
vol. 1, pp. 176–179.
22. Kirzhnits D. A. Uspekhi fizicheskikh nauk [Progress of physical sciences]. 1976,
vol. 119, no. 2, pp. 357.
23. Payns D., Noz'er F. Teoriya kvantovykh zhidkostey [Theory of quantum liquids]. Moscow: Mir, 1967, 230 p.
24. Silin V. P., Rukhadze A. A. Elektromagnitnye svoystva plazmy i plazmopodobnykh sred
[Electromagnetic properties of plasma and plasma-like media]. Moscow: Gosatomizdat,
1961, 345 p.
25. Born M., Vol'f E. Osnovy optiki [Basic optics]. Moscow: Nauka, 1973, 720 p.
Кадочкин Алексей Сергеевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра радиофизики
и электроники, Ульяновский
государственный университет
(Россия, г. Ульяновск, ул. Льва
Толстого, 42)
Kadochkin Aleksey Sergeevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, sub-department of radio physics
and electronics, Ulyanovsk State University
(42 Lva Tolstogo street, Ulyanovsk, Russia)
E-mail: askadochkin@sv.ulsu.ru
Шалин Александр Сергеевич
кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник,
Ульяновский филиал Института
радиотехники и электроники РАН
(Россия, г. Ульяновск,
ул. Гончарова, 48/2)
Shalin Aleksandr Sergeevich
Candidate of physical and mathematical
sciences, senior staff scientist, Ulyanovsk
branch of the Institute of radio engineering
and electronics of the Russian Academy
of Sciences (48/2 Goncharova street,
Ulyanovsk, Russia)
E-mail: shalin_a@rambler.ru
Маслов Николай Александрович
аспирант, Ульяновский государственный
университет (Россия, г. Ульяновск,
ул. Льва Толстого, 42)
Maslov Nikolay Aleksandrovich
Postgraduate student, Ulyanovsk State
University (42 Lva Tolstogo street,
Ulyanovsk, Russia)
E-mail: n.a.maslov@yandex.ru
Низаметдинов Азат Маратович
младший научный сотрудник,
Ульяновский филиал Института
радиотехники и электроники РАН,
(Россия, г. Ульяновск,
ул. Гончарова, 48/2)
Nizametdinov Azat Maratovich
Junior researcher, Ulyanovsk branch
of the Institute of radio engineering
and electronics of the Russian Academy
of Sciences (48/2 Goncharova street,
Ulyanovsk, Russia)
E-mail: shalin_a@rambler.ru
Physical and mathematical sciences. Physics
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 535.32
Кадочкин, А. С.
Непоглощающий метаматериал с дисперсией эффективного показателя преломления / А. С. Кадочкин, А. С. Шалин, Н. А. Маслов, А. М. Низаметдинов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 119–132.
132
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 621.382.2
А. И. Михайлов, А. В. Митин, И. О. Кожевников
ОПТИМИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ УСТАНОВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДА
И ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В МНОГОСЛОЙНОЙ
ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СТРУКТУРЕ
С МЕТАЛЛИЧЕСКИМИ КОНТАКТАМИ
Аннотация. Актуальность и цели. В настоящее время возможности вычислительных комплексов позволяют использовать математическое моделирование
в качестве одного из основных методологических подходов при решении различных научных и инженерных задач. Усложнение объектов исследования
неизбежно приводит и к усложнению математических моделей, поэтому поиск
новых приемов оптимизации алгоритмов расчета является важной задачей.
Данная работа посвящена актуальной проблеме разработки, анализа и оптимизации математических моделей многослойных полупроводниковых структур.
Целью работы является разработка методики последовательной настройки и
адаптации алгоритма локально-полевой математической модели, описывающей динамику установления распределения заряда и электрического поля
в многослойных кремниевых структурах при условии неомичности металлических контактов. Материалы и методы. Моделирование проводится в одномерной системе координат. Система уравнений модели включает уравнение
непрерывности, уравнение Пуассона с соответствующими граничными и
начальными условиями и выражение для плотности полного тока через структуру. В качестве неидеального омического контакта рассматривается контакт
металл–полупроводник с потенциальным барьером 0,3 эВ. Методика оптимизации алгоритма заключается в выборе соответствующих начальных и граничных условий, исходя из известных физических представлений, корректировке
соответствующих условий, повышающей точность и сходимость решения, поиске оптимального соотношения между шагом по времени и по координате,
обеспечивающего устойчивость и малое время установления стационарного
решения. Оптимизация производится поэтапно для нескольких типов исследуемой структуры с последовательным усложнением. Результаты. Разработанная методика последовательной настройки и адаптации алгоритма локальнополевой математической модели, описывающей динамику установления распределения заряда и электрического поля в многослойных кремниевых структурах n+– n – n+ при условии неомичности металлических контактов, позволяет повысить точность решения и сократить время и количество вычислений.
Корректность получаемых результатов (распределений концентрации электронов, напряженности электрического поля и потенциала, вольт-амперных
характеристик) подтверждается их качественным согласованием с известными
физическими представлениями. Выводы. Разработанная методика имеет как
методическую, так и практическую ценность и может быть использована при
разработке других математических моделей более сложных структур, в том
числе при учете влияния различных внешних физических факторов.
Ключевые слова: локально-полевая математическая модель, многослойные
структуры, омические контакты.
A. I. Mikhaylov, A. V. Mitin, I. O. Kozhevnikov
Physical and mathematical sciences. Physics
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
OPTIMIZATION OF THE ALGORITHM
OF THE MATHEMATICAL MODEL OF THE CHARGE
AND ELECTRIC FIELD DISTRIBUTION
STABILIZATION IN A MULTILAYER SEMICONDUCTOR
STRUCTURE WITH METAL CONTACTS
Abstract. Background. At the present time the capacities of computer systems allow
using mathematical modeling as one of the major methodological approaches to solve
various scientific and engineering problems. The increasing complexity of research objects inevitably leads to complication of mathematical models, so the search for new
computation algorithms optimization methods is an important task. This work is dedicated to a topical issue of design, analysis and optimization of mathematical models of
multilayer semiconductor structures. The aim of this work is to develop a method of
sequential adjustment and adaptation of local-field mathematical model algorithm
which describes stabilization dynamics of the charge and the electric field distribution
in multilayer silicon structures with non-ohmic metal contacts. Materials and methods.
The authors carried out simulation in a one-dimensional coordinate system. The system of the model equations includes the equation of continuity, Poisson's equation with
the appropriate boundary and initial conditions, and the equation for the total current
density through the structure. The metal-semiconductor contact with a potential barrier
of 0.3 eV is considered as a non-ideal ohmic contact. The algorithm optimization
method consists of several main items. The relevant initial and boundary conditions are
selected on the basis of the known physical concepts. Adjustment of the appropriate
conditions improves the solution accuracy and convergence. Tradeoff between the
time steps and the coordinate steps provides stability and fast setting of the stationary
solution. Optimization is performed in stages for several types of this structure with a
sequential increasing of complexity. Results. The authors developed a method of sequential adjustment and adaptation of local-field mathematical model algorithm which
describes the stabilization dynamics of the charge and the electric field distribution in
multilayer n+– n – n+ silicon structures with non-ohmic metal contacts. This method
improves the accuracy of the solution and reduces the computation time and required
computing power. The validity of the calculation results (electron density distributions,
electric field and potential distributions, current-voltage characteristics) is confirmed
by its qualitative agreement with known physical concepts. Conclusions. The developed method has both methodological and practical values and can be used for other
mathematical models of more complex structures, considering the different external
physical factors effect.
Key words: local-field mathematical model, multilayer structures, ohmic contacts.
Введение
Математическое моделирование электронных процессов в полупроводниковых структурах широко применяется при проектировании различных
полупроводниковых приборов. Полупроводниковые структуры практически
всех известных приборов полупроводниковой электроники содержат чередующиеся слои с различными типами проводимости и концентрациями носителей заряда [1, 2]. Кроме того, физические процессы, протекающие в полупроводниковых структурах, в большинстве случаев существенно зависят от типа
и свойств металлических контактов [3, 4]. Идеальные омические контакты
в реальных структурах довольно трудно получить, поскольку различные факторы (например, наличие поверхностных состояний) могут приводить к воз-
134
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
никновению барьера для основных носителей заряда у границы раздела полупроводника с металлом [5]. Поэтому разработка математических моделей,
позволяющих учитывать свойства реальных омических контактов (наличие
области пространственного заряда в полупроводнике, туннелирование электронов, поверхностные состояния и т.д.), не теряет актуальности и в настоящее время [6–9].
Для описания динамики пространственного заряда и тока в полупроводниковых структурах, как правило, используется локально-полевая математическая модель (ЛПММ) (см. например [10–12]), в которой дрейфовая
скорость и коэффициент диффузии подвижных носителей заряда являются
локальными и мгновенными функциями напряженности электрического поля.
ЛПММ отличается относительной простотой алгоритма вычислений по сравнению с температурными моделями и моделями на основе метода МонтеКарло, не требует больших вычислительных ресурсов и характеризуется малым временем расчета. При этом ЛПММ адекватно описывает электронные
процессы в большинстве важных для практики случаев [13].
При построении математических моделей основными проблемами являются обеспечение точности решения, а также уменьшение времени вычислений. На сегодня сокращение затрат на вычисления может быть достигнуто
применением более производительных вычислительных комплексов, использованием новых технологий программирования, применением более эффективных технологий анализа, а также различных приемов оптимизации алгоритма расчета. При моделировании физических процессов в многослойных
системах с помощью ЛПММ обеспечение сходимости разностной схемы может быть достигнуто выбором корректных начальных и граничных условий,
а устойчивость и малое время установления стационарного решения – выбором соотношения между шагами по времени и по координате.
В данной работе описывается методика последовательной настройки и
адаптации алгоритма ЛПММ, описывающей динамику установления распределения заряда и электрического поля в многослойных кремниевых структурах n+– n – n+ с неидеальными омическими контактами. Методика заключается в последовательном определении физически корректных граничных и
начальных условий, обеспечивающих сходимость разностной схемы, и выборе соотношений между шагами по времени и координате, обеспечивающих ее
устойчивость и малое время установления стационарного решения, для конкретного набора слоев многослойной структуры.
1. Формулировка уравнений модели
Система уравнений ЛПММ включает уравнение непрерывности и уравнение Пуассона с соответствующими граничными и начальными условиями и
является нелинейной системой уравнений с частными производными. В работе
используется вариант ЛПММ, в котором только дрейфовая скорость электронов υn считается локальной и мгновенной функцией напряженности электрического поля E и для Si задается известным аналитическим выражением [14]:
υn ( E ) =
μn E
μ E
1+  n 
 υs 
Physical and mathematical sciences. Physics
2
(1)
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
с параметрами аппроксимации μn = 1200 см2/(В·с), υs = 107 см/с, а коэффициент диффузии электронов Dn предполагается постоянным и равным 35 см2/с.
Рассматривается вариант, когда в случае неидеального омического контакта у границы раздела полупроводника с металлом имеется потенциальный
барьер для основных носителей заряда высотой 0,3 эВ. Предполагается, что
между металлом и полупроводником отсутствует диэлектрический зазор, а на
поверхности полупроводника нет поверхностных электронных состояний. Во
всех рассмотренных в данной работе вариантах структур степень легирования областей, примыкающих к металлическим контактам, не превышает
1015 см–3, поэтому процесс туннелирования электронов через металлические
контакты не учитывается [6, 7].
На рис. 1 представлена одномерная система координат для моделируемой структуры, где j – вектор плотности тока проводимости через образец;
Ε – вектор напряженности электрического поля; υn – вектор дрейфовой скорости электронов; e x – единичный вектор оси x; L – длина полупроводникового кристалла.
Рис. 1. Система координат
Записав уравнение непрерывности для электронов, уравнение Пуассона
и выражение, связывающее электрическое поля и потенциал, в выбранной системе координат, получим следующую систему уравнений:
 ∂n
∂υ ( E )
∂2n
∂n
,
 = Dn 2 − υn ( E ) − n n
∂x
∂x
∂x
 ∂t
 2
(n − N D )
∂ ϕ
,
 2 =q
εε 0
 ∂x
 ∂ϕ
 = E,
 ∂x
(2)
где n = n ( x, t ) , E = E ( x, t ) и ϕ = ϕ ( x, t ) – концентрация электронов, напряженность электрического поля и потенциал как функции координаты x и времени t соответственно; υn(E) – дрейфовая скорость электронов, задаваемая
аналитическим выражением (1); N D = N D ( x ) – зависимость концентрации
136
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
доноров от координаты x; ε – относительная диэлектрическая проницаемость
полупроводника, ε0 – электрическая постоянная.
Для решения системы уравнений (2) из физических соображений формулируются соответствующие начальные и граничные условия, вид которых
выбирается для конкретного типа моделируемой структуры и рассматривается отдельно в следующем разделе.
Уравнения системы (2) аппроксимируются с помощью конечноразностных схем и решаются численно на компьютере при выбранных
начальных и граничных условиях. Первое и второе уравнения системы решаются методом прогонки, третье – методом бегущего счета [15]. Устойчивость разностной схемы обеспечивается выбором соотношения между шагами по времени и по координате, которые должны быть меньше соответствующих характеристических величин: максвелловского времени релаксации и
дебаевской длины экранирования. Адекватность модели характеризуется качественным соответствием ее выходных параметров – стационарных распределений n ( x ) , E ( x ) и ϕ ( x ) , а также статических вольт-амперных характеристик (ВАХ) известным физическим представлениям.
2. Адаптация и тестирование модели
Для получения конечного варианта ЛПММ многослойной кремниевой
структуры n+– n – n+ с неидеальными омическими контактами проводится поэтапная настройка разработанной модели, заключающаяся в ее адаптации и
тестировании для нескольких типов исследуемой структуры с последовательным усложнением: 1) БК – n+ – OK; 2) БК – n+ – n – OK; 3) БК – n+ – n – n+ –
OK; 4) БК – n+ – n – n+ – БК, где БК – барьерный (неидеальный), а ОК – идеальный омические контакты.
1. Для структуры типа БК – n+ – OK с однородным профилем легирования начальные и граничные условия задаются следующим образом:
Начальные условия:
n( x,0) = N D ( x)
при 0 ≤ x ≤ L;
(3)
 qN D (0)
( L0 − x) 2 при 0 ≤ x ≤ L0 ,
−
ϕ( x,0) =  2εε 0

0
при x > L0 ;

(4)
 qN D (0)
( L0 − x)

E ( x,0) =  εε 0

0

(5)
при 0 ≤ x ≤ L0 ,
при x > L0 ,
где N D (x) = N D = const , а L0 – начальное значение ширины области пространственного заряда (ОПЗ) контакта металл-полупроводник (КМП), рассчитываемое следующим образом:
L0 =
2εε 0 ϕk
,
qN D
(6)
где ϕk – контактная разность потенциалов в ОПЗ КМП.
Physical and mathematical sciences. Physics
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Условие (3) означает, что начальное распределение электронов в структуре соответствует профилю легирования образца. Условия (4) и (5) следуют
из аналитического решения уравнения Пуассона для области пространственного заряда КМП [13]. Ввиду самосогласованности задачи в результате итераций численного счета устанавливаются физически корректные распределения за конечное количество шагов по времени.
Граничные условия для БК:
n(0, t ) = nc при t > 0;
ϕ(0, t ) = −ϕк ± U
E (0, t ) =
qnc L0
εε 0
при t > 0;
при t > 0 ,
(7)
(8)
(9)
где nc – концентрации электронов на границе с металлом; U – постоянное
напряжение, прикладываемое к структуре.
Значение концентрации электронов на границе с металлом nc
в начальном приближении определяется известным выражением
 qϕ 
nc = N D (0)exp  − k 
 kT 
(10)
и уточняется в ходе численных экспериментов. Критерием адекватности значения nc является качественное соответствие стационарного распределения
электрического потенциала в структуре известным физическим представлениям (рис. 2). Для исследуемых структур с концентрацией легирующей примеси 3 · 1014 см–3 и контактной разностью потенциалов 0,3 В уточненное значение nc составляет 2,7 · 1010 см–3.
Знаки перед U в условии (8) приведены для прямого и обратного смещения БК соответственно для описанной системы координат (рис. 1). Условие
(9) задается в соответствии с аналитическим решением уравнения Пуассона для
барьера Шоттки без учета объемного заряда свободных носителей в ОПЗ.
Граничные условия для ОК:
n( L, t ) = N D ( L) при t > 0 ,
(11)
ϕ( L, t ) = 0 при t > 0 ,
(12)
E ( L, t ) = 0 при t > 0 .
(13)
2. Для структуры типа БК – n+ – n – OK начальные условия идентичны начальным условиям для первого типа структуры (3)–(5). Для этого варианта структур профиль легирования N D ( x ) задается кусочно-линейной функцией вида
10 N D


9 N D ( x − a)

N D ( x ) = 10 N D −
b−a

ND

при 0 ≤ x < a,
при a ≤ x ≤ b,
(14)
при b < x ≤ L,
где a и b – произвольные точки, задающие границы (n+ – n)-перехода.
138
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
Граничные условия идентичны граничным условиям для первого типа
структуры, кроме выражения для потенциала на правой границе полупроводника (рис. 1) для ОК (12):
ϕ( L, t ) = −
kT n +
ln
,
q
n
(15)
где n+ и n – концентрации электронов в n+-слое и n-слое соответственно [14].
Условие (15) означает, что на (n+ – n)-переходе существует разность потенциалов, определяемая соотношением
Δϕ =
kT n +
ln
.
q
n
3. Начальные условия для структуры типа БК – n+ – n – n+ – OK также
идентичны условиям для структуры первого типа (3)–(5). Для этого варианта
структур профиль легирования N D ( x ) задается кусочно-линейной функцией
вида

10 N D
при 0 ≤ x < a,

10 N − 9 N D ( x − a)
при a ≤ x ≤ b,
D

b−a

ND ( x) = 
ND
при b < x < ( L − b),

9 N D ( x − ( L − b))
ND +
при ( L − b) ≤ x ≤ ( L − a),
( L − a ) − ( L − b)


при ( L − a ) < x ≤ L.
10 N D

(16)
Граничные условия отличаются от граничных условий для первого типа структуры выражением для потенциала на правой границе КМП для ОК
(12):
ϕ( L, t ) = −
kT n1+ kT
n
ln
−
ln
,
q
n
q n2+
(17)
где n1+ и n2+ – концентрации электронов в n+-слое вблизи левого и правого
контактов соответственно.
4. Для структуры типа БК – n+ – n – n+ – БK начальные и граничные
условия формулируются следующим образом:
Начальные условия:
n( x,0) = N D ( x)
при 0 ≤ x ≤ L;
qN D (0)

2
 − 2εε ( L01 − x)
0

ϕ( x,0) = 
0
 qN ( L)
− D
( x − ( L − L02 )) 2
 2εε 0
Physical and mathematical sciences. Physics
(18)
при 0 ≤ x ≤ L01 ,
при L01 < x < ( L − L02 ),
(19)
при ( L − L02 ) ≤ x ≤ L;
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
qN D (0)

( L01 − x)

εε 0

0
E ( x,0) = 
 qN ( L)
− D
( x − ( L − L02 ))
εε 0

при 0 ≤ x ≤ L01 ,
при L01 < x < ( L − L02 ),
(20)
при ( L − L02 ) ≤ x ≤ L,
где L01 и L02 – начальные значения ширины ОПЗ левого и правого барьерных контактов соответственно, рассчитываемые аналогично L0 . Профиль легирования N D ( x ) в условии (18) задается кусочно-линейной функцией (16).
Граничные условия:
n(0, t ) = nc , n( L, t ) = nc при t > 0 ,
(21)
ϕ(0, t ) = −ϕк ± U , ϕ( L, t ) = −ϕк при t > 0 ,
(22)
E (0, t ) =
qN D (0) L0
qN (0) L0
, E ( L, t ) = − D
при t > 0 .
εε 0
εε 0
(23)
В условии (23) знаки для электрического поля у правой и левой границы различаются, поскольку в системе координат отличаются направления
электрического поля для первого и второго барьера соответственно (рис. 1).
В результате тестирования алгоритма ЛПММ были определены оптимальные значения шагов по времени τ = 30 пс и по координате h = 50 нм.
Также определены граничные значения: при τ ≥ 32 пс и h ≥ 100 нм решение
расходится, а при τ < 10–17 с и h < 5 · 10–11 м ощутимо возрастает время установления стационарного решения tуст. Для рассматриваемых структур рассчитанные значения максвелловского времени релаксации и дебаевской длины
экранирования составляют τm = 170 пс и ld = 720 нм соответственно. Полученная зависимость t уст ( τ) хорошо описывается функцией вида
t уст (τ) ~ τ−1 .
Для расчета ВАХ использовалось следующее выражение для плотности
полного тока через структуру:
L
1 
J (t уст ) =
qn( x, t уст )υn ( x, t уст ) +
U
L 
0

+ q ⋅ Dn
∂n( x, t уст )
∂x
+ εε0
∂E ( x, t )
∂t t


 dx ,
уст 

(24)
где t уст – момент установления стационарного решения модели, соответствующий n-му шагу по времени, критерием которого выбиралось условие
J (tn ) − J (tn −1 )
≤ 0,01 . При этом количество шагов n по времени не превыJ (tn )
140
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
шало 70, что позволяет использовать данный вариант модели для расчета динамических процессов, протекающих в структуре с частотой f < 500 MГц.
Стационарные распределения концентрации электронов, электрического поля и потенциала, полученные для четырех типов структур при нулевом
смещении ( U = 0 ), представлены на рис. 2. Из рисунка видно, что в состоянии термодинамического равновесия системы у границы с БК существует область, обедненная основными носителями заряда. На границах (n+ – n)- и
(n – n+)-переходов также присутствуют соответствующие области, представляющие собой потенциальный барьер. Приведенные результаты качественно
согласуются с моделью Шоттки для барьера в КМП [4]. На рис. 3 приведены
статические ВАХ четырех типов структур. Уменьшению ОПЗ левого БК соответствует напряжение смещения U > 0, увеличению – U < 0. Для структур
с одним БК (рис. 3,а) при U < 0 наблюдается участок насыщения тока, а при
U > 0 – экспоненциальный рост тока, что согласуется с известными физическими представлениями.
а)
б)
Рис. 2. Стационарные распределения концентрации электронов, напряженности
электрического поля и потенциала для структуры типа: а – БК – n+ – OK;
б – БК – n+ – n – OK; в – БК – n+ – n – n+ – OK; г – БК – n+ – n – n+ – БK (см. также с. 142)
Physical and mathematical sciences. Physics
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
в)
г)
Рис. 2. Окончание
Симметричность относительно нуля рассчитанной ВАХ для структуры
типа БК – n+ – n – n+ – БK (рис. 3,б) связана с увеличением ОПЗ одного из БК
при любой полярности приложенного напряжения.
Заключение
Разработанная методика последовательной настройки и адаптации алгоритма ЛПММ, описывающей динамику установления распределения заряда
и электрического поля в многослойных кремниевых структурах n+– n – n+ при
условии неомичности металлических контактов, позволяет повысить сходимость и устойчивость ее разностной схемы. Предложен и обоснован способ
выбора начальных и граничных условий, обеспечивающих получение физически корректных результатов. Применение метода прогонки при численном
решении уравнений непрерывности и Пуассона позволило улучшить сходи-
142
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
мость разностных схем. Показано, что полученные распределения поля, потенциала и концентрации электронов, а также рассчитанные статические
ВАХ соответствуют известным физическим представлениям.
а)
б)
Рис. 3. Вольт-амперные характеристики: а – трех различных типов структур
с одним БК; б – структуры типа n+ – n – n+ с двумя БК
Выявлено, что рассматриваемый алгоритм математической модели
наиболее чувствителен к параметру nc (концентрации электронов в полупроводнике на границе с металлом). Уточнение данного параметра в ходе численных экспериментов позволило получить корректный вид стационарного
распределения электрического потенциала в структуре типа БК – n+ – OK.
Полученное значение nc было использовано в граничных условиях для
структур остальных типов (БК – n+ – n – OK, БК – n+ – n – n+ – OK,
БК – n+ – n – n+ – БK).
В процессе оптимизации модели определено конкретное для данного
алгоритма соотношение шагов по времени и по координате, обеспечивающее
устойчивость и малое время установления стационарного решения. Также
количественно описана зависимость времени установления стационарного
решения от шага по времени.
Physical and mathematical sciences. Physics
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Предложенная методика может быть использована при разработке моделей других полупроводниковых приборов со схожей или более сложной
структурой, в том числе при учете влияния различных внешних физических
факторов.
Список литературы
1. Г а в р и л о в, Р . А . Технология производства полупроводниковых приборов /
Р. А. Гаврилов, М. А. Скворцов. – Л. : Энергия, 1968. – 240 с.
2. З и , С . Физика полупроводниковых приборов : в 2 кн. ; пер. с англ. / С. Зи. – М. :
Мир, 1984. – 912 с.
3. С тр и х а , В. И . Контактные явления в полупроводниках / В. И. Стриха. – Киев :
Выща школа. Головное изд-во, 1982. – 224 с.
4. Р о д е р и к , Э . Х . Контакты металл-полупроводник / Э. Х. Родерик. – М. : Радио
и связь, 1982. – 209 с.
5. Б л а н к , Т. В. Механизмы протекания тока в омических контактах металл–
полупроводник. Обзор / Т. В. Бланк, О. А. Гольдберг // Физика и техника полупроводников. – 2007. – Т. 41, № 1. – С. 1282–1308.
6. S c h r o e d e r , D . An analytical model of non-ideal ohmic and Schottky contacts for
device simulation / Dietmar Schroeder // Simulation of semiconductor devices and processes. – 1991. – Vol. 4. – P. 313–319.
7. То р х о в , Н . А . Токоперенос в структурах Me – n – n+ с барьером Шоттки /
Н. А. Торхов, С. В. Еремеев // Физика и техника полупроводников. – 2000. – Т. 34,
№ 1. – С. 106–112.
8. К о с я ч е н к о , Л. А . Исследование контакта «металл – полупроводник на основе
HgMnTe» / Л. А. Косяченко, А. В. Марков, С. Э. Остапов, И. М. Раренко // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. – 2002. – №. 3. – С. 3–5.
9. А г е е в , О . А . Диоды с барьером Шоттки Au–TiBx–n-6H-SiC: особенности токопереноса в выпрямляющих и невыпрямляющих контактах / О. А. Агеев, А. Е. Беляев, Н. С. Болтовец // Физика и техника полупроводников. – 2009. – Т. 34, № 7. –
С. 897–903.
10. П а в л о в, Г . П . Границы применимости локально-полевых моделей полупроводниковых приборов / Г. П. Павлов // Математическое моделирование. – 1990. –
Т. 2, № 3. – С. 55–62.
11. М и х а й л о в , А . И . Анализ нелинейной динамики тока в длинных высокоомных
образцах n-GaAs в условиях локальной засветки. Ч. 1. Формулировка модели /
А. И. Михайлов, А. В. Митин // Физика волновых процессов и радиотехнические
системы. – 2007. – Т. 10, № 2. – С. 49–56.
12. М и х а й л о в , А . И . Анализ нелинейной динамики тока в длинных высокоомных
образцах n-GaAs в условиях локальной засветки. Ч. 2. Результаты моделирования /
А. И. Михайлов, А. В. Митин // Физика волновых процессов и радиотехнические
системы. – 2010. – Т. 13, № 1. – С. 73–81.
13. Н о с о в , Ю . Р . Математические модели элементов интегральной электроники /
Ю. Р. Носов, К. О. Петросянц, В. А. Шилин. – М. : Сов. радио, 1976 . – 304 с.
14. Ш а л и м о в а , К . В. Физика полупроводников / К. В. Шалимова. – СПб. : Лань,
2010. – 400 с.
15. Т у р ч а к , Л. И . Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. –
М. : Физматлит, 2003. – 304 с.
References
1. Gavrilov R. A., Skvortsov M. A. Tekhnologiya proizvodstva poluprovodnikovykh
priborov [Technology of semiconductor devices production]. Leningrad: Energiya,
1968, 240 p.
144
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
2. Zi S. Fizika poluprovodnikovykh priborov: v 2 kn.; per. s angl. [Physics of semiconductor devices: in 2 books; translation from English]. Moscow: Mir, 1984, 912 p.
3. Strikha V. I. Kontaktnye yavleniya v poluprovodnikakh [Contact phenomena in semiconductors]. Kiev: Vyshcha shkola. Golovnoe izd-vo, 1982, 224 p.
4. Roderik E. Kh. Kontakty metall-poluprovodnik [Metal-semiconductor contacts]. Moscow: Radio i svyaz', 1982, 209 p.
5. Blank T. V., Gol'dberg O. A. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and technology of semiconductors]. 2007, vol. 41, no. 1, pp. 1282–1308.
6. Schroeder D. Simulation of semiconductor devices and processes. 1991, vol. 4,
pp. 313–319.
7. Torkhov N. A., Eremeev S. V. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and technology of semiconductors]. 2000, vol. 34, no. 1, pp. 106–112.
8. Kosyachenko L. A., Markov A. V., Ostapov S. E., Rarenko I. M. Tekhnologiya i konstruirovanie v elektronnoy apparature [Technology and construction in electronic
equipment]. 2002, no. 3, pp. 3–5.
9. Ageev O. A., Belyaev A. E., Boltovets N. S. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and technology of semiconductors]. 2009, vol. 34, no. 7, pp. 897–903.
10. Pavlov G. P. Matematicheskoe modelirovanie [Mothematical modeling]. 1990, vol. 2,
no. 3, pp. 55–62.
11. Mikhaylov A. I., Mitin A. V. Fizika volnovykh protsessov i radiotekhnicheskie sistemy
[Wave process physics and radio engineering systems]. 2007, vol. 10, no. 2, pp. 49–56.
12. Mikhaylov A. I., Mitin A. V. Fizika volnovykh protsessov i radiotekhnicheskie sistemy
[Wave process physics and radio engineering systems]. 2010, vol. 13, no. 1, pp. 73–81.
13. Nosov Yu. R., Petrosyants K. O., Shilin V. A. Matematicheskie modeli elementov integral'noy elektroniki [Mathematical models of integral electronics’ elements]. Moscow:
Sov. radio, 1976, 304 p.
14. Shalimova K. V. Fizika poluprovodnikov [Physics of semiconductors]. Saint Petersburgb: Lan', 2010, 400 p.
15. Turchak L. I., Plotnikov P. V. Osnovy chislennykh metodov [Basic numerical methods].
Moscow: Fizmatlit, 2003, 304 p.
Михайлов Александр Иванович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
физики полупроводников, Саратовский
государственный университет имени
Н. Г. Чернышевского (Россия,
г. Саратов, ул. Астраханская, 83)
Mikhaylov Aleksandr Ivanovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of physics of semiconductors, Saratov
State University named after
N. G. Chernyshevsky (83 Astrakhanskaya
street, Saratov, Russia)
E-mail: MikhailovAI@info.sgu.ru
Митин Антон Васильевич
старший преподаватель, кафедра физики
полупроводников, Саратовский
государственный университет имени
Н. Г. Чернышевского (Россия,
г. Саратов, ул. Астраханская, 83)
Mitin Anton Vasil'evich
Senior lecturer, sub-department
of physics of semiconductors, Saratov
State University named after
N. G. Chernyshevsky (83 Astrakhanskaya
street, Saratov, Russia)
E-mail: mitin_av@mail.ru
Physical and mathematical sciences. Physics
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Кожевников Илья Олегович
аспирант, заведующий учебной
лабораторией полупроводниковой
электроники кафедры физики
полупроводников, Саратовский
государственный университет имени
Н. Г. Чернышевского (Россия,
г. Саратов, ул. Астраханская, 83)
Kozhevnikov Il'ya Olegovich
Postgraduate student, head of the laboratory
of semiconductor electronics, sub-department
of physics of semiconductors, Saratov
State University named after
N. G. Chernyshevsky (83 Astrakhanskaya
street, Saratov, Russia)
E-mail: kozhevnikov_io@rambler.ru
УДК 621.382.2
Михайлов, А. И.
Оптимизация алгоритма математической модели установления
распределения заряда и электрического поля в многослойной полупроводниковой структуре с металлическими контактами / А. И. Михайлов,
А. В. Митин, И. О. Кожевников // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 4 (28). –
С. 133–146.
146
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 535.32
А. С. Николенко
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НАНОКОМПОЗИТАХ
НА ОСНОВЕ МАГНИТНЫХ НАНОПРОВОЛОК
Аннотация. Актуальность и цели. Магнитные нанокомпозиты обладают
большим разнообразием физических свойств и значительно отличаются от
свойств массивного материала. Физические свойства нанокомпозитов зависят
от многих факторов: химического состава, методов синтеза, размера и формы
магнитных включений, взаимодействия частиц с соседними частицами и
окружающей их матрицей. Значительный интерес проявляется к магнитным
нанопроволокам, получаемым на основе матрицы мезопористого оксида алюминия. Мезопористый оксид алюминия, полученный анодным окислением
алюминия, уникален тем, что в процессе его получения можно контролировать
основные наноструктурные параметры: диаметры цилиндрических пор и расстояние между центрами соседних пор. Одним из методов получения магнитных
нанокомпозитов в матрице оксида алюминия является электрохимическое осаждение в поры магнитных металлов, которое позволяет контролировать количество осажденного металла, варьировать длину получаемых нанопроволок и их
ориентацию относительно подложки. Целью работы является разработка математической модели распространения электромагнитных волн в наноструктурированных материалах на основе магнитных нанопроволок. Материалы и методы. Разработана декомпозиционная математическая модель распространения
электромагнитных волн в наноструктурированных композитах на основе магнитных нанопроволок. Сформулированы уравнения электродинамики для магнитных частиц с учетом поля обменного взаимодействия. Получена матрица
проводимости для автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с
включением в виде магнитной нанопроволоки. Даны рекомендации по использованию автономного блока для решения прикладных задач электродинамики и
техники сверхвысоких частот (СВЧ). Результаты. Автономный блок в виде
прямоугольного параллелепипеда с включением в виде магнитной нанопроволоки является универсальным базовым элементом для решения прикладных задач
электродинамики и техники СВЧ. Автономный блок может использоваться для
определения постоянных распространения волн в трехмерных периодических
структурах из магнитных нанопроволок. Ячейка периодической структуры моделируется автономным блоком. Накладывая на грани параллелепипеда краевые условия, вытекающие из теоремы Флоке, получаем характеристическое
уравнение относительно постоянных распространения волн. Из решения характеристического уравнения определяются основные типы волны, которые могут использоваться для определения эффективных значений магнитной и диэлектрической проницаемостей магнитного нанокомпозита. Постоянные распространения волн левой и правой поляризации, обыкновенной и необыкновенной
волн в бесконечной сплошной гиромагнитной среде должны совпадать с аналогичными значениями постоянных распространения волн в трехмерной периодической структуре магнитного нанокомпозита. Это приводит к системе уравнений, из которой определяются компоненты эффективного тензора магнитной
проницаемости и скаляр диэлектрической проницаемости. Выводы. Автономный блок может непосредственно использоваться как базовый элемент при
построении математических моделей устройств СВЧ с магнитными нанокомпозитами (циркуляторы, перестраиваемые фильтры и т.д.). Области вкладышей, подложек устройств СВЧ из магнитных нанокомпозитов дополнительно
Physical and mathematical sciences. Physics
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
разбиваются на автономные блоки. Математическая модель в этом случае является моделью высокого уровня и позволяет учитывать влияние поля обменного взаимодействия на предельные характеристики устройств СВЧ.
Ключевые слова: магнитные нанопроволоки, уравнения Максвелла, уравнения Ландау – Лифшица, декомпозиционный подход, автономный блок, матрица проводимости.
A. S. Nikolenko
MATHEMATICAL MODEL OF ELECTROMAGNETIC
WAVE PROPAGATION IN NANOCOMPOSITES
BASED ON MAGNETIC NANOWIRES
Abstract. Background. Magnetic nanocomposites possess a big variety of physical
properties and considerably differ from properties of a massive material. Physical
properties of nanocomposites depend on many factors: chemical composition, methods of synthesis, the size and form of magnetic inclusions, interactions of particles
with adjacent particles and a matrix surrounding them. Of considerable interest are
magnetic nanowires, received on the basis of the matrix of mesoporous oxide of
aluminum. The mesoporous oxide of aluminum, received by anode oxidation of
aluminum, is unique by the fact that in the course of its receiving it is possible to
supervise the key nanostructural parameters: diameters of cylindrical pores and distance between the centers of adjacent pores. One of methods of receiving magnetic
nanocomposites in a matrix of aluminum oxide is electrochemical deposition into
the pores of magnetic metals which allows supervising the amount of the deposited
metal, varying the length of the received nanowires and their orientation in relation to a
substrate. The purpose of the work is to develop a mathematical model of distribution
of electromagnetic waves in the nanostructured materials on the basis of magnetic
nanowires. Materials and methods. The author developed a decomposition mathematical model of electromagnetic wave propagation in nanostructured composites based on
magnetic nanowires and formulated an equation of electrodynamics for the magnetic
particles taking into account the field of exchange interaction. The researcher also obtained the linear conductance matrix for the autonomous unit in the form of a rectangular parallelepiped with inclusion of a magnetic nanowire and gave recommendations
for the use of the autonomous unit to solve the applied problems of electrodynamics
and ultrahigh frequency technology (UHF). Results. The autonomous unit in the form
of a rectangular parallelepiped with inclusion of a magnetic nanowire is a universal
basic element for the solution of applied problems of electrodynamics and ultrahigh
frequency technology. The autonomous unit can be used for definition of constants of
distribution of waves in three-dimensional periodic structures from magnetic nanowires. The cell of the periodic structure is modelled by the autonomous unit. By imposing boundary conditions following from the Floquet theorem on the edges of a parallelepiped, the researcher received the characteristic equation concerning constants of
distribution of waves. From the solution of the characteristic equation the author defined the main types of waves which can be used for determination of effective values of magnetic and dielectric conductivity of a magnetic nanocomposite. Continuous distributions of waves of the left and right polarization, ordinary and unusual
waves in the infinite continuous gyromagnetic environment have to coincide with
similar values of constants of distribution of waves in three-dimensional periodic
structures of a magnetic nanocomposite. It leads to the system of equations from
which it is possible to define the components of an effective tensor of magnetic
permeability and a scalar of dielectric permeability. Conclusions. The autonomous
unit can be directly used as a basic element in creation of mathematical models of
148
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
microwave devices with magnetic nanocomposites (circulators, reconstructed filters,
etc.). The areas of inserts, substrates of microwave devices from magnetic nanocomposites in addition are to be divided into autonomous units. The mathematical
model in this case is a model of high level and allows considering the influence of
the field of exchange interaction on the limit characteristics of microwave devices.
Key words: magnetic nanowires, Maxwell's equations, Landau-Lifshitz decomposition approach, autonomous unit, matrix conductivity
Введение
Магнитные нанокомпозиты обладают большим разнообразием физических свойств и значительно отличаются от свойств массивного материала.
Физические свойства нанокомпозитов зависят от многих факторов: химического состава, методов синтеза, размера и формы магнитных включений, взаимодействия частиц с соседними частицами и окружающей их матрицей.
Значительный интерес проявляется к магнитным нанопроволокам, получаемым на основе матрицы мезопористого оксида алюминия [1]. Мезопористый
оксид алюминия, полученный анодным окислением алюминия, уникален тем,
что в процессе его получения можно контролировать основные наноструктурные параметры: диаметры цилиндрических пор и расстояние между центрами соседних пор. Одним из методов получения магнитных нанокомпозитов в матрице оксида алюминия является электрохимическое осаждение в поры магнитных металлов [1], которое позволяет контролировать количество
осажденного металла, варьировать длину получаемых нанопроволок и их
ориентацию относительно подложки. Несмотря на значительные успехи
в технологии изготовления магнитных нанопроволок их электродинамические
свойства исследованы слабо. Это является определенным тормозом использования нанокомпозитов на основе магнитных нанопроволок в устройствах
сверхвысоких частот (СВЧ) – циркуляторы, перестраиваемые фильтры и т.д.
Целью работы является разработка математической модели распространения электромагнитных волн в наноструктурированных материалах на
основе магнитных нанопроволок.
1. Уравнения электродинамики для магнитных наночастиц
Система дифференциальных уравнений электродинамики для анализа
магнитных наночастиц состоит из уравнений Максвелла и уравнения движения намагниченности [2]:



∂E (t )
+ σ E (t );
rot H (t ) = ε
∂t



∂B (t )
;
rot E (t ) = −
∂t



 B(t ) = M (t ) + μ 0 H (t );
(1)
 




 d M (t )
 d t = − γ ( M (t ) × H эф (t )) + ωr (χ0 H эф (t ) − M (t ));



 H (t ) = H (t ) + H (t );
эф
q
 

μ H (t ) = q ∇ 2 M (t ),
 0 q
Physical and mathematical sciences. Physics
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


где E (t ), H (t ) – векторы напряженности электрического и магнитного


полей; M (t ) – вектор намагниченности среды; B (t ) – вектор магнитной

индукции; H эф (t ) – суммарное эффективное магнитное поле, действующее

на магнитный момент частицы; H q (t ) – эффективное магнитное поле
обменного взаимодействия; ∇ – оператор Лапласа; ε – диэлектрическая
проницаемость; σ – электропроводность среды; μ0 – электрическая и
магнитная постоянные; γ – гиромагнитное отношение; ωr = αγH 0 – частота
релаксации; α – магнитные потери; χ0 = M 0 / H 0 – статическая
восприимчивость; q – константа обменного взаимодействия. Особенностью
уравнений электродинамики (1) является то, что в уравнении движения
намагниченности учитывается поле обменного взаимодействия – магнитные
частицы имеют размеры порядка 10–80 нм.
Используя формулы векторного анализа, преобразуем уравнения
движения намагниченности в (1) к форме, удобной для последующего
применения проекционного метода [3]:




∂E (t )
+ σ E (t );
rot H (t ) = ε
∂t




∂

rot E (t ) = − ∂t M (t ) + μ0 H (t ) ;
(2)
 
 dM (t )






= − γ M (t ) × H (t ) + H q (t ) + ωr χ0 H (t ) + H q (t ) − M (t ) ;

 dt


μ0 H q (t ) = q grad div M (t ) − q rot rot M (t ).

(
(
)
(
))
( (
)
)
Для гармонических колебаний справедливо






H (t ) = H 0 + H exp(iωt ) , M (t ) = M 0 + M exp(iωt ) ,




E (t ) = E exp(iωt ) , H q (t ) = H q exp(iωt ) ,
(3)


где H 0 – постоянное магнитное поле в среде наночастицы; M 0 – постоянная
намагниченность в среде наночастицы, система уравнений (2) имеет следующий вид:


rot H = i ωε E ;




rot E = −i ωM − i ωμ0 H ;

 

 
 
(4)

(ωr + i ω) M − ωr χ0 ( H + H q ) + γ M 0 × ( H + H q ) + M × H 0 = 0;


 
μ0 H q = q grad div M − q rot rot M ,
(
)
σ
.
ω




Пусть постоянное магнитное поле H 0 = H 0 x i + H 0 y j + H 0 z k и




намагниченность M 0 = M 0 x i + M 0 y j + M 0 z k в среде наночастицы являются
где εмнч = ε − i
150
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
однородными, т.е. не зависят от координат, тогда третье уравнение (4) можно
записать в тензорной форме:
 
 
H + H q = ηM ,
(5)
где
 ωr χ0 γM 0 z


η = μ0−1  −γM 0 z
ωr χ0
 γM
0 y − γM 0 x

− γM 0 y 

γM 0 x 
ωr χ0 
−1
 iω + ωr − γH 0 z

 γH 0 z iω + ωr
 − γH
γH 0 x
0y

γH 0 y


− γH 0 x  –
iω + ωr 
тензор.
Здесь
γ = −2, 21 ⋅ 105 (A/м)−1с−1
–
гиромагнитное
отношение;
χ0 = M 0 / H 0 – статическая восприимчивость; ωr = αγH 0 – частота релаксации; α – магнитные потери.

Подставляя (5) в (4) и исключая H q , получаем систему уравнений
электродинамики для сред магнитных наночастиц:


rot H = i ωεмнч E ;




rot E = −i ωM − i ωμ0 H ;



 

q rot rot M − q grad div M = μ0 H − μ0ηM .
(6)
2. Матрица проводимости автономного блока в виде
прямоугольного параллелепипеда с магнитными нанопроволоками
Магнитный нанокомпозит на основе магнитных нанопроволок рассматриваем как периодическую 3D-структуру (рис. 1,а). Ячейка периодической
3D-структуры (рис. 1,б) разбивается на автономные блоки двух видов
(рис. 1,в). Автономный блок 3 (без магнитной нанопроволоки) является
частным случаем автономного блока 2. Построим вычислительный алгоритм
определения матрицы проводимости автономного блока 2 в виде
прямоугольного параллелепипеда с магнитной нанопроволокой (рис. 2).
Запишем систему уравнений электродинамики (6) для областей автономного блока (рис. 2), используя кусочно-неоднородную функцию заполнения полости автономного блока (прямоугольного параллелепипеда):


rot H = i ωε E ;




(7)
rot E = −i ωM − i ωμ0 H ;



 

q rot rot M − q grad div M = μ0 H − μ0 ηM ,
где
εмн , в Vмн ,
ε = 
ε зап , в V0 − Vмн ,

 M ≠ 0, в Vмн ,
 
 M = 0, в V0 − Vмн .
Physical and mathematical sciences. Physics
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2r
3
1
c
l
2
3
b
a
а)
б)
в)
Рис. 1. Расчетная схема математической модели нанокомпозита на основе магнитных
нанопроволок: а – периодическая 3D-структура магнитного нанокомпозита;
б – ячейка периодической 3D-структуры (1 – магнитная нанопроволока);
в – декомпозиция ячейки 3D-структуры на автономные блоки
(2, 3 – автономные блоки декомпозиции)
x6
y6
S6
y5
o5
o6
y4
x4
z6
o4
z4
S4
y2
S5
z5
x5
V0
y1
x1
z2
S2
S1
z1
o1 y3
S3
x3
z3
o3
Vмн
o2
x2
Виртуальные
каналы Флоке
Рис. 2. Автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда с углеродной
нанотрубкой и магнитной наносферой: V0 – основная область автономного
блока; Vмн – область магнитной нанопроволоки; oα xα yα zα (α = 1, 2,...,6) –
локальные системы координат для сечений (граней) Sα
152
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
Получим для системы дифференциальных уравнений (7) интегральную
проекционную модель. Основой получения интегральных проекционных моделей является лемма Лоренца и формула Остроградского – Гаусса. Кроме
того, для получения интегральной проекционной модели необходимы вспомогательные краевые задачи на собственные значения [3]. Краевая задача на
собственные значения (частоты) формулируется для прямоугольного резонатора с геометрическими размерами основной области автономного блока (область V0 на рис. 2):


rot H k = i ωk ε0 Ek


  в области V0 ,
rot Ek = − i ωk μ0 H k 




Ek ( S1 ) = Ek ( S4 ), H k ( S1 ) = H k ( S4 ) 





Ek ( S2 ) = Ek ( S5 ), H k ( S2 ) = H k ( S5 )  на гранях,





Ek ( S3 ) = Ek ( S6 ), H k ( S2 ) = H k ( S6 ) 
(8)
где ε0 , μ0 – диэлектрическая и магнитная постоянные, ωk – собственные ча 
стоты резонатора; Ek , H k – собственные электрические и магнитные поля
 
(функции) резонатора. Система собственных функций Ek , H k состоит из
 
соленоидальной подсистемы
и потенциальной подсистемы
Ekc′ , H kc′
 
Ekп′′ , H kп′′ [2]. Индекс k определен на множестве индексов k ′ и k ′′ .
 
Соленоидальные функции Ekc′ , H kc′ краевой задачи на собственные значения (8) имеют следующий вид [4]:
– Е-функции (поля):
{
{
}
}
{
}

  2πm′
1 2πm′ 2πp′
2πn′
2πp′   
Ekc′ = N k ′
x+
y+
z i +
exp  i 
2 a
c
b
c 
χ
  a
+ Nk′
  2πm′
1 2πn′ 2πp′
2πn′
2πp′   
x+
y+
z  j +
exp  i 
c
b
c 
χ2 b
  a
2πn′
2πp′   
  2πm′
x+
y+
z k;
+ N k ′ exp  i 
b
c 
  a

ω ε 2πn′
  2πm′
2πn′
2πp′   
H kc′ = − N k ′ k ′ 0
exp  i 
x+
y+
z i +
b
b
c 
χ2
  a
ω ε 2πm′
  2πm′
2πn′
2πp′   
+ Nk′ k′ 0
x+
y+
z  j,
exp  i 
a
b
c 
χ2
  a
(9)
  
где i , j , k – единичные орты прямоугольной декартовой системы координат;
Physical and mathematical sciences. Physics
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
2
χ
 2πm′   2πn′ 
2
χ2 = χm
′n′ = 
 +
 , Nk′ =
ε0 ωk ′ μ0
 a   b 
ωk ′ = ωm′n′p′ =
1
ε0μ 0
abc
,
2
2
2
 2πm′   2πn′   2πp′ 
+
+

 
 
 ,
 a   b   c 
m′ = 0, ± 1, ± 2, ...; n′ = 0, ± 1, ± 2, ...; p′ = 0, ± 1, ± 2, ... ;
– Н-функции (поля):

  2πm′
1 2πm′ 2πp′
2πn′
2πp′   
H kс′ = M k ′
exp  i 
x+
y+
z i +
c
b
c 
χ2 a
  a
+ M k′
  2πm′
1 2πn′ 2πp′
2πn′
2πp′   
x+
y+
z  j +
exp  i 
c
b
c 
χ2 b
  a
  2πm′
2πn′
2πp′   
+ M k ′ exp  i 
x+
y+
z k;
b
c 
  a

ω μ 2πn′
  2πm′
2πn′
2πp′   
Ekс′ = − M k ′ k ′ 0
x+
y+
z i +
exp  i 
b
b
c 
χ2
  a
ω μ 2πm′
  2πm′
2πn′
2πp′   
x+
y+
exp  i 
+ M k′ k′ 0
 j,
a
b
c 
χ2
  a
(10)
где
2
2
χ
 2πm′   2πn′ 
2
χ2 = χm
′n′ = 
 +
 , M k′ =
μ0 ωk ′ ε0
 a   b 
ωk ′ = ωm′n′p′ =
1
ε0μ 0
abc
,
2
2
2
 2πm′   2πn′   2πp′ 
+
+

 
 
 ,
 a   b   c 
m′ = 0, ± 1, ± 2, ...; n′ = 0, ± 1, ± 2, ...; p′ = 0, ± 1, ± 2, ...
 
Потенциальные функции Ekп′′ , H kп′′ краевой задачи на собственные значения (8) имеют следующий вид [3]:

Ekп′′ =
  2πm′′
2πn′′
2πp′′    2πm′′  2πn′′  2πp′′  
exp  i 
x+
y+
z 
i+
j+
k,
b
c
b
c
χ k ′′ ε0 abc
 a

  a
i

H kп′′ =
  2πm′′
2πn′′
2πp′′  
exp  i 
x+
y+
z ×
b
c
χ k ′′ μ0 abc

  a
i
 2πm′′  2πn′′  2πp′′  
i+
j+
k,
×
b
c
 a

154
(11)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
2
2
2
 2πm′′   2πn′′   2πp′′ 
где χk ′′ = 
+
+
 
 
 .
 a   b   c 
Собственные функции резонатора (9)–(11) ортогональны и нормированы:
 
 
μ0 H k∗ ⋅ H n dV = ε0 Ek∗ ⋅ En dV = δkn .
(12)


V0
V0
Построим проекционную модель автономного блока (рис. 2). Запишем
выражения для собственных электромагнитных волн виртуальных каналов
Флоке автономного блока [5]:



Ek± α = ek α ± ekz α exp ±i Γ k ( α ) zα ;
)
( ( ) ( )) (



H
= ( ±h
±h
exp ( ±iΓ ( ) z ) ; k = 1, 2, ..., ∞;
( )
( )
( ))
( )
±
k α
k α
z
k α
k α
α
α = 1, 2, ...,6, (13)


где k – номера мод собственных волн каналов Флоке; ek α , hk α – попе( )
( )

речные электрические и магнитные компоненты собственных волн; ekz α ,
( )
z
hk α – продольные электрические и магнитные компоненты собственных
( )
волн; Γ k ( α ) – постоянные распространения собственных волн.
Поперечные электрические и магнитные компоненты собственных волн
каналов Флоке образуют полную систему ортогональных функций


ek (α ) , hk (α ) [4]. Любое поперечное электромагнитное поле на входных се-
{
}
чениях Sα автономного блока представляем по этим системам в ортогональные ряды Фурье:
∞


E
ak ( α ) ek ( α ) ,
=
 α

k =1

∞


=
H
bk ( α ) hk ( α ) , α = 1, 2, ... ,6.
 α
k =1


(14)

На каждом входном сечении Sα автономного блока касательное электромагнитное поле можно представить также и в виде суперпозиции прямых
и обратных волн каналов Флоке [5]:
∞


E
(сk+(α ) + ck−(α ) ) ek (α ) ,
=
 α

k =1

∞


=
H
(ck+(α ) − ck−(α ) ) hk (α ) , α = 1, 2, ... ,6,
 α
k =1`


(15)

где ck+ α , ck−( α ) – амплитуды падающих и отраженных волн.
( )
Physical and mathematical sciences. Physics
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Из рядов Фурье (14) (15) и нормировки [5]
∗

 ( ek ( α ) × hn( α ) ) ⋅ dSα = 1,

Sα
0, k ≠ n,
k =n
следуют следующие интегральные выражения:



ak (α ) = ( Eα × hk∗(α ) ) ⋅ dSα ;

(16)
(17)
Sα
bk (α ) =



(ek (α ) × H α∗ ) ⋅ dSα ;

(18)
Sα




( Eα × hk∗(α ) ) ⋅ dSα +




( Eα × hk∗(α ) ) ⋅ dSα −
Sα




(ek (α ) × H α∗ ) ⋅ dSα = 2ck+(α ) ;
(19)




(ek (α ) × H α∗ ) ⋅ dSα = 2ck−(α ) .
(20)
Sα
Sα
Sα
Выражения (17)–(20) являются интегральными краевыми условиями на
гранях автономного блока и известны в электродинамике [5] как условия неасимптотического излучения.
Запишем для системы уравнений электродинамики (7) проекционную
интегральную модель. Для этого используются: краевая задача на собствен  

 
ные значения (8), тождество brot a − a rot b = rot (a × b ) , формула Остроградского – Гаусса и условие неасимптотического излучения (18):
 6

 
 
( E × H k∗ ) ⋅ dSβ = − i ωk ε0 E ⋅ Ek∗ dV −

β=1 S
V0
β

 
 

− i ωμ0 H ⋅ H k∗ dV − iω M ⋅ H k∗ dV ,

V0
Vмн

 6

 
 
 

( H × Ek∗ ) ⋅ dSα = iω ε E ⋅ Ek∗ dV + i ωk μ0 H ⋅ H k∗ dV ,

β=1 S
V0
V0
(21)
β


 ∗

rot rot M − grad div M ⋅ H k dV =
q
 V
 мн
 
  

= μ0
H ⋅ H k∗ dV − μ0
η M ⋅ H k∗ dV ,

Vмн
Vмн


∗


bq (α ) = (eq (α ) × H α ) ⋅ dSα , k = 1, 2,...N 0 , q = 1, 2,...N α , α = 1, 2,...,6,

Sα






(

)



где Sβ – поверхности граней прямоугольного параллелепипеда; намагниченность вне областей магнитных наночастиц равна нулю.
156
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
Построим численный метод для определения матрицы проводимости
Y автономного блока, связывающей коэффициенты ak (α ) с коэффициентами
bk (α ) рядов Фурье (14). Решение краевой задачи ищем в виде линейной ком

бинации по системам функций Еn , H n (собственные функции прямо

угольного резонатора), el β , hl β (собственные функции каналов Флоке).
{ } { }
{ ( )} { ( )}
В области V0 автономного блока
 N0

 N0

 N0

E=
an En , H = bn H n , M =
dn H n ,


n =1

n =1
(22)
n =1
где N 0 – количество базисных функций в области автономного блока V0 .
На гранях Sβ (β = 1, 2,...,6) автономного блока
Nβ
Nβ




Eβ = al (β) el (β) , H β = bl (β) hl (β) ,


l =1
(23)
l =1`
где Nβ – количество базисных функций на гранях автономного блока Sβ .
Подставляя (22) и (23) в (21), получаем следующую систему алгебраических уравнений:
N0
N0
n =1
n =1
 ( i ωk δkn ) an + 
( i ωδkn ) bn +
N0 

 i ω H ⋅ H ∗ dV  d =
n
k

 n

n =1 V
мн




6 Nβ 

 
∗


=−
 (el (β) × H k ) ⋅ dSβ  al (β) ,

β=1 l =1  Sβ


 



N0 
6
 

∗
 iω ε E ⋅ E ∗ dV  a +  i ω δ −
( H n × Ek ) ⋅ dSβ  bn = 0,
n
k
 k kn

 n

n =1 V0
n =1
β=1 Sβ



N0






 ∗
μ
H n ⋅ H k dV  bn −
 0

n =1
 Vмн

N0

−
N0 


 ∗
  ∗
 qλ
 d = 0,
⋅
+
H
H
dV
μ
η
H
⋅
H
dV
n
k
n
k
0
 n
 n

n =1
V
V
мн
мн






 
∗
 (e

q (α ) × H n ) ⋅ dSα  bn = bq (α ) ,


n =1 Sα

N0
 
Physical and mathematical sciences. Physics
(24)
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где ωk = ωk ′ для соленоидальных функций, ωk = 0 для потенциальных
функций, λ k = ωk ′ для соленоидальных функций, λ k = ωk ′ ε0μ0 для потенциальных функций; δkn – символ Кронекера.
Запишем систему линейных алгебраических уравнений (24) в матричной форме:
 A ⋅ a + B ⋅ b + C ⋅ d = −L ⋅ a,

D ⋅ a + U ⋅ b = 0,
 
F ⋅ b − G ⋅ d = 0,
 W ⋅ b = b,

(25)
где A, B, C, D, U, F, G , W, L – матрицы с элементами:
Akn = i ωk δkn ,
Bkn = i ωδkn ,


 i ω H nc′ ⋅ H kc′∗ dV

 Vмн
Ckn = 
 c  п∗
 i ω H n′ ⋅ H k ′′ dV
 V
мн

 
 i ω ε Enc′ ⋅ Ekc′∗ dV

 V0
Dkn = 
 c  п∗
 i ω ε En′ ⋅ Ek ′′ dV
 V
0





6



 i ωk ′δk ′n′ −
( H nc′ × Ekc′∗ ) ⋅ dSβ

β=1 Sβ
U kn = 

6


 i ωk ′′δk ′′n′ −
( H nc′ × Ekп′′∗ ) ⋅ dSβ

β=1 Sβ



 μ0
H nc′ ⋅ H kc′∗ dV

 Vмн
Fkn = 
 c  п∗
 μ0 H n′ ⋅ H k ′′ dV
 V
мн







H nп′′ ⋅ H kc′∗ dV 

Vмн

 п  п∗
,
i ω H n′′ ⋅ H k ′′ dV 

Vмн



i ω ε Enп′′ ⋅ Ekc′∗ dV 

V0

 п  п∗
,
i ω ε En′′ ⋅ Ek ′′ dV 

V0

iω







( H nп′′ × Ekc′∗ ) ⋅ dSβ 

β=1 Sβ
,

6
 п  п∗
i ωk δ kn −
( H n′′ × Ek ′′ ) ⋅ dSβ 

β=1 Sβ

 п  c∗
μ0 H n′′ ⋅ H k ′ dV 

Vмн

 п  п∗
,
μ0 H n′′ ⋅ H k ′′ dV 

Vмн

6
i ωk ′δ k ′n′′ −









Wq (α ) n =  (eq (α ) × H nc′∗ ) ⋅ dSα
(eq (α ) × H nп′′∗ ) ⋅ dSα

Sα
 Sα

158


,


University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика




 qλ n
H nc′ ⋅ H kc′∗ dV +
qλ n
H nп′′ ⋅ H kc′∗ dV + 


Vмн
Vмн




 −1  c  c∗
  п  c∗
 +μ0 χ H n′ ⋅ H k ′ dV +μ0 η H n′′ ⋅ H k ′ dV 


Vмн
Vмн


Gkn = 
,
 c  п∗
 c  п∗


H n′ ⋅ H k ′′ dV +
qλ n
H n′ ⋅ H k ′′ dV + 
 qλ n


Vмн
Vмн






 c
 +μ0 χ −1H nc′ ⋅ H kп′′∗ dV +μ0 η
H n′ ⋅ H kп′′∗ dV 


Vмн
Vмн



 (el (β) × H kc′∗ ) ⋅ dSβ 


 Sβ

Lkl (β) =  
 п∗
 , k = 1, 2,...N 0 , q = 1, 2,...N α , α = 1, 2,...,6 .
(
)
×
⋅
e
H
dS

l (β)
k ′′
β 
 Sβ



Компонентами векторов a , b , d, a, b являются коэффициенты рядов
, b
.
Фурье (22) и (23), соответственно равные {a } , b , {d } , a










{ n}
n
n
{ l (β) } { l (β) }
Исключая векторы a , b , d из системы линейных алгебраических уравнений (25), получаем
(
b = W ⋅ A ⋅ D−1 ⋅ U − C ⋅ G −1 ⋅ F − B
)
−1
⋅L ⋅a ,
(26)
отсюда (26) следует матрица проводимости автономного блока:
(
Y = W ⋅ A ⋅ D−1 ⋅ U − C ⋅ G −1 ⋅ F − B
)
−1
⋅L .
(27)
Для автономного блока без магнитных частиц матрица проводимости
определяется из (27) при C = 0, G = 0, F = 0 :
(
Y = W ⋅ A ⋅ D−1 ⋅ U − B
)
−1
⋅L.
(28)
Если геометрические размеры автономного блока значительно меньше
длины волны, то в виртуальных каналах Флоке достаточно использовать две
взаимно ортогональные ТЕМ-волны.
Заключение
Автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда с включением в виде магнитной нанопроволоки является универсальным базовым
элементом для решения прикладных задач электродинамики и технике СВЧ.
Автономный блок может использоваться для определения постоянных распространения волн в трехмерных периодических структурах из магнитных
нанопроволок (рис. 1). Ячейка периодической структуры моделируется автоPhysical and mathematical sciences. Physics
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
номным блоком. Накладывая на грани параллелепипеда краевые условия, вытекающие из теоремы Флоке, получаем характеристическое уравнение относительно постоянных распространения волн [4]. Из решения характеристического уравнения определяются основные типы волны, которые могут использоваться для определения эффективных значений магнитной и диэлектрической проницаемостей магнитного нанокомпозита [4]. Постоянные распространения волн левой и правой поляризации, обыкновенной и необыкновенной волн в бесконечной сплошной гиромагнитной среде должны совпадать
с аналогичными значениями постоянных распространения волн в трехмерной
периодической структуре магнитного нанокомпозита. Это приводит к системе уравнений, из которой определяются компоненты эффективного тензора
магнитной проницаемости и скаляр диэлектрической проницаемости.
Автономный блок может непосредственно использоваться как базовый
элемент при построении математических моделей устройств СВЧ с магнитными нанокомпозитами (циркуляторы, перестраиваемые фильтры и т.д.) [6].
Области вкладышей, подложек устройств СВЧ из магнитных нанокомпозитов
дополнительно разбиваются на автономные блоки (рис. 2). Математическая
модель в этом случае является моделью высокого уровня и позволяет учитывать влияние поля обменного взаимодействия на предельные характеристики
устройств СВЧ.
Список литературы
1. K i m , K . H . RF Noise Suppression Using Carbon-Coated Permalloy Nanorod Arrays /
K. H. Kim, H. Orikasa, T. Kyotani, and M. Yamaguchi // Transactions on Magnetics. –
2005 – Vol. 41, № 10. – P. 4075–4077.
2. Г у р е в и ч , А . Г . Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. –
М. : Наука, 1994. – 407 с.
3. Н и к о л ь с к и й , В. В. Проекционные методы в электродинамике / В. В. Никольский // Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике. –
М. : Высшая школа, 1977. – С. 4–23.
4. Г о л о в а н о в , О . А . Метод автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке для математического моделирования магнитных наноструктур с учетом обмена и граничных условий / О. А. Голованов, Г. С. Макеева // Радиотехника и электроника. – 2009. – Т. 54, № 11. – С. 1421–1428.
5. Г о л о в а н о в , О . А . Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их
применение для решения прикладных задач электродинамики / О. А. Голованов //
Радиотехника и электроника. – 2006. – Т. 51, № 12. – С. 1423–1430.
6. Г о л о в а н о в , О . А . Электродинамический расчет S-параметров матрицы рассеяния 3D-магнитного нанокомпозита в волноводе / О. А. Голованов, Г. С. Макеева,
М. А. Чиркина, А. С. Николенко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 4 (20). – С. 160–167.
References
1. Kim K. H., Orikasa H., Kyotani T. and Yamaguchi M. Transactions on Magnetics.
2005, vol. 41, no. 10, pp. 4075–4077.
2. Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnitnye kolebaniya i volny [Magnetic oscillations and
waves]. Moscow: Nauka, 1994, 407 p.
3. Nikol'skiy V. V. Sbornik nauchno-metodicheskikh statey po prikladnoy elektrodinamike
[Collected scientific and methodological articles on applied electrodynamics]. Moscow:
Vysshaya shkola, 1977, pp. 4–23.
160
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
4. Golovanov O. A., Makeeva G. S. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and
electronics]. 2009, vol. 54, no. 11, pp. 1421–1428.
5. Golovanov O. A. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics].
2006, vol. 51, no. 12, pp. 1423–1430.
6. Golovanov O. A., Makeeva G. S., Chirkina M. A., Nikolenko A. S. Izvestiya vysshikh
uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University
proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences]. 2011, no. 4 (20),
pp. 160–167.
Николенко Антон Станиславович
соискатель, заместитель командира
батареи, Пензенский филиал Военной
академии материально-технического
обеспечения (Россия, г. Пенза-5)
Nikolenko Anton Stanislavovich
Applicant, deputy battery commander,
Penza branch of the Military Academy
of Maintenance Supplies (Penza-5, Russia)
E-mail: nikolants@mail.ru
УДК 535.32
Николенко, А. С.
Математическая модель распространения электромагнитных волн
в нанокомпозитах на основе магнитных нанопроволок / А. С. Николенко //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 147–161.
Physical and mathematical sciences. Physics
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 535.32
О. А. Голованов, Г. С. Макеева, Д. Н. Ширшиков, Г. Г. Горлов
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ МИКРОВОЛНОВЫХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ ВОЛНЫ ТИПА H10
ЧЕРЕЗ ПЛАСТИНУ НАНОСТРУКТУРНОГО МАТЕРИАЛА
НА ОСНОВЕ 3D-РЕШЕТКИ ФЕРРОМАГНИТНЫХ
НАНОПРОВОЛОК В ВОЛНОВОДЕ1
Аннотация. Актуальность и цели. Магнитные нанокомпозиты на основе ферромагнитных нанопроволок перспективны для применения в магнитноуправляемых устройствах СВЧ: циркуляторах, вентилях, фазовращателях, фильтрах, аттенюаторах, поглотителях и антеннах СВЧ. Цели работы: построение
математической модели дифракции волноводных мод на образцах магнитных
3D-нанокомпозитов, содержащих ферромагнитные нанопроволоки, с учетом
обмена и граничных условий; разработка вычислительных алгоритмов, позволяющих рассчитать S-параметры матрицы рассеяния для 3D-магнитных наноструктур в волноводах. Материалы и методы. 3D-краевая задача дифракции
электромагнитных волн на образцах магнитного нанокомпозита на основе
3D-решетки ориентированных магнитных нанопроволок в прямоугольном волноводе решена методом автономных блоков с каналами Флоке (ФАБ). Матрицы
рассеяния неоднородности – пластины магнитного 3D-нанокомпозита на основе
периодической 3D-решетки ориентированных магнитных нанопроволок в прямоугольном волноводе определяются как результат многоуровневой рекомпозиции ФАБ с использованием разработанного вычислительного алгоритма
расчета матрицы проводимости ФАБ. Результаты. Получены результаты
электродинамического расчета коэффициентов прохождения волны H10 через
пластину анизотропного наноструктурного материала на основе 3D-решетки
ферромагнитных нанопроволок (материал Co80Ni20) в прямоугольном металлическом волноводе в зависимости от величины и направления внешнего постоянного магнитного поля на частоте f = 26 ГГц при изменении периода решетки. Выводы. Из результатов численного моделирования следует, что положение и значение минимума коэффициента прохождения (максимума коэффициента отражения) управляются изменением величины и направления внешнего постоянного магнитного поля и зависят от геометрии и соотношения размеров магнитной нанорешетки (диаметра нанопроволок и периода решетки).
Ключевые слова: дифракция, коэффициент прохождения, волновод, магнитный
нанокомпозит, решетка, ферромагнитные нанопроволоки, автономные блоки.
O. A. Golovanov, G. S. Makeeva, D. N. Shirshikov, G. G. Gorlov
ELECTRODYNAMIC CALCULATION OF MICROWAVE
TRANSMISSION COEFFICIENTS OF MODE H10 THROUGH
SLAB OF NANOSTRUCTURED MATERIAL BASED ON THE
3D-ARRAY OF FERROMAGNETIC NANOWIRES
Abstract. Background. Magnetic nanocomposites based on ferromagnetic nanowires are promising for implemention in magnetically controlled microwave devic1
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 1202-97025-р_поволжье_.
162
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
es: circulators, valves, phase shifters, filters, attenuators, absorbers and microwave
antennas. The aim of the study is to construct a mathematical model of waveguide
mode diffraction on the samples of magnetic 3D-nanocomposites with ferromagnetic nanowires, taking into account exchange and boundary conditions; to develop
computational algorithms that calculate the S-parameter of a scattering matrix for
magnetic 3D-nanostructures in waveguides. Materials and methods. The 3Dboundary problem of electromagnetic wave diffraction on the samples of magnetic
nanocomposite based on 3D-lattice of oriented magnetic nanowires in a rectangular
waveguide is solved by the method of autonomous units with Floquet channels
(FAB). The scattering heterogeneity matrixes are the plates of 3D-magnetic nanocomposite based on a periodic 3D-lattice of oriented magnetic nanowires in a rectangular waveguide, that are defined as a result of the multi-level recomposition of
FAB using the developed computational algorithm of calculating the conductivity
matrix of FAB. Results. The obtained the results of the electrodynamic calculation
of the transmission indexes of the wave H10 passage through the anisotropic
nanostructured material plate based on a 3D-lattice of ferromagnetic nanowires (material Co80Ni20) in a rectangular metal waveguide, depending on the magnitude and
direction of the external static magnetic field at the frequency f = 26 GHz with
changing the lattice period. Conclusions. The results of numerical simulation show
that the position and the minimum value of the transmission index (maximum reflection index) are controlled by changing the magnitude and direction of the external static magnetic field and depend on the geometry and the ratio of the magnetic
nanolattice sizes (nanowire diameter and the lattice period).
Key words: diffraction, transmission index, waveguide, magnetic nanocomposite,
lattice, ferromagnetic nanowires, self-contained units.
Введение
Магнитные нанокомпозиты на основе ферромагнитных нанопроволок
перспективны для применения в магнитноуправляемых устройствах СВЧ:
циркуляторах, вентилях, фазовращателях, аттенюаторах [1–4] и антеннах
СВЧ [5].
Для успешного применения магнитных нанокомпонентов в управляемых магнитным полем устройствах и антеннах СВЧ необходимо добиться
оптимальных условий взаимодействия электромагнитной волны с магнитными нанопроволоками в нанокомпозите, чтобы обеспечить эффективность этого взаимодействия. Эту проблему можно успешно решить, используя математическое моделирование.
В настоящее время в моделировании наноструктурных материалов и
устройств СВЧ на их основе существуют два подхода: первый – упрощение
уравнений Максвелла и материальных уравнений при введении эффективных
параметров (эффективной магнитной и диэлектрической проницаемостей)
наноматериалов, что позволяет существенно упростить математические расчеты. Второй подход – решение 3D-краевых задач дифракции для уравнений
Максвелла совместно с уравнениями движения в материальной среде без
упрощения уравнений и граничных условий. Только этот второй подход позволяет достичь адекватности математических моделей реальным электродинамическим объектам для решения задач расчета микроволновых характеристик
анизотропных наноструктурных материалов и устройств СВЧ на их основе.
В этой связи задача построения математических моделей дифракции
волноводных мод на образцах магнитных 3D-нанокомпозитов, содержащих
Physical and mathematical sciences. Physics
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ферромагнитные нанопроволоки, с учетом обмена и граничных условий и
разработки вычислительных алгоритмов, позволяющих рассчитать S-параметры матрицы рассеяния для 3D-магнитных наноструктур в волноводах, является актуальной.
1. Математическая модель
Построение математической модели дифракции и взаимодействия электромагнитных волн с образцами магнитных нанокомпозитов базируется на
решении 3D-краевых задач дифракции для уравнений Максвелла


∂E (t )
rot H (t ) = ε0 ε
+ σ E (t ) ;
(1)
∂t

∂B (t )
;
(2)
rot E (t ) = −
∂t



B (t ) = M (t ) + μ 0 H (t )
(3)
с соответствующими электродинамическими граничными условиями, дополненной уравнением Ландау – Лифшица [6]:





dM (t )
(4)
= −γ M (t ) × H эф (t ) + ωr χ0 H (t ) − M (t ) ;
dt



H эф (t ) = H (t ) + H q (t ) ;
(5)
(
)
(


H q (t ) = q ∇ 2 M (t ) .
)
(6)


Здесь E (t ), H (t ) – векторы напряженности электрического и магнит

ного полей; M (t ) – вектор намагниченности среды; B (t ) – вектор магнитной


индукции; H эф (t ) – суммарное эффективное поле, включающее H q (t ) –
поле обменного взаимодействия; ∇ – оператор Лапласа; ε – относительная
диэлектрическая проницаемость среды; σ – электропроводность среды; ε0 ,
μ0 – электрическая и магнитная постоянные; γ – гиромагнитное отношение;
ωr = αγH 0 – частота релаксации, α – параметр диссипации; χ0 – статическая
восприимчивость; q – константа обменного взаимодействия.
Согласно уравнению Ландау – Лифшица (4) движение вектора намаг
ниченности определяется эффективным магнитным полем H эф (t ) , в котором

находится магнитная наночастица. Эффективное поле H эф (t ) представляет
собой сумму (5) поля анизотропии, локальных дипольных полей, поля об
менного взаимодействия H q (t ) .
3D-краевую задачу дифракции электромагнитных волн на образцах
магнитного нанокомпозита на основе 3D-решетки ориентированных магнитных нанопроволок в прямоугольном волноводе (рис. 1) решаем методом автономных блоков с каналами Флоке (ФАБ) [7].
164
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
Математическую модель для расчета матрицы рассеяния R неоднородности – образца магнитного нанокомпозита в волноводе (рис. 1), строим на
основе декомпозиционного подхода [8]. Область магнитного нанокомпозита
расчленяем условными границами на автономные блоки в виде прямоугольных параллелепипедов, содержащих магнитные нанопроволоки, и каналами
Флоке на гранях (ФАБ) [7].
Ориентация
нанопроволок
в нанокомпозите
H0
H0
b
a
S1
S2
+
1
−
1
с
с
с2−
d
Рис. 1. Дифракции волны H10 на образце магнитного нанокомпозита на основе
3D-решетки ориентированных магнитных нанопроволок в прямоугольном
волноводе: с1+ , с1− , с2− – амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн
типа H10 ; H 0 – поле подмагничивания, S1 , S2 – входные сечения;
a = 3,6 мм ; b = 7, 2 мм ; d = 1,0 мм
Вычислительный алгоритм определения дескриптора (матрицы проводимости Y) ФАБ, содержащих магнитные нанопроволоки, разработан в [7] на
основе решения краевой 3D-задачи дифракции проекционным методом Галеркина [9] .
В декомпозиционной схеме моделирования дифракции волны H10 на
пластине нанокомпозита в волноводе (рис. 1) все автономные блоки являются
однотипными, что позволяет использовать вычислительный алгоритм многоуровневой рекомпозиции ФАБ, который существенно сокращает время расчетов на компьютере. Два однотипных ФАБ объединяем в один (при этом два
виртуальных канала Флоке на гранях этого ФАБ преобразуются в один), получаем ФАБ с шестью каналами на гранях и затем процесс повторяется.
В результате многоуровневой рекомпозиции ФАБ и преобразования
каналов Флоке на гранях получаем результирующий ФАБ (с двумя входными
сечениями (гранями) S1 , S2 (рис. 1) как модель неоднородности (пластины
магнитного нанокомпозита) в волноводе. При этом на гранях исходных ФАБ,
которые соприкасаются с боковой поверхностью прямоугольного металлического волновода (рис. 1), граничные условия типа «короткого замыкания»

( Eτ = 0 ) не накладываются (для расчета матрицы проводимости Y они являются естественными).
Матрицу проводимости результирующего ФАБ, записанную в базисе собственных волн каналов Флоке, преобразуем в матрицу проводимости Y в базисе
собственных волн прямоугольного волновода [10]. Затем, определив матрицу
проводимости Y, находим матрицу рассеяния R = ( I + Y )
Physical and mathematical sciences. Physics
−1
(I − Y)
[7]. Из мат-
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
рицы рассеяния R неоднородности (пластины магнитного нанокомпозита)
в волноводе определяем амплитуды с1− , с2− отраженной и прошедшей волн
типа Н10 (амплитуда с1+ падающей волны типа Н10 принята равной с1+ =1).
Коэффициент прохождения волны типа Н10 определяется как
с−
kпр = 2 .
с1+
2. Результаты электродинамического моделирования дифракции волны
H10 на пластине наноструктурного материала на основе 3D-решеток
ориентированных магнитных нанопроволок в волноводе
При помощи разработанного вычислительного алгоритма на основе
многоуровневой рекомпозиции ФАБ проведено математическое моделирование дифракции волны H10 на образцах анизотропных наноструктурных материалов на основе периодических 3D-решеток ориентированных ферромагнитных нанопроволок в волноводе (рис. 1) в зависимости от величины и
направления поля подмагничивания H 0 в условиях магнитного резонанса
в миллиметровом диапазоне волн.
Результаты электродинамического расчета зависимости относительного
коэффициента прохождения d m волны H10 через пластину магнитного
нанокомпозита на основе 3D-решетки ферромагнитных нанопроволок в волноводе (рис. 1) от напряженности внешнего постоянного магнитного поля
H 0 на частоте f = 26 ГГц при изменении периодичности решетки a, b представлены на рис. 2,а,б для ориентации поля подмагничивания H 0 вдоль и ортогонально оси нанопроволок соответственно. Материал нанопроволок
Co80Ni20 (намагниченность насыщения 4πM s = 15356 Гс, константа обменного взаимодействия A = 1,5×10–9 Э · см2, параметр диссипации α = 0,005); радиус нанопроволок 2r = 25 нм, длина нанопроволок l = 500 нм.
Относительный
коэффициент
прохождения
определялся
как
dm =
H
0
kпр
− kпр
0
kпр
0
H
, где kпр
, kпр
– коэффициент прохождения при отсутствии
( H 0 = 0 ) и при приложении внешнего постоянного магнитного поля
( H 0 ≠ 0 ).
Из графиков на рис. 2 следует, что коэффициент прохождения имеет
минимумы в точках максимума резонансного поглощения при значениях
напряженности внешнего постоянного магнитного поля H 0рез , которые отличаются от поперечного ферромагнитного резонанса (ФМР) в сплошной
ферромагнитной среде [6]
ω⊥ = γH 0 1 +
166
4πM 0
H0
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
(на частоте f = 26 ГГц поперечный ФМР в неограниченной гиромагнитной
среде наблюдается при H 0 = 4342 Э).
0
4500
-6
5000
5500
10000
H0 , Э
10000 10500 11000 11500 12000 12500 13000 13500
H0 , Э
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
a = b = 340нм
-12
a = b = 150нм
-18
-24
H0
-30
a = b = 87нм
a = b = 76нм
-36
a = b = 67нм
-42
d m = (kпрH − kпр0 ) / kпр0 , %
а)
0
8000
8500
9000
9500
-3
a = b = 340нм
-6
a = b = 150нм
-9
a = b = 87нм
-12
-15
H0
-18
a = b = 76нм
a = b = 67нм
-21
d m = (kпрH − kпр0 ) / kпр0 , %
б)
Рис. 2. Зависимости относительного коэффициента прохождения волны H10
через образец магнитного нанокомпозита (3D-решетки ориентированных магнитных
нанопроволок) в волноводе от напряженности внешнего постоянного магнитного
поля H 0 при изменении периодичности решетки a, b: f = 26 ГГц ; магнитные
нанопроволоки Co80Ni20 ( 4πM s = 15356 Гс, α = 0,005, σ = 1,0 ⋅ 107 Ом −1 ⋅ м −1 ,
A = 1,5×10–9 Э); 2r = 25 нм, l = 500 нм, с = 525 нм; f = 26ГГц ; ориентация H 0
вдоль (а) и ортогонально (б) оси нанопроволок
Положение и значения минимумов коэффициента прохождения (рис. 2)
(максимумов резонансного поглощения) определяются эффективностью резонансного взаимодействия волны типа H10 с магнитным нанокомпозитом
на собственных частотах ФМР 3D-решетки магнитных нанопроволок и зависят от периода решетки.
Physical and mathematical sciences. Physics
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Сравнивая полученные результаты математического моделирования резонансного взаимодействия волны H10 с магнитным нанокомпозитом при
ориентации поля подмагничивания H 0 вдоль (рис. 2,а) и ортогонально
(рис. 2,а) оси нанопроволок, видим, что характер изменения положения и
значений минимумов коэффициента прохождения в зависимости от периода
решетки a, b в этих двух случаях различен.
При уменьшении периода решетки (сокращении расстояния между
магнитными нанопроволоками до длины обменного взаимодействия) при
наличии сильной связи между ними, обусловленной обменными силами, магнитные нанорешетки с высокой плотностью упаковки (при расстояниях между нанопроволоками диаметром 2r =25 нм меньших, чем a ≤ 67 нм)) приближаются по своим свойствам к квазисплошной ферромагнитной среде, при
этом собственная частота ФМР однородного типа прецессии намагниченности 3D-решеток приближается к частоте ФМР в гиромагнитной среде [6]
ω0
= H0
γ
и в пределе H 0рез = 9248 Э для a = b = 67 нм (см. графики на рис. 2,а,б).
На частоте f = 26 ГГц магнитный резонанс в неограниченной гиромагнитной среде наблюдается при H 0 = 9248 Э .
В случае магнитных нанорешеток с малой плотностью упаковки (при
расстояниях между нанопроволоками диаметром 2r =25 нм больших, чем
a ≥ 340 нм) собственная частота ФМР однородного типа прецессии намагниченности 3D-решетки ферромагнитных нанопроволок изменяется в пределе
до собственной резонансной частоты продольно намагниченного цилиндра [6]
ω0
= ( H 0 + 2πM 0 )
γ
при ориентации H 0 вдоль оси нанопроволок (см. графики на рис. 2,а для
a = b = 340 нм ) или до собственной резонансной частоты поперечно намагниченного цилиндра [6]
2
 ω0 

 = H 0 ( H 0 − 2πM 0 )
 γ 
при ориентации H 0 оси нанопроволок (см. графики на рис. 2,б для
a = b = 340 нм) .
3. Результаты моделирования резонансного взаимодействия
электромагнитных волн с магнитным нанокомпозитом
при введении эффективных параметров
Сравним резонансные значения постоянного магнитного поля H 0рез
при взаимодействии волны H10 с магнитным нанокомпозитом в волноводе
с резонансными значениями магнитного поля H 0рез при взаимодействии поперечных (и продольных) волн, распространяющихся в неограниченной ани-
168
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
зотропной наноструктурированной среде, с периодической 3D-решеткой ориентированных ферромагнитных нанопроволок на частоте f = 26 ГГц.
На рис. 3 приведены результаты электродинамического расчета действительной и мнимой частей комплексной поперечной эффективной магнитной проницаемости μ ⊥ нанокомпозита на основе 3D-решеток магнитных
нанопроволок при поперечном подмагничивании (см. вставку к рис. 3) в зависимости от напряженности внешнего постоянного магнитного поля Н 0
в условиях магнитного резонанса на частоте f = 26 ГГц.
2r
Магнитная
нанопроволока
c
l
H0
k
Hm
b
a
30
μ⊥
20
10
7000
7200
7400
7600
7800
8000
8200
8400
8600
8800
H 0 ,Э
10
20
– Re μ⊥ ,
– Im μ⊥
Рис. 3. Зависимости действительной и мнимой частей комплексной поперечной
эффективной магнитной проницаемости μ ⊥ магнитного 3D-нанокомпозита
(на основе периодической 3D-решетки ориентированных магнитных нанопроволок
с поперечным подмагничиванием) от напряженности внешнего постоянного
магнитного поля Н 0 : материал нанопроволок Co80Ni20 (4πM s = 15356 Гс, α = 0,005,
–9
σ = 1,0 ⋅ 107 Ом −1 ⋅ м −1 , A = 1,5×10 Э); 2r = 25 нм, l = 500 нм, a = b = 76 нм,
с = 525 нм; f = 26ГГц ; ориентация H 0 вдоль оси нанопроволок
Результаты электродинамического расчета действительной и мнимой
частей комплексной диагональной компоненты μ тензора эффективной магнитной проницаемости нанокомпозита на основе 3D-решетки магнитных
нанопроволок при продольном подмагничивании (см. вставку к рис. 4) в заPhysical and mathematical sciences. Physics
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
висимости от напряженности внешнего постоянного магнитного поля Н 0
в условиях магнитного резонанса на частоте f = 26 ГГц приведены на рис. 4.
2r
Магнитная
нанопроволока
c
l
k
H0
b
20
a
μ
15
10
5
5000
5500
6000
6500
7000
7500
H 0 ,Э
7500
H 0 ,Э
5
10
20
μα
Im μ α
15
10
Re μ α
5
5000
5500
6000
6500
7000
5
10
– Reμ ,
– Im μ
Рис. 4. Зависимости действительной и мнимой частей комплексной диагональной μ

и недиагональной компонент тензора эффективной магнитной проницаемости μ
магнитного нанокомпозита (на основе периодической 3D-решетки ориентированных
магнитных нанопроволок с продольным подмагничиванием) от напряженности
внешнего постоянного магнитного поля Н 0 : материал нанопроволок Co80Ni20
( 4πM s = 15356 Гс, α = 0,005 , σ = 1,0 ⋅ 107 Ом −1 ⋅ м −1 , A = 1,5×10–9 Э); 2r = 25 нм, l = 500 нм,
a = b = 76 нм, с = 525 нм; f = 26 ГГц ; ориентация H 0 вдоль оси нанопроволок
170
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
Из сравнения расчетных зависимостей (рис. 2–4) на частоте f = 26 ГГц
следует, что резонансные значения постоянного магнитного поля H 0рез при
взаимодействии волны типа H10 с образцом магнитного нанокомпозита
в волноводе (рис. 2) отличаются от резонансных значений магнитного поля
H 0рез при взаимодействии как поперечных (рис. 3), так и продольных волн
(рис. 4) с периодической 3D-решеткой ориентированных ферромагнитных
нанопроволок (с тем же периодом a = b = 76 нм, с = 525 нм) и зависят от
направления распространения волны по отношению к направлению поля
подмагничивания H 0 , взаимной ориентации постоянного H 0 и высокочастотного H m магнитных полей, ориентации поля подмагничивания H 0 к оси
нанопроволок, а также периода решетки. При этом положение и значение
минимума коэффициента прохождения (максимума коэффициента отражения) управляются изменением величины и направления внешнего постоянного магнитного поля H 0 и зависят от геометрии и соотношения размеров магнитной нанорешетки (диаметра нанопроволок и периода решетки) (рис. 2).
Полученные результаты математического моделирования (на электродинамическом уровне строгости) резонансного взаимодействия волны типа
H10 с магнитным нанокомпозитом в волноводе отличаются от результатов
при использовании упрощенных моделей в рамках теории эффективной среды при введении эффективных параметров – эффективной магнитной и диэлектрической проницаемостей нанокомпозитов на основе периодической
3D-решетки ориентированных углеродных нанотрубок с магнитными наночастицами и магнитных нанопроволок
Список литературы
1. S p i e g e l a , J . Microwave Properties of Ferromagnetic Nanowires and Applications to
Tunable Devices / J. Spiegela, I. Huynen // Solid State Phenomena. – 2009. –
Vol. 152–153. – P. 389–393.
2. S a i b , A . An Unbiased Integrated Microstrip Circulator Based on Magnetic Nanowired Substrate / A. Saib, M. Darques, L. Piraux, D. Vanhoenacker-Janvier, I. Huynen //
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. – 2005. – Vol. 53, № 6. –
P. 2043.
3. K u a n r , B . K . Nonreciprocal microwave devices based on magnetic nanowires /
B. K. Kuanr, V. Veerakumar, R. Marson, S. R. Mishra, R. E. Camley and Z. Celinski //
Applied Physics Letters. – 2009. – Vol. 94. – Р. 202505.
4. W a n g , J . Design and simulation of self-biased circulators in the ultra high frequency
band / J. Wang, A. Geiler, P. Mistry, D. R. Kaeli, V. G. Harris, C. Vittoria // Journal of
Magnetism and Magnetic Materials. – 2012. – Vol. 324. – P. 991–994.
5. Г у р е в и ч , А . Г . Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. –
М. : Наука, 1994. – 464 с.
6. Н и к о л ь с к и й , В. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики /
В. В. Никольский, Т. И. Никольская. – М. : Наука, 1983. – 304 с.
7. Г о л о в а н о в , О . А . Метод автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке для математического моделирования магнитных наноструктур с учетом обмена и граничных условий / О. А. Голованов, Г. С. Макеева // Радиотехника и электроника. – 2009. – Т. 54, № 11. – С. 1421–1428.
8. Н и к о л ь с к и й , В. В. Проекционные методы в электродинамике : сб. науч.метод. статей по прикладной электродинамике / В. В. Никольский. – М. : Высшая
школа, 1977. – С. 4–23.
Physical and mathematical sciences. Physics
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
9. Н и к о л ь с к и й , В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики / В. В. Никольский. – М. : Наука, 1967. – 460 с.
10. М а к е е в а , Г . С . Математическое моделирование распространения электромагнитных волн в наноструктурированных гиромагнитных средах методом автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке / Г. С. Макеева,
О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. – 2009. – Т. 54, № 12. – C. 1455–
1459.
References
1. Spiegela J., Huynen I. Solid State Phenomena. 2009, vol. 152–153, pp 389–393.
2. Saib A., Darques M., Piraux L., Vanhoenacker-Janvier D., Huynen I. IEEE
Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2005, vol. 53, no. 6, p. 2043.
3. Kuanr B. K., Veerakumar V., Marson R., Mishra S. R., Camley R. E. and Celinski Z.
Applied Physics Letters. 2009, vol. 94, p. 202505.
4. Wang J., Geiler A., Mistry P., Kaeli D. R., Harris V. G., Vittoria C. Journal of
Magnetism and Magnetic Materials. 2012, vol. 324, pp. 991–994.
5. Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnitnye kolebaniya i volny [Magnetic oscillations and
waves]. Moscow: Nauka, 1994, 464 p.
6. Nikol'skiy V. V., Nikol'skaya T. I. Dekompozitsionnyy podkhod k zadacham
elektrodinamiki [Decomposition approach to problems of electrodynamics]. Moscow:
Nauka, 1983, 304 p.
7. Golovanov O. A., Makeeva G. S. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and
electronics]. 2009, vol. 54, no. 11, pp. 1421–1428.
8. Nikol'skiy V. V. Proektsionnye metody v elektrodinamike. Sbornik nauchnometodicheskikh statey po prikladnoy elektrodinamike [Projecting methods in
electrodynamics. Collected scientific and methodological articles on applied
electrodynamics]. Moscow: Vysshaya shkola, 1977, pp. 4–23.
9. Nikol'skiy V. V. Variatsionnye metody dlya vnutrennikh zadach elektrodinamiki
[Variational methods for inner problems of electrodynamics]. Moscow: Nauka, 1967.
10. Makeeva G. S., Golovanov O. A. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and
electronics]. 2009, vol. 54, no. 12, pp. 1455–1459.
Голованов Олег Александрович
доктор физико-математических
наук, профессор, кафедра
общепрофессиональных дисциплин,
Пензенский филиал Военной
академии материально-технического
обеспечения (Россия, г. Пенза-5)
Golovanov Oleg Aleksandrovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, of general
professional disciplines, Penza branch
of the Military Academy of Maintenance
Supplies (Penza-5, Russia)
E-mail: golovanovol@mail.ru
Макеева Галина Степановна
доктор физико-математических наук,
профессор, кафедра радиотехники
и радиоэлектронных систем, Пензенский
государственный университет
(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Makeeva Galina Stepanovna
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, sub-department of radio
engineering and radio electronic systems,
Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: radiotech@pnzgu.ru
172
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Ширшиков Дмитрий Николаевич
адъюнкт, Пензенский филиал Военной
академии материально-технического
обеспечения (Россия, г. Пенза-5)
Физико-математические науки. Физика
Shirshikov Dmitriy Nikolaevich
Postgraduate student, Penza branch
of the Military Academy of Maintenance
Supplies (Penza-5, Russia)
E-mail: shirshikov1981@mail.ru
Горлов Геннадий Геннадьевич
адъюнкт, Пензенский филиал Военной
академии материально-технического
обеспечения (Россия, г. Пенза-5)
Gorlov Gennadiy Gennad'evich
Postgraduate student, Penza branch
of the Military Academy of Maintenance
Supplies (Penza-5, Russia)
E-mail: mitsubisi-gor82@mail.ru
УДК 538.95
Голованов, О. А.
Электродинамический расчет микроволновых коэффициентов
прохождения волны типа H10 через пластину наноструктурного материала на основе 3D-решетки ферромагнитных нанопроволок в волноводе /
О. А. Голованов, Г. С. Макеева, Д. Н. Ширшиков, Г. Г. Горлов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 162–173.
Physical and mathematical sciences. Physics
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 544.03:546.65
Е. И. Поздняков
СИНТЕЗ, ИЗУЧЕНИЕ ЛЮМИНЕСЦЕНТНЫХ
И КИНЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТВЕРДЫХ РАСТВОРОВ
(Y0,89-XYB0,1TM0,01HOX)3AL5O12
Аннотация. Актуальность и цели. На современном этапе развития науки и
техники остро стоит вопрос поиска материалов, способных эффективно преобразовывать энергию из ближнего ИК-диапазона в диапазон более 2 мкм. На
современном рынке полупроводниковых приборов присутствуют высокоэффективные мощные источники излучения (лампы накаливания, светодиоды),
способные генерировать излучение в диапазоне 0,94–0,98 мкм, однако практически отсутствуют сопоставимые по эффективности и доступности люминофоры и лазеры, способные быть источником излучения в диапазоне более
2 мкм. Существующие люминесцентные и лазерные материалы, способные
преобразовывать энергию в указанных диапазонах, представлены в основном
стеклами, монокристаллами на основе теллуридов, сульфидов, которые не обладают достаточной устойчивостью и химической стойкостью, что сильно
ограничивает их применение в жестких условиях, например, в условиях высоких температур, радиационного воздействия, а также при высоких плотностях
возбуждения. Полидисперсные люминофоры на основе алюминатов редкоземельных элементов со структурой граната давно известны как материалы, обладающие большим набором положительных качеств, таких как высокая температурная, радиационная и химическая стойкость, также они положительно
проявляют себя при высоких плотностях накачки или возбуждения, обладают
отличными механическими и оптическими свойствами. Материалы и методы.
В ходе работы синтезировались полидисперсные твердые растворы методом
твердофазного синтеза при температуре 1450 °С в течение 24 ч. Для полученных твердых растворов с помощью фотоприемного устройства ФПУ-1 и монохроматора МДР-204 регистрировалось стоксовое ИК-излучение в области
960–2200 нм при возбуждении лазерным излучением с длиной волны 940 нм.
Фазовый состав синтезированных образцов контролировали при помощи
рентгенофлуоресцентного анализа (дифрактометр Д-591, фирма «Siemens», Cu
Kα-излучение Ni-фильтр). Кинетику затухания ИК-люминесценции изучали
при помощи фотоприемника ФУП-2 и монохроматора МДР-204. Результаты.
Синтезированы твердые растворы состава (Y0,89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12, изучены их люминесцентные и кинетические характеристики, установлены зависимости интенсивности стоксовой ИК-люминесценции в диапазонах 0,96–1,1 мкм и
1,62–2,04 мкм; 2,04–2,15 мкм от концентрации ионов Ho3+ при возбуждении
лазерным излучением с длиной волны 0,94 мкм. Проведен анализ энергетических структур ионов иттербия, тулия, гольмия. На основе этого анализа предположено, что люминесценция в области 0,96–1,1 мкм обусловлена энергетическими переходами между штарковскими компонентами уровней 2F7/2→2F5/2
иона иттербия. Излучение в области 1,8–2,05 мкм обусловлено излучательными переходами между штарковскими компонентами уровней 3F4→3H6 иона
тулия, излучение в области 2,05–2,15 мкм обусловлено излучательными переходами между штарковскими компонентами уровней 5I7 →5I8 иона гольмия.
Выводы. Проанализированы полученные спектры люминесценции и кинетические характеристики, построены графики зависимостей интенсивности люминесценции и постоянной затухания от концентрации ионов гольмия. На основе
полученных графиков зависимостей определен оптимальный состав люмино-
174
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
фора, обеспечивающий максимальную интенсивность люминесценции в области
2000–2150 нм при возбуждении лазерным излучением с длиной волны 940 нм.
Ключевые слова: редкоземельные элементы, люминесценция, алюмоиттриевый гранат, Y3Al5O12.
E. I. Pozdnyakov
SYNTHESIS AND KINETIC STUDY OF FLUORESCENT
PROPERTIES OF SOLID SOLUTIONS
(Y0,89-XYB0,1TM0,01HOX)3AL5O12
Abstract. Background. At the present stage of development of science and technology there is an urgent need to find a material capable of efficient conversion of energy from near-infrared range to more than 2 microns. In the market of semiconductor devices today there are highly powerful light sources (incandescent lamps, light
emitting diodes) capable of generating radiation in the range of 0.94–0.98 microns,
however there are almost no phosphors and lasers comparable in effectiveness and
accessibility, capable of being a source of radiation in the range greater than 2 microns. Existing luminescent and laser materials, capable of converting the energy in
said band, are mainly made of glass, single crystals based on tellurides, sulfides that
do not possess sufficient stability and chemical resistance, which severely limits
their use in harsh environments such as high temperature, radiation exposure and
high excitation densities. Polydisperse phosphors based on rare-earth aluminate garnet structure have long been known as a material having a large set of positive attributes, such as: high temperature, radiation and chemical resistance, and they positively manifest themselves at high densities or pumping excitement, possess excellent mechanical and optical properties. Materials and methods. In the course of the
study the author synthesized polydispersed solid solutions by solid-phase synthesis
at 1450 °C for 24 hours. To obtain solid solutions, using the photodetector FPU-1
and MDR-204, the researcher detected Stokes IR-radiation in the area of 960–2200 nm
with laser excitation wavelength of 940 nm. The phase composition of the synthesized
samples was monitored by XRD (D-591 diffractometer, «Siemens» company, Cu Kαradiation Ni filter). Kinetics IR-luminescence damping was studied using a photodetector FUP-2 and MDR-204. Results. The author synthesized the solid solutions of
(Y0,89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12, studied their luminescent and kinetic characteristics,
determined the dependencies of the intensity of the Stokes IR-luminescence in the
range of 0.96–1.1 microns and 1.62–2.04 microns, 2.04–2.15 microns, on the concentration of ions Ho3+, when excited by laser light with a wavelength of 0.94 microns.
The researcher analyzed the energy structures of ions of ytterbium, thulium, holmium. On the basis of this analysis the scientist suggested that the luminescence of
0.96–1.1 microns is caused by transitions between energy levels of the Stark components of 2F7/2→2F5/2 ytterbium ion. The radiation of 1.8–2.05 microns is caused by
radiative transitions between Stark components of the levels 3F4→3H6 thulium ions,
the emission of 2.05–2.15 microns is caused by radiative transitions between Stark
components of the levels 5I7 →5I8 holmium ion. Conclusions. The author analyzed
the luminescence spectra and kinetic characteristics, obtained the dependencies of
the luminescence and the damping constant on the concentration of holmium ions.
On the basis of the dependency graphs the researcher determined the optimal composition of phosphor to maximize the intensity of the luminescence in the area of
2000–2150 nm with laser excitation wavelength of 940 nm.
Key words: rare earth elements, luminescence, yttrium aluminum garnet, Y3Al5O12.
Physical and mathematical sciences. Physics
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Введение
На современном этапе развития науки и техники остро стоит вопрос
поиска материалов, которые способны эффективно преобразовывать энергию
в ближнем и дальнем ИК-диапазоне длин волн. Анализ литературных данных
показывает, что к числу наиболее перспективных материалов для преобразования энергии в ближнем ИК-диапазоне длин волн относятся алюминаты
редкоземельных элементов со структурой граната, активированные ионами
иттербия, тулия и гольмия. В связи с этим проведение исследований, направленных на разработку поликристаллических люминофоров на основе алюмоиттриевого граната, активированных ионами иттербия, тулия, гольмия при
возбуждении в области излучения наиболее эффективных полупроводниковых светодиодов и лазеров, работающих в ИК-диапазоне, является актуальной задачей, имеющей важное научно-практическое значение.
1. Экспериментальная часть
Объектом исследования служили концентрационные серии образцов
поликристаллических твердых растворов (Y0,89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12, где
0 ≤ x ≤ 1. Поскольку светотехнические параметры люминофоров чрезвычайно
чувствительны к микропримесям посторонних редкоземельных ионов (РЗИ)
[1], для синтеза образцов использовали особо чистые оксиды иттрия, иттербия, тулия, гольмия с содержанием основного вещества 99,995–99,999 %.
Концентрационные серии образцов готовили твердофазным синтезом при
температуре 1450 °С в течение 24 ч. Фазовый состав синтезированных образцов контролировали при помощи рентгенофлуоресцентного анализа (РФА)
(дифрактометр Д-591, фирма «Siemens», Cu Kα-излучение Ni-фильтр). Съемка для расчета параметров элементарной ячейки проводилась на модернизированном дифрактометре ДРОН-1. Параметры элементарных ячеек рассчитывали при помощи программы «Unitsell», непосредственно предназначенной
для порошкообразных образцов. Для ряда образцов измерения осуществляли
на автодифрактометрическом комплексе CAD-4-ENX-SPD.
Стоксовое ИК-излучение образцов, возбуждаемое лазером Л-940/50/30
с длиной волны излучения 0,94 мкм, в слое порошка без связующего (геометрия 0–45°), регистрировали в области 0,96–2,15 мкм с помощью фотоприемного устройства ФПУ-1 и монохроматора МДР-204 для исследуемого и
опорного образца люминофора Л-54. Отношение максимальных интенсивностей спектральных полос люминесценции в области 0,96–2,15 мкм испытуемого и опорного образцов служило мерой интенсивности стоксовой
ИК-люминесценции.
Кинетику затухания стоксовых ИК-полос люминесценции синтезированных образцов записывали с использованием монохроматора МДР-204 и
фотоприемного устройства ФПУ-1. Возбуждение осуществляли импульсным
полупроводниковым лазерным диодом ATC-C1000-100-AMF-940-5-F200
с рабочей мощностью 800 мВт. Постоянную времени затухания определяли
по кривой спада интенсивности после свечения.
2. Результаты и их обсуждение
Анализ литературных данных показал, что для получения полос люминесценции в области 2100 нм наиболее приемлемым является ион гольмия за
176
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
счет уникальной структуры термов, которые обеспечивают эффективное преобразование энергии из ближней ИК-области, в энергию нужного диапазона.
Однако для эффективного протекания процесса преобразования энергии возбуждающего излучения с длиной волны 940 нм необходимо дополнительно
вводить в состав люминофора сенсибилизирующие ионы. Сопоставление
энергетических структур ионов иттербия, тулия и гольмия показало, что излучательные уровни этих ионов находятся в некоторой близости по значению
энергии, и, предположительно, между ними может эффективно протекать передача энергии.
На рентгенограммах всех полученных образцов наблюдались четкие
дифракционные максимумы, характерные для граната Y3Al5O12, кристаллизующегося в кубической структуре (пространственная группа Ia3d (Oh10)) [2].
Таким образом, можно сделать вывод, что все синтезированные образцы
представляют собой однокомпонентные люминофоры с кубической структурой без примесных фаз.
Проведен сопоставительный анализ схем энергетических уровней
ионов гольмия, тулия и иттербия и сделан вывод, что энергетический зазор
∆E между возбужденными уровнями 5I6 иона Ho3+ и 3H5 иона Tm3+ значительно меньше максимальной энергии фонона в кристаллической решетке
алюмоиттриевого граната [3].
Для проверки предположения о том, что в системе с тремя активаторами –
ионами иттербия, тулия, гольмия, эффективное заселение возбужденных уровней ионов гольмия может осуществляться посредством миграции энергии возбуждения через ион иттербия к иону гольмия, и через ион тулия к иону гольмия, проведен синтез концентрационной серии образцов твердых растворов
с общей формулой (Y0,89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12, где (10–4 ≤ x ≤ 10–1) (рис. 1).
Рис. 1. Схема возможных энергетических переходов
в твердых растворах (Y0,89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 при возбуждении
лазерным излучением с длиной волны 940 нм [4]
Physical and mathematical sciences. Physics
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
На рис. 2, 3 приведены фрагменты спектров стоксовой ИК-люминесценции твердых растворов (Y0,89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12.
Рис. 2. Фрагмент спектра стоксовой ИК-люминесценции твердых растворов
(Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 в области 970–1120 нм при возбуждении
лазерным излучением с длиной волны 940 нм
Рис. 3. Фрагмент спектра стоксовой ИК-люминесценции твердых растворов
(Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 в области 1800–2200 нм при возбуждении
лазерным излучением с длиной волны 940 нм
Спектр стоксовой ИК-люминесценции представляет собой три широких области полос люминесценции в следующих диапазонах длин волн:
− 0,96–1,1 мкм, обусловленные излучательными переходами между
штарковскими компонентами уровней в ионе иттербия 2F7/2→2F5/2 [3];
− 1,8–2,05 мкм, обусловленные излучательными переходами между
штарковскими компонентами уровней 3F4→3H6 в ионе тулия [5];
− 2,05–2,15 мкм, обусловленные излучательными переходами между
штарковскими компонентами уровней 5I7 →5I8 в ионе гольмия [4].
178
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
Сравнительный анализ спектров люминесценции твердых растворов
(Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 при возбуждении излучением 0,94 мкм позволил
сделать вывод, что с увеличением концентрации Ho3+ существенно меняется
интенсивность ИК-полос излучения в области 1850–2150 нм в пользу более
длинноволновых полос. Такое изменение соотношения интенсивностей
ИК-полос люминесценции Ho3+ может быть связано как с тривиальной реабсорбцией, так и с изменением при увеличении концентрации Ho3+, характера
миграции энергии возбуждения по объему кристалла люминофора, в результате чего преимущественно оказываются заселенными низкорасположенные
по энергии метастабильные уровни ионов гольмия. Помимо этого, с увеличением концентрации ионов гольмия растет вероятность осуществления процессов заселения излучательных уровней ионов Ho3+, соответственно происходит более интенсивный отток энергии с излучательных уровней ионов Tm3+.
На рис. 4 приведена зависимость интенсивности стоксовой ИК-люминесценции твердых растворов (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 в области 2,1 мкм
от концентрации ионов гольмия.
Рис. 4. Зависимость интенсивности люминесценции в полосе 2100 нм в твердом
растворе (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 от концентрации ионов Ho3+
Характер указанной зависимости дает основания полагать, что в указанной системе при изменении концентрации ионов гольмия происходит
совместное конкурирующее действие нескольких процессов, один из которых
способствует усилению, а другие ослаблению стоксовой ИК-люминесценции
ионов гольмия в (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 при ИК-возбуждении. В области низких концентраций Ho3+ (0 ≤ x ≤ 10–3) увеличение их содержания
в твердом растворе приводит почти к пропорциональному росту интенсивности ИК-люминесценции в области 2,1 мкм, что объясняется симбатным увеличением количества поглощающих и излучающих ионов гольмия. При таких
концентрациях гольмия скорость миграции возбуждения по ионам активатора
невелика, поэтому роль процессов, которые приводят к тушению стоксовой
ИК-люминесценции гольмия в области 2,1 мкм, весьма незначительна. При
Physical and mathematical sciences. Physics
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
дальнейшем увеличении концентрации ионов гольмия (10–3 ≤ x ≤ 10–2) происходит значительное увеличение вероятности миграции энергии, а также пространственное сближение возбужденных ионов гольмия с различными тушащими центрами и, как следствие, к развитию процесса тушения. В результате
совместного конкурирующего действия вышеуказанных процессов дальнейший рост интенсивности стоксовой ИК-люминесценции в области 2,1 мкм
замедляется при концентрации ионов гольмия x = 0,01 и достигает своего
максимального значения.
Также значительное влияние концентрации ионов гольмия оказывает на
соотношение и интенсивность других полос люминесценции, обусловленных
оптическими переходами внутри ионов иттербия и тулия.
Поскольку предполагается, что энергия возбуждающего излучения
в данном случае передается последовательно через ион иттербия на ион тулия
и на ион гольмия, целесообразно изучить характер изменения интенсивности
излучения, обусловленного энергетическими переходами в ионе иттербия от
концентрации ионов гольмия.
На рис. 5 представлена зависимость интенсивности люминесценции
в полосах 1036 нм и 1777 нм от концентрации гольмия.
Рис. 5. Зависимость интенсивности люминесценции в полосах:
1 – 1036 нм; 2 – 1777 нм в твердом растворе (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 –
от концентрации ионов Ho3+
Как видно из рис. 5, обе зависимости имеют вид падающих кривых.
При нулевой концентрации ионов гольмия интенсивность люминесценции
иттербиевой полосы люминесценции в области 1036 нм максимальна. При
увеличении концентрации ионов гольмия на 0,0001 ат. % начинается существенное уменьшение люминесценции в области 1 мкм. При дальнейшем
увеличении концентрации ионов гольмия спад кривой продолжается и достигает минимума при максимальной концентрации ионов гольмия. Аналогично,
для полосы люминесценции в области 1777 нм при нулевой концентрации
180
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
ионов гольмия интенсивность этой полосы люминесценции максимальна, при
увеличении концентрации ионов гольмия интенсивность этой полосы люминесценции значительно снижается, при максимальной концентрации ионов
гольмия становится минимальной.
Такие зависимости свидетельствуют об эффективном оттоке энергии
с излучательных уровней иттербия и тулия на излучательные уровни иона
Ho3+, тем самым увеличивая его населенность носителями заряда и вероятность излучательных процессов со штарковских компонентов уровня 5I7 на
основной уровень 5I8 иона Ho3+.
На основе анализа указанных зависимостей можно сделать вывод,
что концентрация ионов гольмия вносит существенный вклад в общий характер люминесценции, интенсивность и соотношение полос люминесценции в твердых растворах (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12. Таким образом,
можно предположить, что механизм люминесценции твердого раствора
(Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 при ИК-возбуждении следующий.
При возбуждении твердых растворов указанного состава лазерным излучением с длиной волны 0,94 мкм электрон на основном уровне иона
Yb3+ 2F7/2 поглощает фотон возбуждающего излучения и переходит в возбужденное состояние 2F5/2, после чего следует передача энергии на уровень иона
тулия 3H5. Энергия, запасенная на уровне 3H5 за счет безызлучательной многофононной релаксации, передается на нижележащий уровень 3F4, часть энергии с этого уровня расходуется на осуществление излучательного перехода
3
F4 → 3H6, который обусловливает появление полос люминесценции в области 1,8 мкм. Часть излученной энергии перепоглощается ионом Ho3+, что
приводит к переходу электронов из основного состояния 5I8 в возбужденное
состояние 5I7. Это связано с тем, что люминесценция, обусловленная переходом в ионе тулия 3F4→3H6, и поглощение, приводящее к переходу 5I8 → 5I7
в ионе Ho3+, имеют некоторое перекрытие [4]. После заселения таким образом носителями заряда возбужденного уровня 5I7 иона Ho3+ с него совершается излучательный переход 5I7 → 5I8 с появлением полос люминесценции в области 2100 нм.
В то же время существует вероятность прямой передачи энергии между
ионами иттербия и гольмия. В таком случае с возбужденного состояния 2F5/2
иона Yb3+ энергия передается на уровень 5I6 иона Ho3+, причем процесс передачи энергии по данному механизму может совершаться одновременно
с процессом передачи энергии с возбужденного состояния 2F5/2 иона Yb3+ на
уровень 3H5 иона Tm3+. Часть энергии, запасенной на уровне 5I6, безызлучательно передается на уровень 5I7 с последующей люминесценцией, обусловленной переходом 5I7 → 5I8 и появлением полос люминесценции в области
2100 нм. Часть энергии передается на уровень 3H5 иона Tm3+, после чего происходит безызлучательный переход в ионе тулия 3H5 → 3F4, и с уровня 3F4
энергия передается на уровень 5I7 иона Ho3+, откуда совершается переход
5
I7 → 5I8 и появление полос люминесценции в области 2100 нм.
Данный механизм можно представить в следующем виде:
2
2
2
F7/2 (Yb3+) + hν940нм → 2F5/2 (Yb3+),
F5/2 (Yb3+) → 2F7/2 (Yb3+) + hν1030нм,
F5/2 (Yb3+) + 3H6 (Tm3+) → 2F7/2 (Yb3+) + 3H5 (Tm3+),
Physical and mathematical sciences. Physics
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2
F5/2 (Yb3+) + 5I8 (Ho3+) → 2F7/2 (Yb3+) + 5I6 (Ho3+),
5
I6 (Ho3+) + 3H6 (Tm3+) → 5I8 (Ho3+) + 3H5 (Tm3+),
5
3
3
3
I6 (Ho3+) → 5I7 (Ho3+),
H5 (Tm3+) → 3F4 (Tm3+),
F4 (Tm3+) → 3H6 (Tm3+) + hν1800нм,
F4 (Tm3+) + 5I8 (Ho3+) → 3H6 (Tm3+) + 5I7 (Ho3+),
5
I7 (Ho3+) → 5I8 (Ho3+) + hν2100нм.
Изменение концентрации ионов гольмия в составе твердых растворов
оказывает также заметное влияние на кинетику стоксовой ИК-люминесценции твердых растворов (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12.
Для полосы люминесценции 1036 нм характер зависимости постоянной
затухания от концентрации ионов гольмия представляет вид кривой с максимумом. При увеличении концентрации ионов гольмия в диапазоне (0 ≤ x ≤ 10–3)
постоянная затухания люминесценции (τ) увеличивается от 260 мкс до
360 мкс. При дальнейшем увеличении содержания ионов гольмия в диапазоне
концентраций (10–3 ≤ x ≤ 10–1) постоянная затухания непрерывно снижается
от 430 мкс до 180 мкс.
2
1
Рис. 6. Логарифмическая зависимость постоянной затухания люминесценции
в полосах: 1 – 1036 нм; 2 – 2100 нм в твердом растворе (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12
Как видно из рис. 6, при увеличении концентрации ионов гольмия
в диапазоне (10–4 ≤ x ≤ 10–3) постоянная затухания люминесценции в полосе
2100 нм слабо меняется от 330 до 320 мкс. При дальнейшем увеличении концентрации ионов Ho3+ в составе твердого раствора продолжается более резкое
снижение постоянной затухания, однако характер этого снижения более
пологий, и в пределах концентрации (10–3 ≤ x ≤ 10–1) постоянная затухания
меняется от 330 до 200 мкс.
182
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
Зависимость постоянной затухания для полосы люминесценции 1786 нм
представлена на рис. 7.
Рис. 7. Логарифмическая зависимость постоянной затухания полосы
люминесценции 1786 нм в твердом растворе (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12
Как видно из рис. 7, при увеличении концентрации ионов гольмия
в диапазоне (0 ≤ x ≤ 10–3) постоянная затухания люминесценции в полосе
1786 нм резко уменьшается от 80 до 40 мкс. При дальнейшем увеличении
концентрации ионов Ho3+ в составе твердого раствора продолжается дальнейшее снижение постоянной затухания, однако характер этого снижения более пологий, и в пределах концентрации (10–3 ≤ x ≤ 10–1) постоянная затухания не меняется и составляет 40 мкс.
Анализируя все полученные кинетические характеристики (рис. 6, 7),
можно сделать вывод, что, поскольку все зависимости характеризуются при
максимальных концентрациях ионов гольмия минимальными значениями постоянной затухания, для всех ионов в решетке алюмоиттриевого граната, действуют общие закономерности, возникающие при изменении их концентрации
в кристаллической решетке твердого раствора (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12.
Так, при увеличении концентрации ионов Ho3+ увеличивается вероятность заселения их излучательных уровней за счет миграции энергии возбуждения от
ионов Yb3+ и Tm3+ по представленным выше механизмам. Также при увеличении концентрации увеличивается вероятность пространственного сближения возбужденных ионов активатора и вероятность безызлучательной рекомбинации с различными тушащими центрами в объеме кристалла. Следствием
этого является уменьшение времени послесвечения. Также, как видно из
представленных данных, постоянная затухания люминесценции в полосах,
обусловленных излучательными переходами в ионах иттербия и гольмия,
сопоставимы по значению. Так, во всем исследованном диапазоне концентраций ионов Ho3+ постоянная затухания в полосе 1036 нм меняется от 260 до
Physical and mathematical sciences. Physics
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
180 мкс, а в полосе 2100 нм меняется от 330 до 200 мкс. По сравнению
с этими значениями излучательные уровни ионов Tm3+ являются более короткоживущими, так как в исследованном диапазоне концентраций ионов
Ho3+ постоянная затухания в полосе 1786 нм меняется от 80 до 40 мкс. Однако, несмотря на различие абсолютной величины значения послесвечения при
различных концентрациях, общий характер кривой повторяет характеры зависимостей изменения постоянной затухания люминесценции в других полосах. Это говорит об общности влияющих факторов на кинетические характеристики ионов редкоземельных элементов в кристаллической решетке
алюмоиттриевого граната.
Заключение
Проведен синтез твердых растворов (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12, предложены механизмы стоксовой ИК-люминесценции в диапазонах 0,96–1,1 мкм
и 1,62–2,04 мкм, 2,04–2,15 мкм, а также зависимости интенсивностей люминесценции в соответствующих полосах от концентрации вводимых активаторов, установлены оптимальные составы люминофоров, обеспечивающие максимальную интенсивность люминесценции в указанных областях. Изучены кинетические характеристики твердых растворов (Y0.89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12.
Список литературы
1. М а н а ш и р о в , О . Я . Влияние чистоты исходных веществ на интенсивность
люминесценции эрбия в антистоксовых люминофорах / О. Я. Манаширов,
Н. И. Смирдова, Н. П. Ефрюшина, М. С. Полуэктов // Высокочистые вещества. –
1988, № 3. – С. 198 – 201.
2. G e l l e r , S . Crystal chemistry of the garnets / S. Geller // Z. Kristallographic. – 1967. –
Vol. 125, № 1–6. – Р. 1–47.
3. S u s a n n e , T . Fredrich-Thornton. Nonlinear Losses in Single Crystalline and Ceramic
Yb:YAG Thin-Disk Lasers / T. Susanne // Dissertation zur Erlangung des Doktorgrandes des Department Physik der Universitat Hamburg. – 2010. – 222 р.
4. Ts a n g , Y u e n . A Yb3+/Tm3+/Ho3+ triply-doped tellurite fibre laser / Yuen Tsang, Billy Richards, David Binks, Joris Lousteau, Animesh Jha // Optics express. – 2008. –
Vol. 16, № 14. – P. 73–78.
5. Zh e k o v , V . I . Absorption Spectra and Selective Excitation of Y3Al5O12: Tm3+ and
YLiF4: Tm3+ Laser Systems / V. I. Zhekov, G. G. Asatianim Z. G. Melikishvili et al. //
Solid state and liquid lasers. – 2000. – Vol. 10, № 2. – P. 532–539.
References
1. Manashirov O. Ya., Smirdova N. I., Efryushina N. P., Poluektov M. S. Vysokochistye
veshchestva [High-clean substances]. 1988, no. 3, pp 198 – 201.
2. Geller S. Z. Kristallographic. 1967, vol. 125, no. 1–6, pp. 1–47.
3. Susanne T. Dissertation zur Erlangung des Doktorgrandes des Department Physik der
Universitat Hamburg [Dissertation to apply for the degree of the Doctor of sciences of
the Department of physics of the University of Hamburg]. 2010, 222 p.
4. Tsang Yuen., Richards Billy, Binks David, Lousteau Joris, Animesh Jha Optics express.
2008, vol. 16, no. 14, pp. 73–78.
5. Zhekov V. I., Asatianim G. G., Melikishvili Z. G. et al. Solid state and liquid lasers.
2000, vol. 10, no. 2, pp. 532–539.
184
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Поздняков Егор Игоревич
аспирант, Северо-Кавказский
федеральный университет
(Россия, Ставропольский край,
г. Михайловск, ул. Завгороднего, 101)
Физико-математические науки. Физика
Pozdnyakov Egor Igorevich
Postgraduate student, North Caucasus
Federal University (101 Zavgorodnego
street, Mikhaylovsk, Stavropol region,
Russia)
E-mail: EgPozd@yandex.ru
УДК 544.03:546.65
Поздняков, Е. И.
Синтез, изучение люминесцентных и кинетических свойств твердых растворов (Y0,89-xYb0,1Tm0,01Hox)3Al5O12 / Е. И. Поздняков // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 174–185.
Physical and mathematical sciences. Physics
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 539.67.082:549.2
Н. Е. Фомин, А. А. Киреев, А. А. Киреев, А. Ф. Сигачев
ИССЛЕДОВАНИЕ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ АЛЮМИНИЯ
МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО МЕХАНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА1
Аннотация. Актуальность и цели. Материалы, используемые в различных
конструкциях, как правило, эксплуатируются в переменных механических полях и потому непрерывно изменяют свои свойства. Для исследования микропроцессов, протекающих в материалах, применяют различные методы. Среди
них весьма информативным и плодотворным оказался метод динамического
механического анализа. Материалы и методы. Методом динамического механического анализа исследовалось влияние пластической деформации и температуры на внутреннее трение алюминия. Для определения тангенса угла потерь, являющегося мерой внутреннего трения, использовался прибор
DMA/SDTA861e компании METTLER TOLEDO, который позволяет задавать
различные режимы измерений, включая температурные программы с динамическими и изотермическими участками, одночастотные и многочастотные измерения и сканирование по нагрузке, амплитуде и частоте. В данной работе
использовался режим 3-точечного изгиба. Результаты. Получены зависимости внутреннего трения от степени пластической деформации образцов алюминия технической чистоты. Приведены также данные по зависимости внутреннего трения деформированного алюминия от времени старения при различных температурах. Выводы. На графике зависимости внутреннего трения
от степени пластической деформации выявлены три участка, которые можно
связать со структурными изменениями в процессе наклепа.
Ключевые слова: динамический механический анализ, внутреннее трение,
тангенс угла потерь, пластическая деформация.
N. E. Fomin, A. A. Kireev, A. A. Kireev, A. F. Sigachev
THE STUDY OF INTERNAL FRICTION OF ALUMINIUM
BY THE METHOD OF DYNAMIC MECHANICAL ANALYSIS
Abstract. Background. The construction materials, as a rule, are operated in alternating fields of various kinds and, therefore, change their properties continuously.
Various methods are applied for investigation of micro processes in such materials.
The DMA (dynamic mechanical analysis) method has proved to be very informative
and productive among them. Materials and methods. By the method of dynamic
mechanical analysis the authors investigated the influence of plastic deformation
and temperature on the internal friction of aluminium. To determine the loss tangent
(a measure of internal friction) the researchers used the device DMA/SDTA861e
produced by METTLER TOLEDO. This device allows setting different modes of
measurements, including temperature programs with dynamic and isothermal sections, single-frequency and multi-point measurements and scanning by load, amplitude and frequency. In this work the authors used the 3-point bending mode. Results. The article shows the dependence of the internal friction on the degree of plastic deformation for the samples of aluminum of technical purity. The study also contains information on the dependence of internal friction of the deformed aluminum
1
186
Работа выполнена в рамках госзадания 2.5849.2011.
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
aging time at different temperatures. Conclusions. Оn the graph of dependence of
internal friction on the degree of plastic deformation the authors identified three areas that can be associated with structural changes in the process of hardening.
Key words: dynamic mechanical analysis, internal friction, loss angle tangent, plastic deformation.
Материалы, используемые в различных конструкциях, как правило,
эксплуатируются в переменных механических полях и потому непрерывно
изменяют свои свойства. Для исследования микропроцессов, протекающих
в материалах, применяют различные методы. Среди них весьма информативным и плодотворным оказался метод динамического механического анализа.
Существует достаточно много работ по исследованию влияния пластической деформации на внутреннее трение (ВТ) различных материалов. Обзор
литературы показал [1–5], что зависимость ВТ от степени наклепа исследована в недостаточной мере, в частности, для алюминия. Представляет интерес
также исследование влияния температуры на ВТ деформированного алюминия с течением времени.
Для определения тангенса угла потерь, являющегося мерой ВТ, использовался прибор DMA/SDTA861e компании METTLER TOLEDO, который
позволяет задавать различные режимы измерений, включая температурные
программы с динамическими и изотермическими участками, одночастотные
и многочастотные измерения и сканирование по нагрузке, амплитуде и частоте. В данной работе использовался режим 3-точечного изгиба.
Результаты исследования представлены на рис. 1–5.
0,25
тангенс угла потерь
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
10
20
30
40
50
60
70
степень относительной деформации, %
Рис. 1. Зависимость ВТ от степени предварительной пластической
деформации (прокатки) алюминия при комнатной температуре
Из результатов исследования влияния степени пластической деформации на релаксационные свойства алюминия (рис. 1) видно, что кривая ВТ
растет не монотонно. И на ней можно выделить три участка (три стадии).
Physical and mathematical sciences. Physics
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Рис. 2. Зависимость ВТ от времени при комнатной температуре
для деформированных образцов алюминия после отжига
при различных температурах
Рис. 3. Зависимость ВТ от времени при отжиге (220 °С)
предварительно деформированного алюминия
На первой стадии (до 17 % деформации) ВТ возрастает с увеличением
степени наклепа. Данную стадию можно описать, используя модель Гранато –
Люкке, в соответствии с которой концентрация дислокаций с увеличением
степени пластической деформации возрастает [1]. Для второй стадии
(17–35 % деформации) заметно снижение уровня ВТ. Оно может быть связано с тормозящим влиянием переплетающихся дислокаций, когда доля отно-
188
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
сительно свободных дислокаций, вносящих вклад в дислокационное затухание, уменьшается. И, наконец, третья стадия (более 35 % деформации) характеризуется дальнейшим ростом величины ВТ с увеличением степени наклепа.
По-видимому, в соответствии с работами авторов [2], мы имеем дело с деформацией металла на участке насыщения дислокациями, предшествующем
процессу разрушения. Увеличение ВТ на данной стадии можно объяснить
увеличением числа свободных дислокаций [3].
Рис. 4. Зависимость фонового ВТ алюминия от температуры
при частоте механического нагружения 0,1 Гц
Рис. 5. Зависимость ВТ алюминия от температуры на различных частотах
Physical and mathematical sciences. Physics
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Было замечено также, что температура отжига существенно влияет на
скорость возврата механических свойств алюминия (рис. 2). Отжиг после деформации на 5 % осуществлялся в течение 30 мин при 100 и 220 °С. После
выдержки образцов при данных температурах проводились измерения при
25 °С. После отжига при 220 °С ВТ изменяется на большую величину, чем
после отжига при 100 °С.
Была исследована также зависимость ВТ деформированного алюминия
от времени выдержки при комнатной температуре. В течение 15 дней у данных образцов ВТ практически не изменилось.
Особый интерес представляет исследование зависимости ВТ от времени отжига при температуре 220 °С. Видно (рис. 3), что при данной температуре ВТ уменьшается достаточно интенсивно. Во время отжига при 100 °С
ВТ с течением времени изменяется незначительно.
На рис. 4 показана фоновая зависимость ВТ от температуры. Можно
отметить, что при температурах менее 160 °С ВТ с повышением температуры
изменяется незначительно, что можно объяснить преобладанием дислокационного механизма ВТ [4]. При повышении температуры фон резко возрастает. Повышение фона ВТ, в соответствии с данными авторов [4], может осуществляться по вакансионному механизму, когда концентрация вакансий
с повышением температуры увеличивается экспоненциально. А плотность
дислокаций с увеличением температуры не возрастает, так как энергия образования дислокации выше и термически активировать образование дислокации гораздо сложнее.
На модуле для динамического механического анализа была также снята
зависимость ВТ алюминия от температуры на различных частотах в температурном интервале от 200 до 360 °С. В этом диапазоне температур был обнаружен пик ВТ (рис. 5). Согласно данным авторов [5] появление этого пика
может быть связано с зернограничной релаксацией.
Энергия активации ВТ, рассчитанная по положению пиков на оси температур (согласно формуле Верта – Маркса [5]), составляет 1,4 эВ. Энергия
активации, рассчитанная по частотному смещению пика по оси температур
[2], равна 1,7 эВ.
Полученные результаты согласуются с данными других авторов, по которым энергия активации составляет примерно 1,5 эВ.
Список литературы
1. А в а н е с о в , B . Л. Влияние пластической деформации на внутреннее трение
в металлах / B. Л. Аванесов, А. Ф. Сиренко // Физика твердого тела. – Киев ; Донецк : Вища школа, 1983. – С. 46–48.
2. А л е к с а н д р о в , Л. Н . Внутреннее трение и физические свойства тугоплавких
металлов / Л. Н. Александров, В. С. Мордюк. – Саранск : Мордовское книжное
изд-во, 1965. – 252 с.
3. М а р и н и н , Г . А . Низкочастотное внутреннее трение сильно деформированных
цинка и алюминия / Г. А. Маринин, Г. Я. Акимов // Физика металлов и металловедение, 2000. – Т. 89, № 6. – С. 72–75.
4. Ш а п о в а л , Б. И . Механизмы высокотемпературного фона внутреннего трения
металлов : обзор / Б. И. Шаповал, В. М. Аржавитин. – М. : ЦНИИатоминформ,
1988. – 49 с.
190
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
5. Метод внутреннего трения в металловедческих исследованиях : справ. изд. /
М. С. Блантер, Ю. В. Пигузов, Г. М. Ашмарин и др. – М. : Металлургия, 1991. –
248 с.
References
1. Avanesov B. L., Sirenko A. F. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. Kiev; Donetsk: Vishcha shkola, 1983, pp. 46–48.
2. Aleksandrov L. N., Mordyuk V. S. Vnutrennee trenie i fizicheskie svoystva tugoplavkikh metallov [Internal friction and physical properties of refractory metals]. Saransk:
Mordovskoe knizhnoe izd-vo, 1965, 252 p.
3. Marinin G. A., Akimov G. Ya. Fizika metallov i metallovedenie [Physics of metals and
physical metallurgy]. 2000, vol. 89, no. 6, pp. 72–75.
4. Shapoval B. I., Arzhavitin V. M. Mekhanizmy vysokotemperaturnogo fona vnutrennego
treniya metallov: obzor [Mechanisms of high-temperature background of internal friction of metals: review]. Moscow: TsNIIatominform, 1988, 49 p.
5. Blanter M. S., Piguzov Yu. V., Ashmarin G. M. et al. Metod vnutrennego treniya v
metallovedcheskikh issledovaniyakh: sprav. izd. [Method of internal friction in metallurgical research: reference edition]. Moscow: Metallurgiya, 1991, 248 p.
Фомин Николай Егорович
кандидат физико-математических наук,
профессор, советник ректора,
Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Fomin Nikolay Egorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, professor, rector’s adviser,
Ogarev Mordovia State University
(68 Bolshevistskaya street, Saransk, Russia)
E-mail: vice-rector@adm.mrsu.ru
Киреев Александр Анатольевич
аспирант, Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Kireev Aleksandr Anatol'evich
Postgraduate student, Ogarev Mordovia
State University (68 Bolshevistskaya
street, Saransk, Russia)
E-mail: kireev_alexandr@inbox.ru
Киреев Алексей Анатольевич
инженер, Мордовский государственный
университет имени Н. П. Огарева
(Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Kireev Aleksey Anatol'evich
Engineer, Ogarev Mordovia State
University (68 Bolshevistskaya street,
Saransk, Russia)
E-mail: kireev_alexey@mail.ru
Сигачев Александр Федорович
ведущий инженер, кафедра физики
твердого тела, Мордовский
государственный университет
имени Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск,
ул. Большевистская, 68)
Sigachev Aleksandr Fedorovich
Leading engineer, sub-departmetn of solid
state physics, Ogarev Mordovia State
University (68 Bolshevistskaya street,
Saransk, Russia)
E-mail: siaf@mail.ru
Physical and mathematical sciences. Physics
191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 539.67.082:549.2
Фомин, Н. Е.
Исследование внутреннего трения алюминия методом динамического механического анализа / Н. Е. Фомин, А. А. Киреев, А. А. Киреев,
А. Ф. Сигачев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 186–192.
192
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 535.32
В. И. Горшков, Д. С. Мирошниченко, А. А. Святкина
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
БЕЗОТКАЗНОСТИ ВЕНТИЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМ
С УЧЕТОМ ДЕГРАДАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МОДУЛЕЙ
Аннотация. Актуальность и цели. Интерес к оценке безотказности вентиляционных систем на стадии их разработки связан с перспективой прогнозирования отсутствия отказов в работе указанных систем в процессе эксплуатации.
Рассматриваются стохастические ветвящиеся процессы, на основе которых
разработана методика расчета показателей безотказности вентиляционных систем. Целью данной работы является сравнение результатов расчета, полученных по существующей и предлагаемой методикам, а также подтверждение
адекватности предложенной методики. Материалы и методы. Сравнение существующей методики с предложенной показало, что первая не учитывает деградацию технических параметров сборочных единиц в течение времени эксплуатации, что является основным ее недостатком. Для доказательства адекватности разработанной методики была составлена структура вероятностных
переходов Марковского стохастического ветвящегося процесса прогнозирования независимых отказов вентиляционной системы. Результаты. Сравнительный анализ среднего времени безотказной работы вентиляционной системы по указанным методикам показал, что существующая методика дает завышенные значения среднего времени безотказной работы на 13–24 %, а предлагаемая 4–5 %. Выводы. Предложенная методика расчета характеристик безотказности вентиляционных систем является более адекватной, позволяет учитывать деградацию элементов системы во времени и планировать сроки проведения технического обслуживания ее модулей.
Ключевые слова: вентиляционная система, независимые отказы, ветвящиеся
процессы, дифференциальные уравнения, производящая функция, математическое ожидание, безотказность работы.
V. I. Gorshkov, D. S. Miroshnichenko, A. A. Svyatkina
MATHEMATICAL MODELING OF THE INDICATORS
OF RELIABILITY OF VENTILATION SYSTEMS WITH REGARD
TO THE DEGRADATION OF THE MODULE PARAMETERS
Abstract. Background. Interest in the assessment of reliability of ventilation systems at the stage of development thereof is connected with the prospect of predicting failure absence in these systems during operation. The article considers stochastic branching processes, which serve as abase for a method of calculation of reliability of ventilation systems. The aim of this work is to compare the calculation results
obtained by the existing and the proposed procedures, as well as confirmation of the
adequacy of the proposed method. Materials and methods. Comparison of the existing methods with the proposed ones showed that the first do not consider the degradation of the technical parameters of assembly units during the period of operation,
which is a major drawback. To prove the adequacy of the developed methods the
authors compiled a structure of probabilistic transitions of Markovski stochastic
branching process of failure prediction for independent ventilation system. Results.
Comparative analysis of the average time of failure-free operation of the ventilation
system following the said techniques showed that the existing method gives overes-
Physical and mathematical sciences. Physics
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
timated values of the average time of failure-free operation of 13–24 %, whereas the
suggested method’s value is 4–5 %. Conclusions. The proposed method of calculating the reliability characteristics of ventilation systems is more appropriate, making
it possible to take into account the degradation of system elements in time and plan
the timing of maintenance of its modules.
Key words: ventilation system, independent failures, branching processes, differential equations, generating function, expectation, trouble-free operation
Расчет показателей безотказности вентиляционных систем на стадии
разработки осуществляется на основе методов, учитывающих как внезапные
так и постепенные отказы, предполагающие, что они подчиняются экспоненциальному закону распределения [1]. В общем случае вентиляционная система состоит из m модулей, которые состоят из сборочных единиц. Отказ системы происходит при отказе любой сборочной единицы и модуля в целом.
В этом случае схема расчета показателей безотказности вентиляционной системы представляет собой m последовательно соединенных модулей. При
экспоненциальном законе изменения вероятности безотказной работы вентиляционной системы P (t ) = exp(−λt ) , где t – время, интенсивность отказов
вентиляционной системы λ и среднее время безотказной работы (средняя
наработка до отказа) T соответственно определяются [1] выражениями:
 m

λ = λ эi , T =  λ эi 


i =1
 i =1

m


−1
,
где λ эi – интенсивность отказов i -й сборочной единицы модуля. Основной
недостаток существующей методики [1] заключается в том, что она не учитывает деградацию технических параметров сборочных единиц в течение времени эксплуатации. Неадекватность существующей методики особо проявляется при резком отличии значений интенсивностей отказов сборочных единиц,
входящих в состав модулей вентиляционной системы. В реальных системах
интенсивности отказов по своим значениям могут отличаться в 10 раз.
Отказ модулей вентиляционных систем происходит в результате изменения параметров сборочных единиц. В свою очередь безотказность вентиляционной системы зависит от технического состояния ее модулей, определяемого пятью категориями. Составим расчетную схему определения безотказности вентиляционной системы.
Для этого из m сборочных единиц системы сформируем 5 категорий,
которые характеризуются определенным состоянием значений параметров
элементов (рис. 1). С повышением категории увеличивается степень деградации элементов и их параметров. Количество элементов в категориях является
случайной величиной μi (t ) = mi (i = 1, 2,..., 4) .
Постепенный отказ элементов в расчетной схеме (рис. 1) моделируется
следующим
образом.
За
время
Δt (Δt → 0)
с
вероятностью
pi,i +1 (Δt ) = mi αi,i +1Δt (i = 1, 2,3, 4) , где αi,i +1 – интенсивность переходов деградации, элемент i -й категории переходит в (i + 1) -ю категорию за счет деградации его параметров. При этом в i -й категории количество элементов
уменьшается на единицу, а (i + 1) -й категории увеличивается на единицу.
194
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
1-я группа
элементов
вентиляционной
системы
2-я группа
элементов
вентиляционной
системы
p12
μ1 (t ) = m1
μ 2 (t ) = m2
p2
p1
μ1 (t ) = m1 − 1
μ 2 (t ) = m2 − 1
p23
3-я группа
элементов
вентиляционной
системы
μ3 (t ) = m3
p34
p3
μ3 (t ) = m3 − 1
4-я группа
элементов
вентиляционной
системы
μ 4 (t ) = m4
5-я группа
элементов
вентиляционной
системы
p45
μ5 (t ) = m5
p5
p4
μ 4 (t ) = m4 − 1
μ5 (t ) = m5 − 1
Рис. 1. Расчетная схема прогнозирования независимых
отказов вентиляционной системы
Внезапный отказ элементов в расчетной схеме (рис. 1) моделируется
следующим образом. За время Δt (Δt → 0) с вероятностью pi ( Δt ) = miβi Δt
(i = 1, 2,3, 4,5) , где βi – интенсивность отказов, параметры элемента i -й категории скачкообразно изменяются. При этом количество элементов, не имеющих отказа в i -й категории, уменьшается на единицу.
На основе расчетной схемы (рис. 1) составлена структура вероятностных переходов Марковского стохастического ветвящегося процесса прогнозирования независимых отказов вентиляционной системы (рис. 2). Состояние
вентиляционной системы будем описывать случайным 5-мерным вектором
с координатами [2] μ = (μ1 (t ) = m1 , μ 2 (t ) = m2 ,..., μ5 (t ) = m5 ) (рис. 2). Неизвестной величиной является вероятность
Pm1 ,m2 ,...,m4 (t ) = P (t ; μ1 (t ) = m1 , μ 2 (t ) = m2 ,..., μ5 (t ) = m5 )
(в момент времени t в 1-й категории находится m1 элементов, во 2-й –
m2 , …, и в 5-й категории – m5 ).
Из структуры вероятностных переходов Марковского стохастического
ветвящегося процесса (рис. 2), используя методику [3], получаем систему
обыкновенных дифференциальных уравнений:
dPm1 ,m2 ,...,m4 (t )
dt
=
dP (t ; μ1 (t ) = m1 , μ 2 (t ) = m2 ,..., μ5 (t ) = m5 )
=
dt
5
=
 ( mi + 1) βi P(t; .μ1 (t ) = m1,..., μi (t ) = mi + 1,..., μ5 (t ) = m5 ) +
i =1
+ ( mi + 1) αi ,i +1 P (t ; μ1 (t ) = m1..., μi (t ) = mi + 1, μi +1 (t ) = mi +1 − 1,..., μ5 (t ) = m5 ) −
−mi (αi, j + βi ) P(t ; μ1 (t ) = m1 , μ 2 (t ) = m2 ,..., μ5 (t ) = m5 ),
m1 = 0,1, 2,..., m, m2 = 0,1, 2,..., m, m3 = 0,1, 2,..., m, m4 = 0,1, 2,..., m.
Physical and mathematical sciences. Physics
(1)
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
μ1 (t ) = m1 − 1
μ 2 (t ) = m2 + 1
μ1 (t ) = m1
μ1 (t ) = m1
μ 2 (t ) = m2 − 1
μ 2 (t ) = m2
⋅⋅⋅
μ3 (t ) = m3 + 1
μ3 (t ) = m3
μ 4 (t ) = m4
μ 4 (t ) = m4
μ3 (t ) = m3
μ 4 (t ) = m4 − 1
μ5 (t ) = m5
μ5 (t ) = m5
m1α12 Δt
μ5 (t ) = m5 + 1
m2α 23Δt
m4α 45 Δt
μ1 (t ) = m1 , μ 2 (t ) = m2 , μ3 (t ) = m3 , μ 4 (t ) = m4 , μ5 (t ) = m5
m5β5Δt
m2β2 Δt
m1β1Δt
μ1 (t ) = m1 − 1
μ1 (t ) = m1
μ 2 (t ) = m2
μ 2 (t ) = m2 − 1
μ3 (t ) = m3
μ3 (t ) = m3
μ 4 (t ) = m4
μ 4 (t ) = m4
μ 4 (t ) = m4
μ5 (t ) = m5
μ5 (t ) = m5
μ5 (t ) = m5 − 1
μ1 (t ) = m1
⋅⋅⋅
μ 2 (t ) = m2
μ3 (t ) = m3
Рис. 2. Структура вероятностных переходов Марковского
стохастического ветвящегося процесса прогнозирования
независимых отказов вентиляционной системы
Начальные условия решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) определим из начального состояния стохастической системы
μ 0 = (μ1 (0) = m10 , μ 2 (0) = m20 ,..., μ5 (0) = m50 ) .
В момент времени t = 0 в 1-й категории находятся m10 элементов,
во 2-й – m20 , … , в 5-й категории – m50 . Начальные условия для системы
обыкновенных уравнений (1) в этом случае определяются следующим образом:
1, если m1 = m10 , m2 = m20 ,..., m5 = m50 ,
Pm1 ,m2 ,...,m4 (0) = 
0, если m1 ≠ m10 , m2 ≠ m20 ,..., m5 ≠ m50 .
(2)
Сведем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1)
к дифференциальному уравнению в частных производных относительно производящей функции, которую будем искать в виде [2]:
F (t ; x1 , x2 ,..., x5 ) =
∞
∞
∞
  ... 
m1 =0 m2 =0 m5 =0
m
m
m
x1 1 x2 2 ...x5 5 Pm1 ,m2 ,...,m5 , (t ),
(3)
где x1 , x2 ,..., x5 – переменные величины.
196
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
Дифференцируя производящую функцию F (t ; x1 , x2 ,..., x5 ) по переменным t , x1 , x2 ,..., x5 , получаем
∞
∞
∞
 ∂F
m dPm1 ,m2 ,...,m5 (t )
m m
...
,
=
x1 1 x2 2 ...x5 5

dt
 ∂t m1 =0 m2 =0 m5 =0

∞
∞
∞
 ∂F
m
m m
...
=
mi x1 1 x2 2 ...x5 5 Pm1 ,m2 ,...,m5 (t ),
 xi
∂xi m =0 m =0 m =0

1
2
5
(4)

∞
∞
∞

∂F
m5
m1 m2
...
(mi + 1) x1 x2 ...x5 Pm1 ,...,mi +1,mi +1 −1,...,m5 (t ),
 xi +1 ∂x =
i m =0 m =0 m =0

1
2
5

∞
∞
∞
 ∂F
m
m m
...
(mi + 1) x1 1 x2 2 ...x5 5 Pm1 ,...,mi +1,...,m5 (t ), i = 1, 2,3, 4,5.
 ∂x =
 i m1 =0 m2 =0 m3 =0
  
  
  
  
Решая совместно (1) и (4), получаем линейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно производящей функции
5
∂F
∂F
.
=
βi + αi,i +1 xi +1 − (αi,i +1 + βi ) xi
∂t i =1
∂xi
(
)
(5)
Задача интегрирования линейного однородного уравнения (5)
равносильна задаче интегрирования так называемой характеристической системы [4]
dx1 dx2 dx3 dx4 dx5 dt
=
=
=
=
=
,
X1 X 2 X 3 X 4 X 5 −1
(6)
где X i = βi + αi ,i +1 xi +1 − (αi ,i +1 + βi ) xi , i = 1, 2,3, 4,5.
Решая характеристическую систему (6), определяем первые линейно
независимые интегралы:
ϕi (t ; x1 , x2 , x3 , x4 ) =
=t−
1
ln βi + αi,i +1 xi +1 − (αi ,i +1 + βi ) xi , i = 1, 2,...,5.
αi ,i +1 + βi
(
)
(7)
Общее решение линейного однородного уравнения в частных производных (5) имеет вид [4]
F (t ; x1 , x2 ,..., x5 ) = φ(ϕ1 , ϕ2 ,..., ϕ5 ) ,
(8)
где φ – произвольная функция.
Функция φ(ϕ1 , ϕ2 ,..., ϕ5 ) определяется из начального условия (2) (вероятность Pm0 ,m0 ,...,m0 (0) = 1 , все остальные вероятности равны нулю):
1
2
5
m0 m0
m0
φ ( ϕ1 ( 0 ) , ϕ2 ( 0 ) ,..., ϕ5 ( 0 ) ) = x1 1 x2 2 ...x5 5 ,
Physical and mathematical sciences. Physics
(9)
197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где x1 , x2 ,..., x5 находятся из решения следующей системы линейных алгебраических уравнений:
( (
)
)
βi + αi,i +1 xi +1 − (αi,i +1 + βi ) xi = exp − αi ,i +1 + βi ϕi (0) , i = 1, 2,...,5. (10)
Решаем систему линейных алгебраических уравнений (10), определяем
x1 , x2 ,..., x5 . Подставляем эти значения в (9) и определяем вид функции
φ = φ ( ϕ1 ( 0 ) , ϕ2 ( 0 ) ,..., ϕ5 ( 0 ) ) . Подставляя в функцию φ аргументы из (7), по-
лучаем выражение для производящей функции:
5


 Ni +
F (t , x1 , x2 ,..., x4 ) =
M ij x j 


j =1
i =1 

5
∏

mi0
,
(11)
где Ni , M ij – соответственно компоненты вектора N и матрицы M, которые
определяются следующим образом:
N = A −1 ⋅ ( D − I ) ⋅ B, M = A −1 ⋅ D ⋅ A ⋅ X ,
(12)
здесь I – единичная матрица;
0
0
0 
 −(β1 + α12 ) α12
 x1 
 β1 


 
 
0 − (β2 + α 23 ) α 23
0
0 

 x2 
 β2 
0
0 − (β3 + α34 ) α34 0  , X =  x3  , B =  β3  ,
A=


 
 
0
0
− (β4 + α 45 ) α 45 

 x4 
 β4 




β 
0
0
0
0
− β5 
 x5 
 5

0
0
0
 exp(−(β1 + α12 )t )

0 exp(−(β2 + α 23 )t )
0
0

0
0
exp(−(β3 + α34 )t )
0
D=

0
0
0 exp(−(β4 + α 45 )t )


0
0
0
0



0

.
0

0

exp(−β5t ) 
0
Вероятность Pm1 ,m2 ,...,m5 (t ) определяется через производящую функцию
следующим образом [2]:
Pm1 ,m2 ,...,m5 (t ) =
∂
1
m1 !m2 !...m5 !
m1 + m2 +...+ m5
F ( t ; 0,0,...,0 )
m
m
m
∂x1 1 ∂x2 2 ...∂x5 5
.
(13)
Математическое ожидание количества элементов, находящихся в категориях деградации в момент времени t , определяется через производящую
функцию следующим образом [3]:
M k (t ) =
198
∂F (t ;1,1,...,1)
, k = 1, 2,...,5 .
∂xk
(14)
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
Вычисляя производные от производящей функции F (t , x1 , x2 ,..., x5 )
(14), получаем выражение математического ожидания количества элементов,
находящихся в различных категориях деградации (рис. 1):
5


 Ni +
M k (t ) =
M ij 


j =1
i =1 

5

∏
mi0
5
M ik
 mi0
i =1
3
Ni +
 M ij
, k = 1, 2,...,5.
(15)
j =1
Неизвестными величинами в Марковском процессе являются интенсивности переходов α12 , α 23 , α34 , α 45 , β1 , β2 , β3 , β4 , β5 . Их можно
определить из решения системы уравнений, полученных на основе выражений для математических ожиданий (15):
M k (τ, α12 , α 23 , α34 , α 45 , β1 , β2 , β3 , β4 ) = M k , k = 1, 2,...,5.
(16)
Математические ожидания M k (k = 1, 2,...,5) в момент времени t = τ
должны быть известны и могут быть определены из эксперимента или априорно из анализа интенсивностей отказов сборочных единиц.
Пусть m10 ≠ 0, m02 = 0, ..., m05 = 0 , тогда вероятность Pm1,m2 ,...,m5 (t ) согласно (13) определяется следующим образом:
Pm1 ,m2 ,...,m5 (t ) =
m10 !
m1 !m2 !... m5 !(m10 − m1 − m2 − ... − m5 )
m0 − m1 − m2 −...− m5
× N1 1
m
m
m
×
(17)
M111 M122 ...M155 .
Получить Pm1,m2 ,...,m5 (t ) при m10 ≠ 0, m02 ≠ 0, ..., m05 ≠ 0 весьма проблематично.
Условием того, что отказа элементов в вентиляционной системе не будет, является m1 + m2 + ... + m5 = m10 . Тогда вероятность безотказной работы
[1] системы противоаварийной защиты в течение времени t определяется
следующим образом:
P (t ) =
m10
m10
m10
  ...  Pm ,m ,...,m (t ) ,
m1 =0 m2 =0 m5 =0
1
2
5
(18)
где m1 + m2 + ... + m5 = m10 .
Среднее время безотказной работы вентиляционной системы определяется следующим образом [1]:
∞

T = P (t )dt =
0
m10
m10
m10 ∞
  ...   Pm ,m ,...,m (t )dt ,
m1 =0 m2 =0 m5 =0 0
1
2
5
(19)
где m1 + m2 + ... + m5 = m10 .
Physical and mathematical sciences. Physics
199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
На рис. 3 показана зависимость математических ожиданий элементов
вентиляционной системы по категориям деградации от времени (сплошные
кривые) при внезапных отказах. Интенсивности переходов Марковского процесса α12 , α 23 , α34 , α 45 , β1 , β2 , β3 , β4 , β5 получены из решения системы
уравнений (16) при τ = 9000 ч , M1 = 1 , M 2 = 7 , M 3 = 5 , M 4 = 3 , M 5 = 1
( M1 , M 2 , M 3 , M 4 получены априорно из анализа интенсивностей отказов
сборочных единиц – m = 18 ). Для сравнения на рис. 3 приведены зависимости
математических ожиданий для случая, когда внезапные отказы отсутствуют
( β1 = β2 = β3 = β4 = β5 = 0) – штриховые кривые. Чем больше расхождение
между сплошной и штриховой кривыми, тем выше вероятность внезапного
отказа. Наибольшее расхождение между сплошными и штриховыми кривыми
наблюдается для 4,5-категорий деградации. Вероятность внезапных отказов
сборочных единиц для этих категорий наибольшая.
M k (t )
20
15
M1
10
M2
M3
5
M4
0
2000
M5
4000
6000
8000
4
1 .10
4
1.2 .10
4
1.4 .10
t , час
– α12 =3.4E-4, α 23 = 8.0E-5, α34 = 2.98E-5, α 45 =0.65E-5,
β1 = 3.8E-7, β2 = 7.6E-7, β3 = 1.52E-6, β4 = 2.28E-6, β5 = 3.8E-6,
– α12 = 3.4E-4, α 23 = 8.0E-5, α34 = 2.98E-5, α 45 = 0.65E-5,
β1 = β2 = β3 = β4 = β5 = 0
Рис. 3. Распределение математических ожиданий элементов вентиляционной
системы по категориям деградации во времени:
Время τ = 9000 ч соответствует среднему времени безотказной работы,
рассчитанному по существующей методике [1] на основе интенсивностей отказов элементов вентиляционной системы для пятилетнего срока службы.
Среднее время безотказной работы вентиляционной системы, полученное по
предложенной методике, составляет T = 7600 ч .
200
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4 (28), 2013
Физико-математические науки. Физика
P(t )
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2000
4000
6000
8000
4
1 .10
4
1.2 .10
4
1.4 .10
t , час
Рис. 4. Вероятность безотказной работы вентиляционной системы
Данные, полученные в результате эксплуатации существующих систем
вентиляции, соответствуют 7300–8000 ч. Существующая методика дает завышенные значения среднего времени безотказной работы на 13–24 %, а
предлагаемая – на 4–5 %.
График изменения вероятности безотказной работы вентиляционной
системы от времени показан на рис. 4. Из графика видно, что вероятность
безотказной работы на уровне P(t ) = 0,8 осуществляется при времени
t = 2000 ч , а для 8000 ч работы вероятность безотказной работы вентиляционной системы составит 0,37. Поэтому для повышения вероятности безотказной работы вентиляционной системы необходимо обеспечить проведение
в определенные сроки технического обслуживания модулей.
Таким образом, предложенная методика расчета характеристик безотказности вентиляционных систем является более адекватной, позволяет учитывать деградацию элементов системы во времени и планировать сроки проведения технического обслуживания ее модулей.
Список литературы
1. П о л о в к о , А . М . Основы теории надежности / А. М. Половко, С. В. Гуров. –
СПб. : БХВ-Петербург, 2006. – 704 с.
2. С е в о с ть я н о в , Б. А . Ветвящиеся процессы / Б. А. Севостьянов. – М. : Наука,
1971. – 307 с.
3. В е н т ц е л ь , Е. С . Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. – М. : Физматлит,
1962. – 637 с.
4. К о р н , Г . Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука. 1974. –
701 с.
References
1. Polovko A. M., Gurov S. V. Osnovy teorii nadezhnosti [Basic theory of reliability].
Saint Petersburg: BKhV-Peterburg, 2006, 704 p.
2. Sevost'yanov B. A. Vetvyashchiesya protsessy [Branching processes]. Moscow: Nauka,
1971, 307 p.
Physical and mathematical sciences. Physics
201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3. Venttsel' E. S. Teoriya veroyatnostey [Probability theory]. Moscow: Fizmatlit, 1962,
637 p.
4. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike [Mathematics handbook]. Moscow: Nauka, 1974, 701 p.
Горшков Валентин Иванович
кандидат технических наук, доцент,
кафедра теплогазоснабжения
и вентиляции, Пензенский
государственный университет
архитектуры и строительства (Россия,
г. Пенза, ул. Титова, 28)
Gorshkov Valentin Ivanovich
Candidate of engineering sciences, associate
professor, sub-department of heat-and-gas
supply and ventilation, Penza State
University of Architecture and Construction
(28 Titova street, Penza, Russia)
E-mail: eoi@pguas.ru
Мирошниченко Денис Сергеевич
аспирант, Пензенский государственный
университет архитектуры
и строительства (Россия, г. Пенза,
ул. Титова, 28)
Miroshnichenko Denis Sergeevich
Postgraduate student, Penza State
University of Architecture and Construction
(28 Titova street, Penza, Russia)
E-mail: eoi@pguas.ru
Святкина Анна Александровна
аспирант, Пензенский государственный
университет архитектуры
и строительства (Россия, г. Пенза,
ул. Титова, 28)
Svyatkina Anna Aleksandrovna
Postgraduate student, Penza State
University of Architecture and Construction
(28 Titova street, Penza, Russia)
E-mail: anja.svjatkina@mail.ru
УДК 535.32
Горшков, В. И.
Математическое моделирование показателей безотказности вентиляционных систем с учетом деградации параметров модулей / В. И. Горшков, Д. С. Мирошниченко, А. А. Святкина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 4 (28). –
С. 193–202.
202
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 4, 2008
Технические науки. Сведения об авторах
Вниманию авторов!
Редакция журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки» приглашает специалистов опубликовать на его страницах оригинальные статьи, содержащие новые научные результаты в области математики, физики, механики, а также обзорные статьи по тематике журнала.
Статьи, ранее опубликованные, а также принятые к опубликованию в других
журналах, редколлегией не рассматриваются.
Редакция принимает к рассмотрению статьи, подготовленные с использованием текстового редактора Microsoft Word for Windows (тип файла – RTF, DOC).
Необходимо представить статью в электронном виде (VolgaVuz@mail.ru) и
дополнительно на бумажном носителе в двух экземплярах. Оптимальный объем рукописи 10–14 страниц формата А4. Основной шрифт статьи – Times New Roman, 14 pt через полуторный интервал. Статья обязательно должна содержать индекс УДК, ключевые слова и развернутую аннотацию объемом от 100 до 250 слов, имеющую четкую
структуру на русском (Актуальность и цели. Материал и методы. Результаты. Выводы)
и английском языках (Background. Materials and methods. Results. Conclusions).
Рисунки и таблицы должны быть размещены в тексте статьи и представлены в
виде отдельных файлов (растровые рисунки в формате TIFF, ВМР с разрешением
300 dpi, векторные рисунки в формате Corel Draw с минимальной толщиной линии
0,75 рt). Рисунки должны сопровождаться подрисуночными подписями.
Формулы в тексте статьи обязательно должны быть набраны в редакторе
формул Microsoft Word Equation (версия 3.0) или MathType. Символы греческого и
русского алфавита должны быть набраны прямо, нежирно; латинского – курсивом,
нежирно; обозначения векторов и матриц прямо, жирно; цифры – прямо, нежирно.
Наименования химических элементов набираются прямо, нежирно. Эти же требования необходимо соблюдать и в рисунках. Допускается вставка в текст специальных
символов (с использованием шрифтов Symbol).
В списке литературы нумерация источников должна соответствовать
очередности ссылок на них в тексте ([1], [2], …). Номер источника указывается в
квадратных скобках. Требования к оформлению списка литературы на русские и
иностранные источники: для книг – фамилия и инициалы автора, название, город,
издательство, год издания, том, количество страниц; для журнальных статей, сборников трудов – фамилия и инициалы автора, название статьи, полное название журнала или сборника, серия, год, том, номер, страницы; для материалов конференций –
фамилия и инициалы автора, название статьи, название конференции, город, издательство, год, страницы.
К материалам статьи должна прилагаться следующая информация: фамилия,
имя, отчество, ученая степень, звание и должность, место и юридический адрес работы
(на русском и английском языках), e-mail, контактные телефоны (желательно сотовые).
Обращаем внимание авторов на то, что перевод имен собственных на английский язык в списке литературы осуществляется автоматически с использованием программы транслитерации в кодировке BGN (сайт translit.ru). Для обеспечения единообразия указания данных об авторах статей во всех реферируемых базах при формировании авторской справки при подаче статьи необходимо предоставить перевод фамилии,
имени, отчества каждого автора на английский язык, или он будет осуществлен автоматически в программе транслитерации в кодировке BGN.
Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается. Рукопись, полученная редакцией, не возвращается. Редакция оставляет за собой право проводить редакторскую и допечатную правку текстов статей, не изменяющую их основного смысла, без согласования с автором.
Статьи, оформленные без соблюдения приведенных выше требований,
к рассмотрению не принимаются.
203
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Уважаемые читатели!
Для гарантированного и своевременного получения журнала «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки»
рекомендуем вам оформить подписку.
Журнал выходит 4 раза в год по тематике:
• математика
• физика
• механика
Стоимость одного номера журнала – 500 руб. 00 коп.
Для оформления подписки через редакцию необходимо заполнить и отправить
заявку в редакцию журнала: факс (841-2) 56-34-96, тел.: 36-82-06, 56-47-33;
Е-mail: VolgaVuz@mail.ru
Подписку на второе полугодие 2014 г. можно также оформить по каталогу
агентства «РОСПЕЧАТЬ» «Газеты. Журналы», тематический раздел «Известия высших учебных заведений». Подписной индекс – 36949.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
ЗАЯВКА
Прошу оформить подписку на журнал «Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки» на 2014 г.
№ 1 – ______ шт., № 2 – ______ шт., № 3 – ______ шт., № 4 – ______ шт.
Наименование организации (полное) __________________________________
__________________________________________________________________
ИНН ___________________________ КПП _____________________________
Почтовый индекс __________________________________________________
Республика, край, область____________________________________________
Город (населенный пункт) ___________________________________________
Улица ____________________________________ Дом ____________________
Корпус __________________________ Офис ____________________________
ФИО ответственного ________________________________________________
Должность ________________________________________________________
Тел. ________________ Факс ______________ Е-mail_____________________
Руководитель предприятия ____________________ ______________________
(подпись)
Дата «____» _________________ 2014 г.
204
(ФИО)
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа